Modul II Operational Research · PDF filelinier adalah mendapatkan solusi dari suatu sistem persamaaan linier yang memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi tujuan linier

MODUL II

PENYELESAIAN PERMASALAHAN
LINEAR PROGRAMMING

(A)Graphical Solution Method

Graphical Solution Method
(Metode Pemecahan Grafik)
Keuntungan
Mudah
Keterbatasan
Hanya cocok untuk masalah LP
dengan dua variabel keputusan
Sensitif terhadap tingkat ketelitian
Programa Linier/ OR I/ Reni A 4

Graphical Solution Method
1. Plot model constraint on a set of
coordinates in a plane
2. Identify the feasible solution space on
the graph where all constraints are
satisfied simultaneously
3. Plot objective function to find the point
on boundary of this space that
maximizes (or minimizes) value of
objective function

Pemecahan Grafik
Teknik pemecahan grafis dapat
dipergunakan apabila persoalan
programa linier yang akan
diselesaikan hanya mempunyai dua
buah variabel.
Cara ini memberi petunjuk bahwa
untuk pemecahan programa linier
hanya perlu memperbaiki titik ekstrim
pada ruang solusi atau daerah fisibel.

Contoh Soal (1) Maksimasi
Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2
dengan pembatas-pembatas:
x1 + 2x2 6
2x1 + x2 8
x1 + x2 1
x2 2
x1 0
x2 0

Contoh Soal (2) Maksimasi
21 2010 XXZ
0,
4535
12
152
21
21
21
21
XX
XX
XX
XX
Memaksimumkan
dengan kendala

5
10
15
-5
-10
-15
5 10 15X2
X1
0
A
B
C
DE
Titik terluar

Contoh Soal (3) Maksimasi Maximize Z = $40 x1 + 50 x2
Subject to
x1 + 2x2 40 hr (labor constraint)
4x1 + 3x2 120 lb (clay constraint)
x1 , x2 0
Solution is x1 = 24 bowls
x2 = 8 mugs
Revenue = $1,360

x1 + 2x2 = 40
4x1 + 3x2 = 120
4x1 + 8x2 = 160
-4x1 - 3x2 = -120
5x2 = 40
x2 = 8
x1 + 2(8) = 40
x1 = 24
Z = $50(24) + $50(8) = $1,360

Contoh Soal (4) Minimasi
CHEMICAL CONTRIBUTION
Brand Nitrogen (lb/bag) Phosphate (lb/bag)
Gro-plus 2 4
Crop-fast 4 3
Minimize Z = $6x1 + $3x2
subject to
2x1 + 4x2 16 lb of nitrogen
4x1 + 3x2 24 lb of phosphate
x1, x2 0

14
12
10
8
6
4
2
0
Z = 6x1 + 3x2
x1 = 0 bags of Gro-plus
x2 = 8 bags of Crop-fast
Z = $24
x1 = 0 bags of Gro-plus
x2 = 8 bags of Crop-fast
Z = $24
x1
x2
|
2
|
4
|
6
|
8
|
10
|
12
|
14

Kasus Khusus Persoalan programa linier mempunyai solusi
optimal yang tidak terbatas (mempunyai solusialternatif atau solusi optimal banyak)
Persoalan programa linier tidak mempunyaisolusi fisibel atau persoalan programa linier yanginfisibel
Persoalan programa linier mempunyai ruangsolusi yang tidak terbatas, yaitu titik-titik padadaerah fisibel dengan harga z yang sangatbesar (pada persoalan maksimasi)

Solusi Optimal Banyak atau Solusi Alternatif

Ruang solusi tidak terbatas

Tidak ada solusi fisibel

Contoh lain :
1. The Burroughs garment company manufactures
men's shirts and womens blouses for Walmark
Discount stores. Walmark will accept all the
production supplied by Burroughs. The
production process includes cutting, sewing and
packaging. Burroughs employs 25 workers in the
cutting department, 35 in the sewing department
and 5 in the packaging department. The factory
works one 8-hour shift, 5 days a week. The
following table gives the time requirements and
the profits per unit for the two garments:

Garment Cutting Sewing Packaging Unit profit($)
Shirts 20 70 12 8.00
Blouses 60 60 4 12.00
Minutes per unit
Determine the optimal weekly
production schedule for Burroughs!

Contoh :
Feed Mix problem: The manager of a milk diary
decides that each cow should get at least 15, 20
and 24 units of nutrients A, B and C respectively.
Two varieties of feed are available. In feed of variety
1(variety 2) the contents of the nutrients A, B and C
are respectively 1(3), 2(2), 3(2) units per kg. The
costs of varieties 1 and 2 are respectively Rs. 2
and Rs. 3 per kg. How much of feed of each variety
should be purchased to feed a cow daily so that the
expenditure is least?

(B)Simplex Method

Bahasan
Rumusan Pemrograman linier dalam bentuk
baku
Pemecahan sistem persamaan linier
Prinsip-prinsip metode simpleks

Rumusan Pemrograman Linier
dalam Bentuk Baku
Memaksimumkan (Meminimumkan)
Z = c1x1 + c2x2 + + cnxn
Dengan pembatas
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
.
.
.
am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
x10, x20,, xn0
b10, b20,, bm0

Notasi Matriks-Vektor
Maks (Min) Z = cx
dg pembatas
Ax = b
x 0
b 0
A : matriks (m x n)
x : vektor kolom (n x 1)
b : vektor kolom (m x 1)
c : vektor baris (1 x n)

Karakteristik Rumusan Bentuk Baku
Fungsi tujuan adalah memaksimumkan atau
meminimumkan
Semua pembatas dinyatakan dalam
persamaan
Semua variabel keputusan dibatasi sebagai tak
negatif
Konstanta ruas kanan untuk tiap pembatas
adalah tak negatif

PENGERTIAN
Metode Simpleks merupakan prosedur
aljabar yang bersifat iteratif yang bergerak
selangkah demi selangkah dimulai dari satu
titik ekstrim pada daerah fisibel (ruang solusi)
menuju ke tititk ekstrim yang optimum
Pada intinya, apa yang dilakukan metode
simpleks adalah menerjemahkan definisi
geometris dari titik ekstrim menjadi definisi
aljabar

Apa yang dilakukan Metode simpleks?
Mengidentifikasi satu pemecahan dasar awal
dan kemudian bergerak secara sistematis ke
pemecahan dasar lainnya yang memiliki
potensi untuk memperbaiki nilai fungsi tujuan
yang akhirnya nilai optimum akan
diidentifikasi dan perhitungan berakhir.

Model Programa Linier

Model Programa Linier..(2)
Jika kita definisikan :
Pembatas dari model tersebut ditulis
dalam bentuk Ax = b
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
......
21
22221
11211
nX
X
X
X
.
.
.2
1
nb
b
b
b
.
.
.2
1

Reduksi ke Bentuk Baku
Metode simpleks untuk memecahkan
masalah PL memerlukan bahwa masalah
dinyatakan dalam bentuk baku.
Tidak semua masalah PL dalam bentuk baku
Pembatas pertidaksamaan (inequality constraint).
Variabel yang tak dibatasi tanda (unrestricted insign of variables)

Pembatas Pertidaksamaan
Karena bentuk baku memerlukan semua
pembatas harus dinyatakan dengan dalam
persamaan, pembatas pertidaksamaan harus
diubah ke persamaan.
Ini dilakukan dengan penambahan variabel
baru untuk menunjukkan slack antara ruas
kiri dan kanan pada tiap pertidaksamaan.
Variabel baru tersebut disebut slack variable

Pembatas Pertidaksamaan
x1 + 4x2 10 x1 + 4x2 + x3 = 10x3 0
2x1 + 5x2 18 2x1 + 5x2 x4 = 18x4 0

Variabel yang Tak Dibatasi Tanda
Dalam PL, adakalanya terdapat nilai variabel
yang tak dibatasi tanda (positif atau negatif)
Karena bentuk baku PL memerlukan semua
variabel adalah tak negatif, maka variabel
yang tak dibatasi tanda diganti dengan selisih
dua variabel tak negatif

Variabel yang Tak Dibatasi Tanda
x1 + x5 = 50
x1 0
x5 tak dibatasi tanda
x5 = x6 x7
x1 + x6 x7 = 50
x1 0, x6 0, x7 0

Definisi Dasar
Suatu solusi layak (feasible solution) adalah
suatu vektor tak negatif x yang memenuhi
persamaan Ax = b.
Daerah layak (feasible region), dinyatakan
dengan S, adalah himpunan dari semua solusi
layak yang mungkin. Secara matematis,
S = {x | Ax = b, x 0}
Jika himpunan layak S adalah kosong maka
masalah PL dikatakan tak layak (infeasible)

Definisi Dasar
Suatu solusi optimal (optimal solution) adalah
suatu vektor x* yang layak dan nilai fungsi
tujuannya (cx*) lebih besar dari semua
solusi layak yang lain. Secara matematis,
x* adalah optimal x* S dan cx* cx, x
S
Nilai optimal (optimal value) dari masalah PL
adalah nilai fungsi tujuan yan

Documents

Modul II Operational Research · PDF filelinier adalah mendapatkan solusi dari suatu sistem persamaaan linier yang memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi tujuan linier