Modul 2 metode numerik

8/18/2019 Modul 2 metode numerik

1/57

MODUL 2Sistem

PersamaanLinierO L E H :

H A F I D A LWA N

J U R U S A N T E K N I K K I M I A

UNIVER SITAS SULTAN AGENG TIRTA A SA


2/57

Matri!s"#$ Himpunan beraturan dari vector-vectorberdimensi sama

Himpunan beraturan rangkap dari (lambang)bilangan-bilangan

Jajaran segi empat dari elemen-elemen[(lambang-lambang) bilangan]


3/57

Matri!s"2$

Matriks berdimensi m x n

Trans%&sisi

Matriks berdimensi n x m

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

.....

::..:::

.....

.....

21

22221

11211 11 21 1

12 22 2

1 2

..........

:::..::

.....

m

mT

n n mn

a a aa a a

A

a a a

=


4/57

MATRIKS Simetri! 'an

Anti(simetri! Matriks Simetriko a ij = a ji o ! =

Matriks ntisimetriko a ij = -a ji o ! = -

2 1 1

1 3 2

1 2 1

T A A

= = −

0 1 11 0 2

1 2 0

A− = −

−

0 1 11 0 2

1 2 0

T A A− = − = −

−


5/57

Matri!s Keran)an*Matriks berdimensi besar "ang sebagian besarelemenn"a adala# nol$

10020100

0020002001043000

11100001

00030200

00001030

01000012

:Misalnya


6/57

Matri!s Se*iti*a Atas Matriks segitiga atas (disimbolkan % atau &) dala#matriks bujur sangkar "ang semua elemen di ba'a#diagonaln"a nol$

4

1 2 3 4

0 5 6 7

0 0 8 9

0 0 0 10

U

=


7/57

Matri!s Se*iti*a +a,a- Matriks segitiga ba'a# (disimbolkan ) dala# matriksbujur sangkar "ang semua elemen di atas diagonaln"anol$

4

1 0 0 02 5 0 0

3 6 8 0

4 7 9 10

L =


8/57

Matri!s Tri'ia*&na.2 1 0 0 0 0 0 0 0

1 2 1 0 0 0 0 0 0

0 1 2 1 0 0 0 0 00 0 1 2 1 0 0 0 0

0 0 0 1 2 1 0 0 0

0 0 0 0 1 2 1 0 0

0 0 0 0 0 1 2 1 0

0 0 0 0 0 0 1 2 1

0 0 0 0 0 0 0 1 2

− −

− − −

− −

− −


9/57

Matri!s Dia*&na.

4

4

3

2

1

ij

000

000

000

000 j i

j i 0d

: bersifatyangsangkar bujurmatriks

:!"diag#nalMatriks

D

j

=

=

±=

λ

λ λ

λ λ

=

=

10000100

00100001

$

j.nilaisemuauntuk1 dengandiag#nalmatriks%matrikssatuan&:$"$dentitasMatriks

4

jλ


10/57

Persamaan Liniery

xLINIER

urva persamaan linier urva persamaan tak-linier

y x=


11/57

Masi# *ngat +++

+,agaimana jika sistem terdiri atas ratusan atau ba#kanribuan variabel dengan ratusan atau ribuan bua#persamaan+Sistem persamaan linier dalam teknik kimia .ersamaan /eraca massa dan 0nergi

23

2 3 2 42 5 23

x y z

x y z x y z

+ + =

− − =+ − = −


12/57

etak-!er#ubungan inier1ektor-1ektor Martabat

dan /orma


13/57

De/nisi Matri!s TSL Se#impunan vektor 1 2 13 4$$ 1n "ang masing-masingberdimensi m disebut

Ter-010n* Se)ara Linier

"TSL Linearly dependent $ jika 'a%at 'item0!an se#impunan skalar (bilangan) 5 2 53 4$ 5n "ang tidak semuan"a nol se#ingga6

5 21 27 5 31 374$$$$7 5 n1 n=8

8 adala# vektor nol (1ektor dimensi m "ang semuakomponenn"a nol)


14/57

2$

−=

===−−=

−=

0

3

2

1

1

2

11

1

1

3

3212

1

V

V

V

α α α


15/57

3$9$

( ) [ ]

( ) [ ]1

2

1 2

1

2

2 3 5

0 0 0

2 0 0

3 0 0

5 0 0

0

"

T

T

V

V

tak perlu nol

α α

α

α

=

=

+ =

== 1

1

41

2

1

12

3

1

21

33

22

11

−=

−

−=

=−−

=

=−

=

α

α

α

V

V

V


16/57

De/nisi Matri!s TTSL Se#impunan vektor 1 2 13 4$$ 1n "ang masing-masingberdimensi m disebut

Ta! Ter-010n* Se)ara Linier

"TTSL Linearly independent $

jika ti'a! 'a%at 'item0!an se#impunan skalar(bilangan) seperti pada vektor !S $


17/57

2 $ 3$

=

=

=

1000

100

01

3

2

1

V

V

V

−=

=

=

111

011

001

3

2

1

V

V

V


18/57

Keter-010n*an Linier

Ve!t&r(Ve!t&r Jika sekumpulan dari n bua# vektor berdimensim bersi:at !S maka setiap vektor dari

#impunan tersebut dapat diungkapkan sebagaikombinasi linier dari (n-2) bua# vektor lainn"a$

≠=≠= ∑= i ji jV V i j

j

n

j j ji ''1 α

α

β β


19/57

De/nisi TSL 'an TTSL

"a.ternati3$ olom-kolom dari sebua# matriks "angberdimensi m 4 n disebut !S jika terdapatvektor (1) berdimensi n (1 bukan vektor nol)"ang men"ebabkan

$1 = 8$

Jika vektor tersebut tidak ada maka kolom-

kolom dari adala# !!S $ 0kivalen dengan de;nisi terda#ulu$


20/57


21/57

K&nse% Kete*a!(

.0r0san "&rt-&*&na.$ Se#impunan dari n bua# vektor berdimensi m (1 2 13 4 1 n) disebut #impunan ortogonal


22/57

onto#6

2$

Se#impunan vektor-vektor "ang 6o >rtogonal pasti !!So !!S belum tentu ortogonal

>rtogonal?

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) 218

00

1

1

3

3

2211

1221

21

==

==

−==

V V V V

V V V V

V V

T T

T T


23/57

3$

@i dalam praktek komputasi

Hampir>rtogonal

A.raktisB>rtogonal

( ) [ ] ( ) [ ]

( )( )

( ) jiV V

V V

V V

V V

jT

i

T

T

T T

≠≤

−=++−=

−=++−=

=−=

− '10

02'098'506

02'098'506

99'202213

5

12

21

21


24/57

Pen*05ian Keter-010n*an

Linier Se-im%0nan Ve!t&r onstruksi se#impunan vektor "ang

ortogonal dari vektor-vektor "ang diujitersebut$

Jika (atau mendekati 8)$ MakaHimpunan "ang diuji !S $

( ) 0= jT j V V


25/57

Ort&*&na.isasi Gram(

S)-mi'tSala# satu jalan untuk menguji keter#ubunganlinier se#impunan vektor

onstruksi se#impunan vektor-vektor ortogonal" 2 "3 $$$ "n dari suatu #impunan vektor-vektor

x 2 x3 4 x n$

Jika dari sala# satu vector "ang ditegakkan

praktis nol ( 8) maka #impunan "ang diuji !S $


26/57

Ort&*&na.isasi Gram(

S)-mi't( )

( )( )

( )

( )

( )( )( )

( )( ) 111

11

11

1

2

22

321

11

3133

111

21

22

11

.

.3

.2

.1

−−−

−−−−=

−−=

−=

=

ii

T i

iT

iT

iT

ii

T

T

T

T

T

T

y y y

x y y

y y

x y x yi

y

y y

x y y

y y

x y x y

y y y

x y x y

x y


27/57

jika suatu vector " j memiliki (" j) ! " j = 8

(atau mendekati nol) maka pada

penentuan " j sampai " n suku "ang

mengandung vektor " j ini diabaikan$

1ektor-vector " 2 "3 4 " n saling tegak lurussatu sama lain dan " 2 juga tegak lurus

pada x 2 x3 4 x n


28/57

6&nt&-2$

[ ] [ ] [ ][ ]

( )( )

( ) ( ) ( )( )

[ ] [ ] [ ]T T T T

T

T T

T

T

T

T T T

b

bbababbb

bab

abab

ab

aaa

1011101

(1(2

011

110101011

21

21

21

2

21

11

212111

111

2122

11

321

−=−=

===⇒

−=

==

===


29/57

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

[ ] [ ] [ ][ ]

( ) 3433

32

32

32

3

21

21

31

21

31

22

322

1322

322

21

11

3131

2

22

321

11

3133

1011110

(

(1

=⇒

−=

−−−=

===⇒

==⇒

−−=

bb

b

bb

ababbb

bb

abab

bbb

abb

bb

abab

T

T T T

T

T T T

T

T T

T

T

T

T


30/57

Perhatikan bahwa:

Selain itu karena tak ada yangnol, maka a 1,a 2,dan a 3 adalah him unan !!SL

23

131231321

dan

''''

ab

ababbbbbb

⊥

⊥⊥⊥⊥⊥

( ) 3'2'1' =ibb iT

i


31/57

Marta1at Matri!s Martabat matriks ( ranks, r )Martabat dari suatu matriks adala# ban"ak

maksimum kolom-kolom !!S dari matriks

tersebut$

Da.i.: ,an"ak maksimum kolom !!S =

ban"ak maksimum baris !!S


32/57

6&nt&-

Martabat tertinggi "ang bisa dimiliki ole# sebua#

matriks berdimensi (mxn) adala# min(m n) Matriks bujur sangkar "ang martabatn"a (r) lebi# kecil

dari dimensin"a (n) adala# matriks tak 'ajar

2r"#$

1211%%

1%%121

== A


33/57

S&.0si Sistem

Persamaan LinierMetode 0liminasi CaussMetode &eduksi Causs-Jordan

Metode Caus Seidel


34/57

Met&'e E.iminasi

Ga0ss

@alam bentuk matriksmenjadiD

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 18 9 18

2 3 3 117

4 2 283

x x x

x x x

x x x

+ + =+ + =+ + =

3 18 9 ) 18

2 3 3 )117

4 1 2 )283

A

=


35/57

2$ ,uat elemen di ba'a# a 22 menjadi nol

Hitung:l 21 = a 21 /a 11 l 21 = 2/3l 31 = a 31 /a 11 l 31 = 4/3

Hitung:Baris ke-2 baru = baris ke-2 lama – l 21 x baris ke-1 = [2 3 3 | 117] – 2/3 x [3 18 9 | 18]

= [0 -9 -3 | 105]

Baris ke-3 baru = baris ke-3 lama – l 31 x baris ke-1 = [4 1 2 | 283] – 4/3 x [3 18 9 | 18] = [0 -23 -10 | 259]

3 18 9 ) 182 3 3 )117

4 1 2 )283

A =


36/57

3 18 9 ) 18

0 9 3 ) 1050 23 10 ) 259

A

= − − − −


37/57

Hitung:l 32 = a 32 /a 22 l 32 = 23/9

Hitung:Baris ke-3 baru = baris ke-3 lama – l 32 x baris ke-2

= [0 -23 -10|105] –23/9x [0 -9 -3 | 259] = [0 0 -7/3 | -28/3]

3$ ,uat elemen di ba'a# a 33 menjadi nol

3 18 9 ) 18

0 9 3 ) 105

0 23 10 ) 259

A

= − − − −


38/57

3 4 x =2 13 x = −

3 18 9 ) 18

0 9 3 ) 105

0 0 7 * 3 ) 28 * 3

− − − −

1 2 3

2 3

7 2833 3

3 18 9 18

9 3 105

x x x

x x

x

+ + =

− − =− = − 1 72 x =


39/57

Kas0s # Saturated steam at 298 deg is Eo'ing inside a steel pipe#aving an *@ o: 38 mm (@2) and >@ o: 3F mm (@3)$ !#e pipe

is insulated 'it# G8 mm [(@9-@3)


40/57


41/57

Pen7e.esaian+er,. +anas dari steam ke ,i,a:

+er,. +anas dari ,i,a ke insulasi:

+er,. +anas dari insulasi ke udara:

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

1 21 1

2 1

1 2 2 3

2 1 3 2

2 33 3

3 2

ln * * 2

ln * * 2 ln * * 2

ln * * 2

i S s

s i

O ai

T T h D T T

D D k

T T T T

D D k D D k

T T h D T T

D D k

π π

π π

π π

−− =

− −=

−= −


42/57

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 2 12 1 2 1

1 2 32 1 2 1 3 2 3 2

2 3 3 33 2 3 2

2 2ln * ln *

0ln * ln * ln * ln *

2 2ln * ln *

s si i S

s s i i

i iO O a

k k h D T T h D T

D D D D

k k k k T T T

D D D D D D D D

k k T h D T h D T D D D D

+ − =

− + + =

− + = −


43/57

Sistem Persamaan Linier

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

12 1 2 1

1 1

3 2

2 1 3 2 3 23 3

33 2 3 2

2 20

ln * ln *

20

ln * ln * ln *2 2

0ln * ln *

s si

i S

s i iO

O a

i iO

k k h D

D D D DT h D T

k k k h D T

D D D D D D T h D T k k

h D D D D D

+ −

− + =

− − +


44/57

Pr&*ram MATLA+clcclearL *nput data

!s = 298D L o

!a = 3FD L o@2 = 38e-9D L @iameter dalam pipa m@3 = 3Fe-9D L @iameter luar pipa m*t# = G8e-9D L !ebal insulasi m@9 = (@3 7 3 *t#)D L @iameter pipa 7 insulasi

#i = 2I88D L oe;sien trans:er panas bagian dalam (


45/57

Pr&*ram MATLA+ "6&nt8$L Matriks koe;sien variabel = [3 ks


46/57

NN kasus3

! =

23O$IPFP

23O$IKIP

GP$22O2

Eksekusi program kasus2.mMasukan dan hasil di Command Window :


47/57

Kas0s 2 Sistem distribusi uap pada sebua# *ndustri kimiaditampilkan pada gambar diba'a# ini$ Sistem tersebut

terdiri dari 2G bua# variabel xi dengan i = 9 s$


48/57


49/57

/eraca Massa dan 0nergi Sistem3 4 5 1 2 5 4

3 6

7

5 7 8 9 10 15 7 8 3

8 9 10 11 12 13 7

6 15 6 5

3 6 12 16 1 9

181'60 132'57 5'1

1'17 0

132'57 0'745 61' 2

99'1

8'424'2

1'15 181'60" 1'15 0' 4 19'7

181'

x x x y y y y

x x

x

x x x x x x y y y

x x x x x x y x x y y

x x x x y y

− − − − = − − + + =− =− =

+ − − − + = + − =+ + + − − = − = −− = − =

− + − + + = − + = −

12 16 1 9

11 1

4

8 16

5 14

9

13 14 16 9

60 4'594 0'11 1'0235 2' 45 35'05

0'0423 181'60" 0'0423 2'88

0'016 181'60" 00'147 0

0'07 0

0'0805 181'60" 0

0' 4 97'9

x x y y

x y

x x x

x x

x

x x x y

− − = − + + =− + = =

− + =− =− =

− + =− + = − = −


50/57

.ers (2) %nit KP8 .sia #eader

.ers (3) @esuper#eater

.ers (9) lternator !urbine

.ers (G) 2I8 psia #eader

.ers (F) 9I psia #eader

.ers (K) 32F psia #eader

.ers (I) ,Q balance

.ers (P) ondensate Ruenc#drum

.ers (O) ,lo' do'n Eas# drum

.ers (28) ,oiler atomi ing

.ers (22) !reated :eed'ater pump

.ers (23) ,oiler :eed'ater pump

.ers (29) ,oiler Qan

.ers (2G) @eaerator-Ruenc#


51/57

.ersamaan diatas diseder#anakan menjadi 6

(2)

(3) (9)(G)

(F)(K)

(I)(P)

(O)(28)

(22)(23)(29)

(2G)

%ntuk memuda#kan dalam penulisan program maka perlu


52/57

(2)

(3) (9)(G)(F)

(K)(I)(P)

(O)(28)

(22)(23)(29)

(2G)

disusun ulang penomoran variabel x 9 diuba# menjadi x 2 xG diuba# menjadi x 3 dan seterusn"a


53/57

Pr&*ram Mat.a1LMatrix o: coe cients

= [2 2 2 8 [G62G] 2$2I 8 8 -2 8 [F62G] 8 [26G] 2 8 [K62G] 8 8 2 8 2 -2 -2 -2 8 [O623] 2 8 8 [26F] 2 2 2 2 -2 -2 8 [2362G] 8 [269] 2 8 [F623] -2 8 2 8 8 -2 8 [F6O] 2 8 [22629] 2 8 [26O] G$FOG 8 [22629] 8$22 8 [26P] 2 8 [2862G] 8 2 8 [962G] 8 [26F] 2 8 [I629] -8$82GI 8 8 2 8 [G622] -8$8I 8 8 8 [26K] 2 8 [P62G]

8 [26O] 2 8 -2 8 2] Lvector o: constantc = [G9$O9D8DOF$IOPDOO$2D-P$GD3G$3D2PO$2GD2GK$FFD28$FKD3$O8FKD8D8D2G$K2PPD-OI$O] Lsolutionx = inv( ) c


54/57

Res0.t 4 # 298 ;


55/57

Kas0s > Sejumla# 288 kg 3 diumpankan ke dalam sebua# kolom absorber$

ampuran gas ini dikontakkan dengan 288 kg


56/57


57/57

T0*as #

Sebua# rangkaian s"stem pemroses "ang terdiri atas umpan berupa murni dengan laju 288 kmol

Documents

Modul 2 metode numerik