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Meccanica 21 marzo 2011
Cinematica in una dimensione
Velocita` media e istantanea. Moto rettilineo uniforme
Accelerazione media e istantanea. Moto uniformemente accelerato
Accelerazione di gravita`. Caduta dei gravi
Moto armonico. Pulsazione, periodo, frequenza
Integrazione dell’equazione differenziale del moto armonico
Cinematica del punto materiale
• E ` la parte piu` elementare della meccanica: studia il moto dei corpi senza riferimento alle sue cause
• Il moto e` determinato se e` nota la posizione del corpo in funzione del tempo
• Necessita` di un sistema di riferimento per determinare la posizione
• Diversi tipi di sistemi di riferimento=diverse coordinate:– Cartesiano (2 e 3 dimensioni): x, y, z– Polare (2 dimensioni): , – Cilindrico (3 dimensioni): , , z– Sferico (3 dimensioni): r, , 2
Cinematica
• Conoscere il moto significa conoscere ogni coordinata come funzione del tempo, ovvero la sua legge oraria:– x(t), y(t), z(t) – (t), (t)– (t), (t), z(t)– r(t), (t), (t)
• Traiettoria: e` il luogo dei punti dello spazio occupati dal corpo nei successivi istanti di tempo– Da` informazioni di tipo geometrico, senza riferimento
al tempo
3
Traiettoria e legge oraria
• P.e. il moto dei pianeti nel campo di gravita` del sole si svolge lungo la seguente traiettoria o orbita (1a legge di Keplero):
• Questa e` una funzione e rappresenta una relazione puramente geometrica tra le coordinate e (un’ellisse per la precisione)
• Ma essa nulla ci dice sulle leggi orarie (t), (t)
cos11
ep
4
Cinematica• Conoscere le coordinate in funzione del tempo non e`
pero`, in generale, cosa facile• Nelle pagine seguenti saranno introdotte due
grandezze fisiche: la velocita` e l’accelerazione• Cio` e` dovuto al fatto che le leggi del moto non
contengono direttamente le posizioni, ma piuttosto le accelerazioni:
• Compito della cinematica e` quindi risalire dalle accelerazioni alle posizioni
.,,
,,
ecctata
tatata zyx
5
Cinematica
• Le grandezze fisiche necessarie per lo studio della cinematica sono– Spazio – s, l, x, r…– Tempo - t– Velocita` - v– Accelerezione - a
6
Moto rettilineo
• Si svolge lungo una retta su cui si definisce la coordinata x, la cui origine (x=0) e il cui verso sono arbitrari
• Anche l’origine dei tempi (t=0) e` arbitraria• Il moto del corpo e` descrivibile con una sola
funzione x(t)• La funzione puo` essere rappresentata sul
cosiddetto diagramma orario, sul cui asse delle ascisse poniamo t e su quello delle ordinate x
x
t
O
O
7
Velocita`
• Dato un moto rettilineo, supponiamo che il corpo si trovi nella posizione x1 al tempo t1 e nella posizione x2 al tempo t2
• Lo spostamento e` la differenza delle posizioni: x= x2 -x1
• L’intervallo di tempo in cui avviene lo spostamento e`: t= t2 -t1
• La velocita` media e`, per definizione, il rapporto:
t
xvm
8
Esercizi
• Trovare la velocita` media di una moto che si muove a 150 km/h per un tempo t e a 100 km/h per un tempo uguale
• Trovare la velocita` media di un’auto che percorre una distanza L a 180 km/h e la successiva (della stessa lunghezza) a 100 km/h
9
Velocita`• Immaginiamo di considerare intervalli di tempo
sempre piu` piccoli, possiamo idealmente pensare al limite in cui l’intervallo tende a zero
• La velocita` istantanea e`, per definizione, il limite:
• Ovvero la derivata dello spazio rispetto al tempo• La velocita`, in generale, e` funzione del tempo:
v=v(t)• Nel caso in cui sia invece costante, il moto
(rettilineo) e` detto uniforme
txdt
dx
t
xv
t
'
0lim
10
Relazioni tra posizione e velocita`
• Abbiamo visto la relazione differenziale tra i due:• ovvero• La relazione inversa e` la relazione integrale
• Che e` utile solo se e` nota la dipendenza di v da t, (p.e. nel moto uniforme)
• x-x0 rappresenta lo spostamento complessivo, cioe` la somma algebrica degli spostamenti e non lo spazio percorso che e` invece la somma del modulo degli spostamenti
dt
dxtv dttvdx
t
t
x
x
dttvxxdx0
0
0
11
Relazione tra velocita` media e istantanea
• Dalla definizione di velocita` media e dalla relazione integrale tra posizione e velocita` istantanea:
• Questa relazione afferma che la velocita` media e` uguale al valor medio della velocita` istantanea
t
t
m dttvtttt
xxv
000
0 1
12
Moto rettilineo uniforme
• Lo spazio e` funzione lineare del tempo
• La velocità istantanea è uguale alla velocità media:
00
0
0 ttvxdtvxtxt
t
mvv
13
Accelerazione
• Quando la velocita` varia nel tempo il moto e` detto accelerato
• Similmente a quanto fatto per la velocita`, definiamo come accelerazione media il rapporto:
• E come accelerazione istantanea il limite:
• Ovvero la derivata della velocita` rispetto al tempo
t
v
tt
vvam
12
12
tvdt
dv
t
va
t
'
0lim
14
Accelerazione
• L’accelerazione, in generale, e` funzione del tempo: a=a(t)
• Nel caso in cui sia invece costante, il moto (rettilineo) e` detto uniformemente accelerato
15
Relazione tra accelerazione e posizione: una nota formale
• Dalla relazione differenziale tra accelerazione e velocita` e tra questa e la posizione, otteniamo:
2
2
2
2
dt
txdtx
dt
dtx
dt
d
dt
dtv
dt
d
dt
tdva
16
Relazioni tra velocita` e accelerazione
• Abbiamo visto la relazione differenziale tra le due: ovvero
• La relazione inversa e` la relazione integrale
• Come per la velocita`, questa relazione e` utile solo se e` nota la dipendenza di a da t, (p.e. nel moto uniformemente accelerato)
a t dvdt
dv a t dt
dvv0
v
v v0 a t dtt0
t
17
Moto rettilineo uniformemente accelerato
• La velocità e` funzione lineare del tempo
• L’accelerazione istantanea è uguale alla accelerazione media:
• Lo spostamento è funzione quadratica del tempo:
v t v0 a dtt0
t
v0 a t t0
aam
x t x0 v t dtt 0
t
x0 v0 a t t0 dtt 0
t
x0 v0 t t0 12a t t0 2
18
Moto di un grave nel campo di gravità
• Come vedremo meglio più avanti, un corpo che cade nel campo di gravità terrestre si muove verso il basso con un’accelerazione costante g=9.8 m/s2
• Il moto del grave è dunque uniformemente accelerato
• Se prendiamo un sistema di riferimento con l’asse x rivolto verso l’alto, l’accelerazione a è negativa: a=-g
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Moto di un grave nel campo di gravità
• Specifichiamo le formule per il moto uniformemente accelerato nel caso di un corpo che cade da altezza h con velocità iniziale nulla: x0=h, v0=0, t0=0
• La seconda formula ci permette, risolvendo rispetto a t, di trovare il tempo in cui il corpo raggiunge il suolo, cioè il punto x=0:
v t v0 a t t0 gt
x t h 1
2gt 2
t 2h
g20
Moto di un grave nel campo di gravità
• Ora che e`noto il tempo di caduta, la prima formula ci permette di trovare la velocità con cui il corpo giunge a terra:
• Spesso si omette il segno meno:
• intendendo che ci si riferisce al modulo della velocita`
v t 2gh
ghtv 2
21
Moto armonico
• In questo caso definiamo il moto direttamente a partire dalla legge oraria della posizione:
• Ove compaiono tre costanti:– A l’ampiezza– la pulsazione– la fase iniziale (cioe` al tempo 0)
• Poiche’ la funzione seno e` periodica, a due istanti di tempo t1, t2, che soddisfano la relazione seguente
• corrispondera` uno stesso valore della coordinata
21212 ntttt
tAtx sin
22
Moto armonico
• Quando n assume il valore minimo (n=1), i due istanti differiscono per un tempo T detto periodo
• Questa relazione e` molto importante perche’ lega la pulsazione al periodo:
• La frequenza e` l’inverso del periodo:
212 Ttt
2
TT
2
T
1 2
23
Soluzione di equazioni differenziali
• Risolvere l’equazione differenziale che definisce la velocita`
• significa passare dalla funzione v alla funzione x• Similmente, risolvere l’equazione differenziale
che definisce l’accelerazione • significa passare dalla funzione a alla funzione v• Questo passaggio vien fatto mediante
un’operazione di integrazione, per cui si dice integrare l’equazione come sinonimo di risolvere
dt
dxtv
a t dvdt
24
Soluzione di equazioni differenziali
• Piu` in generale risolvere un’equazione differenziale significa abassarne il grado di derivazione mediante operazioni di integrazione agenti sulle funzioni incognite o su funzioni di queste funzioni
• Questo accade quando, p.e., l’accelerazione e` nota non in funzione del tempo, ma della posizione
25
Accelerazione come funzione della posizione
• Supponiamo dunque che l’accelerazione sia nota non in funzione del tempo, ma della posizione: a=a(x)
• Ora moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione di definizione dell’accelerazione per la velocita`:
• Integriamo ambo i membri rispetto a t:
• Ricordiamo che dalla definizione di velocita`
t
t
t
t
dtdt
dvvavdt00
dt
dvvav
dxvdt
26
Accelerazione come funzione della posizione
• Possiamo semplificare cambiando variabile, nel primo membro passando a x e nel secondo membro passando a v:
• A conti fatti otteniamo:
• Supposto di poter eseguire l’integrale a primo membro, abbiamo abbassato l’ordine di derivazione dell’equazione
• Siamo partiti dalla conoscenza di a e siamo giunti alla conoscenza di v:
20
2
0 2
1
2
1vvdxxa
x
x
v
v
x
x
vdvdxxa00
x
x
dxxavv0
20 2
27
Un esempio importante
• Supponiamo che l’accelerazione sia esprimibile come segue:
• Cioe` sia proporzionale, tramite una costante negativa, alla posizione
• Applicando la formula generale, abbiamo:
• Risolvendo rispetto a v:
xxa 2
2022220
2
2
1
2
1
00
xxxdxdxxavvx
x
x
x
2
22222220
220 1
A
xAxAxxvv
28
Un esempio importante
• Abbiamo integrato un’equazione differenziale del secondo ordine e siamo giunti ad una del primo ordine
• Per integrare questa seconda equazione separiamo le variabili
• e integriamo tra la posizione x0 e la posizione generica x:
tx
x
dtd
Ax
A
dx
022
001
1
2
1
A
xA
dt
dxv
dt
Ax
A
dx
2
1
29
Un esempio importante
• L’integrale di destra e` immediato
• L’ integrale al centro lo troviamo su una tabella
• E quindi• Risolvendo infine
rispetto a x• Ritroviamo cioe` il
moto armonico
tdtt
0
A
xdarcsinarcsin
10
2
tA
x arcsin
tAx sin
30
Moto armonico
• Possiamo calcolare la velocita` nel moto armonico
• E l’accelerazione
• Verifichiamo quindi che per un moto armonico vale la relazione
• Ovvero tale relazione e` valida se e solo se il moto e` armonico
tAtAdt
d
dt
dva sincos 2
tAtAdt
d
dt
dxv cossin
xa 2
31
Esercizi
• 1) Un corpo puntiforme viene lanciato verticalmente verso l’alto con velocita` iniziale v0 dall’altezza h1
– Trovare a) il tempo in cui raggiunge la massima altezza; b) la massima altezza; c) il tempo in cui arriva a terra; d) la velocita` con cui arriva a terra
• 2) Un corpo si muove con una velocita` data da nell’intervallo di tempo t tra t1=2s e t2=5s – Trovare a) la velocita` media in t; b) l’accelerazione
media in t; c) lo spazio percorso in t
smtv /52 2
32
Esercizi
• 3) dato un moto armonico– Determinare le costanti A e in base alle condizioni
iniziali
• 4) mostrare con opportuni controesempi che le seguenti implicazioni sono false
tAtx sin
0
0
0
0
vv
xx
00
.
00
av
constacrescenteacrescentev
av
33