MÔN HỌC: TOÁN ỨNG DỤNG

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: http://www.ispace.edu.vn

BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ VÀ CÁC THUẬT TOÁN TÌM KIẾM

MÔN HỌC: TOÁN ỨNG DỤNG

Bài 1: CƠ SỞ LOGICBài 2: BÀI TOÁN ĐẾM VÀ BÀI TOÁN TỒN TẠIBài 3: LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ

Bài 4: BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ VÀ CÁC THUẬT TOÁN TÌM KIẾM Bài 5: CÂY VÀ CÁC ỨNG DỤNG



Bài 4: BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ VÀ CÁC THUẬT TOÁN TÌM KIẾM

1. BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ 1.1 Danh sách liền kề 1.2 Ma trận kề 1.3 Ma trận trọng số 1.4 Ma trận liên thuộc

2. BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT 2.1 Giới thiệu bài toán 2.2 Thuật toán Dijkstra 2.3 Thuật toán Floyd

3. CÁC THUẬT TOÁN TÌM KIẾM 3.1 Giới thiệu 3.2 Duyệt đồ thị theo chiều sâu 3.3 Duyệt đồ thị theo chiều rộng

1. BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ 1.1 Danh sách liền kề 1.2 Ma trận kề 1.3 Ma trận trọng số 1.4 Ma trận liên thuộc

2. BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT 2.1 Giới thiệu bài toán 2.2 Thuật toán Dijkstra 2.3 Thuật toán Floyd

3. CÁC THUẬT TOÁN TÌM KIẾM 3.1 Giới thiệu 3.2 Duyệt đồ thị theo chiều sâu 3.3 Duyệt đồ thị theo chiều rộng



1. Biểu diễn đồ thị

1.1 Danh sách liền kề

- Danh sách liền kề là một cách biểu diễn đồ thị không có cạnh bội bằng cách liệt kê tất cả các đỉnh nối với mỗi đỉnh của đồ thị





Ví dụ: Danh sách liền kề của đồ thị vô hướng G

Đỉnh Đỉnh liền kề

1

2

3

4

5

6

3,2

1,3,5

1,2,4

3,5,6

2,4,6

4,5





Ví dụ: Danh sách liền kề của đồ thị có hướng G1

Đỉnh đầu Đỉnh cuối

1

2

3

4

5

6

2,3

2

3

4,6

5




1.2 Ma trận liền kề

Xét đơn đồ thị vô hướng G=(V,E), với tập đỉnh V={v1, v2, ...,vn } và

tập cạnh E={e1, e2, ..., em }. Ma trận liền kề AG của đồ thị G là ma

trận 0-1 vuông cấp nxn.

AG= (aij), trong đó:

1, nếu (vi,vj) là một cạnh của G

0,nếu không có cạnh nối đỉnh vi với vj

aij =





Ví dụ: Ma trận liền kề của đơn đồ thị vô hướng G

0 1 1 0 1 0

1 0 1 1 0 0

1 1 0 0 1 0

0 1 0 0 1 1

1 0 1 1 0 1

0 0 0 1 1 0

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

1

3

6

42

5

1- Ma trận liền kề của đơn đồ thị vô hướng G có dòng, cột đối xứng qua đường chéo2- Tổng giá trị trên một dòng (hoặc cột) bằng số bậc của đỉnh i.





Ví dụ: Ma trận liền kề của đa đồ thị vô hướng G

1

3

6

42

0 1 1 0 0 0

1 0 2 2 0 0

1 2 0 0 1 0

0 2 0 0 1 1

0 0 1 1 0 3

0 0 0 1 3 0

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

5

aij = k - tổng số cạnh nối hai đỉnh





Ví dụ: Ma trận liền kề của đơn đồ thị có hướng G*

1 2

543

0 1 1 0 0

0 0 0 1 1

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

Ma trận liền kề của đơn đồ thị có hướng G không có dòng, cột đối xứng




1.2 Ma trận trọng số

- Trong thực tế chúng ta thường giải quyết những tình huống như sau: từ địa điểm A đến địa điểm B trong thành phố, chúng ta chọn đường đi ngắn nhất (xét đến độ dài), có lúc lại cần chọn đường đi nhanh nhất (xét đến thời gian) và có lúc phải cân nhắc để chọn đường đi có chi phí thấp nhất, v.v...

- Khi chúng ta gán một giá trị số thực dương cho mỗi cạnh của đồ thị G thì chúng ta có đồ thị có trọng số.

- Chúng ta có thể xem đồ thị G bất kỳ là đồ thị có trọng số mà tất cả các cạnh có trọng số bằng 1.









- Đồ thị G = (V,E) gọi là đồ thị có trọng số nếu mỗi cạnh (hay cung) e được gán với một số thực w(e), gọi là trọng số của e (hay chiều dài, trọng lượng của cạnh e).

v1

v2

v6

v5v3

v4

3

7

3

9

5

86

6





- Mỗi đường đi m(u,v) từ đỉnh u đến đỉnh v, có trọng số bằng tổng trọng số các cạnh mà nó đi qua.

- Khoảng cách d(u,v) giữa hai đỉnh u và v là đường đi có trọng số nhỏ nhất trong các đường đi từ u đến v.

d(u,v)=min(m(u,v))





Ma trận trọng số D= d(ij) , xác định như sau:

0, khi đỉnh trùng w(i,j), trọng số của cạnh nối giữa hai đỉnh

, nếu không có cạnh nối giữa hai đỉnh

dij =





Ví dụ: Vẽ ma trận trọng số biểu diễn đồ thị vô hướng G

0 3 7

3 0 6 6

7 6 0 3

6 0 8 5

3 8 0 9

5 9 0

v1 v2 v3 v4 v5 v6

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v1

v2

v6

v5v3

v4

3

7

3

9

5

86

6





Ví dụ: Lập ma trận trọng sốbiểu diễnđồ thị có hướng G





Ví dụ:

0 5 31 40

0 27 73

26 0 8 49 25 38

0 16

70 0 9

23 0 12

10 0

D




1.3 Ma trận liên thuộcMa trận liên thuộc biểu diễn quan hệ giữa cạnh liên thuộc

và đỉnh kề.

Ma trận M= (mij), xác định như sau:

1 nếu cạnh ej nối với đỉnh vi

0 nếu cạnh ej không nối với đỉnh vi

mij =




1.3 Ma trận liên thuộc

Ví dụ: Xây dựng ma trận liên thuộc cho đồ thị G dưới đây

e1 e2 e3 e4 e5 e6

v1

v2

v3

v4

v5



2. Bài toán đường đi ngắn nhất

2.1 Giới thiệu bài toán

Cho đơn đồ thị liên thông, có trọng số dương G=(V,E). Bài toán 1:

Tìm đường đi ngắn nhất từ một đỉnh u đến mỗi đỉnh v của đồ thị G.

Bài toán 2:

Tìm đường đi ngắn nhất giữa mỗi cặp đỉnh của đồ thị G.

1

5

3

DB

C E

A Z

2

1 28

6

10



2.2 Thuật toán DijkstraThuật toán tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh u đến mỗi đỉnh v của đồ thị G, được nhà toán học người Hà Lan E. Dijkstra đề xuất vào năm 1959. Thuật toán thực hiện theo cách gán nhãn tại mỗi đỉnh. Thuật ngữ:w(x,y) : trọng số dương của cạnh (x,y); w(x,y) là ∞ (vô cùng lớn) nếu hai đỉnh không kề nhau.d(v) : độ dài đường đi từ đỉnh xuất phát tới đỉnh v.p(v) : đỉnh đứng ngay trước đỉnh v trên đường đi từ đỉnh xuất phát đến đỉnh v.Nhãn của đỉnh v : gồm cặp (d(v), p(v))T : Tập các nút mà đường đi ngắn nhất đã được xác định.




2.2 Thuật toán DijkstraGán T = ø; p(v) = NULL với mọi đỉnh vd(a)=0; /* a là đỉnh xuất phátVới mỗi đỉnh v còn lại thì d(v) = ∞; Repeat u =(uT | d(u) là bé nhất); T = T ∪ {u}; for ((v là đỉnh kề của u) và vT) if d(v) > d(u) + w(u,v) then

d(v) = d(u) + w(u,v) p(v) = u

Until (T=V)





2.2 Thuật toán Dijkstra

Ví dụ 1: Tìm đường đi ngắn nhất từ A đến mỗi đỉnh khác của đồ thị

G dưới đây

15

3

10

DB

C E

A Z

6

2

1 28





Ví dụ 1:

1 5

3

10

DB

C E

A Z

6

2

1 28

1 5

3

10

DB

C E

A Z

6

2

1 28

(0,-)

(∞,-) (∞,-)

(∞,-) (∞,-)

(∞,-)

(0,-)*

(∞,-)

(2,a)

(∞,-)

(∞,-)

(∞,-)

(1,a)

(∞,-)

d(D) =∞ = d(A)+w(A,D)=0+∞=∞d(E) =∞ = d(A)+w(A,E)=0+∞=∞d(Z) =∞ = d(A)+w(A,Z)=0+∞=∞

d(B) =∞ > d(A)+w(A,B)=0+1=1d(C) =∞ > d(A)+w(A,C)=0+2=2





Ví dụ 1:

1 5

3

10

D

E

A Z

6

2

1 28

C

B

(0,-)*

(1,a)*

(2,a)

(6,b)

(∞,-)

(∞,-)

1 5

3

10

D

E

A Z

6

2

1 28

B

C(0,-)*

(1,a)*

(2,a)*

(6,b)

(∞,-)

(12,c)

d(C) =2 = d(B)+w(B,C)=1+1=2d(D) =∞ > d(B)+w(B,D)=1+5=6d(E) =∞ = d(B)+w(B,E)=0+∞=∞d(Z) =∞ = d(B)+w(B,Z)=0+∞=∞

d(D) =6 > d(C)+w(C,D)=2+8=10d(E) =∞ > d(C)+w(C,E)=2+10=12d(Z) =∞ = d(C)+w(C,Z)=0+∞=∞

(∞,-)

(∞,-)





Ví dụ 1:

1 5

3

10E

A Z

6

2

1 28

B

C

D

(0,-)*

(1,a)*

(2,a)*

(6,b)*

(12,d)

(8,d) (12,c)

d(E) =12 > d(D)+w(D,E)=6+2=8d(Z) =∞ = d(D)+w(D,Z)=6+6=12 d(Z) =12 >d(E)+w(E,Z)=8+3=11

1 5

3

10

A Z6

2

12

8

B

C

D

E(0,-)*

(1,a)*

(2,a)*

(6,b)* (12,d)

(8,d)*

(11,e)





Ví dụ 1:

1 5

3

10

A6

2

1 28

B

C

D

E

Z

(0,-)*

(1,a)*

(2,a)*

(6,b)*

(8,d)*

(11,e)*





Ví dụ 1: Lập bảng để giải bài toán tìm đường đi ngắn nhất

Bước Tập T a b d c e z

0 ø (0,-) (,-) (,-) (,-) (,-) (,-)

1 a (0,-)* (1,a) (,-) (2,a) (,-) (,-)

2 ba - (1,a)* (6,b) (2,a) (,-) (,-)

3 cba - - (6,b) (2,a) * (12,c) (,-)

4 dcba - - (6,b)* - (8,d) (12,d)

5 edcba - - - - (8,d)* (11,e)

6 zedcba - - - - - (11,e)*





Ví dụ 1: Nhận xét bảng kết quả đã thu được. 1/. Độ dài đường đi ngắn nhất từ A đến các đỉnh là

->B: 1->C: 2->D: 6 ->E: 8->Z: 11

2/. Để vẽ đường đi ngắn nhất từ A đến đỉnh Z, chúng ta sử dụng cách đi ngược từ Z về A. Cụ thể là Z <- E <- D <- B <- A. 3/. Đường đi ngắn nhất từ A đến Z không đi qua C. Vậy đường đi ngắn nhất không đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị.




Ví dụ 2:

Tìm đường đi ngắn nhất giữa A và W trong đồ thị G dưới đây

a

yx

wv

z

2

2

13

1

1

2

5

3

5





Ví dụ 2:Do bài toán chỉ cần tìm đường đi ngắn nhất từ A đến W trong đồ thị G nên chúng ta đổi điều kiện kết thúc thuật toán Dijkstra như sau:

...Repeat u =(uT | d(u) là bé nhất); T = T ∪ {u}; for ((v là đỉnh kề của u) và vT) if d(v) > d(u) + w(u,v) then

d(v) = d(u) + w(u,v) p(v) = u

Until ( đỉnh đích chứa trong tập T)





Ví dụ 2:

Tìm đường đi ngắn nhất giữa A và W trong đồ thị G


Bước Tập T a v x y w z

0 ø (0.-) (,-) (,-) (,-) (,-) (,-)

1 a (0,-)* (2,a) (1,a) (,-) (5,a) (,-)

2 xa - (2,a) (1,a)* (2,x) (4,x) (,-)

3 yxa - (2,a) - (2,x)* (3,y) (4,y)

4 vyxa - (2,a)* - - (3,y) (4,y)

5 wvyxa - - - - (3,y)* (4,y)

6 Kết thúc vì đỉnh đến w chứa trong tập T





Ví dụ 3: Cho đồ thị có trọng số G.

Tìm đường đi

ngắn nhất từ

A đến mỗi đỉnh

của đồ thị. 12

10

9

9

5

4

9

9

9

9

6 4

A

B

D

C

E

F

G

H

KZ

2

2

8

41

3

3

8





Ví dụ 4: Cho đồ thị có trọng số G = (V, E), tìm đường đi ngắn nhất

giữa A và H.

6

A

GD

E

b

B

K

32

3

5

4

3

2

2

4

C

4

H

4

4





Ví dụ 5: v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

v1 0 5 30 40 v2 0 27 73 v3 26 0 8 40 25 38v4 0 16 20v5 70 0 20 12v6 22 22 12 v7 50 10

Tìm đường đi ngắn nhất từ v1 đến các đỉnh khác của đồ thị có trọng số được biểu diễn trong ma trận M hình bên.



2.3 Thuật toán Floyd

Giới thiệuĐể tìm đường đi ngắn nhất giữa tất cả các cặp đỉnh của đồ thị G=(V,E), chúng ta sử dụng thuật toán Floyd được công bố năm 1962.

Việc tìm đường đi ngắn nhất dựa trên nguyên tắc sau:" Nếu k là đỉnh nằm trên đường đi ngắn nhất từ i đến j thì đoạn đường từ i đến k và từ k đến j cũng ngắn nhất"

Ak[i,j]=min(Ak-1[i,j], Ak-1[i,k]+Ak-1[k,j])




2.3 Thuật toán Floyd BEGIN for i := 1 to n do for j := 1 to n do begin D[i,j] := C[i,j] ; P[i,j] := 0 end ; for k := 1 to n do for i := 1 to n do for j := 1 to n do

if D[i,k] + D[k,j] < D[i,j] then begin

D[i,j] := D[i,k] + D[k,j] ; P[i,j] := k end END.



2.3 Thuật toán Floyd

Ví dụ:


W = D0 =40 5

2 0

3 0

1 2 3

1

2

3

00 0

0 0 0

0 0 0

1 2 3

1

2

3

P =

1

2

3

5

3

24



D1 =40 5

2 0 7

3 0

1 2 3

1

2

3

00 0

0 0 1

0 0 0

1 2 3

1

2

3

P =

1

2

3

5

3

24

D1[2,3] = min( D0[2,3], D0[2,1]+D0[1,3] )

= min (, 7)

= 7

P[2,3]=1

D1[3,2] = min( D0[3,2], D0[3,1]+D0[1,2] )

= min (3,)

= 3

40 5

2 0

3 0

1 2 3

1

2

3

D0 =

k = 1



D2[1,3] = min( D1[1,3], D1[1,2]+D1[2,3] )

= min (5, 4+7)

= 5

D2[3,1] = min( D1[3,1], D1[3,2]+D1[2,1] )

= min (, 3+2)

= 5

P[3,1] = 2

D2 =40 5

2 0 7

5 3 0

1 2 3

1

2

3

00 0

0 0 1

2 0 0

1 2 3

1

2

3

P =

1

2

3

5

3

24

D1 = 40 5

2 0 7

3 0

1 2 3

1

2

3

k = 23



D3 =40 5

2 0 7

5 3 0

1 2 3

1

2

3

00 0

0 0 1

2 0 0

1 2 3

1

2

3

P =

D3[1,2] = min(D2[1,2], D2[1,3]+D2[3,2] )

= min (4, 5+3))

= 4

D3[2,1] = min(D2[2,1], D2[2,3]+D2[3,1] )

= min (2, 7+ 5)

= 2

D2 =40 5

2 0 7

5 3 0

1 2 3

1

2

3

1

2

3

5

3

24 k = 3



3.1 Giới thiệuVới một đồ thị có nhiều nút, việc kiểm tra tính liên thông của

đồ thị là bài toán lớn, cần có cách thức để thực hiện nhanh, chính xác.

Hai cách duyệt đồ thị phổ biến được áp dụng:

1. Duyệt đồ thị theo chiều sâu (Depth First Search - DFS)

2. Duyệt đồ thị theo chiều rộng (Breadth First Search - BFS)

3. Duyệt đồ thị

BFSDFS


3.2 Duyệt đồ thị theo chiều sâuXuất từ một đỉnh v bất kỳ của đồ thị G, chúng ta thực hiện như sau: Bước 1: đánh dấu v đã được duyệt.Bước 2: thực hiện đánh dấu đã duyệt với mỗi đỉnh w chưa duyệt kề với v, Bước 3: làm lại bước 2 cho đến khi tất cả các đỉnh được duyệt.


DFS


3.2 Duyệt đồ thị theo chiều sâuVí dụ:Thực hiện duyệt đồ thị theo chiều sâu trên đồ thị G dưới đây:


v1 v2

v6

v3 v4

v7 v8v5

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8

v1 v2 v6 v3 v4 v8 v7 v5Bảng duyệt


3.3 Duyệt đồ thị theo chiều rộngXuất từ một đỉnh v bất kỳ của đồ thị G, chúng ta thực hiện như sau: Bước 1: đánh dấu đã duyệt cho một đỉnh v bất kỳ.Bước 2: chọn đỉnh v đã được duyệt nhưng có đỉnh kề chưa được duyệt. Việc chọn đỉnh v được xét ưu tiên cho các đỉnh được đánh dấu duyệt sớm.Bước 3: thực hiện đánh dấu đã duyệt với tất cả các đỉnh w kề với v, Bước 4: làm lại bước 2 cho đến khi tất cả các đỉnh được duyệt.


BFS


3.3 Duyệt đồ thị theo chiều rộng



3.3 Duyệt đồ thị theo chiều rộngVí dụ:Thực hiện duyệt đồ thị theo chiều rộng trên đồ thị G dưới đây:


v1 v2

v6

v3 v4

v7 v8v5

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8

v1 v2 v5 v6 v3 v7 v4 v8Bảng duyệt


3.3 Duyệt đồ thị theo chiều rộngVí dụ:Thực hiện duyệt đồ thị theo chiều rộng trên đồ thị G dưới đây:


Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9

Documents

MÔN HỌC: TOÁN ỨNG DỤNG