MECHANIKA OGÓLNA - mech.pg.edu.pl · PDF file5. Ożóg M.: Zbiór zada ń z mechaniki wraz z rozwi ... 9. Nizioł J.: Metodyka rozwi ązywania zada ń z mechaniki . WNT, Warszawa

Prof. Edmund Wittbrodt

MECHANIKA OGÓLNA Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2011/2012 Liczba godzin: sem. II*) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz.

sem. III*) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz. , ale dla kier. ZiP wykład 15 godz., ćwiczenia 15 godz

*) egzamin

Wykładający: prof. dr hab. inż. Edmund Wittbrodt

Katedra Mechaniki i Mechatroniki

p. 103 (sekretariat p. 104) WM

Ćwiczenia tablicowe: mgr inż. Grzegorz Banaszek, mgr inż. Piotr Patrosz, mgr inż. Paweł Załuski, mgr inż. Paweł Wawrzyniak


Charakterystyka przedmiotu Mechanika ogólna jest przedmiotem podstawowym, przygotowującym do studiowania innych przedmiotów teoretycznych,

takich jak np.: Wytrzymałość Materiałów, Mechanika Płynów, Termodynamika, Podstawy Konstrukcji Maszyn, Teoria

Maszyn i Mechanizmów, Podstawy Automatyki, Robotyka. Podczas zajęć studenci zapoznają się z podstawowymi prawami

mechaniki oraz uczą się rozwiązywania zadań praktycznych.

Powiązanie z innymi przedmiotami Konieczna jest znajomość fizyki i matematyki na poziomie szkoły średniej, w tym szczególnie: geometrii i trygonometrii,

rachunku różniczkowego (niejednorodne równania różniczkowe zwyczajne I i II rzędu), rachunku wektorowego i

macierzowego.

Egzamin jest pisemny, a sprawdzeniu podlega znajomość teorii, w tym podstawowych twierdzeń,

zasad i wyprowadzeń wzorów, a także rozwiązywania zadań.


Program ramowy A. Wykład Mechanika I Wstęp: Organizacja zajęć i literatura przedmiotu. Rys historyczny. Mechanika, jej rola i podział. Modelowanie w mechanice: układ rzeczywisty, model fizyczny, model matematyczny, ciało idealnie sztywne, punkt materialny, siła skupiona. Wielkości skalarne i wektorowe. Prawa Newtona. Pojęcia pierwotne i aksjomaty. Wypadkowa zbieżnego układu sił. Moment siły względem punktu i względem osi (2). Wypadkowa dwóch sił równoległych. Para sił i jej moment. Moment wypadkowej zbieżnego i równoległego układu sił. Równoważne układy sił. Stopnie swobody, więzy i ich reakcje. Siły i ich źródła. Siły: czynne i bierne, zewnętrzne i wewnętrzne (2). Statyka: Pojęcia podstawowe. Siła główna i moment główny. Niezmienniki mechaniki. Warunki równowagi dowolnego przestrzennego układu sił. Warunki równowagi dla szczególnych przypadków przestrzennych układów sił: zbieżne i równoległe (2). Warunki równowagi płaskiego układu sił: dowolnego, zbieżnego i równoległego. Warunki równowagi sił działających na jednej prostej. Reguła dwóch i reguła trzech sił (2). Zastępcze warunki równowagi. Zasada niezależności działania sił – zasada superpozycji (2). Siła ciężkości, środek ciężkości i pojęcie momentu statycznego (2). Siły oporu. Tarcie posuwiste (2). Tarcie cięgien i opory toczenia (2). Kratownice. Układy statycznie wyznaczalne, niewyznaczalne i chwiejne (2). Kinematyka: Pojęcia podstawowe kinematyki punktu: położenie, prędkość i przyspieszenie, równania ruchu. Opis ruchu punktu we współrzędnych wektorowych (2). Opis ruchu we współrzędnych prostokątnych (kartezjańskich) i naturalnych (normalnych), przyspieszenie styczne i normalne (2). Opis ruchu punktu we współrzędnych biegunowych (2). Szczególne przypadki ruchu punktu. Ruch prostoliniowy, w tym: jednostajny i jednostajnie przyspieszony, harmoniczny. Ruch tłoka mechanizmu korbowo-wodzikowego (2). Ruch na płaszczyźnie, w tym: rzut ukośny, ruch punktu po okręgu i elipsie. Ruch przestrzenny (2). Kinematyka bryły. Pojęcia podstawowe: położenie, prędkość i przyspieszenie kątowe bryły oraz prędkość i przyspieszenie punktu bryły. Zależności pomiędzy prędkościami punktów należących do bryły sztywnej. Szczególne przypadki ruchu bryły: ruch postępowy i ruch obrotowy (2).


Mechanika II Ruch płaski. Ruch płaski jako złożenie ruchu postępowego i obrotowego. Pojęcie chwilowego środka prędkości. Prędkość punktu bryły w ruchu płaskim (2). Przyspieszenie bryły i punktu bryły w ruchu płaskim. Pojęcie chwilowego środka przyspieszenia (2). Kinematyka przekładni: zębatych, ciernych, pasowych i planetarnych (2). Ruch względny. Przyspieszenie Coriolisa (2). Dynamika: Pojęcia podstawowe dynamiki punktu materialnego. Równania różniczkowe ruchu punktu we współrzędnych: wektorowych, prostokątnych, naturalnych i biegunowych. Typy zadań w dynamice (2). Szczególne przypadki równań ruchu: ruch prostolinijny, rzut ukośny, swobodne spadanie z uwzględnieniem oporów, ruch harmoniczny, wahadło matematyczne (2). Zasady mechaniki. Zasada d’Alemberta. Zasada pędu i popędu. Zasada zachowania pędu. Zasada krętu i pokrętu. Zasada zachowania krętu (2). Zasada pracy i energii. Różniczkowa postać zasady energii. Zasada zachowania energii mechanicznej. Praca stałej siły na prostoliniowym przemieszczeniu oraz siły zmiennej na krzywoliniowym przemieszczeniu. Moc siły. Potencjał (2). Dynamika układu punktów materialnych. Praca sił działających na układ punktów materialnych. Pojęcia podstawowe dynamiki bryły. Geometria mas: masa, środek masy, masowe momenty bezwładności (biegunowe, osiowe, płaszczyznowe i dewiacyjne) (2). Twierdzenie Steinera. Główny układ bezwładności i główne momenty bezwładności (2). Równania różniczkowe ruchu postępowego, obrotowego i płaskiego bryły (2). Pęd bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim. Kręt bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim. Energia kinetyczna bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim. Zastosowanie zasady d’Alemberta do obliczania reakcji łożysk wirników. Wyważanie wirników (2). Żyroskop. Zderzenia środkowe proste i ukośne, środek uderzenia (2). Elementy mechaniki analitycznej. Przesunięcie przygotowane. Zasada d’Alemberta, zasada prac przygotowanych (2). Współrzędne i siły uogólnione. Równania Lagrange’a II rodzaju (2).


B. Ćwiczenia Mechanika I Powtórka z rachunku wektorowego (2). Wektorowa postać siły. Składanie i rozkładanie sił: analityczne i wykreślne (2). Obliczanie momentu siły względem punktu i względem osi (2). Obliczanie głównej siły i głównego momentu układu sił. Rozwiązywanie płaskich układów sił zbieżnych: analityczne i wykreślne (2). Rozwiązywanie przestrzennych układów sił zbieżnych (2). Rozwiązywanie płaskich układów sił (2). Rozwiązywanie przestrzennych układów sił (4). Kolokwium nr l (obliczanie wypadkowej układu sił; wyznaczanie głównego wektora i głównego momentu układu sił; rozwiązywanie zadań dla zbieżnych i płaskich układów sił) (2). Rozwiązywanie układów układów brył (2). Rozwiązywanie układów z tarciem (2). Wyznaczanie współrzędnych środka ciężkości (2). Kolokwium nr 2 (układy przestrzenne; układy z tarciem posuwistym, tarciem cięgien i oporami toczenia; środki ciężkości) (2). Rozwiązywanie kinematyki punktu we współrzędnych prostokątnych, naturalnych i biegunowych (2). Równania toru. Przyspieszenie normalne i styczne (2). Mechanika II Obliczanie prędkości i przyspieszenia w szczególnych przypadkach ruchu krzywoliniowego (2). Obliczanie prędkości i przyspieszenia w ruchu obrotowym. Obliczanie położeń przekładni zębatych (1). Obliczanie prędkości i przyspieszenia w ruchu płaskim (2). Obliczanie prędkości i przyspieszenia w ruchu względnym (1). Kolokwium nr l (kinematyka punktu; kinematyka ruchu obrotowego i płaskiego bryły, przełożenia przekładni; kinematyka ruchu względnego) (1). Obliczanie masowych momentów bezwładności (1). Układanie i rozwiązywanie dynamicznych równań ruchu. Zastosowanie zasady d’Alemberta (2). Zastosowanie zasady pracy i energii i różniczkowej postaci zasady energii (1). Zastosowanie zasady pędu i popędu (1). Układanie i rozwiązywanie dynamicznych równań ruchu płaskiego. Zastosowanie energii i pracy, krętu i pokrętu w ruchu płaskim (1). Obliczanie reakcji dynamicznych łożysk wirników uwzględniających efekt żyroskopu i niewyważenia wirnika (1). Kolokwium nr 2 (kinematyka ruchu płaskiego; obliczanie masowych momentów bezwładności; dynamika punktu materialnego i bryły) (1).


Literatura

1. Wittbrodt E., Sawiak S.: Mechanika ogólna. Teoria i zadania. Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2010

2. Awrejcewicz J.: Mechanika. WNT, Warszawa 2007

3. Leyko J.: Mechanika ogólna, t. l i 2, PWN, Warszawa 1980

4. Osiński Z.: Mechanika ogólna, t. l i 2, PWN, Warszawa 1987

5. Ożóg M.: Zbiór zadań z mechaniki wraz z rozwiązaniami. Skrypt Akademii Rolniczo Technicznej w Olsztynie, t. l, 2 i 3, 1977

6. Misiak J.: Zbiór zadań z mechaniki technicznej. Skrypt WSI w Radomiu, t. 1 (statyka i kinematyka) i t. 2 (dynamika)

7. Misiak J.: Zadania z mechaniki ogólnej. WNT Warszawa 1992. Cz. I (statyka), cz. II (kinematyka) i cz. III (dynamika)

8. Niezgodziński T.: Mechanika ogólna. WNT, Warszawa 1999

9. Nizioł J.: Metodyka rozwiązywania zadań z mechaniki. WNT, Warszawa 2002

10. Sawiak S., Wittbrodt E.: Mechanika. Wybrane zagadnienia. Teoria i zadania. Wyd. PG, Gdańsk 2007


www.mech.pg.gda.pl/kmim

Materiały dydaktyczne Prof. Edmund Wittbrodt Mechanika I

Materiały podzielone są na bloki 2-godzinne: Wykład 1 ÷ Wykład 15

Mechanika II

Materiały podzielone są na bloki 2-godzinne: Wykład 1 ÷ Wykład 15


WSTĘP DO MECHANIKI


Rys historyczny mechaniki

Rys historyczny mechaniki przedstawiony jest w olbrzymim skrócie, wymieniając jedynie wybrane, najistotniejsze dokonania, począwszy od starożytności po czasy współczesne. Początki rozwoju – starożytny Babilon i Egipt, gdzie stosowano maszyny proste przy budowie piramid Arystoteles (384–322 p.n.e.) – filozof, teoria materii, prace dotyczące maszyn prostych (dźwignic), stosowanych w

technice uzbrojenia i budownictwie

Archimedes – fizyk i matematyk; składanie i rozkładanie sił równoległych, teoria dźwignic, (287–212 p.n.e.) środki ciężkości figur geometrycznych i brył Leonardo da Vinci – malarz, architekt, teoretyk i technik; równia pochyła, tarcie, bloki (1452–1519) Mikołaj Kopernik – astronom i matematyk; trygonometria, problemy układów odniesienia (1473–1543)


Galileo Galilei (Galileusz) – fizyk, astronom i filozof; pojęcie przyspieszenia, prawa spadania ciał, (1564–1642) szczególny przykład prawa bezwładności, siły tarcia, problem wahadła, umiejętność

wyciągania racjonalnych wniosków z doświadczeń

Johannes Kepler – fizyk, astronom i filozof; prawa ruchu planet (1571–1630) Rene Descartes (Kartezjusz) – filozof i matematyk; zasada zachowania pędu (1596–1650) Chrystian Huygens – fizyk, astronom i matematyk; teoria wahadła fizycznego, (1629–1695) przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym

Isaac Newton – fizyk i matematyk; twórca mechaniki klasycznej zwanej, (1643–1727) od jego nazwiska, newtonowską, podał teoretyczne podstawy mechaniki ogólnej ściśle

oparte na doświadczeniu, zasady dynamiki, prawo powszechnego ciążenia, rachunek różniczkowy i całkowy niezależnie od Leibniza


Pierre Varignon – mechanik i matematyk; pojęcie momentu siły, wielobok sznurowy, (1654–1722) zasady równowagi zbieżnego i równoległego układu sił Johann Bernoulli – matematyk i fizyk; pojęcie energii kinetycznej, (1667–1748) mechanika analityczna

Leonard Euler – matematyk, fizyk i astronom; analityczne metody rozwiązywania zagadnień ruchu, (1707–1783) obrót ciała sztywnego wokół nieruchomego punktu Jean d'Alembert – filozof, matematyk i fizyk; zastosowanie zasad (1717–1783) obowiązujących w statyce do dynamiki, mechanika analityczna Joseph Louis Lagrange – matematyk i mechanik; twórca mechaniki analitycznej (1736–1813)


Max Planck – fizycy; twórcy mechaniki kwantowej (1858–1947) Paul Dirac (1902–1984) Albert Einstein – fizyk; twórca szczególnej i ogólnej teorii względności (mechaniki relatywistycznej) (1879–1955)

Mechanika ogólna traci ważność w przypadku, gdy badane ciała poruszają się z prędkością zbliżoną do prędkości światła (3⋅108 m/s). Prędkości takie w zagadnieniach inżynierskich budowy maszyn w zasadzie nie występują.


Mechanika, jej rola i podział

Mechanika jest działem fizyki, zajmującym się badaniem ruchu ciał materialnych i ich mechanicznego, wzajemnego oddziaływania.

Dyscyplina ta ma dwojakie znaczenie:

1) dostarcza pewnej sumy wiadomości potrzebnych następnie w praktyce zawodowej, względnie przy studiowaniu innych dyscyplin;

2) stanowi jednocześnie wdrożenie umysłu przyszłego inżyniera do zadań, które ten będzie musiał rozwiązywać w swojej pracy (uczy ścisłego myślenia).

Mechanika jest pierwszą dyscypliną, w której występują tak ważne w praktyce inżynierskiej elementy (umiejętności)

jak:

1) zastępowanie realnych części maszyn układami tworów abstrakcyjnych (np. zastępowanie prętów, przegubów, kół zębatych odpowiednio odcinkami, punktami, bryłami sztywnymi);

2) pomijanie mniej istotnych czynników (zjawisk); 3) opisywanie danego problem za pomocy równań matematycznych; 4) rozwiązywanie powyższych równań. Ze względu na trudności matematyczne, prawa mechaniki w swojej użytkowej formie podlegają znacznym ograniczeniom, a mimo to są jednymi z najogólniejszych praw przyrody, stosowanymi przez inżynierów. Mechanika jest jedną z podstawowych nauk, na której opierają się inne dyscypliny: wytrzymałość materiałów, podstawy konstrukcji maszyn, teoria sprężystości i plastyczności, hydromechanika i aeromechanika, teoria skrawania, przeróbka plastyczna i wszystkie nauki konstrukcyjne, a nawet termodynamika oraz metaloznawstwo.


Tematem wykładu jest mechanika ogólna zwana również mechaniką klasyczną, teoretyczną lub newtonowską. Podział mechaniki przedstawiono na poniższym rysunku. Podział mechaniki na statykę, kinematykę i dynamikę jest podziałem ze względów dydaktycznych.

Podział mechaniki

Statyka zajmuje się równowagą ciał, kinematyka zajmuje się matematycznym opisem ruchu ciał bez wnikania w przyczyny wywołujące ten ruch, natomiast dynamika zajmuje się ruchem ciał pod wpływem działających sił.

Mechanika

Mechanika ciała stałego (stereomechanika)

Mechanika płynów

Mechanika cieczy

(hydromechanika) Mechanika gazów

(aeromechanika)

Mechanika ciała nieodkształcalnego

(mechanika ogólna lub klasyczna)

Mechanika ciała odkształcalnego (teoria sprężystości i plastyczności,

wytrzymałość materiałów, reologia)

Statyka Kinematyka Dynamika


Modelowanie w mechanice

Schemat procesu modelowania

Konstrukcja rzeczywista

model fizyczny

model

matematyczny

weryfikacja wyników obliczeń z wynikami pomiarów

w konstrukcji rzeczywistej

stop

zmiany

błędy uproszczeń modelu fizycznego

błędy związane z uproszczeniami w równaniach

błędy wynikające z uproszczeń stosowanych przy rozwiązywaniu (metody numeryczne,

iteracyjne itp.)

obszar, którym zajmuje się mechanika

–

+


Konstrukcją rzeczywistą nazywamy realny obiekt, który analizujemy, łącznie z jego obciążeniem. Modelem fizycznym nazywamy pewne uproszczenie konstrukcji rzeczywistej. Model ten powinien dostatecznie dokładnie odzwierciedlać zjawiska zachodzące w badanym obiekcie, a jednocześnie być możliwie prosty do opisu matematycznego. Model fizyczny, stosowany w mechanice ogólnej, może między innymi zawierać następujące pojęcia abstrakcyjne: bryły idealnie sztywne, punkty materialne, czy siły skupione. Bryłą idealnie sztywną nazywamy ciało, które pod działaniem dowolnie wielkich sił nie odkształca się. Punktem materialnym nazywamy punkt o zerowych wymiarach posiadający jednak masę. Siłą skupioną nazywamy siłę przyłożoną do punktu o zerowych wymiarach. Modelem matematycznym nazywamy analityczny opis badanych zjawisk zachodzących w modelu fizycznym. Są to wzory matematyczne usystematyzowane w pewien algorytm, pozwalający rozwiązać problem.


W praktyce za ciało doskonale sztywne przyjmuje się takie, którego odkształcenie w stosunku do wymiarów jest pomijalne. Wyjątkowo, w obliczeniach statycznych, każde ciało można uważać za sztywne po jego odkształceniu (zasada zesztywnienia, por. rys.).

Zasada zesztywnienia

Jeżeli na ciało działają siły, których linie działania przecinają się w jednym punkcie (zbieżny układ sił), to możemy to ciało traktować jako punkt materialny. W praktyce często traktujemy jako punkt materialny ciała o „małych” wymiarach, dla których linie działania sił w „przybliżeniu” przecinają się w jednym punkcie.

ciało traktowane jako sztywne po odkształceniu

P


WIELKO ŚCI SKALARNE I WEKTOROWE Wielkości skalarne – wielkości fizyczne, do określenia których wystarczy podanie ich wartości Np.: temperatura, gęstość, czas, objętość, energia, praca .... Wielkości wektorowe – wielkości fizyczne, do określenia których niezbędne jest podanie co najmniej trzech wielkości: wartość, kierunek, zwrot (czasem ważny jest też punkt zaczepienia)

Np.: siła, moment, przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie, ....

Wektory : swobodne

związane z prostą

związane z punktem


Prawa Newtona

Prawo pierwsze

Punkt materialny, na który nie działają żadne siły, pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.

Prawo drugie

Przyspieszenie a punktu materialnego jest proporcjonalne do siły P działającej na ten punkt i ma kierunek siły

=ma P, (1.16) gdzie współczynnik proporcjonalności m jest masą punktu materialnego.

Prawo trzecie

Siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów materialnych są równe co do wartości, leżą na jednej prostej i są przeciwnie skierowane (są wektorami przeciwnymi)

12 21= −P P , (1.17)

gdzie: 12 −P siła, z jaką punkt o masie m1 działa na punkt o masie m2, 21 −P siła, z jaką punkt o masie m2 działa na punkt o masie m1.

P

a

m

m2

P21

P12

m1


Pojęcia pierwotne w mechanice

Mechanika operuje szeregiem pojęć, których w zasadzie zdefiniować nie można. Są to tak zwane pojęcia pierwotne. Współczesna nauka uważa jednak, że wielkość fizyczna jest zdefiniowana, jeżeli potrafimy ją zmierzyć.

Podstawowym pojęciem pierwotnym, stosowanym w mechanice, jest siła. Możemy ją zmierzyć poprzez pomiar skutków jej działania (nadanie ciału przyspieszenia lub zdeformowanie ciała). Dla celów praktycznych umawiamy się nazywać siłami oddziaływanie jednego ciała na drugie. Oddziaływanie to może odbywać się poprzez bezpośredni kontakt dwóch ciał lub na odległość (siły grawitacji, magnetyczne i elektrostatyczne). Jeżeli mówimy w mechanice o sile działającej na rozważane ciało, to zawsze musimy sobie zdawać sprawę, jakie inne ciało tę siłę wywiera.


Aksjomaty w mechanice Aksjomatu, czyli pewnika, nie można udowodnić teoretycznie, ale można wykazać jego słuszność za pomocą doświadczenia.

Aksjomat 1

Siła jest wektorem związanym z prostą.

Wynikają z tego następujące konsekwencje:

1) siłę można przesuwać wzdłuż linii jej działania

2) siły działające na punkt sumuje się wektorowo

3) dwie siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się (ich wypadkowa jest równa zero), gdy leżą na jednej prostej, są równe i przeciwnie skierowane dwójka zerowa sił Na podstawie tej cechy sformułowane zostało twierdzenie o dwóch siłach.

Twierdzenie

Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się, gdy leżą na jednej prostej, są równe i przeciwnie skierowane.

P

−P

P


4) działanie układu sił 1 2, , ...P P nie zmieni się, gdy do układu przyłożymy w sposób dowolny dwie siły równe, leżące na jednej prostej i przeciwnie skierowane (jest to tzw. dwójka zerowa sił)

Aksjomat 2

Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości i przeciwnie skierowane wzdłuż tej samej prostej przeciwdziałanie (wynika z trzeciego prawa Newtona)

gdzie: −ABP siła, z jaką ciało B działa na ciało A, −BAP siła, z jaką ciało A działa na ciało B.

BAP

ABP B

A = − ,BA ABP P

P

P−

1PP2

P3


Aksjomat 3

Każde ciało nieswobodne możemy oswobodzić od więzów, zastępując przy tym ich działanie odpowiednimi reakcjami. Dalej można rozpatrywać ciało jako swobodne, podlegające działaniu wszystkich sił, łącznie z reakcjami gdzie: −AR siła, z jaką podłoże oddziałuje na ciało w punkcie A; −BR siła, z jaką podłoże oddziałuje na ciało w punkcie B.

A

B

A

B

AR

BR≡

1P P2 1P P2


SIŁA (wektor)

222zyx PPPPP ++==

P

PPP x

x =),cos( , P

PPP y

y =),cos( , P

PPP z

z =),cos(

x

y

z

P

zP

xP

yP

[ ]{ { {

zyx P

z

P

y

P

xzyx kPjPiPPPPPP ++==


MOMENT WEKTORA (SIŁY) względem punktu i względem osi - moment względem punktu (bieguna) O

1.

2.

Jeżeli: ],,[ zyx rrrr , to zyx

zyx

PPP

rrr

kji

PrM =×=0 kMjMiM zyx ++= ,

[ ]zyx PPPP ,, gdzie: zyyzx rPrPM −= , xzzxy rPrPM −= , yxxyz rPrPM −= - momenty

względem osi: x, y, z lub

1) αsin00 ⋅⋅== PrMM

2) kierunek PMrM ⊥∩⊥ 00

3) zwrot – zgodny z regułą śruby prawoskrętnej

=0M ( ) PrPM ×=0 def.

x

z

y

oM

r

O

α P


Reguła śruby prawoskrętnej (reguła prawej ręki)

oś x

π

πP

Pπ⊥P

r

Płaszczyzna π ⊥ x

rPM x ⋅= π

kMjMiMPrM zyxO ++=×=

gdzie: zyyzx rPrPM −=

xzzxy rPrPM −=

zxzyz rPrPM −=

πP – składowa na płaszczyźnie π

π⊥P – składowa prostopadła do π

P

ππ ⊥+= PPP

r – ramię składowej względem osi x πP

oraz oznaczono:

oznaczono: xxxx rrPP == ,

xP

x

y

z

yP

zP

P

r

zr

xr

yrO

P

Documents

MECHANIKA OGÓLNA - mech.pg.edu.pl · PDF file5. Ożóg M.: Zbiór zada ń z mechaniki wraz z rozwi ... 9. Nizioł J.: Metodyka rozwi ązywania zada ń z mechaniki . WNT, Warszawa