Zgodovinski okvir Babilonska matematika

Babilonska matematika

Milan Hladnik

Predavanja iz zgodovine matematikeFMF, Univerza v Ljubljani

3. oktober 2012

Zgodovinski okvir Babilonska matematika

Mezopotamija, dežela med Tigrisom in Evfratom

Zgodovinski okvir Babilonska matematika

Burna zgodovina

Sumerci (∼ 3000-2330 pnš.)Akadijci (Sargon) (∼ 2330-2150 pnš.)Sumerci (∼ 2100-2000 pnš.)Amoriti: Asirija (2025-1365)

Staro babilonsko kraljestvo (1994-1595 pnš.)(Hamurabi 1792-1750 pnš.)

Hetiti, Kasiti, Elamiti, Asirci (1595-625 pnš.)

Novo babilonsko kraljestvo (625-539 pnš.)

Perzijci (Kir) (539-331 pnš.)

Makedonci (331-305 pnš.)

Selevkidi (305-63 pnš.)

Zgodovinski okvir Babilonska matematika

Dešifriranje

Klinopisno pisavo so izumili Sumerci, Akadijci in kasnejšiBabilonci pa so jo priredili za svoje potrebe. Klinopise je leta1847 razvozlal angleški častnik in orientalist Henry CheswickeRawlinson (1810-1895) na osnovi starejše metode nemškegajezikoslovca Grotefenda.

Slika: Henry Cheswicke Rawlinson

Zgodovinski okvir Babilonska matematika

Klinopisni simboli za števila

Slika: Klinopisna znamenja za števila

Zgodovinski okvir Babilonska matematika

Klinopisne ploščice

Do polovice 19. stoletja so odkopali okrog pol milijona glinastihploščic s klinopisnimi znaki, 50.000 samo v bližini Nippurja.Med njimi jih okrog 300 vsebuje matematične tabele in zbirkematematičnih problemov.

Najstarejši matematični zapisi so iz drugega sumerskegaobdobja (od ∼ 2100 do ∼ 2000 pnš.), naslednja skupinaklinopisnih tekstov izvira iz časa prve babilonske dinastije(Hamurabi 1792-1750 pnš.).

Najpomembnejši najdbi sta tablici YBC 7289 in Plimpton 322.

Zgodovinski okvir Babilonska matematika

YBC 7289 (Yale Babylonian Collection)

Slika: Tablica YBC 7289

Zgodovinski okvir Babilonska matematika

Popravljena (retuširana) tablica YBC 7289

Slika: Retuširana tablica YBC 7289

Zgodovinski okvir Babilonska matematika

YBC 7289 še enkrat

Slika: Tablica YBC 7289 z vpisanimi šestdesetiškimi številkami

Zgodovinski okvir Babilonska matematika

Plimpton 322

Plimptonova zbirka na Univerzi Columbia:

Slika: Tablica Plimpton 322

Zgodovinski okvir Babilonska matematika

George Arthur Plimpton (1855-1936)

Ameriški publicist in zbiralec George Arthur Plimpton je tablicovelikosti 13 krat 9 krat 2 cm pridobil leta 1922.

Slika: George Arthur Plimpton

Zgodovinski okvir Babilonska matematika

Še o Plimptonu

Ukvarjal se je z zgodovino izobraževanja in zbiranjempomembnih zgodovinskih rokopisov. Malo pred smrtjo jepodaril knjižnici Univerze Columbia v New Yorku bogato zbirkoredkih rokopisov in knjig, npr. :

- babilonsko klinopisno tablico (Plimpton 322)- prvo natisnjeno izdajo Evklidovih Elementov iz leta 1482- Aritmetiko iz Trevisa, prvo znano natisnjeno znanstveno knjigoiz leta 1478- Kopijo Homerjevega dela, katerega lastnik je bil PhilipMelanchton z Lutrovim podpisom- Kopijo Herodotove zgodovine, katere lastnik je bil ErazemRotterdamski

Zgodovinski okvir Babilonska matematika

Plimpton 322 - vsebina v 60-tiškem sistemu

Slika: Vsebina tablice Plimpton 322 v 60-tiškem sistemu

Zgodovinski okvir Babilonska matematika

Plimpton 322 - vsebina v 10-tiškem sistemu

Slika: Vsebina tablice Plimpton 322 v 10-tiškem sistemu

Zgodovinski okvir Babilonska matematika

Interpretacija Plimptona 322

Uveljavljena interpretacija (Neugebauer):

pitagorejske trojice, generirane na moderen način kota = 2uv , b = u2 −v2, c = u2 +v2

(u > v tuji si celi števili, različne parnosti),skupaj z (c/a)2 (in nekaj lahko razložljivimi napakami).

Problem: trojice na tablici so zelo velike, neurejene in ni jasno,kako so bile zares generirane.

Zgodovinski okvir Babilonska matematika

Otto Neugebauer (1899-1990)

Slika: Otto Neugebauer

Rojen v Innsbrucku, študiral v Gradcu in Göttingenu,zgodovinar matematike (egipčanski ulomki, babilonskamatematika in astronomija), deloval v Nemčiji, na Danskem in vZDA, ustanovil Zentralblatt in Mathematical reviews.

Zgodovinski okvir Babilonska matematika

Šestdesetiški mestni sistem

Zapis a;b,c, ... pomeni a+b/60+c/602+ ...Dvom glede prave mestne vrednosti: 2 = 2 ·60 = ... itd.

Poseben znak za številsko mesto (ničlo) se je pojavil šele okrog300 pnš. (morda pod vplivom indijske matematike).

Zgled:

(1) Katero desetiško število predstavlja šestdesetiški zapis:(a) 2;31, (b) 21;15,30, (c) 0;03,24

(2) Zapiši v šestdesetiškem sistemu naslednja desetiškaštevila: (a) 75, (b) 1/3, (c) 3/11

Zgodovinski okvir Babilonska matematika

Množenje, deljenje in korenjenje

Množenje z uporabo formule ab = [(a+b)2− (a−b)2]/4 aliab = [(a+b)2 −a2−b2]/2Deljenje je množenje z obratno vrednostjo: ab = a · (1/b).Rekurzivna formula: xn+1 = (xn +a/xn)/2 za vsak n ≥ 1, x0 > 0,približki za

√a.

Zgled:

(1) Zmnoži števila : (a) 27 ·13, (b) 21 ·16

(2) Najprej poišči recipročno vrednost delitelja in jo pomnoži zdeljencem: (a) 75 : 25 (b) 14 : 4

(3) Izračunaj na 4 decimalke natančno vrednosti√

2 in√

3.

Zgodovinski okvir Babilonska matematika

Reševanje kvadratne enačbe x2+x = 3/4

Prevod originalnega besedila:(i) (iskana) ploščina in stranica je 45’ (minut, tj. 3/4),

podaljšek za 1,(ii) razdeli na polovico 1, dobiš 30’ in 30’,(iii) dodaj 15’ k (ploščini) 45’, skupaj (ploščina kvadrata) 1,

torej (stranica) 1,(iv) odvzemi 30’ (polovico) stranice podaljška, rezultat je 30’.

Geometrijska interpretacija:Kvadratu s stranico x prilepimo pravokotnik s stranico 1; poltega dodanega pravokotnika z zasukom za 90 stopinj dodamopod stranico prvotnega kvadrata, z manjkajočim kvadratomvelikosti (1/2)2 = 1/4 tvori velik kvadrat s stranico 1 (glej sliko);če zmanjšamo njegovo stranico za 1/2 (kar smo dodali), ostane1−1/2 = 1/2; to je rešitev enačbe.

Zgodovinski okvir Babilonska matematika

Kvadratna enačba x2 +x = 3/4

X X

XX

1

1 2

1 2

X x+( 1) = 3 4

1 2(X + )2

= 1

Slika: Reševanje kvadratne enačbe

Zgodovinski okvir Babilonska matematika

Druga geometrija

Meritve dolžine (babilonska milja je merila okrog 7 današnjihmilj, tj. okrog 11 km), ploščine in prostornine.

Ploščina splošnega trikotnika, trapezoida z dvema pravimakotoma, prostornino kvadra.

Obseg kroga so ocenili na 3 krat premer,ploščino pa na 1/12 krat kvadrat obsega (torej π = 3).Druga vrednost za π je 25/8 = 3,125.

Prostornina valja je bila osnovnica krat višina,prostornina stožca oziroma kvadratne piramide pa (napačno!)osnovna ploskev krat polovica višine.

Zgodovinski okvir Babilonska matematika

Posebna literatura

E. Robson, Neither Sherlock Holmes nor Babylon: areassessment of Plimpton 322, Historia Mathematica 28(2)(2001), 167-206.

E. Robson, Words and pictures: new light on plimpton 322,American Mathematical Monthly 109 (2)(2002), 105-120.

E. Robson, Mathematics in Ancient Iraq: A Social History,Princeton University Press, 2008.

J. Hoyrup, Old Baylonian ’Algebra’ and What It Teaches Usabout Possible Kinds of Mathematics, preprint, 8September 2010.

Zgodovinski okvirBabilonska matematika