Diapositiva 1

La Rigidez es la carga que se requiere aplicar en un Punto para ocasionar un desplazamiento unitario

Q1 = K11 D1 + K12 D2 + K13 D3Q2= K21 D1 + K22 D2 + K23 D3Q3= K31 D1 + K32 D2 + K33 D3Q =Q1Q2Q3Q1Q2 =Q3K11 K12 K13K21 K22 K23K31 K32 K33El Principio de Superposicin de Desplazamientos-Matriz de Rigidez.El orden de aplicacin a los desplazamientos no influye en la deformacin final de la estructura.

ANLISIS DE VIGAS PLANOS CON EL USO DEL MTODO DE RIGIDEZ

OBSERVACIONES PRELIMINARES IDENTIFICACIN DE MIEMBROS Y NODOSPara aplicar el mtodo de la rigidez a vigas, debemos primero identificar como subdividir la estructura en sus componentes de elemento finitos. En general, los nodos de cada elemento se localizan en un soporte, en una esquina o un nodo, en los que se aplica una fuerza externa o donde va a determinar el desplazamiento lineal o rotacional en un punto (nodo).

GRADO DE LIBERTADLos grados de libertad no restringidos de una estructura representan las incgnitas principales en el mtodo de la rigidez y por tanto, deben ser identificados los miembros de nodos y que se ha establecido el sistema global de coordenadas, pueden determinarse los grados de libertad de la estructura

EJEMPLO: DETERMINAR EL GRADO DE LIBERTAD DE LA ESTRUCTURA

La viga tiene tres elementos y cuatro nudos, que estn identificados en la figura, los nmeros que se han asignado, representa el grado de libertad no restringido o tambin conocido como el Sistema Global de Coordenadas.

PASO N3SE GENERAN LOS MOMENTOS ADL1 Y ADL2 QUE SON LAS ACCIONES DE LAS RESTRICCIONES (CONTRA LA ESTRUCTURA EMPOTRADA), CORRESPONDIENTES A D1 Y D2, RESPECTIVAMENTE CAUSADAS POR LAS CARGAS QUE ACTA SOBRE LA ESTRUCTURA. ENTONCES:

ADL1: ES LA SUMA DEL MOMENTO REACTIVO EN B DEBIDO A LA CARGA P1 QUE ACTA EN EL TRAMO AB Y EL MOMENTO REACTIVO EN B DEBIDO A LA CARGA P2 QUE ACTA EN EL MIEMBRO BC.ADL2: ES EL MOMENTO REACTIVO EN C DEBIDO A LA CARGA P2 QUE ACTUA EN EL TRAMO BC.

ESTAS ACCIONES ADL1 Y ADL2 SE PUEDEN CALCULAR CON LA AYUDA DE UNA TABLA PARA MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO EN VIGAS.SI:SEGN LA TABLA

PASO N4AHORA SE TIENE QUE CALCULAR LOS COEFICIENTES DE RIGIDEZ S EN LOS NUDOS B Y C, ESTO SE LOGRA DANDO DESPLAZAMIENTOS UNITARIOS A D1 Y D2 SEGN COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA.SI: ; ENTONCES

; ENTONCESPARA EL CALCULO DE S11, S21, S12 Y S22 SE HACE USO DE TABLAS CON MOMENTOS SUJETAS A ROTACIONESPARA EL TRAMO BA Y BC SE TIENE SEGN LA TABLAPARA EL APOYO BTramo BA;

Tramo BC; SUMANDO (1) Y (2)

PARA EL APOYO C cuando =1SEGN TABLA Tramo CB;

PARA EL TRAMO CB SE TIENE SEGN LA TABLAPARA EL APOYO C cuando =1Tramo CB;

Tramo BC; ENTONCES

ENTONCES

;

PASO N5UNA VEZ CALCULADO LAS CONDICIONANTES PERTENECIENTES A LOS MOMENTOS EN LOS NUDOS B Y C, PROCEDEMOS A FORMULAR NUESTRA ECUACIN, SUPERPONIENDO, EN DONDE LAS ACCIONES (FUERZAS) CORRESPONDIENTES A D1 Y D2 LLAMADAS AD1 Y AD2, RESPECTIVAMENTE.ENTONCES MEDIANTE LA SUPERPOSICIN DE LAS ACCIONES DE LA ESTRUCTURA ORIGINAL (PASO N2) ES IGUAL A LAS ACCIONES CORRESPONDIENTES DE LA ESTRUCTURA EMPOTRADA (PASO N3) MAS LAS ACCIONES EN LAS ESTRUCTURA DEBIDO A LOS DESPLAZAMIENTOS UNITARIOS (PASO N), DICHO DE OTRA MANERA; LA ECUACIN DE SUPERPOSICIN ES:

ENTONCES GENERALIZANDO LAS ECUACIONES (1) Y(2) SE PUEDEN EXPRESAR EN FORMA MATRICIAL QUEDANDO COMO:DONDE:

AD= REPRESENTA LAS ACCIONES DE LA VIGA ORIGINAL (FUERZAS)ADL= REPRESENTA LAS ACCIONES EN LA ESTRUCTURA EMPOTRADA.S = ES LA MATRIZ DE RIGIDEZ CORRESPONDIENTE A LOS DESPLAZAMIENTOS DESCONOCIDOSD= DESPLAZAMIENTOS DESCONOCIDOS

PASO N6DESPEJANDO D LA ECUACIN GENERAL SE CALCULA LOS DESPLAZAMIENTOS DE LA ESTRUCTURA, ENTONCES SE TIENE:

ENTONCES EN FORMA MATRICIAL SE TIENE

REEMPLAZANDO LO CALCULADO EN (a), (b), (c) Y (d)

UNA VEZ DETERMINADO LAS MATRICES AD, S-1 Y ADL PODEMOS ENCONTRAR LA MATRIZ DESPLAZAMIENTO:

POR LO TANTO LAS ROTACIONES

; ;

;

APLICACINEN LA VIGA CONTINUA DE TRES CLAROS TIENE LOS APOYOS EMPOTRADOS EN A Y D, DONDE LAS FUERZAS CONCENTRADAS QUE ACTAN EN LAS POSICIONES MOSTRADAS. SE PIDE ENCONTRAR LOS DESPLAZAMIENTOS EN LOS NUDOS DESCONOCIDOS Y SE SUPONDR LAS ACCIONES EN EXTREMO IZQUIERDO AB. TODOS LOS MIEMBROS DE LA VIGA TIENEN LA MISMA RIGIDEZ A LA FLEXIN EI.

PASO N 1SE IDENTIFICA LOS DESPLAZAMIENTOS DESCONOCIDOS EN LOS APOYOS B Y C (GRADO DE INDETERMINACIN CINEMTICA) EN DONDE SE DENOMINAN POR D1 Y D2. COMO MUESTRA EN LA FIGURA

PASO N2AHORA SE TIENE QUE EMPOTRAR LA VIGA POR TRAMOS PARA IMPEDIR QUE LOS NUDOS DE LA ESTRUCTURA SE DESPLACEN

PASO N3CUANDO SE EMPOTRA LOS TRAMOS SE GENERAN LOS MOMENTOS ADL1 Y ADL2 QUE SON LAS ACCIONES DE LAS RESTRICCIONES (CONTRA LA ESTRUCTURA EMPOTRADA), CORRESPONDIENTES A D1 Y D2, RESPECTIVAMENTE CAUSADAS POR LAS CARGAS QUE ACTA SOBRE LA ESTRUCTURA. ENTONCES SEGN LAS TABLAS DE MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO SE TIENE:HACIENDO LOS CLCULOS

PARA EL NUDO B

PARA EL NUDO CENTONCES:

PASO N4AHORA SE TIENE QUE CALCULAR LOS COEFICIENTES DE RIGIDEZ S EN LOS NUDOS B Y C, ESTO SE LOGRA DANDO DESPLAZAMIENTOS UNITARIOS A D1 Y D2 SEGN COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA.SI:

EN EL NUDO B

EN EL NUDO C

ENTONCES

EN EL NUDO C

ENTONCES LA MATRIZ DE RIGIDEZ

EN EL NUDO C

PASO N5ARMAMOS LA MATRIZ DE CARGAS AD SEGN LA CONVENCIN DE SIGNOS

PASO N6REEMPLAZAMOS LAS ECUACIONES (I),(II) Y(II) EN LA ECUACIN GENERAL

RESOLVIENDO SE TIENE:

POR LO TANTO LAS ROTACIONES

PASO N7AHORA HALLAMOS LAS REACCIONES ARL DE LA VIGA FIJA O EMPOTRADA EN LOS APOYOS B Y C.CON LA AYUDA DE TABLAS SE TIENE:PARA APOYO B

PARA APOYO C

PASO N9AHORA SE HALLA LAS ACCIONES QUE SE PRODUCE DANDO DESPLAZAMIENTOS UNITARIOS EN LOS APOYOS B Y C RESPECTIVAMENTE.SEGN TABLA

FINALMENTE SE REMPLAZA LA MATRICES EN LAS ECUACIONES GENERALIZADAS

REEMPLAZADO MATRICES SE OBTIENE LAS REACCIONES DE LA VIGA

Deformada de la viga

Ahora se va analizar con efecto se cambios de temperatura en el tramo BC, con una temperatura T1 en la parte inferior y T2 en la parte superior y un desplazamiento de en apoyo C

Se evala a partir de las expresiones para acciones de empotramiento debidas a los cambios de temperatura.segn tabla:

Ahora se evala a partir de las expresiones para acciones de empotramiento debidas a al desplazamiento vertical.segn tabla:

Para el apoyo B y C

Entonces por el principio de superposicin se tiene:

Reemplazando (1) en (2)

FIN