CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICAgama.fime.uanl.mx/~jcedillo/Analisis/cap5.pdf · CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA INTRODUCCIÓN En este capítulo estudiaremos algunos métodos

CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA

INTRODUCCIÓN

En este capítulo estudiaremos algunos métodos numéricos para estimar el valor de unaintegral definida

( ) I = ∫ f x dxa

b

Integral en la cual el intervalo de integración [ ]a b, es finito, y f es una función de una

variable real y valor real continua en [ ]a b, .

Según el teorema fundamental del Cálculo, para una función f con las característicasindicadas antes, existe una antiderivada F de f en [ ]a b, , es decir, ( ) ( )xfxF =′ para todo

[ ]b,ax ∈ , y

( ) ( ) ( ) f x dx F b F aa

b

∫ = −

El problema para usar los métodos analíticos de integración es que, es posible que F no sepueda expresar en términos de funciones elementales, o aunque F se conozcaexplícitamente, ésta no se pueda evaluar fácilmente.

Ejemplos de tales integrales son:

1 3

0

1

−∫ x dx 1

1 50

1

+∫ xdx

ex

dxx

1

2

∫ e dxx−∫2

1

5

lnxx

dx+∫ 1

1

2

xtanxdx0

4π

∫ 1

2

3

lnxdx∫ ( )sen x dx2

0

2π

∫

( )cos x dx2

0

2π

∫ 1 33

0

1

+∫ x dx sen xdx0

2π

∫ x x dx+∫ 23

0

1

( )9 213

0

1

−∫ x dx tanxdx0

1

∫ sen x

xdx

0

1

∫ 1

1 20 +∫ sen x

dxπ

Lo anterior motiva el uso de los métodos de integración numérica que estudiaremos en loque sigue; los primeros que consideraremos se basan en la aproximación de la función fmediante polinomios interpolantes.

232 MÉTODOS NUMÉRICOS__________________________________________________________________________________

5.1 ALGUNAS FÓRMULAS CERRADAS DE NEWTON-COTES

Supongamos que queremos estimar el valor de

( ) I = ∫ f x dxa

b

donde la función f es continua en el intervalo finito [ ]a b, .

Una manera de hacer ésto se indica a continuación:

Empezamos dividiendo el intervalo [ ]a b, en N subintervalos de igual longitud,[ ] [ ] [ ] [ ]N1N1kk2110 x,x,...,x,x,...,x,x,x,x −+ , donde los N+1 puntos N10 x,...,x,x de la partición seobtienen a partir de la fórmula

x a kh Nk = + =, , ,..., k 01

siendo h b aN

= − . Nos referiremos a h como el tamaño de paso.

Nótese que x a bN0 = =, x , y que h x xk k= −+1 , cualquiera sea 1N,...,1,0k −= .

Ahora bien, si ( ) ( ) ( )p x f x L xN j jj

N

==∑

0 es el polinomio de interpolación de Lagrange para la

función f en los nodos N10 x,...,x,x , entonces

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∑∫∑∫∫==

==≈b

aj

N

0jj

b

aj

N

0jj

b

aN

b

a

dxxLxfdxxLxfdxxpdxxf

De esta forma se obtiene una fórmula del tipo

( ) ( ) xfAdxxf N

0jjj

b

a∑∫=

≈

donde

( ) N,...,1,0j ,dxxLAb

ajj == ∫

Una fórmula del tipo anterior, para aproximar el valor de ( )f x dxa

b

∫ , es llamada una fórmula de

cuadratura (cerrada) de Newton-Cotes.

En muchos casos, en lugar de aproximar la función f en el intervalo completo [ ]a b, por unsólo polinomio interpolante, usando todos los nodos N10 x,...,x,x , más bien la aproximamos

Capítulo 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 233__________________________________________________________________________________

por tramos mediante polinomios interpolantes usando dos, tres o más nodos consecutivos.Estudiaremos solamente tres de estos últimos tipos de aproximaciones: La regla de los

Trapecios, la regla de Simpson 13

y la regla de Simpson 38

.

5.1.1 Regla de los Trapecios: Corresponde ésta al caso en que la función f se aproxima encada subintervalo [ ]x xk k, +1 , 1N,...,1,0k −= , mediante el polinomio de interpolación lineal de

Lagrange, ( )p xk , usando los nodos xk y xk+1 .

FIGURA 5.2

Como el polinomio de interpolación de Lagrange es

( ) ( ) ( ) pk kk

k kk

k

k kx f x x x

x xf x x x

x x=

−−

+−−

+

++

+

1

11

1

entonces

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( )

dx

f x dx p x dx

f x x xx x

f x x xx x

f x x xx x

dx f x x xx x

dx

f xx xx x

f xx xx x

f xx x

x

x

kx

x

kk

k kk

k

k kx

x

kk

k kx

x

kk

k kx

x

kk

k kk

k

k kx

x

kk

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

+ +

+

+ +

+

∫ ∫

∫

∫ ∫

≈

=−−

+−−

=−−

+−−

=−−

+−

−

=−

+

++

+

+

++

+

+

++

+

++

1 1

1

1 1

1

1

11

1

1

11

1

12

11

2

1

11

2 2

( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

k

k kk

k k

k k

k kk k

x xf x

x xx x

x xf x f x

2

1

12

1

11

2 2

2

+

+

+

++

−−

−−

= −+

ancho altura promedio! "# $# ! "## $##


Pero h x xk k= −+1 , así que

( ) ( ) ( )[ ] f x dx h f x f xx

x

k k

k

k+

∫ ≈ + +

1

2 1

y entonces

( ) ( ) ( ) ( )[ ]I f x dx f x dx h f x f xa

b

x

x

k

N

k

N

k k

k

k

= = ≈ +∫ ∫∑ ∑+

=

−

=

−

+

1

0

1

0

1

12

es decir,

( ) ( ) ( ) ( ) f x dx h f a f b f xa

b

kk

N

∫ ∑≈ + +

=

−

22

1

1

Si N >1, la fórmula anterior se conoce como regla compuesta de los Trapecios. En elcaso N =1, caso en el cual h b a= − , dicha fórmula se reduce a

( ) ( ) ( )[ ] f x dx b a f a f ba

b

∫ ≈ − +2

fórmula que se conoce como regla simple de los Trapecios.

Algoritmo 5.1 (Regla de los Trapecios) Para aproximar la integral ( )I f x dxa

b

= ∫ , usando la

regla de los Trapecios:

Entrada: f(x) , los extremos a y b de la integral, un entero positivo N.

Salida: Una aproximación AI de I.

Paso 1: Tomar h b aN

= − .

Paso 2: Tomar ( ) ( )AIO f a f b= + .

AI = 0 (Inicialización de la suma para los puntos ) 1N,...,2,1k ,xk −=

Paso 3: Para 1N,...,2,1k −= , seguir los pasos 4 y 5:

Paso 4: Tomar x a kh= +

Paso 5: Tomar ( )AI AI f x= +

Paso 6: Tomar ( )AIh AIO AI

=+ 2

2.


Paso 7: Salida: "Un valor aproximado de la integral para N subintervalos es AI".Terminar.

Error de fórmula en la regla de los Trapecios: Recordando la fórmula para el error en lainterpolación, tenemos que si ( )p xk es el polinomio de interpolación lineal de Lagrange para

la función f en los nodos xk y xk+1 , entonces para [ ]x x xk k∈ +, 1 , el error al aproximar ( )xf

mediante ( )p xk , es

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )E x f x p xx x x x

f xkk k

k= − =− −

′′+1

2!ξ

y entonces

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )E x xk+1

dx f x dx p x dxx x x x

f x dxx x

x

kx

xk k

kx

x

k k

k

k

k

k

k

∫ ∫ ∫ ∫= − =− −

′′

+ + ++

1 1 11

2!ξ

donde ( )ξk x es un número que depende de x y ( ) ( )ξk k kx x x∈ +, 1 .

Luego el error en la aproximación obtenida al usar la regla de los Trapecios en el intervalo[ ]x xk k, +1 , que se denomina error local, es

( )( )( )( )∫+

+−−ξ′′=1k

k

x

x1kkkk dxxxxxxf

21E

Como ( ) ( )( )g x x x x xk k= − − +1 no cambia de signo en el intervalo [ ]x xk k, +1 , entonces por elteorema del valor medio ponderado para integrales, se tiene que

( )( )( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Ek k k kx

x

kk k k k

x

x

k k kk k

k kk k k k

f x x x x x dx

f x x x x x x x

f x x x xx x

x x x x

k

k

k

k

= ′′ − −

=′′

− + +

=′′ −

− +−

+ −

+

+ +

++

++ +

+

+

∫12

2 3 2

2 3 2

1

3

1

2

1

13 3

11

2 2

1 1

1

1

ξ

ξ

ξ

para algún ( )ξk k kx x∈ +, 1 .

Factorizando, agrupando y teniendo en cuenta que h x xk k= −+1 , obtenemos

( ) E k kh f= − ′′

3

12ξ

para algún ( )ξk k kx x∈ +, 1 .


Teorema del valor medio ponderado para integrales: Si f es una función continua en[ ]a b, , g es una función integrable en [ ]a b, y ( )g x no cambia de signo en [ ]a b, , entonces

existe ( )c a b∈ , tal que

( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f c g x dxa

b

a

b

∫ ∫=

Cuando en el teorema anterior ( )g x ≡1, éste se convierte en el teorema del valor medio paraintegrales. ∇∇∇∇

La demostración del teorema del valor medio ponderado para integrales puede serconsultada en Kincaid, 1972, páginas 12 y 13.

El error total al aplicar la regla de los Trapecios, es decir, el error que se comete al aplicar laregla de los Trapecios sobre todo el intervalo [ ]a b, , es

( ) ( ) ( ) E T kk

N

kk

N

kk

N

k k kE h f h f x x= = − ′′

= − ′′ ∈

=

−

=

−

=

−

+∑ ∑ ∑0

1 3

0

1 3

0

1

112 12ξ ξ ξ, ,

( )( ) ( )ξ′′−−=ξ′′−

∗=

−=↑

f12

abhfN12h 2

Nabh

3

para algún ( )ξ ∈ a b,

( )∗ la igualdad se debe a la aplicación del teorema del valor intermedio a la función ′′f , que

suponemos continua en el intervalo [ ]a b, .

La fórmula anterior del error en la regla de los Trapecios indica que si f es una función lineal,entonces la regla de los Trapecios es exacta, es decir, Ek = 0 para todo k N= −01 1, ,..., , ya

que si ( )f x cx d= + , entonces ( ) ( )′ ≡ ′′ ≡f x c y f x 0 para todo [ ]x a b∈ , .

Volviendo a la fórmula para el error total, ET , tenemos que si

( ) ′′ ≤f x L para toda [ ]x a b∈ ,entonces

( ) ( ) E T

h N f h NL hb a

L= ′′ ≤ =−3 3

2

12 12 12ξ (recuerde que h b a

N= − )

El resultado anterior se indica escribiendo ( )E O hT =2 , de acuerdo con la siguiente definición:

Definición 5.1 (Notación O-grande) Supongamos que ( )lim F x Lx→

= ∈0

R . Se dice que ( )F x

converge a L cuando x→ 0 con rapidez de convergencia ( )( )O G x , si existe una constante

positiva K, independiente de x, tal que


( )( )

F

G

x L

xK

−≤

para x suficientemente pequeño. Si este es el caso escribimos ( ) ( )( )F x L O G x= + . ∇∇∇∇

En el caso de la regla simple de los Trapecios, tenemos que h b a= − y

( )E h fT = − ′′3

12ξ , para algún ( )ξ ∈ a b,

así que ( )E O hT = 3 , en este caso.

5.1.2 Regla de Simpson 13

: En este caso se aproxima la función f en cada subintervalo

[ ]x xk k, +2 , k N= −0 2 2, ,..., , mediante un polinomio de interpolación de Lagrange de gradomenor o igual que dos, usando los nodos x x xk k k, ,+ +1 2 . Observe que, en este caso, elnúmero de subintervalos N debe ser par, N ≥ 2 .

FIGURA 5.3

Como el polinomio de interpolación de Lagrange de grado menor o igual que dos, usando losnodos xk , xk+1 y xk+2 , es

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )( )( )

pk kk k

k k k kk

k k

k k k k

kk k

k k k k

x f xx x x x

x x x xf x

x x x xx x x x

f xx x x x

x x x x

=− −− −

+− −− −

+− −− −

+ +

+ ++

+

+ + +

++

+ + +

1 2

1 21

2

1 1 2

21

2 2 1

entonces


( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

f x dx p x dx

f xx x x x

x x x x x x x

f xx x x x

x x x x x x x

f xx x x x

x x x x x x x

x

x

kx

x

k

k k k kk k k k

k

k k k kk k k k

k

k k k kk k k k

k

k

k

k+ +

∫ ∫≈

=− −

− + +

+− −

− + +

+− −

− + +

+ ++ + + +

+

+ + ++ +

+

+ + ++ +

2 2

1 2

3

1 2

2

1 2

1

1 1 2

3

2

2

2

2

2 2 1

3

1

2

1

3 2

3 2

3 2

+

x

x

k

k 2

Evaluando, agrupando y teniendo en cuenta que 1k2kk1k xxxxh −++ −=−= , obtenemos

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]

ancho altura promedio

f x dx x xf x f x f x

hf x f x f x

h f x f x f x

x

x

k kk k k

k k k

k k k

k

k+

∫ ≈ −+ +

=+ +

= + +

++ +

+ +

+ +

2

21 2

1 2

1 2

46

24

6

34

! "# $# ! "#### $####

Luego

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]{ }

I = = + + +

≈ + + + + + + + + +

∫ ∫ ∫∫−

− −

f x dx f x dx f x dx f x dx

h f x f x f x f x f x f x f x f x f x

a

b

x

x

x

x

x

x

N N N

N

N

0

2

22

4

34 4 40 1 2 2 3 4 2 1

...

...

es decir,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx h f a f b f x f xa

b

kk

N

kk

N

∫ ∑ ∑≈ + + +

+=

−

=

−

34 22 1

0

22

21

22

Si N m= 2 , con m un entero, m ≥ 2 , la fórmula anterior se conoce como regla compuesta de

Simpson 13

. Lo de 13 viene de que en la fórmula obtenida, h aparece multiplicada por

13 .

En el caso particular N = 2 , se tiene que h b a= −

2, y la fórmula anterior se reduce a


( ) ( ) ( ) f x dx b a f a f a b f ba

b

∫ ≈ − + +

+

6

42

fórmula que se conoce como regla simple de Simpson 13

.

Algoritmo 5.2 (Regla de Simpson 13

) Para aproximar la integral ( )I f x dx

a

b

= ∫ , usando la

regla de Simpson 13

:

Entrada: ( )f x , los extremos a y b de la integral, un entero positivo par N m= 2 .

Salida: Una aproximación AI de I.

Paso 1: Tomar h b am

b aN

= − = −2

.

Paso 2: Tomar ( ) ( )AIO f a f b= +

AI1 0= (Inicialización de la suma para los nodos x k2 1+ ,

1m2

2N,...,1,0k −=−= )

AI2 0= (Inicialización de la suma para los nodos x k2 ,

1m2

2N,...,2,1k −=−= )

AI = 0

Paso 3: Para 1m2,...,2,1i −= , seguir los pasos 4 y 5:

Paso 4: Tomar x a ih= + .

Paso 5: Si i es impar ( i k= +2 1), entonces tomar ( )AI AI f x1 1= + , de lo contrario

( )i k= 2 tomar ( )AI AI f x2 2= + .

Paso 6: Tomar ( )AIh AIO AI AI

=+ +4 1 2 2

3.

Paso 7: Salida: "Un valor aproximado de la integral para N m= 2 subintervalos es AI".Terminar.


Error de fórmula en la regla de Simpson 13

: Como el término ( )( )( )x x x x x xk k k− − −+ +1 2

que aparece en la formula de error al interpolar por un polinomio de interpolación deLagrange (de grado menor o igual que 2) usando los nodos xk k k, x , x ,+ +1 2 cambia de signo

en el intervalo [ ]x xk k, +2 , no podemos obtener una fórmula para el error al aplicar la regla de

Simpson 13

usando el teorema del valor medio ponderado para integrales; sin embargo se

puede demostrar, ver Kincaid, 1972, páginas 447 y 448, que el error al emplear la regla de

Simpson 13

en el intervalo [ ]x xk k, +2 , llamado error local, está dada por

( ) ( ) Ekiv

kh f= −

5

90ξ

donde ( ) 2N2,...,0,=k ,x,x y N

abh 2kkk −∈ξ−= + .

Entonces el error al aplicar la regla de Simpson 13

sobre todo el intervalo [ ]a b, , es decir, el

error total, ET , es

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) b,a ,f180

abhf180Nh

f12

2N90hf

90h

x,x , f90hEEE

iv4iv5

iv52

2N

0pp2

iv5

1p2p2p2

22N

0pp2

iv52

2N

0pp2

2N,..,2,0kkT

∈ξξ−−=ξ

−=

ξ

+−−=ξ−=

∈ξ

ξ−=

∗==

∑

∑∑∑−

=

+

−

=

−

=−=

( (*) La igualdad se debe al cambio de variable k p= 2 : si k = 0 , entonces p = 0 , y si

k N= −2 , entonces p N 22

= − )

Esto implica que la regla de Simpson 13

es exacta cuando se aplica a polinomios de grado

menor o igual que 3, que es un grado más de lo que era de esperarse, ya que estamosaproximando la función f por medio de polinomios de grado menor o igual que dos.

Si ( ) ( ) [ ] f da x a,biv x L para to≤ ∈ , entonces


( ) ( ) E f Tivh N h NL h b a L = ≤ = −5 5

4

90 2 180 180ξ

así que ( )E O hT = 4 .

En el caso N = 2 ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E con Tiv ivh f

b af a b= − = −

−∈

5 5

90 2880ξ ξ ξ, ,

(recuerde que h b aN

= − ), así que ( )E O hT = 5 .

5.1.3 Regla de Simpson 38

: De la misma forma que se obtuvieron las regla de los

Trapecios y la regla de Simpson 13

, se puede interpolar la función f en cada subintervalo

[ ]x xk k, +3 , k N= −0 3 3, ,..., (lo que requiere que N sea un entero positivo múltiplo de 3, es

decir, N m= 3 , m un entero positivo), mediante un polinomio de interpolación de Lagrange degrado menor o igual que tres, ( )p xk , usando los nodos xk k k k, x , x , x+ + +1 2 3 .

FIGURA 5.4Entonces

( ) ( ) f x dx p x dxx

x

kx

x

k

k

k

k+ +

∫ ∫≈3 3


y se obtiene

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

ancho altura promedio

f x dx x xf x f x f x f x

h f x f x f x f x

x

x

k kk k k k

k k k k

k

k+

∫ ≈ −+ + +

= + + +

++ + +

+ + +

3

31 2 3

1 2 3

3 38

38

3 3

! "# $# ! "####### $#######

Así que

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ] }

f x dx f x dx f x dx f x dx

h f x f x f x f x f x f x f x f x

f x f x f x f x

a

b

x

x

x

x

x

x

N N N N

N

N

∫ ∫ ∫ ∫= + + +

≈ + + + + + + + +

+ + + +

−

− − −

0

3

3

6

3

38

3 3 3 3

3 3

0 1 2 3 3 4 5 6

3 2 1

...

...

es decir,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx h f a f b f x f x f xa

b

kk

N

k kk

N

k

N

∫ ∑ ∑∑≈ + + + +

+=

−

+=

−

=

−

38

3 3 23 10

33

3 2 31

33

0

33

Si N m= ≥3 2, , m m un entero, la fórmula anterior se conoce como regla compuesta de

Simpson 38

.

En el caso N = 3 , caso en el cual h b a= −

3, dicha fórmula se reduce a

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x dxb a

f a f a b f a b f b

b a f a f a b f a b f b

a

b

∫ ≈−

+ +

+ +

+

= − + +

+ +

+

324

3 23

3 23

83 2

33 2

3

fórmula que se conoce como regla simple de Simpson 38

.

Al igual que en el caso de la regla de Simpson 13

, se puede demostrar que el error al

aproximar el valor de la integral ( )f x dxa

b

∫ por medio de la regla de Simpson 38

en el

intervalo [ ]x xk k, +3 , es decir, el error local, es


( )( ) ( ) 3N,...,3,0k ,x,x ,N

abh , fh803E 3kkkk

iv5k −=∈ξ−=ξ−= +

y entonces el error total es

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

E

para algú n

Tiv

pp

N

iv

iv iv

h f h N f

h N f h b a f a b

= − = − − +

= − = − − ∈

=

−

∑380

380

33

1

80 80

53

0

33

5

5 4

ξ ξ

ξ ξ ξ ,

Si ( ) ( ) [ ] f toda x a,biv x L para ≤ ∈ , entonces

( ) ( ) E f Tivh b a h b a L= − ≤ −4 4

80 80ξ

así que ( )E O hT =4 , como en la regla de Simpson

13

.

Si N = 3 , entonces h b a= −

3 y

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

E

para algú n a,b

Tiv

iv iv

h f

b a fb a

f

= −

= − −

= −−

∈

380

380 3 6480

5

5 5

ξ

ξ ξ ξ

así que ( )E O hT = 5 , en este caso.

Ejemplo 5.1 Use las reglas de los Trapecios, Simpson 13

y Simpson

38

simples y

compuestas con N = 6 , para estimar

I xdx= ∫ sen2

0

3π

Cuál es una cota para el error en la estimación, en cada caso ? (desprecie los errores deredondeo)

Solución: En este ejemplo ( )f x x= sen2 , que es una función continua en todo R , por tantose satisfacen todas las hipótesis para que se puedan aplicar las reglas de integraciónnuméricas vistas.


CASO SIMPLE: En este caso N =1 para la regla de los Trapecios, N = 2 para la regla de

Simpson 13

y N = 3 para la regla de Simpson

38

.

i) Según la regla de los Trapecios:

( ) ( )[ ] I sen

= ≈ − +

= +

=

∫ 2

0

3

2 2

2

60

33926991

xdx b a f a f b

π

π πsen sen

.

ii) Según la regla de Simpson 13

:

( ) ( ) ( )I xdx b a f a f a b f b= ≈ − + +

+

= +

+

=

∫ sen sen sen sen2

0

32 2 2

64

2 180 4

6 3

3054326

π

π π π

.

iii) Según la regla de Simpson 38

:

( ) ( ) ( )

( )

I xdxb a

f a f a b f a b f b= ≈−

+ +

+ +

+

= +

+

+

=

∫ sen

sen sen sen sen

2

0

3

2 2 2 2

324

3 23

3 23

240 3

93 2

9 33063656

π

π π π π

.

Cuál de estas aproximaciones es la mejor ?

Estudiemos el error para cada caso.

i) Regla de los Trapecios: En este caso

( ) E con hTh f b a= − ′′ ∈

= − =3

120

3 3ξ ξ π π, ,

Como ( )f x x= sen2 , entonces


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

,

, f

′ = = ′′ =

′′′ = − = −

f x x x x f x x

f x x x xiv

2 2 2 2

4 2 8 2

sen cos sen cos

sen cos

luego

( ) ( ) para todo x′′ = < ∈

f x x2 2 2 03

cos ,π

y entonces

( ) E Th f= ′′ ≤

≈ < = × −3

3

1

12312

2 19 5 5 10ξ

π

. .

lo que no garantiza que el valor obtenido aproxime al valor exacto con alguna cifra decimalexacta.

ii) Regla de Simpson 13

: En este caso

( ) ( ) ETivh f= −

5

90ξ para algún ξ π π∈

= − =03 2 6

, , h b a

y como( ) ( ) ( ) f para todo x iv x x= − < ∈

8 2 8 03

cos ,π

entonces

( ) ( ) E f Tivh

= ≤

≈ × < ×− −5

5

3 3

90690

8 3 5 10 5 10ξ

π

.

lo que asegura una precisión de por lo menos dos cifras decimales exactas en la

aproximación obtenida aplicando la regla simple de Simpson 13

.

iii) Regla de Simpson 38

: En este caso

( ) ( ) ETivh f= −

380

5ξ para algún ξ

π π∈

= − =03 3 9

, , h b a

entonces

( ) ( ) E f Tivh

= ≤

≈ × < ×− −380

39

808 16 10 5 10

5

5

3 3ξ

π

.

lo que garantiza una precisión de por lo menos dos cifras decimales exactas en la

aproximación obtenida usando la regla de Simpson 38

.


Según estas estimaciones de error, se espera que la mejor aproximación sea la obtenida por

la regla de Simpson 38

, pero para dar una respuesta definitiva debemos conocer el valor

exacto de la integral dada.

CASO COMPUESTO CON N = 6 : Si N = 6 , entonces h b aN

= − = π18

y los puntos de la

partición son

x0 1 2 3 4 5 6018 9 6

29

518 3

= = = = = = =, x , x , x , x , x , xπ π π π π π

Entonces tenemos:

i) Regla de los Trapecios: Según esta regla

( ) ( )[ ]I xdx h f x f xk kk

= ≈ +∫ ∑ +=

sen2

0

3

10

5

2

π

( )= +

+

+

+

+

+

π π π π π π π

360

32

18 9 629

518

f f f f f f f

= .3092953En este caso el error es

( ) ( )E h Nf fT = − ′′ = −

′′ ∈

3

3

121812

6ξ

π

ξ ξ π para algú n 0,3

y como

( ) para toda x 0,3

′′ ≤ ∈

f x 2 π

entonces

( )( ) E T ≤

=

≈ × < ×− −

ππ18

126 2

185 3 10 5 10

3

33 2.

lo que garantiza una precisión de por lo menos una cifra decimal exacta en la aproximacióncalculada.

ii) Regla de Simpson 13

: Según esta regla

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }

I xdx h f x f x f x

h x f x f x f x f x f x f x

k k kk

= ≈ + +

= + + + + + +

=

∫ ∑ + +=

sen, ,

2

03

1 20 2 4

0 6 1 3 5 2 4

34

34 2

3070743

π

f

.


El error en la aproximación es

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E h Nf h f h fTiv iv iv= − = − = −

5 5 5

180 1806

30ξ ξ ξ para algún ξ

π∈

03

,

y como

h = π18

y ( ) ( ) f para toda x 0,3

iv x ≤ ∈

8 π

entonces

E T ≤

≈ × < ×− −

π1830

8 4 3 10 5 10

5

5 5.

lo que garantiza una precisión de por lo menos cuatro cifras decimales exactas en laaproximación calculada.

iii) Regla de Simpson 38

: En este caso

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ){ }

I

f

= ≈ + + +

= + + + + + +

=

∫ ∑ + + +=

sen,

2

0

3

1 2 30 3

0 6 1 4 2 5 3

38

3 3

38

3 3 2

3070510

xdx h f x f x f x f x

h x f x f x f x f x f x f x

k k k kk

π

.

El error en la aproximación para este caso es

( ) ( ) ( ) ( )E h Nf fTiv iv= − = −

5

5

801880

6ξ

π

ξ para algún ξπ∈

03

,

y entonces

( )( ) E T ≤

≈ × < ×− −

π1880

6 8 9 7 10 5 10

5

5 4.

lo que garantiza una precisión de por lo menos tres cifras decimales exactas en laaproximación calculada.

De estas tres ultimas aproximaciones, se espera que la mejor sea la dada por la regla de

Simpson 13

, que es la que tiene menor cota de error.

Como el valor exacto de I xdx= = −

= − =∫ sen sen ...2

0

3

614

23 6

38

307092424

π

π π π . , entonces

el error absoluto real en las aproximaciones obtenidas, para el caso de las reglascompuestas, es:


sen 2

0

333092953 21 10xdx− = ×∫ −. .

π

... , para la regla de los Trapecios.

sen ,2

0

353070743 18 10xdx− = ×∫ −. .

π

... para la regla de Simpson 13

.

sen ,2

0

353070510 4 1 10xdx− = ×∫ −. .

π

... para la regla de Simpson 38

.

Instrucciones en DERIVE:

TRAPECIO( ( )f x x a b N, , , , ): Usa la regla de los Trapecios con N subintervalos para aproXimar

el valor de la integral ( )f x dxa

b

∫ .

SIMPSON( ( )f x x a b N, , , , ): Usa la regla de Simpson 13

con N subintervalos (N debe ser un

entero positivo PAR) para aproXimar el valor de la integral ( )f x dxa

b

∫ .

Para el ejemplo anterior, aproXime las expresiones TRAPECIO( ( )sinx x2 03

6, , , ,π );

SIMPSON( ( )sinx x2 03

6, , , ,π ). ◊◊◊◊

Los valores obtenidos por las reglas de los Trapecios, Simpson 13

y Simpson 38

, para

valores de N =12 18 24 36, , y se muestran en la TABLA 5.1 siguiente.

NRegla de los

TrapeciosRegla de

Simpson 13

Regla de

Simpson 38

6 .3092953 .3070743 .307051012 .3076423 .3070913 .307089918 .3073367 .3070922 .307091924 .3072298 .3070924 .307092336 .3071535 .3070924 .3070924

TABLA 5.1


Se recomienda usar la regla de Simpson 13

con h ≈ .05 . Si el número de subintervalos

es impar se pueden combinar las reglas de Simpson 13

y Simpson 38

, mejor que usar la

regla de los Trapecios.

Para el ejemplo, observe que si N =18 , entonces

h b aN

= − =−

= ≈

ππ3

0

18 54058 . ♦

Una propiedad muy importante de las fórmulas de integración (cerradas) de Newton-Coteses la estabilidad con respecto a los errores de redondeo.

Por ejemplo, supongamos que aplicamos la regla de Simpson 13

con N m= 2

subintervalos a una función f en [ ]a b, , y determinemos una cota para el error de redondeoacumulado ocasionado por la aplicación de dicha regla.

Si el valor calculado de ( )f xk se nota por ( )~f xk , es decir,

( ) ( )f x f xk k k= + ∈~ , para k N m= =01 2, ,...,

donde ∈ k denota el error de redondeo correspondiente a ( )f xk , entonces al aplicar la regla

de Simpson 13

a la función f debemos calcular la expresión

( ) ( ) ( ) ( ) h f x f x f x f xm kk

m

kk

m

34 20 2 2 1

0

1

21

1

+ + +

+=

−

=

−

∑ ∑

Por lo tanto el error de redondeo acumulado ER , al usar la regla de Simpson 13

, es

ER m kk

m

kk

mh= ∈ + ∈ + ∈ + ∈

+=

−

=

−

∑ ∑34 20 2 2 1

0

1

21

1

así que

E R m kk

m

kk

mh= ∈ + ∈ + ∈ + ∈

+=

−

=

−

∑ ∑34 20 2 2 1

0

1

21

1

y entonces

∈+∈+∈+∈≤ ∑∑−

=

−

=+ 24

3hE

1m

1km2k2

1m

0k1k20R


Ahora bien, si los errores de redondeo están acotados uniformemente por ∈ , es decir ∈ ≤∈k para todo m2N,...,1,0k == , entonces

( )[ ] E Rh m m h m mh≤ ∈+ ∈+ − ∈+ ∈ = ∈= ∈3

4 2 13

6 2

pero h b aN

b am

= − = −2

, así que 2mh b a= − , y por lo tanto

( ) E R b a≤ − ∈

Luego una cota para el valor de ER es ( )b a− ∈ , que es una cota independiente de h, lo que

implica que el procedimiento de la regla de Simpson 13

es estable cuando h tiende a

cero. ∇∇∇∇

Ejemplo 5.2 Use la regla de Simpson 13

con N = 6 para estimar la longitud L del arco de

la curva y x= cos comprendida entre los puntos −

π π2

02

0, , y .

Solución: Como y x= cos , dydx

x= −sen , entonces

L x= +

−

∫ 1 2

2

2

sen dxπ

π

(Integral elíptica de segunda clase)

Es claro que la función ( )f x x x= + = −1 2 1 12

2 2sen cos es continua en el intervalo finito

−

π π2 2

, . Así que podemos aplicar la regla de Simpson 13

para aproximar el valor de L.

Si N = 6 , entonces h b aN

= − = π6

, y entonces los puntos xk de la partición y los valores

( ) ( )f x xk k= +1 2sen correspondientes, son los que se dan en la TABLA 5.2 siguiente:

k 0 1 2 3 4 5 6

xk− π

2− π

3− π

6 0π6

π3

π2

( )f xk 272

52 1

52

72 2

TABLA 5.2


Por consiguiente

( ) ( ) ( ) ( )L x h f x f x f x f xkk

kk

= + ≈ + + +

−

+= =

∫ ∑ ∑13

4 22

2

2

0 6 2 10

2

21

2

senπ

π

dx

= + + + +

+ +

π18

2 2 4 72

1 72

2 52

52

= 3 819403.

De acuerdo con la fórmula de error en la aplicación de la regla de Simpson 13

, se tiene

que

E h b a M MT ≤ − =

44

180 6 180π π

siendo M una constante tal que ( )( ) Mxf iv ≤ para toda x ∈ −

π π2 2

, . Se puede verificar que el

menor valor para M es 7, así que

ET ≤

≈ ≤ × −π π6 180

7 009 5 104

2 .

lo que asegura una precisión de por lo menos una cifra decimal exacta en la aproximación

obtenida. En situaciones como la del ejemplo, donde la función ( )f x x= +1 2sen tienederivada difícil de calcular, podemos estimar el error teniendo en cuenta que

( )E O hT = ≈

≈ < = × −44

1

6075 5 5 10 π . .

Si N = 60 , entonces h = ≈π60

05 . y la aproximación obtenida es L ≈ 3 820198. con

ET ≤ × ≤ ×− −9 1 10 5 107 6. , lo que asegura una precisión de por lo menos cinco cifrasdecimales exactas en la aproximación obtenida. ♦

Ejemplo 5.3 Determine los valores de N y h necesarios (de acuerdo con la teoría) paraaproximar

exsenxdx1

3

∫de manera que el error en la aplicación de la regla de Simpson 1

3

no sea mayor que 10 4−

y determine la aproximación (desprecie los errores de redondeo).


Solución: Sabemos que el error en la aplicación de la regla compuesta de Simpson 13

es

( ) ( ) ( ) E N2

f , donde 1,3 y hivT

h b aN N

= − ∈ = − =5

902

ξ ξ

De acuerdo con esta fórmula, debemos empezar por conocer una cota para ( ) ( )f xiv en el

intervalo [ ]13, , siendo ( )f x ex= senx .

Como( ) ( )′ = + = +f x e e ex x xsenx cosx senx cosx

( ) ( ) ( )′′ = + + − =f x e e ex x xsenx cosx cosx senx cosx2

( ) ( )′′′ = − = −f x e e ex x x2 2 2cosx senx cosx senxy

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x e x x e x x e x e xiv x x x x= − + − − = − = −2 2 2 2 4cos sen sen cos sen sen

entonces ( ) ( ) ( )f x e x e x e x xv x x x= − − = − +4 4 4sen cos sen cos , así que

( ) ( )[ ]

f x x x x x

x

v = ⇔ + = ⇔ = −

⇒ = ≈ ∈

0 034

2 356 13

sen cos sen cos

, π .

Ahora,

( ) f ...iv e sen34

4 34

29 8434π ππ

= −

= − .

( ) ( ) f sen ...iv e1 4 1 9 1491= − = − .

( ) ( ) f sen ...iv e3 4 3 11333= − = − .

luego en x = 34π ocurre el mínimo de ( ) ( )f x eiv x= −4 senx en el intervalo [ ]13, , pero

( ) ( ) [ ]f x eiv x= − < ∈4 0senx para toda x 1,3 , así que el máximo de ( ) ( ) f iv x en el intervalo

[ ]13, ocurre en x = 34π , es decir,

( ) ( ) [ ] f para todo xiv xx e x e= ≤

≈ < ∈4 4 3

429 84 30 13

34sen sen ,π π .


Así que finalmente,

( ) E Th N N N≤ =

5

5

18030

2

6

y entonces debemos encontrar N, tal que 32

6104

4

N≤ − . La solución de esta desigualdad es

N >15 y como N debe ser par, entonces el menor valor de N es N =16 .

Si N =16 , entonces h = =2

16125 . y la regla de Simpson 1

3

da

e xdxx sen1

3

10 95011∫ ≈ .

Como E T ≤ < ×− −10 5 104 4 , entonces (despreciando los errores de redondeo) laaproximación calculada tiene una precisión de por lo menos tres cifras decimales exactas,que son 9,5 y 0.

Si integramos por partes, obtenemos e xdxx sen ...1

3

10 95017∫ = . , así que la aproximación

calculada es bastante buena. ♦

5.2 INTEGRACIÓN DE ROMBERG

La integración de Romberg es un método numérico para obtener una estimación del valor deuna integral definida con base en dos o más aplicaciones de una fórmula como la de losTrapecios (o Simpson) empleando diferentes tamaños de paso, pero que es mejorada alcombinarse con el proceso de extrapolación de Richardson. Para estudiar la extrapolaciónde Richardson se puede consultar Burden, 1985, páginas 167-173.

El procedimiento de Romberg para aproximar ( )f x dxa

b

∫ , consiste en lo siguiente:

Aplicamos la regla de los Trapecios sucesivamente para tamaños de paso hk variables, así:

h b a1 = − ( )m1 1= subintervalo , h h b a2

1

2 2= = − (m2 2= subintervalos), h h b a

32

22 2= = −

( )m 2 subintervalos32 = ,..., h h b a

kk

k= = −−−

112 2

(mkk= −2 1 subintervalos),

..., hh b a

NN

N= = −−−

112 2

(mNN= −2 1 subintervalos) donde N es algún entero positivo.

Al reemplazar h hk por en la regla de los Trapecios, obtenemos


( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x dx h f a f b f a ih h fa

bk

ki

ki

i

k k

∫ ∑ ∑= + + +

− ′′

=

−

=

−− −

22

121

2 1 3

0

2 11 1

ξ

donde ξ i es tal que ( )a ih a i hk i k+ < < + +ξ 1 .

Si denotamos

( ) ( ) ( )R h f a f b f a ihkk

ki

k

,11

2 1

22

1

= + + +

=

−−

∑

entonces al variar k N=12, ,..., , obtenemos las aproximaciones mediante la regla de losTrapecios

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]R h f a f b b a f a f b111

2 2, = + = − +

( ) ( ) ( )[ ]R h f a f b f a h2 12

222, = + + +

( ) ( )= − + + + −

b a f a f b f a b a4

22

( ) ( )[ ] ( ) ( )= − + + − + −

12 2

12

b a f a f b b a f a b a

es decir,

R R h f a h2 1 11 1 112

12, ,= + +

Ahora,

( ) ( ) ( )R h f a f b f a ihi

3 13

31

3

22, = + + +

=

∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }= + + + + + + +h f a f b f a h f a h f a h3

3 3 322 2 3

( ) ( ) ( )= − + + + −

+ + −

+ +

−

b a f a f b f a b a f a b a f ab a

82

4 23

4

( ) ( )= − + + + −

+ − + −

+ + −

12 4

22 2

12 2

32 2

b a f a f b f a b a b a f a b a f a b a

es decir,

R R h f a h f a h3 1 2 1 2

2 212 2

32, ,= + +

+ +

En general, se puede demostrar que


R R h f a i hk k k ki

k

, ,1 11 1 11

212

2 12

2

= + + −

− − −

=

−

∑ , k = 2 3, ,...,N

Para ilustrar esta primera parte del procedimiento, aproximemos la integral

( )1 3 109861281

3

xdx∫ = =ln ... .

mediante los números de Romberg ( )3=N 32,1,=k con R 1,k :

R113 1

211

13

43

1333333, = − +

= ≈ .

( )R2 112

43

3 1 12

12

73

76

1166667, = + −

=

= ≈ .

R 3 112

76

3 12

23

25

12

76

1615

12

6730

6760

1116667, = + − +

= +

= = ≈ .

Se observa que las aproximaciones Rk,1 van acercándose al valor exacto de la integral, perocon lentitud. Para acelerar la convergencia, usamos ahora extrapolación de Richardson yun resultado que nos muestra otra forma para el error en la aplicación de la fórmula de losTrapecios:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

error

f x dx h f a f b f a ih

R

h f b f ab a h

fa

bk

ki

k

k k ivk

k

∫ ∑= + + +

− ′ − ′ +

−

=

−−

22

12 7201

2 1

1

2 41

,

! "###### $######! "####### $#######

ξ

para algún ξk con a bk< <ξ , N,...,2,1k = .

Combinando la ecuación

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )f x dx R h f b f ab a h

fa

b

kk k iv

k= − ′ − ′ +−

∫ −− −

−111

21

4

112 720, ξ

con la ecuación

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )f x dx R h f b f ab a h

fa

b

kk k iv

k∫ = − ′ − ′ +−

,1

2 4

12 720ξ

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )= − ′ − ′ +−−R h f b f a

b a hfk

k k ivk,1

12 4

48 720ξ , ya que h h

kk= −1

2


o sea con la ecuación

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )4 412

47201

12 4

f x dx R h f b f ab a h

fa

b

kk k iv

k∫ = − ′ − ′ +−−

, ξ

podemos eliminar el término que contiene a ( ) ( )′ − ′f b f a , para obtener

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]3 4720

41 114

14

1f x dx R R b a h f h f

a

b

k k kiv

k kiv

k∫ = − + − −− − −, , ξ ξ

Luego

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]f x dxR R b a h f h f

a

bk k

kiv

k kiv

k∫ =−

+ − −−− −

43 2160

41 11 41

41

, , ξ ξ

( ) ( ) ( ) ( )[ ]=−

+ − −−−

43 2160

4 161 11 4 41

R R b a h f h fk kk

ivk k

ivk

, , ξ ξ , ya que h hk k− =1 2 .

( ) ( ) ( ) ( )[ ]=−

+ − −−−

43 540

41 11 41

R Rh b a f fk k

kiv

kiv

k, , ξ ξ

y asumiendo que ( )f iv está acotada en [ ]a b, , entonces

( ) ( )f x dxR R

O h Na

bk k

k∫ =−

+ =−43

2 31 11 4, , , , ,..., k

Para continuar con el procedimiento de Romberg, definimos:

R para =kk kR R

k N,, , , ,...,21 114

32 3=

− −

Se puede demostrar que las aproximaciones Rk,2 , k N= 2 3, ,..., corresponden a las

aproximaciones obtenidas por la Regla de Simpson 13

con h hk= .

Para el ejemplo, tenemos

RR R

2 22 1 114

3

4 76

43

3109

1111111,, ,=−

=

−

= ≈ .

RR R

3 23 1 2 14

3

4 6760

76

3198180

1100000,, ,=−

=

−

= = .

Aplicando sucesivamente el proceso de extrapolación de Richardson, obtenemos


R para cada i = 1,2,...,N y j = 2,...,i ji

ji j i j

j

R R,

, ,=−

−

−− − −−

44 1

11 1 11

con error asociado de orden ( )O hij2 .

Recuerde que

R kk k k ki

R h f a i h N k

, , , , ,...,1 11 1 11

212

2 12

2 32

= + + −

=− − −

=

−

∑

y que

( ) ( )[ ] R 11 2, = − +b a f a f b

El orden en que se calculan los Ri j, es (por filas):

N,N3,N2,N1,N

3,32,31,3

2,21,2

1,1

RRRR

RRR

RR

R

→→→→↓

↓→→

↓↓→

↓

%

&

donde para calcular R2 2, necesitamos conocer R11, y R2 1, ; para calcular R3 2, necesitamosconocer R2 1, y R3 1, ; para calcular R3 3, necesitamos conocer R2 2, y R3 2, ; etc. Así que el usomas eficiente de esta tabla se logra realizando los cálculos por filas de modo que con aplicaruna sola vez más la regla de los Trapecios (para calcular Rk,1) se pueda calcular la siguientefila.

Es decir, el orden en que se calculan los elementos es R11, , R2 1, , R2 2, , R3 1, , R3 2, , R3 3, ..., .

Se puede demostrar, ver Ralston, 1965, páginas 121-124, que los términos de la diagonalconvergen al valor exacto de la integral siempre y cuando los valores Rk,1 converjan a este

número. Se espera, en general, que la sucesión { }Rk k k, converja mucho más rápido que la

sucesión { }Rk k,1 .

El procedimiento de Romberg se termina cuando, prefijada alguna tolerancia ε > 0, sesatisfaga que R k k k kR, ,− − <1 ε y se toma Rk k, como la aproximación al valor de la integral.


Para el ejemplo, tenemos:

RR R

3 3

3 13 2 2 2

3 14

4 1

16 198180

109

15

17610

109

151584 100

135014841350

1099259,, ,=−

−=

−

=−

= − = ≈−

−.

con3

3,32,3 105005 000741 RR −×=<=− ..

Como

33

133 105005 000647 dx

x1R −×=<≈− ∫ ..,

entonces el valor calculado R3 3 1099259, = . , aproxima al valor exacto de la integral con una

precisión de dos cifras decimales exactas ( 0 y 9) .

Algoritmo 5.3 (Método de Romberg) Para encontrar un valor aproximado de ( )I f x dxa

b

= ∫usando el método de integración de Romberg:

Entrada: ( )f x , los extremos a y b, y un entero positivo N.

Salida: Los números de Romberg R IN n NN11 2 1 2 2 1 2, , , , , ,, , , ..., , , ..., R R R R R ≈ .

Paso 1: Tomar h b a ,= −

( ) ( )[ ]2

bfafhR 11+=,

Paso 2: Salida: R11, .

Paso 3: Para N,...,3,2i = , seguir los pasos 4-8:

Paso 4: Tomar ( )( )R R h f a k hk

i

2 1 111

212

52

, , .= + + −

=

−

∑ (aproximación usando regla de los

Trapecios)

Paso 5: Para j = 2,...,i , tomar

RR R

j

jj j

j2

12 1 1 1

1

4

4 1,, ,=

−

−

−− −− (Extrapolación de Richardson)


Paso 6: Salida: Los números de Romberg i2,...,1,j ,R j2, = .

Paso 7: Tomar h h=

2 (cambiar la longitud del subintervalo).

Paso 8: Para i,...,2,1j = tomar R Rj j1 2, ,= .

Paso 9: Terminar

Este algoritmo sólo utiliza dos vectores en memoria para calcular los números de Romberg.

5.3 MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS

Vimos en la sección 5.1 que la fórmula de los Trapecios es exacta para todos los polinomios

de grado menor o igual que uno y que las reglas de Simpson 13

38

y son exactas para

polinomios de grado menor o igual que tres. Otra forma de deducir fórmulas de integraciónnumérica que sean exactas para todos los polinomios de hasta cierto grado, se estudia acontinuación:

Supongamos que queremos obtener una fórmula de integración numérica del tipo

( ) ( ) ( ) ( ) FORMULA ERROR TOTAL

f x dx Af a Bf b E fa

b

T∫ = + +! "## $## !"$ (5.1)

de modo que dicha fórmula sea exacta para todos los polinomios de grado menor o igual queuno, es decir, tal que el error ( )E fT = 0 cuando ( )f x sea un polinomio de grado menor o igualque uno.

Cómo se determinan los coeficientes A y B?

Para generar ecuaciones que permitan determinar los coeficientes A y B, observe que: Si( )f x a a x con a= + ∈0 1 0 1,a R , entonces


( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

E f E a a x f x dx Af a Bf b

a a x dx A a a a B a a b

a dx A B a xdx A a B b

a E a E x

T Ta

b

a

b

a

b

a

b

T T

= + = − −

= + − + − +

= − −

+ − −

= +

∫

∫

∫ ∫

0 1

0 1 0 1 0 1

0 1

0 1

1 1 1

1

. . . .

es decir,( ) ( ) ( )xEa1EaxaaE T1T010T +=+

Así que( )E a a xT 0 1 0+ = para todo a a0 1, ∈ R si y sólo si ( )ET 1 0= y ( )E xT = 0

es decir, la fórmula buscada es exacta para todos los polinomios de grado menor o igual queuno si y sólo si la fórmula es exacta para las funciones polinómicas básicas de grado menoro igual que uno: ( )f x0 1≡ y ( )f x x1 = . De acuerdo con lo anterior, para determinar loscoeficientes A y B, en la fórmula buscada, basta sustituir ( )f x por 1 y ( )f x por x en la

ecuación (5.1) con ( )E fT = 0 .

Haciendo dichas sustituciones, obtenemos

( )E 1T = − ⋅ − ⋅ =∫1 1 1 0dx A Ba

b

( )E xT = − ⋅ − ⋅ =∫ xdx A a B ba

b

0

es decir, se obtiene el sistema lineal de dos ecuaciones en las dos incógnitas A, B:

A

aA

+ = −

+ = −

B b a

bB b a2 2

2

Como este sistema tiene solución única A B b a= = −

2, entonces la fórmula obtenida es

( ) ( ) ( )[ ] f x dx b a f a f ba

b

∫ ≈ − +2

que es la ya conocida regla simple de los Trapecios para f en [a,b] (verifique que esta fórmulano es exacta para todos los polinomios de grado dos!).


El trabajo realizado antes en el intervalo [ ]a b, puede hacerse, sin pérdida de generalidad, en

el intervalo [ ]01, , pues la función lineal

[ ] [ ]( ) ( )

t

λ

λ

: 0 1, ,→

→ = − +

a b

t b a t a

es uno a uno y sobre, además ( ) ( )λ λ0 1= =a b, ( ( ) ( )λ λ− −= =1 10 1a b, ). Vea la FIGURA 5.5

como ayuda para construir la función ( )x t= λ .

( )x ab a

t x a b a t−−

= ⇒ − = −1

FIGURA 5.5

Si en la integral

( ) f x dxa

b

∫

hacemos el cambio de variable ( )x b a t a= − + , entonces ( )dx b a dt= − y

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) f x dx f b a t a b a dt b a f b a t a dta

b

∫ ∫ ∫= − + − = − − +0

1

0

1

En general, la función lineal

[ ] [ ]( ) ( )

t

λ

λ

: c d a b

t b ad c

t c a

, ,→

→ = −−

− +

es uno a uno y sobre, y además ( ) ( )λ λc a y d b= = ( ( ) ( )λ λ− −= =1 1a c b d, ). Si en la integral

( ) f x dxa

b

∫


hacemos el cambio de variable

( ) x = −−

− +b ad c

t c a

obtenemos

( ) ( )( ) ( ) f x dx b ad c

f t dt b ad c

f b ad c

t c a dta

b

c

d

c

d

∫ ∫ ∫= −−

= −−

−−

− +

λ

Observe que como λ es lineal en t, si ( )f x es polinomial, entonces ( )( )f tλ es tambiénpolinomial en t y del mismo grado. Por consiguiente, la exactitud de una fórmula no se alteraal hacer el cambio de variable indicado antes, es decir, si una fórmula de integraciónnumérica es exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que m en la variable xen [ ]a b, , también lo será para todos los polinomios correspondientes en la variable t en [ ]c d,y recíprocamente.

Como ejemplo, supongamos que queremos determinar los coeficientes A, B y C de modoque la fórmula

( ) ( ) ( )### $### "!

fórmula

1

0

1Cf21Bf0Afdxxf +

+≈∫

sea exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que dos.

Siguiendo la misma idea del ejemplo anterior se tiene que: la fórmula buscada será exactapara todos los polinomios ( )f x a a x a x= + +0 1 2

2 , de grado menor o igual que dos, si y sólo sila fórmula es exacta para las funciones polinómicas básicas de grado menor o igual que dos1 2, , x x .

Luego para determinar los coeficientes A, B y C basta resolver el sistema lineal

1 1 1 1 1

12

12

1

13

14

1

0

1

0

1

2

0

1

= = ⋅ + ⋅ + ⋅

= = + ⋅

= = + ⋅

∫

∫

∫

dx A B C

xdx B C

x dx B C

es decir, debemos resolver el sistema lineal de tres ecuaciones en las tres incógnitas A, B, C:


A

+ + =

+ =

+ =

B C

B C

B C

112

12

14

13

La solución de este sistema es A = = =16

46

16

, B y C .

Así que la fórmula obtenida es

( ) ( ) ( ) f x dx f f f0

116

0 46

12

16

1∫ ≈ +

+

que es exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que dos. Comoejercicio verifique si esta fórmula es exacta para todos los polinomios de gradomenor o igual que tres. Es exacta esta fórmula para todos los polinomios de gradomenor o igual que cuatro?

Si usamos el cambio de variable ( )x b a t a= − + , obtenemos

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x dx b a f b a t a dt

b a f a f a b f b

b a f a f a b f b

a

b

= − − +

≈ − + +

+

= − + +

+

∫∫0

1

16

46 2

16

64

2

que coincide con la regla simple de Simpson 13

aplicada a la función f en el

intervalo [ ]a b, .

El método ilustrado en los ejemplos anteriores para encontrar fórmulas de integraciónnumérica se conoce como método de los coeficientes indeterminados.

5.4 MÉTODO DE CUADRATURA GAUSSIANA

En las fórmulas de integración numérica o de cuadratura estudiadas hasta aquí paraaproximar el valor de


( ) I = ∫ f x dxa

b

se ha usado siempre una partición regular a x x x bn= < < < =0 1 ... del intervalo [ ]a b, ,es decir, los puntos n10 x,...,x,x se han dado igualmente espaciados. Si se quita estacondición, pueden diseñarse fórmulas de integración numérica más precisasescogiendo adecuadamente los puntos n10 x,...,x,x . Una de estas fórmulas es lacuadratura Gaussiana, que se puede presentar en los siguientes términos:

La cuadratura Gaussiana consiste en obtener los valores de los puntos n21 x,...,x,xen el intervalo [ ]−11, (podemos trabajar en [ ]−11, en vez de trabajar en [ ]a b, y luegousar un cambio de variable como se hizo en la sección anterior) y los coeficientes

n21 A,...,A,A tales que la fórmula

( ) ( )f x dx A f xj jj

n

FORMULA− =∫ ∑≈1

1

1! "# $#

(5.2)

sea exacta para todos los polinomios de grado tan alto como sea posible. Esta idea sedebe a Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Este proceso involucra la determinación de 2n incógnitas, n21 A,...,A,A y n21 x,...,x,x ,donde, en principio, n21 x,...,x,x sólo están restringidos a que la función f estédefinida en n21 x,...,x,x y [ ]1,1x,...,x,x n21 −∈ .

Los coeficientes A j y los puntos n21 x,...,x,x son determinados de modo que el error

( ) ( ) ( ) En j jj

n

f f x dx A f x= − =− =∫ ∑1

1

1

0 (5.3)

para todos los polinomios ( )f x de grado tan alto como sea posible.

Para derivar ecuaciones que permitan obtener los coeficientes n21 A,...,A,A y lospuntos n21 x,...,x,x , notemos, como en el caso del método de los coeficientesindeterminados, que si ( )f x a a x a x a xm

m= + + + +0 1 22 ... , entonces


( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )mnm

2n2n1n0

mxnE

n

1j

mjj

1

1

mm

2xnE

n

1j

2jj

1

1

22

xnE

n

1jjj

1

11

1nE

n

1jj

1

10

n

1j

mjm

2j2j10j

1

1

mm

2210

mm

2210nn

xEaxEaxEa1Ea

xAdxxa

xAdxxaxAxdxa1Adx1a

xaxaxaaAdxxaxaxaa

xaxaxaaEfE

++++=

−+

+

−+

−+

⋅−=

++++−++++=

++++=

=−

=−=−=−

=−

∑∫

∑∫∑∫∑∫

∑∫

...

...

......

...

#### $#### "!

### $### "!### $### "!### $### "!

Por consiguiente: El error ( )E a a x a x a xn mm

0 1 22 0+ + + + =... para todos los polinomios

de grado menor o igual que m si y sólo si ( ) m,...,2,1,0i todo para 0xE in == .

Volviendo al tema de cómo determinar los coeficientes n,...,2,1j ,A j = , y los puntosde la partición n,...,2,1j ,x j = , tenemos los siguientes casos particulares:

CASO 1: n =1. En este caso

( ) ( ) ( )

( ) ( )

E11

1

1

1

1

1

1 1

f f x dx A f x

f x dx A f x

j jj

= −

= −

− =

−

∫ ∑

∫

Así que queremos encontrar A1 1 y x tales que ( )E f1 0= para todos los polinomios( )f x de grado tan alto como sea posible.

Como hay dos incógnitas por determinar, consideraremos al menos dos ecuaciones,una para ( )f x ≡1 y otra para ( )f x x= , lo que nos lleva a

y 1 1 0 01

1

11

1

1 1dx A xdx A x− −∫ ∫− ⋅ = − =

es decir, resulta el siguiente sistema no-lineal de dos ecuaciones en las dos incógnitasA1 1 y x :

2 00

1

1 1

− ==

Ax A


Como la única solución de este sistema es A1 2 0= = y x1 , entonces la fórmulaobtenida es

( ) ( ) f x dx f−∫ ≈1

1

2 0

que es llamada regla del punto medio, y es exacta para todos los polinomios degrado menor o igual que uno, como la regla de los Trapecios. (Verifique que la regladel punto medio no es exacta para todos los polinomios de grado menor o igual quedos!).

CASO 2: n = 2 . En este caso

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

E f f x dx A f x

f x dx A f x A f x

j jj

21

1

1

2

1

1

1 1 2 2

= −

= − −

− =

−

∫ ∑

∫

Así que, esta vez, debemos encontrar A1 2 1 2, , A x y x tales que ( )E f2 0= para todos lospolinomios ( )f x de grado tan alto como sea posible. Consideramos entonces cuatroecuaciones, una para cada una de las funciones polinómicas básicas de grado menor oigual que tres 3,2,1,0i ,x i = , con lo que obtenemos

1 1 1 0

0

0

0

1

1

1 2

1

1

1 1 2 2

2

1

1

1 12

2 22

3

1

1

1 13

2 23

−

−

−

−

∫

∫

∫

∫

− ⋅ − ⋅ =

− − =

− − =

− − =

dx A A

xdx A x A x

x dx A x A x

x dx A x A x

es decir,

A A

1 2

1 1 2 2

1 12

2 22

1 13

2 23

20230

+ =+ =

+ =

+ =

Ax A x

A x A x

A x A x


Este sistema resultante es no-lineal de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, y se

puede verificar que la solución de este sistema es A A1 2 1 21 33

33

= = = − =, , x x , así

que la fórmula obtenida es

( ) f x dx f f−∫ ≈ −

+

1

13

33

3

que es exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que tres, como en la

regla de Simpson 13

. (Verifique que la fórmula anterior no es exacta para todos

los polinomios de grado cuatro).En general, para n tenemos, como ya mencionamos antes, 2n incógnitas n21 A,...,A,A ,

n21 x,...,x,x , y queremos que ( ) 12n1,...,0,i para 0xE in −== , lo que nos conduce al

siguiente sistema no-lineal de 2n ecuaciones con 2n incógnitas

i

iA x x dx x

i

n

inj j

i

j

ni

i

= −

+

−∑ ∫= =

+

== −

+= −

1 1

1 1

1

1

1

0 13 2 12

10 2 2 2

, , ,...,

, , ,...,

La solución de estos sistemas se ve que no es fácil, y precisamente por la dificultadque se presenta al trabajar con estos sistemas no-lineales, hay otra teoría más general,pero que no presentaremos aquí. En dicha teoría se puede demostrar que el error

( )E fn viene dado por

( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) E n

n n

fn

n n

fn

=+

+2

2 1 2 2

2 1 4

2

2!

! !ξ

para algún ( )1,1−∈ξ .

La TABLA 5.3 siguiente, muestra los valores de los puntos n21 x,...,x,x y los valoresde los coeficientes n21 A,...,A,A , correspondientes a los valores de 5,4,3,2,1n = parala fórmula de cuadratura llamada de Gauss-Legendre

( ) ( ) f x dx A f xj jj

n

− =∫ ∑≈1

1

1

nCoeficientes A jj n, ,...,=1

Nodos x jj n, ,...,=1

Error de fórmula


1 A1 2= x1 0= ( )≈ ′′f ξ

2AA

1

2

11

==

xx

1

2

57735026925773502692

= −=

.. ( ) ( )≈ f 4 ξ

3AAA

1

2

3

555555555688888888895555555556

===

...

xxx

1

2

3

77459666920 07745966692

= −==

..

.

( ) ( )≈ f 6 ξ

4

AAAA

1

2

3

4

3478546451652145154965214515493478546451

====

....

xxxx

1

2

3

4

8611363116339981043633998104368611363116

= −= −==

....

( ) ( )≈ f 8 ξ

5

AAAAA

1

2

3

4

5

23692688514786286705568888888947862867052369268851

=====

.....

xxxxx

1

2

3

4

5

90617984595384693101

0 053846931019061798459

= −= −===

...

.

.

( ) ( )≈ f 10 ξ

TABLA 5.3

Si se desea consultar la teoría sobre Cuadratura Gaussiana se puede ver Kincaid,1972, páginas 456-465.

Ejemplo 5.4 Use el método de cuadratura Gaussiana con n = 2 y n = 3 para estimar

sen2

0

3

xdx

π

∫

Solución: Para usar los datos de la TABLA 5.3, primero hacemos el cambio devariable

[ ]

( ) ( ) ( )

t

λ π

λ

ππ

: − →

→ =+

+ = + =

11 03

31 1

16

1

, ,

t t t x

con el cual

( )sen sen2

0

32

1

1

6 61xdx t dt

π

π π∫ ∫= +

−


i) Si n = 2 , entonces

( ) ( ) sen sen sen 2

0

32 2

6 65773502692 1

65773502692 1

308208655

xdx

π

π π π∫ ≈ − +

+ +

=

. .

.

Compare este resultado con el obtenido usando la regla de Simpson 13

.

ii) Si n = 3 , entonces

( )

( )

( )

sen sen

sen

sen

.

2

0

32

2

2

65555555556

67745966692 1

88888888896

0 1

55555555566

7745966692 1

307081826

xdx

π

π π

π

π

∫ ≈ − +

+ +

+ +

=

. .

.

. .

.

El valor exacto de la integral dada es

sen ...2

0

3

3070924246xdx

π

∫ =. ♦

TALLER 5.

1. a) Use las reglas de los Trapecios, Simpson 13

y Simpson 3

8

con seis

subintervalos para obtener valores aproximados de cada una de las siguientesintegrales

i) ex

dxx−

∫1

2

ii) 1

2

3

lnxdx∫ iii) e dxx−∫

2

0

1

iv) e dxx2

0

1

∫


v) ln xxdx

11

2

+∫ vi) sen xx

dx0

1

∫ vii) sen xdx0

2π

∫ viii) ( )sen x dx2

0

1

∫

b) Para cada uno de los valores obtenidos en a) encuentre cotas para el error en laaproximación calculada y estime, a partir de esas cotas, con cuántas cifrasdecimales exactas aproxima dicho valor al valor exacto. Desprecie los erroresde redondeo.

2. Si ( )f x dx0

0 8

2.

∫ = y nos dan la tabla siguiente

xk 0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .8( ) f xk 5 8 6 3 0 −3 −3 5

Emplee la regla de Simpson 13

para estimar ( )f .7 .

3. La siguiente tabla muestra valores aproximados de una función f y loscorrespondientes errores de redondeo

x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6( )~f x 3.12014 4.42569 6.04241 8.03014 10.46675

Error en ( )f x 2 10 6× − − × −2 10 6 − × −.9 10 6 − × −.9 10 6 2 10 6× −

Use todos los datos de la tabla anterior y la regla de Simpson 13

para aproximar

el valor de ( )f x dx18

2 6

.

.

∫ , y calcule el error de redondeo total al aplicar dicha regla.

4. a) Determine el menor número de subintervalos N necesarios para obtener una

aproximación de ln.

xdx1

2 5

∫ , con una precisión de por lo menos cinco cifras

decimales exactas, usando la regla de los Trapecios y la regla de Simpson

31 .


Calcule la aproximación correspondiente, en cada caso. Desprecie los erroresde redondeo.

b) Responda la pregunta planteada en a) para cada una de las integrales en elproblema 1. a).

5. a) Utilice el método de los coeficientes indeterminados para generar una fórmulade integración numérica del tipo

( ) ( )f x dx A f xj jj

n

0

1

1∫ ∑≈

=

que sea exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que cuatro.

b) Verifique que la fórmula obtenida en a) es exacta para todos los polinomios degrado menor o igual que cinco, y que no es exacta para todos los polinomios degrado menor o igual que seis.

c) Aproxime ln2 por medio de la fórmula obtenida en a). Cuál es el error que secomete en la aproximación?

Nota: ln2 1x

dx1

2= ∫ .

6. Use la regla de Simpson

31 con N = 6 y un cambio adecuado de variable para

estimar x

xdx

2

51 1+

+∞

∫ .

7. Use las reglas de los Trapecios y Simpson

31 con N =10 para aproximar la cuarta

parte de la longitud de la elipse x y2 2

4 11+ = . Concluya, a partir de las cotas

teóricas para el error total, cuál es la calidad de la aproximación obtenida en cadacaso.


8. Use el método de Romberg con N = 2 para aproximar cada una de las integrales delejercicio 1. a).

9. Use el método de cuadratura Gaussiana con n = 2 y n = 3 para aproximar cada unade las integrales del ejercicio 1. a).

10. Encuentre una fórmula de cuadratura del tipo indicado

( ) ( )#$#"!

fórmula

2

0jj

1

1

xfcdxxf ∑∫=−

≈

que sea exacta para todos los polinomios cuadráticos. Estas fórmulas sonconocidas como fórmulas de cuadratura de Chebyshev.

11. a) Encuentre una fórmula del tipo

( ) ( )#$#"!

fórmula

n

0jjj

1

1

xfAdxxxf ∑∫=−

≈

con n =1 que sea exacta para todos los polinomios ( )f x de grado menor oigual que tres.

b) Repita con n = 2 , haciendo la fórmula exacta para todos los polinomios ( )f x degrado menor o igual que cinco.

12. Determine los coeficientes A0 1 2, A y A que hacen que la fórmula

( ) ( ) ( ) ( )#### $#### "!

fórmula210

2

0

2fA1fA0fAdxxf ++≈∫

sea exacta para todos los polinomio de grado menor o igual que tres.

13. a) Verifique que la siguiente fórmula de cuadratura Gaussiana es exacta paratodos los polinomios de grado menor o igual que cinco.


( ) ( )##### $##### "!

fórmula

1

153f

950f

98

53f

95dxxf

++

−≈∫

−

b) Muestre cómo puede ser usada la fórmula dada en a) para calcular ( )f x dxa

b

∫ , y

aplique este resultado para evaluar cada una de las siguientes integrales

i) xdx0

2π

∫ senxx

dx0

4

∫

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CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICAgama.fime.uanl.mx/~jcedillo/Analisis/cap5.pdf · CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA INTRODUCCIÓN En este capítulo estudiaremos algunos métodos