Momcilo N ovkovic

I1ija Kovacevic

ZBIRKA RESENIH ZADATAKA

IZ

VEROVATNOCE I STATISTlKE

STYLOS

I t10-v; ~

-'VJU

ZIP&? #I~t'

r;..'1. Cd" ,)

UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNICKIH NAUKA

Momcilo B. Novkovic I1ija M. Kovacevic

ZBIRKA RESENIH ZADATAKA

IZ

,

VEROVATNOCE I STATISTIKE

Nuvi Sad, 1999

,.. kn rt's('uih zadataka iz verovatnoce i statistike

" 'Il

1\11 !\\llliinio Novkuvic, asistcnt FTN-a u Novorn Sadu

1)1 \lij;, Koval-evic, redovni profesor FTN-a u Novorn Sadu

t .'/1.',1111 1)1 lovall M;disic, rcdovni profesor Matcrnatickog fakllltcta II Bcogradu I h Mila StopkllVic, rcdovni profcsor FTN-a u Novom Saclll

1./1./, "STY LOS" l\ll.O., Novi Sad

11 ..,1,11,11',1. Vcsclin Stcfanovic

-/11 Ii. -/.,1 I'njJl'cma: Ilija Tallackov

'.1111/1.1. "S Print", Novi Sad, Bulcvar Vojvodc Stcpe 133, Tel.: 021/401-1174

:.III1P;1110 \I S()O primcraka

('IP-KaTaJ1nnnal~Hja Yny6J1I1Kal~l1jl1 I ; UOJ1l-l0TCKa MaTJ1l\c cpncKe, HOBli Can

'i 1 9.21 (076.5R) 'i \9.22(076.5R)

\HOBKOBlI1i., MOM'IUJlO i I

Zbirka rcscnih zadataka iz verovatnocc i statistikc/Momcilll Novkovic, Ilija Kovaccvic.-Novi Sad: Fakultct Tehnickih nauka: Stylus, 191.)1.) (Novi Sad: SPrint). - 162 str. : graf. prikazi; 24 em

I. KOna

SADRZAJ

UVOD (Binomna formula i kombinatorika) . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1

PROSTOR VEROV ATNOCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8

USLOVNA VEROVATNOCA.

FORMULA TOTALNE VEROVA TNOCE.

PROSTOR ELEMENTARNIH DOGADAJA . . . . . . . . . . . . . . . .. 8

OSNOVNE OSOBINE VEROV ATNOCE I

METODE ZADAVANJA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10

Osnovne osobine verovatnoce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10

Klasicni metod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10

Geometrijski metod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15

Metod zadavanja verovatnoCe na diskretnoma skupu. . . . . . . . .. 18

NEZAVISNOST DOGADAJA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

BAJESOVA FORMULA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

JEDNODIMENZIONALNE SLUCAJNE PROMENLJIVE . . . . . . . . . . 27

FUNKCIJA RASPODELE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27

SLUCAJNE PROMENLJlVE DISKRETNOG TIPA . . . . . . . . . .. 27

SLUCAJNE PROMENLJlVE NEPREKIDNOG TIP A . . . . . . . . . 30

TRANSFORMACIJA SLUCAJNE PROMENLJlVE . . . . . . . . . .. 32

DVODIMENZIONALNA SLUCAJNA PROMENLJIV A 40

DVODIMENZIONALNA SLUCAJNA

DVODIMENZIONALNA SLUCAJNA

TRANSFORMACIJA DVODIMENZIONALNE

FUNKCIJA RASPODELE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40

PROMENLJlV A DISKRETNOG TIPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40

PROMENLJlVA NEPREKIDNOG TIP A . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44

SLUCAJNE PROMENLJIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54

BROJNE KARAKTERISTIKE SLUCAJNIH PROMENLJIVIH . . . . .. 61

ZAKONI VELIKIH BROJEV A I CENTRALNE

GRANICNE TEOREME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68

-------------------- ------- -----

OCENE PARAMETARA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75

TACKASTE OCENE PARAMETARA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75

METODE ZA DOBIJANJE TACKASTIH OCENA. . . . . . . . . . . 75

INTERV ALI POVERENJA (POUZDANOSTI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87

TESTIRANJE HIPOTEZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90

PARAMETARSKE HIPOTEZE I

TESTOVI ZNACAJNOSTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90

NEPARAMETARSKE HIPOTEZE I

TESTOVI ZNACAJNOSTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95

Pirsonov X 2 test ..................................... .

Test Kolmogorova ................................... . 101

95

Test Kolmogorov - Smirnova .......................... . 102

105ZADACI SA PISMENIH ISPITA ............................. .

PRILOG 1

PRILOG2

PRILOG3

PRILOG4

(Primeri najceSce koriscenih statistika) ....................... , 152

(Sematski prikaz karakteristika nekih slucajnih promenljivih) . . . . .. 154

(Uputstvo za koriscenje tablica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 156

(Statisticke tablice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 159

LITERATURA

1 Uvod

UVOD

Binomna formula Za svaki prirodan broj n vazi jednakost

(a + b)" =(~) a"bo + (~) an-1b + (;) an-2b2 + ... +(n: l)abn-1 + (:)aObD , koja se naziva binomna (iii Njutnova) formula.

Brojevi (~), (~), ... , ( :), ... ,(:) nazivaju se binomni koeficijenti. Binomni koeficijent, u oznaci ( :), gde je n E N, k E { 0,1,2, ... , n} je broj

( n) n! n(n-l) ... (n-k+l) Z b' k f'" V'= . a momne oe lClJente vaZl: k k! (n - k)! k(k -1) ... 2 1

10 ( :) = ( n : k) - svojstvo simetricnosti

20 (n) + ( n ) = (n + 1) _pravilo sabiranja k k+l k+l

3 (~)=(:)=1.

Kod razvoja binoma glavni problem je izracunavanje vrednosti binomnih koeficijenata. Za lako izracunavanje binomnih koeficijenata moze nam posluziti takozvani Paskalov trougao:

1 0 1 1 1

1 2 1 2 1 3 3 1 3

1 4 6 4 1 4 1 5 10 10 5 1 5 u kome je svaki broj, sem krajnjih (koji su jednaki 1), jednak zbiru dva susedna broja koji su leva i desno od njega u prethodnoj vrsti. Brojevi u desnoj koloni predstavljaju step en binoma, a brojevi u vrsti koja odgovara tom stepenu, su binomni koeficijenti koji se pojavljuju tim redom u razvoju binoma. Npr. (a+b)4 =1a4 +4.a 3b+6a2b2 +4.ab3 +1b4.

2 Uvod Praviloizbora

1. Ako se neki objekat Al moze izabrati na 01 naCina, a objekat A2 na O2 naCina, tada se izbor Al ili A2 moze izvrsiti na (OJ + 0z) nacina. Pravilo vazi i za vise objekata. Izbor Al Hi Az,... , iii Ak moze se izvrsiti na (01 +02 + ... +Ok) nacina.

2. Izbor uredeoog para (AHAz) moze se izvrSiti na (1 ' n 2 ) nacina. Izbor uredene k-torke (Al'A2 , ,Ak) moze se izvrsiti na (n i . O2 ' Ok) naCina.

Permutacije bez ponavljanja Dat je konacao skup od 0 razliCitih elemenata. Ma koji poredak svih 0 elemenata, naziva se permutacija bez ponavljanja. Dve permutacije bez ponavljanja su jednake ako sadrze iste elemente u istom redosledu. Broj permutacija bez ponavljanja od 0 elemenata je:

def P(O) = n (n -1) (n - 2) ..,21 = n! (0!=1).

Permutacije sa ponavljanjem Dat je konacan skup od n elemenata medu kojima ima i jednakih (k j medusobno jednakih jedne vrste, k2 medusobno jednakih druge vrste,. '" k m medusobno jednakih m-te vrste, pri cemu je ki + k2 + ... + k m s; n). Ma koji poredak svih n elemenata naziva se permutacija sa ponavljanjem, Dve permutacije sa ponavljanjem su jednake ako sadrze iste elemente u istom redosledu.

Broj permutacija sa ponavljanjem od 0 elemenata je: n!

PkJ,kU,km (n) = -k-'-k-'-'-" k ' I' 2' m'

Varijacije bez ponavljanja Dat je konacan skup od 0 raz{icitih elemenata. Ma koja uredena k-torka (redosled je bitan), 1 s; k s; 0, od k razlicitih elemenata datog skupa naziva Se varijacija klase k bez pooavljanja. Dve varijacije bez ponavljanja su jednakt ako sadrze iste elemente u istom redosledu. Broj varijacija klase k bez ponavljanja od n elemenata je:

n' ~

Vk(o)= ' =o(o-I)...(n-k+l).(n - k)!

3 Uvod Varijacije sa ponavljanjem

Dat je konacan skup od 0 razlicitih elemenata. Ma koja uredena k-torka (redosled je bitao) od k elemenata datog skupa, tako da se jedan iIi vise elemenata mogu ponavljati, naziva se varijacija klase k sa ponavljaojem. Dve varijacije klase k sa ponavljanjem su jednake ako sadrze iste elemente u istom redosledu. Broj varijacija klase k sa ponavljanjem od n elemenata je:

-Vk(n)=nk .

Kombinacije bez ponavljanja Dat je konacan skup od 0 razlicitih elemenata. Ma koji podskup od k razliCitih elemenata datog skupa, bez obzira na poredak (redosled nije bUan) naziva se kombioacija klase k bez ponavljaoja. Dve kombinacije klase k bez ponavljanja su jednake ako sadrze iste elemente. Broj kombinacija klase k bez ponavljanja od 0 elemenata je:

Kombinacije sa ponavljanjem Dat je konacan skup od n razliCitih elemenata. Ma koji podskup od k elemenata datog skupa, tako da se jedan iii vise elemenata mogu ponavIjati, bez obzira na poredak (redosled oije bUao) naziva se kombinacija klase k sa ponavljaojem. Dve kombinacije klase k sa ponavljanjem su jednakc ako sadrze iste clemente. Broj kombinacija klase k sa ponavljanjem od n elemenata je:

- (0 + k-IJ (n +k-IJCk(n)== . k 0-1

1. Koliko ima trocifreoih brojeva sa razlicitim ciframa koji se mogu obrazovati od cifara 0,1,2,3,4,5?

V] (6) - V, (5) = 61 - 5! = 654 - 54 = 120 = 20 = 100 (iIi 55-4=100) .s 3!:Y

2. U koliko permutacija cifara 1,2,3, ...,8 cifre 2,4,5,6 stoje jedoa pored druge, ito: a) u datom poretku 2456, b) u proizvoljoom poretku?

4 Umd a) 2456 == x , 1,3,7,8, x P(5) == 5f == 120. b) P(5) P(4) = 5!4!= 12024 == 2880.

3. Vojna jedinica se sastoji od 3 oficira, 6 mladih oficira i 60 vojnika. Na koliko nacina se od njih moze izabrati manja jedinica koja se sasto.ii od jednog oficira, dva mlada oficira i 20 vojnika?

C 1 (3) C 2 (6) C 2o (60) == (;J. (~). (~~J. 4. Koliko Morzeovih znakova se moze formirati od osnovnih znakova i 0

ako se zna da se .iedan znak sastoji od najvise cetiri osnovna znaka? VJ(2)+ V2(2)+ V3(2)+ V4(2)=2+22 +23 +24 =2+4+8+16=30.

5. Tri clana zirija treba da se izjasne sa DA iii NE. Koliki je broj mogucnosti za izjasnjavanje?

2 3V3(2) 8. 6. U prodavnid ima 12 vrsta cigareta. Kupac zeU tri kutije. Na koliko nacina

ih moze izabrati?

C (12) =(12 + 3 -1) = (14) =1413 12 == 364.

3 \ 3 3 32

7. Koliko ima sedmocifrenih brojeva obrazovanih od dfara 0,0,0,0,1,2,3? 7' 6'P4(7)-P3(6)= 4; - 3; =765-654=90 (ili365=90).

8. Koliko ima sedmocifrenih brojeva cije su tri cifre 1, dYe cifre jednake 2, a dYe cifre jednake 3?

7! 7654P3 2 2 (7) = --= ---= 210. " 3!2!21 4

9. Koliko se razlicitih sestocifrenih brojeva moze obrazovati od dfara 0,1,2,3? 46V 6 (4) - V 5 (4) 45 = 4096 -1024 = 3072 (iii 344-444=3072).

10. Koliko se brojeva izmedu 3000 i 6000 moze moze formirati od cifara 0,1,2,...,7, ako se nijedna cifra ne moze ponoviti u jednom broju?

7'3... V3 (7)=='-:'==765=210,4\ 7'4... V3 (7) = 4; = 7 . 65 = 210 ,

. 7'5... V3(1)b'-:'=1 65 == 210,

. 4! Ukupno: 630 (iIi 3765=630).

5 Uvod 11. Na tiketu sportske prognoze nalazi se 12 susreta.

a) Koliko kolona tiketa treba popuniti ako se "znaju" rezultati pet susreta, da bismo imali 12 tacnih pogodaka?

b) Koliko kolona tiketa treba popuniti ako se "zna" da 7 susreta nece biti nereseno, da bismo imali 12 tacnih pogodaka?

a) V7(3) 37 ==2187.

b) V7(2).Vs(3) ==27 .35 =31104.

12. Koliko ima petocifrenih prirodnih brojeva ciji je zbir cifara jednak 5? 5! - 4! 5 .~ 4 = 1

== P (5) - P (4) 3 - 3! --5 5 + 0 + 0 + 0 + 0 , 4 4!

5 4 + 1 + 0 + 0 + 0 , P (5) - P (4) == 5! 4! = 20 -12 8 3 Z 31 2!

5=3+2+0+0+0, P3 (5)-Pz(4)==8

5' 4'5 = 3 + 1 + 1 + 0 + 0 , P22 (5) - P 2 ( 4) = -' - ~ == 30 - 12 = 18

, 21,2! 2!

5=2+2+1+0+0, PZ,2(5)-Pz(4) 18

5 2 + 1 + 1 + 1 + 0 , P (5) - P (4) == 5! - 4! = 20 4 == 16

3 3 31 31 5 == 1 + 1+ 1+ 1 + 1 , _1=--=-__---,-_____________

Ukupno: 70. 13. U odeljenju ima 16 devojcica i 20 decaka! Za odeljensku zajednicu treba

izabrati cetiri predstavnika od kojih je bar jedna devojcica. Na koliko nacina se moze izvrsiti izbor?

(\6)(2;) + (16)(20) + (~6)(20) + (1:) == 18240 + 22800 + 11200 + 1820 == 54060,2 2 1

14. Kosarkaski tim sacinjavaju 5 bekova, 4 centra i 3 krila. Na koliko naCina se moze od njih sastaviti petorka ako u njoj moraju da igraju bar 2 beka i bar 1 centar?

(~)(~)(~) + G)(~)G) + (~J(~) + (!)(~)(~J + (!)(~) + (!)(~) 10,43+ 10 6,3 + 104 + 104,3 + 106 + 54 = 540.

15. Na polici se nalazi 12 razlicitih knjiga od kojih su 5. iz matematike, 4 iz tizike i 3 iz hemije. Na koliko razlicitih nacina se mogu rasporediti knjige na polici, ako se zna da sve knjige iz iste oblasti moraju uvek biti jedna do druge?

P(5) . PC4) . P(3) . 31 5141313! 1202466 == 103680. peS) ~ matematika, P(4) - fizika, P(3) hemija, 31 - oblasti.

6 U~d 16. Vozac je za svoj automobil kupio cetiri spoljasnje i cetiri unutrasnje gume.

Na koliko nacina mogu te gume da se spare?

P( 4) =4! =24 .

17. Na koliko nacina moie biti oeenjen jedan ucenik na kraju skoIske godine iz 12 predmeta ako: a) iz svih predmeta moie dobiti oeenu od 1 do 5? b) iz dva predmeta ne moie dobiti oeenu visu od 3, a iz tri predmeta niiu

od 4?

a) Y 12 (5) =512 = 244140625 .

- - - 7b) Y2(3)'Y3(2)'Y7(5)=32 .23 .5 =5625000. 18. U jednoj ddavi ne postoje dva stanovnika sa jednakim brojem

rasporedom zuba. Koliki je maksimalan broj stanovnika te drzave? 1 - ima zub, 0 - nema zub

~ Y32(2)=2 32 =4294967296.32 mesta 19. Iz grupe od 15 radnika treba izabrati prvo poslovodu, a zatim jos 4

radnika. Na koliko nacina se moie izvrsiti izbor?

20. Pravougaonik je presecen na dva skupa pravih paralelnih njegovim stranicama. Svaki skup se sastoji od po n pravih. Koliko se na ovaj nacin dobija pravougaonika?

=tfM~~~T~}( (..2) p

7 Uvod

a) C9(48).Cl(4)=(~8}(~), b) Cg(48).C2(4)=(~}(;), c) C 1 (4) C 9 (48)+C 2 (4) Cg(48) + C 3 (4),C 7 (48) + C 4 (4),C 6 (48) =

= C 1O (52) - C 1O ( 48) =(~~) -(;~), d) C lO (52) C lO (48) - C 1 (4) C9(48) = (~~) - (;~) (;) (~). 23. Na. stolu se nalazi n belih i n crnih kuglica numerisanih brojevima

1,2,...,n. Na koliko nacina se mogu poredati kuglice po jednoj Iiniji tako da dve kuglice iste boje ne budu jedna do druge?

B C BC B... pen) P(n) = nl n 1= (n!)2 Ukupno 2(n!)2. CBCBC... P(n)P(n)=n!n!=(n!)2

24. Od n razlicitih kuglica dve su flksirane: kuglica A i kuglica B. Na koliko nacina se mogu poredati kuglice tako da kuglice A i B. a) budu jedna do druge? b) ne budu jedna do druge?

a) pen -1) P(2) (n -I)!' 2! 2(n I)!

b) P(n)-P(n-1).P(2)=n! 2(n l)!=(n 2)(n 1)!

8 Prostor verovatnoca

PROSTOR VEROVATNOCA

PROSTOR ELEMENTARNIH DOGADAJA

Skup svih rnoguCih ishoda jednog eksperirnenta naziva se prostor ishoda (skup svih elernentarnih dogadaja). Pojedini ishodi (Oi koji predstavljaju elemente osnovnog skupa n zovu se eJementarni dogadaji. Svaki podskup A skupa n naziva se slucajan dogadaj i on se realizuje ako i sarno ako se realizuje neki ishod (0 koji pripada podskupu A. Svakorn dogadaju A odgovara suprotan dogadaj A koji se realizuje ako i sarno ako se dogadaj A ne realizuje. 1. U kutiji se nalazi 5 kuglica, od kojih su dYe beJe (oznacene sa k} i k2 ), dYe

crvene (oznacene sa k3 i k4 ) i jedna iuta (oznacena sa ks )' Izvlace se odjednorn tri kuglice. Odrediti: a) skup moguCih is hod a, b) dogadaj A da se izvuku tri kugJice razlicitih boja, c) dogadaj B da se izvuku tri kuglice od kojih su dYe crvene.

a) Q={ (kpkz,k3),(kl,k2,k4),(kl,k2,ks),(kl,k3,k4),(kl'k3,ks), (kl' k4, ks),(k z,k3 , k4 ),(kz' k 3 , ks ),(k2, k4, ks), (k 3 , k 4 ,ks ) }

b) A ={ (kl,k3,ks),(kl,k4,ks),(kz,k3,ks),(k2,k4,ks) } c) B= {(kl,k3,k4),(k2,k3,k4),(k3,k4,k,) }

2. Strelac gada u cilj 4 puta, pri cernu se registruju pogoci i prornasaji. Opisati skup ishoda i dogadaje: A - da je gadanje zapoceto promasajem, B - da je rezultat svih dogadaja isti, C - da je cilj pogoden dva puta, D - da je cilj pogoden bar dva pula.

OznaCirno sa 0 prornasaj, a sa 1 pogodak. Tada irnarno: Q {0000,1000,01oo,oo10,ooOl,1100,1010,1001,0110,0101,0011,1110,

1011,1101,0111,.1111} #Q=V4(2)=24 =16 A ={OOOO, 0100, 0010, 0001, 0110,0101,0011, 0111}, B ={OOOO, 1111}

C == {HOO, 1010, 1001,0110, 0101, 0011}

D = {1100, 1010, 1001,0110,0101,0011,1110,1011,1101,0111, 1111}

3. Ogled Se sastoji u bacanju dYe kocke. Odrediti: a) skup elementarnih dogadaja, b) dogadaj Ada se na gornjoj strani obe kocke pojavi isti broj, c) dogadaj B da se na kockama pojavi zbir 7.

9 Prostor verovatnoca a) element arne dogadaje ovog ogleda predstavljaju parovi brojeva (u,m), gde je m broj na gornjoj strani jedne kocke, a n broj na gornjoj strani druge kocke . 11 21 31 41 51 61 12 22 32 42 52 62 13 23 33 43 53 63 #0. 66 36 14 24 34 44 54 64 15 25 35 45 55 65 16 26 36 46 56 66 b) A={ 11,22,33,44,55,66 } c) B = { 16,25,34,43,52,61 }. 4. Odrediti prostor 0. elementarnih dogaoaja u sledeCim eksperimentima.

a) bacanje jedne kocke za igru, b) bacanje novcica, c) bacanje dva novcica, d) bacanje jednog uovcica i jedne kocke.

a) n = { 1,2,3,4,5,6 } b) n={ P,G } c) 0. {pp,PG,GP,GG} d) n = { Pl,P2,P3,P4,P5,P6,Gl,G2,G3,G4,G5,G6 }.

5. Strelac gaoa u ciIj sve dok ga iii ne pogodi dva puta iii ne promasi tri puta. Opisati skup ishoda i dogaoaje: A - da poslednji hitac bude promasaj, B - da je treCi hitac pogodak, C - da je cilj pogooen dva puta.

n = { 000,1000,0100,0010,11,011,101,0011,0101,1001 } A == {ODD, 1000,0100, DOlO} B == {DOlO, 011, 101, 0011} C = { 11,011,101,0011,0101,1001 }

6. Igraci A i B igraju sah sve dok jedan ne postigne 6 pobeda (remi se ne racuna). Trenutno je 5:3 za igraca A. Opisati dogaoaje: DA - da igrac A pobedi, i DB - da igrac B pobedi.

Ak - dogadaj da je igrac A pobedio u k-toj partiji Bk - bogadaj da je igrac B pobedio u k-toj partiji D A {Ag , BgAlO' BgBlOAn }, DB ={B9BlOBI1 }.

7. U kutiji se nalaze cetiri listiea obeldena brojevima 1,2,3,4. Odrediti skup ishoda, ako se IistiCi izvlace jedan po jedan, do pojave neparnog broja (bez vracanja). ~

0. == { 1,3,21,23,41,43,241,243,421,423 }.

10 Prostor verovatnoca 8. Strelac gada u cHj, u prvoj seriji, dva puta, a onda, u drugoj seriji, jos

onoliko puta koliko je pogodaka postigao u prvoj seriji. Opisati skup ishoda i dogadaje: A da strelac pogodi cilj ne manje od tri puta, B - da gadanje zapocne pogodkom, C - da je u trecem gadanju postignut pogodak, D - da strelac pogodi cilj ne vise od jedanput.

n = { QO, tQO, 101, 010, 011, 1100, 1110, 1101, 1111 } A={ 1110,1101,1111 } B {100,101,1100,111O,1101,1111} C {101, 011, 1110, 1111 } D = { 100,010,00 }.

OSNOVNE OSOBINE VEROVATNOCE

I METODE ZADA V ANJA

Osnovne osobine verovatnoce

1. P(0) = 0, n n

2. PCLAj )= L::P(Ai ) , i~l i~l

3. AcB ~ P(A)::;;P(B), 4. O::;;P(A)::;;1, 5. peA) == 1- P(A) , 6. P(A u B) = peA) + PCB) P(AB) ,

n n n n 7. P(UA j ) == rp(A j ) r P(A;A.)+ r P(A;AjAk)- + (_l)n-1 P(A1 .. A ) ,n > 1,n

;=1 ;=1 j ,j=1 J ;,j,k=l j"'i ;"'j,;"'k,k"'j n _ __ _ __

8. P(U Ai) == P(A j ) + P(AZA j ) + P(A 3A j A 2 ) + ... + P(AnA\AZ ...An_\),n > 1. 1:(

Klasicni metod Ako je n konacan skup od n E N elemenata i A c n podskup koji saddi m elemenata, tada je peA) =:~=: (n - broj svih moguCih ishoda, m - broi povoljnih ishoda za realizaciju dogadaja A). Svi ishodi u prostoru n su jednakc verovatni.

Uzorcibezvraianja U kutiji imamo n razlicitih elemenata, na primer n kuglica oznacenih S2. brojevima 1, 2, ... ,n. IzvlaCi se jedna kuglica (tj. jedan broj), ali se ona viSe Dc vraca u kutiju. Zatim se izvlaCi jedna kuglica od preostalih. Kada se take napravi k koraka (k izbora po jedne kugijce bez vracanja) dobije se uzora;; obima k. Realizovani uzorci su tada oblika 'Xl'x 2 , ...,X k , gde je Xi broj dobijt:u i-tom izvlacenju (i svi oni su medusobno razliCiti).

11 Prostor verovatnoca

Ukoliko je redosled u uzorku bitan, tada svaki takav uzorak je jedna varijadja k-te klase bez ponavljanja od 0 elemenata. Takvih uzoraka ima

(0). k!= n! (na primer (2,3,3,5) i (3,2,3,5) se razlikuju jer je redosled k (n - k)! bitan). Ukoliko redosled nije bitan, svaki uzorak je jedna kombinacija k-te klase bez ponavljanja od 0 elemenata. Dakle, ima ih (:) .

Uzorci sa vracanjem U kutiji imamo 0 razliCitih elemenata, na primer n kuglica oznacenih sa brojevima 1,2, ... ,n. Izvlaci se jedna kuglica i kada se vidi njen broj, ona se vraca u kutiju. Onda se kuglice izmesaju. Zatim se ponovo uzima jedna kuglica. Kada se tako napravi k koraka dobija se uzorak obima k. Realizovani uzord su tada oblika y.,y 2 , ,yk , gde je Y j broj dobijen u j-tom izvlacenju. Ovde svako Y j moze biti bilo koji od brojeva 1,2, ..,n. Dakle moze biti i ponavljanja brojeva. Ako je redosled kuglica u uzorku bitan, tada je svaki realizovan uzorak jedna varijacija klase k sa ponavljanjem od 0 elemenata. Dakle tada imamo ukupno Ok uzoraka, tj n k moguCih izborak-torki brojeva. Ako redosled u uzorku nije bitan, tj. svaki uzorak je kombinacija k-te klase sa ponavljanjem od 0 elemenata. Dakle, ima ih (n + : -1) (n : k ~ 1) . 1. U kutiji se nalaze 4 bele i 6 ernih kuglica. Izvlace se tri kuglice. Kolika je

verovatnoca da se medu ojima nade bar jedoa erna kuglica? 10) 1098

n=#n=C3 (10)= 3 = 3.2 =120.(

A - dogadaj da nije izvucena ni jedna cma kuglica

m=#A=C3 (4) (;)=4. P(A)= m --=~ peA) =1-P(A): 1 ~= 29 0967.

n 120 30 30 30 ' Napomeoa: S obzirom da se verovatnoea dogadaja najeesce dobija u obliku razlomka, rezultat dobijen u decimalnom zapisu predstavlja pribliznu vrednost, i u tom smislu se koristi znak jednakosti. Sliena je s.ituacija j za ostala izraeunavanja u ovoj knjizi Dakle, znak jednakosti "=" kod resavanja zadataka je zamena za pribliznojednako" l'I:j ".

12 Prostor verovatnoca 2. Igrac A ima 2, a igrac B ima 6 lozova od ukupno 100 lozova medu kojima je

5 sa dobitkom. Nad verovatnocu da: a) igrac A ima bar jedan loz sa dobitkom, b) bar jedan od igraea A i B ima loz sa dobitkom.

100) 10099a)n=#O C2(100) 2 == 2 =4950.(

A - dogadaj da igrac A nema nijedan loz sa dobitkom, - (95) 9594m=#A=C2(95)= 2 =-2-=4465

peA) = 4465 peA) = 1- peA) = 485 =00979.

4950 4950 '

b) Igraci A i B imaju zajedno 8 lozova. C - dogadaj da igraCi A i B nemaju loz sa dobitkom,

100) 11 - (95) ,n =#0 = Cg (loo) = 8 = 1,8610 m =#C C8 (95) = 8 122.1011 (

P(C)= m == 1,22, P(C)=l-P(C) 0,64 =0,344.

n 1,86 1,86

3. U odeljenju je 8 vojnika. Na slucajan nacin se biraju dva vojnika zbog pozarstva. Za svako sledece pozarstvo postupak se ponavlja. Kolika je verovatnoCa da: a) u prva dva pozarstva budu razliciti vojnici, b) u prva cetiri pozarstva budu razliciti vojnici, c) u prva cetiri pozarstva neki vojnik ucestvuje bar dva puta.

a) n=#0=C2(8).C2(8)==(~}(~)=(8~7r =784, m=#A=C2(8).C2(6)=(~}(~)==28. 6/ =420 peA) = 420 = 0 536 . 784 '

b) n =#0 = C2(8) C2 (8) Cz(8) C2(8) == 284 614656, m =#B C2(8)C2(6)Cz(4) C2(2) = 28156 == 2520 PCB) = 2520 = 0 004. 614656 '

c) PCC) = 1- PCB) = 1-0,004 == 0,996. 4. Da Ii su jednake sanse za uspeh kod trojice Ijudi ako prvom za uspeh treba

bar jedna sestica iz 6 bacanja, drugom 6ar dYe u 12 bacanja, a trecem bar 3 u 18 bacanja?

13 Prostor verovatnoca 66- prvi igrac: n =# ,0 = V6 (6) = 46656 .

A - dogaaaj da prvi igrac nije dobio ni jednu sesticu,

m =# A = V6 (5) = 56 = 15625 ,

PCA) 15625 peA) 1 PCA) = 1 15625 = 31031 = 66.

46656 ' 46656 46656 ' - drugi igrac: n =# ,0 = V12 (6) 612 = 2176 782 336.

B - dogaaaj da drugi igrac nije dobio dYe sestice, - - - 12 11

m =# B = V12 (5) + 12 V1l (5) = 5 + 12 . 5 = 830078125 , PCB) 28:~60;:21::6 = 0,38, PCB) = 1 PCB) = 1-0,38 = 0,62.

618- treCi igrac: n ,0 = V18 (6) =1,02.1014 . - dogaaaj da treCi igrac nije dobio tri sestice

- - - l(18) - 18 17 16 14 m =#C = VI8(5) + 18 V17(5)+ 2 . VJ6(5) 5 + 185 + 1535 = 0,409 10 ,

peC) 0,409 =0,40, P(C)=l P(C)=1-0,40=0,60.1,02

Najvecu sansu za uspeh ima prvi igrac. r 5. Sest strelaca gada u 10 predmeta. Ako svaki strelac nasumice bira cilj, koja " je verovatnoca da ce svi strelci gadati u razlicite ciljeve?

- 6 (10) 151200n=#n=V6 (1O) 10. m=#A= 6 6!=151200, P(A)= 106 =0,1512. 6. Nepismeno dete sastavlja reci od sledecih slova: a,a,a,e,i,k,m,m,t,t. Odrediti

verovatnocu da ce sastaviti rec "matematika".

n =#,0 = P3.2.ilO) 10! =151200, m =# A = 1, peA) = 1 0,0000066.3 !2 !2! 151200

7. Istovremeno se bacaju tri kocke. Dogadaji A i B su definisani ovako: A pala je bar jedna jedinica, B pala su bar dva jednaka broja. Nacl verovatnoce ovih dogadaja.

- 3n =#,0 = V3(6) = 6 = 216 - dogaaaj da nije paJa nijedna jedinica.

m=#A=V (5)=53 =125, P(A)=125~p(A) 1_125=~=0,42.3 216 216 216 B - dogaaaj da nisu pala dva jednaka broja.

- 6' - 14D 120 96 m =# B = V3(6) 3; = 120, PCB) = 216 ~ PCB) = 1- 216 = 216 =0,44.

14 Prostor verovatnoca 8. Iz spila od 32 karte nasumice su izvucene odjednom 3 karte. NaCi

verovatnocu da ce medu njima biti bar jedan kee. n =# 0 =C3 (32) = (3;) = 4960. A - dogadaj da nijedan kec nije izvucen,

=# A = C (28) = (28) = 3276 peA) 3276 => peA) 1- 3276 1684 = 0 34 . m 3 3 '4960 4960 4960 '

9. U prizemlju zgrade koja ima 7 spratova u lift su usia tri coveka. NaCi verovatnoeu: a) da su svi iZaSli na prvom spratu (dogadaja A), b) da nijedan nije iZaSao pre treceg sprata (dogadaja B), c) da su izasli na raznim spratovima (dogadaja C), d) da je bar jedan iZaSao na trecem spratu (dogadaja D), e) dva su iZaSla na drugom, a treCi na bilo kom od ostalih (dogadaja E).

n =#0 = V3(7) = 73 = 343. a) m=#A=1, P(A) =_1_=0,0029 .

343

b) m=#B=V3 (5)=53 =125, PCB) =125 =0 36 . 343 ' 7!

c) m =#C V3(7)=-=210, P(C) 210 06l. 4! 343 ' d) D - dogadaj da nijedan nije izasao na trecem spratu

m =#D= V3(6) =63 = 216, P(D) = 216 => P(D) =1- 216 127 0,37. 343 343 343

e) m=#E C2 (3) V1(6) =G} ~: =36=18, P(E) = 3~3 =0,052. (Dva coveka od tri mozemo izabrati na C2 (3) nacina.)

10. Tri igraca igraju preferans. Svaki od njib je dobio 10 karata i dYe su ostalc u talonu. Jedan od igraea je dobio 6 tref-karata i cetiri koje nisu tref. On menja dYe od tib karata i uzima dYe karte iz talona. NaCi verovatnocu da dobije dYe karte trefove boje.

n =#0 = C2(22) =(~2}= 231, m =# A = 1 peA) _1_ = 0,0043. 231

11. Iz spila od 52 karte izvlace se istovremeno cetiri karte. Odrediti verovatnocu dogadaja da se medu izvucenim kartama nalazi:

a) tacno jedna tref karta (dogadaj A),

b) bar jedna trefkarta (dogadaj B),

c) sve cetiri tref karte (dogadaj C),

d) nijedna trefkarta (dogadaj D)

15

(O,a)+---';;;;" (a, a)

Prostor verovatnoca

n =#Q = C4 (52) [52) 270725 4

a) m=#A=[~}[3;)=13. 39.38.37 118807, peA) = 118807 0,44. 6 270725

188474,b) m =#B=[l:) {3;) +[~} [3;) +[1:) {3:) +[~) P(B) = 188474 070.

270725 '

P(C) - 715 0,0026.c) m=#c=[1:)=715, 270725 P(D) 77805 = 029.d) m =#D =[3:) =77805, 270725 '

Geometrijski metod P(A) = m(A) , gde je mO oznaka za geometrijsku meru.

m(n) 1. Na duzi AB duzine a, na slucajan nacin su izabrane tacke MiN. NaCi

verovatnoeu da tacka M bude bliza tacki N nego tacki A. n je skup svih tacaka iz kvadrata stranice a.

~ Iy-xl

16 Prostor verovatnoc OznaCino sa x i y momente dolaska ta dva prijatelja u minutima. 0 je sku:svih tacaka iz kvadrata stranice 60. Povoljan uslov za dogadaj A, doslo '. do susreta Ix - y I:s;; 20 . y

x>y y>x 40 x-y s20 y x s20

Y~x-20 y:s;;x+2020

(y =x-20) (y =x + 20)

o 204060x

(-) 4040 m(0 )=6060 3600, m A =2-- 1600,2

5m(A) 3600-m(x):::2000 P(A) =m{A) =2000 =0,56.m(O) 3600 9

3. Na slucajan nacin se biraju dva broja iz intervala [0,1]. Kolika verovatnoca da je njihov zbir manji od 1, a proizvod veCi od ..!.

9 o je skup svih tacaka iz kvadrata stranice 1.

y m(O) 11 =1

2

1 k---.-------, x+y9

Y I-x xy=-2 9

A(~ 1:.) B(.!.~)3'3 3'3 2 2 "3 "3 2

x m{A)= J(I- x)dx - J-dx = 1 19x -

3 3

1 1 2 1 2m(A)= ---In 2 =- -ln2=0,0126, P(A)= :~~j =i-%ln2 =0,013 6 9 6 9 4. U krugu polupreenika r bira se na slucajan nacin jedna tacka. Odr;;

verovatnocu da je tacka bliia kruznoj liniji nego centru kruga.

601----z~W1

1 2 "3

1 "3

~-~lnx I~ 1 9 .!. "3 3

17 Prostor verovatnoCa n je skup svih tacaka iz kruga poluprecnika r.

m(n)=r21t, m(A)=(r-;r1t=~ 1t.

a

5. U kvadratu je upisan krug. Odrediti verovatnocu da sJucajno izabrana tacka u kvadratu pripada krugu. n je skup svih tacaka iz kvadrata stranice a.

m(n)=a2 , m(A)=(~r1t=a:1t, a a 21t

P(A) =m(A) =~=~=O,78.m(n) a2 4

6. Duz duzine a podeJjena je na tri deJa. Odrediti verovatnocu da se od dobijenih deJova moze konstruisati trougao. Povoljni slucajevi dogadaja da se od dobijenih delova moze konstruisati trougao, dobijaju se iz teoreme: "zbir dYe stranice trougJa veCi je od trece stranice". n je skup svih tacaka iz jednakokrakog pravouglog trougla katete a.

a a .0> ... ~ =~ 1) x+y>a-x y:::::>x+ y >'2'

~ x y a-x-y

a y 2) x+a-x- y >y:::::>yx:::::>x

18

-b

Prostor verovatnoc.:: ~ x2 y2

U unutrasnjosti elipse -2 +-2 = 1 , a>b>O, slucajno se bira jedna tacka a b

Nad verovatnoeu da ona pripada unutrasnjosti:

a) kruznice x2 + y2 =b2 ,

b) kvadrata Ix I+ Iy I= b .

n je skup svih tacaka iz elipse. m{n)= a b:-: 2

a a) m{A)= b21t, P{A)= b 1t = b . -a x ab1t a

2 P(B) = 2b = 2b .

ab1t a1t

s. Student N. stanuje u predgradu. Pored njegove kuee prolaze dye autobusk, linije. Svakog punog sata (6h,7\Sh , ... ) polazi autobus kojim on odlazi n~ fakultet, a svakog pedesetog minuta u satu (650 ,750 ,S50 , ... ) drugi autobu" kojim on odlazi u svoju omiljenu kafanu. N. je odlucio da svaki dan kad~ izade iz kuee, saceka prvi autobus koji naide i ode iii na fakultet iii u kafanL Posle izvesnog vremena ispostavilo se da mnogo rede ide na fakultt-t Izracunati verovatnoee, da N. ide na fakultet, odnosno u kafanu.

5 700 0800 509006 0 7 5 8 m(n)=60, m(A)=10, m(B)=50

10 50Fakultet: P(A)=-=0,17. Kafana: P(B) = - = 0,83 . 60 60

Metod zadavanja verovatnoce na diskretnom skupu Ako je N1 =;:. 0 i n = { ron :n E N 1 eN} diskretan skup sa verovatnocama p{{ro i }} = Pi' L: Pi = 1 , tad a je verovatnoca dogadaja A = { rom :mEN 2 eN 1

iENl

P(A) = L:p{{rom}}= L: Pin' mEN2 n

Olin EA

1. Na aparatu za igru pojavljuje se broj n E N sa verovatnoeom 2/3n Kolik" je verovatnoea da ee se pojaviti paran broj.

U ovom slucaju je n = {1,2,3,...,n,...} Po = 2/30 , n EN. Dogac~ A = { 2,4,6, ...,2k,...} ima verovatnocu

22 2 2121 peA) = -2 +4 + ... +2k + ... =2'" --1- = - = - . 3 3 3 t 3 1-- 8 4

32

19 Prostor verovatnoca USLOVNA VEROVATNOCA. NEZA VISNOST DOGADAJA

Uslovna verovatnoca. Nezavisnost dogadaja

Uslovna verovatnoca dogadaja C u odnosu na dogadaj D, P(D) > 0 je P(ejD) = P~~). Akoje P(AtAZ ... A _1) > O,n;::'; 2 tadajenP(Al A2 .. Au ) = P(Al ) p(A2iAl)' p(A3iAl A2 ) p(AniAl A2 ,,An_1) Dogadaji A i B su nezavisni ako je P(AB) =P(A)P(B) . Dogadaji Ap A2 ,...,Ak , su nezavisni u ukupnosti ako za svaki konacan skup razliCitih indeksa {it, i2 ,, in } vaZi P(Ait Ai2 ... Ain ) = P(AI} )P(Ai2 ) . P(Aiu ). Aka su dagadaji Al'A2 , ...,Ak ,... nezavisni u parovima (P(AjA j ) = P(AJP(A j ), i *" j), ne sledi uvek da su nezavisni u ukupnosti. 1. Bacamo novcic deset puta. Kolika je verovatnoca da se deset puta pojavi

grb? 1Ai - dogadaj daje u i-tom (i;:: 1, ... ,10) bacanju pao grb, P(AJ;::-.2

1)10 1P(Al'Az,... A9'AlO)=P(AJp(A2) .... P(A1O)= 2" 1024 =0,00098. (2. Strelci A, B i C gadaju po jednom u cilj, nezavisno jedan od drugog,

pogadajuCi ga sa verovatnocama 0,6; 0,5 i 0,4 respektivno. Ustanovljeno je da je cilj pogoden dva puta. Sta je verovatnije da je strelac C pogodio iii promaSio?

A - dogadaj da je strelac A pogodio cilj

B dogadaj da je strelac B pogodio cilj

C dogadaj da je strelac C pogodio cilj

D - dogadaj da je cilj pogoden dva puta.

D {ABC,ABC,ABC}, P(D) =P(ABC)+ P(ABC)+P(ABC)= =peA). PCB) p(c)+ peA). P(B). p(C)+P(A). PCB). p(C)= =0,60,50,6 +0,60,50,4 +0,4 0,50,4 = 0,18 +0,12 +0,08 =0,38

P(qD)= P(CnD) = P(ABC)+P(ABC) = 0,12+0,08 =0,20 =053 P(D) P(D) 0,38 0,38'

p(CiD) 1 PCqD) =0,47 Verovatnije je da je strelac C pogodio cilj, ako je cilj pogoden dva puta.

20 Prostor verovatnoc;~

27 ~ 03.

90 10 '

1

-=0,34.3

Drugi nacin: 7AnB {Be}, P(B)==-,

10

21 -

P(A n B):::: #(An B) -

21 7 p(AIB)= 90 :::: ~ 1.::: 0.3n 90 90 30 ' 7 9 3

10 Zbog P(AnB)::::P(A)P(B) sledi da su A i B su nezavisni dogaoaji.

4. U odeljenju ima 20 devojcica i 12 decaka. Na svakom casu profesor bira -. ucenika jednog za drugim i ispituje ih. Ako su prvo ispitane dYe devojci. odrediti verovatnocu da ce tred prozvani ucenik biti: a) decak b} devojcica.

D - dogaoaj da su prva dva izabrana ucenika devojCice a) A - dogadaj da je treCi izabrani ucenik decak

p(AID)=p(AnD) P(A)P(D) P(A)=12=~=04. P(D) P(D) 30 5 '

b) B- dogaoaj da je treci izabrani ucenik devojcica p(BID)=p(BnD)=p(B).P(D)jp(B) 18 ~=06.

P{D) P(D) 30 5 '

Prostor verovatnoca 21 !!. Bacaju se dva novcica i posmatraju dogadaji:

A - pojava grba na prvom novcicu, B - pojava bar jednog grba C - pojava bar jednog pisma, D - pojava grba na drugom novcicu Ispitati zavisnost slededh dogadaja: A i C, AiD, B i C, BiD

n = {GG,GP,PG,pp}

A {GG,GP}, B {GG,GP,PG}, C = {GP,PG,pp}, D ={GG,PG}

P(A) ~= ~, P(B)=~, P(C)=~, P(D)=~

a) AnC ={GP}, p(AnC)= b) AnD={GG}, P(AnD) :

P(A).P(C)= ~.~ % P{A) P(D) = ~.~ :

A i C su zavisni dogadaji. AiD su nezavisni dogadaji.

c) BnC ={GP,PG}, P(BnC)= 1 d) BnD {GG,PG}, P(BnD)= 1 2 2

3 3 9 P{B). P(D) = 3.~ ~P{B) p(C) = 4'4 16 4 2 8 B i C su zavisni dogadaji. BiD su zavisni dogadaji.

6. Iz spila od 52 karte izvlaci se 5 karata. Neka A oznacava dogadaj da su bar tri izvucene karte tref, a B dogadaj da su svih pet izvucenih karata trefovi. Odrediti P(A IB).

(52) 6 n n \ 5 2,610, m A =# A 0,24 (13J (I;) (13~ P(A)=- 0,09, mB=#B , P(B)=-=00005' ffiA"B=#(AnB) j.2,6 5 (5;)' 5 P(A n B) = P(B) = 0 0005 p(BIA)= P{A n B) 0,0005 0 0056.

" P{A) 0,09 ' .

7. Ucenik ucestvuje na takmicenjima iz matematike, geologije i geodezije. Verovatnoca da osvoji prvu nagradu, za svaki predmet, iznosi 0,4. Odrediti verovatnocu da ce ucenik osvojiti prvu nagradu bar iz jednog predmeta.

Ai - dogadaj da ucenik nije osvojio prvu nagradu iz i-tog predmeta (i = 1,2,3), P(Ai)= 0,6. P(A) == 1 P(AlA2A3 )== 1-P(Al). P(A2,. P(A3) =1- 0,60,60,6 =0,784.

22 Prostor verovatno.:.

FORMULA TOTALNE VEROVATNOCE.

BAJESOV A FORMULA

Formula totalne verovatnoce: Ako je {Ht, Hz, .,Hn } potpun sistem dogad~ . tada vazi P(A) = EP(AIHJ. P(H;).

j=1

Uopstena formula totalne verovatnoce: Ako je {HI' H 2, ,Hn} potpun sis:: dogadaja i ako je peA) > 0 , P(AH j ) > 0 za sve i = 1,2,.,n, tada vazi

p(BIA) :: EP(BIAHi ) P(Hi IA). i=l

Bajesovaformula: Ako je {HI' Hz, ..,Hn } potpun sistem dogadaja, tada vazi p(AIHk )P(Hk)p(HkIA) = n ' k = 1, 2, ..,n, peA) > o. L p(AIHi )P(Hi ) i=l

1. Imamo dYe kutije, Kl i Kz razlicitog sastava. U prvoj kutiji su tri bele i c erne, a u drugoj dYe bele i cetiri erne kuglice. Verovatnoca izbora kutij: je P(K1)= 1 ,a kutije Kzje P(K2)=.!. Slucajno se uzima kutija i iz nje izyL:3 3

jedna kugliea.NaCi verovatnocu da je izvucena kuglica bele boje.

HI - dogadaj da je izabrana kutija K1 , P(HI ) =.!. 3

H2 dogadaj daje izabrana kutija K2 , P(H2 )=3.3 3 1A - dogadaj da je izvucena kuglica bele boje P( A/H!) -, P( AIH2 ) =5 3

P(A)=P(H1). P(A/HI ) + P(H2). P(A/H2)=.!.'~+ 3. . .!.=.!.+ 3. = 9 + 10 3 5 3 3 5 9 45 2. Imamo cetiri kutije razlicitog sastava. U prvoj kutiji su dYe bele i dYe c

u drugoj jedna bela i dYe erne, u trecoj tri bele i tri erne i u cetvrtoj dn: > i pet ernih kuglica. Verovatnoca izbora i -te kutije je P(Hi)=~' i=1.:

i 10 Slucajno se uzima kutija i iz nje se izvlaci jedna kugliea. NaCi verovatr da je izvucena kugliea bela.

23 Prostor verovatnoca

H1 - dogadaj da je izabrana I kutija,

H2 - dogadaj da je izabrana II kutija,

H3 - dogadaj da je izabrana III kutija,

H4 - dogadaj da je izabrana IV kutija,

A- dogadaj da je izvucena bela kuglica.

p(AIHJ= 2 =!, p(AIH2 )=!, p(AIH3)=~=!' p(AIH 4)=:-72 . 4 2 3 6 2 PI A)=P(H1 ) p(AIH1 )+ P{H 2 ) p(AIHz)+ P(H3)' p(AIH3)+ P(H 4 ) p(AIH4)=

112131421124 = .-+-.-+_._+_.- -+-+-+-=038

10 2 10 3 10 2 10 7 20 15 30 35 '

3. Na jednom planinskom drumu u susret jedan drugom kreeu se dva vozila. Verovatnoea da ee se bezbedno mimoicl ako su vozaci trezni je 0,999; ako je jedan vozac pripit verovatnoCa je 0,7; a ako su oba vozaca pripita verovatnoea je 0,4. Odrediti verovatnoeu sretnog mimoilaska ako se zna da je svaki deseti vozac pripit.

He dogadaj da su oba vozaca trezna,

Hz- dogadaj da je jedan vozac trezan,

H3- dogadaj da su oba vozaca pripita,

A- dogadaj da su se vozaci bezbedno mimoisli.

P1 H]) =..2..- . ..2..- = 0,81 , P(H 2 )=..2..- 1 + ~ . ..2..- = 0,18 , P{H3) =~.~ =: 0,01,10 10 10 10 10 10 10 10 p(AIHl )= 0,999 , p(AIHz)= 0,7, p(AIH3)= 0,4 , P{A) = P(H1 ) p(AIH t )+ P(Hz) p(AIHz)+ P{H3)' p(AIH3)=

= 0,81 0,999 + 0,180,7 + 0,01 0,40 = 0,94. ... U jednoj kutiji sibica naJazi se 5 upotrebljivih i 6 iskoriseenih palidrvaca, a

u drugoj kutiji 2 upotrebljiva i 9 iskoriseenih. Na slucajan nacin se iz svake kutije bira po jedno palidrvce i stavlja u tt:eeu praznu kutiju. Zatim se iz treee izvlaci jedno palidrvce. Kolika je verovatnoea da eemo njime moc1 da upalimo cigaretu?

24 Prostor verovatn . HI - dogadaj da su u trecu kutiju ubacena dva upotrebljiva palidrvca, H2 - dogadaj da je iz prve kutije izvuceno upotrebljivo, a iz druge

iskorisceno palidrvce, H3 - dogadaj da je iz prve kutije izvuceno iskorisceno, a iz druge

upotrebljivo palidrvce, H4 - dogadaj da su u trecu kutiju ubacena dva iskoriscena palidrvca, A- dogadaj da je iz trece kutije izvuceno upotrebljivo palidrvce.

5 9 45P(H2)=--=-=0,37,11 11 121 6 9 54

P(H4 )=U'11 = 121 0,45.

P(A)=~+ 45 ..!. + 12 ..!. = 77 = 0315 121 121 2 121 2 242 '

S. U prvoj posudi nalazi se 20 proizvoda, od njih je 15 standardnih; u dri... posudi nalazi se 30 proizvoda, od njih je 24 standardnih; u trece.. proizvoda,od kojih je 6 standardnih. Odrediti verovatnocu, ako nasu:biramo posudu i proizvod, da on bude standardan.

HI - dogadaj da je izabrana I posuda, H2 - dogadaj da je izabrana II posuda, H 3 dogadaj da je izabrana III posuda.

A- dogadaj da je izvucen standardan proizvod ..

p(AIH )= 15 p(AIH )= 24 1 20' 2 30'

6. U korpi se nalazi 8 teniskih loptica od kojih su 4 nove. Za prvu partij u slueajan naein biraju tri loptice koje se posle igre vracaju u korpu, pa ' drugu partiju ponovo na slucajan naein biraju tri loptice. Koli~. verovatnoca da se druga partija igra samo novim lopticama?

Hi - za prvu igru smo izabrftli i novih loptica (i=O, 1,2,3). A - druga partija se igra novim lopticama.

25

4

Prostor verovatnoCa

P{H) (:) =~ P{H )=GlGl 24 P{H ) (~)G) = 24 P(H)= = z 56 ' o GJ 56' 1 (~J 56 ' (:) 56' 3 ( I (~) - 4 P A Ho (~) 56 '

P(A)= 4 . 4 + 24. 1 40 =00127 56 56 56 56 56 2 '

7. U jednoj od dYe kutije nalazi se 40 crvenih i 10 plavih kuglica, a u drugoj 42 crvene i 8 plavih, ali nije poznato koja kutija sadrii koje kuglice. Otvorena je jedna od kutija i iz nje izvucena jedna kuglica. Ispostavilo se da je ona crvene boje. Odredi verovatnocu da je otvorena kutija sa 40 crvenih kuglica.

HI - dogactaj da je izabrana kutija sa 40 crvenih i 10 plavih kuglica, H2 - dogactaj da je izabrana kutija sa 42 crvene i 8 plavih kuglica, A- dogactaj da je izvucena kuglica crvene boje.

8. Od 20 novcica jedan ima grb sa obe strane. Slucajno je odabran jedan novcic i bacen 10 puta. Ako se grb pojavio u svakom od 10 bacanja, kolika je verovatnoca da je izabran nestandardni novcic?

HI dogactaj da je izabran nestandardni novCic, P{H1 ) =~ ,20 H2 - dogactaj da je izabran standardni novCic, P(H2 ) = 19 ,20 A- dogactaj da je grb pao u svih 10 bacanja.

1024 =098. 1043 '

26 Prostor verovatnoca 9. Imamo tri novcica za koja znamo verovatnocu pojavljivanja grba: 0,4; 0,5 i

0,6. Jedan od tib novcica je na slucajan nacin izabran i bacen 8 puta. Tri puta je dobijen grb. NaCi verovatnocu da je izabran ispravan novcic.

HI - dogadaj da je izabran novcic sa verovatnocom pojavljivanja grba 0,4 , H2 - dogadaj da je izabran novCic sa verovatnocom pojavljivanja grba 0,5 , H3 - dogadaj da je izabran novCic sa verovatnocom pojavljivanja grba 0,6 .

1P(H1 )::::P(H2 ) P(H3)=3

A- dogadaj da je od 8 bacanja grb pao tri puta.

p(AIH1 )= (~) ,0,43 .0,65 == 0,278 , p(AIH2) = (~) ,0,58 = 0,218 , p(AIH )=(81. 063 ,045 =0124 P(H IA)= 0,218 =035

3 3)' , , , 2 0,278 + 0,218 + 0,124 ' 10. U kutiji se nalaze crvena, playa i zelena kockica. Crvena kockica je

ispravna i ima svib sest brojeva. Na plavoj kockici brojevi 2,4 i 6 nalaze se na po dYe strane, dok se na zelenoj kockici na svib sest strana nalazi broj 6. Na slucajan nacin se bira jedna kockica i baca tri puta.

a) NaCi verovatnocu da je izabrana zelena kocka ako je u sva tri bacanja pao broj 6.

b) KoUka je verovatnoca da su u tri bacanja po jednom pali brojevi 2,4 i 6? HI - dogadaj da je izabrana crvena kockica, H2 - dogadaj da je izabrana playa kockica, H3 - dogadaj da je izabrana zelena kockica, a) A- dogadaj da je u sva tri bacanja pala sestica.

1111 1111 . P(AIHl)=6'6'6= 216' P(AIH2)=3'3'3= 27' p(AIH3 )=1.

-1 P(H3IA)~ 1 (/ 1

1 r1+8~216 ~ ~~~ ~ ~: ~O.96 _. -+-+1 3 216 27 216

b) B- dogadaj da su po jednom pali 2,4 i 6, (246,264, 426,462,624, 642).

p(BIHl)=~' p(BIH2)=, p(BIH3 )=0.216 27 P(B) = P(H I ) p(BIHl)+ P(H2) P(B~2)+ P(H3)' p(BIH3)= =Ll'~++ol=L 54 18 =l..==00833,

1 ~216 27 i 3 216 216 12 '

I 34 fednodimenzionalne slucajne promenljive r 0 1 -+z 3

1

3 1 2

3

1 10 --z5.0 z-:c.3 3 1 1 2 1

z 0< -Z5.1 --5.zl z< 3 3

0 z5.0 12z OO

Sledi da slucajna promenljiva Y ima eksponencijalnu raspodelu &(1).

4. Slucajna promenljiva X ima gustinu x (x) =! . e-Ix (dvostrana2

eksponencijalna raspodela). NaCi funkciju raspodele slucajne promenljive - X - 2, X 5. -1

Y, ako je { Y = X 1 1 5. X 5.1 X-:c.1

y

35 Jednodimenzionalne slucajne promenljive y::;; -1 Fy(y)==Oy

Fy (y) = p(y < y)

x 1 r Y -Y-2]le -e . 2

y O

36 fednodimenzionalne slucajne promenljive Kakoje

r y b) (Y b)Fy(y)=Fxl-a- za a>O, Fy(y)=l-Fx -;- za ad"2

2Y Xd X2 X2 dX+2Y=0

d .Jd2 -8Y d-.Jd2 -8YX 1 =----2 2 '

Fy(y) = O.

37 Jednodimenzionafne sJucajne promenljive

= FX (Xl) Fx(O)+ Fx(d)- FX(x2)= d ~d2 -8y d+~d2 -8y ~d2 -8y

= -0+1- 1-. ~ ~ d

o y:O:;O

d 2

, O8

Y7. Slucajna promenljiva X ima gustinu zadatu grafikom na slid. NaCi gustinu slucajne promenljive Y =1 - X2 .

1 o 1 x

01 1

-x+ , X E [-1,1] 1 1 ((Jx(x)= 2 0 2 Fx(x)::= _X2 +-x 4 2{ 1, X (lE[-1,1] 1 x>l

y 1

Fy(y)::=O. Fy{y)=P(Y

Jednodimenzionalne slucajne promenljive 38 o ysO

YE (0,1)() {Fr ' ~1-y , Oy Y = 2 1-y 1 y>1 o , Y Iy (y) = F~ (y) ~ ,0 1

2'\jl-y U tackama y = 0 i y = 1 funkcija F y (y) nema izvod pa smo u tacki y=O za vrednost funkcije y (0) = F~_(0) 0 ) a u tacki y = 1 za vrednost funkcije

39 fednodimenzionalne slucajne promenljive xsO

2

Slucajna promenljiva Z nije ni neprekidnog ni diskretnog tipa.

Dvodimenzionaina siucajna promenljiva 40

" DVODIMENZIONALNA SLUCAJNA

PROMENLJIVA

FUNKCIJA RASPODELE FXy (X, y) = P({ro En: X(0) < X1\ Y(ro) < Y }) = P(X < x, Y < y) .

1. Fxy (-C(),y) =FXY (x,-C() =0 , 2. FXY(C(),C() == 1 , 3. P(a::;;X

41 Dvodimenzionalna slucajna promenljiva Marginalni zakoni raspodele:

Xl X 2 Xn ...) YzX: ( , Y: (Yl ...). Pl. P2. ... Pn. .. P.l ...

"'J,... ...). ... X i Y su nezavisne slucajne promenljive aka i sarno aka je

Pij =Pi- . P.j za sve i,j =1, 2, .... 1. Broj X je izabran na slucajan nacin izmedu brojeva 1,2,3 i 4. Drugi broj Y

je izabran izmedu brojeva 1,2,3 i 4, ali tako da nije manji od X. NaCi zakon raspodele slucajne promenljive (X,Y), marginalne i uslovne r aspod Ie e.

~ 1 2 3 4 1 L~-..L4 4 - 16 0 0 0 2 L~-..L4 4 -16 L~ ..L 4 3 12 0 0 3 ~.~=..L 4 4 16 tt=n tt=t 0 4 tt=1i; .l ..l-..L4 3 - 12 tt=t Ll. 4 1 .1 4

:L 48

2i 48

.1 .1 4 4

X:(~ : ~ ~)444 4

(1 2 3 _4!,)YIX=l: t t t .,

YIX=3{~ ~ ~ ;) 3

XIY=1: 11 02 0 4)( 0

.1 4

~ ~ ~J ~ ~ ~)

1 2 3 4)XIY =3:(! : : 4) (XIY '* 4: .1.. .... .!L II 13 13 13 0 , 25252525

42 Dvodimenzionalna slucajna promenJjiva 2. Kockica za igru se baca sve dok ne padne broj manji od 5. Neka je sIucajna

promenljiva X broj dobijen u poslednjem bacanju, a Y broj izvedenih bacanja. a) Nad raspodelu za (X,Y) kao i marginalne raspodele. b) Da Ii su X i Y nezavisne slucajne promenljive?

II I ~ 1 2 I3 4

1 l 6 l 6 I l

6 l 6

2 l.2. 6 6 l.2. ~ 6 l.2. 6 6 I 1.2. 6 6 3 t(tY i t(tY t(tY t(tY ... . ... ... ...

..4. 6

..4..2. 6 6

I i(tf l l l l 4 4 4 4

(2)H 1Pij p(X i, Y = j) l(; .(; i =1, 2,3,4 j z 1

2 ..4..2. 6 6

...,.

\i-11 2 .. v "(;. (;j =Pij =>X 1Y su nezaVIsne slucaJne promenlJIve. ( 3. Neka diskretna dvodimenzionalna slucajna promenljiva (X,Y) uzima

vrednost (i,j) sa verovatnocom Pij =p(X = i, Y =j):::: -;-(i ~ jJ C' 1 .\t e I 1+ J,.

Pokazati da su slucajne promenljive X i Y nezavisne. i+ j ) (i+j)! 1 (i+j)! 1 1

( . =-.,-.,- => Pij= ')'=~''-.,-.,-'-(.1 1.J. 1.J. 1+J. e 1.J. 1

-.-, ,e1.

1 1"" --e==--Poj == ,LPij

1=0 e2 j! e j! ' v1 X . Y . t 1 1"Pio . Poj =-2-.-. Pij => 1 SU neZaVlSneS ucaJne promen JIve.

e I! J!

43 Dvodimenzionalna slucajna promenljiva 4. Neka slucajna promenljiva X ima Puasonovu 9>(1..) raspodelu i neb je

uslovna raspodela za slucajnu promenljivu Y pri datom X =n binomna ffi(n,p) raspodela. Odrediti zakon raspodele za Y i uslovni zakon raspodele za X pri datom Y k.

An

Pn.=p(X=n)= r n=0,1,2 ....

n.

p(Y=kIX n)=[:)rkqn-k, n,kENo' k~n p(Y=klx=n)=P(X n,Y=k)=Pnk

P(X =n) Pn.

00

P.k = LPnk = n=O

(Aq)n-k e -A+pA. - (0 k)!

5. Na sahovskoj tabIi se na slucajan nacin bira jedno polje. Neka je X broj susednih belih, a V broj susednih crnih polja. NaCi raspodelu za (X, V), marginalne raspodele, uslovnu raspodelu XlV =2, i proveriti da Ii su X i V nezavisne slucajne promenljive.

~ 1 2 3 4 1 0 .2... 64 0 0 2 .2... 64 0 .12. 64 0 3 0 .12. 64 0 0 4 0 0 0 l!l. 64

.2... 64 .a 64 .12. 64 l!l. 64

.2... .a .12. l!l. 64 64 64 64

44 Dvodimenzionalna slueajna promenljiva D M1 22 3 4) 3 4)X:(~ ll. ll. 12. ' Y: ( .1... ll. ll. 36

I

64 64

1 2 3 4)XIY =2: ( .1... 0 ll. 0

14 14

6. Data je raspodela verovatnoca (X,Y).

~ -1

1 2 1 0,10 0,05 0,12 0,10 3 0,08 0,20 0,05 0,10 5 0,04 0,05 0,04 0,07

64 64 64 64 64 64

14 12 12 X. Y . . - :t:. - => 1 msu neZaVlSne. 64 64 64

dvodimenzionalne slucajne promenljive

I X I

I r:

qa) Naci marginalne raspodele za X i Y. b) NaCi uslovne raspodele za X IY=3 i Y IX=O. c) Ispitati da Ii su slucajne promenljive Xi Y nezavisne. r:

1y.( 1 3 5)a) X. ( -1 0 1 2) . 0,22 0,30 0,21 0,27 . 0,37 0,43 0,20

-1 o 1 3 b) Xly =3: ( 0,08 0,20 0,05 !) YIX=0:(0~5 0~5).QdQ.

\ 0,43 0,43 0,43 0,43 0,30 0,30 0,30 c) p(X = 0, Y =3) =0,20; p(X::: 0) (Y =3) =0,30 0,43 =0,129:t:. 0,20

=> X i Y nisu nezavisne slueajne promenljive. a DVODIMENZIONALNA SLUCAJNA PROMENLJIV A

NEPREKIDNOG TIPA

b

x y

FXY(x,y) = Idt I(j)xv(t,u)du, (j)XY(x,y)zO jegustina

-00 -

45 Dvodimenzionalna slucajna promenljiva Marginalnegustine Q)x i Q)y: Q)x(x)

~

JQ)Xy(x,y)dy, Q)y(y)== ~

fQ)Xy(x,y)dx. Uslovne gustine:

Q)XY(x,y) () 0 (x) = (j)XY(x,y) (y) > O.in in(j)Ylx:x ()y :::;: ()' (j)x x > , TX!Y:y () 'TY(j)x x (j)y Y Uslovne funkcije raspodele:

y 1 y Fy1x=x(Y) == f (j)ylx=x(t)dt -- fXy(t,y)dt,

-00 (j)x(x)-oo x 1 x

Fx1y=y (x) = f xly=y (t)dt == -- fXy(t, y)dt.

-00 (j)y(y)-oo

Xi Y su nezavisne ako i sarno ako je XY(x,y) == x(x)(j)y(Y) za sve X,Y E R. Dvodirnenzionalna slucajna prornenljiva neprekidnog tipa irna uniforrnnu raspodelu ako je njena gustina oblika

I -- , (X,y)ES

G>XY(x,y) m(S) , gde je sa m(S) oznacena povrsina oblasti S { o ,(x,y)\itS ravni xy. 1. Data je gustina raspodeJe dvodimenzionalne slucajne promenljive

c.e-:l..(X+Y) x>O y>O

>Xy(x,y) 0 ' I' 'I ~, {

, u osta 1m S 1ICaJevima a) NaCi konstantu C.

b) NaCi funkciju raspodele Fxy(x,y).

c) Naci marginalne gustine.

a) 7 7 (j)XY (x,y )dx dy =c 71e-:l..(X+Y)dx dy c 7e-Axdxfe-AYdy -oo-co 00 0 0

00 ro C-c

.oof -1,.,,(

--e1) -AX 1 J -Axdx C -Ax I'" c- e Ce --e o 'A () 'A 0 'A2 0

b) U xs;O iii ys;O, FXY (x, y) =D x>O,y>O

x y x y FXY (x,D) = JdtJ(j)(t, u)du == fdtJ 'A2e-A(t+u)du =

o () 0 0

'A2 je-AtdtJ e-Audu = 'A2 -;'(e-AY -1). (e -Ax 1)= o 0 i 'A

=1- e-Ax _ e -J..y + e-A(~+Y)

46 Dvodimcnzionalna sJucajna promcnljiva 2

oor 1.2 -i.(x+Y)d _ 1. -Ax -'A.y I'" - A. -Ax 0 C) 'PX(X)= 0 e y--Te e 0 -e ,X>

{ o , xsO

2 00

COJ ~ 2 -'A.(X+Y)d 1. -'A.y -Ax 1 '\ -'A.y

'" e x=--e e =",e ,y>O o A. 0

{ o ,ysO

2. Y 1+...................__._-.:.00 Dvodimenzionalna slucajna promenljiva (X, Y) ima

uniformnu raspodelu nad oblucu S. Nac1 Cunkciju raspodele i marginalne gustine.

x

1 -1 (x,y)eS21mS()=-=1, q>XY(x,y)= m(so)- ,

2 { , (x,y)e: S

u

xsOiliysO

Fxy(x,y)=O

(x,y)e S y x y Y

Fxy(x,y)= Jdu Idt == I(x 2u}J-U\.I =XUIY0 - U210 =xy - y2 o 2u 0

x>2 i O2 i y>l

1 +-...-...............-'"...':::O~-t

2 ~ 2 t i 212FXY (X, y) =JdtJdu == I-=-dt =..,.. t =1 t o 0 02 4 0 x

47 Dvodimenzionalna sIueajna promenljiva

X E [0,2]

, x li!O [0,2]

{ Jdx =2 - 2y , YE [0,1]

cpy(y) = 2y o , Yli!O [0,1]

3. Dvodimenzionalna slucajna promenljiva (X, Y) data je gustinom

8

- xy, 1 < x < 2 , 1 < Y< x

XY (x,y) = 9 { o ,uostalim slueajevima a) Naci marginalne gustine za X i Y i ispitati njihovu nezavisnost.

b) Naci F( ~ ,3) i verovatnoeu dogactaja P(X+Y)

48 Dvodimenzionalna slucajna promenljiva u

33 82 1 82 3-1p(x + Y < 3) = - Jt . dtIu du + Jt d1 Ju . du = 9 1 1 93 1

2"23 1-..___)(

31 f..,""'"'+-->\,. 18 2 U 211 8 2 U 213_ = - J1 - d1 +- f1 - dt =

9 1 2 1 932 1 1 3 2 3 t 2

"2 2 3 41242 42

3

2 4(14 12 J+ 4( t 1 tJ(t 3 - t)dt + - Jt(8 6t + t )dt =- - -- +- 8- -6- +- 13 = 9 1 93 9 4 2 1 9 2 3 4 /2

2

4. Vektor (X,Y) je ravnomerno rasporeden unutar kvadrata K. 1 a) Odrediti gustinu xv(X,Y)'

+ b) NaCi marginalne gustine. -1' K 1 -1 c) Naci uslovnu gustinu xlv=Y (x) a) 1 1

m(K)=Z ' (x,Y)EKm(K) = JiJi = 2, Xy(x,y) { o , (x,y)eK

I+x 1 1b) y J -=Oy=-(l+x+l+x) x+l ,-l

i Dvodimenzionalna slucajna promenljiva 49 l Napomena:Ako je oblast u kojoj je gustina razliCita od nule sirnetricna uI odnosu na pravu y=x tada rnarginalne gustine x(x) i y(y) irnilju isti I analiticki izraz sarno sto se x zarneni sa y.

c) 1

2(1 + y)

1

2(1-y)

I o s.

o 1

o < x~l, y>2 x 2

Fxy (x,y)= J dtJ du = x o 1

-l

50 Dvodimenzionaina sJacajna promenljiva o x ~O, Y~1

x{y-1) , O2 1 x> 1, y > 2

{ J

51 Dvodimenzionalna slucajna promenljiva u

y

ox

x t x Fxy(x,y) = 12J t 3dtfu, du = 6Jt5dt =

o 0 0 o x 1

x >1, 0 < y sl y 1 Y

FXY (X,y)= 12fU' duJt3dt = 3Ju(1- u u

o u 0 y (2 261 =3'l! -! I=! (3_ y4)o 2 6 J 2

o xsO iIi ysO , 0 x

O1, O 1, y > 1

7. Raspodela slucajnog vektora (X, Y) data je gustinom

)_{!(x+y), (x,Y)ETq>XY (X,Y - 4 o ,(x,Y)I!T

ako je oblast T data na slici.

a) NaCi funkciju raspodele FXY (x, y).

b) Naci gustinu q>X!y=y (x).

c) Naci verovatnocu p(Y > l/X < i) . a)

~. x S 0 iii Ys 0 FXY (x,y)= 0 1x y(x,Y)ET Fxy(x,y)= - J dtJ(t + u) du 40 I'

X6

4 )du =

:R. o x

1 x( . u 2JIY- J tu + - dt = 40 2 t

52 Dvodimenzionalna sJucajna promenJjiva

x>y, 02 Ix 2 Ix( u 2JI2-Jdtj(t+U).dU=-fltU+- dt 40 I 40 2 t

x

Ix 2 t 1X 3

=-[ 2t+2-t --2J dt =-J(2+2t--t2 ) dt=r40\ 2 40 2

1 ( 2 1 3)\x 1 ( 2 1 3)

0= "4l2t + t - "2 t =="4 2x + X - "2 X

x> 2, Y > 2

Fxy(x,y) 1

53 Dvodimenzionaina siucajna promenljiva b)

lY 1(X 2 JIY 3 2-f(x+y).dx"",- - +yx ""'-y

54 Dvodimenzionalna slucajna promenljiva 8. Slucajna promenljiva X ima uniformnu Gl1(O,l) raspodelu, a slucajna

promenljiva Y ima, pod uslovom da je X=x, unifromnu 6lL (; ,x) raspodelu. NaCi funkciju gustine i raspodelu slucajne promenljive Y.

fl x E (0,1) ~' YE(~'X)

55 Dvodimenzionalna slucajna promenljiva p(zJ = Ip(xk,Ym)

k,m

g(xk ,Ym )=Zj

2 m- 1 3 4m- 1 2m- 1 4m-l 3m- 1 2m- 1 4 m- 1 _3m- 1 =--._. --!..--- ::::

3m- 1 4m- 1 3m 1 22m 21 - 4

4m- 1 _3 m-1 4m-1 _3m-1

2. Nezavisne slucajne promenljive X i Y imaju istu raspodelu P(X=k)=P(Y=k)=pqk ; k=O,l,... pq>O; p+q=l. Nad raspodelu slucajne promenljive: a) Z= X+ Y,

b) Z == max{X, V}. ,

k

a) p(Z= k)= P(X + Y =k)= IP(X = j,Y =k j)=

j=O

= ip(X = j). p(Y = k - j) = pqipqk-i = p2qk =(k + 1)P2qk i=O j=O j=O

b) P(Z k)= P(X = k, Y < k)+ P(X < k, Y k)+ P(X k, Y k) = p(X = k). P(Y < k)+ P(X < k). P(Y k)+ P(X k) P(Y = k)=

k k-l. kk-l. k k k l_ qk k k pq . I pql +pq I pql +pq 'pq =2pq 'p--+pq 'pq = j=O j=O 1 q

=pqk(2 2qk +pqk)=pqk(2_qk _qk+l) 3. Slueajna promenljiva (X,Y) ima funkciju gustine

e -(X+Y) , x > 0 i y;;:: 0 . Q>XY(x,y)= . Ako Je R X+Y S=X-Y{ o , za ostale vrednos~l

~ nad gustinu raspodele slucajne promenljlve (R,S).

56 Dvodimenzionalna slucajna promenljiva X:::R+S

2 R-S y=-

2 X>o

r+s>O

s> -r

I -r -e

57 Dvodimenzionalna slucajna promenljiva

z 1 IZJ-dx = In x = In z -In 1 = In z 1~z~2 1 X 1

2dx 2 z

58 Dvodimenzionalna slucajna promenljiva 24, Fz(z)=1

5.

Slucajna promenljiva (X, Y) ima uniformnu raspodelu nad oblaScu T. NaCi raspodelu za slucajnu promenljivu Z=X+Y.

Y ll-~--"

1 "2

!o 1 X

)_{_(l)=2 , (x,Y)ETm(T)=.l, XY (x,Y - m T ,2 o ,(x,y)eT X=X=>X X

z=X+Y=> y=z X IJI =1 2 , (X,y)E T'

xz ={0 ( ) ,, x,yeT

z z=Zx Prava x=O transformise se u pravu x=O. Prava x=l transformise se u pravu x=1.

1 f'v 2 1Prava y=X+2" trans ormlse se u pravu Z= x+2" ' Prava y=1 transformise se u pravu z=x+1. Prava y=X transformise se u pravu z=x+x=2x. Prava y=O transformise se u pravu z=x,

I f'v 2 1Prava y=x-- trans ormlse se u pravu Z= X--. 1 X 2 2

z

1 2 O~z~-, z(Z) 2} dx z 2 o

z

1 -~z~l,2

2 4

1 2

3 "2

1

1 "2

z=x+l Z=2X-!

!

Dvodimenzionalna

l:s;z:s; 3 , ~ z

1 (Z 2 zl zl 224

--- -+2 4 2 4 z

~ :s; z :s; 2 , Cj>z (z) =: 2 Jdx = 2 . (~ - Z + 1J == 2 - Z 2 ~l 2

z , 0:s;z:5:1 Cj>z (z) == 2 - z, 1:s; z:s; 2 ,

{ o ,za ostale z Fz{z) = 0

z

O

60 Dvodimenzionalna slucajna promenljiva P(XI < Z)P{Xl < z)",P(Xl < z) = FXl (z) FXl (z)... Fxn (z) = [Fx(z)]n

q>z(z)=jn[F,(Zl],-' ,

61 Brojne karakteristike slucajnih promenljivih v

BROJNE KARAKTERISTIKE SLUCAJNIH

PROMENLJIVIH

Matematicko ocekivanje : (ocekivanje, ocekivana vrednost) E(X) slucajne prornenljive X je broj definisan sa :

tXiP(X i ) E(X)=

62 Brojne karakteristike sJucajnih promenljivih Moment reda k, kEN

k {tX~P(Xj) mk=E(X)= ""

J""X kq>X (x)dx

Sk = EX E(X))k) ,k EN, centralni moment reda k. Mesoviti moment mkn dvodimenzionalne slucajne promenljive (X, Y), k,n E N je:

L Lx~yjp(Xi'Yj) k n j j

mkn = E(X Y ) = "" '" { J""dXJ",xkynq>xy (x,y)dy Koeficijent korelacije PXY dvodimenzionalne slucajne promenljive (X,Y) je

E(XY) - E(X)E(Y} . PXY =.J ' D(X) > 0, D(Y) > 0 sa osobmama :

D(X)D(Y) 1. ako su X i Y nezavisne, tada je PXY ;::: 0 , 2. IPXY I~1, 3. Ipxy 1;:::1 akoisamoakoje Y=aX+B, a,bER, a*O. Uslovno matematicko ocekivanje za X ako je Y=y je

E(X/Y = Yj)= ~XiP(Xi/Yj)=_(1) ~XjP(Xi'Yj), I IP Yj

00 00

E(XIY = Y)= Jxq>xIY=y(x)dx = --1 IXq>XY(x,y)dx . -00 Ylx=x(y)dy -(-) 00 Jyx x -00

Regresija X po Y: tE(X/Y =Yj)'Yj): Yj E Ry}, x =r1(y) =E(XIY =y). Regresija Ypo X: {(xj,E(YIX=xj,x j ERx}, y=r2 (x)=E(YIX=x) Ako su X i Y nezavisne slucajne promenljive tada je: ' Regresija X po Y {(E(X),Yj): Yj E Ry}, x =r1(y) =E

polupreCniia Brajne karakteristike .'vih 1. Meta je napravljena u obliku tri koncentricna kruga

.E, 1,.J3. Pogodak u unutrasnji krug donosi 3 poena, u srednji 2 poena i u spoljasnji 1 poen, a pogodak van mete donosi 0 poena. Ako rastojanje

. . () {22 , r>Opogotka od centra mete Ima gustmu q> r = 1t(r + 1) o , r:':;;O

nad ocekivani broj poena posle 4 gac:tanja i verovatnocu da je taj broj ved od 10.

R- slucajna promenljiva koja predstavlja rastojanje pogotka od centra mete. X- slucajna promenIjiva koja predstavIja broj poena u jednom gadanju.

P(X=O)=P(.J3

64 Brojne karakteristike slucajnih promenljivih

X:[l 23), y:[-10 1)

0,4 0,4 0,2 0,2 0,6 0,2

E(YIX = 1)=-1.P(Y =-lIX l)+O.P(Y 0IX=1)+ 1.P(Y =l1X =1)

P(Y -lIX =l) 0,1=!; p(Y=0IX=1)=0,2=2; p(Y=IIX =l)=O,l 1. 0,4 4 0,4 4 0,4 4

E(YIX = 1)= -1.! + o~ + I.! = E(X) = 10,4 +20,4+30,2 = 1,8.4 4 4

E(X2)= 12.0,4+ 22 0,4+ 320,2 = 3,8 D(X) = E(X2)- E2(X) 0,56. E(Y) = 0,2+00,6+10,2 E(y2)= 10,2+ 10,2 = 0,4. D(Y) =E(y2)= 0,4.

E(XY) -110,1 130,1+110,1+120,1 =-0,1 0,3+0,1+0,2 -O,l. E(XY) - E(X). E(Y) - 0,1 -0,21.

PXY = ~D(X) . D(Y) ~0,56 . 0,4 3. DvodimenzioDalna slucajna promeDljiva (X, V) ima zakon raspodele

p(X == k, V == D)= Pkn = 2 0,1, ... ,D; n =0,1, ... ,00.t ); k e k! n k

NaCi PXY i E(xIV =n).

eo 1 1 1 1co

Pk. = n~lkn e2 k! n~k (n k). == e2k! . e = e k! .

E(X)= k'pk- = k =!. 1 =.!..e=1. k~() k~() ek! e k=() (k 1) e

E(X2)=k2Pk =.!. =! k .!. k-1+1= k=O ek=O k! ek~O (k 1). ek=O (k-1)!

1[n 1 n 1 ) 1= - L + L -(e + e) =2 .

e k=2 (k - 2) k=l(k -11 e

D(X)=2-1 1

Erojne karakteristike slucajnih

= n! k ::;: n (n 1)! =~ n (n-l)=~'2n-l = n 2n2" k=ok!{n k) 2 k=l(k 1)!(n-1-(k I! 2n k~l k 1 2'

Regresija je skup tacaka (; ,n ) . Tacke leze na pravoj y = 2x .

4. Funkcija gustine dvodimenzionalne slueajne promenljive je ( ) {2.e-(X+Y), O~x

--

66 Brojne karakteristike slucajnih promenljivih 00

-

y 1I2 0 e-(X+Y)dy = 2e-XI e-Ydy = -2 e-x = 2e-2x , x ~ 0

67 Brajnc karakteristikc slucajnih promcnljivih

'" '" t x

E(XY) = J J xycp(x,y)dxdy = 12Ix4dxJy2dy =

-OC) -ct) 0 0

31 X 81 111 4 1 7 1 1=12-Sx Y dx=4Jx dx=-x = .

30 0 0 2 0 2

1 6 4

E(XY) E(X). E(Y) ~D(X).D(Y) --F======19== = 0,37 . PXY

68 Zakoni velikih brojeva i centra/ne graniene teoreme

ZAKONI VELIKIH BROJEV A I CENTRALNE

GRANICNE TEOREME

Nejednakost Cebiseva

Ako slucajna promenljiva X ima disperziju tada je P( Ix E(X) I;;:: &)::;; D(~) ,za

E

svako E E R+ .

Bernulijev zakon velikih brojeva Ako izvedemo n nezavisnih eksperimenata, a u svakom od njih se dogadaj A realizuje sa verovatnocom p, tada je lim P( IX pi;;:: E) 0, za svako E E R + ,

n->'" n

gde X oznacava broj realizacija dogadaja A u n eksperimenata.

Zakon velikih brojeva Cebiseva Ako su X P X 2 ",', X n ",' nezavisne slucajne promenljive i ako su sve disperzije manje od istog broja C, D(Xn) ::;; C , nEN, tada je

1 n 1 n IlimP( LXi - L.E(X i ) ~E)=O,zasvako EER+. n->'" n i=l n i=11

Zakon velikih brojeva Hincina Ako su Xl' X 2 "." X n ".. nezavisne slucajne promenljive sa jednakim raspodelama, tada je Iimp(11 I,X j -ml~E)=O' za svako sER+, gde je

11->'" n i=l

m =E(Xn ) , n EN, matematicko ocekivanje.

Centralna granicna teorema Ako su Xl' X 2 , , X n ".. nezavisne slucajne promenljive sa jednakim raspodelama, matematickim ocekivanjem E(Xn ) = mER i standardnom devijacijom s == ~D(Xn ) E R + , n EN, tada je:

n

LX' -nm 12 I 1 x

limp(,=l J; '" S n -V 2n -00

69Zakoni veJikih brojeva i centralne granicne teoreme Teorema Muavr-Laplasa

Ako su Xl' X2 , ..., X0"" oezavisoe slucajoe promeoljive sa is tom bioomoom n

f=X; -op 1 x_t raspodelom, tada je Jim PC=l~ < x) = (x) = r;;- Je 2 dt , za svako xeR.

n~oo opq v21t -00

1. Proveriti da Ii za dati niz {Xo} slucajnih promenljivih vazi slabi zakon velikih brojeva ~ (-20 o 1 20JXo su nezavisoe slucajoe preomeoljive Xn: _1_

..2.. __1_ l _1_ ' 403 10 203 10 403

neN b) Xn =Y2n - 2Y2n- 1 , gde su Yj :@(A) A> 0, j eN nezavisne slucajoe

preomenljive. c) X 20 + 2 Y d Y _ i/'( 0 0 + 2) N I v

n = _ ...- 0' g e su j: GVY! --,-- , 0 e , nezavisoe s ucaJoe 30 0+1 0+1

preomeoljive. a) E(X ) == (-20)' _1_ + 0 1+ 20 ._1_ = 0 1

n 403 ' 40 3 '

2 1 402 2D(Xn) 40 -+0,1+--0,01=- 0,09::;;2,1 zasvako oeN.Kako

403 403 0 je D(X n) S; 2,1 za svako 0 eN, sledi da su svi uslovi Cebisevog zakooa

velikih brojeva ispuojeoi, te vazi E(I ~ k~lXn - 0,11;;:: eJ~ 0 kada 0 ~ 00. b) Eeyn ) A,D(Yn ) A, E(Xn)==E(Y2n)-2E(Y2n_l)=-A

D(Xn) == D(Yzn - 2Y2n-1 ) = D(Y2n ) + D(-2Y2n_1) == A + 4A == SA. Svi uslovi CebiSevog zakooa velikih brojeva su ispuojeoi, te vaZi

Ell ~k~lxn -AI;;::e)~o,kada o~oo, c) E(X )==E(20+2 yn )= 20+2 E(Yn)== 20+2 ._o_=~.n 30 30 30 0+1 3

D(Xn) == D(20 + 2 Yn) =(20+ 2)2D(Yn) (20 +2)2 .(0+2) ~ ~, 30 30 30 0+2 9

kada 0 ~OO.

Vazi zakon velikih brojeva tj. p(l! tXk _;21;;:: eJ ~ 0 kada 0 ~ 00 . o k=l 31

70 Zakoni velikih brojeva i centraine graniene teoreme 2. Dat je niz {Xn} nezavisnih slucajnih promenljivih koje imaju istu raspodelu.

P(X" =-10)==P(Xk =10)=0,5, kEN. a) Odrediti raspodelu slucajne promenljive

1

y =S(X1 +X2 +X3 +X4 +Xs)'

b) 1 100 Nad P(-LX" 0)

100 k=1

c) N ,. p(i ~X I 1)1 I vaCI I-.r:... k::; , prlmenom centra ne gramcne teoreme.

100 k=1

d) Oceniti p(~rX"I~ 1),primenom nejednakosti Cebiseva. IlOo "=1 a)

-10 -6 -2 2 6 10) Y: ( 2-5 5.2-5 10.2-5 10.2-5 5.rs 2-5

(P(Y==-1O)=P(X1 =Xz =",=Xs =-10)=(.!.)5, P(Y=-6)=2 ==P(jedan clan zbira je 10, a ostali -10) = (5)..!. 1 , itd).

2n1 2 b) P(l~O!Xk =0) =

=P(50 sabiraka je jednako -10, a 50 sabiraka je jednako 10)=

= (100J.r1OO :::: 100! r 100 =007979. 50 50!50! '

c) E(_l- IXk )=-l-IE(Xk )=O, D(-l-rxk)=l sledidaje100 k=1 100 k=l 100 k=1

O (1 I ) [_l- Ixk - J! tOOP li-IXk::;1 =p 100k=1 ::;1 =(1)-(-1)=2(1)-1=

100 k=1 1

20,8413 -1 == 0,6826 d) 1 tOO

Xk plfl-1-IXkl ~ 1)::; D(iOQ t:1 ) = 1

100 k=1 12 ;

Dakle, nejednakost Cebiseva daje grubu procenu traZene verovatnoce.

- - -

- -

- - -

- - -

- -

Zakoni ve1ikih brojeva i centra/ne granicne teoreme 71 3. Dat je niz {Xn} nezavisnih slucajnih promenljivih koje imaju istu

uniformnu 'tL(0,1) raspodelu. Da Ii za dati niz vazi slabi zakon velikih brojeva? Kako je E(Xj) =1. to sledi, na osnovu slabog zakona velikih brojeva

2

HinCina, da p(l! rXk _11 z e) ~ 0 kada n ~ 00

n k=l 21

4. Neka je Xn sredina uzorka obima 25 iz normalne G0f (3,4) raspodele. Odrediti verovatnoce: P(Xn > 3), P(Xn =:; 2), P(3 =:; Xn =:; 4) i P(2 =:; Xn =:; 5). Odrediti a i b za koje je P(Xn < a) =0,9, P(2 =:; Xn =:; b) =0,8.

- X -3 3- -.P(Xn >3)=P( n > 2 =P(Xn >0) 0,52 5 5

- X -3 2-3 -.P(Xn =:; 2) = P( < -2-) = P(Xn =:; -2,5) =11>(-2,5) =O2 5 5

= 1-11>(2,5) = 1- 0,9938 =0,0062 - 2 - 3 X - 3 4 - 3 -.P(2 =:; Xn =:; 4) =P(-2-=:; n =:;-2-) =P(-2,5 =:; Xn =:; 2,5)2

555 =11>(2,5) - 11>(-2,5) =211>(2,5) -1 = 20,9938 1 0,9876

- 2-3 X -3 5-3 -.P(2 =:; Xn =:; 5) = P(-2- =:; n < -2-) = P( -2,5 =:; Xn =:; 5)2 555

=11>(5) - 11>(-2,5) =1-1 + 11>(2,5) =0,9938 - X 3 a-3 a-3P(Xn sa) P( O S-a-)=0,9=:>1I>(-2-)=0,9~2

5 5 5

=:> a 2 3 = 11>-1(0,9) =1,28 =:> a= 3,51 -5 > .

72 Zakoni velikih brojeva i centraine graniene teoreme 2 3 X -3 b-3 -* b 3P(2s

73 Zllkoni vclikih brojcvll j ccntralne granicne teoreme

~ { ~

np == 10000,05 =50 npq = 10000,050,95 = 47,5

74 Zakoni velikih brojeva i centralne granicne teoreme P(40;5; X;5; 55)= p[40 np;5; X - np ;5; 55 npJ

~npq ~npq ~npq = p[40 50;5; X np;5; 55 - 50J = P[-1,45;5; X np;5; 0,73J = ~47,5 ~npq ~47,5 ~npq

(0,73)- {-1,45)= {0,73) [1- (1,45)] 0,7673 -1 + 0,9265 0,6938. 8. Strelac pogacta cilj sa verovatnocom 0,4. Koliko minimalno gactanja treba da

izvrsi, pa da sa verovatnocom 0,9 cilj bude pogocten bar 80 puta?

P{X~80)=1-P(X n =224,6 , n 225,

75Ocene parametara

OCENE PARAMET ARA

T A CKASTE OCENE P ARAMET ARA Ocena U = u(X I , X2, ... , Xn) je postojana (stabilna) ocena za 0 ako je za svako 8>0

timP(IO u(Xt,X2"",Xn)I~E) O. n->'"

Ocena U u(XPX2,,,,,Xn) je centrirana ocena za 0 ako je E(u(X 1 , X2, ... , Xn O.

Oeena U u(Xt ,X 2 , ,X n ) jeasimtotskicentriranaocenaza 0 akoje lim E(u(Xl'X1,,,,,Xn = 0 . n .... oo

Ako su U I i U 2 dye eentrirane oeene za 0 tada, ako je D(U I ) :

(76 Ocene parametara Metoda maksimalne verodostojnosti. Sa f(x,a) oznaCimo gustinu q>(x, a) obelezja X, ako je X neprekidnog tipa, odnosno verovatnocu p(x,a) obeldja 2 X, ako je X diskretnog tipa, gde je a nepoznati parametar. Funkcija

L(a) =L(xl' x2 ""'Xn,a) f(x U a)f(x 2 ,a).f(X n,a) . naziva se funkcija verodostojnosti. Ocena maksimalne verodostojnosti je statistika U =u(Xl ,X 2 "",Xn) koja zadovoljava uslov da je

L(xl , Xl "",xn' u) =maxL(xl , xH , Xn ,a).tieRl

Ako L(xl,xH...,xn,a) ne dostize maksimum po ae R 1 , tada ne postoji oeena maksimalne verodostojnosti. Deena maksimalne verodostojnosti se, uglavnom, trazi resavanjem jednacine alnL =0.

ae U slucaju da u raspodeli obelezja X treba oeeniti vise nepoznatih parametara aI' a 2"'" am' po stupak je analogan. Tada se traZi maksimum funkeije L(x i ,X2 ,,,,,xn ,al ,a2"..,am) =L(a1 ,a 2 , .."am)' t Postupak se, uglavnom, svodi na resavanje sistema jednaCina

alnL(xl,x2"",xn,al'a2,..,am} _ 0 . -1 2 __--'-"-'--"-'---'----"-'---!...:--!!.:....-'--!1o!'::" _ ,I - , , ..., m .

aa i

1. Obeleije X ima normalnu G!V (m,;2 ) raspodelu. Metodom momenata odrediti ocenu:

a) parametra m ako je ; =2 ,

b) parametra;2 ako je m 10,

c) parametara m i ;2.

1\ 1 n a) m=Xn -2: Xi

n i~l

b) ~2 =1.(Xi lof ni=1

1\ 1\ 1 n

c) m=Xn =-2: Xi' ;2 n i=l

77 Deene parametara -2

gde je[

2. Obeleije X date poulacije ima raspodelu X: ~

0

78 Ocene parametara

3. Neka obeJeije X ima Puasonovu 9>(1,.) raspodeJu, A. > O. Ispitati etikasnost " 1

ocene A. Xi'

I naCin:

=n'e-J..

f\ D(f~) D =:> Oeena A. je najefikasnija.

II nacin

L(e)

ain L(8) 1 n Kako Je -n+- 2:ki E.(~ Iki A.), sledi da Je statistika OA A i=1 A \n i=1

1 A

'A= K; najefikasnija ocena za Ie i da je D(~) = n n

4. Obeleije X ima uniformnu GU(a,b) raspodelu, a

Ocene parametara 79 1

--max{x I' x 2 , .. , x n } => n-1

1~ n . { }=>a=--mm x j ,x 2 "",x n --max{x 1 ,X2 , . ,x }

n-1 n 1 n

= _n- max{x 1 ,x1,,x n }n-1

An { } 1 '{ I=> b=--max x p x 2 ,,,,,x n mm X 1 ,X 2 , ... ,xn J

n-1 n 1 Dakle, statistike kojima se ocenjuju parametri a i b na osnovu uzorka su:

b=_n-max{Xl,X2"",Xn} _1-min{X1,XZ""'X n }.n-1 n 1

Metoda maksimalne verodostojnosti: 0 , x ~ (a, b)

O ___ a '{X X X} -r min I' 2"'" n

aa b-a

aIn L( a, b) n { }

----< 0 => b max Xj,XZ,...,Xn ab b a Dakle, statistike kojima se ocenjuju parametri a i b na osnovu uzorka su: A A

a min{X1,XZ,...,XJ i b max{X 1,X2 , ...,Xn }.

2 -~.rx 5. Obeieije X ima raspodelu datu funkcijom gustine 0 ,

{ o ,x:::; 0 gde je e> O. Na osnovu uzorka obima n oceniti parametar e metodom maksimalne verodostojnosti. Ispitati cenft-iranost, postojanost i efikasnost tako dobijene ocene.

80 Ocene parametara

2L(e)= e

2 n r::InL(e)= nln2 2nIne Z:vx; ,ei=l

n 1\ 1 n81nL(e) = _ 2n +.2. rx; 0 ~ na+ z:jX;, a=-z:jX;.ae e e2 VAi i=l n i=1 Daklc, statistika kojom se ocenjuje parametar a na osnovu uzorka je 1\ 1 n rva=-Z:Vxi'

n i=l

Cen triranost:

1. [~rx=tdx = 2a x 4

1\

Ocena a je centrirana. Postojanost:

(~2) 2-~E..;X =E(X)=f00 x -2 e e dx() a 1\ (1 n )D(a) = Dl-z:,fX;

n ;=1

=! [3~2 9'] ~: Koriscenjem nejednakosti Cebiseva dobijamo:

~ ~~p(1 a- a I~ EJ 0 ~ Ocena aje postojana.

81Ocene parametara Nejednakost Rao-Kramera: I nacin:

In (x n ,8)=-2'-2"'-2 = ( )2

Xl Xn X)'X 2 "'XnX 2

InL(a)=nlna-21n Xl 'X2 ",Xn ,

olnL(8) n 0 L(a)' ~,_--'>.-1... = - > => Je monotono rastuca.

oe a

82 Ocene paramelara Dakle, L(e) dostize maksimum za maksimalnu vrednost e. Kako je x ~ 8 to sledi da je statistika kojom se oeenjuje parametar 8 na osnovu uzorka e = min{X] ,X2 , ... ,X n }. Centriranost:

Y = min{X1 ,X2 , .. ,XJ ( Fy(y) P(Y Oeena e

/\

je asimptotski eentrirana. n->oo n-->oo n - 1

Postojanost: (oeena nije centrirana, pa ne koristimo nejednakost Cebiseva).

p(1 e-e I~E)=l-P(1 8-8 I

Ocene parametara 83 en(e+st +enon _en(o+s)n

on(O+st jerje

_

8 1

84 Ocene parametara

e yn-l n e n yn+l Ie n

E(Y)=fyn-ndY=-nIyndy a

o a a 0 en' n + 110 n + 1 . A

Ocena Eh je centrirana.

D(81) D( n: 1. Y) (n :21)2 . D(Y)

e e n+2leJ 2 n n-1d n J n+ld n Y n a2E(y2) = y '-y y=- y y=-'-- =--. o an an 0 an n + 2 0 n + 2

2 322 322D(y2)=Ecy2)_E2(y)=_n_a2_ n a2 =n + n +n-n - n a2

n+2 (n+1)2 (n+2).(n+1)2

2DCel) = (n + 1)2 . n a2 a

2n (n+2).(n+1)2 n2 +2n

E(e2) =2 E(X) 2 ~ = a ~ Ocena 92 je centrirana. 2

2 Z4 4 a aD(aA z) -D(X) _._=n n 12 3n

A A A A

D(e!) < D(e2 ) ~ e1 je efikasnija oeena od a2. I ~l-x)

9. Obelezje X dato je gustinom (f)x(x)= See ,x>l, gde je a>0. r: { Ato ,x~l a Metodom maksimalne verodostojnosti na osnovu uzorka obima n nad

ocenu nepoznatog parametra a i ispitati centriranost tako dobijene ocene.

85 Ocene parametara

1 n InL(8)=-nln8 --L(X i -1),8 ;=1

n i\ 1 n 1 n

n8+ L(X; -1)=0::::}8= L(X i 1)=-1+- LXi'

;=1 n i=1 n ;=1

Dakle, statistika kojom se ocenjuje parametar 8 na osnovu uzorka .je A n1 8 -1+ . LXi'

n ;=1

1

A '" 1 ~l-x)E(8) =-1 + E(X)=-1 + rX - e (l dx =

1 8

! (x 1) t, X 1 + 8t] 1 "'r (1 8) 1 -I 8d8 =- + + t _e . tr\ dx = 8dt o 8 =-1+ Ie-ldt+8It2- 1 e-tdt -l-e-t +8.r(2)=-1+1+8=8.

Ocena je centrirana. r:::: 2 2 2v2 --x

, x>O10. RaspodeJa za X data je gustinom q>x (x):::: .Jfhi: a { , X$O

Metodom maksimalne verodostojnosti na osnovu uzorka obima n, nad ocenu parametra 8 i ispitati centriranost tako dobijene ocene.

2 nr;:; n n 2InL(8)=nln2v2 --ln8--ln1t--LX i2 2 8 i=1

olnL(8) _~+~ IX2 0

ae 28 82 ;=1 I

n 2 A In 2

-n8+4:Lx; =0 ::::} 8=4-LX;.

~l ni~ Dakle, statistika kojom se ocenjuje parametar 8 na osnovu uzorka je 8= 4 IX;.

n ;=1

86 Deene parametara

1\

Ocena 6je centrirana. r

f

z

T

In

\

J8 -! dx ::= r;; t 2dt .

2...;2 )

Intervalipoveren}'a 87

INTERVALI POVERENJA (POUZDANOSTI) 1. Interval poverenja za nepoznatu verovatnocu p u

Bernulijevoj ffi(p) raspodeli K je statistika koja predstavlja broj jedinica u uzorku (XPX2 , ... , Xn) .Za dati nivo poverenja 13 , neka je odreden broj a tako da je (a) = 1 ~ 13 ( je funkcija raspodele za normalnu GAl (0,1) raspodelu). Tada Je

K-np . P( c::::: < a) = 13, pa Je:

-vnpq

Interval poverenja je P(U I < P < U 2) == 13, gde su statistike U 1 i U 2 dobijene resavanjem po p kvadratne jednaCine

p2(n 2 +a 2n)+p(-2Kn-a 2n)+K 2 =0.

2. Interval poverenja za matematicko ocekivanje m obelezja X sa normalnom G(m, ~2) raspodelom gde je ~2 poznato

Za dati nivo poverenja 13 , neka je odreden broj a tako da je (a) == 1; 13 .

Tada je p(lxn~m.Jri"l

88 Intervalipoverenja 3. Interval poverenja za matematicko ocekivanje m obelezja X sa

normalnom c;vV(m, 1;2) raspodelom gde je 1;2 nepoznato

Za dati nivo poverenja ~, iz tablica za Studentovu t raspodelu (sa n-1n- 1 stepeni slobode) neka je odreden broj a taka da F{a) 1 + ~, tada je

2 - as - asX -m ,---:;P( 0 '"n - 1 < a) ::: ~ , pa je P(Xn - ~

intervaii poverenja 89 5. Interval poverenja za nepoznatu disperziju ~2 obelezja X sa

normalnom GIV(m,~2) raspodelom kadaje m poznato Ako obelezje X ima normalnu G(m.~2) raspodelu, gde je m poznato, tada

-z statistika n~D ima x: raspodelu.

~ Iednostrani interval poverenja za ~2 , a

~ P(O < ~ < V~) = (3 za ~, dobija se iz tablica za X~ raspodclu (sa n stcpeni slobode) slieno kao u 4. Slieno, za dvostrani interval poverenja dobija se:

nS2 nS2 Jnsz Jns 2 P(_D< ~2 < _D) = (3 za ~2 , a P( _D < ~ < _D) = (3 za ~. b a b a

-2 Napomena: Ovaj slucaj se razlikuje od slucaja 4., jer statistika n~D u slucaju 4.

~ -2

ima X;-l raspodelu, au slucaju 5. statistika n~D ima X~ raspodelu. ~

90 Testiranje hipoteza

TESTIRANJE HIPOTEZA

PARAMET ARSKE HIPOTEZE I TESTOVI ZNACAJNOSTI Sa a oznaCimo unapred dat prag (nivo) znacajnosti.

1. Hipoteza H( P =Po ), 0 verovatnoCi u Bernulijevoj ffi(p) raspodeli Neka statistika K predstavlja broj jedinica u uzorku (Xl ,XW.,Xn ) obelezja X, a k je broj jedinica u realizovanom uzorku (X 1,X 2 ,...,X n ), tada je za dovoljno veliko n:

a

1 p(1 ~ p, H: -p'I)~+-~(I~n:~~~~,)IJJ~a., c gde je a hipotezu H( p =Po ) ne odbacujemo, iIi 2. nademo bro.ieve Set = ~ k npo i 8: =

Testiranje hipoteza 91 3. Hipoteza H(m =mo) 0 matematickom ocekivanju m u normalnoj

GVV(m,~2) raspodeli ako ~2 nije poznato lz:

- -x -m ,---; x -m ~1. P( Xn - mo ~~ n _ 0 ",n -1 ) =2(1- F( n _ 0 ",n -1 == a: * , Sn SnSn

gde je F funkcija Studentove t n- 1 rasp odele sledi: ako je 0'.*:::; 0'., gde je a: unapred zadat prag znacajnosti, hipotezu H(m == mo) odbacujemo, a ako je 0'.* > a: hipotezu ne odbacujemo, iIi 2. naaemo brojeve ea = IXnSumo .In-ll i e: = F-10- ~ , ako je e ~ e: hipotezu odbacujemo, a ako je hipotezu nea odbaeujemo.

4. Hipoteza H(~2 =~~) 0 disperziji ~2 u normalnoj GIV(m,~2) raspodeli ako je m nepoznato

Za p(nS; ~ ns; )=l_F(ns;) a: *, ~~ ~~ ~~ gde je F funkcija X!-l raspodele sledi: ako je 0'.*:::; a: hipotezu H(~ 2 ~~) odbacujemo, a ako je 0'.* > a: hipotezu ne odbacujemo,ili

-2 2. nademo brojeve Ea = nSzn i e: = F-1(1- 0'.),

~o ako je SC( ~ e: hipotezu odbacujemo, a ako je e < e: ne odbacujemo. a

5. Hipoteza H(~ 2 =I;~) 0 disperziji 1;2 U normalnoj GVV(m,~2) raspodeli ako je m poznato

-2 -2 -2 nSn nSn nSnZa P(- ~ -) = 1 - F(-) == a: * 1;; 1;; S~

gde je F funkcija X~ raspode1e sledi: ako je 0'.*:::; a: hipotezu H(~ 2 ~~) odbacujemo, a ako je 0'.* > a: hipotezu ne odbacujemo,ili 2. nademo brojeve Ea

ako je Eo. ~ e: hipotezu odbacujemo, a ako je ea < e: ne odbacujemo.

92 Testiranje hipoteza 1. Poznato je da vek trajanja sijalice jedne serije ima normalnu raspodelu sa

standardnim odstupanjem 1; =120 sali. Iz le serije sijalica na slucajan nacin je izabrano n = 25 sijalica i vek trajanja ovih sijalica (u satima) bio je: 2630,2820,2900,2810,2770,2840,2700,2950,2690,2720,2800,2970,2680, 2660,2820,2580,2840,3020,2780,2920,3060,2840,2550,2790,2850. a) NaCi interval poverenja za srednj vek trajanja sijalica iz ove serije sa

koeficijentom (nivoom) pouzdanosti 13 =0,98. b) Testirati hipolezu da je prosecni vek trajanja sijalice 2850 sati sa

pragom znacajnosti a =0,05. a) Interval poverenja za nepoznato rn, ako je ~2 poznato,

(xn-a1,xn+a 1) gdeje a=$-le~p). Xn =.l(2630+ 2820 + ... + 2850)= 2799,6,

25

1

a = qJ-l ( + ~,98) = $-1 (0,99) = 2,326 , 120 120 \J2799,6 2,326.J25; 2799,6 + 2,326.J25 ' mE (2743,68; 2855,52). (

b) Hipoteza H{rn =rno) kada je ~2 poznato, lin -mol 12799,6-28501 * -1( a) -1( )

(1 = So = 120 = 2,1, ea =$ 1-"2 =$ 0,975 = 1,96 . In 55

B(1 > B: =1,96:::;. hipotezu H(rn = 2850) odbacujemo. 2. U jednom gradu na slucajan nacin je izabrano 1250 ucenika i izmerena im

Je visma. Db'"IJem rezuItafI sred' 00.1. t e Io em su U Dared ab r Visina u em Broj ucenika

(160,1621 15 (162,164] 27 (164,166] 44 (166,168] 103 (168,1701 211 (170,172] 303 (172,1741 230 (174,176] 162 (176,1781 95 (178,180] 30 (180,1821 30

Testiranje hipoteza B a) Ako pretpostavimo da visina ucenika ima normalnu raspodelu naci 90"

interval poverenja za srednju vrednost visine ucenika. b) Testirati hipotezu da je srednja vis ina ucenika 171,5 em sa pragom

znacajnosti a =0,1. a) Interval poverenja za nepoznato m, ako ~2 nije poznato,

-====- - S JXn + t l+JJ ~ [x. t n-1.2 ..yn -1

t t 1249;0.95 t oo ;O.95 =1,645 (l = 1- P= 1- 0,90 = 0,10. 2

161 + 27 163 + ... + 30 181)= 171,6032 , 1250 2 2 2 2 LXi 15161 +27163 + .. +30181 -::-36828274, i=1

-2 1 n 2 _ 2 Sn - LXi Xn =14,9609; Sn =3,87 ,

n i=1

(171,6032 1,645 ~, 171,6032 + 1,645 ~) , mE (171,4216; 171,7847). 1249 1249

b) Hipoteza H{m mo) kada .;2 nije poznato. = 1171,6032 -171,51..)1249 = 0,935

Sn 3,87 .

en t tI249:0.95 =1,645 .

00: < 0: 1,645;;;;;::. hipotezu H(m =171.5) ne odbacujemo. 3. Anketirano je 30 koekara 0 visini dobitka (u hiljadama dinara). Dobijeni

rezultati su sredeni u naredno' tabeli Dobitak -9 -3~-L..:-3;...?.,-..::;2,,-+...a....;::..z..;;:..L-+....&...:..2~

3 Odrediti 90% jednostrani i dvostrani interval poverenja za nepoznatu disperzijn.

b) Testirati hipotezu da je standardno odstupanje 3000 dinara sa pragom znacajnosti a =0,05.

a) jednostrani interval za .;2 , X30 =~[1(-6) + 3(-2,5) + ... + (2 . 8,5)] 2,8330

94 Testiranje hipoteza _ 2 1 _ 2 S30 -X;O - X30 =11,1861 ZO,9 2 19,8 .X29;0,130

0 30, 11,1861J =>):2 E(0'16 9465) SE (0; 4,1166).( '19,8 ~ " I sDvostani interval za S2

[ -2 -2]n Sn n Sn d'-b-'-a- g e Je rb = X~9:0,95 = 42,6 . a = X~9:0,05 = 17,7 . (

30 11,1861. 30 11,18611 => ): 2 E (7 88452- 189482) ): E (2,8079', 4,3529)( 42,6 . 17,7 ) ~ , " ~ \

b) Hipoteza H(;;2 s~). -2

nSn 3011,1861 3702 r:l 1 095 2 - 2 -4?6

, , I-' -a , , ca Xn-l,l-a -X29;O.95 - ._,9S~ j

Ba < B: hipotezu H(;; = 3) ne odbacujemo. 1 4. Metlu prvih 3000 beba rotlenih 1999 godine bilo je 1578 decaka.

a) Ako pretpostavimo da se broj decaka moze opisati binomnom

raspodelom, naci 99% interval poverenja za verovatnocu p ratlanja 2 decaka.

b) Testirati hipotezu da je verovatnoca ratlanja decaka 0,5. a) Interval za nepoznatu verovatnocu p

~(1'::~; [t;~)r t;P) t+~,99)~_1(O,995)~2,576 (1578 - 3000pY 6,6564 => Pl =0,5024 P2 0,5494 P E (0,5024; 0,5494). 3000p(1 p) b) Hipolez. H(P ~ p,,) , Eo ~ ~ ='1578 3000 . 0,51 2,848 ,

npoq() .J3000 0,5 -0,5

c: =-1(1- ~)=-1(0,99) 2,326 ca > c: => hipotezu H(p = 0,5) odbacujemo.

95 Testiranje hipoteza NEPARAMETARSKE HIPOTEZE I TESTOVI ZNACAJNOSTI

Pirsonov X2 -test Pretpostavimo da obeleije X ima raspodelu Fo(x). Za dovoljno veliko n statistiku

mozemo aproksimirati X~-l-I raspodelom, gde je k broj intervala, a I broj ocenjenih parametara. X2 -test je tako konstruisan, da sto je sracunata vrednost bliza nuli u toliko je verovatnije da je nulta hipoteza "tacna".

k ( ) l' 2 ~ (nm - nPm)2Na osnovu rea1lZovanog uzor a XI ,X2 ""'X n na aZlmO Xo = L. m~l nPm Ako je a unapred zadat prag znacjanosti tad a postupamo na sledeCi nacin: 1. Nademo vrednost X: iz tablica za X~-l-I raspodelu . Ova vrednost se na

neki naCin moze shvatiti kao dozvoljeno odstupanje pri zadatom pragu znacajnosti a.

2. Uporedimo vrednosti X: i X~ = f (n m - nPm )2 i ako je m=l nPm

X: > X~ hipotezu F(x) = Fo(x) ne odbacujemo, X: :s; X~ hipotezu F(x) =Fo(x) odbacujemo.

1. KoristeCi X 2 -test sa pragom znacajnosti a =0,05 proveriti da Ii su podaci o 1 2 3 4 8 62 12 15 3

saglasni sa hipotezom da se radi 0 uzorku iz populacije sa raspodelom

0 1 2 3 4 1

X: ( .ll H. .ll .ll 42-739

6 8 4 7 168 .

L(e) [p(x =0)]8. [p(x =l)f2 .[p(x =2)r . [p(x =3)r . [p(x =4)f = _(8)8 (6_e)62 (8)12 (8)15 (42-738)3..- - . - . - . - . hee35 .(6 et2 .(42-73ey ,

6 ,,8 4 7 168

96 Testiranje hipoteza InL(9) InC + 351n9 + 621n(6 - 9)+ 31n{42 -739),

alnL(9) 35 _~_ 373 =0

ae 9 6 8 42 - 738 ' 35.(6 9X42 739)-629{42-738)-2199{6-9)=0, 8820 -153308 14708 + 255582 - 26048 + 452692 + 21992 13149

730092 - 207188 + 8820 =

82 - 2,848 + 1,21 0::::> 81 = 2,31 , 82 = 0,52

8 < 6, 8 < ;~ 0,58 => e=0,52. X: (0,~86 0,:85 0~3 0,~74 0,;24)' Xi 1 2 3 4 mj 8 62 12 18 Pi 0,086 0,685 0,130 0,098

2 4 {m. - np.)2 ~~'--+ (62-68,5)2 + {12-13)2 + (18 9,8)2 =7,6X = L: I I ;=1 npi 8,6 68,5 13 9,8

r 4 - broj klasa2 Xr-l-l,I-Cl 1 - broj ocenjenih parametara

X~-I-l:I-(),()5 X~:().95 5,99 X2 > XL),95 ::::> hipotezu odbacujemo.

2. KoristeCi X2 -test, sa pragom znacajnosti a =0,05, proveriti da Ii su podaci: I j [o,! ) 1 1[8'4') 1 3 ["4' 8) 3 1 [8'i) mj 6 12 22 30 saglasni sa hipotezom da se radi 0 uzorku iz populacije cija je gustina

8x , xe(o,~) q>x (x) =

o , x ~(o,i)

Testiranje hipoteza o,x~o

4xPk =p(a~X

98 Testiranje hipoteza

'1 A~ -2 ~ =SlOG 15839 -125,52 88,75.

A

~ 9,42.

105 115 125 135 145

PI P(I05 s X < 115) pl I05 -125,5 s X* < 115 -125,5J \ 9,42 9,42

= pG 2,17 s X < -1,11)=

99 Testiranje hipoteza Pk =p(X =k)= Ak e-/~, ~::::Xn 1 ixi , a=l-p 1-0,9 0,1.k! ni~ A 1 11,= -(158. 0+ 961 + 342 + 73 + 34 + 1 5 + 1 6)= 0,6933 ~ 0,7.

300

Po p(X = 0) e-0,7 = 0,496 , PI =P(X 1)=0,7e-07 =0,347 , 2

P2 = P(X 2)= 0,7 = 0,121 ,

2

P3 = P(X 3) = 0~3 .e- ,7 =0,028 30 P4 = 1- L:Pi = 0,008 , i=O

Xi

1 2 3 4 mi 158 96 34 7 5 Pi 0,496 0,374 0,121 0,028 0,008

X2 t(m i -npJ2 ={158-148,8)2 + (96 104,1)2 +

i=O npi 148,8 104,1

(34 36,3)2 (7 8,4l (5 2,4l 383+ + + , .

36,3 8,4 2,4 X;-l-l:l-a. =XL-l;1-0.0) =XtO,95 =7,81. X2 < X;;O,95 => hipotezu ne odbacujemo. 5. U svaku ds 100 meta vrsi se 10 gadanja i registruje se broj pogodaka.

Rezultati su dati tabelom: Broj pogodaka 0 1 Bro.i meta KoristeCi 'X]. -test, sa pragom znacajnosti a =0,01 ,proveriti da Ii su podaci saglasni sa hipotezom da se radi 0 uzorku iz populacije sa binomnom raspodelom.

1\ k k - broj uspeha Pk =P(X=k)=(~}k(l pt-k , P=

n n - broj eksperimenata n = 100 . 10 1000 .

500 1k =1 2 + 24 + 3 10 + 422 + ... + 92 + 10 0= 500 . A P= 1000 =2" (10) (nk (l)lO-k (10\ (1)10Pk p(X=k)=1 . -I . - 1,1\k 2; 2 \2k J

10) (10'') (10)] (1)10 ~ 1 0,055.P1= + 1)+ 2 . 2' =(1+10+45)'210[(

100 Testiranje hipoteza 10) (1)10P2 =p(X = 3) = 3 . "2 0,117. P3 = p(X =4)=_1_.(10) 0,205.( , 1024 4

P4 = P(X 5) _1_(10) = 0,246 . Ps p(X = 6) 1O~4 (1~) = 0,205. 1024 5 o1 flO)Po =P(X=7)=-1 0,117. P7 =1- '2:Pi =0,055.

1024 \ 7 i=l

7 (m. _np.)2 (6 5,5)2 (10 11,7)2 (22 - 20,5)2 IX-

ry = '2: 1 -'----'--"- + + + i=l npi 5,5 11,7 20,5

{26 - 24,6)2 (18 20,5)2 (12 11,7)2 (6 - 5,5)2

+ + + + 0,84

24,6 20,5 11,7 5,5

2 2 h' db'X < XS;O,99 => Ipotezu ne 0 acuJemo.

Test Kolmogorova

Pirsonov X2 test omogucava da testiramo hipoteze 0 saglasnosti empirijskih podataka sa nekom teorijskom raspodelom slucajnih velicina, kako diskretnih, tako i neprekidnih. 'A -test Kolmogorova primenjuje se samo za neprekidne slucajne veliCine. Ova dva testa razlikuju se u tome sto se kod Pirsonovog testa utvrduju

jempirijske i teorijske frekvence raspodele, a kod testa Kolmogorova empirijska F:I< (x) i teorijska funkcija raspodele F(x). Osim toga kod primene 'A - testa pretpostavlja se da su parametri hipoteticke funkcije F(x) poznati (u X2 testu oni se mogu odrediti na osnovu reaIizovanog uzorka). To donekle suZava oblast primene '}.. - testa, ali se on ipak dosta primenjuje u FpraksL Pri koriscenju 'A testa, nepoznati teorijski parametri funkcije F(x) jocenjuju se na osnovu uzorka velikog obima, uporedo sa onim uzorkom koji istrazujemo, iIi pak na osnovu samog realizovanog uzorka. U posIednjem slucaju '}.. test je priblizan u tom smislu da je stvarni nivo znacajnosti priblizno jednak zadatom a..

I

101Testiranje hipoteza Prvi model (Test Kolmogorova)

Neka je (Xl ,X 2 , ,Xn ) uzorak obima n (n 2: 50) obelezja X. Pretpostavimo da obelezje X ima raspodelu Fo(x), pri remu je Fo(x) neprekidna funkcija. Neka je (X U x 2 , ,x n ) realizovan uzorak. Primena hipoteze F(x) Fo(x) pomocu I.. testa vrsi se na sledeCi naCin: 1) Empirijski podaci se poredaju po velicini iii u konacan skup disjunktnih

intervala.

2) Nade se empirijska funkcija raspodele F *(x) == ~. Empirijska funkcija n

raspodele F * (x) obelezja X je funkcija F*: R ~ [ 0, 1 ], XE R, n E N gde je nx broj onih Xi iz realizovanog uzorka (X.,x:z, ... ,x n ) koji su manji od x, a n je obim uzorka.

3) KoristeCi prctpostavljenu funkciju raspodele Fo(x), nade se njena vrednost za poznate vrednosti Xi obelezja X.

4) Za svaku vrednost Xi treba nad IF *(x)- Fo(xJ I i dn = supl F *(xJ -F(xJ I

x

5) Za realizovani uzorak (X 1 ,X2 , ,xn ) treba naci Ao =JDdn (x l ,x2 , ...,xn ).

Kolmogorov je dokazao da ako je hipoteza F(x) =Fo(x) tacna, tada statistika A== JDD(X1, Xl"'" Xn) za n ~ > ima funkciju rasp odele

r 'Xl k 2 k2 ",2 00 2.2 ",2Q(A)=limP{vnDn

102 Testiranje hipoteza Drugi model (Test Kolmogorov - Smirnov)

Neka je Fl funkcija raspodele obelezja X, a F2 funkcija raspodele obeldja Y i neka su te dYe funkcije neprekidne. Neka su dati uzorci (XI'X2 , ,X01 ) (01 ;C 50) obelezja X i (YI , Y2 , ... , Y02 ) (02;C 50) obelezja Y. Zadatak je da se oa