MODUL PRAKTIKUM ALJABAR LINIER - sigmasejati08 · PDF fileCakupan pembahasan dalam Penuntun ini meliputi ... kurung berisi permasalahan matematika dan parameter yang ... ke-n dari

2012

MODUL PRAKTIKUM ALJABAR LINIER

LABORATORIUM MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU

PENGETAHUAN ALAM NIVERSITAS NEGERI GORONTALO

KATA PENGANTAR

Penuntun Praktikum dirancang untuk memberikan tuntunan kepada para

mahasiswa Matematika,MIPA atau pengguna Matematika yang sedang mempelajari

dan menyelesaikan persamaan diferensial biasa dengan menggunakan suatu sistem

software matematis yaitu Maple.

Di dalam penuntun ini telah disediakan Algoritma Umum yang memberikan

langkah-langkah secara sistematis dan praktis untuk menyelesaikan persamaan

diferensial biasa dengan menggunakan Maple, juga dilengkapi dengan contoh soal dan

penyelesaiannya serta Latihan praktikum.

Cakupan pembahasan dalam Penuntun ini meliputi Pengenalan Maple, Penulisan

Matriks, Operasi Dasar Matriks, dan Solusi Persamaan Linear dengan berbagai metode.

Setiap saran dan kritik yang berguna untuk perbaikan dan pengembangan

penuntun ini akan diterima dengan senang hati.

Gorontalo, November 2012

Lab. Komputer Matematika,UNG

�

Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16

BAB I

PENGENALAN MAPLE

1.1 Sekilas tentang MAPLE

Maple adalah perangkat lunak matematika berbasis komputer, yaitu sistem komputer

aljabar yang mampu menyelesaikan persamaan dalam bentuk solusi numerik dan simbolik.

Maple dibuat oleh Wateloo Maple Software (WMS) yang cikal bakalnya berasal dari para

peneliti dari University of Wateloo, Canada, di tahun 1988.

Maple merupakan Computer Algebra System (CAS) yang dapat memanipulasi pola,

prosedur, dan perhitungan algoritma, baik untuk analisis maupun sintesis. Hasil perhitungan

Maple mampu menjadi solusi matematika dengan metode numerik dan simbolik. Di dalamnya

terdapat simbol, sintak, dan semantik mirip seperti bahasa pemrograman. Maple mampu

menyajikan

Pemrosesan simbolik dan visualisasi. Visualisasi persamaan matematika dapat disajikan

dalam berbagai variasi grafik simulasi modeling, bahkan animasi. Semuanya dapat dengan

mudah dilakukan.

Maple berjalan pada system operasi keluarga Windows dan cukup mudah untuk

digunakan. Perintah-perintah seperti cut, copy, dan paste bias menggunakan hotkey seperti di

Windows. Sebelum masuk ke perintah-perintah yang akan digunakan untuk menyelesaikan

masalah, khususnya untuk Aljabar Linier, terlebih dahulu kita harus memahami lingkungan

Maple.

1.2 Bagian-Bagian MAPLE

a) Menu Bar, seperti File, Edit, dll, pada bagian paling atas.

b) Toolbar berisi ikon yang akan digunakan dalam Maple.

�


c) Worksheet atau Lembar kerja.

d) Palettes adalah digunakan untuk mempermudah dalam menulis di worksheet

�


e) Prompt biasanya muncul di worksheet sebagai penanda bahwa maple siap menerima

perintah.

1.3 Aturan Penulisan MAPLE

a. Aturan Dasar MAPLE

Setiap akhir baris perintah harus diakhiri dengan tanda titik koma (;) dan untuk eksekusi

perintah digunakan tombol enter. Selanjutnya dalam Maple setiap perintah akan

berbentuk “perintah( );” perintah disini menyesuaikan perintah yang digunakan. Didalam

kurung berisi permasalahan matematika dan parameter yang diperlukan.

b. Aturan Penulisan Matematika dengan MAPLE

Operasi Penulisan Biasa Penulisan Maple

Penjumlahan + +

Pengurangan - -

Perkalian x *

Pembagian : atau / /

Pangkat 2b3

2*b^3

Pi � pi

Akar Pangkat Dua �� sqrt(9)

Nilai Mutlak �� abs(9)

Pendefinisian f(x)=2x+3 f(x):=2*x+3

c. Matematika dengan MAPLE

1. Pada Maple Worksheet Environment, tuliskan ekspresi :

> 7+2;

2. Setiap perintah pada Maple haru diakhiri dengan semicolon (;). Tanda colon (:) hanya

akan menghasilkan sementara.

> hasil:=3^2+5:

> hasil;

�


3. Maple bekerja dengan hirarki operasi scientific seperti layaknya aturan-aturan yang baku.

> 3+3*4+5^2;

4. Maple juga mampu bekerja secara simbolik dan mampu melakukan operasi aljabar, baik

perkalian, penguraian maupun pemfaktoran.

> (x+y)^4;

> expand(%);

Tanda % menunjukan hasil yang terakhir (last output) versi sebelumnya.

Expand menunjukan penguraian perkalian aljabar.

5. Maple juga mampu bekerja secara simbolik dan mampu melakukan operasi aljabar, baik

perkalian, penguraian maupun pemfaktoran.

> P:=x^2+3*x+2;

> Q:=x+1;

> simplify(P/Q);

6. Untuk menghitung dalam bentuk pecahan desimal, ketik evalf(“)

7. Perintah Sqrt menunjukkan akar, misal 2

8. Penentuan faktor suatu fungsi. misal akar-akar x dari fungsi 322 −+= xxp

9. Apabila dimasukkan nilai x =4, ketik subs

10. Ekspresi pembagian polynomial dan penyederhanaannya, misal 1

322

−

−+=

x

xxq

�


11. perintah subs , eval, dan evalf misal 4

,sinπ

=xx

12. Perintah solve , misal 2

1sin =x

13. Perintah fsolve, misal 2

1sin =x

14. Fungsi Khusus

15. Perintah expand dan combine,

16. Mengenakan suatu nilai, misal untuk suatu nilai x= 4

�


Apabila2xef = ,

Jika 2xr =

17. Memanggil suatu nilai,

Fungsi juga dapat ditulis dalam bentuk :

�


BAB II

MATRIKS

2.1 Penulisan Matriks

Ada beberapa cara yang digunakan untuk penulisan matriks dalam maple antara lain:

a) Mengunakan palettes

• Klik tab Matriks pada bagian palettes sehingga muncul tampilan berikut:

• Ketikkan jumlah baris dan kolom pada bagian rows dan columns sesuai dengan

yang dibutuhkan. Setelah itu akan muncul tampilan worksheet berikut:

• Ganti m1,1 m1,2, m2,1, m2,2 dengan angka-angka yang dibutuhkan.

b) Mengetik Langsung

Caranya dengan mengetikkan perintah pada prompt yaitu:

>

Atau

>


Cara kedua hanya bisa digunakan untuk matriks yang ukurannya di atas 3x3

2.2 Operasi dalam Matriks

Maple sudah menyediakan bayak paket (packages) yang bisa digunakan untuk membantu

komputasi kita, karena dialamnya sudah disediakan function atau perintah yang bisa langsung

digunakan. Satu paket yang ditujukan untuk Aljabar linear adalah Paket “linalg”. Secara umum,

untuk memanggil paket, digunakan perintah with(nama_paket).

a. Operasi Dasar Matriks

Untuk penjumlahan dan pengurangan matriks kita akan menggunakan paket “linalg”

dengan perintah “evalm()”.

1. Gunakan paket “linalg” yang disediakan untuk menyelesaikan masalah aljabar linear

dengan mengetikkan:

> with(linalg): 2. Definisikan dua buah matriks dengan ordo yang sama, Misalnya:

>

>

3. Untuk penjumlahan dan pengurangan perintahnya:

> P+Q;

Atau menggunakan perintah “evalm()”

> evalm(P+Q);

4. Sedangkan untuk operasi perkalian perintahnya:

> evalm(P&*Q);

atau

> evalm(P.Q);


b. Determinan

Sama seperti operasi dasar matriks, untuk determinan kita juga menggunakan

paket”linalg”. Langkah – langkahnya sebagai berikut:


dengan mengetikkan:

> with(linalg): 2. Definisikan sebuah matriks , Misalnya:

>

3. Untuk Determinan perintahnya:

> det(P);

c. Transpose Matrik

Langkahnya sebagai berikut:


dengan mengetikkan:

> with(linalg): 2. Definisikan sebuah matriks , Misalnya:

>

3. Untuk Transpose perintahnya:

> transpose(P);

d. Adjoin



dengan mengetikkan:

> with(linalg):

��


2. Definisikan sebuah matriks , Misalnya:

>

3. Untuk Transpose perintahnya:

> adj(P);

e. Invers



dengan mengetikkan:

> with(linalg):

2. Definisikan sebuah matriks , Misalnya:

>

3. Untuk mencari invers perintahnya:

> inverse(P);

��


BAB III

SISTEM PERSAMAAN LINIER

3.1 Mencari Solusi Persamaan Linier

a. Invers Matriks

Rorres (2004: 66), Jika A adalah suatu matriks n x n yang dapat dibalik atau dapat

dicari inversenya , maka untuk setiap matriks b, n x 1, sistem persamaan Ax=b memiliki

tepat satu solusi, yaitu x = A-1 b. A dapat dibalik (det (A)�0).

Contoh:

Perhatikan persamaan linear berikut:

3 5 9

5 2 3 3

2 6 17

x y z

x y z

x z

+ + =

+ + =

+ =

Dalam Bentuk matriks persamaan ini dapat di tulis sebagai Ax=b, dimana:

1 3 5 9

5 2 3 3

2 0 6 17

x

A x y b

z

= = =

Penyelesaian persamaan linier di atas dapat diselesaikan dengan maple.

> restart:

> with(linalg):

> A:=Matrix([[ 1 , 3 , 5 ], [ 5 , 2 , 3 ],[ 2 , 0 , 6 ]]);

> det(A);

> b:=Vector[column]([ 9 , 3 , 17 ]);

��


> INV_A:=inverse(A);

> Solusi:=evalm(INV_A&*b);

b. Metode Cramer

Rorres (2004: 123), Jika Ax = b adalah suatu sistem dari n persamaan linier dengan n

faktor yang tidak diketahui sedemikian sehingga det (A)�0, maka sistem ini

memiliki solusi yang unik, solusinya adalah

1 21 2

det( )det( ) det( ), , ......

det( ) det( ) det( )

nn

AA Ax x x

A A A= = =

di mana An adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti entri-entri pada kolom

ke-n dari A dengan entri-entri pada matriks.

Contoh:

Perhatikan persamaan linear berikut:

3 5 9

5 2 3 3

2 6 17

x y z

x y z

x z

+ + =

+ + =

+ =

Penyelesaian:

> restart: > with(linalg): > with(LinearAlgebra): > soal:={x+3*y+5*z=9, 5*x+2*y+3*z=3, 2*x+6*z=17};

> p:=genmatrix(soal,[x,y,z],flag);

> M:=Matrix(3, 4, {(1, 1) = 2, (1, 2) = 0, (1, 3) = 6, (1, 4) = 17, (2, 1) = 1, (2, 2) = 3, (2, 3) = 5, (2, 4) = 9, (3, 1) = 5, (3, 2) = 2, (3, 3) = 3, (3, 4) = 3});

��


> A:=SubMatrix(M,[1,2,3],[1,2,3]);

> A_1:=SubMatrix(M,[1,2,3],[4,2,3]);

> A_2:=SubMatrix(M,[1,2,3],[1,4,3]);

> A_3:=SubMatrix(M,[1,2,3],[1,2,4]);

> x:=det(A_1)/det(A);

> y:=det(A_2)/det(A);

> z:=det(A_3)/det(A);

c. Metode Gauss Jordan

Eliminasi Gauss diperkenalkan Karl Friendrich Gauss (1777 1855) dengan melakukan

mengubah matriks diperbesar dari suatu sistem persamaan linear menjadi matriks eselon

baris tereduksi. Rorres (2004: 13) setiap matriks memiliki bentuk eselon baris tereduksi

yang unik; artinya kita akan memperoleh eselon baris tereduksi yang sama untuk matriks

yang tertentu bagaimanapun variasi operasi baris yang dilakukan.

Contoh 3:

Dengan menggunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan:

2 9

2 4 3 1

3 6 5 0

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ − =

+ − =

��


Penyelesaian:

> restart: > with(linalg): > with(LinearAlgebra): > Gauss:={x+y+2*z=9,2*x+4*y-3*z=1,3*x+6*y-5*z=0};

> A:=genmatrix(Gauss,[x,y,z],flag);

> addrow(A,1,2,-2);

> addrow(%,1,3,-3);

> mulrow(%,2,1/2);

> addrow(%,2,3,-3);

> mulrow(%,3,-2);

> addrow(%,3,2,7/2);

> addrow(%,3,1,-2);

��


> addrow(%,2,1,-1);

> gausselim(A);

> gaussjord(A);

Documents

MODUL PRAKTIKUM ALJABAR LINIER - sigmasejati08 · PDF fileCakupan pembahasan dalam Penuntun ini meliputi ... kurung berisi permasalahan matematika dan parameter yang ... ke-n dari