Métodos de integración por cuadraturas:

Para ello tomamos n+1 puntos: (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) donde x0≠ x1≠... xn y buscamos un polinomio p2n+1 (x) de grado 2n+1 tal que:

P2n+1 (xi) = yi , i = 0,1, …,n

p2n+1(x) =a0 +a1x+a2x2 +K +a2n+1x

2n+1 ,

ai ∈R , i =0,1,K ,2n+1

Queremos calcular la integral de una función en el intervalo (a,b):

y(x)dxa

b

∫

Y aproximaremos la integral buscada mediante la integral del polinomio:

y(x)dxa

b

∫ ≈ p2n+1(x)dxa

b

∫

Como el polinomio pasa por todos los puntos es un polinomio deinterpolación, aunque no es único (no tiene orden menor o igual a n).Lo podemos escribir del modo siguiente:

p2n+1(x) =x−xj( )

xi −xj( )j=0j≠i

n

∏ yii=0

n

∑ + x−xj( )j=0

n

∏ qn(x)

donde qn(x) es un polinomio de grado n Supongamos que el intervalo de integración (a,b) es el (-1,1). Sino es así, siempre podemos tomar el cambio de variable adecuado :

y(x)dx−1

1

∫ ≈x−xj( )

xi −xj( )j=0j≠i

n

∏ yii=0

n

∑ + x−xj( )j=0

n

∏ qn(x)

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ dx

−1

1

∫

y(x)dx−1

1

∫ ≈ x−xj( )

xi −xj( )j=0j≠i

n

∏ yi dx−1

1

∫i=0

n

∑ + x−xj( )j=0

n

∏ qn(x)dx−1

1

∫

y(x)dx−1

1

∫ ≈x−xj( )

xi −xj( )j=0j≠i

n

∏ yii=0

n

∑ + x−xj( )j=0

n

∏ qn(x)

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ dx

−1

1

∫

La primera integral se puede re-escribir como:

x−xj( )

xi −xj( )j=0j≠i

n

∏ yi dx−1

1

∫i=0

n

∑ = yiwii=0

n

∑ , donde los

factores de peso wi = x−xj( )

xi −xj( )j=0j≠i

n

∏ dx−1

1

∫

La segunda integral se escoge de forma que su contribución sea cero:

x−xj( )j=0

n

∏ qn(x)dx−1

1

∫ =0

Para ello tendremos que escoger adecuadamente qn(x). Tomemos unabase ortogonal {gk(x)} con k un índice entero. Entonces:

x−xj( )j=0

n

∏ = bkgk(x)k=0

n+1

∑

qn(x) = ckgk(x)k=0

n

∑ luego la integral se puede escribir como:

x−xj( )j=0

n

∏ qn(x)dx−1

1

∫ = bkcl gk(x)gl(x)dx−1

1

∫l=0

n

∑k=0

n+1

∑

x−xj( )j=0

n

∏ qn(x)dx−1

1

∫ = bkcl gk(x)gl(x)dx−1

1

∫l=0

n

∑k=0

n+1

∑

Dada la ortogonalidad de las {gk(x)}:

x−xj( )j=0

n

∏ qn(x)dx−1

1

∫ = bkcl gl (x)2

l=0

n

∑k=0

n+1

∑ δlk

x−xj( )j=0

n

∏ qn(x)dx−1

1

∫ = bkck gk(x)2

k=0

n

∑

luego, para que la integral sea cero basta escoger:

bk =0 , k=0, 1,K , n

x−xj( )j=0

n

∏ =bn+1gn+1(x)

x−xj( )j=0

n

∏ =bn+1gn+1(x)

y, para que se cumpla:

basta con escoger los puntos xj, de forma que sean los ceros de gn+1(x)

Como hemos escogido el intervalo (-1,1) los gk(x) podrían ser losPolinomios de Legendre.En este caso la cuadratura recibe el nombrede: Cuadratura de Gauss-Legendre.

Ejemplo:

cos(x)dx−1

1

∫ = sen(x)[ ]−11

=sen(1)−sen(−1) =2sen(1) =1.682942

¡¡¡EN R

ADIANES!!!

Tomando n=1 (2 puntos):

x0 ≈−0.5773503 ; x1 ≈0.5773503

cos(x)dx−1

1

∫ ≈ yiwii=0

1

∑ = cos(xi)wii=0

1

∑ =cos(x0) +cos(x1)

cos(x)dx−1

1

∫ ≈cos(−0.5773503)+cos(0.5773503)≈1.6758236

Tomando n=2 (3 puntos):

x0 ≈−0.7745967 ; x1 =0 ; x2 ≈0.7745967

cos(x)dx−1

1

∫ ≈ yiwii=0

2

∑ = cos(xi)wii=0

2

∑

cos(x)dx−1

1

∫ ≈w0 cos(x0)+w1cos(x1) +w2 cos(x2)

cos(x)dx

−1

1

∫ ≈0.) 5 cos(−0.7745967) +0.

) 8 cos(0)+0.

) 5 cos(0.7745967)

cos(x)dx−1

1

∫ ≈1.6830035

valor exacto≈1.682942

ε≈1.6830035−1.682942≈6.15e−5

Por trapecios (3 puntosh=1

cos(x)dx−1

1

∫ ≈h12

cos(x0) +cos(x2)( )+cos(x1)⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

cos(x)dx−1

1

∫ ≈112

cos(−1) +cos(1)( )+cos(0)⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

cos(x)dx−1

1

∫ ≈1.5403023

valor exacto≈1.682942

ε≈1.5403023−1.682942≈−0.14

Por Simpson (3 puntosh=1

cos(x)dx−1

1

∫ ≈h3

cos(x0)+cos(x2) +4cos(x1)[ ]

cos(x)dx−1

1

∫ ≈13

cos(−1)+cos(1)+4cos(0)[ ]

cos(x)dx−1

1

∫ ≈1.6935349

valor exacto≈1.682942

ε≈1.6935349−1.682942≈0.01

Volviendo a la cuadratura de Gauss-Legendre y tomando n=3 (4 puntos):

x0 ≈−0.8611363 ; x1 ≈−0.3399810 ; x2 =0.3399810 ; x3 ≈0.8611363

cos(x)dx−1

1

∫ ≈ yiwii=0

3

∑ = cos(xi)wii=0

3

∑

cos(x)dx−1

1

∫ ≈w0 cos(x0)+w1cos(x1) +w2 cos(x2)+w3cos(x3)

cos(x)dx−1

1

∫ ≈0.3478548cos(−0.8611363) +cos(0.8611363)[ ]+

+0.6521451cos(−0.3399810)+cos(0.3399810)[ ]

cos(x)dx−1

1

∫ ≈1.6829417 valor exacto≈1.682942

ε≈1.6829417−1.682942≈−3.2e−7

Si el intervalo de la integral no es el (-1,1) haremos el siguiente cambio de variable:

f (x)dxa

b

∫

t=2x−(a+b)

b−a⇒ x=

12

b−a( )t+a+b[ ]⇒ dx=b−a

2dt

=b−a

2f

12

b−a( )t+a+b[ ]⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ dt

−1

1

∫

f (x)dxa

b

∫ =b−a

2f(xi )

i=0

n

∑ wi =b−a

2f

12

b−a( )ti +a+b[ ]⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

i=0

n

∑ wi

los valores de la tabla

Ejemplo:

lnx dx1

3

∫ = xlnx−x[ ]13

=3ln3−3+1≈1.2958369

Tomando n=2 (3 puntos):

t0 ≈−0.7745967 ; t1 =0 ; t2 ≈0.7745967

lnx dx1

3

∫ ≈b−a

2f

12

b−a( )ti +a+b[ ]⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

i=0

2

∑ wi

xi =12

b−a( )ti +a+b[ ]⇒ x0 ≈1.2254033, x1 ≈2, x2 ≈2.7745967

lnx dx

1

3

∫ ≈0.) 5 ln(1.2254033) +ln(2.7745967)[ ]+0.

) 8 ln(2)

lnx dx1

3

∫ ≈1.2960061

Calcular mediante cuadratura de Gauss-Legendre con 4 puntos lasiguiente función (llamada función error) en el punto x = 0.5:

erf(x) =2π

e−t2dt0

x

∫

erf(0.5)=2π

e−t2dt0

0.5

∫

z=2t−(0+0.5)

0.5−0⇒ t=

z+14

⇒ dt=dz4

=2π

14

e− z+1

4

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

2

dz−1

1

∫

erf(0.5)=1

2 π{0.5688889 e

−116 +0.4786297 [e

−−0.5384693+1

4

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

2

+e−

0.5384693+14

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

2

]+

+0.2369269 [e−

−0.9061798+14

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

2

+e−

0.9061798+14

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

2

]}≈0.5204999

Calcular:

e−xcos2x dx−1

1

∫

x x−1 dx1.5

2

∫

cos x dx1

2

∫

e−xcos2x dx−1

1

∫ =−5+cos2−2sen2

10e+e10

5+cos2+2sen2( )≈1.6386376

Tomando Gauss-Legendre con n=2 (3 puntos):

x0 ≈−0.7745967 ; x1 =0 ; x2 ≈0.7745967

e−xcos2(x)dx−1

1

∫ ≈ yiwii=0

2

∑ = e−xi cos2(xi)wii=0

2

∑

e−xcos2x dx−1

1

∫ ≈w0e−x0 cos2x0 +w1e

−x1 cos2 x1 +w2e−x2 cos2 x2

e−xcos2x dx−1

1

∫ ≈89

+59e

−35 +e

35

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ cos2

35

e−xcos2x dx−1

1

∫ ≈1.6353975

¡¡¡EN R

ADIANES!!!

Tomando Gauss-Legendre con n=3 (4 puntos):

e−xcos2(x)dx−1

1

∫ ≈ yiwii=0

3

∑ = e−xi cos2(xi)wii=0

3

∑

e−xcos2x dx−1

1

∫ ≈1.638712

x0 ≈−0.8611363 ; x1 ≈−0.3399810 ; x2 =0.3399810 ; x3 ≈0.8611363

e−xcos2x dx−1

1

∫ ≈0.3478548 e0.8611363+e−0.8611363( )cos2(0.8611363)[ ]+

+0.6521451 e0.3399810+e−0.3399810( )cos2(0.3399810)[ ]

¡¡¡EN R

ADIANES!!!

x x−1 dx1.5

2

∫

z=2x−(1.5+2)

2−1.5⇒ x=

z+74

⇒ dx=dz4

=z+7

4−1

1

∫z+7

4−1

dz4

=132

z+7( )−1

1

∫ z+3 dz

Tomando Gauss-Legendre con n=2 (3 puntos):

I ≈132

89

7 3+59

−35

+7⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ −

35

+3+35

+7⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

35

+3⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪

I ≈0.759157

Tomando Gauss-Legendre con n=3 (4 puntos):

I ≈132

{0.6521451 [(−0.339981+7) −0.339981+3+

+(0.339981+7) 0.339981+3]+

+0.3478548 [(−0.8611363+7) −0.8611363+3+

(0.8611363+7) 0.8611363+3]}

I ≈0.760254

Tomando Gauss-Legendre con n=4 (5 puntos):

I ≈132

{0.5688889 (7 3) +

0.4786287 [(−0.5384693+7) −0.5384693+3+

+(0.5384693+7) 0.5384693+3]+

+0.2369269 [(−0.9061798+7) −0.9061798+3+

(0.9061798+7) 0.9061798+3]}

I ≈0.760254

cos x dx1

2

∫ = wi f(zi )i=0

n

∑ ; zi =b−a

2xi +

a+b2

Tomando n=1 (2 puntos):

x0 =−13

; x1 =13

z0 =12x0 +

32

≈1.2113249 , z1 =12x1 +

32

≈1.7886751

I ≈12

cos 1.2113249+cos 1.7886751[ ]

I ≈0.3421646¡¡¡E

N RADIANES!!!

Tomando n=2 (3 puntos):

x0 =−35

; x1 =0 ; x2 =35

z0 ≈1.1127017 ; z1 ≈1.5 ; z2 ≈1.8872983

I ≈12

89

cos 1.5+59

cos 1.127017+cos 1.8872983( )⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

I ≈0.3421648

Por Simpson con un intervalo ( h = 0.5):

cos x dx1

2

∫ ≈12

3cos 1+cos 2 +cos 1.5[ ]≈0.342165

Por Simpson con dos intervalos ( h = 0.25):

cos x dx1

2

∫ ≈143

[cos 1+cos 2+

+2cos 1.5+4(cos 1.25+cos 1.75)]

cos x dx1

2

∫ ≈0.3421648