www.matematiranje.com

NEKE VAŽNE NEJEDNAKOSTI:

1) za sve 02 ≥x Rx∈ Kvadrat nekog izraza je uvek pozitivan ili jednak nuli (za x=0) Primeri: → za 0)2(44 22 ≥+=++ xxx Rx∈∀ → za 0)1(12 22 ≤−−=−+− aaa Ra∈∀ → jer 022 ≥+− yxyx

43

24222

222

222

222 y⎛

Izvršili smo dopunu od ''punog kvadrata'' pa je 02

2

≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

yx i 04

3 2

≥y , a onda je i

njihov zbir >0

2) zyxzyx++≥

+++2

3222

Dokaz: ⇒

yyxyyyxyyxy +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝

+−

0)1)1

0)1

2

2

2

≥

≥−

zyx

x

(

zyxzyxzyxzyx

zyxzyxzzyyxx

zyx

++≥+++

++≥+++

++≥+++

≥+−++−++−

≥−+−+−

23

)(232223

01212120)1()1()1(

222

222

222

222

222

0( ≥−

( −

3) Dokazati da za ⇒ 0>∀a 221≥+a

Dokaz:

0120)1(

2

2

≥+−

≥−

aaa

aaa :/212 ≥+ (podelimo sa a )

21≥+

aa

1

www.matematiranje.com

4) Dokazati da za i 0≥∀x 0≥∀y

2yxxy +

≤

(geometrijska sredina < aritmetička sredina)

Dokaz: Podjimo od ( )

xyyxxyyx

yxyx

yyxx

yx

≥+

=+

≥+−

≥+−

≥+

2

2:/2

02

02

022

2

Naravno jednakost važi ako je yx = 5) Dokazati da je: koji su nenegativni: zyx ,,∀

3

3333 cbaxyz ++

≤

Dokaz: Uvodimo najpre smene:

3

3

3

czbyax

=

=

= Treba onda dokazati:

3

3333 cbaxyz ++

≤

033

333

333

≥−++

++≤

abccbacbaabc

Kako je (proveri množenjem)

))((3 222333 acbcabcbacbaabccba −−−++++=−++

odavde je sigurno 0≥++ cba [ ] 0)()( −+−+− acb

)(21 222222 ≥=−−−++ cbaacbcabcba

2

www.matematiranje.com

Dakle proizvod dva takva izraza je >0 pa je zaista: 3

333 cbaabc ++≤

Odnosno

33 zyxxyz ++

≤ Pazi: Znak = je ako je zy == x

3