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MECANICA ESTADISTICA AVANZADA2do. Semestre 2015
Ricardo Ramırez
Fac. Fısica, PUC, rramirezpuc.cl
6 de noviembre de 2015
NOTAS SOBRE TEMAS DE MECANICA ESTADISTICA TOMADAS DE DISTINTOS
TEXTOS QUE SE ENUMERAN MAS ABAJO. NO SOLO SIRVEN COMO
TRADUCCION SINO TAMBIEN SE ACLARAN ALGUNOS PUNTOS DIFICILES Y SE
COMPLETAN DESARROLLOS ALGEBRAICOS
REFERENCIASEquilibrium Statistical Physics. Michael Plischke, Birger Bergensen.A Modern Course in Statistical Physics. L.E. ReichlStatistical Mechanics D.A. McQuarrieStatistical Physics L.D. Landau, E.M. LifzhitzIntroduction to Superconductivity. Michael TinkhamQuantum Theory of Solids. Joseph Callaway.
INDICE DE TEMASTeorıas de campo medioGases reales y lıquidosEscalamientoGrupo de renormalizacionLımite cuantico de Funcion ParticionSuperconductividad
INDICE DE TEMASTEORIAS DE CAMPO MEDIO 5
Aproximacion de Bragg-Williams 10Transicion Orden Desorden 18Aproximacion de Bethe 24Comportamiento Critico 31Cadena De Ising (1D). Solucion Exacta 36Teoria de Landau de Transiciones de Fases 46Teoria de Ginzburg-Landau 62Expansion Alta y Baja Temperatura 69Temperatura y Exponentes Criticos 82
GASES REALES Y LIQUIDOS 85Ornstein Zernike 111Funcional Densidad 116Ising Dos Dimensiones 134
ESCALAMIENTO 162GRUPO DE RENORMALIZACION 172
Calculo de los Exponentes Criticos 177LIMITE CLASICO DE LA FUNCION PARTICION CANONICA 198SUPERCONDUCTIVIDAD 204
TEMAS PARA PRESENTACIONESBose-EinsteinProcesos de MarkovPuntos Tricrıticos (Landau)AF Heisenberg 1-DTeorema fluctuacion-disipacion (Kubo)FluctuacionesTeorema H de BoltzmannChapman EnskogModelo de Ising 2-DMapas iterativosRelaciones Kramers-Kronig
Los alumnos deben escoger, a mas tardar el viernes 28 de Agosto, un tema para serexpuesto en una clase de mas adelante en aproximadamente 1/2 hora.
TEORIAS DE CAMPO MEDIOModelos de ferromagnetismo
Modelo de interaccion
H = −∑<ij>
[Jx
ij Sxi Sx
j + Jyij S
yi Sy
j + Jzij S
zi Sz
j
]− gµBH
∑i
Szi (1)
donde:
g : factor de Lande µB = e~/2m : magneton de BohrH : campo magnetico externo
MODELO DE HEISENBERG
H = −∑<ij>
Jij~Si · ~Sj − gµBH ·
∑i
Szi
aquı ~Si · ~Sj = Sxi Sx
j + Syi Sy
j + Szi Sz
j , donde
Sxi =
(0 11 0
); Sy
i =
(0 −ii 0
); Sz
i =
(1 00 −1
)
MODELO DE ISINGUsualmente uno considera solamente las interacciones a vecinosmas cercanos y ası colocamos Jij = Jo. Si Jo > 0 decimos que elsistema es ferromagnetico en caso contrario es antiferromagnetico.
Si en (1) suponemos que Jxij y Jy
ij son despreciables frente Jzij = J y
suponemos interacciones solo entre vecinos mas cercanos, tenemosel modelo de Ising, estudiado por Ernst Ising en 1924 en su tesis dedoctorado. Ising resolvio el caso de una cadena unidimensional comoveremos mas adelante.
HIsing = −Jo
∑<ij>
Szi Sz
j − gµBH∑
i
Szi , (2)
Existen otros modelos llamados XY en los cuales Jzij es despreciable.
Usaremos el Modelo de Ising para explicarla Teorıa del Campo Medio
Tomemos un sitio cualquiera, e.g. i = 0 y llamemos h = gµBH. Ahorallamemos m = 〈Sz
i 〉 el valor de expectacion de Szi a la temperatura T ,
entonces aislando el termino i = 0 en (2):
H0 = −J∑
j
Sz0Sz
j − hSz0 = −Sz
0(qJm + h)− JSz0
∑j
(Szj −m)
donde q es el numero vecinos mas cercanos. Si despreciamos elsegundo termino obtenemos un sistema no interactuante, en quecada spin ve un campo externo efectivo qJm + h.
El promedio de Sz0 a la temperatura T esta dado por:
〈Sz0〉 =
Tr Sz0e−βH0
Tr e−βH0= tanh[β(qJm + h)]
Aquı H0 corresponde a la definicion anterior pero en que se hadespreciado el segundo termino. donde β = 1/kBT y el valor de m seobtiene en forma autoconsistente de:
m = 〈Sz0〉 = tanh[β(qJm + h)]
Esta aproximacion constituye la teorıa molecular de Weiss (1907).
Para h = 0 puede haber 1 o 3 soluciones, este ultimo caso paraβqJ > 1. Se demostrara que el estado de equilibrio paraT < Tc = qJ/kB corresponde a una magnetizacion ±mo y quecuando T → 0 mo → 1. Cuando T tiende a Tc desde T < Tc ,entonces m→ 0 y podemos hacer una expansion de Taylor:
mo = βqJmo −13
(βqJ)3m3o + · · ·
de donde obtenemos:
mo =√
3(
TTc
)3/2(Tc
T− 1)1/2
El exponente 1/2 que aparece en el comportamiento singular de mocerca de Tc tiene el nombre general de β y en teorıas mas refinadaso en ferromagnetos reales tiene un valor diferente a 1/2.
APROXIMACION DE BRAGG-WILLIAMS
Consideremos N atomos, de los cuales N+ tiene spin hacia arriba y N− hacia abajo,i.e. N = N+ + N−. Entonces el numero de configuraciones posibles es:
Ω =N!
N+!N−!
y usando la aproximacion de Stirling:
S = kB log Ω = −kB
[N+ log
N+
N+ N− log
N−N
]= −kBN
[12
(1 + X) log12
(1 + X) +12
(1− X) log12
(1− X)
]donde X = 2N+/N − 1 = (N+ − N−)/N, es decir X puede ser asimilado al parametrode orden m. Hay 1
2 qN pares de spines vecinos en el cristal, de los cuales N++ sonparejas ++, N−− son parejas −− y N+− son parejas +−.
Entonces la energıa del sistema es:
E = −J(N++ + N−− − N+−)
Ahora si definimos p± como la probabilidad de que un sitiocualquiera este ocupado por un spin ±, i.e.:
p+ =N+
Np− =
N−N
entonces, podemos hacer las siguientes aproximaciones:
N++ =12
qN+p+ =18
qN(1 + X )2
N−− =12
qN−p− =18
qN(1− X )2
N+− =12
qN+p− =14
qN(1− X 2)
Ası la energıa resulta ser:
E = −12
qJNX 2
y la energıa libre:
F = E − TS = −12
qJNX 2 + kBNT
[12
(1 + X ) log12
(1 + X )
+12
(1− X ) log12
(1− X )
]Ver Fig. 1.
El valor mas probable de X se obtiene de la condicion de equilibrio∂F/∂X = 0:
2qJkBT
= log1 + X1− X
→ tanh(
qJkBT
X)
= X
Este metodo constituye la aproximacion de Bragg-Williams. Noteseque el resultado es identico al de la teorıa de campo medio (TCM).Es decir la TCM es equivalente a a una aproximacion en que laentropıa se toma como la entropıa de una mezcla ideal y energıa esla energıa promedio sobre todas las configuraciones.
-1 -0.5 0 0.5 1X
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
F
T=1.5TcT=TcT=0.77Tc
Figura: 1 Energıa libre BW
Tambien se puede ver que los resultados de la TCM sonindependientes de la dimensionalidad del sistema. Este es uno delos peores defectos de la teorıa, como se puede ver mediante unosejemplos simples a continuacion.
Consideremos una cadena Ising en una dimension con extremoslibres, cuyo Hamiltoniano es:
H = −J∑<ij>
σiσi+1
Su estado fundamental tiene una energıa Eo = −(N − 1)J, en la quetodos los spines estan alineados. Ahora produzcamos una excitaciontal que σi = 1 para i ≤ ` y σi = −1 para i > `
l l+1
Figura: 2 Cadena de spines 1-D
Hay N − 1 estados como este y cada uno tiene una energıaE = Eo + 2J.La entropıa es
kB log(N − 1)
y por lo tanto el cambio de energıa libre es:
∆F = 2J − kBT log(N − 1)
que es menor que cero para todo T > 0 en el lımite termodinamicoN →∞. Como estas exitaciones desordenan el sistema la cadenaprefiere estar en un estado desordenado para todo T > 0.
Ahora consideremos el mismo tipo de excitaciones en una sistemade Ising de dos dimensiones, de N × N spines, produciendo dosdominios como se muestra en la figura.
Figura: 3 Spines en 2-D
Se puede argumentar que el largo de la pared de dominio es delorden de L = 2N y que la energıa de la pared de dominio tiene unaenergıa del orden de ∆E = 2LJ = 4NJ. Por otro lado si la paredparte del lado izquierdo, hay N puntos de partida y si despreciamoslos circuito cerrados, en cada punto del recorrido hay por lo menosdos posibilidades de continuar con el recorrido, es decir en total 2L
caminos posibles para cada punto de partida.
Esto nos da un cambio de la energıa libre igual a:
∆F = 4NJ − kBT log(N22N)
Luego hay una temperatura Tc , bajo la cual el sistema prefieremantenerse ordenado, i.e. sin pared de dominio, esta temperatura es:
Tc =2J
kB log 2=
2,885JkB
El factor 2.885 hay que compararlo con 2,2692 de la solucion exacta.
Estos simples argumentos muestran que el modelo de Ising tiene uncomportamiento muy distinto para 1 dimension que para 2dimensiones, al contrario de lo que muestra la solucion de campomedio.
TRANSICION ORDEN DESORDEN
Tomemos una mezcla de Cu y Zn (bronce) en proporciones de 50/50 %. Tieneestructura bcc.
Cu Zn
Figura: 4 Cu-Zn
A baja temperatura cada tipo de atomo ocupa preferentemente una de las dossubredes sc que constituyen la red bcc.
Modelo
Sean NAA, NBB , NAB , el numero de pares de vecinos mas cercanos de Cu-Cu, Zn-Zn y Cu-Zn,respectivamente y EAA, EBB y EAB las energıas correspondientes.
Tambien sean NA = cAN y NB = cBN el numero de atomos de Cu y Zn, donde N es el numerototal de sitios en la red.
Si llamamos 1 y 2 a las subredes sc, definimos como NA1 y NB1 el numero de atomos de cadatipo en la subred 1. Lo mismo para NA2 y NB2. Entonces:
NA1 + NA2 = NA = cAN NB1 + NB2 = NB = cBN
y
NA1 + NB1 =N2
NA2 + NB2 =N2
Supongamos que NA ≤ NB , entonces definimos el parametro de orden:
m =NA1 − NA2
NA− 1 ≤ m ≤ 1
Es decir m varıa entre todos los Cu en la subred 2 a todos los Cu en la subred 1. En terminos dem:
NA1 =12
NA(1 + m) NA2 =12
NA(1−m)
NB1 =12
(NB −mNA) NB2 =12
(NB + mNA)
Supongamos que NA ≤ NB , entonces definimos el parametro de orden:
m =NA1 − NA2
NA− 1 ≤ m ≤ 1
Es decir m varıa entre todos los Cu en la subred 2 a todos los Cu en subred 1. En terminos de m:
NA1 =12
NA(1 + m) NA2 =12
NA(1−m)
NB1 =12
(NB −mNA) NB2 =12
(NB + mNA)
Ahora hacemos algunas aproximaciones:
NAA ' qNA1NA2
12 N
NBB ' qNB1NB2
12 N
NAB ' q
(NA1NB2
12 N
+NA2NB1
12 N
)Entonces podemos escribir la energıa del sistema como:
E = NAAEAA + NABEAB + NBBEBB
=12
qN(EAAc2A + 2EABcAcB + EBBc2
B − qNc2AEm2
donde
E =12
(EAA + EBB)− EAB
La entropıa se puede obtener del numero de configuraciones posibles del sistema:
Ω =(N/2)!
NA1!NB1!
(N/2)!
NA2!NB2!S = kB log Ω
i.e.
S/kB = −NA1 log NA1 + NA1 − NB1 log NB1 + NB1
− NA2 log NA2 + NA2 − NB2 log NB2 + NB2 + N log12
N − N
= −NA1 log2NA1
N+−NB1 log
2NB1
N
− NA2 log2NA2
N+−NB2 log
2NB2
N
= −N2
kB[cA(1 + m) log[cA(1 + m)] + (cB + mcA) log[cB + mcA]
+ cA(1−m) log[cA(1−m)] + (cB −mcA) log[cB −mcA]]
Entonces podemos escribir la energıa libre de Helmholtz F = E − TS, como funcion de m yobtener el valor de m que minimiza F :
0 =∂F∂m
= −2qcAEm +12
kB log(1 + m)(cB + cAm)
(1−m)(cB − cAm), (3)
Para cA = cB = 1/2 esta ecuacion se reduce a:
0 = −qEm + kBT log1 + m1−m
→ tanhqEm2kBT
= m
resultado equivalente al de Braggs-Williams con J = E/2 Para temperaturas bajas tenemos tressoluciones, la trivial m = 0 y otras dos que corresponden a mınimos de F . La temperatura crıticala podemos obtener de la segunda derivada, en m = 0:
∂2F∂m2|m=0 = −2qEcA +
12
kBT[
11 + m
+1
1−m+
cA
cB + mcA+
cA
cB −mcA
]m=0
= −2qEcA +kBTcB
Lo que nos da la temperatura crıtica:
Tc =2qEcAcB
kB
El comportamiento de este modelo es identico al del ferromagneto de Ising con J = E/2,
conclusion que es independiente de la aproximacion de campo medio, como veremos ahora.
Definamos niA un numero asociado al sitio i tal que vale 1 si este sitio esta ocupado por un atomoA y 0 si no es ası. Similarmente niB = 1− niA. Entonces:
NAA =∑〈ij〉
niAniA; NBB =∑〈ij〉
niBniB ; NAB =∑〈ij〉
niAniB
Ahora definamos σi = ±1 por:
niA =12
(1 + σi ); niB =12
(1− σi )
Reemplazando enH = NAAEAA + NABEAB + NBBEBB
obtenemos:
H = J∑〈ij〉
σiσj +q2
(EAA − EBB)∑
i
σi +q4
N(EAA + EBB + 2EAB)
Como tenemos un numero fijo de cada tipo de atomo, los dos ultimos terminos son constantes y
obtenemos finalmente:
APROXIMACION DE BETHEEn la aproximacion de Bethe la interaccion entre un spin, e.g. 0 y susq vecinos se trata en forma exacta y la la interaccion de estosvecinos con el restos de los spines se hace a traves de un campomedio o campo molecular h′. Sea σ0 el spin en consideracion,entonces las interacciones de intercambio son:
−Jq∑
j=1
σ0σj − h′q∑
j=1
σj
a esto hay que agregar la interaccion de Zeeman mediante el campoexterno h, actuando solo sobre el spin central, para obtener elHamiltoniano:
HBethe = −Jq∑
j=1
σ0σj − h′q∑
j=1
σj − hσ0
El campo h′ se obtiene a traves de la condicion de autoconsistencia〈σ0〉 = 〈σj〉 Para resolver este modelo, partimos calculando al funcionparticion:
Z =∑σ1=±1
∑σ2=±1
· · ·∑σq=±1
∑σ0=±1
exp
ασ0 + α′q∑
j=1
σj + β′q∑
j=1
σ0σj
donde:
α =h
kBTα′ =
h′
kBTβ′ = Jβ =
JkbT
Separamos Z en dos terminos, para σ0 = ±1, Z = Z+ + Z−, con:
Z± =∑σ1=±1
∑σ2=±1
· · ·∑σq=±1
exp
±α + α′q∑
j=1
σj ± β′q∑
j=1
σj
= e±α
∑σ1=±1
∑σ2=±1
· · ·∑σq=±1
exp
(α′ ± β′)q∑
j=1
σj
= e±α
∑σ1=±1
∑σ2=±1
· · ·∑
σq−1=±1
exp
(α′ ± β′)q−1∑j=1
σj
[2 cosh(α′ ± β′)]
Z± = e±α [2 cosh(α′ ± β′)]q
Ahora el promedio de σ0 es:
〈σ0〉 =1Z
∑σ1=±1
∑σ2=±1
· · ·∑σq=±1
∑σ0=±1
σ0 exp
ασ0 + α′q∑
j=1
σj + β′q∑
j=1
σ0σj
=
Z+ − Z−Z
El promedio de σj se calcula de:
〈σj〉 =1q
1Z∂Z∂α′
=Z+ tanh(α′ + β′) + Z− tanh(α′ − β′)
Z
Reemplazando las expresiones de Z+ y Z− la condicion 〈σ0〉 = 〈σj〉nos da: [
cosh(α′ + β′)
cosh(α′ − β′)
]q−1
= e2α′−2α
Esta es la ecuacion que determina α′ y h′.
Para h = 0 siempre existe la solucion h′ = 0 que corresponde a lafase desordenada de alta temperatura, como se puede ver de laexpresion anterior para 〈σ0〉. Para h = 0, α = 0 y se puede demostrarque para T < Tc definido por:
tanhJ
kBTc=
1q − 1
existe una solucion de α′ 6= 0 dada por:
α′ ' 3cosh3 β
senhβ
[tanhβ − 1
q − 1· · ·]
En una red cuadrada se encuentra que la temperatura crıtica es:
Tc '2,885J
kB
Veamos ahora un metodo para calcular la energıa libre G.Consideremos el Hamiltoniano:
H = Ho + λV donde Ho = −h∑
i
σi y V = −∑〈ij〉
σiσj
En un sistema fısico λ = J, pero inicialmente lo colocamos como unparametro variable. La energıa libre esta dada por:
G = −kBT log Z = −kBT log Tr e−β(Ho+λV )
definimos tambien:
Go = −kBT log Tr e−βHo
y el promedio de un operador O, para un valor fijo de λ:
〈O〉λ =TrO e−β(Ho+λV )
Tr e−β(Ho+λV )
Entonces,
∂G∂λ
= 〈V 〉λ y por lo tanto G = Go +
∫ J
0dλ〈V 〉λ
Esta ecuacion es muy util si uno quiere calcular F en unaaproximacion donde se conoce 〈V 〉λ.
En el caso de la aproximacion de Bethe, con campo nulo, en unadimension, (q = 2), como no hay transicion, h′ = 0:
H = −hσ0 − λσ0
q∑i=1
σj
entonces:
G0 = −kBT log[e−βh + eβh]|h=0 = −kBT log 2
Ahora debemos calcular 〈∑
j σ0σj〉λ, con h = h′ = 0:
〈∑
j
σ0σj〉λ =TrO e−βλO
Tr e−βλO
con O =∑
j σ0σj . pero,
Tr e−βλO = Z (h = 0; h′ = 0) = 2[2 cosh(βλ)]q
Ası:〈∑
j
σ0σj〉λ =1β
1Z∂Z∂λ
= q tanh(βλ)
y finalmente:
G = −NkBT log 2− N2
q∫ J
0dλ tanh(βλ) = −NkBT log(2 coshβJ)
Mas adelante veremos que este resultado es igual a la solucionexacta de la cadena Ising, lo que no es cierto para otras dimensiones.
COMPORTAMIENTO CRITICONOMECLATURA Definiendo ε = T−Tc
Tc.
Calor especifico : Ch(h = 0) ' (±ε)−α
Magnetizacion : M(T ) ' (−ε)β
Susceptibilidad : χ ' (±ε)−γ
Campo magnetico : h ' M(T )δ
En TCM encontramos que:
m ' 1(Tc − T )1/2
de la ecuacion para m en TCM, m = tanh(βJqm + h), obtenemos:
χ(h = 0; T ) =βsech2(βJqm)
1− βqJsech2(βJqm)
Para T > Tc , m = 0 y sech2(βJqm) = 1. Tambien βqJ = Tc/T .
Por lo tanto para T → T +c
χ(h = 0; T )→ 1kB(T − Tc)
. Para T → T−c , usamos la expresion para m:
|m| →√
3(
TTc
)3/2(Tc
T− 1)1/2
|m|βJq →√
3(
TTc
)1/2(Tc
T− 1)1/2
entonces sech2(βJqm)→ 1− 3 (T/Tc) [Tc/T − 1] y por lo tanto
1− βJqsech2(βJqm)→ T− Tc
T+ 3(
Tc
T− 1) = 2
Tc − TT
y finalmente:
χ(h = 0; T )→ 12kB(Tc − T )
En general χ(h = 0; T )→ |Tc − T |−γ .
Para TCM γ = 1, para 2D exacto γ = 7/4 y en 3d aprox. 1.25.
Una expresion exacta de la susceptibilidad se puede obtener de:
χ =
(∂m∂h
)T
=∂
∂h
(Tr σ0e−βH0
Tre−βH0
)T
Esta expresion se evalua escribiendo: H0 = −J∑
j σ0σj − h∑
i σi ,calculando,
χ =∂
∂h
(Trσ0e−βH0
Tre−βH0
)T
= β
[Trσ0
∑i σi e−βH0
Tre−βH0−
(Trσ0e−βH0 )(Tr∑
i σi e−βH0 )
[Tre−βH0 ]2
]
= β∑
i
[Trσ0σi e−βH0
Tre−βH0− (Trσ0e−βH0 )(Trσi e−βH0 )
[Tre−βH0 ]2
]El primer termino dentro del parentesis es 〈σ0σi〉 y el segundo〈σ0〉〈σi〉. Ası obtenemos:
χ = β∑
i
[〈σiσ0〉 − 〈σi〉〈σ0〉]
La susceptibilidad depende de la funcion correlacion spin-spin:
Γ(~ri −~r0) = 〈σiσ0〉 − 〈σi〉〈σ0〉
donde ~ri , ~rj indican las posiciones de los spines.
El comportamiento de χ cerca del punto crıtico esta asociado alcomportamiento de la funcion correlacion spin-spin. Para que χdiverja Γ(~ri −~r0) no debe decaer mas rapido que |~ri −~r0|−3. Calorespecıfico en TCMLa energıa vale:
E = −J∑〈σi〉〈σj〉 = −N
2Jqm2
para T → T +c , m = 0 y por lo tanto Ch = 0, pero para T → T−c :
Ch =∂E∂T
∣∣∣∣∣h=0
= −N2
Jq∂m2
∂T
Con
m2 = 3(
TTc
)3(Tc
T− 1)
= 3
[(TTc
)2
−(
TTc
)3]
∂m2
∂T=
1Tc
[6
TTc− 9
(TTc
)2]→ − 3
Tccuando T → Tc
Entonces:
Ch = −N2
Jq∂m2
∂T=
32
kBN para T → T−c
Para calcular el calor especıfico en la aproximacion de Bethe,debemos evaluar 〈σ0σj〉 dentro de esta aproximacion. Esto lopodemos hacer calculando esta cantidad como:
〈σ0σj〉 =1
βqZ∂Z∂J
Esto nos da:
〈σ0σj〉 =senhβ(J + h′) coshq−1 β(J + h′) + senhβ(J − h′) coshq−1 β(J − h′)
coshq β(J + h′) + coshq β(J − h′)
Para T > Tc , h′ = 0 y:
E = −N2
qJ tanhβJ
de aquı se puede obtener Ch. El caso de T < Tc se deja comoejercicio.
CADENA DE ISING (1D). SOLUCION EXACTA.Consideremos una cadena de N spines a la temperatura T cuya componente z puedetomar valores σi = ±1 y supongamos que la energıa del sistema esta dada por laexpresion clasica:
H = −JN∑
i=1
σiσi+1
Consideremos que el sistema tiene condiciones de borde periodicas, i.e. σN+1 = σ1.
Primero calculamos la funcion particion:
Z =∑σ1=±1
∑σ2=±1
. . .∑
σN =±1
eβ′∑
j σjσj+1
con β′ = J/kBT . Pero:
eβ′σjσj+1 = eβ
′para σjσj+1 = 1
= e−β′
para σjσj+1 = −1
y por lo tanto:
eβ′σjσj+1 = coshβ′ + senhβ′ para σjσj+1 = 1
= coshβ′ − senhβ′ para σjσj+1 = −1
Es decir:eβ′σjσj+1 = coshβ′ + σjσj+1 senhβ′
y
Z =∑σ1=±1
∑σ2=±1
. . .∑
σN =±1
Πj[coshβ′ + σjσj+1 senhβ′
]Z =
∑σ1=±1
∑σ2=±1
. . .∑
σN =±1
Πj[coshβ′ + σjσj+1 senhβ′
]=
∑σ2=±1
. . .∑
σN =±1
Πj>1[coshβ′ + σjσj+1 senhβ′
]×
∑σ1=±1
(coshβ′ + σ1σ2 senhβ′)(coshβ′ + σ1σN senhβ′)
Expandiendo la suma c/r σ1:
Z =∑σ2=±1
. . .∑
σN =±1
Πj>1[coshβ′ + σjσj+1 senhβ′
]×
∑σ1=±1
[cosh2 β′ + σNσ2 senh2 β′ + σ1(σN + σ2) coshβ′ senhβ′]
Vemos que el termino que contiene coshβ′ senhβ′ se anula y:
Z =∑σ2=±1
. . .∑
σN =±1
Πj>1[coshβ′ + σjσj+1 senhβ′
]×
∑σ1=±1
[cosh2 β′ + σNσ2 senh2 β′]
=∑σ3=±1
. . .∑
σN =±1
Πj>2[coshβ′ + σjσj+1 senhβ′
]× 2
∑σ2=±1
[cosh2 β′ + σNσ2 senh2 β′][coshβ′ + σ3σ2 senhβ′
]
Sumando c/r a σ2 llegamos a:
Z =∑σ3=±1
. . .∑
σN =±1
Πj>2[coshβ′ + σjσj+1 senhβ′
]× 22[cosh3 β′ + σNσ3 senh3 β′]
Iterando este procedimiento llegamos a:
Z = 2N−2∑
σN−1=±1
∑σN =±1
[coshN−1 β′ + σNσN−1 senhN−1 β′]
= 2N[coshN β′ + senhN β′
]Para una temperatura distinta de cero coshβ′ > senhβ′ y por lo tanto para N >> 1 podemosdespreciar el termino senhN β′ y llegamos a:
Z = 2N coshN β′
De aquı obtenemos la energıa libre:
G = −kBT log Z = −NkBT log[
2 coshJ
kBT
]y la energıa:
E = −∂
∂β′log Z = −NJ tanh
JkBT
Finalmente el calor especıfico:
C =dEdT
=NJ2
kbT 2 cosh2 JkBT
Notese que denominador tiene un mınimo en funcion de T , lo que produce un maximo en C.
En presencia de un campo externo, con condiciones de borde periodicas:
H = −JN∑
i=1
σiσi+1 − hN∑
i=1
σi
reescribimos este Hamiltoniano como:
H = −N∑
i=1
[Jσiσi+1 +
h2
(σi + σi+1)
]y la funcion particion:
Z =∑σ1=±1
· · ·∑
σN =±1
eβ∑N
i=1
[Jσiσi+1+ h
2 (σi +σi+1)]
=∑σ1=±1
· · ·∑
σN =±1
N∏i=1
eβ[Jσiσi+1+ h
2 (σi +σi+1)]
Ahora introducimos la matriz:
P =
(eβ(J+h) e−βJ
e−βJ eβ(J−h)
)donde:
Pσiσi+1 = eβ[Jσiσi+1+ h
2 (σi +σi+1)]
con lo cual podemos escribir:
Z =∑σi
Pσ1σ2 · · ·PσNσ1 = Tr PN
Diagonalizando P, encontramos los autovalores:
λ1,2 = eβJ coshβh ±(
e2βJ senh2 βh + e−2βJ)1/2
vemos que λ1 > λ2
yZ = λN
1 + λN2
Entonces como N →∞:
G = −kBT log(λN1 + λN
2 ) = −kBT
N logλ1 + log
[1 +
(λ2
λ1
)N]→ −NkBT logλ1
Finalmente:
G = −NkBT log[
eβJ coshβh +(
e2βJ senh2 βh + e−2βJ)1/2
]y
m = −1N∂G∂h
=senhβh√
senh2 βh + e−4βJ
Para T 6= 0, m = 0 si h = 0, pero en lımite de bajo T , senh2 βh >> e−4βJ y un pequeno campo
basta para producir saturacion.
Correlaciones de largo alcance en la cadena de Ising con extremos libres y h = 0: En este caso
〈σi 〉 = 0 y consideremos:
Γ(j) = 〈σiσi+j 〉 − 〈σi 〉〈σi+j 〉 = 〈σiσi+j 〉
Para calcular esta distribucion de pares, escribimos:
〈σiσi+j 〉 =1Z
∑σi
σiσi+j exp
β N−1∑l=1
Jlσlσl+1
y
Z = 2N−1∏l=1
(2 coshβJl )
En estas expresiones se han introducido distintos Jl , los que al final del calculo se haran igual a J.
Ya que σ2i = 1, podemos escribir:
〈σiσi+j 〉 =1Z
∑σi
(σiσi+1)(σi+1σi+2) · · · (σi+j−1σi+j )exp
β N−1∑l=1
Jlσlσl+1
=
1β j Z
∂ j Z (Ji)∂Ji∂Ji+1 · · · ∂Ji+j−1
∣∣∣∣∣Ji =J
= (tanhβJ)j = e−j/ξ
donde ξ = −[log(tanhβJ)]−1 > 0, ya que tanhβJ) < 1 y por lo tanto la correlacion spin-spin
decae con j , para T 6= 0. Para T → 0, ξ ' exp(2βJ) y la longitud de correlacion crece
enormemente, un aspecto tıpico de las transiciones contınuas.
0 1.0 2.0
Onsager
Bethe
Bragg−Williams
Ck
T / T
B
V
C
Figura: 2 Calor especıfico para el modelo de Ising en dos dimensiones
TEORIA DE LANDAU DE TRANSICIONES DE FASES.
Transiciones de fase contınuas
Consideremos un sistema XYT (generalizacion de PVT). La energıa libre de Gibbsesta dada por:
G = E − TS − XY =∑
i
µi ni (suma sobre tipos de particulas)
µj : potencial quımico por mol tipo j . En una transiciones de fase G y µi son iguales.Las siguientes cantidades sirven para clasificar las transiciones de fase:
X = −∂G∂Y
∣∣∣∣∣T ,nj
y S =∂G∂T
∣∣∣∣∣Y ,nj
CLASIFICACION DE LAS TRANSICIONES, SEGUN EHRENFEST: Si estas dos derivadas son
discontınuas en el punto de transicion, tenemos una Transicion de 1er. Orden. Si la n-esimaderivada de G es la primera derivada discontınua tenemos una Transicion de orden n. Elproblema es que a veces las derivadas divergen. Por esto se prefiere decir que si la primeraderivada es contınua, pero las derivadas de orden mas alto son discontınuas entonces tenemosuna Transicion contınua.
L. Landau propuso una expansion de la funcion G en series de potencias del parametro de ordenm, cerca de Tc :
G(m,T ) = a1(T ) + a2(T )m + a2(T )m2 + a3(T )m3 · · ·En un sistema que es simetrico para la transformacion m→ −m, todas la potencias impares de mson nulas, y podemos escribir:
G(m,T ) = a(T ) +12
b(T )m2 +14
c(T )m4 +16
d(T )m6 · · ·
1er. caso.Supongamos que c es positivo, que b(T ) = bo(T − Tc) en la vecindad de Tc y que los demasterminos son despreciables. Entonces se encuentra que para T > Tc , G tiene solo un mınimo enm = 0, pero para T > Tc , G tiene un maximo en m = 0 y dos mınimos para m 6= 0, ubicados en:
m = ±√−
bc
= ±
√bo(Tc − T )
c(Tc)
En la figura siguiente se muestra el comportamiento de G para T > Tc (lınea llena) y para T < Tc
(lınea de segmentos).
-5 0 5
0
El calor especıfico se puede obtener de:
C = T∂S∂T
S = −∂G∂T
Si las primas indican derivadas con respecto a T , podemos escribir:
S = −a′ −12
b′m2 −14
c′m4 −12
b(m2)′ −14
c(m4)′ − · · ·
Reemplazando los valores de las derivadas se puede obtener el calor especıfico:C = −Ta′′ + Tb2
o/2c, si T → T−c ;
−Ta′′, si T → T +c
(2)
el que exhibe la caracterıstica transicion λ, como en caso del nıquel, en la figura siguiente.
2
4
6
8
0 500250 750
10 x C [J/Kg]2
Niquel
T [K]
2do. caso Supongamos c cambia de signo a cierta temperatura, mientras que b y d son
positivos, entonces el comportamiento de G en funcion de m se muestra en la figura siguiente,para T > Tc (lınea llena) y para T < Tc (lınea de segmentos). La curva de lınea punteadacorresponde a T = Tc .
-4 -2 0 2 4
-20
0
20
40
60
En este caso existe la posibilidad de tener tres mınimos y por lo tanto la transicion es discontınua,i.e. de primer orden. Los valores de mo 6= 0 para los cuales G es mınimo, en el punto detransicion, se obtienen de:
G(mo)− G(0) =12
bm2o +
14
cm4o +
16
dm6o = 0 y
∂G∂m
= 0 = bmo + cm3o + dm5
o
de donde obtenemos:
m2o = −
3c4d
b =3c2
16d> 0
MODELO DE MAIER-SAUPEConsideramos un modelo isotropico para un cristal lıquido nematico.Un cristal lıquido es un estado de la materia entre un lıquido y unsolido. Usualmente estan constituıdos por moleculas en forma depequenas barras, con eje de simetrıa, de entre 2 y 3 nanometros dediametro. En los cristales lıquidos nematicos las posiciones de lasmoleculas estan ubicadas en forma aleatoria, pero dentro de cadadominio las moleculas apuntan en la misma direccion.
Sea ~ri la posicion del CM de la molecula i y ni indica la direccion deleje de simetrıa. Suponemos que ni y −ni son equivalentes. Lainteraccion entre dos moleculas esta representada porW (~ri −~rj , ni , nj ). Suponemos una densidad constante ρ pero lasorientaciones de las moleculas esta dada por la distribucion f (n).
Introducimos una funcion distribucion de pares g(~rij , ni , nj ), con~rij = ~ri −~rj como la probabilidad condicional de que si una moleculacon orientacion ni se encuentra en la posicion ~ri exista en ~rj otramolecula con orientacion nj .
De esta manera podemos escribir la energıa promedio total para unamolecula con orientacion ni como:
ε(ni ) = constante + ρ
∫d3rij
∫dΩjW (~rij , ni , nj )f (ni )g(~rij , ni , nj )
La integracion sobre Ωj es sobre todas las orientaciones nj . Ahorahacemos la suposiciones que g no depende de las orientaciones,ası podemos escribir:
ε(ni ) = constante + ρ
∫dΩj f (ni )
∫d3rijW (~rij , ni , nj )g(~rij )
Ahora expandimos ls segunda integral en Polinomios de Legendre deargumento ni · nj :
ε(ni ) = constante+ρ
∫dΩj f (ni )(γ−2UP2(ni ·nj )+OP4(ni ·nj )+. . .) (3)
donde γ y U son constantes y el signo de U se elige de tal modo quepara U > 0 las moleculas tendran la tendencia de alinearse en formaparalela. Maier-Saupe terminaron la serie en P2.
Ahora definimos:σiαβ =
12
(3niαnjβ − δαβ)
donde α, β = x , y , z y niα es una componente cartesiana de ni .Tambien usamos la identidad
P2(ni · nj ) =23
3∑α,β=1
σiαβσjαβ
y definimos:
Qαβ = 〈σiαβσjαβ〉 =
∫dΩjσiαβσjαβ f (nj )
Reemplazando estos resultados en (3), obtenemos
ε(ni ) = −43ρU∑α,β
Qαβσiαβ
La energıa total se obtiene integrando esta ultima expresion sobretodas las orientaciones ni , con la funcion distribucion f (ni ) ymultiplicando por 1/2 para evitar un doble conteo:
E =12
∫dΩi f (ni )ε(ni ) = −2
3ρUN
∑αβ
QαβQβα (4)
La entropıa esta dada por:
S = −NkB
∫dΩf n ln f (n)
donde
f (n) =exp[−βε(n)]∫dΩexp−βε(n)
El parametro de orden Qαβ se determina por un criterio deautoconsistencia
Qαβ =
∫dΩσ2
αβ f (n) (5)
Siempre existe la solucion Qαβ = 0
A bajas temperaturas existen soluciones distintas de cero con unaorientacion preferida n, la que corresponde a una fase nematica.Estas fases no tiene un ordenamiento de largo alcance. Lassoluciones distintas de cero no son unicas, por la simetrıa rotacionaldel sistema. Sin embargo debido a que Qαβ es real y simetrica,siempre habran ejes principales en los cuales Q es diagonal. En estesistema podemos definir las coordenadas esfericas de n, donde:
nx = sin θ cosϕ
ny = sin θ sinϕ
nz = cos θ
y los elementos distintos de cero son:
Q11 =12〈3 sin2 θ cos2 ϕ−1〉 Q22 =
12〈3 sin2 θ sin2 ϕ−1〉 Q33 =
12〈3 cos2 θ−1〉
Estos elementos no son independientes como se puede ver sicalculamos
A = Q11−Q22 =32〈sin2 θ cos 2ϕ〉 −B = Q11 + Q22 =
12〈3 sin2 θ−2〉
Pero −B =12〈1− 3 cos2 θ〉 = −Q33
Definiendo a = 32 sin2 θ cos 2ϕ y b = 1
2 (3 cos2 θ − 1), A = 〈a〉 yB = 〈b〉 y entonces
Q11 = −12
(B − A) Q22 = −12
(B + A) Q33 = B
Con estos resultados podemos escribir:
ε(n) = −2ρU(Bb +13
Aa) E = −NρU(B2 +13
A2)
Ahora debemos reemplazar estos resultados en la energıa libreG = E − TS.
Primero calculamos la entropıa S = −NkB∫
f (n) ln f (n)dΩ:
f (n) =e−βε(n)∫dΩe−βε(n)
ln f (n) = −βε− ln∫
dΩe−βε
S = −NkB
∫dΩ
[−βε(n)f (n)− f (n) ln
∫dΩe−βε
]Usando (4) y la normalizacion de f (n) tenemos:
S = NkB
(2β
EN
)+
∫dΩf (n) ln
∫dΩe−βε = 2ENkBβ+NkB ln
∫dΩe−βε
Entonces
−TS = −2EN
NkBTβ−NkBT ln∫
dΩe−βε = −2E − kBTN ln∫
dΩe−βε
G = E − TS = −E − kBTN ln∫
dΩe−βε = −NkBT[
ENβ + ln
∫dΩe−βε
]= −NkBT
[ln eβE/N + ln
∫dΩe−βε
]= −NkBT ln
∫dΩeβE/Ne−βε
= −NkBT ln∫
dΩe−β(ε−E/N)
Si elegimos moleculas con un eje de simetrıa, A = 0 y,
ε−E/N = −2ρUBb+ρUB2 = −ρU(2Bb−B2) = −ρU[B(3 cos2 θ−1)−B2]
Finalmente
g =GN
= −kBT ln
(4π∫ 1
0d(cos θ) exp
βρU[B(3 cos2 θ − 1)− B2]
)
Expandiendo en potencias del parametro de orden B:
g = −kBT ln(4π)+ρUB2(
1− 25βρU
)− 8
105β2ρ3U3B3+
4175
β3ρ4U4B4+. . .
(6)es decir una expresion de la forma de la expansion de Landau.
El comportamiento del parametro de orden B en funcion de latemperatura puede ser obtenido por una minimizacion de (6) ousando (5) mediante un calculo autoconsistente. Para este ultimocalculo es conveniente escribir (5) como:
B =12〈3 cos2 θ − 1〉 =
∫ 10 dµ 1
2 (3µ2 − 1)exp(3βρUBµ2)∫ 10 dµexp(3βρUBµ2)
Entonces eligiendo un valor de x = 3βρUB, podemos evaluar Bnumericamente para obtener la temperatura.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5κΒΤ/ρΥ
0.2
0.4
0.6
0.8
1
B
Maier Saupe expansionMaier Saupe SC
TEORIA DE GINZBURG-LANDAUEn esta teorıa se pretende incorporar correlaciones de largo alcance de una maneraaproximada. En este caso utilizaremos la energıa libre de Helmholtz F = G + hM, ysupondremos un parametro de orden (magnetizacion) dependiente de la posicion:
M =
∫m(~r)d3r
La energıa libre de Helmholtz se escribe de manera similar a la teorıa usual deLandau, pero agregamos un termino que depende de la gradiente de m:
F (m(~r),T ) =
∫d3r
[a(T ) +
12
b(T )m2 +14
c(T )m4 +16
d(T )m6 + · · ·+12
f∣∣∇m(~r)
∣∣2]En un sistema homogeneo el campo h se calcula de:
h =∂F∂m(~r)
Para un sistema inhomogeneo debemos usar la derivada funcional:
h(~r) =δFδm(~r)
La manera de calcular una derivada funcional de este tipo se describe en el Apendice.
El resultado es:
δF =
∫d3r
[bm(~r) + cm3(~r) + dm5(~r) + · · ·
]δm(~r) + f∇δm(~r) · ∇m(~r))
Integrando por partes el ultimo termino obtenemos:
h(~r) = bm(~r) + cm3(~r) + dm5(~r) + · · · − f∇2m(~r))
Los resultados de la teorıa de Landau para sistemas homogeneos sin campo externo se obtienenhaciendo: h = 0, ∇m(~r)) y despreciando d , i.e.:
m2o = −
bc
Supongamos ahora un caso en que se aplica localmente una perturbacion hoδ(~r) en el orıgen y
que se produce una pequena fluctuacion φ(~r) de m(~r) con respecto al caso homogeneo,
m(~r) = mo + φ(~r). Entonces reemplazando en la ecuacion para h(~r) mas arriba, despreciando d ,
tenemos:
hoδ(~r) = b(mo + φ(~r)) + c(m3o + 3m2
oφ(~r))− f∇2φ(~r) = bφ(~r) + 3cm2oφ(~r)− f∇2φ(~r)
Para T > Tc , mo = 0 y para T < Tc , 3cm2o = −3b, por lo tanto:
∇2φ−bfφ = −
ho
fδ(~r) T > Tc
∇2φ+ 2bfφ = −
ho
fδ(~r) T < Tc
Suponiendo que b(T ) = bo(T − Tc) y que hay simetrıa esferica, estas ecuaciones se puedenresolver como:
φ =ho
4πfe−r/ξ
rdonde ξ =
(fb
)1/2T > Tc(
−f2b
)1/2T < Tc
(7)
La funcion ξ es la longitud de correlacion y diverge en T = Tc como:
ξ(T ) ' |T − Tc |−1/2
En esta teorıa el exponente 1/2 corresponde a ν, que en general tiene valores que dependen dela dimensionalidad y del problema en cuestion. La funcion φ se puede relacionar a la funcion
correlacion. Para esto agreguemos al Hamiltoniano el termino −∫
d3r m(~r)h(~r) y designando
como Ho la parte del Hamiltoniano independiente de h(~r), el promedio de m vale:
〈m(~r)〉 =Tr m(~r)exp−β[Ho −
∫d3r m(~r)h(~r)]
Tr exp−β[Ho −∫
d3r m(~r)h(~r)]
Ahora, como φ es proporcional a ho , podemos escribir’:
δ〈m(~r)〉δho
=δ〈(φ(~r)〉δho
=φ(~r)
ho= β
[〈m(~r)m(0)〉 − 〈m(~r)〉〈m(0)〉
]= βΓ(~r)
Ası, la funcion correlacion es proporcional al parametro de orden y por lo tanto tiene la misma
longitud de correlacion.
CRITERIO DE GINZBURG
Es posible demostrar que en un espacio de d dimensiones la funcion φ tiene el siguientecomportamiento:
φ '
r−d+2 r >> ξ
e−r/ξ r << ξ
Con ξ =
(fb
)1/2para T > Tc y ξ =
(−f2b
)1/2para T < Tc
Por lo tanto para hacer una estimacion de φ escribimos:
φ 'e−r/ξ
rd−2
En una teorıa de campo medio esperamos que la funcion correlacion sea mucho menor que m2o , a
grandes distancias, cuando T → Tc , por lo que podemos decir que esta aproximacion es valida si:∫Ω(ξ) dd r
[〈m(~r)m(0)〉 − 〈m(~r)〉〈m(0)〉
]∫Ω(ξ) dd r m2
o<< 1
donde la integral esta hecha dentro de una esfera de radio ξ (longitud de correlacion), en unhiperespacio de d dimensiones. Queremos saber para que valores de d la teorıa de Landaudescribe correctamente el comportamiento crıtico. Ahora usamos las expresiones:
m2o ' |T − Tc |2β 〈m(~r)m(0)〉 − 〈m(~r)〉〈m(0)〉 '
e−r/ξ
rd−2
entonces escribiendo como Brd el volumen de una esfera de radio r en el hiperespacio de d
dimensiones, obtenemos:
Bd∫ ξ
0 drrd−1e−r/ξr−d+2
Bξd |T − Tc |2β
Ahora hacemos el cambio de variable, r = xξ y usamos ξ ' |T − Tc |−ν :[d∫ 1
0dxxe−x
](|T − Tc |dν−2β−2ν
)<< 1
La integral es del orden de 1, por lo tanto para que la desigualdad se cumpla cuando T → Tx ,debe cumplirse que:
dν − 2β − 2ν > 0 i.e. d > 2 +2βν
Este es el criterio de Ginzburg.
EXPANSIONES DE ALTA Y BAJA TEMPERATURA.Consideremos nuevamente el modelo de Ising:
H = −J∑〈ij〉
σiσj
Como ya hemos visto antes, la funcion particion se puede escribir como:
Z =∑σ1=±1
∑σ2=±1
· · ·∑
σN =±1
∏〈ij〉
[coshβ′ + σiσj senhβ′]
= (coshβ′)s∑σ1=±1
∑σ2=±1
· · ·∑
σN =±1
∏〈ij〉
[1 + σiσj tanhβ′]
= (coshβ′)s∑σ1=±1
∑σ2=±1
· · ·∑
σN =±1
∏〈ij〉
[1 + σiσj u]
donde β′ = J/kbT , u = tanhβ′ y s = qN/2 es el numero total de pares de vecinosmas cercanos.
Esta ultima expresion se puede expandir como:
Z = (coshβ′)s∑σ1=±1
∑σ2=±1
· · ·∑
σN =±1
1 + u∑〈ij〉
(σiσj ) + u2∑〈ij〉
∑〈lk〉
(σiσj )(σlσk ) + · · ·
donde un mismo par no aparece dos veces en el coeficiente (σiσj )(σlσk ) + · · · . Cada uno de losterminos del coeficiente de un puede ser representado por diagramas que representan ligazonespara un par dado, como se muestra en la figura siguiente:
1 2 3
4
567
8
9 10 11
12
13
14 15
Esta figura representa un termino como:
7∏i=1
[(σiσi+1)](σ8σ1)[(σ9σ10)(σ10σ11)][(σ12σ13)(σ13σ14)(σ14σ15)]
Notamos que en los dos primeros factores los spines 1....8 aparecen dos veces y como σ2i = 1 al
sumar estos factores no dan un valor cero. Sin embargo en los ultimos parentesis cuadrados hayspines que aparecen solo una vez y al sumar c/r a sus valores producen un resultado nulo ya que∑
i σi = 0. Por lo tanto los diagramas que contienen un numero impar de veces un spin dado danresultado nulo. Es decir solo los diagramas formados de polıgonos cerrados pueden dar unresultado no nulo, como en la figura siguiente:
Sin embargo los polıgonos cerrados que comparten un lado contienen un numero impar de veces
un mismo spin y por lo tanto no contribuyen a la funcion particion, como en la figura siguiente:
Un diagrama formado solamente por polıgonos cerrados de n ligazones que no comparten unlado hace una contribucion que vale 2Nun. Ası la funcion particion se puede escribir como:
Z = 2N (coshβ′)s(1 +∑
nΩnun)
donde Ωn es el numero de figuras con n ligazones formados exclusivamente por polıgonos que no
comparten un lado.
Ya que para T >> 0, u << 1 y por lo tanto esta expansion es util para altas temperaturas. Otra
manera de expandir la funcion particion se puede obtener a partir del numero de spines vecinosantiparalelos, r . Entonces: ∑
〈ij〉σiσj = (s − r)− r = s − 2r
Esto lo reemplazamos en
Z =∑σ1=±1
∑σ2=±1
. . .∑
σN =±1
eβ′∑〈ij〉 σiσj
y obtenemos:
Z = 2esβ′[
1 +∑
rωr e−2rβ′
]donde ωr es el numero de configuraciones con r pares de vecinos antiparalelos. Como e−2rβ′ es
pequeno para bajas temperaturas, esta expansion se llama de bajas temperaturas.
Redes de dos dimensiones
Consideremos una red cuadrada como la red de puntos llenos de la figura siguiente yconstruyamos otra red formada por los centros de los cuadrados de la red original.
La nueva red (circulos abiertos) de llama red dual de la red original. Obviamente la red original es
la red dual de la nueva red. Este procedimiento se puede utilizar en otras redes periodicas comopor ejemplo una red hexagonal la que tendra una red triangular como dual.
Si indicamos por (*) una red dual, es posible demostrar que:
Ωn = ω∗n
Para esto consideremos un polıgono cerrado en la red original y colocamos un spin hacia arriba
en los puntos de la red dual mas cercanos externos al polıgono. Ahora colocamos un spin hacia
abajo en los puntos de la red dual internos mas cercanos al polıgono. De esta manera a cada
bond del polıgono corresponde una pareja ↑↓. A la inversa podemos podemos trazar polıgonos
cerrados en una configuracion de r parejas ↑↓ de spines.
Tambien es obvio que s∗ = s, entonces, podemos escribir:
Z (T ) = 2N (coshβ′)s
[1 +
∑n
Ωn(tanhβ′)n
]y
Z∗(T ) = 2esβ′[
1 +∑
rΩne−2nβ′
]Ahora nos restringimos a J > 0 y definimos β′∗ y T∗ por:
e−2β′∗ = tanhβ′ y T∗ =J
kBβ′∗
De estas relaciones es facil demostrar que:
e−2β′ = tanhβ′∗; senh(2β) senh(2β′∗) = 1; tanh(2β) cosh(2β′∗) = tanh(2β′∗) cosh(2β) = 1
y tambien:Z (T ) = 2N−1(coshβ)se−sβ′∗Z∗(T∗)
Se puede concluir facilmente que subir T corresponde a bajar T∗ y vice-versa. Si hay unatemperatura crıtica Tc , la correspondiente temperatura del la red dual es T∗c . En una redcuaduadra la red dual es identica a la original y por lo tanto Z = Z∗, en este caso, entonces,T∗c = Tc , la cual esta determinada por:
senh2(2βc) = 1
de donde se obtiene:
βc = 0,4407→ Tc =2,269J
kB
que es el valor exacto obtenido por Onsager. Para otras redes, el calculo es un poco mascomplicado. Se obtiene:
Tc =3,640J
kBred triangular
Tc =1,518J
kBred hexagonal(panal de abejas)
La expansion de alta temperatura para una red cubica simple da como resultado:
Z 1/N = 2(coshβ′)3[1 + 3u4 + 22u6 + 192u8 + · · ·
]y para el cubico de cuerpo centrado:
Z 1/N = 2(coshβ′)4[1 + 12u4 + 148u6 + 1860u8 + · · ·
]y las expansiones respectivas para baja temperatura son:
1N
log Z = η−3/2[η6 + 3η10 −
72η12 + · · ·
]y
1N
log Z = η−2[η8 + 4η14 −
92η16 + 28η20 + · · ·
]donde η = e−β
′.
Expansion de la susceptibilidad
Ahora debemos agregar el campo magnetico externo:
H = −J∑〈ij〉
σiσj − h∑
i
σi
La funcion particion que entonces como
Z =∑σ1=±1
∑σ2=±1
· · ·∑
σN =±1
∏〈ij〉
[coshβ′ + σiσj senhβ′]∏
i
eβhσi
Si consideramos solamente las expansiones de alta temperatura este ultimo producto se puedeescribir como: ∏
i
eβhσi =∏
i
[coshβh + σi senhβh] = coshN βh∏
i
(1 + vσi )
= coshN βh[1 + v∑
i
σi + v2∑
ij
σiσj · · · ]
donde v = tanhβh.
Por lo tanto la funcion particion se puede escribir como
Z = (coshβ′)s coshN βh∑σ1=±1
∑σ2=±1
· · ·∑
σN =±1
[1 + u
∑〈ij〉
(σiσj )
+ u2∑〈ij〉
∑〈lk〉
(σiσj )(σlσk ) + · · ·]
× [1 + v∑
l
σl + v2∑lm
σlσm · · · ]
Este ultimo factor introduce en la expansion diagramas abiertos y diagramas con vertices impares(en los cuales dos poligonos pueden compartir un lado), los cuales contribuyen a lasusceptibilidad. Esta puede obtenerse de:
m =1β
1Z∂Z∂h
y
χ =∂m∂h
Con h = 0 esto se puede expresar como:
χ = β[1 +∞∑
n=1
enun]
Los coeficientes en se pueden obtener mediante un conteo de diagramas inventado por Sykes, elcual se puede aplicar a diversas redes. Ası por ejemplo para la red cuadrada se obtiene:
χ = β[1 + 4u + 12u2 + 36u3 + 100u4 + 276u5 · · · ]
Sykes obtuvo hasta el coeficiente de la potencia 21 para esta red.
Referencias.
M. Wortis, in Phase Transitions and Critical Phenomena, ed. by C. Domb and M.S. Green, (Acad.
Press, London, 1974), Vol. 3
M. Campostrini, A. Pelissetto, P. Rossi, E. Vicari, Phys. Rev. E65, 066127 (2002)
TEMPERATURA Y EXPONENTES CRITICOSSupongamos que cerca de la temperatura crıtica la susceptibilidad tiene un terminodominante:
χ '1
(u − uc)γ=∞∑0
anun =∞∑0
γ(γ + 1)(γ + 2) · · · (γ + n − 1)
n!
(uuc
)n
Los coeficientes an cumplen con la relacion:
an
an−1=
1uc
(1 +
γ − 1n
)Esta razon tiende a 1/uc cuando n→∞, pero:
rn = nan
an−1− (n − 1)
an−1
an−2
tiende mas rapidamente a 1/uc . En general la secuencia rn tendera a 1/uc cuandon→∞. En la figura siguiente se ve como las secuencias pares e impares de rn, parauna red cuadrada, tienden a un valor, que se puede estimar como 1/uc = 2,4151 loque nos da kBTc/J = 2,2701, muy cerca del valor exacto 2.2692.
0 5 10 15 20 25 30
n
1.5
2
2.5
3
3.5
rn
Un procedimiento mucho mas exacto esta basado en expresar χ en terminos de aproximantes de
Pade, i.e.:
χ =po + p1u + p2u2 + ·+ pLuL
1 + q1u + q2u2 + ·+ qM uM
en que los coeficientes p y q se obtienen de los coeficientes ei de la serie, hasta un valor i = N,
con la condicion L + M = N. La singularidad de χ viene de los ceros del denominador. De esta
manera se ha obtenido, por ejemplo, que el exponente γ para una red cubica simple es
aproximadamente 1.239.
GASES REALES Y LIQUIDOSConsideremos un sistema de N partıculas de igual masa m queesta descrito por el Hamiltoniano:
H =1
2m
N∑i=1
~pi · ~pi + U(~r1, · · ·~rn)
La funcion particion canonica clasica de este sistema es:
Z (N,V ,T ) =1
N!h3N
∫· · ·∫
e−βHd3p1 · · · d3pNd3r1 · · · d3rN
La integracion sobre los momentos nos da:
Z =1
N!
(m
2π~2β
)3N/2
QN
donde QN es la llamada integral de configuracion:
QN =
∫· · ·∫
e−βUd3r1 · · · d3rN
Si la interaccion entre las partıculas es nula, i.e. U = 0, entonces:
QN = V N ; Z = zN(V ,T )/N! z(V ,T ) = [m/(2π~2β)]3/2V
En este ultimo caso obtenemos la ecuacion de estado del gas ideal:
pkBT
= ρ
la cual es aproximadamente valida para un gas muy diluıdo. Cuandola densidad crece es posible obtener la ecuacion de estado comouna serie de potencias en ρ:
pkBT
= ρ+ B2(T )ρ2 + B3(T )ρ3 · · ·
Para la derivacion de esta ecuacion es conveniente trabajar en elensemble del gran canonico, donde la funcion particion es:
Z(V ,T , µ) =∞∑
N=0
Z (N,V ,T )λN con λ = eβµ
la cual cumple las relaciones:
pV = kBT logZ N = kBT(∂ logZ∂µ
)V ,T
= λ
(∂ logZ∂λ
)V ,T
Notamos que:lımλ→0
N = λZ (1,V ,T ) = λZ1
Entonces cuando λ→ 0, ρ→ λZ1/V lo que definimos por ζ.Entonces:
Z(V ,T , µ) = 1 +∞∑
N=1
[Z (N,V ,T )V N
Z N1
]ζN
En esta expresion hemos usado en hecho que Z (0,V ,T ) = 1, debidoa que con N = 0 solo hay un estado con E = 0. Ahora definimos:
RN(V ,T ) = N!
(VZ1
)N
Z (N,V ,T )
y obtenemos:
Z = 1 +∞∑
N=1
RN
N!ζN
y por lo tanto podemos escribir:
p = kBT∞∑j=1
bjζj
donde los coeficientes bj se pueden obtener reemplazando laexpresion anterior para Z en pV = kBT logZ. Ası se obtiene:
b1 =1V
R1 = 1 b2 =1
2!V(R2−R2
1) b3 =1
3!V(R3−2R2R1+2R3
1)
etc.
Tambien podemos obtener una expansion en series de ζ paraρ = N/V :
ρ =λ
V
(∂ logZ∂λ
)T ,V
=ζ
V
(∂ logZ∂ζ
)T ,V
=ζ
kBT∂p∂ζ
=∞∑j=1
jbjζj
Esta serie se puede invertir:
ζ = a1ρ+ a2ρ2 + a3ρ
3 · · ·
donde
a1 = 1 a2 = −2b2 a3 = −3b3 + 8b22 etc.
Reemplazando la serie para ζ en la serie de p, obtenemos:
pkBT
= ρ+ B2(T )ρ2 + B3(T )ρ3 · · ·
dondeB2(T ) = −b2 = − 1
2V(R2 − R2
1)
B3 = 4b22 − 2b3 = − 1
3V 2 [V (R3 − R2R1 + 2R31)− 3(R2 − R2
1)2]
Gas clasico monoatomico
Partamos con N = 1. En este caso no hay interacciones y por lotanto U = 0.
Z1 = Z (1,V ,T ) =
(m
2π~2β
)3/2
Q1
pero como U = 0, Q1 = V , y Z1 =VΛ3 , donde
Λ =
(m
2π~2β
)−1/2
Por lo tanto:
Z (N,V ,T ) =1
N!
(m
2π~2β
)3N/2
=1
N!
(Z1
V
)N
QN
y comparando con la definicion de RN , vemos que RN = QN . Ası:
R1 =
∫d3r1 = V ; R2 =
∫ ∫e−βU2d3r1d3r2; R3 =
∫ ∫ ∫e−βU3d3r1d3r2d3r3
Para calcular B2 suponemos que U2 = u(|~r2 −~r1|) = u(r12), entonces:
B2 = − 12V
∫ ∫[e−βu(r12)−1]d3r1d3r2 = − 1
2V
∫d3r1
∫[e−βu(r12)−1]d3r12
La primera integral cancela V y en la segunda se puede integrar laparte angular para dar:
B2 = −2π∫ ∞
0[e−βu(r) − 1]r2dr
En el caso del potencial de Lennard-Jones
u(r) = 4ε[(σ
r
)12−(σ
r
)6]
existe una expresion exacta †:
B∗2 (T ∗) =π
16√
2T ∗2e1/(2T∗)
(−4 + 5T ∗)
[I3/4
(1
2T ∗
)+ I−3/4
(1
2T ∗
)]
− (4 + 21T ∗)[I−1/4
(1
2T ∗
)+ I1/4
(1
2T ∗
)]
donde T ∗ = kBT/ε y B∗2 (T ∗) = B2(T ∗)/(2πσ3/3)
† P. Vargas et al. Physica A290, 92 (2001)
TERCER COEFICIENTE VIRIAL
Aquı necesitamos calcular R3 =∫ ∫ ∫
e−βU3d3r1d3r2d3r3, para lo cualnecesitamos conocer U3 = U(~r1,~r2,~r3). En una aproximacion usadacomunmente, llamada de aditividad a pares, uno escribe:
U(~r1,~r2,~r3) ' u(r12) + u(r23) + u(r31)
Ahora introducimos la funcion de Mayer:
fij = e−βu(rij ) − 1
entonces:
R3 =
∫ ∫ ∫(1 + f12)(1 + f23)(1 + f31)d3r1d3r2d3r3
en forma similar podemos escribir::
R1R2 = V∫ ∫
(1 + f12)d3r1d3r2 =
∫ ∫ ∫(1 + f12)d3r1d3r2d3r3
De esta expresion vemos que R1R2 tambien se puede escribir como:
R1R2 =
∫ ∫ ∫(1 + f23)d3r1d3r2d3r3 = int
∫ ∫(1 + f31)d3r1d3r2d3r3
y por lo tanto:
R3−3R1R2 =
∫ ∫ ∫[f12f23f31− f12f23− f23f31− f31f12−2]d3r1d3r2d3r3
y
2R31 = 2
∫ ∫ ∫d3r1d3r2d3r3
Reemplazando estos resultados en B3, obtenemos finalmente:
B3 = − 13V
∫ ∫ ∫f12f23f31d3r1d3r2d3r3
en la aproximacion de la aditividad a pares.
Existe un resultado general dentro de la aproximacion de aditividad apares, la cual es el siguiente:
Bj+1 = − jj + 1
βj
donde:βj =
1j!V
∫d3r1 · · · d3rj+1S′j
Aquı S′j es la suma de todos los productos de funciones f queconectan las moleculas 1, 2, · · · , j + 1 en grafos tales que laremocion de cualquier punto del grafo (incluyendo todas las lıneasque llegan a ese punto), resulta todavıa en un grafo conectado. Estosgrafos son llamados estrellas. En la figura siguiente se muestran losgrafos correspondientes a 2, 3 y 4 partıculas.
1 4 1 4
1 4 1 4 1 41 2
1 2
43 43
43
3 2 3 2
3 2
2 3
2 3
1 4
1 3
1 2
2 4
1
2
2 3
1
2 2 3
1
3
1 2
1
2 3
3
Entonces es facil darse cuenta que:
S′1 = −S′2 = 4S′3 =
+3 6+
Funcion de correlacion de pares
Consideremos un sistema de N partıculas en un volumen V , a latemperatura T . Definamos la probabilidad de que la partıcula 1 seencuentra en la posicion ~r1 en d3r1, que la partıcula 2 se encuentraen la posicion ~r2 en d3r2, · · · , y que partıcula N se encuentra en laposicion ~rN en d3rN , como:
P(~r1,~r2, · · ·~rN)d3r1d3r2 · · · d3rN =1
QN(V ,T )exp
[−βW (~r1,~r2, · · ·~rN)
]d3 r1d3r2 · · · d3rN
donde W (~r1,~r2, · · ·~rN) =∑
i<j U(~ri −~rj ).
La densidad de probabilidad de que las partıculas 1, · · · , n seencuentren en ~r1, · · · , ~rn, sin importar donde se encuentren laspartıculas n + 1, · · · , N, esta dada por:
P(n)(~r1,~r2, · · ·~rn) =1
QN(V ,T )
∫· · ·∫
exp[−βW (~r1,~r2, · · ·~rN)
]d3rn+1 · · · d3rN
Entonces la densidad de probabilidad de que cualquier partıcula se encuentre en ~r1,· · · , ~rn es:
P(n)(~r1,~r2, · · ·~rn) =N!
(N − n)!P(n)(~r1,~r2, · · ·~rn)
Ahora introducimos la funcion correlacion g:
g(n) =P(n)(~r1,~r2, · · ·~rn)
ρn =
(VN
)n(N)!
(N − n)!
∫· · ·∫
exp [−βW ] d3rn+1 · · · d3rN
QN(V ,T )
De una importancia partıcular es la funcion g(2):
g(2)(~r1,~r2) =V 2(N − 1)
N
∫· · ·∫
exp [−βW ] d3r3 · · · d3rN
QN(V ,T )
Aquı podemos hacer un pequeno parentesis y notar lo siguiente: enexp[−βW ] podemos extraer el factor que solo depende de ~r1 y ~r2, i.e.:
exp[−βu(~r1 −~r2)]
que puede salir fuera de la integral. Ahora si tenemos bajasdensidades (i.e. u pequeno) el factor restante tiende a 1/V 2 y por lotanto para bajas densidades:
g(2)(~r) ' exp[−βu(~r)]
En un fluıdo homogeneo g(2) depende solo de ~r = ~r1 −~r2. En estecaso es conveniente realizar un cambio de variables:
~r = ~r1 −~r2; ~R =12
(~r1 +~r2)
y reescribir:
g(2)(~r , ~R) =V 2(N − 1)
N
∫· · ·∫
exp[−βW (~R +~r/2, ~R −~r/2,~r3 · · ·~rN )
]d3r3 · · · d3rN
QN (V ,T )
Como solo nos interesa la dependencia en~r , integramos con respecto a ~R y definimos:
g(2)(~r) =1V
∫d3Rg(2)(~r , ~R)
=(N − 1)
ρ
∫· · ·∫
exp[−βW (~R +~r/2, ~R −~r/2,~r3 · · ·~rN )
]d3Rd3r3 · · · d3rN
QN (V ,T )
=(N − 1)
ρ
∫· · ·∫δ(~r ′ −~r) exp
[−βW (~R +~r ′/2, ~R −~r ′/2,~r3 · · ·~rN )
]d3r ′d3Rd3r3 · · · d3rN
QN (V ,T )
Si el fluıdo es isotropico, g(2) depende solo de r = |~r1 −~r2| y podemos escribir:∫d3rg(2)(r) = 4π
∫drr2g(2)(r)
(N − 1)
ρ
∫· · ·∫δ(~r ′ −~r) exp
[−βW (~R +~r ′/2, ~R −~r ′/2,~r3 · · ·~rN )
]d3rd3r ′d3Rd3r3 · · · d3rN
QN (V ,T )
=(N − 1)
ρ
∫· · ·∫
exp[−βW (~R +~r ′/2, ~R −~r ′/2,~r3 · · ·~rN )
]d3r ′d3Rd3r3 · · · d3rN
QN (V ,T )
Notese que la integral en el numerador es exactamente QN (V ,T ) y por lo tanto:
4πρ∫
drr2g(2)(r) = N − 1 ' N
Volvamos a la expresion inicial de g(2):
g(2)(~r1,~r2) =V 2(N − 1)
N
∫· · ·∫
exp [−βW ] d3r3 · · · d3rN
QN (V ,T )
Vemos que tambien se puede escribir como:
g(2)(~r1,~r2) =V 2(N − 1)
N
∫· · ·∫δ(~s1 −~r1)δ(~s2 −~r2) exp [−βW ] d3s1d3s2d3r3 · · · d3rN
QN (V ,T )
=V 2(N − 1)
N
∫· · ·∫δ(~s1 −~r1)δ(~s2 −~r2) exp [−βW ] d3s1d3s2d3s3 · · · d3sN
QN (V ,T )
Aquı hemos elegido las coordenadas ~s1 y ~s2 como aquellas quefaltaran en la integracion una vez que operen las funciones delta. Sinembargo tambien podemos promediar c/r a todas las coordenadas ~siy ~sj y escribir:
g(2)(~r1,~r2) =
=V 2(N − 1)
N1
N2
∫· · ·∫ ∑
i 6=j [δ(~si −~r1)δ(~sj −~r2)] exp [−βW ] d3s1d3s2d3s3 · · · d3sN
QN (V ,T )
=V 2(N − 1)
N3
⟨∑i 6=j
δ(~si −~r1)δ(~sj −~r2)⟩
Para un sistema homogeneo en que g(2) depende solo de~r = ~r1 −~r2:
g(2)(~r) =N − 1ρ
1N2
⟨∑i 6=j
δ(~r −~si +~sj )⟩
=N − 1ρ
1N2
⟨∑i 6=j
δ(~r −~ri +~rj )⟩
Ahora definimos el Factor de Estructura S(~q):
S(~q)− 1 =NV
∫d3r
[g(2)(~r)− 1
]ei~q·~r
Reemplazando g(2)(~r), en lımite N →∞, obtenemos:
S(~q)− 1 =1N
⟨∑i 6=j
ei~q·(~ri−~rj )⟩− 2π3 N
Vδ(~q)
Reemplazando el 1 en el lado izquierdo por1N
⟨∑i=j
ei~q·(~ri−~rj )⟩
, obtenemos:
S(~q) =1N
⟨∑i,j
ei~q·(~ri−~rj )⟩− 2π3 N
Vδ(~q)
donde:δ(~q) =
12π3
∫d3rei~q·~r
Consideremos un experimento de scattering en tenemos una onda incidente de laforma:
ψ~k (~r) =1√
Vei~k·~r
la que interactua con un blanco formado por un conjunto de partıculas. La interaccionla podemos representar por: ∑
i
u(~r −~ri )
de esta interaccion resulta la onda:
ψ~k′ (~r) =
1√
Vei~k′·~r
y definimos:
u(~q) =
∫d3ru(~r)e−i~q·~r
La tasa de transicion esta dada por la regla de oro:
W (~k → ~k ′) =2π~
∣∣∣∣∣〈~k + ~q|∑
i
u(~r −~ri )|~k〉
∣∣∣∣∣2
δ[ε(~k)− ε(~k ′)]
Pero:
〈~k + ~q|∑
i
u(~r −~ri )|~k〉 =1V
∑i
∫e−i(~k+~q)·~r u(~r −~ri )ei~k·~r d3r
=1V
∑i
∫e−i~q·~r u(~r −~ri )d3r
=1V
∑i
e−i~q·~ri u(~q)
Por lo tanto: ∣∣∣∣∣〈~k + ~q|∑
i
u(~r −~ri )|~k〉
∣∣∣∣∣2
=1
V 2
∑i,j
ei~q·(~ri−~rj )|u(~q)|2 =NV 2
S(~q)|u(~q)|2
y entonces la intensidad de scattering esta dada por:
I(~k − ~k ′ − ~q) ∝ |W |2 ∝ f (~q)S(~q)Io
donde Io es la intensidad incidente y f (~q) = |u(~q)|2 es el factor de forma. En el casode u ∝ δ(~r −~ri ), el factor forma varıa muy poco con ~q y
S(~q) ∝ I
y ası es posible determinar S(~q) y g(2)(~r) experimentalmente.
COMPRESIBILIDAD ISOTERMICA
La compresibilidad isotermica esta definida por:
κT = −1V∂V∂P
En las expresiones para g(2) anteriores, hay que recordar que se obtuvieron dentro delensemble gran canonico y que por lo tanto todas la expresiones que involucran Ndeben considerarse como promedios termodinamicos. Ası en la expresion:∫
d3rg(2)(~r) =VN2
N(N − 1)
debemos escribir: ∫d3rg(2)(~r) =
V〈N2〉
〈N(N − 1)〉
por lo tanto: ∫d3r [g(2)(~r)− 1] =
V〈N〉2
[〈N2〉 − 〈N〉〈N〉2
]=
V〈N〉2
[〈(N − 〈N〉)2〉 − 〈N〉
]= V
(∆N)2
〈N〉2−
V〈N〉
Pero del estudio del ensemble del gran canonico:
(∆N)2
〈N〉= ρkBTκT∫
d3r [g(2)(~r)− 1] =V〈N〉
ρkBTκT −V〈N〉
= kBTκT −1ρ
Finalmente:
ρ
∫d3r [g(2)(~r)− 1] = ρ
∫d3rh(~r) = ρkBTκT − 1
Ahora veamos diversos casos lımites:
a) Gas ideal. Aquı g(2)(~r) = 1, h(~r) = 0 y
κT =V
NkBTque es el mismo resultado de
κT = −1V∂V∂P
= −1V
[−
NkBTP2
]=
1V
V 2
NkBT
b) Solido ideal. En este caso las partıculas estan en posiciones rıgidas en el espacio, por lo tantosu numero es fijo y (∆N)2 = 0, esto implica κT = 0 (compresibilidad cero) y por lo tanto:
ρ
∫d3r [g(2)(~r)− 1] = −1
c) En un fluıdo condensado, la compresibilidad es mucho menor que la del gas ideal:0 < ρkBTκT << 1 y el fluıdo es casi incompresible:
ρ
∫d3r [g(2)(~r)− 1] ' −1
Cuando el fluıdo esta cerca del punto crıtico, ∂P/∂V ' 0 y:
ρ
∫d3r [g(2)(~r)− 1]→∞
a acercarse al punto crıtico. Entonces S(~q) se hace muy grande para ~q pequeno y el scatteringaumenta enormemente. Este es el fenomeno de la opalescencia crıtica.
La ecuacion de estados se puede encontrar en funcion de g(2)(r):
pkBT
= ρ− 2πρ2
3kBT
∫ ∞0
r3u(r)g(2)(r)dr
o tambien de la compresibilidad isotermica:
kBT(∂ρ
∂p
)= 1 + ρ
∫ [g(2)(r)− 1
]d3r
ECUACION DE ORNSTEIN-ZERNIKE.En 1914 Ornstein y Zernike introdujeron una nueva funcion, llamada la funcion decorrelacion directa c(~r1,~r2), a traves de la ecuacion integral:
h(~r1,~r2) = c(~r1,~r2) + ρ
∫d3r3h(~r1,~r3)c(~r3,~r2)
La razon de este nombre se debe a que para bajas densidades c(~r1,~r2) tiende a lafuncion de Mayer.
Para un sistema homogeneo:
h(~r12) = c(~r12) + ρ
∫d3r3h(~r13)c(~r32)
y podemos escribir esta ecuacion en terminos de sus transformadas de Fourier:
h(~k) = c(~k) + ρh(~k)c(~k)
de donde se puede obtener c(~r) en terminos de h(~r).
Sin embargo tanto h(~r) como c(~r) son desconocidas y para resolverla hay que utilizarun procedemiento introducido por Percus y Yevick en 1958. Ası como para bajasdensidades g ' exp[−βu], suponemos que en general podemos escribirg(r) = exp[−βw(r)] y que entonces la funcion c tiene la siguiente expresion:
c(r) = gtotal(r)− gindirecta(r)
donde
gtotal(r) = g(r) = exp[−βw(r)] y gindirecta(r) = exp[−βw(r)− u(r)]
Ahora introducimos la funcion:y(r) = exp[βu(r)]g(r)
y por lo tanto:c(r) = g(r)− y(r) = (exp[−βu(r)]− 1) y(r) = f (r)y(r)
Vemos que c(r) es una funcion de corto alcance como f (r). Reemplazando en la ecuacion deOrnstein-Zernike, obtenemos la ecuacion de Percus-Yevick:
y(r12) = 1 + ρ
∫f (r13)y(r13)h(r23)d3r3
Esta ecuacion se puede resolver por un metodo iterativo de la siguiente forma. Primero notamosque:
h(r) = g(r)− 1 = exp[−βu(r)]y(r)− 1 = f (r)y(r) + y(r)− 1
Esta expresion se reemplaza por h(r13) en la PY y se obtiene:
y(r12) = 1 + ρ
∫f (r13)y(r13)f (r23)y(r23)d3r3 + ρ
∫f (r13)y(r13)[y(r23)− 1]d3r3
Podemos encontrar y(r) como una serie de potencias en ρ, cuyos primeros terminos son:
y(r) = 1 + ρ
∫a1d3r3 + ρ2
∫a2d3r3d3r4 · · ·
donde:
2a
a 1
+ +
=
=
La ecuacion de Percus-Yevick puede ser resuelta analıticamente para esferas duras. Las
ecuaciones de estado que resultan son:
pρkBT
=1 + 2s + 3s2
(1− s)2de la ecuacion de presion
pρkBT
=1 + s + s2
(1− s)3de la ecuacion de compresibilidad
donde s =
√2πVo
6V, en que Vo es el volumen de un sistema de moleculas con maximo
empaquetamiento..
ECUACION DE LA CADENA SOBRE-TEJIDA( hypernetted-chain equation HNC)
Esta aproximacion resulta de la expansion de la correlacion indirecta:
gindirecta(r) = exp[−βw(r)− u(r)] ' 1 + β[w(r)− u(r)]
entoncesc(r) = g(r)− 1− log y(r) = f (r)y(r) + y(r)− 1− log y(r)
Reemplazando en la ecuacion de Ornstein-Zernike obtenemos la ecuacion de la cadenasobre-tejida:
log y(r12) = ρ
∫ [h(r13 − log g(r13)−
u(r13)
kBT
][g(r13)− 1]d3r3 HNC
En el grafico siguiente se muestra una comparacion entre las soluciones analıticas de PY y HNCcon resultados obtenidos de la dinamica molecular por D. Henderson en 1964.
Teorıa del funcional densidad (DFT). Teoremas deKohn-Hohenberg.
Consideremos un sistema de partıculas interactuantes descritas por el Hamiltoniano:
H =∑ p2
i2m
+ UN (~ri ) +∑
v(~ri )
Este ultimo termino lo llamaremos VN =∑
v(~ri ) e escribiremos el Hamiltoniano como:
H = Ho + VN
TEOREMA 1.
Demostraremos que la densidad canonica en equilibrio:
zo =1Z
e−βH donde Z (N,V ,T ) =1
N!h3N
∫· · ·∫
e−βHd3p1 · · · d3pNd3r1 · · · d3rN
produce un mınimo de la energıa libre F :
F [z] = Tr z[H+ kBT log z]
es decir, para cualquier otro z, F [z] > F [zo].
En primer lugar notemos que:
log zo = −βH− log Z
y por lo tanto
F [zo] = Tr zo[H+ kBT log zo] = Tr zo[H+ kBT (−βH− log Z )] = −kBT log Z
ya que Tr zo = 1. Esto nos permite escribir:
H = −kBT log zo − kBT log Z = −kBT log zo + F [zo]
y
F [z] = Tr zkBT logzzo
+ F [zo]
Por lo tanto, como Tr z = 1:
F [z]− F [zo] = kBT Tr
z logzzo
+ z − zo
= kBT Tr zo
zzo
logzzo−(
zzo− 1)
Ya que x ln x ≥ x − 1, obtenemos finalmente:
F [z] ≥ F [zo]
Ahora veamos el 2do. teorema. La funcion de particion canonica es ciertamente unfuncional de v(~r):
Z = e−βF =1
N!h3N
∫d3N rd3Npe−β(Ho+VN )
como tambien lo es la densidad:
ρ(~r) =∑〈δ(~r −~ri )〉
A la inversa esto implica que v(~r) es un funcional de ρ(~r). El problema es que nosabemos si este v(~r) es unico.
TEOREMA 2.
Kohn y Hohenberg demostraron que esta relacion es biunıvoca, es decir que a cadadensidad ρ(~r) le corresponde un unico potencial externo v(~r). Para demostrar esteteorema suponemos que existen dos potenciales v(~r) y v ′(~r) que producen la mismadensidad ρ(~r). Entonces tenemos dos Hamiltonianos H = Ho + VN y H′ = Ho + V ′N ,dos densidades canonicas, z y z′ y dos energıas libres, correspondientes a la mismadensidad ρ(~r).
F [z] = Tr z[H+ kBT ln z] F [z′] = Tr z′[H′ + kBT ln z′]
por lo tanto:
F [z′] = Tr z′[H′ + kBT ln z′]
< Tr z[H′ + kBT ln z] = F [z] + Tr z(VN − V ′N )
Este ultimo termino es:
Tr z(VN − V ′N ) =
∫d3rρ(~r)[v ′(~r)− v(~r)]
es decir:F [z′] < F [z] +
∫d3rρ(~r)[v ′(~r)− v(~r)]
Ahora si empezamos por F [z] encontramos:
F [z] < F [z′] +
∫d3rρ(~r)[v(~r)− v ′(~r)]
Esto implica que si v(~r) 6= v ′(~r):
F [z] + F [z′] < F [z] + F [z′]
y por lo tanto necesariamente debemos tener
v(~r) = v ′(~r)
lo que implica finalmente que la energıa libre es un funcional de ρ(~r). Por supuestoque esto tambien es valido para la energıa total, la que tiene una unica dependenciafuncional de ρ(~r).
Ecuacion de Kohn-Sham. Aproximacion de ladensidad local (LDA)
.Cuando E [ρ] es estacionario con respecto a variaciones de ρ, el cambio δE debe sernulo en primer orden de δρ, con N fijo. El multiplicador de Lagrange correspondientees µ:
δE − µδN = 0
La energıa total del sistema en funcion de ρ esta dada por:
E [ρ] = EK [ρ] + En−n[ρ] + Ee−e[ρ] + Exc[ρ] +
∫d3rvnucρ(~r)
donde EK[ρ] es la energıa cinetica,En−n[ρ] la energıa de interaccion nucleo-nucleo,Ee−e[ρ] la energıa de interaccion electron-electron, y Exc[ρ] la energıa de correlacion eintercambio. El ultimo termino corresponde a la interaccion nucleo-electron Uel−nuc[ρ]
La densidad de carga se puede escribir como:
ρ(~r) =∑
i
fi |ψi (~r)|2,
donde fi es el numero de electrones en la orbita i , generalmente 2 y los ψi (~r) son losorbitales de Kohn-Sham que describen los estados electronicos. La forma de losterminos de la energıa en la ecuacion anterior son las siguientes:
EK =∑
i
fi
∫ψ∗i (~r)
(−
~2
2m∇2ψi (~r)
)d3r .
Ee−e =12
∫φ(~r)ρ(~r) d3r .
donde φ(~r) es el potencial coulombiano.
Uel−nuc =
∫v(r)ρ(~r) d3, (8)
En−n =12
14πεo
e2∑I 6=J
ZIZJ
RIJ, (9)
vnuc(~r) = −1
4πεoe2∑
i
ZI
RI, (10)
Exc(~r) =
∫d3rρ(~r)εxc(ρ) (11)
Ahora debemos calcular:
δEK + e2∫
d3rd3r ′δρ(~r)ρ(~r ′)/|~r −~r ′| + δExc[ρ(~r)]
+
∫d3rv(~r)δρ(~r)− µ
∫d3rδρ(~r) = 0
La ecuacion anterior es equivalente a:
δ
δψ∗i (~r)
(EK + Uel−nuc + Ee−e + Exc + En−n −
∑i
µ
∫ψ∗i (~r)ψi (~r) d3r
)= 0
Los diferentes terminos de la ecuacion toman los siguientes valores
δEK
δψ∗i (~r)= fi
~2
2m∇2ψi (~r)
δ
δψ∗i (~r)(Uel−nuc) = fi vnuc(~r)ψi (~r).
La contribucion de la interaccion electron-electron Ee−e es muy similar pero debemostomar en cuenta que al cambiar ψ(~r) tambien cambia el potencial φ(~r). Ası al termino∫φ δρ d3r debemos agregar el termino
∫(δφ)ρ d3r Sin embargo, usando la ecuacion
de Poisson
∇2(δφ) = −e2
εo(δρ)
tenemos,∫(δφ)ρ dV =
∫(δφ)
∇2φ
−εoe2dV =
∫∇2(
δφ
−εoe2
)φ dV =
∫(δρ)φ dV ,
Por lo tanto debemos tomar dos veces (1/2)∫φ δρ d3r y ası obtenemos:
δ
δψ∗i (~r)(Ee−e) = fi φ(~r)ψi (~r).
Para el termino correlacion intercambio usamos: δExc/δρ(~r) = f ′xc(ρ(~x)) y deδρ(~r)/δψ∗i (~r) = fi ψi (~r) obtenemos:
δ
δψ∗i (~r)(Exc) = fi f ′xc(n(~r))ψi (~r).
Como En−n no depende de ψ∗i (~r) no da contribucion. Finalmente
δ
δψ∗i (~r)
(−∑
i
µ
∫ψ∗i (~r)ψi (~r) dV
)= −µψi (~r).
Recolectando todas las contribuciones obtenemos la ecuacion de Schrodinger:
−~2
2m∇2ψi (~r) + Vefec(~r)ψi (~r) = εiψi (~r), (12)
dondeVefec(~r) ≡ vnuc(~r) + φ(~r) + f ′xc(ρ(~r)), (13)
y εi = µ/fi
Esta ecuacion corresponde a la condicion para el estado fundamental de un sistemade electrones no-interactuantes sometidos a un potencial Vefect(~r).
Esta es la ecuacion de Kohn-Sham. Ya que Vefect(~r) depende de ψi (~r) a traves de ρ(~r),esta ecuacion debe ser resuelta autoconsistentemente.
Una de las mayores dificultades en esta teorıa es el conocimiento de la energıa decorrelacion e intercambio. El unico caso en que la densidad de energıa εxc(ρ) esconocida es el caso de un gas uniforme de electrones interactuantes, en el cual ρ esconstante. Este resultado viene de calculos de Monte Carlo y teorıa analıtica. Laaproximacion de la “Densidad Local” (LDA) consiste en suponer que la dependenciade la energıa de correlacion e intercambio:
Exc =
∫d3rρ(~r)εxc(ρ(~r)),
tiene la misma dependencia que en el caso del gas uniforme.
A pesar que puede parecer una aproximacion burda, LDA ha tenido un exito rotundoen la prediccion de muchas propiedades de solidos y lıquidos.
La teorıa DFT ha sido aplicada en el calculo de las propiedades electronicas demateriales, cinetica de crecimiento de metales, semiconductores y aisladores,absorpsion, difusion y nucleacion en semiconductores, formacion de nanoestructuras,procesos de catalisis y oxidacion de superficies, absorbcion de hidrogeno en metalesde transicion, fotoquımica, estudios de DNA, etc.
Demostracion de la ecuacion de Ornstein-Zernike.
Consideremos un sistema en el ensemble del gran canonico. Aquı en vez de usar elfuncional de Helmholtz F [ρ], debemos usar:
Ω[ρ] = F [ρ]− µN
el cual en equilibrio cumple con la condicion:
∂Ω
∂ρ(~r)
∣∣∣ρo
= 0
Para un gas ideal homogeneo:
Ω =32
NkBT + kBT[
N log(
NVλ3
T
)−
52
N]− µN donde λT =
(2π~2
mkBT
)1/2
donde hemos utilizado la expresion de Sakur-Tetrode para la entropıa de un gas ideal.La generalizacion de esta expresion para un gas ideal inhomogeneo sometido a unpotencial externo v(~r) es:
Ωideal[ρ] = kBT∫
d3rρ(~r) log[ρ(~r)λ3
T ]− ρ(~r)
+
∫d3rρ(~r)v(~r)− µ
∫d3rρ(~r)
Tomando la derivada funcional con respecto a ρ(~r), obtenemos:
δΩideal
δρ(~r)
∣∣∣ρo
= kBT log[ρ(~r)λ3T ]− µ+ v(~r) = 0
oρo(~r) =
1λ3
T
e−β(v(~r)−µ)
En el caso de partıculas interactuantes agregamos un termino que contengan lascontribuciones debidas al potencial de pares:
Ω[ρ] = Ωideal[ρ]− Φ[ρ]
Tomando la derivada funcional:
δΩ
δρ(~r)
∣∣∣ρo
= kBT log[ρo(~r)λ3T ] + u(~r)−
δΦ
δρ(~r)
∣∣∣ρo
= 0
donde u(~r) = v(~r)− µ. Ası obtenemos:
ρo(~r) =1λ3
T
e−βu(~r)+C1[~r ;ρo(~r)]
donde:C1[~r ; ρo(~r)] = β
δΦ
δρ(~r)
∣∣∣ρo
Ahora demostraremos que la cantidad:
C2[~r ;~r ′; ρo(~r)] =δC1[~r ; ρo(~r)]
δρ(~r ′)
∣∣∣ρo
=δ(~r −~r ′)ρo(~r)
+ βδu[~r ; ρo(~r)]
δρo(~r ′)
es la funcion de correlacion directa de Onrstein-Zernike.
Para esto definamos el operador ρ(~r) =∑
i δ(~r −~ri ), entonces:
Ahora partimos de la funcion particion en el gran canonico:
Z = e−βΩ =∑
N1
N!h3N eβµN ∫ d3Npd3N re−β(H+WN )
=∑
N1
N!λ−3N
T e−β∑
i<j Uij−β∫
d3ru(~r)ρ(~r)
donde ahora WN incluye el potencial externo.
Ω[ρo] = −kBT log∑
N1
N!
∫d3N rλ−3N
T
× exp−β∑
i<j U(~ri −~rj )− β∫
d3ru(~r)ρ(~r)
La derivadas funcionales con respecto a u(~r) nos dan:
δΩ
δu(~r)= ρo(~r)
−1β
δ2Ω
δu(~r)δu′(~r ′)= 〈ρ(~r)ρ(~r ′)〉 − ρo(~r)ρo(~r ′)
Por otra parte
〈ρ(~r)ρ(~r ′)〉 =⟨∑
i 6=j δ(~r −~ri )δ(~r ′ −~rj ) +∑
i δ(~r −~ri )δ(~r ′ −~ri )⟩
= n2(~r ,~r ′) + ρo(~r)δ(~r −~r ′)
donde n2(~r ,~r ′) = ρo(~r)ρo(~r ′)g(2)(~r ,~r ′). Esta expresion es una generalizacion de lafuncion de correlacion a pares para un gas inhomogeneo.
Entonces:
n2(~r ,~r”)− ρo(~r)ρo(~r”) + ρo(~r)δ(~r −~r”) = −kBTδρo(~r)
δu(~r”)= −kBT
[δu(~r”)
δρo(~r)
]−1
donde la derivada funcional inversa esta definida en el Apendice 1.
Ahora multiplicamos por βδu(~r”)
δρo(~r ′)e integramos c/r a~r ′′:
∫d3r ′′
[n2(~r ,~r”)− ρo(~r)ρo(~r”) + ρo(~r)δ(~r −~r”)
]×[−δ(~r ′′ −~r ′)ρo(~r)
+ C2(~r ′′,~r ′)]
= −δ(~r−~r ′)
y usamos la generalizacion de h(~r ,~r ′), i.e.
[h(~r ,~r ′) + 1]ρo(~r)ρo(~r ′) = n2(~r ,~r ′)
la cual la reemplazamos en la integral anterior:∫d3r ′′
[− h(~r ,~r ′′)ρo(~r)δ(~r ′′ −~r ′)− ρo(~r)
ρo(~r ′′) δ(~r ′ −~r ′′)δ(~r −~r ′′)
+C2(~r ′′,~r ′)h(~r ,~r ′′)ρo(~r)ρo(~r ′′) + C2(~r ′′,~r ′)ρo(~r)δ(~r −~r ′′)]
= −δ(~r −~r ′)
Lo que nos da:
−h(~r ,~r ′)ρo(~r)−δ(~r−~r ′)+
∫d3r ′′C2(~r ′′,~r ′)h(~r ,~r ′′)ρo(~r)ρo(~r ′′)d3r ′′+C2(~r ,~r ′)ρo(~r) = −δ(~r−~r ′)
Reordenando esta ecuacion obtenemos finalmente, la ecuacion de Ornstein-Zernike:
h(~r ,~r ′) = C2(~r ,~r ′) +
∫d3r ′′ρo(~r ′′)h(~r ,~r ′′)C2(~r ′′,~r ′)
Finalmente notemos que la energıa potencial total del sistema se puede escrir como:∑i<j
U(~ri −~rj ) =12
∫d3rd3r ′〈ρ(~r)ρ(~r ′)− ρ(~r)δ(~r −~r ′)〉U(~r ,~r ′)
Como el promedio dentro de la integral es n2(~r ,~r ′), al reemplazar esta expresion en Ω,considerada como un funcional de U, obtenemos:
n2(~r ,~r ′) = 2δΩ
δU(~r ,~r ′)
MODELO DE ISING DE DOS DIMENSIONES
La solucion del modelo de Ising en una dimension se hizo mediante el uso de la matrizde transferencia. Ahora plantearemos el tratamiento de modelo en una dimension atraves de otro procedimiento que nos dara una guıa para una extension al casobidimensional. Seguiremos el procedimiento propuesto en el trabajo de T.D. Schultz,D.C. Mattis, E.H. Lieb, Rev. Mod. Physics 36, 856 (1964).
1 dimension
Partimos, de nuevo del Hamiltoniano:
H = −JN∑
i=1
σiσi+1 − h∑
i
σi
y escribimos la funcion particion en la siguiente forma:
Z =∑σ
(eβhσ1 eKσ1σ2 )(eβhσ2 eKσ2σ3 ) · · · (eβhσN eKσNσ1 )
donde K = βJ y hemos impuesto condiciones de borde periodicas.
Ahora introducimos una base ortonormal
|+ 1〉 =
(10
); | − 1〉 =
(01
)y las matrices de Pauli:
σz =
(1 00 −1
); σ+ =
(0 10 0
); σ− =
(0 01 0
); e I =
(1 00 1
)
Entonces tenemos:
〈+1|σz |+ 1〉 = 1 〈−1|σz | − 1〉 = −1 〈±1|σz | ∓ 1〉 = 0
〈+1|I|+ 1〉 = 1 〈−1|I| − 1〉 = 1 〈±1|I| ∓ 1〉 = 0
Si definimos V1 = eβhσz y usamos la relaciones σ2nz = I, σ2n+1
z = σz ,expandiendo en series de Taylor:
V1 = eβhσz = I + βhσz +12!
(βh)2I +13!
(βh)3σz + · · ·
obtenemos:
〈+1|V1|+ 1〉 = eβh 〈−1|V1| − 1〉 = e−βh
Ahora definimos:V2 = eK I + e−Kσx
y usando
〈+1|σx |+ 1〉 = 〈+1|σ+ + σ−|+ 1〉 = 〈+1|(
0 11 0
)|+ 1〉 = 0
〈−1|σx | − 1〉 = 0
〈±1|σx | ∓ 1〉 = 1
obtenemos:〈+1|V2|+ 1〉 = 〈−1|V2| − 1〉 = eK
〈+1|V2| − 1〉 = 〈−1|V2|+ 1〉 = e−K
Ahora escribimos V2 como:
V2 = eK I + e−Kσx = A(K )eK∗σx
donde las constantes A(K ) y K ∗ se determinan de :
A cosh K ∗ = eK A senh K ∗ = e−K
Estas ecuaciones se obtienen de la relacion:
eK∗σx = I cosh K ∗ + σx senh K ∗
la cual a su vez es consecuencia de σ2x = 1
Por lo tanto:tanh K ∗ = e−2K A =
√2 senh 2K
Por lo tanto, con µi = ±1 y recordando que 〈µi |V1|µj〉 = 0 para i 6= j ,podemos escribir:
Z =∑µ=±1
〈µ1|V1|µ2〉〈µ2|V2|µ3〉〈µ3|V1|µ4〉〈µ4|V2|µ5〉 · · · 〈µ2N−1|V2|µ2N〉〈µ2N |V2|µ1〉
oZ = Tr (V1V2)N = Tr (V 1/2
2 V1V 1/22 )N = λN
1 + λN2
donde λ1 y λ2 son los valores propios del operador:
V = V 1/22 V1V 1/2
2 =√
2 senh 2K eK∗σx/2eβhσz eK∗σx/2
De aquı obtenemos, para el caso h = 0, los valores propios λ1 = A exp(K ∗)y λ2 = A exp(−K ∗), con lo cual se recuperan los resultados anteriores.
2 dimensiones
En el problema en dos dimensiones, para una matriz de M ×M escribimos elHamiltoniano, separado en filas (r ) y columnas (c):
H = −J∑r,c
σr,cσr+1,c − J∑r,c
σr,cσr,c+1
con las condiciones de borde periodicas:
σr+M,c = σr,c+M = σr,c
Ahora introducimos los estados bases:
|µ〉 = |µ1, µ2, . . . µM〉
correspondientes a la 2M orientaciones en una columna. Introducimos tambien lasmatrices de Pauli:
σjz |µ1, µ2, . . . , µM〉 = µj |µ1, µ2, . . . µj . . . , µM〉
σ+j |µ1, µ2, . . . , µM〉 = δµj ,−1|µ1, µ2, . . . µj + 2 . . . , µM〉
σ−j |µ1, µ2, . . . , µM〉 = δµj ,+1|µ1, µ2, . . . µj − 2 . . . , µM〉
Las cuales cumplen [σjα, σmβ ] = 0 para j 6= m. Ahora, con K = βJ, la funcionparticion esta dada por:
Z =∑σ
exp
K∑r,c
σr,cσr+1,c + K∑r,c
σr,cσr,c+1
Entonces usando los estados bases anteriores podemos escribirla como:
Z =∑
µ1,µ2,···µM
〈µ1|V1|µ2〉〈µ2|V2|µ3〉〈µ3|V1|µ4〉 · · · 〈µM |V2|µ1〉
donde V1 es un operador cuyo elemento de matriz es de la forma:
exp
[K∑
rσr,cσr+1,c
]para c fijo. Por lo tanto es facil demostrar que:
V1 = exp[K∑
j
σjzσj+1,z ]
y V2 es un operador cuyos elementos de matriz son del tipo:
exp
[K∑
rσr,cσr,c+1
]y usando el resultado obtenido para el modelo de Ising en 1 dimension, podemosescribir inmediatamente:
V2 =M∏
j=1
(eK I + e−Kσjx ) = (2 senh 2K )M/2 exp
K∗M∑
j=1
σjx
Ahora realizamos una rotacion σjz → −σjx y σjx → σjz , ∀j y usando σjz = 2σ+j σ−j − 1
y σjx = σ+j + σ−j obtenemos:
V1 = exp
K∑M
j=1(σ+j + σ−j )(σ+
j+1 + σ−j+1)
V2 = (2 senh 2K )M/2 exp
2K∗∑M
j=1(σ+j σ−j −
12 I)
En este punto es conveniente introducir la transformacion de Jordan-Wigner queconvierte los operadores de Pauli en operadores de fermiones:
σ+j = exp
πi
j−1∑m=1
c†mcm
c†j
σ−j = cj exp− πi
j−1∑m=1
c†mcm
= exp
πi
j−1∑m=1
c†mcm
cj
Los operadores c cumplen con las relaciones de anticonmutacion:
[cj , c†m]+ = δjm [cj , cm]+ = [c†j , c
†m]+ = 0
Se puede comprobar que esta transformacion preserva las relaciones de conmutacionde las matrices de Pauli. Por ejemplo, para k > j :
[σ−j , σ+k ] = exp
πi
k−1∑m=j+1
c†mcm
(cj e
πic†j cj c†k − c†k eπic†j cj cj
)
Esta relacion resulta de:cj (c†mcm)n = cj c
†mcm(c†mcm)n−1 = c†mcmcj (c†mcm)n−1 = (c†mcm)ncj . Pero
exp(πic†j cj )cj = cj y cj exp(πic†j cj ) = −cj . Estas relaciones se pueden probar notandoque (cj )
2 = 0. Entonces la primera de estas relaciones resulta de expandir laexponencial:
exp(πic†j cj ) =∑
n
(πi)n
n!(c†j cj )
n
y notando que (c†j cj )ncj = 0 a menos que n = 0. La segunda relacion resulta de:
cj (c†j cj )n = cj c
†j cj (c†j cj )
n−1 = (1− c†j cj )cj (c†j cj )n−1 = (1− c†j cj )
ncj
por lo tanto:
cj exp(πic†j cj ) = exp[πi(1− c†j cj )]cj = − exp(πic†j cj )cj = −cj
entonces finalmente [σ−j , σ+k ] ∝ [c†k cj ]+ = 0
Por otra parte, de la definicion de la transformacion de Jordan-Wigner tenemos:
σ−j σ+j = cj c
†j
pero de:[σ+
j , σ−j ]+ = 1 [c†j , cj ]+ = 1
obtenemos:σ+
j σ−j = c†j cj
y por lo tanto podemos escribir:
V2 = (2 senh 2K )M/2 exp
2K∗M∑
j=1
(c†j cj −12
)
Para el calculo de V1 necesitamos algunas relaciones que se pueden demostrar: Param < M:
σ+j σ−j+1 = c†j cj+1
σ+j σ
+j+1 = c†j c†j+1
σ+j σ−j+1 = −cj cj+1
Ası para una red con extremos libres tendrıamos:
V1 = exp
KM∑
j=1
(c†j − cj )(c†j+1 + cj+1)
Para el caso de condiciones de borde periodicas debemos tratar el termino que acoplalas columnas M y 1, en la siguiente forma:
(σ+M + σ−M )(σ+
1 + σ−1 ) = expπi∑M−1
j=1 c†j cj
(c†M + cM )(c†1 + c1)
= expπi∑M
j=1 c†j cj
eπic†M cM (c†M + cM )(c†1 + c1)
= (−1)n(cM − c†M )(c†1 + c1)
donde hemos utilizado: eπic†k ck c†k = −c†k y eπic†k ck ck = ck . Aquı n =∑
j c†j cj es eloperador del numero total de fermiones. El operador (−1)n conmuta con V1 y con V2.De esta manera podemos eescribir para el caso de condiciones de borde periodicas:
V1 = exp K
M∑j=1
(c†j − cj )(c†j+1 + cj+1) + (−1)n(cM − c†M )(c†1 + c1)
o tambien como:
V1 = exp K
M∑j=1
(c†j − cj )(c†j+1 + cj+1)
con las siguientes condiciones de borde para los operadores c’s:
cM+1 = −c1, c†M+1 = −c†1 para n par
cM+1 = c1, c†M+1 = c†1 para n impar
Ası es necesario tratar en forma separada el caso de un numero par de fermiones delcaso de un numero impar de fermiones. Entonces, al igual que en el casounidimensional, para el calculo de la funcion particion es necesario diagonalizar lamatriz V 1/2
2 V1V 1/22 , es decir productos de tres exponenciales de formas cuadraticas
de operadores de fermiones. Esta operacion se simplifica a traves de unatransformacion canonica que toma en cuenta la simetrıa translacional de losoperadores V1 y V2:
aq =1√
M
M∑j=1
cj e−iqj
a†q =1√
M
M∑j=1
c†j eiqj
y
cj =1√
M
M∑q=1
aqeiqj
c†j =1√
M
M∑q=1
a†qe−iqj
con q = πj/M yj = ±1,±3, · · · ,±(M − 1) para n par
j = 0,±2,±4, · · · ,±(M − 2),M para n impar
a fin de preservar las condiciones de borde anteriores de los operadores c’s. Se puededemostrar facilmente que los operadores aq y a†q reproducen las relaciones deconmutacion de fermiones. Ahora substituımos estas transformaciones en lasexpresiones para V1 y V2 y obtenemos para n par:
V1 = exp
2K∑q>0
[cos q(a†qaq + a†−qa−q)− i sen q(a†qa†−q + aqa−q)
] =∏q>0
V1q
V2 = (2 senh 2K )M/2 exp
2K∗∑q>0
[a†qaq + a†−qa−q − 1
] = (2 senh 2K )M/2∏q>0
V2q
Para n impar necesitamos:
V10 = exp[2Ka†0a0
]V20 = exp
[2K∗(a†0a0 −
12
)
]
V1π = exp[−2Ka†0a0
]V2π = exp
[2K∗(a†πaπ −
12
)
]Ahora procedemos a calcular los valores propios del operador:
Vq = V 1/22q V1qV 1/2
2q
para q 6= 0, π. Ya que tratamos de fermiones, es facil darse cuenta que necesitamossolo cuatro estados:
|0〉, a†q |0〉, a†−q |0〉, a†qa†−q |0〉
donde |0〉 es el estado con cero partıculas, definidos por aq |0〉 = 0.
Estos estados son estados propios de V2. Por otra parte V1 tiene elementos nodiagonales solamente entre estados que difieren en el numero de fermiones en dos.Por lo tanto el problema se reduce a encontrar los valores propios de Vq en la base|0〉, |2〉 = a†qa†−q |0〉 Operando con V1q , se puedce demostrar que:
V1qa†±q |0〉 = exp[2K cos q]a†±q |0〉
y para V2q :
V 1/22q |0〉 = exp[−K∗]|0〉 V 1/2
2q |2〉 = exp[K∗]|2〉
Ahora obtenemos los elementos de matriz de V1q en la base |0〉, |2〉. Para estoescribimos:
V1q |0〉 = α(K )|0〉+ β(K )|2〉
Entonces derivando c/r a K :
dαdK|0〉+
dβdK|2〉 = 2
[cos q(a†qaq + a†−qa−q)− i sen q(a†qa†−q + aqa−q)
]× [α(K )|0〉+ β(K )|2〉]= 2iβ sen q|0〉+ [4β cos q − 2iα sen q]|2〉
y obtenemos las ecuaciones diferenciales para α y β:
dαdK
= 2iβ sen qdβdK
= 4β cos q − 2iα sen q
las que pueden ser resueltas con las condiciones de borde α(0) = 1 y β(0) = 0,obteniendo como resultado:
α(K ) = e2K cos q [2K cosh 2K − senh 2K cos q] β(K ) = −ie2K cos q senh 2K sen q
Ası tenemos 〈0|V1q |0〉 = α(K ) y 〈2|V1q |0〉 = β(K ). En forma similar podemosobtener:
〈2|V1q |2〉 = e2K cos q [2K cosh 2K + senh 2K cos q] 〈0|V1q |2〉 = β∗(K )
Finalmente la matriz a diagonalizar es:
Vq =
(exp(−K∗) 0
0 exp(K∗)
)[V1q](exp(−K∗) 0
0 exp(K∗)
)Vq se puede escribir como:
Vq = exp(2K cos q)
(Aq CqCq Bq
)(14)
y sus valores propios, como:
λ±q = exp(2K cos q)12
(Aq + Bq)± [(12
(Aq − Bq))2 + C2q ]1/2 = exp[2K cos q ± ε(q)]
donde
Aq = exp(−2K∗)(cosh K + senh K cos q)2
Bq = exp(−2K∗)(senh K sen q)2 + exp(2K∗)(cosh K − senh K cos q)2
Cq = 2 senh K sin q(cosh 2K∗ cosh K − senh 2K∗ senh K cos q)
y ε(q) es la raız positiva de:
cosh ε(q) = cosh 2K cosh 2K∗ + cos q senh 2K senh 2K∗
los vectores propios respectivos, pertenecientes a los signos + y − de la ecuacionanterior son los siguientes:
Ψ0 = cosφqΦ0 + senφqΦ−qq
Ψ−qq = − senφqΦ0 + cosφqΦ−qq
donde tan 2φq = Cq/(Bq − Aq).
Es posible simplificar la expresion para Vq mediante una transformacion tipoBogoliubov-Valatin, usada en una version simplificada de la teorıa de lasuperconductividad de BCS (Bardeen, Cooper, Schrieffer, 1957):
ξq = cosφqaq + senφqa†−q , ξ−q = cosφqa−q − senφqa†q
Es facil verificar que los cuatro vectores propios estan definidos por:
ξqΨ0 = ξ−qΨ0 = 0; Φq = Ψq = ξ†qΨ0; Φ−q = Ψ−q = ξ†−qΨ0; Φ−qq = ξ†−qξ†qΨ0
y Vq queda como:
Vq = exp(2K cos q) exp[−ε(q)(ξ†qξq + ξ†−qξ−q − 1)]
Los casos q = 0 y q = π los podemos incorporar a esta notacion si definimos:
φ0 = 0 y ε(0) = 2(K∗ − K )
φπ = 0 y ε(π) = 2(K∗ + K )
de modo que:
V0Vπ = exp[2K (cos 0 + cosπ)] exp[−ε(0)(ξ†0ξ0 −12
)− ε(π)(ξ†πξπ −12
)]
Ası es posible escribir:
V± = (2 senh 2K )M/2 exp[−∑
ε(q)(ξ†qξq −12
)]
donde la suma es sobre −π ≤ q ≤ π y nos aprovechamos de la relacion,π∑
q=−πcos q = 0 En esta ultima expresion los signos ± corresponden a un numero par
de partıculas, V + y a un numero impar de partıculas, V−. Se puede demostrar que losmas grandes valores propios de V + y V− son exponencialmente degenerados paraM →∞ y tiene el valor:
Λ0 = (2 senh 2K )M/2 exp(
M4π
∫ π
−πε(q)dq
)
La funcion particion esta dada por la M−esima potencia de Λ0:
Z = ΛM0 y F = −
1M2
log Z = −1M
kBT log Λ0
F = −kBT[
log(2 senh 2K )1/2 +1
4π
∫ π
−πε(q)dq
]
FUNCIONES TERMODINAMICAS
Recordando la definicion de K∗, cosh 2K∗ = coth 2K y podemos escribir la definicionde ε(q) como:
cosh ε(q) = cosh 2K coth 2K + cos q
Ahora consideramos la funcion:
f (x) =1
2π
∫ 2π
0dφ log(2 cosh x + 2 cosφ)
derivando c/r a x y evaluando la integral por integracion de contorno obtenemos:
df (x)
dx= sgn(x) → f (x) = |x |
por lo tanto haciendo x = ε(q) obtenemos una representacion integral para ε(q):
ε(q) =1π
∫ π
0dφ log[2 cosh 2K coth 2K + 2 cos q + 2 cosφ]
Ahora consideramos la integral que necesitamos en la expresion de la energıa libre F ,la cual la llamamos:
I =1
2π
∫ π
0ε(q)dq =
12π2
∫ π
0dq∫ π
0dφ log[2 cosh 2K coth 2K + 2 cos q + 2 cosφ]
Haciendo un cambio de variable x = (q − φ)/2 y y = (q + φ)/2, podemos escribir:
I =1π2
∫ π
0dy∫ π/2
0dx log(2 cos x) +
1π2
∫ π
0dy∫ π/2
0dx
× log[
cosh 2K coth 2Kcos x
+ 2 cos y]
=1π
∫ π/2
0dx log(2 cos x) +
1π
∫ π/2
0dx cosh−1
[cosh 2K coth 2K
2 cos x
]
=12
log(2 cosh 2K coth 2K ) +1π
∫ π
0log
1 +√
1− ζ2(K ) sin2 θ
2dθ
donde hemos usado la identidad cosh−1 x = log[x +√
x2 − 1] y
ζ(K ) =2 senh 2Kcosh2 2K
Ası obtenemos finalmente la energıa libre:
F = − log(2 cosh 2K )−1π
∫ π/2
0dθ log
1 +√
1− ζ2(K ) sin2 θ
2
El grafico siguiente muestra la funcion ζ(K ) que tiene un maximo ζ = 1 ensenh 2K = 1. Este valor de K marca el punto de transicion, como se vera masadelante y la temperatura de transicion esta definida por:
senh2J
kBTc= 1
0 0.5 1 1.5 2
K0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ζ
La energıa interna esta dada por:
u(T ) =dβFdβ
= −J coth 2K[
1 +1π
(2 tanh2 2K − 1)K1(ζ)
]donde:
K1(ζ) =
∫ π/2
0
dφ√1− ζ2 sin2 φ
es la integral elıptica completa de primera clase.
La energıa interna es contınua en ζ → 1 ya que en este punto 2 tanh2 2K − 1→ 0. Elcalor especıfico se puede obtener diferenciando u c/r a T :
c(T ) =4kB
π(K coth 2K )2
K1(ζ)− E1(ζ)− (1− tanh2 2K )
[π2
+ (2 tanh2 2K − 1)K1(ζ)]
donde
E1(ζ) =
∫ π/2
0dφ√
1− ζ2 sin2 φ
es la integral elıptica completa de segunda clase.
Se puede demostrar que cuando ζ → 1, i.e. T → Tc el calor especıfico tiende a:
c(T ) = −2kB
π
(2J
kBTc
)2log∣∣∣∣1− T
Tc
∣∣∣∣+ const.
Tc
c(T)
T
Bethe
BraggWilliams
El calculo de la magnetizacion espontanea es una extension no trivial de este calculo ypuede ser encontrada en el paper de Schultz et al. indicado anteriormente. Elresultado es:
m(T ) =
[1−
116
(1− tanh2 K )4/ tanh4 K]1/8
para T < Tc
y m(T ) = 0 para T > Tc .
Cerca de Tc la magnetizacion espontanea se comporta como:
m(T ) ' (Tc − T )1/8
es decir el exponente es β = 1/8 y no 1/2 como en las teorıas de campo medio. Elcomportamiento de la susceptibilidad cerca de Tc fue publicado por primera vez porC.N. Yang en 1952, a pesar de que habıa sido mencionado anteriormente por Onsageren una conferencia:
χ(T ) ' |Tc − T |−7/4
es decir γ = 7/4, valor que debe ser comparado con el valor γ = 1 de las teorıas decampo medio.
ESCALAMIENTO
Veamos primeros algunas propiedades de las funciones homogeneas, definidas por:
F (λx) = g(λ)F (x)
De esta definicion podemos concluir que:
F (λµx) = g(λ)g(µ)F (x) = g(λµ)F (x) → g(λµ) = g(λ)g(µ)
Por lo tanto:∂
∂µg(λµ) = λg′(λµ) = g(λ)g′(µ)
donde g′(x) = ∂g(x)/∂x .
Si hacemos µ = 1 y g′(1) = p, tenemos λg′(λ) = pg(λ), i.e.:
dgg
= pdλλ
e integrando entre 0 y 1:g = λp
es decir F (λx) = λpF (x). Ahora si hacemos λ = x−1:
xpF (1) = F (x)
es decir una funcion homogenea depende de una potencia de x . Para una funcionhomogena de varias variables:
F (λpx , λqy) = λF (x , y)
si hacemos λ = y−1/q :
F (x , y) = y1/qF (x
y1/q, 1)
ESCALAMIENTO DE WIDOM.
Supongamos que podemos separar la energıa libre de un sistema magnetico en dosterminos:
g(T , ~B) = gr (T , ~B) + gs(ε, ~B)
donde gr representa la parte regular y gs la parte singular, en que ε = (T − Tc)/Tc .consideremos gs como una funcion homogenea:
gs(λpε, λqB) = λgs(ε,B)
Los exponentes crıticos pueden ser determinados como funciones de p y q. Porejemplo sabemos que:
M(ε,B = 0) ∝ (−ε)β
entonces diferenciando gs c/r a B:
λqM(λpε, λqB) = λM(ε,B)
y haciendo λ = (−ε)−1/p y B = 0, tenemos:
M(ε, 0) = M(−1, 0)(−ε)−(1−q)/p
por lo tanto β =1− q
p. Tambien podemos determinar el exponente δ en:
M(0,B) = (sgn B)|B|1/δ
en este caso hacemos, en gs , ε = 0 y λ = B−1/q y diferenciamos c/r a B:
M(0,B) = M(0, 1)B(1−q)/q
es decir δ =q
1− q.
La susceptibilidad magnetica se comporta como:
χ =∂2g∂B2
∝
(−ε)−γ T < Tc
ε−γ T > Tc
DiferenciamosλqM(λpε, λqB) = λM(ε,B)
c/r a B:λ2qχ(λpε, λqB) = λχ(ε,B)
y ahora hacemos B = 0 y λ = ε−1/p y obtenemos:
χ(ε, 0) = ε(1−2q)/pχ(1, 0)
y por lo tanto:
γ =2q − 1
pFinalmente el calor especıfico a B = const. tiene la forma:
cB = −∂2g∂T 2
∝ ε−α
por lo tanto diferenciando:gs(λpε, λqB) = λgs(ε,B)
obtenemos:λ2pcB(λpε, λqB) = λcB(ε,B)
y haciendo B = 0 y λ = ε−1/p, obtenemos:
cB(ε, 0) = ε−(1−2p)/pcB(1, 0)
y por lo tanto α = 2−1p
De esta manera podemos encontrar relaciones entre los
diferentes exponentes, por ejemplo:
α+ β(δ + 1) = 2, γ = β(δ − 1)
y tambien podemos expresar p y q en termino de los exponentes conocidos:
p =1β
1δ + 1
, q =δ
1 + δ
ESCALAMIENTO DE KADANOFF.
Consideremos un modelo de Ising en d dimensiones con N spines en una redhipercubica con una separacion a entre vecinos mas cercanos. Sea s el numero devecinos de cada spin y el Hamiltoniano:
H = −JsN/2∑i 6=j
Si Sj − hN∑i
Si
Ahora dividamos la red en bloques de longitud La, como se muestra en la figura, de talmodo que el numero de spines en cada bloque es Ld , el numero total de bloquesNL = NL−d y el spin total en el bloque I es:
S′I =∑i∈I
Si
Kadanoff supuso que S′I se podıa escribir como:
S′I = ZSI
con Z ' Ld y SI = ±1 y escribio un Hamiltoniano para la interaccion entre bloques:
HL = −JL
NL/2∑I 6=J
SISJ − hL
NL∑I
SI
donde se ha introducido una interaccion efectiva entre bloques JL y un campo efectivohL = Zh.
Como el Hamiltoniano HL tiene la misma forma funcional que H, esperamos que lasenergıas libre tambien tengan la misma forma funcional:
g(εL, hL) = Ld g(ε, h)
donde ε = (T − Tc)/Tc . En el sistema de bloques esperamos una reduccion de lalongitud de correlacion ξ y por lo tanto el reescalamiento produce un alejamiento delpunto crıtico:
ξL(εL, hL) = L−1ξ(ε, h)
La temperatura y el campo magnetico tambien debe ser reescalados. Suponemos quepara ε este tiene la forma:
εL = Lx ε donde x > 0
y para el campo:
hN∑i
Si = hNL∑I
∑i∈I
Si = hNL∑I
S′I = hZNL∑I
SI
por lo tanto,hL = Zh = Ly h
donde y < d , ya que −Ld < Z < Ld . Entonces:
g(Lx ε, Ly h) = Ld g(ε, h)
y siguiendo la notacion que vimos en el escalamiento de Widom, tenemos que x = pd ,y = qd , es decir q < 1.
Ahora consideremos la funcion correlacion C(rL, εL, hL) = 〈SISJ〉 − 〈SI〉〈SJ〉, donde rL
es la distancia entre bloques en unidades de La, entonces:
C(rL, εL, hL) = Z−2 [〈S′I S′J〉 − 〈S′I 〉〈S′J〉]= Z−2
∑i∈I
∑j∈J
[〈Si Sj 〉 − 〈Si 〉〈Sj 〉
]= Z−2L2d [〈Si Sj 〉 − 〈Si 〉〈Sj 〉
]= Z−2L2d C(r , ε, h)
Aqui r es la distancia entre los spines i y j pertenecientes a diferentes bloques, por lotanto:
rL = L−1r
por lo tanto podemos escribir:
C(L−1r , Lx ε, Ly h) = L2(d−y)C(r , ε, h)
Si elegimos L = r/a, tenemos:
C(r , ε, h) =
(ra
)2(y−d)
C(
a, ε(
ra
)x, h(
ra
)y)
En el punto crıtico ε = 0 yC(r , 0, h) ' r2(y−d)
En las teorıas de campo medio en tres dimensiones C(r , 0, h) ' r−1. En ddimensiones C(r , 0, h) ' r−d+2, pero en una teorıa exacta esperamos uncomportamiento del tipo:
C(r , 0, h) ' r−d+2−η
y por lo tanto podemos escribir:
d − 2 + η = 2(d − y) = 2d(1− q)
y usando otra vez los resultados de Widom:
η = 2− dδ − 1δ + 1
= 2−dγ
2β + γ
Consideremos ahora la longitud de correlacion ξ que tiene una dependencia de latemperatura de la forma ξ = (T − Tc)−ν . En un ejemplo anterior vimos que la funcioncorrelacion depende de la combinacion de r y ξ en la forma r/ξ = rεν , pero en laexpresion anterior vemos que esta dependencia es εr x , por lo tanto concluımos que:
x = pd = ν−1 νd = 2− α
Ası el escalamiento de Kadanoff permite encontrar nuevas identidades entre losexponentes crıticos.
GRUPO DE RENORMALIZACION
TRATAMIENTO DEL MODELO DE ISING EN UNA DIMENSION.
Consideremos nuevamente el Hamiltoniano, con condiciones de borde periodicas, i.e.σN+1 = σ1:
H′ = −JN∑i
σiσi+1 − h′∑
i
σi
Trabajaremos con −βH′ = H;
H = KN∑i
σiσi+1 + h∑
i
σi
donde K = βJ y h = βh′. Ahora consideremos la funcion particion:
Z = Tr eH =∑σ
eH =∑σ
exp
N∑
i=1
[Kσiσi+1 +
h2
(σi + σi+1)
]Supongamos que N es par y separemos ahora los ındices pares de los impares:
∑σ
eH =∑σ2=±1
∑σ4=±1
· · ·∑
σN =±1
∑σ1=±1
∑σ3=±1
· · ·∑
σN−1=±1
eH
y realizamos las sumatorias de los ındices impares dentro del parentesis. Por ejemploel unico termino que involucra σ1 se puede calcular como:∑
σ1=±1
eKσ1(σN +σ2)+hσ1 = 2 cosh[K (σN + σ2) + h]
este termino depende solo de σ2 y σN y en toda la expresion de Z estos dos spinesaparecen ademas como el factor exp[h(σ2 + σN )/2], i.e. el factor que incluye σ2 y σNes:
2eh(σ2+σN )/2 cosh[K (σN + σ2) + h] = e[2g+K ′σNσ2+ 12 h′(σ2+σN )]
donde:
K ′ =14
logcosh(2K + h) cosh(2K − h)
cosh2 h
h′ = h +12
logcosh(2K + h)
cosh(2K − h)
g =18
log[16 cosh(2K + h) cosh(2K − h) cosh2 h]
Estas ultimas expresiones se pueden deducir usando todos los valores posibles de σ2y σN . Todos los demas terminos dentro de parentesis cuadrado daran resultadossimilares, e.g. la suma c/r a σ3 nos da un termino similar donde σN se cambia por σ2 yσ2 por σ4, y por lo tanto la contribucion total del parentesis cuadrado es:
∑σ1,...σN−1
eH = exp
[Ng + K ′
∑i
σ2iσ2i+2 + h′∑
i
σ2i
]
De esta forma la funcion particion se puede escribir como una suma en la aparecensolo los ındices pares:
Z =∑σ2=±1
∑σ4=±1
· · ·∑
σN =±1
exp
[Ng + K ′
∑i
σ2iσ2i+2 + h′∑
i
σ2i
]
Aquı vemos que hemos reemplazado el problema original de N spines por otro de N/2spines con una nueva constante de intercambio K ′ y un nuevo campo magnetico h′.Estas son las constantes renormalizadas cuya relacion con las constantes originalesestan dadas por las relaciones anteriores. De esta manera tenemos que la funcionparticion cumple con la ecuacion:
Z (N,K , h) = eNg(K ,h)Z (N2,K ′, h′)
y la energıa libre:
−βG(N,K , h) = log Z (N,K , h) = Ng(K , h) + log Z (N/2,K ′, h′)
Este proceso se puede continuar indefinidamente:
−β
NG(N,K , h) = f (K , h) = g(K , h)+
12
g(K ′, h′)+14
g(K ′′, h′′)+· · · =∞∑
n=0
(12
)ng(Kn, hn)
Veamos ahora como se comporta K bajo sucesivas iteraciones con h = 0, en estecaso tenemos:
K ′ =12
log cosh 2K
El caso K = K ′ se cumple para K = 0 y K =∞ Estos son los llamados puntos fijos,ya que una renormalizacion deja el valor de K invariante. Partiendo de un K finito,sucesivas renormalizaciones haran K mas pequeno y al final llegara al valor cero. Elflujo en el espacio de constante de intercambio nos lleva a un sistema de partıculas nointeractuante. El punto K = 0 es estable porque partiendo de cualquier desviacion deeste punto, las sucesivas renormalizaciones nos llevara nuevamente a el.
Por otra parte K =∞ es inestable, porque cualquier desviacion de el producira unflujo hacia K = 0. Para h = 0 tenemos que:
g(K , 0) =12
log 2 +14
log cosh 2K
por lo tanto g(K , 0) tiende a 12 log 2. Ahora supongamos que despues de n
renormalizaciones podemos despreciar el termino 14 log cosh 2K entonces:
Nf (K , 0) = Nn∑
j=0
2−j g(Kj , 0) +N
2n+1log 2
Asıel ultimo termino representa la entropıa de las N/2n+1 partıculas que quedandespues de n renormalizaciones, y que son efectivamente no interactuantes.
El campo efectivo crece con cada renormalizacion. Esto se puede ver de :
∂h′
∂h= 1 +
12
[senh(2K + h)
cosh(2K + h)+
senh(2K − h)
cosh(2K − h)
]> 1 ∀ K finito
Ası mientras K disminuye a cero h′ crece.
CALCULO DE LOS EXPONENTES CRITICOS
Supongamos que tenemos un Hamiltoniano mas general que el modelo de Ising, de laforma:
H(K, Si,N) = K0 + K1∑
i
Si + K2∑(i,j)
Si Sj + K3∑
(i,j,k)
Si Sj Sk · · ·
donde se pueden incluir solo interacciones a vecinos mas cercanos o extenderla avecinos mas lejanos. Aquı K es un vector que tiene como componentes las distintasconstantes Ki . Para el modelo de Ising usual K1 = −βh y K2 = −βJ, para vecinosmas cercanos y todas las demas constantes son iguales a 0. La funcion particion sepuede escribir como suma sobre spines o sobre bloques:
Z (K,N) =∑
i
exp[−H(K, Si,N)] =∑
I
∑i∈I
exp[−H(K, Si,N)]
=∑
I
exp[−H(KL, SI,NL−d )] = Z (KL,NL−d )
Tambien podemos relacionar las energıas libres:
g(K) = lımN→∞
1N
log Z (K,N) = lımN→∞
1N
log Z (KL,NL−d ) = L−d g(KL), (G)
En una iteracion en el proceso de renormalizacion las constantes K son reemplazadaspor KL definidas a traves de una transformacion no-lineal:
KL = T(K)
Ası despues de n iteraciones encontramos:
KnL = T(K(n−1)L)
Como hemos visto anteriormente, si no estamos en el punto crıtico, al realizar unatransformacion a bloques mas grandes, la longitud de correlacion efectiva decrece y elsistema se aleja del punto crıtico. Sin embargo si el sistema esta en el punto crıtico lalongitud de correlacion es infinito y nos encontramos en un punto fijo. Ası el puntocrıtico se caracteriza por la relacion:
K∗ = T(K∗)
Para ilustrar el flujo en el espacio de K, cerca del punto crıtico, consideremos el casode un vector bidimensional K = (K1,K2), donde el punto fijo ocurre en K∗ = (K∗1 ,K
∗2 ).
Entonces muy cerca del punto fijo linearizamos la transformacion para δK = K− K∗ yobtenemos:
δKL = ¯AδK
donde la matriz ¯A esta dada por:
¯A =
( ∂K1L∂K1
∂K1L∂K2
∂K2L∂K1
∂K2L∂K2
)
Ahora debemos encontrar los valores propios de ¯A, entonces en termino de losvectores propios, tenemos:
δuL = Λδudonde
Λ =
(λ1 00 λ2
)y
δu =
(δ1δ2
)Ası al aplicar n renormalizaciones los puntos K se moveran por las curvas definidaspor:
δunL,1 = (λ1)nδu1
δunL,2 = (λ2)nδu2
que llamamos curvas propias.
Por lo tanto para λ > 1 el punto se aleja del punto fijo y para λ < 1 se acerca al puntofijo. El figura siguiente se ilustra este comportamiento.
u 1
u2
K1
K2
Todos los sistemas que se encuentran en una una curva propia y tienen λ < 1 soncrıticos ya que en una secuencia de transformaciones se iran acercandoseindefinidamente al punto crıtico. Lo contrario sucede con la curva propia con λ > 1.En la ecuacion (G) anterior podemos escribir g(δK) = L−d g(δKL) y de δKL = ¯AδKllegamos a:
g(δu1, δu2) = L−d g(λ1δu1, λ2δu2)
pero del escalamiento de Widom habıamos obtenido:
g(ε, h) =1λ
g(λpε, λqh)
donde hemos identificado: δu1 = ε y δu2 = h. Por lo tanto comparando las dosexpresiones:
λ = Ld ; λ1 = (Ld )p; λ2 = (Ld )q
y por lo tanto:
p =logλ1
d log L; q =
logλ2
d log LAsı tenemos los exponentes crıticos en termino de los valores propios.
EJEMPLO. RED TRIANGULAR.
Consideremos una red triangular de dos dimensiones, que ha sido dividida en bloquesde tres spines como se muestra en la figura.
La distancia entre spines es a y entre bloques La =√
3a. La funcion particion es:
Z (K, h,N) =∑Si
exp[−H(K, Si)]
donde:H(K, Si) = −K
∑i 6=j
Si Sj − h∑
i
Si
y el vector de constantes de acoplamiento es K = (−K ,−h). Al transformar a bloquesde spines definimos:
SI = sgn(SI1 + SI
2 + SI3)
donde SIi es el spin i del bloque SI . Ası SI = ±1. Ahora para cada valor de SI hay
cuatro grados de libertad internos por bloques que designamos por la letra α:
(α = 1) ↓↑↑; (α = 2) ↑↓↑; (α = 3) ↑↑↓; (α = 4) ↑↑↑
Estos grados de libertad internos los expresamos por:
σαI = |SI1 + SI
2 + SI3|
y la funcion particion del sistema de bloques lo escribimos como:
Z (K,N) =∑SI ,σI
exp[−H(K, SI , σI)]
Ası el Hamiltoniano de bloques queda definido por la relacion:
exp[−H(KL, SI)] =∑σI
exp[−H(K, SI , σI)]
Notese que Z0 se calcula para una configuracion SI fija. Es decir la suma∑σI
serealiza para todos los posibles valores de los spines en un bloque que seancompatibles con el valor ± de SI . Para tratar el Hamiltoniano de bloquessera necesario separar el Hamiltoniano original en dos terminos:
H(K, SI , σI) = H0(K, SI , σI) + V (K, SI , σI)
donde H0 no incluye interacciones entre bloques:
H0(K, SI , σI) = −K∑
I
∑i∈I
∑j∈I
Si Sj
pero V si incluye interacciones entre bloques:
V (K, SI , σI) = −K∑I 6=J
∑i∈I
∑j∈J
Si Sj − h∑
I
∑i∈I
Si
Ahora introduzcamos la siguiente definicion de valor expectacion:
〈ASi〉 =
∑σI exp[−H0(K, SI , σI)]ASi , σi∑
σI exp[−H0(K, SI , σI)]
Entonces la definicion de H(KL, SI) se puede escribir como:
exp[−H(KL, SI)] =∑σI
exp[−H0(K, SI , σI)] exp[−V (K, SI , σI)]
= 〈eV 〉∑σI
exp[−H0(K, SI , σI)]
El primer factor del lado derecho de esta expresion corresponde a una suma sobre losspines internos de cada bloque:∑
σI
exp[−H0(K, SI , σI)] = [Z0(K)]M
yZ0(K) =
∑σI
exp[K (SI1SI
2 + SI2SI
3 + SI3SI
1)] = 3e−K + e3K
El segundo factor es mas complicado y el tratamiento usual es a traves de unaexpansion en cumulantes (ver Apendice).
〈eV 〉 = exp[〈V 〉+12
(〈V 2〉 − 〈V 〉2) + · · · ]
Supongamos que solo tomamos el primer termino de esta expansion. Entonces laenergıa de interaccion entre bloques es de la forma (ver figura)
VIJ = −KSJ3 (SI
1 + SI2) = −2KSJ
3 SI1
1 2
3
1 2
3
J
I
Y como el valor de expectacion esta definido sobre H0, que no acopla diferentesbloques:
〈V 〉 = −2K∑I 6=J
〈SJ3 〉〈S
I1〉 − h
∑I
∑i∈I
〈SIi 〉 = −2K
∑I 6=J
〈SJ3 〉〈S
I1〉 − 3h
∑I
〈SI1〉
Pero,
〈SJ3 〉 = Z−1
0
∑σJ
SJ3 exp[K (SJ
1 SJ2 + SJ
2 SJ3 + SJ
3 SJ1 )]
= Z−10 SJ (e3K + e−K )
Esta ultima expresion resulta de expandir la sumatoria para cada valor de SJ . Porejemplo para la combinacion
↓↑↑ ↑↓↑ ↑↑↓ ↑↑↑
obtenemos:∑σJ
SJ3 exp[K (SJ
1 SJ2 + SJ
2 SJ3 + SJ
3 SJ1 )] = +1e−K + 1e−K − 1e−K + 1e3K = (e3K + e−K )
Pero para la combinacion↓↓↑ ↑↓↓ ↓↑↓ ↓↓↓
que corresponde a SJ = −1 obtenemos
〈SJ3 〉 = −(e3K + e−K )
El mismo resultado se obtendra para 〈SJ1 〉 y 〈SJ
2 〉
Por lo tanto:
〈VIJ〉 = −2K
(e3K + e−K
3e−K + e3K
)2
SISJ
Finalmente de la definicion de H(KL, SI), obtenemos:
H(SI ,KL, hL) = M log Z0 + 〈V 〉+12
[〈V 2〉 − 〈V 〉2] + · · ·
= M log Z0 −∑I 6=J
2K
(e3K + e−K
3e−K + e3K
)2
SISJ −∑
I
3
(e3K + e−K
3e−K + e3K
)hSI
Vemos que las constantes de acoplamiento para el sistema de bloques es tan dadaspor:
KL = 2K
(e3K + e−K
3e−K + e3K
)2
hL = 3h
(e3K + e−K
3e−K + e3K
)
Los puntos fijos aparecen en h∗ = 0, K∗1 = 0, que corresponde a Tc =∞ o parah∗ = 0 y la solucion de:
2
(e3K + e−K
3e−K + e3K
)2
= 1
cuya valor es:
K∗2 =14
log(1 + 2√
2) = 0,34
De la linearizacion de la transformacion cerca de K∗2 , obtenemos:(∂KL∂K
∂KL∂h
∂hL∂K
∂hL∂h
)K =K∗2 ,h=0
=
(1,62 0
0 2,12
)
es decir λ1 = 1, 62 y λ2 = 2,12, esto nos da p = log 1,62/2 log 1,73 = 0,44 yq = log 2,12/2 log 1,73 = 0,68. De aquı obtenenos α = −0,27 y δ = 2,1, lejos de losvalores exactos αexacto = 0 y δexacto = 15,0.
Si retenemos los ternimos de segundo orden, 12 [〈V 2〉 − 〈V 〉2] es posible mejorar este
resultado. Este segundo cumulante requiere interacciones de mas largo alcance quevecinos mas cercanos y su tratamiento es mas complicado que el primer cumulante.En esta aproximacion se encuentra que el valor propio relevante es λ1 = 1,778 el queda α = 0,081, mas cerca del valor exacto.
Ahora veamos un metodo similar al anterior, pero con algunospequenos cambios. Consideremos de nuevo el Hamiltoniano de Isingen la red triangular anterior, el cual lo dividimos en dos partes:
H(K ,h) = Ho(K ,h, SI , σI)) + V (K , SI , σI))
donde
Ho(K ,h, SI , σI)) = −∑
I
[K (SI
1SI2 + SI
2SI3 + SI
3SI1) + h(SI
1 + SI2 + SI
3)]
=∑
I
H0I
involucra solamente spines dentro de cada bloque I, mientras que Vacopla spines de diferentes bloques:
V (K , SI , σI) = −K∑I 6=J
∑i∈I
∑j∈J
SiSj
Nuevamente definimos el Hamiltoniano de bloques como:
exp[−H(KL,hL, SI)] = 〈eV 〉∑σI
exp[−H0(K ,h, SI , σI)] = 〈eV 〉Z0
Notese que el valor de Z0 depende del valor de SI , , por lo que lasuma
∑σI
se realiza para todos los posibles valores de los spines enun bloque que sean compatibles con el valor ± de SI .
Z0(HL,SI) = ΠIeA+BSI
Para calcular estos promedios debemos considerar lascontribuciones de terminos que vienen de las siguientesconfiguraciones:
conf SI H0I
=======================↑↑↑ 1 3K + 3h↓↑↑ 1 −K + h↑↓↑ 1 −K + h↑↑↓ 1 −K + h↑↑↓ -1 −K − h↑↓↑ -1 −K − h↓↑↑ -1 −K − h↓↓↓ -1 3K − 3h
Ahora para calcular Z0(HL,SI) debemos igualar
eA+BSI =∑i∈I
eH0I
para cada valor de I. Entonces de la tabla anterior tenemos:
eA+B = e3K +3h + 3e−K +h
eA−B = e3K−3h + 3e−K−h
Despejando A y B encontramos:
A =12
ln[(e3K +3h + 3e−K +h)(e3K−3h + 3e−K−h)
]B =
12
lne3K +3h + 3e−K +h
e3K−3h + 3e−K−h
Para calcular 〈eV 〉, usamos como antes la expansion en cumulantes.Con el primer termino de la expansion, calculamos:
e〈V〉
donde
〈V 〉 = −K∑I 6=J
∑i∈I
∑j∈J
〈SiSj〉 = −K∑I 6=J
∑i∈I
∑j∈J
〈Si〉〈Sj〉
Ya que los promedios se toman con respecto a un Hamiltonianodesacoplados. Por ejemplo considerando la interaccion entre el spin3 de J con los spines 1 y 2 de I como en la ultima figura:
〈V 〉 = −K (〈S3∈J〉〈S1∈I〉+ 〈S3∈J〉〈S2∈I〉)
Escribimos:〈Si∈I〉 = C + DSI
pero
〈Si∈I(SI)〉 =1Z0
∑i∈I
Si∈IeH0I
depende del valor de I. Por ejemplo calculemos 〈S1∈I〉, para SI = +1,
C + D =(+1)(↑↑↑) + (−1)(↓↑↑) + (+1)(↑↓↑) + (+1)(↑↑↓)
(↑↑↑) + (↓↑↑) + (↑↓↑) + (↑↑↓)
=e3K +3h + e−K +h − e−K +h + e−K +h
e3K +3h + 3e−K +h
=e3K +3h + e−K +h
e3K +3h + 3e−K +h
Igualmente para SI = −1
C − D =(−1)(↓↓↓) + (+1)(↑↓↓) + (−1)(↓↑↓) + (−1)(↓↓↑)
(↓↓↓) + (↑↓↓) + (↓↑↓) + (↓↓↑)
= −e3K−3h + e−K−h − e−K−h + e−K−h
e3K−3h + 3e−K−h
= − e3K−3h + e−K−h
e3K−3h + 3e−K−h
Ası obtenemos:
C =12
[e3K +3h + e−K +h
e3K +3h + 3e−K +h −e3K−3h + e−K−h
e3K−3h + 3e−K−h
]
D =12
[e3K +3h + e−K +h
e3K +3h + 3e−K +h +e3K−3h + e−K−h
e3K−3h + 3e−K−h
]Como estos promedios no dependen del valor de i en Si∈I , podemosconcluir que:
〈S1∈I〉 = 〈S2∈I〉 = 〈S3∈I〉
para cualquier bloque I.
Juntando la informacion obtenemos:
Ng(K ,h) +H(KL,hL, SI) =13
NA(K ,h) + B(K ,h)∑
I
SI
+ 2K∑<I,J>
(C + DSI)(C + DSJ)
Reescribiendo el Hamiltoniano como:
H(KL,hL, SI) = KL
∑<I,J>
SISJ + hL
∑I
SI
obtenemos
KL = 2KD2(K ,h)
hL = B(K ,h) + 12KC(K ,h)D(K ,h)
g(K ,h) =13
A(K ,h) + 2KC2(K ,h)
Para h = 0, la relacion de recurrencia para K es
KL = 2K(
e3K + e−K
e3K + 3e−K
)2
El mismo resultado anterior.
Lımite clasico de la Funcion Particion Canonica
En esta seccion se quiere demostrar la relacion:
lımh→0
(Q =
∑k
e−βek
)=
1N!h3N
∫e−βHd3p1 . . . d3pNd3q1 . . . d3q3
N
Para esto seguiremos un procedimiento descrito por J.G. Kirkwood Phys. Rev. 44,31(1933), 45, 116(1934). Partimos del operador Hamiltoniano que definimos como:
H =~2
2m
N∑i=1
∇2i + U(~r1 . . .~rN )
y la funcion particion:
Q =∑
j
∫φ∗j e−βHφj d3r (a)
donde d3r es una abreviacion para dx1dy1dz1 . . . dzN . Las funciones φj = φj (~r1 . . .~rN )
son funciones propias de H. Primero hacemos una transformada de Fourier que nospermite escribir (a) como una integracion sobre el espacio de momentos. Usamos lafunciones propias de ∇j , ∇j uj = ~pj uj :
uj (~p1 . . . ~pN ) = exp[
i~
∑~pk ·~rk
]luego,
φj (~r1 . . .~rN ) =
∫Aj (~p1 . . . ~pN ) exp
[i~
∑~pk ·~rk
]d3p1 . . . d3pN
Ahora invertimos esta relacion para obtener:
Aj (~p1 . . . ~pN ) =1
(2π~)3N
∫φj (~r1 . . .~rN ) exp
[−
i~
∑~pk ·~rk
]d3r1 . . . d3rN
substituyendo en (a):
Q =∑
j
∫φ∗j (~r1 . . .~rN )Aj (~p1 . . . ~pN )e−βH exp
[−
i~
∑~pk ·~rk
]d3p1 . . . d3rN
=1
h3N
∫ ∑j
φ∗j (~r1 . . .~rN )φj (~r ′1 . . .~r′N )
exp[−
i~
∑~pk ·~r ′k
]
× e−βH exp[
i~
∑~pk ·~rk
]d3p1 . . . d3r1 . . . d3r ′1 . . . d
3r ′N
El parentesis de llave corresponde la delta de Dirac δ(~r1 −~r ′1, . . . ,~rN −~r ′N ), por lo quela expresion anterior se reduce a:
Q =1
h3N
∫exp
[−
i~
∑~pk ·~rk
]e−βH exp
[i~
∑~pk ·~rk
]d3p1 . . . d3rN
En la expresion anterior el orden de los factores es importante porque ∇2i no conmuta
con los uj . Esta expresion para Q tiene la forma deseada, excepto que contiene eloperador cuantico H en vez de la variable clasica H. Kirkwood introdujo la funcionw(~p1 . . .~rN , β), definida por:
e−βH exp[
i~
∑~pk ·~rk
]= e−βH exp
[i~
∑~pk ·~rk
]w(~p1 . . .~rN , β) = F (~p1 . . .~rN , β)
(b)A fin de determinar la funcion w(~p1 . . .~rN , β), escribimos una ecuacion diferencial paraF (~p1 . . .~rN , β):
∂F∂β
=∂
∂βe−βH exp
[i~
∑~pk ·~rk
]=
∂
∂β
(1− βH+
β2
2H2 + . . .
)exp
[i~
∑~pk ·~rk
]= −HF (c)
Esta ecuacion cumple con la condicion de borde:
F (~p1 . . .~rN , β = 0) = exp[
i~
∑~pk ·~rk
](d)
Ahora expandimos w(~p1 . . .~rN , β) en potencias de ~:
w(~p1 . . .~rN , β) =∞∑`=0
~`w`(~p1 . . .~rN , β) (e)
Reemplazamos esta relacion en (b) para obtener una expansion de F , la cual sereemplaza en (c). Ası obtenemos, hasta primer orden en ~:
∂wo
∂β+ ~
∂w1
∂β− H(wo + ~w1) = −U(wo + ~w1)− K (wo + ~w1)
+i~m
[∑i
~pi · ∇i wo − βwo∑
i
~pi · ∇U
](f )
Aquı K es la suma de las energıas cineticas de todas las partıculas y se usaron lassiguientes relaciones:
∇e−βH = e−βK∇e−βU = −βe−βH∇U
∇2e−βH = −βe−βH∇2U + β2e−βH (∇U)2
∇j exp[
i~
∑~pk ·~rk
]=
i~~pj
[i~
∑~pk ·~rk
]∇2
j exp[
i~
∑~pk ·~rk
]= −
2m~2
Kj exp[
i~
∑~pk ·~rk
]Comparando potencias de ~ en la ecuacion (f ) obtenemos:
∂wo
∂β= 0 → wo = constante
y de la condicion de borde para F , i.e. ecuacion (d), obtenemos:
w(~p1, . . .~rN , β = 0) = 1
Por lo tanto de la ecuacion (e) obtenemos:
1 = wo(~p1, . . .~rN , β = 0) + ~w1(~p1, . . .~rN , β = 0) + ~2w2(~p1, . . .~rN , β = 0) + . . .
Es decir:
wo(~p1, . . .~rN , β = 0) = 1
wl (~p1, . . .~rN , β = 0) = 0 para l ≥ 2
Como wo es independiente de β, wo = 0 para todo β. El orden siguiente lo obtenemosde:
∂w1
∂β= −
iβm
∑j
~pj · ∇U → w1 = −iβ2
2m
∑j
~pj · ∇j U
Como este termino es impar en los ~pj , no contribuye a Q. El termino siguiente es deorden ~2, y se puede obtener extendiendo (f ) hasta ese orden y siguiendo unprocedimiento similar al anterior:
w2 = −1
2m
β2
2∇2U −
β3
3
[(∇U)2 +
1m
(~p · ∇)2U]
+β4
4m(~p · ∇U)2
donde se ha usado la notacion abreviada:
~p · ~a =N∑
j=1
~pj · ~aj
SUPERCONDUCTIVIDAD
El fısico holandes Kammerlingh Onnes observo en 1911 que la resistencia delmercurio decrece en forma abrupta cuando la temperatura baja de la temperaturacrıtica (Tc ) 4.2 oK. El estimo que la resistividad del mercurio habıa bajado a alrededorde 10−5 veces el valor normal.Mediciones experimentales muestran que la corrientecontınua en un circuito superconductor sin FEM tiene un tiempo caracterıstico dedecaimiento mayor que 105 anos.
Efecto Meissner
En 1933 Meissner y Ochsenfeld descubrieron que un superconductor se comportacomo un diamagneto perfecto, es decir, bajo un cierto valor, un campo magnetico esexpulsado por un superconductor. Este efecto se muestra en la figura siguiente:
enfria enfria
Superconductor
enfriaenfria
Conductor perfecto clasico
H=0 H=0
H=0H=0
/
/ /
/
El efecto Meissner no es un efecto clasico. Esto se puede ver analizando lasecuaciones de Maxwell. La resistencia cero implica, de E = Jρ, que E = 0 y por lotanto de la ley de Faraday:
∂B∂t
= 0
Es decir el campo magnetico no cambia en el tiempo, por lo tanto no cambia al pasarpor Tc . En la superconductividad el resultado es distinto y el orden en que se realicenlos dos procesos no altera el resultado final, i.e. un campo nulo dentro delsuperconductor. En conductor perfecto clasico la derivada temporal del campo es nula,pero en el superconductor lo nulo es el campo mismo. Esto se ilustra en la figuraanterior.
La superconductividad es destruıda por un campo mayor que un valor crıtico Hc , elcual, para una temperatura dada, esta dado por:
18π
H2c = Fs(T )− Fn(T )
Esta ecuacion representa la energıa asociada por unidad de volumen, necesaria paramantener el campo fuera de la muestra.
La dependencia de Hc con la temperatura se muestra en la figura siguiente:
H
TTc
c
Empıricamente se puede verificar que la dependencia Hc(T ) es parabolica:
Hc(T ) = Hc(0)
[1−
(TTc
)2]
Ecuaciones de London
En 1935 los hermanos F. y H. London demostraron que la superconductividadesta bien descrita por un par de ecuaciones que gobiernan el campo electrico y elmagnetico:
~E =∂(Λ~Js)
∂t~h = −c∇× (Λ~Js)
donde
Λ =4πλ2
Lc2
=m
nse2
Aquı ns denota la densidad de electrones superconductores y ~h y ~E los camposmicroscopicos.
El significado de la primera ecuacion es de la perfecta conductividad ya que un campoelectrico acelera la carga, al no existir resistencia a su movimiento, la segundaecuacion cuando se combina con las ecuaciones de Maxwell nos da:
∇2~h =~hλ2
L
Entonces el campo ~h decrece exponencialmente hacia el interior de unsuperconductor, por lo que a λL se le da el nombre de longitud de penetracion.
A traves de un argumento que parte del momento canonico ~p = m~v + e~A/c y de unteorema de Bloch que dice que en ausencia de campo aplicado el momento neto delestado fundamental debe ser cero, se obtiene:
〈~vs〉 = −e~Amc
→ ~Js = nse〈~vs〉 = −~AeΛ
Este argumento le da una motivacion a la primera ecuacion de London ya que seobtiene derivando c/r a t esta ultima ecuacion, en el calibre apropiado conocido comoel calibre de London.
Electrodinamica no local de Pippard
En 1953 Pippard introdujo la longitud de coherencia introduciendouna generalizacion no local de las ecuaciones de London. Esto lohizo siguiendo un tratamiento similar de Chambers para lageneralizacion de la ley de Ohm, en que se reemplaza ~J(~r) = σ~E(~r),por:
~J(~r) =3σ4π
∫ ~R[~R · ~E(~r ′)]e−R/lo
r4 d3r ′
donde ~R = ~r −~r ′. Esta relacion dice que la corriente ~J en ~r dependedel campo ~E(~r) en un volumen de radio lo alrededor de este punto.Pippard argumento que en un superconductor existe una cantidadcaracterısitica similar, ξo, la cual se puede estimar a traves delprincipio de incertidumbre: solo lo electrones dentro la energıa kBTcde la energıa de Fermi juegan un papel en el fenomeno.
Estos electrones tienen un momento en el rango ∆p ' kBTc/vF yξo ' δx ≥ ~/∆p ' ~vF/kBTc . Ası Pippard escribio:
ξo = a~vF
kBTc
donde a es del orden de 1.
Para un superconductor tıpico como el aluminio o el estano, ξo >> L.Pippard argumenta que la cantidad ξo juega en el superconductor elmismo paper que lo juega en un conductor normal y propuso larelacion:
~J(~r) =3
4πξoΛc
∫ ~R[~R · ~A(~r ′)]e−R/ξ
r4 d3r ′
donde:1ξ
=1ξo
+1lo
Pippard uso esta relacion para calcular la penetracion de h yencontro que podıa reproducir resultados experimentales cona = 0,15. La teorıa microscopica de BCS reprodujo estos resultadosy encontro que a = 0,18
La teorıa de Pippard anticipo la forma de la electrodinamica no localencontrada posteriormente por la teorıa microscopica.
La banda prohibida
La existencia de la banda prohibida entre el estado fundamental y lasexcitaciones del sistema habıa sido sugerida desde 1946. Sinembargo la primera evidencia experimental aparecio en 1954 en elestudio del calor especıfico de superconductores, cuando seestablecio su dependencia exponencial:
Ces ' γTcae−bTc/T
donde el calor especıfico del material mormal es de la formaCen ' γT , a ' 10 y b ' 1,5. Esto implica que hay un mınimo de laenergıa de excitacion del orden de 1,5kBTc
En 1956 se realizaron experimentos de absorcion electromagneticasy se encontro una banda prohibida de ' 3 veces kBTc . Este resultadoes consistente con las medidas calorimetricas solo si las excitacionesse producen en pares de electrones (pares de Cooper). Las medidasespectrocopicas indican que un mınimo de energıa de un valor Eg serequiere para crear un par excitado, pero las medidas termicas midenuna energıa Eg/2 por partıcula estadısticamente independiente.Estos resultados tambien fueron corroborados por la teorıa BCS.
Teorıa de Ginzburg-Landau
Aun cuando la teorıa BCS sirvio para dar una base firme a variosaspectos asociados con la superconductividad, una teorıafenomenologica ha tenido un tremendo impacto en los trabajossubsequentes relacionados con este fenomeno. Esta el teorıa deGinzburg-Landau de 1950. Mediante una extension de la teorıa detransiciones de segundo orden de Landau, ellos llegaron a unaecuacion similar a la ecuacion de Schrodinger para un parametro deorden ψ, relacionado con la densidad de electronessuperconductores:
ns = |ψ(r)|2
12m∗
(~i∇− e∗
c~A)2
ψ + β|ψ|2ψ = −α(T )ψ
y una supercorriente:
~J =e∗~2im∗
(ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗)− e∗2
m∗c|ψ|2~A
para partıculas de masa m∗ y carga e∗.
Uno de los mayores exitos de esta teorıa fue la descripcion de lainterfase normal-superconductor, como se muestra en la figura.
ξ
λ
ψ h
x
2
Superconductor Normal
A pesar de presentarse inicialmente como una teorıafenomenologica, en 1959, Gor’kov demostro que la teorıa GL es uncaso lımite de BCS, cerca de Tc , en la cual ψ es proporcional alancho de la banda prohibida ∆ y puede ser concebida como lafuncion de onda del centro de masa del par de electrones.
La teorıa de GL introduce una longitud caracterıstica, la longitud decoherencia dependiente de T , que tiene la forma:
ξ(T ) =~
|2m∗α(T )|1/2
Lejos de Tc , ξ ' ξo la longitud de coherencia de Pippard, pero cercade Tc diverge debido a que α ' (T − Tc). La razon entre λ y ξ:
κ =λ
ξ
es mucho menor que 1 para materiales tıpicos, llamados de tipo I.
Superconductores tipo II
En 1957 Abrikosov publico un trabajo en el cual analizo el caso enque κ es numero grande, i.e. en que ξ < λ. Encontro que el punto dequiebre es κ = 1/
√2. Para valores mas alto que este desaparece
una transicion discontınua del estado superconductor al normal, alaumentar el campo magnetico. Ahora existe un primer punto crıticoHc1, donde empieza a penetrar el campo magnetico y un segundopunto crıtico Hc2 donde penetra en toda la muestra. En este puntoB = H. Esto se ilustra en la figura siguiente.
B
HH
Tipo I
Tipo II
H Hcc1 c2
Abrikosov descubrio que en la region entre Hc1 y Hc2 el flujomagnetico penetra el superconductor en una red regular de tubos deflujos, cada uno de los cuales lleva un quantum de flujo magnetico:
Φo =hc2e
= 2,07× 10−7gauss− cm2
En cada celda unidad de esta red hay un vortice de corrientesuperconductora que concentra el flujo hacia el centro. La estructurade la red es triangular. Esta estructura ha sido demostradaexperimentalmente.
Efecto Josephson. Cuantizacion del flujo magnetico
La caracterıstica esencial de los superconductores es la existenciade una funcion de onda del condensado de muchas partıculas ψ quemantiene una coherencia de la fase sobre distancias macroscopicas.Este condensado, es similar, pero no identico, a la condensacion deBose-Einstein en el cual los pares de Cooper reemplazan losbosones.
Ya que la fase y el numero de partıculas son variables conjugadas,hay entre ellas una relacion de incertidumbre:
∆N∆φ > 1
lo que limita la precision de ambas cantidades. Pero como N ∼ 1022,las incertidumbres son muy pequenas y φ puede ser tratada comovariable semiclasica.
Josephson predijo en 1962 que los pares de Cooper puedenatravesar una pequena region normal que separa dossuperconductores mediante el efecto tunel, aun cuando la diferenciade potencial sea cero, con una corriente superconductora de laforma:
J = Jo(φ1 − φ2)
donde φ1 y φ2 son las fases en los dos conductores.
Tambien predijo que si existe una diferencia de potencial constantese producira una corriente alterna cuya frecuencia es proporcional aesta diferencia.
En un circuito cerrado el requisito de que la fase φ(r) en una vuelta,vuelva al mismo valor modulo 2π, lleva al resultado de que el flujoenlazado por una corriente superconductora esta cuantizado, i.e.:
Φ = nhc2e
donde n es entero
Orıgen de la interaccion atractiva
La interaccion entre electrones es de la forma V~k~k ′ = V (~k − ~k ′):
V (~q) = V (~k − ~k ′) =1Ω
∫e2
rei~q·~r d3r =
4πe2
Ωq2
la cual es evidentemente simpre positiva. Si uno toma en cuenta laconstante dielectrica del medio, esta introduce un factor ε−1(~q), conε(~q) = 1 + k2
s /q2 dando:
V (~q) =4πe2
Ω(q2 + k2s )
lo cual cancela la divergencia en q = 0, mantiene una interaccionrepulsiva.
El termino atractivo resulta del movimiento de los iones. La idea esque el primer electron polariza el medio produciendo un exceso decarga positiva, la cual atrae al segundo electron. Si esta atraccion essuficientemente fuerte como para sobreponerse sobre la repulsiontendremos una interaccion atractiva neta.
Frohlich en 1950 sugirio que la interaccion electron-fonon deberıatener relevancia, dado que experimentalmente se habıa encontradoel llamado efecto isotopico, expresado por la relacion TcM1/2 = const.y HcM1/2 = const., para distintos isotopos de un mismo elemento.
Carta de Cooper
Historicamente uno de los primeros indicios de que se podıa llegar auna teorıa microscopica fue el trabajo de L.N. Cooper publicadocomo una carta a Phys.Rev. en 1956, en la cual demuestra que elmar de Fermi es inestable contra la formacion de un par deelectrones ligados, sin importar la magnitud de la iteraccion atractivainvolucrada.
Consideremos un gas de electrones a temperatura Tc = 00K, al cualse le agregan dos electrones con la condicion de que no interactuancon el mar de Fermi, excepto a traves del principio de exclusion dePauli. Esperamos que en el estado fundamental el momentum totalsea cero. En una expansion en ondas planas, la funcion de ondadebe ser de la forma:
ψo(~r1,~r2) =∑~k>~kF
g~k ei[~k·(~r1−~r2)]
en la que no hemos incluıdo el spin. De esta funcion podemos formaruna dependencia espacial tipo cos con una funcion de spinantisimetrica de singlete o tipo sen con un triplete. Ya que requerimosque exista un acoplamiento atractivo, elegimos el singlete.
ψo(~r1 −~r2) =∑~k>~kF
g~k cos[~k · (~r1 −~r2)](α1β2 − α2β1)
Reemplazando en la ecuacion de Schrodinger del problema,obtenemos:
(E − 2ε~k )g~k =∑~k>~kF
V~k~k ′g~k ′
donde:V~k~k ′ =
1Ω
∫V (r)ei(~k−~k ′)·~r d3r
donde ~r = ~r1 −~r2 y Ω el volumen del sistema.
Si existen soluciones de esta ecuacion con E < EF , podemos que losestados ligados para este par de electrones existen. A fin de evitarcomplicaciones matematicas, Cooper uso la siguiente aproximacionpara V~k~k ′ :
V~k~k ′ = −V constante para kF < k < ~wc
Ası:
g~k = V
∑~k ′>~kF
g~k ′2ε~k − E
→ 1V
=∑~k>~kF
(2ε~k − E)−1
Transformando la sumatoria en integral y aproximando la densidadde estados D(E) al su valor en la superficie de Fermi:
1V
= D(0)
∫ EF +~ωc
EF
dE2ε− E
=12D(0) log
2EF − E + 2~ωc
2EF − E
Si consideramos un acoplamiento debil, i.e. VD(0), la energıa sepuede escribir como:
E ' 2EF − 2~ωc exp[− 1
VD(0)
]Este resultado es notable en por lo menos dos aspectos. En primerlugar se trata de electrones que tienen una energıa cinetica mayorque EF , pero la existencia del acoplamiento atractivo hace que esteexceso de energıa cinetica sea compensada, resultando de unaenergıa total menor que EF , no importando cuan pequeno sea elvalor de V . En segundo lugar la expresion no es analıtica en V = 0 ypor lo tanto el problema no es tratable por teorıa de perturbaciones.
Teorıa de BCS
En un proceso de colision de un electron con un fonon de momentum~q pasa de un momentum ~k a un momentum ~k ′, donde ~q = ~k − ~k ′.Tomemos como punto de partida el Hamiltoniano,
H =∑~kσ
E(~k)c†~kσc~kσ +∑~q
~ωqa†~qa~q
+∑~k~qσ
[D(~q)c†~k+~qσ
c~kσa~q + D(−~q)c†~k−~qσc~kσa†~q]
+∑
~k~k ′~qσσ′
V(~q)c†~k−~qσc†~k ′+~qσc~k ′σ′c~kσ
donde el primer termino es la energıa de los electrones nointeractuantes, el segundo termino de los fonones, el tercero de lainteraccion electron-fonon y el cuarto corresponde a la interaccionelectron-electron.
Desde ahora en adelante omitiremos las flechas en los vectores ~k y~q, para simplificar la notacion, en el subentendido que se trata devectores. Llamemos Ho a los dos primeros terminos, H1 al tercero yU al cuarto, i.e. H = Ho +H1 + U. Consideremos, ahora, latransformacion HT = e−iSHeiS, donde S es un operador hermıtico,entonces, expandiendo las exponenciales y manteniendo terminoshas el segundo orden en S, se puede demostrar que:
HT = H+ i[H,S]− 12
[[H,S],S]
donde S se ha elegido de tal manera que:
i[Ho,S] = −H1
entonces:
HT = Ho + U + i[U,S]− 12
[[U,S],S] +12
i[H1,S]
Ahora aproximamos esta expresion despreciando [U,S]. Estoequivale a despreciar la contribucion de la interaccion electron-fononen la interaccion electron-electron. Ahora si |m〉 y |n〉 son vectorespropios de Ho.
〈m|S|n〉 = i〈m|H1|n〉Em − En
Entonces notando que:
〈nq − 1|aq |nq〉 = n1/2q 〈nq + 1|a†q |nq〉 = (nq + 1)1/2
donde nq es el numero de fonones con vector de onda q, podemosdemostrar que:
〈nq − 1|S|nq〉 = i∑kσ
D(q)c†k+qσckσn1/2q /[E(k + q)− E(k)− ~ωq]
〈nq +1|S|nq〉 = i∑kσ
D(−q)c†k+qσckσ(nq +1)1/2/[E(k−q)−E(k)+~ωq]
A fin de construir un Hamiltoniano que contenga los ingredientesimportantes consideramos los elementos diagonales de HT ya queestos contendran la interaccion efectiva electron-electron.Ası consideramos:
〈nq |12
i[H1,S]|nq〉 =12
i∑±
[〈nq |H1|nq ± 1〉〈nq ± 1|S|nq〉
− 〈nq |S|nq ± 1〉〈nq ± 1|H1|nq〉]
Estos elementos son facilmente calculables. Por ejemplo:
12
i〈nq |H1|nq − 1〉〈nq − 1|S|nq〉 =
= −12
∑kk ′,σσ′
c†k ′−qσ′ck ′σ′c†k+qσckσ
×|D(q)|2nq/[E(k + q)− E(k)− ~ωq]
Donde usamos D(−q) = D∗(q). Finalmente sumamos c/r a q,obtenemos la parte del Hamiltoniano que describe la interaccionefectiva electron-electron mediante fonones, la que llamamos HI :
HI =∑
kk ′q,σσ′|D(q)|2~ωq/
[E(k)− E(k − q)]2 − (~ωq)2
c†k−qσc†k ′+qσ′ck ′σ′ckσ
Esta interaccion puede ser atractiva o repulsiva, dependiendo delvalor de ~ωq . Ahora introducimos otra aproximacion. Ya que el estadosuperconductor esta formado por la asociacion de electrones enpares con momentos y spines opuestos k ↑, −k ↓, eliminamos todoslos terminos que no contienen estos pares. Juntando todos losterminos que contienen interacciones electron-electron encontramos:
12
∑kk ′,σσ′
Vkk ′c†k ′σ′c
†−k ′,σc−kσckσ′
donde:
Vkk ′ = 2|D(k−k ′)|2~ω(k−k ′)/
[E(k)− E(k ′)]2 − [~ω(k − k ′)]2
+V(k−k ′)
Ya que en esta notacion +k esta asociado con spin ↑ y −k con ↓,podemos dejar el ındice de spin y escribir finalmente el llamadoHamiltoniado de pares:
H =∑
k
E(k)c†k ck +∑kk ′
Vkk ′c†k ′c†−k ′c−k ck (15)
Este nombre se debe a que la pareja c−k ck destruye un par deelectrones en el estado k ↑, −k ↓ y lo crea en k ′ ↑, −k ′ ↓. Lasuperconductividad aparece cuando Vkk ′ < 0. De ahora en adelanteelegiremos el cero de energıa en el nivel de Fermi.
Ahora procederemos con la diagonalizacion de este Hamiltoniano,mediante el procedimiento de Bogoliubov y Valatin, que consiste enla transformacion canonica:
ξk = αk ck − βk c†−k ξ−k = αk c−k + βk c†k
y la relacion conjugada correspondiente:
ξ†k = αk c†k − βk c−k ξ†−k = αk c†−k + βk ck
Se requiere que estos operadores cumplan las reglas deconmutacion de fermiones:
[ξ†k ′ , ξk ]+ = δkk ′ [ξ′k , ξk ]+ = 0
lo que implica que α2k + β2
k = 1
Invirtiendo la transformacion de Bogoliubov-Valatin y reemplazandoen (5), obtenemos para el primer termino:∑
k
E(k)[2β2k + (α2
k − β2k )(ηk + η−k ) + 2αkβk (ξ†kξ
†−k + ξ−kξk )]
donde ηk = ξ†kξk , representa el numero de estas nuevas partıculas,llamadas bogolones en el estado k .
El termino de interaccion queda como (usando Vkk ′ = Vk ′k ):∑kk ′
Vkk ′ [αk ′αkβk ′βk (1− ηk ′ − η−k ′)(1− ηk − η−k )
+ αk ′βk ′(α2k − β2
k )(ξ−kξk + ξ†kξ†−k ) + terminos de cuarto orden]
Es posible demostrar que los terminos de cuarto orden contribuyencon un valor muy pequeno a la energıa y pueden ser despreciados.Veremos mas adelante que los terminos no diagonales de segundoorden pueden ser eliminados con una eleccion apropiada de αk y βk .
De esta forma el Hamiltoniano queda diagonalizado y los operadoresξ†k y ξk representan la creacion y destruccion de estados excitadosdel sistema, i.e. pares correlacionados de electrones. Es decir, en elestado fundamental |G〉:
ξk |G〉 = ξ−k |G〉 = 0 ηk |G〉 = η−k |G〉 = 0
El estado |G〉 no es un estado propio del operador numero departıculas N =
∑k (c†k ck + c†−k c−k ). Con la definicion de |G〉 es
posible demostrar que valor de expectacion de N es:
〈G|N|G〉 = 2∑
k
β2k
La condicion para que los terminos no diagonales de segundo ordenno aparezcan en el Hamiltoniano es:
2E(k)αkβk + (α2k − β2
k )∑k ′
Vkk ′αk ′βk ′ = 0 (16)
Recopilando vemos que el Hamiltoniano se puede escribir como
H =∑
k
E(k)[2β2k + (α2
k − β2k )(ηk + η−k ) + 2αkβk (ξ†k ξ
†−k + ξ−kξk )]
+∑kk′
Vkk′ [αk′αkβk′βk (1− ηk′ − η−k′)(1− ηk − η−k )
+ αk′βk′(α2k − β2
k )(ξ−kξk + ξ†k ξ†−k )]
pero utilizando la condicion anterior para eliminar los terminos no diagonalesse reduce a:
H =∑
k
E(k)[2β2k + (α2
k − β2k )(ηk + η−k )]
+∑kk′
Vkk′αk′αkβk′βk (1− ηk′ − η−k′)(1− ηk − η−k )
La energıa del estado fundamental la obtenemos de H|G〉 = Eg |G〉utilizando ηk |G〉 = η−k |G〉 = 0, i.e.
Eg = 2∑
k
β2k E(k) +
∑kk′
Vkk′αk′αkβk′βk
En vista de la condicion anterior que cumplen αk y βk , elegimos laforma:
αk = sen θk βk = cos θk
y por lo tanto:
2E(k) sen 2θk − cos 2θk
∑k ′
Vkk ′ sen 2θ′k = 0
Ahora introducimos una nueva cantidad:
∆k = −∑k ′
Vkk ′αk ′βk ′ = −12
∑k ′
Vkk ′ sen 2θk ′
lo que nos da inmediatamente:
tan 2θk = − ∆k
E(k)
y
sen 2θk =∆k√
∆2k + E2(k)
cos 2θk = − E(k)√∆2
k + E2(k)
con lo cual obtenemos:
∆k = −12
∑k ′
Vkk ′∆k ′√
∆2k ′ + E2(k ′)
Al igual que en la carta de Cooper, ahora se introduce unaaproximacion para Vkk ′ :
Vkk ′ = −Vo si |E(k)| y |E(k ′)| < ~ωo
= 0 para otros valores de |E(k)| y |E(k ′)|
y para ∆k elegimos una forma similar:
∆k = −∆o si |E(k)| < ~ωo
= 0 para otros valores de |E(k)|
La ecuacion para ∆o es:
2 = Vo
∑k
[∆2
o + E2(k)]−1/2
que se puede convertir en integral, introduciendo una densidad de estados:
2 = Vo
∫ ~ωo
−~ωo
dED(E)[∆2o + E2]−1/2
Como ~ωo es muy pequeno con respecto a EF , y si la densidad de estadovarıa suavemente en el nivel de Fermi, podemos aproximarla a D(0) y hacerla integral y obtener:
∆o = ~ωo/ senh(
1VoD(0)
)' 2~ωo exp
(− 1
VoD(0)
)bajo la suposicion de que VoD(0) << 1
Estimacion del valor de ∆o.
Es esperable que la magnitud de ~ωo sea del orden de la magnitudde la frequencia de Debye ~ωD. Si no tomamos en cuenta lainteraccion culombiana, Vo debe ser del orden de :
Vo '|D|2
~ωD
Por otra parte dentro de la aproximacion del potencial dedeformacion de la teorıa de la interaccion electron-fonon es posible
estimar |D|2 como49
mM
E2F
~ωD, con lo cual se llega a:
Vo '49
mM
(E3/2
F~ωD
)2
Para obtener una estimacion de ∆o suponemos D(0) ' 1/EF . ComoEF/~ωD es del orden de 100 y m/M ' 10−5, VoD(0) ' 0,2 y∆o ' 4× 10−4 eV, es decir aprox. 5o K.
Energıa del estado fundamental Eg .
De los resultados anteriores podemos ver que
Eg = 2∑
k
E(k)β2k +
∑kk ′
Vkk ′αk ′αkβkβk ′
= 2∑
k
E(k) cos2 θk −12
∑k
∆k sen 2θk
El cambio de la energıa del estado fundamental producido por lainteraccion V se puede calcular notando que si V es cero el sistemaocupa los estados hasta k = kF . i.e. la energıa del sistema normal es2∑
k E(k). Por lo tanto:
δEg = 2∑k<kF
E(k)[cos2 θk −1] + 2∑k>kF
E(k) cos2 θk −12
∑k
∆k sen 2θk
Reemplazando las expresiones trigonometricas anteriores, seobtiene:
δEg = 2∑k>kF
(E(k)− 2E2(k) + ∆2
2[E2(k) + ∆2]1/2
)En la deduccion de esta ecuacion se usa la aproximacionE(k)(k < kF ) ' −E(k)(k > kF ) ya que ∆o es distinta de cero en unrango muy pequeno de energıas. La expresion anterior puedeconvertirse en integral, con una densidad de estado constante igual aD(0):
δEg = 2D(0)
∫ ~ωo
0
[E − 2E2 + ∆2
2(E2 + ∆2)1/2
]dE
= (~ωo)2D(0)
[1−
(1 +
∆2
(~ωo)2
)1/2]
= (~ωo)2D(0)
[1− coth
(1
VoD(0)
)]
Para un acoplamiento debil VoD(0) << 1 podemos expandir la raızcuadrada y obtenemos:
δEg = −12D(0)∆2
con la estimacion de ∆ obtenida anteriormente, llegamos aδEg ' 1,6× 10−8 eV. Es notable que tan pequeno cambio de energıaproduzca efectos macroscopicos tan dramaticos.
Vimos que el vector del estado fundamental |G〉, esta definido por:
ξk |G〉 = 0
Un estado que satisface esta condicion es:
ξkξ−k |0〉 = (αkβk + β2k c†k c†−k )|0〉
ya que ξkξk = 0.
La normalizacion de este estado nos da:
〈0|(α∗kβ∗k +β2k ck c−k )(αkβk +β2
k c†k c†−k )|0〉 = 〈0||αk |2|βk |2+|βk |4|〉 = |βk |2
y si consideramos βk real, vemos que el factor de normalizacion es1/βk y por lo tanto el estado fundamental lo podemos escribir como:
|G〉 =
[∏k
(αk + βk c†k c†−k )
]|0〉
Este es el estado empleado por BCS en su teorıa.
Tambien podemos demostrar que:
〈N〉 = 2∑
k
β2k =
∑k
[1− E(k)
[E2(k) + ∆2k ]1/2
]= 2
∑k
1 = N
Estados excitados
El estado ξ†k |G〉 es un estado excitado del sistema. De la definicion deξ†k , vemos que corresponde a la creacion de un electron en el estadok y a la destruccion de un electron en estado −k , i.e. creacion de unagujero en −k . A este estado lo llamamos estado de cuasi partıcula.
Despues de haber eliminado los terminos no diagonales y usando ladefinicion de Eg anterior, el Hamiltoniano podemos escribirlo como:
H = Eg
+∑
k
[E(k)(α2
k − β2k )− 2
∑k ′
Vkk ′αk ′βk ′
]× (ξ†kξk + ξ†−kξ−k )(1− ηk ′ − η−k ′) (17)
A la temperatura T = 0oK, ηk , el numero de excitaciones oquasi-partıculas en el estado k , es depreciable frente a 1. En estecaso definimos la energıa de excitacion por:
E(T , k) = ∂〈H〉/∂〈ηk 〉
o equivalentemente por:
E(k) = E(k)(α2k − β2
k )− 2∑k ′
Vkk ′αk ′βk ′ (18)
la cual, despues de un poco de algebra, se reduce a:
E(k) = − cos 2θk E(k) + sen 2θk ∆k
=[E2(k) + ∆2
k]1/2
Esta ecuacion muestra que existe un valor mınimo de la energıa deexcitacion, i.e. ∆k . Esta es la banda prohibida que se habıa previstoexperimentalmente. Las excitaciones son creadas en pares deelectrones y por lo tanto la banda prohibida observadaexperimentalmente, como en absorbcion electromagnetica, es 2∆.
De esta forma el Hamiltoniano puede ser escrito finalmente como:
H = Eg +∑
k
E(k)(ξ†kξk + ξ†−kξ−k )
y la densidad de estado se puede calcular como:
G(E) =dkdE
dEdE
El termino dk/dE es proporcional a D(0) ydE/dE = (E2 −∆2)1/2/|E|. Por lo tanto:
G(E) = D(0)|E|/(E2 −∆2)1/2 para |E| > ∆;
0 para |E| < ∆(19)
ε
ε( )
0−1 1 /∆
G
Temperatura crıtica
Sin embargo para T 6= 0oK, esta aproximacion ya no es valida y sedebe reemplazar por una mas correcta. Esta aproximacion consisteen reemplazar ηk por su promedio termal 〈ηk 〉
〈ηk 〉 =[eE(T ,k ′)/kBT + 1
]−1
Aquı E(T , k) representa la energıa de excitacion (18), peromodificada por el factor(1− ηk ′ − η−k ′) ' (1− 〈ηk ′〉 − 〈η−k ′〉) = tanh(E(T , k ′)/2kBT ):
E(k) = E(k)(α2k − β2
k )− 2∑k ′
Vkk ′α′kβk ′ tanh(E(T , k ′)/2kBT )
De esta manera podemos escribir el parametro del gap dependientede la temperatura:
∆k (T ) =12
∑k ′
Vkk ′αk ′βk ′(1− 〈ηk ′〉 − 〈η−k ′〉)
= −12
∑k ′
sin 2θk ′ tanh[E(T , k ′)
2kBT
]
Reemplazando sen 2θk ′ por su expresion:
∆k (T ) = −12
∑k
Vkk ′∆k ′(T )[E2(k ′) + ∆2
k ′(T )]1/2 tanh
[E(T , k ′)
2kBT
]
Introduciendo la densidad de estados, aproximada a D(0), yutilizando las aproximaciones: ∆k ′(T ) por la ∆o(T ) y Vkk ′ por Vo,obtenemos:
1 = VoD(0)
∫ ~ωo
0tanh
[E2 + ∆2(T )]1/2
2kBT
dE
[E2 + ∆2(T )]1/2 (20)
Ya que ∆(T ) se hace cero a T = Tc , esta ecuacion permitedeterminar la temperatura crıtica:
1VoD(0)
=
∫ ~ωo
0tanh
E2kBTc
EdE =
∫ ~ωo/2kBTc
0
tanh xx
dx
donde x = E/2kBTc
Con una integracion por partes:
1VoD(0)
= log(~ωo/2kBTc) tanhE
2kBTc−∫ ~ωo/2kBTc
0log x sech 2xdx
Como ~ωo ' ~ωD >> kBTc , podemos reemplazar el lımite superiorde la ultima integral por∞ lo que nos da:
kBTc =12
A~ωoe1/VoD(0)
donde
log A = −∫ ∞
0log x sech 2xdx = γ + log(4/π)
donde γ es la constante de Euler
Luego
kBTc =12
A~ωo exp[−1/VoD(0)] ' 1,13~ωo exp[−1/VoD(0)]
Comparando con el valor de ∆ a temperatura 0oK, tenemos:
∆(0)
kBTc' 1,765
Esta relacion se cumple bastante bien para muchossuperconductores.
Ahora como ~ωo ' ~ωD y ~ωD es proporcional a M−1/2, resulta que:
VoD(0) ' 49
mM
(EF
~ωD
)2
es independiente de M y Tc ∝ M−1/2, i.e. el efecto isotopico.
La dependencia de ∆(T ) en la temperatura esta dada por laecuacion (20), cuya solucion para T arbitrario requiere unaintegracion numerica:
Este calculo se simplifica haciendo un cambio de variableδ = ∆/kBT :
1VoD(0)
= sinh−1(~ωo/∆) tanh[
(~ωo)2 + ∆2
2kbT
]+ F (δ)
con
F (δ) = −δ∫ ∞
0
x sinh−1 x sech 2δ(1 + x2)1/2
(1 + x2)1/2 dx
Efecto tunel
Primero consideremos dos metales normales separados por unalamina delgada aisladora. La lamina actua como una barrera para elpaso de los electrones de conduccion de un metal al otro. Sinembargo si se coloca una diferencia de potencial entre los metales,es posible producir una conduccion mediante efecto tunel. Veremosque la dependencia de la corriente de la diferencia de potencial, escompletamente diferente a este caso, si uno de los metales ( o losdos) es superconductor. Consideremos la situacion descrita en lafigura siguiente. Este experimento esta descrito por el siguienteHamiltoniano:
HT =∑kqσ
[Tkqc†kσdqσ + T ∗qk d†qσckσ
]donde los operadores c†kσ, ckσ se refieren al metal A, mientras qued†kσ, dkσ se refieren a B.
AISLADOR
A BMETAL METAL
Este Hamiltoniano fue derivado por Bardeen en 1961.
Ahora supongamos que el metal A se mantiene a un potencial Vsobre el metal B. El flujo neto de corriente desde A a B esproporcional a:
RAB =∑kqσ
|Tkq |2 f (k)[1− f (q)]− f (q)[1− f (k)] δ[EA(k)−EB(q)+eV ]
En esta expresion el primer termino que corresponde a latransferencia de electrones de A a B, incluye el numero de electronescon momentum k en A y el numero de huecos con momentum q enB. El segundo termino indica el proceso opuesto.
Introduciendo la densidad de estados y notando que f solo dependede la energıa, podemos escribir:
RAB '∫
dEA|T |2 [f (EA)− f (EA + eV )]DA(EA)DB(EA + eV )
La teorıa de Harrison de 1961 demuestra que |T |2 es inversamenteproporcional al inverso del producto de las densidades de estado:
|T |2 ∝ [DADB]−1
de modo que si V es pequeno podemos escribir:
RAB ∝∫
dEA [f (EA)− f (EA + eV )] = −eV∫
dEA
(dfdE
)EA
= −eV
es decir la corriente es proporcional a la diferencia de potencial y secumple la ley de Ohm.
Ahora consideremos el caso en que uno de los metales essuperconductor, en este caso el metal B. El Hamiltoniano detransferencia es entonces:
HT =∑kq
[Tkqc†k (αξq + βqξ
†−q) + T−k−qc†−k (αqξ−q − βqξ
†q)
+ Tqk (αξ†q + βqξ−q)ck + T ∗−q−k (αqξ†−q − βqξq)c−k
]Estos terminos deben ser interpretados de la siguiente forma: c†kξqcrea un electron en el metal normal (A) y destruye unacuasi-partıcula en el superconductor (B).De la misma forma, c†kξ
†q crea crea un electron y una cuasi-partıcula.
Todos los terminos describen procesos independientes, por lo quetodas las contribuciones de HT a RAB son aditivas. Es posible eliminarla dependencia en k ,q del elemento de matriz y utilizar un promediode |T |2. Las energıas de los estados electronicos del metal lasdenotamos por EA y las energıas de los estados de cuasi-partıculaspor EB. Ası es posible obtener el flujo de corriente como:
RAB = (4π/~)∑kq
|T |2α2
q[fA(EA)− fB(EB)]δ(EA − EB + eV )
+ β2q [fA(EA) + fB(EB)− 1]δ(EA + EB + eV )
Las dos deltas de esta expresion implican que:
EB = (E2B + ∆2)1/2 = EA + eV → EB = ±[(EA + eV )2 −∆2]1/2
Sin embargo se puede demostrar que:
α2q(EB) + α2
q(−EB) = β2q(EB) + β2
q(−EB) = 1
Entonces los factores α2q y β2
q desaparecen y podemos obtener:
RAB = (8π/~)
∫ ∞−∞|T |2DA(E − eV )GB(E)[fA(E − eV )− fB(E)]dE
Usando la relacion |T |2 = [DADB]−1 y aproximando la densidad deestados a aquella del nivel de Fermi:
RAB '∫ eV
∆
E/(E2 −∆2)1/2dE = [(eV )2 −∆2]1/2
RAB = 0 para eV < ∆ y crece rapidamente cuando eV se acerca alvalor del gap.
Cuantizacion del flujo magnetico
Partimos de la expresion:
J = −ie~2m
[ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗]− e2
mc|ψ|2A
donde q = 2e y escribiendo ψ como:
ψ(r) = C(r)eiθ(r)
J =~m
(∇θ − q
~A)
Ahora consideremos un anillo con corriente. La corrientesuperconductora se encuentra en la superficie hasta una profundidadλ y decae a cero dentro de el. Por lo tanto dentro del anillo:
∇θ − q~
A = 0
Integrando esta expresion en un circuito dentro del anillo:
~∮∇θ · ds = q
∮A · ds
Pero de B = ∇× A y del teorema de Stokes, el flujo magnetico es:
Φ =
∮A · ds =
~q
∮∇θ · ds =
~q
(θ1 − θ2)
donde el punto 1 y el punto 2 coinciden en el anillo. Ahora el unicorequisito fısico es que la funcion de onda sea la misma en 1 y en 2.Esto implica que:
θ1 − θ2 = 2πn
Es decir:Φ = 2πn
~q
El flujo atrapado por anillo es un multiplo entero de 2π ~q ' 4× 10−7
gauss-cm2.
Efecto Josephson
Ahora consideremos el caso en que ambos metales sonsuperconductores. Sean ψ1 y ψ2 las funciones de onda quedescriben los electrones de los metales A y B respectivamente.Tomemos el caso simple sin campo magnetico. Las amplitudes estanrelacionadas por las ecuaciones:
i~∂ψ1
∂t= U1ψ1 + Kψ2
i~∂ψ2
∂t= U2ψ2 + Kψ1
La constante K es una caracterıstica de la juntura y describe elacoplamiento de los dos superconductores.
Si los dos lados fuera identicos U1 = U2, pero vamos a suponer quehay una diferencia de potencial entre los dos superconductores, detal modo que U1 − U2 = qV , donde q = 2e. Si definimos el cero deenergıa a medio camino entre los dos podemos escribir estasecuaciones como:
i~∂ψ1
∂t=
qV2ψ1 + Kψ2
i~∂ψ2
∂t= −qV
2ψ2 + Kψ2
Ahora escribamos las funciones de onda como:
ψ1 =√ρ1eiθ1
ψ2 =√ρ2eiθ2
Reemplazando en las ecuaciones diferenciales obtenemos:
ρ1 =2~
K√ρ2ρ1 sen δ, ρ2 = −2
~K√ρ2ρ1 sen δ
θ1 =K~
√ρ2
ρ1cos δ − qV
2~θ2 =
K~
√ρ1
ρ2cos δ +
qV2~
donde δ = θ1 − θ2. Ahora ρ1 = −ρ2 representa la corriente que fluyepor los superconductores a traves de la juntura y esta dada por:
J =2K~√ρ1ρ2 sen δ
escribimos ρ1 = ρ2 iguales a ρo, ası llamando Jo = 2Kρo/~, tenemosJ = Jo sen δ
El otro par de ecuaciones se puede escribir como:
δ = θ1 − θ2 =qV~
→ δ(t) = δo +q~
∫V (t)dt
Es decir la corriente es:
J = Jo sin[δo +q~
∫V (t)dt ]
Esto quiere decir que si tenemos una diferencia de potencialconstante, se produce una corriente alterna cuya frequencia es:
ω =2e~
Vo
Una diferencia de potencial de 1µV, produce una corriente alterna de483.6 MHz. Si la diferencia de potencial es cero, de todas manerastenemos una corriente DC de valor Jo sin δo.
Efecto Meissner a partir de BCS
Mucho antes de BCS se sabıa que una relacion lineal entre ~J y ~Allevaba al efecto Meissner. Los hermanos London propusieron laecuacion:
~J = − c4πλ2
~A que nos da ∇× ~J = − c4πλ2
~B
y usando las ecuaciones de Maxwell obtenemos:
∇2~B = λ2~B
La solucion de esta ecuacion muestra un decaimiento exponencialdel campo con una longitud caracterıstica λ, llamada longitud depenetracion, la cual es infinita en un material normal y finita en unsuperconductor. Sabemos tambien que un superconductor es undiamagneto perfecto, para lo cual debe existir una densidad decorriente en la superficie, que produzca un campo magneticoopuesto al aplicado Si esta densidad de corriente es cero despareceel Efecto Meissner.
El proposito de los parrafos siguientes es demostrar que ~J esproporcional a ~A en la teorıa BCS y que en un material normal laconstante de proporcionalidad es cero.
Partimos considerando la ecuacion de continuidad:
∇ · ~J = − eΩ
∂ρ
∂t
donde Ω es el volumen del sistema y ρ es el operador densidad departıculas. Si aplicamos una transformada de Fourier a estaecuacion, encontramos:
i~q · ~Jq = − eΩ
∂ρq
∂t=
eiΩ~
[H, ρq]
Para proceder con el calculo del conmutador necesitamos algunosresultados:
1) ρ(~r) =∑~k,~k ′
ei(~k−~k ′)·~r c†k ck ′d3r
2) ρq = Ω−1∫
e−i~q·~rρ(~r)d3r
= Ω−1∫
e−i~q·~r∑~k,~k ′
ei(~k−~k ′)·~r c†k ck ′d3r
= Ω−1∑~k,~k ′
c†k ck ′δ~k−~k ′,~q
= Ω−1∑
k
c†k ck+q
El Hamiltoniano total lo dividimos en dos partes: H = Ho +H1,donde:
3) El Hamiltoniano Ho =∑
k
Ek c†k ck +∑~k,~k ′,~q′
Vqc†k−q′c†k ′+q′ck ′ck
sin la interaccion magnetica, donde Ek = ~2k2/2m. H1 contiene lacontribucion m agnetica
4) El conmutador [Ho, ρq] = − ~2
2m~q ·∑
k
[(2~k − ~q)c†k−qck
]
5) La contribucion del campo magnetico
H1 =e
2mc
(ec~A2 − ~p · ~A− ~A · ~p
)(en 2da. cuantizacion) =
e2mc
∑~k,~k ′
〈k |~p · ~A− ~A · ~p|k ′〉c†k ck ′
=e~
2mc
∑~k,~k ′
〈k | − ~A · (~k + ~k ′)|k ′〉c†k ck ′
(con un potencial de la forma ~Aqei~q·~r ) = − e~2mc
~Aq ·∑~k
(2~k − ~q)c†k ck−q
donde hemos despreciado el termino ~A2.
6) El conmutador [H1, ρq] =e~mc
~q ·∑~k
~Aqc†k ck
Por lo tanto obtenemos el conmutador:
~q · ~Jq = − eΩ~
[H, ρq] = − eΩ~
[(Ho +H1), ρq]
= ~q ·∑~k
[e~
2mΩ(2~k − ~q)c†k−qck −
e2
mcΩ~Aqc†k ck
]
Ahora debemos calcular el valor de expectacion de Jq en el estadoperturbado, usando teorıa de perturbaciones, partiendo del estadodel sistema sin campo magnetico |Ψo〉:
|Ψ〉 = |Ψo〉+1
Eo −HoH1|Ψo〉
Asi encontramos:
〈Ψ|~Jq |Ψ〉 = 〈~Jq〉 = 〈Ψo|~Jq |Ψo〉
+ 〈Ψo|~Jq1
Eo −HoH1|Ψo〉
+ 〈Ψo|H11
Eo −Ho
~Jq |Ψo〉
y sustituyendo las expresiones anteriores para ~Jq y H1, conµB = e~/2mc obtenemos:
〈~Jq〉 = −Ne2~Aq
mcΩ− 〈Ψo|
∑~k,~k ′
e~µB
2mΩ~Aq · (2~k ′ − ~q)
× (2~k − ~q)[c†k−qck
1Eo −Ho
c†k ′ck ′−q
+ c†k ′ck ′−q1
Eo −Hoc†k−qck
]|Ψo〉
Para evaluar 〈~Jq〉 es necesario expresar los operadores de electronesen termino de los operadores de cuasi partıculas k , ξ±k . Para qpequeno, remplazamos αk−q y βk−q por αk y βk y ası se obtiene:
〈~Jq〉 = −2NeµB
~Ω~Aq
− 4e~µB
mΩ~Aq
∑k
〈Ψo|(ηk − ηk+q
Ek − Ek+q
)|Ψo〉
reemplazando la sumatoria por una integral sobre E y el parentesisredondo por ∂f/∂E donde f es la distribucion de Fermi− Dirac
= − Ne2
mcΩ~Aq
− 2e2~2
3m2cΩ~AqD(0)k2
F
∫∂f∂E
dE
= − Ne2
mcΩ~Aq
[1 +
∫∂f∂E
dE]
= − Ne2
mcΩ~Aq
[1 + 2
∫ ∞∆
E(E2 −∆2)1/2
∂f∂E
dE]
Aquı usamos:
E =√E2 + ∆2 y D(0) = 3Nm/2~2k2
F
Para T > Tc , ∆ = 0 La integral queda como∫ ∞0
E(E2)1/2
∂f∂E
dE = f (E)∣∣∞0
pero como f (E) = [ekBE + 1]−1, f (∞) = 0 y f (0) = 1/2 por lo tanto, eneste caso la integral vale −1/2 y el parentesis cuadrado esexactamente 0. i.e. 〈~Jq〉 = 0 y no hay efecto Meissner.Ahora para T = 0
∂f∂E
= δ(0)
y la integral es cero y entonces:
〈~Jq〉 = − c4πλ2
~Aq con λ =
(mc2Ω
4πNe2
)1/2
Corrientes persistentes
Para una explicacion simple usaremos el argumento de L. Landau.Consideremos una masa M que contiene una imperfeccion, como unfonon o una impureza. Cuando una corriente fluye en unsuperconductor el gas de electrones se mueve colectivamente conrespecto a la red cristalina. Sea −~v la velocidad relativa del gas deelectrones. Cambiamos de sistema de referencia, donde el gas deelctrones esta en reposo y la masa M se mueve con velocidad ~v . Lainteraccion con las imperfecciones puede disminuir la velocidadsolamente si se pueden crear exitaciones en el gas de electrones.Para crear una exitacion de energıa Ek y momento ~k en una colision,debe cumplirse:
12
Mv2 =12
Mv ′2 + Ek , M~v = M~v ′ + ~~k
0 = −~~k · ~v +~2k2
2M+ Ek
Para valores muy grandes de M despreciamos el termino en 1/M.Sea vc el menor valor de |~v | que satisface:
Ek = ~~k · ~ves decir vc = mınimo valor de Ek/~k
Ahora nos fijamos en espectro de exitaciones elementales de figurasiguiente:
∆
E
k/kFF
k
N
S
Vemos que la relacion de dispersion de los electrones para elmaterial normal cerca del nivel de Fermi es lineal con K porque sepuede escribir como
εk =~2
2m(k2 − k2
F ) ' ~2
mkF (k − kF )
Sin embargo en el superconductor, para T < Tc existe un gap ∆.
En la figura siguiente se muestra como se puede obtener la velocidadcrıtica, en el caso de un superconductor con una banda prohibida∆ > 0
∆
E
k/kFF
k
Ya que E ∝ v2, la velocidad es proporcional a E/k , es decir lapendiente de una lınea que pasa por el orıgen.
La lınea punteada nos da la velocidad crıtica vc . Esta es la velocidadmınima para que se produzcan colisiones. Es decir, para flujos convelocidades menores que vc no se pueden producir colisiones y nohay disipacion de energıa, i.e. la resistencia es cero.
APENDICE 1. Derivada funcional.
En este apendice explicaremos un metodo para calcular una derivada funcional. Paraesto consideremos la siguiente integral:
I[α(λ)] =
∫ λ2
λ1
F [α(λ)]dλ
entonces δI nos da el cambio en I cuando a la funcion α(λ) le agregamos la funcionδα(λ), la cual esta sujeta a la condicion: δα(λ1) = δα(λ2) = 0. Ası el cambio deI[α(λ)] lo podemos escribir como:
δI[α(λ)] =
∫ λ2
λ1
δIδα(λ)
δα(λ)dλ
Esta forma es una generalizacion a variables contınuas de la expresion:
dA(x1, x2 · · · xn) =n∑
i=1
∂A∂xi
dxi
El resultamos que queremos es una expresion para la derivada funcional:δI[α(λ)]
δα(λ′)
Entonces podemos escribir:
δI[α(λ)] = I[α(λ) + δα(λ)]− I[α(λ)] =
∫ λ2
λ1
δIδα(λ)
δα(λ)dλ
Ahora escribimos δα(λ) = εα(λ), con ε→ 0, y tenemos:
lımε→0
I[α(λ) + εα(λ)]− I[α(λ)]
ε=
∫ λ2
λ1
δIδα(λ)
α(λ)dλ
Como α(λ) es arbitrario, lo podemos elegir como α(λ) = δ(λ− λ′) y obtenemosfinalmente:
δI[α(λ)]
δα(λ′)= lımε→0
I[α(λ) + εδ(λ− λ′)]− I[α(λ)]
ε
Esta es una expresion explıcita para la derivada funcional.
PROPIEDADES DE LA DERIVADAS FUNCIONALES
a)δq(x)
δq(x ′)= δ(x − x ′)
b)δ
δq[aF [q] + bG[q]] = q
δFδq
+ bδGδq
c)δ
δq[F [q]G[q]] = F [q]
δGδq
+ G[q]δFδq
e) Regla de la cadena
Supongamos que q es un funcional de s(x), q = q[s(x), x ], entonces:
δF =
∫dxδFδqδq =
∫dx∫
dx ′δFδq(x)
δq(x)
δs(x ′)δs(x ′)
y por lo tanto:δFδs(x)
=
∫dx ′
δFδq(x ′)
δq(x ′)δs(x)
En el caso particular de que s es un funcional de q, haciendo F = q,
δq(x) =
∫dx ′
δq(x)
δs(x ′)δs(x ′) (21)
=
∫dx ′∫
dx ′′δq(x)
δs(x ′)δs(x ′)δq(x ′′)
δq(x ′′) (22)
(23)
Por lo tanto: ∫dx ′′
δq(x)
δs(x ′′)δs(x ′′)δq(x ′)
= δ(x − x ′)
Esta relacion sirve para definir el inverso de una derivada funcional.
APENDICE 2. Monte Carlo. Algoritmo de Metropolis.
Este algoritmo se aplica en la siguiente forma en el estudio de una red de Ising: 1)Inicialmente se construye una configuracion de spines al azar.2) Se calcula la energıa total del sistema, i.e. E .3) Se toma el primer spin de la red y se le da vuelta.4) Se calcula el cambio de energıa, i.e. ∆E .5) Si ∆E < 0, se mantiene este spin en su nuevo estado.6) Si ∆E > 0, se elige un numero 0 ≤ η ≥ 1 al azar.7) Si exp(−∆E/kBT ) > η, se mantiene este spin en su nuevo estado.8) Si exp(−∆E/kBT ) < η, se mantiene este spin en su estado original.9) Se pasa al punto 2) y se repite el proceso para todos los spines de la red.10) Se barre la red varias veces hasta encontrar un mınimo de energıa.
APENDICE 3. Expansion en cumulantes. Si queremos obtener una aproximacion parala expresion para valor esperado 〈eV 〉, hacemos una expansion en series:
〈eV 〉 = 〈1 + V +12
V 2 + · · ·+1n!
V n + · · · 〉 (24)
= exp[
C1 +12
C2 +16
C3 + · · ·]
(25)
(26)
Ası obtenemos:
C1 = 〈V 〉 (27)
C2 = 〈V 2〉 − 〈V 〉2 (28)
C3 = 〈V 3〉 − 3〈V 〉〈V 2〉+ 2〈V 〉3 (29)
C4 = 〈V 4〉 − 3〈V 2〉2 − 4〈V 〉〈V 3〉+ 12〈V 〉2〈V 2〉 − 6〈V 〉4 (30)
etc. (31)
(32)
Para obtener estas expresiones consideramos, con x arbitrario,:
〈exV 〉 = 1 + x〈V 〉+12
x2〈V 2〉+16
x3〈V 3〉+ · · ·
que debe ser igual a:
exp[
xC1 +12
x2C2 +16
x3C3 + · · ·]
Expandiendo en potencias de x e igualando los coeficiente de las potencias del mismoorden obtenemos la expresiones anteriores. Por ejemplo, para obtener C1 y C2:
1 + x〈V 〉+12
x2〈V 2〉+ · · · = 1 + [xC1 +12
x2C2 + · · · ] +12
[xC1 +12
x2C2 + · · · ]2
de donde obtenemos:
x〈V 〉 = xC112
x2〈V 2〉 =12
x2C2 +12
(xC1)2
i.e.C1 = 〈V 〉 C2 = 〈V 2〉 − 〈V 〉2
