Mecanica 1

Reducerea sistemelor de forte

1Mecanica teoretica Curs i aplicaii

Unitatea de nvare nr. 1 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORTE Cuprins Pagina

Obiectivele unitii de nvare nr. 1 1

1.1 Fore i sisteme de fore 1

1.2 Momentul unei fore n raport cu un punct 2

1.3 Torsorul unei fore n raport cu un punct 4

1.4 Torsorul unui sistem de fore n raport cu un punct 6

1.5 Torsor minimal. Axa central 8

1.6 Cazuri de reducere ale unui sistem de fore oarecare 10

1.7 Reducerea sistemelor particulare de fore 11

Teste de autoevaluare unitatea de nvare nr. 1 14

Lucrare de verificare la Unitatea de nvare nr. 1 15

Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare 16

Bibliografie unitatea de nvare nr. 1 19


2 Mecanica teoretica Curs i aplicaii

OBIECTIVELE unitii de nvare nr. 1

Principalele obiective ale Unitii de nvare nr. 1 sunt:

Familiarizarea cu notiunile de forta si moment al unei forte in raport cu un punct

nelegerea notiunii de torsor al unui sistem de forte si a modului de determinare a lui

Sublinierea importantei cazurilor de reducere a unui sistem de forte in studiul comportarii

Aplicarea cunostiintelor dobandite pe cazuri particulare de sisteme de forte si in situatii practice

1.1 Fore i sisteme de fore

Prin for se nelege o mrime fizic vectorial ce msoar interaciunea mecanic dintre corpurile materiale i care caracterizeaz transmiterea micrii de la un corp ctre un altul. Fiind o mrime vectorial fora are toate atributele unui vector: punct de aplicaie, direcie, sens i modul.

Cele mai ntlnite fore n natur sunt greutatea corpurilor, fora atraciei universale, forele de frecare, forele elastice, forele electromagnetice etc.

Forele ce se exercit asupra unui sistem material se mpart n: - fore exterioare dac sunt exercitate de corpurile din afara sistemului studiat asupra corpurilor din sistem; - fore interioare dac sunt exercitate ntre prile componente ale aceluiai sistem material.

La rndul lor, forele exterioare se mpart n fore direct aplicate (de exemplu fora de greutate) i fore de legtur (datorate restriciilor de natur geometric impuse corpurilor)

Totalitatea forelor ce acioneaz asupra unui corp material se numete sistem de fore. Dou sisteme de fore se numesc echivalente dac sub aciunea fiecruia dintre ele corpul are aceiai stare mecanic.

Orice for care acioneaz asupra unui solid rigid are caracterul unui vector alunector, adic prin alunecarea pe suportul ei efectul forei asupra rigidului rmne acelai.

Pentru a caracteriza mai bine efectul unei fore asupra unui rigid este necesar s se introduc i noiunile de moment al unei fore n raport cu un punct i de moment al unei fore n raport cu o ax.

1.2 Momentul unei fore n raport cu un punct (pol)

1.2.1. Definiie

Definiia 1.1: Prin definiie, momentul unei fore n raport cu un punct O este dat de

produsul vectorial dintre vectorul de poziie

F

r al punctului de aplicaie A al forei i vectorul , adic

F



(1.1)

=

FrFM O

Momentul este un vector legat, aplicat n punctul O (figura T 1.1). El este perpendicular pe

planul determinat de i , are sensul dat de regula burghiului drept i modulul:

FMO

r

F

dFFrFrFrFrFM O ==

==

sin,sin (1.2)

unde distana d (de la punctul O la suportul forei ) se numete braul forei. F

d

Frr

r

A

O

( )FM rr 0

( )d

FrA

O

Fr

B

Figura T 1.1 Figura T 1.2

Notnd cu proieciile forei pe axele reperului cartezian Oxyz i cu x, y, z

coordonatele punctului A de aplicaie al forei, se obine urmtoarea expresie analitic a momentului

:

zyx F,F,FF

FMO

( ) ( ) ( )

++===

kFyFxjFxFzizFFyFFFzyxkji

FrFM xyzxyzzyx

O

(1.3)

1.2.2. Proprieti ale momentului unei fore n raport cu un punct

P1) Momentul unei fore n raport cu un punct este nul dac i numai dac suportul forei trece prin acel punct (deoarece braul forei este nul). P2) Momentul unei fore n raport cu un punct nu se modific dac fora i deplaseaz punctul de aplicaie n lungul suportului ei.



Demonstraie (vezi figura T 3.2): Fie A i B dou puncte pe suportul (d) al forei . Dac fora este

aplicat n A, atunci . Pentru fora aplicat n B avem c

F

=

FOAFMO

=+=

+==

FOAFABFOAFABOAFOBFM O ,

deoarece . F//AB

P3) Momentul unei fore n raport cu un punct (pol) se modific odat cu modificarea polului. Demonstraie (vezi figura T 2.3): Se consider punctele O i O. n conformitate cu definiia 2.1 putem

scrie c si . =

FOAFMO +=

+==

FOAFOAO'OFA'OFM 'O FO'O

Rezult c:

(1.4) +

=

FOOFMFM OO ''

Momentul forei n raport cu polul O rmne neschimbat doar dac OO // (d). F

1.3 Torsorul unei fore n raport cu un punct

1.3.1. Operaii elementare de echivalen Se consider un solid rigid acionat de un sistem de fore arbitrar. Se pune problema nlocuirii sistemului de fore cu un sistem echivalent mai simplu, adic cu un sistem care s produc n orice punct al rigidului acelai efect mecanic ca i sistemul de fore iniial.

Pentru obinerea unor sisteme de fore echivalente, dar mai simple, se aplic forelor care alctuiesc sistemul o serie de operaii astfel nct aplicarea oricrei dintre ele s conduc la obinerea unui sistem echivalent. Aceste operaii, numite operaii elementare de echivalen, sunt: O1) Fora care acioneaz asupra rigidului poate fi deplasat n lungul suportului ei. O2) n sistemul de fore dat se pot suprima sau introduce dou fore egale i direct opuse. O3) Mai multe fore pot fi nlocuite prin rezultanta lor (obinut pe baza regulii paralelogramului).

1.3.2. Cuplu de fore Definiia 1.2: Prin cuplu de fore se nelege un sistem de dou fore paralele, egale n modul, i care acioneaz pe suporturi diferite. Observaia i) : Un cuplu de fore aplicat unui rigid tinde s-l roteasc n jurul unei axe perpendiculare pe planul definit de suporturile celor dou fore (figura T 1.4). Definiia 1.3: Prin momentul unui cuplu de fore se nelege suma momentelor forelor care alctuiesc cuplul n raport cu acelai punct.



Vom demonstra dou proprieti utile n cele ce urmeaz. P1) Proiecia unui cuplu de fore pe orice ax este nul.

Demonstraie: Fie o ax ( ) de versor . Avem c: u

0, =

+=

+

=

uFuFFprFprFFpr .

P2) Momentul unui cuplu nu depinde de punctul n raport cu care se calculeaz (deci este un vector liber).

Demonstraie: Fie O un punct arbitrar (vezi figura T 1.4 ). =

=

+= FABFOAOBFOAFOBM O (independent de O).

n concluzie, momentul al cuplului este perpendicular pe planul definit de suporturile

forelor, sensul este stabilit cu regula burghiului drept iar modulul su este

OM

dFM O = , unde d reprezint distana ntre suporturile forelor (numit braul cuplului).

( )dO

OA

Fr

O

0Mr

Fr

B

Fr

A

d


1.3.3. Torsorul unei fore n raport cu un punct: deducere i interpretare mecanic

Fie un rigid (C) acionat n punctul A de fora . Ne propunem s studiem efectul forei n

punctul O. Pentru aceasta se introduc n O forele i - (pe baza operaiei de echivalen nr. 2).

Fora din A i fora - din O formeaz un cuplu caracterizat de momentul su ,

perpendicular pe planul determinat de punctul O i direcia forei (vezi figura T 1.5).

F

F

F

F

F

F

=

FOAFM OF



y

Fr

A

Ox

y

z

~

( )F0M vv( )C

Fr

AO

xy

z

~

x Fr

Fr

AO

z

Fr

( )

Figura T 1.5

Deci, n punctul O va aciona fora (egal cu cea care aciona n A) i momentul . F

FM O

Ansamblul format din cei doi vectori formeaz ceea ce se numete torsorul de reducere al

forei , aplicat n A, n punctul O. El se noteaz simbolic prin sau

. Torsorul de reducere reprezint efectul mecanic exercitat de fora

F

=

OO MFF ,

=

FOAM

F

O

O F (care

acioneaz n A) asupra punctului O.

1.4 Torsorul unui sistem de fore n raport cu un punct

1.4.1. Deducere

Vom considera un solid rigid acionat n punctele niA i ,1, = de forele niF i ,1, =

. Ne propunem s determinm efectul mecanic produs ntr-un punct O de aciunea simultan a celor n fore, adic torsorul O al sistemului (figura T 1.6).

O

O0M

r

1Mr

2Mr

nMr

1Fr

2Fr

nFr

Rr

nFr

2Fr

1Fr

1rr

2rr

nrr

OO

2AnA

~ ~

Figura T 1.6

Pentru aceasta se reduc pe rnd toate forele sistemului (vezi seciunea 1.3.3.) i se obin n

punctul O vectorii concureni niF i ,1, = , respectiv niFOAM iii ,1, ==

. Pe baza operaiei nr. 3 de

echivalen, forele niF i ,1, = , pot fi nlocuite prin rezultanta lor R iar momentele niM i ,1, = , pot fi



nlocuite cu momentul rezultant , obinndu-se astfel torsorul de reducere n punctul O al

sistemului de fore

OM

niF i ,1, = :

(1.5)

=

=

=

=

n

iiO

n

ii

O

MM

FR

1

1

n concluzie, orice sistem de fore ce acioneaz asupra unui rigid poate fi nlocuit cu o singur for i un singur vector moment aplicat ntr-un punct O convenabil ales.

Observaia ii) Dac asupra rigidului acioneaz i p cupluri de fore de momente pjM j ,1,' = , atunci

torsorul de reducere are componentele:

(1.6)

+=

=

=

=

=

p

jj

n

iiO

n

ii

O

MMM

FR

1

'

1

1

1.4.2. Proprieti

P1) Dac se schimb polul de reducere din O n O, atunci se modific a doua component a torsorului dup cum urmeaz:

=+=

+== =

=

=

=

n

iii

n

iii

n

ii

n

iiiO FOAFOOFOAOOFAOM

1111' '''

+= ROOM O ' , astfel nct:

(1.7)

+=

=

=

ROOMM

FR

OO

n

ii

O

''

1'

Fora rezultant este un invariant al operaiei de reducere ntr-un punct al unui sistem de fore (adic nu depinde de punctul de reducere).

P2) Produsul scalar dintre vectorii for rezultant R i moment rezultant este un invariant al

operaiei de reducere ntr-un punct al unui sistem de fore. OM

Demonstraie: nmulind scalar relaia prin += ROOMM OO '' R i observnd c

, obinem c: 0' =

+ RROO

= constant (1.8) = RMRM OO '



Produsul se numete trinom invariant i este un al doilea invariant al operaiei de

reducere. Pentru a justifica aceast denumire se consider vectorii

RM OR i proiectai pe axele

reperului cartezian Oxyz ( , ) i se utilizeaz

relaia (2.8). Se obine:

OM

++= kRjRiRR zyx ++= kMjMiMM zOyOOxO

zOzyOyxOx MRMRMR ++ = constant (1.9) P3) Proiecia momentului rezultant pe direcia forei rezultante este un invariant al operaiei de reducere.

Demonstraie: Fie versorul direciei forei rezultante Ru

R i proiecia momentului rezultant pe direcia rezultantei (figura T 1.7). Atunci:

RM

RRMuMM OROR

== = constant.

Observaia iii) nu este un invariant independent de rezultanta RMR i trinomul invariant , el

rezultnd ca raport al celor doi. Pentru operaia de reducere a unui sistem de fore ntr-un punct avem

doi invariani i anume

RM OR i sau

RM O R i . RM

O

0Mr

RMr

Rur

( )d0M

r

NMr

RMr

Rur

Rr

O


1.5 Torsor minimal. Ax central.

1.5.1. Torsor minimal



Dac facem reducerea unui sistem de fore niF i ,1, = n diferite puncte ale spaiului se constat c torsorul de reducere este diferit datorit modificrii momentului rezultant (figura T 1.8). Acesta se descompune n dou componente:

- pe direcia rezultantei RM

R ;

- pe direcia aflat la intersecia planului normal n O pe NM

R cu planul determinat de

vectorii R i . OM

Putem scrie:

22, NRONRO MMMMMM +=+=

(1.10)

Deoarece RM este un invariant al operaiei de reducere rezult c modificrile momentului

rezultant se datoresc componentei care, n funcie de punctul de reducere, poate ocupa orice poziie i orice valoare n planul normal pe direcia rezultantei. Valoarea minim a momentului

rezultant se va obine atunci cnd = :

NM

NM

0

(1.11) RMM =min

Torsorul de reducere alctuit din rezultanta R i momentul minim se numete torsor minimal

(figura T 1.9):

===

RR

RMuMMM

R

ORRR 2min

min : (1.12)

( )dRr

RMMrr =min

O Figura T 1.9

1.5.2. Axa central

Definiia 1.4 : Locul geometric al punctelor din spaiu n care fcnd reducerea se obine torsorul minimal se numete ax central.

Fie P(x, y, z) un punct oarecare al axei centrale n raport cu un reper cartezian Oxyz. Atunci:



zOyOxO

zOyOxOOP

MMMzyxkji

kMjMiMRPOMM +++=+=

Rezult proieciile: ( ) ( )zxyOyPyzxOxP xRRzMMzRRyMM == , ,

( )xyzOzP RyRxMM = (1.13)

Observnd c ntr-un punct al axei centrale componentele torsorului de reducere sunt vectori

coliniari i folosind condiia de coliniaritate a doi vectori, obinem:

= RMM P //min

==z

yP

y

yP

x

xP

RM

RM

RM

z

xyzO

y

zxyO

x

yzxO

RRyRxM

RRxRzM

RRzRyM +=+=+ (1.14)

reprezentnd ecuaia unei drepte n spaiu dat ca intersecie de dou plane.

Observaii: iv ) Dac , atunci noiunea de ax central i pierde sensul . = 0R

v) Axa central mai poate fi definit i ca locul geometric al punctelor n care rezultanta R i vectorul

moment rezultant sunt coliniari (dac ). OM

0 OMR

1.6 Cazuri de reducere ale unui sistem de fore oarecare

Reducerea unui sistem de fore ce acioneaz asupra unui rigid revine la nlocuirea acestuia cu cel mai simplu sistem de fore care are acelai torsor cu al sistemului dat. Cum momentul rezultant apare ca un cuplu de fore aplicat unui rigid, se poate enuna urmtoarea teorem fundamental a reducerii: Un sistem de fore aplicate unui rigid este echivalent cu o for unic, egal cu rezultanta

sistemului, aplicat ntr-un punct arbitrar O i un cuplu de fore al crui moment este momentul

rezultant al sistemului n raport cu punctul O.

Funcie de valorile modulelor celor doi vectori se disting urmtoarele cazuri:

I) : Un sistem de fore care are torsorul nul se numete echivalent cu zero. Forele acestui sistem i fac echilibrul i, n consecin, un rigid acionat de un astfel de sistem de fore se afl n echilibru.

== 0,0 OMR

II) : Un sistem de fore care are torsorul de reducere alctuit doar din

momentul este echivalent cu orice cuplu care acioneaz ntr-un plan (P) perpendicular pe

= 0,0 OMROM

OM



i al crui moment s coincid cu ca sens i mrime, adic OM

dFM O = , unde d este braul cuplului (figura T 1.10).

( )P

O

0Mr

Fr

Frd

Rr

O

Figura T1.10 Figura T 1.11

III) : Torsorul de reducere const doar din rezultanta = 0,0 OMR R . Sistemul de fore este

echivalent cu o for unic egal cu R i aplicat n O (figura T 1.11).

IV) 0,0 OMR

a) (adic ) : Sistemul de fore este echivalent cu o for unic, egal cu 0= OMR OMR R , i care acioneaz chiar pe axa central a sistemului (figura T 1.12) deoarece n punctele ei momentul

are valoarea minim, care n acest caz este nul

===

0min RMRMM OR .

b) (adic ) : Pentru a obine un sistem echivalent, dar mai simplu, se

descompune vectorul n dou componente i anume componenta pe direcia rezultantei i

componenta din planul (P) normal pe direcia rezultantei (figura T 1.13). Vectorii i

0 OMR OMR /OM

RM

NM

NM

R ,

perpendiculari ntre ei (cazul IV a), pot fi nlocuii cu fora R dirijat pe axa central astfel nct

sistemul de fore este echivalent cu torsorul minimal, adic din fora R aplicat pe axa central i un

cuplu alctuit din forele i - din planul (P), braul cuplului fiind F

F

=R

Md

R

iar sensul forelor ales

astfel nct momentul cuplului s fie egal cu . RM

0Mr

O

Rr

axa central

O~

ORr

~

( )P( )Pd

OFr

Fr

Rr

Rr

0Mr

NMr

RMr

O




1.7 Reducerea sistemelor particulare de fore

1.7.1. Reducerea forelor concurente

Definiia 1.5 : O mulime de n fore, ,,1, niF i = ale cror suporturi trec prin acelai punct O, formeaz un sistem de fore concurente.

Toate forele pot aluneca pe suporturile lor astfel nct punctele de aplicaie s ajung n O. Momentele acestor fore fa de punctul O sunt nule iar forele pot fi nlocuite cu rezultanta lor. n concluzie, un sistem de fore concurente este echivalent cu o for unic, egal cu rezultanta

, al crui suport trece prin punctul O sau este echivalent cu zero dac . =

=n

iiFR

1

= 0R1.7.2. Reducerea forelor coplanare

Definiia 1.6 : O mulime de n fore, ,,1, niF i = ale cror suporturi sunt toate coninute ntr-un acelai plan (P) formeaz un sistem de fore coplanare (figura T 1.14).

Notnd cu Oxyz planul forelor i observnd c :

nijFiFFjyixr yixiiiii ,1,, =+=+=

(1.15)

gsim pentru elementele torsorului n O expresiile analitice:

(1.16) ( )

===

+=

+

==

==

=

==

kMkFyFxFrM

jRiRjFiFFR

zO

n

ixiiyii

n

iiiO

yx

n

iyi

n

ixi

n

ii

O

11

111

Deoarece rezult c sistemul de fore coplanare nu poate fi niciodat echivalent cu torsorul minimal. Cazurile de reducere pentru sistemul de fore coplanare rezult din cazurile de reducere a forelor oarecare i sunt urmtoarele:

0= OMR

I) : Sistemul de fore este echivalent cu zero. == 0,0 OMR

II) : Sistemul de fore este echivalent cu un cuplu de moment . = 0,0 OMR OM

III) : Sistemul de fore este echivalent cu o for unic, egal cu rezultanta = 0,0 OMR R ,

aplicat n O.

IV) : Sistemul de fore este echivalent cu o for unic, egal cu 0,0 OMR R , aplicat

ntr-un punct al axei centrale.



Ecuaiile axei centrale rezult prin particularizarea ecuaiilor din cazul general ( )0==== zMMR yOxOz . Se obine: (1.17)

==

0zMRyRx zOxy

adic dreapta de ecuaie zOxy MRyRx = din planul forelor.

yz

x

nFr

1Fr

2Fr

2A

iFr

nA )(P

iA1A

irr

O

)(

O

1Fr 1A

iFr

iA

nFr

nA

x

z

y

ur


1.7.3. Reducerea forelor paralele

Definiia 1.7 : O mulime de n fore, ,,1, niF i = , ale cror suporturi sunt drepte paralele ntre ele formeaz un sistem de fore paralele.

Fie versorul direciei comune pentru forele paralele u ,,1, niF i = (figura T 1.15). Putem scrie

c niuFF ii .,1, ==

, unde dac sensul forei coincide cu sensul versorului i 0>iF iF

u 0



==

=

=

uFF

rFr n

ii

n

ii

n

iii

11

1 (1.20)

Notnd :

=

=

=

== ni

i

n

iii

Cn

ii F

rFr

F1

1

1

,

(1.21) obinem urmtoarea ecuaie numit ecuaia vectorial a axei centrale :

(1.22) += urr C

Ecuaia (2.22) reprezint ecuaia unei drepte ce trece prin punctul fix C (numit centrul forelor

paralele) i care este paralel cu axa de versor (vezi figura T 2.16). ( ) u

x

y

z

)(C

urcrr

urrr

O

Figura T 1.16

Intr-un sistem cartezian Oxyz coordonatele centrului forelor paralele sunt :

=

== ni

i

n

iii

C

F

xFx

1

1 ,

=

== ni

i

n

iii

C

F

yFy

1

1 ,

=

== ni

i

n

iii

C

F

zFz

1

1 (1.23)

Centrul forelor paralele are urmtoarele proprieti (fr demonstraie):

P1) Se poate schimba direcia tuturor forelor cu acelai unghi i n acelai sens i axa central va trece tot prin punctul C ; P2) Se poate multiplica mrimea tuturor forelor cu acelai scalar i centrul forelor paralele rmne nemodificat; P3) Poziia centrului forelor paralele nu depinde de alegerea sistemului de referin (este o proprietate intrinsec a sistemului de fore).



Teste de autoevaluare

A1. Asupra unei bare cotite ABCD acioneaz fora F , de modul 100 N. S se

determine momentul forei F fa de punctele A i B (figura P 1.1).

Dimensiunile sunt date n cm.

x

BC

D

44

4

8Fr

10

8

A

y

zE

Figura P 1.1

A2. Asupra cubului OABCDEFG de latur a din figura P 1.1. acioneaz un sistem de patru fore, avnd punctele de aplicaie, direciile i sensurile din figur i modulele PFPFPFPF 2,3,2, 4321 ==== i un cuplu de moment

pe direcia OD. Se cere: PaM =a) S se calculeze i s se reprezinte torsorul de reducere n punctul O; b) Cu ce este echivalent sistemul de fore ? c) S se calculeze, dac este cazul, momentul minim; d) S se determine ecuaiile axei centrale; e) S se determine torsorul de reducere n punctul E.

A3. Placa hexagonal OABCDE de latur a din figura P 1.3 este solicitat de

patru fore 4,1, = iF i , situate n planul su i un cuplu de fore de moment M

(perpendicular pe planul plcii).

Dac PFF == 31 , ( RaCFPaMPFPF ==== ,23

,2,3 42 ) , se cere:

a) Torsorul de reducere n O(discuie n funcie de valorile parametrului ); b) Ecuaia axei centrale; c) Reprezentarea grafic a torsorului n O i a axei centrale.

z

Mr

A B

C

D

E F

G

3Fr

4Fr

1Fr

2Fr

x

y

y

xO

A B

C

DE

Mr

1Fr

2Fr

3Fr

4Fr

F



Figura P 1.2 Figura P 1.3

Lucrare de verificare la Unitatea de nvare nr. 1 1. Trei fore de module PFFF === 321

rrr sunt aplicate asupra

vrfurilor D, O i E ale unui paralelipiped dreptunghic (figura V 1.1). S se reduc sistemul de fore n raport cu punctul O dac aOAaADAB 2, === .

A B

CD

EO

MNx

y

z

1Fr

2Fr

3Fr

A B

CO

x

y

z

1Fr

2Fr

3Fr

A BCO

Figura V 1.1 Figura V 1.2 2. Asupra unui paralelipiped dreptunghic de laturi OA = 30 cm, OC = 50 cm i OO = 40 cm acioneaz un sistem de trei fore ca n figura V 1.2. Cunoscnd c daNFdaNF 345,10 21 == i daNF 2203= , s se determine momentul rezultant n raport cu punctul O.

Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare

A1. Rezolvare: Ca un prim pas s determinm expresia analitic a forei F :

+=

+++=== kjikji

DEDE

FuFF DE 8,408,406,81448

448100

222 (N)

Conform definiiei 2.1 avem c:



+===

kjikji

FADFM A 6,818,2442,1638,408,406,81

8410 (N cm )

n plus, +

=

FBAFMFM AB

sau

===

kjikji

FBDFM B 6,3258,6522,1638,408,406,81

840 (N cm )

A2. Rezolvare: a) Elementele torsorului de reducere n punctul O sunt:

+

=

=

=

=

MFMM

FR

iiOO

ii

O 4

1

4

1

Se vor proiecta pe rnd forele 4,1, = iF i , pe axele sistemului Oxyz i se vor determina apoi momentele acestor fore n raport cu punctul O.

Fora : Fiind dirijat pe o paralel la axa Oy se proiecteaz numai pe aceast ax.

1

F

Deci : PFFF yzx === 111 ,0 . Momentul forei n raport cu punctul O este dat de relaia:

1

F

===

kPa

Pa

kjiFOAFM O

000011

deoarece A(a, 0, 0).

Fora 2F :

+=++=== kPiPaa

kaiaP

ADAD

FuFF AD 22222 2 , deoarece

D(0,0,a). n plus,

=

==

jPaPP

akji

FOAFM O0

0022 .

Fora : 3F

+=

+++=== kPjPiP

aaa

kajaiaP

DBDB

FuFF DB 222333 3 i



+=

==

jPaiPa

PPPakji

FODFM O 0033 .

Fora : Fiind paralel cu axa Ox se proiecteaz n adevrat mrime pe

aceast ax, adic . n plus,

4

F

= iPF 24

===

kPajPa

Paakji

FOGFM O 22002

044 .

Momentul . = kPaMM :

Deducem c:

+=+=

jPaiaPM

jPiPR

O

O2

22:

i 5,22 aPMPR O ==

. Elementele torsorului de reducere sunt

reprezentate n figura R 1.2.

O

z

y

x

aP

aP2P2P2

Rr

0Mr

Figura R 1.2

b) Deoarece i , sistemul de fore este echivalent cu un torsor minimal.

0,0 OMR ( ) 02222 2=+=

aPaPPaPPMR O

c)

+==

jiPa

RR

RMR

M O2min

.

d) Ecuaiile generale ale axei centrale (1.14) se rescriu pentru aceast problem sub forma:

+=+=+0

2202

0222

20 PyPxP

xPzaPP

PzyaP

034,0 == azyx .



Observaie: Axa central a fost obinut ca intersecie a planelor de ecuaie

x y= i 4

3az = .

e) Torsorul n punctul E(a,0,a) este format din vectorul for rezultant

i vectorul moment rezultant: += jPiPR 22

=++=+= kaPiaPPP

aakji

jaPiaPREOMM OE 2022

02 .

A3. Rezolvare: a) Fiind un sistem de fore coplanare (situat n planul Oxy), forele vor avea proiecii doar pe axele Ox i Oy iar momentele acestor fore n raport cu punctul O vor fi perpendiculare pe planul Oxy, deci

4,1,0 ==== iMMF yixizi . Modulele momentelor vor fi calculate cu relaia (1.2) iar sensul cu regula burghiului drept.

Fora : 1F PFF x 2

160cos 011 == , PFF y 2

360sin 011 == ,

01 =

FM O ( O aparine suportului forei ). 1

F

Fora : 2F PFF x 2

130cos 022 == , PFF y 2

330sin 022 == ,

02 =

FM O ( O aparine suportului forei ). 2

F

Fora : 3F 0, 333 === yx FPFF ,

( ) PaOEFEDOdFFM O 21

60sin, 0333 ===

(avnd sensul

axei Oz, proiecia este pozitiv).

Fora : 4F PFFF yx 2,0 444 === ,

PaCFFFOdFFM O 360sin, 04444 ==

=

(deoarece are sensul

opus celui pozitiv pe Oz, aceast proiecie este negativ).

Momentul M : PaMM

23== .

Se obine torsorul:

=+=

kPaM

jPiPR

O

O

3

3



b) Ecuaia (2.17) a axei centrale are n cazul nostru forma : ayx 33 = .

c) Reprezentarea n funcie de valorile parametrului real a torsorului de reducere i a axei centrale este dat n figura R 1.3.

Figura R 1.3

axacentrala

axacentrala

O

y

x

Rr

3

O

y

x

Rr

a

axacentrala

O

y

x

Rr

a

0= 0> 0

Documents

Mecanica 1