Mukavemet-I

Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Bölüm 2

Gerilme ve Şekil Değiştirme-Eksenel Yükleme

Kaynak: ‘Cisimlerin Mukavemeti’, F.P. Beer, E.R. Johnston, J.T. DeWolf, D.F. Mazurek, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.

Bölüm 1’de çeşitli elemanlarda uygulanan yükler sonucunda meydana gelen gerilmeleri inceledik. Analiz ve tasarımın diğer önemli bir yanı, yapıya uygulanan yüklerin neden olduğu deformasyonlarla ilişkilidir. Yapının hedeflenen amacı yerine getirmesini engelleyecek kadar büyük deformasyonlara maruz kalmasını önlemek gerekir. Bu bölümde, eksenel yükleme halindeki çubuk, plaka gibi yapı elemanlarının deformasyonlarını ele alacağız.

2.1 Giriş

2.2 Eksenel Yüklemede Normal Şekil Değiştirme

Eksenel yüklemeye maruz bir çubuktaki normal şekil değiştirme (ε), çubuğun «birim uzunluğundaki deformasyon» olarak tanımlanır.

2.2 Eksenel Yüklemede Normal Şekil Değiştirme

Kesiti düzgün olmayan bir eleman halinde, gerilme eleman boyunca değişir. Bir Q noktasındaki şekil değiştirme, deforme olmamış küçük bir Δx elemanını göz önüne alınarak tanımlanır:

2.3 Gerilme - Şekil Değiştirme Diyagramı

Malzemenin gerilme-şekil değiştirme diyagramı çekme deneyi ile belirlenir. L0: ölçüm uzunluğu

2.3 Gerilme - Şekil Değiştirme Diyagramı

Malzemenin gerilme-şekil değiştirme diyagramından malzemenin sünek mi gevrek mi olduğu anlaşılır.

2.3 Gerilme - Şekil Değiştirme Diyagramı

Sünek malzemeler «akma» yetenekleri ile bilinirler. σY: malzemenin «akma mukavemeti» σU: malzemenin «maksimum! (kopma) mukavemeti» σB: malzemenin «kırılma mukavemeti»

2.3 Gerilme - Şekil Değiştirme Diyagramı

İnşaat demirinde akma noktası barizdir, diyagramdan gözlenebilir. Alüminyum alaşımında ise akma noktası «kaydırma» yöntemi ile belirlenir.

2.3 Gerilme - Şekil Değiştirme Diyagramı

Gevrek malzemelerde maksimum mukavemet değeri ile kırılma mukavemeti arasında fark yoktur. Gevrek malzemelerde kırılma anındaki şekil değiştirme, sünek malzemelerden çok daha küçüktür.

2.3 Gerilme - Şekil Değiştirme Diyagramı

Bir malzemenin sünekliğinin standart bir ölçüsü uzama yüzdesidir. Sık kullanılan bir çelikte %21’dir (Akma mukavemeti 350 MPa ve 50 mm ölçüm uzunluğu).

Diğer bir süneklik ölçüsü alan büzülmesidir. İnşaat çeliklerinde genellikle %60-%70 arasında değişir.

2.3 Gerilme - Şekil Değiştirme Diyagramı

Çelikte akma mukavemeti hem çekmede hem de basınçta aynıdır. Akma noktasını aşan yüklemeler sonucunda eğriler farklılık gösterir. Basınçta boyun verme görülmez. Çoğu gevrek malzemede, basınç kopma mukavemeti çekmedeki kopma mukavemetinden büyüktür. Bu durum, çekmede malzemeyi zayıflatan malzeme yapısındaki mikroçatlaklar ile açıklanır. Betonun gerilme-şekil değiştirme

diyagramı.

*2.4 Gerçek Gerilme – Gerçek Şekil Değiştirme

Tipik bir sünek malzeme için gerçek gerilme-gerçek şekil değiştirme diyagramı.

Önceki diyagramlardaki gerilmeler P yükünün A0 kesit alanına bölünmesiyle elde edilmiştir. Ancak, kesit alanı P artarken azalır. σ = P/A0 : mühendislik gerilmesi. σt = P/A: gerçek gerilme. ε = δ/L0 : mühendislik şekil değiştirmesi. εt: gerçek şekil değiştirme.

2.5 Hooke Kanunu – Elastisite Modülü

Hooke kanununun kullanılabildiği en büyük gerilme değerine, malzemenin «orantı limiti» adı verilir. Bariz akma noktasına sahip malzemelerde hemen hemen akma noktası ile çakışır. Diğer malzemeler için orantı limitini tanımlamak kolay değildir.

2.5 Hooke Kanunu – Elastisite Modülü

Yapı metallerinin özellikleri, ısı uygulamasından ve üretim sürecinden etkilenir. Şekilde görüldüğü gibi akma mukavemeti, kopma mukavemeti ve son şekil değiştirme arasında oldukça büyük farklar vardır. Ama hepsi aynı elastisite modülüne sahiptir.

2.5 Hooke Kanunu – Elastisite Modülü

Mekanik özellikler malzeme doğrultusundan bağımsız ise malzeme izotropiktir. Özellikleri ele alınan doğrultuya bağlı olan malzemelere ise anizotropik malzeme denir. Fiber takviyeli kompozit malzemeler anizotropik malzemeye örnektir. Ex ≠ Ey ≠ Ez

2.6 Malzemenin Elastik ve Plastik Davranışı

Bir numunedeki şekil değiştirme yük kaldırıldığında ortadan kalkıyorsa, malzemenin elastik davrandığı söylenir. Elastik davranışın görüldüğü en büyük gerilme değeri, malzemenin elastik limitidir. Bariz akma noktasına sahip malzemelerde elastik limit, orantı limiti ve akma noktası temelde eşittir.

Akma noktasından sonra yük kaldırılırsa, şekil değiştirme sıfıra dönmez. Bu durum kalıcı veya plastik deformasyon oluştuğunu gösterir. Plastik deformasyonun gerilmeye bağlı kısmına kayma, zamana bağlı kısmına sünme denir.

2.6 Malzemenin Elastik ve Plastik Davranışı

Yeni yükleme eğrisinin doğru şeklindeki parçası, başlangıçtakinden daha büyüktür. Bu durum, ilk yükleme sonucu oluşan deformasyon sertleşmesinin sonucudur. Bununla birlikte, kopma noktası değişmediğinden, D noktasından ölçülen süneklik azalmıştır.

2.6 Malzemenin Elastik ve Plastik Davranışı

İlk yükleme sertleşmeye neden olacak kadar büyükse, C’D’ çizgisi izlenir. Basınç gerilmesi σY’den küçük olmakla birlikte, gerilmedeki toplam değişme 2σY’dir.

Akma mukavemeti çekme ve basınçta aynı olan yumuşak çelik. İkinci yükleme ilkine zıt yönde. DH parçası eğridir, bariz akma görülmez. Buna Bauschinger etkisi adı verilir. JK’da eğim elastisite modülüne eşittir.

2.7 Tekrarlı Yüklemeler; Yorulma

Maksimum gerilmenin büyüklüğü azaldıkça, sürekli mukavemet sınırı gerilmesine ulaşana kadar, kırılma için gerekli döngülerin sayısı artar.

Gerilmeler elastik aralıkta ise, verilen yük bir çok kez tekrarlanabilir. Fakat yükleme sayısı belirli bir değeri aştığında, kırılma statik mukavemetten daha düşük bir gerilme değerinde gerçekleşir. Bu olay yorulma olarak bilinir. Sünek malzemelerde bile gevrek tabiata sahiptir.

2.7 Tekrarlı Yüklemeler; Yorulma

Alüminyum ve bakır gibi metallerde kırılma gerilmesi sürekli bir düşüş göstermektedir. Böyle metaller için 500 milyon gibi belli bir döngü sayısı, yorulma sınırı olarak tanımlanır.

• Bir sanayi vincini taşıyan kiriş 25 yılda 2 milyon defa (bir iş gününde 300 yükleme),

• 320.000 km yol kat eden bir aracın krank mili ½ milyar defa,

• Bir türbin kanadı ömrü süresince bir kaç milyar defa yüklenebilir.

2.7 Tekrarlı Yüklemeler; Yorulma

Kırılma, mikroskobik bir çatlakta veya benzer bir kusurlu kısımda başlar. Tekrar eden yüklemeler sonucunda, hasarsız kısım, yükü taşıyamayacak kadar azaldığında ani, gevrek kırılma meydana gelir. Bu nedenle, yüzey durumu çok önemlidir. Deniz suyu etkisiyle sürekli mukavemet sınırına %50’ye varan azalma beklenebilir.

2.8 Eksenel Yüklemede Deformasyon

σ = P/A eksenel gerilmesi malzemenin orantı limitini aşmıyorsa, Hooke kanunu uygulanabilir:

Çubuk farklı kesit alanlarına ve/veya farklı malzemeler içeriyorsa:

2.8 Eksenel Yüklemede Deformasyon

Değişken kesitli bir elemanda ε şekil değiştirmesi Q noktasının konumuna bağlıdır. ε = dδ/dx olarak ifade edilir. Buradan, dx uzunluğundaki elemanın deformasyonu:

L toplam uzunluğu üzerinden integral alınarak toplam deformasyon elde edilir:

Örnek 2.01

Verilen yükler altında (E=200 GPa) çelik çubuğun deformasyonlarını belirleyiniz.

Örnek 2.01

2.8 Eksenel Yüklemede Deformasyon

Önceki durumlarda bir uç ankastre bağlanmıştı. Her iki uç da hareket ederse, çubuğun deformasyonu, bir ucunun diğer ucuna göre bağıl yer değiştirmesiyle ölçülür. B’nin A’ya göre bağıl yer değiştirmesi:

Örnek Problem 2.1

BDE rijit çubuğu AB ve CD kollarıyla mesnetlenmiştir. AB kolu alüminyumdan (E = 70 GPa) yapılmıştır ve kesit alanı 500 mm2’dir. CD kolu ise çelikten (E = 200 GPa) yapılmış olup kesit alanı 600 mm2’dir. 30 kN’luk kuvvet için (a) B’nin, (b) D’nin, (c) E’nin yer değiştirmelerini belirleyiniz.

Örnek Problem 2.1

Serbest cisim diyagramı: BDE çubuğu

Örnek Problem 2.1

a. B’nin yer değiştirmesi.

Örnek Problem 2.1

b. D’nin yer değiştirmesi.

Örnek Problem 2.1

c. E’nin yer değiştirmesi.

Örnek Problem 2.2

A ve B rijit dökümleri, 18 mm çaplı CD ve GH cıvatalarıyla bağlanmıştır ve 38 mm çaplı EF alüminyum çubuğunun uçlarıyla temas halindedir. 2.5 mm adımlı, tek yivli olan cıvatalar, tam oturtulduktan sonra, D ve H’deki somunlar dörtte bir kadar döndürülerek sıkılmıştır. E, çelik için 200 GPa ve alüminyum için 70 GPa olduğuna göre, çubuktaki normal gerilmeyi belirleyiniz.

Örnek Problem 2.1

Deformasyonlar CD ve GH cıvataları. Somunların sıkılması cıvatalarda çekme kuvvetleri oluşturur.

EF çubuğu. Çubuk basınç etkisindedir.

Örnek Problem 2.1

D’nin B’ye göre yer değiştirmesi. Dörtte bir dönen cıvata D ve H uçlarında B dökümüne göre ¼(2.5mm)’lik bir yer değiştirmeye sebep olur. D ucunu göz önüne alırsak,

A dökümünü sabit kabul edersek:

(1), (2) ve (3)’ü (4)’te kullanarak:

Örnek Problem 2.1

Serbest cisim diyagramı: B dökümü.

Çubuk ve cıvatalardaki kuvvetler. (6)’daki Pr’yi (5)’te kullanarak,

Çubuktaki gerilme.

2.9 Statikçe Belirsiz Problemler

Önceki kesimde ele alınan problemlerde, iç kuvvetler serbest cisim diyagramı ve denge denklemleri kullanılarak belirlenebiliyordu. İç kuvvetlerin ya da tepki kuvvetlerinin sadece statikten belirlenemediği çok sayıda problem vardır. Denge denklemleri, problemin geometrisi düşünülerek elde edilen deformasyonları içeren bağıntılarla tamamlanmalıdır. Statik, tepkileri veya iç kuvvetleri belirlemede yetersiz olduğundan, bu tip problemlere statikçe belirsiz denmektedir.

Örnek 2.02

L uzunluklu, A1 kesit alanlı ve E1 elastisite modüllü bir çubuk, uzunluğu aynı olan fakat kesit alanı A2, elastisite modülü E2 olan bir tüp içine yerleştirilmiştir. Rijit uç plakası üzerine P kuvveti uygulanırsa, çubuk ve tüpün deformasyonu ne olur?

Örnek 2.02

SCD’lerden sadece bir önemli denklem elde edilir:

Bir denklem iki bilinmeyeni belirlemek için yeterli değildir. Problem statikçe belirsizdir. Geometri, çubuğun ve tüpün deformasyonlarının eşit olması gerektiğini gösterir.

Örnek 2.03

L uzunluklu ve düzgün kesitli bir AB çubuğu, yüklenmeden önce A ve B’de rijit mesnetlere bağlanmıştır. C noktasında P yükünün uygulanmasından dolayı, AC ve BC parçalarındaki gerilmeler ne olur?

Örnek 2.03

SCD’den bir denklem elde edilir:

Bu denklem iki bilinmeyeni belirlemek için yeterli değildir. Problem statikçe belirsizdir. Geometriden, çubuğun toplam uzamasının sıfır olması gerektiği için tepkiler belirlenebilir. AC ve BC kısımlarının uzamaları δ1 ve δ2 ile göstererek,

Örnek 2.03

Süperpozisyon Yöntemi.

Bir yapı, dengede kalması için gerekli olandan daha fazla mesnetle bağlanmışsa, statikçe belirsizdir. Kullanılabilen denge denkleminden fazla sayıda bilinmeyen tepki vardır. Çoğu zaman bu tepkilerden birini fazlalık olarak belirtmek ve karşı gelen mesnedi kaldırmak uygundur. Fakat bu tepki, diğer yüklerle beraber, ilk kısıtlamalarla uyumlu olan deformasyonlar üretmesi gereken, bir bilinmeyen yük olarak ele alınacaktır. Gerçek çözüm, verilen yüklerin ve fazla tepkilerin neden olduğu deformasyonlar ayrı ayrı ele alınarak ve bu sonuçlar toplanarak - ya da süperpoze edilerek- elde edilir.

Örnek 2.04

Şekilde gösterilen çelik çubuk ve yükleme için, yükler uygulanmadan önce her iki mesnedin tam oturduğunu kabul ederek, A ve B’deki tepkileri belirleyiniz.

Örnek 2.04

B’deki tepkiyi fazla tepki olarak kabul edelim ve çubuğu mesnetten ayıralım. Bilinmeyen bir yük olarak kabul edilen RB tepkisini çubuğun δ deformasyonunun sıfıra eşit olması koşulundan belirleyeceğiz. Verilen yüklerin neden olduğu δL deformasyonu ile RB fazla tepkisinden dolayı oluşan δR deformasyonu ayrı ayrı ele alınarak çözüme ulaşılır.

Örnek 2.04

δL deformasyonu, çubuk dört parçaya bölündükten sonra:

Örnek 2.04 RB fazla tepkisinin neden olduğu δR deformasyonunu göz önüne alarak çubuğu iki parçaya bölelim:

Örnek 2.04

Üst mesnetteki RA tepkisi çubuğun serbest cisim diyagramından elde edilir:

Çubuğun toplam deformasyonu sıfır olsa da, parçaların her birinin deforme olduğuna dikkat edilmelidir.

Örnek 2.05

Bir önceki örnekteki çelik çubuk ve yükleme için, yükler uygulanmadan önce çubuk ve yer arasında 4.50 mm’lik bir mesafe olduğunu varsayarak, A ve B’deki tepkileri belirleyiniz. E = 200 GPa alınız.

Örnek 2.05 Bir önceki örnekteki yol izlenir. Ancak, toplam deformasyon sıfır değil, 4.50 mm’dir.

RA tepkisi çubuğun serbest cisim diyagramından elde edilir:

2.10 Sıcaklık Değişimi İçeren Problemler

Düzgün kesitli, homojen bir AB çubuğu, pürüzsüz bir yüzeyde serbestçe durmaktadır. Çubuğun sıcaklığı ΔT kadar arttırılırsa, çubuk L uzunluğu ve ΔT ile orantılı olacak şekilde δT kadar uzar.

α: termal genleşme katsayısı, 1/˚C

2.10 Sıcaklık Değişimi İçeren Problemler

Sıcaklık değişiminden kaynaklandığı için, εT şekil değiştirmesine termal şekil değiştirme adı verilir. Ele aldığımız durumda bir gerilme meydana gelmez.

2.10 Sıcaklık Değişimi İçeren Problemler

Başlangıçta gerilme veya şekil değiştirme yok. Sıcaklık ΔT kadar arttırılırsa, çubuk uzayamaz ve δT sıfır olur. Dolayısıyla, εT = δT/L = 0. Fakat, sıcaklık artınca uzamaya engel olmak için, mesnetler P ve P’ kuvvetleri uygular. Böylece, çubukta gerilme oluşur.

2.10 Sıcaklık Değişimi İçeren Problemler

Problem statikçe belirsizdir. Uzama sıfır olduğundan, mesnet tepkileri hesaplanır. Süperpozisyon metodu için çubuk B mesnedinden ayrılır.

Örnek 2.06

Sıcaklık +24˚C iken her iki rijit mesnet tam oturmaktadır. Çubuk sıcaklığının -45˚C olduğu anda AC ve BC kısımlarındaki gerilme değerlerini belirleyiniz. E = 200 GPa ve α = 11.7x10-6/˚C alınız.

Örnek 2.06

Problem statikçe belirsizdir. Çubuk B mesnedinden ayrılır. Çubuktaki sıcaklık değişimi:

Karşı gelen deformasyon:

Örnek 2.06

B ucuna bilinmeyen RB kuvveti uygulanır ve karşı gelen δR deplasmanı hesaplanır:

Örnek 2.06

Çubuğun toplam deformasyonu sıfır olmalıdır:

A’daki tepki eşit ve zıt yönlüdür.

Örnek 2.06

Çubuğun iki parçasındaki kuvvetler eşittir, P1 = P2 = 81.34 kN.

Çubuğun toplam deformasyonu sıfır olduğu halde, AC ve BC parçalarının deformasyonu sıfırdan farklıdır.

Örnek 2.06 εAC şekil değiştirmesi iki parçaya ayrılabilir. Bunlardan birisi ΔT sonucu oluşan εT’dir:

Diğer kısmı RB kuvvetinden kaynaklanan σ1 gerilmesi ile ilişkilidir:

Bu iki değer toplanarak εAC hesaplanır:

Örnek 2.06 Benzer hesaplamalarla, CB parçasındaki şekil değiştirme de elde edilir:

Çubuğun iki parçasının deformasyonları:

Örnek Problem 2.3

12 mm çaplı CE ve 18 mm çaplı DF çubuğu, ABCD rijit çubuğuna bağlanmıştır. Çubuklar alüminyum (E = 70 GPa) olduğuna göre, (a) her bir çubuktaki kuvveti, (b) A noktasının yer değiştirmesini

belirleyiniz.

Örnek Problem 2.3

Statik. SCD. B’deki tepki ve çubukların uyguladığı kuvvetler belirsizdir. Statikten:

Geometri. 40 kN yük uygulandıktan sonra:

Örnek Problem 2.3

Deformasyonlar. SCD. B’deki tepki ve çubukların uyguladığı kuvvetler belirsizdir. Statikten:

Örnek Problem 2.3

Her bir çubuktaki kuvvet.

Yer değiştirmeler.

Örnek Problem 2.4

CDE rijit kolu E’de pimli mesnetle bağlanmış ve 30 mm çaplı BD pirinç silindiri üzerinde durmaktadır. AC çelik çubuğu 22 mm çaplıdır. Tüm sistemin sıcaklığı 20˚C iken somun sıkıca oturmaktadır. Çelik çubuğun sıcaklığı 20˚C’de kalırken, pirinç silindirinki 50˚C’ye çıkarılmaktadır. Silindirdeki gerilmeyi belirleyiniz. AC çubuğu: Çelik BD silindiri: Pirinç

Örnek Problem 2.4

Statik. Tüm sistemin serbest cisim diyagramından:

Deformasyonlar. RB’yi fazla kabul edip, süperpozisyon yöntemini kullanacağız.

Örnek Problem 2.4

δT yer değiştirmesi.

δ1 yer değiştirmesi.

δ1 yer değiştirmesi.

Silindirdeki gerilme.

2.11 Poisson Oranı

Bütün mühendislik malzemelerinde, P eksenel çekme kuvvetiyle, kuvvet doğrultusunda oluşan uzamanın yanında, dik doğrultularda bir daralma da olur. Aksi belirtilmedikçe, ele alınan malzemeler hem homojen hem de izotropik varsayılacak. Bu nedenle εy = εz olmalıdır. Bu ortak değere enine şekil değiştirme adı verilir.

2.11 Poisson Oranı

Poisson oranı bir malzeme için önemli bir sabittir. Adını Fransız matematikçi Simeon Denis Poisson’dan (1781-1840) alır.

Örnek 2.07

Homojen ve izotropik bir malzemeden yapılmış çubuğun elastisite modülünü ve Poisson oranını belirleyiniz.

Örnek 2.07

2.12 Çok Eksenli Yükleme: Genelleştirilmiş Hooke Kanunu

Şimdiye kadar tek bir eksen doğrultusundaki kuvvetlere maruz elemanları inceledik. Şimdi üç koordinat ekseni boyunca etkiyen sıfırdan farklı σx, σy, σz normal gerilmelerini oluşturan yüklere maruz elemanları göz önüne alıyoruz. Bu durum çok eksenli yükleme olarak adlandırılır.

2.12 Çok Eksenli Yükleme: Genelleştirilmiş Hooke Kanunu

Kenar uzunlukları 1 olan bir küp, çok eksenli bir yüklemeye maruz kalırsa, kenarları 1+εx, 1+εy, 1+εz’ye eşit olan bir dikdörtgenler prizması şeklini alır. εx, εy , εz şekil değiştirme bileşenlerini σx, σy, σz gerilme bileşenleri cinsinden ifade etmek için süperpozisyon ilkesi kullanılacak.

2.12 Çok Eksenli Yükleme: Genelleştirilmiş Hooke Kanunu

Bu bağıntılar, çok eksenli bir yüklemeye maruz homojen, izotropik bir malzeme için genelleştirilmiş Hooke kanunu olarak bilinir.

Örnek 2.08

Şekildeki blok, her yüzünde düzgün basınca maruzdur. AB kenarının uzunluğundaki değişme -30x10-3 mm olduğuna göre, (a) diğer iki kenarın uzunluğundaki değişmeyi, (b) bloğun yüzlerine uygulanan p basıncını belirleyiniz. E = 200 GPa ve ν = 0.29.

50 mm

75 mm 100 mm

Örnek 2.08

a. Diğer kenarların uzunluğundaki değişme.

50 mm

75 mm 100 mm

Örnek 2.08

b. Basınç.

50 mm

75 mm 100 mm

*2.13 Hacimsel Genleşme; Yığılma (Hacim) Modülü

Bu bölümde σx, σy ve σz normal gerilmelerinin bir izotropik malzeme elemanının hacmi üzerindeki etkisini araştırıyoruz. Gerilmesiz halde birim hacimli bir küp eleman σx, σy ve σz gerilmeleri altında hacimli bir dikdörtgenler prizması şeklini alır.

e: hacimdeki değişme

*2.13 Hacimsel Genleşme; Yığılma (Hacim) Modülü

εx, εy ve εz değerleri yerine konularak,

Eleman başlangıçta birim hacimli olduğundan e birim hacimdeki değişmeyi gösterir ve hacimsel genleşme olarak adlandırılır.

*2.13 Hacimsel Genleşme; Yığılma (Hacim) Modülü

Cismin düzgün bir p hidrostatik basınca maruz kalması özel bir hal olarak karşımıza çıkar. Bu durumda, her bir gerilme bileşeni –p’ye eşittir.

k sabiti malzemenin yığılma modülü veya basınç modülü olarak bilinir.

Örnek 2.09

Şekildeki bloğun p = 180 MPa’lık hidrostatik basınca maruz kalması durumunda, hacmindeki ΔV değişimini belirleyiniz. E = 200 GPa ve ν = 0.29.

40 mm

60 mm 80 mm

Örnek 2.09

40 mm

60 mm 80 mm

2.14 Kayma Şekil Değiştirmesi

Önceki bölümde izotropik malzemeden oluşan bir elemanının sadece σx, σy ve σz normal gerilmelerine maruz kaldığını varsaydık. Daha genel halde, τxy, τyz ve τzx kayma gerilmeleri ve bunlara karşılık gelen τyx, τzy ve τxz kayma gerilmeleri bulunur. Bu gerilmelerin normal şekil değiştirmeleri üzerinde doğrudan bir etkisi yoktur.

2.14 Kayma Şekil Değiştirmesi

Kayma gerilmeleri etkisindeki eleman birim kenarlı bir paralel yüz şeklini alır. Dik açılarda değişim meydana gelir. γxy açısı (radyan), x ve y doğrultularına karşı gelen kayma şekil değiştirmesini tanımlar.

2.14 Kayma Şekil Değiştirmesi

γxy açısı, x ve y doğrultularına karşı gelen kayma şekil değiştirmesini tanımlar. Deformasyon, pozitif x ve y eksenlerine doğru olan iki yüzle oluşturulan açının azalmasına sebep oluyorsa, pozitiftir.

2.14 Kayma Şekil Değiştirmesi

1. Elemanın yatay yüzleri dönmeyecek şekilde bir rijit cisim dönmesi varsayılır.

2. Saatin tersi yönde ve saat yönünde toplam açının yarısı kadar rijit cisim dönmesi varsayılır.

Bu derste, iki yüzle oluşturulan açıdaki değişimle ifade edilecektir. Yani, rijit cisim hareketi ile ilgilenmiyoruz.

2.14 Kayma Şekil Değiştirmesi

τxy ve γxy değerleri ile kayma gerilmesi-şekil değiştirme diyagramı elde edilir. Bu, bir burulma testi ile gerçekleştirilebilir (Bölüm 3). Kaymada akma mukavemeti, kopma mukavemeti gibi değerler, çekmedekilerin yaklaşık yarısı kadardır.

G: malzemenin rijitlik veya kayma modülü

Hooke kanunu

2.14 Kayma Şekil Değiştirmesi

Orantı sınırı aşılmadığı sürece bu bağıntılar geçerlidir.

2.14 Kayma Şekil Değiştirmesi

En genel gerilme halinde homojen, izotropik bir malzemenin genelleştirilmiş Hooke kanununu ifade eden denklem grubu:

Örnek 2.10

Kayma modülü G = 630 MPa olan blok, iki rijit yatay plakaya yapıştırılmıştır. Alttaki plaka sabit olup üstteki plaka P yatay kuvvetine maruzdur. Üstteki plaka kuvvetin etkisi ile 1 mm hareket ettiğine göre, (a) malzemedeki ortalama kayma şekil değiştirmesini, (b) üst plakaya uygulanan P kuvvetini belirleyiniz.

Örnek 2.10

a. Kayma şekil değiştirmesi.

b. Üst plakaya uygulanan kuvvet.

2.15 Eksenel Yüklemede Deformasyonun Ek İncelemesi; E, ν ve G Arasındaki Bağıntı

Çubuk, P eksenel yükü sonucu x doğrultusunda uzar, y ve z doğrultularında daralır. Birim kenarlı kübik eleman bir dikdörtgenler prizması şeklini alır.

Eleman yük ekseniyle 45˚’lik bir açı yaparsa, gösterilen yüz bir paralelkenar şeklini alır. P yükü, açıların her birinin arttığı veya azaldığı miktara eşit bir kayma şekil değiştirmesine sebep olur.

2.15 Eksenel Yüklemede Deformasyonun Ek İncelemesi; E, ν ve G Arasındaki Bağıntı

P eksenel yükünün elemanın ekseniyle 45˚’lik bir açı yapan küpün dört yüzü üzerinde eşit büyüklüklü normal ve kayma gerilmelerine sebep olduğunu görmüştük.

2.15 Eksenel Yüklemede Deformasyonun Ek İncelemesi; E, ν ve G Arasındaki Bağıntı

Burada, γ’=γm maksimum kayma şekil değiştirmesi ile yük doğrultusundaki εx normal şekil değiştirmesi arasında bir bağıntı elde edeceğiz.

2.15 Eksenel Yüklemede Deformasyonun Ek İncelemesi; E, ν ve G Arasındaki Bağıntı

2.15 Eksenel Yüklemede Deformasyonun Ek İncelemesi; E, ν ve G Arasındaki Bağıntı

Örnek Problem 2.5

Kalınlığı t=18 mm olan gerilmesiz bir alüminyum plaka üzerine d=225 mm çapında bir daire çizilmiştir. Plaka düzleminde etkiyen kuvvetler σx=84 MPa ve σz=140 MPa normal gerilmelere sebep olmuştur. E=70 GPa ve ν=1/3 olduğuna göre, (a) AB çapının uzunluğundaki değişmeyi, (b) CD çapının uzunluğundaki değişmeyi, (c) plağın kalınlığındaki değişmeyi, (d) plağın hacmindeki değişmeyi belirleyiniz.

380 mm 380 mm

Örnek Problem 2.5

380 mm 380 mm

Hooke Kanunu.

Örnek Problem 2.5

380 mm 380 mm

Hooke Kanunu.

Örnek Problem 2.5

380 mm 380 mm

Hooke Kanunu.

2.17 Eksenel Yüklemede Gerilme ve Şekil Değiştirme Dağılımı; Saint-Venant İlkesi

Şimdiye kadar, eksenel yüklü bir elemanda, normal gerilmelerin elemanın eksenine dik herhangi bir kesitte düzgün olarak dağıldığını varsaydık. Bu varsayım, yüklerin uygulama noktaları civarında büyük hataya neden olabilir. Ancak, gerçek gerilmelerin belirlenmesi statikçe belirsiz bir problemdir, elastisite teorisi ile belirlenebilir. Bu dersteki analizimiz, yüklerin homojen, izotropik malzemeden yapılmış bir elemana aktarılmasında iki rijit plakanın kullanılması özel hali ile sınırlıdır.

2.17 Eksenel Yüklemede Gerilme ve Şekil Değiştirme Dağılımı; Saint-Venant İlkesi

Kesit düzlemlerinin düzlem kalacağı ve bütün parçaların aynı şekilde deforme olacağını varsaymak uygundur, verilen uç koşulları ile uyumludur. Kauçuk model yükleme öncesi ve sonrasında görülmektedir. Gerilmeler orantı limitini aşmazsa, Hooke kanunu geçerlidir.

2.17 Eksenel Yüklemede Gerilme ve Şekil Değiştirme Dağılımı; Saint-Venant İlkesi

Öte yandan, tekil yük uygulandığında, çubuğun kenarlarına yakın elemanlar yüklemeden fazla etkilenmezken, yükün uygulama noktası yakınındaki elemanlar büyük gerilmelere maruz kalır. Uçlardan uzaklaştıkça, deformasyonlar kademeli olarak eşitlenir ve daha düzgün bir şekil değiştirme ve gerilme dağılımı oluşur.

2.17 Eksenel Yüklemede Gerilme ve Şekil Değiştirme Dağılımı; Saint-Venant İlkesi

İleri mukavemet yöntemleri kullanılarak elde edilen gerilme dağılımları.

2.18 Gerilme Yığılmaları

Bir yapı elemanının bir delik veya ani bir kesit değişimi gibi bir süreksizlik içermesi durumunda büyük yerel gerilmeler ortaya çıkar.

K: gerilme yığılması katsayısı

2.18 Gerilme Yığılmaları

Bütün gerilme yığılma katsayıları geometrik parametreler cinsinden ifade edilebilir.

Örnek 2.12

r = 8 mm yarıçaplı fatura ile birleşen, ikisinin de kalınlığı 10 mm olan, 40 mm ve 60 mm genişliğindeki iki parçadan oluşan düz çelik çubuğun güvenli bir şekilde taşıyabileceği en büyük P eksenel yükünü belirleyiniz. Emniyet normal gerilmesi: 165 MPa.

Örnek 2.12

2.19 Plastik Deformasyonlar

Elemanın herhangi bir noktasındaki gerilmeler malzemenin akma mukavemetini aşarsa, plastik deformasyonlar ortaya çıkar. Önceki kesimlerde bulunan sonuçların çoğu geçerliliğini yitirir.

Gerçek gerilme-şekil değiştirme bağıntısını hesaba katan bir analiz bu dersin kapsamı dışındadır. Bununla birlikte, şekildeki gibi idealize edilmiş bir elastoplastik malzeme ile plastik davranış incelenecektir.

2.19 Plastik Deformasyonlar

Gerilmeler akma mukavemetinden küçük olduğu sürece, malzeme elastik davranır. Akma mukavemetine ulaşılınca, akma başlar ve malzeme sabit bir yük altında plastik deformasyonunu sürdürür.

Yük kaldırılırsa, yükleme eğrisinin AY başlangıç kısmına paralel bir CD doğru parçası boyunca boşaltma gerçekleşir. Yatay eksenin AD parçası, plastik deformasyona karşı gelen şekil değiştirmeyi gösterir.

Örnek 2.13

A = 60 mm2 kesit alanlı, L = 500 mm uzunluğundaki bir çubuk, elastik bölgede E = 200 GPa elastisite modülüne sahip ve akma noktası σY = 300 MPa olan bir elastoplastik malzemeden yapılmıştır. Çubuk 7 mm uzayıncaya kadar bir eksenel yüke maruz bırakılmış ve daha sonra yük kaldırılmıştır. Kalıcı deformasyon ne olur?

Örnek 2.13

A = 60 mm2, L = 500 mm, elastik bölgede E = 200 Gpa, akma noktası σY = 300 MPa. Çubuk 7 mm uzayıncaya kadar bir eksenel yüke maruz bırakılmış ve daha sonra yük kaldırılmıştır. Kalıcı deformasyon ne olur?

Örnek 2.14

Çubuk: Aç=48 mm2, Eç=210 GPa, (σç)Y=250 MPa,

Tüp: At = 62 mm2, Et = 105 Gpa, (σt)Y=310 MPa. Tüp ve çubuğun elastoplastik olduğu varsayılıyor. Çubuk-tüp sisteminin P yükü altında yük-yer değiştirme diyagramını çiziniz.

0.75 m

Tüp

Çubuk

Plaka

Örnek 2.14

Örnek 2.14

Örnek 2.15

Önceki örnekte uygulanan P yükü sıfırdan 25 kN’a kadar arttırılıp tekrar sıfıra düşürüldüğüne göre, (a) sistemin maksimum uzamasını, (b) yük kaldırıldıktan sonraki kalıcı deformasyonu belirleyiniz.

0.75 m

Tüp

Çubuk

Plaka

Örnek 2.15

0.75 m

Tüp

Çubuk

Plaka

a. Maksimum Uzama.

Örnek 2.15 b. Kalıcı Deformasyon.

*2.20 Artık Gerilmeler

Bir yapının çeşitli parçalarındaki gerilmeler, yük kaldırıldıktan sonra genellikle sıfıra düşmez. Bu gerilmelere artık gerilmeler denir. Gerçek yapılarda hesaplamalar oldukça kapsamlı ve karmaşık olsa da bir örnekle yöntemin ana hatları anlatılacaktır.

Örnek 2.16

Önceki örneklerde uygulanan P yükü sıfırdan 25 kN’a kadar arttırılıp tekrar sıfıra düşürüldükten sonra, çubuk ve tüpteki gerilmeleri belirleyiniz.

0.75 m

Tüp

Çubuk

Plaka

Örnek 2.16

*2.20 Artık Gerilmeler

Sıcaklık değişimleri de artık gerilmelere sebep olabilir.

Örnek Problem 2.6

ABC kirişi rijit ve başlangıçta yataydır. Yavaşça arttırılan Q yükü ile B noktasından aşağıya doğru 10 mm yer değiştirmekte ve daha sonra yük kaldırılmaktadır. Çubuklarda

E = 200 GPa ve σY = 300 MPa olan elastoplastik çelik kullanıldığına göre, (a) Q’nun gerekli maksimum değerini ve

kirişin karşı gelen konumunu, (b) kirişin son konumunu belirleyiniz.

Örnek Problem 2.6

Statik.

Elastik Etki.

Örnek Problem 2.6

Elastik Etki.

Plastik Deformasyon.

Örnek Problem 2.6

Boşaltma.