mcd y mcm

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Prof. Mauricio Gustavo Silva Macavilca

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TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA

• Todo número entero positivo mayor que la unidad se puede expresar como la multiplicación indicada de sus divisores primos diferentes , elevados cada uno de ellos a exponentes enteros positivos. Esta representación es única, salvo el orden de sus factores. A esta representación se le denomina: Descomposición Canónica del Número.

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El Máximo Común Divisor (MCD)

Es el mayor de los divisores comunes de varios números.

Ejemplo

Sean los números 18 y 2418 : 1; 2; 3; 6; 9 24 : 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24

Divisores Divisores

Divisores Comunes son: 1; 2; 3; 6El mayor divisor común es: 6Entonces el MCD = 6

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El Mínimo Común Múltiplo (MCM)

Es el menor múltiplo positivo de varios números.

Ejemplo

Sean los números 6 y 86: 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; …….

8 : 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; …………

Se puede apreciar que los múltiplos comunes son: 24; 48; 72; ……El menor de estos múltiplos es: 24Entonces el MCM = 24

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Métodos para Calcular el MCD y MCM

POR DESCOMPOSICIÓN SIMÚLTANEA

Se extrae de los números de los números , los factores comunes hasta obtener números PESI, el producto de los factores extraídos es el MCD de dichos números.

MCD

Se extrae de los números de los números , los factores comunes y no comunes, hasta obtener la unidad en cada uno de ellos, el producto de los factores extraídos es el MCM de dichos números.

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POR DESCOMPOSICIÓN SIMÚLTANEA

MCD MCM

Para el MCD es igual al producto de los factores primos comunes de todas las cantidades elevados a sus menores exponentes.

Dado un conjunto de cantidades con sus respectiva descomposición canónica.

Para el MCM es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes de todas las cantidades elevados a sus mayores exponentes.

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Mínimo Común MúltiploMCM

Máximo Común DivisorMCD

Descomposición en factores primos

Comunes elevados a la menor potencia

Comunes y no comunes elevados a la mayor potencia

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Algoritmo de EuclidesPOR DIVISIONES SUCESIVAS

Este método solo es utilizado para el cálculo del MCD de dos cantidades.

C1 C2 C3 C4 A B R1 R2 R3 MCD R1 R2 R3 0

1812 672 468 204 60 24 12

468 204 60 24 12

2 1 2 3 2 2

0

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2 1 2 3 2 2

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PROPIEDADES DEL MCD Y MCM

1. Se tienen 2 números A y B primos entre sí (PESI) MCD (A y B) = 1 MCM (A y B) = A x B

3. Si el MCD (A; B ; C) = K MCD ( An ; Bn ; Cn ) = Kn

MCD ( nA ; nB ; nC ) = nK MCD ( A ; B ; C ) = K n n n n

º2. Si un número A con tiene a otro B ( A = B) MCD (A y B) = B MCM (A y B) = A

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4. Si el MCM (A; B ; C) = m MCD ( An ; Bn ; Cn ) = mn

MCD ( nA ; nB ; nC ) = nm MCD ( A ; B ; C ) = m n n n n

5. Los cocientes de dividir a varios números enteros por su respectivo MCD son PESI. Si: MCD(A; B; C) = d A = p B = q C = r d d d Donde: p; q; r son PESI A = dp B = dq C = dr

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6. Los cocientes de dividir el MCM de varios números entre cada uno de ellos son PESI. Si: MCD(A; B; C) = m α = m β = m Φ = m A B C

7. La propiedad solo se cumple para dos números: El producto de dos números es igual al producto de su MCD y su MCM. MCD (A;B) = k MCM (A;B) = m A x B = k x m

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Nos vemos en la próxima clase

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Elena tiene cubos de 12, 16 y 18 mm. Ella desea hacer tres torres, una

con cada tipo de cubo, éstas deben ser lo más pequeñas posible y de la

misma altura. ¿Qué altura, en milímetros deberán tener las torres?

A) 36

B) 48

C) 144

D) 288

Fortaleza: El sustentante es capaz de calcular el

MCD o el mcm para resolver un problema de la vida real.

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La figura representa la casa que va a pintar Martín.

Si sólo tiene que encargarse de las paredes sombreadas, ¿cuántos metros cuadrados va a pintar Martín?Considere pi = 3.14

A) 32

B) 35

C) 36

D) 38

Fortaleza: El sustentante es capaz de solucionar

un problema similar a los que resuelve en el aula, que implique

calcular la superficie de dos o tres caras de un cuerpo tridimensional.

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