MNO ZINY A C ISELN E MNO ZINY - SCCGbatorova/ZM1/ZM1-P3-Mnoziny.pdf · 2020. 10. 27. · MNO ZINY A C ISELN E MNO ZINY Martina B atorov a [email protected] Katedra algebry

MNOZINY A CISELNE MNOZINY

Martina Batorova

[email protected]

Katedra algebry a geometrieFakulta matematiky, fyziky a informatiky

Univerzity Komenskeho v Bratislave

N-bCXX-002/20 Zaklady matematiky (1)1-kXX-007/20 Zaklady matematiky (1)

http://fractal.dam.fmph.uniba.sk/~batorova/ZM1.html

[email protected]


Mnoziny

MnozinyCıselne mnozinyPrirodzene cıslaRacionalne cısla

Realne cıslaZhrnutie

Mnozina, prvok, pocet prvkov mnozinyUrcenie mnozın a vzt’ahy medzi nimiDoplnok, zjednoteniePrienik, rozdielZakony a pravidla o zjednotenı a prieniku

Mnozina, prvok, pocet prvkov mnoziny

Mnozina

Mnozina je subor nejakych objektov.

Oznacenie mnoziny

Najcastejsie vel’kymi pısmenami (A,B ,M ,N, . . .).

Prvok mnoziny

Prvok mnoziny je l’ubovol’ny objekt,ktory patrı do danej mnoziny.O prvku vieme rozhodnut’, ci do danejmnoziny patrı, alebo nie.

Oznacenie prvku, prıslusnost’ prvku do mnoziny

Prvky zvycajne oznacujeme malymi pısmenami.Ak prvok p patrı do mnoziny A, pıseme p ∈ A, ak nepatrı,p /∈ A.Niekedy hovorıme aj ze prvok (ne)lezı v mnozine.

Vel’kost’ mnoziny. Konecne a nekonecne mnoziny.Prazdna mnozina.

Vel’kost’ mnoziny je pocet jej prvkov. Konecna mnozina makonecny pocet prvkov, nekonecna mnozina ma nekonecny po-cet prvkov. Prazdna mnozina neobsahuje ziaden prvok.

Oznacenie

Pocet prvkov mnoziny M znacıme |M |.Pocet prvkov nekonecnej mnoziny Mznacıme |M | =∞.Prazdnu mnozinu znacıme ∅; |∅| = 0.

Zakladna mnozina

Zakladna mnozina U obsahuje vsetkyprvky, ktore uvazujeme.

V preklade:

Potrebujeme si ujasnit’, o akych prvkoch hovorıme – napr. zeuvazujeme mnoziny cısel, farieb, kvietkov atd’. :)

Martina Batorova (KAG FMFI UK) Mnoziny a cıselne mnoziny 3 / 28

http://www.sccg.sk/~batorova/ZM1.html




Urcenie mnozın a vzt’ahy medzi nimi

Urcenie mnoziny

Mnozinu mozeme urcit’:1 vymenovanım jej prvkov2 charakteristickou vlastnost’ou3 pomocou mnozinovych operaciı

Ukazky:

1 A = {1, 2, 3},B = {α, π},C = {ceruzka, guma}2 D je mnozina parnych celych cısel:

D = {2k | k ∈ Z}3 prienik, zjednotenie, rozdiel, doplnok,. . .

Rovnost’ mnozın

Rovnost’ mnozın nastava, ak je kazdy prvok jednejmnoziny prvkom tej druhej a naopak.

V skratke:

A = B ⇔ (∀a ∈ A : a ∈ B) ∧ (∀b ∈ B : b ∈ A)

A = B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)

Inkluzia mnozın

Inkluzia mnozın nastava, ak kazdy prvok mnozinyA lezı v mnozine B . Vtedy hovorıme, ze A je pod-mnozinou B resp. B je nadmnozinou A.Ak je A podmnozinou B , ale mnoziny A,B sanerovnaju (su rozne), A nazyvame vlastnou pod-mnozinou B .

V preklade a v skratke:

A ⊆ B ⇔ (∀a ∈ A : a ∈ B)

A ( B ⇔ (∀a ∈ A : a ∈ B) ∧ ¬(A = B)

Okrajove prıpady:

Prazdna mnozina a samotna mnozina su vzdy pod-mnozinou danej mnoziny: ∅ ⊆ A, A ⊆ A.

Potencna mnozina

Potencna mnozina ℘(M ) je mnozinavsetkych podmnozın danej mnoziny M .Ak |M | = n, potom |℘(M )| = 2n .

Ukazka potencnej mnoziny:

M = {1, 2, 3}, |M | = 3

℘(M ) ={∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}

}|℘(M )| = 2|M| = 23

= 8






Doplnok, zjednotenie

Doplnok (komplement)

Doplnok (komplement) Ac mnoziny A jemnozina obsahujuca tie prvky zakladnejmnoziny U , ktore nepatria do mnozinyA.

V skratke:

Ac := {p | (p ∈ U ) ∧ ¬(p ∈ A)}

Vlastnosti:

(Ac)c = A

Vennov diagram

Zjednotenie mnozın

Zjednotenie A∪B mnozın A,Bje mnozina tych prvkov, ktorepatria aspon do jednej z mnozınA,B .

V skratke:

A ∪B :=

{p | (p ∈ A) ∨ (p ∈ B)}

Vlastnosti:

komutatıvnost’:A ∪B = B ∪A

asociatıvnost’:(A ∪B) ∪C = A ∪ (B ∪C )

A ∪A = A

A ∪ ∅ = A

A ∪Ac = U

A ⊆ B ⇒ A ∪B = B






Prienik, rozdiel

Prienik mnozın

Prienik A ∩ B mnozın A,B jemnozina tych prvkov, ktore pat-ria do oboch mnozın A,B .

Disjunktne mnoziny

Mnoziny A,B nazyvame dis-junktne, ak ich prienikom jeprazdna mnozina: A ∩B = ∅.

V skratke:

A ∩B :=

{p | (p ∈ A) ∧ (p ∈ B)}

Vlastnosti:

komutatıvnost’:A ∩B = B ∩A

asociatıvnost’:(A ∩B) ∩C = A ∩ (B ∩C )

A ∩A = A

A ∩ ∅ = ∅A ∩Ac = ∅

Rozdiel mnozın

Rozdiel A \ B mnozın A,B jemnozina tych prvkov, ktore pat-ria do mnoziny A a nepatria domnoziny B .

V skratke:

A \B :=

{p | (p ∈ A)∧¬(p ∈ B)}

Vlastnosti:

nekomutatıvnost’:A 6= B ⇒ A \B 6= B \AA \A = ∅A \ ∅ = A

A \B = ∅ ⇔ A ⊆ B

A \Ac = A

A \B = A ∩Bc






Zakony a pravidla o zjednotenı a prieniku

Asociatıvne zakony

A ∪ (B ∪C ) = (A ∪B) ∪C

A ∩ (B ∩C ) = (A ∩B) ∩C

Distributıvne zakony

A ∪ (B ∩C ) = (A ∪B) ∩ (A ∪C )

A ∩ (B ∪C ) = (A ∩B) ∪ (A ∩C )

de Morganove pravidla

(A ∪B)c = Ac ∩Bc

(A ∩B)c = Ac ∪Bc

V preklade:

Vzt’ahy o tom, ako sa vytvaraju doplnky zjednote-nia a prieniku dvoch mnozın.

Princıp zapojenia a vypojenia

|A ∪B | = |A|+ |B | − |A ∩B ||A ∪B ∪C | = |A|+ |B |+ |C |−−|A∩B |−|A∩C |−|B∩C |+|A∩B∩C |

V preklade:

Vzt’ahy o tom, ako vypocıtat’ pocet prvkov zjed-notenia 2 resp. 3 mnozın.



Cıselne mnoziny

Prvkami cıselnych mnozın su cısla. Cıslo je abstraktny matematicky objekt,ide o jeden z primitıvnych pojmov v matematike. Cısla zapisujeme pomocoucıslic (u nas zvycajne 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), co su graficke znaky pouzı-vane na zapis cısel. Pre cısla pouzıvame aj skratene oznacenia, napr. greckepısmena, zvycajne kvoli uspornosti.Na cıselnych mnozinach mame definovane operacie rozneho typu a vlast-nostı, tieto nam umoznuju s cıslami pracovat’.



Operacie a ich vlastnosti

Operacie a ich vlastnosti

Uvazujme l’ubovol’nu mnozinu M a na nej vhodne definovanu operaciu ◦.

Vlastnosti (M , ◦)

Mnozina M moze byt’:

uzavreta vzhl’adom na ◦:

∀a, b ∈M : a ◦ b ∈M

(vysledny prvok operacie lezı v mnozine)

Operacia ◦ na mnozine M moze byt’:

komutatıvna:

∀a, b ∈M : a ◦ b = b ◦ a

(poradie prvkov neovplyvnı vysledok)

asociatıvna:

∀a, b, c ∈M : (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)

(poradie vyhodnotenia dvoch (rovna-kych) operaciı neovplyvnı vysledok viemevhodne uzatvorkovat’ a potom zjednodusit’)

Operacie na cıselnych mnozinach:

Uvazujme

M ako nejaku cıselnu mnozinu

aditıvnu operaciu ⊕ na M (”scitovanie”)

multiplikatıvnu operaciu � na M(”nasobenie”)

Potom:

⊕,� su uzavrete na M

⊕,� su komutatıvne na M

pre ⊕,� platı distributıvny zakon:

∀a, b, c ∈M : a�(b⊕c) = (a�b)⊕(a�c)

(formalizacia toho, ze vieme roznasobit’resp. vynat’ pred zatvorku )

Poznamka: DZ definuje vzajomny vzt’ahmedzi ⊕ a � na M .



Prirodzene cısla N

Prirodzene cısla pouzıvame na vyjadrenie poctu vecı:

N = {1, 2, 3, . . .}.

Ako mnozina su uzavrete na”klasicke” scıtanie a nasobenie. Obe tieto

operacie su komutatıvne a asociatıvne a platı pre ne distributıvny zakon.



Kriteria delitel’nostiPrvocıslo, zlozene cıslo a kriterium nanPrvocıselny rozklad, zakladna veta aritmetikyGenerovanie delitel’ov cıslaNajvacsı spolocny delitel’Najmensı spolocny nasobok

Kriteria delitel’nosti

Delitel’. Nasobok.

Nech a, b su prirodzene cısla. Cıslo b nazyvamedelitel’om a, ak existuje take prirodzene k , zeplatı: a = k · b.Zapıseme: a, b ∈ N : b|a ⇔ ∃k ∈ N : a = k · b.Cıslo a nazyvame k -nasobkom cısla b.

Zvysok po delenı

Nech a, b su prirodzene cısla a k , z su prirodzenecısla alebo 0. Ak platı a = k ·b+z , pricom z < b,tak z nazveme zvyskom po delenı a cıslom b.

Ciferny sucet

Nech p = an · · · a2a1a0 je zapis n+1- cifernehoprirodzeneho cısla p v desiatkovej sustave (cize(ai ∈ {0, . . . , 9}). Potom ciferny sucet cısla p jec = a0 + a1 + a2 + . . .+ an .

Kriteria delitel’nosti prirodzenych cısel

Prirodzene cıslo je delitel’ne cıslom

2⇔ posledna cıslica je parna (0, 2, 4, 6, 8)

3⇔ ciferny sucet je delitel’ny 3

4⇔ posledne dvojcıslie je delitel’ne 4

5⇔ posledna cıslica je 0 alebo 5

6⇔ je delitel’ne sucasne 2 a 3

8⇔ posledne trojcıslie je delitel’ne 8

9⇔ ciferny sucet je delitel’ny 9

10⇔ posledna cıslica je 0


25⇔ posledne dvojcıslie je delitel’ne 25alebo su to dve 0


100⇔ posledne dve cıslice su 0

10n ⇔ poslednych n cıslic su 0






Prvocıslo, zlozene cıslo a kriterium nan

Prvocıslo. Zlozene cıslo.

Prvocıslo je take prirodzene cıslo, ktore ma pravedva rozne delitele – cıslo 1 a samo seba. Zlozenecıslo je take prirodzene cıslo, ktore ma aspon trirozne delitele.

Ukazky:

2, 3, 5, 7, 11, . . . su prvocısla, lebo ich deli-tel’mi su iba 1 a ony samy

28 je zlozene cıslo, lebo ma 6 delitel’ov:1, 2, 4, 7, 14, 28

Poznamka (dolezita!):

Cıslo 1 nie je ani prvocıslo, ani zlozene cıslo.

Sudelitel’ne cısla

Ak maju dve cısla spolocneho delitel’a k > 1, na-zyvaju sa sudelitel’nymi.

Kriterium zlozeneho cısla

Cıslo n je zlozene, ak je delitel’ne nejakym prvo-cıslom p pre ktore platı p 6

√n.

Ukazka:

Rozhodnite, ci je cıslo 973 zlozene.

Riesenie:√

973.= 31

prvocısla do max. 31 su:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

973 nie je parne, preto nie je nasobkom 2

973 ma ciferny sucet 19, preto nie je nasob-kom 3

973 nema poslednu cifru ani 0 ani 5, pretonie je nasobkom 5

973 je delitel’ne 7, lebo 973 = 7 · 139

⇒ 973 je zlozene cıslo






Prvocıselny rozklad, zakladna veta aritmetiky

Prvocıselny rozklad

Prvocıselny rozkladzlozeneho cısla je jehozapis v tvare sucinuprvocısel.

Zakladna veta aritmetiky

Kazde prirodzene cıslo n > 1 vieme zapısat’ jedinym sposobom v tvare

n = pr11 · p

r22 · . . . · p

rkk ,

kde p1 < . . . < pk su prvocısla a r1, . . . , rk su prirodzene cısla.

Ukazka: konstrukcia prvocıselneho rozkladu cısla 47520

Riesenie 1 (systematicke): Riesenie 2 (nesystematicke, ale casto rychlejsie):

cıslo 47520 je parne: 47520 = 2 · 23760cıslo 23760 je parne: 23760 = 2 · 11880cıslo 11880 je parne: 11880 = 2 · 5940cıslo 5940 je parne: 5940 = 2 · 2970cıslo 2970 je parne: 2970 = 2 · 1485cıslo 1485 ma ciferny sucet 18: 1485 = 3 · 495cıslo 495 ma ciferny sucet 18: 495 = 3 · 165cıslo 165 ma ciferny sucet 12: 165 = 3 · 55cıslo 55 ma poslednu cifru 5: 55 = 5 · 11cıslo 11 je prvocıslo

⇒ 47520 = 2·2·2·2·2·3·3·3·5·11 = 25 · 33 · 5 · 11.

cıslo 47520 koncı 0: 47520 = 10 · 4752cıslo 4752 je delitel’ne 4: 4752 = 4 · 1188cıslo 1188 je delitel’ne 9: 1188 = 9 · 132cıslo 132 je delitel’ne 4: 132 = 4 · 33cıslo 33 je delitel’ne 3: 33 = 3 · 11cıslo 11 je prvocıslo

⇒ 47520 = 10 · 4 · 9 · 4 · 3 · 11 =

= (2 · 5) · (2 · 2) · (3 · 3) · (2 · 2) · 3 · 11= 25 · 33 · 5 · 11.






Generovanie delitel’ov cısla

Delitele zlozeneho cısla a ich pocet

Nech n = pr11 · p

r22 · . . . · p

rkk je prvocıselny rozklad zlozeneho cısla n. Potom:

1 L’ubovol’ny delitel’ cısla n ma tvar ps11 · p

s22 · . . . · p

skk , kde si ∈ {0, . . . , ri}.

2 Cıslo n ma prave (r1 + 1) · (r2 + 1) · . . . · (rk + 1) delitel’ov.

Ukazka: generovanie delitel’ov cısla 60

prvocıselny rozklad: 60 = 10 · 6 = 22 · 3 · 5exponenty prvocısel: r1 = 2, r2 = 1, r3 = 1

ocakavame (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 12 delitel’ov

prvocıslo p1 = 2 mozeme pouzit’ s1 ∈ {0, 1, 2}-krat

prvocıslo p2 = 3 mozeme pouzit’ s2 ∈ {0, 1}-krat

prvocıslo p3 = 5 mozeme pouzit’ s3 ∈ {0, 1}-krat

delitele vytvarajme systematicky dosadenım prıpustnychhodnot (s1, s2, s3) do vyrazu 2s1 · 3s2 · 5s3

(0, 0, 0) 20 · 30 · 50= 1 · 1 · 1 = 1

(0, 0, 1) 20 · 30 · 51= 1 · 1 · 5 = 5

(0, 1, 0) 20 · 31 · 50= 1 · 3 · 1 = 3

(0, 1, 1) 20 · 31 · 51= 1 · 3 · 5 = 15

(1, 0, 0) 21 · 30 · 50= 2 · 1 · 1 = 2

(1, 0, 1) 21 · 30 · 51= 2 · 1 · 5 = 10

(1, 1, 0) 21 · 31 · 50= 2 · 3 · 1 = 6

(1, 1, 1) 21 · 31 · 51= 2 · 3 · 5 = 30

(2, 0, 0) 22 · 30 · 50= 4 · 1 · 1 = 4

(2, 0, 1) 22 · 30 · 51= 4 · 1 · 5 = 20

(2, 1, 0) 22 · 31 · 50= 4 · 3 · 1 = 12

(2, 1, 1) 22 · 31 · 51= 4 · 3 · 5 = 60

⇒ delitele cısla 60 su

D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

a je ich naozaj |D(60)| = 12.Martina Batorova (KAG FMFI UK) Mnoziny a cıselne mnoziny 14 / 28





Najvacsı spolocny delitel’

Poznamka a oznacenie:

Najvacsı spolocny delitel’ nesudelitel’nych cısel je 1, pre sudelitel’ne cısla je vacsı ako 1. Najvacsı spolocnydelitel’ oznacujeme nsd.

Ukazka: urcenie nsd(72, 60, 24)

Vyuzitım mnozın delitel’ov: Vyuzitım prvocıselneho rozkladu:

1 urcıme mnozinu delitel’ov pre kazde z cısel:

D(72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}

D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

2 urcıme prienik mnozın delitel’ov:

D(72) ∩ D(60) ∩ D(24) =(D(72) ∩ D(60)

)∩ D(24) =

{1, 2, 3, 4, 6, 12} ∩ D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

3 vyberieme najvacsı prvok:

nsd(72, 60, 12) = max{1, 2, 3, 4, 6, 12} = 12

1 zostavıme prvocıselne rozklady a kazdy z nichzapıseme pomocou vsetkych pouzitych prvocısel:

72 = 23 · 32 72 = 23 · 32 · 50

60 = 22 · 3 · 5 60 = 22 · 31 · 51

24 = 23 · 3 24 = 23 · 31 · 50

2 pre kazde prvocıslo p urcıme najmensı exponente(p), s ktorym v rozkladoch vystupuje:

e(2) = min{3, 2, 3} = 2

e(3) = min{2, 1, 1} = 1

e(5) = min{0, 1, 0} = 0

3 najvacsı spolocny delitel’ cısel ma vo svojom pr-vocıselnom rozklade kazde z pouzitych prvocısels danym minimalnym exponentom:

nsd(72, 60, 24) = 2e(2) · 3e(3) · 5e(5)=

= 22 · 31 · 50= 4 · 3 · 1 = 12






Najmensı spolocny nasobok

Poznamka a oznacenie:

Najmensı spolocny nasobok nesudelitel’nych cısel je rovny ich sucinu, pre sudelitel’ne cısla je mensı akoich sucin. Najmensı spolocny nasobok oznacujeme nsn.

Ukazka: urcenie nsn(72, 60, 24)

Vyuzitım mnozın nasobkov: Vyuzitım prvocıselneho rozkladu:

1 urcıme mnozinu nasobkov pre kazde z cısel:

N (72) = {72, 144, 216, 288, 360, 432, 504, . . .}

N (60) = {60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, . . .}

N (24) = {24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216,

240, 264, 288, 312, 336, 360, 384, . . .}

2 urcıme prienik mnozın nasobkov:

N (72) ∩ N (60) ∩ N (24) =

N (72) ∩(N (60) ∩ N (24)

)=

N (72) ∩ {120, 240, 360, 480, 720, . . .} =

{360, 720, 1080, . . .}

3 vyberieme najmensı prvok:

nsn(72, 60, 12) = min{360, 720, . . .} = 360

1 zostavıme prvocıselne rozklady a kazdy z nichzapıseme pomocou vsetkych pouzitych prvocısel:

72 = 23 · 32 72 = 23 · 32 · 50

60 = 22 · 3 · 5 60 = 22 · 31 · 51

24 = 23 · 3 24 = 23 · 31 · 50

2 pre kazde prvocıslo p urcıme najvacsı exponentE(p), s ktorym v rozkladoch vystupuje:

E(2) = max{3, 2, 3} = 3

E(3) = max{2, 1, 1} = 2

E(5) = max{0, 1, 0} = 1

3 najmensı spolocny nasobok cısel ma vo svojomprvocıselnom rozklade kazde z pouzitych prvocı-sel s danym maximalnym exponentom:

nsn(72, 60, 24) = 2E(2) · 3E(3) · 5E(5)=

= 23 · 32 · 51= 8 · 9 · 5 = 360



Cele cısla Z

Cele cısla pouzıvame na vyjadrenie poctu a zmien poctu vecı:

Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.

Ako mnozina su uzavrete na”klasicke”scıtanie a nasobenie. Obe tieto ope-

racie su komutatıvne a asociatıvne a platı pre ne distributıvny zakon. Celecısla vieme aj

”odcıtavat’”, hoci v skutocnosti iba pripocıtavame zaporne

cıslo. Zaroven ku kazdemu celemu cıslu mame tzv. opacne cıslo, ktorehopripocıtanım zıskame 0. Mnozina Z preto obsahuje prirodzene cısla, k nimopacne cısla a 0.

Racionalne cısla Q

Racionalne cısla umoznuju vyjadrit’ casti celku a ich zmeny. Taketo casticasto reprezentujeme pomocou zlomkov, desatinnych cısel, percent a pro-mile.Ako mnozina su Q uzavrete na

”scıtanie” a

”nasobenie”, hoci v prıpade re-

prezentacie pomocou zlomkov je jedna i druha operacia definovana inak,ako sme zvyknutı. Vieme aj

”odpocıtavat’” (opat’ to znamena pripocıtat’

opacny prvok), avsak navyse mame k dispozıcii i”delenie”, co je nasobe-

nie nenuloveho prvku jeho inverznym prvkom, teda takym, ktoreho sucins povodnym prvkom je 1.



Operacie a reprezentacie

Operacie, reprezentacie a ich konverzie

Racionalne cısla

Q = { ab | a ∈ Z, b ∈ N}

Opacne cıslo

Opacne cıslo k ab ∈ Q je −a

b .

Inverzne cıslo

Inverzne cıslo k ab ∈ Q \ {0} je b

a .

Percenta a promile

Percento je stotina celku, ozn. %.Promile je tisıcina celku, ozn. h.

Desatinny rozvoj

Desatinny rozvoj racionalneho cısla je bud’ ko-necny (napr. 0.3) alebo nekonecny periodicky(napr. 0.3).

Operacie

Pre ab ,

cd ∈ Q a prıpustne a, b, c, d definujeme:

Scıtanie: ab + c

d = ad+bcbd

Odcıtanie je pripocıtanie opacneho prvku:ab −

cd = a

b +(− c

d

)= ad−bc

bd

Nasobenie: ab ·

cd = ac

bd

Delenie je nasobenie inverznym prvkom:ab : c

d = ab ·

dc = ad

bc

Konverzia desatinneho rozvoja na zlomok

Zapıste periodicke cıslo 0.123123123123 . . . akozlomok v tvare a

b .

Riesenie:1 urcıme dlzku periody, t.j. pocet opakujucich sa cıslic

rozvoja: n = 32 desatinne cıslo zapıseme skratene: x = 0.1233 x vynasobıme cıslom 10n = 103 = 10004 dvojicu rovnıc

1 · x = 0.123

103 · x = 123.123

od seba odpocıtame a zıskame predpis

999 · x = 123

5 vyjadrıme x a zjednodusıme:

x =123

999=

41

333

a

b=

41

333.



Iracionalne cısla I

Iracionalne cısla umoznuju vyjadrit’ napr. dlzky. Vo vseobecnosti su to takecısla, ktore sa nedaju zapısat’ v tvare zlomku s celocıselnym menovatel’oma prirodzenym menovatel’om. Ich desatinny rozvoj je vzdy nekonecny nepe-riodicky. Typickym prıkladom iracionalneho cısla je odmocnina z prvocısla.Pre iracionalne x je opacne cıslo −x , inverzne k x 6= 0 je 1

x . Tu je vsak po-trebne si uvedomit’, ze nejde o racionalne cıslo (menovatel’ nie je prirodzenecıslo), iba pouzıvame zlomok na skratenie zapisu.Ako mnozina nie su iracionalne cısla uzavrete na ⊕,� – sucet cısla a jehoopacneho je 0, ktora je racionalna, rovnako sucin cısla a jeho opacneho je1, co je opat’ racionalne cıslo.

Realne cısla R

Realne cısla vzniknu zjednotenım mnozın racionalnych a iracionalnych cısel:R = Q ∪ I, ktore su ako mnoziny (z definıcie) disjunktne: Q ∩ I = ∅.Ako mnozina su R uzavrete nielen vzhl’adom na operacie suctu, sucinu, ale irozdielu a podielu, cize pre dany prvok obsahuju jeho opacny a pre nenulovyprvok aj k nemu inverzny prvok.L’ubovol’ne dve realne cısla x , y vieme usporiadat’ (

”porovnat’”), cize do-

kazeme jednoznacne rozhodnut’, ktory zo vzt’ahov x = y, x < y, y < xpre ne platı. Vd’aka tomu mozno R zobrazit’ na cıselnej osi, t.j. kazdemurealnemu cıslu mozno priradit’ jediny bod na nej a naopak.Realne cısla zvycajne reprezentujeme pomocou desatinneho cısla, ktorehorozvoj moze byt’ konecny i nekonecny. Specificky sposob zadavania pod-mnozın R je prostrednıctvom intervalov, ktore vyuzıvaju prave usporiada-nost’ R.



IntervalAbsolutna hodnotaOdmocnina

Interval

Interval

Interval je taka podmnozina realnych cısel, ktora obsahuje vsetky cısla medzi zadanymi dvoma hranicamiintervalu. Hranicou moze byt’ realne cıslo alebo ±∞ (

”nekonecno”), ktore za realne cısla nepovazujeme.

Interval svoju hranicu moze a nemusı obsahovat’.

Typy intervalov:

Podl’a toho, ci interval I ⊆ R niektoru svoju hranicu a, b ∈ R, a < b obsahuje, rozlisujeme:

otvorene intervaly – hranicu neobsahuju:

ozn. (a, b) := {x ∈ R | a < x < b}

ozn. (a,∞) := {x ∈ R | a < x}

ozn. (−∞, b) := {x ∈ R | x < b}

ozn. (−∞,∞) := {x ∈ R | −∞ < x <∞} = R

uzavrete intervaly – hranicu obsahuju:

ozn. 〈a, b〉 := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

ozn. 〈a,∞) := {x ∈ R | a ≤ x}

ozn. (−∞, b〉 := {x ∈ R | x ≤ b}

polouzavrete intervaly – obsahujujednu svoju realnu hranicu:

ozn. (a, b〉 := {x ∈ R | a < x ≤ b}

”zl’ava otvoreny, sprava uzavrety”

ozn. 〈a, b) := {x ∈ R | a ≤ x < b}

”zl’ava uzavrety, sprava otvoreny”

ozn. R+ := (0,∞) R− := (−∞, 0)

R+0 := 〈0,∞) R−0 := (−∞, 0〉

Poznamka: ked’ze intervaly su podmnoziny R, mozeme pouzıvat’ mnozinove operacie (∩,∪, . . .).






Absolutna hodnota

Absolutna hodnota cısla

Uvazujme realne cıslo a. Jeho absolutnahodnota |a| je nezaporne realne cıslo

|a| =

a ak a > 0 t.j. ak a ∈ R+

−a ak a < 0 t.j. ak a ∈ R−

0 ak a = 0.

Ukazka:

|7.4| = 7.4∣∣∣∣−4

5

∣∣∣∣ =4

5

|(−7)2| = 49

V (geometrickom) preklade:

Absolutna hodnota |a| cısla a ∈ R je jehovzdialenost’ od 0 na cıselnej osi.

Vlastnosti absolutnej hodnoty (AH):

1 nezapornost’:|a| ≥ 0

|a| = 0⇔ a = 0(AH je vzdialenost’, a ta je vzdy nezaporna)

2 idempotencia:||a|| = |a|(AH stacı aplikovat’ raz)

3 symetria:|a| = |−a|(cısla a aj −a su od 0 rovnako vzdialene)

4 multiplikatıvnost’:|a · b| = |a| · |b|∣∣∣∣ ab

∣∣∣∣ =|a||b|

ak b 6= 0

Uzitocne (ne)rovnosti s AH:

1 −|a| = a < |a| ak a < 0(AH zaporneho cısla je k nemu opacne cıslo)

−|a| < a = |a| ak a > 0(AH kladneho cısla je cıslo samotne)

−|a| = a = |a| ak a = 0

2 |a| ≤ b ⇔ −b ≤ a a a ≤ b

|a| ≥ b ⇔ a ≤ −b alebo a ≥ b

3 trojuholnıkova nerovnost’:|a − b| ≤ |a − c| + |c − b|

4 |a − b| ≥ ||a| − |b||

|a − b| = 0⇔ a = b

5 |a + b| ≤ |a| + |b|






Odmocnina

Odmocnina

Uvazujme prirodzene cıslo n a realne cısloa. Potom n-ta (realna) odmocnina cıslaa (ozn. n

√a resp. a

1/n) je definovana na-sledovne:

Ak je n parne a

1 a kladne, potom n√a je take realne

kladne b, ze a = bn .

2 a zaporne, potom n√a neexistuje.

Ak je n neparne a a realne, potom

3 n√a je take realne b, ze a = bn .

Pre l’ubovol’ne n platı n√

0 = 0.

V preklade:

Hl’adana n-ta odmocnina z a je take b, ze bn = a. Kladnecıslo vieme odmocnit’ pre n l’ubovol’ne, zaporne iba pre nneparne (napr. 3

√−1 = −1). Parna (realna) odmocnina

zaporneho cısla totiz neexistuje.

Poznamka k parnym odmocninam:

Parna odmocnina kladneho cısla je definovana ako kladnecıslo, hoci napr. aj (−3)2 = 9. My vsak volıme

√9 =

+3 a nie√

9 = ±3. Jednym z dovodov tejto dohody jeprakticka potreba jednoznacnosti vo vypoctoch.Nasledne platı

√x2 = |x | a nie

√x2 = x , lebo

napr.√

(−4)2 by bolo −4 a nie +4, ako si vyzaduje√

16.

Oznacenie 2√a zjednodusujeme na

√a.

Vlastnosti odmocnın pre a, b ∈ R+0 a m,n ∈ N:

1n√

0 = 0

2n√

1 = 1

3 n√a = a

1/n

4n√a · b = n

√a · n√b

5 n

√a

b=

n√a

n√b

6n√ak = ( n

√a)k = a

k/n

7 n√

m√a = n·m√a

8n√a · m√b =

n·m√am · b





Cıselne mnoziny v skratkeInkluzie cıselnych mnozın

Cıselne mnoziny v skratke

Cıslica

Cıslica je graficky znakpouzıvany na zapis cısel:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Cıslo

Cıslo je matematicky objektzapısatel’ny pomocou cıslic.(Ide o primitıvny pojem.)

Poznamka:

Cıselne mnoziny su uzavrete (aspon)na scıtanie a nasobenie, t.j. vysledokoperacie lezı v danej mnozine.

Prirodzene cısla

Prirodzene cısla suN = {1, 2, 3, 4, . . .}.

Cele cısla

Cele cısla su vsetky prirodzene cısla, k nimopacne cısla a 0: Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, . . .}.

Racionalne cısla

Racionalne cısla suQ = { a

b | a ∈ Z, b ∈ N}

Poznamka:

Mnozina Q obsahuje cısla s konecnymdesatinnym rozvojom (napr. 0.3) a cıslas nekonecnym periodickym desatinnymrozvojom (napr. 0.3).

Iracionalne cısla

Iracionalne cısla I su cısla s nekonec-nym neperiodickym desatinnym rozvo-jom (napr. π, 3

√5). Ako mnozina nie su

uzavrete na scıtanie ani nasobenie.

Realne cısla

Realne cısla suR = Q ∪ I.

Komplexne cısla

Komplexne cısla C su zovseobecnenım realnychcısel: C = {a + bi | a, b ∈ R, i :=

√−1}.

Poznamka:

Mnozina C je nadmnozinou R. Tie komplexne cısla,ktore nie su realne, nazyvame imaginarne (napr. 1−i);maju vzdy nenulovu imaginarnu cast’: b 6= 0.





Cıselne mnoziny v skratkeInkluzie cıselnych mnozın

Inkluzie cıselnych mnozın



Zdroje

Prıjemny neformalny uvod:

Zrebny, Rudolf: Logika a mnoziny (url)

Zrebny, Rudolf: Mnozina a jej urcenie (url)

Online ucebnica pısana (takmer:) vol’nou recou (url)

Podrobne riesene ulohy:

Zbierka uloh: Mnoziny a Intervaly (url)

Boros, Mario: Maturita z matematiky, Ikar, 2016(str. 13–25: Mnoziny a cıselne mnoziny)

Uzitocne ako prıprava na skusku + P/F (url)

Dalsie vyucbove videa (url)

https://pohodovamatematika.sk/maturita-logika-a-mnoziny.html

https://pohodovamatematika.sk/mnozina-a-jej-urcenie-konecna-a-nekonecna-mnozina.html

https://pdf.truni.sk/e-ucebnice/diskretna-matematika/

https://www.priklady.com/sk/index.php/mnoziny-a-ciselne-obory

https://www.priklady.eu/sk/riesene-priklady-matematika.alej

https://elea.sk/

MNOZINY A CISELNE MNOZINY

Martina Batorova

[email protected]

Katedra algebry a geometrieFakulta matematiky, fyziky a informatiky

Univerzity Komenskeho v Bratislave

N-bCXX-002/20 Zaklady matematiky (1)1-kXX-007/20 Zaklady matematiky (1)


[email protected]


Documents

MNO ZINY A C ISELN E MNO ZINY - SCCGbatorova/ZM1/ZM1-P3-Mnoziny.pdf · 2020. 10. 27. · MNO ZINY A C ISELN E MNO ZINY Martina B atorov a [email protected] Katedra algebry