CHIMICA COMPUTAZIONALE

E’ un termine molto generale che include:

- Meccanica Quantistica

- Meccanica molecolare

- Analisi conformazionale

- Meccanica statistica

- Metodi di minimizzazione

- Metodi di simulazione (Montecarlo, Dinamica,..)

- Altri metodi basati sull’uso del computer

per la comprensione e la predizione del comportamento di sistemi molecolari

E’ alla base dei metodi di progettazione razionale di farmaci

OrarioLunedi 17-19

Venerdì 12-14

25 ore

VerificaScritto con modalità da definire

6 crediti

Meccanica Classica o `Newtoniana'

Si applica alle particelle macroscopiche ma perde di validità per quelle microscopiche (elettroni, nuclei)Le particelle sono descritte dalle loro posizioni istantanee r (t) e dalle velocità v = dr / dtLa posizione istantanea r (t) di una particella definisce la sua traiettoria.r (t) è un vettore (x(t),y(t),z(t)) e definisce come evolve nel tempo la posizione della particella in un sistema di coordinate cartesiane (x,y,z)

x

y

z

.(x,y,z)

Problema fondamentale: descrizione del moto di particelle sottoposte a varie forze

Soluzione: si devono risolvere le equazioni differenziali derivanti dalla seconda legge di Newton

Per una particella sulla quale agisce una forza F

F = m a seconda legge di Newton

v = d r / d t a = d v / d t = d2r / d t2

F = m d2r / d t2 equazione differenziale

Tale equazione è vettoriale, cioè corrisponde a tre equazioni differenziali per le componenti x, y e z:

Fx = m d2x / d t2 Fy = m d2y / d t2 Fz = m d2z / d t2

Risolvere tali equazioni differenziali significa trovare tre funzioni x(t) y(t) e z(t) che soddisfino le equazioni e che definiscono la traiettoria della particella. Questo è un problema matematico complesso solubile analiticamente solo in pochi casi e in genere si ricorre a metodi numerici programmati su computer.

Per un sistema conservativo per il quale può essere definito un potenziale la forza è il gradiente del potenziale F = -V vettore di componenti: - V(x,y,z) / x , - V(x,y,z) / y , - V(x,y,z) / z

In una dimensione, ad esempio x, il gradiente è semplicemente la derivata rispetto a quella cordinata

Fx = - d V(x) / d x

Consideriamo come esempio una particella legata ad una molla per la quale vale la legge di Hook

Fx = - k x forza direttamente proporzionale allo spostamento

F

x0

MOLLA

L’equazione di Newton diventa

-kx = m d2x(t) / d t2 ovvero d2x(t) / d t2 = -(k/m) x(t)

Una soluzione di questa equazione è

x(t)=A sin(t) con =(k/m)

Infatti

d x(t)/ dt = A (k/m) cos (t)

d2x(t) / dt2 = A (k/m) [-(k/m) sin (t)] = - (k/m) A sin(t) = -(k/m) x(t) Il potenziale corrispondente a questa forza è quadratico ed è particolarmente utile in chimica

X

V(x)V(x)=1/2 kx2

Fx = - d V(x) / d x = -kx

MECCANICA QUANTISTICA

All’inizio del 1900 varie osservazioni sperimentali resero evidente che la meccanica classica non si applica a fenomeni molecolari ed atomici.In particolare risultò che particelle microscopiche hanno una natura ondulatoria e questo poneva dei limiti alla determinazione simultanea della loro posizione e velocità.

Lunghezza d’onda di de Broglie:

= h/mv

Principio di indeterminazione di Heisenberg:

(x)(mv) = h/4

Perdita di significato del concetto di traiettoria e quindi delle basi stesse della meccanica classica: non ha infatti più senso parlare della evoluzione temporale delle cordinate di una particella x(t), y(t), z(t).Nel 1926 Scrödinger sviluppò una teoria, nota poi come meccanica quantistica, che permette di descrivere matematicamente le proprietà ondulatorie delle particelle microscopiche.Mentre la meccanica classica associa ad una particella una traiettoria x(t), y(t), z(t) - posizione esatta della particella ad ogni istante t - la meccanica quantistica associa alla particella una funzione d’onda ( x,y,z ) tale che il suo quadrato |( x,y,z )|2 da la probabilità di trovare la particella nel punto dello spazio di coordinate x,y,z

Sulla base di analogie col moto ondulatorio fu possibile ricavare l’equazione fondamentale della meccanica quantistica, nota come equazione di Schrödinger

[ - (h2/82m) 2 - V(x,y,z) ] ( x,y,z ) = E ( x,y,z ) Equazione differenziale alle derivate parziali 2 = 2 / x2 + 2 / y2 + 2 / z2 Laplaciano

H = E H operatore hamiltoniano del sistema

Atomo di Idrogeno

E’ costituito da un elettrone che si muove nel potenziale elettrostatico del nucleo fisso di carica +Ze Il potenziale che agisce sull’elettrone è quello elettrostatico V= -Ze2/r e l’equazione di Schrödinger diventa:

[ - (h2/82m) 2 - Z e2/ r ] ( x,y,z ) = E ( x,y,z )

Tale equazione è risolvibile analiticamente in coordinate polari sferiche

La funzione d’onda sarà ora funzione delle coordinate sferiche (r,, )

n,l,m(r,, ) = R n,l(r )Yl,m(, )

Le soluzioni sono infinite e dipendono dai numeri quantici n,l,m che sono semplicemente numeri interi o relativi

che derivano dalla soluzione matematica dell’equazione di Scrödinger e classificano le possibili soluzioni.

Ciascuna di queste soluzioni corrisponde ad un orbitale atomico e costituisce uno stato del sistema

n=1, l=0, m=0 100 (r,, ) orbitale 1s

n=2, l=0, m=0 200 (r,, ) orbitale 2s

n=2, l=1, m= -1,0,+1 21-1 (r,, ) 210 (r,, ) 211 (r,, ) i tre orbitali 2p

Significato fisico

|100 (r,, )|2 probabilità che l’elettrone nell’orbitale 1s sia nel punto di coordinate (r,,) attorno al nucleo

|200 (r,, )|2 probabilità che l’elettrone nell’orbitale 2s sia nel punto di coordinate (r,,) attorno al nucleo

………………..

Le energie dei vari stati dipendono solo da n sono dati dalla stessa equazione di Bohr

En = - RH Z2 / n2 RH costante di Rydberg

n,l,m(r,, ) = R n,l(r )Yl,m(, )

2,1,0(r,, ) = R 2,1(r )Y1,0(, )= R 2,1(r )·(3/)cos

Orbitale 2p

Atomo Polielettronici

Sono costituiti da N elettroni che si muovono nel potenziale elettrostatico del nucleo fisso di carica +Ze L’equazione di Schrödinger diventa:

N N N N

[ - (h2/82m) i 2 - Z e2/ r i + e2/ r i,j ] = E

i i i < j

La funzione d’onda dipende ora dalle coordinate degli N elettroni (cioè da 3N variabili)

( x1,y1,z1, x2,y2,z2,….,xN,yN,zN)

Tale equazione è risolvibile analiticamente solo se si trascurano i termini di repulsione interelettronici e2/ r i,j Infatti in tal caso l’equazione di Schrödinger diventa

N N

[ - (h2/82m) i 2 - Z* e2/ r i ] = E Z* carica nucleare efficace

i i N N

[ - (h2/82m) i 2 - Z* e2/ r i ] = E H(i) = E

i i ed equivale matematicamente a N equazioni del tipo per l’atomo di idrogeno, con hamiltoniano H(i).Si dimostra che le soluzioni hanno la forma di un prodotto di N funzioni d’onda monoelettroniche identiche a quelle viste per l’atomo di idrogeno

( x1,y1,z1, x2,y2,z2,….,xN,yN,zN) = 1(x1,y1,z1)·2(x2,y2,z2,) · · · N(xN,yN,zN)

Conviene ovviamente scrivere ciascuna funzione d’onda monoelettronica in funzione delle coordinate sferiche:

i(xi,yi,zi ) = i n,l,m(ri,i, i) = R in,l(ri)Yi l,m(, )

In questa approssimazione la funzione d’onda polielettronica ha formalmente la stessa espressione della

configurazione elettronica considerata per quell’atomo.

Ad esempio per l’atomo di boro, Z=5, la configurazione elettronica

1s22s2p1

corrisponde alla funzione d’onda

( x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3 ,x4,y4,z4,x5,y5,z5) = 1s(x1,y1,z1)·1s(x2,y2,z2,)·2s(x3,y3,z3)·2s(x2,y2,z2,)·2p(x3,y3,z3)

in cui 1s è la 100 con n=1, l=0, m=0, 1s è la 200 con n=2, l=0, m=0, e così via.

Per un dato atomo le soluzioni possibili sono infinite e corrispondono alle possibili configurazioni elettroniche cioè

ai possibili modi (infiniti) di distribuire gli elettroni sui vari orbitali

Quello più in basso in energia è lo stato fondamentale tutti gli altri sono detti stati eccitati

Caso molecolare

Nel caso molecolare la situazione è molto più complessa, principalmente per due ragioni

1) La funzione d’onda dipende anche dalle coordinate nucleari oltre che da quelle elettroniche

= (nuclei,elettroni)

Ad esempio per la molecola di H2 , con 2 nuclei e due elettroni, si ha

( X1,Y1,Z1,X2,Y2,Z2;x1,y1,z1 ,x2,y2,z2)

X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 coordinate dei nuclei 1 e 2

x1,y1,z1 ,x2,y2,z2 coordinate degli elettroni 1 e 2

2) Nell’equazione di Schrödinger compaiono anche le derivate rispetto alle coordinate nucleari

Questi due problemi sono risolti disaccoppiando il moto nucleare da quello elettronico in accordo con

l’approssimazione di Born-Oppenheimer

Le masse dei nuclei sono molto maggiori di quelle degli elettroni (1836 volte il protone) e quindi i nuclei sono

molto più lenti. Di conseguenza gli elettroni possono aggiustarsi quasi istantaneamente ad ogni variazione delle

posizioni dei nuclei.

Da un punto di vista matematico ciò implica che la funzione d’onda può essere scritta nella forma

(nuclei,elettroni) = (elettroni)·(nuclei)

e si possono scrivere due equazioni di Schrödinger separate una per gli elettroni ed una per i nuclei

In pratica si risolve l’equazione di Scrödinger per gli elettroni con i nuclei fissi per varie posizioni nucleari.

Hel (elettroni) = Eel (elettroni)

L’energia elettronica così ottenuta dipende indirettamente dalle coordinate nucleari e la funzione Eel(nucleari)

così ottenuta costituisce il potenziale nel quale si muovono i nuclei e che va inserito nell’equazione di

Schrödinger per i nuclei

Hnucl (nuclei) = Enucl (nuclei)

Poichè i nuclei sono particelle relativamente pesanti in pratica il moto nucleare può essere trattato con la

meccanica classica cioè con le equazioni di Newton in cui il potenziale è proprio la funzione Eel(nucleari)

Quest’approssimazione è alla base del metodo della meccanica molecolare: i nuclei di una molecola sono considerati con la meccanica classica e la funzione di energia potenziale è trattata empiricamente come somma di semplici contributi (legami chimici, interazioni elettrostatiche,..) tra i vari atomi.

Molecole biatomiche

Per una molecola biatomica l’energia elettronica dipende solo dalla distanza internucleari R e basta risolvere

l’equazione di Scrödinger elettronica per varie distanze. L’energia elettronica calcolata riportata in funzione di

R , Eel(R), da l’energia potenziale dei nuclei in funzione della distanza internucleare e permette di calcolare la

distanza di equilbrio e l’energia di dissociazione.

Molecola H2

Coordinate nucleari interne

Per una molecola biatomica le coordinate nucleari sono complessivamente 6:

3 coordinate cartesiane per ciascuno dei nuclei, X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2

L’energia potenziale dipende però da una sola coordinata, la distanza internucleare R

Questa è l’unica coordinata interna cioè l’unica coordinata che descrive il moto relativo dei nuclei del sistema.

Infatti delle sei coordinate nucleari, tre descrivono il moto del centro di massa della molecola e due la sua

orientazione cosicchè le coordinate interne sono 6-3-2=1

In generale per una molecola costituita da N atomi, le coordinate complessive sono 3N e quelle interne 3N-5 se

la molecola è lineare o 3N-6 se la molecola non è lineare.

La scelta delle coordinate interne non è univoca ma in genere si scelgono distanze di legame, angoli di legami e

angoli diedri

Ad esempio per l’acqua, 3 atomi:

Coordinate complessive: 3·3=9

Coordinate interne: 3·3-6=3 due distanze di legame O-H e l’angolo H-O-H