Modelarea deciziei financiare i monetare

Curs I

Alexandru Leonte

Departamentul de Moned i Bnci

ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCURETI FACULTATEA DE FINANE, ASIGURRI, BNCI I BURSE DE VALORI

Structura cursului

1. Teoria consumatorului discuie general

2. Funcii de utilitate

1. Teoria consumatorului discuie general

Avem n centrul preocuprilor o persoan pe care o vom numi agent consumator

Agentul dispune de venituri i are cheltuieli legate de procurarea unor bunuri de consum

Consumul bunurilor i aduce satisfacie agentului; obiectivul su este resimirea unei stri de satisfacie ct mai intense

Vor exista situaii n care satisfacia resimit va depinde i de alte elemente (timpul liber, cantitatea de bani deinut etc.)

Ne intereseaz s studiem modul n care agentul adopt decizii n vederea ndeplinirii obiectivului su.

Modelul static al consumatorului

Modelul dinamic al consumatorului

Modelul cu 2 perioade (generalizare: m perioade) Modelul cu o infinitate de perioade

Decizia de consum n condiii de risc i incertitudine

Teoria consumatorului aspecte abordate

2. Funcia de utilitate

De citit: Varian (1992), cap. 7, Utility maximization , pag. 94-98 Mankiw (2008), cap. 21, The Theory of Consumer Choice, pag. 441-445

Funcia de utilitate este folosit pentru cuantificarea strii de satisfacie resimit de agent, forma ei depinde de modelul teoretic utilizat

Presupunem c pe pia sunt disponibile n bunuri, i vom nota:

0iq cantitatea consumat din bunul i, i=1,2,,n

',...,, 21 nqqqq vector de consum

Q mulimea tuturor vectorilor de consum

Q = orinde __

),0[...),0[

Pe mulimea vectorilor de consum definim relaia preferat sau indiferent

Dac agentul resimte o satisfacie mai mare sau egal consumnd vectorul q comparativ cu vectorul r , vom spune c vectorul q este preferat sau indiferent lui r, notnd

Similar putem defini relaia strict preferat i respectiv relaia de indiferen

Cu ajutorul funciei de utilitate, noi realizm o coresponden ntre relaia de preferat sau indiferent i relaia mai mare sau egal, definit pe mulimea numerelor reale

rq

~

:U Q rUqUrq

Exemplu: pe pia, consumatorul are disponibile un numr de 3 bunuri, anume ap (mbuteliat), sandviuri i mere. Vectorul de consum (2 3 1) semnific faptul c agentul consum 2 sticle cu ap, 3 sandviuri i un mr.

Exemplu: Agentul prefer s consume 1 sticl de ap, 3 sandviuri i 1 mr, dect o jumtate de sticl de ap, 2 sandviuri i 3,3 mere

3,325,01313,3

2

5,0

1

3

1

UU

Dac lucrm cu utiliti cardinale, putem avea, de exemplu 3,325,01,24,2131 UU

Exemple de funcii de utilitate: Funcia de tip Cobb-Douglas: Funcia de tip CES (Constant Elasticity of Substitution)

nnn qqqqqqU ...,..., 22

1

121

n

i

i

i

1

1

1,0

1

2121 1, qqqqU

Utilitatea marginal arat raportul dintre surplusul de utilitate dobndit i surplusul de cantitate consumat dintr-un anumit bun, celelalte cantiti fiind constante

Utilitatea marginal calculat ntr-un punct pentru calculul ei, se presupune c modificarea cantitii consumate este infinitezimal

i

imgq

UU

,

0 iq

qi

i

img Udq

dUU ',

De obicei, vom utiliza ipotezele conform crora bunuri sunt bune iar consumatorul este nesios, prin urmare, utilitatea marginal va fi mereu pozitiv

0, i

imgdq

dUU

Totui, surplusul de utilitate generat de consumul adiional dintr-un anumit bun va fi mai redus comparativ cu surplusul generat de o cretere similar realizat anterior utilitatea marginal va fi o funcie descresctoare.

Exemplu: Pe pia exist un singur bun, iar

qqU 2

01

q

qUmg

02

12

3

2

2

qqdq

Udq

dq

dUmg

Umg este descresctoare i pozitiv U este cresctoare i concav

Dac agentul poate consuma doar cantiti discrete (spre exemplu ntregi) din bunul disponibil, profilul funciei de utilitate este asemntor.

q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

U 0.00 2.00 2.83 3.46 4.00 4.47 4.90 5.29 5.66 6.00 6.32

U mg - 2.00 0.83 0.64 0.54 0.47 0.43 0.39 0.37 0.34 0.32

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

U

q

De obicei, vom presupune c agentul poate consuma cantiti infinit divizibile, astfel nct U s fie definit pe o mulime de puterea continuului. Putem astfel vorbi despre continuitate, derivabilitate etc.

Proprietile funciei de utilitate

U: continu, de 2 ori derivabil, cu a doua derivat continu

U: cresctoare n fiecare argument (Umg este pozitiv pentru fiecare bun)

U: concav ( negativ definit este negativ definit)

n unele cazuri, sunt utilizate n aplicaii funciile de utilitate cvasiconcave (q-concave), care alctuiesc o clas mai larg De asemenea, mai pot fi ataate proprieti suplimentare, aparinnd aa-numitului grup de condiii Inada.

0,..,,.., 11,

n

i

nimg qqq

UqqU

Ud 2 UH

i

qiimg

qi q

UU

0,

0limlim 0limlim ,

i

qiimg

qi q

UU

4,024,0

121, qqqqU Exemplu: graficul funciei

Reprezint locul geometric al vectorilor de consum care furnizeaz acelai nivel de utilitate

Vom fixa utilitatea la un anumit nivel

(*)

De asemenea, relaia poate fi privit ca o reprezentare (implicit) a unei funcii care indic ct trebuie consumat dintr-un anumit bun pentru obinerea unei anumite utiliti , celelalte cantiti fiind cunoscute.

(**)

Soluiile ecuaiei (*), sau echivalent, funcia (**) formeaz o curb (suprafa) de indiferen, care are reprezentare n planul n-dimensional n care pe fiecare ax este reprezentat consumul dintr-un bun.

Curbe (suprafee) de indiferen (de izoutilitate)

uqqU n ,...,1

uqqquqqU nnn ,,...,,..., 111

Exemplu: n=2, utilitate de tip Cobb-Douglas 4,024,0

121, qqqqU

1

2

5

2

4,0

2

4,0

121,q

uquqquqqU

Exemplu: n=3, utilitate de tip Cobb-Douglas 3,033,0

2

3,0

1321 ,, qqqqqqU

21

3

10

3

3,0

3

3,0

2

3,0

1321 ,,qq

uquqqquqqqU

(figura din stnga)

(figura din dreapta)

Consumatorul prefer curbele de indiferen superioare celor inferioare

Curbele de indiferen sunt descresctoare

Curbele de indiferen nu se intersecteaz

Curbele de indiferen sunt convexe

Rata marginal de substituie a bunului i cu bunul j arat cu ct se va modifica cantitatea consumat din bunul j la o modificare a cantitii consumate din bunul i, astfel nct utilitatea resimit s rmn aceeai

RMS msurat ntr-un punct pornete de la presupunerea c modificrile sunt infinitezimale

Proprietile curbelor de indiferen

0

.

constUi

j

ijq

qRMS

.constUi

j

ijdq

dqRMS

are interpretarea derivatei curbei de indiferen

Exemplu (discuie privind caracterul convex)

Considerm curba de indiferen

Calculm RMS a bunului 2 cu bunul 1 n

urmtoarele puncte situate pe curb:

(4,512), (64,128) i (256,64) i obinem:

4,022,0

121, qqqqU

1111161

212

5121024

qqqdq

d

dq

dqRMS

U

1

221

102416,

qqqqU

Punct 4,512 64,128 256,64

RMS1,2 -64 -1 -0.125

(4,512)

(64,128)

(256,64)

Discuie

n primul punct, agentul beneficiaz de o cantitate mic de bun 1, echilibrat de o cantitate mare de bun 2. Rata de schimb dintre cele dou bunuri , adic rata marginal de substituie, prevede c o scdere foarte mic din cantitatea consumat din bunul 1 va trebui s fie compensat de o cretere de 64 de ori mai mare a consumului din bunul 2.

n al doilea punct, cele dou bunuri sunt consumate n cantiti mai apropiate, iar rata marginal de substituie a bunului 1 cu bun 2 a sczut (n modul).

n cel de-al treilea punct, cantitatea din bunul 1 este mult mai mare dect cea consumat din bunul 2, o scdere din prima va fi compensat la un raport mai mic

Rata marginal de substituie (1 cu 2) este descresctoare n modul dar cresctoare n valori (deoarece este negativ).

02

1

2

2

1

2

dq

qd

dq

dqcurba de indiferen este convex

Exemplul anterior sugereaz c bunurile consumate n cantiti mari se substituie mai uor...

...un motiv ar putea fi legat de faptul c aceste bunuri au n punctul respectiv o utilitate marginal redus, ceea ce nseamn c dac vom consuma ceva mai puin din ele, nu pierdem cine tie ce utilitate...spre deosebire de bunul alternativ, de care se beneficiaz ntr-o cantitate mai mic i care are o utilitate marginal mai mare...un surplus mic de consum din acest bun aduce un surplus mai consistent de utilitate...

Este intuitiv prin urmare s legm RMS de utilitile marginale ale celor dou bunuri calculate n punctul respectiv, mai precis, de raportul utilitilor marginale

Demonstraia pe baza dezvoltrii n serie Taylor de ordin I

jmg

img

j

i

constUi

j

ijU

U

q

U

q

U

dq

dqRMS

,

,

.

Am vzut anterior c RMS msoar panta curbei de indiferen

Elasticitatea de substituie msoar gradul de curbur al acesteia

Elasticitatea de substituie reprezint raportul dintre modificarea procentual a raportului cantitilor consumate din dou bunuri i modificarea procentual a RMS. Pentru modificri infinitezimale:

iji

j

constU

ij

ij

i

j

i

j

ijRMSd

q

qd

RMS

dRMS

q

q

q

qd

ln

ln

...

.

Exemplu: Considerm funcia de utilitate CES

...i curba de indiferen

Elasticitatea de substituie va fi:

Obs: Pe grafic NU avem 3 curbe care fac parte

din aceeai familie! Lucrm cu 3 funcii CES

diferite!

Cu ct elasticitatea de substituie va fi mai mare, cu att bunurile vor fi mai substituibile, iar curba de indiferen se va apropia mai mult de o dreapt

Pentru bunuri perfect substituibile, curba de indiferen este o dreapt iar

(studiai exemplul funciei de utilitate liniare )

Cu ct elasticitatea de substituie va fi mai mic, cu att bunurile sunt mai complementare (bunuri perfect complementare, )

(studiai exemplul funciei de utilitate de tip Leontieff )

1

2121 5,05,0, qqqqU

10, 21 qqU

12

1

112

2121 2, qqqqU

012

2121 ,min, qqqqU

Tem

Demonstrai c, pentru funcia de tip CES, elasticitatea de substituie ia forma indicat n slide-ul anterior.

Calculai acelai indicator pentru o funcie Cobb-Douglas de 2 argumente,

Ce observaie putei face legat de cele dou tipuri de funcii de utilitate?

12121, qqqqU