15

Akreditacija: Ministarstvo prosvjete i kulture RS broj: 6-01-353/05; registracija, Osnovni sud Banja Luka. Tel: 00387 (0) 51 349 580 fax: 349-581; dekanat: 00387 (0) 51 349 582, Management 322 850, Odjeljenje u Bijeljini 00387 (0) 55 225 999; Odjeljenje u Travniku

00387 (0) 30 517 454

Predmet: Viša matematika

SEMINARSKI RAD Matrice

Profesor: Student: Esad Jakupović Tuševljak Njegoš

Banja Luka januar 2009 godine

15

Sadržaj :

1. Uvod 3

2. Determinanta matrice 4

2.1. Pojam, način izračunavanja i osobine determinanti

4

3. Izračunavanje determinanti drugog i trećeg reda

4

4. Osobine determinanti 6

5. Inverzna matrica 6

5.1. Način izračunavanja inverzne matrice

6

6. Rang matrice

8

7. Elementarne transformacije matrice

9

8. Matrične jednačine

11

9. Primjena matričnih jednačina 13

10. Literatura

15

15

1. UVOD

Da bi smo mogli govoriti o matričnim jednačinama potrebno je

prvo znati šta je to matrica, njene osobine te kako se vrše osnovne

operacije sa matricama.

Matrica (MxN) definiše se kao pravougaoni raspored realnih brojeva

svrstanih u M redova i N kolona.

Matrice mogu korisno poslužiti pri rješavanju mnogih problema a

naročito u svrhu rješavanja sistema linearnih jednačina.

kolona

red

Brojevi aij (i= 1,2,…,M ; j= 1,2,…,N) su elementi matrice A. Član aij se

obično upotrebljava za označavanje tipičnog elementa matrice A.

Broj redova i kolona, dan s MxN, zove se red ili dimenzija matrice.

Matrica reda 1x1 je skalar (jedan red, jedan kolona).

Matrica reda Mx1 zove se vektor kolona (samo jedan kolona).

15

Matrica reda 1xN zove se vektor red (samo jedan red).

Matrica s jednakim brojem reda i kolona je kvadratna matrica.

Dijagonala matrice je kvadratna matrica čiji je svaki element izvan

glavne dijagonale jednak nuli.

Ovo su samo neki od osnovnih pojmova koje je potrebno poznavati da bi

lakše riješili matričnu jednačinu. Međutim, da bi se riješila matrična

jednačina potrebno je izračunati njenu determinantu, inverznu matricu,

rang ili izvršiti potrebne transformacije da bi se izračunao rang matrice.

2. DETERMINANTA MATRICE

2.1. Pojam, način izračunavanja i osobine determinanti

Stroga definicija determinante matrice, baš kao i stroga definicija

matrice je matematički dosta zahtjevna stoga je nećemo ovdje navoditi.

Smatrat ćemo da je determinanta kvadratne matrice A RNxN realan broj

pridružen toj matrici. Označavat ćemo ga sa det A ili . Napomenimo,

da se determinanta pridružuje isključivo kvadratnoj matrici. Ukoliko je

matrica formata NxN, za determinantu pridruženu toj matrici kažemo da je

reda N.

3. IZRAČUNAVANJE DETERMINANTI DRUGOG I TREĆEG REDA

Neka je proizvoljna matrica formata 2x2.

Po definiciji je .

15

Dakle, determinanta drugog reda se izračunava tako što se od

proizvoda elemenata na glavnoj dijagonali (ad) oduzme proizvod

elemenata na sporednoj dijagonali (bc) te determinante.

Primjer. Izračunajmo determinantu matrice .

Imamo determinantu .

Neka je proizvoljna matrica formata 3x3. Determinantu

matrice A

ćemo izračunati na sljedeći način:

s desne strane determinante ćemo dopisati prve dvije kolone

matrice A

a zatim množimo elemente na tri glavne dijagonale, saberemo ih

i od tog zbira oduzmemo zbir elemenata sa tri sporedne dijagonale.

Imamo:

Postoje i drugi načini izračunavanja determinanti trećeg reda ali je ovaj

najjednostavniji pa ćemo ga stoga i koristiti.

Primjer. Izračunajmo determinantu matrice

Imamo:

15

4. OSOBINE DETERMINANTI

U prethodnom primjeru uočili smo da ukoliko u determinanti postoji

dosta nula, lakše je izračunati njihovu vrijednost. Sada ćemo navesti

nekoliko osobina determinanti, pomoću kojih ih je lakše izračunati.

Za svaku kvadratnu matricu A je det A= det AT.

Ako su u matrici A elementi jedne vrste ili kolone jednaki ili

proporcionalni elementima druge vrste ili kolone, determinanta je

jednaka nuli

Determinanta se množi (dijeli) brojem različitim od nule tako da se

elementi jedne vrste ili kolone determinante pomnože (podijele) tim

brojem

Ako dvije vrste ili kolone zamijene mjesta, determinanta mijenja

predznak

Vrijednost determinante ostaje ne promijenjena ukoliko sve elemente

neke vrste ili kolone pomnožimo sa nekim realnim brojem i saberemo

sa odgovarajućim elementima neke druge vrste ili kolone.

Za kvadratne matrice A i B, istog formata, vrijedi det(AxB)= det A x

det B.

5. INVERZNA MATRICA

Matricu A za koju vrijedi A x A-1= A-1 x A= EN, zovemo inverznom

matricom matrice A. Ukoliko je det A= 0, onda matrica nema inverznu

matricu i takva matrica se naziva singularna matrica.

Ukoliko je det A 0, matrica je invertibilna i vrijedi:

A-1= 1/ detA x A*

5.1. Način izračunavanja inverzne matrice

Neka je dana matrica A(aij)nxn. Inverznu matricu matrice A

izračunavamo na sljedeći način:

15

Izračunamo determinantu detA matrice A, ukoliko je ona jednaka 0

onda matrica nema inverzne tako da je ne možemo ni izračunati,

međutim, ako je detA 0, onda idemo na sljedeći korak

Odredimo kofaktore Aij svih elemenata aij matrice A

Formiramo matricu kofaktora, pa je transponujemo, na taj način smo

dobili matricu A*= (Aij)T

Podijelimo matricu A* sa det A

Na taj način smo dobili matricu A-1= 1/ detA x A*

Primjer. Ispitajmo da li matrica ima inverznu matricu i

ukoliko ima odredimo je.

Izračunajmo determinantu matrice A.

Vidimo da je det A 0, pa dana matrica ima inverznu, sad prelazimo na

sljedeći korak, izračunavanje kofaktora svih elemenata matrice A. Imamo:

Dobijene kofaktore složit ćemo u sljedeću matricu , koju

ćemo transponovati da bismo dobili A*= = .

Sada je A-1= .

15

Provjerimo na kraju da li je rezultat tačan. Da bismo to uradili moramo

pomnožiti matrice A i A-1 i vidjeti da li je njihov proizvod matrica E3.

Imamo:

AxA-1 = = E3. Dakle, matrica A-1 jeste

inverzna matrica matrice A.

6. RANG MATRICE

Neka je proizvoljna matrica formata MxN.

Ukoliko ta matrica nije kvadratna, ne možemo izračunati njenu

determinantu. Međutim, od kolona i vrsta matrice A moguće je formirati

submatrice matrice A koje su kvadratne. Ako je B submatrica matrice A

formata rxr kažemo da je ta submatrica reda r. Ukoliko je, npr. M<N, tada

je M najveći red kvadratne submatrice koju je moguće formirati pomoću

kolona matrice A. Ako je matrica A kvadratna, tada je sama matrica A

svoja submatrica, reda M=N, a moguće je formirati i submatrice reda N-1,

N-2 i td. Nakon što formiramo kvadratne submatrice matrice A možemo

izračunati njihove determinante. Vrijednost determinante submatrice

može biti različita od nule i jednaka nuli. Red submatrice najvećeg

mogućeg reda, čija determinanta je različita od nule zovemo rangom

matrice A.

Primjer. Determinanta matrice jednaka je nuli, što

znači da je red matrice manji od 4, tj. može biti najviše 3. Da bismo

ustanovili da li je red matrice jednak 3 ili manje, po definiciji morali bismo

formirati sve submatrice matrice A reda 3 ( to bi zapravo bili kofaktori

15

elemenata matrice A, njih 16) i vidjeti da li među njima postoji neka koja je

različita od nule. Ukoliko postoji, tada bi rang matrice bio jednak 3.

međutim, ako je svih 16 determinanti reda 3 jednako nuli tada bismo

morali izračunavati determinante reda 2.

Vidimo da je ovakav način određivanja ranga matrice veoma

komplikovan, zbog toga ćemo u narednom paragrafu objasniti kako se na

mnogo elegantniji način može određivati rang matrice.

7. ELEMENTARNE TRANSFORMACIJE MATRICE

Elementarne transformacije matrice su one transformacije nad

vrstama (rredovima) ili kolonama (stupcima) matrice koje ne

mijenjaju njen rang. To su sljedeće transformacije:

Međusobna zamjena mjesta dva reda ili kolona matrice

Množenje elemenata bilo kog reda ili kolone matrice realnim brojem,

različitim od nule

Sabiranje elemenata jedne vrste ili kolone matrice sa odgovarajućim

elementima druge vrste ili kolone, prethodno pomnoženim nekim

brojem

Matrice koje se mogu transformirati iz jedne u drugu elementarnim

transformacijama zovemo ekvivalentne matrice. Ekvivalentne matrice

imaju isti rang. Ako su A i B ekvivalentne matrice, pišemo A~ B.

Svaku matricu možemo elementarnim transformacijama svesti na

tzv. „trapezni oblik“ pomoću kojeg je lako odrediti rang: rang trapezne

matrice jednak je broju vrsta te matrice koje nisu sastavljene od svih nula.

Pokažimo to na sljedećim primjerima:

Primjer. Odrediti rang matrice .

15

Data matrica je formata 4x4 pa je njen maksimalni mogući rang 4.

Pri određivanju ranga koristit ćemo se elementarnim transformacijama

matrice na sljedeći način:

U prvoj koloni matrice A, u drugoj, trećoj i četvrtoj vrsti trebamo

dobiti nule. To ćemo uraditi transformacijama nad vrstama. Prvu ćemo

prepisati, zatim ćemo drugu vrstu sabrati s prvom i dobiti matricu

. Zatim ćemo od prve vrste oduzeti treću vrstu i dobiti

matricu . Na kraju, od četvrte vrste ćemo oduzeti prvu

vrstu pomnoženu sa 2 i dobiti . Sada smo u prvoj koloni

dobili nule ispod elementa 1, trebamo dobiti nule u trećoj i četvrtoj vrsti

druge kolone. Prvu i drugu vrstu ćemo prepisati. Ostalo je samo da

saberemo treću vrstu s drugom, jer u četvrtoj vrsti već imamo nulu gdje

nam je potrebna. Dobijemo matricu . Na kraju, potrebno je u

trećoj koloni dobiti nulu u četvrtoj vrsti. To ćemo dobiti tako što prve tri

vrste prepišemo, a od četvrte vrste

oduzmemo treću. Imamo . Sada smo završili sa

elementarnim

transformacijama nad matricom A, jer smo dobili trapeznu matricu

(potrebno je da ispod elemenata glavne dijagonale matrice budu sve

15

nule). Pogledajmo sada koliko ova matrica ima vrsta koje nisu sastavljene

od svih nula. Vidimo da ih ima 3. Dakle, rang matrice A jednak je 3.

8. MATRIČNE JEDNAČINE

Jednačine oblika A+X=B, A*X=B i sl. u kojima je nepoznata varijabla

matrica nazivaju se matrične jednačine. Očigledno je da matrična

jednačina A+X=B, za matrice A,B formata MxN ima jedinstveno rješenje,

matricu X=B-A.

Primjer. 1 i

A+X=B, X=?

X=B-A

Rj:

Možemo vidjeti da je rješavanje ove vrste matričnih jednačina

veoma jednostavno, međutim, to nije slučaj sa jednačinom A*X=B ili

Y*A=B, pri čemu pretpostavljamo da su matrice odgovarajućih formata.

Ukoliko je matrica A kvadratna i invertibilna (napomenimo da

samo za kvadratnu matricu možemo govoriti o invertibilnosti)

tada gore navedene jednačine imaju jedinstveno rješenje X=A -

1*B, odnosno, Y=A-1*A. Pri rješavanju ovakvih jednačina potrebno

je voditi računa o tome s koje strane matrica A množi nepoznatu

X, odnosno Y,jer množenje matrica nije komutativno.

Primjer. 2.

15

i

A * X = B, X=?

X=B*A-1

A-1- inverzna matrica matrice A, koja se po formuli izračunava:

A-1= 1/ detA x A*

det A = = ( 1x2x0+2x(-4)x2+(-3)x(-1)x3) – (-3)x2x2-(-

4)x(-1)x1-0x3x2= = 0+(-16)+9+12-4-0= =-16+9+12-4= =-20+21= 1

A*= =

A-1 =

X =

Rj: X =

Jednačine A*X=B i Y*A=B mogu imati rješenje i u slučaju da

matrica A nije kvadratna matrica, kao i u slučaju da matrica A

jeste kvadratna ali nije invertibilna. U tom slučaju jednačina može

imati i beskonačno mnogo rješenja. Također, može se dogoditi da

u ovom slučaju jednačine nemaju rješenja.

9. PRIMJENA MATRIČNIH JEDNAČINA

15

Kada govorimo o primjeni matričnih jednačina onda se moraju

spomenuti sistemi od M jednačina sa N nepoznatih koji se najjednostavnije

rješavaju pomoću matrica. Ovi sistemi su jako bitni za određivanje

ravnotežnog stanja ili ekvilibriuma što se najčešće koristi u ekonomiji.

Sistem jednačina od M jednačina sa N nepoznatih x1,x2,…,xN je skup

jednačina oblika:

Matrice za rješavanje sistema možemo koristiti na različite načine.

Prije svega svaki sistem jednačina se može napisati u matričnom obliku.

Ukoliko je matrica sastavljena od koeficijenata uz nepoznate, tu

matricu zovemo matrica sistema. Vektor kolona zove se kolona

slobodnih članova, a vektor kolona , kolona sa nepoznatim. Uz

navedena oznake, gore navedeni sistem možemo napisati kao matričnu

jednačinu AX=B. Ukoliko je matrica A kvadratna, tj. broj nepoznatih u

sistemu jednak je broju jednačina, i ukoliko je det A 0, tada sistem

jednačina ima jedinstveno rješenje dato sa X= A-1×B. Ako matrica A nije

kvadratna onda sistem ne može imati jedinstveno rješenje. Može imati ili

beskonačno mnogo rješenja ili nemati rješenja, što je lakše utvrditi

pomoću Kronecker- Capellievog metoda za rješavanje sistema, međutim

mi ga ovdje nećemo koristiti iz jednog razloga jer nije sadržan u temi

maturskog rada.

Primjer.

X1+2X2= 4

-2X1+3X2+X3=6

2X2-X3=2

Prvo, ovaj sistem moramo napisati u matričnom obliku, gdje će nam biti

, matrica sistema, vektor kolona , kolona slobodnih

15

članova, i vektor kolona , kolona sa nepoznatim. Naša jednačina

sada izgleda ovako A×X= B. X=A-1×B

A-1= =

X= ×

Rj: X1=4/9, X2=16/9, X3=14/9

Matrična metoda rješavanja sistema jednačina je naročito zastupljena u

ekonomiji prilikom računanja nacionalnog dohotka i dr.

10. LITERATURA:

1. Enes Jakupović, Viša matematika, Banja Luka 2008 godine

2. Internet

15