Lezione 1Lezione 1

Meccanica di un sistema puntiformeCinematica

Meccanica di un corpo puntiformeMeccanica di un corpo puntiforme

• Meccanica : studia l moto di un corpo: esprime con leggi quantitative. la relazione tra il moto e le cause che lo generano.

• Dinamica Analisi completa del moto : riguarda sia il collegamento del moto alle forze che lo producono sia la descrizione geometrica dell'evoluzione temporale del fenomeno di movimento

• Cinematica Descrive il moto di un corpo, indipendentemente dalle cause che lo determinano.

• Il moto di un corpo esteso dipende da (almeno) sei gradi di libertà (tre traslazioni e tre rotazioni) e può risultare notevolmente complicato: per semplicità iniziamo lo studio del moto di un

• corpo puntiforme corpo di dimensioni trascurabili rispetto a quelledello spazio in cui può muoversi o degli altri corpi con cui può interagire.

• Un corpo esteso solo eccezionalmente si muove come un punto materiale (si parla in tal caso di traslazione); esso può compiere contemporaneamente altri tipi di moto, come rotazioni (ad esempio una ruota) o vibrazioni (una goccia di liquido che cade).

• L’ ipotesi di corpo puntiforme riduce il numero di gradi di libertà del moto a tre (traslazione nello spazio).

Sistemi di riferimento spazialeSistemi di riferimento spaziale• Il moto di un punto materiale è determinato se è nota la sua posizione in funzione

del tempo in un determinato sistema di riferimento , ossia ad esempio se sono note le sue coordinate x(t), y(t), z(t) in un sistema di riferimento cartesiano..

Questa scelta, anche se èla più comune, non èunica.In problemi aventi una simmetria definita possono essere più idonei altri sistemi di riferimento, e.g. coordinate cilindriche

x

y P(x,y)

x

y P(x,y)

φr

Sistemi di riferimento in tre dimensioni

Sistemi di riiferimento in due dimensioni

Parametri Parametri cinematicicinematici• La traiettoria luogo dei punti occupati successivamente dal punto in movimento costituisce una curva continua nello spazio ed e’ rappresentata matematicamente dalla funzione

• Spazio percorso e’ la misura del cammino percorso a partire dalla posizione iniziale P0.

• Velocità , variazione di posizione lungo la traiettoria in funzione del tempo.

• Accelerazione. Lo studio delle variazioni della velocità con il tempo introduce la grandezza

• Tempo percorso dall’ istante iniziale spesso usato come variabile indipendente, in funzione di cui si esprimono le altregrandezze.

• La quiete è un caso particolare di moto in cui le coordinate restano costanti e quindi velocità e accelerazione sono nulle.

P0

Il concetto di quiete e di moto e’ tuttavia un concetto relativo al sistema di riferimento adottato. Di norma la traiettoria di una particella in moto ha una forma diversa ed è rappresentata matematicamente da un'equazione diversa in diversi sistemi di riferimento.

Moto rettilineoMoto rettilineo• Si svolge lungo una retta sulla quale vengono fissati arbitrariamente un'origine e un verso

• Il moto del punto è descrivibile in funzione del tempo tramite una sola coordinata x(t), come rappresentato in figura 1.1. Lo spazio varia a partire da un posizione iniziale x0 e cresce in funzione del tempo, Matematicamente, si dice che lo spazio e’ una funzione del tempo e si indica con

x = x(t)

• Sperimentalmente x(t) può essere determinata ponendo lungo la retta dei traguardi con dispositivi a cellula fotoelettrica collegati ad un cronometro • Si ottengono coppie di valori x e t che costituiscono il diagramma orario del moto.

x(t) = -2m per 0<t<3s

x(t) = -2+0.5(t -3)2 per 3s<t<3s

x(t) = +7 per 7s<t<10s

x(t) = 6-2(t –10) per 10s<t<13s

Diagramma orario

Velocità media nel moto rettilineoVelocità media nel moto rettilineo

• Se un punto si trova all'istante t = t1 nella posizione x1 e all'istante t = t2 nella posizione x2. si dice spostamento del punto nell'intervallo di tempo ∆t = t2 – t1 la distanza ∆x = x2 – x1• La velocità media vm del punto è definita come rapporto tra lo σποσταµεντο ∆ξ e l'intervallo di tempo ∆t

Dalla definizione e dal triangolo rettangolo P1 P2 Q

vm= ∆x/∆t e ∆x/∆t = tan(αm)

La velocità media esprime la rapidità con cui avviene lo spostamento. Essa da un'informazione complessiva senza fornire nessuna indicazione di come avviene il moto nell'intervallo di tempo considerato

αm

Q

si ottiene che velocità media e’ rappresentata geometricamente dalla pendenza della retta che collega i punti P1 e P2

1.1)

Funzione derivata: velocità istantaneaFunzione derivata: velocità istantanea

La retta P1P2 tende a diventare la tangente alla curva nel punto P1 pertanto la rappresentazione geometrica della derivata in un certo punto e’ la pendenza della tangente alla curva in quel punto

Matematicamente si dice che la velocità v (t) e’ la funzione derivata (prima) della funzione spazio x(t) e si indica simbolicamente con

αmα

Q

Se l’ intervallo ∆t viene progressivamente ridotto, fino a valori infinitesimi, la misura della velocità media tende a diventare il valore istantaneo nel punto P1 ovvero la variazione istantanea dello spazio nel punto P 1 o velocità istantanea.

t

tx

dt

tdxtv

t ∆∆==

→∆

)(lim

)()(

0

Nello stesso modo, se si considerano le variazioni della funzione velocità, con lo stesso ragionamento si arriva a definire la derivata (prima) della velocità detta accelerazione:

t

tv

dt

tdvta

t ∆∆==

→∆

)(lim

)()(

0

Più in generale e’ possibile dimostrare che data una funzione continua f(t) di una variabile t, e’ (quasi sempre) possibile calcolare matematicamente le funzioni derivate di ordine

della funzione (detta “primitiva “), che esprimono, ciascuna, come varia la funzione derivata di ordine inferiore.

Cosi :

• la funzione velocità v(t) e’ la derivata prima della funzione spazio s(t)

• la funzione accelerazione a(t) e’ la derivata prima della funzione velocità v(t) e la derivata seconda della funzione spazio.

L’ espressione matematica di una funzione derivata dipende unicamente dalla forma della funzione primitiva. Nella tavola sono elencate di funzioni usate più comunemente.

n

nn

dt

tfdtD

)()( =

Funzione derivataFunzione derivata

Funzione integraleFunzione integrale

1

1

che e’ uguale all’ area del rettangolo di base dx ed altezza v(t) qualunque sia la dipendenza della velocità dal tempo. Lo spostamento complessivo sulla retta su cui si muove il punto, in un intervallo finito di tempo ∆t = t1 - t0 è dato dalla somma di tutti i successivi valori dx compresi tra t0 e t1. Per fare il calcolo utilizziamo l'operazione di integrazione, che si indica con:

Il primo integrale e’ ovviamente uguale a x - x0 quindi:

permette il calcolo dello spazio percorso qualunque sia il tipo di moto.

dttvdx )(=

Se è nota la dipendenza dal tempo della velocità istantanea, v (t) , Il calcolo della la funzione spazio x(t) e’ il problema inverso del precedente

Se al tempo t il punto materiale si trova nella posizione x e al tempo t+dt; nella posizione x + dxdalla (1.1) vediamo che lo spostamento infinitesimo dx e’ eguale al prodotto del tempo impiegato a percorrerlo per il valore della velocità al tempo t

t

v(t) dttvdx )(=

t t+dt

v(t)

t0 ∆t t1

11

Rappresentazione geometrica della funzione integral e Rappresentazione geometrica della funzione integral e

dttvdx )(=

Come risulta dalla definizione, la funzione integrale e’ numericamente uguale alla somma degli elementi di superficie sottesi dalla funzione integrata l’ asse delle ascisse e dai due valori estremi dell’ integrale

dttvdx )(=

Il termine x0 rappresenta la posizione iniziale del punto, occupata nell'istante iniziale t0. Pertanto per calcolare x(t), nota v(t), è necessario conoscere la condizione iniziale del moto.

∫∫ ==−1

0

1

0

)(01

t

t

t

t

dttvdxxx

t

v(t)

t t+dt

v(t)

t0 ∆t t1

RiassuntoRiassunto

• Il moto di un corpo puntiforme in una sola dimensione e’ completamente definito, in funzione del tempo, dallo spazio percorso x = x(t) misurato a partire da una posizione iniziale x0 = x(t = t0)

• La velocità

e’ in ogni istante la derivata (fatta rispetto al tempo) dello spazio percorso e rappresenta fisicamente come questo varia in ogni istante.

• L’ accelerazione

dt

tdxtv

)()( =

2

2 )()()(

dt

txd

dt

tdvta ==

∫+=t

t

dttavtv0

)()( 0∫+=t

t

dttvxtx0

)()( 0

e’ la derivata (fatta rispetto al tempo) della velocità e rappresenta fisicamente come questa varia in ogni istante

Le relazioni tra accelerazione, velocità e spazio sono

1.2)

1.3)

1.4) 1.5)

Moto rettilineo uniforme Moto rettilineo uniforme

• In un moto rettilineo uniforme la velocità del corpo non varia col tempo:

Applicando l’ equazione generale

si calcola immediatamente lo spazio percorso :

che e’ proporzionale al tempo trascorsoApplicando l’ equazione generale 1.3)

L’accelerazione del moto e’ nulla

t

x(t)

∫+=t

t

dttvxtx0

)()( 00

)()( 0000000

0 0

ttvxdtvxdtvxtxt

t

t

t

−+=+=+= ∫ ∫

0vv =

0)( 0 ==dt

dvta

Esempi di moti rettilinei uniformi sullo stesso ass eEsempi di moti rettilinei uniformi sullo stesso ass e

tvxtx

tvxtx

22

11

)(

)(

+=+= 0

21

12 >−−=

vv

xxt

Equazione oraria dei due punti Tempo di incontro Punto di incontro

21

1221

vv

xvxvx

−−=

P1 v1 P2 v2

O

x1

x2

Posizioni iniziali x1 = 3m, x2 = 8m

t = 2 s t = 4 s t = 2.5 s

x = 5m x = 9m x= -2m

Moto uniformemente accelerato Moto uniformemente accelerato In un moto uniformemente accelerato l’ accelerazione e’ costante : a = a 0

20000000000000 )(

2

1)()()]([)(

0 0 0

ttattvxdtttadtvxdtttavxtxt

t

t

t

t

t

−+−+=−++=−++= ∫ ∫ ∫

Applicando le equazioni 1.5) :

Ossia la velocità varia in modo proporzionale al tempo

Applicando la 1.4):

Lo spazio percorso e’ una funzione proporzionale a l quadrato del tempo

Se t 0= 0

Se a0 e’ negativo il moto si dice uniformemente decelerato

)()()( 000000

0 0

ttavdtavdttavtvt

t

t

t

−+=+=+= ∫ ∫

tavtv 00)( +=2

000 2

1)( tatvxtx ++=

Esempio di moto con accelerazione negativaEsempio di moto con accelerazione negativa

t

Calcolare lo spazio di frenata di un auto con velocità iniziale v0 positiva, sottoposta ad una accelerazione negativa -a

La velocità ha equazione e si annulla per

Il tempo di arresto e’ dato da :

Il tempo di ritorno nella posizione iniziale e’ dato dalla relazione;

La velocità al ritorno nella posizione iniziale e’ :

0

202

0

00

0

001 2

)(2

1)(

a

v

a

va

a

vvx =−=

tavtv 00)( −=0

01 a

vt =

20011 2

1)( tatvtxx −==

2202000 tatvx ++= 2

2020 2

10 tatv +=

0

02

2

a

vt =

00

0002002

2)( v

a

vavtavtv −=−=−=

Dimensioni fisiche dei parametri Dimensioni fisiche dei parametri cinematicicinematici

ms-2[LT-2]aaccelerazione

ms-1[LT-1]vvelocità

m[L]xspazio

Unita’DimensionesimboloParametro

Analisi dimensionale delle equazioni:

Le equazioni implicano una eguaglianza tra le espressioni a sinistra e a destra. Pertanto queste devono avere le stesse dimensioni fisiche:

Esempio nell’ equazione tutti i termini devono avere le stesse dimensioni fisiche.

Infatti :

[L] = [L] + [LT-1][T] + [LT-2] T2] = [L]

2000 2

1)( tatvxtx ++=

Moto verticale di un corpoMoto verticale di un corpo

Altezza di arresto

• Se il corpo e’ lasciato cadere da un ‘ altezza h (x0 = h)

Tempo di caduta: Velocità di arrivo

• Se il corpo e’ lanciato verso il basso con velocità v1 (x0 = h e v0 = -v1 )

Tempo di caduta: Velocità di arrivo

• Se il corpo e’ lanciato verso l’ alto con velocità v2 partendo dal suolo ((x0 = 0 e v0 = v2 )

•Tempo di arresto: Altezza di arresto

Tempo di caduta: Tempo di arresto

2

2

1)( gthtx −=gttv −=)(

h

g

htc

2= ghvc 2=

21 2

1)( gttvhtx −−=gtvtv −−= 1)(

g

h

g

v

g

vtc

2)( 211 ++−= ghvc 2=

22 2

1)( gttvtx −=gtvtv −= 2)(

g

vtM

2=g

vtxx MM 2

)(22==

g

v

g

xt M

c22 ==

g

Un corpo che cade senza attrito nel campo gravitazionale terrestre si muove di moto uniformemente accelerato con una accelerazione (detta accelerazione di gravità) diretta verso il centro della terra pari a g = -9.8 ms2 (negativa perché si assume l’ assedelle coordinate diretto verso l’ alto).

g

vttt cMc

22=+=

Esempio di moto vario: Moto armonicoEsempio di moto vario: Moto armonico

Un punto si muove di moto armonico semplice quando la legge oraria è definita dalla relazione

(1.9)

A, ω, φ sono grandezze costanti:

A:ampiezza del moto,

ω t+ φ : fase del moto, φ : fase iniziale, ω : pulsazione.

Il moto armonico semplice è un moto vario, in cui tutte le grandezze cinematiche x(t},v(t),a(t}, variano nel tempo.

Caratteristiche spaziali del moto . I valori estremi dalla funzione seno sono +1 e -1: pertanto il punto che obbedisce alla (1.9) percorre un segmento di ampiezza 2A con centro nell'origine, il massimo spostamento dall'origine è pari ad A, donde il nome di ampiezza del moto.

Al tempo t = 0 il punto occupa la posizione x(0) = A sin φ: note le costanti A e φ, possiamo determinare la posizione iniziale del punto (se φ = 0 φ = π il punto è nell'origine per t=0).

2A

Moto armonicoMoto armonico

Il moto armonico è un caso particolare di moto periodico: ossia descrive oscillazioni di ampiezza A rispetto al centro O, tutte eguali tra loro e caratterizzate da una durata T, detta periodo .

Moti periodici sono alla base della misura del tempo.

Per determinare il periodo T consideriamo due tempi t' e t separati da un periodo, (t' — t = T). Per definizione x(t') = x(t) e quindi da (1.9), dovendo le fasi nei due istanti differire di 2π, periodo della funzione seno, abbiamo ωt' + φ = ωt + φ + 2π:: ne segue che T= t'- t vale

. ossia (1.10)

Si definisce frequenza ν del moto il numero di oscillazioni in un secondo:

Il periodo, e quindi la frequenza, di un moto armon ico semplice sono indipendenti dall'ampiezza del moto.

Moto armonicoMoto armonicoLa velocità del punto che si muove con moto armonico si ottiene derivando x(t):

Con una ulteriore derivazione si ottiene l'accelerazione del punto:

(1.11)

In figura 1.9 sono rappresentate le funzioni x(t),v(t),a(t);si è posto φ = 0.

• La velocità assume il valore massimo nel centro di oscillazione (preso come origine 0) dove vale ωA e si annulla agli estremi (x = A e x = -A) dove si inverte il senso del moto.

• L'accelerazione si annulla nel centro di oscillazione e assume il valore massimo in modulo (ω2A) agli estremi, dove si inverte la velocità; inoltre essa è sempre proporzionale ed opposta allo spostamento dal centro dioscillazione.

Le tre funzioni x(t),v(t),a(t) hanno lo stesso andamento temporale: la forma e il periodo sono eguali, . La velocità è sfasata di π/2 rispetto allo spostamento (è in quadratura di fase), mentre l'accelerazione è sfasata di πsempre rispetto allo spostamento (è in opposizione di fase) .

Moto armonicoMoto armonicoLe costanti A e φ individuano le condizioni iniziali. Per t = 0

x(0) = x0 = A sen φ , v(0) = v0 = ωA cos φ .

Viceversa, note le condizioni iniziali x0 e v0, si calcolano A e φ :

Dalla legge oraria (1.9) abbiamo ricavato che l'accelerazione è proporzionale allo spostamento, con segno negativo: a = -ω2x Esplicitando la derivata II dello spazio si può scrivere l’ equazione differenziale che descrive il moto armonico:

Si può dimostrare che le funzioni seno e coseno, e le loro combinazioni lineari, sono le sole funzioni che soddisfano alla condizione (1.13) nel campo reale.

Unità gii misura :

ampiezza: e’ uno spazio metri perìodo: è un tempo, secondi

frequenza: inverso del tempo, si esprime in s-1; questa unità ha un nome, hertz:1 Hz = 1 s- 1

fase: dimensionalmente è un angolo e si misura in radianti (rad)

pulsazione: 2π /T unità di misura rad/s = rad s- 1.