Mechanika II.A První domácí úkol - users.fs.cvut.czusers.fs.cvut.cz/petr.benes/VYUKA/mechanika/Prvni_domaci_ukol... · Mechanika II.A – První domácí úkol (Zadání je ze

Mechanika II.A – První domácí úkol

(Zadání je ze sbírky: Lederer P., Stejskal S., Březina J., Prokýšek R.:

Sbírka příkladů z kinematiky. Skripta, vydavatelství ČVUT, 2003.)

Vážené studentky a vážení studenti,

byli bychom rádi, kdybyste k domácím úkolům z Mechaniky II.A přistoupili jako k možnosti,

zkusit si vypočítat tři zadané příklady a navíc se dozvědět, zda jste je řešili správně. Každému,

kdo se o to pokusí, se budeme rádi věnovat.

Na druhou stranu jsou naše zkušenosti například z minulého semestru s domácími úkoly

z Mechaniky I takové, že dostaneme od studentů z různých kroužků zcela totožná a bohužel

ne vždy správná řešení. Věnujeme tedy spoustu našeho času na opravování Vašich referátů,

které jste však nevypracovali, ale pouze okopírovali i se všemi chybami původního autora.

Abychom šetřili náš čas, přicházíme s následujícím řešením:

1) Řešení všech referátů musí být napsáno čitelně rukou. Zadání mohou být samozřejmě

okopírována nebo vytištěna na počítači, řešení však nikoli! (Věřte, že i pouhé opsání

nejlépe správného řešení Vám následně usnadní složení zkoušky).

2) Všechna zadání jsou doplněna číselnými výsledky, zaokrouhlenými na určitý počet

platných číslic (zpravidla na dvě desetinná místa, ale u některých výsledků to není

vhodné). Každý výsledek Vašeho řešení uvádějte, prosím, vždy zpřesněný o další dvě

desetinná místa. Pokud se mají tato další dvě desetinná místa shodovat s našimi

přesnějšími výsledky, nesmíte při řešení mezivýsledky zaokrouhlovat. Nejjednodušší

pro Vás je řešit vše v MATLABu. Ten Vám také usnadní nakreslení požadovaných grafů

(inspirujte se řešeními příkladů ze cvičení na adrese http://moodle.fs.cvut.cz, která jsou

umístěna ve složce Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky , Courses ,

Mechanika II.A).

3) Poskytnuté výsledky Vám umožní vlastní kontrolu, zda jste referát vypočítali správně.

Kdo si přesto přeje kontrolu svého referátu učitelem, nechť na titulní list napíše

„PROSÍM OPRAVIT“. Ostatní referáty učitel opravovat nebude, ale samozřejmě má

právo špatně vyřešené referáty vrátit k přepracování.

Věříme, že tento soubor šedesáti řešených příkladů Vám pomůže i při přípravě na zkoušku.

I přes veškerou snahu nemusejí být všechny výsledky správné. Prosím, pokud jste

přesvědčeni, že je některý výsledek nesprávný, zašlete Vaše řešení (pokud možno včetně

souboru m-file) a Váš výsledek na email [email protected] . Pokud budete mít

pravdu, opravíme výsledek v tomto souboru vystaveném na našem webu. Děkuji Vám za

spolupráci.

Za kolektiv učitelů Mechaniky II.A

Doc. Ing. Václav Bauma, CSc.

Zadání č.

Doplnění zadání a zaokrouhlené výsledky

1

Str. 12, Příklad 1.16

Dodatek k zadání podle skript: Rozhodněte, zda uvedený výsledek s4 je dráha,

kterou bod urazil za 4 sekundy nebo jeho odlehlost. Označte a vypočtěte

„druhou“ z veličin. Určete čas tn, ve kterém se bod navrátí do výchozí polohy.

Kromě závislosti rychlosti a dráhy bodu na čase nakreslete i graf jeho odlehlosti.

Všechny grafy nakreslete pro čas z intervalu < 0; tn >.

Výsledky:

tz = 3,67 s , v4 = -5,00 ms-1

, s4 = 44,0 m , sz = 44,8 m ,

“druhá” z veličin = 45,6 m , tn = 5,87 s

http://moodle.fs.cvut.cz/course/category.php?id=16

mailto:[email protected]

0 2 4 6-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

cas [s]

rych

lost

[m

s-1

]

0 2 4 60

10

20

30

40

50

60

70

80

90

cas [s]

dra

ha

[m]

0 2 4 60

5

10

15

20

25

30

35

40

45

cas [s]

od

leh

lost

[m

]

2


Dodatek k zadání podle skript: Výsledky vyčíslete pro k = 0,01 , m = 700 ms-1

,

n = 75 s , v1 = 500 ms-1

. Nakreslete grafy závislosti dráhy a rychlosti rakety na

čase.

Výsledky:

t1 = 53,4 s , s1 = 13,3 km

0 10 20 30 40 50 600

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

cas [s]

dra

ha

[m]

0 10 20 30 40 50 600

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

cas [s]

rych

lost

[m

s-1

]

3


Dodatek k zadání podle skript: Vyjádřete závislost vB = vB(sB), nakreslete její graf

a vypočtěte z ní rychlost bodu B v místě, kde urazil vzdálenost sB = 54 m.

Výsledky:

φ = 66,3 stupňů , BB 2asv , vB54 = 18,6 ms-1

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

draha sB [m]

rych

lost

vB

[m

s-1

]

4


Dodatek k zadání podle skript: Výsledky vyčíslete pro hodnoty r1 = 0,8 m ,

r2 = 1,1 m , vA = 0,5 ms-1

a vB0 = 0,7 ms-1

a nakreslete grafy drah sA a sB

v závislosti na čase od 0 do T.

Výsledky:

aBt = 0,537 ms-2

, T = 2,51 s , aA = 0,31 ms-2

, aB = 3,86 ms-2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

cas [s]

dra

ha

[m]

sA

sB

5


Dodatek k zadání podle skript: Výsledky vyčíslete pro hodnoty r = 1,0 m,

l = 1,3 m , c = 2,5 ms-1

a nakreslete grafy drah sA a sB v závislosti na čase.

Výsledky:

vB0 = 2,66 ms-1

, aBt = 1,37 ms-2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

cas [s]

dra

ha

[m]

sA

sB

6


Dodatek k zadání podle skript: Nakreslete graf rychlosti závodníka v závislosti na

čase od startu do konce druhé zatáčky.

Výsledky:

t = 938 s (≈ 15 minut a 38 s) , vprům = 139 km/h

0 10 20 30 40 50 600

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

cas [s]

rych

lost

[km

h-1

]

7


Dodatek k zadání podle skript: Dále vypočtěte dráhu středu S válce a čas t1, za

který se válec otočí o úhel 2 rad. Dráhy obou bodů vyčíslete v čase t1 pro

hodnoty c = 1,2 ms-1

, r = 0,8 m , e = 0,5 m , l = 1,8 m a nakreslete grafy dráhy

obou bodů v závislosti na čase od 0 do t1.

Výsledky:

t1 = 4,19 s , sS = 5,03 m , sD = 5,03 m

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

1

2

3

4

5

6

cas [s]

dra

ha

[m]

sD

sS

8


Dodatek k zadání podle skript: Dále vypočtěte dráhu středu S válce, sestavte

rovnice pohybu válce, vyřešte pohyb tělíska T, úhlovou rychlost, úhlové

zrychlení válce a čas t1, za který se válec otočí o úhel 2 rad. Dráhy bodu S a

tělíska T a úhlovou rychlost a úhlové zrychlení válce vyčíslete v čase t1 pro

hodnoty l = 0,8 m , r = 0,2 m , c = 0,45 ms-1

a nakreslete grafy dráhy bodu a

tělíska v závislosti na čase od 0 do t1.

Výsledky:

t1 = 2,79 s , sS = 1,26 m , sT = 2,45 m , ωv = 2,25 s-1

, αv = 0,00 s-2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

cas [s]

dra

ha

[m

]

sT

sS

9


Dodatek k zadání podle skript: Řešte pouze v nepohyblivém pravoúhlém

souřadnicovém systému s počátkem v bodě D. Souřadnice xL a yL bodu L

vyčíslete pro hodnoty l = 0,6 m , r = 1,2 m , c = 2,1 ms-1

v čase t1 = 0,9 s a

nakreslete grafy souřadnic v závislosti na čase od 0 do času, kdy bod A bude

totožný s bodem D. Dále vypočtěte, v jakém čase bude bod L v nejvyšší poloze a

jaká bude jeho y-ová souřadnice?

Výsledky:

xL = 1,62 m , yL = 1,63 m , tyLmax = 0,99 s , yLmax = 1,64 m

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

cas [s]

sou

rad

nic

e [m

]

xL

yL

10


Dodatek k zadání podle skript: Řešení proveďte v nepohyblivém pravoúhlém

souřadnicovém systému s počátkem ve středu válce. Souřadnice xM , yM , složky

rychlosti vMx , vMy a složky zrychlení aMx , aMy bodu M vyčíslete pro hodnoty

r = 1,3 m , l0 = r , φ(t)= ωt rad , ω = 5 s-1

v čase t1 = 0,2 s a nakreslete grafy

složek rychlosti v závislosti na čase od 0 do času, kdy se bod M dotkne válce.

Výsledky:

xM = 1,64 m , yM= -2,60 m , vMx = 7,52 ms-1

, vMy = 11,7 ms-1

,

aMx = -76,1 ms-2

, aMy= 10,3 ms-2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-5

0

5

10

15

20

25

cas [s]

rych

lost

i [m

s-1

]

vMx

vMy

11


Dodatek k zadání podle skript: Souřadnice xM a yM bodu M vyčíslete pro hodnoty

d = 1,4 m , r = 0,65 m , b = 0,35 m , c = 0,2 ms-1

v čase t1 = 1,7 s a nakreslete

grafy souřadnic v závislosti na čase od 0 do času, kdy bod A bude v nejnižším

místě své trajektorie.

Výsledky:

xM = 0,41 m , yM = 0,14 m

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

cas [s]

sou

rad

nic

e [m

]

xM

yM

12


Dodatek k zadání podle skript: Souřadnice xD a yD bodu D vyčíslete pro hodnoty

l = 1,5 m , d = 0,95 m , h = 0,35 m , β = 60 stupňů , s(t) = vA t m , vA = 0,5 ms-1

v čase t1 = 1,7 s a nakreslete grafy souřadnic v závislosti na čase od 0 do času,

kdy bod B bude v počátku souřadnicového systému O.

Výsledky:

xD = 0,21 m , yD = 0,79 m

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

cas [s]

sou

rad

nic

e [m

]

xD

yD

13


Dodatek k zadání podle skript: Řešte pouze pohyb bodu K. Velikost rychlosti a

velikost zrychlení ověřte v nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému

s počátkem ve středu válcové plochy. Rychlost, normálovou a tečnou složku

zrychlení, zrychlení, souřadnice xK , yK , složky rychlosti vKx , vKy a složky

zrychlení aKx , aKy bodu K vyčíslete pro hodnoty r = 1,7 m , l = ½r , ω = 1,2 s-1

v čase t1 = 0,2 s a nakreslete grafy složek rychlosti v závislosti na čase od 0 do

času, kdy se bod K dotkne válcové plochy.

Výsledky:

v = 2,71 ms-1

, aKt = 3,26 ms-2

, aKn= 2,45 ms-2

, aK= 4,08 ms-2

,

xK = -2,60 m , yK= 1,11 m , vKx = 0,65 ms-1

, vKy = -2,64 ms-1

,

aKx = 2,58 ms-2

, aKy= 3,15 ms-2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

cas [s]

rych

lost

i [m

s-1

]

vKx

vKy

14


Dodatek k zadání podle skript: Souřadnice stínu xL a yL vypočtěte

v nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému s počátkem v bodě S,

vyčíslete je pro hodnoty r = 900 mm, = 25o , v0 = 0,85 ms

-1, aA = 0,6 ms

-2 v čase

t1 = 1,3 s, dále vyčíslete rychlost stínu v nejnižším bodě kružnice a nakreslete

grafy souřadnic stínu v závislosti na čase od 0 do t1.

Výsledky:

xL = -0,57 m , yL= -0,69 m , vL = 2,69 ms-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

cas [s]

sou

rad

nic

e [m

]

xL

yL

15


Dodatek k zadání podle skript: Souřadnice stínu xS a yS vypočtěte v zadaném

nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému, vyčíslete je pro hodnoty

h = 600 mm, = 20o, c = 4,1 ms

-1, xA = 400 mm, yA = 250 mm, zA = 150 mm

v čase t1 = 1,25 s a nakreslete grafy souřadnic stínu v závislosti na čase od 0 do t1.

Výsledky:

xS = 0,43 m , yS = -0,061 m

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

cas [s]

sou

rad

nic

e [m

]

xS

yS

16


Dodatek k zadání podle skript: Souřadnice xL , yL a zL bodu L vypočtěte

v zadaném nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému, vyčíslete je pro

hodnoty hOD0 = 600 mm, pOE0 = 800 mm, qOF = 1600 mm,

lEL = 600 mm a c = 0,8 ms-1

v čase t1 = 2,1 s a nakreslete grafy souřadnic

bodu L v závislosti na čase od 0 do času, ve kterém bude bod E totožný s bodem

F.

Výsledky:

xL = 1,39 m , yL = 0,36 m , zL = 0,13 m

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

cas [s]

sou

rad

nic

e [m

]

xL

yL

zL

17


Dodatek k zadání podle skript: Souřadnice xD , yD a zD bodu D vypočtěte

v zadaném nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému, vyčíslete je pro

hodnoty r = 500 mm , γ = π/12 rad, lBA 2,5πrtgγ , dBD = 450 mm a

c = 0,3 ms-1

v čase t1 = 1,2 s a nakreslete grafy souřadnic bodu D v závislosti na

čase od 0 do času, ve kterém se bod B dotkne válcové plochy.

Výsledky:

xD = 0,16 m , yD = 0,88 m , zD = 0,040 m

0 2 4 6 8 10 12 14-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

cas [s]

sou

rad

nic

e [m

]

xD

yD

zD

18


Dodatek k zadání podle skript: Souřadnice xL a yL, složky rychlosti vLx , vLy a

složky zrychlení aLx , aLy bodu L vypočtěte v nepohyblivém pravoúhlém

souřadnicovém systému s počátkem v bodě O, vyčíslete je pro hodnoty

φ(t)= ωt rad , ω = 2 s-1

, lOS 300 mm , r = 100 mm, Ω = 2 s-1

, γ = π/3 rad

v čase t1 = 0,2 s a nakreslete grafy složek rychlosti v závislosti na čase od 0 do

času, kdy se přímka otočí o úhel 2 rad.

Výsledky:

xL = 0,37 m , yL= 0,16 m , vLx = -0,29 ms-1

, vLy = 0,75 ms-1

,

aLx = -1,87 ms-2

, aLy= -0,69 ms-2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

cas [s]

rych

lost

i [m

s-1

]

vLx

vLy

19


Dodatek k zadání podle skript: Vypočtěte rychlost a zrychlení bodu v čase t1 a

nakreslete grafy výchylky, rychlosti a zrychlení bodu v závislosti na čase od 0 do

doby periody T.

Výsledky:

T = 1,99 s , x = 0,10 m , v = -0,54 ms-1

, a = -1,02 ms-2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Prubeh pohybu bodu

cas [s]

vychylka x [m]

rychlost v [ms-1

]

zrychleni a [ms-2

]

20


Dodatek k zadání podle skript: Kromě úhlové rychlosti ω1, určete i úhel

pootočení φ1 a úhlové zrychlení α1 setrvačníku v okamžiku, kdy držák proběhl

dráhu l a nakreslete grafy úhlu pootočení a úhlové rychlosti setrvačníku

v závislosti na čase během celého pohybu držáku po dráze l.

Výsledky:

φ1 = 4,51 rad , ω1 = 69,7 s-1

, α1 = 516 s-2

0 0.05 0.1 0.15 0.20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

cas [s]

uh

el fi

[ra

d]

0 0.05 0.1 0.15 0.20

10

20

30

40

50

60

70

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [s

-1]

21


Dodatek k zadání podle skript: Kromě úhlové rychlosti ω, určete i úhel pootočení

φ a úhlové zrychlení α bubnu v okamžiku, kdy páka je pootočena o úhel ψ = ψ1 a

nakreslete grafy závislosti úhlu pootočení a úhlové rychlosti bubnu na čase

během pootočení páky od ψ = 0 rad do ψ = π/2 rad.

Výsledky:

φ = 1,15 rad , ω = 0,34 s-1

, α = -0,39 s-2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

cas [s]

uh

el fi

[ra

d]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [s

-1]

22


Dodatek k zadání podle skript: Úhel pootočení, úhlovou rychlost a úhlové

zrychlení tyče vyčíslete v čase t1 = 1,8 s a nakreslete grafy závislosti úhlu

pootočení a úhlové rychlosti tyče na čase v intervalu < 0; 2,8 > s.

Výsledky:

φ = -0,27 rad , ω = -0,52 s-1

, α = 0,036 s-2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

cas [s]

uh

el fi

[ra

d]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.75

-0.7

-0.65

-0.6

-0.55

-0.5

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [s

-1]

23


Dodatek k zadání podle skript: Kromě úhlu φ1 a úhlové rychlosti ω1 určete i

úhlové zrychlení α1 poklopu v čase T a nakreslete grafy úhlu pootočení a úhlové

rychlosti poklopu v závislosti na čase v intervalu < 0; T > s.

Výsledky:

φ1 = 0,99 rad , ω1 = 0,27 s-1

, α1 = 0,059 s-2

0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

cas [s]

uh

el fi

[ra

d]

0 1 2 3 40.235

0.24

0.245

0.25

0.255

0.26

0.265

0.27

0.275

0.28

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [s

-1]

24


Dodatek k zadání podle skript: Nakreslete graf závislosti celkového zrychlení

koncového bodu ramene mostu v závislosti na čase během celého pohybu.

Výsledky:

k = 0,0029 s-2

, ωII = 0,0320 s-1

0 10 20 30 40 50 600.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

cas [s]

zry

ch

len

i [m

s-2

]

25


Dodatek k zadání podle skript: Vyčíslete uhlové zrychlení ramene v prvním

úseku, uhlovou rychlost ramene ve druhém úseku a uhlové zrychlení ramene

ve třetím úseku.

Výsledky:

α1 = 49,28 s-2

, ω2 = 2,46 s-1

, α2 = 24,640 s-2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

cas [s]

uh

el [

rad

]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

1.5

2

2.5

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st [

s-1

]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

cas [s]

uh

love

zry

chle

ni [

s-2

]

26


Dodatek k zadání podle skript: V počáteční poloze (v čase t0 = 0 s) byl bod L

v nejnižší poloze. Řešení proveďte v nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém

systému s počátkem v bodě L0. Pro zadané hodnoty r = 450 mm , e = 400 mm a

c = 30 ms-1

vyčíslete souřadnice, rychlost a zrychlení bodu L a úhlovou rychlost

kol v čase t1 = 0,6 s a nakreslete graf závislosti složek rychlosti bodu L na čase

během jednoho otočení kola o 360 stupňů.

Výsledky:

xL = 17,7 m , yL= 0,67 m , vL = 51,8 ms-1

, aL = 1778 ms-2

, ω = 66,7 s-1

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

cas [s]

ryc

hlo

sti

[m

s-1

]

vLx

vLy

27


Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A tělesa ve tvaru trojúhelníku se

z nakreslené počáteční polohy, ve které měl počáteční rychlost vA0 , pohybuje po

vodorovné přímce s konstantním zpomalením aA. Bod B je přitom veden po

kružnici. Sestavte rovnice pohybu tělesa. Vypočtěte pohyb bodu C a úhlovou

rychlost tělesa. Pro zadané hodnoty vA0 = 0,5 ms-1

, aA = 0,2 ms-2

,

počáteční vzdálenost d bodů A a S: d = 1550 mm, mAB = 1150 mm,

kBC = 500 mm, lAC = 1500 mm a r = 450 mm vyčíslete polohu tělesa,

polohu bodu C a úhlovou rychlost tělesa v čase t1 = 0,6 s a nakreslete grafy

závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tělesa na čase od 0 do t1 .

Výsledky:

xA = 1,29 m , yA = 0,00 m , φ = 0,35 rad , xC = 0,072 m , yC = 0,88 m ,

ω = 0,15 s-1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

cas [s]

uh

el fi

[ra

d]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [s

-1]

28


Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A tyče AB se z počáteční polohy A0

pohybuje konstantní rychlostí vA . Bod B se smýká po nakloněné rovině. Sestavte

rovnice pohybu tyče. Vyřešte pohyb bodu D, který leží na tyči ve vzdálenosti h

od bodu A a úhlovou rychlost tyče. Vypočtěte polohu tyče, polohu bodu D a

úhlovou rychlost tyče v čase t1 a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a

úhlové rychlosti tyče na čase od 0 do t1.

Dáno: lAB = 1700 mm, hAD = 1400 mm, d = 900 mm, = 40o ,

vA = 2,6 ms-1

, t1 = 0,5 s.

Výsledky:

xA = 0,00 m , yA= 1,30 m , φ = -0,49 rad , xD = 1,24 m , yD = 0,65 m ,

ω = -3,11 s-1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

cas [s]

uh

el fi

[ra

d]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-3.2

-3

-2.8

-2.6

-2.4

-2.2

-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [s

-1]

29


Dodatek k zadání podle skript: Sestavte rovnice pohybu tělesa. Vyřešte polohu

tělesa a polohu bodu B v čase t1 = 1,5 s pohyb bodu B a úhlovou rychlost tělesa a

nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tělesa na čase od 0 do

t1.

Výsledky:

minAC = 0,23 m , tvp = 1,33 s , xA = 0,21 m , yA= -0,34 m , φ = 1,16 rad ,

xB = 0,70 m , yB = 0,76 m , ω = 1,53 s-1

0 0.5 1 1.50.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

cas [s]

uh

el fi

[ra

d]

0 0.5 1 1.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [s

-1]

30


Ze skript použijte pouze obrázek!!! Zalomená tyč s koncovými body A a M se

pohybuje z nakreslené počáteční polohy tak, že její bod A je veden s konstantním

zpomalením aA po svislé přímce. Počáteční rychlost bodu A je vA0 . Sestavte

rovnice pohybu tyče. Vyřešte pohyb bodu M a úhlovou rychlost tyče. Vypočtěte

polohu tyče, polohu bodu M a úhlovou rychlost tyče v čase t1 a nakreslete grafy

závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od 0 do t1 .

Dáno: r = 450 mm, b = 1400 mm, m = 1850 mm, p = 150 mm, vA0 = 0,55 ms-1

,

aA = - 0,3 ms-2

, t1 = 1,1 s.

Výsledky:

xA = 0,00 m , yA= 0,18 m , φ = 0,31 rad , xM = 1,81 m , yM = 0,60 m , ω = 0,16 s-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

cas [s]

uh

el f

i [r

ad]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [

s-1]

31


Dodatek k zadání podle skript: Vypočtěte úhlovou rychlost kmenu. Pro zadané

hodnoty vA = 2,0 ms-1

, lAB = 5500 mm, h = 300 mm, r = 600 mm a

b = 150 mm vyčíslete polohu kmenu, polohu bodu B a úhlovou rychlost kmenu

v čase t1 = 0,55 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti

kmenu na čase od 0 do t2 = 2,0 s.

Výsledky:

xA = 1,25 m , yA= 0,90 m , φ = 0,22 rad , xB = -4,11 m , yB = -0,32 m ,

ω = -0,31 s-1

0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

cas [s]

uh

el fi

[ra

d]

0 0.5 1 1.5 2-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [s

-1]

32


Dodatek k zadání podle skript: Vypočtěte úhlovou rychlost tělesa. Pro zadané

hodnoty v0 = 0,15 ms-1

, a = 0,25 ms-2

, lAB = 850 mm, dAC = 600 mm,

hCD = 200 mm a bOA0 = 800 mm vyčíslete polohu tělesa, polohu bodu D

a úhlovou rychlost tělesa v čase t1 = 1,3 s a nakreslete grafy závislosti úhlu

natočení a úhlové rychlosti tělesa na čase od 0 do t1.

Výsledky:

xA = 0,41 m , yA= 0,00 m , φ = 1,09 rad , xD = 0,51 m , yD = 0,62 m , ω = 0,63 s-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

cas [s]

uh

el fi

[ra

d]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40.52

0.54

0.56

0.58

0.6

0.62

0.64

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [s

-1]

33


Dodatek k zadání podle skript: Vypočtěte úhlovou rychlost tyče. Uvažujte

s = s0+s0*sin(t+0). Pro zadané hodnoty b = 500 mm, d = 140 mm, = /6 rad,

lKL = 1400 mm, s0 = 280 mm, = 4 s-1

a 0 = -/2 rad vyčíslete polohu tyče,

polohu bodu L, složky rychlosti bodu L a úhlovou rychlost tyče v čase t1 = 1,1 s a

nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od 0 do

t1.

Výsledky:

xK = -0,44 m , yK= 0,25 m , φ = 0,26 rad , xL = 0,91 m , yL = -0,11 m ,

vLx = 1,03 ms-1

, vLy = -0,15 ms-1

, ω = -0,28 s-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

cas [s]

uh

el fi

[ra

d]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [s

-1]

34


Dodatek k zadání podle skript: Sestavte rovnice pohybu tyče a vypočtěte úhlovou

rychlost tyče. Pro zadané hodnoty r = 400 mm, b = 1400 mm,

lMN = 1800 mm a c = 0,28 ms-1

vyčíslete polohu tyče, polohu bodu N, složky

rychlosti bodu N a úhlovou rychlost tyče v čase t1 = 1,6 s a nakreslete grafy

závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od 0 do t1.

Výsledky:

xM = 0,00 m , yM= 0,45 m , φ = -0,034 rad , xN = 1,80 m , yN = 0,39 m ,

vNx = -0,012 ms-1

, vNy = -0,076 ms-1

, ω = -0,20 s-1

0 0.5 1 1.5 2-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

cas [s]

uh

el fi

[ra

d]

0 0.5 1 1.5 2-0.205

-0.204

-0.203

-0.202

-0.201

-0.2

-0.199

-0.198

-0.197

-0.196

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [s

-1]

35


Dodatek k zadání podle skript: Vyřešte úhlovou rychlost válce. Pro zadané

hodnoty r = 250 mm, b = 1200 mm a c = 0,51 ms-1

vyčíslete polohu válce a

velikost jeho úhlové rychlosti v čase t1 = 1,7 s a nakreslete grafy závislosti úhlu

natočení a úhlové rychlosti válce na čase od 0 do t1.

Výsledky:

xS = 0,94 m , yS= 0,00 m , φ = 3,77 rad , ω = 2,84 s-1

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

cas [s]

uh

el fi

[ra

d]

0 0.5 1 1.5 22

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [s

-1]

36


Dodatek k zadání podle skript: Vyřešte úhlovou rychlost tělesa. Pro zadané

hodnoty aA = 0,2 ms-2

, d = 1200 mm, r = 400 mm, lAB = 850 mm a

hBC = 300 mm vyčíslete polohu tělesa, polohu bodu T a úhlovou rychlost

tělesa v čase t1 = 2,3 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové

rychlosti tělesa na čase od 0 do t1.

Výsledky:

xA = 0,53 m , yA= 0,00 m , φ = 0,48 rad , xT = 0,84 m , yT = 0,33 m , ω = -0,15 s-1

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

cas [s]

uh

el fi

[ra

d]

0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [s

-1]

37


Dodatek k zadání podle skript: Vyřešte úhlovou rychlost půlválce. Pro zadané

hodnoty aA = 0,2 ms-2

, r = 600 mm a m = 250 mm, vyčíslete polohu půlválce,

polohu bodu M a úhlovou rychlost půlválce v čase t1 = 2,1 s a nakreslete grafy

závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti půlválce na čase od 0 do t1.

Výsledky:

xA = 0,00 m , yA= 0,16 m , φ = 0,83 rad , xM = 0,58 m , yM = 0,78 m , ω = 1,03 s-1

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

cas [s]

uh

el fi

[ra

d]

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [s

-1]

38


Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A tělesa tvořeného dvěma úsečkami se

pohybuje v drážce b harmonickým pohybem s = s0+s0*sin(t+0). Sestavte

rovnice pohybu tělesa. Vyřešte pohyb bodu L a úhlovou rychlost tělesa. Pro

zadané hodnoty d = 300 mm, s0 = 200 mm, = 3 s-1

, 0 = -/2 rad,

mAJ = 150 mm a nJL = 100 mm vyčíslete polohu tyče, polohu bodu L a

úhlovou rychlost tyče v čase t1 = 1,2 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení

a úhlové rychlosti tyče na čase od 0 do t1.

Výsledky:

xA = 0,00 m , yA= 0,38 m , φ = 0,90 rad , xL = 0,015 m , yL = 0,56 m , ω = -0,34 s-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

cas [s]

uh

el fi

[ra

d]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [s

-1]

39


Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A se pohybuje z počáteční klidové

polohy A0 po přímce p s konstantním zrychlením aA. Ve stejném okamžiku jako

bod A vyrazí z bodu B0 po přímé dráze bod B rovnoměrně zrychleným pohybem.

Pod jakým úhlem se musí pohybovat, aby se s bodem A setkal? Vyjádřete

závislost vB = vB(sB), nakreslete její graf a vypočtěte z ní rychlost bodu B v místě,

kde urazil vzdálenost sB = 33 m.

Dáno: h = 45 m, vA0 = 0 ms-1

, aA = 2,8 ms-2

, vB0 = 0 ms-1

, a = 3,3 ms-2

.

Výsledky:

φ = 58,0 stupňů , BB 2asv , vB33 = 14,8 ms-1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

5

10

15

20

25

draha sB [m]

rych

lost

vB

[m

s-1

]

40


Ze skript použijte pouze obrázek!!! Po kružnicích o poloměrech r1 a r2 se

pohybují body A a B z výchozích poloh A0 a B0 . Bod A se pohybuje rovnoměrně

(vA = const.), bod B má počáteční rychlost vB0 a pohybuje se s konstantním

tečným zrychlením aBt . Jak veliké musí být zrychlení aBt , aby se oba body

setkaly v místě C, při druhém průchodu bodu A tímto místem. Vypočítejte také

čas ts, za který se oba body setkají a výsledná zrychlení obou bodů

v okamžiku setkání. Výsledky vyčíslete pro hodnoty r1 = 0,95 m ,

r2 = 1,3 m , vA = 0,7 ms-1

a vB0 = 0,1 ms-1

a nakreslete grafy drah sA a sB

v závislosti na čase.

Výsledky:

aBt = 0,053 ms-2

, T = 10,7 s , aA = 0,52 ms-2

, aB = 0,35 ms-2

0 2 4 6 8 10 120

1

2

3

4

5

6

7

8

cas [s]

dra

ha

[m]

sA

sB

41


Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A se pohybuje z klidové polohy A0 po

přímce p rovnoměrně zrychleným pohybem. Ve stejném okamžiku se začne

z polohy B0 pohybovat bod B po kružnici k. V počáteční poloze má bod B

rychlost vB0 a pohybuje se s konstantním tečným zrychlením aBt . Jaké musí být

hodnoty vB0 a aBt , mají-li se body A a B postupně setkat v průsečících H a K?

Výsledky vyčíslete pro hodnoty r = 1,0 m , l = 1,3 m , vA0 = 0 ms-1

a

aA = 0,25 ms-2

a nakreslete grafy drah sA a sB v závislosti na čase.

Výsledky:

vB0 = -0,24 ms-1

, aBt = 0,45 ms-2

0 1 2 3 4 5 6-1

0

1

2

3

4

5

cas [s]

dra

ha

[m]

sA

sB

42


Ze skript použijte pouze obrázek!!! Z počáteční klidové polohy nakreslené

v obrázku se válec odvaluje rovnoměrně zrychleným pohybem vlevo. V bodě A

je k němu kloubem připojena tyč AD . Sestavte rovnice pohybu tyče. Vyřešte

pohyb bodu D a úhlovou rychlost tyče. Dále vypočtěte dráhu středu S válce a čas

t1, za který se válec otočí o úhel 2 rad. Dráhy obou bodů vyčíslete v čase

t1 pro hodnoty vS0 = 0 ms-1

, a = 0,4 ms-2

, r = 200 mm, e = 140 mm,

lAD = 800 mm a nakreslete grafy dráhy obou bodů v závislosti na čase od 0

do t1.

Výsledky:

t1 = 2,51 s , sS = 1,26 m , sD = 1,26 m

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

cas [s]

dra

ha

[m]

sD

sS

43


Ze skript použijte pouze obrázek!!! Struna připojená k tělísku T je provlečena

úzkou štěrbinou a druhým koncem připevněna na obvodu válce o poloměr r.

Válec se z počáteční klidové polohy nakreslené v obrázku odvaluje rovnoměrně

zrychleným pohybem vpravo. Sestavte rovnice pohybu válce. Vyřešte pohyb

tělíska T a úhlovou rychlost a úhlové zrychlení válce. Dále vypočtěte dráhu

středu S válce a čas t1, za který se válec otočí o úhel 2 rad. Dráhy bodu S a

tělíska T a úhlovou rychlost a úhlové zrychlení válce vyčíslete v čase t1 pro

hodnoty l = 0,8 m , r = 0,2 m , vS0 = 0 ms-1

a a = 0,4 ms-2

a nakreslete grafy dráhy

bodu a tělíska v závislosti na čase od 0 do t1.

Výsledky:

t1 = 2,51 s , sS = 1,26 m , sT = 2,45 m , ωv = 5,01 s-1

, αv = 2,00 s-2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

cas [s]

dra

ha

[m]

sT

sS

44


Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A tělesa se pohybuje harmonickým

pohybem s = s0+s0*sin(t+0) po přímce x. Sestavte rovnice pohybu tělesa.

Vyřešte pohyb bodu D a úhlovou rychlost tělesa. Rovnice pohybu tělesa,

souřadnice xD a yD bodu D a úhlovou rychlost tělesa vyčíslete pro hodnoty

lAB = 1500 mm, dAC = 950 mm, hCD = 350 mm, = /3 rad,

s0 = 580 mm, = 2,5 s-1

, 0 = -/2 rad v čase t1 = 2,1 s a nakreslete grafy

souřadnic xD a yD v závislosti na čase od 0 do t1 .

Výsledky:

xA = 0,28 m , yA = 0,00 m , φ = 0,88 rad , xD = -0,050 m ,

yD = 0,96 m , ω = 0,73 s-1

0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

cas [s]

sou

rad

nic

e [

m]

xD

yD

45


Ze skript použijte pouze obrázek!!! Po přímce p v rovině yz se z počáteční

klidové polohy Z0 pohybuje konstantním zrychlením a bodový světelný zdroj.

Vyjádřete, jak se pohybuje stín, který vrhá bod A na rovinu xy. Souřadnice stínu

xS a yS vypočtěte v zadaném nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému,

vyčíslete je pro hodnoty h = 600 mm, = 20o, a = 0,6 ms

-2, xA = 400 mm,

yA = 250 mm, zA = 150 mm v čase t1 = 1,8 s a nakreslete grafy souřadnic stínu

v závislosti na čase od 0 do t1.

Výsledky:

xS = 0,48 m , yS = 0,12 m

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

cas [s]

sou

rad

nic

e [m

]

xS

yS

46


Ze skript použijte pouze obrázek!!! Úsečka DE je vedena koncovými body po

přímkách d a e. Pohyb začíná v klidové poloze nakreslené na obrázku. Bod D se

pohybuje rovnoměrně zrychleným pohybem se zrychlením a. Vyjádřete, jak se

pohybuje bod L a vypočtěte jeho polohu v čase t1 . Souřadnice xL , yL a zL bodu L

vypočtěte v zadaném nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému,

vyčíslete je pro hodnoty hOD0 = 600 mm, pOE0 = 800 mm,

qOF = 1600 mm, lEL = 600 mm, vD0 = 0 ms-1

a a = 0,6 ms-2

v čase

t1 = 1,8 s a nakreslete grafy souřadnic bodu L v závislosti na čase od 0 do času, ve

kterém bude bod E totožný s bodem F.

Výsledky:

xL = 0,75 m , yL = 0,36 m , zL = 0,23 m

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

cas [s]

sou

rad

nic

e [m

]

xL

yL

zL

47


Ze skript použijte pouze obrázek 2.14a !!! Rameno délky ROL = 1,4 m se má

co nejrychleji otočit o úhel φc = 40 stupňů z jedné klidové polohy do druhé

klidové polohy. Rameno se rozbíhá konstantním úhlovým zrychlením α1 = 13 s-2

a zastavuje se konstantním úhlovým zpožděním α2 = -19 s-2

. Bod L se může

pohybovat maximální rychlostí vmax = 5 ms-1

. Vypočtěte dobu tc pohybu ramene

a maximální rychlost vLmax bodu L. Dále odvoďte závislost rychlosti bodu L na

proběhnuté dráze a nakreslete její graf.

Výsledky:

tc = 0,43 s , vLmax = 4,60 ms-1

, 1. úsek L1L 2 Rsv

, 2. úsek

2

max1L2L max)(2

LvssRv

, kde s1max je dráha bodu L v prvním úseku

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

draha bodu L [m]

rych

lost

bo

du

L [

ms

-1]

48


Ze skript použijte pouze obrázek!!! Lokomotiva zvyšuje svojí rychlost

konstantním zrychlením a z počáteční rychlosti v0. Její kola se odvalují po

kolejnicích. V počáteční poloze (v čase t0 = 0 s) byl bod L v nejnižší poloze.

Sestavte rovnice pohybu lokomotivní spojnice s. Vyřešte pohyb, rychlost a

zrychlení bodu L a úhlovou rychlost kol. Řešení proveďte v nepohyblivém

pravoúhlém souřadnicovém systému s počátkem v bodě L0. Pro zadané hodnoty

r = 450 mm , e = 400 mm , v0 = 10 ms-1

a a = 4 ms-2

vyčíslete souřadnice,

rychlost a zrychlení bodu L a úhlovou rychlost kol v čase t1 = 3,2 s a nakreslete

graf závislosti složek rychlosti bodu L na čase během jednoho otočení kola o 360

stupňů.

Výsledky:

xL = 52,6 m , yL= 0,77 m , vL = 42,3 ms-1

, aL = 1025 ms-2

, ω = 50,7 s-1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3-10

-5

0

5

10

15

20

cas [s]

rych

lost

i [m

s-1

]

vLx

vLy

49


Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A tělesa ve tvaru trojúhelníku se

z nakreslené počáteční polohy pohybuje konstantní rychlostí vA po vodorovné

přímce směrem k bodu S. Bod B je přitom veden po kružnici. Sestavte rovnice

pohybu tělesa. Vypočtěte pohyb bodu C a úhlovou rychlost tělesa. Pro zadané

hodnoty vA = 0,8 ms-1

, počáteční vzdálenost d bodů A a S: d = 1550 mm,

mAB = 1150 mm, kBC = 500 mm, lAC = 1500 mm a r = 450 mm

vyčíslete polohu tělesa, polohu bodu C a úhlovou rychlost tělesa v čase

t1 = 0,3 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tělesa na

čase od 0 do t1 .

Výsledky:

xA = 1,31 m , yA = 0,00 m , φ = 0,34 rad , xC = 0,087 m ,

yC = 0,87 m , ω = 0,36 s-1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

0.32

0.34

cas [s]

uh

el fi

[ra

d]

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [s

-1]

50


Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A tyče AB se z počáteční polohy A0 , ve

které měl počáteční rychlost vA0 , pohybuje konstantním zrychlením aA . Bod B se

smýká po nakloněné rovině. Sestavte rovnice pohybu tyče. Vyřešte pohyb bodu

D, který leží na tyči ve vzdálenosti h od bodu A a úhlovou rychlost tyče. Pro

zadané hodnoty: lAB = 1700 mm, hAD = 1400 mm, d = 900 mm, = 40o ,

vA0 = 0,3 ms-1

a aA = 0,35 ms-2

vyčíslete polohu tyče, polohu bodu D a úhlovou

rychlost tyče v čase t1 = 2,0 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové

rychlosti tyče na čase od 0 do t1.

Výsledky:

xA = 0,00 m , yA= 1,30 m , φ = -0,49 rad , xD = 1,24 m , yD = 0,65 m ,

ω = -1,19 s-1

0 0.5 1 1.5 2-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

cas [s]

uh

el fi

[ra

d]

0 0.5 1 1.5 2-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [s

-1]

51


Ze skript použijte pouze obrázek!!! Těleso AB se pohybuje z nakreslené

počáteční polohy tak, že jeho bod A je veden konstantní rychlostí vA po kružnici

směrem k bodu C. Sestavte rovnice pohybu tělesa. Vyřešte pohyb bodu B a

úhlovou rychlost tělesa. Pro zadanou rychlost vA = 1,2 ms-1

vyčíslete polohu

tělesa, polohu bodu B a úhlovou rychlost tělesa v čase, kdy bod A urazí polovinu

své dráhy směrem k bodu C a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové

rychlosti tělesa na čase od 0 do času, kdy bod A bude totožný s bodem C.

Výsledky:

xA = -0,28 m , yA= -0,28 m , φ = 0,62 rad , xB = 0,69 m , yB = 0,42 m , ω = -1,13 s-1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

cas [s]

uh

el fi

[r

ad

]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-1.25

-1.2

-1.15

-1.1

-1.05

-1

-0.95

cas [s]

uh

lova r

ych

lost

om

eg

a [s

-1]

52


Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A se pohybuje harmonickým pohybem se

středem v nakreslené počáteční poloze. V pravoúhlém souřadnicovém systému

s počátkem v bodě B je jeho souřadnice yA popsána vztahem

yA = r + p + s0*sin(t+0). Sestavte rovnice pohybu tyče. Vyřešte pohyb bodu M

a úhlovou rychlost tyče. Pro zadané hodnoty: r = 450 mm, b = 1400 mm,

m = 1850 mm, p = 150 mm, = 2,5 s-1

a 0 = 0 rad vyčíslete polohu tyče, polohu

bodu M a úhlovou rychlost tyče v čase t1 = 3,2 s a nakreslete grafy závislosti úhlu

natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od 0 do t1.

Výsledky:

xA = 0,00 m , yA= 1,19 m , φ = -0,37 rad , xM = 1,67 m , yM = 0,38 m ,

ω = 0,12 s-1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

cas [s]

uh

el fi

[ra

d]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [s

-1]

53


Ze skript použijte pouze obrázek!!! Traktor pohybující se rovnoměrně

zrychleným pohybem s počáteční rychlostí vA0 a konstantním zrychlením aA

vytahuje kmen AB z polohy 00BA na vodorovnou plošinu. Sestavte rovnice

pohybu kmenu, vypočtěte trajektorii koncového bodu B a úhlovou rychlost

kmenu. Pro zadané hodnoty vA0 = 0,3 ms-1

, aA = 0,5 ms-2

, lAB = 5500 mm,

h = 300 mm, r = 600 mm a b = 150 mm vyčíslete polohu kmenu, polohu bodu B a

úhlovou rychlost kmenu v čase t1 = 1,65 s a nakreslete grafy závislosti úhlu

natočení a úhlové rychlosti kmenu na čase od 0 do t1.

Výsledky:

xA = 1,33 m , yA= 0,90 m , φ = 0,21 rad , xB = -4,05 m , yB = -0,26 m ,

ω = -0,16 s-1

0 0.5 1 1.5 20.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

cas [s]

uh

el fi

[ra

d]

0 0.5 1 1.5 2-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [s

-1]

54


Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A se pohybuje harmonickým pohybem se

středem v bodě A0. V pravoúhlém souřadnicovém systému s počátkem v bodě

A0 je jeho souřadnice xA popsána vztahem xA = s0*sin(t+0). Sestavte rovnice

pohybu tělesa. Vyřešte pohyb bodu D a úhlovou rychlost tělesa. Pro zadané

hodnoty lAB = 850 mm, dAC = 600 mm, hCD = 200 mm,

bOA0 = 700 mm, s0 = 100 mm, = 3 s-1

a 0 = 0 rad vyčíslete polohu tělesa,

polohu bodu D a úhlovou rychlost tělesa v čase t1 = 2,7 s a nakreslete grafy

závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tělesa na čase od 0 do t1.

Výsledky:

xA = 0,097 m , yA= 0,00 m , φ = 0,78 rad , xD = 0,38 m , yD = 0,56 m , ω = -0,12 s-1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

cas [s]

uh

el fi

[ra

d]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [s

-1]

55


Dodatek k zadání podle skript: Vypočtěte úhlovou rychlost tyče. Uvažujte

s = v0t+½at2. Pro zadané hodnoty b = 500 mm, d = 140 mm, = /6 rad,

lKL = 1400 mm, v0 = 0,3 ms-1

a a = 0,5 ms-2

vyčíslete polohu tyče, polohu

bodu L, složky rychlosti bodu L a úhlovou rychlost tyče v čase t1 = 1,1 s a

nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od 0 do

t1.

Výsledky:

xK = -0,67 m , yK= 0,39 m , φ = 0,32 rad , xL = 0,66 m , yL = -0,053 m,

vLx = -0,80 ms-1

, vLy = 0,24 ms-1

, ω = 0,14 s-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

cas [s]

uh

el fi

[ra

d]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.2

0.21

0.22

0.23

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [s

-1]

56


Ze skript použijte pouze obrázek!!! Tyč MN se smýká po kružnici k a její bod M

se z počáteční klidové polohy pohybuje konstantním zrychlením a po přímce p.

Sestavte rovnice pohybu tyče. Vyřešte pohyb bodu N a úhlovou rychlost tyče.

Pro zadané hodnoty r = 400 mm, b = 1400 mm, lMN = 1800 mm a

a = 0,35 ms-2

vyčíslete polohu tyče, polohu bodu N, složky rychlosti bodu N a

úhlovou rychlost tyče v čase t1 = 1,6 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení

a úhlové rychlosti tyče na čase od 0 do t1.

Výsledky:

xM = 0,00 m , yM= 0,45 m , φ = -0,034 rad , xN = 1,80 m , yN = 0,39 m ,

vNx = -0,024 ms-1

, vNy = -0,15 ms-1

, ω = -0,40 s-1

0 0.5 1 1.5 2-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

cas [s]

uh

el fi

[ra

d]

0 0.5 1 1.5 2-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [s

-1]

57


Ze skript použijte pouze obrázek!!! Z počáteční klidové polohy podle obrázku se

pohybuje závaží Z konstantním zrychlením a dolů a lano uvádí do valivého

pohybu válec. Sestavte rovnice pohybu válce a vyřešte jeho úhlovou rychlost. Pro

zadané hodnoty r = 250 mm, b = 1200 mm a a = 0,6 ms-2

vyčíslete polohu válce a

velikost jeho úhlové rychlosti v čase t1 = 1,7 s a nakreslete grafy závislosti úhlu

natočení a úhlové rychlosti válce na čase od 0 do t1.

Výsledky:

xS = 0,94 m , yS= 0,00 m , φ = 3,77 rad , ω = 5,69 s-1

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

cas [s]

uh

el fi

[r

ad

]

0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

6

cas [s]

uh

lova r

ych

lost

om

eg

a [s

-1]

58


Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A tělesa ve tvaru obdélníku se z počáteční

polohy A0 , ve které měl počáteční rychlost vA0 orientovanou směrem doprava, pohybuje po přímce p s konstantním zrychlením aA. Bod B je přitom veden po kružnici k. Sestavte

rovnice pohybu tělesa. Vyřešte pohyb střediska obdélníku T a úhlovou rychlost tělesa.

Pro zadané hodnoty vA0 = 0,15 ms-1

, aA = 0,2 ms-2

, d = 1200 mm, r = 400 mm,

lAB = 850 mm a hBC = 300 mm vyčíslete polohu tělesa, polohu bodu T a

úhlovou rychlost tělesa v čase t1 = 0,9 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení

a úhlové rychlosti tělesa na čase od 0 do t1.

Výsledky:

xA = 0,22 m , yA= 0,00 m , φ = 0,42 rad , xT = 0,54 m , yT = 0,31 m , ω = 0,20 s-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

cas [s]

uh

el fi

[ra

d]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.2

0.21

0.22

0.23

0.24

0.25

0.26

0.27

0.28

0.29

0.3

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [s

-1]

59


Ze skript použijte pouze obrázek!!! Společný kloub A půlválce a tyče se pohybuje

z počáteční polohy A0 , ve které měl počáteční rychlost vA0 orientovanou směrem

dolů, s konstantním zrychlením aA. Sestavte rovnice pohybu půlválce. Vyřešte

pohyb bodu M a úhlovou rychlost půlválce. Pro zadané hodnoty vA0 = 0,3 ms-1

,

aA = 0,2 ms-2

, r = 600 mm a m = 250 mm, vyčíslete polohu půlválce, polohu bodu

M a úhlovou rychlost půlválce v čase t1 = 1,1 s a nakreslete grafy závislosti úhlu

natočení a úhlové rychlosti půlválce na čase od 0 do t1.

Výsledky:

xA = 0,00 m , yA= 0,15 m , φ = 0,85 rad , xM = 0,56 m , yM = 0,79 m ,

ω = 1,31 s-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

cas [s]

uh

el fi

[ra

d]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [s

-1]

60


Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A tělesa tvořeného dvěma úsečkami se

pohybuje v drážce b rovnoměrně zrychleným pohybem vzhůru. Počáteční poloha

spojnice bodů A a J byla vodorovná, počáteční rychlost bodu A byla vA0 a jeho

konstantním zrychlení je aA. Sestavte rovnice pohybu tělesa. Vyřešte pohyb bodu

L a úhlovou rychlost tělesa. Pro zadané hodnoty vA0 = 1,5 ms-1

, aA = 0,4 ms-2

,

d = 400 mm, mAJ = 250 mm a nJL = 150 mm vyčíslete polohu tyče,

polohu bodu L a úhlovou rychlost tyče v čase t1 = 0,7 s a nakreslete grafy

závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od 0 do t1.

Výsledky:

xA = 0,00 m , yA= 1,15 m , φ = 1,24 rad , xL = -0,059 m , yL = 1,43 m ,

ω = 0,48 s-1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

cas [s]

uh

el f

i [r

ad]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

cas [s]

uh

lova

ryc

hlo

st o

meg

a [

s-1

]

Documents

Mechanika II.A První domácí úkol - users.fs.cvut.czusers.fs.cvut.cz/petr.benes/VYUKA/mechanika/Prvni_domaci_ukol... · Mechanika II.A – První domácí úkol (Zadání je ze