SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA

DIPLOMSKI RAD br. 1505

Modelsko prediktivno upravljanje termo-aktivnim sustavima u zgradama

Pavle Gamoš

Zagreb, svibanj 2017.

Sadržaj

Uvod ....................................................................................................................... 1

1. Opis kuće ........................................................................................................ 2

2. Prijenos topline ................................................................................................ 4

2.1. Kondukcija .................................................................................................. 4

2.2. Konvekcija .................................................................................................. 5

2.3. Radijacija .................................................................................................... 5

2.4. Toplinska energija i analogija sa strujnim krugom ...................................... 6

3. Modeliranje RC Mreže ..................................................................................... 7

3.1. Modeliranje zida ......................................................................................... 7

3.2. Modeliranje prozora .................................................................................... 9

3.3. Sunčeva dozračenost ................................................................................. 9

3.4. Model poda .............................................................................................. 10

3.5. Model stropa ............................................................................................ 11

3.6. Model sobe ............................................................................................... 12

4. Prostor stanja ................................................................................................ 14

5. Sustavi upravljanja aktuatorima .................................................................... 16

5.1. Modelsko prediktivno upravljanje ............................................................. 16

5.1.1. Koncept ............................................................................................. 16

5.1.2. Izvedba .............................................................................................. 17

5.2. PI upravljanje ........................................................................................... 20

6. Rezultati ........................................................................................................ 22

7. Zaključak ....................................................................................................... 29

8. Literatura ....................................................................................................... 30

9. Sažetak ......................................................................................................... 31

10. Summary .................................................................................................... 32

1

Uvod

Ukupno 40% svjetske potrošnje energije uzrokovano je radom raznih sustava u

zgradama. Sustavi grijanja, hlađenja i klimatizacije čine glavni udio te potrošnje.

Glavna motivacija ovog diplomskog rada je optimizacija sustava grijanja, hlađenja i

klimatizacije primjenom naprednih algoritama upravljanja, kao i usporedba njihovog

rada s konvencionalnijim metodama upravljanja.

Modelsko prediktivno upravljanje metoda je optimalnog upravljanja koja se temelji

na poznavanju modela sustava kojim se upravlja, kao i predikcije budućih stanja i

ulaza u model. Sama metoda pronalazi početak implementacije u industrijskoj

automatizaciji 1980ih, gdje se primjenjivala u sklopu kemijskih postrojenja i uljnih

rafinerija. Razvojem ugradbenih mikroračunala primjena same metode postaje

moguća i u kućanstvima te je stoga potrebno utvrditi isplativost, prednosti i

nedostatke korištenja iste.

Razvojem znanosti materijala kao i same proizvodnje, sve dostupnijom postaje i

ugradnja sustava podnog grijanja. Inačice podnog grijanja datiraju čak 7000 godina

u prošlost te se kroz povijest konzistentno pojavljuju i opstaju u modernim

izvedbama, uvelike zahvaljujući idealnoj distribuciji topline u prostoriji koju takvi

sustavi omogućuju.

Principima na kojima se temelji rad podnog grijanja u novije vrijeme ostvareni su i

sustavi stropnog hlađenja. Stropno hlađenje preuzima toplinu iz prostorije,

osiguravajući distribuciju topline analognu distribuciji podnog grijanja.

Kapacitivna površina podnog grijanja osigurava postepenu promjenu temperature

prostorije. Kako bi se u slučajevima ekstremnih zahtjeva mogla osigurati i brza

promjena temperature, koristi se električni grijač.

Poglavlje 1 opisuje promatranu kuću i korištene gradivne materijale. U Poglavlju 2

detaljno su opisani zakoni prijenosa topline korišteni pri modeliranju kuće na temelju

analogije s RC mrežom. Poglavlje 3 pokriva proces izgradnje RC mreže - od

korištenja specifičnih vrijednosti kojima se opisuju različiti gradivni materijali do

konačnog RC modela kuće. Poglavlje 4 pokriva prijenos modela RC mreže u prostor

stanja. U Poglavlju 5 opisuje se sinteza algoritama modelsko prediktivnog i PI

upravljanja temperaturom prostorije. Poglavlje 6 daje simulacijske rezultate i

usporedbu dva navedena algoritma upravljanja.

2

1. Opis kuće

Slika 1.1. pokazuje nacrt kuće [1] na kojoj će se vršiti daljnje promatranje u ovom

radu. Kuću čine glavna prostorija, površine 56 m2 te vrt na južnoj strani, površine 9

m2. Ukupna vanjska površina kuće iznosi 74.5 m2.

Slika 1.1. Prikaz kuće.

3

Tablica 1.1. navodi gradivne elemente kuće redoslijedom kojim se oni pojavljuju u

elementima koje sačinjavaju (zid, pod i strop). U tablici nisu navedeni prozori, koji

su dvoslojni i ispunjeni argonom, a čija su svojstva detaljnije navedena u kasnijim

poglavljima.

Tablica 1.1. Komponente kuće i gradivni materijali.

Materijal

Toplinska vodljivost

[𝑾

𝒎 ⋅ 𝐊]

Specifični toplinski kapacitet

[𝒌𝑱

𝒌𝒈 ⋅ 𝐊]

Gustoća

[𝒌𝒈

𝒎𝟑]

Debljina sloja u zidu

[𝒎]

ZID

Gipskartonske ploče

0.25 700 980 0.03

Neprovjetravan sloj zraka

- 1004 1.2 0.03

OSB ploče 0.13 1700 650 0.015

Ovčja vuna 0.04 1000 50 0.2

Knauf FKL 0.041 1030 90 0.1

Drvo 0.15 2000 550 0.02

POD

Knauf FKL 0.041 1030 90 0.1

OSB ploče 0.13 1700 650 0.015

Ovčja vuna 0.04 1000 50 0.2

EPS 0.03 1500 36.9 0.02

Cement 0.48 1550 2162 0.03

Drvo 0.15 2000 550 0.02

STROP

Gipskartonske ploče

0.25 900 980 0. 015

EPS 0.03 1500 36.9 0.02

OSB ploče 0.13 1700 650 0.015

Ovčja vuna 0.04 1030 50 0.2

Knauf FKL 0.041 1030 90 0.1

Drvo 0.15 2000 550 0.02

4

2. Prijenos topline

Zakoni prijenosa topline u kontekstu RC mreže određuju model kuće i njegovo

vladanje, stoga je potrebno poznavati ih.

Toplina se prenosi na tri načina – kondukcijom, konvekcijom i radijacijom [2].

2.1. Kondukcija

Kondukcijom nazivamo prijenos toplinske energije s jedne molekule na drugu, do

čega dolazi zbog različitih temperatura molekula. U slučaju da postoji razlika u

temperaturama između dvije sobe, zrak u toplijoj sobi svoju toplinsku energiju

predaje zidu, kroz kojega se ona prenosi zbog razlike u temperaturi – kondukcijom.

Izraz za toplinski tok izazvan kondukcijom kroz kruto tijelo glasi:

𝐻 = −𝜆 ⋅ A ⋅

𝜕𝑇

𝜕𝑥 (2.1)

gdje je:

H – toplinski tok, [W]

λ – toplinska vodljivost [W

m⋅K]

A – površina kroz koju se prenosi toplina [𝑚2]

𝜕𝑇

𝜕𝑥 – temperaturni gradijent duž osi x

Izraz za toplinski tok izazvan kondukcijom prijenosa topline s fluida na kruto tijelo (u

ovom slučaju sa zraka na zid) glasi:

𝐻 = ℎ ⋅ 𝐴 ⋅ ∆𝑇 (2.2)

gdje je:

h – provodljivost, odnosno brzina izmjene topline između različitih medija u

neposrednom kontaktu [𝑊

𝑚2⋅𝐾]

∆𝑇 – temperaturna razlika među medijima koji izmjenjuju toplinu, [𝐾]

A – kontaktna površina između krutog tijela i fluida [𝑚2]

5

2.2. Konvekcija

Konvekcijom nazivamo prijenos toplinske energije do kojeg dolazi zbog gibanja

fluida. Gibanjem zraka, topliji zrak se izdiže, a hladniji spušta. Pri izdizanju toplijeg

zraka, dio topline prenosi se na zid kondukcijom, a ostatak energije ulaže se u

gibanje zraka. S druge strane tog zida, zid kondukcijom zagrijava čestice zraka koje

se počinju izdizati, stvarajući mjesto za hladnije čestice zraka, što čini još jedan

proces konvekcije.

Izraz za toplinski tok izazvan konvekcijom glasi:

𝐻 = 𝜌 ⋅ 𝑐 ⋅ 𝑇 ⋅ Q (2.3)

gdje je:

𝜌 – gustoća medija, [𝑘𝑔

𝑚3]

c – specifični toplinski kapacitet medija, [𝐽

𝑘𝑔⋅𝐾]

T – temperatura medija, [K]

Q – volumni protok medija, [𝑚3

𝑠]

2.3. Radijacija

Radijacijom nazivamo zračenje zagrijanog tijela. Zagrijano tijelo koje zrači u ovom

slučaju je zid, te on zrači u oba smjera.

Izraz za toplinski tok izazvan radijacijom glasi:

𝐻 = 𝜀 ⋅ 𝜎 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝑇4 (2.4)

gdje je:

𝜀 – emisijski faktor tijela,

𝜎 – Stefan-Boltzmannova konstanta, iznosa 5.6704⋅10-8[𝑊

𝑚2⋅𝑇4]

6

2.4. Toplinska energija i analogija sa strujnim krugom

Izraz za ukupnu toplinsku energiju tijela glasi:

𝐸 = 𝑐 ⋅ 𝑚 ⋅ 𝑇 (2.5)

gdje je:

c – specifični toplinski kapacitet medija, [𝐽

𝑘𝑔⋅𝐾]

m - masa tijela, [kg]

T – temperatura tijela, [K]

Promjena toplinske energije tijela jednaka je ukupnom utjecaju sva tri načina

prijenosa topline tijela, što se očituje zbrojem toplinskih tokova, po izrazu:

∆𝐸 = 𝑐 ⋅ 𝑚 ⋅

𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝐻𝑢𝑘 = ∑(𝐻𝑐𝑑 + 𝐻𝑐𝑣 + 𝐻𝑟) (2.6)

gdje je:

Hcd – ukupni kondukcijski tok

Hcv – ukupni konvekcijski tok

Hr – ukupni radijacijski tok

Za izradu modela kuće poslužit ćemo se analogijom koja postoji između toplinskog

procesa i električnog kruga. Tom analogijom, otpornik predstavlja toplinski otpor,

kondenzator predstavlja toplinski kapacitet tijela, struja predstavlja toplinski tok, a

napon u točki – temperaturu. Tako modeliran proces naziva se RC modelom [3], a

jednadžbe analogije na kojima je zasnovan glase:

𝐻 = ℎ ⋅ 𝐴 ⋅ ∆𝑇 ⇒ 𝑅 =

1

𝐻 ⋅ 𝐴 (2.7)

što pokazuje analogiju otpora pri kondukciji između fluida i tijela

𝐻 = −𝐾 ⋅ 𝜆 ⋅ A ⋅

𝜕𝑇

𝜕𝑥≈ 𝐻 = −𝜆 ⋅ 𝐴 ⋅

∆𝑇

∆𝑥⇒ 𝑅 =

∆𝑥

𝜆 ⋅ 𝐴 (2.8)

što pokazuje analogiju otpora pri kondukciji kroz tijelo

𝑐 ⋅ 𝑚 ⋅

𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝐻𝑢𝑘 ⇒ 𝑇 =

1

𝑚 ⋅ 𝑐∫ 𝐻𝑢𝑘 𝑑𝑡, 𝐶 = 𝑚 ⋅ 𝑐

∞

0

(2.9)

što pokazuje analogiju kapaciteta.

Navedene jednadžbe dovoljne su nam za potpuno modeliranje kuće.

7

3. Modeliranje RC Mreže

Pomoću jednadžbi (2.7)-(2.9) generiraju se parametri elemenata RC mreže, no

budući da neki od članova jednadžbi nisu izravno dostupni, potrebno je razjasniti

kako se oni dobivaju. Kroz ovo poglavlje bit će definirani načini korištenja navedenih

jednažbi uz podatke koji su dostupni prethodno izvršenju simulacije (Tablica 1.1.) te

će biti pojašnjeni načini spajanja parametriranih elemenata u strukture koje

predstavljaju analogiju strukturama u stvarnim zgradama.

3.1. Modeliranje zida

Na primjeru zida definira se nekoliko bitnijih čimbenika u RC modeliranju – razlika

između interakcije zraka i krute tvari pri prijenosu energije te prijenosa energije kroz

samu krutu tvar, sve u kontekstu pravilnog odabira jednadžbi za parametriranje RC

elemenata.

RC zid (Slika 3.1.) određen je, između ostalog, pomoću dva lica – vanjskog i

unutarnjeg. Svako od tih lica posjeduje svojstvo temperature, odnosno stanje

temperature, uvjetovano okružujućim stanjima, kao i parametrima RC elemenata

preko kojih stanja dolaze u interakciju. Temperatura pojedinog lica očitava se kao

razlika potencijala čvora i uzemljenja, odnosno kao napon čvora.

Slika 3.1. Prikaz RC zida.

8

Slika 3.1. prikazuje RC zid u stanju gdje je vanjsko lice zida pri višoj temperaturi

(Tcv) od unutarnjeg lica zida (Tcu). U tako definiranom sustavu, prijenos topline

odvija se na sljedeći način:

• konvekcijsko strujanje pri vanjskom licu zida donosi topliji zrak čija se energija

zatim prenosi na zid kondukcijom, što je otežano toplinskim otporom

predstavljenim otpornikom R_vani

• vanjsko lice zida posjeduje svojstvo toplinskog kapaciteta (odnosno

energetske zalihe), što je predstavljeno otpornikom C_vani

• kondukcijom se kroz zid propagira energija, što je otežano otpornikom R_zid

• unutarnje lice zida također posjeduje svojstvo toplinskog kapaciteta, što je

predstavljeno pomoću C_unutra

• kondukcijom se preko otpornika R_unutra energija s hladnijeg lica zida

prenosi na zrak koji također provodi konvekcijsko strujanje

Kako bi se definirali parametri RC elemenata, potrebno je jednadžbe (2.7)-(2.9)

povezati s konkretnim elementima RC zida te uvesti ekvivalencije kojima poznatim

svojstvima materijala definiramo nepoznata. Izrazi kojima definiramo takav postav

glase:

𝑅𝑣𝑎𝑛𝑖 =

1

ℎ𝑣𝑎𝑛𝑖 ⋅ 𝐴 (3.1)

𝐶𝑣𝑎𝑛𝑖 = 𝐶𝑢𝑛𝑢𝑡𝑟𝑎 =

𝑚 ⋅ 𝑐

2=

𝜌 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝑐

2 (3.2)

𝑅 =

𝐿

𝜆 ⋅ 𝐴 (3.3)

𝑅𝑢𝑛𝑢𝑡𝑟𝑎 =

1

ℎ𝑢𝑛𝑢𝑡𝑟𝑎 ⋅ 𝐴 (3.4)

gdje je:

hvani – provodljivost na vanjskom licu zida, [𝑊

𝑚2⋅𝐾]

m – masa zida, [kg]

c – specifični toplinski kapacitet zida, [𝐽

𝑘𝑔⋅𝐾]

𝜌 – gustoća zida, [𝑘𝑔

𝑚3]

L – debljina zida, [m]

A – površina zida, [m2]

hunutra – provodljivost na unutarnjem licu zida, [𝑊

𝑚2⋅𝐾]

9

3.2. Modeliranje prozora

Pri toplinskom dozračivanju prozora, dio dozračenja se reflektira, a dio se prenosi

kroz prozor. Omjer reflektiranog i proslijeđenog toplinskog toka daje koeficijent

prijenosa koji određuje (s obzirom na korišteno staklo) parametre toplinskog otpora

prozora. S obzirom da prijenosom topline kroz prozor temperatura pokazuje

zanemariv pad, i toplinski kapacitet prozora se smatra zanemarivim, stoga je

konačan prikaz RC prozora kao na Slici 3.2..

Slika 3.2. Prikaz RC prozora.

3.3. Sunčeva dozračenost

Sunčeva dozračenost u sustavu čini toplinski tok. Kao što je navedeno, u RC

modeliranju toplinski tok predstavlja struju, stoga se sunčeva dozračenost modelira

kao strujni izvor. Budući da se sunčeva dozračenost ne prenosi sustavu u potpunosti

već u iznosu određenom svojstvima materijala, uvodi se koeficijent apsorpcije

materijala s kojim je dozračenost u interakciji te se konačni model dozračenosti

opisuje kao na Slici 3.3.

Slika 3.3. Prikaz RC dozračenja Sunca.

1

T_vani

+

R_vani

+

R_prozor

+

R_unutra

2

T_unutra

s

-+

Controlled Current Source1

Dozracenje_S

Sunceva radijacija

1

T_vani

+

R_vani

+

R_zida

+

C_vani

10

3.4. Model poda

Modeliranje RC poda vrši se analogno modeliranju RC zida. Toplinsko dozračenje

tla predstavljeno je kao konstantnih 10°C te se (budući da se u sustav uvodi kao

temperatura, a ne toplina,) u RC mrežu uvodi kao naponski izvor. U model poda kao

strujni izvor uvodi se podno grijanje (na mjestu djelovanja doznačenim na Slici 3.4.)

koje djeluje kroz sloj cementa. Kako bi se spriječio odnosno smanjio odljev topline

(te tako smanjila potrošnja) ispod cementa je postavljen sloj EPS-a [4] (Expanded

polystyrene, stiropor), koji na taj način čini primarni izolator.

Slika 3.4. Prikaz RC modela poda uz (crvenim krugom) doznačen ulaz podnog grijanja.

11

3.5. Model stropa

Modeliranje RC stropa također se vrši analogno modeliranju RC zida. U model

stropa uvodi se stropno hlađenje (na mjestu djelovanja doznačenim na Slici 3.5.)

kao strujni izvor koji djeluje kroz sloj gipsa. Primarni izolator u ovom slučaju je

također sloj EPS-a uveden izravno iznad gipsa.

Slika 3.5. Prikaz RC modela stropa uz (crvenim krugom) doznačen ulaz stropnog hlađenja.

12

3.6. Model sobe

Soba u stvarnosti predstavlja spremnik toplinske energije koju u kontekstu grijanja i

hlađenja želimo održati unutar određenih granica, stoga se u kontekstu RC mreže

soba predstavlja kondenzatorom. Na taj kondenzator spajaju se sve okružujuće

strukture (zidovi, pod, strop i prozori), no zbog jednostavnosti prikaza je na Slici 3.6.

sobni kondenzator prikazan između samo 2 zida. Na sobu se također djeluje i

pomoćnim električnim grijanjem, tako da je i mjesto djelovanja istog doznačeno na

slici. Grijanje se i ovdje uvodi kao strujni izvor.

Slika 3.6. Prikaz RC sobe uz (crvenim krugom) doznačen ulaz električnog grijanja.

Iznos kapaciteta pojedine sobe dobiva se koristeći izraz:

𝐶𝑠𝑜𝑏𝑒 = 𝑚𝑧𝑟𝑎𝑘𝑎 ⋅ 𝑐𝑧𝑟𝑎𝑘𝑎 = 𝜌𝑧𝑟𝑎𝑘𝑎 ⋅ 𝑉𝑠𝑜𝑏𝑒 ⋅ 𝑐𝑧𝑟𝑎𝑘𝑎 (3.5)

gdje je:

𝑚𝑧𝑟𝑎𝑘𝑎 – masa zraka u sobi, [kg]

𝜌𝑧𝑟𝑎𝑘𝑎 – gustoća zraka u sobi, [𝑘𝑔

𝑚3]

𝑉𝑠𝑜𝑏𝑒 – volumen sobe [m3]

𝑐𝑧𝑟𝑎𝑘𝑎 – specifični toplinski kapacitet zraka, [𝐽

𝑘𝑔⋅𝐾]

Koristeći navedene formulacije u potpunosti je definirana RC mreža (prikazana na

Slici 3.7.) koja opisuje vladanje kuće s ugrađenim aktuatorima grijanja i hlađenja.

Tzid1_11

T_vani

+

R_vani

+

R_zid1

+

C_vani

+

C_unutra

+

R_unutra

+

C_sobe

+

R_unutra

+

R_zid2

+

C_unutra

+

C_vani

2

T_vani

+

R_vani

Tzid2_1Tzid1_2 Tzid2_2Tsoba

13

Slika 3.6. Prikaz RC modela kuće.

14

4. Prostor stanja

Kako bi se u opisani sustav moglo uvesti modelsko prediktivno upravljanje, potrebno

je dobiti zapis sustava odnosno njegov model u prostoru stanja. Prvi korak u

dobivanju modela je postav ulaza i izlaza.

Ulazi u model sadrže sunčevu dozračenost, temperaturu tla te snage grijanja i

hlađenja. Redom kojim su postavljeni u modelu, ulazi sustava glase:

1. snage električnog aktuatora

2. snage podnog aktuatora

3. snage stropnog aktuatora

4. sunčeva dozračenost na strop sobe

5. sunčeva dozračenost na sjeverni zid sobe

6. sunčeva dozračenost na zapadni zid sobe

7. sunčeva dozračenost na istočni zid sobe

8. sunčeva dozračenost na zapadni zid vrta

9. sunčeva dozračenost na južni prozor

10. sunčeva dozračenost na istočni prozor

11. vanjska temperatura

Izlaze iz modela predstavljaju stanja čija se vrijednost želi mjeriti i/ili ona kojima se

želi upravljati.

Redom kojim su postavljeni u modelu, izlazi sustava glase:

1. temperatura prostorije

2. temperatura podne površine

3. temperatura stropne površine

Nakon definiranja ulaza i izlaza modela, proces dobivanja zapisa modela u prostoru

stanja nastavlja se koristeći naredbu linmod. Naredba generira matrice A, B, C i D

odnosno matrice kontinuiranog prostora stanja.

15

U nastavku rada potrebno je imati i matrice diskretnog prostora stanja, stoga su

generirane iz kontinuiranih po vremenu uzorkovanja od 1h. Slika 4.1. prikazuje

usporedbu slobodnog vladanja sustava određenog RC mrežom te sustava

određenih matricama kontinuiranog i diskretnog prostora stanja.

Slika 4.1. Usporedba vladanja neupravljanih sustava RC modela, kontinuiranog i diskretnog prostora stanja na

razini mjeseca (gore) i dana (dolje).

16

5. Sustavi upravljanja aktuatorima

5.1. Modelsko prediktivno upravljanje

5.1.1. Koncept

Modelsko prediktivno upravljanje (MPC) [5,6] je metoda upravljanja temeljena na

korištenju modela procesa kako bi se generirale pretpostavke o budućim stanjima

upravljanog procesa te tako optimizirali iznosi ulaza u proces u svrhu održavanja

sustava u određenom referentnom rasponu.

Općeniti algoritam MPC-a glasi – u svakom iteracijskom trenutku t=kT, gdje je k broj

iteracije, a T vrijeme uzorkovanja, pomoću modela procesa i predviđenih

nadolazećih smetnji modela duž predikcijskog horizonta N stvara se opći zapis

izlaza procesa ovisan o ulazima čiji je iznos potrebno odrediti. U tako definiranom

sustavu potrebno je postaviti mjerilo prema kojem će se odrediti iznosi ulaza. To

mjerilo naziva se funkcija cilja i ono glasi:

𝐽 = argmin

𝑈𝑡

∑|𝑅 ∙ 𝑢𝑡+𝑘|

𝑁−1

𝑘=0

, (5.1)

pri čemu su:

𝑥𝑡 = 𝑥(𝑡) – trenutno stanje sustava

𝑥𝑡+𝑘+1 = 𝐴 ∙ 𝑥𝑡+𝑘 + 𝐵𝑑 ∙ 𝑑𝑡+𝑘 + 𝐵𝑢 ∙ 𝑢𝑡+𝑘 – model sustava

𝑥𝑡+𝑘 ∈ 𝛸 – ograničenja stanja sustava

𝑢𝑡+𝑘 ∈ 𝑈 – ograničenja ulaza sustava

𝑈𝑡 = {𝑢𝑡 , 𝑢𝑡+1. . 𝑢𝑡+𝑁−1} – optimizacijske varijable

𝑅 – težinska matrica ulaza

Tako je definiran sustav u kojemu se funkcija cilja (5.1) izvršava svakih T s, uz

postav modela sustava, kao i ograničenja duž horizonta. Model sustava kroz

optimizacijske varijable daje vrijednosti duž cijelog horizonta, no na sustav se

primjenjuju samo vrijednosti proračunate za k=1. Cijeli proces se ponavlja u idućem

pozivu MPC-a, uzevši u obzir novo trenutno stanje sustava.

17

5.1.2. Izvedba

Model MPC upravljanja izveden je pomoću YALMIP [7] toolboxa u Matlabu [8].

Pripremanje podataka za YALMIP procesiranje i sami poziv YALMIP MPC-a

izveden je pomoću Level 2 s-funkcije.

Prije samog poziva MPC-a potrebno je pripremiti određene parametre. Oni glase:

𝑛𝑥 = 67 – ukupan broj stanja procesa, dimenzije matrice A (nx x nx)

𝑛𝑢 = 3 – ukupan broj upravljivih ulaza procesa, odnosno aktuatora

𝑛𝑑 = 9 – ukupan broj vanjskih poremećaja koji djeluju na proces

𝑅 = [3 0 00 1 00 0 1

] – težinska matrica aktuatora. Pokazuje međusobne odnose cijene

pri korištenju pojedinih aktuatora. Podešena je tako da daje prednost podnom

grijanju, čineći tako električni aktuator sporednim

𝑁 = 12 – predikcijski horizont, u ovom slučaju 12 sati

Slijede definicije YALMIP-specifičnih struktura:

𝑢 – simbolična varijabla (koja predstavlja set aktuatora) preko koje se vrši

optimizacija

𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛𝑡𝑠 – definirana ograničenja ulaza i stanja, odnosno izlaza procesa

𝑜𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 – funkcija cilja, definirana prethodno jednadžbom (5.1)

Prije same provedbe algoritma, potrebno je još definirati jedan aspekt predikcije –

vremensku prognozu. Vremensku prognozu čine dobavljeni podaci o vanjskim

vremenskim uvjetima duž cijelog horizonta, odnosno za idućih 12 sati.

Samo iteriranje provodi se na sljedeći način – u svakoj točki duž horizonta definira

se vektor stanja modela ovisan o prethodnim stanjima, vremenskoj prognozi za

specifičnu točku duž horizonta i o simboličnom zapisu ulaza. Točka duž horizonta

postavlja se u kontekst vremena u danu i vremena u godini te se na temelju toga

postavljaju ograničenja na raspon referentne temperature (Slika 5.1.) i raspon snaga

aktuatora (Slika 5.2.). Kao mjera zaštite ograničena je i temperatura podne površine,

na način da korištenjem podnog grijanja ne prelazi 28°C. Uz postavljena

ograničenja, preko funkcije cilja koristeći solver MOSEK [9] obavlja se sama

optimizacija, definirajući tako iz simboličnih ulaza aktuatora stvarne ulaze.

Simulacijska shema ovako upravljanog sustava prikazana je na Slici 5.3..

18

Slika 5.1. Dozvoljeni raspon referentne temperature kroz dan.

Slika 5.2. Postavljena ograničenja snage aktuatora kroz godinu.

19

Slika 5.2. Simulink shema MPC upravljanog sustava.

20

5.2. PI upravljanje

U svrhu usporedbe s MPC upravljanjem, razvijen je i sustav upravljanja pomoću PI

regulatora. Da bi usporedba bila valjana, ostvaren je analogan način promjene

referentne temperature, prikazan na Slici 5.4.. Kako bi električni aktuator i u ovoj

konfiguraciji bio izveden kao pomoćni, uvedeno je ograničenje prema kojem smije

djelovati samo u slučaju razlike referentne i trenutne temperature veće od 0.5°C te

u slučaju kada temperatura podne površine djelovanjem podnog grijanja prelazi

temperaturu 27°C, čime je ostvareno i osiguranje od pregrijavanja. Vremena

djelovanja pojedinih aktuatora postavljena su kao i u MPC konfiguraciji, odnosno

kao na Slici 5.2.. Simulacijska shema ovako upravljanog sustava prikazana je na

Slici 5.5..

Slika 5.4. Postav referentne temperature PI upravljanog sustava na dan u sezoni grijanja (lijevo) i dan u sezoni

hlađenja (desno).

21

Slika 5.5. Simulink shema PI upravljanog sustava.

22

6. Rezultati

U nastavku promatramo rezultate implementacije MPC i PI modela upravljanja.

Slika 6.1. Temperatura prostorije MPC upravljanog sustava u jednom danu za vrijeme sezone grijanja.

Slika 6.2. Temperatura prostorije MPC upravljanog sustava u jednom danu za vrijeme sezone hlađenja.

23

Slika 6.3. Usporedan prikaz temperature prostorije i poda, kao i snage aktuatora grijanja MPC upravljanog

sustava u jednom danu za vrijeme sezone grijanja.

Slika 6.4. Usporedan prikaz temperature prostorije i snage aktuatora hlađenja MPC upravljanog sustava u

jednom danu za vrijeme sezone hlađenja.

24

Slika 6.5. Temperatura prostorije i snage aktuatora MPC upravljanog sustava kroz godinu.

25

Slika 6.6. Temperatura prostorije PI upravljanog sustava u jednom danu za vrijeme sezone grijanja.

Slika 6.7. Temperatura prostorije PI upravljanog sustava u jednom danu za vrijeme sezone hlađenja.

26

Slika 6.8. Usporedan prikaz temperature prostorije i poda, kao i snage aktuatora grijanja PI upravljanog

sustava u jednom danu za vrijeme sezone grijanja.

Slika 6.9. Usporedan prikaz temperature prostorije i stropa, kao i snage aktuatora hlađenja PI upravljanog

sustava u jednom danu za vrijeme sezone hlađenja.

27

Slika 6.10. Temperatura prostorije i snage aktuatora PI upravljanog sustava kroz godinu.

28

Za usporediti metode upravljanja provedena je analiza potrošnje i praćenja

referentnog signala.

Potrošnja je promatrana prema zasebnim zahtjevima aktuatora, kao i sumi

apsolutnih iznosa snage aktuatora (za predstaviti ukupnu potrošnju). Ostvareno je:

MPC PI

𝐸𝑒𝑙𝑒 = 25.069 𝑘𝑊ℎ 𝐸𝑒𝑙𝑒 = 5.0876 𝑘𝑊ℎ

𝐸𝑝𝑜𝑑 = 0.5958908 𝑀𝑊ℎ 𝐸𝑝𝑜𝑑 = 0.6214557 𝑀𝑊ℎ

𝐸𝑠𝑡𝑟𝑜𝑝 = 0.1808498 𝑀𝑊ℎ 𝐸𝑠𝑡𝑟𝑜𝑝 = 0.1832483 𝑀𝑊ℎ

𝐸𝑢𝑘𝑢𝑝𝑛𝑜 = 0.8018095 𝑀𝑊ℎ 𝐸𝑢𝑘𝑢𝑝𝑛𝑜 = 0.8097917 𝑀𝑊ℎ

Korištenjem MPC-a ostvarena je ušteda u iznosu 7.982 kWh, što predstavlja 1%

uštede.

Potrošnja električne energije promatrana je i po kriteriju cijene. Cijena je uračunata

kao 0.52602 kn/kWh u dnevnoj tarifi te 0.25764 kn/kWh u noćnoj, gdje je dnevna

tarifa određena periodom od 7 do 21 sat u zimskom računanju vremena, a u ljetnom

od 8 do 22 sata [10]. Ostvareno je:

𝐶𝑖𝑗𝑒𝑛𝑎𝑀𝑃𝐶 = 245.08 𝑘𝑛

𝐶𝑖𝑗𝑒𝑛𝑎𝑃𝐼𝐷 = 373.72 𝑘𝑛

Korištenjem MPC-a ostvarena je ušteda u iznosu 128.64 kn, što predstavlja 34.42%

uštede.

Mjera praćenja referentnog signala određena je prema:

∆ = ∑(𝑇𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑛𝑎(𝑖) − 𝑇𝑝𝑟𝑜𝑠𝑡𝑜𝑟𝑖𝑗𝑒̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ (𝑖))2

𝑛

𝑖

(6.1)

gdje je 𝑇𝑝𝑟𝑜𝑠𝑡𝑜𝑟𝑖𝑗𝑒̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ usrednjena temperatura prostorije kroz sat vremena, a i trenutak

u kojemu je referentna temperatura većeg energetskog zahtjeva. Ostvareno je:

∆𝑀𝑃𝐶 = 636.23 ∆𝑃𝐼𝐷 = 841.56

Korištenjem MPC-a prema navedenom kriteriju ostvareno je 24% bolje praćenje

referentne temperature unutar perioda 6 do 18h.

29

7. Zaključak

Poznavanjem konstrukcije stambene jedinice moguće je projektirati vrlo precizan

RC model iste, temeljem kojega se u sustav može ugraditi modelsko prediktivno

upravljanje. Modelsko prediktivno upravljanje u uvjetima promjenjive referentne

temperature naspram standardnog PI upravljanja pokazuje zamjetno konzistentnije

praćenje referentne temperature, kao i smanjenu potrošnju električne energije.

Aktuatori podnog grijanja u kombinaciji s električnim ostvaruju responzivan odziv i

precizno praćenje referentne veličine, a aktuator stropnog hlađenja sam po sebi

ostvaruje veliku dinamiku u istim područjima.

30

8. Literatura

[1] P. Marenzi „Upravljanje grijanjem i hlađenjem prostorije obavijene ovojnicom

koja uključuje napredne materijale“, diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu Fakultet

elektrotehnike i računarstva, Zagreb, 2013.

[2] A. Starčić „Modeliranje i upravljanje toplinskim procesom u zgradi“, završni rad,

Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva, Zagreb, 2010.

[3] T. X. Nghiem, M. Behl, G. J. Pappas, R. Mangharam „Green Scheduling for Radiant

Systems in Buildings“, Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control,

Maui, Hawaii, SAD, pp. 7577 - 7582, 2012.

[4] Young-Sun Jeong and Hae-Kwon Jung, “Thermal Performance Analysis of

Reinforced Concrete Floor Structure with Radiant Floor Heating System in

Apartment Housing,” Advances in Materials Science and Engineering, vol. 2015,

Article ID 367632, 7 pages, 2015. doi:10.1155/2015/367632

[5] M. Vašak, A. Martinčević „Optimal Control of a Family House Heating System“,

Proceedings of the 36th MIPRO, Opatija, Hrvatska, pp. 1145-1150, 2013.

[6] J. B. Rawlings and D. Q. Mayne, „Model Predictive Control: Theory and Design“,

Nob Hill Publishing, Madison, WI, USA, 2009.

[7] J. Löfberg, „YALMIP : A Toolbox for Modeling and Optimization in MATLAB“,

2004.

[8] The Mathworks Inc., Matlab 2016a, „User's Guide“; Natick, MA, SAD.

www.mathworks.com

[9] MOSEK ApS, "The MOSEK optimization toolbox for MATLAB manual. Version

7.1 (Revision 28).", 2015., http://docs.mosek.com/7.1/toolbox/index.html

[10] HEP Opskrba – Cjenik, http://hepi.hep.hr/cjenik, 18.6.2017.

31

9. Sažetak

U sklopu ovog rada opisan je matematički model kuće koja je opremljena podnim

grijanjem, električnim grijanjem te stropnim hlađenjem, pri čemu je iskorištena

analogija termodinamičkih procesa s RC mrežom. Dobiveni matematički model

realiziran je u programskom paketu Matlab te je iskorišten za regulaciju temperature

kuće primjenom modelskog prediktivnog upravljanja. Osmišljen je i sustav

upravljanja dostupnim aktuatorima pomoću PI regulatora. Naposljetku su

prezentirani simulacijski rezultati implementacije oba sustava upravljanja, uz

usporedbu potrošnje energije, kao i postignutog komfora.

Ključne riječi:

podno grijanje; električno grijanje; stropno hlađenje; Simulink; RC-mreža; MPC

32

10. Summary

This thesis describes the principles of mathematical modelling of a house equipped

with floor heating, electrical heating, and ceiling cooling, based on an analogy of

thermodynamic processes with RC networks. The obtained mathematical model is

implemented in Matlab and is then used in the design of the model predictive

controller that regulates house temperature. A PI controller is also synthesized for

the same system. Finally, simulation results for both control algorithms are

presented and compared in terms of energy consumption and achieved comfort.

Key words:

floor heating; electrical heating; ceiling cooling; Simulink; RC-network; MPC