Modul Matematika Kelas Xii Ipa

1

BAB 1 INTEGRAL

A. RUMUS UMUM INTEGRAL

Integral tak tentu dari fungsi )(xf terhadap x merupakan bentuk umum dari:

CxFdxxf += )()( dengan )(xF disebut fungsi integral umum dan )(xF bersifat ),()( xfxF = )(xf disebut fungsi integran dan C merupakan konstanta pengintegralan.

B. RUMUS INTEGRAL TAK TENTU

1. Integral dari Fungsi Aljabar

No. Bentuk 1. += Cxdx 2. += Caxax 3. +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ 4. = dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ 5. Cx

nx nn +

+=

+

1

11

6. Cxn

aax nn +

+=

+

1

1

Keterangan: a merupakan konstanta sembarang, )(xf dan )(xg merupakan fungsi integran yang dapat ditentukan fungsi integral umumnya.

2. Integral dari Fungsi Trigonometri

No. Bentuk 1. += Cxdxx cossin 2. Cxdxx += sincos 3. Cxdxx += tansec

2

4. Cxdxxec += cotcos2

5. += Cxxx secsectan 6. Cxecdxecxx += coscoscot

2

Integral fungsi trigonometri yang melibatkan bentuk bax + dengan a, b bilangan real dan 0a .

No. Bentuk 1.

++=+ Cbaxadxbax )(cos1)(sin

2. Cbaxa

dxbax ++=+ )(sin1)(cos

3. Cbaxa

dxbax ++=+ )(tan1)(sec 2

4. Cbaxa

dxbxaec ++=+ )(cot1)(cos 2

5. ++=++ Cbaxa

dxbaxbax )(sec1)(sec)(tan 6. Cbaxec

adxbaxecbax ++=++ )(cos

1)(cos)(cot

3. Integral dari Fungsi Eksponen dan Fungsi Rasional

No. Bentuk 1. Cedxe xx += 2.

+=++ Cdxe

adxe baxbax )()( 1

3. Cxdxx

+= ln1

4. Cbaxa

dxbax

++=+

ln1)(1

C. RUMUS INTEGRAL TENTU

Rumus integral tentu dengan notasi kurung siku:

)()()]([)( aFbFxFdxxf bab

a

==

dengan )(xF merupakan anti-pendiferensialan dari )(xf , a merupakan batas bawah pengintegralan dan b merupakan batas atas pengintegralan.

D. INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI TRIGONOMETRI

No. Jenis fungsi Disubstitusikan dengan

Hasil substitusi

1. 22 xa

sinax = cossin1 2 aa =

2. 22 xa +

tanax = sectan1 2 aa =+

3. 22 ax

secax = tan1sec2 aa =

3

E. INTEGRAL PARSIAL

Misalkan )(xu dan )(xv merupakan fungsi-fungsi dalam x, maka:

= vduuvdvu

Langkah-langkah menentukan integral dengan integral parsial: 1. memilih dv sehingga v dapat ditentukan dengan rumus: = .dvv 2. duv harus lebih mudah diselesaikan dibanding .dvu

F. PENERAPAN INTEGRAL

1. Luas Daerah a. Menghitung luas daerah yang dibatasi ),(xfy = sumbu X, garis ax = dan

garis .bx =

=b

a

dxyL

b. Menghitung luas daerah yang dibatasi ),( yfx = sumbu Y, garis ay = dan garis .by =

4

=b

a

dyxL

c. Menghitung luas daerah yang dibatasi kurva ),(1 xfy = kurva ),(2 xgy = garis ax = dan garis ,bx = dengan syarat 1y dan 2y fungsi kontinu pada

bxa dan .12 yy

dxyyLb

a

)( 12 =

d. Menghitung luas daerah yang dibatasi dua kurva ),(1 yfx = kurva ),(2 ygx = garis ay = dan garis ,by = dengan syarat 1x dan 2x fungsi kontinu pada

bxa dan .12 xx

dyxxLb

a

)( 12 =

5

2. Volume Benda Putar

A. Menghitung volume benda putar dari dari dareah yang dibatasi oleh ),(xfy = sumbu X, garis ax = dan garis bx = serta diputar terhadap sumbu X sejauh 360o.

=b

a

dxyV 2pi

B. Menghitung volume benda putar dari dari dareah yang dibatasi oleh ),( yfx = sumbu Y, garis ay = dan garis by = serta diputar terhadap sumbu Y sejauh 360o.

=b

a

dyxV 2pi

C. Menghitung volume benda putar dari dari dareah yang dibatasi oleh dua kurva ),(1 xfy = ),(2 xgy = garis ax = dan garis bx = serta diputar terhadap sumbu

X sejauh 360o.

dxyyVb

a

)( 2122 = pi

D. Menghitung volume benda putar dari dari dareah yang dibatasi oleh dua kurva ),(1 yfx = )(2 ygx = , garis ay = dan garis by = serta diputar terhadap

sumbu Y sejauh 360o.

dyxxVb

a

)( 2122 = pi

G. CONTOH Pilihlah salah satu jawaban yang benar ! 1. Diketahui ,

136)(

2 +=

x

xxf

maka =dxxf )( ....

A. Cx ++ 32 )13(32

B. Cx ++ 132 2

C. Cx ++ 32 )13(23

D. Cx ++ 1321 2

E. Cx ++ 1331 2

Penyelesaian:

6

Misalkan, xdxdu

xu 613 2 =+=

=dxxf )( =++=+==+

CxCuduu

dxx

x 21

221

2)13(221

136 Cx ++ 132 2

Jawaban: B

2. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah .... satuan luas.

A. 213

B. 311

C. 1

D. 43

E. 32

Penyelesaian: Titik potong garis dan kurva:

1072 212 === xxxyy 0862 =+ xx 0)2)(4( = xx 24 == xx Sehingga luasnya,

+=4

2

2 ))107()2(( dxxxxL

= +4

2

2 )86( dxxx

=

3

2

23 8331

+ xxx

7

=

+ 4

3816

364

= 203

56+

=

311

Jawaban: B

3. Volume benda putar yang terjadi apabila daerah yang dibatasi oleh kurva xy 82 = , 2=x dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o adalah .... satuan

volum. A. pi12

B. pi3215

C. pi16 D. pi

3121

E. pi64

Penyelesaian:

dxyyVb

a

)( 2122 = pi

[ ] pipipipi 16)016(48 2022

0

==== xxdxV

Jawaban: C

H. LATIHAN Pilihlah salah satu jawaban yang benar !

1. Diketahui 543)( 2 += xxxf dan .18)2( =f Jika )(xf turunan dari )(xf maka =)(xf .... (C)

A. 1254 23 ++ xxx B. 8223 + xxx C. 1252 23 ++ xxx D. 832 23 +++ xxx

E. 56421 23

++ xxx

2. Nilai =1

0

6)1(5 xx ....

A. 5675

B. 5610

8

C. 565

D. 567

E. 5610

3. ,40)223(2

2=+ dxxx

p

maka nilai =p21

....

A. 2 B. 1 C. 1 D. -2 E. -4

4. Diketahui .25)123(3

2=++ dxxx

a

Nilai =a21

....

A. -4 B. -2 C. -1 D. 1 E. 2

5. Hasil dari = dxxx29 ....

A. Cxx + 22 9)9(31

B. Cxx + 22 9)9(32

C. Cxx + 22 9)9(32

D. Cxxxx ++ 2222 9)9(929)9(

32

E. Cxxx ++ 222 9919)9(

31

6. Hasil dari =+ dxxx5)4( ..... (E)

A. Cxx +++ 6)4)(263(211

B. Cxx ++ 6)4)(143(211

C. Cxx ++ 6)4)(103(211

D. Cxx +++ 6)4)(23(211

E. Cxx ++ 6)4)(23(211

9

7. Hasil dari dxx

x

46

3

2

sama dengan ....

A. Cx + 441 3

B. Cx + 421 3

C. Cx + 42 3 D. Cx + 44 3 E. Cx + 46 3

8. = dxx

x

221

sin....

A. Cx +2sin B. cx +cos

C. Cx

+1

sin

D. Cx

+1

cos

E. Cx +2cos

9. Hasil dari dxxx cos2 adalah.... A. Cxxxxx ++ sin2cos2sin2 B. Cxxxxx ++ sin2cos2sin2 C. Cxxxxx +++ sin2cos2sin2 D. Cxxxxx +++ cos2sin2sin2 E. Cxxxxx ++ cos2sin2sin2

10. Hasil dari =xdxx 4coscos ....

A. Cxx + 3sin315sin

51

B. Cxx ++ 3sin615sin

101

C. Cxx ++ 3sin325sin

52

D. Cxx ++ 3sin215sin

21

E. Cxx + 3sin215sin

21

11. Hasil dari =+ dxxx )2cos()3(16 pi ....

10

A. Cxxx +++ )2cos(4)2sin()62(8 pipi B. Cxxx ++ )2cos(4)2sin()62(8 pipi C. Cxxx +++ )2cos(4)2sin()3(8 pipi D. Cxxx ++ )2cos(4)2sin()3(8 pipi E. Cxxx +++ )2sin(4)2sin()3(8 pipi

12. Hasil dari =2

0

5cos3sin

pi

xdxx ....

A. 85

B. 21

C. 165

D. 41

E. 0

13. Hasil dari =2

0

2 )sin(cospi

dxxx ....

A. 31

B. 32

C. 34

D. 31

E. 32

14. Nilai 2

0

2sin2cos

pi

xx adalah ....

A. 121

B. 31

C. 125

D. 1210

11

E. 1211

15. Hasil dari =2

0

sin

pi

xdxx .....

A. 4pi

B. 3pi

C. 2pi

D. pi

E. 2

3pi

16. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 2xy = dan garis 6=+ yx adalah ....

A. 54 satuan luas B. 32 satuan luas

C. 6520 satuan luas

D. 18 satuan luas

E. 3210 satuan luas

17. Luas daerah pada kuadran I yang dibatasi oleh kurva ,322 = xxy garis 0535 = yx dan sumbu X adalah ....

A. 616 satuan luas

B. 615 satuan luas

C. 324 satuan luas

D. 323 satuan luas

E. 652 satuan luas

18. Luas daerah pada arsiran pada gambar di bawah ini adalah ....

12

A. 5 satuan luas

B. 327 satuan luas

C. 8 satuan luas

D. 319 satuan luas

E. 3110 satuan luas

19. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva ,322 += xxy sumbu Y, sumbu X, dan garis 2=x adalah ....

A. 315

B. 4

C. 322

D. 2

E. 32

20. Luas daerah yang dibatasi oleh 13 = xy , sumbu X, 1=x dan 2=x adalah ....

A. 43

satuan luas

B. 2 satuan luas

C. 432

satuan luas

D. 413

satuan luas

E. 434

satuan luas

13

21. Perhatikan gambar berikut ini !

Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah ....

A. 32

B. 3

C. 315

D. 326

E. 9

22. Jika 4)2()( 2 = xxf dan )()( xfxg = , maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g adalah ....

A. 3210 satuan luas

B. 3121 satuan luas

C. 3222 satuan luas

D. 3242 satuan luas

E. 3145 satuan luas

23. Daerah yang dibatasai oleh kurva 2xy = dan ,6 2xy = jika diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o, volum benda putar yang terjadi adalah ....

A. 45 pi

14

B. 49 pi C. 65 pi D. 72pi E. 81pi

24. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 3= xy dan ,522 += xxy adalah .... satuan luas.

A. 214

B. 3210

C. 2111

D. 3214

E. 2115

25. Volume benda putar yang terjadi di kuadran pertama yang dibatasi oleh kurva ,

41

2xy = sumbu X, sumbu Y, diputar mengelilingi sumbu X adalah ....

A. pi1552

B. pi

34

C. pi

1516

D. pi

E. pi

1312

26. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva 12 = xy dan sumbu X dari ,1,1 == xx diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600 adalah ...

A. pi154

B. pi158

C. pi1516

D. pi1524

E. pi1532

27. Daerah yang dibatasi oleh kurva 2xy = dan garis 02 =+ yx diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600. Volume benda putar yang terjadi adalah ....

15

A. pi3215 satuan volum

B. pi5215 satuan volum

C. pi5314 satuan volum

D. pi5214 satuan volum

E. pi5310 satuan volum

28. Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 += xy dan ,3+= xy diputar mengelilingi sumbu X adalah ....

A. pi5

67satuan volum

B. pi5

107satuan volum

C. pi5

117satuan volum

D. pi5

133satuan volum

E. pi5

183satuan volum

29. Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva 42 += xy dan 42 += xy diputar mengelilingi sumbu Y adalah ....

A. pi8

B. pi2

13

C. pi4

D. pi38

E. pi45

30. Daerah yang dibatasi kurva ,24 = xy sumbu X, x =1 dan x =3 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o. Volume benda putar tersebut adalah ....

A. pi3

35

B. pi3

40

C. pi2

45

D. pi3282

E. pi3282

16

BAB 2 PROGRAM LINEAR

A. RUMUS-RUMUS

Berikut ini merupakan rumus-rumus untuk menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan program linear:

1. Persamaan garis lurus yang melalui titik O(0, 0) dan bergradien m: .mxy = 2. Persamaan garis lurus yang melalui titik ),( 11 yx dan bergradien m:

)( 11 xxmyy =

3. Persamaan garis lurus yang melalui titik ),( 11 yx dan titik ),( 22 yx :

12

1

12

1

xx

xx

yyyy

=

4. Persamaan garis lurus yang memotong sumbu X titk )0,(a dan memotong sumbu Y dititik ),0( b :

1=+by

a

x atau abaybx =+

B. MODEL MATEMATIKA DAN PROGRAM LINEAR

Langkah-langkah umum menyelesaikan masalah program linear:

1. Membuat model matematika, memisalkan dengan variabel-variabel yang terkait. Untuk mempermudah langkah ini gunakan tabel.

2. Menentukan fungsi tujuan atau fungsi objektif dan kendala-kendalanya (berbentuk sistem pertidaksamaan linear).

3. Menggambar grafik dari kendala-kendala yang diperoleh dari langkah 2. 4. Menentukan daerah himpunan penyelesaiannya.

17

5. Tentukan titik-titik pojok pada grafik himpunan penyelesaian tersebut. Bila ada titik potong dua garis, tentukan titik potong tersebut dengan metode eliminasi atau substitusi.

6. Hitunglah nilai fungsi tujuan: baxyxf +=),( dari titik-titik pojok yang diperoleh pada langkah 5. Nilai maksimum dan nilai minimum dapat ditentukan pada langkah 6. Nilai x dan y yang menyebabkan fungsi itu maksimum atau minimum dapat ditentukan pada langkah ini.

7. Menafsirkan nilai optimum fungsi tujuan.

C. CONTOH Pilihlah salah satu jawaban yang benar !

1. Daerah yang diarsir pada gambar di samping adalah himpunan semua (x, y) yang memenuhi ....

A. 0,0,6043,302 ++ yxyxyx B. 0,0,6043,302 ++ yxyxyx C. 0,0,6034,302 ++ yxyxyx D. 0,0,6034,302 ++ yxyxyx E. 0,0,6034,302 ++ yxyxyx

Penyelesaian: Kendala I: 3024501530 +=+ yxyx Kendala II: 60433002015 ++ yxyx Jadi, pertidaksamaan yang memenuhi adalalah .0,0,6043,302 ++ yxyxyx

Jawaban: A

2. Nilai maksimum fungsi sasaran yxz 68 += dengan syarat 0,0,4842,6024 ++ yxyxyx adalah ....

A. 132 B. 134 C. 136 D. 144

18

E. 152 Gambar dari daerah yang memenuhi fungsi kendala:

Persamaan I: 302 + yx Persamaan II: 24+ yx Dengan metode eliminasi dan substitusi diperoleh titik potong (12, 6) Titik-titik uji coba: (15, 0) 120)0(6)15(8 =+= z (12, 6) 132)6(6)12(8 =+= z (nilai maksimum) (0, 12) 72)12(6)0(8 =+= z

Jawaban: A

3. Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg, kelas ekonomi 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi 1.440 kg. Harga tiket kelas utama adalah Rp 150.000,00 dan kelas kelas ekonomi adalah Rp 100.000,00. Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksimum, jumlah tempat duduk kelas utama harus sebanyak ....

A. 12 B. 20 C. 24 D. 26 E. 30

Penyelesaian:

Kelas utama (x) Kelas ekonomi (y) Jumlah maksimal/minimal

Tempat duduk 1 1 48 Bagasi 60 20 1440 Harga tiket 150000 100000

19

Fungsi kendala:

++

00

1440206048

yx

yxyx

Fungsi sasaran: yxz 100000150000 +=

Gambar dari daerah yang memenuhi fungsi kendala:

Persamaan I: 48+ yx Persamaan II: 723 + yx Dengan metode eliminasi dan substitusi diperoleh titik potong (12, 6) Titik-titik uji coba: (24, 0) 3600000)0(6)24(150000 =+= z (12, 36) 5400000)36(100000)12(150000 =+= z (nilai maksimum) (0, 48) 4800000)48(1000000 =+= z

Jadi jumlah tempat duduk kelas utama supaya memperoleh pendapatan maksimum adalah 12.

Jawaban: A

D. LATIHAN Pilihlah salah satu jawaban yang benar !

1. Nilai maksimum dari 6+ yx yang memenuhi syarat

20

++

2808734083

00

yxyx

yx

adalah .... A. 52 B. 51 C. 50 D. 49 E. 48

2. Nilai maksimum dari fungsi yxyxf 54),( += yang memenuhi sistem pertidaksamaan ,8+ yx ,63 x ,5+ yx dan 0y adalah ....

A. 44 B. 42 C. 41 D. 40 E. 37

3. Perhatikan gambar berikut ini.

Nilai minimum fungsi objektif yx 105 + pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan yang garfik himpunan penyelesaiannya disajikan pada daerah terarsir gambar di atas adalah ....

A. 400 B. 320 C. 240 D. 200 E. 160

21

4. Nilai maksimum dari bentuk objektif yxk 43 += yang memenuhi sistem pertidaksamaan

++

102112

00

yxyx

yx

dengan Ryx , adalah .... A. 36 B. 32 C. 30 D. 27 E. 23

5. Nilai maksimum fungsi objektif yx 24 + pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan:

+

++

12231232

94

yxyx

yxyx

adalah .... A. 16 B. 24 C. 30 D. 36 E. 48

6. Dengan persediaan kain polos 20 m dan kain bergaris 10 m, seorang penjahit akan membuat model pakaian jadi. Model I memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model II memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Bila pakaian tersebut dijual, setiap model I memperoleh untung Rp 15.000,00 dan model II memperoleh untung Rp 10.000,00. Laba maksimum yang diperoleh adalah ....

A. Rp 100.000,00 B. Rp 140.000,00 C. Rp 160.000,00 D. Rp 200.000,00 E. Rp 300.000,00

7. Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan 100 m2 dan untuk tipe B diperlukan 75 m2. Jumlah rumah yang dibangun paling banyk 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp 6.000.000/unit dan tipe B Rp 4.000.000,00/unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan rumah tersebut adalah ....

A. Rp 550.000.000,00 B. Rp 600.000.000,00

22

C. Rp 700.000.000,00 D. Rp 800.000.000,00 E. Rp 900.000.000,00

8. Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp 8.000,00/kg dan pisang Rp 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp 1.200.000,00 dan gerobaknya hanya memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga mangga Rp 9.200,00/kg dan Rp 7.000,00/kg, maka laba maksimum yang diperoleh adalah ....


9. Seorang pembuat kue mempunyai 4 kg gula dan 9 kg tepung. Untuk membuat sebuah kue jenis A dibutuhkan 20 gram gula dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue jenis B dibutuhkan 20 gram gula dan 40 gram tepung. Jika kue A dijual dengan harga Rp 4.000,00/buah dan kue B dijual dengan harga Rp 3.000,00/buah, maka pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut adalah ....


10. Daerah yang diarsir pada gambar merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear. Nilai maksimum dari yxyxf 67),( += adalah ....

A. 88 B. 94 C. 102 D. 106 E. 196

23

BAB 3 BARISAN DAN DERET

A. BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

1. Bentuk umum: K)3()2(),(, bababaa ++++

2. Rumus suku ke-n (Un) bnaU n )1( +=

a : suku pertama b : beda

3. Jumlah n suku pertama (Sn) )(

2 nnUanS += atau ))1(2(

2bnanS n +=

Dengan Sn dapat juga ditentukan: 1= nnn SSU

4. Beda (b) 12312 ==== nn UUUUUUb K

5. Suku tengah

)(21

1 nt UUU += untuk n ganjil.

B. BARISAN DAN DERET GEOMETRI

1. Bentuk umum: K,,,,

32 ararara

2. Rumus suku ke-n (Un) 1

=n

n arU

3. Jumlah n suku pertama (Sn)

1)1(

=

r

raSn

n untuk r > 1 dan r

raSn

n

=

1)1(

untuk r < 1

4. Rasio (r)

12

3

1

2

===

n

n

UU

UU

UU

r

5. Suku tengah nt UaU =

2 untuk n ganjil.

24

C. DERET GEOMETRI TAK HINGGA

1. Deret geometri tak hingga bersifat konvergen atau memiliki limit jumlah jika dan hanya jika 1r

D. CONTOH Pilihlah salah satu jawaban yang benar !

1. Jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah .32 nnS n += Suku ke-5 deret tersebut adalah ....

A. 6 B. 12 C. 14 D. 36 E. 44

Penyelesaian: Ingat rumus: 1= nnn SSU

4053525 =+=S dan .2843424 =+=S Jadi, .122840455 === SSU

Jawaban: B

2. Pada sebuah barisan geometri diketahui diketahui bahwa suku pertamanya 3 dan suku ke-9 adalah 768, maka suku ke-7 barisan itu sama dengan ....

A. 36 B. 96 C. 192 D. 256 E. 384

Penyelesaian: Diketahui: 7=a dan .7689 =U Ingat rumus .1= nn arU

.22567683 889 ==== rrrU Sehingga, .19223 67 ==U

Jawaban: C

3. Jumlah suatu deret geometri tak hingga sama dengan dua kali suku pertamanya dan jumlah empat suku awalnya sama dengan 2,5. Jumlah deretnya adalah ... (C)

25

A. 34

B. 2

C. 322

D. 4

E. 315

Penyelesaian:

araaar

aS 2221

==

= 2

1= r

=

=

211

)211(

25

1)1(

4

a

r

raSn

n 34

=a

Jadi, .322

38

211

34

==

=

S

Jawaban: C

E. LATIHAN Pilihlah salah satu jawaban yang benar !

1. Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinyatakan dengan .22 nnSn += Beda deret itu adalah ....

A. 3 B. 2 C. 1 D. -2 E. -3

2. Dari deret aritmatika diketahui suku tengah 32. Jika jumlah n suku pertama deret itu 672, banyaknya suku deret itu adalah ....

A. 17 B. 19 C. 21 D. 23 E. 25

3. Jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah .252 nnS n += Beda deret aritmatika

tersebut adalah ....

A. 215

B. -2 C. 2

26

D. 212

E. 215

4. Suku ke-n suatu deret aritmatika adalah .53 = nU n Rumus jumlah n suku pertama deret tersebut adalah ....

A. )73(2

= nnS n

B. )53(2

= nnS n

C. )43(2

= nnS n

D. )33(2

= nnS n

E. )23(2

= nnS n

5. Jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah ).95(2

= nnS n Beda deret

aritmatika tersebut adalah .... A. -5 B. -3 C. -2 D. 3 E. 5

6. Diketahui suku ke-3 dan suku ke-6 suatu deret aritmatika berturut-turut adalah 8 dan 17. Jumlah delapan suku pertama deret tersebut sama dengan ....

A. 100 B. 110 C. 140 D. 160 E. 180

7. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut deret aritmatika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperolehnya. Jika permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah ....

A. 60 buah B. 65 buah C. 70 buah D. 75 buah E. 80 buah

8. Dari suatu barisan aritmatika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 114. Jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah ....

A. 840 B. 660

27

C. 640 D. 630 E. 315

9. Sebuah keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini membentuk barisan aritmatika. Jika usia anak ke-3 adalah 7 tahun dan usia anak ke-5 adalah 12 tahun, maka jumlah usia enam anak tersebut adalah ....

A. 48,5 tahun B. 49,0 tahun C. 49,5 tahun D. 50,0 tahun E. 50,5 tahun

10. Diketahui deret aritmatika +++ 321 aaa .... Jika jumlah jumlah lima suku pertama sama dengan 5 dan ,2)3log( 516 =+ aa maka jumlah 13 suku pertamanya adalah ....

A. -806 B. -611 C. -403 D. -779 E. 637

11. Diketahui barisan geometri dengan 4 31 xU = dan .4 xxU = Rasio barisan geometri tersebut adalah ....

A. 42 xx B. 2x C. 4 3x D. x E. 4 x

12. Data yang diperoleh dari hasil pengamatan setiap hari terhadap tinggi sebuah tanaman membentuk barisan geometri. Bila pada pengamatan hari kedua adalah 2

cm dan pada hari keempat adalah ,953 maka tinggi tanaman tersebut pada hari

pertama pengamatan adalah .... A. 1 cm

B. 311 cm

C. 211 cm

D. 971 cm

E. 412 cm

13. Seorang anak menabung disebuah bank dengan selisih kenaikan tabungan antarbulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp 50.000,00, bulan kedua Rp 55.000,00, dan bulan ketiga Rp 60.000,00 dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah ....

28

A. Rp 1.315.000,00 B. Rp 1.320.000,00 C. Rp 2.040.000,00 D. Rp 2.580.000,00 E. Rp 2.640.000,00

14. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing-masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6 cm dan panjang tali terpanjang sama dengan 384 cm, panjang keseluruhan tali tersebut adalah ....

A. 378 cm B. 390 cm C. 570 cm D. 762 cm E. 1.530 cm

15. Sebuah mobil dibeli denga harga Rp 80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi

43

dari harga sebelumnya. Nilai jual setelah dipakai 3 tahun adalah .... A. Rp 20.000.000,00 B. Rp 25.312.500,00 C. Rp 33.750.000,00 D. Rp 35.000.000,00 E. Rp 45.000.000,00

16. Diketahui deret geometri dengan suku pertama 6 dan suku keempat adalah 48. Jumlah enam suku pertama deret tersebut adalah ....

A. 368 B. 369 C. 378 D. 379 E. 384

17. Keliling suatu segitiga yang sisi-sisnya membentuk deret aritmatika adalah 12 cm. Jika sudut dihadapan sisi terpanjang adalah 120o, maka luas segitiga tersebut adalah ....

A. 334

cm2

B. 338

cm2

C. 5

12 cm2

D. 35

12 cm2

E. 35

24 cm2

29

18. Agar deret geometri ,)1(1

,

1,

1

xxxx

x.... Jumlahnya mempunyai limit, maka nilai

x yang memenuhi .... A. 0>x B. 1x D. 10

30

BAB 4 MATRIKS

A. ISTILAH-ISTILAH DALAM MATRIKS

1. Matrik A berordo 2x3 ditulis 32A yang berarti banyaknya baris dari matriks A = 2 dan banyaknya kolom matriks A = 3.

2. Transpos dari matriks

= fed

cbaA ditulis .

=

fcebda

At Pada prinsipnya matriks

transpos merupakan matriks baru yang diperoleh dengan menukar elemen baris menjadi elemen kolom dan elemen kolom menjadi elemen baris.

3. Matriks A dan matriks B (A=B) dikatakan sama jika dan hanya jika: e. ordo matriks A sama dengan ordo matriks B f. elemen-elemen yang seletak mempunyai nilai yang sama

B. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS

Sifat-sifat penjumlahan matriks:

1. Komutatif : ABBA +=+ 2. Assosiatif : )()( CBACBA ++=++ 3. Terdapat matriks identitas yaitu matriks O yang bersifat: AAOOA =+=+ 4. Untuk setiap matriks A, memiliki invers terhadap penjumlahan, yaiut A dan bersifat

OAA =+ )(

Pengurangan matriks: ).( BABA +=

C. PERKALIAN DAN PEMANGKATAN MATRIKS

1. Dua buah matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom pada matriks pertama sama dengan banyaknya baris pada matriks yang kedua.

Sifat-sifat perkalian matriks: A. Tidak komutatif : BAAB B. Assosiatif : )()( BCACAB = C. Distributif : ACABCBA +=+ )( D. Terdapat matriks Identitas yang bersifat: AIAAI == E. Jika tA tranpos dari matriks A dan tB tranpos dari matriks B, maka berlaku:

ttt ABAB =)(

31

2. Pemangkatan Matriks: AAA =2

D. DETERMINAN, INVERS DAN PERSAMAAN MATRIKS

1. Diketahui matriks .

=

dcba

A Determinan matriks A ditulis det A dan ditentukan

dengan:

bcaddcba

A ==det

2. Diketahui matriks .

=

dcba

A Invers matriks A ditulis 1A dan ditentukan dengan:

=

ac

bdbcad

A 11

dengan syarat .0det = bcadA

3. Sifat Invers Matriks: A. 111)( = ABAB B. 111)( = BABA C. tt AA )()( 11 =

4. Penyelesaian persamaan matriks: A. Penyelesaian persamaan matriks BAX = ditentukan dengan

BAX 1=

B. Penyelesaian persamaan matriks BXA = ditentukan dengan: 1

= BAX

E. CONTOH Pilihlah salah satu jawaban yang benar !

1. Diketahui matriks ,1510

35172

=

z

xyx

A

+

=

yx

x

B

2194

116834

,

.

111462111946

=C Nilai x, y dan z berturut-turut yang memenuhi CBA =+ adalah ....

1. 2, -6, dan -9 2. 2, 6, dan 9 3. -2, 6, dan 9 4. -2, -6, dan 9

32

5. -2, 6, dan 9

Penyelesaian: CBA =+

+

151035172

z

xyx

=

+

yx

x

2194

116834

111462111946

2642 ==++ xxx 611)2(1)2(111 ==+=+ yyxxy

911621111

211 ==+=+ zzyz

Jadi, x = -2, y = 6 dan z = 9.

Jawaban: E

2. Matriks X berdordo 2x2 yang memenuhi persamaan

=

1234

4321

X adalah ....

1.

1014

2.

0112

3.

4556

4.

211

21

12

5.

5465

Penyelesaian:

=

1234

4321 1

X

=

=

=

4556

8101012

21

1234

1324

21X

Jawaban: C

3. Jika

=

4331

A dan ,3122

=B maka = tAAB 1)( ....

33

1.

21

41

21

43

2.

21

41

21

43

3.

41

81

41

83

4.

2123

5.

2123

Penyelesaian:

,

2123

411

=B .

4331

,

1334

511

=

= tAA

tt AABAAB 111)( =

= tAAB 1)(

2123

41

4331

1334

51

= tAAB 1)( =

1051015

201

21

41

21

43

Jawaban: B

F. LATIHAN Pilihlah salah satu jawaban yang benar !

1. A, B dan X adalah matriks bujur sangkar ordo dua dengan ,1112

=A ,

4131

=B

dan .BAX = Matriks =X ....

1.

5112

2.

5310

3.

5110

34

4.

5110

5.

11110


=A dan .

1346

=B Matriks X yang memenuhi kesamaan

tBAX = adalah ....

A.

10161218

B.

10161218

C.

5869

D.

5869

E.

5869

3. Jika ,2153

=A maka =+ 1AAt ....

1.

1645

2.

1661

3.

1441

4.

5445

5.

5445

4. Nilai a dan b yang memenuhi

=

12211

abba

adalah ....

1. 1=a dan 2=b 2. 1=a dan 1=b

3. 31

=a dan 32

=b

4. 31

=a dan 32

=b

35

5. 31

=a dan 32

=b

5. Jika

=

34

2211

dcba

ba

maka cd = .... (A)

1. 2 2. 1 3. 0 4. -1 5. -2

6. Jika 1,562

7

= A

kA merupakan matriks invers A. A dan 1A mempunyai determinan

yang sama dan positif, maka k sama dengan ....

1. 3

35

2. -12

3. 3

34

4. 3

34

5. 12

7. Jika A, B, dan C matriks 2x2 yang memenuhi

=

0110

AB dan

=

1001

CB maka

1CA adalah ....

1.

0110

2.

0110

3.

1001

4.

1001

5.

0110

8. Nilai x yang memenuhi 2222

2

=

x

xx adalah ....

1. 0 2. -2

36

3. 4 4. -2 atau 4 5. -4 atau 2

9. Diketahui ,21

32

=A

=

104126

B dan .2 yBxAA += Nilai =xy ....

A. -4 B. -1

C. 21

D. 211

E. 2


=

pA ,

3155

=

pB dan

=

pC

64810

. Jika

matriks ,1= CBA nilai 2p = .... A. -1

B. 21

C. 21

D. 1 E. 2

11. Diketahui matriks

=

3102

S dan

=

3021

M . Jika fungsi ,),( 22 MSMSf = maka matriks ),( MSMSf + adalah ....

A.

404204

B.

304204

C.

38484

D.

404204

E.

36484

12. Jika x dan y memenuhi persamaan matriks qpqp

yx

pqqp

=

, , maka =+ yx 2

....

1. -6 2. -1

37

3. 0 4. 1 5. 2

13. Matriks X berordo (2x2) yang memenuhi

=

1234

4321

X adalah ...

A.

4556

B.

5465

C.

5456

D.

1324

E.

8101012


=A

=

11

yx

B dan ,51510

=C tA adalah

tranpos dari matriks A. Jika ,CBAt = maka nilai =+ yx 22 ..... A. -4 B. -1 C. 1 D. 5 E. 7


=A

+=

yyx

B3

2 dan .

1327

=C Apabila

,tCAB = maka nila x.y = ....

A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 E. 30

16. Diketahui persamaan matriks

=

+

0110

4331

352

14

dca

.

Nilai a + b + c + d = .... A. -7 B. -5 C. 1 D. 3 E. 7

38

17. Diketahui matriks

=

3152

P dan .1145

=Q Jika 1P adalah invers matriks P dan

1Q adalah invers matriks Q, maka determinan matriks 11 QP adalah ....

A. 223 B. 1 C. -1 D. -10 E. -223

18. Jika p, q, r dan s memenuhi persamaan

=

1111

22

2 pqrs

sr

qp, maka

=+++ srqp ....

1. -7 2. -3 3. -2 4. 0 5. 1

19. Tranpos matriks

=

dcba

A adalah .

=

dbca

At Jika ,1= AAt maka = bcad

....

1. 1 atau 2 2. 1 atau 2 3. 2 atau 2 4. -1 atau 1 5. 1 atau 2

20. Diketahui matriks .,

=

=

zw

vuQfedcba

P Operasi yang dapat dilakukan pada P

dan Q adalah ... 1. QP + dan PQ 2. QP t dan QP 3. PQ dan QP 4. PQ dan PQ 1 5. PQ dan tQP

39

BAB 5 VEKTOR

A. DEFINISI DAN RUMUS DASAR

1. Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah.

),,( 222 zyxB

pr

),,( 111 zyxA

2. Dari gambar di atas dapat ditentukan vektor pr atau .

1

1

1

2

2

2

==

z

yx

z

yx

OAOBAB

3. Misalkan vektor .

=

z

yx

pr

g. Vektor pr dapat juga ditulis: ( )zyxp =r atau .kzjyixp rrrr ++= h. Panjang vektor pr ditulis .222 zyxp ++=r i. Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan dan ditentukan

dengan rumus:

++=

++==

z

yx

zyxzyx

ppp

p222222

1

r

r

r

j. Vektor pr merupakan vektor yang memiliki panjang yang sama dengan vektor pr tetapi memiliki arah yang berlawanan dengan vektor pr .

4. Dua vektor dikatakan sama jika memiliki panjang dan arah yang sama.

B. PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT

1. Rumus Perbandingan Vektor Jika vektor posisi titik A adalah ar dan vektor posisi titik B adalah b

s dan titik

C terletak pada ruas AB dengan perbandingan ,:: nmCBAC = maka vektor posisi titik C, yaitu cr ditentukan dengan rumus:

nm

anbmc

+

+=

rrr

40

2. Rumus Perbandingan Koordinat Diketahui titik ),,,( 111 zyxA titik ).,,( 222 zyxB Jika titik ),( yxC membagi

ruas AB dengan perbandingan koordinat ,: nm maka koordinat titik ),,( zyxC ditentukan dengan rumus:

nm

nxmxx

+

+=

12,

nm

nymyy

+

+=

12 dan nm

nzmzz

+

+=

12

C. HASIL KALI SKALAR DUA VEKTOR

1. Hasil kali skalar dua vektor ditentukan dengan rumus: cosbaba r

rr=

2. Misalkan vektor

=

1

1

1

z

yx

ar

dan vektor .

2

2

2

=

z

yx

br

Hasil kali skalar vektor ar dan vektor

br

ditentukan dengan rumus: 212121 zzyyxxba ++=

rr

3. Teorema Ortogonalitas Misalkan vektor ar dan vektor b

r bukan vektor nol. Vektor ar tegak lurus dengan

vektor br

jika dan hanya jika .0= barr

4. Sudut antara dua vektor:

babarr

rr

=cos

D. PROYEKSI VEKTOR DAN SKALAR

1. Proyeksi vektor ortogonal dari vektor ar pada arah vektor br

ditentukan dengan rumus:

bb

bac

r

r

rrr

= 2

2. Proyeksi skalar ortogonal dari vektor ar pada arah vektor br

ditentukan dengan rumus

bba

c r

rrr

=

41

E. CONTOH

Pilihlah salah satu jawaban yang benar !

1. Vektor-vektor ar dan br

dalam bentuk komponen masing-masing

1

2m

dan .22

4

Nilai m supaya kedua vektor tersebut saling tegak lurus adalah ....

A. 3 B. 4 C. 4,5 D. 5 E. 6

Penyelesaian: Vektor-vektor ar dan b

r jika .0=ba

rr

022

4

1

2=

m

0)2()2(8 =++ m 3= m

Jawaban: A

2. Diketahui titik ),4,1,2( A )4,0,3(B dan )5,0,2(C dan AB wakil dari vektor ar , AC adalah wakil dari vektor b

r. Kosinus sudut yang dibentuk oleh vektor ar dan b

r

adalah .... A. 3 B. 2

C. 321

D. 331

E. 21

Penyelesaian:

Vektor ar=

=

011

41

2

403

, vektor br

= .

110

41

2

502

=

Sehingga, 2=ar dan 2=br

babarr

rr

=cos

42

21

22110

011

cos =

=

Jawaban: E

3. Diketahui vektor

=

513

ar dan .

22

1

=br

Proyeksi vektor ar pada br

adalah .cr

Vektor cr adalah .... (B)

A. kjirrr

22 + B. kji

rrr22 +

C. kjirrr

22 ++ D. kji

rrr22

E. kjirrr

22

Penyelesaian:

9)10()2(322

1

513

=++=

= barr

92)2(1 222 =++=br

=

=

=

=

221

22

1

22

1

)9(9

22cb

b

bac

rr

r

rrr

Vektor cr adalah kjirrr

22 + .

Jawaban: B

F. LATIHAN Pilihlah salah satu jawaban yang benar !

1. Diketahui: ,15

2

=ar

;42

=

pbr

vektor-vektor ar dan br

saling tegak lurus. Nilai p =

...

A. -7 B. -3 C. 3 D. 6 E. 7

43

2. Jika vektor ,321

=ar

=

145

br

dan

=

11

4cr

maka vektor cba rr 32 + sama dengan

....

A.

8116

B.

8137

C.

212

1

D.

213

1

E.

8126

3. Diketahui ,6=ar ,0)()( =+ babarrrr

.3)( = baarrr

Besar sudut antara vektor ar

dan vektor br

adalah ....

A. 6pi

B. 4pi

C. 3pi

D. 2pi

E. pi32

4. Diketahui panjang proyeksi

=

482

ar

pada vektor

=

4

0pb

r adalah 8. Nilai =p ....

A. -4 B. -3 C. 3 D. 4

44

E. 6

5. Diketahui ,3=ar 1=b dan .1= barr

Panjang vektor =+ barr

....

A. 3 B. 5 C. 7 D. 22 E. 3

6. Diketahui vektor ,2

1

= xar

,

112

=br

dan panjang proyeksi ar pada br

adalah .6

2

Sudut antara ar dan br

adalah , maka =cos ....

A. 991

B. 31

C. 32

D. 6

2

E. 36

7. Besar sudut antara ,423

=ar

dan

=

332

br

adalah ....

A. 1800 B. 900 C. 600 D. 300 E. 00

8. Diketahui vektor

=

112

ar

dan .211

=br

Sudut antara vektor ar dan br

adalah 60o. Nilai

=x ....

A. -2 atau 16 B. -1 atau 17 C. 1 atau 16 D. 1 atau -17 E. 2 atau -16

45

9. Diketahui vektor kjiurrrr 642 = dan vektor .422 kjiv

rrrr+= Proyeksi vektor

orthogonal ur pada vr adalah .... A. kji

rrr1284 ++

B. kjirrr

844 + C. kji

rrr422 +

D. kjirrr

32 ++ E. kji

rrr2+

10. Proyeksi vektor kjiarrrr 32 += pada vektor kjib

rrrr245 += adalah ....

A.

24

5

31

B.

142

41

C.

245

51

D.

32

4

31

E.

324

31

11. Diketahui vektor

=

11

3ur

dan vektor .2

2

= pvr

Jika proyeksi skalar ortogonal vektor

ur

pada vektor vr sama dengan setengah panjang vektor vr , maka nilai =p .... A. -4 atau -2 B. -4 atau 2 C. 4 atau -2 D. 8 atau -1 E. -8 atau 1

12. Diketahui A(1, 2, 3), B(3, 3, 1) dan C(7, 5, -3). Jika A, B dan C segaris (kolinier), perbandingan AC : BC = ....

A. 1 : 2 B. 2 : 1 C. 2 : 5 D. 5 : 7 E. 7 : 5

46

13. Diketahui 2=ar , 9=br

dan .5=+ barr

Besar sudut antara vektor ardan vektor

br

adalah .... A. 45o B. 60o C. 120o D. 135o E. 150o

14. Diketahui vektor kjiarrrr 443 = , kjib

rrrr32 += dan .534 kjic

rrr+= Panjang

proyeksi vektor )( barr

+ pada cr adalah .... A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 E. 27

15. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0); B(2, 2, 0) dan C(0, 2, 2). Proyeksi ortogonal AB pada AC adalah ....

A. kjrr

+

B. ji rr + C. ji rr + D. kji

rrr

21

+

E. ji rr 21

16. Diketahui vektor ,32 kjitarrrr

+= ,52 kjitbrrrr

+= .3 kjtitcrrrr

++= Jika vektor )( barr

+ tegak lurus pada cr , maka =t2 ....

A. -2 atau 34

B. 2 atau 34

C. 2 atau 34

D. 3 atau 2 E. -3 atau 2

17. Diketahui vektor

=

432

ar

dan .30

=

x

br

Jika panjang proyeksi vektor ar pada br

adalah ,54

maka salah satu nilai x adalah ....

A. 6

47

B. 4 C. 2 D. -4 E. -6

18. Diketahui titik-titik P(1, 1), Q(5, 3), R(2, 4). Jika titik S merupakan proyeksi titk R pada garis PQ, maka panjang PS = ....

A. 551

B. 531

C. 552

D. 521

E. 5

19. Vektor kxjiurrrr

++= 43 dan vektor kjivrrrr 632 += . Jika panjang proyeksi ur pada

vr

adalah 6, maka x = .... A. 8 B. 10 C. 12 D. -4 E. -6

20. Sudut antara vektor kxjxixarrrr 3)12( ++= dan vektor b

r adalah 60o. Jika panjang

proyeksi ar ke br

sama dengan 521

maka x = ....

A. 4 atau 21

B. 1 atau 4 C. 1 atau 2

D. 21

atau -1

E. 21

atau 1

48

BAB 6 TRANSFORMASI GEOMETRI

A. DEFINISI

Transformasi merupakan pemetaan titik, garis atau bidang ke titik, garis atau bidang lain pada bidang yang sama. Misalkan transformasi T memetakan titik ),( yxP ke titik

),( yxP dan berlaku hubungan: byaxx +=

dycxy += atau .

=

yx

dcba

yx

Transformasi T yang memetakan titik ),( yxP ke titik ),( yxP bersesuaian dengan

matriks transformasi: .

=

dcba

M

B. JENIS TRANSFORMASI DAN MATRIKS YANG BERSESUAIAN

No. Transformasi Rumus/Matriks Yang Bersesuaian

1.

Refleksi atau Pencerminan

a. Terhadap sumbu X

b. Terhadap sumbu Y

c. Terhadap garis xy =

d. Terhadap garis xy =

e. Terhadap titik asal O

1001

1001

0110

0110

1001

2.

Rotasi atau Perputaran

a. Sebesar (berlawanan arah jarum jam)

cossinsincos

49

b. Sebesar 090 (berlawanan arah dengan jarum jam)

c. Sebesar 090 (searah dengan jarum jam)

d. Sebesar 0180 (setengah putaran)

e. Rotasi dengan pusat ),( baP

0110

0110

1001

+

+

+

=

ba

byax

yx

cossinsincos

3.

Dilatasi dengan pusat )0,0(O dan faktor skala k

kk0

0

4.

Identitas

1001

C. KOMPOSISI TRANSFORMASI

Misalkan 1T dan 2T masing-masing merupakan transformasi yang bersesuaian dengan

matriks-matriks

=

dcba

M 1 dan .2

=

sr

qpM Komposisi transformasi dinyatakan

dengan 12 TT o dan bersesuaian dengan

=

sr

qpdcba

MM 12

D. CONTOH Pilihlah salah satu jawaban yang benar !

1. Ditentukan matriks transformasi

=

2111

1T dan .0110

2

=T Hasil transformasi

titik (2, -1) terhadap T1 dilanjutkan T2 adalah .... F. (-4, 3) G. (-3, 4) H. (3, 4) I. (4, 3)

50

J. (3, -4) Penyelesaian: Matriks transformasi yang bersesuaian:

== 12 TTT o

0110

2111

=

1121

Hasil transformasi titik (2, -1) adalah

=

34

12

1121

Jawaban: A

2. Bayangan garis ,042 =++ yx jika ditransformasikan dengan suatu transformasi yang bersesuaian dengan matriks ,

1001

persamaannya adalah ....

A. 042 =+ yx B. 042 =+ yx C. 042 =++ yx D. 042 =+ yx E. 042 = yx

Penyelesaian:

Bayangan (x, y) oleh matriks

1001

=

=

yx

yx

yx

1001

Sehingga bayangan garisnya adalah: 042 =++ yx 4204)()(2 +=++ yxyx

Jawaban: B

3. Persamaan bayangan garis 0234 =+ xy oleh transformasi yang bersesuaian dengan

matriks

1110

dilanjutkan matriks

1111

adalah ....

A. 0478 =+ yx B. 0278 =+ yx C. 022 = yx D. 022 =+ yx E. 0225 =+ yx

Penyelesaian: Matriks yang bersesuaian:

51

=

1111

T

1110

=

2101

Bayangan (x, y) oleh matriks

2101

+

=

+

=

=

=

2

221

1102

21

2101 yx

x

yxx

yx

yx

yx

yx

Sehingga bayangan garisnya adalah:

0234 =+ xy 02322023)2

)((4 =+=++ xyxxyx 022 = yx

Jawaban: C

E. LATIHAN Pilihlah salah satu jawaban yang benar !

1. Garis dengan persamaan 32 += xy dicerminkan terhadap sumbu X kemudian diputar dengan )90,0( oR . Persamaan bayangannya adalah ....

A. 032 = yx

B. 032 =+ yx C. 032 = yx D. 032 =+ yx E. 032 =++ yx

2. Persamaan garis 042 =+ yx yang dirotasikan dengan pusat (0, 0) sejauh 90o, dilanjutkan dengan pencerminan tehadap garis xy = adalah ...

A. 042 =++ yx B. 042 =+ yx C. 042 =++ yx D. 042 = yx E. 042 =+ yx

3. Bayangan segitiga ABC dengan A(2, 1), B(6, 1), C(5, 3) karena refleksi tehadap sumbu Y dilanjutkan rotasi (0, 90o) adalah ....

A. A(-1, -2), B(1, 6), dan C(-3, -5) B. A(-1, -2), B(1, -6), dan C(-3, -5) C. A(1, -2), B(-1, 6), dan C(-3, 5) D. A(-1, -2), B(-1, -6), dan C(-3, -5) E. A(1, 2), B(-1, -6), dan C(-3, -5)

4. Luas bayangan persegi panjang PQRS dengan P(-1, 2), Q(3, 2), R(3, -1), S(-1, -1) karena dilatasi [0, 3] dilanjutkan rotasi pusat O besudut

2pi

adalah ....

52

A. 36 B. 48 C. 72 D. 96 E. 108

5. Bayangan garis 22 += xy yang dicerminkan terhadap garis xy = adalah .... A. 1+= xy B. 1= xy

C. 12

=

xy

D. 12

+=xy

E. 21

2=

xy

6. Bayangan titik ),( yxA karena refleksi terhadap garis 2=x dilanjutkan refleksi terhadap garis 3=y dan kemudian dilanjutkan rotasi pusat O bersudut

2pi

radian

adalah (-4, 6). Koordinat titik A adalah .... A. (2, -10) B. (2, 10) C. (10, 2) D. (-10, 2) E. (10, -2)

7. T1 adalah transformasi rotasi pusat O dan sudut putar 90o. T2 adalah transformasi pencerminan terhadap garis .xy = Bila koordinat pada titik A oleh transformasi

21 TT o adalah A(8, -6), maka koordinat titik A adalah .... A. (-6, -8) B. (-6, 8) C. (6, 8) D. (8, 6) E. (10, 8)

8. Persamaan bayangan garis 054 =+ yx oleh transformasi yang bersesuaian dengan

matriks

3102

dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu Y adalah .... A. 03023 =+ yx B. 05126 =+ yx C. 03037 =++ yx D. 030211 =+ yx E. 030211 =+ yx

9. Bayangan kurva 32 = xy jika dicerminkan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi pusat O dan faktor skala 2 adalah ....

A. 621 2 += xy

53

B. 621 2

= xy

C. 321 2

= xy

D. 2216 xy =

E. 2213 xy =

10. Persaman bayangan parabola 42 += xy karena rotasi dengan pusat O(0, 0) sejauh 180o

adalah .... A. 42 += yx B. 42 += yx C. 42 = yx D. 42 = xy E. 42 += xy

54

BAB 7 EKSPONEN DAN LOGARITMA

A. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN

1. Persamaan Eksponen Sifat-sifat persamaan eksponen:

k. Jika )()( xgxf aa = maka )()( xgxf = untuk 0>a dan .1a l. Jika )()( xfxf ba = maka 0)( =xf untuk ,0>a 0,1 > ba dan .1b m. Jika )()( )]([)]([ xgxf xhxh = maka terdapat beberapa kemungkinan:

)()( xgxf = 1)( =xh 0)( =xh dengan syarat )(xf dan )(xg keduanya positif 1)( =xh dengan syarat )(xf dan )(xg keduanya genap atau

keduanya ganjil

2. Pertidaksamaan Eksponen A. Untuk fungsi monoton naik ),1( >a jika )()( xgxf aa maka )()( xgxf dan

jika )()( xgxf aa maka ).()( xgxf B. Untuk fungsi monoton turun ),10( xh dan .1)( xh

2. Pertidaksamaan Logaritma A. Untuk fungsi monoton naik ),1( >a jika ),(log)(log xgxf aa maka

)()( xgxf dan jika ),(log)(log xgxf aa maka ).()( xgxf B. Untuk fungsi monoton turun ),10(

55

C. CONTOH Pilihlah salah satu jawaban yang benar !

1. Nilai x yang memenuhi persamaan 3 532 273 + = xx adalah .... A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2

Penyelesaian: 532 33 + = xx

332 =+ xx 0= x

Jawaban: C

2. Jika ,033log.7)log( 323 =++x

x maka x sama dengan ....

A. 2 atau 5 B. -2 atau -5

C. 91

atau 2431

D. 9 atau 243 E. -2 atau 5

Penyelesaian: 03)log3log.(7)log( 3323 =++ xx 010log7)log( 323 =++ xx Misal: ax =log3 maka diperoleh persamaan:

20)5)(2(01072 ==++=++ aaaaa atau 5=a

91

312log 2

3=== xx

2431

315log 5

3===

xx

Jawaban: C

3. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 0)3log( 231

>x adalah ....

A. 3x B. 33

56

Penyelesaian:

1log)3log( 31

231

>x

Syarat 1: 413 22 >> xx (berlaku untuk semua x)

Syarat 2: 032 >x

Dengan menggunakan garis bilangan, maka x yang memenuhi pertidaksamaan terletak pada interval 3x .

Jawaban: A

D. LATIHAN Pilihlah salah satu jawaban yang benar !

1. Nilai x yang memenuhi persamaan 2415 21

=

+x

adalah A. 2

B. 23

C. 1

D. 21

E. 0

2. Himpunan penyelesaian dari )25(1 328 xx + = adalah .... A. }4{ B. }3{ C. }

76{

D. }4{ E. }

534{

3. Himpunan penyelesaian dari 62

24

212

+

=

x

x adalah ....

A.

32

B.

34

C.

35

D. { }2

57

E. { }3

4. Himpunan penyelesaian persamaan 0273.29 133 = =xx adalah ....

A.

32

B.

34

C.

38

D.

34

,

32

E.

38

,

32

5. Diketahui persamaan .)35()13( 8282 22 =+ xx xx Jika anggota himpunan penyelesaiannya dijumlahkan, hasilnya adalah ....

A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 E. 4

6. Nilai x2 yang memenuhi 3 52 164 ++ = xx adalah ....

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 E. 32

7. Akar-akar persamaan 093283 12 =++ xx adalah 1x dan 2x . Jika 21 xx > maka = 213 xx ....

A. -5 B. -1 C. 4 D. 5 E. 7

8. Himpunan penyelesaian dari persamaan 2821 53

=

x

adalah ....

A. }4{ B.

652

C. }2{ D.

21

58

E.

32

9. Penyelesaian persamaan 32352 2732 ++

=xxx

adalah dan . Nilai = .... A. -6 B. -3 C. 1 D. 3 E. 6

10. Diberikan persamaan x2

32431

= .

91

.

33

3

2

2

x

Jika 0x memenuhi persamaan, maka

nilai = 0431 x .....

A. 1631

B. 411

C. 431

D. 312

E. 432

11. Nilai x yang memenuhi persamaan 251

2515

61

622

=

+x

adalah ....

A. 3 B. -3 C. 1 D. -5 E. 4

12. Akar-akar persamaan 08log6log 222 =+ xx adalah 1x dan 2x adalah .... A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 E. 20

13. Nilai x yang memenuhi persamaan ( ) 043loglog 224 = xx adalah ....

A. 16 atau 4

B. 16 atau 41

C. 8 atau 2

59

D. 8 atau 21

E. 8 atau 4

14. Diketahui .0)103log()23log( 2 =++ xxx xx Jika 1x dan 2x himpunan penyelesaiannya, maka .21 K= xx

A. -8 B. 6 C. 4 D. 6 E. 8

15. Himpunan penyelesain persamaan 0)27log()3log()1log( 555 =++++ xxx adalah .... A. }25{ B. }5{ C. }5,6{ D. }5,6{ E. }5,6{

16. Penyelesaian persamaan 0)63log()2log( 242 =++ xxx adalah p dan q. Untuk qp > nilai = qp ....

A. 2

B. 23

C. 21

D. 23

E. 25

17. Nilai x yang memenuhi 81log)44log()44(log 24222 = xx adalah ....

A. 3 atau -1

B. 3 atau 23

C. 3 atau 2

D. 3 atau 25

E. 3 atau 6

18. Himpunan penyelesaian persamaan 259 )12log(3

=x

adalah ....

A.

21

B. {-2} C. {-3}

60

D.

3,

21

E. {3, 2}

19. Nilai x yang memenuhi 2log)(log3 52 = xx adalah .... A. 0,005 B. 0,05 C. 100 D. 125 E. 500

20. Jika 1>a maka penyelesaian 1)log)(12log(( 3 =+ axa adalah .... A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

21. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 21)2log( 29

61

C. 31

x E. 3

62

29. Himpunan penyelesaian dari 128

21

21

2 ++

>

xxx

adalah ....

A. { x | x < -2 atau x > 5 } B. { x | x < -2 atau x > 3 } C. { x | x < -3 atau x > 2 } D. { x | -2 < x < 3 } E. { x | -3 < x < 5 }

30. Nilai x yang memenuhi )1log()1log( 2

Documents

Modul Matematika Kelas Xii Ipa