~1ECANrCA

DE

f L U r DO S

r

CURSO SEMESTRAL PARA ESTUDIANTES DE INGENIERIA CIVIL

__ ___.."_ __ _ ._._...~

_w_~

..

~ Pi~~~ ~:~l"~~,PlI

",,*: 1 CG) el equi 1ibrio es establ e; caso contrario el equil ibrio es inestabl e. En cuerpos no homogneos es posible bajar el G por debajo de C, con lo que se consigue que el equilibrio sea si~mpre estable. El momento restablecedor en el equilibrio estable tiene un valor distinto para cada posicin del cuerpo. Mo '" W . GM sen e =elEy

V o . GM sen e

?8 Equil ibriorelativo de los 19utdo~ Considrese un lquido contenido en un recipiente y que este rectp1eate se desplaza con una aceleracin horizontal' constante . En tales circunstancias la superficie 1ibre se inclina; una parttcula 1iquidO. continOa en reposo con respecto a otra y con respecto a las paredes del recipiente., de modo que rlo hay rozamiento en$r. ellas y el estudio de h reparticion de presiGnes ,puede hacerSe con los pr1nciJ)ios tri ... drostticos.

O

t:j~34

Se presentan tres casos de inters: a} aceleracin horizontal constante: b) aceleracin vertical constante, c) rotacin alrededor de un eje ~ertical, a velocidad angular'constan te. a) Aceleracin horizontal constante.- AverigUemos el -valor delngul inc1inacion e.~.',

Sobre un pa,.Ucula M de 1a superftc1e libre lncl inada actan las ci$ fuerz.. s1gufenttl .

j:* el peso W, vertical; * la fuerza F ejercida por las partculas adyacentes, perpendicular ala superficie libre desde que no hay friccin; puesto que la resultante de estas dos fuerzas debe ser horizontal forma un tringulo rectngulo:R =

se

Wtg em.g tg e ah 9

m. ah

=

tg e =

La inclinacin es pues constante y su valor en un lugar slo de la aceleracin que se da al recipiente. En cuanto a la distribucin de presiones, el prisma elemental sombreado est en equilibrio:r FydAh

depende li'quido

p

p

= O dA = Pa dA + W dA = Pa dA + y P = Pa + y h

h dA

es decil', las superficies de igual presin son paralelas a la superficie libre como la hidrosttica. La superficie libre inclinada representa el diagrama de presiones en el fondo del recipiente y las caras frontal y posterior sufren fuerzas . diferentes. b) 'Aceleracin vertica1,.'c.onstante.- La aceleracin vertical puede ser cendente o descendente. En un, prisma elemental vertical cualquiera en el interior del se verifica:35 ~!

U'qutdl

(PI

P2 . dA - PI . dA - W;: m. a v P2 . dA "- PI . dA - W ;: ~ av P2 . dA - PI' dA ay. h

h

r~~

dA ;:

y hg

dA

2Tp

W

2

P2 ;: PI + y h + 9v

. yh

es decir, por efecto del movimiento ascendente del recipiente lapresin en todo! los puntos del~liquido aumenta con relacin a la presin con el recipiente en reposo. Este efecto es el mismo que experimenta el pasajero de un ascensor durante la subida. Para la aceleracin vertical descendente se obtiene: P2 = PI +y

h -

9v

a

y

h

es decir, si se deja caer el recipiente no hay variacion en la presi~ Pz = PI' En ambos casos de aceleracin vertical las superficies de tgual presin resultan horizontales y por eso paralelas entre si. c) Rotacin alrededor de un eje vertical, a velocidad angular constante, Se supone un depsito c1Hndrico y se trata de averiguar la forma que adquiere la superficie libre.

x~~fw

~w

Sobre una partcula Mde la superficie libre actan las dos f~erzas siguientes:MdY

~9

R

dX~

* el peso W, vertical; *la fuerza F, normal a la superficie libre; la resultante de estas dos fuerzas debe tener la direccin de la acele racin que es hacia el eje de rotacin, de modo que se forma un trian-=gulo rectngulo:R = ti tg

ee

m. aw

2

X

= m. g tg = 9 tg eW

dY 9 dX ;:

2

X

9 dY = w2 X dX36

g Y=w

2 X2

y+C

{

X= O =O C= Oy

y = _w2 _X2 _

2 9

es decir, lasuperTicie 1ibre adopta la forma de un paraboloide de re,'" volucin. Cuando

x=

r

}

y'= h

2 - w2 r 2 _ V h -29-29tange~ial

siendo V la velocidad

gel cilindro.

En ingeniera hidrul ica se conoce a este fenmeno como vrtice forzado, que se resume en la expresin V wr. Comentario.- Cunto desciende el liquido en el eje del cilindro?El paraboloide posee una propfedad conocida, fcil de demostrar. que se refiere a que el volumen de1 paraboloide es la mitad del volumen del cilindro circunscrito.

n

h

Si nn representa el nivel del 1fqui do antes de la rotacin, puesto que no se pierde liquido: volumen nn n'n'=

volumen sombreado dro.

1 =2 volumen cilin-

es decir, 10 que baja el lquido en el centro es igual a 10 que sube en las paredes. Sobre la base de esta informacin resu1 ta mJ.lY fcil estudiar la distribucin de presiones en el fondo y en las paredes del recipiente cilndrico.2.9

Ejemplos dep1 icacin Ejemplo 16.- Determinar cunto desciende aproximadamente la presin atmo~ frica por cada 100 m de ascenso sobre el nivel del mar~ en mm de mercurio y en centmetros de agua. Basta emplear la frmula del ejemplo 15,p _

10,330 e-0.00012 h 10,206.78 kg/m 2=

para

h

= 100

m;p =

~p = 10,33Q - 10,206.78

123.22 kg/m 2

a) ~

Y m

= 123.22 13,600

=

0.009 m ~ 9 mm de Hg

37

Ejemplo 17.- Una tubera que remata en una boquilla conduce un aceite (g.e. 0.75) que desequilibra la columna de mercurio' (g.e. = 13.6) en 1.14 m.Determinar la presin manomtrica del aceite en el punto A.9" 0.75

igualando pres10nes en el nivel nn: pA + 0.75y (0.825 + 1.14) =13.6 y(1.14 )

pA

= 13,600

(1.14) - 750 (1.965)

pA = 14,030 kg/m2 pA = 1.4 kg/cm29. 13.6

Ejemplo 18.- Con referencia a la figura, el punto A esta 53 cm por debajo de la superficfe libre del lquido de g.e. = 1.25. Cul es la pres1n relativa en A si el mercu~fo asciende 34.3 cm en el tubo? ecuacin de equilibrio en trminos de lt~ras de agua:

M_y.o:.

1.25x(0.53) + 13.6y(0.343)=0 x y

,:

34.3cm

M ypA

= -4.0023 m

pA = -4,002.3 kg/m 2

= -0.40 kg/cm 2

Ejemplo 19.- Hallar la fuerza que ejerce el agua 'sobre la compuerta rectangular AB de 2' de ncho,2'

..., .....4'

_>

PA

= yh .. A = 62.4 x =y +

4 x8

= 1997 lb4.33 pi es

P-t---

YC

~ y

2

= 4 +

V=

16

Ejemplo 20.- Hallar la fuerza que ejerce'el agua sobre la compuerta AS de 1 m de ancho: a) usando las frm~las, b) empleando el diagrama de presiones.a)

P

= y n . A = 1,000T + .~ = 7. Sily

x 6 x 5+

= 30,000

kg

2 K_

yC =

130 = 7 78 m38

if

---------------~~

- - - -ro/

4m/

/5m

L

/

111 1

"1 4m ,1

1

b)

P

=

8 y ; 4 y x 5 _

=

30,000 kg-

Ve - 10.00 - j

58y+8y_'8 y + 4 y

7.78 m

Ejemplo 21.-

Determinar' la fuerza en toneladas sobre AB, por metro de ~n~ cho, si la gravedad especfica del agua vara linealment~ de un valor 1.00 en la superficie a un valor 1.02 en el fondo.1,00

a una profundidad genrica h:

}dp dp

g.e.fl _

=1

+

fl

h - 10

0.02

= 0.002 h es decir, g1e. = 1f,

+ 0.002 h y = 1 + 0.002 h ton/m 3

= y dh = (1 + 0.002+

h) dh

J dp = J dhP

f

0.002 h dh+ 0.001 h2) dh

= h + 0.001 h 2 dP = P . dA = P dh = (hf'dP

=J

10

o2

h dh +10o

f . 0.001o

10

h2 dh10

P = (~)

3 + 0.001 (~) (h )

,o

P = 50 + 0.33

= 50.33 Ton.

Ejemplo 22.-

Determinar las componentes por metro de longitud, de la fuer za debida a la presin del agua sobre la compuerta del tipO' tainter mostr'ada en la figura.39

3m

PX =

y

h . A = 1 ,000

x

1. 50

x 3.00

=m

4,500 kg

PZ = y V O' AB OO' Oa

= , 36 =

9

=

5. 20

60 -2- = 301T

Sector OAB = 30

~

r2

2 Sector OAB = 9.42 m

Area 00'6 Area O'AS

=

ix 5,20 x 3 = 7,80 m2= 1,620 kg,

= 9.42 - 7.80 = 1.62 m2

Pz

=

1,000 x 1.62

Ejemplo 23.- La compuerta de la figura tiene 6 m de longitud (perpendic~ larmente al papel}. Determinar, a) el valor de las compone~ tes del empuje sobre la compuerta, b) la posicin de cada componente._ _ _ _ _ _ _ _ ... _ _ _-=.3.:.:.;m;......---,.____0

1m

2m.

p

dZ

40

a}

P = y h . A = (1,000)(1.000)(2 x 6) = 12,000 kg

x

R-

= 18

=R-

2.828

a

= arc

sen j = 70.53 0

sectorao

2 1f r =""3'bQO

2 Sector OBe = 5.54 m Area OBO = 1.414 i Area OBC = 5.54 -iJ.41p = y . V OBC

. = 4.13

2 m

z

o

= 1,000 x 4.13 x 6 ==

24,780 kg

1 +1 x 23

2,33 m

momentos con respecto a ~

Pz . dz - Px . dx = O - Px . dx _ 12,000 dZPZ~

x

2,33

24,780

d

Z

= 1.13 m

Ejemplo 24.-

Si un cierto cuerpo (Ycl flota en un Hquido (y), qu 'p~ .. cin del volumen quedara por encima del nivel del lquido?

W= EYc Vc = y Vsy V V =~ s y

veVe

Y Yc Vc c = Ve (1--) = Ve - V = Ve - - y y s1

~=

Y cy

-1

Demostrar que si en el 1quido contenido en un recipiente prismtico' de rea A flota un cuerpo, el volumen sumergido es $lo funcin de A y el incremento de nivel del liquido (t:.h).

Ejemplo 25.-

V s~4h

=

VI + V 2+ V 3+V 4

= VI=

A. t:.h

A

A

41

En un lquido conocido (y) contenido en un recipiente prism tico de rea A se hace flotar un cuerpo de peso especfico ~ Yc- desconocido y se mide el incremento en el nivel del lfquido (~h1). Lue go se sumerge ntegramente el cuerpo y se mide el incremento adicional de nivel (~h2). Determinar el peso , especfico del cuerpo.

Ejemplo 26.-

h=--+-+-----ft;--- : - - - - - - - -

____ ./'1- ______ .____ _

t

h2

OAAA

V s

=A .

~h1

W= E

Ejemplo 27. -

Encontrar la relacin que debe haber entre el dimetro lO) y la altura (H) de un cilindro homogneo (Yc) para que flote con su eje vertical en equilibrio estable en un fluido y.

""'!!F"

profundidad de inmersin:

W= EG o

'r

Hh

e "

h

= -y

Ye

H

Condicin de equilibrio estable:

CM6il1TD2

>

CGy D

1TD 4

2

4

.

h

16 Y

c H

--

CG =

"2 - -"2 ... '2 - --:;2

H

h

H

Yc H

=

"2 ( 1

H

~

y)42

Yc

es decir,

16

y Oyc

2

H

>!!.2>

(1 _ yc)y

02

2 8 c H Yc Y (1 - - )y y

Ejemplo 28.-, Estudiar la estabilidad del cajn cuyas dimensiones se indican en la figura y cuyo peso es de 2.88 toneladas. ecuacin de equilibrio:1.20

W= E.2.88 = 1 x 1.80 x 4 x hh = 0.40

m

estabilidad respecto del eje BB: _ lo CM = -

V o

4m.

V o

= l.iO x 4 x 0.40 = 2.880.67 m

3 m

-

CM

94 =1 2:88 =

CG

= 0.30

- 0.20

=

0.10

es decir, CM

>

CG

cajn estable.

estabilidad respecto del eje AA: _ lo CM = V o . 3 1 = 1.80 x 4 - 9 60 4o

12

-.

m

V

o

= 2.88

3 m

CM = 9.60 = 3.33 m 2,88 CG=O.lOm

es decir, CM

CG

el cajn es ms estable an.

Ej emp lo 29.- Si a un recipiente abierto que contiene un lquido (y) en re poso se le aplica una aceleracin inclinada cul es

a.

,a

43

inclinacin de la superficie libre?

en una partfcula Mde la. sup~rfict!. Ubre actan las fuerzas P y Wque dan una resultante en la d1reccion de a.W R = m.a=g.a

R=F+Wes decir,

{

RX Ry

= =

FX + WX Fy + W y

R cos

a

... R sen a = F cos e - Wa

= F sen

tl

+ O

sen e

= R COS F

cose = R senFa + Wy .

= Vi ds 4> =

J Vi ds

de manera que se puede graficar la curva 4> versus s como consta en la misma figura. En seguida se toman incrementos iguales ~4> y se determinan los valores de s para los puntos MI. M2' etc. Estos puntos pueden ahora ser ubicados sobre la l.c. Apoyados en los puntos contiguos .M i _1 Mi' se trazan dos rectas que formen 45con la tangente a la l.c. ljJl' las cuales se cortan en Pi que pertenecera a 1a 1 .c. ,1, '1'1 + ~ 2#

Re completa.

Repitiendo el procedimiento con los nuevos puntos encontrados se traza

la

En la reiteracin del procedimiento la vi en una l.c. interior se determina con la ecuacin de continuidad:116

V o lino Vi

= vi

Mi

V lino = oMi

Una vez obtenida la RC definitiva, la presin en un punto cualquiera se de termina con la ecuacin de Bernoulli:=

vi Zi + Y + 2gPi(H o - Zi) -

2

Piy

=

-zg

vi

2

La figura siguiente muestra la RC definitiva.

5.6 Otros mtodos de estudio del flujo plano El contenido de este apartado es un compendio de lo que est tratado en el libro Hidrulica General, volumen 1, de Gilberto Sotelo Avila. 5.6.1 Trazado de la

Re

por mtodos numricos

I

I

I

60 60 60 (.Lf/Lh'

f/ /.

60

'J//

60'J

60

"

60 J

'J.

60

60~:~t

60

60

48

~

I

2

36

,--- ---' --- - - - --- - o --- /4 9 1/2- - /3 --- - ---- --- JI!J? --- --- -0/'////0 /9 r'6' /rZo10

_ e--- 40 ---- - --- -- -- --3 4 5 6 ---- ~..r.r~ - - - - --- ---- --1V,24/115

-~

/6

-

~

/7

18

.''

-2/o~-

22

--- --23

~ 1'/

~J

///

--

24

o

oI '-, ..

.'

~//////

o

o

"/

o

//

'/

o117

x

Los mtodos numerlCOS se basan en la solucin de la ecuacin de La Place por diferencias finitas. La descripcin se har para la contraccin que se muestra para un gasto de 60 lps.12

El campo de flujo, incluyendo las fronteras, se cubre con una malla de cuadrados paralela a un ststema de ejez X, Y, con cualquier origen. El tamao de los cuadrados (h) recibe el nombre de intervalo de la red y debe ser lo mas pequeo posible para lograr mayor precisin.A un punto genrico

2~

o corresponde la estrella regular:

La funci6n 6

,

efectiv~mente.

Ejemplo 82.- Bajo condiciones normales, en el canal trapezoidal que se . muestra el tirante de ~gua es 1.20 m. Si en condiciones extraordinarias el caudal se puede ver incrementado en 50%, Cul serta el tirante de agua en tal caso?,K = 0,15111 s= Q.Q00125v

2 = 1.3 x 10-6 m IS9

,

4m

,

~.

12 suponer que el flujo es turbulento. Se puede usar Cbezy, 22 averiguar si el contorno es hidrultcamente liso o rugoso, 2 A = 6.72 m p = 8 roR=

~

:::

0.84 m=

v*::: Ig R S v* v

0,032 m/sg

=

11.6v

= 11.~v*

=

0,00047 m

K> 6 15 .,.

el contorno es hidrulicamente rugoso,=

e=V

18 log 12 R K

32.9

= e llfS =

0.34

m/s9

170

R e

=

VI R = 2,285v

>

500,

el flujo es turbulento.

Q= A4~

V

3 = 2.27 m /sg

nueva situacin: A'pi=

Q'

= 1.5

3/sg Q ::: 3.41 m

4 di + 1.33 d l2+ 3.33 d'

=4

A' R' ::: pT v*I

I

:::

I g R S

=

11.6 v

v*

I

el = 18QI ::: Al.

10g 12 R'

K

e'

~

probando diferentes valores del nuevo tirante di se encuentra que la ecuacin se satisface para d' ~ 1.50 m. 8.7 Frmula emprica de Hazen-Williams Antes de que se conocieran las frmulas de tipo logartmico descritas en el apartado 8.5, las nicas disponibles para el diseo eran las de tipo . exponencial de la forma:V ::: a D SYX

V velocidad media O dimetro S pendiente de la linea de energla a . coeficiente de friccin x. y . exponente~ Una de ellas, de uso an cotidiano, es la frmula de Hazen-Wflliams: V ::: 0.8494 eH RO. 63 SO.54 (65JV velocidad media en m/sg radio hidrulico en m RSh

pendiente de la lnea de energa o prdida unitaria de carga ::: f , adimensional. L coeficiente de rugosidad de Hazen-Wflliams, que salo depende del material del tubo.171

La frmula es vlida dentro de las siguientes limitaciones:

* * * * *

tuberas rugosas. conduccin de agua. flujo turbulento. dimetro mayor de 2". velocidades que no excedan de 3 m/sg.

Otras formas tiles de la (65) son: V = 0.3547 eH 00 ;63 SO.54V m/sg

... ,

(65a)

o ... dimetro en m.0. 63 SO.54 (65b)

V = 0.0351 eH

V

o ...

m/sg pg I ,

Q = 0.2786 eH D2 63 5. 54Q3/sg caudal en mO m.eH 0

(65c)

Q = 0.0000178

2 . 63 554

.. ,(Q5d)

Q

3/sg m O ... pg.

valores de eH acero acero acero acero acero acero corrugado con" juntas. nuevo galvanizado. nuevo y usado remachado. nuevo remachado. usado soldado, nuevo ~cero soldado, usado acero soldado con revestimiento, nuevo y usado fierro fundido, nu~vo fierro fundido, usado fierro fundido, viejo plstico asbesto-cemento. nuevo cobre y latn conductos con acabado de cemento pul ido concreto acabado liso concreto acabado comn tubos de barro vitrificado (drenes)60 135 125 110 85 12090

130130

11090

150 135 130 100 130 120 110

172

8.8

Prdidas

loca~es

(tomado de la referencia 3 de la Bibliografa)2 V

Cada prdida local se expresa en la forma:= K 2g

(66)

donde:h

prdida de carga en m. p1 K coeficiente sin dimensiones V velocidad media en m/sg, aguas abajo de la singularidad, salvo indicacin en contrario.

Enseguida se presentan los valores de K de acuerdo con la singularidad. Prdida por entrada

,-K = 0.5

L

L(K= 0.5 + O~ 3 cos e + 0.2 cos 2eK .. O.15 - O. 25

LIr/D 0.04 0.08 0.12 0.16 >0.2 K 0.26 0.150.09 0.06 1

K = 0.05 - 0.10 si

*>0.2 y

V > 2 m/sg.K :::: O.

De lo contrario Si el tubo es

La entrada elptica es la que produce el mnimo de prdida. circular la ecuacin de la elipse es:x

2

+

2y

= 1

(0.5 0)2

(0.15 D)2173

., .

~,

(67)

Si es de seccin rectangular la ecuacin es:+ 2y~ = 1

(0.33 H)2

... ,

(68)Para la foma de

para definir la forma del perfil superior e i"nferior, los perfiles laterales se utt1iza P en vez de H. Prdida por rejilla Para rejillas parcialmente sumergidas.FormaC,

OO O O O O O2.421.83 l67 1.03 Q92 0.76 L79

Flujo Vo

l

000con el flujo normal al plano de la rejilla:L