[Mathvn.com] cac chu de ltdh - van-phu-quoc

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

1

Chủ đề 1 : HÀM SỐ 1. Cho hàm số: 3 24 3y x m x mx . Tìm m để

a) Hàm số đồng biến trên b) Hàm số đồng biến trên khoảng 0;

c) Hàm số nghịch biến trên đoạn 1 1;2 2

d) Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài 1l .

2. Tìm m để hàm số: 3 21 11 3 23 3

y mx m x m x đồng biến trên khoảng 2; .

3. Tìm m để hàm số: 3 23 1 4y x x m x m nghịch biến trên khoảng 1;1 .

4. Tìm m để hàm số: 3 21 3 23

my x mx m x đồng biến trên .

5. Tìm m để hàm số: 3 21 2 1 13

y mx m x m x m đồng biến trên ;0 2; .

6. Cho hàm số: 4 2 22y x mx m . Tìm m để: a) Hàm số nghịch biến trên 1; ; b) Hàm số nghịch biến trên 1;0 , 2;3

7. Cho hàm số 2 2

1x x my

x

. Tìm m để:

a) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. b) Hàm số nghịch biến trên các khoảng 0;1 , 2;4 .

8. Chứng minh rằng với mọi m hàm số: 2 31 1x m m x m

yx m

luôn đạt cực đại và cực tiểu

9. Tìm m để hàm số: 4 2 29 10y mx m x có ba cực trị. (B-2002).

10. Tìm m để hàm số: 3 3y x m x đạt cực tiểu tại điểm 0x .

11. Tìm m để hàm số: 3 2 2 21 2 3 1 53

y x m m x m x m đạt cực tiểu tại 2.x

12. Tìm m để hàm số: 2

1x mxy

x

để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực

trị của đồ thị hàm số bằng 10 .

13. Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị mC của hàm số 2 1 1

1x m x m

yx

luôn luôn có

điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 . (B-2005).

14. Tìm m để hàm số: 2 22 1 4

2x m x m m

yx

có cực đại cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị

của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O. (A-2007). 15. Cho hàm số: 4 22 2y x mx m . Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu lập thành:

a) Một tam giác đều b) Một tam giác vuông c) Một tam giác có diện tích bằng 16. 16. Tìm m để hàm số: 3 22 3 1 6 1 2y x m x m m x có cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng 4 0.x y 17. Tìm m để hàm số: 3 2 7 3y x mx x có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng 3 7 0.x y

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


2

18. Tìm m để hàm số: 3 2 23 1 2 3 2 1y x m x m m x m m có đường thẳng đi qua điểm

cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng 4 20 0x y một góc 045 . 19. Tìm m để hàm số: 3 2 23y x x m x m có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng

2 5 0x y .

20. Cho hàm số: 3 22 os 3sin 8 1 os2 13

y x c x c x

a) Chứng minh rằng với mọi hàm số luôn có cực đại và cực tiểu. b) Giả sử rằng hàm số đạt cực trị tại 1 2, xx . Chứng minh: 2 2

1 2 18x x .

21. Tìm m để hàm số: 3 21 13

y x mx x m có khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là

nhỏ nhất.

22. Tìm m để hàm số: 4 21 34 2

y x mx chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.

23. Tìm m để hàm số: 2 3 2 1

1mx mx my

x

có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục Ox

24. Tìm m để hàm số: 2 2 3 22

x m x my

x

có cực đại, cực tiểu đồng thời thoả mãn

2 2 12CD CTy y .

25. Tìm m để hàm số: 3 2 2 22 1 4 1 2 2012y x m x m m x m m đạt cực trị tại hai

điểm có hoành độ 1 2, xx sao cho 1 21 2

1 1 12

x xx x .

26. Tìm m để hàm số 1:mC y mxx

có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm cận xiên

bằng 12

. (A-2005).

27. Tìm m để hàm số: 3 21 11 3 23 3

y mx m x m x đạt cực trị tại 1 2, x x thoả 1 22 1x x .

28. Tìm m để hàm số: 3 2 2 20112 1 4 3 20123

y x m x m m x m đạt cực trị tại hai điểm

1 2, x x sao cho 1 2 1 22A x x x x đạt giá trị lớn nhất.

29. Tìm m để hàm số: 3 21 5 4 43 2

y x mx mx đạt cực trị tại 1 2,x x sao cho biểu thức

222 1

2 21 2

5 125 12

x mx mmAx mx m m

đạt giá trị nhỏ nhất.

30. Tìm m để mC : 4 22 1y x m x m có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA BC với O là gốc toạ độ, A là điểm thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. (B-2011). 31. Tìm m để 3 2: 3 2C y x x có điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường tròn

2 2 2: 2 4 5 1 0mC x y mx my m .

32. Tìm m để điểm 3;5A nằm trên đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

3 2: 3 3 6 1mC y x mx m x .

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


3

33. Tìm tất cả các giá trị m để 3 21 1: 1 2 1 13 2mC y x m x m x có hai điểm cực trị có

hoành độ lớn hơn 1.

34. Tìm m để đồ thị 4 21: 3 1 2 14mC y x m x m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác

có trọng tâm là gốc toạ độ O. 35. Tìm m để 4 2: 2 2mC y x mx có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại

tiếp đi qua điểm 3 9D ;5 5

.

36. Tìm m để đồ thị 3 2: 3 C y x x m có hai điểm cực trị A, B sao cho 0AOB 120 .

37. Tìm m để đồ thị 4 2 2: 2 1 1mC y x m x m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất. 38.Tìm m để đồ thị 4 2 2: 2 2 4mC y x mx m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.

39. Tìm m để hàm số 3 2 2 20121 1 3 . 2011 3 2 my x mx m x m C đạt cực trị tại 1 2,x x đồng thời

1 2,x x là độ dài của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 102

.

40. Tìm m để đồ thị 4 2: 2 2mC y x mx có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ làm trực tâm. 41. Tìm m để hàm số: 3 2 32 3 2 6 5 1 4 2y x m x m x m đạt cực tiểu tại điểm 0 1; 2x

42. Tuỳ theo tham số m, hãy tìm tiệm cận đối với đồ thị của hàm số: 2 6 2

2mx xy

x

.

43. Cho hàm số: 2x x myx m

. Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên đi qua điểm 2;0A .

44. Cho họ đồ thị 2 1:

1mx mxC y

x

. Tìm m để tiệm cận xiên của mC tạo với hai trục tạo độ

một tam giác có diện tích bằng 8.

45. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị hàm số: 2 23 2 2

3mx m x

yx m

bằng

045 . (A-2008).

46. Cho họ đồ thị 2 2 21 2

: 0m

mx m m x m mC y m

x m

.

Chứng minh rằng khoảng cách từ gốc toạ độ O đến hai tiệm cận xiên không lớn hơn 2 .

47. Cho 3 5:2

xC yx

. Tìm M thuộc C để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.

48. Cho hàm số: 3 3 2y x x (C). Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị C . 49. Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị 3 2: 3C y x x trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau.

50. Tìm trên đường thẳng 2y các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị 3: 3C y x x .

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


4

51. Tìm trên trục tung các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị 4 2: 1.C y x x

52. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 2:2

xC yx

biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại M,

N sao cho MN OM 2 với O là gốc toạ độ.

53. Tìm tất cả các giá trị m sao cho trên đồ thị 3 21: 1 4 33mC y mx m x m x tồn tại đúng

hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng 1 3:2 2

d y x .

54. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 2:1

xC yx

biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B

sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác OAB lớn nhất.

55. Cho hàm số: 2 3mxyx m

mC . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Tìm m để tiếp tuyến bất kì với

mC cắt hai tiệm cận lần lượt tại A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 64.

56. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị :1

xC yx

biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam

giác có chu vi bằng 4 2 2 .

57. Cho hàm số: 3 21

xy Cx

. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị. Viết phương trình

tiếp tuyến của d với C biết d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B sao cho

5 26cos BAI26

.

58. Cho hàm số: 4 21 53 2 2

y x x C và điểm A C với Ax a . Tìm các giá trị thực của a biết

tiếp tuyến của C tại A cắt đồ thị C tại hai điểm B, C phân biệt khác A sao cho AC 3AB ( B nằm giữa A và C).

59. Tìm trên 1:2

xC yx

các điểm A, B sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A song song với

tiếp tuyến tại B và AB 2 2 .

60. Viết phương trình tiếp tuyến với 3:2 2xC yx

biết tiếp tuyến cắt hai trục toạ độ Ox, Oy tại hai

điểm A, B sao cho đường trung trực của AB đi qua gốc toạ độ O. 61. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị 3: 3 2C y x x sao cho tiếp tuyến tại A và B có cùng hệ số góc và đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng 2011 0x y . 62. Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của 3 2: 2 2 3mC y x x m x m đi qua điểm

55A 1;27

.

63. Tìm m để tiếp tuyến tại hai điểm cố định của 4 2: 2 2 1mC y x mx m vuông góc nhau.

64. Cho hàm số 12 1

xyx

có đồ thị C . Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y x m luôn

cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi 1 2, k k lần lượt là tiếp tuyến với (C) tại A, B. Tìm m để tổng

1 2k k đạt giá trị lớn nhất. ( A -2011)

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


5

65. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 1y x mx m tại điểm có hoành độ 0 1x cắt

đường tròn C : 2 22 3 4x y theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

66. Tìm trên 2 1:2

xC yx

các điểm A, B sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A song song với

tiếp tuyến tại B và độ dài AB lớn nhất. 67. Cho hàm số: 3 2011 y x x C . Tiếp tuyến của C tại 1M ( có hoành độ 1 1x ) cắt C tại

điểm 2 1M M , tiếp theo tiếp tuyến của C tại 2M cắt C ở điểm 3 2M M và cứ như vậy tiếp

tuyến của C tại 1nM cắt C tại điểm 1 3n nM M n . Giả sử ;n n nM x y . Hãy tìm n để 20122011 2n nx y .

68. Cho hàm số: 1 2 1xy Cx

. Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm

M C mà tiếp tuyến tại M của C tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 2 1y m .

69. Tìm trên hai nhánh của đồ thị 2 1:1

xC yx

hai điểm M và N sao cho tiếp tuyến tại hai điểm

này cắt hai đường tiệm cận tại bốn điểm lập thành một hình thang.


xyx

(C) và điểm M bất kỳ thuộc C . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Tiếp

tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B. a) Chứng minh: M là trung điểm AB. b) Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi. c) Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.

71. Cho hàm số:

2 3 42 1

x xyx

(C) và điểm M bất kỳ thuộc C . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận.

Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B. a) Chứng minh: M là trung điểm AB. b) Tích các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là không đổi. c) Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi. d) Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.

72. Tìm toạ độ điểm M thuộc 2:1

xC yx

, biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy lần

lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 14

. (D-2007).

73. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 22 3xyx

, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục

tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại O. ( A-2009). 74. Tìm m để 3 2 2: 3 1 2 3 2 1mC y x m x m m x m m tiếp xúc với Ox. 75. Tìm m để hai đồ thị sau đây tiếp xúc với nhau: 3 2 3

1 2: 1 2 2 ; : 3 3 1 2 4 2C y mx m x mx C y mx m x m

76. Tìm m để 3 2 23 1 2 4 1 4 1mC y x m x m m m m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1. 77.Cho hàm số: 3 22 3 3 18 8y x m x mx

a) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành.

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


6

b) Chứng minh rằng tồn tại điểm có hoành độ 0x sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại đó song song nhau với mọi m. c) Chứng minh rằng trên Parabol 2:P y x có hai điểm không thuộc đồ thị hàm số với mọi m.

78. Tìm m để 3 2: 2 2 7 1 54mC y x mx m x cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số nhân. 79. Cho 4 2: 2 1 2 1mC y x m x m . Tìm m để mC cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành một cấp số cộng. 80. Tìm m để đồ thị hàm số: 3 22 1y x x m x m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có

hoành độ 1 2 3, , x x x thoả mãn điều kiện: 2 2 21 2 3 4x x x . (A-2010).

81. Tìm m để đường thẳng y m cắt đồ thị (C): 4 22 3 y x x tại bốn điểm phân biệt M, N, P, Q ( sắp thứ tự từ trái sang phải) sao cho độ dài các đoạn thẳng MN, NP, PQ được giả sử là độ dài 3 cạnh của một tam giác bất kỳ. 82. Cho 3 2: 3 3 3 6 1 1mC y m x m x m x m có 3 điểm cố định thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm cố định đó. 83. Tìm điểm cố định của 3 2: 4 4mC y x m m x x m m .

84. Tìm m để 3 2 2: 3 2 4 9C y x mx m m x m m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt sao cho ba điểm này lập thành cấp số cộng.

85. Tìm m để đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số:

2 3 32 1x xy

x

tại hai điểm A, B sao cho

1AB . (A-2004).


xyx

và điểm 2;5A . Xác định đường thẳng d cắt C tại hai điểm B, C sao

cho tam giác ABC đều. 87. Viết phương trình đường thẳng d biết d cắt đồ thị 3: 3 2C y x x tại 3 điểm phân biệt M, N,

P sao cho 2Mx và 2 2NP . 88. Tìm m để đường thẳng : 1d y x cắt 3 2: 4 6 1mC y x mx tại ba điểm 0;1 , , A B C biết

, B C đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. 89. Tìm m để đồ thị 4 24mC y x x m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho diện tích

hình phẳng giới hạn bởi mC và trục hoành có phần trên bằng phần dưới.

90. Tìm m để đường thẳng : 1d y x m cắt 3:2

xC yx

tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

AOB nhọn.

91. Cho hàm số 2 1 m

x my Cmx

. Chứng minh rằng với mọi 0m , mC cắt : 2d y x m tại

hai điểm phân biệt A, B thuộc một đường H cố định. Đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại M, N . Tìm m để 3.OAB OMNS S .

92. Tìm trên 1:2

xC yx

các điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB = 4 và đường thẳng AB

vuông góc với đường thẳng y x .

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


7

93. Tìm m để đường thẳng : 2 3d y x m cắt 3:2

xC yx


OA.OB 4

với O là gốc toạ độ.

94. Tìm toạ độ hai điểm B,C thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị 3 1:1

xC yx

sao cho tam giác

ABC vuông cân tại A 2;1 .

95. Tìm m để đường thẳng :d y x m cắt 2 1:1

xC yx


AB 2 2 . 96. Tìm m để 3 2 2 2: 3 3 1 1mC y x mx m x m cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương. 97. Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 3 2: 3 3 3 4mC y x x mx m và trục hoành có phần nằm phía trên trục hoành bằng phần nằm dưới trục hoành.

98. Gọi d là đường thẳng đi qua A 1;0 và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt đồ thị 2:1

xC yx

tại

hai điểm phân biệt M, N thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị và AM 2AN . 99. Tìm m để đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu của 3: 3 2mC y x mx cắt đường tròn

2 2: 1 1 1C x y tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.

100. Cho hàm số 3 23 4 y x x C . Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng

: 1d y m x luôn cắt đồ thị C tại một điểm A cố định và tìm m để đường thẳng d cắt C tại ba điểm phân biệt A, B, C đồng thời B, C cùng với gốc toạ độ O lập thành một tam giác có diện tích bằng 1. 101. Giả sử 3 26 9mC y x x x m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt 1 2 3x x x . Chứng minh rằng: 1 2 30 1 3 4x x x .

102. Chứng minh rằng với mọi m , 3 2 2 3: 3 1 3 1 1mC y x m x m x m cắt trục hoành tại duy nhất một điểm. 103. Tìm m để 3 2: 2 2 7 1 3 4mC y x m x m x m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

có hoành độ 1 2 3, ,x x x sao cho 2 2 21 2 3 1 2 33 53x x x x x x .

104. Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng 2:m y mx m luôn cắt 3 2 2: 3 1 2 1mC y x m x m m x m tại một điểm A có hoành độ không đổi. Tìm m để m

còn cắt mC tại một điểm nữa khác A mà tiếp tuyến của mC tại hai điểm đó song song với nhau.

105. Tìm m để đường thẳng : 2 2 1 0d mx y m cắt 1:2 1xC yx

tại hai điểm phân biệt A, B

sao cho biểu thức 2 2P OA OB đạt giá trị nhỏ nhất.

106. Từ các điểm cố định của 4 3:mmx mC y

x m

, hãy viết các đường thẳng đi qua chúng và có

hệ số góc 32

k . Hãy tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng vừa lập và trục Ox.

107. Tìm m để 3 2 2 2 3: 3 2 1 3 1 1mC y x m x m x m có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ O.


1x xy

x

(C). Giả sử :d y x m cắt C tại hai điểm A, B phân biệt.

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


8

a) Tìm m để trung điểm M của đoạn AB cách điểm I 1;3 một đoạn là 10 . b) Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn AB khi m thay đổi. 109. Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị

3 21 8: 33 3

C y x x x tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O.

110. Cho hàm số: 3 22 3 4y x mx m x có đồ thị là mC , đường thẳng : 4d y x và điểm

1;3E . Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho d cắt mC tại ba điểm phân biệt 0;4 , ,A B C sao cho tam giác EBC có diện tích bằng 4 .

111. Tìm k để : 2 1d y kx k cắt 2 1:1

xC yx

tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách

từ A và B đến trục hoành bằng nhau. (D-2011).

112. Cho hàm số: 3 2 2

xy Cx

có đồ thị C . Đường thẳng y x cắt C tại hai điểm phân

biệt ,A B . Tìm m để đường thẳng y x m cắt C tại hai điểm phân biệt ,C D sao cho tam giác ABCD là hình bình hành. 113. Tìm m để đường thẳng : y x cắt 3 2: 2 1mC y x x m x m tại ba điểm phân biệt

trong đó hai điểm có hoành độ dương cùng với điểm 1; 2C tạo thành một tam giác nội tiếp đường

tròn tâm 1; 1I .

114. Tìm các điểm , , ,A B C D trên 3 2: 3 3C y x x sao cho ABCD là hình vuông tâm

1; 1I .

115. Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị 4 9:3

xC yx

các điểm A, B để độ dài AB nhỏ nhất.

116. Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị 2 2 5:

1x xC y

x

các điểm A, B để độ dài AB nhỏ nhất.

117. Tìm các điểm trên đồ thị 10 4:3 2

xC yx

có toạ độ là số nguyên.

118. Tìm các điểm trên đồ thị 2 5 15:

3x xC y

x

có toạ độ là số nguyên.

119. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C : 34 3y x x .

b) Tìm m để 34 3 0x x m có 4 nghiệm phân biệt.

c) Chứng minh rằng phương trình: 3 24 3 1x x x có ba nghiệm. 120. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: 3 22 9 12 4y x x x

b) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 3 22 9 12x x x m . (A-2006) 121. Cho hàm số: 4 22 4y x x (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Với giá trị nào của m, phương trình 2 2 2x x m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt. (B-2009).

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


9

122. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 4 21 5: 34 2

C y x x

b) Tìm m để phương trình để phương trình 4 2 26 5 2 4x x m m có 8 nghiệm phân biệt.

123. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 2:1

xC yx

.

b) Tìm m để phương trình: 21

xm

x

có đúng hai nghiệm phân biệt.

124. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: 2 2 5

1x xy

x

b) Dựa vào đồ thị (C) hãy tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt: 2 22 5 2 5 1x x m m x .

125. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 22 3 2:

1x xC y

x

b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 2

12

2 3 2 log 01

x x mx

.

126. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 2

:1

xC yx

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình với 0;2

x

1 1 11 sin os tan cot2 sin os

x c x x x mx c x

.

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


10

Chủ đề 2 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Giải các phương trình sau:

1) 4 4sin cos 1 1cot 25sin 2 2 8sin 2

x x xx x

2)

24

4

2 sin sin 3tan 1

cosx x

xx

3) 2tan cos cos sin 1 tan tan2xx x x x x

4) tan tan 2sin 6cos 3x x x x

5) 2cos 2 cos 2 tan 1 2x x x 6) 6 23cos 4 8cos 2cos 3 0x x x

7) 22 3 cos 2sin

2 4 12cos 1

xx

x

8)

2cos cos 12 1 sin

sin cosx x

xx x

9) 2cos 4cot tansin 2

xx xx

10) 32 2 cos 3cos sin 04

x x x

11) 2 2 34sin 3 cos 2 1 2cos2 4x x x

, 0;x 12) sin 4 sin 7 cos 3 cos 6x x x x

13) 1 sin 1 cos 1x x 14) 22

cos 2 1tan 3tan2 cos

xx xx

15) 2 2 3sin cos 2 cos tan 1 2sin 0x x x x x 16) 3 3 2 3 2cos3 cos sin 3 sin8

x x x x

17) 2sin 2 4sin 1 06

x x

18) 3 3 2cos sin 2sin 1x x x

19) 3 24sin 4sin 3sin 2 6cos 0x x x x 20) 2 2 22sin 1 tan 2 3 2cos 1 0x x x 21)

cos 2 1 2cos sin cos 0x x x x 22) 1cos3 sin 2 cos 4 sin sin 3 1 cos2

x x x x x x

23) 3 3sin cos 2 sin cos 1x x x x 24) 3 34 sin cos cos 3sinx x x x

25) 1 1 2 2 coscos sin 4

xx x

26) 2sin cos 2 sin 2 cos 2 sin 4 cosx x x x x x

27) 3 sintan 22 1 cos

xxx

28) 2tan cot 4cos 2x x x

29) 2sin 2 sin4 4 2

x x

30) 12sin sin 23 6 2

x x

31) 23sin cos2 sin 2 4sin cos2xx x x x 32) 4 44 sin cos cos 4 sin 2 0x x x x

33) 2

2

tan tan 2 sintan 1 2 4

x x xx

34) 1 1sin 2 sin 2cot 2

2sin sin 2x x x

x x

35) 22cos 2 3 sin cos 1 3 sin 3 cosx x x x x 36) 2 2 sin cos 112

x x

37) 5 3sin cos 2 cos2 4 2 4 2x x x

38) sin 2 cos2 tan cot

cos sinx x x xx x

39) 1 tan 1 sin 2 1 tanx x x 40) 4 6cos cos 2 2sin 0x x x

41) 8 8 217sin cos cos 216

x x x 42) 2 2 2 2sin sin 2 sin 3 sin 4 2x x x x

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


11

43) 2 2 2 2cos sin 2 cos tan tan 14 4

x x x x 44) 3 32 2 3sin cos 2cos 2x x x

45) 2 cos coscos cos 1 cos cos 1 cos

x xx x x x x

46) 2 24 410 8sin 8sin 1 1x x

47) 2 2 7sin 4cos 3 sin 4cos 04

x x x x 48) 1cos cos 2 cos8 sin124

sinx x x x x

49) 2 217 39sin sin cos 3 cos 54 4

x x x x 50) 4 41 1cos 2 cos 2 12 2

x x

51) 1 cos 12 cossin 2

x xx

52) 3sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sinx x x x x x

(B-2009)

53) 1 sin cos2 sin

14 cos1 tan 2

x x xx

x

(A-2010) 54)

6 62 cos sin sin cos0

2 2sin

x x x x

x

55) sin sin 2 sin 3 31 cos cos 2 cos3

x x xx x x

56) 2 2 sin 2cos 2 0x x x x

57) 2 sin cos32 tan 2 sin 2 12 sin cos

x xx x

x x

58) cos 1 2 .cos 1 2 1x x

59) 3 cos5 2sin 3 cos 2 sin 0x x x x (D-2009) 60) sin sin 2 3 cos cos 2x x x x ` (D-2004)

61) 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x (B-2008) 62) 24cos cos3x x

63)

1 2sin cos3

1 2sin 1 sinx x

x x

(A-2009) 64) 8 8 217sin cos cos 216

x x x

65) 4 4 3cos sin cos sin 3 04 4 2

x x x x

( D-2005) 66) 2cos 22x x

67) 2cot tan 4sin 2 0sin 2

x x xx

( B-2003) 68) 2 2cos 3 cos 2 cos 0x x x (A-2005)

69) cos 3 4 cos 2 3cos 4 0x x x , 0;14x 70) 3 cot cos 5 tan sin 2x x x x ( D-2002)

71) sin 3 cos37 cos 4 cos 22sin 2 1

x x x xx

, 0;x 72) 2

1 cos 21 cot 2sin 2

xxx

73) sin 3 sin sin 2 cos 2 , 0;21 cos 2

x x x x xx

74) sin cos sin cos 2x x x x .

75) sin 2 cos sin cos cos 2 sin cosx x x x x x x (B-2011) 76) sin 2 2cos sin 1 0tan 3

x x xx

(D-2011)

77) 22 sin cos 1 sin 21 tan

sin 3 sin 5x x x

xx x

78) 4 4 23 3 2 3 3sin cos sin 4 cos 2

4 3x x x x

79) sin 3 2cos3 cos 2 2sin 2 2sin 1 0x x x x x 80) 2 2 tan 1 tansinsin 5

4

x xxx

.

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


12

Chủ đề 3 : PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Giải các phương trình và các bất phương trình sau: 1) 2 7 8 5x x 2) 2 6 5 8 2x x x 3) 2 25 10 1 2 7x x x x 4) 2 3 10 8x x x 5) 3 4 2 1 3x x x 6) 1 2 3x x x

7) 1 3 4x x 8) 22 16 73

3 3

x xxx x

( A-2004)

9) 32 1 2 12

xx x x x 10) 8 2 7 1 7 4x x x x

11) 3 2 1 1x x 12) 2 23 1 3 1x x x x 13) 32 3 2 3 6 5 8 0x x (A-2009)

14) 3 31 2 2 1x x 15) 3 2 33 3 3 3 1 3x x x x 16) 2 4 3 2x xx

17) 2

1 1 22x x

18) 24 1 4 1 1x x 19) 23 2 6 2 4 4 10 3x x x x

(B-2011) 20) 22 4 6 11x x x x 21) 2 3 2 22 5 2 4 10 2 1x x x x x x

22) 42 3 2 2 3 3 2 2x x x x 23) 2 22 5 2 2 2 5 6 1x x x x

24) 3 2 2 2 6x x x 25) 2 23 3 32 7 7 2 3x x x x

26) 2 226 26 11x x x x 27) 23 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x

28) 2 22 1 2 1 2 1x x x x x 29) 5 15 2 422

x xxx

30) 2 23 5 2 7 3x x x x 31) 22 1 3 1 0x x x (D-2006)

32) 224 4 2 2x x x x x 33) 3 23 31 2 1 3 2x x x x

34) 22 7 2 1 8 7 1x x x x x 35) 23 4 2 2x x

x

36) 21 1 4 3x

x

37) 2

11 2 1

x x

x x

( A-2010) 38) 4 1 3 2 3

5x x x

39) 21 1 4 3x x x 40) 224 1 2 10 1 3 2x x x

41) 3 3 31 2 2 3x x x 42) 1 1x x x

43) 21 2 2x x x x x 44) 2 24 3 2 3 1 1x x x x x

45) 2 12 1 36x x x x 46) 2 3 3 244 4 41 1 1 1x x x x x x x x

47) 21 2 1 2 2x x x 48) 2 22 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0x x x x x

49) 2 2 22 12 22 3 18 36 2 12 13x x x x x x 50) 2 4 97 028xx x x

.

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


13

51) 3 3 3 335 35 30x x x x 52) 23 1 1 2 3 4x x x x

53) 2 22 1 2 1 2 3 0x x x x x x 54) 2 23 2 2 3 1 1x x x x x

55) 4 2 21 1 2x x x x 56) 2 1 2 16 2 4 2 9x x x x

57) 4 2 22 1 1x x x x 58) 2 12

x xx

59) 21 1 24x x x

60) 2

2 213

x x

61) 20 32x x xx 62)

2 45 4 235 4

x x xx

63) 3 3 35 5x x x 64) 2 2

1 1 3x x x x x x

65) 1 1 31 1 1 1 xx x

66) 3

22

1 1 2 111

xx xx x

67) 3 3

3 3

x x xx x x x

68) 2 2 2

2 2 2 2

x x

x x

69) 3 3

3 3

34 1 1 3430

34 1x x x x

x x

70) 4 418 5 64 5 4x x

71) 3 55 35 3 8x x x x 72) 5 4

5 2

7 6 0xxx

73)

535

165 2 65 2

xx

74) 7 75 3 2

3 5x x

x x

75) 37 7

72

2 22 2 2

x x x xx x

76) 4 1 2x x 77) 1 4 2 1x x 78) 2 21 1 2x xx x x

79) 2 2 28 15 2 15 4 18 18x x x x x x 80) 21 1

x xx x x x x

81) 4 415 2 1x x 82) 2 2 23 2 4 3 2 5 4x x x x x x

83) 2 4 2 2 2x x x x 84) 2 2 24 6 2 5 3 3 9 5x x x x x x

85) 2 32 4 12

xx x x 86) 29 16 2 2 4 4 2x x x

87) 2 32 3 2 3 8x x x 88) 215 30 4 2004 30060 1 12

x x x

89) 2 25 14 9 20 5 1x x x x x 90) 3 2 3 23 7 1 8 8 1 2x x x x x 91) 3 23 3 3 3 0x x x

91) 3 2 3 2 3 33 2012 3 6 2013 5 2014 2013x x x x x 92) 31 2 34

x x x x

93) 2 28 816 10 267 2003x x x x 94) 2

35121

xxx

95) 2 2

1 311 1

xx x

96) 2 2 219 7 8 13 13 17 7 3 3 2x x x x x x x 97) 2 31 4 3x x x

98) 2 2 21 3 2 1 3 2 3 2 2 2x x x x x x 99) 3 36 6 6 6 0x x

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


14

100) 3 3 2 24 6 7 12 6 2x x x x x `101) 33 2 210 2 7 23 12x x x x x

102) 4 4 2 22012 2012 2012

2011x x x x

103) 2

2

2

3 3 32 63 2 4

x x xx x

104) 2 25 4 3 18 5x x x x x 105) 2 1 124 60 36 05 7 1

x xx x

106) 3 2 3 2 23 2 2 3 2 1 2 2 2x x x x x x x 107) 9 2

39 1 2 13

x x x

108) 21 1 2 2x x x x 109) 2 2

2

2 2

2 11 2 1 4

x x x x xx x x x

110) 2 5 332 .sin cos 2 1 1x x x x x x x x 111) 33 2 21 2 1x x x x

112) 32 218 13 7 1 3 2x x xx

113) 2 2 237 13 8 2 1 3 3x x x x x x

114) 2 2

2 2 2

3 2 2 2 3 1033 3 4 4 3

x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x

.

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


15

Chủ đề 4 : PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LÔGARIT

Giải các phương trình và các bất phương trình sau:

1) 2 2 2 24 44 2 12 0x x x x 2)

2

22

2 19 2 33

x xx x

3) 2 1 2 1 2 2 0x x

( B-2007) 4) 31

1 122 6.2 18 2

x xx x

5) 6 6

110 3 10 3x xx

6) 2020 2011 2020 2011 3

x x x

7) 3.8 4.12 18 2.27 0x x x x (A-2006) 8) 4 4 19 8.3 9 0x x x x

9) 2

2 23 7

3 2 6 5 2 24 4 16 1x xx x x x 10)

2 2 22 4.2 2 4 0x x x x x (D-2006) 11)

3 32 2 2 2 4 42 2 4 2x x x x x x (D-2010) 12) 2 2sin os81 81 30x c x

13) 2 2

2 15 1 2 3 5 1x x x xx x

14) 2 22 2 2 4 3 22 3 2 4x x x x x x

15) 2

12 13

3

x xx x

16) 14 2 2 2 1 sin 2 1 2 0x x x x y

17) 12 2 1 0

2 1

x x

x

18) 2 1 1 15.3 7.3 1 6.3 9 0x x x x 19) 3 18 1 2 2 1x x

20) 2012 2011 1x x 21) 3 .2 3 2 1x xx x 22) 2

2 osx c x 23) 1 115.2 1 2 1 2x x x 24) 1 3 3 1 38 2 4 2 5x x x

25) 26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1x x x

26) 6 4 41 2 2 3x x x

27) tan tan2 3 2 3 4

x x 28) 2 13 2 2 2 0x xx x

29) 2 23.25 3 10 .5 3 0x xx x 30) 2 14 1 2 4 1 8.4x x x x

31) 2 212 2 1x x x x 32) 2 2sin os2 4.2 6x c x 33) 1 13 6 2 0

xx x

34) 1 1 1 14 3 4 3 2 2x x x x x x 35) 2 2012 2011 2os ... 2012 2012x xc x x x x .

36) 26 7 555 543 12 13x x x xx x 37) 2 2

1

5 3 5 60

3 1

x

x

x x x

38)

2

1

3 2 3 2 3 40

1 1 2 3 12012

x x

xx

x x x

x

39) 2 2 32 21 1

x xx x

40) 4 1 2 18 8x xx e x x e

41) 2 1 24 3 3 2 3 2 6x x xx x x x 42) 2

2 21 1 2 22 2

2

x xx x x

x

43)

22 3

23 .4 18x

x x

44) 2 2 22 4.2 2 4 0x x x x x 45) 21 8 3

xx 46)

2 2sin os8 8 10 os2x c x c y

47) 3 2 3 2x x x 48) 15 . 8 100xx x 49) 2 2 22 1 2 1 225 9 34.15x x x x x x

50) 1

1

2

6.2 82 4 2 2 29.2 16

xx x

x

51)

2 2

2011 2011 2010 2012x x x x

53) 2 2sin os2011 2011 2013 os2x c x c y 54)

2 2 2 2 2 22cos 2cos 2 os 2sin 2sin 2sin21 4 25 25 21 4x x c x x x x

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


16

55) 1 164 8.343 8 12.4 .7x x x x 56) 2

2 3 24 34 4 2

2

120 4 42012 2012x x

x x x x xx x

57) os os3 2 osc x c x c x 58) 2

12

3 2log 0x xx

(D-2008) 59) 3 3

2 24log log3

x x

60) 2 2log 2 4 log 2 12 3x xx 61) 4 14

3 1 3log 3 1 log16 4

xx

62) 2 29 3log 3 4 2 1 log 3 4 2x x x x 63) 3log log 3xx (Dự bị B-2004)

64) 2 223 3 32 log 4 3 log 2 log 2 4x x x 65) 22log 64 log 16 3x x

66) 2 21 3log log2 22. 2

x xx ( Dự bị A-2004) 67)

2

0,7 6log log 04

x xx

(B-2008)

68) 1

224 2.2 3 log 3 4 4

xx x xx

69) 22 1 13

1 log 1 1 32

xx

70) 2 22012 2011 2012 2011

2 log 1 log 1 6x x x x

71) 26 6log log6 12x xx

72) 2 3

3 2log 1 log 1x x

73) 2 34 2lg 1 lg 1 25x x 74) 2log 4 log 2x x

75) 2 22 22 7 12 1 14 2 24 2 log xx x xx x

76) 2sin sinlog 1 os2 log 2x xc x

77) 229 33

1 1log 5 6 log log 32 2

xx x x 78) 2 2

3 2log 9 11 log 9 30x x x x

79) 2 3log (cos ) 2 log (cot )x x 80) 016)1x(log)1x(4)1x(log)2x( 323

81) 2)22(log)64(log 2x5

x5 82) xlog)x1(log 32 83) ln ln55 50x x

84) xlog21)

3x(logxlog).

x3(log 2

3

323 85) 2logxcos.x2sin

xsin2x2sin3log 22 x7x7

86) 0)xcos2x(sinlog)xsin

2x(sinlog

313 87) )xx1(log3xlog2 3

32

88) log2{3 + log6[4 + log2 (2 + log3x)]} = 2 89) 21)xx213(log 2

3x

90) 1)223(log

xx

x 91) 1)2(log 2 xx 92) 1)]729([loglog 3 xx

94) 3.2 2lnx + 4.6lnx – 4.3 2lnx = 0 95) 01x

)3x(log)3x(log 3

31

2

21

96) )3(log 2 x-3x

x

97) 2 32 2 4 2 4 24 1 2 2

2

1log 1 log 1 log 1 log 13

x x x x x x x x

98) 2 29 3log log 1

4xx 99) 2011 2012log 2012 log 2011

2 21 1 2 0x x x x x

100) 2

2 22 12

2

1log 1 log 4 log2

xx x x 101) 1 2

24 2 log 1 1x x x x x

102) 2 2 2 22 22 34 log 34 15.2 4 2 1 log 2x x xx x x 103)

4

2 14

log log 3 1x

x x

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


17

Chủ đề 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Giải các hệ phương trình, hệ bất phương trình sau:

1) 2 2

4 4 2 2

721

x y xyx y x y

2)

2 2 41 1 2

x y x yx x y y y

3)

30

35

x y y x

x x y y

4) 2 23 3

3 3

2 3

6

x y x y xy

x y

5) 2 2

2 2

12

12

x y x y

y x y

6)

3

1 1 4

x y xy

x y

(A-2006)

7)

2 2

2 2

3

15

x y x y

x y x y

8)

22 2

2 2

19

7

x xy y x y

x xy y x y

9)

2 2 41 1 4

x y x yxy x y

10)

2 2 2 2 1 21 1

x y x y xyx y xy xy

11)

2

2 2 9

4 6

x x x y

x x y

12)

2 22 2

1 1 4

1 1 4

x yx y

x yx y

13)

2 22 2

11 5

11 49

x yxy

x yx y

14) 3 3 3

2 2

1 196

x y xy xy x

15)

2 2 2

1 71 13

xy x yx y xy y

(B-2009)

16) 3 3 2 2 3

1 11 1 4

1 4

x xy y

x y x y xy y

17) 2 2

2 2

44

x y yxy x

18)

2

2

2

2

23

23

yyx

xxy

(B-2003)

19) 3

1 1

2 1

x yx y

y x

(A-2003) 20) 2 22 3 0

2x xy yx x y y

21)

3 3

5 5 2 2

1x yx y x y

22) 2 22 22 5 4 6 2 0

12 32

x y x y x y

x yx y

23) 3 3

2 2 3

12 2

x yx y xy y

24) 2012 2012 2011 2011

2x yx y x y

25) 1 7 4

1 7 5

x y

y x

26)

5 2 7

2 5 7

x y

x y

27) 5 2 7

2 5 7

x y

x y

28)

2 2

7 7

11

x yx y

29)

6 6

11

x yx y

30) 2 2 2

2 3

2 02 4 3 0x y x y

x x y

31)

2 6 2

2 3 2

xy x yy

x x y x y

32) 2

2

4 1

4 1

x y

y x

33) 2 22

2 1 2 2

xy x y x y

x y y x x y

(D-2008) 34)

4 3 2 2

2

2 2 92 6 6

x x y x y xx xy x

(B-2008)

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


18

35)

2 3 2

4 2

54

51 24

x y x y xy xy

x y xy x

(A-2008) 36)2 2

2 2

1 1 18

1 1 2

x x y x y x y y

x x y x y x y y

37) 2012

2012

1 1

1 1

x y

y x

38)

7 1

78

x yy x xy

x xy y xy

39) 2 2

2 2

1 1 111 12

x y y x

x y y x

40) 2

2

3 2 3 5 3

3 2 3 5 3

x x y

y y x

41)

22

1 3 05 1 0

x x y

x yx

(D-2009)

42) 3

2

x y x y

x y x y

(B-2002) 43)

3

4

1 8

1

x y x

x y

44)

4 3 2 2

3 2

11

x x y x yx y x xy

45)

2012 2 2012

25

2012 2 2012

25

22 33

22 33

xyx x yx x

xyy y xx x

46) 2 2

3 2 162 4 33

xy x yx y x y

47) 3

3

2 3 8

2 6

x y

x y

48)

2

4 2

3 94 2 3 48 48 155 0

x yy x y y x

49)

2

2

1 4

1 2

x y x y y

x y x y

50)

2 4 1 3 5

1 1 44

x x x y y yx x y y

51)

2 2

2

2 1xyx yx y

x y y x

52)

2 2

2 2

8 2

4 8 16 5 16 0

y x x

y x y x x

53)

2 22 3 8 18 3 13

x y y xx x y y

54) 3 3 3

2 2

8 27 18

4 6

x y y

x y x y

55)

2

2

1 1

1 3

x y

y x

56) 33

2 3

1 3

82

y x

x y

57) 3

3

3 42 6 2

x x yx y y

58)

2

3 3 4

x y

x y

59)

2 2

2 2 2

61 5y xy x

x y x

60) 1 1 3

1 1 3

x y

y x x y

61)

2 2 2 2

2

4

x y x y

x y x y

62)

2

3 2 2 22 3 2

4 1 3 1

x y xx x y

y y x

63)2 2

2 2

91 2

91 2

x y y

y x x

64)

2

2 2

4 1 3 5 2 0

4 2 3 4 7

x x y y

x y x

(A-2010)

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


19

65)

4

4

21 24

21 14

x yx

x y

x yy

x y

66) 2

2

12 2 4

2 2 1 5

x y

x y y

67)

2 22

15 5 3

1 1 2 32

x yx

x yx

68) 4 4

2009 2013 2013 20092011

2 1

23

xy x y

x y x y

69)

2 22 2

2 22 2

2 21 11 1 1 1

11 11 1

x yx yy x x y

x yx yx y

70) 2 2

2

4 62 8 7 3x y xy

x x y

71)

2 2 21 1 2

x y y xx x y y

72)

2 4 1

2 3

x y x y

x x y

73)

22

22

2 22 1

2 22 1

x x y y

y y x x

74)

2 2

3 3

214 2 2

92 2

xy y x y x y x y

x y x y

75) 2 2

1 13 1 1316 16 0, 0

9736

y x y xx x x yx y

76)

3 33 3

1 1 9

1 1 1 11 1 18

x y

x y x y

77) 3 3 3 2

2 2 2 2

16 9 2 4 3

4 2 3

x y y xy y xy

x y xy y

78)

3 3

1 1

4 2 4 36

x yx y

x y x y

79)

2 2

258 4 13

12 1

x y xyx y

xx y

80) 13 4 2 2 5

2 2 2

x y x y

x y x y

81)

4 3

4 3

8 4 1 16 3

8 4 1 16 3

x y x

y x y

82)

4 4

2 2 2 2

1 1 22

1 1 3 32

y xx y

x y x yx y

83) 2 21 1 1 2 1

1 1 21 1 1

x x y

x y xy

84) 2 2

2 2

72 1 2 12

7 6 14 0

x y xy

x y xy x y

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


20

85) 4 4 3 3 2

2013 2013 2012 2012 2011

30 4 2630 4 26

x y x y xyx y x y xy

86)

3

3

3 1 2 1

3 1 2 1

x x x y

y y y x

87)

4 3

4 3

12 3 3412 3 34

x y x

y x y

88)

2

33 2

3 145 4 2 7 1 2 19

3

x yyx x y

89)

4 4 2 2

4 4 2 2

2 6

2

8 6 0

x y x y x yy x y x y x

x y x

90) 2 3

2 2812 2012

x y

x y x y

91) 2 21 1 1

3 2 1 4 3 1

x x y y

x x xy xy x

92) 6 3 2 29 30 28

2 3

x y x y y

x x y

93)

4 3 2 2

4 2 2 2

6 12 6

5 1 11 5

x x x y y x

x x y x

94)

2 2

3 33

2 2

4 2 0

x yy x

x y xy

95) 3 2 2 2

3 2 2 2

3 1 23 1 2

x xy x x xy yy x y y y xy x

96)

2

2

7 1 2 1

1 3 2

x xy xy

y x x

97)

4 2 2 2 2 4

2 2 4 2 2

2 3 1 2

1 1 1 2 2

x y x y x x y

x y x x x xy

98)

3

2 4 3

1 1 2

9 9

x y

x y y x y y

99)

2 2 4 1

46 16 6 4 4 8 4

x y x y

y x y y x y y

100)

2

2

2 2 1 34 2

2 2 1 34 2

x x y xy x

y x y xy y

101) 2

3

3 4 3

2 2 5 2 12

y y x y

x y

102)

3 2 2 2 2 3

2 2

2 32 0

x y x y y xx y x y

102)

3 2

1

2 5 44 22 2

x

x x

x

y y

y

(D-2002) 103) 1 4

42 2

1log log 1

25

y xy

x y

(A-2004)

104) 2 2

12 2x y x

x y y xx y

105)

2 39 3

1 2 1

3log 9 log 3

x y

x y

(B-2005)

106) 3 3

4 32log 1 log

x yy x

x y x y

107) 4 2

4 3 0

log log 0

x y

x y

108)

2 2

2

2 2 1

2

3 9 2 2

3 2 29

x y

x y

y x

x y

109) cos cos

2

11

2 1

x yx exx x y

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


21

110) 2

2 2

16 65 5

y y

y y

x xx yx y

111)

7 4 3 2. 2 3 3

7 4 3 2. 2 3 3

x y

y x

112)

4

4

4

4

.3 1

8 6 0

y x

x y

x y

x y

113)

35

5 3

log 2 log 32

log 2 log 52

3

5

y x x

x y y

114) 2 2

log log log log

lg lg 8x x y yy x

x y

115)

8 8log log

4

4

log 1

y xx yxy

116) 2

2

3 14 12 1

3 14 12 1

x

y

y y

x x

117)

2 2

3 3

log log 2

16

x y y x xy

x y

118) 3

2

log 3

2 12 .3 81x

x y

y y y

119)

2 2

2 2 2

2

x y y x xy

x y

120) 2 1

2 1

2 2 2012 1

2 2 2012 1

y

x

x x x

y y y

121)

1 2

2

1 4 .5 1 3

13 1 2

x y x y x y

x y y yx

122) log log

2 2 3y x

x y

xy y

123)

2 2

5 3

9 4 5log 3 2 log 3 2 1

x yx y x y

124) 2012

3 32 2

2log 2y x yx

x y x yxy

125)

2 2

2 22 2log 1 log

3 81x xy y

x y xy

(A-2009) .

126) 1 1 10

x ye e y x

x y

127)

2 8

2 2 2 2

log 3log 2

1 3

x y x y

x y x y

128)

21 2

1 2

2log 2 2 log 2 1 6

log 5 log 4 1x y

x y

xy x y x x

y x

129)

554 3

3 , 01

xyy xx yx y

xy

130)

2 24 4 4

24 4 4

log log 2 1 log 3

log 1 log 4 2 2 4 log 1

x y x x y

xxy y y xy

131) 3 1 2 3

2

2 2 3.2

3 1 1

x y y x

x xy x

132) 2 2 32 2 3

x

y

x yy x

133) 2 3

2 3

log 3 1 log

log 3 1 log

x y

y x

134)

7 3

2 3

2log 2 3 log 2 3 2

ln 4 1 21 9

x y x y

x x x y

135) 1

1 2

2 1 2 22 2 1

x y x y

x x y

136)

32 2

93

2 3 2 3 2

log 2 2 2 4 2 1 log 2 2x y x y

y x

y

137) 2012 8

3 9

3 2

1 1log log 02012 4

2 0

x y

x y y

138)

321 log2 2

2 2

3 2

3 2 log 1 log

2

xx y y

y x y y y x

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


22

139)

6 4

, 010 1 3 2

x y yex x y

x y

140)

2 22

2

3 2

11

3log 2 6 2log 2 1

y x xey

x y x y

141) 2 2 3 33 2 3 2

x x

y y

yx

142)

2 1

3

2 6 .4 4 3.41 2 0

3

y yx x x

yx

143) 2 1

1

x y x y

x y

e e x

e x y

144)

2 2 2

2

lg lg lglg lg lg 0

x y xyx y x y

145)

3 2 3 2

2

3 5.6 4.2 0

2 2

x y x x y

x y y y x y x

146)

2

21

22 2

32 22

2 2 4 1 0

xyx xy

x y x x y x

147) 2

2 2

2

3 2

92 6 ln

92 1

y yx y x xy y

x xx x y

148)

3 2

3 2

2 2 1 1

4 1 ln 2 0

x x y x y

y x y x

149) 2 2

3 3log 3 1 2 log

2012

x x x x x

x y

150) 6 4

sin5sin , ;4

10 1 3 2

x y xey x y

x y

151)

2 3

2 3

log 1 sin log 3cos

log 1 3cos log 3sin

x y

y x

151)

22 2 23 3

2 23

log 2 1 log 4 4 2 1 3 4 2 1

log 2 4 4 1 1 2

x x y x x x y x y x xy

x x x

152)

2 2

log log log log

lg lg 8x x y yy x

x y

153)

2

1 1 1 1 1 1

log 1

9 6 3 6 3 9x y x y x y x y x y x y

x x y

154)

32 3

32 3

log 2 2011 2014 log 3 12 2012 2013

log 2 2012 2013 log 3 12 2011 2014

x x x x

x x x x

155

2 216 2 8 2

2 2 2

4 3 1 8 3 4 8 17

1 4 3 8 ln 3 3 0

x y yx x y y y

y x x x x x

156)

2 22 1 1

2

2 9.2 4 0

2 5 4 3

x x x x

x x x

157)

2 23 4

2

42 3 2 32 3

5121

x x

xxx

158) 2 1 2 1

1 2 2

2 22 1

x y

x y

x y xyx y

159) 2 2 1

2

x y

x y

160)

2

22 23

2 2 2 1

log 2 2 0

x y

x y

161)

2 1 2 2

2 2 2 2 1

x y y y

x y y y

62) 1 2 1

4

4 3.4 23 2 log 3

x y y

x y

163)

20122012

3 3 3

2

log 1 log 1 log 4

2012 1 3 2 0x

x x

x x

.

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


23

Chủ đề 6: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ

1) Tìm m để phương trình: 22 4 6 8

2012mx x x x có nghiệm thực.

2) Tìm m để phương trình: 1 4 11

xx x x mx

có nghiệm thực.

3) Tìm m để phương trình: 43 1 1 2 1x m x x có nghiệm thực. (A-2007)

4) Tìm m để phương trình: 2 23 3log log 1 2 1 0x x m có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn

31;3 . (A-2002)

5) Tìm m để phương trình: 4 42 sin cos cos 4 2sin 2 0x x x x m có ít nhất một nghiệm

thuộc đoạn 0;2

.

6) Tìm m để phương trình : 2 2 2 2m x x x có nghiệm thực.

7) Tìm m để phương trình: 2 2 2 1x mx x có hai nghiệm thực phân biệt. (B-2006) 8) Tìm m để phương trình: 24 2 4 1x x x m có đúng một nghiệm thực. 9) Tìm m để phương trình: 24 1x x m có nghiệm thực.

10) Tìm m để phương trình: 3 2 4 6 4 5x x x x m có đúng hai nghiệm thực.

11) Tìm m để phương trình: 2 21 1 1 19 2 3 2 1 0x xm m có nghiệm thực.

12) Tìm m để phương trình: 2sin cos 1sin 2cos 3

x x mx x


13) Tìm m để phương trình: 5 5log 25 logx m x có nghiệm thực duy nhất.

14) Tìm m để phương trình: 2 2.2012 .2011 0x x xx m có nghiệm thực.

15) Tìm m để phương trình: 2 22 1 1m x x m có nghiệm thực.

16) Tìm m để phương trình: 4 42 2 2. 6 2 6x x x x m có đúng hai nghiệm phân biệt. (A-2008)

17) Tìm m để phương trình 2 2 4 2 241 1 2 2 1 1 1m x x x x x có nghiệm thực.

(B-2004).

18) Tìm m để phương trình: 2log 4 2 32 2 . 2x mx x có hai nghiệm thực phân biệt trên 5 ;4

2

.

19) Tìm m để phương trình: 3 3cos sinx x m có nghiệm thực trên ;4 4

.

20) Tìm m để phương trình: 2 2 2 2 21 4 4 2 3 4 1x x mx m x mx m có nghiệm thực. 21) Tìm m để phương trình: 6 6sin cos sin 2x x m x có nghiệm thực.

22) Tìm m để phương trình: 22

3 3 tan tan cot 1 0sin

x m x xx có nghiệm.

23) Tìm m để phương trình: 2cos 2 cos 1 tanx m x x có nghiệm trên 0;3

.

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


24

24) Tìm m để phương trình: 2 2

21 13

x x

m m

có bốn nghiệm phân biệt.

25) Chứng minh rằng với mọi m > 0 phương trình: 2 2 8 2x x m x có hai nghiệm thực phân biệt. (B-2007).

26) Tìm x để phương trình: 22 3 2 2

2 2log 5 6 log 3 1mm x m x x x

nghiệm đúng với

mọi m. 27) Tìm m để phương trình: ln 2ln 1mx x có nghiệm thực duy nhất.

28) Tìm m để phương trình: 2 2cos 2mx x có hai nghịêm thực phân biệt trên đoạn 0;2

29) Tìm m để hệ: 4 4

2x yx y m


30) Tìm m để hệ:

2 2 81 1

x y x yxy x y m


31) Tìm m để hệ: 2

3 3

3 2

1 log log 02

0

x y

x y my



2 2

2

4

x y x y

m x y x y

có ba nghiệm thực phân biệt.


1

x y m

x xy

có nghiệm thực duy nhất.

34) Tìm m để hệ 1

1 3

x y

x x y y m

có nghiệm thực. (D-2004)

35) Cho ;x y là nghiệm của hệ: 2 2 26

x y mx y m

. Tìm GTLN, GTNN của 2 2A x y y .


2 2

2

1

x x y x m

x y


37) Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm: 8

8 8

256

2

x y

x y m

38) Cho hệ phương trình: 2 2 2

2 2

2 1 2 2 0

2 9 0

m m x m y m m

x y x

.

Chứng minh rằng hệ phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt 1 1,x y và

2 2,x y . Tìm m để biểu thức 2 21 2 1 2P x x y y đạt giá trị nhỏ nhất.

39) Chứng minh rằng với mọi 0m , hệ:

2

2

mx yymy xx


WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


25

40) Chứng minh rằng với mọi 0m , hệ: ln 1 ln 1x ye e x y

y x m

có nghiệm duy nhất.

(D-2006) 41) Tìm m để bất phương trình: 3 1mx x m có nghiệm.

42) Tìm m để bất phương trình: 2 2 2 1 2 0m x x x x nghiệm đúng trên 0;1 3 .

43) Tìm m để bất phương trình: 23 3 2 2 3 1x x m x x đúng với mọi 3 ;32

x .

44) Tìm m để bất phương trình: 2 2 22 2 29 2 2 1 .6 1 .4 0x x x x x xm m nghiệm đúng với mọi 12

x .

45) Tìm m để bất phương trình: 21 1 12 2 2

2 log 2 1 log 2 1 log 01 1 1

m m mx xm m m

nghiệm đúng với mọi x .

46) Tìm m để bất phương trình:

2

2

1 12 sinx sinx 7s inx sinx 2

1 13 s inx s inx 12s inx s inx

m

vô nghiệm.


2

5 4 0

3 16 0

x x

x mx x



3 2

3 4 4 2011 2012 0

3 15 0

xx x x x

x x x m m



5 1 5 1

2

7 7 2012 20122 2 3 0

x x x xx m x m



55 5

22 2 5

log 1 log 1 2log 2

log 2 5 log 2 5x x

x x

x x m

có hai nghiệm thực phân biệt.


3

322 2

1 3 01 1log log 1 12 3

x x m

x x



2

42 2

3 4 5

1 log log 1

xx x

m x x


53) Tìm m để hệ phương trình: 3 3

3 3

1 1 5

1 1 15 10

x yx y

x y mx y

có nghiệm thực. ( D-2007).

54) Tìm m để phương trình: 2 210 8 4 2 1 1x x m x x có hai nghiệm thực phân biệt.

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


26

Chủ đề 7: KHẢO SÁT SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1) Chứng minh rằng phương trình: 5 2 2 1 0x x x có đúng một nghiệm thực (D-2004). 2) Chứng minh rằng phương trình: .2 1xx có nghiệm thực duy nhất trong khoảng 0;1

3) Chứng minh rằng phương trình: 21

xe xx

có nghiệm thực duy nhất trên 1 ;12

.

4) Chứng minh rằng phương trình: 5 310 9 1 0x x x có 5 nghiệm phân biệt. 5) Chứng minh rằng phương trình: 1 1 xxx x có nghiệm thực dương duy nhất.

6) Chứng minh rằng phương trình: 24 4 1 1x x có đúng ba nghiệm thực phân biệt.

7) Chứng minh rằng hệ: 2

2

20121

20121

x

y

yey

xex

có đúng hai nghiệm thực phân biệt thỏa điều kiện:

, 0x y . 8) Chứng minh với mỗi số nguyên dương n thì phương trình:

2 3 2 2 1... 2012 2004n nx x x x x có nghiệm thực duy nhất.

9) Chứng minh rằng phương trình: 2011

3 21 2 1 1 3 3 2 0x x x x x x có nghiệm

thực duy nhất.

10) Chứng minh rằng phương trình: *2

1 1 1 1... 0, 1 2 n n

x x x x n

luôn có nghiệm thực

duy nhất thuộc khoảng 0;1 .

11) Chứng minh rằng phương trình: lg sinx x có đúng một nghiệm thực trên đoạn 3 ;2 2

5

.

12) Chứng minh rằng với mỗi n nguyên, 2n , phương trình:

2tan tan ... tan 02 2 2nx x x

có nghiệm thực duy nhất trong khoảng 0;

4

.

13) Chứng minh rằng hệ: 3 4

2 2 2 3

20122

x y yx y xy y


14) Chứng minh rằng hệ: 2cos

tan 1x x

y y

có nghiệm thực duy nhất ;x y thoả 0 1x y .

15) Chứng minh phương trình: 5 4 3 21 5 4 1 02

x x x x x có đúng 5 nghiệm thực. Gọi

1 2 3 4 5, , , ,x x x x x là 5 nghiệm thực của phương trình trên. Hãy tính tổng sau đây:

3 51 2 45 4 5 4 5 4 5 4 5 41 1 2 2 3 3 4 4 5 5

1 11 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x xx x xSx x x x x x x x x x

.

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


27

Chủ đề 8: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ CÁC ỨNG DỤNG * Tính các tích phân sau:

1) 1 3

20 1

xI dxx

2)

ln3

30 1

x

x

e dxIe

3) 0

2 3

1

1xI x e x dx

4)2

6 3 5

0

1 os .sin cosI c x x xdx

5) 2 3

25 4

dxIx x

(A-2003) 6) 24

0

1 2sin1 sin 2

xI dxx

(B-2003)

7) 2

2

0

I x x dx (D-2003) 8) 4

0 1 os2xI dx

c x

9)

ln 5 2

ln 2 1

x

x

e dxIe

10) ln 5 2

ln 2 1

x

x

e dxIe

10) 2

13

0

xI x e dx 1) 2

1

1lne xI xdx

x

12) 2

1 1 1xI dxx

(A-2004) 13)

1

1 3ln lne x xdxx

(B-2004) 14)

32

2

lnI x x dx (D-2004)

15) 2

0

sin 2 sin1 3cos

x xI dxx

(A-2005) 16) 2

0

sin 2 cos1 os

x xI dxc x

(B-2005) 17)

7

30

21

xI dxx

18) 2

sin

0

os osxI e c x c xdx

(D-2005) 19) 3

2

0

sin tanI x xdx

20) 2

os

0

sin 2c xI e xdx

21) 2 4

20

14

x xI dxx

22)

4sin

0

tan osxI x e c x dx

23) 2

1

lne

I x xdx

24) 2

2 20

sin 2cos 4sin

xI dxx x

25) 6

2 2 1 4 1dxI

x x

26) 1

2

0

2 xI x e dx (D-2006)

27) 2

0

1 sin 2I x xdx

28) 2

1

2 lnI x xdx 29) ln 5

ln 3 2. 3x xdxI

e e (B-2006)

30) 10

5 2 1dxI

x x

31) 1

3 2 ln1 2 ln

e xI dxx x

32) 3 5 3

20

21

x xI dxx

33) 5

3

2 2x x dx

34) 2 4

50 1

xI dxx

35) 20122

2012 20120

sinsin cos

xI dxx x

36) 2

ln 25

0

xI x e dx 37)

2

30

cos 2sin cos 3

xI dxx x

38)

ln 2 2

0 2

x

x

eI dxe

39) 32

0

sin1 cos

xI dxx

40)

2

20

cos7 5sin cos

xI dxx x

41)

3

1

33 1 3

xI dxx x

42) 2

0

sinI x xdx

43) 3 2

1

lnln 1

e xI dxx x

44)

22

0

2 1 cosI x xdx

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


28

45) 46

0

tancos 2

xI dxx

(A-2008) 46)

4

0

sin4

sin 2 2 1 sin cos

x dxI

x x x

(B-2008) 47) ln 2

20

x x

dxIe e

48) 2

31

ln xI dxx

(D-2008) 49) 4

0

2 11 2 1

xI dxx

50) 1

20

14

x xI dx

x

51) 3

312

2 2xdxIx

52)

12

20 4

x xI xe dxx

53)

12

0

1 xI x x e dx

54) 2

3 2

0

cos 1 cosI x xdx

(A-2009) 55)

3

21

3 ln1

xI dxx

(B-2009) 56)

3

1 1xdxI

e

(D-2009)

57) 1 2 2

0

21 2

x x

x

x e x eI dxe

(A-2010) 58) 2

1

ln2 ln

e xI dxx x

(B-2010) 59)

3

4 21 1

dxIx x

60) 1

32 lne

I x xdxx

( D-2010) 61)

1

ln 2ln

e xI dxx x x

62) 2 2

41

2 43

xI dxx

63) 1

20

2 15 6

xI dxx x

64) 4

0

sin 1 cossin cos

x x x xI dx

x x x

(A-2011) 65)

122

220 1

xI dxx

66) 3

20

1 sincos

x xI dxx

(B-2011) 67)

4

0

4 12 1 2

xI dxx

(D-2011) 68)

2

3

4

cossinx xI dx

x

69)

12

12

1cos ln1

xI x dxx

70) 3

3 2

0

2I x x x 71) 4

21

1 4

x

x

x eI dxx xe

72)

ln5

ln 2

.10 1 1x x

dxIe e

73) 4

2

34

tan tan xI x x e dx

74)

0

12

1 1dxIx x

75) 1

2 4 211 3 1

dxIx x x x

76) 3

0 1 sin cosdxIx x

77)

4

2

ln 9

ln 9 ln 3

xI dx

x x

78) 32

21

log

1 3ln

e xI dxx x

79) 24

36

os

sin sin4

c xI dxx x

80)

2

20121 1

dxIx x

81)

3ln 2

230 2x

dxIe

82)

2

31

ln lnln 1

e x xI dxx x

83) 2

2

6

1sin sin2

I x x dx

84) 1

0

1 2 ln 11

xI x x dxx

85)

1

1ln

e x

x

xeI dxx e x

86) 2

0

1 sin .1 cos

xxI e dxx

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


29

87) 2

2

1

ln 3 ln1 ln

xI x x dxx x

88) ln 2 3 2

3 20

2 11

x x

x x xe eI dx

e e e

89)

2

ln ln

e

e

dxIx x ex

90) 4

20

21 tan

xx eI e x dx

x

91)

2

30

7sin 5cossin cos

x xI dxx x

92)

2

30 1 1

dxIx x

93) 4 7 3

3 40 1 1

x dxIx

94) 1

2

1

ln 1I x x dx

95) 2

0

sin 2012 sinI x x dx

96)

2

20120 1 tan

dxIx

97) 2

20

sin1 cos

x xI dxx

98)

1

21 1 1x

dxIx

99) 2

2

0

ln sin 1 sinI x x dx

100) 2sin

2012 1xxI dx

101)

3

0

ln 1 3 tanI x dx

102)

23

2

sin 3 cos

sin 3 3sin3

x xI dxx x

103) ln 3

2

0

1 1x xI e e dx 104)

1 3

20 3

xx eI dxx

105) 6

4

0

tan 1 tan 2I x xdx

106) 3

1 4xI dx

x

107) 23

6

tan tantan tan

x x x x dxx x x x

108) 2

20

cos 2 cos 21 cos cos cos

x xI dxx x x

109)

1

0

2 ln 1 1

1 1

x x xI dx

x x

120) 2

0

sin1 sin 2

xe xI dxx

121) 2

21

tancos 1 cos

xI dxx

122) 1

0 1 1dxI

x x

123) 2 4

8 41

33 2

xI dxx x x

124) 1

2

12

11x

xI x dx

x

125) 3 2

1

lne

I x xdx (D-2007) 126) 1

0

I x x mdx , m .

* Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

1) 2 4 3y x x ; 3y x (A-2002) 2) 2

44xy ;

2

4 2xy (B-2002)

3) 1y e x ; 1 xy e x (A-2007) 4) 2 3y x x ; 2 1y x

5) 27yx

; 2

27xy ; 2y x 6) 0x ; 2xy ; 3y x

7) x y ; 2 0x y ; 0y 8) y x ; 2 0x y ; 0y

9) 2 2 0y y x ; 0x y 10) 2 4 3y x x ; 3y

11) 2 2y x ; 2 4y x x 12) 2 1y x ; 5y x

13) 24y x ; 2 3 0x y 14) siny x ; y x

15) 2 4x y ; 2

84

yx

16) 2y x ; 2

4xy ; 2y

x ; 8y

x .

17) 2 3x y ; 2 3y x 18) 2 2 2y x x và tiếp tuyến của nó qua 2; 2A .

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


30

19) 0y ; 2

11

x xy

x

20) 2

2 14x y ; 3 1

4 2x y ; 0y .

21) 2 3 2

1x xy

x

; 0y ; 0x ; 2x 22) 4 25 2

2 2x xy ; 2x ; 2x

23) 2 2x y ; yx e ; 1y ; 1y 24) 2

22xy ;

2

4 92xy x ; 3 12

2xy

( 0 , 8x y )

25) 221 coty x x ; 3

x ;

4x 26) 2 3y x ; 32 2y x

27) 21 2y x x ; 1y 28) 0y ; 21

xxeyx

; 1x

29) 1 sin

xyx

; 0y ; 0x ; x 30) 2 1x

xye

; 0y ; 1x .

* Tính thể tích: 1) Hình tròn xoay tạo bởi khi 22 ; 0S y x x y quay quanh Ox , quay quanh Oy .

2) Hình tròn xoay tạo bởi khi 2

2 27; ;27xS y x y y

x

quay quanh Ox , quay quanh Oy .

3) Hình tròn xoay tạo bởi khi 2 24 ; 2S y x y x quay quanh Ox .

4) Hình tròn xoay tạo bởi khi 2 22 1S x y quay quanh Oy .

5) Hình tròn xoay tạo bởi khi ; 0; 1xS y xe y x quay quanh Ox .

6) Hình tròn xoay tạo bởi khi sin ; 0; 0;S y x y x x quay quanh Ox , quay quanh Oy .

7) Hình tròn xoay tạo bởi khi ln ; 0; 1;S y x x y x x e quay quanh Ox .

8) Hình tròn xoay tạo bởi khi S { 2y x ; dây cung AB} quanh Oy , biết 1;1 , 4; 2A .


1 ; 0; 1; 23 1 2 1

S y y x xx x x

quay quanh Oy .

10) Hình tròn xoay tạo bởi khi 2 ; 0; 0;

4sin osxS y y x x

x x c x

quay quanh Oy .


3; 0

3 4 1x xS y y

x x

quay quanh Oy .

12) Hình tròn xoay tạo bởi khi os2 2sin 7 ; 0;os2 7

c x xS y x xc x

quay quanh Oy .


2

ln 1 1; 0; 0; 3

1

xS y y x x

x

quay quanh Oy .

14) Hình tròn xoay tạo bởi khi 10 10sin os ; 0; 2

S y x c x x x

quay quanh Ox .


1 1; y ; ln ln

S y x ex x x x

quay quanh Oy .

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


31

Chủ đề 9: SỐ PHỨC 1. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:

a) 1 2 3 z i i i b)

31 5 1

izi i

c) 20112011

1 12012

z ii i

d) 2 20121 1 1 ... 1z i i i

e) 2012

101111

iz ii

f) a i az

a i a

2. Cho số phức ,z x iy x y . Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:

a) 2w 2 4z z i b) w1

z iiz

3. Tìm căn bậc hai của các số phức sau:

a) 1 4 3z i b) 4 6 5z i c) 5 12z i d) 4 53 2

i

e) 40 42z i f) 11 4 3z i g) 1 24 2

z i h) 33 56i .

4. Giải các phương trình sau trên :

a) 2 1 31 2

i izi i

b) 2 2 4z z i c) 2 0z z d) 2 0z z

e) 2 31 0z i z z i f) 22 24 12 0z z z z g) 2

4 3 1 02zz z z

i) 22 2 23 6 2 3 6 3 0z z z z z z j) 6 39 8 0z z k) 4 22 3 0z iz

l) 2z z m) 3 22 1 4 1 8 0z i z i z i ( biết phương trình có 1 nghiệm thuần ảo)

n) 3z z o) . 5 4z z z z i p) 8 417 16 0z z r) 22012 4 2012 8 0z i z i s) 2 2012 0z t) 2 2225 5 2 4 25 6 0z z 5. Giải các hệ phương trình sau trên :

a) 1 22 21 2

45 2

z z iz z i

b) 1 22 21 2

33 2

z z iz z i

c) 1 2 1 22 21 2

81

z z z zz z

d)

3 31 2

421 2

0

1

z z

z z

6. Tìm phần thực của số phức *1 ,nz i n thỏa phương trình: 4 4log 3 log 9 3n n .

7. Tìm ,a b để phương trình: 2 0z az b nhận 0 1z i làm nghiệm.

8. Với số nguyên dương n nào thì số phức 31 3

nizi

là số thuần thực.

9. Chứng minh rằng nếu na bi c di thì 2 2 2 2 na b c d .

10. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: 5z và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.

11. Tìm m để phương trình: 2 0z mz i có tổng các bình phương của hai nghiệm bằng 4i . 12. Cho 1 2,z z là các nghiệm phức của phương trình: 22 4 11 0z z . Tính giá trị của biểu thức sau:

2 21 2

20121 2

z zP

z z

..

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


32

13. Cho 11

izi

. Chứng minh 1 2 3 0k k k kz z z z .

14. Cho 31

izi

. Chứng minh 12z là một số thực.

15. Xét số phức

.1 2

i mzm m i

a) Tìm m để 1.2

z z

b) Tìm m để 14

z i

c) Tìm số phức z có môđun lớn nhất.

16. Cho 1 2,z z là hai số phức phân biệt. Chứng minh 1 2z z khi và chỉ khi 1 2

1 2

z zz z

là số ảo.

17. Gọi A, B theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số z khác 0 và 12

iz z . Chứng

minh tam giác OAB vuông cân. 18. Cho M, N là hai điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số phức 1 2, zz khác 0 thỏa mãn đẳng thức 2 2

1 2 1 2z z z z . Chứng minh tam giác OMN là tam giác đều. 19. Cho , , ,A B C D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số

4 3 3 ; 2 3 3 ; 1 3 ; 3i i i i . Chứng minh rằng bốn điểm , , ,A B C D cùng nằm trên một

đường tròn.

20. Tìm số phức z thỏa mãn hai đk: 1 2 3 4z i z i và 2z iz i

là một số ảo.

21. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: a) 1 2z i b) 2 z i z c) 2 2z z d) 1 1 2z i

e) 4 4 10z i z i f) 3zz i

g) 2 z i z là số thực.

h) 2 2z i z z i i) 1z iz i

j) 3 2 3z z i z .

k) 22

zz

có một acgumen bằng 3 l) một acgumen của z i bằng một acgumen của 1z .

22. Giả sử , ,a b c là ba số thực sao cho cos cos os 0a bc c . a) Hãy tìm phần ảo của số phức 1 tan 1 tan 1 tanz i a i b i c .

b) Chứng minh rằng: tan tan tan tan tan tan , a b c a b c a b c k k

23. Cho số phức z thỏa mãn 2 2 1z i . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z .

24. Cho số phức z thỏa 33

1 2zz

. Chứng minh rằng: 1 2zz

.

25. Chứng minh rằng với mỗi số phức z có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau xảy ra: 112

z hoặc 2 1 1z .

26. Cho 1 2 3 4, , ,z z z z là các nghiệm phức của phương trình: 41 1

2zz i

.

Hãy tính giá trị của biểu thức 2 2 2 41 2 3 41 1 1 1P z z z z .

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


33

27. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1z và 3z zz z .

28. Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện: 3 4z i . Tìm các số phức z sao cho 2 7 24z i đạt giá trị nhỏ nhất. 29. Gọi 1 2,z z là hai nghiệm của phương trình: 22012 2011 2010 0z z .

Hãy tính: 2 2

1 2 1 21P z z z z .

30. Cho các số phức 1 2,z z thỏa mãn điều kiện: 1 2 10z z và 1 23 3 2010z z .

Hãy tính 1 24 3P z z .

31. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: 1z .Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 3 1P z z .

32. Xét số phức z thỏa mãn điều kiện: 6 22 2 22

z i . Tìm số phức có acgumen dương

và nhỏ nhất. 33. Tìm số phức z sao cho 2z z và một acgumen của 2z bằng một acgumen của 2z cộng

với 2 .

34. Gọi 1 2,z z là hai nghiệm của phương trình 2 2 10 0z z . Tính giá trị của biểu thức: 2 2

1 2A z z (A-2009)

35. Tìm số phức z thỏa mãn: 2 10z i và . 25z z . (B-2009)

36. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện: 3 4 2z i . (D-2009)

37. Tìm phần ảo của số phức z biết 22 1 2z i i . (A-2010, chương trình Chuẩn)

38. Cho số phức z thỏa 31 3

1

iz

i

. Tìm z iz . (A-2010, Chương trình nâng cao)

39. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa: 1z i i z (B-2010)

40. Tìm số phức z thỏa 2z và 2z là số thuần ảo. (D-2010)

41. Tìm số phức z thỏa 22z z z (A-2011).

42. Tìm số phức z biết 5 3 1 0izz

(B-2011, Chương trình Chuẩn).

43. Tìm phần thực và phần ảo của số phức 3

1 31

izi

. (B-2011, Chương trình nâng cao).

44. Tìm số phức 2 3 1 9z i z i (D-2011).

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


34

Chủ đề 10 : ĐẠI SỐ TỔ HỢP

1. Chứng minh rằng: 11 1

1 1 1 12 k k k

n n n

nn C C C

(B-2008)

2. Tính giá trị của biểu thức 4 3

1 31 !

n nA AMn

biết rằng 2 2 2 21 2 3 42 2 179n n n nC C C C (D-2005)

3. Chứng minh 2 2 22 3

1 1 1... 1nA A A

với mọi n nguyên, 2n .

4. Cho các số tự nhiên thỏa 0 k n . Chứng minh: 2

2 2 2.n n nn k n k nC C C .

5. Chứng minh: 100 100

50100

2 21010 2

C .

6. Chứng minh rằng: 1 2 32 3 ... !

nn n n nC C C nC n

n

với 3 n .

7. Tìm 0;1;2;...;2011k sao cho 2011kC đạt giá trị lớn nhất.

8. Tìm số tự nhiên n biết: 1 !5 !. 5 2

1 3 !4! 24 3 4 !n n n

n n n n

.

9. Giải các phương trình sau: a) 1 2 3 26 6 9 14x x xC C C x x b) 2 272 6 2x x x xP A A P

c) 22 3 8P x P x d) 2 2

22 50x xA A

e) 1 2 3 72x x xC C C x f) 5

3 5720n n nP A P

g) 1 2 10... 1023x x xx x xC C C h)

11

1

.72

yx x y

x

A PP

i) 2 2 2 3 3 32 100n nn n n n n nC C C C C C j) 2 1

14 14 142n n nC C C .

k) 4 5 613n n nC C C l)

4

3 41

2423

xx

x x

AA A

.

10. Giải các bất phương trình sau:

a) 3 25 21 0x xA A x b) 2 2 32

1 6 102 x x xA A C

x

c) 2 3 21

1 1 6

n n nC C A

d) 2 4 3 35 2 2n n nn C C A

e) 4 3 21 1 2

5 04x x xC C A f)

41

331

14nnn

A PC

.

11. Tìm số hạng:

a) Dương của dãy 2 4 32 1 1

5 , 44n n n nu A C C n .

b) Âm của dãy 4

*4

2

143 , 4

nn

n n

Av nP P

.

12. Giải các hệ phương trình sau:

a) 2 1

1

5 3y yx x

y yx x

C CC C

b)

2 5 90

5 2 80

y yx xy yx x

A CA C

c)

2

2 66

y yx x

x

C CC

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


35

13. Tìm ,x y thỏa mãn:

a) 1 11 : : 6 :5 : 2y y y

x x xC C C

b) 1 1 21 1 : : 10 : 2 :1y y y y

x x x xA yA A C

c) 11 1: : 21: 60 :10y y y

x x xA A C

14. Tìm miền giá trị của các hàm số: a) 73x

xf x A b) 2 8

1x

xg x C .

15. Chứng minh 2012

0 2 2 4 4 2012 20122012 2012 2012 2012

3 12 2 ... 22

C C C C .

16. Tính tổng 0 1 2 20122012 2012 2012 20122 3 ... 2013S C C C C .

17. Tìm *n thỏa 1 3 2 12 2 2... 2048n

n n nC C C (D-2008) 18. Tìm *n thỏa 1 2 2 3 2 2 1

2 1 2 1 2 1 2 12.2 3.2 ... 2 1 .2 2005n nn n n nC C C n C (A-2005).

19. Tính tổng 2 2 3 3 4 4 1 1

0 1 2 33 2 3 2 3 2 3 2...2 3 4 1

n nn

n n n n nS C C C C Cn

, *n .

20. Tìm số hạng chính giữa của khai triển:

a) 101 x b) 2008

2

4xx

21. Tìm số hạng không chứa x của khai triển:

a) 121 x

x

với 0x b) 7

34

1xx

với 0x .

22. Tìm số hạng nguyên của khai triển:

a) 532 3 b)

7

3

452

.

23. Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển: 10042 3 .

24. Cho 53 4 52f x x x x . Khai triển f x thành đa thức 2 250 1 2 25...a a x a x a x .

a) Tính 0 1 2 25...a a a a b) 0 1 2 3 24 25...a a a a a a .

25. Trong khai triển 12443 5 có bao nhiêu số hạng là số nguyên>

26. Trong khai triển 1 n

xx

, hệ số của số hạng thứ ba lớn hơn hệ số của số hạng thứ hai là 35 . Tìm

số hạng không chứa x trong khai triển trên.

27. Trong khai triển: 28

3 15

n

x x x

hãy tìm số hạng không phụ thuộc x biết 1 2 79n n nn n nC C C

28. Tìm hệ số của: a) 15x trong khai triển: 2 3 201 2 1 3 1 ... 20 1 .x x x x

b) 5x trong khai triển: 5 1021 2 1 3x x x x .

29. Tìm hệ số của 26x trong khai triển 74

1 n

xx

biết rằng: 1 2 202 1 2 1 2 1... 2 1n

n n nC C C .

(A-2006) 30. Với n là số nguyên dương, gọi 3 3na là hệ số của 3 3nx trong khai triển thành đa thức của

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


36

2 1 2n nx x . Tìm n để 3 3 26na n . (D-2003).

31. Cho khai triển: 1223 xy xy . Tìm số hạng chứa x và y sao cho số mũ của x và y là các số

nguyên dương. 32. Tìm hệ số của 7x trong khai triển đa thức 22 3 nx , trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn:

1 3 5 2 12 1 2 1 2 1 2 1... 1024n

n n n nC C C C .

33. Tìm hệ số của số hạng chứa 8x trong khai triển 53

1 n

xx

biết rằng 14 3 7 3n n

n nC C n với

n là số nguyên dương, 0x . (A-2003). 34. Tìm hệ số của số hạng chứa 10x trong khai triển 2 nx biết

0 1 1 2 2 3 33 3 3 3 ... 1 2048nn n n n nn n n n nC C C C C (B-2007).

35. Tính hệ số của 8x trong khai triển thành đa thức của 821 1x x . (A-2004).

36. Sau khi khai triển 10002 31P x x x và 10002 31Q x x x thì hệ số của 20x của đa thức nào lớn hơn. 37. Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng trong khai triển 301 2x .

38. Cho khai triển: 100a b và 5a b . Tìm hạng tử của khai triển trên có giá trị tuyệt đối lớn nhất.

39. Cho nhị thức Newton 21

33

a bb a

; , 0a b . Tìm hệ số của số hạng chứa a và b có số mũ

bằng nhau. 40. Cho khai triển 2 *

0 1 21 2 ... , n nnx a a x a x a x n trong đó các hệ số 0 1 2, , ,..., na a a a thỏa

mãn 1 20 2 ... 4096

2 2 2nn

aa aa . Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số 0 1, ,..., na a a . (A-2008).

41. Cho khai triển nhị thức: 111 1 1 1

0 1 13 3 3 32 2 2 22 2 2 2 2 .. 2 2 2n nn nx x x xx x x x

n nn n n nC C C C

, *n .

Biết rằng trong khai triển đó có 3 15n nC C và số hạng thứ tư bằng 20n . Tìm n và x .(A-2002)

42. Chứng minh rằng x ta luôn có: 0

1 2012 12012

nkn k

nnk

x C x

.

43. Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ 43 5n

biết n thỏa mãn: 1 2 3 2 4964 1 4 1 4 1 4 1... 2 1n

n n n nC C C C .

44. Cho n là một số nguyên dương và 0 1 2 21 ... ...n k nk nx a a x a x x x a x . Biết rằng tồn tại

số nguyên dương k 1 1k n sao cho 1 1 .2 9 24k k ka a a Tính 2011! 102012 nM .

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


37

45. Xét khai triển: 1

3 23

2 4.22

nxx

. Gọi 3 5 , TT là các hạng tử thứ ba, thứ năm của khai triển.

1 3 , Cn nC là các hệ số của hạng tử thứ hai , thứ tư. Tìm x sao cho: 3 1

3 5

lg 3 lg 1

9 240n nC C

T T

.

46. Cho biết tổng tất cả các hệ số của khai triển 3

2

122

n

nxnx

là 64. Tìm hạng tử không chứa x .

47. Xét khai triển: lg 10 3 2 lg352 2x

nx

. Cho biết hạng tử thứ sáu là 21 và 1 2 3, ,n n nC C C lập thành

một cấp số cộng.

48. Tìm giá trị của x biết hạng tử thứ sáu của khai triển 11 2

71 log 3 1ln 9 7 52x

x

e

là 84.

49. Chứng minh rằng trong khai triển 22 1 ns x nx s x hệ số của 8x là: 2snC .

50. Đặt 1

0

, 1 nmf m n x x dx với ,m n .

a) Chứng minh ! !,

1m nf m n

m n

.

b) Với 10m n . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của ,f m n . 51. Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập được bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau. 52. Từ các số 1,2,3,4,5,6 thiết lập được tất cả bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi trong các số thiết lập được có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau. 53. Cho các số 1,2,5,7,8. có bao nhiêu cách lập ra một số gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên sao cho: a) Số chọn ra là một số chẵn.

b) Số tạo ra là một số không chứa số 7. c) Số tạo ra là một số nhỏ hơn 278.

54. Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau. Trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội hoạ. Ông muốn lấy ra 6 cuốn sách tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.

a) Giả sử thầy chỉ muốn tặng cho các em học sinh trên những cuốn sách thuộc hai thể loại văn học và âm nhạc. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tặng.

b) Giả sử thầy muốn rằng sau khi tặng sách xong mỗi loại còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. 55. Cho tập A={1,2,3,4,5,6,7,8}. a) Có bao nhiêu tập con X của A thoả mãn điều kiện X chứa 1 và không chứa 2.

b) Có bao nhiêu chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A và không bắt đầu bởi 123. 56. a) Cho đa giác lồi có n cạnh. Tìm số các đường chéo của đa giác lồi đó. b) Cho một đa giác lồi có số đường chéo là 35. Hỏi đa giác lồi đó có bao nhiêu đỉnh.

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


38

57. Trong mặt phẳng cho thập giác lồi (hình có 10 cạnh lồi) 1 2 10...A A A . Xét tất cả các tam giác mà 3 đỉnh của nó là 3 đỉnh của thập giác. Hỏi trong các tam giác đó, có bao nhiêu tam giác mà tất cả các cạnh của nó đều không phải là cạnh của thập giác. 58. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần. 59. Tìm số giao điểm tối đa của:

a) 10 đường thẳng phân biệt. b) 12 đường tròn phân biệt. c) 10 đường thẳng và 12 đường tròn ở câu a và b.

60. Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. a) Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng hai viên bi đỏ. b) Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ.

61. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ, 4 nhà vật lí nam. Lập một đoàn công tác gồm 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách. 62. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân biệt khác A, B, C, D. Tìm n số tam giác có 3 đỉnh lấy từ 6n điểm đã cho là 439. 63. Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Tìm số cách mà giáo viên chủ nhiệm chọn ra 3 học sinh phục vụ khai giảng. 64. Một bệnh viện có 15 bác sĩ ngoại khoa. Tìm số cách lập một kíp tiểu phẫu gồm 1 phẫu thuật viên chính và 1 phẫu thuật viên phụ. 65. Một học sinh muốn chọn 20 trong 30 câu trắc nghiệm Toán. Nếu đã chọn 5 câu hỏi thì cách chọn các câu còn lại là bao nhiêu. 66. Bạn Tâm có 7 người bạn, muốn mời 4 người dự tiệc sinh nhật, nhưng trong số đó 2 người ghét nhau không muốn dự tiệc chung. Hỏi bạn Tâm có bao nhiêu cách mời? 67. Có 8 phi công (5 nam, 3 nữ) và 4 nam bác sĩ đã hoàn thành khóa huấn luyện để chuẩn bị bay vào vũ trụ. Hỏi có bao nhiêu khả năng lập thành một tổ du hành vũ trụ gồm 3 người có cả nam lẫn nữ, cả phi công lẫn bác sĩ. 68. Phương trình 1000x y z có bao nhiêu bộ nghiệm , ,x y z nguyên dương. 69. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 lớp C. Cần chọn ra 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Có bao nhiêu cách chọn? 70. Cho hai đường thẳng 1 2,d d song song với nhau. Trên 1d có 10 điểm phân biệt, trên 2d có n điểm phân biệt 2n . Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Hãy tìm n.

71. Cho tập A có n phần tử 4n . Biết rằng số tập con của A bằng 20 lần số tập con gồm hai phần

tử của A. Tìm 1, 2,...,k n sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất. (B-2006).

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


39

Chủ đề 11: XÁC SUẤT 1. Gieo một đồng tiền, sau đó gieo một con súc sắc. Quan sát sự xuất hiện mặt sấp (S), mặt ngửa (N) của đồng tiền và số chấm xuất hiện trên con súc sắc.

a) Xây dựng không gian mẫu. b) Xác định các biến cố sau: A: “Đồng tiền xuất hiện mặt sấp và con súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm” B: “Đồng tiền xuất hiện mặt ngửa và con súc sắc xuất hiện mặt lẻ chấm” C: “Mặt 6 chấm xuất hiện”.

2. Từ một hộp chứa 3 bi trắng, 2 bi đỏ, lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 bi. a) Xây dựng không gian mẫu; b) Xác định các biến cố:

A: “Hai bi cùng màu trắng” B: “Hai bi cùng màu đỏ” C: “Hai bi cùng màu” D: “Hai bi khác màu”.

c) Trong các biến cố trên, hãy tìm các biến cố xung khắc, các biến cố đối 3. Một con súc sắc được gieo 3 lần. Quan sát số chấm xuất hiện.

a) Xây dựng không gian mẫu. b) Xác định các biến cố sau: A: “Tổng số chấm trong 3 lần gieo là 6”. B: “Số chấm trong lần gieo thứ nhất bằng tổng các số chấm của lần gieo thứ 2 và thứ 3”

4. Gieo hai con súc sắc. a) Mô tả không gian mẫu; b) Xây dựng các biến cố:

A: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 7” B: “Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm” C: “Có đúng một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”

c) Tính xác suất của các biến cố A, B, C. 5. Có 3 bình chứa 3 quả cầu trắng, 3 quả cầu xanh và 3 quả cầu đỏ. Từ mỗi bình lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để:

a) Ba quả cầu có màu đôi một khác nhau; b) Ba quả cầu có màu giống nhau; c) Hai quả có cùng màu còn quả kia khác màu.

6. Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen và 3 viên bi đỏ. a) Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để:

i) Lấy được cả 3 viên bi đỏ. ii) Lấy được cả 3 viên bi không đỏ. iii) Lấy được một viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ.

b) Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để: i) Lấy đúng một viên bi trắng. ii) Lấy đúng 2 viên bi trắng.

c) Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi. Tính xác suất rút được 5 viên bi trắng, 3 viên bi đen và 2 viên bi đỏ. 7. Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm trờn mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8. 8. Một máy bay có 4 bộ phận A, B, C, D đặt liên tiếp nhau Máy bay rơi khi có 2 viên đạn trúng vào cùng một bộ phận hoặc 2 bộ phận kề nhau trúng đạn. Tìm xác suất để máy bay rơi trong trường hợp:

a) 4 bộ phận có diện tích bằng nhau và máy bay trúng hai viên đạn

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


40

b) Các bộ phận B,C, D có diện tích bằng nhau và bằng nửa diện tích bộ phận A và máy bay trúng hai viên đạn 9. Có 10 nười gồm 6 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 6 người. Tính xác suất để có 4 nam và 2 nữ được chọn. 10. Có 4 em bé lên một đoàn tàu lượn gồm 4 toa. Mỗi em bé độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai. 11. Tính xác suất để 12 người chọn ngẫu nhiên có ngày sinh rơi vào 12 tháng khác nhau. 12. Gieo đồng thời ba con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm tròn mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 11. 13. Một chiếc hộp đựng 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đá và 2 quả cầu đen. Chọn ngẫu nhiên 6 quả cầu. Tính xác suất để chọn được 3 quả cầu trắng, 2 quả cầu đá và 1 quả cầu đen. 14. Tại một khách sạn trong tuần có 7 đám cưới. Tính xác suất để mỗi ngày có đóng một đám cưới. 15. Xếp ngẫu nhiên 6 quả cầu khác nhau vào 8 chiếc hộp khác nhau. Tính xác suất để hộp thứ nhất có 3 quả cầu, hộp thứ hai có 2 quả cầu, hộp thứ ba có 1 quả cầu.

16. Xạ thủ A bắn 2 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của A trong một lần bắn là 7

10 . Xạ thủ

B bắn 3 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của B trong một lần bắn là 9

10 . Tính xác suất để

mục tiêu không trúng đạn 17. Một máy bay có 3 bộ phận A, B, C lần lượt chiếm 15%, 30%, 55% diện tích máy bay. Máy bay rơi khi có hoặc 1 viên trúng vào A, hoặc 2 viên trúng vào B, hoặc 3 viên trúng vào C. Tính xác suất để máy bay rơi nếu máy bay trúng 3 viên đạn. 18. Trong lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25. Lớp học đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng hỏng. Tính xác suất dể lớp học không đủ ánh sáng . 19. Một người bắn 3 viên đạn. Xác suất để cả 3 viên trúng vòng 10 là 0,008, xác suỏt để 1 viên trúngvòng 8 là 0,15, xác suất để 1 viên trúng vòng dưới 8 là 0,4. Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm. 20. Tại thành phố Tam Kỳ tỉ lệ người thích bóng đá là 65%. Chọn ngẫu nhiên 12 người. Tính xác suất để có đúng 5 người thích bóng đá. 21. Gieo đồng thời 3 con súc sắc . Bạn thắng nếu có xuất hiện ít nhất 2 lần ra 6 chấm. Tính xác suất để trong 5 ván chơi bạn thắng ít nhất 3 ván. 22. Bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu , mỗi câu có 5 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án đúng . Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ 1 điểm. Một học sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để anh ta bị điểm âm. 23. Trọng lượng của một loại sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 50kg và phương sai 100kg2. Những sản phẩm từ 45kg đến 70kg được xếp vào loại A. Tính tỉ lệ các sản phẩm loại A. Chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm (trong rất nhiều sản phẩm). Tính xác suất để có không quá 60 sản phẩm loại A. 24. Một hộp đựng 15 bóng đèn trong đó có 9 bóng còn mới và 6 bóng đã sử dụng. Lần đầu người ta lấy ngẫu nhiên 3 bóng từ 15 bóng để sử dụng, sau đó trả lại vào hộp. Lần thứ hai lại lấy ngẫu nhiên 3 bóng cũng từ 15 bóng đèn này. Tìm số bóng đèn mới (chưa qua sử dụng) tin chắc nhất có trong 3 bóng được lấy ra lần thứ hai. 25. Có 2 lô hàng, lô hàng I có 3 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu, lô hàng II có 5 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô I bỏ vào lô II, rồi lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô II bỏ ra ngoài. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra lần 2 là sản phẩm xấu. 26. Trong 100 vé số có 1 vé số trúng 100000 đ, 5 vé trúng 50000 đ và 10 vé số trúng 30000đ. Một người mua ngẫu nhiên 3 vé. a) Tìm xác suất trúng đúng 30000 đ. b) Tìm xác suất trúng ít nhất 30000 đ. 27. Gieo 4 con xúc sắc cân đối và đồng chất. Xét các biến cố sau: A: “ Số chấm trên mặt xuất hiện của 3 con khác nhau”

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


41

B: “ Có ít nhất một con xuất hiện mặt 2 chấm” a) Tính P A b) Tính P B c) Tính P C . 28. Trong một họp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng cháy. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Gọi X là số bóng cháy lấy được. a) Lập bảng phân bố xác suất của X. b) Tìm xác suất để số bóng cháy không quá 1. 29. Số lỗi đánh máy trên một trang sách là một biến ngẫu nhiên trời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

X 0 1 2 3 4 5 P 0,05 0,05 0,20 ... 0,20 0,10

a) Tính xác suất để 3X . b) Tính xác suất để trang sách có nhiều nhất 4 lỗi. c) Tính xác suất để trang sách có ít nhất 2 lỗi. 30. Số người chết trong một tuần ở vùng A là một biến ngẫu nhiên X có bảng phân bố xác suất:

X 0 1 2 3

P 0,4 0,3 0,2 0,1

Số trẻ sơ sinh sinh ra trong một tuần ở vùng A là một biến ngẫu nhiên Y có bảng phân bố xác suất:

X 0 1 2 3 4 P 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05

a) Tính số trẻ em sinh ra và số người chết trung bình trong một tuần. b) Hỏi dân tăng trung bình trong một tuần. 31. Một hộp có 3 bi đỏ và 4 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 bi. Gọi X là số bi đỏ được chọn. a) Lập bảng phân bố xác suất. b) Tính xác suất để chọn được nhiều hơn một bi đỏ. c) Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X. 32. Cho hai hộp: Hộp I đựng 2 thẻ mang số 1 và 2; hộp II đựng 4 thẻ mang các số 3,4,5,6 . Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp một thẻ và gọi X là tổng hai số trên thẻ. a) Lập bảng phân bố xác suất của X. b) Tính xác suất để X là số chẵn. c) Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X.

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


42

Chủ đề 12: ĐIỂM- ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho A(1, -1). Lập phương trình đường thẳng đi qua A và

a) Song song với đường thẳng x – y + 2012 = 0.

b) Vuông góc với đường thẳng –x + 2y – 3 = 0.

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(1, 0), B(2, 2), C(0, 1)

a) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.

b) Lập phương trình các đường cao của tam giác

c) Tìm tọa độ các chân đường cao.

d) Lập phương trình các đường trung trực của tam giác ABC.

e) Lập phương phương trình các đường phân giác trong của tam giác ABC

f) Tính chu vi và diện tích của tam giác.

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(0, -3), B(m, -m), C(m – 1, -2).

a) Tìm m để tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

b) Với m vừa tìm được hãy tính chu vi và diện tích tam giác ABC.

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho A(1, 2), B(0, -1) và d: x + y – 2 = 0.

a) Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d.

b) Tìm đường thẳng A’B’ đối xứng với AB qua d.

Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy viết phương trình đường thẳng đối xứng với d: x-2y-5=0 và qua điểm

A(2;1).

Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy tìm điểm C thuộc đường thẳng x-y+2=0 sao cho tam giác ABC vuông

tại C, biết A(1;-2),

B(-3;3).

Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có pt:x-3y-1=0, cạnh bên AB có pt: x-

y-5=0. Đường thẳng AC đi qua M(-4;1). Tìm toạ độ điểm C.

Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(-1;-3)

a) Cho biết 2 đường cao: BH: 5x+3y-25=0, CK: 3x+8y-12=0. Hãy xác định toạ độ B,C.

b) Xác định toạ độ B, C nếu biết đường trung trực AB là: 3x+2y-4=0 và toạ độ trọng tâm G(4;-2)

của tam giác ABC.

Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy viết phương 3 cạnh của tam giác ABC , biết C(4;3), đường phân giác và

trung tuyến kẻ từ một đỉnh của tam giác có phương trình là: x+2y-5=0 và 4x+13y-10=0.

Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy viết phương trình đường thẳng song song với d: 3x-4y+1=0 và khoảng

cách đến d bằng 1.

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


43

Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy cho hình bình hành ABCD có số đo diện tích bằng 4. Biết toạ độ các

đỉnh A(1;0), B(2;0), và giao điểm I của 2 đường chéo AC,BD nằm trên đường thẳng y = x. Hãy tìm

toạ độ đỉnh C,D.

Bài 12: Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;1).Tìm điểm B trên đường thẳng d1:y = 3 và C trên trục hoành

sao cho tam giác ABC là tam giác đều.

Bài 13: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác cân ABC, BC = BA, với A(1; -1), C(3; 5), đỉnh B nằm

trên đường thẳng d: 2x – y = 0. Viết phương trình các đường thẳng AB và BC.

Bài 14: Trong mặt phẳng Oxy tìm toạ độ các đỉnh B, C của tam giác ABC biết A(-1; -3), trọng tâm

G(4; -2), đường thẳng trung trực của AB có phương trình: 3x + 2y – 4 = 0.

Bài 15: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng: d1: 2x – y + 5 = 0, d2: 3x + 6y – 7 = 0. Lập

phương trình đường thẳng đi qua P(2; -1) sao cho đường thẳng đó cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân

có đỉnh là giao điểm của d1 và d2.

Bài 16: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A(0; 1), B(3; 4). Tìm

toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho 2MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất.

Bài 17: Trong mặt phẳng Oxy trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC. Phương trình đường thẳng

chứa cạnh AB: y = 2x, Phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là: y = -0,25x + 2,25, trọng tâm

G(8 7;3 3

). Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 18: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; 0), B(3; -1) và đường thẳng d: x – 2y -1 = 0. Tìm C

thuộc d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6.

Bài 19: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC, A thuộc d: x – 4y – 2 = 0, BC song song với d.

Phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0 và trung điểm AC là M(1; 1). Tìm toạ độ các đỉnh của tam

giác ABC.

Bài 20: Trong mặt phẳng Oxy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-1), đường cao

AH: 3x-47+27=0, đườg phân giác CE: x+2y-5=0.

Bài 21: Trong mặt phẳng Oxy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4;-1), đường cao

AH: 2x-3y+12=0, trug tuyến AM: 2x+3y=0.

Bài 22: Trong mặt phẳng Oxy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-7), đườg cao

AH: 3x+y+11=0, đườg trug tuyến CM: x+2y+7=0.

Bài 23: Trong mặt phẳng Oxy có A(2; -1), B(1; -2), trọng tâm G thuộc đường thẳng x + y – 2 = 0

Tìm toạ độ điểm C biết diện tích tam giác ABC bằng 32

.

Bài 24: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; 5), B(-4; -5), C(4; -1). Tìm toạ độ trực tâm

và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


44

Bài 25: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông tại C, biết A(-2; 0), B(2; 0) và khoảng cách

từ trọng tâm G đến trục hoành bằng 13

. Tìm toạ độ đỉnh C.

Bài 26: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 3x – 4y + 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng

song song với d và cách d một khoảng bằng 1.

Bài 27: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng: d1: 2x – 3y + 1 = 0, d2: 4x + y – 5 = 0. A là giao

điểm của d1 và d2. Tìm điểm B thuộc d1, điểm C thuộc d2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(3; 5).

Bài 28: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC, A(2; 2). Lập phương trình các cạnh của tam giác

biết phương trình đường cao kẻ từ B và C tương ứng là: 9x – 3y – 4 = 0 và x + y – 2 = 0.

Bài 29: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;2). Trung tuyến CM: 5x + 7y – 20 = 0

và đường cao BK: 5x – 2y – 4 = 0. Viết phương trình các cạnh AC và BC.

Bài 30: Trong mặt phẳng Oxy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4; 3), đường phân

giác trong và trung tuyến kẻ từ một đỉnh của tam giác có phương trình lần lượt là:

x + 2y – 5 = 0 và 4x + 13y – 10 = 0.

Bài 31: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD: x – y = 0, đường cao

CH: 2x + y + 3 = 0, cạnh AC qua M(0; -1), AB = 2AM. Viết phương trình các cạnh của tam giác

ABC.

Bài 32: Trong mặt phẳng Oxy cho A(2; 1). Vẽ hình chữ nhật OABC thoả mãn OC = 2 OA và yB > 0.

Tìm tọa độ B và C. (O là gốc toạ độ).

Bài 33: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC, B(3;5), C(4;-3). Đường phân giác trong của góc A

có phương trình:

x + 2y – 8 = 0

a) Viết phương trình các cạnh của tam giác.

b) Tính diện tích của tam giác.

Bài 34: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): x – 2y + 2 = 0 và hai điểm A(0;6), B(2;5). Tìm

trên d một điểm M sao cho:

a) MA MB lớn nhất.

b) MA + MB nhỏ nhất.

Bài 35: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có B(-4;0), phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A có

dạng: -4x + 3y + 2 = 0, phương trình trung tuyến kẻ từ đỉnh C có dạng: 4x + y + 3 = 0.

a) Viết phương trình ba cạnh của tam giác.

b) Tính diện tích tam giác.

Bài 36: Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường

chéo AC và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường

thẳng : 5 0x y . Viết phương trình đường thẳng AB.

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


45

Bài 37: Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có trọng tâm 2;0 .G Biết phương trình các cạnh

AB,AC theo thứ tự là 4 14 0x y , 2 5 2 0.x y Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C .

Bài 38: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với 5,AB 1; 1 ,C đường thẳng AB có

phương trình 2 3 0x y và trọng tâm của tam giác ABC thuộc đường thẳng 2 0.x y Hãy

tìm toạ độ các điểm A và B.

Bài 39: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 2 0a b và hai đường thẳng

2 21 2: 1 ; d :d a b x y a b x ay b . Tìm điều kiện với a, b để giao điểm của hai đường

thẳng này thuộc trục hoành.

Bài 40: Trong mặt phẳng Oxy hãy viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau:

a) Đi qua M(1, 1) và tạo một góc 030 với đường thẳng 2

:4

x td

x t

b) Đi qua M(1, 1) và tạo một góc 045 với đường thẳng : 2 0d x y .

Bài 41: Trong mặt phẳng Oxy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết 2, 1B ; đường

cao và phân giác trong qua đỉnh A, C lần lượt là: 1 : 3 4 27 0d x y và 2 : 2 5 0d x y .

Bài 42: Trong mặt phẳng Oxy cho 3,0P và hai đường thẳng

1 2: 2 2 0 , d : 3 0d x y x y . Gọi d là đường thẳng qua P cắt 1 2, dd lần lượt tại A, B. Viết

phương trình của d biết .PA PB

Bài 43: Trong mặt phẳng Oxy cho 1,1P và hai đường thẳng 1 2: 0, d : 1 0d x y x y . Gọi

d là đường thẳng qua P, cắt 1 2, dd lần lượt tại A, B. Viết phương trình của d biết 2 .PA PB

Bài 44: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm 1; 2I và hai đường thẳng 1 2: 0, : 0d x y d x y . Tìm các điểm 1, A Ox B d và 2C d sao cho tam giác ABC vuông cân tại A đồng thời B, C đối xứng nhau qua điểm I. Bài 45: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng:

2 2: 1 2 4 3 0, : 4 0m x my m m d x y . Tìm K thuộc d sao cho khoảng cách từ đó đến luôn bằng 1. Bài 46: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x – 4y –2 = 0, cạnh BC song song với d, phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là M(1; 1). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. Bài 47: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng (d1): 7 17 0 x y , (d2): 5 0 x y . Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với (d1), (d2) một tam giác cân tại giao điểm của (d1), (d2).

Bài 48: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng (d1): x + y + 1 = 0, (d2): x – 2y + 2 = 0 lần lượt tại A, B sao cho MB = 3MA.

Bài 49: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ABC cân có đáy là BC. Đỉnh A có tọa độ là các số dương, hai điểm B và C nằm trên trục Ox, phương trình cạnh AB : y 3 7(x 1) . Biết chu vi

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


46

của ABC bằng 18, tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. Bài 50: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3;1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA+3OB) nhỏ nhất. Bài 51: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 4 điểm A(1;0), B(–2;4), C(–1;4), D(3;5). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ( ) :3 5 0 x y sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau. Bài 52: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm M1(155; 48), M2(159; 50), M3(163; 54), M4(167; 58), M5(171; 60). Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(163; 50) sao cho đường thẳng đó gần các điểm đã cho nhất.

Bài 53: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I

thuộc đường thẳng ( ) : 3 0 d x y và có hoành độ 92

Ix , trung điểm của một cạnh là giao điểm của

(d) và trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. Bài 54: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): x + y + 1 = 0,

(d2): 2x – y – 1 = 0 . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d1) và (d2) tương ứng tại A và B sao cho 2 0

MA MB .

Bài 55: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(4;1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho giá trị của tồng OA OB nhỏ nhất. Bài 56: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương trình

2x – y + 3 = 0. Lập phương trình đường thẳng () qua A và tạo với d một góc α có cosα 110

.

Bài 57: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 5 đơn vị, biết toạ độ đỉnh A(1; 5), hai đỉnh B, D nằm trên đường thẳng (d): x y2 4 0 . Tìm toạ độ các đỉnh B, C, D. Bài 58: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, biết các đỉnh A, B, C lần lượt nằm trên các đường thẳng d: x y 5 0 , d1: x 1 0 , d2: y 2 0 . Tìm toạ độ các đỉnh

A, B, C, biết BC = 5 2 . Bài 59: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm

I 9 3;2 2

và trung điểm M của cạnh AD là giao điểm của đường thẳng d: x y 3 0 với trục Ox.

Xác định toạ độ của các điểm A, B, C, D biết yA > 0. Bài 60: Trong mặt phẳng Oxy. Viết phương trình đường thẳng ( ) đi qua điểm M(3;1) và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2;-2). Bài 62: Viết phương trình cạnh AB của hình chữ nhật ABCD biết cạnh AB, BC, CD lần lượt đi qua các điểm 4,5 , 6,5 , 5, 2 , 2,1M N P Q và diện tích hình chữ nhật bằng 16. Bài 63: Cho hình thoi ABCd có phương trình hai cạnh AB, AD thứ tự là

2 2 0, 2x+y+1=0x y . Cạnh BD chứa điểm M 1, 2 . Tìm toạ độ các đỉnh.

Bài 64: Cho tam giác ABC cân tại B, phương trình cạnh AB có dạng 3 2 3 0x y , tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác là: 0,2I và B nằm trên trục hoành. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác.

Bài 65: Cho tam giác ABC có phương trình cạnh Bc là: 2y , đỉnh A thuộc đường thẳng

2 0x y và diện tích tam giác là 23

. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC, biết 0Ax .

Bài 66: Cho hình chữ nhật ABCD có 1,1A , đường chéo BD có phương trình 3 4 1 0x y ,

C nằm trên đường thẳng : 2 0d x y . Tìm toạ độ các đỉnh B, C, D.

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


47

Chủ đề 13: ĐƯỜNG TRÒN

Bài 1: Cho điểm A(1, 3), B(2, 1). Viết phương trình đường tròn đường kính AB.

Bài 2: Cho điểm I(2, 0) và d: x + y + 2 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với

đường thẳng d.

Bài: Cho điểm A(-1, 1), B(0, 2), C(1, 3). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 3: Cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 và đường thẳng d: x – y – 1 = 0

Viết phương trình đường tròn (C') đối xứng với (C) qua d.Tìm toạ độ giao điểm của (C) và

Bài 4 : Cho hai điểm A(2;0),B(6;4) .Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại A

và khoảng cách từ tâm của (C) đến B bằng 5.

Bài 5: Cho tam giác ABC có A(0;2), B(-2;-2) và C(4;-2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B ;M và N

lần lượt là trung điểm của AB và BC .Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm M , N và H

.(KA-07)

Bài 6: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên 3 đường thẳng y= 25 5x ;

y = x + 2; y = 8 – x .

Bài 7 : Đường thẳng y – 2x + 1= 0 cắt đường tròn x2 + y2 – 4x – 2y + 1= 0 tại hai điểm M,N.Tính độ

dài MN.

Bài 8 : Cho đường tròn (C): (x – 1)2+(y – 2)2 = 9. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2;1) cắt

(C) tại E,F sao cho A là trung điểm của EF.

Bài 9 : Cho hai đường tròn (C1): x2 – 2x + y2 = 0 và (C2): x2 – 8x + y2 + 12 = 0.Xác định tất cả các tiếp

tuyến chung của 2 đường tròn.

Bài 10: Cho đường tròn (C):x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0 và điểm A(3;5).Tìm phương trình các tiếp tuyến

kẻ từ A tới đường tròn .Giả sử các tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn tại M và N.Tính MN.

Bài 11: Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 – 4x = 0 và (C2): x2 + y2 – 4y = 0.

CMR (C1) cắt (C2) tại 2 điểm phân biệt.Tìm toạ độ 2 điểm đó.

Bài 12: Cho đường tròn x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 và M(2;4).

a)Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A,B sao cho M là trung

điểm của AB.

b) Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn có hệ số góc k = – 1 .

Bài 13: Lập phương trình đường tròn đi qua A(2;-1) và tiếp xúc với Ox,Oy.

Bài 14: Cho hai điểm M(0;1) và N(2;5). Lập phương trình đường tròn có tâm thuộc Ox và đi qua

M,N.

Bài 15: Cho hai đường tròn (C1):x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 và (C2): x2 + y2 + 2x – 2y – 14 = 0.

a)Xác định các giao điểm của (C1) và (C2).

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


48

b)Viết phương trình đường tròn đi qua 2 giao điểm đó và điểm A(0;1).

Bài 16: Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng 7x + y – 8 = 0 và đi qua hai điểm

A(- 1;2),B(3;0).

Bài 17: Cho hai điểm A(8;0),B(0;6).Viết phương trình đường tròn nội,ngoại tiếp tam giác OAB (với

O là gốc toạ độ).

Bài 18: Cho A(4;0),B(0;3).Viết phương trình đường tròn nội,ngoại tiếp tam giác OAB.

Bài 19: Cho hai đường thẳng d1:3x + 4y + 5 = 0 và d2:4x – 3y – 5 = 0.

Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng : x – 6y – 10 = 0 và tiếp xúc với

d1,d2 .

Bài 20: Cho A(3;1),B(0;7),C(5;2).

a)CMR ABC là tam giác vuông và tính diện tích ABC.

b)Giả sử M chạy trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .CMR trọng tâm G của tamgiác

ABC chạy trên một đường tròn.Tìm phương trình đường tròn đó.

Bài 21: Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ và cắt đường tròn (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25

thành một dây cung có độ dài bằng 8.

Bài 22: Cho đường tròn x2 + y2 – 2mx – 2(m + 1)y + 2m – 1 = 0.

a)CMR họ đường tròn luôn đi qua 2 điểm cố định.

b)CMR với mọi m họ đường tròn luôn cắt Oy tại 2 điểm phân biệt.

Bài 23: Cho 3 điểm A(-1;7),B(4;- 3),C(- 4;1).Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Bài 24: Xét họ đường tròn có phương trình x2 + y2 – 2(m + 1)x – 2(m + 2)y + 6m + 7 = 0.

a)Tìm quỹ tích tâm các đường tròn của họ.

b)Xác định toạ độ của tâm đường tròn thuộc họ đã cho mà tiếp xúc với Oy.

Bài 25: Cho họ dường tròn x2 + y2 – (m – 2)x + 2my – 1 = 0 (Cm).

a)CMR (Cm) đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.

b)Cho m = – 2 và A(0;-1).Viết phương trình các tiếp tuyến của (C2) kẻ từ A .

Bài 26: Cho đường tròn (C): x2 + y2 = 1 và họ đường tròn (Cm): x2 + y2 – 2(m + 1)x + 4my = 5.

a)CMR có hai đường tròn (Cm1) và (Cm2) tiếp xúc với (C) tương ứng với hai giá trị m1, m2

của m.

b)Xác định phương trình các đường thẳng tiếp xúc với (Cm1) và (Cm2).

Bài 27: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB: y – x – 2 = 0; BC: 5y – x + 2

= 0; AC: y + x – 8 = 0.

Bài 28: Cho đường tròn x2 + y2 – 2x – 4y + 4 = 0.Qua A(1;0) viết phương trình hai tiếp tuyến với

đường tròn và tính góc tạo bởi hai tiếp tuyến đó.

Bài 29: Cho đường tròn x2 + y2 + 8x – 4y – 5 = 0.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua

A(0;-1).

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


49

Bài 30: Cho đường cong (Cm): x2 + y2 + 2mx – 6y + 4 – m = 0.

a)CMR (Cm) là đường tròn với mọi m.Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm)

b)Với m = 4 viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng : 3x – 4y + 10 = 0 và

cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho AB = 6.

Bài 31: Cho A(1;0),B(0;2),O(0;0) và đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 12

)2 = 1 .Viết phương trình

đường thẳng đi qua giao điểm của đường tròn (C) và đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.

Bài 32: Cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 và đường thẳng d: 3x – 4y + m = 0 . Tìm m để

trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA , PB tới (C) (A, B là các

tiếp điểm ) sao cho tam giác PAB đều .(KD-07)

Bài 33: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 và điểm M(-3;1).Gọi T1, T2 là các tiếp điểm

của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng T1T2 .(KB-06)

Bài 34: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0 và đường thẳng d: x – y + 3 = 0. Tìm toạ độ

điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C),tiếp xúc

ngoài với đường tròn (C) . (KD-06) .

Bài 35 : Cho đường tròn (C) : 542 22 yx và hai đường thẳng 07:;0: 21 yxyx .

Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn (C1) biết đường tròn (C1) tiếp xúc với các

đường thẳng 21, và tâm K thuộc đường tròn (C) .(KB-09).

Bài 36: Cho đường thẳng (d): (1 – m2)x + 2my + m2 – 4m + 1 = 0. Chứng tỏ rằng khi m thay đổi (d)

luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Bài 37: Viết PTTT của đường tròn (x - 1)2 + (y + 1)2= 4 tại điểm M(1; 3).

Bài 38: Viết PTTT của đ.tròn x2+ y2- 4x+ 2y= 0 tại giao điểm của đ.tròn với các trục toạ độ.

Bài 39: Viết PTTT của đ.tròn x2+ y2+ 2x+ 2y- 3= 0 và đi qua điểm M(2; 3).

Bài 40: Viết PTTT của đ.tròn (x- 4)2+ y2= 4 kẻ từ gốc toạ độ

Bài 41: Viết PTTT của đ.tròn x2+ y2- 4x- 2y= 0 biết rằng tiếp tuyến đó // đ.thẳng 2x- y- 8= 0.

Bài 42: Cho đ.tròn (C): x2+ y2- 2x+ 6y+ 5= 0 và đ.thẳng d: 2x+ y- 1= 0. Viết PTTT của (C) biết //

d. Tìm toạ độ tiếp điểm.

Bài 43: Lập PTTT của đ.tròn (C): x2+ y2- 6x+ 2y= 0 biết rằng đ.thẳng d: 3x-y +4= 0.

Bài 44: Cho (C) x2+ y2+ 4x+ 4y- 17= 0. Viết PTTT của (C) biết d: 3x- 4y+ 1= 0.

Bài 45: Viết PTTT của đ.tròn x2+ y2= 8 biết rằng tiếp tuyến đó tạo với đ.thẳng Ox 1 góc 450.

Bài 46: Viết PTTT của đ.tròn (x-2)2+ (y- 2)2= 3 biết rằng tiếp tuyến đó tạo với đt Oy 1góc 600.

Bài 47: Cho hai đường tròn (C1): x2+ y2- 4x- 8y+ 11= 0 và (C2): x2+ y2- 2x- 2y- 2= 0

a) Xét vị trí tương đối của (C1) và (C2).

b) Viết PTTT chung của (C1) và (C2).

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


50

Bài 48: Cho 2 đ.tròn (C1) : x2+ y2- 6x+ 5= 0 và (C2) x2+ y2- 12x- 6y+ 44= 0. Lập PTTT chung của (C1) và

(C2).

Bài 49: CMR 2 đ.tròn (I1): x2+ y2= 1 và (I2): x2+ y2- 4y- 5= 0 tiếp xúc nhau và viết PTTT chung của 2

đ.tròn tại tiếp điểm.

Bài 50: Viết PTTT chung của 2 đ.tròn x2+ y2+ 2x- 2y- 3= 0, 4x2+ 4y2- 16x- 20y+ 21= 0.

Bài 51: Viết PTTTT chung của 2 đ.tròn x2+ y2- 4x- 6y+ 4= 0, x2 +y2- 10x- 14y+ 70= 0.

Bài 52:Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x cos t ysin t 2cos t 1 0. Chứng minh rằng d

luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định .

Bài 53: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng : 1 0d x y và đường tròn

2 2: 2 4 0C x y x y . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d mà qua đó kẻ được hai đường

thẳng tiếp xúc với đường tròn C tại A và B sao cho góc AMB bằng 60o .

Bài 54: Cho đường tròn 2 2: 1C x y . Tìm các giá trị thực của m để trên đường thẳng y m tồn

tại đúng hai điểm mà từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho góc giữa hai tiếp tuyến đó

bằng 060 .

Bài 55: Cho đường tròn: 2 2: 2012C x y và một điểm 0 0,M x y nằm ngoài đường tròn. Từ M

kẻ hai tiếp tuyến 1 2, MTMT với đường tròn trong đó 1 2, TT là các tiếp điểm.

a) Viết phương trình đường thẳng 1 2TT .

b) Giả sử điểm M chạy trên đường thẳng d cố định, không cắt đường tròn đã cho. Khi đó các

đường thẳng 1 2TT luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 56: Cho hai điểm 4,0 , B 0,3A . Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

Bài 57: Cho 3 điểm 0, , B ,0 , C ,0A a b b với , b > 0a .

a) Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với AB tại B, AC tại C.

b) Gọi M là điểm bất kỳ thuộc . Gọi 1 2 3, d , dd lần lượt là khoảng cách từ M đến các

đường thẳng AB, AC , BC. Chứng minh rằng: 21 2 3d d d .

Bài 58: Cho n điểm 1 1 1 2 2 2, , A , ,..., ,n n nA x y x y A x y và 1n số 1 2, ,..., , knk k k sao cho

1 2 ... 0nk k k . Tìm tập hợp các điểm M sao cho 2 2 21 1 2 2 ... n nk MA k MA k MA k .

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


51

Chủ đề 14: ELIP 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy xác định tâm đối xứng , độ dài hai trục,tiêu cự,tâm sai ,toạ độ

các tiêu điểm và các đỉnh của mỗi Elip:

23)01164)2054)14)11625

) 2222222222

yxeyxdyxcyxbyxa

2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy lập phương trình chính tắc của (E) trong các trường hợp sau :

1) Độ dài trục lớn bằng 6 , tiêu cự bằng 4 .

2) Một tiêu điểm là F1(-2;0) và độ dài trục lớn bằng 10 .

3) Một tiêu điểm là F1 0;3 và điểm M

23;1 nằm trên (E) .

4) Tiêu cự bằng 8 , (E) đi qua M 1;15

5) (E) đi qua hai điểm A(2;1) và B

2

1;5 .

6) Trục lớn có độ dài bằng 12 và đi qua điểm M 2;52 .

7) Trục nhỏ có độ dài bằng 4 và tâm sai 22

e .

8) Hai tiêu điểm là F1(-6;0) , F2(6;0) và tâm sai 32

e .

9) (E) đi qua M

554;

553 và M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông .

10) (E) đi qua điểm M có hoành độ bằng 2 và MF1 =3

13 ; MF2 = 35 .

3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho (E) : 136100

22

yx . Qua tiêu điểm F1 dựng một dây AB

của (E) vuông góc với trục lớn . Tính độ dài AB .


22

yx . Tìm điểm M trên (E) sao cho :

1) MF1 = 2MF2 .

2) M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông .

3) M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 60 .

4) M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 120 .

5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M(1;1) và (E) : 4x2 + 9y2 = 36 .

1)Tìm toạ độ các đỉnh , toạ độ các tiêu điểm và tâm sai của (E) .

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


52

2) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua M luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt .

3) Lập phương trình đường thẳng d qua M cắt (E) tại hai điểm A ,B sao cho MA = MB .

6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho (E) : 16x2 + 25y2 = 100 .

1) Tìm điểm trên (E) có hoành độ bằng 2 và tính khoảng cách từ điểm đó đến hai tiêu điểm .

2) Tìm b để đường thẳng y = x + b có điểm chung với (E) .

7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho (E) : 4x2 + 9y2 = 36 . Tìm điểm M trên (E) sao cho :

1) M có toạ độ là các số nguyên .

2) M có tổng hai toạ độ đạt GTLN , GTNN .


22

yx và đường thẳng d:2x + 15y - 10 = 0.

1) CMR d luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt A,B . Tính độ dài AB .

2) Tìm toạ độ điểm C trên (E) sao cho tam giác ABC cân tại A biết A có hoành độ dương .


22

yx và đường thẳng d : 022 yx

1) CMR d luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt A ,B . Tính độ dài AB .

2) Tìm điểm C trên (E) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất .

10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho (E): 149

22

yx và đường thẳng 02443: yx .

1) CMR đường thẳng không cắt (E) .

2) Tìm điểm M trên (E) sao cho khoảng cách từ M đến là ngắn nhất .


22

yx và điểm A(4;5) . Tìm điểm M trên (E)

sao cho khoảng cách MA ngắn nhất .

12. Trong hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(a;0), B(0;b) và điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số

- 2 .

1) Tính toạ độ điểm M theo a ; b .

2) Giả sử a , b thay đổi sao cho AB = 3 .CMR khi đó tập hợp điểm M là một (E) , viết

phương trình (E) đó .

13. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): 2 2

125 16x y

. A, B là các điểm trên (E) sa

cho: 1 2F 8A BF , với 1 2;F F là các tiêu điểm. Tính 2 1AF BF . 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): 2 24 9 36 x y và điểm M(1; 1). Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt (E) tại hai điểm C, D sao cho MC = MD.

15. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): 2 2

1100 25x y

. Tìm các điểm M (E) sao cho

01 2 120F MF (F1, F2 là hai tiêu điểm của (E)).

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


53

Chủ đề 15: HYPERBOL

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy lập phương trình chính tắc của hyperbol biết:

a) Trục thực Ox, có độ dài bằng 10, trục ảo thuộc Oy, có độ dài bằng 8.

b) Độ dài trục thực bằng 8, tâm sai 4

e .

c) Các tiêu điểm trên Ox, độ dài tiêu cự là 20 và một đường tiệm cận có phương trình

4 3 0x y .

d) Có tiêu điểm trên Oy, độ dài trục ảo bằng 6 và hai đường tiệm cận vuông góc

nhau.

e) Đi qua điểm 6, 4M và mỗi đường tiệm cận tạo với trục hoành góc 030 .

f) Phương trình hai tiệm cận 43

y x và hai đường chuẩn 165

x .

2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hyperbol 2 2

2 2: 1x yHa b

. Chứng minh rằng tích các

khoảng cách từ M bất kỳ trên H đến hai tiệm cận không đổi.

3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai tiêu điểm 1 24,0 , F 4,0F và điểm 2,0A .

a) Lập phương trình hyperbol đi qua điểm A và có tiêu điểm 1 2, FF .

b) Tìm toạ độ điểm M trên H sao cho 2 12MF MF .

6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hyperbol 2 2

: 14 9x yH . Gọi d là đường thẳng qua O

có hệ số góc k. là đường thẳng qua O và vuông góc với d.

a) Tìm điều kiện đối với k để d và đều cắt H .

b) Tính theo k diện tích hình thoi với 4 đỉnh là bốn giao điểm của , d và (H).

c) Xác định k để hình thoi ấy có diện tích nhỏ nhất..

7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy viết phương trình chính tắc của hyperbol (H) đi qua điểm

2;3M và mỗi đường tiệm cận tạo với Oy một góc 030 .

8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip 2 2

: 112 2x yE . Viết phương trình chính tắc của

hyperbol (H) có hai đường tiệm cận là: 2y x và có hai tiêu điểm là hai tiêu điểm của elip.

9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng : 0d x y m và hyperbol

2 2: 5 2 10H x y . Tìm m để d cắt (H) ở hai điểm A, B phân biệt và 8 53

AB .

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


54

Chủ đề 16: PARABOL 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy lập phương trình chính tắc của parabol (P) có đỉnh là gốc toạ

độ biết:

a) Đường chuẩn là 2x

b) Đường chuẩn là 1y

c) (P) qua điểm 2, 1A và nhận trục hoành làm trục đối xứng.

d) (P) nhận trục hoành làm trục đối xứng và chắn trên đường thẳng 2 0x y một đoạn bằng 045 .

2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho Parabol 2: 64P y x và đường thẳng

: 4 3 46 0x y . Tìm A thuộc (P) sao cho khoảng cách từ A đến nhỏ nhất. Tính khoảng cách

nhỏ nhất đó.

3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol 2.y x Một góc vuông ở đỉnh O cắt Parabol tại

1A và 2A . Hình chiếu của 1 2 , AA lên Ox là 1 2, BB . Chứng minh rằng: 1 2.OB OB const .

4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm 0, 6M và parabol 2; 6P y x . Lập phương

trình các đường thẳng d qua M cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 3 10AB .

5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol 2:P y x và điểm 0;2I . Tìm tọa độ hai

điểm ,A B thuộc P sao cho 4 0IA IB

. 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy tìm hai điểm A, B để tam giác OAB đều. 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm 1;1A và 3;9B trên parabol 2:P y x . Tìm điểm M trên cùn AB để diện tích tam giác MAB lớn nhất. 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol 2: 6P y x . Gọi A, B là hai điểm phân biệt

thuộc (P) và khác O mà số đo góc AOB bằng 090 . Chứng minh đường thẳng AB đi qua một điểm cố định. 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm 3;0A . Tìm điểm B thuộc parabol (P) sao cho AB ngắn nhất. 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol 2: 8P y x và điểm 2;4I thuộc (P). Một góc vuông thay đổi quay quanh I và hai cạnh góc vuông cắt (P) ở A, B khác I. Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


55

Chủ đề 17: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng : 3 2 4 0P x y z và hai điểm

4,0,0 , N 0,4,0M . Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN. a) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng ( P ). b) Xác định tọa độ điểm Q sao cho QI vuông góc với mặt phẳng ( P ) đồng thời Q cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng (P). 2. Trong không gian Oxyz, cho các điểm 1;3; 2 , B 3;7; 18A và mặt phẳng

: 2 1 0P x y z . a) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P). b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất. 3. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm 1;4;3 , B 5;2;7 , C 1;1;3 , D 1; 3; 1A . Tìm điểm

M trên mặt phẳng : 3 2 12 0P x y z sao cho 2 2 2 2MA MB MC MD đạt giá trị nhỏ nhất.

4. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có đỉnh 1;2;5A và hai trung tuyến là:

1 23 6 1 4 2 2: ; d :

2 2 1 1 4 1x y z x z zd

. Lập phương trình các cạnh của tam giác.

5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm 2;0;0 , C 0; 4;0 , S 0;0; 4 .A a) Tìm tọa độ điểm B thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật.Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, B, C, S. b) Tìm tọa độ điểm A1 đối xứng với A qua đường thẳng SC.

6. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 3 1 1:7 2 3

x y zd

và mặt phẳng

: 3 0P x y z và hai điểm A(3;1;1) , B(7;3;9). a) Lập phương trình đường thẳng đối xứng với d qua (P) b) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) để MA MB

đạt giá trị nhỏ nhất

7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 5; 2; 3M và mặt phẳng

: 2 2 1 0P x y z . a) Gọi M1 là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P). Tính độ dài đoạn M1M.

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và chứa đường thẳng 1 1 5:2 1 6

x y z

.

8. Trong không gian Oxyz, cho các điểm 2;0;0A , 0; 3;6M .

a) Chứng minh rằng mặt phẳng : 2 9 0P x y tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính MO. Tìm tọa độ tiếp điểm. b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M và cắt các trục Oy, Oz tại các điểm tương ứng B, C sao cho 3.OABCV 9. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm 0;0; 3 , B 2;0; 1A và mặt phẳng

: 3 8 7 1 0P x y z . a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P). b) Tìm tọa độ C nằm trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC đều.

10. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 1 1:3 2 1

x y zd

và hai điểm 3;0;2 , B 1;2;1A .

a) Tìm điểm I thuộc d sao cho IA IB

có độ dài nhỏ nhất.

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


56

b) Kẻ AA , BB vuông góc với đường thẳng d. Tính độ dài A B . 11. Trong không gian với hệ tọa độ trục chuẩn Oxyz a) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua các điểm 0;0;1M , 3;0;0N và tạo với mặt

phẳng Oxy một góc 3 .

b) Cho 3 điểm ;0;0 , B 0; ;0 , C 0;0;A a b c với a, b, c là các số dương thay đổi và thỏa mãn 2 2 2 3a b c . Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ O 0;0;0 đến mặt phẳng ABC đạt giá

trị lớn nhất.

12. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 1 1:2 1 2x y zd và hai mặt phẳng

: 2 5 0 : 2 2 0P x y z Q x y z

a) Gọi A, B là giao điểm của d với P và (Q). Tính AB.

b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d và tiếp xúc với và tiếp xúc với P và Q . 13. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có ba đỉnh

20112; os2010 ; os2011 , B 3; os ; os2011 , C 2; os2010 ;32

A c c c c c

còn đỉnh D nằm

trên trục Oy. Tìm tọa độ đỉnh D sao cho tứ diện có thể tích bằng 5. 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng với phương trình:

1 21 1 1 1 3: ; d :

1 2 2 1 2 2x y z x y zd

a) Tìm tọa độ giao điểm I của 1d , 2d và viết phương trình mặt phẳng (Q) qua 1d , 2d . b) Lập phương trình đường thẳng 3d qua 0; 1;2P cắt 1d , 2d lần lượt tại A và B khác I sao cho

.AI AB 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )P có phương trình 3 0x y z và các điểm 3;1;1 , B 7;3;9 , C 2;2; 2A .Tìm M thuộc mặt phẳng P sao cho

2 3MA MB MC

nhỏ nhất.

16. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2: 2 2 4 0S x y z x z và mặt phẳng

: 2 2 8 0x y z . Tìm điểm M thuộc S sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng là lớn nhất. 17. Trong không gian Oxyz, cho điểm M 0;1;2 và hai đường thẳng:

1 21 1 1 1 2: ; :

2 1 1 1 2 1x y z x y z

. Tìm N thuộc 1 , P thuộc 2 sao cho 3

điểm M, N, P cùng nằm trên một đường thẳng.

18. Cho mặt cầu: 2 2 2: 2 2 2 0S x y z x z và các điểm

0;1;1 , B 1; 2; 3 , C 1;0; 3A . Tìm điểm D thuộc mặt cầu (S) sao cho thể tích tứ diện ABCD lớn nhất.

19. Cho hai điểm 1, 4,2A , 1, 2, 4B và đường thẳng 1 2:

1 1 2x y zd

.

a) Tìm tạo độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho:

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


57

i) MA MB

nhỏ nhất ii) 2 2MA MB nhỏ nhất

iii) MA + MB nhỏ nhất iv) Diện tích tam giác AMB nhỏ nhất

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến mp (P) là lớn nhất.

c) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất..

d) Viết phương trình mặt phẳng R chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy góc lớn nhất.

e) Trong số các đường thẳng đi qua A và cắt đường thẳng d, viết phương trình các đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến nó là: a) Lớn nhất b) Nhỏ nhất.

f) Cho đường thẳng 11 1 1:

2 1 1x y zd

. Trong số các đường thẳng đi qua A và cắt đường

thẳng d, viết phương trình đường thẳng sao cho khoảng cách giữa nó và 1d là lớn nhất.

20. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 2) và đường thẳng 2 2 3:2 3 2

x y z .

Tính khoảng cách từ A đến . Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt tại hai điểm B và C sao cho

BC = 8. (A-2010- Nâng cao) 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0;-3;0),

B(4;0;0), C(0;3;0), B1(4;0;4).

a) Tìm tọa độ các đỉnh A1, C1. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng

(BCC1B1).

b) Gọi M là trung điểm của A1B1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song

song với BC. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 tại điểm N. Tính độ dài MN. ( B-2005)

22. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P) :

x + y + z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).

(D-2004)

23. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 2 4 0x y z và mặt cầu

(S): 2 2 2 2 4 6 11 0x y z x y z . Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đ-

ờng tròn. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đờng tròn đó. (A-2009- Chuẩn)

24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3)

a) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A,B,C,D

b) Tìm tọa độ tâm đường trón ngoại tiếp tam giác ABC. (D-2008)

25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1),

C(-2;0;1)

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


58

b) Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho

MA = MB = MC. (B-2008)

26. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và mặt

phẳng (P): 2x – y + 2z – 14 = 0.

a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính

bằng 3.

b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn

nhất. (B-2007)

27. Trong không gian với hê tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d : 1 22 1 2

x y z .

a) Tìm tọa độ hình chiều vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.

b) Viết phương trình mặt phẳng ( ) lớn nhất. (A-2008)

28. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z 3 = 0 và (Q): x y + z 1 = 0.

Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2.

(D-2010- Chuẩn).

29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng:

d1 : 2 2 3

2 1 1x y z

, d2 : 1 1 1

1 2 1x y z

a) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1.

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2. (D-2006).

30. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho đường thẳng d : 1 3 31 2 1

x y z

và mặt phẳng

(P) : 2x + y – 2z + 9 = 0.

a) Tìm toạ độ điểm I sao cho khoảng cánh từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.

b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số

của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), biết đi qua A và vuông góc góc với d.

(A-2002)

31. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng d : 3 2

11 4

x ty tz t

Viết

phương trình đường thẳng đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d. (B-2004).

32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0),

B(1;0;0), D(0;1;0) , A’(0;0;1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


59

b) Viết phương trìng mặt phẳng A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc biết cos = 16

(A-2006).

33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng :

d1 : 1 1

2 1 1x y z

, d2 :

11 2

2

x ty tz t

a)Viết phương trình đường thẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2.

b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng.(B-2006)

34. Trong không gian với hệ toạ độ Oyxz, cho hai đường thẳng

d1: 1 2

2 1 1x y z

; d2:

1 213

x ty tz

a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.

b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z = 0 và cắt hai

đường thẳng d1, d2. (A-2007)

35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1;4;2) , B(-1;2;4) và đường thẳng

d : 1 21 1 2

x y z

.

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với

mặt phẳng (OAB).

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất. (D-2007)

36. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai điểm

A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình

đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. (B-2009- Nâng cao)

37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng

(P): x + y + z – 20 = 0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song

song với mặt phẳng (P). (D-2009- Chuẩn)

38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D: x 2 y 2 z1 1 1

và mặt phẳng (P):

x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với

đường thẳng D. (D-2009- Nâng cao)

39. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 12 1 2x y z . Xác định tọa độ điểm M trên

trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến bằng OM. (B-2010- Nâng cao)

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


60

40. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 3x t

y tz t

và 2: 2 1

2 1 2x y z

. Xác

định toạ độ điểm M thuộc 1 sao cho khoảng cách từ M đến 2 bằng 1. (D-2010- Nâng cao)

41. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0;0;8) và điểm

C sao cho AC

=(0; 6; 0). Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA. (B-2003)

42. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-

1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng

khoảng cách từ D đến (P). (B-2009- Chuẩn)

43. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 2:2 1 1

x y z

và mặt phẳng (P) : x 2y +

z = 0. Gọi C là giao điểm của với (P), M là điểm thuộc . Tính khoảng cách từ M đến (P), biết

MC = 6 . (A-2010- Chuẩn)

44. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A (1; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c), trong đó b, c

dương và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0. Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt

phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng 13

. (B-2010- Chuẩn)

45. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,

AC cắt BD tạo gốc tọa độ O. Biết A(2; 0; 0), B (0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ). Gọi M là trung điểm cạnh SC.

a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đưởng thẳng SA, BM.

b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối hình chóp

A.ABMN. (A-2004)

46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1. Biết A(a; 0; 0),

B(-a; 0; 0), C(0; 1; 0), B1(-a; 0; b), a > 0, b > 0.

a) Tình khoảng cách giữa hai đường thẳng B1C và AC1 theo a, b.

b) Cho a, b thay đổi nhưng luôn thoả mãn a + b = 4. Tìm a,b để khoảng cách giữa hai đường

thẳng B1C và AC1 lớn nhất. (D-2004)

47. Trong không gian với hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật

ABCD.A’B’C’D’ có A trùnh với gốc của hệ tọa độ, B(a; 0; 0) , D(0; a; 0), A’(0; 0; b)

(a>0, b>0). Gọi M là trung điểm cạnh CC’.

a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b.

b) Xác định tỉ số ab

để hai mặt phẳng A BD và MBD vuông góc nhau. (A-2003).

48. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A 1;5;0 , B 3;3;6 và đường

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


61

thẳng d: 1 12 1 2

x y z

. Xác định vị trí của điểm C trên đường thẳng d để diện tích tam giác ABC

đạt giá trị nhỏ nhất. 49. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 2;0;0 và J 2;0;0 . Giả sử là mặt phẳng thay đổi,

nhưng luôn đi qua đường thẳng AJ và cắt các trục Oy, Oz lần lượt tại các điểm B 0;b;0 , C 0;0;c

với b,c 0 . Chứng minh rằng: bcb c2

và tìm b, c sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.

50. Trong không gian Oxyz, cho điểm A 5;5;0 và đường thẳng x 1 y 1 z 7d :2 3 4

. Tìm toạ độ

các điểm B, C thuộc d sao cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC 2 17 .

51. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm 2;3;0 , B 0; 2;0A và đường thẳng : 02

x tyz t

.

Tìm C sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. 52. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng

12 1:

2 1 2x y zd

và 2

2 2: 3

x td y t

z t

. Chứng minh hai đường thẳng trên chéo nhau. Hãy

viết phương trình mặt cầu (S) biết (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của 1 2, d d . 53. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng và mặt cầu S lần lượt có phương

trình: 2 2 22 2 3 0 ; 1 2 4 25.x y z x y z Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu S và

mặt phẳng . Viết phương trình mặt cầu V đối xứng với S qua mặt phẳng .

54. Trong không gian Oxyz, cho điểm 4;5;6 .H Viết phương trình mặt phẳng (P) qua H, cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. 55. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A a;0;0 ,B 0; b;0 ,C 0;0;c

Gọi , , lần lượt là các góc của các mặt phẳng (OAB), (OBC) , (OCA) với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: 2 2 2os os os 1.c c c

56. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: 1 :1 1 2x y zd và 2

1 1:2 1 1

x y zd

. Chứng

minh 1 2,d d chéo nhau. Tìm 1 2,A d B d sao cho đường thẳng AB song song với mặt phẳng

: 0P x y z và độ dài 2AB .

57. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm 1;0; 1 , 2;3; 1 , 1;3;1A B C và đường

thẳng 1 3:1 1 2x y zd

. Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng d sao cho thể tích khối tứ diện

ABCD bằng 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC).

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


62

58. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng : 2 1 0P x y z và hai đường thẳng

11 2 3:

2 1 3x y zd

, 21 1 2:

2 3 2x y zd

. Viết phương trình đường thẳng song song với

mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng 1d và cắt đường thẳng 2d tại điểm C có hoành độ bằng 3. 59. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng 2 2 2: 2 2 16 0, : 4 2 6 5 0P x y z S x y z x y z . Điểm M di động trên (S), điểm N di động trên (P). Tính độ dài ngắn nhất của MN. Xác định vị trí của MN tương ứng. 60. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

1 28 6 10: ; : 2

2 1 14 2

x tx y zd d y t

z t

Viết phương trình đường thẳng d song song với trục Ox và cắt 1d tại A, cắt 2d tại B. Tính AB. 61. Trong không gian Oxyz, cho hình thang cân ABCD với 3; 1; 2 , 1;5;1 , 2;3;3A B C , trong đó AB là đáy lớn, CD là đáy nhỏ. Tìm tọa độ điểm D. 62. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2: 2 4 6 11 0S x y z x y z và mặt phẳng

: 2 2 17 0x y z . Viết phương trình mặt phẳng song song với và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 6 .

63. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng chứa đường thẳng 1:1 1 2

x y z

và tạo với

mặt phẳng : 2 2 1 0x y z góc 060 . Tìm tọa độ giao điểm M của mặt phẳng với trục Oz.

64. Trong không gian Oxyz, cho điểm 2;1;4M và đương thẳng 1 2 1:1 1 2

x y xd . Tìm điểm

H thuộc d sao cho 332HMOS biết 4Hx .

65. Trong không gian Oxyz, cho họ đường thẳng 1: , 0, 11 1m

x y zd m mm m

. Chứng minh

rằng: md nằm trong một mặt phẳng cố định khi m thay đổi.

66. Trong không gian Oxyz, cho điểm 1;0;3I và đường thẳng 1 1 1:2 1 2

x y zd . Viết phương

trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại hai điểm ,A B sao cho cho IAB vuông tại I. 67. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm 0;0;4 , 2;0;0A B và mặt phẳng : 2 5 0P x y z . Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua , ,O A B và có khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng

(P) bằng 56

.

68. Trong không gian Oxyz, cho điểm 0;1;1A và hai đường thẳng:

1 2

11 2: , :

3 1 11

xx y zd d y t

z t

.Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A , vuông góc với

1d và cắt 2d .

69. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng 2: 2 2 3 0P x y m m và mặt cầu

2 2 2: 1 1 1 9S x y z . Tìm m để mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu S . Với m tìm được, hãy xác định tọa độ tiếp điểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S).

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


63

70. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu 2 2 21 : 2 4 2 30 0S x y z x y z

2 2 22 : 6 8 16 0S x y z x y . Chứng tỏ rằng hai mặt cầu 1S và 2S tiếp xúc trong với

nhau. Viết phương trình tiếp diện chung của chúng.

71. Trong không gian Oxyz, cho điểm 1; 1;1A và hai đường thẳng: 11:

1 2 3x y zd

21 4:

1 2 5x y zd .Chứng minh hai đường thẳng 1 2, d d và điểm A cùng nằm trong một mặt

phẳng.

72. Trong không gian Oxyz, cho điểm 2;0;0 , 2;2;0 , 0;0;A B S m . Gọi H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên đường thẳng SA . Chứng minh rằng với mọi 0m diện tích tam giác OBH nhỏ hơn 3. 73. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với 0;0; 2 , 0;2;0 , 2;0;0A B C ,

2;2; 2D . Tìm các điểm có tọa độ nguyên nằm trong tứ diện.

74. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2: 4 4 2 7 0S x y z x y z và đường thẳng md

là giao tuyến của hai mặt phẳng: : 1 2 4 4 0x m y mz và

: 2 2 1 8 0x my m z . Chứng minh rằng các giao điểm của md và S nằm trên một đường tròn cố định khi m thay đổi. Hãy tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

75. Trong không gian toạ độ cho đường thẳng d: 3 2 12 1 1

x y z

và mặt phẳng

(P): 2 0x y z . Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới bằng 42 . 76. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3;2;3) và hai đường thẳng

12 3 3:

1 1 2x y zd

và 21 4 3:

1 2 1x y zd

.Chứng minh đường thẳng d1; d2 và điểm A

cùng nằm trong một mặt phẳng. Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác ABC biết d1 chứa đường cao BH và d2 chứa đường trung tuyến CM của tam giác ABC.

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


64

Chủ đề 18: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao là h và góc ở đáy của mặt bên bằng . Tính

thể tích khối chóp S.ABC.

Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có góc hợp bởi mặt bên và đáy bằng . Cho biết khoảng

cách từ chân đường cao đến mặt bên bằng a. Tính thể tích của hình chóp.

Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều S.Abc . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a và góc

hợp bởi AB với mặt phẳng (SBC) bằng 030 . Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp.

Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi (P) là mặt phẳng qua A song

song với BC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (SBC), góc giữa mặt phẳng (P) và đáy bằng .

Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và .

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau.

a) Chứng minh S.ABCD là hình chóp đều

b) Tính cạnh của hình chóp S.ABCD khi thể tích của nó bằng 39a 22

.

Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích của khối chóp theo a và

trong mỗi trường hợp sau:

a) là góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

b) là góc giữa mặt bên và mặt đáy.

c) là góc giữa đường cao và mặt bên.

d) là góc ở đỉnh của mặt bên.

Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC và

khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SCD) bằng a 3

6. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên

(SCD) và tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = AC = a.Mặt phẳng

(SBC) vuông góc với đáy. Các mặt bên hợp với đáy góc 045 . Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo là tam giác vuông.

a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác đều

b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

c) Tính tan biết là góc hợp bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp.

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


65

Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a 3

3, chiều cao bằng a

và hai mặt chéo SAC và SBD cùng vuông góc với đáy.

a) Chứng minh S.ABCD là hình chóp đều.

b) Tính thể tích khối chóp

c) Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp.

Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với

mặt phẳng đáy. Biết 0BAC 120 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Hai mặt bên (SAB) và (SAD)

vuông góc với đáy. Đường chéo AC của đáy tạo với cạnh AB một góc . Cạnh SC có độ dài bằng a

và tạo với mặt phẳng (SAB) một góc . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a, và .

Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, BC = 2a . Hai mặt bên

(SAB) và (SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 060 .

a) Tính thể tích khối chóp.

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).

Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy

và SA a 2 . Trên AD lấy điểm M thay đổi. Đặt góc ACM . Hạ SN vuông góc với CM.

a) Chứng minh N luôn luôn thuộc một đường tròn cố định và tính thể tích tứ diện SACN theo a

và .

b) Hạ AH vuông góc với SC và AK vuông góc với SN. Chứng minh SC vuông góc với mặt

phẳng (AHK) và tính độ dài HK.

Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 0BAD 60 . Cạnh bên SA vuông

góc với mặt phẳng (ABCD) và SA a . Gọi C là trung điểm SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC và

song song với BD; cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B , D . Tính thể tích của khối

chóp S. AB C D .

Bài 16: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh a. Đường chéo BC của mặt

bên BCC B tạo với mặt bên ABB A một góc 030 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

Bài 17: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều ABCD.A B C D có chiều cao bằng h. Góc giữa hai đường

chéo của hai mặt bên kề nhau kẻ từ một đỉnh bằng 0 0 0 90 . Tính thể tích khối lăng trụ đã

cho.

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


66

Bài 18: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B,

AB a, AA =2a, A C= 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn A C , I là giao điểm của AM và A C .

Tính theo a thể tích tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).

Bài 19: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có AB a, AC = 2a, AA =2a 5 và 0BAC 120 . Gọi

M là trung điểm cạnh CC . Chứng minh MB vuông góc với MA và tính khoảng cách từ điểm A

đến mặt phẳng A BM .

Bài 20: Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và đỉnh A cách

đều các đỉnh A, B, C. Cạnh AA tạo với đáy góc 060 . Tính thể tính khối lăng trụ.

Bài 21: Cho lăng trụ ABC.A B C có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A,

AB a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh

BC. Tính theo a thể tích khối chóp A .ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA , B C .

Bài 22: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có đường chéo AC a và lần lượt tạo với ba

cạnh AA , AB và AD các góc 0 0 060 , =45 , =60 . Tính thể tích của hình hộp chữ nhật đã

cho.

Bài 23: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Chứng minh B D A BC và

tính thể tích khối đa diện có các đỉnh B , A , B, C , D theo a.

Bài 24: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) cắt SA,

SB, SC , SD theo thứ tự A ,B ,C ,D . Chứng minh:

a) S.ABC S.ACD S.ABD S.BCDV V V V ; b) SA SC SB SDSA SC SB SD

.

Bài 25: Cho hình chóp S.ABC có SA ABC , tam giác ABC vuông cân đỉnh C và SC a . Tính

góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC để thể tích khối chóp lớn nhất. Bài 26: Cho điểm M cố định nằm trong góc tam diện Oxyz cố định. Các mặt phẳng qua M và song với các mặt tam diện cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại 1 1 1A ,B ,C . Mặt phẳng di động qua M và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C khác O.

a) Chứng minh 1 1 1OA OB OC 1OA OB OC

b) Tìm vị trí để OMAB OMBC OMCA OABC

1 1 1 eV V V V

đạt giá trị lớn nhất.

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


67

Chủ đề 19: BẤT ĐẲNG THỨC

1. Cho , , 0a b c . Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3

1 1 1 1 .a b abc b c abc c a abc abc

2. Cho , , 0a b c thỏa mãn: 1a b c .

Chứng minh rằng: 2 2 2

1 1 1 1 30a b c ab bc ca

.

3. Cho 0 , , 1x y z . Chứng minh rằng: 812 2 2 2 2 28

x y z x y z .

4. Cho các số thực , ,x y z thỏa: 2 3 2x y z .

Chứng minh rằng: 2 2 21 2 1 3 1 2 10x y z . 5. Cho 2 22 , y 2 3y x x x . Chứng minh rằng: 2 2 2x y .

6. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 22010 . 2010 2010 . 2010 2010 . 2010

x y y z z x

x y y z z x

.

7. Cho x, y là hai số thực thỏa: 2 22log 2 1x y x y

. Chứng minh rằng: 92 .

2x y

8. Chứng minh rằng:

24 4 4 42 0 1 2 ...

1

nn n

n n n n

CC C C C

n

với mọi nN \ 0 .

9. Cho , , 0a b c thỏa mãn: 34

a b c .

Chứng minh rằng: 3 3 33 3 3 3a b b c c a . Dấu “=” xảy ra khi nào?

10. Chứng minh rằng nếu 0 1y x thì 14

x y y x . Dấu “=” xảy ra khi nào?

11. Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn 3 3 3 1x y z . Chứng minh rằng: 9 9 9 3 3 3

3 3 3 3 3 3 4

x y z x y z

x y z y z x z x y

.

12. Cho x, y, z thỏa mãn: 0x y z .

Chứng minh rằng: 3 4 3 4 3 4 6x y z .

13. Chứng minh rằng với mọi , 0x y ta có: 2

91 1 1 256.yxx y

14. Cho , , 0a b c . Chứng minh rằng: a b c a b ca b b c c a b c c a a b

.

15. Chứng minh rằng nếu phương trình 4 3 2 1 0x ax bx ax có nghiệm thì 2 2 45

a b .

16. Cho 2 2 2

59

x y zx y z

. Chứng minh rằng: 7, , 1;3

x y z .

17. Cho 2 2 2 2

1x y zxy yz zx

. Chứng minh rằng: 4 4, , ;

3 3x y z

.

18. Cho 2

0aa bca b c abc

. Chứng minh rằng: , 0b c .

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM


68

19. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 2

1 cos cos cos2x A B C x x R.

20. Cho 0 , , 2

3a b c

a b c

. Chứng minh rằng: 2 2 2 5a b c .

21. Cho , , 0x y z thỏa: 1xyz x y z . Chứng minh rằng: )( 2x y y z .

22. Cho , , 0x y z thỏa: 3yzx y zx

. Chứng minh rằng: 2 3 36

x y z .

23. Cho 2 n N và hai số thực x, y không âm. Chứng minh rằng: 1 11n n n nn nx y x y . Dấu “=” xảy ra khi nào?

24. Cho các số thực x, y thỏa mãn: , 0;3πx y

. Chứng minh rằng: cos cos 1 cosx y xy .

25. Cho , , 0x y z . Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 3 3 3 3 33 3 32 2 24 4 4 2 x y zP x y y z z x

y z x

.

26. Cho , 0a b thỏa mãn 3ab a b . Chứng minh rằng: 2 23 3 3 .

1 1 2a b ab a b

b a a b

27. Cho a, b là hai số thực thỏa mãn: 0 1a b . Chứng minh rằng: 2 2ln ln ln lna b b a a b . 28. Cho ba số thực , , 0;1a b c . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

.1 1 1

a b b c c aPc a b

29. Cho , ,x y z là ba số thực thỏa mãn điều kiện: 1x y z . Chứng minh rằng: 4 4 4x y z xyz . 30. Giả sử , , ,a b c d là bốn số nguyên thay đổi thỏa mãn 1 50a b c d . Chứng minh bất đẳng

thức 2 50

50a c b bb d b

và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .a cS

b d

31. Chứng minh rằng: 2

cos 2 2

x xe x x x R.

32. Cho , , 0x y z thỏa mãn: 3xyz . Chứng minh: 11 1

93xy yz zx

yx zx y z

.

33. Chứng minh rằng với mọi x, y ta có: 2010 12011 2011 2010 1 .

2011 2011x y x ye e e

34. Chứng minh rằng: x 1

1 x 1 x 2x x x 0;1e

.

35. Cho a, b, c, d là các số thực dương sao cho: 2 2 2 2 4a b c d . Chứng minh: 3 3 3 3 8a b c d .

36. Cho , y, z 0,1x . Chứng minh rằng 1 1 1 1xyz x y z .

37. Cho các số thực x, y, z thỏa: 2 2

2 2

316

x xy yy yz z

.

Chứng minh rằng: 8xy yz zx .

38. Cho , ,a b c là các số dương thỏa mãn 1 1 1 2011a b c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1 1 12 2 2

Pa b c a b c a b c

.

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM

Documents

[Mathvn.com] cac chu de ltdh - van-phu-quoc