MS Predavanja Tema2 Regulacija Uvod 2007

Regulacijske strategije

Prikaz naina analize i sinteze mehatronikih sustava

to je LINEARNI sustav a to vremenski NEPROMJENLJIVI sustav ?

ANALIZA U VREMENSKOJ DOMENI

Za veinu regulacijskih sustava, bez obzira na to koji se alati za analizu i sintezu koriste, u konanoj provjeri valjanosti sinteze (ispunjenosti postavljenih kriterija) koristi se provjera s vremenskim odzivom na referentni signal.

Koji su pojmovi nuni za poznavanje pri sintezi u vremenskoj domeni?

(I) test signali

Slue za provjeru pokazatelja kvalitete sinteze: odskona (step) funkcija, funkcija usporenog rasta (rampa), parabolina funkcija), sinusna funkcija.

22 /)()(

)()()()(

ttuRtr

ttuRtrtuRtr

s

s

s

=

=

=

3

2

sRsR

sRsR

sRsR

/)(

/)(

/)(

=

=

=


)(sG

)(sH

)(sY

)(ty

)(sR

)(tr )(te

)(sE_

(IV) Teorem konane vrijednosti

)()(1)(lim

0 sHsGssRe

sss +=

Karakteristini polinom

)()(1)()(

sHsGsRsE

+=

(III) Pogreka u stacionarnom (ustaljenom) stanju (Trajno regulacijsko odstupanje )

=t

ss tee )(lim

(II) Pogreka openito )()()( tytrte s=


(V) Tip servomehanizma, red astatizma (tip sustava). Vaan u definiciji trajnog regulacijskog odstupanja, definiran je brojem integralnih lanova u prijenosnoj funkciji otvorenog kruga G(s)H(s).

(VI) Koeficijent regulacijskog odstupanja (po poloaju, brzini i ubrzanju).Definira se u ovisnosti o vrsti pobudne funkcije, a iznos svakogkoeficijenta pogreke ovisi o astatizmu (V), [1].


Koeficijenti regulacijskog odstupanja Kj se dobiju razlaganjem funkcije 1/(1+G0) u red po rastuim potencijama od s u okoliu s=0 (detaljan izvod u [1])

Za neke tipine ulazne signale (odskona funkcija-STEP, funkcija usporenog rasta-RAMPA i sl. koeficijenti regulacijskog odstupanja imaju konkretan fizikalni smisao.

( )sGsK js

j 00

= limPoopeni izraz za pogreku (IV)

j=0, K0=Kp STEP ulazna funkcija koeficijent poloajne pogrekej=1, K1=Kv RAMPA ulazna funkcija koeficijent brzinske pogreke j=2, K2=Ka PARABOLA ul. Funkcija koeficijent pogreke ubrzanja


Prikaz trajnih regulacijskih odstupanja za pojedine tipove sustava (j=0-2)

sse sse sse

pKR+1

VKR

aKR


Primjer (1): Za statiki sustav koeficijent poloajne pogreke (j=0, Kj=K0), odziv izlazne veliine na odskonu funkciju) rezultira statikom stacionarnom pogrekom ess=R/(1+K0)=R/(1+Kp)

Primjer (2): Za astatiki sustav (j=1), odziv izlazne veliine na linearno rastuu funkciju rezultira statikom stacionarnom pogrekom ess=R /Kv


(VI) Veza vremenske domene i frekvencijske domene

Referentni model sustava drugog reda opisan linearnom diferencijalnom jednadbom drugog reda s konstantnim koeficijentima

22

2

2)()()(

nn

n

sssRsYsG

++== )2(

)( 222

nn

n

ssssY

++=

U vremenskoj domeni

)arccos1sin(1

1)( 22

+

=

tety ntn

odziv na step

ANALIZA U VREMENSKOJ DOMENI (kompleksno-konjugirani polovi u

kompleksnoj ravnini)

Korijeni karakteristine jednadbe odreuju ponaanje sustava

jjss nn

=

= 221 1,

priguenjatkoeficijenrelativnioscilacijaihnepriguenafrekvencij

oscilacijapriguenihafrekvencij

n

p

)(

s1

s2

n

pol s-ravnina

21 = n

n =0

j

ANALIZA U VREMENSKOJ DOMENI(kompleksno-konjugirani polovi u kompleksnoj

ravnini)

U prijelaznoj funkciji se mnoi s t , dakle definira brzinu porasta prijelazne funkcije. Drugim rijeima 1/ je vremenska konstanta (T) sustava. Ako je vie ulijevo u kompleksnoj ravnini, odziv je bri (manja vremenska konstanta).

Primjer: Sustav je opisan prijenosnom funkcijom zatvorenog kruga K/(1+pT)

Pol p1=-1/T; mala vremenska konstanta (brz odziv sustava) rezultira velikom udaljenou pola u lijevo od imaginarne osi u kompleksnoj ravnini (brzi pol)


Krivulje konstantne nepriguene (a) i priguene (d) vlastite frekvencije, relativnog koef. prig.(b) i koef.prig. (c).

Prijelazna funkcija procesa drugog reda za a) relativno prig.=0.7 i promjenljivu i b) za konstantnu prirodnu frekvenciju i promjenljivo prig.

a) b)

c) d)

b)

a)

1n2n

3n

s-ravnina

j

0

123 nnn >> j

POZITIVNO PRIGUSENJE


NEGATIVNO PRIGUSENJE


0

0=

0=

12 >

2

1

2

1

s-ravnina

12

j





0

s-ravnina

32 1

012 >>03

ANALIZA U VREMENSKOJ DOMENI (korijeni karakteristine jednadbe i odgovarajue prijelazne funkcije )

j

1>

j

1=

j

1>

j

j

0=

10 >>

j

1


pogreka u stacionarnom stanju ess,

izlazne veliine u stacionarnom stanju i idealnog odziva (u postocima idealne vrijednosti izlazne veliine)vrijeme porasta tr, potrebno da izlazna veliina naraste od 10-90% konane vrijednosti

vrijeme kanjenja td, vrijeme potrebno da izlazna veliina naraste na 50% konane vrijednosti

vrijeme postavljanja ts, vrijeme potrebno da izlazna veliina dosegne definirano podruje oko konane vrijednosti i ostane u tom podruju; npr. +/-5%

razlika izmeu stvarne vrijednosti

maksimalno nadvienje m=(ymax-yss) 100%/yss, ili u postocima

vrijeme prvog maksimuma tmax, vrijeme postizanja maksimalnog nadvienja m


;69.002.3

ANALIZA U VREMENSKOJ DOMENI(Primjer)

px

cx

py

0>cF

0>

x

y

pM

cM

tx

Elektromehaniki model (Kolica s Ovjeenim NJihalom) KONJ-a, skica za analizu a) i realni model u mehatronikom laboratoriju b).

ANALIZA U VREMENSKOJ DOMENIRegulacijski zahtjevi

Postotno nadvienje izlazne veliine (xt(t), pozicija vrha njihala) na jedininu pobudu mora biti manje od 5%, m < 5%

Vrijeme postavljanja (regulacije) izlazne veliine (xt (t), pozicija vrha njihala) na jedininu pobudu mora biti manje od 2.2 s , ts < 2.2 s.

Statika pogreka sustava mora biti jednaka nuli, ess = 0

ANALIZA U VREMENSKOJ DOMENIMatematiki model

Matematiki model elektromehanikog sustava se dobiva koritenjem DAlambertovog naela ili postavljanjemLagrangeovih (energetskih ) jednadbi

DAlambertovo naelo omoguava da se svaki zadatak dinamike promatra kao dinamika ravnotea svih sila, ukljuujui i inercijsku. Radi se o modificiranom II Newtonovom zakonu

amF = 0= amF 0=+ iFF

DAlambertova (inercijska) silaRezultantna sila koja djeluje na masu m


Lagrangeove jednadbe za sustav s n stupnjeva slobode, se izraavaju u sustavu s poopenim koordinatama q1 qn. U ovom sluaju su poopene (fizikalno odabrane) koordinate pozicija kolica xc i kut njihanja (alfa).

Opi oblik Lagrange-ovih jednadbi:

cxcc

QLx

Lxt

=

&

QLL

t=

&

pk EEL =

Ukupna sila primijenjena u koordinati xc)()()( txBtFtQ ceqcxc &=

Ukupna sila primijenjena u koordinati)()( tBtQ p &=

Lagrangian sustava, jednak razlici ukupne kinetike i potencijalne energije sustava


2222

222

2222

2322

)sin()()()sin()cos(

))(sin()()cos()sin()()(

ppppcppc

cppppp

ppppcppc

ppppppppceqpppc

lMlMMIMMFlMIglM

tlMlMMIMMBlMIMllMxBlMI

x

+++

+++

++++

++++=

&&&&&

2222

2222

222

)sin()()cos()sin()(

)sin()()cos()cos()sin()(

ppppcppc

ppcpppc

ppppcppc

ceqppppppc

lMlMMIMMlMFglMMM

lMlMMIMMxBlMlMBMM

+++

++

++++

++=

&&&&&

Nelinearne jednadbe elektromehanikog sustava


Linearizacija jednadbi elektromehanikog sustava (u okolini kuta =0):

...!!

)sin(;...!!

)cos( +=+=5342

15342 == )sin(;)cos( 1

2

2222

)()()(

ppcppc

cppppppppceqpppc lMMIMM

FlMIglMBlMxBlMIx

++

+++++=

&&&&

2)()()(

ppcppc

cppceqpppppcppc

lMMIMMFlMxBlMglMMMBMM

++

+++=

&&&&


Matematiki model translacijskog krana s njihalom prikazan u matrinom obliku je

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )tU

HH

ttxttx

HHHHHH

ttxttx

c

c

c

c

+

=

8

4

576

213

00

00

10000100

&

&

&&

&&

&

& H1-H8Izrazi koji predstavljaju vremenski neovisne funkcije parametara translacijskog krana.

dt...

A

b)(tu )(tx& )(tx

c)(ty

)()()( tutt += bxAx&

)()()( tutty += dxc

dt...

A

b)(tu )(tx& )(tx

C)(ty

)()()( tutt += bxAx&

)()()( tutt += DxCy

SISO SIMO


[ ]

( )( )( )( )

==

ttx

ttx

nxtc

c

&

&1)(x [ ]

==

0841084582610932600049065131152161010000100

......

A nxn [ ]

==

526135304100

..

b nxp

=

)()(

)(ttx

t c

y

=

00100001

C

matrica ulazamatrica sustava (objekta)vektor varijabli stanja

matrica izlazavektor izlaznih varijabli stanja

=

00

D

matrica prijenosa prijenosna matrica

ANALIZA U VREMENSKOJ DOMENISinteza regulatora

VANO !!!!!

Ukoliko su dostupne sve varijable stanja, upravljaka funkcija je LINEARNA KOMBINACIJA varijabli stanja.

(engl. Full State Feedback Control)

Zato koristimo sintezu u prostoru stanja?

Sinteza sustava se moe generalizirati i na NELINEARNE sustave

Mogua sinteza i za poetne uvjete nule (nije mogue sa prijenosnom funkcijom

Jasna geometrijska interpretacija (prikaz u faznoj ravnini, fazni portret)


Sustav od n varijabli stanja zahtijeva n koeficijenata vektora pojaanja K

xKbxAx +=&

[ ] 0)det = Kb(AIs

dobije se polinom n-tog reda s koef. K1, K2, ..., Kn.

CILJ:

Odrediti koeficijente (pojaanja) vektora K tako da se polovi zatvorenog kruga postave na ELJENA MJESTA u kompleksnoj ravnini

Da li je to realistina pretpostavka ?

Nije, zamirite, napravite sintezu regulatora i onda dokuite kako da doete do n varijabli stanja (neto mjerenjem, neto estimiranjem) !!!


Metode odreivanja koeficijenata K upravljake funkcije

Postavljanje polova na (engl. Pole Placement, PP) na eljene lokacije prema zahtjevima u vremenskoj domeni

Linearna kvadratina kriterijska funkcija na upravljaku funkciju i varijable stanja, (enl. LinearQuadratic Regulator, LQR)

nnnn jpjp =+= 21 ,

Kpp = place(A,b,[p1 p2 p3 p4])

[ ]

+=0

dtJ RuuQxx TT

Klqr = lqr(A,b,Q,R)


22

100

100

+

=

m

m

ln

ln

sn t=

4

690.=stsm

225.

%=

= 21 =

7230.=

p1 = -1.8182 + j1.9067 ; p2 = -1.8182 - j1.9067

nnnn jpjp =+= 21 ,

Primjer: Postavljanje polova (Pole Placement, PP), (I) dominantni polovi

zahtjevi


Primjer: Postavljanje polova (Pole Placement, PP), (II) nedominantni polovi

Nedominantni polovi: p3 = -20 ; p4 = -40

Prikaz eljenih polova pomou matlab funkcije 'pzmap'

T

ppKK

==

477623009288

6252105347160

.

..

.

Kpp = place(A,b,[p1 p2 p3 p4])


Primjer: Postavljanje polova (Pole Placement, PP), (III)

Pored eljenih polova, postoje i nule z1 i z2, pri emu je jedna od nula (z2) u desnoj poluravnini.

Nula z2 ima za posljedicu negativni kut otklona (ili pozicije) njihala u poetku gibanja, to se vidi u prijelaznoj funkciji kuta njihala (slijedei slide)

Za ovakav sustav se kae da je neminimalno fazni sustav.

Polovi zatvorenog kruga s definiranim polovima prema prethodnom slideu

ANALIZA U VREMENSKOJ DOMENIRezultati sinteze regulatora

2

1

3

1

2

3

Odziv pozicije vrha njihala, uz (1) i bez regulacije njihanja (2), na referentnu veliinu pozicije kolica (3)

Odziv pozicije vrha njihala, s LQR-om (1), s PP regulator (2) na skokoviti oblik referentne veliine pozicije kolica (3)


NAPOMENA:

Analiza i sinteza se provodi bez referentnog upravljakog signala.

S referentnim ul. signalom mora se provesti postupak prorauna kompenzatora N, iz zahtjeva ess=0

Nain prorauna se posebno daje u [ 3]

N Proces

-K

xr +

+

yu

x

LITERATURA

1. Lj. Kuljaa, Z. Vuki.Automatsko upravljanje sistemima, kolska Knjiga Zagreb, 1985. (Postoji novo izdanje)

2. Quanser, Single Pendulum Gantry, electromechanical module, dokumentacija, 2001.

3. I.Fuljati: Regulacija brzine gibanja mehatronikog translacijskog sustava kranskog pogona s ovjeenim teretom uz istovremenu regulaciju njihanja tereta, diplomski rad 1646, FER-ZESA, Zagreb, 2004.
Regulacijske strategijeANALIZA U VREMENSKOJ DOMENIANALIZA U VREMENSKOJ DOMENIANALIZA U VREMENSKOJ DOMENIANALIZA U VREMENSKOJ DOMENIANALIZA U VREMENSKOJ DOMENIANALIZA U VREMENSKOJ DOMENIANALIZA U VREMENSKOJ DOMENIANALIZA U VREMENSKOJ DOMENI (kompleksno-konjugirani polovi u kompleksnoj ravnini)ANALIZA U VREMENSKOJ DOMENI (kompleksno-konjugirani polovi u kompleksnoj ravnini)ANALIZA U VREMENSKOJ DOMENIANALIZA U VREMENSKOJ DOMENI (korijeni karakteristine jednadbe i odgovarajue prijelazne funkcije )ANALIZA U VREMENSKOJ DOMENIANALIZA U VREMENSKOJ DOMENIANALIZA U VREMENSKOJ DOMENI (Primjer)ANALIZA U VREMENSKOJ DOMENIRegulacijski zahtjeviANALIZA U VREMENSKOJ DOMENIMatematiki modelANALIZA U VREMENSKOJ DOMENIMatematiki model ANALIZA U VREMENSKOJ DOMENIMatematiki modelANALIZA U VREMENSKOJ DOMENIMatematiki modelANALIZA U VREMENSKOJ DOMENIMatematiki modelANALIZA U VREMENSKOJ DOMENIMatematiki modelANALIZA U VREMENSKOJ DOMENISinteza regulatoraANALIZA U VREMENSKOJ DOMENISinteza regulatoraANALIZA U VREMENSKOJ DOMENISinteza regulatoraANALIZA U VREMENSKOJ DOMENISinteza regulatoraANALIZA U VREMENSKOJ DOMENISinteza regulatoraANALIZA U VREMENSKOJ DOMENISinteza regulatoraANALIZA U VREMENSKOJ DOMENIRezultati sinteze regulatoraANALIZA U VREMENSKOJ DOMENISinteza regulatoraLITERATURA

Documents

MS Predavanja Tema2 Regulacija Uvod 2007