of 34 /34
1 INGENIER ÍA CIV IL CÁTEDRA : ANALISIS ESTRUCTURAL DOCENTE : ING. JORGE BEJARANO ALUMNOS : CCONOVILCA MATAMOROS, Fredy SEMESTRE : VII UAP -HUANCAYO 2015 TEMA: METODO DE KANY

Metodo Kani

Embed Size (px)

DESCRIPTION

solo para estudiantes

Text of Metodo Kani

Page 1: Metodo Kani

1

INGENIERÍA

CIVIL

CÁTEDRA : ANALISIS ESTRUCTURAL

DOCENTE : ING. JORGE BEJARANO

ALUMNOS : CCONOVILCA MATAMOROS, Fredy

SEMESTRE : VII

UAP -HUANCAYO 2015

TEMA: METODO DE KANY

Page 2: Metodo Kani

2

Índice…………………………………………………………………………………. 2

Introducción…………………………………………………………………………... 3

Objetivos……………………………………………………………………………… 3

Marco teórico…………………………………………………………………………3

Deducción de ecuaciones fundamentales de kany………………………………………7

Ejemplo …………………………………………………………………….. ……………..25

Conclusiones…………………………………………………………………………26

Bibliografía…………………………………………………………………………27

UNIVERSIDAD

ALAS PERUANAS

Page 3: Metodo Kani

3

Introducción

El presente estudio describe dos procedimientos iterativos de análisis estructural en régimen lineal y teoría de primer orden que permiten estudiar de manera aproximada y exacta determinados emparrillados planos y espaciales con varios desplazamientos independientes sin tener que resolver sistemas de ecuaciones. Con el procedimiento aproximado se consiguen unos resultados suficientemente precisos realizando pocas iteraciones, siendo el error cometido estimable en todo momento. En el procedimiento exacto se utilizan dos tablas de aplicación simple, práctica y fácil de ser implantadas manualmente en una aplicación informática. Con dichas tablas se obtienen las deformadas realizando un número de operaciones menor que el requerido por el álgebra matricial

Objetivos

Conocer las aplicaciones del método de kany

Conocer los usos y beneficios de este método

Determinar las aplicaciones en vigas y pórticos

Page 4: Metodo Kani

4

MARCO TEÓRICO

El método de Kani es un proceso iterativo, que a partir de las ecuaciones de

pendiente deformación y la relación entre los momentos y aplicados en los

extremos de una viga, Poniendo al alcance del estudio demostraciones

pormenorizadas sobre lo que hemos denominado expresiones o ecuaciones

fundamentales de Kani, para las influencias de las rotaciones de las juntas en los

momentos llamadas M´i j y para las influencias en los momentos por los giros de

los miembros, columnas, considerados como cuerpos rígidos, llamadas M´´i j .

Estos procedimientos resuelven el sistema de ecuaciones de rotación para una

estructura o sistema estructural del tipo fundamentalmente llamado Pórtico Plano,

por medio de aproximaciones sucesivas que se corrigen también sucesivamente.

Por tanto es importante recordar las hipótesis bajo las cuales se deducen las

ecuaciones de rotación como son:

 a) El material es homogéneo, isótropo y se comporta como lineal elástico, es

decir, todo el material es de la misma naturaleza, tiene idénticas propiedades

físicas en todas las direcciones y las deformaciones, e , que sufre son

directamente proporcionales a los esfuerzos

b) El principio de las deformaciones pequeñas que señala que una vez cargada la

estructura las deformaciones o desplazamientos lineales y angulares de las juntas

Page 5: Metodo Kani

5

o nodos y de cada uno de los puntos de sus miembros son bastantes pequeños de

tal manera que la forma de ella no cambia ni se altera apreciablemente, 

c) El principio de superposición de efectos que supone los desplazamientos y

fuerzas internas totales o finales de la estructura sometida a un conjunto o sistema

de cargas se pueden encontrar por la suma de los efectos de cada una de las

cargas consideradas aisladamente,

 d) Solo se pueden tomar en cuenta los efectos de primer órden como son: Las

deformaciones internas por flexión siempre, mientras que las por fuerza axial

y torsión así como la existencia de segmentos rígidos se pueden tomar en cuenta

o no.

Método de Gaspar Kani en la resolución de vigas hiperestáticas de “n” claros.

1.- En este primer paso para la solución de vigas hiperestáticas por medio de este

método lo primero que procedemos a realizar es el cálculo de los momentos de

empotramiento perfecto, en los tramos en que se encuentra la viga, tomando en

cuenta los apoyos que contenga. Al igual que tenemos que tomar en cuenta la

carga y de cómo este distribuida en la viga.

2.- Como segundo paso se procede a calcular las rigideces que existen en cada

tramo de la viga, ya que no siempre serán del mismo material, y para ello se utiliza

Page 6: Metodo Kani

6

una formula en la cual se describe tanto el módulo de elasticidad y el momento de

inercia en los tramos a calcular su rigidez.

 

3.- Como tercer paso en la resolución de la viga se lleva a cabo el cálculo de los

factores de distribución para cada tramo o nudo en que se está calculando la viga,

tomando los valores obtenido en el caculo de la rigidez. Para ello se utiliza la

siguiente fórmula:

FDij=−12

(−Ri /Rj)

Dónde: Ri= Rigidez inicial en que se encuentra Rj= Rigidez que llega al nudo

estudiado

4.- En este cuarto paso se realiza el cálculo de las iteraciones para poder obtener

los valores delos momentos reales de los nudos y así saber cómo se comporta la

viga con la carga con que se está calculando. En este paso tenemos que distribuir

los valores obtenidos de los pasos anteriores y los cuales son:-El valor de

empotramiento perfecto en cada nudo o tramo.-Las diferencias que existen en

valores de momento de empotramiento perfecto en el nudo.-Los factores de

distribución de cada tramo de la viga. Se harán iteraciones hasta que las

cantidades se ciclen.

Page 7: Metodo Kani

7

DEDUCCIÓN DE ECUACIONES FUNDAMENTALES DE KANI.

1 EXPRESIONES PARA ESTRUCTURAS CON ELEMENTOS EJE RECTO Y

SECCION CONSTANTE.

Sea la ecuación de rotación para un miembro

M i j = MEi j + EKO Ci q i + EKO C q j + EKO (Ci + C) j i j

Redefinamos algunos términos para proceder según metodología propuesta por

KANI de la siguiente manera:

K i j = KO C = IO C 2 Li j 2

M´i = 2E q i = Participación en los momentos por influencia del giro qi de la junta i,

en los extremos i de los miembros que llegan a ella.

M´j = 2E q j = Participación en los momentos por influencia del giro q j de la junta j,

en los extremos j de los miembros que llegan a ella  M´´i j = M´´j i = – 6Ej i j =

Participación en los momentos en los extremos i y j del miembro i j por influencia

de la rotación o giro j i j del miembro i j.

Por lo tanto de 1:

KO = (2 K i j ) / C o lo que es lo mismo:

KO = (IO / Li j ) (2/C)  donde:

IO = Inercia de una sección de referencia para el miembro considerado, en un

punto cualquiera del eje del miembro, usualmente la menor o en el centro del

tramo, o si el miembro es de sección constante es la inercia de esta

Page 8: Metodo Kani

8

sección. Esta inercia puede referirse con relación a un valor cualquiera

arbitrario seleccionado para toda la estructura.

Li j = Longitud del eje del miembro, o para simplificar simplemente = L

De tal manera que si el miembro es de sección constante, no tiene extremos

rígidos y no se toman en cuenta los efectos de corte se tiene que C = 2 por tanto:

K i j = KO (2/2) = KO

Sustituyendo estas expresiones se obtiene que el Momento definitivo o final M i j ,

en el extremo i de un miembro i j resulta ser:

M i j = ME i j + Ki j M´i Ci + M´j Ki j + Ki j M´´i j (Ci + C)

De igual manera se obtiene la expresión del momento en el otro extremo Mj i es

decir:

M j i = ME j i + Ki j M´j Cj + M´i Ki j + Ki j M´´i j (Cj + C)

Ci/C y Cj/C son los inversos de lo que se denominan en el método de Cross como

Factores de Transporte ( ri j = C/Ci) del Momento de i para j y ( rj i = C/Cj) del

Momento de j para i respectivamente.

Kani definió el siguiente término como Factor de corrección para M´´i j bi = (Ci+C)/

(3C)

Consideremos el caso de un miembro cualquiera ( i j ) de una estructura y su

deformada final, para el cual aplicando el principio de superposición se puede

indicar sus efectos totales reales como la suma de varios casos aislados:

Page 9: Metodo Kani

9

Caso: Sistema original real .

Aplicando el Principio de Superposición de Efectos este caso será igual o puede

expresarse como la suma de los cuatro casos siguientes vea las ecuaciones de

rotación modificadas según KANI

Caso: Sistema ( 0 ) Miembro con Juntas inmovilizadas.

Page 10: Metodo Kani

10

El sistema (0) se suele llamar sistema primario con Momentos de Empotramiento

en los extremos (ME ), y al conjunto de los sistemas o subsistemas (1),(2) y (3) se

denomina usualmente Sistema Complementario, que toman en cuenta los giros de

las juntas q i , q j , y rotación del miembro como cuerpo rígido j i j .

EXPRESIÓN FUNDAMENTAL DE KANI-TAKABEYA PEÑA PARA M´i

M´i = m i [ M i + å Ki j M´j + å Ki j M´´i j b i ] ...............(5.6a)

(i ) (i )

Donde: m i = – 1 .....(5.6b) Se le llama factor de giro

2 å Ki j (Ci)

(i ) 2C de la junta considerada.

M i = å MEi j ....(5.6c) y se le denomina Momento de

(i )

Sujeción del nodo o junta i, que

impide el giro del mismo.

Page 11: Metodo Kani

11

b i = (Ci + C) / (3C) ......(5.6d) es el factor de corrección para las influencias M´´i

j , de los momentos debidos a los giros de los miembros j i j , para miembros

de sección variable, con o sin extremos rígidos y/o con o sin efectos por corte.

Si todos los miembros que llegan a una junta i son de SECCION CONSTANTE,

sin extremos rígidos y no se toman en cuenta los efectos de corte, entonces los

valores de las constantes elásticas son:

Ci = Cj = 4 ; C = 2, resulta entonces que:

bi = bj = 1 ; m i = – 1 1

MODIFICACIÓN DE LA RIGIDEZ PARA ELEMENTOS CON EXTREMOS

ARTICULADOS.

De la expresión de la ecuación de rotación para miembros de sección variable

para un extremo articulado considerando solo la influencia o término con q i :

Este momento es EK o q i ( Ci – C 2 ) y como K O = (2K i j )/C, entonces

y si ambos extremos son continuos este momento según expresión y caso:

sistema1 anterior será igual a K i jM´i (Ci) / (C ) , y como según ecuación

M´i = 2E q i , es decir este momento para ambos extremos continuos será igual a

Page 12: Metodo Kani

12

Igualando estos dos momentos (5.6a) = (5.6b) resulta que la rigidez Koi j de

un miembro articulado deberá multiplicarse por un factor para obtener y usar en

los cálculos una rigidez equivalente K i j como si el miembro tuviera ambos

extremos continuos o rígidos, es decir:

Donde usualmente ri j = C/Ci = Factor de transporte (Definido así por Hardi

Cross en su método de análisis estructural) de Momentos

desde la junta i para la junta j o simplemente factor

de transporte de i para j.

rj i = C/Cj = Factor de transporte de j para i.

 Factor de corrección para rigidez

modificada por extremo articulado.

De tal manera que si la SECCION ES CONSTANTE sin extremos rígidos y se

desprecian los efectos por deformaciones de corte:

Ci = Cj = 4 ; C = 2;

r i j = rj i = 1/2 ;

Page 13: Metodo Kani

13

K i j = (3/4) Koi j

INFLUENCIA O PARTICIPACION EN LOS MOMENTOS, M´´i j , DEBIDO A LA

ROTACION O GIRO DE LOS ELEMENTOS j i j .

En el caso de pórticos solo los elementos verticales o columnas son los que

sufrirán giro de miembro j , ya que los extremos de los elementos horizontales se

trasladan horizontalmente sin que ellos sufran desplazamientos verticales, por lo

tanto no rotan. Por lo antes dicho solo las columnas son los únicos elementos de

los sistemas estructurales aporticados que tendrán influencias M´´i j en los

momentos extremos. Esto partiendo de la hipótesis de las ecuaciones de rotación

que no toman en cuenta o desprecian las deformaciones debidas a las fuerzas

axiales.

Este efecto de traslación por desplazamientos horizontales que sufren las juntas

de un pórtico se denomina usualmente desplazabilidad lateral o

simplemente DESPLAZABILIDAD. Recordemos que este método resuelve el

sistema de ecuaciones rotación para toda la estructura, por lo tanto se cumplen las

bases del método de los desplazamientos, que descompone los efectos del

sistema real en la suma de los efectos de otros dos como indicamos a

continuación:

Page 14: Metodo Kani

14

Este sistema real, con

sus solicitaciones externas cualesquiera (S.E.), Hipergeométrico, es decir, un

sistema con grados de libertad, que son desplazamientos

independientes, G.D.L. mayores que cero. En éste existen juntas que sufren giros

o rotaciones q (Desplazamientos angulares) y/o desplazamientos lineales, que

provocan en algunos miembros, como indicamos al principio de este punto, en las

columnas, giros como cuerpos rígidos, j i j . Los momentos en los extremos de

cada miembro se llaman usualmente momentosfinales o reales, Mi j Los efectos o

resultados de este sistema lo podemos obtener por el Principio de Superposición

Page 15: Metodo Kani

15

como la suma de los efectos de los dos sistemas que indicamos a continuación:

Consideremos una columna cualquiera i-j , en un piso p también cualquiera y en el

sistema complementario:

Page 16: Metodo Kani

16

Si tomamos momentos en la junta inferior j resulta:

Sumando todos los cortes (Fuerzas cortantes) de todas las columnas de un mismo

piso p y si todas tienen la misma altura se tiene que:

Vp = Corte total del piso p = å Vi j = å (Mi j + Mj i ) / hi j Sustituyendo a Mi j y a Mj i

(p) (p)

por sus valores según expresión (5.4a) de la ecuación de rotación y como todos

los miembros de una mismo piso (Columnas) tienen el mismo valor para M´´i j

según expresión 5.2c ya que tienen los mismos D i j = D P y hi j = h P , por tanto el

mismo

j i j = D i j / hi j = j P , es decir: j p = D p / h p , llamaremos a este M´´i j como M´´p

influencias de los momentos debidas a los giros j i j = j p y multiplicando y

Page 17: Metodo Kani

17

dividiendo por tres cada miembro y como en el sistema complementario no hay

momentos de empotramientos se tiene que:

. ..........(5.9a)

Por lo tanto se obtiene:

Despejando el término con M´´p resulta:

Como según ecuación M´´p = - 6E j p = - 6E D p / h p. y si se multiplica cada M´´p

de cada columna por el factor Ki j (bi+bj) / 3 y se suman todos estos términos de

las columnas de un mismo piso se obtiene:

  Igualando los segundos términos

de las expresiones  y sacando fuera los términos D P y hP de la expresión å

donde ellos están y despejando de aquí el cociente D P / h P se obtiene que:

Page 18: Metodo Kani

18

D P / h P =   sustituyendo este

valor en la expresión de M´´i j ahora llamado M´´P resulta:

ordenando y definiendo algunos términos nuevos se obtiene la ECUACION

FUNDAMENTAL DE KANI-TAKABEYA-PEÑA PARA M´´p y M´´i j de la manera

siguiente:

 

M ´´p = M´´i j = - 6 E D P Si todas las columnas de un mismo piso tienen la

hP misma altura hP

Donde:

 = Factor de corrimiento del piso p

Se calcula para cada piso.

 =   Momento del piso (p). Se calcula para cada piso.

Si todas las columnas del mismo piso tienen sección constante sin

extremos rígidos y se desprecian las deformaciones por corte, se tendrá:

bi = bj = ( Ci + C ) / (3C) = (Cj + C ) / (3C) = (4 + 2) / (3x2) = 1

(bi+bj) /2 = (1+1)/2 = 1

Page 19: Metodo Kani

19

    

EXPRESION PARA M´´ P CON COLUMNAS DE DIFERENTES ALTURAS.

Consideremos el siguiente esquema general de columnas con diferentes alturas:

Definamos el Factor de corrección por diferencia de altura para cada columna de

un mismo piso C i j como: Ci j 1 = hp / hi j 1 = 1 ; Ci j 2 = hp / hi j 2 ;

para una columna k cualquiera del piso p Ci j k = hp / hi j k o para simplificar

la nomenclatura: Ci j = hp / hi j

hi j = hp / Ci j

Vi j = - (Mi j+ Mj i) / hi j = - (Mi j+ M j i ) / (hp / Ci j )  M´´i j = M´´j i = – 6Ej i j = -

6E D P/ hi j = (-6ED P/ h p )Ci j = M´´p Ci j así como multiplicando y dividiendo por

tres todos los términos del segundo miembro y ordenarlos se obtiene:

Page 20: Metodo Kani

20

Sumando todos los cortes Vi j de todas las columnas de un mismo piso (p) :  

y despejando de esta expresión el término que contiene M´´P :

como M´´P = -6E j P = -6E D P / h P 

Multiplicando ambos miembros de  Ki j C2i j(bi+bj) / 3 y se suman todos estos

términos de las columnas de un mismo piso y sacando del signo å los coeficientes

constantes para el mismo piso (p) se obtiene:

 

igualando los segundos términos de las ecuaciones y despejando

D P/hp resulta:

 .

Page 21: Metodo Kani

21

Sustituyendo este valor de (D P / hp ) en la ecuación y multiplicando y dividiendo

el denominador por dos resulta modificada la ecuación fundamental de Kani-

Takabeya-Peña para M´´P de la manera siguiente:

 además se tiene que:

M´´i j = M´´j I = M´´P Ci j 

 

 

EXPRESIÓN PARA M´´i j PARA COLUMNAS ARTICULADAS Y DE

DIFERENTES ALTURAS.

Si igualamos los momentos en el extremo i en cada caso ( M* = M** ) producidos

por los giros del miembro (j i j y j ´i j) para conseguir el valor de h´i j que produce el

mismo efecto del momento (M´´P ), según las ecuaciones de rotación:

Page 22: Metodo Kani

22

h´i j hi j (Ci+C) m Ci

Encontremos una expresión para M´´i j para columnas con un extremo articulado,

en el sistema complementario:

 Despejando de ésta el término que

contiene M´´i j , multiplicando y dividiendo por tres el segundo término y ordenando

términos se obtiene:

 si se suman todos estos

términos de todas las columnas de un mismo piso:

 es decir,

De expresión se tiene: M´´i j = - 6EKi j j i j = - 6EKi j D h´i j

M´´i j = - 6E D P Ci j = M´´P C i j 

Page 23: Metodo Kani

23

hp

Multiplicando ambos miembros de esta ecuación por bi Ci j Ci +C y sumando

Ci

todos estos términos de todas las columnas de un mismo piso (p) resulta:

 

Si dentro de un mismo piso (p) existen columnas articuladas en extremos i ,

y/o en extremos j y/o con extremos no articulados (Rígidos) y como:

M´´i j = - 6E D P Ci j = M´´p C i j de donde M´´p = M´´ i j / C i j

Hp se puede decir que a continuación se tiene lo que hemos denominado como:

Page 24: Metodo Kani

24

Page 25: Metodo Kani

25

QUE: m = 3/2 ; Ki j = K0 3/4 ;

y Ci j = hi j 3( Para columnas articuladas)

hp 2

m = 1 ; Ki j = K0 = I0 / L y Ci j = hi j / hp Para columnas no articuladas

Page 26: Metodo Kani

26

Page 27: Metodo Kani

27

Conclusiones

Si las secciones de las columnas son de sección constante, no tienen

segmentos extremos rígidos y no se desprecian las deformaciones por

corte.

En columnas articuladas en ambos extremos su rigidez es Ki j = o

Los métodos que utilizan Las ecuaciones de rotación como son el método de las rotaciones, Cross, Kani y Tacabeya se consideran métodos de rigidez.

ya que en ellos las incógnitas son las rotaciones de las juntas y giros en las columnas o desplazamientos horizontales de los niveles, aunque indirectamente se utiliza el método de las fuerzas para obtener sus expresiones y las ecuaciones de momentos de empotramiento.

El método de flexibilidad aplicado a una estructura cualquiera no es

práctico ya que cualquier estructura común indeterminada tiene muchos

sistemas primarios isostáticos.

Page 28: Metodo Kani

28

Bibliografía

Análisis de estructuras Jairo Uribe E.

Apuntes de análisis estructural José Luis Camba C. Francisco Chacón G. Francisco Pérez.

Análisis Manual Aproximado y Exacto de Pórticos Espaciales mediante Cargas- Agustín G. Lacort.