Modeller og anvendelsen af modeller inden for videnskabenkom.aau.dk/~dsp/ComSys08/ComSys07/sites/ComSys6/5 Modeller og... · Forelæsningsnote i videnskabsteori (CP 2007) 1. Model

Model og modelanvendelse inden for videnskaben

Modeller og anvendelsen af modeller inden for videnskaben

• Modelbegrebet i et erkendelsesperspektiv • Klassifikation af modeller

o Fysiske modeller som forskningsobjekter

o Begrebsmodeller som modelobjekter

• Anvendelsen af modeller i videnskaben

o Modeller og indsigt

o Modeller for data

o Et system flere modeller

o Et lille indlæg vedrørende behandlingen af

forskningsobjekterne

• Et konkret eksempel på modelanvendelsen.

o Det matematiske pendul

Forelæsningsnote i videnskabsteori (CP 2007) 1


Modeller og anvendelsen af modeller inden for videnskaben I det følgende afsnit vil modelbegrebet blive diskuteret og specielt emner omkring anvendelse af modeller inden for den videnskabelige praksis. Modelbegrebet vil blive behandlet med udgangspunkt i et erkendelsesperspektiv. Via dette perspektiv fremkommer nogle refleksioner over nogle interessante spørgsmål, der kan stilles omkring modellernes rolle og funktion inden for den videnskabelige praksis. For det første huserer der en del konkrete navngivne modeller indenfor videnskaben, f.eks. Bohrs atommodel, billardmodellen for en gas, væskedråbemodellen for atomkernen, skal-modellen for atomkernen, Lorentz modellen for atmosfæren, Lotka-Volterra modellen for rovdyr-byttedyr relationen, dobbelt-helix modellen for DNA, ligevægts modeller for et marked, …. For det andet opereres der med mange forskellige typer modeller f.eks. fænomenologiske modeller, computer modeller, udviklingsmodeller, forklaringsmodeller, idealiserede modeller, teoretiske modeller, skalamodeller, heuristiske modeller, matematiske modeller, didaktiske modeller, imaginære modeller, ikoniske modeller, formelle modeller, analogi modeller, instrumentelle modeller, …. Dette virvar af anvendelser af modelbegrebet vil i det følgende blive forsøgt diskuteret med skyldig hensyntagen til en forståelse af nogle væsentlige anvendelsesorienterede aspekter ved modelbegrebet. At modeller er væsentlige i den videnskabelige praksis vidner følgende citater om:

”I opened Structure of Scientific Theories asserting that the “most central or important” problem in philosophy of science is “the nature and structure of theories….For theories are the vehicle of scientific knowledge, and one way or another become involved in most aspects of the scientific enterprise” (Suppe 1974a). Don’t believe it for a moment! Today much of science is atheoretical, as it was then. For example, theory development is incidental to most of today’s chemistry. The business of most experimental and observational science is modelling data – increasingly so as science has become computationally intensive. Today, models are the main vehicle of scientific knowledge.”1

“The implication of our investigations is that models should no longer be treated as subordinate to theory and data in the production of knowledge. ……Models join with measuring instrument, experiments, theories and data as one of the essential ingredients in the practice of science.”2

1Suppe, Frederick: Understanding Scientific Theories: An assessment of development, 1969 – 1998. Philosophy of Science, 67, 2000. p. S109. 2 Morgan, Mary S. & Morrison, Margaret: Models as Mediators.1999. p. 36.



Modelbegrebet i et erkendelsesperspektiv eller modeller som repræsentationer. Enhver menneskelig erkendelse eller beskrivelse af et empirisk fænomen (objekt eller proces) er en aktiv proces, hvor der indgår et subjekt der erkender og et objekt der erkendes. I denne aktive erkendelses proces må vi abstrahere, selektere og udvælge. Det er på forhånd givet, at enhver udtømmende beskrivelse af et empirisk fænomen er dømt til at mislykkes. Enhver erkendelse af et empirisk fænomen må hvile på en udvælgelse af visse egenskaber og tilstande ved det pågældende fænomen. Denne udvælgelse af tilstande og egenskaber ved fænomenet bygger på an abstraktion, hvor man fokuserer på netop de tilstande og egenskaber, som man anser for karakteristiske eller væsentlige for dette fænomen. Herved ser man samtidig bort fra en mængde andre egenskaber, som man anser for værende uvæsentlige for den pågældende beskrivelse eller forståelse af fænomenet. Dette forhold at se bort fra visse egenskaber ved et fænomen er en væsentlig ingrediens i enhver abstraktionsproces. Det ”produkt” der bliver tilbage ved denne abstraktion, selektion og udvælgelse fungerer nu som en repræsentation af det pågældende empiriske fænomen. Denne repræsentation vil i det følgende blive kaldt for en model. En model er altså en repræsentation af et konkret empirisk fænomen (på figuren er det empiriske fænomen kaldet virkelighed).

Model

Virkelighed

Bemærk at modeller ikke kan siges at være sande eller falske i denne udlægning. Det er påstande der har egenskaben at være sande eller falske, men en repræsentation af et empirisk fænomen behøver ikke kun indeholde påstande (selvom de altid vil indeholde nogle påstande), men kan også foretages ved diagrammer, skitser, tegninger, grafer, geometriske figurer, billeder, tekster, matematiske ligninger,… Men modeller kan være mere eller mindre detaljerede eller mere eller mindre hensigtsmæssige afhængige af i hvilken sammenhæng modellen skal anvendes. Forholdet mellem modeller og virkelighed kan beskrives som et similaritets forhold, hvor visse aspekter eller facetter bliver gengivet med en vis grad af nøjagtighed. Et konkret eksempel på en ikke-videnskabelig model er et ganske almindeligt geografisk kort. Ved at se på geografiske kort og sammenholde disse med videnskabelige modeller, så er der nogle fælles træk, der er værd at bemærke. Geografiske kort er repræsentationer og bruges til at repræsenterer et geografisk område (nedenfor er angivet to forskellige geografiske kort over samme sommerhusområde på Hornsherred). Dette samme gælder for videnskabelige modeller. Modellerne repræsenterer deres genstandsområde.



Geografiske kort er partielle, dvs. at det kun er nogle udvalgte træk eller udvalgte aspekter ved det geografiske område, der er medtaget eller gengivet på kortet. På de to konkrete kort er f.eks. veje, huse og skovarealer angivet, hvorimod vejenes beskaffenhed, husenes højde og typen af skov ikke kan aflæses på kortet. Det samme gør sig gældende for de videnskabelige modeller, i disse modeller er der kun medtaget visse egenskaber/træk /aspekter ved virkeligheden som afspejles i modellen. Både geografiske kort og videnskabelige modeller er altså abstraktioner. De træk som medtages på kortet er af begrænset nøjagtighed. F.eks. er alle vejene på det højre kort angivet som værende lige brede, hvilket ikke er tilfældet i virkeligheden. For de videnskabelige modeller er denne manglende nøjagtighed blandt andet afspejlet i de idealisationer der fortages. Et kort er interesse relativ. De træk der medtages på et kort, afhængige af hvad kortet skal bruges til. Det vil sige at et korts udseende er relativ til de interesser, der er specificeret af kortproducenten/kortforbrugeren. På de to konkrete kort ses denne forskel blandt andet ved at det venstre kort angiver højde kurver (både i vand og på land), hvilket er totalt fraværende på det højre kort. De to kort henvender sig forskellige brugere, afhængig af hvad brugeren skal/vil vide om det pågældende område. Dette forhold går igen inden for anvendelsen af videnskabelige modeller. F.eks. er der flere forskellige videnskabelige modeller, der anvendes til at beskrive en atomkerne (skal-modellen, væskedråbe-modellen,..), forskellen på de forskellige modeller ligger i deres evne til at forklare eller gøre rede for forskellige empiriske fænomener. Ethvert kort fungerer som en repræsentation og reflekterer et perspektiv af det afbillede område, og dette perspektiv er et interesse relativt perspektiv.

Et eksempel på en anden type kort er et kort over S-tognettet i København og omegn. På dette topologiske kort kan man ”aflæse” de respektive togliniers rute (i dette tilfælde angivet ved forskellige farver). Det der er interessant at informere om, er de enkelte stationers placering i forhold til hinanden og hvilke toglinier der kører til de forskellige stationer. Afstande på kortet er alt andet end tro overfor virkeligheden, f.eks. er afstanden mellem den lilla og den røde toglinie ved hovedbanegården større end afstanden mellem



Frederikssund og Ølstykke, hvilket ikke er tilfældet i virkeligheden. Men denne manglende overensstemmelse mellem model og virkelighed er underordnet, når kortet skal bruges til at finde rundt i det københavnske S-togs system. I denne situation er det nemlig lige meget hvilken afstand, der er mellem stationerne, men det interessante er, på hvilken S-togs linie og hvor på denne linien en given station befinder sig.

Bemærk at en model ikke er et kopi, men et billede eller et portræt af det pågældende genstandsfelt (og dette portræt kan være mere eller mindre detaljeret). I denne sammenhæng er det ikke helt forkert at kalde en model for en karikaturtegning.

En lille bid af en tekst af Lewis Carroll kan illustrere ideen3

"What do you consider the largest map that would be really useful?"

"About six inches to the mile."

"Only six inches!" exclaimed Mein Herr. "We very soon got to six yards to the mile. Then we tried a hundred yards to the mile. And then came the grandest idea of all! We actually made a map of the country, on the scale of a mile to the mile!"

"It has never been spread out, yet," said Mein Herr: "the farmers objected: they said it would cover the whole country, and shut out the sunlight! So we now use the country itself, as its own map, and I assure you it does nearly as well."

3 Fra Lewis Carroll: Sylvie and Bruno Concluded, 1893.



I en erkendelsesmæssig sammenhæng er modeldannelsen det aktive element. Modellerne giver os mulighed for at tænke i både billeder, analogier og symboler. Dette gælder også for den videnskabelige erkendelse. Inden for videnskaben indtager modeller og modeldannelsen en helt central plads. Når vi skal forklare og derved forstå et empirisk fænomen, kan denne forklaring fremkomme på en række forskellige måder, afhængigt af hvorledes vi opfatter det pågældende fænomen. Denne forskel i opfattelse giver sig udslag i hvilke sider af fænomenet vi fokuserer på og derved hvilken model vi anvender til at repræsentere fænomenet med. Dette har stor betydning for den forklaring og forståelse vi har af det pågældende fænomen. Det er altså vigtigt at være opmærksom på, at den synsvinkel eller den beskrivelsesramme hvorunder man vil beskrive sit fænomen, er af afgørende betydning for dannelsen af modellen, og derved afgørende for den pågældende forklaring og forståelse.



Inden for videnskaben foregår modeldannelsen eller abstraktionsprocessen på forskellige niveauer:

• Først udvælges eller afgrænses den del af verden som skal være genstand for erkendelsen. Blandt de uendelig mange begivenheder, situationer, fænomener, forhold, forandringer og udviklingsforløb der forekommer i virkeligheden, fokuseres og udvælges netop det, der skal være genstand for erkendelsen. Udvælgelsen vil typisk udspringe af et problem. Det er problemet eller en problemformulering der er styrende for hvilket aspekter ved virkeligheden der udvælges og fokuseres på.

• Den udvalgte situation kan søges beskrevet eller forklaret på en række forskellige

måder, og det der adskiller de forskellige beskrivelser af situationen er anvendelsen af forskellige begrebs- eller beskrivelsesrammer. Dette valg af synsvinkel eller perspektiv, gør noget til eksterne parametre og noget andet til interne parametre. Desuden er valget af perspektiv også ansvarlig for mange af de antagelser man gør sig om situationen. Valg af synsvinkel eller perspektiv afhænger af formålet med beskrivelsen eller formålet med erkendelsen, hvilket igen udspringer af det oprindelige problem. I denne fase identificeres det system eller det empiriske fænomen der skal erkendes, og det identificeres som et bestemt system. Et vigtigt træk ved den videnskabelige erkendelse er konstitueringen af det videnskabelige genstandsområde og de enkelte genstande som genstande for videnskabelig erkendelse.

• Der abstraheres fra visse egenskaber og relationer ved fænomenet og derved

udvælges andre egenskaber og relationer ved fænomenet, som man anser for karakteristisk eller væsentligt for dette fænomen. En videnskabelig undersøgelse retter sig altid mod bestemte egenskaber eller relationer ved en konkret ting. Vi ignorerer altid alle de egenskaber og relationer, vi ikke finder relevante for vores undersøgelse. Vi studerer konkrete genstande, processer, fænomener ved at lade dem repræsentere som abstrakte objekter, der blot består af enkelte eller ganske få egenskaber og relationer. Genstanden isoleres fra sine omgivelser. Vi begrænser emnet, det være sig i beskrivelsen eller bogstaveligt under et eksperiment, og derved afgrænses emnet fra dets mange forbindelser til alle andre emner. Vi afsondrer i en vis forstand emnet fra dets naturlige omgivelser. På dette stade i modeldannelsen fremkommer det, man kan kalde det videnskabelige undersøgelsesobjekt eller et forskningsobjekt. Forskningsobjektet er det stykke konkrete virkelighed, som videnskaben beskæftiger sig med. Man kan sige at undersøgelsesobjektet eller forskningsobjektet er genstandsområdet for det videnskabelige arbejde. Det er ikke muligt at konstruere og begrunde videnskabelige teorier uden vidtgående genstandsafgrænsning og for megen naturvidenskab drejer det sig desuden om en eksperimentel isolering af et ret snævert genstandsområde.

• Dernæst idealiserer vi dette forskningsobjekt, idet vi i vores beskrivelse af

virkeligheden indfører en række betingelser, som ikke kan realiseres i



virkeligheden. Denne type idealisation eller tilnærmelse fungerer som en forvrængning af det virkelige system. Vi lader et ideelt objekt repræsentere det konkrete objekt. Herved fremkommer en model af fænomenet, hvilket svarer til en idealiseret repræsentation af virkeligheden. Denne model vil i det følgende blive kaldt for det videnskabelige modelobjekt eller blot modelobjektet.

Denne karakteristik fører til følgende illustration af situationen:

Modelobjekt

Virkelighed

Forskningsobjekt

Disse videnskabelige modelobjekters funktion er at give en abstrakt og idealiseret repræsentation af konkrete empiriske fænomener (hændelser, processer, ting, egenskaber, forhold, situationer og/eller omstændigheder), som – givet valg af bestemt perspektiv eller beskrivelsesramme - sætter os i stand til at formulere partikulære, individuelle udsagn om sådanne konkrete fænomener. I en videnskabelig sammenhæng vil det perspektiv, man anvender til at beskrive sit modelobjekt tit og ofte være bestemt af en videnskabelig teori. I disse tilfælde er det den videnskabelige teori der dikterer/fastsætter/foreslår hvilke egenskaber der er relevante og hvilke der ikke er det. I denne sammenhæng betyder det, at modelobjektet sørger for forbindelsen mellem teori og virkelighed, eller at modelobjektet medierer mellem teori og virkelighed. Dette giver anledning til endnu en illustration af situationen:

Teori

Virkelighed

Forskningsobjekt

Modelobjekt



Videnskabens genstande er i denne udlægning dels konkrete genstande (forskningsobjekter) dels abstrakte og idealiserede størrelser (modelobjekter), hvor det ideelle repræsenterer det konkrete. Videnskabsmanden henviser til abstrakte og idealiserede størrelser for at kunne sige noget teoretisk om den virkelige verden. Disse abstrakte og idealiserede størrelser indgår i det videnskabelige modelobjekt, som er det de videnskabelige teorier forholder sig til. Forskellen mellem en videnskabelig teori og et modelobjekt:

En videnskabelig teori definerer ikke konkrete ting eller fænomener i termer af deres egenskaber, teorien introducerer udelukkende egenskaberne og definerer sammenhænge mellem dem. F.eks. gælder det for Newtons 3 love, at de angår egenskaberne masse, acceleration, hastighed og kraft (og udsiger intet om planeter, æbler, penduler eller tidevand).

I repræsentationen af modelobjektet kan forskeren bruge disse begreber til at repræsentere tingene og fænomenerne og de relationer eller sammenhænge, der er mellem dem. Modellen giver derved forskeren mulighed for at repræsentere virkeligheden, og det er på denne abstrakte og idealiserede struktur, han kan anvende sine matematiske teorier og udvikle nye.

Modelobjektet repræsenterer konkrete empiriske fænomener og teorier er generelle principper om disse abstrakte objekter. Teorier kan anvendes på empiriske fænomener, via en model, når specielle betingelser ved det empiriske fænomen er opfyldt. I denne udlægning af den videnskabelige praksis, skal teorier altså ikke forstås som værende konkrete beskrivelser eller repræsentationer af virkeligheden, men fungere som begrebsrammer eller perspektiver man kan anvende i sin repræsentation af et modelobjekt. Teorierne kan opfattes som redskaber til at konstruere en model. Dette kan virke kontroversielt, idet det er almindeligt at opfatte de videnskabelige teorier som værende korrekte eller sande beskrivelser af virkeligheden og ikke blot beskrivelser af et ideelt modelobjekt. Men der findes mange eksempler fra videnskaben, der taler til gunst for dette forhold: Bemærk eksempelvis at Newtons 1. lov, inertiloven4, udtaler sig om en situation, der er uopnåelig i ”den virkelige verden”. Loven udtaler sig om legemer, der ikke påvirkes af ydre kræfter. Men dette kan umulig gælde i den virkelige verden, idet ethvert konkret fysisk legeme vil være påvirket af ydre kræfter (ethvert fysisk legeme vil altid være påvirket af gravitationskræfter, fra alle de andre legemer i verden). Loven er et klart eksempel på en idealisation, som det ikke vil være muligt at anvende direkte som en korrekt eller sand beskrivelse på noget som helst forskningsobjekt. Hvis vi skal anvende denne lov, så er det på et modelobjekt (som jo er en abstrakt idealiseret model af et forskningsobjekt)5.

4 Et legeme der ikke påvirkes af ydre kræfter, vil enten forblive i hvile eller forblive i en jævn retlinet bevægelse. 5 Det er med dette forhold for øje at de to videnskabsteoretikere Nancy Cartwright og Ronald Giere hver især kalder en af deres bøger for henholdsvis: ”How the Laws of Physics Lie” og ”Science without Laws”.



Klassifikation af modeller I det følgende vil der blive fokuseret på en overordnet klassifikation af de forskellige modeltyper. Fysiske modeller som forskningsobjekter Det før omtalte forskningsobjekt bliver ofte i litteraturen betegnet som en model. I denne sammenhæng snakker man om skalamodeller, fysiske modeller, materielle modeller eller eksperimentelle modeller. Denne type modeller refererer til den situation hvor et fysisk system opbygges som en model for et andet system. Disse fysiske modeller anvendes typisk til at løse praktiske problemer, når det er vanskeligt at arbejde med det oprindelige system. Bemærk, at det oprindelige forskningsobjekt bliver erstattet af et nyt forskningsobjekt, hvor det så er muligt at lave et modelobjekt for dette nye forskningsobjekt. Eksempler på denne type modeller er modelfly som anvendes i vindtunnelforsøg eller modelskibe der anvendes til at repræsentere de virkelige skibe, hvor disse modelskibe udsættes for ekstreme påvirkninger, f.eks. i form af høje bølger, for herved at kunne hente viden eller indsigt om de virkelige skibes opførsel under disse påvirkninger. I de fysiske modeller går nogle træk ved det virkelige fysiske system igen i disse modeller. Hvilke træk man fokuserer på afhænger af formålet med ”øvelsen”. Et kort kan også opfattes som en fysisk model. En plastikmolekylemodel for DNA er et andet eksempel. Et tredje eksempel på denne type modeller er de situationer hvor nogle træk ved et system bliver simuleret i et andet system i et andet medium, f.eks. hydraulisk flow af et økonomisk system, eller et elektrisk system der simulerer et mekanisk system. Desuden kan visse organismer være modeller for andre organismer. Begrebs modeller som modelobjekter Repræsentationen af modelobjektet kan være mere eller mindre funderet i en videnskabelig teori. Hvis modelobjektet er frembragt inden for et teoretisk videnskabeligt perspektiv kaldes modellen for en teoretisk model. Teoretiske modeller er modelobjekter, hvor der er en ”bagvedliggende” videnskabelig teori, der er medbestemmende for repræsentationen af det pågældende modelobjekt. I de fleste fysiske eller kemiske forsøg man udfører i gymnasiet eller på grunduddannelsen på et universitet, vil modelobjektet altid repræsenteres ved hjælp af begreber hentet fra en videnskabelig teori. Dette er ingen tilfældighed, men tjener som en indlæring i hvorledes den pågældende videnskabelige teori kan eller skal anvendes. Det er via denne proces, at den studerende lærer eller tilegner sig den pågældende videnskabs praksis. Det handler om at blive indviet i det pågældende paradigme, ved at se hvorledes nogle eksemplariske teoretiske modelanvendelser (jf. Kuhns paradigmebegreb). Et eksempel på anvendelsen af en teoretisk model er beskrivelsen eller behandlingen af et pendul (det matematiske pendul eller det fysiske pendul). Denne opgave består i at have et klassisk mekanisk perspektiv på pendulet, konstruere sig et modelobjekt, der kan behandles af den klassiske mekanik. Ud fra den klassiske mekanik (f.eks. formuleret som Newtons love) kan man så beregne nogle karakteristiske størrelser vedrørende pendulets



bevægelse ved hjælp af de matematiske ligninger, der kan opstilles for pendulet (se en udførlig gennemgang af penduleksemplet på side 18). Det er værd at være opmærksom på at teorierne ikke giver os en algoritme til at frembringe modeller (modellerne kan ikke direkte udledes af teorierne), men at selve modelkonstruktionen kræver et ”kreativt” islæt. Modelbygning er en kunst og ikke en mekanisk procedure. Hvis der ikke eksisterer nogen videnskabelig teori på området, så kaldes den frembragte model for en fænomenologisk model. En traditionel definition af en fænomenologisk model er at en fænomenologisk model kun repræsenterer observerbare egenskaber fra det fysiske system og undlader at postulere skjulte mekanismer, der ligger til grund for de observerbare egenskaber. Fænomenologiske modeller kræver en del empiri for at etablere relationer mellem de indgående begreber, samt empiri til at bestemme størrelserne af diverse variable og konstanter. Eksempler på fænomenologiske modeller er Balmers model for brints spektrallinier (se p. 25) og Titius-Bodes model for planeternes placering omkring solen (se p. 27). En speciel type fænomenologisk model er de såkaldte matematiske modeller. Matematiske modeller er modelobjekter, hvor der ikke er en decideret videnskabelig teori bagved repræsentationen af modelobjektet, men hvor det er muligt at opskrive en matematisk funktionel sammenhæng mellem nogle kvantitative observable. Altså en symbolsk repræsentation af kvantitative variable for et fysisk (eller socialt) system. Bemærk at teoretiske modeller også kan indeholde matematiske formuleringer, men det der karakteriserer matematiske modeller er altså, at der mangler en ”dybere” teoretisk forståelse af det fænomen der modelleres matematisk. Eksempler på matematiske modeller er de matematiske ligninger der anvendes til at beskrive relationen mellem udbud og efterspørgsel i økonomien, eller de matematiske ligninger der anvendes til at beskrive en populations vækst i tid (eksponentielle modeller og logistiske modeller). Bemærk at Balmers formel og Titius-Bodes lov kan opfattes som matematisk formulerede fænomenologiske modeller. En matematisk model kan i nogle tilfælde fysisk repræsenteres ved et elektrisk kredsløb eller i en computer i form af en computermodel f.eks. for økonomi, politik, militær eller transport. Den matematiske model ligner det oprindelige fysiske system ved den formale struktur, men der er ingen fysiske eller materielle ligheder. Det er en symbolsk repræsentation af visse aspekter ved det fysiske system, og dets hoved-formål er at forudsige opførslen af det fysiske system. Med hensyn til anvendelsen af den matematiske formalisme som repræsentations form (i de matematiske modeller) er det interessant at denne type repræsentationsform har vist sig at være så overordentlig værdifuld. Jeg skal ikke forfølge diskussionen omkring anvendelsen af matematik som repræsentations form men blot angive to citater af Eugene Wigner6:

6 Fra henholdsvis p. 223 og p. 237 i Wigner, E. : Symmetries and Reflections, 1979. I et kapitel ved navn: ”The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences”.



”The enormous usefulness of mathematics in the natural sciences is something bordering on the mysterious and that there is no explanation for it” “The miracle of the appropriateness of the language of mathematics for the formulation of the laws of physics is a wonderful gift which we neither understand nor deserve”.

I sammenhængen mellem modeller og matematik er det værd at bemærke forskellen mellem idealisation og approksimation. Approksimationer er introduceret i en matematisk sammenhæng (approksimationer er en formel matematisk sag). En matematisk størrelse X approksimeres med en anden matematisk størrelse Y, hvis Y er tilpas tæt på X i en eller anden relevant forstand. To eksempler: En funktion f1 kan f.eks. approksimeres med en funktion f2, hvis f2 er de første led i funktionen f1s rækkeudvikling (Taylor rækken af f1), eller en ligning 1 kan approksimeres med en ligning 2, hvis f.eks. ligning 2 fremkommer ud fra ligning 1 ved at en parameter fra ligning 1 går mod nul (se eksempler på approksimationer i penduleksemplet på side 18). Med hensyn til idealisationer gælder det, at idealisationer involverer en forvrængning af det virkelige system. Idealisationer kan opfattes som den type tilnærmelser, hvor man bevidst indføre en unøjagtighed i repræsentationen af det virkelige system. Eksempler på denne type idealiseringer er de friktionsløse skråplaner, punkt partikler (en partikel uden udstrækning), masseløse fjedre, ustrækkelige snore, uendelige hastigheder, isolerede systemer, den perfekte ligevægt for et marked osv.. Idealisationer eller tilnærmelser kan være grove eller mindre grove (men ikke rigtige eller forkerte). Hvilke og hvor mange tilnærmelser vi foretager os i den konkrete situation afhænger af, hvor simpel vi ønsker at gøre vores modelobjekt. En approksimation kan retfærdiggøres ved at pege på en acceptabel idealisation, f.eks. kan man negligere dissipative led i en matematisk ligning (en approksimation), hvis det er rimeligt at tilnærme det fysiske system som værende friktionsløst (en idealisation). Anvendelsen af modeller i videnskaben I det følgende vil der blive fokuseret på anvendelsen af modeller indenfor videnskaben. Modeller og indsigt Det er værd at overveje hvorledes vi lærer noget via disse modeller. Modellerne er instrumenter til at lære noget om verden. En stor del af den videnskabelige aktivitet og undersøgelse udføres på modeller (modeobjekter)og ikke på virkeligheden selv, fordi vi ved studiet af modeller kan opdage træk og konstatere kendsgerninger om det system som modeller er en model for. Modeller tillader os at foretage undersøgelser og få indsigt via disse ”stedfortrædere” for det virkelige system. F.eks. studerer vi hydrogenatomets natur, en populations dynamik eller polymeres opførsel ved at studere modellerne for disse fysiske systemer. Denne kognitive funktion af modeller er vigtig og denne funktion omtales som en ny form for indlærings metode i form af ”model-baseret-læring”.



Man kan sige at modelleringen af det pågældende system og dermed vores indsigt i det empiriske fænomen, består af tre stadier:

• Første stadie består i at etablere en repræsentationel relation mellem modellen og genstandsområdet. På dette stadie kan en videnskabelig teori være en del af værktøjet til at opstille modellen.

• Andet stadie er at undersøge træk ved modellen. Dette gøres ved at undersøge

visse teoretiske påstande om modellens mekanismer. Herved lærer vi noget om modellen og får indsigt i modellens opførsel.

• Og det tredje stadie er at overføre denne indsigt til indsigt omkring det undersøgte

genstandsområde. Når modellen er opbygget og modelleringsprocessen er på andet stadium, så får vi intet ud af blot at kikke på den, men vi skal arbejde med den og manipulere med den for at udfritte den dens hemmeligheder. Afhængig af hvilken type model vi arbejder med, så er opbygning og manipulation af modellen afstedkommet via forskellige typer aktiviteter og metoder. Materielle modeller bliver typisk anvendt eksperimentelt (det er formålet med mange materielle modeller). For modeller af matematisk natur, manipuleres disse ved at beregne de analytiske løsninger, hvis dette er muligt. Hvis dette ikke er muligt, så er det ofte muligt at udføre computersimulationer. Megen videnskab er afhængig af computer-simuleringer. F.eks. er følgende undersøgelse alle afhængige af computersimuleringer: udviklingen af stjerner og galakser, den detaljerede dynamik af høj-energiske kernereaktioner, aspekter af evolutionsprocesser af liv, økonomiens udvikling og beslutningsprocedure i en organisation. Simulation er typisk anvendt i sammenhæng med dynamiske modeller (modeller der indeholder tidsaspekter). Målet for simuleringen er at løse bevægelsesligningen i modellen. En simulering imiterer en proces ved en anden proces. I tilfælde hvor den bagvedliggende model er vel underbygget og forstået, kan computereksperimenter erstatte virkelige eksperimenter (hvilket har økonomiske og sikkerheds fordele f.eks. i simuleringen af atombombesprængninger). Desuden kan computersimuleringer have en heuristisk funktion, idet de kan foreslå nye teorier, nye modeller og hypoteser, for eksempel baseret på en systematisk udforskning af modellens parametre. En fare ved at koncentrere sin videnskabelige aktivitet omkring computer simuleringer er, at arbejdet med modellen fokuserer på at få en bedre og bedre empirisk nøjagtighed på bekostning af en dybere forståelse af mekanismen bag det fysiske fænomen. Dette kan flytte vægten af de mål vi forbinder med videnskaben (fra forståelse til nøjagtighed). Modeller for data Det er desuden værd at pointere, at modeller ikke kun anvendes til at beskrive empiriske fænomener, men at modeller også anvendes overfor data. Disse data-modeller optræder gerne som kategorisering og ofte som en idealiseret version af observationsdata. Typisk elimineres fejl (dette kaldes for datareduktion) og de resterende data bliver typisk præsenteret i form af kurver, grafer eller diagrammer. Et klassisk eksempel er at repræsentere data i et koordinatsystem ved at angive dataværdierne som punkter i et



koordinatsystem for dernæst at tegne en kurve ”gennem nogle af disse punkter” (”curve-fitting”). Konstruktionen af datamodeller kan være utrolig kompliceret. Det kræver sofistikeret statistiske teknikker og rejser seriøse metodologiske og filosofiske spørgsmål. F.eks. er det et problem hvorledes vi beslutter hvilke data der skal forkastes? Og givet et datasæt, så er der et problem med hensyn til hvilken en kurve, der bedst passer til disse data? Dette problem er det såkaldte ”curve-fitting” problem. De indsamlede data angiver ikke selv, hvilken en kurve der passer bedst (jf. den tidligere diskussion af teoriers underbestemthed). Problemet løses typisk via erfaringer fra tidligere dataindsamlinger, viden fra baggrundsteorier og overvejelser omkring simplicitet eller a priori sandsynligheder.



Et system flere modeller Det er ikke ualmindeligt, at der er flere modeller, der repræsenterer det samme fysiske system, til trods for at der eksisterer en videnskabelig teori der ”burde” kunne ligge til grund for en enkelt model. Et eksempel på anvendelsen af forskellige modeller til at repræsenterer det samme fænomen, er repræsentationen af elektromagnetisk stråling. Elektromagnetisk stråling er betegnelsen på et bredt spektrum af forskellige elektromagnetiske bølger, der kan beskrives ved den pågældende bølges bølgelængde eller frekvens. Det elektromagnetiske spektrum angiver de forskellige strålers bølgelængder/frekvenser

Hvis man arbejder med almindelig optiske apparater, så repræsenterer man strålingen med rette linier (eller ”stråler”) i homogene medier. Dette felt kaldes geometrisk optik, som typisk beskriver lysets opførsel gennem linser og prismer. For at beskrive lyset som stråler, skal bølgelængden være meget lille i forhold til linserne. Et par eksempel på dette er angivet på nedenstående figur:


http://www.fotografie-boerse.de/fotolexikon/artikel/Bild:Reelles_Bild.png

http://www.fotografie-boerse.de/fotolexikon/artikel/Bild:Chromatische_Aberration.png


Hvis man f.eks. arbejder med transmission og absorption af den del af det elektromagnetiske spektrum hvor bølgelængden er af samme størrelse som udstyret (f.eks. vekselvirkningen mellem radiobølger og antenner), så behandles strålingen som bølger (elektromagnetiske bølger). Her er modellen opbygget på baggrund af den klassiske teori for elektromagnetisk stråling (Maxwells ligninger).

Hvis man arbejder med højfrekvent elektromagnetisk stråling eller fotonerne har en stor energi i forhold til det medie det vekselvirker med, så behandles strålingen som partikler (de såkaldte fotoner). Her er modellen bygget op omkring en kvantefysisk forståelse af strålingen. Eksempler på dette er forståelsen eller beskrivelsen af den fotoelektriske effekt eller af Comptonspredning.

Andre eksempler: Atomkernemodeller (Væskedråbemodellen og Skal-modellen), vandmodeller (molekyle og flydende). Bemærk at analogier her spiller en væsentlig rolle i konstruktionen af modellen. Af andre ”kendte” analogimodeller kan nævnes Bohrs atommodel (hvor modellen bygger på at elektronerne bevæger sig i baner rundt om kernen på samme måde som planeterne bevæger sig i baner rundt om solen) og billardmodellen for en gas (hvor gas molekylernes opførsel opfattes analogt til billard kuglers opførsel). Specielt ved opdagelsen af nye teorier spiller analogimodeller en væsentlig rolle.



Et lille indskud vedrørende behandlingen af forskningsobjekterne. Bemærk, at inden for mange grene af naturvidenskaben er man i den heldige situation, at det er muligt direkte at eksperimentere med forskningsobjektet (med undtagelse af astronomien og en del af den biologiske forskning). Denne situation gør det muligt at manipulere med systemet under kontrollerede omstændigheder. Denne mulighed for manipulation af virkeligheden er ikke til stede på samme måde inden for samfundsvidenskaben og humaniora, hvor det kun sjældent er muligt at udføre forsøg med sit forskningsobjekt. Denne mulighed for kontrollerede manipulationer med naturen er en væsentlig ingrediens inden for en del af den naturvidenskabelige forskning, hvor denne eksperimentelle mulighed eller eksperimentet har en central plads i karakteristikken af den naturvidenskabelige aktivitet. Forskningsobjektet, som der eksperimenteres med, kan antage eller forekomme i forskellige grader af isolation fra dets naturlige omgivelser. Alt afhængig af videnskabsgren og det pågældende stade af den pågældende videnskab kan eksperimentet være mere eller mindre ”kunstigt”. Inden for biologien kan det være problematisk at eksperimentere med mennesker og højerestående dyr (af etiske årsager), hvorimod inden for atom- og kernefysikken (partikelfysikken) kan den eksperimentelle situation forekomme i yderst ”kunstige” omgivelser. Et eksempel på denne kunstige situation (og samtidig også en illustration af udviklingen af den eksperimentelle praksis) er målingen af elektronens magnetiske moment.

Magnetisme er ifølge Maxwell´s ligninger forårsaget af elektriske ladninger i bevægelse. Elektronen er elektrisk ladet og roterer omkring sin egen akse (denne interne rotation kaldet for elektronens spin). Dette spin bevirker at elektronen selv er en lille magnet. Styrken af elektronens magnetfelt kaldes for elektronens magnetiske moment. For at måle dette moment, og sammenholde momentets værdi med de teoretiske beregninger7, er der bleven foretaget en række eksperimenter med elektronen som forskningsobjekt. Denne række eksperimenter er karakteriseret ved at elektronen gradvis strippes for forstyrrende faktorer fra omgivelserne. I de første eksperimenter befinder elektronen sig fanget i et atom sammen med andre elektroner, i senere eksperimenter befinder elektronen sig frit svævende i en sky af andre elektroner (holdt fast i en magnetisk flaske) og i de seneste eksperimenter befinder elektronen sig ”helt alene” i en magnetisk fælde (hvilket er lidt af et kunststykke8).

Bemærk hvor ”kunstigt” dette sidste eksperiment er i forhold til elektronens ”normale” situation. Dette eksempel er blot medtaget for at vise hvor isoleret et forskningsobjekt kan forekomme. Det skal bemærkes at overensstemmelsen mellem den målte værdi af elektronens magnetiske moment og den beregnede eller teoretiske værdi er uhørt nøjagtig. Denne næsten perfekte overensstemmelse mellem måling og teori, giver en god begrundelse for at anse kvanteelektrodynamikken for at være den ”sande” teori for sit genstandsfelt (jf. noterne om metode og begrundelse). 7 De teoretiske beregninger foretages ud fra den teori der hedder kvanteelektrodynamik (QED). 8 Dette kunststykke blev udført af H. Dehmelt og belønnet med en nobelpris i 1989.



Et konkret eksempel på modelanvendelsen. I det følgende vil jeg præsenterer et konkret eksempel på en modelleringsproces, med diverse indgående abstraktioner, tilnærmelser, idealisationer og approksimationer. Pendul eksemplet. Forstil dig at du står på en legeplads og betragter en gynge der svinger frem og tilbage. Du kan betragte den svingende gynge som en genstand, der kan beskrives eller opfattes ud fra mange forskellige aspekter: Dens pris, dens design, dens kemiske sammensætning, dens farve, dens placering i forhold til sandkassen, dens historie, dens pædagogiske kvalitet, …eller som en fysisk genstand der svinger frem og tilbage. Det er dette sidste fænomen du koncentrerer dig om. Du iagttager en vis regelmæssighed eller regularitet ved denne svingende gynge, og dette empiriske fænomen ønsker du at undersøge. Da du er ingeniørstuderende og blandt andet ”uddannet” indenfor den klassiske mekanik, så formulerer du det problem som du ønsker at løse således: Hvilke kvantitative relationer gælder for denne type bevægelse? I og med du betragter gyngen som et klassisk mekanisk system, så abstraherer du fra en hel del egenskaber ved gyngen. Pris, farve, kemisk sammensætning, historie, pædagogisk formåen,… Alle disse egenskaber (samt en frygtelig masse andre egenskaber) ignoreres, og du fokuserer på fænomenet som et fysisk system, hvor du kan anvende den klassiske mekanik. I første omgang opstiller du en ikke-teoretisk model, der tjener til en mulig præcis formulering af dit problem. Denne model kan kaldes for en prototypisk model: Du antager, at du kan opfatter systemet som en masse eller et lod, der er ophængt i en fleksibel snor. Snoren hænger fast og kan bevæge sig frit i et ubevægeligt ophængningspunkt. Du vælger i første omgang at se bort fra luftens påvirkning, det gælder både påvirkningen i form af opdrift og påvirkningen i form af friktion. Du vil senere tilnærme luften omkring gyngen som stillestående (du ved det blæser lidt, men det ser du bort fra), og medtage friktionen i din beskrivelse af gyngens opførsel. Du påvirker systemet på den måde, at du trækker loddet lidt ud fra ligevægtsstillingen og slipper det. Desuden antager du yderligere, at nogle af de ydre påvirkninger kan negligeres, f.eks. ser du bort fra påvirkningen fra jordens magnetfelt, Merkurs tyngdefelt, din tilstedeværelse,…. De eneste kræfter gyngen bliver påvirket af, er tyngdekraften fra jorden (som du tilnærmer med en konstant størrelse) og kraften fra ophængningspunktet. Udover dette antager du, at der er nogle forhold, der er irrelevante for systembeskrivelsen, f.eks. tidspunkt på dagen, placeringen af systemet,…, desuden ser vi bort fra krogen hvori snoren hænger. Disse antagelser gøres på baggrund af en ide om, at disse forhold ikke påvirker vores løsning på vores problem på en mærkbar måde. Du kan nu lave en grafisk model af systemet.



Derefter foretager der yderligere antagelser: Loddet og snor bevæger sig i et plan (gyngens bevægelse opfattes nu som en to-dimensional bevægelse). Du betragter snorene, som en enkel snor, der er retlinet (dette er en tilnærmelse), hvilket medfører at du kan tilnærme snoren med en ret linie. Du antager desuden at længden af snoren L samt masserne M af loddet og m af snoren er væsentlige kvantitative størrelser. Desuden opfattes vinklen mellem snor og lodlinie som en væsentlig variabel. Dit oprindelige spørgsmål kan nu reformuleres: Find vinklen mellem snor og lodlinie som funktion af tiden. Hvis tiden mellem to passager af ligevægtspunktet er konstant, ønskes denne konstante værdi bestemt. Den model af den svingende gynge du nu har skabt dig, er for kompleks til at du kan anvende den klassiske mekanik på modellen, hvilket betyder at du må foretage nogle yderligere afgrænsninger af problemet: Loddets masse er mindst 100 gange snorens masse, snorens længde er mindst 10 gange loddets radius/længde. Disse afgrænsninger ændrer ikke på spørgsmålet, men indskrænker eller begrænser gyldighedsområdet for vores svar. Du tilnærmer snoren til at være ustrækkelig og stiv (så vil klodsen bevæge sig på en cirkel). Desuden tilnærmer du snorens masse som værende nul (du ser simpelthen bort fra snorens masse). Denne idealisering vil du senere ”bløde op på”, men i din nuværende repræsentation er gyngen blot en klods, påvirket af to kræfter (snorkraften og tyngdekraften), der kan bevæge sig på en del af en cirkelbue. På nuværende stade besidder du et modelobjekt, hvorpå du kan anvende den klassiske mekanik. Denne model bliver nu en teoretisk model. Det er en teoretisk model, idet din beskrivelse af dit modelobjekt hovedsagligt består af teoribegreber fra den elementære klassiske mekanik (masse, kraft, tyngdeacceleration,…). Næste skridt er at foretage yderligere tilnærmelser og idealiseringer (ellers bliver dine differentialligninger alt for ”besværlige” at løse). Du tilnærmer loddets masse til at være koncentreret i loddets massemidtpunkt (loddet er nu yderligere idealiserer til en massepartikel). Radius i massepartiklens cirkelbane bliver da bestemt ved én værdi . lSnorkraften og tyngdekraftens påvirkning af loddet idealiseres til kræfterne T og Mg virkende henholdsvis i snorens retning og lodret. Den teoretiske model kan nu formuleres på følgende måde: En massepartikel M bevæger sig i en cirkelbane med radius r under påvirkning af to kræfter: T og Mg (som vektorer). Den teoretiske model kan du illustrerer ved en grafisk model:



)cos(gM θ⋅⋅

T

M

s

θ

θ

l

)sin(gM θ⋅⋅

gM ⋅

Egentlig er det kun den sorte klat, der repræsenterer gyngen. Men de stiplede linier og ”top-linien” er medtaget for blandt andet at gengive nogle geometriske egenskaber omkring partiklen (”gyngen”). Du tilnærmer det jordfaste referencesystem (krogen hvori snoren er fastspændt) til at være et inertialsystem, hvilket indebærer at de fysiske love bliver særlig simple. Den matematiske beskrivelse af den teoretiske model: Nu sammenknytter du de begreber der indgår i beskrivelsen af dit modelobjekt (den teoretiske model) med den klassiske mekaniks matematisk formulerede love, specielt

Newtons 2. lov, der udsiger at: aM ⋅ = Fres, hvor a er givet ved: 2

2

dtsda = .

Den matematiske ligning for en massepartikels cirkelbevægelse i et inertialsystem bliver her:

)sin(gMdt

sdM 2

2

θ⋅⋅−=⋅

hvor s er positionen i cirkelbevægelsen, t er tiden og θ er vinklen mellem snor og lodlinie, og )sin(gM θ⋅⋅− er tyngdekraftens tangentialkomposant. Ligningen har to ubekendte parametre, nemlig: s og θ .



Men da sammenhængen mellem s og θ er givet ved følgende relation: , kan antallet af ubekendte parametre i differentialligningen reduceres til èn:

l⋅θ=s

0)sin(gdtd

2

2

=θ⋅+θ

⋅l

Dette er en ulineær differentialligning, som du ikke har lært at løse analytisk, hvilket bevirker at du nu approksimerer sin(θ ) med θ (så får du nemlig en differentialligning, som du kan løse analytisk). Dette er en matematisk approksimation der ”gælder”, når θ er lille og måles i radianer, idet θ er det første led i rækkeudviklingen af sin(θ ). Denne approksimation kan retfærdiggøres rent fysisk, hvis du kun ser på den situation hvor loddet udfører små udsving fra ligevægt. Herved får vi en ny matematisk beskrevet model (med et yderligere reduceret gyldighedsområde). Denne model beskriver det såkaldte matematiske pendul.

0gdtd

2

2

=θ⋅+θ

⋅l

Denne differentialligning kan sammen med begyndelsesbetingelserne løses analytisk. Påvirkningen af systemet ligger i de to begyndelsesbetingelser:

θ (0) =θ 0 og 0)0t(dtd

==θ .

Den analytiske løsning er givet ved: t)gt 0 ⋅⋅θ=θl

cos()(

Hvorefter positionen kan findes som funktion af tiden t, altså s = s(t). Løsningen på problemet kan nu formuleres: Med de begrænsninger i løsningens gyldighedsområde som forskellige afgrænsninger, antagelser, tilnærmelser, idealiseringer og approksimationer har medført, gælder det, at et lille lod i en lang, næsten uelastisk tynd snor, anbragt i et jordfast ophængningspunkt uden luftens påvirkning, vil bevæge sig efter små forstyrrelser fra ligevægtstillingen på en måde der gør at:

1) Loddets position i cirkelbanen er givet ved løsningen til differentialligningen.

2) Tiden mellem to ens passager af ligevægt er konstant og bestemt ved:

g2T l

⋅π⋅= .



En forbedring af modellen for gyngen kan du foretage, ved at ”de-idealiserer” den nuværende model. En mulig ”de-idealisering” vil være at medtage påvirkningen fra den omgivende luft: Luftens påvirkning på snoren og loddet tilnærmes til at være en koncentreret påvirkning på massepartiklen, og denne påvirkning idealiseres til en kraft Fc. Desuden tilnærmer du denne kraft til at virke tangentielt til cirkelbanen.

Fra teorien om deformerbare stoffers mekanik henter vi en idealisering: dtdsBFc ⋅−=

(luftmodstanden er proportional med partiklens hastighed) hvor B er en positiv konstant. I denne situation kommer differentialligningen til at se således ud:

)sin(gMdtdsB

dtsdM 2

2

θ⋅⋅−⋅−=⋅

Denne differentialligning kan så omskrives i stil med den forrige til:

0gdtd

MB

dtd

2

2

=θ⋅+θ

⋅+θ

l

Løsningen til denne differentialligning ,ammen med begyndelsesbetingelserne, giver

. I dette tilfælde får du en dæmpet harmonisk svingning. Læg mærke til at denne ligning bliver identisk med den forrige ligning hvis du sætter B til nul (den forrige ligning er en approksimation til denne nye ligning).

)( tθ=θ

En anden mulig ”de-idealisering” vil være at opfatte loddet og snoren som stive legemer, og derved opfatte gyngen som et såkaldt fysisk pendul. I denne udgave skal du beregne inertimomentet af snoren og loddet samt finde systemets massemidtpunkt. Herefter kan du opstille en ny differentialligning (i en udgave uden luftens indvirkning) der kommer til at se således ud (med diverse approksimationer):

0dgMdtdI 2

2

=θ⋅⋅⋅+θ

⋅

Hvor I er systemets samlede inertimoment, M er systemets samlede masse og d er afstanden fra systemets massemidtpunkt til omdrejningsaksen. Løsningen til denne ligning giver igen en simpel harmonisk svingning, med en konstant svingningstid, givet ved:

dgMI2T⋅⋅

⋅π⋅=



Og hvad kan vi så lære af denne øvelse?

• For det første viser øvelsen, at den måde hvorpå genstandsområdet bliver behandlet, afhænger af det perspektiv, der ligger til grund for behandlingen. Dette perspektiv afhænger af det problem vi ønsker at løse, og det valgte perspektiv afhænger af det paradigme vi har valgt at arbejde med (her den klassiske mekanik). Dette paradigme er afgørende for hvilke begreber, teorier og metoder der bringes i brug.

• For det andet viser øvelsen, at der bliver foretaget en hel del begrænsninger,

tilnærmelser, antagelser, idealisationer og approksimationer, før vi overhovedet kan få den klassiske mekanik i brug. Det virkelige system er alt for kompliceret som det er, og der skal en hel del reduktion til, før vi kan gøre os håb om at anvende den klassiske mekanik.

• For det tredje viser øvelsen, at den klassiske mekanik ikke bliver anvendt direkte

på den fysiske verden, men på et modelobjekt. Modelobjektet er en mere eller mindre god model for det virkelige system, men det modelobjekt, hvorpå teorien bliver anvendt, er en idealiseret model, som på ingen måde stemmer 100% overens med den faktiske gynge.

Hvis vi nu udførte et konkret eksperiment med den omtalte gynge og fik et resultat for svingningstiden Tmålt. Denne målte svingningstid kan så sammenlignes med den beregnede svingningstid Tberegnet. Hvordan skal vi så fortolke det eksperimentelle resultat hvis der er overensstemmelse mellem den beregnede værdi og den målte værdi (observationen). Hvad kan man så konkludere eller hvad har man eftervist?

• At den teoretiske model er en god/korrekt model for den konkrete gynge. • At den teoretiske model er en god/korrekt model for andre gynger (matematiske

penduler) og for andre harmoniske bevægelser. • At Newtons 2. lov anvendt på gyngen (med xkFres ⋅−= ) er en korrekt/anvendelig

teori. • At Newtons 2. lov generelt er en korrekt/anvendelig teori (også for xkFres ⋅−≠ ). • At den klassiske mekanik er en korrekt/anvendelig teori.

Hvordan skal vi så fortolke det eksperimentelle resultat hvis der er uoverensstemmelse mellem beregninger og målinger (observationer). Hvad kan man så konkludere eller hvad har man afvist?

• At eksperimentet/målingerne er forkerte. • At modellen er forkert • At idealisationerne er for grove/forkerte. • At teorien er uanvendelig. • At antagelser og tilnærmelserne er for grove/forkerte.



Bemærk desuden hvorledes, man kan opfatte de klassiskmekaniske modeller ud fra et hierarki af mere eller mindre generelle modeller (her vist ved et lille udvalg).

Klassisk mekaniske modeller

Konservative modeller

Ikke-konservative modeller

Retlinet bevægelse Konstant kraft

F = k

Harmonisk bevægelse Lineær kraft

F = -kx

Central bevægelse Invers kvadrat kraft

F = k/r2

Frit fald Skråplan Pendul Fjeder Cirkulær Eliptisk



Balmers model for brints spektrallinier (Balmers formel) Udgangspunktet for Balmers arbejde er en spektralanalyse af udsendt lys fra hydrogen. Et spektroskop er et instrument, der kan opdele ikke-monokromatisk lys i dets forskellige bølgelængder. Et grundstof der opvarmes til det gløder, udsender lys med forskellige bølgelængder. Dette lys kan spektroskopet opdele i en række lysende linier af forskellig farve, de såkaldte spektrallinier. De enkelte grundstoffer har et karakteristisk sæt af spektrallinier (først opdaget i 1859 af Robert Bunsen og Gustav Kirchhoff). Billedet nedenfor viser de synlige spektrallinier for grundstofferne hydrogen (H), kviksølv (Hg) og neon (Ne). Tallene under linierne angiver bølgelængderne i enheder af mm. 710−

I 1885 undersøgte den schweiziske lærer Johann Jacob Balmer de synlige spektrallinier for hydrogen, og fandt frem til at bølgelængderne λ af spektrallinierne kunne udtrykkes ved følgende matematiske sammenhæng:

22

2

2mmh−

=λ

Hvor h er en konstant på , og m er et tal der kan antage værdierne: 3, 4, 5, 6,..

mm103645,6 -7⋅

For 4 forskellige værdier af m fås følgende værdier af bølgelængderne (og farven af lyset). Disse beregnede bølgelængder stemmer overens med de målte bølgelængder:

m Bølgelængde (i enheder af mm) 710− Farve

6 4101,74 Violet 5 4340,47 Violet 4 4861,33 Blågrøn (cyan) 3 6562,72 Rød



Balmers model, som oftest kaldes for Balmers formel, blev opstillet uden bagvedliggende teoretiske eller fysiske overvejelser, men udelukkende via manipulation af størrelserne af de kendte bølgelængder. Ud fra denne formel kunne Balmer forudsige eksistensen af nye spektrallinier i denne serie af spektrallinier (f.eks. for m = 7 og m = 8) og kunne vise at der ikke findes linier i denne serie der har en bølgelængde der er større end . mm106562,72 -7⋅ Balmers formel vil ikke blive opfattet som en fundamental naturlov, da den ikke kan sættes i forbindelse med teoretisk overvejelser omkring atomers opførsel. Der var på Balmers tid ikke noget teoretisk belæg for at hydrogens spektrallinier netop skulle have denne sammenhæng. Balmers formel er en empirisk formel, der bygger på empiri og ikke teori. Balmers repræsentation af brints spektrallinier er en matematisk formuleret fænomenologisk model (eller blot en matematisk model). Men Balmers formel får teoretisk opbakning, eller kan siges at kunne placeres i en større teoretisk ramme i og med fremkomsten af Bohrs atommodel fra 1913. Balmers formel kan udledes fra Bohrs generelle fysiske teori for hydrogenatomet. Herved overgår modellen fra at være en fænomenologiske model til at være en teoretisk model.



Titius-Bodes model for planeternes placering omkring solen (kaldet Titius-Bodes lov eller blot Bodes-lov) I 1772 gjorde Johann Elert Bode samtiden opmærksom på et ejendommeligt matematisk forhold, der beskrev afstanden mellem solen og planeterne omkring solen. (Formlen er oprindelig forslået af Johann Daniel Titius i 1766). Loven tager udgangspunkt i tal følgen: 0, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192 og 384, hvor reglen er at fordoble det foregående tal startende med 3 (tallet 0 accepteres som begyndelse). Til disse tal adderes 4 og denne sum divideres med 10. Hvis vi lader 1 repræsenterer afstanden mellem solen og jorden, vil de andre fremkommende tal repræsentere afstanden mellem solen og de andre planeter.

Den originale formel ser således ud: 10

4na += , hvor n = 0, 3, 6, 12, 24, 48,…..

I 1772 kendte man ikke til Uranus, Neptun og Pluto, men da Uranus blev opdaget i 1781, passer dens afstand godt ind i mønstret. I afstanden 28 er der ingen planet, men i 1801 opdagede man (G. Piazzi) en asteroide Ceres, hvis afstand er 27,7 til solen.

Planet Afstand i følge Titius-Bodes lov

Virkelig afstand

Merkur 0,4 0,39

Venus 0,7 0,72

Jorden 1,0 1,00

Mars 1,6 1,52

- 2,8 -

Jupiter 5,2 5,20

Saturn 10,0 9,54

Uranus 19,6 19,18

Neptun - 30,06

Pluto 38,8 39,44



Bemærk at formlen ikke passer på Neptun (ifølge formlen burde der slet ikke være en planet mellem Uranus og Pluto). Hidtidig har ingen kunne give en tilfredsstillende forklaring på Bodes–lov, slet ikke ud fra fysiske argumenter eller fysiske begrundelse.


Documents

Modeller og anvendelsen af modeller inden for videnskabenkom.aau.dk/~dsp/ComSys08/ComSys07/sites/ComSys6/5 Modeller og... · Forelæsningsnote i videnskabsteori (CP 2007) 1. Model