Fizi�cki FakultetFedor HerbutKVANTNA MEHANIKAza istra�ziva�ce

Univerzitet u Beogradu, 1999.

PREDGOVORU razvoju svake nauke dode vreme kada se kvantitet preto�ci u novi kvalitet i doti�cna oblast,izgradjivana mukotrpnim induktivnim putem, staje na svoje noge i postaje deduktivna. Tadapitanja "kako su ljudi do�sli do ovog ili onog saznanja", koja su ranije uzbudjivala radoznalce,moraju da ustupe mesto pitanjima o logi�ckom statusu pojedinih zaklju�caka u sklopu deduktivnogzdanja doti�cne oblasti.U ranijim ud�zbenicima je intuicija slu�zila kao most za preno�senje znanja na �citaoce. On jevarljiv i nepouzdan: koliko god da je �cvrst i solidan sa onog kraja gde je pisac knjige, mo�ze bitisav tro�san i izlomljen sa drugog kraja gde je �citalac. U deduktivnom prilazu, kakav je usvojenu ovom ud�zbeniku, polazi se od nekoliko osnovnih postavki ili postulata, koji imaju zna�cenjeosnovnih zakona mikrosveta, a ostalo se prepu�sta preciznim i mo�cnim algoritmima matematike.Unapred pripremljena, ona predstavlja pouzdan i siguran most za preno�senje znanja. �Sto se ti�ceintuicije, o�cekuje se da se stvara uporedo sa sticanjem znanja, jer se na saznanjima klasi�cne �zikeionako nije mogla formirati.Po�zeljno je da se matemati�cki aparat kvantne mehanike (linearna algebra i elementi linearneanalize) savlada pre same kvantne mehanike, kao �sto se i znanja klasi�cne �zike grade na ve�cpolo�zenim temeljima diferencijalnog i integralnog ra�cuna. Po�sto u vreme pisanja ud�zbenikaovaj cilj nije bio u potpunosti postignut ni na istra�ziva�ckom smeru �zike PMF-a u Beogradu (aovaj ud�zbenik je prvenstveno namenjen i prilagoden njemu), usput sam ubacivao matemati�ckepodsetnike koji bez dokaza rezimiraju neko matemati�cko gradivo potrebno za asimilaciju kvantno-mehani�ckog �stiva.Kao �sto �ce �citalac videti, u ud�zbeniku se mnogo koristi "aritmetika" kvantne mehanike:ortogonalni zbir potprostora stanja ("sabiranje"; po �zi�ckom smislu povezano je sa mogu�cnostimarezultata merenja), razlaganje na ortogonalne potprostore ("oduzimanje"), tenzorsko mno�zenjefaktor prostora stanja ("mno�zenje"; �zi�cki zna�ci spajanje podsistema u nadsistem) i najzadtenzorsko faktorisanje ("delenje"). U poredenju sa starijim ud�zbenicima, u kojima je pomenuta"aritmetika" manje uo�cljiva, ovaj ud�zbenik se na prvi pogled �cini slo�zenijim i nepristupa�cnijim.Ali, po�sto se bez tih matemati�ckih pojmova u stvari ne mo�ze, lak�se se usvajaju znanja uz njihovoeksplicitno kori�s�cenje. Poznavalac kvantne mehanike se njima koristi samo implicitno. Stoga ihna kraju kursa treba zanemariti ba�s kao �sto i skele, nu�zne u fazi gradnje, postaju na krajusuvi�sne.Teorija uglovnog momenta je izlo�zena (na kraju prvog i na po�cetku drugog dela) detaljnijenego �sto je uobi�cajeno da bi �citalac imao jedan va�zan i precizno uraden uzor na koji, po analogiji,mo�ze da nadove�ze tretiranje bilo koje simetrije �zi�ckog sistema.Zvezdicom neobele�zene partije ud�zbenika pola�zu studenti istra�ziva�ckog smera �zike (teo-reti�cari i eksperimentatori), a ceo ud�zbenik pola�zu poslediplomci smera teorijske �zike. Za razlikui

iiod poznatog ud�zbenika kvantne mehanike A. Messiah-a, gde se gradivo izla�ze na dva nivou u dvakoncentri�cna kruga (na njega sam se najvi�se oslanjao u pisanju ovog dela), u ovom ud�zbeniku jecelo gradivo izlo�zeno na jednom jedinstvenom (istra�ziva�ckom) nivou (u jednom krugu). Zvezdi-com ozna�cene partije daju vi�se pojedinosti, dokaze, itd., ali ne i vi�si nivo sagledavanja materije.Izlaganje je propra�ceno ra�cunskim zadacima (bez datih re�senja), �ciji je cilj da navedu �citaocada aktivno usvaja gradivo. Oni ne mogu da zamene ra�cunske ve�zbe (na osnovu neke zbirkezadataka), koje su neophodne radi sticanja operativnog znanja bez kojeg samo teorijsko znanjekvantne mehanike nije dovoljno za istra�ziva�ca.Autor je unapred zahvalan za sve primedbe koje �ce mu dovoljno zainteresovani �citaoci pismenoili usmeno dostaviti.12. januara 1982. prof. Fedor Herbut

Sadr�zaj1 � IDEJNE OSNOVE KVANTNE MEHANIKE 11.1 Dva prosta i tipi�cna kvantna eksperimenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Uvod (1) 2. Eksperimentalni uredaj (1) 3. Rezultati (1) 4. Diskusija (2) 5. Misaoni eksperiment (3) 6. Diskretna detekcija(3) 7. Interferencija sa samim sobom (4) 8. Eksperiment sa semire ektivnim ogledalom (4) 9. Prednost eksperimenta sa ogledalima(5)1.2 Princip neodredenosti i komplementarnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61. Eksperimenti sa ogledalima (6) 2. Razaranje interferencije (6) 3. Nerazdvojivost objekta i mernog aparata (7) 4. Principneodredenosti (7) 5. Komplementarnost (7) 6. Paradoksalnost (8)1.3 Princip superpozicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81. Superpozicija stanja (9) 2. Koe�cijenti u superpoziciji (9) 3. Linearna polarizacija (10) 4. Nelinearne polarizacije (11) 5.Princip superpozicije (11)1.4 Osnovni statisti�cki pojmovi u �zici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121. Statisti�cki ansambl (12) 2. Osnovne vrste statisti�ckih ansambala (12) 3. Preparacija ansambla (12) 4. Stohasti�cke varijable idistribucije po dogadajima (13) 5. Verovatno�ca (13) 6. Klasi�cni prostor dogadaja (14) 7. Uslovna verovatno�ca (15) 8. Srednjavrednost (16) 9. Gustina verovatno�ce (16) 10. Neodredenost distribucije (16) 11. O�stra vrednost varijable (17) 12. Me�sanjeansambala (18) 13. Vremenska evolucija (18) 14. Selektivno i neselektivno merenje (18) 15. Prediktivno i retrospektivno merenje(19) 16. Promena ansambla pri merenju (19)2 STATISTI�CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKE 212.1 Stanja, opservable i verovatno�ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211. �Cisti kvantni ansambli (21) 2. Postulat o stanjima (22) 3. Postulat o opservablama (23) 4. Spektralna forma hermitskogoperatora (24) 5. Postulat o verovatno�ci rezultata (25) 6. Verovatno�ca odredene vrednosti opservable (26) 7. Drugi vid formule zaverovatno�cu (26) 8. Interferencija (27)2.2 Pojedina�cni sistemi i srednja vrednost opservabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281. Kvantne osobine ili dogadaji (28) 2. Svojstveni problem projektora (28) 3. O�stra vrednost i svojstveni problem opservable (29)4. Postulat o pojedina�cnim kvantnim sistemima (30) 5. Apsolutna nemogu�cnost i pojedina�cni kvantni sistemi (31) 6. O�stra vrednostopservable | puno zna�cenje (31) 7. Pojedini brojevi kao rezultati merenja (32) 8. Srednja vrednost opservable (32)2.3 Kontinualni spektar opservabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331. Matemati�cka rekapitulacija uop�stenih vektora i kontinualnog spektra (33) 2. Gustina verovatno�ce (37) 3. Rezultati merenja izkontinualnog spektra (37) 4. Srednja vrednost (38) 5. � Borel-ovo �-polje realne ose (38)2.4 Kompatibilne opservable i merenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391. Kompatibilne opservable (39) 2. Kompletan skup kompatibilnih opservabli (39) 3. Dopunjavanje nekompletne opservable (41)4. Merenje (42) 5. Promena stanja pri merenju | nedegenerisana svojstvena vrednost (43) 6. Kako se vektor stanja pridru�zujeansamblu (43) 7. Verovatno�ca prelaza (44) 8. Promena stanja pri merenju | degenerisana svojstvena vrednost (44) 9. Uslovnaiii

iv SADR�ZAJverovatno�ca (45) 10. Prediktivno i retrospektivno merenje i preparacija (45) 11. � Dodatak | dokaz teorema 4 (46)2.5 Kvantizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471. Poisson-ove zagrade (47) 2. Osnovni skupovi varijabli i opservabli (48) 3. Postulat o kvantizaciji varijabli (48) 4. Uloga konstante~ i imaginarne jedinice (49) 5. Princip korespondencije i matemati�cki smisao postulata (49) 6. Komutaciona relacija koordinate iimpulsa (50) 7. Ideja odredivanja prostora stanja Hx (50) 8. Operatori, analiti�cke funkcije operatora i izvod po operatoru (51)9. Komutatorska pravila (51) 10. Komutatori sa analiti�ckim funkcijama (52) 11. Svojstveni problem opservable koordinate (52)12. Neke matemati�cke osobine operatora x (53) 13. Odredivanje prostora Hx (54) 14. Delovanje operatora x (54) 15. Delovanjeoperatora px (55) 16. Zavr�sne napomene (56)2.6 Izgradnja prostora stanja za jednu i vi�se realnih �cestica . . . . . . . . . . . . . . . 561. Osnovne komutacione relacije (56) 2. Razlaganje osnovnog skupa opservabli i uloga direktnog proizvoda prostora stanja (57) 3.Matemati�cki podsetnik | direktni proizvod Hilbert-ovih prostora (57) 4. Odredivanje orbitnog prostora stanja Ho (59) 5. Delovanjeosnovnog skupa opservabli u Ho (60) 6. Orbitni prostor stanja i razli�cite �cestice (60) 7. Klasi�cni prostor stanja za vi�se �cestica (61)8. Kvantno-mehani�cki prostor stanja za vi�se �cestica H(o)1:::N (61) 9. Delovanje osnovnog skupa opservabli u H(o)1:::N (62)2.7 Op�sta teorija reprezentovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621. Ideja reprezentovanja (62) 2. Izbor reprezentacije (63) 3. Formule diskretne reprezentacije (64) 4. Formule kontinualnereprezentacije (66) 5. Srednje vrednosti u reprezentaciji (67) 6. Svojstveni problem u reprezentaciji (68) 7. Transformaciona teorijadiskretnih reprezentacija (69) 8. Veza sa matematikom (70) 9. Transformaciona teorija sa kontinualnom reprezentacijom (70)2.8 Koordinatna reprezentacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711. Koordinatna reprezentacija 1D �cestice (71) 2. Koordinata i impuls u koordinatnoj reprezentaciji (72) 3. Talasna mehanika (73)4. Trodimenzionalna �cestica (73) 5. Direktni proizvod talasnih funkcija (73) 6. Koordinatna reprezentacija za 3D �cesticu (74) 7.Koordinatna reprezentacija za sistem od N �cestica (74)2.9 Impulsna i energetska reprezentacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751. Skoro simetri�cna uloga impulsa i koordinate (75) 2. Impulsna reprezentacija u Hx (75) 3. Transformacija sa koordinatnereprezentacije na impulsnu (76) 4. Uop�stenje na jednu i vi�se �cestica (77) 5. Energetska reprezentacija (77)3 DINAMIKA KVANTNE MEHANIKE 793.1 Integralni vid zakona kretanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791. Dinami�cka podela �zi�ckih sistema | kvalitativna verzija (79) 2. Fizi�cke ideje u postulatu o zakonu kretanja (80) 3. Evolucionioperator (81) 4. Hamiltonijan (82) 5. Veza izmedu evolucionog operatora i hamiltonijana (83) 6. Dinami�cka podela | preciznije(84) 7. *Dyson-ov red (86) 8. Konzervativni sistemi (87) 9. Lie-eva grupa vremenskih translacija (87)3.2 Diferencijalni vid zakona kretanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881. Schr�odinger-ova jedna�cina (88) 2. Stacionarna re�senja (89) 3. Op�ste re�senje pomo�cu potpune klasi�kacije stanja (90) 4. Formalnoop�ste re�senje (91) 5. Slobodna �cestica (91)3.3 Heisenberg-ova slika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931. Slike uop�ste i Schr�odinger-ova slika (93) 2. Prelazak na Heisenberg-ovu sliku (93) 3. Zakon kretanja (94) 4. Verovatno�ca prelazaiz jednog stanja u drugo (94) 5. Uporedivanje slika (95) 6. Poredenje sa klasi�cnom mehanikom (95) 7. Alternativna mogu�cnost zaDirac-ov postulat o zakonu kretanja (96) 8. Zakon kretanja za srednje vrednosti (97)3.4 Interakciona slika i interna konverzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971. Perturbacija (98) 2. Interakciona slika (98) 3. Perturbacioni evolucioni operator U0 (99) 4. Vremenska evolucija opservabli(99) 5. Verovatno�ca prelaza (100) 6. Interna konverzija u atomskoj �zici (101) 7. Interna konverzija u nuklearnoj �zici (103) 8.Elasti�cno rasejanje (103) 9. Mehanizam procesa (103) 10. Paradoks nestabilnosti pobudenih stanja (104)4 RELACIJE NEODREDENOSTI, ME�SAVINE I PROBLEM DVE �CESTICE1064.1 Relacije neodredenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

SADR�ZAJ v1. Uvod i podsetnik (106) 2. Relacije neodredenosti (107) 3. Kompatibilne opservable (108) 4. Kanoni�cno konjugovane opservable(108) 5. Istorijski put (108) 6. Lokalizacija slobodne �cestice u ta�cki (109) 7. Stanje minimalne neodredenosti (110) 8. Intuitivneinterpretacije (111) 9. uglovni moment i ugao (112)4.2 Relacije neodredenosti energije i vremena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1121. Uvod (113) 2. Neodredenost vremena (113) 3. Relacije neodredenosti energije i vremena (114) 4. Merenje energije (114) 5.�Sirina energetskih nivoa (115)4.3 Me�sano stanje i kvantna statisti�cka �zika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1161. Me�sano stanje (116) 2. Pojam verovatno�ce kao putokaz (116) 3. Statisti�cki operatori (117) 4. Kvantna statisti�cka �zika iizra�cunavanje verovatno�ca (119) 5. Kvantna mehanika kao podoblast kvantne statisti�cke �zike (120) 6. Srednja vrednost (121) 7.Vremenska evolucija (122) 8. Promena me�sanog stanja pri merenju (122) 9. Entropija kao mera nedovoljnog poznavanja sistema(123) 10. Kanoni�cki ansambl (124) 11. � Dodatak | dokaz teorema 5 (124)4.4 Kvantni podsistemi i me�savine druge vrste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1261. Me�savine druge vrste (126) 2. Verovatno�ce pri merenju na prvoj �cestici (127) 3. Redukovani statisti�cki operatori (128) 4. �Kvantne korelacije podsistema i Schmidt-ova kanoni�cna forma (130) 5. � Parcijalni skalarni proizvod (132) 6. � Dvofotonske distantnekorelacije (133) 7. � Distantne korelacije u eksperimentu sa semire ektivnim ogledalom (135) 8. � Distanto merenje pri pobudivanjukvantnog sistema (137) 9. � Dodatak | izvodenje Schmidt-ove kanoni�cne forme (138)4.5 Problem dve i vi�se �cestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1391. Centar masa i relativna �cestica (139) 2. Impulsi efektivnih �cestica (140) 3. Ukupni uglovni moment (141) 4. Re�senje klasi�cnihjedna�cina kretanja (142) 5. Prelazak na kvantnu mehaniku (142) 6. Efektivne �cestice u koordinatnoj reprezentaciji (143) 7. Re�senjekvantno-mehani�ckih jedna�cina kretanja (144) 8. Efektivne �cestice u slu�caju N �cestica (145)5 GALILEJEVE TRANSFORMACIJE 1475.1 Pro�sirena Galilejeva grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1471. � Inercijalni koordinatni sistem (147) 2. Galilejeve transformacije (148) 3. Osnovne podgrupe Galilejeve grupe (149) 4.Diskretne transformacije i pro�sirena Galilejeva grupa (149) 5. � Aktivna i pasivna interpretacija transformacija iz T3, T1 i T(v)3 (150)6. Aktivna i pasivna interpretacija rotacija i inverzija (151) 7. � Inercijalni koordinatni sistemi i pro�sirena Galilejeva grupa kao gruparelativiteta (152) 8. Generisanje Galilejevih transformacija pomo�cu eksponencijalnih operatorskih funkcija (153) 9. � Izomor�zmi iantiizomor�zmi izmedju grupa transformacija u razli�citim prostorima (155)5.2 Galilejeve transformacije u kvantnoj mehanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1581. Pojam transformacije simetrije u kvantnoj mehanici (158) 2. Wigner-ov teorem o (anti)unitarnim operatorima simetrije (160) 3.Kvantizacija Galilejevih transformacija | po�cetak (160) 4. Kvantizacija Galilejevih transformacija | zavr�setak (162) 5. Operatoritranslacije u kvantnoj mehanici (163) 6. � Operatori specijalnih Galilejevih transformacija (164) 7. Operatori Galilejevih transfor-macija za vi�se�cesti�cni kvantni sistem (164) 8. � Matemati�cki podsetnik | osnovne osobine unitarnih i antiunitarnih operatora (165)9. � Vi�sekomponentne Lie-jeve grupe i antilinearni operatori simetrije (166) 10. � Dodatak | dokaz Baker-Hausdor�-ove leme (167)6 Teorija jednog uglovnog momenta 1686.1 Rotacije i uglovni moment u klasi�cnoj mehanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1681. Osa i ugao rotacije (168) 2. �-lopta (169) 3. Veza izmedu �-lopte i grupe matrica SO(3) (169) 4. Konjugacija u grupi rotacija(170) 5. Euler-ovi uglovi rotacije (171) 6. � Uglovni moment u Kepler-ovom problemu (172) 7. � Dodatak 1 | dokaz Teorema 1(174) 8. � Dodatak 2 | dokaz Teorema 2 (176) 9. � Dodatak 3 | dokaz Korolara 1 (177)6.2 Algebra kvantne teorije op�steg uglovnog momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1781. Komutacione relacije za operatore orbitnog uglovnog momenta (178) 2. Zna�caj komutacionih relacija (179) 3. Motivacija zauvodenje pojma op�steg uglovnog momenta (179) 4. Kako na�ci kompatibilne opservable (180) 5. Jedna nejednakost za o�cekivanevrednosti (181) 6. Pomo�cni operatori podizanja i spu�stanja (182) 7. Postavljanje zadatka istovremene analize dva spektra (182)

vi SADR�ZAJ8. Pomo�cne formule (183) 9. Svojstvene vrednosti i njihov odnos (184) 10. Kriti�cki komentar (185) 11. Multiplet zajedni�ckihsvojstvenih vektora (185)6.3 Geometrija kvantne teorije op�steg uglovnog momenta . . . . . . . . . . . . . . . . 1861. Osnovne dekompozicije prostora stanja (186) 2. Jednakost dimenzija potprostora Vkm (187) 3. Standardan bazis (188) 4.Dijagram "ormar sa �okama" (188) 5. Vektorska matrica op�steg uglovnog momenta (190) 6. Matemati�cki podsetnik | ekviva-lentni operatori (191) 7. Redukcija uglovnog momenta K (192) 8. Redukcija opservable kompatibilne sa K (193) 9. Rezime odekompozicijama od Vk (194)6.4 Op�ste rotacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1941. Grupa op�stih rotacija i K (194) 2. Invarijantni potprostori (195) 3. Ireducibilni invarijantni potprostori za rotacije (195) 4. �U-funkcije i Wigner-ove D-funkcije (196) 5. Redukovanje kompatibilnih opservabli (197) 6. � Lie-jeva algebra i grupa (198)6.5 Sferne koordinate i separacija varijabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1991. De�nicija orbitnog uglovnog momenta jedne kvantne �cestice (199) 2. Sferne polarne koordinate (199) 3. Faktor prostori stanjapojedinih sfernih polarnih koordinata (200) 4. Matemati�cki podsetnik | direktni proizvod operatora i svojstveni problem (201) 5.Pojam separacije varijabli (202) 6. Teoremi o separaciji varijabli (203) 7. Uglovni faktor prostor (204) 8. Svojstveni problem od lz(205) 9. Svojstveni problem od l2 | po�cetak (206) 10. � Dodatak | dokaz Teorema 2 (206)6.6 Sferni harmonici kao standardni bazis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2071. Svojstveni problem od l2 | nastavak (207) 2. Matemati�cki podsetnik | asocirane Legendre-ove funkcije (207) 3. Sferni harmonici(208) 4. Standardni bazis za l (209) 5. Slobodna �cestica i sferni talasi (210) 6. Sferno-polarna koordinatna reprezentacija (212) 7.Ireducibilni invarijantni potprostori (213)6.7 Rotacije u orbitnom prostoru stanja �cestice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2131. Operatori rotacije u koordinatnoj reprezentaciji (214) 2. Delovanje na r (214) 3. Delovanje na p (215) 4. Operatori rotacijeu impulsnoj reprezentaciji (215) 5. Rotacije u uglovnom prostoru (216) 6. Delovanje na sferne harmonike (216) 7. � Dodatak |Dokaz formule (6.7.3) (217) 8. � Dodatak | dokaz formule (6.7.5) (218)6.8 Zeeman-ov efekat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2181. Pojam i klasi�cni osnovi Zeeman-ovog efekta (218) 2. Kvantni hamiltonijan (219) 3. Ocenjivanje relativne va�znosti �clanova uhamiltonijanu (220) 4. Neperturbisani hamiltonijan (221) 5. Perturbacija i cepanje nivoa (222) 6. Zavr�sne napomene (222)6.9 Unutra�snji magnetni dipol i spin elektrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2231. Uvod (223) 2. Stern-Gerlach-ov eksperiment (223) 3. Anomalni Zeeman-ov efekat (224) 4. Hipoteza spina (225) 5. Paradoksspina (226) 6. Postulat o unutra�snjim stepenima slobode �cestice (226)6.10 Formalizam spina s = 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2271. �Cestice spina s = 12 (228) 2. Spinski faktor prostor i standardni bazis (228) 3. Pauli-jeve matrice (229) 4. Spinske rotacije (229)5. Euler-ovi uglovi i pojam spinora (230) 6. � Matemati�cki podsetnik | direktni proizvod Hilbert-ovih prostora i supervektori (231)7. � Dvokomponentne talasne funkcije (233) 8. � Helicitetne reprezentacije (234)7 Slaganje uglovnih momenata 2367.1 Algebra i geometrija slaganja uglovnih momenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2361. Ukupni uglovni moment jedne �cestice i otvorena pitanja (236) 2. Slaganje i invarijantni potprostori (236) 3. Dimenzije potprostora(237) 4. Vrednosti kvantnog broja od (K1 + K2)2 (238) 5. Vi�sestruki ireducibilni invarijantni potprostori za K1 + K2 (240) 6.Slaganje tri ili vi�se uglovnih momenata (241)7.2 Standardni bazis za K, Clebsch-Gordan-ovi i 6j koe�cijenti . . . . . . . . . . . . . 2421. Prelazak na standardni bazis za K def= K1 + K2 (242) 2. Jednozna�cnost matrice razvoja (243) 3. Clebsch-Gordan-ovi koe�cijentii selekciona pravila (244) 4. Wigner-ovi 3j-koe�cijenti (246) 5. Potpuni skupovi kompatibilnih opservabli (246) 6. *Rotacije ukompozitnom prostoru (246) 7. 6j-, 9j- itd. koe�cijenti (247) 8. *DODATAK - Dokaz da CG-koe�cijenti ne zavise od dodatnihkvantnih brojeva (248)7.3 Primeri slaganja uglovnih momenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

SADR�ZAJ vii1. Spin dve �cestice sa s = 12 (250) 2. Slaganje orbitnog i spinskog uglovnog momenta elektrona ili nukleona (251) 3. Interakcija dvanukleona (252) 4. Jedan elektron u modelu ljuski atomskih omota�ca (254) 5. Po�cetak periodnog sistema (255) 6. Nuklearni modelljuski (257) 7. Deuteron i nezavisnost p� p i n� n stanja (258)7.4 Ireducibilni tenzorski operatori i Wigner-Eckart-ov teorem . . . . . . . . . . . . . 2581. *Ireducibilni tenzorski operatori (258) 2. Vektorski operatori (259) 3. j � j i L � S sprezanje (261) 4. Wigner-Eckart-ovteorem (262) 5. *Zeeman-ov efekt atomskog omota�ca (264) 6. *DODATAK 1 - Superoperatori rotacija i uglovnog momenta (266)7. *DODATAK 2 - Dokaz Wigner-Eckart-ovog teorema (268) 8. *DODATAK 3: Pomo�cni rezultati za primenu Wigner-Eckart-ovogteorema (270)7.5 Superselekciono pravilo celobrojnosti uglovnog momenta . . . . . . . . . . . . . . 2711. Rezime o celobrojnosti kvantnog broja uglovnog momenta (272) 2. Superselekciono pravilo celobrojnosti (272) 3. Superselekcionaopservabla (272) 4. Fizi�cki smisao opservable celobrojnosti (274) 5. *Ograni�cenje za ireducibilne tenzorske operatore (274) 6. Drugasuperselekciona pravila (275)8 DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJE 2768.1 Prostorna inverzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2761. Operator prostorne inverzije u orbitnom prostoru stanja (276) 2. Pitanje konzistentnosti zaklju�cka o unitarnosti operatora prostorneinverzije (277) 3. Spektralne osobine operatora prostorne inverzije (278) 4. Prave i neprave rotacije (280) 5. Re eksije kroz ravni(281) 6. Prostorna inverzija i sferni harmonici (281) 7. Inverzija prostora u spinskom i ukupnom prostoru stanja (282) 8. Inverzijaprostora u vi�se�cesti�cnom prostoru stanja (283)8.2 � Vremenska inverzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2841. Operator vremenske inverzije u orbitnom prostoru stanja (284) 2. Da li je inverzija vremena opservabla ? (285) 3. Vremenskainverzija u koordinatnoj i impulsnoj reprezentaciji (286) 4. Inverzija vremena u uglovnom prostoru i sferni harmonici (286) 5.Konstrukcija operatora inverzije vremena u spinskom prostoru (288) 6. Vremenska inverzija u ukupnom prostoru stanja (289) 7.Inverzija vremena za vi�se�cesti�cni sistem (289) 8. Operator vremenske inverzije i realnost Clebsch-Gordan-ovih koe�cijenata (290)8.3 Grupa simetrije zakona kretanja i hamiltonijana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2931. Opservabilna invarijantnost zakona kretanja pod grupom simetrije (293) 2. Galilejev princip invarijantnosti (294) 3. � EksperimentWu i saradnika o naru�savanju simetrije prostorne inverzije u slaboj interakciji (294) 4. � Eksperimentalni dokaz naru�savanja simetrijevremenske inverzije u slaboj interakciji (296) 5. Formalna invarijantnost zakona kretanja pod grupom simetrije (297) 6. Grupasimetrije hamiltonijana (298) 7. Dobri kvantni brojevi i klasi�kacija energetskih nivoa (299) 8. Selekciona pravila (301) 9. � Pribli�znodobri kvantni brojevi i pribli�zna selekciona pravila (302) 10. � Energetski nivoi i vi�sestruki ireducibilni invarijantni potprostori grupesimetrije hamiltonijana (303)8.4 � Primeri dobrih kvantnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3041. Izvodenje uglovne raspodele iz odr�zanja uglovnog momenta (305) 2. Odredivanje unutra�snje parnosti hiperona u nuklearnoj reakciji(307) 3. Tau-teta zagonetka i teorijska predikcija neodr�zanja parnosti u slaboj interakciji (308) 4. Nultost stati�ckog elektri�cnogdipolnog momenta kvantnog sistema sa odredenom parno�s�cu (310) 5. Selekciono pravilo za jednoelektronski elektri�cki dipolni prelazu atomu (310) 6. Simetrija zakona kretanja pod inverzijom vremena (310) 7. Princip mikroreverzibilnosti (311) 8. Kramers-ovadegeneracija energetskih nivoa (312) 9. Vremenska inverzija i realna matrica hamiltonijana (312)8.5 * Izospin u �zici jezgara i elementarnih �cestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3141. Proton i neutron kao dva stanja nukleona (314) 2. Postulati o izospinu (316) 3. Izodublet nukleona i SU(2) grupa (318) 4.Izotriplet i izosinglet dvonukleonskog sistema (319) 5. Analogna stanja jezgara i izobare (321) 6. Selekciona pravila i odnosi presekanuklearnih reakcija (323) 7. Izospin rezonanci i izospin u hadronskim procesima (324)8.6 � SU(3) simetrija hadrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3261. Otkri�ce �cudnih novih �cestica, stranost i hipernaboj (326) 2. Supermultipleti hadrona (328) 3. Otkri�ce omega hiperona (329) 4.SU(3) simetrija (330) 5. Model kvarkova (331)

viii SADR�ZAJ9 PROSTI SISTEMI I IDENTI�CNE �CESTICE 3339.1 Vodoniku sli�can atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3331. Hamiltonijan elektrona (333) 2. Efektivni radijalni svojstveni problem (334) 3. Laplace-ova jednakost (334) 4. Kon uentnihipergeometrijski red (336) 5. Asocirani Laguerre-ovi polinomi (336) 6. Energetski nivoi (337) 7. Potpuna klasi�kacija stanjai degeneracija energetskih nivoa diskretnog spektra (337) 8. Kontinualni spektar i nevezana stanja elektrona (339) 9. * Dodatnasimetrija Coulomb-ovog potencijala (340) 10. Fina struktura (340)9.2 Harmonijski oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3421. De�nicija problema (342) 2. Dinami�cki nezavisni kinemati�cki stepeni slobode (343) 3. Re�savanje Schr�odinger-ove jedna�cinelinijskog oscilatora (344) 4. Re�senja za trodimenzionalni harmonijski oscilator (346) 5. Metod separacije sfernih polarnih koordinata(346) 6. Parnost energetskih nivoa (346) 7. Energetska reprezentacija (347)9.3 Identi�cne �cestice i kvantne statistike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3481. Pojam identi�cnih �cestica (348) 2. Simetri�cni operatori za dve identi�cne �cestice | algebarska de�nicija (349) 3. Simetri�cnioperatori za dve identi�cne �cestice | geometrijska de�nicija (350) 4. Simetri�cni operatori za N identi�cnih �cestica (352) 5. Simetri�cnioperatori za N identi�cnih �cestica | geometrijska de�nicija (353) 6. Postulat o identi�cnim �cesticama (355) 7. Bose-Einstein-ova iFermi-Dirac-ova statistika (356) 8. Fizi�cki smisao postulata (357)9.4 Model nezavisnih �cestica i Pauli-jev princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3571. * Bazis u bozonskom prostoru (358) 2. Bazis od Slater-ovih determinati u fermionskom prostoru (359) 3. Model nezavisnih�cestica (361) 4. Pauli-jev princip (364) 5. Uglovni momenti popunjene podljuske (364) 6. Kad mo�zemo da prenebregnemo Pauli-jevprincip? (366) 7. Koordinatno-spinska i impulsno-spinska reprezentacija Slater-ovih determinanti (368) 8. * Dodatak | zasnivanjeprenebregavanja Pauli-jevog principa (369)9.5 Antisimetrizacija orbitno-spinskih koordinata i uglovnih momenata . . . . . . . . 3711. Razdvajnje prostornih i spinskih varijabli (371) 2. Slaganje dva uglovna momenta i antisimetri�cnost (372) 3. uglovni momentidva valentna elektrona (373) 4. Dodatak | dokazi teorema i leme (374)10 Pribli�zni ra�cuni 37810.1 Stacionarna perturbacija nedegenerisanog nivoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3781. Osnovne ideje teorije perturbacije i de�nicija problema (378) 2. Korekcije prvog reda (379) 3. Energija osnovnog stanjahelijumovog atoma (381) 4. Korekcija drugog reda za energiju (382) 5. Kvadratni Stark-ov efekt dvoatomskog molekula (384) 6.Uklanjanje degeneracije pomo�cu grupe simetrije hamiltonijana (386) 7. Niski pobudeni nivoi atoma sa dva valentna elektrona (387)8. Coulomb-ova energija jezgra (390) 9. Popravka energije i stanja p-tog reda (393)10.2 Osnovi teorije stacionarne pertubacije degenerisanog nivoa . . . . . . . . . . . . . 3941. Uvod (394) 2. Popravka energije prvog reda i neperturbisano stanje (395) 3. Popravka energije drugog reda i korekcija stanjaprvog reda (396) 4. Linearni Stark-ov efekt u vodonikovom atomu (398)10.3 Teorija vremenski zavisne perturbacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4001. De�nicija problema i program teorije (400) 2. Pojedine popravke evolucionog operatora (401) 3. Izra�cunavanje verovatno�caprelaza pomo�cu dijagrama (403) 4. Fermi-jevo zlatno pravilo (406)10.4 Varijacioni ra�cun i metod samousagla�senog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4071. Varijaciona reformulacija svojstvenog problema hamiltonijana (408) 2. * Ocena gre�ske (409) 3. Varijaciono izra�cunavanjeosnovnog nivoa (411) 4. * Varijaciono izra�cunavanje prvog pobudenog nivoa (412) 5. Uloga jedno�cesti�cnog i dvo�cesti�cnog statisti�ckogoperatora (412) 6. Redukovani statisti�cki operatori Slater-ove determinante (414) 7. Usrednjeni jedno�cesti�cni potencijal (415) 8.Samousagla�seno polje i Hartree-Fock jednakosti (417) 9. * Ograni�cenje Hartree-Fock re�senja zahtevom rotacione simetrije (420) 10. *DODATAK 1 | Izra�cunavanje jedno�cesti�cnog statisti�ckog operatora Slater-ove determinante (422) 11. * Dodatak 2 | Izra�cunavanjedvo�cesti�cnog statisti�ckog operatora Slater-ove determinante (423)

SADR�ZAJ ix11 OSNOVI DRUGE KVANTIZACIJE 42511.1 Sistemi identi�cnih fermiona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4251. Prostor druge kvantizacije za fermione (425) 2. Bazis brojeva popunjenosti (426) 3. Kreacioni i anihilacioni operatori (427) 4.Operatori brojeva popunjenosti i operator broja fermiona (428) 5. Transformacione osobine kreacionih i anihilacionih operatora (429)6. Operatori polja (431) 7. Operator kineti�cke energije, spolja�snjeg polja i interakcije (432) 8. * Prostorna inverzija i Galilej-evietransformacije u Fock-ovom prostoru (434) 9. * Operator vremenske inverzije u Fock-ovom prostoru (434) 10. * Dodatak | dokazteorema 2 (435) 11. * Dodatak | dokaz teorema 3 (437)11.2 Sistemi identi�cnih bozona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4411. * Prostor druge kvantizacije za bozone (441) 2. Bazis brojeva popunjenosti (442) 3. Kreacioni i anihilacioni operatori (443) 4.Operatori brojeva popunjenosti i operator broja �cestica (444) 5. Transformacione osobine, operatori simetrije, operatori polja (445) 6.Operator kineti�cke energije, spolja�snjeg polja i interakcije (446) 7. Harmonijski oscilator (447) 8. Kompatibilnost vrednosti kvantnihbrojeva N i L (449) 9. Dodatak - dokaz teorema 2 (450) 10. Dodatak - dokaz teorema 3 (452)12 OSNOVNI POJMOVI TEORIJE RASEJANJA 45812.1 Osnovi teorije elasti�cnog rasejanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4581. Diferencijalni presek (458) 2. �Koordinatni sistem centra masa i laboratorije (460) 3. Amplituda rasejanja (463) 4. �Integralnaforma zakona kretanja pomo�cu Green-ove funkcije (465) 5. �Born-ova aproksimacija (467) 6. �Metod parcijalnih talasa (468) 7.�Opti�cki teorem (471) 8. �Efekti izmene identi�cnih �cestica bez spina (472) 9. �Efekti izmene identi�cnih �cestica sa spinom (472)12.2 Osnovni pojmovi op�ste teorije sudara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4741. Kakvi su sve sudari mogu�ci (474) 2. � Rezonantno elasti�cno rasejanje (474) 3. � Breit-Wigner-ova formula (475) 4. � Neelasti�cnorasejanje (476) 5. � Lippmann-Schwinger-ova jednakost (478) 6. � Reakcije (479)A GRUPA ROTACIJA I ANGULARNI MOMENT (M. Damnjanovi�c) 480A.1 Osnovne osobine grupe rotacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4801. Grupa rotacija i SO(3) (480) 2. Parametrizacije rotacione grupe (481) 3. Osnovne osobine grupe SO(3) (483) 4. � Grupa SU(2)(484) 5. Lie-jeva algebra rotacione grupe (485)A.2 Angularni momenti i reprezentacije algebre su(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4871. Kvantizacija angularnih momenata (487) 2. Veza sa algebrom grupe rotacija (487) 3. Konstrukcija ireducibilnih potprostora (488)4. Kvadrat angularnog momenta i standardni bazis (491) 5. Standardni bazis u op�stem slu�caju (492) 6. Tenzorski operatori (494)A.3 Orbitalni angularni moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4961. Prostor funkcija na sferi (496) 2. Sferni harmonici (497)A.4 Slaganje angularnih momenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5001. Clebsch-Gordan-ove serije (500) 2. Clebsch-Gordan-ovi koe�cijenti (501)

Glava 1� IDEJNE OSNOVE KVANTNEMEHANIKE1.1 Dva prosta i tipi�cna kvantna eksperimentaU ovom odeljku opisa�cemo dva eksperimenta koji su veoma jednostavni, a ipak sadr�ze osnovnekarakterne crte kvantnog pona�sanja mikro-objekata. To su difrakcija kroz dva otvora i delimi�cnoodbijanje fotona na semire ektivnom ogledalu. U diskusiji ba�s ovih i sli�cnih eksperimenatabi veliki stvaraoci kvantne mehanike na svojim tzv. Solvay-skim sastancima (po�cev od 1927.svake tre�ce godine u Bruxelles-u) vodili o�stre diskusije i kroz borbu mi�sljenja oformljavali �zikumikro-objekata. I nama �ce ovi eksperimenti poslu�ziti da u narednim glavama na njima baziramoosnovne ideje i osnovne zakonitosti kvantne mehanike.1.1.1 UvodU klasi�cnoj talasnoj optici dobro je poznata difrakcija svetlosti kroz dva otvora. To je tzv.Young-ov eksperiment (objavljen 1802. godine), jedan od najprostijih primera interferencije.Sada �cemo opisati analogni eksperiment sa snopom �cestica i to elektrona1.1.1.1.1.2 Eksperimentalni uredajKao �sto je prikazano na Crte�zu C1.1, katodna �zica K emituje elektrone, koji se ubrzavajuprivu�ceni ka anodnoj plo�ci A. Tu prolaze kroz mali otvor, koji deluje kao ta�ckasti izvor elektron-skog snopa. Elektroni zatim prolaze kroz otvore 1 i 2 u prvom zastoru i sti�zu na drugi zastor,gde se detektuju.Po�sto je cilj eksperimenta da se utvrdi gde padaju elektroni, zamislimo da se drugi zastorsastoji od sitnih broja�ca gusto zbijenih jedan do drugog i vezanih za elektri�cni uredaj koji razlikujei bele�zi u kom broja�cu se elektron detektuje. Otvor 1 kao i 2 mo�ze i da se zatvori.1.1.1Radi detaljnijeg upoznavanja sa jedno-fotonskim eksperimentom Young-a (koji je namenjen u pedago�skesvrhe) videti: S. Parker, American Journal of Physics, 39 (1971) 420 i 40 (1972) 1003 i F. Herbut, AmericanJournal of Physics, 60 (1992) 146. 1

2 GLAVA 1. � IDEJNE OSNOVE KVANTNE MEHANIKE

K A1 2a� �c b����������@@@@@@@@@

Slika 1.1: Young-ov eksperiment. K i A su katoda i anoda. Isprekidane crte prikazujuo�cekivane klasi�cne putanje elektrona koji, prolaze�ci kroz otvor 1, odnosno 2, prvog zastora,padaju u ta�cku a, odnosno b, drugog zastora. Ta�cka c ozna�cava sredinu drugog zastora.1.1.3 RezultatiRezultate izvr�senih eksperimenata prikaza�cemo pomo�cu distribucionih krivih (videti Crte�z C 1.2),�cije ordinate izra�zavaju broj upadnih elektrona, a apscise ozna�cavaju mesto na drugom zastoru(du�z linije kroz ta�cke a i b sa Crte�za C1.1). Naravno, krive se dobijaju interpolacijom iz diskretnihta�caka.Slika 1.2: Distribucione krive u Young-ovom eksperimentu. A. Kada se eksperiment vr�sisa otvorom 1 otvorenim a otvorom 2 zatvorenim, dobija se distribuciona krivaD1. U simetri�cnomeksperimentu (sa otvorom 1 zatvorenim a otvorom 2 otvorenim) dobija se distribuciona kriva D2.B. Kada se eksperiment vr�si sa oba otvora otvorena, dobija se D1;2. C. Zbir krivih D1 i D2.1.1.4 DiskusijaPrirodno je da na�se razmi�sljanje o eksperimentu koji smo upravo opisali zapo�cnemo sa pozicijaklasi�cne �zike: elektroni su �cestice i zato o�cekujemo da svaki od njih ima svoju putanju. Ako

1.1. DVA PROSTA I TIPI �CNA KVANTNA EKSPERIMENTA 3elektron stigne do drugog zastora, o�cekujemo da je pro�sao kroz otvor 1 ili kroz otvor 2 (ne,naravno, kroz oba). Distribucione krive D1 i D2 ne protivure�ce ovoj pretpostavci. (Rasturanjeoko ta�cke a i b mo�ze se interpretirati kao rezultat sudara sa ivicom otvora.)Najva�zniji rezultat, kriva D1;2, je u o�stroj suprotnosti sa na�sim o�cekivanjem. Naime, u slu�cajukada su oba otvora otvorena, na�sa pretpostavka nu�zno dovodi do distribucione krive D1 + D2kao o�cekivanog rezultata. Drugi zastor ne razlikuje da li je elektron pro�sao kroz otvor 1 ili krozotvor 2 i detektuje zbir svih ovih �cestica.Da bismo bolje sagledali koliko se D1;2 razlikuje od D1 +D2, uo�cimo slede�ca dva detalja:a) Na sredini izmedu ta�caka a i c ordinata od D1;2 ne samo da je manja nego odgovaraju�caordinata od D1 + D2, nego je �cak osetno manja nego odgovaraju�ca ordinata od D1. Tobi, na osnovu na�se pretpostavke o klasi�cnim trajektorijama, zna�cilo da broj elektrona kojisti�zu u doti�cnu ta�cku na drugom zastoru prolaze�ci kroz otvor 1 opadne (!) kada se otvorii otvor 2.b) U ta�cki c ordinata krive D1;2 je vi�se nego dva puta ve�ca od ordinate krive D1 +D2. Zna�ci,ako su oba otvora istovremeno otvorena u ta�cku c sti�ze mnogo vi�se elektrona negoli �sto jeukupan broj elektrona koji produ kroz otvor 1 (sa otvorom 2 zatvorenim) i elektrona kojiprodu kroz otvor 2 (sa otvorom 1 zatvorenim)!Ako se podsetimo na difrakcioni obrazac u pomenutom eksperimentu sa svetlo�s�cu (upore-diti x 1.1.1), zapazi�cemo da se on kvalitativno podudara sa na�som krivom D1;2 (tamo ja�cinaosvetljenosti odgovara na�sem broju upadnih elektrona).Dakle, neizbe�zan je zaklju�cak da elektroni kroz otvore prvog zastora prolaze kao talasi: akosu oba otvora na raspolaganju, onda prolaze kroz oba istovremeno, a na drugom zastoru nastajeinterferencija. Na nekim mestima (kao u ta�cki c) interferencija je konstruktivna (ili pozitivna),verovatno�ca detektovanja elektrona se pove�cava; na drugim mestima (kao na sredini izmedu a ic) interferencija je destruktivna (ili negativna), tj. verovatno�ca padanja elektrona na to mestose smanjuje.1.1.5 Misaoni eksperimentIz klasi�cne teorije difrakcije talasa kroz dva otvora poznato je da je difrakcioni obrazac kvalita-tivno jednak na�sem crte�zu D1;2 samo ako je rastojanje otvora 1 i 2 reda veli�cine talasne du�zinedifraktovanog talasa. Ako je rastojanje znatno ve�ce, dobija se ve�ci broj manje izra�zenih osvetlje-nih mesta izmedu a i b; u ekstremnom slu�caju mnogo osvetljenih i zamra�cenih mesta prelivajuse jedno u drugo | ispod mo�ci razlaganja detektora | dobija se obrazac nalik na D1 +D2.Ispostavlja se da je klasi�cna talasna teorija (preko poznate de Broglie-eve jedna�cine � = hp )dobra aproksimacija za kvantitativno opisivanje prolaska elektrona kroz dva otvora. Talasnadu�zina elektrona je reda veli�cine 10�8cm, a to je red veli�cine pre�cnika atoma! Zato je eksperimentkoji smo opisali u ovom odeljkumisaoni eksperiment, u stvari neostvariv u laboratoriji u opisanomvidu. Ali, ve�stim domi�sljanjima, dobijeni su savremeni realni (ne misaoni) eksperimenti difrakcijekroz dva otvora sa elektronima i sa neutronima1.1.2.1.1.2Videti: C. J�onsson, American Journal of Physics, 42 (1974) 4 i A. Zeilenger, R. G�ahler, C. G. Schull, W.Treimer and W. Mampe, Reviews of Modern Physics, 60 (1998) 1067.

4 GLAVA 1. � IDEJNE OSNOVE KVANTNE MEHANIKE1.1.6 Diskretna detekcijaIako je difrakcioni obrazac D1;2 u osnovi isti u slu�caju elektrona i u slu�caju klasi�cne svetlosti,rekli smo da klasi�cna talasna teorija samo pribli�zno opisuje ovaj fenomen. Naime, klasi�cna tala-sna optika predvida apsorpciju talasne energije na drugom zastoru, a to je fenomen karakterisankontinualno�s�cu kako prostornog rasporeda (po drugom zastoru), tako i intenziteta upadne sve-tlosti. Drugim re�cima, mo�ze se uzimati kontinualno sve slabiji izvor (sve do nulte ja�cine) i pritome na svaku povr�sinu drugog zastora pada neka svetlost; raspored je kao na krivoj D1;2, aliveli�cine ordinata konformno (tj. kao mno�zeni zajedni�ckim faktorom koji te�zi nuli) postaju svemanje.Ovaj fenomen se u stvari ne opa�za na opisani na�cin ni kod svetlosti, jer se i svetlost detektujeuvek �cesti�cno, tj. u vidu fotona (kvanata svetlosti). Kada je drugi zastor velika foto-plo�ca, fotoni�ce izbijati elektrone u pojedinim atomima (zacrnjenje plo�ce) i to �ce se de�savati povremeno imestimi�cno, tj. sasvim diskretno. Kriva D1;2 je interpolisana, kao �sto smo rekli, iz diskretnihordinata. Naravno, potpuno analogno stoje stvari sa detekcijom elektrona u broja�cima iz kojihse sastoji drugi zastor u gore opisanom eksperimentu.Dakle, kako kod svetlosti tako i kod masenih �cestica, izra�civanje u izvoru i detekcija su�cesti�cne, diskretne pojave, a samo prostiranje je u oba slu�caja talasna pojava, koja interferencijomdovodi do rasporeda padanja �cestica na zastor.1.1.7 Interferencija sa samim sobomDa bi se otklonila �cesta iluzija da se pri interferenciji radi zapravo o nekoj interakciji ili nekakvomdruga�cijem uzajamnom uticaju istovremeno prisutnih �cestica u snopu (fotona ili elektrona),zamislimo da je intenzitet izvora toliko mali da se izra�ci �cestica, pa dugo ni�sta, pa opet jedna�cestica (foton ili elektron). A u svrhu kompenziranja, produ�zimo vreme trajanja eksperimenta(eksponiranje drugog zastora) koliko god dugo je potrebno da se akumulira dovoljno velik brojupadnih �cestica na pojedinim mestima na zastoru. Dobijaju se potpuno isti rezultati (Crte�zC 1.2) kao sa intenzivnim snopom i kratkim eksponiranjem. Dakle, radi se o interferenciji fotonaili elektrona sa samim sobom kada prolazi istovremeno kroz otvor 1 i kroz otvor 2 na prvomzastoru1.1.3.1.1.8 Eksperiment sa semire ektivnim ogledalomSada �cemo opisati jedan drugi kvantni eksperiment koji je donekle analogan difrakciji kroz dvaotvora, ali je ne�sto i razli�cit. Ovaj eksperiment �ce biti pogodan za razmatranje principa ne-odredenosti u slede�cem odeljku. Ovoga puta �cemo se ograni�citi na fotone. (Njihovo kvantnopona�sanje je isto kao kvantno pona�sanje masenih �cestica.) Ovo je realan eksperiment, madaprikazan pojednostavljeno.Eksperimentalni uredaj prikazan je na Crte�zu C1.3. Opti�cke putanje 1 (tj. ABC) i 2 (tj.ADC) zavr�savaju se u C, gde mogu da interferiraju. Ove dve putanje su o�cigledno analogoni pro-1.1.3U vezi sa eksperimentom koji smo opisali preporu�cuje se kao detaljnije, a veoma slikovito i dramati�cnonapisano �stivo: volumen III u seriji The Feynman Lectures on Physics: R. P. Feynman, R. B. Leighton, M.Sands, Quantum Mechanics (Addison-Wesley, Reading, 1963), str. od 1-2 do 1-13.

1.1. DVA PROSTA I TIPI �CNA KVANTNA EKSPERIMENTA 5

-6 ������������������������������������������

@@ @@@@@@ I@@I@@I@@I��� ��� ��� ���

� ��� ��� ���@@I@@I@@I@@I

��� ��� ���� AS-R. O.P-R. O.P-R. O. B 1 2 D

C

KI uSlika 1.3: Eksperiment sa ogledalima. Izvor I zra�ci fotone, koji prolaze kroz kolimator K(dva paralelna otvora) kako bi se postigao paralelan snop. U ta�cki A nalazi se semire ektivnoogledalo (S-R. O.; naziva se i poluposrebrenim ogledalom, sen�cenjem je simboli�cki prikazan slojsrebra), na kome se foton sa jednakom verovatno�com re ektuje ka ta�cki B ili prolazi ka ta�ckiD. U ta�ckama B i D nalazi se po jedno potpuno re ektivno ogledalo (P-R. O.), koje re ektujesvetlost ka ta�cki C na zastoru.laska kroz otvor 1 odnosno kroz otvor 2 u prethodnom eksperimentu. Zna�ci, u semire ektivnomogledalu u A imamo analogon prvog zastora sa dva otvora (oba stalno otvorena).Analogija nije potpuna dok na�s eksperimentalni uredaj ne snabdemo analogonima mehani-zama za zatvaranje otvora 1 i 2. U tu svrhu na mestu A moramo imati mogu�cnost da po voljizamenimo semire ektivno ogledalo potpuno re ektivnim ogledalom | analogonom zatvaranjaotvora 2 | ili pak golom staklenom plo�com | analogonom zatvaranja otvora 1. Ovo se mo�zeposti�ci, na primer, jednim diskom na kome se nalaze S-R. O., P-R. O. i staklena plo�ca i kojimo�ze da rotira oko horizontalne ose koja prolazi ispod lista hartije u A.Sada na zastoru mo�zemo da posmatramo interferencione obrasce u analogiji sa D1, D2 i D1;2(Crte�z C 1.2).1.1.9 Prednost eksperimenta sa ogledalimaOsnovna razlika izmedu eksperimenta sa semire ektivnim ogledalom i difrakcije kroz dva otvoraje u tome �sto su u prvom opti�cke putanje 1 i 2 vi�se razdvojene, �sto otvara mogu�cnost vr�senjaposebnih merenja na njima. Stoga moramo imati mogu�cnost da ogledalo (P-R. O.) u B i u D

6 GLAVA 1. � IDEJNE OSNOVE KVANTNE MEHANIKEzamenimo detektorom.Modi�kaciju eksperimenta pomo�cu detektora prou�ci�cemo u slede�cem odeljku.1.2 Princip neodredenosti i komplementarnostNa primeru pona�sanja fotona na semire ektivnom ogledalu objasni�cemo Heisenberg-ov principneodredenosti i Bohr-ovu ideju komplementarnosti, kao i neodvojivost objektivnog de�savanja umikro-svetu od eksperimentalnog uredaja posmatra�ca. Zavr�si�cemo odeljak ukazuju�ci na jedanparadoksalni aspekt opisanog pona�sanja fotona.1.2.1 Eksperimenti sa ogledalimaVratimo se eksperimentalnom uredaju C1.3. Na mestu A ima�cemo stalno semire ektivno ogle-dalo, a na mesta B i D stavi�cemo u varijanti a potpuno re ektivna ogledala, a u varijanti bdetektore. Radi�cemo sa slabim izvorom I koji emituje foton po foton.Eksperiment u varijanti a je sli�can difrakciji kroz dva otvora i njegov je ishod difrakcioniobrazac (na zastoru) koji je analogan krivoj D1;2 (C 1.2B), tj. koji nastaje interferencijom fotonasa samim sobom usled istovremene propagacije i opti�ckom putanjom 1 i putanjom 2 (tj. fotonse u A istovremeno i odbija i prolazi).U varijanti b kad god detektor u B zabele�zi da je prispeo foton, detektor u D �cuti i obratno,kad se foton detektuje u D, ne detektuje se u B. Zna�ci, ne mo�zemo detektovati deli�c fotona, ve�csamo ceo foton i on je tada ili putanjom 1 stigao u B ili je pak putanjom 2 stigao u D (ali neistovremeno oba dogadaja).Varijantu b eksperimenta mo�zemo da modi�kujemo u varijantu b0, tako �sto �cemo, recimo,samo u D imati detektor, a u B �cemo ostaviti ogledalo. Onda se jedan deo polaznog snopafotona detektuje u D, a drugi deo koji se ne detektuje, zna�ci koji ide opti�ckom putanjom 1, da�cena zastoru difrakcioni obrazac koji je analogon od D1 (C 1.2).1.2.2 Razaranje interferencijeMo�zemo posumnjati da li difrakcioni obrazac tipa D1;2 na zastoru nu�zno zna�ci da se foton pro-pagira istovremeno i putanjom 1 i putanjom 2. Stoga poku�sajmo da izvr�simo takvu modi�kacijueksperimenta da bi u njoj izmerili kojom putanjom foton ide, a da pri tome obe putanje ostajuotvorene radi interferencije na zastoru. Detektor u ta�cki B iliD apsorbuje foton i prekida doti�cnuputanju. Moramo da smislimo ne�sto drugo.U stvari modi�kova�cemo varijantu a eksperimenta i nazva�cemo to varijantom b00. Zamisli�cemomisaoni eksperiment u kome na samom semire ektivnom ogledalu u A mo�zemo da merimo1.2.1impuls koji foton saop�stava ogledalu kada se re ektuje na putanju 1. Tako �cemo onda uvek znatida li je foton krenuo putanjom 1 (kada se pojavljuje impuls od odbijanja fotona) ili putanjom 2(kada ovaj impuls izostaje), a sam foton �ce bilo kojom od dve putanje sti�ci u ta�cku C. Pitamose �sta je sa interferencijom.1.2.1 Ovde se radi o misaonom eksperimentu (tj. o ne�cemu �sto je samo u principu izvodljivo). U praksi jegotovo nemogu�ce posti�ci da makroskopski objekt kao S-R. O. bude u takvom mikroskopskom stanju da se mo�zeeksperimentalno razlikovati da li mu je mikroskopski impuls od re eksije fotona sap�sten ili ne.

1.2. PRINCIP NEODREDENOSTI I KOMPLEMENTARNOST 7Kao �sto �citalac ve�c verovatno sluti, odgovor glasi: difrakcioni obrazac na zastoru u varijantib00, nije analogon od D1;2 ve�c od D1+D2 (C 1.2)! Mere�ci kojom putanjom foton ide razorili smointerferenciju.1.2.3 Nerazdvojivost objekta i mernog aparataImaju�ci u vidu pomenute rezultate, postavimo pitanje �sta se zapravo de�sava sa fotonom nasemire ektivnom ogledalu u A; da li se cepa na dva dela i ide istovremeno i putanjom 1 iputanjom 2 (kao �sto bi to pravi, tj. klasi�cni, talas u�cinio), ili pak pode jednom od dveju putanja(kao �sto bi to prava, tj. klasi�cna, �cestica uradila).Zahvaljuju�ci pionirskim naporima Nielsa Bohr-a (�citati: Nils Bor) i Wernera Heisenberg-a,danas znamo da ovakvo pitanje nema smisla. Naime, ono pretpostavlja da se u prirodi ne�sto"de�sava" nezavisno od posmatra�ca (ova pretpostavka je pre�cutno uvek prisutna u klasi�cnoj �zici),tj. da se procesi u domenu kvantnih pojava mogu odvojiti od uloge posmatra�ca. Medutim, ukvantnoj �zici ova premisa ne stoji1.2.2. Opserver i kvantni objekt �cine nerazdvojivu celinu: ono�sto se de�sava zavisi ne samo od mikro-objekta, ve�c u presudnoj meri i od eksperimentalnoguredaja. Figurativno govore�ci, u kvantnom domenu pojava ne mo�zemo prosto slu�sati �sta prirodagovori, a da ona to govori jednako slu�sali mi ili ne. Moramo postavljati pitanja, a priroda dajeodgovore. Pri tome je, kao �sto se �cesto ka�ze, pitanje ve�c pola odgovora.U opisanoj varijanti a eksperimentalni uredaj je takav da merimo talasni aspekt interferencijesvetlosti (zapravo mogu�cnosti putanje 1 i 2 interferiraju); �cesti�cni aspekt, koji se sastoji u odlucida li i�ci putanjom 1 ili 2, onda ostaje neodreden, ili, bolje re�ceno, neostvaren. Nasuprot ovome,u varijanti b ili b0 ili b00 merimo upravo �cesti�cni aspekt, tj. odluku po kojoj putanji �ce se fotonkretati, a talasni aspekt je neodreden.1.2.4 Princip neodredenostiTako smo do�sli do slavnog Heisenberg-ovog principa neodredenosti. On iskazuje da postojeaspekti pona�sanja kvantnih objekata u kvantnim eksperimentima koji su u takvom odnosu damerenje jednog od njih nu�zno �cini drugi neodredenim. Vide�cemo u odeljku x 2.1 da se nepreciznipojam "aspekta" mo�ze zameniti preciznim pojmom opservable, a u odeljku x 4.1 �cemo se uveritida princip neodredenosti mo�ze da se iska�ze u jednoj kvantitativnoj formi koja nosi malo druga�cijinaziv: relacije neodredenosti.1.2.5 KomplementarnostNiels-u Bohr-u dugujemo jednu konceptualnu elaboraciju principa neodredenosti. Naime, zajedan aspekt pona�sanja kvantnog objekta u kvantnom eksperimentu obi�cno postoji vi�se (�cak i1.2.2Iako ima suprotnih mi�sljenja u zapadnim krugovima nau�cnika koji se bave �loso�jom �zike, autor ovih redovase pridru�zuje onima koji su ubedenja da kvantnu nerazmrsivost objekta i subjekta ne treba shvatiti subjektivisti�cki,kao da to umanjuje ili dovodi u sumnju objektivnu materijalnu egzistenciju spolja�snjeg sveta (tzv. bi�ca). Radise o tome da sve �sto je kvantna �zika u stanju da eksperimentalno kontroli�se i teorijski izrazi, sve je to nu�znohibridnog karaktera: zavisi i od kvantnog objekta i od makroskopskog mernog uredaja (pri �cemu je sama svestposmatra�ca bez zna�caja).

8 GLAVA 1. � IDEJNE OSNOVE KVANTNE MEHANIKEbeskona�cno mnogo) drugih aspekata tako da va�zi princip neodredenosti. Ali �cesto postoji jedanodredeni drugi aspekt koji je na neki na�cin antipod prvog, u smislu da je neodredenost tu naro�citoistra�zena (takore�ci maksimalna). Takva dva aspekta Bohr naziva komplementarnim.U gornjim eksperimentima varijanta a s jedne strane i varijante b ili b0 ili b00 s druge, mereba�s komplementarne aspekte pona�sanja fotona. Merni uredaji dva komplementarna aspektapona�sanja se uzajamno potpuno isklju�cuju u smislu da nije mogu�ce napraviti tre�ci uredaj koji biobjedinio bitne osobine ova dva uredaja. Zato, po Bohr-u, recimo u varijanti a nema smisla pitatise da li foton ide putanjom 1 ili 2. Ovo pitanje bi bilo zasnovano komplementarnim aspektom kojise isklju�cuje u varijanti a. Obratno, �zi�cki je bez smisla pitati se koju talasnu du�zinu ispoljavafoton u varijanti b ili b0 ili b00. To je ovde komplementarni aspekt koji eksperimentalni uredajdoti�cne varijante isklju�cuje.�Citalac bez sumnje prepoznaje u komplementarnosti �cesti�cnog i talasnog aspekta pona�sanjakvantnog objekta poznatu �cesti�cno-talasnu dualnost. Ali ne radi se samo o promeni naziva zaistu stvar, pojam komplementarnosti je �sire zami�sljen; on u stvari predstavlja uop�stenje �cesti�cno-talasne dvojstvenosti kvantnih objekata.1.2.6 ParadoksalnostKao �sto smo rekli, prolazak fotona kroz dva otvora i kroz poluposrebreno ogledalo sadr�ze osnovnecrte kvantnog pona�sanja i mogu da nam poslu�ze kao prirodan uvod u prve postulate kvantnemehanike, kojima je posve�cena slede�ca glava. Ali bilo bi pogre�sno zavaravati se da je time svepostalo sasvim jasno.Prate�ci u stopu jedno rezonovanje koje poti�ce od Einstein-a, izlo�zi�cemo sad jednu manje or-todoksnu diskusiju gornjih varijanti a i b0 eksperimenta sa semire ektivnim ogledalom. Po�storastojanja AB i AD mogu biti u principu proizvoljno velika, mo�zemo pretpostaviti da eksperi-mentator donese odluku da li �ce u ta�ckiD imati ogledalo ili detektor nakon �sto je foton ve�c pro�saokroz S-R. O. u ta�cki A. (Umesto eksperimentatora odluku mo�ze da donese i sama aparatura, tj.neki slu�cajni proces u njoj.) Zna�ci, ova odluka o varijanti a ili b0 u mestu D onda odreduje (bezinterakcije ili drugog vidljivog mehanizma) u dalekom mestu A i to u pro�slosti da li da foton ideobema putanjama ili da krene jednom od njih! To je u najmanju ruku neobi�cno �cudno.Vide�cemo u x 4.4.7 �sta ovo zna�ci u formalizmu kvantne mehanike i uveri�cemo se da se"�cudnost" (ili paradoksalnost, kako se obi�cno ka�ze) u stvari svodi na poznati paradoks distant-nih korelacija. Ali ve�c na ovom mestu mo�zemo da konstatujemo da u kvantnim fenomenimaima ne�ceg celinskog u prostoru i vremenu, �sto je u pojmovnoj koliziji sa lokalno�s�cu na koju smonavikli naro�cito u specijalnoj teoriji relativiteta. Naime, lokalnost zahteva da svaki dogadaj1.2.3u nekoj ta�cki prostor-vremena (prostora Minkowskog) uti�ce samo na okolne ta�cke i da se ovajuticaj �siri (na sve strane) kona�cnom brzinom (propagacija signala). Vide�cemo da lokalnost nemo�zemo uskladiti sa tzv. distantnim korelacijama.Treba napomenuti da se u savremenim laboratorijama koriste fotonski interferometri prikazanina crte�zu C1.3. Postoje i analogni neutronski interferometri. (Polupropusno ogledalo se nazivabeam splitter, �sto na engleskom zna�ci rascepljiva�c snopa.)1.2.3kvantnoj �zici de�ni�se samo u funkciji odredenog mernog uredaja (odredenog merenja). Vremenska evolucijakvantnog sistema izolovanog od opservera ne mo�ze se smatrati sukcesijom "dogadaja" kao u klasi�cnoj �zici.

1.3. PRINCIP SUPERPOZICIJE 91.3 Princip superpozicijePokaza�cemo da iz eksperimenata opisanih u prethodnim odeljcima proizlazi jedan speci��canpojam: superpozicija stanja. Razraduju�ci ovaj pojam na primeru linearne polarizacije fotona,da�cemo postepeni semi-intuitivni uvod u slo�zeni sadr�zaj principa superpozicije, najosnovnijegprincipa kvantne �zike.1.3.1 Superpozicija stanjaU eksperimentu sa dva otvora kao i u eksperimentu sa semire ektivnim ogledalom (x 1.1.2 odnosnox 1.1.8 i x 1.2.1) videli smo da jedan foton mo�ze da prolazi istovremeno oba opti�cka puta koji sumu na raspolaganju (kroz oba otvora odnosno i da se odbije i da prode kroz ogledalo). Istaklismo da je takva osobina poznata u klasi�cnoj talasnoj optici i da se sastoji u superpoziciji talasa.Kada uredaj eksperimenta podesimo tako da smo sigurni da foton ide samo jednim od dvamogu�ca opti�cka puta, onda �cemo govoriti o odredenom stanju fotona, �sto je u stvari pripadnostsnopu fotona koji se prostire jednim od pomenutih puteva. Kada se foton prostire i jednim idrugim opti�ckim putem istovremeno, onda se ka�ze da su odgovaraju�ca dva stanja superponiranau novo stanje ili da se nalaze u koherentnoj me�savini pomenuta dva stanja.1.3.2 Koe�cijenti u superpozicijiU klasi�cnoj teoriji talasa superpozicija se svodi na sabiranje amplitude talasnih oscilacija. Stogase mo�ze o�cekivati da �ce i kvantna mehanika opisivati stanja entitetima koji se mogu sabirati.Postavlja se pitanje da li se dva data stanja mogu superponirati samo u jednu superpoziciju,ili, kao �sto je to slu�caj sa klasi�cnim talasima, doti�cna stanja mogu da u�cestvuju u superpoziciji sarazli�citim koe�cijentima izra�zavajuci razli�citi stepen u�ce�s�ca stanja u koherentnoj me�savini; takoda ista dva stanja mogu da daju beskona�cno mnogo superpozicija.U na�sim eksperimentima sa dva opti�cka puta konstrukcija eksperimenata je bila takva da suoba puta bila jednako verovatna. Mo�zemo to lako promeniti smanjuju�ci jedan od dva otvora uprvom zastoru odnosno stavljaju�ci �cetvrt-posrebreno ogledalo itd. Onda se interferentni obrazacna drugom zastoru (koji poti�ce od interferencije dva opti�cka puta) osetno menja, zna�ci i super-ponirano stanje je znatno druga�cije nego u prvobitnim eksperimentima. Dakle, odgovor je dapostoje koe�cijenti pri superponiranju.Ova situacija sa potrebom da se stanja sabiru vode�ci ra�cuna o stepenu u�ce�s�ca (�sto je u vezi saverovatno�com) podse�ca na sabiranje obi�cnih vektora. Uzmimo realni dvo-dimenzionalni prostorradijus-vektora u ravni (Crte�z C 1.4).Pretpostavimo da ort x-ose, x0, na neki na�cin predstavlja jedan opti�cki put, a ort y-ose, y0,drugi opti�cki put u na�sim eksperimentima. Onda bi stanju koje je koherentna sme�sa jednakoverovatnih opti�ckih puteva mogao da odgovara ortO(�4 ), a superpozicijama nejednako verovatnihistih puteva fotona bi odgovarali ostali mogu�ci ortovi izmedu x0 i y0. Po�sto je O(�4 ) = cos �4x0+sin �4y0, pri ovom jednakom u�ce�s�cu dva stanja x0 i y0 koe�cijenti su cos �4 , a verovatno�ce su12 = cos2 �4 .

10 GLAVA 1. � IDEJNE OSNOVE KVANTNE MEHANIKE-

6��������� R � ?

yy0xx0�4�4 O(�4 )

Slika 1.4: Foton polarisan du�z O(�4 ).1.3.3 Linearna polarizacijaZa na�sa dva eksperimenta iz prethodnih odeljaka ortovi na Crte�zu C1.4 uspostavljaju samo nekuanalogiju sa onim �sto bi o�cekivali od teorije. Ali postoji jedan drugi svetlosni fenomen za kojiovi ortovi imaju precizno zna�cenje. Radi se o linearnoj polarizaciji svetlosti.Kao �sto je poznato iz klasi�cne optike, neki kristali pogodno pripremljeni (tzv. Nicol-oveprizme) imaju tzv. opti�cku osu i svetlost koja kroz njih prode je linearno polarizovana podpravim uglom na opti�cku osu. Tu je Nicol-ova prizma u ulozi polarizatora, tj. uredaja kojipriprema (preparira) polarizovan snop fotona. Pretpostavimo da se foton kre�ce pod pravimuglom na list hartije i to ka na�sem licu (recimo kroz koordinatni po�cetak na Crte�zu C1.4). Nekay0 de�ni�se pravac linearne polarizacije fotona1.3.1 1.3.2Ako se polarizovani foton propu�sta kroz kristal identi�can gore opisanom, onda ta Nicol-ovaprizma igra ulogu analizatora. Recimo da y0 de�ni�se pravac linearne polarizacije fotona i zaanalizator. Onda na�s foton sigurno prolazi kroz kristal. Medutim, ako x0 odreduje pravaclinearne polarizacije analizatora, foton sigurno ne�ce pro�ci (ugasi�ce se u kristalu).Pretpostavimo sad da je polarizator bio zaokrenut tako da je foton linearno polarizovan du�zorta O(�4 ) na Crte�zu C1.4. Analizator neka je u istom polo�zaju kao malopre, tj. neka propu�stasamo fotone koji su polarisani du�z x-ose. �Sta �ce se desiti sa na�sim fotonom? On �ce ili pro�ci(ceo, foton se ne mo�ze raspar�cati), ili �ce ga analizator apsorbovati. Ako propustimo kroz istianalizator snop fotona identi�cno polarizovanih (na polarizatoru u pomenutom polo�zaju), pro�ci�ce samo jedan deo njih i to oko polovine. Kao �sto smo i malopre imali, 12 = cos2 �4 , a cos �4 jeprojekcija orta O(�4 ) na ort x0. Moramo se zapitati da li ovo dizanje koe�cijenta na kvadrat imadubljeg zra�cenja.Odgovor �cemo lako dobiti malom izmenom na�seg polarizaciono-analizacionog eksperimenta.Zaokrenimo polarizator tako da snop fotona koji prode kroz njega bude linearno polarizovan du�zorta O(�8 ) na Crte�zu C1.5. Neka analizator i dalje propu�sta samo linearno polarizovane fotonedu�z x0 (�sto se ti�ce njihove polarizacije nakon prolaska). Ispostavlja se da oko 85 procenata fotona1.3.1Ort y0 u ovom primeru linearno polarizovanog fotona predstavlja unutra�snje stanje. Da bi dobili kompletnostanje fotona, y0 se mora dopuniti sa prostorno-vremenskim stanjem.1.3.2Nekad se umesto o pravcu linearne polarizacije govori, na ekvivalentan na�cin, i o polarizacionoj ravni, misle�ci,u na�sem slu�caju, na yz-ravan (ort z0 je u smeru prostiranja fotona).

1.3. PRINCIP SUPERPOZICIJE 11-

6yy0xx0�83�8 O(�8 )��������1� ? I?Slika 1.5: Foton polarisan du�z O(�8 ).prolazi, a 0; 85 � cos2 �8 .U drugoj varijanti ovog eksperimenta ostavimo polarizator nepomeren (fotoni su polarizovanidu�z O(�8 )), a analizator zaokrenimo za �2 , tako da propu�sta samo fotone koji su polarizovani du�zy0. Ispostavlja se da prolazi oko 14 posto fotona. Opet imamo 0:14 � cos2 3�8 .Po�sto se ovi rezultati mogu dobiti sa snopom fotona bilo kog intenziteta i to za bilo kojuorijentaciju polarizatora, o�cigledno, svaki foton ili prode kroz analizator ili ne, a verovatno�caprolaza jednaka je kvadratu projekcije orta polarizacije fotona na ort propu�stanja analizatora.Lako je uo�citi da mogu�cnosti raznih linearnih polarizacija uspostavljaju kontinuum inter-medijernih stanja izmedu x0-polarizacije i y0-polarizacije. U literaturi je pokazano da postojikontinuum meddustanja i izmedu gore pomenutih �cesti�cnih i talasnih stanja kvantne �cestice.1.3.4 Nelinearne polarizacijeUverili smo se da se pri superpoziciji stanja kvantnomehani�ckog sistema radi o sabiranju vektorau vektorskom prostoru (koji igra ulogu prostora stanja). Ali postavlja se jo�s pitanje da li jerealni vektorski prostor (kao na Crte�zu C1.4 i C 1.5) uvek dovoljan; pre svega da li je dovoljanza potpuno opisivanje polarizacionih pojava svetlosti.Za linearnu polarizaciju je dvodimenzionalni realni vektorski prostor, kao �sto smo videli,dovoljan. Ali, kao �sto je poznato, postoje i druge polarizacije fotona: cirkularne, elipti�cne itd.One se, da podsetimo, opisuju pomo�cu vektora iz dvodimenzionalnog kompleksnog vektorskogprostora (koji dobijamo mno�ze�ci ortove x0 i y0 sa kompleksnim brojevima).Na primer, desno cirkularno polarizovano stanje fotona opisuje se vektorom stanja (u stvariortom u dvodimenzionalnom kompleksnom vektorskom prostoru):(� {p2x0 + 1p2y0)e{!t; (1.3.1)gde je ! frekvencija, a t vreme. Kao �sto se vidi iz (1.3.1), upotrebom kompleksnih koe�cijenata(razvijanja kompleksnog vektora stanja po x0 i y0 kao bazisu) pojavljuje se konstantna (u vre-menu) razlika u fazi izmedu linearnog oscilovanja du�z x-ose i oscilovanja du�z y-ose (jer { = e{�2 ),�sto i dovodi do cirkularne polarizacije.

12 GLAVA 1. � IDEJNE OSNOVE KVANTNE MEHANIKE1.3.5 Princip superpozicijeNa kraju ovog semi-intuitivnog uvodenja u sadr�zaj pojma koherentnog me�sanja, mo�zemo re�cida se princip superpozicije (ili princip koherentnog me�sanja) stanja u stvari sastoji u izra�zavanjustanja �zi�ckog sistema ortovima koji su elementi kompleksnog linearnog vektorskog prostora,tako da sabiranje vektora odra�zava mogu�cnosti �zi�cke superpozicije stanja.1.4 Osnovni statisti�cki pojmovi u �ziciU ovom odeljku da�cemo koncizni pregled nekih osnovnih pojmova bilo koje statisti�cke oblasti�zike. Ovi pojmovi le�ze podjednako u osnovi kvantne mehanike kao i klasi�cne statisti�cke �zike.Svrha ovog pregleda je da se otkloni mogu�cnost nesporazuma i uspostavi jedan statisti�cki re�cnikkoji �ce biti neophodan u izlaganju kursa. Neke dovoljno va�zne op�ste teoreme �cemo i dokazati.�Sto se ti�ce ilustracije pojmova, osloni�cemo se na eksperimente iz odeljaka x 1.1,x 1.2 i x 1.3.1.4.1 Statisti�cki ansamblOsnovni pojam i istovremeno osnovni predmet prou�cavanja svake statisti�cke nauke je statisti�ckiansambl. To je, po de�niciji, dovoljno velik broj po ne�cemu jednakih objekata. Najmanji brojobjekata koji je dovoljno velik varira od jedne primene do druge i ve�cinom se empirijski odreduje,a po �cemu objekti moraju biti jednaki, to takode zavisi od de�nicije konkretnog statisti�ckogansambla.Mi smo imali primer ansambla (snopa) fotona kako u eksperimentu sa dva otvora, tako i ueksperimentu sa semire ektivnim ogledalom.1.4.2 Osnovne vrste statisti�ckih ansambalaPre svega postoje tzv. prostorni ansambli (nekad zvani i Boltzmann-ovi ansambli), u kojima seobjekti (elementi ansambla) nalaze istovremeno jedan pored drugog u prostoru. Ali, �sto je odpresudne va�znosti, sve posmatrane pojave poti�cu od svakog objekta pojedina�cno, a veliki broj is-tovremeno prisutnih objekata (na primer fotona) samo daje obi�cno nagomilavanje, intenzi�kacijuefekata.Kao �sto smo rekli ranije, oba eksperimenta iz odeljaka x 1.1 i x 1.2 mogu se izvesti i u vari-janti sa tzv. vremenskim ansamblima fotona. U ovakvom ansamblu objekti su rasporedeni povremenskoj osi, tj. objekti se pojavljuju jedan posle drugog, nikad dva istovremeno. U na�simprimerima fotonski ili elektronski izvor je izra�civao jednu po jednu �cesticu.U stvari, prostorni i vremenski ansambli predstavljaju dve krajnosti. Naj�ce�s�ce se susre�cuprostorno-vremenski ansambli, kao snop fotona ili elektrona, kojih i trenutno ima prili�can brojjedan pored drugog u prostoru, a i vr�simo akumuliranje doti�cnih �cestica u izvesnom vremenskomintervalu (kako bismo postigli dovoljnu intenzivnost merenih efekata).

1.4. OSNOVNI STATISTI �CKI POJMOVI U FIZICI 131.4.3 Preparacija ansamblaMada �cesto nailazimo na ansamble u prirodi (na pr. atmosfera je ansambl molekula vazduha),to u stvari nisu ansambli u statisti�ckom smislu, jer nismo sigurni da svi elementi ansamblaimaju jednu ili vi�se jednakih osobina koje karakteri�su statisti�cki ansambl. Zato je statisti�ckiansambl potrebno u po�cetnom trenutku pripremiti ili preparirati kako bi se osvedo�cili da svakielement ima osobine o kojima je re�c. Ova preparacija ansambla u po�cetnom trenutku u stvaripredstavlja po�cetni uslov. U na�sim primerima preparaciju vr�si izvor monohromatske svetlosti(zajedno sa kolimatorom ako ga ima), koji upu�cuje snop fotona ka otvorima zastora odnosno kasemire ektivnom ogledalu. U ovom slu�caju "jednake" osobine fotona su odredena talasna du�zinai odgovaraju�ca usmerenost u kretanju.1.4.4 Stohasti�cke varijable i distribucije po dogadajimaOsnovne predikcije statisti�cke nauke su verovatno�ce pojedinih dogadaja. U �zici se dogadajobi�cno de�ni�se kao dobijanje odredene brojne vrednosti odredene realne stohasti�cke (ili stati-sti�cke) varijable, koja se, sa svoje strane, de�ni�se odredenim skupom realnih vrednosti i odredenimmernim postupkom.Vratimo se, primera radi, na�sim eksperimentima. Pretpostavimo da zastor na kome se opa�zainterferentni obrazac ima pojednostavljenu formu kao na Crte�zu C1.6, tj. da se sastoji od 8kvadrati�ca, a geometrija celog eksperimenta da je takva da svaki foton mora pasti na zastor("idealni" eksperiment). Stohasti�cku varijablu X onda mo�zemo da de�ni�semo tako da uzimavrednosti 1,2,...,8, a pojedine vrednosti zna�ce da je foton pao u kvadrati�c ozna�cen tim brojem.(Drugi primer imamo u bacanju kocke.)1 2 3 4 5 6 7 8Slika 1.6: Zastor. Vrednosti stohasti�cke varijable su 1; : : : ; 8.Zamislimo jedan prostorno-vremenski ansambl fotona koji pada na zastor. Recimo, radijednostavnosti, da pri datom intenzitetu svetlosti i pri datom intervalu eksponiranja zastora(koji mo�zemo da zamislimo i kao foto-plo�cu) imamo 1000 upadnih fotona (broj sigurno premaliza jasan interferencioni obrazac, ali dovoljan za na�su ilustraciju pojmova). Neka je raspored ilidistribucija fotona po kvadrati�cima zastora data, recimo, krivom kao na Crte�zu C1.7. Na apscisisu nanesene vrednosti varijable X (tj. brojne oznake kvadrati�ca), a na ordinati je prikazan brojfotona koji je pao na doti�cni kvadrati�c i to, radi jednostavnosti, u stotinama fotona.1.4.5 Verovatno�caNa kvadrati�c 5, na primer, palo je 400 od 1000 fotona. Broj 400 je frekvencija, a broj 4001000 = 25je relativna frekvencija doti�cnog dogadaja pri merenju. To je, po de�niciji, pravi razlomak koji

14 GLAVA 1. � IDEJNE OSNOVE KVANTNE MEHANIKE

-6

1 2 3 4 5 6 7 81� 100234

� � � � � �Slika 1.7: Distribucija rezultata merenja stohasti�cke varijable sa Crte�za C1.6 u eksperimentusa 1000 fotona.pokazuje za koliki deo od ukupnog broja objekata u ansamblu se doti�cni dogadaj desio. Pritome se, naravno, pretpostavlja da se na svakom elementu ansambla vr�silo merenje | u na�semprimeru, da je svaki foton pao na zastor. Relativna frekvencija dogadaja 4, 6 i 7 je 15 , odnosno15 , odnosno 110 .Svrha verovatno�ce nekog dogadaja je da predska�ze njegovu relativnu frekvenciju pri odgo-varaju�cem merenju. Verovatno�ca vi i-tog dogadaja de�ni�se se kao grani�cna vrednost relativnefrekvencije NiN i-tog dogadaja kada broj elemenata u ansamblu (tj. veli�cina ansambla) N te�zibeskona�cnosti.Po�sto NiN � 0, Pi NiN = NN = 1, uvek va�ze veoma va�zne relacije koje izra�zavaju nenegativnostverovatno�ce, odnosno njenu normiranost (na jedinicu):vi � 0; i = 1; 2; ::: ;Pi vi = 1 : (1.4.1a,b)1.4.6 Klasi�cni prostor dogadajaVrednosti 1,2,...,8 stohasti�cke promenljive X sa Crte�za C1.6 su dogadaji koji odreduju tzv.prostor dogadaja. To je, po de�niciji, skup svih elementarnih i slo�zenih dogadaja. Elementarnidogadaji u na�sem primeru su same pomenute vrednosti varijable, a jedan slo�zen dogadaj napr. glasi: (1 ili 5 ili 7). O�cigledno, prostor dogadaja svodi se na isto �sto i partitivni skup (tj.skup svih podskupova od) skupa f1; 2; :::; 8g, samo �sto se operacija unije zamenjuje operacijom"ili", koja se obele�zava takode sa [ (kao i unija). Skupovna operacija "presek" zamenjuje sedogadajnom operacijom "istovremeno"; na pr., dogadaj (1 ili 3) istovremeno sa dogadajem (1 ili5) je dogadaj (1). Ova operacija obele�zava se sa \ (kao i presek skupova)1.4.1.Ako pri merenju promenljive X na statisti�ckom ansamblu od N objekata dobijemo na Niobjekata rezultat X = i, i = 1; 2; :::; 8, onda je relativna frekvencija na pr. slo�zenog dogadaja (11.4.1Prostor dogadaja je po strukturi, kao i partitivni skup, tzv. Bool-ova (�citati: Bulova) algebra.

1.4. OSNOVNI STATISTI �CKI POJMOVI U FIZICI 15ili 5 ili 7) o�cigledno N1+N5+N7N , a verovatno�ca mu jev(1 ili 5 ili 7) = v(1) + v(5) + v(7); (1.4.2)tj. jednaka je zbiru verovatno�ca elementarnih dogadaja na koje se doti�cni slo�zeni dogadaj razla�ze.Ka�ze se da su dva dogadaja disjunktna ako nemaju ni jedan zajedni�cki elementaran dogadaj (uanalogiji sa disjunktnim skupovima, koji nemaju zajedni�cki element). Na primer, dogadaj "parnevrednosti od X" i dogadaj "neparne vrednosti od X" su disjunktni. O�cigledno, verovatno�cadogadaja koji se dobija operacijom "ili" iz dva ili vi�se disjunktna dogadaja jednaka je zbiruverovatno�ca tih pojedinih dogadaja na koje se slo�zeniji dogadaj razla�ze (bez obzira da li su ovielementarni ili slo�zeni sa svoje strane).U prostoru dogadaja postoji sigurni dogadaj i nemogu�ci dogadaj. Ovi dogadaji se �cestonazivaju i apsolutno sigurnim i apsolutno nemogu�cim, jer se u svakom pojedinom merenju prvimora desiti, a drugi ne mo�ze desiti. Kako god da se zada verovatno�ca, ona sigurnom dogadajumora da pripi�se 1, a nemogu�cem 0. U slu�caju pomenutog prostora dogadaja apsolutno sigurnidogadaj je (1 ili 2 ili...ili 8), a apsolutno nemogu�ci dogadaj je (nijedna vrednost).Jedna konkretna tzv. distribucija verovatno�ce vi, i = 1; 2; :::; 8 (to je zadavanje verovatno�cesvih elementarnih dogadaja) na prostoru dogadaja mo�ze da pripi�se vrednost 1 i dogadaju kojinije apsolutno siguran, a vrednost 0 i dogadaju koji nije apsolutno nemogu�c. Onda se govori ostohasti�cki sigurnom odnosno o stohasti�cki nemogu�cem dogadaju (relativni pojmovi, de�nisani uodnosu na doti�cnu distribuciju verovatno�ce vi !). U ansamblu od 8 dogadaja koji opisuje doti�cnadistribucija verovatno�ce stohasti�cki siguran dogadaj se mo�ze desiti Ns < N puta, a stohasti�ckinemogu�ci dogadaj Nn > 0 puta, ali NsN ! 1 kad N !1 i NnN ! 0 kad N !1.1.4.7 Uslovna verovatno�caKao �sto smo rekli, a \ b je dogadaj koji se de�ni�se kao dogadaj a istovremeno sa dogadajemb. Pored obi�cne relativne frekvencije Na\bN dogadaja a \ b, od va�znosti je i uslovna relativnafrekvencija Na\bNa (uslov je da se dogadaj a desio), a jo�s vi�se njen limes1.4.2:va(b) def= limNa!1 Na\bNa ; (1.4.3)koji se naziva uslovnom verovatno�com (a je uslovni, a b je teku�ci dogadaj). Radi razlikovanja oduslovne, o obi�cnoj verovatno�ci se ponekad govori kao o apsolutnoj verovatno�ci.Osnovni teorem uslovne verovatno�ce glasi:v(a \ b) = v(a):va(b): (1.4.4)Lako se vidi da iz (1.4.3) odmah sledi (1.4.4), kao relacija koja povezuje apsolutnu i uslovnuverovatno�cu. Na osnovu (1.4.4) znamo kojoj apsolutnoj verovatno�ci odgovara koja uslovna ve-rovatno�ca (obe su de�nisane na istim frekvencijama Na).Ka�ze se da dogadaj b implicira dogadaj a, i pi�se se b � a ako b = a\ b (tj. kad god se desi b,desio se i a, tj. a je slo�zeniji dogadaj). Onda se a mo�ze razlo�ziti na b i na jo�s neki sa b disjunktandogadaj. Iz (1.4.4) sledi za slu�caj da b � a:v(b) = v(a)va(b): (1.4.5)1.4.2Simbolom "def=" ozna�cava�cemo "po de�niciji jednako".

16 GLAVA 1. � IDEJNE OSNOVE KVANTNE MEHANIKE1.4.8 Srednja vrednostAko je neka stohasti�cka varijabla X diskretna, npr. ako uzima vrednosti iz nekog diskretnogskupa realnih brojeva X = fx1; x2; : : :g, onda se srednja ili o�cekivana vrednost od X, koja se pi�seX (u kvantnoj mehanici �cesto kao h X i), de�ni�se kao aritmeti�cka srednja vrednost:X def= Xi xiNiN ; (1.4.6a)gde je NiN relativna frekvencija dogadaja xi. Ako se uzme N dovoljno veliko i izjedna�ci relativnafrekvencija NiN sa odgovaraju�com verovatno�com vi, onda se (1.4.6a) svodi naX def= Pi xivi : (1.4.6b)�Cesto se o (1.4.6b) govori kao o usrednjavanju varijable X.Treba uo�citi da u slu�caju diskretne varijable X, srednja vrednost ne mora biti jedna odmogu�cih vrednosti x1; x2; ::: te varijable. A ako slu�cajno jeste, ne mora biti najverovatnija vred-nost.1.4.9 Gustina verovatno�ceAko je stohasti�cka varijabla Y neprekidna, npr. ako uzima kontinualno sve vrednosti iz ne-kog intervala (a; b), onda se obi�cno de�ni�se gustina verovatno�ce �(y) tako da je �(y) dy (in�ni-tezimalna) verovatno�ca da se pri merenju promenljive Y dobije vrednost iz (in�nitezimalnog)intervala (y � 12 dy; y + 12 dy). Srednja vrednost je u ovom slu�cajuY def= R ba y�(y) dy : (1.4.7)1.4.10 Neodredenost distribucijePored srednje vrednosti, najva�znija veli�cina koja nam daje kvantitativne informacije o distribucijiverovatno�ce po mogu�cim vrednostima stohasti�cke varijable X je tzv. neodredenost ili standardnadevijacija �X. To je, po de�niciji, pozitivni kvadratni koren iz srednje kvadratne devijacije:�X def= q(xi �X)2 =sXi vi(xi �X)2: (1.4.8a)Naime, (xi � X) su pojedine (i = 1; 2; : : :) devijacije ili odstupanja (od srednje vrednosti),(xi �X)2 su pojedine kvadratne devijacije, a (xi �X)2 je srednja kvadratna devijacija (�X)2,koja se �cesto naziva i disperzijom.Ako stohasti�cka varijabla Y nije diskretna nego je neprekidna, onda se �Y de�ni�se po uzoruna slede�ci obrazac: �Y def= sZ ba �(y)(y � Y )2 dy; (1.4.8b)koji va�zi za primer varijable de�nisane u intervalu (a; b).Sada �cemo da doka�zemo veoma va�zan teorem za neodredenost distribucije verovatno�ce.

1.4. OSNOVNI STATISTI �CKI POJMOVI U FIZICI 17Teorem 1.4.1 Za svaku stohasti�cku varijablu Z i za svaku distribuciju verovatno�ce po mogu�cimvrednostima od Z kvadrat neodredenosti ((�Z)2 je jednak razlici srednje vrednosti kvadrata va-rijable i kvadrata srednje vrednosti varijable:(�Z)2 def= Z2 � Z2 : (1.4.9)Dokaz: 1.4.3 (�Z)2 = (Z � Z)2 = Z2 � 2ZZ + Z2 = Z2 � 2Z2 + Z2 = Z2 � Z2: Q. E. D.Napomena 1.4.1 U dokazu smo (Z � Z)2 tretirali kao novu stohasti�cku varijablu koja je funkcijavarijable Z (i ona je diskretna ili kontinualna ve�c prema tome da li je Z diskretna ili kontinualnavarijabla). Osim toga, iskoristili smo slede�ce dve osnovne osobine srednje vrednosti, koje neposrednoslede iz de�nicije (1.4.6b) i (1.4.7):a) srednja vrednost je linearni funkcional na skupu varijabli, tj. (aZ1 + bZ2) = aZ1 + bZ2, gde su ai b brojevi, a Z1 i Z2 varijable (a "funkcional" zna�ci unarno preslikavanje, tj. preslikavanje pojednog elementa iz nekog skupa, i to u brojeve);b) srednja vrednost konstante je ta ista konstanta: Z = a ) Z = a.O�cigledno, rezonovanje u dokazu Teorema T1.4.1 ne zavisi od toga da li je Z diskretna ilineprekidna varijabla.1.4.11 O�stra vrednost varijableNeka je X diskretna stohasti�cka varijabla koja uzima (kona�cno ili prebrojivo beskona�cno mnogone nu�zno razli�citih) vrednosti x1; x2; : : : Neka je v1; v2; : : : jedna zadata distribucija verovatno�ce.Ka�ze se da X ima o�stru vrednost xi0 akovi = 0 kad god xi 6= xi0 ; (1.4.10)tj. ako je jedna od vrednosti varijable stohasti�cki sigurna, a sve ostale vrednosti su stohasti�ckinemogu�ce.Sada �cemo dokazati va�zan potreban i dovoljan uslov za to da diskretna varijabla X ima o�struvrednost pri zadatoj distribuciji verovatno�ce vi.Teorem 1.4.2 Neka je X diskretna stohasti�cka varijabla, a vi, i = 1; 2; : : : zadata distribucijaverovatno�ca. X ima o�stru vrednost ako i samo ako je neodredenost nula:�X = 0 : (1.4.11)Dokaz: a) Potrebnost. Pretpostavimo da vi zadovoljava (1.4.10). Onda X = Pi vixi = xi0 i (�X)2 =Pi vi(xi � xi0)2 = 0.b) Dovoljnost. Pretpostavimo da va�zi �X = 0, tj. Pi vi(xi �X)2 = 0. Po�sto je ovde zbir nenegativnih brojevanula (uporediti (1.4.1a) i imati u vidu da tretiramo samo realne varijable), svaki sabirak posebno mora bitinula1.4.4: vi(xi �X)2 = 0, 8i. Po�sto svaka distribucija verovatno�ce mora biti normirana na jedinicu (uporediti(1.4.1b)), a sve su verovatno�ce nenegativne, bar za jednu vrednost indeksa moramo imati pozitivnu verovatno�cu.Neka j prebrojava elementarne dogadaje (tj. vrednosti od i) za koje je verovatno�ca pozitivna. Iz gornjeg sledi:vj(xj �X)2 = 0, ) (xj �X)2 = 0 ) xj = X; 8j. Dakle, X je jedna od mogu�cih vrednosti i ona je stohasti�ckisigurna (jer se sve xj podudaraju), tj. X ima o�stru vrednost. Q. E. D.1.4.3"Q. E. D." je skra�ceno od quad erat demonstrandum; to na latinskom zna�ci: �sto je trebalo pokazati.1.4.4Simbolom "8" ozna�cavamo "za svaku od mogu�cih vrednosti".

18 GLAVA 1. � IDEJNE OSNOVE KVANTNE MEHANIKE1.4.12 Me�sanje ansambalaStatisti�cke ansamble mo�zemo pome�sati u nadansambl. Neka imamo, recimo, K ansambala sa poNk, k = 1; 2; :::; K objekata u njima. Pod me�sanjem ovih ansambala podrazumeva se uzimanjenadansambla od svih N = PKk=1Nk objekata. (U nadansamblu objekti su "pome�sani", tj. nezna se koji objekt poti�ce iz kog od K prvobitnih ansambala.)Nadansambl se naziva me�savinom ili sme�som (K prvobitnih ansambala), a razlomci wk def= NkNnazivaju se statisti�ckim te�zinama podansambala k = 1; 2; :::; K u njemu1.4.5. Kada Nk !1; 8k,onda i N ! 1 i (�sto u stvari kompletira de�niciju me�sanja ansambala) statisti�cke te�zine wkostaju nepromenjene.Ako su bar dva podansambla "razli�cita", onda se za nadansambl ka�ze da je nehomogen ilime�san (u u�zem smislu). Ako se, naprotiv, neki statisti�cki ansambl ne mo�ze dobiti me�sanjemdva ili vi�se ansambala od kojih su bar dva razli�cita, onda se ka�ze da je ansambl homogen ili�cist. Me�sanim ansamblom u �sirem smislu naziva se ansambl koji je nehomogen ili (u specijalnomslu�caju) homogen.U eksperimentu sa semire ektivnim ogledalom u varijanti b00 (videti x 1.2.2) skup svih fotonakoji stignu na zastor je nadansambl ili me�savina sastavljena od dva podansambla: od skupa svihfotona koji opti�ckom putanjom 1 (prvi podansambl) i od skupa svih fotona koji idu opti�ckomputanjom 2 (drugi podansambl). Po�sto semire ektivno ogledalo jednak broj fotona re ektuje ipropu�sta, ovde su statisti�cke te�zine N1N = N2N = 12 .Me�savinu (nadansambl) treba dobro razlikovati od koherentne me�savine ili superpozicije(x 1.3.1). Varijanta a eksperimenta sa semire ektivnim ogledalom (x 1.2.1) daje superpoziciju(difrakcioni obrazac tipa D1;2, C 1.2), a, kao �sto smo rekli, u varijanti b00 imamo primer za obi�cnu(tj. nekoherentnu) me�savinu ansambala (difrakcioni obrazac tipa D1 +D2).1.4.13 Vremenska evolucijaAko u toku nekog vremenskog intervala eksperimentator ne vr�si nikakvu intervenciju na objek-tima ansambla, onda se sa svim tim objektima de�sava spontana vremenska evolucija (promenapo zakonu kretanja). Samim tim menja se i statisti�cki ansambl i ova promena se naziva vre-menskom evolucijom ansambla. Teorijsko znanje o objektima u ansamblu, koje se, kao �sto smovideli, izra�zava raspodelama verovatno�ca vi, takode mora (u op�stem slu�caju) da se menja privremenskoj evoluciji.1.4.14 Selektivno i neselektivno merenjePrilikom merenja jedne diskretne stohasti�cke varijable X na ansamblu, mo�zemo na dva na�cinadobiti krajnji ansambl:i) ako izdvojimo podansambl svih objekata iz ansambla na kojima smo dobili odredeni unapred�ksirani rezultat xi pri merenju X, onda govorimo o selektivnom merenju vrednosti xi odX;1.4.5Statisti�cke te�zine su analogoni kvadrata od modula koe�cijenata u superpoziciji, uporediti x 1.3.2 i x 1.3.3.

1.4. OSNOVNI STATISTI �CKI POJMOVI U FIZICI 19ii) ako i nakon merenja sve objekte ostavimo u jednom ansamblu, onda govorimo o neselektivnommerenju.Pri neselektivnom merenju se broj sistema u ansamblu konzervira, tj. i nakon merenja imamosve objekte ansambla u vidu. Nasuprot tome, pri selektivnom merenju ograni�cavamo se poslemerenja na podansambl i ispu�stamo iz vida sve objekte na kojima nismo dobili unapred �ksiranirezultat.Ansambl koji nastaje neselektivnim merenjem varijable X je me�savina podansambala kojinastaju selektivnim merenjem, a statisti�cke te�zine su pri tome jednake relativnim frekvencijama,tj. (pribli�zno) verovatno�cama vi.1.4.15 Prediktivno i retrospektivno merenjeRadi ilustracije pojmova iz prethodnog paragrafa, vratimo se na linearnu polarizaciju svetlosti(x 1.3.3). Pretpostavimo da je polarizator preparirao �cisti snop fotona polarisanih du�z orta O(�4 ).Postavimo analizator du�z orta x0. Na fotonima koji produ analizator izvr�sili smo selektivnomerenje1.4.6 linearne polarisanosti du�z x0, a njihov snop (koji se ovog puta sam izdvaja) jeilustracija podansambla koji posle merenja sadr�zi sve objekte sa odredenim mernim rezultatom.Tu se radi o tzv. prediktivnom merenju, jer je to merenje koje omogu�cuje da predska�zemo(izvr�simo predikciju) u kom �ce se stanju foton na�ci posle merenja.Za fotone koje je analizator apsorbovao se u stvari ispostavilo da su bili polarizovani du�z y0orta. Na njima je, kao �sto se ka�ze, retrospektivno izmeren doti�cni rezultat. Naime, rezultat seodnosi na pro�slost: na trenutak po�cetka interakcije fotona sa mernim aparatom.Po�sto foton ili prode ili bude apsorbovan u analizatoru, "analiza" mo�ze da se smatra neselek-tivnim merenjem u kome se odlu�cuje da li je foton polarizovan du�z x0 ili ortogonalno na njega.Samo, kao �sto smo videli, ovo je delom prediktivno, a delom retrospektivno merenje, tako da sene uklapa u potpunosti u gornju de�niciju neselektivnog merenja, jer smo gore imali u vidu (kao�sto je to uobi�cajeno u kvantnoj mehanici) isklju�civo prediktivno merenje.1.4.16 Promena ansambla pri merenjuKao �sto je poznato, u klasi�cnoj �zici se pretpostavlja da merenje uop�ste ne menja objekte u an-samblu, ve�c samo dovodi do saznanja koja je vrednost merene varijable. U stvari, i u klasi�cnoj �-zici realno merenje uspostavlja privremenu interakciju izmedu mernog aparata i merenog objektai zato, po pravilu, dolazi do izvesne promene osobina i, prema tome, do promene stanja objekta.Ali teorija korespondira idealnom, a ne realnom, eksperimentu, a to je po de�niciji grani�cnislu�caj realnog eksperimenta u kome i ja�cina interakcije i vreme trajanja interakcije te�ze nuli.Onda naravno i pomenuta promena osobina objekta izazvana interakcijom te�zi nuli.U kvantnoj mehanici se svaka interakcija svodi na izmenu dejstva izmedu interaguju�cih �zi�ckihsistema, a dejstvo se izmenjuje u kvantima h (Planck-ova konstanta). Zna�ci, postoji minimalnaizmena dejstva (jedan kvant), te u principu ne mo�zemo da pustimo interakciju da te�zi nuli. Prematome i idealno merenje u kvantnoj mehanici (koje je i ovde po de�niciji grani�cni slu�caj u kome je1.4.6U ovom eksperimentu nemamo na prirodan na�cin de�nisanu stohasti�cku varijablu sa mogu�cim vrednostima,mada to mo�zemo formalno lako u�ciniti.

20 GLAVA 1. � IDEJNE OSNOVE KVANTNE MEHANIKEsve sporedno pu�steno da te�zi nuli) dovodi, u op�stem slu�caju, nu�zno do promene ansambla. Stogakvantnomehani�cko neselektivno merenje �cesto promeni ansambl, dok se u analognom klasi�cnommerenju to nikad ne de�sava.

Glava 2STATISTI�CKI POSTULATI IGEOMETRIJA KVANTNEMEHANIKE2.1 Stanja, opservable i verovatno�caU ovom odeljku zapo�cinjemo deduktivnu izgradnju kvantne mehanike formulacijom tri najosnov-nija postulata. Oni daju odgovor na slede�ca pitanja:i) kako teorijski izraziti homogeni kvantni ansambl?ii) kako opisati pona�sanje objekata u eksperimentima?iii) kako izra�cunati verovatno�ce pojedinih mernih rezultata?Izve�s�cemo i nekoliko neposrednih posledica prva tri postulata.2.1.1 �Cisti kvantni ansambliSvaki �zi�cki sistem je u osnovi kvantni sistem, ali izvesna gruba posmatranja na njemu mogu dase objasne klasi�cnom �zikom, koja se smatra aproksimacijom kvantne mehanike (u kojoj h te�zinuli). Prema tome, o �zi�ckom sistemu se govori kao o kvantnom sistemu ako se na njemu vr�semerenja �ciji se rezultati ne mogu objasniti u aproksimaciji klasi�cne �zike, ve�c je za to neophodnakvantna mehanika.Statisti�cki ansambl sastavljen od "jednakih" kvantnih sistema naziva se kvantnim ansamblom."Jednakost" svakako sadr�zi iskaz da se radi o istoj vrsti �zi�ckog sistema2.1.1 (npr. o atomuvodonika). U preparaciji ansambla "jednakost" dobija precizan sadr�zaj.Dva kvantna ansambla se smatraju ekvivalentnim ako daju jednake distribucije verovatno�cepo mernim rezultatima svake stohasti�cke varijable. Ekvivalentni ansambli se opisuju istim mate-mati�ckim entitetom2.1.2. Kvantni ansambl se naziva homogenim ili �cistim ako nije ekvivalentan2.1.1U kvantnoj mehanici se pretpostavlja da je vrsta kvantnog sistema unapred �ksirana i onda joj se, kao �sto�cemo videti, pridru�zuje prostor stanja. Sav kvantnomehani�cki formalizam i kvantne zakonitosti formuli�su se uprostoru stanja doti�cnog kvantnog sistema. 21

22 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKEme�savini kvantnih ansambala od kojih su bar dva uzajamno neekvivalentna, tj. ako nije neho-mogen. Kada se ima u vidu kvantni sistem koji pripada �cistom kvantnom ansamblu, obi�cno segovori o �cistom stanju, ili naj�ce�s�ce kratko o stanju, sistema. Takozvano me�sano stanje kvantnogsistema, �sto u stvari zna�ci da sistem pripada kvantnom ansamblu koji mo�ze biti i nehomogen,prou�ci�cemo detaljnije u odeljku x 4.3.�Cisto stanje je osnovni pojam pri opisivanju kvantnog sistema i predstavlja analogon klasi�cnog�cistog stanja, tj. ta�cke u faznom prostoru sistema. U �cistom stanju kvantni sistem je maksimalnoprecizno i potpuno opisan.Veliki pioniri kvantne mehanike Niels Bohr, Werner Heisenberg, Wolfgang Pauli, Max Bornitd. (tzv. kopenhagenska �skola mi�sljenja) smatrali su da je kvantni �cisti ansambl homogen uapsolutnom smislu, tj. da je �zi�cki besmisleno postaviti pitanje da li je to mo�zda me�savina ne-ekvivalentnih subkvantnih podansambala (karakterisanih tzv. skrivenim parametrima). Takodesu zami�sljali �cisto stanje kao stanje individualnog kvantnog sistema, a ansambl su smatrali ne-ophodnim samo za laboratorijsko osmi�sljavanje distribucije verovatno�ce po rezultatima merenja.Danas njihov stav sve vi�se podle�ze preispitivanju. Eksperimentalni i teorijski rezultati bli�ze ilidalje budu�cnosti �ce pokazati da li su kvantni �cisti ansambli u stvari subkvantni me�sani (neho-mogeni) ansambli (kako god da se jednog dana de�ni�se pojam "subkvantnog") ili ne; drugimre�cima, da li je kvantno �cisto stanje kvantnog objekta samo za kvantnog �zi�cara maksimalno po-znato stanje, a u stvari odgovara nepotpunom poznavanju sistema (kao �sto je slu�caj u klasi�cnojstatisti�ckoj �zici) ili je to maksimalno odredeno stanje kvantnog sistema kako to le�zi u prirodistvari.2.1.2 Postulat o stanjimaPrvi zadatak kvantne mehanike sastoji se u tome da de�ni�se entitete koji �ce teorijski korespon-dirati �cistom stanju datog kvantnog sistema.Moramo se zapitati �sta se zapravo o�cekuje od jednog entiteta pomo�cu kojega je statisti�ckiansambl "zadat", tj. koji teorijski korespondira ansamblu. Odgovor proizlazi iz na�seg pregledastatisti�ckih pojmova (x 1.4): Za svaku stohasti�cku varijablu Z koja mo�ze da se meri na svimobjektima ansambla mora da se iz doti�cnog entiteta mo�ze izra�cunati distribucija verovatno�ce pomogu�cim vrednostima od Z.Setimo se linearne polarizacije i pretpostavimo za trenutak da se jedino linearna polarizacijamo�ze meriti na ansamblu fotona. Onda, kao �sto smo videli u x 1.3.3, entitet koji opisuje �cistiansambl linearno polarizovanih fotona npr. du�z orta O(�4 ) je sam taj ort, jer njegov kvadratprojekcije daje verovatno�cu. Videli smo u x 1.3.4 da se, pri uzimanju u obzir i nelinearnih polari-zacionih fenomena, unutra�snje stanje fotona izra�zava ortom u kompleksnom linearnom prostoru.U op�stem slu�caju u tu svrhu slu�zi jedan kompleksni Hilbert-ov prostor H, koji se naziva prosto-rom stanja zadatog kvantnog sistema. Kako se ovaj prostor de�ni�se u slu�caju jedne i vi�se �cestica,vide�cemo u odeljcima x 2.5 i x 2.6. Sada �cemo pretpostaviti da je H ve�c zadat.Pre nego �sto koncizno formuli�semo prvi postulat, podsetimo se jo�s da se stanje fotona koje sesastoji u linearnoj polarisanosti du�z x-ose npr. mo�ze ta�cno izraziti ortom x0. Lako je videti dabi ort �x0 isto tako dobro poslu�zio, jer daje iste kvadrate projekcija. Dakle, imamo dvozna�cnostu izboru orta koji �ce de�nisati pravac realne x-ose. U op�stem slu�caju u kvantnoj mehanici stanje2.1.2Ekvivalentni mogu biti samo ansambli kvantnih sistema iste vrste (ina�ce bi se bar nekim merenjem razlikovali).

2.1. STANJA, OPSERVABLE I VEROVATNO�CA 23predstavlja vektor u H jedini�cne norme ili, kao �sto se obi�cno ka�ze, normirani vektor (uop�stenjepojma realnog orta), ali u stvari opet se radi o jednodimenzionalnom potprostoru ili pravcu kojidoti�cni vektor de�ni�se u H. Stoga imamo vi�sezna�cnost u izboru entiteta koji odgovara �cistomstanju: zajedno sa 2 H (k k = 1, "k : : :k" ozna�cava normu vektora) i e{� , gde je � bilo kojirealan broj, predstavlja isto stanje kvantnog sistema. Ova nejednozna�cnost u izboru izra�zavase obi�cno re�cima: vektor stanja je odreden s ta�cno�s�cu do proizvoljnog faznog faktora (tj. doe{�), ili re�cima: vektor stanja ima otvoren fazni faktor.I POSTULAT O STANJIMASvako stanje kvantnog sistema predstavlja se u kvantnoj mehanici nekimvektorom jedini�cne norme u prostoru stanja H doti�cnog sistema, i obratno,svaki vektor jedini�cne norme izH u principu predstavlja neko mogu�ce stanjedoti�cnog kvantnog sistema. Pri tome dva vektora jedini�cne norme koja serazlikuju samo za fazni faktor predstavljaju isto stanje, i obratno, samotakva dva vektora predstavljaju jedno te isto stanje.Na osnovu obostrano jednozna�cne veze izmedu �zi�ckih stanja kvantnog sistema i normiranihvektora u H (s ta�cno�s�cu do otvorenog faznog faktora), koju uspostavlja I Postulat, ne�cemoterminolo�ski razlikovati stanje i normirani vektor (koji ga predstavlja), tj. kad god ka�zemo"stanje", izrazi�cemo to2.1.3 sa 2 H, h j i = 1. Naravno, treba stalno imati na umuda "stanje" zna�ci �cisto stanje, a ovo u stvari zna�ci pripadnost kvantnog sistema odredenomhomogenom kvantnom ansamblu.Postulat o stanjima je u neku ruku preciznija i potpunija formulacija principa superpozicije.Naime, iz ovog postulata sledi slede�ci iskaz: ako znamo da kvantni sistem mo�ze biti u stanjima 1; 2; : : : ; K (normirani vektori), onda mo�ze biti i u stanju c(a1 1 + a2 2 + ::: + aK K), gdesu ak, k = 1; 2; :::; K proizvoljni kompleksni brojevi, a c je konstanta normiranja. A ovaj iskaz ustvari izra�zava princip superpozicije i interferenciju (videti ni�ze u paragrafu x 2.1.8).U formulaciji Postulata I ne�sto je moralo ostati nedore�ceno. Naime, nije iskazano kako seostvaruje korespondencija $ "homogeni kvantni ansambl". Ovu �cemo prazninu popuniti ka-snije u paragrafu x 2.4.6, kada budemo imali izvestan broj, za to neophodnih, pojmova i rezultata.2.1.3 Postulat o opservablamaRas�cistiv�si �sta su teorijski entiteti koji odgovaraju �cistim ansamblima kvantnih sistema tek smore�sili problem po�cetnog uslova, koji se, kao �sto smo rekli, naziva preparacijom po�cetnog ansambla.Dakle, kad eksperimentator na neki na�cin preparira �cisti ansambl u laboratoriji, teoreti�car tomena hartiji (ili tabli) korespondira normiran vektor 2 H.Kao �sto smo videli u na�sim tipi�cnim kvantnim eksperimentima (x 1.1 i x 1.2), ansambl kvant-nih objekata se po izboru eksperimentatora dovodi u interakciju sa nekim klasi�cnim mernimuredajem kako bi kvantni objekti ispoljili ono �sto smo nazivali kvantno pona�sanje. Sada treba2.1.3Vektore stanja pisa�cemo i samo simbolima, recimo , i kao Dirac-ove ketove j i. Bez opomene preskaka�cemos jedne notacije na drugu (pre�cutno pretpostavljaju�ci da imamo samo jedno H). Tako �ce se �citalac navi�ci na ovudvojezi�cnost, �sto je veoma po�zeljno jer se oba jezika obilno koriste u literaturi.

24 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKEda precizno formuli�semo �sta se uop�ste mo�ze meriti u kvantnoj �zici, drugim re�cima, �sta su sto-hasti�cke varijable kvantne mehanike.II POSTULAT O OPSERVABLAMASvaku stohasti�cku varijablu kvantnog sistema, tj. svaku tzv. opservablu,predstavlja neki hermitski operator u prostoru stanja H sistema i obratno,svaki hermitski operator u H predstavlja neku opservablu koju u principumo�zemo da merimo. Pri tome razli�cite stohasti�cke varijable predstavljajurazli�citi operatori i obratno, razli�citi operatori uvek odgovaraju razli�citimvarijablama.Na osnovu obostrano jednozna�cne veze iz Postulata II ne�cemo terminolo�ski razlikovati opser-vable i hermitske operatore u H.U poslednje vreme neki istra�ziva�ci u oblasti zasnivanja kvantne mehanike poku�savaju dagornju formulaciju Postulata II zamene opreznijom, u kojoj se skup svih stohasti�ckih varijablikvantne mehanike biunivoko relira sa jednim (nede�nisanim) pravim podskupom skupa svih her-mitskih operatora uH. To omogu�cuje da se neki (sa gledi�sta �zike) patolo�ski slu�cajevi hermitskihoperatora ni u principu ne osmi�sljavaju �zi�cki. Ali nemogu�cnost da se de�ni�se pomenuti podskup"prihvatljivih" operatora �cini ceo poku�saj jo�s nedovoljno zrelim. Kvantna mehanika, kao i svakadruga oblast teorijske �zike, iziskuje zatvorenost matemati�ckog aparata sa kojim radi. Zato sena�sa formulacija Postulata II koristi skupom svih hermitskih operatora.Vide�cemo u paragrafu x 2.5.7 da su opservable od velikog zna�caja za odredivanje prostorastanja.Kada u odeljku x 2.4 budemo shvatili da opservable mogu biti kompatibilne i nekompatibilnei kada u odeljcima x 4.1 i x 4.2 izvedemo iz nekompatibilnosti relacije neodredenosti, onda �cemovideti da �cinjenica da se stohasti�cke varijable u kvantnoj mehanici predstavljaju upravo hermit-skim operatorima u H u stvari na precizan i op�sti na�cin iskazuje princip neodredenosti, koji smokvalitativno diskutovali u odeljku x 1.2.2.1.4 Spektralna forma hermitskog operatoraKao �sto smo videli na primeru na�sih tipi�cnih eksperimenata, meri se u stvari raspodela ve-rovatno�ce (u na�sim primerima raspodela verovatno�ce padanja fotona po du�zini zastora). Ovaraspodela mora da zavisi kako od stanja kvantnog objekta, tako i od opservable koju merimo.Moramo se zapitati kakve veze imaju hermitski operatori sa raspodelom verovatno�ce po realnojosi, ili bar sa samom realnom osom.Matemati�cki podsetnikHermitski operator A ima svoj domen de�nisanosti DA � H. Skup DA mo�ze biti ceo prostorH. Ako je DA pravi podskup, onda je to lineal gust u H. To zna�ci da je skup DA zatvorenna formiranje bilo koje linearne kombinacije i da se svaki element H mo�ze proizvoljno ta�cnoaproksimirati nekim elementom iz DA. (Skup racionalnih brojeva je npr. gust na realnoj osi, ali

2.1. STANJA, OPSERVABLE I VEROVATNO�CA 25nije lineal.) Za svaka dva vektora ; ' 2 DA va�zi (A ; ') = ( ; A'), tj. A = Ay. Ali ovo je samonjegovo lice i ono nema neposrednog zna�caja za �ziku. Hermitski operator ima i svoje nali�cje.Hermitski operator, pre svega, ima ta�cno odreden diskretni spektar ili skup diskretnih svoj-stvenih vrednosti, tj. realnih brojeva a za koje tzv. svojstvena jednakostA = a (2.1.1)ima re�senje 2 DA, 6= 0. Osim toga hermitski operator A ima i svoje svojstvene projektorekoji odgovaraju pojedinim svojstvenim vrednostima. Na primer svi vektori koji zadovoljavaju(2.1.1) sa �ksiranom vredno�s�cu a, �cine potprostor, tzv. svojstveni potprostor od A koji odgovarasvojstvenoj vrednosti a. Projektor na ovaj potprostor je tzv. svojstveni projektor Pa(A), za kojise takode ka�ze da odgovara ili da pripada svojstvenoj vrednosti a.Ako se ograni�cimo na operatore sa �cisto diskretnim spektrom, onda se hermitski operator usvojoj spektralnoj formi pi�se u vidu A =Xn anPn(A); (2.1.2)gde su an razli�cite svojstvene vrednosti (one su uvek realne), a Pn(A) su odgovaraju�ci svojstveniprojektori. Oni daju razlaganje jedinice, ortogonalni su i idempotentni:Xn Pn(A) = I; Pm(A)Pn(A) = ÆmnPm(A); 8m;n (2.1.3a)(I, identi�cni operator u H, deluje isto kao mno�zenje sa 1). Broj sabiraka u (2.1.2) i (2.1.3) jekona�can ili najvi�se prebrojivo beskona�can2.1.4.Hermitski operator A preko svojih svojstvenih projektora de�ni�se tzv. spektralnu meru svakogintervala na realnoj osi. Na primer zatvorenom intervalu [a; b] odgovara kao spektralna meraprojektor (koji zavisi od opservable A):P[a;b](A) def= Xan2[a;b] Pn(A): (2.1.4)Dakle, sumira se po onim svojstvenim projektorima �cije odgovaraju�ce svojstvene vrednosti pri-padaju doti�cnom intervalu. Ako takvih nema, podrazumeva se da je spektralna mera nula. Zapoluzatvorene, poluotvorene i otvorene intervale spektralna mera se de�ni�se analogno sa (2.1.4).Ukoliko se iz konteksta podrazumeva za koji hermitski operator A se navodi svojstveni pro-jektor ili spektralna mera, oznaka A se izostavlja i pi�se samo Pn, tj. P[a;b].2.1.5 Postulat o verovatno�ci rezultataPo�sto smo se podsetili da hermitski operator ima veze sa realnom osom preko svoje spektralnemere, mo�zemo da pristupimo formulaciji narednog postulata, koji ima najve�cu prakti�cnu va�znost.2.1.4 To je posledica �cinjenice da je H najvi�se prebrojivo beskona�cno dimenzionalan u kvantnoj mehanici. (Mo�zese pokazati da je to ekvivalentno zahtevu da je H separabilan, tj. da sadr�zi najvi�se prebrojiv podskup koji je gustu H.)

26 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKEIII POSTULAT O VEROVATNO�CI REZULTATAVerovatno�ca da se, pri merenju opservable A na kvantnom sistemu u sta-nju , dobije rezultat koji le�zi u unapred zadatom intervalu [a; b], jednakaje kvadratu norme projekcije od spektralnom merom doti�cnog intervalade�nisanom sa A, tj. v([a; b]; A; ) = kP[a;b] k2 : (2.1.5)Naravno, u iskazu Postulata III umesto zatvorenog intervala mo�zemo staviti bilo koji drugi od�cetiri mogu�ca tipa intervala. Kako bismo prou�cili �sta zapravo zna�ci ovaj postulat, izve�s�cemonekoliko njegovih neposrednih posledica.2.1.6 Verovatno�ca odredene vrednosti opservableKorolar 2.1.1 Verovatno�ca da se dobije diskretna svojstvena vrednost an kao rezultat merenjaopservable A na kvantnom sistemu u nekom stanju jednaka je kvadratu norme projekcije od u svojstveni potprostor koji odgovara svojstvenoj vrednosti an, tj.v(an; A; ) = kPn k2: (2.1.6)Dokaz: O�cigledna posledica od (2.1.5) i (2.1.4) ako se uzme interval [an; an]. Q. E. D.Korolar 2.1.2 Verovatno�ca da se dobije rezultat a koji nije diskretna svojstvena vrednost od Apri merenju opservable A na kvantnom sistemu u stanju je nula.Dokaz: Odmah sledi iz �cinjenice �sto je u ovom slu�caju Pa = P[a;a] = 0: Q. E. D.�Citalac se lako mo�ze uveriti da iskazi Korolara K2.1.1 i K 2.1.2, sa svoje strane, imaju zaposledicu iskaz Postulata III. O�cigledno, ima vi�se na�cina kako se osnovni postulati mogu for-mulisati, razni autori to �cine na razli�cite na�cine. Na�s Postulat III ima prednost velike op�stosti.Vide�cemo u odeljku x 2.3 da se odmah uop�stava i na kontinualni deo spektra opservable2.1.5.2.1.7 Drugi vid formule za verovatno�cu�Cesto se (2.1.5) koristi u slede�coj ekvivalentnoj formi:v([a; b]; A; ) = h j P[a;b] j i: (2.1.7)Naime, desna strana (odsad: DS) od (2.1.5) daje (h j P[a;b])(P[a;b] j i) = h j P 2[a;b] j i = h jP[a;b] j i, jer svaki projektor je ne samo hermitski nego i idempotentan.2.1.5Kao �sto je �citaocu sigurno jasno, na�se postulate ne krasi vrlina iskazne minimalnosti kako je to slu�caj saaksiomima u matematici. U �zici se ova osobina redovno �zrtvuje radi postizanja jasno�ce i op�stosti �zi�ckogsadr�zaja.

2.1. STANJA, OPSERVABLE I VEROVATNO�CA 27Analogno, (2.1.6) mo�ze da se prepi�se kaov(an; A; ) = h j Pn j i : (2.1.8)Ako je B hermitski operator, a vektor stanja jedini�cne norme, onda se izraz h j B j inaziva o�cekivanom ili srednjom vredno�s�cu opservable B. Smisao ovog naziva posta�ce nam jasan ux 2.2.8. Zasad je dovoljno da kratko mo�zemo re�ci da je verovatno�ca intervala jednaka o�cekivanojvrednosti spektralne mere tog intervala.Ako je svojstveni potprostor koji odgovara diskretnoj svojstvenoj vrednosti an opservable Ajednodimenzionalan, tj. ako je, kao �sto se ka�ze, an nedegenerisana svojstvena vrednost, onda anjednozna�cno (s ta�cno�s�cu do faznog faktora) odreduje svojstveni vektor j 'n i jedini�cne norme i(2.1.8) (ili (2.1.6)) se svodi na v(an; A; ) = jh 'n j ij2 ; (2.1.9)jer Pn =j 'n ih'n j.Slu�caj degenerisane svojstvene vrednosti an �cemo prou�citi detaljnije u drugom paragrafuslede�ceg odeljka i tamo �cemo svesti (2.1.8) na prakti�cniju formu.2.1.8 InterferencijaNeka je superponirano (koherentno pome�sano) stanje =PKi=1 ai i, gde su i ortonormiranivektori i Pi jaij2 = 1 da bismo imali h j i = 1 (uporediti pretposlednji pasus u paragrafux 2.1.2). Iz (2.1.7) slediv([a; b]; A; ) =Xi jaij2Xj a�iajh i j P[a;b] j j i =Xi v([a; b]; A; i) +Xi 6=j a�i ajh i j P[a;b] j j i:(2.1.10)Poslednji izraz je tzv. interferentni sabirak; ako je on razli�cit od nule (i samo u tom slu�caju)imamo interferenciju (koherentni efekat) stanja i, i = 1; 2; :::; K.U eksperimentu sa dva otvora i u eksperimentu sa poluposrebrenim ogledalom imamo = 1p2 1 + 1p2 2; (2.1.11)gde 1 opisuje stanje elektrona koji je stigao na drugi zastor a pro�sao je kroz prvi otvor (stanjefotona koji je stigao na zastor opti�ckom putanjom 1 odbiv�si se od semire ektivnog ogledala), a 2 opisuje stanje elektrona koji je do drugog zastora dospeo kroz drugi otvor (stanje fotona kojise kretao opti�ckom putanjom 2 pro�sav�si kroz polupropusno ogledalo). Prostornu distribuciju nadrugom zastoru (du�z ose x) onda dajej (x)j2 = 12 j 1(x)j2 + 12 j 2(x)j2 + 12[ �1(x) 2(x) + 1(x) �2(x)] (2.1.12)(j (x)j2 itd. su u stvari gustine verovatno�ce u ovom slu�caju, uporediti x 1.4.9).Poslednji izraz u (2.1.12) je interferentni �clan bez kojeg bi (2.1.12) dalo raspodelu tipaD1+D2sa C 1.2 bez interferencije, a sa njim (tj. kada nije nula) daje distribuciju sa interferencijom tipaD1;2 (na istom crte�zu).

28 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKE2.2 Pojedina�cni sistemi i srednja vrednost opservabliOvaj odeljak �cemo posvetiti prou�cavanju kvantnih osobina ili kvantnih dogadaja (to se u kvant-noj mehanici svodi na isto jer oba se ispoljavaju samo u merenju). Prona�ci�cemo jednostavneopservable koje odgovaraju ovim �zi�ckim pojmovima i prodiskutova�cemo njihove osnovne oso-bine. Formulisa�cemo jedini postulat koji se odnosi na pojedina�cne kvantne sisteme. Na kraju�cemo izvesti obrazac za srednju vrednost opservable.2.2.1 Kvantne osobine ili dogadajiVideli smo u prethodnom odeljku da spektralna forma hermitskih operatora nosi �zi�cku inter-pretaciju: diskretne svojstvene vrednosti su mogu�ci merni rezultati, a odgovaraju�ci svojstveniprojektori omogu�cavaju da se iz proizvoljnog stanja izra�cunaju verovatno�ce pojedinih rezultata.Svaki projektor P u H je i sam opservabla i to najprostija (ako ne uzimamo u obzir realnekonstante). Projektor je takore�ci ve�c napisan u spektralnoj formi:P = 1 � P + 0 � (I � P ); (2.2.1)gde je I � P tzv. komplementarni projektor od P , on projektuje na ortogonalni komplementpotprostora na koji projektuje P . Name�ce se pitanje da li spektralna forma (2.2.1) ima nekospecijalno zna�cenje u kvantnoj mehanici.Projektori se interpretiraju kao kvantne osobine �zi�ckih sistema. Naime, pri merenju opser-vable P mernom rezultatu 1 pripisuje se �zi�cki smisao da kvantni sistem ima ili poseduje kvantnuosobinu P , a merni rezultat 0 tuma�ci se tako da sistem "ne poseduje" ovu osobinu.Da bismo na�sli ilustracije za kvantne osobine, vratimo se na�sim prostim primerima kvantnihpojava. Linearna polarisanost fotona du�z x-ose je, na primer, jedna kvantna osobina. Po�sto jeunutra�snji prostor stanja fotona dvodimenzionalan (uporediti x 1.3.3), komplementarna kvantnaosobina I� P ima takode prost �zi�cki smisao: to je polarisanost du�z y-ose. Analogno stoje stvaripri prolasku fotona kroz semire ektivno ogledalo: odbijeni foton ima, recimo, kvantnu osobinuP , a foton koji je pro�sao ima komplementarnu kvantnu osobinu I � P .Malo je slo�zenija situacija kada foton sti�ze do prvog zastora u eksperimentu difrakcije elek-trona kroz dva otvora. Ovde postoje tri kvantne osobine: prvu od njih poseduje foton kada jepro�sao kroz otvor 1, drugu kada je pro�sao kroz otvor 2, a tre�cu osobinu je (retrospektivno) imaofoton koji je udario u zastor. Ako je P prva osobina, onda I � P izra�zava drugu i tre�cu zajedno.�Cesto se izlo�zena interpretacija mernog rezultata 1 za projektor P kao posedovanja odredenekvantne osobine zamenjuje interpretacijom istog rezultata kao kvantnog dogadaja koji se desio.I � P onda zna�ci da se isti dogadaj nije desio.U smislu ove interpretacije, ako svojstvena vrednost 1 od P odgovara linearnoj polarizacijifotona u pravcu x-ose, onda se ka�ze da se desio kvantni dogadaj doti�cne polarizacije; svojstvenavrednost 0 onda zna�ci da se ovaj dogadaj nije desio ili da se desio dogadaj polarizacije du�z y-ose(komplementarni dogadaj). �Citalac �ce bez te�sko�ca sam prevesti ostala dva primera sa jezikakvantnih osobina na ekvivalentni jezik kvantnih dogadaja.Postoji i tre�ci ekvivalentni jezik: jezik kvantne logike. Tu se govori o istinitosti ili neistinitostiiskaza, a iskaz sadr�zi osobine ili dogadaje.

2.2. POJEDINA�CNI SISTEMI I SREDNJA VREDNOST OPSERVABLI 292.2.2 Svojstveni problem projektoraRadi pove�canja na�sih operativnih mogu�cnosti sa projektorima, doka�zimo dve leme.Lema 2.2.1 Za svaki projektor P slede�ce dve svojstvene jednakosti su ekvivalentne:P = , (I � P ) = 0 (2.2.2)(na desnim stranama smo izostavili 1 odnosno ).Dokaz je o�cigledan.Lema 2.2.2 Ako je Pn svojstveni projektor opservable A koji odgovara svojstvenoj vrednosti an,a opservabla ima �cisto diskretan spektar, onda su slede�ce dve svojstvene jednakosti ekvivalentne:A = an , Pn = : (2.2.3)Dokaz je nepotreban jer obe jednakosti u (2.2.3) iskazuju da pripada svojstvenom potprostoruod A koji odgovara svojstvenoj vrednosti an.Lema L2.2.2 va�zi i za slu�caj opservable koja ima i kontinualni deo spektra, tj. va�zi u op�stemslu�caju sa izuzetkom �cisto kontinualnog spektra (uporediti slede�ci odeljak).Iz Leme L 2.2.2 proizlazi da se kvantni dogadaj sastoji ili u tome da se pri merenju opservablePn dobije rezultat 1 ili da se pri merenju neke opservable A (�ciji je Pn svojstveni projektor) dobijevrednost an (svojstvena vrednost od A kojoj pripada Pn).Kada imamo nedegenerisanu svojstvenu vrednost an opservable A (ekvivalentno: Tr Pn = 1, Pn je projektor pravca), onda govorimo o elementarnom kvantnom dogadaju (uporediti x 1.4.6za klasi�cni analogon). Videli smo u (2.1.9) kako glasi obrazac za verovatno�cu u ovom slu�caju.Degenerisana svojstvena vrednost an opservable A (ekvivalentno: Tr Pn > 1) predstavljaslo�zen kvantni dogadaj. Videli smo u (1.4.2) da se slo�zen klasi�cni dogadaj jednozna�cno razla�zena elementarne dogadaje i da se verovatno�ca slo�zenog dogadaja svodi na zbir verovatno�ca doti�cnihelementarnih dogadaja. Pitamo se da li je tako i u kvantnom prostoru dogadaja2.2.1.U kvantnom slu�caju slo�zeni dogadaj se nejednozna�cno razla�ze na elementarne dogadaje: nekaje fj '1 i; j '2 i; : : : ; j 'N ig proizvoljan ortonormiran bazis u oblasti likova od Pn (N def= Tr Pn),tj. neka Pn = NXi=1 j 'i ih'i j : (2.2.4)Zamenjuju�ci (2.2.4) u (2.1.8) dobijamov(an; A; ) =PNi=1 jh 'i j ij2 (2.2.5)kao uop�stenje od (2.1.9) na slo�zeni dogadaj i kao kvantni analogon od (1.4.2). Naravno, izborpomenutog podbazisa je nejednozna�can.2.2.1Kvantni prostor dogadaja je u stvari skup svih projektora u H. I to je parcijalno ureden skup (kao i uklasi�cnom slu�caju), ali nije Bool-ova algebra, ve�c ima druga�ciju strukturu.

30 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKE2.2.3 O�stra vrednost i svojstveni problem opservablePostulat III ima jo�s dve va�zne neposredne posledice.Korolar 2.2.1 Ako je vektor stanja svojstveni vektor opservable A koji pripada svojstvenojvrednosti an, onda kvantni sistem u ansamblu koji opisuje ima o�stru vrednost an.Dokaz: Iz A = an , k k = 1 i (2.2.3) sledi kPn k = 1, �sto na osnovu K2.1.1 zna�ci da je v(an; A; ) = 1, tj.vrednost an je stohasti�cki sigurna. Q. E. D.Korolar 2.2.2 Ako u stanju kvantni sistem ima o�stru vrednost an opservable A, onda je svojstveni vektor od A koji odgovara diskretnoj svojstvenoj vrednosti an.Dokaz: Neka Poznato je da u op�stoj nejednakosti kP k � k k va�zi jednakost ako i samo ako je P = . Miimamo v(an; A; ) = kP k2 = 1 i k k2 = 1. Stoga, iz (2.2.3) sledi navedeni iskaz. Q. E. D.Mi smo u stvari dokazali iskaze Korolara K2.2.1 i K 2.2.2 samo za opservable A koje imajusamo diskretne svojstvene vrednosti. U slede�cem odeljku �cemo videti da se pomenuti dokazineposredno pro�siruju na op�sti slu�caj opservable (koja mo�ze da ima i kontinualan spektar).2.2.4 Postulat o pojedina�cnim kvantnim sistemimaVe�c smo vi�se puta imali slu�caj stohasti�cke sigurnosti ili stohasti�cke nemogu�cnosti. Moramo sezapitati ne radi li se tu zapravo uvek o apsolutnoj sigurnosti, odnosno nemogu�cnosti (upore-diti x 1.4.6), �sto bi nam omogu�cilo da govorimo o pojedina�cnim kvantnim sistemima umesto oansamblu. U stvari to je ta�cno u kvantnoj mehanici.IV POSTULAT O POJEDINA�CNIM KVANTNIM SISTEMIMAAko je verovatno�ca da se dobije rezultat iz intervala [a; b] pri merenju op-servable A u stanju jednaka jedinici, onda svaki pojedina�cni sistem u tomstanju nu�zno daje doti�cni rezultat, tj.v([a; b]; A; ) = 1 , rezultat 2 [a; b] apsolutno sigurno: (2.2.6)Na�s Postulat IV nije uobi�cajen u literaturi, mada mnogi autori pre�cutno prave ekvivalentnupretpostavku. Zahvaljuju�ci ovom postulatu kvantna mehanika nije potpuno statisti�cka nauka.Saglasnost teorije sa eksperimentalnim �cinjenicama postigla bi se, naravno, i bez ovog Postu-lata. Na�s motiv da ga formuli�semo eksplicitno proisti�ce iz slede�ca dva razloga:i) Iako svaka statisti�cka teorija (dakle i kvantna mehanika) verovatno�ce pridru�zuje neograni�cenovelikim ansamblima (jer verovatno�ca je grani�cna vrednost relativne frekvencije), u praksiimamo samo kona�cne ansamble, sa ograni�cenim brojem elemenata. Naime, ne mo�zemo brojkvantnih sistema N u ansamblu da uzimamo proizvoljno velikim. Zbog toga je po�zeljno dateorija �sto vi�se ka�ze na jeziku kona�cnih ansambala. Stohasti�cki siguran ali ne i apsolutnosiguran dogadaj se na jeziku ograni�cenih kona�cnih ansambala ne mo�ze de�nisati (uporeditix 1.4.6), tj. ne mo�ze se razlikovati od prakti�cno sigurnog dogadaja (za koji je 1�v(an) � "," vrlo mali broj).

2.2. POJEDINA�CNI SISTEMI I SREDNJA VREDNOST OPSERVABLI 31ii) Po�zeljno je da teorija �sto vi�se ka�ze o pojedina�cnim �zi�ckim sistemima; ansambli su nu�znozlo a ne cilj kome se te�zi.2.2.5 Apsolutna nemogu�cnost i pojedina�cni kvantni si-stemiPostulat IV ima kao neposrednu posledicu analogan iskaz poistove�cenja stohasti�cke i apsolutnenemogu�cnosti.Korolar 2.2.3 Ako je verovatno�ca da se dobije rezultat iz intervala [a; b] pri merenju opservableA u stanju jednaka nuli, onda svaki pojedina�cni kvantni sistem u tom stanju nu�zno daje rezultatkoji je van tog intervala, tj.v([a; b]; A; ) = 0 , rezultat =2 [a; b] apsolutno sigurno: (2.2.7)Dokaz: Dogadaji D1 def= "rezultat spada u interval [a; b]" i D2 def= "rezultat spada u uniju intervala (�1; a) i(b;+1)" su disjunktni i dogadaj koji se sa "ili" dobija iz njih je siguran dogadaj S def="rezultat pripada realnojosi". Stoga se verovatno�ce dogadaja D1 i D2 sabiru u jedinicu (videti (1.4.2) i pasus ispod toga), �sto usledv(D1) = 0 daje v(D2) = 1. Na osnovu Postulata IV na svakom kvantnom sistemu u ansamblu koji odgovaravektoru dogadaj D2 mora da se desi, a samim tim D1 ne mo�ze da se desi. Q. E. D.2.2.6 O�stra vrednost opservable | puno zna�cenjeNaoru�zani Postulatom IV, njegovim blizancem Korolarom K2.2.3 kao i Korolarima K2.2.1 iK 2.2.2, sad mo�zemo da iska�zemo u �cemu je �zi�cki smisao Lema L2.2.1 i L 2.2.2.Svih 9 slede�cih iskaza su uzajamno ekvivalentni:a) Na jeziku ansambala:Kvantni ansambl opisan sa ima o�stru vrednosta.1) an opservable A =Pn0 an0Pn0;a.2) 1 opservable Pn;a.3) 0 opservable (I � Pn);b) Na jeziku pojedina�cnih sistema:Sistem u stanju b.1) apsolutno sigurno daje rezultat an pri merenju opservable A;b.2) ima kvantnu osobinu Pn;b.3) nema kvantnu osobinu (I � Pn);c) Na jeziku formalizma:c.1) A = an ; c.2) Pn = ; c.3) (I � Pn) = 0.

32 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKE�Citalac, jo�s nedovoljno verziran u kvantnoj mehanici, mo�ze lako da ne razlikuje iskaz "nemakvantnu osobinu P" i logi�cku negaciju od "ima kvantnu osobinu P". Veoma je va�zno da se torazlikuje, jer ovo je jedan od mnogih primera o�stre razlike izmedu kvantne i klasi�cne mehanike.Na primer, neka ima nenultu projekciju kako u oblast likova2.2.2 od P , tj. u R(P ), tako iu R(I � P ). Onda ne stoji da kvantni sistem ima kvantnu osobinu P (logi�cka negacija), ali nestoji ni to da merenje opservable P nu�zno daje nulu, a to je to �sto izra�zavamo re�cima "sistemnema osobinu P". U na�sem primeru linearne polarizacije fotona du�z O(�4 ) (x 1.3.3) nije ta�cno(imamo logi�cku negaciju) da foton ima osobinu polarizovanosti du�z x-ose, a samo kad je u stanjulinearne polarizacije du�z y-ose on "nema" pomenutu osobinu (polarizovanosti du�z x-ose)2.2.3.Kada je stanje takvo da kvantni sistem niti ima neku kvantnu osobinu P niti stoji da jenema, onda se ka�ze da je ova kvantna osobina latentna u (imamo superpoziciju osobina P i(I � P )). Kada je u eksperimentu difrakcije elektron prolazio kroz oba otvora ili kada se fotoni odbijao i prolazio kroz semire ektivno ogledalo, imali smo slu�caj latentnosti obeju opti�ckihputanja. A kada smo merni uredaj podesili tako da smo upravo merili recimo osobinu "opti�ckiput 1" i zato nu�zno dobili rezultat da foton ima ili nema ovu osobinu, tada smo razarali interfe-renciju (inherentnu u superponiranom stanju) i latentne kvantne osobine pretvarali u eksplicitnoposedovane (ili neposedovane) osobine.2.2.7 Pojedini brojevi kao rezultati merenjaVideli smo u Korolaru K2.1.2 da je pri merenju opservable A stohasti�cki nemogu�ce dobiti ta�canrezultat (tj. jedan realan broj) koji nije jedna od diskretnih svojstvenih vrednosti od A. Usvetlosti Korolara K2.2.3 sad nam je jasno da u stvari stoji apsolutni iskaz, veoma fundamentalnizakon kvantne mehanike:Na svakom pojedina�cnom kvantnom sistemu potpuno precizni rezultat me-renja, tj. rezultat u vidu jednog realnog broja, mo�ze biti samo diskretnasvojstvena vrednost merene opservable.2.2.8 Srednja vrednost opservableProu�cimo sad kako se u kvantnoj mehanici izra�cunava srednja vrednost opservable. Podsetimose da se srednja vrednost (sinonimi su prose�cna vrednost i o�cekivana vrednost) stohasti�cke va-rijable X sa vrednostima x1; x2; ::: i sa verovatno�cama v1; v2; ::: (da se ove vrednosti dobiju ueksperimentu) izra�cunava po obrascu X =Xn vnxn (2.2.8)(uporediti x 1.4.8).2.2.2Oblast likova operatora A pi�se se obi�cno kao R(A) po engleskoj re�ci range (�citati: rejnd�z), koja zna�ci: oblastlikova.2.2.3Zbog ovakvih svojevrsnosti od fundamentalnog zna�caja u kvantnoj mehanici bilo je predloga (na pr. odReichenbach-a) da se na kvantnu mehaniku primeni polivalentna logika umesto uobi�cajene dvovalentne. Ovajpredlog nije usvojen jer nije nu�zan, a u stvari nije ni po�zeljan jer ionako sve �sto ho�cemo da razumemo moramona kraju izraziti dvovalentnom logikom.

2.3. KONTINUALNI SPEKTAR OPSERVABLI 33Pretpostavimo da opservabla A ima �cisto diskretan spektar a1; a2; ::: i spektralnu formuA =Xn anPn: (2.2.9)Pitamo se kako najprostije izra�cunati srednju vrednost ovakve opservable u nekom stanju.Teorem 2.2.1 Srednja vrednost opservable A sa �cisto diskretnim spektrom u stanju jeh A i = h j A j i : (2.2.10)Dokaz: Obrazac (2.2.8) pomo�cu (2.1.8) daje h A i =Pnh j Pn j ian, a zahvaljuju�ci spektralnoj formi (2.2.9)onda dolazimo do (2.2.10). Q. E. D.Zadatak 2.2.1 Pokazati da je u svom svojstvenom stanju, opservabla ima srednju vrednost jednaku odgova-raju�coj svojstveneoj vrednosti.Zadatak 2.2.2 Pokazati da stanje j i u kojem je disperzija opservable jednaka nuli, mora biti svojstveno stanjeiste opservable.Zadatak 2.2.3 Pokazati da je za opservablu koja je dogadaj (A je projektor) njena srednja vrednost u stanjuj i jednaka verovatno�ci da �ce se taj dogadaj desiti ako se izvr�si merenje tog dogadaja (tj. opservable A).2.3 Kontinualni spektar opservabliSvrha ovog odeljka je da omogu�ci uop�stenje rezultata prethodna dva odeljka na op�sti slu�caj op-servable, koja mo�ze da ima i kontinualni spektar. �Sto se �zike ti�ce, tu nema novih rezultata, alimatemati�cki aparat za ova uop�stenja je veoma slo�zen (ta�cke kontinualnog spektra, uop�steni svoj-stveni vektori itd.). Stoga je prvi paragraf posve�cen kratkom rezimeu neophodnih matemati�ckihpojmova, kako bi �citalac bez te�sko�ca mogao da usvoji doti�cna uop�stenja.2.3.1 Matemati�cka rekapitulacija uop�stenih vektora i kon-tinualnog spektraU prethodna dva odeljka postavili smo prve stubove kvantne mehanike pomo�cu opservabli sa�cisto diskretnim spektrom. Ali to nije op�sti vid hermitskog operatora u Hilbert-ovom prostoruH (osim ako je kona�cnodimenzionalan), niti je to naj�sira klasa opservabli na koje nailazimo upraksi kvantne mehanike.

34 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKEMatemati�cki podsetnikU spektar hermitskog operatora A mo�ze da spada i realan broj s za koji svojstveni problemA = s nema nu�zno nenulto re�senje u H. Naime, postoji jedan �siri prostor (natprostor) odH, koji �cemo obele�zavati sa U(H), u kojem se pored vektora iz H pojavljuju i tzv. uop�stenivektori, koji nemaju kona�cnu normu. Kad s nije diskretna svojstvena vrednost, svojstvenajednakost A' = s' mo�ze ipak da ima re�senje u vidu uop�stenog vektora 0 6= ' 2 U(H). Tada seka�ze da je s ta�cka iz kontinualnog spektra ili da je kontinualna svojstvena vrednost od A.Kao �sto smo rekli, natprostor U(H) �cak nije ni normiran prostor, jer za uop�stene vektorenije de�nisana norma. Samo je de�nisan skalarni proizvod izmedu njih i odredenog skupa2.3.1S obi�cnih vektora (tj. elemenata iz H): h ' j i. Naime, uop�steni vektori su u stvarineprekidne linearne funkcije (funkcionali) na tom skupu, a h ' j i je upravo kompleksni brojkoji ' pridru�zuje vektoru . Kao �sto smo rekli, U(H) � H, jer kako god odabrali vektor� 2 H, linearni funkcional h � j i, (tj. skalarni proizvod u H) je de�nisan za sve vektore napomenutom skupu S.Za ta�cku kontinualnog spektra s postoje sve mogu�cnosti degeneracije isto kao za ta�cke dis-kretnog spektra. Mi �cemo ipak jednostavnosti radi pretpostaviti da uop�steni svojstveni vektorisa kojima �cemo raditi odgovaraju nedegenerisanim svojstvenim vrednostima, tj. da svaka konti-nualna svojstvena vrednost s de�ni�se jednozna�cno (s ta�cno�s�cu do faznog faktora) odgovaraju�ciuop�steni svojstveni vektor j s i kao nenulto re�senje svojstvenog problemaA j s i = s j s i; j s i 2 U(H) (2.3.1)(naravno, j s i =2 H i nije nu�zno da postoji 0 6= 2 H koji bi u (2.3.1) mogao da zameni j s i).Osim toga, ograni�ci�cemo se na slu�cajeve u kojima sve ta�cke kontinualnog spektra pripadajujednom intervalu, koji �cemo pisati u vidu [p; t] (mogao bi biti i interval drugog tipa), jer seobi�cno u kvantnoj mehanici ne pojavljuju slo�zeniji slu�cajevi.Neka za diskretni spektar opservable A fang def= fan j n = 1; 2:::g va�zi analogna pretpostavkanedegenerisanosti svih svojstvenih vrednosti an, ili, kao �sto se to jo�s ka�ze, pretpostavka prostogspektra. Onda su svojstveni projektori Pn projektori pravaca Pn =j n ihn j, gde su j n iodgovaraju�ci svojstveni vektori: A j n i = an j n i i to ortonormirani, tj. h n j n0i = Ænn0 .Pretpostavimo sad da ista opservabla A pored diskretnog spektra fang ima i kontinualnispektar [p; t]. To zna�ci da A ima pored diskretnog svojstvenog podbazisa fj n i j n = 1; 2; :::g ikontinualni svojstveni podbazis fj s i j s 2 [p; t]g sastavljen iz uop�stenih svojstvenih vektora.Uop�stenje linearnih kombinacija obi�cnih vektora su integrali uop�stenih vektora R ba (s) j si ds,p � a < b � t, koji pod uslovom kvadratne integrabilnosti po modulu:Z ba j (s)j2 ds < +1 (2.3.2)2.3.1Prostor U(H) naziva se i opremljenim Hilbert-ovim prostorom (rigged Hilbert space na engleskom, osnawen-noe Gil~bertovo prostranstvo na ruskom). Pomenuti pravi podskup S od H, na kome se uop�steni vektoride�ni�su kao linearne funkcije, je od presudnog zna�caja pri "opremanju" Hilbert-ovog prostora H. Da je to ceoH, dobili bismo tzv. dualni prostor od H, koji je izomorfan sa H. Ovako se dobija pravi natprostor U(H)dualnog prostora (a ovaj se preko izomor�zma poistove�cuje sa H). Dakle, imamo s ta�cno�s�cu do izomor�zama:S � H � U(H).

2.3. KONTINUALNI SPEKTAR OPSERVABLI 35i samo pod tim uslovom pripadaju Hilbert-ovom prostoru:Z ba (s) j s i ds 2 H: (2.3.3)Nas �ce, naravno, zanimati samo integrali koji zadovoljavaju (2.3.2). Postoji i pojam uop�stenihprojektora pravaca j s ihs j, 8s 2 [p; t], �ciji analogni integrali daju spektralne mere intervala [a; b]po kontinualnom spektru opservable A:P (k)[a;b] def= Z ba j s i dshs j ; 8[a; b] � [p; t]: (2.3.4)Leva strana (odsad LS) od (2.3.4) je projektor u H.Ako uzmemo proizvoljan vektor j i 2 H i projektujemo ga sa P (k)[a;b], onda �cemo dobitiP (k)[a;b] j i = (Z ba j s i dshs j) j i = Z ba (h s j i) j s i ds; (2.3.5)ili ako obele�zimo h s j i sa (s), kao �sto se obi�cno �cini,P (k)[a;b] j i = Z ba (s) j s i ds; (2.3.6)�sto daje geometrijski smisao u H gornjim integralima (2.3.3) uop�stenih vektora j s i. Kompleksnibrojevi (s) nazivaju se koe�cijentima razvoja (razvojnim koe�cijentima) ili Fourier-ovim koe�ci-jentima vektora j i po kontinualnom podbazisu fj s i j a � s � bg u U(H). Videli smo u (2.3.4)da ovaj podbazis preko integrala obrazuje potprostor R(P (k)[a;b]) � H, u koji P (k)[a;b] projektuje svevektore iz H.Ako je R tp (h s j i) j s i ds 2 H vektor iz pomenutog skupa S � H, onda je de�nisanoh s0 j (R ba (s) j s i ds), 8s0 2 [a; b] kao broj koji uop�steni vektor j s0 i pridru�zuje vektoruR tp (h s j i) j s i ds 2 S i to je (s0).Slede�ci veoma prakti�cnu Dirac-ovu preskripciju, u kvantnoj mehanici je uobi�cajeno da sesmatra de�nisanom �ktivna funkcija dve promenljive:h s0 j si def= Æ(s0 � s); s; s0 2 [p; t] : (2.3.7)To je tzv. Dirac-ova delta funkcija, koja se zami�slja kao nula za s0 6= s, a za s0 = s da je beskona�cnai to "toliko jako beskona�cna" da kada dodemo do hs0 j (R tp (s) j s i ds) = R tp (s)h s0 j si ds =R ba (s)Æ(s0 � s) ds va�zi2.3.2: R tp (s)Æ(s0 � s) ds def= (s0) ; (2.3.8)tj., kao �sto se ka�ze, da delta funkcija izbacuje vrednost podintegralne funkcije u �ksiranoj ta�cki.2.3.2U kvantnoj mehanici je uobi�cajeno da se potpuno ignori�se skup S, tj. da se postupa kao da S = H, tj. uzimase da (2.3.8) va�zi za svaki R tp (s) j s i ds 2 H. Motiv pojednostavljenja (eliminacijom nebitnog), koji je imperativu ovako slo�zenoj materiji, navodi �zi�care na matemati�cku nerigoroznost.

36 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKEDakle, uop�steni svojstveni vektori su ortonormirani na delta funkciju, �sto �ce re�ci da va�zi(2.3.7). Uop�steni projektori pravaca zadovoljavajuZ tp j s i dshs j= P (k)[p;t]; j s ih s j s0ihs0 j= Æ(s� s0) j s ihs j : (2.3.9a,b)Diskretnom spektru fang opservable A odgovara spektralna mera (odredena sa A):Xn j n ihn j= Pfang; j n ih n j n0ihn0 j= Ænn0 j n ihn j; (2.3.10a,b)u punoj analogiji (ili paralelnosti) sa (2.3.9).Projektori Pfang i P (k)[p;t] su uzajamno komplementarni2.3.3:Pfang + P (k)[p;t] = I : (2.3.11)Na jeziku potprostora koji odgovaraju diskretnom odnosno kontinualnom spektru od A,(2.3.11) se mo�ze prepisati u vidu: Hd �Hk = H; (2.3.12a)gde je Hd def= R(Pfang); Hk def= R(P (k)[p;t]) (2.3.12b)(a � zna�ci da se radi o ortogonalnom zbiru potprostora).Iz formula (2.3.11), (2.3.10a) i (2.3.9a) sledi relacija koja se u matematici naziva razlaganjejedinice: Pn j n ihn j + R tp j s i dshs j= I : (2.3.13)U kvantnoj mehanici relacija (2.3.13) igra veoma va�znu ulogu i poznata je pod nazivom relacijakompletnosti ili, jo�s �ce�s�ce, relacija zatvorenosti (engleski: closure property, �citati: klou�ze propeti).Ona (kao i (2.3.11)) pokazuje da za svaki hermitski operator postoji svojstveni bazis, �ciji deomogu �ciniti uop�steni vektori.Spektralna forma hermitskog operatora A glasi:A =Pn an j n ihn j + R tp j s ishs j ds : (2.3.14)Ne treba zaboraviti da je zbir u (2.3.13) i (2.3.14) napisan pod pretpostavkom prostog spek-tra. �Citalac �ce, po potrebi, lako sam uop�stiti ove jedna�cine radi uzimanja u obzir degeneracijepojedinih ta�caka spektra.2.3.3U slede�cem paragrafu, u formuli (2.3.17), vide�cemo da spektralnoj meri proizvoljnog intervala [a; b], kojupi�semo P[a;b] (odredena je sa A), doprinosi kako diskretni tako i kontinualni spektar (u op�stem slu�caju) i topreko svojih ta�caka koje padaju u [a; b]. Stoga Pfang u stvari jeste spektralna mera diskretnog spektra. Naime,kontinualni spektar pojedina�cnim ta�ckama ne daje doprinose (jer se doprinos ra�cuna preko integrala). Nasuprottome, u op�stem slu�caju P (k)[p;t] nije cela spektralna mera intervala [p; t] ve�c samo doprinos od kontinualnog spektra.Samo u slu�caju kada u [p; t] ne pada nijedna diskretna svojstvena vrednost, imamo P (k)[p;t] = P[p;t].

2.3. KONTINUALNI SPEKTAR OPSERVABLI 37Primenjuju�ci (2.3.13) na proizvoljni vektor j i 2 H, imamoj i = Z tp (s) j s i ds+Xn n j n i; (2.3.15)gde su n = h n j i koe�cijenti razvoja od j i po diskretnom svojstvenom podbazisu od A.Ako (2.3.15) napi�semo mutatis mutandis (tj. menjaju�ci �sta treba promeniti) i za drugi vektorj 0 i 2 H, onda skalarni proizvod mo�zemo izraziti pomo�cu koe�cijenata razvoja:h 0 j i = Z tp 0�(s) (s) ds+Xn 0n� n: (2.3.16)Za specijalni slu�caj j 0 i =j i, formulom (2.3.16) izra�zavamo kvadrat norme.2.3.2 Gustina verovatno�cePostulat III smo formulisali tako (u x 2.1.5) da se neposredno pro�siruje na slu�caj kada opservablaA ima i kontinualni spektar. Naime, spektralnoj meri proizvoljnog intervala [a; b], tj. projektoruP[a;b], u op�stem slu�caju doprinosi kako diskretni tako i kontinualni spektar preko svojih presekasa intervalom [a; b] i odgovaraju�cih svojstvenih projektora:P[a;b] def= Pfn j an2[a;b]g Pn + R b0a0 j s i dshs j (2.3.17)ako je, recimo, interval [a0; b0] presek intervala [a; b] sa kontinualnim spektrom [p; t] od A: [a0; b0] def=[a; b] \ [p; t].Klju�cna formula za verovatno�cu (2.1.7) ra�s�clanjuje se pomo�cu (2.3.17) na slede�ci na�cin:v([a; b]; A; ) =Pfn j an2[a;b]gh j Pn j i+ R b0a0 j (s)j2 ds : (2.3.18)Funkcija �(s; A; ) = j (s)j2 naziva se gustinom verovatno�ce, jer j (s)j2 ds je verovatno�ca damerenje opservable A u stanju daje rezultat iz in�nitezimalnog intervala [s � 12 ds; s + 12 ds](pod pretpostavkom da nijedna od diskretnih svojstvenih vrednosti ne pada u taj interval).Zadatak 2.3.1 Dokazati lemu L 2.2.2 i korolare K2.2.1 i K 2.2.2 za op�sti slu�caj opservable.2.3.3 Rezultati merenja iz kontinualnog spektraAko je s ta�cka iz kontinualnog spektra opservable A (a ne pripada diskretnom spektru), ondaP[s] = 0. (Spektralnu meru ta�cke P[s] = 0 ne treba me�sati sa j s ihs j, koji je uop�steni projektorpravca u U(H) i nije projektor u H.) To zna�ci da u svakom stanju :v(s; A; ) = 0: (2.3.19)Na osnovu Postulata IV (u x 2.2.4), (2.3.19) moramo interpretirati tako da nijedan pojedina�cnikvantni sistem nikada ne mo�ze (kao rezultat kvantnog merenja) imati ta�cnu vrednost s.

38 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKEU stvari to i nije za�cuduju�ce ako imamo u vidu da svako merenje nu�zno ima rezoluciju q > 0.Naime, po pravilu, merenje daje neki rezultat a sa ta�cno�s�cu2.3.4 q, tj. rezultat le�zi u intervalu[a � 12q; a + 12q]. Za merenje diskretnih svojstvenih vrednosti ovo je ipak dovoljno za ta�cnomerenje, jer rezolucija merenja mo�ze biti u principu proizvoljno �na (q proizvoljno malo)2.3.5. Aliza kontinualnu svojstvenu vrednost uvek preostaje kona�cni interval kao rezultat.2.3.4 Srednja vrednostFormula za srednju vrednost h A i = h j A j i ; (2.3.20)tj. (2.2.10), va�zi i u op�stem slu�caju opservable A. Naime, iz (2.3.18) sledi na osnovu samede�nicije srednje vrednosti:h A i =Xn anh j Pn j i+ Z tp sj (s)j2 ds: (2.3.21)Po�sto je j (s)j2 = h j sih s j i, imamoh A i = h j (Xn anPn + Z tp j s ishs j ds) j i: (2.3.22)Najzad, (2.3.20) sledi iz �cinjenice da je izraz u zagradi u (2.3.22) u stvari operator A napisan uspektralnoj formi (uporediti (2.3.14)).2.3.5 � Borel-ovo �-polje realne oseKao �sto smo rekli u x 2.3.3, intervali se prirodno pojavljuju iz �zi�ckog razloga kona�cne rezolucijesvih mernih aparata. Medutim, sa matemati�cke ta�cke gledi�sta, mno�stvo svih intervala (sva �cetiritipa) nije dovoljno zatvorena struktura. Teorija mere (bez obzira da li se radi o nenegativnojbrojnoj meri ili o projektorskoj meri koja �ce tek, sa svoje strane, da de�ni�se brojnu meru |verovatno�cu u na�sem slu�caju) iziskuje da mno�stvo skupova za koje se de�ni�se mera (tzv. merljiviskupovi) bude bar tzv. Borel-ovo �-polje ili mno�stvo svih Borel-ovih skupova. To je u stvariminimalno �-polje nad mno�stvom svih intervala. �-poljem se naziva takvo mno�stvo skupova kojeje zatvoreno na sve unije i preseke ne vi�se od prebrojivo beskona�cno mnogo skupova iz mno�stva(� je tu umesto kardinalnog broja prebrojivo beskona�cnog skupa koji se obi�cno pi�se kao @0, tzv.alef nula).Dakle, mno�stvo svih intervala realne ose "obrazuje" Borel-ovo �-polje u smislu da se tomno�stvo mora maksimalno pro�siriti kako bi se zatvorilo u pogledu pomenutih �-operacija.2.3.4Ne treba misliti da su idealna merenja u kvantnoj mehanici idealna i po rezoluciji, tj. da je q = 0. "Idealnost"je samo u tome da se pretpostavlja apsolutno sigurno dobijanje nekog rezultata. Naime, realni eksperiment mo�zei da omane i da ne da nikakvu informaciju.2.3.5Ako je diskretna svojstvena vrednost an neke opservable A ta�cka nagomilavanja diskretnog spektra isteopservable, onda se zbog q > 0, o�cigledno, an ne mo�ze dobiti kao ta�can rezultat merenja. Fizi�cki ovo je patolo�skislu�caj, posledica zatvaranja (u smislu upotpunjavanja) matemati�ckog aparata.

2.4. KOMPATIBILNE OPSERVABLE I MERENJE 39U linearnoj analizi se dokazuje va�zan stav, koji daje matemati�cke osnove na�sem Postulatu oopservablama: Svaki hermitski operator u Hilbert-ovom prostoru povezan je (biunivoko) sa jed-nom (projektorskom) spektralnommerom de�nisanom na Borel-ovom �-polju realne ose. Doti�cnaveza se uspostavlja preko spektralne forme hermitskog operatora.2.4 Kompatibilne opservable i merenjeU ovom odeljku prou�ci�cemo kompatibilne opservable, koje najvi�se li�ce na klasi�cne varijable u po-gledu svog uzajamnog odnosa. Objasni�cemo kako se formiraju kompletni skupovi kompatibilnihopservabli, pomo�cu kojih �cemo dopuniti Postulat o stanjima i zasnovati teoriju reprezentovanja(izlo�zenu u x 2.7-x 2.9). De�nisa�cemo kvantno-mehani�cko merenje i izve�s�cemo formule za promenustanja pri merenju2.4.1 Kompatibilne opservableSad �cemo videti koji je najpovoljniji uzajamni odnos u kojem dve opservable mogu da budu i�sta je �zi�cki smisao tog odnosa.Ako dva hermitska operatora A i B u H komutiraju, tj. ako va�zi[A; B] def= AB � BA = 0 ; (2.4.1)onda se ka�ze da se radi o kompatibilnim opservablama. Operator [A; B] se naziva komutatoromod A i B.U teoriji Hilbert-ovih prostora dokazuje se slede�ci stav.Stav 2.4.1 Ako su A1; A2; :::; An hermitski operatori u H od kojih svaka dva komutiraju, ondapostoji (nejednozna�cno odreden) hermitski operator B u H takav da je svaki od pomenutih ope-ratora njegova operatorska funkcija2.4.1:A1 = f1(B); A2 = f2(B); :::; An = fn(B); (2.4.2)i obratno, (2.4.2) povla�ci komutativnost operatora A1; A2; :::; An.Prema Postulatu II B je opservabla, a njeno merenje predstavlja istovremeno merenje svihn opservabli A1; ::; An. Naime, ako merenje opservable B daje rezultat b na nekom kvantnomsistemu, onda na istom sistemu imamo rezultat f1(b) za A1, f2(b) za A2,...,fn(b) za An. Stoga se�zi�cki smisao kompatibilnosti opservabli sastoji u mogu�cnosti njihovog istovremenog merenja.Nekompatibilne opservable (tj. nekomutiraju�ci hermitski operatori) se ne mogu istovremenomeriti. Na njih se odnosi Heisenberg-ov princip neodredenosti (x 1.2 i x 4.1).2.4.1 Podsetimo se da je po de�niciji hermitski operator A funkcija hermitskog operatora B ako je svaki svojstvenivektor (pravi ili uop�steni) od B svojstveni vektor i od A. Pi�se se i A = f(B) ako iz B j b i = b j b i slediA j b i = f(b) j b i, pri �cemu je f jedna brojna funkcija (analiti�cka ili op�stija).

40 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKE2.4.2 Kompletan skup kompatibilnih opservabliSada �cemo se upoznati sa jednim od najosnovnijih i najva�znijih pojmova kvantne mehanike, �cijije naziv dat u naslovu paragrafa.Po�ce�cemo de�nicijom kompletne opservable A. To je hermitski operator sa prostim spek-trom, tj. opservabla �cija je svaka svojstvena vrednost (diskretna i kontinualna) nedegenerisana istoga jednozna�cno, s ta�cno�s�cu do faznog faktora, de�ni�se odgovaraju�ci (pravi odnosno uop�steni)svojstveni vektor. Spektralna forma kompletne opservable A glasi:A =Xn an j n ihn j + Z tp j s ishs j ds; (2.4.3)gde su j n i i j s i pomenuta jednozna�cna re�senja diskretnog odnosno kontinualnog svojstvenogproblema: A j n i = an j n i, A j s i = s j s i.Kompletna opservabla se, na �zalost, susre�ce dosta retko medu zna�cajnim �zi�ckim veli�cinama.Sre�com nju mo�ze u potpunosti da zameni njeno uop�stenje, tzv. kompletan ili potpun skup kom-patibilnih opservabli. To je izvestan broj2.4.2, recimo K, kompatibilnih opservabli A1; A2; :::; AK�ciji su svi zajedni�cki svojstveni potprostori (u H i u U(H)) jednodimenzionalni.Zajedni�cki svojstveni potprostor je u ovom slu�caju skup svih zajedni�ckih ili istovremenihre�senja j a1; a2; :::; aK i svojstvenih problemaAk j a1; a2; :::; aK i = ak j a1; :::; aK i; k = 1; 2; : : : ; K (2.4.4)sa �ksiranim svojstvenim vrednostima ak od Ak, k = 1; 2; : : : ; K.Ne mora svaki izbor respektivnih svojstvenih vrednosti a1; a2; :::; aK da da neko nenulto re�senjesistema jednakosti (2.4.4). To se ka�ze da mo�zemo imati nekompatibilne svojstvene vrednostikompatibilnih opservabli. Slog brojeva a1; a2; :::; aK koji daje nenulto re�senje u (2.4.4), zna�ci kojide�ni�se zajedni�cki svojstveni potprostor (tzv. kompatibilne svojstvene vrednosti) je analogonjedne svojstvene vrednosti an ili s kompletne opservable A i, po de�niciji kompletnog skupaA1; A2; : : : ; AK, mora biti nedegenerisan, tj. mora da jednozna�cno (do na fazni faktor) odredujej a1; a2; :::; aK i 6= 0.Napomenimo uzgred da se indeks n, koji prebrojava diskretne svojstvene vrednosti an nekeopservable A, obi�cno naziva kvantnim brojem. On ne uzima nu�zno cele vrednosti niti nu�zno sveuzastopne vrednosti, ali je po pravilu njegov skup vrednosti prostiji od samog diskretnog spektraopservable. Analogno kao �sto smo rekli za svojstvene vrednosti, i kvantni brojevi kompatibil-nih opservabli A1; A2; :::; AK daju, u op�stem slu�caju, kompatibilne i nekompatibilne kombina-cije konkretnih vrednosti n1; n2; :::; nK, prema tome da li postoji zajedni�cki svojstveni vektor0 6=j n1; n2; :::; nK i def= j an1; an2 ; :::; anK i ili ne.Ako neka opservabla A1 nije kompletna (�sto �ce �cesto biti slu�caj na primer sa hamiltonijanomkvantnog sistema), mo�zemo je kompletirati, tj. dopuniti do kompletnog skupa kompatibilnihopservabli. Ovo dopunjavanje je, naravno, nejednozna�cno.Da bismo u slede�cem paragrafu bolje razumeli geometrijski sadr�zaj pomenutog dopunjavanja(a i za druge kasnije potrebe), podsetimo se jo�s nekoliko stavova o komutiranju operatora izteorije Hilbert-ovih prostora, koji imaju veoma va�znu primenu u kvantnoj mehanici.2.4.2Mada matemati�cki u datom Hilbert-ovom prostoru K mo�ze biti proizvoljno, vide�cemo kasnije da za �zi�ckinajva�znije potpune skupove kompatibilnih opservabli u prostoru stanja H kvantnog sistema K je �ksiran broj iima �zi�cki smisao broja stepeni slobode sistema.

2.4. KOMPATIBILNE OPSERVABLE I MERENJE 41Stav 2.4.2 Hermitski operator A i hermitski, unitarni ili antiunitarni operator B u H komuti-raju ako i samo ako B komutira sa svakim svojstvenim projektorom od A.Stav 2.4.3 Hermitski operator A i hermitski, unitarni ili antiunitarni operator B u H komuti-raju ako i samo ako je svaki svojstveni potprostor od A invarijantan za B.U invarijantnom potprostoru operator B samim svojim delovanjem indukuje jedan operator.Ka�ze se da se B redukuje u taj operator u doti�cnom potprostoru.Stav 2.4.4 Dva hermitska operatora A1 i A2 u H komutiraju ako i samo ako svaki svojstveniprojektor prvog komutira sa svakim svojstvenim projektorom drugog.Stav 2.4.5 Ako dva projektora P1 i P2 komutiraju, onda je P1P2 projektor i on projektuje H napotprostor R(P1) \R(P2).Stav 2.4.6 Dva hermitska operatora A1 i A2 komutiraju ako i samo ako postoji (bar jedan)zajedni�cki svojstveni bazis2.4.3 u H ili u U(H).Ovaj bazis se u op�stem slu�caju sastoji delom od pravih, a delom od uop�stenih vektora. Svigornji stavovi se odnose na potprostore i projektore u U(H) isto kao u H.2.4.3 Dopunjavanje nekompletne opservableAko je A1 nekompletna opservabla, ne mo�zemo je dopuniti (kompatibilnom) opservablom A2koja je funkcija od A1, tj. sa A2 = f(A1). Naime, kao �sto sledi iz Stava S 2.4.3, A2 se redukujeu svakom svojstvenom potprostoru V(a1) od A1 (a1 je odgovaraju�ca svojstvena vrednost). Zbogfunkcionalne zavisnosti, A2 se redukuje u broj f(a1) (uporediti Primedbu 2.4.1), tj. svaki V(a1)je ve�c sam zajedni�cki svojstveni potprostor od A1 i A2 i nismo se odmakli od po�cetnih svojstvenihpotprostora (od kojih je bar jedan bio bar dvodimenzionalan).Ako kompatibilna opservabla A2 nije funkcija od A1, ona se u potprostorima V(a1) redukujeu netrivijalne operatore. Ovi onda svojom svojstvenom dekompozicijom dalje razla�zu V(a1) itako daju zajedni�cke svojstvene potprostore od A1 i A2, manje dimenzije.Ako je skup A1, A2 i dalje nekompletan, moramo ga dalje dopunjavati tre�com kompatibilnomopservablom A3 itd.Zadatak 2.4.1 Neka je H trodimenzionalan i neka je u njemu zadat bazis fj 1 i; j 2 i; j 3 ig. De�ni�simo dveopservable preko spektralne forme: A def= a1P1 + a2P2; a1 6= a2; (2.4.5a)P1 def= j 1 ih1 j; P2 def= j 2 ih2 j + j 3 ih3 j : (2.4.5b)B def= b1Q1 + b2Q2; b1 6= b2; (2.4.6a)Q1 def= j 1 ih1 j + j 2 ih2 j; Q2 def= j 3 ih3 j : (2.4.6b)2.4.3Odsad �cemo stalno pod "bazisom" podrazumevati ortonormirani kompletni bazis (ako nam zatreba op�stiji,to �cemo posebno ista�ci). Pod bazisom u U(H) se podrazumeva skup uop�stenih vektora po kojima se svaki pravivektor mo�ze jednozna�cno razviti.

42 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKEA. Pokazati a) da su A i B nekompletne opservable; b) da su A i B kompatibilne opservable; c) da je A; B,kompletan skup kompatibilnih opservabli.B. a) Koje su svojstvene vrednosti od A kompatibilne sa kojim svojstvenim vrednostima od B ? b) U kojeoperatore se B redukuje u pojedinim svojstvenim potprostorima od A ? c) Pokazati kako ovi operatori,u koje se B redukovao, svojom svojstvenom dekompozicijom dalje razla�zu svojstvene potprostore od A itako daju upravo zajedni�cke svojstvene potprostore operatora A i B.C. Ilustrovati Stavove S 2.4.1-S2.4.6 na primeru operatora iz zadatka Z 2.4.1.Zadatak 2.4.2 A. Dokazati da je opservabla B koju u smislu Stava S 2.4.1 de�ni�se neki kompletan skupkompatibilnih opservabli A1; A2; : : : ; AK nu�zno kompletna opservabla.B. Ilustrovati rezultat iz A. na primeru opservabli A i B iz zadatka Z2.4.1.Kompletna opservabla je specijalni slu�caj kompletnog skupa kompatibilnih opservabli kadaje K = 1. S druge strane, vidimo iz Zadatka Z 2.4.2.A. i iz Stava S 2.4.1, da bilo koji potpuniskup opservabli mo�zemo, bar u principu, zameniti jednom jedinom kompletnom opservablom.Po pravilu se a priori ne zna koji je kompatibilni skup kompletan, bar ne dok prostor stanja Hnije dobro poznat. A to se obi�cno saznaje ili iz analogije sa klasi�cnom �zikom ili iz eksperimenta.2.4.4 MerenjeSada �cemo da de�ni�semo pojam merenja. �Citaocu je ve�c, bez sumnje, jasno da je to jedan odkamena temeljaca kvantne mehanike.Pretpostavimo da smo u laboratoriji pripremili ansambl od N kvantnih sistema i da znamoda je ansambl �cist i da se opisuje vektorom stanja . Pretpostavimo, osim toga, da imamoaparat koji nakon interakcije sa pojedinim kvantnim objektima iz na�seg ansambla pokazuje nekirezultat a, koji je diskretna svojstvena vrednost neke opservable A. Neka Na sistema iz ansambladaju odredeni rezultat a.De�nicija 2.4.1 Pomenuti aparat se naziva kvantnim mernim aparatom, a njegova interakcijasa sistemima pomenutog ansambla prediktivnim merenjem2.4.4 (ili merenjem prve vrste) opser-vable A ako su zadovoljena slede�ca dva uslova za svako po�cetno stanje i za svaku diskretnusvojstvenu vrednost a od A:i) NaN ! h j Pa j i = v(a; A; ), kada N !1(Pa je svojstveni projektor od A koji odgovara svojstvenoj vrednosti a);ii) po prestanku interakcije aparata i sistema svaki od pomenutih Na sistema ima vrednost a odA (tj. dao bi ovaj rezultat apsolutno sigurno u ponovljenom merenju);Ako je dodatno ispunjen slede�ci uslov, merenje se naziva idealnim:iii) svaka opservabla B kompatibilna sa A koja je imala o�stru vrednost b u po�cetnom stanju ,u svakom od pomenutih Na sistema i nakon merenja ima vrednost b.2.4.4U literaturi je uobi�cajeno da se formuli�se i postulat "redukcije talasnog paketa", koji u su�stini sadr�zi iskazena�sih Teorema T2.4.1 i T 2.4.4 ni�ze. Na�s prilaz preko de�nicije merenja kao odredene interakcije, sa izvodenjempomenutih rezultata kao posledica, bazira na radovima: F. Herbut, Annals of Physics,55 (1969) 271 i F. Herbut,International Journal of Theoretical Physics, 11 (1974) 193.

2.4. KOMPATIBILNE OPSERVABLE I MERENJE 43Primer selektivnog prediktivnog merenja imali smo u eksperimentu sa polupropusnim ogle-dalom u varijanti b0 (videti x 1.2.1), kada smo ogledalo u D (videti C 1.3A) zamenili detektoromi tako smo izdvojili podansambl fotona koji se kre�cu opti�ckim putem 1, preko ogledala u B.Idealno merenje se u kvantnoj mehanici obi�cno naziva prosto merenjem.2.4.5 Promena stanja pri merenju| nedegenerisana svoj-stvena vrednostU ovom paragrafu da�cemo odgovor na pitanje kako merenje menja stanje .Pretpostavimo da je diskretna svojstvena vrednost a opservable A nedegenerisana, tj. da jojodgovara jednodimenzionalni svojstveni potprostor ili, kao �sto se obi�cno ka�ze, svojstveni pravac.Selektivno merenje vrednosti a od A se onda naziva kompletnim.Teorem 2.4.1 Merenje nedegenerisane diskretne svojstvene vrednosti a opservable A prevodiproizvoljno po�cetno stanje j i u svojstveno stanje j a i od A, tj. u stanje koje je de�nisano saA j a i = a j a i; h a j ai = 1: (2.4.7)Dokaz: Uslov ii) de�nicije prediktivnog merenja garantuje da kona�cni kvantni ansambl ima o�stru vrednost a odA, a kao �sto smo videli u x 2.2.6 (a.1 , c.1), to u slu�caju �cistog stanja mo�ze biti samo ako se radi o svojstvenomvektoru de�nisanom sa (2.4.7).A priori kona�cno stanje ne mora biti �cisto stanje. Medutim, po�sto je a nedegenerisana svojstvena vrednost odA, postoji samo jedno �cisto stanje koje zadovoljava (2.4.7) (s ta�cno�s�cu do proizvoljnog faznog faktora). Akopretpostavimo da je kona�cno stanje me�sano (uporediti x 1.4.12), tj. pome�sano iz vi�se �cistih podansambala,o�cigledno svi oni takode moraju imati o�stru vrednost a od A (jer pojedina�cni sistemi imaju ovu vrednost),te moraju biti odredeni sa (2.4.7). A po�sto (2.4.7) jednozna�cno odreduje �cisto stanje, kona�cno me�sano stanje nemo�ze sadr�zavati dva neekvivalentna �cista stanja, tj. ono mora biti �cisto. Q. E. D.Po�sto se �ce�s�ce koristimo potpunim skupom kompatibilnih opservabli nego jednom komplet-nom opservablom, formuli�simo odgovaraju�ce uop�stenje Teorema T2.4.1.Teorem 2.4.2 Ako se izvr�si istovremeno merenje diskretnih svojstvenih vrednosti ak od Ak, k =1; 2; :::; K, pri �cemu A1; A2; :::; AK �cine kompletan skup kompatibilnih opservabli, onda proizvoljnostanje j i prelazi u stanje j a1; a2; :::; aK i de�nisano (do faznog faktora) sa Ak j a1; a2; :::; aK i =ak j a1; a2; :::; aK i, k = 1; 2; :::; K, h a1; a2; :::; aK j a1; a2; :::; aKi = 1.Dokaz: odmah sledi iz prethodnog Teorema ako skup A1; A2; : : : ; AK zamenimo kompletnom opservablom B usmislu Stava S 2.4.1 (uporediti Zadatak Z 2.4.2.A). Q. E. D.2.4.6 Kako se vektor stanja pridru�zuje ansambluU ovom kratkom paragrafu ukaza�cemo na jednu va�znu posledicu Teorema T2.4.2.Kada smo formulisali Postulat o stanjima, nismo jo�s imali razraden kvantnomehani�cki for-malizam i nismo mogli ni�sta da ka�zemo o samom na�cinu pridru�zivanja vektora stanja j i datomhomogenom kvantnom ansamblu. Sada �cemo popuniti ovu prazninu.

44 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKEVidi se da je rezultat selektivnog merenja iz Teorema T2.4.2 stanje j a1; a2; :::; aK i i to bez ob-zira od kog stanja se polazi (ako je v(a1; a2; : : : ; aK; A1; A2; : : : ; AK; ) def= jh a1; a2; :::; aK j ij2 6=0). Ba�s zbog toga se ovo merenje mo�ze iskoristiti za preparaciju ansambla u stanju j a1; a2; :::; aK i:Korolar 2.4.1 Kvantni ansambl sistema na kojima su dobijeni (kompatibilni) rezultati ak od Ak,k = 1; 2; :::; K, pri selektivnom prediktivnom merenju potpunog skupa kompatibilnih opservabliA1; A2; :::; AK homogen je i opisan vektorom stanja j a1; a2; :::; aK i (bez obzira na to kakav je biopolazni ansambl).2.4.7 Verovatno�ca prelazaKao �sto smo videli u Teoremima T2.4.1 i T 2.4.2 vektori stanja se pojavljuju u formalizmune samo pre merenja, nego i posle, kao stanja u koja sistemi mogu da predu pri kompletnomselektivnom merenju.Teorem 2.4.3 Verovatno�ca prelaza kvantnog sistema iz stanja u stanje ' glasiv( ! ') = jh ' j ij2: (2.4.8)Dokaz: Neka je ' de�nisan kao normirani svojstveni vektor neke opservable A koji odgovara nedegenerisanojdiskretnoj svojstvenoj vrednosti a. Verovatno�ca prelaza u stanje ' je onda isto �sto i verovatno�ca rezultata a primerenju opservable A (videti Teorem T2.4.1). Prema tome, v( ! ') = v(a; A; ) = jh ' j ij2 (iskoristili smo(2.2.9)). Q. E. D.Zadatak 2.4.3 Pokazati da je verovatno�ca prelaza v( ! ') jednaka jedinici ako i samo ako i ' opisuju istostanje. (Indikacija: Razviti po bazisu u kome je ' jedan od bazisnih vektora.)2.4.8 Promena stanja pri merenju | degenerisana svoj-stvena vrednostPostavlja se pitanje kako da se uop�sti Teorem T2.4.1 na slu�caj kad se radi o merenju degenerisanediskretne svojstvene vrednosti a neke opservable A (odgovaraju�ci svojstveni projektor Pa onda,po de�niciji, projektuje na vi�sedimenzionalni potprostor, tj. Tr Pa > 1).Videli smo u prethodnom odeljku da je nemogu�ce u merenju dobiti kontinualnu svojstvenuvrednost. Pri prou�cavanju efekta merenja na stanje ograni�ci�cemo se (radi jednostavnosti) naopservable sa �cisto diskretnim spektrom, tj. na opservable koje imaju svojstveni bazis. Neka jespektralna forma ovakve opservable A =Xn anPn; (2.4.9)n 6= n0 ) an 6= an0; PnPn0 = Ænn0Pn; Xn Pn = I ; (2.4.10a,b,c)gde su an (razli�cite) svojstvene vrednosti, a Pn odgovaraju�ci svojstveni projektori od A, a I jeidenti�cni operator u H.

2.4. KOMPATIBILNE OPSERVABLE I MERENJE 45Teorem 2.4.4 Ako v(an; A; ) > 0, gde je A opservabla sa �cisto diskretnim spektrom, ondamerenje svojstvene vrednosti an od A prevodi po�cetno stanje u stanjej �n i def= 1ph jPnj i Pn j i : (2.4.11)Dokaz �cemo dati u Dodatku x 2.4.11.Zadatak 2.4.4 Pokazati da je Teorem T2.4.4 uop�stenje Teorema T2.4.1, tj. da je j ai iz (2.4.7) specijalni slu�cajod j �n i u (2.4.11).Teorem T2.4.4 se lako mo�ze uop�stiti na slu�caj opservable koja ima i kontinualni spektar, alimerena svojstvena vrednost an mora da pripada diskretnom spektru.2.4.9 Uslovna verovatno�caSad mo�zemo postaviti pitanje kako da se uslovna verovatno�ca (1.4.3) i dve u �zici va�zne formule(1.4.4) i (1.4.5) prenesu u kvantnu mehaniku.U kvantnom prostoru stanja (uporediti Postulat I u x 2.2.2) operacija "istovremeno sa", kojaje u klasi�cnom prostoru dogadaja primenljiva na bilo koja dva dogadaja (operacija "\"), mo�zeda se primeni samo na dva kompatibilna dogadaja, tj. na dva komutiraju�ca projektora, na primerna P1 i P2, [P1; P2] = 0, a njihov proizvod P1P2 (koji je nu�zno opet projektor) je onda kvantnidogadaj "P1 istovremeno sa P2".Ako je j i proizvoljno stanje, v(1; P1; ) > 0 i j � i def= 1kP1 j ikP1 j i stanje u koje prelazij i pri selektivnom merenju svojstvene vrednosti 1 opservable P1 (tj. kada se "desi" dogadajP1), onda je v(1; P1P2; ) = v(1; P1; )v(1; P2; �); (2.4.12)gde je poslednja verovatno�ca uslovna verovatno�ca; uslov je da se desio dogadaj P1 i on ulazi uverovatno�cu preko �, a (2.4.12) je analogon od (1.4.4).Ako je P2 � P1 (na jeziku oblasti likova R(P2) � R(P1)), tj. ako de�savanje dogadaja P2"povla�ci" de�savanje dogadaja P1, kao �sto se u kvantnoj logici ka�ze, ondav(1; P2; ) = v(1; P1; )v(1; P2; �): (2.4.13)Zadatak 2.4.5 Dokazati (2.4.12) i (2.4.13). (Indikacija: Imati u vidu da je P2 � P1 , P2P1 = P2.)2.4.10 Prediktivno i retrospektivno merenje i preparacijaNeka su A i B dve opservable sa �cisto diskretnim spektrom takve da po jednoj svojstvenojvrednosti an od A i bn od B odgovara isti svojstveni projektor Pn. Iz formule za verovatno�cu iformule za promenu stanja pri merenju odmah se vidi da v(an; A; ) = v(bn; B; ); 8 , kao i da prelazi u isto stanje bez obzira da li se meri A i dobije an ili se meri B i dobije bn kao rezultat.Opservabla bi mogla da ima, pored diskretnog i kontinualni spektar, i to ne bi imalo uticaj naselektivno merenje diskretne svojstvene vrednosti.Sada �cemo prodiskutovati jednu neposrednu posledicu Teorema T2.4.4.

46 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKEKorolar 2.4.2 Ako u stanju opservabla A ima o�stru vrednost a, onda selektivno merenje kojedaje a od A uop�ste ne menja (bez obzira da li je multiplicitet svojstvene vrednosti a jedan ilivi�se).Dokaz: O�stra vrednost zna�ci A j i = a j i, �sto je ekvivalentno sa Pa j i =j i, gde je Pa svojstveni projektorod A koji odgovara svojstvenoj vrednosti a. Iz h j i = 1 onda sledi 1ph jPaj i Pa j i =j i. Q. E. D.Zbog iskaza Korolara K2.4.2, prediktivno merenje nije uvek mogu�ce ostvariti u direktnojinterakciji mernog aparata i merenog kvantnog sistema osim u slu�caju tzv. negativnog merenja,kada se meri lokalizacija i konstatuje da mereni sistem nije prisutan (kao u pomenutom slu�cajuvarijante b0 u eksperimentu sa semire ektivnim ogledalom). Kad je kvantni sistem prisutan istvarno stupa u interakciju sa mernim aparatom, stanje sistema uvek trpi neku promenu i, akova�zi pretpostavka Korolara K2.4.2, nu�zno protivure�ci Korolaru K2.4.2 i prema tome to nijeprediktivno merenje. Neselektivno prediktivno merenje (x 1.4.14), koje takore�ci sadr�zi u sebiselektivna merenja svih diskretnih svojstvenih vrednosti, mo�ze se ostvariti samo u slu�caju tzv.distantnog merenja, o �cemu �ce biti re�ci u x 4.4.6-x 4.4.7.Na kraju kvantnog eksperimenta se obi�cno vr�si tzv. retrospektivno merenje ili merenje drugevrste, koje zadovoljava samo uslov i) iz de�nicije prediktivnog merenja, a druga dva ne.Primer ove vrste merenja imali smo u eksperimentu sa dva otvora kao i u eksperimentu sapolupropusnim ogledalom (uporediti i x 1.4.15). U drugom, na primer, merni aparat je bio sa-stavljen od fotoplo�ca koje su merile lokalizaciju fotona na drugom zastoru. Tu se nije moglogovoriti o stanju u koje se foton prevodi (on se u stvari apsorbuje), ali pojedine vrednosti opser-vable polo�zaja na zastoru dobijaju se sa razli�citim relativnim frekvencijama (u stvari pojavljujuse mrlje razli�citog zacrnjenja), u skladu sa kvantnomehani�ckim predvidanjem po Postulatu overovatno�ci.Na kraju da podsetimo na to da se na po�cetku kvantnog eksperimenta obi�cno vr�si preparacijakvantnog ansambla. To je laboratorijski postupak za koji va�zi uslov ii) iz De�nicije prediktivnogmerenja, a ne nu�zno i uslovi i) i iii). Osim toga, uredaj koji vr�si preparaciju naziva se �ltar (on�ltrira, tj. propu�sta samo sisteme koji imaju vrednost a od A). Kao �sto smo videli u KorolaruK2.4.1, kompletno selektivno prediktivno merenje predstavlja ujedno i preparaciju.2.4.11 � Dodatak | dokaz teorema 4Indeks n u (2.4.11) zameni�cemo sa n0, a n �ce biti teku�ci indeks. Na osnovu (2.4.10c) imamoj i =Xm Pm j i = 0Xm Pm j i; (2.4.14)gde se sumiranje u poslednjem izrazu vr�si samo po nenultim sabircima (�sto je nagla�seno ozna-kom P0); po pretpostavci iz Teorema T2.4.4 tu spada i n0. Zbog idempotentnosti projektora,qh j Pm j i =q(h j Pm)(Pm j i) je norma vektora Pm j i. Prema tome, mo�zemo de�ni-sati jedan pomo�cni projektor Q kao zbir ortogonalnih projektora pravaca:Q def= 0Xm 1h j Pm j i Pm j ih j Pm: (2.4.15)

2.5. KVANTIZACIJA 47Q je opservabla kompatibilna sa A. Naime, za bilo koje n, PnQ = 0 ili h j Pn j i�1Pn j ih j Pn,ve�c prema tome da li n ne spada medu m-ove ili spada; isto daje i QPn. Dakle, [ Pn; Q ] = 0; 8n,a prema gornjem Stavu S 2.4.2 onda sledi [ Q; A ] = 0: (2.4.16)Osim toga, Q kao opservabla ima o�stru vrednost 1 u stanju . Naime, iz (2.4.15) slediv(1; Q; ) = h j Q j i =Pmh j Pm j i = 1 (na osnovu (2.4.14) i normiranosti ).Prema uslovu iii) iz De�nicije merenja, nakon izmerene vrednosti an0 od A kvantni sistemmora i dalje biti u stanju u kojem Q ima o�stru vrednost 1, a prema uslovu ii), opservabla Amora imati o�stru vrednost an0 u tom stanju. Iz A' = an0' , Pn0' = ' (2.2.3) sledi da seposlednji iskaz mo�ze zameniti iskazom da Pn0 ima o�stru vrednost 1. Po�sto [ Q; Pn0 ] = 0, Pn0Qje projektor (uporediti gornji Stav S 2.4.5) i ako sa � obele�zimo neko �cisto stanje koje ulazi usastav me�sanog stanja koje nastaje pri selektivnom merenju an0 od A, ondaPn0Q� = �; (2.4.17)po�sto i Pn0Q ima o�stru vrednost 1 nakon merenja. Iz (2.4.15) i pretpostavke v(an0 ; A; ) > 0sledi Pn0Q = h j Pn0 j i�1Pn0 j ih j Pn0, a to je projektor pravca. (2.4.17) kazuje da �pripada tom pravcu, tj. j � i = h j Pn0 j i 12Pn0 j i (izvr�sili smo izbor najprostijeg faznogfaktora). Po�sto ovo �cisto stanje sledi jednozna�cno (kao u dokazu Teorema T2.4.1), kona�cnostanje ne mo�ze da sadr�zi dva neekvivalentna �cista stanja, tj. mora biti �cisto i jednako �.2.5 KvantizacijaPrva �cetiri postulata kvantne mehanike, koje smo izu�cavali u prethodnoj grupi odeljaka, vrlo suop�ste i apstraktne prirode. Mi jo�s ne znamo kako da dodemo do prostora stanja H kvantnogsistema i kako da u njemu de�ni�semo bar nekoliko najva�znijih opservabli, na kojima bismo moglida zasnujemo opisivanje kvantnog pona�sanja sistema. U grupi odeljaka x 2.5 i x 2.6 re�si�cemoovaj problem, na taj na�cin �sto �cemo sa pogodnih klasi�cnih varijabli pre�ci na jedan osnovni skupopservabli tzv. kvantizacijom. Na osnovu ovih operatora �cemo onda odrediti prostor stanja. Uodeljku x 2.5 izvr�si�cemo ovo odredivanje za jednodimenzionalnu �cesticu | �sto je relativno prost(mada �ktivan) �zi�cki sistem. U slede�cem odeljku �cemo re�siti analogni problem za realnu �cesticu.Zapo�cinjemo odeljak formulacijom Postulata V o kvantizaciji klasi�cnih varijabi.2.5.1 Poisson-ove zagradePretpostavimo da imamo jedan kvantni sistem od N �cestica. Da je re�c o klasi�cnom sistemu od Nmaterijalnih ta�caka, mogli bismo taj �zi�cki sistem da opi�semo klasi�cnom mehanikom. Postavljase pitanje da li mo�zemo na osnovu klasi�cnog opisivanja pre�ci na kvantno-mehani�cko opisivanjepomenutog kvantnog sistema.Potvrdan odgovor �cemo formulisati u novom postulatu, u kojem najva�zniju ulogu igraju tzv.Poisson-ove (�citati: Puasonove) zagrade (odsad: PZ-e) klasi�cne mehanike. Podsetimo se najpre

48 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKEda je Poisson-ova zagrada klasi�cnih varijabli A i B, tj. analiti�ckih funkcija u faznom prostorusistema, klasi�cna varijabla:C(r1; :::; rN ;p1; :::;pN) def= [ A(r1; :::;pN); B(r1; :::;pN) ]PZ def= NXn=1( @A@rn � @B@pn� @A@pn � @B@rn ): (2.5.1)gde je @A@rn � @B@pn def= Xq=x;y;z @A@qn @B@pq;n : (2.5.2)Ako imamo samo jednu �cesticu, onda suma u (2.5.1) otpada. U slu�caju jo�s prostije, jednodi-menzionalne �cestice, otpada i suma u (2.5.2) i ostaje samo jedan sabirak u (2.5.1).2.5.2 Osnovni skupovi varijabli i opservabliOsnovni skup varijabli je de�nisan u Hamilton-ovoj formi klasi�cne mehanike: ako �zi�cki sistemima K stepeni slobode, onda se osnovni skup sastoji od K uop�stenih koordinata i od K od-govaraju�cih uop�stenih impulsa (kanoni�cno konjugovanih koordinatama). Kao �sto je poznato,izbor osnovnog skupa varijabli je nejednozna�can. Analognu fundamentalnu ulogu u formalizmukvantne teorije ima osnovni skup opservabli.Osnovni skup opservabli u prostoru stanja H kvantnog sistema je, po de�niciji, skup hermit-skih operatora za koji su zadovoljeni zahtevi:a) skup je ireducibilan u H, tj. osim celog H i njegovog nultog potprostora nijedan drugi njegovpotprostor nije invarijantan istovremeno za sve operatore skupa;b) skup sadr�zi podskup koji je kompletan skup kompatibilnih opservabli u H;c) mogu da se konstrui�su operatorske funkcije osnovnog skupa opservabli pomo�cu kojih seiz jednog (proizvoljnog) zajedni�ckog svojstvenog vektora pomenutog kompletnog skupaopservabli mogu generisati svi ostali zajedni�cki svojstveni vektori;d) prostor stanja H datog kvantnog sistema je jedinstven u tom smislu da svaki drugi prostorH0 u kome takode deluje neki osnovni skup opservabli dobijen kvantizacijom istih klasi�cnihvarijabli mora biti izomorfan sa H, tj. mora biti H0 = J H, gde je J izomor�zam, apomenuti skup u H0 mora biti ekvivalentan2.5.1 po J sa osnovnim skupom fAk j 8kg u H,tj. mora biti vida fJ AkJ �1 j 8kg.2.5.3 Postulat o kvantizaciji varijabliPredimo sad na formulaciju samog Postulata V Pojmove pomo�cu kojih se postulat izra�zavaobjasni�cemo odmah posle toga.2.5.1Pojam ekvivalentnosti �cemo obilno koristiti u teoriji reprezentovanja u x 2.7-x 2.9, a ponovo �cemo je susrestiu x 6.3.6.

2.5. KVANTIZACIJA 49V POSTULAT O KVANTIZACIJI VARIJABLISa klasi�cnih varijabli �zi�ckog sistema prelazi se na opservable u prostorustanja H sistema tako da pri tome va�zi:1) linearna kombinacija varijabli prelazi u istu linearnu kombinaciju odgo-varaju�cih opservabli;2) proizvod varijabli prelazi u simetrizovani proizvod odgovaraju�cih opser-vabli, na primer: AB 7! 12(AB + BA) (onda u slu�caju [ A;B ]PZ = 0sledi AB 7! AB);3) prelaz je neprekidan, tj. varijabla koja je limes beskona�cnog niza va-rijabli prelazi u opservablu koja je takode limes niza odgovaraju�cihopservabli;4) svaka Poisson-ova zagrada prelazi u komutator odgovaraju�cih opservablipomno�zen sa � {~ ;5) osnovni skup varijabli prelazi u osnovni skup opservabli.Zahtev 4) zna�ci da svaka trojka varijabli A, B, C za koje va�zi [ A;B ]PZ = C prelazi u trojkuopservabli A, B, C tako da � {~ [ A; B ] def= � {~(AB � BA) = C: (2.5.3)U zahtevu 5) je nagla�sena veza osnovnih skupova klasi�cnih varijabli i kvantnih opservabli.Medutim, kvantna teorija prou�cava i sisteme za koje pored klasi�cnih, postoje i tzv. unutra�snjistepeni slobode (tako �ce biti uveden spin u poglavlju x 6.9). U takvim slu�cajevima, kada klasi�cnianalogon sistema ne postoji, osnovni skup opservabli se, u odnosu na osnovni skup varijabli,mora pro�siriti opservablama relevantnim za unutra�snje stepene slobode.2.5.4 Uloga konstante ~ i imaginarne jedinice�Sto se ti�ce faktora 1~ u zahtevu 4) Postulata V, moramo u de�niciji Poisson-ove zagrade (2.5.1)uo�citi da su �zi�cke dimenzije varijable [ A;B ]PZ jednake dimenzijama od AB podeljenim sadimenzijama dejstva. Stoga se i u (2.5.3) u imenitelju mora pojaviti dejstvo. Ispostavlja se daje to ba�s ~ i tako fundamentalni kvant dejstva ulazi u formalizam kvantne mehanike. �Sto se ti�cefaktora �{ u zahtevu 4) Postulata V, razlog za to le�zi u �cinjenici da je komutator dva hermitskaoperatora [ A; B ] uvek kosohermitski operator. (Operator C je kosohermitski ako Cy = �C.)Lako je uveriti se da se svaki kosohermitski operator mo�ze napisati u vidu {D, gde je D nekihermitski operator. Faktor �{ potire ovo {, tako da ostaje hermitski operator D u {D def= [ A; B ].

50 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKE2.5.5 Princip korespondencije i matemati�cki smisao po-stulataO prelasku sa varijabli na opservable, koji se reguli�se Postulatom V, ponekad se govori kao okvantizaciji klasi�cne mehanike (ili njenih varijabli) ili kao o prvoj kvantizaciji (sa tzv. drugomkvantizacijom upozna�cemo se u glavi x 11 ovog ud�zbenika). Isti prelazak se �cesto naziva i prin-cipom korespondencije u smislu da Postulat daje preskripciju kako opservable korespondirajuklasi�cnim varijablama.Matemati�cki smisao Postulata kvantizacije je u tome da se sa realne Lie-jeve algebre klasi�cnihvarijabli kontinualnim homomor�zmom prelazi na realnu Lie-jevu algebru kosohermitskih opera-tora, tj., kao �sto se ka�ze, nalazi se linearna reprezentacija pomenute klasi�cne algebre. Naravno,dok je u Lie-jevoj algebri klasi�cnih varijabli Lie-jev proizvod realizovan PZ-om, u Lie-jevoj al-gebri kosohermitskih operatora realizovan je komutatorom. (Obratiti pa�znju na �cinjenicu dakosohermitski operatori, a ne hermitski, �cine Lie-jevu algebru.)Predimo sad na primenu kvantizacije na najprostiji �zi�cki sistem sa samo jednim stepenomslobode.2.5.6 Komutaciona relacija koordinate i impulsaZamislimo �ktivnu �cesticu koja postoji u jednodimenzionalnom prostoru du�z ose x. Uze�cemonajprostiji osnovni skup varijabli: koordinatu x (�1 < x < 1) i impuls px (�1 < px < 1).Pretpostavi�cemo da su ostale varijable analiti�cke (stoga proizvoljno mnogo puta diferencijabilne)funkcije od x i px.Kao �sto smo napomenuli u x 2.5.1, PZ-e sad glase:C(x; px) def= [ A(x; px); B(x; px) ]PZ def= @A@x @B@px � @A@px @B@x : (2.5.4)Odmah sledi [ x; px ]PZ = 1: (2.5.5)Na osnovu Postulata V o�cekujemo da x, px �cine osnovni skup opservabli. Iz zahteva 4)Postulata sledi da ovi operatori zadovoljavaju slede�cu osnovnu komutacionu relaciju:[ x; px ] = {~; (2.5.6)u �sta (2.5.5) prelazi.2.5.7 Ideja odredivanja prostora stanja HxBaziraju�ci se na osnovnoj komutacionoj relaciji (2.5.6), odredi�cemo Hilbert-ov prostor stanja�cestice na x-osi, koji �cemo obele�zavati sa Hx.U stvari po�ce�cemo sa pretpostavkom da ve�c imamo Hx i u njemu skup opservabli x i px kojezadovoljavaju (2.5.6). Pretpostavi�cemo da je x kompletna opservabla (prema drugom zahtevu ude�niciji osnovnog skupa opservabli ili x ili px mora biti kompletna opservabla; vide�cemo ni�ze ux 2.9.1 i x 2.9.2 da je i px kompletna opservabla).

2.5. KVANTIZACIJA 51Posle toga �cemo prou�citi svojstveni problem od x i, preokre�cu�ci potrebne uslove u dovoljne, naosnovu svojstvenog bazisa od x odredi�cemo Hx. Ovaj prostor stanja bi�ce apstraktni prostor2.5.2.2.5.8 Operatori, analiti�cke funkcije operatora i izvod pooperatoruAnaliti�cka funkcija opservabli x i px je po de�niciji limes polinoma od x i px. Uzmimo kao primereksponencijalnu operatorsku funkciju e{bpx (b realan broj):e{bpx def= limn!1 nXk=0 ({bpx)kk! (2.5.7)(obi�cno se DS od (2.5.7) pi�se skra�ceno kao P1k=0 ({bpx)kk! ).Parcijalni izvod @A(B;C;:::;)@B de�ni�se se na slede�ci na�cin:@A@B def= lim"!0 A(B + "I; C; :::)� A(B; C; :::)"i postoji ako postoji desna strana. Naravno, totalni izvod se de�ni�se analogno (izostavljaju�ci Ci eventualne druge opservable i zamenjuju�ci "@" sa "d").Zadatak 2.5.1 Pokazati da va�zi dxndx = nxn�1:Ako je A(x; px) analiti�cka funkcija od x i px, ispostavlja se da se onda izvodi @A@x i @A@pxizra�cunavaju u analogiji sa funkcijama brojeva, na primer2.5.3:@@x xnpmx = nxn�1pmx :Ali po�sto su x i px operatori, mora se odr�zavati redosled pisanja (jer ne komutiraju). Analiti�ckaoperatorska funkcija poseduje izvode bilo kog reda.Da bismo mogli da ra�cunamo sa operatorima koji su analiti�cke funkcije potrebna su nam tzv.komutatorska pravila.2.5.2U matematici je apstraktni Hilbert-ov prostor sa datom dimenzijom jedan jedini, odreden kompletnim si-stemom aksioma. U kvantnoj mehanici medutim, u centru pa�znje su izvesne osnovne opservable (a ne samomatemati�cka struktura prostora) i njihov �zi�cki smisao (kojim klasi�cnim varijablama korespondiraju, kako semere). Stoga razlikujemo apstraktne Hilbert-ove prostore kao prostore stanja (makar i imali istu dimenziju)prema najva�znijim opservablama koje u njemu deluju. Naravno "apstraktnost" prostora je u tome �sto elementi(tj. vektori) nemaju konkretnu prirodu, ozna�cavaju se simbolima, a razlikuju se po svom odnosu prema osnovnimopservablama.2.5.3Na osnovu (2.5.6), na primer: @xpxx@x = @x(xpx�{~)@x = 2xpx � {~.

52 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKE2.5.9 Komutatorska pravilaLako je dokazati da iz same de�nicije komutatora slede slede�ca komutatorska pravila (va�ze usvakom H): [ A; B ] = �[ B; A ]; (2.5.8a)[ A+ B; C ] = [ A; C ] + [ B; C ]; [ A; B + C ] = [ A; B ] + [ A; C ]; (2.5.8b,c)[ AB; C ] = [ A; C ]B + A[ B; C ]; [ A; BC ] = [ A; B ]C + B[ A; C ]; (2.5.8d,e)[ bA; B ] = b[ A; B ]; [ A; bB ] = b[ A; B ]; (2.5.8f,g)[ A; [ B; C ] ] + [ B; [ C; A ] ] + [ C; [ A; B ] ] = 0 (2.5.8h)za svaka tri operatora A, B i C i svaki kompleksni broj b. Relacija (2.5.8h) naziva se Jacobijevimidentitetom. Takode se lako dokazuje (metodom totalne indukcije na primer) da va�zi:[ A; Bn ] = n�1Xs=0 Bs[ A; B ]Bn�s�1 (2.5.9)za svaki pozitivan ceo broj n. Va�zan specijalni slu�caj od (2.5.9) je[ A; An ] = 0; 8n: (2.5.10)2.5.10 Komutatori sa analiti�ckim funkcijamaTeorem 2.5.1 Neka je A(x; px) proizvoljna analiti�cka funkcija opservabli x i px. Va�ze slede�cekomutacione relacije: [ x; A ] = {~ @A@px ; [ px; A ] = �{~@A@x : (2.5.11a,b)Dokaz: Neka je A monom xmpnx . Pi�su�ci LS-u od (2.5.11a) kao LS i koriste�ci se jednakostima (2.5.8e) i (2.5.10),imamo LS = [ x; xmpnx ] = xm[ x; pnx ]. A jednakosti (2.5.9) i (2.5.6) onda daju LS == xmPn�1s=0 psx{~pn�s�1x ={~xm(npn�1x ) = {~ @@px xmpnx = DS. Zbog (2.5.8c) i (2.5.8g) sada (2.5.11a) sledi za svaku opservablu A koja jepolinom, tj. linearna kombinacija monoma.U poslednjem koraku dokaza moramo se koristiti limesom polinoma da bismo (2.5.11a) pro�sirili na sve analiti�ckefunkcije. Da su x i @@px neprekidni operator odnosno operacija, ovaj korak bi bio o�cigledan. Ali, kao �sto �cemokasnije videti, oni nisu neprekidni. Dokaz se mo�ze dovr�siti na osnovu pojma zatvorenosti hermitskih operatora(eventualno videti primedbu 6.4.3), ali mi u to ovde ne�cemo ulaziti. (2.5.11b) se dokazuje analogno. Q. E. D.Zadatak 2.5.2 Pokazati da je svaka analiti�cka funkcija A(x; px) koja komutira sa operatorom x u H, nu�znofunkcija samo od x.Zadatak 2.5.3 Neka je B = Pn bn j n ihn j kompletna opservabla u spektralnom vidu. Neka [ A; B ] = 0.Pokazati da postoji funkcija f (i izraziti je tabelarno) takva da A = f(B). (Indikacija: iskoristiti S 2.4.3).

2.5. KVANTIZACIJA 532.5.11 Svojstveni problem opservable koordinateNeka je j x i svojstveni vektor (pravi ili uop�steni) opservable x (da ovakav vektor sigurno postojisledi iz (2.3.13)), za svojstvenu vrednost x:x j x i = x j x i; (2.5.12)gde je j x i uop�steni vektor iz U(Hx)).De�ni�simo slede�cu familiju operatoraU(q) def= e� {~ qpx; �1 < q <1: (2.5.13)Po�sto je U y(q) = e {~ qpx = U�1(q) (uporediti (2.5.7)), radi se o unitarnim operatorima u Hx. Unatprostoru U(Hx) unitarni operatori deluju kao nesingularni operatori. Pitamo se da li je iU(q) j x i re�senje svojstvenog problema od x.Iz formule (2.5.11a) u Teoremu sledi [ x; U(q) ] = {~dU(q)dpx = qU(q) ilixU(q) = U(q)(x + q): (2.5.14)Primenjuju�ci ovu operatorsku jednakost na j x i, iz (2.5.12) sledix(U(q) j x i) = (x+ q)(U(q) j x i): (2.5.15)Jednakost (2.5.15) zna�ci da je i U(q) j xi re�senje svojstvenog problema od x i to za svojstvenuvrednost x+ q. U(q) j x i ne mo�ze biti pravi vektor, jer onda bi i j x i = U�1(q)(U(q) j x i) moraobiti pravi vektor jednake norme (jer i U�1(q) = U(�q) je unitaran operator), a nije. Zna�ci, i x+qpripada kontinualnom spektru. Po�sto sve ovo va�zi za svaki realni broj q, kontinualni spektar odx je cela realna osa.Postavlja se pitanje da li x uop�ste ima i diskretnih svojstvenih vrednosti ili mu je spektar�cisto kontinualan. Pokaza�cemo da je x opservabla sa �cisto kontinualnim spektrom uzimaju�ci, kaopoku�saj, Hx def= Hk tj. izjedna�cavaju�ciHx sa prostorom koji odgovara kontinualnom spektru od x(uporediti (2.3.12a) i uspevaju�ci da konstrui�semo operator px u tom prostoru (u x 2.5.15). Ondaje prema ta�cki a) u de�niciji osnovnog skupa opservabli (u x 2.5.3) jasno da x nema diskretnispektar. Naime, ako bi ga imao, onda bi prema (2.3.12a) Hx bio jednak Hk � Hd, a sam Hkbi bio netrivijalan invarijantan potprostor za x; px u protivure�cnosti sa zahtevom ireducibilnostiosnovnog skupa.2.5.12 Neke matemati�cke osobine operatora xU teoriji Hilbert-ovih prostora dokazuje se slede�ci stav.Stav 2.5.1 Slede�ce �cetiri osobine hermitskog operatora A su ekvivalentne:a) operator A je neprekidan, tj. iz n ! , n!1 sledi A n ! A , n!1;b) operator A je ograni�cen tj. postoji kona�can pozitivan broj C tako da va�zi kA k < Ck k,8 2 H (C ne zavisi od izbora );

54 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKEc) spektar operatora A je ograni�cen, tj. postoji C < 1 tako da sav spektar le�zi u intervalu[�C;C].d) operator A je svugde de�nisan, tj. domen mu je ceo prostor H.Po�sto operator koordinate x ima celu realnu osu kao svoj spektar, za njega ne va�zi c). Stogax nije ograni�cen operator, nije neprekidan i nije svugde de�nisan.2.5.13 Odredivanje prostora HxKao �sto smo rekli u paragrafu x 2.5.6, pretpostavi�cemo da je x u Hx kompletna opservabla, tj.da su joj svi (uop�steni) svojstveni vektori j x i nedegenerisani. Po�sto je kontinualni spektar odx cela realna osa, svakom realnom broju x odgovara j x i.Da ne bi fazni faktor bio proizvoljan za svaku vrednost x nezavisno, uze�cemo proizvoljni faznifaktor samo za j x = 0 i, a ostale vektore j x 6= 0 i �cemo de�nisati pomo�cu jednakostij x i def= U(x) j x = 0 i; �1 < x <1 ; (2.5.16)gde je U(x) def= e� {~xpx.Odsad �cemo podrazumevati da svojstveni bazisfj x i j �1 < x <1g (2.5.17)opservable koordinate x u U(Hx) ima uskladene fazne faktore u smislu (2.5.16). U stvari ceobazis ima jedan zajedni�cki otvoren (tj. proizvoljan) fazni faktor.Zadatak 2.5.4 Pokazati da umesto faznog faktora od j x = 0i mo�ze biti proizvoljan fazni faktor bilo kog drugogvektora j x 6= 0 i (ali samo jednog) iz (2.5.17). Prethodno dokazati da va�zij x0 i = U(x� x0) j x i: (2.5.18)U neophodnost fazne konvencije uveri�cemo se u odeljku x 2.7, koji je posve�cen teoriji repre-zentovanja. Naime, nije mogu�ce jednozna�cno reprezentovanje u bazisu (2.5.17) ako makar i dvabazisna vektora imaju uzajamno nezavisne proizvoljne fazne faktore.Sve linearne kombinacije, uklju�cuju�ci i integrale, i limesi linearnih kombinacija uop�stenihvektora j x i, �1 < x <1 sa�cinjavaju U(Hx). Mo�ze se pokazati da vektori vida2.5.4j i = R1�1 (x) j x i dx; R1�1 j (x)j2 dx <1 ; (2.5.19a,b)�cine Hilbert-ov prostor, a to upravo i jeste prostor stanja Hx jednodimenzionalne �cestice, kojismo time odredili.2.5.4 Strogo uzev, integral u (2.5.19) u stvari nije obi�cni (tj. tzv. Riemannov integral), ve�c tzv. Lebesgue-ov (�citatiLebegov) integral koji se zasniva na Lebesgueovoj meri (uop�stenju pojma du�zine intervala). Po �zelji, vi�se o tomevideti u monumentalnom delu o zasnivanju kvantne mehanike: John von Neumann, Mathematical Foundationsof Quantum Mechanics, Princeton University Press, Princeton, 1955 (prevod sa nema�ckog).

2.5. KVANTIZACIJA 552.5.14 Delovanje operatora xPo�sto je proizvoljni vektor j i 2 Hx dat sa (2.5.19), delovanje operatora x mo�ze se de�nisatina slede�ci na�cin: x j i = Z 1�1 (x)x j x i dx = Z 1�1 (x)x j x i dx (2.5.20a)i x j i je de�nisano u Hx, tj. j i spada u domen od x, ako i samo akoZ 1�1 j (x)j2jxj2 dx <1; (2.5.20b)Zadav�si na�cin delovanja i domen, u potpunosti2.5.5 smo de�nisali x u Hx.2.5.15 Delovanje operatora pxNa�s zadatak nije u potpunosti ostvaren dok ne saznamo kako operator px deluje na vektorej i 2 Hx i dok se ne osvedo�cimo da va�zi osnovna komutaciona relacija [ x; px ] = {~ (da bismose ubedili u konzistentnost na�seg odredivanja prostora Hx ). Izve�s�cemo prvo kako operator U(q),de�nisan sa (2.5.13), deluje na j i:U(q) j i = Z 1�1 (x)U(q) j x i dx = Z 1�1 (x) j x+ q i dx = Z 1�1 (x� q) j x i dx (2.5.21)(u poslednjem koraku smo zamenili x0 def= x + q i umesto x0 ponovo pisali x).Pretpostavimo da je q in�nitezimalno malo i obele�zimo ga sa ". Onda je U(") = e� {~ "px def=P1n=0 (� {~ px")nn! � 1� {~"px. Ova pribli�zna jednakost dajepx � � {~" (1� U(")): (2.5.22)Iz (2.5.22) i (2.5.21) sada sledipx j i � �{~ Z 1�1 (x)� (x� ")" j x i dx = �{~ Z 1�1 (x + ")� (x)" j x i dx (2.5.23)(" smo zamenili sa �"). Znak pribli�zne jednakosti se odnosi na ", koji je u stvari nulti niz. Po�stoLS od (2.5.23) ne zavisi od ovog grani�cnog procesa, mo�zemo na DS-i uzeti lim"!0. Tako najzaddolazimo do rezultata: px j i = Z 1�1[�{~ ddx (x)] j x i dx; (2.5.24a)a j i spada u domen od px ako i samo ako je (x) diferencijabilna funkcija na celoj realnoj osii (videti primedbu 2.5.5) Z 1�1 j � {~ ddx (x)j2 dx <1: (2.5.24b)2.5.5 Ako �citaoca zanimaju dokazi gornjih iskaza ili vi�se detalja o neograni�cenim operatorima x i px u Hx mo�zeda konsultuje von Neumann-ovu knjigu navedenu u Primedbi 2.5.4 i to str. 90 i 147.

56 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKEZadatak 2.5.5 Pokazati da u Hx ne postoji nijedan netrivijalan potprostor koji je invarijantan za x i px isto-vremeno.Zadatak 2.5.6 Pokazati da va�zi [ x; px ] j i = {~ j i za svaki vektor j i iz domena komutatora od x i px.Zadatak 2.5.7 Pokazati da iz pretpostavke da je vektor j x0 i svojstveni vektor od x, tj. x j x0 i = x0 j x0 i, ida je j x0 i u domenu operatora [ x; px ] sledi protivure�cnost.2.5.16 Zavr�sne napomeneDakle, izgradili smo Hx preko uop�stenog svojstvenog bazisa fj x i j �1 < x <1g opservable x.Po�sto je Hx apstraktan prostor, njegovi elementi, naravno, nemaju konkretnu prirodu (za razlikuod prostora brojnih kolona i prostora funkcija na koje �cemo nai�ci u teoriji reprezentovanja ux 2.7-x 2.9). U takvom prostoru sve je dato preko uzajamnih odnosa. Najprirodnije je elementezadavati preko njihovog odnosa prema jednom �ksiranom bazisu, kao �sto je pomenuti bazis uHx.Kao �sto smo videli u zahtevu d) de�nicije pojma osnovnog skupa opservabli (u x 2.5.3), prostorstanja mora biti jedinstven. Ba�s �cinjenica da je Hx zadan preko bazisa �cini jedinstvenost lakouo�cljivom: ako bismo konstruisali drugi prostorH0x sa analognim bazisom fj xi0 j �1 < x <1g,tra�zeni izomor�zam J (koji "izjedna�cuje" ta dva prostora) bi bio de�nisan slede�com jednako�s�cuJ j x i =j x i0; �1 < x <1 (2.5.25)i lako je videti da bi J stvarno transformacijom sli�cnosti prevodio osnovni skup x, px iz Hx uanalogni osnovni skup u H0x.2.6 Izgradnja prostora stanja za jednu i vi�se realnih �cesticaU ovom odeljku �cemo izgraditi prostor stanja realne trodimenzionalne �cestice, kao i sistemaod N �cestica. Ispostavi�ce se da direktni proizvod faktor prostora stanja predstavlja adekvatankvantno-mehani�cki metod za opisivanje kompozicije �zi�ckih podsistema u nadsistem, bez obzirada li se radi o materijalnim podsistemima ili o stepenima slobode. Ovim metodom izvr�si�cemokompoziciju stepena slobode �cestice du�z x, y i z-ose, kao i kompoziciju pojedinih �cestica uvi�se�cesti�cni sistem.2.6.1 Osnovne komutacione relacijeU klasi�cnoj �zici prostor stanja jedne �cestice, tj. njen fazni prostor, ima �sest koordinata: x, y,z, px, py, pz ili skra�ceno r, p. Radi kvantizacije ovih varijabli moramo izra�cunati sve PZ-e medunjima. Koriste�ci se obrascima (2.5.1) i (2.5.2), lako je uveriti se da rezultat glasi[ x; px ]PZ = 1; [ y; py ]PZ = 1; [ z; pz ]PZ = 1; (2.6.1a,b,c)a da su ostalih 12 PZ-a jednake nuli.Zadatak 2.6.1 Dokazati (2.6.1) i pomenutih ostalih 12 PZ-a.

2.6. IZGRADNJA PROSTORA STANJA ZA JEDNU I VI�SE REALNIH �CESTICA 57Kvantno-mehani�cki prostor stanja jedne trodimenzionalne tj. realne �cestice naziva�cemo or-bitnim prostorom stanja2.6.1 i obele�zava�cemo ga sa Ho. To �ce biti Hilbert-ov prostor u kome sude�nisane tri opservable koordinata x, y i z i tri opservable komponenti impulsa px, py i pz, kojezadovoljavaju komutacione relacije[ x; px ] = {~; [ y; py ] = {~; [ z; pz ] = {~; (2.6.2a,b,c)a ostalih 12 komutatora je jednako nuli (kao �sto sledi kvantizacijom (2.6.1) itd.).Kao i u vektorskoj algebri u klasi�cnoj �zici, trojku operatora x, y, z u Ho pisa�cemo skra�cenokao r i naziva�cemo je vektorskim operatorom koordinata ili radijus vektora i isto tako px, py,pz �cemo zajedno pisati kao p, tj. kao vektorski operator impulsa. Povremeno �cemo umesto ovektorskom operatoru govoriti o vektorskoj opservabli.U stvari, vektorski operatori nisu tri bilo koja operatora, ve�c tri operatora koja imaju odredenetransformacione osobine pri prelasku sa jednog koordinatnog sistema na drugi koji je zarotiranu odnosu na prvi (kao i u klasi�cnoj �zici). Precizniju de�niciju vektorskog operatora da�cemo teku x 7.4.2, nakon �sto ovladamo operatorima rotacije u Ho.2.6.2 Razlaganje osnovnog skupa opservabli i uloga di-rektnog proizvoda prostora stanjaU prethodnom odeljku u slu�caju problema jednodimenzionalne �cestice videli smo da su opservablex, px �cinile osnovni skup i de�nisale Hx. Analognim rezonovanjem mo�ze se pokazati da �sestopservabli r, p �cine osnovni skup za trodimenzionalnu �cesticu (tri opservable r �cine kompletanskup kompatibilnih opservabli). Prema tome, ove opservable de�ni�su orbitni prostor stanja Ho.Umesto da ovaj put predemo ponovo na slo�zeniji na�cin, mo�zemo posti�ci isti rezultat kraticom.Operatori pomenutog osnovnog skupa uHo mogu da se grupi�su u tri klase, fx; pxg; fy; pyg; fz; pzgtako da:i) svaki operator u jednoj klasi komutira sa svakim operatorom iz svake druge klase,ii) svaka klasa je osnovni skup opservabli.Ovo je karakteristi�cno za razlaganje sistema na podsisteme (imamo tri podsistema u na�semslu�caju). Ovde se ne radi o materijalnim podsistemima, kao �sto su na primer �cestice u sistemu odvi�se �cestica, ve�c o podsistemima koji su stepeni slobode. I u klasi�cnoj �zici mo�zemo tri koordinateda smatramo za tri stepena slobode �cestice.U kvantnoj mehanici se slaganje �zi�ckih podsistema u nadsistem vr�si putem tzv. direktnogproizvoda (ili tenzorskog ili Kronecker-ovog proizvoda) Hilbert-ovih prostora koji su prostoristanja podsistema.2.6.1Razlog za�sto se prostorni deo Hilbert-ovog prostora stanja jedne �cestice naziva "orbitnim" (za razliku od, naprimer, spinskog, koji �cemo upoznati u odeljku x 6.10) je verovatno istorijski, vezan za orbite elektrona u omota�cuatoma.

58 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKE2.6.3 Matemati�cki podsetnik | direktni proizvod Hilbert-ovih prostoraSad �cemo ukratko podsetiti na osnovne ideje direktnog proizvoda Hilbert-ovih prostora.Neka su H1;H2; : : : ;Hn i H n + 1 zadatih Hilbert-ovih prostora takvih da je dimenzija odH proizvod dimenzija svih prethodnih prostora. Ka�ze se da je H direktni proizvod prostoraH1; :::;Hn i pi�se se H = H1 H2 � � � Hn (2.6.3)ako je zadato jedno preslikavanje skupovnog proizvoda H1�H2�� � ��Hn (tj. skupa svih n-torkifj 1 i; j 2 i; : : : ; j n ig; j i i 2 Hi; i = 1; 2; : : : ; n) u H tako da zadovoljava tri ni�ze navedenazahteva. Likovi ovog preslikavanja pi�su se u viduj 1 i j 2 i � � � j n i (2.6.4)ili skra�ceno kao j 1 i j 2 i � � � j n i ili �cak kao j 1; 2; : : : ; n i, a nazivaju se nekorelisanimvektorima prostora H.Zahtevi na preslikavanje formuli�su se pomo�cu nekorelisanih vektora i glase.I) linearnost po svakom faktoru:( J1Xj1=1 bj1 j j1 i) ( J2Xj2=1 bj2 j j2 i) � � � ( JnXjn=1 bjn j jn i) =J1Xj1=1 J2Xj2=1 � � � JnXjn=1 bj1bj2 � � � bjn j j1 i j j2 i � � � j jn i; (2.6.5a)II) multiplikativnost skalarnih proizvoda nekorelisanih vektora:(j 1 i j 2 i � � � j n i; j '1 i j '2 i � � � j 'n i) = h 1 j '1ih 2 j '2i � � � h n j 'ni; (2.6.5b)8 j 1 i; j '1 i 2 H1; : : :8 j n i; j 'n i 2 Hn(skalarni proizvod na LS-i od (2.6.5b) de�nisan je u H; a skalarni proizvod na DS-i dati suu H1, odnosno u H2, ... odnosno u Hn);III) nekorelisani vektori obrazuju ceo H; drugim re�cima, vektor iz H je u najop�stijem slu�cajulimes linearnih kombinacija nekorelisanih vektora, tj. vidaj i = limK!1 KXk=1 bk j (k)1 i � � � j (k)n i: (2.6.5c)Ako se vektor iz H ne mo�ze napisati u vidu (2.6.4) (ve�c samo u vidu (2.6.5c), eventualno bezlimesa), ka�ze se da je korelisan (razlog �cemo videti u x 4.4). Hilbert-ovi prostori Hi i = 1; 2; ::; nu (2.6.3) nazivaju se faktor prostorima, a H se naziva kompozitnim prostorom.Ako je bar jedan od vektora koji se pojavljuju kao faktori u (2.6.4) nulti vektor, onda je i ceoproizvod nulti vektor u H, kao �sto odmah sledi iz zahteva linearnosti. Ako su svi faktori nenulti

2.6. IZGRADNJA PROSTORA STANJA ZA JEDNU I VI�SE REALNIH �CESTICA 59vektori i tenzorski proizvod je nenulti vektor. Ovo se lako vidi razvijanjem svakog vektora ponekom bazisu (videti slede�ci pasus).Neka su fj ki i j 8kig proizvoljni bazisi u faktor prostorima Hi i = 1; 2; :::; n. Onda kaoposledica zahteva II) i III), skup nekorelisanih vektora fj k1 i � � � j kn i j 8ki; i = 1; :::; ng je bazisu H. Ka�ze se da pomenuti bazisi u Hi indukuju ovaj bazis u H ili da se (direktnim proizvodom)mno�ze u njega.Pretpostavimo da su Ai i = 1; :::; n proizvoljni operatori u faktor prostorima Hi (svi sulinearni ili svi su antilinearni). Takozvani direktni proizvod ovih operatora A1 A2 � � � An pode�niciji na slede�ci na�cin deluje na nekorelisane vektore:(A1 A2 � � � An)(j 1 i j 2 i � � � j n i) = (A1 j 1 i) � � � (An j n i); (2.6.6)a korelisani vektori u H se prvo razvijaju po nekorelisanima, a onda operator A1 A2 � � � Andeluje na pojedine sabirke.Neka je A1 operator u faktor prostoru H1. On se prenosi u kompozitni prostor H tako �stopostaje operator A1 I2 � � � In, gde su Ii identi�cni operatori u Hi, i = 2; 3; :::; n. Uobi�cajenoje da se radi jednostavnosti i dalje pi�se samo A1, a po kontekstu se vidi da li deluje u H1 ili uH. Analogno va�zi za preno�senje operatora iz ostalih faktor prostora u kompozitni prostor.O�cigledno, bilo koji preneseni operator iz jednog faktor prostora komutira sa bilo kojim pre-nesenim operatorom iz bilo kog drugog faktor prostora, jer deluju na razli�cite faktore u (2.6.4),kao �sto se vidi iz (2.6.6).Kompozitni prostor nije uvek unapred zadat. On se mo�ze odrediti na primer tako �sto se �ksirau faktor prostorima po jedan bazis fj ki i j 8ki; i = 1; :::; ng, a H �ce biti po de�niciji Hilbert-ovprostor koji obrazuje indukovani bazis fj k1 i � � � j kn i j 8ki; i = 1; :::; ng. Reizbor bazisa ufaktor prostorima daje prostor izomorfan sa H, tj. odredivanje je jednozna�cno s ta�cno�s�cu doizomor�zma.2.6.4 Odredivanje orbitnog prostora stanja HoVratimo se sada, naoru�zani pogodnim matemati�ckim aparatom, na�sem zadatku da odredimoHo.U prethodnom odeljku odredili smo prostor Hx polaze�ci od osnovnog skupa opservabli x; px.Potpuno analogno odredujemo Hy na osnovu y; py i Hz na osnovu z; pz. Orbitni prostor stanja�cestice Ho onda de�ni�semo kao direktni proizvod prostora:Ho = Hx Hy Hz : (2.6.7)Operatori x; px; y; py; z; pz deluju u faktor prostorima Hx odnosno Hy odnosno Hz i jednakost(2.6.7) ne bi bila konzistentna da nismo kvantizacijom klasi�cnih varijabli r; p dobili potrebnokomutiranje (uporediti pretposlednji pasus u x 2.6.2).U orbitnom prostoru Ho potpuni skup kompatibilnih opservabli r def= fx; y; zg ima zajedni�ckeuop�stene svojstvene vektore vida j r i def= j x i j y i j z i: (2.6.8)Drugim re�cima, svojstveni bazis od x u Hx, svojstveni bazis od y u Hy i svojstveni bazis od z uHz, indukuju zajedni�cki svojstveni bazis od x; y; z u Ho:fj x i j y i j z i j �1 < q <1; q = x; y; zg def= fj r i j 8rg: (2.6.9)

60 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKEDa podsetimo i na to da po na�soj konvenciji (2.5.16) j r = 0 i ima proizvoljno �ksirani faznifaktor, a svi ostali uop�steni vektori bazisa (2.6.9) su onda jednozna�cno de�nisani pomo�cuj r i = Ux(x) Uy(y) Uz(z) j r = 0 i = e� {~ r�p j r = 0 i: (2.6.10)(Treba zapaziti da su x; y; z realni brojevi, osim u indeksu operatora U , gde imaju simboli�cnozna�cenje i ukazuju na to u kom faktor prostoru Hq, q = x; y; z, deluje operator U .)2.6.5 Delovanje osnovnog skupa opservabli u HoElementi prostora Ho su one kontinualne (tj. integralom izra�zene) linearne kombinacijej i = Z 1�1 Z 1�1 Z 1�1 (r) j r i dr (2.6.11a)za koje va�zi Z 1�1 Z 1�1 Z 1�1 j (r)j2 dr <1: (2.6.11b)Delovanje operatora iz osnovnog skupa r; p u Ho je slede�ce:x j i = Z 1�1 Z 1�1 Z 1�1 x (r) j r i dr; y j i = Z 1�1 Z 1�1 Z 1�1 y (r) j r i dr; (2.6.12a)z j i = Z 1�1 Z 1�1 Z 1�1 z (r) j r i dr; px j i = Z 1�1 Z 1�1 Z 1�1[�{~ @@x (r)] j r i dr; (2.6.12b)py j i = Z 1�1 Z 1�1 Z 1�1[�{~ @@y (r)] j r i dr; pz j i = Z 1�1 Z 1�1 Z 1�1[�{~ @@z (r)] j r i dr:(2.6.12c)Vektor j i spada u domen od x ako i samo akoZ 1�1 Z 1�1 Z 1�1 x2j (r)j2 dr <1 (2.6.13)i analogno za y i z.Vektor j i spada u domen od px ako i samo ako je odgovaraju�ca funkcija (r) iz (2.6.11a)diferencijabilna po x du�z cele ose iZ 1�1 Z 1�1 Z 1�1 j � {~ @@x (r)j2 dr <1: (2.6.14)Analogno va�zi za py i pz.

2.6. IZGRADNJA PROSTORA STANJA ZA JEDNU I VI�SE REALNIH �CESTICA 612.6.6 Orbitni prostor stanja i razli�cite �cesticeKvantna mehanika ima u stvari samo jedan orbitni prostor stanja Ho za sve �cestice (s ta�cno�s�cudo izomor�zma, zapravo ekvivalentnosti ako imamo u vidu osnovni skup opservabli). Stanjaelektrona, protona, neutrona itd. su vektori u ekvivalentnim prostorima Ho.I u klasi�cnoj �zici je jedan te isti fazni prostor opisivao bilo koju materijalnu ta�cku. Ali tamoi nije bilo potrebe razlikovati materijalne ta�cke, osim po masi.U kvantnoj mehanici moramo �cestice da razlikujemo po mnogim neklasi�cnim unutra�snjimosobinama ("unutra�snjim" u odnosu na prostorno-vremensko stanje). Name�ce se pitanje kako seu kvantnoj mehanici vodi ra�cuna o ovom stanju stvari.Vide�cemo da se razli�citim �cesticama pripisuju razli�citi unutra�snji faktor-prostori stanja, kojiopisuju razli�cite unutra�snje stepene slobode (videti Postulat o unutra�snjim stepenima slobode ux 6.9.6). Tu �ce pre svega do�ci spinski faktor prostor (x 6.10.2), a zatim i drugi faktor prostori.2.6.7 Klasi�cni prostor stanja za vi�se �cesticaProstor stanja sistema od N �cestica u klasi�cnoj mehanici je fazni prostor sistema, tj. skup svihmogu�cih vrednosti varijabli r1;p1; : : : ; rN ;pN (6N varijabli). Za kvantizaciju faznog prostoraopet moramo izra�cunati sve PZ-e (uporediti (2.5.1) i (2.5.2)).Zadatak 2.6.2 Pokazati da je PZ proizvoljne analiti�cke funkcije od ri i pi sa svakom analiti�ckom funkcijom odrj ;pj ako i 6= j jednaka nuli.2.6.8 Kvantno-mehani�cki prostor stanja za vi�se �cesticaH(o)1:::NNakon kvantizacije, opservable r1; p1; :::; rN ; pN �ce da se grupi�su u N klasa tako da svaka opser-vabla iz jedna klase komutira sa svakom opservablom iz svake druge klase, a klase su osnovniskupovi opservabli.Ako sa H(o)n ozna�cimo orbitni Hilbert-ov prostor n-te �cestice, n = 1; 2; :::; N , onda je orbitniprostor stanja H(o)1:::N celog sistema de�nisan kao direktni proizvod:H(o)1:::N def= H(o)1 H(o)2 � � � H(o)N : (2.6.15)Zajedni�cki svojstveni bazis potpunog skupa kompatibilnih opservabli r1; r2; :::; rN u H(o)1:::N glasifj r1; :::; rN i j 8rn; n = 1; :::; Ng; (2.6.16a)gde smo uveli skra�cenu oznaku j r1; :::; rN i def= j r1 i � � � j rN i: (2.6.16b)Drugim re�cima, uop�steni vektori iz skupa (2.6.16a) obrazuju U(H(o)1:::N ). Sam Hilbert-ov prostorH(o)1:::N sastoji se od svih vektoraj i = Z 1�1 Z 1�1 Z 1�1 (r1; : : : ; rN) j r1; : : : ; rN i dr1 � � � drN (2.6.17a)

62 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKEza koje va�zi Z 1�1 Z 1�1 Z 1�1 j (r1; : : : ; rN)j2 dr1 � � � drN <1: (2.6.17b)2.6.9 Delovanje osnovnog skupa opservabli u H(o)1:::NOperatori r1 i p1 deluju na slede�ci na�cin:r1 j i = Z 1�1 Z 1�1 Z 1�1 r1 (r1; : : : ; rN) j r1; : : : ; rN i dr1 � � � drN (2.6.18)p1 j i = Z 1�1 Z 1�1 Z 1�1[�{~ @@r1 (r1; : : : ; rN)] j r1; : : : ; rN i dr1 � � � drN (2.6.19)(treba imati na umu da su (2.6.18) i (2.6.19) sistemi sa po tri jednakosti, skra�ceno napisani).Analogno va�zi za rn; pn, n = 2; 3; :::; N .De�nicije domena opservabli r1; :::; pN u H(o)1:::N mogu se dobiti neposrednim uop�stenjem od-govaraju�cih de�nicija (x 2.6.5) u slu�caju jedne �cestice.2.7 Op�sta teorija reprezentovanjaU ovom odeljku �cemo sistematski izlo�ziti kako se sa apstraktnog prostora stanja prelazi na prostorbrojnih kolona ili na prostor funkcija. Pri ovom tzv. reprezentovanju operatori postaju matrice,a apstraktne operacije se pojavljuju u vidu obi�cnih mno�zenja matrica. Tako apstraktne entitetezamenjujemo sistemima brojeva i posti�zemo konkretnu formu kvantne mehanike sa kojom se lakora�cuna.2.7.1 Ideja reprezentovanjaPoznato je iz linearne algebre da svaki �ksirani bazis u apstraktnom prostoru omogu�cava izo-morfno preslikavanje apstraktnog prostora na prostor brojnih kolona. Pri tome apstraktni vektorii operatori prelaze u, ili kao �sto se to ka�ze, reprezentuju se brojnim kolonama odnosno matri-cama. Isto va�zi i u beskona�cnodimenzionalnom Hilbert-ovom prostoru. Tu je pored bazisa pravihvektora mogu�ce izabrati i bazis uop�stenih vektora.U kvantnoj mehanici se po pravilu polazi od opservabli. Tako se i izbor bazisa u apstraktnomprostoru stanja H vr�si zadavanjem neke kompletne opservable A i uzimanjem njenog svojstvenogbazisa (uz neku konvenciju za �ksiranje faznih faktora svih vektora bazisa u odnosu na otvorenifazni faktor jednog od njih).Kao �sto smo videli u x 2.4.2, jedna kompletna opservabla A mo�ze da se zameni kompletnimskupom kompatibilnih opservabli. Onda se uzima zajedni�cki svojstveni bazis i svaki bazisnivektor se odreduje odgovaraju�cim skupom svojstvenih vrednosti ili skupom kvantnih brojeva.Iako se u realnim problemima kvantne mehanike po pravilu pojavljuju kompletni skupoviopservabli, radi jednostavnosti mi �cemo u ovom odeljku izlo�ziti op�stu teoriju reprezentovanja tako�sto �cemo pretpostaviti da imamo jednu kompletnu opservablu A i da ona, preko svog svojstvenog

2.7. OP�STA TEORIJA REPREZENTOVANJA 63bazisa, de�ni�se reprezentaciju. Zva�cemo to A-reprezentacijom. U slu�caju kompletnog skupaopservabli A1; :::; AK govori se o A1; :::; AK-reprezentaciji.Sad smo izlo�zili �sta reprezentovanje zna�ci u formalizmu kvantne mehanike, tj. matemati�ckuideju reprezentovanja. Fizi�cka ideja reprezentovanja je sli�cna �zi�ckoj ideji izbora koordinatnogsistema. I u klasi�cnoj �zici i u kvantnoj mehanici �ksira se jedan koordinatni sistem. U klasi�cnoj�zici to odmah rezultira u brojevima (r def= x; y; z; p def= px; py; pz itd.), ali u kvantnoj mehanici jo�suvek imamo apstraktne vektore j i, u apstraktnom prostoru stanja H. Stoga moramo �ksiratii "koordinatni sistem" u prostoru stanja H | a to je bazis u H | kako bismo najzad do�sli dobrojeva. Opisivanje �zi�ckih sistema mora se u krajnjoj liniji svesti na jezik brojeva! Fiksiranje"koordinatnog sistema" u H je potpuno nezavisno od �ksiranja referentnog sistema u obi�cnomprostoru.2.7.2 Izbor reprezentacijeU (2.3.14) videli smo da se za potrebe kvantne mehanike najop�stija kompletna opservabla A uspektralnoj formi zadaje kao A =Xn an j n ihn j + Z tp j s ishs j ds: (2.7.1)Drugim re�cima, opservabla ima diskretni spektar fan j 8ng i kontinualni spektar [p; t] i obaspektra su prosta, tj. svaka svojstvena vrednost je nedegenerisana.Na sre�cu, za teoriju reprezentovanja u kvantnoj mehanici dovoljni su operatori manje op�stostiod (2.7.1). Ograni�ci�cemo se na kompletne opservable koje imaju ili �cisto diskretan spektar ili�cisto kontinualan spektar. Drugim re�cima, kompletna opservabla A �ce imati ili spektralnu formuA =Xn an j n ihn j (2.7.2)ili formu A = Z tp j s ishs j ds: (2.7.3)Prema tome, svojstveni bazis bi�ce ili vida (sa relacijom ortonormiranosti i relacijom zatvore-nosti): fj n i j 8ng; h n j n0i = Ænn0; Xn j n ihn j= I (2.7.4a,b,c)ako se radi o opservabli A datoj sa (2.7.2); ili �ce pak biti oblika (sa analognim relacijama):fj s i j p � s � tg; h s j s0i = Æ(s� s0); Z tp j s i dshs j= I (2.7.5a,b,c)ako imamo opservablu B zadatu sa (2.7.3) (uporediti (2.3.7) i (2.3.9a)).Napomenimo da se kompletnost bazisa sastoji u tome da se svaki vektor j i 2 H mo�zerazviti po doti�cnom bazisu. U slu�caju diskretnog bazisa imamo:j i = I j i =Xn j n ih n j i =Xn n j n i; (2.7.6)

64 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKEa u slu�caju kontinualnog bazisa umesto toga imamo:j i = I j i = Z tp j s i dsh s j i = Z tp (s) j s i ds: (2.7.7)Koe�cijenti razvoja2.7.1 (ili Fourier-ovi koe�cijenti) su n def= h n j i odnosno (s) def= h s j i.Radi konciznosti, u ovom odeljku �cemo diskretni slu�caj nazivati D-reprezentacijom, a konti-nualni K-reprezentacijom.Obele�zimo sa j i, C i Da proizvoljan vektor, proizvoljan (hermitski ili unitarni) linearnioperator odnosno proizvoljan (unitarni) antilinearni2.7.2 operator2.7.3 u H. Postavlja se pitanjekako �cemo dobiti njihove D- i K-reprezentente. Odgovor �cemo dati u slede�ca dva paragrafa.2.7.3 Formule diskretne reprezentacijeKada je �ksiran bazis (2.7.4a) u H, onda je time de�nisan jedan izomor�zam J apstraktnogprostora H na prostor brojnih kolona. Ovaj izomor�zam zadaje se slede�cim preslikavanjem:8 j i 2 H : J j i = ( n) ; n = h n j i ; (2.7.8a,b)gde smo sa ( n) obele�zili kolonu brojeva n; n = 1; 2; :::Zadatak 2.7.1 Dokazati da je preslikavanje (2.7.8) izomor�zam.Prostor prebrojivo beskona�cnih brojnih kolona se obele�zava simbolom `2. Skalarni proizvod,koji je isti broj u H i u `2, mo�zemo izra�cunati kako glasi u `2 polaze�ci od H: h j 'i = h jI j ' i =Pnh j nih n j 'i =Pn �n'n (naravno, samo poslednji izraz se odnosi na `2).O�cigledno, kvadrat norme brojne kolone ( n) 2 `2 glasiPn j nj2, i usled h j i <1 imamoPn j nj2 <1. Tako smo dobili de�niciju prostora `2: to je prostor svih kompleksnih prebrojivobeskona�cnih brojnih kolona sa kona�cnom normom: Pn j nj2 <1.Ako je apstraktni prostor kona�cno dimenzionalan, te u reprezentaciji imamo kolone od kona�cnomnogo brojeva, onda �cemo ovaj prostor obele�zavati sa C N (N je dimenzija). U ovom slu�cajunorma je, naravno, uvek kona�cna.2.7.1Sa j n i ili n obele�zavali smo i vektore stanja. U kontekstu reprezentovanja u bazisu, simbolima n, 'nitd. ozna�cava�cemo koe�cijente razvoja vektora j i, j ' i itd. u datom bazisu fj n i j 8ng. O�cekuje se da �citalacasimilira pojmove a ne puke oznake, za �sta je preduslov da se na kontekst uvek obra�ca pa�znja. Sli�can je slu�cajsa N , na primer, kojim smo ozna�cavali dimenziju prostora, broj �cestica u sistemu i broj sistema u kvantnomansamblu. Medutim, sve se to jasno razlikuje po kontekstu.2.7.2Od linearnih operatora u kvantnoj mehanici �zi�cki smisao imaju pored hermitskih samo unitarni, kojima seizra�zavaju transformacije simetrije kao �sto �cemo videti u x 5.2. Od antilinearnih operatora Da (indeks podse�cana antilinearnost) koristi�cemo se samo antiunitarnim (tj. antilinearnim unitarnim) operatorima i to �ce isklju�civobiti operator vremenske inverzije ili proizvod ovog operatora sa operatorom neke druge transformacije simetrije(uporediti x 5.2 i x 8.2).2.7.3Unitarni (linearni i antilinearni) operatori su svugde de�nisani kako uH tako i u U(H). Ali hermitski operatorC mo�ze da ne bude svugde de�nisan (ni u H ni u U(H)) kada je spektar od C neograni�cen. Onda da bismo moglida reprezentujemo C u bazisima (2.7.4a) i (2.7.5a), moramo eksplicitno zahtevati da ovi bazisi pripadaju domenuoperatora C (u H odnosno u U(H)).

2.7. OP�STA TEORIJA REPREZENTOVANJA 65Izomor�zam (2.7.8) daje D-reprezentaciju. Svrha reprezentovanja je da sa apstraktnih opera-tora C, Da mo�zemo pre�ci na matrice, a da one ekvivalentno deluju na brojne kolone kao pomenutioperatori na apstraktne vektore.Neka je dato delovanje operatora C u H:C j i =j ' i: (2.7.9)Pomno�zimo ovu jednakost skalarno sa hn j iz bazisa (2.7.4a) (zbog (2.7.8b) to �cemo zvati uzima-njem n-reprezententa) i stavimo C = CI. Onda �cemo na osnovu (2.7.4c) dobiti:Xn0 hn j C j n0 ih n0 j i = h n j 'i; (2.7.10a)(ovde n0 prelazi isti skup vrednosti kao n), ili u skra�cenoj notaciji:Xn0 Cnn0 n0 = 'n; (2.7.10b)gde su Cnn0 def= hn j C j n0 i. Ako sa (Cnn0) ozna�cimo matricu �ciji su matri�cni elementi Cnn0, onda(2.7.10b) mo�zemo da prepi�semo i u matri�cnom vidu:(Cnn0)( n) = ('n): (2.7.10c)Zadatak 2.7.2 Dokazati da va�zi relacija ekvivalentnosti po izomor�zmu J , zadatim sa (2.7.8b):(Cnn0) = J CJ �1: (2.7.11)Dakle, (2.7.10c) je matri�cna reprezentacija od (2.7.9). Treba zapaziti da je samo "delovanje"operatora C u (2.7.9) pre�slo u obi�cno matri�cno mno�zenje u (2.7.10c).Analogno, za antilinearni operator polazimo odDa j i =j ' i (2.7.12)u H i uzimanjem n-reprezententa i koriste�ci se zatvoreno�s�cu bazisa, dolazimo doXn0 hn j fDa[j n0 ih n0 j i]g =Xn0 hn j Da j n0 ih n0 j i� = h n j 'i; (2.7.13a)ili Xn0 Dnn0 �n0 = 'n; (2.7.13b)gde su Dnn0 def= hn j Da j n0 i, tj. (Dnn0)K( n) = ('n); (2.7.13c)gde je K operacija kompleksne konjugacije (svih brojeva u brojnoj koloni na koju deluje).Zadatak 2.7.3 Objasniti odakle poti�ce kompleksna konjugacija u (2.7.13a).

66 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKEZadatak 2.7.4 Dokazati da va�zi (Dnn0)K = J DaJ �1: (2.7.14)Dokazali smo slede�ci teorem:Teorem 2.7.1 U diskretnoj, D-reprezentaciji proizvoljan hermitski ili unitarni linearni operatorC i proizvoljan antilinearni unitarni operator Da u apstraktnom Hilbert-ovom prostoru stanjaH predstavljeni su matricom (Cnn0) odnosno tzv. antilinearnom matricom (Dnn0)K, pri �cemumatri�cni elementi glase: Cnn0 def= hn j C j n0 i ; Dnn0 def= hn j Da j n0 i : (2.7.15a,b)Delovanje pomenutih matri�cnih reprezentenata izra�zava se formulom (2.7.10b) odnosno (2.7.13b).Matrica (Dnn0) naziva se matri�cnim faktorom antilinearne matrice (Dnn0)K.Zadatak 2.7.5 Pokazati da je hermitski operator C reprezentovan hermitskom matricom (Cnn0), a unitarnioperator C da je predstavljen unitarnom matricom (Cnn0).Zadatak 2.7.6 Pokazati da matrica (Dnn0) koja predstavlja opservablu D (zadatu sa (2.7.2)) u njenoj sopstvenojreprezentaciji je dijagonalna sa svojstvenim vrednostima na dijagonali:Dnn0 = dnÆnn0 : (2.7.16)Zbog (2.7.16) termin "D-reprezentacija" se �cesto zamenjuje i re�cima: reprezentacija u kojojje opservabla D dijagonalna.2.7.4 Formule kontinualne reprezentacijeU K-reprezentaciji imamo izomor�zam J 0 analogno diskretnom slu�caju:8 j i 2 H : J 0 j i = (s) ; (s) = h s j i ; (2.7.17a)koji preslikava apstraktni prostor H na prostor L2([p; t]) po modulu kvadratno integrabilnihfunkcija (s), tj. funkcija koje zadovoljavaju R tp j (s)j2 ds < 1 (uporediti (2.3.2)). L2([p; t]) jeanalogon prostora brojnih kolona `2.Delovanje proizvoljnog linearnog operatora C uH: C j i =j'i u L2([p; t]) postaje (analognokao u slu�caju diskretne reprezentacije):hs j C j i = h s j 'i ) R tp hs j C j s0 i ds0h s0 j i = h s j 'i ) R tp C(s; s0) (s0) ds0 = '(s) :(2.7.18)gde je tzv. kernel integralnog operatora C(s; s0) po de�nicijiC(s; s0) def= hs j C j s0 i (2.7.19)i on reprezentuje apstraktni operator C u prostoru L2([p; t]).

2.7. OP�STA TEORIJA REPREZENTOVANJA 67Na analogan na�cin, apstraktna jednakost Da j i =j ' i postajeZ tp D(s; s0) �(s0) ds0 = '(s); (2.7.20)gde je kernel integralnog operatora dat formulomD(s; s0) def= hs j Da j s0 i (2.7.21)Da rezimiramo:Teorem 2.7.2 U neprekidnoj K-reprezentaciji proizvoljan apstraktni linearni operator C i pro-izvoljan apstraktni antilinearni operator Da reprezentuju se kernelom integralnog operatora, kojije funkcija dve promenljive i zadaje se sa (2.7.19) odnosno sa (2.7.21), a �cije je delovanje uL2([p; t]) dato jednako�s�cu (2.7.18) odnosno (2.7.20).�Sto se ti�ce skalarnog proizvoda i norme vektora u L2([p; t]) imamo opet analogiju sa `2 (samo�sto se red zamenjuje integralom):h j 'i = h j I j ' i = Z tp h j si dsh s j 'i = Z tp �(s)'(s) ds; (2.7.22)h j i = Z tp k (s)k2 ds: (2.7.23)Mo�zda nije suvi�sno napomenuti da je samo postojanje fazne konvencije (bez obzira na njenoblik) koja za ceo svojstveni bazis (opservable K ili D) ostavlja samo jedan fazni faktor proizvo-ljan, neophodno da bi reprezentacija zavisila samo od opservable (K ili D).2.7.5 Srednje vrednosti u reprezentacijiOsnovni na�cin kako u kvantnoj mehanici dolazimo do brojeva sastoji se u uzimanju tzv. matri�cnihelemenata hermitskih operatora: ako su j i i j ' i dva vektora stanja a C opservabla, onda jeh j C j ' i matri�cni element. Najva�zniji matri�cni element je o�cekivana vrednost h j C j i.Postavlja se pitanje kako se ovi brojevi izra�cunavaju u diskretnoj D-reprezentaciji i u kontinualnojK-reprezentaciji.Da bismo iz apstraktnog prostoraH pre�sli u prostor brojnih kolona `2 ili C N D-reprezentacije,opet �cemo se poslu�ziti zatvoreno�s�cu bazisa (2.7.4c):h j C j ' i = h j ICI j ' i =Xnn0 h j nihn j C j n0 ih n0 j 'i =Xnn0 �nCnn0'n0: (2.7.24)Obratiti pa�znju na to da u (2.7.24) brojna kolona (Pn0 Cnn0'n0) je D-reprezentent vektora C j'i,a dobija se mno�zenjem N � N matrice (Cnn0) sa N �1 matricom ('n), gde je N dimenzija od H(N = @0 u `2). Slede�ci korak u (2.7.24) je izra�cunavanje skalarnog proizvoda u `2 ili u C N . Naime,h j �i (u na�sem slu�caju j � i = C j i) se u ovom prostoru dobija mno�zenjem 1� N matrice( n)y sa N � 1 matricom (�n) : Pn �n�n. Adjungovanje, koje se sastoji od transponovanja i

68 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKEkompleksnog konjugovanja, pretvara brojnu kolonu u brojnu vrstu sa konjugovanim matri�cnimelementima.Srednja vrednost opservable C u stanju j i u D-reprezentaciji glasih j C j i =Xnn0 �nCnn0 n0 ; (2.7.25)kao �sto odmah sledi iz (2.7.24).U specijalnom slu�caju C = D, imamo Cnn0 = Dnn0 = Ænn0dn ih j D j i =Xn dnj nj2: (2.7.26)Po�sto je j nj2 = h j nih n j i, j nj2 = v(dn; D; ) def= v(dn) (uporediti (2.1.8),(2.1.9)) u(2.7.26) prepoznajemo op�stu statisti�cku preskripciju za izra�cunavanje srednje vrednosti: usred-njeni zbir pojedinih mogu�cih mernih rezultata, pri �cemu su verovatno�ce v(dn) statisti�cke te�zineusrednjavanja (uporediti (1.4.6b)).Analogno, pomo�cu uslova kompletnosti (2.7.5c) u neprekidnoj K-reprezentaciji dobijamoslede�ce formule: h j C j ' i = Z tp Z tp �(s)C(s; s0)'(s0) ds ds0; (2.7.27)za o�cekivanu vrednost od C u j i:h j C j i = Z tp Z tp �(s)C(s; s0) (s0) ds ds0; (2.7.28)najzad, za srednju vrednost od K u sopstvenoj reprezentaciji:h j K j i = Z tp sj (s)j2 ds: (2.7.29)Treba zapaziti da smo do�sli do (2.7.29) zamenom C(s; s0) = K(s; s0) = sÆ(s� s0) u (2.7.28),a Dirac-ova delta funkcija Æ(s� s0) dajeZ tp s �(s)Æ(s� s0) (s0) ds0 = sj (s)j2;jer po de�niciji (to je distribucija koja) izbacuje podintegralnu funkciju (po s0) sa �ksiranomvredno�s�cu s0 = s.2.7.6 Svojstveni problem u reprezentacijiOsnovni ra�cunski problem koji se re�sava u kvantnoj mehanici je svojstveni problem neke opser-vable C. Postavlja se pitanje kako se to formuli�se u D- i K-reprezentaciji.Projektovanje odgovaraju�ce komponente i relacija zatvorenosti daju u D-reprezentaciji:C j'(k)i = ck j'(k)i )Xn0 hn j C jn0ih n0 j '(k)i = ckh n j '(k)i )Xn0 Cnn0'(k)n0 = ck'(k)n (2.7.30)

2.7. OP�STA TEORIJA REPREZENTOVANJA 69(ovde je n �ksirani, a n0 nemi kvantni broj D-reprezentacije; k je kvantni broj opservable C).Analogno, isti svojstveni problem u K-reprezentaciji glasiZ tp C(s; s0)'(k)(s0) ds0 = ck'(k)(s): (2.7.31)2.7.7 Transformaciona teorija diskretnih reprezentacijaName�ce se slede�ce pitanje. Po�sto se sa istog apstraktnog prostora stanja H mo�ze pre�ci natoliko reprezentacija koliko ima bazisa u H, da li postoji prosta preskripcija kako pre�ci sa jednereprezentacije na drugu (bez prola�zenja kroz H).Pretpostavimo da pored D imamo jo�s jednu opservablu D0 takode sa �ccisto diskretnim iprostim spektrom. �Zelimo pre�ci sa D-reprezentacije na D0-reprezentaciju.Svojstvene vektore j n0 i =j '(n0) i od D0 prebrojava�cemo kvantnim brojem n0 (sada �cemo poprimu prepoznavati opservablu D0 i entitete vezane za nju). Apstraktni vektor j i predstavljenje u D0-reprezentaciji brojnom kolonom ( n0).�Sto se ti�ce predstavnika vektora, mo�zemo pisati n0 = h '(n0) j i =Xn h '(n0) j nih n j i =Xn '(n0)�n n: (2.7.32)Dakle, sa komponenti n u D-reprezentaciji lako �cemo pre�ci na komponente n0 u D0-reprezentaciji ako raspola�zemo svojstvenim vektorima opservable D0 u D-reprezentaciji, tj. akoznamo brojne kolone ('(n0)n ) svih svojstvenih vektora j '(n0) i od D0.Zadatak 2.7.7 Mo�ze li se (2.7.32) izvesti u drugom obliku?Matri�cni predstavnik linearnog operatora C se transformi�se na slede�ci na�cin:Cm0n0 def= h'(m0) j C j '(n0) i =Pm;nh '(m0) j mihm j C j n ih n j '(n0)i. Prema tome,Cm0n0 =Xm;n '(m0)�m Cmn'(n0)n (2.7.33)(ovde su m0 i n0 �ksirane vrednosti kvantnog broja za D0, a m i n su nemi kvantni brojevi za D).Opet su nam potrebne samo brojne kolone ('(n0)n ) svih svojstvenih vektora j '(n0) i.Zadatak 2.7.8 Izvesti (2.7.33) pomo�cu svojstvenih vektora opservable D u D0-reprezentaciji.�Sto se ti�ce antilinearnih operatora Da, imamoDm0n0 def= h'(m0) j Da j '(n0) i =Xm;n '(m0)�m Dmn'(n0)�n (2.7.34)(Da, po�sto je antilinearan, konjuguje sve brojeve koji stoje desno od njega!).Dakle, formula (2.7.34) zadaje preskripciju kojom se sa matri�cnih elemenata matri�cnog fak-tora antilinearne matrice (Dm0n0)K (koja predstavlja Da u D-reprezentaciji) prelazi na ma-tri�cne elemente matri�cnog faktora antilinearne matrice (Dm0n0K) (koja reprezentuje Da u D0-reprezentaciji).

70 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKETreba zapaziti da je operacija kompleksne konjugacije K jedna jedinstvena ne samo za sveantilinearne operatore Da u jednoj reprezentaciji, nego i za sve reprezentacije.Pa�zljivi �citalac je, bez sumnje, zapazio da pri prelasku sa jedne poznate D-reprezentacije nadrugu nepoznatu D0-reprezentaciju uvek polazimo od nepoznatih veli�cina ( n0 u (2.7.32), Cm0n0u (2.7.33) ili Dm0n0 u (2.7.34)), pa ih onda, ubacivanjem razlaganja jedinice po bazisu poznateD-reprezentacije, tj. I = Pn j n ihn j, svodimo na poznate veli�cine. (Nikako ne treba po�ci odpoznatih veli�cina i zalutati...)Formule prera�cunavanja reprezentenata od j i, C i Da iz jedne u drugu reprezentaciju,zajedno sa videnjem tih formula iz apstraktnog prostora H, naziva se transformacionom teorijomkvantne mehanike.2.7.8 Veza sa matematikomUspostavimo sad vezu izmedu transformacione teorije kvantne mehanike i formula transformacijakoje su standardne u linearnoj algebri i u teoriji Hilbert-ovih prostora. U�cini�cemo to prekozadataka koje �citalac treba sam da re�si.Zadatak 2.7.9 Neka je matrica S def= (Sn0n) matrica razvijanja novog bazisa fj '(n0) i j 8n0g po vektorima starogbazisa fj n i j 8ng, tj. j '(n0) i =Xn Sn0n j n i; 8n0: (2.7.35)Pokazati da, uz oznake CD0 def= (Cm0n0), CD def= (Cmn), transformaciona relacija (2.7.33) mo�ze da se prepi�se uvidu matri�cne relacije: CD0 = S�1TCD(S�1T )�1 (2.7.36)("T" ozna�cava transponovanje), tj., kao �sto se ka�ze, reprezentent CD transformacijom sli�cnosti sa matricomkontragredijentnom od S (to je S�1T ) prelazi u reprezentent CD0 .Zadatak 2.7.10 Pokazati da za antilinearni operator Da matri�cna transformacija kojom se prelazi sa matri�cnogfaktora DD def= (Dmn) na matri�cni faktor DD def= (Dm0n0) glasi:DD0 = S�1TDD(S�1T )T : (2.7.37)Matri�cni faktor DD antilinearne matrice DDK prelazi u matri�cni faktor DD0 antilinearnematrice DD0K tzv. transformacijom kongruencije matricom S�1T .2.7.9 Transformaciona teorija sa kontinualnom reprezen-tacijom�Citalac �ce se, verovatno, bez te�sko�ca mo�ci ubediti da pri prelasku sa diskretne D-reprezentacijena neprekidnu K-reprezentaciju imamo slede�ce formule: (s) =Xn '(s)�n n; (2.7.38a)C(s; s0) =Xm;n '(s)�m Cmn'(s0)n ; (2.7.38b)

2.8. KOORDINATNA REPREZENTACIJA 71D(s; s0) =Xm;n '(s)�m Dmn'(s0)�n ; (2.7.38c)gde je ('(s)n ) brojna kolona koja u D-reprezentaciji predstavlja uop�steni svojstveni vektor j '(s) iod K koji odgovara svojstvenoj vrednosti s.Pri obratnom prelasku sa kontinualne K-reprezentacije na diskretnu D-reprezentaciju trans-formacione formule glase (uz oznaku j �(n) i def= j n i): n = Z tp �(n)�(s) (s) ds; (2.7.39a)Cmn = Z tp Z tp �(m)�(s)C(s; s0)�(n)(s0) ds ds0; (2.7.39b)Dmn = Z tp Z tp �(m)�(s)D(s; s0)�(n)�(s0) ds ds0: (2.7.39c)Neka je K 0 druga opservabla sa �cisto kontinualnim i prostim spektrom (znakom 0 �cemo ra-zlikovati sve entitete vezane za K 0 od entiteta koji su u vezi sa K). Sa K-reprezentacije naK 0-reprezentaciju prelazi se formulama (obele�zavaju�ci j '(s0) i def= j s0 i): (s0) = Z tp �(n)�(s) (s) ds; (2.7.40a)C(s01; s02) = Z tp Z tp '(s01)�(s1)C(s1; s2)'(s02)(s2) ds1 ds2; (2.7.40b)D(s01; s02) = Z tp Z tp '(s01)�(s1)C(s1; s2)'(s02)�(s2) ds1 ds2: (2.7.40c)2.8 Koordinatna reprezentacijaU ovom odeljku �cemo ukratko izlo�ziti kako rezultati op�ste teorije reprezentovanja poprimajukonkretnu formu u specijalnom slu�caju najva�znije, tzv. koordinatne reprezentacije. Po�ci �cemood jednodimenzionalne �cestice, pa �cemo opet kraticom direktnog proizvoda (ovog puta prostorafunkcija) sti�ci do realne, trodimenzonalne �cestice i do sistema od N �cestica.2.8.1 Koordinatna reprezentacija 1D �cesticeSada �cemo primeniti op�stu teoriju kontinualne K-reprezentacije iz prethodnog odeljka na slu�caj:K def= x u Hx: (2.8.1)Ova reprezentacija se naziva koordinatnom reprezentacijom u Hx. Teku�cu svojstvenu vrednost siz op�ste teorije pisa�cemo sad kao x.

72 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKEIz jednakosti (2.5.19a), koja glasi j i = R1�1 (x0) j x0 i dx0, sledih x j i = Z 1�1 (x0)h x j x0i dx0 = Z 1�1 (x0)Æ(x� x0) dx0 = (x); (2.8.2)(notacija je ve�c bila prilagodena op�stem ozna�cavanju (s) def= h s j i).Dakle, sada sa Hx prelazimo na prostor svih po modulu kvadratno integrabilnih funkcija (x)(uporediti (2.5.19b)), koji se obele�zava sa L2(x) (skra�ceno od L2(�1 < x <1)).Kompleksna funkcija (x) naziva se i amplitudom verovatno�ce, jer po Postulatu o verovatno�ciza slu�caj kontinualnog spektra, �(x) = j (x)j2 = h j xih x j i je gustina verovatno�ce nala�zenja�cestice u in�nitezimalnom intervalu oko ta�cke x (uporediti ispod (2.3.18)).Skalarni proizvod u L2(x) glasi:h j 'i = Z 1�1h j xi dxh x j 'i = Z 1�1 �(x)'(x) dx: (2.8.3)Proizvoljnu opservablu C u Hx u koordinatnoj reprezentaciji predstavlja kernel integralnogoperatora C(x; x0) def= hx j C j x0 i (2.8.4)(uporediti (2.7.19)). Postavlja se pitanje da li se opservable x, px, koje �cine osnovni skup u H,mogu reprezentovati nekim konkretnijim i jednostavnijim izrazom nego �sto je (2.8.4).2.8.2 Koordinata i impuls u koordinatnoj reprezentacijiTeorem 2.8.1 Operator x iz Hx se u prostoru L2(x) koordinatne reprezentacije predstavlja mul-tiplikativnim operatorom: x j i ! x (x) ; (2.8.5)a domen �cine sve funkcije (x) 2 L2(x) za koje va�ziZ 1�1 jx (x)j2 dx <1: (2.8.6)Treba uo�citi da se u (2.8.5) mno�zi brojem, ali ne konstantnim, ve�c uvek jednakim vrednostiargumenta od (x).Dokaz: Za C = x formula (2.8.4) daje C(x; x0) = xÆ(x� x0), tako da se delovanje kernela integralnog operatorasvodi na: R1�1 C(x; x0) (x0) dx0 = x (x). De�nicija domena odmah sledi iz (2.5.20b). Q. E. D.Teorem 2.8.2 Operator px iz Hx se u koordinatnoj reprezentaciji predstavlja diferencijalnimoperatorom: px j i ! �{~ ddx (x) ; (2.8.7)a domen se sastoji od svih na celoj realnoj osi diferencijabilnih funkcija (x) 2 L2(x) za kojeva�zi Z 1�1 j � {~ ddx (x)j2 dx <1: (2.8.8)

2.8. KOORDINATNA REPREZENTACIJA 73Dokaz: Za C = px treba da izra�cunamo C(x; x0) = hx j p j x0 i. Po�ci �cemo od delovanja px u Hx (datogu (2.5.24a)): px j i = R1�1(�{~ ddx0 (x0)) j x0 i dx0. Mno�ze�ci sleva skalarno sa hx j i koriste�ci se relacijomzatvorenosti R1�1 j x i dxhx j= I na LS-i, dolazimo do jednakostiZ 1�1hx j px j x0 ih x0 j i dx0 = Z 1�1(�{~ ddx0 (x0))Æ(x � x0) dx0 (2.8.9)(obratiti pa�znju na �cinjenicu da je izraz u zagradi funkcija od x0, a za �ksirano x0 je broj), �sto se svodi naZ 1�1hx j px j x0 i (x0) dx0 = �{~ ddx (x): (2.8.10)De�nicija domena neposredno sledi iz (2.5.24b). Q. E. D.2.8.3 Talasna mehanikaIz istorijskih razloga vektor stanja u koordinatnoj reprezentaciji, tj. (x) 2 L2(x), naziva se italasnom funkcijom �cestice. Kao i u svakoj drugoj reprezentaciji, i u koordinatnoj mo�ze se datisav kvantno-mehani�cki opis �cestice, tj. apstraktni prostor stanja Hx nije uop�ste va�zan. Kvantnamehanika formulisana u koordinatnoj reprezentaciji naziva se talasnom mehanikom.Istorijski se talasna mehanika (vezana za ime Erwina Schr�odinger-a) pojavila pre Dirac-oveapstraktne ili invarijantne kvantne mehanike (misli se na "invarijantnost" u odnosu na izborreprezentacije). U na�sem deduktivnom izlaganju kvantne mehanike po�sli smo od apstraktnogprostora stanja. Mada je teorija ovako u prvi mah malo te�ze intuitivno prihvatljiva, ona imaprednost �sto se u njoj lako sagledava �cinjenica da sve reprezentacije daju iste rezultate (tj.brojeve) i ekvivalentne forme teorije.Kao �sto smo istakli u x 2.7.1, uloga izbora reprezentacije analogna je ulozi izbora koordinatnogsistema u obi�cnom prostor-vremenu. U stvari, u kvantnoj mehanici, kao i u klasi�cnoj mehanici,�ksiramo jedan koordinatni sistem u prostor-vremenu, ali osim toga i nezavisno od toga mo�zemoda �ksiramo i jedan bazis u prostoru stanja (kao svojstveni bazis opservable koja de�ni�se repre-zentaciju). Vredno je zapaziti da, dok je �ksiranje bazisa u prostor-vremenu nu�zno, izbor bazisau prostoru stanja nije uvek neophodan (kao �sto smo videli od x 2.1 do x 2.6).2.8.4 Trodimenzionalna �cesticaKao �sto smo u paragra�ma x 2.8.1 i x 2.8.2 razradili koordinatnu reprezentaciju za jednodimenzi-onalnu �cesticu, analogno tome bismo mogli da razradimo i koordinatnu reprezentaciju za realnutrodimenzionalnu �cesticu u Ho. Po de�niciji, ovde bismo opservablu K iz op�ste teorije moralizameniti sa kompletnim skupom kompatibilnih opservabli: fx; y; zg def= r. Zbog toga koordinatnureprezentaciju realne �cestice nazivamo i radijus-vektorskom reprezentacijom.Zajedni�cki svojstveni bazis vektorske opservable r u Ho, kao �sto znamo, glasi:fj r i j �1 < q <1; q = x; y; zg; j r i def= e� {~rp j r = 0 i: (2.8.11)Ispostavlja se da je svejedno da li prvo odredimo Ho kao Hx Hy Hz (kao �sto smo uradiliu x 2.6), pa onda predemo na koordinatnu reprezentaciju iz Ho, ili prvo iz svakog od pomenutihfaktor prostora predemo na koordinatnu reprezentaciju L2(x), odnosno L2(y), odnosno L2(z), aonda formiramo direktni proizvod L2(x) L2(y) L2(z) = L2(r).

74 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKE2.8.5 Direktni proizvod talasnih funkcijaDa podsetimo na jedan stav koji se dokazuje u funkcionalnoj analizi i naziva Fubini-jevim teore-mom.Stav 2.8.1 Neka su L2(q); q = x; y; z Hilbert-ovi prostori funkcija (q) kvadratno integrabilnihmodula, a L2(r) Hilbert-ov prostor svih funkcija (r) za koje je R1�1 R1�1 R1�1 j (r)j2 dr < 1.Onda va�zi: L2(r) = L2(x) L2(y) L2(z) (2.8.12)pri �cemu se za svaki izbor (x) 2 L2(x), '(y) 2 L2(y), �(z) 2 L2(z) nekorelisani vektor (x)'(y) �(z) dobija obi�cnim mno�zenjem funkcija, tj. (x) '(y) �(z) def= (x)'(y)�(z): (2.8.13)U pogledu zna�cenja (2.8.12) videti matemati�cki podsetnik u x 2.6.3.2.8.6 Koordinatna reprezentacija za 3D �cesticuNabroja�cemo osnovne rezultate koji se dobijaju pri prelasku na koordinatnu reprezentaciju u Ho.Sa apstraktnih vektora stanja j i 2 Ho prelazimo na talasne funkcije (r) def= h r j i, �cije sevrednosti pojavljuju kao koe�cijenti razvoja j i = R1�1 (r) j r i dr. Tako se na osnovu bazisa(2.8.11) uspostavlja izomor�zam izmedu Ho i L2(r).Talasna funkcija (r) naziva se i amplitudom verovatno�ce, a j (r)j2 = h j rih r j i je gustinaverovatno�ce nala�zenja �cestice oko polo�zaja r, tj. j (r)j2 dr je verovatno�ca da pri simultanommerenju opservabli r dobijemo rezultat iz in�nitezimalnog intervala oko r.Skalarni proizvod u L2(r) glasi;h j 'i = Z 1�1 �(r)'(r) dr: (2.8.14)Vektorska opservabla r uHo reprezentuje se u L2(r) multiplikativnim vektorskim operatorom:r j i ! r (r); (2.8.15)a domen je skup svih (r) 2 L2(r) za koje va�zi R1�1 jq (r)j2 dr <1, q = x; y; z.Vektorska opservabla p u Ho predstavlja se u L2(r) diferencijalnim operatorom:p j i ! �{~ @@r (r); (2.8.16)a domen je skup svih du�z ose q diferencijabilnih funkcija iz L2(r) (tj. R1�1 j � {~ @@q (r)j2 dr <1,q = x; y; z).

2.9. IMPULSNA I ENERGETSKA REPREZENTACIJA 752.8.7 Koordinatna reprezentacija za sistem od N �cesticaU slu�caju sistema od N �cestica, orbitni prostor je H(o)1:::N (kao �sto smo videli u x 2.6.8), a ko-ordinatnu ili radijus-vektorsku reprezentaciju de�ni�se kompletni skup kompatibilnih vektorskihopservabli r1; r2; : : : ; rN ; (2.8.17)�ciji zajedni�cki svojstveni bazis glasi:fj r1; r2; : : : ; rN i j 8r1; r1; : : : ; rNg; (2.8.18a)j r1; r2; : : : ; rN i def= e� {~PNn=1 rn�pn j r1 = 0; : : : ; rN = 0 i: (2.8.18b)Prelazi se na L2(r1; : : : ; rN), Hilbert-ov prostor svih po modulu kvadratno integrabilnih funk-cija (r1; :::; rN). Va�zi L2(r1; r2; : : : ; rN) = L2(r1) � � � L2(rN); (2.8.19)gde se direktno mno�zenje opet realizuje obi�cnim mno�zenjem, kao u gornjem Teoremu Fubinija.Ostale osnovne rezultate �citalac mo�ze sam da ispi�se na osnovu rezultata iz paragrafa x 2.8.6.Zadatak 2.8.1 Reformulisati sve do sada nau�cene Postulate kvantne mehanike u koordinatnoj reprezentaciji.2.9 Impulsna i energetska reprezentacijaOvaj odeljak je posve�cen kratkom izlaganju osnovnih crta impulsne reprezentacije za jednodi-menzionalnu i za trodimenzionalnu �cesticu. De�ni�se se i pojam energetske reprezentacije.2.9.1 Skoro simetri�cna uloga impulsa i koordinatePodimo od jednodimenzionalne �cestice du�z x-ose i obratimo jo�s jedanput pa�znju na osnovni skupopservabli x; px u Hx.Kao �sto je poznato, komutator menja predznak pri uzajamnoj zameni dva operatora u ko-mutatoru. Prema tome, osnovna komutaciona relacija [ x; px ] = {~ mo�ze da se prepi�se kao[ px; x ] = �{~: (2.9.1)Po�sto smo svu teoriju opservable x u Hx izveli samo iz komutacione relacije [ x; px ] = {~,mo�zemo iz (2.9.1) zaklju�citi da px i x igraju potpuno simetri�cne uloge u Hx s ta�cno�s�cu do zamene{ sa �{ gde god se { pojavljuje.Na osnovu ovog zapa�zanja sve �sto smo izveli za koordinatu mo�zemo da prepi�semo za impuls(uz pomenutu zamenu). Zapa�zanje bazira na �cinjenici da smo mogli od po�cetka da uzajamnozamenimo uloge px i x i da podemo od px kao kompletne opservable �ciji kontinualni spektar nijeprazan skup.

76 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKE2.9.2 Impulsna reprezentacija u HxNabroja�cemo osnovne zaklju�cke za impuls u Hx.Operator px je kompletna opservabla u Hx sa celom realnom osom kao svojim �cisto kontinu-alnim i prostim spektrom. Svojstveni bazis za opservablu px, koji se sastoji od samih uop�stenihvektora, glasi: fj px i j �1 < px <1g; j px i def= e {~pxx j px = 0 i (2.9.2a,b)(zamenili smo { sa �{).Impulsnu reprezentaciju u Hx de�ni�se px. Za nju va�zi sve �sto smo izveli za kontinualnu K-reprezentaciju u odeljku x 2.7, s tim �sto s zamenjujemo sa px, a prostor reprezentacije ozna�cavamosa L2(px). Vektor j i 2 Hx se reprezentuje sa (px) def= h px j i, a j (px)j2 = �(px) je gustinaverovatno�ce dobijanja vrednosti oko px pri merenju impulsa.�Sto se ti�ce samog osnovnog skupa opservabli px; x u Hx, tu se reprezententi u L2(px) pojed-nostavljuju u odnosu na op�stu teoriju.Opservabla px se u L2(px) reprezentuje multiplikativnim operatorom:px j i ! px (px); (2.9.3)a opservabla x diferencijalnim operatorom:x j i ! {~ ddpx (px) (2.9.4)(domeni su analogni kao u T2.8.1 i T 2.8.2).2.9.3 Transformacija sa koordinatne reprezentacije na im-pulsnuVredno je posebno ista�ci kako se prelazi sa koordinatne na impulsnu reprezentaciju uHx i obratno(uporediti x 2.7.9).Svojstveni problem od px u x-reprezentaciji glasi�{~ ddx'(px)(x) = px'(px)(x); (2.9.5)a re�senja su mu (kao �sto je poznato iz teorije obi�cnih diferencijalnih jedna�cina):f'(px)(x) def= h x j pxi = 1p2�~e {~ pxx j �1 < px <1g: (2.9.6)To su tzv. ravni talasi.Zadatak 2.9.1 Na osnovu poznate integralne Fourier-ove formulef(a0) = 12� Z 1�1 Z 1�1 f(a)e{b(a�a0) da db (2.9.7)i de�nicije delta funkcije f(a0) = Z 1�1 f(a)Æ(a� a0) da; (2.9.8)

2.9. IMPULSNA I ENERGETSKA REPREZENTACIJA 77mo�ze se pisati Æ(a� a0) = 12� Z 1�1 e{b(a�a0) db: (2.9.9)a) Pokazati, koriste�ci se formulom (2.9.9), da su ravni talasi '(px)(x) iz (2.9.6) ortonormirani na delta funkciju:Z 1�1 '(px)�(x)'(p0x)(x) dx = Æ(px � p0x): (2.9.10)b) Pokazati da ravni talasi (2.9.6) zadovoljavaju faznu konvenciju (2.9.2b).Zadatak 2.9.2 a) Pokazati da uslov kompletnosti R1�1 j px i dpxhpx j= I u Hx u koordinatnoj reprezentacijiglasi: Z 1�1 '(px)(x) dpx'(px)(x0) = Æ(x� x0): (2.9.11)b) Pokazati da za ravne talase (2.9.6) va�zi uslov kompletnosti (2.9.11).Re�siv�si svojstveni problem (2.9.5), mo�zemo primeniti op�ste formule (2.7.40a)-(2.7.40b) naprelazak sa koordinatne na impulsnu reprezentaciju: (px) = R1�1 '(px)�(x) (x) dx, ) (px) = 1p2�~ Z 1�1 e� {~pxx (x) dx; (2.9.12a)C(px; p0x) = R1�1 R1�1 '(px)�(x)C(x; x0)'(p0x)(x0) dx dx0, )C(px; p0x) = 12�~ Z 1�1 Z 1�1 e� {~pxxC(x; x0)e {~p0xx0 dx dx0: (2.9.12b)Zadatak 2.9.3 Izvesti konkretne formule obratne transformacije.2.9.4 Uop�stenje na jednu i vi�se �cesticaU orbitnom prostoru stanja Ho jedne realne �cestice impulsnu reprezentaciju2.9.1 de�ni�se kom-pletna vektorska opservabla p. Sa Ho prelazi se na L2(p), Hilbert-ov prostor svih po modulukvadratno integrabilnih funkcija (p). Opet va�zi L2(p) = L2(px) L2(py) L2(pz); opserva-ble osnovnog skupa, r; p, imaju jednostavnu formu itd. j (p)j2 je gustina verovatno�ce da semerenjem p dobije rezultat oko p.Analogno va�zi za sistem od N �cestica.2.9.5 Energetska reprezentacijaU slede�cem odeljku �cemo videti da tzv. hamiltonijan, tj. opservabla koja se dobija kvantizaci-jom klasi�cne Hamilton-ove funkcije, a �cije svojstvene vrednosti imaju �zi�cki smisao energetskihnivoa kvantnog sistema, igra u dinamici kvantne mehanike isto tako fundamentalnu ulogu kaoHamilton-ova funkcija u klasi�cnoj mehanici.2.9.1Pri ortonormalizaciji svojstvenog bazisa fj p i j 8pg na delta funkciju pi�se se u Ho: h p j p0i = Æ(p�p0), gdeje Æ(p� p0) = Æ(x� x0)Æ(y � y0)Æ(z � z0).

78 GLAVA 2. STATISTI �CKI POSTULATI I GEOMETRIJA KVANTNE MEHANIKEPod pretpostavkom da hamiltonijan H kvantnog sistema ima �cisto diskretan spektar i da semo�ze pogodno dopuniti do kompletnog skupa kompatibilnih opservabli, reprezentacija koja jetim skupom de�nisana naziva se energetskom reprezentacijom. Vide�cemo to detaljnije u x 9.2.7,na konkretnom primeru.Na jeziku op�ste teorije, ovde se o�cigledno radi o D-reprezentaciji. Reprezententi opservabli sumatrice. Formulacija kvantne mehanike u ovoj reprezentaciji naziva se matri�cnom mehanikom.Matri�cna mehanika (vezana za ime Wernera Heisenberg-a) pojavila se otprilike paralelno saSchr�odinger-ovom talasnommehanikom. Tek kasnije se shvatilo da su ove dve teorije ekvivalentnei da se dobijaju iz Dirac-ove apstraktne kvantne mehanike (koja se pojavila kasnije) postupkomreprezentovanja.

Glava 3DINAMIKA KVANTNE MEHANIKE3.1 Integralni vid zakona kretanjaZakon kretanja nam ka�ze kako se stanje kvantnog sistema menja u toku vremena kad je sistemprepu�sten samom sebi, tj. kada se radi o spontanoj promeni (za razliku od promene izazvanemerenjem). O integralnom vidu zakona kretanja je re�c kada prou�cavamo pomenutu promenustanja za kona�cni vremenski interval (za razliku od in�nitezimalnog datog sa dt). Integralni vidzakona kretanja, �sto je predmet ovog odeljka, bazira�cemo na Dirac-ovim �zi�ckim idejama, koje�cemo formulisati kao Postulat i iz njega izvesti evolucioni operator U i hamiltonijan H.3.1.1 Dinami�cka podela �zi�ckih sistema | kvalitativnaverzijaU kvantnoj kao i u klasi�cnoj �zici u dinami�ckom pogledu mo�zemo da razlikujemo pet vrsta�zi�ckih sistema, tako da je svaka specijalni slu�caj prethodne:1. Fizi�cki sistem i ostatak vasione su dva podsistema, tj. �zi�cki sistem ima tzv. kinemati�ckunezavisnost od tzv. svoje okoline: postoje odredene �zi�cke osobine i/ili parametri kojistalno i jednozna�cno odreduju sistem. (Primere videti ni�ze.)2. Fizi�cki sistem ima dinami�cku nezavisnost od svoje okoline, tj. sistem je kinemati�cki neza-visan podsistem sveta na koji njegova okolina deluje (u specijalnom slu�caju ovo delovanjemo�ze biti nula, tj. mo�ze da odsustvuje), ali se to delovanje ne menja promenom stanjasistema (tj. nema povratne sprege na okolinu). Delovanje okoline pod ovim uslovima na-ziva se spolja�snjim poljem (videti primere ni�ze). Kontraprimer, tj. primer za sistem kojikinemati�cki jeste a dinami�cki nije nezavisan, je proton u deuteronu. (Deuteron, ili jezgrote�skog vodonika, sastoji se od protona i neutrona u tzv. nuklearnoj ili jakoj interakciji.)Ne mo�ze se de�nisati spolja�snje polje koje bi poticalo od neutrona a delovalo na proton, jerdelovanje neutrona na proton zavisi od trenutnog stanja protona i menja se sa promenomtog stanja.3. Fizi�cki sistem je konzervativan (za spolja�snje polje takode se ka�ze da je konzervativno). Ovoje slu�caj kada se energija sistema u toku vremena konzervi�se (odr�zava) i pored eventualnog79

80 GLAVA 3. DINAMIKA KVANTNE MEHANIKEprisustva spolja�snjeg (konzervativnog) polja (primer ni�ze). Kontraprimer, tj. primer zadinami�cki nezavisan, nekonzervativan sistem, imamo kad god se vr�si pumpanje energije izokoline u sistem (na primer proton u promenljivom elektromagnetnom polju ciklotrona),ili obratno, kada okolina crpi energiju iz sistema (na primer �cestica u Wilson-ovoj komori).4. Fizi�cki sistem je izolovan kada se ne nalazi u spolja�snjem polju, tj. kada na njega okolinane uti�ce (primer pod 5.). Kontraprimer, tj. primer za konzervativan a neizolovan sistem jeelektron u polju jezgra.5. Fizi�cki sistem se sastoji od slobodnih �cestica. Ovo je slu�caj kada je sistem �cestica izolovan,a �cestice ne interaguju medusobno. Kontraprimer je izolovani sistem interaguju�cih �cestica.Ponekad se u literaturi unutar konzervativnih sistema ne razlikuju eksplicitno izolovani sistemiod neizolovanih, a katkad se u ovakvom slu�caju termin ,,konzervativan" zamenjuje terminom,,izolovan".3.1.2 Fizi�cke ideje u postulatu o zakonu kretanjaAko kvantni sistem nije dinami�cki nezavisan, onda se za njega samog ne mo�ze formulisati zakonkretanja (nezavisno od okoline), ve�c samo mo�ze biti obuhva�cen u sastavu nekog nadsistema kojijeste dinami�cki nezavisan. A �sto se ti�ce dinami�cki nezavisnog sistema, koji �cemo nazivati odsadop�stim slu�cajem, prirodno je o�cekivati da je za njega mogu�ce formulisati zakon kretanja.Veoma plauzabilniDirac-ov prilaz uspostavljanju zakona kretanja formulisa�cemo u vidu novogpostulata kvantne mehanike.VI POSTULAT O ZAKONU KRETANJAa) Stanje kvantnog sistema se unutar prostora stanja sistema menja uvremenu kauzalno;b) pri promeni stanja odr�zava se superpozicija stanja;c) broj �zi�ckih sistema u kvantnom ansamblu se u toku vremena odr�zava;d) promena stanja kontinualno zavisi od vremena.Zahtev VI.a) se ponekad naziva principom kauzalnosti kvantne �zike. On iskazuje misao dastanje sistema u trenutku t > t0 zavisi jednozna�cno od po�cetnog stanja (tj. stanja u po�cetnomtrenutku t0), od strukture sistema i od eventualnog spolja�snjeg polja. Dakle, u evoluciji stanjanema statisti�cnosti, indeterminizma.Prema zahtevu VI.a), promena stanja u vremenu odvija se u prostoru stanja sistema. ZaN��cesti�cni sistem to zna�ci da se odvija u prostoru H(0)1:::N . Samim tim se odr�zava broj �cestica(N) u sistemu. (Ne me�sati to sa odr�zavanjem broja sistema | u ovom slu�caju N��cesti�cnihsistema | u kvantnom ansamblu, �sto zahteva VI.c).)�Sto se ti�ce zahteva VI.b), videli smo u odeljku x 1.3 da je princip superpozicije, koji iskazujemogu�cnost superponiranosti stanja, od fundamentalnog zna�caja za kvantnu mehaniku. Da se

3.1. INTEGRALNI VID ZAKONA KRETANJA 81podsetimo (uporediti pretposlednji pasus u x 2.1.2), neka su , ' i � tri normirana vektorastanja i neka je = c1'+ c2�; (3.1.1)gde su c1 i c2 kompleksni brojevi. Ka�ze se da su u stanju superponirana (ili koherentnopome�sana) stanja ' i �. Pretpostavimo da (3.1.1) va�zi u trenutku t0: (t0) = c1'(t0)+ c2�(t0) ipretpostavimo da u trenutku t > t0 pomenuta tri stanja evoluiraju u (t), odnosno '(t), odnosno�(t). VI.b) onda iskazuje da va�zi: (t) = c1'(t) + c2�(t) (3.1.2)za svaki izbor (t0), '(t0), �(t0) i kompleksnih brojeva c1 i c2 (za koji va�zi (3.1.1)). Drugimre�cima, zahteva se da svaka komponenta u razlaganju (3.1.1) evoluira nezavisno jedna od druge.Zahtev VI.c) je veoma prirodan s obzirom da je kvantna mehanika koju prou�cavamo u stvarinerelativisti�cka grana �zike i stoga procesi kreacije i anihilacije �cestica ne dolaze u obzir3.1.1. (Uovim procesima se bitno koristi Einstein-ova relativisti�cka relacija za masu i energiju E = mc2.)Vektor stanja opisuje homogen ansambl od recimo N kvantnih sistema; medutim, u skladusa pojmom verovatno�ce (i relativne frekvencije), se normira ne na N nego na 1. Fizi�cki smisaotoga je da se radi o jednom (proizvoljnom) predstavniku ansambla. Zahtev VI.c) stoga u stvariiskazuje da je ovaj jedan predstavnik ansambla u toku vremena nepromenjeno i neokrnjeno stalnoprisutan. �Sta to zna�ci na jeziku formalizma kvantne mehanike?Neka je A opservabla sa �cisto diskretnim spektrom �ciji je spektralni vid A =Pn anPn (n0 6=n ) an0 6= an; Pn Pn = I). Zapitajmo se kolika je verovatno�ca da se pri merenju opservableA u stanju dobije uop�ste neka od vrednosti a1; a2; : : :. Odgovor glasi da je ova verovatno�cajednaka Pn v(an) =Pnh j Pn j i = h jPn Pn j i = h j i = 1. Zna�ci, stalno prisustvopomenutog predstavnika ansambla izra�zava se zahtevom3.1.2h (t) j (t)i = 1; 8t � t0 (3.1.3)�sto je precizna forma VI.c).Zahtev VI.d) zna�ci da za vremenski interval koji te�zi nuli i promena stanja te�zi nuli, tj. danema trenutne promene3.1.3. Isti zahtev takode iskazuje da promena stanja neprekidno zavisi odpo�cetnog trenutka od kojeg posmatramo promenu.3.1.3 Evolucioni operatorPostavlja se pitanje kako Postulat o zakonu kretanja uklopiti u formalizam kvantne mehanike.3.1.1U nekim nuklearnim reakcijama protoni se pretvaraju u neutrone ili obratno. Medutim, nerelativisti�ckakvantna mehanika i to opisuje tretiraju�ci neutron i proton kao dva (izospinska) stanja nukleona (a broj nukleonase odr�zava).3.1.2U stvari, na�s zaklju�cak da se pri merenju opservable A sigurno dobije neka od njenih svojstvenih vrednostipored pretpostavke sigurnog prisustva predstavnika ansambla uklju�cuje i pretpostavku da se radi o idealnomeksperimentu. Realni eksperiment merenja mo�ze da zaka�ze, mo�ze da se ne dobije nijedan rezultat i kada je sistemsigurno prisutan.3.1.3 �Citalac �ce u ovoj ideji verovatno prepoznati jedan od osnovnih principa klasi�cne �zike, koji je u Newton-ovovreme prikladno formulisan re�cima: Natura non facit saltus (�sto na latinskom zna�ci: priroda ne �cini skokove).

82 GLAVA 3. DINAMIKA KVANTNE MEHANIKEPretpostavimo da se stanje sistema u t > t0, (t), mo�ze dobiti iz stanja sistema u po�cetnomtrenutku (t0) delovanjem nekog operatora U u prostoru stanja H: (t) = U (t0). OperatorU , tzv. evolucioni operator, onda, u smislu na�seg tuma�cenja zahteva VI.a), mora zavisiti odstrukture kvantnog sistema i od eventualnog spolja�snjeg polja3.1.4 (tretira�cemo ovu zavisnost kaoimplicitnu, tj. od nje zavisi izbor operatora U); a mora, u op�stem slu�caju, U da zavisi i odpo�cetnog trenutka t0 i od du�zine vremenskog intervala3.1.5 t� t0: (t) = U(t� t0; t0) (t0) : (3.1.4)Formula (3.1.4) naziva se kvantno mehani�ckim zakonom kretanja (ili dinami�ckim zakonom) utzv. Schr�odinger-ovoj slici. Preciznije, ka�ze se da je to integralni vid zakona kretanja, jer se radio promeni stanja u kona�cnom vremenskom intervalu (za razliku od in�nitezimalnog intervaladt).Po�sto smo VI.a) inkorporirali u vid zakona kretanja (3.1.4), VI.b) u obliku (3.1.1) ) (3.1.2)odmah ima za posledicu da U mora biti linearni operator; naime, moramo imatiU (t0) = c1U'(t0) + c2U�(t0) (3.1.5)kad god imamo (t0) = c1'(t0) + c2�(t0), i to za bilo kakav izbor entiteta '(t0), �(t0), c1 i c2.VI.c) u obliku (3.1.3) zahteva da U odr�zava normu svakog vektora u H. Moramo ra�s�cistiti�sta to zna�ci.Lema 3.1.1 Ako je linearni operator A de�nisan za svaki vektor iz H i odr�zava normu svakogvektora, onda A odr�zava i skalarni proizvod svaka dva vektora.Dokaz: Neka su i ' dva proizvoljna vektora iz H. Po pretpostavci imamo:( + '; + ') = (A( + '; + '); A( + '; + ')); ( + {'; + {') = (A( + {'; + {'); A( + {'; + {')):(3.1.6a,b)Ako se jo�s jedanput koristimo odr�zanjem norme u (3.1.6a), dobijamo( ; ') + ('; ) = (A ; A') + (A'; A ); (3.1.6c)a (3.1.6b) se analogno svodi na {( ; ')� {('; ) = {(A ; A')� {(A'; A ): (3.1.6d)Dele�ci (3.1.6d) sa {, dodaju�ci rezultat toga na (3.1.6c), pa dele�ci sa 2 najzad imamo( ; ') = (A ; A') (3.1.7)Q. E. D.Kao �sto je poznato, (3.1.7) je jedna od de�nicija unitarnog operatora3.1.6. Dakle, VI.c) ustvari povla�ci da je evolucioni operator nu�zno unitaran.3.1.4Treba imati na umu da operator predstavlja jednozna�cno preslikavanje, a to je matemati�cka forma �zi�ckeideje kauzalnosti.3.1.5U literaturi se evolucioni operator u op�stem obliku obi�cno pi�se kao funkcija po�cetnog i krajnjeg trenutka.Mi, medutim, nazna�cujemo du�zinu intervala kao drugu nezavisno promenljivu umesto krajnjeg trenutka imaju�ciu vidu najva�zniji specijalni slu�caj konzervativnih sistema. Kod njih, kao �sto �cemo videti u x 3.1.8, zavisnost odpo�cetnog trenutka otpada i ostaje samo zavisnost od du�zine intervala.3.1.6*U stvari u beskona�cno dimenzionalnom prostoru H unitarni operator pored (3.1.7) mora da ima i osobinuda mu se i domen i oblast likova poklapaju sa celim H. Mi to (pre�cutno) pretpostavljamo za evolucioni operator,jer kvantni sistem kako u t0 tako i u t > t0 mo�ze u principu biti u bilo kom stanju.

3.1. INTEGRALNI VID ZAKONA KRETANJA 833.1.4 HamiltonijanPostavlja se pitanje kako zavisnost evolucionog operatora U od strukture kvantnog sistema (ieventualnog spolja�snjeg polja) u�ciniti eksplicitnim. Pre svega moramo se zapitati da li to trebaposti�ci neposredno sa U , ili treba U izraziti kao funkciju drugog, pogodnijeg operatora.Podsetimo se na jedan stav, koji se dokazuje u teoriji Hilbert-ovih prostora.Stav 3.1.1 Za svaki unapred dati unitarni operator A u H postoji hermitski operator B u Htako da va�zi A = e{B def= 1Xn=0 ({B)nn! (3.1.8)i obratno, za svaki unapred dati hermitski operator B, operator A de�nisan DS-om od (3.1.8)postoji i unitaran je.Napomena 3.1.1 Operatorska funkcionalna veza (3.1.8) prenosi se u analognu jednostavnu vezu iz-medu spektralnih formi od A i B. Ako recimo B ima spektralnu formu B = Pn bnPn, onda A imaspektralni vid A = Pn e{bn Pn (sa istim svojstvenim projektorima!). To se neposredno uop�stava naslu�caj kada B i A imaju i kontinualni spektar.Imaju�ci jo�s uvek u vidu op�sti slu�caj, usled toga �sto je zavisnost evolucionog operatora kakood du�zine intervala tako i od po�cetnog trenutka kontinualna (zahtev VI.d)), mo�zemo evolucionioperator za in�nitezimalni interval vremena napisati u vidu3.1.7:U( dt; t) = I � {~ dtH(t); (3.1.9)gde je I identi�cni operator, jednak nultom stepenu drugog sabirka. LS od (3.1.9) je po de�nicijievolucioni operator s ta�cno�s�cu do prvog reda, a DS je prvi red eksponencijalne funkcije (3.1.8)sa B def= � 1~ dtH(t). U tom smislu je (3.1.9) ta�cna a ne pribli�zna jednakost.Po�sto ~ ima dimenzije dejstva, a vreme i energija se po dimenziji dopunjuju do dejstva,izlo�zitelj u srednjem izrazu u (3.1.8) je bez dimenzija | �sto je neophodno za konzistentnosteksponencijalnog izraza u (3.1.8) | samo ako hermitski operator, tj. opservabla H(t), imadimenziju energije3.1.8. Operator H(t) iz (3.1.9) naziva se hamiltonijanom kvantnog sistema ito je opservabla koja �ce, kao i u klasi�cnoj �zici, svojom funkcionalnom zavisno�s�cu od osnovnogskupa opservabli nositi informaciju o strukturi kvantnog sistema (i eventualno spolja�snjeg polja).3.1.5 Veza izmedu evolucionog operatora i hamiltonijanaDa bismo funkcionalnu zavisnost evolucionog operatora od hamiltonijana uop�stili sa in�nitezi-malnog na kona�cni interval evolucije, uo�cimo prvo jednu va�znu posledicu de�nicije evolucionogoperatora (3.1.4).3.1.7*Strogo uzev�si, mi ovde poja�cavamo pretpostavku kontinualne zavisnosti U(t�t0; t0) od t�t0 u pretpostavkuanaliti�cke zavisnosti.3.1.8Na�se rezonovanje se ovde, kao manje-vi�se i u celom odeljku, oslanja prvenstveno na intuitivnu plauzibilnost,�sto je sa ta�cke gledi�sta �zi�cara sasvim zadovoljavaju�ce. Ali �sto se ti�ce stroge logi�cnosti na�seg rezonovanja, valjaprimetiti da �cemo mi nu�znost izbora B def= 1~ dtH(t) (uporediti (3.1.8) i (3.1.9)) shvatiti tek u x 3.3.7.

84 GLAVA 3. DINAMIKA KVANTNE MEHANIKEKorolar 3.1.1 U op�stem slu�caju kvantnog sistema za svaka tri trenutka t2 � t1 � t0 va�ziU(t2 � t0; t0) = U(t2 � t1; t1)U(t1 � t0; t0): (3.1.10)Dokaz: Zamenjuju�ci t sa t2 u (3.1.4) imamo (t2) = U(t2 � t0; t0) (t0): (3.1.11)S druge strane, ako u (3.1.4) zamenimo t sa t2, a t0 sa t1, onda (3.1.4) daje (t2) = U(t2 � t1; t1) (t1). Vratimose na (3.1.4) i stavimo t1 umesto t; dobi�cemo (t1) = U(t1 � t0; t0) (t0). Supstitucijom (t1) iz poslednje upretposlednju jednakost dolazimo do (t2) = U(t2 � t1; t1)U(t1 � t0; t0) (t0): (3.1.12)Po�sto su LS-e od (3.1.11) i (3.1.12) jednake, jednake su i DS-e. A usled toga �sto je (t0) proizvoljan vektor u H,kona�cno dobijamo operatorsku jednakost (3.1.10). Q. E. D.Treba uo�citi da u nekonzervativnom slu�caju, kada U zavisi od po�cetnog trenutka, skup svihevolucionih operatora ne �cini grupu. Naime, proizvod dva evoluciona operatora nu�zno dajeevolucioni operator samo ako je zavr�sni trenutak prvog zdesna faktora jednak po�cetnom trenutkudrugog zdesna faktora kao u (3.1.10).Ako u (3.1.10) zamenimo t1 sa t, a t2 sa t+�t, onda (3.1.10) postajeU(t+�t� t0; t0) = U(�t; t)U(t� t0; t0): (3.1.13)Pretpostavimo da evolucioni operator mo�zemo da razvijemo u Taylor-ov red do prvog reda kaofunkciju trenutka t. U tom smislu pi�semo dt umesto kona�cnog prira�staja �t u (3.1.13), U( dt; t)zamenjujemo iz (3.1.9) i dolazimo doU(t� t0; t0) + dU(t� t0; t0) = U(t� t0; t0)� {~ dtH(t)U(t� t0; t0):Ova jednakost se o�cigledno svodi na slede�cu diferencijalnu jedna�cinu za evolucioni operator:{~dU(t�t0;t0)dt = H(t)U(t� t0; t0) ; 8t � t0: (3.1.14)Odmah se vidi da se (3.1.14) mo�ze prepisati u vidu integralne jedna�cine:U(t� t0; t0) = I � {~ Z tt0 H(t0)U(t0 � t0; t0) dt0: (3.1.15)U (3.1.15) je ugraden (u vidu ,,integracione konstante") tzv. po�cetni uslov za evolucioni operator:U(0; t0) = I ; (3.1.16)koji o�cigledno sledi iz (3.1.4) i koji u stvari dopunjuje (3.1.14). U stvari (3.1.14) zajedno sa(3.1.16) ekvivalentno3.1.9 je sa (3.1.15).3.1.9*Jednakost (3.1.14) izveli smo iz Postulata o zakonu kretanja kao potreban uslov. Medutim, u praksi se(3.1.14) sa (3.1.16) i (3.1.15) koriste kao potreban i dovoljan uslov, tj. svaki par U , H koji ih zadovoljava smatrase da odgovaraju jedan drugom u smislu da opisuju isti kvantni sistem.

3.1. INTEGRALNI VID ZAKONA KRETANJA 853.1.6 Dinami�cka podela | preciznijePo�sto smo evolucioni operator povezali sa hamiltonijanom i to sa svrhom da preko hamiltonijanade�ni�semo kvantni sistem, sad mo�zemo da se vratimo na temu paragrafa x 3.1.1 i da damopreciznu ili kvantitativnu verziju dinami�cke podele kvantnih sistema.Videli smo da za dinami�cki nezavisan kvantni sistem imamo najop�stiji slu�caj u kom mo�zemode�nisati evolucioni operator i hamiltonijan.U slu�caju da je sistem konzervativan, nema razmene energije sa okolinom i stoga ne postojeprocesi koji bi izvesne vremenske trenutke u�cinili �zi�cki razli�civim od drugih. Svi su vremenskitrenuci nerazli�civi, tj. imamo homogenost vremenske ose (koja postoji i a priori, kinemati�cki;uporediti x 5.1.1 i x 5.1.7). Ali ovo je jo�s uvek intuitivno i kvalitativno rezonovanje.U preciznom i kvantitativnom pristupu homogenost vremenske ose sastoji se u tome da zakoji god realni broj b translirali sistem po vremenskoj osi (u mislima), ne dobijamo opservabilni,tj. u merenju ispoljivi, efekat. A, to sa svoje strane, u stvari zna�ci da ako u nekom trenutku t0 idrugom trenutku t0 + b (�1 < b < +1) jednako prepariramo stanje �zi�ckog sistema i pustimoga da (spontano) evoluira za istu du�zinu vremenskog intervala t� t0, na krajevima tih intervala,tj. u trenucima t i t + b, ima�cemo jednaka stanja. Kratko re�ceno, u jednakim vremenskimintervalima, bez obzira na po�cetni trenutak, sistem jednako evoluira.U formalizmu to zna�ciU(t� t0; t0) = e{�(b)U(t� t0; t0 + b); �1 < b < +1; (3.1.17a)jer razlika u faznom faktoru je najve�ca razlika u evolucionom operatoru (ili ekvivalentno u stanjuu koje sistem evoluira) koja je neopservabilna. Zna�ci, (3.1.17a) izra�zava precizno homogenostvremenske ose u kvantnoj mehanici, a ona je ekvivalentna konzervativnosti sistema.Nepisano, mnogo kori�s�ceno, pravilo u kvantnoj mehanici ka�ze da slobodu u faznim faktorimavektora stanja kad god mo�zemo ograni�cavamo tako da postignemo pojednostavljenje formali-zma (uporediti na primer faznu konvenciju u svojstvenom bazisu od x, (2.5.16)). O�cigledno,stavljaju�ci �(b) = 0; �1 < b < +1 (3.1.17b)u (3.1.17a) posti�zemo pojednostavljenje da evolucioni operator ne zavisi od po�cetnog (ili ekvi-valentno od krajnjeg) trenutka, ve�c samo od du�zine intervala. Ovaj iskaz je, dakle, de�nicijakonzervativnosti sistema na jeziku evolucionog operatora. Za konzervativni sistem pisa�cemoevolucioni operator u vidu U(t� t0), tj. bez zavisnosti od po�cetnog trenutka.Po�sto je hamiltonijan jo�s va�zniji od evolucionog operatora, poku�sajmo izraziti kriterijumkonzervativnosti na jeziku tog operatora. U tu svrhu prepi�simo (3.1.14) za konzervativni sistemu vidu H(t) = {~dU(t� t0)dt U�1(t� t0): (3.1.18)Sad evolucioni operator ne zavisi od krajnjeg trenutka t, a to ima za posledicu da i DS od (3.1.18)ne zavisi od trenutka t i isto mora da va�zi i za LS-u. Dakle, ako je sistem konzervativan, ondahamiltonijan ne zavisi od vremena. Da va�zi i obratno uveri�cemo se u paragrafu x 3.1.8.Kvantni sistem je izolovan ako i samo ako je hamiltonijan funkcija samo osnovnog skupaopservabli sistema, bez ikakvih veli�cina koje bi de�nisala okolina sistema.Hamiltonijan sistema slobodnih �cestica je zbir operatora kineti�ckih energija pojedinih �cestica(kao i u klasi�cnom slu�caju).

86 GLAVA 3. DINAMIKA KVANTNE MEHANIKE3.1.7 *Dyson-ov redVratimo se na op�sti slu�caj kvantnog sistema sa hamiltonijanom koji zavisi od vremena i zapitajmose kako da re�simo (3.1.14) ili (3.1.15) i dobijemo U(t� t0) kao eksplicitnu funkciju od H(t).Integralna jedna�cina kao �sto je (3.1.15) se obi�cno re�sava iterativnom metodom: U prvoj ite-raciji mo�zemo celu DS-u od (3.1.15) staviti umesto evolucionog operatora pod integralom i takodobiti U(t� t0; t0) = I � {~ Z tt0 H(t0) dt0 + (� {~)2 Z tt0 dt1 Z t1t0 dt2H(t1)H(t2)U(t2 � t0; t0):Ako iteracija konvergira (za �sta nemamo a priori kriterijum), posle beskona�cno mnogo korakao�cigledno dolazimo do formuleU(t� t0; t0) = I + 1Xn=1(� {~)n Z tt0 dt1 Z t1t0 dt2 : : :Z tn�1t0 dtnH(t1)H(t2) : : : H(tn); (3.1.19a)a proizvod od n operatora u inegralu je vremenski ureden:t1 � t2 � : : : � tn: (3.1.19b)Formule (3.1.19) predstavljaju tzv. Dyson-ov ( �citati: Dajsonov) red, koji je zna�cajan za ne-konzervativne kvantne sisteme kod kojih hamiltonijani u razli�citim trenucima ne moraju dakomutiraju. Ovakvi problemi se �cesto pojavljuju u kvantnoj elektrodinamici.Dyson-ov red mo�ze da se napi�se i na drugi na�cin ako uvedemo tzv. vremenski-uredeni proizvodoperatora: T [H(t1)H(t2) : : : H(tn)] def= H(tp1)H(tp2) : : : H(tpn); (3.1.20a)gde je permutacija p def= � 1 2 : : : np1 p2 : : : pn� (3.1.20b)(p1; p2; : : : ; pn je permutacija brojeva 1,2,. . . ,n) de�nisana tako da va�zitp1 � tp2 � : : : � tpn (3.1.20c)((3.1.20a) se engleski naziva time-ordered product (�citati: tajm orderd prodakt), otud T ).Ako se koristimo sa (3.1.20a), onda poredak operatora pod integralima u (3.1.19a) nije va�zan:mo�zemo dozvoliti sve permutacije vremenskih trenutaka integranda i da svaki integral ide od t0do t, ali moramo to kompenzovati brojem permutacija n! u imenitelju3.1.10. Tako da (3.1.19a)mo�zemo da prepi�semo u vidu:U(t� t0; t0) = I + 1Xn=1 (� {~)nn! Z tt0 : : :Z tt0 T [H(t1)H(t2) : : : H(tn)] dt1 : : : dtn: (3.1.21)3.1.10Zanemarujemo skup svih permutacija trenutaka sa ponavljanjem. Mo�ze se pokazati da to ne menja vrednostintegrala (da je mere nula).

3.1. INTEGRALNI VID ZAKONA KRETANJA 87Ako Dyson-ov red konvergira i va�zi komutativnost[H(t0); H(t)] = 0; 8t0; t � t0; (3.1.22)onda poredak operatora u (3.1.19a) ili (3.1.21) nije va�zan i tako dolazimo do slede�ceg vida za U :U(t� t0; t0) = I + 1Xn=1 (� {~)nn! (Z tt0 H(t0) dt0)n: (3.1.23)Desna strana od (3.1.23) je eksponencijalni red, tj.U(t� t0; t0) = exp[(� {~ Z tt0 H(t0) dt0]: (3.1.24)Da kratko rezimiramo, (3.1.24) va�zi u komutativnom konvergentnom slu�caju ne nu�zno kon-zervativnog polja.3.1.8 Konzervativni sistemiPrecizno karakterisanje konzervativnih kvantnih sistema, koji �cine najva�zniju dinami�cku klasusistema | zapo�celi smo u paragrafu x 3.1.6, a dovr�si�cemo ga u ovom paragrafu slede�cim va�znimteoremom:Teorem 3.1.1 Kvantni sistem je konzervativan ako i samo ako hamiltonijan sistema ne zavisiod vremena. Ako je to slu�caj, onda je evolucioni operator slede�ca eksponencijalna funkcija odhamiltonijana: U(t� t0) = e� {~ (t�t0)H : (3.1.25)Dokaz: U paragrafu x 3.1.6 dokazali smo da je za konzervativnost sistema potrebno da hamiltonijan ne zavisiod vremena. Preostaje samo da podemo od pretpostavke da H ne zavisi od vremena i da doka�zemo da onda(3.1.25) de�ni�se evolucioni operator. Po�sto ovaj evolucioni operator o�cigledno ne zavisi od po�cetnog trenutka,prema kriterijumu koji smo dokazali u x 3.1.6, onda smo sigurni da se radi o konzervativnom sistemu.Prema stavu iz x 3.1.4, kakav god da je hermitski operator H , (3.1.25) de�ni�se jedan unitarni operator U(t�t0). Daje to evolucioni operator vidimo iz toga �sto diferenciranje (3.1.25) po krajnjem trenutku t daje dUdt = � {~HU , �stozna�ci da U(t� t0) zadovoljava diferencijalnu jedna�cinu (3.1.14), koja karakteri�se evolucioni operator. Q. E. D.3.1.9 Lie-eva grupa vremenskih translacijaNa kraju ovog odeljka ukaza�cemo u nekoliko re�ci na matemati�cku prirodu formule (3.1.25).Obele�zimo sa b du�zinu intervala evolucije konzervativnog sistema i prepi�simo (3.1.25) u viduU(b) = e� {~ bH : (3.1.26)Skup fbj �1 < b < +1g je aditivna (Abel-ova) grupa vremenskih translacija, a (3.1.26) zadajejedan neprekidan homomor�zam ove grupe u grupu svih unitarnih operatora u prostoru stanjaH. Obi�cno se oblast likova homomor�zma kao �sto je (3.1.26), tj. fU(b)j � 1 < b < +1g,naziva jednoparametarskom Lie-ovom grupom, a ,,parametar" b slu�zi za identi�kaciju pojedinihelemenata grupe. Za hamiltonijan H se ka�ze da je hermitski generator jednoparametarske grupe.

88 GLAVA 3. DINAMIKA KVANTNE MEHANIKE3.2 Diferencijalni vid zakona kretanjaU ovom odeljku usmeri�cemo na�su pa�znju na tendenciju promene koju stanje kvantnog sistemaima u teku�cem trenutku t > t0. Kao �sto je to slu�caj i u drugim granama �zike, to se preciznoi kvantitativno izra�zava diferencijalnim vidom zakona kretanja. Tu se odreduje izvod stanja povremenu.Nakon �sto �cemo izvesti tzv. Schr�odinger-ovu jedna�cinu, re�sava�cemo je prvo za stacionarneslu�cajeve (karakterisane o�strom vredno�s�cu energije), a zatim �cemo do�ci do op�steg re�senja nadva na�cina: i) pomo�cu tzv. potpune klasi�kacije stanja i ii) pomo�cu svojstvenih projektorahamiltonijana. Zavr�si�cemo odeljak diskusijom slobodne �cestice.3.2.1 Schr�odinger-ova jedna�cinaSada �cemo pristupiti izvodenju diferencijalnog vida dinami�ckog zakona. Najpogodnije je po�ci odjednakosti (3.1.14) iz prethodnog odeljka:{~dU(t� t0; t0)dt = H(t)U(t� t0; t0); 8t � t0: (3.2.1)Vidi se po notaciji da se radi o op�stem slu�caju kvantnog sistema.Da bismo uveli u igru vektor stanja, prepi�simo i ,,zakon kretanja u integralnom vidu" (3.1.4):j (t) i = U(t� t0; t0) j (t0) i; 8t � t0: (3.2.2)Primenimo operatorsku jednakost (3.2.1) na po�cetno stanje j (t0)i imaju�ci u vidu da se operatoru primeni na vektor diferencira analogno kao proizvod dveju funkcija:ddt(A(t) j '(t) i) = dA(t)dt j '(t) i+ A(t)d j '(t) idt : (3.2.3)Iz (3.2.2) onda odmah sledi {~dj (t) idt = H(t) j (t) i ; 8t � t0: (3.2.4)Po�sto je po�cetno stanje j (t0) i proizvoljni (normirani) vektor u H, lako se vidi da je(3.2.4) ne samo potreban nego i dovoljan uslov za (3.2.1). Jednakost (3.2.4) je zakon kretanja udiferencijalnom vidu ili tzv. Schr�odinger-ova jedna�cina za op�sti slu�caj kvantnog sistema.Jednakost (3.2.4) je diferencijalna jedna�cina prvog reda po vremenu i u tome se ogleda kau-zalnost, tj. jednozna�cna odredenost j (t) i strukturom kvantnog sistema (izra�zenom kroz H(t))i po�cetnim uslovom j (t0) i. Naime, diferencijalna jedna�cina drugog reda, na primer, bi za pot-puno odredivanje j (t)i zahtevala da se zada i po�cetni uslov izvoda dj (t) idt t=t0 (itd. za jedna�cinevi�seg reda).Jednakost (3.2.4) je Schr�odinger-ova jedna�cina u apstraktnom prostoru stanja H. U koordi-natnoj reprezentaciji za N -�cesti�cni sistem imamo ekvivalentnu formu{~@ (r1;:::;rN ;t)@t = H(t) (r1; : : : ; rN ; t) (3.2.5)

3.2. DIFERENCIJALNI VID ZAKONA KRETANJA 89(hamiltonijan pi�semo nepromenjeno, ali jasno je da sada deluje u L2(r1; : : : ; rN); totalni izvodpo vremenu je u ovom slu�caju isto �sto i parcijalni izvod po vremenu, jer radijus vektori ne zaviseod vremena).U praksi se vi�se koristi Schr�odinger-ova jedna�cina u vidu (3.2.5) nego u vidu (3.2.4). Po�stose vektor stanja u reprezentaciji radijus vektora obi�cno naziva talasnom funkcijom, jedna�cina(3.2.5) se �cesto naziva talasnom jedna�cinom. Ponekad se j (t) i 2 H naziva talasnim vektorom,a termin ,,talasna jedna�cina" se prenosi i na apstraktnu formu (3.2.4).3.2.2 Stacionarna re�senjaOgrani�cimo se sad na konzervativni kvantni sistem, tj. na slu�caj kada hamiltonijan ne zavisi odvremena. Onda (3.2.4) glasi: {~d j (t) idt = H j (t) i: (3.2.6)Po�sto u (3.2.6) na varijablu t deluje samo operator ddt , mo�zemo pretpostaviti da se zavisnostod vremena u j (t) i mo�ze odvojiti od vektora stanja i pisatij (t) i = f(t) j (t0) i; 8t � t0 (3.2.7)gde je f(t) brojna funkcija ( f(t) 6= 0 zbog normiranosti vektora).Pri ovoj tzv. separaciji vremenske varijable, nakon zamene (3.2.7) u (3.2.6) jednakost (3.2.6)prelazi u {~ � 1f(t) df(t)dt � j i = H j i (3.2.8)((3.2.7) je pretpostavka u smislu nagadanja; mi �cemo je na kraju morati opravdati).Po�sto DS od (3.2.8) ne zavisi od t, izraz u srednjoj zagradi na LS-i od (3.2.8) mora bitikonstanta, tj. broj nezavisan od t. Obele�zi�cemo taj broj sa E, jer mora imati dimenzije energije(kao H na DS-i).Tako smo dobili svojstvenu jednakost hamiltonijana:H j i = E j i ; (3.2.9)koja se u kontekstu zakona kretanja naziva vremenski nezavisnom Schr�odinger-ovom jedna�cinom,za razliku od (3.2.6) koja se naziva vremenski zavisnom Schr�odinger-ovom jedna�cinon.S druge strane imamo {~df(t)dt = Ef(t); (3.2.10)�cije je op�ste re�senje f(t) = ce� {~Et (c je konstanta).Dakle, dobili smo re�senje u viduj (t) i = e� {~ (t�t0)E j E i; 8t � t0; (3.2.11)s tim da je E svojstvena vrednost od H, a j i =j E i odgovaraju�ci svojstveni vektor. (Stavilismo c = e� {~ t0E.) O�cigledno, jo�s imamo potreban uslov da va�zi j (t0) i =j E i, tj. da je j (t0) isvojstveni vektor od H.

90 GLAVA 3. DINAMIKA KVANTNE MEHANIKEDo sada smo rezonovali od pretpostavki do potrebnih uslova. Sad mo�zemo to da obrnemo ida podemo od po�cetnog uslova j (t0) i =j E i; H j E i = E j E i, kao dovoljnog uslova. Naime,iz (3.1.25) je o�cigledno da dobijamo (3.2.11) kao re�senje zakona kretanja, a gornje pretpostavkesu zadovoljene.Stanje koje je svojstveni vektor konzervativnog hamiltonijana naziva se stacionarnim stanjem.Dakle, za stacionarna po�cetna stanja, i samo za njih, re�senja su data sa (3.2.11). To su tzv.stacionarna re�senja zakona kretanja (konzervativnog sistema).3.2.3 Op�ste re�senje pomo�cu potpune klasi�kacije stanjaPretpostavimo da hamiltonijan konzervativnog kvantnog sistema ima �cisto diskretan spektarfEnj8ng. Pretpostavimo osim toga, da smo H dopunili do kompletnog skupa kompatibilnihopservabli i da smo re�sili zajedni�cki svojstveni problem tog skupa operatora i dobili zajedni�ckisvojstveni bazis fj n; �n i j 8n; �n = 1; 2; : : : ; dng, gde je dn multiplicitet energetskog nivoaEn (dn � @0) a �n prebrojava vektore bazisa koji kao svojstveni vektori od H odgovaraju istomenergetskom nivou En.Svojstveni bazis od H se u kontekstu zakona kretanja naziva potpunom klasi�kacijom stanja.Termin ukazuje na dodatne kvantne brojeve od dodatnih opservabli u potpunom skupu, kojeslu�ze za klasi�kovanje bazisnih vektora.Videli smo u Dirac-ovom prilazu zakonu kretanja da se superpozicija stanja odr�zava prievoluciji sistema. Stoga se name�ce misao da nademo op�ste re�senje Schr�odinger-ove jedna�cine tako�sto �cemo po�cetno stanje j (t0)i (koje je sad proizvoljno) razlo�ziti po pomenutom bazisu, re�savatiza svaku komponentu stacionarni problem i na kraju opet slo�ziti re�senja sa istim koe�cijentima.To se zaista mo�ze u�ciniti.Teorem 3.2.1 Neka je dat hamiltonijan H konzervativnog kvantnog sistema sa �cisto diskret-nim spektrom fEnj8ng i neka je dato po�cetno stanje sistema j (t0) i, koje je proizvoljannormirani vektor u H. Pretpostavimo da raspola�zemo jednom potpunom klasi�kacijom stanjafj n; �n ij8n; �n = 1; : : : ; dng. Razlo�zimo j (t0) i po tom bazisu:j (t0) i =Xn dnX�n=1 cn;�n j n; �n i: (3.2.12)Onda op�ste re�senje Schr�odinger-ove jedna�cine glasij (t) i =Xn dnX�n=1 cn;�ne� {~ (t�t0)En j n; �n i; t � t0: (3.2.13)Dokaz: O�cigledno se (3.2.13) za t = t0 svodi na (3.2.12), dakle LS od (3.2.13) je ispravno uskladena sa po�cetnimuslovom. Ako supstitui�semo DS-u od (3.2.13) u vremenski zavisnu Schr�odinger-ovu jedna�cinu, dobi�cemo{~Xn dnX�n=1 cn;�n(� {~Ene� {~ (t�t0)En j n; �n i =Xn dnX�n=1 cn;�ne� {~ (t�t0)EnEn j n; �n i;�sto je identitet. Q. E. D.

3.2. DIFERENCIJALNI VID ZAKONA KRETANJA 91Ako hamiltonijan sadr�zi i kontinuirani spektar, onda se i potpuna klasi�kacija stanja i op�stere�senje (3.2.13) uop�stavaju na uobi�cajen na�cin uop�stenim svojstvenim vektorima, a zbir se do-punjuje integralom.Dakle, op�ste re�senje je lako napisati na osnovu zadatog po�cetnog uslova ako smo prethodnore�sili vremenski nezavisnu Schr�odinger-ovu jedna�cinu, tj. na�sli potpunu klasi�kaciju stanja.3.2.4 Formalno op�ste re�senjeMada se Schr�odinger-ova jednacina standardno re�sava upravo na na�cin koji smo izlo�zili u pret-hodna dva paragrafa, ponekad je koristan i prilaz koji po�civa na manje pretpostavki, tj. koji sene oslanja na potpunu klasi�kaciju stanja. I oval prilaz se zasniva na odr�zanju superpozicije.Teorem 3.2.2 Neka je H hamiltonijan konzervativnog kvantnog sistema i neka ima �cisto dis-kretan spektar i spektralnu formuH =Xn EnPn; n 6= n0 ) En 6= En0 : (3.2.14)Neka je j (t0) i proizvoljno po�cetno stanje. Op�ste re�senje Schr�odinger-ove jedna�cine glasi:j (t) i =Xn e� {~ (t�t0)EnPn j (t0) i; t � t0: (3.2.15)Dokaz: Za t = t0, (3.2.15) se svodi na j (t0)i =j (t0)i usled razlaganja jedinicePn Pn = I (koje uvek prati spek-tralnu formu hermitskog operatora). Ako DS od (3.2.15) i DS od (3.2.14) uvrstimo u Schr�odinger-ovu jedna�cinu,onda se ona svodi na identitet {~Pn(� {~ )Ene� {~ (t�t0)En Pn j (t0)i = (PnEnPn)(Pn0 e� {~ (t�t0)En0 Pn0 j (t0)i =PnEne� {~ (t�t0)EnPn j (t0) i (koristili smo se ortogonalno�s�cu i idempotentno�s�cu svojstvenih projektora:PnPn0 =Ænn0 Pn). Q. E. D.Po�sto se svojstveni projektori Pn obi�cno tretiraju samo egzistencijalno, tj. samo se pi�su po�stomoraju da postoje, a ne zadaju se, ovaj prilaz op�stem re�senju se ozna�cava re�cju ,,formalan". Iakoelegantniji od prilaza iz prethodnog paragrafa, on je u praksi manje koristan.Da bismo uspostavili vezu sa potpunom klasi�kacijom stanja iz paragrafa x 3.2.3 napomenimoda va�zi Pn = dnX�n=1 j n; �n ihn; �n j; 8n: (3.2.16)3.2.5 Slobodna �cesticaU klasi�cnoj mehanici �cesticu u spolja�snjem polju opisujemo hamiltonijanomH = p22m+V (r) (podpretpostavkom da polje zavisi samo od polo�zaja �cestice, a ne i od brzine, recimo). Predimo, poprincipu korespondencije, na kvantno opisivanje i to u koordinatnoj reprezentaciji.Znamo da je p = �{~ @@r , a r = r (multiplikativni operator). Stoga Schr�odinger-ova jedna�cinaglasi {~@ (r; t)@t = � ~22m� (r; t) + V (r) (r0; t): (3.2.17)

92 GLAVA 3. DINAMIKA KVANTNE MEHANIKEOvde je tzv. laplasijan � def= @@r � @@r = @2@ x2+ @2@ y2+ @2@ z2 , a V (r), kao funkcija od r, je multiplikativnioperator.Imamo slu�caj konzervativnog sistema, jer potencijal (a prema tome ni hamiltonijan) ne zavisiod vremena. Ali sistem nije izolovan, jer V (r) je spolja�snje polje. ,,Spolja�snjost" polja ispo-ljava se kroz spolja �ksirani izvor polja u koji smo stavili koordinatni po�cetak. U arbitrarnomkoordinatnom sistemu polje bi glasilo V (r� r0), gde bi r0 bio radijus vektor izvora poja.Za slobodnu �cesticu Schr�odinger-ova jedna�cina ima vid{~@ (r; t)@t = � ~22m� (r; t): (3.2.18)Jedna potpuna klasi�kacija stanja za slobodnu �cesticu daje stacionarna re�senja Schr�odinger-ovejedna�cine: f'p(r; t) def= 1(2�~) 32 e {~ (p�r�E(t�t0))j8pg; E def= p22m: (3.2.19a,b)Ravni talasi 'p(r; t) iz (3.2.19), koji �cine bazis u U(L2(r)), �cesto se pi�su u vidu'k(r; t) = (2�~)� 32 e{(k�r�!(t�t0)); (3.2.19c)gde je k def= p~ talasni vektor, a ! def= E~ uglovna frekvencija �cestice3.2.1.U L2(r) vektorska opservabla p je kompletan skup kompatibilnih opservabli i njegove za-jedni�cke svojstvene vektore | a to je bazis (3.2.19a) | prebrojavaju vektorske svojstvene vred-nosti p od p.Zadatak 3.2.1 Prodiskutovati u kolikoj meri se potpuna klasi�kacija stanja (3.2.19a) uklapa u de�niciju togpojma koja je data u paragrafu x 3.2.3.U x 6.6.5 da�cemo drugu potpunu klasi�kaciju stanja za slobodnu �cesticu, u kojoj je H, do-punjen do potpunog skupa kompatibilnih opservabli uz pomo�c opservable orbitnog uglovnogmomenta, a ravni talasi se zamenjuju tzv. sfernim talasima.Zadatak 3.2.2 Kao �sto je poznato, u hidrodinamici za nesti�sljivu te�cnost i u elektrodinamici za elektri�cnostde�ni�su se �(r; t) | gustina raspodele| i j(r; t) | vektor gustine struje| i za njih va�zi tzv. jedna�cina kontinuiteta@�(r; t)@t +rj(r; t) = 0 (3.2.20)(r je vektorski operator sa komponentama ( @@x ; @@y ; @@z )).Za �cesticu, gustina raspodele verovatno�ce3.2.2 je �(r; t) def= j (r; t)j2, gde je (r; t) re�senje Schr�odinger-ove jed-nacine. Pokazati da se za slobodnu �cesticu mo�ze de�nisati i vektor gustine struje j(r; t) tako da je (3.2.20)zadovoljeno. Da li se ovaj j(r; t) uklapa u pojmovnu strukturu kvantne mehanike (kako smo je do sada upoznali)?3.2.1U stvari ,,ravnim talasima" se obi�cno nazivaju vektori 'p(r; t0) = (2�~)� 32 e {~ (p�r); 8p. U njihovu de�nicijuugradena je najprostija fazna konvencija uskladena sa (2.9.2b). Ali mo�zemo ,,ravnim talasima" nazivati i vektore'p(r; t); t � t0; 8p, iz (3.2.19a), jer se tu radi samo o promeni faznog faktora (na to se svodi vremenskatranslacija stacionarnog stanja zbog konvencije (3.1.17b)).3.2.2Istorijski se Postulat o verovatno�ci prvi put pojavio ba�s u ovom obliku i dao ga je Max Born. I danas seinterpretacija j j2 kao gustine raspodele verovatno�ce nala�zenja �cestice �cesto naziva Born-ovim postulatom.

3.3. HEISENBERG-OVA SLIKA 933.3 Heisenberg-ova slikaVideli smo u teoriji reprezentovanja da se kvantno mehani�cko opisivanje mo�ze slobodno seliti izjednog prostora stanja u drugi, izomorfan, ve�c prema potrebi i pogodnosti. U ovom odeljku �cemonai�ci na sli�cnu ,,pokretljivost" kvantne mehanike u kontekstu dinami�ckog zakona. Uveri�cemo seda sadr�zaj odeljaka x 3.1 i x 3.2, �sto �cemo sad nazivati Schr�odinger-ovom slikom, ima korisnualternativnu mogu�cnost u tzv. Heisenberg-ovoj slici, kojoj je posve�cen ovaj odeljak.3.3.1 Slike uop�ste i Schr�odinger-ova slikaU teoriji reprezentovanja nau�cili smo veoma zna�cajnu �cinjenicu da se kvantno mehani�cko opi-sivanje �zi�ckih sistema ne menja prelaskom na izomorfan prostor stanja. Naravno, to va�zi i zaizomor�zme prostora stanja koji ga preslikavaju na njega samog (tzv. automor�zme), �sto su,po�sto se radi o Hilbert-ovom prostoru, unitarni operatori.Pri vremenskoj evoluciji kvantnog sistema mo�zemo u svakom trenutku t da primenimo nekiunitarni operator S(t) istovremeno na vektore stanja i na opservable (kao A ! S(t)AS(t)�1) itako da predemo na izomorfno opisivanje. Ono, kao �sto smo rekli, daje iste �zi�cke predikcije.Zadatak 3.3.1 Objasniti na osnovu do sada nau�cenih Postulata kvantne mehanike za�sto je kvantno mehani�ckoopisivanje �zi�ckih sistema invarijantno pri prelasku na izomorfan prostor ili pri prelasku automor�zmom na istiprostor.De�nisanje S(t) za 8t � t0 naziva se slikom. Najprostije je staviti S(t) = I ; 8t � t0. Tako sedobija tzv. Schr�odinger-ova slika zakona kretanja, a to je zapravo teorija koju smo prou�cavali uprethodna dva odeljka.Ako se de�ni�se S(t) = U�1(t� t0; t0) = U y; 8t � t0, dobija se tzv. Heisenberg-ova slika.3.3.2 Prelazak na Heisenberg-ovu slikuSve vektore i operatore u Schr�odinger-ovoj slici ozna�ci�cemo indeksom S, a u Heisenberg-ovoj sliciisti entiteti ima�ce indeks H.Po�sto smo, pi�su�ci kratko U(t) umesto U(t� t0; t0), imali j S(t)i = U(t) j S(t0)i, sad imamoj H(t) i = U�1(t) j S(t) i =j S(t0) i. Dakle, usled U(t0) = I,j H(t) i =j H(t0) i =j S(t0) i ; 8t � t0; (3.3.1)tj. u Heisenberg-ovoj slici vektor stanja se ne menja u toku vremena. Drugim re�cima, vektorstanja H pridru�zujemo celokupnoj vremenskoj evoluciji kvantnog ansambla.U Schr�odinger-ovoj slici su opservable, po pravilu, nezavisne od vremena, ali poneke mogui da zavise od vremena (kao na primer hamiltonijan nekonzervativnog sistema). Ako izvr�simoprelazak AH(t) = U y(t)AS(t)U(t); (3.3.2)vidimo da se u Heisenberg-ovoj slici opservable po pravilu menjaju u toku vremena. U stvari uovoj slici opservable nose teret promene u vremenu umesto da to �cine stanja.

94 GLAVA 3. DINAMIKA KVANTNE MEHANIKEU slu�caju konzervativnog kvantnog sistema, evolucioni operator je funkcija hamiltonijanaU(t) = e� {~ (t�t0)HS , te komutira sa njim ili ekvivalentno U yHSU = HS. StogaHH = HS; (3.3.3)�sto zna�ci da ni HH ne zavisi od vremena.3.3.3 Zakon kretanjaIz jednakosti (3.3.2) sledi AH(t0) = AS(t0) (usled U(t0) = I). Stoga, ako se ograni�cimo naopservable koje u Schr�odinger-ovoj slici ne zavise od vremena: AS(t) = AS(t0), jednakost (3.3.2)mo�ze da se prepi�se u vidu AH(t) = U y(t)AH(t0)U(t) : (3.3.4)To je integralni vid dinami�ckog zakona u Heisenberg-ovoj slici.Teorem 3.3.1 Diferencijalni vid zakona kretanja u Heisenberg-ovoj slici glasi{~dAH(t)dt = [ AH(t); H(t) ] + {~@AH(t)@t ; (3.3.5a)gde je @AH(t)@t def= U y(t)@AS(t)@t U(t) (3.3.5b)i (3.3.5a) va�zi za svaku opservablu AH.Napomena 3.3.1 Obratiti pa�znju da parcijalni izvod po vremenu @AH(t)@t nije izvod operatora AH(t),ve�c transformacija sli�cnosti izvoda @AS(t)@t operatorom slike.Dokaz: Podimo od diferencirane jednakosti (3.3.2): dAH(t)dt = dUy(t)dt AS(t)U(t)+Uy(t)@AS(t)@t U(t)+Uy(t)AS(t)dU(t)dt .Pi�semo @AS(t)@t umesto dAS(t)dt da bismo dopustili mogu�cnost da AS(t) bude funkcija i drugih parametara (ili op-servabli) pored t.Podsetimo se diferencijalne jedna�cine (3.2.14) za evolucioni operator: {~dU(t)dt = HS(t)U(t). Adjungovanjemove jedna�cine dobijamo �{~dUy(t)dt = U y(t)HS(t). Na osnovu poslednje dve jednakosti i de�nicije (3.3.5b)mo�zemo jednakost iz prethodnog pasusa prepisati u vidu: {~dAH(t)dt = �Uy(t)HS(t)AS(t)U(t) + {~@AH(t)@t +Uy(t)AS(t)HS(t)U(t). Ubacuju�ci I = U(t)U y(t) izmedu HS i AS itd. i koriste�ci se ponovo sa (3.3.2), na krajuimamo {~dAH(t)dt = �HH(t)AH (t) + {~@AH(t)@t + AH(t)HH (t). Q. E. D.3.3.4 Verovatno�ca prelaza iz jednog stanja u drugoVratimo se za trenutak na Schr�odinger-ovu sliku i podsetimo se na pojam prelaza (merenjem) izstanja u stanje ' (x 2.4.7): neka je AS1; AS2; : : : ASK potpuni skup kompatibilnih opservabli,a1; a2; : : : ; aK skup odgovaraju�cih svojstvenih vrednosti,a j 'S i def= j a1; a2; : : : ; aK i zajedni�ckisvojstveni vektor. Neka je sistem u trenutku t u stanju j S(t) i = U(t) j S(t0) i, a mi na njemu

3.3. HEISENBERG-OVA SLIKA 95vr�simo istovremeno merenje opservabli AS1; AS2; : : : ASK Verovatno�ca da sistem prede u stanjej 'S i, tj da merenje da rezultate a1; a2; : : : ; aK, glasi v( S ! 'S;t) = jh 'S j S(t)ij2 (2.4.8).Pitamo se kako se prelaz S ! 'S opisuje u Heisenberg-ovoj slici. U ovoj slici stanjekvantnog sistema izra�zava se vektorom j H i =j S(t0) i i u trenutku t, ali zato je vek-tor j 'H i, koji odgovara odredenom rezultatu merenja, zavisan od vremena. Naime, imamoAH1 = U y(t)AS1U(t); : : : ; AHK = U y(t)ASKU(t), a to, kao �sto je poznato iz teorije operatora uHilbert-ovim prostorima, uop�ste ne menja svojstvene vrednosti a1; : : : ; aK, ali menja zajedni�ckesvojstvene vektore (sve ovo je o�cigledno u spektralnoj formi operatora). Zajedni�cko svojstvenostanje je sad j 'H i = U y(t) j 'S i, ili na jeziku braova3.3.1: h'H j= h'S j U(t). Stogav( H ! 'H;t) = jh 'H(t) j Hij2 = jh'S j U(t) j S(t0) ij2 = v( S ! 'S;t): (3.3.6)Kao �sto vidimo, verovatno�ca prelaza ima, na kraju, isti vid kao u Schr�odinger-ovoj slici. To smo,naravno i o�cekivali.3.3.5 Uporedivanje slikaU gotovo svim primenama kvantne mehanike Schr�odinger-ova slika ima izrazitu prednost nadHeisenberg-ovom slikom, iz prostog razloga �sto je lak�se izra�cunati efekt vremenske evolucije navektor nego na operator. Naime, operator je kompleksniji objekat, na primer u reprezentacijioperator je kvadratna matrica, a vektor je brojna kolona. Zato se vremenska evolucija obi�cnodetaljno izla�ze u Schr�odinger-ovoj slici, kao �sto smo i mi uradili.S druge strane, Heisenberg-ova slika ima �cesto prednost nad Schr�odinger-ovom slikom kadase radi o nekom teorijskom pitanju. Najva�zniji primeri su slede�ci:a) poredenje kvantne mehanike sa klasi�cnom mehanikom;b) izu�cavanje konstanti kretanja i dobrih kvantnih brojeva u kvantnoj mehanici;c) kvantizacija elektromagnetnog polja.Mi �cemo konstante kretanja i dobre kvantne brojeve ipak izlo�ziti u Schr�odinger-ovoj slici (radiboljeg uklapanja u kontekst) u x 8.3.7, ali u zadacima �cemo ukazati na prednosti Heisenberg-oveslike. Poredenju kvantne mehanike sa klasi�cnom posveti�cemo slede�ci paragraf.3.3.6 Poredenje sa klasi�cnom mehanikomNeka je na�s kvantni sistem jedna �cestica, a njen prostor stanja Ho. Primenimo zakon kretanja udiferencijalnom vidu (3.3.5a) na osnovni skup opservabli r; p:{~drdt = [ r; HH(t) ]; (3.3.7a)3.3.1Podsetimo se da ket-bra dualizam Da (antilinearan je) deluje, kao i svako biunivoko preslikavanje, na slede�cina�cin: h'H jdef= Da j 'H i = (DaUy(t)D�1a )(Da j 'S i) = h'S j U(t), jer, po konvenciji, u prostoru braova operatorideluju zdesna na levo, a ekvivalentni operator po dualizmu (tj. Da : : : D�1a ) je adjungovani operator (u prostoruketova) koji deluje nalevo, tj. na braove.

96 GLAVA 3. DINAMIKA KVANTNE MEHANIKE{~dpdt = [ p; HH(t) ] (3.3.7b)(i (3.3.7a) i (3.3.7b) su po tri jednakosti, jer r def= (x; y; z) itd.), gde smo na r i p izostavili indeksH. Iz (2.6.7) znamo da jeHo = HxHyHz |�sto je kvantno mehani�cko uvodenje x; y; z-stepenaslobode �cestice, a u Hx videli smo da va�ze jednakosti (2.5.11):[ x; A ] = {~ @A@px ; [ px; A ] = �{~@A@x ; (3.3.8a,b)za proizvoljnu analiti�cku operatorsku funkciju A(x; px) u Hx. Iz dokaza ovih rezultata mo�zemose lako uveriti da relacije (3.3.8) va�ze i u Ho za svaku analiti�cku funkciju A(r; p) ako x iz Hxpostaje x Iy Iz u Ho itd. Potpuno analogne jednakosti va�ze u Hy i Hz i analogno se otudmogu preneti u Ho. Dakle, u Ho imamo jednakosti:[ r; A(r; p) ] = {~@A(r; p)@p ; (3.3.9a)[ p; A(r; p) ] = �{~@A(r; p)@r : (3.3.9b)Pod pretpostavkom da je u trenutku t, hamiltonijan HH(t) analiti�cka funkcija od r i p, (3.3.7)i (3.3.9) odmah daju: drHdt = @HH(t)@pH (3.3.10a)dpHdt = �@HH(t)@rH : (3.3.10b)U (3.3.10) prepoznajemo analogone poznatih Hamilton-ovih jedna�cina kretanja klasi�cne �cestice.Striktna analogija izmedu klasi�cne mehanike i kvantne mehanike u Heisenberg-ovoj slici mo�zese jo�s upotpuniti ako se podsetimo da u klasi�cnoj �zici proizvoljna varijabla A zadovoljava slede�cizakon kretanja dAdt = [ A;H ]PZ + @A@t ; (3.3.11)gde je H klasi�cna hamiltonova funkcija sistema.Uporedenje (3.3.11) i (3.3.5a) dovodi do zaklju�cka da se (3.3.5a) mo�ze dobiti iz (3.3.11) zame-nom klasi�cnih varijabli kvantno mehani�ckim opservablama i pisanjem komutatora pomno�zenog sa� {~ na mesto Poisson-ove zagrade, ba�s kao �sto smo i do sada postupali po Postulatu o kvantizaciji.3.3.7 Alternativna mogu�cnost za Dirac-ov postulat o za-konu kretanjaZna�caj zaklju�cka kojim smo zavr�sili prethodni paragraf je u tome �sto mi nismo (3.3.5a) dobilikvantizacijom jednakosti (3.3.11), ve�c smo (3.3.5a) izveli slede�ci Dirac-ovu intuiciju izra�zenupreko na�seg Postulata o zakonu kretanja. Name�cu se dva zaklju�cka:

3.4. INTERAKCIONA SLIKA I INTERNA KONVERZIJA 971. U odeljku x 3.1 prepoznali smo H(t) kao hamiltonijan, ali to se de�savalo pomalo intuitivnoi nedovoljno konkluzivno (videti 3.1.4). Tek sada mo�zemo smatrati dokazanim da je na�szaklju�cak bio ispravan.2. Moglo bi se re�ci da je Dirac-ov Postulat o zakonu kretanja u x 3.1 nepotreban, dovoljnoje samo pro�siriti postupak kvantizacije na vremensku evoluciju. Onda bismo prvo dobiliHeisenberg-ovu sliku, pa bismo sa nje pre�sli na Schr�odinger-ovu sliku. �Covek sa prvenstvenologi�cko-aksiomatsko-matemati�ckim inklinacijama bi bez sumnje izabrao ovaj metodolo�skielegantniji pristup zakonu kretanja u kvantnoj mehanici. Ali u �zici ipak na prvo mestotreba staviti intuitivno poimanje �zi�ckog sadr�zaja, a u tom pogledu Dirac-ov put je mnogosuperiorniji, kao �sto se, nadamo se, �citalac mogao uveriti3.3.23.3.8 Zakon kretanja za srednje vrednostiUzimaju�ci o�cekivanu vrednost h H j : : : j H i (i obele�zavaju�ci je kratko sa h : : : i) od operatorskejednakosti (3.3.5a) dolazimo do tzv. zakona kretanja za srednje vrednosti:dh AH(t) idt = � {~h [ AH(t); HH(t) ] i+ h @AH(t)@t i: (3.3.12)Uporedivanje ovog zakona sa (3.3.11) je mo�zda jo�s vi�se impresivno u smislu iznenaduju�ce analo-gije, nego uporedivanje (3.3.5a) sa (3.3.11), jer u (3.3.12) se radi o brojevima.Zadatak 3.3.2 a) Staviti AH(t) = rH(t) i AH (t) = pH(t) u (3.3.12) i pomo�cu (3.3.9) izvesti tzv. Ehrenfest-ove jednakosti: dh rH idt = h @HH@pH i; dh pH idt = �h @HH@rH i: (3.3.13a,b)b) Pokazati da se u slu�caju HH(t) = p2H (t)2m + V (rH(t)) (3.3.13b) svodi na: dh pH idt = h �grad VH i.Zadatak 3.3.3 Prerepisati (3.3.12) u Schr�odinger-ovoj slici imaju�ci u vidu da su svi brojevi (kao srednje vred-nosti) koji proisti�cu iz kvantno mehani�ckog opisivanja sistema invarijante svakog izomorfnog preslikavanja.3.4 Interakciona slika i interna konverzijaKvantna mehanika ima jednu ozbiljnu slabost u praksi: svojstveni problem hamiltonijana ve�cinerealnih kvantnih sistema ne mo�ze ta�cno da se re�si. U ovom odeljku �cemo nau�citi kako kvantnamehanika ovu slabost pretvara u prednost, u jedno specijalno videnje kvantnog mehanizma nekih�zi�ckih pojava.Upozna�cemo se preliminarno sa pojmovima neperturbovanog hamiltonijana, perturbacije iperturbovanog hamiltonijana i, na osnovu toga, izu�ci�cemo jednu novu sliku, tzv. interakcionu3.3.2 �Citaocu je verovatno jasno da trnoviti put koji smo pre�sli u Dirac-ovom prilazu (niz poja�canja op�stih pret-postavki iz Postulata VI, nagadanja itd.) postoji i u pomenutoj drugoj mogu�cnosti prilaza. Samo �sto bi tu svebilo implicitno, sakriveno u klasi�cnim relacijama.Dirac-ov pristup ima poseban zna�caj za kvantne sisteme bez potpunog (ili bez ikakvog) klasi�cnog analogona.

98 GLAVA 3. DINAMIKA KVANTNE MEHANIKEsliku. Ona je prilagodena primeni na kvantne sisteme �ciji se hamiltonijan prirodno pi�se kaoperturbovani hamiltonijan.Kratko �cemo prodiskutovati kvalitativnu primenu formule verovatno�ce prelaza u interakcio-noj slici na nekoliko osnovnih kvantnih fenomena. Zavr�si�cemo odeljak diskusijom za�cuduju�cegfenomena da su sva pobudena stanja svih kvantnih sistema nestabilna.3.4.1 PerturbacijaZa mnoge kvantne sisteme hamiltonijan H(t) je toliko slo�zen da njegov svojstveni problem nemo�zemo neposredno da re�simo. Ali �cesto mo�zemo da ga napi�semo kao zbir dva �clanaH(t) = H0(t) + H 0(t); (3.4.1)tako da a) svojstveni problem od H0(t) znamo da re�simo, b) H 0(t) je ,,mali" operator, tj. uproizvoljnom bazisu fj n ij8ng svi matri�cni elementi hn j H 0(t) j n i su mali, drugim re�cima, pomodulu mnogo manji od jedinice.H0(t) se naziva hamiltonijanom neperturbovanog sistema ili neperturbovanim hamiltonija-nom; H 0(t) se naziva perturbacijom, a o celom H(t) se govori kao o hamiltonijanu perturbovanogsistema ili o perturbovanom hamiltonijanu.Hamiltonijan kvantnog sistema izra�zava, kao �sto znamo, �zi�cku strukturu sistema. Kada seradi o perturbovanom hamiltonijanu, onda neperturbovani deo izra�zava dominantni deo struk-ture, a perturbacija unosi malu korekciju. Zbog prisustva ove korekcije (ako je [ H0(y); H 0(t) ] 6=0) obi�cno ne umemo da re�simo svojstveni problem od H(t).3.4.2 Interakciona slikaPretpostavimo da neperturbovani hamiltonijan H0(t) de�ni�se evolucioni operator U0(t � t0; t0),tj. da U0(t� t0; t0) zadovoljava{~dU0(t� t0; t0)dt = H0(t)U0(t� t0; t0); U0(0; t0) = I (3.4.2a,b)(uporediti (3.1.14)).U tzv. interakcionoj slici zakona kretanja imamo po de�nicijiS(t) def= U y(t� t0; t0) = U�10 (3.4.3)(videti u x 3.3.1 pojam operatora slike S(t)). Drugim re�cima, interakciona slika je Heisenberg-ovaslika u odnosu na neperturbovani hamiltonijan. Termin ,,interakciona" dolazi otud �sto perturba-cija H 0(t) obi�cno poti�ce od interakcije �cestica. Ponekad se ova slika naziva i Dirac-ovom.Po�sto se kvantni sistem o kojem je re�c opisuje perturbovanim hamiltonijanom, moramo po-vesti ra�cuna i o perturbaciji.Neka je U(t � t0; t0) ta�cni evolucioni operator sistema, tj. evolucioni operator koji de�ni�seperturbovani hamiltonijan:{~dU(t� t0; t0)dt = H(t)U(t� t0; t0); U(0; to) = I : (3.4.4a,b)

3.4. INTERAKCIONA SLIKA I INTERNA KONVERZIJA 99Izvr�simo faktorizaciju U(t� t0; t0) def= U0(t� t0; t0)U 0(t� t0; t0) (3.4.5)(de�nicija za U 0), sa namerom da U 0 pove�zemo sa perturbacijom H 0(t).3.4.3 Perturbacioni evolucioni operator U 0Teorem 3.4.1 Operatori U 0 i H 0 su uzajamno povezani diferencijalnom jedna�cinom{~dU 0(t�t0;t0)dt = H 0I(t)U 0(t� t0; t0) ; U 0(0; t0) = I ; (3.4.6a,b)gde je HI(t) perturbacija u interakcionoj slici:H 0I(t) def= U y0 (t� t0; t0)H 0(t)U0(t� t0; t0): (3.4.6c)Dokaz: Podimo od (3.4.4a) i zamenimo u njoj (3.4.5) i (3.4.1): {~dU0dt U 0+{~U0 dU 0dt = (H0+H 0)U0U 0. Zamenimo naLS-i {~dU0dt iz (3.4.2a) i skratimo posle toga jednake �clanove na LS-i i DS-i. Tako dolazimo do {~U0 dU 0dt = H 0U0U 0.Kada ovu jednakost pomno�zimo sa LS-e sa U y0 , dobijamo (3.4.6a) sa (3.4.6c). A (3.4.6b) odmah sledi iz (3.4.5),(3.4.2b) i (3.4.4b). Q. E. D.Napomena 3.4.1 Treba uo�citi da su diferencijalne jedna�cine za evolucione operatore U0 i U 0 (3.4.2a)odnosno (3.4.6a) samo prividno raspregnute, tj. nezavisne jedna od druge. Naime, dok (3.4.2a) stvarnone zavisi od perturbacije, (3.4.6a) zavisi od neperturbovanog hamiltonijana H0 (preko U0 u (3.4.6c).Po�sto je vektor stanja u Schr�odinger-ovoj slici j S(t) i = U j S(t0) i = U0U 0 j S(t0) i,a vektor stanja u interakcionoj slici je po de�niciji j I(t) i def= S(t) j S(t) i def= U�10 j S(t) i,o�cigledno imamo j I(t) i = U 0(t� t0; t0) j I(t0) i = U 0(t� t0; t0) j S(t0) i : (3.4.7a)Iskoristili smo i j I(t0) i =j S(t0) i; (3.4.7b)�sto odmah sledi iz S(t0) = U�10 (0; t0) = I.Da rezimiramo, evolucija sistema se razla�ze na neperturbovanu, koja deluje na opservable,a na tom "fonu" je izdvojena evolucija stanja izra�zena perturbacionim evolucionim operatoromU 0.3.4.4 Vremenska evolucija opservabliVratimo se za trenutak na neperturbovani hamiltonijan H0 i njegov evolucioni operator U0.Zapitajmo se u �cemu je �zi�cki smisao operatora H0 i U0.Teorem 3.4.2 Proizvoljna opservabla A u interakcionoj slici | pisa�cemo je AI | menja se uvremenu po slede�cem diferencijalnom zakonu kretanja:{~dAI (t)dt = [ AI(t); H(0)I (t) ] + {~@AI(t)@t ; (3.4.8a)

100 GLAVA 3. DINAMIKA KVANTNE MEHANIKEgde je H(0)I (t) def= U y0(t� t0; t0)H0(t)U0(t� t0; t0) (3.4.8b)neperturbovani hamiltonijan u interakcionoj slici, a@AI(t)@t def= U y0 @AS@t U0: (3.4.8c)Dokaz: Podimo, kao i u dokazu analognog teorema T3.3.1, od de�nicije AI(t) def= Uy0 ASU0 i diferencirajmo je povremenu: dAI(t)dt = dUy0dt ASU0 + Uy0 @AS@t U0 + U y0 AS dU0dt . Koriste�ci se sa (3.4.2a), imamo {~dAI(t)dt = �Uy0H0ASU0+{~@AI@t + Uy0 ASH0U0, �sto daje (3.4.8a). Q. E. D.Napomena 3.4.2 Ako neperturbovani hamiltonijan opisuje konzervativni sistem, onda se (3.4.8b)svodi na H(0)I = H0; (3.4.9)jer je U0 = e� {~ (t�t0)H0 .Dakle, kao �sto sledi iz (3.4.8), H0(t) reguli�se zakon kretanja opservabli. Operator evolucijeU0 daje odgovaraju�ci integralni vid zakona kretanja za opservable koje u Schr�odinger-ovoj slicine zavise od vremena: AI(t) = U y0(t� t0; t0)AI(t0)U0(t� t0; t0) (3.4.10)((3.4.10) u stvari transformi�se opservable iz Schr�odinger-ove u interakcionu sliku, a AS(t) =AS(t0) = AI(t0)). U tome je �zi�cki smisao entiteta H0(t) i U0(t� t0; t0).U interakcionoj slici, kao �sto vidimo, menjaju se u vremenu i opservable (sli�cno kao uHeisenberg-ovoj slici) i vektori stanja (sli�cno kao u Schr�odinger-ovoj slici). U tom pogledu inter-akciona slika je izmedu Heisenberg-ove i Schr�odinger-ove slike i zato se naziva i intermedijernomslikom.3.4.5 Verovatno�ca prelazaNapi�simo verovatno�cu prelaza u interakcionoj slici:v( I ! 'I; t) = jh I(t) j 'I(t)ij2; (3.4.11a)gde je j I(t) i = U 0(t� t0; t0) j I(t0) i; (3.4.11b)a j 'I(t) i = U y0 (t� t0; t0) j 'I(t0) i; (3.4.11c)jer je vektor stanja, a ' u su�stini rezultat merenja3.4.1, tj. A' = a') (U y0 AU0)(U y0') = a(U y0')) AI'I = a'I (uporediti (3.3.6) i (2.4.8)).Naravno, na jeziku braova (3.4.11c) ima vidh'I(t) j= h'I(t0) j U0(t� t0; t0): (3.4.11d)3.4.1Stanje ' se �cesto naziva krajnjim stanjem (engleski: �nal state, �citati: fajnl stejt), jer se posle (selektivnog)merenja kvantni sistem nade u tom stanju; sli�cno, se obi�cno naziva po�cetnim stanjem (egleski: initial state,�citati: ini�sl stejt).

3.4. INTERAKCIONA SLIKA I INTERNA KONVERZIJA 101Zadatak 3.4.1 Pokazati da v( I ! 'I ; t) = v( S ! 'S;t).U�cinimo sad slede�ce pretpostavke:a) neperturbovani hamiltonijan ne zavisi od vremena;b) po�cetno stanje j I(t0) i je svojstveno stanje neperturbovanog hamiltonijana H0, pisa�cemoj n0 i def= j I(t0) i ic) u trenutku t � t0 vr�simo merenje opservable H0 i pitamo se kakva je verovatno�ca dadobijemo rezultat En koji je re�senje svojstvenog problema3.4.2H0 j n i = En j n i: (3.4.12)U ovom specijalnom slu�caju imamo j I(t) i = U 0(t� t0; t0) j n0 i, j 'I(t) i = e {~ (t�t0)En j n i iv(j n0 i !j n i; t) = jhn j U 0(t� t0; t0) j n0 ij2 (3.4.13)(zbog uzimanja modula ispustili smo fazni faktor uz hn j).Za izra�cunavanje verovatno�ce prelaza (3.4.13) potrebno je prethodno izra�cunati U 0. Po�stoje diferencijalna jedna�cina preko koje perturbacija HI(t) de�ni�se U 0, tj. (3.4.6a), analogna di-ferencijalnoj jedna�cini u kojoj hamiltonijan de�ni�se evolucioni operator u Schr�odinger-ovoj slici(videti (3.1.14)) i ovde mo�zemo pre�ci na ekvivalentnu integralnu jedna�cinu (analogon od (3.1.15))i tra�ziti iteraciono re�senje preko Dyson-ovog reda (uporediti x 3.1.7).Sada �cemo po�ci induktivno, preko konkretnih fenomena, ka kvalitativnoj interpretaciji formule(3.4.13) (u paragrafu x 3.4.9), koja je od zna�caja za razumevanje nekih kvantnih pojava.3.4.6 Interna konverzija u atomskoj �ziciPretpostavimo da je kvantni sistem koji posmatramo elektronski omota�c neutralnog helijumovogatoma. Neperturbovani hamiltonijan onda mo�zemo da napi�semo u oblikuH0 = p212me + p222me � 2e2r1 � 2e2r2 ; (3.4.14)gde je me masa elektrona, a e elektri�cni naboj protona. O�cigledno, (3.4.14) je napisano u radijus-vektorskoj reprezentaciji, tj. H0 deluje u L2(r1; r2).Na�s neperturbovani sistem je �ktivan, jer u njemu elektroni ne interaguju; o�cigledno je kon-zervativan, ali neizolovan (nalazi se u spolja�snjem Coulomb-ovom polju jezgra).Perturbacija H 0 je uzajamna interakcija elektronaH 0 = e2jr1 � r2j (3.4.15)3.4.2Pa�zljivi �citalac prime�cuje da pre�cutno pretpostavljamo da je j ni de�nisan sa En. Dakle, ili je neperturbovaninivo En nedegenerisan, ili smo H0 ve�c dopunili do kompletnog skupa kompatibilnih opservabli.

102 GLAVA 3. DINAMIKA KVANTNE MEHANIKEElektronski omota�c je u stvari opisan perturbovanim hamiltonijanom H = H0 + H 0 i sistem jekonzervativan.U neperturbovanom hamiltonijanu (3.4.14) dva elektrona su, kao �sto se ka�ze dinami�cki neza-visna. To �ce re�ci da mo�zemo da napi�semo H0 = H(0)1 + H(0)2 , gde H(0)1 zavisi samo od opservabliprvog elektrona (tj. deluje u L2(r1)) a H(0)2 zavisi samo od opservabli drugog elektrona (tj. de-luje u L2(r2)). Osim toga, H(0)1 = p212me � 2e2r1 i H(0)2 = p222me � 2e2r2 su jednake operatorske funkcijeosnovnog skupa opservabli.U ovakvom slu�caju tzv. modela nezavisnih �cestica dovoljno je re�siti svojstveni problem recimoza H(0)1 , a re�senja za H(0)2 onda mo�zemo da napi�semo po analogiji; dvoelektronski energetski nivoje zbir jednoelektronskih, a dvoelektronsko stanje proizvod jednoelektronskih stanja:E(n1;n2)12 = E(n1)1 + E(n2)2 ; j n1; n2 i =j n1 i j n2 i: (3.4.16a,b)Ovde se, naravno, radi o re�senjima svojstvenih problemaH0 j n1; n2 i = E(n1;n2)12 j n1; n2 i; H(0)1 j n1 i = E(n1)1 j n1 i; H(0)2 j n2 i = E(n2)2 j n2 i: (3.4.17a,b,c)Zadatak 3.4.2 Interpretiraju�ci (3.4.16) kao de�nicije LS-a, pokazati da (3.4.17a) neposredno sledi iz (3.4.17b,3.4.17c).Tek �cemo u odeljku x 9.1 re�siti svojstveni problem elektrona u polju vodoniku sli�cnog jezgrai dobiti jedno�cesti�cne energetske nivoe E(n1)1 (ili E(n2)2 ). Ispostavi�ce se da je n1 u stvari niz odtri kvantna broja (ako zanemarimo spin), pri �cemu energetski nivo zavisi samo od tzv. glavnogkvantnog broja, koji uzima vrednosti 1,2,. . . , i od kvantnog broja orbitnog uglovnog momenta,�cije se vrednosti pi�su s; p; d; : : : Ova dva kvantna broja pi�su se zajedno kao 1s; 2s; : : : itd.Diskretni spektar od H(0)1 sadr�zava�ce nivoe vezanih stanja elektrona; a pored toga ima�cemo ikontinualni spektar dat intervalom energija [0;+1). Energetske vrednosti iz kontinualnog spek-tra odgovara�ce nevezanom elektronu (omota�c je onda jonizovan), koji je prakti�cno van doma�sajapotencijala jezgra, a njegova kineti�cka energija mo�ze imati bilo koju nenegativnu vrednost.Neka je po�cetno stanje j I(t0) i =j n01; n02 i dvoelektronskog omota�ca svojstveno stanjeneperturbovanog hamiltonijana H0 iz (3.4.14) i to takvo da su oba elektrona u ekscitiranom 2sstanju. Neka jednaku dvoelektronsku energiju (�sto se ti�ce H0) ima jedno drugo stanje j n1; n2 i ukojem je jedan od elektrona u osnovnom stanju 1s, a drugi elektron je slobodan (sa pogodnomvredno�s�cu kineti�cke energije). Po�sto se radi o istoj energiji, pitamo se ne bi li sistem mogao daprede bez apsorbcije ili emisije energije iz po�cetnog stanja j n01; n02 i u pomenuto stanje j n1; n2 i.Kvantno mehani�cki odgovor na na�se pitanje daje upravo formula (3.4.13) za verovatno�cuprelaza (o�cigledno su uslovi a)-c) zadovoljeni). Usled postojanja perturbacije H 0, U 0 6= I, vero-vatno�ca je v(j n01; n02 i !j n1; n2 i) > 0 (ne�cemo sad izra�cunavati njenu vrednost).Pomenuti spontani prelaz j n01; n02 i !j n1; n2 i poznat je u eksperimentima i naziva seinternom konverzijom, po�sto se jedno stanje konvertuje u drugo. Kao sinonimi pojavljuju senazivi: bezradijacioni ili autojonizuju�ci ili Auger-ov (�citati: O�zeov) efekat. Oslobodeni elektronse naziva Auger-ovim elektronom.Auger je ovaj efekat posmatrao u Wilson-ovoj komori. Ozra�civao je kripton rendgenskimzracima i video trag fotoelektrona iz K-ljuske, koja odgovara osnovnom stanju j n1 = 1s i, daklenajja�ce vezanom elektronu. Medutim, povremeno bi video i dva traga iz iste ta�cke. Drugi elektron

3.4. INTERAKCIONA SLIKA I INTERNA KONVERZIJA 103je bio Auger-ov elektron. Energija vezivanja3.4.3 elektrona u K-ljusci je preko dva puta ve�ca odenergije vezivanja u L-ljusci: EK > 2EL. Izbijanjem elektrona iz K-ljuske omota�c ima energijuekscitacije EK . Autojonizacijom dva elektrona se otrgnu iz L-ljuske, jedan popuni prazninu uK-ljusci, a drugi izleti iz omota�ca (kao Auger-ov elektron) sa kineti�ckom energijom EK � 2EL.Omota�c ostane sa energijom ekscitacije 2EL, pa se deekscituje sekundarnim zra�cenjem.3.4.7 Interna konverzija u nuklearnoj �ziciPojava sli�cna opisanoj u prethodnom paragrafu se ponekad mo�ze posmatrati i pri dovoljno ve-likoj ekscitaciji atomskog jezgra. Deekscitacija se ostvaruje emisijom elektrona iz elektronskogomota�ca. I ovo je proces interne konverzije. Postavlja se pitanje kako treba razumeti ovaj procesu interakcionoj slici preko verovatno�ce prelaza (3.4.13).Neka je perturbovani hamiltonijan H0 def= HJ + HE, gde je HJ hamiltonijan jezgra, a HEhamiltonijan elektronskog omota�ca. Oba ova hamiltonijana su ukupna u smislu da HJ egzaktnoopisuje golo jezgro, a HE opisuje omota�c sa interaguju�cim elektronima u spolja�snjem polju jezgra.Neka je perturbacija H 0 polje kojim elektronski omota�c deluje na jezgro (ono je malo, ali poprincipu akcije i reakcije, koji se odr�zava kvantizacijom, mora da postoji). Po�cetno stanje j n0 icelog atoma je svojstveno stanje od H0 u kojem je jezgro pobudeno, a elektronski omota�c je uosnovnom stanju. Krajnje stanje j n i atoma je takode svojstveno stanje od H0 i to sa istomsvojstvenom vredno�s�cu E12, ali u njemu je jezgro u osnovnom stanju, a omota�c je u pobudenomstanju i to jonizovan sa jednim emitovanim elektronom. Kao �sto formula (3.4.13) pokazuje, usledpostojanja perturbacije H 0 i odgovaraju�ceg perturbacionog evolucionog operatora U 0 6= I, postojipozitivna verovatno�ca prelaza j n0 i !j n i (bez razmene energije sa okolinom).3.4.8 Elasti�cno rasejanjeNeka je neperturbovani hamiltonijan H0 def= p22m operator kineti�cke energije slobodne �cestice, aneka je perturbacija H 0 def= V (r) potencijal koji poti�ce od �ksirane ta�cke. Po�cetno stanje �cesticej n0 i neka je neko svojstveno stanje od H0 sa odredenom vredno�s�cu impulsa p0. Krajnje stanjej n i neka je takode svojstveno stanje od H0 sa drugom vektorskom vredno�s�cu impulsa p.Po formuli (3.4.13) postoji pozitivna verovatno�ca da �cestica prede iz stanja j n0 i =j p0 i ustanje j n i =j p i. Ali mora biti p202m = p22m , jer je polje V (r) konzervativno, te �cestica nema sa �cimda razmeni energiju. Ovaj proces je tzv. elasti�cno rasejanje (koje �cemo pobli�ze izu�citi u odeljkux 12.1).Ako se rasejanje vr�si na realnom �zi�ckom sistemu, onda postoji i mogu�cnost neelasti�cnograsejanja, koje je propra�ceno apsorpcijom energije (to �cemo prou�cavati u x 12.2).3.4.9 Mehanizam procesaKao �sto je ve�c re�ceno, kvantna mehanika, kao u ostalom i klasi�cna �zika, ima tu slabost dazbog prisustva perturbacije ne raspola�ze ta�cnim re�senjima svojstvenog problema perturbovanog3.4.3Energija vezivanja je moduo energije elektrona, a ova je negativna, jer elektron je vezan u ljusci.

104 GLAVA 3. DINAMIKA KVANTNE MEHANIKEhamiltonijana. Ali ona ovu slabost pretvara u prednost koja se sastoji u razumevanju mehanizmakvantnog procesa.Kao �sto smo videli u prethodna tri paragrafa, strukturu kvantnog sistema zami�sljamo prekoneperturbovanog hamiltonijana, koji izra�zava dominantni deo ukupne strukture, a perturbacijaje za nas uzro�cnik kvantnih prelaza iz jednog svojstvenog stanja neperturbovanog hamiltonijanau drugo.U stvari, kao u opisanom slu�caju posmatranja Auger-ovog efekta u Wilson-ovoj komori, ceoproces prelaza se odvija u prisustvu laboratorijskih instrumenata i mi ga tuma�cimo kao merenjeopservable H0, tj. neperturbovanog hamiltonijana.3.4.10 Paradoks nestabilnosti pobudenih stanjaNa kraju ovog odeljka da se osvrnemo na jedan od osnovnih paradoksa na koji �covek nailazipri ovladavanju �zikom kvantnih sistema. Kao �sto je poznato (bar iz fenomenolo�ske atomske�zike), svaki kvantni sistem mo�ze da ostane beskona�cno dugo samo u osnovnom stanju (ka�ze seda je to stanje stabilno). U svakom pobudenom stanju mo�ze da provede samo kona�can vremenskiinterval, onda se deekscituje (nestabilno stanje), po pravilu emituju�ci jedan ili vi�se fotona. Ovoje potpuno op�sta karakteristika svih kvantnih sistema.Radi preciznog poimanja pojmova, da se podsetimo da je osnovno stanje po de�niciji svoj-stveno stanje ukupnog hamiltonijana sistema koje odgovara najni�zem diskretnom energetskomnivou. Sva svojstvena stanja koja odgovaraju vi�soj (diskretnoj ili kontinualnoj) energiji sistema,nazivaju se pobudenim ili ekscitovanim stanjima.Videli smo u x 3.2.2 da stacionarno po�cetno stanje ostaje stacionarno za sva vremena (videti(3.2.11)). Po tome bi sva stacionarna stanja morala biti stabilna ako je sistem bez intervencijespolja. Zato imamo paradoks, koji je, kao i svaki paradoks, samo prividan. (Stvarni paradoksmo�ze da obori teoriju.)Re�senje paradoksa sastoji se u tome da uobi�cajeni ukupni hamiltonijan kvantnog sistemaobuhvata samo �cesti�cne stepene slobode, a ne sadr�zi u sebi mogu�cnost ekscitacije elektromag-netnog polja. Dakle, kvantna mehanika u svom uobi�cajenom obliku ima ograni�cenje �sto je samomehanika, te �sto u svoje opisivanje ne uklju�cuje mogu�cnost emisije fotona.Zamislimo sad da je malopreda�snji ukupni hamiltonijan kvantnog sistema u stvari nepertur-bovani hamiltonijan H0, a da perturbacija H 0 izra�zava latentno EM polje ili mogu�cnost emisijefotona ili, kako se ponekad ka�ze, virtuelne fotone sistema.Ako je po�cetno stanje osnovno stanje sistema, iz samog principa odr�zanja energije (koji,naravno, va�zi i u kvantnoj mehanici) jasno je da se sistem ne mo�ze sam ekscitovati i stoga nemamogu�cnosti za prelaz u drugo stanje. Ako je pak po�cetno stanje ekscitovano, onda odr�zanjeenergije dozvoljava deekscitaciju emisijom fotona.Ovo mo�zemo razumeti i iz formule (3.4.3). Zbog prisustva perturbacije (i U 0 6= I) mogu�ci suprelazi koji su energetski dozvoljeni. Za razliku od primera u paragra�ma x 3.4.6, x 3.4.7 i x 3.4.8,perturbacija u ovom slu�caju opisuje jedan stepen slobode koji se mo�ze ekscitovati (mo�ze da primienergiju) i zato su mogu�ci prelazi iz vi�sih pobudenih stanja u ni�za pobudena ili osnovno stanje.Kriti�cki �citalac �ce na izlo�zeno obja�snjenje uzvratiti da on ne vidi da je paradoks stvarnootklonjen jer bi on o�cekivao da je pobudeno stanje kvantnog sistema u stvari svojstveno stanjezaista ukupnog hamiltonijana, koji uklju�cuje i stepen slobode virtuelnih fotona (i �cak interakciju

3.4. INTERAKCIONA SLIKA I INTERNA KONVERZIJA 105ovog stepena slobode sa �cesti�cnim stepenima slobode). Onda bi sistem trebalo da bude stabilanu tom stanju, a znamo da nije. Ne protivure�ci li to kvantnoj mehanici, u stvari evoluciji stanjapo formuli (3.2.11)?!Zaklju�cak kontradikcije sledi iz pogre�sne premise: da je sistem u svojstvenom stanju pomenu-tog ,,zaista ukupnog" hamiltonijana. Ovo je pogodno mesto da istaknemo osnovni zna�caj pojmaprepariranja po�cetnog stanja. Bez preparacije nema kvantno mehani�ckog opisivanja. Naime,treba da se zapitamo �sta zapravo znamo o kvantnom sistemu kada ka�zemo da je u ekscitovanomstanju, tj. kako smo preparirali ansambl o kojem govorimo.Po pravilu, merenjem konstatujemo da je kvantni sistem izra�cio ili apsorbovao odredenefotone i po tome (na osnovu nekog prethodnog znanja o sistemu) zaklju�cujemo da sistem sadima odredeni energetski nivo. Obratiti pa�znju da u stvari vr�simo merenje na EM polju. Utom trenutku imamo dva podsistema: doti�cni kvantni sistem i EM polje koje merimo, i oni neinteraguju (fotoni ne mogu istovremeno da interaguju sa na�sim mernim aparatima i sa kvantnimsistemom). Direktno vr�simo merenje na EM polju, a indirektno rezultat merenja se odnosi i nadoti�cni kvantni sistem. Ovo je primer tzv. distantnog merenja (kvantni sistem je ,,distantan" uodnosu na merne instrumente, tj. oni s njim ne interaguju). Pobli�ze �cemo se upoznati sa ovompojavom u paragrafu x 4.4.8.Dakle, na�se pomenuto direktno merenje EM polja svodi se na to da u stvari prevodimo doti�cnikvantni sistem u neko svojstveno stanje neperturbovanog hamiltonijana, a to je u ovom slu�cajuukupni hamiltonijan koji obuhvata sve �cesti�cne stepene slobode bez EM polja. Zna�ci, eksperi-mentalno ne prevodimo sistem u svojstveno stanje pomenutog ,,zaista ukupnog" hamiltonijana,niti se zna kako bi se to moglo u�ciniti.

Glava 4RELACIJE NEODREDENOSTI,ME�SAVINE I PROBLEM DVE�CESTICE4.1 Relacije neodredenostiKvalitativni pojam principa neodredenosti, koji smo uveli na po�cetku ovog ud�zbenika �cemo uovom odeljku razraditi u kvantitativno formulisane relacije neodredenosti. Izve�s�cemo ih za op�stislu�caj (i ovde prilazimo deduktivno), a onda �cemo ih suziti na kanoni�cno konjugovane opservable,specijalno na koordinatu i impuls. Prodiskutova�cemo �zi�cki smisao (uop�stenih) svojstvenih vek-tora opservabli koordinata u kontekstu relacija neodredenosti. De�nisa�cemo stanje minimalneneodredenosti i ukaza�cemo na neke ispravne i na neke neispravne intuitivne formulacije relacijaneodredenosti. Na kraju, uz ne�sto anticipiranja rezultata iz teorije orbitnog uglovnog momenta,ukaza�cemo na nepostojanje relacija neodredenosti za z-komponentu orbitnog uglovnog momentai odgovaraju�ci ugao.4.1.1 Uvod i podsetnikU odeljku x 1.2 upoznali smo se sa Heisenberg-ovim principom neodredenosti. On iskazuje da sedve opservable A i B koje su nekompatibilne ([ A; B ] 6= 0) ne mogu istovremeno, tj. u istom mer-nom postupku, meriti sa proizvoljnom ta�cno�s�cu; �sto odredenije merimo jednu, to neodredenijapostaje druga. (Precizna forma ovog iskaza bi�ce data u x 4.1.8.)U ovom odeljku izve�s�cemo kvantitativnu formu tog principa, tzv. relacije neodredenosti.Podsetimo se iz x 1.4.10 da se neodredenost opservable A de�ni�se kao pozitivni koren iz srednjekvadratne devijacije �A def= qh (A� h A i)2 i; (4.1.1a)gde je, na primer, h A i def= h j A j i; (4.1.1b)(u x 1.4.10 imali smo umesto A op�stu stohasti�cku varijablu, X, a umesto h A i pisali smo X itd.)106

4.1. RELACIJE NEODREDENOSTI 107Treba zapaziti da je �A nenegativan broj, funkcija opservable A i stanja , a svrha mu je daizrazi kvantitativno "�sirinu" distribucije verovatno�ca mogu�cih vrednosti opservable A u stanju .Zadatak 4.1.1 Objasniti za�sto je h A i u op�stem slu�caju realan, a h (A� h A i)2 i 12 nenegativan broj.Podsetimo se, osim toga, da uvek va�zi (1.4.9)(�A)2 = h A2 i � h A i2; (4.1.2)kao i �cinjenica u teoremu T1.4.2 da je �A = 0 ako i samo ako opservabla A ima o�stru vrednostu stanju j i; to �ce re�ci, ako je j i svojstveni vektor od A, A j i = a j i, ta o�stra vrednostje a (uporediti i K 2.2.1 i K 2.2.2).Zadatak 4.1.2 Dokazati (4.1.2) na jeziku kvantne mehanike.4.1.2 Relacije neodredenostiSada �cemo formulisati i dokazati osnovni teorem ovog odeljka.Teorem 4.1.1 Neka su A i B dve proizvoljne opservable u prostoru stanja H kvantnog sistema ineka je j i proizvoljni vektor stanja u H (ali takav da spada u domen operatora A, B i [ A; B ]).Onda proizvod neodredenosti od A i B u stanju j i nije manji od 12 jh [ A; B ] ij, tj.�A�B � 12 jh [ A; B ] ij : (4.1.3)To su relacije neodredenosti u op�stem vidu.Dokaz: U teoriji Hilbert-ovih prostora dobro je poznata tzv. Schwartz-ova4.1.1 nejednakost, koja glasijh u j vij2 � h u j uih v j vi; 8 j u i; j v i 2 H: (4.1.4)Neka su A0 def= A � h A i; B0 def= B � h B i tzv. operatori linearnih devijacija, i stavimo j u i def= A0 j i,j v i def= B0 j i. Izraz (4.1.4) onda dajejh j A0B0 j ij2 � h j A02 j ih j B02 j i: (4.1.5)O�cigledno uvek va�zi A0B0 = 12(A0B0 + B0A0) + 12(A0B0 � B0A0); (4.1.6)�sto je (jednozna�cno) razlaganje linearnog operatora na hermitski i kosohermitski sabirak, kao �sto se lako vidi.Uzimanjem o�cekivane vrednostih j A0B0 j i = 12 h j (A0B0 + B0A0) j i+ 12 h j [ A0; B0 ] j i (4.1.7)imamo na levoj strani kompleksan broj, a na desnoj strani realan plus �cisto imaginaran (jednozna�cno razlaganjebroja). Stoga jh j A0B0 j ij2 � 14 jh j (A0B0 + B0A0) j ij2 + 14 jh j [ A0; B0 ] j ij2� 14 jh j [ A0; B0 ] j ij2 = 14 jh j [ A; B ] j ij2 (4.1.8)4.1.1 �Citati: �Svarcova.

108 GLAVA 4. RELACIJE NEODREDENOSTI, ME�SAVINE I PROBLEM DVE �CESTICE(poslednji korak sledi iz toga �sto je komutator bilinearan, a broj uvek komutira). Preostaje samo da uo�cimo da jedesna strana od (4.1.5) ve�c (�A)2(�B)2 (uporediti (4.1.1a) i da (4.1.5) pomo�cu nejednakosti u (4.1.8) prepi�semou vidu (�A)2(�B)2 � 14 jh [ A; B ] ij2 (4.1.9)�sto korenovanjem daje (4.1.3). Q. E. D.4.1.3 Kompatibilne opservableAko su opservable A i B kompatibilne, onda se (4.1.3) svodi na �A�B � 0, �sto je trivijalno.Mogu�ce je stanje j i u kojem �A = �B = 0, tj. u kojem i A i B imaju o�stru vrednost. Tozna�ci da je j i zajedni�cki svojstveni vektor za A i B: A j i = a j i; B j i = b j i, arealni brojevi a odnosno b su doti�cne o�stre vrednosti od A i B u stanju j i. �Sta vi�se, mogu�ce jeistovremeno4.1.2 meriti A i B. Naravno, kao i uvek, pod merenjem podrazumevamo neselektivno,prediktivno merenje.4.1.4 Kanoni�cno konjugovane opservableZa dve opservable A i B ka�ze se da su kanoni�cno konjugovane ako im je komutator jednak {~:[ A; B ] = {~; (4.1.10)a da pri tome postoji bazis4.1.3 u H u kojem se (4.1.10) reprezentuje matri�cnom relacijom[ A;B ] = {~.Ni�ze, u x 4.1.9, vide�cemo primer dve opservable koje zadovoljavaju (4.1.10), a nisu kanoni�cnokonjugovane. U slu�caju dve kanoni�cno konjugovane opservable A i B, usled (4.1.10) nejednakost(4.1.3) postaje �A�B � ~2 : (4.1.11)Relacije neodredenosti su najbolje poznate u svom specijalnom vidu (4.1.11) i to naro�cito zanajosnovniji par kanoni�cno konjugovanih opservabli, za koordinatu i impuls:�x�px � ~2 : (4.1.12)i analogno za y- i z-komponente u slu�caju trodimenzionalne �cestice.Zadatak 4.1.3 Proveriti va�zenje nejednakosti (4.1.12) na ravnom talasu u Hx. U �cemu je razre�senje dobijeneprividne protivre�cnosti?4.1.2� Komutiranje [ A; B ] = 0 je ekvivalentno postojanju zajedni�ckog svojstvenog bazisa za A i B u H ili u U(H).Mo�ze se desiti da je [ A; B ] 6= 0, a da A i B ipak imaju neke zajedni�cke svojstvene vektore. Ako je j i takavvektor, onda je desna strana od (4.1.3) nula i u tom stanju i A i B imaju o�stru vrednost. Ali u ovakvom slu�cajunemamo zajedni�cki svojstveni bazis za A i B i stoga nije mogu�ce izmisliti merni postupak koji bi u proizvoljnomstanju istovremeno merio A i B. (Tu se misli na neselektivno merenje; uporediti x 1.4.14.)4.1.3� Egzistencija takvog bazisa ekvivalentna je tome da je presek domena od A, domena od B i domena od[ A; B ] linearna mnogostrukost gusta u H. Onda se u njoj bira doti�cni bazis. Obratno, ako postoji doti�cni bazis,sve linearne kombinacije bazisnih elemenata �cine pomenutu linearnu mnogostrukost (koja je onda a fortiori gustau H).

4.1. RELACIJE NEODREDENOSTI 1094.1.5 Istorijski putIstorijski razvoj ideja je i kod relacija neodredenosti i�sao induktivno, tj. od posebnog ka op�stem.Prvo je W. Heisenberg 1927. godine4.1.4 analizom eksperimenata otkrio relacije (4.1.12). Tada jeRobertson 1929. godine4.1.5 izveo uop�stenje (4.1.11) za proizvoljan par kanoni�cno konjugovanihopservabli A i B, ali takvih da su analiti�cke funkcije od r i p. E. Schr�odinger je 1930. godine4.1.6dao op�stu formulu (4.1.3).4.1.6 Lokalizacija slobodne �cestice u ta�ckiSada �cemo proanalizirati �zi�cki smisao uop�stenih vektora j r i 2 U(H0) na osnovu relacijaneodredenosti.Lema 4.1.1 Za jednodimenzionalnu slobodnu �cesticu u proizvoljnom stanju iz Hx va�zi:h H i � ~28m(�x)2 : (4.1.13)Dokaz: Po�sto je �cestica slobodna, H = p2x2m . Iz (4.1.2) sledi: h p2x i = (�px)2+ h px i2. Stoga h H i = 12m h p2x i =12m (�px)2 + 12m h px i2 � 12m (�px)2 (odbacili smo nenegativan broj). Iz relacija neodredenosti (4.1.12) imamo(�px)2 � ~24(�x)2 , �sto u kombinaciji sa prethodnom nejednako�s�cu daje: h H i � ~28m(�x)2 . Q. E. D.Korolar 4.1.1 Za trodimenzionalnu slobodnu �cesticu u proizvoljnom stanju iz H0 va�zi4.1.7:h H i � ~28m( 1(�x)2 + 1(�y)2 + 1(�z)2 ) (4.1.14)Dokaz: h H i def= p22m = 12m p2x+ 12m p2y+ 12m p2z. h H i je odgovaraju�ci zbir srednjih vrednosti i svaki sabirak mo�zemona osnovu leme da minoriramo (naravno, lema va�zi analogno u Hy i Hz), �sto odmah daje (4.1.14). Q. E. D.Zamislimo lokalizaciju �cestice u ta�cki, tj. postizanje stanja j r0 i u apstraktnom U(H0)ili stanja Æ(r0 � r) 2 U(L2(r)), koje ga predstavlja u koordinatnoj reprezentaciji. Uop�stenufunkciju Æ(r0�r) mo�zemo predstaviti kao limes pravih vektora stanja iz L2(r) i to sa sve manjimdisperzijama �x, �y i �z. Drugim re�cima, Æ(r0 � r) = limn!1 n(r), a �nx ! 0, �ny ! 0 i�nz ! 0, gde je na primer �nx def= ph n j (x� h n j x j n i)2 j n i:Stanjima j p0 i, koja odgovaraju lokalizaciji impulsa u ta�cku (impulsnog prostora), mo�zemose proizvoljno blizu prima�ci i ona imaju �zi�cki smisao stanja sa odredenim impulsom. U teorijirasejanja ona daju prirodan i veoma koristan bazis.Medutim, iz (4.1.14) sledi h H i ! 1, tj. (kineti�cka) energija slobodne �cestice raste kabeskona�cnosti. To zna�ci, kako se primi�cemo grani�cnom slu�caju lokalizacije �cestice u ta�cki, moramo4.1.4 W. Heisenberg, Zeitschrift f�ur Physik, 43 (1927) 172.4.1.5H. P. Robertson, Physical Review, 34 (1929) 163.4.1.6E. Schr�odinger, Preussische Akademie der Wissenschaften, Berlin, Berichten 19 (1930) 296.4.1.7� Kao �sto je uobi�cajeno u kvantnoj mehanici, potpuno smo zanemarili mogu�cnost da vektor stanja koji jeimplicitno prisutan u (4.1.14) mo�ze da bude van domena nekog od operatora, te da neka od veli�cina u (4.1.14)mo�ze da bude nede�nisana. To za na�su svrhu nije va�zno i rigorozno rezonovanje bi predstavljalo nepotrebnukomplikaciju.

110 GLAVA 4. RELACIJE NEODREDENOSTI, ME�SAVINE I PROBLEM DVE �CESTICE�cestici dovoditi neograni�cene koli�cine energije. Time se srednja brzina �cestica mora pribli�zavatibrzini svetlosti (a masa mora da raste neograni�ceno) i izlazimo iz domena nerelativisti�cke �zike.U relativisti�ckoj kvantnoj �zici je poznato da pri dovoljno velikoj energiji �cestice, mo�ze dase stvori par anti�cestica (tj. �cestica i njena anti�cestica). Tako svaka �cestica u stvari posedujeprirodan mehanizam "odbrane" od lokalizacije u ta�cki. Ali, da jo�s jedanput naglasimo, ovajfenomen je van doma�saja nerelativisti�cke kvantne mehanike, koju prou�cavamo.Dakle, za slobodnu �cesticu stanje j r0 i u stvari nema neposrednog �zi�ckog smisla (predstavljasamo korisnu matemati�cku idealizaciju), jer se ne mo�ze sa proizvoljnom ta�cno�s�cu prepariratiansambl slobodnih �cestica u tom stanju4.1.8.4.1.7 Stanje minimalne neodredenostiPa�zljivi �citalac je primetio da relacije neodredenosti (4.1.11), kao i (4.1.3) i (4.1.12), uklju�cuju ijednakost. Ako su opservable A i B kanoni�cno konjugovane i stanje j i je takvo da u (4.1.11)va�zi jednakost �A�B = ~2 ; (4.1.15)onda se ka�ze da je j i stanje minimalne neodredenosti za opservable A i B. Iz dokaza TeoremaT4.1.1 mo�zemo zaklju�citi kako glasi potreban i dovoljan uslov za takvo stanje.Teorem 4.1.2 Neka su A i B dve proizvoljne date kanoni�cno konjugovane opservable u prostorustanja H. Vektor stanja j i je za njih stanje minimalne neodredenosti ako i samo akoi) j i pripada domenu od A, B i [ A; B ], iii) j i zadovoljava jednakost (A� a) j i = {c(B � b) j i; (4.1.16)gde su a, b i c neki realni brojevi. Najzad, ako (4.1.16) va�zi za j i, onda je nu�zno a = h jA j i = h A i, b = h j B j i = h B i i c 6= 0; jcj = ~2(�B)2 .Dokaz: � Potrebnost. Vratimo se na dokaz Teorema T4.1.1. Pre svega potrebno je da u Schwartz-ovoj nejedna-kosti (4.1.5) imamo jednakost. Poznato je da je to slu�caj ako i samo ako su dva faktora u skalarnom proizvoduna levoj strani od (4.1.5), tj. A0 j i i B0 j i, kolinearni, tj. proporcionalni jedan drugom:(A� h A i) j i = g(B � h B i) j i (4.1.17)(g je kompleksan broj). Osim toga potrebno je takode da u nejednakosti u (4.1.8) stoji jednakost, tj. da imamoh j (A0B0 + B0A0) j i = 0. Ako ovde zamenimo A0 j i def= (A� h A i) j i iz (4.1.17), dobi�cemo(g� + g)(�B)2 = 0 (4.1.18)(u bra-verziji od (4.1.17) g se kompleksno konjuguje). Ne mo�ze biti �B = 0, jer bi to protivure�cilo (4.1.11).Stoga mora biti g�+ g = 0, tj. g mora biti �cisto imaginaran broj. Zamenom g def= {c (c je realan broj), a def= h A i,4.1.8 To ne zna�ci da pomenuta stanja j n i, koja te�ze ka Æ(r0 � r), nemaju �zi�ckog smisla niti da lokalizacijavezane �cestice nije mogu�ca sa proizvoljnom ta�cno�s�cu. Zamislimo, na primer, da �cesticu u Hx vezuje potencijalnajama. Kada dubina jame te�zi beskona�cnosti, a �sirina nuli, onda je u jami vezana �cestica sve bolje lokalizovana iimamo konvergenciju ka lokalizaciji u ta�cki.

4.1. RELACIJE NEODREDENOSTI 111b def= h B i, se (4.1.17) svodi na (4.1.16).Dovoljnost. Pretpostavi�cemo da va�zi (4.1.16). Mno�ze�ci ovu jednakost s leva sa h j, dobijamo: h j (A�a) j i ={ch j (B�b) j i. To zna�ci da je realan broj jednak �cisto imaginarnom; dakle, oba su jednaka nuli. Stoga a = h A ii b = h B i, kao �sto smo tvrdili u Teoremu. Sad (4.1.16) postaje A0 j i = {cB0 j i. To je pre svega dovoljan uslovda Schwartz-ova nejednakost (4.1.5) va�zi kao jednakost. Osim toga, h j (A0B0+B0A0) j i = (�{c+{c)(�B)2 = 0,tako da i nejednakost u (4.1.8) va�zi kao jednakost i stoga mora da va�zi (4.1.15). Ako u (4.1.15) zamenimo (4.1.16),dolazimo do jednakosti jcj(�B)2 = ~2 , �sto iziskuje c 6= 0 i jcj = ~2(�B)2 . Q. E. D.Stanje minimalne neodredenosti za impuls i koordinatu u koordinatnoj reprezentaciji nazivase talasnim paketom minimalne neodredenosti ili kratko minimalnim talasnim paketom.Zadatak 4.1.4 a) Pokazati da je nenormirana talasna funkcija (x) = exp(� (x� x)24f2 + {px~ ); (4.1.19)x, p, f su realni brojevi, minimalni talasni paket. Da li su x, p, f slobodni ili �ksirani parametri? Kakoglasi njihova statisti�cka interpretacija?b) Na osnovu tabli�cnog integrala R10 e�g2x2 dx = p�2g , g > 0, normirati gore dobijenu funkciju (x).4.1.8 Intuitivne interpretacijeU formulaciji principa neodredenosti (odeljak x 4.1.1) rekli smo "�sto odredenije merimo jednuod dve nekompatibilne opservable, to neodredenija postaje druga". Pitamo se �sta je preciznozna�cenje ovog iskaza sa gledi�sta relacija neodredenosti.Zamislimomerni postupak koji treba da odredi u kom od intervala � � � ; [�f; 0); [0; f); [f; 2f); � � �le�zi x-koordinata �cestice i istovremeno u kom od intervala � � � ; [�g; 0); [0; g); [g; 2g); � � � le�zi px.Pitamo se da li pozitivni brojevi f i g mogu biti oba proizvoljno mali.Lako je videti da je �x � f i �px � g u stanju koje nastaje nakon selektivnog merenja (sabilo kojim od pomenutih mogu�cih rezultata); naime, f , na primer, jeste o�cigledno gornja granicaza pojedina�cne linearne devijacije (f 2 za kvadratne itd.). Dakle,fg � �x�px � 12~: (4.1.20)Vidimo da merni postupci ovog tipa4.1.9 imaju osobinu da �cim manjim uzmemo recimo f ,tim ve�ce mora biti g ili obratno. I to onda va�zi i za svako pojedina�cno merenje. To je tra�zeniprecizni smisao gornjeg iskaza komplementarnosti. Treba naglasiti da sve �sto je re�ceno va�zisamo za prediktivno merenje, koje u selektivnoj varijanti prediktabilno menja stanje (tako da jeistovremeno i preparacija). Za retrospektivno merenje relacije neodredenosti ne va�ze. Mo�ze sesmisliti retrospektivno merenje koje istovremeno meri x i px, obe proizvoljno precizno.U literaturi se jo�s �cesto nalazi jedna od slede�ce dve intuitivne interpretacije relacija neo-dredenosti (a ponekad i obe):4.1.9U stvari, formulacija u tekstu sadr�zi jedno, mo�zda nedopustivo pojednostavljenje: ispred "le�zi x-koordinata"i "le�zi px" (misli se na intervale du�zine f i g) treba da stoji "dominantnom verovatno�com". Naime, ne postojipravi potprostor stanja koji bi, u smislu teksta, odgovarao intervalima [0; f) i [0; g) na primer, i to zato �sto jeskup fx; pxg ireducibilan u prostoru stanja.

112 GLAVA 4. RELACIJE NEODREDENOSTI, ME�SAVINE I PROBLEM DVE �CESTICEa) Merenje koordinate x prouzrokuje nepredskaziv i nekontrolabilan poreme�caj u vrednosti pxi obratno.b) Polo�zaj x i impuls px �cestice �cak i ne postoje sa istovremeno potpuno ta�cnim (mada mo�zdanepoznatim) vrednostima.Prvi iskaz se mo�ze na�ci u pomenutom radu Heisenberg-a iz 1927. (primedba 4.1.4), a drugi uknjizi Bohm-a4.1.10Medutim, u novije vreme se do�slo do zaklju�cka da se ovi iskazi ne mogu precizno izvesti izrelacija neodredenosti i da, prema tome, predstavljaju prevazidene poglede na kvantne fenomene.Ovi iskazi pripadaju epohi stvaranja kvantne mehanike. Pored posledice (4.1.20), koju smo izveli,osnovna interpretacija relacija neodredenosti je statisti�cka: radi se o neodredenostima �A i �B,koje izra�zavaju "�sirine" odgovaraju�cih distribucija verovatno�ca i, prema tome, odnose se namerenje na �citavom ansamblu kvantnih sistema, koji eksperimentalno odgovara vektoru stanjaj i.4.1.9 uglovni moment i ugaoU ovom paragrafu anticipira�cemo neke rezultate kasnijih prou�cavanja (�citati ponovo posle x 6.5).Naime, pokaza�ce se da se �cestica mo�ze i kvantnomehani�cki opisivati sfernim polarnim koordina-tama r, � i '; �sta vi�se, pojavljuje se faktor prostor stanja L2('), koji se sastoji od funkcija kojezavise samo od azimuta '. U tom prostoru mo�ze se de�nisati i opservabla z-projekcije orbitnoguglovnog momenta lz i opservabla azimuta ' (koja je multiplikativni operator). Pri tome va�zi[ '; lz ] = {~: (4.1.21)A ipak, grubo re�ceno, relacije neodredenosti ne va�ze za ove opservable. Naime, postoje stanja j isa o�strim vrednostima za lz, dakle sa �lz = 0, u protivure�cnosti sa �'�lz � 12~. Kontradikcijudobijamo i uzimanjem o�cekivane vrednosti h j � � � j i od operatorske jednakosti (4.1.21) usvojstvenom stanju j i od lz; sledi 0 = {~, kao �sto se lako vidi.Razre�senje paradoksa je u tome �sto pomenuto stanje j i (sa �lz = 0) ne spada u domenoperatora [ '; lz ] (uporediti uslov za j i u Teoremu T4.1.1). Naime, kao �sto �ce se ispostaviti ux 6.5.8, domen operatora lz ograni�cen je na periodi�cne funkcije, a ' je multiplikativni operator.Nakon njegove primene, tj. nakon mno�zenja sa ', periodi�cna funkcija vi�se nije periodi�cna.Funkcija iz domena operatora 'lz � lz' mora biti periodi�cna da bi lz bilo primenljivo, a s drugestrane, onda sigurno nije u domenu od lz', kao �sto smo rekli.Dakle, domen od [ '; lz ] sadr�zi samo nulti vektor (a ne ceo bazis) i zbog toga (uporeditix 4.1.4) se ' i lz ne mogu smatrati kanoni�cno konjugovanim opservablama u kvantnoj mehaniciiako to jesu u klasi�cnoj �zici.4.2 Relacije neodredenosti energije i vremenaDok je hamiltonijan bez sumnje najva�znija opservabla pri kvantno-mehani�ckom opisivanju si-stema, njoj kanoni�cno konjugovana varijabla u klasi�cnoj �zici, vreme, uop�ste nije opservabla.4.1.10D. Bohm, Quantum Theory, New York, Prentice-Hall, Inc., 1952; str. 100.

4.2. RELACIJE NEODREDENOSTI ENERGIJE I VREMENA 113Medutim, eksperimentalno iskustvo pokazuje da i za energiju i vreme va�ze relacije neodredenostianalogno kao u slu�caju normalnih parova kanoni�cno konjugovanih opservabli. Kako to uklopitiu teoriju? Odgovoru na ovo pitanje posve�cen je ovaj odeljak.4.2.1 UvodKao �sto je �citaocu do sada bez sumnje postalo jasno, konceptualna struktura kvantne mehanikeje takva da se sastoji iz dva jasno razdvojena dela: iz predikcije u �ksiranom trenutku t (�cijemsmo izlaganju posvetili prve dve glave) i iz zakona kretanja, kojim se prebacujemo iz opisivanjau jednom trenutku u opisivanje u drugom, kasnijem trenutku (glava tre�ca).�Sto se ti�ce prvog dela, tu u osnovi le�zi implicitna pretpostavka da se u principu sve opservablemogu trenutno meriti. To je svakako idealizacija, ali je �zi�cki odr�ziva u smislu grani�cnog slu�caja:u principu merenje opservable A mo�ze da traje proizvoljno kratko (iako nu�zno kona�can intervalvremena!), a da rezultat bude jedan te isti, kakav sledi kvantno-mehani�ckom predikcijom iz stanjaj i.Postoji jedna opservabla, medutim, za koju se dobro zna da njeno ta�cno merenje u principune mo�ze da traje proizvoljno kratko. To je hamiltonijan, tj. energija kvantnog sistema. Stva-raoci kvantne mehanike bili su na osnovu empirijskih izvora potpuno sigurni da i za energiju ivreme va�zi princip neodredenosti analogno kao za ostale parove klasi�cnih kanoni�cno konjugovanihvarijabli.Ali nije bilo mogu�ce izraziti vreme kao opservablu naporedo sa prostornim koordinatama, teprincip neodredenosti energije i vremena nu�zno glasi druga�cije negoli (4.1.11). Zahvaljuju�ci tomekvantna mehanika sadr�zi �kciju trenutnih o�strih vrednosti energije kvantnog sistema ili trenutnihstacionarnih stanja.Kao �sto �cemo videti u paragrafu x 4.2.4, kvantno-mehani�cko opisivanje nestacionarnih stanjaje konzistentno sa relacijom neodredenosti koja sadr�zi neodredenost energetskog nivoa i du�zinuintervala vremena koji je potreban da se izvr�si merenje tog nivoa.4.2.2 Neodredenost vremenaPrili�cno je kontraverzno pitanje u kom vidu kvantna mehanika ipak treba da sadr�zi neku vrsturelacija neodredenosti za energiju i vreme. U svakom slu�caju nije mogu�ce, kao �sto smo rekli,formirati obe neodredenosti �H i �t na isti na�cin kao u prethodnom odeljku. Preostaju dvemogu�cnosti:(a) da se �H de�ni�se kao neodredenost hamiltonijana na isti na�cin kao i za svaku druguopservablu, a �t na nekakav drugi pogodan na�cin;(b) da se i �E i �t de�ni�su razli�cito od drugih opservabli.Prikaza�cemo samo varijantu (a), iako se mnogi autori4.2.1 odlu�cuju za varijantu (b).Varijanta (a) se pojavljuje u dve podvarijante:4.2.1Na primer: L.D. Landau i E.M. Lifxic, Kvantova� mehanika. Nerel�tivstska� teori�, (Nauka,Moskva, 1974); str. 189.

114 GLAVA 4. RELACIJE NEODREDENOSTI, ME�SAVINE I PROBLEM DVE �CESTICE(a.1) Da se na pogodan na�cin de�ni�se neodredenost vremena sa gledi�sta vremenske promeneu distribuciji verovatno�ce po mogu�cim mernim rezultatima neke pogodne opservable A.Takvo �t pisa�cemo �A.(a.2) Da se uzme minimalna vrednost (ili preciznije, tzv. in�mum ili najve�ca minoranta) svih �A(zna�ci, po svim mogu�cim pogodnim opservablama). Ovu neodredenost vremena pisa�cemosa � .4.2.3 Relacije neodredenosti energije i vremenaFormuli�simo sad podvarijantu (a.1), koja le�zi u osnovi i podvarijante (a.2).Opservablu A naziva�cemo pogodnom u trenutku t u stanju (t) ako (i) ona u Schr�odinger-ovojslici ne zavisi od vremena i (ii) (dh A idt )t 6= 0. Za svaku pogodnu opservablu de�nisa�cemo �A.U op�stem slu�caju srednja vrednost h A i zavisi od vremena i dh A idt je brzina njenog "pome-ranja". Veli�cina �A def= �Ajdh A idt j ; (4.2.1)gde je �A neodredenost od A u j i, predstavlja minimalno karakteristi�cno vreme za vremenskupromenu distribucije. Naime, pomeranje srednje vrednosti za iznos �A = �Ajdh A idt j je najmanjeprimetno pomeranje ove vrednosti.Teorem 4.2.1 Pod pretpostavkom da je j (t) i nestacionarno stanje (da bismo isklju�cili �H =0) i da je A pogodna opservabla u trenutku t u stanju j (t) i, va�zi nejednakost�A�H � 12~ ; (4.2.2a)gde je �H neodredenost hamiltonijana:�H def= qh (t) j (H � h (t) j H j (t) i)2 j (t) i; (4.2.2b)a �A je de�nisano sa (4.2.1).Dokaz: Iz (4.1.3) odmah sledi �A�H � 12 jh [ A; H ] ij: (4.2.3)S druge strane, u Heisenberg-ovoj slici va�zi {~dAHdt = [ AH ; HH ], jer po pretpostavci opservabla A je pogodna, te@AH@t = 0 (uporediti (3.3.5a)). Uzimanjem o�cekivane vrednosti h H j � � � j H i dobija se {~h H j dAHdt j H i =h H j [ AH ; HH ] j H i ili {~ ddt (h H j AH j H i) = h H j [ AH ; HH ] j H i. Po�sto je ovo brojna jednakost, onaje invarijantna pri prelasku na Schr�odinger-ovu sliku: {~ ddt(h H j A j H i) = h H j [ A; H ] j H i.Zamenjuju�ci h [ A; H ] i iz poslednje jednakosti u nejednakost (4.2.3), dolazimo do �A�H � 12~jdh A idt j, �stopomo�cu (4.2.1) odmah ima (4.2.2a) za posledicu. Q. E. D.Nejednakost (4.2.2a) va�zi za svaku pogodnu opservablu A i to sa istom vredno�s�cu �H. Stogamo�zemo zamisliti skup f�A j 8Ag po pogodnim opservablama i de�nisati� def= inff�A j 8Ag; (4.2.4)

4.2. RELACIJE NEODREDENOSTI ENERGIJE I VREMENA 115gde "inf" ozna�cava in�mum ili najve�cu minorantu tog skupa. Po�sto je � (kao in�mum) ili jedanod �A, ili je limes ovakvih veli�cina, iz (4.2.2a) sledi��H � 12~ (4.2.5)i, prema tome, � > 0. O�cigledno, � je teorijski najpogodnije minimalno karakteristi�cno vremeza kvantni sistem u stanju j (t) i. Izraz (4.2.5) predstavlja relacije neodredenosti energije ivremena u podvarijanti (a.2).4.2.4 Merenje energijeZamislimo da imamo jedan prostorni ansambl kvantnih sistema, na primer jednu tzv. metu odatomskih jezgara i da �zelimo da izmerimo energiju tih jezgara. Moramo da bombardujemo metusnopom �cestica, pa da izvu�cemo tra�zenu informaciju iz interakcije tih �cestica sa jezgrima.Snop �cestica u svojstvenom stanju impulsa, opisan ravnim talasom, predstavljao bi realizacijupotpuno monohromatskog ili monoenergetskog ansambla �cestica, ali svaka od tih �cestica bi bilapotpuno nelokalizovana (uporediti (4.1.12)) i njom ne bismo mogli pogoditi jezgro.Da bi do�slo do pogadanja mete, moramo, kao �sto se ka�ze, kolimirati snop �cestica, tj. propustitiga kroz dva paralelna otvora i nani�saniti s njim na metu. Tako u stvari prepariramo talasni paket,u kojem su koherentno pome�sana mnoga stanja sa razli�citim o�strim vrednostima impulsa. Po�stoje H = 12m p2, to zna�ci da imamo nestacionarno stanje sa neodredeno�s�cu energije �H > 0.Neodredenost sa kojom �cemo izmeriti energetski nivo jezgra o�cigledno ne mo�ze biti manja odovog �H.Neka je x-osa postavljena du�z kretanja snopa �cestica. Trajanje interakcije izmedu �cesticai jezgara ne mo�ze biti manje nego �sto je minimalno karakteristi�cno vreme �x za pomeranjelokalizacije �cestice du�z x-ose.Zna�ci, ako sa �E i �� obele�zimo neodredenost u izmerenoj energiji jezgra odnosno najkra�cetrajanje samog merenja, iz �E � �H i �� � �x sledi�E�� � �H�x � ~=2: (4.2.6)Kao �sto smo rekli, iz teorije nestacionarnih procesa izvodimo zaklju�cak, koji je potvrden em-pirijskim �cinjenicama, da "�sirina" energetske raspodele i minimalno trajanje merenja te raspodelezadovoljavaju relacije neodredenosti vida (4.2.6).4.2.5 �Sirina energetskih nivoaVe�c smo isticali �cinjenicu da je kod svih kvantnih sistema samo energetski nivo osnovnog stanja(tj. najni�zi nivo) stabilan, svi ostali, pobudeni, nivoi su nestabilni i nu�zno se pre ili kasnijedeekscituju (uporediti odeljak x 3.4.10).Univerzalna je empirijska �cinjenica da pogodno de�nisana "�sirina" pobudenih nivoa �E ipolu�zivot4.2.2 raspadanja � 12 zadovoljavaju relaciju�E� 12 � ~; (4.2.7)4.2.2Kao �sto je poznato, polu�zivot ili period poluraspadanja � 12 je du�zina vremenskog intervala u kojem brojkvantnih sistema spadne na polovinu. Lako se mo�ze pokazati da je � 12 = ln 2� = 0:6931� , gde je � tzv. konstantaraspadanja. Dakle, � 12 i � su ekvivalentne veli�cine, obe karakteri�su brzinu kojom se kvantni sistem raspada.

116 GLAVA 4. RELACIJE NEODREDENOSTI, ME�SAVINE I PROBLEM DVE �CESTICEtj. predstavljaju neku vrstu stanja minimalne neodredenosti energije i vremena. Dakle, nivoisa manjom �sirinom ("bolje de�nisani") �zive du�ze, tj. sporije se raspadaju. �Siri (ili "slabijede�nisani") nivoi, nasuprot tome, �zive kra�ce, tj. raspadaju se br�ze.Treba zapaziti da se u slu�caju deekscitacije radi o emisiji �cestica (obi�cno fotona), a ne o pome-ranju distribucija verovatno�ca za razne opservable A, kao kod stabilnih kvantih sistema. Zato se�A ili � ili �� iz paragrafa x 4.2.3 i x 4.2.4 moraju zameniti drugim minimalnim karakteristi�cnimintervalom vremena za proces raspadanja kvantnog sistema. Polu�zivot � 12 je takva veli�cina.�Sto se ti�ce osnovnog stanja, ono je ve�cno ako je izolovano, kao �sto smo rekli. Iako energetskinivo osnovnog stanja ima �sirinu nula, tj. ima o�stru vrednost, to u su�stini ne protivure�ci relaciji(4.2.7). Naime, ako bismo prediktivnim merenjem merili energiju osnovnog stanja (a samo zaprediktivno merenje va�ze relacije neodredenosti, uporediti x 4.1.6), morali bismo vr�siti "nega-tivno" merenje (uporediti x 2.4.10), tj. morali bismo zaklju�civati po tome �sto nema emitovane�cestice da je sistem jo�s neraspadnut. Ali da bismo bili sigurni da je sistem stabilan, a ne samoda je � 12 � 1, morali bismo meriti beskona�cno dugo.4.3 Me�sano stanje i kvantna statisti�cka �zikaU ovom odeljku posveti�cemo pa�znju problemu kako da se tretira me�sano stanje na najprakti�cnijina�cin u kvantnoj �zici. Analizom samog pojma me�sanog stanja pokaza�cemo da je najpogodnijimatemati�cki objekat za njegovo opisivanje u formalizmu kvantne mehanike statisti�cki operatorili matrica gustine. Formulisa�cemo i dokazati teoreme koji �ce omogu�citi da statisti�cki operatorbude u punoj meri pandan vektoru stanja i tako �cemo, ukratko ali zaokrugljeno, prezentovatiosnovne ideje kvantne statisti�cke �zike, kako se naziva uop�stenje kvantne mehanike na me�sanostanje.4.3.1 Me�sano stanjeSa op�stim pojmom me�sanog statisti�ckog ansambla, koji obuhvata nehomogene i homogene an-samble, upoznali smo se u x 1.4.12. U slu�caju kvantnih sistema, me�sani ansambl se dobijame�sanjem homogenih kvantnih ansambala. U analogiji sa specijalnim slu�cajem �cistih ansam-bala, me�sani kvantni ansambl zva�cemo kratko me�sanim stanjem. Ako su od pome�sanih �cistihstanja bar dva razli�cita (neekvivalentna), onda imamo nehomogeno ili me�sano stanje u u�zemsmislu. Ina�ce imamo trivijalno me�sano stanje, tj. �cisto stanje.Name�ce se pitanje da li postoje pogodni matemati�cki objekti u Hilbert-ovom prostoru stanja,kojima bismo mogli na jednostavan na�cin da opisujemo me�sana stanja. Ako takvi entiteti postoje,onda moramo utvrditi:1) kako se iz njih izra�cunavaju verovatno�ce rezultata merenja;2) kako se iz njih izra�cunavaju srednje vrednosti opservabli;3) kako se ti objekti menjaju u vremenu;4) kako se ti objekti menjaju pri merenju.

4.3. ME�SANO STANJE I KVANTNA STATISTI �CKA FIZIKA 1174.3.2 Pojam verovatno�ce kao putokazPretpostavimo da imamo K �cistih kvantnih ansambala sa po Nk; k = 1; 2; : : : ; K, kvantnihsistema u njima i pretpostavimo da smo sve to ujedinili (pome�sali) u jedan jedini nadansamblod N def= PKk=1Nk sistema, koji je na�se me�sano stanje.Neka je data jedna opservabla A i jedna njena diskretna svojstvena vrednost an. Znamo daizra�cunamo verovatno�cu vn;k da pri merenju A dobijemo an u �cistom stanju k. Pitamo se kolikaje verovatno�ca vn istog kvantnog dogadaja u na�sem me�sanom stanju.Tra�zena verovatno�ca vn je po samoj de�niciji verovatno�ce iz x 1.4.5, s ta�cno�s�cu do limesa,jednaka relativnoj frekvenciji 1N PKk=1 nk, gde je nk broj kvantnih sistema u k-tom �cistom stanjuu kojima se dogadaj desio:vn = limN!1 1N KXk=1 nk = limN!1 KXk=1 NkN nkNk = KXk=1 limN!1 NkN limNk!1 nkNk : (4.3.1)U poslednjem koraku smo se koristili �cinjenicom da N =PkNk !1, tako �sto svaki sabirakNk !1, jer i u podansamblima k = 1; : : : ; K broj sistema mora da te�zi beskona�cnosti (da bismomogli pre�ci sa relativnih frekvenci na verovatno�ce). Odnosi NkN def= wk, tzv. statisti�cke te�zine4.3.1,ostaju nepromenjeni pri Nk !1; 8k (to je deo de�nicije pojma me�sanja, uporediti sa x 1.4.12),tako da je limN!1 NkN = wk.Na taj na�cin smo izveli formulu od velikog zna�caja:vn =PKk=1wkvn;k (4.3.2)(jer je vn;k = limNk!1 nkNk ), koja iskazuje da je verovatno�ca u me�sanom stanju jednaka usrednje-nim verovatno�cama u �cistim stanjima koja su pome�sana.4.3.3 Statisti�cki operatoriSada mo�zemo pristupiti tra�zenju matemati�ckih objekata koji mogu da poslu�ze za opisivanjeme�sanih stanja. Neka su j k i 2 H; k = 1; 2; : : : ; K, stanja koja su implicitno �gurisala uprethodnom odeljku.Podsetimo se da smo u postulatu o verovatno�ci imali jednakostivn;k def= v(an; A; k) = h k j Pn j k i = kPn kk2; (4.3.3)gde je Pn svojstveni projektor od A, koji odgovara diskretnoj svojstvenoj vrednosti an. Vidimoda nas nikud ne bi dovelo prosto zamenjivanje poslednjeg ili predposlednjeg izraza iz (4.3.3) u(4.3.2). Potrebna je izvesna izmena u formuli za verovatno�cu, koja �ce, na neki na�cin, kvadratnuzavisnost od k pretvoriti u linearnu zavisnost.Lema 4.3.1 Verovatno�ca odredenog mernog rezultata mo�ze da se pi�se i u viduv(an; A; k) = Tr j k ih k j Pn; (4.3.4)gde "Tr " ozna�cava trag operatora.4.3.1Statisti�cke te�zine se obele�zavaju sa wk , po engleskoj re�ci weight (�Citati: vejt), te�zina.

118 GLAVA 4. RELACIJE NEODREDENOSTI, ME�SAVINE I PROBLEM DVE �CESTICEDokaz: Za izra�cunavanje desne strane od (4.3.4) uzmimo bazis fj 1 i def= j k i; : : : j i i : : : j i = 2; 3; : : :g � H.Odmah sledi da je desna strana: DS =Pih i j (j k ih k j)Pn j i i = h k j Pn j k i = vn;k. Q. E. D.Zamenjuju�ci (4.3.4) u (4.3.2) dolazimo do jednakostivn =Xk wkTr j k ih k j Pn = Tr (Xk wk j k ih k j)Pn; (4.3.5)iz �cega sledi da je tra�zeni matemati�cki objekat operator4.3.2: � =Pk wk j k ih k j.Prou�cimo osobine ovog entiteta. O�cigledno je � linearni operator u H. Iz wk = NkN i N =PkNk sledi wk > 0; 8k, Pk wk = 1, a to su osobine koje karakteri�su distribuciju verovatno�ce(uporediti 1.4.1).Za proizvoljni vektor j ' i 2 H imamoh' j � j ' i = h' j (Xk wk j k ih k j) j ' i =Xk wkjh ' j kij2 � 0: (4.3.6)Poznato je da se operator A koji ima osobinu da je njegova o�cekivana vrednost uvek nenegativna,h' j A j ' i � 0; 8 j ' i 2 H, zove pozitivni operator (po starijoj terminologiji se zove pozitivnosemide�nitni operator4.3.3). Najzad, Tr Pk wk j k ih k j= Pk wkTr j k ih k j= Pk wk = 1.Dakle, radi se o pozitivnom operatoru, jedini�cnog traga, koji je i svugde de�nisan (u H).Na�sav�si potrebne uslove za na�s entitet, moramo se osvedo�citi da su oni i dovoljni. U tome �cenam pomo�ci slede�ci stav, koji se dokazuje u teoriji Hilbert-ovih prostora.Stav 4.3.1 Svaki svugde de�nisan pozitivni operator � jedini�cnog traga ima �cisto diskretan spek-tar.Neka je � proizvoljan svugde de�nisani pozitivan operator jedini�cnog traga. Na osnovu StavaS 4.3.1 spektralna forma ovog operatora mo�ze da se pi�se u vidu� =Pn rn j �n ih�n j (4.3.7)(mo�ze biti i vi�se jednakih rn za razli�cite n). Naravno, h �n j �n0i = Ænn0 iPn j �n ih�n j= I.Zbog h�n j � j �n i = rn � 0; 8n, i Tr � = Pn rn = 1, sve svojstvene vrednosti rn od �pripadaju intervalu [0; 1] i sabiraju se u jedinicu. To je potreban i dovoljan uslov za distribucijeverovatno�ce ili statisti�cke te�zine. Prema tome, (4.3.7) mo�zemo interpretirati tako da se � mo�zedobiti me�sanjem stanja j �n i; n = 1; 2; : : :, a rn da su odgovaraju�ce statisti�cke te�zine. (Pri tomeje prakti�cno ispustiti sabirke sa rn = 0.)Na osnovu Stava S 4.3.1, formule (4.3.7) i njenih posledica vidimo da su svugde de�nisanipozitivni operatori � jedini�cnog traga upravo entiteti koje tra�zimo. To su tzv. statisti�cki operatoriili matrice gustine (razlog za ovaj sinonim videti ni�ze u primedbi 4.3.7).Na kraju paragrafa, mo�zemo konstatovati da se svaki statisti�cki operator mo�ze napisati u vidu� =Pk wk j k ih k j, kao gore. Pri tome pome�sana stanja j k imogu i ne moraju biti ortogonalna4.3.2 �Cesto se umesto Pk wk j k ih k j pi�se Pk j k iwkh k j.4.3.3Ako je h' j A j ' i > 0; 8 j ' i 2 H , ka�ze se da je A striktno pozitivan, po starijoj terminologiji pozitivnode�nitan. Treba napomenuti da se u kvantno-mehani�ckoj literaturi �cesto koristi samo termin "pozitivno de�nitan"za slu�caj sa "�" kao i sa ">".

4.3. ME�SANO STANJE I KVANTNA STATISTI �CKA FIZIKA 119(kao u (4.3.7)). �Citaocu je verovatno o�cigledno da, strogo govore�ci, �zi�cku interpretaciju (entitetau formalizmu koji predstavlja me�sano stanje) imaju samo statisti�cki operatori sa kona�cno mnogorazli�citih pozitivnih svojstvenih vrednosti, jer se u laboratoriji mo�ze pome�sati samo kona�cnomnogo �cistih ansambala. Radi matemati�cke zaokrugljenosti radimo sa klasom svih statisti�ckihoperatora4.3.4;4.3.5 u H.4.3.4 Kvantna statisti�cka �zika i izra�cunavanje verovatno�caKao �sto smo do sada imali mnogo prilika da se ubedimo, kvantna mehanika ima dva osnovnaobjekta: �cisto stanje i opservablu. Grana �zike u kojoj se me�sano stanje pojavljuje umesto �cistogstanja naziva se kvantna statisti�cka �zika. Analogno, u klasi�cnoj statisti�ckoj �zici se prou�cavajume�sani ansambli klasi�cnih sistema.Na osnovu rezultata prethodnog paragrafa, sada smo u stanju da formuli�semo dva (ve�c doka-zana) teorema koji predstavljaju kvantno-statisti�cke pandane Postulatu I (o stanjima), odnosnoPostulatu III (o verovatno�cama).Teorem 4.3.1 Svako me�sano stanje opisuje se nekim statisti�ckim operatorom u prostoru stanjaH i obratno, svaki statisti�cki operator u H u principu opisuje neko me�sano stanje.Na osnovu ovog Teorema, upotrebljava�cemo termine "statisti�cki operator" i "me�sano stanje"kao sinonime.Teorem 4.3.2 Verovatno�ca v([a; b]; A; �) da se dobije rezultat iz unapred zadatog intervala [a; b]pri merenju opservable A u me�sanom stanju � izra�cunava se po formuliv([a; b]; A; �) = Tr �P[a;b](A) ; (4.3.8)gde je P[a;b](A) spektralna mera intervala [a; b] po opservabli A (de�nisana je sa (2.1.4) za �cistodiskretan spektar, a sa (2.3.17) u op�stem slu�caju)4.3.6.Vratimo se Teoremu T4.3.1, koji, iako jednostavan, iziskuje dve napomene. Statisti�cki ope-rator � je jednozna�cno odreden kad je dat me�sani kvantni ansambl, za razliku od vektora stanja,koji je odreden s ta�cno�s�cu do faznog faktora kad je dat �cist ansambl. Obratno, ako je datstatisti�cki operator �, �cista stanja koja su pome�sana u doti�cnom me�sanom stanju nisu data jed-nozna�cno. Ali na osnovu Teorema T4.3.1 i T 4.3.2 dva me�sana stanja se smatraju jednakim ukvantnoj statisti�ckoj �zici ako i samo ako se opisuju istim statisti�ckim operatorom �.4.3.4� U stvari, kao �sto �cemo se uveriti u slede�cem odeljku, i statisti�cki operatori sa beskona�cno mnogo razli�citihpozitivnih svojstvenih vrednosti imaju �zi�ckog smisla pri opisivanju podsistema slo�zenih sistema u �cistom koreli-sanom stanju (uporediti korolar K 4.4.1).4.3.5� �Citalac se mo�zda pita ne mo�ze li se � sa beskona�cno mnogo razli�citih svojstvenih vrednosti predstaviti kaome�savina, tj. � = Pk wk j k ih k j, kona�cno mnogo neortogonalnih stanja j k i. Odgovor je "ne", jer semo�ze pokazati da skup fj k i j 8kg pomenutih vektora obrazuje oblast likova od �. A pomenuti � o�cigledno imabeskona�cno-dimenzionalnu oblast likova (nju obrazuju j �n i-ovi u (4.3.7)).4.3.6Podsetimo se da se pod tragom mogu vr�siti cikli�cne permutacije operatora. Prema tome, desna strana od(4.3.8) bi mogla takode da glasi Tr P[a;b](A)�. Podsetimo se takode da se u Postulatu III (pa prema tome i uteoremu T4.3.2) zatvoreni interval mo�ze zameniti intervalom bilo kog drugog tipa.

120 GLAVA 4. RELACIJE NEODREDENOSTI, ME�SAVINE I PROBLEM DVE �CESTICEZadatak 4.3.1 Neka su j 1 i i j 2 i dva ortogonalna stanja i neka je � def= 12 j 1 ih 1 j + 12 j 2 ih 2 j. Pokazatida ma koja druga dva ortogonalna stanja j '1 i i j '2 i, ako obrazuju isti potprostor kao j 1 i i j 2 i, i ako sepome�saju na isti na�cin, �0 = 12 j '1 ih'1 j + 12 j '2 ih'2 j, daju isto me�sano stanje, tj. �0 = �.Neka je j 1 i iz prethodnog Zadatka stanje linearne polarizacije fotona du�z x-ose, a j 2 ineka je analogno stanje du�z y-ose (foton se prostire du�z z-ose). Neka su j '1 i i j '2 i analognastanja linearne polarisanosti fotona du�z x0-, odnosno y0-ose (z0 = z), pri �cemu je koordinatnisistem zarotiran oko z-ose za neki ugao. Operator � = �0 iz Zadatka, u ovom slu�caju, opisujeme�sano stanje potpune nepolarisanosti, kada foton "ni�sta ne zna" o na�sem izboru x- i y-ose.Postulati II i V (o opservablama, odnosno o kvantizaciji) zajedni�cki su za kvantnu mehanikui kvantnu statisti�cku �ziku. Isto va�zi za Postulat IV (o pojedina�cnim kvantnim sistemima).Posledica Postulata VI (o zakonu kretanja) bi�ce prou�cena u x 4.3.7.Zadatak 4.3.2 Pokazati preciznim rezonovanjen da je o�stra vrednost an opservable A u me�sanom stanju �ekvivalentna tome da svaki pojedina�cni kvantni sistem u ansamblu � ima vrednost an od A.Zadatak 4.3.3 Dokazati pomo�cu razlaganja (4.3.7) statisti�ckog operatora da selektivno prediktivno merenjenedegenerisane svojstvene vrednosti am opservable A (ili nedegenerisanog niza svojstvenih vrednosti a1; a2; : : : ; aPkompletnog skupa kompatibilnih opservabli A1; A2; : : : ; AP ) nu�zno daje �cisti kvantni ansambl opisan svojstvenimvektorom j m i (odnosno j a1 : : : aP i), koji odgovara svojstvenoj vrednosti am od A (odnosno a1; : : : ; aP odA1; : : : ; AP ). U stvari treba elaborirati dokaz teorema T2.4.1.Vredno je posebno ista�ci dva ekstremna slu�caja od (4.3.8). Neka je an nedegenerisana dis-kretna svojstvena vrednost od A. Onda verovatno�ca da se dobije odredeni rezultat an pri mere-nju opservable A u stanju � sledi iz (4.3.8), stavljaju�ci umesto [a; b] interval [an; an]. ProjektorP [a; b](A) se svodi na j an ihan j, gde je, naravno, A j an i = an j an i. Stoga jev(an; A; �) = Tr � j an ihan j= han j � j an i (4.3.9)(poslednji korak mo�ze da se vidi analogno kao u dokazu leme L 4.3.1).Zadatak 4.3.4 Ako je an degenerisana diskretna svojstvena vrednost od A sa Pn kao odgovaraju�cim svojstvenimprojektorom, pokazati da se (4.3.8) svodi na v(an; A; �) = Tr �Pn: (4.3.10)Drugi ekstremni slu�caj imamo kad interval [a; b] pripada samo kontinualnom spektru opser-vable A, tako da je P[a;b](A) = R ba j s i dshs j, gde su j s ihs j uop�steni svojstveni projektori od A,koji odgovaraju kontinualnim svojstvenim vrednostima s 2 [a; b]. Onda se (4.3.8) svodi nav([a; b]; A; �) = Tr � R ba j s i dshs j= R ba hs j � j s i ds : (4.3.11)Kao i u slu�caju �cistog stanja (uporediti (2.3.18)), izraz�(s; A; �) def= Tr � j s ihs j= hs j � j s i (4.3.12)interpretira se kao gustina verovatno�ce4.3.7.4.3.7 Sad mo�zemo razumeti za�sto se statisti�cki operator � naziva i matricom gustine. Naime, izra�cunavanja seobi�cno vr�se u nekoj reprezentaciji, tako da � postaje matrica �. Ako je to, na primer, koordinatna reprezentacija(koja se naj�ce�s�ce koristi), onda se, na primer, za jednu �cesticu pojavljuju kontinualni matri�cni elementi �(r; r0) =hr j � j r0 i od matrice �. Pri tome dijagonalni elementi �(r; r) imaju, na osnovu (4.3.11), �zi�cki smisao gustineverovatno�ce nala�zenja �cestice oko r.

4.3. ME�SANO STANJE I KVANTNA STATISTI �CKA FIZIKA 1214.3.5 Kvantna mehanika kao podoblast kvantne statisti�cke�zikeKao �sto smo videli u paragrafu x 4.3.1, me�sana stanja se de�ni�su inkluzivno, tj. obuhvataju kakome�sana stanja u u�zem smislu tako i �cista stanja. Prema tome, i kvantna mehanika, kao nauka o�cistim stanjima, mora biti podoblast kvantne statisti�cke �zike, nauke o me�sanim stanjima.Slede�ca dva kriterijuma poma�zu nam da prepoznamo �cista stanja, opisana projektorima pra-vaca j ih j, u kontekstu me�sanih stanja, opisanih statisti�ckim operatorima �.Teorem 4.3.3 Me�sano stanje � je �cisto stanje ako i samo ako je operator � idempotentan:�2 = �: (4.3.13)Dokaz: Potrebnost je o�cigledna (svaki projektor, pa i projektor pravca, je idempotentan).Dovoljnost sledi iz toga �sto su svojstvene vrednosti � (projektor) 1 ili 0; kako mu je trag 1, ima jednu svojstvenuvrednost 1, a ostale 0. Q. E. D.Zadatak 4.3.5 Pokazati da je me�sano stanje � u stvari �cisto stanje ako i samo ako jeTr �2 = 1: (4.3.14)Zadatak 4.3.6 Pokazati da se osnovna formula (4.3.8) u slu�caju �cistog stanja � =j ih j svodi na formuluv([a; b]; A; ) = kP[a;b](A)k2 iz Postulata III.4.3.6 Srednja vrednostVratimo se na�sem programu izlo�zenom u paragrafu x 4.3.1 i uo�cimo da je na redu ta�cka 2).Teorem 4.3.4 Srednja vrednost proizvoljne opservable A u proizvoljnom me�sanom stanju �izra�cunava se po formuli h A i = Tr �A : (4.3.15)Dokaz: Kao �sto znamo, najop�stija opservabla A ima spektralnu formu koja glasi A =Pn anPn + R tp j s ishs j ds(videti (2.3.14)). A rezultati merenja, kao �sto nam je takode poznato, mogu biti samo diskretne svojstvenevrednosti an; 8n i intervali iz kontinualnog spektra [p; t]. Srednja vrednost h A i je onda, po samoj su�stini togpojma (videti (1.4.6b) i (1.4.7)): h A i =Xn anv(an; A; �) + Z tp s �(s; A; �) ds: (4.3.16)Formula (4.3.10) daje v(an; A; �) = Tr �Pn, a iz (4.3.12) imamo �(s; A; �) = Tr � j s ihs j. Kad to zamenimo u(4.3.16), dolazimo do jednakosti h A i = Tr �(Pn anPn + R tp j s ishs j ds) = Tr �A. Q. E. D.Zadatak 4.3.7 Pokazati da se op�sta formula (4.3.15) svodi na h A i = h j A j i ako � =j ih j, tj. ako: je ��cisto stanje.

122 GLAVA 4. RELACIJE NEODREDENOSTI, ME�SAVINE I PROBLEM DVE �CESTICENapomena 4.3.1 U klasi�cnoj mehanici jedne �cestice, na primer, analogon statisti�ckog operatora �je (nenegativna) gustina verovatno�ce �(r;p), normirana na 1 u faznom prostoru: R R �(r;p) drdp = 1.Za klasi�cnu varijablu A(r;p) imamo analogon formule (4.3.15) u vidu A = R R �(r;p)A(r;p) drdp.Klasi�can analogon spektralne mere intervala, tj. projektora P[a;b](A), je tzv. karakteristi�cna funkcija!(A)[a;b](r;p), koja je po de�niciji jednaka 1 u svakoj ta�cki faznog prostora u kojoj vrednost varijable A(r;p)pripada intervalu [a; b], ina�ce je nula. Onda je v([a; b]; A; �) = R R �(r;p)!(A)[a;b] drdp. Kao �sto vidimo,formalna sli�cnost kvantno-statisti�ckih formula sa klasi�cnim pandanima je ve�ca nego sli�cnost osnovnihkvantno-mehani�ckih formula sa odgovaraju�cim klasi�cnim jednakostima.4.3.7 Vremenska evolucijaU re�savanju ta�cke 3) iz paragrafa x 4.3.1 odlu�ci�cemo se za Schr�odinger-ovu sliku. Onda, kao �stoznamo, j (t)i = U(t� t0; t0) j (t0)i ili za braove h (t) j= h (t0) j U y(t� t0; t0). Po�sto u svakomtrenutku t me�savinu �cistih stanja opisuje statisti�cki operator, tj. �(t) =Pk wk j k(t) ih k(t) j,o�cigledno sledi �(t) = U(t� t0; t0)�(t0)U y(t� t0; t0) : (4.3.17)Postavlja se pitanje kako glasi diferencijalni vid zakona kretanja za statisti�cki operator. Ana-logan problem smo re�savali kada smo izvodili diferencijalni vid kvantno-mehani�ckog zakona kre-tanja u Heisenberg-ovoj slici, (3.3.5a). Analognim rezonovanjem proizlazi{~d�(t)dt = [ H(t); �(t) ] : (4.3.18)Zadatak 4.3.8 Pokazati da se za konzervativni sistem (4.3.18) mo�ze dobiti na osnovu (4.3.17), kao formalnispecijalni slu�caj pomenutog zakona kretanja (3.3.5a), ako pretpostavimo da je �(t) opservabla u Heisenberg-ovojslici, koja u Schr�odinger-ovoj slici ne zavisi od vremena.Zadatak 4.3.9 Pokazati da pri vremenskoj evoluciji �cisto stanje uvek ostaje �cisto, a me�sano u u�zem smisluostaje nehomogeno.4.3.8 Promena me�sanog stanja pri merenjuRe�senje ta�cke 4) iz paragrafa x 4.3.1 formulisa�cemo u slede�cem teoremu.Teorem 4.3.5 Neka je � proizvoljno me�sano stanje, a A proizvoljna opservabla sa �cisto dis-kretnim spektrom4.3.8, koja ima spektralnu formu A = Pn anPn (n 6= n0 ) an 6= an0). Idealnoselektivno merenje svojstvene vrednosti an; n = 1; 2; : : : opservable A prevodi � u me�sano stanje�0n = Pn�PnTr �Pn (4.3.19)4.3.8Ako merimo ta�cne vrednosti opservable A neselektivnim merenjem, onda opservabla mora imati �cisto diskretanspektar; drugim re�cima, �sto se egzaktnog merenja ti�ce, ovo je najop�stiji slu�caj opservable. Kao �sto znamo (x 2.3.3),u kontinualnom spektru neke opservable B mo�zemo da vr�simo samo merenja intervala. Za svako takvo merenjenije te�sko konstruisati iz B opservablu sa �cisto diskretnim spektrom na �cije ta�cno merenje se svodi pomenutointervalno merenje od B (po �zelji, videti str. 220 u knjizi von Neumann-a, referenca u 2.5.4).

4.3. ME�SANO STANJE I KVANTNA STATISTI �CKA FIZIKA 123ako je v(an; A; �) > 0. Za razliku od toga, neselektivno prediktivno merenje izaziva slede�cupromenu stanja: �! �0 =Xn Pn�Pn: (4.3.20)Dokaz: Dat u Dodatku x 4.3.11; mada je u svakom koraku elementaran, sve skupa je dosta slo�zen. Q. E. D.Zadatak 4.3.10 �a) Dokazati da su operatori �0n iz (4.3.19) i �0 iz (4.3.20) statisti�cki operatori.b) Dokazati da u prvom od njih ansambl ima o�stru vrednost an opservable A.c) Dati �zi�cku interpretaciju identiteta Pn Pn�Pn =P0n Tr (�Pn) Pn�PnTr �Pn (prim zna�ci da na desnoj strani sumi-ramo po indeksima za koje je Tr �Pn > 0).Zadatak 4.3.11 � Neka je projektor P opservabla kompatibilna sa merenom opservablom A i neka me�sanostanje � ima o�stru vrednost 1 od P .a) Pokazati da stanje �0 iz (4.3.20) i stanje �0n iz (4.3.19) imaju takode istu o�stru vrednost.b) Interpretirati rezultat pod a) kao i rezultate pod b) i c) u prethodnom zadatku u kontekstu formula (4.3.19)i (4.3.20), de�nicije D 2.4.1 pojma prediktivnog merenja, kao i pojma selektivnog i neselektivnog merenjaiz paragrafa x 1.4.14.Zadatak 4.3.12 � Pokazati da se me�sano stanje � ne menja pri neselektivnom prediktivnom merenju opservableA ako i samo ako va�zi [ �; A ] = 0; (4.3.21)tj. ako je, kao �sto se ka�ze, stanje kompatibilno sa merenom opservablom. (Indikacija: Koristiti stav S 2.4.2.)Zadatak 4.3.13 Na koje prostije formule se svode (4.3.19) i (4.3.20) ako je spektar opservable A prost?Zadatak 4.3.14 Neka su projektori P1 i P2 kompatibilni kvantni dogadaji, tj. [ P1; P2 ] = 0. Pokazati da zaproizvoljno me�sano stanje � va�zi v(1; P1P2; �) = v(1; P1; �)v(1; P2; �01); (4.3.22)ako je �01 = P1�P1Tr (�P1) stanje u koje � prelazi pri idealnom selektivnommerenju vrednosti 1 od P1 (pod pretpostavkomda je v(1; P1; �) > 0). Poslednja verovatno�ca u (4.3.22) je uslovna verovatno�ca, a (4.3.22) je uop�stenje formule(2.4.12) na me�sano stanje.Zadatak 4.3.15 Pokazati da iz P2 � P1 sledi:v(1; P2; �) = v(1; P1; �)v(1; P2; �01); (4.3.23)gde je � proizvoljno me�sano stanje, a �01 isto �sto i u prethodnom Zadatku. Izraz (4.3.23) je uop�stenje formule(2.4.13) na me�sano stanje.

124 GLAVA 4. RELACIJE NEODREDENOSTI, ME�SAVINE I PROBLEM DVE �CESTICE4.3.9 Entropija kao mera nedovoljnog poznavanja sistemaVideli smo u paragrafu x 2.1.1 da �cisto stanje predstavlja maksimalno mogu�ce precizno poznavanjetrenutnih osobina kvantnog sistema (bar za kvantnog �zi�cara). Medutim, u me�sanom stanju uu�zem smislu ne znamo u kojem se od pome�sanih �cistih stanja pojedina�cni sistem nalazi; �cak neznamo ni koja su �cista stanja pome�sana, x 4.3.4. Dakle, u me�sanom stanju se pojavljuje jedansubjektivni moment: opserver nedovoljno poznaje trenutne osobine kvantnog sistema.Kao kvantitativna mera nedovoljnog poznavanja sistema obi�cno se uzima tzv. entropija:S def= �kTr (� ln �); (4.3.24)gde je k Boltzmann-ova konstanta.Ako statisti�cki operator � izrazimo u spektralnoj formi (4.3.7) i izra�cunavanje traga izvr�simou svojstvenom bazisu fj �n i j 8ng od �, onda (4.3.24) prelazi uS = �kXn rn ln rn (4.3.25)(za rn = 0, ln rn nije de�nisano, ali zbog nultosti prvog faktora u sabirku, to i nije va�zno, sabirakje svakako nula).Zadatak 4.3.16 Pokazati da je u slu�caju �cistog stanja entropija nula, a ina�ce pozitivna.4.3.10 Kanoni�cki ansamblKada je kvantni sistem u termodinami�ckoj ravnote�zi sa okolinom na temperaturi T , onda jenjegovo stanje me�sano, naziva se kanoni�cki ansambl (kao i u klasi�cnoj �zici) i glasi� = 1Z(T )e� HkT ; (4.3.26)gde je Z(T ) konstanta normalizacije, H hamiltonijan sistema, a k Boltzmann-ova konstanta.Iz Tr � = 1 sledi Z(T ) = Tr e� HkT : (4.3.27)Z(T ) je tzv. particiona funkcija ili statisti�cka suma. U mnogim va�znim formulama statisti�cke�zike particiona funkcija u izvesnoj meri preuzima ulogu statisti�ckog operatora po�sto je prostijiobjekat: brojna funkcija temperature.Zadatak 4.3.17 Neka H ima prost, �cisto diskretan spektar sa spektralnom formom H = PnEn j n ih n j.Pokazati da je tada Z(T ) = Pn exp(�EnkT ) i � = 1Z(T )Pn exp(�EnkT ) j n ih n j. Kako se u tom slu�caju mogukonkretnije napisati izrazi (4.3.26) i (4.3.27)?

4.3. ME�SANO STANJE I KVANTNA STATISTI �CKA FIZIKA 1254.3.11 � Dodatak | dokaz teorema 5U teoremu T2.4.4 smo videli da �cisto stanje j i pri idealnom selektivnom merenju an od Aprelazi u �cisto stanje: 1qh j Pn j i Pn j i; (4.3.28)ako je v(an; A; j i) > 0. To je bila posledica de�nicije D 2.4.1 idealnog merenja.Izraz (4.3.19) i desnu stranu od (4.3.20) izve�s�cemo iz (4.3.28) i to obrnutim redom: prvo(4.3.20), pa (4.3.19).Napi�simo � kao sme�su �cistih stanja � = Pk wk j k ih k j. Neka tome odgovara razlaganjeansambla od N sistema (koji je opisan sa �) na �ciste podansamble sa po Nk sistema (opisanihsa j k i), k = 1; 2; : : :, tako da imamo N = PkNk. Na osnovu (4.3.28) znamo da �ce k-ti �cistipodansambl pri selektivnom merenju an od A pre�ci u stanje Pnj k iph k jPnj k i ako je v(an; A; k) =h k j Pn j k i > 0. Na jeziku statisti�ckih operatora mo�zemo napisati da u ovom slu�caju j k ih k jprelazi u Pn j k ih k j Pnh k j Pn j k i : (4.3.29)Kao slede�ce, izra�cunajmo kako se u neselektivnom merenju opservable A menja �cisto stanjej k ih k j. Po�sto je h k j Pn j k i = v(an; A; k), to je istovremeno i statisti�cka te�zinapodansambla (4.3.29) (koji ima o�stru vrednost an od A) u tra�zenom ukupnom ansamblu. Prematome, pri neselektivnom merenju j k ih k j prelazi uXn 0h k j Pn j k i Pn j k ih k j Pnh k j Pn j k i =Xn Pn j k ih k j Pn: (4.3.30)Prvi zbir je samo po n za koje je h k j Pn j k i > 0, drugi je po svim n, jer ako je ovaj broj nula,doti�cni sabirak u poslednjem izrazu u (4.3.30) se svodi automatski na nulu.Da bismo zaklju�cili u �sta prelazi polazno me�sano stanje � =Pk wk j k ih k j, treba samo dasakupimo podansamble (4.3.30) u nadansambl sa statisti�ckim te�zinama wk = NkN :�!Xk wkXn Pn j k ih k j Pn =Xn Pn�Pn def= �0: (4.3.31)Po�sto smo izveli (4.3.20), analizirajmo �0. Usled h' j Pn�Pn j'i = (h' j Pn)�(Pn j'i); 8 j'i 2H, pozitivnost operatora � povla�ci isto i za Pn�Pn. Dalje, Tr (Pn�)Pn = Tr Pn(Pn�) = Tr (Pn�) =v(an; A; �) <1. Ograni�cimo se opet na n, za koje je v(an; A; �) > 0 i de�ni�simo�0n def= Pn�PnTr (Pn�) : (4.3.32)O�cigledno, iz jednakosti u (4.3.31) sad sledi�0 =Xn 0Tr (Pn�) Pn�PnTr (Pn�) =Xn 0v(an; A; �)�0n: (4.3.33)

126 GLAVA 4. RELACIJE NEODREDENOSTI, ME�SAVINE I PROBLEM DVE �CESTICEUverimo se, najzad, da �0n ima o�stru vrednost an od A: v(an; A; �0n) = Tr (Pn Pn�PnTr (Pn�)) = 1; 8n.Prema tome, (4.3.33) upravo daje razlaganje �0 u podansamble koji su dali pojedine rezultate anu merenju A, tj. razlaganje na tra�zene podansamble selektivnih merenja. Drugim re�cima, �0n iz(4.3.32) je me�sano stanje koje nastaje nakon selektivnog merenja an od A u stanju �. Time je iteorem dokazan.4.4 Kvantni podsistemi i me�savine druge vrsteU ovom odeljku prou�cava�cemo kako da se kvantno-mehani�cki opisuje podsistem kompozitnogsistema koji je u �cistom stanju. Ispostavi�ce se da u op�stem slu�caju podsistem nije u �cistom ve�c ume�sanom stanju (tzv. me�savina druge vrste). Izve�s�cemo tzv. redukovane statisti�cke operatore,koji opisuju me�savine druge vrste i izrazi�cemo kvantne korelacije izmedu dva podsistema u vidutzv. Schmidt-ove kanoni�cne forme vektora stanja kompozitnog sistema. Ukaza�cemo na intuitivniparadoks u kvantnim korelacijama udaljenih �cestica (tzv. distantne korelacije).Kao ilustraciju, da�cemo kratak opis jednog eksperimenta sa distantnim polarizacionim korela-cijama dva fotona; objasni�cemo ukratko distantne korelacije u eksperimentu sa semire ektivnimogledalom iz prve glave; i, najzad, dopuni�cemo na�su diskusiju o nestabilnim pobudenim stanjimakvantnih sistema (kraj glave 3) sa gledi�sta distantnih korelacija.4.4.1 Me�savine druge vrstePretpostavimo da imamo dvo�cesti�cni kvantni sistem. �Cestice �cemo numerisati indeksima 1,odnosno 2.Neka je prva �cestica u �cistom stanju j 1 i, a druga u �cistom stanju j 2 i 2 H2. Samimtim dvo�cesti�cni sistem je u �cistom stanju j 1 i j 2 i 2 H12 = H1 H2. Kao �sto znamo,ovakvi, tzv. nekorelisani vektori, obrazuju kompozitni prostor H12. To �ce re�ci, ako nekorelisanimvektorima pripojimo sve njihove linearne kombinacije (i sve limese linearnih kombinacija, akoje H12 beskona�cno-dimenzionalan | ina�ce su automatski uklju�ceni), onda dobijamo ceo prostorH12.Dakle, nekorelisani vektori ne iscrpljuju H12, tj. �cine samo njegov pravi podskup. Ostalivektori u H12 su tzv. korelisani vektori. Zna�ci, to su po de�niciji vektori j 12 i 2 H12, koji nemogu da se pi�su u vidu j 1 i j 2 i. Ako je kompozitno stanje j 12 i korelisano, onda obe�cestice nisu u �cistom stanju.Pitamo se da nisu korelisani vektori mo�zda samo patolo�ski detalj formalizma bez specijalnog�zi�ckog zna�cenja. Raspravi�cemo to na primeru.Ako �cestice ne interaguju, na primer ako posmatramo dva elektrona u omota�cu atoma heli-juma i zanemarimo njihovu interakciju, onda hamiltonijan glasi H12 def= 12m1 p21+ V (r1)+ 12m2 p22+V (r2) = H1+ H2 i potpunu klasi�kaciju stanja mo�zemo izvr�siti pomo�cu samih nekorelisanih vek-tora (uporediti x 3.4.6; mi sad zanemarujemo Pauli-jev princip). U realnosti, medutim, elektroniinteraguju, tj. hamiltonijan je vida H12 def= 12m1 p21 + 12m2 p22 + V (r1) + V (r2) + V (r1; r2), gde jeposlednji sabirak operator interakcije. Svojstveni vektori ovakvog dvo�cesti�cnog operatora su popravilu korelisani. Zna�ci korelisani vektori su pre pravilo u kvantnoj �zici negoli izuzetak.

4.4. KVANTNI PODSISTEMI I ME�SAVINE DRUGE VRSTE 127Neka je dvo�cesti�cni sistem u korelisanom �cistom stanju j 12 i. Videli smo da onda ne moguobe �cestice da budu u �cistom stanju. Stanja u kojima se nalaze nazivaju se u novije vrememe�savine druge vrste4.4.1. U kontekstu podsistemskih razmatranja treba zapaziti da je na primerprva �cestica podsistem dvo�cesti�cnog sistema. Me�sano stanje iz prethodnog odeljka naziva seme�savina prve vrste4.4.2.Sa me�savinama prve vrste upoznali smo se u prethodnom odeljku. Ovaj odeljak je posve�cenprou�cavanju me�savina druge vrste. U slede�cem paragrafu proanalizira�cemo podsistemska merenjai kroz to �cemo do�ci do preciznije ideje o me�savini druge vrste.4.4.2 Verovatno�ce pri merenju na prvoj �cesticiNeka je j 12 i 2 H12 = H1H2 korelisani vektor stanja na�seg dvo�cesti�cnog sistema. Uporedo saapstraktnim prostorom stanja H12 koristi�cemo se i prostorom stanja koordinatne reprezentacijeL2(r1; r2) = L2(r1) L2(r2).Ograni�ci�cemo diskusiju na podsistemske opservable i merenja, tj. radi�ce se, na primer, is-klju�civo o opservablama koje se odnose samo na prvu �cesticu, tj. koje kao operatori deluju u H1.Takva opservabla, ako jo�s ima i �cisto diskretan spektar, ima�ce u H12 spektralni vidA1 I2 = (Xn anP (n)1 ) I2 =Xn an(P (n)1 I2): (4.4.1a)U koordinatnoj reprezentaciji (4.4.1a) pojavljuju se kerneli integralnih operatora:hr1 j A j r01 iÆ(r2 � r02) =Xn anhr1 j P (n)1 j r01 iÆ(r2 � r02): (4.4.1b)Izra�cunajmo v(an; A1; 12) u koordinatnoj reprezentaciji. v(an; A1; 12) = h 12 j P (n)1 j 12 i =R R R R dr1 dr2 dr01 dr02 �12(r1; r2)hr1 j P (n)1 j r01 iÆ(r2 � r02) 12(r01; r02), iz �cega slediv(an; A1; 12) = Z Z Z dr1 dr2 dr01 �12(r1; r2)hr1 j P (n)1 j r01 i 12(r01; r2): (4.4.2)Po�sto je svejedno kojim se redom vr�se integracije, mo�zemo prvo de�nisatihr01 j �1 j r1 i def= Z dr2 12(r01; r2) �12(r1; r2); (4.4.3)tako da se (4.4.2) onda prepisuje u vidu v(an; A1; 12) = R R dr01 dr1hr1 j P (n)1 j r01 ihr01 j � j r1 i;ili u apstraktnom prostoru H1: v(an; A1; 12) = Tr1 (P (n)1 �1) ; (4.4.4)4.4.1L. D. Landau je jo�s 1927. godine ukazao na postojanje me�savina druge vrste, dodu�se on ih nije tako zvao(Zeitschrift f�ur Physik, 45 (1927) 430).4.4.2I na engleskom jeziku pravi se razlika izmedu "me�savina" prve i druge vrste (mixture | �citati: miks�ce | ofthe �rst kind and of the second kind) | ovaj termin se koristi kada je re�c o podsistemima | i "me�sanih stanja"(mixed states), koja se pominju u kvantnoj statisti�ckoj �zici. �Sto se ti�ce pomenutih "me�savina", govori se takodeo svojstvenoj i nesvojstvenoj me�savini (proper and improper mixture).

128 GLAVA 4. RELACIJE NEODREDENOSTI, ME�SAVINE I PROBLEM DVE �CESTICEgde indeks 1 na tragu zna�ci da se trag uzima u H1.�Sta smo do sad uradili? Iz 12 konstruisali smo (u koordinatnoj reprezentaciji) jedan operator�1 u H1 tako da se iz njega izra�cunava verovatno�ca proizvoljnog merenja na prvoj �cestici i to poformuli koja je istog oblika kao (4.3.8) u kvantnoj statisti�ckoj �zici.Moramo se zapitati da li to ima dubljeg zna�cenja, tj. da li je �1 onaj objekat u formalizmukoji izra�zava me�savinu druge vrste. Odgovor na ovo pitanje mo�ze biti potvrdan samo ako supotvrdni i odgovori na slede�ca osnovnija pitanja:1) Da li je �1 u H1 statisti�cki operator? (Onda opisuje me�sano stanje.)2) Da li se formuli (4.4.3) mo�ze dati invarijantan smisao, tj. smisao nezavisan od koordinatnereprezentacije? (Ina�ce je �zi�cki smisao formule (4.4.3) pod sumnjom, jer je izbor reprezen-tacije bio slu�cajan.)3) Da li se i o�cekivana vrednost mora izraziti formulom koja je istog oblika kao formula (4.3.15)u kvantnoj statisti�ckoj �zici? (Ovo pitanje je vi�se formalno.)4.4.3 Redukovani statisti�cki operatoriNajlak�se mo�zemo odgovoriti na pitanje 3). Naime, iz rezonovanja u prethodnom paragrafuje jasno da smo P (n)1 mogli zameniti op�stim projektorom intervala [a; b] (spektralnom meromintervala) P[a;b](A1) sasvim proizvoljne opservable A1 u H1; formula (4.4.4) bi ipak s1edila. Jedanpogled na dokaz pomenute formule (4.3.15) uveri�ce nas da iz (4.4.4) mora da sledih A1 i = h 12 j A1 j 12 i = Tr1 A1�1 (4.4.5)(makar opservabla A1 imala i kontinualni deo spektra).�Sto se ti�ce pitanja 1), uzmimo proizvoljni j '1 i 2 H1 i ispitajmo pre svega da li je �1 pozitivanoperator: h'1 j �1 j'1i = R R dr1 dr01'�1(r1)hr1 j �1 j r01i'1(r01) = R R R dr1 dr2 dr01'�1(r1) 12(r1; r2) �12(r01; r2)'1(r01), stogah'1 j �1 j '1 i = Z dr2 ����Z dr1'�1(r1) 12(r1; r2)����2 � 0: (4.4.6)Dakle, �1 jeste pozitivan operator.Kao slede�ce, izra�cunajmo trag od �1.Tr1 �1 = Z dr1hr1 j �1 j r1 i = Z dr1 Z dr2 12(r1; r2) �12(r1; r2) = h 12 j 12i = 1 (4.4.7)Dakle, �1 jeste statisti�cki operator.Da bismo, najzad, dobili odgovor i na pitanje 2), treba da uvedemo proizvoljan bazis fj nij8ngu H1 i da izra�cunamo matri�cni element hn0 j �1 j n i i to u koordinatnoj reprezentaciji. Dobija sehn0 j �1 j n i = Z dr2hn0 j h r2 j 12ih 12 j ni j r2 i: (4.4.8a)

4.4. KVANTNI PODSISTEMI I ME�SAVINE DRUGE VRSTE 129Zadatak 4.4.1 Dokazati (4.4.8a).Radi uporedenja sa (4.4.8a) ispisa�cemo formulu (4.4.3) eksplicitno:hr01 j �1 j r1 i = Z dr2hr01 j h r2 j 12ih 12 j r1i j r2 i: (4.4.9)Vidimo da je analogija kompletna.Lako se vidi da se kontinualni bazis fj r2 ij8r2g � U(H2), po kome se integri�se u (4.4.8a),mo�ze zameniti diskretnim bazisom, recimo fj k ij8kg � U(H2), tako da (4.4.8a) postajehn0 j �1 j n i =Xk hn0 j h k j 12ih 12 j ni j k i: (4.4.8b)Zadatak 4.4.2 Pokazati kako iz (4.4.8a) s1edi (4.4.8b).Dakle, i na pitanje (2) dobili smo potvrdan odgovor: operator �1 jeste entitet �cije je �zi�ckointepretiranje sasvim solidno zasnovano.Uobi�cajeno je da se pi�se operatorska (invarijantna) formula�1 = Tr2 j 12 ih 12 j ; (4.4.10)gde je Tr2 tzv. parcijalni trag, tj. trag samo po nekom bazisu H2. Formula (4.4.10) (kao i svakaformula sa tragom) je u stvari simboli�cna. Izra�cunavanje se mora izvr�siti u nekom bazisu, aliizbor bazisa pri tome nema uticaja na operator �1.Formule (4.4.3) i (4.4.8b) se obi�cno pi�su ne�sto prakti�cnije stav1jaju�ci umesto hr1 j hr2 j simbolhr1; r2 j itd. hr1 j �1 j r01 i = Z dr2h r1; r2 j 12ih 12 j r01; r2i: (4.4.11)hn j �1 j n0 i =Xk h n; k j 12ih 12 j n0; ki: (4.4.12)To su dve konkretne realizacije4.4.3 simboli�cne de�nicije (4.4.10).Naravno, mogu�ca je i me�sovita realizacija sa diskretnim i kontinualnim bazisom kao (4.4.8a)itd.Statisti�cki operator �1 naziva se redukovani statisti�cki operator ili redukovana matrica gustineprve �cestce u stanju j 12 i dvo�cesti�cnog kvantnog sistema, a sam algoritam uzimanja parcijalnogtraga u formuli (4.4.10) naziva se redukcija statisti�ckog operatora j 12 ih 12 j kompozitnogsistema.Po�sto nam formule (4.4.4) i (4.4.5) kazuju da iz �1 sledi kvantno-mehani�cko opisivanje svihmerenja, koja se odnose samo na prvu �cesticu, �1 u kvantno-mehani�ckom formalizmu predstavljame�savinu druge vrste.Celokupno izlo�zeno rezonovanje va�zi i za nekorelisano stanje j �12 i =j 1 i j '2 i, samo onda�1 =j 1 ih 1 j : (4.4.13)4.4.3Mo�ze da se postavi pitanje da li �1 uop�ste postoji, tj. da li je na primer hn j �1 jn0i iz (4.4.12) kona�can komplek-sni broj. Potvrdan odgovor odmah sledi iz jednakosti h j �1 j 'i = h 12 j f(j 'ih j)1 I2g j 12 i 8 j i; j 'i 2 H1,u �cije va�zenje se �citalac mo�ze uveriti ispisivanjem leve i desne strane u proizvoljnim bazisima.

130 GLAVA 4. RELACIJE NEODREDENOSTI, ME�SAVINE I PROBLEM DVE �CESTICEZadatak 4.4.3 Dokazati (4.4.13).Po�sto je �1 statisti�cki operator, prva �cestica je u slu�caju korelisanog j 12 i u stvari u me�sanomstanju, ali to me�sano stanje ima sasvim druga�ciji �zi�cki smisao, nego u kvantnoj statisti�ckoj �zici.Nepotpuno poznavanje podsistema (tj. prve �cestice) u ovom slu�caju nije subjektivni moment(nedovoljno precizno �ltriran ansambl), nego objektivna posledica korelisanosti kompozitnog�cistog stanja j 12 i.Drugi podsistem, tj. druga �cestica, igra u formalizmu potpuno simetri�cnu ulogu kao prvi.Samo �cemo nabrojati doti�cne relacije analogne dokazanim.�2 = Tr1 j 12 ih 12 j; (4.4.14)v(an; A2; 12) = Tr 2(P (n)2 �2); I1 A2 =Xn an(I1 P (n)2 ); (4.4.15a,b)h A2 i = h 12 j A2 j 12 i = Tr 2A2�2; (4.4.16)a (4.4.14) zna�ci hk j �2 j k0 i =Xk h n; k j 12ih 12 j n; k0i (4.4.17)(imamo u vidu bazise kao gore), itd. Nekorelisano stanje j �12 i =j 1 i j '2 i implicira�2 =j '2 ih'2 j.Kada je kompozitni, tj. dvo�cesti�cni, sistem u me�sanom stanju �12 (statisti�cki operator uH12),redukovani statisti�cki operatori se dobijaju formulama�1 = Tr 2�12; �2 = Tr1 �12; (4.4.18a,b)koje su direktna uop�stenja od (4.4.10), odnosno (4.4.14).Zadatak 4.4.4 Dokazati (4.4.18).Prema tome, pojam me�savine druge vrste, za �cije opisivanje slu�zi redukovani statisti�cki ope-rator, relevantan je podjednako za me�sano (u u�zem smislu) kao i za �cisto stanje kompozitnogsistema.Sve re�ceno u ovom odeljku, naravno, va�zi za bilo koji kompozitni sistem od dva podsistema;dvo�cesti�cni sistem nam slu�zi samo kao najprostiji konkretan primer.4.4.4 � Kvantne korelacije podsistema i Schmidt-ova ka-noni�cna formaU ovom paragrafu zapo�ce�cemo prou�cavanje kvantnih korelacija podsistema tako �sto �cemo formu-lisati teorem o kanoni�cnoj (tj. najprostijoj) formi dvo�cesti�cnog vektora stanja.(Dokaz �cemo datiu Dodatku x 4.4.9.) Ova forma se naziva Schmidt-ova kanoni�cna forma ili biortogonalni razvojpomenutog kompozitnog vektora stanja.

4.4. KVANTNI PODSISTEMI I ME�SAVINE DRUGE VRSTE 131Teorem 4.4.1 Neka je j 12 i 2 H12 proizvoljan vektor stanja dvo�cesti�cnog kvantnog sistema.Neka su �1 i �2 redukovani statisti�cki operatori prve odnosno druge �cestice u stanju j 12 i i nekaje �1 =Xn rn j �(n)1 ih�(n)1 j; rn > 0; 8n (4.4.19)spektralna forma4.4.4;4.4.5 od �1. Onda se j 12 i mo�ze napisati u slede�cem vidu:j 12 i =Pnprn j �(n)1 i j �(n)2 i ; (4.4.20)gde su j �(n)2 i ortonormirani svojstveni vektori od �2, koji odgovaraju svojstvenim vrednostimarn (istim kao u (4.4.19)); drugim re�cima, �2 ima spektralnu formu (uz primedbu 4.4.4):�2 =Xn rn j �(n)2 ih�(n)2 j : (4.4.21)Naravno, u (4.4.20) i (4.4.21) se sumira po istom indeksu kao u (4.4.19). Va�zno je zapazitida �1 i �2 imaju nu�zno iste pozitivne svojstvene vrednosti sa jednakim multiplicitetima. Drugimre�cima, imamo spektralnu "jednakost" redukovanih statisti�ckih operatora, bar �sto se ti�ce njihovihoblasti likova.Iz Teorema T4.4.1 odmah sledi da je ovo ne samo potreban nego i dovoljan uslov za odnosizmedu j 12 i i �1, �2:Korolar 4.4.1 Proizvoljan statisti�cki operator �1 u H1 i ma koji statisti�cki operator �2 u H2,ali takav da ima iste svojstvene vrednosti kao �1, i to sa istim multiplicitetima, de�ni�su jedanvektor j 12 i 2 H12 preko desne strane od (4.4.20) (uz pomo�c (4.4.19) i (4.4.21)), tako da supomenuti �1 i �2 njegovi redukovani statisti�cki operatori.Dokaz: Odmah sledi polaze�ci od (4.4.19) i (4.4.21) i uzimaju�ci desnu stranu od (4.4.20) kao de�niciju leve strane.Q. E. D.Zadatak 4.4.5 Neka je zadat j 12 i pomo�cu (4.4.20) tako da znamo da su vektori j �(n)1 i ortogonalni, vektorij �(n)2 i takode ortogonalni i svi prn pozitivni. Pokazati da je onda j 12 i u Schmidt-ovoj kanoni�cnoj formi, teda va�ze i spektralne formule (4.4.19) i (4.4.21).Nekorelisan vektor je o�cigledno specijalni slu�caj u kojem u (4.4.20) (kao i u (4.4.19) i (4.4.21))postoji samo jedan sabirak. O�cigledno, ako je j 12 i korelisan vektor, onda i �1 i �2 opisujunehomogeno stanje.4.4.4 Kada se pi�se spektralna forma pomo�cu svojstvenih vektora kao u (4.4.19), a ne pomo�cu svojstvenih projektorakao na primer A =Pn anPn; n 6= n0 ) an 6= a0n, onda mo�ze biti ponavljanja svojstvenih vrednosti (recimo n 6= n0,a ipak rn = r0n) i u takvom slu�caju izbor svojstvenih pravaca nije jednozna�can. U smislu ove slobode (unutarpotprostora), izbor svojstvenih vektora fj �(n)1 ij8ng je proizvoljan, a izbor svojstvenih vektora j �(n)2 i u (4.4.20) i(4.4.21) je jednozna�cno odreden (kao �sto �cemo videti ni�ze u (4.4.26)) izborom svojstvenog podbazisa fj �(n)1 ij8ngi samim vektorom j 12 i.4.4.5�Sto se ti�ce podbazisa fj �(n)1 ij8ng � H1, on obrazuje oblast likova od �1 (uporediti Napomenu N4.4.2).Drugim re�cima, od kompletnog svojstvenog bazisa za �1 izostavljamo podbazis koji obrazuje svojstveni potprostorod �1, koji odgovara svojstvenoj vrednosti nula. Potpuno analogno stoje stvari sa fj �(n)2 ij8ng � H2; i �2 u H2.

132 GLAVA 4. RELACIJE NEODREDENOSTI, ME�SAVINE I PROBLEM DVE �CESTICEPretpostavimo da je A1 opservabla de�nisana za prvu �cesticu i to takva da je, kao �sto seka�ze, kompatibilna sa �1 tj. da je [ A1; �1 ] = 0, i da je kompletna opservabla (uporediti x 2.4.2).Osim toga, neka je fj �(n)1 ij8ng zajedni�cki svojstveni podbazis �1 i A1 (uporediti stav S 2.4.6),koji se pojavljuje u (4.4.19). Onda, zbog kompletnosti opservable A1, svaki j �(n)1 i je odredenjednozna�cno (do otvorenog faznog faktora) odgovaraju�com svojstvenom vredno�s�cu an od A1.Pitamo se kako �ce se promeniti j 12 i ako se na dvo�cesti�cnom sistemu u tom stanju izvr�siselektivno prediktivno merenje svojstvene vrednosti an podsistemske opservable A1.Korolar 4.4.2 Usled pomenutog merenja, j 12 i �ce pre�ci u nekorelisano stanjej �(n0)1 i j �(n0)2 i; (4.4.22)ako je v(an; A1; 12) > 0.Dokaz: Iz teorema T2.4.4 sledi da na (4.4.20) moramo primeniti projektor j �(n0)1 ih�(n0)1 j I2 i posletoga normirati dobijeni vektor. Projektovanje daje Pn rn j �(n0)1 ih �(n0)1 j �(n)1 i (I2 j �(n0)2 i), �sto se zbogortonormiranosti vektora j �(n)1 i nakon normiranja svodi na (4.4.22).Mo�ze se pokazati (videti referencu u primedbi 4.4.6) da stanje druge �cestice postaje j �(n0)2 i i kada se na prvoj�cestici vr�si retrospektivno selektivno merenje vrednosti an opservable A1. Q. E. D.Napomena 4.4.1 Fizi�cki smisao Korolara K 4.4.2 glasi: ako se na prvoj �cestici meri opservabla A1kompatibilna sa stanjem prve �cestice �1 i ako se dobije rezultat an0, onda se samim tim druga �cesticaprevodi u stanje j �(n0)2 i.Intuitivni paradoks sadr�zan u ovom iskazu postaje dramati�can kada pretpostavimo da kore-lisani vektor j 12 i opisuje dve �cestice, koje su udaljene jedna od druge, te usled udaljenosti neinteraguju. Kvantne korelacije inherentne u j 12 i se onda nazivaju distantnim korelacijama. Pripodsistemskom merenju na prvoj �cestici onda niti merni aparat, niti prva �cestica ne interagujusa drugom �cesticom, a ova ipak drasti�cno menja svoje stanje4.4.6 iz �2 u j �(n0)2 i.Name�ce se zaklju�cak da su�stina kvantnih korelacija, u specijalnom slu�caju distantnih kore-lacija, koje sadr�zi dato stanje j 12 i, le�zi upravo u tome koje stanje j �(n0)2 i odgovara datomsvojstvenom stanju j �(n0)1 i. Stoga �cemo u slede�cem paragrafu prou�citi kako je j �(n0)2 i odreden.4.4.5 � Parcijalni skalarni proizvodNau�cimo najpre jednu novu operaciju, koja je za vektore analogon parcijalnog traga (de�nisanogza statisti�cke operatore).Neka je '(r1) proizvoljni element u L2(r1), a �(r1; r2) proizvoljni element u L2(r1; r2). De-�ni�simo �2(r2) def= Z dr1'�1(r1)�12(r1; r2): (4.4.23)�Citalac se lako mo�ze uveriti da je �2(r2) po kvadratu modula kona�cno integrabilna funkcija, tj.da je element u L2(r2). �Sta vi�se, lako je videti (analogno kao pri analizi pitanja 2) u paragrafu4.4.6 Ovo tzv. distantno merenje druge �cestice je detaljno prou�ceno u slede�cem radu (u kome se koristila i tehnikaantilinearnih operatora radi izu�cavanja distantnih korelacija): F. Herbut, M. Vuji�ci�c, Annals of Physics, 96 (1976)382.

4.4. KVANTNI PODSISTEMI I ME�SAVINE DRUGE VRSTE 133x 4.4.3) da je (4.4.23) samo realizacija u koordinatnoj reprezentaciji apstraktne ili invarijantneoperacije j �2 i def= h '1 j �12ii; (4.4.24)gde su j �1 i 2 H1 i j �12 i 2 H12 proizvoljni vektori, a j �2 i 2 H2. (Pi�semo j �12 ii na desnojstrani od (4.4.24) da bismo podsetili da se skalarni proizvod vr�si samo u jednom faktor prostoru,a to pokazuje i ponavljanje indeksa 1.) Operacija (4.4.23) ili (4.4.24) naziva se parcijalni skalarniproizvod.Zadatak 4.4.6 Pokazati da je talasna funkcija �2(r2), de�nisana sa (4.4.23) po kvadratu modula kona�cno inte-grabilna.Zadatak 4.4.7 Pokazati da se sa (4.4.23) mo�ze pre�ci nah n2 j �2i = Z dr1h '1 j r1ihr1 j h n2 j �12ii;�sto daje smisao simboli�cnoj formuli (4.4.24).Sad mo�zemo izra�cunati do sada nepoznate vektore j �(n)2 i u (4.4.20). Naime, za svaki n trebasamo da izra�cunamo parcijalni skalarni proizvod h �(n0)1 j 12ii sa j 12 i iz (4.4.20). Po�sto jeovaj proizvod linearan po drugom faktoru (kao �sto jedan pogled na (4.4.23) mo�ze da nas uveri),dobi�cemo h �(n0)1 j 12ii =Xn prnh �(n0)1 j �(n)1 i j �(n)2 i = prn0 j �(n0)2 i: (4.4.25)Zadatak 4.4.8 Pokazati da iz j �12 i =j 1 i j !2 i i j �2 i = h '1 j �12ii Sledi j �2 i = (h '1 j 1i) j !2 i.Iz (4.4.25) sledi j �(n0)2 i = 1prn0 h �(n0)1 j 12ii : (4.4.26)Sad mo�zemo formulisati algoritamski rezime za prevodenje datog vektora j 12 i 2 H12 uSchmidt-ovu kanoni�cnu formu.i) Izra�cunati �1 na osnovu (4.4.10);ii) izra�cunati pozitivne svojstvene vrednosti rn i odgovaraju�ce svojstvene vektore j �(n)1 i od �1;iii) izra�cunati j �(n)2 i za svaki j �(n)1 i na osnovu (4.4.26). Kad napi�semo desnu stranu od (4.4.20),dobijeni vektor je jednak polaznom vektoru j 12 i, kao �sto nam garantuje teorem T4.4.1.U slede�cem paragrafu prodiskutova�cemo jedan va�zan eksperimentalni primer merenja distant-nih korelacija.

134 GLAVA 4. RELACIJE NEODREDENOSTI, ME�SAVINE I PROBLEM DVE �CESTICE4.4.6 � Dvofotonske distantne korelacijeDva �zi�cara4.4.7 sa kalifornijskog univerziteta u Berkeley-u4.4.8, SAD, izvr�sili su 1972. godinejedan zanimljiv ekeperiment u vezi sa distantnim korelacijama dvo-fotonskog sistema. Oni su ustvari izvr�sili minorne (all za njihovu svrhu bitne) izmene u eksperimentu Kocher-a i Commins-a(iz istog istra�ziva�ckog centra).Izlo�zi�cemo osnovne crte ovog eksperimenta u dva dela:A) preparacija ansambla dvo-fotonskih sistema u odredenom stanju j 12 i sa korelisanim jedno-fotonskim stanjima linearne polarizacije;B) koincidentno merenje linearne polarizacije na prvom i drugom fotonu sistema sa rezultatima.A) Atome kalcijuma u osnovnom stanju ozra�civali su monohromatskom svetlo�s�cu talasne

Slika 4.1: Kaskadna emisijaatoma Ca.

du�zine �0 = 2275�A (�A ozna�cava angstrem ili 10�8cm) i do-vodili ih u pobudeno stanje (energetski nivo br. 2 na Crte�zuC4.1). Otprilike 7% ovih pobudenih atoma deekscitiraju se napobudeni nivo br. 3. Sa ovog nivoa nastaje, kao �sto se ka�ze,kaskadna deekscitacija u osnovno stanje, tj. izra�cuju se jedanza drugim dva fotona, prvi talasne du�zine �1 = 5513�A, a drugitalasne du�zine �2 = 4227�A (videti Crte�z C 4.1). Opisana ka-skadna emisija dvo-fotonskog sistema de�savala se u koordinat-nom po�cetku na Crte�zu C4.2. Monohromatski �lter 1 propu�staoje samo fotone sa pomenutom talasnom du�zinom �1, a �lter 2 sa�2. Tako se prvi foton kretao udesno ka analizatoru (Nicol-ovojprizmi) 1, koji je propu�stao samo fotone linearno polarisane du�zx-ose. Iza analizatora foton bi se detektovao, ako prode krozanalizator u detektoru 1. Drugi foton se kretao ulevo i njega je analogno do�cekivao analizator 2i iza njega detektor 2. U stvari, sav uredaj sa Crte�za C4.2 bez oba analizatora i oba detektoramo�ze se smatrati uredajem za preparaciju dvofotonskog sistema.B) Detektori 1 i 2 radili su u koincidenciji, tj. registrovani su samo dogadaji kada bi i prvifoton stigao u detektor 1 i drugi foton stigao u detektor 2.

Slika 4.2: Shema uredaja za koincidentno merenje.Vr�sena je serija eksperimenata sa razli�citim uglovima � izmedu linije du�z koje su bill linearno4.4.7S.J. Freedman and J.F. Clauser, Physical Review Letters, 28 (1972) 938.4.4.8 �Citati: Berkli.

4.4. KVANTNI PODSISTEMI I ME�SAVINE DRUGE VRSTE 135polarisani fotoni 2, koji su pro�sli kroz detektor 2 i x-ose; drugim re�cima, analizator 2 je biozarotiran oko z-ose za ugao � u odnosu na analizator 1. Rezultati eksperimenta prikazani suna Crte�zu C4.3. Na apscisi su date vrednosti ugla �, a ordinate predstavljaju R(�)=R0, gde jeR(�) broj koincidenci u jedinici vremena kada su analizatori rotirani za ugao �, a R0 je brojkoincidenci kada su oba analizatora uklonjena; drugim re�cima, R(�)=R0 je relativna frekvencaposmatranih dogadaja (uporediti x 1.4.5). Ta�ckice na dijagramu su eksperimentalni rezultati saintervalima gre�ske, a neprekidna kriva je izra�cunata teorijski na osnovu kvantne mehanike. Kao�sto se vidi, slaganje teorije i eksperimenta je odli�cno4.4.9.

Slika 4.3: Rezultati Freedman-Clauser-ovog eksperimenta.

Unutra�snje ili polarizaciono stanje dvo-fotonskog si-stema bilo je dato u Schmidt-ovoj kanoni�cnoj formi u viduj 12 i =q12 j x1 i j x2 i+q12 j y1 i j y2 i ; (4.4.27)gde na primer j x1 i predstavlja stanje prvog fotona ukome je foton polarisan du�z x-ose itd. Mo�ze se pokazatida je j 12 i iz (4.4.27) teorijska posledica �cinjenice da inivo br. 3 i nivo br. 1 (na Crte�zu C4.1) imaju ukupniuglovni moment jednak nuli, kao i nekih detalja opisanepreparacije dvo-fotonskog ansambla.Ako je prvi foton stigao u detektor 1, onda je na njemu(retrospektivno) izmereno stanje j x1 i, a onda iz (4.4.27)sledi da je drugi foton preveden u stanje j x2 i. Kriva naCrte�zu C4.3 u stvari pokazuje kako verovatno�ca prolaskakroz analizator 2 zavisi od � (kada se uzmu u obzir i nekekorekcije za realni eksperiment).Slaganje eksperimenta sa kvantno-mehani�ckom predikcijom potvrduje postojanje distantnihkorelacija u prirodi u skladu sa teorijom sa kojom smo se upoznali u prethodnim paragra�maovog odeljka.4.4.7 � Distantne korelacije u eksperimentu sa semire ek-tivnim ogledalomU paragrafu x 1.2.6 smo se suo�cili sa jednim paradoksalnim aspektom eksperimenta sa polupro-pusnim ogledalom i bilo je nagove�steno da je to u nekoj vezi sa distantnim korelacijama. Sadasmo u stanju da pristupimo detaljnijoj diskusiji. Razlikova�cemo dva slu�caja, (A) i (B).(A) Pretpostavimo da je po�cetno stanje ogledala pripremljeno tako kao �sto iziskuje varijantab00 (iz x 1.2.2) eksperimenta prikazanog na crte�zu C1.3 (uporediti primedbu 1.2.1). To zna�ci daje ogledalo, na primer, pokretljivo u odnosu na laboratoriju i da tako omogu�cuje merenje impulsaod eventualnog odbijanja fotona.4.4.9U stvari, Freedman i Clauser su u opisanom eksperimentu hteli da dobiju odlu�cuju�ci eksperimantalni odgovorna pitanje da li u prirodi mogu postojati tzv. lokalni skriveni parametri (uporediti kraj od x 2.1.1). Slaganjeeksperimenta sa predikcijom kvantne mehanike u stvari pobija hipotezu lokalnih skrivenih parametara, ali u tone�cemo podrobnije ulaziti.

136 GLAVA 4. RELACIJE NEODREDENOSTI, ME�SAVINE I PROBLEM DVE �CESTICEKada foton (f) u ta�cki A interaguje sa ogledalom (O), nastaje jedno kompozitno stanje fotonai ogledala koje �cemo opisati kao j f0 i. Iz opisa eksperimenta mo�ze se zaklju�citi da Schmidt-ovakanoni�cna forma ovog vektora glasij f0 i =q12 j �(p)f i j �(p)0 i+q12 j �(o)f i j �(o)0 i ; (4.4.28)gde j �(p)f i predstavlja stanje "foton je pro�sao" (p) ka ta�cki D, a j �(o)f i stanje "foton se odbio"(o) ka ta�cki B; j �(p)0 i i j �(o)0 i su neka odgovaraju�ca stanja ogledala, karakterisana izostajanjemodnosno prisustvom primljenog impulsa od odbijanja fotona.Ako ponovo pro�citamo x 1.2.6, sad mo�zemo da konstatujemo, pre svega, da se ne mo�ze govoritio tome da je foton u ta�cki A "ili pro�sao prema opti�ckim putanjama ili krenuo jednom od njih(�sto se mo�ze manipulisati "kasnije", "sa udaljenog mesta"). Ako se u ta�cki A ne vr�si merenje(zna�ci sa izuzetkom varijante b00 iz x 1.2.2), foton je svakako "po�sao obema putanjama", kao �stose vidi iz (4.4.28). Ali �sta to zna�ci?Nakon interakcije sa ogledalom foton je u me�sanom stanju�f = 12 j �(p)f ih�(p)f j +12 j �(o)f ih�(o)f j; (4.4.29)kao �sto (za redukovani statisti�cki operator) sledi iz (4.4.28).Ako na fotonu onda u ta�cki B ili D vr�simo detekciju, onda upravo merimo j �(p)f i ili j �(o)f istanje i jedno od njih konstatujemo (u selektivnom, retrospektivnom merenju). Ali, samim timvr�simo merenje i na ogledalu (distantno merenje), prevode�ci ga u stanje j �(p)0 i odnosno u j �(o)0 i.Ovo nam se klasi�cnim rezonovanjem u�cinilo kao da je foton u ta�cki A "krenuo jednom od opti�ckihputanja". Dakle, u ovoj varijanti preparacije ogledala, sva paradoksalnost iz x 1.2.6 svodi se naintuitivnu paradoksalnost distantnog merenja.U prethodnim paragra�ma nismo dovoljno nagla�savali fantasti�cnu simetri�cnost dva podsi-stema u njihovim kvantnim korelacijama izra�zenim kroz Schmidt-ovu kanoni�cnu formu (4.4.20).Pomenuta varijanta b00 iz x 1.2.2 daje ilustraciju te simetri�cnosti.Naime, kada na ogledalu vr�simo merenje impulsa (od odbijanja fotona), onda u stvari konsta-tujemo j �(p)0 i ili j �(o)0 i i, opet distantnim merenjem, foton prevodimo u stanje j �(p)f i, odnosnoj �(o)f i, tj. primoravamo ga da se pona�sa kao da je pro�sao, odnosno kao da se odbio.Zapitajmo se kakav �ce biti difrakcioni obrazac na zastoru C ako u ovoj varijanti preparacijeogledala ne vr�simo nikakvo merenje ni na ogledalu ni na fotonu (osim na zastoru C). Odgovorje da nema interferencije, detektovani obrazac je tipa D1 + D2 (uporediti C 1.2). To sledi izva�zne �cinjenice da, �sto se ti�ce podsistemskog merenja, nema razlike izmedu me�savine druge iprve vrste ako su opisani istim statisti�ckim operatorom � (jer je formula za verovatno�ce potpunoista). Merenje lokalizacije na zastoru C je fotonsko merenje (bez u�ce�s�ca ogledala) i stoga se�f iz (4.4.29) pona�sa potpuno isto kao me�sani ansambl fotona koji bismo dobili me�sanjem dvapodansambla sa jednakim brojem fotona, jednog u kome svi fotoni idu putem ABC i drugog ukojem svi idu putem ADC.Dakle, sama priprema ogledala, koja je dovela do stanja j f0 i iz (4.4.28), je isklju�cilainterferenciju, a da li fakti�cki merimo "kojim putem je foton i�sao" ili ne, potpuno je svejedno.B) Pretpostavimo da je po�cetno stanje ogledala, pripremljeno tako kao �sto iziskuju varijantea, b i b0 eksperimenta. To zna�ci da je ogledalo, na primer, �cvrsto vezano za laboratoriju. Onda

4.4. KVANTNI PODSISTEMI I ME�SAVINE DRUGE VRSTE 137ono u dobroj pribli�znosti deluje na foton kao spolja�snje polje, tako da je rezultat interakcijenekorelisano kompozitno stanje j f0 i =j f i j '0 i: (4.4.30)�Cisto stanje fotona mo�ze da se pi�se u viduj f i =r12 j �(p)f i+r12 j �(o)f i; (4.4.31)gde j �(p)f i i j �(o)f i imaju isto zna�cenje kao u prethodnoj varijanti pripreme ogledala, tj. zna�ceprola�zenje odnosno odbijanje fotona. Samo, ovog puta se radi o koherentnoj, a ne o nekoherentnojsme�si (u me�savini druge vrste) dveju mogu�cih opti�ckih putanja za foton. Usled toga, ako nekimmerenjem pre ta�cke C ne razorimo interferenciju inherentnu u (4.4.31), na zastoru C opa�zamointerferentni obrazac tipa D1;2.�Sto se ti�ce paradoksa iz x 1.2.6, foton u ta�cki A "ide obema putanjama", kao �sto vidimo iz(4.4.31). Ako "kasnije" i "na udaljenom mestu" vr�simo merenje "j �(p)f i ili j �(o)f i" onda �cistostanje (4.4.30) pretvaramo (u neselektivnom merenju) u me�sano stanje�0f0 =r12 j �(p)f ih�(p)f j j '0 ih'0 j +r12 j �(o)f ih�(o)f j j '0 ih'0 j : (4.4.32)Zadatak 4.4.9 Pokazati da je me�sano stanje fotona u kompozitnom me�sanom stanju (4.4.32) isto kao u (4.4.29).Zadatak 4.4.10 Izra�cunati iz (4.4.32) u kom je me�sanom stanju ogledalo i zaklju�citi da li pri prelazu iz (4.4.30)u (4.4.32) imamo distantno merenje na ogledalu.Opet je samo klasi�cni privid da iz �cinjenice �sto u pomenutom merenju foton nalazimo u stanjuj �(p)f i ili u stanju j �(o)f i, sledi da je "foton morao jo�s u ta�cki A da krene jednom od putanja".Ba�s iz (4.4.30) i (4.4.31) vidimo da nije "morao", nego naprotiv, i�sao je obema putanjama.4.4.8 � Distanto merenje pri pobudivanju kvantnog si-stemaU x 3.4.10 smo diskutovali paradoks nestabilnosti pobudenih stanja i razre�sili ga ukazivanjemna �cinjenicu da se standardne procedure merenja svode na preparaciju kvantnog sistema uodredenom svojstvenom stanju (i sa odredenim energetskim nivoom) neperturbisanog hamil-tonijana, koji, po de�niciji, sadr�zi sve �cesti�cne stepene slobode, ali bez elektromagnetnog polja.Pomenuli smo da je i tu posredi distantno merenje. Naoru�zani formalizmom, sad mo�zemo i ovopitanje malo preciznije da razmotrimo.Izdvojmo dva energetska nivoa pomenutog neperturbisanog hamiltonijana H0: E00|osnovninivo i E0n0(> E00)|jedan od pobudenih nivoa. Neka su j E00 i i j E0n0 i odgovaraju�ci svojstvenivektori od H0 (izostavljamo eventualne dodatne kvantne brojeve). Pretpostavimo da imamoprostorni ansambl kvantnih sistema opisan sa j E0 i i da ga ozra�cujemo ansamblom fotonafrekvence �, tako da je E00 + h� = En0 : (4.4.33)

138 GLAVA 4. RELACIJE NEODREDENOSTI, ME�SAVINE I PROBLEM DVE �CESTICEObele�zimo sa j 0 i stanje elektromagnetnog polja bez ijednog takvog fotona, a sa j h� i pomenutiansambl fotona frekvence �.U po�cetku, dakle, imamo kompozitno stanje jE00 i j h� i. Usled interakcije elektromagnetnogpolja sa sistemom, a po�sto nam (4.4.33) obezbeduje odr�zanje ukupne energije, kompozitni sistemspontanom vremenskom evolucijom prelazi u stanjeq12 j E00 i j h� i+q12 j E0n0 i j 0 i : (4.4.34)Sad vr�simo merenje prisutnosti odnosno odsutnosti fotona frekvence �, tj. izvesnom tehnikom(na primer preko tamnih linija u spektru) konstatujemo da je doti�cni foton apsorbovan. To zna�cida smo (selektivno) izmerili (direktnim merenjem) stanje j 0 i elektromagnetnog polja i stanjeq12 j E0n0 i j 0 i kompozitnog sistema. Drugim re�cima, po�sto je (4.4.34) Schmidt-ova kanoni�cnaforma, mi smo distantnim merenjem dobili pobudeno stanje j E0n0 i za na�s kvantni sistem.Zadatak 4.4.11 Izvr�siti analognu diskusiju za deekscitaciju pobudenog nivoa.4.4.9 � Dodatak| izvodenje Schmidt-ove kanoni�cne formeNeka je fj m i1j8mg � H1 kompletan svojstveni bazis redukovanog statisti�ckog operatora �1datog kompozitnog vektora stanja j 12 i (uporediti (4.4.10)). Neka je fj k i2j8kg proizvoljanbazis u H2. Napi�simo razvoj j 12 i =Xm Xk �mk j m i1 j k i2: (4.4.35)Po�sto je red na desnoj strani od (4.4.35) apsolutno konvergentan, a direktni proizvod jelinearan i neprekidan, mo�zemo pregrupisati sabirke u (4.4.35) na slede�ci na�cin: j 12 i =Pm j m i1 (Pk �mk j k i2), tj.j 12 i =Xm j m i1 j �m i2; j �m i2 =Xk �mk j k i2; 8m: (4.4.36a,b)Uzgred, da napomenemo da se (4.4.36a) naziva razvijanje kompozitnog vektora po parcijalnombazisu fj m i1j8mg � H1.Zadatak 4.4.12 Pokazati da razvijanje po parcijalnom bazisu (4.4.36a) ne zavisi od izbora drugog bazisafj k i2j8kg � H.Na�s cilj je sad da doka�zemo: m 6= m0 ) h �m j �m0i = 0. Po�sto je h �m j �m0i =PkPk0 ��mk�m0k0h k j k0i = Pk ��mk�m0k i �mk = h m; k j 12i (iz (4.4.35)), dalje imamoh �m j �m0i =Pkh m0; k j 12ih 12 j m; ki. Uzimaju�ci u obzir (4.4.8b), najzad sledih �m j �m0i = hm0 j �1 j m i: (4.4.37)Po�sto �1 u reprezentaciji sopstvenog svojstvenog bazisa postaje dijagonalnamatrica, iz (4.4.37)sledi m 6= m0 ) h �m j �m0i = 0. Prepi�simo (4.4.36a) u viduj 12 i =Xn k�nk j n i1 ( 1k�nk) j �n i2; (4.4.38)

4.5. PROBLEM DVE I VI�SE �CESTICA 139gde smo se ograni�cili na one vrednosti od m za koje k�nk > 0, a njih pi�semo kao n.Adaptacijom sada�snje notacije na notaciju u Teoremu koji dokazujemo, tj. stavljaju�ci rn def=k�nk2; j �(n)1 i def= j n i1; j �(n)2 i def= ( 1k�nk) j �n i2, dobijamoj 12 i =Xn prn j �(n)1 i j �(n)2 i; (4.4.39)�sto je identi�cno sa (4.4.20).Iz (4.4.37) se vidi da je rn = k�nk2 = hn0 j �1 j n i svojstvena vrednost od �1, koja odgovarasvojstvenom vektoru j n i1. Ako iz (4.4.39) izra�cunamo �2, dolazimo do �2 = Tr1 (Pn;n0 prnprn0j �(n)1 ih�(n0)1 j j �(n)2 ih�(n0)2 j), �sto usled n 6= n0 ! Tr1 (j �(n)1 ih�(n0)1 j) = 0, Tr1 (j �(n)1 ih�(n)1 j) =1; 8n, daje �2 =Xn rn j �(n)2 ih�(n)2 j : (4.4.40)�Cinjenicu da (4.4.40) predstavlja spektralnu formu za �2 mo�zemo videti izh�(n)2 j �2 j �(n0)2 i = Ænn0rn; (4.4.41)�sto odmah sledi iz (4.4.40), po�sto ve�c znamo da su j �(n)2 i ortogonalni vektori.Napomena 4.4.2 Iz (4.4.37) je o�cigledno da je k�nk > 0 ako i samo ako hm0 j �1 j m i > 0, a tozna�ci ako je j m i1 u oblasti likova od �1. Zato se u (4.4.19), (4.4.20), i (4.4.21) ograni�cavamo nasvojstvene podbazise od �1 i �2 koji obrazuju oblasti likova R(�1), odnosno R(�2).Napomena 4.4.3 Lako se vidi da smo mogli po�ci od proizvoljnog bazisa fj m i1j8mg � H1 i opetsti�ci do (4.4.37), tako da iz (4.4.37) u stvari mo�zemo izvu�ci zaklju�cak da su vektori j �m i2 2 H2 uparcijalnom razvoju (4.4.36a) ortogonalni ako i samo ako je bazis fj m i1j8mg � H1 svojstveni bazis od�1.4.5 Problem dve i vi�se �cesticaU ovom odeljku suo�ci�cemo se sa problemom kako re�siti spregnute dinami�cke jedna�cine dve in-teraguju�ce �cestice. Podseti�cemo se u prva �cetiri paragrafa kako se u klasi�cnoj mehanici po-sti�ze rasprezanje u vidu efektivnih �cestica centra masa i relativne �cestice. Zatim �cemo pre�ci nakvantno-mehani�cko opisivanje i re�savanje zakona kretanja. Na kraju �cemo skicirati uop�stenje navi�se �cestica.4.5.1 Centar masa i relativna �cesticaU prva �cetiri paragrafa izlo�zi�cemo ukratko kako se problem dve �cestice tretira u klasi�cnoj meha-nici. Pretpostavimo da su date dve �cestice4.5.1, prva sa masom m1 i koordinatama r1 i druga samasom m2 i polo�zajem r2.4.5.1U klasi�cnoj mehanici se umesto o �cesticama obi�cno govori o materijalnim ta�ckama. Po�sto pripremamo prelazakna kvantno-mehani�cko opisivanje, od po�cetka govorimo o �cesticama.

140 GLAVA 4. RELACIJE NEODREDENOSTI, ME�SAVINE I PROBLEM DVE �CESTICE6 -����ZZZZ~1z

x y 2r2R CMr1 r���������1������3 eu uSlika 4.4: Geometrija prela-ska na centar masa i relativnu�cesticu.

Ograni�ci�cemo se na najva�zniji slu�caj u kome potencijalinterakcije V zavisi samo od rastojanja �cestica, tj. kada jeHamilton-ova funkcija H12 vidaH12(r1; r2;p1;p2) = p212m1 + p222m2 + V (kr1 � r2k); (4.5.1)gde su p1 i p2 impulsi.Sa gledi�sta re�savanja jedna�cina kretanja (u Hamilton-ovoj formi) imamo nepovoljnu okolnost �sto su �cestice di-nami�cki spregnute, tj. Hamilton-ova funkcija (4.5.1) nije zbirHamilton-ove funkcije H1 prve i Hamilton-ove funkcije H2druge �cestice. Da jeste, rekli bismo da se H12 raspada na H1i H2, a za �cestice bi rekli da su dinami�cki raspregnute.Osnovna ideja re�savanja problema dve �cestice sastoji se u tome da se izvr�si transformacijakojom se sa realnih �cestica prelazi na �ktivne ili efektivne �cestice, i to takve da se Hamilton-ovafunkcija, izra�zena preko njih, raspada, tj. da se efektivne �cestice dinami�cki raspre�zu.Uvode se efektivne �cestice centar masa (oznaka CM) i relativna �cestica (oznaka R�C) tako daim radijus vektori R, odnosno r glase (uporediti Crte�z C 4.4):R def= m1r1 +m2r2m1 +m2 ; r def= r2 � r1: (4.5.2a,b)Inverzna transformacija, kao �sto se lako vidi, ima vidr1 = R� m2m1 +m2 r; r2 = R+ m1m1 +m2 r: (4.5.2c,d)4.5.2 Impulsi efektivnih �cesticaKao �sto je poznato, impulsi �cestice 1 i 2 su u stvari varijable kanoni�cno konjugovane koordinatamai, prema tome, izra�cunavaju se po formuli pi def= @L12@vi ; i = 1; 2, gde jeL12 def= 12m1v21 + 12m2v22 � V (kr1 � r2k) (4.5.3a)Lagrange-ova funkcija sistema, a vi def= dridt su brzine. O�cigledno, pi = mivi. S druge strane,potreban i dovoljan uslov za kanoni�cnu konjugovanost varijabli glasi [ ri;pi ] = 1.Sad moramo da izra�cunamo kanoni�cno konjugovane varijable odR i r, tj. impuls centra masai relativne �cestice. Prethodno moramo Lagrange-ovu funkciju izraziti preko R i r i odgovaraju�cihvremenskih izvoda, tj. brzina V def= dRdt ; v def= drdt : (4.5.4a,b)Jednakosti (4.5.2) povla�cev1 = V � m2m1 +m2v; v2 = V + m1m1 +m2v: (4.5.5a,b)

4.5. PROBLEM DVE I VI�SE �CESTICA 141Kad se (4.5.5) zameni u L12, tj. u (4.5.3a), slediL12 = 12(m1 +m2)V2 + 12 m1m2m1 +m2v2 � V (krk): (4.5.3b)De�ni�simo M def= m1 +m2; m def= m1m2m1 +m2 : (4.5.6a,b)Iz (4.5.3a) je L12 = 12MV2 + 12mv2 � V (krk): (4.5.3c)Iz P def= @L12@V , p def= @L12@v i (4.5.3c) odmah slediP =MV; p = mv; (4.5.7a,b)u punoj analogiji sa slu�cajem pravih �cestica. Veli�cinu M interpretiramo kao masu sistema, a mkao masu relativne �cestice.Kao �sto je poznato, dok je Lagrange-ova funkcija razlika kineti�cke i potencijalne energije,Hamilton-ova funkcija je njihov zbir. Stoga iz (4.5.3c) i (4.5.7) proizlaziH12 = P22M + p22m + V (r) ; (4.5.8)gde je r def= krk. Vidimo da je H12 zbir odHCM def= P22M i HR�C def= p22m + V (r); (4.5.9a,b)tj. od Hamilton-ovih funkcija pojedinih efektivnih �cestica.Dakle, postigli smo rasprezanje centra masa i relativne �cestice, tj. efektivne �cestice "neinteraguju". Interakciju pravih �cestica pretvorili smo u spolja�snji potencijal V (r) za relativnu�cesticu (ali izvor ovog potencijala, naravno, nije centar masa!).4.5.3 Ukupni uglovni momentKao �sto je dobro poznato, ukupni uglovni moment (ili ukupni moment koli�cine kretanja) sistemadve �cestice je po de�niciji l1 + l2 = r1 � p1 + r2 � p2; (4.5.10)gde � ozna�cava vektorski proizvod. Treba da izrazimo ukupni uglovni moment pomo�cu varijabliefektivnih �cestica.Jednakosti (4.5.5), uz pomo�c (4.5.7) i (4.5.6), odmah dajup1 = m1M P� p; p2 = m2M P+ p: (4.5.11a,b)Kad se (4.5.2) i (4.5.11) zamene u (4.5.10), neposredno sledil1 + l2 = L + l; (4.5.12a)

142 GLAVA 4. RELACIJE NEODREDENOSTI, ME�SAVINE I PROBLEM DVE �CESTICEgde su L def= R�P i l def= r� p: (4.5.13a,b)uglovni momenti efektivnih �cestica, de�nisani analogno kao za prave �cestice.Diskusija rezultata (4.5.12a) sa (4.5.13) mora po�ci od �cinjenice da L zavisi od polo�zaja koor-dinatnog po�cetka (preko R, uporediti Crte�z C 4.4), a l od njega uop�ste ne zavisi. Prema tome,vektorska varijabla L nije ni od kakve va�znosti za sistem po sebi. Ona karakteri�se odnos centramasa i koordinatnog po�cetka.Da se izbegne nebitno, najpogodnije je smestiti koordinatni po�cetak u polo�zaj centra masa,�sto zna�ci R = 0; L = 0 i onda se ukupni uglovni moment dvo�cesti�cnog sistema svodi na uglovnimoment relativne �cestice l. Uobi�cajeno je da se ova pretpostavka �cini pre�cutno (osim ako senaglasi da je druga�cije), tj. da va�zi l1 + l2 = l : (4.5.12b)4.5.4 Re�senje klasi�cnih jedna�cina kretanjaSve �sto smo u ovom odeljku do sada iskazali odnosilo se na �ksiran trenutak vremena. Pret-postavimo da u po�cetnom trenutku t0 osnovne varijable efektivnih �cestica imaju date vrednosti(po�cetni uslov): R0, P0, r0, p0. Da bismo izra�cunali kako se ove varijable menjaju u vremenu,tj. da bismo na�sli R(t), P(t), r(t) i p(t), 8t > 0, moramo re�siti jedna�cine kretanja, recimo uHamilton-ovoj formi. One glase _R = @H12@P ; _P = �@H12@R ; (4.5.14a,b)_r = @H12@p ; _p = �@H12@r (4.5.14c,d)(ta�cka ozna�cava izvod po vremenu). Pogled na (4.5.8) daje_R = 1MP; _P = 0; (4.5.15a,b)_r = 1mp; _p = �rV (r): (4.5.15c,d)Dakle, re�senje za centar masa glasi P(t) = P0, R(t) = R0 +P0t=M , tj. centar masa se kre�cepo inerciji. Na relativnu �cesticu deluje sila (desna strana od (4.5.15d)) i integraciju jedna�cinakretanja mo�zemo dovr�siti samo ako je eksplicitno zadata konkretna interakcija V(r), tj. kadaznamo silu koja deluje.4.5.5 Prelazak na kvantnu mehanikuZnamo da se u kvantnoj mehanici dvo�cesti�cni sistem opisuje vektorima stanja iz orbitnog prostoraH(o)12 def= H(o)1 H(o)2 (uporediti x 2.6.8 za N = 2). Jedna�cine (4.5.2) postaju operatorske jednakosti

4.5. PROBLEM DVE I VI�SE �CESTICA 143R def= m1M r1 + m2M r2; r def= r2 � r1; (4.5.16a,b)r1 = R� m2M r; r2 = R+ m1M r; (4.5.16c,d)i to kao posledica kvantizacije, u kojoj se varijable zamenjuju hermitskim operatorima tako dasve linearne relacije ostaju sa�cuvane.S druge strane, varijable R, P, r i p �cine osnovni skup varijabli u Hamilton-ovom smisluu analogiji sa osnovnim skupom r1, p1, r2 i p2, od koga smo po�sli pri konstrukciji pomenutogprostora stanja H(o)12 . Odmah se vidi da Poisson-ove zagrade imaju uobi�cajen vid[ X;Px ]PZ = @X@X @Px@Px � : : :� @X@pz @Px@z = 1 itd: (4.5.17)(podsetimo se da se Poisson-ove zagrade mogu izra�cunati pomo�cu bilo kog osnovnog skupa vari-jabli, a rezultat je jedan te isti). Dakle,[ Rq; Pq0 ]PZ = Æqq0; [ q; pq0 ]PZ = Æqq0 (4.5.18a,b)(Vidi (4.5.18) Poasonovih zagrada nije samo potreban, nego i dovoljan uslov za osnovni skupvarijabli.)Zadatak 4.5.1 Dokazati relacije (4.5.18) izra�cunavaju�ci Poasonove zagrade pomo�cu osnovnog skupa varijablir1, p1, r2 i p2.Potpuno analognom logikom kao u x 2.5 mo�zemo konstruisati orbitne prostore stanja efektivnih�cestica: H(o)CM kao prostor obrazovan zajedni�ckim (uop�stenim) svojstvenim bazisom fjRij�1 <Q <1; Q = X; Y; Zg potpunog skupa kompatibilnih opservabli R iH(o)R�C, u kome je fj rij�1 <q <1; q = x; y; zg zajedni�cki svojstveni bazis potpunog skupa kompatibilnih opservabli r. Akoformiramo direktni proizvod od H(o)CM i H(o)R�C, dobi�cemo pomenuti dvo�cesti�cni prostor H(o)12 , kao�sto sledi iz (4.5.16), tj. iz �cinjenice da parovi R, r i r1, r2 deluju u istom prostoru (jedni sufunkcije od drugih). Dakle, radi se o dvema razli�citim tenzorskim faktorizacijama prostora H(o)12 :H(o)1 H(o)2 = H(o)12 = H(o)CM H(o)R�C (4.5.19).Zadatak 4.5.2 Pokazati da (uop�steni) dvo�cesti�cni vektor stanja j P i j r i 2 H(o)12 ; krk � 1, ima osobinu daprediktivno merenje impulsa na prvoj �cestici daje odredenu vrednost i za impuls druge, udaljene, �cestice; akose umesto impulsa meri (prediktivno) polo�zaj prve �cestice, takode se time ujedno izmeri distantnim merenjem ipolo�zaj druge, udaljene, �cestice. (Indikacija: Po�ci od �cinjenice da pomenuta merenja ne naru�savaju o�stru vrednostopservable P, odnosno r, jer je kompatibilna sa merenom opservablom.)Na ovom primeru su Einstein, Podolsky i Rosen l935. prvi put4.5.2 uveli pojam distantnihkorelacija (uporediti x 4.4.1).4.5.2A. Einstein, B. Podolsky and N. Rosen, Physical Review 47 (1935) 777.

144 GLAVA 4. RELACIJE NEODREDENOSTI, ME�SAVINE I PROBLEM DVE �CESTICE4.5.6 Efektivne �cestice u koordinatnoj reprezentacijiSad �cemo da prou�cimo �sta (4.5.19) zna�ci u koordinatnoj reprezentaciji.Iz (4.5.16) sledi da je vektor j r1i j r2i 2 H(o)12 zajedni�cki svojstveni vektor ne samo za operatorer1 i r2, nego i operatora R i r (sa odgovaraju�cim svojstvenim vrednostima R = m1r1+m2r2M ,odnosno r = r2 � r1). Dakle, svakom paru (r1; r2) odgovara par (R(r1; r2); r(r1; r2)) bijektivno.Sa gledi�sta faktorizacije (4.5.19) na prostore efektivnih �cestica, isti pravac u U(H(o)12 ) obrazuje(uop�steni) vektor jR i j r i 2 H(o)12 (sa pomenutim vrednostima R i r). Pogodnim izborom faznihfaktora mo�zemo posti�ci j r1 i j r2 i =j R i j r i; 8r1; 8r2; (4.5.20)tako da su vrednosti r1, r2 i R, r korespondenti u smislu (4.5.2). (Obratiti pa�znju da na levojstrani od (4.5.20) imamo ispu�sten u smislu prve faktorizacije u (4.5.19), a na desnoj straniispu�steni odgovara drugoj faktorizaciji u (4.5.19).) Pisa�cemo, jo�s vi�se skra�ceno, (4.5.20) i kaoj r1; r2 i =j R; r i.Zadatak 4.5.3 Pokazati da va�zi jednakoste� {~ (p1�r1+p2�r2) = e� {~ (P�R+p�r) (4.5.21)za svaki par vrednosti r1, r2 (i korespondentni par R, r) i da iz toga sledi da mo�zemo posti�ci (4.5.20).Neka je j �i 2 H(o)12 proizvoljan vektor (� ovde ozna�cava potpun skup kvantnih brojeva) i nekaje �(r1; r2) def= h r1; r2 j �i odgovaraju�ci element prostora L2(r1r2). Izrazimo r1 i r2 na levojstrani ove jednakosti pomo�cu R i r, koriste�ci se relacijama (4.5.2c, 4.5.2d) i dobijenu slo�zenufunkciju od R, r ozna�cimo sa ��(R; r). Na desnoj strani iste jednakosti zamenimo hr1; r2 j sanjemu jednakim braom hR; r j u smislu (4.5.20). Tako dolazimo do4.5.3 �(r1; r2) = ��(R; r) = h R; r j �i: (4.5.22)Ovo je jednakost vrednosti funkcija za korespondentne argumente | u smislu (4.5.2a, 4.5.2b), ane jednakost funkcionalnih zavisnosti.Jednakostima (4.5.19) u koordinatnoj reprezentaciji odgovaraL2(r1) L2(r2) = L2(r1; r2) �= L2(R; r) = L2(R) L2(r); (4.5.23)gde su L2(R), L2(r) i L2(R; r) prostori po modulu kvadratno integrabilnih funkcija 'CM(R) =h R j 'CMi, odnosno 'R�C(r) = h r j 'R�Ci, odnosno �(R; r) def= h R; r j �i, u punoj analogiji saL2(r1) na primer, a �= ozna�cava izomor�zam uspostavljen prvom jednako�s�cu u (4.5.22).Zadatak 4.5.4 Pokazati da prva jednakost u (4.5.22) uspostavlja izomor�zam izmedu L2(r1; r2) i L2(R; r).Zadatak 4.5.5 Pokazati da se operacija direktnog mno�zenja vektora u L2(R; r) = L2(R) L2(r) sastoji uobi�cnom mno�zenju funkcija (Indikacija: osloniti se na analogni slu�caj L2(r1; r2) = L2(r1)L2(r2), videti (2.8.19)i stav S 2.8.1).4.5.3Notacijom �� i � �zelimo da naglasimo razli�cite funkcionalne zavisnosti. �Cak i u prostijem slu�caju koordinatnei impulsne reprezentacije jedne �cestice, ako bismo pisali h r j i = (r) istovremeno sa h p j i = (p), notacijabi mogla sugerisati da su (r) i (p) jednake funkcionalne zavisnosti, �sto nije ta�cno!

4.5. PROBLEM DVE I VI�SE �CESTICA 1454.5.7 Re�senje kvantno-mehani�ckih jedna�cina kretanjaVratimo se sad problemu zakona kretanja za dve �cestice. Ovaj zakon mo�zemo dobiti direktnoprepisuju�ci klasi�cni izraz (4.5.8) na jeziku operatora u H(o)12 = H(o)CM H(o)R�C i zamenjuju�ci takodobijeni hamiltonijan u Schr�odinger-ovu jedna�cinu:{~ @@t j 12 i = H12 j 12 i = ( P22M + p22m + V (r)) j 12 i (4.5.24)U pogledu dinami�cke podele (x 3.1.6), na�s dvo�cesti�cni sistem je konzervativan i izolovan, a kadje izra�zen preko efektivnih �cestica kao u (4.5.24) �cak imamo dinami�cku nezavisnost ili dinami�ckuraspregnutost centra masa i relativne �cestice. Efektivna �cestica centra masa se kre�ce kao slobodna�cestica, a relativna �cestica kao konzervativna, ali ne i izolovana, ve�c u spolja�snjem polju V (r)(osim ako je V (r) def= 0.Kao �sto znamo iz teorema T3.2.1, da bismo dobili re�senje za (4.5.24) dovoljno je re�siti svoj-stveni problem hamiltonijana H12, tj. na�ci potpunu klasi�kaciju dvo�cesti�cnih stanja. Zbograspregnutosti efektivnih �cestica najpogodnije je po�ci od klasi�kacije stanja posebno za centarmasa i posebno za relativnu �cesticu (uporediti analogan slu�caj (3.4.16a)-(3.4.17c)).Za centar masa pogodno je potpunu klasi�kaciju stanja izvr�siti pomo�cu ravnih talasa fjPij8Pg.Odgovaraju�ci spektar fECM = P22M j8Pg je �cisto kontinualan, tj. centar masa nema ni jedno vezanostanje.Ako imamo svojstveni vektor hamiltonijana sa odgovaraju�com diskretnom i to negativnomvredno�s�cu energije (svojstvene vrednosti hamiltonijana), onda se govori o vezanom stanju. Akoimamo pozitivnu vrednost energije i to iz neprekidnog spektra hamiltonijana, onda se odgova-raju�ci (uop�steni) svojstveni vektor naziva slobodnim stanjem. Relativna �cestica u op�stem slu�cajumo�ze da ima i vezanih i slobodnih stanja, tj. njen ukupni spektar mo�ze da se sastoji od diskretnogi od kontinualnog spektra.Primer za kontinualni spektar relativne �cestice imamo pri rasejanju, kada �cestica 1 (projektil)pod uticajem �cestice 2 (mete) menja svoje stanje, ali ne formira s njom vezano stanje (tj. nede�sava se zahvat). �Cesto je u ovom slu�caju pogodnije koristiti se potpunom klasi�kacijom stanjapomo�cu sfernih talasa (uporediti ni�ze, x 6.6.5), nego pomo�cu ravnih talasa.Primere za diskretni spektar relativne �cestice imamo u slu�caju vezanih dvo�cesti�cnih sistema.Takav je na primer deuteron, jezgro deuterijuma D, koji se pojavljuje u atomu te�ske vode D2O.Deuteron se sastoji od protona i od neutrona. Drugi primer je neutralni atom vodonika, sastojise od protona i elektrona. Tre�ci primer je molekul od dva atoma itd.4.5.8 Efektivne �cestice u slu�caju N �cesticaCentar masaN -�cesti�cnog sistema de�ni�se se jednako�s�cu tzv. stati�ckih momenata (radijus vektorapomno�zenih masama): RCM( NXn=1mn) = NXn=1mnrn; (4.5.25)a to mo�ze da se prepi�se kaoRCM(PNn=1mn) = (((m1r1 +m2r2) +m3r3) +m4r4) + : : : =(((m1 +m2)RCM12 +m3r3) +m4r4) + : : : = ((m1 +m2 +m3)RCM123 +m4r4) + : : : ; (4.5.26)

146 GLAVA 4. RELACIJE NEODREDENOSTI, ME�SAVINE I PROBLEM DVE �CESTICEgde je sa CM1:::n ozna�cen centar mase prvih n �cestica.Na osnovu (4.5.26) mo�ze se pre�ci sa N �cestica na N efektivnih �cestica na slede�ci na�cin. Saprve i druge �cestice prede se na R�C12 i CM12 (kao u dvo�cesti�cnom problemu). Onda se sa CM12i tre�ce �cestice prede, opet kao u dvo�cesti�cnom problemu, na jo�s jednu relativnu �cesticu i naCM123 (kao �sto se vidi iz (4.5.26)) itd. Na kraju imamo N � 1 relativnih �cestica i centar masacelog sistema. Zbog proizvoljnog redosleda �cestica, ovim postupkom se na mnogo na�cina mogude�nisati relativne �cestice.Mo�ze se postupiti i malo druga�cije. Iz (4.5.25) takore�ci neposredno sledi slede�ca lema.Lema 4.5.1 Grupi�simo na�sih N �cestica na izvestan na�cin u K klasa sa po Nk; k = 1; : : : ; K,�cestica u pojedinim klasama (PKk=1Nk = N). Neka su Rk i Mk radijus vektor i masa centramasa k-te klase �cestica, a R i M odgovaraju�ce veli�cine celog sistema. Onda va�ziMR = KXk=1MkRk (4.5.27)tj. sa intermedijernih centara masa CMk pojedinih klasa se prelazi na centar masa sistemaanalognom formulom kao sa prvobitnih �cestica.Na osnovu Leme L4.5.1 mo�zemo razdeliti sistem �cestica u klase i unutar svake od njih pre�cisa Nk �cestica u klasi na Nk � 1 relativnih �cestica i CMk, na primer gore opisanim postupkom.Onda sa intermedijernih efektivnih �cestica CM1, CM2,. . . CMK dalje opet prelazimo na relativne�cestice i na (sve obuhvatnije) centre masa nekim na�cinom kao za �cestice. Opet �cemo na krajudobiti N � 1 relativnih �cestica i centar masa celog sistema.Ispostavlja se (ne�cemo to dokazivati) da kako god uveli N � 1 relativnih �cestica sa radijusvektorima %1, %2,. . . , %N�1, masama �1, �2,. . . ,�N�1 i impulsima P1, P2,. . . ,PN�1 i centar masasa R, M i P, va�zi�ce kako uop�stenje formule (4.5.12a) za uglovne momenteNXn=1(rn � pn) = R�P+ N�1Xi=1 (%i �Pi); (4.5.28)tako i uop�stenje formule (4.5.8) za Hamilton-ovu funkcijuH12:::N = P22M + (N�1Xi=1 P2i2�i + V (%1; : : : %N�1)): (4.5.29)Dakle, u op�stem slu�caju samo se centar masa celog sistema, dinami�cki raspre�ze od N �1 relativnih �cestica, a ove sa svoje strane ostaju dinami�cki spregnute. Prelazak na kvantnumehaniku je analogan kao u dvo�cesti�cnom problemu.

Glava 5GALILEJEVE TRANSFORMACIJE5.1 Pro�sirena Galilejeva grupaZapo�ce�cemo odeljak pojmovima inercijalnog koordinatnog sistema i inercijalnog kretanja. Za-tim �cemo podsetiti na de�niciju Galilejevih transformacija i inverzija, koje zajedno obrazujupro�sirenu Galilejevu grupu. Koren ove grupe le�zi, s jedne strane, u geometriji prostor-vremena iu inercijalnom kretanju, a s druge strane u Galilejevom principu relativiteta. Objasni�cemo ak-tivnu i pasivnu interpretaciju pojedinih transformacija. Pripremaju�ci se za kvantizaciju pro�sireneGalilejeve grupe, tj. za njeno preno�senje u kvantnu mehaniku (koje �cemo izvr�siti u slede�cemodeljku), ukaza�cemo na mogu�cnost generisanja Galilejevih transformacija pomo�cu eksponenci-jalnih operatorskih funkcija zasnovanih na Poisson-ovim zagradama. Na kraju, de�nisa�cemodoti�cne transformacije u vi�se prostora i prou�ci�cemo veze izmedu njih.5.1.1 � Inercijalni koordinatni sistemKlasi�cna mehanika je nauka o kretanju �zi�ckih sistema. Pri opisivanju kretanja se zapravo radio tome kako odredeni posmatra�c (opserver) vidi doti�cni �zi�cki sistem u prostoru i vremenu.Fizika je egzaktna nauka, te se pojam "posmatra�ca" mora precizno i objektivno de�nisati.Tako se dolazi do poznatog pojma koordinatnog ili referentnog sistema. Strogo uzev, posmatra�cje vi�se od koordinatnog sistema; tu je i aktivni subjekat (ali mogao bi biti i robot) koji vr�simerenja, prikuplja informaciju itd. Ali uobi�cajeno je da se ovaj "vi�sak" apstrahuje i, za potrebeklasi�cne mehanike, posmatra�c redukuje na referentni sistem.Ista �zi�cka pojava izgleda razli�cito u razli�citim koordinatnim sistemima i �cak mo�ze da seispoljava slo�zenije ili prostije zavisno od referentnog sistema. O�cigledno je va�zno na�ci kriterijumnajpogodnijeg izbora koordinatnog sistema za �sto �siru klasu �zi�ckih fenomena.Fizi�cke pojave odvijaju se u prostoru i vremenu. Slo�zenost opisivanja pojava osetno zavisi odtoga kako se slo�zeno pojavljuje sam prostor i vreme u videnju opservera. Vreme poprima najve�cujednostavnost za posmatra�ca za koga su svi vremenski trenuci a priori (tj. pre nego �sto se deseodredeni �zi�cki dogadaji) ravnopravni, nerazli�civi. Ta se osobina naziva homogeno�s�cu vremena.Analogna jednostavnost prostora je u a priori ravnopravnosti ili nerazli�civosti svih polo�zaja |�sto se naziva homogeno�s�cu prostora. Drugi vid jednostavnog ispoljavanja prostora imamo ako suu njemu svi pravci koji prolaze kroz �ksiranu ta�cku ravnopravni | �sto se naziva izotropno�s�cu147

148 GLAVA 5. GALILEJEVE TRANSFORMACIJEprostora (u odnosu na tu ta�cku). (Videti precizniju de�niciju homogenosti i izotropnosti u x 5.1.7.)Ako je prostor homogen i izotropan u odnosu na jednu ta�cku, onda je izotropan u odnosu nasvaku ta�cku.Koordinatni sistem u kome je vreme homogeno, a prostor homogen i izotropan naziva seinercijalnim koordinatnim sistemom. Takav referentni sistem stvarno daje najjednostavnije opi-sivanje najve�ceg broja pojava. Pre svega, u njemu se materijalna ta�cka na koju ne deluje sila5.1.1,kre�ce pravolinijski konstantnom brzinom (ili u specijalnom slu�caju miruje), tj. vr�si tzv. iner-cijalno kretanje. Ovo je u stvari potreban i dovoljan uslov (ili druga de�nicija) za inercijalnireferentni sistem.Inercijalnih koordinatnih sistema ima (kontinualno beskona�cno) mnogo. Sa jednog na drugiprelazi se transformacijom iz tzv. pro�sirene Galilejeve grupe, koja je stoga grupa relativitetaklasi�cne mehanike (videti x 5.1.7).5.1.2 Galilejeve transformacijeKao �sto je poznato u klasi�cnoj mehanici, svaka tzv. Galilejeva transformacija odredena je sa 4entiteta: jednom 3 � 3 realnom ortogonalnom5.1.2 matricom R jedini�cne determinante (koja senaziva matricom rotacije), vektorom brzine v, vektorom prostorne translacije a i realnim brojemvremenske translacije b. Oznaka je T(b;a;v;R).Galilejeva transformacija deluje na slede�ci na�cin na vektor polo�zaja r, na trenutak t i naimpuls p klasi�cne �cestice:T(b;a;v;R)r = Rr+ a� vt; T(b;a;v;R)t = t + b; T(b;a;v;R)p = Rp�mv: (5.1.1a,b,c)Pod Rr, na primer, podrazumeva se matri�cni proizvod 3 � 3 matrice R sa 3 � 1 matricom (ilibrojnom kolonom) vektora r, koja se sastoji od apscise x, ordinate y i od aplikate z. Sa m jeozna�cena masa �cestice.Zadatak 5.1.1 Pokazati da identi�cna transformacija glasi T(0;0;0;I), gde je sa 0 ozna�cen nulti vektor, a sa Ijedini�cna 3� 3 matrica.Kada su u �cetvorci (b; a;v; R) svi entiteti nulti (zapravo R = I a ne nula) osim jednog, ondase u oznaci transformacije ispisuje samo taj jedan.Zadatak 5.1.2 Pokazati da va�zi T(b;a;v;R) = TbTaTvTR; (5.1.2)gde na DS-i imamo proizvod transformacija, koji se u stvari sastoji u uzastopnoj primeni.�Cetvorka (b; a;v; R) naziva se Lie-jevim parametrima transformacije. Za svaki izbor Lie-jevihparametara (unutar gornjih de�nicija) postoji Galilejeva transformacija. Uzastopna primena(proizvod) bilo koje dve Galilejeve transformacije opet daje Galilejevu transformaciju premaobrascu T(b0;a0;v0;R0)T(b;a;v;R) = T(b0+b;a0+R0a�v0b;v0+R0v;R0R): (5.1.3)5.1.1Ovde pod silom podrazumevamo pravu silu, koja ima svoj izvor u nekom �zi�ckom sistemu i za koji va�zi zakonakcije i reakcije (a ne na inercijalnu silu, koja je prividna i pojavljuje se samo u neinercijalnom koordinatnomsistemu).5.1.2Matrica R se naziva ortogonalnom ako R�1 = RT , tj. ako je njena inverzna matrica jednaka transponovanoj.

5.1. PRO�SIRENA GALILEJEVA GRUPA 149Svaka Galilejeva transformacija je nesingularna (tj. predstavlja obostrano jednozna�cno, ceo-na-ceo preslikavanje). Inverzna transformacija T�1(b;a;v;R) proizvoljne trensformacije T(b;a;v;R)), kao�sto je poznato, zadovoljava T�1T = TT�1 = T(0;0;0;I) (5.1.4)(na LS-i smo izostavili Lie-jeve parametre).Zadatak 5.1.3 Dokazati formulu T�1(b;a;v;R) = T(�b;�R�1(a+vb);�R�1v;R�1): (5.1.5)�Citaocu je ve�c o�cigledno da Galilejeve transformacije �cine grupu. To je tzv. Galilejevagrupa, obele�zava�cemo je sa G. Po�sto su elementi grupe zadati Lie-jevim parametrima i mno�zenjeu grupi se izra�zava pomo�cu operacija sa Lie-jevim parametrima (uporediti (5.1.3)), Galilejevagrupa spada medu tzv. Lie-jeve grupe.5.1.3 Osnovne podgrupe Galilejeve grupeNa DS-i jednakosti (5.1.2) pojavljuju se prosti specijalni slu�cajevi Galilejevih transformacija.Transformacije TR nazivaju se rotacijama, Tv boost-ovima (boost | �citati: bust | na en-gleskom zna�ci: pogurnuti uvis) ili specijalnim Galilejevim transformacijama, Tb vremenskimtranslacijama, a Ta prostornim translacijama. Uobi�cajene su oznakeR(3) def= fTR j 8Rg; T (v)3 def= fTv j 8vg; (5.1.6a,b)T3 def= fTa j 8ag; T1 def= fTb j � 1 < b <1g: (5.1.6c,d)Zadatak 5.1.4 Pokazati da su skupovi R(3), T(v)3 , T3 i T1 grupe.Dakle, rotaciona grupa R(3), grupa specijalnih Galilejevih transformacija T(v)3 , grupa pro-stornih translacija T3 i grupa vremenskih translacija T1 su osnovne podgrupe od G. Broj koji sepojavljuje u oznaci podgrupe pokazuje koliki je broj Lie-jevih parametara podgrupe. Neo�ciglednoje samo da je R(3) troparametarska. U to �cemo se uveriti u narednoj glavi.Od velike je va�znosti najmanja podgrupa od G koja sadr�zi samo R(3) i T3 od osnovnihpodgrupa. To je tzv. Euklidova grupa E(3). (Ovde se broj 3 odnosi na dimenziju prostora ukome deluju transformacije. Broj Lie-jevih parametara je 6.)Cela Galilejeva grupa G, kao i svaka njena pomenuta podgrupa, je kao �sto se ka�ze, kontinualna(neprekidna) i povezana. To �ce re�ci da se kontinualnim menjanjem Lie-jevih parametara doti�cnetransformacije mo�ze sti�ci (prelaze�ci druge Galilejeve transformacije) do identi�cne transformacijeT(0;0;0;I). Sa suprotnim slu�cajem diskretnih transformacija upozna�cemo se u slede�cem paragrafu.

150 GLAVA 5. GALILEJEVE TRANSFORMACIJE5.1.4 Diskretne transformacije i pro�sirena Galilejeva grupaInverzija prostora ili prostorna inverzija Jp de�nisana je slede�cim delovanjemJpr def= �r; Jpt def= t; Jpp = �p: (5.1.7a,b,c)Inverzija vremena ili vremenska inverzija Jv je po de�niciji slede�ca transformacija:Jvr = r; Jvt def= �t; Jvp = �p: (5.1.8a,b,c)Za obe inverzije se �cesto ka�ze da su diskretne transformacije. Naime, uop�ste nemaju Lie-jeveparametre i, stoga se, na prvi pogled, ne mo�ze od njih kontinualno sti�ci do druge transformacije.Medutim, detaljna analiza pokazuje da stvari stoje malo druga�cije.Najmanja podgrupa grupe svih transformacija (faznog prostora i vremenske ose materijalneta�cke) koja pored G sadr�zi i Jp i Jv naziva se pro�sirenom Galilejevom grupom. Obele�zava�cemo jesa G. Ozna�cavaju�ci sa T teku�cu Galilejevu transformaciju, mo�ze se re�ci da se G sastoji od 4 vrstetransformacija; od Galilejevih transformacija T , od transformacija vida TJp, od transformacijakoje se pi�su kao TJv i, najzad, od transformacija koje glase TJpJv. Diskretna transformacijaJpJv je tzv. jaka inverzija. Cela pro�sirena Galilejeva grupa G je unija �cetiri disjunktna skupa:G = G + GJp + GJv + GJpJv:Svaki sabirak (podskup u G) naziva se susednom klasom u teoriji grupa. Svaka od pomenute�cetiri susedne klase je povezana, tj. neprekidnom promenom Lie-jevih parametara (od T ) mo�zese pre�ci sa bilo kog elementa na bilo koji drugi u istoj klasi. Ali grupa G nije povezana.U slede�cem paragrafu prodiskutova�cemo dvostruku �zi�cku interpretaciju transformacija iz G.5.1.5 � Aktivna i pasivna interpretacija transformacija izT3, T1 i T(v)3Svim transformacijama koje smo diskutovali u prethodnim paragra�ma mo�ze se dati tzv. ak-tivna interpretacija, u kojoj se pretpostavlja da je �ksiran koordinatni sistem (uklju�cuju�ci nultitrenutak vremena), tj. da je referentni sistem jedan te isti pre i posle delovanja transforma-cije. U ovoj interpretaciji se zami�slja da se transformacije "de�savaju" u objektivnom �zi�ckomprostor-vremenu5.1.3, a transformacije iz prethodnih paragrafa opisuju kako takvu promenu vididati posmatra�c (ograni�cavamo se, naravno, na inercijalnog posmatra�ca).Medutim, mogu�ca je i druga, tzv. pasivna interpretacija transformacija iz G. Tu se pret-postavlja da se u objektivnom prostor-vremenu ni�sta ne "de�sava" sa �zi�ckim sistemima, ali dapostoje dva razli�cita koordinatna sistema i da se drugi dobija iz prvog inverznom transforma-cijom T�1 2 G u objektivnom prostor-vremenu. Primena transformacije T na r, p, t se ondatuma�ci kao preslikavanje ili prevodenje videnja fenomena od strane prvog posmatra�ca u videnje5.1.3Objektivni prostor, za razliku od subjektivnog prostora brojnih kolona r kojim se slu�zi posmatra�c, u klasi�cnoj�zici se obi�cno ne de�ni�se matemati�cki precizno. Pre nego �sto se �ksira koordinatni sistem, to nije linearni prostor,ve�c samo tzv. a�ni prostor, �ciji je jedini element strukture rastojanje. �Citalac, ako �zeli, mo�ze da pro�cita vi�se omatemati�ckoj strukturi a�nog prostora u poslednjoj glavi knjige: A. T. Ma�cev, Osnovy Line�no� Algebry(Nauka, Moskva 1975), tre�ce, preradeno izdanje, Nauka, Moskva, 1970 (u ranijim izdanjima nema ove partije).

5.1. PRO�SIRENA GALILEJEVA GRUPA 151istih fenomena od strane drugog posmatra�ca. Pod "videnjem" ovde podrazumevamo odra�zavanjeobjektivnih dogadaja u subjektivnom faznom prostoru i vremenu posmatra�ca pripisivanjem po7 realnih brojeva r, p, t tim dogadajima.O�cigledan je smisao prostornih translacija u aktivnoj interpretaciji. Pri pasivnoj interpretacijiprostornih translacija pretpostavlja se da je koordinatni po�cetak drugog posmatra�ca (i samoto) pomeren za �a u odnosu na koordinatni po�cetak prvog; prema tome, polo�zaj koji prvomposmatra�cu izgleda da je u vrhu radijus-vektora r, drugom posmatra�cu izgleda da je u vrhuradijus-vektora r+ a.Mogu�ce su dve aktivne interpretacije vremenskih translacija. U prvoj, koju �cemo nazivatinespontanom, po uzoru na aktivnu interpretaciju prostornih translacija, opserver vr�si | bar umislima | translaciju vremena po objektivnoj apsolutnoj vremenskoj osi kada to za�zeli i zaveli�cinu b koju odabere. U drugoj aktivnoj interpretaciji, koju �cemo nazivati spontanom, radi seo spontanom i nezaustavivom proticanju vremena u prirodi, koje se ogleda u vremenskoj evolucijisvih �zi�ckih sistema.U pasivnoj interpretaciji vremenskih translacija pretpostavljamo da je nulti trenutak drugogposmatra�ca (i samo to) pomeren za �b u odnosu na nulti trenutak prvog posmatra�ca.Specijalnim Galilejevim transformacijama mo�zemo dati aktivnu interpretaciju po kojoj svakamaterijalna ta�cka (ma gde se nalazila) u trenutku t = 0 skokom promeni svoju brzinu za �ksiranivektor �v. Ovo je, naravno, matemati�cka konstrukcija bez dubljeg �zi�ckog smisla.Kada dajemo pasivnu interpretaciju boost-ovima, onda pretpostavljamo da se u trenutkut = 0 koordinatni sistem 2 poklapao sa koordinatnim sistemom 1 u polo�zaju, smerovima iorijentaciji koordinatnih osa (oba su desna ili oba leva, videti Crte�z C 5.1 ni�ze), kao i u izborunultog trenutka, ali da se referentni sistem 2 kretao u odnosu na referentni sistem 1 konstantnombrzinom v.�Citalac je svakako zapazio da "de�savanje" pi�semo u navodnicima. Razlog tome le�zi u �cinjenici�sto su sva navedena preslikavanja kojima aktivno interpretiramo transformacije iz G u stvari �k-tivna; mo�zemo ih samo zamisliti, a ne i �zi�cki ostvariti. Ovo nije slu�caj sa svim pasivnim inter-pretacijama, osim za boost-ove, i sa spontanom aktivnom interpretacijom vremenske translacije.(Tu se radi o ostvarivim de�savanjima.)5.1.6 Aktivna i pasivna interpretacija rotacija i inverzija�Sto se rotacija ti�ce, one se interpretiraju aktivno ili pasivno u analogiji sa slu�cajem translacija.Prepusti�cemo detalje �citaocu.Prodiskutova�cemo matemati�cku stranu nerazli�civosti aktivne i pasivne interpretacije. Zami-slimo objektivni prostor (matemati�cki: apstraktni prostor) u kome je �ksiran koordinatni sistem(bazis) a1; a2; a3 i neka tu deluje rotacija R. Poznata formula za reprezentovanje rotacije Rmatricom R u pomenutom bazisu glasiRak = 3Xk0=1Rk0kak0 : (5.1.9)Trojka brojeva r u istom bazisu reprezentuje teku�cu ta�cku objektivnog prostora, a Rr reprezen-tuje lik te ta�cke dobijen delovanjem rotacije R. To je aktivna interpretacija.

152 GLAVA 5. GALILEJEVE TRANSFORMACIJEUzmimo sad inverznu od gornje rotacije, tj. R�1, u objektivnom prostoru i pomo�cu njegeneri�simo drugi bazis: bk def= R�1ak; k = 1; 2; 3: (5.1.10)Iz (5.1.9) i (5.1.10) sledi bk = 3Xk0=1R�1k0kak0 ; (5.1.11)�sto zna�ci da je matrica razvoja drugog bazisa po prvom (R�1)T (T zna�ci transponovanje), tj.kontragredijentna matrica od R. Onda, kao �sto je poznato, ako ta�cku objektivnog prostorau prvom bazisu fak j k = 1; 2; 3g, reprezentuje brojna kolona r, istu ta�cku u drugom bazisufbk j k = 1; 2; 3g reprezentuje brojna kolona Rr. To je pasivna interpretacija.Zadatak 5.1.5 Pokazati da je Jp, �sto se ti�ce delovanja na r, takode matrica 3� 3. Koja je to matrica?Za prostornu inverziju Jp va�zi sve �sto je re�ceno za rotacije. Prou�ci�cemo detaljnije �zi�ckustranu dveju interpretacija za Jp.6z - y���x6z -����� yx� ?��

��xzyA B CSlika 5.1: Levi i desni koordinatni sistem.U slu�caju pasivne interpretacije prostorne inverzije prelazi se sa jednog, npr. sa uobi�cajenogdesnog koordinatnog sistema, na drugi, na primer na levi (videti Crte�z C 5.1.A odnosno C5.1.B).Obratiti pa�znju da su ortovi desnog referentnog sistema uzajamno rasporedeni (orijentisani) pouzoru na desni (tj. uobi�cajeni) zavrtanj: vrtenje od orta x-ose najmanjim uglom ka ortu y-oseizazivalo bi pomeranje zavrtnja u smeru orta z-ose. Kod levog koordinatnog sistema mutatismutandis uzor je levi zavrtanj.Zadatak 5.1.6 Uveriti se da se levi i desni koordinatni sistem ne mogu dobiti rotacijom jedan iz drugog, a dase dva leva koordinatna sistema sa istim po�cetkom (npr. C 5.1.B i C 5.1.C) mogu.U aktivnoj interpretaciji prostorna inverzija se u stvari odigrava u objektivnom prostoru(matemati�cki: u apstraktnom prostoru) i deluje na sve osim na �ksirani koordinatni sistemopservera. Pasivna interpretacija je izvodljiva: mo�zemo pre�ci sa opisivanja fenomena iz desnogkoordinatnog sistema na opisivanje iz levog ili obratno.

5.1. PRO�SIRENA GALILEJEVA GRUPA 1535.1.7 � Inercijalni koordinatni sistemi i pro�sirena Galile-jeva grupa kao grupa relativitetaKao �sto smo rekli u paragrafu x 5.1.1, inercijalni koordinatni sistem mo�ze da se prepozna potome �sto materijalna ta�cka koja se kre�ce po inerciji ima u njemu konstantan (u vremenu) impuls.Svaka transformacija iz G preslikava konstantan impuls u konstantan impuls.Zadatak 5.1.7 Dokazati ovaj iskaz.Dakle, ako primenimo transformaciju iz G na ortove inercijalnog koordinatnog sistema, opet�cemo dobiti inercijalni referentni sistem. Ispostavlja se da je G najobuhvatnija grupa trans-formacija koje iz jednog inercijalnog koordinatnog sistema generi�su druge analogne referentnesisteme.Zadatak 5.1.8 Prodiskutovati inercijalne koordinatne sisteme koji su �ktivni, tj. �zi�cki neostvarivi, a dobijajuse primenom neke transformacije iz G na �zi�cki ostvarivi inercijalni referentni sistem.Imaju�ci u vidu pomenutu ulogu grupe G u generisanju svih inercijalnih koordinatnih sistemaiz jednog od njih, govori se o G kao o grupi relativiteta klasi�cne mehanike. Izra�zavaju�ci istumisao, govori se i o op�stem Galilejevom principu relativiteta. Ova relativisti�cka uloga grupeG (ne me�sati ovo sa relativisti�ckom �zikom, u kojoj ulogu G preuzima pro�sirena Poincare-ovagrupa) je u naju�zoj vezi sa pasivnom interpretacijom transformacija.Pri aktivnoj interpretaciji transformacija iz G ima se u vidu nepromenjenost forme Hamilton-ovih jednakosti kretanja (to je tzv. kanoni�cnost ovih transformacija, u koju mi nismo ulazili).Na osnovu toga govori se o op�stem Galilejevom principu invarijantnosti.Sad �cemo da damo jednu teorijski koncizniju ekvivalentnu de�niciju pojmova homogenosti iizotropnosti, koje smo pomenuli u x 5.1.1.Homogenost prostora i vremena se u aktivnoj interpretaciji sastoji u tome �sto su grupe T3 iT1 grupe automor�zama (izomor�zama) objektivnog prostor-vremena (na samog sebe). Drugimre�cima, doti�cne transformacije odr�zavaju rastojanje. Analogno, izotropnost prostora je u tome�sto je i rotaciona grupa R(3) grupa automor�zama prostora.U pasivnoj interpretaciji homogenost prostor-vremena i izotropnost prostora ogledaju se utome �sto bilo kojom transformacijom iz T3 i T1 odnosno iz R(3) prelazimo sa inercijalnog koor-dinatnog sistema na isti takav referentni sistem.Kao �sto je �citaocu verovatno jasno, grupe T3, T1 i R(3) i transformacije Jp i Jv igrajuosnovniju ulogu nego T(v)3 . One su geometrijske grupe i transformacije, vezane za geometrijskustrukturu prostor-vremena. Grupa T(v)3 je kinemati�cka, po�sto je u vezi sa kinemati�ckim stanjemili stanjem (inercijalnog) kretanja koordinatnog sistema. Sve transformacije iz G naziva�cemokinemati�ckim transformacijama (podrazumevaju�ci da "kinemati�cki" sadr�zi "geometrijski" kaospecijalni slu�caj).5.1.8 Generisanje Galilejevih transformacija pomo�cu ek-sponencijalnih operatorskih funkcijaU odeljku x 2.5, pri izlaganju kvantizacije klasi�cnih varijabli u kvantno-mehani�cke operatore,istakli smo �cinjenicu da su neki nestandardni aspekti klasi�cne mehanike od osnovnog zna�caja za

154 GLAVA 5. GALILEJEVE TRANSFORMACIJEprelazak na kvantnu mehaniku. Prvi primer bile su Poisson-ove zagrade. Sada �cemo ukazati nadrugi primer, koji se nadgraduje na Poisson-ove zagrade.Kao �sto je poznato, transformacije faznog prostora klasi�cnog sistema pod kojima su Hamilton-ove jedna�cine kretanja i Poisson-ove zagrade invarijantne nazivaju se kanoni�cnim transformaci-jama. Jednoparametarske grupe kanoni�cnih transformacija mogu se generisati sa po jednomvarijablom uz kori�s�cenje po jednog parametra.Neka su A(r;p) i G(r;p), dve varijable (jedno�cesti�cnog sistema) i to neka je A teku�ca, a G�ksirana varijabla. De�ni�simo operator ~G koji deluje u skupu svih varijabli A (koje su analiti�ckefunkcije na faznom prostoru) na slede�ci na�cin:~GA def= [ G;A ]PZ ; 8A(r;p); (5.1.12)a pod e� ~G podrazumeva�cemo operatorsku funkcijue� ~G def= P1n=0 �n ~Gnn! (5.1.13)( ~Gn je n puta uzastopno primenjeno ~G). Skup fe� ~G j �1 < � <1g je jednoparametarska Lie-jeva grupa kanoni�cnih transformacija de�nisanih, kao �sto smo rekli, na skupu varijabli A(r;p).Tu spadaju i 6 varijabli osnovnog skupa: x = x(r;p); : : : ; pz = pz(r;p), gde, na primer, x(r;p)zna�ci uzeti apscisu u ta�cki (r;p) faznog prostora.Obele�zavaju�ci sa H = p22m Hamilton-ovu funkciju slobodne �cestice, a sa m njenu masu, ispo-stavlja se da se delovanje neprekidnih Galilejevih transformacija reprodukuje u prostoru varijabli(na faznom prostoru) materijalne ta�cke pomo�cu eksponencijalnih funkcija operatora na slede�cina�cin5.1.4;5.1.5: e�a�~pq = q + aq ; q = x; y; z; (5.1.14a)e�b ~Hq = q + bpqm ; q = x; y; z; (5.1.15a)e���~lq =Pzq0=xRqq0(�)q0 ; q = x; y; z; (5.1.16a)ev�m~rq = q ; q = x; y; z: (5.1.17a)5.1.4 Ne�cemo dokazivati relacije (5.1.14a)-(5.1.17b). �Citaoca koji �zeli da se bli�ze upozna sa ovom materijomupu�cujemo na veoma zanimljivu knjigu: E. C. G. Sudarshan and N. Mukunda, Classical Dynamics: A ModernPerspective, John Wiley and Sons, New York, 1974. Ova knjiga predstavlja moderan i nestandardan pogled naklasi�cnu mehaniku sa gledi�sta simetrija i teorije grupa, a po inspiraciji iz kvantne mehanike. Kao drugu referencuna Galilejevu grupu pomenu�cemo Group Theory and Its Applications, Volume II, Editor E. M. Loebl, AcademicPress, New York, 1971; poslednja glava. Kao tre�cu referencu nave�s�cemo: L. Fonda and G. C. Ghirardi, SymmetryPrinciples in Quantum Physics, Marcel Dekker, New York, 1970.5.1.5 Lako je videti da je na primer e�a�~p = e�ax~pxe�ay ~pye�az ~pz , a podgrupe fe�aq ~pq j � 1 < aq < 1g,q = x; y; z, su jednoparametarske. Drugim re�cima, troparametarske grupe T3, R(3) i T(v)3 svode se na prirodanna�cin na jednoparametarske podgrupe. U stvari samo kod R(3), koja nije komutativna, ovo svodenje nije trivijalno(nije direktni proizvod jednoparametarskih podgrupa kao kod T3 i T(v)3 ), naime: e���~l = e��x~lx��y~ly��z~lz 6=e��x~lxe��y~lye��z~lz .

5.1. PRO�SIRENA GALILEJEVA GRUPA 155U impulsnom prostoru imamo analogno:e�a�~ppq = pq; q = x; y; z; (5.1.14b)e�b ~Hpq = pq; q = x; y; z; (5.1.15b)e���~lpq = zXq0=xRqq0(�)pq0 ; q = x; y; z; (5.1.16b)ev�m~rpq = pq �mvq; q = x; y; z: (5.1.17b)Zadatak 5.1.9 Dokazati (5.1.14b) i (5.1.14a) (uporediti Primedbu 5.1.5).Za sada nije de�nisan vektor �, koji daje parametrizaciju grupe R(3). Njega �cemo de�nisati iprou�citi ni�ze, u odeljku x 6.1. Vektorska varijabla l(r;p) je uglovni moment �cestice, tj. vektorskiproizvod l def= r� p.Pa�zljivi �citalac je zapazio da su relacije (5.1.15a)-(5.1.15b) u stvari zakon kretanja slobodne�cestice u inercijalnom koordinatnom sistemu u skladu sa spontanom aktivnom interpretacijomvremenskih translacija.Na kraju paragrafa, rezimirajmo koje su osnovne podgrupe Galilejeve grupe G i koje suvarijable odgovaraju�ci generatori:T3 $ p; T1 $ H; R(3)$ l; T(v)3 $ mr : (5.1.18)Dakle, tu su osnovne varijable r i p i njihove najva�znije funkcije l iH. U smislu (5.1.18) govorise o fundamentalnoj paralelnosti transformacija simetrije s jedne strane i najva�znijih varijabli sadruge strane. Vide�cemo da se ova paralelnost prenosi u kvantnu mehaniku5.1.6.5.1.9 � Izomor�zmi i antiizomor�zmi izmedju grupa trans-formacija u razli�citim prostorimaU paragra�ma x 5.1.5 do x 5.1.7 tvrdili smo da je svejedno ho�cemo li interpretirati pojedine trans-formacije aktivno ili pasivno. U sveop�stoj pripremi za kvantizaciju Galilejevih transformacijamoramo i ovo stanovi�ste dalje precizirati.Pokazalo se svrsishodnim da se pri izboru interpretacije zahteva izomorfnost grupa transfor-macija, �sto u su�stini zna�ci "jednako" delovanje doti�cnih grupa kao celina. Na primer, kada Guzimamo u aktivnoj interpretaciji, tj. kao grupu transformacija kinemati�cke simetrije objektiv-nog prostor-vremena, i de�ni�semo transformacije T 2 G u faznom prostoru, imamo izomor�zamgrupe u objektivnom prostoru na grupu u faznom prostoru. Dakle, ovde je aktivna interpretacijapotpuno zadovoljavaju�ca, tj. ona je uskladena sa zahtevom izomorfnosti (videti desnu kolonuCrte�za C5.2).To ve�c nije slu�caj sa pasivnom interpretacijom. Sada se G u objektivnom prostor-vremenu po-javljuje u pasivnoj ulozi grupe relativiteta, deluju�ci na inercijalne koordinatne sisteme (kvadrat I5.1.6� Sa ta�cke gledi�sta formalizma treba ista�ci da neprekidne transformacije �cine Lie-jeve grupe, a varijable kojeih generi�su �cine Lie-jeve algebre sa Poissonovom zagradom kao Lie-jevim proizvodom.

156 GLAVA 5. GALILEJEVE TRANSFORMACIJEna Crte�zu C5.2), a pojedine transformacije se pri tome invertuju. Invertovanje je antizomor�zam(tj. ne odr�zava ve�c obr�ce poredak mno�zenja elemenata u grupi), te je grupa G u faznom prostoru(kvadrat IV) antiizomorfna grupi relativiteta. Stoga pasivna interpretacija grupe G u faznomprostoru ne zadovoljava gornji zahtev izomorfnosti.Predimo sad na prostor varijabli i na Galilejeve transformacije koje se pojavljuju na levojstrani jedna�cina (5.1.14a)-(5.1.17b) (tj. koje deluju u kvadratu III).Kao �sto se �citalac mo�ze lako uveriti (npr. na podskupu osnovnih varijabli), transformacijeT 2 G sad deluju na varijable kao na funkcije (tj. funkcionalne zavisnosti) na faznom prostoru ito kao transformacije T indukovane na slede�ci na�cin:TA(r;p) = A(T r; Tp); 8T 2 G; 8A(r;p): (5.1.19)

5.1. PRO�SIRENA GALILEJEVA GRUPA 157Klasi�cna mehanikaIskupkoordinatnihsistema

IIobjektivnoprostor-vremeIIIprostorvarijabli IVfazniprostor

Kvantna mehanikaVprostoroperatorau HoVIprostorstanjaHo

� �1 (invertovanje)(5.1.10)?�2 (5.1.13) HHHHHHHHHHHj�3(5.1.14)-(5.1.17) ?�4(5.1.1)

� �5(5.1.19)?�6 kvantizacija(5.2.2)-(5.2.3) ?�7(5.2.14)

-�8 (invertovanje)Baker-Hausdor�-ova lemaSlika 5.2: Aktivna i pasivna interpretacija transformacija. Leva kolona (kvadrati I, III i Vi izomor�zmi �2 i �6) daje elemente za pasivnu, a desna kolona (kvadrati II, IV i VI i izomor�zmi�4 i �7) za aktivnu interpretaciju grupa E(3) i T (v)3 . Antiizomor�zmi �1, �3, �5 i �8, kao iizomor�zmi �2, �4, �6 i �7 povezuju osnovne podgrupe Galilejeve grupe koje deluju u skupovimaozna�cenim sa I do VI. Specijalno: �2 def= �5 Æ �3 = �5 Æ �4 Æ��11 ; �3 = �4 Æ �1 je prevodenje videnjaizmedu dva opservera); �4 je reprezentovanje u �ksiranom koordinatnom sistemu sa implikacijamau impulsnom prostoru.

158 GLAVA 5. GALILEJEVE TRANSFORMACIJE�Citalac mo�ze lako proveriti za bilo koju od osnovnih podgrupa od G da je pridru�zivanje T 7! Tdato sa (5.1.19) antiizomor�zam doti�cne podgrupe koja deluje u faznom prostoru (kvadrat IV)na "istu" podgrupu koja deluje u prostoru varijabli (kvadrat III).�Sto se ti�ce cele grupe G, (5.1.19) nije antiizomor�zam, jer se pri prelasku sa faznog prostora naprostor varijabli poreme�cuje odnos podgrupe T(v)3 sa ostalim osnovnim podgrupama od G. To ustvari poti�ce od nekomutiranja operatora ~p i ~r (u (5.1.14a),(5.1.14b),(5.1.17a) odnosno (5.1.17b);videti vi�se o ovome ispod (5.2.18) i u prvim dvema referencama iz Primedbe 5.1.4).Dakle, seljenje grupe iz faznog prostora u prostor varijabli (ozna�ceno sa "5" na Crte�zu C5.2),koje predstavlja presudan korak uo�ci kvantizacije klasi�cnih transformacija (kao �sto �cemo videtiu slede�cem odeljku), primorava nas da se odreknemo grupe G ili G kao celine. Umesto o G,govori�cemo posebno o E(3) i posebno o T(v)3 . Pri tome T1 izostavljamo, jer za nju je najva�znijaspontana aktivna interpretacija, a nju smo ve�c obradili u glavi 3. Involucije Jp i Jv izostavljamoarbitrerno.Iz re�cenog se vidi da u prostoru varijabli (kvadrat III) aktivna interpretacija geometrijskegrupe E(3), koja polazi od delovanja ove grupe u objektivnom prostor-vremenu (u kvadratuII), ne zadovoljava zahtev izomor�zma. Medutim, pasivna interpretacija (pri kojoj se polaziod delovanja E(3) u kvadratu I) zadovoljava, jer dva antiizomor�zma se mno�ze u izomor�zam(uporediti Crte�z C 5.2). Na Crte�zu C5.2 leva kolona prikazuje pasivnu interpretaciju za T(v)3i E(3), a desna kolona nam predo�cava aktivnu interpretaciju istih grupa. Kao �sto smo rekli,iz �zi�ckih razloga za T(v)3 je samo pasivna interpretacija prirodna, a za E(3) prirodne su obe.Medutim, kao �sto �cemo videti u slede�cem odeljku, u slu�caju Euklidove grupe prednost se dajeaktivnoj interpretaciji. Ova konvencija mo�zda poti�ce od va�zne uloge koju fazni prostor igra ude�niciji osnovnog skupa opservabli.5.2 Galilejeve transformacije u kvantnoj mehaniciPo�ce�cemo odeljak prou�cavanjem op�steg pojma transformacije simetrije u kvantnoj mehanici.Objasni�cemo zna�cajni teorem Wigner-a po kome se svaka transformacija simetrije mo�ze izrazitiunitarnim ili antiunitarnim operatorom u prostoru stanja kvantnog sistema. Zatim �cemo kvanto-vati pojedine Galilejeve transformacije, tj. izrazi�cemo ih u vidu operatora u kvantno-mehani�ckomprostoru stanja. Na kraju �cemo detaljnije prodiskutovati operatore prostornih translacija i spe-cijalnih Galilejevih transformacija i nabaci�cemo na�cin konstrukcije operatora Galilejevih trans-formacija u prostoru stanja vi�se�cesti�cnog kvantnog sistema.Vremenske translacije su u stvari ve�c bile detaljno prou�cene u x 3.1, pa ih se u ovom odeljkusamo doti�cemo (u x 5.2.5). Operatorima rotacije i opservablama uglovnog momenta bi�ce po-sve�cena slede�ca glava. Operatore diskretnih kinemati�ckih transformacija �cemo uvesti tek nakon�sto savladamo teoriju rotacija i uglovnih momenata.5.2.1 Pojam transformacije simetrije u kvantnoj meha-niciU Hamilton-ovoj formi klasi�cne mehanike transformacije simetrije su kanoni�cne transformacije.U prethodnom odeljku podsetili smo se na kanoni�cne transformacije koje su najva�znije sa gledi�sta

5.2. GALILEJEVE TRANSFORMACIJE U KVANTNOJ MEHANICI 159kvantne mehanike: na Galilejeve transformacije i na inverziju prostora i vremena.Postavlja se pitanje �sta u kvantnoj mehanici odgovara kanoni�cnim transformacijama, tj. �staje tu naj�sira klasa transformacija simetrije.U paragrafu x 2.1.2, u Postulatu o stanjima, videli smo da svi vektori u prostoru stanja Hkoji pripadaju jednom te istom pravcu (tj. jednodimenzionalnom potprostoru) u H imaju isti�zi�cki smisao: opisuju (nakon normiranja) jedan te isti homogeni ansambl kvantnih sistema.Obele�zimo sa P(H) prostor svih pravaca5.2.1 u H. Na osnovu pomenutog Postulata, P(H) je ubiunivokoj korespondenciji sa skupom svih mogu�cih �cistih kvantnih ansambala.Mo�ze se smatrati da je verovatno�ca prelaza, uvedena u x 2.4.7, binarna operacija u P(H):za svaka dva pravca p1; p2 2 P(H) de�nisan je broj iz intervala [0; 1] jednak jh j �ij2, gde suj i 2 p1 i j � i 2 p2 normirani vektori.Op�sta transformacija simetrije u kvantnoj mehanici de�ni�se se kao transformacija (tj. biu-nivoko ceo-na-ceo preslikavanje, ili bijekcija) u P(H) koja odr�zava verovatno�cu prelaza, tj. akopravac p1 prevodi u p01 i p2 u p02, onda imamojh j �ij2 = jh 0 j �0ij2; j i 2 p1; j � i 2 p2; j 0 i 2 p01; j �0 i 2 p02: (5.2.1)Mi �cemo ni�ze (u x 5.2.3 i x 5.2.4) pre�ci sa klasi�cnih kinemati�ckih transformacija na operatore uH, i uveri�cemo se da oni u P(H) indukuju transformacije za koje va�zi (5.2.1), tj. transformacijesimetrije5.2.2.Fizi�cki smisao zahteva odr�zanja verovatno�ce prelaza �cemo najlak�se razumeti ako se ograni�cimona neku Galilejevu transformaciju i opredelimo za pasivnu interpretaciju. Neka su O i O0 dva op-servera, oba sa inercijalnim koordinatnim sistemom. Po�sto normirani vektor predstavlja videnje�cistog kvantnog ansambla od strane datog posmatra�ca5.2.3, jedan �cisti ansambl �ce opserver Oopisivati recimo sa j i, a opserver O0 �ce taj isti ansambl opisivati recimo sa j 0 i. Isto tako,nakon odredenog selektivnog kompletnog merenja (�sto je premisa "prelaza" j i !j �i u (5.2.1),videti x 2.4.7), posmatra�c O �ce nastali ansambl opisivati stanjem j � i recimo, a posmatra�c O0recimo stanjem j �0 i.Po�sto je verovatno�ca prelaza empirijski relativna frekvencija (broj dogadaja podeljen brojemsistema u ansamblu), ona mora biti ista za oba opservera. To je smisao zahteva (5.2.1).Preostaje nam da vidimo kako se konkretno ostvaruje preno�senje klasi�cnih transformacija uP(H). Videli smo u paragrafu x 2.4.6, kada smo iskazno upotpunili Postulat o stanjima, da svoj-stvene vrednosti potpunog skupa kompatibilnih opservabli uspostavljaju vezu izmedu elemenataod P(H) i laboratorijske preparacije homogenih kvantnih ansambala. Mo�zemo to iskoristiti zapreno�senje klasi�cnih transformacija u P(H). Na primer, po�sto je za jednu �cesticu potpuni skupkompatibilnih opservabli r, onda ta�cki r klasi�cnog kon�guracionog prostora odgovara pravacp 2 P(H) kome pripada j r i. Ako jedna transformacija preslikava r u r0, onda u P(H) njojpridru�zujemo (tj. prenosimo je u) transformaciju koja prevodi pravac od j r i u pravac od j r0 i.Prosledi�cemo ovu misao kroz najva�znije primere transformacija.5.2.1Tzv. projektivni prostor; engleski ray space (�citati rej spejs); ruski proektivnoe prostranstvo.5.2.2Medu upravo de�nisane kvantno-mehani�cke transformacije simetrije spadaju sve klasi�cne kanoni�cne trans-formacije (posle kvantizacije), a potencijalno "ima mesta" i za nove, �cisto kvantno-mehani�cke transformacijesimetrije.5.2.3Strogo uzev�si, ovaj iskaz je poo�strenje Postulata o stanjima iz x 2.1.2. Iziskuje ga �cinjenica da je za kvantno-mehani�cko opisivanje jednog kvantnog ansambla neophodno da postoji i opserver sa datim inercijalnim koor-dinatnim sistemom. On je u stvari zami�sljeni izvr�silac kvantnih merenja, �cije rezultate predskazuje kvantnamehanika.

160 GLAVA 5. GALILEJEVE TRANSFORMACIJE5.2.2 Wigner-ov teorem o (anti)unitarnim operatorimasimetrijePo�sto je sav kvantno-mehani�cki formalizam formulisan u prostoru stanja H, a ne u P(H), neop-hodno je preneti "suvi�se apstraktne" transformacije simetrije iz P(H) u H i tu ih pretvoriti uoperatore5.2.4. Pri tome name�ce nam se pitanje da li �ce operatori simetrije u H imati lepe ma-temati�cke osobine, kao �sto je to na primer slu�caj sa hermitskim operatorima koji predstavljajuopservable.Odgovor na ovo pitanje daje slede�ci teorem, za �ciji dokaz upu�cujemo na literaturu5.2.5.Teorem 5.2.1 (Wigner-ov teorem) A. Svaka transformacija simetrije u P(H) mo�ze da seprenese u Hilbert-ov prostor H tako da postane ili unitarni operator U ili antiunitarni operatorUa.B. Vi�sezna�cnost preno�senja u pomenuti operator sastoji se ta�cno u proizvoljnom faznom faktoru,tj. na primer sa operatorom U i operator e{�U | za svaki realan � | i nijedan drugi operatorpomenutog tipa, indukuje u P(H) jednu te istu transformaciju simetrije.Skupovi fe{�T j 0 � � < 2�g svih unitarnih (ili antiunitarnih) operatora iz pravca (jednodi-menzionalnog potprostora) operatora koji obrazuje unitarni T = U (ili antiunitarni T = Ua) ulinearnom prostoru operatora su pravi reprezentanti pojedinih transformacija simetrije. Radi otzv. projektivnim reprezentacijama.Ako ho�cemo da dobijemo obi�cnu reprezentaciju, onda moramo iz svakog skupa operatora iza-brati po jedan operator ali tako da dobijemo izomorfnu grupu. To nije uvek mogu�ce. Ispostavljase da to jeste mogu�ce za pojedine podgrupe Galilejeve grupe: za T3, T1, R(3) i T(v)3 i �cak i E(3),ali ne i za celu grupu G (niti za pro�sirenu Galilejevu grupu G).5.2.3 Kvantizacija Galilejevih transformacija | po�cetakKada sa Galilejevih transformacija u klasi�cnoj mehanici �zelimo da predemo na kvantno-mehani�ckeoperatore u prostoru stanja H kvantnog sistema, pogodno je po�ci od jednakosti (5.1.14a)-(5.1.17b). One su u takvoj formi da je Postulat o kvantizaciji (iz x 2.5.3) neposredno primenljiv nanjih. Naime, u njima osnovnu ulogu igraju Poisson-ove zagrade, a znamo da njih treba zamenitikomutatorom (pomno�zenim sa � {~).Podimo od prve jednakosti u sistemu jednakosti (5.1.14a): e�a�~px = x+ ax. Ona se svodi na(uporediti sa primedbom 5.1.5): e�ax ~pxx = x + ax: (5.2.2)Kvantizacijom ova jednakost prelazi u e {~ax^pxx = x+ ax; (5.2.3)5.2.4Preciznije, za datu transformaciju u P(H) treba na�ci linearni operator u H takav da odr�zava verovatno�cuprelaza i da, po�sto nu�zno prevodi svaki pravac na pravac, indukuje u P(H) upravo transformaciju od koje smopo�sli.5.2.5Originalni Wigner-ov dokaz je pobolj�san u radu V. Bargmann, Journal of Mathematical Physics, 5 (1964)862.

5.2. GALILEJEVE TRANSFORMACIJE U KVANTNOJ MEHANICI 161gde je x opservabla apscise �cestice u orbitnom prostoru Ho, a ^px je operator koji deluje naoperatore na slede�ci na�cin: ^pxx def= [ px; x ]: (5.2.4)Operatoru A pridru�zujemo tzv. superoperator ^A koji na svaki operator B u Ho deluje na slede�cina�cin: ^A(B) def= [ A; B ]: (5.2.5)Treba zapaziti da smo pri prelasku sa (5.2.2) na (5.2.3) iskoristili e�ax ~px def= P1n=0 (�ax~px)nn! , aprema zahtevima 3), 1), 2) i 4) Postulata o kvantizaciji, celokupni red odr�zava formu pri prelaskuna kvantno-mehani�cke operatore, a ~px prelazi u ^px. Tako dobijamoP1n=0 (�ax^px)nn! def= e�ax^px.Superoperatori su ne samo slo�zeni entiteti, nego i deluju na pogre�sne objekte. Nama supotrebni operatori u Ho, a ne u operatorskom prostoru. Zato �cemo superoperatore smatratiintermedijarnim korakom bez neposrednog zna�caja za na�su svrhu.Da bismo izvr�sili poslednji korak, osloni�cemo se na slede�cu lemu, koja se u matematici nazivaBaker-Hausdor�-ovom5.2.6 lemom (dokaza�cemo je u Dodatku x 5.2.10).Lema 5.2.1 Neka su A i B dva operatora u nekom Hilbert-ovom prostoru H takva da je de�nisanoperator e ^BA, pri �cemu je ^BA def= [ B; A ]. Onda va�zie ^BA = eBAe�B: (5.2.6)Obratiti pa�znju da na LS-i od (5.2.6) imamo superoperator e ^B, eksponencijalnu funkciju odsuperoperatora ^B, koji deluje na A (preko komutatora), a na DS-i od (5.2.6) imamo proizvod trioperatora.Na osnovu (5.2.6), (5.2.3) mo�zemo da prepi�semo u vidue {~axpxxe� {~axpx = x + ax; (5.2.7)a (obi�cni) operator e {~axpx deluje (kao i x) na vektore uHo. Po�sto je {~axpx kosohermitski operator,lako se vidi da je e {~axpx unitaran operator.U paragrafu x 5.2.9 �cemo se uveriti da svaka klasi�cna transformacija koja je element povezanegrupe kvantizacijom prelazi u unitaran operator. Prema tome, svaka Galilejeva transformacijapostaje unitaran operator u kvantnoj mehanici.Na Crte�zu ni�ze dodat je i kvantno-mehani�cki deo na C5.2. Upravo opisano pridru�zivanjee�ax~px 7! e {~ax^px je primer izomor�zma "6" na Crte�zu. Sad moramo detaljnije prou�citi kakotreba pre�ci na primenu transformacije u prostoru stanja Ho.Setimo se Schr�odinger-ove i Heisenberg-ove slike zakona kretanja, koji je za konzervativansistem u stvari translacija u vremenu, zna�ci Galilejeva transformacija iz T1. Prirodno je o�cekivatida �cemo i transformacije iz E(3) ili T(v)3 primenjivati ili na vektore stanja a na operatore ne, ili,umesto toga, na operatore a na vektore stanja ne. A prelazak sa jedne verzije na drugu seostvaruje invertovanjem (�8 na Crte�zu C5.2).I stvarno je tako, kao �sto sledi iz �cinjenice da se u kvantnoj mehanici sve merljivo svodi namatri�cne elemente operatora, tj. na izraze vida ( ; A�). Oni �ce se jednako menjati bilo da5.2.6 �Citati: Bejke, Hausdorf.

162 GLAVA 5. GALILEJEVE TRANSFORMACIJEprimenimo operator U na vektore: (U ; AU�), bilo da primenimo inverzni operator U�1 = U y(jer je U unitaran ili antiunitaran) na operator: ( ; U�1AU�), �sto je jednako sa (U ; AU�).Kao �sto se vidi, na Crte�zu C5.2, desna kolona odgovara aktivnoj interpretaciji dejstva grupeE(3), koja je u kvantnoj mehanici vi�se uobi�cajena. Samo �sto smo mi i�sli umesto kraticom �7 (okojoj �ce biti re�ci ni�ze, naro�cito za diskretne transformacije) du�zim putem �8 posle �6 posle �5 dabi iskoristili ve�c poznatu kvantizaciju varijabli.Leva kolona na crte�zu daje drugu alternativu, pasivnu interpretaciju, tj. tuma�cenje E(3) iliT(v)3 kao grupe relativiteta. Kao �sto smo videli u prethodnom odeljku, za T(v)3 ova interpretacijaje jedina prirodna.Dijagram je komutativan, tj. npr. �8 posle �6 posle �5 jednako je �7, itd. Kvadrati I, II, III iIV spadaju u klasi�cnu �ziku, a V i VI u kvantnu mehaniku.5.2.4 Kvantizacija Galilejevih transformacija | zavr�setakKao �sto smo rekli, �sto se ti�ce E(3) uobi�cajeno je da se u kvantnoj mehanici daje prednost aktivnojinterpretaciji (desna kolona na Crte�zu), jer ona prirodno uklju�cuje fazni prostor iz koga crpimoosnovni skup opservabli u Ho. U prethodnom paragrafu smo se uverili da iz toga onda sledida se odlu�cujemo za Schr�odinger-ovu verziju primene operatora E(3) u Ho. Nasuprot tome,za T(v)3 je prirodna samo pasivna interpretacija (leva kolona na Crte�zu). U ovom slu�caju jenu�zna Heisenberg-ova verzija primene (inverznih) operatora transformacijom sli�cnosti (samo) naoperatore u Ho.U na�sem primeru translacije za ax, izomor�zam "6" na Crte�zu je, kao �sto smo videli, pretvorioe�ax~px u e {~ax^px, koji transformacijom sli�cnosti deluje na operatore u Ho (tj. u kvadratu V). Akoizvr�simo antiizomor�zam "8" posle "6", o�cigledno dobijamo e� {~axpx u Ho (deluje u kvadratu VI).Na osnovu (5.1.14a), (5.1.15a) i (5.1.16a), sad mo�zemo odmah da zaklju�cimo da "8" posle"6" posle "5" daje slede�ce pridru�zivanje:Ta 7! e� {~a�p def= Ua ; 8a; (5.2.8)Tb 7! e� {~ bH def= Ub ; 8b (5.2.9)(gde je H hamiltonijan slobodne �cestice, radi se o aktivnoj nespontanoj interpretaciji | uporeditipred kraj od x 5.1.5); R 7! e� {~��l def= U(�) ; (5.2.10)gde je R = TR rotacija, a l vektorski operator orbitnog uglovnog momenta u Ho (pobli�ze u x 6.5).Kao �sto je re�ceno, za transformacije Tv 2 T(v)3 prednost dajemo pasivnoj interpretacijii Heisenberg-ovoj verziji primene ovih operatora na prostor operatora koji deluju u Ho (kaoU :::U�1). Kvantizacijom (5.1.17a) dolazimo do (po�sto sad "8" na Crte�zu otpada):Tv 7! e� {~v�mr def= Uv ; 8v: (5.2.11)Po�sto dve operatorske eksponencijalne funkcije komutiraju ako i samo ako komutiraju opera-tori u njihovim eksponentima (uporediti dokaz od K6.4.3), iz (5.2.8) i (5.2.11) se vidi da Ua i Uv

5.2. GALILEJEVE TRANSFORMACIJE U KVANTNOJ MEHANICI 163ne komutiraju. Isto je va�zilo u klasi�cnom prostoru varijabli, jer Poisson-ove zagrade su analogonikomutatora (uporediti x 5.1.9). S druge strane, svaka transformacija iz T3 komutira sa svakomtransformacijom iz T(v)3 . Stoga nismo mogli G izomorfno (ili antiizomorfno) preneti u prostorvarijabli niti u kvantnu mehaniku5.2.7, ve�c smo je morali rastaviti na T(v)3 i E(3) T1.5.2.5 Operatori translacije u kvantnoj mehanici�Sto se ti�ce vremenskih translacija, videli smo da se polazi od spontane aktivne interpretacijei da se kvantizacijom dobija evolucioni operator, koji smo detaljno prou�cili u odeljku x 3.1. Ivremenske translacije u nespontanoj aktivnoj interpretaciji (uporediti x 5.1.5) igraju izvesnu uloguu kvantnoj mehanici, mada ne u vidu operatora. Njima smo se koristili u x 3.1.6 da bismo idejuhomogenosti vremenske ose izrazili na jeziku evolucionog operatora.Pokazali smo ranije (videti x 2.5.15) da u jednoj dimenziji va�zi U�1(q)xU (q) = x + q. Akoumesto q pi�semo ax, ovo se u tri dimenzije o�cigledno pro�siruje na:UarU�1a = e� {~a�pe {~a�pr = r� a (5.2.12)(naravno, iskoristili smo i jednakost U�1(ax) = U(�ax) i zamenili �ax sa ax). Po�sto je transla-cioni operator funkcija p, odmah sledi:UapU�1a = e� {~a�ppe {~a�p = p : (5.2.13)Tako, zna�ci, deluju operatori translacije prostora Ua na osnovni skup opservabli u orbitnomprostoru stanja Ho �cestice. To je, naravno, unutar Schr�odinger-ove verzije formalno delovanje.Na (uop�stene) vektore svojstvenog bazisa kompletne vektorske opservable r operatori pro-stornih translacija deluju na slede�ci na�cin:Ua j r i =j r+ a i ; 8a; 8r: (5.2.14)To odmah sledi iz fazne konvencije za ovaj bazis, naime, Ua j r i = Uae� {~r�p j r = 0 i = UaUr jr = 0 i = Ua+r j r = 0 i =j r+ a i (za faznu konvenciju videti (2.6.10)).S druge strane, na (uop�stene) svojstvene vektore kompletne vektorske opservable p operatoritranslacija prostora deluju na slede�ci na�cin:Ua j p i = e� {~p�a j p i; 8a; 8p (5.2.15)(po�sto se radi o svojstvenim vektorima i za Ua).Kada pogledamo formule (5.2.14) i (5.2.15), vidimo da u P(Ho) translacije deluju upravoonako kako smo rekli (na kraju od x 5.2.1). Mogli smo se koristiti ovim preno�senjem iz faznogprostora u P(Ho) i zatim u Ho umesto na�seg kvantovanja Galilejeve grupe. Ovaj put �cemoizabrati za diskretne transformacije. Tu se u stvari radi o izomor�zmu "7" sa Crte�za, tj. okratici koju smo zaobi�sli (da bi na�s prelazak na operatore nadgradili na ve�c poznatu kvantizacijuvarijabli).5.2.7U stvari G nema netrivijalne linearne (obi�cne) reprezentacije, ve�c samo tzv. projektivne reprezentacije.

164 GLAVA 5. GALILEJEVE TRANSFORMACIJEPostavlja se pitanje kako se operatori translacija reprezentuju u talasnoj mehanici, tj. uprostoru L2(r). Ako reprezentant apstraktnog operatora pi�semo nepromenjeno, rezultat glasi:Ua (r) = (r� a) ; 8a: (5.2.16)Naime, Ua (r) def= hr j (Ua j i) = (hr j Ua) j i = h r� a j i = (r� a) (treba imati u viduda je hr j Ua bra od U ya j r i = U�1a j r i = U�a j r i =j r� a i).Pa�zljivi �citalac je primetio da je u dokazivanju formule (E15-5.2) jedino bilo va�zno da je hr j Uabra od U�1a j r i. Stoga za sve operatore Galilejeve grupe, ili �cak i �sire, za sve unitarne operatoreU(T ) va�zi analogna formula: U(T ) (r) = (T�1r) ; 8a: (5.2.17)Ha kraju, da nademo odgovor i na pitanje kako se operatori translacija prostora iz Ho re-prezentuju u impulsnoj reprezentaciji, tj. u prostoru L2(p). U analogiji sa rezonovanjem kojedovodi do (5.2.16), dolazi se do zaklju�cka:Ua (p) def= hp j Ua j i = e {~p�ah p j i = e {~p�a (p); (5.2.18)tj. dobijamo multiplikativne operatore u vidu faznih faktora (za svaku vrednost argumenta pdrugi fazni faktor!).5.2.6 � Operatori specijalnih Galilejevih transformacijaKao �sto smo videli u (5.2.11), operatori boost-ova u orbitnom prostoru Ho jedne �cestice glase:Uv = e {~v�mr; 8v (5.2.19)(oni samo formalno deluju u Ho, u stvari ih primenjujemo u Heisenberg-ovoj verziji na operatoreu vidu Uv:::U�v).Iz (5.1.17a)-(5.1.17b) sledi slede�ce delovanje operatora Uv na osnovni skup opservabli u Ho:UvrU�1v = r; UvpU�1v = p�mv; 8v: (5.2.20)Iz (5.2.19) neposredno sledi (po�sto je Uv operatorska funkcija od r):Uv j r i = e {~v�mr j r i; 8r; 8v: (5.2.21)Na osnovu (5.2.21) odmah mo�zemo da napi�semo (imaju�ci u vidu razonovanje kao u odgo-varaju�cem slu�caju u prethodnom paragrafu) kako operatori boost-ova deluju u koordinatnojreprezentaciji: Uv (r) = e� {~v�mr (r); 8v: (5.2.22)Dakle, deluju kao multiplikativni operatori.Da bismo izra�cunali kako operatori Uv u Ho deluju na zajedni�cke svojstvene bazisne vektorekompletne vektorske opservable p, polazimo od fazne konvencije ugradene u de�niciju tog bazisa(uporediti (2.9.2b)).Uv j p i = Uve {~p�r j p = 0 i = e {~ (�mv+p)�r j p = 0 i =j p�mv i; 8v; 8p: (5.2.23)Kao posledicu od (5.2.23), imamo delovanje operatora specijalnih Galilejevih transformacijau impulsnoj reprezentaciji: Uv (p) = (p+mv); 8v; 8p: (5.2.24)

5.2. GALILEJEVE TRANSFORMACIJE U KVANTNOJ MEHANICI 1655.2.7 Operatori Galilejevih transformacija za vi�se�cesti�cnikvantni sistemKao �sto smo videli u x 2.6.8, orbitni prostor stanja N -�cesti�cnog kvantnog sistema je H(o)1:::N =H(o)1 � � � H(o)N , tj. on je direktni proizvod orbitnih prostora stanja pojedinih �cestica.Ako se Galilejeva transformacija T 2 G u orbitnom prostoru stanja jedne �cestice predstavljaoperatorom U(T ), onda istu transformaciju uH(o)1:::N predstavlja operator koji je direktni proizvodU1:::N(T ) def= U1(T ) U2(T ) � � � UN(T ): (5.2.25)(Za zna�cenje direktnog proizvoda operatora videti matemati�cki podsetnik x 2.6.3.)Od velike je va�znosti da se uo�ci da u (5.2.25) u svim faktor prostorima deluje operator jednete iste Galilejeve transformacije T , tj. svih N faktor-operatora u (5.2.25) imaju iste Lie-jeveparametre, jer, npr. u pasivnoj interpretaciji, prelaz prelaz na drugi inercijalni sistem istovremenomenja celi objekat.Zadatak 5.2.1 Pokazati da za prostorne translacije va�ze slede�ce formule u H(o)1:::N :Ua = e� {~a�PNn=1 pn ; (5.2.26)UarnU�1a = r� a; UapnU�1a = pn; n = 1; : : : ; N ; (5.2.27a,b)Ua j r1; : : : ; rN i =j r1 + a; : : : ; rN + a i; (5.2.28a)Ua j p1; :::;pN i = e� {~a�PNn=1 pn j p1; : : : ;pN i; (5.2.28b)a da u koordinatnoj i u impulsnoj reprezentaciji imamo slede�ce delovanje:Ua (r1; : : : ; rN ) = (r1 � a; : : : ; rN � a); (5.2.29a)Ua (p1; :::;pN ) = e {~a�PNn=1 pn (p1; : : : ;pN): (5.2.29b)5.2.8 � Matemati�cki podsetnik | osnovne osobine uni-tarnih i antiunitarnih operatoraUnitarni operatori u nekom Hilbert-ovom prostoru H, pi�semo ih u vidu U , su neprekidni, nesin-gularni, linearni operatori u H sa slede�cim najva�znijim osobinama:U�1 = U y; (5.2.30)gde "y" ozna�cava adjungovanje; (U ; U�) = ( ; �); 8 ; � 2 H: (5.2.31)Iz (5.2.31) sledi da U odr�zava normu svakog vektora. U Dirac-ovoj notaciji (5.2.31) glasi:h j U yU j � i = h j �i: (5.2.32)

166 GLAVA 5. GALILEJEVE TRANSFORMACIJEAntiunitarni operatori u H, njih �cemo ozna�cavati sa Ua, su neprekidni, nesingularni, antili-nearni operatori u H. Ovo poslednje zna�ci: UaPKk=1 �k j k i =PKk=1 ��kUa j k i, za svaki izborvektora j k i 2 H, kompleksnih brojeva �k i celog broja K (zvezdica na �k ozna�cava kompleksnokonjugovanje). Najva�znije osobine antiunitarnih operatora su analogne kao (5.2.30) i (5.2.31):U�1a = U ya ; (5.2.33)(Ua ; Ua�) = ( ; �)�; 8 ; � 2 H: (5.2.34)U Dirac-ovoj notaciji (5.2.34) glasi:(h j U ya)(Ua j � i) = h j �i�: (5.2.35)I (5.2.34) povla�ci da operator odr�zava normu svakog vektora.�Sto se ti�ce pojma adjungovanja operatora, treba se podsetiti da dok je to u slu�caju linearnihoperatora de�nisano relacijom (U ; �) = ( ; U y�); 8 ; � 2 H; (5.2.36)u slu�caju antilinearnih operatora de�nicija adjungovanja glasi(Ua ; �) = ( ; U ya�)�; 8 ; � 2 H: (5.2.37)5.2.9 � Vi�sekomponentne Lie-jeve grupe i antilinearni ope-ratori simetrijeDa li �ce se odredena transformacija simetrije u P(Ho) pretvoriti u unitarni ili u antiunitarnioperator u Ho, to u stvari zavisi od �zi�cke prirode transformacije. Ipak postoji jedan op�stizaklju�cak koji mo�zemo izvesti iz teorije Lie-jevih grupa.Ka�ze se da je Lie-jeve grupa jednokomponentna ili povezana ako se bilo koji element u grupimo�ze prevesti neprekidnim variranjem Lie-jevih parametara u jedini�cni element u grupi. Osnovnepodgrupe Galilejeve grupe T1, T3, R(3) i T(v)3 , kao i cela grupa G, imaju ovu topolo�sku osobinu.Kontraprimer je pro�sirena Galilejeva grupa G, koja nastaje spajanjem G sa grupom inverzijafJp;Jv;JpJv; Ig. G se sastoji od �cetiri tzv. topolo�ske komponente5.2.8;5.2.9: G, JpG, JvG iJpJvG.U jednoj topolo�skoj komponenti svaki element mo�ze kontinualno da prede u svaki drugi, aantilinearni operatori se skokovito razlikuju od linearnih (ne mo�zemo kontinualno prevesti jedan udrugi); stoga, cela komponenta mora da se sastoji ili samo od unitarnih ili samo od antiunitarninoperatora. Po�sto jednokomponentna Lie-jeva grupa sadr�zi identi�cnu transformaciju I, koja u5.2.8Topolo�ska komponenta je najve�ci podskup Lie-jeve grupe u kome se bilo koji element mo�ze prevesti nepre-kidnim variranjem Lie-jevih parametara u bilo koji drugi element. Razbijanje grupe na komponente je jednorazbijanje na klase ekvivalencije.5.2.9Da podsetimo, da transformacije iz G nazivamo kontinualnim transformacijama (uporediti kraj od x 5.1.3),a transformacije iz ostale tri topolo�ske komponente JpG, JvG i JpJvG u G nazivamo diskretnim. Tu se radi okontinualnosti (ili diskretnosti) u topolo�sko-grupnom smislu (unutar G). �Sto se ti�ce neprekidnosti dejstva pojedinihoperatora u Hilbert-ovom prostoru, svi operatori iz G su neprekidni, po�sto su takvi svi unitarni i antiunitarnioperatori.

5.2. GALILEJEVE TRANSFORMACIJE U KVANTNOJ MEHANICI 167Ho o�cigledno mora biti identi�cni operator I, svi operatori takve grupe su nu�zno unitarni. Zna�cisvaki operator koji pripada Galilejevoj grupi je sigurno unitaran.Kao �sto vidimo, samo diskretne transformacije su kandidati da se kvantuju u antiunitarneoperatore, ali ni to nije nu�zno.5.2.10 � Dodatak | dokaz Baker-Hausdor�-ove lemeKao �sto smo rekli u paragrafu x 5.2.3, Lema iz naslova ovog paragrafa tvrdi da va�zi:e ^BA = eBAe�B: (5.2.38a)(prepisali smo (5.2.6)) kad god je LS de�nisana. Eksplicitno LS glasi:e ^BA def= A+ [ B; A ] + 12![ B; [ B; A ] ] + 13! [ B; [ B; [ B; A ] ] ] + : : : (5.2.38b)Radi dokaza (5.2.38a), podimo od operatorske funkcijeg(A; B; �) def= e�BAe��B; (5.2.39)sa parametrom �, �1 < � <1. Lako je videti dadgd� = Bg � gB = [ B; g ]; (5.2.40a)d2gd�2 = B dgd� � dgd�B = [ B; [ B; g ] ]; (5.2.40b)itd.Razvijaju�ci g u Taylor-ov red oko � = 0, imaju�ci u vidu da je g(A; B; � = 0) = A i koriste�cise sa (5.2.40) itd., sti�zemo do slede�ceg reda:g(A; B; �) = A + �[ B; A ] + �22! [ B; [ B; A ] ] + : : : (5.2.41)Iz (5.2.41) i (5.2.39) odmah sledi (5.2.38a) ako stavimo � = 1.

Glava 6Teorija jednog uglovnog momenta6.1 Rotacije i uglovni moment u klasi�cnoj mehaniciVe�c smo pominjali da su rotacije Galilejeve transformacije sa po tri Lie-jeva parametra, a da naradijus-vektor deluju kao 3� 3 realne ortogonalne matrice jedini�cne determinante. Sve ovo �cemou odeljku koji je pred nama precizno i detaljno razraditi.Uve�s�cemo dve Lie-jeve parametrizacije rotacija: ugao � i ort u ose rotacije (� = �u) s jednestrane i Euler-ove (Ojler) uglove kao alternativu.Videli smo da se rotacije eksponencijalno generi�su vektorskom varijablom l uglovnog mo-menta. Prisnu vezu koja stoga postoji i u klasi�cnoj �zici izmedu R(3) i l ilustrova�cemo naprimeru centralnog potencijala Kepler-ove �cestice.6.1.1 Osa i ugao rotacijeIntuitivni pojam rotacije u obi�cnom prostoru zasniva se na pojmu ose oko koje se rotira i napojmu ugla za koji se rotira.U preciznom odredivanju rotacije, polazimo od toga da se zadaje ort ose, obele�zava�cemo gasa u, a zatim se mora zadati ugao, koji �cemo obele�zavati sa �. Pri zadavanju ugla moramo seopredeliti za izvesnu konvenciju da bismo se oslobodili neodredenosti.Uobi�cajena je konvencija da se ugao de�ni�se po modelu desnog (kod nas uobi�cajenog) za-vrtnja: ka�zemo da se radi o rotaciji "za ugao � oko orta u" ako, obele�ziv�si proizvoljnu ta�ckuna zavrtnju i posmatraju�ci projekciju te ta�cke na ravan normalnu na u, vidimo da ta projekcijaopisuje luk �ciji je ugao � kada se zavrtanj pomera u smeru u. Ekvivalentno, ovu konvencijumo�zemo da formuli�semo tako da ugao � ra�cunamo u smislu obratnom od hoda kazaljke na satu(uobi�cajeni pozitivni ugao), a da pri tome mi gledamo u ravan u kojoj je �, a ort u da je uperenu na�se lice.Vektor �u pisa�cemo kao �, a njegove koordinate �x, �y i �z u zadatom Descartes-ovomkoordinatnom sistemu fx0;y0; z0g bi�ce na�si Lie-jevi parametri rotacije R�. Po�sto se u kvant-noj mehanici, �sto se ti�ce rotacija, opredeljuje za aktivnu interpretaciju, �ksira�cemo koordinatnisistem.O�cigledno nema potrebe da se ugao � de�ni�se van intervala [0; 2�], jer tu su ve�c obuhva�cenesve mogu�cnosti. Ali mo�zemo ovaj interval smanjiti na osnovu slede�ceg zapa�zanja.168

6.1. ROTACIJE I UGLOVNI MOMENT U KLASI �CNOJ MEHANICI 169Ako rotiramo za ugao � < � � 2� oko orta u, posti�zemo isto kao da smo rotirali za ugao2� � � oko orta �u. Stoga se mo�zemo ograni�citi na interval [0; �] �sto se ti�ce ugla rotacije.Sfera koju ispunjavaju vrhovi vektora � (kao radijus-vektora) sa svim mogu�cim ortovima, asa modulima u intervalu 0 � � � �, naziva�cemo �-loptom. Ova sfera (polupre�cnika �) je prostorLie-jevih parametara za rotacije (opisane vektorom �).6.1.2 �-loptaU prethodnom paragrafu smo zaklju�cili da svaku rotaciju mo�zemo da de�ni�semo vektorom � iz�-lopte.�-lopta ima dve osobenosti. Prvo, nulti vektor � = 0, koji de�ni�se identi�cnu transformacijuili tzv. jedini�cnu rotaciju, ima proizvoljan ort. Drugo, rotacije de�nisane vektorima �u i �(�u)za bilo koji u u stvari se podudaraju. Ispostavlja se da se ova dvozna�cnost u rotacijama za � nemo�ze jednostavno izbe�ci. Stoga se dijametralno suprotne ta�cke na povr�sini �-lopte poistove�cujui to se uklju�cuje u de�niciju �-lopte. Dakle, kad govorimo o elementima �-lopte, smatra�cemo �ui �(�u) istim elementom (za svaki u).Rotaciji koja odgovara ta�cki � = �u �-lopte inverzna je rotaciji koja odgovara ta�cki �� =�(�u). Elementi sa povr�sine �-lopte (i samo oni, kako �cemo se kasnije uveriti) de�ni�su involutivnerotacije (tj. rotacije koje su same sebi inverzne).Nije o�cigledno da uzastopna primena dve proizvoljne rotacije daje opet rotaciju, tj. da rotacije�cine grupu (sa uzastopnom primenom kao zakonom mno�zenja u grupi). Vide�cemo ni�ze da je ipaktako.6.1.3 Veza izmedu �-lopte i grupe matrica SO(3)�-lopta nema dovoljno matemati�cke strukture da se razjasne grupno-teorijska pitanja koja namse name�cu. Slede�ca dva teorema, �ciji dokaz �cemo dati u Dodacima x 6.1.7 i x 6.1.8, uspostavljajubiunivoko ceo-na-ceo preslikavanje ili korespondenciju izmedu �-lopte i grupe svih 3� 3 realnih,ortogonalnihmatrica sa jedini�cnom determinantom. To je tzv. grupa SO(3), ili re�cima: specijalnaortogonalna grupa u tri dimenzije.Obele�zimo sa R(�) matricu iz SO(3) koja korespondira vektoru � iz �-lopte, a sa R�,ozna�cimo, kao i malo pre, samu transformaciju u objektivnom prostoru koja odgovara istomelementu �-lopte. Preciznije, neka je objektivni prostor apstraktni trodimenzionalni realni uni-tarni prostor V3, a R� neka je operator rotacije u njemu. Neka je, dalje, fx0;y0; z0g pomenutiproizvoljni ali �ksirani Descartes-ov desni koordinatni sistem u V3. Koordinate �cemo umesto sax; y; z indeksirati sa 1; 2; 3.Teorem 6.1.1 Neka je � = �u proizvoljni element �-lopte i neka je u bazisu fx0;y0; z0g repre-zentovan koordinatama �1 = �u1, �2 = �u2, �3 = �u3. Slede�ca formula mu pridru�zuje matricuR(�) 2 SO(3) i to tako da R(�) reprezentuje rotaciju R� (de�nisanu u x 6.1.1) u pomenutombazisu:cos�0@ 1 0 00 1 00 0 11A+ (1� cos�)0@ u21 u1u2 u1u3u1u2 u22 u2u3u1u3 u2u3 u23 1A + sin�0@ 0 �u3 u2u3 0 �u1�u2 u1 0 1A =

170 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTA= 0@R11 R12 R13R21 R22 R23R31 R32 R331A def= R(�): (6.1.1)Napomena 6.1.1 Lako se vidi da se (6.1.1) mo�ze kompaktnije prepisati na slede�ci na�cin:Rmn = cos�Æmn + (1� cos�)umun � sin� 3Xk=1 �mnkuk; (6.1.2)gde je �mnk tzv. simbol Levi-Civita-e (�citati: Levi-�Civita), tj. jedini�cni potpuno antisimetri�cni tenzorranga tri. On je nula ako dva indeksa imaju istu vrednost, ina�ce je +1 ili �1 prema tome da li je mnkcikli�cna ili anticikli�cna permutacija od 123.Teorem 6.1.2 Pridru�zivanje � ! R(�) iz (T 6.1.1) preslikava �-loptu obostrano jednozna�cnona SO(3). Formuli�simo inverzno pridru�zivanje. Neka je R 2 SO(3) i neka su Rmn matri�cnielementi od R. Vektor � = �u iz �-lopte, takav da R(�) = R, gde je R(�) dat sa (6.1.1), mo�zese dobiti slede�cim algoritmom (koji se sastoji iz tri dela):a) Ako je Rmn = Æmn, m;n = 1; 2; 3, onda je � = 0 (a u je arbitrerno).b) Ako R nije jedini�cna matrica ali je simetri�cna, onda je � = �, a komponente orta u dobijajuse po formulama: u2k = 12(Rkk + 1); k = 1; 2; 3: (6.1.3a)Obele�zimo sa sign(uk) predznak6.1.1 od uk. Neka je k1 indeks prvog nenultog uk, k = 1; 2; 3,k2 indeks drugog nenultog uk ako ga ima, a k3 indeks tre�ceg nenultog uk ako ga ima. Tadaje sign(uk1) = 1; sign(uk2) = sign(Rk1k2); sign(uk3) = sign(Rk1k3): (6.1.3b,c,d)c) Ako R nije simetri�cna matrica, ondacos� = 12(TrR� 1) = 12(R11 +R22 +R33 � 1); 0 < � < �; (6.1.4a,b)u1 = R32 �R232 sin� ; u2 = R13 � R312 sin� ; u3 = R21 � R122 sin� : (6.1.4c,d,e)Zadatak 6.1.1 a) Kako se iz (6.1.1) vidi da je R(�u) = R(�(�u)) ? b) Za�sto smo u (6.1.3b) mogli da postuliramopredznak?Zadatak 6.1.2 Kako se iz (6.1.1) lako vidi da R(�(�u)) = R�1(�u) ? (Indikacija: Iskoristiti podatak da jeR(�u) ortogonalna matrica.)Na osnovu uspostavljene korespondencije sad je jasno da rotacije �cine grupu. Po�sto po Teo-remu (T6.1.1) rotacija reprezentovanjem u bazisu prelazi u matricu iz SO(3), uzastopnoj primenirotacija odgovara mno�zenje matrica (zakon kompozicije u SO(3)).U stvari iznenaduju�ca je implikacija da uzastopna primena proizvoljnog broja rotacija mo�zeda se zameni jednom jedinom rotacijom.6.1.1Preciznije, sign(x) = 0; 1;�1 za x = 0, x > 0 i x < 0 respektivno.

6.1. ROTACIJE I UGLOVNI MOMENT U KLASI �CNOJ MEHANICI 1716.1.4 Konjugacija u grupi rotacijaU svakoj grupi bilo koji element odreduje jedno preslikavanje grupe na samu sebe koje odr�zavaproizvod u grupi (automor�zam). Re�c je o tzv. konjugaciji u grupi.Neka je element �-lopte i R odgovaraju�ca rotacija. Neka je R� teku�ci element iz R(3).Onda konjugacija elementom R u R(3) glasi R R�R�1 . Postavlja se pitanje da li konjugacijane jednostvniji na�cin trnsformi�se6.1.2 vektor �.Korolar 6.1.1 Neka su R�u i R v (u i v su ortovi) dve proizvoljne rotacije. Onda va�ziR vR�uR�1 v = R�(R vu) (6.1.5)ili ekvivalentno R vR�u = R�(R vu)R v: (6.1.6)Dve rotacije komutiraju ako i samo ako im se ose poklapaju (ortovi su isti ili suprotni).Dokaz �cemo dati u Dodatku x 6.1.9.6.1.5 Euler-ovi uglovi rotacije

Slika 6.1: Euler-ovi uglovi:�; �; . fx0;y0; z0g su or-tovi prvog koordinatnog sistema,fX0;Y0;Z0g drugog; L0 je ort li-nije �cvorova.

Proizvoljna rotacija primenjena na Descartes-ov koordinatnisistem prevodi ga u Descartes-ov koordinatni sistem iste uza-jamne orijentacije ortova (tj. oba su desna ili oba leva).Obratno, ako su zadata dva Descartes-ova koordinatna si-stema iste uzajamne orijentacije ortova i sa istim koordinat-nim po�cetkom, postoji jedna i samo jedna rotacija koja pre-vodi prvi sistem u drugi. Drugim re�cima, ova dva koordinatnasistema tako de�ni�su ili zadaju rotaciju.Pri ovakvom na�cinu zadavanja rotacija uvode se tzv.Euler-ovi uglovi (videti C 6.1). Ti se uglovi uvode na raznena�cine u literaturi. Obi�cno je tzv. linija �cvorova (L) linija pre-seka (�satirane) ravni XOY i (ne�satirane) ravni xOy. Ostalekonvencije variraju. Mi �cemo u�ciniti slede�ce pretpostavke.Ugao � ra�cuna se od orta z0, njegova veli�cina je u in-tervalu 0 � � � � i s njime je asociran ort �cvorne linijeL0. Naime, on je po de�niciji usmeren tako da gledaju�ci iznjegovog vrha � raste u smislu suprotnom od hoda kazaljkena satu. O�cigledno, L0 je jednozna�cno odreden osim ako je� = �, smer od L0 onda biramo arbitrerno du�z linije L (ro-tacija R�L0 je ipak jednozna�cno de�nisana).Ugao � ra�cuna se od y0 orta do L0, 0 � � < 2� opet takoda gledano iz vrha orta z0 ugao � raste u smislu suprotnom od hoda kazaljke na satu.6.1.2Po�zeljno je da utvrdimo da sa R� obele�zavamo rotacije u objektivnom (apstraktnom) obi�cnom prostoru, asa R(3) grupu svih R�. U koordinatnom sistemu fx0;y0; z0g rotacije R� se reprezentuju matricama koje pi�semoR(�), a grupa svih tih matrica je SO(3).

172 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTAUgao je de�nisan tako da ide od L0 do Y0, 0 � < 2�, i opet se uzima onaj od dva ugla\(L0;Y0) koji, gledano iz vrha orta Z0, raste u smislu suprotnom od hoda kazaljke na satu.Trodimenzionalni interval 0 � � < 2�, 0 � � � �, 0 � < 2� naziva�cemo intervalomde�nisanosti Euler-ovih uglova.Na C6.1 se vidi (ako se npr. prati �sta se de�sava sa ortom y0 i z0) da se desni koordinatnisistem fx0;y0; z0g rotira u fX0;Y0;Z0g kao rezultat tri uzastopne rotacije:R[�; �; ] = R Z0R�L0R�z0 : (6.1.7)Faktore u (6.1.7) zami�sljamo tako da su de�nisani elementima iz �-lopte, pri tome ako su �ili ve�ci od �, onda po de�niciji R�z0 = R(2���)(�z0), R Z0 = R(2�� )(�Z0) pri �cemu u oznakamana LS-ama nismo napustili konvenciju uzora desnog zavrtnja.Po�sto se sa dva koordinatna sistema fx0;y0; z0g i fX0;Y0;Z0g mo�ze zadati proizvoljna ro-tacija, R[�; �; ] iz (6.1.7) je u stvari proizvoljna rotacija sa Euler-ovim uglovima kao Lie-jevimparametrima.Teorem 6.1.3 Proizvoljna rotacija R[�; �; ] mo�ze se napisati kao proizvod tri rotacije od kojihsu prva i tre�ca oko �ksirane z-ose, a druga oko �ksirane y-ose (obe pripadaju prvom koordinatnomsistemu): R[�; �; ] = R�z0R�y0R z0 : (6.1.8)Dokaz: Na C6.1 se vidi da L0 = R�z0y0; Z0 = R�L0z0: (6.1.9a,b)Zamenom (6.1.9b) i (6.1.9a) u (6.1.7) i kori�s�cenjem (6.1.6) dobijamoR[�; �; ] = (R�L0R z0R�1�L0)(R�z0R�y0R�1�z0)R�z0 : (6.1.10)Ako u (6.1.10) jo�s jedanput zamenimo R�L0 na osnovu (6.1.9a) i K 6.1.1, onda dolazimo do izrazaR[�; �; ] = (R�z0R�y0R�1�z0 )R z0(R�z0R�1�y0R�1�z0)R�z0R�y0 : (6.1.11)Uzimaju�ci u obzir da rotacije oko iste ose komutiraju, sti�zemo najzad do jednakosti (6.1.8). Q. E. D.Teorem 6.1.4 Operator rotacije R[�; �; ] sa Euler-ovim uglovima kao Lie-jevim parametrimareprezentuje se u bazisu fx0;y0; z0g 3� 3 realnom, ortogonalnom matricom R(�; �; ) jedini�cnedeterminante:R(�; �; ) = 0@ cos� cos� cos � sin� sin � cos� cos� sin � sin� cos cos� sin�sin� cos� cos + cos� sin � sin� cos� sin + cos� cos sin� sin�� sin� cos sin� sin cos� 1A : (6.1.12)Dokaz: Izraz (6.1.12) se neposredno izra�cunava iz (6.1.8) imaju�ci u vidu da su matri�cni reprezententi faktora u(6.1.8) slede�ci: R�z0 = 0@ cos� � sin� 0sin� cos� 00 0 11A ; R�y0 = 0@ cos� 0 sin�0 1 0� sin� 0 cos�1A : (6.1.13a,b)Q. E. D.Zadatak 6.1.3 Izvesti (6.1.13a) iz C 6.1 i pro�citati (6.1.13b) i R x0 iz (6.1.13a) imaju�ci u vidu da x0, y0 i z0igraju simetri�cne uloge u odnosu na cikli�cne permutacije.Zadatak 6.1.4 Izlo�ziti algoritam kojim se mo�ze na�ci osa i ugao za rotaciju zadatu preko Euler-ovih uglova.

6.1. ROTACIJE I UGLOVNI MOMENT U KLASI �CNOJ MEHANICI 1736.1.6 � Uglovni moment u Kepler-ovom problemuKao �sto je poznato, u klasi�cnoj mehanici vremenski izvod uglovnog momenta l = r�pmaterijalneta�cke mo�ze da se nap�se kao dldt = r� F; (6.1.14)gde je F sila. Fizi�cka veli�cina r� F se naziva moment sile.U Kepler-ovom problemu planetarnog kretanja na materijalnu ta�cku deluje sila koja je ka-rakteristi�cna za gravitacioni zakon: F = � kr2 rr : (6.1.15)Ova sila je negativni gradijent potencijalaV (r) = �kr ; (6.1.16)koji je centralan, tj. zavisi samo od du�zine radijus-vektora, a ne i od njegovog orta.Iz (6.1.15) i (6.1.14) sledi dldt = 0; (6.1.17)tj. imamo tri konstante kretanja: lx; ly i lz.Zaklju�cak (6.1.17) izveli smo na na�cin koji je prirodan u kontekstu klasi�cne �zike. Ali do sadaizlo�zeni formalizam kvantne mehanike ne koristi se pojmovima sile i momenta sile. Zato �cemopromeniti izlo�zeno rezonovanje na na�cin koji je ne�sto manje uobi�cajen u klasi�cnoj mehanici iizvesti (6.1.17) ponovo. Vide�cemo da se u klasi�cnoj �zici mo�ze rezonovati veoma sli�cno tipi�cnomrezonovanju u kvantnoj mehanici.Videli smo u (5.1.19) da proizvoljna rotacija R� deluje na varijable A(r;p) na slede�ci na�cin:R�A(r;p) = A(R(�)r; R(�)p). Za varijablu potencijalne energije Kepler-ove �cestice (6.1.16) jeR�V (r) = V (r); za svako � iz �-lopte: (6.1.18)Jednakost (6.1.18) je ekvivalentna de�niciji centralnog potencijala.Potencijal V (r) je, naravno, invarijantan i pod dejstvom in�nitezimalnih rotacija. Pi�su�ciR� = e���~l, po uzoru na (5.1.16), u prvoj aproksimaciji po uglu � imamo R d�u = I � d�u �~l istoga iz (6.1.18) sledi: V (r)� d�u �~lV (r) = V (r):Ova jednakost povla�ci za sobom u �~lV (r) = 0, a to, sa svoje strane, zbog proizvoljnosti orta u,mo�ze da va�zi samo ako je ispunjena vektorska jednakost:~lV (r) def= [ l; V (r) ]PZ = 0: (6.1.19)Poznato je da je i kineti�cka energija rotaciono simetri�cna skalarna varijabla; prema tome, ana-logno sa (6.1.18), ~l deluje i na tu varijablu anuliraju�ce. Sve skupa~lH def= [ l; H ]PZ = 0; (6.1.20)gde je H Hamilton-ova funkcija Kepler-ove �cestice.

174 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTAUop�stenje jedna�cina (5.1.15) na konzervativnu Kepler-ovu �cesticu daje slede�cu vremenskuzavisnost za l: Tb=t�t0 l = e�(t�t0) ~H l; ~Hl def= [ H; l ]PZ: (6.1.21a,b)Po�sto je [ H; l ]PZ = �[ l; H ]PZ, iz (6.1.20) najzad sledi:Tb=t�t0 l = l; (6.1.22)tj. vremenska evolucija ne menja l.Naravno, (6.1.22) je ekvivalentna sa (6.1.17). Ali upravo izlo�zeno rezonovanje je prenosivo ukvantnu mehaniku.Na�s je zadatak u slede�cim odeljcima da uglovni moment i rotacije zajedno kvantujemo.6.1.7 � Dodatak 1 | dokaz Teorema 1a) Ako je � = 0, (6.1.1) daje R = I, �sto o�cigledno reprezentuje identi�cnu transformaciju (i spadau SO(3)).b) Neka je � = �u vektor iz �-lopte, � 6= 0 i neka je u V3 �ksiran proizvoljan ortonormiranibazis fx0;y0; z0g (desne uzajamne orijentacije ortova), u kojem vektor � = �u ima koordinate(�u1; �u2; �u3).Umesto od pomenutog bazisa, po�ci �cemo od drugog bazisa fv1;v2;v3 def= ug koji je takodedesni pravougli koordinatni sistem, ali nije u slu�cajnom odnosu prema na�soj rotaciji, ve�c je zanju kanoni�can (tj. najprostiji mogu�ci).U kanoni�cnom bazisu rotacija R�u je reprezentovana matricom Rk(�u), koja glasi:Rk(�u) = 0@ cos � � sin� 0sin� cos� 00 0 11A (6.1.23)(uporediti (6.1.13a)).Inverznu rotaciju reprezentujemo matricom u kojoj smo � zamenili sa �� u (6.1.23). Vidise da ovo isto tako menja (6.1.23) kao i transponovanje: R�1k (�u) = RTk (�u). Dakle, Rk(�u) jeortogonalna matrica.Uvedimo matricu razvoja T pomenutog arbitrernog bazisa po kanoni�cnom:x0 = T11v1+T12v2+T13v3 ;y0 = T21v1+T22v2+T23v3 ; z0 = T31v1+T32v2+T33v3: (6.1.24)Kao �sto je poznato, ortonormirani bazis u ortonormirani bazis prevodi samo ortogonalna matrica,te je T takva.Neka rotaciju R�u u bazisu fx0;y0; z0g reprezentuje matrica R(�u) (koju izvodimo). OndaR(�u) = TRk(�u)T�1; (6.1.25)po�sto je kontragredijentna matrica od T jednaka T : T�1T = T . (U pogledu uloge kontragredi-jentne matrice eventualno uporediti iznad (Z 5.1.5).)

6.1. ROTACIJE I UGLOVNI MOMENT U KLASI �CNOJ MEHANICI 175Lema 6.1.1 Ako je A realna 3 � 3 matrica koja je ortogonalna, ili skalarna (tj. broj putajedini�cna matrica), ili simetri�cna, ili kososimetri�cna, a T je proizvoljna 3�3 realna, ortogonalnamatrica, onda je matrica TAT�1 takode ortogonalna, odnosno skalarna, odnosno simetri�cna,odnosno kososimetri�cna.Dokaz se odmah vidi.Iz L 6.1.1 sledi da je i R(�u) ortogonalna matrica. Obele�zavaju�ci determinantu matrice A saD(A), imamo:D(R(�u)) = D(TRk(�u)T�1) = D(T )D(Rk(�u))D(T )�1 = cos2 �+ sin2 � = 1:Zna�ci, za tra�zenu matricu va�zi: R(�u) 2 SO(3).Iz (6.1.23) se vidi da matricu Rk(�u) mo�zemo da pi�semo kao zbir jedne konstante, jednesimetri�cne i jedne kososimetri�cne matrice:Rk(�u) = cos�0@ 1 0 00 1 00 0 11A + (1� cos�)0@ 0 0 00 0 00 0 11A+ sin�0@ 0 �1 01 0 00 0 01A : (6.1.26)Kad se izra�cuna R(�u) = TRk(�u)T�1, dobije se klju�cna jednakost:Rk(�u) = cos�0@ 1 0 00 1 00 0 11A+ (1� cos�)0@ T 213 T13T23 T13T33T23T13 T 223 T23T13T33T13 T33T23 T 233 1A+ sin�0@ 0 T12T21 � T11T22 T12T31 � T11T31T22T11 � T21T12 0 T22T31 � T21T31T32T11 � T31T12 T32T21 � T31T22 0 1A : (6.1.27)S druge strane, sam vektor v3 = u reprezentuje se u bazisu fx0;y0; z0g brojnom kolonom:0@ u1u2u31A = T 0@ 0011A = 0@T13T23T331A (6.1.28a)(eventualno uporediti napomenu iznad Leme L6.1.1), tj.Tk3 = uk; k = 1; 2; 3: (6.1.28b)Videli smo u x 6.1.5 da proizvoljna dva koordinatna sistema iste uzajamne orijentacije ortovade�ni�su jednu rotaciju. Rotaciju koja prevodi fv1;v2;v3g u fx0;y0; z0g u bazisu fv1;v2;v3greprezentuje T , kao �sto se vidi iz (6.1.24). Ve�c smo dokazali da proizvoljnu rotaciju u proizvoljnombazisu reprezentuje matrica koja pripada SO(3). Prema tome i ~T 2 SO(3), tj. D( ~T ) = D(T ) = 1.Lema 6.1.2 Za realnu ortogonalnu 3� 3 matricu T jedini�cne determinante va�zi:Tmn = Tmn; 8m;n; (6.1.29)gde smo sa Tmn obele�zili algebarski komplement matri�cnog elementa Tmn (tj. sa (�)m+n po-mno�zeni minor ili subdeterminantu koja preostaje kada u T precrtamo m-tu vrstu i n-tu kolonu).

176 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTADokaz: Za proizvoljnu nesingularnu matricu A, kao �sto je poznato6.1.3, va�zi: (A�1)mn = 1detAAmn. Po�sto je Tnesingularna, ortogonalna i jedini�cne determinante, imamo (T�1)mn = Tmn a s druge strane (T�1)mn = T Tmn =Tnm. Tako odmah sledi (6.1.29). Q. E. D.Na osnovu (6.1.29) mo�zemo izvr�siti slede�ce zamene radi pojednostavljenja klju�cne jednakosti(6.1.27):T12T21 � T11T22 = �T33; T12T31 � T11T32 = T23; T22T31 � T21T32 = �T13: (6.1.30)Kada se iskoriste jednakosti (6.1.28b) i (6.1.30) radi zamene u (6.1.27), dobija se (6.1.1).6.1.8 � Dodatak 2 | dokaz Teorema 2Lema 6.1.3 Neka je R proizvoljna matrica iz SO(3). Skup vektora fw1;w2;w3g koji je de�nisantako da ima matricu razvoja R po bazisu fx0;y0; z0g je bazis sa istom uzajamnom orijentacijomortova kao u bazisu fx0;y0; z0g.Dokaz: Budu�ci da je RT , kao i R, ortogonalna (realna) matrica, znamo da je fw1;w2;w3g ortonormiran skupvektora (zva�cemo ga drugi bazis). Podimo sad ab contrario (od suprotnog) i pretpostavimo da drugi bazis sadr�ziortove suprotne uzajamne orijentacije od ortova prvog. Primenom Jp na prvi bazis promeni�cemo mu uzajamnuorijentaciju ortova i onda sigurno postoji neka rotacija R�0 koja, deluju�ci posle Jp, prevodi prvi bazis u drugi(uporediti x 6.1.5). U reprezentaciji prvog bazisa transformacija R�0Jp postaje matrica R(�0)(�I) = �R(�0),�cija je determinanta �1 (znamo iz T 6.1.1 da je R(�0) 2 SO(3)). Medutim, prema de�niciji drugog bazisa doti�cnamatrica R(�0)(�I) je u stvari R, a detR = 1. To je kontradikcija koja dokazuje Lemu L 6.1.3. Q. E. D.Da bismo se uverili da je oblast likova preslikavanja iz T 6.1.1 jednaka SO(3), podimo opet odproizvoljnog R 2 SO(3) i de�ni�simo drugi bazis fw1;w2;w3g kao u Lemi L 6.1.3. Iz paragrafax 6.1.5 (specijalno formule (6.1.7)) jasno je da jednaka uzajamna orijentactija ortova u bazisimafw1;w2;w3g i fx0;y0; z0g (kao �sto sledi iz Leme L 6.1.3) povla�ci da se drugi bazis dobija iz prvognekom rotacijom R�u, a nju o�cigledno reprezentuje R. Prema tome, R(�u) = R.Obostrana jednozna�cnost preslikavanja iz T 6.1.1 neposredno sledi iz �cinjenice da je reprezen-tovanje u bazisu biunivoko.Pristupimo sad invertovanju pridru�zivanja iz T 6.1.1.a) Kao �sto smo konstatovali pod a) u prethodnom Dodatku, po Teoremu T6.1.1 vektoru� = 0 �-lopte pridru�zujemo I 2 SO(3). Inverzno, matrici I onda pridru�zujemo � = 0.b) Pretpostavimo da je R 6= I, ali da je R ipak simetri�cna matrica iz SO(3). Po�ci �cemo odR = R(�) i ispita�cemo kakav treba da je �.Razlaganje realne matrice na zbir simetri�cne i kososimetri�cne matrice je jednozna�cno (kao �stoje lako videti), a (6.1.1) je ve�c napisano u razlo�zenom vidu. Stoga iz simetri�cnosti R = R(�u)sledi da je tre�ci matri�cni sabirak u (6.1.1) jednak nuli. Po�sto u 6= 0, sin� = 0, tj. � = 0 ili� = �. No, � = 0 dovodi do R = I, kao �sto smo videli, tako da preostaje samo � = �. Prematome (6.1.2) ima za posledicu Rmn = �Æmn + 2umun: (6.1.31)Stavljaju�ci m = n = k, dobija se odmah (6.1.3a) za odredivanje modula od uk, k = 1; 2; 3.6.1.3 Videti, na primer, 13.2-3,4. u priru�cniku G. Korn i T. Korn, Spravoqnik po matematike, Nauka,Moskva, 1968.

6.1. ROTACIJE I UGLOVNI MOMENT U KLASI �CNOJ MEHANICI 177Po�sto u (6.1.31) Rmn zavisi kvadratno od koordinata orta u, zajedno sa u re�senje je i �u (�stoje nu�zno, jer je � = �; uporediti x 6.1.2). Uze�cemo samo jedno od ta dva re�senja postuliraju�ci(6.1.3b). Onda su (6.1.3c) i (6.1.3d) o�cigledne posledice od (6.1.31).c) Neka je R 2 SO(3) nesimetri�cna matrica. Opet �cemo po�ci od R = R(�) i tra�ziti �. Iz(6.1.1) odmah sledi TrR(�) = 2 cos�+1, a to daje (6.1.4a). Nejednakosti 0 � � � � su posledicade�nicije �-lopte. Vrednosti � = 0 i � = � su isklju�cene, jer, kao �sto smo videli pod a) i b), onedovode do R = I odnosno do R = RT , �sto sad ne dolazi u obzir po pretpostavci. Tako sledi(6.1.4b).Iz (6.1.1) sledi da je tre�ci matri�cni sabirak u (6.1.1) jednak 12(R(�u) � RT (�u)). Iz togamo�zemo zaklju�citi (uzimaju�ci pogodne matri�cne elemente doti�cnog tre�ceg sabirka) da va�ze (6.1.4c),(6.1.4d), (6.1.4e).6.1.9 � Dodatak 3 | dokaz Korolara 1Dokaza�cemo (6.1.5) u matri�cnoj reprezentaciji u bazisu fx0;y0; z0g obele�zavaju�ci, radi kratko�ce,ortogonalnu matricu koja reprezentuje R v sa U i koriste�ci (6.1.1) ili (6.1.2). Sa R(i)(�), i =1; 2; 3, obele�zi�cemo tri matri�cna sabirka na LS-i od (6.1.1).Izra�cuna�cemo UR(�u)U�1 sabirak po sabirak. Prvi sabirak R(1)(�) u (6.1.1) je konstanta iona se ne menja.Drugi sabirak daje(UR(2)(�u)U�1)mn = (1� cos�)Xkl UmkukulU�1ln = (1� cos �)(Xk Umkuk)Xl Unlul; (6.1.32)po�sto je U�1ln = Unl.Tre�ci sabirak je kososimetri�can i takav �ce ostati i posle transformacije sli�cnosti (L 6.1.1).Zna�ci, dovoljno je izra�cunati matri�cne elemente 12, 13 i 23 (npr. dijagonalni elementi su nu�znonule).Neposredno izra�cunavanje daje (X = UR(3)(�u)U�1):X12 = sin�(u1(U13U22 � U12U23) + u2(U11U23 � U13U21) + u3(U12U21 � U11U22)); (6.1.33a)X13 = sin�(u1(U13U32 � U12U33) + u2(U11U33 � U13U31) + u3(U12U31 � U11U32)); (6.1.33b)X23 = sin�(u1(U23U32 � U22U33) + u2(U21U33 � U23U31) + u3(U22U31 � U21U32)): (6.1.33c)Po�sto U reprezentuje R v, U je iz SO(3). Onda iz L 6.1.2 sledi Umn = Umn. Na osnovu ovogaizrazi u malim zagradama u (6.1.33) se pojednostavljuju:(UR(3)(�u)U�1)12 = sin� (�u1U31 � u2U32 � u3U33) = � sin�Xk U3kuk; (6.1.34a)(UR(3)(�u)U�1)13 = sin� (u1U21 � u2U22 � u3U23) = sin�Xk U2kuk; (6.1.34b)(UR(3)(�u)U�1)23 = sin� (�u1U11 � u2U12 � u3U13) = � sin�Xk U1kuk: (6.1.34c)De�ni�simo wm def= 3Xk=1 Umkuk; m = 1; 2; 3: (6.1.35)

178 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTAO�cigledno, brojna kolona od wm-ova reprezentuje ort R vu u bazisu fx0;y0; z0g. Formuli�simosad na�se rezultate za sva tri sabirka UR(i)(�u)U�1 pomo�cu ove brojne kolone:(UR(�u)U�1)mn = cos�Æmn + (1� cos�)wmwn � sin� 3Xk=1 �mnkwk (6.1.36)(iskoristili smo (6.1.32), (6.1.34) i (6.1.35)).Uporeduju�ci (6.1.36) sa (6.1.2), vidimo da smo dobili(UR(�u)U�1)mn = (R(�R vu))mn; (6.1.37)�sto je u stvari (6.1.5).Jednakost (6.1.6) je o�cigledno ekvivalentna sa (6.1.5).Poslednji iskaz K6.1.1 bazira na (6.1.6) i na �cinjenici da jeR vu = u (6.1.38)ako i samo ako v = �u, kao �sto se �citalac mo�ze lako uveriti.6.2 Algebra kvantne teorije op�steg uglovnog momentaNa pojmu orbitnog uglovnog momenta �cestice uo�ci�cemo osobine koje karakteri�su op�sti uglovnimoment. Potrebu za takvim uop�stenim pojmom i za deduktivnim prilazom obrazlo�zi�cemo uka-zuju�ci na pojavu �sest uglovnih momenata u kvantnoj mehanici. Zatim �cemo analizirati spektardve najva�znije opservable u kvantnoj teoriji op�steg uglovnog momenta: kvadrata vektorskog ope-ratora uglovnog momenta i jedne njegove komponente (po konvenciji z-komponente). Prou�ci�cemoi odnos ova dva spektra, tj. tzv. kompatibilnost vrednosti kvantnih brojeva.6.2.1 Komutacione relacije za operatore orbitnog uglov-nog momentaOrbitni uglovni moment kvantno-mehani�cke �cestice dobija se direktno kvantizacijom klasi�cnevarijable l = r� p. Prema tome, u orbitnom prostoru stanja �cestice H0 imamolx = ypz � zpy; ly = zpx � xpz; lz = xpy � ypx: (6.2.1a,b,c)Zadatak 6.2.1 a) Dokazati da je proizvod dva hermitska operatora hermitski operator ako i samo ako faktorikomutiraju. b) Dokazati da je svaka linearna kombinacija hermitskih operatora sa realnim koe�cijentima hermitskioperator. c) Pokazati da iz a) i b) sledi da je l trojka hermitskih operatora u Hilbert-ovom prostoru H0.Zadatak 6.2.2 Pokazati da iz osnovnih komutacionih relacija opservabli koordinata i impulsa slede komutacionerelacije za komponente uglovnog momenta [ lx; ly ] = {~lz (6.2.2)i analogno za cikli�cne permutacije indeksa x; y; z.

6.2. ALGEBRA KVANTNE TEORIJE OP�STEG UGLOVNOG MOMENTA 179Kompaktnije, (6.2.2) mo�ze da se prepi�se u vidu:[ lq; lq0 ] = {~ Xq00=x;y;z �qq0q00 lq00; (6.2.3)gde q i q0 nezavisno mogu biti x; y; z.Zadatak 6.2.3 Pokazati da iz (6.2.3) sledi l� l = {~l: (6.2.4)Zadatak 6.2.4 Pokazati da va�ze slede�ce komutacione relacije:[ lq; q0 ] = {~ Xq00=x;y;z �qq0q00 q00; (6.2.5)[ lq ; pq0 ] = {~ Xq00=x;y;z �qq0q00 pq00 : (6.2.6)6.2.2 Zna�caj komutacionih relacijaAko pogledamo pobli�ze komutacione relacije (6.2.2), uo�cavamo da komponente lq (q = x; y; z)orbitnog uglovnog momenta l pomno�zene imaginarnom jedinicom, kao �sto se ka�ze, zatvarajuLie-jevu algebru. To u stvari zna�ci da je trodimenzionalni realni prostor koji obrazuju {lx, {ly i{lz zatvoren u odnosu na Lie-jev proizvod, koji je jednak komutatoru operatora.Zna�ci, sa { pomno�zene komponente uglovnog momenta obrazuju Lie-jevu algebru. Mo�ze dase doka�ze stav da je ovakva Lie-jeva algebra (tj. kada je Lie-jev proizvod de�nisan sa (6.2.2))integrabilna u Lie-jevu grupu6.2.1 unitarnih operatora. To �ce re�ci da se uvodenjem odgovaraju�cihLie-jevih parametara, na primer �x; �y i �z iz (6.1.1), i uzimanjem eksponencijalnih funkcijadobija jedna Lie-jeva grupa unitarnih operatora rotacija u Hilbert-ovom prostoru Ho.U stvari mi smo ve�c videli u x 5.1.8 da uglovni moment l generi�se rotacije u klasi�cnoj �zici.U x 5.2.3 i x 5.2.4 videli smo da se ovaj odnos varijabli i transformacija kvantizacijom prenosi ukvantnu mehaniku i da unitarni operator U(�u) u Ho, koji je pridru�zen klasi�cnoj rotaciji R�uglasi e� {~�u�l.Va�zno je ista�ci u vezi sa gornjim stavom o integrabilnosti algebre u grupu da su komutacionerelacije (6.2.2) same za to dovoljne. Fundamentalna paralelnost grupe rotacija s jedne strane(Lie-jeve grupe) i vektorske opservable uglovnog momenta (Lie-jeve algebre) s druge strane,ukazuje na to da komutacione relacije (6.2.2) karakteri�su uglovni moment na dubljem planu negorecimo relacije (6.2.5) i (6.2.6).Kada smo konstruisali orbitni prostor stanja jednodimenzionalne kvantne �cestice u x 2.5, po�slismo od komutacione relacije [ x; px ] = {~ (i nekih minornih plauzibilnih pretpostavki). Na osnovugornje indikacije o zna�caju relacija (6.2.2) i analogije sa konstrukcijom Hx, mi �cemo kvantnuteoriju op�steg uglovnog momenta zasnovati samo na komutacionim relacijama (6.2.2). Vide�cemou ovom odeljku i u odeljcima x 6.3 i x 6.4 kako �ce iz ove, na prvi pogled veoma skromne, postavkeizrasti jedna mo�cna teorija, koja je od velikog zna�caja u kvantnoj mehanici.6.2.1 Za detaljno prou�cavanje Lie-jevih algebri i grupa (kao i dokaz pomenutog stava) mo�ze da poslu�zi izvrsnaknjiga: L.S. Pontr�gin, Nepreryvnye gruppy, Gos. Izd. Tehn. Teor. Lit., Moskva, 1954.

180 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTA6.2.3 Motivacija za uvodenje pojma op�steg uglovnog mo-mentaU klasi�cnoj �zici, pored uglovnog momenta jedne materijalne ta�cke l, postoji i ukupni uglovnimoment sistema od N materijalnih ta�caka: L def= PNn=1 ln. Neke kvantne �cestice, medutim, imajui stepen slobode unutra�snjeg rotacionog kretanja (tzv. spin), kao �sto �cemo videti u odeljku x 6.9.Zahvaljuju�ci toj �cinjenici, u kvantnoj mehanici se umesto 2 pojavljuje 6 uglovnih momenata:orbitni uglovni moment6.2.2 jedne �cestice l; ukupni orbitni uglovni moment sistema �cestica L;spinski uglovni moment jedne �cestice s; ukupni spin sistema �cestica S; ukupni uglovni momentjedne �cestice j = l+ s; i, najzad, ukupni uglovni moment sistema �cestica J = L + S.Pojavljuje se i �sest vrsta rotacija, ali samo jedna od njih ima neposrednog �zi�ckog smisla. Tosu, naravno, rotacije koje odgovaraju J. (U slu�caju jedne �cestice, J = j.)O�cigledno je veoma celishodno da se opredelimo za deduktivni prilaz i da uvedemo pojamop�steg uglovnog momenta, koji �ce da obuhvati svih �sest pomenutih slu�cajeva zadr�zavaju�ci njihovezajedni�cke osobine. Obele�zava�cemo ga sa K.Na osnovu argumentacije kojom smo zavr�sili prethodni paragraf, jasno je da za K trebade�nisati analogon komutacionih relacija (6.2.2) ili (6.2.3):[ Kq; Kq0 ] = {~ Xq00=x;y;z �qq0q00Kq00 ; q; q0 = x; y; z; (6.2.7)a o Hilbert-ovom prostoru H u kome K deluje ne treba ni�sta specijalno pretpostaviti.S druge strane, komutacione relacije (6.2.5) i (6.2.6) izra�zavaju odnos doti�cnog uglovnogmomenta prema osnovnom skupu opservabli r; p, tj. one de�ni�su jedno�cesti�cni orbitni uglovnimoment kao specijalni slu�caj: K = l i H = Ho.Pored pomenutih 6 realizacija za op�sti uglovni moment K postoje jo�s dva analogona od K:izospinski uglovni moment (ili kratko izospin) jedne �cestice t i izospin sistema �cestica T. Njih�cemo detaljno razradivati u glavi 8.6.2.4 Kako na�ci kompatibilne opservableOp�sti uglovni moment de�ni�semo komutacionim relacijama (6.2.7) ili eksplicitno sa:[ Kx; Ky ] = {~Kz; [ Ky; Kz ] = {~Kx; [ Kz; Kx ] = {~Ky : (6.2.8a,b,c)Videli smo u x 6.1.6 da je u Kepler-ovom problemu u klasi�cnoj �zici uglovni moment vektorskiintegral kretanja. Pitamo se da li je ne�sto sli�cno mogu�ce u kvantnoj mehanici.Radi odgovora moramo se podsetiti da se u kvantnoj mehanici tra�ze kompatibilne opservable,koje je mogu�ce istovremeno meriti i koje su predstavljene komutiraju�cim hermitskim operatorima.Po mogu�cnosti nastoji se da se izgradi potpuni skup kompatibilnih opservabli koje �ce svojomzajedni�ckom svojstvenom dekompozicijom razbiti Hilbert-ov prostor H u same pravce (videtix 2.4.2 i x 2.4.3).6.2.2Pridev "orbitni" se u kvantnoj mehanici ba�s i pojavljuje radi razlikovanja od "spinskog" uglovnog momenta(ili rotacionog kretanja koje mu odgovara).

6.2. ALGEBRA KVANTNE TEORIJE OP�STEG UGLOVNOG MOMENTA 181Iz relacija (6.2.8) je o�cigledno da nijedna opservabla uglovnog momenta Kq; q = x; y; z, nijekompatibilna ni sa jednom drugom od njih. Tako na primer, kao �sto odmah sledi iz (6.2.8a) irelacija neodredenosti (4.1.3), imamo nejednakost�Kx�Ky � ~2 jh Kz ij (6.2.9)u bilo kom stanju j i 2 H.Zadatak 6.2.5 Pokazati da se Kx i Ky mogu izmeriti istovremeno sa potpunom precizno�s�cu (tj. sa nultimneodredenostima �Kx = �Ky = 0) ako i samo ako je �zi�cki sistem u stanju j i koje zadovoljava K j i = 0.Zadatak 6.2.6 Pokazati da kvadrat uglovnog momentaK2 def= K2x + K2y + K2z ; (6.2.10)komutira sa svakom komponentom uglovnog momenta[ K2; Kq ] = 0; q = x; y; z ; (6.2.11a)ili, skra�ceno napisano [ K2; Kq ] = 0: (6.2.11b)Na osnovu (6.2.11a) uzimaju se K2 i (po konvenciji ba�s) Kz kao dve osnovne kompatibilneopservable.6.2.5 Jedna nejednakost za o�cekivane vrednostiPre nego �sto pristupimo sistematskom prou�cavanju zajedni�ckog svojstvenog problema od K2 i Kz,napravi�cemo malu devijaciju da doka�zemo jednu nejednakost koja �ce nam pomo�ci da shvatimokoliko se kvantna teorija uglovnog momenta razlikuje od odgovaraju�ce teorije u klasi�cnoj �zici.Lema 6.2.1 a) U proizvoljnom stanju j i 2 H va�zi nejednakost za o�cekivane vrednostih K2 i � h K2q i; q = x; y; z: (6.2.12)b) Za bilo koje q = x; y; z jednakost va�zi ako i samo ako su zadovoljene istovremeno slede�ce trisvojstvene jedna�cine K j i = 0: (6.2.13)Dokaz: a) Treba prvo uo�citi da je svaki sabirak u (6.2.10) pozitivan (po starijoj terminologiji: pozitivno semide-�nitan) operator, tj. operator �cija je o�cekivana vrednost u svakom stanju nenegativna. Naime,h� j K2x j � i = (h� j Kx)(Kx j � i) = kKx j x ik2 � 0; 8 j � i 2 H:Iz toga sledi (6.2.12) (sa skra�cenom notacijom, npr. h K2 i def= h j K2 j i).b) Treba zapaziti da kada sve tri komponente Kq anuliraju j i, to nije u protivure�cnosti sa komutacionimrelacijama (6.2.8a)-(6.2.8c) i to je o�cigledno dovoljan uslov za h K2 i = h K2q i (q = x; y; z). Potrebnost se vidislede�cim rezonovanjem. Ako uzmemo o�cekivanu vrednost u stanju j i svih �clanova jednakosti (6.2.10) i akopretpostavimo da va�zi npr. h K2 i = h K2z i, onda sledi h K2x i = h K2y i = 0 (jer su oba a priori nenegativna).

182 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTAOpet zbog h K2x i = kKx j ik2 itd., i zbog pozitivne de�nitnosti skalarnog proizvoda u H (tj. samo nulti vektorima normu nula), sledi Kx j i = Ky j i = 0, a preko (6.2.8a) i Kz j i = 0, �sto je sve skupa (6.2.13).Q. E. D.Klasi�cno imamo l2 = l2x+ l2y + l2z , a varijable l2q (q = x; y; z) su nenegativne. I klasi�cno je uvekl2 � l2q , 8q i stoga (6.2.12) uop�ste ne iznenaduje. Medutim, klasi�cno uvek posti�zemo jednakost uovoj nejednakosti kada q-tu osu orijenti�semo du�z pravca l. Iskaz b) Leme L 6.2.1 nam otkriva daje to u kvantnom slu�caju mogu�ce samo za trivijalni slu�caj nultog uglovnog momenta. Ina�ce nije,tj. ina�ce uvek va�zi h K2 i � h K2q i. Dakle, za nenulti uglovni moment (ovaj pojam �ce kasnijebiti preciznije de�nisan), osa se nikad ne mo�ze postaviti du�z vektora K. To je svakako posledicaosnovne �cinjenice da Kq (q = x; y; z) uzajamno nisu kompatibilni (za razliku od pq, q = x; y; z,na primer), prema tome vektor k ne de�ni�se osu.6.2.6 Pomo�cni operatori podizanja i spu�stanjaMada K nisu osnovni skup opservabli, sli�cnost sa na�sim prou�cavanjem x; px u Hx (u x 2.5) jedosta velika. Tamo smo uveli pomo�cne operatore pomeranja e� {~xpx, �1 < x <1 (oni su vr�sili"pomeranja" po svojstvenom bazisu od x).U kvantnoj teoriji uglovnog momenta kao analogoni pomeranja uvode se nehermitski (i neu-nitarni) operatori: K+ def= Kx + {Ky; K� def= Kx � {Ky (6.2.14a,b)tzv. operator podizanja, odnosno operator sni�zavanja (vide�cemo ni�ze �sta opravdava ove nazive).Zadatak 6.2.7 a) Dokazati slede�ce komutacione relacije:[ K+; K� ] = 2~Kz; (6.2.15)[ Kz; K+ ] = ~K+; [ Kz; K� ] = �~K�; (6.2.16a,b)[ K2; K+ ] = 0; [ K2; K� ] = 0: (6.2.17a,b)b) Dokazati slede�ce funkcionalne zavisnostiK2 = 12(K+K� + K�K+) + K2z ; (6.2.18)K�K+ = K2 � Kz(Kz + ~); (6.2.19)K+K� = K2 � Kz(Kz � ~): (6.2.20)6.2.7 Postavljanje zadatka istovremene analize dva spek-traKao �sto smo rekli, K2 i Kz su kompatibilne opservable, ali u op�stem slu�caju ne �cine kompletanskup. U konkretnim primenama ove teorije mi �cemo ih dopuniti do potpunog skupa kompatibilnihopservabli i tada �cemo izgraditi zajedni�cki svojstveni bazis celog pomenutog skupa operatora. Prenego �sto �cemo prou�citi svojstvene vrednosti od K2 i Kz kojima odgovaraju zajedni�cki svojstvenivektori ovih operatora, da postavimo na�s zadatak dovoljno precizno.

6.2. ALGEBRA KVANTNE TEORIJE OP�STEG UGLOVNOG MOMENTA 183Pretpostavljamo da K2 i Kz imaju prave zajedni�cke svojstvene vektore. Pisa�cemo6.2.3 ih kaoj km i, a odgovaraju�ce istovremene svojstvene jednakosti u vidu:K2 j km i = k(k + 1)~2 j km i; k � 0; Kz j km i = m~ j km i : (6.2.21a,b,c)Veli�cine ~2 i ~ su jedinice za K2 odnosno Kz, a merni broj svojstvene vrednosti od K2 pi�semo uobliku k(k+1), jer, kao �sto �cemo videti u Teoremu T6.2.1 ni�ze, k uzima jednostavnije vrednostinego �sto su same svojstvene vrednosti od K2.Zadatak 6.2.8 Pokazati da svakom y � 0 obostrano jednozna�cno odgovara k � 0 po formuli y = k(k + 1) i daje y = 0 ako i samo ako je k = 0.Po�sto je K2 pozitivan operator, svaka njegova svojstvena vrednost je nenegativna. Iskaz uZadatku Z 6.2.8 onda opravdava ograni�cenje u nejednakosti (6.2.21b).6.2.8 Pomo�cne formuleFormuli�simo i doka�zimo prve rezultate.Lema 6.2.2 Neka je j km i normiran vektor u H koji zadovoljava (6.2.21).a) Onda je �k � m � k : (6.2.22)b) Ako je uz to jo�s m = k, onda je K+ j km i = 0; (6.2.23)a ako m < k, onda je K+ j km i takode zajedni�cki svojstveni vektor od K2 i Kz iK2(K+ j kmi) = k(k+1)~2(K+ j kmi); Kz(K+ j kmi) = (m+1)~(K+ j kmi); (6.2.24a,b)kK+ j km ik = ~pk(k + 1)�m(m+ 1): (6.2.24c)c) Iz m = �k sledi K� j km i = 0; (6.2.25)a ako je m > �k, onda va�ziK2(K� j km i) = k(k + 1)~2(K� j km i); Kz(K� j km i) = (m� 1)~(K� j km i);(6.2.26a,b)kK� j km ik = ~pk(k + 1)�m(m� 1): (6.2.26c)6.2.3U stvari j kmi def= j km� i, tj. � je ovde ispu�steno radi jednostavnosti; koristi�cemo se njime u slede�cem odeljku.Naime, po�sto u op�stem slu�caju K2 i Kz nisu potpun skup kompatibilnih opservabli, oni sami ne de�ni�su bazis uH. Za sada neodredeno � pokazuje koje svojstvene vrednosti ostalih opservabli u potpunom skupu odgovarajuzajedni�ckom svojstvenom vektoru j km i.

184 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTADokaz: Relacije (6.2.19)-(6.2.21) imaju za posledicuK�K+ j km i = [k(k + 1)�m(m+ 1)]~2 j km i; K+K� j km i = [k(k + 1)�m(m� 1)]~2 j km i: (6.2.27a,b)Prema tome, kK+ j km ik2 = hkm j K�K+ j km i = (k(k + 1)�m(m+ 1))~2; (6.2.28a)kK� j km ik2 = hkm j K+K� j km i = (k(k + 1)�m(m� 1))~2: (6.2.28b)Obratiti pa�znju da je6.2.4 npr. hkm j K�K+ j km i = (hkm j K�)(K+ j km i), a hkm j K� je bra od K+ j km i.Po�sto H ima pozitivno de�nitnu metriku, svi vektori u njemu imaju nenegativnu normu. Imaju�ci to u vidu, iz(6.2.28a), (6.2.28b) zaklju�cujemo da va�ze nejednakostik(k + 1)�m(m+ 1) � 0; k(k + 1)�m(m� 1) � 0: (6.2.29a,b)Lako je videti da od ove dve nejednakosti (6.2.29a) daje ja�ce ograni�cenje na pozitivne vrednosti m, a (6.2.29b)daje ja�ce za negativne vrednosti. Oba ova ograni�cenja mogu da se napi�su u vidu k � jmj (i obratno, iz ovenejednakosti sledi (6.2.29)). Time smo dokazali (6.2.22). Iz (6.2.28a) je o�cigledno da m = k ima za posledicuK+ j km i = 0, �sto dokazuje (6.2.23), dok (6.2.24a) odmah sledi iz komutiranja K2 i K+ (videti (6.2.17a)) i(6.2.21a)-(6.2.21b). Dalje, (6.2.16a) mo�zemo da prepi�semo u vidu KzK+ = K+(Kz + ~), tako da LS od (6.2.24b)i (6.2.21c) odmah daje DS-u od (6.2.24b). Jednakost (6.2.24c) je neposredna posledica (6.2.28a), a (6.2.25) sedobija ako (6.2.28b) prepi�semo u vidu kK� j km ik2 = hkm j K+K� j km i = (k(k + 1) � (�m)((�m) + 1))~2.Dalje, (6.2.26a) sledi iz komutiranja (6.2.17b), dok je (6.2.26b) posledica relacije (6.2.16b) koja ekvivalentno glasi:KzK� = K�(Kz � ~); najzad (6.2.26c) je direktna konsekvenca jednakosti (6.2.28b). Q. E. D.�Citaocu je bez sumnje jasno da relacije (6.2.24b) i (6.2.26b) opravdavaju nazive "operatorpodizanja" za K+, odnosno "operator spu�stanja" za K�.U kvantnoj mehanici je uobi�cajeno da se kvantnim brojevima nazivaju bilo same svojstvenevrednosti opservable, bilo drugi neki realni brojevi koji na obostrano jednozna�can na�cin kore-spondiraju svojstvenim vrednostima (a prostiji su po svojoj prirodi). U kontekstu svojstvenihjednakosti (6.2.21) broj k se naziva kvantni broj uglovnog momenta K (misli se u stvari na K2), am se naziva magnetni kvantni broj (razlog za ovaj termin vide�cemo u opisu Zeeman-ovog efektau x 6.8).6.2.9 Svojstvene vrednosti i njihov odnosSada imamo dovoljno pomo�cnih rezultata da smo u stanju da doka�zemo glavni rezultat ovogodeljka.Teorem 6.2.1 a) Svojstvene vrednosti (iz diskretnog spektra) opservable K2 mogu da se pi�su uvidu k(k + 1)~2, a kvantni broj k mo�ze da bude ceo ili poluceo, tj. jednakj sa nekim brojem izskupa k = 0; 12 ; 1; 32 ; 2; 52 ; 3; ::: (6.2.30)("polucelo" ovde skra�ceno zna�ci: polovina neparnog celog).6.2.4Mo�zda treba da se podsetimo da je operator koji u matri�cnom elementu deluje nalevo (tj. na bra) ekvivalentan(po dualizmu ket-bra) adjungovanom. Po�sto su hermitski operatori samoadjungovani, nalevo deluje ekvivalentniistom operatoru. Medutim, na primer K+ je nehermitski operator, te nalevo deluje kao ekvivalentni njegovomadjungovanom, a prema (6.2.14) je Ky+ = K�.

6.2. ALGEBRA KVANTNE TEORIJE OP�STEG UGLOVNOG MOMENTA 185b) Magnetni kvantni broj m mo�ze da ima samo celu ili polucelu vrednost, tj.m = 0;�12 ;�1;�32 ;�2;�52 ;�3; ::: (6.2.31)c) Ako je j km i normiran vektor koji zadovoljava (6.2.21), magnetni kvantni broj m morada ima jednu od slede�cih vrednosti:m = �k;�k + 1;�k + 2; :::; k � 1; k : (6.2.32)Dokaz: Pretpostavimo opet da je j km i normiran vektor u H koji zadovoljava (6.2.21). Formirajmo nizK+ j km i; K2+ j km i; :::; Kp+ j km i; (6.2.33)gde je p prirodan broj. Pretpostavimo prvo (koristimo se tzv. ad absurdum | ka apsurdnom | rezonovanjem)da nijedan vektor u (6.2.33) nije nula, ma koliko veliki da je broj p. Onda su to, na osnovu (6.2.24b), sve svojstvenivektori od Kz sa odgovaraju�cim svojstvenim vrednostima:(m+ 1)~; (m+ 2)~; :::; (m+ p)~: (6.2.34)Po�sto je k �ksirano (izborom vektora j kmi), a p je proizvoljno veliko, mo�zemo posti�cim+p � k u kontradikciji sa(6.2.22). Prema tome, ako je p dovoljno veliko, po�cev od nekog vektora svi �clanovi niza (6.2.33) moraju biti nule.Fiksirajmo p tako da su svi vektori u (6.2.33) nenulti, a ve�c slede�ci da je nula, tj. Kp+1+ j km i = 0. O�cigledno jeiz Leme L 6.2.2 i (6.2.33) da je onda nu�zno m+ p = k: (6.2.35a)Operator K� ima osobine koje su potpuno simetri�cne osobinama K+ (iskazi Leme L 6.2.2 su simetri�cni u pogleduta dva operatora), te potpuno analognim rezonovanjem niz K� j km i; K2� j km i; :::; Kq� j km i sa odgovaraju�cimsvojstvenim vrednostima (m� 1)~; :::; (m� q)~ operatora Kz dovodi dom� q = �k: (6.2.35b)Oduzimaju�ci (6.2.35b) od (6.2.35a), dobijamo p+ q = 2k: (6.2.36)Po�sto su p i q celi brojevi, 2k mora biti ceo broj. Time je dokazano tvrdenje a), tj. (6.2.30). Po�sto je p ceo broj,iz (6.2.35a) se vidi da je m iste celobrojnosti kao k, tj. ako je k ceo broj, onda je i m ceo broj, ako je k poluceo,onda je i m poluceo (ali ne mora biti nenegativan). Imaju�ci u vidu ve�c dokazanu relaciju (6.2.30), u stvari smodokazali iskaz b) Teorema, tj. (6.2.31). Iz �cinjenice da je m iste celobrojnosti kao k i iz (6.2.22) odmah sledi(6.2.32), tj. iskaz c). Q. E. D.6.2.10 Kriti�cki komentarProdiskutujmo ograni�cenja iz Teorema T6.2.1, tj. �sta nismo dokazali. Teorem T6.2.1 daje samopotrebne uslove, drugim re�cima, on samo zabranjuje da k ima neku drugu vrednost od onih kojesu nabrojane u (6.2.30), da m ima drugu vrednost od nabrojanih u (6.2.31) i da kvantni brojevik im koji se susretnu u zajedni�ckom svojstvenom vektoru j kmi budu u ikakvom drugom odnosunego �sto je taj koji je dat u (6.2.32). Teorem T6.2.1 ne daje nijedan dovoljan uslov, ne tvrdini�sta pozitivno (tj. ni�sta �sto nije poricanje).Mi i dalje ne znamo koje svojstvene vrednosti jedan konkretan zadati K2 ima u H i analognoza Kz. Za davanje odgovora na ova pitanja teorija op�steg uglovnog momenta je nemo�cna. Za toje potrebno iskoristiti znanje o konkretnoj prirodi vektorske opservable K.Medutim, jedan pozitivan iskaz se ipak mo�ze tvrditi na osnovu na�sih rezultata i njime �cemodopuniti Teorem T6.2.1 u slede�cem paragrafu.

186 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTA6.2.11 Multiplet zajedni�ckih svojstvenih vektoraTeorem 6.2.2 Ako u H postoji normiran zajedni�cki svojstveni vektor j km i koji zadovoljava(6.2.21), onda u H nu�zno postoji 2k + 1 zajedni�ckih svojstvenih vektora, ceo tzv. multipletj k;m = �k i; j k;m = �k + 1 i; :::; j k;m = k � 1 i; j k;m = k i (6.2.37)dozvoljen izrazom (6.2.32).Dokaz: Iz (6.2.33) i (6.2.24) i analognih relacija sa stepenima od K� odmah sledi da mo�zemo da konstrui�semoslede�ci kona�cni niz vektoraj k;m = �k i def= Kq� j km i; j k;m = �k + 1 i def= Kq�1� j km i; ::::::; j k;m = k � 1 i def= Kp�1+ j km i; j k;m = k i def= Kp+ j km i;gde je m� q = �k i m+ p = k. Iz (6.2.24c) i (6.2.26c) se mo�ze zaklju�citi da su svi ovi vektori razli�citi od nule.Q. E. D.Vra�caju�ci se na ono �sto nismo dokazali u ovom odeljku, istaknimo da je isklju�civo bilo re�cio diskretnom spektru K2 i Kz, po�sto smo uvek polazili od pretpostavke da je dat j km i sah km j kmi = 1. Zna�ci, na�si rezultati ne isklju�cuju mogu�cnost postojanja i kontinualnog spektrapomenutih opservabli; �sta vi�se, �cak i ne garantuju postojanje diskretnog spektra (sve je "ako,onda"). Medutim, ispostavi�ce se u odeljcima ni�ze da K2 i Kz u svim slu�cajevima od interesa ukvantnoj mehanici imaju �cisto diskretan spektar6.2.5.Napomenimo, na kraju, da u svim rezultatima ovog odeljka bilo Kx bilo Ky mogu u potpunostida zamene Kz i da dobijemo analogne rezultate mutatis matandis. To je, naravno, posledica�cinjenice da se Kx i Ky odnose prema K2 na potpuno simetri�can na�cin u odnosu na Kz i K2,kao �sto se �citalac mo�ze lako uveriti.6.3 Geometrija kvantne teorije op�steg uglovnog momentaKvantna teorija uglovnog momenta ima mnogo toga da ka�ze na jeziku invarijantnih potprostoraili invarijantnih dekompozicija prostora stanja. To s jedne strane dopunjava rezultate o spektruK2 i Kz, daju�ci ne samo zajedni�cke svojstvene vektore ove dve opservable, ve�c i va�zne potprostoreza K kao celinu. S druge strane, isti potprostori imaju veliku va�znost za bilo koji linearni operatorkoji komutira sa K.Tako �ce detaljno prou�cavanje pomenutih potprostora, �cemu je posve�cen ovaj odeljak, osposo-biti �citaoca da bolje razume primenu kvantne teorije uglovnog momenta kojom �cemo se koristitiu narednim glavama.6.3.1 Osnovne dekompozicije prostora stanjaPretpostavi�cemo (za ceo odeljak) da K2 ima �cisto diskretan spektar. Svojstveno razlaganjeHilbert-ovog prostora H po K2, tj. razlaganje H na svojstvene potprostore od K2, pisa�cemo uvidu6.3.1: H = �kVk : (6.3.1)6.2.5U stvari, to je matemati�cki op�sti slu�caj, jer su sve ireducibilne reprezentacije grupe SU(2), pa prema tome irotacione grupe koju generi�se K kona�cno dimenzionalne.

6.3. GEOMETRIJA KVANTNE TEORIJE OP�STEG UGLOVNOG MOMENTA 187Oznaka � se odnosi na ortogonalni zbir potprostora. Kvantni broj k ne uzima unapred odredenskup vrednosti u op�stem slu�caju, ve�c one zavise od konkretne prirode vektorske opservable K.Zadatak 6.3.1 Pokazati da je svaki svojstveni potprostor Vk od K2 invarijantni prostor6.3.2 za K.Razlaganje (6.3.1) je, kako se ka�ze, invarijantna dekompozicija prostora stanja. To zna�ci da jesvaki sabirak invarijantan potprostor za K. Treba dobro zapaziti da je re�c o relativnom pojmu:o invarijantnoj dekompoziciji u odnosu na K.Neka je k proizvoljna �ksirana vrednost kvantnog broja uglovnog momenta koja se pojavljujeu H (tj. za koju se Vk 6= 0 pojavljuje u (6.3.1)). Izvr�simo svojstvenu dekompoziciju od Vk kojaodgovara opservabli Kz (kompatibilnoj sa K2, kao �sto smo videli):Vk = �km=�kVkm ; (6.3.2)gde je Vkm zajedni�cki svojstveni potprostor od K2 i Kz, koji odgovara svojstvenim vrednostimak(k+1)~2 odnosno m~. Za razliku od (6.3.1), u (6.3.2) znamo da imamo 2k+1 sabiraka, tj. dam = �k;�k + 1; :::; k, a u to smo sigurni na osnovu Teorema T6.2.2.6.3.2 Jednakost dimenzija potprostora VkmObele�zimo sa dk dimenziju potprostora Vk;m=k:dk def= dimVk;m=k; (6.3.3)jasno, dk mo�ze biti ceo pozitivan broj ili potencija prebrojivo beskona�cnog skupa, @0 (tzv. alefnula, uporediti 2.1.4).Lema 6.3.1 Dimenzija potprostora Vkm ne zavisi od m, tj. dimVkm = Vkk = dk, m = �k; :::; k.Dokaz: Neka je fj k;m = k; � ij� = 1; :::; dkg proizvoljan bazis u Vk;m=k (� prebrojava bazisne elemente, k i msu �ksirani). Vi�sestrukom primenom operatora K� na j k;m = k; � i mo�zemo da konstrui�semo vektore (kao udokazu Teorema T6.2.2): j km� i def= Cm�Kk�m� j k;m = k; � i; m = �k; :::; k; (6.3.4)gde su Cm� pozitivne normalizacione konstante (po�sto dobijeni vektori nisu nu�zno normirani), a K0� = I . Za bilokoju vrednost m = �k;�k + 1; :::; k � 1 imamo:h km� j km�0i = C 0m�C 0m�0 hk;m+ 1; � j K+K� j k;m+ 1; �0 i= C 0m�C 0m�0 (k(k + 1)� (m+ 1)m)~2h k;m+ 1; � j k;m+ 1; �0i: (6.3.5)6.3.1Da nismo pretpostavili da K2 ima �cisto diskretan spektar, imali bismo umesto (6.3.1) formulu Hd = �kVk, aH = Hd�Hk bi bilo razlaganje H na potprostor Hd, koji obrazuju pravi svojstveni vektori od K2, i na Hk, koji jeortogonalni komplement od Hd, tj. potprostor koji odgovara kontinualnom spektru od K2 (uporediti (2.3.12a)).Pomenuta pretpostavka je u stvari bila nagove�staj �cinjenice da je nu�zno Hk = 0 (uporediti primedbu 6.2.5).6.3.2Podsetimo se da je invarijantni potprostor za K potprostor u H takav da za svaki njegov vektor j x i i likoviKq j x i; q = x; y; z pripadaju tom potprostoru; drugim re�cima, nijedan od pomenutih operatora ne izbacujevektore iz tog potprostora.

188 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTAPodsetimo se opet da je hk;m+ 1; � j K+ bra od K� j k;m+ 1; � i, a C 0m� i C 0m�0 su neke, za nas neva�zne,konstante; u poslednjem koraku smo iskoristili funkcionalnu zavisnost (6.2.20). Iz (6.3.5) je o�cigledno da orto-gonalnost h k;m = k; � j k;m = k; �0i = 0 za � 6= �0 (po na�soj stalnoj konvenciji, pod bazisom u Vk;m=k sepodrazumeva ortonormirani bazis) ima za posledicu h k;m = k� 1; � j k;m = k� 1; �0i = 0, a ovo sa svoje stranepovla�ci ortogonalnost odgovaraju�cih vektora u Vk;m=k�2 itd., sve do potprostora Vk;m=�k. To zna�ci da u svakompotprostoru Vkm imamo dk nenultih ortogonalnih vektora j km� i (uporediti dokaz Teorema T6.2.2). Stoga svakiVkm, m = �k; :::; k � 1, ima dimenziju bar dk. Da nijedan Vkm; m = �k; :::; k � 1 nema dimenziju ve�cu od dksledi iz simetri�cne uloge koju igraju K+ i K�. Naime, mogli bismo po�ci od Vk;m=�k i vi�sestrukom primenom K+preslikati bazis iz Vk;m=�k u takode ortogonalni skup nenultih vektora u Vkm, m = �k + 1; :::; k. Q. E. D.6.3.3 Standardan bazisIz dokaza Leme L 6.3.1 proizlazi da proizvoljni bazis u Vk;m=k putem (6.3.4) generi�se bazis ucelom prostoru Vk (samo treba da se izra�cunaju konstante).De�nicija 6.3.1 Standardni bazis za K u H dobija se na slede�ci na�cin: neka je za svako k jedanproizvoljan bazis u Vk;m=k ozna�cen sa fj k;m = k; � i j � = 1; 2; :::; dkg. Iz vektora tog bazisakonstrui�semo nove vektorej km� i def= ~m�ks (k +m)!(2k)!(k �m)!Kk�m� j k;m = k; � i (6.3.6)u svim potprostorima Vkm, m = k � 1; k � 2; :::;�k.Treba zapaziti da je fazni faktor svakog bazisnog vektora j k;m = k; � i, � = 1; 2; :::; dk,proizvoljan, a fazni faktori svih ostalih j km� i; m � k, jednozna�cno slede iz (6.3.6).Zadatak 6.3.2 Pokazati da iz (6.2.26c) sledi normalizacioni faktor za j km� i kao �sto je napisano u (6.3.6).(Indikacija: Dokazati prvo identitet: k(k + 1)�m(m� 1) = (k +m)(k �m+ 1).)De�nicija standardnog bazisa (6.3.6), koja, naravno, pretpostavlja i va�zenje osnovnih svoj-stvenih jednakosti (6.2.21) je konstruktivna; to �ce re�ci, ona daje algoritam konstrukcije vektoradoti�cnog bazisa. �Cesto je pogodnija ekvivalentna de�nicija multipleta standardnog bazisa koju�cemo dati ni�ze (u Zadatku Z 6.3.6). Tre�cu ekvivalentnu de�niciju izrazi�cemo pomo�cu transfor-macionih osobina bazisa pod rotacijama (videti ispod (6.4.5)).Standardan podbazis u Vk je, kako se ka�ze, adaptiran na dekompoziciju potprostora (6.3.2).To �ce re�ci da se ovaj podbazis mo�ze grupisati u manje podbazise koji obrazuju pojedine sabirkeVkm. O�cigledno fj km� ij� = 1; 2:::g, m = �k; :::; k su ti podbazisi.Pa�zljivi �citalac je po svoj prilici uo�cio da je standardan bazis adaptiran i na jednu drugudekompoziciju od Vk: Vk = �dk�=1Vk� ; (6.3.7)gde podbazis fj km� ijm = �k; :::; kg | ono �sto zovemo multipletom | obrazuje (2k + 1)-dimenzionalni potprostor Vk�, � = 1; :::; dk.

6.3. GEOMETRIJA KVANTNE TEORIJE OP�STEG UGLOVNOG MOMENTA 1896.3.4 Dijagram "ormar sa �okama"Da bi izlo�zena geometrija dva "unakrsna" razlaganja svojstvenog potprostora Vk operatora K2bila lak�se razumljiva, uvodimo na Crte�zu C6.2 dijagram, koji mo�zemo �saljivo nazvati "ormar sa�okama".Dijagramatski (6.3.2) predstavlja razlaganje pravougaonika (Vk) na vrste ili "�oke" (Vkm), a(6.3.7) je razlaganje pravougaonika na kolone (Vk�). Zajedno, ova dva razlaganja dekomponuju Vkdo pravaca, koji su na dijagramu predstavljeni kvadrati�cima (ovi pravci su, naravno, ortogonalni).Vrste Vkm su oivi�cene neprekidnim linijama, �sto odra�zava �cinjenicu da su Vkm jednozna�cnode�nisani6.3.3 operatorom K. Kolone Vk�, medutim, oivi�cene su isprekidanim vertikalnim crtama.To treba da nas podseti na �cinjenicu da iz zadatog K uop�ste ne proisti�ce kako treba de�nisatipotprostore Vk�. Kao �sto smo videli, njih u stvari dobijamo savr�seno proizvoljnim izborom bazisau Vk;m=k. (Mogli bismo uzeti bilo koji drugi Vkm umesto Vk;m=k za ovu svrhu.)Zadatak 6.3.3 Pokazati da je svaki Vk� invarijantan potprostor za K, a da nijedan Vkm to nije (osim ako jek = 0).� � � �� � � �� � � �

dk2k + 1 Vk;m=k6?

-� �66 Vk;�=1 itd.Vk;m=k�1�

Vk;�=2 itd.Slika 6.2: Ormar sa �okama. Ceo pravougao-nik je Vk, m-ta vrsta ili "�oka" je Vkm, a kolona� je Vk�. Svaki kvadrat je jednodimenzionalnipotprostor, razapet vektorom j km� i (ta�cka ukvadratu).

Dakle, kolone Vk� su invarijantni potpro-stori za sam vektorski operator uglovnog mo-menta K, ba�s kao i ceo Vk. Name�ce se pitanjeda li se pojedini Vk� mogu jo�s vi�se usitniti, najo�s manje invarijantne potprostore za K. Od-govor je negativan. Ka�ze se da su potprostoriVk� ireducibilni ili nesvodivi, �sto zna�ci da nesadr�ze nijedan netrivijalni (tj. razli�cit od nul-tog i celog Vk�) invarijantan potprostor za K.Ovo o�cigledno sledi iz delovanja K+ i K� (upo-rediti Teorem T6.2.2).Kao �sto sugeri�se dijagram "ormar sa�okama", razlaganja potprostora Vk =�km=�kVkm i Vk = �dk�=1Vk� su, kako se ka�ze,kompatibilna. Naime, uvek mo�ze da se pi�seVk = Vk \ Vk = (�km=�kVkm) \ (�dk�=1Vk�);ali pri tome va�zi i (dvostruka) distributivnost,karakteristi�cna samo za tzv. kompatibilna razlaganja:Vk = �m;�(Vkm \ Vk�): (6.3.8)Potprostori VkmTVk� su jednodimenzionalni, to su kvadrati�ci na dijagramu.Kompatibilnost je lak�se razumeti na jeziku opservabli. Potprostori Vkm su svojstveni pot-prostori od Kz. Pretpostavimo da postoji jedna opservabla A u H takva da za svako k ona6.3.3De�nicija od K uklju�cuje izbor koordinatnih osa. Ako bismo rotacijom promenili ove ose, promenili bi se ioperatori Kq (q = x; y; z), te i potprostori Vkm (ali ne K2, pa ni potprostori Vk).

190 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTAodreduje dekompoziciju Vk = ��Vk� kao svoju svojstvenu dekompoziciju. Drugim re�cima, nekase opservabla A mo�ze napisati u slede�coj spektralnoj formiA =Xk X� ak� kXm=�k j km� ihkm� j : (6.3.9)Lako se vidi (po delovanju na standardni podbazis u Vk) da A komutira sa K, stoga i sa K2 iKz i, zna�ci, redukuje se6.3.4 u svakom potprostoru Vk i Vkm.U stvari kompatibilnost opservabli A i Kz je ekvivalentna relaciji (6.3.8) i predstavlja su�stinukompatibilnosti pomenutih dekompozicija od Vk. Po�sto K2 i Kz ne �cine u op�stem slu�caju potpunskup kompatibilnih opservabli, mo�zemo ih dopuniti opservablom A.6.3.5 Vektorska matrica op�steg uglovnog momentaLema 6.3.2 Vektorski operator op�steg uglovnog momenta K se u standardnom bazisu reprezen-tuje vektorskom matricom K, pri �cemu matri�cni elementi glase:(Kz)km�;k0m0�0 def= hkm� j Kz j k0m0�0 i = m~Ækk0Æmm0Æ��0 ; (6.3.10)(Kx)km�;k0m0�0 def= hkm� j Kx j k0m0�0 i = ~2pk(k + 1)�mm0Ækk0Æ��0(Æm;m0+1+ Æm;m0�1); (6.3.11)(Ky)km�;k0m0�0 def= hkm� j Ky j k0m0�0 i = ~2{pk(k + 1)�mm0Ækk0Æ��0(Æm;m0+1�Æm;m0�1): (6.3.12)Dokaz: Formula (6.3.10) o�cigledno sledi iz �cinjenice da je j k0m0�0 i svojstveni vektor od Kz i to sa svojstvenomvredno�s�cu m0~ (zbog Kronecker-ovog simbola mo�zemo staviti m umesto m0). Formule (6.3.11) i (6.3.12) suneposredna posledica operatorskih relacijaKx = 12(K+ + K�); Ky = 12{(K+ � K�) (6.3.13a,b)(uporediti (6.2.14)), kao i oblika matri�cnih reprezentanata za K+ i K� u standardnom bazisu:(K+)km�;k0m0�0 def= hkm� j K+ j k0m0�0 i = ~pk(k + 1)�mm0Ækk0Æ��0Æm;m0+1; (6.3.14a)(K�)km�;k0m0�0 def= hkm� j K� j k0m0�0 i = ~pk(k + 1)�mm0Ækk0Æ��0Æm;m0�1: (6.3.14b)Jednakost (6.3.14b), sa svoje strane, neposredno sledi iz (6.3.6), a (6.3.14a) se dobija adjungovanjem matrice K�.Q. E. D.Zadatak 6.3.4 Dokazati poslednja dva iskaza.Istaknimo ponovo da se K+ i K�, kao i Kq (q = x; y; z) redukuju6.3.5 u svakom potprostoruVk.6.3.4Redukovanje nekog operatora A u nekom potprostoru V je u stvari sinonim za invarijantnost V za A. Ipaktermin "redukovanje" sadr�zi malu emfazu na tu okolnost da A, ne izbacuju�ci nijedan vektor iz V , u stvari indukujejedan operator AV u V (koji u V deluje isto kao A, ali domen mu je ograni�cen na V).6.3.5Pojam redukovanja je lako razumeti na matri�cnom jeziku. Uzmimo u H bazis adaptiran na dekompozicijuH = V�V? i reprezentujmo operator A u tom bazisu matricom A. Invarijantnost potprostora V i V? ogleda�ce seu tzv. kvazidijagonalnoj formi A = �AV 00 AV? � : Redukcija u V onda zna�ci da se umesto A uzima podmatricaAV .

6.3. GEOMETRIJA KVANTNE TEORIJE OP�STEG UGLOVNOG MOMENTA 191Zadatak 6.3.5 Pokazati da se (6.3.14a) i (6.3.14b) mogu prepisati u formi (dvostruke) jednakosti:K� j km� i =pk(k + 1)�m(m� 1)~ j k;m� 1; � i: (6.3.14c,d)Zadatak 6.3.6 Pokazati da (6.3.14c) i (6.3.14d) zajedno sa svojstvenim jednakostima (6.2.21), mogu da poslu�zekao druga de�nicija multipleta (podbazisa) standardnog bazisa za K, jer su ekvivalentne konstruktivnoj formuli(6.3.6) (uz (6.2.21)).Treba obratiti pa�znju na vid matricaKz, Kx iKy datih sa (6.3.10)-(6.3.12). Kz je dijagonalnamatrica, a druge dve su kvazidijagonalne (one su po jednostavnosti odmah do dijagonalnih). Vrstei kolone prebrojavamo sa po tri indeksa. Uzmimo ih u poretku k�m (ne kao u (6.3.10)-(6.3.12))i varirajmo ih alfabetskim redom (prvo variramo samo m �ksirav�si k i � itd.). Onda na Crte�zuC6.3A vidimo �sta zna�ci kvazidijagonalnost (recimo matrice Kx).0BBBBB@ 0 0 0 � � �0 0 0 � � �0 0 0 � � �... ... . . . . . . . . .

1CCCCCA0BBBBBBBBBBBB@

0 0 0 0 � � �0 0 0 0 � � �... . . . . . . . . . ... � � �0 0 0 0 � � �0 0 0 0 ...... ... ... ... . . . . . .1CCCCCCCCCCCCAA) B)Slika 6.3: Dijagonalizacija matrica uglovnog momenta.Svi matri�cni elementi od Kx su nule, osim (mo�zda) unutar kvadratnih podmatrica na dijago-nali (izra�zene kvadrati�cima na Crte�zu C6.3). Ove podmatrice odgovaraju �ksiranim k i � (istimza vrste i kolone po�sto su na dijagonali), a unutar njih elemente prebrojava m (i vrste i kolone),tj. one su tipa (2k+1)�(2k+1). (�Sto se ti�ce svrhe Crte�za C6.3B), videti kraj paragrafa x 6.3.7.)Zadatak 6.3.7 Ispisati eksplicitno matricu Kx pod pretpostavkom da k uzima vrednosti 12 i 32 , a da � uzimasamo po jednu vrednost za oba k, tako da ga mo�zemo izostaviti.6.3.6 Matemati�cki podsetnik | ekvivalentni operatoriNeka su V i V 0 dva izomorfna Hilbert-ova prostora ili potprostora jednog Hilbert-ovog prostoraH. Kao �sto je poznato, za izomorfnost je potrebna i dovoljna jednaka dimenzionalnost V i V 0.Neka su A i A0 operatori de�nisani u V odnosno u V 0. Za takva dva operatora se ka�ze dasu ekvivalentni ako postoji izomor�zam J potprostora V na V 0 koji, transformacijom sli�cnosti,prevodi A u A0: A0 = J AJ �1: (6.3.15)

192 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTAJednakost (6.3.15) zna�ci da se delovanje operatora A, A j x i =j y i (j x i; j y i 2 V) prevodi u(J AJ �1)J j x i = J j y i $ A0(J j x i) = J j y i. Vi�se opisno, ka�ze se da A i A0 jednako delujuu V odnosno u V 0 ("jednakost" ostvaruje J ).Za primenu pojma ekvivalentnosti dva operatora va�zni su slede�ci stavovi.Stav 6.3.1 Operator A u prostoru V i operator A0 u izomorfnom prostoru V 0 su ekvivalentniako i samo ako postoji po jedan bazis u V i V 0, tako da se A i A0 u njima reprezentuju istommatricom A. Naime, kada je to slu�caj, onda se izomor�zam J u (6.3.15) mo�ze de�nisati timparom bazisa, tj. zahtevom da J prevodi doti�cni bazis iz V u doti�cni bazis u V 0. I obratno, akoimamo izomor�zam J : V ! V 0, takav da je (6.3.15) zadovoljeno, onda uzimaju�ci proizvoljanbazis u V kao prvi, a njegov lik po J kao drugi bazis, matrica koja reprezentuje A u prvom bazisuje nu�zno jednaka matrici koja reprezentuje A0 u drugom bazisu.Stav 6.3.2 Ako su A u V i A0 u V 0 ekvivalentni operatori, onda oni imaju identi�can spektar(sa jednakom degeneracijom istih svojstvenih vrednosti, kako diskretnih tako i kontinualnih), aizomor�zam J koji zadovoljava (6.3.15) preslikava svaki svojstveni potprostor od A na svojstvenipotprostor od A0 koji odgovara istoj svojstvenoj vrednosti.6.3.7 Redukcija uglovnog momenta KTeorem 6.3.1 Neka su Kk�, � = 1; 2; :::; dk, vektorski operatori u koje se K redukuje u pojedi-nim svojim ireducibilnim invarijantnim potprostorima Vk�. Onda su svi Kk�, � = 1; 2; :::; dk za�ksirano k uzajamno ekvivalentni. U tom smislu Vk je vi�sestruki (u stvari dk-struki) ireducibilniinvarijantni potprostor za K, odreden kvantnim brojem k.Dokaz: Fiksirajmo dva proizvoljna potprostora Vk�1 i Vk�2 , �1 6= �2 (dve kolone na dijagramu "ormar sa�okama"). U Vk�1 imamo podbazis standardnog bazisa fj km�1 i j m = �k; :::; kg i analogno u Vk�2 .Pogledajmo sad matricu K datu sa (6.3.10)-(6.3.12). Jasno je da redukciji operatora K u operatore Kk�1 i Kk�2u potprostorima Vk�1 odnosno Vk�2 na matri�cnom jeziku odgovara ograni�cavanje na podmatrice u K, i to naone koje se dobijaju �ksiranjem k = k0, � = �0 = �1, odnosno k = k0, � = �0 = �2. To su (2k + 1) � (2k + 1)podmatrice Kk�1 i Kk�2 (vrste i kolone prebrojava m) na dijagonali od K.Uo�cimo da su pomenute podmatrice nezavisne od �, tj. redukovani operatori Kk�1 i Kk�2 se jednako reprezentujuu podbazisu fj km�1 ijm = �k; :::; kg odnosno fj km�2 ijm = �k; :::; kg. Na osnovu Stava S 6.3.1 time je dokazaniskaz Teorema T6.3.1. Q. E. D.Ako de�ni�semo izomor�zam J potprostora Vk�1 na Vk�2 pomo�cu odgovaraju�cih multipleta izstandardnog bazisa: J j km�1 i =j km�2 i; m = �k; :::; k, onda dobijamoKk�2 = J Kk�1J �1 (6.3.16)(u stvari J zavisi od izbora vrednosti za k; �1; �2).Sad je jasno da dekompozicija H = �k �dk�=1 Vk� (6.3.17)ne samo da rastavlja H na potprostore koji su invarijantni i ireducibilni za K, tj. predsta-vlja maksimalnu invarijantnu dekompoziciju od H �sto se ti�ce K, nego imamo i ekvivalentnostredukovanih operatora Kk�, � = 1; :::; dk u potprostorima Vk�.

6.3. GEOMETRIJA KVANTNE TEORIJE OP�STEG UGLOVNOG MOMENTA 193Na jeziku matrica Kz, Kx i Ky ((6.3.10)-(6.3.12)), Teorem T6.3.1 ka�ze samo to da su pod-matrice (na dijagonali) koje odgovaraju �ksiranom k a razli�citim � (videti Crte�z C 6.3B), svejednake medu sobom. Na Crte�zu C6.3B) nizove od po dk jednakih podmatrica na dijagonali pre-brojava k, unutar tih nizova same jednake podmatrice prebrojava �, a unutar svake podmatricematri�cne elemente prebrojava m (i vrste i kolone).6.3.8 Redukcija opservable kompatibilne sa KName�ce se pitanje �sta u stvari zna�ci ova vi�sestrukost (tj. dk-strukost) koja se pojavljuje u na�simrezultatima; bolje re�ci, ima li od nje (ili pak od "�oka" "ormara sa �okama") ikakve koristi.Pozitivan odgovor daje nam slede�ci rezultat.Teorem 6.3.2 Neka je A linearni operator koji komutira sa K, tj.[ A; K ] = 0: (6.3.18)Onda se A redukuje u svakom potprostoru Vkm, m = �k; :::; k. Neka se A u Vkm redukuje u Akm.Za �ksirano k svi su Akm uzajamno ekvivalentni.Dokaz: Kao �sto znamo, podbazis fj km� i j � = 1; :::; dkg je bazis u Vkm. Iz K2(A j km� i) = AK2 j km� i =k(k + 1)~2(A j km� i) i iz analogne jednakosti za Kz sledi da A ne mo�ze da izbaci nijedan vektor navedenogpodbazisa iz potprostora Vkm, drugim re�cima potprostor Vkm je invarijantan za A. Time je prvi iskaz TeoremaT6.3.2 dokazan.Da bismo u narednom rezonovanju radi lak�se prezentacije izbegli Dirac-ovu notaciju, prepi�simo vektore standard-nog bazisa u vidu: km� def= j km� i.Fiksirajmo dva proizvoljna potprostora Vkm1 i Vkm2 , m2 > m1. De�ni�simo izomor�zam J prvog na drugijednakostima: J km1� = km2� , J�1 km2� = km1�; � = 1; :::; dk: (6.3.19a,b)Na osnovu konstrukcije standardnog bazisa znamo da jeJ = Ckm1m2Km2�m1+ (6.3.19c)(gde je Ckm1m2 za nas sad neva�zna konstanta) uz ograni�cenje domena operatora na DS-i na Vkm1 . Uzmimo ��0-timatri�cni element u matrici koja reprezentuje redukovani operator Akm1 :(Akm1)��0 = h km1� j A j km1�0 i = (J �1 km2�; AJ �1 km2�0):Vidi se iz (6.3.19a) da je J izometri�cki operator, tj. da odr�zava skalarni proizvod (pri preslikavanju Vkm1 naVkm2). Prema tome, u poslednjem skalarnom proizvodu na oba faktora mo�zemo da primenimo J da bismo dobili(Akm1 )��0 = ( km2�; J AJ�1 km2�0):Iz (6.3.19c) i (6.3.18) je jasno da J i A komutiraju, tj. J AJ �1 = A. Zato(Akm1 )��0 = (Akm2 )��0 ; � = 1; :::; dk; (6.3.20)i pri tome su m1 i m2 bilo koje dve vrednosti magnetnih kvantnih brojeva (od 2k + 1 mogu�cih).Na osnovu Stava S 6.3.1, (6.3.20) dokazuje da su Akm1 i Akm2 ekvivalentni operatori. Q. E. D.Zadatak 6.3.8 Izvesti dokaz kra�ce, preko spektralnih formi Akm.

194 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTANeka je operator A koji zadovoljava (6.3.18) predstavljen matricom A u standardnom bazisuza K. Tri indeksa kojima prebrojavamo vrste i kolone poredajmo kao km� (ne k�m kao zareprezentovanje K). Onda Teorem T6.3.2 ka�ze da �cemo dobiti kvazidijagonalnu matricu A, koja�ce na dijagonali imati po 2k + 1 jednakih dk � dk podmatrica. Zna�ci, A ima formu kao naCrte�zu C6.3B) (samo �sto su uloge od � i m uzajamno zamenjene): k prebrojava nizove jednakihpodmatrica na dijagonali,m prebrojava jednake podmatrice unutar niza, a � prebrojava matri�cneelemente unutar svake podmatrice.Najva�zniji je slu�caj kada je operator A koji zadovoljava (6.3.18) opservabla. Onda iz TeoremaT6.3.2 i iz gornjeg Stava S 6.3.2 sledi da svi redukovani operatori Akm, m = �k; :::; k, imaju istispektar. Stoga je dovoljno za svako k taj spektar izra�cunati recimo samo u Vk;m=k (u ostalim"�okama" nalazi se isto). Kao �sto �cemo videti u odeljku x 8.1, ovo je naro�cito zna�cajno za slu�cajkada je A hamiltonijan kvantnog sistema.Napomena 6.3.1 U principu mogu�ce je opservablu A koja komutira sa K izabrati tako da je Ak;m=k,8k kompletna opservabla sa �cisto diskretnim spektrom. Onda A mo�ze da de�ni�se dodatni kvantni broj� i za nju va�zi (6.3.9). K2, Kz i A �cine onda potpuni skup kompatibilnih opservabli.6.3.9 Rezime o dekompozicijama od VkZa dijagram na Crte�zu C6.2 uveli smo naziv "ormar sa �okama" imaju�ci u vidu prvenstvenonjegove "�oke". One su namenjene opservablama A koje su kompatibilne sa K (ali mogu biti itransformacije simetrije ili op�stiji operatori), tj. za primenu kvantne teorije uglovnog momentana izu�cavanje takvih opservabli. Dekompozicija na "�oke" dodu�se nije maksimalna invarijantnadekompozija za A, ali je ipak od velike koristi.Ako na istom dijagramu usredsredimo pa�znju na kolone, onda imamo neku vrstu vertikalnih"segmenata ormara", koji su namenjeni samoj teoriji operatora K. To su ireducibilni invarijantnipotprostori za K, zna�cajni zato �sto daju minimalne delove Kk� od K.Dok su "�oke" jednozna�cno odredene �ksiranjem koordinatnog sistema, "se�cenje" na "seg-mente" je potpuno van teorije uglovnog momenta. Da bi se do�slo do minimalnih delova Kk�,neophodna je neka kompatibilna opservabla A (ili vi�se njih) koja daje pomenuto se�cenje na"segmente".6.4 Op�ste rotacijeOvo je poslednji odeljak u grupi odeljaka posve�cenih kvantnoj teoriji op�steg uglovnog momentai op�stih rotacija. U ovom odeljku ne�cemo saznati u su�stini ni�sta novo, ali produbi�cemo ve�cpoznato, uzimaju�ci u obzir i drugu stranu medalje. Naime, kao �sto je �citaocu ve�c poznato,teorija uglovnog momenta (kao algebarska teorija) je najprisnije povezana sa paralelnom teori-jom rotacija (kao teorijom grupa). Vide�cemo da ova dva prilaza daju jednu te istu geometrijuinvarijantnih dekompozicija prostora stanja.6.4.1 Grupa op�stih rotacija i KNave�s�cemo bez dokaza slede�ci stav koji je posledica komutacionih relacija (6.2.7) (dokaz se mo�zena�ci u knjizi pomenutoj u 6.2.1).

6.4. OP�STE ROTACIJE 195Stav 6.4.1 Svakoj rotaciji u obi�cnom prostoru pridru�zuje se u prostoru stanja ili jedan operatorop�ste rotacije H: U(�u) = e� {~�u�K, ili dva operatora fU(�u);�U(�u)g. Ovo pridru�zivanje jehomomor�zam ili homomor�zam s ta�cno�s�cu do predznaka6.4.1.Kao �sto je poznato, homomor�zam je pridru�zivanje koje odr�zava proizvod: ako R�uR v =R�w onda U(�u)U( v) = U(�w), a homomor�zam s ta�cno�s�cu do predznaka daje: U(�u)U( v) =�U(�w) i pri tome je svejedno koji je operator od pomenuta dva U(�u) i isto va�zi i za U( v) iU(�w)Dakle, op�ste rotacije su funkcije op�steg uglovnog momenta. Postavlja se pitanje da li va�zi iobratno: da li su komponente op�steg uglovnog momenta K funkcije op�stih rotacija.Korolar 6.4.1 Neka je ort u �ksiran u smeru q-te koordinatne ose, q = x; y; z. Onda va�ziKq = {~ lim�!0 U(�u)� I� : (6.4.1)Dokaz: Eksponencijalna operatorska funkcija je po de�niciji Taylor-ov redU(�u) = I � {~�u � K� 12!~2�2(u � K)2 + ::: (6.4.2)Odavde o�cigledno sledi (6.4.1). Q. E. D.6.4.2 Invarijantni potprostoriZna�caj pomenutih funkcionalnih zavisnosti postaje jasan kada se podsetimo poznatog stava:Stav 6.4.2 Ako je linearni operator A analiti�cka funkcija nekih linearnih operatora B1; B2; :::(funkcija u smislu limesa polinoma) i ako se ovi operatori redukuju u nekom potprostoru V, ondase u V redukuje i operator A.Iz S 6.4.1 i S 6.4.2 i K 6.4.1 odmah sledi:Lema 6.4.1 Neki potprostor V je invarijantan za grupu op�stih rotacija fU(�u) j �u iz �-lopteg,ako i samo ako je invarijantan za op�sti uglovni moment K. Drugim re�cima, pomenuta grupa iK imaju sve invarijantne potprostore zajedni�cke.6.4.3 Ireducibilni invarijantni potprostori za rotacijePostavlja se pitanje kako stoje stvari sa ireducibilnim invarijantnim potprostorima za grupurotacija.Rezonovanjem ab contrario iz L 6.4.1 odmah sledi da je invarijantni potprostor ireducibilanza grupu rotacija ako i samo ako je ireducibilan za K. Drugim re�cima, K i grupa rotacijafU(�u) j �u iz �-lopteg imaju samo zajedni�cke ireducibilne invarijantne potprostore.Prema tome, maksimalna invarijantna dekompozicija H = �k �dk�=1 Vk� ima potpuno istismisao u odnosu na grupu op�stih rotacija kao i u odnosu na K. Preciznije:6.4.1 Kao �sto �cemo videti u odeljku x 7.5, tzv. superselekciono pravilo zabranjuje da se u Hilbert-ovom prostoru sta-nja �zi�ckog sistema pojavljuju kvantni brojevi uglovnog momenta K razli�cite celobrojnosti; drugim re�cima, moguda se pojave ili samo celi (onda imamo u S 6.4.1 homomor�zam) ili samo poluceli (onda imamo homomor�zam sta�cno�s�cu do predznaka, uporediti primedbu 6.10.1 ni�ze).

196 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTATeorem 6.4.1 Kada se neka op�sta rotacija U(�u) redukuje u ireducibilnim invarijantnim pot-prostorima Vk� � = 1; :::; dk, dobijaju se ekvivalentni unitarni operatori u tim potprostorima.U tom smislu Vk je dk-struki ireducibilni invarijantni potprostor za grupu op�stih rotacija u H,odreden kvantnim brojem k.Dokaz: Uzmimo, analogno kao u dokazu analognog Teorema T6.3.1, dve kolone na dijagramu "ormar sa �okama":Vk�1 i Vk�2 . Videli smo u (6.3.16) da se K redukuje u ekvivalentne operatore Kk�1 , odnosno Kk�2 u timpotprostorima. Prema Stavu S 6.4.1 imamo funkcionalnu zavisnost U(�u) = e� {~�u�K koja se odr�zava pri redukciji:Uk�1(�u) = e� {~�u�Kk�1 ; Uk�2(�u) = e� {~�u�Kk�2 : (6.4.3a,b)Eksponencijalna funkcija je u stvari red, a transformacija sli�cnosti J :::J �1 komutira sa svakim od operatora odkojih se red sastoji. To dovodi do J Uk�1(�u)J �1 = Uk�2(�u): (6.4.4)Q. E. D.Na jeziku matri�cne reprezentacije u standardnom bazisu, T 6.4.1 tvrdi da su matri�cni elementiod (6.4.3) nezavisni od �, tj. da na dijagonali od U(�u) imamo dk jednakih podmatrica Uk�(�u).6.4.4 � U-funkcije i Wigner-ove D-funkcijeReprezentovanjem rotacija U(�u) u standardnom bazisu za K dobija seU(�u) j km� i = kXm0=�kU (k)m0m(�u) j km�0 i; 8k; �; �u (6.4.5)(sumiraju�ci samo po m0 iskoristili smo invarijantnost svakog potprostora Vk�). Iz teorema T6.4.1sledi, kao �sto je re�ceno, jednakost dk podmatrica na dijagonali matrice U(�u). Te podmatricesu U (k)(�u), �ciji su elementi U (k)m0m(�u), i one, prema tome, ne zavise od �. Jednakost (6.4.5)de�ni�se tzv. U -funkcije na �-lopti: U (k)m0m(�u) i predstavlja na�su tre�cu (ekvivalentnu) de�nicijustandardnog bazisa (prva je (6.3.6), druga (6.3.14c)-(6.3.14d)). To sledi iz slede�ce leme.Lema 6.4.2 Ako se 2k+1 bazisnih vektora transformi�se pod rotacijama formulom (6.4.5), daklesa poznatim U-funkcijama, onda oni nu�zno �cine podbazis (multiplet) standardnog bazisa.Dokaz: Grupa matrica fU(�u) j �u iz �-lopteg, �ciji se elemeni) pojavljuju u (6.4.5), ireducibilna je, tako daje prostor V , obrazovan podbazisom fj km� i j m = �k; :::; kg de�nisanim sa (6.4.5) ireducibilni invarijantnipotprostor za grupu rotacija i K. Nazovimo pomenuti bazis u V "starim" bazisom i odaberimo u V "novi"bazis za koji znamo da je standardni, recimo po pomenutoj drugoj de�niciji (ho�cemo da doka�zemo da je i"stari" bazis standardan). Neka je W unitarni operator prelaska sa starog bazisa na novi. U novom bazisurotacije se reprezentuju jednako kao u starom (U -matricama). Iz toga odmah sledi, kao �sto se lako vidi, da Wkomutira sa svakom rotacijom. Stoga, po poznatoj Schur-ovoj lemi (za ireducibilne skupove matrica), W mora bitikonstanta. Zbog unitarnosti je onda i W fazni faktor. Kao �sto je poznato, multiplet standardnog bazisa se de�ni�sejednozna�cno do otvorenog faznog faktora (zajedni�ckog za multiplet). Prema tome, stari bazis je standardan zaK. Q. E. D.

6.4. OP�STE ROTACIJE 197Korolar 6.4.2 Po�sto matri�cni elementi u (6.4.5) ne zavise od �, mo�zemo (6.4.5) da prepi�semore�seno po matri�cnim elementima:U (k)mm0(�u) = hkm� j U(�u) j km0� i; (6.4.6)pri �cemu � na DS-i ima bilo koju od svojih dk vrednosti.Napomena 6.4.1 Treba naglasiti da su kvadratne podmatrice U (k) reda 2k+1, �ciji su elementi odredenisa (6.4.6), date jednozna�cno iako odgovaraju�ci podbazisi imaju jedan arbitrerni fazni faktor. Promenatog faznog faktora zna�ci mno�zenje celog multipleta istim faznim faktorom, a to se ispotire u (6.4.5).Kada se sa jezika operatora rotacija prede na jezik matri�cne reprezentacije u standardnombazisu, obi�cno se rotacije zadaju pomo�cu Euler-ovih uglova. Onda se umesto U -funkcija datihsa (6.4.6) pojavljuju tzv. Wigner-ove D-funkcije D(k)m0m(�; �; ). Njih implicitno i eksplicitnode�ni�su jednakosti: U(�) j km� i = kXm0=�kD(k)m0m(�; �; ) j km�0 i; (6.4.7)D(k)m0m(�; �; ) def= hkm� j U(�) j km� i j km�0 i; 8k;m;m0; �; �; ; � = 1; ::::dk: (6.4.8a,b)Nave�s�cemo bez dokaza da Wigner-ove D-funkcije zadovoljavaju relacije ortonormiranosti12 Z 4�0 d( �4� ) Z �0 d� sin� Z 4�0 d( 4� )D(k1)�m01m1(�; �; )D(k2)m02m2(�; �; ) = Æk1k2Æm1m2Æm01m022k1 + 1 (6.4.9)i kompletnosti:Xk=0; 12 ;1;::: kXm=�k kXm0=�k 2k + 116�2 D(k)�mm0(�1; �1; 1)D(k)mm0(�2; �2; 2) = Æ(�1��2)Æ(cos �1�cos �2)Æ( 1� 2):(6.4.10)U (6.4.9) integri�semo po �cetvorostrukom intervalu de�nisanosti Euler -ovih uglova, a treba samopo dvostrukom | otud faktor 12 . Dvostruki interval odgovara tzv. prekrivaju�coj, grupi rotacionegrupe (to je SU(2)); potreba za njom poti�ce od toga �sto se pojavljuju dvozna�cne reprezentacije6.4.2(za k polucelo).6.4.5 Redukovanje kompatibilnih opservabliTeorem 6.4.2 Neka je A linearni operator koji komutira sa svakom op�stom rotacijom:[ A; U(�u) ] = 0; 8�u iz �-lopte: (6.4.11)Onda se A redukuje u svakom potprostoru Vkm i to u uzajamno ekvivalentne operatore Akm; m =�k; :::; k.6.4.2Analogne relacije ortonormiranosti kompletnosti va�ze i za U -funkcije. Videti na primer: D.A. Varxaioviq,A.N. Moskalev i V.K. Hersonski�, Kvantova� teori� uglovogo momenta (Nauka, Leningrad, 1975),glava 4.5. Vi�se o osobinama dosta kori�s�cenih D-funkcija videti u istoj monogra�ji ili npr. u: K. Gottfried,Quantum Mechanics, Vol. 1, Fundamentals, (Benjamin, New York, 1966), x 34.5.

198 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTADokaz: Iz (6.4.1) sledi da (6.4.11) ima za posledicu6.4.3 [ A; K ] = 0. Onda po T6.3.2 sledi iskaz T 6.4.2.Q. E. D.Za primene na�se teorije korisno je jo�s malo bolje sagledati T 6.4.2 u celini sa T 6.3.2.Korolar 6.4.3 Neka je A opservabla sa �cisto diskretnim spektrom u H. Slede�ca tri iskaza suekvivalentna: i) [ A; K ] = 0; (6.4.12a)ii) [ A; U(�u) ] = 0; 8�u iz �-lopte; (6.4.12b)iii) u H postoji standardni bazis fj km� i j 8k;m; �g za K koji je svojstveni bazis za A i to takavda se spektralna forma operatora A mo�ze pisati u vidu:A =Xk X� ak� kXm=�k j km� ihkm� j; (6.4.12c)gde su ak� svojstvene vrednosti operatora A.Dokaz: Iz prethodnih razmatranja �citaocu je ve�c jasna ekvivalentnost (6.4.12a) i (6.4.12b). Da (6.4.12a) ima zaposledicu (6.4.12c) sledi iz na�cina kako se konstrui�se standardni bazis D 6.3.1. Naime, potpuno otvoreni dopunskikvantni broj � mo�zemo odrediti zahtevom da prebrojava vektore u svojstvenom bazisu operatora Ak;m=k u kojise redukuje A u Vk;m=k. Zbog ekvivalentnosti svih Akm, m = �k; :::; k (T 6.4.2) onda sledi (6.4.12c) (uporeditiS 6.3.2 u pogledu sumiranja po m). S druge strane, ako va�zi (6.4.12c), onda se A u svakom Vk� redukuje ukonstantu ak� i stoga komutira sa Kk�. Onda, usled H = �k�Vk�, operatori A i K komutiraju u celom H, tj.sledi (6.4.12a). Q. E. D.Zadatak 6.4.1 Dokazati slede�ce: Ako K2, Kz i A �cine potpun skup kompatibilnih opservabli u H, onda � 6= �0iziskuje ak� 6= ak�0 ; 8k.Napomena 6.4.2 Treba uo�citi da je zahtev (6.4.12a) ja�ci od zahteva [ A; K2 ] = 0 i [ A; Kz ] = 0,koji su dovoljni za dopunjavanje K2 i Kz sa A. Na ra�cun pomenutog ja�ceg zahteva posti�zemo da jezajedni�cki svojstveni bazis za K2, Kz i A standardan za K.6.4.6 � Lie-jeva algebra i grupaNa kraju ovog odeljka da napomenemo da je dalekose�zna paralelnost osobina K i grupe op�stihrotacija samo specijalan slu�caj paralelnih osobina Lie-jevih algebri i odgovaraju�cih Lie-jevihgrupa.6.4.3 Na prvi pogled kao da pre�cutno pretpostavljamo neprekidnost operatora A, jer, prema (6.4.1), ako A komutirai sa limesom onda iz (6.4.11) sledi komutiranje [ A; K ] = 0. Medutim, mi u stvari pre�cutno pretpostavljamojednu op�stiju osobinu za operator A: tzv. zatvorenost operatora. To po de�niciji zna�ci da x = limn!1 xn iy = limn!1 Axn povla�ce x 2 DA (domen od A) i Ax = y, tj. A limn!1 xn = limn!1 Axn. Zna�ci, opet imamokomutiranje sa limesom, ali pod uslovom da likovi Axn konvergiraju. Jednakost (6.4.11) je tipa B = limn!1 Bni znamo da ABn = BnA; 8n. Onda takode limn!1 ABn = limn!1 BnA. DS se svodi na BA, a LS usledzatvorenosti operatora A daje AB. Stoga [ A; B ] = 0. Za sve operatore koji se koriste u kvantnoj mehanicipre�cutno se pretpostavlja da imaju osobinu zatvorenosti.

6.5. SFERNE KOORDINATE I SEPARACIJA VARIJABLI 199Po�sto je u kvantnoj mehanici Lie-jeva algebra u neposrednoj vezi sa opservablama ({K obra-zuju Lie-jevu algebru u na�sem slu�caju), njenoj prezentaciji se obi�cno daje prioritet, kao �sto smoi mi u�cinili. U grupno-teorijskim prilazima �cesto je obratno.Pomenuli smo pojam Lie-jeve grupe koja "odgovara" jednoj Lie-jevoj algebri. Tu se zapravoradi o tzv. integrabilnoj Lie-jevoj algebri, tj. o algebri sa �cijih se elemenata eksponencijalnimfunkcijama, kao u stavu S 6.4.1 mo�ze pre�ci na elemente Lie-jeve grupe. Postoje i neintegrabilnealgebre, ali nisu od zna�caja za kvantnu mehaniku.6.5 Sferne koordinate i separacija varijabliU doradivanju teorije orbitnog uglovnog momenta jedne kvantne �cestice (u odnosu na teorijuop�steg uglovnog momenta) pokazuje se svrsishodnim da se sa Descartes-ovih koordinata predena sferne polarne koordinate i da se izvr�si odgovaraju�ca faktorizacija orbitnog prostora stanja�cestice.Zajedni�cki svojstveni problem od l2 i lz (zapravo doradivanje njegovog re�senja) sve�s�cemona jednostavne diferencijalne jedna�cine u faktor prostorima koji odgovaraju pojedinim sfernimpolarnim uglovima. Ovaj postupak se naziva separacijom varijabli. Metod separacije varijabliizlo�zi�cemo u op�stoj formi kako bi se njime mogli koristiti i u narednim glavama.6.5.1 De�nicija orbitnog uglovnog momenta jedne kvantne�cesticeU (6.2.1) de�nisali smo orbitni uglovni moment jedne �cestice kao vektorski operatorl def= r� p (6.5.1)u orbitnom prostoru jedne �cestice Ho, ili detaljnijelx def= ypz � zpy; ly def= zpx � xpz; lz def= xpy � ypx: (6.5.2a,b,c)Videli smo u (6.2.2) da komponente vektorskog operatora l zadovoljavaju komutacione relacije[ lx; ly ] = {~lz; [ ly; lz ] = {~lx; [ lz; lx ] = {~ly: (6.5.3)Ekvivalentnim komutacionim relacijama (6.2.7) de�nisali smo vektorski operator op�steg uglovnogmomenta K, �sto zna�ci da je l specijalni slu�caj K. Stoga za l va�ze svi rezultati iz prethodna triodeljka, ali neki od njih u speci��cnom vidu i sa dodatnim detaljima.Videli smo u (6.2.5) i (6.2.6) da odnos vektorske opservable l sa osnovnim skupom opservablir i p u Ho (uporediti x 2.6.3) mo�ze da se izrazi komutacionim relacijama:[ lq; q0 ] = {~ Xq00=x;y;z �qq0q00 q00; q; q0 = x; y; z; (6.5.4)[ lq; pq0 ] = {~ Xq00=x;y;z �qq0q00 pq00 q; q0 = x; y; z: (6.5.5)

200 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTAZadatak 6.5.1 Pretpostaviti da su l nepoznati polinomi od r i p. Pokazati pomo�cu relacija (2.5.11) (prenesenihiz Hq; q = x; y; z u Ho) da iz (6.5.4) i (6.5.5) slede (6.5.2) (a prema tome i (6.5.3)).Na osnovu iskaza u Zadatku Z 6.5.1, (6.5.4) i (6.5.5) mogu se smatrati de�nicijom l u Ho. Tosu komutacione relacije i stoga imaju najpogodniju formu za kvantno-mehani�cki formalizam.6.5.2 Sferne polarne koordinateDa bismo dobili �sto jednostavniju formu operatora l2 i lz, koji, kao �sto smo videli, igraju osnovnuulogu u teoriji uglovnog momenta l, uvodimo sferne polarne koordinate r; �; � za ta�cke prostora(videti Crte�z C 6.4): x = r sin � cos�; y = r sin � sin�; z = r cos �; (6.5.6)r =px2 + y2 + z2; cos � = zpx2 + y2 + z2 ; tg � = yx ; (6.5.7)0 � r <1; 0 � � � �; 0 � � < 2�: (6.5.8)Od sfernih polarnih koordinata r se naziva polupre�cnikom, � uglom �sirine, a � azimutalnimuglom, azimutom ili uglom du�zine.

Slika 6.4: Sferne polarnekoordinate.

Da bismo izra�cunali kako glase operatori l u sfernim polarnimkoordinatama, potrebne su nam pored relacija (6.5.6) i relacije kojeizra�zavaju r def= f @@x ; @@y ; @@zg pomo�cu @@r , @@� i @@� .Zadatak 6.5.2 Dokazati slede�ce relacije@r@x = sin � cos�; @r@y = sin � sin�; @r@z = cos �; (6.5.9a,b,c)@�@x = 1r cos � cos'; @�@y = 1r cos � sin'; @�@z = �1r sin �; (6.5.10a,b,c)@'@x = �1r sin'sin � ; @'@y = 1r cos'sin � ; @'@z = 0: (6.5.11a,b,c)Iz relacija (6.5.9), (6.5.10) i (6.5.11) odmah sledi@@x = sin � cos' @@r + 1r cos � cos' @@� � 1r sin'sin � @@'; (6.5.12a)@@y = sin � sin' @@r + 1r cos � sin' @@� + 1r cos'sin � @@'; (6.5.12b)@@z = cos � @@r � 1r sin � @@� : (6.5.12c)Zadatak 6.5.3 Pokazati da operatori l u sfernim polarnim koordinatama imaju slede�ci vidlz = �{~ @@' ; lx = {~(sin' @@� + ctg � cos' @@' ); ly = �{~(cos' @@� � ctg � sin' @@' ): (6.5.13a,b,c)

6.5. SFERNE KOORDINATE I SEPARACIJA VARIJABLI 201Zadatak 6.5.4 Pokazati da operatori l� i l2 u sfernim polarnim koordinatama glase:l+ def= lx + {ly = ~e{'( @@� + {ctg � @@' ); l� def= lx � {ly = ~e�{'(� @@� + {ctg � @@' ); (6.5.14a,b)l2 = �~2 � 1sin2 � @2@'2 + 1sin � @@� (sin � @@� )� : (6.5.15)Iz jednakosti (6.5.13), (6.5.14) i (6.5.15) vidimo da nijedan od operatora koji nas sad zanimajune dejstvuje na polupre�cnik r (kao nezavisno promenljivu), a lz �cak deluje samo na azimutalniugao '. Izgleda svrsishodno razdvojiti promenljive r, � i '.I ovom zadatku pri�ci �cemo deduktivno, polaze�ci od faktorizacije prostora stanja.6.5.3 Faktor prostori stanja pojedinih sfernih polarnihkoordinataPredimo sa apstraktnog orbitnog prostora stanja Ho na prostor koordinatne reprezentacije L2(r),tj. pi�simo vektore stanja �cestice u vidu (x; y; z); �(x; y; z) 2 L2(r), itd.Skalarni proizvod u L2(r) mo�ze da se izrazi i preko sfernih polarnih koordinata:Z 1�1 Z 1�1 Z 1�1 �(x; y; z)�(x; y; z) dx dy dz = (6.5.16)Z 10 r2 dr Z �0 sin � d� Z 2�0 d' �(x(r; �; '); y(r; �; '); z(r; �; '))�(x(r; �; '); y(r; �; '); z(r; �; ')):Da�cemo bez dokaza slede�ci stav:Stav 6.5.1 a) Neka je L2(r) skup svih kompleksnih funkcija f(r) za koje je R10 jf(r)j2r2dr � 1,neka je L2(�) prostor svih kompleksnih funkcija g(�) koje zadovoljavaju R �0 jg(�)j2 sin �d� � 1 i,najzad, neka L2(') ozna�cava skup svih kompleksnih funkcija h(') takvih da je R 2�0 jh(')j2d' �1. Svaki od navedenih skupova predstavlja prebrojivo-beskona�cno-dimenzionalan Hilbert-ov pro-stor. Linearne kombinacije se formiraju na uobi�cajeni na�cin, a skalarni proizvod6.5.1 je dat sa(f1(r); f2(r)) def= Z 10 f �1 (r)f2(r)r2 dr u L2(r); (6.5.17a)(g1(�); g2(�)) def= Z �0 g�1(�)g2(�) sin �d� u L2(�); (6.5.17b)(h1('); h2(')) def= Z 2�0 h�1(')h2(')d' u L2('): (6.5.17c)b) Obi�cnim mno�zenjem funkcija f(r)g(�)h('), i to po jedne funkcije iz L2(r), L2(�) i L2(')ostvaruje se direktni proizvodL2(r; �; ') = L2(r) L2(�) L2(') ; (6.5.18)6.5.1 U svim Hilbert-ovim prostorima koji se sastoje od funkcija, kao �sto su L2(r), L2(r; �; ') ili direktni faktoriL2(q) (q = x; y; z), L2(r), L2(�), L2('), u rigoroznom prilazu (u funkcionalnoj analizi) u stvari se Riemann-ov(tj. obi�cni) integral zamenjuje Lebesgue-ovim (Lebegovim) integralom, koji je zasnovan na Lebesgue-ovoj meri.Slovo L u ozna�cavanju tih prostora je po�cetno slovo od "Lebesgue".

202 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTAgde je L2(r; �; ') prebrojivo beskona�cno dimenzionalni Hilbert-ov prostor svih kompleksnih funk-cija �(r; �; ') za koje je R10 r2dr R �0 sin �d� R 2�0 d' j�(r; �; ')j2 <1.6.5.4 Matemati�cki podsetnik | direktni proizvod opera-tora i svojstveni problemNeka je direktni proizvod Hilbert-ovih prostora H = H1 H2 ostvaren pomo�cu preslikavanjaf�1; �2g ! �1 �2 2 H, gde je f�1; �2g par vektora �1 2 H1, �2 2 H2. Neka je A1 operatorde�nisan u H1, a A2 operator u H2. U kompozitnom prostoru H mo�zemo uzeti, kao �sto smopodsetili u x 2.6.4, njihov direktni proizvod A1 A2, �cije je delovanje na nekorelisane vektore uH de�nisano sa (A1 A2)(�1 �2) def= (A1�1) (A2�2): (6.5.19)Operator vida A1 A2 naziva se nekorelisanim operatorom u kompozitnom prostoru H. Iz(6.5.19) neposredno sledi: (A1 A2)(B1 B2) = (A1B1) (A2B2) (6.5.20)i KXk=1 �kA(k)1 ! QXq=1 �qA(q)2 ! = KXk=1 QXq=1 �k�qA(k)1 A(q)2 ; (6.5.21)gde su �k i �q kompleksni brojevi. Takode va�ze relacije (A1 A2)y = Ay1 Ay2 i, ako su obanesingularna, (A1 A2)�1 = A�11 A�12 . Kao posledica toga, ako su A1 i A2 hermitski operatori,onda je i A1A2 hermitski; ako su A1 i A2 unitarni operatori, onda je i A1A2 unitarni operator.Re�senje svojstvenog problema hermitskog operatora A1A2 dobija se "direktnimmno�zenjem"re�senja svojstvenog problema za A1 i re�senja svojstvenog problema za A2. Naime, ako suA1�1 = a1�1; A2�2 = a2�2 (6.5.22a,b)re�senja pomenutih svojstvenih problema, onda imamo(A1 A2)(�1 �2) = a1a2(�1 �2) (6.5.22c)kao re�senje svojstvenog problema za A1 A2.�Sto se ti�ce kompletnih re�senja, mo�zemo na slede�ci na�cin koncizno formulisati stanje stvari.Pretpostavimo da A1 i A2 imaju �cisto diskretne spektre i neka je fj n�n i1 j 8�n; 8ng svojstvenibazis od A1, sa fanj8ng kao spektrom (�n prebrojava degenerisana svojstvena stanja uz isto an),a neka su fj m�m i2 j 8m; �mg i famj8mg analogno svojstveni bazis i spektar za A2. Onda jefj n�n i1 j m�m i2 j 8m; �m; n; �ng svojstveni bazis za operator A1 A2, a odgovaraju�ci �cistodiskretni spektar je fanamj8n;mg (pri �cemu se mo�ze ponoviti ista svojstvena vrednost anam zarazli�cite parove indeksa n;m).Sve �sto je re�ceno neposredno se uop�stava na eventualne kontinualne spektre i na direktniproizvod vi�se faktora.

6.5. SFERNE KOORDINATE I SEPARACIJA VARIJABLI 2036.5.5 Pojam separacije varijabliImaju�ci u vidu direktnu faktorizaciju (6.5.18), L2(r; �; ') = L2(r) L2(�) L2('), operatorlz = �{~ @@' iz (6.5.13a) mo�zemo da prepi�semo u vidulz = Ir I� [�{~ dd' ]'; (6.5.23)gde indeks (simboli�cno) pokazuje u kom od faktor prostora je operator de�nisan, a Ir je jedini�cnioperator u L2(r) itd.Na�sa druga jednakost od najve�ce va�znosti, (6.5.15), o�cigledno mo�ze da se napi�se u vidul2 = Ir [ 1sin2 � ]� [�~2 d2d'2 ]' + Ir [� ~2sin � dd� sin � dd� ]� I': (6.5.24)Dakle, lz je nekorelisan operator u L2(r; �; '), a l2 je zbir dva nekorelisana operatora. Na�s je ciljda kompletno re�simo zajedni�cki svojstveni problem za kompatibilne opservable l2 i lz (delimi�cnore�senje smo postigli u op�stoj teoriji).Pitamo se da li je oblik (6.5.24) jo�s uvek dovoljno prost da mo�zemo svojstveni problem re�savatiu pojedinim faktor prostorima kao u slu�caju nekorelisanih operatora. Vide�cemo u slede�cemparagrafu da doti�cni postupak postoji i naziva se separacijom varijabli (jer varijable r, � i 'de�ni�su pojedine faktor prostore L2(r), L2(�) i L2(')).6.5.6 Teoremi o separaciji varijabliNa pitanje sa kraja prethodnog paragrafa mo�zemo dati precizan potvrdan odgovor u vidu slede�cadva teorema:Teorem 6.5.1 Neka je H = H1 H2 i neka je A hermitski operator u H dat u vidu zbira dvanekorelisana operatora sa hermitskim faktorimaA = B1 C2 + B01 C 02 ; (6.5.25)a da su pri tome dva druga faktora (operatori u H2) C2 i C 02 kompatibilne opservable. Ondare�senje svojstvenog problema opservable A u H mo�zemo dobiti u dva koraka:a) nademo bilo koje re�senje zajedni�ckog svojstvenog problema opservabli C2 i C 02 u H2:C2�(n1;n2) = cn1�(n1;n2); C 02�(n1;n2) = cn2�(n1;n2) ; (6.5.26)b) formiramo pomo�cni hermitski operator cn1B1+cn2B01 u H1 i nademo bilo koje re�senje njegovogsvojstvenog problema: (cn1B1 + cn2B2)'(m)1 = bm'(m)1 : (6.5.27)

204 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTAOnda smo dobili re�senje svojstvenog problema operatora A:A('(m)1 �(n1;n2)2 ) = bm('(m)1 �(n1;n2)2 ) ; (6.5.28)pri �cemu tre�ci kvantni broj zavisi od prva dvam = m(n1; n2) (6.5.29)preko cn1 i cn2 u (6.5.27). Ali za�ksirane vrednosti n1 i n2, m uzima vrednosti iz odredenog skupa�sto odgovara spektru operatora u (6.5.27).Dokaz: LS od (6.5.28) pomo�cu (6.5.25) postaje (B1 C2 + B01 C 02)('(m)1 �(n1;n2)2 ). Slu�ze�ci se formulom(6.5.27) i uzimaju�ci u obzir (6.5.26), ovaj izraz mo�zemo da prepi�semo kaocn1(B1'(m)1 �(n1;n2)2 ) + cn2(B01'(m)1 �(n1;n2)2 ) = ((cn1 B1 + cn2B01)'(m)1 ) �(n1;n2)2 :Koriste�ci (6.5.27), kona�cno dolazimo do bm('(m)1 �(n1;n2)2 ). Q. E. D.Kao i skoro svugde u ovom ud�zbeniku, kad se radi o direktnom proizvodu prostora stanja,indeks na operatoru i vektoru podse�ca na faktor prostor u kome su de�nisani (to ne va�zi zasvojstvene vrednosti, one su brojevi).Pa�zljivi �citalac je zapazio da je pomo�cni operator u (6.5.27) formiran na osnovu jednog datogre�senja zajedni�ckog svojstvenog problema (6.5.26) i stoga je ceo svojstveni problem (6.5.27) ufunkciji tog re�senja, otud (6.5.29).Name�ce se pitanje da li su re�senja (6.5.29) svojstvenog problema (6.5.28) izuzetak ili pravilo;preciznije: da li se algoritmom Teorema T6.5.1 mo�ze dobiti svojstveni bazis opservable A ukompozitnom prostoru stanja H.I na ovo pitanje odgovor je potvrdan. Formulisa�cemo ga u vidu novog teorema (koji �cemodokazati u Dodatku x 6.5.10).Teorem 6.5.2 Ako kompatibilne opservable C2 i C 02 u H2 �cine kompletan skup opservabli iako je svaki pomo�cni operator cn1B1 + cn2B01 u H1 kompletna opservabla, onda je f�(m)1 �(n1;n2)2 j8m;n1; n2g svojstveni bazis opservable A u H, a njen spektar je: fbmj8m;n1; n2g.Ako C2 i C 02 �cine nekompletan skup opservabli u H2 i/ili ako je neki od pomo�cnih operatoracn1B1 + cn2B01 nekompletna opservabla u H1 onda za svaku degenerisanu svojstvenu vrednostmoramo uvesti poseban indeks koji prebrojava ortonormirane svojstvene vektore koji odgovarajuistoj svojstvenoj vrednosti. Na taj na�cin �citalac mo�ze sam da uop�sti Teorem T6.5.2 po potrebi.Takode prepu�stamo �citaocu da po potrebi uop�sti Teoreme T6.5.1 i T 6.5.2 da obuhvate ieventualne kontinualne spektre. Onda se pojavljuje neprekidni kvantni broj koji prebrojavauop�stene svojstvene vektore, ali vid iskaza i rezonovanje ostaju potpuno isti.Teoremi T 6.5.1 i T 6.5.2 se takode neposredno uop�stavaju na slu�caj opservable u kompozit-nom prostoru koja se sastoji od zbira K (K := 3; 4; :::) direktnih proizvoda hermitskih operatoraiz dva faktor prostora, ali tako da K drugih faktora C(1)2 ; C(2)2 ; :::; C(K)2 uzajamno komutiraju.

6.5. SFERNE KOORDINATE I SEPARACIJA VARIJABLI 2056.5.7 Uglovni faktor prostorVratimo se sad na�sem zajedni�ckom svojstvenom problemu kompatibilnih opservabli l2 i lz.Imaju�ci u vidu forme (6.5.24) i (6.5.23) ovih operatora, pre svega se moramo uveriti da sudirektni faktori [�{~ dd' ]'; [ 1sin2 � ]�; [� ~2sin � dd� sin � dd� ]� (6.5.30a,b,c)hermitski operatori. (�Sto se ti�ce operatora [�~2 d2d'2 ]' u (6.5.24), on je kvadrat operatora u(6.5.30a)).Zadatak 6.5.5 Dokazati da su operatori (6.5.30) hermitski (u L2(') odnosno u L2(�)) kada se pogodno de�ni�sudomeni. (Indikacija: za (6.5.30c) smenom cos � = x dovesti operator na oblik ddx(1� x2) ddx .)Pada u o�ci da izrazi (6.5.23) i (6.5.24) pokazuju da l2 i lz deluju trivijalno (tj. kao identi�cnioperator Ir) u L2(r). Stoga je korisno pre svega razdvojiti L2(r) s jedne strane i L2(�), L2(') sdruge.De�ni�simo tzv. uglovni faktor prostor L2(), koji odgovara uglovima def= �; ' kaoL2() def= L2(�) L2(') ; (6.5.31)tj. kao skup svih komleksnih funkcija v() koje su po modulu kvadratno integrabilne:Z jv()j2 d def= Z �0 sin � d� Z 2�0 d' jv(�; ')j2 <1: (6.5.32)Sad (6.5.18) mo�zemo da prepi�semo u viduL2(r; �; ') = L2(r) L2(); (6.5.33)pri �cemu opet imamo f(r) v() def= f(r)v(), tj. direktni proizvod se opet realizuje obi�cnimmno�zenjem funkcija6.5.2.Po�sto smo uveli L2(), mo�zemo sad (6.5.23) da zamislimo u vidulz = Ir [lz]; [lz] def= I� [�{~ dd' ]'; (6.5.34)a (6.5.24) u obliku l2 = Ir l2 (6.5.35a)l2 def= [ 1sin2 � ]� [�~2 d2d'2 ]' + [�~2 1sin � dd� sin � dd� ]� I': (6.5.35b)6.5.2Pre svega i za L2() va�zi fusnota 6.5.1. Drugo, prelaskom sa (6.5.18) na (6.5.33), koristimo se asocijativno�s�cudirektnog proizvoda Hilbert-ovih prostora, tj. �cinjenicom da, ako imamo vi�se mno�zenja , nije va�zno koje �cemomno�zenje prvo izvr�siti itd. Tre�ce, reformulisav�si L2() od (6.5.31) na skup funkcija v() za koje va�zi (6.5.32),mi smo fakti�cki koristili analogon Stava iz x 6.5.3.

206 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTA6.5.8 Svojstveni problem od lz�Sto se ti�ce svojstvenog problema operatora l2, imaju�ci u vidu Teoreme T6.5.1 i T 6.5.2, odmahzaklju�cujemo da moramo prvo potpuno da re�simo svojstveni problem od�~2 d2d'2 u L2(') (jer ovajoperator i I' su C2 i C 02). Za zajedni�cki svojstveni problem od l2 i lz relevantno je da je �~2 d2d'2kvadrat od �{~ dd' ; tako u stvari moramo zapo�ceti sa nala�zenjem potpunog re�senja svojstvenogproblema od �{~ dd' , jer se na to svodi zajedni�cki svojstveni problem od l2 i lz u prvom koraku.Dakle, tra�zimo re�senja za �{~ dd'h(') = m~h(') (6.5.36)(na osnovu (6.2.21c) pi�semo svojstvene vrednosti od lz u vidu m~, a iz (6.2.31) znamo ve�c da jem ceo ili poluceo broj). O�cigledno je da h(') mora bitih(') = Ce{m'; (6.5.37)gde je C konstanta normiranja.Videli smo pri re�savanju Zadatka Z 6.5.5 da je operator �{~ dd' hermitski u L2(') ako i samoako za funkcije iz njegovog domena va�zi grani�cni uslov6.5.3 (de�nicija domena):h(2�) = h(0): (6.5.38)Grani�cni uslov (6.5.38) se mo�ze u�ciniti plauzibilnim ukazuju�ci na �cinjenicu da je �{~ dd' diferen-cijalni operator, prema tome mo�ze da deluje samo na diferencijabilne (pa stoga i u svakoj ta�ckineprekidne) funkcije h('). A ' = 0 i ' = 2� se odnose na istu ta�cku u prostoru i (6.5.38)zahteva neprekidnost i u toj ta�cki.Iz (6.5.38) i (6.5.37) se odmah vidi da magnetni kvantni broj m mora biti ceo broj (pozitivan,negativan ili nula).U funkcionalnoj analizi je poznato6.5.4 da je f 1p2�e{m'; m = 0;�1;�2:::g bazis u L2('). Zna�cida operator �{~ dd' ima �cisto diskretan i prost spektar u L2('). A operator lz ima u L2(r; �; ')isti �cisto diskretan spektar f0;�~;�2~; :::g, ali je svaka svojstvena vrednost m~ prebrojivo-beskona�cno degenerisana.6.5.9 Svojstveni problem od l2 | po�cetakNa osnovu Teorema T6.5.1 u slede�cem koraku re�savamo u L2(�) svojstveni problem pomo�cnogoperatora cn1B1 + cn2B01 iz (6.5.27), a iz (6.5.35b) sledi da svojstveni problem ovog operatora6.5.3U nekim ud�zbenicima kvantne mehanike dozvoljava se da ' uzima sve realne vrednosti i umesto (6.5.38)zahteva se periodi�cnost funkcije (6.5.37) sa periodom 2� obrazla�zu�ci to �zi�ckom neophodno�s�cu jednozna�cnostitalasne funkcije �cestice: f(r)g(�)e{m'. U na�sem prilazu domen od ' je ograni�cen na interval [0; 2�) i (6.5.38)posti�ze jednozna�cnost u ta�cki 0. Po�sto je Descartes-ov koordinatni sistem, za koji sve vreme pre�cutno pretposta-vljamo da je �ksiran, proizvoljne orijentacije, za bilo koju vrednost azimutnog ugla ' mo�zemo posti�ci da je ' = 0u (oko z-ose zarotiranom) koordinatnom sistemu. Imaju�ci to u vidu, (6.5.38) u stvari posti�ze jednozna�cnost ucelom prostoru.6.5.4Videti, na primer, ud�zbenik: A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin, �lementy teorii funkci� i funkcio-nal�nogo analiza, Nauka, Moskva, 1972.

6.6. SFERNI HARMONICI KAO STANDARDNI BAZIS 207glasi ( m2sin2 � � 1sin � dd� sin � dd� )g(�) = l(l + 1)g(�); (6.5.39)gde smo skratili ~2. (U stvari se radi o familiji pomo�cnih operatora, njih prebrojava m2 =0; 1; 4; 9; :::) Svojstvenu vrednost bm iz (6.5.27) pi�semo kao l(l + 1)~2, kao �sto smo to �cinili i u(6.2.21a) za K2.Na osnovu rezultata iz x 6.2 znamo da kvantni broj orbitnog uglovnog momenta l ima istucelobrojnost kao njegov magnetni kvantni broj m, tj. l je nu�zno ceo broj.Nije jo�s jasno koji se celi brojevi pojavljuju u L2(�) kao l, sa kojom degeneracijom, kako glaseodgovaraju�ci svojstveni vektori (i da li l2 ima kontinualni spektar).Potpuni odgovor na ova pitanja dobi�cemo u slede�cem odeljku.6.5.10 � Dodatak | dokaz Teorema 2Ortonormiranost vektora u skupu f�(m)1 �(n1;n2)2 j8m;n1; n2g sledi iz (2.6.5b):(�(m)1 �(n1;n2)2 ; �(m0)1 �(n01;n02)2 ) = (�(m)1 ; �(m0)1 )1(�(n1;n2)2 ; �(n01;n02)2 )2 = Æmm0Æn1n01Æn2n02 :Bazis u H1, npr. f�(mn1n2 )1 j8mn1n2g, gde je (n1; n2) �ksirani par iz skupa f(n1; n2)g, i bazis u H2,npr. f�(n1;n2)2 j8n1; n2g direktnim mno�zenjem daju bazis u H (uporediti iznad (2.6.7)). Prematome, dovoljno je da doka�zemo da se svaki vektor �(mn1n2 )1 �(n1;n2)2 mo�ze razviti po na�sem skupuf�(m)1 �(n1;n2)2 j8n1; n2; m(n1; n2)g (onda se sigurno i svaki vektor iz H mo�ze razviti po tomskupu).Mo�zemo razviti �(mn1n2 )1 = Pm fm�(m)1 za bilo koji par indeksa (n1; n2) (a m = m(n1; n2)),po�sto je f�(m)1 j8mg bazis u H1. Posledica toga je razvijanje �(mn1n2 )1 �(n1;n2)2 = Pm fm�(m)1 �(n1;n2)2 gde je na DS-i m = m(n1; n2), a (n1; n2) je, naravno, isto na obema stranama jednakosti.Dakle, ortonormirani skup vektora f�(m)1 �(n1;n2)2 j8n1; n2; mg jeste kompletan u kompozitnomprostoru H.Skup svojstvenih vrednosti fbmj8m;n1; n2g svakako pripada spektru od A. Treba da doka�zemoda je to kompletan spektar. Pretpostavimo, ab contrario, da A ima jo�s neku svojstvenu vrednost(diskretnu ili neprekidnu). Onda bi odgovaraju�ci svojstveni vektor (pravi ili uop�steni) morao bitiortogonalan na pomenuti svojstveni bazis. A zbog kompletnosti tog bazisa samo je nulti vektorortogonalan na njega. Dakle, ne mo�ze da postoji jo�s neki element spektra, tj. fbmj8n1; n2; mg jeceo spektar od A.�Citalac je verovatno zapazio da argumentacija poslednjeg pasusa u stvari dokazuje op�sti iskaz:kad god neka opservabla ima svojstveni bazis, onda ima �cisto diskretan spektar, koji se sastojiupravo od svojstvenih vrednosti koje odgovaraju vektorima bazisa.6.6 Sferni harmonici kao standardni bazisU ovom odeljku �cemo kompletirati kvantnu teoriju orbitnog uglovnog momenta. De�nisa�cemotzv. sferne harmonike, koji �cine jedan standardan bazis za l. Kao primenu sfernih harmonika,izve�s�cemo jednu potpunu klasi�kaciju stanja za slobodnu �cesticu. Ona �ce biti data u vidu tzv.

208 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTAsfernih talasa, koji �cine alternativu u odnosu na ravne talase prou�cene ranije. Nabaci�cemo idejusferno polarne koordinatne reprezentacije. Zavr�si�cemo odeljak sa kratkom diskusijom ireducibil-nih potprostora za l.6.6.1 Svojstveni problem od l2 | nastavakU prethodnom odeljku stigli smo do slede�ce familije pomo�cnih svojstvenih problema (videti(6.5.39): [ m2sin2 � � 1sin � dd� sin � dd� ]gml (�) = l(l + 1)gml (�); m2 = 0; 1; 4; 9; ::: (6.6.1)Zamenom cos � = x (stoga � sin � d� = dx i � 1sin � dd� = ddx) gornji izraz prelazi u[ m2(1� x2) � ddx(1� x2) ddx ]gml (x) = l(l + 1)gml (x); m2 = 0; 1; 4; 9; ::: (6.6.2)(mogli smo uvesti ~g(x) def= g(�(x)); pi�semo g(x) umesto ~g(x)).6.6.2 Matemati�cki podsetnik | asocirane Legendre-ovefunkcijeU teoriji diferencijalnih jedna�cina poznato je da tzv. Legendre-ova (�citati: Le�zandrova) diferen-cijalna jedna�cina � ddx(1� x2) ddxg(x) = l(l + 1)g(x); (6.6.3)a to je (6.6.2) sa m2 = 0, ima za re�senja tzv. Legendre-ove polinome Pl(x):Pl(x) def= 12ll! dldxl (x2 � 1)l l = 0; 1; 2::: (6.6.4a)(�1 � x � +1). Konstanta u (6.6.4a) izabrana je tako da se dobijePl(�1) = (�1)l: (6.6.4b)Op�sti slu�caj (6.6.2) sa m2 = 0; 1; 4; ::: ima za re�senja tzv. asocirane Legendre-ove funkcije:P jmjl (x) def= (1� x2) jmj2 djmjPl(x)dxjmj = (1� x2) jmj2 12ll! dl+jmjdxl+jmj (x2 � 1)l;jmj = 0; 1; 2; :::; l = jmj; jmj+ 1; jmj+ 2; :::; (6.6.5a)gde je d0dx0 def= 1.Treba zapaziti da dve vrednosti magnetnog kvantnog broja koje se razlikuju samo za predznakimaju isto m2 u (6.6.2) i iste jmj, tj. daju iste asocirane Legendre-ove funkcije. Treba takodeuo�citi da su Legendre-ovi polinomi specijalni slu�caj asociranih Legendre-ovih funkcija za m = 0.Iz (6.6.5a) i (6.6.4b) sledi P jmjl (x = �1) = (�1)lÆm0: (6.6.5b)

6.6. SFERNI HARMONICI KAO STANDARDNI BAZIS 209P jmjl (x) se ponekad preciznije nazivaju i asocirane Legendre-ove funkcije prve vrste, za razliku odistoimenih funkcija druge vrste, koje su singularne i iz �zi�ckih razloga neprihvatljive za kvantnumehaniku (ne daju talasne funkcije kona�cne norme).Za �ksirano m, funkcije P jmjl (x) zadovoljavajuZ +1�1 P jmjl (x)P jmjl0 (x) dx = Æll0 22l + 1 � (l + jmj)!(l � jmj)! : (6.6.6)Po�sto su P jmjl (x) realne funkcije, iz (6.6.6) vidimo da su one ortogonalni vektori u L2(�) (jerx = cos �). �Stavi�se, ispostavlja se da je za svako m, fP jmjl (x)jl = jmj; jmj+ 1; :::g bazis u L2(�)(za jmj 6= jm0j, P jmjl (x) i P jm0jl0 (x) ne moraju biti ortogonalni vektori u L2(�)).6.6.3 Sferni harmoniciDakle, podsetiv�si se na re�senja diferencijalnih jedna�cina na koje se svode pomo�cni svojstveniproblemi (6.6.1), mo�zemo zaklju�citi, u smislu Teorema T6.5.1, da [lz] i l2 imaju zajedni�ckisvojstveni bazis fCmlP jmjl (cos �)e{m'jl = jmj; jmj+ 1; :::;m = 0;�1;�2; :::g(gde su Cml konstante normalizacije) sa odgovaraju�cim �cisto diskretnin spektrima: fm~jm =0;�1; :::g od [lz] i fl(l + 1)~2jl = 0; 1; 2; :::g od l2.Obratiti pa�znju na to da pri re�savanju svojstvenog problema od l2 imamo slede�ce specijalneslu�cajeve (u odnosu na op�stu teoriju T 6.5.1,T 6.5.2): kvantni brojevi fn1; n2g svode se na jedanmagnetni kvantni broj m, kvantni broj l je preuzeo ulogu broja m = m(n1; n2) iz op�ste teorije(tamo to nije bio magnetni kvantni broj!), a zavisnost m od n1 i n2 je u nejednakosti l � jmj,dok su razli�cite vrednosti m(n1; n2) za dato fn1; n2g date sa l = jmj; jmj+ 1; :::.Zadatak 6.6.1 Pokazati da vektori zajedni�ckog svojstvenog bazisa od [lz] i l2 nakon normiranja glases (2l+ 1)(l � jmj)!4�(l + jmj)! P jmjl (cos �)e{m';ako se fazni faktori odaberu na najprostiji na�cin.Takozvani sferni harmonici, koji se obele�zavaju sa Y ml (�; '), de�ni�su se za m < 0 upravoizrazom iz Zadatka Z 6.6.1, a za m � 0 tim izrazom pomno�zenim sa (�1)m, tj.Y ml (�; ') def= (sign(m))m(�1)ms(2l + 1)(l � jmj)!4�(l + jmj)! P jmjl (cos �)e{m'; 8m; 8l (6.6.7)(sa sign(x) smo obele�zili predznak izraza x).Zadatak 6.6.2 Kako se na sferne harmonike odra�zava �cinjenica da kako f�; 'j� = 0; 0 � ' < 2�g, tako if�; 'j� = �; 0 � ' < 2�g, odreduju po jednu ta�cku na jedini�cnoj sferi?

210 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTAZadatak 6.6.3 Izvesti slede�ce specijalne slu�cajeve od (6.6.7):Y m=0l=0 (�; ') = 1p4� ; (6.6.8)Y m=0l=1 (�; ') = 12r 3� cos �; Y m=�1l=1 (�; ') = �12r 32� sin �e�{': (6.6.9)Po�sto se sferni harmonici mnogo koriste u primenama, nave�s�cemo eksplicitno i ostale Y ml dol = 3.Y m=0l=2 (�; ') = 14r 5� (2 cos2 � � sin2 �); Y m=�1l=2 (�; ') = �12r152� cos � sin �e�{': (6.6.10a)Y m=�2l=2 (�; ') = 14r 152� sin2 �e�2{'; (6.6.10b)Y m=0l=3 (�; ') = 14r7� (2 cos3 � � cos � sin2 �); Y m=�1l=3 (�; ') = �18r21� (4 cos2 � sin � � sin3 �)e�{';(6.6.11a)Y m=�2l=3 (�; ') = 14r105� cos � sin2 �e�2{'; Y m=�3l=3 (�; ') = �18r35� sin3 �e�3{': (6.6.11b)6.6.4 Standardni bazis za lUprkos opisanom postupku izvodenja Y ml , u kom se [lz] pojavljivao pre l2, kona�cni rezultat�cemo rezimirati u duhu op�ste teorije, kao �sto je to uobi�cajeno u kvantnoj mehanici:{ l2 i [lz], koji u L2() �cine potpun skup kompatibilnih opservabli. Njihov zajedni�cki svojstvenibazis je fY ml (�; ')jm = �l;�l + 1; :::; l; l = 0; 1; 2; :::g; (6.6.12){ a odgovaraju�ci parovi respektivnih svojstvenih vrednosti ovih opservabli glase:fl(l + 1)~2; m~jm = �l;�l + 1; :::; l; l = 0; 1; 2; :::g: (6.6.13)Zadatak 6.6.4 Pokazati da se skup parova f(m; l)jl = jmj; jmj + 1; :::; ; m = 0;�1;�2; :::g mo�ze obostranojednozna�cnim ceo-na-ceo preslikavanjem prevesti na skup parova f(l;m)jm = �l;�l + 1; :::; l; l = 0; 1; 2; :::g.(Indikacija: Napisati (m; l) kao elemente u matrici �cije vrste prebrojava l, a kolone m. Zatim zaokrenuti sliku za90Æ i pro�citati sa nje drugi skup.)Rezultat (6.6.12),(6.6.13) izra�zava kvantizaciju orbitnog uglovnog momenta proizvoljne �cesticei predstavlja jedan od osnovnih prirodnih zakona kvantne �zike (a izvodi se, kao �sto smo videli,iz prvih principa, tj. iz postulata).Name�cu se dva pitanja. Za�sto je izbor faznih faktora u de�niciji sfernih harmonika ba�s takavkakav je? S druge strane, pitamo se da li sferni harmonici �cine standardan bazis za l, kao �stoje prirodno o�cekivati od krajnjeg rezultata na osnovu op�ste teorije.

6.6. SFERNI HARMONICI KAO STANDARDNI BAZIS 211Odgovor glasi: sferni harmonici �cine standardan bazis za l u L2() i upravo de�nicijaovakvog bazisa D6.3.1, uz ekstra zahtevY m=0l (� = 0; ' = 0) � 0; 8l; (6.6.14)iziskuje izbor faznih faktora kao �sto je dato u gornjoj de�niciji sfernih harmonika. Ovaj iskaz sedokazuje duga�ckim ra�cunom, pa �cemo dokaz izostaviti.�Sto se ti�ce celog orbitnog prostora stanja �cestice, standardni bazis za l u L2(r; �; ') mo�zemodobiti pomo�cu proizvoljnog bazisa, recimo ff�(r)j8�g u L2(r). Naime, ff�(r)Y ml (�; ')jm =�l;�l + 1; :::; l; l = 0; 1; :::; 8�g je standardni bazis za l. Ovo je primer kako mo�zemo posti�cirealizaciju standardnog bazisa fj km� ijm = �k;�k + 1; :::; k; 8k; 8�g za K = l u H = Ho.U navedenom bazisu u L2(r; �; ') nemamo korelacije izmedu kvantnih brojeva pomenutihbazisa u L2(r) i sfernih harmonika u L2(). Medutim, vide�cemo ve�c u primeru u slede�cemparagrafu da se pojavljuje korelacija u vidu � = �(l).6.6.5 Slobodna �cestica i sferni talasiU ovom paragrafu izlo�zi�cemo jedan prili�cno va�zan realan �zi�cki primer za upotrebu sfernih har-monika.Neka je na�s �zi�cki sistem slobodna trodimenzionalna �cestica. Njen hamiltonijan glasi H =T = p22m , gde je T operator kineti�cke energije �cestice.Predimo sa Ho na L2(r). Po�sto je tu p = �{~ @@r imamoH = T = � ~22m� = � ~22m( @2@x2 + @2@y2 + @2@z2 ): (6.6.15)Predimo dalje sa L2(r) na L2(r; �; '). Kao �sto se mo�ze na�ci u priru�cniku (npr. u fusnoti 6.1.3),laplasijan � � r2 u sfernim polarnim koordinatama glasi� = 1r2 @@r r2 @@r + 1r2 sin � @@� sin � @@� + 1r2 sin2 � @2@'2 : (6.6.16)Ako se podsetimo vida operatora l2 (6.5.15), mo�zemo to da zamenimo u (6.6.16), a (6.6.16) u(6.6.15) i tako sti�zemo do H = T = � ~22mr2 @@r r2 @@r + l22mr2 : (6.6.17)Jednakost (6.6.17) daje operator kineti�cke energije �cestice u veoma pogodnoj formi i pojavljiva�cese kao sabirak i u hamiltonijanu �cestice u spolja�snjem polju (npr. pri izu�cavanju rotacionogkretanja dvoatomskih molekula; videti x 10.1.5).Podsetimo se �cinjenice da, �sto se ti�ce faktorizacije L2(r; �; ') = L2(r) L2(), l delujenetrivijalno samo u L2(). Po�sto prvi sabirak na DS-i od (6.6.17) deluje netrivijalno samo uL2(r), vidi se odmah da va�zi [ T ; l2 ] = 0; [ T ; lz ] = 0; (6.6.18)tj. T , l2 i lz �cine skup kompatibilnih opservabli. (Da li je ovaj skup kompletan ili ne to ne znamodok ne re�simo zajedni�cki svojstveni problem.)

212 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTAPrimenom metode separacije varijabli (Teoremi T 6.5.1, T 6.5.2) mo�zemo prvo u L2() po�ciod sfernih harmonika Y ml (�; ') kao zajedni�ckog svojstvenog bazisa za I i l2 (on je i vi�se, radijednozna�cne de�nicije, on je standardni bazis za l), a onda u L2(r) re�savati tzv. radijalnisvojstveni problem: [� ~22m(2r ddr + d2dr2 ) + l(l + 1) ~22mr2 ]flE(r) = EflE(r): (6.6.19)Zadatak 6.6.5 Pokazati da (6.6.19) nakon uvodenja talasnog broja k � 0 ( k = p~ , gde je p moduo impulsaslobodne �cestice): k2 = 2mE~2 (6.6.20)i smene nezavisno promenljive � def= kr; (6.6.21)radijalna svojstvena jednakost (6.6.19) postaje[ d2d�2 + 2� dd� + 1� l(l + 1)�2 ]flk(�) = 0; (6.6.22)gde je flk(�) def= flE( �k ) (dakle, flk i flE su nejednake funkcionalne zavisnosti), a k i E su povezani preko (6.6.20).Jedna�cina (6.6.22) poznata je u teoriji specijalnih funkcija kao tzv. sferna Bessel-ova diferen-cijalna jedna�cina. Tra�zi se re�senje ove jedna�cine koje je analiti�cko u celom intervalu [0;1) (dabi bilo u domenu operatora p i H = T = p22m).Kao �sto je poznato, postoji samo jedno re�senje (6.6.22) koje je, kao �sto se ka�ze, regularno unuli. To je tzv. sferna Bessel-ova funkcija jl(�).Rezimiraju�ci �sta smo uradili, mo�zemo re�ci da smo na�sli jednu potpunu klasi�kaciju stanja(uporediti x 3.2.3) slobodne �cestice u vidu tzv. sfernih talasa jl(kr)Y ml (�; ') (nenormiranih).Oni �cine kompletan zajedni�cki svojstveni bazis opservabli T , l2 i lz i de�nisani su kao uop�stenivektori (jl(kr) 2 U(L2(r))) u U(L2(r)) jednozna�cno (s ta�cno�s�cu do faznog faktora) zahtevom daodgovaraju respektivnim svojstvenim vrednostima: E = k2~22m , l(l + 1)~2, m~ (i, prema tome, T ,l2 i lz �cine potpun skup!). Sferni talasi predstavljaju i jedan primer standardnog bazisa za l uL2(r). Pri tome se korelacija pomenuta na kraju prethodnog paragrafa dodu�se ne ispoljava nasvojstvenim vrednostima E (zavise samo od kontinualnog kvantnog broja k), ali je zato o�ciglednoprisutna u odgovaraju�cim svojstvenim vektorima (jer ovi pored k zavise i od l).Zadatak 6.6.6 Pokazati da va�zi vektorska komutaciona relacija ja�ca od (6.6.18) i da iz nje, na osnovu op�steteorije, sledi da energija ne zavisi od magnetnog kvantnog broja.Zadatak 6.6.7 Pokazati da ravni talasi (uporediti (2.9.6)),f e{k�r(2�~)3=2 j �1 � kq � 1; q = x; y; zg; (6.6.23)�cine drugu potpunu klasi�kaciju stanja slobodne �cestice.

6.6. SFERNI HARMONICI KAO STANDARDNI BAZIS 213Dakle, svojstveni problem od T mo�ze da se re�si pomo�cu bilo kog od slede�ca dva kompletnaskupa kompatibilnih opservabli:k def= p~ (T = ~2k22m ); jkj; l2; lz; (6.6.24)koji de�ni�su ravne, odnosno sferne talase (kao zajedni�cki svojstveni bazis).Zadatak 6.6.8 Pretpostavimo da smo �ksirali k i da smo poklopili ort ose z sa ortom od k. Pokazati da prirazvijanju6.6.1 ravnog talasa h r j ki po sfernim talasima imamo samo sumu po l (bez integrala po k i sume pom). Izlo�zeno re�senje dinami�ckog zakona slobodne �cestice (videti x 3.2.3) je naro�cito korisno prikvantno-mehani�ckom opisivanju rasejanja �cestice u polju koje ima ta�ckast izvor, tako da je na�skoordinatni po�cetak, koji je u de�niciji l implicitan, prirodno de�nisan.6.6.6 Sferno-polarna koordinatna reprezentacijaIzomor�zmom mo�zemo prevesti faktorizaciju L2(r; �; ') = L2(r) L2(�) L2(') na analognufaktorizaciju apstraktnog orbitnog prostora stanja �cestice: Ho = Hr H� H'. Obe ovefaktorizacije izra�zavaju na jeziku formalizma istu �zi�cku misao: postojanje radijalnog i dvauglovna stepena slobode �cestice.Mo�ze da se uvede potpuni skup kompatibilnih opservabli6.6.2 r, �, ' uHo. Opservabla r delujeu Hr, ima (uop�steni) svojstveni bazis fj r ij0 � r < 1g sa odgovaraju�cim �cisto kontinualnimspektrom frj0 � r � 1g i kompletna je u Hr. Opservabla � de�ni�se se u H�, ima (uop�steni)svojstveni bazis fj � ij0 � � � �g i �cisto kontinualni spektar f�j0 � � � �g i kompletna je uH�. Opservabla ' se zadaje u H', ima (uop�steni) svojstveni bazis fj ' ij0 � ' < 2�g i �cistokontinualni spektar f'j0 � � < 2�g i kompletna je u H'.Takozvana sferno-polarna koordinatna reprezentacija je reprezentacija u zajedni�ckom svoj-stvenom bazisu od r, �, ': fj r i j � i j ' ij8r; �; 'g. U ovoj reprezentaciji r, �, ' postajumultiplikativni operatori ( tj. to je bazis u kom su oni dijagonalni), a sferni harmonici mogu dase pi�su u vidu Y ml (�; ') = h �; ' j lmi; 8l; m.Uop�steni vektori fj �; 'i def= j � i j 'ij8�; 'g �cine najosnovniji bazis u uglovnom faktor prostoruH def= H� H', a standardni bazis za l predstavlja drugu, veoma va�znu, alternativu bazisa utom prostoru.6.6.7 Ireducibilni invarijantni potprostori�Sto se ti�ce geometrije koja odgovara dijagramu "ormar sa �okama" u L2() (podsetiti se Crte�zaC6.2), Vk je sad Vl, a dimenzija mu je (2l+1)dl = 2l+1, tj. dl = 1, jer l2 i [lz] �cine potpun skup6.6.1Razvijanje ravnih talasa po sfernim videti na primer u: A. Messiah, Quantum Mechanics, 1, str. 358-359(North-Holland, Amsterdam, Amsterdam, 1961).6.6.2Mi smo uveli implicitno uveli faktorizaciju Ho = Hr H� H'. Sistematski potupak bi se sastojao uzamenjivanju osnovnog skupa opservabli r, p novim osnovnim skupom r, Br; �, B�; ', B' u Ho, u kom bioperatori bili funkcije r, p; svaki operator iz jednog para komutirao bi sa svakim operatorom iz bilo kog od drugadva para; r, Br bi, sa svoje strane, kao osnovni skup, de�nisao Hr itd.

214 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTAkompatibilnih opservabli. Drugim re�cima, 2l + 1 sfernih harmonika fY ml jm = �l;�l + 1; :::; lgobrazuju ireducibilni invarijantni potprostor Vl (= Vl;�=1) za vektorski operator l u L2() i to zal = 0; 1; :::.U op�stoj teoriji imali smo otvoren fazni faktor za j k;m = k; � i; 8� (za ostale m vektori sujednozna�cno sledili), a (6.6.14) je ekvivalentno tom izboru faznog faktora. Problem iznala�zenjastandardnog bazisa za l re�sili smo u uglovnom faktor prostoru L2(). Tu smo dobili i pomenuteireducibilne invarijantne potprostore Vl. Sada �cemo pre�ci na celi jedno�cesti�cni orbitni prostorL2(r; �; ').Po�sto smo imali L2() = �1l=0Vl (uporediti (6.3.1) u op�stoj teoriji) i L2(r; �; ') = L2(r) L2() usled distributivnosti (ortogonalnog zbira potprostora u odnosu na direktni proizvod)sledi: L2(r; �; ') = �1l=0L2(r) Vl: (6.6.25)Potprostori L2(r)Vl (l = 0; 1:::) su vi�sestruki invarijantni ireducibilni potprostori u L2(r; �; '),realizacije potprostora Vk iz (6.3.1). Dimenzija ovih potprostora iznosi (2l+1)dl = (2l+1)@0 = @0(@0 | potencija prebrojivo beskona�cnog skupa je dimenzija od L2(r)).6.7 Rotacije u orbitnom prostoru stanja �cesticeU ovom odeljku �cemo prou�citi operatore rotacije u orbitnom prostoru stanja jedne �cestice sane�sto vi�se detalja i u konkretnijoj formi nego �sto smo to u�cinili u slu�caju op�stih rotacija (x 6.4).Odgovori�cemo na slede�ca pitanja: Kakav je odnos rotacija prema osnovnom skupu opservablir i p u Ho? Kako deluju rotacije u koordinatnoj i impulsnoj reprezentaciji? Kako se sferniharmonici menjaju pod delovanjem rotacija?6.7.1 Operatori rotacije u koordinatnoj reprezentacijiU apstraktnom prostoru stanja jedne �cestice Ho operatori rotacije glase: U(�u) = e� {~�u�l (upo-rediti (5.2.10) kao i Stav S 6.4.1).Po�sto je u L2(r): l = �{~r � @@r operator proizvoljne rotacije u koordinatnoj reprezentacijiima vid U(�u) = e��u�(r� @@r ); 8�u iz �-lopte: (6.7.1)Prvo �cemo prou�citi delovanje operatora rotacije (6.7.1) na talasne funkcije (r) 2 L2(r).Teorem 6.7.1 Operatori rotacije deluju u L2(r) na slede�ci na�cin:U(�u) (r) = (R�1(�u)r); 8�u iz �-lopte ; (6.7.2)gde se pod R�1(�u)r podrazumeva proizvod matrice i brojne kolone.Dokaz: I�ci �cemo od DS-e u (6.7.2) ka LS-i. Neka je ort u �ksiran. Posmatrajmo DS-u kao slo�zenu funkciju (�), �(�; r) def= R�1(�u)r. De�ni�su�ci �0 def= �(� = 0; r) = r, razvijmo (�) u Taylor-ov red po � oko �0 = r(pretpostavljaju�ci da je (�) analiti�cka funkcija). U Dodatku x 6.7.7 bi�ce pokazano da se ovaj Taylor-ov red mo�zenapisati u vidu (R�1(�u)r) = e��� @@r (r): (6.7.3)

6.7. ROTACIJE U ORBITNOM PROSTORU STANJA �CESTICE 215S druge strane, da bismo izra�cunali ��, razvijamo �(�; r) u Taylor-ov red po � oko � = 0 (za �ksirano r) i to doprvog reda. U stvari, �� = � d�d���=0 �: (6.7.4)U Dodatku x 6.7.8 vide�cemo da se mo�ze pisati�dR�1(�u)rd� ��=0 = �u� r: (6.7.5)Kada na osnovu � def= R�1(�u)r, (6.7.5) zamenimo u (6.7.4), (6.7.4) onda zamenimo u (6.7.3) i ispermutujemofaktore me�sovitog proizvoda cikli�cno, onda dolazimo do rezultata (R�1(�u)r) = e��u�(r� @@r ) (r): (6.7.6)Uporeduju�ci (6.7.6) i (6.7.1) vidimo da smo dokazali6.7.1 TeoremT6.7.1. Q. E. D.6.7.2 Delovanje na rSad �cemo izvu�ci neke zaklju�cke koji neposredno slede iz Teorema T6.7.1.Korolar 6.7.1 Operatori rotacije u Ho deluju na zajedni�cke svojstvene vektore j r i od r naslede�ci na�cin: U(�u) j r i =j R(�u)r i; 8r; 8�u iz �-lopte : (6.7.7)Dokaz: Ako je r0 �ksirani, a r teku�ci radijus vektor, onda je h r0 j ri = Æ(r0� r) kontinualna brojna kolona kojareprezentuje j r0 i u koordinatnoj reprezentaciji. Preskripcija (6.7.2) daje U(�u)Æ(r0 � r) = Æ(r0 �R�1(�u)r) =Æ(R(�u)r0 � r). Iz ovoga zaklju�cujemo da va�zi (6.7.7) (kad r0 zamenimo sa r). Q. E. D.Zadatak 6.7.1 Dokazati da Æ(r0 �R�1r) = Æ(Rr0 � r).Korolar 6.7.2 Operatori rotacije u Ho imaju slede�ce dejstvo na vektorski operator radijus vek-tora: U(�u)rU�1(�u) = R�1(�u)r; 8�u iz �-lopte : (6.7.8)Treba imati u vidu da je r u (6.7.8) u stvari kolona od tri operatora x; y; z, jer samo tako jemno�zenje sleva matricom R�1(�u) de�nisano.Zadatak 6.7.2 Dokazati (6.7.8).6.7.3 Delovanje na pKorolar 6.7.3 Delovanje operatora rotacije U(�u) u Ho na zajedni�cke svojstvene vektore j p ivektorske opservable p je slede�ce:U(�u) j p i =j R(�u)p i 8p; 8�u iz �-lopte : (6.7.9)6.7.1U stvari dokaz va�zi neposredno samo za analiti�cke funkcije iz L2(r). Medutim, takve funkcije �cine linearnumnogostrukost koja je gusta u L2(r), a U(�u), po�sto je unitaran operator, on je i neprekidan, te se (6.7.2) mo�zepro�siriti i na limese, tj. na sve vektore u L2(r).

216 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTADokaz: Vektor j p i se u L2(r) reprezentuje sa h r j pi = (2�~)� 32 e {~p�r (uporediti (2.9.6)), a rotacija dajeU(�u)(2�~)� 32 e {~p�r = (2�~)� 32 e {~p�(R�1(�u)r) = (2�~)� 32 e {~ (R(�u)p)�r = h r j R(�u)pi. Q. E. D.Korolar 6.7.4 Delovanje operatora rotacije na vektorski operator impulsa u Ho sastoji se uslede�cem: U(�u)pU�1(�u) = R�1(�u)p; 8�u iz �-lopte : (6.7.10)Zadatak 6.7.3 Dokazati (6.7.10).�Citalac �ce lako uo�citi da (6.7.7) i (6.7.9) pokazuju da U(�u) indukuje u P(Ho) delovanjeupravo kakvo o�cekujemo s obzirom na konkretnu prirodu korespondencije stanje $ ansambl izPostulata o stanjima (videti x 2.4.6 i kraj od x 5.2.1). Ovde se opet radi o izomor�zmu �7 saCrte�za C5.2.Dakle, ispostavilo se da za celu Galilejevu grupu stvarno va�zi "komutativnost" donje polovineCrte�za C5.2: �8 Æ �6 Æ �5 = �7. Po�sto �7 bazira u stvari na prva tri Postulata, a alternativni put�8 Æ �6 Æ �5 na Postulatu o kvantizaciji, ovo slaganje pokazuje uzajamnu uskladenost postulata.6.7.4 Operatori rotacije u impulsnoj reprezentacijiSad mo�zemo lako dobiti delovanje rotacija u impulsnoj reprezentaciji.Teorem 6.7.2 Operatori rotacije U(�u) koji deluju na funkcije (p) u impulsnoj reprezentacijiimaju slede�ci vid: U(�u) (p) = (R�1(�u)p); 8�u iz �-lopte : (6.7.11)Dokaz: U(�u) (p) = hp j U(�u) j i = (hp j U(�u)) j i. Po�sto je bra u zagradi dualni vektor od ketaU(�u)y j p i = U(�u)�1 j p i =j R�1(�u)p i (prema (6.7.9)), na kraju dolazimo do U(�u) (p) = (R�1(�u)p).Q. E. D.6.7.5 Rotacije u uglovnom prostoruPostavlja se pitanje kako se rotacije odnose prema faktorizacijiL2(r; �; ') = L2(r) L2(�) L2('): (6.7.12)Teorem 6.7.3 Operatori rotacije u L2(r; �; ') deluju netrivijalno samo u uglovnom faktor pro-storu L2(): U(�u) = Ir U(�u); U(�u) def= e� {~�u�l; (6.7.13a,b)a [lq] (q = x; y; z) dati su sa (6.5.13).Dokaz: Po�sto je U(�u) u L2() dat preko reda P1n=0 (� {~�u�l)nn! , a l = Ir l, imamo U(�u) = Ir P1n=0 (� {~�u�l)nn! = Ir U(�u). Q. E. D.

6.7. ROTACIJE U ORBITNOM PROSTORU STANJA �CESTICE 2176.7.6 Delovanje na sferne harmonikeKao �sto smo videli u odeljku x 6.6, sferni harmonici �cine standardan bazis za l. Prema tome izop�ste formule (6.4.5) (uporediti i K 6.4.2) odmah sledi:U(�u)Y ml (�; ') = lXm0=�lU (l)m0m(�u)Y m0l (�; '): (6.7.14)Name�ce se pitanje ima li LS konkretniji vid na jeziku funkcionalne zavisnosti od � i '.Odgovor �cemo prvo dati za va�zan specijalan slu�caj.Ako se ograni�cimo na podgrupu vrtnji oko (�ksirane) z-ose, onda se kao generator rotacijapojavljuje jedino lz. To zna�ci da i sve doti�cne vrtnje deluju netrivijalno samo u L2('). Bazisf 1p2�e{m'jm = 0;�1�2; :::g u tom faktor prostoru (uporediti kraj paragrafa x 6.5.8) je svojstvenibazis ne samo za [lz]', nego i za svaki operator vrtnje oko z-ose U'('z0) = e� {~'[lz]':U'('z0) 12�e{m' = e�{m' 12�e{m'; (6.7.15)�sto va�zi za �� < ' � � i za svako m.Dakle, operatori vrtnji oko z-ose imaju vidU('z0) = Ir I� U'('z0); (6.7.16)a na sferne harmonike deluju preko formuleU('z0)Y ml (�; ') = e�{m'Y ml (�; '); �� < ' � �; 8m (6.7.17)(uporediti (6.6.7)).Vratimo se op�stem slu�caju, gde je ort rotacije u proizvoljan. Do sada smo sferne polarneuglove �; ' teku�ceg radijus vektora r pisali skra�ceno sa . Sada �cemo ih zameniti ortom v koji de�ni�se na jedini�cnoj sferi. O�cigledno je skup svih ortova biunivoko povezan sa skupom svih(razli�citih) parova sfernih polarnih uglova, simbolom:fvg $ f(�; ') def= g: (6.7.18)Lema 6.7.1 Pi�su�ci sferne harmonike kao Y ml (v) (u smislu (6.7.18)), oni se na slede�ci na�cinmenjaju pod rotacijama:U(�u)Y ml (v) = Y ml (R�1(�u)v) =Plm0=�l U (l)m0m(�u)Y m0l (�; ') : (6.7.19)Dokaz: Iz (6.7.2) za svako f(r) 2 L2(r) sledi: U(�u)f(r)Y ml (v) = f(r)Y ml (R�1(�u)v), a (6.7.13a) daje LS =f(r)U(�u)Y ml (v). Izjedna�cavanje desnih strana dovodi dof(r) [U(�u)Y ml (v)� Y ml (R�1(�u)v)] = 0: (6.7.20)Po�sto jedan od faktora mora biti nula kada je direktni proizvod nula, imamo (6.7.19). Q. E. D.Zadatak 6.7.4 Pokazati da se u slu�caju vrtnje oko z-ose (6.7.19) svodi na (6.7.17).

218 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTA6.7.7 � Dodatak | Dokaz formule (6.7.3)Podimo od analiti�cke kompleksne funkcije vektorskog argumenta (�) i razvijmo je u Taylor-ovred oko ta�cke � = r (tj. �q = q; q = x; y; z): (�) = (r) + Xq=x;y;z(�q � q)[@ (�)@�q ]�=r + 12 Xq;q0=x;y;z(�q � q)(�q0 � q0)[ @2 (�)@�q @�q0 ]�=r + :::Kompaktnije napisano (�) = 1Xn=0 1n! [ Xq=x;y;z��q @@�q ]n�=r (�); �� def= �� r() ��q def= �q� q; q = x; y; z: (6.7.21a,b)U (6.7.21a) imamo u indeksu � = r i to se odnosi samo na n-ti izvod, a ne i na ��q.

Slika 6.5: Uz dokaz (6.7.5).

Stavljanje � = r nakon n-tog diferenciranja se formalnosvodi na smenu promenljive. O�cigledno je svejedno da li �cemouzeti n-ti izvod po �x, �y i �z, pa zatim staviti � = r ili �cemoodmah staviti � = r, pa onda uzeti n-ti izvod po x, y i z.Stoga, (6.7.21a) prelazi u (�) = 1Xn=0 1n! [ Xq=x;y;z��q @@q ]n�=r (r): (6.7.22)Jednakost (6.7.22) se mo�ze prepisati operatorskom eksponen-cijalnom funkcijom: (�) = e��� @@r (r): (6.7.23)6.7.8 � Dodatak | dokaz formule(6.7.5)Sa Crte�za C6.5 odmah se vidi da je u prvom redu veli�cinekR(�u)r� rk � �r sin �, �sto daje (b je ort tetive ~BC, a t orttangente u B): [dR(�u)rd� ]�=0 = lim�!0 � sin �b� = r sin �t = r sin � u� rku� rk :Po�sto je ku� rk = r sin �, [@R(�u)r@� ]�=0 = u� r: (6.7.24)Usled R�1(�u) = R(�(�u)), (6.7.24) daje (6.7.5).Zadatak 6.7.5 Pokazati da je razlika du�zine luka BC i du�zine tetive BC jednaka nuli u prvom redu po malomuglu � (videti Crte�z C 6.5).

6.8. ZEEMAN-OV EFEKAT 2196.8 Zeeman-ov efekatAko se mere energetski nivoi atoma koji se nalazi u spolja�snjem magnetnom polju, nastajepove�canje broja nivoa u odnosu na slu�caj bez spolja�sneg polja. Ova pojava je u prisnoj vezi saoperatorom projekcije uglovnog momenta na pravac magnetnog polja i sa njegovim kvantnimbrojem. U ovom odeljku prou�ci�cemo jedan upro�s�cen model pomenute pojave.6.8.1 Pojam i klasi�cni osnovi Zeeman-ovog efektaProjekcija orbitnog uglovnog momenta lz igra speci��cnu ulogu u obja�snjenju jedne kvantne po-jave koja se naziva Zeeman-ov efekat. Radi se o promeni energetskih nivoa (tj. vrednosti ener-gija) vezane �cestice sa elektri�cnim nabojem (ili sistema ovakvih �cestica) u konstantnom (u tokuvremena) i homogenom (u prostoru) magnetnom polju. Nastaje tzv. cepanje degenerisanogenergetskog nivoa sistema (engleski: splitting) u nekoliko novih nivoa.Da bismo objasnili Zeeman-ov efekat, moramo i ovoga puta po�ci od temelja koji le�ze uklasi�cnoj �zici i to u klasi�cnoj teoriji elektromagnetnih (od sada EM) pojava.Stav 6.8.1 Klasi�cna Hamilton-ova funkcija sistema od Z �cestica sa masama mi i elektri�cnimnabojima qi; i = 1; :::; Z, u EM polju A(r; t), �(r; t) glasi:H = ZXi=1 12mi (pi � qicA(ri; t))2� �Zi=1 qi�(ri; t): (6.8.1)Treba zapaziti da (6.8.1) opisuje neinteraguju�ci sistem �cestica u EM polju.6.8.2 Kvantni hamiltonijanElektromagnetni fenomeni se u kvantnoj mehanici opisuju semiklasi�cno (ili semikvantno) tako dase klasi�cna Hamilton-ova funkcija (6.8.1) kvantuje prelaze�ci na operatore u radijus-vektorskoj re-prezentaciji, tj. u prostoru stanja L2(r1; :::; rZ). Pri tome A(r; t), �(r; t) postaju multiplikativnioperatori (vektorski odnosno skalarni), tj. funkcije od r.U potpuno kvantovanom tretmanu, koji se primenjuje u tzv. kvantnoj elektrodinamici, prvo sekvantuje EM polje drasti�cnijim postupkom nego �sto je upravo opisani prelazak na operatore i takose dobijaju fotoni (kvanti EM polja). Onda se prou�cava interakcija naelektrisanih materijalnih�cestica sa fotonima.Kao �sto smo rekli, u kvantnoj mehanici se hamiltonijan sistema od Z �cestica sa naelektrisanjemdobija prepisuju�ci (6.8.1) na jeziku operatora:H = ZXi=1 12mi (pi � qic A(ri; t))2 � ZXi=1 qi�(ri; t): (6.8.2)Kao �sto je re�ceno u paragrafu x 6.8.1, Zeeman-ov efekat se pojavljuje kad se sistem nalazi uspolja�snjem konstantnom i homogenom magnetnom polju, tj. kada je E(r; t) = 0, B(r; t) = B

220 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTA(gde smo sa E iB obele�zili elektri�cno, odnosno magnetno polje). Na jeziku vektorskog potencijalato mo�zemo prepisati u vidu: A(r; t) = 12B� r; �(r; t) = 0: (6.8.3a,b)Zadatak 6.8.1 Dokazati ovaj iskaz i pokazati da (6.8.3) zadovoljava Coulomb-ovo kalibrisanje. Treba se podsetitiformula E(r; t) = �1c @A(r; t)@t � grad �(r; t); B(r; t) = rotA(r; t) (6.8.4a,b)kao i Coulomb-ovog kalibrisanja r �A(r; t) = 0: (6.8.5)Pre nego �sto zamenimo (6.8.3) u (6.8.2), uo�cimo da va�zi(pi � qic A(ri; t))2 = p2i � qic (pi � A(ri; t) + A(ri; t) � pi) + q2ic2 A2(ri; t): (6.8.6)Zamenom (6.8.3a) u (6.8.6) lako sledi(pi � qic A(ri; t))2 = p2i � qicB � li + q2i4c2B2r2i?; (6.8.7)gde je li def= ri � pi orbitni uglovni moment i-te �cestice, r? je projekcija od r na ravan koja jenormalna na B, a B je moduo od B.Supstitucija jednakosti (6.8.7) u (6.8.2) i to u primeni na elektronski omota�c atoma daje:H = ZXi=1 p2i2me + jej2mecB � L + e2B28mec2 ZXj=1 r2j?; (6.8.8)gde je L def= PZi=1 li vektorski operator ukupnog orbitnog uglovnog momenta omota�ca, me masa,a q = �jej (negativni) elektri�cni naboj elektrona.U hamiltonijan (6.8.8) uklju�cili smo pored kineti�cke energije samo spolja�snje magnetno poljekoje izaziva Zeeman-ov efekat. Po�sto se radi o omota�cu elektri�cno neutralnog atoma rednogbroja Z (u periodnom sistemu), a to je na�s realni �zi�cki sistem u kome posmatramo Zeeman-ovefekat, onda jo�s moramo uklju�citi i spolja�snje Coulomb-ovo polje od jezgra, kao i Coulomb-ovuinterakciju medu elektronima. Tako se iz (6.8.8) najzad dobijaH = ZXi=1 ( p2i2me � Ze2ri ) + ZXi<j e2jri � rjj + jej2mecB � L+ e2B28mec2 ZXj=1 r2j?: (6.8.9)U ostatku ovog odeljka primeni�cemo (6.8.9) na slu�caj jednog elektrona. Imamo u vidu jedanvalentni elektron, tj. elektron van popunjenih ljuski (u atomu alkalnog metala). Pomenutezatvorene ljuske (od Z � 1 elektrona) prakti�cno ne interaguju sa magnetnim poljem u Zeeman-ovom efektu, nego je gotovo sva interakcija ograni�cena na valentni elektron.Radi jednostavnosti izostavi�cemo tzv. screening6.8.1 efekat zatvorenih ljuski, koji se sastoji uznatnom slabljenju privla�cnog dejstva jezgra (zbog zaklanjanja popunjenih ljuski ili, ekvivalentno,zbog odbojnog delovanja elektrona u tim ljuskama).6.8.1Engleski zastiranje, zaklanjanje; �citati: skrining.

6.8. ZEEMAN-OV EFEKAT 221Tako dolazimo do jedno�cesti�cnog hamiltonijana za valentni elektron:H = �~22mer2 � Ze2r + �BB � l+ e2B28mec2 r2?; (6.8.10)gde smo sa �B def= jej2mec ozna�cili tzv. Bohr-ov magneton6.8.2, koji slu�zi kao prirodna jedinica zaorbitni magnetni dipolni moment �l def= ��B l.6.8.3 Ocenjivanje relativne va�znosti �clanova u hamiltoni-januDa bismo grubo ocenili odnos veli�cina �cetvrtog i tre�ceg �clana u hamiltonijanu (6.8.10), pretpo-stavi�cemo da je stanje elektrona j i takvo da za o�cekivane vrednosti u tom stanju va�zi (usmeriv�siz-osu du�z vektora B): h B � l i = Bh lz i � B~; h r2? i � a20; (6.8.11a,b)gde je a0 tzv. Bohr-ov radijus (tj. polupre�cnik vodonikovog atoma), a � zna�ci "reda veli�cine".Na ovaj na�cin se dobija6.8.3 da je odnos "veli�cine" �cetvrtog i tre�ceg �clana u (6.8.10) reda veli�cineB=(1010gaussa).Po�sto se u laboratorijskim uslovima ne posti�zu magnetna polja ja�cine preko 104gaussa, �cetvrti�clan je �sest redova ispod tre�ceg i stoga je zanemarljiv pored njega6.8.4. U nekim vanlaboratorijskimuslovima stvari stoje druga�cije. Na primer, veruje se da na povr�sini tzv. neutronskih zvezdapostoje magnetna polja �cija ja�cina dosti�ze 1012 gaussa. Tu se struktura atoma bitno razlikuje odstrukture na koju nailazimo pod zemaljskim uslovima.Da bismo bili na�cisto sa va�zno�s�cu tre�ceg �clana u (6.8.10), nave�s�cemo i ocenu odnosa njegove"veli�cine" i "veli�cine" Coulomb-ovog (tj. drugog) �clana. Ispostavlja se (videti fusnotu 6.8.3) da jeovaj odnos sli�cnog reda veli�cne: B=(109gaussa). Zna�ci i tre�ci �clan, �ciji uticaj na energetske nivoeelektrona je upravo predmet na�seg prou�cavanja, je zanemarljivo mali u odnosu na Coulomb-ovuenergiju vezivanja elektrona za jezgro6.8.5. Mi �cemo zanemariti �cetvrti �clan, a tre�ci ne, nego �cemoga uzimati u obzir kao malu perturbaciju. Efekti do kojih tre�ci �clan dovodi mogu se posmatratiu laboratoriji.6.8.4 Neperturbisani hamiltonijanKao �sto smo rekli, hamiltonijan (6.8.10) prepisujemo u vidu perturbisanog hamiltonijana (upo-rediti x 3.4.1 u vezi sa terminima iz teorije perturbacije) i tako dolazimo do slede�ceg svojstvenogproblema hamiltonijana: (H0 + �BBlz) (r) = E (r) ; (6.8.12a)6.8.2 Neki autori de�ni�su �B def= � jej2mec , onda odgovaraju�ci �clan u (6.8.10) glasi ��BB � l. Za hadrone (tj. protone,neutrone i druge te�ske elementarne �cestice) kao jedinica za magnetni dipolni moment slu�zi tzv. nuklearni magnetonjej2mpc , gde je e = jej naboj, a mp masa protona.6.8.3 Detaljnije videti u: S. Gasiorowicz, Quantum Physics, John Wiley and Sons, Inc., New York, 212, 1974.6.8.4Kao �sto je poznato iz atomske �zike, ovaj mali �cetvrti �clan u (6.8.10) je u vezi sa tzv. dijamagnetizmom.6.8.5Po�sto smo izostavili screening efekat zatvorenih ljuski, mi u stvari u svojoj proceni znatno natcenjujemoveli�cinu energije vezivanja elektrona za Coulomb-ovo polje od jezgra.

222 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTAgde je H0 def= � ~22mer2 � Ze2r (6.8.12b)neperturbisani hamiltonijan. Sabirak �BBlz je perturbacija.U paragrafu x 6.6.5 uverili smo se da je operator kineti�cke energije T def= � ~22mer2 kompatibilansa l2 i lz. Po�sto Coulomb-ov potencijal�Ze2r deluje netrivijalno samo u radijalnom faktor prostoruL2(r), a l samo u L2(), to imamo [ H0; l2 ] = [ H0; lz ] = 0. Stoga i za problem vodoniku-sli�cnog atoma | kao �sto �cemo svojstveni problem od H0 datog sa (6.8.12b) zvati u odeljkux 9.1 | mo�zemo potpunu klasi�kaciju stanja u L2(r) dobiti putem direktnog proizvoda sfernihharmonika iz L2() sa re�senjina radijalne jedna�cine (drugi korak u separaciji varijabli).Sada �cemo samo anticipirati rezultate (za detaljniji tretman videti x 9.1). Energetski nivoi odH0, ozna�cava�cemo ih sada sa E0nl, zavise6.8.6 pored l i od jednog drugog kvantnog broja n (tzv.glavni kvantni broj).Odgovaraju�ce (s ta�cno�s�cu do faznog faktora) jednozna�cno odredene svojstvene vektore pisa�cemou vidu Rnl(r)Y ml (�; '). Ovi svojstveni vektori �cine standardan bazis za l.6.8.5 Perturbacija i cepanje nivoaKao �sto smo videli, pomenuti vektori Rnl(r)Y ml (�; ') 2 L2(r) su svojstveni vektori za lz, testoga i za perturbaciju u (6.8.12a). Iz ovoga odmah sledi da energetski nivoi perturbisanoghamiltonijana (6.8.12a) glase:Enlm = E0nl +m~�BB; m = �l; :::; l : (6.8.13)Cepanje neperturbisanog nivoa E0nl, (tj. nivoa sa B = 0) na 2l + 1 ekvidistantnih nivoa |�sto je u stvari Zeeman-ov efekat | ilustrovano je na Crte�zu C6.6 za l = 1 (tzv. p nivo).m = 0m = 1m = �1E0nll = 1 Enlm����HHHHSlika 6.6: Cepanje nivoa.Treba uo�citi da je nivo sa negativnom vredno�s�cu mag-netnog kvantnog broja m ni�zi od neperturbisanog, tj. da jeenergija vezivanja elektrona u magnetnom polju Zeeman-ovogefekta (a "vezivanje" po de�niciji zna�ci negativan energetski�clan, tj. sni�zenje nivoa) najve�ca ako je orbitni uglovni mo-ment l orijentisan antiparalelno sa B. Za proton ili pozitronbilo bi obratno (zbog obratnog naboja).Veli�cinam�B~ se naziva projekcijom magnetnog dipolnogmomenta �B l na pravac magnetnog polja B. Perturbacija je u stvari sprezanje ovog orbitnogmagnetnog dipola sa spolja�snjim magnetnim poljem.Ba�s od uloge koju kvantni broj m igra u Zeeman-ovom efektu, tj. od (6.8.13), i poti�ce naziv"magnetni" za ovaj kvantni broj.6.8.6Vide�cemo u (9.1.23) da nivoi hamiltonijana datog sa (6.8.12b) u stvari ne zavise od l, tj. da su degenerisani pol. Ova degeneracija se prirodno uklanja kada se uzme u obzir tzv. spin-orbitno sprezanje i relativisti�cka korekcija,tzv. �na struktura (x 9.1.10). Za diskusiju u ovom odeljku pogodnije je uzimati nivoe iz �ne strukture za E0nl.

6.9. UNUTRA�SNJI MAGNETNI DIPOL I SPIN ELEKTRONA 2236.8.6 Zavr�sne napomeneU ovom odeljku smo izlo�zili tzv. naivnu teoriju Zeeman-ovog efekta. Naime, pokaza�ce se da na�smodel sa jednim (valentnim) elektronom bez spina ne odgovara realnosti. Formula (6.8.13) jeipak u stvari ta�cna ali sa potrebnim izmenama (u datoj aproksimaciji): m i lz treba zamenitiodgovaraju�cim mnogoelektronskim veli�cinama MJ odnosno Jz ( J je ukupni uglovni momentelektronskog omota�ca).Izlo�zeni efekat se sastoji u cepanju na neparan broj (ta�cno 2l + 1) energetskih nivoa. To jetzv. normalni Zeeman-ov efekat. Kao �sto �cemo videti u x 6.9.3 i u x 7.4.5, postoji i tzv. anomalniZeeman-ov efekat, u kom se vr�si analogno cepanje (izazvano istim magnetnim poljem B) ali naparan broj nivoa.6.9 Unutra�snji magnetni dipol i spin elektronaU ovom odeljku izlo�zi�cemo ukratko eksperimentalno-istorijski put kojim se do�slo do saznanjada elementarne �cestice | kao na primer elektron | imaju pored orbitnog i unutra�snji uglovnimoment ili spin. Formulisa�cemo sedmi postulat | Postulat o unutra�snjim stepenima slobode |kako bismo omogu�cili konstrukciju spinskog prostora u slede�cem odeljku.6.9.1 UvodIz op�ste teorije uglovnog momenta znamo da su mogu�ce i polucele vrednosti kvantnog brojauglovnog momenta (tj. poluceli k). S druge strane, iskustvo nas u�ci da priroda ostvaruje sveosim �sto joj je zabranjeno prvim principima. Zato nas ne iznenaduje da elementarne �cestice(elektroni, neutroni, njihove anti�cestice itd.) imaju poluceli unutra�snji uglovni moment.Mi smo, naravno, invertovali istorijski razvoj, kao �sto deduktivna teorija po pravilu �cini.Teorija op�steg uglovnog momenta je istorijski do�sla na kraju, kao kruna jednog induktivnogidejnog razvoja uglovnog momenta i rotacija u kvantnoj mehanici. U ovom odeljku �cemo zatrenutak zaboraviti op�stu teoriju; ima�cemo u vidu samo teoriju orbitnog uglovnog momentakoja je ve�c bila poznata prvih godina tre�ce decenije ovog veka kada je izvr�sen Stern-Gerlach-oveksperiment.6.9.2 Stern-Gerlach-ov eksperimentU ovom eksperimentu snop paralelnih atoma srebra, na primer propu�stenih kroz tzv. kolimator(vidi Crte�z (C 6.7)), prolazi kroz nehomogeno magnetno polje u kome se cepa na dva dela. Nadetektoru se pojavljuju dve mrlje Ag atoma.O �cemu se tu radi? Videli smo u naivnoj teoriji Zeeman-ovog efekta (x 6.8) da spolja�snjemagnetno polje B "vidi" valentni elektron koji kru�zi oko zatvorenih ljuski (u prvoj aproksimaciji)kao magnetni dipol (orbitni, za razliku od unutra�snjeg o kome �ce biti re�ci ni�ze). Potencijalnaenergija elektrona, koji ima operator magnetnog dipolnog momenta i koji se nalazi u magnetnompolju B(r) je (kao �sto smo videli u (6.8.10) i ispod toga):V (r) = ��l �B(r): (6.9.1)

224 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTA���-@@Ru kolimator

magnet detektorSJ ���� �� ���� ��PP PP PPHH HH HH HH�� �� ju ���@@@snopSJ6 -�� 6� ��zx x zyyizvor A BSlika 6.7: Stern-Gerlach-ov eksperiment.U pomenutom slu�caju normalnog Zeeman-ovog efekta magnetni dipolni moment je poticaood kru�znog kretanja elektrona u njegovoj atomskoj ljusci i dipolni moment se mogao napisati uvidu operatora �l = � jej2mec l = ��B l: (6.9.2)Mo�ze se o�cekivati da u dobroj aproksimaciji i magnetno polje u Stern-Gerlach-ovom eksperi-mentu "vidi" Ag atom kao magnetni dipol, tj. da va�zi (6.9.1). Po�sto je B(r) nehomogeno polje,na atom srebra deluje sila F = �rV (r). Magnetni polovi (S i J) su konstruisani tako da B(r)ima pribli�zno homogen smer i to pribli�zno du�z z-ose (u oblasti snopa), a intenzitet mu se naglomenja. Prema tome, sila koja deluje6.9.1 jeF � ��B @B(z)@z lzz0; (6.9.3)gde je z0 ort z-ose (videti Crte�z C 6.7).Neutralni Ag atom ima 47 elektrona (videti Crte�z C 6.7), od toga 46 popunjavaju zatvoreneljuske (ljuske inertnog kriptona i 10 elektrona u �cetvrtoj d, tj. l = 2, ljusci), a jedan valentnielektron nalazi se u s (tj. l = 0) stanju. U zatvorenim ljuskama se svi magnetni momentiuzajamno kompenzuju i one ne pokazuju magnetne osobine. Drugim re�cima, B "vidi" samomagnetni dipolni moment valentnog elektrona.Ako bi ovaj elektron bio u p stanju (tj. imao l = 1), (6.9.3) bi se svelo naFz � � jej2mec � @B(z)@z m~; m = �1; 0; 1; (6.9.4)�sto bi dalo tri mrlje na detektoru6.9.2. I svako drugo stanje bi dovelo do neparnog broja (2l + 1)mrlja i jedan deo snopa (koji odgovara m = 0) ne bi uop�ste bio skrenut. Medutim, valentni6.9.1U tipi�cnom Stern-Gerlach-ovom eksperimentu @B(z)@z � 250:000gaussa/cm. Toliki stepen nehomogenosti poljaje potreban da bi se dobilo makroskopsko skretanje delova snopa.6.9.2 �Citalac je zapazio da pona�sanje �cestica u magnetnom polju Stern-Gerlach-ovog uredaja opisujemo semi-klasi�cno. Naime, kada se radi o �cesticama dovoljno velike mase, onda se snop �cestica kvantno opisuje talasnimpaketom koji se vrlo sporo rasipa, tj. pona�sa se kao klasi�cna �cestica. Da bismo postigli veliku masu, kori-stimo se atomima kao prenosiocima valentnih elektrona; sami goli elektroni bi pretrpeli speci��cne kvantne efekteinterferencije.

6.9. UNUTRA�SNJI MAGNETNI DIPOL I SPIN ELEKTRONA 225elektron u atomu srebra je, kao �sto smo rekli, u s stanju i stoga on (kao ni zatvorene ljuske)nema orbitalni magnetni dipolni moment.Eksperimenti sa drugim atomima sa po jednim valentnim elektronom u s stanju, kao naprimer sa atomima H, Li, Na, K, takode su dali dve mrlje na detektoru u Stern-Gerlach-ovomeksperimentu. Isto je bio slu�caj i sa atomima Tl (Thallium), koji imaju jedan valentni elektronu p stanju (samo su tu mrlje bile bli�ze jedna drugoj, videti sli�cno u slu�caju Zeeman-ovog efekta,kraj x 7.4.5).Tako je eksperimentalno bila utvrdena �cinjenica da elektron ima unutra�snji magnetni dipolnimoment konstantne veli�cine, �ciji se smer u datom magnetnom polju mo�ze orijentisati na dvana�cina: gore ili dole.6.9.3 Anomalni Zeeman-ov efekatNaporedo sa Stern-Gerlach-ovim eksperimentima unutra�snji magnetni moment elektrona u sstanju ispitivan je i putem Zeeman-ovog efekta.Za razliku od normalnog Zeeman-ovog efekta (videti x 6.8) u ovom slu�caju se energetski nivoatoma (zapravo energetski nivo valentnog elektrona) cepao na dva nivoa u analogiji sa dve mrljeu Stern-Gerlach-ovom eksperimentu, a u skladu sa pomenutom tzv. prostornom kvantizacijom(kvantizacijom orijentacije) unutra�snjeg magnetnog dipolnog momenta elektrona. To je bio pri-mer anomalnog Zeeman-ovog efekta.6.9.4 Hipoteza spinaStern-Gerlach-ov eksperiment i anomalni Zeeman-ov efekat naveli su Goudsmit-a i Uhlenbeck-a(�citati: Gaudsmit i Ulenbek) 1925. godine da postave hipotezu postojanja unutra�snjeg uglovnogmomenta ili tzv. spina kod elektrona, �ciji se kvantni broj ozna�cava slovom s i ima samo jednuvrednost s = 12 (s je realizacija od k iz x 6.2).Na osnovu ove hipoteze, po analogiji sa (6.9.2), operator unutra�snjeg magnetnog dipolnogmomenta elektrona mo�ze da se pi�se u vidu�s = �gs jej2mec s; (6.9.5)gde je s vektorski operator spina, a gs tzv. giromagnetski ili Lande-ov faktor. Za elektron jeu dobroj aproksimaciji gs = 2, kao �sto se teorijski i dobija u Dirac-ovoj relativisti�ckoj kvantnojmehanici elektrona, a eksperimentalno se to potvrduje6.9.3.Da�cemo sad precizniju formu Goudsmit-Uhlenbeck-ove hipoteze spina:a) Svaka kvantna �cestica ima unutra�snji uglovni moment ili spin, a njegov kvantni broj s imasamo jednu i to nepromenljivu vrednost, koja je jedna od osnovnih fenomenolo�skih osobina�cestice, naporedo sa masom, elektri�cnim nabojem itd. Kvantni broj s mo�ze biti ceo ilipoluceo broj.6.9.3Ispostavilo se da i proton i neutron imaju spin s = 12 , takode va�zi i za njih analogon od (6.9.5): �s = �gs jej2mpc s(uporediti fusnotu 6.8.2).

226 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTAb) Ako s 6= 0, kvantna �cestica ima operator unutra�snjeg magnetnog dipolnog momenta �s =gs q2mc s (q je elektri�cni naboj �cestice), koji se �zi�cki ispoljava, u analogiji sa orbitnim mag-netnim dipolnim momentom �l, na primer kao �clan ��s � B u hamiltonijanu �cestice uprisustvu konstantnog i homogenog magnetnog polja B. Giromagnetski faktor gs je takodefenomenolo�ska osobina �cestice.Treba napomenuti da mo�ze biti s = 0 (kao kod �� i K� mezona), kada spin mo�zemo izostavitiu formalizmu; a takode mo�ze biti s = 1 kao u slu�caju fotona, kvanta elektromagnetnog polja.�Cestice sa polucelim spinom s nazivaju se fermionima, a �cestice sa celim spinom bozonima.Po�sto u prethodnom paragrafu opisana svojstva ireducibilnih reprezentacija Galilejeve grupepredstavljaju saznanja novijeg porekla, opisani nerelativisti�cki teorijski okvir za m i s je teknedavno izgraden.Medutim, odavno je poznato da ireducibilne reprezentacije Poincare-ove grupe (relativisti�ckoganalogona Galilejeve grupe) uvode spin i masu analogno kao �sto smo gore opisali za Galilejevugrupu.6.9.5 Paradoks spinaMo�zemo da poku�samo da formuli (6.9.5) pripi�semo �zi�cki smisao u analogiji sa formulom (6.9.2):unutra�snji dipolni magnetni moment je funkcija spina, prema tome mora da je posledica nekogrotiranja elektri�cnosti unutar elektrona oko njegove ose, analogno kao �sto Zemlja ima rotacijuoko ose. To bi bila jo�s jedna realizacija Amp�ere-ove hipoteze o elektri�cno-cirkulatornom poreklusvake magneti�cnosti.Sad smo do�sli do paradoksa: govorimo o kru�zenju elektri�cnosti "unutar" elektrona, a s drugestrane elektron, kao i svaku drugu �cesticu u nerelativisti�ckoj kvantnoj mehanici, zami�sljamokao materijalnu ta�cku da bismo �sto jednostavnije interpretirali svojstvene vrednosti r opservableradijus-vektora �cestice.Videli smo u paragrafu x 4.1.6 da slobodnu �cesticu mo�zemo (sa proizvoljnom pribli�zno�s�cu)lokalizovati u ta�cki samo po cenu neograni�cenog pove�cavanja njene kineti�cke energije (zbog rela-cija neodredenosti izmedu koordinate i impulsa). Vezanu �cesticu mo�zemo analogno lokalizovatipo cenu neograni�ceno velikih potencijala, koji �ce da kompenzuju kineti�cku energiju (uporeditifusnotu 4.1.8). Sve je to ipak zamislivo u okvirima nerelativisti�cke kvantne mehanike, ali postajeprili�cno nerealno. Medutim, u kvantnoj mehanici se ipak ostaje pri pomenutoj iluziji materijalneta�cke.Bilo je poku�saja da se elementarne �cestice tretiraju kao da ispunjavaju izvesnu zapreminu ikao da imaju unutra�snju strukturu, ali ovi poku�saji nisi nai�sli na �siri prijem kod kvantnih �zi�cara,ako ni�sta drugo, ve�c i zbog slo�zenosti modela koji predla�zu6.9.4.U preostala dva paragrafa �cemo videti na koji na�cin se ideja unutra�snjeg porekla dipolnogmomenta �s realizuje u kvantnoj mehanici. To se �cini na jedan apstraktan i formalan na�cin ukom bi Amp�ere te�sko prepoznao realizaciju svoje pomenute hipoteze.6.9.4Eksperimenti rasejanja elektrona koje je vr�sio ameri�cki �zi�car Hofstadter sa svojom ekipom pokazali su dana primer proton i neutron zapremaju kona�cne volumene. Po svoj prilici, nijedna elementarna �cestica nije ta�cnomaterijalna ta�cka. Kvantna mehanika tu �cini jedno pojednostavljenje, idealizaciju. Mo�zda �ce se u budu�cnostiuneti ve�ca rezolucija u njenu interpretaciju.

6.9. UNUTRA�SNJI MAGNETNI DIPOL I SPIN ELEKTRONA 2276.9.6 Postulat o unutra�snjim stepenima slobode �cesticePostulat o kvantizaciji klasi�cnih varijabli omogu�cio nam je u odeljcima x 2.5 i x 2.6 da konstrui�semoorbitni prostor stanja Ho �cestice. Sad je do�slo vreme da se zapitamo da li je ovaj prostor dovoljnobogat (kvantno-mehani�ckom strukturom) da se u njemu izraze sve mogu�ce kvantno-mehani�ckeosobine �cestica. Ve�c smo u x 2.6.6 u stvari dali negativan odgovor na ovo pitanje ukazav�si na�cinjenicu prili�cne raznovrsnosti kvantnih �cestica, a s druge strane Ho je jedan te isti. U ovomodeljku se postavlja pitanje da li se konkretno �s mo�ze de�nisati u Ho.Pre svega se mora regulisati logi�cki status pro�sirenja Ho.VII POSTULAT O UNUTRA�SNJIM STEPENIMA SLOBODESvaka kvantna �cestica ima pored orbitnih i unutra�snje stepene slobode, kojiulaze u formalizam kvantne mehanike preko jednog ili vi�se faktor prostorasa kojima se Ho mno�zi direktno.U odeljku x 2.6 smo videli da se direktni proizvod faktor prostora stanja pojavljuje kao priro-dan na�cin da se u formalizmu izrazi kompozicija materijalnih podsistema, tj. na primer prelazaksa dve pojedina�cne �cestice na dvo�cesti�cni sistem. Postulat VII ovu ideju pro�siruje6.9.5 i na nema-terijalne podsisteme: na tzv. kinemati�cke stepene slobode6.9.6.Kinemati�cki stepeni slobode dele se na orbitne i na unutra�snje. U orbitne spada kako ceoHo, tako i njegovi faktori Hq; q = x; y; z ili Hr, H�, H'. Sa gledi�sta kvantne mehanike prvi inajva�zniji unutra�snji stepen slobode je spinski. Njegovom detaljnom izlaganju u s = 12 posve�cenje slede�ci odeljak. Neke druge unutra�snje stepene slobode, kao �sto su izospin i SU(3) simetrija,opisa�cemo u odeljcima x 8.5, odnosno x 8.6. Ovo pitanje se detaljnije izu�cava u kursu posve�cenomisklju�civo elementarnim �cesticama.Kao �sto smo opisali, istorijski je spin u�sao u kvantnu mehaniku putem hipoteze baziranena rezultatima Stern-Gerlach-ovog eksperimenta i anomalnog Zeeman-ovog efekta. Medutim, usavremenom deduktivnom prilazu kvantne mehanike, kakvom je ovaj ud�zbenik posve�cen, poja-vljivanje spina omogu�cuje Postulat o unutra�snjim stepenima slobode.Pomenuti Postulat izri�ce nu�znost bar nekog unutra�snjeg stepena slobode, ali �sto se ti�ce sa-mog spina, samo otvara mogu�cnost njegove pojave. Nu�znost uvodenja spina teorijski poti�ce odireducibilnih reprezentacija Galilejeve grupe. Naime, u teoriji reprezentacija Galilejeve grupe (iodgovaraju�ce Lie-jeve algebre | u su�stini osnovnog skupa opservabli r i p u Ho) pokazuje seda svaku ireducibilnu reprezentaciju karakteri�su dva kvantna broja. Prvi mo�ze imati vrednostbilo kog nenegativnog broja i interpretira se kao masa �cestice, a drugi ima celu ili polucelu ne-negativnu vrednost i po svojoj vezi sa rotacionom grupom R(3) jasno je da je to upravo na�s6.9.5 �Citaocu koji je ve�c malo upu�cen u kvantnu �ziku mo�ze se u�ciniti da bi postulat VII trebalo samo da dozvolimogu�cnost | a ne da zahteva nu�zno | unutra�snje stepene slobode �cestica. Medutim, pogled na tabelu Tb 8.1osnovnih hadrona pokazuje da tu nemamo �cestice bez unutra�snjih stepena slobode. Mezoni, na primer, nemajuspin (tj. s = 0), ali imaju izospin. �Sto se ti�ce leptona (tj. lakih �cestica kao �sto su elektron, �-mezon i njihoveanti�cestice; neutrina), to su sami fermioni sa spinom s = 12 .6.9.6 Dok su kinemati�cki stepeni slobode karakterisani direktnom faktorizacijom prostora stanja, dinami�cki stepenislobode, nasuprot tome, de�nisani su samo pojedinim �clanovima u hamiltonijanu kvantnog sistema. Tu spadajuna primer rotacioni stepen slobode (videti kruti rotator u x 10.1.5), vibracioni itd.

228 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTAspin s. Videti, na primer, drugu referencu u fusnoti 5.1.4). Teorija ireducibilnih reprezentacijaGalilejeve grupe je previ�se slo�zena za elementaran kurs kao �sto je ovaj.Teorijsko poreklo spina je noviji rezultat. Odavno je poznato da ireducibilne reprezentacijePoincare-ove grupe (relativisti�ckog analogona Galilejeve grupe) uvode spin i masu analogno kao�sto smo opisali.6.10 Formalizam spina s = 12Ovaj odeljak �cemo posvetiti detaljnom izlaganju Pauli-jeve teorije elektrona, kako se ponekadnaziva formalizam spina s = 12 . Konstruisa�cemo spinski faktor prostor stanja Hs na osnovuvektorske opservable spina s. Prou�ci�cemo standardni bazis u Hs, matrice koje reprezentujuvektorski operator spina i spinske rotacije u tom bazisu. Upozna�cemo se sa tom drugom (ekviva-lentnom) varijantom spinskog formalizma: sa dvokomponentnim talasnim funkcijama. Na kraju,objasni�cemo ideju heliciteta.6.10.1 �Cestice spina s = 12Ukupni prostor stanja �cestice sa unutra�snjim magnetnim dipolnim momentom ima u Pauli-jevojteoriji dva direktna faktora: Hu = Ho Hs : (6.10.1)Prvi faktor je orbitni prostor stanja, a drugi faktor je tzv. spinski prostor od 2s+ 1 dimenzija uop�stem slu�caju.Spinski kvantni broj s je 12 ne samo za elektron, ve�c i za proton, neuton, pozitron, antiproton,antineutron, za � i � hiperone itd. Dakle, tu spadaju najva�znije elementarne �cestice elektroni proton, koje su potpuno stabilne (tj. ne pretvaraju se u drugu elementarnu �cesticu) i slu�zekao osnovne ciglice za izgradnju elektronskih omota�ca atoma, odnosno jezgara i preko njih svihmaterijalnih tela. Neutron nije stabilan kad je slobodan, raspada se na proton, elektron i naelektronov antineutrino. U vezanom stanju u jezgru neutron postaje stabilan i stoga predstavljatre�cu najva�zniju elementarnu �cesticu sveta, a takode ima spin s = 12 .Kao �sto je ve�c re�ceno, �cestice sa polucelim spinom s nazivaju se fermioni. �Cestice �ciji jespin ceo broj nazivaju se bozoni. Najva�zniji bozoni su (bezmaseni) kvanti elektro-magnetnogzra�cenja, tzv. fotoni, �ciji je spin, pojednostavljeno re�ceno, s = 1 (u stvari imamo ili zz = 1 |foton sa desnim helicitetom ili sz = �1 | levi helicitet; vrednost sz = 0 zbog relativisti�ckihrazloga nije mogu�ca). Nazivi "fermion" i "bozon" poti�cu od �cinjenice da se ove �cestice opisujurazli�citim statistikama: Fermi-Dirac-ovom fermioni, odnosno Bose-Einstein-ovom bozoni ("Bose"treba �citati: Bouz). Videti o ovome detaljnije u x 9.3.6.6.10.2 Spinski faktor prostor i standardni bazisU ovom odeljku ograni�cavamo se na najva�zniji specijalni slu�caj spina s = 12 . Spinski faktorprostor de�ni�semo kao apstraktni Hilbert-ov prostor i zbog toga mo�zemo na�se rezultate za op�stiuglovni moment K neposredno da speci�kujemo na ovaj slu�caj pi�su�ci s za vektorski operatorspina (umesto K iz x 6.1 do x 6.4).

6.10. FORMALIZAM SPINA S = 12 229Po de�niciji, komponente vektorske opservable spina sx, sy i sz �cine osnovni skup opservabliu Hs. U tom prostoru sz (ili umesto nje sx ili sy) je kompletna opservabla. Stoga u standardnombazisu u vektorima j km� i ne samo da � nije potrebno, nego ne moramo pisati ni k = s = 12 (toje karakteristika samog Hs). Standardni bazis u Hs pi�semo prosto u vidufj + i; j � ig; (6.10.2)ozna�cavaju�ci kratko sa "+" ms = 12 , a sa "-" ms = �12 .Zahtev da je s osnovni skup opservabli u Hs ima za posledicu da je Hs ireducibilan za s(uporediti x 2.5.3). Na jeziku "ormara sa �okama" (C6.2), Hs se sastoji od jedne jedine kolonedu�zine 2s+ 1 = 2.Zadatak 6.10.1 Prodiskutovati analogiju izmedu konstrukcije Ho iz zahteva da je r, p osnovni skup opservabliu njemu (x 2.5 i x 2.6) i opisane konstrukcije prostora Hs.6.10.3 Pauli-jeve matriceKada s reprezentujemo u standardnom bazisu (6.10.2), op�ste jednakosti (6.3.10)-(6.3.12) dajuza matrice s: (sz)ms;m0s = Æms;m0sms~; (6.10.3a)(sx)ms;m0s = 12~r34 �msm0s(Æms;m0s+1 + Æms;m0s�1); (6.10.3b)(sy)msm0s = 12{~r34 �msm0s(Æms;m0s+1 � Æms;m0s�1): (6.10.3c)Takozvane Pauli-jeve matrice � def= f�x; �y; �zg su de�nisane slede�com vektorskom matri�cnomjednako�s�cu: s def= 12�~: (6.10.4)Zadatak 6.10.2 Pokazati da se (6.10.3a)-(6.10.3c) svode na�z = � 1 00 �1� ; �x = � 0 11 0� ; �y = � 0 �{{ 0 � : (6.10.5)Zadatak 6.10.3 a) Objasniti kako je mogu�ce da je matri�cna reprezentacija s operatora s jednozna�cna iako jestandardni bazis de�nisan nejednozna�cno. b) Provesti analognu diskusiju za op�sti uglovni moment.Zadatak 6.10.4 Pokazati da Pauli-jeve matrice zadovoljavaju slede�ce specijalne relacije:�2x = �2y = �2z = 1; (6.10.6)�x�y = ��y�x = {�z; �y�z = ��z�y = {�x; �z�x = ��x�z = {�y; (6.10.7)�x�y�z = {; (6.10.8)Tr�x = Tr�y = Tr�z = 0; (6.10.9)det�x = det�y = det�z = �1: (6.10.10)Relacije (6.10.7) zna�ce da dve razli�cite Pauli-jeve matrice antikomutiraju:[ �q; �q0 ]+ = f�q; �q0g def= �q�q0 + �q0�q = 0; q 6= q0; q; q0 = x; y; z: (6.10.11)

230 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTA6.10.4 Spinske rotacije�Sto se ti�ce rotacija u spinskom faktor prostoru Hs, ili preciznije, �sto se ti�ce unitarnih operatoraUs(�u) koji su u Hs reprezentanti rotacija R�u u obi�cnom prostoru, oni su dati saUs(�u) = e� {~�u�s; 8�u iz �-lopte; (6.10.12)kao �sto neposredno sledi primenom op�ste formule date u Stavu S 6.4.1. U standardnom bazisu(6.10.2) matri�cni reprezentant mo�zemo da pi�semo na osnovu (6.10.4) u viduUs(�u) = e� {2�u��: (6.10.13)Zadatak 6.10.5 Pokazati da projekcija vektorske Pauli-jeve matrice � na proizvoljan ort u, tj.�u def= u � � = ux�x + uy�y + uz�z (6.10.14)(u je brojni vektor), ima slede�ci vid: �u = � uz ux � {uyux + {uy �uz � ; (6.10.15)i slede�ce osobine: �2pu = I; p = 1; 2; :::; �2p+1u = �u; p = 0; 1; :::; (6.10.16)gde je I jedini�cna 2� 2 matrica.Zadatak 6.10.6 Pokazati da se (6.10.13) svodi naUs(�u) = cos �2 � {�u sin �2 ; 8�u iz �-lopte : (6.10.17)(Indikacija: Po�ci od de�nicije eksponencijalne funkcije preko reda i iskoristiti formule cos� = P1n=0(�1)n �2n(2n)! ,sin� =P1n=0(�1)n �2n+1(2n+1)! .)Na prvi pogled izgleda da (6.10.17) daje jednozna�cno matricu rotacije za svaki element �-lopte. Medutim, kad se setimo da �u i �(�u), za svako u, de�ni�su isti element �-lopte (i isturotaciju), moramo proveriti da li te dve ta�cke daju istu matricu preko (6.10.17).Zadatak 6.10.7 Pokazati da va�zi Us(�u) = �{�u; 8u; (6.10.18)Us(�(�u)) = �{�u = �Us(�u); 8u: (6.10.19)Iz (6.10.19) vidimo da elementu f�u; �(�u)g �-lopte odgovaraju dve matrice: �Us(�u).Po�sto R�u = R(���)(�u)R�u za svako �u iz �-lopte, a pridru�zivanje operatora Us(�u) ili matriceUs(�u) klasi�cnim rotacijama je homomor�zam6.10.1 (uporediti Stav S 6.4.1), Us(�u) = Us((� ��)(�u))Us(�u) i o�cigledno je da ne mo�zemo izbe�ci dvozna�cnost matri�cne reprezentacije Us(�u).6.10.1 Mi smo u Stavu S 6.4.1 i fusnoti 6.4.1 govorili o "homomor�zmu s ta�cno�s�cu do znaka". Ali ako zamislimoda klasi�cnoj rotaciji R�u pridru�zujemo skup od dve matrice �Us(�u) i de�ni�semo mno�zenje tih skupova prekopredstavnika: (�Us(�u))(�Us( v)) = �Us(�u)Us( v), onda u stvari imamo pravi homomor�zam.

6.10. FORMALIZAM SPINA S = 12 2316.10.5 Euler-ovi uglovi i pojam spinoraKao �sto smo videli u paragrafu x 6.1.5, rotacija u obi�cnom prostoru mo�ze biti zadata sa tri Euler-ova ugla umesto elementom �-lopte. Ako jednakost (6.1.8), koja glasi R[�; �; ] = R�z0R�y0R z0 ,reprezentujemo matricama rotacija, dolazimo do jednakosti:Us(�; �; ) = Us(�z0)Us(�y0)Us( z0): (6.10.20)Po�sto je interval de�nisanosti Euler-ovih uglova 0 � � < 2�, 0 � � � �, 0 � < 2�, da bismokorektno pre�sli na elemente �-lopte, de�ni�semo�0 def= ��; � � ��� 2�; � > � ; 0 def= � ; � � � 2�; > � ; (6.10.21)onda (6.10.20) mo�zemo da prepi�semo preciznije kaoUs(�; �; ) = Us(�0z0)Us(�y0)Us( 0z0); (6.10.22)pri �cemu se "�" u (6.10.21) odnosi na odgovaraju�ci ort u (6.10.22) (npr., pod (� � 2�)z0 pod-razumevamo (2� � �)(�z0)). Formula (6.10.17) zamenjena u (6.10.22) onda daje:Us(�; �; ) = (cos �02 � {�z sin �02 )(cos �2 � {�y sin �2 )(cos 02 � {�z sin 02 ) (6.10.23)(ukoliko se u (6.10.21) uzima druga alternativa sa minusom napisana, onda se u (6.10.23) "{"zamenjuje da "�{", kao �sto odmah sledi iz (6.10.15)).Zadatak 6.10.8 Pokazati da se (6.10.23) svodi na slede�cu matricu kojoj je jednaka Us(�; �; ): e�{�02 cos �2 e�{ 02 �e�{�02 sin �2 e{ 02e{�02 sin �2 e�{ 02 e{�02 cos �2 e{ 02 ! (6.10.24)(naravno i ovde se "{" zamenjuje sa "�{" pored �0 ili 0 ako va�zi druga alternativa u (6.10.21)).Grupa svih rotacija u Hs (bez obzira na izbor Lie-jevih parametara) je tzv. spinorna (ilik = 12) ireducibilna reprezentacija grupe R(3). Po�sto operatori Us(�u) ostvaruju rotacije uprostoru Hs, i sami vektorima iz Hs su specijalni entiteti nazvani spinori. U stvari, oni su pode�niciji nosioci spinorne reprezentacije. U reprezentaciji standardnog bazisa (6.10.2), spinorisu dvo�clane brojne kolone (elementi iz C2), a rotiramo ih primenom matrica Us(�u) datih sa(6.10.17) ili matrica Us(�; �; ) de�nisanih sa (6.10.24).6.10.6 � Matemati�cki podsetnik| direktni proizvod Hilbert-ovih prostora i supervektoriPo�sto su vektori koji opisuju stanja elektrona elementi kompozitnog prostora Hu = Ho Hs,postoji vi�se na�cina kako se mogu pisati vektori stanja i operatori koji deluju na njih. Da bismo tobolje mogli da shvatimo, po�cnimo sa devijacijom u matematiku i rezimirajmo relevantne pojmovei stavove iz teorije direktnih proizvoda Hilbert-ovih prostora.

232 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTANeka je H = H1 H2 i neka su fj m1 ij8m1g i fj n2 ij8n2g bazisi u respektivnim faktorprostorima. Onda je fjm1 i j n2 ij8m1; 8n2g (jm1 i j n2 i def= jm1 i j n2 i) bazis u H i proizvoljankompozitni vektor j ii 2 H mo�zemo jednozna�cno da razvijemo u red po tom bazisu (uporeditix 2.6.3): j ii = Xm1n2 m1n2 j m1 i j n2 i; (6.10.25)gde su m1n2 kompleksni brojevi, tzv. koe�cijenti razvijanja (6.10.25). Naravno, k j iik2 def=hh j ii =Pm1n2 j m1n2j2 <1.Po�sto je red (6.10.25) apsolutno konvergentan, mo�zemo sabirke da pregrupi�semo po volji. Zanas je od va�znosti jedino preuredenje koje, uz kori�s�cenje linearnosti i neprekidnosti prvog faktoradaje: j ii =Xn2 (Xm1 m1n2 j m1 i) j n2 i: (6.10.26)Obele�zimo sa h n2 j ii vektor u maloj zagradi:h n2 j ii def= Xm1 m1n2 j m1 i 2 H1; 8n2: (6.10.27)Kao �sto i na�sa notacija sugeri�se, mo�ze da se poka�ze da vektor h n2 j ii 2 H1 ne zavisi od izborabazisa fj m1 ij8m1g u H1 (ve�c samo od j ii i j n2 i). Vektor h n2 j ii se naziva parcijalniskalarni proizvod. On, za razliku od obi�cnog (ili potpunog) skalarnog proizvoda, ne daje broj ve�cvektor u H1. Mi smo ovu operaciju ve�c upoznali u x 4.4.5.Ako zamenimo (6.10.27) u (6.10.26) dobi�cemoj ii =Pn2h n2 j ii j n2 i : (6.10.28)Formula (6.10.28) predstavlja razvijanje kompozitnog vektora j ii po parcijalnom bazisu (pobazisu samo u jednom faktor prostoru). Ono je jednozna�cno. U x 4.4.4 videli smo da razvijanjej ii po parcijalnom bazisu koji je svojstveni bazis redukovanog statisti�ckog operatora �2 od j iidaje Schmidt-ovu kanoni�cnu formu za j ii (zna�cajnu za kvantne korelacije sadr�zane u j ii).Kao �sto je dobro poznato, vektori iz H2 na osnovu razvijanja po bazisu fj n2 ij8n2g reprezen-tuju se brojnim kolonama (mesto u koloni pokazuje pored kog bazisnog vektora stoji doti�cni brojkao koe�cijent razvijanja). Analogno ovome, na osnovu parcijalnog razvijanja (6.10.28), mo�zemoumesto j ii da pi�semo kolonu vektora iz H1,j ii �! 0@ h n2 = 1 j iih n2 = 2 j ii... 1A ; (6.10.29)i pri tome je broj vektora u koloni, naravno, jednak broju bazisnih vektora u H2, tj. brojudimenzija H2. Pridru�zivanje (6.10.29) je tzv. parcijalna reprezentacija kompozitnih vektora.Kolone vektora iz H1, tzv. supervektori na H1, �cine sa svoje strane Hilbert-ov prostor saskalarnim proizvodom koji je dat na slede�ci na�cin:0B@0B@ j (1)1 ij (2)1 i... 1CA ;0B@ j �(1)1 ij �(2)1 i... 1CA1CA def= Xp h (p)1 j �(p)1 i; (6.10.30)

6.10. FORMALIZAM SPINA S = 12 233gde donji indeks ukazuje na pripadnost faktor prostoru H1, a gornji indeks prebrojava vektore ukoloni. Na DS-i od (6.10.30) imamo skalarne proizvode u H1.�Citaocu je iz (6.10.30) bez sumnje jasno da je prebrojivo beskona�cna kolone vektora iz H1element Hilbert-ovog prostora ako i samo ako je suma reda koji predstavlja kvadrat njene normekona�can broj.Pridru�zivanje (6.10.29) je izomor�zam kompozitnog prostora H = H1 H2 na Hilbert-ovprostor supervektora na H1.Zadatak 6.10.9 Pokazati da Hilbert-ov prostor supervektora jedna realizacija od H1H2. (Indikacija: pokazatida su zadovoljene aksiome tenzorskog proizvoda.)Stav 6.10.1 Neka je A = A1 A2 operator u kompozitnom prostoru, a A1 i A2 deluju u faktorprostorima H1 odnosno H2. Neka je, osim toga, A2 matrica koja u proizvoljnom datom bazisufn2j8n2g u H2 reprezentuje A2. Operator A u Hilbert-ovom prostoru supervektora na H1 koji jepo izomor�zmu (6.10.29) ekvivalentan (tj. jednako deluje) operatoru A = A1A2 u H = H1H2(pomenuta dva ekvivalentna operatora ozna�cavamo jednako) sastoji se u slede�cem preslikavanju:A0B@ j (1)1 ij (2)1 i... 1CA = A20B@ A1 j (1)1 iA1 j (2)1 i... 1CA : (6.10.31)Obratiti pa�znju da je u (6.10.31) A2 kvadratna, tj. N2 � N2 (gde je N2 def= dimH2) matricakompleksnih brojeva i ona se mno�zi (kao �sto se mno�ze matrice) kolonom od N2 vektora A1 j (p)1 iiz H1. Rezultat je kolona od N2 linearnih kombinacija (ili redova) od vektora iz H1.Po�sto faktor prostori H1 i H2 igraju a priori simetri�cne uloge, u svemu re�cenom mo�ze seuzajamno zameniti uloga ova dva prostora.6.10.7 � Dvokomponentne talasne funkcijeU ukupnom Hilbert-ovom prostoru Hu = Ho Hs kvantne �cestice osnovni skup opservabli je r,p, s. Naj�ce�s�ce kori�s�ceni potpuni skup opservabli je r, sz. Odgovaraju�ca, tzv. koordinatno (iliradijus-vektorsko) spinska, reprezentacija daje talasne funkcije sa spinom: (r; ms) def= hr j h ms j ii; j ii 2 Hu; (6.10.32)za koje se skalarni proizvod ra�cuna po formuli( ; �) =Xms Z dr �(r; ms)�(r; ms): (6.10.33)Umesto talasnih funkcija sa spinom (6.10.32), �cesto se standardni bazis fj + i; j �ig u Hs koristiza parcijalno reprezentovanje j ii 2 Hu. Tako se dobije supervektor na Ho (specijalni slu�caj(6.10.29)): j ii �! � h + j iih � j ii� ; (6.10.34)

234 GLAVA 6. TEORIJA JEDNOG UGLOVNOG MOMENTAh ms j ii 2 Ho, ms = �12 . Na jeziku parcijalne reprezentacije (6.10.34), skalarni proizvod uukupnom Hilbert-ovom prostoru �cestica postajehh j �ii =Xms hh j msih ms j �ii: (6.10.35)Kao �sto je to obi�cno slu�caj u Dirac-ovoj notaciji, DS od (6.10.35) mo�ze da se interpretira na dvana�cina:1) hh j msi je bra od keta h ms j ii 2 Ho i hh j msih ms j �ii je skalarni proizvod u Ho(uporediti (6.10.30));2) sabirak hh j msih ms j �ii je matri�cni element projektora Io j ms ihms j. Po�sto jePms Io j ms ihms j= Io Pms j ms ihms j= Io Is = I, DS od (6.10.35) se u ovojinterpretaciji svodi na hh j �ii, tj. na skalarni proizvod u ukupnom prostoru Hu �cestice.Uobi�cajeno je vektore h ms j ii 2 Ho u (6.10.34) pisati u r-reprezentaciji, tj. pre�ci sa Ho naL2(r). Tako dolazimo do j ii �! � +(r) �(r)� ; (6.10.36)gde je �(r) def= hr j h ms = �1=2 j ii = (r; ms = �1=2): (6.10.37)Skalarni proizvod se pretvara u slede�ci izrazhh j �ii = Z dr �+(r)�+(r) + Z dr ��(r)��(r): (6.10.38)Talasne funkcije sa spinom, (r; ms), kada se prepi�su kao dvo�clane kolone (6.10.36), nazivaju sedvokomponentnim talasnim funkcijama.Iz gornjeg stava sledi da se dvokomponentne talasne funkcije rotiraju po formuliUs(�u)� +(r) �(r)� = Us(�u)� +(R�1(�u)r) �(R�1(�u)r)� ; (6.10.39)(uporediti (6.10.31) i (6.7.2)); matrica Us(�u) data je sa (6.10.17).Imaju�ci u vidu (6.10.39), dvokomponentne talasne funkcije �cestice spina 12 se �cesto nazivajui spinornim talasnim funkcijama, ponekad �cak i spinornim poljima.6.10.8 � Helicitetne reprezentacijeKao �sto je re�ceno u prethodnom paragrafu, u ukupnom prostoru stanja Hu = Ho Hs �cesticenaj�ce�s�ce se koristi koordinatno spinska reprezentacija, koju de�ni�se potpuni skup kompatibilnihopservabli r; sz. Ponekad se koristi analogna impulsno spinska reprezentacija, koju de�ni�se pot-puni skup p; sz. U ovoj reprezentaciji apstraktne vektore j ii 2 Hu predstavljamo funkcijama (p; ms), ili pak prelazimo na supervektore na L2(p):� +(r) �(r)� :

6.10. FORMALIZAM SPINA S = 12 235Postoji i mogu�cnost da se vektorski operator s projektuje ne na �ksirani pravac kao �sto je z-osa,ve�c npr. na teku�ci radijus vektor r. Neka je r0 def= rjrj ort od r, asr def= r0 � s (6.10.40)neka je opservabla dobijena projektovanjem s na r0. Onda kao potpuni skup opservabli u Humo�zemo uzeti r, sr, mada je fsrj8r0g u stvari familija opservabli. Naime, kao bazis u Hu kojiovaj potpuni skup de�ni�se uzima sefj r i j ms(r) ij8r; ms(r) = �s;�s+ 1; :::; sg; (6.10.41)gde je j ms(r) i svojstveni vektor od sr iz (6.10.40):sr j ms(r) i = ms(r)~ j ms(r) i; (6.10.42)a r0 je ort od r (iz prvog direktnog faktora j r i). Dakle, svaki r de�ni�se odgovaraju�ci bazisfj ms(r) ij8ms(r)g u Hs, i za r sa razli�citim ortovima ovi bazisi su razli�citi.Opisana reprezentacija naziva se koordinatno (ili radijus-vektorsko) helicitetnom reprezenta-cijom, a sam kvantni broj ms(r) naziva se helicitetom.Zadatak 6.10.10 Pokazati da je sa (6.10.41) dat bazis, dakle kompletan ortonormiran skup vektora u Hu.Vektorska opservabla impulsa p mo�ze da zameni r i tako se dobija analogna reprezentacijakoja se naziva impulsno helicitetnom. Koristi se u �zici elementarnih �cestica.

Glava 7Slaganje uglovnih momenata7.1 Algebra i geometrija slaganja uglovnih momenataU ovom odeljku �cemo izvesti jedan od najva�znijih rezultata kvantne teorije uglovnog momenta(a to je u stvari jedan od osnovnih zakona kvantne �zike); koje su mogu�ce vrednosti kvantnihbrojeva k za K2, K def= K1+ K2, kada su date vrednosti kvantnih brojeva k1 i k2 od K21 odnosnoK22. Prou�ci�cemo kako se dolazi do vi�sestrukih ireducibilnih invarijantnih potprostora za K. Nakraju �cemo ukazati na uop�stenja na proizvoljan broj sabiraka i dokaza�cemo, za taj slu�caj, teoremo celobrojnosti vrednosti kvantnog broja k opservable K2, K def= PNn=1 Kn.7.1.1 Ukupni uglovni moment jedne �cestice i otvorena pi-tanjaVideli smo da elektron, kao i veliki broj drugih elementarnih �cestica, ima pored orbitnog i spinskiuglovni moment. To dovodi do ukupnog uglovnog momenta j def= l + s, de�nisanog u ukupnomprostoru stanja Hu def= Ho Hs. Odmah sledi [ jx; jy ] = {~jz i cikli�cne permutacije. Zna�ci i j uHu je jedna realizacija op�steg uglovnog momenta, te i za j va�ze svi rezultati op�ste teorije.Znamo kako da razlo�zimo iHo iHs do ireducibilnih potprostora za l odnosno za s; znamo kojevrednosti od l se pojavljuju u Ho i koje za s u Hs; najzad, znamo da konstrui�semo standardnibazis posebno za l u Ho i posebno za s u Hs. Postavlja se pitanje mo�zemo li na osnovu svegatoga znanja da odgovorimo na analogna pitanja u pogledu j u Hu: koje se vrednosti kvantnogbroja j pojavljuju, kako da konstrui�semo ireducibilne potprostore i standardni bazis za j.Odgovore na ova pitanja izve�s�cemo (u ovom i slede�cem odeljku) na jeziku op�ste teorije kakobi rezultati bili primenljivi na slaganje dva proizvoljna uglovna momenta.7.1.2 Slaganje i invarijantni potprostoriNeka suH1 iH2 dva Hilbert-ova prostora i neka su u njima de�nisani vektorski operatori uglovnogmomenta K1 odnosno K2.Pod slaganjem, sprezanjem ili sabiranjem (engleski: coupling| �citati: kapling | ili addition-�citati: edi�sn) uglovnih momenata K1 i K2 podrazumeva se de�nisanje kompozitnog uglovnog236

7.1. ALGEBRA I GEOMETRIJA SLAGANJA UGLOVNIH MOMENATA 237momenta K def= K1 + K2; (7.1.1a)koji deluje u kompozitnom prostoru7.1.1H12 def= H1 H2: (7.1.1b)(Obratiti pa�znju da u (7.1.1) K1 treba razumeti kao K1 I2, a K2 kao I1 K2.)Komutacione relacije uglovnog momenta, koje va�ze posebno za K1 i K2, imaju kao neposrednuposledicu analogne relacije za K:[ Kx; Ky ] = {~Kz i cikl. perm. (7.1.2)Prema tome, imamo sad tri uglovna momenta K1, K2 i K i imamo u svakom od tri pomenutaprostora stanja razlaganje na ireducibilne potprostore:H1 = �k1V(k1)1 = �k1 �dk1�1=1 V(k1�1)1 ; (7.1.3a)H2 = �k2V(k2)2 = �k2 �dk2�2=1 V(k2�2)2 ; (7.1.3b)H12 = �kV(k)12 = �k �dk�=1 V(k�)12 ; (7.1.3c)(uporediti (6.3.1) i (6.3.7)).Pretpostavljamo da su svi detalji razlaganja (7.1.3a) i (7.1.3b) poznati, tj. u analogiji saj = l+ s, pretpostavljamo da su K1 i K2 prethodno detaljno prou�ceni. O (7.1.3c) znamo samoda k-ovi ne mogu biti drugo do celi ili poluceli nenegativni brojevi i da je dimV(k�)12 = 2k+1, 8�(videti (6.2.30) i (6.3.7)). Ostale detalje u (7.1.3c) �cemo sada izvesti iz (7.1.3a) i (7.1.3b).Mo�zemo zameniti (7.1.3a, 7.1.3b) u (7.1.1b) i dobitiH12 = �k1;k2(V(k1)1 V(k2)2 ) = �k1;k2 ��1;�2 (V(k1�1)1 V(k2�2)2 ): (7.1.4)Pitamo se da li su ove dekompozicije od H12 invarijantne za K.Lema 7.1.1 Ako je V1 � H1 invarijantan potprostor za K1, a V2 � H2 invarijantan potprostorza K2 onda je V1 V2 � H12 invarijantan potprostor za K def= K1 + K2 u H12 def= H1 H2.Dokaz: Dokaz je o�cigledan kada se sa (7.1.1a) deluje na nekorelisane vektore koji obrazuju V1V2. Q. E. D.Zna�ci, (7.1.4) predstavlja invarijantnu dekompoziciju kompozitnog prostora H12 za K. Preo-staje nam samo da potprostore V(k1�1)1 V(k2�2)2 dekomponujemo do ireducibilnih potprostora zaK, tj. da izvr�simo razlaganje (7.1.3c) pomenutih potprostora (umesto celog prostora H12).7.1.1Sabiranje uglovnih momenata je nu�zno propra�ceno kompozicijom podsistema u nadsistem (7.1.1b). Fizi�ckismisao ove �cinjenice je u tome �sto samo podsistemi (materijalni podsistemi ili kinemati�cki stepeni slobode, upo-rediti x 6.9.6) mogu imati uglovni moment sa punim �zi�ckim smislom tog pojma.

238 GLAVA 7. SLAGANJE UGLOVNIH MOMENATA7.1.3 Dimenzije potprostoraU potprostoru V(k1�1)1 V(k2�2)2 , sa �ksiranim k1, �1, k2, �2, imamo bazisfj k1 m1 �1 i j k2 m2 �2 i j m1 = �k1; : : : ; k1; m2 = �k2; : : : ; k2g: (7.1.5)Podimo od zapa�zanja da je ovo svojstveni bazis opservable Kz def= K(z)1 + K(z)2 , tj. da va�ziKz j k1 m1 �1 i j k2 m2 �2 i = (m1 +m2)~ j k1 m1 �1 i j k2 m2 �2 i; 8m1; m2 (7.1.6)i da pomo�cu bazisa (7.1.5) lako mo�zemo da zaklju�cimo kolika je dimenzija pojedinih svojstvenihpotprostora Vm od Kz unutar V(k1�1)1 V(k2�2)2 . Name�ce se ideja da iz ovih dimVm poku�samo dazaklju�cimo koliki su dk. Ali prvo izvucimo jedan neposredan zaklju�cak iz (7.1.5) i (7.1.6).Lema 7.1.2 Sve vrednosti magnetnog kvantnog broja m = m1 +m2 za kompozitni Kz def= K(z)1 +K(z)2 koje se pojavljuju u V(k1�1)1 V(k2�2)2 su jedne te iste celobrojnosti (za termin uporediti krajod x 6.2.9). Drugim re�cima, ili su sve vrednosti od m celi brojevi, a to je slu�caj ako su m1 i m2(zapravo k1 i k2) jednake celobrojnosti (i jedni i drugi celi ili i jedni i drugi poluceli); ili su svim poluceli, ako su k1 i k2 razli�cite celobrojnosti.Dokaz: Iskaz je o�cigledan Q. E. D. .Po�sto se celobrojnost od m uvek podudara sa celobrojno�s�cu od k, iz Leme L 7.1.2 odmahslediLema 7.1.3 Sve vrednosti kvantnog broja k ukupnog uglovnog momenta K def= K1 + K2 koje sepojavljuju u V(k1�1)1 V(k2�2)2 su jedne te iste celobrojnosti i ona se podudara sa celobrojno�s�cu brojak1 + k2.Vratimo se sad za trenutak �cak na op�sti slu�caj jednog uglovnog momenta K u H (ne nu�zno uzva�zenje (7.1.1)). Pretpostavimo da se pojavljuju samo polucele vrednosti za k (da se pojavljujusamo cele vrednosti bilo bi analogno). Poredajmo svojstvene potprostore Vk od K2 u H porastu�cem k (jedan primer je prikazan na Crte�zu C7.1). Vidimo da va�zidimVm = Xk�jmjdk (7.1.7)(dimVm je broj kvadrati�ca u odgovaraju�coj vrsti Crte�za).Ako �ksiramo bilo koje k i pi�semo ga kao k0 (7.1.7) implicira:dimVm=k0 = dk0 + Xk�(k0+1) dk; dimVm=k0+1 = Xk�(k0+1) dk: (7.1.8)Ove jednakosti, sa svoje strane, dajudk0 = dimVm=k0 � dimVm=k0+1 ; 8k0: (7.1.9)Na Crte�zu C7.1 se lako mo�ze videti da va�zi (7.1.9), i to na primeru k0 = 32 ; 52 ; 72 i 92 .

7.1. ALGEBRA I GEOMETRIJA SLAGANJA UGLOVNIH MOMENATA 239m = 9272m = 52m = 3212�12�32? Vk= 92 (dk = 3)� dimVm= 32 = 2 + 1 + 3 = 6

�52�72�92Vk= 52 -Vk= 32(dk = 2)XXXXXXXXz(dk = 1)

Slika 7.1: Dimenzije svojstvenih potprostora Vm operatora K3.

Slika 7.2: Vrednosti kvantnog broja m za vektore j k1 m1 �1 i j k2 m2 �2 i.7.1.4 Vrednosti kvantnog broja od (K1 + K2)2Videli smo da iz (7.1.9) mo�zemo dobiti dk ako prethodno izra�cunamo dimVm za m � 0. A za to�ce nam poslu�ziti bazis (7.1.5) uz pomo�c Crte�za C7.2.Na Crte�zu C7.2 smo pretpostavili k1 � k2. Ta�cke predstavljaju vektore j k1 m1 �1 i jk2 m2 �2i, u bazisu (7.1.5) (preko apscisem1 i ordinatem2). Kose isprekidane linije predstavljajupojedine vrednosti od m = m1 +m2, te je broj ta�caka na takvoj liniji jednak dimVm.Sa Crte�za C7.2 je jasno da je m � 0 i dimVm 6= dimVm+1 imamo samo u intervalu kosihlinija koji je nazna�cen dvosmernom strelicom, i tu je stalno dimVm = dimVm+1 + 1. Na prvoj iposlednjoj liniji tog intervala vrednost od m je k1+k2 odnosno k1�k2, kao �sto se mo�ze zaklju�citipo ta�ckama na koje ukazuju strelice.Prema tome, iz (7.1.9) sledi: dk = 1, za k = jk1 � k2j, jk1 � k2j+ 1,. . . ,k1 + k2; dk = 0 ina�ce.(Da smo imali k2 � k1, stavili bismo m2 na apscisu i dobili bismo na donjoj granici k2� k1. Obemogu�cnosti obuhvatamo sa jk1 � k2j.)Dokazali smo slede�ci teorem:Teorem 7.1.1 Direktan proizvod ireducibilnih potprostora (za K1, odnosno K2) V(k1�1)1 V(k2�2)2

240 GLAVA 7. SLAGANJE UGLOVNIH MOMENATAdekomponuje se svojstvenim razlaganjem opservable K2 u po jedan ireducibilni potprostor V(k�1�2)12 �H12 za slede�ce vrednosti od k:k = jk1 � k2j; jk1 � k2j+ 1; : : : ; k1 + k2; (7.1.10)tj. V(k1�1)1 V(k2�2)2 = �k1+k2k=jk1�k2jV(k�1�2)12 : (7.1.11a)Zadatak 7.1.1 Za konkretni slu�caj sa Crte�za C 7.2 nacrtati pojedine Vm (sa dimVm 6= 0) i to u vidu polo�zenepiramide kao na Crte�zu C 7.1.Zadatak 7.1.2 Proveriti razlaganje (7.1.11a) po dimenzijama potprostora sabiraka, tj. pokazati da uvek va�zidim(V(k1�1)1 V(k2�2)2 ) = k1+k2Xk=jk1�k2jdimV(k�1�2)12 : (7.1.11b)7.1.5 Vi�sestruki ireducibilni invarijantni potprostori zaK1 + K2Ako zamenimo (7.1.11a) u (7.1.4) i ako se koristimo �cinjenicom da ni izvodenje ni rezultat Teo-rema T7.1.1 ne zavise od konkretnih vrednosti �1 i �2, tako da mo�zemo da uzajamno zamenimoredosled sumiranja po �1; �2 i po k, onda dolazimo doH12 = �k1k2 ��1�2 �k1+k2k=jk1�k2jV(k�1�2)12 = �k1k2 �k1+k2k=jk1�k2j V(k1k2k)12 ; (7.1.12)gde je V(k1k2k)12 def= �dk1�1=1 �dk2�2=1 V(k�1�2)12 : (7.1.13)a V(k�1�2)12 su ireducibilni invarijantni potprostori za K u H12.Invarijantni potprostor �k1+k2k=jk1�k2j��1;�2 V(k�1�2)12 prikazan je dijagramatski na Crte�zu C7.3 zaisti primer kao na Crte�zu C7.2: k1 = 4; k2 = 52 .� � �132�1323212�12�32� -dk = dk1 � dk2

V(k1=4;k2= 52 ;k= 132 )12V(k1=4;k2= 52 ;k= 32 )12� � �

m

Slika 7.3: Vi�sestruki ireduci-bilni invarijantni potprostoriza K1 + K2. � def= (�1; �2).

Sad se moramo zapitati da li smo sa (7.1.12) i (7.1.13)postigli na�s prvobitni cilj (7.1.3c), tj. da li su pravougaoniciV(k1k2k)12 na Crte�zu C7.3 vi�sestruki ireducibilni potprostori zaK u H12 koje smo obele�zili sa V(k)12 u (7.1.3c). O�cigledno je dabi odgovor bio potvrdan ako bi razli�citi parovi k1, k2 davalinu�zno razli�cite k (bez prepoklapanja intervala (7.1.10)). To,naravno, nije slu�caj. Drugim re�cima, u pravougaonicima naCrte�zu C7.3 nisu nu�zno obuhva�ceni svi ireducibilni potpro-stori (kolone) koji odgovaraju pojedinim vrednostima od k uH12 (jer su k1 i k2 �ksirani).Lako se vidi da kona�cni rezultat na�sih razmatranja u ovomodeljku treba da glasi:

7.1. ALGEBRA I GEOMETRIJA SLAGANJA UGLOVNIH MOMENATA 241Teorem 7.1.2 Dok se ireducibilni potprostori V(k�)12 za K uH12 (videti (7.1.3c)) mogu dobiti kao �sto je re�ceno u TeoremuT7.1.1: V(k�)12 = V(k�1�2)12 ; � def= �1; �2; 8k (7.1.14a)(videti (7.1.11a)), vi�sestruki ireducibilni potprostori V(k)12 iz(7.1.3c) glase:V(k)12 = �0k1;k2V(k1k2k)12 ; jk1 � k2j � k � k1 + k2; (7.1.14b,c)gde apostrof na sumi u (7.1.14b) zna�ci da se sumira po parovima k1; k2 koji zadovoljavaju obenejednakosti u (7.1.14c); a vi�sestrukosti dk mogu da se pi�su u vidu:dk =X0k1;k2 dk1dk2; (7.1.14d)(apostrof opet zna�ci da je (7.1.14c) ograni�cenje na izbor parova k1, k2 po kojima se sumira).Napomena 7.1.1 Znamo iz op�ste teorije jednog uglovnog momenta da razlaganje na ireducibilneinvarijantne potprostore (7.1.3c) ima isti smisao za K kao i za odgovaraju�cu rotacionu grupufU(�u) = e� {~�u�Kj�u iz �-lopteg u kompozitnom prostoru H12. Usled K def= K1 + K2 rotacije uH12 u stvari glase U(�u) = e� {~�u�K1 e� {~�u�K2 (7.1.15)i zna�ce isto rotiranje (tj. rotiranje za isti �u) u H1 i H2.7.1.6 Slaganje tri ili vi�se uglovnih momenataKad imamo vezano stanje dve �cestice sa spinom s = 12 (kao deuteron ili kao neutralni atomvodonika), onda se ukupni uglovni moment sistema sastoji od zbira tri uglovna momentaJ = l+ s1 + s2; (7.1.16)gde je l orbitni uglovni moment sistema (uporediti (4.5.12a). Postavlja se pitanje koje vrednostimo�ze da poprimi kvantni broj J od J2 kada imamo po jedan �ksiran kvantni broj l od l2, s1 ods21 i s2 od s22.Da bismo dobili odgovor na ovo pitanje, moramo prvo dva od na�sa tri uglovna momentaspregnuti (bilo koja dva), recimo, l i s1. Obele�zavaju�ci sa K def= l+ s1 dobi�cemo slede�ce vrednostikvantnog broja k od K2: k = jl � s1j; jl � s1j + 1; : : : ; l + s1. Svaku od ovih vrednosti ondaspre�zemo sa s2 na isti na�cin. Tako �cemo dobiti sve vrednosti koje J mo�ze da imaJ = jjl�s1j�s2j; : : : ; jl�s1j+s2; jjl�s1j+1�s2j; : : : ; jl�s1j+1+s2; : : : ; jl+s1�s2j; : : : ; l+s1+s2:(7.1.17)Ovaj postupak sukcesivnog slaganja dva po dva uglovna momenta se neposredno pro�siruje naslu�caj vi�se od tri sabirka.

242 GLAVA 7. SLAGANJE UGLOVNIH MOMENATA�Citalac se mo�zda zapitao za�sto je redosled u sukcesivnom slaganju po dva uglovna momentairelevantan. Neka je K def= PNn=1 Kn i neka je p = � 1 2 : : : Np1 p2 : : : pN � proizvoljna permutacijareda N . Kao �sto je poznato, mo�zemo permutovati sabirke bez promene zbira: PNn=1 Kpn =PNn=1 Kn = K. Pretpostavimo da smo izra�cunali, pomenutim metodom sukcesivnog sprezanja,spektar i multiplicitete od K2 pre i posle permutacije. Kad ne bismo dobili isto na oba ovana�cina (sabiranja uglovnih momenata) protivure�cili bismo ili mogu�cnosti permutovanja sabirakaili asocijativnosti sabiranja ili samoj teoriji slaganja dva uglovna momenta. Naravno, ni jednoni drugo ne dolazi u obzir.Dokaza�cemo slede�ci teorem.Teorem 7.1.3 Pretpostavimo da sla�zemo N uglovnih momenata K def= PNn=1 Kn, N � 2, i da suvrednosti kvantnih brojeva k1; k2; : : : ; kN (od K21; K22; : : : ; K2N) �ksirane. Sve vrednosti kvantnogbroja k od K2 su onda jedne te iste celobrojnosti i to: one su celi brojevi ako medu k1; : : : ; kNimamo paran broj polucelih, a vrednosti od k su polucele ako i samo ako medu pomenutim kvant-nim brojevima ima neparan broj polucelih.Dokaz: Iz Leme 3 odmah sledi da Teorem T7.1.3 va�zi za N = 2. Pokaza�cemo da ako va�zi za N0, va�zi i za N0+1(metod totalne indukcije) i to pomo�cu slede�ce �seme na kojoj samo treba proslediti sve �cetiri mogu�cnosti. Neka jeN0Xn=1 Kn = K0 K0 + KN0+1 = K:Ako je broj polucelih od k1; : : : : : : ; kN0 paran, onda i samo onda je k0 ceo, a ako je neparan onda i samo onda je k0poluceo. Tada je k8>><>>: ceo , � k0 ceo i kN0+1 ceo, ilik0 poluceo i kN0+1 poluceo,poluceo , � k0 ceo i kN0+1 poluceo, ilik0 poluceo i kN0+1 ceo, (pretpostavljamo da znamo k). Q. E. D.7.2 Standardni bazis za K, Clebsch-Gordan-ovi i 6j koe-�cijentiU ovom odeljku �cemo se suo�citi sa problemom da direktni proizvod standardnih bazisa za K1odnosno za K2 nije standardni bazis za K. Na osnovu op�ste teorije, sa izvesnom dodatnomspeci�kacijom, konstruisa�cemo standardni bazis za K u kompozitnom prostoru. Prou�ci�cemo ma-tricu razvoja ovog bazisa po pomenutom direktnom proizvodu bazisa. Matri�cni elementi matricerazvoja su tzv. Clebsch-Gordan-ovi koe�cijenti. Ukaza�cemo na potpune skupove kompatibil-nih opservabli koji de�ni�su pomenute respektivne bazise kao svoj zajedni�cki svojstveni bazis.Osvrnu�cemo se na ulogu rotacija u kompozitnom prostoru. Na kraju, objasni�cemo pojam 6j-,9j- itd. koe�cijenata, koji se pojavljuju pri sabiranju 3, 4, itd. uglovna momenta.7.2.1 Prelazak na standardni bazis za K def= K1 + K2U prethodnom odeljku smo razlo�zili proizvod ireducibilnih potprostora V(k1�1)1 V(k2�2)2 u nizV(k�1�2)12 , k = jk1 � k2j; jk1 � k2j + 1; : : : ; k1 + k2 neekvivalentnih (u pogledu K) ireducibilnih

7.2. STANDARDNI BAZIS ZA K, CLEBSCH-GORDAN-OVI I 6J KOEFICIJENTI 243invarijantnih potprostora za K. Od standardnih bazisa u H1 i H2 nasledili smo u H12 indukovanibazis fj k1m1�1 i j k2m2�2 i j m1 = �k1; : : : ; k1; m2 = �k2; : : : ; k2g; (7.2.1)koji, dodu�se, obrazuje pomenuti potprostor V(k1�1)1 V(k2�2)2 , ali nije adaptiran na njegovu de-kompoziciju Pk1+k2k=jk1�k2j V(k�1�2)12 i nije standardan za K. Standardan bazis za K bismo pisali uvidu: fj k1k2�1�2; k m ijm = �k; : : : ; k; k = jk1 � k2j; : : : ; k1 + k2g: (7.2.2)Bazis (7.2.1) je dijagramatski prikazan skupom ta�ckica rasporedenih po povr�sini pravougao-nika na C7.2. I bazis (7.2.2) se mo�ze prikazati na analogan na�cin7.2.1 i u�cini�cemo to na Crte�zuC7.4.

Slika 7.4: Standardni bazis za K def= K1 + K2.Uporeduju�ci Crte�z C 7.4 sa C 7.2, mo�zemo konstatovati da su to sad druge ta�ckice, ali opetpredstavljaju po jedan vektor iz svojstvenih potprostora Vm za Kz def= K(z)1 + K(z)2 (vektori iz(7.2.2) ne iz (7.2.1)); da umesto m1 i m2 imamo nove koordinate: m i k (k prebrojava oivi�cenedelove pravougaonika, koji predstavljaju svojstvene potprostore V(k�1�2)12 ). Ovo poredenje jeinstruktivno jer oba pomenuta crte�za prikazuju eksplicitno ono �sto je zajedni�cko u (7.2.1) i(7.2.2): relevantnost svojstvenih potprostora Vm od Kz (kose isprekidane linije).Mi sad �zelimo da bazis (7.2.2) razvijemo po bazisu (7.2.1) pomo�cu jednozna�cno de�nisanematrice razvoja.7.2.2 Jednozna�cnost matrice razvojaAko se podsetimo de�nicije standardnog bazisa (6.3.6), uo�ci�cemo da u bazisu (7.2.1) imamosamo jedan slobodan fazni faktor: recimo, ako u V(k1�1)1 standardni bazis pomno�zimo zajedni�ckimfaznim faktorom e{�, a u V(k2�2)2 analogno sa e{ , onda bazis (7.2.1) mno�zimo zajedni�ckim faznimfaktorom e{(�+ ). U bazisu (7.2.2), medutim, otvorenih faznih faktora ima toliko koliko imarazli�citih vrednosti k. Tako ne mo�zemo dobiti jednozna�cnu matricu razvoja.7.2.1 Autor je zahvalan magistrantu Milanu D�zambazovskom �sto je dao ideju za Crte�z C 7.4.

244 GLAVA 7. SLAGANJE UGLOVNIH MOMENATAU stvari moramo da suzimo pojam standardnog bazisa u primeni na (7.2.2), tj. moramo gapreciznije de�nisati, tako da (7.2.2) nema ni jedan slobodan fazni faktor u odnosu na (7.2.1).Drugim re�cima, bazis (7.2.2) mora biti jednozna�cna funkcija bazisa (7.2.1).Pomenuto su�zenje se posti�ze slede�com konvencijom. U svakom V(k�1�2)12 slobodni fazni faktorvektora j k1k2�1�2; k;m = k i biramo tako (a to je o�cigledno jednozna�cno) da ima pozitivnuprojekciju na j k1; m1 = k1; � i j k2; m2 = k � k1; �2 i:hk1; m1 = k1; �1 j h k2; m2 = k � k1; �2 j k1k2�1�2; k;m = ki > 0; 8k1; k2; �1; �2; k: (7.2.3)Konvencija (7.2.3), naravno, ima za premisu da doti�cni skalarni proizvod ne mo�ze biti nula.A da je ovo stvarno slu�caj pokazuje se u detaljnijim priru�cnicima kvantne teorije uglovnog mo-menta7.2.2.Ako se zapitamo da li nakon konvencije (7.2.3) bazis (7.2.2) zavisi od eventualnog mno�zenjabazisa (7.2.1) faznim faktorom e{(�+ ), dolazimo do zaklju�cka da sam bazis (7.2.2) zavisi, alimatrica razvoja bazisa (7.2.2) po bazisu (7.2.1) ne zavisi od pomenutog mno�zenja, jer da bi seodr�zalo va�zenje konvencije (7.2.3) moramo i sve vektore bazisa (7.2.2) pomno�ziti istim faktorome{(�+ ).Preostaje jo�s veoma va�zno pitanje da li matrica razvoja zavisi od vrednosti dodatnih kvantnihbrojeva �1 i �2.Teorem 7.2.1 Matrica razvoja bazisa (7.2.2) po bazisu (7.2.1) uz va�zenje (7.2.3) je jedna te istau svim potprostorima V(k1�1)1 V(k2�2)2 , �1 = 1; : : : ; dk1, �2 = 1; : : : ; dk2, tj. ona je jedinstvena.Dokaz �cemo dati u Dodatku x 7.2.8.7.2.3 Clebsch-Gordan-ovi koe�cijenti i selekciona pravilaMatri�cni elementi matrice razvoja bazisa (7.2.2) po bazisu (7.2.1) uz va�zenje (7.2.3) nazivaju seClebsch-Gordan-ovim (�citati: Kleb�s-Gordanovim) ili skra�ceno CG-koe�cijentima (engleski jo�s i:vector-coupling coeÆcients). Mo�zemo pisatij k1k2�1�2; km i = k1Pm1=�k1 j k1m1�1 i j k2; m2 = m�m1; �2 ih k1k2m1; m2 = m�m1 j kmi ;m = �k; : : : ; k; k = jk1 � k2j; : : : ; k1 + k2; (7.2.4a)ili inverzni razvoj bazisa (7.2.1) po bazisu (7.2.2):j k1m1�1 i j k2m2�2 i = k1+k2Xk=jk1�k2j j k1k2�1�2; k;m = m1 +m2 ih k1k2k;m = m1 +m2 j m1m2i:(7.2.4b)7.2.2Konvencija (7.2.3) je ekvivalentna tzv. konvenciji Condon-a i Shortley-ja (�citati: Kondon i �Sortli); po potrebivideti njihovu znamenitu monogra�ju: B.U. Condon, G.H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra, Cambridge,1935. Jedan od najpoznatijih pomenutih priru�cnika je: A.R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mecha-nics, Princeton, Princeton University Press, 1957.

7.2. STANDARDNI BAZIS ZA K, CLEBSCH-GORDAN-OVI I 6J KOEFICIJENTI 245U formule (7.2.4) smo ve�c ugradili tzv. selekciona pravila:m = m1 +m2; jk1 � k2j � k � k1 + k2 ; (7.2.5a,b)kako se obi�cno naziva �cinjenica da samo kvantnim brojevima koji zadovoljavaju relacije (7.2.5)odgovaraju nenulti CG-koe�cijenti. To je o�cigledna posledica �cinjenice da su i bazis (7.2.1) ibazis (7.2.2) svojstveni bazisi opservable Kz i osnovnog rezultata prethodnog odeljka (T 7.1.1).Selekciono pravilo (7.2.5b) se naziva pravilom trougla, jer izra�zava upravo �cinjenicu da veli�cinek1; k2 i k moraju biti takve da mogu biti stranice trougla. Stoga je i o�cigledno da se (7.2.5b)mo�ze ekvivalentno prepisati u bilo kom od slede�ca dva vidajk1 � kj � k2 � k1 + k; jk2 � kj � k1 � k2 + k: (7.2.5c,d)Zadatak 7.2.1 Izvesti (7.2.4a) i (7.2.4b) pomo�cu relacija zatvorenosti bazisa (7.2.1) odnosno (7.2.2) u V(k1�1)1 V(k2�2)2 � H12.Ispostavlja se da su svi CG-koe�cijenti realni brojevi7.2.3. Stoga koe�cijenti h k1k2km j m1m2ii h k1k2m1m2 j kmi sa istim kvantnim brojevima, koji se pojavljuju u (7.2.4b) odnosno (7.2.4a),su u stvari jednaki (bili bi uzajamno kompleksno-konjugovani, jer se u njima uzajamno zame-nila uloga bra i ket vektora). Odsad �cemo umesto koe�cijenata h k1k2km j m1m2i uvek pisatih k1k2m1m2 j kmi.Doti�cne koe�cijente mo�zemo posmatrati kao matri�cne elemente matrica razvijanja M i N usmislu (pojednostavljeno napisanih) jednakosti (7.2.4):j km i = Xm1m2Mkm;m1m2 j m1 i j m2 i; j m1 i j m2 i =Xk Nm1m2;km j km i; (7.2.6a,b)Mkm;m1m2 = h k1k2m1m2 j kmi; (7.2.7a)Nm1m2;km = h k1k2m1m2 j kmi =Mkm;m1m2 : (7.2.7b)U op�stem slu�caju imali bismo N =M�1 =M y = (MT )� (zbog unitarnosti), ali zbog realnostimatrice M imamo N =MT . To se vidi i iz jednakosti (7.2.7b).Po�sto je matrica M (kao i N) unitarna (jer prevodi ortonormirani bazis u isti takav), njenimatri�cni elementi, tj. CG-koe�cijenti, zadovoljavaju uslove ortonormiranosti vrsta i kolona:Xm1m2h k1k2m1m2 j kmih k1k2m1m2 j k0m0i = Ækk0Æmm0 ; (7.2.8a)Xkm h k1k2m1m2 j kmih k1k2m01m02 j kmi = Æm1m01Æm2m02 : (7.2.8b)Na kraju ovog paragrafa, da�cemo bez dokaza jednu op�stu formulu za izra�cunavanje CG-koe�cijenata.h k1k2m1m2 j kmi = Æm1+m2;ms(2k + 1)(k1 + k2 � k)!(k1 � k2 + k)!(k2 � k1 + k)!(k1 + k2 + k + 1)! � (7.2.9)Xz (�1)z p(k1 +m1)!(k1 �m1)!(k2 +m2)!(k2 �m2)!(k +m)!(k �m)!z!(k1 + k2 � k � z)!(k1 �m1 � z)!(k2 +m2 � z)!(k � k2 +m1 + z)!(k � k1 �m2 + z)!(gde z uzima sve vrednosti za koje su svi izrazi u kojima se z pojavljuje de�nisani).7.2.3Dokaz je dat u x 8.2.8

246 GLAVA 7. SLAGANJE UGLOVNIH MOMENATA7.2.4 Wigner-ovi 3j-koe�cijentiRadi postizanja lep�sih osobina, Wigner je uveo tzv. 3j-koe�cijente po de�niciji (mi pi�semo kumesto j):� k1 k2 k3m1 m2 m3 � def= (�1)k1�k2�m3(2k3 + 1)� 12 h k1k2m1m2 j k3m3i; (7.2.10)pri �cemu k1; k2 i k3 mogu biti bilo koji kvantni brojevi uglovnog momenta, tj. l, s, j, L, S, Jitd. Bitno je da se dva od njih spre�zu u tre�ci (iz osobina ni�ze se vidi da nije va�zno koja dva sespre�zu).Naravno, i 3j-koe�cijenti zadovoljavaju selekciona pravila (7.2.5a, 7.2.5b). Osim toga, ovikoe�cijenti imaju slede�ce osobine simetrije:1. koe�cijenti ne menjaju svoju vrednost pri cikli�cnoj permutaciji tri kolone;2. koe�cijenti se mno�ze sa (�1)k1+k2+k3 pri anticikli�cnoj permutaciji pomenute tri kolone;3. koe�cijenti se mno�ze sa (�1)k1+k2+k3 ako se promeni predznak od m1, m2 i m3 istovremeno.7.2.5 Potpuni skupovi kompatibilnih opservabliVratimo se bazisima (7.2.1) i (7.2.2) i podsetimo se koji potpuni skupovi kompatibilnih opservabliu H12 de�ni�su te bazise kao svoje zajedni�cke svojstvene bazise.U slu�caju bazisa (7.2.1) to suK21; K(z)1 ; A1; K22; K(z)2 ; A2; (7.2.11a)a u slu�caju bazisa (7.2.2) radi se oK21; K22; A1; A2; K2; Kz: (7.2.11b)Opservable A1 i A2 su dodatne u odnosu na uglovne momente (mogu biti i skupovi dodatnihopservabli); njihovi su kvantni brojevi �1 odnosno �2.Va�zno je uo�citi da skupovi (7.2.11a) i (7.2.11b) imaju zajedni�cki podskup opservabliK21; A1; K22; A2; (7.2.11c)�ciji je zajedni�cki svojstveni potprostor V(k1�1)1 V(k2�2)2 , potprostor koji je, kao �sto smo videli,pozornica svih zbivanja u sprezanju uglovnih momenata.Jo�s je va�znije imati na umu da se pri sprezanju vr�si zamenafK(z)1 ; K(z)2 g ! fK2 def= (K1 + K2)2; Kz def= K(z)1 + K(z)2 g; (7.2.11d)tj. dok se skup (7.2.11c) u (7.2.11a) kompletirao opservablama K(z)1 , K(z)2 , u (7.2.11b) se (7.2.11c)dopunjuje sa K2 i Kz, mada je Kz funkcija od K(z)1 i K(z)2 i kompatibilna je sa njima.U (7.2.11a) Kz nije nazna�cena (iako je implicitno prisutna), jer je funkcija prethodnih;medutim, kada odustajemo od K(z)1 i K(z)2 (pri prelasku (7.2.11d)), Kz ostaje u skupu opser-vabli i to vi�se nije suvi�sna, nego je jedna od onih koje de�ni�su potpuni skup (7.2.11b).

7.2. STANDARDNI BAZIS ZA K, CLEBSCH-GORDAN-OVI I 6J KOEFICIJENTI 2477.2.6 *Rotacije u kompozitnom prostoruDa vidimo sad �sta za rotacije zna�ci prelazak sa bazisa (7.2.1) na bazis (7.2.2).Kad se rotacije U(�u) = U1(�u) U2(�u) u H12 (uporediti (7.1.15)) reprezentuju u bazisu(7.2.1), dobijaju se matri�cni elementihk1m1�1 j hk2m2�2 j U1(�u)U2(�u) j k1m01�1 i j k2m02�2 i = U (k1)m1m01(�u)U (k2)m2m02(�u): (7.2.12)Za odgovaraju�ce matrice se ka�ze da su direktni proizvod i pi�se se U (k1)(�u) U (k2)(�u).Prelaskom na bazis (7.2.2) matri�cni reprezententi operatora rotacija u H12 postaju kvazidi-jagonalni (uporediti T 6.4.1). Podrazumevaju�ci prelazak sa reprezentacije u bazisu (7.2.1) nareprezentaciju u bazisu (7.2.2) rotacione grupe fU(�u)j�u iz �-lopteg u H12, simboli�cki se pi�seU (k1)(�u) U (k2)(�u)! �k1+k2k=jk1�k2jU (k)(�u): (7.2.13)Da bismo ta�cno razumeli �sta se de�sava sa rotacijama u bazisu (7.2.1) i (7.2.2), i tako daliprecizniji sadr�zaj relaciji (7.2.13), napi�simo reprezentovanje u vidu supervektoraU(�u)(1) = (U (k1)(�u) U (k2)(�u))T (1); (7.2.14)U(�u)(2) = (�k1+k2k=jk1�k2jU (k)(�u))T (2): (7.2.15)Kao �sto znamo iz x 6.10.6, pod supervektorom se podrazumeva kolona vektora iz izve�snogHilbert-ovog prostora (u na�sem slu�caju iz H12). Sa (1) obele�zavamo kolonu od vektora bazisa(7.2.1), a sa (2), ozna�cavamo kolonu od vektora bazisa (7.2.2). Pod primenom operatora nasupervektor podrazumevamo primenu operatora na svaki vektor u koloni, a primena brojnematrice zna�ci mno�zenje dve matrice po pravilimamatri�cnog mno�zenja (na�s supervektor je matricatipa (2k1 + 1)(2k2 + 1) � 1). Direktni zbir matrica �U (k)(�u) je kvazidijagonalna matrica na�cijoj se dijagonali nalaze podmatrice U (k)(�u), k = jk1 � k2j; : : : ; k1 + k2. Najzad, T ozna�cavatransponovanje.Zna�ci, (7.2.14) i (7.2.15) iskazuju reprezentovanje operatora rotacija u bazisu (7.2.1) odnosno(7.2.2). S druge strane imamo (uporediti (7.2.6)):(2) =M(1): (7.2.16)Mno�ze�ci (7.2.14) sa leva matricom M , imaju�ci u vidu da (matrica brojeva) M i operator U(�u)komutiraju u primeni na supervektor i ubacuju�ci M�1M ispred (1) na desnoj strani od (7.2.14),dobijamo na osnovu (7.2.16)U(�u)(2) =M(U (k1)(�u) U (k2)(�u))TM�1(2): (7.2.17)Po�sto je (2) bazis, vektori se po njemu razvijaju jednozna�cno, stoga iz (7.2.15) i (7.2.17) sledi(�kU (k)(�u))T =M(U (k1)(�u) U (k2)(�u))TM�1: (7.2.18)Po�sto je M unitarna i realna matrica, M�1 = MT i tako transponovanjem matri�cne jednakosti(7.2.18) i izmenom leve i desne strane najzad slediM(U (k1)(�u) U (k2)(�u))TM�1 = �k1+k2k=jk1�k2jU (k)(�u); 8�u iz �-lopte: (7.2.19)Matri�cna jednakost (7.2.19) je ta�can iskaz simboli�cne relacije (7.2.13) i naziva se Clebsch-Gordan-ovom serijom. Na jeziku teorije grupa radi se o dekompoziciji proizvoda dve ireducibilnereprezentacije grupe rotacija na ireducibilne reprezentacije.

248 GLAVA 7. SLAGANJE UGLOVNIH MOMENATA-�� ����� ��HH ��*��������

-CCCCCCCW~K2~K1 ~K ~K3~K12 ~K23HH HH HH HH HHjSlika 7.5: Razli�citi na�cini sprezanja tri uglovna momenta.7.2.7 6j-, 9j- itd. koe�cijentiU slu�caju slaganja tri uglovna momenta K = K1+K2+K3, imamo vi�se mogu�cnosti sukcesivnogsprezanja (uporediti x 7.1.6). To je irelevantno za spektre od K2 i Kz, ali je itekako va�zno zaodgovaraju�ce standardne bazise za K, jer intermedijerni uglovni momenti pri sprezanju dajukvantne brojeve koji dopunjuju osnovne kvantne brojeve k1, k2, k3, k i m.Na Crte�zu C7.5 su simboli�cno prikazane dve mogu�cnosti: intermedijerni K12 def= K1 + K2 iintermedijerni K23 def= K2 + K3.Standardni bazis za K sa K212 mo�ze da se razvije po standardnom bazisu za K sa K223.Koe�cijenti u unitarnoj matrici razvoja povezani su tzv. Wigner-ovim 6j-koe�cijentima na slede�cina�cin (obi�cno se pi�se j umesto k):� k1 k2 k12k3 k k23� = (�1)k1+k2+k3+kp(2k12 + 1)(2k23 + 1)h (k1k2)k12k3k j k1(k2k3)k23ki: (7.2.20)Sleve strane je 6j-koe�cijent, k12 je, na primer, kvantni broj od K212 itd., a poslednji izraz u(7.2.20) je matri�cni element u pomenutoj matrici razvoja (u kome su irelevantni kvantni brojeviispu�steni).Ekvivalentno, vektori jednog od pomenutih standardnih bazisa za K razvijaju se po drugomna slede�ci na�cin:j (k1k2)k12k3km i =Xk23 (�1)k1+k2+k3+kp(2k12 + 1)(2k23 + 1)� k1 k2 k12k3 k k23� j k1(k2k3)k23km i(7.2.21)(gde su eventualni dodatni kvantni brojevi u vektorima ispu�steni).Analogno, pri slaganju 4 uglovna momenta pojavljuju se 9j-koe�cijenti 0@ k1 k2 k12k3 k4 k34k13 k24 k 1Aitd.U 6j-, 9j- itd. koe�cijentima kvantni brojevi koje mi pi�semo sa k1, k2 itd. mogu se odnositina bilo koje realizacije op�steg uglovnog momenta.

7.2. STANDARDNI BAZIS ZA K, CLEBSCH-GORDAN-OVI I 6J KOEFICIJENTI 2497.2.8 *DODATAK - Dokaz da CG-koe�cijenti ne zaviseod dodatnih kvantnih brojevaSad dokazujemo Teorem T7.2.1.Neka su �01 i ��1 kao i �02 i ��2 arbitrerne �ksirane vrednosti iz intervala �1 = 1; 2; : : : ; dk1,�2 = 1; 2; : : : ; dk2. Neka su u vi�sestrukim ireducibilnim potprostorima V(k1)1 � H1 i V(k2)2 � H2(po potrebi podsetiti se dijagrama ,,ormar sa �okama" C6.2) de�nisani slede�ci unitarni operatoriU1 j k1m1�1 i def= 8<: j k1m1 ��1 i; ako je �1 = �01j k1m1�01 i; ako je �1 = ��1j k1m1�1 i; ina�ce ; (7.2.22a)U2 j k2m2�2 i def= 8<: j k2m2 ��2 i; ako je �2 = �02j k2m2�02 i; ako je �2 = ��2j k2m2�2 i; ina�ce ; (7.2.22b)za sve m1, m2, �1, �2. Gledaju�ci dijagram C6.2, mo�zemo re�ci da ovi operatori transponuju �0-tui ��-tu kolonu ta�ckica, a sve ostale ta�ckice se menjaju.Sada ho�cemo da doka�zemo da va�zi [ U1; K1 ] = 0 u V(k1)1 , ili ekvivalentno U1K1U�11 . Aova jednakost va�zi ako i samo ako su operatori sleve i zdesne strane jednakosti reprezentovani ustandardnom bazisu u V(k1)1 jednom te istom matricom (uporediti S 6.3.1). A ovo je stvarno tako,kao �sto se �citalac mo�ze lako uveriti na osnovu (7.2.22a) i �cinjenice da je matri�cni reprezentent K1kvazidijagonalan po �1 i da su podmatrice na dijagonali koje odgovaraju razli�citim �1 (a istimk1) jednake (videti (6.3.10)-(6.3.12) kao i iznad i ispod C6.3).Analogno dokazujemo odgovaraju�cu relaciju komutiranja u V(k2)2 . Dakle,[ U1; K1 ] = 0 uV(k1)1 ; [ U2; K2 ] = 0 uV(k2)2 ; (7.2.23a,b)Pi�su�ci U1U2 umesto U1 U2 iz (7.2.23) i de�nicije K = K1 + K2 sledi[ U1U2; K ] = 0 u V(k1)1 V(k2)2 : (7.2.24)Zadatak 7.2.2 Pokazati da unitarni operator koji komutira sa K nu�zno prevodi standardan bazis za K u istitakav.Iz (7.2.22) proizlazi da U1U2 preslikava potprostor V(k1�01)1 V(k2�02)2 na potprostor V(k1 ��1)1 V(k2 ��2)2 . Primenjuju�ci U1U2 na (7.2.6a) u prvom od pomenutih potprostora od H12, dobijamoU1U2 j km i = Xm1;m2Mkm;m1m2(U1 j m1 i)(U2 j m2 i (7.2.25)u V(k1 ��1)1 V(k2 ��2)2 . Iz (7.2.24) i Zadatka Z 7.2.2 je jasno da je na levoj strani od (7.2.25) standardnibazis za K. Pitamo se da li je zadovoljena i konvencija (7.2.3).Konvencija (7.2.3) zna�ci Mk;m=k;m1=k1;m2=k�k1 > 0; 8k. Matrica M je ista u oba pomenutapotprostora od H12, prema tome, po�sto je ovaj uslov zadovoljen u prvom od njih, zadovoljen je

250 GLAVA 7. SLAGANJE UGLOVNIH MOMENATAi u drugom. Pri tome, naravno, treba imati na umu da bazisi fU1 j m1 ij8m1g; fU2 j m2 ij8m2gindukuju bazis (7.2.1) u V(k1 ��1)1 V(k2 ��2)2 , kao �sto sledi iz (7.2.22).Dakle, fU1U2 j km ij8m; 8kg je stardardan bazis i u u�zem smislu uslova (7.2.3) u pomenutompotprostoru, tj. on je ba�s bazis (7.2.2), jer je ovaj de�nisan jednozna�cno u odnosu na bazis(7.2.1). Zna�ci, matrica razvoja M bazisa (7.2.2) po bazisu (7.2.1) je ista u V(k1�01)1 V(k2�02)2 i uV(k1 ��1)1 V(k2 ��2)2 , tj. CG-koe�cijenti ne zavise od konkretnih vrednosti dodatnih kvantnih brojeva�1 i �2.7.3 Primeri slaganja uglovnih momenataOvaj odeljak je posve�cen ilustracijama teorije uglovnog momenta. Diskutova�cemo dvo�cesti�cnispin fermiona za s = 12 ; ukupni uglovni moment takvog fermiona; razne vidove nuklearne in-terakcije koje dozvoljava simetrija; model ljuski atomskih omota�ca i jezgara i pitanje vezanostidvo-nukleonskog stanja.7.3.1 Spin dve �cestice sa s = 12Po�ce�cemo sa jednim primerom koji je zajedni�cki za atomsku i nuklearnu �ziku. Prou�ci�cemoukratko kako se dobija spin dva elektrona ili dva nukleona (,,nukleon" je zajedni�cki naziv zaproton i neutron).����V (S = 1)�1MS = 01MS = 0 V (S = 0)Slika 7.6: Razlaganje spin-skog faktor prostora sta-nja H(s)12 dve �cestice.

Spinski prostor dve �cestice spina s = 12 je H(s)12 def= H(s)1 H(s)2 .U njemu je de�nisan spinski uglovni moment S def= s1 + s2. Po�stos1 = s2 = 12 , zakon slaganja (7.1.10) daje: S = 0; 1 (videti Crte�zC 7.6).Vektori standardnog bazisa za S (ta�ckice na Crte�zu C7.6 |to je bazis (7.2.2)) pi�su se j SMs i, a njihovo razvijanje po nekore-lisanom bazisu (bazisu (7.2.1)) fj ms1 i j ms2 ijms1; ms2 = �12 ; 12gglasi j 00 i = 1p2(j 12 i j �12 i� j �12 i j 12 i); (7.3.1)j 1 1 i =j 12 i j 12 i; j 1 � 1 i =j �12 i j �12 i; (7.3.2a,b)j 1 0 i = 1p2(j 12 i j �12 i+ j �12 i j 12 i): (7.3.2c)Prvi CG-koe�cijent u (7.3.1) i CG-koe�cijent u (7.3.2a) ilustruju va�zenje uslova (7.2.3). Stanjaj 1; �1 i, j 1 0 i i j 1 1 i �cine triplet (specijalni slu�caj (2k + 1)-�clanog multipleta fj km� ijm =�k; : : : ; kg), a stanje j 0 0 i predstavlja singlet. Uobi�cajeno je da se bilo koje stanje sa S = 1naziva tripletnim, a stanje sa S = 0 singletnim.Zadatak 7.3.1 Pokazati da u H(s)12 va�ze relacijeS2 = ~22 (3 + �1 � �2); �1 � �2 = 2~2 S2 � 3: (7.3.3a,b)

7.3. PRIMERI SLAGANJA UGLOVNIH MOMENATA 251Zadatak 7.3.2 Ako sa P (3) i P (1) obele�zimo projektore na svojstvene potprostore V (S = 1) (tripletni) odnosnoV (S = 0) (singletni) od S2 u H(s)12 pokazati da va�ziP (3) = 12~2 S2; P (1) = 1� 12~2 S2: (7.3.4a,b)Dokaz izvesti na slede�ca dva na�cina: iz spektralne forme od S2 i primenom na standardni bazis za S.Iz (7.3.3b) i (7.3.4b) odmah sledi�1 � �2 = 4P (3) � 3 = 1� 4P (1): (7.3.5a,b)Ova relacija �ce nam biti od pomo�ci u paragrafu x 7.3.3.7.3.2 Slaganje orbitnog i spinskog uglovnog momenta elek-trona ili nukleonaPretpostavimo da imamo �cesticu spina s = 12 u svojstvenom stanju orbitnog uglovnog momental2. Onda vektor stanja �cestice pripada prostoru V(l) Hs, gde je V(l) � L2() potprostorkoji obrazuju 2l+1 sfernih harmonika fY ml (�; �)jm = �l; : : : ; lg. Ovo je realizacija potprostoraV(k1�1)1 V(k2�2)2 iz op�ste teorije (izlo�zene u x 7.1 i x 7.2). Ne pojavljuju se �1 i �2 jer nema ekstradegeneracije, a k1 = l i k2 = s = 12 . 12�12 mj 32 12�12�32 mj 52 32 12 �12�32�52mjl0 s1 p2 d3 fV1=2 V3=2 V5=2q q q qq q q q q q q qqqqqq qSlika 7.7: Razlaganje uglovno-spinskog prostora na vi�sestruke ireducibilne potprostore zaj. Ta�cke predstavljaju vektore standardnog bazisa (spinski sferni harmonici), medu kojima sunekorelisani vektori (proizvodi standardnih vektrora za l i s) nagla�seni znakom .Standardni bazis za ukupni uglovni moment �cestice j def= l+ s u V(l)Hs �cine slede�cih 2(2l+1)tzv. spinskih sfernih harmonika (ako je l � 1):h �; ';m0s j ljmji = �ljmj(�; ';m0s) = (l; s = 12 ; ml = mj � 12 ; ms = 12 jjmj)��Y ml=mj� 12l (�; ')�ms= 12 (m0s) + (l; s = 12 ; ml = mj + 12 ; ms = �12 jjmj)��Y ml=mj+ 12l (�; ')�ms=� 12 (m0s); mj = �j; : : : ; j; j = l � 12 ; l + 12 : (7.3.6)

252 GLAVA 7. SLAGANJE UGLOVNIH MOMENATAFunkcije �ms(m0s) su svojstvene funkcije z-projekcije spina u reprezentaciji iste opservable. Moglobi se pisati �ms(m0s) = Æms;m0s , ali u literaturi je � vi�se uobi�cajeno.Ako je �cestica u tzv. s-stanju, tj. ako je l = 0, onda postoji samo jedna mogu�cnost za j, jerj0� 12 j = 0 + 12 = 12 . Ina�ce, kao �sto je nazna�ceno u (7.3.6), uvek postoje dve mogu�cnosti: l � 12 il + 12 .Zadatak 7.3.3 Napisati analogon od (7.3.6) za pomenuto s-stanje.Celokupni uglovno-spinski prostor stanja �cestice jeL2()Hs = (�1l=0V(l))Hs = �1l=0(V(l) Hs) (7.3.7)i spinski sferni harmonicif�ljmj(�; ';m0s)jmj = �j; : : : ; j; j = l � 12 ; l + 12; l = 0; 1; : : :g (7.3.8)su standardni bazis za j u tom prostoru. Kada uglovno-spinski prostor �cestice razlo�zimo navi�sestruke invarijantne ireducibilne potprostore za j, dolazimo do slede�ceg rezultata:L2()Hs = �1j= 12Vj; Vj = Vl=j� 12 � Vl=j+ 12 ; j = 12 ; 32 ; : : : (7.3.9a,b)Razlaganje (7.3.9b) je ilustracija za (7.1.14b); po�sto je s = 12 stalno �ksirano, za dato j dozvoljenel je najlak�se izra�cunati iz pravila trougla (7.2.5d). Razlaganje (7.3.9) je dijagramatski prikazanona Crte�zu C7.7.Na Crte�zu C7.7 je zanimljivo da l preuzima ulogu � iz op�ste teorije. Naime, sa gledi�stateorije jednog uglovnog momenta (a to je ovde j) l je ekstra kvantni broj. Ali sa gledi�staslaganja uglovnih momenata l nije ekstra kvantni broj, nego neophodni sastavni deo teorije.Zadatak 7.3.4 Napisati kako eksplicitno glase funkcije (u stvari 2� 1 brojne kolone, elementi od C2) �ms kojereprezentuju vektore standardnog bazisa fj + i; j � ig � Hs za s u tom istom bazisu.7.3.3 Interakcija dva nukleonaInterakcija dva nukleona se u teoriji elementarnih �cestica naziva jakom interakcijom, a u nu-klearnoj �zici nuklearnom interakcijom. Zakon ove interakcije, tj. operator dvo-nukleonskogpotencijala, nije poznat u ta�cnoj formi za razliku od, na primer, zakona elektromagnetne inter-akcije dva elektrona (ili dva protona), tj. od Coulomb-ovog zakona.U ovakvom slu�caju nastoji se da se iz prvih principa (a to su simetrije) �sto vi�se ograni�cimogu�ca forma interakcije. Preostala sloboda u izboru interakcije se onda koristi za tzv. �tovanjeeksperimentalnih podataka (engleski �tting zna�ci uskladivanje, prilagodavanje). To zna�ci da seforma interakcije de�ni�se tako da teorija reprodukuje eksperimentalne �cinjenice.�Sto se ti�ce interakcije dva nukleona, Wigner i Eisenbud (�citati: Ajzenbad) su izvr�sili pomenutuanalizu iz principa simetrije7.3.1 i zaklju�cili da se pojavljuje svega nekoliko vrsta interakcije, odkojih su najva�znije:7.3.1L. Eisenbud and E.P. Wigner, Proceedings of the National Academy of Sciences U.S., 27, 281 (1941); savre-meniji prikaz u 6-om odeljku 4-te glave tre�ce reference u 5.1.4.

7.3. PRIMERI SLAGANJA UGLOVNIH MOMENATA 253i) spinski nezavisna interakcija V1(r) (r je norma radijus vektora relativne �cestice); i tri vrstespinski zavisne interakcije:ii) skalarna V2(r)(�1 � �2) (7.3.10)(indeks potencijala prebrojava potencijale, indeksi Pauli-jevih matrica se odnose na prvi idrugi nukleon);iii) vektorska 1~2V3(r)(l � S) (7.3.11)(l je orbitni uglovni moment relativne �cestice i istovremeno ukupni orbitni uglovni momentdva nukleona u odnosu na CM; S def= �~2 (�1 + �2) je ukupni spin dva nukleona);iv) tenzorska V4(r)[ 3r2 (�1 � r)(�2 � r)� �1 � �2] (7.3.12)(r je operator radijus vektora relativne �cestice, a r je moduo njene svojstvene vredno-sti; (7.3.10)-(7.3.12), su pisani u koordinatnoj reprezentaciji, tj. deluju u prostoru stanjaL2(R) L2(r)H(s)1 H(s)2 dva nukleona.Termini skalarni, vektorski odnosno tenzorski, odnose se na karakter doti�cnog operatora in-terakcije u spinskom faktor prostoru H(s)1 H(s)2 . Naime, doti�cni operator je ovde skalar, odnosnovektor, odnosno tenzor. (Vide�cemo u x 7.4 da su (7.3.10) i (7.3.11) ireducibilni, a (7.3.12) op�stiji,reducibilni tenzorski operator.)i) �Sto se ti�ce spinski nezavisne interakcije, ona deluje netrivijalno samo u radijalnom fak-tor prostoru relativne �cestice i stoga proizvoljni potpuni skup kompatibilnih opservabli uuglovno-spinskom faktor prostoru L2(R�C)H(s)1 H(s)2 mo�ze da dopuni operator interak-cije do potpunog skupa kompatibilnih opservabli u L2(r)H(s)12 . Dve najva�znije mogu�cnostitakvog dopunskog potpunog skupa su l2, lz, S2 i Sz i l2, S2, J2 i Jz. Energija vezivanja7.3.2ne zavisi, kao �sto se odmah vidi, od odgovaraju�cih kvantnih brojeva m, S, MS odnosno S,J , MJ .ii) Na osnovu (7.3.3b), (7.3.10) mo�ze da se prepi�se u viduV2(r)( 2~2 S2 � 3); (7.3.13)ili na osnovu (7.3.5), operator skalarne spinski zavisne interakcije mo�ze da poprimi vidV2(r)(4P (3) � 3) ili V2(r)(1� 4P (1)): (7.3.14a,b)Iz (7.3.13) se vidi da operator interakcije opet komutira bilo sa jednim bilo sa drugimskupom opservabli pomenutim u prethodnom slu�caju. Ali sada energija vezivanja zavisiod vrednosti S, tj. razli�cita je u tripletnom i singletnom stanju, kao �sto se vidi iz (7.3.14).7.3.2Radi pojednostavljenja na�seg rezonovanja u ovom paragrafu zanemarujemo kineti�cku energiju, spolja�snjepolje ostalih nukleona, kao i mogu�cnost da imamo dva i vi�se sabiraka nuklearne interakcije (od navedenih pod i)do iv)) u hamiltonijanu.

254 GLAVA 7. SLAGANJE UGLOVNIH MOMENATAZadatak 7.3.5 Re�siti svojstveni problem operatora skalarne spinski zavisne interakcije.iii) �Sto se ti�ce vektorske interakcije izJ2 def= (l+ S)2 = l2 + S2 + 2l � S (7.3.15)odmah sledi da se ovaj operator mo�ze prepisati u oblikuV3(r) 12~2 (J2 � l2 � S2): (7.3.16)Zbog nekomutiranja lz i Sz sa J2, u prisustvu ove interakcije lmlSMS -reprezentacija zauglovno-spinske stepene slobode sistema nije dobra, tj. ne dopunjuje se sa samom energijomveze u skup kompatibilnih opservabli. Ali lSJMJ -reprezentacija i dalje sasvim zadovoljava,samo �sto energija veze sad zavisi od J , l i S.Zadatak 7.3.6 Re�siti svojstveni problem operatora vektorske interakcije.iv) Najzad, da bismo pogodno transformisali vid tenzorske interakcije, podimo od jednakosti1~2 (S � r)2 = 14(�1 � r+ �2 � r)2 = 14[(�1 � r)2 + (�2 � r)2 + 2(�1 � r)(�2 � r)]: (7.3.17)Kao �sto smo rekli, imamo u vidu radijus-vektorsku reprezentaciju relativne �cestice, stogamultiplikativni operator r mo�zemo da pi�semo u vidu rr0, gde je r0 ort od r. Onda, naprimer, (�1 � r)2 = r2(�1 � r0)2 = r2, jer dok (�1 � r0) ima dve svojstvene vrednosti �1,kvadrat tog operatora ima samo jednu i to +1. Analogno, (�2 � r)2 = r2. Tako (7.3.17)postaje 1~2 (S � r)2 = 12 [(�1 � r)(�2 � r) + r2], �sto dovodi do(�1 � r)(�2 � r) = 2~2 (S � r)2 � r2: (7.3.18)Pomo�cu (7.3.18) i (7.3.3b) operator tenzorske interakcije prepisujemo u vidu2~2V4(r)[ 3r2 (S � r)2 � S2]: (7.3.19)Ako opet napi�semo r = rr0 (multiplikativni operator) i ako sledimo notaciju iz x 6.10.8,onda �ce (7.3.19) da glasi V4(r) 2~2 (3S2r � S2): (7.3.20)Zadatak 7.3.7 a) Da li su opservable Sr koordinatno-helicitetne reprezentacije de�nisane u spinskom faktorprostoru H(s)12 dvo-nukleonskog prostora L2(R)L2(r) H12?b) Da li su opservable Sr kompatibilne sa l ili sa l2?Ne�cemo podrobnije ulaziti u re�savanje svojstvenog problema operatora (7.3.20) pomo�cu he-licitetne reprezentacije.

7.3. PRIMERI SLAGANJA UGLOVNIH MOMENATA 2557.3.4 Jedan elektron u modelu ljuski atomskih omota�caU paragra�ma x 7.3.4 i x 7.3.5 otisnu�cemo se u atomsku �ziku i baci�cemo jedan pogled na po�cetakperiodnog sistema Mendeljejeva, koji je sve nas od srednjo�skolskih dana uzbudivao i ispunjavaostrahopo�stovanjem. To je u stvari jedna od najlep�sih primena kvantne teorije uglovnog momenta.Kao �sto �cemo detaljnije videti u teoriji vodoniku-sli�cnih atoma (odeljak x 9.1), kada u elek-tronskom omota�cu atoma zanemarimo sve elektrone osim jednog, a Coulomb-ovo polje jezgratretiramo kao spolja�snje polje7.3.3, hamiltonijan jednog elektrona se mo�ze svesti na slede�ci oblik:H = l22mer2 � ~22mer2 @@r (r2 @@r )� Ze2r (7.3.21)(uporediti (6.6.17)), gde se za po�cetak koordinatnog sistema uzima sredi�ste jezgra.U odnosu na radijalni i uglovni faktor prostor elektrona, (7.3.21) mo�ze da se prepi�se u viduH = ( 12mer2 )r (l2) + [�( ~22mer2 ) ddr (r2 ddr )� Ze2r ]r I: (7.3.22)Opet imamo primer za primenu metoda separacije varijabli (videti x 6.5.5 i x 6.5.6). Ispostavljase da su radijalne funkcije elektrona Rnl(r) svojstveni vektori efektivnog operatora Hef :[l(l + 1) ~22mer2 � ~22mer2 ddr (r2 ddr )� Ze2r ]Rnl(r) = EnlRnl(r): (7.3.23)Ispostavi�ce se, takode, da tzv. glavni kvantni broj n uzima vrednosti n = 1; 2; : : :, a l =0; 1; : : : ; n� 1.Svi kvantni sistemi imaju tendenciju da svoju ukupnu energiju smanje koliko god mogu iposti�zu to u osnovnom stanju (uporediti x 3.4.10). U aproksimaciji nezavisnih �cestica o kojojje re�c (kada se zanemari medusobna interakcija �cestica) elektroni, kao �sto se ka�ze, popunjavajunajni�ze nivoe, jer u ovom modelu ukupna energija omota�ca je zbir jednoelektronskih nivoa.Po�sto jednoelektronski nivoi zavise od n i l, a ne zavise od ml i ms, tzv. podljuske ili orbite sede�ni�su odredenim vrednostima n i l, a broj (2l+1)(2s+1) = 2(2l+1), tj. broj razli�citih parovaml, ms, pokazuje za koliko elektrona ima mesta u jednoj orbiti ili, drugim re�cima, koliki je brojdimenzija svojstvenog potprostora od Hef koji odgovara Enl. Zbog tzv. Pauli-jevog principa(kao �sto �cemo videti u x 9.4.4) to je upravo broj elektrona sa kojima se podljuska mo�ze popuniti.7.3.5 Po�cetak periodnog sistemaU Tabeli Tb 7.1 prikazan je po�cetak periodnog sistema hemijskih elemenata. Svi atomi na TabeliTb 7.1 su neutralni, broj elektrona u omota�cu je Z (kao broj protona u jezgru). Glavni kvantnibroj n prebrojava tzv. (glavne) ljuske ili periode periodnog sistema. Po�sto l uzima vrednosti odnule do n � 1, u prvoj ljusci imamo samo jednu podljusku, naime s-stanje elektrona (l = 0) saml = 0 i ms = �12 . Ova se ljuska stoga popunjava sa dva elektrona. U atomu vodonika imamo7.3.3Kretanje elektrona u omota�cu veoma neznatno uti�ce na kretanje nukleona u jezgru (kao �sto kretanje zemljeni�stavno uti�ce na kretanje sunca i materije u suncu). Zanemariv�si ovako bezna�cajan feedback (�citati: �dbek,zna�ci: povratna sprega), mo�zemo dinami�cki raspregnuti elektron i jezgro i njihovu interakciju u dobroj pribli�znostisimulirati spolja�snjim poljem.

256 GLAVA 7. SLAGANJE UGLOVNIH MOMENATAsamo jedan elektron; on je, naravno, u opisanoj prvoj ljusci. Takozvana kon�guracija, a to �cere�ci informacija o popunjenosti podljuski, za vodonikov atom glasi (1s), �sto iskazuje n = 1, l = 0.Dekodirajmo spektroskopsku notaciju 2S 12 (u slu�caju H). Pi�se se(2S+1)LJ ; (7.3.24)pri �cemu se kvantni broj orbitnog momenta L pi�se tzv. spektroskopskom notacijom, tj. poslede�cem koduL = 0, S; L = 1, P; L = 2, D; L = 3, F; L = 4, G; (7.3.25)Tabela 7.1: Po�cetak periodnog si-stema. Prvo je dat glavni kvantnibroj (n); sledi redni broj elementa (Z)i njegov hemijski simbol (HE); tre�ca i�cetvrta kolona su elektronska ko�gura-cija i spektroskopska notacija uglovnihmomenata. Kompletna Tabela je datana str. 307 ud�zbenika iz 6.8.3.n Z : HS Kon�guracija 2S+1LJ1 1 H (1s) 2S 122 He (1s)2 1S02 3 Li (He)(2s) 2S 124 Be (He)(2s)2 1S05 B (He)(2s)2(2p) 2P 126 C (He)(2s)2(2p)2 3P07 N (He)(2s)2(2p)3 4S 328 O (He)(2s)2(2p)4 3P29 F (He)(2s)2(2p)5 2P 3210 Ne (He)(2s)2(2p)6 1S03 11 Na (Ne)(3s) 2S 1212 Mg (Ne)(3s)2 1S013 Al (Ne)(3s)2(3p) 2P 1214 Si (Ne)(3s)2(3p)2 3P015 P (Ne)(3s)2(3p)3 4S 3216 S (Ne)(3s)2(3p)4 3P217 Cl (Ne)(3s)2(3p)5 2P 3218 Ar (Ne)(3s)2(3p)6 1S04 19 K (Ar)(4s) 2S 1220 Ca (Ar)(4s)2 1S021 Sc (Ar)(4s)2(3d) 2D 32

dalje se ide abecednim redom (tj. L = 5 , Hitd.). Velika slova se koriste za vi�se�cesti�cna stanja (zajedno�cesti�cna se koriste mala slova po istom kodu). Uposlednjem stupcu Tabele Tb 7.1 su u stvari nazna�ceniukupni spin, ukupni orbitni uglovni moment i sveukupniuglovni moment svih valentnih elektrona, tj. elektronakoji su van popunjenih ljuski i podljuski. Po�sto popu-njene podljuske imaju sva tri pomenuta uglovna mo-menta nula (dokaza�cemo ovo u T9.4.4), pri slaganju sauglovnim momentima valentnih elektrona oni ni�sta nemenjaju. Dakle, uglovni momenti valentnih elektronasu istovremeno i uglovni momenti celokupnog omota�ca.U slu�caju vodonika imamo samo jedan elektron. Po-datak 2S + 1 se �cita kao multiplet. Za vodonik se, naprimer, ka�ze da je u dubletnom stanju sa J = 12 . Ustvari elektron ima l = 0, j = s = 12 , a velika slovapi�semo radi ujedna�cene notacije.U slu�caju He se prva ljuska popunjava i sva trinjegova dvo-elektronska uglovna momenta su nula, tj.imamo singletno, S-stanje sa J = 0: 1S0. U stvari dvaelektrona u s-stanju daju dvo-elektronsko S-stanje. Je-dan elektron ima ms = �12 , a drugi ms = 12 . Kao �sto sevidi u (7.3.2b) i (7.3.1), to je u saglasnosti i sa triplet-nim i sa singletnim dvo-elektronskim spinskim stanjem.Medutim, kao �sto �cemo videti u x 9.5.3, Pauli-jev prin-cip u ovom slu�caju zabranjuje tripletno stanje. L = 0 iS = 0 nu�zno daju J = 0. Zbog popunjene ljuske He jeinertan po svom a�nitetu za hemijske reakcije.Kon�guracije atoma u slede�coj periodi (3 � Z � 10)dobijaju se dogradivanjem na kon�guraciju helijuma,kada je nazna�cena kao (He).Litijum ima jedan valentni elektron u drugoj ljusci i to u prvoj podljusci (n = 2; l = 0). Svatri uglovna momenta ovog elektrona isti su kao kod vodonika i to iz istih razloga.U omota�cu atoma berilijuma je prva podljuska druge ljuske popunjena. U atomu bora imamojedan valentni elektron u drugoj podljusci (u p-stanju) druge ljuske. Njegovi kvantni brojevi su

7.3. PRIMERI SLAGANJA UGLOVNIH MOMENATA 257direktno prepisani u 2P 12 . Od ugljenika do neona se ova podljuska postepeno popunjava. Neonopet ima popunjenu glavnu ljusku i sli�can je helijumu. Sa natrijumom po�cinje slede�ca perioda.Druga i tre�ca perioda su iste du�zine iako n = 3 dozvoljava pored s- i p-stanja i d-stanje. Aliispostavlja se da je u funkcionalnoj zavisnosti Enl d-stanje energetski nepovoljno (ima relativnovisoku vrednost) i taj se nivo po�cinje popunjavati7.3.4 tek kad je podljuska 4s popunjena (u Sc-u).7.3.6 Nuklearni model ljuskiElektroni u atomskom omota�cu nalaze se u Coulomb-ovom polju jezgra. To spolja�snje poljeje jedno�cesti�cnog tipa: PZi=1�Ze2ri , svaki elektron ponaosob ose�ca polje. Ono dominira naduzajamnom interakcijom elektrona, koja je dvo�cesti�cnog tipa: PZi<j e2jri�rj j (elektroni interagujupo parovima). Na ovaj na�cin dominantno jedno�cesti�cno polje dovodi (u dobroj aproksimaciji)do va�zenja modela nezavisnih �cestica ili modela ljuski (kad su fermioni u pitanju), �cije smo nekerezultate videli u paragrafu x 7.3.5.Unutar jezgra imamo samo veoma jaku uzajamnu interakciju nukleona i dugo se smatralobesmislicom da se nuklearna struktura poku�sa razumeti pomo�cu modela ljuski. Medutim, 1940.godine, �zi�cari Maria G�oppert-Mayer i (u nezavisnom, istovremeno objavljenom radu) Haxel,Jensen i Suess pokazali su da se u tzv. j � j sprezi, a to zna�ci na jeziku standardnog bazisa zaukupni jedno-nukleonski uglovni moment j def= l + s, nuklearna struktura mo�ze u znatnoj meriobjasniti pomo�cu modela ljuski. Pomenuti �zi�cari su dobili Nobel-ovu nagradu za ovo otkri�ce.Na Tabeli Tb 7.2 prikazana je (nekompletna) lista jedno-nukleonskih nivoa u spektroskopskojnotaciji. Energetski je najni�zi 1s 12 (osnovni nivo modela), a uzastopni vi�si nivoi slede redom(kao �sto �citamo re�ci u knjizi). Pojedine vrste nivoa predstavljaju ljuske (ovde nemamo distink-ciju ljuski i podljuski), a brojevi u pretposlednjoj koloni kazuju koliko protona (ili umesto toganeutrona) popunjava doti�cnu ljusku. Brojevi u poslednjoj koloni iskazuju sa koliko protona (ilineutrona) se popunjuju sve ljuske zavr�sno sa doti�cnom.Tabela 7.2: Jedno-nukleonski ni-voi u spektroskopskoj notaciji.1s 12 2 21p 321p 12 6 81d 52 2s 12 1d 32 12 201f 722p 321f 52 2p 121g 92 30 502d 52 1g 72 3s 12 1h1 12 2d 32 32 822f 721h 92 3p 32 2f 523p 12 1i 132 44 126Analogon glavnog kvantnog broja n kod elektrona ovdeima prili�cno fenomenolo�sku ulogu (dodatnog kvantnogbroja), prebrojava stanja unutar datog l. Na primer, 1d 52zna�ci (i �cita se kao) prvo d-stanje sa j = 52 itd.Tabela Tb 7.2 se odnosi posebno na protone i posebnona neutrone. Brojevi u poslednjem stupcu nazivaju semagi�cnim brojevima. Jezgra �ciji je broj protona (Z) ilibroj neutrona (N) magi�can, ispoljavaju znatnu stabilnoststrukture (setimo se analogije sa plemenitim gasovima).Naro�cito su stabilna tzv. dvostruko magi�cna jezgra kao�sto su 42He2, 168 O8, 4020Ca20, 20882 Pb126 (Z+NZ simbolN).Redosled nivoa unutar pojedinih ljuski nije ustaljen,ve�c zavisi od jezgra o kome je re�c, tj. od toga koji su nivoi ve�c popunjeni. Ova samousagla�senostmodela sa popunjeno�s�cu pojavljuje se i u modelu ljuski atomskih omota�ca, ali mnogo rede.7.3.4Iskazi u tekstu su simpli�cirani. Zavisnost od l u Enl se u stvari ne dobija iz (7.3.23), ve�c tek uzimanjem u obziri dodatnih �clanova u efektivnom hamiltonijanu (tzv. �na struktura usled spin-orbitnog sprezanja i relativisti�ckekorekcije; videti x 9.1.10).

258 GLAVA 7. SLAGANJE UGLOVNIH MOMENATATamo dominiraju�ce polje od jezgra obezbeduje prili�cnu ustaljenost pomenutog redosleda. Unutarjezgara celokupni jedno�cesti�cni hamiltonijan �cije je svojstveno re�senje model ljuski poti�ce odsamousagla�savanja jedno-nukleonskih stanja sa njihovim delovanjem na ostala stanja. Pitanjemodela ljuski i samousagla�savanje prou�ci�cemo u x 9.4.3, x 10.4.7 i x 10.4.8.7.3.7 Deuteron i nezavisnost p� p i n� n stanjaPostoji samo jedno vezano stanje dva nukleona, a to je deuteron (jezgro deuterijuma ili atomate�skog vodonika), koji se sastoji od protona i neutrona. uglovni momenti deuterona glase 3S1(ista spektroskopska notacija kao u atomima) sa malom primesom 3D1 stanja7.3.5.Kao �sto �cemo videti u x 9.5.3, tripletno S-stanje ove �cestice kao �sto su nukleoni je simetri�cno (upogledu uzajamne zamene koordinata) kako u spinskom dvo�cesti�cnom prostoru tako i u orbitnomdvo�cesti�cnom prostoru. Proton i neutron su razli�cive �cestice, za njih ne va�zi Pauli-jev principi stoga njima to stanje nije zabranjeno. Medutim dva protona (sitem p � p) ili dva neutrona(sistem n� n) su identi�cne ili nerazli�cive �cestice. Za njih va�zi Pauli-jev princip, a on zabranjujetripletno S-stanje. Samo u tom stanju je interakcija (koja je spinski zavisna) dovoljno jaka dadaje vezano stanje. Zato u prirodi ne postoji vezano stanje dva protona ili dva neutrona.7.4 Ireducibilni tenzorski operatori i Wigner-Eckart-ovteoremU ovom odeljku formalizam kvantne teorije uglovnog momenta �ce da kulminira u pro�sirenju idejestandardnog bazisa i na operatore, kako bismo mogli �sto vi�se olak�sati izra�cunavanje matri�cnihelemenata (a preko njih ide gotovo sva primena kvantne mehanike). Tako se upotpunjuje izaokrugljuje aparat reprezentacije uglovnog momenta, a standardni bazis je to u su�stini.De�nisa�cemo pojam ireducibilnog tenzorskog operatora i prou�ci�cemo najva�zniji specijalnislu�caj, vektorski operator. Prodiskutova�cemo jednu va�znu primenu vektorskih operatora uglov-nog momenta u tzv. j � j i L � S sprezanju. Formulisa�cemo i dokaza�cemo Wigner-Eckart-ovteorem, koji konkretizuje pomenuto pojednostavljenje izra�cunavanja matri�cnih elemenata. Prekoizvesnih pomo�cnih rezultata primeni�cemo ovaj teorem na prou�cavanja Zeeman-ovog efekta atom-skog omota�ca.7.4.1 *Ireducibilni tenzorski operatoriNeka je H neki Hilbert-ov prostor u kome je zadat vektorski operator uglovnog momenta K iodgovaraju�ca rotaciona grupa fU(�u) = e� {~�u�Kj�u iz �-lopteg. Onda svakih 2k + 1 operatoraT (k)m , m = �k;�k + 1; : : : ; k u H nazivamo standardnim komponentama ireducibilnog tenzorskogoperatora k-tog reda akoU(�u)T (k)m U�1(�u) =Pkm0=�k U (k)m0m(�u)T (k)m0 ; m = �k; : : : ; k ; (7.4.1a)7.3.5Ovde primesa ne zna�ci da je deuteron u me�sanom stanju. On je u �cistom stanju, a pomenuta stanja sukoherentno pome�sana, tj. pojavljuju se u superpoziciji.

7.4. IREDUCIBILNI TENZORSKI OPERATORI I WIGNER-ECKART-OV TEOREM 259k := 0; 1; ::: (7.4.1b)(razlog za izastavljanje polucelih k sazna�cemo u slede�cem odeljku).Uporedenje (7.4.1a) i (6.4.5) pokazuje da operatori fT (k)m jm = �k; : : : ; kg �cine standardanbazis u odnosu na rotiranja operatora. Ovu �cemo primedbu razraditi u Dodatku 1, x 7.4.5De�nicija (7.4.1) mo�ze se zameniti ekvivalentnom de�nicijom u kojoj se operatori T (k)m relirajusa K: [ Kz; T (k)m ] = m~T (k)m ; [ K�; T (k)m ] = (k(k + 1)�m(m� 1)) 12~T (k)m�1 ; (7.4.2a,b)m = �k; : : : ; k : (7.4.2c)Kada (7.4.2) uporedimo sa (6.2.21c) i (6.3.14c, 6.3.14d), vidimo da je fT (k)m jm = �k; : : : ; kgstandardni bazis u odnosu na superoperator [K; : : :] (operator koji deluje na operatore u H), kojiigra ulogu superoperatora uglovnog momenta za superoperatore rotacija U(�u) : : : U�1(�u). Daje to stvarno tako, kao i dokaz ekvivalentnosti (7.4.1) i (7.4.2), bi�ce dato u Dodatku 1, x 7.4.6.De�nicija (7.4.1a) se u specijalnom slu�caju ireducibilnog tenzorskog operatora nultog redasvodi na U(�u)T (k=0)m=0 U�1(�u) = T (k=0)m=0 ili na ekvivalentnu jednakost[ T (0)0 ; U(�u) ] = 0; 8�u iz �-lopte: (7.4.3)Operatore koji zadovoljavaju (7.4.3) nazivamo skalarnim operatorima. Najva�zniji primer je sfernosimetri�cni hamiltonijan.Zadatak 7.4.1 Dati primer skalarnog operatora u Hilbert-ovom prostoru H ovog odeljka.Zadatak 7.4.2 Pokazati da su operatoriT (k=1)m=�1 def= 1p2K�; T (k=1)m=0 def= Kz; T (k=1)m=1 def= � 1p2K+ (7.4.4a,b,c)standardne komponente ireducibilnog tenzorskog operatora prvog reda.7.4.2 Vektorski operatoriIz Zadatka Z 7.4.2 vidimo da vektorski operator K tek uz izvesnu modi�kaciju zadovoljava(7.4.1a). Name�ce se pitanje �sta je to vektorski operator, pojam kojim smo se do sada mnogokoristili, a nismo ga de�nisali.Kao i u klasi�cnoj �zici, vektorski operator se de�ni�se po uzoru na operator radijus vektora ru Ho. Preciznije, vektorski operator A u proizvoljnom Hilbert-ovom prostoru H sa de�nisanimK i fU(�u)j�u iz �-lopteg reliran je sa rotacijama (ili ekvivalentno sa K) istim relacijama kaor u Ho sa fU0(�u) = e� {~�u�lj�u iz �-lopteg (ili ekvivalentno sa l).Prepi�simo relacije (6.7.8) i (ekvivalentne relacije) (6.2.5), koje va�ze u Ho:U0(�u)rU�10 (�u) = R�1(�u)r; (7.4.5a)[ lq; q0 ] = {~ Xq00=x;y;z �qq0q00 q00 ; q; q0 = x; y; z; (7.4.5b)

260 GLAVA 7. SLAGANJE UGLOVNIH MOMENATAgde, kao i obi�cno, matricaR(�u) reprezentuje u �ksiranomDescartes-ovom koordinatnom sistemufx0; y0; z0g rotaciju R�u (koja deluje u objektivnom prostoru).Dakle, vektorski operator A uHmo�zemo da de�ni�semo bilo kojom od slede�ce dve ekvivalentnejednakosti7.4.1: U0(�u)AU�10 (�u) = R�1(�u)A; (7.4.6a)[ Kq; Aq0 ] = {~ Xq00=x;y;z �qq0q00 Aq00 ; q; q0 = x; y; z (7.4.6b)(naravno, U(�u) je rotacija u H).Po�sto su matrice R(�u) ortogonalne, tj. R�1 = RT , (7.4.6a) mo�zemo takode napisati koriste�cise transponovanom matricom od R:U(�u)AqU�1(�u) =Pq0=x;y;zRq0q(�u)Aq0; q = x; y; z : (7.4.7)Ako uporedimo (7.4.7) sa jednakostima reprezentovanja operatora rotacije R�u u Descartes-ovom sistemu fx0; y0; z0g R�uq0 = Xq0=x;y;zRq0qq00; q0 = x0;y0; z0; (7.4.8)vidimo da u (7.4.7) operatori Aq igraju istu ulogu kao ortovi x0;y0; z0 u (7.4.8). Zato se Aqponekad nazivaju Descartes-ovim komponentama ireducibilnog tenzorskog operatora prvog reda,ali naj�ce�s�ce komponentama vektorskog operatora.Pa�zljivi �citalac ve�c nazire da se relacije (7.4.4) uop�stavaju, tj. da mo�zemo pisatiA(1)�1 = 1p2(Ax � {Ay); A(1)0 = Az; A(1)1 = � 1p2(Ax + {Ay); (7.4.9a)ili matri�cno izra�zeno 0@ A(1)�1A(1)0A(1)1 1A = S0@ AxAyAz1A ; S def= 0@ 1p2 �{ 1p2 00 0 1� 1p2 �{ 1p2 01A ; (7.4.9b,c)pri �cemu je A proizvoljan vektorski operator, a fA(1)m jm = �1; 0; 1g ireducibilni tenzorski operatorprvog reda. Unitarna matrica S je matrica razvijanja standardnih komponenata po Descartes-ovim.Zadatak 7.4.3 Pokazati da su (7.4.9b), (7.4.7) i (7.4.1a) u skladu sa:U (k=1)(�u) = S�R(�u)ST ; 8�u iz �-lopte: (7.4.10)7.4.1Treba uo�citi da u jednakostima kao �sto su (7.4.5a) i (7.4.6a) vektorski operator zami�sljamo kao kolonu od trioperatora. Na levoj strani sa U : : : U�1 delujemo posebno na svaki element u koloni, a na desnoj strani imamomno�zenje kvadratne brojne matrice R�1 istom kolonom. Ovo je kompaktno napisan sistem od 3 operatorskejednakosti.

7.4. IREDUCIBILNI TENZORSKI OPERATORI I WIGNER-ECKART-OV TEOREM 261Kao �sto je ve�c re�ceno, vektorski operator A mo�ze se ekvivalentno de�nisati pomo�cu K:[ Kq; Aq0 ] = {~Pq00=x;y;z �qq0q00 Aq00 ; q; q0 = x; y; z : (7.4.11)Iz (7.4.11) i (6.2.7) je o�cigledno da je sam K vektorski operator.Zadatak 7.4.4 Pod pretpostavkom da je ve�c poznato da su (7.4.1a) i (7.4.2) ekvivalentni (a to �ce biti dokazanou x 7.4.6), dokazati ekvivalentnost (7.4.7) i (7.4.11).Zadatak 7.4.5 Nabrojati vektorske operatore kojima smo se do sada koristili i pokazati da je svaki od njihstvarno vektorski operator.Na kraju ovog paragrafa, da uka�zemo na �zi�cki smisao transformacionih osobina vektorskihoperatora. Neka je A vektorska opservabla, a j i proizvoljno stanje. Onda je o�cekivanavrednost h j A j i brojni vektor, tj. trojka brojeva koju dobijamo merenjem na ansamblu.Merne aparature su po pravilu klasi�cne, a rezultati, kao h j A j i, moraju imati klasi�cnetransformacione osobine (u ovom slu�caju pod rotacijama). Ako primenimo rotacije u H, naprimer u Schr�odinger-ovoj verziji (uporediti x 5.2.4), onda klasi�cna rotacija R�, rezultuje u novomvektoru: h j U y(�)AqU(�) j i =Pq0=x;y;z Rqq0(�)h j Aq0 j i (U y : : : U je inverzno od U : : : U y,stoga Rqq0). Dakle, h j A j i se trasformi�se kao klasi�cni vektor.7.4.3 j � j i L� S sprezanjePo�ce�cemo paragraf sa dve korisne leme o vektorskim operatorima.Lema 7.4.1 Svaka linearna kombinacija vektorskih operatora je takode vektorski operator.Zadatak 7.4.6 Dokazati Lemu L 7.4.1.Lema 7.4.2 Tri operatora lx, ly i lz orbitnog uglovnog momenta �cestice koja ima spin �cinevektorski operator ne samo u odnosu na orbitne rotacije, nego i u odnosu na ukupne (tj. orbitno-spinske) rotacije. Analogno va�zi za s.Dokaz: Po�sto se �citalac ve�c ubedio da je l vektorski operator u Ho, predimo na ukupni prostor stanja Hu def=Ho Hs. Leva strana od (7.4.7) onda glasi (U0(�u) Us(�u))(lq Is)(U�10 (�u) U�1s (�u)), �sto se svodi na(U0(�u)lqU�10 (�u)) (Us(�u)IsU�1s (�u)). Po�sto u Ho l zadovoljava (7.4.7), prvi faktor je Pq0=x;y;z Rq0q lq0 , teusled linearnosti direktnog proizvoda na�sa polazna leva strana postaje Pq0=x;y;z Rq0q(�u)(lq0 Is), tj. (7.4.7)va�zi i u Hu. Za s je dokaz analogan. Q. E. D.Sada �cemo rezultat Leme L 7.4.2 uop�stiti na sistem od vi�se �cestica sa spinom, na primer naatomski omota�c od Z elektrona. Ukupni prostor stanja omota�ca glasiH(u)1:::Z = H(u)1 : : :H(u)Z ; (7.4.12)gde su faktor prostori ukupni prostori stanja pojedinih elektrona. Po�sto je H(u)i = H(o)i H(s)i ,i = 1; : : : ; Z, imamo H(u)1:::Z = H(o)1 H(s)1 : : :H(o)Z H(s)Z : (7.4.13)

262 GLAVA 7. SLAGANJE UGLOVNIH MOMENATAPo�sto su �zi�cke rotacije uvek rotacije u ukupnom prostoru, postavlja se pitanje da li su naprimer l1 i s1 vektori i u odnosu na ukupne rotacije. U ukupnom prostoru H(u)1:::Z operator l1deluje kao l1 I(s)1 : : : I(o)Z I(s)Z , stoga rezonovanjem kao u dokazu Leme L7.4.2 lako mo�zemozaklju�citi da l1 jeste vektor i u odnosu na ukupne rotacije ili ukupni uglovni moment J. Analognova�zi za s1, kao i za li, si, i = 2; : : : ; Z.Poredak faktora kao u (7.4.12) i (7.4.13) prilagoden je tzv. j � j sprezanju (engleski: j-jcoupling, �citati: d�zej-d�zej kapling), tj. u svakom H(u)i imamo sprezanje ji = li + si, a zatimJ =PZi=1 ji.Postoji i druga mogu�cnost, tzv. L � S sprezanje, koje se u atomskoj �zici naziva i Russel-Saunders-ovim (�citati: Rasl-Saunders) sprezanjem. Naime, na osnovu komutiranja faktor pro-stora (mada za jednu primenu poredak mora biti �ksiran, ali nakon permutovanja faktora dobi-jamo ekvivalentne rezultate), mo�zemo ukupan prostor pisati u viduH(o)1:::Z = H(o)1:::Z H(s)1:::Z; (7.4.14)H(o)1:::Z = H(o)1 : : :H(o)Z ; H(s)1:::Z = H(s)1 : : :H(s)Z : (7.4.15a,b)Poretku faktor prostora kao u (7.4.15) i (7.4.14) odgovara sprezanje J = L + S, gde suL def= PZi=1 li i S def= PZi=1 si, ukupni orbitni odnosno ukupni spinski vektor uglovnog momentaomota�ca (realizacija za K u H(o)1:::Z odnosno u H(s)1:::Z).Rezonovanjem kao u dokazu Leme L7.4.2 sledi da su L i S vektorski operatori i u odnosu naJ (sveukupni uglovni moment), tj. u odnosu na �zi�cke rotacije.7.4.4 Wigner-Eckart-ov teoremVratimo se op�stem slu�caju sa standardnim komponentama ireducibilnih tenzorskih operatorade�nisanih sa (7.4.1a). Mi jo�s ne znamo �sta je svrha ovih operatora.U kvantnoj mehanici se veoma �cesto moraju izra�cunati matri�cni elementi, tj. izrazi tipah j A j i, gde je A naj�ce�s�ce �clan u hamiltonijanu (na primer perturbacija). Mo�zemo u prostorustanja uvesti standardni bazis za K i razviti vektore stanja j i i j �i po njemu. Standardan bazisu operatorskom prostoru se sastoji upravo od multipleta operatora de�nisanih sa (7.4.1a) i ponjima mo�zemo da razvijemo i A. Na taj na�cin se izra�cunavanje pomenutih matri�cnih elemenatasvodi na izra�cunavanje matri�cnih elemenata vida hkm� j T (k2)m2 j k1m1�1 i. Za njih va�zi slede�cepojednostavljenje.Teorem 7.4.1 (Wigner-Eckart-ov) (Vigner, Ekart)hkm� j T (k2)m2 j k1m1�1 i = (k1k2m1m2jkm)h k�kT (k2)kk1�1 i ; (7.4.16)gde je h k�kT (k2)kk1�1 i, tzv. redukovani matri�cni element7.4.2, nepoznata funkcija od kvantnihbrojeva k; �; k2; k1; �1, �cija funkcionalna zavisnost zavisi od prirode operatora T (k2)m2 , a prvi faktorna desnoj strani je CG-koe�cijent.7.4.2Kod mnogih autora je redukovani matri�cni element de�nisan tako da se na desnoj strani (7.4.16) javlja faktor12k+1 .

7.4. IREDUCIBILNI TENZORSKI OPERATORI I WIGNER-ECKART-OV TEOREM 263Napomena 7.4.1 Pojednostavljenje u (7.4.1) sastoji se u tome �sto je sva zavisnost leve straneod magnetnih kvantnih brojeva m, m1 i m2 poznata preko CG-koe�cijenta na desnoj strani.Nepoznati redukovani matri�cni element (koji u stvari nije matri�cni element, samo je uobi�cajenoda se simboli�cno ili uslovno tako pi�se i naziva) izra�cunava se tako da se za neku kombinacijum, m1 i m2 za koju CG-koe�cijent nije nula izra�cuna leva strana. Onda CG-koe�cijenti odmahomogu�cavaju izra�cunavanje vrednosti leve strane za sve ostale kombinacije vrednosti m, m1, m2.Napomena 7.4.2 Najve�ca korist od Wigner-Eckart-ovog teorema je u selekcionim pravilimakoje u sebi nose CG-koe�cijenti: hkm� j T (k2)m2 j k1m1�1 i = 0 (7.4.17)kadgod m 6= m1 +m2 i/ili kadgod k, k1 i k2 ne zadovoljavaju pravilo trougla.Radi upro�s�cavanja ra�cuna, redukovani matri�cni element hk� j jT (k2)j j k1�1 i stavljamo pode�niciji jednakim nuli kad god je naru�seno selekciono pravilo za k, k1 i k2 (jer onda ionakonemamo potrebe za njima).Zadatak 7.4.7 Navesti eksplicitno selekciona pravila za skalarni i vektorski operator.Zadatak 7.4.8 Pokazati da je matri�cni element hk� j jT (k2)j j k1� i jednak nuli kad god k, k1 i k2 ne zadovoljavajupravilo trougla. Ovde su vektori takvi da zadovoljavaju K2 j k��i = k(k+1)~2 j k�i, K2 j k1� i = k1(k1+1) j k1� i(� i � su dodatni kvantni brojevi); T (k2) =Pk2m2=�k2 �m2 T (k2)m2 , gde su �m2 proizvoljni kompleksni brojevi, a T (k2)m2su standardne komponente nekog ireducibilnog tenzorskog operatora.Nekad se u kontekstu matri�cnog elementa kao �sto je dat u Zadatku Z 7.4.8 ka�ze da vektori,,nose" kvantne brojeve k odnosno k1, a operator da ,,nosi" kvantni broj k2.Specijalni slu�caj operatora T (k2) iz Zadatka Z 7.4.8 su komponente bilo kog vektorskog ope-ratora.Posle nekoliko pomo�cnih rezultata primeni�cemo u slede�cem paragrafu Wigner-Eckart-ov teo-rem na Zeeman-ov efekt atomskog omota�ca.Lema 7.4.3 Neka su A i B dva proizvoljna vektorska operatora. Njihov tzv. skalarni proizvod,tj. izraz A � B def= AxBx + AyBy + AzBz; (7.4.18)je skalarni operator.Zadatak 7.4.9 Dokazati Lemu L 7.4.3 na dva na�cina, jedan od njih da bude pomo�cu matrica, tj. pi�su�ci A � Bkao vrstu od tri operatora mno�zenu (matri�cno) sa kolonom od tri operatora.Zadatak 7.4.10 a) Objasniti za�sto brojni vektor (kao na primer � iz �-lopte) nije vektorski operator.b) Pokazati da kad bi brojni vektori bili vektorski operatori, onda bi zbog Leme L 7.4.3 grupa rotacija moralabiti komutativna.Napomena 7.4.3 Kao �sto proizlazi iz iskaza Zadatka Z 7.4.10a potpuni efekt rotacije R� u H uHeisenberg-ovoj verziji (bez obzira da li se radi o aktivnoj ili o pasivnoj interpretaciji) nije samou tome da se svaki vektorski operator A zameni rotiranim vektorskim operatorom U�1(�)AU(�)(i analogno svaki ireducibilni tenzorski operator itd.), ve�c da se istovremeno svaki brojni vektor� zameni sa R(�)�.

264 GLAVA 7. SLAGANJE UGLOVNIH MOMENATAZadatak 7.4.11 Pokazati kako iz Napomene N7.4.3 sledi invarijantnost izraza A � � pod potpunim efektomproizvoljne rotacije.Zadatak 7.4.12 Realan broj � je specijalan slu�caj hermitskog operatora i mo�ze da se �zi�cki interpretira kaoopservabla �cije merenje sigurno daje rezultat �. Objasniti (u kontekstu Napomene N7.4.3 i diskusije na kraju,paragrafa x 7.4.2) za�sto brojni vektor � ne mo�ze da se interpretira �zi�cki kao vektorska opservabla. Navestiprimere brojnih vektora u kvantnoj mehanici i ilustrovati iskaz da oni ne izra�zavaju (kvantizirane) varijable, ve�codreduju vektore u obi�cnom prostoru.7.4.5 *Zeeman-ov efekt atomskog omota�caSada �cemo nastaviti kvantno-mehani�cko opisivanje efekta Zeeman-a, koje smo zapo�celi u odeljkux 6.8 i nastavili u x 6.9.3.Kvantizacijom klasi�cnog hamiltonijana koji opisuje omota�c u prisustvu spolja�snjeg konstant-nog i homogenog magnetnog polja B dobili smo (6.8.9). Prepisujemo ga u viduH = ZXi=1 ( p2i2me � Ze2ri ) + ZXi<j e2jri � rjj � ZXi=1 �(l)i �B; (7.4.19)gde je �(l)i def= ��Bglli (izostavili smo mali poslednji �clan koji je irelevantan za Zeeman-ov efekt).S druge strane, po�sto smo uveli spin (videti hipotezu spina u x 6.9.4) znamo da i unutra�snjimagnetni dipolni moment �B = �gs�B s interaguje sa B, tako da se u hamiltonijanu omota�camora pojaviti dodatni �clan�PZi=1 �(s)i �B, koji je nov u odnosu na kvantiziranu klasi�cnu jedna�cinu(7.4.19). Uklju�cuju�ci ovaj �clan u (7.4.19) i de�ni�su�ci H u L2(r1; : : : ; rZ)H(s)1:::Z , dolazimo doH = ZXi=1 ( p2i2me � Ze2ri ) + ZXi<j e2jri � rjj �B � �; (7.4.20a)gde je � vektorski operator magnetnog dipolnog momenta elektronskog omota�ca, a on glasi� def= ��B(glL+ gsS); L = ZXi=1 li; S = ZXi=1 si: (7.4.20b,c,d)Giromagnetski ili Lande-ovi faktori gl i gs (orbitni i spinski) jednog elektrona imaju empirijskevrednosti: gl = 1; gs = 2 (7.4.21a,b)(to su pribli�zne vrednosti), a to daje i Dirac-ova relativisti�cka kvantna teorija elektrona; �cesto segl izostavlja (kao faktor), a umesto gs odmah stavlja 2.Kao �sto �cemo videti u x 9.1.10, �cinjenica da elektron ima spin ispoljava se ne samo krozposlednji sabirak u (7.4.20b), nego i kroz jo�s jedan sabirak u hamiltonijanu, Hsl, koji predstavljatzv. spin-orbitno sprezanje. Stoga, hamiltonijan omota�ca jeH =PZi=1( p2i2me � Ze2ri ) +PZi<j e2jri�rj j +PZi=1 12m2ec2 si � li 1ri dV (ri)dri �B � � (7.4.22)(uporediti (9.1.37)).

7.4. IREDUCIBILNI TENZORSKI OPERATORI I WIGNER-ECKART-OV TEOREM 265Kada je magnetno polje toliko jako da B � � dominira nad Hsl (tj. nad pretposlednjimsabirkom), onda se govori o Paschen-Back-ovom efektu (�citati: Pa�sen-Bak). U obratnom slu�caju,kada je B � � za redove veli�cine manji od Hsl, imamo Zeeman-ov efekt.Zadatak 7.4.13 a) Pokazati da je H iz (7.4.22) bez poslednjeg sabirka rotaciono simetri�can i da se potpunaklasi�kacija stanja posti�ze standardnim bazisom fj JMJ� ij8J;MJ ; �g za J (ovde � uklju�cuje kvantni brojenergetskog nivoa).b) Pokazati da se odbacivanjem poslednjeg i pretposlednjeg sabirka u (7.4.22) (nulta aproksimacija u Paschen-Back-ovom efektu) potpuna klasi�kacija stanja posti�ze i bazisom fj LMLSMS� ij8L;ML; S;MS; �g, kojije standardan bazis za L i S.Rezultati merenja Zeeman-ovog efekta mogu da se teorijski reprodukuju sa zadovoljavaju�comta�cno�s�cu ako �clan �B � � u (7.4.22) tretiramo kao perturbaciju i to u prvoj aproksimaciji.Sada moramo malo anticipirati rezultate kasnijih glava. Kao �sto �cemo videti kad budemoizu�cavali teoriju stacionarnih perturbacija degenerisanog nivoa (x 10.2.2), da bismo izra�cunalikakvo �ce cepanje jednog neperturbisanog nivoa E�n izazvati perturbacija u prvoj aproksimaciji,moramo dijagonalizirati samo jednu podmatricu operatora perturbacije u energetskoj reprezen-taciji neperturbisanog hamiltonijana. Ta se podmatrica sastoji od svih matri�cnih elemenata koji,kao �sto se ka�ze, povezuju vektore stanja koji odgovaraju doti�cnom �ksiranom nivou E�n. Po�stonivoi En neperturbisanog hamiltonijana funkcionalno zavise od kvantnih brojeva n, J , MJ , �(uporediti Zadatak Z 7.4.12.a., sad � ne uklju�cuje n), zajedno sa nivoom E0�n �ksirani su i odgo-varaju�ci kvantni brojevi �n, J0, �0, tj. svi osimMJ . Degenerisanost nivoa je 2J0+1 i podmatricareda (2J0 + 1) � (2J0 + 1) od operatora perturbacije �B � � (vrste i kolone prebrojava MJ0)dijagonalizacijom daje pomenuto cepanje.Dakle, potrebni su nam matri�cni elementi h�nJ0MJ0�0 j (�B � �) j �nJ0M 0J0�0 i. Medutim, naosnovu (7.4.20) ni�ze i eksplicitne forme operatora �B � � (uporediti (7.4.20b) i (7.4.21)), pi�semoh�nJ0MJ0�0 j (L + 2S) j �nJ0M 0J0�0 i = gh�nJ0MJ0�0 j J j �nJ0M 0J0�0 i: (7.4.23)Faktor g naziva se giromagnetskim ili Lande-ovim faktorom elektronskog omota�ca. To jeveli�cina koja karakteri�se doti�cni nivo E0�n (zavisi od �n, J0 i �0, a ne od MJ0).Koriste�ci (7.4.23), dolazimo do slede�ceg rezultatah�nJ0MJ0�0 j (�B � �) j �nJ0M 0J0�0 i = gB�Bh�nJ0MJ0�0 j Jz j �nJ0M 0J0�0 i(z�osa je du�z B; B def= jBj = Bz, Bx = By = 0), iz �cega slediLS = ÆMJ0M 0J0gB�BMJ0~:Dakle, zahvaljuju�ci tome �sto smo pomo�cu Lande-ovog faktora g uspeli da svedemo sve rele-vantne operatore na Jz (a to smo mogli zahvaljuju�ci Lemi (L 7.4.7) ni�ze, a u stvari na osnovuWigner-Eckart-ovog teorema), na�sa podmatrica je ve�c dijagonalna, te perturbisani energetskinivoi (u prvoj pribli�znosti) glase7.4.37.4.3Ponekad se uvodi tzv. magnetni moment elektronskog omota�ca i obele�zava se sa m. To je po de�nicijim def= h�nJ0;MJ0 = J0; �0 j �z j �nJ0;MJ0 = J0; �0 i = ��BJ0~g (videti (7.4.20b) i (7.4.23)). O�cigledno, m igraanalognu ulogu kao g i nema potrebe uvoditi obe ove veli�cine.

266 GLAVA 7. SLAGANJE UGLOVNIH MOMENATAE(�n J0 �0) = E0�n + g B �B MJ0 ~ : (7.4.24)Nivo E0�n cepa se na 2J0 + 1 ekvidistantnih nivoa, a ,,distanca" je gB�B~.Op�stu formulu (7.4.24) mo�zemo primeniti i na slu�caj jednog valentnog elektrona (izosta-vljaju�ci popunjene ljuske i podljuske). Uzmimo dva primera, srebro (Ag) sa kon�guracijom(Kr)(5s)(4d)10 i uglovnim momentima 2S 12 i talijum (Tl) kon�guracije (Xe)(6s)2(4f)14(5d)10(6p)i sa 2P 12 . Po�sto je u oba slu�caja J = j = 12 , Zeeman-ov efekt cepa neperturbisani nivo osnovnogstanja na dva nivoa (anomalni Zeeman-ov efakt). Ali Tl usled L = l = 1 (za Ag: L = l = 0) imamanji g faktor i, kao �sto vidimo iz (7.4.24), razmak perturbisanih nivoa je manji.Zadatak 7.4.14 Pokazati da se u slu�caju Paschen-Back-ovog efekta obrazac (7.4.24) zamenjuje formulomE(�n L0 S0 �0) = E0�n + �B B (ML0 + 2MS0): (7.4.25)7.4.6 *DODATAK 1 - Superoperatori rotacija i uglovnogmomentaZa ljubitelje dubljih matemati�ckih sagledavanja da�cemo kratak prikaz ireducibilnih tenzorskihoperatora sa gledi�sta superoperatora, tj. operatora koji deluju na operatore daju�ci opet operator(uporediti x 5.2.3).Neka je H na�s prostor stanja kvantnog sistema, a sa H2 obele�zimo (kompleksni) linearniprostor svih linearnih operatora koji deluju u H i nazva�cemo ga superprostor7.4.4. Superoperatorisu linearni oparatori u H2.Podimo od prou�cavanja superoperatora^U(�u)A def= U(�u)AU�1(�u); 8A 2 H2; 8�u iz �-lopte: (7.4.26a)Po�sto operatori rotacije vektora u H (u Schr�odinger-ovoj verziji) glase U(�u) = e� {~��K, imamo^U(�u)A = e� {~��KAe {~��K: (7.4.26b)Uvedimo sad superoperatore^KqA def= [ Kq; A ]; 8A 2 H2; q = x; y; z: (7.4.27)Na osnovu Baker-Hausdor�-ove leme (videti x 5.2.3) i (7.4.27), mo�zemo (7.4.26b) prepisati kao^U(�u)A = e� {~�� ^KA (7.4.28)(iskoristili smo linearnost komutatora po prvom faktoru).Zadatak 7.4.15 Dokazati da je preslikavanje U(�u) ! ^U(�u), zadato sa (7.4.26a), izomor�zam.7.4.4Preciznije re�ceno, u H2 spadaju samo linearni operatori �ciji je domen gust u H. Op�stiji linearni operatori sene susre�cu u kvantnoj mehanici.

7.4. IREDUCIBILNI TENZORSKI OPERATORI I WIGNER-ECKART-OV TEOREM 267Zbog (7.4.28) grupu superoperatora f ^U(�u)j�u iz �-lopteg mo�zemo interpretirati (formalno)kao grupu superrotacija7.4.5 u H2. Generator je vektorski superoperator ^K def= f ^Kx; ^Ky; ^Kzg.Proverimo koje komutacione relacije zadovoljavaju komponente.Iz Jacobi-evog identiteta za komutatore sledi [ Kx; [ Ky; Kz ] ]+ cikl. perm. = 0 )[ Kx; [ Ky; A ] ] � [ Ky; [ Kx; A ] ] � [ [ Kx; Ky ]; A ] = 0, �sto na osnovu de�nicije (7.4.27) irelacije [ Kx; Ky ] = {~Kz dovodi do[ ^Kx; ^Ky ] = {~ ^Kz i cikl. perm. ; (7.4.29)jer A 2 H2 je proizvoljan operator. Cikli�cne permutacije slede analogno, kao i nultost ostalihkomutatora.Tek sada mo�zemo s pravom govoriti o rotacijama u H2, a o ^K kao o vektorskom superopera-toru uglovnog momenta.�Sto se ti�ce ireducibilnih tenzorskih operatora, prepi�simo sad de�niciju (7.4.1a) u vidu^U(�u)T (k)m = kXm0=�kU (k)m0m(�u)T (k)m0 : (7.4.30)Kad (7.4.30) uporedimo sa (6.4.5) (videti i pasus ispod toga), dolazimo do zaklju�cka da je iredu-cibilni tenzorski operator u stvari jedan multiplet standardnog bazisa za superrotacije.Radi alternativnog de�nisanja ireducibilnog tenzorskog operatora, jednakosti (7.4.2) prepisu-jemo u vidu ^KzT (k)m = m~T (k)m ; (7.4.31a)^K�T (k)m =pk(k + 1)�m(m� 1)T (k)m�1: (7.4.31b)Uporeduju�ci (7.4.31a) sa (6.2.21c), a (7.4.31b) sa (6.3.14c,6.3.14d) (videti i Zadatak 6.3.6 ispodtoga), dolazimo do istog zaklju�cka.�Citaocu je ve�c, bez sumnje, palo u o�ci da u superprostoru H2 ipak ne�sto nedostaje: nemamounitarni skalarni proizvod i H2 nije Hilbert-ov prostor. Ipak, tzv. Hilbert-Schmidt-ovi operatoriu H, tj. linearni operatori za koje va�zi Tr AyA <1 (ako je H kona�cno-dimenzionalan, onda susvi linearni operatori Hilbert-Schmidt-ovi), �cine Hilbert-ov prostorH2HS � H2. Skalarni proizvodje de�nisan u H2HS na slede�ci na�cin ( A ; B ) def= Tr AyB: (7.4.32)Zadatak 7.4.16 Pokazati da su superrotacije ^U(�u) unitarni, a superoperatori uglovnog momenta ^Kq hermitskiu H2HS .7.4.5Ako �zi�cki interpretiramo rotacije u H2, onda smo u Heisenberg-ovoj verziji i ^U�1(�u) odgovara rotacijiR�u u objektivnom obi�cnom prostoru. Ali zbog zahteva izomor�zma, mi smo onda u levom stupcu na C5.2,imamo pasivnu interpretaciju i u stvari R�1�u deluje na koordinatni sistem. Tako da opet imamo R�u ! ^U(�u)(izomorfno), gde rotacije R�u deluju u skupu koordinatnih sistema (kvadrat I na C5.2).

268 GLAVA 7. SLAGANJE UGLOVNIH MOMENATADakle, u H2HS imamo jednu realizaciju op�ste teorije uglovnog momenta i svi njeni rezultati seprenose i na ovaj slu�caj. Na primer, �sto je za nas od va�znosti, iz op�ste teorije sledi da su relacije(7.4.30) i (7.4.31), tj. zapravo (7.4.1a) i (7.4.2a-7.4.2c), ekvivalentne de�nicije.U kvantnoj mehanici obi�cno susre�cemo operatore koji nisu Hilbert-Schmidt-ovi. Stoga namse name�ce pitanje da li ekvivalentnost de�nicija (7.4.1a) i (7.4.2a-7.4.2c) va�zi i u slu�caju kadanisu svih 2k+1 standardnih komponenti ireducibilnog tenzorskog operatora Hilbert-Schmidt-ovi.Potvrdan odgovor sledi iz �cinjenice da su rotacije f ^U(�u) = e� {~�u ^K j�u iz �-lopteg s jednestrane i f ^Kz; ^K�g s druge uzajamno povezani funkcionalnim zavisnostima (uporediti (6.4.1)).Zahvaljuju�ci tome, mo�zemo po�ci od (7.4.30) i, pogodno se koriste�ci eksplicitnom formom U -funkcija, sti�ci do (7.4.31a, 7.4.31b) i obratno. Pri tome nije bitno �sto nismo a priori sigurni dasu fT (k)m m = �k; : : : ; kg kao vektori u H2 linearno nezavisni. Upravo zbog toga i ne moramo da�cinimo pomenute korake, jer u unitarnom prostoru, kada su vektori fj km� ijm = �k; : : : ; kgortonormirani, znamo da iz jednog sistema jednakosti sledi drugi i obratno.Zadatak 7.4.17 Pokazati da (7.4.31a, 7.4.31b) impliciraju da su fT (k)m jm = �k; : : : ; kg ili svi nula ili linearnonezavisni. (Indikacija: Koristiti se sa (7.4.31b) za eliminaciju mogu�cnosti da neki od pomenutih operatora jesu,a drugi nisu nula. Iz (7.4.31a) ab contrario rezonovanjem sledi da nenultost doti�cnih operatora implicira da sulinearno nezavisni.)7.4.7 *DODATAK 2 - DokazWigner-Eckart-ovog teoremaOvaj dokaz zasniva se na analogiji (2k1 + 1)(2k2 + 1) vektorafT (k2)m2 j k1m1�1 ijm1 = �k1; : : : ; k1;m2 = �k2; : : : ; k2g (7.4.33)sa bazisom (7.2.1). Naime, uprkos tome �sto vektori u skupu (7.4.33) nisu nu�zno linearno nezavisni(�cak nisu ni nu�zno razli�citi od nule), raspola�zemo algoritmom po kome se likovi vektora iz (7.4.33)po operatorima rotacije jednozna�cno razvijaju po (7.4.33):U(�u)(T (k2)m2 j k1m1�1 i) = (U(�u)T (k2)m2 U�1(�u))(U(�u) j k1m1�1 i) =k1Xm01=�k1 k2Xm02=�k2 U (k1)m01m1(�u)U (k2)m02m2(�u)T (k2)m2 j k1m01�1 i; 8m1; m2: (7.4.34)Ako (7.4.33) napi�semo u vidu supervektora, ozna�ci�cemo ga sa (33), onda se (7.4.34) mo�zeprepisati kao U(�u)(33) = (U (k1)(�u) U (k2)(�u))T (33); (7.4.35)�sto je analogno sa (7.2.14).Prosledimo analogiju izmedu (7.4.33) i bazisa (7.2.1) dalje.Iz (7.2.18) sledi (U (k1)(�u) U (k2)(�u))T =M�1(�k1+k2k=jk1�k2jU (k)(�u))TM: (7.4.36)Kada (7.4.36) zamenimo u (7.4.35) i pomno�zimo s leva sa M (�sto komutira sa U(�u)), dolazimodo jednakosti U(�u)M(33) = (�k1+k2k=jk1�k2jU (k)T (�u))M(33) (7.4.37)

7.4. IREDUCIBILNI TENZORSKI OPERATORI I WIGNER-ECKART-OV TEOREM 269(u direktnom zbiru matrica transponuje se svaki sabirak posebno, kao �sto se �citalac lako mo�zeuveriti).Uporeduju�ci (7.4.37) sa (7.2.15), vidimo da je M(33) analogon standardnog bazisa (7.2.2).Po�sto znamo vektore u supervektoru (33) i znamo matri�cne elemente od M (videti (7.2.7a)),mo�zemo napisati kako glase vektori u supervektoru M(33). Obele�zimo ove vektore (zasaduslovno) sa km. Onda km = Xm1m2(k1k2m1m2jkm)T (k2)m2 j k1m1�1 i; k = jk1 � k2j; : : : ; k1 + k2;m = �k; : : : ; k: (7.4.38)Obele�zimo supervektor koji se sastoji od vektora km, m = �k; : : : ; k, sa ( k). (7.4.37) seo�cigledno raspada na slede�ce manje supervektorske jednakostiU(�u)( k) = U (k)T (�u)( k); k = jk1 � k2j; : : : ; k1 + k2: (7.4.39)Sistem jednakosti (7.4.39) je analogan jednakostima (7.4.30) iz prethodnog Dodatka. Kao itamo (kraj od x 7.4.6 i Zadatak Z 7.4.16), mo�zemo zaklju�citi da se skupovi f kmjm = �k; : : : ; kgili sastoje od samih nula ili od 2k+1 linearno nezavisnih vektora. Pro�sirenjem dokaza L 6.4.2 saunitarnog operatora prelaska W na nesingularni (uop�stavaju�ci na bazise od linearno nezavisnihvektora), analogno sledi da vektori km, m = �k; : : : ; k, ako nisu svi nula, onda moraju bitijednaki vektorima iz jednog multipleta standardnog bazisa pomno�zenim sa nekim zajedni�ckimbrojnim faktorom.Invertovanjem jednakosti (7.4.38) dolazimo doT (k2)m2 j k1m1�1 i =Xk0m0(k1k2m1m2jkm) km: (7.4.40)mno�ze�ci (7.4.40) s leva skalarno sa hkm� j, dobijamohkm� j T (k2)m2 j k1m1�1 i =Xk0m0(k1k2m1m2jkm)h km� j k0m0i: (7.4.41)leva strana od (7.4.41) je leva strana od (7.4.16), tj. od Wigner-Eckart-ovog Teorema koji doka-zujemo.Po�sto su km s ta�cno�s�cu do zajedni�cke norme vektori standardnog bazisa, h km� j kmi =Æk0kÆm0mh km� j kmi i suma u (7.4.41) svodi se na samo jedan �clan:hkm� j T (k2)m2 j k1m1�1 i = (k1k2m1m2jkm)h km� j kmi: (7.4.42)Preostaje samo da ispitamo od �cega zavisi izrazh km� j kmi = Xm1m2(k1k2m1m2jkm)hkm� j T (k2)m2 j k1m1�1 i:Iz de�nicije standardnog bazisa (6.3.14d) sledi (kao �sto se lako vidi):j km� i = K� j k;m + 1; � i~p(k +m + 1)(k �m) = K� j k;m+ 1; � i~pk(k + 1)�m(m+ 1) ; 8m: (7.4.43)

270 GLAVA 7. SLAGANJE UGLOVNIH MOMENATAAko stavimo j km i = c j km� i (izbor � je potpuno nezavisan od izbora � u �okama ormara sa �o-kama), za j km� i va�zi (7.4.43)mutatis mutandis. Onda h km� j kmi = c~2 hk;m+1;� jK+K�jk;m+1;� ik(k+1)�m(m+1) .Po�sto je po (6.2.20) K+K� = K2 � Kz(Kz � ~), to se u na�sem slu�caju K+K� svodi nak(k + 1)~2 � (m+ 1)~m~ i imamoh km� j kmi = h k;m + 1; � j k;m+1i; 8m: (7.4.44)Iz (7.4.44) vidimo da izraz h km� j kmi ne zavisi od m. Zna�ci, zavisi samo od kvantnih brojevak, �, k2, k1, �1 kao i od same prirode operatora T (k2)m2 . Po konvenciji ga pi�semo kao redukovanimatri�cni element h km� j kmi def= hk� j jT (k2)j j k1�1 i. Q.E.D.7.4.8 *DODATAK 3: Pomo�cni rezultati za primenuWigner-Eckart-ovog teoremaNajva�znija je primenaWigner-Eckart-ovog Teorema na vektorske operatore. Radi nje dokaza�cemoneke pomo�cne rezultate.Zadatak 7.4.18 Pokazati da iz samog pojma CG-koe�cijenata i iz konvencije (7.2.3) sledi(k1; k2 = 0;m1;m2 = 0jkm) = Æk1kÆm1m; (7.4.45a)(k1 = 0; k2;m1 = 0;m2jkm) = Æk2kÆm2m: (7.4.45b)Lema 7.4.4 Za skalarni operator T = T (k2)m2=0 va�zi formulahkm� j T j k1m1�1 i = Ækk1Æmm1h k�kTkk�1 i; (7.4.46)tj. matri�cni elementi u standardnom bazisu su dijagonalni po k i m (ne nu�zno i po �), a nenultielementi se svode na redukovani matri�cni element.Dokaz: (7.4.46) je neposredna posledica Wigner-Eckart-ovog Teorema (7.4.16) i relacije (7.4.45a). Q. E. D.Zadatak 7.4.19 Na osnovu op�ste formule (7.2.9) za CG-koe�cijente pokazati da va�zi(k1k0jkk) =pk(k + 1); 8k: (7.4.47)Lema 7.4.5 Redukovani matri�cni element od K u standardnom bazisu za K glasih k�kKkk1�1 i = Ækk1Æ��1pk(k + 1)~; 8k; �; k1; �1: (7.4.48)Dokaz: Na osnovu formule razvoja (7.4.9b) i zatim Wigner-Eckart-ovog Teorema (7.4.16), mo�zemo pisati:hkm� j Kq j k1m1�1i = 1Xm2=�1Syqm2hkm� j K(k2=1)m2 j k1m1�1i =Xm2 S�m2qh k�kKkk1�1 i(K11m1m2jkm); q = x; y; z:Zbog ovog lakog svodenja vektorskog operatora na standardne komponente, izraz h k�kKkk1�1 i nazivamo iredukovanim matri�cnim elementom vektorskog operatora.Stavimo sad q = z i m1 = k1 u dobijenoj jednakosti. Imaju�ci u vidu da Kz = K(k2=1)0 i Sm2;q=z = Æm2;0, 8m2uporediti (7.4.9c), onda ova jednakost daje k1~Ækk1Æmk1Æ��1 = h k�kKkk1�1 i(k11k10jkm) (na levoj strani smoiskoristili da se radi o standardnom bazisu za K). Dakle, dele�ci sa CG-koe�cijentom za vrednosti kvantnih brojevaza koje nije nula, i koriste�ci se sa (7.4.47) zbog Ækk1 na levoj strani, dolazimo doh k�kKkk1�1 i = Ækk1Æ��1 [k(k + 1)] 12 ~:Ve�c smo bili de�nisali da LS=0 ako k, 1 i k1 ne zadovoljavaju pravilo trougla. Q. E. D.

7.5. SUPERSELEKCIONO PRAVILO CELOBROJNOSTI UGLOVNOG MOMENTA 271Lema 7.4.6 Neka je fT (k2=1)m2 jm2 = �1; 0; 1g proizvoljni ireducibilan tenzorski operator prvogreda. Njegovi matri�cni elementi u standardnom bazisu za K, koji su dijagonalni po � i k (ne nu�znoi po m), proporcionalni su odgovaraju�cim matri�cnim elementima od fK(k2=1)m2 jm2 = �1; 0;+1g,tj. od standardnih komponenti od K:hkm� j T (k2=1)m2 j km1� i = �(k�)hkm� j K(k2=1)m2 j km1� i; 8�; k;m;m1; (7.4.49)a faktor proporcionalnosti �(k�) zavisi od k, � i od prirode operatora T (k2=1)m2 (a ne i od magnetnihkvantnih brojeva).Dokaz: hkm� j T (k2=1)m2 j km1� i = h k�kTkk� i(k1m1m2jkm) po Wigner-Eckart-ovom Teoremu. Ako je k > 0,onda 1 = h k�kKkk� ih k�kKkk� i (imenitelj nije nula na osnovu (7.4.48)) i ovo mo�zemo da ubacimo na desnu stranu. Jo�sjedanput se koriste�ci Wigner-Eckart-ovim Teoremom tako se dolazi do jednakostihkm� j T (k2=1)m2 j km1� i = h k�kTkk� ih k�kKkk� i hkm� j K(k2=1)m2 j km1� i:Naravno, �(k�) je izraz u srednjoj zagradi.Jednakost (7.4.49) va�zi i za k = 0, jer onda je naru�seno selektivno pravilo trougla i LS=DS=0. Q. E. D.Lema 7.4.7 U standardnom bazisu za K matri�cni elementi proizvoljnog vektorskog operatora Tkoji su dijagonalni po � i k (ne nu�zno i po m) su proporcionalni sa odgovaraju�cim matri�cnimelementima od K. Faktor proporcionalnosti, �(k�), je isti kao u prethodnoj Lemi. Dakle,hkm� j T j km1� i = �(k�)hkm� j K j km1� i; 8k; �;m;m1 : (7.4.50)Dokaz: Odmah sledi ako od razvoja Tq = P1m2=�1 Syqm2 T (k2=1)m2 , q = x; y; z (uporediti dokaz Leme L 7.4.5)uzmemo matri�cni element hkm� j : : : j km1�1 i i ako iskoristimo (7.4.49). Q. E. D.7.5 Superselekciono pravilo celobrojnosti uglovnog mo-mentaU ovom odeljku prou�ci�cemo jednu va�znu osobinu kvantno mehani�ckog uglovnog momenta. For-mulisa�cemo je kao tzv. superselekciono pravilo, koje je propra�ceno jednom superselekcionomopservablom. Pokaza�cemo da je direktna posledica osobine o kojoj je re�c da se ne mogu po-javiti svi mogu�ci ireducibilni tenzorski operatori. Zavr�si�cemo ukazuju�ci na postojanje jo�s dvasuperselekciona pravila (i jo�s dve superselekcione opservable) u kvantnoj mehanici.7.5.1 Rezime o celobrojnosti kvantnog broja uglovnog mo-mentaVideli smo da kvantni broj l orbitnog uglovnog momenta u Ho (o bilo kojoj �cestici da se radi)uzima samo cele vrednosti. Kvantni broj spina s ima samo jednu (�ksiranu) vrednost. Najzad, prikompoziciji dva stepena slobode sa uglovnim momentom u kompozitni stepen slobode (H1H2 =H, K1+ K2 = K, k1, k2 ! k) videli smo da je celobrojnost od k ista kao celobrojnost od k1+ k2

272 GLAVA 7. SLAGANJE UGLOVNIH MOMENATA(videti L 7.1.3). O�cigledno, k1 + k2 je ceo broj ako i samo ako su k1 i k2 jednake celobrojnosti(tj. oba su cela ili oba su polucela), ina�ce je poluceo. Ista celobrojnost svih vrednosti od k1 ianalogno za k2 ima za posledicu da sve vrednosti od k imaju nu�zno jednu te istu celobrojnost.Ovo se direktno uop�stava na kompoziciju vi�se stepeni slobode (uporediti T 7.1.3).Dakle, u krajnjoj meri Postulat o kvantizaciji (zahvaljuju�ci kome je l dobijen) i uvodenje spinaobezbedili su da �ce se u svakom stepenu slobode (faktor prostoru stanja) sa uglovnim momentompojaviti kvantni broj k �cije su sve vrednosti jedne te iste celobrojnosti.7.5.2 Superselekciono pravilo celobrojnostiZaklju�cak o odredenoj celobrojnosti kvantnog broja uglovnog momenta k mo�ze da se formuli�sei u slede�coj formi.Teorem 7.5.1 (Superselekciono pravilo celobrojnosti) Ne postoje u prirodi takva stanja �zi�ckog sistema ili njegovog stepena slobode sa uglovnim momentom koja bi me�sala koherentno(tj. u smislu superpozicije) vrednosti kvantnog broja uglovnog momenta razli�cite celobrojnosti.Po�sto smo ovaj rezultat iskazali u vidu zabrane, govorimo, kao �sto je to uobi�cajeno, o super-selekcionom pravilu (vr�simo selekciju dozvoljenog u odnosu na nedozvoljeno). Pre�ks ,,super"treba da naglasi da se radi o selekcionom pravilu koje je univerzalno, tj. uvek va�zi. Obi�cnaselekciona pravila (uporediti x 8.3.8) vezana su za odredena stanja, naro�cito za prelaze iz jednogstanja u drugo.Postavlja se pitanje da li se mo�ze de�nisati, na �zi�cki uverljiv na�cin, opservabla takva dacelobrojnost bude u su�stini njen kvantni broj. U slede�ca dva paragrafa da�cemo potvrdan odgovorna ovo pitanje.Bolje razumevanje superselekcionog pravila celobrojnosti nam je va�zno zbog toga �sto postojei druga superselekciona pravila u kvantnoj mehanici, a pokaza�ce se da se i poslednji postulat,Postulat o identi�cnim �cesticama u stvari svodi na superselekciono pravilo (x 9.3.6).7.5.3 Superselekciona opservablaPodimo od pretpostavke da imamo prostor stanja H i da je u njemu zadata vektorska opser-vabla uglovnog momenta K, koja generi�se reprezentaciju rotacione grupe R(3) u H: fU(�u) =e� {~�u�Kj�u iz �-lopteg. Dopusti�cemo da se u H pojavljuju vrednosti kvantnog broja k razli�citecelobrojnosti. Namerno protivure�cimo Teoremu T7.5.1 jer �cemo upravo tako mo�ci da produbimonjegov smisao.Odaberimo proizvoljan ort u, �ksirajmo ga i usmerimo ort z-ose du�z u. Rotacija za � = 2�oko u predstavljena je u H operatoromB def= e� {~ 2�u�K = e� {~2�Kz : (7.5.1)Neka je fj km� ij8k;m; �g standardni bazis za K u H. Deluju�ci operatorom B na pojedinevektore ovog bazisa vidimo da se delovanje svodi na mno�zenje sa +1 ili sa �1, prema tome dali je m (a to zna�ci i k) ceo ili poluceo. Dakle, B je opservabla sa dve svojstvene vrednosti: �1.

7.5. SUPERSELEKCIONO PRAVILO CELOBROJNOSTI UGLOVNOG MOMENTA 273Obele�zimo sa V� odgovaraju�ce svojstvene potprostore. Spektralna dekompozicija celog prostorapo opservabli B je prosto H = V+ � V�; (7.5.2)a svojstveni potprostori V+ su istovremeno i potprostori odredene celobrojnosti vrednosti kvantnogbroja uglovnog momenta k (V+ , k ceo, V� , k poluceo). Dakle, opservablu B mo�zemo nazvatiopservablom celobrojnosti.Vratimo se sad superselekcionom pravilu iz prethodnog paragrafa. Ono se pomo�cu opservableB mo�ze formulisati tako da umestoH dolazi u obzir samo jedan od potprostora V+ ili V�. Drugimre�cima, dozvoljeni su samo svojstveni potprostori od B, tj. svojstvene vrednosti od B se ne smejume�sati (koherentno).Korolar 7.5.1 Ako neki kvantni sistem u nekom trenutku ima svojstvenu vrednost b opservableB, onda se ta vrednost nikad ne�ce promeniti ni spontanom evolucijom sistema niti kao rezultatmerenja.Dokaz: Vremenska evolucija je neprekidna, te po�sto su zabranjena superponirana svojstvena stanja koja od-govaraju razli�citim svojstvenim vrednostima od B, sistem ne mo�ze u�ciniti skok i pre�ci iz V+ u V� ili obratno(ostaju�ci, naravno, na jedini�cnoj sferi u H). �Sto se ti�ce merenja, vektori iz V+ i V� su uzajamno ortogonalni,verovatno�ca prelaza je nula, a to prema Postulatu o pojedina�cnim sistemima zna�ci da sa ovakav prelaz ne mo�zedesiti u prirodi. Q. E. D.Da rezimiramo:i) svaki kvantni sistem uvek ima jednu odredenu svojstvenu vrednost od B;ii) svojstvenu vrednost od B kvantni sistem nikad ne mo�ze promeniti, ni vremenskom evolu-cijom, ni merenjem.Zbog opisane uloge u sagledavanju superselekcionog pravila, opservabla B spada medu op-servable koje nazivamo superselekcionim opservablama7.5.1.Ograni�cavanja H na V+ ili V� ponekad se iskazuju re�cima da je H nekoherentan ili se ka�zeda su V+, i V� uzajamno nekoherentni. Potprostori V� nazivaju se koherentnim potprostorimaimaju�ci u vidu okolnost da unutar V+, ili V� svaki vektor (tj. svaka koherentna sme�sa drugihvektora iz istog potprostora) ima �zi�ckog smisla.�Citaocu je verovatno palo u o�ci da se superselekciono pravilo mo�ze relirati i sa Postulatom ostanjima, koji postulira da svaki vektor u prostoru stanja ima �zi�ckog smisla. Da smo zameniliHcelim skupom V+[V�, moglo bi se re�ci da superselekciono pravilo predstavlja restrikciju principasuperpozicije (kao �sto se ponekad ka�ze u literaturi). Pravilnije je, medutim, re�ci da se radi opreciznijem de�nisanju prostora stanja sistema, na koji sa odnosi Postulat o stanjima: on morabiti ili samo V+ ili samo V�.7.5.1U nekim ud�zbenicima kvantne mehanike superselekciono pravilo se izra�zava zabranom svih opservabli kojenisu kompatibilne sa superselekcionom opservablom B, tj. koje se ne redukuju u V+ i V�. Medutim, to dodu�sejeste potrebno (sledi iz gornjeg teksta), ali ne i dovoljno. Naime, neka opservabla A mo�ze da bude kompatibilnasa B i da se neka njena svojstvena vrednost a pojavi i u V+ i u V�. Onda a priori postoje svojstveni vektori odA koji odgovaraju svojstvenoj vrednosti a, a da su superpozicija vektora iz V+ i vektora iz V�. Ovakve vektorebismo morali posebno zabraniti po�sto me�saju svojstvene vrednosti od B.

274 GLAVA 7. SLAGANJE UGLOVNIH MOMENATA7.5.4 Fizi�cki smisao opservable celobrojnostiName�ce se pitanje ima li na�sa konkretna superselekciona opservabla B odredeni �zi�cki smisaokoji bi se uklapao u na�se zaklju�cke.Po svom �zi�ckom smislu B je rotacija za 2�, tj. identi�cna transformacija na planu klasi�cne�zike. Prirodno je o�cekivati da delovanje koje B indukuje u skupu svih pravaca, P(H), budetakode trivijalno, tj. da ne menja ni jedan pravac.Operator B nije samo transformacija, kao �sto smo videli, nego i opservabla (kao i svakiinvolutivni unitarni operator). U vezi sa preslikavanjem koje B indukuje u P(H), dokaza�cemoslede�cu lemu.Lema 7.5.1 Ako jedna opservabla C u H ima dve razli�cite svojstvene vrednosti a i b i ako jevektor j i netrivijalna superpozicijaj i = � j a i+ � j b i; � 6= 0 6= �; (7.5.3)gde su j a i i j b i normirani svojstveni vektori od C uz a odnosno b, onda C menja pravac komepripada j i.Dokaz: Podimo ab contrario (od suprotnog) i pretpostavimo C j i = j i, gde je kompleksni broj. Onda,zamenjuju�ci (7.5.3) u ovu jednakost, sledi�a j a i+ �b j b i = � j a i+ � j b i: (7.5.4)Usled h a j bi = 0, mno�ze�ci (7.5.4) sleva sa ha j dolazimo do �a = �, a mno�ze�ci (7.5.4) sa hb j dobijamo �b = �,tj. a = = b (jer � 6= 0 6= �), a a 6= b. Kontradikcija obara polaznu pretpostavku i dokazuje C j i 6= j i.Q. E. D.U primeni na opservablu celobrojnosti B, Lema nam kazuje da B deluje trivijalno u P(H)samo ako se zabrane superpozicije jednog vektora iz V+ i jednog iz V�, tj. samo ako va�zi superse-lekciono pravilo celobrojnosti. Tako da mo�zemo biti zadovoljni �zi�ckim smislom superselekcionogpravila celobrojnosti: ono zna�ci da rotacija za 2� ne izaziva nikakve promene u P(H).7.5.5 *Ograni�cenje za ireducibilne tenzorske operatoreSada �cemo izvesti jednu va�znu posledicu superselekcionog pravila celobrojnosti.Teorem 7.5.2 U kvantnoj mehanici se pojavljuju samo ireducibilni tenzorski operatori �ciji jekvantni broj uglovnog momenta ceo broj.Dokaz: Pretpostavimo, ab contrario, da imamo fT (k2)m2 j8m2g sa polucelim k2, iako su sve vrednosti od k u Hjedne te iste celobrojnosti. U standardnom bazisu za K onda imamo Wigner-Eckart-ov Teorem:hkm� j T (k2)m2 j k1m1�1 i = hk� j jT (k2)j j k1�1 i(k1k2m1m2jkm): (7.5.5)Po�sto su k i k1 iste celobrojnosti, a k2 je poluceo, pravilo trougla k2 = jk � k1j; jk � k1j + 1; : : : ; k + k1 ne mo�zebiti zadovoljeno. Prema tome svi matri�cni elementi na levoj strani su nula, tj. same komponente tenzorskogoperatora su nula. Q. E. D.

7.5. SUPERSELEKCIONO PRAVILO CELOBROJNOSTI UGLOVNOG MOMENTA 2757.5.6 Druga superselekciona pravilaKao �sto �cemo videti u glavi x 11 (koja je posve�cena tzv. drugoj kvantizaciji), opservabla �cije susvojstvene vrednosti broj �cestica je superselekciona opservabla. Vide�cemo da je to veoma va�znoimati na umu jer se formalizam druge kvantizacije upravo zasniva na formalnom naru�savanjuodgovaraju�ceg superselekcionog pravila broja �cestica.Iz samog na�cina konstrukcije prostora stanja H(u)1:::N = H(u)1 : : :H(u)N vi�se�cesti�cnog sistemajasno proizlazi da u svakom stanju sa kojim operi�semo broj �cestica ima odredenu vrednost N .I ovde se radi o superselekcionom pravilu �ciji je logi�cki status posledica, a ne postulat. (Videtix 8.5.2 za superselekciono pravilo barionskog broja u relativisti�ckoj kvantnoj mehanici.)Kao �sto �cemo videti u x 9.3.6, mo�ze se de�nisati superselekciona opservabla maksimalnihsimetrija identi�cnih �cestica i, da bismo bili u skladu sa eksperimentalnim �cinjenicama, mora�cemopostulirati odgovaraju�ce superselekciono pravilo maksimalne simetrije.

Glava 8DISKRETNE, DINAMI�CKE IUNUTRA�SNJE SIMETRIJE8.1 Prostorna inverzijaZavr�siv�si kvantnu teoriju uglovnog momenta, sada smo u mogu�cnosti da nastavimo i upotpu-nimo izu�cavanje prostorne inverzije, koje smo zapo�celi u x 5.1.4. U ovom odeljku izve�s�cemo ta�cnuformu kvantno-mehani�ckog operatora inverzije prostora u najva�znijim faktor prostorima, koji od-govaraju osnovnim stepenima slobode jedne �cestice. Relira�cemo izu�cavani operator sa osnovnimskupovima opservabli i sa operatorima uglovnog momenta. Analizira�cemo njegove svojstvenevrednosti, poveza�cemo ga sa rotacionom grupom i de�nisa�cemo re eksije kroz ravni.8.1.1 Operator prostorne inverzije u orbitnom prostorustanjaVideli smo u (5.1.7a)-(5.1.7b) da inverzija prostora Ip u klasi�cnom faznom prostoru �cestica delujena slede�ci na�cin Ipr = �r; Ipp = �p: (8.1.1a,b)Da bismo izveli kako deluje operator Ip u orbitnom prostoru stanja Ho �cestice8.1.1 konstru-isa�cemo izomor�zam �7 na Crte�zu C5.2. (To je "kratica" koju smo zaobi�sli za Galilejeve trans-formacije, jer je izomor�zam �6 direktno sledio iz Postulata o kvantizaciji, pa smo se odlu�cili zanjega.)Moramo iskoristiti konkretnu korespondencu izmedu vektora stanja i �cistih ansambala (x 2.4.6),koja omogu�cuje da transformaciji u faznom prostoru pridru�zimo transformaciju simetrije u P(Ho)(uporediti kraj od x 5.2.1), zapravo u P(U(Ho)).Dakle, iz (8.1.1) se vidi da u P(U(H0)) tra�zeni operator Ip indukuje preslikavanje pravca odj r i u pravac od j �r i i istovremeno pravca od j p i u pravac od j �p i. Prema tome, za sam Ip8.1.1Sinonimi koji se u literaturi mogu na�ci za na�s termin "prostorna inverzija" (ili "inverzija prostora") su:inverzija kroz koordinatni po�cetak, re eksija, re eksija kroz koordinatni po�cetak i, najzad, operator parnosti (jerse svojstveno stanje od Ip naziva "parnost"). 276

8.1. PROSTORNA INVERZIJA 277mo�zemo da pi�semo: Ip j r i = e{�(r) j �r i; 8r; Ip j p i = e{!(p) j �p i; 8p; (8.1.2a,b)a iz Wigner-ovog teorema znamo da je Ip unitaran ili antiunitaran operator.Delovanjem sa Ip na svojstvenu jednakost od r dolazimo do (IprI�1p )(Ip j r i) = r(Ip j r i),�sto na osnovu (8.1.2) prelazi u (IprI�1p ) j �r i = r j �r i, 8r. (Naime, iz IpI�1p = I (identi�cnioperator) vidimo da je I�1p iste prirode kao Ip (unitaran ili antiunitaran). Onda vidimo da jeIprI�1p svakako linearan, pa smo mogli skratiti fazni faktor.)po�sto je IprI�1p sigurno linearni operator jer se Ip dva puta pojavljuje; fazni faktor smoskratili). Prema tome, IprI�1p = �r ; (8.1.3)jer spektralna forma de�ni�se operator jednozna�cno. Potpuno analogno iz svojstvene jednakostiod p i (8.1.2) sledi IppI�1p = �p : (8.1.4)Teorem 8.1.1 Operator Ip je unitaran, a na svojstveni bazis fj r i j 8rg od r deluje na slede�cina�cin Ip j r i =j �r i; 8r : (8.1.5)Dokaz: Neka je Ip j r = 0i = e{'0 j r = 0i. Onda Ip j ri = Ipe� {~ r�p j r = 0i = e� 1~ (Ip{I�1p )r�(IppI�1p )Ip j r = 0i =e� {~r�pe{'0 j r = 0 i = e{'0 j �r i. Iskoristili smo konvenciju (2.6.10) u de�niciji bazisa fj r i j 8rg, a (8.1.4)smo uzeli u obzir kad smo razvili eksponencijalnu funkciju (operatorsku) u red. Gornji predznak va�zi ako je Ipunitaran a donji ako je antiunitaran. Iz (8.1.2) je jasno da je Ip unitaran.Po�sto pri preno�senju transformacije iz P(Ho) uHo ionako imamo jedan fazni faktor potpuno proizvoljan (uporeditiT 5.2.1.B), de�ni�simo '0 def= 0 radi �sto ve�ce jednostavnosti. Q. E. D.Lako se vidi da je Ip involucija.Teorem 8.1.2 Na svojstveni bazis fj p i j 8pg od p operator prostorne inverzije Ip deluje poformuli Ip j p i =j �p i; 8p : (8.1.6)Dokaz je analogan dokazu Teorema T8.1.1.Zadatak 8.1.1 Dokazati Teorem T8.1.2.Zadatak 8.1.2 Pokazati kako iz (8.1.5) i (8.1.6) sledi, obele�zavaju�ci reprezentant od Ip u koordinatnoj repre-zentaciji nepromenjeno sa Ip, da imamoIp (r) = (�r); 8 (r) 2 L2(r) (8.1.7)i analogno u impulsnoj reprezentaciji Ip '(p) = '(�p); 8'(p) 2 L2(p) : (8.1.8)

278 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJE8.1.2 Pitanje konzistentnosti zaklju�cka o unitarnosti ope-ratora prostorne inverzijeDa bismo se osvedo�cili o konzistentnosti Wigner-ovog teorema na ovom prvom konkretnom pri-meru operatora Ip, izve�s�cemo zaklju�cak o unitarnoj prirodi ovog operatora na jo�s nekoliko na�cina.(i) Osnovne komutacione relacije u Ho, tj.[ q; pq ] = {~; q = x; y; z; (8.1.9)prelaze, usled (8.1.3) i (8.1.4), pod delovanjem operatora Ip u[ q; pq ] = �{~; q = x; y; z; (8.1.10)pri �cemu + stoji ako je Ip unitaran, a � ako je antiunitaran (unitaran, a ne antiunitaranoperator jr kanoni�can, �sto �ce re�ci da preslikava kanoni�can par operatora u isti takav).(ii) Pi�su�ci opet gornji predznak za slu�caj unitarnosti a donji za slu�caj antiunitarnosti operatoraIp i koriste�ci se sa (8.1.5), imamoIp j p i = 1(2�~) 32 Ip Z e {~p�r j r i dr = 1(2�~) 32 Z e� {~p�r j �r i dr(Ip je sigurno neprekidan operator, zato ulazi pod integral i u argument eksponencijalnefunkcije). Zamena r! �r pod integralom daje 1(2�~) 32 R e� {~p�r j r i dr =j �p i. Iz (8.1.6)se onda vidi da va�zi gornji predznak, tj. da je Ip unitaran.(iii) Klasi�cno imamo Ip Ta I�1p = T�a, 8a, gde su Ta (prostorne) translacije (uporediti 5.1.1a).Pri prelasku na kvantnu mehaniku, na osnovu (8.1.4) sledi (opet ostavljaju�ci gornji pred-znak za unitaran, a donji za antiunitaran Ip): Ip Ua I�1p = Ip e� {~a�p I�1p = e� {~a�p = U�a.Na osnovu zahteva da se pro�sirena Euklidova grupa izomorfno kvantuje, opet sledi da Ipmora biti unitaran.Zadatak 8.1.3 Ponoviti rezonovanje iz (iii) zamenjuju�ci translacije rotacijama.Zadatak 8.1.4 Ponoviti rezonovanje iz (ii) uzajamno zamenjuju�ci ulogu j p i i j r i.Zadatak 8.1.5 Ponoviti rezonovanje iz (i) zamenjuju�ci (8.1.9) sa [ lx; ly ] = {~lz.Zadatak 8.1.6 �Sta je zajedni�cko u svim navedenim dokazima unitarnosti Ip, tj. na �sta se svi oni oslanjaju ?8.1.3 Spektralne osobine operatora prostorne inverzijeTeorem 8.1.3 Operator prostorne inverzije Ip u orbitnom prostoru Ho jedne �cestice je istovre-meno i diskretna transformacija simetrije8.1.2 i opservabla. Svojstvene vrednosti od Ip se nazivajuparnosti i iznose �1.8.1.2Kao �sto smo i ranije primetili, za transformaciju se ka�ze da je kontinualna ili diskretna ve�c prema tome da lise sa nje mo�ze ili ne mo�ze kontinualno pre�ci na identi�cni operator. A njen kvantno-mehani�cki operator je svakakoneprekidan (tj. ograni�cen) operator (jer je unitaran ili antiunitaran).

8.1. PROSTORNA INVERZIJA 279Dokaz: Prvi iskaz sledi iz �cinjenice �sto smo Ip pridru�zili klasi�cnoj transformaciji simetrije Ip, a drugi sledi iztoga �sto je Ip u Ho involutivni operator, tj. Ip = I�1p = Iyp , te je i hermitski Ip = Iyp . Ako su a i j a i svojstvenavrednost i odgovaraju�ci svojstveni vektor od Ip, primenjuju�ci I2p = I na j a i, zaklju�cujemo da a2 = 1, tj. a = �1.Obe svojstvene vrednosti se moraju pojaviti u Ho, ina�ce bi Ip bio broj (a ve�c znamo da nije). Q. E. D.Neka su P+ i P� svojstveni projektori od Ip koji odgovaraju svojstvenim vrednostima 1,odnosno �1. Onda je spektralna forma od Ip data saIp = P+ � P�; (8.1.11)a I = P+ + P� (8.1.12)je odgovaraju�ce razlaganje identi�cnog operatora. Iz (8.1.11) i (8.1.12) o�cigledno slediP+ = 12(I + Ip); P� = 12(I � Ip): (8.1.13a,b)Ako predemo na reprezentaciju radijus vektora, a ne menjamo notaciju za operatore, ondase zbog (8.1.13) razlaganje identi�cnog operatora (8.1.12) na slede�ci na�cin ogleda na proizvoljnojtalasnoj funkciji: (r) = 12 [ (r) + (�r)] + 12 [ (r)� (�r)]; (8.1.14)tj. radi se o dobro poznatom jedinstvenom razlaganju funkcije na zbir parne i neparne funkcije.Drugim re�cima, P+ (r) i P� (r) su parne, odnosno neparne funkcije (otud naziv za svojstvenevrednosti).Operatori A� za koje va�ziIp A+ I�1p = A+; Ip A� I�1p = �A� (8.1.15a,b)nazivaju se parni, odnosno neparni operatori.Zadatak 8.1.7 Pokazati da se proizvoljan operator A jednozna�cno razla�ze na jedan paran i jedan neparanoperator A = A+ + A� (8.1.16a)i da pri tome va�zi8.1.3 A+ = 12(A+ IpA I�1p ); A� = 12 (A� Ip A I�1p ): (8.1.2)Parni i neparni operatori za Ip su analogoni ireducibilnih tenzorskih operatora za uglovnimoment (ili rotacije). Postoji i analogon Wigner-Eckart-ovog teorema za Ip (bar �sto se ti�ceselekcionih pravila):Zadatak 8.1.8 Neka je h j A j ' i takav matri�cni element da h j, A i j ' i imaju odredenu parnost (A u smislu(8.1.15)). Pokazati da od 23 = 8 kombinacija otpada polovina, tj. da su jednaki nuli svi matri�cni elementi kojinaru�savaju slede�ce selekciono pravilo parnosti:parnost od h j; parnost od A i parnost od j ' i se mno�ze u 1: (8.1.17)8.1.3Ip : : : I�1p je, naravno, superoperator koji u prostoru operatora odgovara transformaciji Ip. Relacija (8.1.15)de�ni�se njegove svojstvene vektore.

280 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJEZadatak 8.1.9 Prodiskutovati analogiju i razli�citost izmedu Wigner-Eckart-ovog teorema za K i (8.1.17).Vektorski operator �cije su sve tri komponente neparni operatori nazivaju se polarno vek-torskim operatorima. Takvi su r i p. S druge strane, ako su sve tri komponente vektorskogoperatora parni operatori, onda se, kao i u klasi�cnoj �zici, govori o aksijalno vektorskom ili opseudovektorskom operatoru. Najva�zniji primer takvog operatora u Ho je l:Ip l I�1p = l; (8.1.18)usled l def= r� p i (8.1.3) i (8.1.4).8.1.4 Prave i neprave rotacije�Sto se ti�ce rotacija U('u) = e� {~'u�l u Ho, iz (8.1.18) o�cigledno slediIp U('u) I�1p = U('u) () [ Ip; U('u) ] = 0; 8'u 2 � � sfera: (8.1.19a,b)Zna�ci, o�cuvan je odnos Ip i R'u koji je va�zio u klasi�cnoj �zici.Ako se zapitamo �sta je najmanja nadgrupa rotacione grupe R(3) takva da sadr�zi Ip, lako sevidi da je to direktni proizvod rotacione grupe i ciklusa od Ip (tj. grupe koja pored Ip sadr�zi isve njene stepene, a to zna�ci samo jo�s I u ovom slu�caju):R(3) fIp; Ig = R(3) + Ip fR'u j 'u 2 � � sferag = R(3) + IpR(3); (8.1.20)gde + ozna�cava uniju klasa (tj. podskupova koji nemaju preseka). Desna strana od (8.1.20)prikazuje doti�cni direktni proizvod razlo�zen na dve klase: invarijantnu podgrupu R(3) i (jedini)koset IpR(3).Grupa transformacija (8.1.20) je izomorfna (preko "reprezentovanja", uporediti "4" na Crte�zuC5.2) tzv. potpunoj ortogonalnoj grupi (realnoj) u tri dimenzije:O(3) = SO(3) + Ip SO(3): (8.1.21)Grupa matrica O(3) sadr�zi sve realne ortogonalne matrice 3� 3 (ortogonalnost zna�ci RT = R�1)a Ip (to je sad matrica) se svodi na8.1.4 �I.Da bismo razlikovali operatore koji pripadaju prvom sabirku u (8.1.20) ili (8.1.21) od onihkoji pripadaju drugom sabirku, govorimo o pravim za razliku od nepravih rotacija (sinonim:svojstvene odnosno nesvojstvene rotacije8.1.5).8.1.4Da se podsetimo da RT = R�1 ) detR = detR�1, stoga detR2 = detR detR = detR detR�1 = 1 )detR = �1. Osobina detR = 1 karakteri�se elemente R 2 SO(3), a detR = �1 karakteri�se elemente R 2 Ip SO(3),jer det Ip = �1.8.1.5Engleski: proper and improper rotations.

8.1. PROSTORNA INVERZIJA 2818.1.5 Re eksije kroz ravniPo�sto Ip komutira sa svakom pravom rotacijom, a involucija je, neprava rotacija IpR'u �ce takodebiti involucija ako i samo ako je R'u involucija. A rotacija je involucija tada i samo tada kadaje ' = �. Zna�ci, pored Ip involutivne su jo�s i sve neprave rotacije vidaRu def= R�uIp: (8.1.22)To su tzv. re eksije kroz ravni ili ogledalne re eksije (radi se o ravni koja je normalna na ort u).Koliko god da je neosporno matemati�cki Ip primitivniji entitet odRu (i pre svega jedinstven zadati koordinatni po�cetak) zahvaljuju�ci na�soj naviknutosti na ogledalo, Ru ima jasnije intuitivnozna�cenje. Zato je za neke primene korisno re�siti (8.1.22) po Ip:Ip = R�uRu; (8.1.23)i to radi lak�seg zami�sljanja �sta u prostoru �cini Ip. Pri tome je u arbitraran ort; drugim re�cima,ogledalna ravan na proizvoljan na�cin prolazi kroz koordinatni po�cetak. Relacija (8.1.23) kazujeda je posle ogledalne re eksije potrebna kompenzatorna rotacija oko ose ortogonalne na doti�cnuravan za ugao ' = � da bismo imali dejstvo od Ip.Sve se ove relacije izomorfno prenose na operatore u Hilbertovom prostoru:U(u) def= U(�u) Ip; (8.1.24)Ip = U(�u) U(u): (8.1.25)Zadatak 8.1.10 Pokazati da va�ze slede�ce relacije:Ru r = r� 2u (u � r); Ru p = p� 2u (u � p); (8.1.26a,b)Ru l = l� 2u (u � l): (8.1.26c)Pokazati da va�ze i analogne kvantne relacijeU(u) r U�1(u) = r� 2u(u � r); U(u) p U�1(u) = p� 2u(u � p); (8.1.27a,b)U(u) l U�1(u) = l� 2u(u � l): (8.1.27c)8.1.6 Prostorna inverzija i sferni harmoniciU pogledu faktorizacije L2(r; �; ') = L2(r) L2(�) L2('), o�cigledno va�ziIp = Ir I(p) (8.1.28)tj. Ip, kao i l, deluje netrivijalno samo u uglovnom faktor prostoru stanja.Takode je o�cigledno da u pogledu faktorizacije L2() = L2(�)L2(') uglovni faktor operatorI(p) se faktori�se I(p) = I(p)� I(p)' (8.1.29a)

282 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJEi to tako daI(p)� g(�) = g(� � �); I(p)' h(') = h('� �); 8g(�) 2 L2(�); 8h(') 2 L2('): (8.1.29b,c)U (8.1.29b)-(8.1.29c) imamo plus ako je 0 � ' � �, ina�ce imamo minus.Ne�cemo uvek pisati uglove kao indekse operatora, nekad �cemo, po potrebi, re�cima ista�ci ukom faktor prostoru Ip deluje.Usled [ l; Ip ] = 0, Ip mora da se redukuje u uzajamno ekvivalentne operatore u svih 2l + 1"vrsta" (ili "�oka") vi�sestrukog ireducibilnog potprostora za l (uporediti Teorem T6.3.2 i Crte�zC 6.2). U L2() nemamo vi�sestrukosti, tj. dl = 1, l = 0; 1; : : :, prema tome, Ip mora da se redu-kuje u svakom kvadrati�cu pravougaonika od jedne kolone (na jeziku Crte�za C6.2) i to "jednako".Linearan operator u pravcu (kvadrati�cu) je mno�zenje brojem, u na�sem slu�caju ekvivalentnostzahteva isti broj (kao �sto je o�cigledno iz S 6.3.2). Drugim re�cima, cela "kolona" Vl � L2() jepotprostor jednog svojstvenog potprostora od Ip. Pitanje je samo koja je odgovaraju�ca svoj-stvena vrednost od Ip.Teorem 8.1.4 Prostorna inverzija Ip deluje na multiplet sfernih harmonika fY ml (�; ') j m =�l; : : : ; lg kao (�1)l: Ip Y ml (�; ') = (�1)l Y ml (�; '); 8l; m : (8.1.30)Dokaz: Sferni harmonik Y ml (�; ') je s ta�cno�s�cu do konstante dat funkcijom(1� cos2 �)jmj=2 djmjd cosjmj � dld cosl � (cos2 � � 1)l e{m'(uporediti (6.6.7) i (6.6.4a)-(6.6.5a)). Iz (8.1.29b)-(8.1.29c) vidimo da delovanjem sa Ip na Y ml , cos � prelazi u� cos �, tako da se e{m' mno�zi sa (�1)m, a ostatak sa (�1)jmj (�1)l. Po�sto je m ceo broj, (�1)m = (�1)jmj iostaje samo (�1)l. Q. E. D.8.1.7 Inverzija prostora u spinskom i ukupnom prostorustanja�Sto se ti�ce spinskog faktor prostora Hs, po�sto je s iste �zi�cke prirode kao l, mora da se jed-nako transformi�se pod I(p)s kao l pod I(p) . Dakle, I(p)s mora da komutira sa s ili ekvivalentno(izostavljaju�ci indeks): I s I�1 = s; (8.1.31)da bismo u ukupnom prostoru �cestice imaliI j I�1 = j: (8.1.32)I treba takode da komutira sa svim pravim rotacijama u Hs kako bismo imali reprezentacijupotpune ortogonalne grupe O(3) i u Hs.Po�sto je Hs analogon jednog jedinog invarijantnog ireducibilnog potprostora Vl � L2(),rezonovanjem kao gore (iznad Teorema T8.1.4), vidimo da Ip mora biti konstanta, tj. 1 ili �1.Dakle, I(p)s = �Is = �1: (8.1.33)

8.2. � VREMENSKA INVERZIJA 283Ova tzv. unutra�snja parnost �cestice je jedna od unutra�snjih karakteristika �cestice (videti TabeluTb 8.1 za hadrone, na primer).Pi�su�ci ukupan prostor �cestice u vidu L2(r)L2()Hs, operator parnosti ima slede�cu formu:Ip = �Ir I(p) Is : (8.1.34)Zadatak 8.1.11 � Napisati delovanje Ip na (2s + 1)-komponentne vektore stanja u impulsnoj reprezentacijiukupnog prostora �cestice spina s.Ako imamo �cesticu sa polucelim spinom i Ip posmatramo u ukupnom prostoruHu kao elementpotpune ortogonalne grupe, onda zbog toga �sto ga mo�zemo pisati u viduIp = U('u) Ip U('(�u)); (8.1.35)a U('u) je dvozna�can (uporediti kraj od x 6.10.4), i sam operator Ip je takode dvozna�can. Alikada je re�c o Ip izdvojeno (iz potpune ortogonalne grupe), onda je to jednozna�can operator, kao�sto smo videli.8.1.8 Inverzija prostora u vi�se�cesti�cnom prostoru stanjaOperator prostorne inverzije se na slede�ci na�cin de�ni�se u N -�cesti�cnom ukupnom prostoru stanjaH(u)1:::N = H(u)1 : : :H(u)N : I(p)1:::N def= I(p)1 : : : I(p)N ; (8.1.36)gde je I(p)1 operator inverzije prostora u H(u)1 itd.Fizi�cki smisao de�nicije (8.1.36) sastoji se u tome da na vektore stanja svih N �cestica delujeisti operator Ip (koji u H(u)i pi�semo kao I(p)i , i = 1; 2; : : : ; N).Operator parnosti spada u tzv. multiplikativne operatore, jer za njega va�zi (8.1.36) (mislise na multiplikaciju u smislu direktnog ili tenzorskog proizvoda). Tu spadaju i sve Galilejevetransformacije kao i operator vremenske inverzije, koji �cemo prou�citi u slede�cem odeljku.8.2 � Vremenska inverzijaU punoj analogiji sa na�sim postupkom u prethodnom odeljku, na osnovu Wigner-ovog teoremao operatorima simetrije izve�s�cemo kako glasi operator vremenske inverzije u orbitnom prostorustanja. Raspravi�cemo da li antiunitarni operatori kada su hermitski mogu biti opservable i re-lira�cemo operator vremenske inverzije sa najva�znijim reprezentacijama i sa sfernim harmonicima.Konstruisa�cemo operator inverzije vremena u spinskom faktor prostoru �cestice, kao i u ukupnomprostoru stanja jedne i vi�se �cestica. Na kraju, iskoristi�cemo jedan operator koji je antiunitarnainvolucija za su�zenje pojma standardnog bazisa i pomo�cu njega �cemo dokazati da su svi Clebsch-Gordan-ovi koe�cijenti realni.

284 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJE8.2.1 Operator vremenske inverzije u orbitnom prostorustanjaU punoj analogiji sa Ip (8.1.1), po�ci �cemo od klasi�cnih relacijaIv r = r; Iv p = �p: (8.2.1a,b)One, preko skupa svih pravaca P(U(Ho)), povla�ce za operator Iv u Ho slede�ce delovanje:Iv j r i = e{�(r) j r i; 8r; Iv j p i = e{!(p) j �p i; 8p; (8.2.2a,b)Primenjuju�ci Iv na svojstvenu jednakost od r i na svojstvenu jednakost od p, na osnovu (8.2.2)imamo (Iv rI�1v ) j r i = r j r i; (IvpI�1v ) j �p i = p j �p i; (8.2.3a,b)iz �cega sledi da Iv deluje na slede�ci na�cin na osnovni skup opservabli u Ho:Iv r I�1v = r; Iv p I�1v = �p : (8.2.4a,b)Teorem 8.2.1 Operator vremenske inverzije Iv je antiunitaran, a njegovo delovanje na svoj-stveni bazis fj r i j 8rg od r sastoji se u slede�cem:Iv j r i =j r i; 8r : (8.2.5)Dokaz: Kao i u dokazu Teorema T8.1.1 podimo od Iv j r = 0 i = e{'0 j r = 0 i. Onda sledi Iv j r i =Iv e� {~ r�p j r = 0 i = e� {~ (�r)�p e{'0 j r = 0 i = e{'0 j �r i (gornji znak va�zi ako je Iv linearan, a donji ako jeantilinearan). Po konvenciji uze�cemo ' = 0. Q. E. D.Napomena: Neka je j i = R dr (r) j r i 2 Ho proizvoljan vektor; onda jeIv j i = Z dr �(r) j r i 2 Ho; (8.2.6)gde zvezdica ozna�cava kompleksno konjugovanje (poti�ce od antilinearnosti).Zadatak 8.2.1 Pokazati da je Iv involucija u H0.Teorem 8.2.2 Operator inverzije vremena Iv deluje na svojstveni bazis vektorskog operatoraimpulsa p preko formule: Iv j p i =j �p i; 8p : (8.2.7)Dokaz: Dokaz je analogan dokazu Teorema T8.2.1. Q. E. D.Zadatak 8.2.2 Dokazati Teorem T8.2.2.Zadatak 8.2.3 Pokazati rezonovanjem kao pod (i), (ii) i (iii) u x 8.1.2 da je Iv antiunitaran.

8.2. � VREMENSKA INVERZIJA 285Korolar 8.2.1 Operator vremenske inverzije Iv deluje na orbitni uglovni moment l analognokao na impuls: Iv l I�1v = �l; (8.2.8)a sa svakom rotacijom u Ho komutira:[ Iv; U('u) ] = 0; 8'u 2 � � sfera: (8.2.9)Dokaz: Relacija (8.2.8) je neposredna posledica de�nicije l = r� p i delovanja Iv na r i p (8.2.4). A (8.2.9) slediiz antilinearnosti operatora Iv i funkcionalne zavisnosti U('u) od l i iz (8.2.8):Iv U('u) I�1v = 1Xn=0 �[ (Iv { I�1v )'~ ]n 1n! [u � (Iv l I�1v )]n = U('u):Q. E. D.8.2.2 Da li je inverzija vremena opservabla ?Operator Iv je antiunitaran, prema tome Iyv = I�1v . S druge strane, on je involucija I�1v = Iv.To zajedno daje Iyv = Iv. Dakle, Iv je hermitski operator kao i Ip, dodu�se antilinearan. Stogase postavlja pitanje iz naslova ovog paragrafa.Iz (8.2.6) se vidi da za svaku realnu funkciju (r) (takvu da R j (r)j2 dr < 1) vektorj i = R dr (r) j r i je svojstveni vektor od Iv i odgovara svojstvenoj vrednosti 1. A �cistoimaginarne analogne funkcije (r), kao �sto takode sledi iz (8.2.6), de�ni�su svojstvene vektorekoji odgovaraju svojstvenoj vrednosti �1. Pitamo se da li se ove svojstvene vrednosti mogu, uprincipu, ostvariti merenjem.Teorem 8.2.3 Antilinearan operator, �cak i kad je hermitski, nije opservabla i njegove svojstvenevrednosti se ne mogu merenjem realizovati.Dokaz: Neka je Aa antilinearan operator (na primer hermitski) i neka su realan broj b i vektor j i re�senjasvojstvene jednakosti Aa j i = b j i. Zamenimo j i sa e{� j i:Aa (e{� j i) = e�{� Aa j i = e�{� b j i = b e�2{� (e{� j i):Dakle, pravcu u H kome pripada j i odgovara ne jedna svojstvena vrednost, ve�c ceo krug (polupre�cnika b)u kompleksnoj ravni. Podsetimo se da Postulat o stanjima zahteva da svi vektori koji pripadaju istom pravcuimaju isti �zi�cki smisao (homogenog kvantnog ansambla). Podsetimo se takode da svojstveni vektor koji odgovarasvojstvenoj vrednosti b zna�ci da odgovaraju�ci ansambl ima o�stru vrednost b ili, prema Postulatu o pojedina�cnimkvantnim sistemima, onda svaki sistem u ansamblu ima vrednost b. Kvantna mehanika nema na�cina da razdvajavektore unutar jednog pravca u H, a vrednost odredenog merenja mo�ze biti samo jedan broj, nikako krug ukompleksnoj ravni. Zato antilinearni operatori nisu opservable i njihove svojstvene vrednosti se ne mogu ostvaritimerenjem8.2.1.Dakle, Iv je samo diskretna transformacija, a ne i opservabla. Q. E. D.8.2.1U stvari, za Iv , kao i za svaku antiunitarnu involuciju u kompleksnom prostoru Ho postoje podskupovi kojisu realni svojstveni potprostori koji odgovaraju svojstvenim vrednostima 1 i �1 i oba ova potprostora su istogbroja dimenzija kao ceo kompleksni prostor stanja Ho. Operator Iv "razla�ze"Ho na "zbir" dva realna prostora uistom smislu kao �sto kompleksna konjugacija razla�ze kompleksnu ravan na realnu i na imaginarnu osu. Inverznialgoritam, tzv. kompleksi�kacija, prelazi sa realnog prostora na nadskup koji je jednakodimenzionalni kompleksniprostor, i to (po�sto je nejednozna�cno) uz �ksiranje jedne od beskona�cno mnogo mogu�cih antilinearnih involucija.

286 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJE8.2.3 Vremenska inverzija u koordinatnoj i impulsnoj re-prezentacijiIz (8.2.6) je o�cigledno da Iv u koordinatnoj reprezentaciji, tj. u L2(r), deluje na slede�ci na�cinIv (r) = �(r) : (8.2.10)Zadatak 8.2.4 Izvesti (8.2.10) iz Teorema T2.7.2.Zbog (8.2.7), analogon jednakosti (8.2.6) za impulsnu reprezentaciju glasiIv j ' i = Z dp'�(�p) j p i; (8.2.11)za svaki j ' i = R dp'(p) j p i 2 Ho.Zadatak 8.2.5 Dokazati (8.2.11).Iz (8.2.11) se vidi da u L2(p) operator Iv ima slede�ce dejstvo:Iv '(p) = '�(�p) : (8.2.12)Zadatak 8.2.6 Izra�cunati (8.2.12) iz op�ste transformacione formule (2.7.40c) primenjuju�ci je na transformisanjeiz koordinatne u impulsnu reprezentaciju.8.2.4 Inverzija vremena u uglovnom prostoru i sferni har-moniciU vezi sa faktorizacijom Ho = Hr H� H' (8.2.13)(uporediti x 6.6.6) mo�zemo se upitati da li i Iv deluje netrivijalno samo u uglovnom prostoruH def= H� H'.Zadatak 8.2.7 Pokazati da poku�saj da se de�ni�se direktni proizvod linearnog operatora A i antilinearnog ope-ratora Aa, tj. A Aa (deluje u nekom H = H1 H2) kao operator na mo�ze da uspe jer:(i) nije ni linearan ni antilinearan operator,(ii) daje vi�se nego jedan lik (nije jednozna�cno preslikavanje).Kao �sto sledi iz zadatka Z 8.2.7, �sto se ti�ce eventualne direktne faktorizacije operatora Iv,dolazi u obzir samo faktorizacija na isklju�civo antilinearne faktor operatore. Prema tome, ni ujednom faktor prostoru Iv ne mo�ze delovati trivijalno (ne postoji jedini�cni antilinearan operator,kao I za linearne operatore).

8.2. � VREMENSKA INVERZIJA 287Lema 8.2.1 U pogledu faktorizacije orbitnog prostora Ho (8.2.13) i operator vremenske inverzijeIv se faktori�se Iv = I(v)r I(v)� I(v)' ; (8.2.14)pri �cemu su faktori de�nisani kao antilinearni operatori sa slede�cim delovanjem na vektore sferno-polarnog koordinatnog bazisa fj r i j � i j ' i j 8r; �; 'g:I(v)r j r i =j r i; 0 � r <1; I(v)� j � i =j � i; 0 � � � �; (8.2.15a,b)I(v)' j ' i =j ' i; 0 � ' < 2�: (8.2.15c)Dokaz: Podimo od (8.2.15) i pomo�cu njih de�ni�simo antilinearne faktor operatore. Ako desnu stranu od (8.2.14)primenimo na vektore bazisa fj r i j 8rg u Ho i uzmemo u obzir jednakost j r i =j r i j � i j ' i, onda zbog (8.2.5)va�zi jednakost (8.2.14). Q. E. D.Zadatak 8.2.8 Pokazati da su analogoni od (8.2.14) i (8.2.15) �sto se ti�ce operatora Ip jednakostiIp = I(p)r I(p)� I(p)' ; (8.2.14)I(p)r j r i =j r i; 0 � r <1; I(p)� j � i =j � � � i; 0 � � � �; I(p)' j ' i = � j '+ � i; za 0 � ' < �j '� � i; za � � ' < 2�.(8.2.15d,e,f)Kao i u slu�caju Ip, ni za Iv ne�cemo uvek indeksom isticati u kom smo faktor prostoru.Za nas je od interesa kako deluje Iv u uglovnom faktor prostoru H, gde l deluje netrivijalnoi de�ni�se standardni bazis fj lm i j m = �l; : : : ; l; l = 0; 1; : : :g. Ovi vektori prelaze u sferneharmonike u sferno-polarnoj koordinatnoj reprezentaciji:h� j h ' j lmi = Y ml (�; '); 8l; m: (8.2.16)Neka je j � i = R �0 sin � d� R 2�0 d'�(�; ') j � i j ' i 2 H proizvoljan vektor, onda iz (8.2.15)sledi Iv j � i = Z �0 sin � d� Z 2�0 d'��(�; ') j � i j ' i: (8.2.17)Iz (8.2.17) neposredno slediLema 8.2.2 Kada sa apstraktnog uglovnog prostora H predemo na L2(), onda se Iv repre-zentuje kompleksnom konjugacijom, tj. (pi�su�ci nepromenjeno) va�ziIv �(�; ') = ��(�; '); 8�(�; ') 2 L2() : (8.2.18)Sad mo�zemo dokazatiTeorem 8.2.4 Operator vremenske inverzije Iv deluje na sferne harmonike na slede�ci na�cin:Iv Y ml (�; ') = (�1)m Y �ml (�; '); 8l; m : (8.2.19)Dokaz: Ako pogledamo de�niciju funkcija Y ml (�; ') ((6.6.7) i ispod toga kao i (6.6.4a)-(6.6.5a)) vidimo dakompleksna konjugacija u stvari zamenjuje m sa �m. Faktor (�1)m u (8.2.19) poti�ce od razlike u faznimfaktorima sfernih harmonika za m � 0 i za m < 0 (ova razlika se sastoji od (�1)m, pa je kompenzujemo istimfaktorom). Q. E. D.

288 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJE8.2.5 Konstrukcija operatora inverzije vremena u spin-skom prostoruNeka je Hs spinski faktor prostor �cestice. Ograni�ci�cemo se na s = 12 , tj. na slu�caj elektrona,nukleona itd.Osnovni skup opservabli u Hs je s. Ova vektorska opservabla je po svom �zi�ckom smisluuglovni moment, a to izmedu ostalog zna�ci da se s odnosi prema operatoru vremenske inverzijeu Hs, koji �cemo ozna�citi sa I(v)s , kao �sto se l odnosi prema I(v)o , operatoru vremenske inverzije uHo.Ovo zapa�zanje �ce nam poslu�ziti kao prvi deo de�nicije za I(v)s . Drugi deo de�nicije za I(v)ssastoji se u tome da i ovaj faktor operator mora biti antilinearan.Dakle, I(v)s u Hs (izostavljaju�ci simboli�cni indeks) mora biti antilinearan operator za koji va�ziIv s I�1v = �s; (8.2.20)kao �sto vidimo iz (8.2.8).Reprezentujmo (8.2.20) u standardnom bazisu za s i predimo na Pauli-jeve matrice. Onda,obele�zavaju�ci sa Iv = XK antilinearnu matricu koja reprezentuje Iv (X je matrica, a K je ope-racija kompleksne konjugacije, uporediti Teorem T2.7.1), (8.2.20) prelazi u ekvivalentnu relaciju(XK)�+ � (XK) = 0: (8.2.21)Zadatak 8.2.9 Pokazati da(i) antilinearna matrica �yK antikomutira sa �,(ii) ako neka antilinearna matrica XK antikomutira sa �, onda nu�zno ima vid ��yK, gde je � kompleksan broj.Preostaje nam samo da odaberemo � i prepi�semo rezultat u obliku operatora. Obele�zimo saKa antilinearan operator koji se u standardnom bazisu za s reprezentuje sa K, tj. takav daKa j + i =j + i; Ka j � i =j � i: (8.2.22)Operator vremenske inverzije u Hs onda pi�semo u viduIv = Ys Ka def= {�yKa ; (8.2.23)gde je Ys def= Us(�y0), kao �sto se vidi iz (6.10.18)-(6.10.19) (po konvenciji se gornje � bira ba�stako da se u (8.2.23) pojavi Ys).Izve�s�cemo sad neke osnovne osobine operatora Iv u Hs.Korolar 8.2.2 Operator Iv u Hs je kosoinvolutivan, tj.I2v = �Is , I�1v = �Iv: (8.2.24a,b)

8.2. � VREMENSKA INVERZIJA 289Dokaz: Kvadrat od Iv �cemo lako izra�cunati na osnovu (8.2.23) i to u reprezentaciji standardnog bazisa:I2v = {�yK ({�yK) = ��2y = �Is (iskoristili smo �cinjenicu da K konjuguje sve na desno, da je �y �cisto ima-ginarna matrica i da va�zi K2 = Is, �2y = Is).Ako bismo pomno�zili Iv faznim faktorom e{' recimo, onda bismo imali (e{' Iv) (e{' Iv) = I2v = �Is zbog anti-linearnosti operatora Iv. Dakle kosoinvolutivnost je nu�zna (ne mo�ze se otkloniti koriste�ci se slobodom u izborufaznog faktora). Q. E. D.Korolar 8.2.3 U standardnom bazisu fj � i; j + ig operator Iv se reprezentuje antilinearnommatricom Iv j � i =j + i; Iv j + i = � j � i; (8.2.25a,b)ili kompaktno Iv j ms i = (�1) 12+ms j �ms i; ms = �12 : (8.2.25c)Dokaz: Prvi iskaz je o�cigledno ta�can, a drugi se mo�ze izvesti u reprezentaciji standardnog bazisa:{ � 0 �{{ 0 � K � 01� = { ��{0 � = � 10� ;{ � 0 �{{ 0 � K � 10� = { � 0{ � = �� 01� :Q. E. D.8.2.6 Vremenska inverzija u ukupnom prostoru stanjaU Hu = Ho Hs (s = 12) operator vremenske inverzije jeI(v)u def= I(v)o I(v)s : (8.2.26)On je antilinearna kosa involucija, jer I(v)�1u = I(v)�1o I(v)�1s = I(v)yo I(v)ys = I(v)yu i I(v)yu =I(v)o (�I(v)s ) = �I(v)u .Osim toga, pi�su�ci prosto Iv u Hu, Iv j I�1v = �j; (8.2.27)kao �sto neposredno sledi iz Iv l I�1v = �l u Ho i Iv s I�1v = �s u Hs.8.2.7 Inverzija vremena za vi�se�cesti�cni sistemU ukupnom prostoru stanja vi�se�cesti�cnog sistema H(u)1:::N = H(u)1 : : :H(u)N , gde je H(u)i ukupniprostor stanja i-te �cestice, i = 1; : : : ; N , operator vremenske inverzije Iv je direktni proizvodoperatora vremenske inverzije za pojedine �cestice u sistemu. Operator Iv je kosa involucija iliinvolucija, prema tome da li sistem sadr�zi neparan ili paran broj �cestica (sve su, po pretpostavci,spina s = 12). Ovaj iskaz mo�ze da se izrazi jednako�s�cuI2v = (�1)2J ; (8.2.28)

290 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJEgde je J kvantni broj ukupnog uglovnog momenta sistema, koji je poluceo ili ceo, prema tomeda li je broj �cestica neparan ili paran (uporediti Teorem T7.1.3).Po�sto je H(u)1:::N = �J VJ , a (�1)2J je zbog superselekcionog pravila celobrojnosti (x 7.5) jedante isti broj u svakom od potprostora VJ , ovaj broj u stvari deluje u celom prostoru H(u)1:::N .Lako se vidi da opet va�zi Iv J I�1v = �J; (8.2.29)gde je J def= PNi=1 ji vektorski operator ukupnog uglovnog momenta sistema.Zadatak 8.2.10 Neka je A opservabla u H koja komutira sa Iv . Pokazati da se antilinearni operator Iv redukujeu svakom svojstvenom potprostoru od A.Zadatak 8.2.11 Neka je B opservabla uH koja antikomutira sa Iv , tj. za koju va�zi [ B; Iv ]+ def= B Iv+Iv B = 0.Pokazati da antilinearni operator Iv preslikava svojstveni potprostor Vb od B koji odgovara svojstvenoj vrednostib u svojstveni potprostor V�b od B koji odgovara svojstvenoj vrednosti �b. Pokazati takode da iz antiunitarnostioperatora Iv sledi dimVb = dimV�b; za b 6= 0: (8.2.30)Jednakost (8.2.29) povla�ci [ Iv; J2 ] = 0, a iz iskaza Zadatka Z 8.2.10 onda sledi da se Ivredukuje u svakom vi�sestrukom ireducibilnom potprostoru VJ za J . Ako se dodatna opservablaA odabere tako da [ Iv; A ] = 0, onda se Iv redukuje u svakom potprostoru VJ� (tj. u svakoj"koloni" na dijagramu "ormar sa �okama" za K = J, uporediti Crte�z C 6.2). Iz Zadatka Z 8.2.10 i(8.2.29) sledi da Iv stoga preslikava pravac (tj. kvadrati�c) koji odgovaraM na pravac (kvadrati�c)koji odgovara �M .Ovo rezonovanje, naravno, va�zi i u slu�caju jedne �cestice. Tu, kao �sto smo videli (Crte�z C 7.7),l2 igra ulogu dodatne opservable u odnosu na j, a on komutira sa Iv.8.2.8 Operator vremenske inverzije i realnost Clebsch-Gordan-ovih koe�cijenataVideli smo na primerima l, s, j i J da operator vremenske inverzije Iv antikomutira sa vektorskimoperatorom uglovnog momenta. (Ovo je sastavni deo �zi�ckog pojma uglovnog momenta.)Vratimo se na teoriju op�steg uglovnog momenta, tj. na kvantni podsistem sa uglovnimmomentom K u H. Na osnovu gornjeg, imamo antikomutiranje:Iv K I�1v = �K () [ Iv; K ]+ = 0: (8.2.31a,b)Za nas je va�zan neposredni korolarIv K2 I�1v = K2 () [ Iv; K2 ] = 0: (8.2.32a,b)I, naravno, moramo biti svesni da je Iv antiunitaran operator u H.Neka je Y def= U(�y0) = e� {~�Ky (8.2.33)operator rotacije oko y ose za ugao �.

8.2. � VREMENSKA INVERZIJA 291Lema 8.2.3 Unitarni operator Y komutira sa K2, a antikomutira sa Kz (ba�s kao i antiunitarnioperator Iv): [ Y ; K2 ] = 0; [ Y ; Kz ]+ = 0: (8.2.34a,b)Dokaz: Znamo da [ K2; Kq ] = 0, q = x; y; z, ) [ K2; U('u) ] = 0 8'u 2 � � sfera, te je prvi deo (8.2.34)dokazan. UzmimoY Kz Y �1 = Y K � z0 Y �1 = U(�y0) K U�1(�y0) � z0 = ( Kx Ky Kz ) R(�y0) 0@ 0011A = �Kz;gde je R(�y0) matrica 3�3 koja u koordinatnom sistemu fx0;y0; z0g reprezentuje rotaciju R�y0 . Zna�ci, iskoristilismo transformacione osobine vektorskog operatora, prepisali smo skalarni proizvod kao matri�cni proizvod (vrstei kolone) i uzeli u obzir da R�y0 rotira z0 u �z0. Q. E. D.Lema 8.2.4 Operatori Y i Iv komutiraju, a njihov proizvod Y Iv je antiunitarna involucija.Dokaz: Usled (8.2.31) i antilinearnosti, Iv komutira sa svakim operatorom rotacije:Iv U('u) I�1v = e {~'u�(�K) = U('u);te je prvi iskaz dokazan. �Citalac se mo�ze lako uveriti da se unitaran i antiunitaran operator uvek mno�ze uantiunitaran operator.Najzad, (Y Iv)2 = Y 2 I2v = U(2�y0) (�1)2K (�1)2K je 1 ili �1 u celom H, prema tome da li K uzima cele ilipolucele vrednosti u H (uporediti obja�snjenje ispod (8.2.28)). Operator rotacije za 2� (oko bilo koje ose) je takode1 ili �1, prema tome da li H sadr�zi paran broj (mo�ze i nula) ili neparan broj spinskih faktor prostora sa polucelimspinom (pogledati (6.10.17) za ' = 2�). Po�sto K uzima cele vrednosti upravo ako i samo ako je pomenuti brojspinskih prostora (tj. broj fermiona) paran, imamo U(2�y0) (�1)2K = 1. Q. E. D.Lema 8.2.5 Unitarni operator Y komutira sa Ky, a antikomutira sa Kx. Osim toga,Y K� Y �1 = �K�: (8.2.35a,b)Dokaz: Komutiranje operatora Y def= e� {~�Ky sa Ky je o�cigledno. Antikomutiranje sa Kx sledi analogno kaoantikomutiranje sa Kz. Relacije (8.2.35) odmah slede iz de�nicije K� def= Kx � {Ky. Q. E. D.Teorem 8.2.5 Antiunitarna involucija Y Iv komutira sa K2, Kz i K� i redukuje se u svakomzajedni�ckom svojstvenom potprostoru Vkm od K2, i Kz i to u uzajamno ekvivalentne operatore zam = �k; : : : ; k (8k).Dokaz: Sa K2 komutiraju Iv i Y ponaosob, pa onda i njihov proizvod. Po�sto i Y i Iv antikomutira sa Kz,operator Y Iv komutira sa Kz. Iz antikomutiranja (8.2.31) i de�nicije K� def= Kx � {Ky odmah slediIv K� I�1v = �K�; (8.2.36a,b)te (8.2.35) i (8.2.36) zajedno iziskuju (Y Iv) K� (Y Iv)�1 = K�: (8.2.37)Redukovanje sledi iz iskaza Zadatka Z 8.2.10. Najzad, ekvivalentnost se dobija neposrednim pro�sirenjem dokazaTeorema T6.3.2. Q. E. D.

292 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJEZadatak 8.2.12 Dokazati da se S 6.3.1, zamenjuju�ci "matricu" "antilinearnom matricom" i Teorem T6.3.2,zamenjuju�ci (6.3.18) sa [ Aa; Kz ] = 0; [ Aa; K� ] = 0; (8.2.38a,b)pro�siruju na antilinearan operator Aa.Ako je fj n i j 8ng bazis u H takav daAa j n i =j n i; 8n; (8.2.39)onda se ka�ze da je doti�cni bazis invarijantan za antilinearni operator Aa.Zadatak 8.2.13 Pokazati da je Aa koji ima invarijantan bazis nu�zno unitaran i involutivan antilinearni operator.Lema 8.2.6 Postoji standardan bazis za K u H koji je invarijantan za Y Iv.Dokaz: U Vk;m=k biramo dodatnu opservablu A, koja de�ni�se dodatni kvantni broj �, a komutira sa K, takoda komutira i sa Y Iv (lako je uveriti se da to u principu uvek mo�zemo). Onda se Y Iv redukuje i u svakom Vk�potprostoru, zna�ci i u svakom preseku Vk;m=k \ Vk�, tj. pravcu (kvadrati�cu na dijagramu "ormar sa �okama",Crte�z C 6.2). Ako se ispostavi da va�zi Y Iv j km�i = e{' j km�i (ne mo�ze op�stije zbog redukovanja u kvadrati�cu),uzimaju�ci po de�niciji j km� i0 def= e{'=2 j km� i, 8�, kao novi podbazis standardnog bazisa u Vk;m=k, dolazimodo Y Iv j km� i0 =j km� i0, 8� (zbog antilinearnosti). Postigav�si u Vk;m=k invarijantan standardan podbazis zaK, to se onda odr�zava i u ostalim potprostorima Vkm zbog ekvivalentnosti redukovanih Y Iv . Q. E. D.Zahvaljuju�ci tome �sto raspola�zemo antiunitarnom involucijom Y Iv, mo�zemo klasu standard-nih bazisa za K u H suziti na klasu invarijantnih standardnih bazisa.Teorem 8.2.6 Matrica razvijanja bilo kog invarijantnog standardnog bazisa po bilo kom drugominvarijantnom standardnom bazisu je nu�zno realna.Dokaz: Neka su fj m i j 8mg i fj m0 i j 8m0g dva invarijantna bazisa u nekom potprostoru V i neka j m i =Pm0 Mmm0 jm0 i. Primenom operatora Y Iv sledi jm i =Pm0 M�mm0 jm0 i. Zbog jednozna�cnosti razvijanja ovedve jednakosti iziskuju Mmm0 =M�mm0 , 8m;m0. Q. E. D.Pridimo sad zadatku slaganja dva uglovna momenta (H1 H2 = H, K1 + K2 = K)ograni�cavaju�ci se na invarijantne standardne bazise (7.2.1) i (7.2.2). Iz Teorema T8.2.6 ondaneposredno sledi neobi�cno va�zan zaklju�cak da su svi Clebsch-Gordan-ovi koe�cijenti realni. (Na-ravno, uslov (7.2.3) nas ne izbacuje iz klase invarijantnih standardnih bazisa u kompozitnomprostoru, jer zahteva pozitivan, zna�ci realan matri�cni element.)Zadatak 8.2.14 Pokazati da u uglovnom prostoru L2() �cestice, ako se sfernim harmonicima promeni faznifaktor po preskripciji Yml (�; ') def= {lY ml (�; '); 8l;m; (8.2.40)onda Yml (�; ') �cine invarijantan standardni bazis.Zadatak 8.2.15 Pokazati da u L2() va�ziIvYml (�; ') = (�1)l+mY�ml (�; '); 8l;m: (8.2.41)Zadatak 8.2.16 Pokazati da u proizvoljnom prostoru H sa K va�ziIv j kml i = (�1)k+m j k;�m;� i; 8k;m; (8.2.42)ako se pri izgradnji standardnog bazisa u (eventualno) kompozitnom prostoru H u uglovnim faktor prostorima�cestica uvek ograni�cimo na invarijantan standardni bazis (8.2.40). (Indikacija: Po�ci od spinskog faktor prostorajedne �cestice | uporediti (8.2.25c) | a zatim pokazati odr�zanje (8.2.42) pri sabiranju dva uglovna momenta.)

8.3. GRUPA SIMETRIJE ZAKONA KRETANJA I HAMILTONIJANA 2938.3 Grupa simetrije zakona kretanja i hamiltonijanaU celokupnom na�sem dosada�snjem prou�cavanju simetrija ograni�cili smo se na kinemati�cka raz-matranja, tj. nismo relirali simetrije sa zakonom kretanja i hamiltonijanom. Ovome, bez sumnjenajva�znijem, zadatku teorije kvantno-mehani�ckih simetrija posve�cen je ovaj odeljak.Prodiskutova�cemo Galilejev princip invarijantnosti i ulogu diskretnih simetrija u kvantnoj�zici. Simetriju zakona kretanja uve�s�cemo u striktnijoj i op�stijoj "opservabilnoj" formi, pa �cemoje suziti na njen "formalni" vid, koji je u naju�zoj vezi sa simetrijom hamiltonijana. Objasni�cemou primenama mnogo kori�s�cene pojmove dobrih kvantnih brojeva i selekcionih pravila (u ta�cnomi pribli�znom va�zenju). Na kraju, detaljno �cemo proanalizirati primenu geometrije (vi�sestrukihireducibilnih invarijantnih potprostora) grupe simetrije hamiltonijana na klasi�kaciju energetskihnivoa.8.3.1 Opservabilna invarijantnost zakona kretanja pod gru-pom simetrijePri prou�cavanju uloge operatora simetrije u dinamici kvantnog sistema, po�ci �cemo od verovatno�ceprelaza u kasnijem trenutku: vi!f (t) = jh'f j U(t� t0; t0) j i ij2 (8.3.1)(i i f od re�ci po�cetni i krajnji na engleskom8.3.1.) Imali smo obja�snjenje ovog pojma u x 3.3.4.Izraz (8.3.1) je neophodan za odredivanje operatora simetrije zakona kretanja kao �sto jeverovatno�ca prelaza u istom trenutku (pojam koji smo uveli u x 2.4.7) bio u x 5.2.1 deo de�nicijeoperatora simetrije u kinemati�ckom smislu.Zadatak 8.3.1 � Neka je selektivno merenje u trenutku t nekompletno, zna�ci umesto da de�ni�se odredenostanje (kao j 'f i u kompletnom merenju u (8.3.1)), de�ni�se jedan svojstveni potprostor na koji projektuje,recimo, projektor Pf . Pokazati da se onda umesto (8.3.1) pi�se:vi!f (t) = jh i j Uy(t� t0; t0)Pf U(t� t0; t0) j i ij2; (8.3.2)i da je to uop�stenje od (8.3.1).Zadatak 8.3.2 � Neka je po�cetna preparacija nekompletna, tj. umesto �cistog stanja j i i neka daje odredenome�sano stanje �i. Pokazati da se (8.3.1) onda zamenjuje savi!f (t) = jh'f j U(t� t0; t0)�iU(t� t0; t0)y j 'f ij2; (8.3.3)i da je to uop�stenje (8.3.1).Zadatak 8.3.3 � Neka su i po�cetna preparacija i krajnje merenje nekompletno, tj. umesto j i i i j 'f i imamo�i i Pf . Pokazati da u tom slu�caju verovatno�ca prelaza glasivi!f (t) = Tr Pf U(t� t0; t0)�iU(t� t0; t0)y; (8.3.4)i da je to uop�stenje u odnosu na sve tri prethodne formule za vi!f .8.3.1initial, �citati ini�sl, po�cetni, odnosno �nal, �citati fajnal, krajnji.

294 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJENeka je fU(g) j g 2 Gg odredena grupa (kinemati�cka) simetrije, tj. grupa unitarnih i antiu-nitarnih operatora koja u prostoru stanja H reprezentuje neku grupu G (de�nisanu u klasi�cnomfaznom prostoru ili u kvantnom unutra�snjem faktor prostoru). Smatra se da je zakon kretanjaopservabilno invarijantan pod pomenutom grupom, ako se verovatno�ca prelaza (8.3.1) ne menjapri primeni pojedinih operatora iz G istovremeno na po�cetno i krajnje stanje, tj. ako va�zi:vi!f(t) = jh'f j U(t) j i ij2 = jh'f j U y(g)U(t)U(g) j i ij2 ; (8.3.5)gde je U(t) def= U(t� t0; t0), i to treba da va�zi za 8g 2 G i 8 j i i; j 'f i 2 H, t � t0.Zadatak 8.3.4 � De�nisati opservabilnu invarijantnost zakona kretanja pod G pomo�cu (8.3.4) i pokazati da jeto ekvivalentna de�nicija.Da bismo bolje razumeli �zi�cki smisao de�nicije (8.3.5), pretpostavimo da se radi o podgrupipro�sirene Galilejeve grupe, tj. o operatorima simetrije koji reprezentuju klasi�cne transformacije.Ovima mo�zemo delovati (�zi�cki ili bar u mislima) na sve uredaje u laboratoriji. Deluju�ci takosa g na uredaj za po�cetnu preparaciju proizve�s�cemo umesto j i i stanje U(g) j i i, a deluju�ci(u trenutku t) istom transformacijom na merni aparat, detektova�cemo umesto j 'f i stanjeU(g) j 'f i. Relacija (8.3.5) onda zahteva da ne bude razlike u relativnoj frekvenci primenili mina taj na�cin g ili ne.8.3.2 Galilejev princip invarijantnostiKao �sto se mnogi osnovni principi klasi�cne mehanike prenose u kvantnu mehaniku, prenosi sei princip u naslovu ovog paragrafa (uporediti x 5.1.7). Po njemu svaki unitarni operator kojireprezentuje transformaciju iz Galilejeve grupe a priori zadovoljava i (8.3.5), tj. predstavljatransformaciju simetrije pod �cijim je dejstvom zakon kretanja opservabilno invarijantan.Pa�zljivi �citalac je zapazio da dok u klasi�cnoj mehanici va�zi op�sti Galilejev princip invari-jantnosti (koji se odnosi na pro�sirenu Galilejevu grupu G), u kvantnoj mehanici imamo samoGalilejev princip. Naime, ispostavilo se da diskretne transformacije simetrije nisu univerzalne apriori simetrije u kvantnoj �zici. U slede�cem paragrafu prou�ci�cemo podrobnije naru�savanje sime-trije inverzije prostora u slaboj interakciji. U paragrafu x 8.3.4 �cemo ne�sto vi�se re�ci o naru�savanjusimetrije inverzije vremena.Galilejeva grupa G nije naj�sira grupa iz �cije se reprezentacije u prostoru stanja regrutujuoperatori koji ostavljaju zakon kretanja invarijantnim. U odeljcima x 8.3.5 i x 8.3.6 upozna�cemose sa unutra�snjim simetrijama hadrona (te�skih elementarnih �cestica). One nemaju klasi�cnoganalogona.8.3.3 � Eksperiment Wu i saradnika o naru�savanju sime-trije prostorne inverzije u slaboj interakcijiDo 1956. godine jednodu�sno se verovalo da se Galilejev princip invarijantnosti mo�ze pro�siritina operatore inverzije prostora Ip i inverzije vremena Iv, tj. da va�zi op�sti Galilejev principinvarijantnosti. Objasni�cemo sada �cuveni eksperiment gospode Wu i saradnika (izvr�sen krajem

8.3. GRUPA SIMETRIJE ZAKONA KRETANJA I HAMILTONIJANA 295pomenute godine)8.3.2, koji je kao experimentum crucis (odlu�cuju�ci eksperiment) dokazao teorij-sku hipotezu Lee-a i Yang-a8.3.3 iz iste godine da prostorna inverzija nije a priori simetrija zasve interakcije u prirodi. Konkretno, za tzv. slabu interakciju, koja, izmedu ostalog, dovodi dopretvaranja neutrona u proton, elektron (u vidu �-zraka) i u elektronov antineutrino, Lee i Yangsu o�cekivali da naru�sava simetriju Ip (videti x 8.4.3 ni�ze).Eksperiment Wu i saradnika sastojao se u slede�cem. Jezgra 60Co ohladena su na oko 0:01K ipodvrgnuta magnetnom polju koje je proizvedeno propu�stanjem struje kroz solenoid oko jezgara.

Slika 8.1: Eksperiment Wu i saradnika.Jezgro 60Co ima J = 5 i magnetno polje slu�zi za usmeravanje orijentacije jezgara prekointerakcije njihovih magnetnih dipola sa spolja�snjim magnetnim poljem. A hladenje slu�zi mini-maliziranju toplotnog kretanja atoma, kako se postignuta paralelna orijentacija ne bi poni�stila uhaoti�cnom toplotnom kretanju atoma.Jezgra 60Co emituju �-zrake (elektrone) na ra�cun gore pomenutog pretvaranja neutrona uprotone. Merenje njihove tzv. uglovne distribucije, tj. rasporeda po prostornom uglu ra�cunatomiz centra jezgra, je neposredni cilj eksperimenta (videti Crte�z C 8.1).Izra�zava�cemo se na jeziku na kom smo formulisali invarijantnost zakona kretanja. Pre svega,�sta je po�cetni uslov? To je ansambl 60Co jezgara ohladenih i orijentisanih. (Ovde se radio prostornom ili Boltzmann-ovom ansamblu, jer uzajamni uticaj jezgara unutar zajedni�ckogmakroskopskog volumena je irelevantan.) Vremenska evolucija sastoji se u prepu�stanju jezgaranjima samima kako bi nestabilnost nuklearne strukture do�sla do izra�zaja putem �-zra�cenja8.3.4.Merenje u krajnjem trenutku t utvrduje odnos broja elektrona koji izle�cu du�z pozitivne zose (tj. paralelno sa spinom jezgara) i u suprotnom pravcu (antiparalelno). Ispitivana grupasimetrije je u stvari fIp; Ig def= G.8.3.2Originalna referenca: C. S. Wu et al., Physical Review 105, 1413 (1957).8.3.3 �Citati Li i Jang. Originalna referenca: T. D. Lee, C. N. Yang, Physical Review 104, 254 (1956).8.3.4Hladenje i magnetno polje se stalno odr�zavaju, jer to ionako ne mo�ze da uti�ce na pomenuti nuklearni proces,a neophodno je da su jezgra stalno orijentisana jer bismo ina�ce imali izotropnu uglovnu distribuciju zbog random(�citati rendm, na engleskom zna�ci slu�cajan, bez reda) orijentacije jezgara.

296 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJEAko izvr�simo prostornu inverziju celog eksperimenta (po�cetne preparacije i krajnjeg merenja),tj. predemo sa Crte�za C8.1 (a) na Crte�z C 8.1 (b) pseudovektori B i J se ne menjaju, ne menjase ni osnovno stanje neraspadnutog 60Co, jer je u svojstvenom stanju prostorne inverzije. Dakle,ni po�cetni uslov, ni zavr�sni merni postupak se ne menjaju pod Ip. Medutim, polo�zaji r i impulsip �-zraka prelaze u suprotne.Kao �sto je o�cigledno sa Crte�za C8.1, pomenuti mereni odnos broja elektrona koji izle�cu du�zB i suprotno od B (�sto je pandan verovatno�ce prelaza, samo �sto merenje nije maksimalno) je istipre i posle re eksije samo ako je taj odnos 1. Medutim, kao �sto se vidi na Crte�zu C8.1 (a), gdeje prikazan realni proces, taj odnos nije jednak 1, antiparalelno sa B izle�ce vi�se �-zraka. Zna�ci,Crte�z C 8.1 (b) je �ktivan i la�zan, prikazuje proces koji ne postoji u prirodi. Prostorna inverzijaIp nije simetrija procesa koji poti�ce od slabe interakcije, iako za to nema razloga u rasporedu ikretanju materije. Naime, magnetno polje i orijentisanost celog jezgra nemaju uticaja na procesn! p+ e� + �e, koji se odvija unutar jezgra.8.3.4 � Eksperimentalni dokaz naru�savanja simetrije vre-menske inverzije u slaboj interakcijiU ovom paragrafu �cemo malo iza�ci van okvira standardne kvantne mehanike (u stvari u �zikuelementarnih �cestica) i bi�ce pogodno da privremeno izmenimo na�su notaciju: da Ip obele�zimo saP , a Iv sa T .Uve�s�cemo i tzv. konjugaciju naboja C, koja pretvara �cesticu u njenu anti�cesticu8.3.5. OperatoriP i C su unitarni, a T je antiunitaran.U tzv. lokalnoj kvantnoj teoriji polja dokazuje se kao teorem da iz relativisti�cke invarijantnostii lokalnosti teorije (lokalnost je u su�stini u negiranju delovanja na daljinu) nu�zno sledi da su svizakoni kretanja invarijantni pod operatorom simetrije CPT (tzv. CPT -teorem). Neposredna jeposledica ovog teorema da sam operator vremenske inverzije T ostavlja invarijantnim sve zakonekretanja ako i samo ako isto va�zi za CP .Posle obaranja samog operatora P kao univerzalne simetrije interakcije, neko vreme se vero-valo da CP s jedne strane, a T s druge jesu takve simetrije. Medutim, 1964. godine eksperimen-talno je utvrdeno8.3.6 da se u slaboj interakciji naru�sava CP , a prema tome i T invarijantnost.Radi se o raspadu neutralnih K-mezona (ili kaona). Ima ih dva: Ko i Ko. Ove �cesticeimaju �cudnu osobinu da se raspadaju preko druge dve �cestice, KL i KS, od kojih su one slede�cesuperpozicije ako pretpostavimo CP invarijantnost svih interakcija:j Ko i = 1p2 (j KL i+ { j KS i); (8.3.6a)j Ko i = 1p2 (j KL i � { j KS i): (8.3.6b)KL se naziva dugo�zive�cim kaonom (L od engleske re�ci long | duga�cak), njegov srednji �zivotje reda 6 10�8 s; KS je kratko�zive�ci kaon (S od engleske re�ci short | kratak), �ciji je srednji �zivot8.3.5Operator konjugacije naboja (engleski: charge conjugation) koji je potpuno stran nerelativisti�ckoj kvantnojmehanici, izgleda kao ekstra postulat teorije elementarnih �cestica. Medutim, u relativisti�ckoj kvantnoj mehaniciovaj operator sasvim prirodno proizilazi iz teorije.8.3.6Originalna referenca: J. H. Christenson et al., Physical Review Letters 13, 138 (1964).

8.3. GRUPA SIMETRIJE ZAKONA KRETANJA I HAMILTONIJANA 297reda 10�10 s. Uz pogodni izbor faznih faktora (tako da CP j Ko i = � j Ko i), j KL i i j KS isu svojstvena stanja CP operatora (koji je unitaran i involutivan, prema tome i hermitski, tj.opservabla): CP j KL i = � j KL i; CP j KS i =j KS i: (8.3.7a,b)Raspad koji je eksperimentalno detektovan pomenute 1964. godine bio jeKL ! �+ + �� : (8.3.8)I dvo-pionski sistem ima odredenu CP parnost, ali ona je 1:CP j �+�� i =j �+�� i (8.3.9)(koordinatni po�cetak je po konvenciji u centru masa; orbitni faktor od P deluje trivijalno; spinskifaktor deluje kao �1 i na �+ i na ��, zna�ci sve skupa kao 1; C prevodi �+ i �� jedno u drugo).Dakle, u procesu (8.3.8) CP -parnost se promenila od �1 na 1. Vide�cemo ni�ze (u x 8.3.8)da se time naru�sava tzv. selekciono pravilo CP -a, a to �cemo videti da je potreban uslov zainvarijantnost interakcije u (8.3.8) pod delovanjem CP .8.3.5 Formalna invarijantnost zakona kretanja pod gru-pom simetrijeU ovom paragrafu �cemo na�su de�niciju (8.3.5) iz x 8.3.1 transformisati u pojam iz naslova, kojije dodu�se ne�sto u�zi, ali daleko pogodniji za kvantno-mehani�cki formalizam.Zadatak 8.3.5 Ako su A i B dva linearna operatora u H de�nisana na celom H i to takva da za njih va�zijha j A j b ij = jha j B j b ij; 8 j a i; j b i 2 H; (8.3.10)pokazati da onda nu�zno sledi A = e{' B.Primenom iskaza Zadatka Z 8.3.5 na (8.3.5) slediU y(g) U(t) U(g) = e{'(g;t) U(t); 8g 2 G; �1 < t <1:Po�sto je U y(g) = U�1(g) = U(g�1), prelaze�ci sa g na g�1 kao teku�ci element u G (i pi�su�ci opetg) i koriste�ci �(g; t) def= '(g�1; t), imamoU(g) U(t) U y(g) = e{�(g;t) U(t); 8g 2 G; �1 < t <1: (8.3.11)Zadatak 8.3.6 � Pokazati da iz relacije (8.3.11) sledi:(a) Za arbitreran �ksiran trenutak t, funkcija e{�(g;t) predstavlja kontinualni homomor�zam grupe G u multi-plikativnu grupu faznih faktora.(b) Za arbitrernu �ksiranu transformaciju g 2 G, ista funkcija je neprekidni homomor�zam aditivne gruperealnih brojeva (tj. grupa vremenskih translacija) u pomenutu grupu faznih faktora.

298 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJELema 8.3.1 Ako je G grupa rotacija R(3), onda je fazni faktor u (8.3.11) jednak jediniciidenti�cki po g 2 G i t.Dokaz: Dokaz neposredno sledi iz �cinjenice da homomor�zam iz Zadatka Z 8.3.6 (a) o�cigledno daje ireducibilnureprezentaciju rotacione grupe i to jednodimenzionalnu. Medutim, znamo iz teorije rotacija u kvantnoj mehanicida postoji samo jedna takva reprezentacija, ona odgovara k = 0 i ona je data sa R'u ! I . Q. E. D.Lema 8.3.2 Ako je G kona�cna grupa, onda takode fazni faktor u (8.3.11) mora biti jednakjedinici identi�cki po g 2 G i t.Dokaz: Po�cetni uslov evolucionog operatora glasi U(t = 0) = I , te ako u (8.3.11) stavimo t = 0, dobi�cemoe{�(g;t=0) = 1; 8g 2 G; (8.3.12)i to za bilo koju grupu G. Kada je G kona�cna grupa, onda je svaka transformacija g kona�cnog reda, na primergp = I , tako da zbog homomor�zma (Zadatak Z8.3.6 (a)) e{�(g;t=0) mora biti p-ti koren iz jedinice. Zbogneprekidnosti po t (Zadatak Z 8.3.6 (b)) ovaj faktor se sme samo neprekidno menjati. A po�sto je promena sajednog p-tog korena od 1 na drugi skokovita, e{�(g;t=0) mora biti isti za sve t. Relacija (8.3.12) onda dovodi doiskaza Leme L 8.3.2. Q. E. D.Napomena: Primer za kona�cnu grupu simetrije G je, pored ciklusa prostorne inverzije fI; Ipg,i permutaciona grupa N �cestica (reda N !), za svako N . Ovom grupom �cemo se koristiti priprou�cavanju sistema identi�cnih fermiona (kao �sto je elektronski omota�c atoma) u x 9.3-x 9.5.Fazni faktor (8.3.11) ne otpada za sve grupe simetrije. Na primer, ako je G translaciona grupaT3, onda su iskazi (a) i (b) Zadatka Z 8.3.6 zadovoljeni sa �(g; t) = (ax+ay+az) t na primer, kao�sto se lako vidi. Zato je u op�stem slu�caju potrebno razlikovati opservabilnu i formalnu de�nicijuinvarijantnosti.Po de�niciji, o formalnoj invarijantnosti zakona kretanja govorimo ako va�zi (8.3.11) sa �(g; t) =0, 8g 2 G, t > t0, tj. akoU(g) U(t) U(g)y = U(t) , [ U(g); U(t) ] = 0 ; 8g; t: (8.3.13a,b)Evidentno je da je opservabilna invarijantnost op�stija od formalne, tj. iz formalne sledi op�staali ne nu�zno i obratno. Za sam formalizam kvantne mehanike formalna de�nicija je od velikogzna�caja.8.3.6 Grupa simetrije hamiltonijanaSad �cemo prou�citi de�niciju (8.3.13) sa gledi�sta hamiltonijana konzervativnog kvantnog sistema.Teorem 8.3.1 Evolucioni operator U(t) konzervativnog kvantnog sistema je invarijantan podgrupom simetrije G, tj. relacije (8.3.13) va�ze, ako i samo ako va�ze jednakostiU(g) H U(g)y = H , [ U(g); H ] = 0 ; 8g 2 G: (8.3.14a,b)Dokaz: Dokaz je specijalni slu�caj dokaza poznatog teorema u teoriji Lie-jevih grupa po kome operator komutirasa Lie-vom grupom ako i samo ako komutira sa svim generatorima te grupe (uporediti konkretni primer rotacionegrupe u Korolaru K6.4.3). Za konzervativan sistem H ne zavisi od vremena (uporediti Teorem T3.1.1), a on je

8.3. GRUPA SIMETRIJE ZAKONA KRETANJA I HAMILTONIJANA 299jedini generator (jednoparametarske Lie-jeve) grupe vremenskih evolucija fU(t) = e� {~ tH j � 1 < t < +1g.Q. E. D.Dakle, ako je kvantni sistem konzervativan, formalna de�nicija invarijantnosti zakona kreta-nja pod delovanjem grupe simetrije G je ekvivalentna tome da je doti�cna grupa u stvari grupasimetrije hamiltonijana ili, kako se jo�s ka�ze da je hamiltonijan invarijantan pod delovanjemdoti�cne grupe fU(g) j g 2 Gg.Teorem 8.3.2 Hamiltonijan kvantnog sistema je invarijantan pod Lie-jevom grupom simetrijefU(g) j g 2 Gg ako i samo ako komutira sa svakim generatorom reprezentacije od G u H. Drugimre�cima, (8.3.14) va�zi ako i samo ako[ Ap; H ] = 0 ; p = 1; 2; : : : ; P; (8.3.15)gde su Ap (hermitski) generatori P -parametarske Lie-jeve grupe simetrijefU(g) = e� {~PPp=1 ap(g)Ap j g 2 Gg;(ap su realni brojevi, Lie-jevi parametri).Dokaz: Dokaz je analogan kao za prethodni teorem. Q. E. D.Zakon kretanja u diferencijalnom vidu glasi{~ ddt j (t) i = H j (t) i; (8.3.16)sa j (t0) i kao po�cetnim uslovom. Ograni�cimo se na konzervativan sistem. Invarijantnostzakona kretanja pod G u diferencijalnom vidu sastoji se u tome da iz va�zenja (8.3.16) slediva�zenje jednakosti {~ ddt (U(g) j (t) i) = H (U(g) j (t) i) (8.3.17)sa po�cetnim uslovom U(g) j (t0) i, za 8g 2 G. Drugim re�cima, da svaki operator simetrije U(g)preslikava jednu mogu�cu trajektoriju u prostoru stanja na drugu mogu�cu trajektoriju.Re�ceno va�zi za grupu unitarnih operatora U(g). Kako se to modi�kuje u slu�caju antiunitarnihoperatora, konkretno operatora Iv, vide�cemo u x 8.4.6.Zadatak 8.3.7 Pokazati neposredno (tj. bez kori�s�cenja rezultata ovog odeljka) da se upravo izlo�zeni pojaminvarijantnosti diferencijalnog vida zakona kretanja podudara sa invarijantno�s�cu evolucionog operatora pod G(tj. sa (8.3.13)).Zadatak 8.3.8 Pokazati (bez kori�s�cenja rezultata ovog odeljka) da je invarijantnost zakona kretanja u diferen-cijalnom vidu ekvivalentna invarijantnosti H pod G.8.3.7 Dobri kvantni brojevi i klasi�kacija energetskih ni-voaU ovom paragrafu �cemo proanalizirati najva�znije posledice relacije (8.3.14).

300 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJEKorolar 8.3.1 Invarijantnost hamiltonijana konzervativnog sistema pod Lie-jevom grupomfU(g) j g 2 Gg ima posledicu da se o�cekivana vrednost svake opservable A koja je polinom odhermitskih operatora Ap, p = 1; 2; : : : ; P , doti�cne grupe, ne menja u vremenu, tj.h A i def= h (t) j A j (t) i = h (t0) j A j (t0) i: (8.3.18)Dokaz: Po�sto svaki Ap komutira sa H (Teorem T8.3.2), lako je videti da isto va�zi i za A, koji je polinom odAp-ova. Onda A komutira i sa U(t), koji je funkcija od H , a to povla�ci Uy(t) A U(t) = A. Najzad, h (t) jA j (t) i = h (t0) j Uy(t) A U(t) j (t0) i = h (t0) j A j (t0) i. Q. E. D.Naravno, sami hermitski operatori Ap su specijalni slu�caj pomenute opservable A, te i za njihva�zi (8.3.18):h Ap i def= h (t) j Ap j (t) i = h (t0) j Ap j (t0) i; p = 1; 2; : : : ; P: (8.3.19)Kao ilustraciju zna�cenja (8.3.18) i (8.3.19), uzmimo slu�caj rotaciono simetri�cnog hamiltoni-jana, tj. grupu simetrije fU('u) j R'u 2 R(3)g u sada�snjoj notaciji. Relacija (8.3.19) ondazna�ci da je o�cekivana vrednost svake komponente Kq, q = x; y; z nepromenjena u toku vremena.Relacija (8.3.18) ima za posledicu da isto va�zi i za K2.Korolar 8.3.2 Ako se neki hermitski operator A mo�ze napisati kao polinom od operatora grupesimetrije hamiltonijana konzervativnog sistema, onda je opservabla A kompatibilna sa H:[ A; H ] = 0; (8.3.20a)i njena o�cekivana vrednost ne zavisi od vremenah A i def= h (t) j A j (t) i = h (t0) j A j (t0) i: (8.3.20b)Dokaz: Po�sto je [ U(g); H ] = 0, 8g 2 G, komutiranje sa H odmah sledi za svaki proizvod operatora U(g) iza svaki polinom od njih. Ako je A takav polinom, imamo (8.3.20a) i iz toga odmah sledi [ A; U(t) ] = 0. A toiziskuje (8.3.20b) (kao u dokazu Korolara K8.3.1). Q. E. D.Treba uo�citi da se Korolar K8.3.1 odnosi samo na Lie-jeve grupe simetrije hamiltonijana, aKorolar K8.3.2 je primenljiv kako na Lie-jeve, tako i na kona�cne grupe G.Korolar 8.3.3 Neka je A opservabla koja je polinom ili od samih operatora grupe simetrijehamiltonijana konzervativnog sistema ili od hermitskih generatora Ap te grupe (ako je Lie-jeva).Ako je po�cetno stanje j (t0) i sistema svojstveno stanje od A i odgovara nekoj svojstvenojvrednosti a, onda je i stanje j (t) i u svakom kasnijem trenutku svojstveno stanje od A iodgovara istoj svojstvenoj vrednosti a.Dokaz: A j (t0) i = a j (t0) i ) h (t0) j A j (t0) i def= h A it0 = a,�t0A def= (h (t0) j (A � h A i)2 j (t0) i) 12 = 0 (uporediti Teorem T1.4.2 i Korolare K2.2.1, K 2.2.1). Na osnovuKorolara K8.3.1 i K8.3.2 onda sledi h (t) j A j (t) i = a, �tA = 0, ) A j (t) i = a j (t) i. Q. E. D.Zadatak 8.3.9 Dokazati Korolar K 8.3.3 geometrijski, tj. pomo�cu pojmova kao �sto su potprostori, redukovanjeoperatora itd.

8.3. GRUPA SIMETRIJE ZAKONA KRETANJA I HAMILTONIJANA 301Kada je jedna opservabla A kompatibilna sa hamiltonijanom konzervativnog sistema, ondase ka�ze da daje dobre kvantne brojeve (misli se na svojstvene vrednosti od A ili na neke pro-stije brojeve koji prebrojavaju svojstvene vrednosti). Iz prethodnih Korolara vidimo da grupasimetrije hamiltonijana slu�zi kao izvor za nala�zenje ili konstrukciju opservabli koje daju dobrekvantne brojeve. Osim toga, iz istih Korolara mo�zemo zaklju�citi da je puni kvantno-mehani�ckisadr�zaj dobrih kvantnih brojeva u slede�cem:(i) Opservabla kompatibilna sa H mo�ze da dopuni hamiltonijan (sa eventualno jo�s nekim takvimopservablama) do potpunog skupa kompatibilnih opservabli, koji �ce dati potpunu klasi�ka-ciju stanja, tj. svojstveni bazis od H. Na jeziku kvantnih brojeva mo�zemo re�ci da dobrikvantni brojevi dopunjuju energetske nivoe sistema (ili njihov kvantni broj) do potpunogskupa kvantnih brojeva koji karakteri�su svojstvena stanja hamiltonijana.(ii) Dobri kvantni brojevi ostaju "dobri" u toku vremenske evolucije sistema, tj. stanja ne moguda izgube doti�cne svojstvene vrednosti. To su analogoni integrala kretanja u klasi�cnojmehanici.Naj�ce�s�ce grupa simetrije hamiltonijana sa kojom raspola�zemo nije dovoljno bogata i ne mo�zese posti�ci samo pomo�cu nje potpuna klasi�kacija stanja. Posti�ze se samo delimi�cna klasi�kacija(koja rezultuje u svojstvenim potprostorima, a ne u stanjima). Onda se govori o klasi�kacijienergetskih nivoa.Za kvantne sisteme u kojima je materija koncentrisana oko centra mase (tako da izdalekaizgledaju kao �cestice), kao �sto su jezgra, atomi i mnogi molekuli, prirodno je koordinatni po�cetakstaviti u centar mase i koristiti se a priornim osobinama prostora: izotropno�s�cu (oko centra mase)i nerazlikovanjem levog i desnog koordinatnog sistema. Tako J2 i Ip su najosnovnije opservablekoje daju dobre kvantne brojeve: J� (J je kvantni broj sveukupnog uglovnog momenta, a � = �1je ukupna parnost8.3.7).Zadatak 8.3.10 Izvesti rezultate ovog paragrafa u Heisenberg-ovoj slici i prodiskutovati pogodnost Schr�odinger-ove i Heisenberg-ove slike u tu svrhu.8.3.8 Selekciona pravilaDobri kvantni brojevi imaju veoma va�znu primenu u izu�cavanju gadanja mete snopom �cesticakada i u meti i u izlaznom snopu nastaje promena u samoj vrsti �cestica. To su tzv. reakcije unuklearnoj �zici, a tzv. procesi u �zici elementarnih �cestica. Pomo�cu dobrih kvantnih brojevamogu�ce je �citavu klasu ovakvih procesa isklju�citi kao teorijski nemogu�ce i pri tome se govori oselekcionim pravilima. Sad �cemo to podrobno objasniti.Korolar 8.3.4 Ako po�cetno stanje j (t0) i kvantnog sistema ima odredenu vrednost dobrogkvantnog broja, onda je verovatno�ca prelaza u drugo stanje j ' i sa drugom vredno�s�cu istogkvantnog broja u bilo kom kasnijem trenutku jednaka nuli, tj.v( ! '; t) = jh ' j (t)ij2 = 0: (8.3.21)8.3.7Misli se na ukupnu orbitnu parnost. Nukleon ima spinsku parnost 1, a takode i elektron, tako da se moguizostaviti.

302 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJEDokaz: Dokaz sledi neposredno iz (ii) u prethodnom paragrafu, jer j (t)i = U(t) j (t0)i zadr�zava istu vrednostdobrog kvantnog broja, te se j ' i i j (t) i nalaze u ortogonalnim svojstvenim potprostorima (opservable kojadaje doti�cni dobar kvantni broj) i sledi (8.3.21). Q. E. D.Neka je dat (simboli�cno napisan) procesa+ b! c + d (8.3.22)i pretpostavimo da kvantni sistem j ab i u t0 ima odredenu vrednost nekog dobrog kvantnogbroja, a da sistem j cdi ima drugu vrednost istog kvantnog broja. Proces (8.3.22) zna�ci da imamoodredeni merni uredaj u kome mo�ze da se detektuje, recimo �cestica d (i, po pravilu, zaklju�ci daje u meti ostala �cestica c). Tu se, u stvari, radi o merenju prelaza j ab i ! j cd i u trenutku t.Medutim, kao �sto sledi iz Korolara K8.3.4, na�se pretpostavke iziskuju v(j ab i !j cd i; t) = 0, tj.ovaj proces ne mo�ze da se desi8.3.8. To se naziva selekcionim pravilom doti�cnog dobrog kvantnogbroja (ili opservable �ciji je to kvantni broj).8.3.9 � Pribli�zno dobri kvantni brojevi i pribli�zna selek-ciona pravilaNekad neka opservabla A mo�ze biti od koristi i ako je samo pribli�zno kompatibilna sa hamiltoni-janom, tj. ako je [ A; H ] mali operator (tj. u bilo kojoj reprezentaciji bilo koji matri�cni elementmatrice koja ga reprezentuje je po modulu mali broj). Onda �ce po�cetno stanje j (t0) i, koje jesvojstveno stanje hamiltonijana, po pravilu, biti samo pribli�zno svojstveno stanje opservable A,tj. h (t0) j A j (t0) i � a, gde je a svojstvena vrednost od A i �tA � 0. Po�sto po pretpostavciimamo svojstveno stanje hamiltonijana, vremenska evolucija samo menja fazni faktor vektorastanja (a ne i samo stanje) i tako to stanje celo vreme ima pribli�zno o�stru vrednost a od A.Kod nekih atomskih sistema, na primer, dominantni deo hamiltonijana komutira posebnosa operatorima ukupnih orbitnih rotacija i posebno sa operatorima ukupnih spinskih rotacija, asamo jedan mali sabirak u hamiltonijanu ne komutira, tj. naru�sava pomenute simetrije. Zatosu L, ML, S i MS pribli�zno dobri kvantni brojevi koji su korisni za (pribli�zno) karakterisanjeosnovnog stanja takvog sistema.Opisali smo slu�caj kada smo u po�cetnom (i u svakom kasnijem) stanju imali o�stru vrednostenergije i pribli�zno o�stru vrednost pribli�zno kompatibilne opservable A. Mogu�c je i suprotanslu�caj: da sistem u po�cetnom stanju j (t0) i ima samo pribli�zno o�stru vrednost energije, tj. dase pojavljuje tzv. �sirina energetskog nivoa (pobudeno stanje), a da sistem ima o�stru vrednost,recimo a, pribli�zno kompatibilne opservable A. Takav sistem se u toku vremena "raspada",tj. postoji pozitivna verovatno�ca prelaza u savim druga�cije stanje, �cak i u stanje sa drugomsvojstvenom vredno�s�cu, recimo b, opservable A.Pomenuta mogu�cnost 0 < v(j a i !j b i; t) def= jhb j U(t) j a; t0 ij2 poti�ce od toga �sto uslednekomutiranja H sa A, ne komutira ni U(t) sa A, i stanje j a; t i = U(t) j a; t0 i mo�ze dasadr�zi "primesu" (koherentnu) svojstvenog stanja od A koja odgovara svojstvenoj vrednosti b,tj. projekcija od j a; ti na odgovaraju�ci svojstveni potprostor vi�se nije nula. Ali po�sto H pribli�znokomutira sa A (samo mali term u H ne komutira), isto va�zi i za U(t) i pomenuta "primesa" je8.3.8Podsetimo se Postulata o pojedina�cnim kvantnim sistemima, zahvaljuju�ci kome stvarno mo�zemo tvrditi dase ni jedan proces opisanog tipa ne mo�ze desiti u prirodi (ili ako se desi, moramo menjati teoriju).

8.3. GRUPA SIMETRIJE ZAKONA KRETANJA I HAMILTONIJANA 303mala (po normi), tako da je onda i verovatno�ca prelaza v(j a i !j b i; t) mala. U ovom slu�caju segovori o aproksimativnom selekcionom pravilu.Zadatak 8.3.11 Neka je u trenutku t0 > t0 norma projekcije od U(t) j a; t0 i u svojstveni potprostor Vb od Akoji odgovara svojstvenoj vrednosti b jednaka 10�3. Pokazati da v(j a i !j b i; t0) � 10�6.Kao ilustraciju za pribli�zno selekciono pravilo uzmimo slobodni neutron. On je nestabilna�cestica koja se raspada po formuli n ! p + e� + �e (proton, elektron i elektronov antineu-trino). Raspadanje poti�ce od slabe interakcije koja predstavlja pomenuti mali sabirak poredjake i elektro-magnetne interakcije. Neutron ima tre�cu komponentu izospina t3 = �12 , a protont3 = 12 , dok elektron i �e imaju t3 = 0. Sa ovim kvantnim brojem �cemo se bli�ze upoznati uodeljku x 8.5.Sada �cemo ukazati na to da su jaka i elektro-magnetna interakcija kompatibilne, a slabainterakcija je nekompatibilna sa t3 (�ciji je kvantni broj t3). Zna�ci ukupni hamiltonijan je pribli�znokompatibilan sa t3. Po�cetno stanje ima o�stru vrednost t3, a samo pribli�zno o�stru vrednostenergije (zbog E = mc2, u stvari masa slobodnog neutrona nema o�stru vrednost, iznosi 939; 550�0; 005MeV). U pomentom procesu sistem prelazi iz t3 = �12 stanja u t3 = 12 stanje, ali sam procesje prili�cno malo verovatan (slobodan neutron �zivi dosta dugo, reda veli�cine 103 s).8.3.10 � Energetski nivoi i vi�sestruki ireducibilni invari-jantni potprostori grupe simetrije hamiltonijanaPodimo od veoma �cestog slu�caja kvantnog sistema koji ima rotacionu simetriju, tj. hamiltonijanmu je invarijantan pod grupom fU('u) j R'u 2 R(3)g.Videli smo u x 6.3.4 da pri dekompoziciji prostora stanja na vi�sestruke invarijantne ireduci-bilne potprostore Vk za K, dobijamo ne samo same ireducibilne potprostore Vk�, � = 1; : : : ; dk,nego, "unakrsno" sa njima i potprostore Vkm, m = �k; : : : ; k (Crte�z C 6.2). Videli smo da opser-vabla, na primer hamiltonijan, koja komutira sa K redukuje se u svakom Vkm i to u uzajamnoekvivalentne operatore (Teoremi T 6.3.2 i T 6.4.2).�Sta to prakti�cno zna�ci? Osnovni zadatak kvantno-mehani�ckog opisivanja sistema je da se re�sisvojstveni problem hamiltonijana sistema. Kori�s�cenje rotacione simetrije (preko "�oka" Vkm)znatno pojednostavljuje ovaj zadatak.Treba uzeti proizvoljan standardni bazis za K (uop�ste ne mora biti prilagoden hamiltonijanu).Samim tim �sto je standardni, bazis je nu�zno adaptiran na dekompoziciju H = �kVk = �k�km=�kVkm, a svaki potprostor Vkm je nu�zno invarijantna za hamiltonijan. Kada se H reprezentujeu pomenutom bazisu, matrica H koja ga predstavlja nu�zno je kvazidijagonalna, tj. direktni jezbir podmatrica: H = �k �km=�k Hkm, gde je svaka podmatrica Hkm reda dk � dk, nalazi se nadijagonali od H i imamo podudaranje matrica: Hk;m=k = Hk;m=k�1 = : : : = Hk;m=�k, 8k, na �stase svodi pomenuta ekvivalentnost.Treba uo�citi da smo podmatrice Hkm dobili bez ikakve dijagonalizacije, samo na osnovusimetrije. Tek sada postaje aktuelna dijagonalizacija i to dijagonalizujemo samo jednu od svakeklase od po 2k+ 1 jednakih podmatrica Hkm, m = k; : : : ;�k (rezultat se neposredno prenosi naostale podmatrice u toj klasi).�Citaoca ve�c verovatno mu�ci pitanje da li je postojanje po 2k + 1 "�oka" Vkm u koje sehamiltonijan "jednako sme�sta" speci��cna odlika unitarne reprezentacije rotacione grupe ili va�zi

304 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJEi za druge grupe simetrije hamiltonijana. Veliki zna�caj na�seg metoda ("ormar sa �okama")poti�ce upravo od �cinjenice �sto je odgovor na ovo pitanje potvrdan. Bilo koja druga Lie-jevagrupa simetrije hamiltonijana ima analogan "ormar sa �okama" samo broj "�oka" 2k + 1 imadrugu vrednost; tzv. Casimir-ov8.3.9 operator rotacione grupe K2 se mora zameniti Casimir-ovimoperatorom ili operatorima doti�cne grupe; mora se na�ci analogon ili analogoni od Kz itd.�Sta vi�se, dekompozicija prostora stanja na vi�sestruke invarijantne ireducibilne potprostore (sa"unakrsnim" "�okama" kao "bonusom") va�zi i za kona�cne grupe, zajedno sa va�znim teoremomredukovanja i ekvivalentnosti8.3.10.Na kraju ovog paragrafa i odeljka da uka�zemo na jednu zanimljivu mogu�cnost inverzije ulogeenergetskih nivoa i "�oka" Vkm. Naime, u gornjem prilazu smo prvo dekomponovali H do pot-prostora Vkm i onda u svakom od njih redukovali hamiltonijan. Mogu�c je i obratan postupak: daprvo razlo�zimo prostor stanja H na svojstvene potprostore od H: H = �nV(En) (pretpostavimoda H ima �cisto diskretan spektar). Zbog [ H; K ] = 0, K se redukuje u svakom potprostoruV(En), te mo�zemo nakon ove redukcije izvr�siti dekompoziciju potprostora V(En) na vi�sestrukeireducibilne invarijantne potprostore za K, tj. "razbiti" V(En) do "�oka".Pri opisanom postupku �cesto se ispostavlja da u V(En) imamo jednu jedinu "kolonu", tj. jedanjedini invarijantni ireducibilan potprostor za grupu simetrije hamiltonijana. Onda je degeneracijadoti�cnog nivoa jednaka 2k + 1 i mo�ze se konstatovati da je degeneracija potpuno obja�snjenapomo�cu doti�cne grupe simetrije.Ako u V(En) imamo jedan Vk (tj. V(En) = Vk), ali dve ili vi�se kolona, onda je degeneracijanivoa (2k + 1) dk (a dk � 2), tj., kao �sto se ka�ze, imamo ekstradegeneraciju (misli se: van onekoja je prouzrokovana grupom simetrije). U ovakvom slu�caju treba poku�sati pro�sirenje grupesimetrije i to treba dodavati operatore koji komutiraju sa operatorima ve�c nadene grupe simetrije,takvi se operatori redukuju u "�okama" Vkm i od njih poti�ce pomenuta ekstradegeneracija.Najzad, mo�ze da se desi da V(En) sadr�zi dva ili vi�se Vk potprostora. U ovom slu�caju grupasimetrije kojom raspola�zemo opet nije dovoljna, treba je pro�siriti operatorima koji ne komuti-raju sa operatorima u grupi simetrije, jer ti operatori preslikavaju iz jednog Vk u drugi (ili usuperpozicije iz vi�se Vk potprostora), te su oni, pored eventualno gorepomenutih komutiraju�cih,uzrok ekstradegeneracije, koja sad iznosi Pk (2k + 1) dk (sabiramo po onim vrednostima k kojise nalaze u V(En)).Zadatak 8.3.12 Stanja j EnJMJ� i, MJ = �J; : : : ; J sa rotaciono simetri�cnim hamiltonijanom su svojstvenastanja od H koja nu�zno odgovaraju istom energetskom nivou En. Pokazati kako ovo sledi primenjuju�ci obe gornjevarijante "ormara sa �okama".8.4 � Primeri dobrih kvantnih brojevaPre nego �sto zaokru�zimo problematiku prethodnog odeljka sa razmatranjem invarijantnosti za-kona kretanja pod antiunitarnom vremenskom inverzijom (tome �cemo posvetiti poslednja �cetiriparagrafa ovog odeljka), upotpuni�cemo ste�ceno op�ste poznavanje uloge unitarnih simetrija udinami�ckom problemu sa detaljnom diskusijom nekoliko konkretnih �zi�ckih primera (paragra�x 8.4.1-x 8.4.5).8.3.9 �Citati: Kazimir.8.3.10 Videti, na primer: G. �. L�barski�, Teori� Grupp i ee Primenenie v Fizike, (Moskva, Fizmatgiz,1958). , glava IV, paragraf 26.

8.4. � PRIMERI DOBRIH KVANTNIH BROJEVA 3058.4.1 Izvodenje uglovne raspodele iz odr�zanja uglovnogmomentaKao primer invarijantnosti zakona kretnja pod rotacionom grupom (koja va�zi za svaki konzer-vativan i izolovan sistem zbog izotropnosti prostora), izve�s�cemo uglovni raspored raspadanjapolarizovanog sigma minus hiperona �� ("minus" se odnosi na elektri�cni naboj). Radi se oprocesu �� ! n +��; (8.4.1)koji predstavlja jedini na�cin raspadanja ove te�ske elementarne �cestice (m � 1197MeV, srednji�zivot � � 10�10 s) i to se odigrava preko slabe interakcije. Naime, pomenuti relativno dugisrednji �zivot zna�ci da je doti�cni raspad relativno malo verovatan, a to sa svoje strane indicirada jaka i elektromagnetna interakcija (koje su mnogo ja�ce od slabe interakcije) ne u�cestvuju uprouzrokovanju ovog procesa.Pretpostavimo da je �� potpuno polarizovan du�z z ose, tj. da je u svojstvenom stanju j + iprojekcije spina sz (hiperoni imaju spin s = 12), uporediti Crte�z C 8.2 (a). Osim toga, pretpo-stavi�cemo da je �� u koordinatnom po�cetku, tako da produkti raspadanja izle�cu iz koordinatnogpo�cetka radijalno. Stoga su njihovi r i p paralelni, �sto iziskuje l = r� p = 0 i za n i za ��8.4.1.Imamo L = 0 i J = S i pre i posle raspada. Iako interakcija nije invarijantna posebno podorbitnim i posebno pod spinskim rotacijama, u ovom slu�caju se konzervacija ukupnog J svodi nakonzervaciju S. To prakti�cno zna�ci da je projekcija spina neutrona (�� ima spin nula) na bilokoju osu jednaka projekciji spina �� na istu osu.Po�sto je �� po pretpostavci polarisan i neutron mora biti u j + i spinskom stanju bez obzirakoliki je ugao � (videti Crte�z C 8.2 (b)). Problem je o�cigledno aksijalno simetri�can oko z0 (ortaz-ose), zato se azimutalnim uglom ' ne�cemo ni koristiti.Zadatak 8.4.1 Pokazati da lokalizacija �cestice u koordinatnom po�cetku, tj. h r i � 0 uz dovoljno male neo-dredenosti �r� 1, povla�ci l = 0. (Indikacija: Dokazatijh l2 ij � Xq;q0;q00=x;y;z jeqq0q00h q0pq00 lq ij � Xq;q0;q00=x;y;z jeqq0q00 jh q02 i 12 h (pq00 lq)2 i 12 �� Xq;q0;q00=x;y;z jeqq0q00 j�q0h (pq00 lq)2 i 12 ;gde je �qq0q00 simbol Levi{Civita. Pri tome se koristimo Schwartz-ovim teoremom i teoremom o disperziji.)Ako neutron izle�ce pod uglom �, pion se emituje u suprotnom smeru, jer �� je bio u stanjumirovanja (impuls nula) u sistemu centra mase. Stoga je stanje j n;�� i u stvari odredenostanjem neutrona (i u daljnjem ne pi�semo stanje piona, misle�ci ipak na j n;�� i).Pitamo se kolika je verovatno�ca v(�) da se neutron emituje pod uglom �, tj. kolika je vero-vatno�ca prelaska u to stanje (u nekom trenutku koji za ovu diskusiju nije va�zan).Na prvi pogled mi samo znamo da n ima j +; z0 i (tj. j + i) spinsko stanje za svako �.8.4.1Fragmenti raspadanja se detektuju u mernom aparatu, na primer u Wilson-ovoj komori. Na primer po "tragu"koji �cestica ostavlja zaklju�cujemo i gde je i kamo se kre�ce, skoro kao da istovremeno merimo r i p. U stvari nedobijamo o�stre vrednosti ovih opservabli, a relacije neodredenosti �q�pq � ~2 , q = x; y; z, su zadovoljene. Ipak,to nema uticaja na diskretni kvantni broj l. To ne�ce prime�sati p-stanje (l = 1) i druge vrednosti za l uz s-stanje(l = 0).

306 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJE66u u���HHj

u��� � U6������R�z0s��u j + i def= j +; z0 ispinskom stanju

Apre raspada: Bposle raspada: Cp ��

� n p = pz0x00x00 ? ravan (z0; z00)R�x00z00 = z0

z0 z00 �z0 z006������*PPPPPPqSlika 8.2: Shema procesa (8.4.1).Pretpostavimo da zajedno sa prostornim stanjem neutrona ("pod kojim uglom8.4.2 � izle�ce")merimo i (kompatibilnu) opservablu sz0 def= s�z00 kako bismo slo�zeni dogadaj "izle�ce pod �" razlo�zilina elementarne kvantne dogadaje "pod �, spin +; z00" i "pod �, spin �; z00". Verovatno�caslo�zenog dogadaja, v(�), je zbir verovatno�ca prelazaka stanja j �� miruje u r = 0; spin +; z0 i upomenuta stanja n;��-sistema (uporediti (2.2.5)).Zadatak 8.4.2 Pokazati da z0 = R�x00 z00 (Crte�z C8.2 (c)) ima za posledicusz = Us(�x00) sz0 U�1s (�x00); j +; z0 i = Us(�x00) j +; z00 i: (8.4.2a,b)(Indikacija: Koristiti se de�nicijom vektorskog operatora za s i svojstvenom jednako�s�cu za sz0 .) Pokazati takodeda iz (8.4.2) i (6.10.17) (formula za Us('u), koristimo je u fx00; y00; z00g) sledij +; z0 i = cos �2 j +; z00 i � { sin �2 j �; z00 i: (8.4.3)Primenjuju�ci (8.4.3) na po�cetno stanje (�cestice ��) za gore pomenute verovatno�ce prelazamo�zemo pisati8.4.3:jhnpod �; spin+; z00 j U(t) j ��; spin+; z0 ij2 = cos2 �2 jhnpod �; spin+; z00 j U(t) j ��; spin+; z00 ij2(8.4.4a)(opet smo iskoristili gore obja�snjeno odr�zanje projekcije spina pod U(t)).Analogno kao (8.4.4a), sledijhnpod �; spin�; z00 j U(t) j ��; spin+; z0 ij2 = sin2 �2 jhnpod �; spin�; z00 j U(t) j ��; spin�; z00 ij2:(8.4.4b)8.4.2Radi se o malom prostornom uglu oko � ili jo�s preciznije, o tankom konusu (zbog 0 � ' < 2�) oko �. I,naravno, u stvari se radi o gustini verovatno�ce, jer je raspodela po � kontinualna.8.4.3j ��; : : : i i j n;��; : : : i naravno, ne pripadaju istom prostoru stanja. Ispravnije bi bilo opisivati procesu prostoru druge kvantizacije (uve�s�cemo je tek u glavi 11) gde je sadr�zana mogu�cnost od nule do neograni�cenomnogo �cestica bilo koje vrste. Ipak, i u prostoru "prve kvantizacije", kao u tekstu, mo�ze se ukazati na su�stinuproblema.

8.4. � PRIMERI DOBRIH KVANTNIH BROJEVA 307Drugi faktor na desnoj strani od (8.4.4a) je verovatno�ca emisije neutrona u pravcu polariza-cije �cestice �� i ova verovatno�ca o�cigledno ne zavisi od � (� u ovom slu�caju pokazuje iz kojegkoordinatnog sistema gledamo dogadaj, tj. z0 nije de�nisan �zi�ckim osobinama samog procesa,za razliku od � ugla u na�sem po�cetnom problemu). Obele�zimo ovaj faktor sa � (u stvari �(t)).Analogno mo�zemo zaklju�citi da drugi faktor na desnoj strani od (8.4.4b) takode ne zavisi od �;obele�zimo ga sa �.Zna�ci, zbog gore pomenutog sabiranja verovatno�ca elementarnih dogadaja u verovatno�cuslo�zenog dogadaja, na osnovu (8.4.4) tra�zena verovatno�ca glasi v(�) = � cos2 �2 + � sin2 �2 , �sto seusled cos2 �2 = 12 (1 + cos �), sin2 �2 = 12 (1� cos �), mo�ze napisati u viduv(�) = + Æ cos � ; (8.4.5)sa def= �+�2 , Æ def= ���2 .Dakle, na�s kona�cni rezultat glasi: uglovna distribucija emitovanja neutrona (pri polarizova-nom ��: spin +, z0) je linearna funkcija od kosinusa ugla �.Zadatak 8.4.3 Pokazati da bi odr�zanje parnosti u (8.4.1) (koje u stvari ne va�zi po�sto proces poti�ce od slabeinterakcije!) imalo za posledicu Æ = 0 u (8.4.5).8.4.2 Odredivanje unutra�snje parnosti hiperona u nukle-arnoj reakcijiEksperimentalno mo�ze da se dobije slede�ca nuklearna reakcija:K� + 4He! 4�He + ��: (8.4.6)Te�ski mezon K� (m � 494MeV) prelazi u laki mezon �� (m � 140MeV), a jedan laki barion n(m � 940MeV) u sastavu 4He prelazi u te�ski barion (tzv. lambda-hiperon) � (m � 1116MeV),koji ostaje na mestu neutrona (usled sli�cnih osobina) u sastavu sli�cnog jezgra koje obele�zavamosa 4�He (sadr�zi 2 protona, neutron i �). Ovakvo jezgro se naziva hiperfragment8.4.4.Po�sto je proces (8.4.6) posledica jake interakcije, parnost se odr�zava u njemu. Pretpostavimoda po�cetno stanje jK�;4He i ima odredenu parnost, onda krajnje stanje j ��;4�He i mora da imaistu parnost (uporediti i prethodnu fusnotu). Radi se o peto�cesti�cnom sistemu, a svaka �cesticaima orbitno i spinsko faktor stanje i, prema tome, i orbitnu i unutra�snju parnost. Dakle, parnosti po�cetnog i krajnjeg stanja je proizvod od po 10 parnosti i ta dva proizvoda su jednaka. Na prvipogled, imamo previ�se slo�zen slu�caj da bi bio od koristi. Medutim, u stvari nije tako.Nije pogodno (8.4.6) posmatrati kao 5-�cesti�cni proces; pogodnije je u (8.4.6) videti jedandvo-�cesti�cni proces. Onda imamo u igri po dve unutra�snje i po dve orbitne parnosti. Unutra�snjaparnost od 4He (ili 4�He) je parnost te slo�zene �cestice i ona zavisi od celokupne strukture doti�cnogsistema (ali ba�s to i jeste jednako u 4He i u 4�He). Ove �cestice se uzimaju u stanju mirovanja,iako to ne zna�ci o�stre vrednosti za r i p, to ipak jeste o�stra vrednost l = 0 i �l = (�1)l = 1.Svrsishodno je izvr�siti transformaciju sa dve �cestice na dve efektivne �cestice: centar masa(CM) i relativnu �cesticu (R �C), �sto smo prou�cavali u x 4.5.8.4.4Tabelarni pregled hadrona (tj. te�skih elementarnih �cestica medu koje spadaju mezoni i barioni) dat je uTabeli Tb 8.1 u kontekstu izospina.

308 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJEZadatak 8.4.4 Pokazati da je H(o)12 = H(o)CM H(o)R �C (4.5.19) propra�ceno faktorizacijom operatora prostorneinverzije I(p)12 = I(p)CM I(p)R �C ; (8.4.7)gde su I(p)CM i I(p)R �C de�nisani u H(o)CM odnosno u H(o)R �C potpuno analogno kao Ip u Ho.Nakon pomenute transformacije na efektivne �cestice imamo umesto orbitnih parnosti �cestica(pre i posle procesa) parnost centra mase CM pre i posle i parnost relativne �cestice R �C pre iposle. Po�sto nam je centar mase sme�sten u koordinatnom po�cetku (i nalazi se u stanju mirovanja),parnost centra mase je (�1)lCM=0 = 1 pre i posle i ovaj faktor mo�zemo zaboraviti. Preostajeparnost (�1)lR �C pre i posle.Poznato je da sistemi 4He i 4�He u osnovnom stanju (u kome su u procesu (8.4.6)) imajuJ = 0, a mezoni K� i �� takode imaju unutra�snji uglovni moment8.4.5 s = 0. Po�sto je �zi�ckisistem u kome se de�sava prelaz (8.4.6) izolovan i konzervativan, imamo konzervaciju ukupnoguglovnog momenta. To se u ovom slu�caju svodi na konzervaciju ukupnog orbitnog uglovnogmomenta (u kontrastu sa slu�cajem iz prethodnog paragrafa). Po�sto je centar mase u s stanjupre i posle, u stvari imamo konzervaciju orbitnog uglovnog momenta relativne �cestice, tj. lR �C jeisti pre i posle. Ovo povla�ci da i (�1)lR �C ostaje nepromenjeno8.4.6. Zna�ci, i ovaj faktor mo�zemoda zaboravimo.Dakle, sledi zaklju�cak da je proizvod unutra�snje parnosti od K� i od 4He jednak proizvoduunutra�snje parnosti od 4�He i ��. Pioni K� i �� imaju jednaku unutra�snju parnost (i tonegativnu, to su tzv. pseudoskalarne �cestice | re�cca "pseudo" zna�ci da je unutra�snja parnost�1, a termin "skalarna �cestica" ozna�cava s = 0). Preostaje da unutra�snja parnost 4He morabiti jednaka unutra�snjoj parnosti od 4�He. Po�sto 4He i 4�He imaju u osnovnom stanju takore�cijednaku strukturu, to mo�ze biti samo ako je unutra�snja parnost hiperona � jednaka unutra�snjojparnosti neutrona. To je na�s kona�can zaklju�cak.Zadatak 8.4.5 U realnom procesu (8.4.6) ne moramo imati o�stru vrednost ukupne parnosti s leve i desne strane.Pokazati da ipak iz odr�zanja parnosti pri vremenskoj evoluciji sistema sledi0 < jhf j U(t) j i ij2 = jhf j P+U(t)P+ j i ij2 + jhf j P�U(t)P� j i ij2 (8.4.8)(j i i def= j K�;4He i, j f i def= j 4�He;�� i; P� su svojstveni projektori ukupnog Ip); �sto zna�ci da je bar jedna odverovatno�ca sa o�strom parno�s�cu pozitivna i tako imamo pravo na gornje rezonovanje.8.4.3 Tau-teta zagonetka i teorijska predikcija neodr�zanjaparnosti u slaboj interakcijiKao �sto smo istakli u x 8.3.3, u otkri�cu neodr�zanja parnosti u slaboj interakciji teorija je i�slaispred eksperimenta. Po�sto je kvantna mehanika teorijska grana �zike, prou�ci�cemo ovaj slu�cajpodrobnije radi uzora uspe�sne teorijske analize.8.4.5Treba zapaziti da dok se za elementarnu �cesticu pod "spinom" podrazumeva unutra�snji uglovni moment, zaslo�zenu �cesticu to je ukupni uglovni moment. Pri tome u J je uklju�cen ukupni orbitni uglovni moment L i tooko centra mase slo�zenog sistema, ali ne i orbitni uglovni moment centra mase oko neke spolja�snje ta�cke (kao naprimer, orbitni moment centra mase od 4He oko centra mase od K� i 4He na levoj strani od (8.4.6)).8.4.6 �Cak mo�zemo i dozvoliti da po�cetno stanje jK�;4He i nema o�stru vrednost lR �C , dovoljno je da su koherentnopome�sani lR �C vrednosti samo odredene parnosti.

8.4. � PRIMERI DOBRIH KVANTNIH BROJEVA 309U gore pomenutom radu Lee-a i Yang-a autori su dali ideju razre�senja tzv. T �� zagonetkekoju �cemo sad objasniti. �Cestice T + i �+, kako su se tada zvale, raspadaju se na slede�ci na�cin:T + ! �+ +�+ +��; �+ ! �+ +�o (8.4.9a,b)(to su bile eksperimentalne �cinjenice).Zadatak 8.4.6 Pretpostavimo da se u (8.4.9) odr�zava uglovni moment i parnost. Pokazati da iz �cinjenica:(i) da je �+ pribli�zno u stanju mirovanja i(ii) da su pioni pseudoskalarne �cesticesledi da je relativni uglovni moment l za �+ i �o u (8.4.9) jednak spinu s od �+, a parnost od �+ da iznosi8.4.7��+ = (�1)s: (8.4.10)Zadatak 8.4.7 Predimo sa tro�cesti�cnog sistema na desnoj strani (8.4.9) na relativnu �cesticu od �+ i �+, narelativnu �cesticu od �� i centar mase od �+ i �+ i, najzad, na centar mase od sva tri piona. Pokazati dapretpostavljaju�ci odr�zanje istih simetrija i iz �cinjenica analognih sa (i) i (ii) iz prethodnog Zadatka sledi�T + = �(�1)l1+l2 ; (8.4.11a)gde se indeksi 1 i 2 odnose na pomenute dve relativne �cestice (uporediti (4.5.28), analogno se uop�stava mno�zenjeparnosti � = (�1)L(�1)l centra mase i relativne �cestice na vi�se efektivnih �cestica).Zadatak 8.4.8 Pretpostavimo da �� u (8.4.9) izle�ce sa neznatnom kineti�ckom energijom, tj. da je prakti�ckiu stanju mirovanja (kao i T +). Pokazati da je onda i centar mase od �+ i �+ pribli�zno u stanju mirovanja ida sledi l2 = 0. (Indikacija: U analogiji sa Zadatkom Z8.4.1 gore, pokazati da za h p i � 0 i �p � 1 prekojh l2 ij �P j�qq0q"jqh (lq q0)2 i�pq" sledi l = 0.)Posmatrajmo sad upravo proces (8.4.9) u slu�caju kad je kineti�cka energija od �� neznatna(takav proces je opserviran). Kao �sto je re�ceno u Zadatku Z 8.4.8, onda l2 = 0. Ukupni uglovnimoment pre raspadanja jednak je spinu s0 od T +, a posle raspadanja, na osnovu re�cenog, jednakje l1. Iz odr�zanja uglovnog momenta onda sledi da je spin s0 od T + jednak l1, a unutra�snjaparnost od T + da je �T + = �(�1)s0 ; (8.4.2)�sto sledi iz (8.4.11a).�Citalac se ve�c sigurno nestrpljivo pita gde je ovde zagonetka. Zagonetka je bila u tome �stosu T + i �+ u stvari izgledale kao da su jedna te ista �cestica, jer su imale istu masu (493; 82�0; 11MeV) i isti srednji �zivot ((1; 235 � 0; 004) � 10�8 s). Bilo bi neverovatno da su se ova dvakontinualna parametra mogla podudariti za dve razli�cite �cestice! Medutim, ako se radi o jednoj�cestici, onda bismo morali imati s0 = s, a iz (8.4.2) i (8.4.10) onda sledi��+ 6= �T + : (8.4.12)U svetu elementarnih �cestica dovoljno je da u jednoj inherentnoj osobini (kao na primer uunutra�snjoj parnosti) nastupi razlika, pa da u stvari imamo dve razli�cite �cestice. I tako, izgledaloje veoma zagonetno da li su T + i �+ ista �cestica ili ne.8.4.7Parnost se obele�zava sa �, isto kao pion. �Citalac mora po kontekstu da razlikuje ta dva zna�cenja simbola.

310 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJELee i Yang su pretpostavili da T + i �+ jesu iste �cestice i izvukli zaklju�cak (predikciju) da separnost ne odr�zava u slaboj interakciji (da procesi (8.4.9) poti�cu od slabe interakcije vidi se porelativno dugom srednjem �zivotu). Ako se u gornjem rezonovanju odustane od odr�zanja parnosti,onda se ne dolazi do zaklju�cka (8.4.12).Pokazalo se da su Lee i Yang bili u pravu. Danas se T + = �+ naziva pozitivnim kaonomi pi�se K+ (spin mu je nula, a unutra�snja parnost �1). Procesi (8.4.9) su dva tzv. kanala (tj.na�cina) raspadanja od K+. Na prvi kanal otpada samo 5; 57� 0; 04% a na drugi kanal otpada20; 93� 0; 30%. Postoji jo�s tri manje verovatna kanala raspadanja za K+, a dominantni kanal(63; 77� 0; 29%) glasi K+ ! �+ + ��; (8.4.13)gde je �� mionov neutrino (spada u tzv. leptone i veruje se da je potpuno bez mase mirovanja).8.4.4 Nultost stati�ckog elektri�cnog dipolnog momenta kvant-nog sistema sa odredenom parno�s�cuDokaz teorema iz naslova paragrafa dobija se na slede�ci na�cin.Neka je D def= PNi=1 ri qi (vektorski) operator elektri�cnog dipolnog momenta N -�cesti�cnogsistema (qi je elektri�cni naboj i-te �cestice), a j i neka je stanje odredene parnosti (svojstvenostanje od Ip) doti�cnog sistema. Ondah j D j i =Xi qih j ri j i =Xi qih j IpIpri j i ==Xi qih j IpriIp j i = �h j D j i = 0:Iskoristili smo Ip ri = �ri Ip (8.1.3) i Ip j i = � j i.8.4.5 Selekciono pravilo za jednoelektronski elektri�cki di-polni prelaz u atomuSelekciono pravilo iz naslova paragrafa glasi�l = �1; (8.4.14)gde je l orbitni uglovni moment (zapravo njegov kvantni broj) elektrona o �cijem je E1 prelazure�c. (Sa E1 se skra�ceno izra�zava elektri�cni dipolni, tj. 21-polni prelaz.)Elektri�cki dipolni operator D je vektorski operator, tj. on kao operator nosi kvantni brojk = 1 u odnosu na rotacionu grupu (uporediti pasus ispod Zadatka Z 7.4.8). Pored toga, nosi ikvantni broj � = �1 parnosti: Ip D I�1p = �D: (8.4.15)Zna�ci, Wigner-Eckart-ov teorem za rotacionu grupu onda povla�ci selekciono pravilo �l = �1 ili0 (pod pretpostavkom da je l � 1), a Wigner-Eckart-ov teorem za parnost (8.1.17) iziskuje dase parnost mora promeniti, �sto usled veze � = (�1)l izmedu parnosti i l, zna�ci da se l morapromeniti za neparan broj. Dakle, nula otpada i preostaje (8.4.15).

8.4. � PRIMERI DOBRIH KVANTNIH BROJEVA 3118.4.6 Simetrija zakona kretanja pod inverzijom vremenaPo�sto je vremenska inverzija neobi�cna transformacija i po svom �zi�ckom smislu i po svojimmatemati�ckim osobinama, sad �cemo posebno prou�citi implikacije pretpostavke da je hamiltonijanH konzervativnog kvantnog sistema invarijantan pod ovim operatorom:Iv H I�1v = H: (8.4.16)Pitamo se �sta ovo zna�ci za zakon kretanja i za verovatno�ce prelaza.Zakon kretanja u diferencijalnom obliku glasi {~ ddt j (t) i = H j (t) i. Primena Iv usledantilinearnosti i (8.4.16) daje �{~ ddt(Iv j (t) i) = H (Iv j (t) i); (8.4.17)�sto zna�ci da Iv j (t) i nije re�senje zakona kretanja (iako j (t) i jeste). Ako zamenimo t sa �tu (8.4.17) (zgodno je staviti t0 = 0), onda �cemo dobiti{~ ddt(Iv j (�t) i) = H (Iv j (�t) i); (8.4.18)Dakle, Iv j (�t) i jeste nu�zno re�senje zakona kretanja ako je j (t) i re�senje. Ovo je na�cin kakovremenska inverzija deluje na trajektorije u prostoru stanja (kako se jo�s nazivaju re�senja zakonakretanja).Zadatak 8.4.9 Izvesti isti zaklju�cak iz formule U(t) = e� {~ Ht za konzervativni kvantni sistem, tj. pokazati dava�zi Iv U(t) I�1v = U(�t) (8.4.19)kao posledica od (8.4.16). Pokazati da i obratno, (8.4.19) iziskuje (8.4.16).Za nekonzervativne sisteme se obi�cno ne prou�cava uticaj vremenske inverzije na zakon kreta-nja, jer se zbog uticaja okoline i ne o�cekuje simetrija u pogledu izmene smera te�cenja vremena.�Sto se ti�ce uloge koju operator Iv igra u verovatno�ci prelaza, za to postoji teorem pod speci-jalnim nazivom i njegovom izlaganju posveti�cemo slede�ci paragraf.8.4.7 Princip mikroreverzibilnostiSad �cemo dokazati slede�ci teorem, koji je poznat pod nazivom u naslovu paragrafa.Teorem 8.4.1 Neka je hamiltonijan H konzervativnog kvantnog sistema invarijantan pod vre-menskom inverzijom, tj. neka va�zi (8.4.16). Ako se u po�cetnom trenutku t0 = 0 sistem preparirau �cisto stanje j i i i u kasnijem trenutku t > t0 izmeri da li je u stanju j f i ili ne, onda jeverovatno�ca prelaza v(i ! f) def= jhf j U(t) j i ij2 jednaka verovatno�ci v(f 0 ! i0) da se sistem utrenutku t0 preparira u stanje j f 0 i def= Iv j f i, a da u istom kasnijem trenutku t > t0 u merenjuprede u stanje j i0 i def= Iv j i i, v(f 0 ! i0) def= jhi j I�1v U(t)Iv j f ij2:v(i! f) = v(f 0 ! i0) : (8.4.20)

312 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJEDokaz: Iz (8.4.19) sledi v(i ! f) = jhf j I�1v U(�t)Iv j i ij2. Po�sto je U(�t) = U(t)y, mo�zemo pisati LS =jhi j IyvU(�t)Iv j i ij2. U stvari, pod modulom je nestala kompleksna konjugacija kojom smo "platili" �sto smopre�sli na skalarni proizvod vektora Iv j f i i U(t)yIv j i i u obrnutom redu. Q. E. D.Zadatak 8.4.10 Pokazati da sama mikroreverzibilnost (8.4.20) sa svoje strane povla�ci invarijantnost hamilto-nijana pod vremenskom inverzijom, tj. (8.4.16). (Indikacija: Iskoristiti Lemu L 8.3.2.)Primer neizolovanog konzervativnog kvantnog sistema �ciji je hamiltonijan invarijantan podvremenskom inverzijom je sistem u spolja�snjem konstantnom elektri�cnom polju. Po�sto elektri�cnopolje zavisi samo od rasporeda elektri�cnosti (u ovom slu�caju u okolini sistema), primena Iv nemenja ovaj raspored i stoga okolnost �sto Iv primenjujemo samo na posmatrani sistem (a ne ina okolinu gde su izvori polja) nema zna�caja, isto je kao da smo Iv primenili na ceo nadsistem:sistem + okolina, a ovaj je konzervativan i izolovan i stoga sigurno invarijantan pod vremenskominverzijom.Kontraprimer neizolovanog konzervativnog kvantnog sistema �ciji hamiltonijan nije invarijan-tan pod vremenskom inverzijom imamo u slu�caju kada je sistem u konstantnom spolja�snjemmagnetnom polju. Izvor magnetnog polja je u kretanju elektri�cnosti i tu Iv invertuje smer kre-tanja i stoga i smer magnetnog polja. Zna�ci, kad se Iv primeni samo na neizolovani sistem uspolja�snjem polju, to nije isto kao da smo Iv primenili na nadsistem sistem + okolina i stogahamiltonijan nije invarijantan pod Iv.8.4.8 Kramers-ova degeneracija energetskih nivoaInvarijantnost hamiltonijana pod vremenskom inverzijom mo�ze biti uzrok degeneracije energet-skih nivoa, kao �sto proizilazi iz narednog teorema. Ova degeneracija je poznata pod nazivom unaslovu paragrafa, a ponekad se i sam teorem naziva Kramers-ovim teoremom.Teorem 8.4.2 Ako je broj fermiona koji kvantni sistem sadr�zi neparan, a hamiltonijan sistemaje invarijantan pod vremenskom inverzijom, onda je svaki energetski nivo degenerisan i, ako jemultiplicitet nivoa kona�can, onda je nu�zno paran.Radi dokaza Teorema T8.4.2, formuli�simo i doka�zimo prvo slede�cu lemu.Lema 8.4.1 Ako je Aa antiunitarna kosa involucija (tj. Aya = A�1a = �Aa) u Hilbert-ovomprostoru H, a j ' i 2 H je proizvoljan vektor, onda je Aa j ' i ortogonalan na j ' i.Dokaz: Po de�niciji adjungovanog antilinearnog operatora imamo h' j (Aa j ' i) = h' j (Aya j ' i) (bezkonjugacije!). U na�sem slu�caju DS = �h' j (Aa j ' i); dakle, LS = �LS = 0. Q. E. D.Dokaz Teorema T8.4.2. Ukupni operator vremenske inverzije Iv je direktni proizvod ovih operatora zapojedine �cestice u vi�se�cesti�cnom sistemu. Ako je broj fermiona u sistemu neparan, onda je ukupni Iv antiunitarnakosa involucija (uporediti 8.2.28). Neka je j ' i 2 V(E), gde je V(E) svojstveni potprostor hamiltonijana H kojiodgovara nekom energetskom nivou (svojstvenoj vrednosti) E. Iz (8.4.16) onda sledi da se Iv redukuje u V(E).Iz Lema L 8.4.1 sledi da je Iv j ' i ortogonalan na j ' i, �sto zna�ci da V(E) ne mo�ze biti jednodimenzionalan (tj.nedegenerisan). Ako u V(E) postoji j i ortogonalan i na j ' i i na Iv j ' i, onda je i Iv j i ortogonalan na obaova vektora. Naime, j i?Iv j ' i ) Iv j ' i? j ' i: h' j (Iv j i) = h j (Iyv j ' i) = �h j (Iv j ' i) = 0 (Iv jeantilinearan, uporediti (5.2.37) i (5.2.30); (h' j Iyv)(Iv j i) = h ' j i� = 0. Osim toga, Iv j i je prema LemiL 8.4.1 ortogonalan i na j i, te V(E) mora biti bar �cetverodimenzionalan, itd.Zadatak 8.4.11 Pokazati da iz (8.4.16) sledi invarijantnost potprostora V(E) pod Iv.

8.4. � PRIMERI DOBRIH KVANTNIH BROJEVA 3138.4.9 Vremenska inverzija i realna matrica hamiltonijanaU mnogim problemima kvantne mehanike (na primer u pribli�znom ra�cunu u glavi 10) uzimase jedan kona�cno-dimenzionalni potprostor prostora stanja kvantnog sistema i to takav da naneki na�cin sadr�zi dominantni deo dinamike sistema i u njemu se odgovaraju�ca podmatrica ha-miltonijana sistema dijagonalizuje kako bi se na�sla potpuna (ili delimi�cna) klasi�kacija stanja (upotprostoru). Po�sto je matri�cni reprezentant H hamiltonijana H entitet na koji se primenjujealgoritam pomenute dijagonalizacije, va�zno je da matrica H bude �sto prostija. Dijagonalizacijaje mnogo jednostavnija, na primer, kada je H realna matrica.U ovom paragrafu prou�ci�cemo dva najva�znija slu�caja u kojima je mogu�ce na�ci bazis takav daH bude realna matrica.(i) Pretpostavimo da je broj fermiona koje sistem sadr�zi paran. Onda je ukupni operatorvremenske inverzije Iv antiunitarna involucija. Pretpostavimo, takode, da je hamiltonijaninvarijantan pod vremenskom inverzijom[ Iv; H ] = 0: (8.4.21)Lema 8.4.2 U kona�cno-dimenzionalnom unitarnom prostoru V za proizvoljan antiunita-ran operator Aa, koji je involucija postoji bazis koji je invarijantan pod Aa:Aa j k i =j k i; 8k: (8.4.22)Dokaz: Podimo od proizvoljnog normiranog nenultog vektora j ' i 2 V i de�ni�simoj 1 i def= C (j ' i+ Aa j ' i); (8.4.23a)C je (pozitivna) konstanta normiranja. Desna strana od (8.4.23a) je o�cigledno invarijantna pod Aa, alimo�ze biti nula ako slu�cajno Aa j ' i = � j ' i. U ovom slu�caju umesto (8.4.23a) de�ni�semoj 1 i def= { j ' i: (8.4.23b)Pretpostavimo da smo ve�c konstruisali n� 1 ortonormiranih invarijantnih vektora j 1 i; j 2 i; : : : ; j n� 1 iza Aa i da je V vi�se nego (n� 1)-dimenzionalan. Onda uzmemo proizvoljno j i 6= 0 koji je ortogonalanna pomenutih n � 1 vektora i konstrui�semo iz njega j n i formulom (8.4.23a) ili (8.4.23b). Lako je videtida je j n i ortogonalan na n� 1 prethodnih vektora. Tako smo metodom totalne indukcije dokazali LemuL 8.4.2. Q. E. D.Lema 8.4.3 Ako je Aa antiunitarna involucija, a B linearan operator koji s njom komu-tira, onda je B u svakom invarijantnom bazisu za Aa reprezentovan realnom matricom.Dokaz: Neka je fj k i j 8kg bazis invarijantan za Aa, onda su matri�cni elementi od B:Bkk0 = hk j B j k0 i = hk j B(Aa j k0 i) = hk j (AaB j k0 i) = (hk j Aa)B j k0 i� = B�kk0 :Q. E. D.Dakle, u slu�caju koji smo izdvojili pod (i) treba samo uzeti invarijantan bazis za Iv, repre-zentuju�ci H u njemu dobi�cemo sigurno realnu matricu H.

314 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJE(ii) Pretpostavimo da je broj fermiona u na�sem kvantnom sistemu neparan i da va�zi (8.4.21).Onda je ukupni operator vremenske inverzije Iv antiunitarna kosa involucija. Pretposta-vimo da postoji ort u takav da je hamiltonijan sistema invarijantan pod U(�u), rotacijomza � oko u u prostoru stanja. Upravo zbog neparnog ukupnog broja fermiona, i U(�u)je kosa involucija (jer je kosa involucija u spinskom faktor prostoru svakog pojedina�cnogfermiona, uporediti (6.10.18) ili (6.10.19)). Osim toga va�zi [ U(�u); Iv ] = 0, jer Iv komu-tira sa svakim operatorom rotacije. Stoga, U(�u) Iv je antiunitarna involucija i u svakomnjenom invarijantnom bazisu H se reprezentuje realnom matricom.Zadatak 8.4.12 Dokazati da se komutiranje (8.2.9) pro�siruje i na spinski faktor prostor �cestice spina s = 12 .Zadatak 8.4.13 Ukazati na korak u kome smo iskoristili [ U(�u); Iv ] = 0 u gornjem rezonovanju.Dovoljan uslov da imamo slu�caj (ii) je rotaciono invarijantan hamiltonijan (ili, kako se jo�ska�ze, sferno simetri�can hamiltonijan) koji je invarijantan i pod Iv. Onda svaki ort u mo�ze daposlu�zi za konstrukciju antiunitarne involucije U(�u) Iv kao �sto smo opisali.Zadatak 8.4.14 Neka imamo cilindri�cno simetri�can ili, kako se jo�s ka�ze aksijalno simetri�can hamiltonijan, tj.neka [ H; U('z0) ] = 0, 8' (usmerili smo z osu du�z ose simetrije sistema). Osim toga, neka [ H; Iv ] = 0.Konstruisati gornju antiunitarnu involuciju.Zadatak 8.4.15 � Prodiskutovati �sta je zajedni�cko a �sta je razli�cito u postizanju realne matrice hamiltonijanapod (ii) gore s jedne strane i u postizanju realnih Clebsch-Gordan-ovih koe�cijenata x 8.2.8 s druge.8.5 * Izospin u �zici jezgara i elementarnih �cesticaOvaj odeljak je posve�cen najbolje poznatoj potpuno unutra�snjoj grupi simetrije (za razliku od,na primer, grupe spinskih rotacija, koja je delimi�cno unutra�snja), to je SU(2) grupa izospina.Pojam izospina je ponikao u nuklearnoj �zici u vezi sa protonom i neutronom i pro�sirio se naslo�zena jezgra i na nuklearne reakcije. Ispostavilo se da je izospin veoma vazan i za hadrone irezonance (pobu]djena stanja hadrona), kao i za njihove procese.8.5.1 Proton i neutron kao dva stanja nukleonaKao �sto je �citalac imao prilike da se uveri, uobi�cajeno je da se kvantna �cestica de�ni�se izvesnimunutra�snjim osobinama kao �sto su masa (m), elektri�cni naboj (q), spin (s), giromagnetski faktorspina (gs) itd., a tek onda joj se pripisuje prostor stanja. Dve osnovne �cestice nuklearne �zike,neutron (n) i proton (p) na prvi pogled imaju veoma razli�cite unutra�snje osobine:n : mn � 939:526MeV; q = 0; s = 12 ; gs = �3:826; (8.5.1a)p : mp � 938:232MeV; q = e; s = 12 ; gs = 5:586: (8.5.1b)Me]djutim, pokazalo se da se ove razlike mogu i moraju prenebre�ci. Za to postoji vi�se razloga.

8.5. * IZOSPIN U FIZICI JEZGARA I ELEMENTARNIH �CESTICA 315i) Pre svega, neutron nije stabilna �cestica, on se raspada:n! p+ e+ �e(� � 103sec); (8.5.2)gde je �e tzv. elektronov antineutrino. Naime, zbir masa mirovanja protona i elektrona je manjiod mase mirovanja neutrona, a smatra se da sva neutrina i antineutrina imaju masu mirovanjanula. Zato je ova reakcija na osnovu odr�zanja energije mogu�ca. Proces (8.5.2) se ponekad odvijai kada je n u vezanom stanju u jezgru (tzv. ��-radioaktivnost).Proton jeste stabilna �cestica, ali u vezanom stanju unutar jezgra, kada proton mo�ze da imapotrebnu energiju na ra�cun energije okolnih �cestica, ponekad dolazi do procesap! n+ e+ + �e (8.5.3a)(e+ je pozitron | anti�cetica elektrona, a �e je tzv. elektronov neutrino). To je tzv. �+-radioaktivnost jezgara. Postoji i tre�ca mogu�cnost, tzv. zahvat elektrona, iz tzv. K ljuskeelektronskog omota�ca u atomu (tj. iz orbite najbli�ze jezgru):p+ e! n + �e: (8.5.3b)Zadatak 8.5.1 Procesi elementarnih �cestica, kao �sto su (8.5.2) i (8.5.3), nazivaju se egzoergi�cnim ako se u njimamasa mirovanja pretvara u kineti�cku energiju �cestica, a endoergi�cnim ako je zbir masa mirovanja na DS-i manjiod odgovaraju�ceg zbira na LS-i. Koji su od pomenutih procesa egzoergi�cni a koji endoergi�cni i kolika se energijau njima pretvara iz mase mirovanja u energiju kretanja ili obratno (ako zanemarimo kineti�cku energiju neutrinaodnosno antineutrina i ako znamo da je masa elektrona (i pozitrona) me � 0; 5109MeV).ii) Hadroni, tj. te�ske elementarne �cestice (videti Tabelu u Tb 8.1 ni�ze), interaguju putemsve �cetiri mogu�ce interakcije u prirodi: jakom (ili, kao �sto se ka�ze u nuklearnoj �zici, �cistomnuklearnom) interakcijom, EM interakcijom, slabom interakcijom i gravitacionom interakcijom.Jedna bezdimenziona veli�cina koja meri ja�cinu ovih interakcija iznosi: 10 za jaku, 1137 za EM,10�23 za slabu i 10�45 za gravitacionu interakciju8.5.1.Razlike u inherentnim osobinama n i p u (1a)-(1b) se mogu kvantitativno objasniti EMinterakcijom (i to se uspe�sno �cini u Dirac-ovoj relativisti�ckoj kvantnoj mehanici i u kvantnojelektrodinamici). To zna�ci da u pogledu najja�ce, tj. �cisto nuklearne interakcije, mogu�ce je p i ntretirati kao identi�cne �cestice. Naime, ako teorijski zamislimo da smo "isklju�cili" EM interakciju(�sto u stvarnosti nije mogu�ce izvesti), onda p i n poprimaju jednake unutra�snje osobine. A razlike(8.5.1) poti�cu od toga �sto se p i n "nalaze" u EM polju, kao �sto se, na primer, elektron mo�zenalaziti u spolja�snjem magnetskom polju (i onda je energija sprezanja sa tim poljem nejednakana primer za stanje j + i 2 Hs i j � i 2 Hs).iii) U tzv. masenoj formuli nuklearne �zike, tj. u semiempirijskom obrascu za ukupnu ener-giju vezivanja svih nukleona u jezgru dominantni �clan je srazmeran ukupnom broju nukleona(tj. ukupnom broju protona i neutrona zajedno). To indicira da �cisto nuklearna interakcija nerazlikuje p i n.iv) U nukleon-nukleon rasejanju se ispostavilo da p� p, n�n i p�n rasejanje daju u dobrojaproksimaciji iste rezultate (ako je u sva tri slu�caja prostorno-spinsko dvo-nukleonsko stanje8.5.1U teoriji elementarnih �cestica gravitaciona interakcija se potpuno zanemaruje, jer, s obzirom na ograni�cenjana preciznost laboratorijskih merenja, o�cekuje se da se jo�s dugo ne�ce mo�ci meriti efekti koji bi poticali od oveinterakcije.

316 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJEisto). Tu se isploljava tzv. nezavisnost �cisto nuklearne interakcije od naboja (engleski: chargeindependence, �citati: �card�z indipendens), o kojoj �ce biti vi�se re�ci ni�ze.1932. god. W. Heisenberg je predlo�zio da se p i n tretiraju kao dva stanja jedne te iste �cestice:nukleona, a da se ta stanja izraze formalizmom koji je potpuno analogan spinskom i naziva seizospinski formalizam.8.5.2 Postulati o izospinuU duhu na�seg deduktivnog izlaganja, formulisa�cemo sad dva postulata o izospinu. To nisupostulati kvantne mehanike, ve�c �zike elementarnih �cestica.I POSTULAT O VEKTORSKOJ OPSERVABLI IZOSPINASvaki hadron ima pored orbitalnog i spinskog jo�s jedan (kinemati�cki neza-visan) unutra�snji, tzv. izospinski, stepen slobode. Drugim re�cima, prostorstanja mu glasi H = Ho Hs Ht: (8.5.4)Osnovni skup opservabli koji odre]djuje izospinski faktor prostor Ht je t def=ft1; t2; t3g de�nisan komutacionim relacijama[ t1; t2 ] = {t3 i cikli�cne permutacije: (8.5.5)Svaki hadron ima odre]djenu vrednost kvantnog broja t izospina, koji spadau unutra�snje karakteristike �cestice.Dakle, izospin je formalno potpuno analogan spinu (samo, za razliku od spina, nije u jedi-nicama ~) i sve �sto znamo iz op�ste teorije uglovnog momenta i iz teorije spina mo�zemo odmahpreneti na izospin8.5.2. Drugim re�cima, t mo�zemo smatrati za (formalni) specijalni slu�caj od k,kvantnog broja op�steg uglovnog momenta. Umesto magnetnog kvantnog broja m pisa�cemo t3.Vrednost t se hadronu pripisuje semiempirijski. Slede�ca Tabela daje pregled osnovnih inhe-rentnih osobina hadrona uklju�cuju�ci izospin t (antihadroni uglavnom nisu obuhva�ceni Tabelom,niti su obuhva�cene rezonance). �Sto se ti�ce parnosti na Tabeli, radi se o unutra�snjoj parnosti(u spinskom faktor prostoru Hs), koja je, kao �sto vidimo, jedna od unutra�snjih karakteristikahadrona. O (unutra�snjem) kvantnom broju stranosti S bi�ce re�ci u slede�cem odeljku.Barionski kvantni broj B je ustvari preciziranje pojma "broja �cestica" za hadrone. Naime,u procesima elementarnih �cestica ne odr�zava se broj �cestica u protivure�cnosti sa �cinjenicom daje opservabla broja �cestica superselekciona opservabla u kvantnoj mehanici (uporediti x 7.5.6).Razre�senje ovog paradoksa je u tome �sto su pomenuti procesi relativisti�cke prirode, samo relati-visti�cka kvantna mehanika (sinonim: kvantna teorija polja) ih pravilno opisuje. Zato mi u ovomkursu i ne�cemo mnogo detaljno ulaziti u ova pitanja.Barionski broj B, koji uzima vrednosti relativnih brojeva (tj. B = 0;�1;�2; :::; negativnavrednost karakteri�se antibarion, anti�cesticu bariona) je superselekciona opservabla u relativi-sti�ckoj kvantnoj mehanici. Kao �sto smo videli u x 7.5.3, to zna�ci da svaki hadron ima odre]djeno8.5.2U novijoj literaturi se izospin �cesto ozna�cava sa I . Po�sto mi tako obele�zavamo jedini�cnu matricu, dr�za�cemose notacije t i T (za jedan hadron odnosno za sistem nukleona), koja je vi�se odoma�cena u nuklearnoj literaturi.

8.5. * IZOSPIN U FIZICI JEZGARA I ELEMENTARNIH �CESTICA 317B i nikad ga ne mo�ze promeniti (osim ako postaje druga �cestica). Ali mogu�ce su kreacije ilianihilacije para barion, antibarion (B = 1 odnosno B = �1, ukupno B = 0).Tabela 8.1: Osnovni hadroni. Za mezone (� i K), nukleone (N) i hiperone (H) su dati:masa m = Ec2 (u MeV, uz c = 1), spin (s), unutra�snja parnost (UP), izospin (t) i njegovatre�ca komponenta (t3), stranost (S) i barionski broj (B). Nazivi hadrona su redom: pozitivnii negativni pion (ili pi-mezon), neutralni pion (ili pi-mezon); pozitivni i negativni kaon (ili ka-mezon), neutralni kaon (ili ka-mezon) i njegova anti�cestica; proton, neutron; lambda-hiperon;pozitivni, neutralni i negativni sigma-hiperon; neutralni i negativni ksi-hiperon; negativni omega-hiperon.Medu mezonima se nalaze i �cestice i anti�cestice (uzajamno suprotnog naboja; �0 je sam sebianti�cestica). Svaki barion ima anti�cesticu (suprotnog naboja i barionskog broja) van Tabele.Antibarionska tabela je potpuno analogna barionskoj, te nije prikazana.Hadron m s UP t t3 S BM �+ 139.58 0 -1 1 1 0 0e � �� 139.58 0 -1 1 -1 0 0z �0 134.99 0 -1 1 0 0 0o K+ 493.8 0 -1 1=2 1=2 1 0n K K� 493.8 0 -1 1=2 �1=2 -1 0i K0 497.8 0 -1 1=2 �1=2 1 0K0 497.8 0 -1 1=2 1=2 -1 0N p 938.21 1=2 1 1=2 1=2 0 1B n 939.50 1=2 1 1=2 �1=2 0 1a � 1115.4 1=2 1 0 0 -1 1r �+ 1189.2 1=2 1 1 1 -1 1i �0 1192.4 1=2 1 1 0 -1 1o H �� 1197.2 1=2 1 1 �1 -1 1n �0 1316 1=2 1 1=2 1=2 -2 1i �� 1321 1=2 1 1=2 �1=2 -2 1� 1675 32 1 0 0 -3 1

Kao kad smo uvodili spin i sad nije dovoljno uvesti izospin u formalizam kvantne mehanike,moramo postulirati i njegove opservabilne posledice i njegovu dinami�cku relevantnost.

318 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJEII POSTULAT O ODNOSU IZOSPINA PREMA INTERAKCIJAMAA) U odnosu na jaku i EM interakciju opservabla elektri�cnog naboja Q,tre�ce komponente izospina T3 i stranosti S pona�saju se kao aditivuesuperselekcione opservable i relirane su formulomQ = 12B + 12 S + T3; (8.5.6)gde su Q, B, S i T3 ukupne opservable sistema.B) Dvohadronski operator jake interakcije V12 kompatibilan je sa vektor-skim operatorom dvohadronskog izospina T (ili ekvivalentno sa iz-orotacijama). To je tzv. nezavisnost �cisto nuklearne interakcije odnaboja.Napomena 8.5.1 i) Pored B i Q je prava (tj. univerzalna) superselekciona opservabla (to je ustvaripostulat kvantne elektrodinamike). Sa T3 i sa S slaba interakcija nije kompatibilna, u ovojinterakciji kvantni brojevi T3 i S se ne odr�zavaju i tako se (8.5.6) naru�sava.ii) "Vektorski" operator t (za jednu �cesticu) ili T (za vi�se�cesti�cni sistem) je vektorski operator samo uodnosu na izorotacije: Ut(�u) = e{�u�T; �u iz ��lopte; (8.5.7)a ne i u odnosu na prave, �zi�cke rotacije sa kojima operatori u (8.5.7) nemaju nikakve veze.�-lopta u (8.5.7) je �cisto formalne prirode, to je skup Lie-jevih parametara grupe izorotacija8.5.3.iii) Smisao II Postulata B) je u tome da je jaka interakcija zavisna samo od kvantnog broja T od T2,a ne i od T3. U analogiji sa skalarnom spinski zavisnom interakcijom (7.3.13), nezavisnost jakeinterakcije V12 od naboja (preciznije: od izorotacija) ustvari zna�ci slede�ce:[ V12; T ] = 0 , [ V12; U (t)1 (�u)U (t)2 (�u) = 0 ]; 8�u; (8.5.8a,b)gde je T def= t1 + t2. (�Sto se ti�ce ekvivalentnosti, videti korolar K6.4.3.) Ali ova izorotacionasimetrija ne va�zi ni za EM ni za slabu interakciju.Zadatak 8.5.2 Proveriti va�zenje formule (8.5.6) za sve hadrone iz gornje Tabele.8.5.3 Izodublet nukleona i SU(2) grupaKao �sto vidimo iz gornje Tabale, nukleon ima t = 12 . To zna�ci da je Ht (kao i Hs) za nukleondvodimenzionalan. Standardni bazis (analogon od fj + i; j � ig u Hs) je izodublet8.5.4:j p i; j n i; (8.5.9)8.5.3U eksponentu od (8.5.7) uzima se +{ (umesto �{ kao kod spinskih rotacija), jer ovde nema homomor�zma sagrupom R(3), a ovako je prostije. U literaturi (naro�cito u starijoj) �ce se ponekad na�ci da se uvodi jedan ekstra3-dimenzionalni realni prostor (potpuno �ktivan) u kome deluje jedna R(3) grupa i da se njoj pridru�zuje grupaiz (8.5.7). Ali sve to je nepotrebna �kcija bez �zi�cke relevantaosti. Sama grupa operatora izorotacija (8.5.7) jedovoljna.

8.5. * IZOSPIN U FIZICI JEZGARA I ELEMENTARNIH �CESTICA 319stanje protona odnosno neutrona, kao �sto se vidi iz podataka na Tabeli, a i sledi iz formule(8.5.6). Ova formula za nukleon ima slede�ci prostiji vidQ� 12 = t3: (8.5.10)Kao �sto smo ve�c istakli, vektorskom operatoru t u Ht odgovara Lie-jeva grupa izorotacijafUt(�u) j �u iz ��lopteg, a ona se nakon reprezentovanja u (8.5.9) svodi na grupu matrica,koja se naziva SU(2), re�cima: specijalua unitarna grupa u dve dimenzije. To je skup svih2�2 kompleksnih unitarnih matrica jedini�cne determinante. Zato se nezavisnost �cisto nuklearneinterakcije od naboja naziva i SU(2)-simetrijom8.5.5.Pauli-jeve matrice, kada se koriste za izospin, pi�su se sa � umesto sa �. Naime, t se u (8.5.9)reprezentuje vektorskom matricom t = 12�; (8.5.11)�1 = � 0 11 0� ; �2 = � 0 �{{ 0 � ; (8.5.12a,b)�3 = � 1 00 �1� : (8.5.12c)Prema tome, matri�cni reprezentanti izorotacija glaseUt(�u) = e {2�u�� = cos �2 + {�u sin �2 ; 8�u iz ��lopte; (8.5.13)�u = � u3 u1 � {u2u1 + {u2 �u3 � (8.5.14)(uporediti (6.10.17) i (6.10.15)).Od posebnog je zna�caja izorotacija oko (�ktivnog) orta prve ose x1 (u prostoru formalne�-lopte) za (�ktivni) ugao �: Ut(�x1) = e{�2 �1 = {�1: (8.5.15)Ona preslikava protonsko stanje na neutronsko i obratno:Ut(�x1)� 10� = {� 01� ; Ut(�x1)� 01� = {� 10� ; (8.5.16)kao �sto se iz (8.5.15) i (8.5.12a) odmah vidi.Sa zna�cajem ove transformacije upozna�cemo se u dvonukleonskom, x 8.5.4, i vi�senukleonskom,x 8.5.5, slu�caju.8.5.4U �cisto nuklearnoj literaturi uobi�cajena je obratna konvencija: j t3 = 12 i =j n i, j t3 = � 12 i =j p i, �sto nije uskladu sa formulama (8.5.6) i (8.5.10) kako smo ih mi napisali. Mi �cemo se dr�zati konvencije (8.5.9), koja poti�ceiz �zike elementarnih �cestica, i u primeni na jezgra. Pomenuta nuklearna konvencija nastala je u periodu kadapro�sirenje i dublje zasnivanje izospina u elementarnim �cesticama jo�s nije bilo poznato i zato je mo�zemo smatratizastarelom kao i termin "izotopski spin" za izospin, mada verovatno od njega poti�ce inspiracija za oznaku t i T .8.5.5Formalno govore�ci, i u slu�caju spinski nezavisne i skalarne spinski zavisne nuklearne interakcije (u x 7.3.3)imamo SU(2) simetriju. Ali, iako se tu radi o istoj grupi matrica, one reprezentuju spinske rotacije Us(�u) u Hs(u standardnom bazisu fj + i; j � ig); dakle, imamo sasvim drugi �zi�cki smisao simetrije nego u slu�caju izospina.

320 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJE8.5.4 Izotriplet i izosinglet dvonukleonskog sistemaKao �sto znamo iz prou�cavanja spina dve �cestice sa s = 12 , x 7.3.1, za dvonukleonski izospinT = t1+ t2 va�zi dijagram "ormar sa �okama" (uporediti C 7.6) kao na Crte�zu C8.3. Standardnibazis u izospinskom prostoru (skup ta�caka na Crte�zu C8.3) za dva nukleona H(t)1 H(t)2 u notacijij TT3 i glasi: j 11 i =j p i j p i; j 10 i =r12(j p i j n i+ j n i j P i); (8.5.17a,b)����V(T = 1)�1T3 = 0�1T3 = 0 V(T = 0)�H(t)1 H(t)2k

Slika 8.3: Standardni bazis izo-spina dva nukleona.

j 1;�1 i =j n i j n i; (8.5.17c)j 00 i =r12(j p i j n i� j n i j P i); (8.5.18)zna�ci, imamo izotriplet i izosinglet. (De�nicija standard-nog bazisa za T i C-G koe�cijenti su u potpunosti preuzetiiz Hs.)Najop�stiji vid �cisto nuklearne interakcije V12, koja jenezavisna od naboja (II Postulat B), ima bilo koji odslede�ca tri vida8.5.6V12 = �+ ��1 � �2 (8.5.19a)= + ÆT2 (8.5.19b)= �P (3) + !P (1) (8.5.19c)(videti (7.3.13)-(7.3.14b)), gde su �, �, , Æ, � i ! operatori u ukupnom dvonuklaenskom prostorustanja koji deluju trivijalno u H(t)1 H(2)2 ; �1 je operator koji je u standardnom bazisu u H(t)1reprezentovan vektorskom matricom �1 itd.; a P (3) i P (1) su tripletni odnosno singletni svojstveniprojektor od T2 (projektuju na V(T = 1) odnosno na V(T = 0) sa Crte�za C8.3).Zadatak 8.5.3 Objasniti kako (8.5.19.c) sledi iz op�ste teorije "ormara sa �okama" kada se svaki kvadrati�c naCrte�zu C 8.3 zameni sa direktnim proizvodcm od H(o)1 H(s)1 H(o)2 H(s)2 i pravca koji je tim kvadrati�cem pred-stavljen (tj. kada se ukupni dvonukleonski prostor ortogonalno dekomponuje u vi�sestruke ireducibilne invarijantnepotprostore za T).Vidimo iz (8.5.17a) i (8.5.17c) i iz (8.5.19c) da p � p sistem i n � n sistem "ose�caju" samotripletnu interakciju �P (3) dok na p� n sistem, koji jej p i j n i =r12(j 10 i+ j 00 i); (8.5.20)deluje i tripletna �P (3) i singletna !P (1) interakcija. Tako je mogu�ce da postoji deuteron |vezano s tim je p� n sistema, a ne postoji vezani p� p ili n� n sistem. (U x 7.3.7 istu �cinjenicu8.5.6Obratiti pa�znju da u slu�caju spina termin "interakcija nezavisna od spina" zna�ci da doti�cni operator delujetrivijalno u H(s)1 H(s)2 , a analogon od (8.5.19a) se naziva skalarnom spinski zavisnom interakcijom (uporeditix 7.3.3). U slu�caju izospina, medutim, interakcija (8.5.19) se naziva "nezavisnom od naboja" (jer naboj razlikujeproton od neutrona, a izorotacija (8.5.15) | sa kojom operator interakcije komutira | prevodi j p i u j n i iobratno).

8.5. * IZOSPIN U FIZICI JEZGARA I ELEMENTARNIH �CESTICA 321sveli smo na Pauli-jev princip, anticipiraju�ci. Tu nema protivure�cnosti, za jezgra va�zi pro�sireniPauli-jev princip, a u okviru njega va�ze zaklju�cci ovog paragrafa.)Izorotacija koja pretvara p u n i obratno u dvonukleonskom prostoru je U (t)12 (�x1). Iz postu-lirane "nezavisnosti" �cisto nuklearne interakcije V12 od "naboja" sledi (kao specijalni slu�caj od(8.5.8b)): [ U (t)12 (�x1); V12 ] = 0: (8.5.21)To je tzv. simetri�cnost �cisto nuklearne interakcije u odnosu na naboj (charge symmetry naengleskom).Dvonukleonski hamiltonijan mo�ze da se napi�se na jeziku identi�cnih �cestica (pri tome se gra-vitaciona i slaba interakcija izostavljaju). Ideja vodilja je da se na primer iskaz "proton je masemp" zameni iskazom "nukleon koji se nalazi u protonskom stanju", u kome ima masu mp.Projektor na protonsko i na neutronsko stanje u Ht glase:Pp def= j p ihp j= 12(It + �3); Pn def= j n ihn j= 12(It + �3): (8.5.22)Zadatak 8.5.4 Dokazati ovaj iskaz.Pomo�cu (8.5.22) mo�zemo pomenuti hamiltonijan H12 dva nukleona da pi�semo u viduH12 = 2Xi=1 ( 12mp P (p)i + 12mn P (n)i )p2i + V12 + e2jr1 � r2jP (p)i P (c)i (8.5.23)(naravno, prostor stanja je L2(r1)L2(r2)H(s)12 H(t)12 , a P (p)1 , na primer, zna�ci Pp u H(t)1 itd.).Treba zapaziti da prvi i tre�ci sabirak nisu kompatibilni sa T, samo drugi jeste.Zadatak 8.5.5 Objasniti kako se prvi i tre�ci sabirak u (8.5.23) mogu (preko (8.5.22)) svesti na ireducibilnetenzorske operatore u odnosu na grupu izorotacija. Onda se pomo�cu Wigner-Eckart-ovog teorema (za izorotacije)mogu lako ra�cunati matri�cni elementi od pomenutih sabiraka u (8.5.23).8.5.5 Analogna stanja jezgara i izobareU nuklearnoj �zici je uobi�cajano da se ukupan broj nukleona obele�zava sa A, broj protona sa Z,a broj neutrona sa N . Lako se vidi da usled aditivnosti opservable T3, za svako jezgro imamoT3 = 12(Z �N) = Z � 12A; (8.5.24)a izospinsko stanje jezgra odredjeno sa T3 (i drugim izospinskim kvantnim brojevima) je elementu direktnom proizvodu od A prostora Ht.Imaju�ci u vidu aditivnost vektorske opservable izospina Td =PAi=1 ti za jezgro, pitamo se dali bi pojedina stanja jezgara mogla imati pored odredjenog T3 i odredjenu vrednost T .Strogo uzev, odgovor je negativan, jer i Coulomb-ova interakcija i kineti�cka energija nisunezavisne od naboja. Medjutim, po�sto dominantni deo V12 u interakciji H12 ((8.5.23) gore) kom-patibilan sahbT 2, ispostavlja se da su odredjene vrednosti od T prisutne u nekim nuklearnim stanjima kao

322 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJE

012345678910Mev 11

(4.45)(3.92)(3.63) 1�2+0+4+2+0+T = 1; T3 = �1188 O10(3.55)(1.98)

1�2+0+4+2+0+1�2+0+4+2+0+

(1.04)(3.06)(4.63)(4.73)(4.96)(5.65) (1.89)(3.37)(3.58)(3.62)(4.51)

T = 1; T3 = 0189 F9 T = 1; T3 = +11810Ne8Slika 8.4: Analogna stanja.pribli�zno dobri kvantni brojevi (uporediti x 8.3.9). Tu se radi o superpozicijama svojstvenihvektora od T2 u kojima jedan sabirak dominira po kvadratu modula svog razvojnog koe�ci-jenta. Drugim re�cima, kada bismo merili opservablu T2 u takvom stanju, dobili bismo odredjenuvrednost kvantnog broja T sa verovatno�com koja je gotovo jednaka jedinici.Tako nuklearna stanja mo�zemo svrstati u izomultiplete koij se nazivaju analognim stanjima.Tu spadaju i osnovna i pobudjena stanja. �Clanove izomultipleta ili analogna stanja karakteri�seisti ukupni uglovni moment jezgra J i ista parnost8.5.7 � (pi�se se kratko J�).Analogna stanja su stanja jezgara sa istim A, tj. jezgara koja se nazivaju izobarama (analognastanja pripadaju istom A-nukleonskom prostoru stanja). Po�sto je kvantni broj pribli�zno dobar,o�cekujemo pribli�zno jednake vrednosti energetskih nivoa za analogna stanja; razlika mo�ze dapoti�ce samo od Coulomb-ove interakcije i od kineti�cke energije.Primer analognih stanja dat je na Crte�zu C8.4. Oznake jezgara se pi�su, na primer, kaoAZON . Na Crte�zu C8.4 su za 189 F9 prikazani samo izotripletni nivoi, a izosingletni su izostavljeni(medju njih spada i osnovno stanje). Kao �sto je re�ceno, analogni nivoi imaju pored istog T , istoJ�. Brojke u zagradama su energije pobudjenja (tj. razlike energije doti�cnog nivoa i energijeosnovnog stanja) i to u MeV.Upadljiva analogija izotripletnih nivoa kod 18O, 18F i 18He jasno pokazuje koliko relevantnoprib�zni kvantni broj T karakteri�se strukruru u pojedinim stanjima jezgara.Potrebno je ista�ci da �cinjenica �sto je osnovno stanje jezgra 189 F9 izosingletno nije slu�cajnost.Videli smo da i deuteron ima osnovno (i jedino) stanje izosingletno. Tu se radi o tzv. samo-konjugovanim (engleski: self-conjugate, �citati: selfkond�zuget) jezgrima, tj. o jezgrima sa Z = N .Takozvanom ogledalnom konjugacijom jezgru sa (Z;N) pridru�zujemo jezgro sa (Z 0 = N;N 0 = Z)8.5.7� je ovde ukupna prostorna parnost jezgra. Unutra�snje parnosti (u spinskom prostoru) su uvek +1 za p i zan (uporediti Tabelu vi�se).

8.5. * IZOSPIN U FIZICI JEZGARA I ELEMENTARNIH �CESTICA 323(tj. uzajamno zamenimo Z i N). Pomenuta dva jezgra su, kao �sto se ka�ze, uzajamno ogledalnajezgra (engleski: mirror nuclei, �citati: mire njukliaj). Samo-konjugovana su jezgra koja su samasebi ogledalna.Samo-konjugovana jezgra imaju T3 = 0, te osnovno stanje mo�ze da ima izospin T = 0; 1; 2; :::.Ispostavlja se da izosingletni deo interakcije daje najvi�se vezivanja, tj. da je T = 0 energetski po-voljnije i stoga nu�zno karakteristi�cno za osnovno stanje (koje je, po de�niciji, energetski najni�ze,tj. najja�ce vezano).Zadatak 8.5.6 Pokazati da se ogledalna konjugacija A-nukleonskog sistema mo�ze izvr�siti izorotacijom:U (t)1:::A(�x1) def= Ai=1U (t)i (�x1): (8.5.25)Zadatak 8.5.7 Kakvo se empirijsko pravilo mo�ze izvu�ci iz �cinjenica da samo-konjugovana jezgra (kao 189 F9 i21H1) imaju osnovno stanje izosingletno, a 188 O10 i 188 Ne8 imaju osnovno stanje izotripletno?Po�sto je izospin u jezgrima blisko povezan sa izobarama, ponekad se izospin naziva i izabarnimspinom (uglavnom u nuklearnoj �zici). Postoji i jedan stariji naziv, koji, po svoj prilici, poti�ceod brkanja izobara i izotopa, po kome se izospin naziva izotopski spinom8.5.8.8.5.6 Selekciona pravila i odnosi preseka nuklearnih re-akcijaKao ilustraciju za selekciono pravilo izospina prou�cimo nuklearnu reakciju21H1 + 168 O8 ! 147 N�(2:32) + 42He2 (8.5.26)(prelaz 18-nukleonskog sistema s LS-e u 18-nukleonski sistem na DS-i). Sva �cetiri jezgra u(8.5.26) su samo-konjugonana, te u osnovnom stanju imaju izosingletno stanje. Medjutim, kao�sto zvezdica indicira, 14N je u pobudjenom stanju (energija pobudjenja je 2.32Mev) i utvrdjenoje da je to izotripletno stanje. Dakle, LS ima ukupni izospin T = 0, a DS ukupni izospina T = 1.Radi se, kao �sto se ka�ze, o,�T = +1 prelazu. Na prvi pogled, trebalo bi da je verovatno�ca ovogprelaza nula, jer h T = 0 j T = 1i = 0.Ipak, zabrana reakcije (8.5.26) je samo pribli�zno selekciono pravilo. Ova reakcija se de�savau prirodi, ali retko. Stvara se tzv. intermedijerno visoko-pobudjeno stanje od 189 F �9 u kome sepojavljuje oko 4% izospinske "ne�cisto�ce", tj. koherentne primese stanja sa kvantnim brojemT = 1 uz dominantno stanje sa T = 0. Tako se pojavljuje mogu�cnost ili, kao �sto se ka�ze, otvarase kanal T = 1, koji omogu�cuje raspad 18F � na DS-u od (8.5.26).Zadatak 8.5.8 Pokazati da za parno A izorotacija U (t)1:::A(�x1) je involucija, prema tome i opservabla. �Sta je saneparnim A ?Svojstvene vrednosti �1 od U (t)1:::A(�x1) nazivaju se parno�s�cu naboja (engleski: charge parity).Ispostavlja se da samo-konjugovana jezgra u osnovnom stanju uvek imaju parnost naboja +1, apobudjeno jezgro 14N�(2:32), na primer, ima parnost naboja �1.8.5.8"Izobare" su, u prevodu sa gr�ckog, "jednako te�ska jezgra, dok su izotopi jezgra "na istom mestu" (periodnogsistema). Po�sto u izomultiplet spadaju izobare, a ne izotopi, termin "izotopski spin" je neispravan i treba gaizbegavati.

324 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJEZadatak 8.5.9 Pokazati da je nuklearna reakcija (8.5.26) zabranjena (pribli�zno) i u pogledu parnosti naboja, a tozna�ci kori�s�cenje samo izorotacije U (t)1:::A(�x1) umesto cele izorotacione grupe kao pribli�zne simatrije hamiltonijana.Zadatak 8.5.10 Kakvo selekciono pravilo va�zi za nuklearnu reakciju63Li3 + 42He! 63Li�3(3:56) + 42He2 (8.5.27)ako se zna da je 6Li�(3:56) izotripletno stanje?Zadatak 8.5.11 Za�sto u nuklearnim reakcijama (8.5.26) i (8.5.27) ne vodimo ra�cuna pored T i o T3 ?Verovatno�ca odredjene reakcije izra�zava se preciznije kao tzv. (popre�cni) presek �. Iz simetrijanije mogu�ce izra�cunati presek u potpunosti, ali mogu se dobiti relativni odnosi nekih preseka.(tzv.odnosi grananja, engleski: branching ratios, �citati: bran�cing rej�sios).Objasni�cemo to na primeru slede�ca dva kanala do kojih dovodi sudar deuterona sa 9Be.21H1 + 94Be5 ! 105 B(1:74) + n; (8.5.28a)21H1 + 104 Be6 ! 104 Be6 + p; (8.5.28b)Jezgra 9Be i 10Be nisu samo-konjugovana, ali i njihovo osnovno stanje ima najmanju mogu�cuvrednost od T (uporediti Zadatak Z 8.5.7). Po�sto je T3 = �12 odnosno T3 = �1, to je T = 12odnosno T = 1. Stanje 10B�(1:74) jezgra bora ima T = 1. Prema tome, LS-a u (8.5.28) imat = 12 , a DS-a od (8.5.28) ima koherentnu sme�su od T = 12 i T = 32 . U aproksimaciji izospinaobe reakcije su mogu�ce samo kroz kanal T = 12 . Pitanje je kakav je njihov relativni udeo u tomkanalu.Po�sto LS-a ima kvantne brojeve T = 12 , T3 = �12 , pretpostavimo da su to i kvantni brojeviintermedijernog stanja 115 B�6 , pisa�cemo ga kao T = 12 , T3 = �12 . Onda u pogledu izospinskihkvantnih brojeva DS-e u (8.5.28a) i (8.5.28b) su sabirci slede�ce formule (i to na njenoj DS-i):j T = 12 ; T3 = �12 i = (1; 12 ; 0;�12 j12 ;�12) j t(3)1 = 0; t(3)2 = �12 i+ (1; 12 ;�1; 12 j12 ;�12) j t(3)1 = �1; t(3)2 = 12 i;(8.5.29)gde je t(3)1 u prvom sabirku tre�ca komponenta izospina za 10B�, t(3)2 je isto za n ; u drugomsabirku, je t(3)1 isto za 10Be, t(3)2 je isto za p. Razvojni koe�cijenti su C-G koe�cijenti.Verovatno�ca da se u merenju dobije prvi ili drugi sabirak u (8.5.29) (tj. kanal (8.5.28a) ilikanal (8.5.28b)) jednaka je (�sto se izospina ti�ce) kvadratu modula razvojnog koe�cijenta. Prematome, pretpostavljaju�ci da su prostorno-spinski ova dva kanala jednako verovatna, odnos njihovihverovatno�ca jednak je odnosu kvadrata odgovaraju�cih razvojnih, tj. C-G koe�cijenata. Po�sto su(1; 12 ; 0;�12 j 12 ;�12) =q13 , (1; 12 ;�1; 12 j12 ;�12) = �q23 , imamo�(10B� + n)�(10Be+ p) = 12 : (8.5.30)8.5.7 Izospin rezonanci i izospin u hadronskim procesimaU vreme pisanja ovog ud�zbenika najnovija istra�zivanja sve vi�se ukazuju na to da postoji prili�cnasli�cnost izmedju unutra�snje strukture hadrona i jezgara. Eksperimentalno jo�s nisu otkrivenematerijalne �cestice, koje bi sa�cinjavale hadrone, ali teorija ih predvidja i naziva kvarkovima,

8.5. * IZOSPIN U FIZICI JEZGARA I ELEMENTARNIH �CESTICA 325partonima itd. Teorijski se prou�cava ideja da se model ljuski (videti x 7.3.6) realizuje i u ha-dronskoj, strukturi. Mi ne�cemo ulaziti u ovu materiju osim �sto �cemo ukazati na postojanjekratko�zivu�cih pobudjenih stanja hadrona, tzv. rezonanci. Nastaju pod odredjenim uslovima priodredjenim energijama sudara u izvesnoj sli�cnosti sa speci��cnim frekvencama klasi�cnih objekatai sa oscilatornim rezonancama koje u vezi s tim mogu da nastupe (otud naziv).Nas, naravno, prvenstveno zanima uloga izospina u klasi�kaciji stanja ili u klasi�kaciji ener-getskih nivoa hadrona. Kao �sto prikazuje Crte�z C 8.5, prilikom bombardovanja vezanih protonasa pozitivnim pionima, pri odredjenoj energiji (oko 1236 MeV) nastaje izraziti peak (�citati: piik;na engleskom zna�ci vrh) u veli�cini ukupnog popre�cnog preseka8.5.9.

Slika 8.5: Rezonanca �++(1236). Eksperimentalni rezultati za ukupni e�kasni presek bombar-dovanja vezanih protona pionima.Rezonanca sa Crte�za C8.5 ozna�cava se sa �++(1236). Pored energije, ostali kvantni brojevisu joj: s = 32 , �s = +1, t = +32 , t3 = +32 .Zadatak 8.5.12 A)Kako je moglo do�ci do spina 32 ? B) Pokazati da su kvantni brojevi t = 13 , t3 = 13 nu�zni za�+ + p! �++(1236).Rezonanca �++(1236) je �clan8.5.10 izomultipleta �(1236).Zadatak 8.5.13 U kojim sudarima nastaju ostala tri �clana pomenutog izokvadrupleta? U kojima od tih sudarapostoji samo jedan, a u kojima postoje dva izospinska kanala? Koji su elektri�cni naboji pojedinih rezonanci uizokvadrupletu?8.5.9"Ukupni" ili "totalni" popre�cni presek odnosi se na verovatnoju doti�cnog dogadjaja (�+p { sudara) i to takoda se uklju�cuje kako tzv. elasti�cno rasejanje (kada nakon sudara ostaju iste �cestice sa istim energijama, samoeventualno pod promenjenim uglom), neelasti�cno rasejanje (kad �cestice ostaju iste ali se energije promene) ihadronski proces (kada se �cestice menjaju) i to uklju�cuju�ci sve mogu�ce uglove izlazne �cestice. Jedinica za presekje milibarn: mb.8.5.10Detaljnije o elementarnim �cesticama sa gledi�sta nerelativisti�cke kvantne mehanike u odli�cno pisanoj knjizi:S. Gasiorowicz, Quantum Physics, J. Wiley, New York, 1974.

326 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJEZadatak 8.5.14 Na osnovu gornje tabele pokazati koje od slede�ca �cetiri hadronska procesa zabranjuje selekcionopravilo izospina: �� + n! � + �0; �� + n! �0 + �0; (8.5.31a,b)K� + n! �� + �0; �� ! �0 + ��: (8.5.31c,d)Zadatak 8.5.15 U analogiji sa (8.5.29) objasniti jednakostj �+ i =r23 j �0p i+r13 j �+n i: (8.5.32)i na osnovu nje izvesti da je 2:1 relativni odnos preseka slede�ce dve reakcije:�+ ! p+ �0; �+ ! n+ �+: (8.5.33a,b)8.6 � SU(3) simetrija hadronaPostulat o unutra�snjim stepenima slobode x 6.9.6 nam je otvorio put za konstrukciju spinskog iizospinskog faktor prostora najva�znijeg hadrona, nukleona. Medutim, ispostavlja se da �cak niHoHsHt nije dovoljno obuhvatan i na mo�ze se smatrati ukupnim prostorom za hadron. Doovog saznanja dovelo je otkri�ce te�skih bariona, tzv. hiperona, kao i te�skih mezona (tj. kaona).Osobine ovih �cestica bile su strane tada�snjim shvatanjima �zi�cara i izazvale su veliko iznenadenje.Kada su strane �cestice, kako su nazvani pomenuti novi hadroni, dopunili listu mezona i bari-ona, pokazalo se da kako sama egzistencija ba�s ovih �cestica (upravo sa osobinama kakve imaju)tako i njihove transmutacije u uzajamnim sudarima ili u pojedina�cnim raspadima odaju posto-janje jedne dublje i sveobuhvatnije unutra�snje simetrije koja se ozna�cava sa SU(3). Nametnulase ideja modela kvarkova, ali kvarkovi do danas nisu eksperimentalno otkriveni.8.6.1 Otkri�ce �cudnih novih �cestica, stranost i hipernabojU Tabeli Tb 8.1 u prethodnom odeljku videli smo tabelu osnovnih hadrona sa kompletnim sku-pom njihovih unutra�snjih kvantnih brojeva. To je u skladu sa na�sim deduktivnim metodomekspozicije, ali to li�sava �citaoca da makar i delimi�cno u�cestvuje u uzbudenjima koja su �zi�caripro�zivljavali na induktivnom putu otkri�ca novih hadrona i njihovih osobina. Zato �cemo u ovomodeljku posvetiti ne�sto pa�znje i istorijsko-idejnom razvoju dogadaja.U 1947. godini od hadrona su bili poznati samo pioni i nukleoni. Ali do tada su i najja�ciakceleratori (tj. ubrziva�ci �cestica) ubrzavali na primer protone najvi�se do 200MeV kineti�ckeenergije. U narednih osam godina je akcelerator u Berkeley-u8.6.1, u SAD dostigao 6000MeV(ili, kako se kra�ce ka�ze 6BeV ili biliona elektron volti, ili 6GeV, giga elektron volti | doti�cniakcelerator se naziva bevatronom). Nastao je buran period otkri�ca novih �cestica: kaona, lambda-,sigma- i ksi-hiperona.Jedan tipi�can niz procesa u kojima nastaju i nestaju neutralne �cestice Ko i �o prikazan jena Crte�zu C8.6 na na�cin kako se vidi po tragovima u Wilson-ovoj komori. U prezasi�cenoj parikomore svaka naelektrisana �cestica izaziva kondenzovanje kapljica du�z svoje trajektroije, koja se,usled ugradenog magnetnog polja, zakrivljuje vi�se ili manje prema tome da li je impuls �cestice8.6.1 �Citati: Berkli.

8.6. � SU(3) SIMETRIJA HADRONA 327

Slika 8.6: Tragovi �cestica u Wilson-ovoj komori.manji ili ve�ci. (Ovde imamo istovremeno merenje polo�zaja i impulsa u smislu obja�snjenja ux 4.1.8.) Isprekidane crte (za Ko i �o) se ne vide u komori, jer neutralne �cestice ne izazivajukondenzaciju. Zakrivljenost nagore odaje negativan elektri�cni naboj itd. �Sta se u stvari de�sava uta�ckma ra�cvanja prikazano je u (8.6.1a)-(8.6.1c) (�o je isto �sto i � iz Tabele Tb 8.1; �citati crte�zs desna u levo). �� + p! Ko + �o (� � 10�23 s); (8.6.1a)Ko ! �+ +�� (� � 10�10 s); (8.6.1b)�o ! p+�� (� � 10�10 s): (8.6.1c)Zadatak 8.6.1 Ako znamo da su barionski brojevi B za nukleone i pione dati podacima iz Tabele Tb 8.1, kakavse B pripisuje �cesticama Ko i �o na osnovu odr�zanja ukupnog barionskog broja u procesima (8.6.1a)-(8.6.1c)?Verovatno�ca nekog procesa je srazmerna ja�cini interakcije koja do njega dovodi. Stoga iz redaveli�cine srednjeg �zivota (veli�cine obrnuto srazmerne verovatno�ci) u procesima (8.6.1a)-(8.6.1c) vi-dimo da �cestice Ko i �o nastaju jakom, a raspadaju se slabom interakcijom. Fizi�carima je nekovreme izgledalo �cudno �sto se nove �cestice (kao Ko i �o), iako mogu da interaguju jakom inter-akcijom, raspadaju samo usled slabe interakcije. �Sta li ih to spre�cava da se raspadnu jakominterakcijom | pitali su se | koji li se to unutra�snji kvantni broj odr�zava u jakoj i elektromag-netnoj interakciji, tako da za neke procese (kao (8.6.1b) i (8.6.1c)) preostaje samo mogu�cnostslabe interakcije za raspadanje (koja, po svoj prilici naru�sava doti�cni kvantni broj). A i stvaranjenovih �cestica u parovima kao u (8.6.1a), tzv. asocirana produkcija, se redovno opa�zalo u takvimprocesima i tra�zilo je obja�snjenje.Nove �cestice su nazvane stranim (ili �cudnim) �cesticama8.6.2. Godine 1953. Gell-Mann8.6.3 izSAD i nezavisno od njega Nishijima8.6.4 iz Japana predlo�zili su da se pojam izospina i nezavisnostjake interakcije od naboja pro�siri i na strane �cestice. Tako je nastala kolona izospina (t; t3) uTabeli Tb 8.1 i forma Postulata II.B (paragraf x 8.5.2).8.6.2Engleski: strange particles; �citati streind�z partikls.8.6.3 �Citati kao �sto pi�se.8.6.4 �Citati: Ni�sid�zima.

328 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJEZadatak 8.6.2 Prodiskutovati procese (8.6.1a)-(8.6.1c) sa gledi�sta odr�zanja T u jakoj i neodr�zanja ni T2 ni T3u slaboj interakciji.Kao �sto smo ve�c postulirali u (8.5.6), ispostavilo se da jeS def= 2 (Q� T3)� B (8.6.2)aditivna superselekciona opservabla, �cije se (celobrojne) svojstvene vrednosti (tj. kvantni brojevi)S nazivaju stranost. Kao �sto izri�ce Postulat II.B (paragraf x 8.5.2), jaka i elektromagnetnainterakcija odr�zavaju T3, a prema tome (po�sto se Q i B univerzalno odr�zavaju) odr�zavaju i S.Slaba interakcija naru�sava T3 i S.Zadatak 8.6.3 Potvrditi va�zenje poslednjeg iskaza u procesima (8.6.1b) i (8.6.1c).�Cesto se umesto stranosti koristi jedan drugi, stranosti ekvivalentan kvantni broj, tzv. hi-pernaboj, koji se ozna�cava sa Y . I to su (celobrojne) svojstvene vrednosti (tzv. kvantni brojevi)jedne opservable Y , koja je po de�niciji Y def= B + S: (8.6.3)O�cigledno je i Y aditivna opservabla, koja je i superselekciona �sto se ti�ce jake i elektromagnentneinterakcije.Zadatak 8.6.4 (i) Dopuniti Tabelu Tb 8.1 kolonom vrednosti od Y .(ii) Koja vrednost S i Y odgovara jezgru deuterijuma i helijuma 4He ?(iii) Da li u pobudenom stanju od 4He mo�ze Y da ima drugu vrednost nego u osnovnom stanju?8.6.2 Supermultipleti hadronaNa Crte�zu C8.7 poredani su svi osnovni hadroni (osim �) po uglovima i (dva) u centru�sestougaonika tako da su im koordinate x def= t3, y def= p32 Y . Oni �cine jedan tzv. supermulti-plet, tj. �siri skup koji se sastoji od nekoliko (u stvari od 4) izomultipleta.Zadatak 8.6.5 Utvrditi pomo�cu Tabele Tb 8.1 koje su zajedni�cke unutra�snje osobine svih hadrona u pomenu-tom supermultipletu, a koje su dodatne zajedni�cke osobine hadrona u pojedinim izomultipletima unutar istogsupermultipleta. Po �cemu se �, koji ne pripada tom supermultipletu, razlikuje od svih hadrona iz supermulti-pleta?

Slika 8.7: Supermultipletosnovnih hadrona.

Hadroni koji pripadaju istom izomultipletu na Crte�zu C8.7razlikuju se po masi za oko 1% (svoje mase). O�cigledno tuse radi o jednom pribli�zno degenerisanom energetskom nivouhadrona, a razlike poti�cu od elektromagnetne interakcije. Onadodu�se odr�zava T3, ali ne odr�zava T� (analogone od K�); stogaenergetski nivoi imaju odredeno t3, ali funkcionalno zavise odnjegove vrednosti.Sli�cnu pojavu imali smo u Zeeman-ovom efektu. Tu se a pri-ori sferna simetrija strukture elektronskog omota�ca (tj. njegovog

8.6. � SU(3) SIMETRIJA HADRONA 329hamiltonijana) suzila na aksijalnu (ili cilindri�cnu) simetriju mag-netnog poljaB. Ukupni hamiltonijan je i dalje bio kompatibilansa Jz, ali nije komutirao sa J� i zbog toga smo dobili cepanjeenergetskog nivoa (koji odgovara B = 0) i to na 2J+1 razli�citihnivoa, koji odgovaraju stanjima u rotacionom multipletu fj J;M = �J i; : : : ; j J;M = J ig.

Slika 8.8: Hadronski K-supermultiplet.

Slika 8.9: Hadronski � su-permultiplet.

Ako pogledamo mase hadrona koji se nalaze u razli�citimizomultipletima, a pripadaju istom supermultipletu na Crte�zuC8.7, vidimo da masene razlike izmedu izomultipleta iznose oko10%.Primamljivo je zami�sljati sve hadrone supermultipleta kaopribli�zno degenerisana hadronska stanja kojima u (zami�sljenom)odsustvu �clanova u hamiltonijanu koji naru�savaju simetriju od-govara jedan jedinstven degenerisan energetski nivo8.6.5.Supermultiplete su prvi uo�cili Ne'eman8.6.6 i Gell-Mann 1961.odnosno 1962. godine. Nazvali su svoje svrstavanje osmostru-kim putem (the eightfold way8.6.7).Iako smo u prethodnom odeljku SU(2) grupi izospina dali ne-posredni smisao samo u izospinskom faktor prostoru stanja Htnukleona, stoji matemati�cka �cinjenica da svaka vrednost t de-�ni�se jednu ireducibilnu reprezentaciju za SU(2), analogno kao�sto svaka vrednost od J je odreden kvantni broj za R(3). Stoga,isto kao �sto se za sve mogu�ce vrednosti J sistema ka�ze da jeposredi jedna te ista rotaciona simetrija R(3), za sve izomulti-plete, tj. za sve vrdnosti od t kod razli�citih hadrona, ka�ze seda se radi o SU(2) simetriji izospina. Drugim re�cima, izomul-tipleti su pripisani SU(2) simetriji hadrona kao �sto se rotacionimultipleti pridru�zuju rotacionoj simetriji elementarne �cestice ilivi�se�cesti�cnog sistema.Fizi�cari su tra�zili jednu nadgrupu od SU(2) grupe izospina(kao �sto je R(3) nadgrupa od grupe vrtnji oko z ose), �ciji bikvantni brojevi de�nisali pojedine supermultiplete (videti Crte�z C 8.8, na kojem je prikazan jo�sjedan supermultiplet).U po�cetku se zami�sljalo da bi pomenuta nadgrupa bila grupa simetrije jake interakcije, te bi odjake interakcije poticala vrednost pomenutog degenerisanog nivoa. Interakcija koja bi naru�savaladoti�cnu simetriju bi morala biti uzrok pomenutih razlika masa od 10%; zna�ci morala bi po ja�cinida bude izmedu jake i elektromagnetne interakcije (koja daje 1% razlike u masi). Pretpostavilose da postoji tzv. srednje jaka interakcija, koja bi dinami�cki zasnivala ulogu pomenute nadgrupesimetrije u klasi�kaciji hadrona. Medutim, postojanje srednje jake interakcije do danas nijedokazano i danas se vi�se naginje pretpostavci da je pomenuta nadgrupa u stvari samo pribli�znagrupa simetrije jake interakcije.8.6.5"�Clan koji naru�sava simetriju" se engleski ka�ze symmetry breaking term, �citati: simetri brejking term, zna�ci:�clan koji lomi simetriju.8.6.6 �Citati: Niiman.8.6.7 �Citati: di ejtfould vej.

330 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJE8.6.3 Otkri�ce omega hiperonaPre nego �sto se ne�sto bli�ze upoznamo sa pomenutom nadgrupom pribli�zne simetrije jake inter-akcije, pogledajmo jo�s jedan supermultiplet, koji je prikazan na Crte�zu C8.9.U ovom supermultipletu se zajedno sa raznim rezonancama (pobudenim stanjima hadrona)nalazi i � �cestica (dakle, osnovno stanje). Ovde imamo sli�cnost sa nuklearnim izomultipletima�ciji su �clanovi analogna stanja (uporediti Crte�z C 8.4). Oni takode �cesto sadr�ze i po jedno osnovnostanje.Otkri�ce � hiperona je predstavljalo veliki trijumf teorijske analize. Kao �sto je nekada Mende-ljejev na osnovu praznih mesta u svom periodnom sistemu predskazivao nove hemijske elemente,vode�ci �zi�cari oko sredine na�seg stole�ca su na osnovu praznog mesta na dnu supermultipleta saCrte�za C8.9 predskazali postojanje �cestice sa S� = 32+, B = 1, S = �3, t = t3 = 0 i masom oko1; 5BeV. Ova �cestica (�) je i eksperimentalno otkrivena 1964. godine i imala je sve predskazaneosobine (eksperimentalna masa je odstupala od teorijske ne vi�se od 10%).8.6.4 SU(3) simetrijaKao �sto smo istakli u paragrafu x 8.6.2, �zi�cari su bili u potrazi za grupom koja bi dala super-multiplete. Ispostavilo se da u matematici odavno poznata grupa SU(3), tj. specijalna unitarnagrupa u 3 dimenzije (tj. skup svih 3� 3 kompleksnih unitarnih matrica jedini�cne determinante)je grupa koja na prirodan na�cin daje supermultiplete, analogno kao �sto rotaciona grupa R(3)daje rotacione multiplete fj km� i j m = �k; : : : ; kg.U grupi SU(3) se mo�ze prona�ci podgrupa SU(2) U(1) (tzv. direktni proizvod grupa SU(2)i U(1), u kome se svaki element iz prve mno�zi sa svakim iz druge i ovi elementi komutiraju).Grupa U(1) je jedini�cni krug (u kompleksnoj ravni). U kvantnomehani�ckoj primeni nju repre-zentuje grupa fe{�Y j e{� 2 U(1)g (u analogiji sa fU('u) = e� {~'u�K j R'u 2 R(3)g), �ciji jehermitski generator operator hipernaboja Y . U grupno-teorijskim metodama kvantne mehanikese analogno pojavljuje U(1) u vezi sa opservablama Q i B (i opservablom broja �cestica u striktnonerelativisti�ckoj kvantnoj mehanici). U ovakvoj ulozi U(1) se naziva gauge8.6.8 grupom, tj. gru-pom ba�zdarenja. U na�sem slu�caju radi se o gauge grupi hipernaboja. Grupa SU(2) se, naravno,odnosi na izospin.Odnos SU(3) > SU(2) U(1) (8.6.4a)(kad se radi o grupama onda se relacija inkluzije � iz teorije skupova pi�se kao >) je analoganodnosu R(3) > Rz(1); (8.6.4b)gde smo sa Rz(1) obele�zili grupu svih rotacija oko �ksirane z ose. Ako se �citalac podseti "ormarasa �okama" sa Crte�za C6.2, bi�ce mu jasno da su sami ormari, tj. Vk vi�sestruki ireducibilnipotprostori za R(3) karakterisani pojedinim vrednostima kvantnog broja k. "Fijoke", tj. Vkmpotprostori, su vi�sestruki ireducibilni potprostori (jednodimenzionalni) za Rz(1). Dakle, Vkm,karakterisani sa m, su u stvari "ormari" za Rz(1), samo tu nemamo vi�se od jedne "�oke", jerje Rz(1) Abel-ova grupa. Pri tome je veoma va�zno da je "ormar" za Rz(1) unutar "ormara" za8.6.8 �Citati: gejd�z.

8.6. � SU(3) SIMETRIJA HADRONA 331R(3). Ovo je uvek mogu�ce za tzv. lance grupa, kao �sto su (8.6.4a) i (8.6.4b) (nekad takav lanacima i vi�se od dva �clana).Sa gledi�sta lanca grupa (8.6.4b), sam vektor j km� i je multiplet (u stvari singlet) za Rz(1),a fj km� i j m = �k; : : : ; kg je supermultiplet. Drugim re�cima, terminologija "multiplet,supermultiplet" je vezana za posmatranje lanca grupa polaze�ci od podgrupe idu�ci ka nadgrupi,dakle obratno nego �sto smo �cinili u x 6.3 i x 6.4.Vratimo se na SU(3) grupu. Zamislimo supermultiplet SU(3) grupe kao analogon koloneta�caka na Crte�zu C6.2, a izomultiplete kao analogone pojedinih ta�caka u takvoj koloni. Mate-mati�cki aparat SU(3) grupe raspola�ze operatorima koji su analogoni od K2, operatorima kojisu analogoni od Kz, kao i operatorima koji su pandani od K�. Takode slede jaki iskazi ekvi-valentnosti kao za R(3). Naro�cito je va�zna ekvivalentnost po "�okama", iako ona u primeni nahamiltonijan va�zi samo pribli�zno.�Sto se ti�ce analogona vi�sestrukosti dk, ako se ograni�cimo na �cisto unutra�snji prosotor hadrona,zna�ci ako apstrahujemo Ho Hs, onda je dk = 1. Ali u sveukupnom prostoru stanja, naravno,dk = @0, 8k. To je analogno sa slu�cajem L2(r; �; �) = �1l=0L2(r) Vl za R(3) (uporediti 6.6.25).8.6.5 Model kvarkovaPostavlja se pitanje �sta u stvari �zi�cki zna�ci SU(3) simetrija i kako je uklopiti u kvantno-mehani�ckiformalizam. Jedna je mogu�cnost da se radi o unutra�snjem stepenu slobode i da se, u smisluPostulata o unutra�snjim stepenima slobode x 6.9.6, poku�sa da se za svaki supermultiplet ponaosobkonstrui�se odgovaraju�ci unutra�snji faktor prostor. On bi morao biti obuhvatniji od izospinskogprostora Ht, tj. morao bi da bude ortogonalna suma vi�se ireducibilnih potprostora za SU(2), ba�skao �sto se sam supermultiplet sastoji od vi�se izomultipleta.Skicirani put razmi�sljanja bi ostavio razli�cite supermultiplete potpuno nepovezanim. Fizi�cari,povu�ceni matemati�ckim osobinama SU(3) grupe, stekli su uverenje da bi trebalo da ova grupaigra jedinstvenu i sveobuhvatnu ulogu u �zici hadrona i rezonanci.U �zelji da se stvori jedinstveni model na osnovu SU(3) klasi�kacije, po�slo se od pretpostavkeda su svi hadroni u stvari slo�zene �cestice, a da postoji �sest (jo�s neotkrivenih) fundamentalnih�cestica; tri od njih su nazvane kvarkovima8.6.9, a tri antikvarkovima.Da bi matemati�cke osobine SU(3) grupe postale jasnije, vratimo se na slaganje dva uglovnamomenta. Videli smo u (7.1.11a) da va�ziV(k1;�1)1 V(k2;�2)2 = �k1+k2k=jk1 � k2j V(k;�1�2)12 : (8.6.5a)Izostavimo dodatne kvantne brojeve �1 i �2 i umesto kvantnog broja k1, na primer, pi�simo 2k1+1(broj stanja u rotacionom multipletu). Po�sto je veza k1 $ 2k1 + 1 biunivoka, (8.6.5a) postaje(2k1 + 1) (2k2 + 1) = [2jk1 � k2j+ 1]� : : :� [2(k1 � k2) + 1]: (8.6.5b)U analogiji sa (8.6.5b), u teoriji razlaganja ireducibilnih reprezentacija SU(3) grupe imamoslede�ce dve va�zne formule: 3 3� = 1� 8; (8.6.6)8.6.9Engleski se pi�se quark i obele�zava sa q.

332 GLAVA 8. DISKRETNE, DINAMI�CKE I UNUTRA�SNJE SIMETRIJE3 3 3 = 1� 8� 8� 10: (8.6.7)Simbol 3 ozna�cava samu SU(3) grupu (njen standardni bazis ima tri �clana, tj. imamo triplet),3� ozna�cava tzv. konjugovanu ireducibilnu reprezentaciju od SU(3), koja je neekvivalentna sa 3.Ovaj pojam se kod realne grupe R(3) na pojavljuje (R(3) je samokonjugovana).Pomenuti triplet kvarkova se zami�slja kao standardni bazis za 3 (bolje re�ci, na njih se i odnosisimbol 3), a triplet antikvarkova se uzima kao standardni bazis za 3�. Direktno mno�zenje sepripisuje vezivanju fundamentalnih �cestica u slo�zeni sistem. Leva strana od (8.6.6) odgovaravezivanju po jednog kvarka sa po jednim antikvarkom, a desna strana kazuje da tako mo�ze danastane jedan singlet slo�zenog sistema (koji se tuma�ci kao jedan manje poznati mezon) i jedanoktuplet (ka�ze se i oktet) takvih �cestica. Tu se misli na oktuplet sa Crte�za C8.8.Leva strana od (8.6.7) predstavlja vezivanje tri kvarka, a desna strana pokazuje da se takomo�ze dobiti oktuplet (sa Crte�za C8.7) i dekuplet (multiplet od 10 �clanova) sa Crte�za C8.9 itd.Da bi se ovaj kvark-model doslovno sproveo, bilo je nu�zno da se za kvarkove predska�zu osobinedate u Tabeli Tb 8.2. One su neobi�cne.Tabela 8.2: Kvarkovi. Nakon simbola kvarka slede: elektri�cni naboj (Q, u jedinicama naelek-trisanja elektrona), spin (s) sa ukupnom parno�s�cu (�), izospin (t), tre�ca komponenta izospina(t3), stranost (S), barionski broj (B), i hipernaboj (Y ).Kvark Q s� t t3 S B Yq1 23 12+ 12 12 0 13 13q2 �13 12+ 12 �12 0 13 13q3 �13 12+ 0 0 �1 13 �23Zadatak 8.6.6 Prou�citi na nekoliko primera hadrona kako kvantni brojevi kvarkova (iz Tabele Tb 8.2) dajukvantne brojeve hadrona (iz Tabele Tb 8.1).I posle dugo godina upornog eksperimentalnog "lova na kvarkove", oni nisu pronadeni.Mogu�ce je da oni imaju tako veliku masu u slobodnom stanju, tj. da im je tako veliki tzv.maseni defekt, a to zna�ci smanjenje mase prilokom vezivanja, da na�si akceleratori jo�s nisu do-voljno jaki da ih proizvedemo (u koliziji dovoljno ubrzanih �cestica). Ali mogu�ce je i to da jekvark model jedan �corsokak. Progres nauke se odvija putem trial and error8.6.10; u slobodnomprevodu: u�cini poku�saj pa ispravi �sto si pogre�sio. Mo�zda �ce nam ve�c bliska budu�cnost donetipotrebne ispravke na trnovitom putu prodiranja u strukturu hadrona.8.6.10Engleski: poku�saj i gre�ska; �citati: trajl end eror.

Glava 9PROSTI SISTEMI I IDENTI�CNE�CESTICE9.1 Vodoniku sli�can atomVodoniku sli�can atom ima samo jedan elektron (a Z protona u jezgru, zna�ci to je Z � 1 putapozitivno jonizovan atom). U ovom odeljku re�savamo svojstveni problem hamiltonijana ovogelektrona metodom separacije varijabli. Efektivni radijalni svojstveni problem �cemo svesti najednu poznatu diferencijalnu jedna�cinu i na�ci �cemo diskretne svojstvene vektore u vidu poznatihspecijalnih funkcija. Prou�ci�cemo diskretni spektar; degeneraciju pojedinih nivoa, koja poti�ce odrotacione i dodatne simetrije; kao i cepanje nivoa (tzv. �nu strukturu) usled spina i relativisti�ckihefekata.9.1.1 Hamiltonijan elektronaU ovom odeljku �cemo re�siti diskretni svojstveni problem hamiltonijana jednog elektrona (bezspina) u Coulomb-ovom polju jezgra u tzv. vodoniku sli�cnom atomu:H = T � Ze2r ; (9.1.1)gde je T operator kineti�cke energije elektrona, Z naboj jezgra, a r rastojanje izmedu (ta�ckastog)jezgra i (ta�ckastog) elektrona (prostor stanja je L2(r)).U opisanoj de�niciji problema imamo spolja�snje polje �Ze2r od "beskona�cno te�skog" jezgra imasu elektrona me u izrazu za kineti�cku energiju T = � ~22me�. Ova aproksimacija "beskona�cnote�skog" spolja�snjeg izvora polja (koja zanemaruje povratni uticaj kretanja elektrona na jezgro)nije lo�sa, jer je masa protona (a tim pre masa jezgra) 3� 4 reda veli�cine ve�ca od mase elektrona.Ali u stvari nam ova aproksimacija nije potrebna, jer mo�zemo re�savati problem egzaktno.Kao �sto smo nau�cili u kvantnom problemu dve �cestice u x 4.5, treba pre�ci na centar masei relativnu �cesticu, zaboraviti centar mase i re�savati jodno�cesti�cni problem relativne �cestice.Prakti�cno, razlika �ce se ispoljiti samo u masi efektivne �cestice: u T �cemo me zameniti sa m =mR�C = memjme+mj = me1+memj , gde je mj masa jezgra (uporediti (4.5.6b)). Kao �sto smo rekli, usledmj � me, ispravka memj je zaista mala. 333

334 GLAVA 9. PROSTI SISTEMI I IDENTI�CNE �CESTICEIzvodenjem diskretnih svojstvenih vrednosti i svojstvenih vektora hamiltonijana (9.1.1) dobi�cemoenergetske nivoe i odgovaraju�ca tzv. vezana stanja9.1.1 (elektronskog omota�ca) vodonikovogatoma (tj. atoma sa Z = 1), (omota�ca) jedanput jonizovanog helijumovog atoma He+ (Z = 2),dvaput jonizovanog litijumovog atoma Li++ (Z = 3) itd.9.1.2 Efektivni radijalni svojstveni problemPo�sto Coulomb-ova potencijalna energija zavisi samo od r, pogodno je uvesti sferne polarnekoordinate, tj. izvr�siti faktorizaciju prostora stanja L2(r) = L2(r) L2(). Operator kineti�ckeenergije T smo ve�c imali na jeziku ovih koordinata u (6.6.17). Zamenom u (9.1.1) dobi�cemoH = � ~22mr2 @@r (r2 @@r ) + l22mr2 � Ze2r : (9.1.2)O�cigledno (9.1.2) zadovoljava uslov za primenu metoda separacije varijabli (x 6.5.6). Prvo �cemou L2() re�siti zajedni�cki svojstveni problem za l2 i lz, �sto, kao �sto znamo, rezultuje sfernimharmonicima Y ml (�; '), a zatim �cemo za svaku vrednost l re�savati u L2(r) efektivni (radijalni)svojstveni problem Hef = � ~22mr2 ddr (r2 ddr ) + l(l + 1)~22mr2 � Ze2r : (9.1.3)Re�senja od (9.1.3) pisa�cemo kao REl(r). Svojstveni vektor u L2(r) �ce onda imati vidREl(r)Y ml (�; '); (9.1.4)i odgovara�ce svojstvenoj vrednosti E, kao �sto sledi iz metoda separacije varijabli.9.1.3 Laplace-ova jednakostU ovom paragrafu �cemo po�ci od svojstvenog problema operatora Hef , datog sa (9.1.3). Usredenijem vidu ova svojstvena jednakost (sa E kao svojstvenom vredno�s�cu) glasi:[ d2dr2 + 2r ddr � l(l + 1)r2 + 2m~2 (Ze2r + E)]REl(r) = 0: (9.1.5)Diferencijalnu jedna�cinu drugog reda (9.1.5) �cemo transformisati u jednu drugu, koja je stan-dardna, tj. dobro poznata u teoriji specijalnih funkcija.Uvedimo smenu konstanti � = p�2mE~ , E = �~2�22m (9.1.6a,b)9.1.1Diskretne energetske vrednosti su po pravilu izolovane ta�cke spektra, �sto jasno ukazuje na diskretne skokoveu mogu�coj strukturi omota�ca i stoga na vezana stanja. Ispostavi�ce se da su sve diskretne svojstvene vrednostiod H negativne, kao �sto i o�cekujemo kvalitativno. Naime, T ima �cisto kontinualan spektar (x 6.6.5), te diskretnore�senje od H mo�ze da poti�ce samo od "prevage" negativne potencijalne energije, a to je vezivanje.

9.1. VODONIKU SLI �CAN ATOM 335(pi�semo � zbog analogije sa talasnim brojem k = p~ = p2mE~ u slu�caju slobodne �cestice; anti-cipiramo negativnu vrednost za E, tj. umesto �E mogli smo pisati jEj). Osim toga, izvr�simosmenu nezavisno promenljive r ! x :x def= 2�r , r(x) = x2� (9.1.7a,b)i obele�zi�cemo REl(r(x)) = Q(x). Onda (9.1.5) postaje[ d2dx2 + 2x ddx � l(l + 1)x2 + nx � 14]Q(x) = 0; (9.1.8)a to smo dobili deljenjem sa 4�2 nakon smene (9.1.6b) i (9.1.7b) i uvodenjem konstanten def= mZe2~2� = Ze2~ r m�2E : (9.1.9)Treba zapaziti da konstanta n (zasad realan broj) sad preuzima ulogu svojstvene vrednosti E,tj. (9.1.8) zavisi od l i od n kao od parametara.Ispitajmo sad kako se re�senje Q(x) pona�sa u koordinatnom po�cetku. Kao �sto je uobi�cajeno uteoriji diferencijalnih jedna�cina, pretpostavi�cemo da se Q(x) mo�ze pisati u vidu stepenog reda.Oko nule ovakav red se pona�sa kao sabirak najni�zeg stepena xs (s nepoznato).Da bismo izra�cunali s, zanemarimo u (9.1.8) sabirke nx i �14 u odnosu na l(l+1)x2 , koji dominira,i stavimo Q(x) � xs : s(s� 1)xs�2 + 2xsxs�1 � l(l+1)x2 xs = 0. Dele�ci sa xs�2 (nismo u samoj nuli,samo blizu nje, stoga to smemo u�ciniti), dolazimo do s(s + 1) = l(l + 1). Ovo daje dva re�senja:s = �(l + 1) i s = l. Prvo �cemo odbaciti, jer bi se funkcija Q(x) pona�sala u nuli kao x�l�1,tj. imala bi singularitet i ispala bi iz domena od Hef , jer za pripadanje domenu je potrebnakona�cnost i diferencijabilnost u 0 < x <1. Zna�ci, s = l tj.Q(x) � xl; x! 0 (9.1.10)(� zna�ci "pona�sa se kao")Kao slede�ce, ispitajmo pona�sanje funkcije Q(x) u beskona�cnosti, tzv. asimptotsko pona�sanje.Sad u (9.1.8) mo�zemo zanemariti sve �clanove osim prvog i poslednjeg, koji o�cigledno dominaraju;tako da se u (9.1.8) svodi na ( d2dx2� 14)Q(x) = 0. Lako se vidi da re�senja glaseQ(x) = e�x2 . Re�senjesa " + " moramo odbaciti jer odgovaraju�ce Q(x) nije integrabilno, tj. ne daje REl(r) 2 L2(r) (ami re�savamo diskretni svojstveni problem). Dakle,Q(x) � e�x2 ; x!1: (9.1.11)Pokazuje se celishodnim izdvojiti pona�sanje u nuli i u beskona�cnosti kao faktore, tj. izvr�sitidalju transformaciju na�se jedna�cine (9.1.8) smenjuju�ci Q(x) sa S(x):Q(x) = xle�x2S(x) (9.1.12)Nakon potrebnih diferenciranja i smenjivanja, (9.1.8) prelazi u[x d2dx2 + (2l + 2� x) ddx + (n� l � 1)]S(x) = 0 : (9.1.13)

336 GLAVA 9. PROSTI SISTEMI I IDENTI�CNE �CESTICEStigli smo, najzad, do tra�zene standardne diferencijalne jedna�cine. Naime, tzv. Laplace-ovajednakost u op�stem slu�caju glasi[x d2dx2 + (� � x) ddx � �]f(x) = 0; (9.1.14)gde su � i � proizvoljni kompleksni brojevi. U na�sem slu�caju� = 2l + 2; � = l + 1� n: (9.1.15a,b)9.1.4 Kon uentni hipergeometrijski redAko odbacimo re�senja Laplace-ove jedna�cine koja imaju singularitet u koordinatnom po�cetku(i stoga su van domena od Hef), preostaje samo tzv. kon uentni hipergeometrijski red (koji jekona�can u x = 0):F (� j � j x) def= 1 + �� x1! + �(� + 1)�(� + 1) x22! + : : : = 1Xk=0 �(�+ k)�(�)�(�)�(� + k) xkk! : (9.1.16)U (9.1.16) se pojavljuju tzv. gama funkcije �(t). One imaju slede�cu va�znu osobinu:�(t) = (t� 1)�(t� 1); (9.1.17)u analogiji sa faktorijelom, tako da su �(t) neka vrsta uop�stenja faktorijela na proizvoljne kom-pleksne brojeve (pri tome �(t) odgovara (t� 1)! za pozitivnu i celu vrednost od t).Usled (9.1.15) za nas su od interesa funkcije F (l + 1� n j 2l + 2 j x) kao jedini kandidati zare�senja S(x). Postavlja se pitanje da li svaka funkcija F mo�ze biti re�senje S.9.1.5 Asocirani Laguerre-ovi polinomiPo pravilu funkcije F divergiraju kao ex, tako da i nakon supstitucije S(x) = F (x) u (9.1.12)imamo divergenciju Q(x) � ex2 ; x!1 i ne�cemo dobiti rezultat REl(r) 2 L2(r).Medutim, za izuzetne vrednosti od � (zapravo l+1�n u na�sem slu�caju) u beskona�cnom reduF svi koe�cijenti postaju nula po�cev od izvesnog stepena i tako se F svodi na polinom. Kada jeS(x) polinom, onda Q(x) = xle�x2S(x) ne divergira u beskona�cnosti i dobijamo REl(r) 2 L2(r).Kon uentni hipergeometrijski red F se svodi na polinom u tom i samo u tom slu�caju kadaje � def= l + 1� n negativan ceo broj ili nula, tj. kada jel + 1� n = �n0; n0 := 0; 1; 2; 3 : : : (9.1.18)A kada se svodi, polinom koji se dobije je reda n0, naziva se asocirani Laguerre-ov (�citati Lagerov)polinom i obele�zava sa L2l+1n0 (x).U op�stem slu�caju, Laguerre-ovi polinomi Lkp(x) glase:Lkp(x) = [(p+ k)!]2p!k! F (�pjk + 1jx) = pXs=0(�1)s [(p+ k)!]2(p� s)!(k + s)!s!xs; (9.1.19)

9.1. VODONIKU SLI �CAN ATOM 337gde su p i k nenegativni celi brojevi. U na�sem slu�caju, p = n0, k = 2l + 1 iL2l+1n0 (x) = [(n0 + 2l + 1)!]2n0!(2l + 1)! F (l + 1� n0j2l + 2jx) (9.1.20)uz va�zenje (9.1.18).Dakle, imamo re�senje Laplace-ove jedna�cine (9.1.13) u vidu S(x) = L2l+1n0 (x). A ako sevratimo na polazne radijalne funkcije REl(r), imamo9.1.2REl(r) = const(2�r)le��rL2l+1n�l�1(2�r): (9.1.21)9.1.6 Energetski nivoiVratimo se uslovu (9.1.18): n = l + 1 + n0; n0 = 0; 1; 2; : : : (9.1.22)Kvantni broj n0 se naziva radijalnim kvantnim brojem. Po�sto je n0 red Laguerre-ovog polinoma,to je istovremeno i broj nula (tzv. �cvorova) radijalne funkcije REL(r). Kvantni broj n, koji mo�zeda bude l + 1; l + 2, itd., naziva se glavnim kvantnim brojem. Njegova uloga u prebrojavanjuenergetskih nivoa postaje jasna kada (9.1.9) re�simo po E (i pi�semo En umesto E.):En = � 1n2 mZ2e42~2 ; n = 1; 2; ::. (9.1.23a,b)Najni�zi energetski nivo (osnovni nivo) je E1 = �mZ2e42~2 , a ostalih prebrojivo beskona�cno mnogonivoa se pribli�zava nuli sa n!1 i ima ta�cku nagomilavanja u nuli.Mo�ze da se poka�ze da svaki potencijal V (r) koji asimptotski te�zi nuli sporije nego 1r2 , a sanegativne strane (tzv. dalekodometni potencijal; V (r) = �Z e2r je specijalni slu�caj) daje sli�candiskretni spektar: prebrojivo beskona�cno mnogo negativnih nivoa koji te�ze nuli kao limesu. Aako je potencijal V (r) negativan i te�zi nuli za r !1 kao 1r2 ili br�ze (tu spada i tzv. pravougaonajama: V (r) = ��V0; r < r0,0; r > r0 ) | to je tzv. bliskodometni potencijal | onda je broj diskretnihenergetskih nivoa kona�can (ili �cak nula), ali opet su negativni.9.1.7 Potpuna klasi�kacija stanja i degeneracija energet-skih nivoa diskretnog spektraKao �sto smo videli u (9.1.23a), glavni kvantni broj n prebrojava energetske nivoe vezanog elek-trona u vodoniku sli�cnom atomu. Stoga je i u radijalnim funkcijama REl(r) u (9.1.21) pogodnijezameniti E sa n (�cime se, u stvari, menja i funkcionalna zavisnost R(r)).Kad se podsetimo kako glasi krajnji rezultat za svojstveni vektor od H koji smo dobili meto-dom separacije varijabli (6.5.28), onda iz (9.1.21) dobijamoRnl(r)Y ml (�; ') = A(2�r)le��rL2l+1n�l�1(2�r)Y ml (�; ') ; (9.1.24a)9.1.2Po�sto smo (ispod (9.1.7)) imali Q(x) def= R(r(x)) = R(x=2�), obratno, iz Q �cemo dobiti R pomo�cu slo�zenefunicionalne zavisnosti: R(r) = Q(x(r)) = Q(2�r), jer Q(x(r(x))) = Q(x), tj. x(r) i r(x) su uzajamno inverznefunkcionalne zavisnosti.

338 GLAVA 9. PROSTI SISTEMI I IDENTI�CNE �CESTICEgde je � = 1nmZe2~2 ; (9.1.24b)kao �sto sledi iz (9.1.6) i (9.1.23a), a A je konstanta normalizacije. Naravno, iako energetski nivoine zavise od magnetog kvantnog broja m, svojstveni vektori zavise od njega.Potpuna klasi�kacija stanja diskretnog spektra hamiltonijana elektrona u Ho glasifj nlm i j m = �l; :::l; l = 0; 1; 2; :::; n� 1; n = 1; 2; :::g ; (9.1.24c)gde su h r�' j nlmi 2 L2(r; �; ') u stvari funkcije date sa (9.1.24a). Va�zno je uo�citi da za daton, broj l mo�ze biti l = 0; 1; 2; :::; n� 1 (kao �sto sledi iz (9.1.22)).Uvedimo jednu relevantnu konstantu, tzv. Bohr-ov radijus:a0 def= ~2me2 � 10�8cm (9.1.25)(pod m podrazumevamo redukovanu masu elektrona i jezgra vodoniku sli�cnog atoma, mada se�cesto umesto toga stavlja me, masa elektrona).Prvih nekoliko (normiranih) radijalnih funkcija ima vid:R1;0(r) = 2(Za0 ) 32 e�Zra0 ; (9.1.26)R2;0(r) = 2( Z2a0 ) 32 (1� Zr2a0 )e� Zr2a0 ; R2;1(r) = 1p3( Z2a0 ) 32 Zra0 e� Zr2a0 ; (9.1.27)R3;0(r) = 2( Z3a0 ) 32 (1� 2Zr3a0 + 2Z2r227a20 )e� Zr3a0 ; R3;1(r) = 4p23 ( Z3a0 ) 32 (1� Zr6a0 )e� Zr3a0 ; (9.1.28)R3;2(r) = 227r25( Z3a0 )2e� Zr3a0Zadatak 9.1.1 Na osnovu (9.1.26)-(9.1.28) pokazati da se Rnl(r) za male r pona�sa kao rl �sto povla�ci da je zave�ce l sve ve�ci interval oko nule u kome je Rnl(r) malo (tj. kao da je elektron sve dalje od jezgra). To se obja�snjavatzv. centrifugalnom barijerom (to je �clan l(l+1)~22mr2 u (9.1.3)), koja se ispoljava u odbojnom delovanju na elektron.Zadatak 9.1.2 De�ni�simo �(r) def= r2R2nl(r); (9.1.29)(r2 poti�ce iz integrisanja R10 :::r2 dr u L2(r), mi ga formalno ura�cunavamo u radijalnu gustinu verovatno�ce). Uprimerima (9.1.26)-(9.1.28) za maksimalno l pokazati da formula za najverovatniji polo�zaj r0 glasir0 = n2a0Z ; (9.1.30)a to je upravo vrednost iz Bohr-Sommerfeld-ovog modela za kru�znu orbitu (elipti�cnim orbitama u tom modeluodgovaraju nemaksimalne vrednosti za l).Zadatak 9.1.3 Na osnovu primera (9.1.26)-(9.1.28) pokazati da va�ze formuleh r i = a02Z [3n2 � l(l + 1)]; h r2 i = a20n22Z2 [5n2 + 1� 3l(l+ 1)]: (9.1.31a,b)

9.1. VODONIKU SLI �CAN ATOM 3396EO 3p3s 3d2s 2p1sl = 0 l = 1 l = 2

E3 = �12 jE1jE2 = �14 jE1jE1Slika 9.1: Delimi�cna klasi�kacija stanja (sa kvantnim brojevima n i l (bez m). Kao �stoje uobi�cajeno) na kvalitativnom prikazu su nivoi razmaknuti horizontalno samo da bi kvantnibroj l do�sao do izra�zaja.Zadatak 9.1.4 Za n = 3; l = 0; 1; 2 izra�cunati neodredenost �r u distribuciji verovatno�ce nala�zenja po r.Prou�citi i komentarisati kako se efekat centrifugalne barijere ispoljava na h r i i �r.Zadatak 9.1.5 Pokazati da energetski nivo En ima multiplicitet (degeneraciju):dimV(En) = n2 ; (9.1.32)gde smo sa V(En) � Ho obele�zili svojstveni potprostor hamiltonijana koji odgovara svojstvenoj vrednosti En.Obratiti pa�znju na to da u (9.1.32) spin nije ura�cunat.9.1.8 Kontinualni spektar i nevezana stanja elektronaMo�ze se pokazati da za svaku nenegativnu vrednost energije E svojstveni problem hamiltonijanaelektrona u vodoniku sli�cnom atomu ima (uop�steno) re�senje9.1.3. Kontinualni spektar je, prematome, [0;1) i svaka kontinualna svojstvena vrednost E je @0 puta degenerisana (jer za dato Eelektron mo�ze imati bilo koju mogu�cu vrednost za l i za m).Po�sto pomenuti uop�steni svojstveni vektori opisuju nevezana stanja elektrona (ali ne "slo-bodna" stanja, to bi zna�cilo da nema spolja�snjeg polja), oni nisu toliko va�zni u kontekstuprou�cavanja strukture vodoniku sli�cnog atoma, koliko u kontekstu rasejanja elektrona u Coulomb-ovom polju.Na ovom mestu mo�zemo da uka�zemo na �cinjenicu da se svojstveni problem hamiltonijanavodoniku sli�cnog atoma mo�ze re�savati u paraboli�cnim koordinatama9.1.4.9.1.3 Detaljnije o kontinualnom spektru vodoniku sli�cnog atoma videti na primer u L. D. Landau i E. M.Lifxic, Kvantova� mehanika, nerel�tivistska� teori�, izdanie tret~e, Nauka, Moskva, 1974, str.151-154.9.1.4Nala�zenje kontinualnih svojstvenih vektora u paraboli�cim koordinatama mo�ze se na�ci u: E. Mersbacher,Quantum Mechanics, John Wiley, New York, 1970; str. 245-250.

340 GLAVA 9. PROSTI SISTEMI I IDENTI�CNE �CESTICE9.1.9 * Dodatna simetrija Coulomb-ovog potencijalaVratimo se diskretnim energetskim nivoimaEn i odgovaraju�cim svojstvenim potprostorima V(En).Kada se ovi dekomponuju u vi�sestruke ireducibilne potprostore ("ormare") za l (uporediti drugupolovinu od x 8.3.10), dobiju se isklju�civo jednostruki ireducibilni potprostori, ali vi�se njih (l =0; 1; :::; n�1) unutar V(En). Kao �sto je bilo re�ceno u x 8.3.10, ovde pored orbitne rotacione sime-trije imamo i dodatne simetrije i to u vidu operatora simetrija (ili operatora koji ove generi�su) ione ne komutiraju sa pomenutim rotacijama (niti sa l). Ponekad se dodatna simetrija naziva i"slu�cajnom" simetrijom (relativan pojam, misli se u odnosu na pomenutu rotacionu simetriju).Ispostavlja se da je pomenuta dodatna simetrija generisana tzv. Runge-Lenz-ovim vektorskimoperatorom A = ~2mZe2 (l� p� p� l) + rr ; (9.1.33)koji komutira sa hamiltonijanom (9.1.2) [ A; H ] = 0; (9.1.34)i �cije kompononte sa komponentama od l zadovoljavaju komutacione relacije[ lq; lq0 ] = {~Xq00 �qq0q00 lq00; [ lq; Aq0 ] =Xq00 {~�qq0q00Aq00 ; [ Aq; Aq0 ] = �Xq00 {~�qq0q00 2Z2e4mHlq00 ;(9.1.35)gde je q; q0 = x; y; z.Ispostavlja se da je ortogonalna grupa (ili, kako se jo�s ka�ze, "rotaciona" grupa) u �cetiridimenzije, O(4), ta �sira grupa simetrije od H koja je generisana sa l i A, i u odnosu na koju nemadodatne simetrije, tj. svaki svojstveni potprostor V(En) ta�cno je jedan ireducibilni invarijantnipotprostor9.1.5 za O(4).Zavr�simo ovaj paragraf sa dve napomene.�Sto se ti�ce grupno-teorijske analize simetrije hamiltonijana, na prvi pogled grupa O(4) dajesve �sto se po�zeleti mo�ze. Ipak, i od toga se oti�slo dalje, nadena je jedna (dosta slo�zena) nadgrupaod O(4), koja vi�se nije grupa simetrije hamiltonijana, ve�c tzv. grupa koja generi�se spektar(engleski: spectrum-generating group,). Ona ima slede�cu osobinu: jedna (specijalna) ireducibilnareprezentacija ove grupe sadr�zi sve V(En) po jedanput, tj. sadr�zi ta�cno ceo diskretni spektar odH. S druge strane, mo�ze da se poka�ze da je prisustvo pomenute dodatne simetrije hamiltonijanausko povezano sa veoma zna�cajnom �zi�ckom �cinjenicom da elektron ima zatorenu putanju (kaoplaneta oko sunca) umesto da putanja vr�si precesiju, kao �sto je slu�caj sa ventralnim potencijalimakoji nisu Coulomb-ovog tipa.9.1.10 Fina strukturaPoznato je da u spolja�snjem polju (pri tome ne mislimo na polje jezgra) nastaje cepanje de-generisanih nivoa elektrona u vodoniku sli�cnom atomu. U elektri�cnom polju imamo Stark-ov9.1.5Detaljnije o ovome videti u L. Fonda, G.C. Ghirardi, Symmetry Principles in Quantum Physics, MarcelDekker, Inc.,New. York, 1970, str. 222-228 ili u referenci iz 9.1.3, str. 154-156.

9.1. VODONIKU SLI �CAN ATOM 341efekt, a u magnetnom polju Zeeman-ov efekt. Ali i kada vodoniku sli�can atom nije u spolja�snjempolju, precizni eksperimenti (sa dobrom rezolucijom) otkivaju cepanje. To je tzv. �na strukturaenergetskih nivoa. Moramo se zapitati kako to teorija obja�snjava.Pre svega, nismo uop�ste uzeli u obzir spin s = 12 elektrona. Na prvi pogled jedina posledicaspina je u udvostru�cavanju degeneracije (sa n2 na 2n2). Medutim, to nije sve. Naime, su�stinaspina je u tome �sto se elektron u EM polju pona�sa kao magnetni dipol, jer ima unutra�snjimagnetni dipolni moment. Kre�cu�ci se oko jezgra elektron "preseca" silnice elektri�cnog polja(kako to klasi�cno mo�zemo da vizualizujemo) i stoga, preko svog magnetnog dipola, mo�ze da osetiefektivno magnetno polje.Prelaskom sa relevantnih formula iz klasi�cne teorije EM pojava na kvantnu mehaniku dobijase �clan u hamiltonijanu koji glasi H 0sl = 1m2c2 s � l1r dV (r)dr ; (9.1.36)gde je c brzina svetlosti, a V (r) u stvari �Ze2r (u dobroj aproksimaciji).Sabirak (9.1.36) u hamiltonijanu elektrona u vodoniku sli�cnom atomu naziva se spin-orbitnimsprezanjem. Semiklasi�cno mo�zemo da zamislimo kao da su unutra�snji i orbitalni magnetni dipolnimoment (prvi je proporcionalan sa s, a drugi sa l) uzajamno spregnuti, tj. kao da "interaguje",u prisustvu spolja�snjeg polja V (r), koje poti�ce od jezgra.Ispostavlja se da je od prilike istog reda veli�cine i relativisti�cka korekcija u hamiltonijanuelektrona (� 10�4 od energije vezivanja elektrona). Nju mo�zemo najprostije uzeti u obzir tako�sto �cemo zameniti izraz za kineti�cku energiju pobolj�sanom relativisti�ckom aproksimacijom ( p22m !p22m � (p2)28m3c2 klasi�cno).Dakle, �na struktura mora da poti�ce od H 0sl i od relativisti�cke korekcije zajedno. Izraz (9.1.36)se u relativisti�ckoj kvantnoj mehanici koriguje i to tako �sto mu se desna strana smanjuje za faktor2. Stoga, ta�cni izraz za spin-orbitno sprezanje glasi:Hsl = 12m2c2 s � l1r dV (r)dr : (9.1.37)Zadatak 9.1.6 Pokazati da, uz uvodjenje ukupnog jedno-elektronskog uglovnog momenta j def= l+ s, va�zil � s = 12(j2 � l2 � s2): (9.1.38)Zadatak 9.1.7 Pokazati da potpunu klasi�kaclju vezanih stanja elektrona za hamiltonijan (9.1.2) mo�zemoizvr�siti pomo�cu funkcija (spinskih sfernih harmonika)Rnl(r)h �; ';ms j ljmji (9.1.39)u L2(r) L2() C 2 (uporediti (7.3.6)).Zadatak 9.1.8 Pokazati da na osnovu (9.1.39) i (9.1.38) mo�zemo re�siti svojstveni problem hamiltonijana u kojije �clan (9.1.37) uklju�cen, i to tako da odmah dobijamo cepanje po vrednostima j (a preostaje degeneracija pomj).

342 GLAVA 9. PROSTI SISTEMI I IDENTI�CNE �CESTICESS SS SSAAAAAAAAEn=2 2p3=22s1=22p1=2efekt spin-orbitnogsprezanja 6 2p3=2

2s1=2; 2p1=2zajedni�cki efekat od Hsli relativisti�cke korekcije?SS SS SSAA AA AA AASlika 9.2: Cepanje energetskog nivoa En=2 pri ura�cunavanju �ne strukture.Da bismo ilustrovali �nu strukturu, na Crte�zu C9.2 je prikazano cepanje energetskog nivoaEn = 2. Zanimljivo je da se efekt od Hsl i relativisti�cka korekcija ta�cno potiru za nivoe 2s 12i 2p 12 . To ostaje tako i u ina�ce ta�cnijoj (Dirac-ovoj) relativisti�ckoj kvantnoj teoriji elektrona.Eksperimentalno se opa�za cepanje ta dva nivoa, �sto je tzv. Lamb-ov pomak (�citati Lem; engleski:Lamb shift). Ovo cepanje se teorijski mo�ze objasniti samo u kvantnoj elektrodinamici i to kaotzv. radijativna korekcija, koja poti�ce od interakcije elektrona sa sopstvenim poljem.Na kraju paragrafa da uka�zemo na postojanje tzv. hiper�ne strukture energetskih nivoavodoniku sli�cnog atoma. Ona se sastoji u jo�s mnogo �nijem cepanju nivoa, a poreklo efekta je uinterakciji unutra�snjeg magnetnog dipola elektrona sa magnetnim dipolom jezgra (zbog relativnovelike uzajamne udaljenosti elektrona i jezgra ovaj efekat je mali).Zadatak 9.1.9 Prou�citi ponovo x 3.4.6 i x 7.3.4 dopunjavaju�ci �sta je tamo samo anticipirano.9.2 Harmonijski oscilatorKvantizacijom hamiltonijana klasi�cnog trodimenzionalnog harmonijskog oscilatora dobija se ha-miltonijan istoimenog kvantnomehani�ckog sistema. U ovom odeljku re�si�cemo svojstveni problemhamiltonijana ovog sistema, koji je jedan od najprostijih u kvantnoj mehanici. Obrati�cemopa�znju i na razli�cite mogu�cnosti re�savanja. Ponovo �cemo elaborirati �sta zna�ci "raspadanje"hamiltonijana trodimenzionalnog problema (na tri jednodimenzionalna). Vide�cemo da se zbogovog raspadanja problem lak�se re�sava preko kinemati�ckih stepeni slobode koje de�ni�su pravou-gle Descartes-ove koordinate nego preko kinemati�ckih stepeni slobode koji odgovaraju sfernimpolarnim koordinatama.9.2.1 De�nicija problemaU klasi�cnoj mehanici hamiltonova funkcija trodimenzionalnog harmonijskog oscilatora glasiH = p22m + m!22 r2 ; (9.2.1)

9.2. HARMONIJSKI OSCILATOR 343�sto je ekvivalentno delovanju sile F = �m!2r, koja �cesticu privla�ci ka koordinatnom po�cetkui deluje tim ja�ce �cim je �cestica vi�se udaljena od koordinatnog po�cetka (a ! je tzv. uglovnafrekvenca, pojavljuje se u vezi sa klasi�cnom trajektorijom).Kvantizacijom (9.2.1) dobijamo hamiltonijan kvantnomehani�ckog harmonijskog oscilatoraH = p22m + m!22 r2: (9.2.2)koji je de�nisan u orbitnom prostoru stanja Ho jedne �cestice. Da li �cestica ima spin ili neirelevantno je i Hs ne uzimamo u razmatranje ni ako je s > 0.Ako uvodemo Descartes-ove koordinate x; y; z i izvr�simo odgovaraju�cu faktorizaciju Ho =Hx Hy Hz, onda u skladu s tim (9.2.2) mo�zemo da prepi�semo u viduH = Xq=x;y;z[ p2q2m + m!22 q2]: (9.2.3)Pojedini sabirci deluju u odgovaraju�cim faktor-prostorima Hq; q = x; y; z, i ova tri kinemati�ckastepena slobode su uzajamno dinami�cki nezavisna, tj. imamo raspadanje trodimenzionalnogdinami�ckog problema na tri jednodimenzionalnaHq = p2q2m + m!22 q2: (9.2.4)Pre nego �sto se udubimo u to �sta zna�ci pomenuto raspadanje dinami�ckog problema, zausta-vimo se radi tri napomene.i) Hamiltonijan tzv. anizotropnog oscilatora (koji ne�cemo prou�cavati) glasiH = Xq=x;y;z[ p2q2m + m!2q2 q2]; (9.2.5)gde su bar dve od uglovnih frekvenci !x; !y; !z razli�cite (za razliku od izotropnog harmo-nijskog oscilatora, za koji je !x = !y = !z.ii) Po uzoru na (9.2.3) mo�ze se de�nisati N -dimenzionalni harmonijski oscilator, N = 2; 3; 4; ::..Onda q = 1; 2; :::; N , H = Nq=1Hq, a H =PNq=1 Hq.iii) Vide�cemo ni�ze (u x 9.2.5) da se (9.2.2) mo�ze re�siti i u sfernim polarnim koordinatama sepa-racijom varijabli.9.2.2 Dinami�cki nezavisni kinemati�cki stepeni slobodePo uzoru na (9.2.3), pretpostavimo da je kvantni sistem slo�zen i da se mo�ze razlo�ziti na, recimo,N stepeni slobode (ili materijalnih podsistema):H = H1 H2 :::HN : (9.2.6)

344 GLAVA 9. PROSTI SISTEMI I IDENTI�CNE �CESTICEOsim toga, pretpostavimo da se hamiltonijan sistema sastoji od N �clanovaH = NXi=1 Hi; (9.2.7)tako da pojedini �clanovi Hi deluju u pojedinim faktor-prostorima Hi; i = 1; 2; :::N . To jeslu�caj dinami�cke nezavisnosti doti�cnih N stepeni slobode. Nasuprot tome, dinami�cka zavisnostbi zna�cila da u H postoji bar jedan �clan koji deluje u bar dva faktor-prostora netrivijalno, tj.koji dinami�cki spre�ze, �cini uzajamno zavisnim, dva stepena slobode.Podseti�cemo se sad da dinami�cka nezavisnost ima za posledicu raspadanje svojstvenog pro-blema od H datog sa (9.2.7), kao �sto sledi iz teorije direktnih proizvoda Hilbert-ovih prostoraStav 9.2.1 Ako su Hi j ni i = Eni j ni i; i = 1; 2; :::N diskretna re�senja svojstvenih problemapojedinih �clanova Hi iz (9.2.7) u pojedinim faktor-prostorima Hi, ondaH(j n1 i � � � j nN i) = (E1 + E2 + :::+ EN )(j n1 i � � � j nN i); (9.2.8)tj. diskretno re�senje kompozitnog svojstvenog problema dobijamo direktnim mno�zenjem svojstve-nih vektora i sabiranjem odgovaraju�cih svojstvenih vrednosti.Stav 9.2.2 Ako su fj ni i j ni = 1; 2; ::::g; i = 1; 2; :::N diskretni svojstveni bazisi od Hi u Hi,onda je fj n1 i � � � j nN ijn1; : : : ; nN = 1; 2; :::g diskretni svojstveni bazis od H u H.Po potrebi �citalac �ce lako da pro�siri ove Stavove na slu�caj degenerisanih nivoa u faktor-prostorima, kao i na slu�caj kontinualnih svojstvenih re�senja. Obratiti pa�znju na �cinjenicu da ume�sovitom slu�caju, tj. kada direktno mno�zimo diskretni svojstveni vektor kontinualnim, uvekdobijamo kontinualni svojstveni vektor kompozitnog hamiltonijana (za�sto?).Sadr�zaj ovog paragrafa je veoma blizak sadr�zaju x 6.5.4, a skoro se podudara sa sadr�zajem(3.4.16a)-(3.4.17c).9.2.3 Re�savanje Schr�odinger-ove jedna�cine linijskog osci-latoraIz rezultata prethodnog paragrafa je o�cigledno da treba re�siti svojstveni problem operatoraHx = p2x2m + m!22 x2 (9.2.9)u Hx. Operatori Hy i Hz su ekvivalentni sa Hx, tj. iste su operatorske funkcije osnovnog skupaopservabli kao i Hx. Stoga �cemo re�senja za Hx lako preneti u Hy i Hz.Jednakost (9.2.9) de�ni�se hamiltonijan tzv. linijskog oscilatora (na x-osi).Prepi�simo svojstveni problem od (9.2.9) u L2(x) i izvr�simo zamenu nezavisno promenljive:s def= rm!~ x: (9.2.10)

9.2. HARMONIJSKI OSCILATOR 345Tako dolazimo do ( d2ds2 � s2 + 2E!~ )�(s) = 0; (9.2.11)gde je �(s) def= (x(s)); (9.2.12)a (x) je tra�zeno re�senje prvobitnog svojstvenog problema Hx (x) = E (x).U asimptotskom regionu, tj. za s! �1, izraz (9.2.11) se svodi na d2�(s)ds2 = s2�(s), �sto dajeasimptotsko re�senje (tj. re�senje u kome zadr�zavamo opet samo �clanove koji najbr�ze rastu) vidae� s22 . Da bismo dobili svojstveni vektor kona�cne norme, moramo odbaciti re�senje sa predznakom+. U slede�cem koraku vr�simo zamenu nepoznate funkcije:�(s) = e� s22 �(s): (9.2.13)Na osnovu (9.2.13) jedna�cina (9.2.11) se svodi na( d2ds2 � 2s dds + 2nx)�(s) = 0; (9.2.14)gde smo de�nisali 2nx def= 2E~! � 1 (9.2.15)(nx je za sada nepoznata realna konstanta, biunivoko povezana sa E).Jednakost (9.2.14) je standardna diferencijalna jedna�cina, dobro poznata u teoriji specijalnihfunkcija; daje re�senje kona�cne norme ako i samo ako je nx nenegativan ceo broj. Odgovaraju�care�senja �(s) = constHnx(s); nx = 0; 1; 2; ::: (9.2.16)su tzv. Hermite-ovi (�citati: hermitovi) polinomi (nx-tog reda)Hnx(s) def= (�1)nxes2 dnxdsnx e�s2 ; nx = 0; 1; 2; ::: (9.2.17)Prvih nekoliko Hermite-ovih polinoma glasi:H0(s) = 1; H1(s) = 2s; H2(s) = �2 + 4s2; H3(s) = �12s+ 8s3; (9.2.18)H4(s) = 12� 48s2 + 16s4; H5(s) = 120s� 160s3 + 32s5:Kada se vratimo na (x) = �(s(x)) dobijamo diskretne svojstvene vektore od Hx u L2(x): nx(x) = 4pm!�~p2nxnx!e�m!2~ x2Hnx(pm!~ x) : (9.2.19)Odgovaraju�ci diskretni energetski nivoi slede iz (9.2.15) kada je re�simo po E:Enx = (nx + 12)~! : (9.2.20)Ispostavlja se da funkcije nx(x) iz (9.2.19) �cine kompletan ortonormirani bazis u L2(x);dakle, Hx ima �cisto diskretan i prost spektar.

346 GLAVA 9. PROSTI SISTEMI I IDENTI�CNE �CESTICEZadatak 9.2.1 Proveriti sve ispu�stene medukorake.Zadatak 9.2.2 Re�siti svojstveni problem od Hx (datog sa (9.2.9)) u impulsnoj reprezentaciji. (Indikacija: Isko-ristiti rezultate ovog paragrafa na osnovu skoro simetri�cne zavisnosti Hx od px i od x.)Zadatak 9.2.3 U osnovnom stanju linijskog oscilatora izra�cunati h x i, h px i, �x, �px i pokazati da je to stanjeminimalni talasni paket.Svojstvene vrednosti hamiltonijana linijskog oscilatora mogu se dobiti ne samo izlo�zenimmetodom, nego na jo�s dva na�cina. Jedan je Heisenberg-ov matri�cni metod (istorijski najstarijere�senje), koji polazi od zakona kretanja u Heisenberg-ovoj slici i re�sava problem spektra hamilto-nijana u energetskoj reprezentaciji. Drugi je Dirac-ov metod druge kvantizacije9.2.1 u kom se ~!tretira kao kvant ekscitacije koji se na bozonski na�cin kreira iz osnovnog stanja kao vakuuma.Prou�ci�cemo ovaj prilaz u glavi 9.2.11.9.2.4 Re�senja za trodimenzionalni harmonijski oscilatorIz svega prethodnog sledi da hamiltonijan H dat sa (9.2.3) ima �cisto diskretan spektar, koji glasi:En = (n + 32)~! n = 0; 1; 2; :::n def= nx + ny + nz: (9.2.21a,b)Zadatak 9.2.4 Pokazati da je multiplicitet n-tog nivoa:dimV(En) = 12(n+ 1)(n+ 2): (9.2.22)Svojstvene funkcije hamiltonijana (9.2.3) u x; y; z-reprezentaciji glase nx;ny;nz(x; y; z) = �m!�~ �34 1p2nnx!ny!nz!e�m!2~ r2Hnx(xpm!~ )Hny(ypm!~ )Hnz(zpm!~ ) : (9.2.23)9.2.5 Metod separacije sfernih polarnih koordinataU sfernim polarnim koordinatama hamiltonijan (9.2.3) glasiH = � ~22mr2 @@r (r2 @@r ) + l22mr2 + m!22 r2 (9.2.24)(u L2(r) L2()). U punoj analogiji sa hamiltonijanom vodoniku sli�cnog atoma, mo�zemo pri-meniti metod separacije varijabli i tako do�ci do bazisa od svojstvenih vektorah '�r j nlmi = �Rnl(r)Y ml (�; ') (9.2.25)(pi�semo �R da bismo ove radijalne funkcije razlikovali od njihovih pandana u vodoniku sli�cnomatomu). Funkcije (9.2.25) odgovaraju svojstvenim vrednostimaEn = (n+ 32)~! (9.2.26)9.2.1Po �zelji videti str. 90-92 u knjizi iz 9.1.3.

9.2. HARMONIJSKI OSCILATOR 347(n, kvantni broj energije, isti je kao u (9.2.21), ali sad se nq; q = x; y; z ne pojavljuju).Ne�cemo izra�cunavati vid radijalnih funkcija �Rnl(r). Samo �cemo postaviti slede�ce pitanje: Kojevrednsti za l mogu da se pojave zajedno sa datim n (pitanje kompatibilnosti vrednosti kvantnihbrojeva)? Odgovor nam je potreban ve�c i za to da znamo kako da prebrojavamo vektore j nlm iu pomenutom bazisu.9.2.6 Parnost energetskih nivoaBacimo pogled na vid svojstvenih funkcija hamiltonijana linijskog oscilatora, tj. na (9.2.19)i (9.2.17) i zapitajmo se da li ove funkcije imaju odredenu parnost. Iz (9.2.10) se vidi da sex! �x svodi na s! �s, a primeri (9.2.18) sugeri�su da Hnx(s) ima parnost (�1)nx. Gledaju�ci(9.2.17) i imaju�ci u vidu da je dds neparan operator, te da je dnxdsnx operator �cija je parnost (�1)nx,zaklju�cujemo da stvarno svaka funkcija Hnx(s) ima parnost (�1)nx. Iz (9.2.19) vidimo da i nx ima istu parnost (�1)nx. Dakle, (nedegenerisani) energetski nivoi linijskog oscilatora imajuodredenu parnost i to parnost kvantnog broja energije.Pitamo se da li i energetski nivoi trodimenzionalnog harmonijskog oscilatora imaju odredenuparnost.Iz (9.2.23) mo�zemo odmah da zaklju�cimo da svojstvena funkcija nx;ny;nz(x; y; z) zaista imaodredenu parnost i to (�1)nx+ny+nz = (�1)n. Tako da i u ovom slu�caju imamo isti zaklju�cak: (de-generisani) energetski nivoi harmonijskog oscilatora imaju odredenu parnost i to parnost kvantnogbroja energije. Drugim re�cima, kako god odabrali svojstveni vektor j i 2 V(En) (neka linearnakombinacija funkcija (9.2.23) sa �ksiranim n), imamo Jp j i = (�1)n j i.Sad mo�zemo da se vratimo pitanju iz prethodnog paragrafa. Vektor j nlm i ima parnost(�1)l (jer je to parnost sfernog harmonika iz (9.2.25)). S druge strane, zaklju�cili smo da izH j nlm i = En j nlm i sledi da je parnost vektora j nlm i jednaka (�1)n. Dakle, l i n morajuimati jednaku parnost ili, drugim re�cima, za dato n dolaze u obzir samo vrednosti za l isteparnosti kao �sto ima n.Ne mo�zemo ovako jednostavnim rezonovanjem do�ci do kompletnog odgovora na postavljenopitanje. Sada �cemo formulisati potpuni odgovor (a dokaz �cemo dati tek u glavi 11).Za n parno, mogu�ce vrednosti za l:l = n; n� 2; :::; 0 (n+ 22 vrednosti); (9.2.27a)Za n neparno, imamo l = n; n� 2; :::; 1 (n+ 12 vrednosti): (9.2.27b)Zadatak 9.2.5 Dokazati da je broj mogu�cih vrednosti za l kada je dato n, zaista kao �sto je dato u zagradi u(9.2.27).Dakle, sa potpune klasi�kacije stanja fj nxnynz ijnx; ny; nz = 0; 1; 2; :::g mo�zemo da predemona potpunu klasi�kaciju stanja fj nlm ijm = �l;�l + 1; :::; l; l = n; n� 2; :::;n = 0; 1; 2; :::g.Zadatak 9.2.6 Prodiskutovati sli�cnost izmedu dve pomenute potpune klasi�kacije stanja za trodimenzionalniharmonijski oscilator s jedne strane, i ravnih i sfernih talasa sa druge.

348 GLAVA 9. PROSTI SISTEMI I IDENTI�CNE �CESTICE9.2.7 Energetska reprezentacijaU x 2.9.5 de�nisali smo pojam energetske reprezentacije, ali sve do sada nismo imali sasvimadekvatan primer za ilustraciju tog pojma. (Primer iz prethodnog odeljka nije sasvim adekvatan,jer hamiltonijan vodoniku sli�cnog atoma ima i kontinualan spektar, pa se ne uklapa u ograni�cenjana �cisto diskretni spektar koje smo u�cinili u x 2.9.5 | dodu�se, razlog za ograni�cenja je samojednostavnost.)Rezimiraju�ci rezultate ovog odeljka, mo�zemo re�ci da harmonijski oscilator u tri dimenzijedaje (bar) dve energetske reprezentacije. Jedna jefj nx; ny; nz i j nq = 0; 1; 2; :::; q = x; y; zg � Ho; (9.2.28a)a druga fj nlm i j m = �l;�l + 1; :::; l; l = n; n� 2; :::;n = 0; 1; 2; :::g � Ho: (9.2.29a)Potpuni skup kompatibilnih opservabli koji de�ni�se (9.2.28a) kao svoj zajedni�cki svojstvenibazis glasi: Hx; Hy; Hz; (9.2.28b)a za (9.2.29a) analogni skup je H; l2; lz: (9.2.29b)U (9.2.28b) H = Hx + Hy + Hz ne pripada potpunom skupu opservabli, ali jeste njihovafunkcija, analogno kao �sto u slu�caju slobodne �cestice H = T = p22m ne pripada potpunom skupupx; py; pz koji de�ni�se ravne talase (uporediti Zadatak Z 9.2.6).9.3 Identi�cne �cestice i kvantne statistikeU ovom odeljku �cemo zapo�ceti izu�cavanje implikacija veoma fundamentalne i jednostavne �cinjeniceda se elementarne �cestice u prirodi pojavljuju u (manjem ili ve�cem broju) potpuno nerazli�civih iliidenti�cnih primeraka. Pokaza�cemo kako dosledno kvantnomehani�cko opisivanje sistema od vi�seidenti�cnih �cestica iziskuje va�zenje jednog novog superselekcionog pravila, koje �cemo formulisatiu vidu VIII (i ujedno poslednjeg) postulata kvantne mehanike.Pri prou�cavanju sistema identi�cnih �cestica od osnovnog je zna�caja reprezentacija grupe per-mutacija SN (koja permutuje N identi�cnih �cestica) u H(u)1:::N . Matemati�cki tretman operatorapermutacija bi�ce izlo�zen dosta detaljno, jer je neophodan ne samo za kvantitativno opisivanjeidenti�cnih �cestica u prostoru stanja sa odredenim brojem �cestica (tj. u tzv. formalizmu prvekvantizacije), nego i za razumevanje formalizma druge kvantizacije (glava 11), u kome se pome-nuti sistemi opisuju u prostoru stanja u kome broj �cestica uzima sve mogu�ce vrednosti.9.3.1 Pojam identi�cnih �cesticaJednu od �cudesnih i svojevresnih pojava mikrosveta, bez pandana u klasi�cnoj �zici, nalazimo upojmu identi�cnih ili narazli�civih �cestica. Osobina identi�cnosti zna�ci da �cestice nemaju nijedneinherentne ili a priori osobine po kojoj bi se razlikovale dve od njih, osim ako su u razli�citomstanju (�sto ubrajamo u spolja�snje, promenljive, a posteriori osobine).

9.3. IDENTI�CNE �CESTICE I KVANTNE STATISTIKE 349Na primer, svi elektroni su identi�cne �cestice. Dok svaka dva klasi�cna objekta mo�zemo darazlikujemo po nekoj osobini (ako dovoljno pa�zljivo vr�simo posmatranja), svaka dva elektronasu potpuno jednaka po svojim inherentnim, tj. stalnim i nepromenljivim osobinama. Takvihosobina u stvari ima samo nekoliko: masa, elektri�cni naboj, spin, orbitni i spinski giromagnetskifaktor itd.Pojam identi�cnih �cestica je od va�znosti samo za elementarne �cestice. Ako vodimo ra�cuna oidenti�cnosti elementarnih �cestica, samim tim smo u potpunosti uzeli u obzir i identi�cnost slo�zenihkvantnih sistema. Naime, identi�cni slo�zeni sistemi se sastoje od identi�cnih elementarnih �cestica,a identi�cnost je od va�znosti upravo u kontekstu kompozicije �cestica u slo�zene sisteme.Postavlja se pitanje da li kvantnomehani�cko opisivanje sistema slo�zenog od vi�se identi�cnih�cestica mo�ze biti isto kao u slu�caju razli�civih �cestica, koji smo do sada prou�cavali.Odmah se name�ce odgovor da bi svaki operator koji nije simetri�can u odnosu na identi�cne�cestice, tj. koji, na neki na�cin, "razlikuje" nerazli�cive �cestice, morao biti li�sen �zi�ckog smisla.Medutim, II Postulat o opservablama (x 2.1.3) u principu pridaje �zicki smisao svakoj opservabliu prostoru stanja kvantnog sistema. Zna�ci, preostaje samo mogu�cnost da pogodno odaberemoprostor stanja (uporediti kraj od x 7.5.3).U narednim paragra�ma ovog odeljka na�ci �cemo na�cina da formuli�semo novi (i poslednji)postulat kvantne mehanike, koji �ce ideju identi�cnosti �cestica inkorporirati u kvantnomehani�ckiformalizam na logi�cki prihvatljiv, i eksperimentalno potvrden na�cin.Ali moramo po�ci od (intuitivno naba�cenih) simetri�cnih operatora, jer se oni neposredno na-dovezuju na ideju nemogu�cnosti razlikovanja �cestica. Analizira�cemo ovaj pojam prvo za dveidenti�cne �cestice, a zatim za N identi�cnih �cestica.9.3.2 Simetri�cni operatori za dve identi�cne �cestice | al-gebarska de�nicijaDa bismo simetri�cne operatore (opservable i transformacije simetrije) precizno de�nisali, ograni�cimose za sada na dvo�cesti�cni orbitni prostor stanja H(o)12 = H(o)1 H(o)2 .De�ni�simo izomor�zam J (o)2 1 orbitnog prostora stanja prve �cestice H(o)1 na analogni prostordruge �cestice H(o)2 slede�cim preslikavanjem bazisa na bazis:J (o)2 1 j r1 i =j r2 def= r1 i; 8r1 (9.3.1)(tj. lik u H(o)2 je odreden istim vrednostima koordinata kao �sto ih ima prolik j r1 i u H(o)1 ). Ka�zese da su operatori A1 u H(o)1 i A2 u H(o)2 ekvivalentni po J (o)2 1 ako9.3.1A2 = J (o)2 1A1J (o)�12 1 : (9.3.2)Zadatak 9.3.1 a) Pokazati da se isti izomor�zam J (o)2 1 mo�ze ekvivalentno de�nisati pomo�cu (uop�stenog)svojstvenog bazisa impulsa na slede�ci ne�cin:J (o)2 1 j p1 i =j p2 def= p1 i;8p1 (tj. analogno kao u (9.2.1)) ipokazati da su osnovni skupovi opservabli r1; r2 u H(o)1 i r2; r2 u H(o)2 ekvivalentni po J (o)2 1.9.3.1Izomor�zam J (o)2 1 se na isti na�cin de�ni�se i za razli�cive �cestice. Naime, neidenti�cne �cestice takode mogu bitiu "istom". stanju, to u stvari zna�ci da su �cestice u stanjima izomorfnim po J (o)2 1. Zato smo u x 2.6.6 govorili oekvivalentnim (ba�s u odnosu na J (o)2 1) orbitnim prostorima stanja za razli�cite �cestice.

350 GLAVA 9. PROSTI SISTEMI I IDENTI�CNE �CESTICEb) Pokazati da su i drugi osnovni operatori kao l1; J (p)1 i J (v)1 takode ekvivalentni po J (o)2 1 sa svojim pandanimal2; J (p)2 ; J (v)2 .Prakti�cnije je umesto sa J (o)2 1, koji preslikava prostor stanja jedne �cestice na prostor stanjadruge, koristiti se tzv. operatorom izmene (engleski: exchange operator, �citati; eks�cejnd�z oupe-rejte). On je de�nisan u dvo�cesti�cnom prostoru H(o)12 tako da u svakom nekorelisanom faktoruuzajamno zamenjuje faktor-vektore. Drugim re�cima, obele�zavaju�ci operator izmene sa E, imamopo de�niciji E(j r1 i j r2 i) = (J (o)2 1 j r2 i) (J (o)2 1 j r1 i); 8r1; r2: (9.3.3)Zadatak 9.3.2 Pokazati da za svaki nekorelisani vektor ili nekorelisani uop�steni vektor j 1 i j 2 i u H(o)12 va�ziE(j 1 i j 2 i) = (J (o)�12 1 j 2 i) (J (o)2 1 j 1 i): (9.3.4)(Indikacija: Razviti j 1 i i j 2 i po bazisima fj r1 ij8r1g odnosno fj r2 ij8r2g i iskoristiti (9.3.3) i bilinearnostdirektnog proizvoda.)Operator kineti�cke energije za dve identi�cne (ili neidenti�cne) �cestice glasiT1 + T2 = p212m + p222m: (9.3.5)Zadatak 9.3.3 Pokazati da va�zi E(T1 + T2)E�1 = T1 + T2: (9.3.6a)Jednakost (9.3.6a) je o�cigledno ekvivalentna sa[ T1 + T2; E ] = 0: (9.3.6b)Operator dvo�cesti�cne interakcije V12 za dve identi�cne �cestice takode uvek (kako god eksplicitnoglasio) zadovoljava analogone od (9.3.6):EV12E�1 = V12 , [V12; E] = 0: (9.3.7a,b)Analogno va�zi za operator prostorne inverzije J (p)1 J (p)2 i vremenske inverzije J (v)1 J (v)2 .Za bilo koji operator B u prostoru stanja H(o)12 dve identi�cne �cestice ka�ze se da je simetri�canoperator ako [ B; E ] = 0 : (9.3.8)9.3.3 Simetri�cni operatori za dve identi�cne �cestice | geo-metrijska de�nicijaMi smo u (9.3.8) simetri�cne operatore karakterisali algebarski, tj. njihovim komutacionim odno-som sa operatorom izmene E. Sada �cemo prou�citi geometrijsko nali�cje ove de�nicije.

9.3. IDENTI�CNE �CESTICE I KVANTNE STATISTIKE 351Operator izmene je o�cigledno involutivan i stoga ne samo unitaran operator (transformacija),ve�c je i opservabla (uporediti analogni slu�caj sa Jp u dokazu teoreme T8.1.3). Opservabla Eima svojstvene vrednosti +1 i �1 i de�ni�se svojstvenu dekompozicijuH(o)12 = Vs � Va : (9.3.9)Vektori j 12 i 2 H(o)12 koji zadovoljavaju svojstvenu jednakost E j 12 i =j 12 i nazivaju sesimetri�cni vektori, a vektori j �12 i 2 H(o)12 koji su re�senja jedna�cine E j �12 i = � j �12 iantisimetri�cni vektori. Odgovaraju�ci svojstveni potprostori Vs, odnosno Va, nazivaju se kratkosimetri�cni, odnosno antisimetri�cni potprostori.Zadatak 9.3.4 Pokazati da u kvantnomehani�ckom problemu dve �cestice, kada pi�semo H(o)12 = HCM HR�C(uporediti (4.5.19)), ako je m1 = m2 va�zi:E = ICM J (p)R�C ; Vs = HCM V(p)+ ; Va = HCM V(p)� ; (9.3.10a,b,c)gde je ICM identi�cni operator u HCM, J (p)R�C je operator prostorne inverzije za relativnu �cesticu, a V(p)� su svojstvenipotprostori od J (p)R�C , koji odgovaraju svojstvenim vrednostima �1.Obele�zi�cemo sa S i A projektore na Vs odnosno na Va, tj. svojstvene projektore od E kojiodgovaraju svojstvenim vrednostima +1, odnosno �1. Imamo:S = 12(I + E); A = 12(I � E) : (9.3.11a,b)Zadatak 9.3.5 a) Dokazati da su S i A projektori, i to komplementarni (tj. da su ortogonalni i da se sabirajuu identi�cni operator I).b) Dokazati da su S i A svojstveni projektori od E.Mi �cemo S i A nazivati simetrizatorom odnosno antisimetrizatorom9.3.2. Razlog za termin jeu tome �sto proizvoljni vektor kad se projektuje sa S, odnosno sa A, postaje simetri�can, odnosnoantisimetri�can vektor.Podsetimo se sad matemati�cke �cinjenice da linearan (ili antilinearan) operator B komutirasa opservablom E ako i samo ako komutira sa svakim njenim svojstvenim projektorom, tj. sa Si A (S 2.4.2). A ovo je slu�caj ako i samo ako su potprostori Vs i Va invarijantni za B (S 2.4.3).Dakle, simetri�cnost operatora B u H(o)12 mo�zemo ekvivalentno de�nisati zahtevom da su za Binvarijantni kako simetri�cni potprostor Vs, tako i antisimetri�cni potprostor Va.Zadatak 9.3.6 Pokazati da je dovoljno zahtevati da jedan od potprostora Vs;Va bude invarijantan za B, ondaje drugi nu�zno invarijantan.Na kraju ovog paragrafa pro�sirimo dobijene rezultate na ukupne prostore stanja. De�ni�simoizomor�zam J (s)2 1 spinskog faktor-prostora H(s)1 na H(s)2 (s1 = s2 = 12) pomo�cu standardnihbazisa: J (s)2 1 j � i1 =j � i2: (9.3.12)9.3.2U nekim ud�zbenicima kvantne mehanike simetrizator i antisimetrizator se de�ni�su bez faktora 12 (odnosnobez faktora 1N u slu�caju N �cestica).

352 GLAVA 9. PROSTI SISTEMI I IDENTI�CNE �CESTICEOnda je o�cigledno da je J2 1 def= J (o)2 1J (s)2 1 (pi�semo J2 1 umesto J (u)2 1) izomor�zam ukupnogprostora stanja prve �cestice H(u)1 = H(o)1 H(s)1 na analogni prostor druge �cestice H(u)2 .Operator izmene E onda mo�zemo pro�siriti na ukupni prostor H(u)12 dve identi�cne �cestice(pi�semo opet E umesto E(u)):E(j 1 i j 2 i) def= J �12 1 j 2 i J2 1 j 1 i; (9.3.13)i to za svaka dva vektora j 1 i 2 H(u)1 j 2 i 2 H(u)2 .�Citaocu je verovatno o�cigledno da su sad potpuni skupovi opservabli r1; p1; s1 i r2; p2; s2ekvivalentni po J2 1.Po de�niciji, operator B u H(u)12 je simetri�can ako komutira sa ukupnim operatorom izmene:[ B; E ] = 0: (9.3.14)9.3.4 Simetri�cni operatori za N identi�cnih �cesticaU ovom paragrafu uop�sti�cemo rezultate paragrafa x 9.3.2 na slo�zeni kvantni sistem odN identi�cnih�cestica.Neka je H(u)1:::N = H(u)1 � � � H(u)N . Za svaka dva razli�cita indeksa i < j � N postojiizomor�zam Jj i prostora H(u)i na H(u)j de�nisan kao u x 9.3.2. Ovakvih izomor�zama izmedu podva faktor-prostora ima toliko koliko ima razli�citih parova indeksa 1; :::; N . Taj broj je, kao �sto jepoznato, jednak N(N�1)2 . Ovi izomor�zmi su povezani tranzitivno�s�cu, na primer Jk jJj i = Jk iitd.S druge strane, za N �cestica imamo grupu od N ! permutacija (za N = 2 je N ! = 2, i ovagrupa se sastoji od I i E). One se obi�cno pi�su na slede�ci na�cinp = � 1 2 : : : Np1 p2 : : : pN � ; 8p 2 SN : (9.3.15)(za prolik i lik je pi, koji je takode broj od 1 do N). SN se naziva simetri�cnom grupom ilipermutacionom grupom N -tog reda.Zadatak 9.3.7 Pokazati da SN mo�ze da se izomorfno reprezentuje u H(u)1:::N pridru�zivanjem9.3.3:p! P : P j r1; r2; : : : ; rN i def= j rp�11 ; rp�12 ; : : : ; rp�1N i; 8r1; : : : ;8rN ; (9.3.16)gde je p�1 inverzna permutacija od p (a p�1i je lik i po p�1).Zadatak 9.3.8 Pokazati da je svaki operator P iz (9.3.16) unitaran u H(u)1:::N .9.3.3 Za dokazivanje pomenute izomorfnosti klju�cno je da se uo�ci da je P j : : : ; rpi ; : : :i, a ne recimo j : : : ; rpp�1i ; : : :i.Naime, premisa de�nicije (9.3.16) je da je na levoj strani od (9.3.16) zadat na�cin kako se svakom i = 1; : : : ; Npridru�zuju po tri realna broja ri; na desnoj strani od (9.3.16) onda imamo slo�zeno pridru�zivanje (slo�zenu funkciju)rp�1i . Na levoj strani od P j : : : ; rpi ; : : : i = : : : dato pridru�zivanje je ve�c slo�zeno: prvo se na i primeni p0, pa setek onda uzme rp0i po prethodno zadatom preslikavanju i! ri. Zna�ci, nezavisno promenljiva je i i na nju trebaprimeniti p�1. Pridru�zivanje p! P dato sa (9.3.16) specijalni je slu�caj izomorfnog preno�senja transformacija izdomena funkcija na skup funkcija: T f(s)) def= f(T�1s).

9.3. IDENTI�CNE �CESTICE I KVANTNE STATISTIKE 353Zadatak 9.3.9 Neka je fj n i1 j 8ng bazis u H(u)1 i prenesimo ga izomor�zmima Jj 1 (j = 2; : : : ; N) u ostalejedno�cesti�cne prostore. Uz j n ij def= Jj 1 j n i1, bazisi u faktor-prostorima daju bazis fj n1 i1 : : : j nN iN j 8nig uH(u)1:::N . Pokazati da va�zi P j n1 i1 : : : j nN iN =j n01 def= np�11 i1 : : : j n0N def= np�1N iN ; (9.3.17)gde je na primer n odredena vrednost kvantnog broja n, i to ona koja je na prvom mestu itd.Neka je pij transpozicija indeksa i i j (specijalni slu�caj permutacije), 1 � i < j � N . Onda(9.3.16) daje za odgovaraju�ci operator Pij:Pij j ::; ri; : : : ; rj; : : : i =j : : : ; rj; : : : ; ri; : : : i (9.3.18)(jer p�1 = p). Naravno, mo�zemo takode da pi�semoPij j : : : ; ri; : : : ; rj; : : : i = : : : J �1j i j rj i : : : Jj i j ri i : : : (9.3.19)(radijus vektori koji nisu ispisani ostaju nepromenjeni).Po�sto se svaka permutacija faktori�se u transpozicije, svaku od N ! permutacija mo�zemo suk-cesivnom primenom (9.3.19) da izrazimo pomo�cu N(N�1)2 izomor�zama Jj i izmedu po dvafaktor-prostora. (Ali to nije sasvim jednostavno napisati u jednoj formuli, jer vi�se transpozicijamo�ze da deluje na isti indeks.)Dakle, ovim putem uop�stavamo "izjedna�cavanje" i-te i j-te �cestice (na �sta se svodi uloga odJj i) naN �cestica. Osnovni skupovi opservabli r1; p1; s1; r2; p2; s2; : : : rN ; pN ; sN su ekvivalentni.Isto tako i drugi operatori u faktor-prostorima koji su iste funkcije osnovnog skupa opservabli(ili se algebarski jednako odnose prema njima, kao �sto su Jp i Jv).U hamiltonijanu H = NXi=1 Ti +Xi<j Vij (9.3.20)N identi�cnih �cestica svi operatori kineti�cke energije Ti su jednake funkcije osnovnog skupa op-servabli i svi operatori dvo�cesti�cne interakcije Vij su takode jednake funkcije parova osnovnihopservabli ri; pi; si; rj; pj; sj. Kao �sto smo rekli, doti�cni operatori su stoga ekvivalentni i hamil-tonijan zadovoljava P HP�1 = H , [H; P ] = 0; 8p 2 SN (9.3.21)(to va�zi i posebno za ukupni operator kineti�cke energije i posebno za ukupni operator interakcije).Analogne relacije va�ze za ukupne aditivne operatore kao �sto su L = PNi=1 li, S = PNi=1 si,J =PNi=1 ji, kao i za multiplikativne operatore kao �sto su J (p)1;:::;N = Ni=1J (p)i i J (v)1;:::;N = Ni=1J (v)i .Za neki operator B u H(u)1:::N ka�ze se da je simetri�can operator ako komutira sa svim permu-tacijama, tj. ako va�zi [B; P ] = 0; 8p 2 SN (9.3.22)(P reprezentuje p u H(u)1:::N preko pridru�zivanja (9.3.17) ili (9.3.16)).

354 GLAVA 9. PROSTI SISTEMI I IDENTI�CNE �CESTICE9.3.5 Simetri�cni operatori za N identi�cnih �cestica | geo-metrijska de�nicija�Sto se ti�ce geometrijske karakterizacije N -�cesti�cnih simetri�cnih operatora, potprostori Vs i Va izparagrafa x 9.3.3 uop�stavaju se u tzv. potprostore maksimalne simetrije, a to su u stvari vi�sestrukiireducibilni invarijantni potprostori9.3.4 za permutacionu grupu SN , zapravo za njenu reprezen-taciju u H(u)1:::N . Ovi potprostori se de�ni�su u punoj analogiji sa odgovaraju�cim potprostorima zarotacionu grupu9.3.5, tj. sa potprostorima koje smo u x 6.3 nazivali "ormari sa �okama".Za N = 2, postoje samo dva ovakva potprostora: Vs i Va. Za N = 3 ima ih vi�se, ali nas �cestvarno zanimati samo direktna uop�stenja od Vs i Va.Za vektor j i 2 H(u)1:::N ka�ze se da je simetri�can ako jeP j i =j i; 8p 2 SN ; (9.3.23)dok se antisimetri�cni vektori j i 2 H(u)1:::N de�ni�su jednakostimaP j i = (�1)p j i; 8p 2 SN ; (9.3.24)gde je (�1)p tzv. parnost9.3.6 permutacije p. U literaturi se ponekad u istom smislu govori opotpuno simetri�cnim i potpuno antisimetri�cnim vektorima ("potpun", kao i "maksimalna" u9.3.4, iskazuje da se radi o celoj grupi SN , a ne o njenoj podgrupi).Skup svih simetri�cnih vektora u H(u)1:::N je tzv. simetri�cni potprostor Va, a svi antisimetri�cnivektori sa�cinjavaju tzv. antisimetri�cni potprostor Va.Projektor na Vs naziva�cemo simetrizatorom i obele�zava�cemo ga sa S. On glasi:S = 1N !Pp2SN P : (9.3.25)Projektor A na antisimetri�cni potprostor Va naziva�cemo antisimetrizatorom. On ima vidA = 1N !Pp2SN (�1)pP : (9.3.26)Zadatak 9.3.10 Dokazati da su S i A projektori i to uzajamno ortogonalni.9.3.4 Pridev "maksimalna" ovde ozna�cava da se radi o celoj permutacionoj grupi, a ne o nekoj njenoj pravojpodgrupi (�sto se takode ponekad koristi).9.3.5 Rotaciona grupa je beskona�cna Lie-eva grupa sa (hermitskim) vektorskim generatorom K. A permutacionagrupa SN je kona�cna grupa. Analogija je u rezultatima: u "ormarima"i "�okama", u dimenzionalnim odno-sima, ekvivalentnostima, itd. Samo dobijanje doti�cnih potprostora je u slu�caju kona�cne grupe sasvim druga�cije.De�ni�su se neposredno sami projektori na ormare i �oke i to kao linearne kombinacije samih operatora kojireprezentuju transformacije iz doti�cne kona�cne grupe. Koe�cijenti su pri tome u slu�caju "ormara" vrednostikaraktera ireducibilne reprezentacije, a u slu�caju "�oka" matri�cni elementi standardne reprezentacije (i jedno idrugo kompleksno konjugovano).9.3.6Kao �sto je poznato u teoriji simetri�cne grupe SN , faktorizacija permutacije u transpozicije je nejednozna�cna,�cak je i broj faktora nejednozna�can, ali parnost broja faktora jeste jednozna�cna i ona se naziva parno�s�cu permu-tacije i pi�se (�1)p. Dakle, (�1)p = �1.

9.3. IDENTI�CNE �CESTICE I KVANTNE STATISTIKE 355Zadatak 9.3.11 Dokazati da je oblast likova simetrizatora prostor Vs:R(S) = Vs: (9.3.27)(Indikacija: Pokazati prvo Vs � R(S) primenom S na simetri�cne vektore. Zatim pokazati R(S) � Vs demonstri-raju�ci da je S j i 2 Vs; 8 j i 2 H(u)1:::N :)Zadatak 9.3.12 Dokazati R(A) = Va: (9.3.28)Po�sto simetri�can linearni operator B (po de�niciji) komutira su svakim operatorom permu-tacija P , a S i A su linearne kombinacija tih operatora, B komutira i sa S i A. Projektori naostale potprostore maksimalne simetrije, obele�zimo ih sa Mq; q = 1; 2; : : : ; Q, su takode linearnekombinacije operatora P (videti 9.3.5 i mo�zda referencu u 8.3.10), pa B komutira i sa svakimod njih. �Stavi�se, i projektori na potprostore koji su analogoni od Vkm potprostora (na "�oke" izC 6.2) su takode linearne kombinacije operatora P , te B komutira i sa svakim od njih. Dakle, sviodgovaraju�ci potprostori su invarijantni za B, tj. B se redukuje u svakom od njih. I operatorikoji su analogoni od K� iz x 6.3 (tj. operatori koji preslikavaju jednu "�oku" na drugu unutaristog "ormara" takode su linearne kombinacije operatora permutacija P , te B komutira sa njima.Stoga se B u svim "�okama" istog "ormara" redukuje u uzajamno ekvivalentne operatore.Izlo�zeni potreban uslov da se linearan operator ako je simetri�can redukuje u svakom analogonuVkm potprostora i to u ekvivalentne operatore je i dovoljan uslov za simetri�cnost operatora B.Stoga ovaj uslov predstavlja geometrijsku de�niciju simetri�cnog linearnog operatora.Pokaza�ce se da su za nas od va�znosti u stvari samo Vs i Va. U prvom se SN reprezentujeidenti�cnom reprezentacijom p ! Is; 8p 2 SN ; a u drugom tzv. alternativnom (ireducibilnom)reprezentacijom p ! (�1)pIa; 8p 2 SN . Zna�ci, homomorfni likovi od SN su Abel-ove grupefIag odnosno fIa;�Iag, stoga, kao �sto je poznato, svaki njihov ireducibilni potprostor mora bitijednodimenzionalan. Drugim re�cima, Vs i Va imaju samo po jednu "�oku".9.3.6 Postulat o identi�cnim �cesticamaDetaljno smo prou�cili matemati�cki sadr�zaj simetri�cnosti linearnog operatora B i na mala vratasmo provukli ideju da se nekako moramo ograni�citi na simetri�cne operatore pri opisivanju sistemaidenti�cnih �cestica. Krajnje je vreme da precizno reguli�semo logi�cki status pomenute nove idejeu kvantnoj mehanici.Zadatak 9.3.13 Neka su Mq; q = 1; 2; : : : ; Q, projektori na ostale potprostore maksimalne simetrije (ne na Vs iVa). Pokazati da za svaki izbor realnih brojeva ds; da; dq ; q = 1; : : : ; Q, opservablaD def= dsS + daA+ QXq=1 dqMq (9.3.29)komutira sa svakim simetri�cnim operatorom B u H(u)1:::N .�Citaocu koji se dobro se�ca na�se diskusije povodom superselekcione opservable celobrojnosti(x 7.5) sad ve�c mora biti jasno da je opservabla D superselekciona opservabla za sistem od N

356 GLAVA 9. PROSTI SISTEMI I IDENTI�CNE �CESTICEidenti�cnih �cestica, zva�cemo je superselekciona opservabla maksimalnih simetrija9.3.7. To zna�ci dase prostor stanja H(u)1:::N mora ograni�citi na jedan od svojstvenih potprostora od D, tj. na jedanod potprostora maksimalne simetrije. Naime, u smislu K7.5.1 (i rezimea ispod toga), sistem odN identi�cnih �cestica mora uvek da ima jednu odredenu svojstvenu vrednost od D, i ona ne mo�zenikad da se promeni ni spontanom evolucijom sistema niti merenjem.Kao �sto smo napomenuli u x 6.10.1, �cestice sa polucelim spinom s nazivaju se fermioni, a�cestice sa celobrojnim spinom s bozoni. A sad mo�zemo da formuli�semo poslednji postulat.VIII POSTULAT O IDENTI�CNIM �CESTICAMAa) Prostor stanja sistema od N identi�cnih bozona je Vs, prostor svih sime-tri�cnih vektora u H(u)1:::N .b) Prostor stanja sistema od N identi�cnih fermiona je Va, prostor svihantisimetri�cnih vektora u H(u)1:::N .Kao �sto vidimo, prostor stanja sistema od N identi�cnih �cestica nije ceo H(u)1:::N , ve�c samo jedannjegov potprostor maksimalne simetrije. Samo Vs i Va imaju �zi�ckog smisla i to kao bozonskiodnosno fermionski prostor, kao �sto �cemo ih zvati.Ako se setimo sadr�zaja Postulata o stanjima, onda Postulat o identi�cnim �cesticama mo�zemoda formuli�semo i na slede�ci na�cin: �Cisto stanje sistema od N identi�cnih bozona se nu�zno opisujesimetri�cnim vektorom i obratno, svaki N -�cesti�cni simetri�can vektor u H(u)1:::N u principu opisujeneko �cisto stanje pomenutog sistema. Analogno, �cisto stanje sistema od N identi�cnih fermiona semora opisivati antisimetri�cnim vektorom i obratno, proizvoljan N -�cesti�cni antisimetri�cni vektoru H(u)1:::N u principu opisuje neko �cisto stanje pomenutog sistema.Dakle, Postulat VIII, koji mo�zemo nazvati i superselekcionim pravilom maksimalne simetrije,dopunjuje Postulat I za slu�caj kvantnog sistema od N identi�cnih �cestica.9.3.7 Bose-Einstein-ova i Fermi-Dirac-ova statistikaPo�sto se me�sano stanje � =Piwi j i ih i j jednog odredenog kvantnog sistema mo�ze sastojatisamo od �cistih stanja j i i; i = 1; 2; : : :, iz prostora stanja doti�cnog sistema, za sistem od Nidenti�cnih bozona � mora biti statisti�cki operator koji deluje u Vs. U ovom �sirem, statisti�ckomsmislu sadr�zaj Postulata VIII.A poznat je pod nazivom Bose-Einstein-ove statistike ("Bose"�citati: Bouz). Dakle, ansambl sistema od kojih svaki sadr�zi po N identi�cnih bozona opisuje seBose-Einstein-ovom statistikom, tj. statisti�ckim operatorom koji deluje u Vs.Analogno, u �sirem, statisti�ckom smislu Postulat VIII.B se obi�cno formuli�se tako da se ana-sambl kvantnih sistema od po N identi�cnih fermiona nu�zno opisuje tzv. Fermi-Dirac-ovom stati-stikom, a to �ce re�ci statisti�ckim operatorom koji deluje u Va. Napomenimo, radi kompletnosti, dase ansambl sistema sa po N razli�civih (tj. neidenti�cnih) �cestica opisuje tzv. Maxwell-Boltzmann-ovom statistikom, tj. statisti�ckim operatorom koji deluje (u principu) u celom prostoru stanjaH(u)1 : : :H(u)N .9.3.7Svojstvene vrednosti od D su potpuno neva�zne, bitni su svojstveni projektori (ili svojstveni potprostori). Onisu, naravno, ortogonalni i razla�zu identi�cni operator u H(u)1:::N : S + A+PQq=1 Mq = I .

9.4. MODEL NEZAVISNIH �CESTICA I PAULI-JEV PRINCIP 357Zadatak 9.3.14 Objasniti u �cemu je slede�ci iskaz pogre�san: Prostor stanja N identi�cnih bozona i prostorstanja N identi�cnih fermiona dobijaju se kao potprostori Vs odnosno Va jednog te istog kompozitnog prostoraH(u)1 : : :H(u)N . Relirati obja�snjenje sa x 2.6.6.Zadatak 9.3.15 Po �cemu se razlikuju fermionski prostor Va sistema od N elektrona i fermionski prostor Vasistema od N protona?9.3.8 Fizi�cki smisao postulataVideli smo na samom po�cetku ovog odeljka da identi�cne �cestice imaju sve inherentne osobinepotpuno jednake. Zaklju�cili smo da nijedna opservabla ne mo�ze razlikovati ove �cestice, tj. dasve opservable moraju biti simetri�cne. Izgleda plauzibilno da i N -�cesti�cna stanja j i 2 H(u)1 : : : H(u)N koja sa mogu ostvariti u prirodi ne razlikuju identi�cne �cestice, tj. da svih N �cesticaigra jednaku ulogu u j i. Ova kvalitativna misao se mo�ze precizno izraziti tako da nijednapermutacija P ne sme da menja pravac koji de�ni�se j i (setimo se da je skup pravaca P(H)pravi skup stanja u kvantnoj mehanici).Dovoljno je razmatrati transpozicije (jer mno�zenjem transpozicija dobijamo sve permutacije).Svaki operator transpozicije Pij je unitarni operator i involucija, dakle i opservabla i to sa svoj-stvenim vrednostima �1. Pokazali smo u lemi L 7.5.1 da Pij ne�ce menjati pravac od j i samoako je j i svojstveni vektor od Pij. Prema tome nu�znoPij j i = � j i; 8Pij: (9.3.30)Zna�ci, u skupu stanja koja su dostupna sistemu od N identi�cnih �cestica operatori svih transpo-zicija, a prema tome i operatori svih permutacija, svode se na brojeve, tj. imamo jednodimenzi-onalnu reprezentaciju simetri�cne grupe SN . U teoriji reprezentacija ove grupe poznato je da sujedine jednodimenzionalne reprezentacije od SN identi�cna reprezentacija (p ! +1; 8p 2 SN) ialternativna raprezentacija (p ! (�1)p; 8p 2 SN). Dakle, ovim rezonovanjem zaklju�cujemo dase u H(u)1 : : :H(u)N moramo ograni�citi na Vs ili na Va.Da rezimiramo na�su argumentaciju plauzibilnosti. Prirodno je da opservable ne smeju darazlikuju nerazli�cive �cestice, tj. moraju biti simetri�cne. To sa svoje strane ima za posledicuda postoji superselekciona opservabla maksimalne simetrije D def= dsS + daA +PQq=1 dqMq, iliekvivalantno, da se H(u)1 : : :H(u)N mora zameniti nekim od potprostora maksimalne simetrije:Vs = R(S) ili sa Va = R(A) ili sa R(Mq); q = 1; : : : ; Q. Da otpadaju svi R(Mq), a ostaju samoVs i Va sledi iz toga �sto i stanja sistema ne smeju da razlikuju nerazli�cive �cestice.Za tzv. vezu izmedu spina i statistike, tj. za iskaz da ba�s bozonima odgovara Vs, a fermionimaVa, nema plauzabilnog obja�snjenja unutar nerelativisti�cke kvantne mehanike.9.4 Model nezavisnih �cestica i Pauli-jev principU ovom odeljku �cemo Postulat o identi�cnim �cesticama ugraditi u kvantnomehani�cki formalizamkonstrukcijom osnovnih bazisa u bozonskom i fermionskom prostoru. De�nisa�cemo model neza-visnih �cestica (ili model ljuski), koji predstavlja osnovni model za sve kvantnomehani�cke sistemekoji se sastoje od vi�se identi�cnih fermiona, kao �sto je atomski omota�c, jezgro, elektronski gas u

358 GLAVA 9. PROSTI SISTEMI I IDENTI�CNE �CESTICEkristalu itd. U kontekstu ovog modela prou�ci�cemo Pauli-jev princip, kao i, u praksi veoma va�znu,mogu�cnost njegovog formalnog naru�savanja.9.4.1 * Bazis u bozonskom prostoruPostavlja se pitanja kako da na �sto prostiji i prirodniji na�cin konstrui�semo bazis u bozonskomprostoru Vs polaze�ci od proizvoljnog bazisa fj n ij8ng u H(u)1 .Teorem 9.4.1 a) Prenesimo bazis fj n i1j8ng � H(u)1 u ostale jedno�cesti�cne prostore pomo�cuizomor�zama Jj 1; j = 2; : : : ; N . Za dobijeni vektor j nij def= Jj 1 j ni1 2 H(u)j govori�cemoda je "isto" stanje kao j n i1 2 H(u)1 ; 8n;b) Formirajmo indukovani bazis9.4.1 fj n1 i j n2 i : : : j nN ij8ni; i = 1; 2; : : : ; Ng � H(u)1 : : :H(u)N .c) Izdelimo indukovani bazis u klase bazisnih vektora tako da su u istoj klasi svi vektori kojisadr�ze (kao faktore) istu kombinaciju (sa ponavljanjem) jednobozonakih stanja.d) Uzimamo zatim po jedan arbitraran bazisni vektor j n1 i j n2 i : : : j nN i iz svake klase ikonstrui�simoj n1n2 : : : nN i def= cn1:::nN S j n1 i j n2 i : : : j nN i = cn1:::nNN ! Pp2SN P j n1n2 : : : nN i ;(9.4.1)gde je n1n2 : : : nN jedna kombinacija (sa ponavljanjem) vrednosti kvantnog broja n jedno-bozonskih stanja, cn1:::nN je konstanta normiranja, a S je simetrizator.Tako smo u Vs dobili bazis:fj n1n2 : : : nN ij sve razli�cite kombinacije sa ponavljanjemg ; (9.4.2)Dokaz: * Po�sto su j n1 : : : nN i likovi po S, o�cigledno je da pripadaju oblasti likova od S, tj. da su u Vs. Akose (9.4.1) posmatra kao razlaganje vektora j n1 : : : nN i po indukovanom bazisu iz b), onda je zbog pozitivnostisvih razvojnih koe�cije nata o�cigledno da je svaki vektor j n1 : : : nN i nejednak nuli. Doka�zimo ortogonalnost:h n1 : : : nN j n01 : : : n0N i = 1N !cn1:::nNnn01:::n0N Pp2SN hn1 j : : : hnN j P j n01 i : : : j n0N i (iskoristili smo S2 = S)�Pp2sN h n1 j n001 def= n0p�11 i : : : h nN j n00N def= n0p�1N i (ovde � zna�ci: jednako s ta�cno�s�cu do faktora; iskoristili smo(9.3.17). Dalje, "n00i def= np�1i " zna�ci: indeksu i(i = 1; : : : ; N) pridru�zimo indeks p�1i (p�1i 1; : : : ; N), a onda vrednostkvantnog broja "n0p�1i " (tj. u faktor-vektoru j n0p�1i i uzmemo za vrednost kvantnog broja n00i . Po�sto imamo popretpostavci dve razli�cite kombinacije, za svaku permutaciju bar u jednom jedno�cesti�cnom skalarnom proizvoduh ni j n00i def= n0p�1i i sre�s�ce se nejednaka, i stoga ortogonalna, jednovcesti�cna stanja, i zato i skalarni proizvod ukompozitnom prostoru H(u)1 : : :H(u)N mora biti nula u svakom sabirku.Poka�zimo sad da bi dva indukovana bazisna vektora j n1 i : : : j nN i i j n01 i : : : j n0N i iz iste klase (videti d))dale isti bazisni vektor u Vs. Po�sto oba vektora sadr�ze istu kombinaciju jednobozonskih stanja, mo�zemo pisatij n01 i : : : j n0N i = P0 j n1 i : : : j nN i, gde je P0 neka permutacija. Po�sto je SP0 = 1N !Pp2SN P P0 = S(mno�zenje svake grupe jednim njenim elementom reprodukuje tu grupu) i onda ta�cnost na�se tvrdnje odmah sledi9.4.1Kvantni broj ni je isti kao i kvantni broj n iz a). Indeks i. slu�zi samo isticanju �cinjenice da n u vek toruj ni i 2 H(u)i , nezavisno od ostalih jedno�cesti�cnih vektora prelazi sve vrednosti.

9.4. MODEL NEZAVISNIH �CESTICA I PAULI-JEV PRINCIP 359iz konstrukcije (9.4.1).Preostaje nam samo dokaz kompletnosti konstruisanog bazisa (9.4.2) u Vs. Doka�zimo u tu svrhu da se svakivektor j i 2 Vs mo�ze razviti po (9.4.2). Razvijmo j i po indukovanom bazisu iz b) u celom H(u)1 : : :H(u)N :j i = Pn1 : : :PnN �n1:::nN j n1 i� j nN i. Zamenimo to na desnoj strani od j i = S j i: j i =Pn1 : : :PnN �n1:::nN S j n1 i : : : j nN i = Pn1:::nN Kn1:::nN�n1:::nNcn1:::nN j n1 : : : nN i. Opet smo iskoristili klase iz c);Kn1:::nN je broj vektora u klasi koja odgovara kombinaciji n1 : : : nN . Q. E. D.Zadatak 9.4.1 * Neka je j i 2 H(u)1 : : :H(u)N i neka je j i =Pn1 : : :PnN �n1:::nN j n1 i : : : j nN i razvojovog vektora po indukovanom bazisu iz Teorema T9.4.1, deo b). Pokazati da je j i simetri�can vektor ako i samoako je �np1 ;:::npN = �n1:::nN ; 8p 2 SN : (9.4.3a)(Pi�semo skra�ceno npi umesto "n0i def= npi":)Zadatak 9.4.2 * a) U H(u)1 : : :H(u)N u indukovanom bazisu iz Teorema T9.4.1, deo b) j i se reprezentujebrojnom kolonom (�n1:::nN ) kao �sto sledi iz Z 9.4.1 (ovde slogovi n1; : : : ; nN od vrednosti kvantnog broja nprebrojavaju brojeve u "koloni"; u stvari nemamo kolonu, tj. doti�cni sistem brojeva nije potpuno ureden u niz).Pokazati da reprezentant od P u istom bazisu deluje na slede�ci na�cinP : (�n1:::nN )! (�np1 :::npN ): (9.4.3b)b) Objasniti kako se upravo re�ceno uklapa u op�stu �semu preno�senja grupe transformacija iz oblasti nezavisnopromenljivih na skup funkcija (�sema je data na kraju 9.3.3).9.4.2 Bazis od Slater-ovih determinati u fermionskom pro-storuPostavimo sad analogni zadatak kao u prethodnom paragrafu, ali ovoga puta za fermione. Pola-zimo opet od proizvoljnog bazisa fj n i1j8ng � H(u)1 i poku�sa�cemo da od njega dobijemo, na �stojednostavniji i prirodniji na�cin, bazis u fermionskom prostoru Va.Naravno, opet �cemo pre svega preslikati ovaj bazis u ostale jednofermionske prostore pomo�cuizomor�zama Jj i. Dobi�cemo fj n ij def= Jj 1 j n i1j8ng bazis u H(u)j ; j = 2; : : : ; N . Bazisnivektor j n ij 2 H(u)j je "isto" (zapravo izomorfno, tj. �zi�cki ekvivalentno) stanje kao j n i1 2 H(u)1 .Slede�ci korak �ce opet biti formiranje indukovanog bazisafj n1 i j n2 i : : : j nN ij8ni; i = 1; 2; : : : ; Ng (9.4.4)u H(u)1 : : :H(u)N . (Indeks na kvantnom broju nam omogu�cuje nezavisno variranje vrednosti.)U narednom koraku, u analogiji sa (9.4.1), treba da projektujemo vektore iz (9.4.4) u Va.Medutim, ovde nas �ceka jedno iznenadenje, jedna speci��cnost sistema od N identi�cnih fermiona.Lema 9.4.1 Ako se u bazisnom vektoru j n1 i j n2 i : : : j nN i iz (9.4.4) bar jedno jednofermionskostanje ponavlja, onda je A j n1 i j n2 i : : : j nN i = 0: (9.4.5)Dokaz: Dakle, po pretpostavci, u j n1 i j n2 i : : : j nN i imamo bar jedno ponavljanje istog stanja. Prepi�simo, naosnovu toga, ovaj vektor u vidu : : : j ni i : : : j nj i : : :, pri �cemu su j ni i i j nj i ista stanja (tj. ni = nj). O�cigledno: : : j ni i : : : j nj i : : : = Pij : : : j ni i : : : j nj i : : : ; (9.4.6)

360 GLAVA 9. PROSTI SISTEMI I IDENTI�CNE �CESTICEgde je Pij transpozicija stanja i-te i j-te �cestice. Izra�cunajmoAPij = 1N ! Xp2SN(�1)pP Pij = � 1N ! Xp02SN(�1)p0 P 0 = �A;gde je P 0 def= P Pij i (�1)p0 = �(�1)p (permutacija p0 def= ppij ima jednu transpoziciju vi�se nego p, zna�ci, suprotnuparnost broja transpozicija). Opet smo iskoristili �cinjenicu da mno�zenje svih elemenata grupe jednim njenimelementom daje ta�cno istu grupu (naravno, redosled elemenata se permutuje, ali to u zbiru nije va�zno).Iz dokazane operatorske relacije APij = �A i (9.4.6) sad sledi: A : : : j ni i : : : j nj i : : : = APij : : : j ni i : : : j nj i : : : =�A : : : j ni i : : : j nj i : : : = 0 (kako medu brojevima tako i medu vektorima samo je nulti vektor jednak svomnegativnom). Q. E. D.Sad mo�zemo da nastavimo konstrukciju bazisa u Va iz unapred datog bazisa u prostoru prvogfermiona.Teorem 9.4.2 Ograni�civ�si se na vektore bazisa (9.4.4) koji sadr�ze kombinaciju jedno�cesti�cnihstanja bez ponavljanja, svrstajmo ih opet u klase tako da su u istoj klasi svi oni koji sadr�zeistu kombinaciju. Pretpostavljamo da su sve vrednosti kvantnog broja n potpuno uredene9.4.2(na arbitreran ali �ksiran na�cin): na primer, 1 < 2 < 3 < : : : Stoga se u svakoj pomenutoj klasibazisnih vektora iz (9.4.4) nalazi ta�cno jedan vektor (kanoni�cni, kao �sto se ka�ze) u kome sukcesijastanja nije nigde naru�sena: n1 < n2 < : : : < nN . Ovaj vektor uzmemo za daljnu konstrukciju:j n1 < n2 < : : : < nN i def= pN !A j n1 i j n2 i : : : j nN i =q 1N ! Pp2SN(�1)pP j n1 i j n2 i : : : j nN i :(9.4.7)Skup vektora fj n1 < n2 < : : : < nN ij sve kombinacije bez ponavljanjag (9.4.8)je bazis u Va.Dokaz: * �Citalac se lako mo�ze uveriti da se svaka pomenuta klasa bazisnih vektora iz (9.4.4) (sa N razli�citihjedno�cesti�cnih stanja u takvom vektoru) sastoji odN !N -�cesti�cnih vektora i to pored kanoni�cnog jn1i jn2i : : : jnN i(sa n1 < n2 < : : : < nN ) tu su i sve netrivijalne permutacije, tj. P j n1 i j n2 i : : : j nN i (u svima njima sa barnegde naru�sava pomenuta sukcesivnost stanja).Kao u dokazu L9.4.1, lako se mo�zemo uveriti9.4.3 da va�zi AP = (�1)pA; 8p 2 SN . Stoga bi ostali vektori iz isteklase dali (�1)p j nl < : : : < nN i, kao �sto se vidi iz (9.4.7). Zato se i ne koristimo ostalim vektorima u klasi. A ipotpuna uredenost vektora u polaznom bazisu fj n ij8ng � H(u)1 (koja ina�ce nije uobi�cajena) je potrebna upravoradi toga da bi krajnji bazisni vektor j n1 < : : : < nN i 2 Va bio potpuno odreden (a ne neodreden za predznakkao �sto bi bio slu�caj da uzimamo proizvoljnog predstavnika iz klase kao u slu�caju bozona).O�cigledno je da (9.4.7) daje vektore j n1 < : : : < nN i koji spadaju u Va (oblast likova projektora A), i koji susvi razli�citi od nule. Ortonormiranost skupa (9.4.8) sledi iz: h n1 < : : : < nN j n01 < : : : < n0N i = hn1 j : : : hnN jA j n01 i : : : j n0N i (po�sto A2 = A) = Pp2SN (�1)ph n1 j n001 def= n0p�11 i : : : h nN j n00N def= n0p�1N i. Sad se u svakomsabirku mno�ze skalarni proizvodi iz pojedinih jadno�cesti�cnih stanja. Ako se radi o dva razli�cita vektora iz (9.4.8),9.4.2Skupovi u kojima je za neke parove elemenata de�nisana binarna relacija parcijalaog uredenja � (analognokao u "manje ili jednako" za realne brojeva) nazivaju se parcijalno uredeni skupovi. U teoriji parcijalno uredenihskupova de�ni�se se pojam potpuno uredenog skupa. U takvom skupu za svaka dva elementa va�zi � ili � (� iistovremeno 6= zna�ci <).9.4.3Koristimo se �cinjenicom da va�zi (�1)pp0 = (�1)p(�1)p0 , tj. homomorfno�s�cu preslikavanja p ! (�1)p grupeSN na multiplikativnu grupu f1;�1g (alterniraju�ca reprezentacija).

9.4. MODEL NEZAVISNIH �CESTICA I PAULI-JEV PRINCIP 361onda su n1 < : : : < nN i n01 < : : : < n0N dve razli�cte kombinacije. Zna�ci, onda postoji bar jedno stanje medustanjima j n1 i; j n2 i; : : : ; j nN i koje ne postoji medu stanjima j n01 i; j n02 i; : : : ; j n0N i i stoga odgovaraju�cijedno�cesti�cni skalarni proizvod je nula u svakom sabirku. Tako se vidi ortogonalnost.Kada je n01 = n1; n02 = n2; : : : ; n0N = nN , onda �ce svaka netrivijalna permutacija sastaviti bar u jednomjedno�csesti�cnom skalarnom proizvodu nejednake (tj. ortogonalne) j ni i i j n00i def= n0p�1i i, tako da u gornjemizrazu svi sabirci moraju dati nulu osim �clanova sa P = I , koji daje 1. Tako se vidi da je vektor j n1 < : : : < nN inormiran.Jo�s treba da doka�zemo kompletnost konstruisanog ortonormiranog skupa, vektora (9.4.8) u Va. Proizvoljni vektorj i sigurno se mo�ze razviti po bazisu (9.4.4):j i =Xn1 : : :XnN �n1:::nN j n1 i : : : j n2 i: (9.4.9)Zamenimo ovo razvijanje na desnoj strani od j i = A j i:j i = Xn1;:::;nN �n1;:::;nN A j n1 i : : : j nN i = Xn1<:::<nN Xp2SN �n01def= np�11 ;:::;n0Ndef= np�1N A j n01 def= np�11 i : : : j n0N def= np�1N i:Suma po permutacijama prebrojava one bazisne vektore iz (9.4.4) koji pripadaju istoj klasi, dok prva suma porazli�citim kombinacijama bez ponavljanja prebrojava klase koje mogu da daju doprinos razli�cit od nule (uporeditiL 9.4.1).Po�sto je j n01 def= np�11 i j n02 def= np�12 i : : : j n0N def= np�1N i = P j n1 i j n2 i : : : j nN i, gornje razvijanje vektora j imo�zemo da pi�semo u viduj i = 1pN ! Xn1<:::<nN(Xp2SN(�1)p�n01def= np�11 ;:::;n0Ndef= np�1N ) j n1 < : : : nN i: (9.4.10)Q. E. D.Zadatak 9.4.3 Neka je j i 2 H(u)1 : : :H(u)N i neka je razvijanje ovog vektora po bazisu (9.4.4). Pokazati daje vektor j i antisimetri�can ako i samo ako je�np1 :::npN = (�1)p�n1:::nN ; 8p 2 SN ; (9.4.11)gde je sad na desnoj strani n1 � n2 � : : : nN , tj. n1; n2; : : : ; nN odgovara kanoni�cnom bazisnom vektoru u klasi(pri �cemu mo�ze biti i ponavljanja istih stanja). Pokazati takode da iz va�zenja (9.4.11) sledi da su svi razvojnikoe�cijenti u (9.4.9) koji stoje uz vektore j n1 i : : : j nN i sa ponavljanjem jednaki nuli.Zadatak 9.4.4 Pokazati da iz j 1 i : : : j N i 2 Va sledi j 1 i : : : j N i = 0 za proizvoljne vektorej 1 i; : : : ; j N i 2 H(u)1 . Drugim re�cima, samo je nula nekorelisani antisimetri�cni vektor. (Indikacija: Isko-ristiti (9.4.9) i (9.4.11) sa jednom proizvoljnom transpozicijom p = pij).Bazisni vektori j n1 < : : : < nN i se �cesto pi�su u vidu tzv. Slater-ovih determinanti (�citati:Slejterovih) i tako �cemo ih odsad i nazivati. Ove determinante glase:������ j n1 i1 � � � j n1 iN� � � � � � � � �j nN i1 � � � j nN iN ������ def= det(j ni ij) = (9.4.12)Xp2SN(�1)p j np1 i : : : j npN i = pN ! j n1 < : : : < nN i:Ovde su n1 < : : : < nN N �ksiranih razli�citih vrednosti kvantnog broja n jedno�cesti�cnih stanja,a indeks na ketu pokazuje o kojoj se �cestici radi (tj. u kom smo jednofermionskom prostoru).Zadatak 9.4.5 Objasniti za�sto (9.4.12) i (9.4.7) daju isto. (Indikacija: Dokazati prvo (�1)p�1 = (�1)p;8p 2SN :)

362 GLAVA 9. PROSTI SISTEMI I IDENTI�CNE �CESTICE9.4.3 Model nezavisnih �cesticaMatemati�cki problem indukovanja bazisa u Va polaze�ci od bazisa u H(u)1 , koji smo re�sili u pret-hodnom paragrafu, od velikog je �zi�ckog zna�caja u tzv. modelu nezavisnih �cestica ili (kao �stose jo�s ka�ze) modelu ljuski (engleski: shell model, �citati: �sel modl). To je sistem od N identi�cnihfermiona �ciji hamiltonijan ne sadr�zi nikakvu interakciju (sve �cestice su uzajamno dinami�cki ne-zavisne): H = NXi=1 hi; (9.4.13)gde je hi de�nisan u H(u)i , a zatim kao I1 : : : Ii�1 hi Ii+1 : : : IN (mada se pi�se i daljesamo hi) prenet u N -fermionski prostor. Osim toga, svih N fermiona su i dinami�cki nerazli�civi.To se ogleda u �cinjenici da su svi jedno�cesti�cni hamiltonijani hi uzajamno ekvivalentni, tj. datijednakom operatorskom funicionalnom zavisno�s�cu od osnovnog skupa opservabli ri; pi; si (kojisu sa svoje strane takode ekvivalentni u odnosu na izomor�zam Ji i).Primer modela nezavisnih �cestica je hamiltonijan elektronskog omota�ca atoma, ali bez uza-jamne interakcije elektrona: H0 = ZXi=1 ( p2i2me � Ze2ri ): (9.4.14)Vide�cemo u x 10.4.7 da mo�zemo zadr�zati model nezavisnih �cestica, a ipak znatno popraviti hamil-tonijan (9.4.14), koji igra ulogu neperturbisanog hamiltonijana, dodavanjem jednog usrednjenogjedno�cesti�cnog potencijala Wi koji je takode ista funkcija od ri; pi; si za sve �cestice:H0 = ZXi=1 ( p2i2me � Ze2ri + Wi): (9.4.15)Po �zi�ckom smislu Wi je usrednjena interakcija.Vratimo se na op�sti vid (9.4.13). Imamo simetri�can operator H u H(u)1 : : : H(u)N ; prematome, za H je Va invarijantan potprostor i H se redukuje u Va. Na osnovu Postulata o identi�cnimfermionima znamo da je od �zi�ckog interesa samo ovaj redukovani deo hamiltonijana. (Obratitipa�znju na to da se pojedini sabirci na desnoj strani od (9.4.13) ne redukuju u Va, tako dajednakost ima smisla samo u natprostoru H u H(u)1 : : :H(u)N .)Postavlja se pitanje kako re�siti svojstveni problem od H u Va. Pretpostavimo da smo re�silisvojstveni problem hamiltonijana jednog fermiona h1 iz (9.4.13) i, radi jednostavnosti, neka h1ima �cisto diskretan spektar f�0 < �1 < : : :g koji mo�zemo potpuno urediti po veli�cini energetskihnivoa, tako da postoji najni�zi nivo | osnovni nivo �0. (U stvari, matemati�cki to nije nu�zno, ali u�zi�ckim primerima je uvek tako.) Neka je vi�sestrukost nivoa �n jednaka dn <1 i neka indeks (iliniz indeksa) � prebrojava degenerisana svojstvena stanja od h1. Drugim re�cima, neka potpunaklasi�kacija stanja (svojstveni bazis od h1) glasifj n� ij� = 1; 2; : : : ; dn;n = 0; 1; 2; : : :g � H(u)1 ; (9.4.16a)i pri tome va�zi h1 j n� i1 = �n j n� i1; 8�; 8n: (9.4.16b)

9.4. MODEL NEZAVISNIH �CESTICA I PAULI-JEV PRINCIP 363Po�sto se radi o fermionima, moramo potpuno urediti vektore bazisa (9.4.16a). To �cemo naj-prirodnije uraditi tako da ne naru�simo uredenje nivoa. Stoga (pretpostavljaju�ci da su energetskinivoi i vrednosti od n biunivoko povezani) pi�semo za razli�cite n:�n < �n0 , n < n0 )j n� i <j n0�0 i; 8n 6= n0; �; �0; (9.4.17a)za isto n j n; � = 1 i <j n; � = 2 i < : : : <j n; � = dn i; 8n: (9.4.17b)Sada imamo jedan primer Slater-ovih determinanti, koje smo u prethodnom paragrafu pisaliu vidu j n1 < n2 : : : < nN i. Pisa�cemo ih konkretnije kao j n1�1 < n2�2 : : : < nN�N i (i ni�i jeopet jedan konkretan par vrednosti kvantnih brojeva n�). Znamo iz teorema T9.4.2 da je slede�ciskup vektora bazis u Va:fj n1�1 < n2�2 : : : < nN�N i j sve kombinacije bez ponavljanjag : (9.4.18)Ovaj bazis ima va�zan �zi�cki smisao.Teorem 9.4.3 Bazis (9.4.18) je potpuna klasi�kacija stanja (tj. svojstveni bazis) hamiltonijanaH datog sa (9.4.13) u Va. Pri tome svojstveni vektor j n1�1 < n2�2 : : : < nN�N i odgovarasvojstvenoj vrednosti (energetskom nivou sistema):En1n2:::nN def= �n1 + : : :+ �nN : (9.4.19)Dokaz: H j n1�1 < : : : < nN�N i = 1pN !HPp2SN (�1)pP j n1�1 i � � � j nN�N i =1pN ! Xp2SN(�1)pP H j n1�1 i � � � j nN�N i = 1pN ! Xp2SN(�1)pP (�n1 + � � �+ �nN ) j n1�1 i � � � j nN�N i =En1:::nN j n1�1 < n2�2 < : : : < nN�N i. Q. E. D.Zadatak 9.4.6 Pokazati da energetski nivo En1:::nN sistema u modelu nezavisnih �cestica (9.4.13) mo�ze da sadr�zikao sabirak u (9.4.19) jedan te isti jedno�cesti�cni energetski nivo �n najvi�se dn puta (dn je multiplicitet nivoa �n).Broj ponavljanja jedno�cesti�cnog nivoa �n u nivou sistema En1:::nN naziva se popunjeno�s�cudoti�cnog jedno�cesti�cnog nivoa u pomenutom nivou sistema. Iskaz zadatka Z 9.4.6 mo�ze se iskazatii tako da je popunjenost jedno�cesti�cnog nivoa �n u nivou sistema ceo broj iz intervala [0; dn].Zadatak 9.4.7 Objasniti svojim re�cima kakva je popunjenost jedno�cesti�cnih nivoa �0; �1; : : : u najni�zem, tj.osnovnom nivou sistema.Zadatak 9.4.8 Za�sto je u specijalnom slu�caju dn=0 = N osnovni nivo sistema jednak N�0 i za�sto je on nedege-nerisan?Zadatak 9.4.9 Pod pretpostavkom da je N < dn=0, kako glasi osnovni nivo sistema i kolika mu je degeneracija?(Indikacija: Iskoristiti slede�cu formulu iz kombinatorike: broj kombinacija bez ponavljanja reda p od q razli�citihelemenata (p � q) iznosi �qp� def= q!p!(q � p)! (9.4.20)(leva strana se �cita "q nad p").

364 GLAVA 9. PROSTI SISTEMI I IDENTI�CNE �CESTICEZadatak 9.4.10 Pod pretpostavkom da je dn=0 < N < dn=0 + dn=1, kako glasi osnovni nivo sistema i kolikamu je degeneracija?Kad se za dati nivo sistema En1;n2;:::;nN zadaju popunjenosti svih jedno�cesti�cnih nivoa (izo-stavljaju�ci one �cija je popunjenost nula), onda se govori o kon�guraciji nivoa sistema. Ako je zadati En1;:::;nN popunjenost nivoa �n maksimalna (tj. jednaka dn), onda se ka�ze da je nivo �n uEn1;:::;nN popunjen.Po�sto su nivoi sistema degenerisani, odgovaraju�ci svojstveni vektori nisu jednozna�cno odredeni.Pored vektora iz bazisa (9.4.18) mogu�ci su i druga�ciji svojstveni vektori: bilo koja linearna kom-binacija (ili red) degenerisanih Slater-ovih determinanti.Zadatak 9.4.11 Napisati op�sti svojstveni vektor od H (datog sa (9.4.13) i koji ima �cisto diskretni spektar) ito onaj koji odgovara energetskom nivou sistema �cija je kon�guracija �N3n1 ; �N3n2 ; �N3n3 , u eksponentu su popunjenosti(naravno, po pretpostavci, N je deljivo sa 3).Svojstveni potprostori V(En) jedno�cesti�cnog hamiltonijana h1 nazivaju se ljuske (engleski:shells) i �cesto se ka�ze da se pojedine ljuske (a ne �n) popunjavaju sa po najvi�se dn identi�cnihfermiona (naravno, dn = dimV(�n) 8n).9.4.4 Pauli-jev principKao �sto smo se uverili u Z 9.4.4 na kraju paragrafa x 9.4.2, u fermionskom prostoru Va, tj. uprostoru stanja N identi�cnih fermiona, nema nekorelisanih stanja. Fermi-Dirac-ova statistikaima za posledicu jednu a priori (tj. kinemati�cku) korelisanost jedno�cesti�cnih stanja bez obzirana vid interakcije ili eventualno nepostojanje interakcije.U prethodnom paragrafu smo videli da u modelu nezavisnih �cestica svojstvena stanja hamil-tonijana sistema (koji ne uklju�cuje interakciju) mogu biti Slater-ove determinante. One sadr�zenajprostiju korelaciju, koja mora postojati i u odsustvu interakcije.Iskaz da u modelu nezavisnih �cestica stanje sistema sa minimalnom korelacijom mora dasadr�zi N razli�citih jedno�cesti�cnih stanja poznat je pod nazivom Pauli-jev princip ili principis klju�civanja ili Pauli-jev princip isklju�civanja9.4.4. Ovaj princip je Pauli formulisao jo�s 1925.godine, pri razja�snjavanju strukture slo�zenih atoma. Istorijski ovaj princip je prete�ca na�segPostulata o identi�cnim �cesticama. Mi ga dajemo kao korolar, po�sto izla�zemo deduktivan kurskvantne mehanike.Kao �sto je �citaocu bez sumnje jasno, ograni�cenje popunjenosti nivoa �n na najvi�se dn jeneposredna posledica Pauli-jevog principa.Zadatak 9.4.12 Vratiti se na tabelu Tb 7.1 i protuma�citi pojedine kon�guracije neutralnih atoma koje su na-vadene u tabeli. Naro�cito obratiti pa�znju na popunjenost ljuski.9.4.5 Uglovni momenti popunjene podljuskeSad �cemo dokazati jedan teorem koji je od velike va�znosti za model ljuski u atomu ili jezgru (tj.u sistemu sa rotacionom simetrijom).9.4.4Engleski: the Pauli exclusion principle, �citati: eksklju�zn prinsipl.

9.4. MODEL NEZAVISNIH �CESTICA I PAULI-JEV PRINCIP 365Dosad smo imali op�sta razmatranja i pisali smo n za potpuni skup jedno�cesti�cnih kvantnihbrojeva. A sad �cemo se vratiti na konkretni primer elektrona u vodoniku sli�cnom atomu, te�cemo sa n (n je sad glavni kvantni broj) prebrojavati jedno�cesti�cne nivoe ili ljuske, a sa nlmlmsjedno�cesti�cna stanja. Stanja sa �ksiranim n i l �cine tzv. podljusku.Teorem 9.4.4 (Teorem o popunjenoj podljusci) Neka je podljuska nl u vodoniku sli�cnomatomu popunjena, tj. razmatramo sistem od N = 2(2l + 1) elektrona koji popunjavaju degeneri-sana jedno�cesti�cna stanja (izostavljamo �ksirane nl):j ml = �l; ms = �12 i <j ml = �l + 1; ms = �12 i < � � � (9.4.21)� � � j ml = l; ms = �12 i <j ml = �l; ms = +12 i < � � � <j ml = l; ms = 12 i:Tako smo dobili Slater-ovu determinantu od 2(2l + 1) stanja datih u (9.4.21):j ml = �l; ms = �12 i < � � � <j ml = l; ms = 12 i 2 Va:U ovom N-�cesti�cnom stanju imamo L = S = J = 0.Dokaz: a) L def= PNi=1 li, deluje u H(o)1:::N i prenosi se u Va. Njegov kvadrat mo�zemo da pi�semoL2 = 12(L+L� + L�L+)2 + L2z; (9.4.22a)(uporediti (6.2.18)), gde je L� def= NXi=1 l�i: (9.4.22b)Po�sto je svaki operator u (9.4.22a) simetri�can, svaki od njih komutira sa svakim operatorom permutacije i saantisimetrizatorom A. Stoga, L2 j ml = �l;ms = �12 < : : : < ml = l;ms = 12 i = (9.4.23)pN !( L+AL� + L�AL+2 + LzALz) j ml = �l;ms = �12 i � � � j ml = l;ms = 12 i(iskoristili smo (9.4.22a) i (9.4.7)).Lako se vidi da 2(2l+ 1)-�cesti�cni nekorelisani vektor j ml = �l;ms = � 12 i : : : j ml = l;ms = 12 i ima ukupanorbitni magnetni kvantni broj Ml = 0 (naime, u sabiranju jedno�cesti�cnih ml dva-po-dva se potiru osim ml = 0).Stoga Lz daje nulu.Kada na pomenuti nekorelisani vektor primenimo L+, u stvari sa l+;i delujemo samo na i-ti jedno�cesti�cni faktor-vektor i onda sabiramo po i. U svakom sabirku �cemo podi�ci vrednost magnetnog kvantnog broja za jedan. Alineki drugi faktor-vektor je ve�c bio u stvari jednak novonastalom vektoru (tj. sa istim ml, a i sa istim ms), jer susva jedno�cesti�cna stanja bila popunjena. Tako dolazi do ponavljanja istog stanja i primena antisimetrizatora Aposle toga da�ce nulu. I ovo je slu�caj sa N � 1 sabiraka u L+ (tj. za l+;i koji zati�cu ml 6= l; a l+;i j ml = l ii = 0.Stvar je potpuno analogna pri primeni L�, samo �sto se tu radi o sni�zavanju vrednosti magnetnog kvantnog broja.Dakle, sve skupa, L2 daje nulu.b) Dokaz da primena L2 = 12 (S+S� + S�S+)2 + S2z na na�su Slater-ovu determinantu daje nulu je potpuno

366 GLAVA 9. PROSTI SISTEMI I IDENTI�CNE �CESTICEanalogan sa rezonovanjem pod a).c) Po�sto je L = S = 0, a J def= L+ S, samim tim imamo J = 0. Q. E. D.Iz Teorema T9.4.4 o�cigledno sledi da popunjene podljuske elektronskog omota�ca atoma ne do-prinose ukupnim uglovnim momentima L; S i J omota�ca, ve�c su za ovo merodavni samo valentnielektroni.Razumevanje uloge valentnih elektrona u elektronskom omota�cu �cemo dalje produbiti uslede�cem paragrafu. A sada poku�sajmo da damo Pauli-jevom principu smisao koji prevazilazikontekst modela nezavisnih �cestica.Zadatak 9.4.13 Neka je j 1 i j 2 i : : : j N i nekorelisani vektor u kome je i-ta i j-ta �cestica u "istom" stanju.Pokazati da je verovatno�ca prelaza iz bilo kog stanja j i 2 Va u pomenuto nekorelisano stanje jednaka nuli.(Indikacija: Po�ci od opservable Pij ili od A.) Da li bi verovatno�ca prelaza bila nu�zno nula i da u nekorelisanomvektoru nema ponavljanja jedno�cesti�cnog stanja?Uobi�cajena formulacija Pauli-jevog principa da dva ili vi�se identi�cnih fermiona ne mogu bitiu istom jedno�cesti�cnom stanju mo�ze da se razume u smislu verovatno�ce prelaza kao u Z 9.4.13 ida se onda odnosi na proizvoljno stanje j i 2 Va.9.4.6 Kad mo�zemo da prenebregnemo Pauli-jev princip?Videli smo da poslednji Postulat ima ozbiljne konsekvence na osobine kvantnomehani�ckih si-stema i da nam je od neprocenjive vrednosti u prou�cavanju sistema od vi�se identi�cnih fermiona.Medutim, novi princip dovodi i do izvesnih pitanja; neka od njih na prvi pogled izgledaju kaoparadoksi.i) Nisu li identi�cni svi elektroni u vasioni (i svi protoni sveta itd)? Po�sto je odgovor potvrdan,nije li svaki elektron korelisan sa svima ostalim elektronima u vasioni, tj. ne bi li trebalo dau stvari sve vreme ra�cunamo sa antisimetri�cnim vektorima koji obuhvataju sve elektrone?ii) Kako mo�zemo u atomskom omota�cu posebno da tretiramo valentne elektrone, a popunjeneljuske da odvojimo kao "zamrznuti" core? Zar Pauli-jev princip ne povezuje sve elektroneomota�ca u nerazmrsivu celinu?Name�ce se pomisao da se u izvesnim slu�cajevima mo�ze prenabregnuti korelacija koja poti�ceod Pauli-jevog principa. Sada �cemo da de�ni�semo takve slu�cajeve.a) Fiksirajmo jedno ortogonalno razlaganje prostora prve �cestice na dva potprostoraH(u)1 = V(I)1 � V(II)1 ; (9.4.24a)i prenesimo ove potprostore (i razlaganje) pomo�cu izomor�zama Jj i i u ostale jedno�cesti�cneprostore H(u)j ; j = 2; 3; : : : ; N : H(u)j = V(I)j � V(II)j : (9.4.24b)Kada nije bitno o kojem se jedno�cesti�cnom prostoru radi, pisa�cemo pomenute potprostoreu vidu VI odnosno VII .

9.4. MODEL NEZAVISNIH �CESTICA I PAULI-JEV PRINCIP 367b) Pretpostavimo da se N1 fermiona "nalazi" u jedno�cesti�com potprostoru VI , N2 fermiona upotprostoru VII (N1+N2 = N), a izmedu ove dve grupe �cestica postoji samo korelacija kojuuspostavlja Pauli-jev princip. Izra�zeno preciznim jezikom formalizma, imamoN -fermionskinormirani vektor u Va: r NN1!N2!A(j 1:::N1 i j �N1+1:::N i); (9.4.25a)gde je A N -�cesti�cni antisimetrizator, j 1:::N1 i je N1-�cesti�cni normirani antisimetri�cni vektortakav da je j 1:::N1 i 2 V(I)1 � � � V(I)N1 ; (9.4.25b)a ina�ce proizvoljan (odsad: fermionsko stanje na VI), a j �N1+1:::N i je N2-�cesti�cni normi-rani antisimetri�cni vektor koji pripada potprostoru V(II)N1+1 V(II)N1+1 � � � V(II)N a ina�ce jeproizvoljan9.4.5 (odsad: fermionsko stanje na VII).Razjasnimo, pre svega, �sta a) i b) zna�ce u slu�caju svih elektrona sveta. Podelimo �zi�ckiprostor (klasi�cni) na dva domena DI i DII (DI [ DII = sav prostor, DI \ DII =prazan skup),recimo DI je zapremina ove zgrade, a DII sav ostali prostor. De�ni�simoPI def= ZDI j r i drhr j; PII def= ZDII j r i drhr j; (9.4.26a,b)a oblasti likova ovih projektora u Hu neka suVI def= R(PI); VII def= R(PII): (9.4.27a,b)Stanje (9.4.25b) onda zna�ci da se svih N1 elektrona nalaze u domenuDI , a preostalihN2 elektronase nalaze u domenu DII . Da izmedu dve pomenute grupe elektrona postoji samo minimalnakorelacija od antisimetrije (videti (9.4.25a)) odgovara okolnosti da su N2 elektrona u DII udaljeniod N1 elektrona u DI i ove dve grupe �cestica ne interaguju. Nasuprot ovome, unutar domenaDI (kao i unutar DII) mo�ze da postoji interakcija i zato vektori j 1:::N1 i i j �N1+1:::N i, svaka sasvoje strane mogu da sadr�ze i druge korelacije.U drugom primeru, tj. u primeru elektronskog omota�ca, neka VII po de�niciji obrazujuupravo sva popunjena stanja core-a, a VI preostala jedno�cesti�cna stanja (iz svojstvenog bazisaod h1 u modelu nezavisnih �cestica), koja su na raspolaganju valentnim elektronima. Prou�ci�cemojedan konkretan primer.9.4.5 Skicira�cemo izra�cunavanje faktora normiranja koji je dat u (9.4.25a). Grupa SN svih permutacija N �cesticasadr�zi podgrupu SN1 � SN2 , koja se sastoji od svih permutacija koje permutuju posebno prvih N1 �cestica iposebno N2 poslednjih, a uop�ste ne permutuju izmedu njih. Razla�zu�ci SN na kosete po podgrupi, imamo SN =Pp0(SN1 � SN2), sumiramo po permutacijama koje permutuju prvih N1 sa poslednjih N2 �cestica, a pripadajurazli�citim kosetima (uklju�cujemo i identi�cnu permutaciju). Imamo N !N1!N2! sabiraka (tzv. indeks podgrupe). Po�stoje A = (N !)�1Pp2SN (�1)pP , u A(j 1:::N1 i j �N1+1:::N i �cemo dobiti N1!N2! (broj elemenata u kosetu) putajedan te isti zbir od N !N1!N2! (broj koseta) ortogonalnih vektora (ova ortogonalnost je posledica ortogonalnostipotprostora VI i VII). Prema tome, faktor normalizacije c mora da zadovoljava c2N1!2N2!2N !2 N !N1!N2! = 1, tj. c =q N !N1!N2! .

368 GLAVA 9. PROSTI SISTEMI I IDENTI�CNE �CESTICEUzmimo fosfor (P). Iz tabele Tb 7.1 vidimo da je njegova kon�guracija (Ne)(3s)2(3p)3. Ispi-suju�ci eksplicitno kon�guraciju neona, core fosfora glasi: (1s)2(2s)2(2p)6(3s)2. Ovde je i N2 = 12i dimVII = 12; VII def= V(�1s)� V(�2s)� V(�2p)� V(�3s): (9.4.28)Ovi svojstveni potprostori jedno�cesti�cnog hamiltonijana (koji odgovaraju nivoima �1s; : : : ; �3s)imaju dimenziju 2, odnosno 2, odnosno 6, odnosno 2. Nije te�sko videti da je 12-elektronskiantisimetri�cni potprostor od prostora V(II)1 : : : V(II)12 jednodimenzionalan i da ga obrazujeSlater-ova determinanta de�nisana pomo�cu pomenutih 12 jedno�cesti�cnih stanja. Ona je sadj �N1+1:::N i(N1 = 3) u (9.4.25a).Zadatak 9.4.14 Dokazati �sto je upravo iskazano.Kako na primeru fosfora, tako i u svim ostalim atomskim omota�cima vektor j �N1+1:::N i u(9.4.25a) je jedinstvena Slater-ova determinanta, koja se mo�ze izgraditi na VII .U stvari, ako bismo i za valentne elektrone imali stanje j 1:::N1 i iz (9.4.25a) u vidu Slater-ove determinante, onda bi se (9.4.25a) svelo na formulu komponovanja Slater-ovih determinanti:Kronecker-ov proizvod N1-�cesti�cne i N2-�cesti�cne Slater-ove determinante, zatim primena antisi-metrizatora i faktora normiranja i rezultat je N = (N1 +N2)-�cesti�cna Slater-ova determinanta,kao �sto se lako vidi.Zadatak 9.4.15 Dokazati ovaj iskaz.Ali, �sto se ti�ce valentnih elektrona, tu se ide dalje od nulte aproksimacije, tj. od modelanezavisnih �cestica (u kome se tzv. preostala ili rezidualna interakcija uop�ste ne uzima u obzir),tako da j 1:::N1 i obi�cno sadr�zi vi�se od minimalnih korelacija Slater-ove determinante. I samosprezanje N1 valentnih elektrona u svojstveno stanje ukupnog uglovnog momenta (�sto se uvek�cini da bi se dobio uglovni moment atoma) daje po pravilu j 1:::N1 i koji je antisimetri�can, a nijeSlater-ova determinanta.U Dodatku x 9.4.8 dokaza�cemo teorem na osnovu kojeg mo�zemo ispustiti iz razmatranjapotprostor VII i N2 �cestica u njemu, tj. mo�zemo N -�cesti�cni vektor (9.4.25a) da zamenimo saN1-�cesti�cnim vektorom j 1:::N1 i (iz istog izraza (9.4.25a)).Ovaj postupak raspre�ze N2 �cestica od pomenutih N1 od njih u pogledu korelacija koje name�cePauli-jev princip i ispu�sta iz opisivanja tih N2 �cestica. Cena koja se pla�ca je odbacivanje ipotprostora VII � Hu, tj. ograni�cavanje jedno�cesti�cnog prostora stanja na VI .Postupak je egzaktan (tj. nije aproksimacija) ako se sve opservable i transformacije simetrijakoje su od interesa redukuju posebno u V(I)1 : : : V(I)N1 i posebno u V(II)N1+1 : : : V(II)N . Ina�cese moramo slu�ziti pribli�znim opservablama i transformacijama za koje to jeste slu�caj, i ondapomenuto prenebregavanje Pauli-jevog principa daje samo pribli�zno kvantnomehani�cko opisiva-nje. Strogo uzev, tj. imaju�ci u vidu sve opservable i transformacije (unitarne i antiunitarneoperatore) u Va od N fermiona, pomenuti postupak predstavlja modelno, pribli�zno opisivanje.

9.4. MODEL NEZAVISNIH �CESTICA I PAULI-JEV PRINCIP 3699.4.7 Koordinatno-spinska i impulsno-spinska reprezen-tacija Slater-ovih determinantiSva dosada�snja razmatranja bazirana su na apstraktnom jedno�cesti�cnom prostoru H(u)1 def= H(o)1 H(s)1 . Prou�cimo sad koordinatno-spinsku reprezentaciju i stoga predimo na prostor L2(r1) C 21sa elementima vida (r1; ms1).Neka je f�n(r1; ms1) j 8ng bazis u L2(r1) C 21 . Istim postupkom kao u slu�caju apstraktnihprostora, konstrui�simo normirane Slater-ove determinante1pN ! �������� �n1(r1; ms1) �n2(r2; ms2) : : : �n1(rN ; msN)�n2(r1; ms1) �n2(r2; ms2) : : : �n2(rN ; msN)... ... ... ...�nN (r1; ms1) �nN (r2; ms2) : : : �n1(rN ; msN) �������� = (9.4.29)1pN ! Xp2SN(�1)p�pn1 (r1; ms1)�pn2 (r2; ms2) : : : �pnN (rN ; msN):Sve Slater-ove determinante (prebrojavamo ih kombinacijama bez ponavljanja n1 < : : : < nNvrednosti kvantnog broja n) �cine bazis u fermionskom prostoru L2(r1) C 21 � � �L2(rN) C 2N .Zadatak 9.4.16 Dokazati da se Slater-ove determinante iz (9.4.29) mogu prepisati u viduh r1;ms1; r2;ms2 : : : ; rN ;msN j n1 < : : : < nN i; (9.4.30)gde je j r1;ms1; : : : ; rN ;msN i def= j r1;ms1 i � � � j rN ;msN i (uporediti (9.4.7) za desnu stranu).Kao �sto se vidi iz oblika (9.4.30) Slater-ovih determinanti u koordinatnoj reprezentaciji, vektorjn1 < n2 < : : : < nN i se skalarno mno�zi vektorom j r1; ms1; r2; ms2 : : : ; rN ; msN i 2 H(u)1:::N , koji nepripada fermionskom potprostoru Va. Kao i u modelu nezavisnih �cestica, tako i u koordinatnomreprezentovanju apstraktnih Slater-ovih determinanti, koristimo se u stvari natprostorom H(u)1:::Nfermionskog prostora Va.Zadatak 9.4.17 Pokazati da operator koji reprezentuje transpoziciju p12 u koordinatno-spinskoj reprezentaciji(pi�semo ga opet P12) ima slede�ce delovanjeP12 (r1;ms1; : : : rN ;msN ) = (r2;ms2; : : : rN ;msN ); (9.4.31)i uop�stiti ovaj rezultat na operator proizvoljne transpozicije.Zadatak 9.4.18 * Pokazati da uop�stenje transpozicije Pij na proizvoljnu permutaciju dajeP12 (r1;ms1; : : : rN ;msN ) = (rp1 ;msp1 ; : : : rN ;msN ) 8p 2 SN : (9.4.32)Zadatak 9.4.19 Pokazati da je gustina verovatno�ce da se u sistemu od N identi�cnih fermiona dve �cestice nalazena istom mestu i da imaju isti magnetni kvantni broj spina jednaka nuli.Po�sto su talasne funkcije kvantnih sistema obi�cno manje-vi�se neprekidne, iz iskaza ZadatkaZ 9.4.19 sledi da bilo koje dve �cestice sistema od N identi�cnih fermiona ne mogu biti mnogo blizujedna drugoj ako imaju istu projekciju spina. Drugim re�cima, kao da se Postulat o identi�cnimfermionima ispoljava kroz neku repulziju �cestica (koja je nedinami�ckog porekla).U impulsno-spinskoj reprezentaciji sa Hu def= HoHs prelazimo na prostor stanja L2(p) C 2i sve je potpuno analogno kao u slu�caju koordinatno-spinske reprezentacije (u svim gornjimrezultatima treba samo umesto r da stavimo p).

370 GLAVA 9. PROSTI SISTEMI I IDENTI�CNE �CESTICE9.4.8 * Dodatak| zasnivanje prenebregavanja Pauli-jevogprincipaImamo dve vrste antisimetri�cnih vektora, kao j 1:::N i (otsad kratko ) u (9.4.25a) koji pripa-daju fermionskom potprostoru u V(I)1 � � � V(I)N1 i vektori kao j �N1+1:::;N i (odsad �) elementiantisimetri�cnog potprostora u V(II)N1+1 � � � V(II)N .Ako se ograni�cimo na fermionski prostor de�nisan na VI , onda se kvantnomehani�cke predikcijemogu u principu svesti na verovatno�ce prelaza v( ! �). Ali dok je jo�s prisutan i potprostorVII preko (9.4.25a), moramo pre svega ustanoviti kako treba izra�cunati pomenute verovatno�ceprelaza pomo�cu N -�cesti�cnih vektora vida (9.4.25a).Ozna�cimo po�cetno N -�cesti�cno stanje sa � def= cA j i j � i, i uvedimo stanje j �0q i def= c0A j 0 i j �0 i, gde je fj �0qj8q ig arbitreran bazis u N2-�cesti�cnom fermionskom prostoru na VII, j i jearbitreran N1-�cesti�cni fermionski vektor stanja na VI , a c i c0 su konstante normiranja. Tra�zenaverovatno�ca prelaza onda glasi: v( ! 0) =Xq jh �0q j �ij2 (9.4.33)(ovde je prelaz ! 0 slo�zeni kvantni dogadaj i moramo ga razlo�ziti na elementarne, �cijeverovatno�ce su sabirci u (9.4.33); videti (2.2.5)). Svrha ovog odeljka je da se poka�ze da je desnastrana u (9.4.33) jednaka j ! 0j2.Lema 9.4.2 Neka je P 0 operator permutacije u prostoru stanja H(u)1:::N koji netrivijalno permu-tuje izmedu N1 prvih i N2 po slednjih �cestica (kao na primer p0 u 9.4.5, samo ovde isklju�cujemoidenti�cni operator). Onda kako god odabrali fermionska stanja i 0 na VI i za bilo koja fermi-onska stanja � i �0 na VII imamo h j h� j P 0 j 0 i j �0 i = 0: (9.4.34)Dokaz: Fiksirajmo jedan bazis u VI i jedan bazis u VII i indukujmo pomo�cu njih bazise od Slater-ovih determi-nanti u fermionskom prostoru na VI i u analognom prostoru na VII (videti Teorem T9.4.2 i (9.4.7)). Razvijmosva �cetiri fermionska stanja j i; j 0 i; j � i; j �0 i po ovim Slater-ovim determinantama. Primenimo i sve per-mutacije koje preko antisimetrizatora ulaze u sastav svake Slater-ove determinante (videti (9.4.7)) i sve linearnekombinacije (ili eventualno redove) izvucimo ispred matri�cnog elementa od P 0 u (9.4.34). Posle svega re�cenog,u svakom sabirku se pojavljuje faktor vida (9.4.34), samo �sto su sad sva �cetiri vektora j i; j 0 i; j � i; j �0 inekorelisana, tj. direktni su proizvodi jedno�cesti�cnih stanja (iz VI za prva dva pomenuta vektora, a iz VII zaposlednja dva). Posle primene P 0, nekorelisani vektor na mestu j 0 i sadr�zi bar jedno jedno�cesti�cno stanje iz VII !Kad se, posle ove primene izvr�si skalarno mno�zenje pojedinih jedno�cesti�cnih direktnih faktora, moramo dobitinulu, jer, kao �sto smo rekli, bar za jednu od N1 prvih �cestica mno�zimo stanje iz VI (bra) sa stanjem iz VII (ket).Q. E. D.Teorem 9.4.5 Neka je j �1;:::;N i =q N !N1!N2!A j 1;:::;N1 i j �N1+1:::N i stanje N identi�cnih fermionavida (9.4.25a), gde su j 1:::N1 i i j �N1+1:::N i proizvoljna stanja N1, odnosno N2 identi�cnihfermiona na VI, odnosno na VII (uporediti (9.4.24)). Neka je j 01:::N1 i drugo proizvoljno stanje

9.5. ANTISIMETRIZACIJA ORBITNO-SPINSKIH KOORDINATA I UGLOVNIH MOMENATA371N1 identi�cnih fermiona na VI. Verovatno�ca kvantnog dogadaja j 01:::N1 ih 01:::N1 j u stanju j �1:::N ijednaka je verovatno�ci prelaza v( ! 0):jh 01:::N1 j 1:::N1ij2: (9.4.35)dakle, uop�ste ne zavisi od stanja j �N1+1:::N i.Dokaz: Kao �sto smo rekli, u N -fermionskom prostoru pomenuti kvantni dogadaj je slo�zen dogadaj, te vero-vatno�ca, v, tog dogadaja glasi (videti (9.4.33)): v = Pq jh �0q j �ij2 = Pq( N !N1!N2! )2jh 0 j h�0q j A j i j � ij2(iskoristili smo A2 = A), a fj �0qj8q ig je proizvoljan bazis u N2-fermionskom prostoru na VII . Po�sto seu A = 1N !Pp2SN (�1)pP sumira po celoj simetri�cnoj grupi SN , pogodno je SN predstaviti kao sumu (tj.uniju disjunktnih podskupova) po kosetima: SN = Pp0 P 0(SN1 � SN2) (isto kao u 9.4.5, samo sad je re�co operatorima koji reprezentuju permutacije u prostoru H(u)1:::N ). U skladu sa tim mo�zemo da pi�semo A =(N !)�1Pp0(�1)p0 P 0Pp2SN1�SN2 (�1)pP . Po�sto (�1)pP j i j � i =j i j � i;8p 2 SN1 � SN2 ; A j i j � i =N1!N2!N ! Pp0(�1)p0 P 0 j ih� j (N1!N2! je, naravno broj elemenata u svakom kosetu) i na osnovu (L 9.4.2) imamov = Pq( N !N1!N2!)2(N1!N2!N ! )2jh 0 j h �0q j i j � ij2 (po�sto medu P 0 imamo i I , jedino na ovaj P 0 se (L 9.4.2) neodnosi).Dalje, v = jh 0 j ij2Pq jh �0q j �ij2 = jh 0 j ij2 = v( ! 0), jer Pq jh �0q j �ij2 = h� jPq j �0q ih �0q j �i =h� j III j � i = 1, gde je III identi�can operator u N2-�cesti�cnom fermionskom prostoru na VII . Q. E. D.9.5 Antisimetrizacija orbitno-spinskih koordinata i uglov-nih momenataU ovom odeljku �cemo se vratiti na ideju LS-sprezanja i pretpostavi�cemo da imamo vektor stanjaN identi�cnih fermiona koji je proizvod orbitnog N -�cesti�cnog vektora i spinskog N -�cesti�cnogvektora. Prou�ci�cemo �sta u ovom va�znom primeru zna�ci antisimetri�cnost ukupnog N-fermionskogvektora stanja. Relira�cemo jednim teoremom antisimetri�cnost sa mogu�cim kvantnim brojevimadvo�cesti�cnog uglovnog momenta i objasni�cemo primenu svega toga na dva valentna elektrona uatomskom omota�cu.9.5.1 Razdvajnje prostornih i spinskih varijabliDa bismo razdvojili sve prostorne varijable sistema N identi�cnih fermiona od svih njegovih spin-skih varijabli, napi�simo ukupni N -�cesti�cni prostor u LS-sprezanju (uporediti (7.4.14)):H(u)1:::N = H(o)1:::N H(s)1:::N (9.5.1)H(o)1:::N def= H(o)1 : : :H(o)N ; H(s)1:::N def= H(s)1 : : :H(s)N : (9.5.2a,b)Videli smo da su operatori permutacija P u H(u)1:::N entiteti pomo�cu kojih izra�zavamo identi�cnost�cestica i njihovu fermionsku ili bozonsku prirodu. Pri faktorizaciji (9.5.1) ukupnog prostora ipermutacije se faktori�su: P = Po Ps: (9.5.3)

372 GLAVA 9. PROSTI SISTEMI I IDENTI�CNE �CESTICETo zna�ci da Po deluje u H(o)1:::N , tu reprezentuje p 2 SN , a Ps deluje u H(s)1:::N reprezentuju�ci tuistu permutaciju p. Drugim re�cima, Po i Ps su "jedna te ista" permutacija, samo �sto deluju naprostorne odnosno na spinske varijable sistema.Pretpostavimo da u hamiltonijanu sistema nedostaju �clanovi koji bi sprezali prostorne i spin-ske varijable ili da su mali pa ih mo�zemo u dobroj aproksimaciji zanemariti. Onda se ponekadove dve vrste varijabli ne spre�zu (sprezanja stepena slobode je analogon interakcija podsistemamaterijalne prirode). U formalizmu to zna�ci da je ukupno stanje nekorelisani vektor u odnosuna (9.5.1): j �1:::N i =j 1:::N io j �1:::N is: (9.5.4)Da�cemo sad jednostavan i u praksi va�zan potreban i dovoljan uslov da je stanje j �1:::N i vida(9.5.4) antisimetri�cno.Lema 9.5.1 Da bi vektor j �1:::N i dat u vidu (9.5.4) bio antisimetri�can potrebno je i dovoljnoda jedan od slede�ca dva uslova bude zadovoljen:a) vektor j 1:::N i 2 H(o)1:::N iz (9.5.4) je simetri�can, a vektor j �1:::N i 2 H(s)1:::N iz (9.5.4) jeantisimetri�can;b) j 1:::N io je antisimetri�can, a j �1:::N is je simetri�can.Dokaz: Dovoljnost odmah sledi kada primenimo P = Po Ps na j �1:::N i. Naime, na simetri�cni faktor-vektor �ceodgovaraju�ci faktor-operator permutacije delovati kao identi�cni operator, a na antisimetri�cni kao (�1)p. A to jedovoljan uslov da j �1:::N i bude antisimetri�can (uporediti (9.3.24)). Potrebnost je ne�sto te�ze dokazati. Ona sledikao posledica dve �cinjenice: i) da se svaka transpozicija faktorizuje kao u (9.5.3); ii) da je svaka transpozicija (bilou H(u)1:::N , bilo u H(o)1:::N , bilo u H(s)1:::N ) unitaran i involutivan operator, pa prema tome i opservabla. Preporu�cujese �citaocu da sam kompletira ovaj dokaz. Radi provere, dokaz je dovr�sen na kraju Dodatka x 9.5.4. Q. E. D.U ovom paragrafu smo videli kako se nekorelisanost (9.5.4) jednostavno kombinuje sa antisi-metri�cno�s�cu ukupnog vektora. U slede�cem paragrafu �cemo ovome jo�s dodati i uglovne momenteL i S, ali za dovoljno jednostavan slu�caj: N = 2.9.5.2 Slaganje dva uglovna momenta i antisimetri�cnostPodsetimo se tripletnog i singletnog spinskog dvo�cesti�cnog stanja (za dve �cestice sa spinoms = 12):j 11 i =j 12 i j 12 i; j 1;�1 i =j �12 i j �12 i; j 10 i = 1p2(j 12 i j �12 i+ j �12 i j 12 i); (9.5.5)j 00 i =r12(j 12 i j �12 i� j �12 i j 12 i) (9.5.6)(prepisali smo (7.3.2), (7.3.1)). Odmah se vidi da su sva tri tripletna stanja simetri�cni vektori uH(s)12 , a da je singletno stanje antisimetri�can vektor u istom prostoru.Name�ce se pitanje da li je ovo slu�cajnost ili postoji op�stija inherentna povezanost uglovnogmomenta i simetrije. Dokaza�cemo jedan op�sti teorem koji daje odgovor na postavljeno pitanje.Neka su H1 i H2 dva jedno�cesti�cna prostora stanja identi�cnih �cestica sa vektorskim opserva-blama uglovnog momenta K1, odnosno K2, de�nisanim u njima (H1 je, na primer, ili Ho)1 ) , ili

9.5. ANTISIMETRIZACIJA ORBITNO-SPINSKIH KOORDINATA I UGLOVNIH MOMENATA373H(s)1 , ili H(u)1 ). Pretpostavimo da se pri slaganju uglovnih momenata K = K1+ K2 (de�nisanomu H12 = H1 H2) pojavljuje ista vrednost k kvantnog broja k1 za K1 i kvantnog broja k2 zaK2, i isti dodatni kvantni brojevi � uz k. Onda �cemo u kompozitnom prostoru izmedu ostalogdobiti i slede�ce multiplete standardnih bazisnih vektora za K:j k�; k�; 2k � q;m i; (9.5.7a)gde kompozitni magnetni kvantni broj m uzima vrednostim = �(2k � q);�(2k � q) + 1; : : : ; (2k � q); q = 0; 1; 2; : : : ; 2k (9.5.7b)((2k� q) je kvantni broj kompozitnog uglovnog momenta, jer se k i k spre�zu u sve vrednosti od2k do jk � kj = 0.)Teorem 9.5.1 Svaki vektor (9.5.7a) je ili simetri�can ili antisimetri�can, ve�c prema tome da li jeq paran ili neparan broj. Drugim re�cima, pregledno prikazano imamo:simetri�cni vektori: j k�; k�; 2k;m i; j k�; k�; 2k � 2; m i; : : : 8mantisimetri�cni vektori: j k�; k�; 2k � 1; m i; j k�; k�; 2k � 3; m i; : : : 8mDokaz: Dokaz ovog Teorema je prli�cno slo�zen (ali ne sadr�zi nijedan element kojim savesni �citalac ne vlada).Izdvojili smo ga u Dodatku x 9.5.4. Q. E. D.9.5.3 uglovni momenti dva valentna elektronaSad �cemo da primenimo rezultate prethodna dva paragrafa na izra�cunavanje uglovnih momenataneutralnih atoma koji imaju dva valentna elektrona.Pogledajmo opet Tb 7.1 i uzmimo za prvi primer berilijum (Be), koji ima dva valentna elek-trona u 2s podljusci. Po�sto je ovde l1 = l2 = 0; L = 0 (tzv. S-stanje), imamo dvoelektronskoorbitno stanja koje je, prema Teoremu T9.5.1, simetri�cno. Zato kompozitno spinsko stanje morabiti antisimetri�cno da bi ukupno dvoelektronsko stanje bilo antisimetri�cno (uporediti Lemu). Toonda ne mo�ze biti tripletno, nego mora biti singletno stanje (uporediti (9.5.5) i (9.5.6)). Po�stosu L = S = O, mora biti i J = 0. Zato atom Be ima uglovne momente 1S0.Uzmimo za slede�ci primer ugljenik (C), koji ima dva valentna elektrona u 2p-stanju. Ovdeimamo l1 = l2 = l = 1; s1 = s2 = s = 12 . �Sto se ti�ce ukupnih dvoelektronskih stanja vidaj LML i j SM + S i, imamo slade�ce mogu�cnosti na osnovu pravila slaganja uglovnih momenata:1D;1 P;1 S;3D;3 P i 3S: (9.5.8)Zadatak 9.5.1 Prevesti (9.5.8) na jezik vektora j LML i j SM + S i.Postulat o identi�cnim �cesticama VIII.B dozvoljava 1D, 1S i 3P , a zabranjuje 1P , 3D i 3S.Zadatak 9.5.2 Dokazati da iz Teorema sledi ovaj iskaz.

374 GLAVA 9. PROSTI SISTEMI I IDENTI�CNE �CESTICELako je razumeti za�sto osnovno stanje atoma ugljenika ima ba�s 3P , a ne 1D ili 1S. Naime,3P -stanje je antisimetri�cno u prostornom delu, za razliku od stanja 1D i 1S koja su simetri�cna uH(o)12 . Po�sto se elektroni zbog ove antisimetri�cnosti "odbijaju" (uporediti pretposlednji pasus odx 9.4.7), za njih je energetski povoljnije (tj. ni�za je energija) ako imamo antisimetri�cno prostornostanje, koje svojom ugradenom efektivnom repulzijom iziskuje ve�cu uzajamnu udaljenost dvavalentna elektrona. Ovo je specijalan slu�caj (za dva valentna elektrona) tzv. Hund-ovog pravila,po kome za bilo koji broj valentnih elektrona osnovno stanje ima najve�ci mogu�ci spin. Ispostavljase, naime, da tome odgovara prostorno stanje koje je u "najve�coj meri" antisimetri�cno.Kao �sto nam jo�s jedan pogled na podatke o ugljeniku u (Tb 7.1) otkriva, ukupno stanje dvavalentna elektrona (a prema tome i celog omota�ca) ima uglovne momenta 3P0, tj. imamo i sveu-kupni uglovni moment J = 0. Po�sto je j LSJMJ� i = PML;MS(LSMLMSjJMJ) j LML� i j SMS i,a simetri�cnost ili antisimetri�cnost vektora j LML� i i j SMS i je ista bez obzira na konkretnuvrednost ML, odnosno MS, svi sabirci u ovom zbiru imaju jednaka svojstva simetrije direktnihfaktora. U tom smislu pri prelasku sa nekorelisanog na korelisani vektor u H(u)12 (tj. sa ML < MSna JMJ), pripisivanje maksimalne simetrije posebno prostornim i posebno spinskim stepenimaslobode je i dalje odr�zivo i korisno.Postavlja se pitanje za�sto je ba�s J = 0, kad su mogu�ca i J = 1; 2. Za odgovor je potrebnore�siti svojstveni problem hamiltonijana. Naime, kao �sto smo videli u (9.1.37), na svaki elektron,zbog toga �sto ima spin, deluje i spin-orbitno sprezanje H 0s � s � l.Zbir ovakvih jedno�cesti�cnih sabiraka u hamiltonijanu dva valentna elektrona u na�sem slu�cajunije kompatibilan sa L2 i S2, tj. ne favorizuje LS-sprezanje uglovnih momenata, ve�c jj-sprezanje,koje je vida j j1j2JMJ�1�2 i =Pmj1 ;mj2 (j1j2mj1mj+2jJMJ) j l1s1j1mj1�1 i j l2s2j2mj2�2 i:S druge strane, ostali sabirci u hamiltonijanu ne favorizuju jj-, ve�c LS-sprezanje. Uzimaju�ciu obzir ceo dvoelektronski hamiltonijan, mo�zemo re�ci da su kako L i S tako i j1 i j2 samo pribli�znodobri kvantni brojevi (pri tome L i S su bolji, zato i pi�semo 3P0). Dobri kvantni brojevi su J iMJ i oni poti�cu od ukupnog dejstva svih �clanova u hamiltonijanu. Stoga i konkretna vrednostJ = 0 za osnovno stanje proizlazi tek iz dijagonalizacije hamiltonijana.9.5.4 Dodatak | dokazi teorema i lemeDokaz Teorema T9.5.1. Podsetimo se izomor�zma J2 1 koji preslikava H1 na H2 i kojiodgovara pojmu "istih" jedno�cesti�cnih stanja. Pretpostavili smo da se radi o istoj vrednosti kkvantnih brojeva k1 i k2 i o istom dodatnom kvantnom broju � u slu�caju obeju �cestica. Tozna�ci da J2 1 prevodi ireducibilni invarijantni potprostor V(k�)1 � H1 na ireducibilni invarijantnipotprostor V(k�)2 � H2 (jer ova dva potprostora sadr�ze "ista" stanja). Onda se operator izmeneE, koji je usko povezan sa J2 1 (uporediti (9.3.3)), redukuje u V(k�)1 V(k�)2 .Nakon uvodenja K def= K1 + K2, imamo dekompozicijuV(k�)1 V(k�)2 = �2kq=0V(2k�q)12 (9.5.9)na ireducibilne invarijantne potprostore za K (uporediti (7.1.11a), samo �sto sad kompozitnikvantni broj pi�semo 2k � q, a izostavljamo na desnoj strani �1 = �2 = �). Po�sto identi�cnost�cestica povla�ci da se one ne mogu razlikovati ni po jednoj opservabli, to je K2 = J2 1K1J �12 1 ili[ K; E ] = 0: (9.5.10)

9.5. ANTISIMETRIZACIJA ORBITNO-SPINSKIH KOORDINATA I UGLOVNIH MOMENATA375����������������������������

������������������@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

�����V(m=2k=4)12V(m=2k�2)12V(m=2k�4)12V(m=2k�6)12V(m=2k�8)12

V(m=2k�1)12V(m=2k�7)12V(m=2k�3)12V(m=2k�5)12

--- -V(2k=4)12V(2k�2)12V(2k�4)12V(2k�3)12 V(2k�1)12

??? 6 6

(a) (b)

Slika 9.3: Simetri�cni i antisimetri�cni potprostori pri slaganju dva uglovna momenta sak = 2. Potprostori V(2k�q)12 iz (9.5.9) prikazani su kao kolone poredane tako da vrste predstavljajusvojstvene potprostore kompozitnog magnetnog kvantnog broja m: V(m)12 � H12. Na Crte�zu (a)obja�snjene su kolone, a na Crte�zu (b) dato je razja�snjenje vrsta.Zbog kompatibilnosti sa K; E se redukuje ne samo u svakom potprostoru V(2k�q)12 iz (9.5.9),�sto su na�si "ormari sa �okama", (videti crte�z C 6.2), ve�c i u svakoj "�oci" V(2k�q)12 i to u svih2(2k � q) + 1 "�oka" jednako, tj. u ekvivalentne operatore (videti teorem T6.3.2).Va�zna okolnost koja se pojavljuje pri slaganju uglovnih momenata K1 i K2 uz �ksirane�1 = �2 = �) je nepostojanje vi�sestrukosti potprostora V(2k�q)12 . Drugim re�cima, sve su "�oke"V(2k�q;m)12 jednodimenzionalni potprostori. Prema tome, E mora u njima da se redukuje u broj ito u svim "�okama" u isti broj. Po�sto je E2 = I, taj broj mo�ze da bude samo �1.Tako smo dokazali:i) da je svaki vektor (9.5.7a) ili simetri�can ili antisimetri�can i da su svih 2(2k � q) + 1 vektoramultipleta standardnog bazisa za K jedne te iste prirode u pogledu simetrije, tj. ili su svisimetri�cni ili su svi antisimetri�cni (nezavisno od vrednosti magnetnog kvantnog broja m).Potprostor V(2k;m=2k)12 (prva "�oka") je jednodimenzionalan, u njemu imamo samo bazisnivektor j k�; k�; 2k;m = 2k i =j k�;m1 = k i j k�;m2 = k i; (9.5.11)i on je o�cigledno simetri�can. Na osnovu gornjeg zaklju�cka onda mo�zemo da konstatujemoii) da je svaki vektor u Vm=2k12 simetri�can.Za dalje rezonovanje poslu�zimo se Crte�zom C9.3. U potprostoru V(m=2k�1)12 (ne�satirana, drugaodozgo, vrsta na Crte�zu (b)), koji je dvodimenzionalan (dva kvadrati�ca), imamo slede�ce bazisnevektore (koji ga obrazuju):j m1 = k i j m2 = k � 1 i; j m1 = k � 1 i j m2 = k i; (9.5.12)

376 GLAVA 9. PROSTI SISTEMI I IDENTI�CNE �CESTICEo�cigledno, od njih mo�zemo da konstrui�semo jedan simetri�can i jedan antisimetri�can vektor:r12(j k i j k � 1 i+ j k � 1 i j k i); r12(j k i j k � 1 i� j k � 1 i j k i) (9.5.13)(bitno je da za oba kompozitna vektora u (9.5.12) va�zi m1 6= m2 i da je drugi E-lik prvog).Geometrijski to zna�ci: iz [Kz; E] = 0 sledi da se E redukuje u svakom V(m)12 ; potprostor V(m=2k�1)12operator E razla�ze na jedan simetri�can pravac i na jedan antisimetri�can pravac.U potprostoru V(m=2k�3)12 (ne�satirana, �cetvrta odozgo, vrsta na Crte�zu (b)) imamo bazis:jm1 = ki jm2 = k � 3i; jm1 = k � 3i jm2 = ki; jm1 = k � 1i jm2 = k � 2i; jm1 = k � 2i jm2 = k � 1i:(9.5.14)Sada sa prva dva i posebno sa druga dva vektora u (9.5.14) mo�zemo pre�ci na po jedansimetri�can i po jedan antisimetri�can vektor. Tako dobijamo u V(m=2k�3)12 drugi bazis koji sasastoji od 2 simetri�cna i od 2 antisimetri�cna vektora.Analogno je za V(m=2k�5)12 itd. ako postoje. Mo�zemo izvu�ci slede�ci zaklju�cak:Svaki potprostor V(m)12 ; m = 2k � q, za neparno q ima parnu dimenziju, dimV(m)12 = q + 1 ibroj simetri�cnih i broj antisimetri�cnih vektora u svojstvenom bazisu od E u V(m)12 su jednaki.Posmatrajmo sad V(m=2k�2)12 (�satirana, tre�ca odozgo, vrsta na Crte�zu (b)). Onda imamo bazis:j m1 = k � 1 i j m2 = k � 1 i (ve�c simetri�can vektor!); (9.5.15a)j m1 = k i j m2 = k � 2 i; j m1 = k � 2 i j m2 = k i: (9.5.15b)Dakle, �sto se ti�ce svojstvenog bazisa od E, dobijamo 2 simetri�cna i jedan antisimetri�can vektor.Analogno je u potprostoru V(m=2k�4)12 itd. Formuli�simo op�sti zaklju�cak.Svaki potprostor V(m)12 , m = 2k � q za parno q ima neparnu dimenziju, dimV(m)12 = q + 1 ibroj simetri�cnih vektora je za jedan ve�ci od broja antisimetri�cnih vektora (u svojstvenom bazisuod E).Predimo sad na Crte�z (a). Znamo ve�c (videti ii) gore) da je V2k12 (�satirana, prva zdesna,kolona) simetri�can prostor. Kakav je slede�ci nalevo, V(2k�1)12 ? Znamo da je odredene simetrije(videti i) gore). Ako bi i on bio simetri�can, onda bi potprostor V(m=2k�1)12 (druga vrsta, Crte�z(b)) morao biti simetri�can, jer je sav unutar V(m=2k)12 � V(m=2k�1)12 . A to je u protivure�cnosti sagornjim zaklju�ckom (za q neparno). Dakle, V(m=2k�1)12 je antisimetri�can.Kakav je V(m=2k�2)12 ? On se se�ce (u jednom kvadrati�cu, tj. u jednom pravcu) sa potprostoromV(m=2k�2)12 , za koji smo videli da ima 2 simetri�cna i jedan antisimetri�can vektor. Po�sto se V(m=2k�2)12se�ce u po jednom kvadrati�cu i sa V(m=2k�1)12 i sa V(m=2k)12 (na �sta otpada jedan antisimetri�cniodnosno jedan simetri�cni vektor), pomenuti presek sa V(m=2k�2)12 mo�ze samo da bude simetri�canpravac. Onda sav V(m=2k�2)12 mo�ze biti simetri�can. I tako dalje.Dokaz Leme L 9.5.1. Potrebnost uslova u Lemi. Pojednostavimo obele�zavanje i pi�simoj i def= j 1:::N io; j � i def= j �1:::N is. Po�sto je svaka transpozicija Pij (u svakom od tri prostorastanja) unitaran i involutivan operator, ona je i opservabla i mo�ze da ima samo �1 kao svojstvenevrednosti (i ima obe, jer nije konstanta u celom prostoru).Podimo od Pij j i j � i = � j � i j i (�sto va�zi za svaku transpoziciju Pij i posledica

9.5. ANTISIMETRIZACIJA ORBITNO-SPINSKIH KOORDINATA I UGLOVNIH MOMENATA377je pretpostavljene antisimetri�cnosti vektora j i j � i). Zbog faktorizacije operatora (videti(9.5.3)), imamo (P (ij)0 j i)(P (ij)s j � i) = � j i j � i: (9.5.16)Izvr�simo razlaganja j i =j + i+ j �i; j � i =j �+ i+ j ��i; (9.5.17a,b)gde je P (ij)0 j �i = � j �i; P (ij)0 j ��i = � j ��i (9.5.18a,b)(radi se o razlaganju na projekcije u svojstvene potprostore od P (ij)o odnosno P (ij)s ; ovo razlaganjeje, kao �sto je poznato, jednozna�cno). Zamenjuju�ci (9.5.17) i (9.5.18) u (9.5.16), nakon potiranjadva sabirka na levoj strani sa dva sabirka na desnoj strani dolazi se doj + i j �+ i+ j �i j ��i = � j + i j �+ i� j �i j ��i: (9.5.19)a) Pretpostavimo sad da je j + i 6= 0. Onda skalarno mno�zenje jednakosti (9.5.19) sa h + ji deljenje brojem h + j +i daje j �+ i = � j �+ i = 0, a (9.5.17b) tada iziskujej � i =j ��i. Zamenjuju�ci j �+ i = 0 u (9.5.19), mno�ze�ci skalarno sa h�� j i dele�ci brojemh �� j ��i, sledi j � i = � j �i = 0, a (9.5.17a) onda daje j i =j �i. Dobili smovarijantu a) uslova u Lemi �sto se ti�ce Pij.b) Pretpostavimo da je j �+ i 6= 0. Analogno sledi j i =j � i; j � i =j �+ i, tj. varijanta b)uslova u Lemi �sto se ti�ce Pij.Po�sto sa svaka permutacija faktorizuje u transpozicije, vidimo da svaki orbitalni (spinski)permutacioni operator deluju�ci na j i (na j �i) daje +1 ili�1 ostvaruju�ci tako jednu ireducibilnureprezentaciju simetri�cne (tj. permutacione) grupe SN . Poznato je da postoje samo dve takvereprezentacije i tako sledi uslov Leme.

Glava 10Pribli�zni ra�cuni10.1 Stacionarna perturbacija nedegenerisanog nivoaOvaj odeljak posve�cen je najprostijem slu�caju ra�cuna smetnji:i) kada ni neperturbisani hamiltonijan ni perturbacija ne zavise od vremena,ii) kada je energetski nivo koji izra�cunavamo nedegenerisan.Pokaza�cemo da se ovaj specijalni slu�caj mo�ze primeniti na brojne konkretne probleme zahvaljuju�cigrupi simetrije. I sama teorija i nekoliko primena izlo�zeni su prili�cno detaljno i to u naizmeni�cnojprezentaciji.U prvom susretu sa osnovnim idejama perturbacione teorije u x 3.4 videli smo da kvantna me-hanika nastoji da svoju slabost (nemogu�cnost egzaktnog ra�cunanja) pretvori u prednost (razli�citiredovi aproksimacije paralelno sa razli�citim eksperimentalnim rezolucijama daju razli�cite uvideu �ziku pojava). �Citalac �ce u ovom odeljku videti dalje realizacije ove va�zne ideje.10.1.1 Osnovne ideje teorije perturbacije i de�nicija pro-blemaKao �sto smo u izvesnoj meri anticipirali u x 3.4.1, teorija perturbacije stupa na scenu kada neumemo da re�simo svojstveni problem hamiltonijana kvantnog sistema koji prou�cavamo, ali zatoumemo da re�simo svojstveni problem jednog drugog, ne mnogo razli�citog, ali jednostavnijeghamiltonijana. Pod pretpostavkom da je razlika pomenuta dva hamiltonijana mali operator,razvijamo na�s hamiltonijan u Taylor-ov red sa drugim (re�senim) hamiltonijanom kao nultomaproksimacijom, a korekcije izra�cunavamo za prvi, drugi itd. red aproksimacije pomo�cu pome-nutog malog operatora. Sad �cemo ove kvalitativne ideje iskazati preciznim jezikom kvantno-mehani�ckog formalizma. Hamiltonijan kvantnog sistema koji prou�cavamo (a koji ne umemo dare�simo egzaktno) obele�zavamo sa H i nazivamo ga perturbisanim hamiltonijanom. Hamiltonijandrugog, jednostavnijeg sistema (koji mo�ze biti i �ktivan sistem) ozna�cava�cemo sa H0 | to �ce bitineperturbisani hamiltonijan. Razliku H � H0 pisa�cemo kao H 0 i naziva�cemo je perturbacijom.Dakle, H = H0 + H 0 : (10.1.1)378

10.1. STACIONARNA PERTURBACIJA NEDEGENERISANOG NIVOA 379U stvari, radi bolje preglednosti pojedinih redova aproksimacije, (10.1.1) �cemo uop�stiti naH(a) = H0 + aH 0: (10.1.2)Za a = 1 imamo perturbisani hamiltonijan, za a = 0 neperturbisani, a za a ! +0 mo�zemo po-smatrati kontinualni prelazak (konvergenciju) sa perturbisanog na neperturbisani hamiltonijan.Radi�cemo sa H(a), a na kraju �ce se ispostaviti da rezultati ne zavise od a (te se odnose i naslu�caj a = 1).U ovom odeljku prou�cavamo teoriju stacionarnih perturbacija ili ra�cun smetnji nezavisnih odvremena, �sto �ce re�ci da ni H0 ni H 0 ne zavise od vremenske promenljive t.Pretpostavi�cemo (radi jednostavnosti) da neperturbisani hamiltonijan ima �cisto diskretanspektar, tj. da ima isklju�civo vezana stanja10.1.1:H0 j n� i = E0n j n� i ; (10.1.3)gde su E0n; n = 0; 1; 2; : : : neperturbisani energetski nivoi, a � = 1; 2; : : : ; dn je dodatni kvantnibroj (ili kvantni brojevi), koji prebrojava bazisne vektore potpune klasi�kacije koji odgovarajujednom te istom (dn-puta) degenerisanom energetskom nivou10.1.2 E0n. Pretpostavi�cemo takodeda je kako energetski spektar, tako i pomenuti svojstveni bazis za H0 poznat.Na�s je cilj da razvijemo H(a) u Taylor-ov red po a oko a = 0 i da izra�cunamo korekcije naneperturbisane nivoe i stanja u pojedinim redovima pribli�znosti. Pri tome je celishodno koncen-trisati pa�znju na jedan odreden neperturbisani nivo. Ozna�cava�cemo ga sa E0n. U celom ovomodeljku ograni�ci�cemo se na slu�caj dn = 1, tj. na teoriju stacionarne perturbacije nedegenerisanognivoa. Pri tome E0n mo�ze biti bilo koji nivo, mada �cemo u primenama naj�ce�s�ce imati E0n=0, tj.osnovni nivo.Neka na�sem neperturbisanom nivou E0n i odgovaraju�cem svojstvenom stanju j n i (sad � nijepotrebno) odgovara perturbisani nivo En i svojstveni vektor j En i ("odgovaranje" perturbisanogentiteta neperturbisanom je u smislu: prvi te�zi drugom kad a! +0). Dakle,H j En i = En j En i: (10.1.4)Taylor-ov red za perturbisani nivo i stanja pisa�cemo u viduEn = E0n + aE(1) + a2E(2) + : : : ; (10.1.5)j En i =j n i+ a j 1 i+ a2 j 2 i+ : : : : (10.1.6)Ovo je de�nicija za korekcije E(p); j p i; p = 1; 2; : : :. Najzad, kad sve zamenimo u (10.1.4),sledi osnovna formula za sve zaklju�cke ovog odeljka:(H0 + aH 0)(j n i+ a j 1 i+ a2 j 2 i+ : : :) = (E0n + aE(1) + a2E(2) + : : :)(j n i+ a j 1 i+ a2 j 2 i+ : : :) : (10.1.7)10.1.1Ako H0 sadr�zi pored diskretnog i kontinualni spektar, samo se sumePnP� zamene odgovaraju�cim sumamai integralima po ukupnom spektru. Va�zno je da posmatrani nivo E0n pripada diskretnom spektru od H0. (Strogogovore�ci, va�zno je i to da E0n ne bude ta�cka nagomilavanja drugih nivoa E0n, uporediti Lemu L10.1.1.)10.1.2U preciznijoj notaciji morali bismo pisati �n umesto � (nije isto � za razli�cite vrednosti od n). Multiplicitetdn nivoa E0n mo�ze biti i @0.

380 GLAVA 10. PRIBLI�ZNI RA�CUNI10.1.2 Korekcije prvog redaKlju�cna jednakost (10.1.7) u prvom redu pribli�znosti glasi(H0 + aH 0)(j n i+ a j 1 i) = (E0n + aE(1))(j n i+ a j 1 i); (10.1.8)zapravo, kad se oslobodimo zagrade i ispustimo jo�s preostale �clanove drugog reda,H0 j n i+ a(H0 j 1 i+ H 0 j n i) = E0n j n i+ a(E(1) j n i+ E0n j 1 i): (10.1.9)Na osnovu (10.1.3), prvi sabirak na levoj strani je jednak prvom termu na desnoj strani, paih mo�zemo izbrisati. Zatim mo�zemo da podelimo sa a. Tako dobijamoH0 j 1 i+ H 0 j n i = E(1) j n i+ E0n j 1 i: (10.1.10)Re�simo (10.1.10) prvo po E(1) tako �sto �cemo celu jednakost mno�ziti skalarno braom hn j :E(1) = hn j H 0 j n i (10.1.11)(uzeli smo u obzir da hn j H0 = hn j E0n, usled �cega je hn j H0 j 1 i = hn j E0n j 1 i; takode jeh n j ni = 1). Predimo sad na re�savanje (10.1.10) po j 1 i i to tako �sto �cemo j 1 i prethodnorazviti po neperturbisanoj potpunoj klasi�kaciji stanja:j 1 i = I j 1 i =Xn dnX�=1 j n� ih n� j 1i; (10.1.12)a zatim zameniti (10.1.12) u (10.1.10). Tako dolazimo doXn0�0 E0n0 j n0�0 ih n0�0 j 1i+ H 0 j n i = E(1) j n i+ E0nXn0�0 j n0�0 ih n0�0 j 1i: (10.1.13)Da bismo (10.1.13) re�sili po teku�cem razvojnom koe�cijentu h n� j 1i, pomno�zimo (10.1.13)skalarno sa hn� j. Usled ortonormiranosti svojstvenih vektora od H0, tako dobijamoE0nh n� j 1i+ hn� j H 0 j n i = ÆnnE(1) + E0nh n� j 1i; 8n; 8�: (10.1.14)U (10.1.14) odmah pada u o�ci da za n = n, h n j 1i ispada iz jednakosti (dobijamo samoponovo (10.1.11)). Dakle, iz (10.1.14) h n j 1i ne mo�zemo izra�cunati, a to zna�ci ni iz (10.1.10),jer (10.1.14) je (10.1.10) u reprezentaciji svojstvenog bazisa operatora H0.Ipak, pomenuta pote�sko�ca se mo�ze otkloniti. Radi toga uvedimo slede�cu konvenciju: pertur-bisano stanje jEni ne�cemo normirati na jedinicu, ve�c na jedini�cnu projekciju10.1.3 na odgovaraju�ceneperturbisano stanje j n i: h n j Eni = 1 : (10.1.15)10.1.3Premisa za ovu konvenciju je da vektori j En i i j n i nisu uzajamno ortogonalni. To je u praksi uvekzadovoljeno, jer kad bi bili ortogonalni, to bi bila dva sasvim razli�cita stanja (verovatno�ca prelaza iz jednog udrugo bila bi nula!) i onda bi ionako bilo nemogu�ce razviti j En i u Taylor-ov red oko j n i.

10.1. STACIONARNA PERTURBACIJA NEDEGENERISANOG NIVOA 381U prvom redu aproksimacije (10.1.15) se (pomo�cu (10.1.6)) svodi na 1 + ah n j 1i = 1, �stopovla�ci h n j 1i = 0: (10.1.16)Dakle, korekcija stanja prvog reda j 1 i ima nultu projekciju na neperturbisano stanje j n i.Preostaje nam da iz (10.1.14) izra�cunamo ostale projekcije od j 1 i (u njima otpada prvisabirak na desnoj strani): h n� j 1i = hn� jH0jn iE0n�E0n ; 8n 6= n; 8� : (10.1.17)Mada je u (10.1.16) i (10.1.17) korekcija j 1i (analogno kao korekcija E(1) u (10.1.11)) svedenana poznate veli�cine, za teoreti�cara je uvek izazov da iznade kompaktniji izraz.Neka je Q projektor na ortokomplement pravca koji obrazuje j n i, tj.Q def= I� j n ihn j : (10.1.18)Zadatak 10.1.1 Ispisati jednostavno delovanje operatora Q na svojstvene vektore operatora H0.Pomo�cu Q korekcija j 1 i mo�ze da se napi�se u vidu:j 1 i = 1E0n � H0 QH 0 j n i; (10.1.19a)ili preciznije, ako se operatorom na desnoj strani ho�ce delovati nalevo,j 1 i = Q(E0n � H0)�1QH 0 j n i (10.1.19b)(mno�zenje skalarno sa hn j pokazuju potrebu za preciznijom formom (10.1.19b), isklju�civo zaprostor ketova dovoljna je forma (10.1.19a)).Zadatak 10.1.2 Dokazati (10.1.19).Zadatak 10.1.3 Pokazati da je (E0n � H0) singularan operator.Zadatak 10.1.4 Kako to da u (10.1.19) ipak ima smisla operator 1E0n�H0 def= (E0n � H0)�1 iako ovaj operator ustvari ne mo�ze da se de�ni�se (u celom prostoru na�seg kvantnog sistema)?10.1.3 Energija osnovnog stanja helijumovog atomaDa bismo ilustrovali kako treba primeniti neke dosada�snje rezultate, prikaza�cemo izra�cunavanjeveli�cine u naslovu paragrafa u prvoj aproksimaciji.Hamiltonijan neutralnog atomskog omota�ca helijuma (a to je sad perturbisani hamiltonijan)glasi H = T1 � 2e2r1 + T2 � 2e2r2 + e2r12 ; (10.1.20)gde su T1 i T2 operatori kineti�cke energije prvog odnosno drugog elektrona, a r12 def= jr1 � r2j.Prostor stanja je L2(r1; �1; '1) L2(r2; �2; '2) C 21 C 22 .

382 GLAVA 10. PRIBLI�ZNI RA�CUNIZa neperturbisani hamiltonijan pogodno je uzeti (�ktivni) sistem neinteraguju�cih elektronaH0 def= (T1 � 2e2r1 ) + (T2 � 2e2r2 ) def= h1 + h2: (10.1.21)Perturbacija je onda H 0 = e2r12 : (10.1.22)Treba da ustanovimo kako glasi osnovni nivo E0n=0 i osnovno stanje j n = 0 i za H0.Jedno�cesti�cni hamiltonijan h1 = T1� 2e2r1 je hamiltonijan vodoniku sli�cnog atoma sa Z = 2. Mismo u x 9.1 potpuno re�sili diskretni svojstveni problem ovakvog jednoelektronskog hamiltonijana.Imali smo �n = � 1n2 mZ2e42~2 (prepisali smo (9.1.23a)) i h r; �; ' j nlmi = Rnl(r)Y ml (�; ') kaoodgovaraju�ci svojstveni vektor (9.1.24a). Najni�zi nivo ima kvantne brojeve n = 1; l = ml = 0 (jern := 1; 2; : : : ; l := 0; 1; 2; : : : ; n� 1). Stavljaju�ci Z = 2, dolazimo do �n=1 = �2me4~2 , �sto iznosi oko�54; 4eV. Imaju�ci u vidu da Y m=0l=0 (�; ') = 1p4� (uporediti (6.6.8)) i da Rn=1;l=0(r) = 2( Za0 ) 32 e�Zra0(videti (9.1.26)), prostorni deo funkcije osnovnog stanja glasih r; �; ' j n = 1; l = m = 0i =s 23a30�e� 2ra0 : (10.1.23)Uzimaju�ci u obzir spin, vidimo da je pomenuti jedno�cesti�cni nivo �n=1 multipliciteta 2. Uneutralnom He atomu imamo ba�s 2 elektrona, zna�ci popunjenu podljusku (koja je istovremeno iljuska).Na osnovu Teorema o popunjenoj podljusci (T 9.4.4) znamo da omota�c ima L = S = J = 0 ida mu je osnovno stanje Slater-ova determinantaj (n = 1; l = ml = 0; ms = �12) < (n = 1; l = ml = 0; m = 12) i:Ali, po�sto o�cigledno imamo LS sprezanje (imamo o�stru vrednost za L i S), mo�zemo isti dvo-elektronski vektor stanja da pi�semo u vidu j L =ML = 0 i j S =MS = 0 i. Onda odmah vidimoda je prostorni faktor simetri�can, a spinski antisimetri�can (videti T 9.5.1), tj. imamo8p2�a30 e� 2a0 (r1+r2) (� 12 (ms1)�� 12 (ms2)� �� 12 (ms1)� 12 (ms2)) (10.1.24)(�� 12 2 C 2 reprezentuje j � i 2 Hs= 12 u standardnom bazisu).Zadatak 10.1.5 a) Kako se u (10.1.24) prepoznaje j L =ML = 0 i j S =MS = 0 i ? b) Pokazati kako se iz(10.1.24) dobija gore pomenuta Slater-ova determinanta.Uverili smo se da imamo nedegenerisani osnovni nivo E0n=0 = �n=1 + �n=1 � �108; 8eVneperturbisanog hamiltonijana H0. Izra�cunajmo sad korekciju prvog reda E(1) ovog nivoa. Prema(10.1.11), treba izra�cunati o�cekivanu vrednost perturbacije (10.1.22) u stanju (10.1.24). Dobijase E(1) � 34eV.Zadatak 10.1.6 Prodiskutovati predznak od E(1) u ovom primeru i objasniti �zi�cki smisao predznaka.Na crte�zu C10.1 prikaza�cemo teorijski nivo u nultoj i u prvoj aproksimaciji i eksperimentalninivo ne samo za He, ve�c i za sli�cne sisteme Li+ i Be++.Zadatak 10.1.7 Objasniti za�sto je u sva tri primera na crte�zu C 10.1 E0n=0 < En=0 (pretpostavljaju�ci da jeEteor:n=0 � Eeksper:n=0 ).

10.1. STACIONARNA PERTURBACIJA NEDEGENERISANOG NIVOA 383Tabela 10.1: Poredjenje rezultata eksperimenta i ra�cuna do prve perturbacione po-pravke za sisteme He, Li+ i Be++. He Li+ Be++E0n=0 + E(1) (teor.) �74.8eV �193eV �365.5eVE0n=0 (eksper.) �78.6eV �197.1eV �370eVE0n=0 (teor.) �108.8eV �243.5eV �433eV10.1.4 Korekcija drugog reda za energijuDa bismo izra�cunali popravku iz naslova, ispi�simo sa leve i desne strane od (10.1.7) �clanovedrugog reda po a, a zatim podelimo sa a2. Tako dobijamoH0 j 2 i+ H 0 j 1 i = E0n j 2 i+ E(1) j 1 i+ E(2) j n i: (10.1.25)Da bismo (10.1.25) re�sili po E(2), pomno�zimo jednakost skalarno sa hn j. Znamo da jeh n j 1i = 0 (uporediti (10.1.16)). Ako u (10.1.15) razvijemo En po a (tj. zamenimo (10.1.5)) iuzmemo drugu popravku na levoj strani i na desnoj strani, dolazimo doh n j 2i = 0: (10.1.26)Stoga, iz (10.1.25) sledi E(2) = hn j H0 j 2 i+ hn j H 0 j 1 i: (10.1.27)Po�sto hn j H0 = hn j E0n, prvi �clan na desnoj strani otpada usled (10.1.26). Kada u (10.1.27)H 0 j 1 i zamenimo sa H 0I j 1 i i iskoristimo relaciju zatvorenosti za svojstveni bazis od H0, ondau (10.1.27) mo�zemo zameniti (10.1.17) i tako do�ci doE(2) =Xn 6=nX� hn j H 0 j n� ihn� j H 0 j n iE0n � E0n(opet smo koristili h n j 1i = 0). Kompaktnije, rezultat glasiE(2) =Pn 6=n P� jhn j H 0 j n� ij2E0n�E0n : (10.1.28a)Zadatak 10.1.8 Pokazati da se (10.1.28a) mo�ze jo�s kompaktnije prepisati u viduE(2) = hn j H 0(E0n � H0)�1QH 0 j n i (10.1.28b)(uporediti (10.1.18)).Zadatak 10.1.9 Pokazati da bez obzira da li u perturbaciji H 0 preovladuju repulzivne ili atraktivne "sile", akoje E0n osnovni nivo, uvek je E(2) � 0 ; (10.1.29)tj. uloga druge popravke je da se pove�ca energija vezivanja ili da se deprimira nivo.

384 GLAVA 10. PRIBLI�ZNI RA�CUNIAko sad ponovo bacimo pogled na Crte�z C 10.1, vidimo da iz (10.1.29) proizlazi da �ce seE0n + E(1) + E(2) pribli�ziti eksperimentalnoj vrednosti En za sva tri omota�ca.Vratimo se rezultatu (10.1.28a). Po pravilu prostor stanja kvantnog sistema je beskona�cnodimenzionalan, te se u (10.1.28a) pojavljuju redovi. Postavlja se pitanje da li mo�zemo biti sigurnida ti redovi konvergiraju. Izve�s�cemo jedan dovoljan uslov za konvergenciju i ujedno da�cemo jednuocenu veli�cine druge popravke E(2).Lema 10.1.1 i) Ako neperturbisani nivo E0n, nulta aproksimacija od En, nije ta�cka nagomila-vanja neperturbisanih nivoa, tj. ako postoji najbli�zi neperturbisani nivo E0~n 6= E0n ib) ako je disperzija perturbacije H 0 u neperturbisanom stanju j n i kona�cna, tj. ako �2H 0 <1,onda E(2) sigurno postoji i jE(2)j � �2H 0jE0~n � E0nj : (10.1.30)Dokaz: Uzimanjem modula leve strane i desne strane od (10.1.28a), sledi jE(2)j � Pn6=nP� jhn j H 0 j n� ij2jE0n �E0nj (jer mo-duo komutira sa limesom, a moduo zbira je manji ili jednak zbiru modula). Ako na desnoj strani zamenimo E0n savredno�s�cu najbli�zeg nivoaE0~n, time ne mo�zemo smanjiti desnu stranu. Stoga, jE(2)j �Pn6=nP� jhn j H 0 j n� ij2jE0n �E0~nj =Pn6=nP� hnjH0jn� ihn�jH0jn ijE0n �E0~nj = hnjH0(I�jn ihnj)H0jn ijE0n �E0~nj = hnjH02jn i�hnjH0jn i2jE0n �E0~nj = �2H0jE0n �E0~nj (iskoristili smo op�stu relaciju�2A = h A2 i � h A i2, uporediti (4.1.2)). Q. E. D.Disperzija �2H 0 zavisi samo od j n i (i od H 0), ali ne i od ostalih neperturbisanih stanjaj n� i. Ako je E0~n dovoljno udaljen od E0n, onda je desna strana od (10.1.30), a prema tome idruga popravka energije, mali broj. Pretpostavljaju�ci da su E(p); p � 3, jo�s manji (kao �sto jeobi�cno slu�caj), onda je prva aproksimacija E0n+E(1) za ta�cnu energiju sistema En prili�cno dobra.10.1.5 Kvadratni Stark-ov efekt dvoatomskog molekulaDa bismo ilustrovali primenu druge popravke energije, izra�cuna�cemo u drugoj aproksimacijiosnovni nivo dvoatomskog molekula i to u homogenom elektri�cnom polju (tzv. kvadratni Stark-ov efekt). U�cini�cemo to u modelu tzv. krutog rotatora.Za izra�cunavanje osnovnog nivoa najva�zniji doprinos daju niskole�ze�ci pobudeni nivoi molekula(jer onda je imenitelj u (10.1.28a) najmanji, te su sabirci najve�ci). Ispostavlja se da se najlak�seekscituje (dakle najni�ze le�zi) tzv. traka rotacionih nivoa ili rotaciona traka10.1.4.Ona teorijski sledi iz kineti�cke energije sistema, a dominantni doprinos kineti�ckoj energijidaju kineti�cke energije dva atomska jezgra u molekulu.Za de�nisanje neperturbisanog hamiltonijana pogodno je izdvojiti samo najvi�se relevantnesabirke u hamiltonijanu ili, kao �sto se ka�ze, odgovaraju�ci dinami�cki stepen slobode.Zanemari�cemo elektronske omota�ce, a dva jezgra posmatra�cemo kao dve �cestice. Kao �stosmo videli u x 4.5, sa dve �cestice se prelazi na efektivne �cestice: centar mase i relativnu �cesticu.Zanemari�cemo centar masa (jer ne daje pobudenja). �Sto se ti�ce relativne �cestice (sa masom10.1.4Engleski rotational band; �citati: routej�snl bend.

10.1. STACIONARNA PERTURBACIJA NEDEGENERISANOG NIVOA 385m), uze�cemo samo njen operator kineti�cke energije. Izrazi�cemo ga pomo�cu sfernih polarnihkoordinata: TR �C = l2mr2 � ~22mr2 @@r (r2 @@r ) (10.1.31)(videti (6.6.17)).Model krutog rotatora sastoji se u tome da na�sa dva atoma zami�sljamo kao da su ukru�cena nastalnom uzajamnom rastojanju r = r0. U kvantno-mehani�ckim terminima istu misao iskazujemotako da u ovom modelu vibraciona pobudenja uzimamo za beskona�cno velika, tj. pretpostavljamoda se ne mogu pobuditi (naime, vibriranje du�z r bi dalo odstupanje od r = r0). Ovim modelomu stvari izdvajamo rotacioni dinami�cki stepen slobode dvoatomskog molekula (uporediti 6.9.6).Zanemari�cemo drugi sabirak na desnoj strani od (10.1.31), a u prvom �cemo staviti r = r0.Tako dobijamo neperturbisani hamiltonijan:H0 def= l22mr20 : (10.1.32)Kao �sto znamo iz klasi�cne �zike, izrazmr20 je moment inercije, a �zi�cki sistem �ciji hamiltonijanima vid (10.1.32) se naziva rotatorom. Otud naziv modela koji primenjujemo.Spolja�snje homogeno elektri�cno polje E �ce delovati na kruti rotator tako da se vektorskioperator elektri�cnog dipola molekula d spre�ze sa spolja�snjim poljemH 0 = �d �E: (10.1.33)To je na�sa perturbacija. Pogodno je z-osu usmeriti du�z elektri�cnog polja E. Onda se (10.1.33)svodi na H 0 = �dzE = �Ed cos �; (10.1.34)gde je E intenzitet polja, d elektri�cni dipolni moment rotatora (koji je konstantan u ovom mo-delu), a � je ugao izmedu linije koja prolazi kroz te�zi�ste ukupne pozitivne i te�zi�ste ukupnenegativne elektri�cnosti molekula s jedne strane i z-ose, tj. smera od E, s druge strane. Dakle,perturbisani hamiltonijan na�seg kvantnog sistema glasiH = l22mr20 � Ed cos �: (10.1.35)Ceo H = H0 + H 0 deluje u uglovnom faktor prostoru L2() relativne �cestice i u modelu krutogrotatora radijalni faktor prostor L2(r) odgovara vibracionom dinami�ckom stepenu slobode, kojisadr�zi vi�sa pobudenja, pa ga ispu�stamo iz razmatranja.O�cigledno, energetski nivoi neperturbisanog hamiltonijana su El = l(l+1)~22mr20 ; l = 0; 1; 2; : : :, apotpuna klasi�kacija stanja (u L2()) je fh �; ' j lmli j ml = �l;�l+ 1; : : : ;+l; l = 0; 1; 2; : : :g.Osnovni nivo je E0n = El=0 = 0 (nema rotacionog pobudenja) i on je nedegenerisan, a odgovaramu osnovno stanje j l = m = 0 i =j n i.Pre nego �sto se upustimo u izra�cunavanje popravki E(1) i E(2), iskoristimo �cinjenicu da jeperturbacija H 0 z-komponenta vektorskog operatora (uporediti (10.1.34)).Videli smo u (6.6.9) da Y m=0l=1 (�; ') = 12q 3� cos �. Stoga imamohlm j H 0 j l0m0 i = c Z �0 sin � d� Z 2�0 d'Y m�l (�; ')Y 01 (�; ')Y m0l0 (�; ');

386 GLAVA 10. PRIBLI�ZNI RA�CUNIgde je c za nas sad neva�zna konstanta. Proizvod funkcija Y 01 (�; ')Y m0l0 (�; ') se pod rotacijamapona�sa na slede�ci na�cin:U('u)Y 01 (�; ')Y m0l0 (�; ') = Y 01 (R�1'u�; R�1'u')Y m0l0 (R�1'u�; R�1'u'):Prema tome, Y 01 Y m0l0 se pona�sa kao direktni proizvod.Ako je l0 > 0, onda Y 01 Y m0l0 = c1Y m0l0�1 + c2Y m0l0 + c3Y m0l0+1(�sto znamo iz selekcionih pravila za CG koe�cijente, uporediti x 7.2.3). �Stavi�se, leva strana imaodredenu parnost: (�1)1(�1)l0 = �(�1)l0 (uporediti (8.1.30)). Stoga mora biti c2 = 0, jerparnost odgovaraju�ceg sabirka ima suprotnu vrednost (�1)l0 . Dakle, za l0 > 0 je l = l0 � 1. Akoje l0 = 0, onda iz gornjeg razlaganja Y 01 Y m0l0 sledi l = 1.Kona�cna selekciona pravila glase m = m0; l = jl0 � 1j : (10.1.36a,b)Selekciona pravila (10.1.36) slede iz Wigner-Eckart-ovog teorema na slede�ci na�cin. Po�sto je H 0z-komponenta vektorskog operatora, to zna�ci da je istovremeno i nulta standardna komponentaireducibilnog tenzorskog operatora prvog reda, a svojstveni bazis od H0 je standardni bazis zal. Selekciona pravila Wigner-Eckart-ovog teorema stoga imaju za posledicu da hml j H 0 j m0l0 imo�ze biti razli�cito od nule samo ako m = m0 i l = l0 � 1; l0; l0 + 1 za l0 � 1, a samo za l = 1 akoje l0 = 0.Ako primenimo i Wigner-Eckart-ov teorem za operator prostorne inverzije (�sto mo�zemo, po�stoje H 0, neparan operator, uporediti (8.1.17) i iznad toga), onda jo�s otpada i mogu�cnost l = l0.Odmah sledi E(1) = hl = m = 0 j H 0 j l = m = 0 i = 0, a u drugoj popravci preostaje jedansabirak E(2) =Pl>0 lPm=�l jhl = m = 0 j H 0 j lm ij2� ~22mr20 l(l+1) = �mr20~2 jhl = m = 0 j H 0 j l = 1; m = 0 ij2.Ispostavlja se da je hY 00 (�; ') j cos � j Y 01 (�; ') i = 1p3 , te osnovni nivo Stark-ovog efektarotatora u drugoj aproksimaciji glasiE0n + E(1) + E(2) = 0 + 0 + E(2) = �mr203~2 E2d2 : (10.1.37)Dakle, osnovni nivo se dobija upravo od druge popravke i zato ceo efekat nosi naziv kvadratnogStark-ovog efekta.10.1.6 Uklanjanje degeneracije pomo�cu grupe simetrijehamiltonijanaTeorija stacionarnih perturbacija nedegenerisanog nivoa, �cijem izlaganju je posve�cen ovaj odeljak,znatno je jednostavnija od teorije stacionarnih perturbacija degenerisanog nivoa, koju �cemoprou�cavati u slede�cem odeljku. Stoga je po�zeljno da se problem degenerisanog nivoa svede naproblem nedegenerisanog kad god je to mogu�ce. Pomenuto svodenje te�zeg problema na lak�si

10.1. STACIONARNA PERTURBACIJA NEDEGENERISANOG NIVOA 387mo�ze se �cesto posti�ci ako imamo grupu simetrija fU(g) j g 2 Gg u prostoru stanja sistema i totakvu da je grupa simetrije i neperturbisanog hamiltonijana, tj.[ U(g); H0 ] = 0; 8g 2 G; (10.1.38)i perturbacije, tj. [ U(g); H 0 ] = 0; 8g 2 G (10.1.39)(onda je, naravno, grupa simetrije i perturbisanog hamiltonijana H = H0 + H 0).U daljem izlaganju ograni�ci�cemo se na rotacionu grupu G = R(3), po�sto je to najosnovniji inajva�zniji primer pomenute grupe. Sve �sto �cemo re�ci prenosi se po analogiji na bilo koju drugugrupu simetrije pomenutih hamiltonijana.Razlo�zi�cemo prostor stanjaH na vi�sestruke ireducibilne invarijantne potprostore Vk, koje smouveli u x 6.3.4 i nazvali "ormari sa �okama" (videti i x 8.3.10). Zapravo, nastavimo razlaganje dopotprostora Vkm (do "�oka"): H = �k �km=�k Vkm: (10.1.40)Pretpostavimo da za reprezentaciju rotacione grupe R(3) va�ze relacije (10.1.38) i (10.1.39).Onda se, kao �sto znamo (videti T 6.4.2), H0, H 0 i H redukuju u svakom potprostoru Vkm i usvakom potprostoru Vk dovoljno je uzeti jedan potprostor Vkm, recimo Vk;m=k, jer u svim ostalimpotprostorima Vkm unutar istog Vk svi ovi operatori se redukuju u ekvivalentne operatore ("usvim �okama istog ormara nalazimo isto").Na osnovu re�cenog, ceo perturbacioni ra�cun mo�zemo sprovesti u po jednom potprostoruVk;m=k za svako k. �Cesto �ce se desiti da tu dobijemo nedegenerisan neperturbisani nivo E0n.Zadatak 10.1.10 Objasniti kako to da ne samo svaki nivo El krutog rotatora sa multiplicitetom 2l + 1 izprethodnog paragrafa, ve�c i svaki nivo En sa vi�sestruko�s�cu n2 u L2(r) elektrona u vodoniku sli�cnom atomu(9.1.23a) postaje nedegenerisan nivo gornjim postupkom.Kao �sto proizlazi iz iskaza u ovom Zadatku, redukovanjem perturbacionog problema u Vl;ml=lsvaki nivo El krutog rotatora postaje nedegenerisan, tj. jednozna�cno (s ta�cno�s�cu do faznogfaktora) mu odgovara svojstveni vektor j l; ml = l i. Na osnovu selekcionih pravila (10.1.36) seonda lako dobija druga popravka E(2) za El, a prva popravka E(1) je opet nula.10.1.7 Niski pobudeni nivoi atoma sa dva valentna elek-tronaKompletni hamiltonijan H elektronskog omota�ca od Z elektrona (u neutralnom atomu rednogbroja Z) glasi: H = ZXi=1 p2i2me � ZXi=1 Ze2ri + ZXi<j e2jri � rjj + ZXi=1 f(ri)li � si; (10.1.41)gde je f(ri) def= 12m2ec2 1ri dV (ri)dri (10.1.42)(uporediti (9.1.37)), a V (ri) je jedno�cesti�cni potencijal, speci�kova�cemo ga ni�ze.

388 GLAVA 10. PRIBLI�ZNI RA�CUNIAnticipiraju�ci malo sadr�zaj odeljka x 10.4, ukaza�cemo na to da se iz sabirka dvo�cesti�cnogtipa kao �sto je PZi<j e2jri � rjj izdvaja jedan usrednjeni jedno�cesti�cni potencijal Wi (specijalnomvarijacionom metodom): ZXi<j e2jri � rjj = ZXi=1 Wi + ZXi<j V (rez)ij : (10.1.43)Preostali deo PZi<j V (rez)ij naziva se rezidualnom interakcijom. Za jedno�cesti�cni potencijalV (ri) u (10.1.42) se uzima (�Ze2ri + Wi).U lakim i srednje te�skim atomima �clan orbitno-spinskog sprezanja je znatno manji od rezidu-alne interakcije ZXi=1 f(ri)li � si � ZXi<j V (rez)ij (10.1.44)i mo�ze se zanemariti. De�ni�se se neperturbisani hamiltonijan jedno�cesti�cnog tipa:H0 def= PZi=1 hi =PZi=1( p2i2me � Ze2ri + Wi) ; (10.1.45)a rezidualna Coulomb-ova repulzija je perturbacija H 0 :H 0 def= PZi<j V (rez)ij : (10.1.46)Obi�cno se izdvajanje usrednjenog repulzivnog potencijala PZi=1 Wi u (10.1.43) de�ni�se takoda Wi ima rotacionu simetriju (u L2(ri)), te se potpuna klasi�kacija stanja za jedno�cesti�cnihamiltonijan hi mo�ze pisatifj nlmlms i j n = 1; 2; : : : ; ml = �l; : : : ; l; l = 0; 1; 2; : : : ; ms = �12g; (10.1.47)gde kvantni broj n jedno�cesti�cnih energetskih nivoa igra analognu ulogu kao glavni kvantni brojza elektron u vodoniku sli�cnom atomu. Usled rotacione simetrije spektar od hi glasi fE0nl j 8n; 8lg,tj. ne zavisi od ml i ms.Svojstveni bazis za H0 mo�zemo izgraditi po modelu nezavisnih �cestica (uporediti x 9.4.3) uvidu Slater-ovih determinanti. Ali, ti Z-elektronski vektori nisu prilagodeni (u op�stem slu�caju)rotacionoj simetriji od H0 i od H 0. Zato je za re�savanje perturbacionog problema pogodniji jedandrugi svojstveni bazis za H0 konstruisan u LS sprezanju, u kom su jedno�cesti�cni orbitni uglovnimomenti li i si = 12 ; i = 1; : : : ; Z, spregnuti u Z-elektronski ukupni orbitni uglovni moment Lodnosno u Z-elektronski ukupni spin S. Vektore u ovoj klasi�kaciji stanja za H0 pisa�cemo u viduj LSMLMS� i.Ograni�ci�cemo se sad na omota�ce sa dva valentna elektrona i uze�cemo kao konkretan primerneutralni atom ugljenika C sa kon�guracijom (He)2s22p2, gde je (He)2s2 core, a valentni elektronisu u stanju 2p. Usrednjeni repulzivni jedno�cesti�cni potencijal Wi u (10.1.43) se izra�cunava sasvih Z elektrona. Stoga se efekt zastiranja koji poti�ce od Z � 2 elektrona core-a uzima u obziru modelu nezavisnih �cestica H0 (ali ne i sa ve�com ta�cno�s�cu).

10.1. STACIONARNA PERTURBACIJA NEDEGENERISANOG NIVOA 389Zadatak 10.1.11 Pokazati da je osnovni nivo za H0 pomenutog atoma ugljenika degenerisan i to sa vi�sestruko�s�cu15. Rotaciona simetrija H0 i perturbacije H 0 omogu�cuje nam da otklonimo pomenutu degenera-ciju redukuju�ci ceo perturbacioni problem u jednu "�oku" "ormara sa �okama". "Ormari" susad potprostori sa o�strim vrednostima L i S (dvo�cesti�cnim), a "�oke" sa o�strim vrednostima L,S,ML i MS. Naime, sada zajedni�cka grupa simetrije G od H0 i od H 0 sadr�zi posebno sve orbitnerotacije i posebno sve spinske rotacije.Zadatak 10.1.12 Pokazati da je u svakoj "�oci", tj. potprostoru V(LSMLMS), ako su L i S medusobno kompa-tibilni u smislu Postulata antisimetri�cnosti (uporediti ispod Z 9.5.1), pomenuti osnovni nivo od H0 nedegenerisan.Po�sto princip antisimetri�cnosti dozvoljava 3P , 1S i 1D stanje na�sa dva valentna elektrona(dakle, ovi kvantni brojevi de�ni�su "ormare" u kojima se pojavljuje na�s perturbacioni problem),moramo izra�cunati energetske korekcije prvog reda E(1)(3P ), E(1)(1S) i E(1)(1D).Zadatak 10.1.13 Napisati formule za izra�cunavanje ovih popravki.�� �� �� ���� �� �� ��

HH HHHHHHE00E00 + E(1)(1S)(He)2s22p2 E00 + E(1)(1D)E00 + E(1)(3P )Slika 10.1: Cepanje degenerisanog nivoazbog rezidualne Coulomb-ove repulzije.

Ispostavlja se da linearni efekt rezidualneCoulomb-ove repulzije, tj. prva aproksimacijaovog efekta, dovodi do cepanja neperturbisanognivoa kao �sto je prikazano na Crte�zu C10.1.Da bismo uzeli u obzir i izostavljeni mali sa-birak orbitno-spinskog sprezanja u hamiltonijanu,prvo �cemo rede�nisati hamiltonijan H0. On �cesad da obuhvati linearni efekt cepanja osnovnihnivoa sa Crte�za C10.1, a ina�ce �ce biti kao ma-lopre. Drugim re�cima, biv�si 15-struki degeneri-sani nivo E0 zamenjujemo nedegenerisanim ni-voom E00 + E(1)(1S), kome i dalje odgovara sta-nje j L = S =ML =MS = 0; � i; zatim 5-strukodegenerisanim nivoom E00 +E(1)(1D) i, najzad, 9-struko degenerisanim nivoom E00+E(1)(3P ) (sve sa nepromenjenim svojstvenim stanjima). Ostalesvojstvene vektore i svojstvene vrednosti od H0 ostavi�cemo nepromenjene (jer vi�si nivoi malouti�cu na korekcije osnovnog nivoa). Za novu perturbaciju �cemo uzeti H 0 = PZi=1 f(ri)li � si(uporediti (10.1.41) i (10.1.42)).Zadatak 10.1.14 Pokazati da se sad za zajedni�cku grupu simetrije od H0 i H = H0 + H 0 ne mo�ze vi�se uzetigrupa svih rotacija posebno u ukupnom orbitnom prostoru i posebno u ukupnom spinskom prostoru, ali da umestotoga mo�zemo uzeti grupu svih rotacija u sveukupnom (orbitno-spinskom) prostoru stanja dva elektrona.Zadatak 10.1.15 Pokazati da uzimanjem V(LSJ) potprostora za "ormare", a V(LSJMJ) potprostora za "�-oke", potpuno uklanjamo degeneraciju pomenuta dva degenerisana najni�za nivoa od novog H0.Zadatak 10.1.16 Napisati formulu za izra�cunavanje novih popravki prvog reda: E(1)(1S0), E(1)(1D2), E(1)(3P2),E(1)(3P1) i E(1)(3P0).Ispostavlja se da se neperturbisani nivo E0 + E(1)(3P ) cepa kao �sto ja prikazano na Crte�zuC10.2.

390 GLAVA 10. PRIBLI�ZNI RA�CUNI�� �� �� ���� �� �� ��

HH HHHHHHE00E00 + E(1)(1S)(He)2s22p2 E00 + E(1)(1D)E00 + E(1)(3P ) XX��ZZ �� �� ��XX XX XXZZ ZZ ZZ

E00 + E(1)(3P ) + E(1)(3P2)E00 + E(1)(3P ) + E(1)(3P1)E00 + E(1)(3P ) + E(1)(3P0)Slika 10.2: Cepanje neperturbisanog nivoa E00 + E(1)(3P ).Zadatak 10.1.17 Objasniti za�sto se degenerisani nivo E0 + E(1)(3P ) ne cepa (kao �sto je prikazano na Crte�zuC 10.2).Ispostavlja se da ja�cina rezidualne intarakcije raste samo sa pZ, a ja�cina spin-orbitnog spre-zanja raste sa Z2. Postoji jedan region te�skih atoma (oko olova) u kome su pomenute dveinterakcije otprilike iste ja�cine (tzv. region intermedijernog sprezanja). Ovde se linearni efektimogu ra�cunati samo u jednom jedinstvenom koraku uzimaju�ci obe interakcije zajedno kao per-turbaciju.U regionu veoma te�skih atoma orbitno-spinsko sprezanje je dominantno u odnosu na rezidu-alnu interakciju. Tu se model nezavisne �cestice rede�ni�se tako da se u H0 u (10.1.45) uklju�cujei spin-orbitno sprezanje. Onda se potpuna klasi�kacija stanja za jedno�cesti�cni hamiltonijan hisastoji od vektora vida j nljmj i.U slede�cem koraku spre�zemo sve ji; i = 1; 2; : : : ; Z, u ukupno J i MJ . U ovom tzv. jjsprezanju svojstveni bazis za H0 je standardan bazis za J ili za grupu sveukupnih rotacija (grupusimetrije za H0 i za H) i sastoji se od vektora vida j JMJ� i. I ovde se prelazi na V(J)kao "ormare", odnosno na V (JMJ) kao "�oke". Tako se dobija linearni efekt od Coulomb-overezidualne repulzije kao perturbacije.10.1.8 Coulomb-ova energija jezgraIlustrova�cemo korisnost rezultata iz paragrafa x 10.1.6 i na primeru izra�cunavanja veli�cine iznaslova. U ovom slu�caju imamo jedan veoma slo�zen problem, jer neperturbisani hamiltonijanH0 obuhvata �cisto nuklearnu interakciju izmedu ovih parova nukleona (imamo u jezgru Z protonai N neutrona, dakle Z +N nukleona). Ova interakcija je veoma slo�zena i mi u stvari ne znamore�senje svojstvenog problema od H0. Mora�cemo to zaobi�ci tipi�cnim ve�stim domi�sljanjem.Perturbacija je celokupna Coulomb-ova interakcija izmedu ovih parova protona:H 0 def= ZXi<j e2rij : (10.1.48)

10.1. STACIONARNA PERTURBACIJA NEDEGENERISANOG NIVOA 391Prostor stanja jezgra glasi: H def= V(p)a V(n)a ; (10.1.49)gde je V(p)a fermionski prostor (tj. antisimetri�cni potprostor) Z-identi�cnih protona, a V(n)a jeanalogni prostor N -identi�cnih neutrona.Pretpostavi�cemo da neperturbisani nivo E0n ima (kao �sto je to obi�cno slu�caj) kvantne brojeveJ i � (sveukupni uglovni moment i parnost). To u stvari zna�ci da odgovaraju�ci svojstveni vektoriod H0 imaju vid j�JMJ i. Pretpostavi�cemo takode da je nivo E0n samo (2J+1) puta degenerisani da MJ prebrojava degenerisane svojstvene vektore (�sto je isto tako obi�cno slu�caj).Po�sto rotaciona simetrija va�zi i za �cisto nuklearnu interakciju, tj. za H0, i za Coulomb-ovuinterakciju, tj. za H 0, mo�zemo, kao �sto je obja�snjeno u paragrafu x 10.1.6, da redukujemo ceoperturbacioni problem u potprostor V(J;MJ = J) (tj. u prvu "�oku" "ormara" V(J)). Ovdenivou E0n odgovara samo jedno stanje j �J;MJ = J; � i.Ra�cuna�cemo Coulomb-ovu energiju EC u prvoj aproksimaciji, to �ce re�ci da �cemo je izra�cunatiu vidu prve popravke E(1) na E0n (vrednost samog nivoa E0n ne znamo i ne treba nam). Prematome, EC def= En � E0n � E(1) = h�J;MJ = J; � j ZXi<j e2rij j �J;MJ = J; � i: (10.1.50)Sad �cemo se upustiti u malu digresiju. Re�si�cemo problem kako sve sabirke u operatoruinterakcije Pi<j Vij (to je e2rij u (10.1.50)) da svedemo na V12 pomo�cu pogodnih permutacija.Ovaj se problem postavlja zato �sto u (10.1.50) izra�cunavamo (kao �sto je �cesto slu�caj) matri�cnielement odPi<j Vij izmedu dva antisimetri�cna stanja, a na njih permutacije deluju jednostavno.Lema 10.1.2 Neka je dato N hermitskih ili unitarnih operatora A1; B2; : : : ; XN (ne nu�zno ekvi-valentnih) koji deluju u jedno�cesti�cnim prostorima H(u)1 , odnosno H(u)2 , odnosno... ,odnosno H(u)Nsistema od N identi�cnih fermiona. Neka je, osim toga, data operatorska funkcija f(A1; B2; : : : ; XN),koja deluje u H(u)1 : : :H(u)N . OndaP f(A1; B2; : : : ; XN)P�1 = f(A1; B2; : : : ; XN); 8p 2 �N ; (10.1.51a)gde je, na primer Ap1 = Jp1 1A1J�1p1 1 itd: (10.1.51b)(drugim re�cima, A1 je "prenesen" iz H(u)1 u H(u)p1 itd.).Dokaz: Neka je fj ni i j 8nig svojstveni bazis od Oi u H(u)1 , gde je Oi def= A1 ili Oi def= B2 ili ... ve�c prema tome da lije i = 1 ili i = 2 ili ... i = 1; :::; N . (Bazis se sastoji delom i od uop�stenih vektora ako Oi ima i kontinualni spektar.)Podimo od P -lika indukovanog bazisa u H(u)1 : : :H(u)N , tj. od fP j n1 i j n2 i : : : j nN i j 8ni; i = 1; : : : ; Ng iprimenimo na vektore ovog bazisa levu stranu od (10.1.51a).Sledi [P f(A1; B2; : : : ; XN )P�1]P j n1 i : : : j nN i = f(an1 ; bn2 ; : : : ; xnN ) j np�11 i : : : j np�1N i. Desna strana od(10.1.51a) primenjena na isti bazisni vektor dajef(Ap1 ; Bp2 ; : : : ; XpN )P jn1i : : : jnN i = f(A1; : : : ; XN) jnp�11 i : : : jnp�1N i = f(an1 ; bn2 ; : : : ; xnN ) jnp�11 i : : : jnp�1N i:Da bi se shvatio poslednji korak, treba uo�citi da na primer Ap1 deluje na p1-ti ket, a tu nailazi na stanjej np�11 i =j n1 i, koje je svojstveni vektor od A sa svojstvenom vredno�s�cu an1 itd. �Sto se ti�ce operatorske funkcije

392 GLAVA 10. PRIBLI�ZNI RA�CUNIf i brojne funkcije f , u stvari je a priori zadata brojna funkcija, a ona de�ni�se operatorsku preko spektralnograzlaganja f(A1; : : : ; XN ) =Xn1 : : :XnN f(an1 ; bn2 ; : : : ; xnN ) j n1 i : : : j nN ihn1 j : : : hnN j : (10.1.52)(Ako je f polinom, onda se ispostavlja da je f isti polinom operatora.) Q. E. D.Korolar 10.1.1 Oparator interakcije i-te i j-te �cestice svodi se na operator interakcije prve idruge �cestice na slede�ci na�cin Vij = P V12P�1; (10.1.53a)gde P u H(u)1 : : :H(u)N reprezentuje permutaciju p:p def= � 1 2 : : : Ni j : : : pN � (10.1.53b)(drugim re�cima, p1 = i, p2 = j,... N � 3 proizvoljno).Dokaz: Zami�sljamo V12 kao odredenu funkciju osnovnih skupova opservabli: V12 = f(r1; p1; s1; r2; p2; s2)(osnovni skup je ovde uop�stenje jedne opservable u Lemi L10.1.2). Iz Leme L 10.1.2 onda sledi P V12P�1 =f(rp1 ; pp1 ; sp1 ; rp2 ; pp2 ; sp2). O�cigledno, ako i samo ako p1 = i, p2 = j, onda va�zi (10.1.53a). Q. E. D.Vratimo se sad iz na�se digresije i nastavimo usrednjavanje Coulomb-ove energije EC u prvojaproksimaciji. Iz (10.1.53a) slediE(1) = ZXi<j h�J;MJ = J; � j P e2r12 P�1 j �J;MJ = J; � i = Z(Z � 1)2 �; (10.1.54a)� def= h�J;MJ = J; � j e2r12 j �J;MJ = J; � i (10.1.54b)(jer P i P�1, sa p datim sa (10.1.53b), deluju na svaki vektor iz V(p)a jednako i to kao (�1)p =(�1)p�1, pa se ta dva faktora potiru, a Z(Z � 1)=2 je broj parova protona).Dalje, � =Xms1 : : : Xms(Z+N) Z : : :Z j��J;MJ=J;�j2 e2r12 dr1 : : : drZ+N ; (10.1.55)gde ��J;MJ=J;�(r1; ms1; : : : ; rZ+N ; ms(Z+N)) reprezentuje apstraktni vektor j �J;MJ = J; � i ukoordinatno-spinskoj reprezentaciji.Po�sto se r12 def= jr1 � r2j u (10.1.55) ti�ce samo integrala po r1 i r2, sve ostale integracije i svesumacije se mogu odmah izvr�siti. Time sa vektora stanja celog sistema prelazimo na redukovanistatisti�cki operator �12, koji se odnosi na orbitne stepene slobode prve dve �cestice (uporediti(4.4.8a)). Dijagonalni elementi od �12 suhr1; r2 j �12 j r1; r2 i def= �(r1; r2) def= Xms1 : : : Xms(Z+N) Z : : :Z j��J;MJ=J;�j2 dr3 : : : drZ+N : (10.1.56)

10.1. STACIONARNA PERTURBACIJA NEDEGENERISANOG NIVOA 393Na osnovu (10.1.55), (10.1.56) mo�ze prostije da se pi�se u vidu� = Z Z e2r12�(r1; r2) dr1 dr2: (10.1.57)Po�sto se �(r1; r2) interpretira kao gustina verovatno�ce (nala�zenja istovremeno prve �cesticeu r1 i druge u r2, uporediti (4.3.12), �zi�cki smisao formule (10.1.57) je izra�cunavanje srednjeCoulomb-ove potencijalne energije dva protona u jezgru.Po�sto ne znamo j �J;MJ = J; � i, ne znamo ni �12. Sad �cemo de�nisati jedan dosta grubimodel za izra�cunavanje �(r1; r2). Prvo �cemo pretpostaviti da izmedu verovatno�ca nala�zenja�cestica nema korelacija, tj. da se mo�ze pisati�(r1; r2) = �(r1)�(r2): (10.1.58)Zbog identi�cnosti protona, radi se o istoj funkcionalnoj zavisnosti u �(r1) i u �(r2). Druga na�sapretpostavka (time je zavr�sena de�nicija modela) sastoji se u tome da je unutar izvesne sferepolupre�cnika R verovatno�ca nala�zenja svugde jednaka, a van te sfere da je nula:�(r) def= � 143�R3 ; r � R0; r > R : (10.1.59)Formule (10.1.59), (10.1.58), (10.1.57) i (10.1.54a) najzad dovode do rezultataEC � 35Z(Z � 1)e2R; (10.1.60a)a R, polupre�cnik jezgra je, prema jednoj empirijskoj formuli dat sa,R = 1; 45(Z +N) 1310�13cm: (10.1.60b)Koliko god da je grub na�s model u kom smo izra�cunali EC , dobijeni razultati su ipak do-voljno ta�cni za testiranje hipoteze o izospinskoj nezavisnosti �cisto nuklearne interakcije (uporeditix 8.5.2), �cija je neposredna posledica da se energije veze u jezgrima koja pripadaju istoj izobari(izobara je de�nisana sa �ksiranim Z +N , uporediti x 8.5.5) mogu razlikovati samo za EC .10.1.9 Popravka energije i stanja p-tog redaDa bismo izra�cunali popravke iz naslova, ispi�simo iz osnovne jednakosti (10.1.7) sve veli�cine p-togreda (i skratimo ap):H0 j p i+ H 0 j p� 1 i = E0n j p i+ p�1Xq=1 E(q) j p� q i+ E(p) j n i: (10.1.61)Da bismo izra�cunali E(p), pomno�zimo (10.1.61) skalarno sa hn j. Usled hn j H0 = hn j E0n i�cinjenice da je j n i ortogonalno na popravku stanja bilo kog reda (to sledi iz (10.1.15) kad se tuzameni (10.1.6)), sledi E(p) = hn j H 0 j p� 1 i; p = 2; 3; : : : : (10.1.62)

394 GLAVA 10. PRIBLI�ZNI RA�CUNITreba zapaziti da usrednjavanje popravke energije p-tog reda zahteva poznavanje popravkestanja (p� 1)-tog reda.Da bismo iz (10.1.61) izra�cunali j p i, pomno�zimo (10.1.61) skalarno sa hn� j; n 6= n (imaju�ciu vidu da je h n j pi = 0): E0nh n� j pi+ hn� j H 0 j p� 1 i = E0nh n� j pi+Pp�1q=1 E(q)h n� j p� qi.Odavde sledih n� j pi = 1E0n�E0n (hn� j H 0 j p� 1 i �Pp�1q=1 E(q)h n� j p� qi); p = 2; 3; : : : (10.1.63)Dakle, za izra�cunavanje popravke stanja p-tog reda moramo prethodno znati sve popravkeenergije i stanja do (p� 1)-tog reda.Zadatak 10.1.18 Dokazati da se (10.1.63) mo�ze kompaktnije prepisati kaoj p i = (E0n � H0)�1Q(H 0 j p� 1 i � p�1Xq=1E(q) j p� q i); p = 2; 3; : : : (10.1.64)(Kada operatorom (E0n�H0)�1Q delujemo nalevo, na primer na hn j, onda ga treba pisati u vidu Q(E0n�H0)�1Q.Za primenu ovog operatora samo na desno, tj. samo na ketove, levi Q je nepotreban.)10.2 Osnovi teorije stacionarne pertubacije degenerisa-nog nivoaU ovom odeljku �cemo izlo�ziti osnovne rezultate teorije smetnji u slu�caju kada ni neperturbisanihamiltonijan H0 ni perturbacija H 0 ne zavise od vremena, ali, za razliku od slu�caja u prethodnomodeljku, posmatrani neperturbisani energetski nivo E0n je degenerisan. Izve�s�cemo za op�sti slu�cajpopravku energije prvog reda. Popravku drugog reda za energiju i popravku prvog reda za stanjeizve�s�cemo za speci��cni slu�caj kada se degeneracija otklanja u prvoj aproksimaciji. Prikaza�cemolinearni Stark-ov efekt pobudenih stanja vodonikovog atoma kao ilustraciju.10.2.1 UvodU teoriji stacionarnih perturbacija degenerisanog nivoa takode imamo od vremena nezavisneoperatore H0, H 0, H i razvijamo H(a) def= H0 + aH 0 u Taylor-ov red po a oko a = 0. Zapravo,svojstvenu jednakost perturbisanog hamiltonijana H opet pi�semo u vidu (prepisujemo (10.1.7),samo umesto j n i stavljamo j 0 i):(H0+ aH 0)(j 0 i+ a j 1 i+ a2 j 2 i+ : : :) = (E0n+ aE(1)+ a2E(2)+ : : :)(j 0 i+ a j 1 i+ a2 j 2 i+ : : :):(10.2.1)Ova jednakost daje, sa svoje strane, slede�ce jednakosti u nultom, prvom i drugom redu:H0 j 0 i = E0n j 0 i; (10.2.2)H0 j 1 i+ H 0 j 0 i = E0n j 1 i+ E(1) j 0 i; (10.2.3)H0 j 2 i+ H 0 j 1 i = E0n j 2 i+ E(1) j 1 i+ E(2) j 0 i; (10.2.4)

10.2. OSNOVI TEORIJE STACIONARNE PERTUBACIJE DEGENERISANOG NIVOA 395Kao i u prethodnom odeljku, pretpostavljamo da smo re�sili svojstveni problem neperturbisanoghamiltonijana H0 : da je fE0n j 8ng njegov �cisto diskretni spektar, a fj n�i j � = 1; 2; : : : ; dn; 8ngodgovaraju�ci svojstveni bazis. (Opet se lako uop�stava na slu�caj kada H0 ima i kontinualni spektar,samo ako je neperturbisani nivo E0n, koji posmatramo, diskretan.)Jednakost (10.2.2) jasno kazuje da u nultoj aproksimaciji energije imamo, tzv. neperturbisaninivo E0n, koji je svojstvena vrednost od H0. (Po pretpostavci ona je uvek diskretna, kao �sto smove�c istakli.) Iz (10.2.2) se takode vidi da je nulta aproksimacija stanja (koja odgovara E0n), tzv.neperturbisano stanje j 0 i, svojstveni vektor od H0 i da kao takav pripada svojstvenoj vrednostiE0n. U ovom odeljku, medutim, pretpostavljamo da je neperturbisani nivo E0n degenerisan. Prematome, j 0 i je nepoznata linearna kombinacija svojstvenih vektora fj n� i j � = 1; 2; : : : ; dng odH0 i re�savanje moramo zapo�ceti u nultoj aproksimaciji.Zami�sljamo da neperturbisanom nivou E0n odgovara, s perturbisanih nivoa E1; E2; : : : ; Es("odgovaranje" opet zna�ci da ovih s nivoa konvergira ka E0n kada a ! +0). Perturbisani nivoisu takode po pravilu degenerisani. Neka su odgovaraju�ci multipliciteti D1; D2; : : : ; Ds. Ondaimamo D1 +D2 + : : :+Ds = dn; (10.2.5)jer prilikom kontinualne promene parametra a od jedan do nule ni jedna diskretna veli�cina, kaoDi, i := 1; : : : ; s iliPsi=1Di, ne mo�ze skokovito da se promeni.Pretpostavljamo da izra�cunavamo jedan odredeni perturbisani nivo, recimo E1. Njega jenajlak�se �ksirati kada se radi o osnovnom nivou, a za druge nivoe E1, izdvajanje vr�simo pomo�cuodredenih kvantnih brojeva (koji odreduju taj nivo).Pretpostavi�cemo da sva degeneracija od E1 poti�ce od jedne poznate grupe simetrije G i dasvi operatori u reprezentaciji te grupe komutiraju sa H0, H 0 i H; da smo metodom izlo�zenim ux 10.1.6 ceo perturbacioni problem sveli u jednu "�oku" jednog "ormara" reprezentacije grupe G ida smo tako dobili nedegenerisani perturbisani nivo E1. U pomenutom invarijantnom potprostoru("�oci") se sad sve rede�ni�se (spektar od H0, degeneracije itd.). Mi �cemo zadr�zati gornju notaciju,samo �sto je od sada prostor stanja ta jedna "�oka". Zna�ci, postigli smo da u (10.2.5) imamoD1 = 1. Isto tako, i dalje je dn > 1, jer dopu�stamo da H0 ima �siru grupu simetrije nego H 0 (iH).10.2.2 Popravka energije prvog reda i neperturbisano sta-njeObele�zimo sa P 0n svojstveni projektor od H0, koji projektuje na svojstveni potprostor de�nisansvojstvenom vredno�s�cu E0n (sad je Tr P 0n > 1). Primenimo P 0n na (10.2.3):H0P 0n j 1 i+ P 0nH 0 j 0 i = E0nP 0n j 1 i+ E(1)P 0n j 0 i: (10.2.6)Po�sto H0 =PnE0nP 0n (P 0n su svojstveni projektori), imamo H0P 0n = E0nP 0n (jer P 0nP 0n = ÆnnP 0n) iprvi sabirci na levoj i na desnoj strani se potiru. OstajeP 0nH 0 j 0 i = E(1)P 0n j 0 i: (10.2.7)Jednakost nulte aproksimacije (10.2.2) kazuje da imamo P 0n j 0 i =j 0 i, stoga mo�zemo nalevoj strani od (10.2.7) j 0 i zameniti sa P 0n j 0 i, a na desnoj strani mo�zemo izostaviti P 0n . Tako

396 GLAVA 10. PRIBLI�ZNI RA�CUNInajzad dolazimo do jednakosti: P 0nH 0P 0n j 0 i = E(1) j 0 i: (10.2.8)To zna�ci da je E(1) svojstvena vrednost od P 0nH 0P 0n , a j 0 i je odgovaraju�ci svojstveni vektor.Svojstveni problem (10.2.8) se obi�cno re�sava dijagonalizacijom matrice koja u reprezentacijineperturbisanog hamiltonijana, tj. u bazisu fj n� i j � = 1; 2; : : : ; dn; 8ng, reprezentuje operatorP 0nH 0P 0n j 0 i. U stvari dovoljno je uzeti dn � dn podmatricu (na dijagonali) matrice H 0, koja uistom bazisu reprezentuje H 0 (videti oivi�cenu podmatricu na Crte�zu C10.3(a)).Treba zapaziti da se H 0 ne redukuje (u op�stem slu�caju) u svojstvenom potprostoru od H0koji odgovara E0n, �sto na matri�cnom jeziku zna�ci da nemamo vandijagonalne podmatrice susednena�soj jednake nuli kao �sto imamo na Crte�zu C10.3(b). Stoga P 0nH 0P 0n j 0 i zna�ci neku vrstu"isecanja" podmatrice, koju, prema (10.2.8), treba dijagonalizovati. �Cesto se kao sinonim za"dijagonalizovanje" koristi termin "re�savanje sekularnog problema". Zna�ci, da bismo dobili prvukorekciju energije i (istovremeno!) stanje u nultoj aproksimaciji, moramo da re�simo sekularniproblem "ise�cene" perturbacije P 0nH 0P 0n j 0 i.hn; 1 j H 0 j n; 1 i . . . hn; 1 j H 0 j n; dn i hn; 1 j H 0 j n 6= n; � = 1 i . . .. . . . . . . . . . . . . . .hn; dn j H 0 j n; 1 i . . . hn; dn j H 0 j n; dn i hn; dn j H 0 j n 6= n; � = 1 i . . .hn 6= n; � = 1 j H 0 j n; 1 i . . . hn 6= n; � = 1 j H 0 j n; dn i hn 6= n; � = 1 j H 0 j n 6= n; � = 1 i . . .. . .. . .. . .. . .. . .00 0(a) (b)Slika 10.3: Popravka degenerisanog nivoa. (a) Matrica operatora H 0 i (b) odse�cka P 0nH 0P 0n(�cije su svojstvene vrednosti prve popravke energije) u energetskoj reprezentaciji neperturbisanoghamiltonijana.

10.2.3 Popravka energije drugog reda i korekcija stanjaprvog redaSad �cemo i�ci dalje od E(1) pod jednom pretpostavkom: da smo dobili E(1) kao nedegenerisanusvojstvenu vrednost10.2.1 od P 0nH 0P 0n u (10.2.8), tj. da smo iz (10.2.8) izra�cunali jednozna�cno (sta�cno�s�cu do faznog faktora) neperturbisano stanje j 0 i. Ako ova pretpostavka ne stoji, teorijase znatno uslo�znjava i u nju ne�cemo ulaziti, niti �cemo izra�cunavati popravke vi�se od druge (�caki ako va�zi pomenuta pretpostavka). Va�zenje pomenute pretpostavke se iskazuje re�cima da smodegeneraciju dn uklonili u prvom redu aproksimacije.10.2.1Ako je �citaocu potrebna potpuna teorija perturbacija degenerisanog nivoa (za stacionarne H0 i H 0), videti:A. Messiah, Quantum Mechanics, Vol. II, North-Holland Publ. Comp., Amsterdam, 1969; glava XVI, odeljakIII.

10.2. OSNOVI TEORIJE STACIONARNE PERTUBACIJE DEGENERISANOG NIVOA 397Po�cnimo sa izra�cunavanjem E(2) iz (10.2.4). Mno�ze�ci ovu jednakost skalarno sa h0 j, slediE(2) = h0 j H 0 j 1 i (10.2.9)(h 0 j 1i = 0, kao i u prethodnom odeljku, jer smo opet j En i normirali na jedini�cnu projekcijuna j 0 i).Dakle, za izra�cunavanje popravke energije drugog reda, neophodno je prethodno raspolagatine samo sa j 0 i, nego i sa popravkom stanja prvog reda.Vektor j 1 i �cemo izra�cunati iz dve njegove projekcije. Naime, po�ci �cemo od projektorskejednakosti: I = Q0 + Q1+ j 0 ih0 j; (10.2.10a)gde je Q0 def= I � P 0n ; (10.2.10b)tj. komplementarni projektor od P 0n . De�nicija (10.2.10a) za Q1 mo�ze da se prepi�se u viduQ1 def= P 0n� j 0 ih0 j : (10.2.10c)Kao �sto smo rekli, h 0 j 1i = 0, to primenjuju�ci (10.2.10a) na j 1 i, sledij 1 i = Q0 j 1 i+ Q1 j 1 i: (10.2.11)Izra�cuna�cemo svaki od sabiraka na desnoj strani posebno.Primenom projektora Q0 na (10.2.3) dolazimo doH0Q0 j 1 i+ Q0H 0 j 0 i = E0nQ0 j 1 i: (10.2.12)Zadatak 10.2.1 Objasniti za�sto [ Q0; H0 ] = 0.Iz (10.2.12) odmah sledi Q0 j 1 i = (E0n � H0)�1Q0H 0 j 0 i: (10.2.13)Zadatak 10.2.2 Objasniti za�sto iz (10.2.3) ne mo�zemo izra�cunati i Q1 j 1 i.Primenom projektora Q1 na (10.2.4) dobija seQ1(H0 � E0n) j 2 i+ Q1H 0 j 1 i = E(1)Q1 j 1 i; (10.2.14)jer Q1 j 0 i = 0 (prema (10.2.10c)). Podsetimo se da, obele�zavaju�ci sa R(: : :) oblast likovaoperatora, potprostorska relacija R(Q1) < R(P 0n) na jeziku projektora glasi: Q1P 0n = Q1.Zbog ove mogu�cnosti da dopi�semo ili izbri�semo P 0n desno od Q1, sledi Q1H0 = Q1Pn P 0nE0n =Q1P 0nE0n+Pn 6=n Q1P 0n P 0nE0n (P 0n P 0n = 0; 8n 6= n). Stoga prvi sabirak u (10.2.14) otpada i ostajesamo Q1H 0 j 1 i = E(1)Q1 j 1 i: (10.2.15)

398 GLAVA 10. PRIBLI�ZNI RA�CUNINa levoj strani od (10.2.15) �cemo u slede�cem koraku zameniti H 0 sa H 0I, a I sa desnomstranom od (10.2.10a) i uze�cemo u obzir da h 0 j 1i = 0. SlediQ1H 0Q0 j 1 i+ Q1H 0Q1 j 1 i = E(1)Q1 j 1 i: (10.2.16)Ovu jednakost mo�zemo da re�simo po Q1 j 1 i:Q1 j 1 i = (E(1) � Q1H 0Q1)�1Q1H 0Q0 j 1 i: (10.2.17)(U stvari, drugi sabirak na levoj strani od (10.2.16) uzeli smo u vidu (Q1H 0Q1)Q1 j 1 i).Zadatak 10.2.3 Pokazati:a) da iz (10.2.10c) i (10.2.8) sledi da i j 0 ih0 j i Q1 komutiraju sa P 0nH 0P 0n ib) da P 0nH 0P 0n = Q1H 0Q1+ j 0 ih0 j H 0 j 0 ih0 j= Q1H 0Q1 + E(1) j 0 ih0 j, a da iz pretpostavke da je E(1)nedegenerisano re�senje u (10.2.8) sledi da Q1H 0Q1 nema svojstvenu vrednost E(1);c) da se operator (E(1) � Q1H 0Q1) redukuje u nesingularan operator u R(Q1), te je invertovanje operatora u(10.2.17) opravdano.Zamena Q0 j 1 i iz (10.2.13) u (10.2.17) dajeQ1 j 1 i = (E(1) � Q1H 0Q1)�1Q1H 0(E0n � H0)�1Q0H 0 j 0 i: (10.2.18)Najzad, iz (10.2.11), (10.2.13) i (10.2.18) imamoj 1 i = [I + (E(1) � Q1H 0Q1)�1Q1H 0](E0n � H0)�1Q0H 0 j 0 i : (10.2.19)Pretpostavimo da smo u svojstvenom potprostoru R(P 0n) od H0, koji odgovara nepertur-bisanom nivou E0n, pre�sli sa prvobitnog podbazisa fj n� i j � = 1; : : : ; dng na nov podbazis,koji �cemo jednako obele�zavati, a koji je svojstveni bazis od P 0nH 0P 0n u R(P 0n), i to tako da:P 0nH 0P 0n j n; � = 1 i = E(1) j n; � = 1 i, P 0nH 0P 0n j n; � i = E(1)� j n; � i; � = 2; : : : ; dn. (E(1)� ; � > 1su popravke prvog reda koje od degenerisanog neperturbisanog nivoa E0n idu ka drugim pertur-bisanim nivoima En 6= En).Zadatak 10.2.4 Pokazati da iz (10.2.13) sledin 6= n) h n� j 1i = hn�jH0j0 iE0n�E0n ; (10.2.20a)a da (10.2.18) dovodi do� 6= 1) h n� j 1i = 1E(1)�E(1)� Pn0 6=nP�0hn� j H 0 j n0�0 i hn0�0 jH0j0 iE0n�E0n0 : (10.2.20b)i da, najzad, h n; � = 1 j 1i = 0 : (10.2.20c)

10.2. OSNOVI TEORIJE STACIONARNE PERTUBACIJE DEGENERISANOG NIVOA 39910.2.4 Linearni Stark-ov efekt u vodonikovom atomuKao �sto je dobro poznato, Stark-ov efekt nastupa kada se kvantni sistam u �cijem su sastavunaelektrisane �cestice stavi u homogeno i konstantno elektri�cno polje. Efekt se sastoji u cepanjuenergetskih nivoa, sli�cno kao Zeeman-ov efekt. Mi �cemo sad prou�citi Starkov efekt u pobudenomvodonikovom atomu. On se zove linearni, jer, kao �sto �cemo videti, efekt se mo�ze u dobrojpribli�znosti ra�cunati u prvoj aproksimaciji perturbacione teorije10.2.2.Kao �sto sledi kvantizacijom odgovaraju�ce Hamilton-ove funkcije u klasi�cnoj teoriji elektro-magnetnih pojava, hamiltonijan elektrona koji je u vodonikovom atomu izlo�zen pomenutomdelovanju spolja�snjeg polja E glasi: H = p22me � e2r + jejEz (10.2.21)(prostor stanja je L2(r) C 2 , z-osa je du�z elektri�cnog polja E, �cija je ja�cina E).Pod pretpostavkom (koja je u uobi�cajenim eksperimentima zadovoljena), da E nije dovoljnojako da nadvagne dominaciju Coulomb-ovog polja od jezgra � e2r (r je malo!), smatra�cemo sabirakjejEz u (10.2.21) za perturbaciju H 0, a H0 def= p22me � e2r (10.2.22)za neperturbisani hamiltonijan.U odeljku x 9.1 re�sili smo diskretni svojstveni problem vodoniku sli�cnog atoma. Podimo odosnovnog nivoa E0n = En=1 (n je na desnoj strani glavni kvantni broj), �ciji je multiplicitet 2. Ovdenemamo linearni Stark-ov efekt, jer osnovno stanje (bilo koje iz pomenutog dvodimenzionalnogpotprostora) ima odredenu parnost (� = (�1)l = (�1)0 = +1), a operator z u perturbaciji H 0je neparan operator.Zadatak 10.2.5 Objasniti kako iz selekcionog pravila za parnost (uporediti (8.1.17)) sledi da je svaki matri�cnielement perturbacije H 0 u pomenutom svojstvenom potprostoru osnovnog nivoa 1s jednak nuli.Zadatak 10.2.6 Napisati izraz za popravku drugog reda energije osnovnog nivoa (kvadratni Stark-ov efekt uL2(r)). Ograni�citi se na sabirke koji odgovaraju diskretnom spektru od H0 i objasniti koji su matri�cni elementinula usled selekcionih pravila. Od kojeg matri�cnog elementa o�cekujemo najve�ci doprinos?Predimo sad na prvi pobudeni nivo E0n def= En=2 od H 0 koji ima multiplicitet 4 u L2(r). Ve�csmo pojednostavili problem zanemariv�si irelevantni spinski stepen slobode (jer sav H iz (10.2.21)deluje u L2(r)). Dalje pojednostavljenje �cemo dobiti ako L2(r) razlo�zimo na "ormare sa �okama"u odnosu na zajedni�cku grupu simetrije G perturbisanog hamiltonijana H i neperturbisanoghamiltonijana H0.Fizi�cki je evidentno da za G mo�zemo uzeti grupu svih vrtnji oko z-ose. "Ormari" su sadsvojstveni potprostori10.2.3 od lz, karakterisani magnetnim kvantnim brojem ml.10.2.2Linearni i kvadratni Stark-ov efekt (uporediti x 10.1) ne razlikuju se samo teorijski, ve�c i eksperimentalno.Naime, linearni efekt je znatno "ja�ci", tj. lak�se ga je detektovati (i sa slabijom rezolucijom mernog aparata).10.2.3Obratiti pa�znju da je sad broj "�oka" jedan. Vi�se od jedne "�oke" imamo samo u slu�caju nekomutativnegrupe simetrije G.

400 GLAVA 10. PRIBLI�ZNI RA�CUNIU svakom svojstvenom potprostoru V(ml) od lz ("ormaru") se sad redukuju H0, H 0 i H, tj.ceo perturbacioni problem. Utvrdimo, pre svega, za koje vrednosti ml, se u V(ml) pojavljujeneperturbisani nivo E0n def= En=2 koji posmatramo. Po�sto n = 2 dopu�sta l = 0; 1, imamo ml =0;�1. Uze�cemo potprostor V(ml = 0).Zadatak 10.2.7 Pokazati da u potprostorima V(ml = �1) nemamo linearni Stark-ov efekt neperturbisanognivoa En=2.U potprostoru V(ml = 0) neperturbisanom nivou En=2 odgovaraju dva svojstvena stanjaod H0 : j n = 2; l = 0; ml = 0 i i j n = 2; l = 1; ml = 0 i, koja su uzajamno suprotne parnosti,te njihove linearne kombinacije nemaju odredenu parnost. Zahvaljuju�ci tome imamo linearniStark-ov efekt.Dve vrednosti prve popravke energije, tj. E(1)1 i E(1)2 su re�senja sekularnog problema:det� jejEh2; 0; 0 j z j 2; 0; 0 i � E(1) jejEh2; 0; 0 j z j 2; 1; 0 ijejEh2; 1; 0 j z j 2; 0; 0 i jejEh2; 1; 0 j z j 2; 1; 0 i � E(1) � = 0: (10.2.23)Zadatak 10.2.8 Pokazati da h2; 0; 0 j z j 2; 0; 0 i = h2; 1; 0 j z j 2; 1; 0 i = 0, te da iz (10.2.23) slediE(1)1;2 = �jejEjh2; 0; 0 j z j 2; 1; 0 ij: (10.2.24)Kada u (10.2.24) zamenimo h r; �; ' j 2; 0; 0i = Rn=2;l=0(r)Y ml=0l=0 (�; ') itd. i uzmemo kon-kretne funkcije Rnl i Y ml iz (9.1.27) odnosno (6.6.8, 6.6.9), onda mo�zemo izra�cunati desnu stranuod (10.2.24): h2; 0; 0 j z j 2; 1; 0i = R10 dr R �0 d� R 2�0 d' r2 sin �(2(2a0)� 32 (1� r2a0 ) 12p�e� r2a0 )r cos ��( 1p3(2a0)� 32 ra0 p32p�e� r2a0 cos �) = 18a40 R10 drr4(1� r2a0 )e� ra0 R �0 d� sin � cos2 � =�3a0. Stoga,E(1)1;2 = �3jejEa0: (10.2.25)Zadatak 10.2.9 Pokazati da neperturbisana stanja j 0i1;2 tj. stanja koja u nultom redu odgovaraju popravkamaE(1)1;2 iz (10.2.25) (videti (10.2.8)) glase: j 0 i1;2 = 1p2(j 2; 0; 0 i� j 2; 1; 0 i): (10.2.26)Zadatak 10.2.10 Prou�citi linearni Stark-ov efekt za n = 3 u V(ml = �1), svojstvenim potprostorima od lz.Zadatak 10.2.11 Neka je G0 najmanja grupa koja sadr�zi sve vrtnje oko z-ose i re eksiju kroz xz-ravan. Pokazati:a) da je G0 zajedni�cka grupa simetrije od H0 i H datih sa (10.2.22), odnosno (10.2.21);b) da pomenuta re eksija prevodi j ml i u j �ml i;c) da se svaki "ormar sa �okama" za G0 mo�ze karakterisati sa jmlj i da za ml 6= 0 ima po dve "�oke" (G jenekomutativna grupa!) i da se one karakteri�su sa sign(ml) (sign zna�ci: predznak);d) prodiskutovati rezultate prethodnog Zadatka u svetlosti simetrije G0.Zadatak 10.2.12 Kad bismo umesto Stark-ovog imali Zeeman-ov efekt (umesto E ja�cinu magnetnog polja B,umesto jej magnetni dipolni moment elektrona), da li bi i onda G0 iz prethodnog Zadatka bila zajedni�cka grupasimetrije od H0 i H? Ukazati na jednu mogu�cu takvu grupu simetrije G i diskutovati G-deganeraciju perturbisanihnivoa.

10.3. TEORIJA VREMENSKI ZAVISNE PERTURBACIJE 40110.3 Teorija vremenski zavisne perturbacijeU ovom poslednjem odeljku posve�cenom teoriji perturbacije najzad re�savamo dinami�cki problemnekonzervativnog kvantnog sistema, tj. slu�caj kada perturbisani hamiltonijan zavisi od vremena(ali ovi rezultati jednako va�ze i ako ne zavisi). Sada u fokus pa�znje stupa evolucija proizvoljnogpo�cetnog stanja (a ne vi�se svojstveni problem perturbisanog hamiltonijana). Izlo�zi�cemo detaljnijeintegralni prilaz (preko evolucionog operatora), a samo �cemo nabaciti diferencijalni prilaz. Nakraju, prou�ci�cemo verovatno�cu prelaza iz datog po�cetnog neperturbisanog stanja u proizvoljnoneperturbisano stanje u kasnijem trenutku i to u proizvoljnom redu aproksimacije.10.3.1 De�nicija problema i program teorijePretpostavljamo da imamo hamiltonijan H(t), koji mo�ze da zavisi od vremena i koji mo�ze da senapi�se kao zbir dva �clana H(t) = H0 + H 0(t) ; (10.3.1)gde je H0 neperturbisani hamiltonijan, dominantni �clan koji ne zavisi od vremena; pretposta-vljamo da je njegov svojstveni problem ve�c re�sen. Operator H 0(t) je mali, tj. perturbacija, imo�ze da zavisi od vremena; H(t) je perturbisani hamiltonijan.Ako H0 nije kompletna opservabla, pretpostavljamo da smo H0 na pogodan na�cin dopunilido kompletnog skupa kompatibilnih opservabli, re�sili zajedni�cki svojstveni problem i tako dobilipotpunu klasi�kaciju stanja za H0 :fj n� i j � = 1; 2; : : : ; dn; 8ng (10.3.2a)i odgovaraju�ci spektar fE0n j 8ng: (10.3.2b)(Radi jednostavnosti pretpostavljamo da H0 ima �cisto diskretan spektar (10.3.2b), sa dn kaomultiplicitetom nivoa E0n.) Dakle, H0 j n� i = E0n j n� i; 8�; 8n.U po�cetnom trenutku t0 imamo proizvoljno zadato po�cetno stanje j (t0) i. U kasnijemtrenutku t > t0 ima�cemo stanje j (t) i koje treba izra�cunati:j (t) i = U(t� t0; t0) j (t0) i; (10.3.3)gde je U evolucioni operator perturbisanog hamiltonijana H(t).Program teorije vremenski zavisne perturbacije sastoji se u pisanju j (t) i kao stepenog redapo H 0(t): j (t) i =P1p=0 j (p)(t) i (10.3.4)i u izra�cunavanju pojedinih �clanova j (p)(t) i.Dakle, i u teoriji stacionarne perturbacije i u teoriji vremenski zavisne perturbacije entitetevezane za perturbisani hamiltonijan razvijamo u stepeni red po maloj perturbaciji. Ali, dok ustacionarnoj teoriji ovako izra�cunavamo svojstveni problem (nivoe i stanja) samog perturbisanoghamiltonijana, u vremenski zavisnoj teoriji na ovaj na�cin izra�cunavamo stanje kvantnog sistemaj (t)i, u koje evoluira proizvoljno po�cetno stanje j (t0)i (dakle, ni j (t0)i ni j (t)i ne morajubiti svojstvena stanja perturbisanog hamiltonijana H(t) !).

402 GLAVA 10. PRIBLI�ZNI RA�CUNI10.3.2 Pojedine popravke evolucionog operatoraNa osnovu (10.3.3), mo�zemo (10.3.4) re�savati u integralnom vidu, tj. preko evolucionog operatoraU . Onda se (10.3.4) svodi na U(t� t0; t0) =P1p=0 U (p)(t� t0; t0) ; (10.3.5)pri �cemu j (p)(t) i = U (p)(t � t0; t0) j (t0) i; 8p. Kao �sto smo videli u odeljku u kome smoprou�cavali interakcionu sliku zakona kretanja, evolucioni operator se mo�ze faktorisati (uporediti(3.4.5)): U(t� t0; t0) = U0(t� t0; t0)U 0(t� t0; t0); (10.3.6)gde je U0 evolucioni operator neperturbisanog hamiltonijana H0. Kao �sto smo videli (uporediti(3.4.6)), unitarni operator U 0, koji je de�nisan sa (10.3.6), odgovara perturbaciji H 0 u tom smisluda ih povezuje standardna diferencijalna jedna�cina{~dU 0(t� t0; t0)dt = H 0I(t)U 0(t� t0; t0): (10.3.7a)Ali, po�sto u (10.3.7a) perturbacija ulazi u interakcionoj slici,H 0I(t) def= U y0 (t� t0; t0)H 0(t)U0(t� t0; t0); (10.3.7b)operator U0 je implicitno prisutan u (10.3.7a) i ova jedna�cina nije potpuno nezavisna od neper-turbisanog problema. Ina�ce H 0 nije sam po sebi nikakav hamiltonijan (za razliku od H0) i stoga(10.3.7a) ne zna�ci da je U 0 evolucioni operator perturbacije H 0; veza koju (10.3.7a) uspostavljaizmedu U 0 i H 0 je samo formalna (za razliku od �zi�cke povezanosti H i U ili H0 i U0).Diferencijalna jedna�cina prvog reda (10.3.7a) sa po�cetnim uslovom U 0(0; t0) = I (koji sledi iz(10.3.6)) o�cigledno je ekvivalentna integralnoj jedna�ciniU 0(t� t0; t0) = I � {~ Z tt0 H 0I(t1)U 0(t1 � t0; t0) dt1: (10.3.8)Razvijanje evolucionog operatora U u red (10.3.5) svodi se preko (10.3.6) na razvijanje U 0 ured: U 0(t� t0; t0) = 1Xp=0 U 0(p)(t� t0; t0): (10.3.9)Zamena (10.3.9) u (10.3.8) daje (izjedna�cavaju�ci �clanove istog reda po H 0 s leve strane i sdesne strane): U 0(0)(t� t0; t0) = I ; (10.3.10a)U 0(1)(t� t0; t0) = 1{~ Z tt0 H 0I(t1) dt1; (10.3.10b)U 0(2)(t� t0; t0) = 1({~)2 Z tt0 dt2 Z t2t0 dt1H 0I(t2)H 0I(t1); (10.3.10c)

10.3. TEORIJA VREMENSKI ZAVISNE PERTURBACIJE 403tj. za p = 1; 2; : : ::U 0(p)(t� t0; t0) = 1({~)p Z tt0 dtp Z tpt0 dtp�1 : : :Z t2t0 dt1H 0I(tp) : : : H 0I(t1): (10.3.11)Kad se, najzad, vratimo na pravi evolucioni operator sistema U , s jedne strane ga pi�semo u vidureda (10.3.5), a s druge strane U = U0U 0 = U0 1Xp=0 U 0(p): (10.3.12)Stoga, U (p) = U0U 0(p), p = 0; 1; 2; : : :. To zna�ciU (0)(t� t0; t0) = U0(t� t0; t0) ; (10.3.13a)U (1)(t� t0; t0) = 1{~ R tt0 dt1 U0(t� t1; t1)H 0I(t1)U0(t1 � t0; t0) ; (10.3.13b)U (2)(t� t0; t0) = 1({~)2 tRt0 dt2 t2Rt0 dt1 U0(t� t2; t2)H 0I(t2)U0(t2 � t1; t1)H 0I(t1)U(t1 � t0; t0) ; (10.3.13c)pa je op�sta formula za p = 1; 2; : : ::U (p)(t� t0; t0) = 1({~)p Z tt0 dtp Z tpt0 dtp�1 � � �Z t2t0 dt1 � (10.3.13d)� U0(t� tp; tp)H 0I(tp)U0(tp � tp�1; tp�1)H 0I(tp�1) � � � U0(t2 � t1; t1)H 0I(t1)U(t1 � t0; t0);Zadatak 10.3.1 Objasniti kako je do�slo do zavisnosti od po�cetnih trenutaka i intervala kao �sto je napisano u(10.3.13d).U ekvivalentnom diferencijalnom prilazu stanje j (t) i se reprezentuje u neperturbisanombazisu (10.3.2a): j (t) i =Xn dnX�=1 an�(t) j n� i (10.3.14)i brojna kolona koja reprezentuje j (t) i pi�se se u interakcionoj slici.Zadatak 10.3.2 Pokazati da elementi ove brojne kolone glasebn�(t) = an�(t)e {~ (t�t0)E0n : (10.3.15)Radi jednostavnijeg pisanja pretpostavi�cemo da H0 ima prost spektar (dn = 1; 8n).Zadatak 10.3.3 Pokazati da pomenuta brojna kolona zadovoljava zakon kretanja{~ ddt 0B@ b1(t)b2(t)... 1CA = 0B@ H 011 H 012e{!12(t�t0) : : :H 021e�{!12(t�t0) H 022 : : :... ... . . .1CA0B@ b1(t)b2(t)... 1CA ; (10.3.16a)gde su !nn0 def= 1~ (E0n �E0n0); (10.3.16b)a H 0nn0 def= hn j H 0(t) j n0 i.

404 GLAVA 10. PRIBLI�ZNI RA�CUNIZadatak 10.3.4 Pokazati da razvijanje stanja u red po H 0 daje (pi�semo brojne kolone i matrice pojednosta-vljeno): ( b0n(t) ) = ( an(t0) ) ; (10.3.17a)gde su an koe�cijenti razvoja po�cetnog stanjaj (t0) i =Xn an(t0) j n i; (10.3.18)i da za p = 1; 2; : : : va�zi: {~ ddt � b(p)n (t) � = (H 0nn0e{!nn0 (t�t0) ) � b(p�1)n0 (t) � : (10.3.17b)10.3.3 Izra�cunavanje verovatno�ca prelaza pomo�cu dija-gramaOpet �cemo radi jednostavnijeg pisanja zanemariti eventualnu degeneraciju neperturbisanih nivoaE0n, tj. pisa�cemo neperturbisana stanja s jednim kvantnim brojem: j n i.Pretpostavimo da je u po�cetnom trenutku t0 na�s kvantni sistem bio u neperturbisanom sta-nju j n i. Neka onda perturbacija H 0(t) deluje u intervalu du�zine t � t0. Pitamo se kolika jeverovatno�ca da pri merenju opservable H0 sistem pronademo u proizvoljno odabranom nepertur-bisanom stanju j n i.O�cigledno, odgovor daje verovatno�ca prelazav(n; t0 ! n; t) = jhn j U(t� t0; t0) j n ij2: (10.3.19)Po izlo�zenoj metodi teorije vremenski zavisne perturbacije, evolucioni operator razvijamo ured po H 0 i tako dobijamo verovatno�cu prelaza u pojedinim aproksimacijama v[m], m = 0; 1; 2; : : :.Za m � 1: v[m] = v[0] +Pmp=1 v(p) : (10.3.20)Nulta aproksimacija v[0] jednaka je nultoj pribli�znosti desne strane od (10.3.19):v[0] = Ænn (10.3.21)(jer U (0) = U0). Ostale aproksimacije v[m], m = 0; 1; 2; : : : dobijaju se dodavanjem odgovaraju�cihpopravkiPmp=1 v(p), a pojedine korekcije v(p) su jednake odgovaraju�cim popravkama desne straneod (10.3.19).Na primer, usled identitetajhn jP1p=0 U (p)(t� t0; t0) j n ij2 = 1Xp=0 1Xp0=0hn j U (p) j n ihn j U (p0) j n i�; (10.3.22)prva korekcija verovatno�ce prelaza glasiv(1) = 2Re (hn j U (1) j n ihn j U (0) j n i�): (10.3.23)

10.3. TEORIJA VREMENSKI ZAVISNE PERTURBACIJE 405Zbog U (0) = U0 i vida od U (1) datog sa (10.3.13b), mo�zemo (10.3.23) eksplicitno pisati na slede�cina�cin:v(1) = Ænn0 2~Re (� {e� {~ (t�t0)En Z tt0 dt1e� {~ (t�t1)Enhn j H 0(t1) j n ie� {~ (t1�t0)En): (10.3.24)�Sto se ti�ce druge popravke v(2), iz (10.3.22) slediv(2) = 2Re (hn j U (2) j n ihn j U (0) j n i�) + jhn j U (1) j n ij2; (10.3.25)�sto opet pomo�cu (10.3.13c) daje (uz sumiranje po neperturbisanom bazisu):v(2) = Ænn0 2~2Re� 1{2 e� {~ (t�t0)EnXn1 Z tt0 dt2 Z t2t0 dt1 �� e� {~ (t�t2)Enhn j H 0(t2) j n1 ie� {~ (t2�t1)En1 hn1 j H 0(t1) j n ie� {~ (t1�t0)En� ++ 1~2 j R tt0 dt1e� {~ (t�t1)Enhn j H 0(t1) j n ie� {~ (t1�t0)En j2: (10.3.26)Lako se vidi da proizvoljna popravka glasi:v(2q+1) =Pqr=0 2Re (hn j U (2q+1�r) j n ihn j U (r) j n i�) ; (10.3.27a)ako je neparnog reda, tj. ako je p = 2q + 1, av(2q) =Pq�1r=0 2Re (hn j U (2q�r) j n ihn j U (r) j n i�) ; (10.3.27b)ako je parnog reda, tj. ako je p = 2q. Pri tome, za matri�cne elemente korekcija evolucionogoperatora U imamo:hn j U (s) j n i = 1({~)s Pn1 : : :Pns�1 R tt0 dts R tst0 dts�1 : : : R t2t0 dt1�� e� {~ (t�ts)Enhn j H 0(ts) j ns�1 ie� {~ (ts�ts�1)Ens�1 hns�1 j H 0(ts�1) j ns�2 i � � �� � � � e� {~ (t2�t1)En1 hn1 j H 0(t1) j n ie� {~ (t1�t0)En ;(10.3.28)gde svaka od suma prelazi celi neperturbisani bazis.Da bi se lako upamtio na prvi pogled komplikovani algoritam izra�cunavanja matri�cnog ele-menta hn j U (s) j n i napisan u (10.3.28), pogodno je koristiti se mnemotehni�ckim dijagramimakao na Crte�zu C10.4.Pod uslovom da se ne smetne s uma da se radi samo o gra��ckom pomagalu, �citalac se mo�zekoristiti i �zargonom koji obi�cno prati �citanje dijagrama na Crte�zu C10.4, i to s desna na levo:sistem se od trenutka t0 do t1 propagira po hamiltonijanu H0, i to u po�cetnom stacionarnomstanju j n i; u trenutku t1 pod uticajem perturbacije sistem prelazi u intermedijerno stacionarnostanje j n1 i i ono propagira od t1 do t2, itd. Ne treba zaboraviti ni to da su samo t0, n i n, t�ksirani; po svim ostalim kvantnim brojevima se sumira i po svim ostalim trenucima se integri�se.Zadatak 10.3.5 Izvesti (10.3.21), (10.3.24) i (10.3.26) u diferencijalnom prilazu.

406 GLAVA 10. PRIBLI�ZNI RA�CUNI������\\\\\\������ %%\\\\\\������\\\\\\II��/I t n ts

H 0(ts) H 0(t3) H 0(t1)ts�2 t3 t1

t0ns�1 n2 n1 nts�1 t2H 0(ts�1) H 0(t2)� � �SSo6 6 6 6?Slika 10.4: Dijagrami izraza hn j U (s) j n i.Vredno je zapaziti da je verovatno�ca prelaza u razli�cito stanje n 6= n ve�ca od nule tek u drugojaproksimaciji; drugim re�cima, ova verovatno�ca je bar drugog reda malosti. U ovom slu�caju imamov[2] = v(2) = 1~2 ���R tt0 dt1e� {~ (En�En)t1hn j H 0(t1) j n i���2 (10.3.29)(fazne faktore e� {~ tEn i e� {~ tEn smo izvukli ispred integrala i tu su otpali usled uzimanja modula).Zadatak 10.3.6 Pokazati da je u drugoj aproksimaciji verovatno�ca prelaza n ! n jednaka verovatno�ci prelazan! n. Kontrastirati ovaj zaklju�cak sa mikroreverzibilno�s�cu (videti x 8.4.7).U literaturi se �cesto v[2] naziva verovatno�ca prelaza prvog reda, jer se izra�cunava iz U (q=1).10.3.4 Fermi-jevo zlatno praviloOd najve�ce prakti�cne va�znosti je verovatno�ca prelaza u najni�zoj nenultoj pribli�znosti, tj. v[2] datosa (10.3.29). Doradi�cemo ovaj izraz pod osnovnom pretpostavkom da je perturbacija nezavisnaod vremena. Formulu pod nazivom iz naslova paragrafa izve�s�cemo za slu�caj kada su svi energetskinivoi diskretni, a oko nivoa En (j n i je krajnje stanje u prelazu) imamo veliku gustinu nivoa.De�ni�su�ci !nn def= (En�En)=~, pi�su�ci !nn kao ! i stavljaju�ci t0 = 0 u (10.3.29), u oba slu�cajadobija se izraz:v[2] = 1~2 jhn j H 0 j n ij2j R tt0 dt1e{!t1 j2 = 1~2 jhn j H 0 j n ij2 f(!; t); (10.3.30a)gde je f(!; t) = 2!2 (1� cos!t): (10.3.30b)

Slika 10.5: Funkcija f(!; t) u zavi-snosti od !. (jedinica za ! je �t ).

Funkcija f(!; t) u zavisnosti od ! prikazana je naCrte�zu C10.5. Simetri�cnost i nule funkcije se odmahvide iz (10.3.30b), a iznos maksimuma proizlazi izf(!; t) � t2 + 0(!2); ! ! +0; (10.3.31)

10.3. TEORIJA VREMENSKI ZAVISNE PERTURBACIJE 407�sto se dobije kad se cos!t razvije u red oko ! = 0 (O(!2)je sabirak reda veli�cine 10.3.1 !2). Mo�ze se pokazati da seza velike vrednosti parametra t funkcija f(!; t) pona�sakao delta funkcija10.3.2:f(!; t) � 2�tÆ(!); t!1 (10.3.32)Zbog velike gustine nivoa oko En (slu�caj (i)) ili zbogneprekidnosti nivoa oko En (slu�caj (ii)) uporedenje saeksperimentom je mogu�ce samo ako izra�cunamo vero-vatno�cu prelaza ne ta�cno u neko stanje j n i, ve�c u nekuokolinu stanja j n i, recimo u energetski interval IE.Zna�ci, izra�cunavamo:v[2](n; 0! IE; n; t) =XIE 1~2 jhn j H 0 j n ij2f(!; t):(10.3.33)Sa sume se prelazi na integral (kao �sto se to �cesto �cini u teorijskoj �zici) na slede�ci na�cin:interval IE se razbije na sumu "malih" podintervala �I ("velika" suma). U svakom podintervalu�I ima vi�se sabiraka ("mala" suma), ali tu su sabirci pribli�zno jednaki, te se "mala" sumazameni jednim sabirkom pomno�zenim brojem sabiraka u podintervalu. Ovaj broj je o�ciglednojednak gustini nivoa, �(E) oko E pomno�zenoj sa du�zinom podintervala �E (ovde se koristimo"velikom" gustinom nivoa). "Velika" suma se prepisuje (pribli�zno) kao integral, a �E se pi�sekao dE. Tako (10.3.33) postajev[2](n; 0! IE; n; t) = ZIE 1~2 jhn j H 0 j n ij2f(!; t)�(E) dE= 1~ ZIE jhn j H 0 j n ij2f(!; t)�(E) d!; (10.3.34)jer je dE = ~d!, a �(E) je preko E = En + ~! funkcija od !.Na�sa slede�ca pretpostavka10.3.3 sastoja�ce se u tome da je IE u stvari sa eksperimentalnoggledi�sta in�nitezimalni interval (En� 12�; En+ 12�), ali da je istovremeno ovaj interval mnogo ve�ciod jedne periode od f(!; t) (uporediti Crte�z C 10.5):�� 2�~t ; (10.3.35)tako da integral RIE d! mo�zemo pribli�zno zameniti integralom po celoj realnoj osi R1�1 d!. Akonakon ove zamene u (10.3.34) iskoristimo (10.3.32), dolazimo do rezultata:v[2](n; 0! (En � 12�; En + 12�) oko j n i; t) = 2�t~ jhn j H 0 j n ij2�(E) : (10.3.36)10.3.1engleski: order of magnitude10.3.2Mo�ze se izra�cunati da R1�1 f(!; t) d!2�t = 1. Po potrebi videti detaljnije o delta funkcijama u Dodatku A.IIodli�cnog ud�zbenika: A. Messiah, Quantum Mechanics, Vol. I, North-Holland Publ. Comp., Amsterdam, 1969.10.3.3Obratiti pa�znju na pretpostavke pod kojima se jedna formula izvodi! Formula se mo�ze primeniti samo naslu�caj koji zadovoljava sve pretpostavke izvodenja!

408 GLAVA 10. PRIBLI�ZNI RA�CUNIZbog korisnosti ove formule u raznim primenama (na primer u Fermi-jevoj teoriji �-zra�cenja;u rasejanju u Coulomb-ovom polju itd.), ova formula je poznata pod specijalnim nazivom Fermi-jevo zlatno pravilo.Po�sto u (10.3.36) v[2] linearno zavisi od vremena, �cesto se u literaturi umesto v[2] daje njenavremenska gustina v[2]=t.Obratiti pa�znju da o�stri maksimum funkcije f(!; t) le�zi u ! def= !nn (uporediti Crte�z C 10.5),�sto zna�ci da va�zi: En = En; (10.3.37)tj. radi se o prelazu u drugo stanje j n i 6=j n i, ali koje ima istu energiju (odr�zanje energije priprelazu).Najzad, treba jo�s imati u vidu da iako du�zina vremenskog intervala t (koliko traje proceskoji dovodi do prelaza) mora biti dovoljno velika da va�zi (10.3.35), ona mora biti istovremeno idovoljno mala da va�zi druga aproksimacija za pralaz, tj. da je desna strana od (10.3.36) mnogomanja od 1.10.4 Varijacioni ra�cun i metod samousagla�senog poljaPo�ci �cemo od osnovnih ideja na kojima se zasniva varijacioni ra�cun u kvantnoj mehanici. Spe-cijalnu pa�znju �cemo obratiti na osnovno i na prvo pobudeno stanje. Posle toga �cemo dokraja odeljka ograni�citi prou�cavanje na Slater-ove determinante kao probne funkcije varijacio-nog ra�cuna. Izve�s�cemo njihove jedno�cesti�cne i dvo�cesti�cne (redukovane) statisti�cke operatore,jer su od Slater-ovih determinanti jedino oni relevantni za dinami�cki problem. Na kraju �cemoizvesti tzv. Hartree-Fockove jednakosti ili metod samousagla�senog polja, �sto u stvari zna�ci iz-nala�zenje stacionarne Slater-ove determinante za opisivanje osnovnog stanja. Mi �cemo se koristitiumesto samim Slater-ovim determinantama njima ekvivalentnim projektorima (jedno�cesti�cnimstatisti�ckim operatorima) u jedno�cesti�cnom prostoru. Uz pomo�c "usrednjenog potencijala" for-mulisa�cemo i re�si�cemo ceo varijacioni problem u prostoru stanja jednog fermiona. Fizi�cki smisaotoga je ne uzimanje u obzir nikakvih korelacija medu fermionima osim onih koje name�ce Pauli-jevprincip (koje su prisutne u Slater-ovoj determinanti).10.4.1 Varijaciona reformulacija svojstvenog problema ha-miltonijanaPo�ce�cemo sa dokazivanjem jednog teorema od osnovnog zna�caja za varijacioni ra�cun u kvantnojmehanici.Teorem 10.4.1 Posmatramo o�cekivanu vrednost hamiltonijanaE( ) def= h jHj ih j i ; (10.4.1)kao funkcional na skupu svih nenultih vektora j i 2 H prostora stanja datog kvantnog sistema.U odnosu na sve varijacije Æ vektora j i, E( ) ima stacionarnu ta�cku, tj.ÆE( ) = 0 ; (10.4.2)

10.4. VARIJACIONI RA�CUN I METOD SAMOUSAGLA�SENOG POLJA 409ako i samo ako je j i svojstveni vektor od H i onda je E( ) upravo odgovaraju�ca svojstvenavrednost: H j i = E( ) j i: (10.4.3)Dokaz: Napi�simo (10.4.1) u vidu h j iE( ) = h j H j i. Prva varijacija ove jednakosti daje Æ(h j i)E( )+h j iÆE( ) = Æ(h j H j i) ) (h Æ j i + h j Æ i)E( ) + h j iÆE( ) = hÆ j H j i + h j H j Æ i) h j iÆE( ) = hÆ j (H �E( )) j i+ h j (H �E( )) j Æ i. Po�sto je 0 < h j i <1, uslov ÆE( ) = 0je ekvivalentan uslovu hÆ j (H �E( )) j i+ h j (H �E( )) j Æ i = 0: (10.4.4)Po�sto (10.4.4) va�zi sa sve mogu�ce Æ , mo�zemo u (10.4.4) da Æ zamenimo sa {Æ , a to daje �{hÆ j (H �E( )) j i + {h j (H � E( )) j Æ i = 0 i imaginarnu jedinicu mo�zemo izbaciti. Oduzimanje od (10.4.4) isabiranje sa (10.4.4) onda daje slede�ce dve jednakosti (koje su zajedno o�cigledno ekvivalentne sa (10.4.4)):hÆ j (H �E( )) j i = 0 = h j (H �E( )) j Æ i: (10.4.5)Zbog arbitrernosti vektora Æ (samo mu norma mora biti "mala"), (10.4.5) je o�cigledno ekvivalentno sa(H �E( )) j i = 0; 0 = h j (H �E( )): (10.4.6a,b)Po�sto je (10.4.6b) bra-jednakost od (10.4.6a) (tu se koristimo hermitskom prirodom oporatora H i realno�s�cuo�cekivane vrednosti E( )), kona�cna jednakost ekvivalentna sa (10.4.2) je (10.4.3).Kada koristimo (10.4.3) kao dovoljni uslov za (10.4.2), ne moramo posebno zahtevati da se svojstvena vrednostpodudara sa E( ), jer to desna strana od (10.4.1) daje automatski. Q. E. D.Sa gledi�sta varijacionog ra�cuna, treba uo�citi slede�ce pojmove u gornjem rezultatu: vektor j isa kojim se u (10.4.1) izra�cunava E( ) naziva se probnim vektorom10.4.1; skup svih probnih vektoraje ceo H (sa izuzetkom nultog vektora; to je skup H f0g); skup svih varijacija Æ u odnosuna koje va�zi (10.4.2), tj. u odnosu na koje imamo stacionarnu ta�cku10.4.2 (zapravo stacionarnivektor j i) je bez restrikcija cela okolina nule u H, tj. imamo tzv. bezuslovnu stacionarnuta�cku.Varijacioni ra�cun, kao i perturbacioni, stupa na scenu kada ne umemo da re�simo svojstveniproblem hamiltonijana. Onda, naravno, ne umemo da re�simo ni njegovu ekvivalentnu formu(10.4.2). Tada se umesto H f0g uzima neki odredeni podskup S 2 H f0g kao skup svihprobnih vektora. Skup S je obi�cno odreden s jedne strane �cisto ra�cunskim mogu�cnostima, a sdruge strane vidom probnih vektora za koje se pretpostavlja (ili zna) da su relevantni za opisivanjestanja sistema (tj. da su na neki na�cin uskladeni sa dinami�ckom strukturom sistema).Ograni�cenje na S izaziva a fortiori i ograni�cenje skupa svih varijacija. Naime, varijacijaÆ = 0 � mora biti takva da ; 0 2 S.U svojoj najgrubljoj i, mo�zda, naj�ce�s�ce kori�s�cenoj formi varijacioni ra�cun bazira na o�cekivanjuda �ce stacionarne ta�cke u S pribli�zno reprodukovati svojstvene vektore od H, a o�cekivane vred-nosti E( ) energetske nivoe. Pribli�znost �ce biti tim bolja �sto je S obuhvatniji skup (�sto je bli�ziskupu H f0g i (ovo je u praksi najva�znije) �sto je bolje pogoden vid probnih vektora.10.4.1Engleski: trial vector; �citatl: trajl vekte.10.4.2Termin "stacionarna" ta�cka u varijacionom ra�cunu nije u direktnoj vezi sa "stacionarnim" re�senjem zakonakretanja, osim u slu�caju sadr�zaja Teorema T10.4.1.

410 GLAVA 10. PRIBLI�ZNI RA�CUNI10.4.2 * Ocena gre�skeU perturbacionom ra�cunu ako je perturbacija H 0 mala, svaka korekcija je znatno manja odprethodne i �covek ima neki ose�caj koliko je dobra aproksimacija, iako ne postoji precizna ocenagre�ske. Varijacioni ra�cun ve�sta�cki iseca pomenuti skup S probnih vektora iz H f0g, a jedino�zi�cko opravdanje za to je, kao �sto smo rekli, relevantan vid samih probnih vektora j i 2 S,koji mo�ze (i ne mora) biti dobro pogoden.Postoji jedan apsolutni iskaz (nezavisan od skupa S) koji daje neku ocenu gre�ske pri aproksi-miranju egzaktnog nivoa hamiltonijana H srednjom vredno�s�cu E( ) iz (10.4.1), ako H ima �cistodiskretan spektar.Lema 10.4.1 Za svaki 0 6=j i 2 H postoji bar jedan egzaktni nivo En0 hamiltonijana H uintervalu [E( )��E;E( ) + �E] (10.4.7)oko o�cekivane vrednosti E( ). Ovde je �E def= �H def= qh j (H � E( ))2 j i, tj. neodredenostenergije u stanju j i.Dokaz: Sledi odmah iz dve druge leme, koje su konceptualno veoma jednostavne i dobro je imati ih na umu iina�ce. Q. E. D.Lema 10.4.2 Linearna devijacija od srednje vrednosti proizvoljne opservable A je u srednjemuvek nula: h (A� h A i) i = 0: (10.4.8)Zadatak 10.4.1 Dokazati (10.4.8) za �cisto i za me�sano stanje, u oba slu�caja za A sa �cisto diskretnim spektromi za A koji ima i kontinualni spektar.Zadatak 10.4.2 Pokazati da za realan broj � za koji h (A � �) i = 0 nu�zno va�zi � = h A i. Drugim re�cima,relacija (10.4.8) je karakteristi�cna za srednju vrednost.Lema 10.4.3 Ako opservabla A ima �cisto diskretan spektar, onda postoji bar jedna njena svoj-stvena vrednost an0 takva da an0 � h A i.Dokaz: Neka je kvantni sistem u �cistom stanju j i, a neka je spektralna forma opservable A =Pn anPn. Ondaiz Leme L 10.4.2 sledi 0 = Pn vn(h A i � an), gde je vn def= kPn k2; 8n. Obele�zimo sa prim vrednosti od n zakoje je h A i � an0 , a sa seconde10.4.3 vrednosti od n koje daju an00 > h A i. OndaXn0 vn0(h A i � an0) =Xn00 vn00(an00 � h A i) (10.4.9)i svaki sabirak je pozitivan. Sad u�cinimo ab contrario pretpostavku da nema ni jedne n0 vrednosti indeksa. Ondadesna strana od (10.4.9) mora biti nula (jer je leva nula). Po�sto su po pretpostavci an00 �h A i > 0; 8n00, moramoimati vn00 = 0; 8n, zapravo vn = 0; 8n (jer nema n0-ova), a to nije mogu�ce zbog h j i =Pn vn = 1. Q. E. D.Zadatak 10.4.3 Dokazati �sto elegantnije simetri�can iskaz iskazu Leme L 10.4.2.Zadatak 10.4.4 Dokazati Lemu L 10.4.2 za me�sano stanje.10.4.3 �Citati: zgond.

10.4. VARIJACIONI RA�CUN I METOD SAMOUSAGLA�SENOG POLJA 411Dokaz: (Zavr�setak dokaza Leme L 10.4.1.) Po�sto opservabla (H � E( ))2 ima spektralnu formu Pn(En �E( ))2Pn ako sam hamiltonijan H ima spektralni vid PnEnPn, Lema L 10.4.3 ima za posledicu da postojinivo En0 takav da (En0 � E( ))2 � (�E)2 , jEn0 �E( )j � �E, a to je o�cigledno ekvivalentno sa (10.4.7).Q. E. D.Zadatak 10.4.5 Pokazati da lema L 10.4.1 va�zi i za op�stiji slu�caj kada H ima i diskretan i kontinualan spektar, aliE( ) le�zi ispod celog kontinualnog spektra, tj. za svaku neprekidnu svojstvenu vrednost E od H va�zi E( ) � E.Dakle, neodredenost �E mo�ze da poslu�zi kao (ve�cinom veoma gruba) ocena gre�ske za egzaktninivo od H koji aproksimiramo sa E( ).Jedan prigovor na ovaj rezultat mo�ze da bude da ne znamo koji smo nivo "ulovili" u intervalu(10.4.7). �Sta zna�ci "koji" nivo? To u kvantnoj mehanici mo�ze samo da zna�ci da ne znamo kojesu vrednosti dodatnih kvantnih brojeva kojima dopunjujemo energetski nivo do potpunog skupakvantnih brojeva (do potpune klasi�kacije stanja). Na primer, mo�zda znamo (kao �sto obi�cno jesteslu�caj) da svaki egzaktni nivo ima odredenu vrednost ukupnog uglovnog momenta J i odredenuparnost �. Pitamo se koje su vrednosti J� "ulovljenog" nivoa. Na ovakvo pitanje odgovor dajeslade�ca lema.Lema 10.4.4 Neka hamiltonijan H ima izvesnu grupu simetrije G, tj. neka[ U(g); H ] = 0; 8g 2 G; (10.4.10)i neka je j i vektor iz neke "�oke" Vkm u odnosu na G. Onda u intervalu [E( )��E;E( )+�E]postoji bar jedan egzaktan nivo sa kvantnim brojevima k i m.Dokaz: Pretpostavimo da je ceo prostor H ortogonalno dekomponovan na "�oke" po grupi simetrije G i da jej i vektor iz "�oke" Vkm. Onda iz T 6.4.2 sledi (ako G 6= R(3), onda po analogiji) da se H redukuje u Vkm irezonovanje iz dokaza Leme L10.4.1 va�zi u Vkm kao da je to ceo prostor. U Vkm, naravno, svi nivoi od H imajukvantne brojeve k i m. Q. E. D.Drugi prigovor na ocenu gre�ske �E iz Leme L 10.4.1 ili Leme L 10.4.4 mo�ze da se sastoji utome da �E nije lako izra�cunati. Po�sto (�E)2 = h H2 i � E( )2, mora se izra�cunati h H2 i, ato je zbog kvadriranja �cesto znatno ozbiljniji ra�cunski problem nego izra�cunavanje samog brojaE( ) = h H i.Tre�ci prigovor na na�su ocenu gre�ske mo�ze biti taj da ona, izgleda, nema nikakve veze savariranjem j i po skupu S probnih vektora i specijalno sa stacionarnim ta�ckama.10.4.3 Varijaciono izra�cunavanje osnovnog nivoaKao �sto je �citaocu poznato, struktura realnih kvantnih sistema je takva da uvek postoji najni�zasvojstvena vrednost hamiltonijana, tzv. osnovni nivo E0. Za njegovo varijaciono izra�cunavanjekorisno je znati iskaz slede�ceg teorema.Teorem 10.4.2 Za proizvoljni normirani vektor j i 2 H srednja vrednost E( ) def= h j H j isigurno nije ispod osnovnog nivoa E0: E( ) � E0: (10.4.11)

412 GLAVA 10. PRIBLI�ZNI RA�CUNIDokaz: Pretpostavimo opet radi jednostavnosti da hamiltonijan H ima �cisto diskretan spektar, tj. spektralnivid H = PnEnPn. Onda E( ) = Pn vnEn (vn def= kPn k2), te E( ) � Pn vnE0 (jer En � E0; 8n); dalje,E( ) � E0Pn vn = E0. Q. E. D.Na�zalost, ako ne znamo osnovni nivo E0, ne znamo ni koliko je E( ) iznad njega, samo znamoda ga majorira.Kada se �ksira skup S probnih vektora, onda (10.4.11) zna�ci da je E( ), kao realna funkcijana S, ograni�cena odozdo, �sto zna�ci da ima kona�cni in�mum i on je takode majoranta za E0.Obi�cno se S bira tako da je zatvoren na uzimanje limesa (konvergentnih nizova j n i 2 S), takoda S sadr�zi i vektor j 0 i, koji daje najni�zu (zna�ci najbolju) aproksimaciju E( 0).Pitanje je kako prona�ci j 0i. To je ta�cka apsolutnog minimuma vrednosti E( ) u S. Apsolutniminimum spada u lokalne minimume, a ovi spadaju u stacionarne ta�cke. Stoga je potreban uslovza j 0 i: �E( 0) = 0 ; (10.4.12)�sto nas ponovo dovodi do varijacione jednakosti (10.4.2), ali ovoga puta bez oslanjanja na svoj-stveni problem od H u H.Dakle, j 0 i, koji daje apsolutni minimum, �cemo na�ci re�savanjem jednakosti (10.4.12). Akoova jednakost ima samo jedno re�senje, onda je to sigurno tra�zeno j 0 i, jer, kao �sto smo videlida sledi iz Teorema T10.4.2, apsolutni minimum u S mora da postoji. Ako (10.4.12) ima vi�sere�senja, onda pre svega moramo odvojiti lokalne minimume od eventualnih drugih stacionarnihta�caka (lokalnih maksimuma i prevojnih ta�caka). Lokalne minimume prepoznajemo po tome �stoje druga varijacija pozitivna: Æ2( ) � 0; (10.4.13)bez obzira kako variramo j 0 i (za lokalne maksimume imamo Æ2( ) � 0 za sve varijacije, a zaprevojne ta�cke pri razli�citom variranju imamo razli�cit predznak). Ako imamo samo jedan lokalniminimum, onda je to apsolutni minimum j 0 i. Ako ih ima vi�se, moramo odabrati najni�zuvrednost od doti�cnih E( ).10.4.4 * Varijaciono izra�cunavanje prvog pobudenog ni-voaPrvi pobudeni nivo E1 hamiltonijana H se najpouzdanije mo�ze izra�cunati ako znamo da je svakivektor u skupu S ortogonalan na egzaktno osnovno stanje, odnosno na osnovni potprostor V(E0)ako je egzaktni osnovni nivo E0 degenerisan. Naime, to zna�ci S � V(E0)?, tj. S pripadaortokomplementu svojstvenog potprostora V(E0). Hamiltonijan H se redukuje u pomenutomV(E0)?, a E1 je (formalno) osnovni nivo u V(E0)? i va�zi sve �sto je re�ceno u prethodnom paragrafu.Da bismo se uverili u va�zenje pomenute osobine ortogonalnosti S � V(E0)?, nije neophodnopoznavati V(E0). Dovoljno je znati jedan kvantni broj (ili vi�se njih) koji ima E0, recimo k, kojide�ni�se potprostor ("ormar") Vk. Onda V(E0) � Vk i dovoljno je uzeti S � V?k , onda o�ciglednosledi S � V(E0)?.Ipak, �cesto nemamo ovakav pogodan skup S, ali imamo pribli�zno osnovno stanje j �0 i ibiramo S ?j �0 i. I u ovom slu�caju postoji jedan op�sti rezultat koji je koristan.

10.4. VARIJACIONI RA�CUN I METOD SAMOUSAGLA�SENOG POLJA 413Lema 10.4.5 Neka su E0 i E1 osnovni i prvi pobudeni egzaktni nivo, neka su oba nedegenerisanai neka im odgovaraju (egzaktna) stanja j E0 i, odnosno j E1 i. Neka, osim toga,� def= 1� jh E0 j �0ij2 (10.4.14a)meri veli�cinu proma�saja pribli�znog osnovnog stanja j �0 i u odnosu na ta�cno osnovno stanjej E0 i. Onda za svaki normirani vektor j i 2 S, iz S ?j �0 i slediE( ) � E1 � �(E1 � E0): (10.4.14b)Dokaz: Uo�cimo bazis fj �1 i =j �0 i; j �2 i =j i; j �3 i; j �4 i : : :g u prostoru stanja H. Onda 1 = h E0 j E0i =jh �0 j E0ij2 + jh 0 j E0ij2+ Pn�3 jh �n j E0ij2. Zamenjuju�ci prvi sabirak na desnoj strani pomo�cu (10.4.14a),imamo 1 = 1� �+ jh 0 j E0ij2+ Pn�3 jh �n j E0ij2 ) � = jh j E0ij2 +Pn�3 jh �n j E0ij2, odaklejh j E0ij2 � �: (10.4.15)Uzmimo sad svojstveni bazis od H (opet pretpostavljamo, radi jednostavnosti, da H ima �cisto diskretan spektar):fj Em i j m = 0; 1; 2; : : :g. Onda E( ) = h j H j i = Pm jh Em j ij2Em = jh E0 j ij2E1 � jh E0 j ij2(E1 �E0)+ Pm�1 jh Em j ij2Em � E1Pm�0 jh Em j ij2 � jh E0 j ij2(E1 � E0), jer Em � E1;8m � 1. Po�stoPm�0 jh Em j ij2 = h j i = 1, majoriranje negativnog �clana pomo�cu (10.4.15) najzad dovodi do kona�cnogumanjenja leve strane: E( ) � E1 � �(E1 �E0). Q. E. D.Kada pronademo, na na�cin koji smo objasnili u prethodnom paragrafu, u pomenutom skupuS vektor j 0 i 2 S, koji daje apsolutni minimum E( 0) za E( ), na osnovnu (10.4.14b) mo�zemoo�cekivati da smo dobili pribli�zni nivo E( 0) kao aproksimaciju na E1 i pribli�zni vektor j 0 i, kaoaproksimaciju na odgovaraju�ci svojstveni vektor j E1 i od H.10.4.5 Uloga jedno�cesti�cnog i dvo�cesti�cnog statisti�ckogoperatoraKao �sto smo videli, u varijacionom ra�cunu izra�cunavamo o�cekivanu vrednost E( ) = h j H j iza neki normirani j i 2 H. Sad �cemo prou�citi mogu�cnost zamene celog vektora j i sa njegovimredukovanim statisti�ckim operatorima.Pretpostavi�cemo da imamo kvantni sistem od N identi�cnih �cestica, a da je egzaktni hamilto-nijan vida H = NXi=1 (Ti + Vi) + NXi<j Vij: (10.4.16)Ovde je Ti operator kineti�cke energije i-te �cestice, Vi je operator spolja�snjeg potencijala (akoga ima) koji deluje na �cesticu, a Vij je operator interakcije i-te i j-te �cestice. Po�sto su �cesticeidenti�cne, Vi (kao i Ti) su jednake operatorske funkcije osnovnog skupa opservabli i izvesnihspolja�snjih parametara za svih N �cestica; takode su Vij date jednom te istom funkcionalnomzavisno�s�cu od osnovnog skupa opservabli u H(u)i H(u)j za bilo koji par �cestica.Smatra se da je N -�cesti�cni hamiltonijan vida (10.4.16) najop�stiji, koji opisuje strukturu re-alnog kvantnog sistema, tj. da se interakcije tro�cesti�cnog tipa PNi<j<k Vijk itd. ne pojavljuju uprirodi10.4.4.

414 GLAVA 10. PRIBLI�ZNI RA�CUNIPo�sto N -�cesti�cni sistem ima N jedno�cesti�cnih stepeni slobode, ima i N jedno�cesti�cnih redu-kovanih statisti�ckih operatora. Ali, po�sto se radi o identi�cnim �cesticama, ispostavlja se da su sviti operatori uzajamno ekvivalentni. Zato se govori samo o jednom jedno�cesti�cnom statisti�ckomoperatoru �1 (ispu�sta se re�c "redukovani", a uzima se u H(u)1 . �Cesto se govori i o jedno�cesti�cnojmatrici gustine).Zadatak 10.4.6 Pokazati da je jedno�cesti�cni statisti�cki operator i-te �cestice �i ekvivalentan analognom opera-toru �1, bilo da se radi o identi�cnim fermionima, bilo o identi�cnim bozonima.Mo�ze se izdvojiti i dvo�cesti�cni stepen slobode N -�cesti�cnog sistema i j 1:::N ih 1:::N j redukovatiu dvo�cesti�cni statisti�cki operator �12 (koji je opet "isti" za bilo koje dve �cestice).Ispostavlja se da zbog vida (10.4.16) u o�cekivanoj vrednosti h 1:::N j H j 1:::N i u�cestvujusamo �1 i �12.Teorem 10.4.3 Ako je hamiltonijan N identi�cnih �cestica vida (10.4.16), onda u proizvoljnomstanju j 1:::N i iz prostora stanja doti�cnog sistema o�cekivana vrednost E( 1:::N ) = h 1:::N jH j 1:::N i mo�ze da se napi�se u viduE( 1:::N) = NTr 1((T1 + V1)�1) + N(N�1)2 Tr 12V12�12 ; (10.4.17)gde su �1 def= Tr 2:::N j 1:::N ih 1:::N j; (10.4.18)�12 def= Tr 3:::N j 1:::N ih 1:::N j : (10.4.19)Dokaz: Podimo od E( 1:::N ) = Tr 1:::N (H j 1:::N ih 1:::N j) = PNi=1Tr 1:::N ((Ti + Vi) j 1:::N ih 1:::N j) +PNi<j Tr 1:::N (Vij j 1:::N ih 1:::N j). Neka je P1i operator permutacije (u H(u)1 � � � H(u)N ) koji transponujeprvu i i-tu �cesticu, a ostale ne menja. Onda imamo, kao �sto se lako vidi, (Ti + Vi) = P1i(T1 + V1)P1i; 8i 6= 1.Analogno, za svaki par indeksa i < j postoji operator permutacije P(i<j), takav da Vij = P(i<j)V12P�1(i<j) (uporediti(10.1.53a). Kada zamenimo ove izraze u gornju formulu za o�cekivanu vrednost i izvr�simo cikli�cnu permutacijupod tragom, imamo E( 1:::N ) = PNi=1 Tr 1:::N ((T1 + V1)P1i j ih j P1i)+ PNi<j Tr 1:::N (V12P�1(i<j) j ih jP(i<j)). Stanje j i def= j 1:::N i je fermionsko ili bozonsko, u svakom slu�caju P1i j ih j P1i =j ih j iP�1(i<j) j ih j P(i<j) =j ih j (uporediti (9.3.23, 9.3.24) i Postulat VIII u odeljku x 9.3.6). Stoga E( 1:::N ) =NTr 1:::N ((T1 + V1) j ih j)+ N(N�1)2 Tr 12V12 j ih j). Ova formula se pomo�cu de�nicija (10.4.18) i (10.4.19)o�cigledno mo�ze pisati u vidu (10.4.17). Q. E. D.Formuli (10.4.17) se mo�ze pripisati slede�ci �zi�cki smisao: Pribli�zna energija E( 1:::N) sistemaod N identi�cnih �cestica sastoji se od N jedno�cesti�cnih energija i od N(N � 1)=2 (broj razli�citihparova) energija parova �cestica.10.4.6 Redukovani statisti�cki operatori Slater-ove deter-minanteSada �cemo normirane probne vektore j 1:::N i sistema od N identi�cnih fermiona ograni�citi naSlater-ove daterminante. Prou�ci�cemo �sta su onda �1 i �12.10.4.4Ovo nije konkluzivno utvrdeno. Vr�sena su uspe�sna teorijska istra�zivanja i sa interakcijama tro�cesti�cnog tipa.Strogo uzev, pomenuti iskaz treba razumeti u smislu da nemamo dovoljno razloga da kvantne sisteme opisujemohamiltonijanima, koji bi bili slo�zenijeg vida nego �sto je (10.4.16).

10.4. VARIJACIONI RA�CUN I METOD SAMOUSAGLA�SENOG POLJA 415Teorem 10.4.4 Neka je fj n1 i; j n2 i; : : : ; j nN ig skup N (potpuno uredenih) ortonormi-ranih vektora u H(u)1 , a j n1 < : : : < nN i neka je Slater-ova determinanta, koju oni odreduju.Jedno�cesti�cni statisti�cki operator ovog N-�cesti�cnog vektora glasi:�1 = 1N NXi=1 j ni i1hni j1def= 1N P1; (10.4.20)tj. P1 = N�1, gde je P1 projektor na N-dimenzionalni potprostor od H(u)1 , koji obrazuju pomenutivektori j n1 i; j n2 i; : : : ; j nN i.Dokaz: Bi�ce dat u Dodatku x 10.4.10. Q. E. D.Teorem 10.4.5 Dvo�cesti�cni statisti�cki operator �12 Slater-ove determinante je slede�ca funkcijajedno�cesti�cnog statisti�ckog operatora �1 iste Slater-ove determinante:�12 = 2N(N�1) �1�2A12 ; (10.4.21)gde je �2 jedno�cesti�cni statisti�cki operator u H(u)2 , a A12 def= 12(I12 � E12) je antisimetrizator uH(u)1 H(u)2 (E12 je operator izmene).Dokaz: Bi�ce dat u Dodatku x 10.4.11. Q. E. D.Zadatak 10.4.7 Kao �sto smo videli u x 9.3.3, dekompozicija H(u)1 H(u)2 = Va�Vs je invarijantna dekompozicijaza svaki simetri�can operator, pa i za �12. Pokazati da va�zi�1�2A12 = A12�1�2 = A12�1�2A12; (10.4.22a,b)i da se �1�2A12 na slede�ci na�cin odnosi prema �1�2:i) oba ova operatora redukuju se u isti operator u Va,ii) za razliku od �1�2, operator �1�2A12 se redukuje u nulu u Vs.Zadatak 10.4.8 Objasniti za�sto �1�2A12 treba renormirati i to ba�s faktorom 2NN�1 . (Indikacija: Izvesti relacijuTr 12(�1�2A12) = N(N�1)2 1N2 ra�cunaju�ci trag u Va i koriste�ci se sa (10.4.20)).Kad bi dvo�cesti�cni statisti�cki operator bio �1�2, onda bismo rekli da je nekorelisan. OperatorSlater-ove determinante, �12, koji je dat sa (10.4.21), je korelisan, ali ima isklju�civo korelacijuod antisimetrizacije, tj. od Postulata o identi�cnim fermionima. Drugim re�cima, �12 ne sadr�zinikakvu korelisanost koja bi poticala od interakcije dve �cestice.Po�sto �1 odreduje �12, name�ce se pitanje ne odreduje li �1 i samu Slater-ovu determinantuj n1 < : : : < nN i �ciji je on jedno�cesti�cni statisti�cki operator.Lema 10.4.6 Svaki jedno�cesti�cni statisti�cki operator, dat kao u (10.4.20), jednozna�cno odreduje(neredukovani) statisti�cki operator Slater-ove determinante, tj. j n1 < : : : < nN ihn1 < : : : < nN jiz kojeg se �1 dobija redukcijom (10.4.18). Samu Slater-ovu determinantu pomenuti �1 odredujes ta�cno�s�cu do otvorenog faznog faktora.

416 GLAVA 10. PRIBLI�ZNI RA�CUNIDokaz: Kada podemo od �1 = 1N P1, gde je P1 projektor u H(u)1 takav da Tr 1P1 = N , treba samo da izaberemobazis fj n1 i; j n2 i; : : : ; j nN ig u R(P1) i Teorem T10.4.4 nam kazuje da je �1 jedno�cesti�cni statisti�cki operatorSlater-ove determinante j n1 < : : : < nN i. Pitanje je �sta daje izbor drugog bazisafj n01 i; j n02 i; : : : ; j n0N igu R(P1). Neka je j n0i i =PNq=1 Uiq j nq i, gde je U def= (Uij ) unitarna matrica razvoja. Onda (uporediti (9.4.12)):j n01 < : : : < n0N i = det ( j n0i i ) = det �PNq=1 U1q j nq i �. Setimo se da se dve determinante mno�ze i na slede�cina�cin: det ( aij ) det ( bij ) = det �PNq=1 aiqbqj �.Na osnovu toga j n01 < : : : < n0N i = � det (Uij ) � j n1 < : : : < nN i: (10.4.23)Iz (10.4.23) odmah sledi j n01 < : : : < n0N ihn01 < : : : < n0N j=j n1 < : : : < nN ihn1 < : : : < nN j, po�sto je detU faznifaktor (zbog UU y = I). Q. E. D.Treba imati u vidu daE(j n1 < : : : < nN i) = hn1 < : : : < nN j H j n1 < : : : < nN i == Tr 1:::N(H j n1 < : : : < nN ihn1 < : : : < nN j); (10.4.24)iz �cega je o�cigledno da je u varijacionom pristupu od va�znosti samo statisti�cki operatorj n1 < : : : < nN ihn1 < : : : < nN j, tj. mo�zemo Slater-ove determinante uzimati s ta�cno�s�cu dofaznog faktora. Takva jedna klasa Slater-ovih determinanti je onda ta�cno odredena projektoromP1 = N�1 (10.4.25)na neki N -dimenzionalni potprostor u H(u)1 .10.4.7 Usrednjeni jedno�cesti�cni potencijalNeka je na�s probni vektor Slater-ova determinanta. Videli smo u Teoremu T10.4.3 da seo�cekivana vrednost izra�zava preko jedno�cesti�cnog i dvo�cesti�cnog statisti�ckog operatora. Zame-njuju�ci u (10.4.17) jednakosti (10.4.20) i (10.4.21) dolazimo doE(j n1 < : : : < nN i) = NXi=1 hni j (T + V ) j ni i+N2Tr 12(V12�1�2A12): (10.4.26)Sad je pogodno de�nisati usrednjeni jedno�cesti�cni potencijal10.4.5:W1 def= 2NTr 2A12V12�2 (10.4.27)(Tr 2 je parcijalni trag po svim koordinatama druge �cestice). Treba zapaziti da je W1 funkcijaizbora Slater-ove determinante (�sto ulazi u (10.4.27) preko �2), tj. za svaku datu Slater-ovu10.4.5 �Citalac �ce u literaturi �cesto na�ci da se umesto A12 = 12 (I12�E12) u (10.4.27) pojavljuje posebno I12 i posebnoE12. Tako se dobijaju dva usrednjena potencijala, obi�can iz V12I12 = V12 i tzv. izmenski (engleski: exchangepotential) od V12E12

10.4. VARIJACIONI RA�CUN I METOD SAMOUSAGLA�SENOG POLJA 417determinantu (10.4.27) de�ni�se se po jedan W1. Drugi sabirak na desnoj strani od (10.4.26) uzpomo�c (10.4.27) postaje N2 Tr 1(W1�1) = 12PNi=1hni j W j ni i, a (10.4.26) prelazi u jednakostE(j n1 < : : : < nN i) =PNi=1hni j (T + V + 12W ) j ni i : (10.4.28)Rezultat (10.4.28) ima veoma jednostavnu �zi�cku interpretaciju: Ako je stanje sistema odN identi�cnih fermiona dato Slater-ovom determinantom j n1 < : : : < nN i (bez obzira da li seradi o ta�cnom ili o pribli�znom opisivanju stanja), onda je energija sistema (ta�cna ili pribli�zna)zbir jedno�cesti�cnih energija hni j (T + V + 12W ) j ni i, koje odgovaraju pojedinim popunjenimjedno�cesti�cnim stanjima j ni i; i = 1; 2; : : : ; N . Pri tome pomenuta jedno�cesti�cna stanja "vide"od dvo�cesti�cne interakcije samo usrednjeni jedno�cesti�cni potencijal 12W .Uzgred budi prime�ceno, nerazli�civost �cestica ogleda se u tome �sto nije odredeno koja �cesticaje u kojem od stanja j n1 i; j n2 i; : : : ; j nN i. Ali, pada u o�ci da su sada ova stanja itekakorazli�civa (po�sto su ortogonalna), tako da mo�zemo govoriti o stanjima umesto o �cesticama. Ovu�cemo ideju iskoristiti u glavi 11 za uvodenje tzv. druge kvantizacije (to ne�ce biti nov postulat,nego samo pogodna reformulacija formalizma kojim ve�c raspola�zemo).�Citaocu verovatno nije jasnoi) za�sto stanje j ni i "vidi" interakciju kao 12W , �cime samo izra�zavamo �cinjenicu da je sabirak u(10.4.28) hni j 12W j ni i;ii) za�sto smo usrednjeno polje de�nisali kao u (10.4.27) (a ne, na primer, bez faktora 2).Detaljniji odgovor na pitanje (i) sledi iz: LS � hni j 12W j ni i = 122Nhni j Tr 2(A12V12�2) j ni i;uvode�ci bazis fj m i2 j m = 1; 2; : : :g u H(u)2 tako da su prvih N vektora upravo na�sa popunjenastanja (u Slater-ovoj determinanti) j n1 i2; j n2 i2; : : : ; j nN i2, imamo LS = NPmhni; m jA12V12�2 j ni; m i, a po�sto imamo projektor N�2 = PNj=1 j nj i2hnj j2 i A12 = A212 (takodeA12V12 = V12A12), to daje LS =PNj=1hni; nj j A12V12A12 j ni; nj i )hni j 12W j ni i = 12 NXj=1 (j 6=i)hninj j V12 j ninj i; (10.4.29a)gde je j ninj i Slater-ova determinanta, tj. s ta�cno�s�cu do predznaka j ninj i = p2A12 j ni i j nj i(predznak je plus ako ni < nj, ina�ce je minus). Sabirak jni; nii sam otpada, jer ne daje Slater-ovudeterminantu.Izraz hninj j V12 j ninj i u (10.4.29a) mo�zemo �zi�cki interpretirati kao interakciju �cestice ustanju j ni i i �cestice u stanju j nj i, a zbir u (10.4.29a) kao interakciju �cestice u stanju j ni i sasvim ostalim �cesticama. Po�sto je leva strana od (10.4.29a) sumand u (10.4.28), gde se sabira sapopunjenim stanjima, mora se na desnoj strani od (10.4.29a) pojaviti faktor 12 , ina�ce bi se svakainterakcija hninj j V12 j ninj i ra�cunala dvaput, jedanput njen doprinos u hni j W j ni i, a drugiput u hnj j W j nj i.Lako se vidi, zamenjuju�ci eksplicitni vid A12 u (10.4.29a), da (10.4.29a) mo�ze da se napi�se uekvivalentnoj formi:hni j 12W j ni i = 12 NXj=1 (j 6=i)(hni; nj j V12 j ni; nj i � hni; nj j V12 j nj; ni i); (10.4.29b)

418 GLAVA 10. PRIBLI�ZNI RA�CUNIgde je j ni; nj i def= j ni i j nj i. Kao �sto je re�ceno i u Primedbi 10.4.5, prvi sabirak na desnojstrani naziva se obi�cnim ili direktnim �clanom, a drugi sabirak izmenskim �clanom, tj. �clanom kojipoti�ce od izmenske interakcije V12E12. Izrazi (10.4.29a) i (10.4.29b) su dva ekvivalentna vidaispoljavanja Pauli-jevog principa u dvo�cesti�cnoj interakciji.Odgovor na pitanje (ii) �cemo dobiti u slede�cem paragrafu.10.4.8 Samousagla�seno polje i Hartree-Fock jednakostiU prethodnom paragrafu smo po�sli od proizvoljne Slater-ove determinante (kao probnog vek-tora). Sada �cemo izvesti jednakosti koje odreduju najbolju Slater-ovu determinantu za opisivanjeosnovnog stanja sistema od N identi�cnih fermiona. Drugim re�cima, re�savamo varijacioni problemosnovnog stanja, a skup S probnih funkcija je skup svih N -�cesti�cnih Slater-ovih determinanti.Videli smo u paragrafu x 10.4.3 da je potreban uslov za vektor j n1 < : : : < nN i, koji dajeapsolutni minimum (u pomenutom skupu S) za E(j n1 < : : : < nN i) da:ÆE(j n1 < : : : < nN i) = 0: (10.4.30)Pi�su�ci kao u (10.4.25) P1 = N�1, (10.4.17) i (10.4.21) dajuE(j n1 < : : : < nN i) def= E(P1) = Tr 1((T1 + V1)P1) + Tr 12(A12V12P1P2): (10.4.31)Tra�zimo stacionarne ta�cke ovog funkcionala, tj. tra�zimo P1, za koje ÆE(P1) = 0, a da pritome re�senja zadovoljavaju Tr 1P1 = N; P1 = P 21 ; (10.4.32a,b)i da su hermitski operatori. Ograni�cenja (10.4.32) treba da va�ze i za varijacije, tj. mi tra�zimouslovne stacionarne ta�cke (medu hermitskim operatorima), pod uslovom (10.4.32).Teorem 10.4.6 Slater-ova determinanta je uslovna stacionarna ta�cka pod uslovom (10.4.32),tj. pod uslovom da varijacije ne izlaze iz skupa Slater-ovih determinanti, ako i samo ako[ h1; �1 ] = 0 ; (10.4.33)gde je h1 jedno�cesti�cni hamiltonijan: h1 def= T1 + V1 + W1 ; (10.4.34)a �1 je jedno�cesti�cni statisti�cki operator Slater-ove determinante, koji istovremeno i odreduje tuSlater-ovu determinantu.Dokaz: Iz (10.4.31) se dobija ÆE(P1) = Tr 1((T1 + V1)ÆP1)+ Tr 12(A12V12(ÆP1)P2)+ Tr 12(A12V12P1(ÆP2)).U poslednjem sabirku pod tragom mo�zemo da primenimo transformaciju sli�cnosti unitarnim oporatorom E12(operatorom izmene), a E12A12V12P1(ÆP2)E�112 = A12V12(ÆP1)P2, te stoga imamo ÆE(P1) = Tr 1((T1+ V1)ÆP1)+2Tr 12(A12V12(ÆP1)P2). Ako sad iskoristimo izraz za W1 iz (10.4.27) i h1 iz (10.4.34), onda ÆE(P1) = Tr 1((T1 +V1 + W1)ÆP1) = Tr 1(h1ÆP1). Prema tome, ÆE(P1) = 0 se svodi naTr 1(h1(P1) ÆP1) = 0: (10.4.35)

10.4. VARIJACIONI RA�CUN I METOD SAMOUSAGLA�SENOG POLJA 419Pored (10.4.35), moramo jo�s imati (10.4.32b) kao ograni�cenje na prvu varijaciju10.4.6, �sto dajeÆP1 � (ÆP1)P1 � P1(ÆP1) = 0: (10.4.36)Varira�cemo P1 u skupu hermitskih operatora, a varijacioni uslov (10.4.36) �cemo uzeti u obzir metodom Lagrange-ovih multiplikatora10.4.7 (kojim se u teoriji uslovnih varijacija svodi uslovno variranje na bezuslovno). Operatorskujednakost (10.4.36) pomno�zi�cemo operatorskim multiplikatorom �1 (nepoznatim hermitskim operatorom u H(u)1 ).Nakon mno�zenja s leva sa �1, uze�cemo trag i onda �cemo tu jednakost oduzeti od (10.4.35). Tako �cemo dobiti(permutuju�ci cikli�cno pod tragom, gde je to potrebno):Tr 1((h1 � �1 + P1�1 + �1P1)ÆP1) = 0; (10.4.37)kao izraz koji je variran bazuslovno, tj. ÆP1 je sad proizvoljan mali hermitski operator (a tra�ze se dva hermitskaoperatora: P1 koji je projektor sa tragom N i �1, tako da va�zi (10.4.37)).Zbog proizvoljnosti ÆP , sledi kao potreban i dovoljan uslov za re�senje da se nadu P i � takvi dah� � + P � + �P = 0; (10.4.38)gde izostavljamo indeks "1" (sad smo stalno u H(u)1 ).Zadatak 10.4.9 Pokazati da Tr AB = 0, gde je A odredeni, a B proizvoljan hermitski operator, iziskuje A = 0.(Indikacija: Neka je j i proizvoljno stanje. Staviti B =j ih j; 8 j i i dokazati da h j A j i = 0; 8 j iima za posledicu A = 0.)Pomno�zimo jednakost (10.4.38) prvo s desna sa P , a posebno s leva sa P i oduzmimo drugu od prve. Takosledi [ h; P ] = 0; (10.4.39)�sto je zbog � = 1N P ekvivalentno sa (10.4.33).Da je jednakost (10.4.39) ne samo potrebna nego i dovoljna za (10.4.38), mo�zemo videti de�ni�su�ci� def= h� hP � P h: (10.4.40)Kad zamenimo (10.4.40) na levoj strani od (10.4.38), onda sledi LS = h� h + hP + P h + P h� P hP � P 2h +hP � hP 2 � P hP , �sto zbog P 2 = P i P h = hP daje nulu, tj. va�zi (10.4.38). Q. E. D.Zadatak 10.4.10 Uzeti u obzir i (10.4.32a) kao varijaciono ograni�cenje. To �ce dodati sabirak ��, gde je �realan broj, u maloj zagradi pod tragom u (10.4.37). Pokazati da se dobija isto re�senje (10.4.39).Komutaciona relacija (10.4.33) je tzv. Hartree-Fock-ova jednakost10.4.8 To je, kao �sto se toka�ze, Euler-Lagrange-ova jednakost na�seg varijacionog problema, tj. u stvari modelni dinami�ckizakon, gde je "model" skup S svih Slater-ovih determinanti kao probnih funkcija.10.4.6Po�sto je Tr P = dimR(P ), diskretna funkcija projektora P , u in�nitezimalnoj okolini bilo kog projektoramora biti ÆTr P = Tr ÆP = 0, a (10.4.32a) kao varijaciono ograni�cenje bi dalo upravo to. Prema tome, to u stvarinije ograni�cenje na varijaciju projektora i ovaj uslov mo�zemo izostaviti (uporediti Zadatak Z10.4.10).10.4.7Metod Lagrange-ovih multiplikatora je standardan na�cin nala�zenja uslovnih stacionarnih ta�cki (videti, naprimer, G. Korn i T. Korn, Spravoqnik po matematike, Nauka, Moskva, 1968, 11.5-2.). Ovaj metod seuop�stava na operatore tako da u slu�caju kada je jednakost koja je ograni�cenje na varijaciju operatorska jednakost(kao �sto je (10.4.32b)), onda je odgovaraju�ci Lagrange-ov multiplikator takode operator. U na�sem slu�caju on jehermitski operator, jer je ograni�cenje (10.4.32b) jednakost hermitskih operatora.10.4.8 �Citati: Hartri-Fok.

420 GLAVA 10. PRIBLI�ZNI RA�CUNIPrepi�simo (10.4.33) u vidu [ h; P ] = 0 i setimo se da dva hermitska operatora komutirajuako i samo ako postoji zajedni�cki svojstveni bazis za njih. Neka je fj n1 i; j n2 i; : : : ; j nN igzajedni�cki svojstveni podbazis, �cijim vektorima odgovara svojstvena vrednost 1 za P . Ondah j ni i = �i j ni i; i = 1; 2; : : : ; N (10.4.41)i PNi=1 j ni ihni j= P ili j n1 < : : : < nN i je Slater-ova determinanta o kojoj je re�c. Kao �sto seodmah vidi, (10.4.41) je ne samo potrebno, nego i dovoljno za (10.4.33) i prema tome, predstavljaekvivalentnu (i vi�se kori�s�cenu) formu Hartree-Fock-ovih jednakosti.Slater-ova determinanta j n1 < : : : < nN i de�ni�se h = T + V + W , zapravo usrednjenijedno�cesti�cni potencijal W (videti (10.4.27)), koji jedini u h nije a priori zadat. S druge strane,kao �sto vidimo iz (10.4.41), h de�ni�se Slater-ovu detarminantu, tj. "krug" se zatvara:(P ,j n1 < : : : < nN i) �! (h = T + V + W ) �! P : (10.4.42)Zbog toga se W , po�sto je de�nisan Slater-ovom determinantom koja je re�senje Hartree-Fock-ovih jednakosti (tj. koja je stacionarna ta�cka), naziva samousagla�seno polje (ovde je re�c"polje" sinonim za potencijal). A metodom samousagla�senog polja naziva se postupak iznala�zenjastacionarnog re�senja j n1 < : : : < nN i, tj. Slater-ove determinante za koju se "krug" (10.4.42)zatvara.Samousagla�senom polju odgovara razlaganjePNi<j Vij =PNi=1 Wi +PNi<j V (rez)ij (10.4.43)operatora interakcije N identi�cnih fermiona na samousagla�seno polje i na rezidualnu interakcijuPNi<j V (rez)ij , koja je de�nisana upravo sa (10.4.43).Na hamiltonijanu H0 def= PNi=1 hi koji preko hi sadr�zi samousagla�seno polje Wi, se obi�cno gradimodel nezavisnih �cestica (ili: model ljuski, uporediti x 9.4.3) i H0 se �cesto uzima za neperturbisanihamiltonijan (uporediti (10.1.45). Istakli smo u x 10.1.7 da W ukida "slu�cajnu" degeneraciju kojapostoji u Coulomb-ovom polju i, osim toga, omogu�cuje da se efekat zastiranja elektrona iz core-auzme u obzir bar u nultoj aproksimaciji (po H 0 def= PNi<j V (rez)ij ).Pa�zljivi �citalac je zapazio da samousagla�seno polje mo�zemo da dobijemo od bilo kojih Nre�senja svojstvenog problema od h (ako se "krug" (10.4.42) prakti�cno zatvorio). S druge strane,nismo jo�s ostvarili na�su nameru da varijaciono izra�cunamo ba�s osnovno stanje. Upravo radi togauzimamo N svojstvenih vektora u (10.4.41) tako da E00 =PNi=1 �i bude �sto je mogu�ce manje, tj.da imamo osnovno stanje H0 =PNi=1 hi (naravno, unutar Va, videti x 9.4.3).Koliko god uzimanje E00 izgledalo prirodno, treba imati na umu da E(j n1 < : : : < nN i) 6=PNi=1 �i =PNi=1hni j (T+V +W ) jnii, nego je E(jn1 < : : : < nN i) =PNi=1hni j (T+V + 12W ) jnii.Ipak, u ve�cini slu�cajeva uzimanje E00 vodi ka iznala�zenju apsolutnog minimuma.Na kraju da napomenemo da se Hartree-Fock-ove jednakosti obi�cno re�savaju tzv. iteracionommetodom (kompjuterski): pode se od neke manje-vi�se dobro pogodene Slater-ove determinante,pa se iz nje izra�cuna W i h. Onda se re�sava svojstveni problem od h i dobije novi vektor stanjaj n1 < : : : < nN i. Time se zavr�sava prva iteracija, tj. oba koraka u (10.4.42), ali "krug" sejo�s nije zatvorio. Rezultat prve iteracije (tj. P1 $j n1 < : : : < nN i) je po�cetak druge iteracije,

10.4. VARIJACIONI RA�CUN I METOD SAMOUSAGLA�SENOG POLJA 421koja je analogna prvoj, itd. Iteriranje se zaustavlja kad vi�se ne daje promene van intervalata�cnosti ra�cunanja (koji je unapred �ksiran), tj. kada se "krug" (10.4.42) prakti�cno zatvorio.Ako postupak ne konvergira, mora se po�ceti iznova drugom polaznom Slater-ovom determinantomkoja �ce biti bolje pogodena.Ponekad se iteracija zapo�cinje sa h. Pode se od nekog W (koji jo�s nije samousagla�seno polje,samo neka vrsta usrednjenog potencijala) i re�si (10.4.41) uzimaju�ci najni�ze nivoe �i. Iz dobijenogj n1 < : : : < nN i se ponovo ra�cuna W itd.Naravno, iteracioni postupak se ne vr�si u celom H(u)1 nego u nekom njegovom pogodno oda-branom kona�cno-dimenzionalnom potprostoru. Ovakvo ograni�cenje je neophodno da bi se uop�stemoglo ra�cunati.10.4.9 * Ograni�cenje Hartree-Fock re�senja zahtevom ro-tacione simetrijeKao �sto smo pomenuli u prethodnom paragrafu, hamiltonijan H0 =PNi=1 hi, hi = Ti + Vi + Wi,gde je Wi samousagla�seno polje, se �cesto koristi kao neperturbisani hamiltonijan (a H 0 def= V (rez)ijje onda perturbacija). Tako se kombinovanjem varijacionog ra�cuna (iznala�zenje samousagla�senogW ) i perturbacionog ra�cuna posti�zu bolji rezultati.Pri prou�cavanju perturbacionog ra�cuna u primeni na hamiltonijan H0 sa odredenom grupomsimetrije G uverili smo se da u slu�caju kada neperturbisani hamiltonijan H0 ima istu grupusimetrije G, onda nam se pru�zaju velike prednosti uklanjanja degeneracije koja poti�ce od G(redukcijom problema u "�oku ormara"). Postavlja se pitanje mo�zemo li (i ako da, na kojina�cin) da samousagla�seno polje W izra�cunamo tako da H0 ima simetriju G.Ograni�ci�cemo se na najva�zniji slu�caj rotacione grupe G = R(3), ali svi rezultati �ce va�ziti poanaloglji i za druge grupe simetrije. Po�ci �cemo od pretpostavke da perturbisani hamiltonijanH =PNi=1(Ti + Vi) +PNi<j Vij sistema od N identi�cnih fermiona ima rotacionu simetriju i to uja�cem smislu da ova simetrija va�zi posebno za sabirak jedno�cesti�cnog tipaPNi=1(Ti+Vi) i posebnoza sabirak dvo�cesti�cnog tipa PNi<j Vij. Drugim re�cima, pretpostavljamo da va�zi:[ T1 + V1; U1('u) ] = 0; [ V12; U1('u)U2('u) ] = 0; 8'u iz �-lopte (10.4.44a,b)Zadatak 10.4.11 Pokazati da je (10.4.44a) ekvivalentno sa [ PNi=1(Ti + Vi); U1('u) : : : UN('u) ] = 0; 8'u,a (10.4.44b) da je ekvivalantno sa [ PNi<j Vij ; U1('u) : : : UN ('u) ] = 0; 8'u. (Indikacija: Da iz poslednjihjednakosti slede (10.4.44) pokazati preko bazisa u H(u)1:::N , kojeg indukuje neki bazis fj n i1 j 8ng � H(u)1 i prekomatri�cnih elemenata. Prethodno pokazati da na primer (T1 + V1) i (T2 + V2) imaju jednake matri�cne elemente uodgovaraju�cim bazisima.)Lema 10.4.7 Ako va�zi (10.4.44), onda je rotaciona simetri�cnost jedno�cesti�cnog statisti�cnog ope-ratora Slater-ove determinante, tj. [ �1; U1('u) ] = 0; 8'u; (10.4.45)dovoljan uslov za [ h1; U1('u) ] = 0: (10.4.46)

422 GLAVA 10. PRIBLI�ZNI RA�CUNIZadatak 10.4.12 Pokazati prvo da va�zi poznati stav da Tr A = Tr (OAO�1), gde je A proizvoljan operator, aO proizvoljan nesingularan operator. Pokazati zatim da analogan iskaz va�zi i za parcijalni trag:Tr 2A12 = Tr 2O2A12O�12 ; (10.4.47)gde je A12 sada proizvoljan dvo�cesti�cni operator, a O2 proizvoljan nesingularan operator za drugu �cesticu (jed-nakost (10.4.47) va�zi u H(u)1 , a A12 deluje u H(u)1 H(u)2 ).Zadatak 10.4.13 Pokazati da va�zi B1(Tr 2A12)C1 = Tr 2(B1A12C1); (10.4.48)za svaka tri operatora u odgovaraju�cim prostorima.Dokaz: (Leme L 10.4.7) Podimo od de�nicije (10.4.27) W1 def= 2NTr 2V12A12�2 (ovde je A12 antisimetri-zator) i izra�cunajmo U1W1U�11 pod pretpostavkom (10.4.45): U1W1U�11 = 2NTr 2(U�12 U1U2V12A12�2U�11 ) =2NTr 2(U�12 V12A12U1U2�2U�11 ) (V12 komutira sa U1U2 usled pretpostavljene simetrije (10.4.44b), a A12 def=12 (I12 � E12) komutira sa U1U2, jer E12 komutira, a ovo komutiranje poti�ce od simetri�cnosti samog operatoraU1U2). Dalje, U1W1U�11 = 2NTr 2(U�12 V12A12U2�2) = 2NTr 2(V12A12(U2�2U�12 )) = 2NTr 2(V12A12�2) = W1.Dokazano komutiranje W1 sa proizvoljnom rotacijom U1 usled (10.4.44a) o�cigledno povla�ci (10.4.46). Q. E. D.Iz Leme L 10.4.7 vidimo da zapo�cinju�ci iteriranje sa �1 = 1N P1, koji ima rotacionu simetri�cnost(10.4.45) dolazimo do h1 koji je takode rotaciono simetri�can. Sad moramo videti kako �cemore�savanjem svojstvenog problema (10.4.41) do�ci do popravljenog �1 = 1N PNi=1 j n1 ihni j, koji jetakode rotaciono simetri�can.Pretpostavi�cemo da je n kvantni broj energije, tj. svojstvenih vrednosti od h u (10.4.41),i da smo hamiltonijan h dopunili do kompletnog skupa kompatibilnih opservabli sa K2; Kz ieventualno drugim opservablama. Onda re�senja od (10.4.41) pi�semo kao j nkm� i, a P1 = P jnkm� ihnkm� j sa N sabiraka, �ciji su odgovaraju�ci nivoi �nk� najni�zi (imaju�ci u vidu Paulijevprincip), jo�s izra�cunavamo osnovno stanje.Lema 10.4.8 Projektor P1 =P j nkm� ihnkm� j komutira sa svim operatorima rotacije ako isamo ako ovaj zbir sadr�zi samo cele multiplete, tj. ako i samo ako P1 sa svakim j nkm� ihnkm� jsadr�zi kao sabirke i ostalih 2k projektora pravaca sa istim n; k; �.Dokaz: Dokaz se lak�se vidi na jeziku potprostora. Komutiranje P1 sa operatorima rotacija zna�ci invarijant-nost oblasti likova R(P1) za rotacionu grupu u H(u)1 . Onda se nastavljanjem invarijantne dekompozicije odR(P1) do ireducibilnih potprostora (tj. do "kolona" u "ormarima sa �okama") dolazi, o�cigledno, do pomenu-tih multipleta (Pkm=�k j nkm� ihnkm� j projektuje na jednu "kolonu", tj. na jedan ireducibilni potprostor). Iobratno je o�cigledno: uzimaju�ci ortogonalni zbir ireducibilnih potprostora nu�zno dobijamo invarijantni potprostor.Q. E. D.Dakle, samousagla�seno polje W koje je rotaciono simetri�cno mo�zemo dobiti ako se N najni�zihnivoa �nk� multipletski zatvara u smislu leme L 10.4.8. U slu�caju zatvorenih podljuski atomskogomota�ca, na primer, ba�s se to de�sava.Pomenuto multipletsko zatvaranje, u kojem se sastoji rotaciona simetrija od P1 je ipak vi�seizuzetak nego pravilo. �Cesto se radi dobijanja sferno simetri�cnog H0 za perturbacioni ra�cunodustaje od varijacionog iznala�zenja samousagla�senog usrednjenog polja W , tj. od Hartree-Fock

10.4. VARIJACIONI RA�CUN I METOD SAMOUSAGLA�SENOG POLJA 423metoda10.4.9. Umesto toga, koristi se jedan �ksirani, manje-vi�se dobro pogodeni srednji potencijalW , koji nije samousagla�sen, ali ipak daje odgovaraju�ce razbijanje interakcije (10.4.43), tako dase H0 i H 0 de�ni�su u punoj analogiji sa Hartree-Fock slu�cajem.�Citalac je verovatno stekao utisak da u slu�caju da je zadovoljen pomenuti uslov multipletskogzatvaranja N najni�zih nivoa od h (i to u svakoj iteraciji), ne mo�zemo ni�sta bolje nego li na�ciupravo to rotaciono simetri�cno Hartree-Fock re�senje. Medutim, iskustvo pokazuje da nije nu�znotako. U literaturi su poznati slu�cajevi u kojima je nadeno ne-rotaciono-simetri�cno Hartree-Fock re�senje sa znatno ni�zom energijom (osnovnog stanja) nego �sto je dalo rotaciono-simetri�cnoHartree-Fock re�senje iako je ovo bilo prirodno u smislu multipletskog zatvaranja N najni�zih nivoa(za razliku od "neprirodnog" re�senja iz Primedbe 10.4.9).Zadatak 10.4.14 Pokazati da rotaciona simetri�cnost projektora P1 zna�ci da odgovaraju�ca Slater-ova determi-nanta j n1 < : : : < nN i sadr�zi samo cele multiplete.Zadatak 10.4.15 Objasniti za�sto rotaciono simetri�cna Hartree-Fock re�senja (bilo da su "prirodna" za osnovnostanje kao u tekstu, bilo "neprirodna" kao u Primedbi 10.4.9) pripadaju u�zem skupu probnih vektora, koji suSlater-ove determinante koje sadr�ze samo cele multiplete, ali da stacionarnost (nultost prve varijacije) va�zi uodnosu na �siri skup svih Slater-ovih determinanti.10.4.10 * DODATAK 1 | Izra�cunavanje jedno�cesti�cnogstatisti�ckog operatora Slater-ove determinanteDokaz: (Dokaz Teorema T10.4.4.) Uze�cemo bazis fjmi1 j 8mg uH(u)1 tako da mu se prvihN vektora podudara savektorima j n1 i; : : : ; j nN i zadatim u Teoremu T10.4.4. Izra�cuna�cemo �1 Slater-ove determinante j n1 < : : : < nN iu reprezentaciji bazisa u H(u)1 : : : H(u)N koji dobijamo direktnim mno�zenjem pomenutog bazisa u H(u)1 sanjegovim izomorfnim bazisima u H(u)2 ;H(u)3 ; : : :H(u)N (naravno, re�c je o izomor�zmima Jj 1; j = 2; 3; : : : ; N |videti x 9.3.4 | koji le�ze u osnovi formalizma identi�cnih �cestica). Imamo hm1 j �1 j m01 i = Pm2Pm3 : : :PmNh m1;m2; : : : ;mN j n1 < : : : < nN ih n1 < : : : < nN j m01;m2; : : : ;mN i, kao �sto sledi iz (10.4.18). Eksplicitno,koriste�ci se de�nicijom Slater-ove determinante (9.4.7) i (9.3.17), sledi:hm1 j �1 j m01 i = 1N !Xm2 Xm3 : : :XmN Xp2SN Xp02SN(�1)p(�1)p0h m1;m2; : : : ;mN j np�11 ; np�12 ; : : : ; np�1N ih np0�11 ; np0�12 ; : : : ; np0�1N j m01;m2; : : : ;mNi = 1N ! Xp2SN Xp02SNXm2 Xm3 : : :XmN (�1)p(�1)p0h m1 j np�11 ih np0�11 j m01ih m2 j np�12 ih np0�12 j m2i : : : h mN j np�1N ih np0�1N j mNi: (10.4.49)U poslednjem koraku iskoristili smo okolnost �sto su N -�cesti�cni ketovi i braovi u kojima se pojavljuju zapetenekorelisani, te je skalarni proizvod kompozitnih vektora jednak proizvodu skalarnih proizvoda jedno�cesti�cnihfaktora. Preuredili smo redosled faktora na kraju da bi bio pogodan za narednu diskusiju.Zaklju�cak 1. Po�sto j np�11 i i j np0�11 i pripadaju skupu vektora fj n1 i; : : : ; j nN ig, sigurno hm1 j �1 j m01 i = 0,osim ako i jm1 i i jm01 i pripadaju istom skupu vektora (ina�ce, jedan od prva dva faktora u svakom sabirkuna desnoj strani od (10.4.49) daje nulu).10.4.9 Po�sto je N �ksirano, mogu�ce je ograni�citi se na takve P1, koji jesu multipletski zatvoreni i samo pod timuslovom tra�ziti najni�ze nivoe �nk�. Tako �ce se formalno uvek dobiti rotaciono simetri�cno re�senje. Ali, gledano izvarijacionog skupa svih P1 (bez rotacionog ograni�cenja), u ovakvom slu�caju je obi�cno jasno da smo daleko iznadenergije osnovnog stanja.

424 GLAVA 10. PRIBLI�ZNI RA�CUNIZaklju�cak 2. Da ne bi nijedan od preostalih vektora na desnoj strani od (10.4.49) bio nula u svakom sabirku,moramo imati j np0�12 i =j np�12 i; : : : ; j np0�1N i =j np�1N i, �sto iziskuje i j np0�11 i =j np�11 i, jer i permutacija Pi P 0 deluju na isti vektor j n1 i j n2 i � � � j nN i, te ne mo�zemo dobiti razli�cito stanje samo u prvom faktoru.Onda p0�1 = p�1, tj. p0 = p, kao potreban uslov za sabirke koji ne daju nulu na desnoj strani od (10.4.49).Prva dva faktora sad pokazuju da �cemo ipak imati uvek nulu osim ako m1 = m01. Dakle, na�sa matrica �1je dijagonalna.Zaklju�cak 3. Najzad, izra�cunajmo dijagonalni element hm1 j �1 j m1 i, j m1 i 2 fj n1 i; j n2 i; : : : j nN ig. Zbogpomenutog p0 = p, imamo samo jednu sumu po permutacijama, a (�1)p(�1)p0 = +1. Neka je p jedna(arbitrarna) �ksirana permutacija takva da j np�11 i =jm1 i, a p00 neka je teku�ca permutacija koja ostavlja 1invarijantnim (tj. p001 = 1).Onda p00 te�ce po podgrupi od SN , koja je izomorfna sa SN�1 i, prema tome, ima(N � 1)! elemenata. Lako je videti da samo permutacije vida p00p ne daju nulu (ina�ce h m1 j np�11 i = 0).Od (10.4.49) preostajehm1 j �1 j m1 i = 1N ! Xp002SN�1Xm2 Xm3 : : :XmN jh m2 j n(p00p)�12 ij2 : : : jh mN j n(p00p)�1N ij2:Za �ksirano p00, u svakoj sumi Pm2 ; Pm3 : : : PmN ta�cno po jedan sabirak ne daje nulu (nego daje 1),tako da hm1 j �1 j m1 i = 1N ! Xp002SN�1 1 = 1N ! (N � 1)! = 1N :Odmah se vidi da operator 1N PNi=1 j ni i1hni j1 ima sve matri�cne elemente iste kao �sto smo dobili u gornjimzakju�ccima. Q. E. D.10.4.11 * Dodatak 2 | Izra�cunavanje dvo�cesti�cnog sta-tisti�ckog operatora Slater-ove determinanteSada �cemo dokazati Teorem T10.4.5.Po�ci �cemo od istog bazisa i ra�cuna�cemo u istoj raprezentaciji kao u dokazu Teorema T10.4.4.Iz (10.4.19) se dobija (analogno kao (10.4.49) u prethodnom paragrafu):hm1; m2 j �12 j m01; m02 i = 1N !Pp2SNPp02SN Pm3Pm4 : : :PmN (�1)p(�1)p0 ��h m1 j np�11 ih np0�11 j m01ih m2 j np�12 ih np0�12 j m02i � � � h mN j np�1N ih np0�1N j mNi:(10.4.50)Zaklju�cak 1. Iz prva �cetiri faktora vidimo da je tra�zeni matri�cni element nula, osim ako jm1 i; jm01 i; j m2 i; j m02 i 2 fj n1 i; : : : ; j nN ig.Zaklju�cak 2. Iz ostalih vektora sledi da je za razli�citost od nule matri�cnog elementa potrebno dava�zij np�13 i =j np0�13 i,..., j np�1N i =j np0�1N i. Odavde sledi jednakost skupova fj np�11 i; j np�12 ig =fj np0�11 i; j np0�12 ig, �sto zna�ci da moramo imati ili j np�11 i =j np0�11 i i j np�12 i =j np0�12 i,ili j np�11 i =j np0�12 i i j np�12 i =j np0�11 i. Zna�ci, iz Pp02SN mo�zemo zadr�zati samo dvasabirka: p0 = p i p0 = p12p, gde je p12 transpozicija prve i druge �cestice. Dobi�cemo di-jagonalne matri�cne elemente hm1; m2 j �12 j m1; m2 i i jedino hm1; m2 j �12 j m2; m1 ikao nenulte vandijagonalne matri�cne elamente. Dijagonalnom elementu doprinosi samop0 = p, a pomenutom vandijagonalnom samo p0 = p12p (�sto daje (�1)p(�1)p0 = 1, odnosno(�1)p(�1)p0 = �1).

10.4. VARIJACIONI RA�CUN I METOD SAMOUSAGLA�SENOG POLJA 425Zaklju�cak 3. Za �ksirane j m1 i; j m01 i; j m2 i; j m02 i u sumi Pp2SN mo�zemo se ograni�citi napermutacije koje permutuju samo �cestice 3; : : : ; N , a �cestice 1 i 2 ne menjaju (podgrupaSN�2 sa (N � 2)! elemenata). Za �ksirano p i p0 u svakoj sumi Pm3 ; Pm4 ; : : : ;PmNdoprinosi ta�cno jedan sabirak. Stoga,hm1; m2 j �12 j m1; m2 i = 1N ! Xp2SN�2 1 = 1N ! (N � 2)! = 1N(N � 1); (10.4.51a)hm1; m2 j �12 j m2; m1 i = 1N ! Xp2SN�2(�1) = 1N ! (N � 2)! = � 1N(N � 1) : (10.4.51b)S druge strane, desna strana od (10.4.21) daje hm1; m2 j 2NN(N�1) �1�2 12(I12 � E12) j m01; m02 i =NN�1 1N2 Æm1;m01Æm2;m02� NN�1 1N2 Æm1;m02Æm2;m01 = 1N(N�1)(Æm1;m01Æm2;m02 � Æm1;m02Æm2;m01), i to samo akoj m1 i; j m01 i; j m2 i; j m02 i 2 fj n1 i; : : : ; j nN ig, ostali matri�cni elementi su nula.

Glava 11OSNOVI DRUGE KVANTIZACIJE11.1 Sistemi identi�cnih fermionaU ovom odeljku izgradi�cemo kvantno-mehani�cki formalizam tzv. druge kvantizacije za opisivanjesistema identi�cnih fermiona. Tu se naporedo prou�cavaju sistemi sa brojevima �cestica N =0; 1; 2; ::: Ba�s na ra�cun ovako �siroko zami�sljenog prostora stanja uspe�cemo da veoma slo�zeniPauli-jev princip inkorporiramo u proste algebarske relacije novih operatora druge kvantizacije(kreacionih i anihilacionih operatora), na kojima po�civa ceo pomenuti formalizam.Na kraju odeljka dati su veoma te�ski dokazi osnovnih teorema, koji se odnose na preno�senjeaditivnih operatora iz prve u drugu kvantizaciju. Ovi dokazi (obi�cno se izostavljaju) su prven-stveno namenjeni �citaocima koji �ce da koriste drugu kvantizaciju u svom teorijskom istra�ziva�ckomradu. Za njih je korisno da prou�ce jedan primer detaljnog rezonovanja sa operatorima drugekvantizacije (i sa permutacionim operatorima u prvoj kvantizaciji).11.1.1 Prostor druge kvantizacije za fermioneImamo u vidu jedan odredeni fermion, na primer elektron (mo�ze biti i proton ili neutron ilinukleon) i uzimamo u obzir sva mogu�ca stanja svih mogu�cih N -identi�cno-fermionskih sistema,pri �cemu N := 0; 1; 2; ::: (ta�cka zna�ci "mo�ze biti").Za dva, tri ili vi�se fermiona (ne�cemo ponavljati "identi�cnih") znamo iz postulata VIII b)(x 9.3.6) da je prostor stanja antisimetri�cni potprostor V(N)a def= Va � H(u)1 ::: H(u)N . Za jedanfermion prostor stanja je, naravno, sam H(u)1 def= V(N=1)a . Za opisivanje nula fermiona, tj. stanja ukome nema ni jednog od na�sih fermiona, uve�s�cemo jedno jedino stanje, tzv. vakuum i obele�zi�cemoga sa j 0 i. Obratiti pa�znju da je to relativan pojam, odnosi se na odredenu vrstu fermiona. (j 0 inije nulti vektor, nego je h 0 j 0i = 1!) Pravac (jedno-dimenzionalni potprostor) koji j 0 iobrazuje obele�zi�cemo sa [H(u)1 ]0 = V(N=0)a (u reprezentaciji, u bazisu fj 0 ig V(0)a prelazi u C 1).Na taj na�cin N fermiona opisujemo u prostoru stanja V(N)a koji je N -ti antisimetri�cni stepen odH(u)1 ; N = 0; 1; 2; :::Prostor stanja koji dozvoljava proizvoljan broj fermiona, n := 0; 1; 2; :::, �ce biti ortogonalnizbir svih navedenih potprostoraHfII def= �1N=0V(N)a ; V(0)a def= [H(u)1 ]0; V(1)a def= H(u)1 ; (11.1.1a,b,c)426

11.1. SISTEMI IDENTI�CNIH FERMIONA 427HfII se naziva prostorom druge kvantizacije ili Fock-ovim (Fok) prostorom za doti�cni fermion.�Citaocu je bez sumnje jasno da HfII sadr�zi i stanja (to zna�ci �cista stanja!) �ciji broj �cesticanema odredenu, tj. o�stru vrednost; drugim re�cima, u kojima �2N = N2 � N 2 > 0. Medutim,u nerelativisti�ckoj kvantnoj �zici masenih �cestica (tj. �cestica sa pozitivnom masom mirovanja)nisu poznati aspekti pona�sanja, tj. opservable ili merenja koja bi bila nekompatibilna sa brojem�cestica i koja bi omogu�cila preparaciju �cistog ansambla fermionskih sistema sa neodredenim bro-jem �cestica. Drugim re�cima, pomenuta stanja (koja nisu elementi pojedinih sabiraka u (11.1.1a),nego su superpozicije vi�se takvih) nemaju �zi�ckog smisla. Laboratorijski se obi�cno ne pripremaansambl �zi�ckih sistema sa nula fermiona, tj. vakuum je obi�cno bez �zi�ckog smisla (�sto nijeslu�caj u relativisti�ckoj kvantnoj mehanici ili kvantnoj teoriji polja !). Dakle, sva stanja u kojimaN nema odredenu vrednost 1; 2; ::: slu�ze samo kao matemati�cko upotpunjavanje formalizma. Za-hvaljuju�ci ba�s matemati�cki kompletnoj i zaokrugljenoj formi (11.1.1a) prostora HfII matemati�ckiaparat ili formalizam druge kvantizacije je neobi�cno mo�can i prakti�can.11.1.2 Bazis brojeva popunjenosti�Cim je de�nisan prostor stanja, kvantno-mehani�cki formalizam po pravilu zahteva uo�cavanjenajpogodnijih bazisa ili reprezentacija. Stoga se pitamo kavim �cemo se bazisima koristiti u HfII .Odgovor na postavljeno pitanje u stvari je ve�c dobijen u T9.4.2. Po�sli smo od proizvoljnogjedno�cesti�cnog bazisa fj n i1j8ng � H(u)1 i izgradili bazis od Slater-ovih determinanti u V(N)a .Kada ovaj rezultat prenesemo u HfII onda tra�zeni bazis glasi:fj n1 < n2 < ::: < nN i j sve kombinacije bez ponavljanja za dato N = 0; 1; 2:::g � HfII ; (11.1.2a)gde smo, naravno uklju�cili podbaziseN = 1 : fj n i1j8ng � H(u)1 ; N = 0 : fj 0 ig: (11.1.2b,c)Bazis (11.1.2a) je po sadr�zini, tj. po vrsti vektora od kojih se sastoji, sasvim prilagoden zahtevunajprostijeg opisivanja fermionskih sistema. Ali samu formu zapisivanja bazisnih vektora �cemojo�s morati da doradimo.Kao �sto smo pretpostavili u T 9.4.2, vrednosti jedno�cesti�cnog kvantnog broja n su potpunouredene: n1 < n2 < ::: Bi�ce prakti�cno da prosto pi�semo 1 < 2 < 3:::, tj. da n zamenimo sa m�cije su vrednosti prirodni brojevi. Drugim re�cima, bazis fj n ij8ng � H(u)1 prepisujemo u vidufj m ijm = 1; 2; :::g � H(u)1 : (11.1.3)Lako je videti da je svaka Slater-ova determinanta u (11.1.2a) karakterisana podacima kojikazuju koja su od stanja j m i popunjena, tj. prisutna u doti�cnoj Slater-ovoj deteminanti, akoja nisu. To mo�zemo izraziti funkcijom �m koja uzima vrednosti 1 ili 0, pri �cemu �m = 1 zna�cida je j m i popunjeno, a �m = 0 zna�ci da stanje j m0 i nije popunjeno. Pri tome, o�cigledno,P1m=1 �m = N < 1. Imaju�ci u vidu ovakve funkcije �m, vektore bazisa (11.1.2a) (i sam bazis)mo�zemo da prepi�semo na slede�ci jedinstven na�cin:fj �1; �2; ::: i j sve funkcije �m za koje 1Xm=1 �m <1g � HfII (11.1.4)

428 GLAVA 11. OSNOVI DRUGE KVANTIZACIJEBazis (11.1.4) (koji se sastoji od istih Slater-ovih determinanti, ali pogodnije napisanih) nazivase bazis brojeva popunjenosti, jer su �m po svom �zi�ckom smislu brojevi popunjenosti. Reprezen-tacija koju (11.1.4) de�ni�se naziva se reprezentacijom brojeva popunjenosti.Zadatak 11.1.1 Za�sto se u (11.1.4) ne pojavljuju stanja j �1; �2; ::: i sa P1m=1 �m = 1? �Sta bi ona zna�cila�zi�cki? Kako se vidi da takva stanja ne pripadaju HfII?Zadatak 11.1.2 Napisati eksplicitno vakuum i jednofermionske bazisne vektore iz (11.1.4).Zadatak 11.1.3 Napisati kako se reprezentuje proizvoljan vektor j i 2 HfII u bazisu brojeva popunjenosti.Zadatak 11.1.4 Kako se u sistemima brojeva (to su uop�stenja od "brojnih kolona") koja se pojavljuju u odgo-voru na prethodni Zadatak razlikuju stanja sa o�strom vredno�s�cu broja �cestica od ostalih stanja?11.1.3 Kreacioni i anihilacioni operatoriBazis brojeva popunjenosti (11.1.4) nije krajnji domet formalizma druge kvantizacije za fermione,ve�c pre samo njegova odsko�cna daska. Ali i dalje �ce se raditi o istim sadr�zinama, a promena �cese odnositi na formu entiteta.Izabrav�si jednofermionski bazis (11.1.3) i konstruisav�si pomo�cu njega bazis brojeva popunje-nosti (11.1.4), mo�zemo da de�ni�semo tzv. anihilacione operatore am kao linearne operatore kojina slede�ci na�cin deluju na bazisni vektor:am j �1; :::; �m; ::: i = �m(�1)b(m) j �1; :::; �m � 1; ::: i; m = 1; 2; ::: ; (11.1.5a)gde je b(m) broj popunjenih stanja u j �1; :::; �m; ::: i koja su ispred j m i, tj.b(m) def= m�1Xm0=1 �m0 : (11.1.5b)Treba zapaziti da je b(m) ceo broj koji zavisi kako od vrednosti m jednofermionskog kvantnogbroja tako i od Slater-ove determinante j �1; :::; �m; ::: i, a ova druga zavisnost nije obuhva�cenasimbolikom (imamo nekompletnost simbola radi jednostavnosti).Po�sto je j �1; :::; �m; ::: i proizvoljni vektor bazisa (11.1.4) mo�ze biti �m = 0 i, prema tome,vektor j �1; :::; �m � 1; ::: i nede�nisan. Uprkos tome, (11.1.5) dobro de�ni�se am, jer bez obzirakoji je vektor j �1; :::; �m � 1; ::: i, faktor �m ionako daje na desnoj strani od (11.1.5) nulti vektor(zbog �m = 0).Termin "anihilacioni" operator poti�ce otud �sto za �m = 1 (na levoj strani (11.1.5)) dobijamo� 0m = �m�1 = 0 na desnoj strani, tj. kao da se jednofermionsko stanje jmi anihiliralo, odstraniloiz j �1; :::; �m; ::: i.U bazisu brojeva popunjenosti (11.1.4) anihilacioni operator am se reprezentuje matricom �cijisu elementi h� 01; � 02; ::: j am j �1; �2; ::: i = �m(�1)b(m)�01;�1�02;�2:::�0m;�m�1::: (11.1.6)

11.1. SISTEMI IDENTI�CNIH FERMIONA 429Adjungovani operator od am pi�se se aym i naziva kreacionim operatorom. Po�sto se na ma-tri�cnom jeziku adjungovanje sastoji iz kompleksne konjugacije i transponovanja (tj. uzajamnezamene uloge vrsta i kolona), iz (11.1.6) sledih� 01; � 02; ::: j aym j �1; �2; ::: i = � 0m(�1)m�1Pm0=1 �0mÆ�01;�1 :::Æ�0m�1;�m ::: = (1� �m)(�1)m�1Pm0=1 �0mÆ�01;�1 :::Æ�0m�1;�m :::(11.1.7)Poslednji korak je rezultat slede�ceg rezonovanja: ako je matri�cni element ionako nula, onda nijeva�zno �sto faktori nisu jednaki (na primer suma po � 0m0 prelazi u sumu po �m0), a kad je matri�cnielement nejednak nuli, onda ti razli�citi faktori upravo daju i obezbeduju isto. Tako � 0mÆ�0m�1;�mdaje 1 samo ako � 0m = 1 i �m = 0, ina�ce daje nulu; a isto va�zi i za (1� �m)Æ�0m;�m+1.Iz (11.1.7) se vidi da kreacioni operatori imaju slede�ce delovanje:aym j �1; :::; �m; ::: i = (1� �m)(�1)b(m) j �1; :::; �m + 1; ::: i : (11.1.8)Termin "kreacioni" ukazuje na �cinjenicu da aym kada god pri delovanju na bazisni vektor nedaje nulti vektor, a to je slu�caj kad j �1; �2; ::: i ne sadr�zi j m i onda "kreira" stanje j m i, tj.dodaje ga na j �1; �2; ::: i (ali tako da opet rezultuje Slater-ova determinanta).Zadatak 11.1.5 Dokazati da nijedan am i nijedan aym nije ni hermitski ni unitarni operator.Podsetimo se da je antikomutator dva operatora A i B, tj. [A; B]+, de�nisan sa AB + BA,te "antikomutiranje" [A; B]+ = 0 zna�ci AB = �BA, tj. izmenu poretka operatora koja se pla�camno�zenjem sa minus jedan.Anihilacioni i kreacioni operatori zadovoljavaju slede�ce tzv. antikomutacione relacije:[ am; am0 ]+ = 0 = [ aym; aym0 ]+; [am; aym0]+ = Æmm0 ; 8m;m0 : (11.1.9a,b,c)Ove relacije igraju najva�zniju ulogu u formalizmu druge kvantizacije za fermione.Zadatak 11.1.6 Dokazati (11.1.9).Zadatak 11.1.7 Pokazati da su i kreacioni operatori aym i anihilacioni operatori am nilpotentni, tj. da im jekvadrat (ili bilo koji vi�si stepen) jednak nuli.U mnogim ra�cunima sa fermionskim kreacionim i anihilacionim operatorima korisno je imatina umu da su am i aym neprekidni operatori. Ne�cemo to dokazivati11.1.1.11.1.4 Operatori brojeva popunjenosti i operator brojafermionaPodimo opet od jednofermionskog bazisa (11.1.3) i uzmimo N proizvoljnih razli�citih kreaci-onih operatora aym1 ; aym2 ; :::; aymN i to tako da m1 < m2 < ::: < mN . Formirajmo vektor11.1.1�Sto se ti�ce matemati�cki rigoroznog tretmana, videti G.G. Emch, Algebraic Methods in Statictical Mechanicsand Quantum Field Theory, Wilay-Interscience, London, 1972, glava 1, odeljak c.

430 GLAVA 11. OSNOVI DRUGE KVANTIZACIJEaym1aym2 :::aymN j 0 i 2 HfII i izra�cunajmo njegove koe�cijente razvoja po vektorima bazisa brojevapopunjenosti (11.1.4). h�1; �2; ::: j aym1 :::aymN j 0 i = (11.1.10)�m1(�1)b1(m1)�m2(�1)b2(m2):::�mN (�1)bN (mN )h �1; :::�m1 � 1; :::�mN � 1; ::: j 0i:Treba imati u vidu da je h�1; �2; ::: j aym1 bra od keta am1 j �1; �2; ::: i, itd. Samo se b1(m1)izra�cunava u j �1; �2; ::: i, b2(m2) se izra�cunava u j �1; :::�m1 � 1; ::: i itd.Iz (11.1.10) se mo�ze zaklju�citi da aym1 :::aymN j 0 i ima razvojne koe�cijente nula po svimvektorima bazisa, osim po jednom jedinom i to onom u kojem su ba�s m1; m2; :::; mN popunjeni ini jedno drugo stanje nije popunjeno. Ako pretpostavimo da je j �1; �2; :::i taj bazisni vektor, ondausled m1 < m2 < ::: < mN , (�1)b(m1) = 1, isto tako (�1)b2(m2) = 1, jer je u j �1; :::�m1 � 1; ::: ij m2 i prvo popunjeno stanje, itd. Zna�ci, aym1 :::aymN j 0 i je upravo jednak doti�cnom bazisnomvektoru.Tako smo zaklju�cili da se bazis brojeva popunjenosti (11.1.4) mo�ze druga�cije napisati uslede�cem vidu:faym1 :::aymN j 0 i j sve kombinacije bez ponavljanja m1 < ::: < mN ;N = 0; 1; 2; :::g � HfII : (11.1.11)Zadatak 11.1.8 Prepisati de�nicionu jednakost (11.1.5) za anihilacioni operator pomo�cu vektora iz (11.1.11) isvesti je na identitet. Tako se vidi da faktor (�1)b(m) poti�ce od (11.1.9c).Zadatak 11.1.9 Pokazati da u HfII postoji jedan i samo jedan (s ta�cno�s�cu do brojnog faktora) vektor j i kojizadovoljava am j i = 0, 8m i da je on (s ta�cno�s�cu do brojnog mno�zioca) jednak vakuumu j 0 i. Stoga se vakuum�cesto de�ni�se zahtevom am j 0 i = 0; m = 1; 2; ::: (11.1.12)uz neke dodatne zahteve (videti ni�ze, x 11.1.8 i x 11.1.9).Treba zapaziti da je vakuum j 0 i jedan te isti za sve mogu�ce jednofermionske bazisefj m i j m = 1; 2; :::g � H(u)1 .Zadatak 11.1.10 Pokazati da je za svako m operator aymam projektor, da su vektori bazisa (11.1.11) njegovisvojstveni vektori i da odgovaraju svojstvenoj vrednosti 1 ili 0 prema tome da li je stanje m popunjeno ili ne udoti�cnom vektoru. Na jeziku vektora bazisa brojeva popunjenosti (11.1.4):aymam j �1; �2; ::: i = �m j �1; �2; ::: i; m = 1; 2; ::: (11.1.13)Zadatak 11.1.11 Pokazati da je projektorski niz aymam, m = 1; 2; ::: potpuni skup kompatibilnih opservabli uHfII sa �m, m = 1; 2; ::: kao odgovaraju�cim potpunim skupom kvantnih brojeva (ili svojstvenih vrednosti). Todaje drugi pogled na vektore bazisa (11.1.4).Operatori aymam nazivaju se operatorima brojeva popunjenosti, a operatorN def= 1Xm=1 aymam (11.1.14)naziva se operatorom broja �cestica, jerN j �1; �2; ::: i = ( 1Xm=1 �m) j �1; �2; ::: i = N j �1; �2; ::: i: (11.1.15)Zadatak 11.1.12 Pokazati da aym i am nisu normalni operatori.

11.1. SISTEMI IDENTI�CNIH FERMIONA 43111.1.5 Transformacione osobine kreacionih i anihilacionihoperatoraKao �sto smo stalno nagla�savali, sve entitete ovog odeljka odreduje unapred odabrani jednofer-mionski bazis fj m ijm = 1; 2; :::g. Postavlja se pitanje kako �ce da glasi transformaciona teorija,tj. kakve �ce promene reizbor jednofermionskog bazisa izazivati u bazisu (11.1.11) i u samimoperatorima aym i am.Lema 11.1.1 Neka je u H(u)1 zadato razvijanje novog bazisa po starom:j q i =P1m=1 Uqm j m i ; q = 1; 2; ::: (11.1.16)Usled (11.1.16) imamo slede�ce razvijanje novog bazisa tipa (11.1.11) po starom:ayq1 :::ayqN j 0 i = Xm1<:::<mN(Xp2SN(�1)pUq1mp1 :::UqNmpN )aym1 :::aymN j 0 i: (11.1.17)Dokaz: LS = ayq1 :::ayqN j 0i =j q1 < ::: < qN i, te na osnovu (9.4.7) imamo LS = pN !A j q1 i::: j qN i. Zamenjuju�ciovde (11.1.16), dolazimo do LS =P1m1=1 :::P1mN=1 Uq1m1 :::UqNmNpN !A jm1 i::: jmN i. Zbog antisimetrizatoraA vektori j m1 i j m2 i::: j mN i sa ponavljanjem (istog jednofermionskog stanja) ne daju nenulti doprinos(uporediti L1-9.4.2). Lako je videti da preostale sabirke mo�zemo pogodnije prebrojati slede�cim zbirovima LS:LS = Xm1<:::<mN Xp2SN Uq1mp1 :::UqNmpNpN !A j mp1 i::: j mpN i =Xm1<:::<mN Xp2SN Uq1mp1 :::UqNmpNpN !AP�1 j m1 i::: j mN i:Zbog AP�1 = (�1)p�1A = (�1)pA (uporediti dokaz L 9.4.1) i de�nicije Slater-ove determinante (9.4.7), najzad,sledi: LS = Xm1<:::<mN(Xp2SN(�1)pUq1mp1 :::UqNmpN ) j m1 < ::: < mN i = DSod (11.1.17). Q. E. D.Lema 11.1.2 Pod pretpostavkom (11.1.16), razvijanje (11.1.17) mo�ze se napisati i u viduayq1:::ayqN j 0 i = 1Xm1=1 ::: 1XmN=1Uq1m1 :::UqNmNaym1 :::aymN j 0 i: (11.1.18)Dokaz: Zbog nilpotentnosti kreacionih operatora na desnoj strani otpadaju svi �clanovi sa ponavljanjem iste vred-nosti kvantnog broja. StogaDS =Pm1<:::<mN Pp2SN Uq1mp1 :::UqNmpN aymp1 :::aympN j 0i. Najzad, koriste�ci se an-tikomutiranjem kreacionih operatora, dolazimo do: DS = Pm1<:::<mN( Pp2SN(�1)pUq1mp1 :::UqNmpN )aym1 :::aymN j 0 i.Iz (11.1.17) onda sledi DS = LS od (11.1.18). Q. E. D.Razvijanje (11.1.18) odlikuje se redundancijom (suvi�sno�s�cu), jer ne samo da su prisutne nule(zbog ponavljanja kreacionih operatora na desnoj strani), ve�c se i nenulti vektori pojavljujuN ! puta, sa svim mogu�cim permutacijama vrednosti kvantnog broja. Ali ba�s na ra�cun overedundancije dobija se prakti�cniji vid, koji je ponekad (kao u dokazu slede�ceg teorema) veomakoristan.

432 GLAVA 11. OSNOVI DRUGE KVANTIZACIJETeorem 11.1.1 Kreacioni operatori se transformi�su kao ketovi, a anihilacioni kao braovi, tj.(11.1.16) indukuje slede�ce transformacijeayq =P1m=1 Uqmaym; aq =P1m=1 U�qmam; q = 1; 2; ::: (11.1.19a,b)Dokaz: Dovoljno je dokazati (11.1.19a), a (11.1.19b) onda sledi adjungovanjem. Primeni�cemo obe strane od(11.1.19a) na proizvoljni vektor bazisa tipa (11.1.11), koji de�ni�se novi jednofermionski bazis fj q ijq = 1; 2; :::g.Leva strana od (11.1.19a) daje:LS def= ayq(ayq1 :::ayqN j 0 i) = � 0; ako q 2 q1; :::; qN(�1)b(q)ayq1 :::ayq:::aqN j 0 i; ina�ce. (11.1.20)(postigli smo q1 < ::: < q::: < qN , tj. dobili smo bazisni vektor tipa (11.1.11)). Desna strana od (11.1.19a), zbog(11.1.18), dovodi do: DS def= ( 1Pm=1Uqmaym)ayq1 :::ayqN j 0 i = (Pm Uqmaym)Pm1 � � �PmN Uq1mp1 :::UqNmpN aym1 :::aymN j 0 i.Pronadimo u uredenom skupu q1 < ::: < qN gde spada q, tj. kako �cemo dobiti q1 < ::: � q < ::: < qN (dobijamoN + 1 �clanova, q mo�ze biti i prvi i poslednji i �cak mo�zemo imati q � q jedno pored drugog ako q1 < ::: < qNsadr�zi q). Onda DS =Xm1 :::Xm :::XmN Uq1m1 :::Uqm:::UqNmN (�1)b(q)aym1 :::aym:::aymN j 0 i; (11.1.21)gde je b(q) broj �clanova u q1 < ::: < qN koji dolaze ispred q (i ba�s toliko aymi smo "presko�cili" sa aym).Ako q 62fq1; :::; qNg, onda se iz (11.1.18) vidi da i (11.1.20) daje (11.1.21), tj. LS = DS.Neka je q = qi 2fq1; :::; qNg. Onda (11.1.21) u stvari glasiDS =Xm1 :::Xm Xmi :::XmN Uq1m1 :::UqmUqmi :::UqNmN (�1)b(q)aym1 :::aymaymi :::aymN j 0 i: (11.1.22)Sabirci u kojima je m = mi daju nulu, jer aymaym = 0. Za svaki sabirak u kojemm < mi postoji sabirakm > mi saistim vrednostima kvantnog broja ostalih kreacionih operatora. Po�sto UqmUqmi = UqmiUqm, a aymaymi = �aymiaymta dva sabirka se potiru. I tako se (11.1.22) svodi na nulu ba�s kao i (11.1.20). Q. E. D.�Citalac je verovatno zapazio da smo redundantno razvijanje (11.1.18) u Lemi L 11.1.2 dokazalisamo za bazisne vektore tipa (11.1.11) sa leve strane, ali sad, kad smo dokazali (11.1.19a),(11.1.18) va�zi za bilo koji proizvod kreacionih operatora na levoj strani (za dati bazis fj q ijq =1; 2; :::g), sa ponavljanjem i za bilo koju permutaciju �ksirane sukcesije.11.1.6 Operatori poljaMnogo puta smo imali prilike da vidimo da se uop�steni bazis koristi u punoj analogiji sa pravimbazisom, samo �sto se suma zamenjuje integralom. Tako se i transformacione formule (11.1.16)i (11.1.19) neposredno uop�stavaju na slu�caj kontinualnog (tj. uop�stenog) bazisa. U ovom pa-ragrafu prou�ci�cemo najva�zniji primer svojstvenog bazisa operatora radijus vektora i projekcijespina u ulozi "novog" bazisa.Uzmimo kao specijalan slu�caj od (11.1.16) slede�ce razvijanje:j r; ms i = 1Xm=1Urms;m j m i (11.1.23)(o�cigledno: Urms;m = h m j r; msi, tj. �m(r; ms) def= h r; ms j mi = U�rms;m je koordinatno-spinskireprezentant vektora j m i "starog" bazisa).

11.1. SISTEMI IDENTI�CNIH FERMIONA 433Anihilacioni i kreacioni oparatori koje de�ni�se bazis fj rms i j 8r;ms = �s; :::; sg obele�zavajuse sa (r; ms) odnosno sa y(r; ms) nazivaju operatorima polja. (Svakoj ta�cki pridru�zuje seoperator, sli�cno kao �sto se na primer u klasi�cnom elektri�cnom polju svakoj ta�cki pridru�zuje vektorE(r).) Operatori polja, naravno, ne zavise ni od kojeg drugog bazisa, ve�c samo od pomenutogbazisa fj r; ms ij8r; msg, ali na osnovu (11.1.23) mogu se izraziti pomo�cu am i aym preko formula(11.1.19a): y(r; ms) = 1Xm=1��m(r; ms)aym; (r; ms) = 1Xm=1�m(r; ms)am (11.1.24a,b)(iskoristili smo i formule ispod (11.1.23)).Po�sto razvijanje koje je inverzno od (11.1.23) glasi: j m i = Pms R drU yrms;m j r; ms i =Pms R dr�m(r; ms) j r; ms i, inverzne transformacije od (11.1.24) glaseaym =Xms Z dr�m(r; ms) y(r; ms); am =Xms Z dr��m(r; ms) (r; ms): (11.1.25a,b)Zadatak 11.1.13 Dokazati da operatori polja zadovoljavaju slede�ce antikomutacione relacije:[ y(r;ms); y(r0;m0s)]+ = 0; [ (r;ms); (r0;m0s)]+ = 0; (11.1.26a,b)[ (r;ms); y(r0;m0s)]+ = Æms;m0sÆ(r� r0): (11.1.26c)11.1.7 Operator kineti�cke energije, spolja�snjeg polja i in-terakcijeU jednofermionskom prostoru stanja H(u)1 operator kineti�cke energije glasi T1 = p212m , a u H(u)1:::Nglasi T1:::N def= PNi=1 Ti ; (11.1.27a)gde je Ti def= p2i2m; i = 1; :::; N: (11.1.27b)Po�sto je T1:::N simetri�can operator, on se redukuje u fermionskom prostoru V(N)a � H(u)1:::N .Analogno, kako god da glasi operator spolja�snjeg polja u H(u)1 (na primer, V1 = �Ze2r1 za elek-tron u vodoniku-sli�cnom atomu), istom funkcionalnom zavisno�s�cu od osnovnog skupa opservablidat je i operator Vi spolja�snjeg polja koje deluje na i-tu �cesticu (sve �cestice su u "istom" polju,stoga su operatori Vi ekvivalentni po izomor�zmima Jj i iz x 9.3.4). U fermionskom prostoruV(N)a � H(u)1:::N deluje PNi=1 Vi.Zadatak 11.1.14 Kako glasi operator kineti�cke energije i operator spolja�snjeg polja koji deluju na vakuum j 0i?Dati �zi�cko obrazlo�zenje za odgovor.

434 GLAVA 11. OSNOVI DRUGE KVANTIZACIJEOperator spolja�snjeg polja PNi=1 Vi je istog tipa kao operator kineti�cke energije (11.1.27a).Oba pripadaju tzv. aditivnim operatorima jedno�cesti�cnog tipa. Za formalizam druge kvantiza-cije je od velikog zna�caja da se proizvoljan operator ovog tipa izrazi kao �sto prostija funkcijakreacionih i anihilacionih operatora aym i am.Teorem 11.1.2 Neka je u jednofermionskom prostoru stanja H(u)1 zadata opservabla B1 i nekaje u zadatom bazisu fj m ijm = 1; 2; :::g reprezentuje matrica B = (Bmm0 def= hm j B1 j m0 i).Onda aditivni operator jedno�cesti�cnog tipa B =PNi=1 Bi, koji deluje u V(N)a sabirku u (11.1.1a),u celom Fock-ovom prostoru HfII glasiB =P1m=1P1m0=1Bmm0aymam0 ; (11.1.28)Dokaz �cemo dati u Dodatku x 11.1.10.Zadatak 11.1.15 Nabrojati nekoliko opservabli iz H(u)1 koje po svom �zi�ckom smislu de�ni�su aditivne operatorejedno�cesti�cnog tipa u HfII , kao i one za koje to nije slu�caj.Zadatak 11.1.16 Pokazati da su operator kineti�cke energije i vektorska opservabla impulsa u impulsno-spinskojreprezentaciji u HfII T =Xms Z +1�1 Z +1�1 Z +1�1 dp p22m y(p;ms) (p;ms); (11.1.29)odnosno P =Xms Z dpp y(p;ms) (p;ms); (11.1.30)gde su y(p;ms), (p;ms) impulsno-spinski operatori polja, tj. kreacioni i anihilacioni operatori koji odgovarajubazisu fj p;ms ij8p;msg � H(u)1 .Zadatak 11.1.17 Pokazati da operator Coulombovog polja koje deluje na elektronski omota�c u koordinatno-spinskoj reprezentaciji u HfII glasi V =Xms Z dr�Ze2r y(r;ms) (r;ms): (11.1.31)Neka je interakcija dva identi�cna fermiona zadata operatorom V12 u H(u)12 . Onda je interakcijai-tog i j-tog fermiona uH(u)ij izra�zena operatorom Vij koji je ista funkcija odgovaraju�ceg osnovnogskupa opservabli u H(u)ij kao V12 u H(u)12 . Operator interakcije sistema od N identi�cnih fermionaonda glasi PNi<j Vij : (11.1.32)Operator interakcije (11.1.32) je primer tzv. aditivnog operatora dvo�cesti�cnog tipa. Sad �cemoi ovaj operator izraziti na jeziku druge kvantizacije.Teorem 11.1.3 Neka je V12 simetri�can operator u H(u)12 i neka ga u bazisu fj m i j m0 ijm;m0 =1; 2; :::g � H(u)12 reprezentuje matrica V12 = (Vm1m2;m01m02 def= hm1; m2 j V12 j m01; m02 i), gde je, naprimer, j m01; m02 i def= j m01 i j m02 i, itd. Neka, osim toga, V12 de�ni�se u pojedinim fermionskim

11.1. SISTEMI IDENTI�CNIH FERMIONA 435prostorima V(N)a operator tipa (11.1.32), N = 2; 3; :::, a u V(N=1)a i u V(N=0)a neka deluje kao nula.Onda u Fock-ovom prostoru HfII doti�cni aditivni operator dvo�cesti�cnog tipa glasiV = 12P1m1=1P1m2=1P1m01=1P1m02=1 Vm1m2;m01m02aym1aym2am02am01 : (11.1.33)Dokaz videti u Dodatku x 11.1.11.Obratiti pa�znju da je redosled anihilacionih operatora am02am01 , a redosled istih vrednostikvantnog broja u matri�cnom elementu je V:::;m01m02 .Zna�caj formula (11.1.28) i (11.1.33) je u tome �sto predstavljaju pogodnu formu doti�cnihoperatora za izra�cunavanje matri�cnih elemenata u bazisu (11.1.11).11.1.8 * Prostorna inverzija i Galilej-evie transformacijeu Fock-ovom prostoruKao �sto smo videli u odeljku x 8.1, operator prostorne inverzije Jp je multiplikativni operator, tj.u H(u)1:::N deluje kao J (p)1 J (p)2 ::: J (p)N . Pitamo se kako deluje u HfII . Zapravo, dovoljno jeda znamo u �sta preslikava vakuum i kako deluje na kreacione i na anihilacione operatore.Po�sto je J (p)1 unitarni operator, proizvoljni bazis fj m ijm = 1; 2; :::g � H(u)1 prevodi u novbazis fj q i def= J (p)1 j m i j q = m = 1; 2; :::g � H(u)1 i mo�zemo iskoristiti formule (11.1.16) i(11.1.19a-11.1.19b). Drugim re�cima, ako znamo kako se J (p)1 reprezentuje u bazisu fj m ijm =1; 2; :::g (matrica reprezentant je inverzna od matrice razvijanja), (11.1.19) nam odmah dajedelovanje na operatore druge kvantizacije.Deo �zi�cke ideje vakuuma j 0 i je u tome da operator parnosti ne izaziva promene u njemutj. da Jp j 0 i =j 0 i.Zadatak 11.1.18 Pokazati da, obele�zavaju�ci sa Jp operator parnosti (tj. prostorne inverzije) i u HfII , imamoJp y(r;ms)Jp = y(�r;ms); Jp (r;ms)Jp = (�r;ms) (11.1.34a,b)Jp y(p;ms)Jp = y(�p;ms); Jp (p;ms)Jp = (�p;ms) (11.1.35a,b)pod pretpostavkom da je unutra�snja parnost fermiona pozitivna.Zadatak 11.1.19 Neka se jednofermionski kvantni broj m sastoji od �cetiri kvantna broja: n; l;ml;ms, gde jen kvantni broj u radijalnom faktor prostoru L(r)2 itd. (Za primere videti vodonikov atom x 9.1.7 i harmonijskioscilator x 9.2.5). Pokazati da operator prostorne inverzije deluje na odgovaraju�ce operatore druge kvantizacije uHfII na slede�ci na�cin: JpaynlmlmsJp = (�1)laynlmlms ; JpanlmlmsJp = (�1)lanlmlms : (11.1.36a,b)Zadatak 11.1.20 Pomo�cu x 9.2.6 dokazatiJpaynxnynz Jp = (�1)nx+ny+nzaynxnynz ; Jpanxnynz Jp = (�1)nx+ny+nzanxnynz : (11.1.37a,b)�Sto se ti�ce Galilej-evih transformacija (rotacija, translacija i specijalnih Galilej-evih transfor-macija), one su takode multiplikativni operatori i prenose u HfII analogno kao Jp.Zadatak 11.1.21 Izvesti delovanje proizvoljne rotacije i proizvoljne translacije na operatore druge kvantizacijekoji se pojavljuju u Zadacima Z11.1.18-Z11.1.20.

436 GLAVA 11. OSNOVI DRUGE KVANTIZACIJE11.1.9 * Operator vremenske inverzije u Fock-ovom pro-storuNa kraju, postavimo i pitanje kako operator inverzije vremena Jv deluje na operatore drugekvantizacije u HfII .Neka je U (1)a proizvljan antiunitarni operator u H(u)1 (na primer J (v)1 ,) pomno�zen operatoromneke Galilej-eve transformacije). Pri delovanju na proizvoljan bazis fj m ijm = 1; 2; :::g � H(u)1pogodno je da operator Ua faktori�semo Ua = U U (m)a ; (11.1.38a)gde je U (m)a po de�niciji antilinearni operator za koji je svaki bazisni vektor j m i invarijantan:U (m)a j m i =j m i; m = 1; 2; ::: (11.1.38b)(gornje m je simboli�cno, ne uzima vrednosti). U (m)a je, naravno, antiunitarna involucija. (Ope-rator Ua se u pomenutom bazisu reprezentuje antilinearnom matricom UK, gde matrica U re-prezentuje gornji unitarni operator U , a K reprezentuje U (m)a . Uporediti iznad (Z 2.7.5)).Po�sto se operator Ua isklju�civo pojavljuje u ulozi operatora simetrije, on je multiplikativanoperator. Drugim re�cima u H(u)1:::N deluje Ua;1 Ua;2 ::: Ua;N , gde su Ua;i; i = 2; 3; :::Nekvivalentni operatoru Ua;1 def= Ua a deluju u H(u)i . Ovaj N-�cesti�cni operator ja simetri�can i stogase redukuje u V(N)a � H(u)1:::N .Multiplikativnost je analogna kao za linearne operatore. Novo je to �sto u H(u)1:::N i V(N)aprenosimo i faktorizaciju Ua = U U (m)a . Obele�zavaju�ci i N -�cesti�cni operator sa Ua, imamo:Ua = (U1 U2 ::: UN)(U (m)a;1 U (m)a;2 ::: U (m)a;N ); (11.1.39)gde su faktori i = 2; 3; :::; N ekvivalentni odgovaraju�cem prvom faktoru.Koji god da je operator simetrije Ua, po de�niciji vakuuma Ua j 0 i =j 0 i. U stvari, svakaGalilej-eva transformacija (i Jp, kao �sto smo videli) deluje na j 0 i kao identi�cni operator, avakuum se bira tako u V(N=0)a da va�zi Jv j 0 i =j 0 i.Kad se sve to prenese u HfII (imaju�ci u vidu (11.1.1)), obele�zavaju�ci i dalje nepromenjeno iUa i njegov linearni i antilinearni faktor (u smislu (11.1.38a) i (11.1.39)), imamo opetUa = U U (m)a : (11.1.40)U (m)a je antiunitarna involucija koja ostavlja svaki vektor bazisa brojeva popunjenosti (11.1.4)ili (11.1.11) invarijantnim. A unitarni operator U se dobija iz odgovaraju�ceg linearnog faktoraod Ua u H(u)1 u punoj analogiji sa Jp ili sa operatorima Galilej-evih transformacija.Sve �sto smo rekli svodi se prakti�cno na slede�ce: u H(u)1 faktori�semo Ua prema (11.1.38a),tj. na osnovu de�nicije (11.1.38b), i izra�cunavamo linearni faktor U . A njega onda prenesemoanalogno kao Jp uHfII . Pri delovanju na operatore druge kvantizacije i na vektore bazisa (11.1.11)koristimo se samo linearnim operatorom U . Kada delujemo na proizvoljni vektor uHfII , razvijemoga u red po vektorima bazisa (11.1.11) i onda se koristimo i faktorom U (m)a iz (11.1.40). Njegovodelovanje se svodi samo na kompleksno konjugovanje svih koe�cijenata razvijanja.

11.1. SISTEMI IDENTI�CNIH FERMIONA 437Zadatak 11.1.22 Pokazati da analogon od (11.1.34a), na primer za s = 12 , glasiJv y(r;ms)J �1v = (�1) 12+ms y(r;�ms) (11.1.41)(iskoristiti (8.2.25c). Izvesti i analogone ostalih jednakosti u Zadacima Z11.1.18-Z11.1.20.11.1.10 * Dodatak | dokaz teorema 2A) DRUGA KVANTIZACIJADa bismo dokazali Teorem T11.1.2, izra�cunajmo prvo proizvoljni matri�cni element desne straneod (11.1.28) u reprezentaciji brojeva popunjenosti (11.1.4):DS def= h�1; �2; ::: jXmm0Bmm0aymaym0 j � 01; � 02; ::: i =Xmm0Bmm0(h�1; �2; ::: j aym)(am0 j � 01; � 02; ::: i):Moramo imati u vidu da bra-u h�1; �2; ::: j odgovara ket j �1; �2; ::: i i u stvari s njime �cemora�cunati.Iz (11.1.5a) je o�cigledno da je DS=0 ako N 6= N 0, jer u zagradama ako nije nula onda je vektorod (N � 1) odnosno od (N 0� 1) �cestica. Uze�cemo posebno dijagonalne i posebno vandijagonalnematri�cne elemente:1) h�1; �2; ::: jXmm0Bmm0aymaym0 j �1; �2; ::: i = Xm;�m>0Bmm: (11.1.42a)Jednakost (11.1.42a) sadr�zi i slu�caj kad su bra i ket jednaki vakuumu. Onda nema �m > 0(popunjenih stanja), te nema ni jednog sabirka, tj. imamo nulu.2) Da bismo dobili nenulti vandijagonalni matri�cni element, potrebno je da N = N 0 i da seh�1; �2; ::: j i j � 01; � 02; ::: i razlikuju samo u jednom (jednofermionskom) stanju. Obele�zimo sa jm istanje koje je popunjeno u bra-u, a nije u ket-u, a sa j m i stanje koje je popunjeno u ket-u, anije u bra-u. Onda DS = Bmm0(�1)b(m)(�1)b(m0); (11.1.42b)a (�1)b(m)(�1)b(m0) = (�1)b(m)�b(m0) (pi�semo ovako ako j m i <j m0 i), pri �cemu je b(m0) � b(m)broj zajedni�ckih popunjenih stanja u bra-u i ket-u koji le�ze izmedu j m i i j m0 i (u �ksiranojsukcesiji jednofermionskih stanja).Predimo sad na prvu kvantizaciju.B) PRVA KVANTIZACIJATreba da izra�cunamo LS def= hm1 < ::: < m2 jPNi=1 Bi jm01 < ::: < m0N i. O�cigledno LS 6= 0 samoako N = N 0. Iz (9.4.7) za N = N 0 � 1 slediLS = N !hm1 j hm2 j :::hmN j A NXi=1 BiA j m01 i j m02 i::: j m0N i;gde je A def= 1N !Pp2SN (�1)pP antisimetrizator, tj. projektor na antisimetri�cni potprostor V(N)a �H(u)1:::N .

438 GLAVA 11. OSNOVI DRUGE KVANTIZACIJEZbog simetri�cnosti operatoraPNi=1 Bi, imamo A(Pi Bi) = (Pi Bi)A, a usled idempotentnostiprojektora, A2 = A. Tako dolazimo do formuleLS = hm1 j hm2 j :::hmN j ( NXi=1 Bi) Xp2SN(�1)pP j m01 i j m02 i::: j m0N i = (11.1.43)= Xp2SN(�1)p NXi=1 h m1 j m0p1i:::hmi j Bi j m0pi i:::h mN j m0pN i:Tu smo iskoristili i formulu (homomorfnog) preno�senja permutacije p u operator P u H(u)1:::N :P j m1 i j m2 i::: j mN i =j mp�11 i j mp�12 i::: j mp�1N i (uporediti (9.3.17)), ali pre�sli smo na sumupo p�1 (koji prelazi isti skup SN), mada (radi jednostavnosti) pi�semo i dalje "Pp2SN" umesto"Pp�12SN" a koristimo se i jednako�s�cu (�1)p�1 = (�1)p, 8p.1) U slu�caju m1 = m01; m2 = m02; :::; mN = m0N za sve netrivijalne p,bar jedan jedno�cesti�cniskalarni proizvod je jednak nuli. Stoga iz "Pp2SN" doprinosi samo identi�cna transformacija islediLS = hm1 j B1 j m1 i+ hm2 j B2 j m2 i+ :::+ hmN j BN j mN i = Xm;�m>0Bmn: (11.1.44a)Kao �sto smo se uverili u Zadatku Z 11.1.14, aditivni operator jedno�cesti�cnog tipa deluje navakuum kao nula, te i tu imamo slaganje sa odgovaraju�cim rezultatom iz A.2) Iz prisustva faktora u svakom sabirku na desnoj strani od (11.1.43) proizlazi da je LS 6= 0samo ako se stanja j m1 i::: j mN i i stanja j m01 i::: j m0N i razlikuju najvi�se za po jedno stanje.Obele�zimo vi�sak medu ne-prim stanjima sa j m i, a vi�sak medu prim stanjima sa j m0 i. Iz zbira"PNi=1" doprinosi samo sabirak u kojem Bi deluje nalevo upravo na hm j (ina�ce faktor hm j :::i dajenulu). Izmeniv�si redosled zbirova u (11.1.43) i izdvojiv�si ovaj sabirak, iz zbira "Pp2SN" nenultidoprinos daje samo permutacija p koja posti�ze: h m1 j m1ih m2 j m2i:::hm j Bi jm0 i:::h mN j mNi(a to je o�cigledna ta�cno jedna permutacija). Stoga rezultat glasiLS = (�1)pBmm0 : (11.1.44b)Pod pretpostavkom da m < m0, lako se vidi da je (�1)p = (�1)b, gde je b broj zajedni�ckihstanja j mi i u bra-u i u ket-u koja le�ze izmedu j m i i j m0 i (i istovremeno minimalan brojtranspozicija na levo potreban da j m0 i "presko�ci" pomenuta stanja i dode na isto mesto gdeje hm j). U slu�caju j m i >j m0 i, dolazimo do istog zaklju�cka. Dakle, (11.1.44b) i (11.1.42b) sepodudaraju.11.1.11 * Dodatak | dokaz teorema 3A) DRUGA KVANTIZACIJARadi dokaza Teorema T11.1.3, izra�cuna�cemo matri�cni element desne strane od (11.1.33) u re-prezentaciji brojeva popunjenosti (11.1.4):DS def= 12h�1; �2; ::: j Xm1m2m01m02 Vm1m2m01m02aym1aym2am02am01 j � 01; � 02; ::: i = (11.1.45)

11.1. SISTEMI IDENTI�CNIH FERMIONA 439Xm1m2m01m02 Vm1m2m01m02(h�1; �2; ::: j aym1aym2)(am02am01 j � 01; � 02; ::: i):Bra h�1; �2; ::: j aym1aym2 odgovara ket-u am2am1 j �1; �2; ::: i. Izra�cunajmo ket i bra u malimzagradama u (11.1.45):am02am01 j � 01; � 02; ::: i = � 0; za m02 = m01,(�1)b(m01 ;m02)� 0m01� 0m02 j � 01; :::� 0m01 � 1; :::� 0m02 � 1; ::: i; za m02 6= m01, (11.1.46a,b)gde smo sa b(m01; m02) obele�zili broj popunjenih stanja u j � 01; � 02; ::: i koja su razli�cita od j m01 ii j m02 i, a koja le�ze izmedu njih (bez obzira da li je m01 < m02 ili m02 > m01), s tim da ovajbroj uve�camo za jedan ako m02 < m01. Naime, u b(m01; m02) pi�semo prvo indeks prvo-deluju�ceganihilacionog operatora (uporediti (11.1.46a)), a ako on u �ksiranoj sukcesiji indeksa dolazi poslem02, onda jednim �1 moramo "platiti" komutiranje anihilacionih operatora am02 i am01 da bismoprvo delovali sa am02 .Treba zapaziti da je simbol b(m01; m02) nekompletan, jer je vektor j � 01; � 02; ::: i izostavljen unjemu.Ako se radi o jednom te istom vektoru bazisa brojeva popunjenosti, lako se vidi da je(�1)b(m01;m02) = �(�1)b(m01 ;m02): (11.1.47)Analogno, za bra u maloj zagradi u (11.1.45) se dobijah�1; �2; ::: j aym1aym2 = � 0; za m1 = m2,h�1; :::�m1 � 1; :::�m2 � 1; ::: j �m1�m2(�1)b(m1 ;m2); za m1 6= m2 : (11.1.46c,d)Izraze u zagradama u (11.1.45) pominja�cemo kao bra odnosno ket. Ako je N broj fermiona uh�1; �2; ::: j, a N 0 broj fermiona u j � 01; � 02; ::: i, onda u bra-u, ako nije nula, imamo N � 2 fermiona,a u ket-u, opet ako nije nula, imamo (N 0 � 2) fermiona. Prema tome, DS 6= 0 u (11.1.45) samoako N = N 0 � 2.a) Uzmimo prvo dijagonalne matri�cne elemente, tj. pretpostavimo da �m = �m0 , m = 1; 2; ::.O�cigledno je da doprinose samo oni sabirci u (11.1.45) u kojima m1 6= m2 i �m1 = �m2 = 1 ilim1 = m01, m2 = m02 ili m1 = m02, m2 = m01. To dajeDS = 12 Xm1 6=m2(Vm1m2;m1m2(�1)b(m1;m2)(�1)b(m1;m2) + Vm1m2;m2m1(�1)b(m1;m2)(�1)b(m2;m1)) =(11.1.48a)Xm1<m2;�m1=�m2=1(Vm1m2;m1m2 � Vm1m2;m2m1)(uporediti (11.1.47)). Iskoristili smo simetri�cnost operatora V12, koja povla�ci Vm1m2;m01m02 def=hm1; m2 j V12 j m01; m02 i = Vm1m2;m02m01 = hm2; m1 j V12 j m02; m01 i(jer E2 = I, E2V12 = EV12E, gde je E operator izmene, uporediti x 9.3.2. Tako smo svelisumu "Pm1 6=m2" na "2Pm1<m2 ."b) Za slede�ci slu�caj uzmimo vandijagonalnematri�cne elemente u kojima je razlika u po jednomstanju, tj. postoje m i m0 takvi da �m = 0, � 0m = 0, �m0 = 0, � 0m0 = 1; ina�ce �m = � 0m. Imamodoprinos u (11.1.45) od 4 mogu�cnosti: m1 = m, m2 = m02 = m 6= m;m0, �m = 1, m01 = m0;

440 GLAVA 11. OSNOVI DRUGE KVANTIZACIJEm1 = m, m2 = m01 = m 6= m;m0, �m = 1, m02 = m0, m1 = m = m01 6= m;m0, �m = 1, m2 = m;m02 = m0; m1 = m = m02 6= m;m0; �m = 1; m2 = m; m01 = m0: Stoga se (11.1.45) svodi naDS = 12 Xm6=m;m0[Vmm;m0m(�1)b(m;m)(�1)b0(m0;m) + Vmm;mm(�1)b(m;m)(�1)b0(m;m0)+Vmm;mm0(�1)b(m;m)(�1)b0(m;m0) + Vmm;m0m(�1)b(m;m)(�1)b0(m0;m)] =12 Xm6=m;m0;�m=1[(�1)b(m;m)+b0(m0;m)(Vmm;m0m� Vmm;mm0)+ (�1)b(m;m)+b0(m;m0)(Vmm;mm0 �Vmm;m0m)]:Na osnovu simetri�cnosti matri�cnih elemenata (Vmm;mm0 = Vmm;m0m itd.) i (11.1.47) druga polo-vina poslednjeg izraza jednaka je prvoj, te se faktor 2 potire sa 12 :DS = Xm6=m;m0;�m=1(�1)b(m;m)+b(m0;m)(Vmm;m0m � Vmm;mm0): (11.1.48b)c) Najzad, izra�cunajmo vandijagonalnematri�cne elemente u kojima je razlika u po dva stanja,tj. postoje m1 < m2, m01 < m02 takvi da �m1 = 1 6= � 0m1, �m2 = 1 6= � 0m2 , �m01 = 0 6= � 0m01 ,�m02 = 0 6= � 0m02 ; ina�ce �m = � 0m. Opet imamo doprinos od �cetiri mogu�cnosti:DS = 12[Vm1m2;m01m02(�1)b(m1;m2)(�1)b0(m01;m02) + Vm1m2;m02m01(�1)b(m1;m2)(�1)b0(m02;m01)+Vm2m1;m01m02(�1)b(m2;m1)(�1)b0(m1;m02) + Vm2m1;m02m01(�1)b(m2;m1)(�1)b0(m02;m01)]:Koriste�ci (11.1.47) i simetri�cnost V12, dolazimo do kona�cnog vida:DS = (�1)b(m1;m2)+b0(m01;m02)(Vm1m2;m01m02 � Vm1m2;m02m01): (11.1.48c)Predimo sad na prvu kvantizaciju.B) PRVA KVANTIZACIJAZa N;N 0 < 2 Teorem T11.1.3 je o�cigledno ta�can. Za N = N 0 � 2:LS def= hm1 < ::: < mN j NXi<j Vij jm01 < :::m0N i = N !hm1 j hm2 j :::hmN j A(Xi<j Vij)A jm01 i jm02 i::: jm0N i(koristimo (9.4.7).Istim rezonovanjem kao u prethodnom paragrafu, dalje sledi:LS = N !hm1 j hm2 j :::hmN j (Xi<j Vij)A j m01 i j m02 i::: j m0N i:Videli smo u (10.1.53 da Vij = P (i < j)V12P (i < j)�1 (samo �sto je tamo permutacija P (i < j)obele�zena sa P ), a po�sto je P (i < j)�1A = (�1)p(i<j)A (uporediti dokaz L 9.4.1), slediLS =Xi<j Xp2SN(�1)p(i<j)(�1)phmp(i<j)1 j hmp(i<j)2 j :::hmp(i<j)N j V12 jm0p(i<j)1 i jm0p(i<j)2 i::: jm0p(i<j)N i =(11.1.49)

11.1. SISTEMI IDENTI�CNIH FERMIONA 441Xi<j (�1)p(i<j) Xp2SN(�1)phmi;mj j V12 j m0p1 ;m0p2 ihmp(i<j)3 j V12 j m0p3 i:::hmp(i<j)N j V12 j m0pN i;jer p(i < j)1 = i, p(i < j)2 = j (uporediti (10.1.53b).Da bismo dobili DS 6= 0 u (11.1.49), svih (N � 2) jednofermionskih skalarnih proizvodamoraju biti 1 (a ne nula), a to zna�ci da j m1 < ::: < mN i i j m01 < ::: < m0N i moraju imati bar(N � 2) zajedni�ckih popunjenih jednofermionskih stanja. Dakle, do sada smo u skladu sa A.Analizirajmo sad slu�caj po slu�caj.a) Za dijagonalne matri�cne elemente, tj. za slu�caj m1 = m01, m2 = m02; :::; mN = m0N , u zbiru"Pp2SN" u (11.1.49) doprinose samo p = p(i < j) i p = p0p(i < j), gde je p transpozicija koja �ceuzajamno zameniti stanja j m0p(i<j)1 i i j mp0(i<j)2 i (a ostala stanja ne�ce menjati). StogaLS =Xi<j (Vmimj ;mi;mj � Vmimj ;mjmi): (11.1.50a)Po�sto i < j , mi < mj (uporediti T 9.4.2), (11.1.50a) i (11.1.48a) se podudaraju.b) Uzmimo sad slu�caj vandijagonalnih matri�cnih elemenata u kojima je razlika u po jednomstanju. Neka medu m1; :::; mN postoji m koji ne postoji medu m01; :::; m0N i neka m0 ne postojimedu prvima, a postoji medu drugima; ostalih (N � 1) stanja neka su zajedni�cki. Iz (11.1.49)je o�cigledno da nenultost posti�zemo, na primer, kad prvo i izaberemo tako da mi = m itd.:LS = NXj=i+1(�1)p(i<j)[hmi = m;mj j V12 jm0p1 = m0;m0p2 = mj i�hmi = m;m = mj j V12 jm0p01 = mj ;m0p02 = m0i]+j�1Xi=1(�1)p(i<j)(�1)p[hmi;mj = m j V12 j m0p1 = m0;m0p2 = mi i � hmi;mj = m j V12 j m0p01 = mi;m0p02 = m0 i]:Zna�ci zbir "Pi<j" se sveo na "PNj=i+1" odnosno na "Pj�1i=1 ," a zbir "Pp2SN" na samo dvasabirka: "p", permutaciju koja dovodi m0 i mj na prvo i drugo mesto, a na mestima 3; :::; Nposti�ze isto kao u bra-u, i "p'", permutaciju koja je jednaka "p" primenjena posle transpozicijekoja transponuje samo m0 i mi (otud minus ispred matri�cnog elementa) i analogno u drugomzbiru.Delovanje permutacije p(i < j) u zbiru "PNj=i+1" na hm1 j hm2 j :::hmN j mo�zemo zamislitipreko transponovanja: hmi = m j transponujemo sa jednim po jednim od braova h::: j koji supre njega i dovedemo ga na prvo mesto. Posle toga isto u�cinimo sa hmj j i dovedemo ga nadrugo mesto. Usled i < j imamo hm�mi j< hmj j. Bra-ove ispred hmi = m j "preskakali" su ihm j i hmj j, doprinos ovih transpozicija u (�1)p(i<j) se potire. Ostaje samo broj bra-ova izmeduhm j i hmj j, tj. (�1)p(i<j) = (�1)b(m;mj). Permutaciju "p" (u istom zbiru) analogno razla�zemona transpozicije. Ali sad nemamo nu�zno j m0 i <j mj i. Ako je j mj i <j m0 i, onda j m0 imora da "presko�ci" i j mj i, tj. moramo ra�cunati jednu transpoziciju, vi�se. Ali sve je to ve�c u�slou de�niciju simbola (�1)b(m0;mj), prema tome na njega se (�1)p svodi. Analogno rezonovanjeprimenjujemo i na zbir "Pj�1i=1" i na p(i < j) i p u njemu. Tako slediLS = NXj=i+1(�1)b(m;mj)(�1)b(m0;mj)(Vmmj ;m0mj � Vmmj ;mjm0)+

442 GLAVA 11. OSNOVI DRUGE KVANTIZACIJEj�1Xi=1(�1)b(mi;m)(�1)b(m0;mi)(Vmim;m0mi � Vmim;mim0):Sad �cemo na osnovu simetri�cnosti operatora V12 u matri�cnim elementima V12 transponovatiindekse levo od zapeta i istovremeno i indekse desno od zapete. Tako izraz u drugoj zagradipostaje Vmmi;mim0 � Vmmi;m0mi , odnosno �(Vmmi;m0mi � Vmmi;mim0). Na osnovu (11.1.47) mo�zemo�(�1)b(mi;m) zameniti sa (�1)b(m;mi). Sad preostaje samo da oba zbira obuhvatimo jednim i dapi�semo umesto mj i mi samo m:LS = Xm6=m;�m=1(�1)b(m;m)(�1)b(m0;m)(Vmm;m0m � Vmm;mm0); (11.1.50b)�sto je o�cigledno jednako sa (11.1.48b), jer za m = m0 u srednjoj zagradi dobijamo nulu (iskoristilismo simbol �m da izrazimo popunjenost stanja hm j u hm1 j hm2 j :::hmN j).c) Na kraju, prou�cimo i vandijagonalnematri�cne elemente u kojima je razlika u po dva stanja.Drugim re�cima, neka hm1 j hm2 j :::hmN j sadr�zi hm1 j i hm2 j koje ne sadr�zi j m01 i j m02 i::: j m0N ii neka m1 < m2, a neka ovaj N -�cesti�cni ket sadr�zi jm01 i i jm02 i koje pomenuti N -�cesti�cni bra nesadr�zi i neka m01 < m02; ostalih N � 2 stanja neka su zajedni�cka. Onda (11.1.49) dajeLS = (�1)p(i<j)(�1)p[hmi = m1; mj = m2 j V12 j m0p1 = m01; m0p2 = m02 i�hmi = m1; mj = m2 j V12 j m0p01 = m02; m0p02 = m01 i]:Rezonovanjem kao pod b) dobijamo (�1)p(i<j) = (�1)b(m1;m2), (�1)p = (�1)b0(m01;m02), �stodovodi do slede�ceg kona�cnog rezultata:LS = (�1)b(m1;m2)+b(m01;m02)(Vm1m2;m01m02 � Vm1m2;m02m01): (11.1.50c)Ova se formula podudara sa (11.1.48c).11.2 Sistemi identi�cnih bozonaOvaj odeljak ima namenu da uvede �citaoca u formalizam druge kvantizacije za identi�cne bozone.Cela materija je analogna istoimenom formalizmu za fermione, sa veoma va�znom razlikom ne-ograni�cenih brojeva popunjenosti jednobozonskih stanja i posledicama ove �cinjenice. Va�znostbozonske verzije druge kvantizacije je mnogo manja nego fermionske verzije, jer u nerelativi-sti�ckoj kvantnoj �zici rede susre�cemo sisteme identi�cnih bozona. Najosnovniji primer je sistemfotona, tj. kvantizirano elektromagnetno polje (ali ono se u potpunosti opisuje kvantnom elek-trodinamikom, tj. relativisti�ckom kvantnom teorijom fotona).11.2.1 * Prostor druge kvantizacije za bozoneU ovom odeljku �cemo kvantno-mehani�cki formalizam maksimalno prilagoditi slede�coj pretpo-stavci: i) da imamo jednu odredenu vrstu bozona, ii) da posmatramo naporedo kvantne sistemeod N (identi�cnih pomenutih) bozona, pri �cemu N := 0; 1; 2; :::

11.2. SISTEMI IDENTI�CNIH BOZONA 443Za zajedni�cko opisivanje pomenutih kvantnih sistema de�ni�se se prostor stanja druge kvan-tizacije za (identi�cne) bozone. Kao �sto smo videli u x 9.3.5 i u postulatu VIII (x 9.3.6), prostorstanja za N = 2; 3; ::: identi�cnih bozona je simetri�cni ili bozonski potprostor V(N)s def= Vs :V(N=2)s � H(u)12 ; V(N=3)s � H(u)123; ::: (11.2.1)Prostor druge kvantizacije ili tzv. Fock-ov prostor za bozone, HbII je po de�nicijiHbII def= [H(u)1 ]0 �H(u)1 � V(N=2)s � V(N=3)s � :::; (11.2.2)gde je [H(u)1 ]0 (nulti simetri�cni stepen od H(u)1 ) jednodimenzionalni prostor (pravac) koji obrazujenormirano stanje j 0 i, tzv. bozonski vakuum. To je (jedno jedino) stanje �zi�ckog sistema kojene sadr�zi nijedan bozon date vrste.Sabirci u (11.2.2) se ponekad nazivaju simetrizovanim stepenima jadnobozonskog prostoraH(u)1 .Ako je bozon koji le�zi u osnovi prostora stanja H(u)1 i HbII na primer pion ili kaon ili bilo kojidrugi maseni bozon11.2.1, onda va�ze sve primedbe sa kraja x 11.1.1, tj. stanja sa neodredenimbrojem �cestica nemaju �zi�ckog smisla, ve�c slu�ze samo za kompletiranje formalizma.Medutim, ako se radi o bezmasenom bozonu, na primer o fotonu (koji pro�zima celu kvantnu�ziku preko ekscitacija i deekscitacija pobudenih nivoa), stvari stoje sasvim druga�cije. Videlismo u prvoj glavi da su talasni aspekti pona�sanja EM polja, koji dolaze do izra�zaja prilikompropagacije EM zra�cenja, nekompatibini sa �cesti�cnim aspektima pona�sanja pa i sa opservablombroja fotona. Tako (netrivijalna) distribucija po broju fotona u �cistom stanju sa ne-o�strim Ndobija konkretni kvantnomahani�cki smisao (merenjem komplementarnog talasnog aspekta, kojeizaziva tu distribuciju).Kao �sto smo ve�c pomenuli u x 11.1.1, u kvantnoj teoriji polja vakuum se mora veoma ozbiljnoshvatiti jer je ne samo formalno neophodan, ve�c ima i va�zan �zi�cki smisao. Foton je relativi-sti�cka �cestica (kre�ce se brzinom svetlosti), stoga vakuum EM polja ima �zi�ckog smisla. I prinerelativisti�ckom opisivanju fotona (koje je egzaktno samo za neke aspekte, a u celini samoaproksimativno), prema tome vakuum ima �zi�ckog smisla, mada se u nerelativisti�ckoj kvantnojmahanici ne prou�cavaju �zi�cke osobine vakuuma (osim formalno).11.2.2 Bazis brojeva popunjenostiPostavlja se pitanje kako u HbII na najprostiji i najprakti�cniji na�cin izabrati bazis. Odgovor smove�c dobili u T 9.4.1. Naka je fj n ij8ng proizvoljan bazis u jednobozonskom prostoru H(u)1 . Ondaje fj 0 ig [ fj n ij8ng [ fj n1; n2 ijsve razli�cite kombinacije drugog reda sa ponavljanjem g [ :::(11.2.3)bazis u HbII i to adaptiran na dekompoziciju (11.2.2) ("adaptiran" zna�ci da je doti�cni bazis unijapodbazisa koji su sa svoje strane bazisi pojedinih potprostora sabiraka u (11.2.2)).11.2.1Treba imati u vidu da nisu poznata vi�se-pionska niti vi�se-kaonska vezana stanja u prirodi (osim tzv. "oblaka"od virtuelnih -tj. neopservabilnih- piona ili kaona unutar i okolo nukleona). Prema tome, HbII za pion ili kaonima samo akademski smisao.

444 GLAVA 11. OSNOVI DRUGE KVANTIZACIJEZadatak 11.2.1 Pokazati da je konstanta normiranja u (9.4.1) Cn1:::nN = q N !N1!N2!::: . Drugim re�cima, trebapokazati da upotpunjena formula (9.4.1) glasij n1n2:::nN i =rN1!N2!:::N ! Xp2SN P j n1 i j n2 i::: j nN i; (11.2.4)gde je N1 def= N(n1), broj ponavljanja (zapravo broj pojavljivanja) vrednosti n1 u datom skupu n1; n2; :::nN ,analogno N2 def= N(n2) je broj ponavljanja od n2 ako je n2 6= n1, (ako je n2 = n1, onda je N2 broj ponavljanjaprve vrednosti medu n2; n3; ::: koja je razli�cita od n1) itd. (Indikacija: Izdvojiti podgrupu (SN1 �SN2 � :::) � SNreda N1!N2!::: svih permutaclja koje permutuju samo jednaka stanja u j n1 i j n2 i::: j nN i i zamisliti SN kaozbir koseta po pomenutoj podgrupi. Onda se Pp2SN P j n1 i::: j nN i svodi na (N1!N2!:::) puta zbir od N !N1!N2!:::ortonormiranih sabiraka.)Vektori bazisa (11.2.3) o�cigledno nisu dovoljno prakti�cno izra�zeni. Da bismo otklonili ovajnedostatak, prebrojimo vrednosti kvantnog broja n na �ksiran na�cin (postavimo ih u biunivokuvezu sa rednim brojevimam = 1; 2; :::). Drugim re�cima, prepi�simo polazni bazis fj nij8ng � H(u)1na slede�ci na�cin: fj m ijm = 1; 2; :::g � H(u)1 : (11.2.5a)Onda j n1n2:::nN i mo�zemo da izrazimo funkcijom �m, m = 1; 2::: �cije su vrednosti �m :=0; 1; 2:::. Vrednosti �m iskazuju koliko puta se vrednost m pojavljuje medu n1; n2; :::; nN (usmislu pomenute biunivoke veze). Stoga j n1n2:::nN i =j �1�2::: i naravno, P1m=1 �m = N iimamo jedinstven na�cin zapisivanja svih vektora (11.2.3). Prema tome, (11.2.3) sad mo�ze daglasi fj �1�2:::�N ijsve funkcije �m takve da 1Xm=1 �m <1g � HbII : (11.2.5b)Bazis (11.2.5b) se naziva bazisom brojeva popunjenosti, jer �m je broj popunjenosti stanjajm i u j n1n2:::nN i =j �1�2::: i. Reprezentacija koju de�ni�se ovaj bazis naziva se reprezentacijombrojeva popunjenosti. Kada se proizvoljni vektor j i 2 HbII razvija po vektorima bazisa (11.2.5b):j i =X�m �1;�2;::: j �1; �2; ::: i; (11.2.6)onda sistem brojeva ( �1;�2;:::) (uop�stenje brojne kolone) reprezentuje u (11.2.5b), tj. izra�zavadoti�cno stanje u reprezentaciji brojeva popunjenosti. Treba zapaziti da su vektori u (11.2.5b)stanja sa odredenim brojem bozona, dok u stanju j i broj bozona ne mora imati o�stru vrednost.11.2.3 Kreacioni i anihilacioni operatoriSad �cemo za svaku vradnostm kvantnog broja koji prebrojava bazisne vektore u na�sem �ksiranombazisu (11.2.5a) de�nisati po jedan operator am :am j �1; �2; :::�m; ::: i def= p�m j �1; �2; :::�m � 1; ::: i (11.2.7)(ako je �m = 0, DS = 0 i ne smeta �sto vektor na desnoj strani nije de�nisan).

11.2. SISTEMI IDENTI�CNIH BOZONA 445To je tzv. anihilacioni operator. De�nicija (11.2.7) se re�cima iskazuje tako da am anihilira iliuni�stava jednobozonsko stanje jmi u N -bozonskom stanju j �1; �2; :::i. Operator am je o�ciglednosingularan.Anihilacioni operator am se u odgovaraju�cem basisu brojeva popunjenosti (11.2.5b) reprezen-tuje matricom �ciji su elementi:h� 01; � 02; ::: j am j �1; �2; ::: i = p�mÆ�01;�1:::Æ�0m;�m�1: (11.2.8)Obele�zimo sa aym adjungovani operator od am. Po�sto na matri�cnom jeziku adjungovanje zna�cikompleksno konjugovanje i transponovanje, iz (11.2.8) odmah sledih� 01; � 02; ::: j aym j �1; �2; ::: i = � 0 12m Æ�01;�1Æ�02;�2:::Æ�0m�1;�m::: = p�m + 1Æ�01;�1Æ�02;�2:::Æ�0m;�m+1::: (11.2.9)Zadatak 11.2.2 Objasniti kako iz prve jednakosti sledi druga u (11.2.9).Iz (11.2.9) sledi aym j �1; �2; :::; �m; ::: i = p�m + 1 j �1; �2; :::; �m + 1; ::: i : (11.2.10)Operatori aym se nazivaju kreacionim operatorima. (11.2.10) se iskazuje tako da aym kreira ilistvara jedno jedno�cesti�cno stanje j m i u proizvoljnom stanju j �1; �2; ::: i.Zadatak 11.2.3 Kako se vidi da am, aym nisu ni hermitski ni unitarni operatori?Sistem anihilaclonih i kreacionih operatora am; aym m = 1; 2::: zadovoljava veoma prakti�cnekomutacione relacije:[am; a0m] = 0 = [aym; aym0]; [am; aym0 ] = Æmm0 ; 8m;m0 : (11.2.11a,b,c)Zadatak 11.2.4 Dokazati prethodne jednakosti na dva na�cina: i) delovanjem na bazis (11.2.5b), ii) u reprezen-taciji brojeva popunjenosti.Zadatak 11.2.5 Da li operatori am i aym spadaju u normalne operatore?Zadatak 11.2.6 Pokazati da su am i aym neograni�ceni (prekidni) operatori (ekvivalentnost a. i b. u S 2.5.1 va�zii za nehermitske operatore)11.2.211.2.2 �Cak i da je H(u)1 kona�cno-dimenzionalan (a u stvari dimH(u)1 = @0 ), imali bismo dimHbII = @0. Stoga seu HbII pojavljuju neograni�ceni operatori, a, na�zalost, osnovni operatori u HbII , tj. am, aym su takvi. Po �zelji,detaljnije o tome videti u referenci iz P1-11.1.3.

446 GLAVA 11. OSNOVI DRUGE KVANTIZACIJE11.2.4 Operatori brojeva popunjenosti i operator broja�cesticaKreacioni operatori aym mogu da poslu�ze da se vektori bazisa brojeva popunjenosti (11.2.5b)izraze pomo�cu njih (u tre�cem vidu):j �1; �2; ::: i =j n1n2::: i 1pN1!N2!:::ayn1ayn2 :::aynN j 0 i; (11.2.12)pri �cemu je poredak popunjenih stanja n1:::nN arbitreran u drugom i u tre�cem izrazu (zna�cenjebrojeva N1; N2 itd. videti u Z 11.2.1).Zadatak 11.2.7 Dokazati (11.2.12) izra�cunavanjem skalarnog proizvoda teku�ceg bazisnog vektora h�01; �02; ::: j saj �1; �2; ::: i iz (11.2.12) s jedne strane i sa ayn1 :::aynN j 0 i s druge.Dakle, bazis (11.2.5b) sad glasifayn1ayn2 :::aynN j 0 ipN1!N2!::: jsve razli�cite kombinacije N�tog reda sa ponavljanjem N = 0; 1; 2; :::g:(11.2.13)Zadatak 11.2.8 Pokazati da u HbII postoji jedan i (s ta�cno�s�cu do brojnog umno�ska) samo jedan vektor j i zakoji va�zi am j i = 0, m = 1; 2; ::: i da on pripada istom pravcu kao vakuum j 0 i.Dakle, vakuum karakteri�se osobina am j 0 i = 0; 8m (11.2.14)i to za proizvoljni bazis fj m ijm = 1; 2; :::g � H(u)1 (j 0 i je jedinstven i ne zavisi od izborapomenutog bazisa).Operatori aymam, m = 1; 2; ::: nazivaju se operatorima brojeva popunjenosti ili operatorimabroja bozona u pojedinim stanjima m.Zadatak 11.2.9 Pokazati da je (11.2.13) svojstveni bazis za bilo koji aymam a odgovaraju�ce svojstvene vrednostida su �m = N(m) tj. brojevi popunjenosti stanja j m i (ili brojevi ponavljanja, uporediti ispod (11.2.4)).Zadatak 11.2.10 Pokazati da beskona�cni niz operatora aymam m = 1; 2; ::: �cini kompletan skup kompatibilnihopservabli u HbII i da su brojevi �1; �2; ::: u vektorima njegovog zajedni�ckog svojstvenog bazisa (11.2.5b) u stvarisvojstvene vrednosti ovih operatora.Operator broja �cestica u prostoru druge kvantizacije glasi:N =P1m=1 aymam : (11.2.15)Zadatak 11.2.11 Dokazati ovaj iskaz.

11.2. SISTEMI IDENTI�CNIH BOZONA 44711.2.5 Transformacione osobine, operatori simetrije, ope-ratori poljaTransformaciona teorija bozonskih operatora druge kvantizacije je, naravno, isto tako va�zna kaoanalogna teorija za fermionske operatore. I po svojoj formi ja sasvim sli�cna.Lema 11.2.1 Ako je u H(u)1 zadato razvijanje novog basisa po staromj q i = 1Xm=1Uqm j m i; q = 1; 2; :::; (11.2.16)onda se u HbII vektori koji se pojavljuju u odgovaraju�cim bazisima (11.2.13) transformi�su naslede�ci na�cin: ayq1:::ayqN j 0 i = 1Xm1=1 ::: 1XmN=1Uq1m1 :::UqNmNaym1 :::aymN j 0 i: (11.2.17)Dokaz: Odmah se vidi da iz (11.2.16) slediXp2SN P j q1 i j q2 i::: j qN i =Xm1 :::XmN Uq1m1 :::UqNmN Xp2SN P j m1 i j m2 i::: j mN i:Jednakosti (11.2.4) i (11.2.12) daju Pp2SN P jq1 ijq2 i:::jqN ipN !N1!N2!::: =j q1q2:::qN i =j �1�2::: i = ayq1ayq2 :::ayqN j0 ipN1!N2!::: ; stoga sedobijeno razvijanje svodi na:pN !ayq1 :::ayqN j 0 i =Xm1 :::XmN Uq1m1 :::UqNmNpN !aym1 :::aymN j 0 i:Q. E. D.Kao u slu�caju fermiona, i sada imamo na desnoj strani od (11.2.17) redundanciju (suvi�snost),tj. isti (nenormirani) bazisni vektor iz (11.2.13) pojavljuje se vi�se puta.Teorem 11.2.1 Kreacioni operatori se transformi�su kao ketovi, a anihilacioni kao braovi, tj.(11.2.16) ima za posledicu slede�ce transformacije;ayq =P1m=1 Uqmaym; aq =P1m=1 U�qmam; q = 1; 2::: (11.2.18a,b)Dokaz: (11.2.18a) adjungovanjem daje (11.2.18b). Da bismo dokazali (11.2.18a). primeni�cemo LS-u te jednakostina ayq2 :::ayqN j 0 i i iskoristi�cemo (11.2.17):ayq(ayq2 :::ayqN j 0 i) =Xm Xm2 :::XmN UqmUq2m2 :::UqNmNaymaym2 :::aymN j 0 i = (Xm Uqmaym)(ayq2 :::ayqN j 0 i):Zna�ci, leva strana i desna strana od (11.2.18a) jednako deluju na proizvoljni bazisni vektor11.2.3 iz (11.2.13).Q. E. D.�Sto se ti�ce transformacija simetrije koje deluju kao unitarni operatori u H(u)1 (inverzija pro-stora, rotacije, translacije itd.), za bozone va�zi sve analogno kao za fermione. Isti je slu�caj i saantilinearnim unitarnim operatorom vremenske inverzije Jv.Operatori polja y(r; ms), i (r; ms) se takode de�ni�su i koriste na isti na�cin kao u slu�cajufermiona.11.2.3Iako su obe strane od (11.2.18a) linearni operatori, dati dokaz nije kompletan jer operatori nisu neprekidni isvugde de�nisani. Trabalo bi iskoristiti i zatvorenost operatora i povesti ra�cuna o domenina. Ali to se u kvantnojmehanici uvek izostavlja.

448 GLAVA 11. OSNOVI DRUGE KVANTIZACIJE11.2.6 Operator kineti�cke energije, spolja�snjeg polja i in-terakcijeU jednobozonskom prostoru stanja H(u)1 operator kineti�cke energije glasi T1 = p212m , a u H(u)1:::N iliu V(N)S glasi T1:::N def= NXi=1 Ti; (11.2.19a)gde je Ti def= p2i2m: (11.2.19b)Analogno, kako god da glasi operator spolja�snjeg polja V1 u H(u)1 , istom funkcionalnom za-visno�s�cu od osnovnog skupa opservabli dat je i operator Vi spolja�snjeg polja koja deluje na i-tu�cesticu (sve �cestice su u "istom" polju, te su operatori Vi ekvivalentni). U prostoru N identi�cnihbozona deluje PNi=1 Vi.Zadatak 11.2.12 Kako glasi operator kineti�cke energije i operator spolja�snjeg polja koji deluju na vakuum j 0i?Dati �zi�cko obrazlo�zenje za odgovor.Operator spolja�snjeg polja PNi=1 Vi je istog tipa kao operator kineti�cke energije (11.2.19a).Oba spadaju u tzv. aditivne operatore jedno�ceti�cnog tipa. Veoma je zna�cajno za formalizamdruge kvantizacije da se takav operator izrazi kao �sto prostija funkcija kreacionih i anihilacionihoperatora aym i am.Teorem 11.2.2 Neka je u H(u)1 zadat proizvoljan jednobozonski operator A1 sa matricom A =(Amm0 = hm j A1 j m0 i) koja ga reprezentuje u (proizvoljnom �ksiranom) bazisu fj m ijm =1; 2; :::g. Onda aditivni operator jedno�cesti�cnog tipa A koji A1 de�ni�se, tj. koji u pojedinimsabircima V(N)s iz (11.2.2) ima vid kao (11.2.19a) mutatis mutandis, u HbII glasi:A =P1m=1P1m0=1Amm0aymam0 : (11.2.20)Dokaz u x 11.2.9.Zadatak 11.2.13 Nabrojati opservable koje �cine osnovni skup u H(u)1 i njihovo najva�znije funkcije. Koje odovih opservabli po svom �zi�ckom smislu de�ni�su u HbII aditivni operator jedno�cesti�cnog tipa?Zadatak 11.2.14 Da li operator broja bozona N spada u aditivne operatore jedno�cesti�cnog tipa? Da li se mo�zenapisati u vidu (11.2.19a)?Neka je interakcija dva bozona zadata operatorom V12 u V(N=2)s � H(u)12 . Onda je interakcijai-tog i j-tog bozona u simetri�cnom potprostoru od H(u)ij izra�zena operatorom Vij koja je istafunkcija odgovaraju�ceg osnovnog skupa opservabli u H(u)ij (tj. operatori Vij i V12 su ekvivalentni).Kao �sto znamo, operator interakcije sistema od N identi�cnih bozona onda glasiNXi<j Vij: (11.2.21)Tu se radi o aditivnom operatoru dvo�cesti�cnog tipa. Sad �cemo i ovaj operator izraziti na jezikudruge kvantizacije.

11.2. SISTEMI IDENTI�CNIH BOZONA 449Teorem 11.2.3 Neka je V12 operator interakcije dva bozona i neka matrica koja ga reprezentujeu bazisu fj m i1 j m0 i2jm;m0 = 1; 2; :::g u H(u)12 glasi V12(Vm1m2;m01m02 def= hm1; m2 j V12 j m01; m02 i),gde je na primer jm01; m02 i def= jm01 i jm02 i itd. Onda V12 de�ni�se u HbII slede�ci aditivni operatordvo�cesti�cnog tipa, tj. operator interakcije:V = 12P1m1=1P1m2=1P1m01=1P1m02=1 Vm1m2;m01m02aym1aym2am01am02 : (11.2.22)Dokaz videti u Dodatku x 11.2.10.Zna�caj formula (11.2.17) i (11.2.22) je u tome �sto je u HbII osnovni bazis ba�s bazis brojevapopunjenosti i to u vidu (11.2.13). U tom bazisu se onda ra�cunaju matri�cni elementi operatoraA ili V .11.2.7 Harmonijski oscilatorU (9.2.3) imali smo hamiltonijan trodimenzionalnog izotropnog harmonijskog oscilatora:H = Xq=x;y;z( p2q2m + m!22 )q2): (11.2.23)De�ni�simo aq :=rm!2~ q + {p2m~!pq; q = x; y; z: (11.2.24a)Adjungovanje daje ayq =rm!2~ q � {p2m~! pq; q = x; y; z: (11.2.24b)Novi operatori zadovoljavaju slede�ce komutacione relacije:[aq; aq0] = [ayq; ayq0] = 0; [aq; ayq0] = Æqq0 ; q = x; y; z: (11.2.25)Zadatak 11.2.15 Pokazati da usled [q; pq] = {~, q = x; y; z, iz (11.2.24) sledi (11.2.25).Dakle, imamo po tri bozonska kreaciona i anihilaciona operatora. Istra�zimo njihovu relevant-nost za re�savanje svojstvenog problema hamiltonijana (11.2.23).De�ni�simo operatore brojeva popunjenosti i operator broja bozona:Nq = ayqaq; q = x; y; z; N = Xq=x;y;z Nq: (11.2.26a,b)Hamiltonijan (11.2.23) se sad svodi na: H = (N + 32)~! : (11.2.27)Zadatak 11.2.16 Dokazati (11.2.27).

450 GLAVA 11. OSNOVI DRUGE KVANTIZACIJENeka su n = 0; 1; 2; ::: svojstvene vrednosti od N , onda se iz (11.2.27) vidi da je spektarhamiltonijana fEn = (n+ 32)~!jn = 0; 1; 2:::g; (11.2.28)�sto se, naravno, poklapa sa (9.2.21a). Poku�sajmo sad da izra�cunamo svojstveni bazis od H.Neka su nq brojevi popunjenosti, tj. svojstvene vrednosti od Nq, q = x; y; z. Pretpostavimoda u orbitnom prostoru stanja Ho trodimenzionalnog harmonijskog oscilatora postoji vakuumj 0 i, tj. stanje de�nisano sa aq j 0 i =j 0 i; q = x; y; z (11.2.29)(ni�ze �cemo potvrditi ovu pretpostavku). Formirajmo onda bazis brojeva popunjenostifj nxnynz i = 1pnx!ny!nz! (ayx)nx(ayy)ny(ayz)nz j 0 ijnq = 0; 1; 2; :::; q = x; y; zg (11.2.30)(uporediti (11.2.12), sada je N1 = nx itd.; vakuum je j 0 i =j 000 i).Da je (11.2.30) svojstveni bazis hamiltonijana H datog sa (11.2.27) je o�cigledno kad se(11.2.27) prepi�se detaljnije u viduH = Hx + Hy + Hz = [(Nx + 12) + (Ny + 12) + (Nz + 12)]~!: (11.2.31)Iz (11.2.26b) se vidi da je n = nx + ny + nz, �sto uspostavlja vezu izmedu svojstvonih vektora u(11.2.30) i svojstvenih vrednosti u (11.2.28).�Citaocu koji je ponovo prelistao odeljak x 9.2 o�cigledno je da je kvantni broj nx ovog paragrafaisti kao kvantni broj nx u x 9.2.3 i analogno va�zi za ny i nz. Vakuum j 000 i je osnovno stanje(uporediti (9.2.23)) i otud znamo da postoji (�sto smo gore ostali du�zni).Da rezimiramo. Uspeli smo svesti orbitni prostor Ho trodimenzionalnog harmonijskog osci-latora na bozonski prostor HbII , �ciji jednobozonski prostor ima samo tri ortonormirana stanja,recimo j x i, j y i i j z i, koji ga obrazuju. To je primer bazisa (11.2.5a). Kvantni brojevi nq,odgovaraju opservablama popunjenosti ovih stanja Nq, q = x; y; z.11.2.8 Kompatibilnost vrednosti kvantnih brojeva N i LU ovom paragrafu �cemo dokazati relacije (9.2.27). U tu svrhu pre�ci �cemo na nove anihilacioneoperatore: A1 def= 1p2(ax � {ay); A0 def= az; A�1 def= 1p2(ax + {ay) (11.2.32)i na njihove adjungovane operatore Ay1; Ay0 i Ay�1.Zadatak 11.2.17 Pokazati da novi anihilacioni i kreacioni operatori zadovoljavaju bozonske komutacione rela-cije, tj. relacije analogne sa (11.2.25).Kada se de�ni�su novi operatori brojeva popunjenostiN1 = Ay1A1; N0 = Ay0A0; N�1Ay�1A�1; (11.2.33)

11.2. SISTEMI IDENTI�CNIH BOZONA 451onda pored N = Nx + Ny + Nz (i n = nx + ny + nz) va�zi iN = N1 + N0 + N�1; n = n1 + n2 + n3 : (11.2.34a,b)To daje novi svojstveni bazis hamiltonijana (uporediti (11.2.27) i (11.2.28)):fj n1n0n�1 i = 1pn1!n0!n�1! (Ay1)n1(Ay0)n0(Ay�1)n�1 j 000 ijn1; n0; n�1 = 0; 1; 2; :::g: (11.2.35)Zadatak 11.2.18 Dokazati (11.2.34).Za na�su svrhu je va�zno da na jeziku novih bozonskih operatora imamolz = (N1 � N�1)~: (11.2.36)Zadatak 11.2.19 Dokazati (11.2.36).Iz (11.2.36) odmah sledi m = n1 � n�1: (11.2.37)Ako re�simo (11.2.34b) po n�1 i zamenimo to re�senje u (11.2.37), ima�cemom = (2n1 � n) + n0 : (11.2.38)Na�s je cilj da svojstveni potprostor V(En) hamiltonijana dekomponujemo na svojstvene pot-prostore od l2 : V(En) = �lVl: (11.2.39)Zapravo, zanima nas manje od toga; samo to koje se vrednosti od l pojavljuju u sumi (11.2.39)i sa kojim vi�sestrukostima dl (dl je du�zina �oka u ormanu Vl, uporediti 6.2 sa k = l).Postupi�cemo analogno kao u x 7.1.3 i x 7.1.4 pri slaganju uglovnih elemenata. Izvr�si�cemodekompoziciju V(En) = �mVm: (11.2.40)gde su Vm svojstveni potprostori od lz unutar V(En) (to su nanizane �oke sa istim m sa C 7.1.Izra�cuna�cemo dimVm, pa �cemo na osnovu formula (7.1.7)- i (7.1.9) do�ci dodl = dimVm=l � dimVm=l+1; 8l : (11.2.41)U punoj analogiji sa C 7.2, skupovi ta�caka na Crte�zu koje povezuju kose isprekidane linijepredstavljaju pomenute bazisne vektore koji obrazuju pojedine potprostore Vm. Broj ta�caka natakvoj liniji je, o�cigledno, dimenzija od Vm.Koje su mogu�ce vrednosti za n1 za dato n zaklju�cujemo iz (11.2.34b). Iz iste formule vidimoi mogu�ce vrednosti za n0 za dato n i n1 (jer n1; n0; n�1 := 0; 1; 2; :::). Vrednosti m koje odgo-varaju pojedinim isprekidanim linijama (potprostorima Vm) izra�cunavamo iz (11.2.38). Najzad,iz (11.2.41) sledi (broje�ci ta�cke na susednim isprekidanim linijama) rezultat tabeliran na dnuCrte�za.U op�stem slu�caju, tj. za proizvoljnu vrednost kvantnog broja energije n, na�s kona�cni zaklju�cakglasi: l = n; n� 2; n� 4; :::;� 0; za n parno,1; za n neparno. : (11.2.42)To je (9.2.27), �sto smo i hteli da doka�zemo.

452 GLAVA 11. OSNOVI DRUGE KVANTIZACIJE

Slika 11.1: Degeneracija energija izotropnog trodimenzionalnog harmonijskog oscila-tora. Za n = 6 nanesene su sve ta�cke (2n1�n; n0) koje odgovaraju doti�cnoj �ksiranoj vrednostiod n. Ta�cke predstavljaju svojstvene vektore j n1n0n�1 i iz bazisa (11.2.35) kojima odgovarazajedni�cki degenerisani nivo En = (n+ 32)~!.11.2.9 Dodatak - dokaz teorema 2A) Po�ce�cemo izra�cunavanjem matri�cnih elemenata od (11.2.17) u bazisu brojeva popunjenosti(11.2.5b) (imaju�ci u vidu (11.2.7) kao i bra-oblik od (11.2.7)):h�1; �2; ::: jXmm0 Amm0aymam0 j � 01; � 02; ::: i =Xmm0 Amm0p�m� 0m0h �1; :::; �m� 1; ::: j � 01; :::; � 0m0 � 1; :::i =(11.2.43)Xmm0 ;m6=m0Amm0p�m� 0m0�1�01 :::�m�1;�0m:::�m0 ;�0m0�1:::+Xm Amm�m�1�01:::�m;�0m:::Iz (11.2.43) vidimo da dijagonalni elementi glase deh�1; �2; ::: jXmm0 Amm0aymam0 j �1; �2; ::: i = Xm;�m>0 �mAmm; (11.2.44a)a nedijagonalni su razli�citi od nule samo ako N def= Pm �m = N 0 def= Pm � 0m i ako �m = � 0m za 8mosim recimo za m = m1; m2; a tu a tu mora biti �m1 = � 0m1 + 1 i �m2 + 1 = � 0m2. Ako sve ovojeste slu�caj ondah�1; :::�m1 ; :::; �m2 ; ::: jXmm0Amm0ayma0m j � 01; :::; � 0m1; :::; � 0m2; ::: i =p�m1� 0m2Am1m2 : (11.2.44b)

11.2. SISTEMI IDENTI�CNIH BOZONA 453B) Sad �cemo izra�cunati matri�cne elemente na�seg operatora jedno�cesti�cnog tipa NPi=1 Ai u bazisu(9.4.1) (uporediti i (11.2.4) u ovom odeljku), zna�ci u potprostoru V(N�1)s :hn1n2:::nN j NXi=1 Ai j n01n02:::n0N i = N !hn1 j hn2 j :::hnN j SPi AiS j n01 i j n02 i::: j n0N ipN1!N2!:::N 01!N 02!::: :Obele�zi�cemo brojni faktor na desnoj strani sa N !C i iskoristi�cemo relacije: SPi Ai = Pi AiS(simetri�cnost) i S2S = 1N ! Pp2SN P . Osim toga, relacija (9.3.17), P j n1 i::: j nN i =j np�11 i::: j np�1N idaje S j n1 i::: j nN i = 1N !Pp2SN j np1 i::: j npN i (pre�sli smo sa p na p�1 , koji prelazi isti skupSN ).Zahvaljuju�ci svemu tome je LS = CPNi=1Pp2SN h n1 j n0p1i:::hni j Ai j n0pi ih nN j n0pN i.Neka je SN 01�SN 02� � SN podgrupa koja se sastoji od svih permutacija koje permutuju samojednaka stanja i neka je SN = P0 p0SN 01 � SN 02 � ::: odgovaraju�ce razlaganje SN na disjunktnepodskupove koji se nazivaju susednim klasama po podgrupi. Suma "P0" je po klasama, a p0 jearbitrerni predstavnik klase (po jedan iz svake klase!), u samoj podgrupi p0 je jedini�cni element.Po�sto permutacije iz SN 01 � SN 02 � ::: "ne rade ni�sta" (permutuju samo jednaka stanja), svepermutacije iz p0SN 01 � SN 02 � ::: deluju jednako, te zbir po permutacijama te klase daje isto kao(N 01!N 02!:::)p0. Uzimaju�ci u obzir �sta je C, dalje sledi:LS =sN 01!N 02!:::N1!N2!::: NXi=1 X0h n1 j n0p01i:::hni j Ai j n0p0i i:::h nN j n0p0N i: (11.2.45)Prou�cimo prvo dijagonalne matri�cne elemente. Brojni faktori se potiru. Permutacije p0izazivaju promenu u dva jedno�cesti�cna vektora, te se sabirak sa p0 u (11.2.45) mo�ze svesti nanulu. Nulu ne�cemo dobiti jedino ako uzmemo da je p0 jedini�cna permutacija. Stoga LS =Pihni j Ai j ni i =PiAni;ni. Ako jednobozonski bazis pi�semo kao fjm ijm = 1; 2; :::g (uporediti(11.2.5a)), a brojeve ponavljanja N1; N2; ::: pi�semo kao brojeve popunjenosti �m, ondaLS = Xm;�m>0 �mAmm: (11.2.46a)Predimo na nedijagonalne matri�cne elemente. Iz (11.2.45) vidimo da u slu�caju da se brahn1 j :::hnN j i ket j n01 i::: j n0N i razlikuju vi�se nego u jednom stanju (s ta�cno�s�cu do permutacije),onda je svaki sabirak u (11.2.45) nula. Prema tome, ograni�cimo se na slu�caj da pomenuti brasadr�zi, recimo, stanje hm1 j jedanput vi�se nego pomenuti ket, a da ovaj, recimo, sadr�zi stanje jm2 ijedanput vi�se nego bra. Onda nultost sabiraka mo�zemo izbe�ci samo ako P0 opet ograni�cimo nap0 koji dovodi do podudaranja jedno�cesti�cnih braova i ketova osim u faktoru sa Ai. Ovaj faktortreba da bude hm1 j Ai jm2 i = Am1m2 . Po�sto j ni i =jm1 i, mo�zemo posti�ci sa �m1 vrednosti od i,�m1 sabiraka iz "PNi=1" daju isto. Jednaki faktorijeli se potiru i ostaje LS =r�0m1 !�0m2 !�m1 !�m2 !�m1Am1m2 .Imaju�ci u vidu � 0m2 � 1 = �m2 i �m1 � 1 = � 0m1 , imamo LS =r�0m1 !�0m2 !�m2 !�m1 !�0m1 !�m2 !�m1Am1m2, i na kraju,LS =q� 0m2�m1Am1m2 : (11.2.46b)

454 GLAVA 11. OSNOVI DRUGE KVANTIZACIJEPo�sto se (11.2.44a) podudara sa (11.2.46a), a (11.2.44b) sa (11.2.46b), Teorem T11.2.2 jedokazan za N � 1. Za N = 0, imamo s jedne strane h0 j Pmm0 Amm0aymam0 j 0 i = 0, a s drugestrane h0 j 0 j 0i = 0, jer po �zi�ckom smislu aditivnosti kad nema bozona ne deluje ni�sta (odgovorna Zadatak Z 11.2.11).11.2.10 Dodatak - dokaz teorema 3A) Opet �cemo prvo izra�cunati matri�cne elemente od (11.2.22) u bazisu brojeva popunjenosti(11.2.5b): LS def= 12h�1; �2; ::: j Xm1m2;m01m02 Vm1m2;01m02aym1aym2am01am02 j � 01; � 02; ::: i = (11.2.47)12 Xm1m2;m01m02 Vm1m2;01m02h�1; �2; ::: j aym1aym2am01am02 j � 01; � 02; ::: i:O�cigledno, LS = 0 osim ako N def= Pm �m � 2 i N 0 def= Pm � 0m � 2. Dalje, iz (11.2.7) sledih�1; �2; ::: j aym1aym2 = � h�1; :::�m1 � 1; :::; �m2 � 1; ::: j p�m1�m1 ; m1 6= m2h�1; :::�m1 � 2; ::: jp�m1(�m1 � 1); m1 = m2 : (11.2.48a,b)ham01am02 = � 01; � 02; ::: j (p� 0m01� 0m01h� 01; :::� 0m01 � 1; :::; � 0m02 � 1; ::: j; m01 6= m02q� 0m01(� 0m01 � 1)h� 01; :::� 0m01 � 2; ::: j; m01 = m02 : (11.2.48c,d)Vektor h�1; �2; ::: j pominja�cemo kao "bra", a vektor j � 01; � 02; ::: i kao "ket". Na�s prvi zaklju�cakiz (11.2.47) i (11.2.48) glasi da je LS6= 0 samo ako N = N 0, tj. ako se broj bozona u bra-u i brojbozona u ket-u podudaraju, jer novi bra dat sa (11.2.48a)-(11.2.48b) ima N � 2 bozona, a noviket dat sa (11.2.48c)-(11.2.48d) ima N 0 � 2 bozona. Razne mogu�costi bra-a i ket-a koje dajuLS 6= 0 podeli�cemo u 6 klasa i izra�cuna�cemo levu stranu za svaku od njlh.a) Dijagonalni matri�cni elementi, tj. �m = � 0m, m = 1; 2; ::: Od �cetiri mogu�cnosti kojedopu�staju jednakosti (11.2.48), jasno je da nenulti doprinos daju samo sabirci u (11.2.47) za kojeje m1 = m2 i m01 = m02 = m1, kao i sabirci za koje je m1 6= m2, m01 6= m02, ali fm1; m2g =fm01; m02g. Prema tome, u ovom slu�cajuLS = 12 Xm;�m�2 �m(�m � 1)Vmm;mm + 12 Xm1;m2�m1�1;�m2�1 �m1�m2(Vm1m2;m1;m2 + Vm1m2;m2;m1) (11.2.49a)(ispod sume su nazna�ceni uslovi na sabirke u zbiru).Slede�cih 5 klasa obuhvataju nedijagonalne matri�cne elemente. Naredne dve klase karakteri�seokolnost da se brojevi popunjenosti razlikuju ta�cno za dve vrednosti kvantnog broja, pi�semo ihm1 i m2. Za ovaj slu�caj nema vi�se od dve mogu�cnosti usled N = N 0.b) �m1 = � 0m1 + 1, �m2 + 1 = � 0m2 (ostali �m = � 0m):LS = [122q�m1(�m1 � 1)(� 0m1)� 0m2Vm1m1;m1m2 ] +q�m1�m2� 0m2(� 0m2 � 1)Vm1m2;m2m2 ]+

11.2. SISTEMI IDENTI�CNIH BOZONA 455Xm;�m�1q�m�m1� 0m2�m(Vmm1;mm2 + Vmm1;m2m):Naime, u (11.2.47) doprinose samo sabirci takvi da se pojavljuju aym1 i am2, tj. da se i u bra-u i uket-u anihilira stanje koje (jedino) "�str�ci" (ina�ce �ce bra i ket iz (11.2.48) dati nulu). Onda, postojetri mogu�cnosti: da drugi kreacioni operator bude opet aym1 (samo ako je �m1 � 2, ali brojni faktor�m1 � 1 o tome automatski vodi ra�cuna, tj. poni�stava ceo sabirak ako je �m1 = 1), da bude aym2i, najzad, da bude ne�sto tre�ce. To mora biti kompenzovano u svakoj od ovih mogu�cnosti istimanihilacionim operatorom. Srednje zagrade odgovaraju pojedinim pomenutim mogu�cnostima. Uprvoj faktori odmah slede iz (11.2.47) i (11.2.48), a po�sto postoje dve podmogu�cnosti u (11.2.47),m01 = m1, m02 = m2 i m01 = m2, m01 = m1, imamo (Vm1m1;m1m2 + Vm1m1;m2m1) = 2Vm1m1;m1m2 .U drugoj srednjoj zagradi je sve analogno, samo �sto se podmogu�cnosti odnose na m1 i m2.U tre�coj neposredno dobijamo �cetiri matri�cna elementa, ali usled simetri�cnosti svode se na dvapomno�zena faktorom 2.Uzimaju�ci u obzir pretpostavke �m1 � 1 = � 0m1 , � 0m2 � 1 = �m2 i �m = � 0m za ostale m, gornjujednakost mo�zemo napisati u slede�coj sredenoj formi:LS = p�m1� 0m1q� 0m2Vm1m1;m1m2 +p�m1�m2q� 0m2Vm1m2;m2m2+ (11.2.49b)q�m1� 0m2 Xm;�m�1;m6=m1;m2 �m(Vmm1;mm2 + Vmm1;m2m):c) �m1 = � 0m1 + 2, �m2 + 2 = � 0m2 (ostali �m = � 0m):LS = 12q�m1(�m1 � 1)� 0m2(� 0m2 � 1)Vm1m1;m2m2 : (11.2.49c)Slede�ce dve klase karakteri�se razlika u brojevima popunjenosti ta�cno za tri vrednosti kvantnogbroja, obele�zavamo ih sa m1, m2 i m3.d) �m1 = � 0m1 + 1, �m2 = � 0m2 + 1, �m3 + 2 = � 0m3 (ostali �m = � 0m):LS =q�m1�m2� 0m3(� 0m3 � 1)Vm1m2;m3m3 : (11.2.49d)(12 i dvojka iz (Vm1m2;m3m3 + Vm2m1;m3m3) = 2Vm1m2;m3m3 se potiru).e) �m1 = � 0m1 + 2, �m2 + 1 = � 0m2, �m3 + 1 = � 0m3 (ostali �m = � 0m):LS = 12q�m1(�m1 � 1)� 0m2� 0m3(Vm1m1;m2m3 + Vm1m1;m3m2)ili, usled simetri�cnosti matri�cnog elementa,LS =q�m1(�m1 � 1)� 0m2� 0m3Vm1m1;m2m3 : (11.2.49e)U poslednjoj klasi brojevi popunjenosti se razlikuju ta�cno za �cetiri vrednosti kvantnog broja:m1; m2; m3 i m4.f) �m1 = � 0m1 + 1, �m2 = � 0m2 + 1, �m3 + 1 = � 0m3, �m4 + 1 = � 0m4 : (ostali �m = � 0m):LS =q�m1�m2� 0m3� 0m4(Vm1m2;m3m4 + Vm1m2;m4m3) (11.2.49f)

456 GLAVA 11. OSNOVI DRUGE KVANTIZACIJE(razlog za faktor 2 je isto kao pod b.).B) Sad sledi izra�cunavanje matri�cnih elemenata na�seg operatora dvo�cesti�cnog tipa V iz(11.2.22), koji se u pojedinim V(N)s (po de�niciji) svodi na PNi<j Vij za N � 2, a u H(u)1 i u[H(u)1 ]0 na nulu. Zna�ci za N = 0; 1, Teorem T11.2.3 je ve�c dokazan.Bazisne vektore (11.2.4) pisa�cemo u vidu j m1m2:::mN i, tj. koristi�cemo se jednobozonskimbazisom (11.2.5a). Pretpostavimo da u jm1 i jm2 i::: jmN i iz (11.2.4) va�zi m1 � m2 � ::: � mN(iz T 9.4.1 se vidi da to mo�zemo). Onda u V(N�2)s imamo:LS def= hm1m2:::mN j MXi<j Vij j m01m02:::m0N i = (11.2.50)N !pN1!N2!:::pN 01!N 02!:::hm1 j hm2 j :::hmN j NXi<j VijS j m01 i j m02 i::: j m0N i(u�cinili smo iste korake kao u delu B. prethodnog paragrafa). Po�sto Vij = P (i < j)V12P (i < j)�1(P (i < j) dat je sa (10.1.53) , samo �sto je tamo obele�zen sa P ), a P (i < j)�1S = S, kao �sto selako vidi, imamo dalje (opet obele�zavaju�ci brojni faktor u (11.2.50) sa N !C):LS = C NXi<j Xp2SNhmi; mj j V12 j m0p1 ; m0p2 ih mp(i<j)3 j m0p3i:::h mp(i<j)N j m0pN i (11.2.51)(delovanje P (i < j) na levo na jeziku ketova zna�ci delovanje P y(i < j) = P�1(i < j), stoga imamou jednobozonskim braovima mp(i<j)i, a ne mp(i<j)�1i ; na kraju smo uzeli u obzir (10.1.53b), �stodaje p(i < j)1 = i, p(i < j)2 = j).Nijedan od (N � 2) faktora na kraju od (11.2.51) ne�ce biti nula samo ako bra hm1:::mN j iket jm01:::m0N i sadr�ze bar (N �2) jednakih jednobozonskih stanja. Ograni�cimo se na ovakve brai ketove (ni pod A. nismo imali op�stiji slu�caj da je davao LS 6= 0).Posmatrajmo u (11.2.51) jedan sabirak u "PNi�j". Podimo od permutacije p (zavisne od"i � j") koja je takva da mp(i<j)3 = m0p3 ; :::; mp(i<j)N = m0pN . Obele�zimo sa prim permutacijekoje u j m01 i j m02 i::: j m0N i izazivaju samo permutovanje jednakih stanja. O�cigledno da ovepermutacije p �cine podgrupu reda N 01!N 02!:::, a s druge strane sve permutacije vida p0p kao sabirciu "Pp2SN" daju isti sabirak. Op�stija permutacija iz SN da�ce nulu (zbog poslednjih N�2 faktorau (11.2.51)) osim ako su m0p1 6= m0p2 , a p je transpozicija prvog i drugog bozona. StogaLS =sN 01!N 02!:::N1!N2!::: NXi<j 0Xp hmi; mj j V12 j m0p1 ; m0p2 i; (11.2.52)gde zbir "P0p" sadr�zi samo jedini�cnu permutaciju ako m0p1 = m0p2 , a sadr�zi pored jedini�cne ipomenutu transpoziciju prvog i drugog bozona ako m0p1 6= m0p2.a) Dijagonalni matri�cni elementi. Po�sto je sad N1 = N 01 itd., prva dva faktora u (11.2.52) sepotiru. "PNi<j" prelazi sve razli�cite parove bozona u jm1 i jm2 i::: jmN i. Posmatrajmo posebnomi = mj. Obele�zimo sa �m vi�sestrukost stanja jm i u jm1 i jm2 i::: jmN i. Onda se mi = mj zasvaki m za koji �m � 2 mo�ze posti�ci na �m(�m�1)2 na�cina (broj razli�citih parova od �m objekata)

11.2. SISTEMI IDENTI�CNIH BOZONA 457i toliko puta dobijamo matri�cni element Vmm;mm. �Sto se ti�ce mi 6= mj, to posti�zemo sabircimaiz "PNi<j" za koje mi = m1 6= mj = m2 i �m1 � 1; �m2 � 1. Zbog m1 � ::: � mN stoga sledi,ura�cunavaju�ci i prethodni sabirak:LS = Xm;�m�2 �m(�m � 1)2 Vmm;mm + Xm1<m2;�m1�1;�m2�1 �m1�m2(Vm1m2;m1;m2 + Vm1m2;m2;m1)(11.2.53a)(poslednji sabirak poti�ce od permutacije u "P0p" u (11.2.52) koja transponuje prvi i drugi bozon).Lako je videti da zbog simetri�cnosti operatora interakcije V12, imamo Vm1m2;m1m2 = Vm2m1;m2m1itd. Zahvaljuju�ci tome zbir "Pm1<m2" iz (11.2.53a) i zbir "12Pm1;m2;m1 6=m2" iz (11.2.49a) sumedusobno jednaki.b) �m1 � 1 = � 0m1, � 0m2 � 1 = �m2 (ostali �m = � 0m). Iz poslednjeg sledi da se svi faktorijeli u(11.2.52) skra�cuju osim za m1 i m2, �sto ih svodi na: r �0m1 !�0m2�m2 !�m1 !�0m1 !�m2 ! =r�0m2�m1 . Stoga slediLS =s� 0m2�m1 f[12�m1(�m1 � 1)(Vm1m1;m2m1 + Vm1m2;m1m2)]+[�m1�m2Vm1m2;m2m2] + [�m1 Xm;�m>0;m6=m1;m2 �m(Vm1m;m2m + Vm1m;mm2)]g. Naime, mogu�cnosti mi = mj = m1 doprinosi toliko sabiraka iz "PNi<j" u (11.2.52) koliko imarazli�citih parova �cestica medu �m1 jednakih jednobozonskih stanja jm1 i u j m1 i j m2 i::: jmN i.Taj broj je 12�m1(�m1 � 1). Dva matri�cna elementa u prvoj srednjoj zagradi poti�cu oddva sabirka u "P0p" u (11.2.52). �Sto se ti�ce druge srednje zagrade, uzimamo slu�caj da jemi = m1 i mj = m2 i pretpostavljsmo da je m1 < m2. (Ako je m2 < m1 dobija se ana-logno �m2�m1Vm2m1;m2m2 , �sto je zbog simetri�cnosti matri�cnog elementa jednako izrazu u drugojsrednjoj zagradi.) Doprinose �m1�m2 sabiraka iz "PNi<j," a "P0p" sadr�zi samo jedini�cnu permu-taciju. (Transpoziciju prve i druge �cestice smo ve�c uzeli u obzir medu permutacijama jednakihstanja kada smo izveli (11.2.52).) Tre�cu srednju zagradu dobijamo tako �sto uzimamo mi = m1,mj = m 6= m1; m2 i pretpostavljamo m1 < m (za m < m1 dobijamo isto nakon kori�s�cenjasimetri�cnosti matri�cnih elemenata). Iz "PNi<j," doprinose �m1�m �clanova, a "P0p" sadr�zi poredjedini�cne permutacije i transpoziciju prve dve �cestice.Uzimanjem u obzir pretpostavke �m1 � 1 = � 0m1 , � 0m2 � 1 = �m2 i �m = � 0m za ostale m, kao isimetri�cnost matri�cnih elemenata, gornju jednakost mo�zemo da prepi�semo u slede�cem vidu:LS = p�m1� 0m1q� 0m2Vm1m1;m1m2 +p�m1�m2q� 0m2Vm1m2;m2m2+ (11.2.53b)q�m1� 0m2 Xm;�m�1;m6=m1;m2 �m(Vmm1;mm2 + Vmm1;m2m):c) �m1 = � 0m1 + 2, �m2 + 2 = � 0m2 (ostali �m = � 0m). Stoga (11.2.52) dajeLS =s � 0m1� 0m2(� 0m2 � 1)�m2 !:::�m1(�m1 � 1)� 0m1 !� 0m2!::: NXi<j hmi = m1; mj = m1 j V12 j m2; m2 i:

458 GLAVA 11. OSNOVI DRUGE KVANTIZACIJEKad skratimo �sto je jednako i uzmemo u obzir da u "PNi<j" doprinose onoliko sabiraka kolikoima razli�citih parova jednobozonskih stanja j m1 i, dolazimo do LS = r�0m2(�0m2�1)�m1(�m1�1) 12�m1(�m1 �1)Vm1m1;m2m2, ili kona�cnoLS = 12q�m1(�m1 � 1)� 0m2(� 0m2 � 1)Vm1m1;m2m2 : (11.2.53c)d) �m1 = � 0m1 + 1, �m2 = � 0m2 + 1, �m3 + 2 = � 0m3 , �m = � 0m za ostale m. Onda iz (11.2.52)sledi: LS = r�0m1 !�0m2 !�0m3 (�0m3�1)�m3 !:::�m1�0m1 !�m2�0m2 !�m3 !::: Pi<jhmi = m1; mj = m2 j Vij j m3; m3 i (pretpostavili smom1 < m2, obratna pretpostavka bi dovela do istog zbog simetri�cnosti matri�cnog elementa). Dalje,LS =r�0m3 (�0m3�1)�m1�m2 �m1�m2Vm1m2;m3m3 , ili, najzad,LS =q�m1�m2� 0m3(� 0m3 � 1)Vm1m2;m3m3 : (11.2.53d)e) �m1 = � 0m1 + 2, �m2 + 1 = � 0m2 , �m3 + 1 = � 0m3 za ostale m �m = � 0m. Jednakost (11.2.52)povla�ci, analogno kao u prethodnom slu�caju,LS =s � 0m2� 0m3�m1(�m1 � 1)Xi<j 0Xp hmi = m1; mj = m1 j V12 j m2; m3 i =s � 0m2� 0m3�m1(�m1 � 1) 12�m1(�m1 � 1)(Vm1m1;m2m3 + Vm1m1;m3m2);ili, najzad, LS =q�m1(�m1 � 1)� 0m2� 0m3Vm1m1;m2m3 : (11.2.53e)f) �m1 = � 0m1 + 1, �m2 = � 0m2 + 1, �m3 + 1 = � 0m3, �m4 + 1 = � 0m4 ; za ostale m, �m = � 0m.(11.2.52) onda ima za posledicu LS =r�0m3�0m4�m1�m2 Pi<jP0phm1; m2 j V12 jm3; m4 i (pretpostavljamom1 < m2). Dalje, LS =r�0m3�0m4�m1�m2 �m1�m2(Vm1m2;m3m4 + Vm1m2;m4m3), �sto na kraju dajeLS =q�m1�m2� 0m3� 0m4(Vm1m2;m3m4 + Vm1m2;m4m3): (11.2.53f)Usled podudaranja odgovaraju�cih jednakosti (11.2.49) i (11.2.53), Teorem T11.2.3 je dokazan.

Glava 12OSNOVNI POJMOVI TEORIJERASEJANJA12.1 Osnovi teorije elasti�cnog rasejanjaJedno od najva�znijih merenja u kvantnoj �zici sastoji se u rasejanju snopa �cestica (ili fotona) naodredenoj meti. Raspored rasejanih �cestica po prostornim uglovima izra�zava se tzv. diferenci-jalnim presekom. U tzv. stanju rasejanja (to je u stvari stacionarno dvo�cesti�cno stanje upadne�cestice i �cestice u meti) najva�zniji entitet je tzv. amplituda rasejanja, koja se izvodi iz asimp-totske forme re�senja zakona kretanja, a iz nje se neposredno izra�cunava diferencijalni presek.Izlo�zi�cemo osnovne ideje dva najva�znija metoda ra�cunanja amplitude rasejanja: tzv. Born-ovuaproksimaciju i metod parcijalnih talasa. U prvom se radi o perturbacionom redu po malompotencijalu, a u drugom o redu po svojstvenim stanjima l. Prodiskutova�cemo i slu�caj identi�cnih�cestica.12.1.1 Diferencijalni presekPretpostavimo da imamo jedan prostorni ansambl kvantnih sistema u stanju mirovanja u la-boratorijskom koordinatnom sistemu. Takav ansambl naziva se metom (mo�ze se sastojati odmolekula, ili od atoma, ili od jezgara, ili od elementarnih �cestica). Osim toga, pretpostavimo daimamo upadni snop �cestica ili fotona usmeren na metu. To je u stvari jedan prostorno-vremenskiansambl. Upadne �cestice se sudaraju sa �cesticama u meti i nakon toga iste (ili druge �cestice)se razle�cu po svim smerovima. Zami�sljamo da je meta toliko mala da je sva u koordinatnompo�cetku laboratorijskog sistema; z-osa da je u pravcu upadnog snopa; a smer izlazne �cesticeodredujemo sfernim polarnim uglovima � i ' kao na Crte�zu C12.1.Po�cetni uslov pored mete u stanju mirovanja u O na Crte�zu C12.1 obuhvata i upadni snopu kome �cestice obi�cno imaju pribli�zno o�stru vrednost kineti�cke energije, ali ne i o�stru vrednostvektora impulsa. Naime, snop mora biti kolimiran (K je kolimator na Crte�zu C12.1) dovoljnousko da bi �cestice pogadale metu i da ne bi mogle bez sudara da doprinose detekciji pod uglovima� > 0, '. Doprinos upadnih �cestica koje nisu pretrpele sudar uglu � = 0 se eksperimentalno nemo�ze izbe�ci. Zato se ova vrednost gustine i ne dobija direktnim merenjem nego ekstrapolacijomiz merenih vrednosti za � > 0. 459

460 GLAVA 12. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE RASEJANJA- u -6�� �������

���uu

���@@���Upadna �cestica @@@R�Cestica u meti Izlazna�cestica�K

OD

Slika 12.1: Shema rasejanja. K je kolimator, O je meta (u koordinatnom po�cetku), D detektor.Pod izlo�zenim po�cetnim uslovom u rasejanju se mere opservable � i ', zapravo gustina raspo-reda izlaznih �cestica po neprekidnim spektrima [0; �] od � i [0; 2�) od ' (eventualno istovremenosa jo�s nekim opservablama).Va�zno je da se uo�ci da su snop i meta ansambli (a ne nadsistemi kao na primer �sto je metamonokristal u poznatom eksperimentu Davisson-a i Germer-a). Pojedine �cestice snopa (u komeone po pretpostavci ne interaguju) sudaraju se sa pojedinim sistemima u meti i mi posmatramoposledice tih pojedina�cnih sudara (ansambli, kao i obi�cno, slu�ze samo za intenzi�kaciju efekata).Drugim re�cima, pojedini sudari su nekoherentni. Za to je potrebno da je de Broglie-jeva talasnadu�zina upadnih �cestica mala u poredenju sa rastojanjima medu kvantnim sistemima u meti.Va�zno je i to da se upadne �cestice ne sudaraju dva ili vi�se puta sa sistemima u meti. Zato metamora biti dovoljno tanka.Upadna �cestica je po pretpostavci mnogo lak�sa od sistema u meti. Nakon sudara i sistemmete pretrpi odbijanje12.1.1, ali njegov doseg je mali i ovo odbijanje nije pogodno za merenje.Pri sudaru upadne �cestice sa kvantnim sistemom u meti najdrasti�cnije �sto mo�ze da se desije zahvat �cestice sa eventualnom naknadnom emisijom jedne ili vi�se �cestica (kao u nuklearnimreakcijama i u procesima elementarnih �cestica; u zahvatu �� miona na upra�znjenu elektronskuorbitu u atomskom omota�cu itd.). Ovakav sudar ne spada u rasejanje. Pri rasejanju izlazna�cestica (po de�niciji) mora biti jednaka upadnoj �cestici.Pri sudaru u rasejanju kineti�cka energija izlazne �cestice mo�ze biti razli�cita od kineti�cke energijeupadne �cestice. U ovakvom slu�caju obi�cno se deo kineti�cke energije �cestice prenosi na kvantnisistem u meti, koji prelazi u pobudeno stanje. Ali mogu�ce je i obratno, da je sistem bio upobudenom stanju, pa da se deekscitira prenosom (transferom) energije na rasejanu �cesticu. Ovevrste sudara sa razmenom energije nazivaju se neelasti�cnim sudarima. Sazna�cemo ne�sto vi�se onjima u slede�cem odeljku.Ka�ze se da se desio elasti�can sudar kada se kineti�cka energija upadne �cestice ne menja prisudaru. Upoznavanju osnova teorije elasti�cnih sudara posve�cen je ovaj odeljak.Postavlja se pitanje kako �cemo precizno, kvantitativno izraziti pomenutu gustinu verovatno�ceda se izlazna �cestica detektuje pod uglovima �, ' (s obzirom da se radi o fenomenu koji je proces,de�savanje, a ne samo trenutno merenje).12.1.1Engleski: recoil, �citati: rikojl.

12.1. OSNOVI TEORIJE ELASTI �CNOG RASEJANJA 461Obele�zimo sa dn(�; ') broj izlaznih �cestica koje padaju u in�nitezimalni prostorni ugao doko uglova �, ' u jedinici vremena, sa j uks upadnog snopa (tj. broj �cestica koje upadnu najedinicu povr�sine u xy ravni oko koordinatnog po�cetka na Crte�zu C12.1 i to u jedinici vremena),a sa N broj kvantnih sistema (tzv. centara rasejanja) u meti. Ondadn(�; ') = jN�e(�; ') d ; (12.1.1)kao �sto neposredno sledi iz pretpostavke da se sudari de�savaju pojedina�cno.Faktor srazmernosti �e(�; ') jednak je dn(�;')d , tj. prostornoj gustini uksa izlaznih �cesticaoko �, ' ako su ulazni uks i broj sistema u meti jednaki jedinici: j = 1, N = 1. Veli�cina�e(�; ') naziva se diferencijalni presek (ili diferencijalni e�kasni presek) elasti�cnog rasejanja12.1.2.Ova veli�cina zavisi od prirode kvantnog sistema u meti i upadne �cestice.U najve�cem broju slu�cajeva interakcija ima sfernu simetriju, a eksperimentalni uredaj, paprema tome i ceo problem samo aksijalnu (oko z-ose). U ovakvom slu�caju pogodno je odmahpre�ci na diferencijalni presek �e(�):�e(�) def= Z 2�0 d'�e(�; ') = 2��e(�; '0); '0 = 0: (12.1.2)Jasno, �e(�) sin � d� je broj elasti�cno rasejanih �cestica (pri j = 1, N = 1) u in�nitezimalni koni�cnisloj oko �.Takozvani totalni presek elasti�cnog rasejanja �e je�e def= R �0 sin � d� R 2�0 d'�e(�; ') ; (12.1.3)i iskazuje koliko se upadnih �cestica ukupno rasejalo elasti�cno (ra�cunato na jedini�cni upadni uksi jedini�cni broj sistema).Zadatak 12.1.1 Pokazati da preseci �e(�; '), �e(�) i �e imaju dimenziju povr�sine (prostorni ugao d je bezdi-menzion, tj. dat u steradijanima).U nuklearnoj �zici je uobi�cajena jedinica preseka tzv. barn, koji iznosi 10�24 cm2.12.1.2 �Koordinatni sistem centra masa i laboratorijeAko su kvantni sistemi u meti mnogo te�zi od upadnih �cestica, onda svaki od njih mo�zemosmatrati beskona�cno te�skim centrom rasejanja. U ovoj aproksimaciji laboratorijski referentnisistem (skra�ceno: L) je sasvim pogodan za prou�cavanje preseka elasti�cnog rasejanja. Onda se�e(�; '), �e(�) i �e de�ni�su u L sistemu.Medutim, ako centar rasejanja nije mnogo te�zi od upadne �cestice, onda pomenuta aproksi-macija mo�ze biti lo�sa. Po�sto je sudar dvo�cesti�cni fenomen, mo�zemo sprovesti ta�can postupak (tj.bez aproksimacije) ako predemo na efektivne �cestice (iz odeljka x 4.5). Do sudara dolazi usleduzajamne interakcije upadne �cestice i sistema u meti, stoga efektivna �cestica CM (centar masaili te�zi�ste) ne ose�ca sudar, ve�c samo R�C (relativna �cestica).12.1.2Engleski: di�erential cross section of elastic scattering, �citati: diferen�sl kros sek�sn of ilestik sketering.

462 GLAVA 12. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE RASEJANJAIspostavlja se da je pogodnije umesto prelaska sa pravih �cestica na efektivne pre�ci na novkoordinatni sistem koji se zami�slja da je �cvrsto vezan za te�zi�ste, a i dalje posmatrati prave �cestice.Izostavljaju�ci indeks e (ionako u ovom odeljku prou�cavamo samo elasti�cno rasejanje) onda imamo�CM(�; '), �CM(�) i �CM pored �L(�; '), �L(�) i �L. Postavlja se pitanje kako pre�ci sa jednih nadruge.Prvo moramo videti kako su povezani uglovi �CM, 'CM sa �L, 'L. Po�sto se te�zi�ste kre�ce du�zz-ose, 'L = 'CM. Veza izmedu �CM i �L je slo�zenija.- u���3QQQs - u��������L �CMv1Lm1u u � m2v2 uv0CMv02m1v1zv01Lv02Lv2L = 0m2(a) (b)Slika 12.2: Geometrija rasejanja. Prikazani su vektori brzina dve �cestice pre i posle sudara(a) u laboratorijskom (v1L i v2L, odnosno v01L i v02L) i (b) sistemu centra masa.Ako sa R i V def= dRdt obele�zimo radijus vektor i vektor brzine centra masa, onda za radijusvektore prve �cestice u CM i L sistemu posle sudara imamo r01 +R = r01L, �sto dajev01 +V = v01L: (12.1.4)Projektuju�ci (12.1.4) na z-osu i na xy-ravan, sa Crte�za C12.2 dobijamov01 cos �CM + V = v01L cos �L; v01 sin �CM = v01L sin �L; (12.1.5a,b)gde su v01 itd. intenziteti odgovaraju�cih brzina. Iskoristili smo i �cinjenicu da je V du�z z-ose,naime (m1 +m2)R = m1r1L +m2r2L i v2L = 0 dajuV = v1L m1m1 +m2 ; (12.1.6a)a z0 def= v1Lv1L .Vektorska jednakost (12.1.6a) povla�ci skalarnuV = v1L m1m1 +m2 : (12.1.6b)Zameni�cemo (12.1.6b) u (12.1.5a) i zatim �cemo podeliti (12.1.5b) sa (12.1.5a):tg �L = v01 sin �CM(v01 cos �CM + v1L m1m1 +m2 ): (12.1.7)Da bismo se u (12.1.7) oslobodili modula brzina, iskoristi�cemo odr�zanje impulsa i kineti�ckeenergije u CM sistemu.Zadatak 12.1.2 Pokazati da je u CM sistemu ukupni impuls jednak nuli (i pre i posle sudara).

12.1. OSNOVI TEORIJE ELASTI �CNOG RASEJANJA 463Lema 12.1.1 Pri elasti�cnom sudaru se u sistemu centra masa ne menja intenzitet brzine niprve ni druge �cestice.Dokaz: Iz m1v1 + m2v2 = 0 = m1v01 + m2v02 sledi v2 = �m1m2v1, v02 = �m1m2v01. Kad to zamenimo u12m1v21 + 12m2v22 = 12m1v021 + 12m2v022 , sledi 12m1v21 + 12m2(m1m2 )2v21 = 12m1v021 + 12m2(m1m2 )2v021 , tj. v1 = v01.Simetri�cnim rezonovanjem sledi v2 = v02. Q. E. D.Lema L12.1.1 korelira v01 sa v1. Radi upro�s�cenja (12.1.7) treba jo�s da reliramo v1 sa v1L. Izr1CM = r1L �R sledi v1 = v1L �V, �sto uz pomo�c (12.1.6a) dovodi dov1 = v1L m2m1 +m2 ; (12.1.8a)ili, usled iskaza Leme L 12.1.1, v01 = v1 = v1L m2m1 +m2 : (12.1.8b)Ako brojilac i imenilac na desnoj strani od (12.1.7) podelimo sa v01 i iskoristimo (12.1.8b),onda kona�cno sti�zemo do rezultata: tg �L = sin �CMcos �CM+m1m2 : (12.1.9)U specijalnom slu�caju jednakih masa m2 = m1, iz (12.1.9), kori�s�cenjem poznate trigonome-trijske relacije tg �2 = sin�1+cos� , sledi �L = �CM2 : (12.1.10)Formula (12.1.10) sadr�zi o�ciglednu implikaciju da za 0 � �CM � �, imamo 0 � �L � �2 . Ulaboratorijskom sistemu nema rasejanja pod tupim uglom �L.Zadatak 12.1.3 a) Pokazati da u slu�caju m1 > m2 imamo tg �L � 1m1m2�1 , �sto zna�ci da �L ne dosti�ze vrednost�2 , nego samo neki o�star ugao �maxL .b) Pokazati da u slu�caju m1 < m2 postoji jedan tupi ugao �CM takav da je odgovaraju�ci �L jednak �2 ; a kada�CM ! � � 0, odgovaraju�ci �L ! � � 0 takode. Drugim re�cima, imamo 0 � �CM � � i 0 � �L � �.Sad mo�zemo da se vratimo na�sem prvobitnom zadatku reliranja �L(�; ') i �CM(�; ').Pogledajmo u formuli (12.1.1) �sta je invarijantno, a �sta zavisi od koordinatnog sistema. In�-nitezimalni prostorni ugao d je u stvari jedan te isti, samo je druga�cija funkcija od �CM, 'CM,a druga�cija od �L, 'L. Takode je broj rasejanih �cestica u d u jedinici vremena, dn, jedan teisti u svim koordinatnim sistemima. Isto va�zi za N i j. Fluks j je invarijanta, jer je u stvaride�nisan u odnosu na metu (bez obzira iz kog referentnog sistema se posmatra sudar). Prematome, (12.1.1) daje �L(�L; 'L) dL = �CM(�CM; 'CM) dCM: (12.1.11)Zna�ci, problem se svodi na povezivanje dL i dCM.Lema 12.1.2 Relacija (12.1.9) dovodi do slede�ce veze:dL def= sin �L d�L d'L = 0@ 1 + m1m2 cos �CM1 + 2m1m2 cos �CM + m21m22 1A 32 sin �CM d�CM d'CM = 0@ 1 + m1m2 cos �CM1 + 2m1m2 cos �CM + m21m22 1A 32 dCM:(12.1.12)

464 GLAVA 12. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE RASEJANJADokaz: Diferenciranje formule (12.1.9) daje d�Lcos2 �L = 1+m1m2 cos �CM(cos �CM+m1m2 )2 d�CM; s druge strane (12.1.9) se da re�sitipo cos2 �L: cos2 �L = (cos �CM+m1m2 )21+2m1m2 cos �CM+(m1m2 )2 i po sin �L = sin �CMq1+2m1m2 cos �CM+(m1m2 )2 . Ove tri jednakosti i d'L = d'CM,najzad, daju (12.1.12). Q. E. D.Zamenom dL iz (12.1.12) u (12.1.11) sledi kona�cni rezultat:�L(�L; 'L) = (1+2m1m2 cos �CM+m21m22 ) 321+m1m2 cos �CM �CM(�CM; 'CM) (12.1.13)Iz (12.1.2) se vidi da se i �L(�) dobija kao proizvod iste funkcije u velikoj zagradi u (12.1.13) i�CM(�).Zadatak 12.1.4 Iskoristiti (12.1.13) i Zadatak Z 12.1.3 i pokazati da za m1 < m2 va�zi:�L = �CM : (12.1.14)Dati �zi�cku interpretaciju ovog rezultata za totalni presek.Napomenimo da (12.1.14) sledi i za preostala dva slu�caja m1 = m2 i m1 > m2, samo ondamoramo za �L > �2 , odnosno za �L > �maxL (uporediti Zadatak Z 12.1.3a)) staviti �L(�L) def= 0.Zadatak 12.1.5 Ukupna kineti�cka energija dve �cestice u laboratorijskom sistemu, Eu(L), i u sistemu CM,Eu(CM), nisu jednake. U odeljku x 4.5 smo videli da je u proizvoljnom koordinatnom sistemu ukupna kineti�ckaenergija dve �cestice jednaka zbiru kineti�cke energije relativne �cestice, ER �C , i kineti�cke energije centra mase, ECM.Pokazati da je: a) ER�C ista u svakom referentnom sistemu; b) Eu(CM) = ER�C; c) Eu(L) = Eu(CM) =ECM(L).12.1.3 Amplituda rasejanjaOdsad �cemo razmatrati samo presek u sistemu CM i ne�cemo to vi�se isticati indeksom.Postavlja se pitanje kako �(�; ') relirati sa kvantno-mehani�ckim zakonom kretanja. Podimood samog zakona kretanja i pronadimo njegov pogodan vid.Lema 12.1.3 Klasi�cna Hamiltonova funkcija �cestice mase m i potencijalne energije V (r) mo�zeda se napi�se u vidu H = p2r2m + l22mr2 + V (r); (12.1.15a)gde je pr def= rr � p (12.1.15b)tzv. radijalna komponenta impulsa.Dokaz: Uobi�cajeni vid doti�cne Hamiltonove funkcije glasi H = p22m + V (r). U svakoj ta�cki prostora razla�zemop na radijalnu komponentu pr, du�z orta vektora r, i na tangencijalnu komponentu pt, koja po de�niciji, le�zi uravni normalnoj na rr . Zbog ortogonalnosti pr rr i pt imamo p22m = p2r2m + p2t2m . A p2t = (p sin�)2 = ( rr �p)2, gde jep def= jpj, � def= \(r;p). Stoga je p2t = l2r2 i dolazimo do (12.1.15a). Q. E. D.Ako neposredno primenimo postupak kvantizacije na (12.1.15b), dobi�cemo operator pr =rr � p u L2(r). O�cigledno, pr = �{~Pq=x;y;z cos �q @@q = �{~Pq @q@r @@q = �{~ @@r , �q def= \(r;q0).Medutim, ovaj operator nije hermitski i moramo ga odbaciti.

12.1. OSNOVI TEORIJE ELASTI �CNOG RASEJANJA 465Zadatak 12.1.6 Pokazati da �{~ @@r nije hermitski operator u L2(r).Analogno, ni kvantizacija varijable p � rr ne dovodi do hermitskog operatora. Ali zato varijabla12 (rr � p + p � rr ) daje kvantizacijom hermitski operatorpr def= �{~( @@r + 1r ): (12.1.16)Zadatak 12.1.7 Dokazati ovaj iskaz.Kvantizacijom (12.1.15a) dobijamo slede�ci vid hamiltonijana jedne �cestice u L2(r):H = p2r2m + l22mr2 + V (r): (12.1.17)Treba da ustanovimo relevantnost rezultata (12.1.17) za teoriju rasejanja. Ako radimo uapsoksimaciji beskona�cno te�skih centara rasejanja (onda se CM sistem podudara sa L sistemom),neka se onda (12.1.17) odnosi na prvu �cesticu, a V (r) neka poti�ce od druge �cestice. Ako radimoegzaktno, neka se (12.1.17) odnosi na relativnu �cesticu u CM sistemu (i m = m1m2m1+m2 ).Detektor koji meri dn(�; ') (uporediti (12.1.1) i Crte�z C 12.1) nalazi se u tzv. asimptotskomregionu, tj. toliko udaljen od mete (i koordinatnog po�cetka) da se V (r) vi�se ne "ose�ca"12.1.3, a i�clan l22mr2 se mo�ze zanemariti. Onda se (12.1.17) svodi naH = p2r2m; r !1: (12.1.18)Zna�ci, treba na�ci re�senje svojstvenog problema operatora pr, koji deluje u radijalnom faktorprostoru L2(r).Uop�steni svojstveni vektori operatora pr glase e{krr , �1 < k < +1.Zadatak 12.1.8 Dokazati ovaj iskaz.Vektor stanja e{krr se �zi�cki interpretira kao izlazni sferni talas za k > 0, a kao ulazni sfernitalas za k < 0 (ali to su sferni talasi samo u asimptotskom regionu, za razliku od sfernih talasau celom prostoru koje smo prou�cavali u x 6.6.5).Rasejanje je stacionaran proces. Opisuje ga stacionarno re�senje koje je svojstveni vektorhamiltonijana (12.1.17), tj. re�senje u vidu (r; �; ') e� {~Et, gde je E energija relativne �cestice.Talasna funkcija (r; �; '), tzv. stanje rasejanja, mora da zadovoljava i slede�ci grani�cni uslov: uasimptotskom regionu mora da se pona�sa na slede�ci na�cin: = e{kr + f(�; ') e{krr ; r !1; (12.1.19)12.1.3Da se V (r) ne bi "ose�cao" u nekom udaljenom regionu neophodno je da opada br�ze nego 1r . Stoga se daljerezonovanje u tekstu ne odnosi na slu�caj Coulomb-ove interakcije. Rasejanje u Coulomb-ovom polju se prou�cavaposebno. Videti, na primer Teorijska �zika i struktura materije, drugi deo, Ivan Supek, tre�ce izdanje, Zagreb,1964, glava VI, odeljci 9, 10 i 11.

466 GLAVA 12. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE RASEJANJAgde je k = jkj = p2mE~ . Funkcija f(�; ') naziva se amplitudom rasejanja.Prvi sabirak u (12.1.19) opisuje ulazni snop �cestica, a drugi rasejani snop. Ukupno stanje jesuperpozicija12.1.4;12.1.5.Kao �sto smo rekli, detektor rasejanih �cestica se nalazi u asimptotskom regionu, �sto zna�ci dadn(�;')N , uks u d od jednog centra rasejanja, mo�zemo izra�cunati iz asimptotske forme (12.1.19)stanja rasejanja. Pri tome ulazni talas ne doprinosi ni direktno ni preko interference sa izlaznimsfernim talasom.Kao �sto je poznato, u hidrodinamici se uks te�cnosti koja struji konstantnom brzinom v =vv0, (v def= jvj), kroz povr�sinu normalnu na v0 izra�cunava kao koli�cina te�cnosti sadr�zana u cilindru�cija je osnova jedini�cne povr�sine a du�zina jednaka v, dakle zapremine v. Po tom modelu seizra�cunava i svaki drugi uks, pa i na�s uks verovatno�ce izlazne �cestice u ta�cki r kroz povr�sinunormalnu na r. Izlazna �cestica u r ima moduo impulsa ~k (kao i upadna �cestica), a brzinu12.1.6~km . Gustina nala�zenja izlazne �cestice oko r je jf(�; ') e{krr j2 = jf(�; ')j2r2 . Pretpostavljaju�ci daje gustina konstantna u volumenu pomenutog cilindra, dobijamo verovatno�cu nala�zenja (i uksverovatno�ce) v jf j2r2 . Po�sto in�nitezimalnom prostornom uglu d odgovara ne jedini�cna povr�sina,ve�c r2 d, imamo dn(�; ')N = (vjf j2r2 ) r2 d = vjf(�; ')j2 d: (12.1.20a)S druge strane, de�niciona jednakost preseka (12.1.1) dajedn(�; ')N = v�(�; ') d; (12.1.20b)jer je gustina nala�zenja ulazne �cestice 1, a brzina opet v = ~km , te je j = v. Iz (12.1.20a) i(12.1.20b) sledi: �(�; ') = jf(�; ')j2 : (12.1.21)Dakle, za teorijsko izra�cunavanje preseka dovoljno je izra�cunati amplitudu rasejanja, kojakarakteri�se stanje rasejanja u asimptotskom regionu.Zadatak 12.1.9 Za�sto norma stanja rasejanja ne uti�ce na rezultat (12.1.21) ?12.1.4Otvor na kolimatoru na Crte�zu C 12.1 je dovoljno velik da se ne opa�zaju difrakcioni efekti ulaznog snopa ida se sredina snopa mo�ze pribli�zno opisati ravnim talasom (videti slede�cu fusnotu). S druge strane, isti otvor jedovoljno mali da u detektor uop�ste ne dospevaju ulazne �cestice koje nisu pretrpele sudar.12.1.5 �Cesto se ulazni snop opisuje preciznije kao talasni paket, tj. stanje koje ima odredenu distribuciju po vred-nostima vektora impulsa oko k = kz0. Videti, na primer, E. Merzbacher, Quantum Mechanics, Second Edition,J. Wiley, N. Y., 1970, glava 11, paragraf 2.12.1.6Detekcija izlazne �cestice je jedno slo�zeno selektivno merenje u kome se istovremeno ustanovljava da je �cesticau asimptotskom regionu, da je u d, a mo�zda �cak i da je E = (~k)22m . Iz (12.1.19) je o�cigledno da je p2 = p2r+ l2r2 . Uasimptotskom regionu, zbog elasti�cnog rasejanja, p2 � p2r � ~2k2, gde je k talasni broj ulazne �cestice. Detekcija,kao i svako merenje, svodi se na kraju na klasi�cne varijable i zato sa modula impulsa ~k mo�zemo pre�ci na klasi�cnubrzinu v = ~km .

12.1. OSNOVI TEORIJE ELASTI �CNOG RASEJANJA 46712.1.4 �Integralna forma zakona kretanja pomo�cu Green-ove funkcijeU prethodnom paragrafu smo zaklju�cili da �(�; ') izra�cunavamo iz f(�; '), a f(�; ') iz asimptot-ske forme stanja rasejanja, tj. talasne funkcije (r; �; ') relativne �cestice koja je re�senje zakonakretanja [� ~22mr2 + V (r)] (r; �; ') = k2~22m (r; �; ') (12.1.22)i grani�cnog uslova (12.1.19). Prostiji vid (12.1.22) glasi(r2 + k2) = U ; U(r) def= 2m~2 V (r): (12.1.23a,b)Na�s je cilj u ovom paragrafu da (12.1.22)-(12.1.23) prevedemo u ekvivalentnu integralnujednakost. U tu svrhu tretiramo U na desnoj strani od (12.1.23) kao dati �clan nehomogenosti ire�savamo (12.1.23) po koje je na levoj strani. Za to nam je potreban operator koji je prakti�cnoinverzan u odnosu na (r2 + k2). To se re�sava pomo�cu tzv. Green-ovih12.1.7 funkcija. Kratko�cemo rezimirati relevantne �cinjenice iz matematike.Matemati�cki podsetnik Neka je D dati diferencijalni operator (linearna kombinacija diferencijal-nih operatora raznih redova), a ' data funkcija. Treba re�siti nehomogenu diferencijalnu jedna�cinuD = ' (12.1.24)po . Tra�zimo re�senje sa asimptotskom formom (12.1.19).Prvo se re�sava pomo�cna jedna�cina DG(r� r0) = Æ(r� r0): (12.1.25)Re�senje G(r � r0) se naziva Green-ovom funkcijom. Pomo�cu nje se dobija partikularno re�senje od(12.1.24): p(r) = Z G(r� r0)'(r0) dr0: (12.1.26)Zadatak 12.1.10 Dokazati ovaj iskaz. (Indikacija: Delovati sa (r2 + k2) na (12.1.26) i iskoristiti (12.1.25).)Green-ovu funkciju treba odabrati tako da p(r) iz (12.1.26) ima �zeljenu asimptotsku formu.U na�sem slu�caju imamo D = r2+k2, a ' = U , tj. (12.1.24) je u stvari (12.1.23). Ispostavljase da Green-ova funkcija koja re�sava ovaj problem glasi12.1.8:G(r� r0) = �e{kjr� r0j4�jr� r0j : (12.1.27)12.1.7 �Citati: Grinovih.12.1.8Dokaz da je sa (12.1.27) data Green-ova funkcija kao i da (r) iz (12.1.28) ima tra�zenu asimptotsku formunije te�zak. Mo�ze se na�ci, na primer, u ud�zbeniku Teorijska �zika i struktura materije, drugi deo, Ivan Supek,tre�ce izdanje, Zagreb, 1964, glava VI, odeljak 2.

468 GLAVA 12. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE RASEJANJATako da iz (12.1.26) sledi integralna jednakost za talasnu funkciju rasejanja : (r) = e{k�r � R e{kjr� r0j4�jr� r0jU(r0) (r0) dr: (12.1.28)U stvari, partikularno re�senje p iz (12.1.26) je drugi sabirak, cela desna strana se dobija iz op�stegre�senja (to je partikularno re�senje plus op�ste re�senje homogene jedna�cine) tako da se zadovoljigrani�cni uslov (12.1.19).12.1.5 �Born-ova aproksimacijaPretpostavimo da je polje V (r) slabo, tj. da je U(r0) = 2m~2 V (r0) u (12.1.28) malo. Onda se(12.1.28) mo�ze uspe�sno re�savati iteracionom metodom. U prvoj iteraciji na desnoj strani od(12.1.28) zamenjujemo (r0) sa e{k�r0 i tako dobijamo (r) = e{k�r � m2�~2 Z e{kjr� r0jjr� r0j V (r0) e{k�r0 dr0: (12.1.29)Da bismo izra�cunali amplitudu rasejanja, moramo pre�ci na asimptotski vid od . Pretpo-stavi�cemo da je V (r0) u (12.1.29) kratkog dosega, tj. da postaje zanemarljivo malo za ve�cer0 def= jr0j. Stoga r0r , gde je r def= jrj, mo�zemo smatrati malom veli�cinom u asimptotskom regionu,tj. za r � 1. Razvi�cemo jr� r0j i posebno jr� r0j�1 u red po r0r zaklju�cno sa �clanom prvog redapo malosti.Poslu�zi�cemo se formulama12.1.9:S = a+ bx + cx2; 0 < x� 1; pS = pa(1 + b2ax+O(x2)); 1pS = 1pa(1� b2ax +O(x2)):(12.1.30)U na�sem slu�caju jr� r0j = pr2 � 2r � r0 + r02 = rpS, odnosno jr� r0j�1 = 1rpS (r0 def= rr ,r00 def= r0r0 ). Prema tome,jr� r0j � r(1� r0 � r00 r0r ); jr� r0j�1 � 1r (1 + r0 � r00 r0r ): (12.1.31)U drugoj relaciji u (12.1.31) mo�zemo zanemariti drugi sabirak. Onda (12.1.31) daju:e{kjr� r0jjr� r0j � e�{kr0�r0 e{krr : (12.1.32)Tako se (12.1.29) u asimptotskom regionu svodi na (r) = e{k�r + (� m2�~2 Z e{k(z0�r0)�r0V (r0) dr0)e{krr ; r !1; (12.1.33)12.1.9Bronxtajn, Semendjajev, Spravoqnik po matematike. Gos. Izd. fiz. mat. lit., Moskva 1955,str. 300-1.

12.1. OSNOVI TEORIJE ELASTI �CNOG RASEJANJA 469jer k = kz0, gde je z0 ort z ose.Iz (12.1.33) proizlazi da je amplituda rasejanjaf(�; ') = � m2�~2 Z e{k(z0�r0)�r0V (r0) dr0: (12.1.34)Ovde su � i ' sferni polarni uglovi od r0 (tj. od orta od r). Najzad, iz (12.1.21) sledi dadiferencijalni presek u Born-ovoj aproksimaciji, kako se naziva izvedeni rezultat prve iteracije,glasi �(�; ') = m24�2~4 j R e{k(z0�r0)�r0V (r0) dr0j2 : (12.1.35)Formula (12.1.35) je dobijena iz prve iteracije. �Cesto se ka�ze da je to prva Born-ova aprok-simacija. Po potrebi mo�ze da se izra�cuna druga iteracija zamenjuju�ci (12.1.29) na desnoj straniod (12.1.28). Tako se dobija druga Born-ova aproksimacija, itd.Uvedimo novu z0 osu u smeru vektora (z0� r0) sa proizvoljno �ksiranim novim x0 i y0 osama.Neka su r0, �0 i '0 sferne polarne koordinate od r0 u odnosu na novi koordinatni sistem. Relacija(12.1.35) se u centralno simetri�cnom polju V (r0) onda prepisuje u vidu�(�; ') = m24�2~4 j R e{2k sin ( �2 )r0 cos �0V (r0)r02 dr0 sin �0 d�0 d'0j2 ; (12.1.36)gde je, naravno, i dalje � def= \(z0; r0).Zadatak 12.1.11 Dokazati ovaj iskaz.Zadatak 12.1.12 Elektri�cno polje koje poti�ce od neutralnog atoma rednog broja Z izra�zava se tzv. ekraniranimCoulomb-ovim poljem V (r) = Zee1r e� ra ; (12.1.37)gde je e naboj protona, e1 naboj rasejane �cestice, a a je pribli�zno radijus atoma. Pokazati da se za slu�caj2ka sin �2 � 1 dobija �(�) = Z2e2e2116E2 sin4 �2 ; (12.1.38)gde je E = k2~22m energija rasejane relativne �cestice.Relacija (12.1.38) je tzv. Rutherford-ova formula12.1.10. Ona se izvodi i u klasi�cnoj �zici.Mo�ze se pokazati da u nerelativisti�ckoj kvantnoj mehanici Rutherford-ova formula u stvari va�ziegzaktno, a ne samo u prvoj Born-ovoj aproksimaciji kako smo je mi dobili.Da se vratimo na op�sti slu�caj Born-ove aproksimacije. Ona je korisna ako doti�cno iteriranjebrzo konvergira (ka samousagla�senom re�senju), te prva iteracija ve�c sadr�zi dominantni doprinos.Ali to nije uvek slu�caj12.1.11.12.1.10 �Citati: Raderfordova.12.1.11Kriterijumi za primenljivost Born-ove aproksimacije, kao i kriterijumi za primenljivost klasi�cnog prilaza (ilipak za nu�znost kvantnog prilaza) dati su dosta iscrpno u: D. Bohm, Quantum Theory, Prentice-Hall Inc., N. Y.,1952 (ili u ruskom prevodu od 1965 g.) u glavi 21.

470 GLAVA 12. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE RASEJANJA12.1.6 �Metod parcijalnih talasaVideli smo da se zakon kretanja za rasejanu relativnu �cesticu mo�ze izraziti u integralnom vidui da se on prirodno re�sava metodom iteracija, koje daju pojedine Born-ove aproksimacije. Sada�cemo izlo�ziti jedan drugi metod, koji je takore�ci komplementaran pomenutom, a nosi naziv iznaslova paragrafa. Ovaj metod je naro�cito pogodan u slu�caju niske energije i velikog potencijalakratkog dometa, kao �sto je nuklearni potencijal. Tu Born-ova aproksimacija uop�ste nije pogodna.Vratimo se na diferencijalni vid zakona kretanja (12.1.22):[� ~22mr2 + V (r)] (r; �; ') = ~2k22m (r; �; '):Ograni�ci�cemo se na sferno simetri�cni potencijal: V (r) = V (r).Re�sava�cemo ovu jednakost metodom separacije varijabli kao �sto smo �cinili u ranijim glavama.U faktor prostoru L2() dobijamo sferne harmonike Y ml (�; '), a u radijalnom faktor prostoruL2(r) preostaje [� ~22mr2 ddr (r2 ddr ) + l(l + 1) ~22mr2 + V (r)] ul(r) = ~2k22m ul(r)(uporediti (6.6.17)).Mno�ze�ci dobijenu jednakost sa �2m~2 i koriste�ci se jednako�s�cu (koja se lako proverava):1r2 ddr (r2 ddr ) = 2r ddr + d2dr2 = 1r d2dr2 r;odmah sledi: [1r d2dr2 r � l(l + 1)r2 � U(r) + k2] ul(r) = 0; (12.1.39)gde je U(r) def= 2m~2 V (r) kao i ranije, u (12.1.23).Tra�zeno re�senje ul(r), iako uop�steni vektor, mora biti u domenu hamiltonijana. Stoga ul(r)mora biti kona�cna i diferencijabilna funkcija u [0;1). Dakle, u r = 0, ul(r) mora biti regularnafunkcija.Intuitivno je o�cigledno da je na�s problem rasejanja aksijalno simetri�can oko z ose, te da semo�zemo ograni�citi na aksijalno simetri�cna re�senja. A to �ce biti re�senja koja ne zavise od ',tj. za koja je magnetni kvantni broj m = 0. Rezonuju�ci strogo kvantno-mehani�cki, prvo bismokonstatovali da na�s po�cetni uslov, tj. upadni ravni talas ima m = 0.Zadatak 12.1.13 Dokazati ovaj iskaz.Po�sto hamiltonijan komutira sa lz, i celo stanje rasejanja �ce imati m = 0.Iako hamiltonijan komutira i sa l2, po�cetni uslov nema odredeno l, te stanje rasejanja moramoda razvijemo po l: (r; �) = 1Xl=0 alul(r)Y m=0l (�):

12.1. OSNOVI TEORIJE ELASTI �CNOG RASEJANJA 471Funkcija Y m=0l je jednaka, s ta�cno�s�cu do konstante, Legendre-ovom polinomu Pl(cos �) (uporediti(6.6.7) i (6.6.5a)). Stoga poslednja jednakost mo�ze da glasi: (r; �) = 1Xl=0 blul(r)Pl(cos �): (12.1.40)Kao �sto smo videli, nama je u stvari potrebna samo asimptotska forma od (r; �). Izra�cuna�cemoasimptotsku formu pojedinih ul(r).U asimptotskom regionu (12.1.39) se svodi na(1r d2dr2 r + k2) ul(r) = 0; r !1: (12.1.41)Op�ste re�senje od (12.1.41) glasi �r cos kr+ �r sin kr ili, ekvivalentno, r sin (kr + Æ), kao �sto je lakovideti. Ispostavlja se da je pogodno staviti Æ def= �l�2 + Æl, def= e{Ælk . Tako u stvari svodimo dvenepoznate konstante na jednu (na Æl), ali kadul(r) def= e{Ælkr sin (kr � l�2 + Æl); r !1 (12.1.42)zamenimo u (12.1.40), u stvari smo drugu nepoznatu konstantu apsorbovali u nepoznatu kon-stantu bl (i pretvorili je, recimo, u cl).Potrebno nam je i razvijanje ravnog talasa po sfernim talasima:e{kz = 1Xl=0 (2l + 1) {l jl(kr)Pl(cos �); (12.1.43)gde je jl(kr) sferna Bessel-ova funkcija (uporediti x 6.6.5). Asimptotska forma od jl(kr) glasi12.1.12:sin (kr�l �2 )kr .Sad mo�zemo asimptotsku formu od (r; �) izjedna�citi sa asimptotskom formom e{kz+f(�) e{krrkoju znamo od po�cetka ovog odeljka:1Xl=0 cl e{Ælkr sin (kr � l�2 + Æl)Pl(cos �) = 1Xl=0 (2l + 1) {l sin (kr � l�2 )kr Pl(cos �) + f(�)e{krr : (12.1.44)Izra�zavaju�ci sinuse preko eksponencijalnih funkcija i izjedna�cavaju�ci koe�cijente pored e�{krr nalevoj strani i na desnoj strani (jer e�{krr i e{krr su linearno nezavisne funkcije u U(L2(r)), sledi:Xl cl e{Ælk {2 e{l �2 e�{Æl Pl(cos �) =Xl (2l + 1) {l {2k e{l �2 Pl(cos �):Po�sto su Legendre-ovi polinomi ortogonalni (stoga linearno nezavisni elementi od L2(�)), dola-zimo najzad do rezultata cl = (2l + 1) {l: (12.1.45)12.1.12Razvijanje (12.1.43) izvodi se u "Matemati�ckoj dopuni", na str. 602-3 u ud�zbeniku Teorijska �zika i strukturamaterije, Ivan Supek, tre�ce izdanje, Zagreb, 1964. A asimptotska forma od jl(kr) izvedena je u istoj knjizi nastr. 600.

472 GLAVA 12. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE RASEJANJAS druge strane, izjedna�cavaju�ci koe�cijente pored e{krr na levoj strani i na desnoj strani od(12.1.44) sledi:Xl cl e{Ælk 12{ e�{l �2 e{Æl Pl(cos �) =Xl (2l + 1) {l 12k{ e�{l �2 Pl(cos �) + f(�):Na osnovu { = e{�2 i (12.1.45) onda dobijamof(�) = 12k{ 1Xl=0 (2l + 1)(e2{Æl � 1)Pl(cos �) = 1k 1Xl=0 (2l + 1) e{Æl sin Æl Pl(cos �): (12.1.46)Prema tome, po�sto je �(�; ') = jf(�; ')j2, a �(�) = 2��(�; ') ako �(�; ') ne zavisi od ',imamo �(�) = 2�k2 jP1l=0(2l + 1) e{Æl sin Æl Pl(cos �)j2 : (12.1.47)Zna�ci, u diferencijalnom preseku sferni talasi sa razli�citim odredenim vrednostima l interferi-raju. To poti�ce otud �sto je merenje odredenog l (tj. opservable l2) nekompatibilno sa merenjemprostornog ugla = �; ' (ili samog ugla �) i obratno.Po�sto su Legendre-ovi polinomi ortogonalniZ �0 Pl(cos �)Pl0(cos �) sin � d� = 22l + 1Æll0 ; (12.1.48)totalni presek, de�nisan sa � def= R �0 sin ��(�) d�, je dat sa:� = 4�k2 P1l=0(2l + 1) sin2 Æl : (12.1.49)Kao �sto se i moglo o�cekivati, u totalnom preseku, u kome vi�se nije implikovano merenje ugla,nema vi�se ni interference.�Cesto se de�ni�se parcijalni presek:�l def= 4�k2 (2l + 1) sin2 Æl; (12.1.50)onda je � = 1Xl=0 �l: (12.1.51)O�cigledno, �l � 4�k2 (2l + 1): (12.1.52)Dakle, u parcijalnom preseku �l imamo samo tzv. fazni pomak Æl kao otvoren (tj. nepoznat)realan broj. �Citavo dejstvo potencijala rasejanja V (r) ispoljava se u faznim pomacima.

12.1. OSNOVI TEORIJE ELASTI �CNOG RASEJANJA 47312.1.7 �Opti�cki teoremIz rezultata metoda parcijalnih talasa neposredno sledi jedan va�zan teorem koji nosi naziv iznaslova paragrafa.Teorem 12.1.1 Totalni presek elasti�cnog rasejanja zavisi samo od amplitude rasejanja za ugao� = 0 i to preko proste funkcionalne veze:� = 4�k Im f(� = 0) : (12.1.53)Dokaz: Po�sto je Pl(cos �) = 1, iz (12.1.46) odmah sledi Im f(0) def= 12{ (f(0)� f�(0)) = 1kPl(2l+1) sin2 Æl, a toje na osnovu (12.1.49) jednako k�4� . Q. E. D.12.1.8 �Efekti izmene identi�cnih �cestica bez spinaU ovom odeljku smo do sada prou�cavali samo razli�cive �cestice. Pretpostavljali smo (pre�cutno)da pri merenju broja �cestica koje se rasejavaju u in�nitezimalni prostorni ugao oko = �; 'umemo da razlikujemo upadne �cestice od �cestica u meti. U ovom paragrafu �cemo pretpostavitida su upadna �cestica i �cestica u meti identi�cne �cestice bez spina (tj. sa spinom s = 0). Onda jepri doti�cnom merenju principijelno nemogu�ce razlikovati da li merimo rasejanu upadnu �cesticuili rasejanu (tj. odbijenu) �cesticu iz mete.Po�sto se radi o bozonskom dvo�cesti�cnom sistemu, stanje rasejanja mora biti simetri�can vektor.Operator izmene E uzajamno izmenjuje r1 i r2 u H(u)1 H(u)2 , a u faktor prostoru H(u)R�C izH(u)R�C H(u)CM = H(u)1 H(u)2 deluje kao operator prostorne inverzije I(p)R�C, tj. prevodi r u �r(uporediti 9.3.10). Stoga talasna funkcija relativne �cestice mora biti nepromenjena pod dejstvomI(p)R�C.Asimptotsko stanje rasejanja, prema tome, glasie{kz + e�{kz + f(�; ')e{krr + f(� � �; '� �)e{krr (12.1.54)("+" za 0 � ' � �), a diferencijalni presek je dat sa�(�; ') = jf(�; ') + f(� � �; '� �)j2 : (12.1.55)Sabirci u (12.1.55) se odnose na upadnu i na �cesticu iz mete. Njihova nerazli�civost se ogleda uinterferenciji dva sabirka. Naime, kada bi �cestice bile razli�cive, a mi ih na�som odlukom ne bi ra-zlikovali pri merenju, onda bismo umesto (12.1.55) imali: �(�; ') = jf(�; ')j2+jf(� � �; '� �)j2.Razlika izmedu (12.1.55) i ovog izraza pripisuje se efektu izmene.12.1.9 �Efekti izmene identi�cnih �cestica sa spinomPretpostavimo sad da imamo dva identi�cna fermiona sa spinom s = 12 . Onda dvo�cesti�cno spinskostanje mo�ze biti singletno (S = 0) ili tripletno (S = 1). U prvom slu�caju prostorno dvo�cesti�cnostanje mora biti simetri�cno (jer spinsko je antisimetri�cno, uporediti x 9.5), a u drugom antisime-tri�cno (jer spinsko je simetri�cno).

474 GLAVA 12. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE RASEJANJAObele�zavaju�ci indeksom s i t singletno, odnosno tripletno stanje, imamo s(r; �; ') = e{kz + e�{kz + f(�; ')e{krr + f(� � �; '� �)e{krr ; r !1; (12.1.56a) t(r; �; ') = e{kz � e�{kz + f(�; ')e{krr � f(� � �; '� �)e{krr ; r !1: (12.1.56b)�Sto se ti�ce preseka, oni su dati obrascima:�s(�; ') = jf(�; ') + f(� � �; '� �)j2 ; (12.1.57a)�t(�; ') = jf(�; ')� f(� � �; '� �)j2 : (12.1.57b)O�cigledno, opet imamo efekt izmene u oba slu�caja.Obi�cno su �cestice pri rasejanju nepolarizovane, pa se pi�se�(�; ') = 14�s(�; ') + 34�t(�; ') : (12.1.58)Zadatak 12.1.14 Nepolarizovano stanje zna�ci da je u faktor prostoru H(s)1 H(s)2 stanje me�sano opisano sa� = 14 I (a u H(o)1 H(o)2 stanje je �cisto). Izvesti (12.1.58).Zadatak 12.1.15 Uzmimo op�sti slu�caj identi�cnih �cestica spina s (ceo ili poluceo).a) Pokazati da relativna �cestica mora biti u svojstvenom stanju od I(p)R�C koje odgovara svojstvenoj vrednosti�R�C = �(�1)2s�S ; (12.1.59a)gde je S dvo�cesti�cni spin.b) Pokazati da odgovaraju�ci diferencijalni presek ��R�C glasi��R�C(�; ') = jf(�; ') + �R�Cf(� � �; '� �)j2 (12.1.59b)(svi su �s sa istim �R�C jednaki ��R�C).c) Pokazati da je diferencijalni presek u slu�caju nepolarisanog stanja dat obrascem�(�; ') = X�R�C=�1 W�R�C ��R�C(�; '); (12.1.59c)gde je W�R�C = s+ 12 � 12�R�C2s+ 1 : (12.1.59d)

12.2. OSNOVNI POJMOVI OP�STE TEORIJE SUDARA 47512.2 Osnovni pojmovi op�ste teorije sudaraOvaj kratak odeljak ima dvostruku svrhu:(a) da dopuni detaljniju teoriju potencijalnog elasti�cnog rasejanja iz prethodnog odeljka naba�cenimosnovnim pojmovima rezonantnog elasti�cnog rasejanja i neelasti�cnog rasejanja i(b) da potencijalno rasejanje stavi u pravu kvantno-mehani�cku perspektivu, �sto je za zasnivanjeteorije rasejanja u kvantnoj mehanici mo�zda isto toliko va�zno koliko i detaljno poznavanjeosnovnih formula.Efekte koji su u vezi sa spinom ne�cemo uop�ste diskutovati, kao ni efekte izmene usled even-tualne identi�cnosti upadne �cestice sa jednom ili vi�se �cestica koje ulaze u sastav kvantnog sistemau meti.12.2.1 Kakvi su sve sudari mogu�ciU teoriji sudara �cine se slede�ca ograni�cenja:(a) jedna od dve �cestice �ciji se sudar prou�cava miruje12.2.1, te imamo upadnu �cesticu i �cesticu umeti,(b) upadna �cestica je stabilna (tj. ne raspada se) i u osnovnom je stanju pre i posle sudara (urasejanju).Nakon sudara mo�ze da se desi da se razleti tri ili vi�se �cestica. Onda se govori o spalaciji.Izu�cavanje ovog procesa se obi�cno ne uklju�cuje u teoriju sudara. Suprotna je mogu�cnost da poslesudara imamo samo jednu �cesticu. Onda se govori o zahvatu. Teorija sudara uglavnom izu�cavaslu�caj kada i posle sudara imamo upravo dve �cestice, ali ne nu�zno iste kao i pre sudara. Kadasu �cestice posle sudara iste kao pre, onda se govori o rasejanju i teorija sudara se onda svodi nateoriju rasejanja. Ako je i kineti�cka energija nepromenjena, onda je re�c o elasti�cnom rasejanju,ina�ce o neelasti�cnom rasejanju. Kada se �cestice promene u sudaru, govori se o reakcijama ili oprocesima (kada je �cestica u meti jezgro odnosno kada je elementarna �cestica).U svim slu�cajevima osim u elasti�cnom rasejanju �cestica u meti posle sudara mo�ze biti uosnovnom ili u pobudenom stanju.12.2.2 � Rezonantno elasti�cno rasejanjeU celom prethodnom odeljku izu�cavali smo samo tzv. teoriju potencijalnog elasti�cnog rasejanja.Za ovaj fenomen je karakteristi�cno da se u funkcionalnoj zavisnosti �E (presek kao funkcija odenergije) ne pojavljuju lokalni maksimumi kao na Crte�zu C12.3. Teorijski se pri ovom rasejanjuuzimaju u obzir samo re�senja iz kontinualnog spektra hamiltonijana dve �cestice.�Cesto se u eksperimentima elasti�cnog rasejanja dobijaju krive preseka kao na Crte�zu C12.3.Lokalni maksimumi se obi�cno nazivaju peak-ovima12.2.2. Tu se radi o izvesnim energijama (re-lativne �cestice) E1; E2; E3; itd. za koje do rasejanja dolazi znatno verovatnije nego za okolne12.2.1Ponekad se (u veoma te�skim eksperimentima) izu�cava i sudar dva snopa.12.2.2Engleski peak zna�ci vrh; �citati piik.

476 GLAVA 12. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE RASEJANJA

Slika 12.3: Tipi�cna eksperimentalna kriva zavisnosti preseka od energije.energije. U ovom slu�caju se ka�ze da se de�sava rezonantno elasti�cno rasejanje, a peak-ovi senazivaju rezonancama.Teorijski rezonance poti�cu od toga �sto dvo�cesti�cni hamiltonijan mo�ze imati i diskretne svoj-stvene vrednosti i odgovaraju�ca prava svojstvena stanja iako smo u regionu pozitivnih energija,tj. u kontinualnom spektru. (To je slu�caj kada kontinualni i diskretni spektar hamiltonijanadvo�cesti�cnog sistema imaju nekoliko vrednosti E1; E2; E3; itd. zajedni�ckih.)12.2.3 � Breit-Wigner-ova formulaStanja dvo�cesti�cnog sistema kojima kao srednja energija odgovara recimo E0, vrednost koja sepoklapa sa nekom zajedni�ckom vredno�s�cu kontinualnog i diskretnog spektra, nazivaju se kvazi-stacionarnim stanjima. Po�sto vrednost energije nije o�stra, imamo pozitivnu �sirinu12.2.3 peak-akoja se obele�zava sa �. Zami�slja se da se stvara jedno kvazi-vezano (kvazi-diskretno) stanjeslo�zenog sistema (od upadne �cestice i �cestice u meti), koje je nestabilno pa se raspada opet naupadnu �cesticu i �cesticu iz mete (bar tako je pri rezonantnom elasti�cnom rasejanju; vide�cemoni�ze da postoje i rezonantne reakcije kada se produkti raspada razlikuju od �cestica pre sudara).Ispostavlja se da verovatno�ca u jedinici vremena da se pomenuto kvazi-vezano stanje raspadneiznosi �~ . Za ovu diskusiju ispusti�cemo ~ kao �sto se obi�cno �cini (tj. koriste se atomske jedinice, ukojima je ~ = 1). Pomenuti raspad ima vi�se mogu�cnosti, tzv. kanala: elasti�cno rasejanje, raznekanale neelasti�cnog rasejanja, razne kanale reakcija itd. Sa svakim kanalom n vezana je jednaverovatno�ca (raspada u jedinici vremena) �n, koja se naziva parcijalnom �sirinom pomenutognivoa E0 (iako to vi�se nema smisao �sirine peak-a). Imamo � = Pn �n, pri �cemu, naravno,moramo sumirati po svim mogu�cim kanalima raspada.12.2.3Ova "�sirina" se ne poklapa sa neodredeno�s�cu energije, ve�c se de�ni�se pomo�cu odredenog izraza iz druge korek-cije perturbacione teorije. Videti L. D. Landau i E. M. Lifxic, Kvantova� mehanika, nerel�tivistska�teori�, izdanie tret~e, Nauka, Moskva, 1974; primedba 1 u paragrafu 134.

12.2. OSNOVNI POJMOVI OP�STE TEORIJE SUDARA 477Kao �sto smo pomenuli, elasti�cno rasejanje je jedan od kanala (jedna vrednost indeksa n).Obele�zimo odgovaraju�cu parcijalnu �sirinu sa �e (n = e). Mo�ze se pokazati da je ukupna amplitudarasejanja elasti�cnog rasejanja fe(�) za odredenu vrednost l jednaka zbiru amplitude potencijalnogi amplitude rezonantnog rasejanja: fe(�) = fpot(�) + frez(�) (12.2.1)(fpot(�) je u stvari amplituda sabirak u (12.1.46)).Drugi sabirak je dat izrazomfrez(�) = �2l+12k �eE�E0+{�2 e2{Æl Pl(cos �) : (12.2.2)(Naravno, E = k2~22m , a Æl je fazni pomak iz x 12.1.5.)Odredena vrednost kvantnog broja orbitnog uglovnog momenta l u formulama (12.2.1) i(12.2.2) poti�ce od �cinjenice da nivo E0 dvo�cesti�cnog sistema ima odredeno l (zapravo dvo�cesti�cnoL, uporediti (4.5.12b)). Naime, pretpostavljamo da interakcija ne zavisi od spina. Stoga je nesamo dvo�cesti�cni J , ve�c i pomenuti L = l dobar kvantni broj. U (12.2.1) i (12.2.2) uzima seupravo l nivoa E0.Izraz (12.2.2) naziva se Breit-Wigner-ova formula12.2.4.Presek se iz amplituda rasejanja izra�cunava na standardan na�cin (videti (12.1.21)). Nave�s�cemojedan specijalan slu�caj radi ilustracije.Pri rasejanju sporih neutrona na jezgrima ispostavlja se da se mo�zemo ograni�citi na l = 0, tj.na s-rasejanje. Ispostavlja se, dalje, da presek ukupnog elasti�cnog rasejanja glasi�e = 4��2 + �k2 �2e(E � E0)2 + �24 + �k 4� �e(E � E0)(E � E0)2 + �24 : (12.2.3)Prvi sabirak opisuje potencijalno rasejanje (koje je u ovom slu�caju dato u stvari samo jednomkonstantom �), drugi sabirak opisuje rezonantno rasejanje, a tre�ci interferencu ova dva rasejanja.U neposrednoj blizini nivoa E0 (tj. kada je E�E0 istog reda veli�cine kao �) �e se prakti�cki svodisamo na rezonantni �clan.12.2.4 � Neelasti�cno rasejanjeNeka jemmasa, a r radijus vektor relativne �cestice; obele�zimo sa q sve unutra�snje koordinate12.2.5kvantnog sistema u meti, a sa H(q) hamiltonijan istog �zi�ckog sistema. U neelasti�cnom rasejanju,koje �cemo sad ukratko prou�citi, su od velike va�znosti pobudena stanja kvantnog sistema u meti,stoga �cemo se koristiti, u principu, celim spektrom i svojstvenim bazisom od H(q).12.2.4Formule rezonantnog rasejanja su prvi izveli Breit i Wigner u radu: Phys. Rev. 49, 519 (1936). Detaljnijiprikaz nego prikaz u tekstu dat je u ud�zbeniku L. D. Landau i E. M. Lifxic, Kvantova� mehanika,nerel�tivistska� teori�, izdanie tret~e, Nauka, Moskva, 1974.12.2.5Sada su na�se dve �cestice u stvari upadna �cestica i centar masa kvantnog sistema u meti. Sa te dve "�cestice"prelazimo na relativnu �cesticu i na centar mase te dve �cestice. Osim toga, imamo koordinate q kvantnog sistemau meti oko njegovog centra masa.

478 GLAVA 12. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE RASEJANJASvojstveni problem hamiltonijana sad glasi:[� ~22m r2 + H(q) + V (r; q)]'(r; q) = E '(r; q) ; (12.2.4)gde je V (r; q) multiplikativni operator interakcije izmedu upadne �cestice i kvantnog sistema umeti.Prirodno je po�ci od neperturbisanog hamiltonijanaH0 def= H(q)� ~22m r2; (12.2.5)jer u njemu su dinami�cki raspregnuti unutra�snji stepeni slobode kvantnog sistema u meti i koor-dinate relativnog kretanja (r deluje samo na r).Pretpostavimo da smo re�sili svojstveni problem od H0. O�cigledno je da su svojstveni vektorii odgovaraju�ce svojstvene vrednosti vida:'bkb def= 'b(q) e{kb�r; Ebkb def= "b + k2b~22m ; (12.2.6a,b)pri �cemu imamoH(q)'b(q) = "q'b(q); � ~22m r2 e{kb�r = k2b~22m e{kb�r; 8b; 8kb: (12.2.7a,b)Sa b smo obele�zili potpun skup kvantnih brojeva koji prebrojava svojstvene vektore od H(q).Pisa�cemo b = a za osnovno stanje �cestice u meti (b je teku�ce, a a je �ksirano). Po�cetniuslov12.2.6 onda ima vid 'aka = 'a e{ka�r: (12.2.8)Posle interakcije neka je na�s dvo�cesti�cni sistem u krajenjem stanju'bkb = 'b e{kb�r; (12.2.9)gde 'b mo�ze biti pobudeno stanje kvantnog sistema u meti. Iz odr�zanja energije sledi potrebanuslov: "a + k2a~22m = "b + k2b~22m : (12.2.10)Po�sto k2b � 0, da bi prelaz 'aka ! 'bkb bio mogu�c, uslov (12.2.10) iziskujek2a~22m � "b � "a; (12.2.11)tj. da raspolo�ziva energija iz relativnog kretanja bude dovoljna bar za pobudenje kvantnogsistema u meti.12.2.6 �Citalac je verovatno zapazio da iako rasejanje tretiramo kao stacionarno stanje, ipak se koristimo terminimaiz druge mogu�cnosti opisivanja (u koju mi ne ulazimo), u kojoj je rasejanje vremenski zavisan proces. Striktnogovore�ci, 'ak je deo stanja rasejanja (uporediti formulu (12.2.15)) koji opisuje upadnu �cesticu i kvantni sistem umeti bez interakcije izmedu njih ("pre interakcije").

12.2. OSNOVNI POJMOVI OP�STE TEORIJE SUDARA 479Ako va�zi nejednakost (12.2.11), ka�ze se da je kanal b otvoren (tj. doti�cni prelaz je mogu�c);ako (12.2.11) ne va�zi, govori se o zatvorenom kanalu.Kada se razmatranje iz x 12.1.3 uop�sti na neelasti�cno rasejanje, dobija se slede�ca asimptotskaforma stanja rasejanja:'(r; q) = 'aka +Pb 'b(q) fba(�b; 'b) e{kbrr ; r !1 ; (12.2.12)gde je fba(�b; 'b) amplituda rasejanja iz po�cetnog kanala a u kanal b, a �b i 'b su sferni polarniuglovi vektora kb, talasnog vektora relativne �cestice u kanalu b.Diferencijalni presek rasejanja iz kanala a u kanal b glasi�ba(�b; 'b) = kbka jfab(�b; 'b)j2 : (12.2.13)Elasti�cno rasejanje je uklju�ceno u s(12.2.12) i (12.2.13). Naime, ako sva pobudena stanjakvantnog sistema u meti le�ze visoko, tj. "b � "a, 8b 6= a, onda su norme odgovaraju�cih amplitudarasejanja fba veoma male. Relacije s(12.2.12) i (12.2.13) se onda u dobroj pribli�znosti svode na'(q; r) � 'a(q)fe{ka�r + faa(�a; 'a) e{karr g; r !1; (12.2.14a)�aa(�a; 'a) = jfaa(�a; 'a)j2: (12.2.14b)Unutra�snje stanje 'a(q) je onda irelevantno, mo�zemo ga izostaviti (zajedno sa unutra�snjim koor-dinatama q na levoj strani od (12.2.14a)) i tako dolazimo do izraza (12.1.19) i (12.1.21) (potpunijere�ceno faa = fpot + frez).Svi neelasti�cni kanali su rezonantne prirode zbog (12.2.10), �sto se u funkcionalnoj zavisnostiukupnog (u odnosu na uglove) preseka �ba(ka) od ka ispoljava kao peak.12.2.5 � Lippmann-Schwinger-ova jednakostKao �sto smo videli u prethodnom odeljku, amplitude rasejanja se dobijaju iz vektora stanja kojije re�senje zakona kretanja. Radi izu�cavanja tog re�senja, pogodno je prevesti diferencijalnu formuzakona kretanja u integralnu, koja inkorporira i grani�cni uslov asimptotske forme preko pogodnoodabranih Green-ovih funkcija (sli�cno smo �cinili u x 12.1.4).Ispostavlja se da u slu�caju neelasti�cnog rasejanja pomenuta integralna jednakost, ekvivalentna(12.2.4) plus (12.2.2), mo�ze da se napi�se na slede�ci na�cin:'(q; r) = 'aka � m2�~2 Xb 'b(q) Z '�b(q0) e{kbjr� r0jjr� r0j V (q0; r0)'(q0; r0) dq0 dr0 ++ Xb0 Z g0b(qrjq0r0)V (q0; r0)'(q0; r0) dq0 dr0; (12.2.15)gde je 'aka dat sa (12.2.8); u zbiru Pb se sumira po svim otvorenim kanalima, a u zbiru P0bpo svim zatvorenim kanalima (tj. po slu�cajevima k2b0 < 0); kb se odreduje iz odr�zanja energije(12.2.10). Green-ova funkcija g0b zatvorenog kanala b0 data je obrascem:g0b(qrjq0r0) = m4�2~2 'b0(q)'�b0(q0) Z e{k0�(r�r0)k2b0 � k02 + {� dk0; (12.2.16)

480 GLAVA 12. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE RASEJANJAa k2b0 je opet odreden sa (12.2.10).Jednakost (12.2.15) sa (12.2.16) se �cesto pi�se simboli�cki u vidu' = 'aka + VEaka�H0+{� ' : (12.2.17)Relacija (12.2.17) i puna forma od (12.2.17) data sa (12.2.15) plus (12.2.16) naziva se Lippmann-Schwinger-ovom jednako�s�cu12.2.7.U stvari (12.2.4) se pomo�cu notacije iz (12.2.5) mo�ze napisati kao(Eaka � H0)' = V '; (12.2.18)jer E = Eaka, tj. energija stanja rasejanja ' je u stvari energija ulaznog kanala. Green-ove funk-cije za otvorene i zatvorene kanale u (12.2.15) upravo i slu�ze invertovanju singularnog operatoraEaka � H0 (uzimaju�ci u obzir i grani�cni uslov). Imaginarni sabirak {� je u (12.2.17) simboli�can,a u (12.2.16) � je mali pozitivan broj koji odreduje kako da se zaobide pol (singularitet) ukompleksnoj ravni (nakon izra�cunavanja integrala treba uzeti limes � ! 0).12.2.6 � ReakcijeNa kraju, bez ikakvog ula�zenja u teoriju reakcija, neophodno je ista�ci za�sto forma hamiltonijanau (12.2.4), na kojoj je zasnovana teorija neelasti�cnog rasejanja, ne obuhvata istovremeno i kanalereakcija.Vid ukupnog hamiltonijana� ~22m r2 + H(q) + V (r; q) = H(r; q); (12.2.19)�ciji je svojstveni problem (12.2.4), o�cigledno je takav da su u H(q) u stvari sadr�zane sve �cesticekoje ulaze u sastav kvantnog sistema u meti, a upadna �cestica interaguje sa njima preko V (r; q).Ovaj vid hamiltonijana ima kao premisu pretpostavku da mo�zemo zanemariti pregrupisavanje�cestica, koje bi moglo dovesti do izletanja neke druge (a ne upadne) �cestice.Hamiltonijan koji bi bio ta�cniji nego (12.2.19) i obuhvatao i opisivanje kanala reakcija bimorao da tretira na simetri�can na�cin interakcije medu svim �cesticama u slo�zenom sistemu (tj.u sistemu upadna �cestica plus kvantni sistem u meti). Upadna �cestica bi igrala izdvojenu ulogusamo u po�cetnom uslovu, tj. u jednom sabirku u stanju sudara (�sto bi bilo uop�stenje stanjarasejanja).Sli�cno bi se opisivali i procesi elementarnih �cestica (zami�sljaju�ci �cesticu u meti kao slo�zenu odelementarnijih delova, kvarkova ili partona itd. i primenjuju�ci relativisti�cku kvantnu mehaniku).12.2.7Originalna referanca glasi: B. A. Lippmann and J. Schwinger, Phys. Rev. 79, 469 (1950). Ne�sto detaljnijiprikaz nego u tekstu dat je u ud�zbeniku: A. S. Davidov, Kvantova� mehanika, Moskva, 1963.

Dodatak AGRUPA ROTACIJA I ANGULARNIMOMENT (M. Damnjanovi�c)Cilj ovog dodatka je da teoriju angularnog momenta u kvantnoj mehanici izlo�zi na grupno-teorijski na�cin, uspostavljanjem veze angularnog momenta sa grupom rotacija. Time bi trebaloda se �citaocu koji je ovladao osnovnim znanjima o Lie-jevim grupama omogu�ci alternativno, imo�zda br�ze sagledavanje problematike obradene u glavama 6 i 7.Dodatak po�cinje de�nicijom grupe SO(3) i njenom identi�kacijom sa grupom rotacija u tro-dimenzionalnom prostoru. Zatim se uvodi grupa SU(2) kao univerzalno prekrivaju�ca, da biu preostalom delu, kori�s�cenjem teorije grupa, bile razmatrane ireducibilne reprezentacije SU(2).Posebna pa�znja je posve�cena redukovanju direktnih proizvoda ireducibilnih reprezentacija SU(2),kao matemati�ckom okviru za tzv. slaganje angularnih momenata.A.1 Osnovne osobine grupe rotacijaU ovom odeljku �ce se analizom intuitivnog pojma rotacije u trodimenzionalnom Euklidovomprostoru uspostaviti veza sa grupom SO(3). Zatim �ce biti ukazano na one osobine ove grupe kojesu relevantne za kasniju analizu angularnog momenta.A.1.1 Grupa rotacija i SO(3)Svaka rotacija u trodimenzionalnom Euklidovom prostoru je odredena ortom u i uglom � zakoji se vr�si rotacija (uzima se da je ugao pozitivan ako je u pitanju desna rotacija u odnosu naodabrani ort). Oznaka ovako de�nisane rotacije je R�u ili, kra�ce, R�, gde se vektor � = �u nazivavektor rotacije. Po�sto je R(2���)u = R�(�u), ugao � se uvek mo�ze uzeti iz intervala [0; �].Neka su a1 i a2 vektori iz Euklidovog prostora, koji se rotacijom R� preslikaju u a0i = R�ai(i = 1; 2). Lako je zapaziti da (videti crte�z CA.1):i) ako je vektor �a1+�a2 proizvoljna linearna kombinacija vektora a1 i a2, njegovom rotacijomse dobija vektor koji je linearna kombinacija rotiranih vektora sa istim koe�cijentima, tj.R�(�a1 + �a2) = �a01 + �a02; 481

482 DODATAK A. GRUPA ROTACIJA I ANGULARNI MOMENT (M. DAMNJANOVI�C)ii) du�zine vektora a1 i a2 jednake su du�zinama rotiranih vektora (a01 i a02, respektivno), a i ugaoizmedju po�cetnih vektora jednak je uglu medu rotiranim vektorima;iii) ort rotacije, u, pri rotaciji ostaje nepromenjen, a vektori iz ravni orogonalne na u ostajunakon rotacije u istoj ravni.Osobina i) ukazuje da je svaka rotacija linearni operator u Euklidovom prostoru, a na osnovuzapa�zanja ii) sledi da ovaj operator ne menja skalarni proizvod vektora, tj. da je ortogonalan.Kona�cno, poslednja osobina pokazuje da je u svojstveni vektor za R� za svojstvenu vrednost 1,dok je ravan ortogonalna na u invarijantna.

Slika A.1: Rotacija za � oko osenormalne na crte�z.

Nakon ovog zaklju�cka, rotacija R� mo�ze se, kao i svakilinearni operator u R3 , reprezentovati realnom matricom tipa3 � 3. Pri tome, ako se za reprezentovanje iskoristi orto-normirani bazis, mora se dobiti ortogonalna matrica. Speci-jalno, ako se za reprezentovanje odabere bazis ortonormiranifu1;u2;u3 def= ug, nastao dopunjavanjem orta rotacije orto-normiranim vektorima u1 i u2, dobija se matricaR(�) = 0@ cos � � sin � 0sin � cos � 00 0 11A : (A.1.1)Njena determinanta je 1, tj. to je matrica iz specijalne orto-gonalne grupe SO(3;R), a trag joj jeTrR(�) = 1 + 2 cos �: (A.1.2)Time je pokazano da je svaka rotacija specijalni ortogonalni operator (determinanta ne zavisiod bazisa). Sa druge strane, poznato je da elementi grupe SO(3;R) pogodnim izborom bazisadobijaju formu (A.1.1) za neko �, de�nisano tragom operatora (takode ne zavisi od bazisa). Stogaje jasno da imaju jedan svojstveni vektor za svojstvenu vrednost 1, a da je ortokomplement ovogvektora invarijantna ravan. Sledi da svaka specijalna ortogonalna transformacija opisuje rotacijuoko svog svojstvenog vektora za ugao �, koji je odreden tragom operatora, i da je ova vezarotacija i grupe SO(3;R) bijektivnaA.1.1.Rezimiraju�ci prethodna razmatranja, zaklju�cuje se da je skup rotacija zapravo grupa SO(3;R),specijalnih ortogonalnih transformacija trodimenzionalnog Euklidovog prostora. Stoga je zaprou�cavanje rotacija mogu�ce, i to kao veoma e�kasan metod, koristiti aparat teorije grupa.Zadatak A.1.1 Pokazati da za proizvoljne dve rotacije va�ziR�R R�1� = RR� : (A.1.3)(Uputstvo: Po�sto je re�c o konjugaciji u grupi, rezultat je rotacija. Istovremeno je to i transformacija sli�cnosti, teje trag nepromenjen. Proveriti da je R� svojstveni vektor R�R R�1� za svojstvenu vrednost 1.)A.1.1Naime, ako je A specijalni ortogonalni operator, re�savanjem njegovog svojstvenog problema se mora dobitisvojstvena vrednost 1 ili kao nedegenerisana ili kao trostruka. U drugom slu�caju je to jedini�cna matrica, kojojodgovara rotacija za ugao � = 0 (oko bilo koje ose). U prvom slu�caju je ugao � = arccos TrA�12 odredenjednozna�cno unutar intervala � 2 [0; �], dok je svojstveni ort u odreden do na znak; uslovom da se u desnombazisu fu1;u2;ug operator A reprezentuje matricom (A.1.1), �ksira se i znak orta u.

A.1. OSNOVNE OSOBINE GRUPE ROTACIJA 483A.1.2 Parametrizacije rotacione grupeKao �sto je ve�c uo�ceno, rotacija je odredena svojim ortom u i uglom �, koji je iz intervala [0; �].Skup svih rotacija se stoga mo�ze predstaviti (zatvorenom) loptom radijusa �: svaka ta�cka telopte je vektor �, �ciji su ort i du�zina u stvari osa, odnosno ugao rotacije. No, za prouzvoljniort u, vektori �u i �(�u), tj. suprotne ta�cke jednog pre�cnika lopte su zapravo ista rotacija, jerje o�cigledno da se rotacijom za � oko iste prave, bez obzira na odabrani smer rotacije, dobijaisti rezultat. Stoga je grupu rotacija mogu�ce opisati tzv. �-loptom, a to je mnogostrukostkoja se dobija kada se na lopti radijusa � identi�kuju parovi suprotnih krajnjih ta�caka svakogpre�cnikaA.1.2. Tri Descartes-ove komponente vektora �, tj. (�1; �2; �3) su tzv. parametri �-loptegrupe rotacija.Zadatak A.1.2 Pokazati da je matrica rotacije u Descartes-ovom bazisu u kojem vektor rotacije i ort u imajukomponente (�1; �2; �3) i (u1; u2; u3) respektivno, data matri�cnim elementima:Rij(�) = cos �Æij + (1� cos �)�i�j�2 � 3Xk=1 �ijk sin � �k� = cos �Æij + (1� cos �)uiuj � sin � 3Xk=1 �ijkuk: (A.1.4)Posebno, pokazati da su matrice rotacija za � oko Descartes-ovih ortovaR(�; 0; 0) = 0@ 1 0 00 cos � � sin �0 sin � cos � 1A ; R(0; �; 0) = 0@ cos � 0 sin �0 1 0� sin � 0 cos �1A ; R(0; 0; �) = 0@ cos � � sin � 0sin � cos � 00 0 11A :(A.1.5)Kako je R�1(�) = R(��) i I3 = R(0), parametri �-sfere su prirodni parametriA.1.3.Druga uobi�cajena parametrizacija grupe rotacija je pomo�cu Euler-ovih uglova. Neka se rota-cijom R Descartes-ov bazis fe1; e2; e3g preslika u bazis fE1;E2;E3g. Neka je presek ravni e1Oe2i E1OE2 tzv. �cvorna linija, �ciji je ort e01. Kako oba orta le�ze u ravni e1Oe2, ortogonalnoj na e3,rotacijom oko e3 za neki ugao � 2 [0; 2�], ort e1 se preslikavaA.1.4 u ort e01: R�e3e1 = e01. Pri tomese e2 preslikao u neki ort e02, dok je e3 ostao nepromenjen (e03 = e3). Sa druge strane, e3 i E3 suortogonalni na e01, i rotacijom za neki ugao � 2 [0; �] (smer orta e01 se uvek mo�ze tako odrediti)oko e01 se e3 preslika u E3: R�e01e3 = E3. Pri tome je ort e02 preslikan u ort e002, dok je ort e01 ostaonepromenjen (tj. e001 = e01; pogodno je privremeno obele�ziti i ort E3 kao e003). Sada se iskoristi�cinjenica da je e001 (�cvorna linija) zajedno sa E1 u ravni ortogonalnoj na E3, pa se rotacijom zanovi ugao 2 [0; 2�] oko e003 = E3, ort e001 preslika u E1: R E3e001 = E1. Jasno, E3 je nepromenjen,te je ovim postupkom dobijen bazis fE1;E2;E3g (ort e002 mora biti preslikan u E2, jer rotacijeA.1.2Intuitivno, identi�kaciju treba shvatiti tako da se ta�cke iz jednog para slepe jedna sa drugom. Tako npr.ako se posmatra jednodimenzionalna �-lopta, tj. interval [��; �], procedura daje kru�znicu, koja je, mada samajednodimenzionalna mnogostrukost, sme�stena u ravni, a i za lepljenje je bila potrebna dodatna dimenzija. Zadvodimenzionalni slu�caj kruga radijusa �, uz ne�sto ma�ste (i nakon zasecanja du�zjednog radijusa), mo�ze se nazretineobi�cna povr�s koja odgovara �-krugu. Nazna�cena identi�kacija na trodimenzionalnoj �-lopti zahteva dodatne di-menzije, te ni obi�cna ma�sta, izo�strena samo na trodimenzionalnim telima, ne�ce do�carati kona�cni objekat (o�ciglednonezamisliv!). Elementarni uvod u ovakve teme, sve �ce�s�ce u modernoj �zici, izlo�zen je u knji�ziciV. G. Bolt�nski�,V. A. Efremoviq, Nagl�dna� Topologi�, Biblioteqka "Kvant", 21, Nauka, Moskva, 1982.A.1.3Ka�ze se da su parametri prirodni ako se za njihovu nultu vrednost dobija jedini�cni element grupe, a promenomznaka inverzni element.A.1.4Analogno je mogu�ce, kao u glavi 6, rotirati e2 do �cvorne linije, �cime se dobija druga de�nicija Euler-ovihuglova. Obe konvencije su ravnopravno zastupljene u literaturi.

484 DODATAK A. GRUPA ROTACIJA I ANGULARNI MOMENT (M. DAMNJANOVI�C)ne menjaju orijentaciju bazisa, a dva njegova vektora su ve�c dovedena do poklapanja!). Jasnoje stoga da je rotacija R zapravo kompozicija tri rotacije: R def= R[�; �; ] = R E3R�e01R�e3 .Koriste�ci vezu medu bazisima koji se javljaju u prethodnom razmatranju,0@ e1e2e31A R�e3! 0@ e01e02e3 = e031A R�e01! 0@ e001 = e01e002e003 = E31A R e001! 0@E1E2E31A ;uz kori�s�cenje relacije (A.1.3) nalazi seR[�; �; ] = R�e3R�e1R e3 : (A.1.6)Zamenom matrica rotacija oko Descartes-ovih osa, (A.1.5), dobija se matrica rotacije zadateEuler-ovim uglovima:R(�; �; ) = 0@ cos� cos � sin� cos � sin � cos� sin � sin� cos � cos sin� sin�sin� cos + cos� cos � sin � sin� sin + cos� cos � cos � cos� sin�sin� sin sin� cos cos � 1A : (A.1.7)Zadatak A.1.3 Proveriti relacije (A.1.6) i (A.1.7). (Uputstvo za prvi deo: R�e01 = R�R�e3e1 = R�e3R�e1R�1�e3 .)Zadatak A.1.4 Pokazati da je R�1(�; �; ) = R(� � ; �; � � �). Da li su Euler-ovi uglovi prirodni parametri?A.1.3 Osnovne osobine grupe SO(3)Neke zna�cajne (za teoriju angularnog momenta) karakteristike grupe SO(3) najlak�se se odredujurazmatranjem topolo�skih osobina �-lopte, tj. prostora parametara.Odmah se vidi da su matrice koje opisuju rotacije glatke po sva tri parametra, te je SO(3;R)Lie-jeva grupa. Dalje, �-lopta je ograni�cena i zatvorena, dakle kompaktna trodimenzionalnamno-gostrukost, pa je SO(3) kompaktna grupa. Posledica ovoga je postojanje tzv. invarijantne mere(ili integrala) na grupi, �sto dalje rezultuje za �ziku izuzetno zna�cajnom osobinom (zajedni�ckomza sve kompaktne grupe):Teorem A.1.1 Svaka reprezentacija grupe rotacija ekvivalentna je unitarnoj, i mo�ze biti iliireducibilna ili razlo�ziva na ireducibilne. Sve ireducibilne reprezentacije su kona�cnodimenzionalne.

Slika A.2:Razli�cite petljeu SO(3;R).

Svake dve ta�cke �-lopte se mogu spojiti krivom koja u celini pripada�-lopti. To zna�ci da je grupa rotacija povezana, te da je sve njene ire-ducibilne reprezentacije mogu�ce odrediti kao (eksponencirane) ireducibilnereprezentacije odgovaraju�ce Lie-jeve algebre. Medutim, ako se posmatrajupetlje iz neke ta�cke (tj. krive koje po�cinju i zavr�savaju u istoj ta�cki), mo�zese na�ci ukupno dve razli�cite klase, koje se ne mogu neprekidnim transfor-macijama (bez kidanja, preciznije, homotopnim preslikavanjima) prevestijedna u drugu (na Crte�zu A.2 su obe krive petlje; jedna je to o�cigledno,a druga zato �sto spaja suprotne ta�cke istog pre�cnika, a to je isti elementgrupe). To zna�ci da prostor parametara nije prosto povezan, ve�c kako se

A.1. OSNOVNE OSOBINE GRUPE ROTACIJA 485ponekad ka�ze dvostruko povezanA.1.5. Ovo ima za posledicu postojanje dvo-struko ve�ce univerzalno prekrivaju�ce grupe, i to je kao �sto �ce se pokazati,grupa unitarnih dvodimenzionalnih matrica sa determinantom 1, SU(2).Za povezane grupe je poznato da njihove razli�cite ireducibilne reprezentacije daju razli�citeireducibilne reprezentacije njihovih Lie-jevih algebri. Obrnuto va�zi samo za prosto povezanegrupe. Za SO(3;R), po�sto je dvostruko povezana, polovina ireducibilnih reprezentacija odgova-raju�ce Lie-jeve algebre �ce dati sve razli�cite ireducibilne reprezentacije grupe, dok ostatak uop�stene�ce dati prave, ve�c tzv. dvozna�cne reprezentacije grupe. Preciznije, ireducibilne reprezentacijeLie-jeve algebre grupe SO(3;R) su u bijektivnoj vezi sa ireducibilnim reprezentacijama univer-zalno prekrivaju�ce grupe SU(2). Stoga �ce, relativno jednostavna tehnika razvijena za Lie-jevealgebre (izlo�zena u paragrafu A.2.3), dati reprezentacije Lie-jeve algebre, time i grupe SU(2), a negrupe SO(3;R); polovina od njih su dvozna�cne reprezentacije grupe SO(3;R). Medutim, otkri�cepolucelobrojnog spina nekih �cestica je ukazalo na �cinjenicu da su upravo grupa SU(2), dakle i svenjene reprezentacije, relevantni za �ziku. Rotacije pojedina�cnih objekata u trodimenzionalnomprostoru, od kojih je, na osnovu iskustva prirodno po�ci, samo su jedna, i to ne sasvim verna slikastvarne simetrije prirode.A.1.4 � Grupa SU(2)Grupa SU(2) je skup dvodimenzionalnih unitarnih matrica sa determinantom jednakom jedinici,tj. matrica U = � a bc d� za koje je detU = ad�bc = 1 i � a� c�b� d�� = U y = U�1 = � d �b�c a� �.Stoga se svaki element ove grupe mo�ze predstaviti u obliku:U(a; b) = � a b�b� a�� uz uslov jaj2 + jbj2 = 1; (A.1.8)gde su a i b kompleksni brojevi, tzv. Cayley-Klein-ovi parametri.Jednakostima a = u0+ {u1 i b = u2+ {u3, grupa SU(2) se zadaje pomo�cu �cetiri realna parame-tra, koji zadovoljavaju uslov izP4i=0 u2i = jaj2+ jbj2 = 1. Stoga elementi ove grupe predstavljajuta�cke jedini�cne sfere S3 u �cetvorodimenzionalnom prostoru, i cela grupa se mo�ze smatrati ovomsferom. Sfera S3 je trodimenzionalna mnogostrukost, pri tome kompaktna, povezana i prostopovezana.Zadatak A.1.5 Pokazati da se matrice iz SU(2) mogu napisati u obliku U(u0;u) def= u0I2 + {u � �, gde su ui(i = 0; 1; 2; 3) realni brojevi, a � ranije de�nisane Pauli-jeve matrice.Drugu va�znu parametrizaciju grupe SU(2) daju Euler-ovi uglovi. Pokazuje se da je op�sti oblikmatrice iz SU(2) zadat i sa:U(�; �; ) = � cos �2 e{�+ 2 { sin �2 e{ ��2{ sin �2 e{�� 2 cos �2 e�{�+ 2 � ; � 2 [0; 2�]; � 2 [0; �]; 2 [0; 4�]: (A.1.9)Mo�ze se uo�citi da promena parametra za 2� ne ostavlja matricu U(�; �; ) nepromenjenom (kaokod R(�; �; )), ve�c se dobija matrica suprotnog znaka. Tek promena za 4� daje istu matricu.A.1.5Preciznije, fundamentalna grupa rotacione grupe je drugog reda (i samim tim mora biti cikli�cna grupa C2).

486 DODATAK A. GRUPA ROTACIJA I ANGULARNI MOMENT (M. DAMNJANOVI�C)Sli�cno grupi rotacija, grupa SU(2) se mo�ze parametrizovati 2�-loptom. U stvari, pokazuje seda se matrice iz SU(2) mogu izraziti pomo�cu razli�citih vektora du�zine � 2 [0; 2�], u formi:U(�) def= cos �2I2 + { sin �2 � � �� : (A.1.10)Zadatak A.1.6 Proveriti da je (A.1.10) op�sti oblik za elemente iz SU(2) i izra�cunati matricu U(�).Zadatak A.1.7 Ve�c je utvrdeno da je SU(2) prosto povezana. Sa druge strane, iz (A.1.10) se vidi da je U(2�u) =U(2�(�u)), a ovo je kod SO(3;R) uzrokovalo dvostruku povezanost. Objasniti.Prosta povezanost grupe SU(2) povla�ci da je ova grupa univerzalno prekrivaju�ca za celuklasu Lie-jevih grupa (sa jednakim Lie-jevim algebrama). Sve grupe ove klase su izomorfne sanekom od faktor grupa SU(2)=Zi, gde su sa Zi obele�zene razli�cite diskretne invarijantne podgrupeSU(2). Poznato je da su, kao kod svih prosto povezanih grupa, sve ovakve podgrupe iz centragrupe SU(2). Sa druge strane, grupa SU(2) je o�cigledno ireducibilan skup matrica, tj. ne postojizajedni�cki invarijantni potprostor za sve matrice grupe. Stoga, po Schur-ovoj lemi, svaka matricakoja komutira sa svim matricama grupe mora biti skalarna, cI2. Medu ovakvim matricama, samo�I2 pripadaju SU(2), te je Z = fI2;�I2g centar grupe SU(2).Jedine podgrupe centra su trivijalne, fI2g i sam centar Z. Faktor grupa po jedini�cnomelementu je o�cigledno izomorfna samoj grupi SU(2). Faktor grupa po centru je grupa rotacija, o�cemu govoriTeorem A.1.2 Grupa SO(3) je homomorfan lik od SU(2), pri �cemu je kernel homomor�zmaupravo centar grupe SU(2), tj. va�zi SU(2)=Z �= SO(3). Preslikavanje h, de�nisano sah(U(a; b)) = 0@ 12(a2 + a�2 � b2 � b�2) {2(a2 � a�2 + b2 � b�2) ab + a�b�{2(a�2 � a2 + b2 � b�2) 12(a2 + a�2 + b2 + b�2) {(a�b� � ab)�a�b� ab� {(a�b� ab�) aa� � bb� 1A ;je homomor�zam SU(2) na SO(3) sa kernelom Z.Dokaz: Neka je R(a; b) = h(U(a; b)). Iz jaj2 + jbj2 = 1 sledi da je R(a; b) iz SO(3). Direktnom proverom sepokazuje da va�zi h(U(a; b)U(a0; b0)) = R(a; b)R(a0; b0) = h(U(a; b))h(U(a; b0)), tj. h je homomor�zam. Specijalno,va�zi h(U(�; �; )) = R(�; �; ) (uporediti sa (A.1.7) i (A.1.9)), tako da se za sve razli�cite vrednosti psrametaraSU(2) dobija cela grupa SO(3). Svaki element SO(3) se pri tome dobija dva puta, jer je o�cigledno iz de�nicije hda je h(U(a; b)) = h(U(�a;�b)), tj. kernel homomor�zma h je centar grupe SU(2). Q. E. D.Zadatak A.1.8 U koje matrice iz SO(3) se homomor�zmom h preslikavaju matrice U(�; �; ) i U(�)? Koji parmatrica se preslikava u R(�; �; ), a koji u R(�)?Iz teorema TA.1.2 sledi da je SU(2) univerzalno prekrivaju�ca grupa za SO(3), i kako jeh(U) = h(�U), prekrivanje je dvostruko, tj. svakom elementu SO(3) odgovaraju dva elementaSU(2) suprotnog znaka. Ovo zna�ci i da se SO(3) mo�ze parametrizovati polovinom sfere S3, i u tomsmislu se o a i b govori kao o Cayley-Klein-ovim parametrima grupe SO(3). Treba napomenutida se u okolini jedini�cnog elementa SU(2) samo po jedan element ove grupe preslikava u okolinujedini�cnog elementa SO(3), tj. SU(2) i SO(3) su lokalno izomorfne grupe. Odavde neposrednosledi izomor�zam njihovih Lie-jevih algebri.

A.1. OSNOVNE OSOBINE GRUPE ROTACIJA 487A.1.5 Lie-jeva algebra rotacione grupeKao �sto je ve�c re�ceno, Lie-jeve algebre grupa SU(2) i SO(3) su izomorfne i zajedni�cka oznaka imje su(2). Po�sto su SU(2) i SO(3) troparametarske grupe, dimenzija ove algebre je n = 3. Kao isvaka Lie-jeva algebra, su(2) je odredena strukturnim konstantama, tj. komutacionim relacijamavektora nekog bazisa.Jedan bazis su(2) �cine tri generatora rotacija oko koordinatnih osa (to su generatori jednopa-rametarskih podgrupa parametara �-sfere). Matrice generatora se nalaze diferenciranjem (A.1.5)po � u jedini�cnom elementu grupe (tj. za � = 0):A1 = 0@ 0 0 00 0 �10 1 0 1A ; A2 = 0@ 0 0 �10 0 01 0 0 1A ; A3 = 0@ 0 �1 01 0 00 0 01A : (A.1.11)Generatori Ai o�cigledno zadovoljavaju komutacione relacije:[ Ai; Aj ] = 3Xk=1 �ijkAk; (A.1.12)te su u bazisu fA1; A2; A3g strukturne konstante ckij = �ijk.Zadatak A.1.9 Koriste�ci (A.1.10), odrediti Descartes-ove generatore za SU(2), i pokazati da i oni zadovoljavajukomutacione relacije (A.1.12). Na osnovu ovoga uporediti Lie-jeve algebre grupa SO(3;R) i SU(2).Za �ziku su od interesa ireducibilne reprezentacije ove algebre. U teoriji Lie-jevih algebri jerazraden algoritam njihove konstrukcije. Sam algoritam �ce, na jeziku jedva izmenjenom zbog�zi�ckog konteksta, biti izlo�zen u slede�cem odeljku, a osnovni elementi su dati u nastavku ovogparagrafa kroz zadatke. On bazira na razmatranju kompleksi�kovane algebre su(2), a to jealgebra sl(2; C ), za koju se pokazuje da je prosta (tj. da ne sadr�zi netrivijalne ideale). Ova�cinjenica omogu�cava primenu mo�cnog metoda konstrukcije ireducibilnih reprezentacija prostihalgebri: odredi se standardna forma, tj. Cartan-Weyl-ov bazis, a zatim se razmatraju zajedni�ckisvojstveni vektori reprezenata Cartan-ove podalgebre. Njihove svojstvene vrednosti su te�zine, inajve�ca medu njima karakteri�se ireducibilnu reprezentaciju. Od zna�caja je i Kazimir-ov operator,�ciji su svojstveni potprostori upravo ireducibilni potprostori algebre.Zadatak A.1.10 � Za bazis Ki = {Ai algebre sl(2; C ), pokazati da je [ Ki;Kj ] = {Pk �ijkKk, i da je pridru�zenareprezentacija 0@ 0 0 00 0 �{0 { 0 1A ; ad(K2) = 0@ 0 0 {0 0 0�{ 0 01A ; ad(K3) = 0@ 0 { 0�{ 0 00 0 01A :Zadatak A.1.11 � Koriste�ci prethodni zadatak, uveriti se da je gij def= Trad(Ki)ad(Kj) = 2Æij Cartan-ov tenzoralgebre sl(2; C ). Odavde izvesti zaklju�cak da je algebra poluprosta. Zatim, koriste�ci �cinjenicu da je dimenzijaalgebre 3, pokazati da je sl(2; C ) prosta algebra, i da joj je rang 1.Zadatak A.1.12 � Biraju�ci za jedini bazisni vektor Cartan-ove algebre (videti prethodni zadatak) K3, pokazatida su K� def= K1 � {K2 koreni (tj. svojstveni za ad(K3)) vektori, za korenove (svojstvene vrednosti) �1.Zadatak A.1.13 � Koriste�ci ZA.1.11, pokazati da je C2 def= P3i;j=1 gijKiKj = 2K2, gde je K2 = K21 +K22 +K23 ,jedini Kazimir-ov operator algebre sl(2; C ). Pokazati da za svaku reprezentaciju D(sl(2; C )) i svaki element Kalgebre va�zi [ D(K2); D(K) ] = 0 (ovde je D(K2) = P3i=1D2(Ki)). Odavde zaklju�citi da je za ireducibilnureprezentaciju, D(K2) skalarni operator.

488 DODATAK A. GRUPA ROTACIJA I ANGULARNI MOMENT (M. DAMNJANOVI�C)A.2 Angularni momenti i reprezentacije algebre su(2)U ovom odeljku �ce kvantizacijom klasi�cnog angularnog momenta biti odredene opservable an-gularnog momenta. Njihove komutacione relacije �ce biti iskori�s�cene za klasi�kaciju prostora ukojima se ovakve opservable mogu konstruisati. Veza sa Lie-jevom algebrom grupe rotacija �ceomogu�citi primenu tehnike standardne za Lie-jeve algebre pri re�savanju ovog problema.A.2.1 Kvantizacija angularnih momenataU glavama 5 i 6 je pokazano da su rotacije generisane angularnim momentima, i veza rotacijai angularnih momenata je data kako za klasi�can, tako i za kvantni formalizam. Kvantizacijomklasi�cnog orbitnog angularnog momenta, l = r � p, dobija se vektorska opservabla orbitnogangularnog momenta u jedno�cesti�cnom orbitnom prostoruHo, sa Descartes-ovim komponentama:li = 3Xj;k=1 �ijkrjpk: (A.2.1)(kao i do sada, indeksi 1, 2 i 3 ozna�cavaju x-, y- i z-komponente vektorskih veli�cina, npr. lx =ypz � zpy).Bilo direktnom proverom iz prethodne jednakosti, a na osnovu poznatih komutatora [ ri; pj ] ={~Æij koordinate i impulsa, bilo na osnovu Poisson-ovih zagrada klasi�cne mehanike, lako je poka-zati da opservable orbitnog angularnog momenta zadovoljavaju komutacione relacije:[ li; lj ] = {~ 3Xk=1 �ijk lk (A.2.2)(npr. [ lx; ly ] = lz).Na�cin na koji je opservabla l uvedena, garantuje da je to vektorski operator u jedno�cesti�cnomprostoru stanja Ho. No, i taj prostor je izgraden (u x 2.6) na osnovu analize komutacionih relacijakoordinata i impulsa, kao minimalni prostor u kome su te komutacione relacije zadovoljene zanetrivijalne operatoreA.2.1. Stoga se name�ce pitanje nezavisne konstrukcije prostora u kojima jemogu�ce na�ci opservable K1, K2 i K3, koje zadovoljavaju komutacione relacije tipa (A.2.2):[ Ki; Kj ] = {~ 3Xk=1 �ijkKk: (A.2.3)Po analogiji, vektorska opservabla K �ce i dalje biti nazivana angularni moment (ali bez odredniceorbitni); razmotreni uzor, orbitni angularni moment, o�cigledno je jedan specijalni slu�caj. Odmahtreba imati u vidu da ovakva generalizacija daje prostore i operatore koji ne moraju biti reliranisa Ho, pa ni sa samim pojmom rotacija.A.2.1Terminologijom teorije Lie-jevih grupa, Ho je prostor netrivijalne ireducibilne reprezentacije Heisenberg-ovealgebre. Ona je razre�siva, pa su dimenzije njenih ireducibilnih reprezentacija 1 i 1. Kod jednodimenzionalnih,svi elementi komutiraju, te nisu verne, i stoga ostaju beskona�cnodimenzionalne.

A.2. ANGULARNI MOMENTI I REPREZENTACIJE ALGEBRE SU(2) 489A.2.2 Veza sa algebrom grupe rotacijaKomutatori (A.2.3) podse�caju na relacije (A.1.12) za Lie-jevu algebru su(2). U stvari, ele-menti Ai iz (A.1.12) pomno�zeni konstantom �{~ zadovoljavaju komutacione relacije (A.2.3):[ �{~Ai;�{~Aj ] = {~P3k=1 �ijk(�{~Ak), tj. obe relacije odreduju istu Lie-jevu algebru. Ako sejo�s uo�ci da su matrice Ai kosohermitske, dok su operatori Ki opservable, jasno je da operatoriK �cine bazis iste algebre, koji je, po�sto su mu elementi hermitski operatori, ne�sto pogodniji zarad u �zici.Posledica ovog opa�zanja je da se kvantizacija rotacija, odnosno angularnih momenata, svodizapravo na nala�zenje reprezentacija grupe SU(2) ili, ekvivalentno, algebre su(2). Drugim re�cima,treba na�ci sve prostore u kojima je mogu�ce realizovati operatore koji zadovoljavaju komutacionerelacije (A.2.3), i na�ci ove realizacije. Teorem TA.1.1 svodi takvu klasi�kaciju na konstrukcijuireducibilnih reprezentacija. Znaju�ci njih, prostor proizvoljne reprezentacije se mo�ze razlo�zitina ortogonalni zbir ireducibilnih potprostora, i relevantni problemi re�savati u svakom od njih.Stoga �ce u nastavku biti konstruisane prvo ireducibilne reprezentacije, a zatim �ce biti razmotrenoopisano razlaganje u op�stem slu�caju.A.2.3 Konstrukcija ireducibilnih potprostoraKao �sto je ve�c napomenuto, razli�citi prostori u kojima se mogu realizovati operatori K koji za-dovoljavaju komutacione relacije (A.2.3) su zapravo prostori ireducibilnih reprezentacija algebresu(2). Stoga �ce biti nadeni standardnom procedurom za poluproste Lie-jeve algebreA.2.2.Neka je V(k) jedan takav ireducibilni prostor. Precizno, V(k) je prostor u kojem deluju triopservable K, pri �cemu:(i) za opservable K va�zi (A.2.3);(ii) u V(k) nema netrivijalnih zajedni�ckih invarijantnih potprostora za K.Cilj je na�ci sve mogu�ce prostore koji zadovoljavaju gornje zahteve, i u svakom od njih ta�can oblikoperatora K. Iz teorema TA.1.1 je jasno da je V(k) kona�cne dimenzije.Pogodno je uvesti pomo�cne operatore povi�savanja, i sni�zavanja, K� def= K1 � {K2 (razlog zatakve nazive �ce uskoro postati samoo�cigledan). Jasno je da ovi operatori sa svoje strane potpunoodreduju operatore K1 i K2, relacijama K1 = 12(K+ + K�), odnosno K2 = 12{(K+ � K�). Stogaje prostor ireducibilan za K ako i samo ako je ireducibilan za trojku operatora K3, K+ i K�.Kona�cno, jasno je da su K+ i K� medusobni adjungovani (tj. Ky� = K�), pa su proizvodi K+K�i K�K+ opservable (pozitivne).Lema A.2.1 Va�ze slede�ce komutacione relacije:[ K3; K� ] = �~K�; (A.2.4a)[ K+; K� ] = 2~K3; (A.2.4b)[ K3; K+K� ] = [ K3; K�K+ ] = [ K+K�; K�K+ ] = 0: (A.2.4c)A.2.2Ta procedura �ce biti izlo�zena nezavisno, ne podrazumevaju�ci predznanje iz teorije Lie-jevih algebri, u notacijiuobi�cajenoj za �zi�cku literaturu. No, �citalac �ce lako prepoznati standardnu formu, korenove i maksimalne te�zine.

490 DODATAK A. GRUPA ROTACIJA I ANGULARNI MOMENT (M. DAMNJANOVI�C)Dokaz: Na osnovu (A.2.3) i de�nicije K� se lako pokazuju prva i druga jednakost, a odavde i tre�ca. Q. E. D.Iz poslednje jednakosti sledi da su operatori K3, K+K� i K�K+ tri kompatibilne opservable,te postoji njihov zajedni�cki svojstveni ortonormirani bazis, j k;m; i u prostoru u kojem de-luju. Oznaka k u vektoru podse�ca na prostor V(k), a m prebrojava razli�cite svojstvene vrednostioperatora K3: K3 j k;m; i = m~ j k;m; i; (A.2.5)kona�cno, je indeks koji, u slu�caju da K3 nije kompletna opservabla prebrojava bazis u m-tom svojstvenom potprostoruA.2.3. Svojstvene vrednosti za preostala dva operatora su ��m( ):K�K� j k;m; i = ��m( ) j k;m; i.Lema A.2.2 Vektori K� j k;m; i su zajedni�cki svojstveni vektori operatora K3, K+K� iK�K+, a odgovaraju�ca svojstvena vrednost operatora K3 je (m � 1)~. Pri tome su za razli�citevrednosti vektori K� j k;m; i medusobno ortogonalni.??????t

tddddd......

kk � 1m+ 1mm� 1k0 + 1k0 2k0~22(k0 + 1)~22(m� 1)~22m~22(m+ 1)~22(k � 1)~22k~2

=======

0jc�k0+1j2jc�m�1j2jc�mj2jc�m+1j2jc�k�1j2jc�k j2

�������

jc�k0+1j2jc�k0+2j2jc�mj2jc�m+1j2jc�m+2j2jc�k j20

Slika A.3: Standardni bazis V(k).

Dokaz: Niz jednakosti K3(K� j k;m; i) = ([ K3; K� ] +K�K3) j k;m; i = (�~+m~) j k;m; i pokazuje da je K� j k;m; isvojstveni vektor operatora K3 za svojstvenu vrednost (m�1)~ (po-slednja jednakost u nizu je posledica prve jedakosti iz leme LA.2.1).Sli�cno, za ostale operatore se nalazi K�K�(K� j k;m; i) =��m( )K� j k;m; i, i K�K�(K� j k;m; i) = ([ K�; K� ] +K�K�)(K� j k;m; i) = (�2~K3 + K�K�)(K� j k;m; i) =(�2~2(m�1)+��m( ))(K� j k;m; i). Ortogonalnost sledi iz jedna-kosti (hk;m; 0 j Ky�)(K� j k;m; i) = hk;m; 0 j K�K� j k;m; i =��mÆ 0 . Q. E. D.Lema pokazuje da operatori K+ i K� preslikavaju svoj-stvene vektore operatora K3 u druge svojstvene vektore,povi�suju�ci, odnosno spu�staju�ci svojstvene vrednosti za 1, ine me�saju�ci pri tome vektore sa razli�citim vrednostima .To zna�ci da se sukcesivnim dejstvom na operatorima K+i Ki na vektor j k;m; i za odabranu vrednost m, dobijaniz vektora koji obrazuju invarijantni potprostor. Kako jeV(k) ireducibilan jasno je da ovo mora biti ceo prostor, tj.indeks je nepotreban, a K3 je kompletna opservabla u V(k).Teorem A.2.1 Za svako k = 0; 12 ; 1; 32 ; : : : postoji po jedan ireducibilni prostor angularnog mo-menta dimenzije 2k + 1. Standardni bazis ovog prostora je skup vektora fj km i j m =k; k � 1; : : : ;�k + 1;�kg za koje va�ziK3 j km i = ~m j km i; K� j km i = ~p(k �m)(k �m+ 1) j k;m� 1 i: (A.2.6)Dokaz: Kako je K3 kompletna opservabla, njeni svojstveni vektori j km i su odredeni do na fazni faktor. Akoje j km i jedan ortonormirani svojstveni bazis za K3, na osnovu prethodne leme K� mora preslikati vektorj km i u vektor kolinearan sa j k;m� 1 i, tj. K� j km i = c�m j k;m� 1 i. Konstante c�m zadovoljavajuA.2.3 Pedantnija oznaka bi bila j k;m; m i, jer a priori degeneracija mo�ze zavisiti od m. Medutim, uobi�cajeno jeda se ova zavisnost podrazumeva, a nagla�sava samo ako je to neophodno.

A.2. ANGULARNI MOMENTI I REPREZENTACIJE ALGEBRE SU(2) 491jednakost c+m = hk;m+ 1 j (K+ j km i) = (hk;m+ 1 j K+) j km i = c��m+1. Koriste�ci (A.2.4b) nalazi sejc�mj2 � jc+mj2 = kK� j km ik2 � kK+ j km ik2 = hkm j [ K+; K� ] j km i = 2~hkm j K3 j km i = 2~2m, tj.2~2m = jc�mj2 � jc�m+1j2; 8m: (A.2.7)Ve�c ranije nagla�savana kona�cnost dimenzije prostora V(k) ima za posledicu da postoje maksimalna i mini-malna vrednost indeksa m; neka su to k = maxfmg i k0 = minfmg. To zna�ci da je K+ j k;m = k i = 0 iK� j k;m = k0 i = 0, tj. c+k = c�k0 = 0. Kako se iz j k;m = k i uzastopnim dejstvom operatora K�, smanjuju�cim za po 1, mo�ze dobiti vektor j k;m = k0 i, kao i ceo bazis prostora V(k) sledi da ova maksimalna vrednost,k, jednozna�cno odreduje sam prostor (zato je ona i anticipirana kao oznaka prostora). Sumiraju�ci jednakosti(A.2.7) po m u celom intervalu [k0; k], na desnoj strani se svi sabirci poni�stavaju (videti Crte�z CA.3), pa se nalazi2~2Pkm=k0 m = 2~2Pk�k0m=0(k0 +m) = 2~2(k0(k � k0 + 1) + (k�k0)(k�k0+1)2 ) = ~2(k + k0)(k � k0 + 1) = 0. Odavdesledi (jer je k � k0, te je k � k0 + 1 > 0) da je k0 = �k. Kona�cno, po�sto se sukcesivnim oduzimanjem broja 1 odk dolazi do k0 = �k, jasno je da je k nenegativan ceo ili poluceo broj.Na sli�can na�cin, sabiraju�ci jednakosti (A.2.7) od k pa do nekog odabranogm, nalazi se 2~2Pki=m i = 2~2Pk�mi=0 (m+i) = 2~2(m(k �m + 1) + (k�m)(k�m+1)2 ) = ~2(k +m)(k �m + 1) = jc�mj2. Izborom realnog faznog faktora zasame koe�cijente c�m, uz nadene veze c+m i c�m, dobija se ostatak tvrdenja teorema. Q. E. D.Na osnovu prethodnog teorema i de�nicionih jednakosti za operatore K�, o�cigledno je daopservable angularnog momenta na vektore bazisa fj km i j m = k; k� 1; : : : ;�kg prostora V(k)deluju na slede�ci na�cin:K1 j km i = ~2p(k �m)(k +m+ 1) j k;m+ 1 i+ ~2p(k +m)(k �m+ 1) j k;m� 1 i; (A.2.8a)K2 j km i = ~2{p(k �m)(k +m+ 1) j k;m+ 1 i � ~2{p(k +m)(k �m+ 1) j k;m� 1 i; (A.2.8b)K3 j km i = ~m j km i: (A.2.8c)Jasno je da je matrica koja reprezentuje operator K3 u standardnom bazisu dijagonalna, sa vred-nostima ~m (m = k; : : : ;�k) na dijagonali; matrice operatora K1 i K2 imaju nenulte elementesamo na dijagonalama ispod i iznad glavne, a njihove vrednosti su date gornjom jednako�s�cu.Zadatak A.2.1 Odrediti matrice operatora K, K� i Pi K2i za k = 0; 12 ; 1.Kona�cno, eksponenciranjem ovako dobijenih operatora K, dobijaju se i operatori rotacija.Reprezentanti rotacija oko Descartes-ovih ortova fe1; e2; e3g su operatori D(k)('ei) = e� {~ Ki. Naprimer, u standardnom bazisu, rotacija za ' oko e3 se reprezentuje dijagonalnom matricomD(k)('e3) = diag [e�{'k; e�{'(k�1); : : : ; e{'(k�1); e{'k]: (A.2.9)Pri parametrizaciji Euler-ovim uglovima, reprezentanti se moraju mno�ziti na isti na�cin kao ielementi grupe, te (A.1.6) povla�ci D(k)(�; �; ) = D(k)(�e3)D(k)(�e1)D(k)( e3). Zbog dijagonal-nosti D(k)('e3), matri�cni elementi operatora D(k)(�; �; ) u standardnom bazisu su:D(k)mm0(�; �; ) = e{(m +m0�)hkm j e{�K(k)1 j km0 i: (A.2.10)

492 DODATAK A. GRUPA ROTACIJA I ANGULARNI MOMENT (M. DAMNJANOVI�C)To su tzv. Wigner-ove ili uop�stene sferne funkcije, i mo�ze se pokazatiA.2.4 da je:D(k)pq (�; �; ) =s (k + p)!(k � p)!(k + q)!(k � q)!e{(p +q�) cos�p�q �2 sinq�p �2P kpq cos�p�q �2 ; (A.2.11)gde je P kpq(t) def= dk�pdtk�p (tk+q(1� t)k�q). O�cigledno je da se uz pomo�c Wigner-ovih funkcija, dejstvouop�stene rotacije na standardni bazis se mo�ze predstaviti u formiD(k)('u) j km i = kXm0=�kD(k)m0m('u) j km0 i; (A.2.12)�sto je zapravo ekvivalentna alternativna de�nicija standardnog bazisaA.2.5.Jednakost (A.2.9) pokazuje da pri polucelom k operator rotacije za 2� oko e3 nije jedini�cnioperator I ve�c �I, tako da istoj rotaciji iz SO(3;R) (rotacija za ugao 0 i 2� su isti, jedini�cnielement ove grupe) odgovaraju dva operatora suprotnog znaka, kao u grupi SU(2). To zna�ci daovi operatori daju dvozna�cne reprezentacije grupe SO(3;R), a obi�cne reprezentacije grupe SU(2).Kada je k celobrojno, dobijaju se prave reprezentacije obe grupe.A.2.4 Kvadrat angularnog momenta i standardni bazisPomo�cu vektorske opservable angularnog momenta mo�ze se konstruisati opservabla kvadrataangularnog momenta: K2 =P3i=1 Ki : (A.2.13)Kao �sto �ce se uskoro ispostaviti, ova opservabla ima zna�cajnu ulogu u teoriji angularnog momenta,zahvaljuju�ci lako proverljivoj kompatibilnosti sa svim komponentama angularnog momenta:[ K2; Ki ] = 0; i = 1; 2; 3: (A.2.14)Odavde sledi da su svojstveni potprostori K2 invarijantni za sve operatore Ki, tj. da sadr�zecele ireducibilne prostore angularnog momenta. Specijalno, to zna�ci da u jednom ireducibil-nom prostoru V(k) operator K2 deluje kao skalarni operator, tj. jedini�cni operator pomno�zenkonstantom (realnom, jer je to svojstvena vrednost za K2). Precizno, iz (A.2.13) sledi da jeK2 = 12(K+K� + K�K+) + K23 . Stoga je K2 j km i = 12((c�m)2 + (c+m)2) +m2~2, tj.K2 j km i = k(k + 1)~2 j km i : (A.2.15)Vidi se, kao �sto je i anticipirano, da na sve vektore standardnog bazisa, samim tim i na svevektore iz V(k), K2 deluje tako �sto ih mno�zi skalarom k(k + 1)~2.Treba zapaziti da vrednost izraza k(k+1) jednozna�cno odreduje i sam argument k, tj. k(k+1)je na intervalu [0;1) obostrano jednozna�cna. To zna�ci da svojstvena vrednost operatora K2jednozna�cno odredujeA.2.6 ireducibilni prostor V(k).A.2.4 Slede�ci izraz je dat u knjizi �elobenko D., Wtern A., Predstavleni� Grupp Li (Nauka, Moskva1983). Drugi oblik istog izraza je detaljno izveden u knjizi F. I. Fedorov, Gruppa Lorenca, Nauka, Moskva1979.A.2.5 De�nicija (A.2.6) je uobi�cajena u kontekstu teorije Lie-jevih algebri, dok se u ne�sto op�stijem kontekstu teorijegrupa (ne samo Lie-jevih) uvodi de�nicija (A.2.12).A.2.6Na jeziku Lie-jevih algebri ovo zna�ci da je K2 Casimir-ov operator algebre ranga 1.

A.2. ANGULARNI MOMENTI I REPREZENTACIJE ALGEBRE SU(2) 493A.2.5 Standardni bazis u op�stem slu�cajuDo sada su bili razmatrani prostori V(k) ireducibilni za vektorsku opservablu K angularnog mo-menta. Teorem TA.1.1 garantuje da se svaki prostor H, pri zadatim operatorima K koji zado-voljavaju komutacione relacije (A.2.3), razla�ze na ortogonalni zbir potprostora V(k) ireducibilnihza ove operatore. Pri tome se svaki od ireducibilnih potprostora mo�ze javiti vi�se puta. Nekaje dk broj pojavljivanja k-tog ireducibilnog potprostora u H (jasno, za neke vrednosti k mo�zebiti i dk = 0, tj. H ne mora sadr�zati sve ireducibilne potprostore); ovi ireducibilni potprostorisu ozna�ceniA.2.7 sa H(k;�) � = 1; : : : ; dk (svaki H(k;�) je izomorfan sa V(k)). Ako H(k) zbir k-tihireducibilnih prostora, H(k) def= �dk�=1H(k;�), onda je razlaganje celog prostoraH = �k=0; 12 ;:::H(k) = �k=0; 12 ;::: �dk�=1 H(k;�):Znaju�ci ovo, jasno je da je u H mogu�ce na�ci standardni bazisfj km� i j k = 0; 12 ; : : : ; m = k; : : : ;�k; � = 1; : : : ; dkg ; (A.2.16)sastavljen od standardnih bazisa ireducibilnih potprostora H(k�) (pri �ksiranim vrednostima k i�). U tom bazisu je dejstvo operatora angularnog momenta su�stinski dato relacijama (A.2.8) i(A.2.15):K1 j km� i = ~2(p(k �m)(k +m+ 1) j k;m+ 1; � i+p(k +m)(k �m+ 1) j k;m� 1; � i); (A.2.17a)K2 j km� i = ~2{(p(k �m)(k +m+ 1) j k;m+ 1; � i �p(k +m)(k �m+ 1) j k;m� 1; � i); (A.2.17b)K3 j km; � i = ~m j km; � i; K2 j km i = k(k + 1)~2 j km i : (A.2.18)Stoga je odredivanje ovakvog bazisa u H zapravo ekvivalentno razlaganju prostora na ireduci-bilne potprostore, i samim tim zna�cajno kako zbog konceptualnih razloga, tako i zbog tehni�ckihpogodnosti.Uobi�cajeni algoritam nala�zenja standardnog bazisa direktno sledi iz opisanih svojstava opera-tora K i K2. Naime, po�sto svojstvene vrednosti operatora K2 obostrano jednozna�cno odredujutip ireducibilnog potprostora, tj. broj k, potprostor H(k) je ta�cno svojstveni potprostor ope-ratora K2 za svojstvenu vrednost k(k + 1)~2 (u (A.2.18) se ovo manifestuje tako �sto dejstvoK2 na vektore standardnog bazisa ne zavisi od m i �). �Cestim �zargonom se ovaj vi�sestruki(precizno dk-struki) ireducibilni potprostor naziva "ormar sa �okama" (Crte�z CA.4). Sa drugestrane, komutacione relacije (A.2.14) obezbeduju da se sve opservable K redukuju u ormaru (jersu svojstveni potprostori neke opservable istovremeno invarijantni potprostori za sve kompati-bilne opservable). Po�sto komponente angularnog momenta nisu medusobno kompatibilne, birase jedna od njih, i to po konvenciji K3, za dopunu opservable K2. Na osnovu prethodnih razma-tranja, K3 je kompletna u svakom ireducibilnom prostoru H(k�), i pri tome podjednako deluje usvakom od njih (�sto se u (A.2.18) manifestuje kao nezavisnost od k i � delovanja K3 na vektorestandardnog bazisa; unutar ormara je k �ksirano, tako da ostaje nezavisnost od �). Stoga suA.2.7I ovde je primenjena konvencija obja�snjena u A.2.5. Precizno pisanje bi zahtevalo H(k;�k).

494 DODATAK A. GRUPA ROTACIJA I ANGULARNI MOMENT (M. DAMNJANOVI�C)H(k21) H(k2dk2 ). . . . . .

� H(k1)H(k2) -

H H(k11) H(k1dk1 ). . .H(k)

H(k1) H(k�) H(kdk)H(k)�kH(k)mH(k)kK+K�

::: :::... ... ...::: :::... ... ...::: :::j kk1 i j kk� i j kkdk ij km1 i j km� i j kmdk ijk;�k;1i jk;�k;�i jk;�k;dki� -dk 6?2k + 16?Slika A.4: Standardni bazis. Levi pravougaonik je H(k): njegova m-ta vrsta je H(k)m , kolona� je ireducibilni potprostor H(k�), a njihov presek je jednodimenzionalni potprostor razapetvektorom j km� i. Na desnoj strani je celokupni prostor H koji se razla�ze na potprostore H(k)(isprekidani kvadrati), a ovi na po dk ireducibilnih potprostora Hk�). Istovremeno, desna slikaje i kvazidijagonalni matri�cni oblik operatora angularnog momenta u standardnom bazisu.svojstveni potprostori za K3 u H(k) dk-struko degenerisani, tj. za svako m = k; : : : ;�k jedandk-dimenzionalni potprostor H(k)m prostora H(k) je svojstveni potprostor za K3. Ovaj potprostor,tzv. "�oka ormara" je o�cigledno zajedni�cki svojstveni potprostor opservabli K2 i K3 u H, zasvojstvene vrednosti k(k + 1)~2 i m~, respektivno. Kona�cno, izborom jednog bazisa u jednoj od�oka, npr. H(k)m , tj. izborom fj km� i j � = 1; : : : ; dkg, odreduju se i bazisi u ostalim �okamaspu�stanjem i podizanjem vrednosti m, tj. uzastopnim dejstvom operatorima K� na j km� i, naosnovu relacija (A.2.6) koje sada postajuj k;m� 1; � i def= 1~p(k �m)(k �m + 1)K� j km� i; � = 1; : : : ; dk: (A.2.19)Jasno je da se za �ksirano � dobija standardni bazis jednog ireducibilnog potprostora, H(k�)("krilo ormara" na Crte�zu CA.4).Na taj na�cin se algoritam nala�zenja standardnog bazisa sastoji iz tri koraka:i) Re�savanje zajedni�ckog svojstvenog problema (A.2.18) za K2 i K3, �cime se dobijaju ormari i�oke;ii) izbor jedne �oke H(k)m i bazisa j km� i u njoj;iii) formiranje celog standardnog bazisa uH(k), time (ponavljanjem procedure za svako k za kojeje dk � 1) i u H, dejstvom operatorima K� na vektore odabrane u prethodnom koraku.

A.2. ANGULARNI MOMENTI I REPREZENTACIJE ALGEBRE SU(2) 495Treba obratiti pa�znju na proizvoljnost u koraku ii) opisanog algoritma: bazis �oke nije a prioriodreden. Ovakve proizvoljnosti se obi�cno re�savaju kompletiranjem skupa kompatibilnih opser-vabli, kao �sto �ce biti opisano u slede�cem paragrafu.U standardnom bazisu, operatori K i K2 imaju kvazidijagonalnu formu, pri �cemu blokovina dijagonali odgovaraju ireducibilnim potprostorima H(k;�), a za isto k i razli�cite vrednosti� odgovaraju�cih dk blokova je jednako (specijalno kod operatora K3 i K2 i sami blokovi sudijagonalni).A.2.6 Tenzorski operatoriAko je u prostoru stanja H zadat nesingularni operator B, onda je time zadat i operator uprostoru svih operatora u H, tj. superoperator, �cije je dejstvo na proizvoljni operator A: ^BA def=BAB�1. Ovo je generalizacija veze medu operatorima i superoperatorima koji se dobijaju prikvantizaciji Galilejeve grupeA.2.8 (glava 5). Stoga se superoperatori op�stih rotacija mogu dobitinevezano sa Galilejevom grupom, tj. i u slu�caju op�stih rotacija. Dakle, uvek kada je u H zadatareprezentacija grupe SU(2), i u prostoru operatora je zadata jedna reprezentacija iste grupe.Dobijeni operatori takode �cine reprezentaciju grupe SU(2), te se i u prostoru operatora mo�zeponoviti ista procedura razlaganja i odredivanja standardnog bazisa, kao i u prostoru stanja H.Odgovaraju�ci standardni bazis operatora se ozna�cava sa T (k�)m . Medutim, indeks � je su�stinskinepotreban, jer se, za razliku od vektora stanja, kada se obi�cno tra�zi njihova potpuna klasi�kacija,tj. bazis, za operatore unapred zna koji se razmatraju u datom �zi�ckom problemu, tako dapitanje bazisa u operatorskom prostoru nema prakti�cne va�znosti. Stoga u nastavku ovaj indeksne�ce biti pisan, i smatra�ce se da je zapravo sadr�zan u slovnoj oznaci operatora (npr. A(k)m iB(k)m su iz razli�citih ireducibilnih potprostora istog tipa). Skup operatora fT (k)m j m = k; : : : ;�kgobrazuje jedan ireducibilni prostor, koji se naziva ireducibilni tenzorski potprostor, dok se pojedinioperatori T (k)m nazivaju komponente ireducibilnog tenzorskog operatora. Jasno je po de�niciji, dase pri dejstvu rotacija komponente T (k)m transformi�su kao i vektori standardnog bazisa (A.2.12):U('u)T (k)m U�1 = kXm=�kU (k)m0m('u)T (k)m0 ; (A.2.20)gde su U (k)m0m('u) Wigner-ove funkcije. Razmatraju�ci rotacije oko Descartes-ovih ortova i dife-renciraju�ci levu stranu prethodne jednakosti, dobijaju se komutatori sa opservablama K. No, tiizrazi su zapravo komponente angularnih momenata u prostoru operatora, pa na desnoj stranimora biti analogon od (A.2.6):[ K3; T (k)m ] = m~T (k)m ; [ K�; T (k)m ] =p(k �m)(k �m+ 1)~T (k)m�1: (A.2.21)Ovo je takode mogu�ca alternativna de�nicija komponenti ireducibilnog tenzorskog operatora(uporediti sa primedbomA.2.5). Jasno je da operator komutira sa K ako i samo ako je ireducibilniA.2.8U poredenju sa odgovaraju�cim izrazima iz glave 5, u poslednjem izrazu su izmenjena mesta operatorimaB i B�1. U stvari, gornji izraz je formalna de�nicija jednog superoperatora, nezavisna od mogu�cih �zi�ckihinterpretacija, dok su superoperatori razmatrani u glavi 5 imali ta�cno odredenu, pasivnu, interpretaciju dejstvaGalilejevih transformacija u prostoru operatora.

496 DODATAK A. GRUPA ROTACIJA I ANGULARNI MOMENT (M. DAMNJANOVI�C)tenzorski operator sa k = 0 (samim tim i m = 0); takvi operatori se nazivaju skalarni operatori.Za k = 1 se dobija trojka operatora fT (1)1 ; T (1)0 ; T (1)�1 g, i to je tzv. vektorski operator. Nije te�skoproveriti da sami operatori angularnog momenta obrazuju jedan vektorski operator: uz pomo�cleme LA.2.1 se nalazi da operatori T (1)0 = K3 i T (1)�1 = �q12K� zadovoljavaju (A.2.21).Kako je u prostoru operatora mogu�ce na�ci bazis �ciji su elementi komponente ireducibilnihtenzorskih operatora, svaki operator se mo�ze napisati kao linearna kombinacija ireducibilnihtenzorskih operatora. Sa druge strane u prostoru stanja H je ve�c ranije odreden standardnibazis. Stoga je bilo koji matri�cni element h j A j � i mogu�ce napisati kao linearnu kombinacijumatri�cnih elemenata hk2m2�2 j T (k)m j k1m1�1 i. Prema tome, pomo�cu ovih "standardnih"matri�cnih elemenata mogu�ce je izraziti sve verovatno�ce prelaza, tj. osnovne eksperimentalnoopservabilne veli�cine. O�cigledni konceptualni zna�caj ovog rezultata poja�cava slede�ciTeorem A.2.2 (Wigner, Eckart) Matri�cni element hk2m2�2 j T (k)m j k1m1�1 i se mo�ze izrazitiu formi hkm� j T (k2)m2 j k1m1�1 i = ( k1m1; k2m2 j km)h k� kT (k2)k k1�1 i ; (A.2.22)gde je hk� j jT (k2)j j k1�1 i tzv. redukovani matri�cni element nezavisan od m, m1 i m2, dok je( k1m1; k2m2 j km) Clebsch-Gordan-ov koe�cijentA.2.9:h k1k2m1m2 j kmi = Æm1+m2;ms(2k + 1)(k1 + k2 � k)!(k1 � k2 + k)!(k2 � k1 + k)!(k1 + k2 + k + 1)! � (A.2.23)p(k1 +m1)!(k1 �m1)!(k2 +m2)!(k2 �m2)!(k +m)!(k �m)!Pz(�1)z[z!(k1 + k2 � k � z)!(k1 �m1 � z)!(k2 +m2 � z)!(k � k2 +m1 + z)!(k � k1 �m2 + z)!(z prelazi skup svih vrednosti za koje su sabirci u sumi kona�cni).Dokaz (dat u paragrafu x 7.4.7) bazira na uo�cavanju da je vektor T (k2)m2 j k1m1�1 i iz prostora ukome deluje reprezentacija D(k2) D(k1). Ona nije ireducibilna, i samo ako sadr�zi reprezentacijuD(k) matri�cni element nije nulti. Ovakvo razlaganje se detaljnije razmatra u xA.4.Wigner-Eckart-ov teorem pokazuje da se svaki od (2k + 1)(2k1 + 1)(2k2 + 1) matri�cnih ele-menata hkm� j T (k2)m2 j k1m1�1 i (pri �ksiranim k; k1; k2; �1 i �2 i razli�citim m1; m2 i m) izra�zavakao proizvod jednog istog faktora (redukovani matri�cni element ne zavisi od m1; m2 i m) i od-govaraju�cih Clebsch-Gordan-ovih koe�cijenata. Kako su Clebsch-Gordan-ovi koe�cijenti zadatikao funkcije kvantnih brojeva k1; k2; k;m1; m2 i m, oni ne zavise od prirode problema koji serazmatra (npr. �zi�ckog smisla operatora T (k)m ), niti od brojeva �1 i �.U slu�caju skalarnog operatora, tj. operatora A = A(0)0 koji komutira sa K, pa stoga i sa K2,on se mora redukovati u zajedni�ckim svojstvenim potprostorima za K2 i K3, tj. u "�okama"H(k)m . Stoga, ako je A opservabla, u H(k)m mora postojati njen svojstveni podbazis, npr. j kma�a i:A j kma�a i = a j kma�a i. No tada je, A(K� j kma�a i) = K�A j kma�a i = a(K� j kma�a i),tj. i K� j kma�a i je svojstveni vektor za A za istu svojstvenu vrednost a. Na taj na�cinje pokazano da je u svakom potprostoru H(k�) operator A redukovan u konstantni operatorA.2.9Clebsch-Gordan-ovi koe�cijenti su ne�sto detaljnije razmatrani u paragrafu xA.4.2.

A.3. ORBITALNI ANGULARNI MOMENT 497aI2k+1. U standardnom bazisu on ima dijagonalni oblik, pri �cemu je svaki ireducibilni potprostorkarakterisan istom svojstvenom vredno�s�cu na dijagonali. Nije te�sko pokazati da se do istogzaklju�cka dolazi i iz Wigner-Eckart-ovog teorema, za k2 = 0. Ovaj rezultat se koristi kao dopunaalgoritma nala�zenja standardnog bazisa: u �zi�ckim problemima se obi�cno javlja neka opservablakompatibilna sa K (npr. hamiltonijan kod sferno simetri�cnih sistema), a u �okama H(k)m jekompletna opservabla; zato se u koraku ii) biraju njeni svojstveni vektori za standardni bazis, anjene svojstvene vrednosti preuzimaju ulogu kvantnog broja �.A.3 Orbitalni angularni momentOp�sti rezultati dobijeni u prethodnom odeljku �ce sada biti primenjeni na osnovnu realizacijuangularnog momenta, odnosno na orbitni angularni moment jedne trodimenzionalne �cestice.A.3.1 Prostor funkcija na sferiPri razmatranju kretanja jedne �cestice u trodimenzionalnom prostoru, kao �sto je ve�c ranije opi-sano u glavi 2, odgovaraju�ci prostor stanja je orbitalni prostor Ho, koji u koordinatnoj reprezen-taciji postaje Lebesgue-ov prostor L2(r). Dejstvo grupe rotacija u ovom prostoru je nadeno uglavi 5: D(R)f(r) def= f(R�1r); (A.3.1)gde D(R) operator koji reprezentuje rotaciju R.Generatori rotacija oko koordinatnih osa se mogu na�ci direktno iz prethodne relacije, ilikvantovanjem odgovaraju�cih varijabli klasi�cne mehanike, kao u xA.2.1; to su orbitalni angularnimomentiA.3.1: Ki = �{~ 3Xjk=1 �ijkxj @@xk : (A.3.2)Zadatak A.3.1 Izvesti (A.3.2) direktno iz (A.3.1).Ako se u (A.3.1) iskoriste sferne koordinate, koordinata r se ne menja: D(R)f(r; �; ') =f(r; �0; '0). Stoga je pogodno razmatrati L2(r) kao potprostor u L2(r) L2() onih funkcijaf(r; �; ') za koje je f(0; �; ') konstanta (ovo je o�cigledan uslov uzrokovan singularno�s�cu sfernihkoordinata u r = 0). Jasno je da je ugaoni faktor prostor L2() def= L2(�; ') zapravo Lebesgue-ov prostor funkcija na sferi. Pri tome se faktori�su i operatori rotacija i angularnih momenata:D(R) = Ir [D(R)], l = Ir [l]. Vidi se da je dejstvo ovih operatora netrivijalno samo uL2(), i svojstva ovih operatora su efektivno odredena faktorom iz L2(). Zato �ce u nastavkusamo ovaj prostor biti razmatran, a indeks �ce biti izostavljen (ali podrazumevan).Jednakosti (A.3.2) u sfernim koordinatama postajul1 = {~(sin' @@� + ctg � cos' @@'); l2 = �{~(cos' @@� � ctg � sin' @@'); (A.3.3a)A.3.1Kao i do sada, podrazumeva se Ki = D(Ki).

498 DODATAK A. GRUPA ROTACIJA I ANGULARNI MOMENT (M. DAMNJANOVI�C)l3 = �{~ @@' ; (A.3.3b)a odavde se lako nalazi i kvadrat angularnog momenta:l2 = �~2[ 1sin2 � @2@�2 + 1sin � @@� (sin � @@� )] : (A.3.4)Zadatak A.3.2 Izvesti relacije (A.3.3) i (A.3.4).Singularnost sfernih koordinata u polovima sfere � = 0; � povla�ci da u ovim ta�ckama funkcijana sferi (�; ') za � = 0; � ne sme zavisiti od ', tj. (0; ') i (�; ') su konstante. Stoga seu L2(�) L2(') izdvaja L2() kao potprostor funkcija pot�cinjenih gornjem grani�cnom uslovu.Takode, zbog de�nicije sfernih koordinata, za svaku funkciju na sferi va�zi ('; �) = ('+2�; �).Na taj na�cin mogu�ce je razmatrati operatore angularnog momenta u ve�cem prostoru, L2(�) L2('), a naknadnom analizom rezultati se svode na L2(). Prostor L2(') je skup funkcija nakru�znici, tj. funkcija koje zadovoljavaju h(0) = h(2�), ili ekvivalentno, skup periodi�cnih funkcijana R sa periodom 2�. Pro�siruju�ci operatore l3 i l2 na prostor L2(�)L2('), oni dobijaju formul3 = I� [l3]'; l2 = [ 1sin2 � ]� [l3]2' +�[ ~2sin � dd� sin � dd� ]� I'; (A.3.5)gde je [l3]' = �{~ dd' .A.3.2 Sferni harmoniciNa taj na�cin je odreden prostor L2() relevantan za opis orbitnog angularnog momenta jedne�cestice, i operatori koji reprezentuju angularni moment u njemu. U skladu sa rezultatima pa-ragrafa xA.2.6, potrebno je re�siti zajedni�cki svojstveni problem (A.2.18) za operatore (A.3.3b) i(A.3.4), da bi se dobio standardni bazis, u kome svi operatori imaju poznatu formu. Alterna-tivno, mo�ze se re�savati zajedni�cki svojstveni problem operatora (A.3.5) uz nametanje pomenutihgrani�cnih uslova u polovima sfere. Da bi se izbegao sistem parcijalnih diferencijalnih jedna�cinau prvom pristupu, razmotrena �ce biti druga mogu�cnost.Naime, u prostoru L2(�)L2(') mogu�ce je razdvojiti promenljive na osnovu slede�ceg o�ciglednogrezultata.Teorem A.3.1 (O razdvajanju promenljivih) Neka je prostor H proizvod H = H1 H2.Neka su dalje Bi i Ci (i = 1; 2) opservable (u odgovaraju�cim faktor prostorima) sa spektrima�i = fbig, odnosno i = fcig, dok je fj bi; �i(bi) ijbi 2 �i; �i(bi)g svojstveni bazis za Bi.i) Spektar opservable A = B1B2 je fb1b2 j b1 2 �1; b2 2 �2g, a svojstveni bazis j b1; �b1 i j b2; �b2 i.ii) Neka je A = B1 B2+ C1 C2, pri �cemu su opservable B2 i C2 kompatibilne, sa zajedni�ckimsvojstvenim potprostorima H(b2;c2)2 . Tada je H = �b2;c2H1H(b2;c2)2 ortogonalna dekompozi-cija prostora H na invarijantne potprostore opservable A, a u svakom od njih A se redukujeu opservablu A(b2;c2) = (b2B1 + c2C1) I(b2;c2).

A.3. ORBITALNI ANGULARNI MOMENT 499Drugi deo teorema daje algoritam za re�savanje svojstvenog problema operatora A. Za svaki parkompatibilnih svojstvenih vrednosti operatora B2 i C2, u potprostoru H1 H(b2;c2)2 se re�savasvojstveni problem redukovane opservable A(b2;c2). Ako je j a(b2;c2); �a(b2;c2) i svojstveni bazisoperatora b2B1+c2C1 uH1, na osnovu prvog dela teorema (uzimaju�ci B2 = I2 i B1 = b2B1+c2C1)svojstveni bazis operatora A(b2;c2) u H1 H(b2;c2)2 je j a(b2;c2); �a(b2;c2) i j b2; c2; �b2;c2 i. Stogase svojstveni problem za A re�sava tako da se re�si zajedni�cki svojstveni problem za B2 i C2,formiraju odgovaraju�ci zajedni�cki svojstveni potprostoriH(b2;c2)2 ovih operatora u H2 (sa bazisomj b2; c2; �b2;c2 i); kada se za svaki od njih re�si svojstveni problem operatora b2B1 + c2C1 u H1,dobija se ceo svojstveni bazis za A. O�cigledno, spektar mu je fa(b2;c2) j 8b2; c2g.Sada se mo�ze pristupiti direktnom re�savanju zajedni�ckog svojstvenog problema l3 i l2. UH' dobija se za [l3]' svojstvena jedna�cina �{~dh(')d' = m~h('). Njena nezavisna re�senja suhm(') = e{m', a uslov periodi�cnosti hm(0) = hm(2�) pokazuje da m mo�ze biti samo ceo broj.U prostoru funkcija na kru�znici L2('), ovo je jedan bazis (ortonormiranost se posti�ze delenjemsa p2�), tj. [l3]' je kompletna opservabla. To automatski zna�ci da je u prostoru Ho angularnimoment celobrojan (tj. u razlaganju Ho javljaju se samo ireducibilni potprostori H(k;�) sa celimk). Kako je faktor iz L2(�) operatora l3 jedini�cni operator, Teorem TA.3.1.i) pokazuje da je svakafunkcija m(�; ') = g(�)hm(') jedan svojstveni vektor ovog operatora za svojstvenu vrednostm~. Stoga opservabla l3 nije kompletna, a faktor g(�) odreden je isklju�civo na osnovu svojstvenogproblema l2.Izraz (A.3.5) pokazuje da svojstveni problem opservable l2 mo�ze da se re�si na osnovu Te-orema TA.3.1.ii). Uzimaju�ci B2 = [l3]2', a C2 = I', nadeno re�senje za [lz]' povla�ci da se zasvako celobrojno m 6= 0 dobija prostor L2(�)Hjmj, gde je Hjmj dvodimenzionalni potprostorobrazovan funkcijama e{m' i e�{m' (u oznakama teorema je b2 = jmj2~2, dok jedina svojstvenavrednost c2 = 1 za I' nije nagla�sena). Tako se u ovom prostoru opservabla l2 redukuje u[l2](m)� = m2~2sin2 � � ~2sin � dd� (sin � dd� ):Dakle, svojstvena jedna�cina l2 (�; ') = l(l+1)~2 (�; '), svodi se na niz jedna�cina u prostorimaL2(�) Hjmj; nakon uvodenja promenljive x = cos � (time i ddx = � 1sin � dd� ) i jednostavnogsredivanja, to je niz uop�stenih hipergeometrijskih jedna�cina:( d2dx2 � 2x1� x2 ddx + l(l + 1)(1� x2)�m2(1� x2)2 )gml (x) = 0: (A.3.6)Jasno je da je svako re�senje za m istovremeno i re�senje za �m, a sam standardni postupakre�savanja uop�stene hipergeometrijske jedna�cineA.3.2 �ce biti sproveden za m � 0.Uz oznake �(x) = 1�x2, ~�(x) = l(l+1)(1�x2)�m2 i ~�(x) = �2x, prvo se odreduje konstantak tako da je izraz � def= �0�~�2 � q(�0�~�2 )2 � ~� + k� polinom po x. Ovo zna�ci da je potkorenikvadratni trinom m2+(k� l(l+1))(1�x2) zapravo kvadrat binoma, tj. izjedna�cavanje sa nulomdiskriminante 4(m2+k� l(l+1))(l(l+1)�k) daje jedna�cinu po k. Njena re�senja su k = l(l+1) ik = l(l+1)�m2, koja daju ukupno �cetiri mogu�cnosti za �: � = �m i � = �mx. Sada se gml (x)A.3.2Videti npr. A. F. Nikiforov, V. B. Uvarov, Special~nye Funkcii Matematiqesko� Fiziki, Mo-skva, Nauka, 1978.

500 DODATAK A. GRUPA ROTACIJA I ANGULARNI MOMENT (M. DAMNJANOVI�C)tra�zi u formi �ml (x)yml (x), gde funkcije � zadovoljava diferencijalnu jedna�cinu �0� = �� . Za razli�citeizbore � lako se dobijaju re�senja (nezavisna od l) �m(x) = q(1+x1�x)�m i �m(x) = p(1� x2)�m.Zamenom u (A.3.6), nalazi se hipergeometrijska jedna�cina: �(x)d2yml (x)dx2 + �(t)dyml (t)dx = �yml (t);ovde je � = �k � �0, a � = 2� + ~� . Za navedena razli�cita re�senja po k nalazi se � = �l(l + 1)i � = 2(�m � x), odnosno � = m(m � 1) � l(l + 1) i � = 2(�m � 1)x. U nastavku se tra�zere�senja �(x) Pearson-ove diferencijalne jedna�cine (��)0 = ��, koja su na intervalu promene x([�1; 1]) pozitivna i ograni�cena. Ova jedna�cina se lako re�sava, ali su re�senja ograni�cena za svakonenegativno m samo pri izboru k = l(l+1)�m2 i � = mx, pa zato i � = m(m+ 1)� l(l+ 1) =�(l �m)(l +m+ 1); to su �(x) = (1� x2)m.Mno�zenje funkcijom �(x), koja je na intervalu (�1; 1) pozitivna, omogu�cuje da se hiperge-ometrijska jedna�cina svode na oblik 1�(x) ddx�(x)�(x) ddxyml (x) = �yml (x). Jasno, to je svojstvenajedna�cina operatora (1 � x2)�m ddx(1 � x2)m+1 ddx , i to za navedenu svojstvenu vrednost �. Zam 6= 0, dozvoljena re�senja se anuliraju u x = �1 (da bi njihovi proizvodi sa e�{' bili nezavisni od' u x = �1, i pripadali prostoru L2()). Za operatore ovog tipa re�senja sa navedenim grani�cnimuslovima su poznata u op�stem slu�caju: spektar je f�n = n� 0+ n(n�1)2 �00 j n = 0; 1; : : :g, nedegene-risan je i odgovaraju�ce svojstvene funkcije su polinomi, ortonormirani u L2(x) sa te�zinom �(x),zadati Rodrigues-ovom formulom yn(x) = Bn�(x) dndxn [�n(x)�(x)], gde je Bn konstanta normiranja.U razmatranom slu�caju je �n = �n(n + 2m + 1), tako da se tra�zeno � nalazi za n = l �m,u formi asociranog Legendre-ovog polinomayml = P (m;m)l�m = Bl�m(1� x2)m dl�mdxl�m (1� x2)l:Zadatak A.3.3 Pokazati da je gornja formula ekvivalentna sayml = Bl�m(1� x2)m dl+jmjdxl+jmj (1� x2)l:(Uputstvo: iskoristiti opa�zanje da se bez obzira na znak m moraju dobiti isti rezultati.)Zadatak A.3.4 Pokazati da za x = �1 (tj. za � = 0; �) i m > 0 funkcija ylm(x) ima vrednost 0.Iz uslova n = l � m, sledi da pri �ksiranom l i 0 � m � l postoji ta�cno jedno re�senje,te su zajedni�cki svojstveni potprostori za �ksirane l i m nedegenerisani. Sa druge strane, pri�ksiranom l dobijeni uslov 0 � m � l, uz podse�canje na �cinjenicu da re�senja ne zavise od znakam, zapravo je ekvivalentan ve�c ranije izvedenom svojstvu m = 0;�1; : : : ;�l (za celobrojno l).Kona�cno, zadatak ZA.3.4 (za m = 0 funkcija hm(') ne zavisi od ') pokazuje da su sva dobijenaukupna re�senja ml (�; ') = �m(cos �)yml (cos �)hm(') iz prostora L2(). Tako se u ugaonomfaktor prostoru L2() prostoraHo za svako l = 0; 1; 2; : : : javlja ta�cno jedan ireducibilni potprostororbitalnog angularnog momenta. Celobrojnost reprezentacija je posledica a priori postavljenogiskustvenog zahteva da se vektori ne menjaju pri rotaciji za 2�. Kona�cno, normiranjem dobijenihre�senja ml (�; ') nalazi se standardni bazis sfernih harmonika u L2()Y ml (�; ') = (�)l2ll!p2�q2l+12 (l�m)!(l+m)!e{m' sinm � dl+md cosl+m � sinl � ; l = 0; 1; 2; : : : ; m = l; : : : ;�l: (A.3.7)

A.4. SLAGANJE ANGULARNIH MOMENATA 501A.4 Slaganje angularnih momenataProstor stanja realnih �zi�ckih sistema po pravilu je direktni proizvod vi�se prostora, pri �cemu jeu svakom de�nisan angularni moment (npr. vi�se�cesti�cni sistem sa orbitalnim angularnim mo-mentima svake od �cestica, ili orbitalni i spinski angularni moment jedne �cestice). Sa grupnoteorijskog stanovi�sta to zna�ci da je u svakom faktor prostoru zadata reprezentacija grupe SU(2),te je i u ukupnom prostoru zadat direktni proizvod ovih reprezentacija. Drugim re�cima i u ukup-nom prostoru je de�nisan totalni angularni moment. Na osnovu faktor prostora se mo�ze odreditistruktura totalnog angularnog momenta, i odgovaraju�ca pravila se obi�cno nazivaju slaganje an-gularnih momenata. Naravno, dovoljno je re�siti problem za dva prostora, jer se sukcesivnimslaganjem po dva angularna momenta, mo�ze na�ci re�senje i za vi�se prostora (pri tome neki odrezultata, npr. veza standardnog bazisa u ukupnom i pojedinim prostorima, mogu zavisiti odredosleda slaganja). Ovaj problem �ce biti razmotren u nastavku odeljka.A.4.1 Clebsch-Gordan-ove serijeNeka je H = H1 H2, pri �cemu je u svakom od faktor prostora de�nisan angularni moment Ki,sa ireducibilnim potprostorima H(ki;�ki )i . U celom prostoru se mo�ze de�nisati trojka operatoraK def= K1 I2 + I1 K2 ; (A.4.1)(�sto se skra�cuje u jo�s uvek dovoljno jasno K = K1 + K2). Kako svaka vektorska opservabla Kizadovoljava komutacione relacije (A.2.3), a pri tome je [ K1i; K2j ] = 0 za svako i i j, nije te�skoproveriti da je i K vektorska opservabla angularnog momenta (tj. i ona zadovoljava (A.2.3)).Po�sto je struktura angularnog momenta potpuno de�nisana odredivanjem standardnog bazisa (iznjega je jasno koji su ireducibilni potprostori uklju�ceni, koliko puta koji, a i poznate su matricesvih relevantnih operatora u ovom bazisu), osnovni problem je odredivanje ovakvog bazisa u H.Pri tome se smatra da su standardni bazisi fj ki; mi; �ki ig poznati.Prostor H se razla�ze na ortogonalnu sumu H = �k1;k2 ��k1 ;�k2 H(k1;�k1 )1 H(k2;�k2 )2 . Svakiod faktor prostora u sabircima je ireducibilni invarijantni potprostor odgovaraju�ceg angularnogmomenta, odakle se odmah zaklju�cuje da su sabirci H(k1;�k1)1 H(k2;�k2)2 invarijantni (ali ne nu�znoireducibilni!) potprostori za K. Ukupan problem se tako svodi na razlaganje ovih potprostora naireducibilne, te odredivanje standardnih bazisa u njima. Dodatno, po�sto su operatori angularnogmomenta odredeni kvantnim brojem k, tj. ne zavise od �, dovoljno je re�siti problem razlaganjai standardnog bazisa u apstraktnom slu�caju proizvoda prostora V(k1) V(k2). Ekvivalentanproblem, razlaganje direktnog proizvoda dve ireducibilne reprezentacije D(k1) i D(k2) grupe SU(2)na ireducibilne reprezentacije je u teoriji grupa poznat kao Clebsch-Gordan-ovo razlaganje (iliserija).Za dalja razmatranja je va�zno odrediti dejstvo operatora K na direktni proizvod standardnihbazisa fj kimi i j mi = ki; : : : ;�kig u prostorima V(ki) (i = 1; 2). Taj bazis prostora V(k1) V(k2)se naziva nekorelisani bazis, i za njegove vektore j k1m1; k2m2 i def= j k1m1 i j k2m2 i o�cigledno,na osnovu (A.4.1) va�zi: K3 j k1m1; k2m2 i = (m1 +m2)~ j k1m1; k2m2 i; (A.4.2a)

502 DODATAK A. GRUPA ROTACIJA I ANGULARNI MOMENT (M. DAMNJANOVI�C)K� j k1m1; k2m2 i = c�m1(k1) j k1m1 � 1; k2m2 i+ c�m2(k2) j k1m1; k2m2 � 1 i (A.4.2b)(uprediti sa (A.2.6)).Najva�zniji rezultat u ovom kontekstu je: pri slaganju angularnih momenata k1 i k2 dobijajuse po jedanput svi angularni momenti k = jk1 � k2j; jk1 � k2j + 1; : : : ; k1 + k2. Njegova preciznaformulacija jeTeorem A.4.1 Razlaganje prostora V(k1)V(k2) na ireducibilne prostore operatora K je V(k1)V(k2) = �k1+k2k=jk1 � k2jV(k); tj. Clebsch-Gordan-ove serija ireducibilnih reprezentacija grupe SU(2)su D(k1) D(k2) = �k1+k2k=jk1 � k2jD(k) : (A.4.3)Dokaz: Jezikom teorije Lie-jevih algebri, rezultat sledi iz �cinjenice da je ireducibilna reprezentacija potpunoodredena svojom maksimalnom te�zinom. Drugim re�cima, po�sto je na osnovu (A.4.2a) vektor j k1m1; k2m2 isvojstveni za K3, sa svojstvenom vredno�s�cu m1 +m2, njegova najve�ca svojstvena vrednost je k1 + k2, i javlja seta�cno jedanput (za vektor j k1k1 i j k2k2 i). Slede�ca po veli�cini je svojstvena vrednost k1+k2�1, koja je dvostrukodegenerisana (vektori su j k1k1 i j k2; k2 � 1 i i j k1; k1 � 1 i j k2k2 i), i tako dalje. To zna�ci da je maksimalnasvojstvena vrednost operatora K2 upravo k(k+1)~2, za k = k1+ k2, i da odgovaraju�ci ireducibilni potprostor zaK sadr�zi svojstvene vektore operatora K3 za svojstvene vrednosti m~, gde je m = k1+ k2; : : : ;�k1� k2. Da bi sena�sli ostali ireducibilni potprostori za K, treba na�ci ortokomplement nadenog prostora V(k1+k2) u V(k1) V(k2).Sada je jasno da je u ortokomplementu najve�ca svojstvena vrednost operatora K3 upravo (k1 + k2 � 1)~, i dapostoji ta�cno jedan svojstveni vektor koji joj odgovara, te se i ireducibilni potprostor V(k1+k2�1) pojavljuje ta�cnojedanput. Postupak se ponavlja uz smanjivanje k za po jedan u svakom koraku, dok se ne iscrpi ceo prostordirektnog proizvoda, a to je kada je k = jk1 � k2j. Q. E. D.Teorem TA.4.1 pokazuje da se sve ireducibilne reprezentacije grupe SU(2) mogu dobiti priredukciji odgovaraju�ceg direktnog stepena reprezentacije D( 12 ), pa se ova reprezentacija nazivafundamentalnom reprezentacijom. U stvari, ovaj iskaz se mo�ze poo�striti, uz kori�s�cenje simetri-zacije direktnog proizvoda reprezentacija.Zadatak A.4.1 Odrediti vi�sestrukosti dk u razlaganju V(k1) V(k2) V(k3) = �k=0; 12 ;:::dkV(k).A.4.2 Clebsch-Gordan-ovi koe�cijentiNa osnovu teorema A.4.1 jasno je da se u V(k1) V(k2) mo�ze jednozna�cno (do na fazni faktor)odrediti standardni bazis fj k1k2km i j k = jk1 � k2j; : : : ; k1+ k2; m = k; : : : ;�kg (oznake k1 i k2u vektoru samo nagla�savaju da je to bazis direktnog proizvoda ireducibilnih prostora), u komesu operatori K reprezentovani kvazidijagonalnim matricama, kao �sto je opisano u paragrafuxA.2.5. Skalarni proizvodi ( k1m1; k2m2 j km) def= h k1m1; k2m2 j k1k2kmi su Clebsch-Gordan-ovikoe�cijenti, i �cine matricu prelaska sa nekorelisanog u standardni bazisA.4.1.Clebsch-Gordan-ove koe�cijente je kod svih kompaktnih grupa mogu�ce ra�cunati metodomgrupnih projektora (kao kod kona�cnih grupa, uz odgovaraju�cu primenu invarijantne integracije).Medutim, pokazuje se da je prakti�cnije ra�cunati Clebsch-Gordan-ove koe�cijente kori�s�cenjemA.4.1Ovo je zapravo op�sta de�nicija Clebsch-Gordan-ovih koe�cijenata, primenljiva za ireducibilne reprezentacijebilo koje grupe.

A.4. SLAGANJE ANGULARNIH MOMENATA 503algebre su(2). Dok je dejstvo operatora K na nekorelisani bazis dato u (A.4.2), u standardnombazisu va�ze standardne relacije:K3 j k1k2km i = m~ j k1k2km i; K� j k1k2km i = c�m(k) j k1k2km� 1 i: (A.4.4)Vektor j k1k2km i je svojstveni vektor operatora K(k1;k2)3 za svojstvenu vrednost m, pa je samimtim linearna kombinacija odgovaraju�cih nekorelisanih svojstvenih vektora iz (A.4.2) zam1+m2 =m: j k1k2km i = m+Xm1=�m� Ckm;m1 j k1m1; k2; m2 = m�m1 i: (A.4.5)Granice sume je lako izra�cunati: m+ = minfk1; k2 +mg i m� = minfk1; k2 �mg. Jasno je daje Ckm;m1 upravo Clebsch-Gordan-ov koe�cijent ( k1m1; k2; m � m1 = m2 j km), te se deluju�cioperatorom K+ na obe strane gornje jednakosti, na osnovu (A.4.2) i (A.4.4) i poznatih vezamedu koe�cijentima c+m i c�m, nalazic+m(k)Ckm+1;m1 = c+m�m1(k2)Ckm;m1 + c�m1(k1)Ckm;m1�1: (A.4.6)Dobijenom rekurentnom formulom najpre se koe�cijenti Ckk;m1, a zatim i proizvoljni Ckm;m1 , svodena Ckk;k, koji se direktno ra�cunaju. Relativno duga�ckim, mada ne i komplikovanim ra�cunanjemA.4.2nalazi se izraz (A.2.23).Zadatak A.4.2 Na osnovu (A.4.2), (A.4.4) i (A.4.5) na�ci Clebsch-Gordan-ove koe�cijente ( k1m1; k2m2 j jk1 � k2jm)i ( k1m1; k2m2 j k1 + k2m). Na osnovu ovoga izra�cunati sve koe�cijente za k1 = k2 = 12 . Uz pomo�c (A.4.6),izra�cunati Clebsch-Gordan-ove koe�cijente za k1 = k2 = 1.

A.4.2Pored druge knjige navedene u A.2.4, iscrpni izvodenje Clebsch-Gordan-ovih koe�cijenata i reliranih rezul-tata dato je u A. P. �cis, A. A. Bandza�tis, Teori� Momenta Koliqestva Dvi�eni� v Kvantovo�Mehanike, Vil~n�s, 1965.