Milan Hladnik FMF, Univerza v Ljubljanihladnik/ZgodMat/Egipt(b).pdf · 2012-10-04 · Zgodovinski okvir Egiptovska matematika Velika piramida pri Gizi - nadaljevanje Starost: zgrajena

Zgodovinski okvir Egiptovska matematika

Egiptovska matematika

Milan Hladnik

Predavanja iz zgodovine matematikeFMF, Univerza v Ljubljani

3. oktober 2012


Stari Egipt

Vladarji faraoni(cez 30 dinastij)

Staro kraljestvo(∼ 2690 do ∼ 2180pnš.)

Srednje kraljestvo(∼ 1990 do ∼ 1800pnš.)

Novo kraljestvo(∼ 1550 do ∼ 1070pnš.)

Najvec matematicnopomembnih najdb izvira izcasa Srednjega kraljestva. Slika: Karta Egipta


Velika piramida pri Gizi

Slika: Velika Khufujeva (Keopsova) piramida


Velika piramida pri Gizi - nadaljevanje

Starost: zgrajena ∼ 2590-2570 pnš. za casa faraona Khufuja(Keopsa) iz 4. dinastije

Sestava: 2,300,000 kamnitih blokov, v povprecju težkih 2,5tone (nekateri so bili pripeljani od dalec),

Gradnja: 20 let, okrog 100,000 delavcev.

Velikost: višina 146,5 m, stranica meri 230,4 m, nagib stranskeploskve 51 stopinj in 50 minut.

Domaca naloga: Izracunaj razmerje med polovico stranice invišino (kotangens nagibnega kota α stranske ploskve).Izracunaj 4cotgα in cos α . Kaj ugotoviš?


Glavni vir: Moskovski papirus

Slika: Moskovski papirus ∼ 1850 pnš.


Moskovski papirus - podatki

Starost: ∼ 1850 pnš.

Odkritje: 1893 v Tebah Vladimir Semjonovic Golenišcev(1856-1947), prvi ruski egiptolog

Velikost: 5,4 m dolg, 6 cm širok

Vsebina: 25 besednih problemov(npr. o prostornini prisekane štiristrane piramide).

Pisava: hieratska

Shramba: Puškinov državni muzej umetnosti v Moskvi


Glavni vir: Rhindov papirus

Slika: Rhindov papirus ∼ 1650 pnš.


Rhindov papirus

Starost: ∼ 1650 pnš.

Odkritje: 1858 v Luxorju Alexander Henry Rhind (1833-1863),škotski pravnik in egiptolog

Velikost: 5,36 m dolg in 32 cm širok

Vsebina: ucbenik aritmetike in geometrije,85 preprostih problemov

Avtor: Ahmes, prepis 200 let starejšega teksta

Shramba: Britanski Muzej


Hieratska pisava

Slika: Zgled hieratske pisave iz Rhindovega papirusa


Drugi starejši viri

Lesene tablice iz Ahmima ∼ 1950 pnš. v Egiptovskem muzeju vKairu, vsebuje tabele množenj in deljenj

Matematicni papirus iz Lahuna ∼ 1850 pnš., vsebuje tabele inrazlicne probleme

Berlinski papirus ∼ 1850 pnš., vsebuje matematiko in medicino

Reisnerjev papirus ∼ 1850 pnš. v Bostonu iz Nag el-Deira,vsebuje množenja, deljenja in egipcanske ulomke

Egiptovski matematicni usnjeni svitek ∼ 1650 pnš. vBritanskem muzeju, tabele egipcanskih ulomkov

Rollinov papirus ∼ 1350 pnš. v Louvru, vsebuje primereuporabe velikih števil

Harrisov papirus ∼ 1150 pnš. v Britanskem muzeju,pripoveduje o vojaških uspehih in drugih delih Ramzesa III


Hieroglifska znamenja za števila

Slika: Hieroglifski znaki za števila

Aditivni sistem sestavljanja števil

Domaca naloga: Zapiši števili 23, 251


Hieratska znamenja za števila

Slika: Hieratska pisava števil


Množenje s podvajanjem

Zgled: 26×331 332 664 1328 264

16 52826 858


Deljenje s podvajanjem

Zgled: 753 : 26.

Podvojimo tolikokrat 26, da smo še pod 753;torej 26, 52, 104, 208, 416(naslednja podvojitev bi dala vecji rezultat);

Ker je753 = 416 + 337 = 416 + 208 + 129 = 416 + 208 + 104 + 25,dobimo (1 + 2 +) 4 + 8 + 16 = 28,torej rezultat 28 in ostanek 25.


Egipcanski ulomki

Rracionalni ulomek s števcem enakim 1

Zapis ulomka kot vsoto razlicnih ulomkov s števcem 1 npr.2/9 = 1/6 + 1/18 ali2/9 = 1/5 + 1/45, 5/13 = 1/4 + 1/26 + 1/52 + 1/13.

Domaca naloga: Dokaži, da lahko vse ulomke oblike 2/n, kjerje n liho število, zapišemo kot vsoto dveh razlicnih egipcanskihulomkov.

Nerešen problem (P. Erdos): Dokaži, da je za vsako liho številon > 4 ulomek 4/n vsota treh razlicnih egipcanskih ulomkov.


Algebra

Aha - problemi iz Moskovskega in Rhindovega papirusa:(preproste enacbe z eno neznanko, znaceno z Aha)

Zgled: 3/2×x +4 = 10 oziroma 3/2×x = 6.

Metoda napacne predpostavke(kasneje so ji rekli metoda regula falsi):

Npr. za x = 2 dobimo v zadnjem zgledu 3/2×2 = 3,kar je dvakrat premalo, torej je rešitev x = 2×2 = 4.


Preprost sistem enacb

Na papirusu iz Lahuna je npr. taka naloga:

"Površina 100 enot je sestavljena iz dveh kvadratov, katerihrazmerje je 3:4".

Koliko merita stranici?

Na Berlinskem papirusu piše, da je√

6+1/4 = 2+1/2 in√

1+1/4+1/16 = 1+1/2.

Ali je to res?


Geometrija

26 problemov iz Moskovskega in Rhindovega papirusaobravnava geometrijo (racunanje plošcin in prostornin).

Plošcina trikotnika je osnovnica krat polovica višine nanjo(pravilno), plošcina splošnega štirikotnika s stranicami a,b,c,dpa p = (a+c)(b +d)/4 (napacno).

Domaca naloga: Pokaži, da je vedno p ≤ (a+c)(b +d)/4. Kdajvelja enakost?


Približek za π

Ploš cina kroga :

Plošcino kroga je približno (8/9)2 × (2r)2 oziroma (4/3)4 × r2.

Domaca naloga: Pokaži, da to da za π približno vrednost256/81 = 3.1605.


Pitagorov izrek

Pitagorovega izreka Egipcani niso poznali(ni evidence, le vrv z vozli 3+4+5 = 12, ki omogoca pravi kot).

Slika: Vrv z vozli

Domaca naloga: Kako bi brez Pitagorovega izreka dokazali, daje trikotnik, ki ga razpenja na 12 delov razdeljena vrv,pravokotni?


Stereometrija

V treh dimenzijah so znali izracunati prostornino kocke,paralepipeda in krožnega valja (posode za žito).

Moskovski papirus vsebuje zanimiv napotek za izracunprostornine prisekane štiristrane piramide, iz katerega izhaja,da so poznali tocno formulo za prostornino:V = h(a2 +ab+b2)/3.

Domaca naloga: Izpelji zgornjo formulo za prisekano piramido(glej naslednjo sliko)?


Prisekana piramida

H

h

a

a

b

b

Slika: Prisekana piramida


Prisekana piramida, posebni primer

Slika: Hieroglifski racun naloge o prisekani piramidi za a = 4, b = 2 inh = 6


Posebna literatura o egiptovski matematiki

Richard J. Gillings, Mathematics in the Time of Pharaohs,Dover Publ., 1982.

A. Imhausen, Ancient Egyptian Mathematics: NewPerspectives on Old Sources, Mathematical Intelligencer28 (2006), 19-27.

R. Knott’s Egyptian Mathematics Site, spletna stran

Documents

Milan Hladnik FMF, Univerza v Ljubljanihladnik/ZgodMat/Egipt(b).pdf · 2012-10-04 · Zgodovinski okvir Egiptovska matematika Velika piramida pri Gizi - nadaljevanje Starost: zgrajena