Naslovnica | PMF - Maja Star cevi c mstarcev/sustavi/skripta... PMF-Matemati cki odsjek Sveu cili ste

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Naslovnica | PMF - Maja Star cevi c mstarcev/sustavi/skripta... PMF-Matemati cki odsjek Sveu cili...

  • PMF-Matematički odsjek Sveučilǐste u Zagrebu

    Maja Starčević

    Sustavi diferencijalnih jednadžbi

    Skripta

    Zagreb, 2019.

  • Predgovor

    Skripta je napisana prema predavanjima iz kolegija Sustavi diferencijalnih jednadžbi. Kolegij je prvi kolegij iz modula Dinamički sustavi i obične diferencijalne jednadžbe koji obuhvaća i kolegij Dinamički sustavi. Modul se održava u sklopu Diplomskog studija primijenjene matematike na Matematičkom odsjeku PMF-a u Zagrebu.

    Cilj kolegija je upoznati studente s osnovama teorije sustava običnih diferencijal- nih jednadžbi. Pitanja kojima se kolegij bavi su pretpostavke na parametre sustava koje osiguravaju egzistenciju rješenja inicijalnih problema, jedinstvenost rješenja te maksimalnu proširivost intervala egzistencije. Obradena je i teorija specijalnih vrsta sustava kao što su linearni sustavi, Floquetovi ili periodički sustavi te autonomni sustavi. Kolegij daje uvod u teoriju stabilnosti sustava, odnosno kvalitativnu ana- lizu sustava koja se detaljnije obraduje u sklopu kolegija Dinamički sustavi.

    Za uspješno praćenje kolegija potrebno je posjedovati znanja iz kolegija Matematička analiza I, II, Diferencijalni račun funkcija vǐse varijabli, Linearna algebra I, II. Ko- legij se prirodno nastavlja na kolegij Obične diferencijalne jednadžbe te je poželjno poznavanje osnovnih metoda za rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi.

    i

  • Sadržaj

    Predgovor i

    1 Egzistencija, jedinstvenost i proširivost rješenja 1 1.1 Opći sustav diferencijalnih jednadžbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Egzistencija rješenja inicijalnog problema uz pretpostavke Lipschitz-

    neprekidnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Proširivost lokalnog rješenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Apriorna ocjena rješenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 Korektnost inicijalnog problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6 Neprekidna diferencijabilnost rješenja u odnosu na početni uvjet . . . 29 1.7 Egzistencija rješenja uz pretpostavke neprekidnosti . . . . . . . . . . 33 1.8 Proširivost rješenja pomoću Teorema o apriornim ocjenama . . . . . . 46

    2 Sustavi linearnih jednadžbi 51 2.1 Egzistencija rješenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2 Homogen sustav i fundamentalna matrica . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.3 Eksponencijalna matrična funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.4 Nehomogeni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.5 Stabilnost trivijalnog rješenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.6 Periodički sustavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    3 Autonomni sustavi 78 3.1 Fazni dijagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.2 Stabilnost kritičnih točaka i Ljapunovljeva funkcija . . . . . . . . . . 97

    Literatura 104

    ii

  • Poglavlje 1

    Egzistencija, jedinstvenost i proširivost rješenja

    1.1 Opći sustav diferencijalnih jednadžbi

    Promatramo za početak općeniti sustav s m jednadžbi i m nepoznatih funkcija:

    F1(x, y1, y ′ 1, . . . , y

    (ν1) 1 , y2, y

    ′ 2, . . . , y

    (ν2) 2 , . . . , ym, y

    ′ m, . . . , y

    (νm) m ) = 0 ,

    F2(x, y1, y ′ 1, . . . , y

    (ν1) 1 , y2, y

    ′ 2, . . . , y

    (ν2) 2 , . . . , ym, y

    ′ m, . . . , y

    (νm) m ) = 0 ,

    ...

    Fm(x, y1, y ′ 1, . . . , y

    (ν1) 1 , y2, y

    ′ 2, . . . , y

    (ν2) 2 , . . . , ym, y

    ′ m, . . . , y

    (νm) m ) = 0 . (1.1)

    Primjećujemo da sustav opisuje vezu izmedu nezavisne varijable x, m funkcija y1 = y1(x), . . . , ym = ym(x) i njihovih derivacija. Na vektorsku funkciju F = (F1, . . . , Fm) ćemo kasnije u konkretnim situacijama zadavati neki uvjet poput neprekidnosti, di- ferencijabilnosti, Lipschitz-neprekidnosti i sl. U pravilu pretpostavljamo da se radi o barem neprekidnoj funkciji. Naravno, mogli bismo gledati još općenitije sustave u kojima se broj jednadžbi ne podudara s brojem nepoznatih funkcija, ali ovdje se ipak ograničavamo samo na sustave oblika (1.1).

    Pod rješenjem sustava (1.1) podrazumijevamo vektorsku funkciju y = (y1, . . . , ym) koja zadovoljava sve jednadžbe sustava, definirana je na nekom otvorenom (poveza- nom) intervalu I te je neprekidno diferencijabilna na tom intervalu. Takoder, skup

    {(x, y1(x), y′1(x), . . . , y (ν1) 1 (x), . . . , ym(x), y

    ′ m(x), . . . , y

    (νm) m (x)) : x ∈ I} mora pripa-

    dati domeni funkcije F . Dakle, važno je precizirati domenu funkcije koja odreduje sustav (ponekad naime sužavamo prirodnu domenu funkcije F ).

    Sustav (1.1) ipak nije još posve prikladan za razmatranje. Umjesto njega želimo promatrati sustav koji je normalnog tipa. Objasnimo taj pojam za početak na diferencijalnoj jednadžbi n-tog reda. Ona se općenito može zapisati kao

    F (x, y, y′, . . . , y(n)) = 0 . (1.2)

    1

  • S druge strane, diferencijalna jednadžba n-tog reda normalnog tipa je jednadžba oblika

    y(n) = f(x, y, y′, . . . , y(n−1)). (1.3)

    Dakle, u jednadžbi normalnog tipa je najvǐsa derivacija eksplicitno izražena.

    Možemo se zapitati je li moguće svaku diferencijalnu jednadžbu oblika (1.2) za- pisati kao jednadžbu oblika (1.3). Ako imamo jednadžbu oblika (1.3), ona se može naravno zapisati kao jednadžba oblika (1.2), pri čemu je F : Rn+2 → R definirana s F (x, y1, y2, . . . , yn+1) = yn+1 − f(x, y1, . . . , yn). Obrat medutim općenito ne vrijedi. Npr., ako imamo jednadžbu

    (y′′)2 − (y′)2 + y + 3x− 2 = 0 ,

    onda vrijedi y′′ =

    √ (y′)2 − y − 3x+ 2

    ili y′′ = −

    √ (y′)2 − y − 3x+ 2 .

    Dakle, jednadžba normalnog tipa nije jednoznačno odredena.

    Nadalje ćemo definirati kada je sustav diferencijalnih jednadžbi normalnog tipa. Takav sustav se mora moći zapisati u obliku

    y (ν1) 1 = f1(x, y1, y

    ′ 1, . . . , y

    (ν1−1) 1 , y2, y

    ′ 2, . . . , y

    (ν2−1) 2 , . . . , ym, y

    ′ m, . . . , y

    (νm−1) m ),

    y (ν2) 2 = f2(x, y1, y

    ′ 1, . . . , y

    (ν1−1) 1 , y2, y

    ′ 2, . . . , y

    (ν2−1) 2 , . . . , ym, y

    ′ m, . . . , y

    (νm−1) m ),

    ...

    y(νm)m = fm(x, y1, y ′ 1, . . . , y

    (ν1−1) 1 , y2, y

    ′ 2, . . . , y

    (ν2−1) 2 , . . . , ym, y

    ′ m, . . . , y

    (νm−1) m ).(1.4)

    Zaključujemo da se u normalnom sustavu najvǐse derivacije traženih funkcija ne na- laze na desnoj strani sustava.

    Sada ćemo sustav (1.4) još pojednostaviti. Naime, uvest ćemo supstitucije pomoću kojih ćemo se riješiti derivacija na desnoj strani sustava. Taj niz supstitucija je zadan na sljedeći način:

    Φ11 = y1, Φ12 = y ′ 1, . . . , Φ1ν1 = y

    (ν1−1) 1 ,

    Φ21 = y2, Φ22 = y ′ 2, . . . , Φ2ν2 = y

    (ν2−1) 2 ,

    ...

    Φm1 = ym, Φm2 = y ′ m, . . . , Φmνm = y

    (νm−1) m .

    Kad zamijenimo funkcije y1, . . . , ym u sustavu (1.4) s funkcijama Φij, dobivamo sljedeći sustav:

    Φ′11 = Φ12 ,

    2

  • Φ′12 = Φ13 , ...

    Φ′1(ν1−1) = Φ1ν1 ,

    Φ′1ν1 = f1(x,Φ11,Φ12, . . . ,Φ1ν1 , . . . ,Φm1,Φm2, . . . ,Φmνm) ,

    Φ′21 = Φ22 ,

    Φ′22 = Φ23 , ...

    Φ′2(ν2−1) = Φ2ν2 ,

    Φ′2ν2 = f2(x,Φ11,Φ12, . . . ,Φ1ν1 , . . . ,Φm1,Φm2, . . . ,Φmνm) ,

    ...

    Φ′m1 = Φm2 ,

    Φ′m2 = Φm3 , ...

    Φ′m(νm−1) = Φmνm ,

    Φ′mνm = fm(x,Φ11,Φ12, . . . ,Φ1ν1 , . . . ,Φm1,Φm2, . . . ,Φmνm) . (1.5)

    Primijetimo, ako je dano rješenje y = (y1, y2, . . . , ym) sustava (1.4), onda defini- rajući funkcije Φij, kao što je zadano supstitucijama, vidimo da je funkcija Φ = (Φ11, . . . ,Φ1ν1 , . . . ,Φm1, . . . ,Φmνm) rješenje sustava (1.5). Obratno, ako je Φ = (Φ11, . . . ,Φ1ν1 , . . . ,Φm1, . . . ,Φmνm) rješenje sustava (1.5), onda definiramo

    y = (Φ11,Φ21, . . . ,Φm1)

    i očito je da je funkcija y rješenje sustava (1.4). Dakle, svakom rješenju sustava (1.4) odgovara jedno rješenje sustava (1.5) i obratno. Stoga umjesto sustava (1.4) možemo promatrati sustav (1.5).

    Sustav (1.5) je specijalan slučaj sustava prvog reda oblika

    y′1 = f1(x, y1, y2, . . . , yn) ,

    y′2 = f2(x, y1, y2, . . . , yn) , ...

    y′n = fn(x, y1, y2, . . . , yn) .

    Uz oznake y = (y1, . . . , yn) i f = (f1, . . . , fn) kraće ga zapisujemo kao

    y′ = f(x,y) . (1.6)

    Odsad nadalje bavit ćemo se sustavima oblika (1.6), odnosno pripadnim inicijalnim problemima.

    3

  • Primjer 1.1 Zapǐsimo sustav

    y′′′1 − y22 + y′3 = 0 , y22 − y′′2 + y3 − x = 0 ,

    y1 − y′2 − 3y′′′3 − y3 + x2 = 0

    kao sustav oblika (1.5).

    Prvo ćemo dakle zapisati zadani sustav u obliku

    y′′′1 = y 2 2 − y′3 ,

    y′′2 = y 2 2 + y3 − x ,

    y′′′3 = 1 3 (y1 − y′2 − y3 + x2) .

    Sada uvodimo supstitucije

    Φ11 = y1, Φ12 = y ′ 1, Φ13 = y

    ′′ 1 ,

    Φ21 = y2, Φ22 = y ′ 2 ,

    Φ31 = y3, Φ32 = y ′ 3, Φ33 = y

    ′′ 3 ,

    pomoću kojih dobivamo su