Medidas de tendencia central 1

Dr. Jorge E. Manrique Chávez Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA

Dr. Jorge E. Manrique Chávez

Medidas de tendencia central:

Media, mediana, moda

CD. Ronald Mayhuasca Salgado

UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE ODONTOLOGÍA

ESTADÍSTICA 2014 - II

Estadística Descriptiva • Organización de datos • Representación de datos: Tablas y Gráficos

• Medidas de resumen

• Medición de datos numéricos 1. Medidas de posición 2. Medidas de dispersión 3. Medidas de forma

• Medición de datos nominales 1. Proporción 2. Razón 3. Medición epidemiológica


Dr. Jorge E. Manrique Chávez MEDIDAS DE RESUMEN

Llamadas también medidas descriptivas porque tienen por objetivo

describir la naturaleza de la característica en estudio.


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Medidas de Posición (o de tendencia central)

Se llaman de tendencia central porque tienden a ubicar el centro de

las observaciones, además el valor central es el más representativo

de un conjunto de datos.

Estas medidas se expresan en las mismas unidades de medición

que los datos; o sea si la observación es en gramos, el valor de la

tendencia central es en gramos.

Las medidas de tendencia central son: media aritmética, moda,

mediana, media geométrica, media armónica, etc., y las más usadas

son: la media aritmética, mediana y moda.



Para tal punto es preciso recordar algunas notaciones:

xi: valor individual o punto medio el intervalo. Se llama

también marca de clase.

fi: frecuencia absoluta simple de la clase i-ésima. Número

de veces que se repite dicho valor en el intervalo i.

Fi: frecuencia absoluta acumulada de la clase i-ésima. Es

la suma de las frecuencias absolutas hasta ese intervalo:

hi%: frecuencia relativa simple de la clase i-ésima. Es el

cociente de la frecuencia absoluta simple y el total de

observaciones por 100

F1=

F2=

F3=

Hi%: frecuencia relativa acumulada de la clase i-ésima. Es

el cociente de la frecuencia absoluta acumulada y el total

de observaciones por 100

= fi/n . 100

= Fi/n . 100



1. m= número de intervalos de Clase

2. R=(A-1)

3. C= R/m

4. Lii - Lsi traslapantes o no traslapantes

5. Xi

Representaciones de la tabla de frecuencia por intervalos de clase:

Clase Edad Xi fi hi (%) Fi Hi(%) Límites reales

1 2 3 4 5 6 7

5-6 7-8

9-10 11-12 13-14 15-16 17-18

5,5 7,5 9,5

11,5 13,5 15,5 17,5

3 3 4

10 7

14 5

6,5 6,5 8,7

21,7 15,2 30,5 10,9

3 6

10 20 27 41 46

6,5 13

21,7 43,4 58,6 89,1

100,0

4,5-6,5 6,5-8,5

8,5-10,5 10,5-12,5 12,5-14,5 14,5-16,5 16,5-18,5

Total 46 100,0

1+3,22

1,891 + 3,9910

2, 7560 + 5,8154


Dr. Jorge E. Manrique Chávez 1. Media aritmética o promedio

Es una media de posición que proporciona el valor que tiende a

tomar la variable para la mayoría de los elementos en la población o

muestra según corresponda.

Su determinación dependerá de:

1ro. Datos no agrupados en tablas de frecuencia

2do. Datos agrupados en tablas de frecuencia


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Cálculo de la media aritmética

N= Número de elementos en la

población

n= Número de elementos en la

muestra

xi: valor individual o punto medio el intervalo

1ro. Datos no agrupados en tablas de

frecuencia


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Ejemplo de media aritmética

4,995; 4,993; 4,994; 4,996; 4,998; 4,992

Determine el peso promedio.

Supóngase que a 22°C una radiografía húmeda escurre 5,000ml,

después de pesar por seis ocasiones su volumen vertido, generó

los siguientes pesos aparentes de líquido en gramos:

1ro. Datos no agrupados en tablas de frecuencia

Rpta 4,9947


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Cálculo de la media aritmética

xi= marca de clase

m= número de intervalos de clase

fi= frecuencia absoluta


Cuando los datos están agrupados en tablas de frecuencia, la

media aritmética se calcula mediante la siguiente fórmula.


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Ejemplo de media aritmética

De la siguiente tablas de frecuencias calcular la media aritmética:


Pto ebullic Xi fi Fi hi (%)

Hi(%)

136-144 2 6,7

144-152 6 20

152-160 13 43,3

160-168 22 73,3

168-176 27 90

176-184 30

Rpta 161,333°C


Dr. Jorge E. Manrique Chávez

Si cada observación Xi, tiene un peso o ponderación Wi, o sea

cuando las observaciones no tienen la misma importancia dentro

de una muestra, entonces tenemos la media ponderada que se

calcula de la siguiente manera:

Rpta 10,4

Ejemplo:

Las notas de un alumno de estadística en el semestre 2014-I fueron:

Determine el promedio ponderado del estudiante.

Curso Nota Crédito

Estadística 11 4

Materiales dentales 09 5

Anatomía 12 3


Dr. Jorge E. Manrique Chávez 2. Mediana (Me)

Es el estadígrafo de posición que divide en dos partes iguales al

conjunto de observaciones , es decir la mediana representa el

valor central de una distribución de datos ordenados en forma

creciente o decreciente…50% de los valores son menores o

iguales que él, y el otro 50% son mayores o iguales que él.


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Cálculo de la mediana

A. Datos NO agrupados en tablas de frecuencia

1ro: Se ordenan los datos en forma creciente o decreciente, y se

toma en cuenta lo siguiente:

Si, n es impar….la mediana es el valor central

Ejemplo:

Los siguientes datos corresponden al contenido de flúor en el agua en partes por

millón(ppm): 4520 4570 4520 4490 4500 4520 4590 4540 4500



A Datos NO agrupados en tablas de frecuencia

1ro: Se ordenan los datos en forma creciente o decreciente, y se

toma en cuenta lo siguiente:

Si, n es par….la mediana es igual al promedio de

los 2 valores centrales

4,995; 4,993; 4,994; 4,996; 4,998; 4,992

Determine la mediana.

Ejemplo: Supóngase que a 22°C una radiografía húmeda escurre

5,000ml, después de pesar por seis ocasiones su volumen vertido,

generó los siguientes pesos aparentes de líquido en gramos:



B. Datos agrupados en tablas de frecuencia

En este caso la mediana se calcula mediante la siguiente fórmula:

• X`me-1: límite inferior de la clase mediana

• Cme: tamaño del intervalo de la clase mediana

• Fme-1: frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase

mediana

• fme: frecuencia absoluta de la clase mediana

Clase mediana: es aquel intervalo que contiene al valor que

ocupa la posición media, es decir contiene a la mediana




Ejemplo

De la tabla de frecuencia anterior, calcule la

mediana:

Pto ebullic Xi fi hi (%) Fi Hi(%)

136-144 140 2 6,7 2 6,7

144-152 148 4 13,3 6 20

152-160 156 7 23,3 13 43,3

160-168 164 9 30 22 73,3

168-176 172 5 16,7 27 90

176-184 180 3 10,0 30 100

• X`me-1: 160

• Cme: 8

• Fme-1: 13

• fme: 9

Rpta.

Me: 161,7778°C


Dr. Jorge E. Manrique Chávez 3. Moda (Mo)

Representa el valor que más se repite en un conjunto de

observaciones. En una distribución puede haber uno o más

valores que se repitan con mayor frecuencia en tal caso se

tienen dos o más modas.

Entonces:

- Si la distribución de frecuencias tiene un solo valor que más

se repite: UNIMODAL:

- Si la distribución presenta dos o más valores que se repitan:

POLIMODAL

- Si no hay ningún valor que se repita con más frecuencia:

DISTRIBUCIÓN UNIFORME


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Cálculo de la moda

A Datos NO agrupados en tablas de frecuencia

1ro: Observar el dato que más se repite

Ejemplo:

Calcule la moda en cada caso:

• 4,5,6,7,4,5,4,6,5,5,4,5,5: Mo=5 (Unimodal)

• 7,7,6,8,8,6,8,7,7,9,12,11,10,8 MO= 7 y 8 (bimodal)




En este caso la moda se calcula mediante la siguiente fórmula:

• X`mo-1: límite inferior de la clase modal

• Cmo: tamaño del intervalo de la clase modal

• d1: diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase

modal menos la frecuencia absoluta anterior

• d2: diferencia entre la frecuencia absoluta de la

frecuencia modal menos la siguiente

Clase modal: es aquel intervalo con la mayor frecuencia

absoluta




Ejemplo

De la tabla de frecuencia anterior, calcule la moda:


136-144 140 2 6,7 2 6,7

144-152 148 4 13,3 6 20

152-160 156 7 23,3 13 43,3

160-168 164 9 30 22 73,3

168-176 172 5 16,7 27 90

176-184 180 3 10,0 30 100

• X`mo-1: 160

• Cmo: 8

• d1: 9’-7 = 2

• d2: 9- 5 = 4

Rpta.

Mo: 162, 6667°C


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Relación entre media aritmética, mediana y moda

Nótese que del cuadro anterior , para datos agrupados en tablas: la

media aritmética, la mediana y la moda poseen valores muy cercanos

entre sí.

Mo: 162, 6667°C

Me: 161,7778°C


136-144 140 2 6,7 2 6,7

144-152 148 4 13,3 6 20

152-160 156 7 23,3 13 43,3

160-168 164 9 30 22 73,3

168-176 172 5 16,7 27 90

176-184 180 3 10,0 30 100


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Relación entre media aritmética, mediana y moda

La media aritmética es muy sensible cuando hay valores extremos, y

como la mediana en un valor posicional, se ve menos afectada por

valores extremos.

X = Me = Mo, si la distribución es simétrica (frecuencias absolutas

equidistantes son iguales), es decir polígono de frecuencias

simétrico.


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Resuelva

Los siguientes datos corresponden a 20 lecturas de temperatura (en °F)

tomadas en varios puntos de una esterilizadora de calor seco.

415 460 510 475 430 410 425 490 500 470

450 425 485 470 450 455 460 480 475 465

Sin agrupar los datos en tablas de frecuencia calcule: la media

aritmetica, mediana, moda e interprete.

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