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INTRODUCCION.
La Mecánica; es una parte de la Física, que comprende el estudio de las fuerzas y sus efectos sobre los
cuerpos.
La teoría de la mecánica, se apoya en los resultados deducidos de la observación de los fenómenos
naturales. Estas observaciones generales se completan con experimentos sistemáticos.
Al ser objeto de la Mecánica, el estudio de las fuerzas y movimientos que obran sobre los cuerpos, esta
materia comprenderá la Estática, que se ocupa de las condiciones de equilibrio de los cuerpos; la
Cinemática, que estudia el movimiento de éstos prescindiendo de las fuerzas que lo producen; y la
Dinámica; que examina el movimiento de los cuerpos en relación con las fuerzas a ellos aplicadas.
Según el estado de agregación de los cuerpos, estos se dividen en sólidos y fluidos que comprenden los
líquidos y los gases.
División clásica de la MECÁNICA.
La mecánica consiste en principios y leyes, que rigen el comportamiento de los cuerpos.
El desarrollo deductivo de los mismos son la base de la ingeniería; y su conocimiento en profundidad,
permitirá la correcta interpretación y resolución de una problemática que es infinita.
Las leyes y principios básicos sobre los que descansa la Mecánica fueron desarrollados a partir de la
evidencia experimental. (Recordar de Física).
Las leyes fundamentales de las fuerzas son:
Primera ley de Newton "sobre la inercia".
Segunda ley de Newton "sobre el movimiento".
Tercera ley de Newton "de la acción y la reacción".
Leyes de la Energía.
.- Principio del trabajo virtual.
.- Principio del trabajo y la energía.
.- Principio de la conservación de la energía.
MECÁNICA APLICADA.
Es la que atañe a los ingenieros y técnicos; la creatividad y el ingenio son
características indispensables, que les permitirán en un medio muy competitivo,
innovar sobre lo ya conocido y producir nuevos diseños y soluciones.
LA MECÁNICA APLICADA A LA MINERÍA: Es la materia, orientada aplicar
los principios y leyes de la mecánica, a los problemas, dispositivos herramientas
y maquinas que se utilizan y se presentan en la minería.
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MAQUINAS SIMPLES
Una máquina es un dispositivo mecánico que utiliza una energía para realizar un trabajo.
Una máquina simple es un artefacto mecánico que transforma un movimiento en otro diferente,
valiéndose de la fuerza recibida para entregar otra fuerza, de magnitud, dirección o longitud de
desplazamiento distintos a la de la acción aplicada.
Una maquina simple es un dispositivo, que transforma en trabajo útil, la fuerza aplicada.
Durante una operación de este tipo ocurren tres procesos:
1. Se suministra trabajo a la máquina.
2. El trabajo se realiza contra la fricción.
3. La máquina realiza trabajo útil o de salida.”
Las máquinas simples son; la palanca, la polea, el torno y el plano inclinado;
El tornillo y la cuña se consideran a veces máquinas simples, pero en realidad
son adaptaciones del plano inclinado.
CUÑA: Pieza de madera o metal terminada en ángulo muy agudo; sirve para
hender cuerpos sólidos, para ajustar uno con otro, etc.
En realidad es un plano inclinado doble. Ejemplos muy claros de cuñas
son hachas, cinceles y clavos aunque, en general, cualquier herramienta
afilada, como el cuchillo o el filo de las tijeras, puede actuar como una cuña.
PLANO INCLINADO: consiste en una superficie plana que forma un ángulo
agudo con el suelo o la horizontal y se utiliza para elevar cuerpos a cierta
altura.
Tiene la ventaja de necesitarse una fuerza menor que la que se emplea si
levantamos dicho cuerpo verticalmente, aunque a costa de aumentar la
distancia recorrida y vencer la fuerza de rozamiento
TORNILLO: Dispositivo por lo general metálico, formado esencialmente por
un plano inclinado enroscado alrededor de un cilindro o cono. Las crestas
formadas por el plano enroscado se denominan filetes, y según el empleo que
se les vaya a dar pueden tener una sección transversal cuadrada, triangular o
redondeada. La distancia entre dos puntos correspondientes situados en filetes
adyacentes se denomina paso.
PALANCA: Una palanca consiste en cualquier barra rígida apoyada en uno de
sus puntos al que se le llama fulcro (punto de apoyo).
RUEDA: es un cilindro de poca altura, dispuesto para girar alrededor de su eje.
Cuando una rueda gira libremente sobre un soporte, funciona como una polea.
EJE: es un cilindro de mucha altura, dispuesto para girar alrededor de su eje.
TORNO: Consiste en un cilindro dispuesto para girar alrededor de su eje por la acción de palancas,
cigüeñas o ruedas.
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POLEA: Es una rueda que gira alrededor del eje. Tiene una garganta por la cual pasa una cuerda. Si está
sujeta en el eje, por medio de un soporte, es fija. Una polea simple, es tan solo una
palanca cuyo brazo de palanca de entrada es igual a brazo de palanca de salida.
En una máquina simple se cumple la ley de la conservación de la energía:
―la energía ni se crea ni se destruye; solamente se transforma‖.
La utilidad de una máquina simple radica; en que permite ejercer una fuerza mayor que la que una
persona podría aplicar sólo con sus músculos (en el caso de la palanca, el torno y el plano inclinado), o
aplicarla de forma más eficaz (en el caso de la polea).
Son dos las fuerzas importantes en cualquier máquina simple: el esfuerzo y
la carga.
El esfuerzo (también llamada potencia) es la fuerza que se aplica a la
máquina y la carga (también llamada resistencia) es la fuerza que la
máquina supera al realizar trabajo útil.
Debe aclararse; que la magnitud por lo general del esfuerzo y el de la carga no son iguales. De hecho la
mayoría de las máquinas simples se utilizan en situaciones donde la carga es mayor que el esfuerzo.
Todas las máquinas simples convierten una fuerza pequeña en una grande, o viceversa. Algunas
convierten también la dirección de la fuerza.
La relación entre la intensidad de la fuerza de entrada y la de salida es la ventaja mecánica.
Debido a que todas las máquinas deben superar algún tipo de rozamiento cuando realizan su trabajo, la
ventaja real de la máquina siempre es menor que la ventaja teórica.
La capacidad de una máquina para mover una carga se describe por medio de su ventaja mecánica (VM):
Si el resultado o división de la ventaja es menor que uno, entonces la maquina no es eficiente, ya que
realiza un mayor esfuerzo para realizar el trabajo
Así por ejemplo, una ventaja mecánica VM = 2, significa que una maquina permite realizar un
determinado trabajo con la mitad del esfuerzo requerido si se fuese hacer sin la máquina.
Para mover una carga de 100 kg, sin una máquina, se necesita 100 kg de esfuerzo; pero si se cuenta con
una maquina con una ventaja mecánica de 2, se requiere de 50 kg de esfuerzo para mover los 100 kg.
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Otro parámetro de gran interés relacionado con las máquinas es la eficiencia (e):
Es posible que la ventaja mecánica de una máquina sea grande y que, sin embargo, su eficiencia sea baja.
Todas las máquinas simples tendrían eficiencias cercanas al 100 % de no ser por el rozamiento por
deslizamiento y rodamiento.
Cuando el rozamiento es muy grande como en el caso de la cuña o el tornillo, la eficiencia puede ser
únicamente del 10% o menor. Sin embargo en las palancas, así como en las ruedas y los ejes, donde el
rozamiento es bajo, es posible que la eficiencia se aproxime al 99%. Se pierde también un poco de
eficiencia a causa de la deformación elástica de la máquina bajo carga. No obstante, en la mayor parte de
los casos, éste es un efecto mínimo.
Un tercer parámetro de interés es la ventaja de velocidad (Vv)
El valor de la Vv coincide con el cociente entre los desplazamientos realizados por la carga y el punto de
aplicación del esfuerzo en un cierto tiempo t.
Debemos decir que una ventaja mecánica (VM), alta (mayor que la unidad) implica normalmente una
Ventaja de velocidad (Vv) baja (menor que la unidad) y viceversa, ya que se puede demostrar que se
cumple que:
Palancas.
Una palanca, consiste simplemente en una barra rígida que gira en torno a un punto a lo largo de la
misma.
El punto de pivote se conoce con el nombre de fulcro o punto de apoyo y no es en éste punto, donde se
aplica el esfuerzo y la carga. Son posibles, 3 configuraciones distintas; que se denominan palancas, de
primer, segundo y tercer grado.
En una palanca de primer grado, el punto de apoyo se encuentra entre la
fuerza aplicada y la resistencia. El efecto de la fuerza aplicada puede verse
amentado o disminiudo.Ejemplos: pata de cabra y tenazas.
En una palanca de segundo grado,la resistencia se encuentra entre el punto
de apoyo y la fuerza aplicada. El efecto de la fuerza aplicada siempre se ve
aumentado (d r). Ejemplo: carretilla.
En una palanca de tercer grado,la fuerza aplicada se encuentra entre el
punto de apoyo y la resistencia. El efecto de la fuerza aplicada siempre se
ve disminuido
(d < r). Ejemplos: tenacillas y antebrazo humano.
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La distancia perpendicular entre el punto de apoyo y la línea de acción del esfuerzo (F) se denomina
brazo de palanca efectivo, en tanto que la distancia entre el punto de apoyo y la línea de acción de la
carga (R) se denomina brazo de carga efectivo.
Se puede demostrar que la ventaja mecánica para los tres tipos de palancas viene dado por la siguiente
expresión:
¿Es posible que la ventaja mecánica, (VM) de una palanca sea menor que 1?
Observando la expresión, vemos que esto pasa siempre que el brazo de palanca efectivo es más corto que
el brazo de carga efectivo, hecho que ocurre, por ejemplo, en todas las palancas de tercer grado.
¿Para qué nos puede servir una palanca de estas características?
Ocurre que en algunas máquinas que cuentan con partes móviles nos interesa más la velocidad (es decir,
la ventaja de velocidad) que la ventaja mecánica.
Así, por ejemplo, el antebrazo humano es una palanca de tercer grado con una VM menor que la unidad.
Es muy difícil sostener un peso durante un largo periodo de tiempo porque la VM es demasiado pequeña.
Sin embargo, el juego del antebrazo permite lanzar una pelota de beisbol a 100 km/h, velocidad muy
superior a la de la contracción de los músculos.
Problemas de aplicación.
1º) Una palanca está provista de un brazo efectivo de 89 cm de un brazo de carga efectivo de 3.3 cm.
¿Cuál es la ventaja mecánica si, la eficiencia es:
a) Casi del 100 %, b) 97%, c) 93 %
Respuestas: a) VM = 27; b) VM = 26; c) VM = 25.
2º) ¿Qué carga puede levantar la palanca que se muestra en el dibujo
suponiendo que la eficiencia es cercana al 100% y que el hombre tiene
una masa de 78 kg?
Respuestas: 1400 kg
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3º) Se requiere una palanca de segundo género con una VM de 7.0. La eficiencia es casi del 100% y la
longitud del brazo de carga debe ser de 15.7 cm.
a) ¿A qué distancia del punto de apoyo debe aplicarse el esfuerzo?;
b) ¿Qué carga se moverá con un esfuerzo de 431.6N?
Respuestas a) 110 cm; b) 3021.2 N
Poleas
Una polea es una rueda, generalmente maciza y acanalada en su borde, que, con el
concurso de una cuerda o cable que se hace pasar por el canal, se usa como elemento de
transmisión en máquinas y mecanismos para cambiar la dirección del movimiento o su
velocidad y formando conjuntos (denominados aparejos o polipastos) para además reducir
la magnitud de la fuerza necesaria para mover un peso.
Una polea simple cambia la dirección de una fuerza sin cambiar su magnitud,
como se observa en la figura, donde la carga y el esfuerzo toman un valor de 100
N. La eficiencia de la polea está determinada principalmente por el rozamiento del
cojinete. Son habituales eficiencias altas, incluso superiores al 95%.
En la figura de la isquerda observamos un sistema de 2 poleas
llamado polipasto.
La polea superior se fija a un soporte estacionario, en tanto que la polea inferior se
mueve con la carga. Es evidente que en estas condiciones las dos secciones paralelas
de cable soportan la carga (de 100 N), soportando cada una de ellas una tensión de 50
N. El esfuerzo es en este caso 50 N y la VM = 2.
La ventaja mecánica de un polipasto viene dada por:
Al término se le denomina eficiencia total. En la figura de la derecha tenemos un
polipasto de 4 cuerdas.
RUEDA Y EJE
Cuando una rueda gira libremente sobre un cojinete, funciona como una
polea, situación radicalmente distinta a la de una rueda conectada
rígidamente a un eje de manera que los dos giren juntos.
La rueda y el eje pueden utilizarse para generar una gran ventaja
mecánica (por ejemplo un destornillador o el volante de dirección de un
automóvil) o, en sentido opuesto, para producir una gran ventaja de
velocidad (por ejemplo, el juego de la rueda dentada y pedales de una
bicicleta).
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La VM de la rueda y el eje viene dada por la siguiente expresión:
Un ejemplo clásico de rueda y eje es el malacate, utilizado para elevar con
comodidad (accionando una manivela) y a lo largo de distancias relativamente
grandes cuerpos muy pesados.
En este caso el esfuerzo se aplica en forma perpendicular a la manivela, y como
ésta se mueve en círculo, representa en efecto una rueda. El tambor (es decir, el cilindro donde se enrolla
el cable) es el eje.
Cuando la máquina es sencilla y realiza su trabajo en un solo paso nos encontramos ante una máquina
simple.
Cuando no es posible resolver un problema técnico en una sola etapa hay que recurrir al empleo de una
máquina compuesta.
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Estas máquinas son, en realidad, una sabia combinación de diversas máquinas simples, de forma que la
salida de cada una de ellas se aplica directamente a la entrada de la siguiente hasta conseguir cubrir todas
las etapas necesarias.
Combinando máquinas simples se construyen máquinas complejas. Con estas máquinas complejas, a su
vez, se construye todo tipo de máquinas utilizadas en la ingeniería, construcción, y todo ámbito de
nuestras vidas y por supuesto en la ingeniería de minas.
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y SISTEMAS
Mecanismos y sistemas mecánicos: Un mecanismo es un conjunto de elementos, conectados entre sí por
medio de articulaciones móviles y cuya misión es:
transformar una velocidad en otra velocidad
transformar una fuerza en otra fuerza
transformar una trayectoria en otra diferente o
transformar un tipo de energía en otro tipo distinto.
Un sistema mecánico o máquina es una combinación de mecanismos que transforma velocidades,
trayectorias, fuerzas o energías mediante una serie de transformaciones intermedias.
Los movimientos que puede describir un elemento de un mecanismo son:
Movimiento rectilíneo: en un único sentido
Movimiento alternativo: o movimiento de vaivén.
Moviendo circular o de rotación
Los mecanismos (y por extensión los sistemas mecánicos) constan de los siguientes elementos básicos:
1. Sistema motriz o sistema de entrada: recibe la energía de entrada, la cual será transformada o
transmitida. En un automóvil sería el motor.
2. Sistema transmisor: medio que permite modificar la energía o el movimiento proporcionado por el
sistema motriz. En un automóvil este sistema estaría compuesto por ejes de transmisión,
embragues, caja de cambios.
3. Sistema receptor o sistema de salida: realiza el trabajo con la salida que le proporciona el sistema
transmisor, y es el objetivo del sistema mecánico. En un automóvil este sistema estaría compuesto
por las ruedas motrices.
Los mecanismos se pueden clasificar en dos grandes grupos diferenciados:
a) Sistemas de transmisión del movimiento: En este caso el sistema motriz y el sistema receptor tienen el
mismo tipo de movimiento.
En base a esto, podemos encontrar dos tipos de sistemas de transmisión:
Mecanismos de transmisión lineal: movimientos rectilíneos en movimientos rectilíneos (poleas,
palancas, etc.)
Mecanismos de transmisión circular: movimientos de rotación en otra rotación (transmisión por
correas, con cadenas, engranajes,...)
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b) Sistemas de transformación del movimiento: En este caso el sistema motriz y el sistema receptor
tienen distinto tipo de movimiento.
En base a esto, podemos encontrar dos tipos de sistemas de transformación:
Mecanismos que transforman el movimiento circular en rectilíneo
Mecanismos que transforman el movimiento circular en alternativo
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MECANISMOS DE TRANSMISIÓN DEL MOVIMIENTO.
A. Mecanismos de transmisión lineal
Estos mecanismos “transforman” movimientos rectilíneos en movimientos rectilíneos.
La aplicación fundamental de estos mecanismos reside en la transformación de fuerzas, de manera que la
fuerza necesaria para realizar una determinada acción sea menor que la sería precisa si no se utilizase el
mecanismo. Destacan la palanca y la polea.
B. Mecanismos de transmisión circular
Estos mecanismos “transforman” movimientos de rotación en otros movimientos de rotación.
La principal utilidad de este tipo de mecanismos radica en poder aumentar o reducir la velocidad de giro
de un efe tanto cuanto se desee. Por ejemplo: el motor de una lavadora gira a alta velocidad, pero la
velocidad del tambor que contiene la ropa, gira a menor velocidad.
Para desempeñar su misión, las máquinas disponen de partes móviles encargadas de transmitir la energía
y el movimiento de las máquinas motrices a otros elementos.
Estas partes móviles son los elementos transmisores, que pueden ser directos e indirectos.
Elementos transmisores directos:
Árboles y ejes
Ruedas de fricción
Engranajes
Tornillo sinfín
Elementos transmisores indirectos:
Poleas con correa
Cadenas
Árboles y ejes
Un eje es un elemento, normalmente cilíndrico, que gira sobre si mismo y sirve para sostener diferentes
piezas.
Atendiendo a la forma de trabajo, los ejes pueden ser:
• Ejes fijos: Permiten el giro de los elementos mecánicos situados sobre ellos, pero no giran
solidariamente con ellos, es decir, los elementos mecánicos giran libremente sobre ellos.
• Ejes giratorios: pueden girar solidariamente con algunos de los elementos situados sobre ellos.
Un árbol es un elemento de una máquina, cilíndrico o no, sobre el que se montan diferentes piezas
mecánicas, por ejemplo, un conjunto de engranajes o poleas, a los que se transmite potencia.
Pueden adoptar diferentes formas (rectos, acodados, flexibles,...). Los árboles (también llamados árboles
de transmisión) giran siempre junto con los árganos soportados.
Como consecuencia de su función, están sometidos fundamentalmente a esfuerzos de torsión y flexión.
La diferencia esencial entre los ejes y los árboles es: los ejes son elementos de sustentacion, (sostienen o
soportan) los órganos giratorios de las máquinas y no transmiten potencia (se dice que no están sometidos
a esfuerzos de torsión), mientras que los árboles son elementos que transmiten potencia y sí están
sometidos a esfuerzos de torsión.
Aparentemente, los ejes tienen un diámetro menor que los árboles, pues éstos están sometidos a esfuerzos
mayores.
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Ruedas de fricción
Son elementos de máquinas que transmiten un movimiento circular entre
dos árboles de transmisión gracias a la fuerza de rozamiento entre dos
ruedas que se encuentran en contacto directo. A este tipo de transmisión
también se le conoce como transmisión por fricción.
Estas ruedas presentan una serie de características:
a) Los materiales que se utilizan tienen un alto coeficiente de rozamiento
para evitar que las ruedas resbalen entre sí.
b) Normalmente estas ruedas de fricción se emplean en árboles de transmisión muy cercanos y cuando la
potencia que hay que transmitir es pequeña.
c) Este tipo de transmisión tiene la ventaja de que es muy fácil de fabricar, y requiere poco
mantenimiento y no produce ruidos.
Clasificación:
• Ruedas de fricción exteriores: Tienen forma cilíndrica. En ellas, el contacto se
produce entre sus superficies exteriores. Estas ruedas giran en sentido inverso una de la
otra.
• Ruedas de fricción interiores: también de forma cilíndrica, el contacto se produce entre
la superficie interior de la rueda mayor y la exterior de la rueda menor. Ambas giran en
el mismo sentido.
• Ruedas de fricción troncocónicas: Tienen forma de tronco de cono y el contacto se
produce entre sus superficies laterales. Se utilizan cuando los árboles de transmisión no
son paralelos, también producen la inversión de giro.
Relación de transmisión: Es la relación de velocidades entre la rueda conducida (o receptor) y la rueda
conductora (o motriz), o lo que es lo mismo, entre la rueda de salida y la rueda de entrada.
Engranajes
Se conoce con el nombre de tren de engranajes al conjunto de dos o más ruedas dentadas que tienen en
contacto sus dientes de forma que, cuando gira una, giran las demás. Es un sistema de transmisión
circular directo.
Son el medio de transmisión de potencia más utilizado. Tienen las siguientes ventajas:
las ruedas no pueden resbalar una con respecto a la otra.
Transmiten grandes esfuerzos
La relación de transmisión se conserva siempre constante.
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Al engranaje que transmite el movimiento se le denomina piñón, y al que lo recibe, rueda.
Usando engranajes se puede transmitir el movimiento de dos modos, según como se dispongan los ejes:
Entre ejes paralelos, que pueden ser:
Engranajes entre dientes rectos.
Engranajes entre dientes helicoidales.
Engranajes entre dientes en v
Entre ejes perpendiculares, que pueden ser
Transmisión entre ejes que se cortan.
Transmisión entre ejes que se cruzan
Transmisión entre ejes paralelos
Se utiliza para la transmisión entre ejes (o árboles) con poca separación, siendo la forma de los piñones o
ruedas dentadas, cilíndrica.
Dientes Rectos: Son los más sencillos de fabricar y se utilizan en máquinas para transmitir pequeños
esfuerzos. Se emplea en maquinaria que utilice ejes cuya velocidad no es muy elevada, ya que es un
sistema ruidoso y causa vibración. Además de producir mucho ruido, tiene el inconveniente de transmitir
el esfuerzo sólo sobre el diente que está engranado.
Para caracterizar una rueda dentada con dientes rectos, es necesario definir una serie de parámetros
básicos que son:
• Diámetro primitivo (dp): es el correspondiente a la denominada circunferencia primitiva. Dicha
circunferencia es la que tendría una rueda de fricción con la misma relación de transmisión. Por eso,
cuando dos ruedas dentadas engranan, sus circunferencias primitivas son tangentes entre sí.
• Diámetro exterior (de): es el correspondiente a la circunferencia que limita exteriormente los dientes.
• Diámetro interior (di): es el que corresponde a la circunferencia que limita interiormente los dientes.
• Módulo (m): es el cociente entre el diámetro primitivo(dp) y el número de dientes z que posee la rueda.
. Esta magnitud se mide en mm, normalmente.
• Paso circular (p): es el arco de la circunferencia primitiva limitado entre dos flancos homólogos de dos
dientes consecutivos. El paso se puede obtener dividiendo la longitud de la circunferencia primitiva Lp
entre el número de dientes z.
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Dientes helicoidales: Tienen la particularidad de que varios dientes están
engranados a la vez. Esto da lugar a que el esfuerzo de flexión se reparta entre ellos
durante la transmisión, lo que hace que las posibilidades de rotura sean menores.
Además, así se disminuye el ruido durante el funcionamiento.
El único inconveniente es que al estar inclinados los dientes se produce una fuerza
axial (en el sentido de los ejes) sobre los cojinetes de apoyo del eje.
Dientes en V: Estos engranajes conservan las ventajas de los anteriores con un
diseño que contrarresta las fuerzas axiales.
Transmisión entre ejes perpendiculares
Transmisión entre ejes que se cortan. Los engranajes suelen ser:
De dientes rectos: engranajes cónicos.
De dientes helicoidales: engranajes cónicos helicoidales.
Ambos tipos tienen las superficies primitivas troncocónicas. Esta transmisión permite transferir esfuerzos
importantes pero, al mismo tiempo, se generan grandes fuerzas axiales.
Transmisión entre ejes que se cruzan
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Existen dos formas básicas.
Tornillo sinfín y rueda cóncava: Tiene la ventaja de que solamente se puede transmitir el movimiento del
tornillo a la rueda cóncava (corona) y nunca al revés, lo que permite que se
pueda utilizar en aplicaciones en las que una vez que el motor se ha parado, no
sea arrastrado por el propio peso.
Permite la transmisión de esfuerzos muy grandes y a la vez tiene una relación de
transmisión muy baja.
El mecanismo consta de una rueda conducida dentada, y un tornillo, que es la
rueda motriz.
Ejemplo de ello pueden ser los tornos para sacar agua o subir materiales, ascensores, etc.
Engranajes helicoidales:
La relación de transmisión es igual al cociente entre el número de dientes de la rueda motriz y el número
de dientes de la rueda conducida.
O dicho de otro modo, la relación de transmisión es igual al cociente entre el diámetro primitivo de la
rueda conducida y el diámetro primitivo de la rueda motriz.
NOTA: Para que dos engranajes puedan engranar entre síes necesario que tengan el mismo módulo.
La relación de transmisión es igual al cociente entre el momento torsor que resulta en la rueda motriz
(M1) y el que se aplica en la rueda conducida (M2).
Si deseamos mayor momento torsor, utilizaremos un sistema reductor.
Si queremos desarrollar mayor velocidad, utilizaremos un sistema multiplicador, pero desarrolla un
momento torsor menor.
Tren compuesto de engranajes: Si disponemos dos o más árboles provistos de diversas ruedas dentadas
de modo que al menos dos de ellas giran solidariamente sobre el mismo árbol, obtenemos un tren
compuesto de engranajes.
Caja de velocidades: Cuando las ruedas dentadas pueden desplazarse a lo largo de los ejes para formar
diferentes engranajes simples, se consigue que varíe la velocidad final en el árbol de salida manteniendo
constante la velocidad del árbol motor. Este dispositivo se conoce con el nombre de caja de velocidades y
se utiliza en vehículos y máquinas de herramientas.
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Tornillo sin fin: Es una pieza cilíndrica que dispone de uno o varios filetes arrollados de forma helicoidal.
La corona es una rueda dentada de dientes helicoidales cuyo ángulo de
inclinación coincide con el de los filetes del tornillo sin fin. Se suele utilizar el
conjunto tornillo sin fin y corona.
Transmite el movimiento de rotación entre dos ejes perpendiculares, de manera
que el tornillo sin fin actúa siempre como elemento motor y la corona, como
elemento conducido.
Se consigue una drástica reducción del movimiento y como consecuencia un
notable aumento del momento resultante.
Junta Cardan: Se usa para transmitir un movimiento de rotación entre dos ejes que pueden estar
alineados o formando un ángulo entre ellos.
Permite transmitir el giro entre dos ejes que no son paralelos y cuya orientación relativa puede cambiar a
lo largo del movimiento.
Si se pretende comunicar el giro entre dos ejes que formen un ángulo relativamente grande (mayor que
20º), se utilizan dos juntas en serie.
Consta de una cruz formada por dos brazos perpendiculares.
En cada uno de los brazos se articula una horquilla fija en los
extremos de cada eje. La cruz puede moverse en las uniones
con las horquillas.
La velocidad de giro de ambos ejes es la misma, por lo que la
relación de transmisión es 1.
Poleas con correa
Este tipo de transmisión está basado en la polea, y se utiliza cuando la distancia
entre los dos ejes de rotación es grande. El mecanismo consiste en dos poleas que
están unidas por una misma correa o por un mismo cable, y su objetivo es
transmitir el movimiento del eje de una de las poleas al de la otra.
Ambas poleas giran solidarias al eje y arrastran a la correa por adherencia entre
ambas. La correa, a su vez, arrastra y hace girar la otra polea (polea conducida o
de salida), transmitiéndose así el movimiento.
Al igual que en el caso de las ruedas de fricción, el número de revoluciones (o
vueltas) de cada eje vendrá dado por el tamaño de las poleas, de modo que, la polea mayor girará a una
velocidad más baja que la polea menor.
Basándonos en esta idea, podemos encontrar dos casos básicos:
La polea de salida (conducida) gira a menor velocidad que la polea de entrada (motriz).
Este es un sistema de poleas reductor de velocidad.
La polea de salida gira a mayor velocidad que la polea de entrada.
Este es un sistema de poleas multiplicador de velocidad.
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La relación de transmisión entre ambas poleas modo similar al sistema de ruedas de fricción.
Tipos de poleas y correas:
MECANISMOS DE TRANSFORMACIÓN DEL MOVIMIENTO
Los mecanismos que hemos considerado hasta ahora no modifican el tipo de movimiento; es decir,
“transforman” movimientos rectilíneos en movimientos rectilíneos, o movimientos de rotación en otros
movimientos de rotación.
Sin embargo, en los mecanismos que vamos a describir en este apartado el movimiento de entrada es
diferente al movimiento de salida.
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Mecanismos que transforman movimientos de rotación en movimientos rectilíneos.
Piñón-cremallera: Este sistema transforma el movimiento circular en
rectilíneo por medio de dos elementos dentados: Un piñón que gira
sobre su propio eje y una barra dentada denominada cremallera. Los
dientes pueden ser rectos o helicoidales.
Tiene diferentes aplicaciones:
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Mecanismos que transforman movimientos de rotación en movimientos alternativos.
biela-manivela
Este mecanismo consta de dos piezas básicas articuladas entre sí y
de las que recibe el nombre: la manivela y la biela
La manivela es una pieza que gira alrededor de un punto y describe
un movimiento circular.
La biela es una pieza rígida acoplada a la manivela en un punto
extremo, denominado cabeza de la biela, sigue el mismo
movimiento circular que la manivela, mientras el otro extremo, denominado pie de biela, describe un
movimiento alternativo o de vaivén.
Habitualmente, la manivela actúa como elemento motriz y la biela, como elemento conducido.
De este modo podemos transformar movimientos circulares en movimientos alternativos.
Cigüeñal y biela: El cigüeñal es un elemento que, junto a la biela, transforma el
movimiento circular en alternativo o viceversa. Consiste en un árbol acodado con
unos muñones y unas muñequillas, donde se colocan las bielas. Sobre cada una
de las muñequillas se inserta la cabeza de una de las bielas por medio de una pieza
llamada sombrerete.
En este caso, la biela actúa como elemento motriz y el cigüeñal como elemento
conducido. El otro extremo de la biela, denominado pie de biela, está unido al
llamado émbolo, que realiza un movimiento alternativo. El émbolo y el pie de la
biela están unidos por una pieza denominada bulón.
Émbolo o Piston
El émbolo o pistón es un elemento móvil de forma cilíndrica que se desplaza en el
interior de un cilindro.
El conjunto émbolo-biela-cigüeñal son básicos en los motores de combustión
interna y en otras máquinas.
Leva y excéntrica
La leva es un disco de forma irregular sobre el que se apoya un elemento
móvil denominado varilla, seguidor o vástago. Ambos elementos deben estar
permanentemente en contacto.
Cuando el disco gira, su movimiento circular se transforma en movimiento
alternativo de la varilla, el que se intercalan períodos de reposo. La diferencia
entre el punto más alto del recorrido del vástago y el más bajo recibe el
nombre de carrera de la leva.
El perfil del disco determina el tipo de movimiento de la leva.
La excéntrica consiste básicamente en una pieza de forma geométrica diversa
en la que el eje de giro no coincide con su eje geométrico. La distancia entre
ambos ejes se denomina excentricidad.
Cuando se sitúa una pieza rectilínea llamada vástago en contacto con la
excéntrica, el movimiento circular de ésta se convierte en movimiento
alternativo del vástago. La excéntrica más sencilla que se puede encontrar
tiene forma de disco circular.
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Trinquete.
Los trinquetes tienen como misión impedir el giro de un eje en un sentido y permitirlo en el otro.
Constan, básicamente, de una rueda dentada y de una uñeta, que se introducen entre los dientes de la
rueda por efecto de un muelle o por su propio peso. La uñeta tiene la colocación idónea para impedir el
giro en un sentido y permitirlo en el otro.
Los trinquetes se pueden clasificar en:
Reversibles. Permiten variar el sentido del bloqueo según interese en cada momento.
No reversibles. Siempre bloquean el sentido de giro en la misma dirección.
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Los trinquetes pueden ser exteriores, interiores y frontales.
OTROS ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Embragues
Es un elemento de máquinas que se encarga de transmitir, a voluntad del operario, el movimiento entre
dos ejes alineados. Uno de ellos recibe el movimiento del motor (eje motriz), y el otro acoplado al eje de
salida (eje conducido o resistente), que transmite el movimiento a los demás órganos.
Cuando el embrague produce la transmisión entre ambos ejes, se dice que está en la posición de
embragado. Por el contrario, si no se transmite el movimiento entre los ejes (cada eje puede girar a
distinta velocidad), se dice que está en la posición desembragado.
Los embragues pueden ser de tres tipos:
1. Embrague de dientes
2. Embrague de fricción
3. Embrague hidráulico
Embrague de dientes
En este tipo de engranajes, los árboles que se van a acoplar llevan en sus extremos dos piezas dentadas
que encajan una en la otra.
Para poder embragar y desembragar, es necesario que
ambos árboles estén parados, ya que, si se intentan
acoplar en movimiento, puede producirse la rotura de
los dientes.
Embragues de fricción
Consta de dos discos cuyas superficies son lisas y tienen un alto poder de fricción cuando se ponen en
contacto. Este rozamiento acopla ambos ejes, igualando sus velocidades.
La fricción puede ser metal con metal o de metal con otra superficie, (un tipo de caucho).
Tienen la particularidad de que el embragado y el desembragado con los árboles de transmisión pueden
realizarse en movimiento, siendo el arranque suave y continúo.
Un caso particular es el embrague de fricción de disco, cuya aplicación más característica es en auto. Se
utiliza para transmitir el movimiento del motor a las ruedas a voluntad del conductor. Para ello se dispone
de un pedal (pedal del embrague) que al accionario mueve un mecanismo que se para los discos (posición
de desembragado). Al soltar el pedal (progresivamente), el movimiento del motor se transmite a las
ruedas (posición de embragado), porque los discos se acoplan.
21
Embrague hidráulico
Utilizan un fluido para transmitir el movimiento entre árboles conductores. Estos embragues constan de
dos turbinas, solidarias cada una a un eje, sumergidas en un fluido dentro de una caja. Al girar el eje
conductor, éste hace mover la turbina, impulsada el fluido hacia la otra turbina y le transmite el
movimiento.
Frenos
Reducen o paran el movimiento de uno o varios
elementos de una máquina cuando es necesario.
La energía mecánica se convierte en calorífica mediante
la fricción entre dos piezas llamadas frenos.
Los frenos más utilizados son los de disco y los de
tambor.
22
Frenos de disco
Se componen básicamente de un disco, colocado en el eje de giro, y dos piezas o pastillas fijas que
aplican sobre ambas caras del disco para reducir su movimiento.
Actualmente son el tipo de frenos más utilizado en los automóviles. Las pastillas están hechas de un
material de fricción llamado ferodo y están fijas al chasis.
Frenos de tambor
Constan de una pieza metálica cilíndrica que gira, denominada tambor, solidaria al árbol (en la rueda del
vehículo), y un conjunto de dos zapatas que actúan sobre el tambor para que roce con él y producir su
frenado. Las zapatas están fijas al chasis.
ELEMENTOS DE FRICCIÓN
Las partes de una máquina que poseen movimiento de rotación necesitan apoyarse en una superficie para
girar. Entre unas y otras se intercalan unos elementos especiales llamados elementos de fricción.
En definitiva, los elementos de fricción son elementos de máquinas que se sitúan entre una parte móvil y
su soporte con el fin de soportar el rozamiento y el desgaste y evitar que éste se produzca en otros
elementos (de mayor coste).
Hay dos tipos:
Cojinetes y rodamientos.
Cojinetes
Es una pieza o conjunto de piezas donde se apoya y gira el eje de una
máquina. Los cojinetes son piezas fácilmente desmontables que se adaptan
entre el eje y el soporte.
Se emplean porque si una pieza se mueve respecto a otra, se produce
rozamiento y, por lo tanto, desgaste de las mismas.
Los cojinetes permanecen fijos al soporte y, durante el giro del eje, rozan
con éste. Son piezas de revolución, de manera que el diámetro interior
donde se aloja el eje es superior al del propio eje, para facilitar su giro.
Los cojinetes se fabrican de diferentes materiales, generalmente más
blandos que el que constituye el árbol o eje. De este modo, el rozamiento
provoca el desgaste del cojinete.
Rodamientos
Los rodamientos son elementos de fricción formados por dos cilindros
concéntricos, uno fijo al soporte y otro fijo al eje o árbol, entre los que se
intercala una corona de bolas o rodillos, que pueden girar entre ambos, lo
cual proporciona una menor pérdida de energía.
23
ELEMENTOS ELÁSTICOS
Son elementos que se encargan de almacenar o
acumular una cierta cantidad de energía mecánica
para devolverla en el momento necesario.
Los más relevantes son:
Muelles o resortes
Ballestas
Muelles o resortes
Son elementos elásticos que se deforman por la acción de una fuerza y que recuperan su forma inicial
cuando cesa la fuerza deformadora.
Son sometidos, de forma temporal, a esfuerzos exteriores que los deforman y, así, acumulan energía
potencial elástica. Cuando cesa la acción que los deforma, se libera la energía y produce un trabajo.
Existen varios tipos, entre los que se encuentran los de compresión, extensión, torsión y planos.
Los materiales usados en su fabricación son aceros y bronce (para pequeñas cargas).
Ballestas o elásticos
Son elementos elásticos formados por láminas de acero de distinta longitud, unidas entre sí por medio de
abrazaderas.
Están sometidos a esfuerzos de flexión, y se usan principalmente como elemento de suspensión en
vehículos pesados. Cuando el vehículo circula por un terreno irregular, las vibraciones producidas son
absorbidas por las ballestas que, al flexionarse, evitan que se transmitan a la carrocería del vehículo.
24
Elección de elementos auxiliares.
Ya has visto que la elección adecuada de elementos auxiliares (como puedan ser cojinetes / rodamientos,
soportes, frenos, embragues, sistema de lubricación, etc.) desempeña un papel trascendental en el
rendimiento y durabilidad de cualquier máquina.
Por ello, es vital la realización de un análisis y estudio profundo para elegir el elemento que mejor se
adapte a las exigencias de trabajo. Algunas pautas podrían ser las mostradas a continuación:
25
FUERZAS Y EQUILIBRIO.
La estática, analiza la acción combinada de las fuerzas exteriores sobre el cuerpo o sistema de cuerpos, y
la de las fuerzas interiores de uno de dichos sistemas, así como su efecto sobre los cuerpos situados en las
proximidades. Por consiguiente, no solo se considera que dichos cuerpos han de ser rígidos, sino que
además han de estar en equilibrio, par lo cual, se debe cumplir que: La suma de las fuerzas del sistema
debe ser cero y que la suma de los momentos del sistema debe ser cero. (Recordar de Física y
Matemáticas).
ROZAMIENTO.
La fuerza de rozamiento, es una fuerza de resistencia al movimiento relativo de dos
cuerpos en contacto.
El rozamiento entre dos superficies en contacto ha sido aprovechado por nuestros
antepasados más remotos, para hacer fuego frotando maderas.
En nuestra época, el rozamiento tiene una gran importancia técnica y económica.
El rozamiento se produce entre cuerpos cualquiera sea su estado, sólido-sólido,
sólido-líquido, sólido-gas, líquido-líquido, líquido-gas, gas-gas.
El rozamiento puede ser beneficioso o perjudicial. Cuando es de utilidad se trata de aumentarlo, como es
el caso de los frenos, correas, etc. Cuando no es de utilidad, se trata de eliminarlo o por lo menos de
disminuirlo, como es el caso de cojinetes, ejes y engranajes, etc. para ello se utilizan diferentes medios,
como ser superficies especiales, lubricación, etc.
Se puede comprobar la existencia del rozamiento experimentalmente:
Se considera un plano inclinado, cuya altura máxima es h, según muestra la figura, y a la par, el mismo
un sólido, que se lo deja caer en caída libre desde la misma altura h que tiene el plano inclinado.
La velocidad final v de un solidó en función de:
Su velocidad inicial.
De su aceleración y
Del espacio recorrido (está dado por: ).
Como, en la caída libre, la aceleración a igual a la de la
gravedad g.
Y el espacio e igual a la altura h.
Además la velocidad inicial es v0 = 0
Por lo que resulta que la velocidad final es:
v2 = 2gh o también:
En el plano inclinado es v0 = 0 y la aceleración a: a =g.senα
Y el espacio por lo que la ecuación resulta:
26
Es decir que, ambas velocidades son iguales, v = vr; pero, en la práctica se comprueba, que vr < v y ello,
es debido a la fuerza de rozamiento que se opone al libre desplazamiento del cuerpo sobre el plano
inclinado, de donde se deduce su existencia.
Según se produzca deslizamiento entre los cuerpos o uno ruede sobre el otro, se distinguen dos tipos de
rozamiento: Rozamiento de deslizamiento y Rozamiento de rodadura.
ROZAMIENTO AL DESLIZAMIENTO.
Rozamiento de contacto sobre superficies horizontales
Según la ley de la acción y la reacción, sobre un cuerpo que descansa sobre una
base horizontal actúan dos fuerzas: el peso G y la fuerza opuesta ejercida por la
base, o fuerza normal N. Ambas fuerzas están en equilibrio.
Al actuar ahora una fuerza complementaria P de dirección horizontal (figura), se
rompería el equilibrio y el cuerpo debería moverse.
Pero la experiencia demuestra que únicamente se mueve después de haber rebasado
la fuerza un valor determinado, que denominaremos P0.
En tanto que P <P0, no aparece movimiento alguno.
Por lo tanto, por existir equilibrio manifiesto, debe actuar otra fuerza originada por
P, contrarrestándose ambas fuerzas.
Dicha fuerza sólo se puede producir en el contacto entre la base y el cuerpo, por no
poseer éste otros puntos comunes con lo que le rodea.
Recibe el nombre de fuerza de rozamiento W.
Imaginamos que el origen de las fuerzas de rozamiento no es otro que el mutuo «engrane» entre las
desigualdades de las superficies del cuerpo y de su base. Para que el movimiento se produzca, el cuerpo
ha de ser liberado de dicho engrane, o se ha de desgastar éste. El proceso va ligado siempre a un
calentamiento mayor o menor de las superficies de fricción.
Como la fuerza de rozamiento W sólo puede aparecer en el plano
de la superficie de contacto del cuerpo con su base de apoyo, del
estado de equilibrio, se deduce la composición de fuerzas,
representada en la figura, suponiendo que P actúe por encima de la
superficie de apoyo del cuerpo, W y N se pueden componer en
una resultante R, cuya línea de acción debe pasar por el punto de
intersección M de las líneas de acción de G y P, según se
desprende de las leyes de equilibrio.
Por eso, el punto de aplicación de N retrocede hasta A, a la
derecha de la línea de acción de G, y tanto más cuanto más elevado esté el punto de aplicación de P.
De esta forma se establece también el equilibrio de momentos: El par de fuerzas P y W, de giro a la
derecha, debe estar en equilibrio con el par de fuerzas G y N, de giro a la izquierda.
De este estudio se obtienen las conclusiones:
a) La fuerza de rozamiento W se encuentra situada siempre en la superficie de apoyo, y forma por
consiguiente un ángulo recto con la fuerza normal N.
Si P = 0, también es W = 0. Al aumentar P, crece W en igual medida basta alcanzar un valor límite
27
W0 = P0 que depende de la naturaleza del material y de su superficie, de su estado de lubrificación y de
su peso. Existe, por consiguiente, una zona de equilibrio dentro de la cual P puede variar de cero a P0.
b) Cuando el peso G aumenta, es decir, cuando la fuerza normal N crece, es mayor la fuerza límite P0 para
la que comienza el movimiento, y, por tanto, W0.
La experiencia demuestra que la relación W0/N es constante si el material constituyente del cuerpo y de la
base es el mismo, la naturaleza de su superficie exterior es igual y el estado de lubrificación es idéntico.
La relación recibe el nombre de coeficiente de rozamiento.
De aquí se deduce para el caso de reposo la máxima fuerza de rozamiento posible
En donde
W0 = fuerza de rozamiento.
= coeficiente de rozamiento estático por deslizamiento.
N = fuerza normal perpendicular a la superficie de apoyo.
c) Del paralelogramo de fuerzas de la figura, se deduce que la relación es igual a la tangente
del ángulo. Entonces el coeficiente de rozamiento será En donde es el ángulo de
rozamiento, que se expresa en grados.
d) La fuerza de rozamiento W está dirigida en sentido contrario a la del movimiento.
Si después de las consideraciones precedentes, si se aumenta la fuerza horizontal P hasta que exceda de
W0, el cuerpo se pone en movimiento.
La experiencia demuestra que, una vez que el cuerpo se encuentra en movimiento, la fuerza de
rozamiento se reduce sin que el cuerpo se pare. Para iniciar el movimiento se requiere, una fuerza mayor
que para mantenerlo.
Dibujemos una gráfica en la que en el eje horizontal representamos la fuerza P aplicada sobre el bloque y
en el eje vertical la fuerza de rozamiento.
Desde el origen hasta el punto A la fuerza P aplicada sobre el bloque no
es suficientemente grande como para moverlo.
Estamos en una situación de equilibrio estático P= W0<µ0N
En el punto A, la fuerza de rozamiento al deslizamiento estático W0
alcanza su máximo valor P =
Si la fuerza P aplicada se incrementa un poco más, el bloque comienza a
moverse. La fuerza de rozamiento disminuye rápidamente a un valor
menor a la fuerza de rozamiento por deslizamiento, denominada fuerza
de rozamiento al deslizamiento dinámico Wk = µkN Si la fuerza P no cambia, (punto B), y permanece igual a Ws máxima, el bloque se movería
aceleradamente, con una aceleración a = (P-Wo)/m
Si incrementamos la fuerza P, punto C, la fuerza neta sobre el bloque P-Wk se incrementa y también se
incrementa la aceleración.
En el punto D, la fuerza P aplicada es igual a Wk por lo que la fuerza neta sobre el bloque será cero. El
bloque se mueve con velocidad constante. Se puede reducir P de forma tal, que el movimiento se haga
uniforme, es decir, que recorra espacios iguales en tiempos iguales.
28
En el punto E, se anula la fuerza aplicada F, la fuerza que actúa sobre el bloque es - Wk, la aceleración es
negativa y la velocidad decrece hasta que el bloque se para.
La fuerza de rozamiento W es constante durante el movimiento, dependiendo únicamente del material,
naturaleza de la superficie exterior, estado de lubrificación Y de la fuerza normal.
De las figuras y lo expuesto, se deduce la ley general del rozamiento al deslizamiento:
Fuerza de rozamiento W=μ .N (Ley de C0ULOMB del rozamiento) Con μ=tg ρ
En donde:
µ= coeficiente de rozamiento.
= ángulo de rozamiento.
N = fuerza normal, o que actúa perpendicularmente a la superficie de contacto.
W = fuerza de rozamiento.
Fuerza de rozamiento estático por deslizamiento. W=μo .N
A este o se llama coeficiente de rozamiento estático por deslizamiento y para un determinado material,
es constante.
Fuerza de rozamiento dinámico por deslizamiento. W=μd .N
A este d a este se le llama coeficiente de rozamiento dinámico por deslizamiento d, donde o > d.
Por experiencias desarrolladas, puede determinarse que el d es un 25 % más pequeño que él o.
La tabla siguiente indica varios valores de y µo y µ:
µo (estático) µ (dinámico)
Seco Engrasado Seco Engrasado
Acero sobre acero 0,15 0,1 0,1 0,05
Acero sobre fundición o bronce 0,2 0,1 0,16 0,05
Madera sobre madera 0,65 0,2 0,3 0,1
Correas de cuero sobre fundición 0,55 - 0,28 0,12
Correas de cuero sobre madera 0,47 - 0,27 -
La tabla indica que el coeficiente de rozamiento al deslizamiento dinámico es menor que el de rozamiento
estático.
Pero hemos visto que la fuerza de rozamiento al deslizamiento dinámico, tiene un valor único y
determinado (a saber, W=μd .N).
Mientras que la fuerza de rozamiento al deslizamiento estático, puede tomar cualquier valor comprendido
dentro de la zona de equilibrio, y como máximo,
La fuerza de rozamiento W es una fracción determinada de la fuerza normal de contacto N perpendicular
a la superficie de deslizamiento, y depende esencialmente de la naturaleza del material, de la superficie
exterior y del engrase (expresada por µo y µ).
Respecto al engrase, hay que diferenciar los siguientes estados:
a) Existe rozamiento seco cuando no se ha realizado engrase alguno. El rozamiento completamente
seco es raro, sobre todo cuando se trata de contactos entre metales, ya que todos los cuerpos están
en la mayoría de los casos recubiertos por una delgada capa de grasa, que puede tener como
consecuencia una reducción del rozamiento.
29
b) Hay rozamiento de líquidos cuando existe una capa tan gruesa de lubrificante entre ambas
superficies de contacto que las asperezas de los dos cuerpos que deslizan uno sobre otro no se
tocan. En este caso las fuerzas se transmiten exclusivamente a través de la capa de grasa y el
rozamiento depende únicamente de las propiedades (sobre todo la viscosidad) del medio
lubrificante.
c) Diremos que el rozamiento es mixto cuando existe una capa de sustancia lubrificante que no es
suficiente para separar por completo las asperezas de las superficies que deslizan entre sí, de
manera que se produce todavía un engrane más o menos fuerte de las mismas.
Angulo y cono de rozamiento
Suponiendo, la fuerza N que el cuerpo a (Fig.) ejerce normalmente sobre la superficie en que se apoya y F
la fuerza que rompe el equilibrio del cuerpo, haciendo que éste comience a moverse, y, que R' es la fuerza
resultante de F y N, ésta forma con la vertical un ángulo 0 que es el ángulo de rozamiento y cumple la
condición:
Siendo 0 = arctg 0
O sea que la tangente del ángulo 0 equivale al coeficiente de roce estático.
Si se considera a E la equilibrante del sistema de fuerzas F y N, se observa que
para producir el movimiento del sólido es necesario que E forme con la
vertical el ángulo 0; si la componente F es mayor que la necesaria para mover
el cuerpo, tanto R' como E se acercan hacia la horizontal.
Es posible por lo tanto, imaginarse un cono llamado de rozamiento, cuyas generatrices forman un ángulo
0 con la vertical.
Si la equilibrante está orientada dentro del cono, es decir, si forma un ángulo menor que 0, no es posible
producir el desplazamiento del sólido, por cuanto la componente F no vence el frotamiento proporcional a
la fuerza normal N.
Explicación del origen del rozamiento por contacto
La mayoría de las superficies, aun las que se consideran pulidas son extremadamente rugosas a escala
microscópica. Los picos de las dos superficies que se ponen en contacto
determinan el área real de contacto que es una pequeña proporción del área
aparente de contacto (el área de la base del bloque). El área real de contacto
aumenta cuando aumenta la presión (la fuerza normal) ya que los picos se
deforman.
Los metales tienden a soldarse en frío, debido a las fuerzas de atracción que
ligan a las moléculas de una superficie con las moléculas de la otra. Estas
soldaduras tienen que romperse para que el deslizamiento se produzca.
Además, existe siempre la incrustación de los picos con los valles. Este es
el origen del rozamiento estático.
Cuando el bloque desliza sobre el plano, las soldaduras en frío se rompen y se rehacen constantemente.
Pero la cantidad de soldaduras que haya en cualquier momento se reduce por debajo del valor estático, de
modo que el coeficiente de rozamiento cinético es menor que el coeficiente de rozamiento estático.
30
Finalmente, la presencia de aceite o de grasa en las superficies en contacto evita las soldaduras al
revestirlas de un material inerte.
Determinación experimental del coeficiente de rozamiento.
Para la determinación del coeficiente de rozamiento estático se puede proceder de las siguientes formas:
a) Hacer deslizar un cuerpo de peso conocido P, medir la fuerza F en el
instante límite que comienza el movimiento y se hace el cociente entre F y P,
obteniéndose según la
El aparato se lo conoce con el nombre de tribómetro (ver figura).
Colocamos un cuerpo de peso P y al hacer crecer F la fr va aumentando en igual
valor siempre que el cuerpo aún no se mueva. Cuando el movimiento es
inminente, se establece la relación:
Se observa, que colocando otros cuerpos de la misma naturaleza, con otros
pesos, que la relación establecida se mantiene constante.
A este o se llama coeficiente de rozamiento estático por deslizamiento y para un determinado material,
es constante.
Una vez que el cuerpo comienza a moverse, para mantener el mismo con movimiento rectilíneo y
uniforme, debo reducir la F.
Es decir, que un instante antes que comience a moverse (cuando el movimiento es inminente), se cumple:
Luego de iniciado el movimiento, para mantenerlo con movimiento rectilíneo y uniforme, tendremos que
colocar una F1< F para lograr una f1r < frmax.
Obtenemos de esta manera otro coeficiente, menor al anterior, llamado coeficiente de rozamiento
dinámico por deslizamiento d, donde o > d.
Por experiencias desarrolladas, puede determinarse que el d es un 25 % más pequeño que él o.
O sea: o = 1,25 d
Aunque aumente la fuerza F también aumenta la velocidad y la fuerza de rozamiento dinámico
permanece constante.
b) Considerando un cuerpo que se desliza por un plano inclinado, el ángulo de
inclinación del plano se puede variar de cero hasta un valor 0 para el cual el sólido
comienza a descender. La condición de equilibrio en el momento de iniciarse el
movimiento es:
T = R
Siendo: T = P sen 0 R = 0 N = 0 P cos 0 Por lo que resulta:
P sen 0 = 0 P cos 0
Haciendo pasajes de términos y simplificando se obtiene:
Indica que la tangente trigonométrica del ángulo 0, que el plano inclinado forma con la horizontal en el
momento de iniciarse el movimiento es igual al coeficiente de rozamiento estático o en reposo.
31
Tablas de valores de los coeficientes
Coeficientes de rozamiento por deslizamiento para diferentes materiales y Coeficientes de rozamiento
estático y cinético
Entonces: Las leyes que rigen el rozamiento de deslizamiento, son las siguientes:
1- La resistencia producida por el roce por deslizamiento es proporcional a la fuerza normal que el
cuerpo ejerce sobre la superficie.
2- El coeficiente rozamiento por deslizamiento depende de la naturaleza de las superficies en
contacto, pero no de su extensión.
3- Una vez comenzado el movimiento, el coeficiente de rozamiento es menor que el correspondiente
al reposo y disminuye continuamente con el aumento de velocidad, denominándoselo en este caso
como coeficiente de rozamiento dinámico, siendo:
Esto es válido para superficies secas y no para superficies lubricadas ya que en este último caso aparece
un rozamiento de viscosidad del fluido.
Observación: La ley general del rozamiento W=μ .N de la que veremos muchas aplicaciones, es de una estructura
matemática tan sencilla que se suele subestimar su verdadero valor.
Aprovechamos dichas fuerzas (por ejemplo, en los frenos, transporte por medio de cintas sinfín o de
discos, en los estemples de fricción, etc.) como ayuda en diversos cometidos de la Técnica, o debemos
reducirlas lo más posible (como en los órganos de sustentación de nuestras máquinas o en todos los
medios móviles empleados. en el transporte) para mantenerlas dentro de unos límites tolerables, bien
desde el punto de vista mecánico o desde el económico.
FRENOS DE MORDAZAS
Un caso especial de aplicación del rozamiento al deslizamiento lo tenemos
en los frenos de mordazas en su forma constructiva más simple.
Empleamos los frenos para sujetar una carga (frenos de retención) o para
regular un movimiento (frenos reguladores).
En la figura se ha representado esquemáticamente un freno de mordaza
simple.
Por medio de una palanca de longitud L que gira alrededor del punto O se
aprieta una zapata contra el tambor del freno (anillo o disco), de diámetro
DB, con una fuerza P.
Superficies en contacto µd
Acero sobre acero 0.18
Acero sobre hielo (patines) 0.02-0.03
Acero sobre hierro 0.19
Hielo sobre hielo 0.028
Patines de madera sobre hielo y nieve 0.035
Goma (neumático) sobre terreno firme 0.4-0.6
Correa de cuero (seca) sobre metal 0.56
Bronce sobre bronce 0.2
Bronce sobre acero 0.18
Roble sobre roble en dirección de fibra 0.48
Superficies en contacto µ0 µd
Cobre sobre acero 0.53 0.36
Acero sobre acero 0.74 0.57
Aluminio sobre acero 0.61 0.47
Caucho sobre concreto 1.0 0.8
Madera sobre madera 0.25-0.5 0.2
Madera encerada sobre nieve 0.14 0.1
Teflón sobre teflón 0.04 0.04
Articulaciones en humanos 0.01 0.003
32
Las figuras siguientes, a y b muestran la palanca y el tambor del freno una vez hechos independientes.
Observamos que en la zapata del freno aparece una fuerza normal N, que origina otra N’ opuesta en el
simple tambor del freno, de igual magnitud y dirigida radialmente hacia el centro de rotación T.
Perpendicularmente a ésta aparece la fuerza de rozamiento W=μN’
que está dirigida en sentido opuesto al de giro del tambor, por lo
que, suponiendo sea en este caso el de las agujas del reloj, estará
dirigida hacia la derecha (fig. a), mientras que, por el contrario, está
dirigida hacia la izquierda en la zapata del freno (fig. b).
El freno de mordaza simple con sus distintas partes hechas
independientes.
a) Tambor. b) palanca del freno.
c) diagrama para la determinación de la fuerza K en el centro de
rotación o.
En el ejemplo, se ha supuesto, que el punto de rotación 0, de la
palanca del freno está situado sobre la línea de acción de W, de
forma que la fuerza de rozamiento no origina ningún momento.
Se deduce, aplicando la condición de equilibrio ΣMT =0 al centro de rotación T del tambor.
- W. DB/2 + G . DT/2 =0 despejamos W W= G . DT/ DB pero W=μN’ entonces μN’= G . DT/ DB
N’= G . 1/μ. DT/ DB
La fuerza P de la palanca debe originar una fuerza N de igual magnitud y sentido opuesto en la mordaza,
para que el peso G quede sujeto.
De la condición de equilibrio ΣMo =0 se deduce, según la figura b:
P.L - N.a=0 P=N. a/l Sustituyendo el valor anteriormente hallado, por ser N = N’, se deduce.
P= G . 1/μ. DT/ DB. a/l .
La fórmula indica que la fuerza P que es necesario aplicar en la palanca del freno es pequeña cuando:
a) el coeficiente de rozamiento μ es grande, de ser posible.
b) las dimensiones DB y L son grandes.
c) las dimensiones DT y a son pequeñas.
La fórmula es válida para el cálculo de la fuerza P en la palanca de un freno de retención que ha de
mantener un peso G en equilibrio estático.
Es norma general construir los frenos de este tipo de tal forma que puedan retener la carga con una mayor
seguridad. Si se exige un coeficiente de seguridad tres veces mayor, por ejemplo, debe multiplicarse por
tres la fuerza P que actúa sobre la palanca del freno. Para calcular un freno de retención cuando se
conoce la fuerza P de la palanca, se despeja el peso G y se obtiene.
Si se da la carga efectiva Q que actúa en la periferia del tambor, el coeficiente de seguridad estática S se
deduce de: S=G/Q
La figura c muestra la determinación gráfica de la fuerza que actúa en el punto de giro 0, en magnitud y
dirección. Perpendicularmente a la palanca actúan N y P, que en parte se contrarrestan.
33
La fuerza residual está en equilibrio con W y con la fuerza K buscada. Cuando se conoce W, no sólo en
dirección, sino también en magnitud, K se obtiene como línea de cierre del polígono de fuerzas, estando
dirigida hacia la derecha y en sentido ascendente, como reacción en el apoyo.
La figura, muestra un freno de mordaza simple en el caso en que el punto de giro de la palanca no se
encuentre sobre la línea de acción de la fuerza de rozamiento W = µ.N.
Vamos a observar lo que ocurre en el freno, según que el giro
del tambor, se realice en una u otra de las dos direcciones
indicadas en la figura a.
La figura b muestra la palanca del freno, supuesta ya
independiente, cuando el sentido de giro es 1.
Según la condición de equilibrio resulta:
P.l-Na- µ.N.b=0
La figura c muestra la palanca independizada cuando el sentido
de giro es II. Ahora obtenemos para resulta:
P.l-Na+ µ.N.b=0
De ambas ecuaciones, se observa; que obtenemos fuerzas de
frenado diferentes, según el sentido en que se realice el giro del
tambor.
En nuestro caso, es mayor la fuerza P en la palanca cuando el
tambor gira en el sentido 1, y menor cuando lo hace en el II,
siendo originada en ambos casos por la fuerza de rozamiento
µ.N, que en cada uno de ellos está dirigida en un sentido.
El freno de mordaza simple únicamente actuará con uniformidad
en ambos sentidos de rotación cuando el punto de giro de la
palanca del freno se encuentre situado sobre la línea de acción
de la fuerza de frenado W = µN es decir, cuando el brazo de
palanca sea b = 0, como indica la ecuación.
Obtendremos un freno de acción automática, que retenga una
carga sin que actúe una fuerza P sobre la palanca, si hacemos en la ecuación: que la fuerza
P sea igual a 0, suponiendo que el sentido de rotación sea el II: N. a - µ.b=0 o sea;
Así, para a= 200 mm y µ= 0,4 b debería ser: La figura d, muestra un freno de
este tipo.
34
Los frenos de mordaza simple concentran toda la fuerza de frenado N sobre el eje del tambor y sus
cojinetes. Si la palanca del freno actúa contra el tambor por debajo de éste, como se ve en las figuras, el
peso del tambor reduce la carga que se produce sobre el eje y sus apoyos al frenar.
Los frenos de doble mordaza no tienen este inconveniente.
Los frenos de doble mordaza trabajan, como indica la figura siguiente, mediante dos mordazas colocadas
una frente a otra, de forma que los esfuerzos de frenado N1 y N2 estén dirigidos en sentidos opuestos.
Los apoyos de las palancas que soportan las mordazas se disponen de forma que aquéllas queden en
posición oblicua. Con esta disposición se Consigue una separación automática de las mordazas y el
tambor tan pronto cesa la fuerza de frenado. De esta forma los frenos se airean con facilidad.
Como las líneas de acción de las fuerzas de rozamiento W1 y
W2 no pasan por los puntos de giro 01 y 02 de las palancas,
éstas producen un momento debido al brazo c indicado en la
figura.
Con el sentido de rotación dado, opuesto al de las agujas del
reloj, aparece en la palanca izquierda un momento W.c de
sentido contrario al de la palanca del freno, P.a, que reduce la
fuerza N1 en una cantidad:
En la palanca derecha se produce un momento W.c dirigido
hacia dentro, que refuerza el momento, P.a, de la misma, por lo
que la fuerza N2 aumenta en una cantidad:
Esto da lugar a un apriete desigual de ambas mordazas:
Izquierda Ni= N1- N
Derecha Nd= N2+ N
El eje del tambor y sus cojinetes no han de soportar todo el esfuerzo de frenado, como ocurría en los
frenos de mordaza simple. No obstante, la posición diagonal de las palancas da lugar a una carga.
Además se produce un desgaste irregular de las mordazas, lo cual no tiene ninguna importancia en los
frenos de las máquinas de extracción por variar en cada viaje el sentido de rotación y, por consiguiente, la
dirección de la fuerza N.
En el análisis de los frenos de doble mordaza que sigue a continuación deben despreciarse las diferencias
existentes entre las fuerzas N1 y N2 debidas a la influencia de N, así como los momentos de W, debidos a
la posición oblicua de las palancas, tampoco demasiado grandes.
Si las fuerzas P1 y P2 actúan horizontalmente sobre las palancas del freno, resultará, si se consideran los
brazos de palanca respectivos medidos perpendicularmente a la dirección de las fuerzas y a la línea que
une los puntos de giro 01 y 02:
35
Si N= N1 + N2 y P=P1=P2 se obtiene:
De MT=0 se obtiene:
Si comparamos esta ecuación, con la obtenida en la de freno de mordaza simple:
Se deduce que el freno de doble mordaza puede retener doble carga G que el de mordaza simple para la
misma fuerza P aplicada a la palanca.
La ecuación supone, que puede despreciarse la influencia de N, de forma que se tiene N1= N2.
En la norma DIN 22 403, se indican las condiciones que han de cumplir los frenos de las máquinas de
extracción en pozos principales, y su cálculo para máquinas de extracción con polea motriz. Los frenos
descritos en ella, y los supuestos en que se apoya el método de cálculo recomendado.
En la figura presentada, se reprodujo el esquema básico del freno de doble mordaza indicado en la norma
con los brazos de palanca correspondientes.
ROZAMIENTO SOBRE UN PLANO INCLINADO
a) FUERZA ACTUANTE PARALELA AL PLANO INCLINADO
Hasta aquí, sólo hemos considerado el rozamiento sobre superficies horizontales, por ser éste el caso
simple. Claro es, que se trata de un caso especial; ya que la mayoría de los movimientos se realizan sobre
trayectorias más o menos inclinadas.
Según la figura, llamaremos α al ángulo de inclinación.
La descomposición del peso del cuerpo, que actúa perpendicularmente
hacia abajo, da las siguientes componentes:
a) En el sentido de la pendiente; La fuerza será: G.sen α y que actúa
siempre en dirección descendente a lo largo del plano inclinado. Que
ha de ser vencida por la fuerza P para que el movimiento esté dirigido
hacia arriba.
b) En dirección perpendicular al plano: G.cos α
Que ha de ser neutralizada por la fuerza normal N opuesta por el plano:
N = G.cos α
36
La fuerza normal N, origina una fuerza de rozamiento perpendicular a ella misma, que actúa tanto si el
cuerpo está en reposo como si se encuentra en el caso límite de iniciarse un movimiento, es decir, de
vencer el rozamiento de contacto W0 = μ0N, e igualmente en el caso de un movimiento uniforme W=μN.
De aquí se deduce la fuerza de rozamiento para el plano inclinado W= μ G . cos α
La fuerza de rozamiento actúa siempre en contra de la dirección del movimiento.
Cuando el movimiento es ascendente, la componente paralela al plano y la fuerza de rozamiento deben
sumarse para dar la fuerza actuante P, también paralela al plano:
Fuerza actuante hacia arriba: P = μ G cos α + G sen α
Cuando el movimiento es descendente, la componente G.sen α actúa apoyando a la fuerza actuante P, es
decir, ésta puede reducirse en la cuantía de dicha componente:
Fuerza actuante hacia abajo: P = μ G cos α - G sen α
En la forma general se escribe P = μ G cos α ± G sen α donde el signo positivo es válido en el caso de
movimiento ascendente, y el negativo cuando aquél es descendente
CASOS A CONSIDERAR
El ángulo de inclinación α es muy pequeño:
Si suponemos que el ángulo de inclinación α es pequeño, de forma que se pueda hacer, cos α 1, y si
se hace también cos 1, se puede transformar la ecuación P = μ G cos α ± G sen α en otra más
simple en su expresión matemática.
Tendremos: P = G(μ. cos α + sen α)
Por consiguiente, la ecuación P = G(μ. cos α + sen α) se transforma en Fuerza actuante:
Esta ecuación es válida para α < 5º y de utilidad en algunos cálculos que realizaremos.
El ángulo de inclinación α =
Este es un caso especial; cuando el ángulo de inclinación α = 0 o bien α = . En este caso no es
necesaria ninguna fuerza actuante para mantener el cuerpo en equilibrio, es decir, en reposo o en un
movimiento uniforme.
P = μ G cos α ± G sen α Con la notación de la figura (α = ) y
considerando la dirección de movimiento tendremos en este caso:
0 = μ G cos - G sen
μ G cos = G sen
Sobre esto se basa, un método sencillo para poder determinar
experimentalmente el ángulo de rozamiento, y por consiguiente, el
coeficiente de rozamiento de un cuerpo cualquiera apoyado sobre
una base determinada. Se inclina la base de tal forma, como puede
verse en la figura, que el cuerpo, que se encuentra todavía en reposo
o que ha sido puesto en movimiento anteriormente, resbale uniformemente hacia abajo. El ángulo de
inclinación hallado es, el ángulo de rozamiento 0 o buscado, cuya tangente es el coeficiente de
rozamiento µ0 o µ.
37
El ángulo de inclinación α <
Otro caso especial, cuando α< , es decir, cuando el ángulo de inclinación es menor que el de rozamiento.
Sin una fuerza actuante, la componente según el plano del peso del cuerpo no puede ponerlo en
movimiento ni conservarlo. El cuerpo permanece en reposo o se para. Existe una acción de auto frenado.
Según la proporción en que el ángulo de inclinación supere al de rozamiento, es necesaria una fuerza
actuante dirigida hacia abajo, de mayor o menor magnitud, que refuerce la acción de la componente del
peso según la dirección del plano, y que ponga al cuerpo en movimiento, o lo mantenga en él.
El ángulo de inclinación α
Existe otro caso especial, cuando siendo el ángulo de inclinación α grande (α» ), un cuerpo debe resbalar
con movimiento uniforme descendente.
Es necesario entonces que actúe sobre él una fuerza P’ dirigida hacia arriba
que lo frene, para impedir que se produzca un movimiento descendente
acelerado.
Dicha fuerza P’ debe contrarrestar en primer lugar la componente G.senα
del peso del cuerpo.
Pero como la fuerza de rozamiento µG.cos α está dirigida contra la
dirección del movimiento, como puede observarse en la figura, es decir,
actúa en el mismo sentido que P’, entonces la fuerza P ’necesaria es menor.
Por consiguiente, la fuerza P’ será, cuando el movimiento es descendente:
FUERZA ACTUANTE EN DIRECCIÓN HORIZONTAL
Según se ve en la figura a, un cuerpo se mueve en sentido ascendente sobre
un plano inclinado de ángulo α bajo la acción de una fuerza H, dirigida
horizontalmente.
Hacemos el diagrama de cuerpo libre, y encontramos que, como puede verse
en la figura b, la composición de H y G da una resultante R. cuya fuerza
opuesta R’ ha de ser la resultante de N y W = µ.N.
La resultante R’ forma con la fuerza N normal al plano inclinado el ángulo
de rozamiento , (como se vio en anteriormente en ..). Por consiguiente, la
resultante R forma un ángulo α + con la dirección de G, según la figura b.
Del polígono de fuerzas de dicha figura se deduce directamente la:
Fuerza horizontal actuante: (ascendente)
38
Cuando el cuerpo haya de ser retenido por una fuerza horizontal H’, de
forma que se deslice en sentido descendente con movimiento uniforme, se
obtendrá en la descomposición de fuerzas realizada en la figura, la
Fuerza horizontal actuante: (ascendente)
Por último, cuando el cuerpo haya de deslizarse en sentido descendente y
con movimiento uniforme sobre un plano inclinado cuyo ángulo sea muy
pequeño, se deduce la fuerza actuante H de dirección horizontal de la
figura:
Fuerza horizontal actuante: (descendente para α < )
De esta ecuación se deduce que, un cuerpo permanece en reposo, sin
que sea necesaria la intervención de una fuerza H, cuando en dicha
ecuación se hace H = O. Entonces:
Tendremos, pues, una acción de auto frenado cuando α ≤
ROZAMIENTO EN CANALES EN V
Cuando un cuerpo de peso G, se mueve en un canal de sección en ángulo (canal en v), como se ve en la
figura, aparecen en las superficies inclinadas del
canal dos componentes normales N1 y N2, que
han de estar en equilibrio con el peso del cuerpo.
La figura b muestra el polígono de fuerzas, según
las condiciones gráficas de equilibrio.
Si los ángulos formados por las superficies de deslizamiento y la línea de acción vertical del peso G son
iguales, también lo serán las dos componentes N1= N2 = N, es decir, el triángulo de fuerzas de la figura b
es isósceles.
De ahí se sigue:
En la sección de la figura a, se ha dibujado el movimiento en sentido
Contrario al de acción de la resistencia opuesta por el rozamiento, la cual
aparece en cada una de las superficies de deslizamiento en dirección
perpendicular a la de las fuerzas normales N1 y N2:
Para abreviar, sustituimos y de esta forma obtenemos el; Rozamiento en canales en V
; µ’ recibe el nombre de Coeficiente de rozamiento en canales en V:
39
En donde: µ = coeficiente real de rozamiento del cuerpo; y
δ = semiángulo del canal en V.
Como δ es en todos los casos menor que 90º, su seno será siempre menor que 1, de forma que el
coeficiente de rozamiento µ’ es siempre mayor que µ.
Por consiguiente: El rozamiento en un canal en V es mayor que en el plano.
ROZAMIENTO EN CUÑA
Un cuerpo en forma de cuña presenta un plano inclinado. Hay cuñas sencillas que sólo presentan un lado
inclinado respecto a la dirección del movimiento, pero en las que también aparecen rozamientos en la
superficie paralela a dicha dirección.
La cuña doble presenta dos superficies inclinadas respecto a la dirección del movimiento, cuyos ángulos
pueden ser de distinta o igual magnitud.
El ángulo que forman las caras de la cuña con la dirección del movimiento lo designaremos con la letra
α. Este ángulo de inclinación a puede ser mayor, igual o menor que el de rozamiento ; de esto depende,
según las observaciones precedentes, el que la cuña haya de ser mantenida en su sitio o se sujete por sí
sola, es decir, que sea necesaria una fuerza sup1ementara para extraerla.
Como la tuerza que produce el movimiento de la cuña actúa sobre ésta horizontalmente, se pueden aplicar
las consideraciones y ecuaciones referentes al plano inclinado cuando la fuerza actuante es horizontal.
Mientras que allí movíamos un peso situado sobre el plano, en el caso de la cuña es el plano inclinado el
que se mueve bajo el cuerpo, de peso Q, que de esta forma se levanta poco a poco.
Fuerza necesaria para la introducción de una cuña.
La figura muestra el análisis de las condiciones de equilibrio
resultantes al introducir una cuña bajo el peso Q, siendo dicha cuña
doble, con inclinaciones distintas respecto a la dirección horizontal de
su movimiento, α1 y α2 también se ha considerado que los ángulos de
rozamiento 1 y 2 son diferentes.
Las superficies verticales de apoyo del cuerpo de peso Q que se trata
de levantar deben considerarse como exentas de rozamiento.
Apliquemos a ambas caras de la cuña el análisis de equilibrio;
(realizado en el análisis de fuerza actuante en dirección horizontal).
En la cara superior de la cuña, que forma un ángulo α1 , la carga Q origina la fuerza normal N1. Según lo
visto en el análisis de fuerza actuante en dirección horizontal, la resultante R del peso Q y de la fuerza
actuante horizontal H, forma un ángulo con la normal N1, que es el de rozamiento 1.
Por consiguiente, según la figura, de la ecuación se obtiene:
40
En la cara inferior de la cuña se obtienen, de análoga forma, la fuerza normal N2, que forma un ángulo
α2, con el peso Q, y la resultante R2, que forma el ángulo de rozamiento 2 con la normal. Por lo tanto;
De se sigue: H1 + H2 - P=0 ; P = H1 + H2
Fuerza de introducción:
Primer caso particular: α1 = α2 y 1 = 2 Fuerza de introducción:
Segundo caso particular: cuña sencilla, es decir; α2=0
Fuerza de introducción:
Fuerza necesaria para extraer una cuña que se sujete por si sola
Según las anteriores consideraciones, la cuña se sujeta por sí sola cuando α1 < 1 y α2 < 2 Para
extraer una cuña como la de la figura anterior, es necesaria una fuerza P de sentido opuesto al de la
dibujada. El rozamiento actúa asimismo en sentido inverso. Por tanto, de la ecuación
se obtiene la fuera horizontal actuante como:
Fuerza de extracción:
Primer caso particular: α1 = α2 y 1 = 2
Fuerza de introducción:
Segundo caso particular: cuña sencilla, es decir; α2=0
Fuerza de introducción:
Fuerza de retención en una cuña de ángulos muy abiertos.
Si son los ángulos de una cuña α1 1 y α2 2 ésta saldría despedida hacia afuera bajo el efecto del
peso Q si no hubiese fuerza actuante. Es, pues, necesaria una fuerza horizontal de retención P’ de igual
dirección que la fuerza P dibujada en la figura. La cuña, se mueve en sentido opuesto a aquél en que fue
introducida, actuando el rozamiento en sentido inverso al indicado en la figura . Esta fuerza de retención
se obtiene de la ecuación :
Fuerza de retención en una cuña que no se sujeta por si sola:
Primer caso particular: α1 = α2 y 1 = 2
Fuerza de retención:
Segundo caso particular: cuña sencilla, es decir; α2=0
Fuerza de retención:
41
DESPLAZAMIENTO DE DOS CUÑAS APOYADAS UNA SOBRE OTRA
En la figura; se admitía que el cuerpo de peso Q bajo el cual se desliza la cuña
origina fuerzas de rozamiento en la superficie de contacto única mente.
En cambio, en la figura siguiente, suponemos que este cuerpo se apoya sobre
la superficie opuesta, deslizándose sobre ella.
De esta forma se produce el desplazamiento de dos cuñas sencillas que
descansan una sobre otra, y que a su vez se apoyan sobre dos planos fijos, de
direcciones perpendiculares entre sí.
Al desplazarse la cuña inferior bajo la acción de la fuerza P, la carga Q que
reposa sobre la cuña superior debe alzarse uniformemente.
La figura, muestra el análisis del equilibrio al desplazarse las cuñas.
El peso Q origina las fuerzas normales N2 y N3, sobre los planos de contacto
de la cuña superior, mientras que en los de la cuña inferior actúan las fuerzas
normales N2 y N1.
Las resistencias totales R1, R2 y R3 forman con las fuerzas normales un ángulo
igual al de rozamiento , (como se vio en el análisis realizado cuando se trató del plano inclinado), y
están en equilibrio con las fuerzas exteriores P y Q.
En la cuña inferior, las líneas de acción de P, R1 y R2 se cortan en un punto, habiéndose dibujado el
triángulo de fuerzas correspondiente (sin escala). Lo mismo se ha hecho para la cuña superior, en la que
las líneas de acción de R’2, R3 y Q concurren también en un punto.
La línea quebrada ABC formada por las resistencias totales R1, R2, y R3, se
llama línea de presión de las cuñas.
Por consiguiente, únicamente existe equilibrio siempre que se pueda dibujar
dicha línea de presión de forma que sea interior a todas las superficies de
contacto. Los triángulos de fuerzas de la figura, dibujados uno a
continuación de otro, dan el cuadrilátero formado por P, R1, R3 y Q, cuyos
ángulos b y d son rectángulos cuando el ángulo de rozamiento es el
mismo para las tres fuerzas resistentes.
Por consiguiente se le puede circunscribir un círculo de diámetro ac. El ángulo comprendido entre Q y
R2, vale α + , y según eso = ± 2 . Como los ángulos inscritos en el mismo arco ab son iguales entre
sí, debe ser también acb = = ± 2 . Del polígono de fuerzas se deduce:
Fuerza actuante La cuña se sujeta por sí sola cuando a ≤ 2
42
ROZAMIENTO EN EL TORNILO
Tornillo de rosca plana:
Un tornillo es un plano inclinado arrollado alrededor de un núcleo (figura a).
Del diámetro exterior d y del núcleo d1 se deduce el diámetro medio del tornillo
Un punto situado sobre la línea del tornillo correspondiente al diámetro medio
dm se traslada una longitud h, o paso, al dar el tornillo una revolución completa.
El triángulo rectángulo formado al desarrollar el perímetro de la hélice de diámetro dm, y de paso h nos da
de nuevo una línea oblicua de inclinación (fig. b).
En él podemos encontrar el ángulo medio de inclinación del tornillo.
Si sobre el tornillo se mueve una tuerca que soporta una carga G, se puede calcular el momento de
torsión M, producido al moverse la tuerca en sentido ascendente, de la siguiente manera:
Los flancos del filete del tornillo sobre los cuales se apoya la tuerca equidistan de su eje. Para el cálculo
puede considerarse que la carga G, representada en la figura a, sobre un pequeño segmento de la tuerca,
tanto en planta como en alzado, actúa sobre un punto situado a una distancia dm /2 del eje de giro del
tornillo.
Como la fuerza que mueve la tuerca actúa horizontalmente, de la ecuación (Fuerza horizontal actuante:
(ascendente) se obtiene la fuerza tangencial H necesaria para que la tuerca se desplace
en sentido ascendente, si el coeficiente de rozamiento es µ= tg y el ángulo de inclinación del filete del
tornillo es ,
El momento de torsión necesario para el movimiento del tornillo es:
De aquí se deduce el Momento de torsión para la elevación de una carga G.
Si para mover la tuerca se aplica una fuerza K sobre una llave a una distancia l del centro del tornillo, el
momento será:
Por consiguiente, la fuerza que hay que aplicar a la llave para elevar una carga G se calcula por:
Si el tornillo se moviese sin rozamiento, es decir, µ = 0, o también, si = 0, el momento sería:
La relación de los momentos necesarios para mover un tornillo sin y con rozamiento se llama:
Rendimiento del tornillo
Hemos visto anteriormente que existe retención cuando ≤ .
Esto indica, en el caso del tornillo, que éste no gira por sí solo en sentido contrario bajo el efecto de la
carga.
43
Esta propiedad es de gran valor, por ejemplo, cuando se trata de gatos como los empleados para elevar
cargas, ya que en dicho caso no se necesitan frenos o dispositivos de bloqueo.
Cuando existe retención es necesaria una fuerza H negativa, es decir, que produzca un giro en sentido
opuesto, para hacer descender una carga G.
Como es, por lo general, un ángulo muy pequeño, se puede sustituir tg o también tg 2 por o
2 , expresados en radianes. Así se obtiene, para el caso límite de retención, α =
Por tanto, cuando hay retención, el rendimiento del tornillo es siempre muy malo:
En caso de retención ≤ 0,5
De la ecuación (Fuerza horizontal actuante: (descendente para α < )) se deduce la
fuerza horizontal necesaria para hacer descender una carga en el caso de que haya retención. También se
obtiene cuando se trata de un tornillo con retención, es decir, cuando α < a o < 0,5
Entonces el Momento para hacer descender una carga G para α < es:
Los tipos usuales de tornillos, tienen un ángulo de inclinación α pequeño, menor que el de rozamiento ,
siendo su paso escaso.
Para obtener un paso mayor es necesario, especialmente en tornillos de rosca plana, tallar alrededor del
núcleo, no sólo un filete, sino varios paralelos entre sí. En general se emplean solamente tornillos de uno,
dos y tres filetes o entradas. Los tornillos de filetes múltiples tienen siempre una rosca más inclinada, es
decir, el paso h es mayor. Por consiguiente, el ángulo de inclinación a es mayor, y finalmente, por ser
también α > , el rendimiento es mejor, y mayor que 0,5.
Los tornillos de filetes múltiples tienen un rendimiento mejor, pero ninguna retención. En este caso,
según la ecuación (Fuerza horizontal actuante: (ascendente)), necesitamos una
fuerza H’ que frene el movimiento, resultando el
Momento para frenar el descenso de una carga G para α > ,
Empleamos tornillos de filete único cuando se desea obtener retención, por ejemplo, como tornillos de
fijación. Por el contrario, utilizamos como tornillos de movimiento (por ejemplo husillos de transmisión),
cuando no se desea que exista retención, tornillos de filetes múltiples con un paso mayor, ya que su
rendimiento es mejor.
44
ROZAMIENTO EN GORRONES
a) Rozamiento en gorrones laterales.
Los ejes descansan sobre cojinetes directamente, o más comúnmente por medio de gorrones, los cuales
pueden ser frontales o intermedios. Un gorrón es la parte cilíndrica de un eje cargado que transmite a
sus cojinetes de asiento las fuerzas en los apoyos.
Entre el gorrón y el cojinete sin lubricación se produce un rozamiento, debido al
contacto de ambas superficies laterales circulares. Estos cojinetes reciben el
nombre de cojinetes de deslizamiento o de fricción.
Si sobre la mitad inferior del cojinete actúa un esfuerzo de compresión P,
aparecen en la superficie de contacto fuerzas normales dirigidas radialmente.
Pero, para que el gorrón pueda girar libremente sobre su cojinete, es necesario un
pequeño juego entre aquél y la superficie sobre la que se asienta para dar cabida a
la materia lubrificante. Por consiguiente, el gorrón es soportado
fundamentalmente por la parte inferior de la superficie de asiento.
La figura, muestra la repartición de las presiones sobre la
superficie del cojinete. Cuando el eje está inmóvil, la
presión sobre el cojinete es máxima en el punto medio del
gorrón, disminuyendo gradualmente hacia los costados
hasta anularse en los puntos donde el aceite puede fluir.
Trabajo de rozamiento en gorrones laterales.
Entre el gorrón y el cojinete sin lubricación se produce un rozamiento, debido al
contacto de ambas superficies laterales circulares.
La distribución de la presión entre ambas superficies dependerá de las propiedades
de ambos metales y la diferencia entre los diámetros del gorrón y del cojinete.
Cuando los cojinetes son nuevos, la presión se distribuye en forma uniforme debido
a la adaptación perfecta existente entre ambas piezas. Si el gorrón es usado
(gastado) el radio r se transforma (r=y) por desgaste desparejo.
Analizando la figura, y teniendo en cuenta que la carga se transmite en forma radial al gorrón, con una
distribución radial de presiones, la cual tiene una componente
horizontal que se anula con la simétrica, pero no así la
componente vertical, que produce una presión media específica,
siendo esta presión media específica la relación entre la carga P y
la sección diametral del gorrón:
Siendo d y r el diámetro y radio respectivamente del gorrón que apoya en una
longitud l sobre el cojinete.
La carga P ejercida sobre el gorrón produce una fuerza de resistencia por
rozamiento R entre las superficies del eje y cojinete en contacto cuando el eje
gira con una velocidad angular dentro del cojinete, siendo M el momento
debido a esta fuerza.
45
Analizando en la figura, para un gorrón desgastado de radio y, que está sometido a una carga vertical P
que es transmitida al cojinete de longitud l, la presión específica p que se produce, el coeficiente de
rozamiento y considerando que la superficie diferencial dS es:
dS = r.l.d
y siendo dN la fuerza normal a la superficie dS se tiene: dN = p.dS = p.r.l.d
La fuerza de rozamiento que se opone al giro del eje es: dR = .dN = .p.r.l.d
Resultando el momento de rozamiento dM: dM = y.dR
Integrando y suponiendo constante:
Si el gorrón es nuevo es y = r = constante y la presión p en toda la superficie del mismo se mantiene
constante, integrando:
y como la presión específica p es remplazando en el momento M:
El coeficiente 1 se lo denomina coeficiente de rozamiento del gorrón.
La potencia NR consumida en el trabajo de rozamiento para la velocidad angular ,
Siendo:
Para P en kg fuerza, en radianes/s, r en metro la potencia resulta en kgm/s y multiplicando por
se la obtiene en CV.
Si P está en Newton (N), en rad/s, r en metro la potencia está dada en J/s = vatios.
Trabajo de rozamiento en gorrones de empuje. (pivotes o quicios).
Cuando un eje recibe una carga axial P y la transmite a un apoyo, su
extremidad recibe el nombre de pivote o quicio.
Se presentan distintos tipos y estados de pivotes:
a- pueden ser nuevos, sin desgaste, radio r constante;
b- usados, con desgaste, radio y variable;
c- macizos, único radio r, y
d- con agujero central, radios r1 y r2.
46
El radio y, en el caso de pivotes usados, podrá variar de 0 a r para pivotes macizos y de r1 a r2 para
pivotes con agujero central.
Para el caso a), considerando la superficie diferencial de la corona de radio y, y de espesor dy, según
muestra la figura es:
dS = 2 y dy
La fuerza dP que se ejercerá sobre ella debido a la presión superficial específica p es:
dP = p.2 y dy
Integrando la ecuación, para P variando entre 0 y P y el radio y entre y1 e y2 se tiene:
La fuerza de rozamiento dR considerando la (dS = 2 y dy) y el coeficiente de rozamiento , el cual se
conserva constante, se tendrá:
dR = .dP = p.2 y dy
Integrando:
Y el momento dMR debido a la fuerza de rozamiento dR es:
dMR = y.dR
Integrando, para R variando entre 0 y R:
Si el pivote es nuevo, la presión p se mantiene constante a lo largo del radio, es decir desde 0 a r.
Si el pivote es usado, la presión p varía con el radio y, debiendo conocerse la función de variación, pero
se ha podido comprobar, que el desgaste en la superficie de apoyo del pivote es uniforme para cada
longitud del radio considerado. Además, este desgaste es proporcional a la presión p y a la velocidad
tangencial v. Experimentalmente se obtiene, que muy aproximadamente, el producto p.v se mantiene
constante; es decir: p.v = constante
Pero como; v = .y será p. .y = constante; como es = constante debe ser también p.y = constante.
Aplicando este análisis a los casos a, b, c y d mencionados, podemos obtener las expresiones de la
presión p y del momento MR debido a la fuerza de rozamiento dR.
1-Caso) Pivote nuevo macizo: para este caso y varía desde 0 a r ; p = constante.
Integrando la ecuación de la presión superficial específica p; para las condiciones mencionadas se
obtiene:
Despejando la presión p: y del momento MR debido a la fuerza de rozamiento dR.
Recordando que:
y remplazando p en MR
47
2-Caso) Pivote usado macizo: para este caso y varía desde 0 hasta r; además según lo visto
anteriormente es p.y = constante.
Integrando la ecuación de la presión superficial específica p; para las condiciones mencionadas se
obtiene:
Despejando la presión p: y del momento MR debido a la fuerza de rozamiento dR.
Recordando que: y remplazando p en MR
Para estos caso de pivote macizo, si se observan que las expresiones y
que la presión en el pivote, a medida que r se acerca a cero, crece hasta
valores muy grandes, y para cero se haría infinito, lo que puede notarse en el diagrama
de presiones de la figura; si bien esta última situación no se da ya que las
consideraciones hechas son aproximadas, las presiones que se producen son muy
grandes, motivo por el cual se construyen los pivotes con un agujero central, como se
verá a continuación, a efectos de eliminar las presiones en el centro.
3-Caso) Pivote nuevo con agujero central: para este caso es p constante atendiendo que r no varía al no
haber desgaste; además se tienen los valores de los radios interno r1 y externo r2 del
agujero central.
Integrando la ecuación de la presión superficial específica p; para las condiciones
mencionadas se obtiene:
Despejando la presión p: y del momento MR debido a la fuerza de
rozamiento dR.
Recordando que: y remplazando p en MR
48
4-Caso) Pivote usado con agujero central: para este caso es p.y = constante variando y desde r1, radio
interno del agujero central del pivote a r2, radio externo del mismo.
Despejando la presión p: y del momento MR debido a la fuerza de rozamiento dR.
Recordando que: y remplazando p en MR
La potencia, para estos casos, se la obtiene; multiplicando el momento contra la fuerza de rozamiento por
la velocidad angular con que gira el pivote:
RESISTENCIA A LA RODARURA Y A LA MARCHA.
Resistencia a la rodadura.
Desde el punto de vista geométrico, una rueda cilíndrica descansa sobre un plano horizontal según una
línea recta.
Al someter la rueda a una carga, por ejemplo, a un peso propio G, debería aparecer una «presión
superficial» infinitamente grande. En consecuencia, se produce una deformación del cuerpo la rueda se
aplasta, como se puede observar en un neumático de caucho; la base de apoyo es comprimida por el
cilindro, formándose dos abombamientos a todo lo largo de él, como se puede comprobar, por ejemplo,
colocando una rueda sobre una base de caucho.
Las deformaciones pueden desaparecer al suprimirse la carga (rueda de goma, deformación elástica) o
también ser permanentes, en lo que concierne a la base (suelo arcilloso, deformación plástica).
En el movimiento de rodadura se deforman continuamente nuevos lugares, que vuelven a su posición
original cuando ha desaparecido la acción de la carga y la deformación es elástica.
A causa de la deformación aparece un rozamiento interno, y además, al penetrar la rueda en su base, se
produce un «deslizamiento» parcial; es decir, un resbalamiento lateral de las partículas que constituyen la
superficie exterior, lo que tiene por consecuencia un rozamiento al deslizamiento.
Por tanto, para mantener el movimiento de rodadura es necesario que una fuerza P actúe constantemente
sobre la rueda para vencer todas estas resistencias, que se consideran comprendidas dentro de la
resistencia a la rodadura.
La figura muestra el análisis de las fuerzas actuantes en una rueda situada
sobre un plano horizontal cuando existe resistencia a la rodadura.
Cuando la fuerza de impulsión Pr que actúa en el centro de rotación de la
rueda está en equilibrio con la resistencia a la rodadura Wr, la resultante R
de N = G y Wr debe pasar por el punto de aplicación de Pr (el centro de
rotación O de la rueda) y ha de ser igual a la resultante R’, de sentido
opuesto, de las fuerzas G y Pr. De las condiciones de equilibrio se deduce:
49
Entonces la resistencia a la rodadura es: Y el coeficiente de rozamiento de rodadura es:
un numero adimensional, donde f es el brazo de palanca de la resistencia a la rodadura.
La magnitud f es aproximadamente constante, estando determinada por la sustancia de que están
compuestas la rueda y su base de apoyo.
El coeficiente de rozamiento a la rodadura es tanto más pequeño cuanto mayor sea el diámetro de la
rueda. Definimos el coeficiente de rozamiento a la rodadura como:
Rozamiento de rodadura.
Cuando rueda; o gira un cuerpo cilíndrico sin deslizamiento sobre una superficie
plana horizontal (Fig.), surge una resistencia debido a la compresibilidad de las
superficies de contacto y a la deformación entre el cuerpo y el apoyo.
Esta resistencia se llama rozamiento de rodadura.
Sus leyes se establecen de acuerdo con las experiencias realizadas por Coulomb.
Debido a la deformación entre las superficies en contacto las dos fuerzas
paralelas P y F producen una reacción que vale:
R’ = P + F
La cual está aplicada a la distancia f de la recta de acción del peso P y en el
centro de la superficie deformada.
Para determinar F consideraremos el equilibrio de momentos con respecto al centro O del cuerpo
cilíndrico: R’.f – F.r = 0 y Reemplazando el valor de R’ F.r = R’.f = (P + F ).f
Despejando f:
El rozamiento de rodadura está regido por las siguientes leyes:
Primera ley: la fuerza F con que se vence la resistencia de rozamiento es proporcional a la reacción R’, o
sea, a la carga soportada por la superficie: F R’
Segunda ley: la fuerza F varía con el valor de f, el cual depende de la deformación
producida, o sea de la naturaleza de las superficies.
La magnitud f, se denomina coeficiente de rozamiento de rodadura. Sus valores,
obtenidos de acuerdo con la experiencia se encuentran tabulados. El valor de f está
en centímetros y es un brazo de palanca.
50
Si se considera el movimiento del cilindro por la acción de una fuerza F horizontal, el mismo se produce
debido a la reacción: R= - F llamada adherencia o rozamiento al deslizamiento, la cual, conjuntamente
con F, forma un par, el cual equilibra el par resistente P.f.
Por lo tanto, la ecuación de equilibrio de los momentos de las fuerzas P y F con respecto al punto m es:
P.f – F.a = 0 despejando F:
Se debe establecer además una condición adicional para que se produzca rodadura y no deslizamiento. En
efecto, si se tiene en cuenta el rozamiento al deslizamiento, la fuerza debida a éste es: R=µ.P
Si al ejercer la fuerza F, ésta, es mayor que la del rozamiento al deslizamiento, es decir: F µ.P el
cilindro deslizará sin rodar.
Para que ruede sin deslizar deberá ser: F < µ.P y como y F < µ.P entonces:
De donde se obtienen las siguientes relaciones:
Generalmente es f << , caso de los rodamientos de bolas o rodillos, utilizados cuando se quiere
disminuir el rozamiento, o mejor dicho, la fuerza resistente debida a éste.
Como en el rozamiento al deslizamiento, el coeficiente de rozamiento a la rodadura es la proporción
existente entre la resistencia de rodadura y la fuerza normal.
Transporte sobre rodillos
Para el desplazamiento de cuerpos pesados, el esfuerzo a ejercer al sustituir un rozamiento de primera
especie (Rozamiento de deslizamiento), por otro de segunda especie, (Rozamiento de rodadura), es
mucho menor.
Si se considera una viga de peso P que se quiere transportar sobre un rodillo de peso G (Fig.), siendo f ' el
coeficiente de rozamiento por rodadura entre la viga y el rodillo y f el existente entre el rodillo y el piso,
tomando momentos de las fuerzas actuantes respecto al punto x se tendrá:
Mx = F.a = R'.f + R''.f '
Siendo: R' = P + G Y R'' = P
Remplazando en la ecuación de momento en el punto x, los valores de R' y R''
dados, se tendrá: F.a = ( P + G ).f + P.f '
Despejando F de la ecuación:
Si en la ecuación, es G << P , f f ' y a = 2r se convierte en:
Siendo el momento Mx para este caso: Mx = F.r
La potencia necesaria para producir el rodamiento, para N = Mx . siendo y n (rpm) es
51
El momento debido al Rozamiento de deslizamiento (rozamiento de segunda especie), resulta: MR = P.f
Si se utilizaran más de un rodillo (Fig.), y se considera que el peso P de la viga se distribuye de igual
forma sobre cada uno de ellos, si son z rodillos, tendremos
sobre cada uno de ellos un peso P/z; además, si cada uno de
los rodillos pesa G, la fuerza que ejerce cada rodillo sobre el
piso es P/z + G; si la fuerza F se aplica sobre la viga a la
distancia a, la sumatoria de los momentos, según la (2.124) es
De la que se obtiene:
Algunos de los valores medios de f son:
Fundición, acero sobre acero: f 0,05 cm.
Bolas o rodillos de acero templado sobre anillos de acero del mismo material (cojinetes de rodamientos):
f 0,005 a 0,001 cm.
Hemos visto que el rozamiento al deslizamiento puede ser muy bajo cuando se consigue introducir entre
ambas superficies deslizantes una cantidad de materia lubrificante, tal que desaparezca el contacto entre
sus desigualdades. A este estado se le da el nombre de rozamiento líquido.
Un soporte de deslizamiento recorre al iniciar el movimiento, las zonas de rozamiento seco y mixto.
Cuando el movimiento se realiza dentro del campo del rozamiento líquido continuamente, tenemos
coeficientes de rozamiento relativamente favorables.
En los soportes de rodamiento no siempre tenemos valores de rozamiento tan favorables como en los de
deslizamiento cuando la marcha es continua, en especial cuando el número de revoluciones es muy alto.
Por tanto, es ventajoso utilizar soportes de rodamiento para ejes y cigüeñales que prestan un servicio muy
discontinuo. Un ejemplo lo constituyen los rodamientos de las ruedas de los vagones de transporte.
Otras ventajas de los soportes de rodamiento sobre los de deslizamiento; es el engrase (continuo, muy
sencillo), y la elevada capacidad de carga por cada cm de ancho del soporte.
Además, por lo que se refiere a dimensiones, calidades, cargas admisibles y duración, los soportes de
rodamiento están sujetos a normas muy amplias.
Un soporte completo, ya sea para empujes transversales o longitudinales, se compone de dos anillos y una
serie de cuerpos que facilitan el rodamiento dispuestos entre ellos, mantenidos en su sitio y separados
unos de otros por una jaula de material más blando. Se emplean bolas o rodillos, pudiendo ser estos
últimos cilindros, conos, agujas o con forma de tonel.
En los soportes del rodamiento, aparecen las resistencias a la rodadura tanto en el anillo interior como en
el exterior, también aparece rozamiento al deslizamiento en las empaquetaduras del soporte.
Pueden reunirse todas estas resistencias en un coeficiente de rozamiento ideal, obteniéndose, en el caso de
soportes de rodamiento colocados sobre gorrones de diámetro d, el:
Momento de rozamiento del soporte de rodamiento
52
El coeficiente de rozamiento ideal µi, referido a la periferia del gorrón, vale aproximadamente:
En soportes ranurados de bolas …0,0013
En soportes pendulares de bolas….0,0008
En soportes de rodillos cilíndricos….0,0010
En soportes de rodillos cónicos y pendulares de rodillos…0,0018
Estos valores sirven para cargas elevadas, diámetros pequeños de gorrones y engrase reducido.
RESISTENCIA A LA MARCHA
Para mover un vagón sobre una vía horizontal deben superarse la resistencia al rozamiento de los
gorrones en los soportes y la resistencia a la rodadura de las ruedas sobre la vía.
Cuando se trata de vehículos sobre carriles hay que tener en cuenta
además el rozamiento de las pestañas. La tracción ejercida sobre los
enganches se transmite a los ejes.
Observando las condiciones de equilibrio en la rueda de un vehículo
sobre carril, representada en la figura, se deduce que el soporte del eje
está cargado con el peso total del vehículo menos el peso propio de los
rodamientos, que designaremos por Q.
Pero las ruedas actúan sobre los carriles horizontales con el peso Q
más, su propio peso, que designaremos por GR.
De la ecuación se deduce el rozamiento en los gorrones, en el supuesto de que el
coeficiente de rozamiento sea µi,
Refiriéndolo a la perisferia de la rueda, el momento de rozamiento del gorrón es:
Wz da la parte del esfuerzo de tracción necesario para
vencer el rozamiento en los gorrones.
Para la resistencia a la rodadura, se deduce de la ecuación
El rozamiento de las pestañas no se puede calcular cuando el vagón atraviesa tramos rectos, ya que en
ellos es originado únicamente por su serpenteo. En las curvas aparece un rozamiento que disminuye con
el radio de la curva y aumenta con la separación entre ejes y el ancho de vía.
Con coeficiente de rozamiento de las pestañas, se calcula por medio de:
La resistencia total de un vehículo sobre carril es, la suma de las distintas resistencias referidas a la
periferia de las ruedas.
Que se llama resistencia a la marcha y viene expresada por.
Simplificando:
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La relación, del peso de los rodamientos GR al peso total G, del vehículo sólo merece ser tenida en cuenta
cuando se trata de vehículos pesados, como, por ejemplo, en los ferrocarriles.
En los vagones mineros, dicha razón es relativamente pequeña, por lo que, para simplificar, se puede
sustituir: G=Q+ GR
Por consiguiente, en los vagones de transporte tendremos la resistencia a la marcha
De aquí se obtiene el coeficiente de rozamiento de la resistencia a la marcha
La ecuación de la resistencia a la marcha y la ecuación del coeficiente de rozamiento muestran las
magnitudes que influyen en la resistencia, y hasta donde pueden ser tenidas en cuenta en el cálculo.
Pero, en realidad, la resistencia a la marcha únicamente se puede determinar en bloque y por medio de
ensayos, sobre todo porque aparecen algunos factores que no se pueden fijar de antemano.
Éstos son: Resistencias suplementarias debidas a desigualdades de la vía, suciedad, resistencia del aire,
resistencias suplementarias en curvas y desvíos, etc.
La resistencia del aire se puede despreciar por insignificante, sea la que fuere la velocidad de la corriente
de ventilación y la de circulación de los ferrocarriles mineros, siempre pequeña.
Todas las otras influencias, son muy diferentes, por lo cual hay una gran inseguridad hasta el presente en
lo que se refiere a la determinación del coeficiente de resistencia en vagones mineros.
Al medir la resistencia a la marcha en vías rectas y curvas deberían establecerse diferencias entre la
resistencia a la marcha de los vagones cuando forman trenes y la resistencia a la marcha de los vagones
aislados cuando ruedan libremente.
La resistencia a la marcha de un vagón que rueda libremente puede determinarse en cuestas con una
inclinación α poco mayor que el ángulo de rozamiento f, de la resistencia a la marcha (µf = tg f ).
Cuando el vagón, lanzado desde una altura h por el tramo de vía inclinada de longitud 1, recorre una
longitud l1 sobre una vía horizontal situada a continuación antes de pararse por completo, la resistencia a
la marcha de dicho vagón se deduce de:
En general, el valor del vagón que rueda libremente es mayor que el del enganchado en un tren,
ya que el vagón libre origina un rozamiento mayor en las pestañas debido al serpenteo.
54
La diferencia es menor en vagones con rodamientos de rodillos cónicos y, sobre todo, en vagones de gran
capacidad.
Dentro de la resistencia a la marcha en los trenes hay que incluir todas aquellas resistencias que se oponen
al movimiento uniforme de un tren sobre una superficie plana horizontal.
Para determinarla, medimos con un dinamómetro la fuerza de tracción P, con lo que P = W, siendo el
coeficiente de rozamiento:
En los transports mineros con vagones se ha generalizado, al igual que en los ferrocarriles, el expresar la
resistencia en kp por t.
Resistencia wf [kp/t] = 1000 µf
El valor de la resistencia a la marcha, Wf en kp/t, es decir, es 1000 veces mayor que el coeficiente de
rozamiento .
En los cálculos, en que entre dicho valor, hay que expresar el peso en t, resultando entonces la fuerza de
tracción necesaria para vencer la resistencia a la marcha en kp.
Un informe, sobre la medición de resistencias a la marcha en trenes formados con vagones de tipos
estipleados en la actualidad en condiciones de servicios indica:
Sobre la resistencia a la marcha se ve poco influenciada o casi nada, por la longitud del tren, el que los
vagones que lo forman den tirones o estén comprimidos, la velocidad de circulación del aire, el siferente
estado de la vías.
Por el contrario, se produce una variación de la resistencia a la marcha con la velocidad del tren.
Por término medio, en los ferrocarriles se emplean para el cálculo resistencias wf = 2,5 a 4 kp/t.
La resistencia al arranque de los vagones remolcados, cuando éstos llevan soportes de rodamiento, no es,
en general, mucho mayor que la resistencia a la marcha.
La elevación de la resistencia originada por el rozamiento al deslizamiento en las pestañas de las ruedas,
debida al número de vagones remolcados, no se puede separar de las fuerzas de aceleración, y tiene por
eso una influencia insignificante sobre el esfuerzo de tracción.
Sobre una vía inclinada se deduce, según la ecuación (P = μ G cos α ± G sen α del plano inclinado)
Para la poca pendiente, empleada corrientemente en el transporte en las galerías (α < 5 o bien <9 %) se
puede sustituir: por consiguiente:
El signo más (+) es válido cuando el movimiento es ascendente, y el menos (-), cuando es descendente.
Si la pendiente de la vía está expresada en tantos por ciento p [%], tendremos:
Por lo general, se elige la pendiente de la galería principal de tal forma que el esfuerzo de tracción
necesario para el mismo número de vagones al transportarlos llenos hacia el pozo no sea mayor, a ser
posible, que para llevarlos vacíos hacia los distintos sectores de explotación.
55
Como la resistencia a la marcha de los vagones tiene dispersión, y es distinta en los vagones vacíos que
en los llenos, no es posible calcular teóricamente la pendiente de la vía. No obstante, apoyándose en esto
deben trazarse las galerías con cierta inclinación hacia el pozo, eligiéndose en general para ello una
pendiente de 1: 1000 en galerías principales, y de 1:400 a 1: 100 en galerías de explotación.
TRANSPORTE CON LOCOMOTORAS
La locomotora debe superar la resistencia a la marcha de los vagones mediante el esfuerzo de tracción en
su gancho ZH. Si la resistencia de los vagones es demasiado grande. la locomotora no se mueve, las
ruedas patinan, el rozamiento de contacto entre las ruedas de la locomotora y los carriles no es suficiente
y se produce una interrupción del efecto de tracción.
La fuerza de tracción máxima de la locomotora está, pues, limitada por el rozamiento de contacto
originado por su peso. Para ello se supone que la fuerza motriz de la locomotora, referida a la periferia
de sus ruedas, es mayor que la transferida al mismo punto por el rozamiento.
Si se designa el esfuerzo de tracción de la locomotora referido a las ruedas por ZR y la parte del peso de
la misma que soporta cada rueda por GR y el coeficiente de rozamiento de contacto es µ0; se obtiene la
máxima fuerza que puede ejercer la locomotora sin que las ruedas patinen, también referida a la periferia
de las ruedas.
El esfuerzo de tracción de la locomotora aumenta proporcionalmente a la; parte del peso de la misma que
soporta cada rueda. Por ello, en las locomotoras mineras se aprovecha completamente el peso GLoc para
aumentar el rozamiento de contacto, acoplando todos los ejes entre sí por medio de cadenas o bielas, de
forma que se puede sustituir GLOC = GR.
Es cierto que aparece una descarga de los ejes, de forma que la fuerza en el gancho de la máquina queda
situada sobre el borde superior del carril, donde debe pasar inadvertida. Por tanto resulta
La fuerza ZH disponible en el enganche de la locomotora es menor que la que actúa en la llanta de la
rueda, ZR en el transporte en el fondo, siendo la diferencia la resistencia a la rodadura de la
locomotora.
Si la resistencia a la marcha de un vagón es µf, resulta que la máxima carga que se puede enganchar a la
locomotora, de z vagones de peso GW es:
En general, la ecuación del esfuerzo de tracción para transporte horizontal es:
Cuando las ruedas patinan, baja el esfuerzo de tracción, por ser . Se puede aumentar la fuerza de
tracción elevando el valor de µ0, por ejemplo, esparciendo arena sobre los carriles o aumentando el peso
adherente GLoc.
En el caso del transporte en sentido ascendente sobre vías inclinadas, la locomotora debe vencer además
su propia tendencia a marchar en el sentido de la pendiente, GLOC• sen , reduciendo así, por tanto, la
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fuerza de tracción disponible. Además, cuando arrastra vagones ha de suministrar una fuerza mayor en
z.Gw.sen α, que es el valor de la componente del peso del tren según la pendiente.
Cuando el sentido del transporte es descendente, ocurre lo contrario; la componente de su peso adherente,
GLOC . sen , tira de la locomotora, elevando su fuerza, siendo necesario para arrastrar un tren un esfuerzo
de tracción disminuido en la cantidad z.Gw.senα.
Por tanto, la ecuación general del esfuerzo de tracción es:
El signo más (+) es válido cuando el movimiento es ascendente, y el menos (-), cuando es descendente.
Debido a que en el transporte en galerías las pendientes utilizadas son reducidas (α < 5 o bien <9 %) se
puede sustituir: por consiguiente:
El signo más (+) es válido cuando el movimiento es ascendente, y el menos (-), cuando es descendente.
Cuando es se necesita realizar un esfuerzo de frenado B en el caso de que el transporte se
efectúe en sentido descendente. La ecuación que nos da la fuerza de frenado es:
ROZAMIENTO EN LOS CABLES
Leyes Fundamentales Generales
Un cable o cinta, que descansa sobre un tambor fijo se puede cargar en uno de sus extremos, por ejemplo,
el izquierdo (fig.), que designaremos por S1, más fuertemente que en el otro S2 sin que se mueva.
Entre el cable y el tambor aparecen fuerzas de rozamiento que absorben una parte
de la fuerza S1 del cable.
En caso de que se deba tirar del cable sobre el tambor con movimiento uniforme,
S1 debe ser mayor que S2 en una cantidad determinada, necesaria para vencer el
rozamiento del cable. Dicha cantidad no sólo está determinada por el coeficiente
de rozamiento µ, sino también por el ángulo de contacto α.
Para el cálculo consideraremos una infinitésimo d del ángulo de con
contacto correspondiente a un infinitésimo de cable de longitud ds (fig. a).
Sobre él actúan las siguientes fuerzas, en el Caso límite de reposo, o de
movimiento uniforme:
La fuerza S del cable, procedente del extremo menos cargado del mismo,
S + dS procedente del extremo más cargado del cable, así como la
resistencia total dR que actúa sobre el infinitésimo de cable, con las dos
componentes dN de la fuerza normal del infinitésimo dS sobre el tambor y de
la fuerza de rozamiento perpendicular a ella, µ.dN.
Estas fuerzas deben formar un polígono cerrado (fig. b), ya que están en
57
equilibrio. De este polígono de fuerzas se pueden deducir las siguientes relaciones, que son tanto más
exactas cuanto más pequeño sea d
Para ello se ha hecho y como y , son dos magnitudes muy pequeñas, su producto
es infinitamente pequeño. Al producto , es un infinitésimo de orden superior, y, por consiguiente,
es despreciable. Por tanto se tiene
De aquí se sigue:
Podemos sumar ahora este valor para un trozo pequeño de cable:
En matemáticas se emplea el signo integral, como signo de suma de magnitudes infinitésimas.
Integrando entre los límites considerados, de S2 hasta S1 y de =0 a = se tiene:
Sabemos:
Entonces la Tensión Máxima del Cable es: Que actúa sobre el extremo más cargado del
cable.
En esta ecuación:
S2= Es la tensión del cable menos cargado.
e =Base del logaritmo natural.
µ= Coeficiente de rozamiento, en reposo o en movimiento.
= Angulo de contacto en radianes.
Recordando que:
La ecuación es válida, también en el caso de que el cable esté en reposo y sea el tambor el
que gire, o pretenda girar, o también, en el caso de que tanto el tambor como el cable se muevan, pero
ejerciendo recíprocamente fuerza (accionamiento por correa). Se cumple siempre que:
Esta es la ecuación fundamental del rozamiento en cables desarrollada por Eytelwein.
En esta ecuación no aparece para nada el diámetro del tambor. El tambor no es necesario que sea, de
sección circular en su contacto con el cable; es decir, donde actúa la fuerza de rozamiento caracterizada
por el coeficiente µ.
El ángulo de contacto a es de decisiva importancia para la magnitud del rozamiento en los cables.
58
Cuando un cable o cinta está colocado sobre un tambor, como se representa en la figura, que gira en la
dirección indicada, en él aparecen esfuerzos, a causa del rozamiento del mismo, que varían de S2 a S1,
aumentando en sentido opuesto al de giro.
Si el cable se ha fijado en S1, y tiramos con una fuerza S2 de su otro extremo,
tendremos un freno de cinta. Cuando ambos extremos del cable están
sometidos a tensiones y hacemos girar el tambor para mover el cable,
tenemos el caso de la polea motriz empleada en los pozos de extracción, o del
tambor de accionamiento de los transportadores de cinta.
En todos los casos, en la periferia del tambor o de la polea actúa una fuerza
que llamaremos fuerza tangencial.
De lo dicho; se desprende que la fuerza tangencial no puede ser mayor que el rozamiento del cable, ya
que de otra forma el tambor giraría bajo el cable o la cinta sin arrastrarlos.
Aplicando la ecuación de Eytelwein, se puede expresar la fuerza tangencial U en función de las tensiones
S2, o S1 del cable.
O resolver la ecuación según la tensión mínima necesaria S2.
Si en las ecuaciones y S2 = 0, también será U= 0.
La fuerza tangencial transmitida aumenta con la tensión S2 del cable. Si el cable no está sometido a una
tensión, no se puede transmitir ninguna fuerza tangencial.
Otra forma de expresar S1 es, considerando que:
Surge otra manera de expresar la ecuacion de S1
El factor de la ecuacion: es siempre mayor que 1.
Cuanto mayor es es decir, cuanto mayor sean µ o α, tanto más pequeño es dicho factor.
La tensión S1 del cable es siempre mayor que la fuerza tangencial U.
Cuanto mayor es , es decir, cuanto mayor sean µ o α, tanto más pequeño es la fuerza máxima S1 que
aparece en el cable, en relación con la fuerza tangencial transmitida U.
59
FRENOS DE CINTA
Los frenos de cinta aprovechan el rozamiento en los cables, encontrando múltiples aplicaciones en la
técnica debido a su construcción poco voluminosa, bien como frenos de parada o de regulación.
En minería sólo están permitidos en aquellos pozos de extracción en que
no se hayan prescrito formalmente los frenos de mordazas. Tal es, por
ejemplo, el caso de los frenos de contramarcha en una balanza, cuando el
freno de seguridad, que debe actuar directamente sobre el elemento motor
(polea o tambor), sea un freno de mordazas.
Los frenos de cinta de acción simple, como los del esquema de la figura,
sólo son eficaces en un sentido de rotación.
En ellos, el ramal de la cinta que soporta la fuerza mayor S1 está fijo en un
punto, mientras que el otro extremo de la cinta se sujeta a la palanca del freno. Al accionar ésta, la cinta
del freno debe moverse en la dirección de giro.
Según la ecuación tendremos, con la notación de la figura
Como:
B es el esfuerzo de frenado de un freno de cinta de accion simple originado sobre la perisferia del tambor
por el peso A.
Frenos de cinta de acción doble
En las minas se emplean frenos que producen igual efecto en ambos sentidos de rotación.
La figura muestra el esquema de uno de estos frenos de cinta de acción
doble, en el que ambos extremos de la cinta son atirantados por la
palanca. Al construirlos, hay que tener en cuenta que los brazos de
palanca que parten del punto de giro de la palanca de accionamiento
son iguales entre sí y perpendiculares a las direcciones de los extremos
de la cinta (en la figura van designados con a), y que, al desplazarse el
freno, dichos etremos han de desplazarse, a ser posible, en la dirección
de la cinta.
Con la notación de la figura se deduce de:
Con las ecuaciones; y y considerando las notaciones de la figura, tenemos:
60
De aquí se deduce que el esfuerzo de frenado de un freno de cinta de doble acción originado sobre la
periferia del tambor por el peso A es:
LEYES DEL ROZAMIENTO EN LOS CABLES APLICADAS, AL TRANSPORTE POR MEDIO DE
CINTAS, A LA EXTRACCIÓN CON POLEA MOTRIZ Y AL ACCIONAMIENTO CON CORREAS
En los frenos de cinta, durante el frenado tiene lugar un deslizamiento entre la cinta y el tambor.
El ángulo de contacto entre la cinta y el tambor se aprovecha por completo para lograr el rozamiento al
deslizamiento.
En la extracción con polea motriz; en las cintas transportadoras, así como en los accionamientos con
correas, no debe producirse, deslizamiento alguno entre cable, cinta o correa y el tambor correspondiente.
Dicho deslizamiento debe evitarse a causa del desgaste y del calentamiento producido, y en la extracción
con polea motriz, con vistas a una seguridad mayor contra el peligro de caídas.
La ecuación fundamental de EYTELWEIN es también válida para las instalaciones de transporte citadas.
En donde S1, es la tensión máxima de la banda superior, que podemos denominar fuerza de paso máximo.
La ecuación nos da del mismo modo, la tensión máxima.
Por tanto, en las poleas de arrastre empleadas en la extracción y en cintas transportadoras, así como en las
transmisiones por correas, podemos llamar U a la fuerza máxima de arrastre.
Pero, mientras que, en los frenos de cinta, tanto S1 como U representan las tensiones que aparecen en
realidad al accionarlos, las ecuaciones y representan la condición
límite de inestabilidad entre deslizamiento y adherencia cuando se aplican al rozamiento en cables o
cintas en los ejemplos ya citados.
Para evitar esta inestabilidad las fuerzas S01 y U0 que aparecen en realidad, han de ser menores que en las
ecuaciones citadas, es decir:
Como, en las relaciones dadas, la tensión S2 y el coeficiente de rozamiento µ, son constantes, se deduce
que, para transmitir las fuerzas S01, y U0 menores, hay que recurrir a un ángulo abrazado 0 más
pequeño, que en general es menor que el ángulo real de contacto .
Llamaremos a este ángulo 0 ángulo de rozamiento 0
El ángulo de contacto restante no toma parte, evidentemente, en la transmisión de las fuerzas.
Le llamaremos ángulo de reserva ’ = — α0
De las desigualdades antes citadas llegamos ahora otra vez a la expresión matemática del equilibrio por
medio de las ecuaciones.
61
Podemos representar el coeficiente de seguridad estático νR contra el deslizamiento por la razón de la
fuerza de paso transmisible S1 a la realmente transmitida S01
Coeficiente de seguridad estática contra el deslizamiento
De aquí se sigue que, α’, el ángulo de reserva, es también un ángulo de seguridad contra el
deslizamiento.
Si durante la marcha se eleva la tensión del cable de S01 a S1, aumenta también el ángulo de rozamiento α0
utilizado, mientras que el ángulo de reserva o de seguridad α’ disminuye.
Según la ecuación en el caso en que α’ = 0, el coeficiente de seguridad y
Existe, pues, un equilibrio inestable, es decir, se ha alcanzado el límite de deslizamiento.
La figura, muestra el aumento de las tensiones del cable o cinta en las
poleas de arrastre o cintas transportadoras.
Si las tensiones reales del cable son S2 y S01, ambas conocidas, se
pueden calcular el ángulo de rozamiento α0, y el de reserva α’ como
sigue, para un coeficiente de rozamiento dado:
De la ecuación
Y como
No hay que confundir con el deslizamiento del cable o la cinta sobre la polea de arrastre o el tambor el
llamado deslizamiento por alargamiento.
Al moverse el cable o la cinta, la tensión del mismo disminuye de S01 a S2 en el sentido del movimiento,
de acuerdo con la figura. Según la teoría de la elasticidad, dentro de la zona elástica el alargamiento es
proporcional la tensión del cable. Pero esto representa que, en la zona de acción de la fuerza S01, el
alargamiento del cable es mayor que en la zona de la fuerza S2.
Mientras que el cable (o la cinta) corre sobre la polea de arrastre (o el tambor de accionamiento), su
longitud decrece, es decir, se acorta. El cable (o cinta) se desliza sobre la polea de arrastre (o tambor). A
este fenómeno se le denomina deslizamiento por alargamiento.
Este tipo de deslizamiento se produce siempre en dirección a la tensión mayor del cable, S01. Cuando la
polea de arrastre o tambor accionan el cable o cinta, el deslizamiento por alargamiento va en sentido
opuesto al de rotación.
62
En la transmisión por correas, éstas arrastran la polea conducida, de forma que, en ella, el deslizamiento
va en el mismo sentido que la rotación.
El deslizamiento por alargamiento no sólo se puede originar en la
zona del ángulo de rozamiento α0, también llamado por eso “ángulo
de deslizamiento”.
En la zona del ángulo de reserva α’ la tensión del cable permanece
constante, de forma que aquí no se produce ninguna variación de
longitud, ningún resbalamiento ni transmisión de fuerzas
tangenciales, por lo que le daremos también el nombre de ―ángulo
muerto‖.
En la zona del ángulo muerto, el cable o la cinta están siempre en reposo con respecto a la polea,
mientras que en la del ángulo de rozamiento están siempre en movimiento.
De esta forma se produce un punto fijo de transición del ángulo de reserva al de rozamiento, en el caso de
que haya equilibrio en la transmisión de las fuerzas.
Como en este punto comienza el deslizamiento, se le llama ―umbral del deslizamiento‖ (fig. punto c).
Es importante el que el ángulo de rozamiento o deslizamiento α0 empieza siempre en el punto donde el
cable se separa de la polea o tambor, sin tener en cuenta la posición de S01 y S2. Por el contrario, el
sentido del deslizamiento va siempre hacia la tensión máxima S01 del cable, o S1 (en las poleas de arrastre
y cintas transportadoras va en sentido opuesto al de rotación).
EXTRACCIÓN CON POLEA MOTRIZ O DE ARRASTRE
En la extracción con polea motriz, el rozamiento entre la polea y el cable
debe transmitir a este último la fuerza tangencial cedida por la máquina para
elevar o bajar cargas.
Por ello debe haber un margen suficiente de seguridad contra el
deslizamiento, ya que de otro modo el peligro es enorme.
El peso del cable superior ha de estar equilibrado siempre por el del cable
inferior, que, a ser posible, debe tener el mismo peso por metro lineal que
aquél.
De esta forma se consigue que los pesos muertos movidos a ambos lados de
la polea motriz sean iguales y que la tensión S2 del cable, producida por el
peso muerto Gr al elevar cargas, aparezca en el lado de la polea
correspondiente al ramal que desciende (fig.).
En el lado del ramal que asciende, la tensión S01 está determinada por el
peso muerto GT y la sobrecarga máxima U (es decir, en la mayoría de los
casos es la carga útil).
La máxima tensión posible S1 se deduce del coeficiente de rozamiento µ, que, según las disposiciones
vigentes para instalaciones de extracción en pozos principales, debe ser µ= 0,25 y del ángulo de
contacto α, según la ecuación (Tensión Máxima del Cable ).
Al bajar cargas, el cable arrastra la polea motriz, es decir, ésta debe frenar al cable. El ángulo de
deslizamiento o de rozamiento α0 empieza, por tanto, en el punto de separación B del ramal descendente
del cable (fig.).
63
La tensión del cable disminuye a lo largo del ángulo de rozamiento α0 en sentido contrario a la rotación,
permaneciendo constante en la zona del ángulo de reserva α’.
También aquí viene dada la tensión S2 por el peso muerto GT.
El coeficiente de seguridad contra el deslizamiento, νr, se obtiene de igual forma que cuando se trataba de
izar cargas, partiendo de la máxima tensión posible S1 del cable y de la tensión
real S01 producida por la sobrecarga U.
Las magnitudes de los ángulos de rozamiento α0 y de reserva α’ son de igual
cuantía que en el caso anterior, en las mismas condiciones de carga; únicamente
su sentido es inverso, como se puede apreciar en la figura.
Observación: Al elevar o bajar cargas durante el periodo de arranque y detención
aparecen «fuerzas de aceleración», que tienen una influencia esencial sobre la
seguridad de la instalación contra el deslizamiento del cable. Sobre este particular
se volverá a ver el tema en Dinámica.
Para aumentar la seguridad contra el deslizamiento caben varias posibilidades:
1) Aumento del ángulo de contacto α.
El aumento del ángulo de contacto conduce a un agrandamiento del ángulo de reserva α’ = α — α0 para
iguales condiciones de carga, y según la ecuación , a un coeficiente de seguridad más alto
contra el deslizamiento del cable.
En las máquinas de extracción de torre se da cierta desviación a los cables hacia el
centro del compartimento de extracción por medio de poleas suplementarias, como se
puede ver en la figura. Esto conduce simultáneamente a un aumento del ángulo de
contacto. En general, no es posible agrandar dicho ángulo de esta manera cuando se
trata de máquinas de extracción con polea de arrastre colocadas al nivel de los
enganches exteriores.
Un ejemplo especial de aumento del ángulo de contacto es el cabrestante de tambor de arrollamiento
parabólico (fig.), tal como se emplea en los tajos o talleres para tirar de las máquinas rozadoras.
Las puntas del Cable, que se arrolla dando varias vueltas alrededor de un
tambor de sección aproximadamente parabólica, se enganchan en dos
tornos especiales colocados en los extremos del tajo.
La fuerza del motor de la rozadora acciona el tambor parabólico, de forma
que la máquina se desplace a lo largo del cable.
Éste va subiendo hasta llegar al diámetro mayor d del tambor, hasta que el
ángulo del flanco parabólico rebasa el ángulo de rozamiento , medido según la dirección del eje, de
forma que el cable se desliza en este momento hacia el centro del tambor.
El inconveniente del cabrestante de tambor parabólico es el fuerte desgaste del cable. En cambio, el
coeficiente de seguridad contra el deslizamiento es muy grande.
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2) Aumento del coeficiente de rozamiento µ.
El coeficiente de rozamiento del cable en poleas de arrastre, µ = 0,25, prescrito por las disposiciones
mineras para el cálculo de frenos en instalaciones de extracción en pozos principales, sólo es válido para
poleas cuya garganta está forrada con madera dura o cuero, como se suele hacer corrientemente.
En realidad, es posible emplear forros de coeficiente de rozamiento de valor más elevado.
Como forros de metales ligeros empleados en las poleas de arrastre y de otros materiales.
Antiguamente se empleaban, para elevar el valor del coeficiente de rozamiento, poleas con
canales en V (fig.). Pero el esfuerzo a que está sometido el cable es tan grande que, salvo
casos aislados, no se emplea actualmente este tipo de poleas.
TRANSMISIÓN POR CORREA
Para transmitir la fuerza de una máquina a otra
utilizaremos en muchas ocasiones los accionamientos por
correa, que, como puede verse en la figura, se componen,
por lo general, de una correa sin fin movida por una polea
más pequeña, que acciona a su vez otra polea mayor en la
máquina a la que se ha de transmitir la fuerza.
La fuerza periférica U de la polea conductora se transmite
a la periferia de la conducida.
Según la ecuación , la fuerza periférica transmitida es U. y está determinada por la
tensión de la correa S2, el coeficiente de rozamiento µ entre la correa y la polea, y el ángulo abrazado α
sobre la polea conductora.
La fuerza periférica transmisible está determinada únicamente por el arco abrazado sobre la polea
conductora de diámetro d1, más pequeño que el abrazado sobre la conducida.
Si el diámetro de la conductora es d1, se deduce el momento de giro transmisible:
En las transmisiones simples por correa, como la de la figura, es necesaria una tensión axial:
O expresada en función de la fuerza periférica, dada por la ecuación
Las ecuaciones y sólo son válidas, en estado de funcionamiento ya
que en estado de reposo, la tensión axial se reparte uniformemente sobre ambos extremos de la correa,
porque A = S1 + S2 y U = 0= S1 — S2 luego S2 = S1, es decir, en estado de reposo.
En la transmisión por correa cabe asimismo la posibilidad de aumentar el coeficiente de rozamiento µ o el
ángulo de contacto α. De aquí se deduce la posibilidad, para una misma tensión axial A o una tensión S2
fija de la correa, de transmitir una fuerza tangencial U mayor, es decir, un momento de giro
más grande. Pero también tiene igual importancia transmitir el momento de giro con el menor esfuerzo
posible de la correa.
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Según la ecuación se deduce que, para una fuerza tangencial U dada, es tanto más
pequeña la tensión axial cuanto mayor es Análogamente se reducen también las tensiones S2 y S1 de
la correa.
Para elevar el valor de caben varias posibilidades:
1) Aumento del coeficiente de rozamiento µ.
Se emplea con transmisiones por correa para cargas muy altas, así como con poleas de transmisión y
correas de coeficiente de rozamiento más elevado. Tiene especial importancia la transmisión con correas
trapezoidales para cargas elevadas, que se ha normalizado para ángulos de la garganta de 32° a 36°.
Por consiguiente, se obtienen coeficientes de rozamiento µ’ = 2,5 a 3,5 [recordar rozamiento en canal].
2) Aumento del ángulo de contacto α1.
Como se puede ver en la figura, en las transmisiones simples por correa deben disponerse las cosas de
forma que sea la correa inferior la que tire, ya que al colgar la superior,
debido a la tensión S2, menor de dicha correa, el ángulo de contacto α de
la polea conductora aumenta (fig. a), mientras que en el caso contrario
(fig. b) disminuye.
La siguiente figura, muestra una
transmisión con rodillo tensor, en la
que este último ejerce una presión
sobre la correa superior, producida por
un peso G.
Como se puede observar en la figura, el ángulo de contacto aumenta notablemente, aproximadamente en
unas 0,45 veces el ángulo total, y en transmisiones abiertas, en unas 0,7 veces.
TRANSPORTE POR MEDIO DE CINTAS
Los transportadores de cinta, son transportadores continuos, en los que se emplea una cinta como soporte
y medio de arrastre de los materiales a transportar.
La cinta se mueve constantemente, siendo arrastrada por uno o varios tambores de accionamiento. De la
ausencia de rozamiento depende, no sólo el que el transporte se realice sin interrupciones, sino también la
seguridad de la mina.
En la extracción con polea motriz o de arrastre se daban las tensiones S1 y S2 del cable, en primer lugar,
indicando los pesos muertos a ambos lados de la polea, y después, la carga útil a elevar (o a bajar). Con
eso, la comprobación del coeficiente de seguridad al deslizamiento era relativamente clara y sencilla.
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En las transmisiones por correa debería darse el momento de giro a transmitir. De los estudios realizados
se deducía la fuerza axial necesaria, así como la tensión inicial S2 del cable, de forma que se podían
calcular con relativa facilidad las condiciones de seguridad exigidas para una transmisión sin
deslizamientos, y también la máxima tensión S1 de la correa.
En el transporte por medio de cintas se puede partir de las cargas a que está sometida la cinta en sus dos
bandas, tanto superior como inferior, que deben ser vencidas por el tambor de accionamiento
aprovechando el rozamiento de la cinta.
Dichas cargas proceden de las resistencias que encuentra la cinta en su movimiento al pasar sobre los
rodillos del soporte. Sobre esto, se ha realizado estudios muy detallados y exactos, según los cuales la
resistencia a la marcha opuesta por los rodillos de apoyo en ambas bandas es sólo del 40 % de la
resistencia total, mientras que la resistencia al movimiento de la materia transportada y de la cinta es del
60 % del total.
Por ello, la resistencia al movimiento de la cinta y la resistencia a la flexión al doblarse aquélla alrededor
de los tambores extremos, que hasta aquí no hemos tenido en cuenta todavía, dependen de las propiedades
de la cinta y del diámetro de los tambores, y también de la separación entre rodillos.
Es difícil, por tanto, realizar un cálculo previo suficientemente exacto de las tensiones S1 y S2 de la cinta,
especialmente si tenemos en cuenta que la colocación de las armazones que soportan la cinta.
El motor de accionamiento transmite a la cinta una fuerza tangencial máxima U mediante el rozamiento
de la misma sobre el tambor, estando el rendimiento elegido de antemano para una velocidad dada de la
cinta.
La fuerza tangencial transmitida puede ser en el caso extremo , de acuerdo con la
ecuación que le dimos el nombre de fuerza de arrastre.
La tensión inicial S2 de la cinta procede tanto de las fuerzas resistentes en la banda inferior como de una
fuerza axial suplementaria A originada al tensar la estación motriz.
Como siempre se pretende mantener la tensión dentro de límites estrechos para reducir así las fuerzas en
la cinta, deben elegirse de ser posible un coeficiente de rozamiento µ y un ángulo abrazado α grandes.
Para aumentar el valor del coeficiente de rozamiento µ se puede revestir el tambor de accionamiento con
un forro apropiado. Cierto es, que en la práctica se han determinado ya coeficientes de rozamiento
considerablemente mayores. Pero no se debe olvidar que, aun en tambores con forros especiales, la
humedad y la suciedad reducen extraordinariamente el coeficiente de rozamiento.
También varía dicho coeficiente según el material con que esté
fabricada la cinta. Así, por ejemplo, el coeficiente de rozamiento de las
cintas de caucho incombustibles PVC es de µ= 0,15 para tambores
pulimentados.
El aumento del ángulo abrazado α tiene especial importancia en los
transportadores de cinta.
La figura, muestra la variación de la fuerza S de la cinta cuando hay un
solo tambor de accionamiento.
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En principio, las relaciones entre el coeficiente de seguridad al deslizamiento, el deslizamiento por
alargamiento, el arco de rozamiento, el de deslizamiento y el de reserva son las mismas que se obtuvieron
anteriormente.
En el accionamiento de un solo tambor, el ángulo abrazado a puede ampliarse como máximo hasta
alcanzar 250º. Con este valor y con µ = 0,3 se deduce .
Este valor representa aproximadamente el límite superior de la relación de tensiones en la cinta que se
puede alcanzar con accionamiento de tambor único.
Como la tensión máxima de la cinta, S1, está limitada por la resistencia al desgarramiento de la misma, de
aquí se deduce también el límite de la fuerza de arrastre U y, por consiguiente, el rendimiento del motor,
que en accionamientos de tambor único está comprendido aproximadamente entre 15 y 20 CV.
La figura b muestra la variación de la tensión de la cinta a lo largo del arco abrazado, una vez
desarrollado. La tensión S2 aumenta en sentido contrario al de giro desde el punto B, con arreglo a la
ecuación , hasta alcanzar el umbral del deslizamiento C, de valor S01, que representa la
tensión real de la cinta en la banda superior, y que permanece constante dentro del campo del ángulo de
reserva α’.
La fuerza de arrastre U0 se obtiene de U0 = S01 — S2. En la figura b vemos que, al aumentar la tensión de
la cinta en la banda superior hasta alcanzar el valor S1, la fuerza de arrastre puede crecer hasta llegar a U.
En este momento el coeficiente de seguridad contra el deslizamiento es VR = 1, luego α’= 0 hemos
alcanzado el estado límite inestable entre deslizamiento y contacto.
Prácticamente, el umbral del deslizamiento varía permanentemente con la carga del transportador, es
decir, el ángulo de rozamiento α0 se hace mayor o menor según la carga. Es importante, por tanto, para su
interpretación, el que α0 sea siempre menor que α.
En un transportador de cinta que sea seguro contra el deslizamiento, la tensión máxima de la cinta en la
banda superior no alcanza nunca el valor
En la figura, a se da también el sentido del des1izamieo por alargamiento, contrario al de rotación,
dirigido de B hacia C. Únicamente se origina dicho deslizamiento en la zona del ángulo de rozamiento α0.
En el campo del ángulo de reserva α’, es decir, de C a A, no se produce ningún desplazamiento relativo
entre cinta y tambor.
El agrandamiento de las longitudes del transportador, así como el aumento de los esfuerzos resistentes,
por ejemplo, cuando se emplea una cinta más ancha o una cinta de caucho con un número mayor de
apoyos, elevan las tensiones de la cinta, con lo que sólo se puede lograr un funcionamiento sin
deslizamiento alguno ampliando el ángulo abrazado.
Esto nos lleva al accionamiento de doble tambor,
representado esquemáticamente en la figura.
Una vez abandonado el tambor de descarga, la cinta pasa,
siguiendo la dirección marcada por las flechas,
primeramente sobre el tambor número 1, apoyándose sobre
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la cara de transporte, y luego sobre el número 2, esta vez sobre su cara inferior, pasando a continuación a
la banda inferior. Desgraciadamente, esto hace que en muchos transportadores los coeficientes de
rozamiento en ambos tambores sean diferentes.
En general, y siguiendo la nomenclatura de la figura
siguiente, se puede emplear la fórmula de las tensiones en la
cinta:
Es decir, la fuerza de paso máxima es:
Sólo tendremos una marcha segura contra el deslizamiento cuando la tensión máxima de la cinta en la
banda superior, S01, sea menor que S1.
De la figura siguiente, se deduce la fuerza de paso real
La fuerza tangencial trasmitida, es la fuerza de arrastre:
En los accionamientos de doble tambor, la tensión máxima
S01 de la cinta varía con frecuencia durante la marcha, haciéndolo también la fuerza tangencial o
periférica U0 y, por consiguiente, el ángulo de rozamiento α01. Y este α01 puede llegar a valer incluso
cero. Esto significa que, al transmitir la fuerza tangencial, únicamente se emplea la del tambor 2.
Según la figura, el ángulo de rozamiento es al mismo tiempo el ángulo de deslizamiento
es decir, en él tiene lugar un deslizamiento por alargamiento.
Al aumentar la tensión máxima de la cinta de S01 a S1, y por tanto, el ángulo de deslizamiento de α0 a g
se alcanza el límite de deslizamiento; si continúa creciendo la tensión S1 en la banda superior de la cinta,
ésta resbala sobre el tambor, es decir, el deslizamiento por alargamiento se transforma en resbalamiento.
Las consideraciones hechas hasta aquí suponen que la repartición de las fuerzas tangenciales U1 (o U01) y
U2 sobre los dos tambores 1 y 2 (fig.) se ha realizado según los fundamentos teóricos del rozamiento en
los cables, válidas para las cintas transportadoras
