Modul 1 Statistika

MODUL STATISTIKA

Penyusun:SUPARMAN, S.PDNIP. 197605082006051004

KATA PENGANTAR

Puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat serta hidayahnya sehingga penulis dapat menyelesaikan modul STATISTIKA ini tepat pada waktunya. Modul ini dibuat guna sebagai media pembelajaran yang ringkas dan jelas sehingga siswa mampu memehami dengan lebih mudah dalam mata pelajaran metematika khususnya statistika untuk tingkat SMA. Secara keseluruhan, modul ini sesuai kompetensi dasar Matematika sesuai standart yang ada.

Modul ini berisikan ringkasan ringkasan materi dalam bab statistika yang telah tersajikan dengan ringkas dan jelas sehingga para siswa mampu memahami materi dengan mudah. Selain materi, di dalam modul ini juga berisikan contoh soal sehingga di setiap sub bab para siswa dapat lebih jelas dan lebih mengerti tentang materi yang sedang dipelajari. Selain itu, diberikan pula latihan ulangan yang dapat membantu para siswa dalam menguasai segala materi mengenai bab statistika

Penulis menyadari bahwa modul ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari semua pihak demi kesempurnaan modul berikutnya. Penulis berharap semoga modul STATISTIKA ini dapat berguna dan bermanfaat bagi para pembaca khususnya bagi para peserta didik dalam menggunakan modul ini sebagai media pembelajaran.Tambang, Mei 2013

Penulis

DAFTAR ISI Kata Pengantar........................................................................................................... 2Daftar Isi..................................................................................................................... 3BAB 1 STATISTIKAA. Istilah istilah dalam statistika.......................................................................................51.Pengertian statistika, statistik, populasi, dan sampel..........................................52. Pengumpulan, pembulatan dan Pemeriksaan terhadap data............................7B.Penyajian Data Statistiaka..............................................................................................91. Daftar Bilangan...................................................................................................92. Tabel Distribusi Frekuensi...................................................................................9C.Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram........................................................................151. Diagram Batang.................................................................................................152. Diagram Garis....................................................................................................163. Diagram Lingkaran............................................................................................184. Histogram...........................................................................................................195. Poligon...............................................................................................................216. Ogive.................................................................................................................23D. Ukuran Statistik Data......................................................................................................241. Ukuran Pemusatan Data....................................................................................24a. Rata rata (Mean).................................................................................24b. Modus.....................................................................................................27c. Median....................................................................................................292. Ukuran Letak Data.....................................................................................................30a. Kuartil......................................................................................................30b. Desil........................................................................................................33c. Persentil..................................................................................................353. Ukuran Penyebaran Data...........................................................................................37a. Jangkauan.............................................................................................37b. Hamparan...............................................................................................37c. Simpangan Kuartil..................................................................................37d. Simapangan rata rata..........................................................................39e. Ragam dan Simapangan Baku...............................................................40

RANGKUMAN ...........................................................................................................................43LATIHAN ULANGAN..................................................................................................................46DAFTAR PUSTAKA...................................................................................................................52

Dalam statistika, angka dikumpulkan dan diatur sedemikian rupa sehingga orang dapat memahaminya, menarik kesimpulan, dan membuat perkiraan berdasarkan angka angka itu.

A. Istilah istilah Dalam Statistika

1. Pengertian Statistika, Statistik, Populasi, dan Sampel

Agar suatu permasalahan dapat diuraikan, maka diperlukan keterangan keterangan penunjang yang terkait. Keterangan keterangan tersebut dapat berupa angka atau yang lainnya.

Keterangan keterangan berupa angka disebut data kuantitatif, sedangkan keterangan keterangan bukan angka disebut data kualitatif. Data kuantitatif itu sendiri dibedakan menjadi 2 macam yaitu, data diskrit dan data kontinu. Data diskrit diperoleh dari hasil penghitungan, sedangkan data kontinu diperooleh dari hasil pengukuran.

PermasalahanDataData KuantitatifData kualitatifData DiskritData Kontinu

Statistika adalah suatu disiplin ilmu yang penting pada dewasa ini, antara lain untuk memperbaiki teori teori statistika yang sudah ada, ataupun member gambaran tentang hasil suatu penyelidikan / percobaan.Satistika berkaitan dengan pengumpulan informasi/keterangan, penyajian dalam bentuk daftar, diagram, atau grafik sehingga memudahkan untuk dianalisa , yang selanjutnya disimpulkan dan diambil kesimpulan.

Setiap informasi atau keterangan yang diperoleh disebut datum, dalam bentuk jamak adalah data. Tahap statistika hanya berusaha melukiskan dan menganalisa kelompok data tanpa menarik kesimpulan disebut statistika deskriptif, sedangkan tahap statistika yang berkaitan dengan kondisi suatu kesimpulan diambil disebut statistika inferensi atau statistika induktif.

Definisi ;Statistika adalah ilmu pengetahuan tentang metode pengumpulan, pengolaha, penafsiran, dan penarikan kesimpulan dari data penelitian.

Perhatikan kalimat kalimat berikut ini :a. Lima puluh juta pemirsa TV di Indonesia menyaksikan sinetron Si Doel Anak Sekolahan.b. Delapan dari sepuluh aktris menggunakan pasta gigi X.c. Baterai XYZ tahan lebih lama.

Kalimat di atas menyangkut himpunan yang universal, yaitu semua pemirsa TV di Indonesia, semua aktris, dan semua baterai. Dalam statistika, himpunan universal (semesta) dengan karakteristik tertentu disebut populasi. Pada praktiknya, pengamatan terhadap populasi tidak dapat dilakukan sebab membutuhkan waktu yang lama, memerlukan biaya yang besar, ataupun merusak populasi itu sendiri, misalnya mungkinkah kita menanyai semua pemirsa TV di Indonesia ? Mungkinkah kita menanyai semua aktris tentang merek pasta gigi yang mereka gunakan ? Bagaimanakah jika semua baterai kita tes daya tahannya ?

Untuk keperluan itu, kita dapat menggunakan atau mengambil contoh yang dipilih dari populasi, yang disebut sampel. Jadi, sampel adalah himpunan bagian dari populasi.Metode statistika tentang cara mengambil sampel yang tepat disebut teknik sampling. Nilai nilai yang diperoleh dari sampel disebut statistik. Statistik inilah yang digunakan untuk men-duga populasi. Nilai nilai populasi disebut parameter.

Dalam statistika, ada 3 macam ukuran penting, yaitu :1. Ukuran pemusatan data : rataan hitung (mean), modus, dan median2. Ukuran letak data : kuartil dan desil3. Ukuran penyebaran data : rentang antar kuartil, simpangan kuartil, simpangan rata rata, ragam, dan simpangan baku.

2. Pengumpulan, Pembulatan, dan Pemeriksaan terhadap Data

Usaha untuk memperoleh informasi yang objektif merupakan langkah yang penting dalam suatu penyelidikan (observasi). Hal ini berkaitan dengan tujuan penyelidikan itu sendiri. Sesuai dengan tujuan penyelidikan, maka pengumpulan data dapat dilakukan dengan metode :1. Pengamatan (observasi), yaitu cara pengumpulan data dengnan mengamati secara langsung subjek yang diteliti.2. Penelusuran literature, yaitu cara pengumpulan data dengan menggunakan sebagian atau seluruh data yang telah ada dari peneliti sebelumnya. Penelusuran literature disebut juga pengamatan tidak langsung.3. Penggunaan kuesioner (angket), yaitu cara pengumpulan data dengan menggunkan daftar pertanyaan (angket) atau daftar isian terhadap subjek yang teliti.4. Wawancara (interview), yaitu cara pengumpulan data dengan langsung mengadakan Tanya jawab kepada subjek yan diteliti.

Data yang diperoleh disebut data mentah.Berdasarkan banyaknya data yang diambil, cara pengumpulan data dibagi atas dua cara, yaitu sebagai berikut:1. Sensus, yaitu cara pengumpulan data, di mana data diperoleh dari setiap anggota populasi.2. Sampling, yaitu cara pengumpulan data, di mana hanya sebagian anggota populasi (sampel) saja yang diteliti. Akan tetapi, dari sebagian anggota populasi ini diharapkan dapat menggambarkan keadaan populasi yang sebenarnya.

Selanjutnya, setelah data diperoleh, untuk mendapatkan gambaran tentan apa yan diteliti, peneliti harus melakukan penganalisisan data.

Untuk penganmatan lebih lanjut, data dibedakan :a) Data Kuantitatif, yaitu data berupa kumpulan angka, misalnya tinggi siswa, banyaknya siswa yang tidak masuk hari ini di suatu sekolah.Ditinjau dari cara memperolehnya, data kuantitatif dapat dibedakan menjadi 2macam, yaitu.1.Data CacahanData cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah, membilang, atau menghitung banyak objek. Sebagai contohh adalah data tentang banyak petak sawah untuk masing masing desa di lima desa.2.Data UkuranData ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur besaran objek. Sebagai contoh data tentang luas petak sawah dan data tentang berat padi gabah kering.

b) Data Kualitatif, yaitu data yang diamati berdasarkan atribut, misalnya pendapat siswa terhadap pelajaran Matematika, seperti amat senang senang kurang senang tidak senang.

Untuk keperluan perhitungan maupun analisis, sering dikehendaki data kuantitatif dalam bentuk yang lebih sederhana. Untuk menyederhanakan bilangan bilangan, diadakan aturan pembulatan sebagai berikut :a. Aturan umum, yaitu jika kurang dari 0,5 dihilangkan dan jika sama atau lebih dari 0,5 menjadi 1, Misal:3,48 dibulatkan menjadi 32,5 dibulatkan menjadi 38,45678 dibulatkan menjadi 8,46 (sampai dua tempat desimal).

b. Aturan genap terdekat, yaitu kurang dari 0,5 dihilagkan, lebih dari 0,5 menjadi 1, dan sama dengan 0,5 dihilangkan jika angka yang mendahului genap atau menjadi 1 jika angka yang mendahului ganjil, Misal :6,948 dibulatkan menjadi 6,9 (sampai satu tempat desimal)17,52 dibulatkan menjadi 18,0012,50 dibulatkan menjadi 12,0013,50 dibulatkan menjadi 14,00

Sebelum data diolah lebih lanjut, perlu diadakan pemeriksaan data kembali. Hal ini untuk menghindari kekeliruan dalam analisa maupun kesimpulan yang diambil. Beberapa data yang dipandang meragukan hendaknya diyakini kebenarannya. Kemungkinan kesalahan terjadi pada alat ukur, kesalahan mengukur, kekeliruan mencatat, instruksi yang tidak jelas, atau kecerobohan dalam mengumpilkan data. Semua kesalahan itu perlu diperhatiakan agar diperoleh data yang akurat.

B. PEYAJIAN DATA STASTITIKA

Data statistic dapat disajiakan dalam beberapa bentuk, sesuai dengan jenis data. Data statistic dapat berupa daftar bilangan yang mempunyai satuan yang sama atau disebut data tunggal. Data dapat dinyatakan dalam bentuk daftar bilangan.

1. Daftar BilanganData tunggal dapat dituliskan sebagai daftar bilangan sebagaimana contoh berikut. Data niali matematika 10 anak kelas 2 SD adalah : 60, 75, 65, 80, 95, 74, 88, 87, 76 dan 90.

2. Tabel Distribusi FrekuensiTabel distribusi frekuensi dapat dibedakan menjadi 2, yaitu tabel distribusi frekuensi data tunggal dan tabel distribusi frekuensi data berkelompok.

a. Tabel Distribusi Frekuensi Data TunggalPenyajian data tunggal kerekuensi dilakukan dengan membuat tabel yang terdiri atasrekuensi dilakukan dengan membuat tabel yang terdiri atas kolom, yaitu kolom nilai (x), kolom turus dan kolom frekuensi (f) Contoh 1.1

Skor tes matematika dari 50 siswa di suatu kelas adalah

2925282224252826262423252621232627232830272724262525242125222525272423272526232623272524262524222426Sajikan data di atas dalam daftar distribusi frekuensi tunggal !Jawab:

SkorTurusBanyak Siswa (Frekuensi)

21222324252637282930IIIIIIIII IIIII IIIIIII IIII IIIII IIIIIIII IIIIII23681196311

n

b. Tabel Distribusi Frekuensi Data BerkelompokJika sekumpulan data memiliki jumlah dan variasi data yang cukup banyak, maka data tersebut dapat disederhanakan dengan cara mengelompokkannya dalam kelas kelas. Dengan demikian diperoleh tabel distribusi frekuensi data berkelompok.Beberapa istilah yang penting dalam membuat tabel distribusi frekuensi berkelompok antara lain sebagai berikut

1) Kelas IntervalKelas interval adalah kelas kelas yang memuat beberapa data tertentu.

I= interval KelasR= jangkauan (data tertinggi data terendahk= banyak kelas

2) Batas KelasBatas kelas adalah nilai nilai ujung yang terdapat pada suatu kelas interval3) Tepi kelasTepi kelas adalah setengah dari jumlah batas atas dan batas bawah dua kelas interval yan berurutan.Tepi atas kelas (ta) adalah batas kelas ditambah setengah. Sedangkan tepi bawah kelas (tb) adalah batas kelas dikurang setengah.4) Panjang KelasPanjang kelas disebut juga lebar kelas atau interval kelas, yaitu selisih antara tepi atas dan tepi bawah dari tiap kelas dalam kelas interval yang sama5) Titik Tengah KelasNilai titik tengah kelas adalah setengah dari jumlah tepi bawah kelas dan tepi atas kelas.

c. Cara Menyusun Tabel Distribusi KelompokBeberapa langkah yang perlu diperhatiakn dalam menyusun tabel distribusi frekuensi berkelompok adalah sebagai berikut.Menentukan nilai data terbesar (xmaks) dan nilai data terkecil (xmin) kemudian ditentukan jangkauannya (J) dengan rumus :

J = xmaks xmin

Menentukan banyaknya kelas interval (k) dari n buah data adalah berdasarkan aturan Sturgess, yaitu :k = 1 + 3,3 log n

Menentukan panjang kelas (c) dengan rumus :

Menentukan daftar distribusi frekuensi dengan menetapkan kelas kelas sehingga nilai statistic minimum termuat dalam kelas interval terendah, tetapi tidak harus sebagai batas bawah kelas. Selanjutnya, menetapkan frekuensi tiap kelas yang dapat dilakukan dengan menggunakan turus atau bisa saja langsung dituliskan .

Contoh 1.2

Dari 48 kali pengukuran lembaran kain (ketelitian sampai cm terdekat), diperoleh data sebagai berikut.54 50 53 54 60 56 62 54 58 65 71 5858 65 56 58 52 70 74 62 52 62 58 6070 73 45 60 56 54 52 53 67 54 59 6457 49 48 56 58 58 60 64 63 68 57 59Buatlah daftar distribusi frekuensi berkelompok dari data tersebut !Jawab:Data pengukuran tersebut terdidi dari 48 data, sehingga n = 48Nilai statistic minimum , xmin = 45 , dan nilai statistic maksimum, xmaks=74Jangkauan Banyaknya kelas (k) = 1 + 3,3 log n = 1 +3,3 log 48 = 6,548, dibulatkan ke atas menjadi k=7Panjang Kelas 4,14,, dibulatkan ke atas menjadi tercakup dalam kelas interval.Tabel distribusi frekuensi :

Hasil Pengukuran(dalam cm)Titik Tengah (xi)Frekuensi (f)

43 4748 5253 6258 6263 6768 7273 7745505560657075161316642

d. Tabel Distribusi Frekuensi Komulatif dan Frekuensi RelatifTabel distribusi frekuensi kumulatif dapat disusun dari tabel distribusi frekuensi berkelompok. Terdapat dua jenis frekuensi kumulatif, yaitu frekuensi kumulatif kurang dari tepi atas dan frekuensi kumulatif lebih dari tapi bawah Setiap frekuensi (fi) dalam tabel distribusi frekuensi yang dinyatakan dalam persentase disebut frekuensi relatif. Frekuensi relatif (fr) dapat ditentukan denngan rumus :

Selanjutnya, daftar distribusi frekuensi kumulatif relative dapat disusun dari daftar distribusi frekuensi kumulatif.

Contoh 1.3

Buatlah tabel distribusi frekuensi kumulatif relative berdasarkan tabel Contoh 1.2

Jawab:Berdasarkan tabel pada contoh 1.2 perhatikan perhitungan perhitungan berikut.Dengan cara perhitungan yang sama, akan kita dapatkan tabel distribusi frekuensi kumulatif relatif berikut.

Hasil Pengukuran(dalam cm)Frekuensi (f)Frekuensi Relatif (fr)Frekuensi KumulatifFrekuensi Kumulatif Relatif

43 4748 5253 5758 6263 6768 7273 77

1613166420,0210,1250,2710,3330,1250,0830,0421720364246484847412812620,0210,1460,4170,7500,8750,958110,9790,8540,5830,2500,1250,042

C. PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK DIAGRAM

1. Diagram BatangDalam penyajian dengan diagram batang, data disajikan dalam bentuk batang persegi panjang yang di gambarkan vertical atau horizontal dengan lebar sama. Disamping diagram batang tunggal, dikenal dua diagram batang yang lain, yaitu:1.diagram batang majemuk2.diagram batang bertingkat

Contoh 1.4Sekelompok siswa mengadakan penelitian tentang tayangan swasta. Mereka menanyakan, manakah yang lebih digemari tayangan ABTV atau CDTV kepada teman temannya di sekolah. Daftar di bawah ini menunjukkan hasil penelitian tersebut :

Yang MenggemariKelas AKelas BKelas CKelas DKelas EKelas F

AATV302626231711

BBTV151820231820

Diagram batang informasi di atas dapat di gambarkan sebagai berikut :

2. Diagram GarisDiagram garis digunakan untuk menyajikan data yang menunjukkan perkembangan suatu data dari waktu ke waktu. Selain dibaca dan ditafsirkan , diagram garis juga dipakai untuk memperkirakan suatu nilai yang belum diketahui. Dalam memperkirakan nilai yang belum diketahui ini ada dua macam pendekatan, yaitu pendekatan interpolasi linear dan pendekatan ekstrapolasi linear.

Diagram garis digambar pada bidang Cartecius. Sumbu X ditempati oleh waktu pengamatan sedangkan sumbu Y ditempati oleh nilai data yang diamati.

Interpolasi LinearPendekatan interpolasi linear adalah menafsirkan atau memperkirakan suatu nilai data yang berada di antara dua titik yang berdekatan.

Ekstrapolasi LinearPendekatan ekstrapolasi linear adalah menaksir atau memperkirakan suatu nilai data yang terletak sesudah titik data terakhir yang diketahui. Ekstrapolasi semacam ini dapat dilakukan dengan cara memperpanjang garis dalam arah ke kanan atas atau ke kanan bawah tergantung pada kecenderungan nilai nilai data sebelumnya. Contoh 1.5Data jumlah siswa yang lulus ke Perguruan Tinggi Negeri sepuluh tahun terakhir tahun di Kabupaten Semarang

TahunJumlah siswa yang lulus

2003200420052006200720082009201020112012150170180165145176190178200210

Berikut diagram garis dari data di atas :

3. Diagram LingkaranDiagram lingkaran digunakan untuk menunjukkan perbandingan antaritem data dengan cara membagi lingkaran dalam juring juring lingkaran yang sudut pusatnya sesuai dengan perbandingan tersebut.

Contoh 1.6

Daftar jumlah siswa yang mengikuti ekastrakurikuler menari di setian kelas VII SMP N 7 Semarang

Ekstrakurukuler menariBanyaknya siswa

VII AVII BVII CVII DVII E1046812

Buatlah diagram lingakaran yang sesuai dengan data di atas

Jawab :Jumlah selueuh siswa= 10 + 4 + 6 + 8 + 12 =44. Perbandingan dan persentase untuk masing masing kelas adalah :VII A , VII B , VII C , VII D , VII E

Jika diuah dalam ukuran derajat, maka diperoleh sudut pusat sebagai berikut.VII A : VII B : VII C : VII D : VII E : 4. HistogramData ukuran (data kontinu) yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi dapat disajikan dalam bentuk diagram yang disebut histogram.Gambar histogram berbentukdiagram batang di mana antara dua batang yang berdampingan saling berimpit. Langkah langkah untuk membuat histogram suatu data berkelompok adalah sebagai berikut : Menggambar sumbu horizontal (untuk nilai) dan sumbu vertical (untuk frekuensi) Menggambar persegi panjang untuk setiap interval. Alas persegi panjang menunjukkan panjang kelas (p), yaitu dari tepi bawah kelas sampai tepi atas kelas, sedangkan tinggi persegi panjang menunjukkan frekunsinya. Di atas tiap persegi panjag dapat ditulis frekuensi masing masing agar histogram mudah dibaca.

Contoh 1.7

Gambarlah histogram dari data yang disajikan di bawah ini seperti contoh 1.254 50 53 54 60 56 62 54 58 65 71 5858 65 56 58 52 70 74 62 52 62 58 6070 73 45 60 56 54 52 53 67 54 59 6457 49 48 56 58 58 60 64 63 68 57 59Buatlah daftar distribusi frekuensi berkelompok dari data tersebut dan buatlah histogramnya

Jawab :

Hasil Pengukuran(dalam cm)Titik TengahFrekuensi (f)

43 4748 5253 6258 6263 6768 7273 77

45505560657075161316642

Tabel distribusi frekuensi :Dengan mengikuti langkah langkah membuat histogram suatu data berkelompok, histogram dari data tersebut diperlihatkan pada gambar di bawah ini

161412108642 42,5 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5 72,5 77,5Nilai

5. PoligonJika titik titik tengah dari sisi atas tiap persegi panjang yang berdekatan pada histogram dihuungkan , maka akan diperoleh grafik garis yang disebut polygon distribusi frekuesi.Selain dengan cara tersebut, polygon distribusi frekuensi dapat dibuat dengan langkah langkah sebagai berikut : Menambahkan satu kelas interval sebelum kelas pertama dan satu kelas interval sesudah kelas terakhir. Menentukan titik tengah setiap kelas Menggambar sumbu horizontal dan sumbu vertical Menggambar titik titik dengan titik tengah kelas interval sebagai absis dan frekuensi kelas interval sebagai ordinat Menghubungkan titik titik yang berdekatan dengan suatu aris lurus. Contoh 1.8Gambar polygon distribusi frekuensi dari data pada contoh 1.2Dari 48 kali pengukuran lembaran kain (ketelitian sampai cm terdekat), diperoleh data sebagai berikut.54 50 53 54 60 56 62 54 58 65 71 5858 65 56 58 52 70 74 62 52 62 58 6070 73 45 60 56 54 52 53 67 54 59 6457 49 48 56 58 58 60 64 63 68 57 59Buatlah daftar distribusi frekuensi berkelompok dari data tersebut dan buatlah poligonnya !

Jawab :

Hasil Pengukuran(dalam cm)Titik TengahFrekuensi (f)

43 4748 5253 6258 6263 6768 7273 7745505560657075161316642

Poligon distribusi dari data tersebut diperlhatkan oleh gambar di bawah

161412108642 40 45 50 55 60 65 70 75 80

6. OgiveTabel distribusi frekuensi kumulatif yang disajikan dalam bentuk kurva, disebut polygon distribusi frekuensi kumulatif atau ogive. Ogive terdiri dari 2 macam yaitu ogive positif (ogive kurang dari) dan ogive negatif (ogive lebih dari). Ogive positif dibentuk dengan menghubungkan titik titik , dengan tepi atas sebagai absis dan frekuensi kumulatif sebagai ordinat. Sementara itu, ogive negatif dapat dibentuk dengan cara menghubungkan titik titik, dengan tepi bawah sebagai absis dan frekuensi kumulatif sebagai ordinat.

Contoh 1.9

Gambarlah ogive dari data yang terdapat pada contoh 1.2 Dari 48 kali pengukuran lembaran kain (ketelitian sampai cm terdekat), diperoleh data sebagai berikut.54 50 53 54 60 56 62 54 58 65 71 5858 65 56 58 52 70 74 62 52 62 58 6070 73 45 60 56 54 52 53 67 54 59 6457 49 48 56 58 58 60 64 63 68 57 59Buatlah daftar distribusi frekuensi berkelompok dari data tersebut dan buatlah ogive nya!

Jawab :Perhatikan kembali tabel distribusi kumulatif yang terdapat pada Contoh 1.3

Hasil Pengukuran(dalam cm)Frekuensi (f)Frekuensi Relatif (fr)Frekuensi KumulatifFrekuensi Kumulatif Relatif

43 4748 5253 5758 6263 6768 7273 77

1613166420,0210,1250,2710,3330,1250,0830,0421720364246484847412812620,0210,1460,4170,7500,8750,958110,9790,8540,5830,2500,1250,042

D. UKURAN STATISTIK DATA

1. Ukuran Pemusatan Data

a. Mean (Rataan Hitung)Mean (rataan hitung) didefinisikan sebagai jumlah data kuantitatif dibagi banyaknya data. Atau dapat dinyatakan sebagai jumlah seluruh data dibagi banyaknya data. Notasi atau lambing / symbol untuk sampel dan populasi dibedakan :

SampelPopulasi

DataBanyaknya dataRataanXn

XN

Mean , dari data dirumuskan :

data tunggal :

Data Kelompok :

Dengan : xi = titik tengah kelas intervalfi = frekuensi dari xik = banyaknya kelas interval

Selain menggunkan rumus dan cara di atas, kita dapat menentukan rataan dari sekumpulan data dengan terlebih dahulu menentukan rataan sementaranya. Rataan sementara biasanya diambil dari nilai tengah yang mempunyai frekuensi terbesar.

Untuk menghitung rata rata bisa menggunakan rata rata sementara. Kesulitan dalam menghitung rata rata adalah apabiladijumpai bilangan besar atau tidak bulat.Untuk mengatasi hal ini, kita menyederhanakan data, yaitu dengan cara memperkirakan nilai rata rata yang disebut rata rata sementara. Caranya adalah sebagai berikut:a) Tetapkan rata rata sementara , dipilih pada kelas yang mempunyai frekuensi tertinggi dan letaknya di tengah.b) Tentukan simpangan (deviasi) terhadap rata rata sementara, dengan rumus:

c) Tentukan rata rata sesungguhnya, dengan rumus:

d) Atau jika dengan memfaktorkan interval kelasnya maka rumusnya menjadi:

Contoh 1.10

Dua belas orang mengikuti pertandingan menembak pada jarak tertentu, setiap peserta menembak 10 kali. Hasil tembakan yang mengenai sasaran dari tiap tiap peserta adalah 4, 8, 5, 8, 6, 4, 7, 7, 2, 3, 5, 7. Tentukan rataan tembakan yang menenai sasaran!Jawab :

Data TunggalData di atas dipandang sebagai sampel, maka :

Data KelompokTentukan Rata rata dari data berikut :

NilaiFrekuensi (fi)Titik Tengah (xi)(fixi)

40 49444,5178

50 59654,5327

60 691064,5645

70 79474,5298

80 89484,5338

90 - 99294,5189

Jadi, rata ratanya adalah 65,83

b. Modus (Nilai terbanyak)Modus adalah nilai yang paling banyak muncul. Untuk data tunggal, modus sangat mudah ditentukan, yaitu data yang yang mempunyai frekuensi terbanyak. Modus mempunyai kelemahan, yaitu apabila kelompok data yang dimaksud memiliki dua nilai modus (bimodal) atau lebih, atau tidak memiliki modus, misal : Data 5, 7, 8, 10, 10,12,12 memiliki dua modus yaitu 10 dan 12.

Untuk data distribusi frekuensi dalam bentuk kelas kelas interval, nilai modus tidak dapat ditentukan dengan tepat tetapi dengan pendekatan. Ada yang berpendapat nilai modus sama dengan nilai tengah kelas yang mempunyai frekuensi terbanyak. Cara lain yang dianggap lebih tepat, yaitu dengan memperhatikan frekuensi kelas sebelum dan sesudah kelas modus.Rumus Modus :

Dengan : b = batas bawah kelas modal, ialah kelas interval dengan frekuensi terbanyakp = panjanng kelas modalb1= frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih kecil sebelum tanda kelas modalb 2 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih besar sesudah tanda kelas modal.

Contoh 1.11

Suatu mesin yang memproduksi kaleng roti diperkirakan terdapat kesalahn. Dari penelitian terhadap 200 kaleng roti , dicatat berat kaleng roti, disajikan pada daftar di bawah ini:

Langkah langkah mengerjakan modus :Kelas modal = kelas keempatb = 289,5b1 = 82 36 = 46 b2 = 82 50 = 32p = 284 281 = 3Berat Kaleng (gram)Frekuensi (f)

281 283284 286287 289290 292293 295296 298

41836825010

Mo = Mo = 291,26

c. MedianMedian adalah nilai yan membagi data menjadi dua bagian yang sama banyaknya setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.Untuk mendapatkan nilai median dari daftar distribusi frekuensi kita dapat menggunakan rumus median, selain itu kita juga bisa mendapatkan nilai median menggunakan histogram, yang berarti median membagi histogram menjadi dua bagiab yang sama luasnya.Rumus Median :

Dengan : b = batas bawah kelas median, ialah kelas dimana median akan terletakp = panjang kelas mediann = ukuran sampel atau banayak dataF = jumlah semua fekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas medianf = frekuensi kelas median

Contoh 1.12

Suatu mesin yang memproduksi kaleng roti diperkirakan terdapat kesalahn. Dari penelitian terhadap 200 kaleng roti , dicatat berat kaleng roti, disajikan pada daftar di bawah ini:Berat Kaleng (gram)Frekuensi (f)Frekuensi Kumulatif (fk)

281 283284 286287 289290 292293 295296 298

41836825010

42258140190200

Langkah langkah untuk mengerjakan median :i. ii. p = 3iii. b = 289,5iv. f = 82v. F = 58

Me =

Me = 289,5 + 3

= 291,03

2. Ukuran Letak Data

a. Kuartil (Qi)Kuartil adalah nilai yang membagi data menjadi 4 bagian yang sama banyak, setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.

Terdapat 3 buah kuartil , yaitu kuartil bawah atau kuartil pertama dilambangkan Q1, kuartil tengah atau kuartil kedua atau median dilambangkan q2, dan kuartil atas atau kuartil ketiga dilambangkan Q3.Sama halnya dengan median, maka nilai kuartil dapat dihitung dengan cara :1. Menentukan kelas dimana kuatrtil itu terletak yaitu , 2. Gunakan atruran :

Dengan :n= jumlah data dan I =1,2,3b= batas bawah kelas Q, ialah kelas interval di mana Qi akan terletak p = panjang kelas QiF = fk = Jumlah frekuensi dengan tandakelas lebih kecil dari tanda kelas Qif = frekuensi

Contoh 1.13

Data TunggalTentukan Q1, Q2, dan Q3 untuk data berikut!1. 6, 8, 4, 2, 4, 7, 5, 42. 3, 5, 1, 5, 4, 7, 8, 4, 2

Jawab:1.Banyak data, n = 8Data yang telah diurutkan :2, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8

Q1 Q2 Q3

Jadi, Q1 = 4 ; Q2 = 4,5 ; Q3 = 6,5.

2. Banyak data, n = 9Data yang telah diurutkan :

41, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 8

Q1 Q2 Q3

Q1 = Jadi, Q1 = 2,5 ; Q2 = 4 ; Q3 = 6

Data BerkelompokSuatu mesin yang memproduksi kaleng roti diperkirakan terdapat kesalahn. Dari penelitian terhadap 200 kaleng roti , dicatat berat kaleng roti, disajikan pada daftar di bawah ini:Berat Kaleng (gram)Frekuensi (f)Frekuensi Kumulatif (fk)

281 283284 286287 289290 292293 295296 298

41836825010

42258140190200

Carilah nilai Q3 nya !

Jawab:a) Dengan i = 3 dan n = 200b) p = 3c) d) b = 292,5e) f = 190f) F = 140

b. Desil (Di)Desil adalah nilai yang membagi data menjadi 10 bagian yang sama banyak , setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.Untuk menentukan desil degunakan rumus sebagai berikut.

Dengan :n= jumlah data dan i =1,2,3b= batas bawah kelas Di, ialah kelas intervaldi mana Di akan terletakp = panjang kelas Di F = jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Di (frekensi kumulatif)f = frekuensi pada kelas Di

Contoh 1.14

Data TunggalTentukan nilai desil ke-3 dari data berikut!7 5 8 7 9 6 6 6 8 5 9 8 6 7 9

Jawab:Data yang telah diurutkan : 5 5 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9Bnayak data, n = 15.Desil k-3 adalahnilai yan terletak pada urutan ke D3 = x4 + 0,8( x5 x4 ) = 6 + 0,8 (6 - 6) = 6Jadi, nilai D3 adalah 6

Data KelompokAmbil data dari contoh 1.2Suatu mesin yang memproduksi kaleng roti diperkirakan terdapat kesalahn. Dari penelitian terhadap 200 kaleng roti , dicatat berat kaleng roti, disajikan pada daftar di bawah ini:

Berat Kaleng (gram)Frekuensi (f)Frekuensi Kumulatif (fk)

281 283284 286287 289290 292293 295296 298

41836825010

42258140190200

Carilah nilai D2 dari data disamping !

= 287,58Jawab:Dengan i = 2 dan n = 200

b = 286,5p = 3f = 50F = 22

c. Persentil (Pi)Dalam hal ini kita juga dapat membagi sekelompok data menjadi seratus bbagian yang sama banyak, sehingga terdapat 99 nilai pembagi yang disebut persentil. Untuk menghitung nilai persentil digunakan rumus :

Dengan :n = jumlah data dan I =1,2,3b = batas bawah kelas Pi , ialah kelas interval dimana Pi terletakp = panjang kelas PiF = jumlah frekunsi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Pif = frekuensi Pi

\

Contoh 1.15

Data BerkelompokKita akan mengambil data dari Contoh 1.2Suatu mesin yang memproduksi kaleng roti diperkirakan terdapat kesalahn. Dari penelitian terhadap 200 kaleng roti , dicatat berat kaleng roti, disajikan pada daftar di bawah ini:

Berat Kaleng (gram)Frekuensi (f)Frekuensi Kumulatif (fk)

281 283284 286287 289290 292293 295296 298

41836825010

42258140190200

Carilah nilai P3 dari data diatas!

= 283,83Jawab:

b =283,5p = 3f = 18F = 4

3.Ukuran Peyebaran DataUkuran penyebaran data yang biasa digunakan untuk data tunggal antara lain rentang, hamparan simpangan kuartil, simpangan rata arta, ragam dan simpangan baku.

a. Rentang atau jangkauan (J) Definisi :Jangkauan data atau rentang data adalah selisih antara data terbeasar (xmaks) dengan data terkecil (xmin).

b. Hamparan (H)Definisi :Jangkauan antarkuartil atau hamparan adalah selisih antara kuartil ketiga dengan kuartil pertama

c. Simpangan Kuartil (Qd)Definisi:Jangkauan semi antarkuartil atau simpangan kuartil adalah setengah kali panjang hamparan.

Contoh 1.16

Data TunggalDiketahui data: 3, 4, 4, 5, 7, 8, 9, 9, 10. Tentukan jangkauan, jangkauan antarkuartil, dan simpangan kuartildari data tersebutJawab;Data:3, 4, 4, 5 7, 8, 9, 9, 10

Q1 Q2 Q3

Jangkauan : xmaks xmin = 10 3 = 7

Data Berkelompok

Daftar berikut menyatakan upah tiap jam untuk 65 pegawai di suatu pabrik.

Upah (Rupiah)f

50,00 59,9960,00 69,9970,00 79,9980,00 89,9990,00 99,99100,00 109,99110,00 119,99

81016141052

JUMLAH65

Tentukanlah hamparan dan simpangan kuartil dari data di atas!

Jawab:Q1= Rp 68,25 dan Q3 = Rp 90,75Maka Hamparan(jangkauan atar Kuartil) Q3 Q1 = 90,75 68,25 = Rp 22,50Simpangan Kuartil:

d. Simpangan Rata rataSimpanagan rata rata atau deviasi rata rata merupakan rata rata jarak suatu data terhadap rataan hitungannua. Nilai simpangan rata rata (SR) untuk data tunggal dapat ditentukan dengan rumus:

Dengan :n = banyaknya dataxi = nilai data ke-i = rataan hitung

Contoh 1.17

Tentukan simpangan rata rata dari data:1, 3, 5, 8, 10, 12, 13.

Jawab: Data Tunggal n = 8

Jadi, simpangan rata = ratanya adalah 3,75

Data Kelompok

NilaiFrekuensi (fi)Titik Tengah (xi)

40 49444,521,1784,68

50 59654,511,1767,02

60- 691064,51,1711,70

70 79474,58,8335,.32

80 89484,518,8375,32

90 99294,528,8357,66

Jadi, simpangan rata ratanya adalah 11,06

e. Ragam dan Simpangan BakuMisalnya data x1 , x2 , x3 , xn mempynyai rataan, maka ragam atau varians (S2) dapat ditentukan dengan rumus:

Dengan: n = banyaknya dataxi = nilai data ke-i = rataan hitungSementara itu, simpanngan baku atau deviasi baku (S) dapat ditentukan dengan rumus:

Contoh 1.18

Hitunglah ragam dan simpangan bakudrai data: 1, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 13

Jawab: Data TunggalData: 1, 3, 4, 8, 10, 12, 13n = 8 dan =7, maka:

(teliti hingga 2 tempat desimal).Jadi, data tersebut mempunyai ragam , S2 = 17 dan simpangan baku , S= 4,12

Data Kelompok

BeratFrekuensi (fi)Titik Tengah (xi)fixi

35 3913737-18324324

40 44542210-13169845

45 49447188-864256

50 54752364-3963

55 59195710832476

60 641462868749686

Karena banyaknya data, n = 50 maka dikatakan sampel berukuran besar (n>30) sehingga

Jadi, data tersebut mempunyai ragam (S2) = 45 dan simpangan baku (S) = 6,71

1.Langkah langkah membuat tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut.a. Urutkan data dari data terkecil ke data terbesarb. Tentukan jumlah kelas yang akan digunkan, dengan rumus: k = 1 + 3,3 log nc. Tetapkan interval kelas, dengan rumus: , dengnan R = ranged.Tetapkan batas bawah kelas pertama.2.Frekuensi relative , 3.Ukuran pemusatan data a. Rata rata (Mean)1)Rumus rata rata data tunggal adalah

2)Rumus rata rata untuk data yang diboboti adalah

3) Rumus rata rata dengan rata rata sementara adalah

4) Rumus rata rata dengan rata rata sementara adalah

b.Median (Me)Median adalah data yang letaknya di tengah tengah setelah data itu diurutkan,

Rumus median data kelompompok adalah c.Modus (Mo)Modus adalah data yang paling sering muncul atau yang mempunyai frekuensi terbanyak.

Rumus modus data kelompok adalah 4.Ukuran Letak a.KuartilKuartil adalah letak yang membagi sekumpulan data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama.Terdapat tiga buah kuartil, yaitu kuartil bawah (Q1), kuartil tengah / median (Q2), dan Kuartilatas (Q3)

Rumus umum kuartil data kelompok : , untuk I = 1,2,3 ..b.DesilDesil adalah ukuran letak yang membagi sekumpulan data yang telah diurutkan menjadi 10 bagian yang sama. Ada 9 bua desil , yaitu D1,D2,D3,,DnRumus umum desil untuk data kelompok adalah, untuk i=1,2,3..c.PersentilPersentil adalah ukuran letak yangmembagi sekumpulan data yang telah diurutkan menjadi 100 bagian yang sama. Ada 99 buah persentil , yaitu P1,P2,P3PnRumus umum menghitung persentil data kelompok adalah

5.Ukuran Penyebaran (dispersi)Ada empat macam disperse, yaitu jangkauan, simpangan rata rat, simpangan baku (standar deviasi) dan simpangan kuartilRumus rumus ukuran penyebaran:

a.Jangkauan (R / J)

b.Simpangan rata rata (SR)

c.Simpangan Baku (S)1) Sampel yang berukuran besar (n>30)

2)Sampel yang berukuran kecil (n30)

3)Simpangan kuartil (Qd)6.Ragam (varians) ditentukan dengan rumus:Ragam= (S)2

Kerjakan di buku latihan Anda !A. pilihlah jawaban yang tepat di antara huruf a, b, c, d, dan d1.Median dan modus dari sekumpulan data : 3, 6, 7, 5, 5, 8, 4, 6, 9 adalaha. 7 dan 5d. 5 dan 6 1/2b. 6 dan 6e. 5 dan 6c. 6 dan 7

2.Dalam suatu kelas dilakukan ujian matematika. Siswa yang hadir 49 orang. Nilai rata rata ujian tersebut adalah 7. Asif mengikuti ujian susulan. Setelah nilai Asif digabung, nilai rata ratanya menjadi 7,04. Nilai Asif adalaha. 7,5d. 9b. 8e. 9,5c. 8,5

3.Rataan darikumpulan data yang disajiakan dengan tabel distribusi frekuensi berkelompok berikut adalahKelasFrekuensi

1 91

10 183

19 275

28 364

37 452

a. 24,8b. 23,0c. 22,3d. 20,5e.19,6

4.Modus dari data pada tabel di bawah ini adalahUkuranFrekuesi

34 385

39 439

44 4814

49 5320

54 5816

59 636

a. 49,1b. 50,5c, 51, 5d. 51,6e. 53,5

5.Nilai ujian kemampuan mata pelajaran ekonomi siswa IPS di suatu SMA Negeri di Semarang diperlihatkan pada tabel berikut.Nilai Ujian56789

Frekuensi1121492316

Seorang siswa dinyatakan lulus jika nilai ujiannya lebih tinggi atau sama dengan nilai rata rata ujian tersebut. Banyaknya peserta yang tidak lulus adalah a. 11d. 49b. 21e. 81c. 32

6.Rata rata data pada tabel di bawah ini adalahUkuranFrekuensi

50 544

55 596

60 - 6410

a. 60,5d. 58,5b. 90e. 57c. 59,5

7.Data berikut mempunyai Modus 162. Nilai y adalah Tinggi BadanFrekuensi

140 1493

150 1598

160 169Y

170 179

2

a. 7b. 8c. 9d. 10e. 11

8.Dari data berikut, frekuensin kumulatif relative kurang dari 158,5 adalahTinggi BadanFrekuensi

150 1522

153 1559

156 15814

159 1618

162 1645

165 1672

a. 5,0 %b. 27, 5 %c. 62,5 %d. 82, 5 %e. 95,0 %

9.Ragam atau varians dari data 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8 adalaha. d. b. e. c. 10.Simpangan kuartil dari data : 61, 61, 53, 53, 50, 50, 70, 61, 53, 70, 53, 61, 50, 61, 70 adalah a. 10d. 6b. 8e. 4c. 9

B. Selesaikan soal berikut dengan singkat dan tepat!1.Diketahui distribusi frekuensi sebagai berikut.NilaiFrekuensi

20 295

30 398

40 4912

50 5915

60 6920

70 7916

80 8914

90 9910

Tentukanlah :a.Meanb.Medianc.Modus

2.Di suatu kelurahan pada tahun 2006 terdapat 180 orang siswa dengan rincian sebagai berikut: 90 orang siswa SD, 50 orang siswa SMP, 30 orang siswa SMA, dan 10 orang siswa SMK. Sajikanlah data di atas menggunakan diagram batang dan lingkaran

3. Buatlah daftar frekuensi relative dan daftar frekuensi kumulatif dari tabel berikut!a. b.

NilaiFrekuensi

20 291

30 392

40 494

50 5918

60 6914

70 798

80 893

Jumlah50

Berat (Kg)Frekuensi

32 351

36 393

40 432

44 476

48 515

52 557

56 5924

60 632

4.Tabel berikut adalah upah karyawan (dalam ribuan rupiah) per bulan dari sebuah perusahaan.Interval KelasFrekuensi

100 19915

200 29920

300 39930

400 49925

500 59915

600 69910

700 7995

a. Gambarlah histogram dan poligonnya!b. Buat distribusi frekuensi relatifnya!c. Berapa orang yang upahnya di atas Rp 400.000,00 ?d.Berapa persen orang yang upahnya Rp 200.000,00 atau kurang ?

NilaiFrekuensi (f)

40 444

45 497

50 546

55 593

60 643

65 692

5.Diketahui data sebagai berikut !

Tentukanlah:a. Simpangan kuartilb. Simapangan rata ratac. Simpangan bakud. Desil ke 2e. Kuartil ke 4

DAFTAR PUSTAKA

Sabandar, Josua.2009.Matematiaka SMA/MA.Jakarta:BailmuWirodikromo, Sartono.2007.Matematika:untuk SMA Kelas XI.Jakarta:Erlangga

Suparman_kampar@yahoo.co.id