[VNMATH.COM]-Chuyen De LTDH 2013.pdf

Các chuyên đề

LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Biên soạn: Nguyễn Minh Hiếu

THPT Phan Đình Phùng

Đồng HớiTháng 08 - 2012

O

y

xF1 F2A1 A2

B1

B2

Copyright c©2012 by Nguyễn Minh Hiếu, “All rights reserved”.

Nguyễn Minh Hiếu

2

www.VNMATH.com

Mục lục

Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5§1. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5§2. Cực Trị Của Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6§3. Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7§4. Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8§5. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số . . . . . . . . . . . . . . . . . 11§1. Phương Trình & Bất Phương Trình Không Chứa Căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11§2. Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12§3. Hệ Phương Trình Đại Số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14§4. Phương Trình & Hệ Phương Trình Chứa Tham Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Chuyên đề 3. Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17§1. Tọa Độ Trong Mặt Phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17§2. Phương Trình Đường Thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18§3. Phương Trình Đường Tròn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20§4. Phương Trình Elip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Chuyên đề 4. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23§1. Cực Trị Của Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23§2. Tương Giao Giữa Hai Đồ Thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24§3. Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25§4. Biện Luận Số Nghiệm Phương Trình Bằng Đồ Thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26§5. Đối Xứng - Khoảng Cách & Các Bài Toán Khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29§1. Lũy Thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29§2. Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30§3. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31§4. Phương Trình & Bất Phương Trình Mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31§5. Phương Trình & Bất Phương Trình Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33§6. Hệ Phương Trình Mũ & Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Chuyên đề 6. Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35§1. Tọa Độ Trong Không Gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35§2. Phương Trình Mặt Phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36§3. Phương Trình Đường Thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38§4. Hình Chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40§5. Góc Và Khoảng Cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Chuyên đề 7. Phương Trình Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45§1. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45§2. Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46§3. Phương Trình Lượng Giác Đưa Về Phương Trình Tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

§4. Phương Trình Lượng Giác Chứa Ẩn Ở Mẫu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48§5. Nghiệm Thuộc Khoảng Cho Trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3


Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51§1. Nguyên Hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51§2. Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52§3. Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52§4. Một Số Phương Pháp Tính Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54§5. Tích Phân Của Hàm Số Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

§6. Ứng Dụng Của Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Chuyên đề 9. Số Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59§1. Dạng Đại Số Của Số Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59§2. Phương Trình Bậc Hai Nghiệm Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61§3. Dạng Lượng Giác Của Số Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Chuyên đề 10. Hình Học Không Gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63§1. Quan Hệ Song Song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63§2. Quan Hệ Vuông Góc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64§3. Thể Tích Khối Đa Diện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65§4. Mặt Nón - Mặt Trụ - Mặt Cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Chuyên đề 11. Tổ Hợp - Xác Suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69§1. Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69§2. Xác Suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70§3. Nhị Thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Chuyên đề 12. Bất Đẳng Thức & Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73§1. Bất Đẳng Thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73§2. Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

PHỤ LỤC 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

PHỤ LỤC 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4

www.VNMATH.com

Chuyên đề 1

Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ ThịHàm Số

§1. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số

A. Kiến Thức Cần Nhớ

Định lý 1.1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I.• Nếu f ′(x) > 0,∀x ∈ I thì y = f(x) đồng biến trên I.• Nếu f ′(x) < 0,∀x ∈ I thì y = f(x) nghịch biến trên I.• Nếu f ′(x) = 0,∀x ∈ I thì y = f(x) không đổi trên I.

Lưu ý.• Nếu f ′(x) ≥ 0,∀x ∈ I và f ′(x) = 0 tại hữu hạn điểm của I thì y = f(x) đồng biến trên I.• Khoảng I ở trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc nửa khoảng với giả thiết bổ sung: “Hàm số y = f(x) liên

tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.

B. Kỹ Năng Cơ Bản

1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.• Tìm tập xác định. Tính y′. Tìm các điểm tại đó y′ bằng 0 hoặc không xác định.• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.

2. Điều kiện để hàm số luôn đồng biến, nghịch biến.• Tìm tập xác định Df .• Tính y′ và chỉ ra y′ ≥ 0,∀x ∈ Df (hoặc y′ ≤ 0,∀x ∈ Df ).

C. Bài Tập

1.1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số saua) y = 2x3 − 3x2 + 1. b) y = −x3 − 3x+ 2. c) y = x3 + 3x2 + 3x.d) y = x4 − 2x2 + 3. e) y = −x4 + 2x3 − 2x− 1. f) y =

√x2 − 2x− 3.

g) y =2x+ 3

x+ 2. h) y =

x+ 2

3x− 1. i) y =

x2 − 4x+ 4

1− x.

1.2. Tìm m để hàm số y = x3 + (m− 1)x2 +(m2 − 4

)x+ 9 luôn đồng biến trên R.

1.3. Tìm m để hàm số y = −mx3 + (3−m)x2 − 2x+ 2 luôn nghịch biến trên R.

1.4. Tìm m để hàm số y =mx− 2

m− xluôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.


x+m− 3luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

1.6. Tìm m để hàm số y = x+ 2 +m

x− 1luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

1.7. Tìm m để hàm số y =mx+ 4

x+mnghịch biến trên (−∞; 1).


x+m− 3nghịch biến trên (1; +∞).

5


1.9. Tìm a để hàm số y = x3 + 3x2 + ax+ a nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

1.10. Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 +mx+ 2 đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 3.

§2. Cực Trị Của Hàm Số


Định lý 1.2. Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0. Khi đó, nếu y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì f ′(x0) = 0.

Định lý 1.3. Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa x0 và có đạo hàm trên (a;x0), (x0; b). Khi đó• Nếu f ′(x) < 0,∀x ∈ (a;x0) và f ′(x) > 0,∀x ∈ (x0; b) thì hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x0.• Nếu f ′(x) > 0,∀x ∈ (a;x0) và f ′(x) < 0,∀x ∈ (x0; b) thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x0.

Định lý 1.4. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp một trên (a; b) và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại x0. Khi đó

• Nếuf ′(x0) = 0f ′′(x0) < 0

thì hàm số đạt cực đại tại x0.

• Nếuf ′(x0) = 0f ′′(x0) > 0

thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.

Lưu ý. Nếu y′′(x0) = 0 thì hàm số có thể đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại x0.


1. Tìm cực trị của hàm số.• Tìm tập xác định. Tính y′. Tìm các điểm tại đó y′ bằng 0 hoặc không xác định.• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.

2. Điều kiện để hàm số có cực trị, có k cực trị.• Sử dụng ĐL 1.3 và ĐL 1.4.

3. Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại x0.• Tính y′, y′′. Hàm số đạt cực trị tại x0 ⇒ y′(x0) = 0⇒ m.• Thay m và x0 vào y′′ để kết luận.

Lưu ý. Nếu y′′(x0) = 0 thì phải kiểm tra dấu của y′ để kết luận.

C. Bài Tập

1.11. Tìm cực trị của các hàm số saua) y = 2x3 − 3x2 + 1. b) y = −x3 − 3x+ 2. c) y = x3 + 3x2 + 3x.d) y = x4 − 2x2 + 3. e) y = −x4 + 2x3 − 2x− 1. f) y =

√x2 − 2x− 3.

g) y =2x+ 3

x+ 2. h) y =

x+ 2

3x− 1. i) y =

x2 − 4x+ 4

1− x.

1.12. Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx2 + 3 (2m− 1)x− 2

a) Có cực trị. b) Đạt cực trị tại x = 0. c) Đạt cực đại tại x = 1.

1.13. Cho hàm số y =1

3x3 −mx2 +

(m2 −m+ 1

)x+ 1. Với giá trị nào của m thì hàm số

a) Đạt cực đại tại x = 1. b) Có cực đại, cực tiểu. c) Không có cực trị.

1.14. Cho hàm số y = x4 − 2 (m+ 1)x2 + 2m+ 1. Với giá trị nào của m thì hàm sốa) Có ba điểm cực trị. b) Đạt cực tiểu tại x = 0. c) Đạt cực trị tại x = 1.

1.15. Tìm m để hàm số y = −x4 + 2 (2m− 1)x2 + 3 có đúng một cực trị.

1.16. (B-02) Tìm m để hàm số y = mx4 +(m2 − 9

)x2 + 10 có ba điểm cực trị.

1.17. Xác định giá trị của m để hàm số y =x2 +mx+ 1

x+ma) Không có cực trị. b) Đạt cực tiểu tại x = 1. c) Đạt cực đại tại x = 2.

6

www.VNMATH.com

Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số

§3. Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số


Định nghĩa 1.5. Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D. Khi đó

• M = maxx∈D

f(x)⇔f(x) ≤M,∀x ∈ D∃x0 ∈ D : M = f(x0)

. • m = minx∈D

f(x)⇔f(x) ≥ m,∀x ∈ D∃x0 ∈ D : m = f(x0)

.

Lưu ý.• Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.• Trên khoảng hoặc nửa khoảng hàm số có thể có hoặc không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.


1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền D.• Tính y′, y′ = 0⇒ xi ∈ D.• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.

2. Xét tính đơn điệu trên khoảng cho trước.PP1:• Tính y′ và chỉ ra y′ ≥ 0,∀x ∈ D (hoặc y′ ≤ 0,∀x ∈ D).• Từ y′ ≥ 0,∀x ∈ D ⇒ m ≥ g(x),∀x ∈ D.• Lập bảng biến thiên của g(x) trên D. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.

PP2:• Tính y′. Tìm các điểm tại đó y′ = 0 hoặc không xác định.• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.

Lưu ý.• m ≥ f(x),∀x ∈ D ⇔ m ≥ max

x∈Df(x). • m ≤ f(x),∀x ∈ D ⇔ m ≤ min

x∈Df(x).

C. Bài Tập

1.18. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:a) y = 1 + 8x− 2x2 trên [−1; 3]. b) y = x3 − 3x2 + 1 trên [−2; 3]. c) y = 1 + 4x3 − 3x4 trên [−2; 1].d) y = x3 − 3x2 + 1 trên (1; 4). e) y = x− 5 + 1

x trên (0; +∞). f) y = x− 1x trên (0; 2].

g) y =4

1 + x2. h) y = x4 + 2x2 − 1. i) y = x+

√4− x2.

1.19. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số saua) y = x+

√2 cosx trên

[0; π2

]. b) y = 2 sinx− 4

3 sin3x trên [0;π]. c) y = sin4x− 4sin2x+ 5.d) y = sin4x+ cos4x. e) y = 5 sinx− 12 cosx− 5. f) y = sin2x+ sin 2x+ 2cos2x.

1.20. Cho parabol (P ) : y = x2 và điểm A (−3; 0). Tìm điểm M ∈ (P ) sao cho khoảng cách AM ngắn nhất và tínhkhoảng cách đó.

1.21. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 −mx− 4 đồng biến trên (−∞; 0).

1.22. (BĐT-79) Tìm m để hàm số y = − 13x

3 + (m− 1)x2 + (m− 3)x− 4 đồng biến trên (0; 3).

1.23. Tìm m để hàm số y = mx3 − 3 (m− 1)x2 + 9 (m− 2)x+ 1 đồng biến trên [2; +∞).

1.24. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + (m+ 1)x+ 4m đồng biến trên (−∞;−2) và (2; +∞).

1.25. (BĐT-50) Tìm m để hàm số y =mx2 + 6x− 2

x+ 2nghịch biến trên [1; +∞).

1.26. Tìm m để hàm số y =x2 − 2mx+ 2m2 − 2

x−mđồng biến trên (1; +∞).

1.27. Tìm a để hàm số y =x2 − 2ax+ 4a2

x− 2ađồng biến trên (2; +∞).

7


§4. Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số


Định nghĩa 1.6. Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếulim

x→+∞f(x) = y0 hoặc lim

x→−∞f(x) = y0.

Định nghĩa 1.7. Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếulimx→x+

0

f(x) = +∞; limx→x+

0

f(x) = −∞; limx→x−0

f(x) = +∞ hoặc limx→x−0

f(x) = −∞.

Định nghĩa 1.8. Đường thẳng y = ax+ b, (a 6= 0) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếulim

x→+∞[f(x)− (ax+ b)] = 0 hoặc lim

x→−∞[f(x)− (ax+ b)] = 0.


1. Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.• Tìm lim

x→±∞f(x)⇒TCN. • Tìm lim

x→x±0f(x)⇒TCĐ.

Lưu ý. x0 thường là một nghiệm của mẫu.

2. Tìm tiệm cận xiên.C1: Viết lại hàm số dưới dạng y = ax+ b+ g(x). Chỉ ra lim

x→±∞[y − (ax+ b)] = 0⇒TCX.

C2: Tính a = limx→±∞

f(x)

xvà b = lim

x→∞[f(x)− ax]⇒TCX.

C. Bài Tập

1.28. Tìm tiệm cận (nếu có) của các hàm số sau

a) y =2x− 1

x− 2. b) y =

x− 3

−x+ 2. c) y =

3− 4x

x+ 1.

d) y =

√x2 + x

x− 1. e) y =

√x+ 3

x+ 1. f) y = 2x− 1 +

1

x.

g) y =x2 − 4x+ 4

1− x. h) y =

√x2 + x− 1. i) y = x+

√x2 + 2x.

1.29. Tìm m để đồ thị hàm số y =mx2 − 2m (m− 1)x− 3m2 +m− 2

x+ 2có tiệm cận xiên đi qua A (−1;−3).

1.30. Tìm m để hàm số y =2x2 + (m+ 1)x− 3

x+mcó giao hai tiệm cận nằm trên parabol (P ) : y = x2 + 2x− 1.

1.31. (A-08) Tìm m để góc giữa hai tiệm cận của hàm số y =mx2 +

(3m2 − 2

)x− 2

x+ 3mbằng 450.

1.32. Tìm m để đồ thị hàm số y =x2 +mx− 1

x− 1có tiệm cận xiên tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích

bằng 4.

1.33. Tìm m để đồ thị hàm số y =2x2 − (5m− 1)x+ 4m2 −m− 1

x−mcó tiệm cận xiên tạo với các trục toạ độ một

tam giác có diện tích bằng 4.

1.34. Cho hàm số y =3x− 1

x− 2. Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M nằm trên đồ thị hàm số đến hai tiệm

cận không đổi.

1.35. (A-07) Cho hàm số y =−x2 + 4x− 3

x− 2. Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M nằm trên đồ thị hàm số

đến hai tiệm cận là một hằng số.

1.36. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y =3x− 5

x− 2để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.

1.37. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y =x2 + 2x− 2

x− 1để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.

8

www.VNMATH.com

Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số

§5. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số


1. Sơ đồ khảo sát tổng quát.1. Tập xác định.2. Sự biến thiên.• Giới hạn, tiệm cận (nếu có).• Bảng biến thiên (tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, tính đơn điệu, cực trị).

3. Đồ thị.• Tương giao với các trục.• Tính đối xứng (nếu có).• Điểm đặc biệt (nếu cần).

2. Điểm uốn.

Định nghĩa 1.9. Điểm U (x0; f(x0)) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng(a; b) chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a;x0) và (x0; b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phíatrên đồ thị còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.

Mệnh đề 1.10. Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa x0, f ′′(x0) = 0 và f ′′(x) đổi dấukhi qua điểm x0 thì U (x0; f(x0)) là một điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x).

B. Các Dạng Đồ Thị Khảo Sát

• Hàm số y = ax3 + bx2 + cx+ d (a 6= 0). • Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a 6= 0).

O O

y y

x xU U

O O

y y

x x

• Hàm số y =ax+ b

cx+ d(c 6= 0, ad− bc 6= 0). • Hàm số y =

ax2 + bx+ c

dx+ e(a 6= 0, d 6= 0).

O O

y y

x x

I I

O O

y y

x x

I I

C. Bài Tập

1.38. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số saua) y = x3 + 3x2 − 4. b) y = −x3 + 3x− 2. c) y = −x3 + 1. d) y = x3 + 3x2 + 3x+ 1.e) y = x3 + x− 2. f) y = −2x3 − x− 3. g) y = −x3 + 3x2 − 1. h) y = 1

3x3 − x2 − 3x− 5

3 .

1.39. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số saua) y = x4 − 2x2 − 3. b) y = x4 + 2x2 − 1. c) y = 1

2x4 + x2 − 3

2 . d) y = 3− 2x2 − x4.e) y = −x4 + 2x2 − 2. f) y = 2x4 − 4x2 + 1. g) y = −2x4 − 4x2 + 1. h) y = x4 − 4x2 + 3.

1.40. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau

a) y =4

2− x. b) y =

x− 3

2− x. c) y =

x+ 3

x− 1. d) y =

−x+ 2

2x+ 1.

e) y =x− 2

x+ 1. f) y =

x+ 2

x− 1. g) y =

2− xx+ 1

. h) y =x+ 3

x− 2.

9


1.41. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau

a) y =x2 + 2x+ 2

x+ 1. b) y =

x2 − 2x− 3

x− 2. c) y =

2x2 + 5x+ 4

x+ 2. d) y =

−x2 − 2x

x+ 1.

e) y =x2 − 2x

x− 1. f) y =

2x2 − x+ 1

1− x. g) y = −x+ 2 +

1

x− 1. h) y = x− 1 +

1

x+ 1.

10

www.VNMATH.com

Chuyên đề 2

Phương Trình - Bất Phương Trình & HệPhương Trình Đại Số

§1. Phương Trình & Bất Phương Trình Không Chứa Căn

A. Phương Pháp Giải Cơ Bản

1. Đưa về phương trình tích.• Biến đổi đưa phương trình về dạng f(x).g(x) = 0.

• Áp dụng công thức f(x).g(x) = 0⇔[f(x) = 0g(x) = 0

.

2. Đặt ẩn phụ.• Chọn ẩn phụ t = u(x) phù hợp.• Đưa phương trình về phương trình theo ẩn t đã biết cách giải (phương trình có thể vẫn chứa x).

3. Phuơng pháp khoảng (đối với phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối).• Lập bảng xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.• Xét phương trình trên từng khoảng.

Lưu ý. Nếu phương trình chỉ chứa một dấu trị tuyệt đối |f(x)| thì xét hai trường hợp f(x) ≥ 0 và f(x) < 0.

B. Bài Tập

2.1. Giải các bất phương trình saua) x2 − 6x+ 6 > 0. b) −4x2 + x− 2 ≥ 0.c) x4 − 4x3 + 3x2 + 8x− 10 ≤ 0. d) x4 + x2 + 4x− 3 ≥ 0.

2.2. Giải các bất phương trình sau

a)x− 2

x2 − 9x+ 8≥ 0. b)

x2 − 3x− 2

x− 1≥ 2x+ 2.

c)x+ 5

2x− 1+

2x− 1

x+ 5> 2. d)

1

x2 − 5x+ 4<

1

x2 − 7x+ 10.

2.3. Giải các phương trình saua) x3 − 5x2 + 5x− 1 = 0. b) x3 − 3

√3x2 + 7x−

√3 = 0.

c) x4 − 4x3 − x2 + 16x− 12 = 0. d) (x− 3)3

+ (2x+ 3)3

= 18x3.e)(x2 + 1

)3+ (1− 3x)

3=(x2 − 3x+ 2

)3. f) (4 + x)2 − (x− 1)

3= (1− x)

(x2 − 2x+ 17

).

2.4. Giải các phương trình saua)(x2 − 4x+ 3

)2 − (x2 − 6x+ 5)2

= 0. b) x4 = (2x− 5)2.

c) x4 + 3x2 + 3 = 2x. d) x4 − 4x− 1 = 0.e) x4 = 6x2 − 12x+ 8. f) x4 = 2x3 + 3x2 − 4x+ 1.

2.5. Giải các phương trình saua) (x+ 3)

4+ (x+ 5)

4= 2. b) (x+ 1)

4+ (x+ 3)

4= 16.

c) (x+ 3)4

+ (x− 1)4

= 82. d) x4 + (x− 1)4

= 298 .

2.6. Giải các phương trình saua) (x+ 1) (x+ 2) (x+ 3) (x+ 4) = 3. b)

(x2 + 1

)(x+ 3) (x+ 5) + 16 = 0.

c) (x− 1) (x− 2) (x− 3) (x− 6) = 3x2. d)(x2 − 2x+ 4

) (x2 + 3x+ 4

)= 14x2.

11


2.7. Giải các phương trình saua) x4 − 4x3 + 6x2 − 4x+ 1 = 0. b) 2x4 + 3x3 − 16x2 − 3x+ 2 = 0.c) 2x4 + 3x3 − 27x2 + 6x+ 8 = 0. d) x4 − 5x3 + 8x2 − 10x+ 4 = 0.

2.8. Giải các phương trình saua)(x2 + 5x

)2 − 2(x2 + 5x

)− 24 = 0. b)

(x2 + x+ 1

) (x2 + x+ 2

)= 12.

c)(x2 − 2x− 2

)2 − 2x2 + 3x+ 2 = 0. d) (4x+ 3)2

(x+ 1) (2x+ 1) = 810.

2.9. Giải các phương trình sau

a)1

2x2 − x+ 1+

1

2x2 − x+ 3=

6

2x2 − x+ 7. b)

4x

4x2 − 8x+ 7+

3x

4x2 − 10x+ 7= 1.

c)x2 + 1

x+

x

x2 + 1= −5

2. d)

(x− 1

x+ 2

)2

+x− 3

x+ 2− 2

(x− 3

x− 1

)2

= 0.

e) x2 +

(x

x+ 1

)2

= 1. f)(

1

x2 + x+ 1

)2

+

(1

x2 + x+ 2

)2

=13

36.

2.10. Giải các phương trình saua) |x− 1| =

∣∣x2 − 3x+ 1∣∣. b)

∣∣x2 + 4x− 5∣∣ =

∣∣x2 + 5∣∣.

c)∣∣x2 − 5x+ 4

∣∣− x = 4. d)√x2 + 4x+ 4 = 5− x2.

e)∣∣x2 − 5x+ 4

∣∣ = x2 + 6x+ 5. f)∣∣x2 − 5x+ 5

∣∣ = −2x2 + 10x− 11.


a)(x2 − x

)2+∣∣x2 − x

∣∣− 6 = 0. b) 3

(2x− 1

x+ 1

)2

−∣∣∣∣ x+ 1

2x− 1

∣∣∣∣− 6 = 0.

c)∣∣x2 + 3x− 10

∣∣+∣∣x2 − 4

∣∣ = 0. d)∣∣x2 + 3x− 4

∣∣+∣∣x2011 + 2011x− 2012

∣∣ = 0.


a) |x− 2| < |2x+ 1|. b)∣∣∣∣2x− 3

x− 3

∣∣∣∣ ≤ 1.

c)∣∣x2 − 5x+ 4

∣∣ ≤ x2 + 6x+ 5. d)∣∣x2 − 2x

∣∣+ x2 − 4 > 0.

2.13. Giải các phương trình saua) |9− x| = |6− 5x|+ |4x+ 3|. b)

∣∣x2 − 5x+ 4∣∣+∣∣x2 − 5x

∣∣ = 4.c) |7− 2x| = |5− 3x|+ |x+ 2|. d) |x− 1| − 2 |x− 2|+ 3 |x− 3| = 4.e)√x2 − 2x+ 1 +

√x2 + 4x+ 4 = 5. f)

√x+ 2

√x− 1 +

√x− 2

√x− 1 = 2.

§2. Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn


1. Sử dụng phép biến đổi tương đương.

•√f(x) =

√g(x)⇔

f(x) ≥ 0f(x) = g(x)

. •√f(x) = g(x)⇔

g(x) ≥ 0f(x) = g2(x)

.

• 3√f(x) = 3

√g(x)⇔ f(x) = g(x). • 3

√f(x) = g(x)⇔ f(x) = g3(x).

•√f(x) < g(x)⇔

f(x) ≥ 0g(x) > 0f(x) < g2(x)

. •√f(x) > g(x)⇔

g(x) < 0f(x) ≥ 0g(x) ≥ 0f(x) > g2(x)

.

2. Đặt ẩn phụ• Dạng 1: Đặt t = u(x), đưa phương trình về ẩn t (phương trình có thể vẫn chứa ẩn x).• Dạng 2. Đặt u = u(x); v = v(x), đưa phương trình về hệ theo ẩn u và v.

3. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.• Dự đoán nghiệm (nếu có).• Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chỉ ra phương trình chỉ có nghiệm đã dự đoán (hoặc chỉ ra PTVN).

4. Đánh giá hai vế.

• Đánh giá f(x) ≥ A; g(x) ≤ A. Khi đó f(x) = g(x)⇔f(x) = Ag(x) = A

.

12

www.VNMATH.com

Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số

B. Bài Tập

2.14. Giải các phương trình saua) x−

√x− 1− 7 = 0. b)

√2x+ 9 =

√4− x+

√3x+ 1.

c)√

3x− 3−√

5− x =√

2x− 4. d)√

2x+√

6x2 + 1 = x+ 1.e) 3√

2x− 1 + 3√x− 1 = 3

√3x+ 1. f) 3

√x+ 1 + 3

√x+ 2 + 3

√x+ 3 = 0.

2.15. Giải các bất phương trình saua)√x2 − 4x− 12 > 2x+ 3. b)

√x2 − 4x− 12 ≤ x− 4.

c) 3√

6x− 9x2 < 3x. d)√x3 + 1 ≥ x+ 1.

2.16. Giải các bất phương trình saua) (CĐ-09)

√x+ 1 + 2

√x− 2 ≤

√5x+ 1. b) (A-05)

√5x− 1−

√x− 1 >

√2x− 4.

c)√

2x+√

6x2 + 1 > x+ 1. d) (A-04)

√2 (x2 − 16)√x− 3

+√x− 3 >

7− x√x− 3

.

2.17. Giải các phương trình saua) (D-05) 2

√x+ 2 + 2

√x+ 1−

√x+ 1 = 4. b)

√x− 1 + 2

√x+ 2−

√x− 1− 2

√x+ 2 = 1.

c) x+

√x+ 1

2 +√x+ 1

4 = 9. d)√x+ 2

√x− 1 +

√x− 2

√x− 1 =

x+ 3

3.


a)√

x4 +√x− 4 ≥ 8− x. b) (D-02)

(x2 − 3x

)√2x2 − 3x− 2 ≥ 0.

c) (x− 2)√x2 + 4 < x2 − 4. d) (x+ 2)

√9− x2 ≤ x2 − 2x− 8.

e)√x2 − 3x+ 2 +

√x2 − 4x+ 3 ≥ 2

√x2 − 5x+ 4. f)

√x2 + x− 2 +

√x2 + 2x− 3 ≤

√x2 + 4x− 5.

2.19. Giải các phương trình saua) (D-06)

√2x− 1 + x2 − 3x+ 1 = 0. b)

√7− x2 + x

√x+ 5 =

√3− 2x− x2.

c)√

2x2 + 8x+ 6 +√x2 − 1 = 2x+ 2. d) 3

(2 +√x− 2

)= 2x+

√x+ 6.

e) x2 + 3x+ 1 = (x+ 3)√x2 + 1. f)

√x2 − 7

x2+

√x− 7

x2= x.


a)1−√

1− 4x2

x< 3. b)

1−√

21− 4x+ x2

x+ 1≥ 0.

c)2x√

2x+ 1− 1> 2x+ 2. d)

x2(1 +√

1 + x)2 > x− 4.

2.21. Giải các phương trình saua) (x+ 5) (2− x) = 3

√x2 + 3x. b)

√(x+ 1) (2− x) = 1 + 2x− 2x2.

c)√x+ 1 +

√4− x+

√(x+ 1) (4− x) = 5. d)

√3x− 2 +

√x− 1 = 4x− 9 + 2

√3x2 − 5x+ 2.


a) x+√

4− x2 = 2 + 3x√

4− x2. b) (x− 3) (x+ 1) + 4 (x− 3)√

x+1x−3 = −3.

c)4

x2+

x2

4− x2+

5

2

(√4− x2

x+

x√4− x2

)+ 2 = 0. d) (B-2011) 3

√2 + x−6

√2− x+4

√4− x2 = 10−3x.

2.23. Giải các phương trình saua) x2 + 3x+ 2 ≥ 2

√x2 + 3x+ 5. b) x2 +

√2x2 + 4x+ 3 ≥ 6− 2x.

c) x (x+ 1)−√x2 + x+ 4 + 2 ≥ 0. d) x2 − 2x+ 8− 6

√(4− x) (2 + x) ≤ 0.

e)x

x+ 1− 2

√x+ 1

x> 3. f)

√x+ 2 +

√x− 1 + 2

√x2 + x− 2 ≤ 11− 2x.

2.24. Giải các phương trình saua) x2 − 1 = 2x

√x2 − 2x. b) x2 − 1 = 2x

√x2 + 2x.

c) (4x− 1)√x3 + 1 = 2x3 + 2x+ 1. d) x2 + 4x = (x+ 2)

√x2 − 2x+ 24.

2.25. Giải các phương trình saua) 3√

2− x = 1−√x− 1. b) (A-09) 2 3

√3x− 2 + 3

√6− 5x− 8 = 0.

c) 2(x2 + 2

)= 5√x3 + 1. d) 2

(x2 − 3x+ 2

)= 3√x3 + 8.

13


2.26. Giải các phương trình saua) x2 +

√x+ 5 = 5. b) x3 + 2 = 3 3

√3x− 2.

c) x3 + 1 = 2 3√

2x− 1. d) x 3√

35− x3(x+ 3√

35− x3)

= 30.

2.27. Giải các phương trình, bất phương trình sau

a) (B-2012) x+ 1 +√x2 − 4x+ 1 ≥ 3

√x. b) (A-2010)

x−√x

1−√

2 (x2 − x+ 1)≥ 1.

c) 3√x2 − 2 =

√2− x3. d) x+

√3 (1− x2) = 2

(1− 2x2

).

2.28. Giải các phương trình saua)√

4x− 1 +√

4x2 − 1 = 1. b)√x− 1 = −x3 − 4x+ 5.

c)√

2x− 1 +√x2 + 3 = 4− x. d) x5 + x3 −

√1− 3x+ 4 = 0.

e) x3 + 4x− (2x+ 7)√

2x+ 3 = 0. f) (CĐ-2012) 4x3 + x− (x− 1)√

2x+ 1 = 0.

2.29. Giải các phương trình saua)√x2 − 2x+ 5 +

√x− 1 = 2. b)

√x− 2 +

√4− x = x2 − 6x+ 11.

c) 2(√x− 2− 1

)2+√x+ 6 +

√x− 2− 2 = 0. d)

√5x3 + 3x2 + 3x− 2 = 1

2x2 + 3x− 1

2 .

§3. Hệ Phương Trình Đại Số


1. Đưa về hệ mẫu mực. (Hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, hệ đẳng cấp)2. Phương pháp thế.• Loại 1: Rút một biểu thức từ một phương trình rồi thế vào phương trình kia.• Loại 2: Giải cụ thể một phương trình rồi thế vào phương trình kia.• Loại 3. Thế hằng số.

3. Đặt ẩn phụ.4. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.• Nếu y = f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì f(u) = f(v)⇔ u = v.• Nếu y = f(x) luôn đồng biến trên D còn y = g(x) luôn nghịch biến hoặc không đổi trên D thì phương trình

f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trên D.

B. Bài Tập

2.30. Giải các hệ phương trình sau

a)x2 + y2 + xy = 7x+ y + xy = 5

. b)x+ y + xy = 1

x3 + y3 − 3(x− y)2

+ 2 = 0.

c) (DB-05)x2 + y2 + x+ y = 4x (x+ y + 1) + y (y + 1) = 2

. d)x2 − xy + y2 = 3 (x− y)

x2 + xy + y2 = 7(x− y)2 .


a)x2 − 2y2 = 2x+ yy2 − 2x2 = 2y + x

. b)

x− 3y =

4y

x

y − 3x =4x

y

.

c)

2x+ y =

3

x2

2y + x =3

y2

. d) (B-03)

3y =

y2 + 2

x2

3x =x2 + 2

y2

.


a)x2 − xy = 22x2 + 4xy − 2y2 = 14

. b)x2 − 2xy + 3y2 = 9x2 − 4xy + 5y2 = 5

.

c)x3 + y3 = 1x2y + 2xy2 + y3 = 2

. d) (DB-06)

(x− y)(x2 + y2

)= 13

(x+ y)(x2 − y2

)= 25

.


a)x+ y = −1x3 − 3x = y3 − 3y

. b) (DB-06)x2 + 1 + y (y + x) = 4y(x2 + 1

)(y + x− 2) = y

.

c) (B-08)x4 + 2x3y + x2y2 = 2x+ 9x2 + 2xy = 6x+ 6

. d) (D-09)x (x+ y + 1)− 3 = 0

(x+ y)2 − 5

x2 + 1 = 0.

14

www.VNMATH.com

Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số


a) (B-02)

3√x− y =

√x− y

x+ y =√x+ y + 2

. b) (A-03)x− 1

x = y − 1y

2y = x3 + 1.

c)x2 + y2 + 2xy

x+y = 1√x+ y = x2 − y . d)

6x2 − 3xy + x+ y = 1x2 + y2 = 1

.


a) (DB-07)x4 − x3y − x2y2 = 1x3y − x2 − xy = −1

. b) (D-08)xy + x+ y = x2 − 2y2

x√

2y − y√x− 1 = 2x− 2y

.

c) (D-2012)xy + x− 2 = 02x3 − x2y + x2 + y2 − 2xy − y = 0

. d)x3 + 2y2 = x2y + 2xy

2√x2 − 2y − 1 + 3

√y3 − 14 = x− 2

.


a)x2 + y2 + xy = 1x3 + y3 = x+ 3y

. b)x3 + 2xy2 + 12y = 08y2 + x2 = 12

.

c) (DB-06)x3 − 8x = y3 + 2yx2 − 3 = 3

(y2 + 1

) . d) (A-2011)

5x2y − 4xy2 + 3y3 − 2 (x+ y) = 0

xy(x2 + y2

)+ 2 = (x+ y)

2 .


a) (B-09)xy + x+ 1 = 7yx2y2 + xy + 1 = 13y2 . b)

2x2 + x− 1

y = 2

y − y2x− 2y2 = −2.

c)

8x3y3 + 27 = 18y3

4x2y + 6x = y2 . d)x3 − y3 = 9x2 + 2y2 = x− 4y

.


a)x (3x+ 2y) (x+ 1) = 12x2 + 2y + 4x− 8 = 0

. b)x+ y −√xy = 3√x+ 1 +

√y + 1 = 4

.

c) (CĐ-2010)

2√

2x+ y = 3− 2x− yx2 − 2xy − y2 = 2

. d) (DB-05) √

2x+ y + 1−√x+ y = 1

3x+ 2y = 4.

e)x2 + y2 = 5√y − 1 (x+ y − 1) = (y − 2)

√x+ y

. f) (A-08)x2 + y + x3y + xy2 + xy = − 5

4x4 + y2 + xy (1 + 2x) = − 5

4

.


a) √

x+ 10 +√y − 1 = 11√

x− 1 +√y + 10 = 11

. b) √

x− 1−√y = 8− x3

(x− 1)4

= y.

c) (A-2012)x3 − 3x2 − 9x+ 22 = y3 + 3y2 − 9yx2 + y2 − x+ y = 1

2

. d) (A-2010) (

4x2 + 1)x+ (y − 3)

√5− 2y = 0

4x2 + y2 + 2√

3− 4x = 7.

§4. Phương Trình & Hệ Phương Trình Chứa Tham Số

A. Kiến Thức Bổ Sung

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên D và có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên D. Ta có:• m = f(x) có nghiệm trên D ⇔ min

x∈Df(x) ≤ m ≤ max

x∈Df(x).

• m ≤ f(x) có nghiệm trên D ⇔ m ≤ maxx∈D

f(x).

• m ≥ f(x) có nghiệm trên D ⇔ m ≥ minx∈D

f(x).

• m ≤ f(x),∀x ∈ D ⇔ m ≤ minx∈D

f(x).

• m ≥ f(x),∀x ∈ D ⇔ m ≥ maxx∈D

f(x).

B. Phương Pháp Giải Cơ Bản

1. Phương pháp tam thức bậc hai.• Dựa vào định lý về dấu tam thức bậc hai để có điều kiện phù hợp cho từng bài toán.

2. Phương pháp chiều biến thiên hàm số.• Từ bài toán biến đổi và rút m theo f(x).• Lập BBT của f(x). Từ BBT và các kiến thức bổ sung để rút ra KL.

3. Phương pháp điều kiện cần và đủ.• Từ tính chất bài toán rút ra điều kiện cần để xảy ra bài toán.• Giải điều kiện cần được m, thay lại vào bài toán để kiểm tra.

15


C. Bài Tập

2.40. Tìm m để phương trình(m−

√5)x2 − 3mx+m+ 1 = 0.

a) Có nghiệm. b) Vô nghiệm c) Có hai nghiệm trái dấu.

2.41. Tìm m để phương trình x2 + 2 (m+ 1)x+ 9m− 5 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt.

2.42. Tìm m để phương trình (m− 2)x2 − 2mx+m+ 3 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt.

2.43. Tìm m để phương trình (m− 2)x4 − 2 (m+ 1)x2 + 2m− 1 = 0.a) Có một nghiệm. b) Có hai nghiệm phân biệt. c) Có bốn nghiệm phân biệt.

2.44. (D-04) Tìm m để hệ √

x+√y = 1

x√x+ y

√y = 1− 3m

có nghiệm.

2.45. Tìm m để bất phương trình√

4x− 2 +√

16− 4x ≤ m có nghiệm.

2.46. Tìm m để phương trình (x− 3) (x+ 1) + 4 (x− 3)√

x+1x−3 = m có nghiệm.

2.47. (DB-07) Tìm m để bất phương trình m(√x2 − 2x+ 2 + 1

)+x (2− x) ≤ 0 có nghiệm thuộc đoạn

[0; 1 +

√3].

2.48. (A-07) Tìm m để phương trình 3√x− 1 +m

√x+ 1 = 2 4

√x2 − 1 có nghiệm thực.

2.49. (B-06) Tìm m để phương trình√x2 +mx+ 2 = 2x+ 1 có hai nghiệm thực phân biệt.

2.50. (B-04) Tìm m để phương trình m(√

1 + x2 −√

1− x2 + 2)

= 2√

1− x4 +√

1 + x2 −√

1− x2 có nghiệm.

2.51. (A-08) Tìm m để phương trình 4√

2x+√

2x+ 2 4√

6− x+ 2√

6− x = m có hai nghiệm phân biệt.

2.52. (DB-07) Tìm m để phương trình 4√x4 − 13x+m+ x− 1 = 0 có đúng một nghiệm.

2.53. (B-07) Chứng minh rằng với mọi m > 0, phương trình x2 + 2x− 8 =√m (x− 2) có hai nghiệm phân biệt.

2.54. Chứng minh rằng với mọi m, phương trình x4 + x3 − 2x2 + 3mx−m2 = 0 luôn có nghiệm.

2.55. (DB-04) Tìm m để hệx2 − 5x+ 4 ≤ 03x2 −mx

√x+ 16 = 0

có nghiệm.

2.56. (D-2011) Tìm m để hệ

2x3 − (y + 2)x2 + xy = mx2 + x− y = 1− 2m

có nghiệm.

2.57. Tìm m để hệ√

1− x2 + 2 3√

1− x2 = m có nghiệm duy nhất.

2.58. Tìm m để hệx = y2 − y +my = x2 − x+m

có nghiệm duy nhất.

16

www.VNMATH.com

Chuyên đề 3

Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng

§1. Tọa Độ Trong Mặt Phẳng


Cho hai vectơ −→u (x1; y1) ,−→v (x2; y2) và ba điểm A (xA; yA) , B (xB ; yB) , C (xC ; yC). Ta có

• Hai vectơ bằng nhau: −→u = −→v ⇔x1 = x2

y1 = y2.

• Các phép toán vectơ: −→u ±−→v = (x1 ± x2; y1 ± y2); k−→u = (kx1; ky1).• Hai vectơ cùng phương: −→u ,−→v cùng phương ⇔ ∃k 6= 0 : −→u = k−→v .• Tích vô hướng của hai vectơ: −→u .−→v = x1x2 + y1y2.• Hai vectơ vuông góc: −→u⊥−→v ⇔ −→u .−→v = 0.• Độ dài vectơ: |−→u | =

√x2

1 + y21 .

• Góc giữa hai vectơ: cos (−→u ;−→v ) =−→u .−→v|−→u |.|−→v | .

• Tọa độ vectơ:−−→AB = (xB − xA; yB − yA).

• Khoảng cách giữa hai điểm: AB =∣∣∣−−→AB∣∣∣ =

√(xB − xA)

2+ (yB − yA)

2.

• Tính chất trung điểm: I là trung điểm của AB ⇔ I

(xA + xB

2;yA + yB

2

).

• Tính chất trọng tâm: G là trọng tâm ∆ABC ⇔ G

(xA + xB + xC

3;yA + yB + yC

3

).

B. Bài Tập

3.1. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A (−1; 1) , B (2; 5) , C (4; 3). Tìm tọa độ điểm D sao cho−−→AD = 3

−−→AB−2

−→AC.

Tìm tọa độ điểm M sao cho−−→MA+ 2

−−→MB = 5

−−→MC.

3.2. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A (2; 5) , B (1; 1) , C (3; 3). Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bìnhhành. Tìm tọa độ tâm hình bình hành đó.

3.3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A (−3; 2) , B (4; 3). Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Ox sao cho tam giácMAB vuông tại M .

3.4. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (1;−1) , B (5;−3), đỉnh C thuộc trục Oy và trọng tâm G thuộctrục Ox. Tìm tọa độ đỉnh C và trọng tâm G.

3.5. Trong mặt phẳng Oxy, cho A (−1; 3) , B (0; 4) , C (3; 5) , D (8; 0). Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.

3.6. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (0; 6) , B (−2; 0) , C (2; 0). Gọi M là trung điểm AB, G là trọngtâm tam giác ACM và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh GI vuông góc với CM .

3.7. (A-04) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (0; 2) , B(−√

3;−1). Tìm toạ độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác OAB.

3.8. (B-03) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết M (1;−1) là trung điểm cạnh BC vàG(

23 ; 0)là trọng tâm tam giác. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác.

3.9. (D-04) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (−1; 0) , B (4; 0) , C (0;m) ,m 6= 0. Tìm toạ độ trọngtâm G. Tìm m để tam giác GAB vuông tại G.

3.10. (D-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A (3;−7), trực tâm là H (3;−1), tâm đường trònngoại tiếp là I (−2; 0). Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương.

17


§2. Phương Trình Đường Thẳng


1. Vectơ chỉ phương và pháp tuyến.• Vectơ −→u 6= −→0 có giá song song hoặc trùng với ∆ gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.• Vectơ −→n 6= −→0 có giá vuông góc với ∆ gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.

Lưu ý. −→n (a; b)⇒ −→u (b;−a) và ngược lại.

2. Phương trình tham số của đường thẳng.

• Đường thẳng qua M (x0; y0) và có vectơ chỉ phương −→u (a; b) có phương trình tham số:x = x0 + aty = y0 + bt

.

3. Phương trình tổng quát của đường thẳng.• Dạng: ax+ by + c = 0 (a2 + b2 6= 0).• Nhận xét: • Đường thẳng ax+ by + c = 0 có vectơ pháp tuyến −→n (a; b).

• Cho x0 tuỳ ý ⇒ y0 ta có điểm M (x0; y0) thuộc đường thẳng.• Đường thẳng qua M (x0; y0) và có VTPT −→n (a; b) có PT: a (x− x0) + b (y − y0) = 0.• Đường thẳng qua A (a; 0) và B (0; b) có phương trình x

a + yb = 1 gọi là PT đoạn chắn.

• Trục Ox có phương trình y = 0 và trục Oy có phương trình x = 0.4. Góc và khoảng cách.

• Góc giữa hai đường thẳng: cos (∆1; ∆2) =|−→n1.−→n2|

|−→n1| . |−→n2|.

• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: d (M,∆) =|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2.

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: d (∆1,∆2) = d (M,∆2), trong đó M là điểm bất kỳ trên ∆1.

B. Bài Tập

3.11. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A (−1; 2) , B (2; 3) và C (6; 2). Viết phương trình đường thẳng qua A vàsong song với BC.

3.12. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (3; 5). Viết phương trình đường thẳng qua A cắt hai tia Ox,Oy lần lượttại M,N sao cho diện tích tam giác OMN bằng 30.

3.13. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (8; 6). Lập phương trình đường thẳng qua A và tạo với hai trục tọa độmột tam giác có diện tích bằng 12.

3.14. (D-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (0; 2) và ∆ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuônggóc của A trên ∆. Viết phương trình đường thẳng ∆, biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.

3.15. (CĐ-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x+ y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi quaA (2;−4) và tạo với đường thẳng d một góc bằng 450.

3.16. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 2x− y + 5 = 0; d2 : 3x+ 6y− 1 = 0 và điểm M (2;−1). Tìmgiao điểm A của d1, d2. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M và cắt d1, d2 lần lượt tại B,C sao cho tam giácABC cân tại A.

3.17. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B (−4;−5) và hai đường cao lần lượt có phương trình làd1 : 5x+ 3y − 4 = 0 và d2 : 3x+ 8y + 13 = 0. Lập phương trình cạnh AC.

3.18. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có phương trình AB là 5x− 3y + 2 = 0; các đường cao qua đỉnhA và B lần lượt là d1 : 4x− 3y + 1 = 0 và d2 : 7x+ 2y − 22 = 0. Lập phương trình hai cạnh còn lại.

3.19. (CĐ-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC. Các đường thẳng BC,BB′, B′C ′ lần lượt có phươngtrình là y− 2 = 0, x− y+ 2 = 0, x− 3y+ 2 = 0 với B′, C ′ tương ứng là chân các đường cao kẻ từ B,C của tam giácABC. Viết phương trình các đường thẳng AB,AC.

3.20. (D-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyếnvà đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là d1 : 7x − 2y − 3 = 0; d2 : 6x − y − 4 = 0. Viết phương trìnhđường thẳng AC.

3.21. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A (1; 3) và hai trung tuyến kẻ từ B và C lần lượt có phươngtrình d1 : x− 2y + 1 = 0 và d2 : y − 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.

18

www.VNMATH.com

Chuyên đề 3. Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng

3.22. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (2;−1) và hai đường phân giác trong của góc B,C lần lượtcó phương trình là d1 : x− 2y + 1 = 0 và d2 : x+ y + 3 = 0. Lập phương trình cạnh BC.

3.23. (D-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C (−4; 1), phân giác trong góc Acó phương trình x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác bằng 24 và đỉnh A cóhoàng độ dương.

3.24. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành có hai cạnh là x+ 3y − 6 = 0 và 2x− 5y − 1 = 0. Biết hình bìnhhành có tâm đối xứng I (3; 5), hãy viết phương trình hai cạnh còn lại của hình hành.

3.25. (A-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6; 2) là giao điểm của hai đường chéo ACvà BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x+ y − 5 = 0.Viết phương trình đường thẳng AB.

3.26. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ :

x = −2− 2ty = 1 + 2t

và điểm M (3; 1). Tìm điểm M (3; 1) sao cho

đoạn MB là ngắn nhất.

3.27. (B-07) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (2; 2) và các đường thẳng d1 : x+ y− 2 = 0, d2 : x+ y− 8 = 0. Tìm điểmB ∈ d1 và C ∈ d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.

3.28. (B-04) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (1; 1) , B (4;−3). Tìm điểm C thuộc d : x − 2y − 1 = 0 sao cho khoảngcách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.

3.29. (B-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường thẳng ∆ : x − y − 4 = 0 và d : 2x − y − 2 = 0. Tìm tọa độđiểm N thuộc d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.

3.30. (A-06) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba đương thẳng d1 : x+ y + 3 = 0, d2 : x− y − 4 = 0, d3 : x− 2y = 0. TìmM thuộc d3 sao cho khoảng cách từ M đến d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến d2.

3.31. Trong mặt phẳng Oxy, cho P (1; 6) , Q (−3;−4) và đường thẳng ∆ : 2x− y− 1 = 0. Tìm toạ độ M trên ∆ saocho MP +MQ là nhỏ nhất. Tìm toạ độ N trên ∆ sao cho |NP −NQ| là lớn nhất.

3.32. (CĐ-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có C (−1;−2), đường trung tuyến kẻ từ A và đường caokẻ từ B lần lượt có phương trình là 5x+ y − 9 = 0;x+ 3y − 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và B.

3.33. (A-02) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, đường thẳng chứa BC có phương trình√3x− y −

√3 = 0, A và B thuộc Ox, bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm trọng tâm tam giác ABC.

3.34. (B-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(

12 ; 1). Đường tròn nội tiếp tam giác ABC

tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB tương ứng tại các điểm DEF . Cho D (3; 1) và đường thẳng EF có phương trìnhy − 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A, biết A có tung độ dương.

3.35. (B-08) Trong mặt phẳng Oxy, tìm toạ độ đỉnh C của tam giác ABC biết hình chiếu C lên đường thẳng ABlà H(−1;−1), đường phân giác trong góc A là x− y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B là 4x+ 3y − 1 = 0.

3.36. (D-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B (−4; 1), trọng tâm G (1; 1) và đường thẳngchứa phân giác trong của góc A có phương trình x− y − 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và C.

3.37. (A-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A (6; 6); đường thẳng đi qua trungđiểm của các cạnh AB và AC có phương trình x+ y− 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E (1;−3) nằmtrên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.

3.38. (B-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có đỉnh A (−1; 4) và các đỉnh B,C thuộcđường thẳng ∆ : x− y − 4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B,C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.

3.39. (B-02) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(

12 ; 0), AB : x−2y+2 = 0, cạnh AB = 2AD.

Tìm toạ độ các đỉnh biết A có hoành độ âm.

3.40. (A-05) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x − y = 0, d2 : 2x + y − 1 = 0. Tìm các đỉnh hìnhvuông ABCD biết A thuộc d1, B thuộc d2 và B,D thuộc trục hoành.

3.41. (D-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AC và AD lần lượt có phươngtrình là x + 3y = 0 và x − y + 4 = 0; đường thẳng BD đi qua điểm M

(− 1

3 ; 1). Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ

nhật ABCD.

3.42. (A-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trêncạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử M

(112 ; 1

2

)và đường thẳng AN có phương trình 2x − y − 3 = 0. Tìm tọa độ

điểm A.

19


§3. Phương Trình Đường Tròn


1. Phương trình đường tròn.• Dạng 1: (x− a)

2+ (y − b)2

= R2 (R > 0) Có tâm I (a; b) và bán kính R =√R2.

• Dạng 2: x2 + y2 − 2ax− 2by + c = 0(a2 + b2 > c

)Có tâm I (a; b) và bán kính R =

√a2 + b2 − c.

2. Tiếp tuyến với đường tròn.• Tiếp tuyến tại M đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến là

−−→IM .

• Phương trình tiếp tuyến tại M là: (x0 − a) (x− x0) + (y0 − b) (y − y0) = 0.3. Bán kính đường tròn.• Điểm M thuộc đường tròn khi và chỉ khi R = IM .• Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi R = d (I; ∆).

B. Bài Tập

3.43. (B-06) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x− 6y + 6 = 0 và điểm M (−3; 1). Gọi T1, T2

là các tiếp điểm vẽ từ M đến (C). Lập phương trình đường thẳng T1T2.

3.44. (D-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (1; 0) và đường tròn (C) : x2 + y2− 2x+ 4y− 5 = 0. Viết phươngtrình đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm M,N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A.

3.45. (CĐ-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0 và đường thẳng d :

4x− 3y +m = 0. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho AIB = 1200, với I là tâm của (C).

3.46. (D-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : (x− 1)2

+ y2 = 1. Gọi I là tâm của (C). Xác định toạ độđiểm M ∈ (C) sao cho IMO = 300.

3.47. (A-09) Trong mặt phẳngOxy, cho đường tròn (C) : x2+y2+4x+4y+6 = 0 và đường thẳng ∆ : x+my−2m+3 =0, với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm M để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B saocho diện tích tam giác IAB lớn nhất.

3.48. (A-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : x+y+ 2 = 0 và đường tròn (C) : x2 +y2−4x−2y = 0.Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C), (A,B là tiếp điểm). Tìmtọa độ điểm M , biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.

3.49. (B-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : (x− 2)2

+ y2 = 45 và hai đường thẳng ∆1 : x − y = 0,

∆2 : x − 7y = 0. Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn (C1), biết đường tròn (C1) tiếp xúc vớihai đường thẳng ∆1,∆2 và tâm K thuộc đường tròn (C).

3.50. (A-07) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (0; 2) , B (−2;−2) , C (4;−2). Gọi H là chân đường caovẽ từ B và M,N là trung điểm AB,BC. Viết phương trình đường tròn qua H,M,N .

3.51. (D-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : 2x − y + 3 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâmthuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2.

3.52. (B-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường tròn (C1) : x2 + y2 = 4, (C2) : x2 + y2 − 12x + 18 = 0 vàđường thẳng d : x − y − 4 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C2) tiếp xúc với d và cắt (C1) tại haiđiểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d.

3.53. (A-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 :√

3x+ y = 0 và d2 :√

3x− y = 0. Gọi (T ) là đườngtròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B,C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T ),biết tam giác ABC có diện tích bằng

√3

2 và điểm A có hoành độ dương.

§4. Phương Trình Elip


O

y

xF1 F2A1 A2

B1

B2

20

www.VNMATH.com

Chuyên đề 3. Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng

• Phương trình chính tắc của elip:x2

a2+y2

b2= 1

(b2 = a2 − c2

).

• Trong đó:Các đỉnh: A1(−a; 0), A2(a; 0), B1(0;−b), B2(0; b).Các tiêu điểm: F1(−c; 0), F2(c; 0).Trục lớn: A1A2 = 2a.Trục nhỏ: B1B2 = 2b.Tiêu cự: F1F2 = 2c.Tâm sai: e =

c

a.

Bán kính qua tiêu: MF1 = a+cx

a,MF2 = a− cx

a.

B. Bài Tập

3.54. Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài trục lớn, độ dài trục bé của mỗi elip có phương trình sau

a)x2

25+y2

4= 1. b)

x2

9+y2

4= 1. c) x2 + 4y2 = 4.

3.55. Viết phương trình chính tắc của các đường elip (E) trong mỗi trường hợp saua) (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai e =

√3

2 .b) (E) có độ dài trục bé bằng 8 và tiêu cự bằng 4.c) (E) có một tiêu điểm là F

(√3; 0)và đi qua điểm M

(1;√

32

).

3.56. (A-08) Trong mặt phẳng Oxy, lập phương trình chính tắc của elip có tâm sai bằng√

53 và hình chữ nhật cơ

sở có chu vi 20.

3.57. (D-05) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm C(2; 0) và elip (E) :x2

4+y2

1= 1. Tìm A,B thuộc (E) biết A,B đối

xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC đều.

3.58. (B-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2;√

3)và elip (E) :

x2

3+y2

2= 1. Gọi F1 và F2 là các tiêu điểm

của (E) (F1 có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF1 với (T ); N là điểm đối xứngcủa F2 qua M . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2.

3.59. (B-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và đường tròn tiếp xúc với các cạnhcủa hình thoi có phương trình x2 + y2 = 4. Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua các đỉnh A,B,C,D củahình thoi. Biết A thuộc Ox.

3.60. (A-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho (E) :x2

4+y2

1= 1. Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E), có hoành

độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.

3.61. (A-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 = 8. Viết phương trình chính tắc của elip (E),biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông.

21


22

www.VNMATH.com

Chuyên đề 4

Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo SátHàm Số

§1. Cực Trị Của Hàm Số

A. Kiến Thức Bổ Sung

Cách tính tung độ cực trị:• Nếu y = f ′(x).g(x) + r(x) thì y0 = r(x0).

• Nếu y =u(x)

v(x)thì y0 =

u′(x0)

v′(x0).

B. Bài Tập

4.1. Tìm m để hàm số y = x3 − 3 (m+ 1)x2 + 9x−m đạt cực trị tại x1, x2 thỏa |x1 − x2| ≤ 2.

4.2. Tìm m để hàm số y = x3 +2 (m− 1)x2 +(m2 − 4m+ 1

)x+1 đạt cực trị tại x1, x2 thỏa 1

x1+ 1x2

= 12 (x1 + x2).

4.3. (D-2012) Tìm m để hàm số y = 23x

3 −mx2 − 2(3m2 − 1

)x + 2

3 có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x1x2 +2 (x1 + x2) = 1.

4.4. Tìm m để hàm số y = −x3 + (2m+ 1)x2 −(m2 − 3m+ 2

)x− 4 có hai cực trị nằm về hai phía trục tung.

4.5. (DB-05) Tìm m để hàm số y =x2 + 2mx+ 1− 3m2

x−mcó hai cực trị nằm về hai phía trục tung.

4.6. (DB-04) Tìm m để hàm số y = x3− 3 (m+ 1)x2 + 3m (m+ 2)x+ 1 đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoànhđộ dương.

4.7. Tìm m để hàm số y =mx2 + 3mx+ 2m+ 1

x− 1có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục Ox.

4.8. (A-02) Cho hàm số y = −x3 + 3mx2 + 3(1−m2

)x+m3−m2. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

cực trị của hàm số.

4.9. Tìm m để hàm số y = x3 − 32mx

2 + 12m

3 có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

4.10. (B-07) Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1

)x− 3m2− 1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị cách

đều gốc toạ độ.

4.11. Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx− 3m+ 1 có cực trị đồng thời chúng cách đều đường thẳng d : x− y = 0.

4.12. (D-2011) Tìm m để hàm số y = x4 − 2 (m+ 1)x2 +m có ba cực trị A,B,C sao cho OA = BC, trong đó O làgốc tọa độ và A thuộc trục tung.

4.13. Tìm m để hàm số y = x4 − 2mx2 + 2m+m4 có cực đại, cực tiểu lập thành tam giác đều.

4.14. (A-2012) Tìm m để hàm số y = x4 − 2 (m+ 1)x2 + m2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tamgiác vuông.

4.15. (A-07) Tìm m để hàm số y =x2 + 2 (m+ 1)x+m2 + 4m

x+ 2có cực đại cực tiểu đồng thời các điểm cực trị cùng

với gốc toạ độ tạo thành một tam giác vuông.

23


4.16. (B-2012) Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx2 + 3m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diệntích bằng 48.

4.17. (A-05) Tìm m để hàm số y = mx + 1x có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm

cận xiên bằng 1√2.

4.18. (B-05) Chứng minh rằng với mọi m bất kỳ, hàm số y =x2 + (m+ 1)x+m+ 1

x+ 1luôn có điểm cực đại, điểm

cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng√

20.

4.19. Tìm m để hàm số y = 13x

3 −mx2 − x+m+ 1 có khoảng cách giữa cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất.

§2. Tương Giao Giữa Hai Đồ Thị


1. Giao điểm của hai đồ thị.• Hoành độ giao điểm của (C1) : y = f(x) và (C2) : y = g(x) là nghiệm của phương trình f(x) = g(x).• Số giao điểm của (C1) và (C2) bằng số nghiệm của phương trình f(x) = g(x).

Lưu ý. Phương trình f(x) = g(x) gọi là phương trình hoành độ giao điểm.

2. Sự tiếp xúc giữa hai đồ thị.

• Đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau tại M (x0; y0)⇔f(x0) = g(x0)f ′(x0) = g′(x0)

.

B. Bài Tập

4.20. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 3x− 2 và parabol y = x2 − 4x+ 2.

4.21. Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3 − x2 − 2x+ 8m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

4.22. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 − 1 cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt.

4.23. Tìm a để đồ thị hàm số y = x3 + ax+ 3 cắt đường thẳng y = 1 tại đúng một điểm.

4.24. (D-06) Gọi d là đường thẳng đi qua A (3; 20) và có hệ số góc m. Tìm m để d cắt đồ thị hàm số y = x3−3x+ 2tại ba điểm phân biệt.

4.25. (A-2010) Tìm m để hàm số y = x3 − 2x2 + (1−m)x+m có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt cóhoành độ x1, x2, x3 thoả mãn điều kiện x2

1 + x22 + x2

3 < 4.

4.26. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 −mx2 + 4x+ 4m− 16 cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1.

4.27. Chứng minh rằng đồ thị hàm số y =x− 1

x+ 1luôn cắt đường thẳng y = m− x với mọi giá trị của m.

4.28. Tìm m để đường thẳng qua A (−2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số y =2x− 1

x+ 1tại hai điểm thuộc hai

nhánh phân biệt.

4.29. (D-2011) Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị hàm số y =2x+ 1

x+ 1tại hai điểm phân biệt A,B

sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.

4.30. Chứng minh với mọi giá trị của m thì đường thẳng y = 2x+m luôn cắt đồ thị hàm số y =x+ 3

x+ 1tại hai điểm

phân biệt M,N . Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.

4.31. (B-09) Tìm m để đường thẳng y = −x+m cắt đồ thị hàm số y =x2 − 1

xtại hai điểm phân biệt A,B sao cho

AB = 4.

4.32. Tìm m để đường thẳng y = −x+m cắt đồ thị hàm số y =x2 − 2x+ 2

x− 1tại hai điểm A,B đối xứng nhau qua

đường thẳng y = x+ 3.

4.33. Tìm m để đồ thị hàm số y = −x4 + 2mx2 − 2m+ 1 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

24

www.VNMATH.com

Chuyên đề 4. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số

4.34. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − (3m+ 4)x2 +m2 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lậpthành cấp số cộng.

4.35. (D-09) Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị hàm số x4 − (3m+ 2)x2 + 3m tại bốn điểm phân biệt cóhoành độ nhỏ hơn 2.

4.36. (DB-08) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 8x2 + 7 tiếp xúc với đường thẳng y = mx− 9.

4.37. (D-02) Tìm m để đồ thị hàm số y =(2m− 1)x−m2

x− 1tiếp xúc với đường thẳng y = x.

4.38. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 +m3 −m2 tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt.

§3. Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số


• Hệ số góc của tiếp tuyến tại M (x0; y0) là k = y′(x0).• Phương trình tiếp tuyến tại M (x0; y0) là y = y′(x0) (x− x0) + y0.

B. Bài Tập

4.39. (B-04) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số y = 13x

3− 2x2 + 3x (C) tại tâm đối xứng và chứngminh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

4.40. (DB-08) Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + (m+ 1)x + 1. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = −1 điqua điểm A (1; 2).

4.41. (TN-08) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =3x− 2

x+ 1tại điểm có tung độ bằng −2.

4.42. (DB-06) Cho hàm số y =x+ 3

x+ 1. Tiếp tuyến tại điểm (S) bất kỳ của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại P và

Q. Chứng minh S là trung điểm PQ.

4.43. Cho hàm số (Cm) : y = x3 + 1−m (x+ 1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại giao điểm của(Cm) với Oy. Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 8.

4.44. (TN-09) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =2x+ 1

x− 2, biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng −5.

4.45. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =−x+ 3

2x− 1biết tiếp tuyến song song với đường phân giác

góc phần tư thứ hai của mặt phẳng toạ độ.

4.46. (CĐ-2012) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số y =2x+ 3

x+ 1, biết d vuông góc với đường thẳng

y = x+ 2.

4.47. (D-05) Cho hàm số y = 13x

3 − m2 x

2 + 13 có đồ thị (Cm). Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng −1.

Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x− y = 0.

4.48. (B-06) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =x2 + x− 1

x+ 2(C). Biết rằng tiếp tuyến đó vuông

góc với tiệm cận xiên của (C).

4.49. (DB-07) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =x

x− 1sao cho tiếp tuyến và hai tiệm cận cắt

nhau tạo thành một tam giác cân.

4.50. Tìm m để (Cm) : y = x3 + 3x2 +mx+ 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C (0; 1) , D,E sao chocác tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.

4.51. (A-2011) Cho hàm số (C) : y =−x+ 1

2x− 1. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x+m luôn cắt đồ thị

(C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm mđể tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất.

4.52. (B-08) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 4x3 − 6x2 + 1, biết tiếp tuyến qua M (−1;−9).

25


4.53. (DB-07) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =−x+ 1

2x+ 1, biết tiếp tuyến qua giao điểm của tiệm

cận đứng và trục Ox.

4.54. (DB-05) Cho hàm số y =x2 + 2x+ 2

x+ 1có đồ thị (C). Gọi I là giao hai tiệm cận. Chứng minh rằng không có

tiếp tuyến nào của (C) đi qua I.

4.55. Tìm trên đường thẳng y = −4 các điểm kẻ được ba tiếp tuyến đến (C) : y = x3 − 12x+ 12.

§4. Biện Luận Số Nghiệm Phương Trình Bằng Đồ Thị

A. Kỹ Năng Cơ Bản

1. Vẽ đồ thị hàm số y = f (|x|).• Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) và bỏ phần đồ thị bên trái Oy.• Đối xứng phần đồ thị bên phải Oy qua Oy.

2. Vẽ đồ thị hàm số y = |f(x)|.• Vẽ đồ thị hàm số y = f(x).• Đối xứng phần đồ thị dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị dưới Ox.

3. Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = k(m).• Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = k(m) song song với Ox.• Số nghiệm phương trình f(x) = k(m) là số giao điểm của đồ thị y = f(x) với đường thẳng y = k(m).• Dựa vào mối tương quan trong hình vẽ để biện luận.

B. Bài Tập

4.56. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 − 1. Biện luận theo k số nghiệm của phương trìnhx3 − 3x2 − k = 0.

4.57. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 − 3x2 + 1. Biện luận theo m số nghiệm phương trình4x3 − 6x2 −m = 0.

4.58. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x4 + 2x2 + 3. Biện luận theo m số nghiệm của phương trìnhx4 − 2x2 +m− 1 = 0.

4.59. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 − 4x2 + 3. Tìm m để phương trình 12x

4 − 2x2 +m = 0 cóbốn nghiệm phân biệt.

4.60. (DB-06) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =x2 + 2x+ 5

x+ 1. Tìm m để phương trình sau có hai

nghiệm dương phân biệt x2 + 2x+ 5 =(m2 + 2m+ 5

)(x+ 1).

4.61. (A-06) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 − 9x2 + 12x− 4. Tìm m để phương trình sau cósáu nghiệm phân biệt 2|x|3 − 9x2 + 12 |x| = m.

4.62. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −2x3+3x2−2. Tìmm để phương trình 2|x|3−3x2+2 (m+ 1) = 0có đúng bốn nghiệm.

4.63. (DB-03) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =2x2 − 4x− 3

2 (x− 1). Tìm m để phương trình 2x2 − 4x −

3 + 2m |x− 1| = 0 có hai nghiệm phân biệt.

4.64. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =x2 + 3x+ 3

x+ 1. Tìm m để phương trình x2+3x+3

|x+1| = m có bốn

nghiệm phân biệt.

4.65. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3− 3x2 + 4. Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phânbiệt |x− 1|3 − 3 |x− 1| −m = 0.

4.66. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3−3x+1. Tìmm để phương trình∣∣x3 − 3x+ 1

∣∣−2m2+m = 0

có ba nghiệm phân biệt.

4.67. (B-09) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x4 − 4x2. Với các giá trị nào của m, phương trìnhx2∣∣x2 − 2

∣∣ = m có đúng sáu nghiệm thực phân biệt.

4.68. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 − 4x2 + 3. Tìm m để phương trình∣∣x4 − 4x3 + 3

∣∣ = m cóđúng tám nghiệm.

26

www.VNMATH.com

Chuyên đề 4. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số

§5. Đối Xứng - Khoảng Cách & Các Bài Toán Khác

4.69. Tìm m để hàm số y =m2x− 2

x− 1qua điểm A (2; 6).

4.70. Tìm các hệ số m,n sao cho hàm số y = −x3 +mx+ n đạt cực tiểu tại điểm x = −1 và đồ thị của nó đi quađiểm M (1; 4).

4.71. Chứng minh rằng điểm uốn của đồ thị hàm số (C) : y = x3 − 6x2 + 9x là tâm đối xứng của nó.

4.72. Chứng minh rằng đồ thị hàm số (C) : y =2x+ 1

x+ 1nhận giao điểm I của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.

4.73. (D-04) Tìm m để tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 + 9x+ 1 thuộc đường thẳng y = x+ 1.

4.74. Tìm m để đồ thị hàm số y = −x3

m+ 3x2 − 2 nhận I (1; 0) làm điểm uốn.

4.75. Tìm các điểm trên đồ thị hàm số y =2x− 1

x− 1có tọa độ là các số nguyên.

4.76. Tìm trên đồ thị hàm số y =−x2 + 3x− 1

x− 1các điểm có toạ độ nguyên.

4.77. Tìm điểm cố định của họ đường cong (Cm) : y = x3 + 2 (m− 1)x2 +(m2 − 4m+ 1

)x− 2

(m2 + 1

).

4.78. Chứng minh rằng với mọi m 6= ±1, họ đường cong (Cm) : y =mx− 1

x−mluôn đi qua hai điểm cố định. Gọi M

là giao điểm của hai tiệm cận của (Cm), tìm tập hợp điểm M khi m thay đổi.

4.79. Cho họ đường cong (Cm) : y = mx3 + (1−m)x. Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho không cóđường nào của (Cm) đi qua.

4.80. (DB-06) Tìm trên đồ thị hàm số y = −1

3x3 + x2 + 3x− 11

3hai điểm phân biệt M,N đối xứng nhau qua Oy.

4.81. Tìm trên đồ thị hàm số y = x3 + 3x− 2 hai điểm đối xứng nhau qua M (2; 18).

4.82. Tìm trên đồ thị hàm số y =3x+ 1

x− 2hai điểm đối xứng nhau qua M (−2;−1).

4.83. Cho hàm số y =x+ 1

x− 1có đồ thị (C). Tìm trên (C) hai điểm phân biệt A,B đối xứng nhau qua đường thẳng

d : x+ 2y − 3 = 0.

4.84. (B-03) Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 +m có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ.

4.85. (DB-04) Tìm trên đồ thị hàm số y =x

x+ 1những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng

d : 3x+ 4y = 0 bằng 1.

4.86. Cho hàm số y =4x+ 1

x+ 1có đồ thị (C). Tìm trên (C) các điểm cách đều hai trục tọa độ.

4.87. Cho hàm số y =x2 − x+ 1

x− 1. Tìm điểm M trên đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm I của

hai tiệm cận là nhỏ nhất.

4.88. Cho hàm số y =3x− 5

x− 2có đồ thị (C). Tìm điểm M trên (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là

nhỏ nhất.

4.89. Cho hàm số y =x− 1

x+ 1có đồ thị (C). Tìm điểm M trên (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ

là nhỏ nhất.

4.90. Tìm hai điểm trên hai nhánh đồ thị hàm số y =x− 2

x− 1có khoảng cách bé nhất.

27


28

www.VNMATH.com

Chuyên đề 5

Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & HàmSố Lôgarit

§1. Lũy Thừa


1. Các định nghĩa.• Lũy thừa với số mũ nguyên dương: an = a.a...a︸︷︷︸

n thừa số

(a ∈ R, n ∈ N∗).

• Lũy thừa với số mũ 0: a0 = 1 (a 6= 0).• Lũy thừa với số mũ nguyên âm: a−n = 1

an (a 6= 0, n ∈ N∗).• Căn bậc n: b là căn bậc n của a⇔ bn = a.Lưu ý: Khi n lẻ thì a có đúng một căn bậc n là n

√a.

Khi n chẵn thì a < 0 không có căn bậc n.a = 0 có một căn bậc n là 0.a > 0 có hai căn bậc n là ± n

√a.

• Lũy thừa với số mũ hữu tỷ: amn = n

√am (a > 0;m,n ∈ Z;n ≥ 2).

• Lũy thừa với số mũ thực: aα = limn→+∞

arn(a > 0; (rn) ⊂ Q; lim

n→+∞rn = α

).

2. Các tính chất của lũy thừa với số mũ thực.Cho hai số a, b > 0 và α, β là những số thực tuỳ ý. Ta có

• aα.aβ = aα+β . • aα

aβ= aα−β .

• (aα)β

= aαβ .

• (ab)α

= aα.bα. •(ab

)α=aα

bα.

• Nếu a > 1 thì aα > aβ ⇔ α > β. • Nếu 0 < a < 1 thì aα > aβ ⇔ α < β.• Nếu α > 0 thì 0 < a < b⇔ aα < bα. • Nếu α < 0 thì 0 < a < b⇔ aα > bα.

B. Bài Tập

5.1. Tính giá trị các luỹ thừa sau

a) (0, 04)−1,5 − (0, 125)

− 23 . b)

(1

16

)−0,75

+

(1

8

)− 43

.

c) 2723 +

(1

16

)−0,75

− 250,5. d) (−0, 5)−4 − 6250,25 −

(2

1

4

)−1 12

.

e) 81−0,75 +

(1

125

)− 13

−(

1

32

)− 35

. f)102+

√7

22+√

7.51+√

7.

g)(

42√

3 − 4√

3−1).2−2

√3. h)

(6

√25 + 4

√6− 3

√1 + 2

√6

)3

√1− 2

√6.

5.2. Rút gọn các biểu thức sau

a)x

54 y + xy

54

4√x+ 4√y. b)

a13

√b+ b

13√a

6√a+ 6√b

.

29


c)√a−√b

4√a− 4√b−√a− 4√ab

4√a+ 4√b. d)

a− b3√a− 3√b− a+ b

3√a+ 3√b.

e)

(a2√

3 − 1)(

a2√

3 + a√

3 + a3√

3)

a4√

3 − a√

3. f)

(a+ b

3√a+ 3√b− 3√ab

):(

3√a− 3√b)2

.

g)a− 1

a34 + a

12

.

√a+ 4√a√

a+ 1.a

14 + 1. h)

(a+

b32

a12

)(a

12 − b 1

2

a12

+b

12

a12 − b 1

2

)− 23

.

5.3. Hãy so sánh các cặp số saua) 3√

10 và 5√

20. b) 4√

13 và 5√

23.c) 3600 và 5400. d) 3

√7 +√

15 và√

10 + 3√

28.

5.4. Tính A =√a+ b+ c+ 2

√ab+ bc+

√a+ b+ c− 2

√ab+ bc, (a, b, c > 0, a+ c > b)

§2. Lôgarit


1. Định nghĩa. α = logab⇔ aα = b (a, b > 0; a 6= 1).2. Tính chất.• loga1 = 0. • logaa = 1. • alogab = b. • loga (aα) = α.• Khi a > 1 thì logab > logac⇔ b > c. • Khi 0 < a < 1 thì logab > logac⇔ b < c.

3. Quy tắc tính.• loga (bc) = logab+ logac. • loga

bc = logab− logac.

• loga1b = −logab. • logab

α = αlogab.• loga

n√b = 1

n logab. • logab = logac.logcb.• logab = 1

logba. • logaαb = 1

α logab.4. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên.• Lôgarit thập phân: Là lôgarit có cơ số a = 10. Ký hiệu: log x hoặc lg x.• Lôgarit tự nhiên: Là lôgarit có cơ số a = e. Ký hiệu: lnx.

B. Bài Tập

5.5. Tínha) log3

4√

3. b) 2log27 log 1000. c) log258.log85.d) log 45− 2 log 3. e) 3log2log416 + log 1

22. f) log248− 1

3 log227.g) 5 ln e−1 + 4 ln

(e2√e). h) log 72− 2 log 27

256 + log√

108. i) log 0, 375− 2 log√

0, 5625.

5.6. Đơn giản biểu thức

a)log24 + log2

√10

log220 + log28. b)

log224− 12 log272

log318− 13 log372

. c)(

log72 +1

log57

)log 7.

d) loga

(a2. 3√a.

5√a4

4√a

). e) log5log5

5

√5

√...

5√

5︸︷︷︸n dấu căn

. f) 92log34+4log812.

g) 161+log45 + 412 log23+3log55. h)

(81

14−

12 log94 + 25log1258

)49log72. i) 72

(49

12 log79−log76 + 5−log√54

).

5.7. So sánh các cặp số sau:a) log3

65 và log3

56 . b) log 1

2e và log 1

2π. c) log210 và log530.

d) log53 và log0,32. e) log35 và log74. f) log310 và log857.

5.8. Tính log41250 theo a, biết a = log25.

5.9. Tính log54168 theo a, b, biết a = log712, b = log1224.

5.10. Tính log14063 theo a, b, c, biết a = log23, b = log35, c = log72.

5.11. Tính log 3√25135 theo a, b, biết a = log475, b = log845.

5.12. Chứng minh rằng ab+ 5 (a− b) = 1, biết a = log1218, b = log2454.

5.13. Cho y = 101

1−log x , z = 101

1−log y . Chứng minh rằng x = 101

1−log z .

5.14. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng (abc)a+b+c

3 ≤ aabbcc.

30

www.VNMATH.com

Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit

§3. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit


1. Hàm số luỹ thừa.• Dạng: y = xα (α ∈ R).• Tập xác định:

Nếu α nguyên dương thì D = R.Nếu α = 0 hoặc nguyên âm thì D = R\ 0.Nếu α không nguyên thì D = (0; +∞).

• Đạo hàm: y′ = αxα−1.• Tính chất: (Xét trên (0; +∞))

α > 0: Hàm số luôn đồng biến.α < 0: Hàm số luôn nghịch biến.

O O

y y

x x

α > 0 α < 0

2. Hàm số mũ.• Dạng: y = ax (0 < a 6= 1).• Tập xác định: D = R.• Đạo hàm: y′ = ax ln a.• Tính chất:

a > 1: Hàm số luôn đồng biến.a < 1: Hàm số luôn nghịch biến.

O O

y y

x x

a > 1 0 < a < 1

1 1

3. Hàm số lôgarit.• Dạng: y = loga x (0 < a 6= 1).• Tập xác định: D = (0; +∞).• Đạo hàm: y′ = 1

x ln a .• Tính chất:

a > 1: Hàm số luôn đồng biến.a < 1: Hàm số luôn nghịch biến.

O O

y y

x x

a > 1 0 < a < 1

1 1

4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa, mũ và lôgarit.• (xα)

′= αxα−1. • (uα)

′= αuα−1.u′. • (ex)

′= ex. • (eu)

′= u′eu. • (ax)

′= ax ln a.

• (au)′

= u′au ln a. • (lnx)′

=1

x. • (lnu)

′=u′

u. • (logax)

′=

1

x ln a. • (logau)

′=

u′

u ln a.

B. Bài Tập

5.15. Tìm tập xác định của các hàm số saua) y =

(x2 − 2

)−2. b) y =(2− x2

) 27 . c) y =

(x2 − x− 2

)√2.d) y = log2 (5− 2x). e) y = log3

(x2 − 2x

). f) y = log0,4

3x+21−x .

5.16. Tính đạo hàm của các hàm số saua) y =

(3x2 − 4x+ 1

)√2. b) y = 3x2 − lnx+ 4 sinx. c) y = 2xex + 3 sin 2x.

d) y = log(x2 + x+ 1

). e) y = ln ex

1+ex . f) y =(x2 −

14

)e2x.

g) y =(e4x + 1− lnx

)π. h) y = 2 ln x+14 ln x−5 . i) y = ln

(2ex + ln

(x2 + 3x+ 5

)).

5.17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số saua) y = x− e2x trên [0; 1]. b) y = e2x − 2ex trên [−1; 2]. c) y = (x+ 1) ex trên [−1; 2].d) y = ln

(3 + 2x− x2

)trên [0; 2]. e) y = ln

(4− 3x2 − x4

). f) y = x2 − ln (1− 2x) trên [−2; 0].

g) y = x2e−x trên [0; ln 8]. h) y = x2 lnx trên [1; e]. i) y = 5x + 51−x trên [0; log58].

§4. Phương Trình & Bất Phương Trình Mũ


1. Phương trình mũ cơ bản.• Dạng: ax = b (0 < a 6= 1).• Cách giải:

b ≤ 0: Phương trình vô nghiệm.b > 0: ax = b⇔ x = logab.

2. Bất phương trình mũ cơ bản.• Dạng: ax > b (0 < a 6= 1).• Cách giải:

b ≤ 0: S = R.b > 0, a > 1: ax > b⇔ x > logab.

0 < a < 1: ax > b⇔ x < logab.

Lưu ý. Các dạng ax ≥ b; ax < b; ax ≤ b dựa vào dấu để có cách giải tương ứng.

31


B. Phương Phương Giải Cơ Bản

• Đưa về cùng cơ số. • Đặt ẩn phụ.• Lấy lôgarit hai vế. • Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ.

C. Bài Tập

5.18. Giải các phương trình saua) 22x−1 = 3. b) 2x

2−x = 4.c) 2x

2−x+8 = 41−3x. d) 3x.2x+1 = 72.e) 32x−1 + 32x = 108. f) 2x + 2x+1 + 2x+2 = 3x + 3x−1 + 3x−2.

g)(3 + 2

√2)x+1

=(3− 2

√2)2x+8

. h)(5− 2

√6)x2−3x+2 −

(5 + 2

√6) 1−x2

2 = 0.

5.19. Giải các bất phương trình saua) 2−x

2+3x < 4. b) 3x+2 + 3x−1 ≤ 28.c) 2x+2 − 2x+3 − 2x+4 > 5x+1 − 5x+2. d) 2x + 2x+1 + 2x+2 < 3x + 3x−1 + 3x−2.

e) x2x−1 < xx2

. f)(√

5 + 2)x−1 ≥

(√5− 2

) x−1x+1 .

g) 32x+5x−1 > 0, 25.128

x+17x−3 . h) 2x

2

.7x2+1 < 7.142x2−4x+3.

5.20. Giải các phương trình saua) 64x − 8x − 56 = 0. b) (TN-08) 32x+1 − 9.3x + 6 = 0.c) 22+x − 22−x = 15. d) (TN-07) 7x + 2.71−x − 9 = 0.e) (D-03) 2x

2−x − 22+x−x2

= 3. f) 32x+1 = 3x+2 +√

1− 6.3x + 32(x+1).

5.21. Giải các bất phương trình saua) 4x − 3.2x + 2 > 0. b) 32.4x + 1 < 18.2x.c) 5x + 51−x > 6. d)

(2 +√

3)x

+(2−√

3)x> 4.

5.22. Giải các phương trình saua)(5− 2

√6)x

+(5 + 2

√6)x

= 10. b) (B-07)(√

2− 1)x

+(√

2 + 1)x − 2

√2 = 0.

c)(7 + 3

√5)x

+ 5.(7− 3

√5)x

= 6.2x. d)(√

5 + 2√

6)x

+(√

5− 2√

6)x

= 10.

e)(7 + 4

√3)x − 3

(2−√

3)x

+ 2 = 0. f)(26 + 15

√3)x

+ 2(7 + 4

√3)x − 2

(2−√

3)x

= 1.

5.23. Giải các phương trình saua) 3.4x − 2.6x = 9x. b) 2.16x+1 + 3.81x+1 = 5.36x+1.c) 4x+

√x2−2 − 5.2x−1+

√x2−2 − 6 = 0. d) 5.2x = 7

√10x − 2.5x.

e) 27x + 12x = 2.8x. f) (A-06) 3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0.

5.24. Giải các bất phương trình saua) 27x + 12x < 2.8x. b) 252x−x2+1 + 92x−x2+1 ≥ 34.152x−x2

.c) 9

1x − 13.6

1x−1 + 4

1x < 0. d)

√9x − 3x+1 + 2 > 3x − 9.

e) 4−5x

52x−5x+1+6 ≤ 1. f) 4−7.5x

52x+1−12.5x+4 ≤23 .

5.25. Giải các phương trình saua) 12 + 6x = 4.3x + 3.2x. b) 52x+1 + 7x+1 − 175x − 35 = 0.c) 2x

2−5x+6 + 21−x2

= 2.26−5x + 1. d) (D-06) 2x2+x − 4.2x

2−x − 22x + 4 = 0.e) 4x

2+x + 21−x2

= 2(x+1)2 + 1. f) x2.2x−1 + 2|x−3|+6 = x2.2|x−3|+4 + 2x+1.

5.26. Giải các bất phương trình saua) 12 + 6x > 4.3x + 3.2x. b) 4x

2+x + 21−x2 ≥ 2(x+1)2 + 1.c) 52x+1 + 6x+1 > 30 + 5x.30x. d) 52x−10−3

√x−2 − 4.5x−5 < 51+3

√x−2.

5.27. Giải các phương trình saua) 3x = 11− x. b) 2x = x+ 1.c) 3x + 4x = 5x. d) 1 + 8

x2 = 3x.

e) 5x2−2x+2 + 4x

2−2x+3 + 3x2−2x+4 = 48. f) 2

√3− x = −x2 + 8x− 14.

5.28. Giải các phương trình saua) 4x + (2x− 17) .2x + x2 − 17x+ 66 = 0. b) 9x + 2 (x− 2) .3x + 2x− 5 = 0.c) 9x

2

+(x2 − 3

).3x

2 − 2x2 + 2 = 0. d) 32x − (2x + 9) .3x + 9.2x = 0.

32

www.VNMATH.com

Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit

5.29. Giải các phương trình saua) 22x −

√2x + 6 = 6. b) 32x +

√3x + 7 = 7.

c) 27x + 2 = 3 3√

3x+1 − 2. d) 7x−1 = 6log7 (6x− 5) + 1.

5.30. Giải các phương trình saua) 2x

2

= 3x. b) 2x2−4 = 3x−2.

c) 5x.8x−1x = 500. d) 8

xx+2 = 4.34−x.

5.31. Giải các phương trình saua) 3x

2

= cos 2x. b) 2|x| = sinx.c) 2x−1 + 2x

2 − x.2x−1 − 2x2−x = (x− 1)

2. d) 22x+1 + 23−2x = 8log3(4x2−4x+4) .

§5. Phương Trình & Bất Phương Trình Lôgarit


1. Phương trình lôgarit cơ bản.• Dạng: logax = b (0 < a 6= 1).• Cách giải: logax = b⇔ x = ab.

2. Bất phương trình lôgarit cơ bản.• Dạng: logax > b (0 < a 6= 1).• Cách giải: a > 1: logax > b⇔ x > ab.

0 < a < 1: logax > b⇔ 0 < x < ab.

Lưu ý. Các dạng logax ≥ b; logax < b; logax ≤ b dựa vào dấu để có cách giải tương ứng.

B. Phương Phương Giải Cơ Bản

• Đưa về cùng cơ số. • Đặt ẩn phụ.• Sử dụng tính đơn điệu của hàm số lôgarit.

C. Bài Tập

5.32. Giải các phương trình saua) log3 (x− 2) = 2. b) log3 (5x+ 3) = log3 (7x+ 5).c) log2

(x2 − 1

)= log 1

2(x− 1). d) log2x+ log2 (x− 2) = 3.

e) log2

(x2 + 8

)= log2x+ log26. f) log3 (x+ 2) + log3 (x− 2) = log35.

g) log3x+ log4x = log5x. h) log2x+ log3x+ log4x = log20x.

5.33. Giải các bất phương trình saua) log8 (4− 2x) ≥ 2. b) log3

(x2 + 2

)+ log 1

3(x+ 2) < 0.

c) log 15

(3x− 5) > log 15

(x+ 1). d) log2 (x+ 3) < log4 (2x+ 9).

5.34. Giải các phương trình saua) log2

(x2 + 3x+ 2

)+ log2

(x2 + 7x+ 12

)= log224. b) log

(x3 + 8

)= log (x+ 58) + 1

2 log(x2 + 4x+ 4

).

c) 12 log√2 (x+ 3) + 1

4 log4(x− 1)8

= log24x. d) 32 log 1

4(x+ 2)

2 − 3 = log 14(4− x)

3+ log 1

4(x+ 6)

3.

e) log√2

√x+ 1− log 1

2(3− x)− log8(x− 1)

3= 0. f) log 1

2(x− 1) + log 1

2(x+ 1)− log 1√

2(7− x) = 1.

g) log2

(8− x2

)+ log 1

2

(√1 + x+

√1− x

)− 2 = 0. h) log2 (4x + 15.2x + 27) + 2log2

14.2x−3 = 0.


(x−√x2 − 1

)+ 3log2

(x+√x2 − 1

)= 2. b) (A-08) log2x−1

(2x2 + x− 1

)+logx+1(2x− 1)

2= 4.

c) log2

(x−√x2 − 1

).log3

(x+√x2 − 1

)= log6

(x−√x2 − 1

).

5.36. Giải các bất phương trình saua) (A-07) 2log3 (4x− 3) + log 1

3(2x+ 3) ≤ 2. b) log 1

2x+ 2log 1

4(x− 1) + log26 ≤ 0.

c) (D-08) log 12

x2−3x+2x ≥ 0. d) log0,5

x+12x−1 > 1.

e)log2

(3.2x−1 − 1

)x

≥ 1. f)log2 (1− 3log27x)− 1

log2x< 0.

g) (B-02) logx [log3 (9x − 72)] ≤ 1. h)x− 1

log3 (9− 3x)− 3≤ 1.

5.37. Giải các bất phương trình saua) (B-08) log0,7

(log6

x2+xx+4

)< 0. b) log 1

2log3

x+1x−1 ≥ 0.

c) log3log43x−1x+1 ≤ log 1

3log 1

4

x+13x−1 . d) log 1

3log5

(√x2 + 1 + x

)> log3log 1

5

(√x2 + 1− x

).

33



2 x− 3log2x+ 2 = 0. b) log 12x+ log2

2 x = 2.c) 2log2x− log3x = 2− log x. d) log2x3 − 20 log

√x+ 1 = 0.

e)√

log3x+√

4− log3x = 2. f) log2 (2x + 1) .log2

(2x+1 + 2

)= 2.

g) log3 (3x + 1) .log3

(3x+2 + 9

)= 3. h) log2 (5x − 1) .log4 (2.5x − 2) = 1.

5.39. Giải các bất phương trình saua) log2

2 (2x+ 1)− 3 log (2x+ 1) + 2 > 0. b) log29 (x− 1)− 3log3 (x− 1) + 1 ≤ 0.

c) logx−14 ≥ 1 + log2 (x− 1). d) log2 (2x − 1) log 12

(2x+1 − 2

)> −2.

e) log4 (19− 2x) log219−2x

8 ≤ −1. f) log5 (4x + 144)− 4log52 < 1 + log5

(2x−2 + 1

).

5.40. Giải các bất phương trình saua)√

log2x+√

logx2 ≥ 4√3. b) 3

√log 1

2x+ log4x

2 − 2 > 0.

c)√

log22 x+ log 1

2x2 − 3 >

√5(log4x

2 − 2). d)

√log2√

2x+ log2x

4 − 8 > log√2x2

4 .

5.41. Giải các bất phương trình saua) log2x64 + logx216 ≥ 3. b) logx (125x) .log25x >

32 + log2

5 x.

c) (CĐ-2012) log2(2x). log3(3x) > 1. d) log 13x+

√1− 4 log2

12x < 1.

5.42. Giải các phương trình saua) x+ 2.3log2x = 3. b) x2 + 3log2x = xlog25.c) xlog29 = x2.3log2x − xlog23. d) log2

(x+ 3log6x

)= log6x.


2 x+ (x− 4) log2x− x+ 3 = 0. b) log22 (x+ 1) + (x− 5) log2 (x+ 1)− 2x+ 6 = 0.

c) log2(x2 + 1

)+(x2 − 5

)log(x2 + 1

)− 5x2 = 0. d) (x+ 2) log2

3 (x+ 1)+4 (x+ 1) log3 (x+ 1)−16 = 0.

5.44. Giải các phương trình saua) log2 (1 +

√x) = log3x. b) log7x = log3 (2 +

√x).

c) 3log3 (1 +√x+ 3√x) = 2log2

√x. d) log 1

2(3 + |x|) = 2|x| − 4.

e) log2

(x2 − 4

)+ x = log2 [8 (x+ 2)]. f) 4 (x− 2) [log2 (x− 3) + log3 (x− 2)] = 15 (x+ 1).

5.45. Giải các bất phương trình saua) 3x > 11− x. b) 1 +

√15x ≤ 4x.

c) 1 + 2x+1 + 3x+1 < 6x. d) 4log x+1 − 6log x > 2.3log x2+2.e) log7x < log3 (

√x+ 2). f) log2 (2x + 1) + log3 (4x + 2) ≤ 2.

§6. Hệ Phương Trình Mũ & Lôgarit


a)

3y+1 − 2x = 54x − 6.3y + 2 = 0

. b) (D-02)

23x = 5y2 − 4y4x+2x+1

2x+2 = y.

c) (A-09)

log2

(x2 + y2

)= 1 + log2 (xy)

3x2−xy+y2 = 81

. d) (B-2010)

log2 (3y − 1) = x4x + 2x = 3y2 .


a)

log3 (x+ 2) < 3log 1

2

(x2 + 2x− 8

)≥ log 1

216

. b) (A-04)

log 14

(y − x)− log41y = 1

x2 + y2 = 25.

c) (D-2010)x2 − 4x+ y + 2 = 02log2 (x− 2)− log√2y = 0

. d) (B-05) √

x− 1 +√

2− y = 13log99x2 − log3y

3 = 3.


a)

3x − 3y = y − xx2 + xy + y2 = 12

. b)x3 − y3 = 2y − 2x(x4 + 1

) (y2 + y − 1

)+ x (y − 2) = 1

.

c)x+√x2 − 2x+ 2 = 3y−1 + 1

y +√y2 − 2y + 2 = 3x−1 + 1

. d)

ln (1 + x)− ln (1 + y) = x− yx2 − 12xy + 20y2 = 0

.

5.49. (D-06) Chứng minh với mọi a > 0, hệ phương trìnhex − ey = ln (1 + x)− ln (1 + y)y − x = a

có nghiệm duy nhất.

34

www.VNMATH.com

Chuyên đề 6

Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian

§1. Tọa Độ Trong Không Gian


1. Tọa độ trong không gian.

• Hai vectơ bằng nhau: −→a =−→b ⇔

a1 = b1a2 = b2a3 = b3

.

• Các phép toán vectơ: −→a ±−→b = (a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3); k−→a = (ka1; ka2; ka3).

• Tích vô hướng của hai vectơ: −→a .−→b = a1b1 + a2b2 + a3b3.

• Hai vectơ vuông góc: −→a ⊥−→b ⇔ −→a .

−→b = 0.

• Độ dài vectơ: |−→a | =√a2

1 + a22 + a2

3.

• Góc giữa hai vectơ: cos(−→a ;

−→b)

=−→a .−→b

|−→a | .∣∣∣−→b ∣∣∣ .

• Tọa độ vectơ:−−→AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA).

• Khoảng cách giữa hai điểm: AB =∣∣∣−−→AB∣∣∣ =

√(xB − xA)

2+ (yB − yA)

2+ (zB − zA)

2.

• Tính chất trung điểm: I là trung điểm của AB ⇔ I

(xA + xB

2;yA + yB

2;zA + zB

2

).

• Tính chất trọng tâm: G là trọng tâm ∆ABC ⇔ G

(xA + xB + xC

3;yA + yB + yC

3;zA + zB + zC

3

).

2. Tích có hướng của hai véctơ.

• Định nghĩa.[−→a ,−→b ] =

(∣∣∣∣a2 a3

b2 b3

∣∣∣∣ ; ∣∣∣∣a3 a1

b3 b1

∣∣∣∣ ; ∣∣∣∣a1 a2

b1 b2

∣∣∣∣).• Tính chất.•[−→a ,−→b ]⊥−→a ;

[−→a ,−→b ]⊥−→b . •∣∣∣[−→a ,−→b ]∣∣∣ = |−→a | .

∣∣∣−→b ∣∣∣ . sin(−→a ,−→b ).•[−→a ,−→b ] =

−→0 ⇔ −→a ,

−→b cùng phương. •

[−→a ,−→b ].−→c = 0⇔ −→a ,−→b ,−→c đồng phẳng.

• Ứng dụng.• Diện tích tam giác: S∆ABC = 1

2

∣∣∣[−−→AB,−→AC]∣∣∣. • Thể tích tứ diện: VABCD = 16

∣∣∣[−−→AB,−→AC] .−−→AD∣∣∣.• Thể tích hình hộp: VABCD.A′B′C′D′ =

∣∣∣[−−→AB,−−→AD] .−−→AA′∣∣∣.3. Phương trình mặt cầu.• Dạng 1: (x− a)

2+ (y − b)2

+ (z − c)2= R2 (R > 0).

Có tâm I (a; b; c) và bán kính R =√R2.

• Dạng 2: x2 + y2 + z2 − 2ax− 2by − 2cz + d = 0(a2 + b2 + c2 > d

).

Có tâm I (a; b; c) và bán kính R =√a2 + b2 + c2 − d.

Lưu ý. Điểm M thuộc mặt cầu ⇔ R = IM .

B. Bài Tập

6.1. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ −→a (5; 7; 2) ,−→b (3; 0; 4) và −→c (−6; 1;−1).

a) Hãy tìm các vectơ sau: −→m = 3−→a − 2−→b +−→c ;−→n = 5−→a + 6

−→b + 4−→c ;−→p = 1

2−→a − 1

3

−→b + 1

6−→c .

35


b) Tính: |−→a | ;∣∣∣−→b ∣∣∣ ; ∣∣∣−→a −−→b ∣∣∣ ;−→a .−→b ;

[−→a ,−→b ].c) Tìm −→x sao cho −→a + 3

−→b − 2−→x =

−→0 .

d) Tìm u, v để vectơ −→y (1;u; v) cùng phương với vectơ −→a + 2−→b .

6.2. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ −→a (1; 0;−2) ,−→b (1; 2;−1) và −→c (0; 3;−2).

a) Tìm vectơ −→u biết 2−→a +−→b − 3−→c − 2−→u =

−→0 . b) Tính

∣∣∣−→a +−→b +−→c

∣∣∣.c) Tìm −→a

(−→b − 2−→c

);[−→a ,−→b ]. d) Tìm vectơ −→u biết −→u⊥−→a ;−→u⊥

−→b và |−→u | =

√21.

6.3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (1; 0;−2) , B (2; 1;−1) , C (1;−2; 2).a) Chứng minh A,B,C không thẳng hàng. b) Tính chu vi tam giác ABC.c) Tìm tọa độ D để ABCD là hình bình hành. d) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.

6.4. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (−1;−2; 3) , B (0; 3; 1) , C (4; 2; 2).

a) Tính−−→AB.−→AC. b) Tính cos BAC. c) Tính

[−−→AB,

−→AC].

6.5. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (1; 0; 3) , B (2; 2; 4) , C (0; 3;−2).a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.c) Tính diện tích tam giác ABC.

6.6. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A (1; 1; 3) , B (−1; 3; 2) , C (−1; 2; 3). Tính diện tích tam giácABC và thể tích tứ diện OABC.

6.7. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (−3;−2; 6) , B (−2; 4; 4). Hãy tính độ dài đường cao OH của tam giácOAB.

6.8. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A (0; 4; 1) , B (1; 0; 1) , C (3; 1;−2) .. Tìm toạ độ trực tâm tamgiác ABC.

6.9. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (1; 1; 1) , B (−1; 1; 0) , C (3; 1;−1). Tìm điểmM thuộc mặt phẳng (Oxz)sao cho M cách đều A,B,C.

6.10. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (−1; 6; 6) , B (3;−6;−2). Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) saocho AM +BM là ngắn nhất.

6.11. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (2; 5; 3) , B (3; 7; 4) , C (x, y, 6). Tìm x, y để A,B,C thẳng hàng.

6.12. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; 1; 1) , B (2; 3; 4) , C (6; 5; 2) , D (7, 7, 5). Chứng minh rằng A,B,C,Dlà bốn đỉnh của hình bình hành. Tính diện tích hình bình hành đó.

6.13. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A (2; 1;−1) , B (3; 0; 1) , C (2;−1; 3) và D thuộc trục Oy. Tìmtọa độ đỉnh D, biết thể tích tứ diện ABCD bằng 5.

6.14. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu saua) (x− 3)

2+ (y + 2)

2+ (z + 1)

2= 9. b) x2 + y2 + z2 + 2x+ 4y − 6z + 9 = 0.

c) x2 + y2 + z2 + y − 5z + 1 = 0. d) 3x2 + 3y2 + 3z2 − 6x+ 8y + 15z − 3 = 0.

6.15. Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp saua) Có tâm I (1; 2;−3) và qua M (2; 0;−1).b) Có đường kính AB biết A (3; 2;−1) và B (1; 1; 2).c) Ngoại tiếp tứ diện OABC biết A (2; 0; 0) , B (0;−1; 0) và C (0; 0; 3).d) Ngoại tiếp tứ diện ABCD biết A (1; 2; 1) , B (3;−1; 2) , C (−2; 1; 2) và D (1; 1; 3).e) Có tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz) và qua ba điểm A (0; 8; 0) , B (4; 6; 2) , C (0; 12; 4).

§2. Phương Trình Mặt Phẳng


1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.Định nghĩa: Vectơ −→n 6= −→0 có giá vuông góc với (α) gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

Lưu ý.• Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến cùng phương.• Nếu hai vectơ −→a ,

−→b không cùng phương và có giá song song hoặc chứa trong (α) thì −→nα =

[−→a ,−→b ].36

www.VNMATH.com

Chuyên đề 6. Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.Dạng: (α) : Ax+By + Cz +D = 0 (A,B,C không đồng thời bằng 0).

Nhận xét.• Mặt phẳng Ax+By + Cz +D = 0 có vectơ pháp tuyến −→n (A;B;C).• Lấy x0; y0 tuỳ ý ⇒ z0 ta có điểm M (x0; y0; z0) ∈ (α).•Mặt phẳng quaM (x0; y0; z0) và có vectơ pháp tuyến−→n (A;B;C) có PT: A (x− x0)+B (y − y0)+C (z − z0) = 0.• Mặt phẳng qua A (a; 0; 0) , B (0; b; 0) và C (0; 0; c) có phương trình

x

a+y

b+z

c= 1 gọi là PT đoạn chắn.

• Mặt phẳng (Oxy) , (Oxz) , (Oyz) lần lượt có phương trình z = 0, y = 0, x = 0.• Mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S)⇔ d (I; (α)) = R.

3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.Cho hai mặt phẳng (α1) : A1x+B1y + C1z +D1 = 0 và (α2) : A2x+B2y + C2z +D2 = 0. Ta có:

• (α1) // (α2)⇔ −→n1 = k−→n2

D1 6= kD2. • (α1) ≡ (α2)⇔

−→n1 = k−→n2

D1 = kD2.

• (α1) cắt (α2)⇔ −→n1 6= k−→n2. • (α1)⊥ (α2)⇔ −→n1.−→n2 = 0.

4 . Khoảng cách.

• Từ một điểm đến một mặt phẳng: d (M ; (α)) =|AxM +ByM + CzM +D|√

A2 +B2 + C2.

• Giữa hai mặt phẳng song song: d ((α) ; (β)) = d (M ; (β)) (M ∈ (α)).

B. Bài Tập

6.16. Lập phương trình mặt phẳng (P ) trong các trường hợp saua) Đi qua ba điểm A (1; 0; 0) , B (0;−2; 0) , C (0; 0; 3).b) Đi qua ba điểm A (2;−1; 3) , B (4; 2; 1) , C (−1; 2; 3).c) Đi qua điểm M (2;−1; 2) và song song với mặt phẳng (β) : 2x− y + 3z + 4 = 0.d) Đi qua M (1; 2; 3) và vuông góc AB. Biết A (−1; 0; 2) , B (3; 2; 1).e) Đi qua hai điểm A (3; 1;−1) , B (2;−1; 4) và vuông góc với mặt phẳng (α) : 2x− y + 3z + 1 = 0.f) Đi qua M (−2; 3;−1) và vuông góc với hai mặt phẳng (α) : x+ 2y + 2z + 1 = 0; (β) : 2x+ 3y + z = 0.g) Đi qua hai điểm M (1; 2; 3) , N (2;−2; 4) và song song với trục Oy.h) Trung trực của Ab, biết A (4;−1; 5) , B (2; 3; 1).i) Song song với (β) : 4x+ 3y − 12z + 1 = 0 và tiếp xúc với (S) : x2 + y2 + z2 − 2x− 4y − 6z − 2 = 0.

6.17. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng saua) (α) : x− 2y + 3z − 3 = 0; (β) : 2x− y + z − 1 = 0.b) (α) : 2x− y + 2z + 1 = 0; (β) : −4x+ 2y − 4z − 1 = 0.c) (α) : 3x− y + 2z + 1 = 0; (β) : 6x− 2y + 4z + 2 = 0.

6.18. Tính các khoảng cách saua) Giữa M (2;−3; 1) và (α) : 2x+ 2y + z + 3 = 0.b) Giữa A (−4; 1; 5) và (α) : x+ 7y − 2z + 1 = 0.c) Giữa (α) : 2x− y + 2z + 1 = 0 và (β) : 4x− 2y + 4z − 3 = 0.

6.19. (TN-06) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (2; 0; 0) , B (0; 3; 0) , C (0; 0; 6).a) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A,B,C.b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt cầu đường kính OG.

6.20. (TN-07) Trong không gian Oxyz, cho điểm E (1;−4; 5) , F (3; 2; 7).a) Viết phương trình mặt cầu qua F và có tâm E.b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của EF .

6.21. (CĐ-09) Trong không gian Oxyz, cho (P1) : x + 2y + 3z + 4 = 0 và (P2) : 3x + 2y − z + 1 = 0. Viết phươngtrình mặt phẳng (P ) đi qua A (1; 1; 1) và vuông góc với hai mặt phẳng (P1) , (P2).

6.22. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A (5; 1; 3) , B (1; 6; 2) , C (5; 0; 4) , D (4; 0; 6).a) Viết phương trình các mặt phẳng (ACD) và (BCD).b) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa cạnh AB và song song với cạnh CD.

6.23. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (−2; 6; 3) , B (1; 0; 6) , C (0; 2;−1) , D (1; 4; 0).a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD.c) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa AB và song song với CD.

37


6.24. (CĐ-2011) Trong không gianOxyz, cho hai điểm A (−1; 2; 3) , B (1; 0;−5) và mặt phẳng (P ) : 2x+y−3z−4 = 0.Tìm điểm M thuộc (P ) sao cho ba điểm A,B,M thẳng hàng.

6.25. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β) : 4x+3y−12z+1 = 0và tiếp xúc với mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 − 2x− 4y − 6z − 2 = 0.

6.26. (D-04) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (2; 0; 1) , B (1; 0; 0) , C (1; 1; 1) và (P ) : x+ y + z − 2 = 0. Viếtphương trình mặt cầu đi qua ba điểm A,B,C và có tâm thuộc (P ).

6.27. (B-2012) Trong không gian Oxyz, cho A(0; 0; 3),M(1; 2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A và cắtcác trục Ox,Oy lần lượt tại B,C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM .

6.28. (A-2011) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 − 4x− 4y − 4z = 0 và điểm A (4; 4; 0). Viếtphương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.

6.29. (A-2011) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (2; 0; 1) , B (0;−2; 3) và mặt phẳng (P ) : 2x− y− z+ 4 = 0.Tìm tọa độ điểm M thuộc (P ) sao cho MA = MB = 3.

6.30. (B-08) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (0; 1; 2) , B (2;−2; 1) , C (−2; 0; 1).a) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A,B,C.b) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P ) : 2x+ 2y + z − 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.

6.31. (D-2010) Trong không gian Oxyz, cho (P ) : x+ y + z − 3 = 0 và (Q) : x− y + z − 1 = 0. Viết phương trìnhmặt phẳng (R) vuông góc với (P ) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2.

6.32. (B-09) Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A (1; 2; 1) , B (−2; 1; 3) , C (2;−1; 1) , D (0; 3; 1).Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A,B sao cho khoảng cách từ C đến (P ) bằng khoảng cách từ D đến (P ).

6.33. (B-07) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 − 2x + 4y + 2z − 3 = 0 và mặt phẳng(P ) : 2x− y + 2z − 14 = 0.

a) Viết phương trình (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo đường tròn có bán kính bằng 3.b) Tìm điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P ) là lớn nhất.

6.34. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (0; 1; 1) , B (2;−1; 1) , C (4; 1; 1) và mặt phẳng (P ) : x+ y+ z − 6 = 0.Tìm điểm M trên (P ) sao cho

∣∣∣−−→MA+ 2−−→MB +

−−→MC

∣∣∣ đạt giá trị nhỏ nhất.

6.35. (A-03) Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C ′D′ có A trùng gốc toạ độ O, B (a; 0; 0),D (0; a; 0) , A′ (0; 0; b) , (a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC ′.

a) Tính thể tích khối tứ diện BDA′M .b) Xác định tỉ số a

b để (A′BD) vuông góc với (MBD).

§3. Phương Trình Đường Thẳng


1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng.Định nghĩa: Vectơ −→u 6= −→0 có giá song song hoặc trùng với ∆ gọi là vectơ chỉ phương của ∆.

Lưu ý. Đường thẳng ∆ có vô số vectơ chỉ phương cùng phương với nhau.

2. Phuơng trình tham số của đường thẳng.

Đường thẳng qua M (x0; y0; z0) và nhận −→u (a1; a2; a3) làm vectơ chỉ phương có PTTS:

x = x0 + a1ty = y0 + a2tz = z0 + a3t

(∆).

Nhận xét.• Đường thẳng ∆ qua M (x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương −→u (a1; a2; a3).

• Nếu a1a2a3 6= 0 thì ∆ còn viết dưới dạngx− x0

a1=y − y0

a2=z − z0

a3gọi là dạng chính tắc.

• Nếu ∆ song song với (α) và M ∈ ∆ thì d (∆; (α)) = d (M ; (α)).

3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

• d ≡ d′ ⇔[−→u ,−→u′] =

[−→u ,−−−−→M0M′0

]=−→0 . • d và d′ cắt nhau ⇔

[−→u ,−→u′] 6= −→0[−→u ,−→u′] .−−−−→M0M

′0 = 0

.

38

www.VNMATH.com


• d//d′ ⇔

[−→u ,−→u′] =

−→0[−→u ,−−−−→M0M′0

]6= −→0

. • d và d′ chéo nhau ⇔[−→u ,−→u′] .−−−−→M0M

′0 6= 0.

4. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Cho đường thẳng ∆ :

x = x0 + atx = y0 + btz = z0 + ct

và mặt phẳng (α) :Ax+By + Cz +D = 0.

Số giao điểm của ∆ và (α) là số nghiệm phương trình A (x0 + at) +B (y0 + bt) + C (z0 + ct) +D = 0 (1).• ∆//(α)⇔ (1) vô nghiệm. • ∆ ⊂ (α)⇔ (1) có vô số nghiệm.• ∆ cắt (α)⇒ (1) có một nghiệm. • ∆⊥(α)⇔ −→u = k−→n .

B. Bài Tập

6.36. Lập phương trình đường thẳng d trong các trường hợp saua) Đi qua A (2; 1;−1) và có vectơ chỉ phương −→u = (−2; 3; 2).b) Đi qua hai điểm A (1; 2; 3) , B (5; 4; 4).c) Đi qua A (−3; 1; 2) và vuông góc với (α) : x− 2y + 3z + 1 = 0.

d) Đi qua M (2; 1;−3) và song song với đường thẳng ∆ :x− 1

2=y + 3

3=z

4.

e) Đi qua M (−3; 1; 4) và song song với giao tuyến của (α) : 3x+ 2y − 5z + 1 = 0; (β) : x− 4y + 3z + 2 = 0.f) Giao tuyến của (α) : x+ z − 1 = 0; (β) : 2x− 2y + 3z + 1 = 0.

6.37. (CĐ-09) Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A (1; 1; 0) , B (0; 2; 1) và trọng tâm G (0; 2;−1). Viếtphương trình đường thẳng ∆ đi qua C và vuông góc với (ABC).

6.38. (TN-08) Trong không gian Oxyz, cho điểm A (2;−1; 3) và (P ) : x− 2y− 2z − 10 = 0. Tính khoảng cách từ Ađến (P ). Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (P ).

6.39. (D-2011) Trong không gian Oxyz, cho ∆ :x− 1

2=y − 3

4=z

1và (P ) : 2x − y + 2z = 0. Viết phương trình

mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆, bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P ).

6.40. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (4;−6; 3) , B (5;−7; 3). Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc vớimặt phẳng (P ) : 8x+ 11y + 2z − 3 = 0. Tìm điểm C thuộc d sao cho ∆ABC vuông tại B.

6.41. (A-2012) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :x+ 1

2=y

1=z − 2

1, mặt phẳng (P ) : x+y−2z+5 = 0

và điểm A(1;−1; 2). Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d và (P ) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểmcủa đoạn thẳng MN .

6.42. (D-2012) Trong không gianOxyz, cho đường thẳng d :x− 1

2=y + 1

−1=z

1và hai điểmA (1;−1; 2) , B (2;−1; 0).

Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M .

6.43. (A-2012) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :x+ 1

1=y

2=z − 2

1và điểm I(0; 0; 3). Viết phương

trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại hai điểm A,B sao cho tam giác IAB vuông tại I.

6.44. Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng sau

a) d :x− 12

4=y − 9

3=z − 1

1và (α) : 3x+ 5y − z − 2 = 0.

b) d :x− 1

1=y − 1

2=z − 2

−3và (α) : x+ y + z − 4 = 0.

6.45. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau

a) d :x− 1

1=y

2=z − 3

−1và d′ :

x− 2

2=y − 3

4=z − 5

−2.

b) d :x− 3

−1=y − 4

1=z − 5

−2và d′ :

x− 2

−3=y − 5

3=z − 3

−6.

c) d :x− 1

1=y − 2

3=z − 3

−1và d′ :

x− 2

−2=y + 2

1=z − 1

3.

d) d :x− 1

2=y + 1

3=z − 5

1và d′ :

x− 1

3=y + 2

2=z + 1

2.

6.46. (TN-09) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x− 1)2

+ (y − 2)2

+ (z − 2)2

= 36 và mặt phẳng(P ) : x+ 2y + 2z + 18 = 0.

a) Xác định toạ độ tâm T và bán kính của (S). Tính khoảng cách từ T đến (P ).b) Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua T và vuông góc (P ). Tìm toạ độ giao điểm của d và (P ).

39


6.47. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : 3x+ 5y− z−2 = 0 và đường thẳng d :x− 12

4=y − 9

3=z − 1

1.

a) Tìm giao điểm M của d và (α).b) Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa M và vuông góc với d.

6.48. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d :x− 1

−1=y

1=

z

−1và d′ :

x

2=y + 1

1=z

1.

a) Chứng minh d và d′ chéo nhau.b) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d và song song với d′.

6.49. (CĐ-2012) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :

x = ty = 2tz = 1− t

, d2 :

x = 1 + 2sy = 2 + 2sz = −s

. Chứng minh

d1 và d2 cắt nhau. Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng d1, d2.

6.50. (B-06) Trong không gian Oxyz cho điểm A (0; 1; 2) và d1 :x

2=y − 1

1=z + 1

−1, d2 :

x− 1

1=y + 1

−2=z − 2

1.

a) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A và song song với d1, d2.b) Tìm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho A,M,N thẳng hàng.

6.51. (D-03) Trong không gian Oxyz, cho d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P ) : x + 3ky − z + 2 = 0 và(Q) : kx− y + z + 1 = 0. Tìm k để d vuông góc với (α) : x− y − 2z + 5 = 0.

6.52. (D-02) Trong không gian Oxyz, cho (P ) : 2x− y + 2 = 0 và d là giao tuyến hai mặt phẳng (α) : (2m+ 1)x+(1−m) y +m− 1 = 0 và (β) : mx+ (2m+ 1) z + 4m+ 2 = 0. Xác định m để d song song với (P ).

6.53. (D-09) Trong không gian Oxyz, cho A (2; 1; 0) , B (1; 2; 2) , C (1; 1; 0) và mặt phẳng (P ) : x + y + z − 20 = 0.Xác định toạ độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P ).

6.54. Lập phương trình đường vuông góc chung của d1 :x− 7

1=y − 3

2=z − 9

−1và d2 :

x− 3

−7=y − 1

2=z − 1

3.

6.55. Viết phương trình đường thẳng qua A (1;−1; 1) và cắt d :x− 1

2=y

1=z − 3

−1, d′ : x1 = y+1

−2 = z−21 .

6.56. Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với (Oxz) và cắt d :

x = ty = −4 + tz = 3− t

, d′ :

x = 1− 2t′

y = −3 + t′

z = 4− 5t′.

6.57. (B-04) Trong không gian Oxyz, cho A (−4;−2; 4) và d :x+ 3

2=y − 1

−1=z + 1

4. Viết phương trình đường

thẳng ∆ qua A, cắt và vuông góc với d.

6.58. (D-09) Trong không gian Oxyz, cho ∆ :x+ 2

1=y − 2

1=

z

−1và (P ) : x+ 2y− 3z+ 4 = 0. Viết phương trình

đường thẳng d nằm trong (P ) sao cho d cắt và vuông góc với ∆.

6.59. (A-07) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :x

2=y − 1

−1=z + 2

1và d2 :

x = −2 + 2ty = 1 + tz = 3

.

a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau.b) Viết phương trình d vuông góc với (P ) : 7x+ y − 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d1, d2.

6.60. (CĐ-2012) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :x− 2

−1=

y + 1

−1=

z + 1

1và mặt phẳng (P ) :

2x + y − 2z = 0. Đường thẳng ∆ nằm trong (P ) vuông góc với d tại giao điểm của d và (P ). Viết phương trìnhđường thẳng ∆.

§4. Hình Chiếu


1. Hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (α).• Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M và vuông góc với (α).• Hình chiếu H là giao điểm của ∆ và (α).

Lưu ý. Mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có tâm là hình chiếu của I trên (α).

40

www.VNMATH.com


2. Hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d.• Lấy H ∈ d. Tính

−−→MH.

• H là hình chiếu của M trên d⇔−−→MH.−→ud = 0.

3. Hình chiếu của đường thẳng d trên mặt phẳng (α).TH1: d cắt (α).• Tìm giao điểm a của d và (α).• Lấy M cụ thể trên d. Tìm hình chiếu M ′ của M trên d.• Hình chiếu d′ là đường thẳng AM ′.TH2: d song song (α).• Lấy M cụ thể trên d. Tìm hình chiếu M ′ của M trên d.• Hình chiếu d′ qua M ′ và song song với d.

B. Bài Tập

6.61. Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1; 4; 2) và mặt phẳng (α) : x+ y+ z− 1 = 0. Tìm toạ độ điểm H là hìnhchiếu vuông góc của A lên (α). Tìm toạ độ điểm A′ đối xứng với A qua (α).

6.62. Trong không gian Oxyz, cho A (1; 0; 0) và ∆ :x− 2

1=y − 1

2=z

1. Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông

góc của A lên ∆. Tìm toạ độ điểm A′ đối xứng với A qua ∆.

6.63. (D-06) Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1; 2; 3); d1 :x− 2

2=y + 2

−1=z − 3

1và d2 :

x− 1

−1=y − 1

2=

z + 1

1. Tìm A′ đối xứng với A qua d1. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông góc d1 và cắt d2.

6.64. Trong không gian Oxyz, cho d :x

2=y − 1

−1=z − 3

1và (P ) : x+ y+ z− 10 = 0. Viết phương trình hình chiếu

d′ của d lên (P ).

6.65. Trong không gian Oxyz, cho d :x− 1

2=y + 1

1=z − 2

2và (P ) : x+ 2y − 2z − 1 = 0.Viết phương trình hình

chiếu d′ của d lên (P ).

6.66. Trong không gianOxyz, lập phương trình d′ đối xứng của d :x− 4

3=y − 1

1=z − 1

−5qua (P ) : x−y+2z−3 = 0.

6.67. (A-08) Trong không gian Oxyz, cho điểm A (2; 5; 3) và đường thẳng d :x− 1

2=y

1=z − 2

2. Tìm toạ độ hình

chiếu vuông góc của A trên d. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất.

6.68. (CĐ-2010) Trong không gian Oxyz, cho A (1;−2; 3) , B (−1; 0; 1) và (P ) : x+ y + z + 4 = 0. Tìm tọa độ hìnhchiếu vuông góc của A trên (P ). Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng AB

6 , có tâm thuộc đường thẳngAB và (S) tiếp xúc với (P ).

6.69. Trong không gian Oxyz, cho (P ) : x+ 2y − 2z − 3 = 0 và (S) : x2 + y2 + z2 − 4x+ 2y − 2z − 10 = 0. Chứngminh (P ) cắt (S) theo một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.

6.70. (A-09) Trong không gian Oxyz, cho (P ) : 2x− 2y − z − 4 = 0 và (S) : x2 + y2 + z2 − 2x− 4y − 6z − 11 = 0.Chứng minh (P ) cắt (S) theo một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.

6.71. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (3; 3; 0) , B (3; 0; 3) , C (0; 3; 3) , D (3; 3; 3). Viết phương trình mặt cầuqua bốn điểm A,B,C,D. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

6.72. (D-2012) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x+ y − 2z + 10 = 0 và điểm I (2; 1; 3). Viết phươngtrình mặt cầu tâm I và cắt (P ) theo một đường tròn có bán kính bằng 4.

§5. Góc Và Khoảng Cách

1. Góc.Gọi α, β, γ là góc giữa hai mặt phẳng, giữa hai đường thẳng và giữa đường thẳng với mặt phẳng. Ta có

• cosα =|−→nα.−→nβ ||−→nα| |−→nβ |

. • cosβ = |cos (−→u1;−→u2)|. • sin γ = |cos (−→u ;−→n )|.

2. Khoảng cách.

• Từ một điểm đến một đường thẳng: d (M,∆) =

∣∣∣[−→u ,−−−→M0M]∣∣∣

|−→u |, d (M,AB) =

∣∣∣[−−→AB,−−→AM]∣∣∣∣∣∣−−→AB∣∣∣ .

41


• Giữa hai đường thẳng chéo nhau: d (∆,∆′) =

∣∣∣[−→u ,−→u′] .−−−−→M0M′0

∣∣∣∣∣∣[−→u ,−→u′]∣∣∣ , d (AB,CD) =

∣∣∣[−−→AB,−−→CD] .−→AC∣∣∣∣∣∣[−−→AB,−−→CD]∣∣∣ .

B. Bài Tập

6.73. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD. Tính góc và khoảng cách giữa hai cạnh AB và CD biếtA (3;−1; 0) , B (0;−7; 3) , C (−2; 1;−1) , D (3; 2; 6).

6.74. (TN-09) Trong không gian Oxyz, cho A (1;−2; 3) và đường thẳng d :x+ 1

2=y − 2

1=z + 3

−1.

a) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A và vuông góc với d.b) Tính khoảng cách từ A đến d. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với d.

6.75. (A-05) Trong không gian Oxyz, cho d :x− 1

−1=y + 3

2=z − 3

1và (P ) : 2x+ y − 2z + 9 = 0.

a) Tìm điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến (P ) bằng 2.b) Tìm giao điểm A của d và (P ). Lập phương trình ∆ nằm trong (P ), qua A và vuông với d.

6.76. (TN-08) Trong không gian Oxyz, cho điểm A (3;−2;−2) và (P ) : 2x− 2y + z − 1 = 0.a) Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (P ).b) Tính d (A, (P )).Viết phương trình (Q) sao cho (Q) song song (P ) và d ((P ) , (Q)) = d (A, (P )).

6.77. (CĐ-2010) Trong không gian Oxyz, cho d :x

−2=y − 1

1=z

1và (P ) : 2x− y + 2z − 2 = 0.

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P ).b) Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho M cách đều góc tọa độ O và (P ).

6.78. (CĐ-2011) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :x− 1

4=y + 1

−3=z − 1

1. Viết phương trình mặt cầu

có tâm I (1; 2;−3) và cắt đường thẳng d tại hai điểm A,B sao cho AB =√

26.

6.79. (A-2010) Trong không gian Oxyz, cho A (0; 0;−2) và ∆ :x+ 2

2=y − 2

3=z + 3

2. Tính khoảng cách từ A đến

∆. Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm B,C sao cho BC = 8.

6.80. (B-03) Trong không gian Oxyz, cho A (2; 0; 0) , B (0; 0; 8) và điểm C sao cho−→AC = (0; 6; 0). Tính khoảng cách

từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.

6.81. (D-2010) Trong không gian Oxyz, cho ∆1 :

x = 3 + ty = tz = t

và ∆2 :x− 2

2=y − 1

1=z

2. Xác định tọa độ điểm

M thuộc ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến ∆2 bằng 1.

6.82. (A-2010) Trong không gian Oxyz, cho ∆ :x− 1

2=y

1=z + 2

−1và (P ) : x − 2y + z = 0. Gọi C là giao điểm

của ∆ và (P ), M là điểm thuộc ∆. Tính khoảng cách từ M đến (P ), biết MC =√

6.

6.83. (B-2010) Trong không gian Oxyz, cho ∆ :x

2=y − 1

1=z

2. Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho

khoảng cách từ M đến ∆ bằng OM .

6.84. (B-2010) Trong không gian Oxyz, cho A (1; 0; 0) , B (0; b; 0) , C (0; 0; c), (b, c > 0) và (P ) : y − z + 1 = 0. Xácđịnh b, c biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P ) và khoảng cách từ O đến (ABC) bằng 1

3 .

6.85. (B-2012) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :x− 1

2=y

1=

z

−2và hai điểm A(2; 1; 0), B(−2; 3; 2).

Viết phương trình mặt cầu đi qua A,B và có tâm thuộc đường thẳng d.

6.86. (A-09) Trong không gian Oxyz, cho (P ) : x − 2y + 2z − 1 = 0 và hai đường thẳng ∆1 :x+ 1

1=y

1=z + 9

6,

∆2 : x−12 = y−3

1 = z+1−2 . Xác định điểm M thuộc ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến ∆2 bằng khoảng cách từ M đến

(P ).

6.87. (B-2011) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ :x− 2

1=y + 1

−2=

z

−1và mặt phẳng (P ) : x+y+z−3 =

0. Gọi I là giao điểm của ∆ và (P ). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P ) sao cho MI vuông góc với ∆ và MI = 4√

14.

42

www.VNMATH.com


6.88. (B-2011) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ :x+ 2

1=

y − 1

3=

z + 5

−2và hai điểm A (−2; 1; 1),

B (−3;−1; 2). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3√

5.

6.89. (A-04) Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọađộ O. Biết A (2; 0; 0) , B (0; 1; 0) , S

(0; 0; 2

√2). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.

a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM .b) Gọi N là giao điểm của SD và (ABM), tính thể tích khối chóp S.ABMN .

6.90. (A-04) Trong không gian Oxyz, cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C ′. Biết A (a; 0; 0) , B (−a; 0; 0) , C (0; 1; 0),B′ (−a; 0; b) , (a > 0, b > 0).

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B′C và AC ′.b) Cho a, b thay đổi sao cho a+ b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa hai đường thẳng B′C và AC ′ là lớn nhất.

6.91. (A-06) Trong không gianOxyz, cho hình lập phươngABCD.A′B′C ′D′ vớiA (0; 0; 0) , B (1; 0; 0),D (0; 1; 0) , A′ (0; 0; 1).Gọi M,N là trung điểm AB và CD.

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A′C và MN .b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A′C và tạo với (Oxy) một góc α sao cho cosα = 1√

6.

6.92. Trong không gian Oxyz, cho A (1; 0; 0) , B (0; 1; 2). Tìm C ∈ Oz để (ABC) hợp với (α) : 2x− 2y − z + 5 = 0một góc 600.

6.93. (D-07) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1; 4; 2) , B (−1; 2; 4) và ∆ :x− 1

−1=y + 2

1=z

2.

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm của tam giác OAB và vuông góc với (OAB).b) Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho MA2 +MB2 nhỏ nhất.

6.94. (B-09) Trong không gian Oxyz, cho (P ) : x− 2y+ 2z− 5 = 0 và hai điểm A (−3; 0; 1) , B (1;−1; 3). Trong cácđường thẳng đi qua A và song song với (P ), hãy viết đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏnhất.

6.95. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :x− 3

2=y + 2

1=z + 1

−1và mặt phẳng (P ) : x+ y + z + 2 = 0.

Gọi M là giao điểm của d và (P ). Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P ), vuông góc với dđồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới ∆ bằng

√42.

43


44

www.VNMATH.com

Chuyên đề 7

Phương Trình Lượng Giác

§1. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản


1. Phương trình sinx = a.Nếu |a| > 1: Phương trình vô nghiệm.Nếu |a| ≤ 1: Phương trình có nghiệm.

• sinx = a⇔ sinx = sinα⇔[x = α+ k2πx = π − α+ k2π

. • sinx = a⇔[x = arcsin a+ k2πx = π − arcsin a+ k2π

.

Đặc biệt:• sinx = 0⇔ x = kπ. • sinx = ±1⇔ x = ±π2 + k2π.

2. Phương trình cosx = a.Nếu |a| > 1: Phương trình vô nghiệm.Nếu |a| ≤ 1: Phương trình có nghiệm.• cosx = a⇔ cosx = cosα⇔ x = ±α+ k2π. • cosx = a⇔ x = ± arccos a+ k2π.

Đặc biệt:• cosx = 0⇔ x = π

2 + kπ. • cosx = 1⇔ x = k2π. • cosx = −1⇔ x = π + k2π.3. Phương trình tanx = a.

• tanx = a⇔ tanx = tanα⇔ x = α+ kπ. • tanx = a⇔ x = arctan a+ kπ.4. Phương trình cotx = a.

• cotx = a⇔ cotx = cotα⇔ x = α+ kπ. • cotx = a⇔ x = arc cot a+ kπ.

B. Bài Tập

7.1. Giải các phương trình saua) sinx = 4

3 . b) sinx = 14 . c) sin

(2x− π

4

)= 1.

d) sin(x− π

3

)=√

22 . e) sin

(300 − x

)= 1

2 . f) sin(π3 − x

)= sin

(3x+ π

6

).

7.2. Giải các phương trình saua) cosx = 2011

2010 . b) cosx =√

22 . c) cos

(π6 − x

)= −1.

d) cos(5x+ π

4

)= cos 2x. e) cos

(x+ π

3

)+ sin 5x = 0. f)

cos 2x

sinx+ cosx= cosx−

√3

2.

7.3. Giải các phương trình saua) tanx =

√3

3 . b) cotx = −2. c) tan(450 − 3x

)= −√

3.d) tan

(5x+ π

4

)= tan 2x. e) cot

(3x− π

4

)= tanx. f) tan

(x+ π

6

). tan

(x+ π

3

)= 1.

7.4. Giải các phương trình saua) 3 sin 4x+ 4 = 0. b) 3 cos 3x− 1 = 0. c) 2 sin (5x− 2) =

√3.

d) 2 tan (3− 2x) + 3 = 0. e) 3 cot(x− 600

)−√

3 = 0. f)√

3 tan(π4 − 2x

)+ 3 = 0.

7.5. Giải các phương trình saua) sin2x− 3 sinx+ 2 = 0. b) 3cos2x+ 4 cosx+ 1 = 0. c) 2sin23x− sin 3x− 1 = 0.d) tan2x− 5 tanx+ 6 = 0. e) cot2x+ 3 cotx− 4 = 0. f) 2cos22x− 3 cos 2x+ 1 = 0.

7.6. Giải các phương trình saua) cos2x+ 3 sinx− 3 = 0. b) cos2x− 5 sinx+ 5 = 0. c) sin2x+ 7 cosx− 7 = 0.d) cos22x− 6 sinx cosx− 3 = 0. e) cos 2x+ 5 sinx+ 2 = 0. f) 3 cos 2x+ 4 cosx− 7 = 0.

45


7.7. Giải các phương trình saua) cos 4x− 3 cos 2x+ 2 = 0. b) cos22x+ 2(sinx+ cosx)

2 − 3 sin 2x− 3 = 0.c) 4 tan 2x− cot 2x+ 3 = 0. d) 5 tanx+ 2 cotx = 7. e) 2 tanx+ 2 cotx = 3.

§2. Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp


1. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.Dạng: a sinx+ b cosx = c (a2 + b2 6= 0).Cách giải:

• Phương trình tương đương vớia√

a2 + b2sinx+

b√a2 + b2

cosx =c√

a2 + b2.

• Đặta√

a2 + b2= cosα;

b√a2 + b2

= sinα.

• Phương trình trở thành sin (x+ α) =c√

a2 + b2.

Lưu ý: Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 ≥ c2.2. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx.

Dạng: asin2x+ b sinx cosx+ ccos2x = d.Cách giải:• Với cosx = 0, thay vào phương trình để giải.• Với cosx 6= 0, chia hai vế phương trình cho cos2 x, ta có: atan2x+ b tanx+ c = d

(1 + tan2x

).

Lưu ý: Phương trình sau có cách giải tương tự

a sin3 x+ b sin2 x cosx+ c sinx cos2 x+ d cos3 x = m sinx+ n cosx

3. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.Dạng: a (sinx± cosx) + b sinx cosx+ c = 0.Cách giải:• Đặt sinx± cosx = t, |t| ≤

√2.

• Rút sinx cosx theo t rồi thay vào phương trình để giải.Lưu ý: t = sinx± cosx =

√2 sin

(x± π

4

).

B. Bài Tập

7.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số saua) y = 2 sinx+ 3 cosx. b) y = cos 2x+ 4 sinx cosx.

c) y = 4 sin 3x+√

3 cos 3x− 1. d) y =sinx+ 2 cosx+ 1

sinx+ cosx+ 2.

7.9. Giải các phương trình saua) 2 sinx+ cosx =

√5. b) 3 sin 2x− 4 cos 2x− 5 = 0.

c) 2 sinx− cosx = 3. d) sin 3x−√

3 cos 3x = 2.e)√

2 (sin 3x+ cos 3x) = 2. f) cosx+√

3 sinx = 1.

7.10. Giải các phương trình saua) 2 sinx− 3 cosx = 2. b)

√3 sinx+ cosx = 2 sin 4x.

c) cos 2x− 2√

3 sinx cosx = 2 sinx. d)√

2 (sin 4x+ cos 4x) = 2 cos(x+ π

2

).

e)√

3 sinx+ cosx+ 2 cos(x− π

3

)= 2. f) 3 cosx+ 4 sinx+

6

3 cosx+ 4 sinx+ 1= 6.

7.11. Giải các phương trình saua) (D-07)

(sin x

2 + cos x2)2

+√

3 cosx = 2. b) 4(sin4 x

2 + cos4 x2

)+√

3 sin 2x = 2.c) cos2x−

√3 sin 2x = 1 + sin2x. d) 3 sin 3x−

√3 cos 9x = 1 + 4sin33x.

e) (D-09)√

3 cos 5x− 2 sin 3x cos 2x− sinx = 0. f) 2√

2 (sinx+ cosx) cosx = 3 + cos 2x.

7.12. Giải các phương trình saua) 2 sin 4x+ 3 cos 2x+ 16sin3x cosx− 5 = 0. b) (B-2012) 2

(cosx+

√3 sinx

)cosx = cosx−

√3 sinx+1.

c) 1 + 2 (cos 2x tanx− sin 2x) cos2x = cos 2x. d) (B-09) sinx+ cosx sin 2x+√

3 cos 3x = 2(cos 4x+ sin3x

).

e) 4sin3x cos 3x+ 4cos3x sin 3x+ 3√

3 cos 4x = 3. f) cosx+sin(2x+ π

6

)−sin

(2x− π

6

)+1 =

√3 (1 + 2 cosx).

46

www.VNMATH.com

Chuyên đề 7. Phương Trình Lượng Giác

7.13. Giải các phương trình saua) 3sin2x− 4 sinx cosx+ cos2x = 0. b) 2sin2x− 3cos2x+ 5 sinx cosx− 2 = 0.c) 3sin2x+ 2 sin 2x− 5cos2x = 1. d) sin 2x− 2sin2x− 2 cos 2x = 0.

e) sin2x− 2 sinx cosx = 3cos2x. f) 2 cosx+ 4 sinx =3

cosx.

7.14. Giải các phương trình saua) 2cos3x = sin 3x. b) 2sin3x+ 4cos3x = 3 sinx.c) sinx cos 2x = 6 cosx (1 + 2 cos 2x). d) sinx sin 2x+ sin 3x = 6cos3x.e) sin3

(x+ π

4

)=√

2 sinx. f) 4sin3x+ 3cos3x− 3 sinx− sin2x cosx = 0.

g) (B-08) sin3x−√

3cos3x = sinxcos2x−√

3sin2x cosx.h) 2 sinx+ 2√

3 cosx =

√3

cosx+

1

sinx.

7.15. Giải các phương trình saua) 1 + 3 sin 2x = 2 tanx. b) sin2x (tanx+ 1) = 3 sinx (cosx− sinx) + 3.

c)sin3x+ cos3x

2 cosx− sinx= cos 2x. d)

2(cos3x+ 2sin3x

)2 sinx+ 3 cosx

= sin 2x.

e)tanx+ cotx

cotx− tanx= 6 cos 2x+ 4 sin 2x. f) sin22x cos

(3π2 − 2x

)+ 3 sin 2xsin2

(3π2 + 2x

)+ 2cos32x = 0.

7.16. Giải các phương trình saua) 3 (sinx+ cosx) + 2 sinx cosx+ 3 = 0. b) sinx− cosx+ 7 sin 2x = 1.c) 2 sinx+ sin 2x− 2 cosx+ 2 = 0. d) 3 cos 2x+ sin 4x+ 6 sinx cosx = 3.e) sin 2x+

√2 sin

(x− π

4

)= 1. f) |sinx− cosx|+ 4 sin 2x = 1.

g) 1 + sin3x+ cos3x = 32 sin 2x. h) sin32x+ cos32x+ 1

2 sin 4x = 1.

7.17. Giải các phương trình saua) 1 + tanx = 2

√2 sinx. b) (sinx− cosx)

2+ tanx = 2sin2x.

c) cotx− tanx = sinx+ cosx. d) 3 + sin 2x = tanx+ cotx.

e) 4(sinxcos2x+ cosxsin2x

)+ sin32x = 1. f) cosx+

1

cosx+ sinx+

1

sinx=

10

3.

g) tan2x+ cot2x+ cotx− tanx− 2 = 0. h) 2tan2x− 3 tanx+ 2cot2x+ 3 cotx− 3 = 0.

§3. Phương Trình Lượng Giác Đưa Về Phương Trình Tích

7.18. Giải các phương trình saua) sinx+ sin 2x+ sin 3x = 0. b) cosx+ cos 2x+ cos 3x+ cos 4x = 0.c) sin 3x+ sinx− 2cos2x = 0. d) sin 3x+ sin 2x = 5 sinx.

7.19. Giải các phương trình saua) (B-07) 2sin22x+ sin 7x− 1 = sinx. b) sin 5x+ sin 9x+ 2sin2x− 1 = 0.c) sinx+ sin 2x+ sin 3x = 1 + cosx+ cos 2x. d) sinx+ sin 2x+ sin 3x = cosx+ cos 2x+ cos 3x.e) (CĐ-2012) 2 cos 2x+ sinx = sin 3x. f) (D-2012) sin 3x+ cos 3x− sinx+ cosx =

√2 cos 2x.

7.20. Giải các phương trình saua) cos 5x cosx = cos 4x. b) sinx sin 7x = sin 3x sin 5x.c) cosx cos 3x− sin 2x sin 6x− sin 4x sin 6x = 0. d) (D-09)

√3 cos 5x− 2 sin 3x cos 2x− sinx = 0.

e) 4 cos 5x2 cos 3x

2 + 2 (8 sinx− 1) cosx = 5. f) cosx cos x2 cos 3x2 − sinx sin x

2 sin 3x2 = 1

2 .

7.21. Giải các phương trình saua) sin2x+ sin23x = 2sin22x. b) (B-02) sin23x− cos24x = sin25x− cos26x.c) sin22x− sin28x = sin

(17π2 + 10x

). d) 1 + sin x

2 sinx− cos x2 sin2x = 2cos2(π4 −

x2

).

e) cos2x = cos 4x3 . f) 1 + 2cos2 3x

5 = 3 cos 4x5 .

7.22. Giải các phương trình saua) sin4x+ cos4x = cos 2x. b) sin4 x

2 + cos4 x2 = 1− 2 sinx.

c) 16(sin6x+ cos6x− 1

)+ 3 sin 6x = 0. d)

1

cos23x− 1

sin23x=

8

3.

7.23. Giải các phương trình saua) (CĐ-09) (1 + 2 sinx)

2cosx = 1 + sinx+ cosx. b) sinx (2− cosx) = (1− cosx)

2(1 + cosx).

c) (D-04) (2 cosx− 1) (2 sinx+ cosx) = sin 2x− sinx.d) cos 2x+ (1 + 2 cosx) (sinx− cosx) = 0.e) (B-05) 1 + sinx+ cosx+ sin 2x+ cos 2x = 0. f) (D-08) 2 sinx (1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cosx.g) cos 2x+ 5 = 2 (2− cosx) (sinx− cosx). h) 4 sin 2x− 3 cos 2x = 3 (4 sinx− 1).

47


7.24. Giải các phương trình saua) (A-2012)

√3 sin 2x+ cos 2x = 2 cosx− 1. b) 2cos3x+ cos 2x+ sinx = 0.

c) (B-2010) (sin 2x+ cos 2x) cosx+2 cos 2x−sinx = 0.d) (A-07)(1 + sin2x

)cosx+

(1 + cos2x

)sinx = 1 + sin 2x.

e) 2 cosx (1− cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 sinx. f) sin 4x− cos 4x = 1 + 4 (sinx− cosx).g) (D-06) cos 3x+ cos 2x− cosx− 1 = 0. h) (A-05) cos23x cos 2x− cos2x = 0.

7.25. Giải các phương trình saua) 4 cosx− 2 cos 2x− cos 4x = 1. b) 9 sinx+ 6 cosx− 3 sin 2x+ cos 2x = 8.c) (D-2010) sin 2x− cos 2x+ 3 sinx− cosx− 1 = 0. d) sin 2x cosx+ sinx cosx = cos 2x+ sinx+ cosx.e) 32cos6x− cos 6x = 1. f) 4cos2x− cos 3x = 6 cosx+ 2 (1 + cos 2x).

7.26. Giải các phương trình saua) 2 sinx+ cotx = 2 sin 2x+ 1. b) 3 sinx+ 2 cosx = 2 + 3 tanx.c) (1− tanx) (1 + sin 2x) = 1 + tanx. d) (B-04) 5 sinx− 2 = 3 (1− sinx) tan2x.e) 4sin2x+ 3tan2x = 1. f) 1 + 3 sin 2x = 2 tanx.

7.27. Giải các phương trình saua) 2 + cosx+ 2 tan x

2 = 0. b) tanxsin2x− 2sin2x = 3 (cos 2x+ sinx cosx).c) 1 + 3 tanx = 2 sin 2x. d) cotx = tanx+ 2 tan 2x.

7.28. Giải các phương trình saua) 2 (tanx− sinx) + 3 (cotx− cosx) + 5 = 0. b) 3 (cotx− cosx)− 5 (tanx− sinx) = 2.

c) 4 cotx− 2 =3 + cos 2x

sinx. d)

5 + cos 2x

3 + 2 tanx= 2 cosx.

e) 8cos3x− sin23x− 6 sinx+ sin2x− 2 = 0. f)√

1 +√

1− x2 = x(1 + 2

√1− x2

).

7.29. Giải các phương trình saua) |sinx|+ |cos 2x| = 2. b) |tanx|+ |cotx| = 2.c) 4 cosx+ 2 cos 2x+ cos 4x = −7. d) sin2010x+ cos2012x = 1.

7.30. Giải các phương trình saua) sin2x+ sin 2x+

√2 sinx+ 3

2 = 0. b) (cos 4x− cosx)2

= 4 + cos22x.

c) sinx+ cosx =√

2 + sin10(x− 9π

4

). d) sin 4x− cos 4x = 1 + 4

√2 sin

(x− π

4

).

§4. Phương Trình Lượng Giác Chứa Ẩn Ở Mẫu


a)sinx+ sin 2x+ sin 3x

cosx+ cos 2x+ cos 3x=√

3. b)√

3 (sin 2x− sinx)

cosx− 1= 2 cosx+ 1.

c)cosx− 2 sinx cosx

2cos2x+ sinx− 1=√

3. d)2(cos3x+ 2sin3x

)2 sinx+ 3 cosx

= sin 2x.

e)2sin2x+ cos 4x− cos 2x

(sinx− cosx) sin 2x= 0. f)

cosx(2 sinx+ 3

√2)− 2cos2x− 1

1 + sin 2x= 1.


a) tan2x =1 + cosx

1− sinx. b)

3 (sinx+ tanx)

tanx− sinx− 2 cosx = 2.

c)1

cosx+

1

sin 2x=

2

sin 4x. d)

1− cos 4x

2 sin 2x=

sin 4x

1 + cos 4x.

e) (B-03) cotx− tanx+ 4 sin 2x =2

sin 2x. f)

3sin22x+ 8sin2x− 11− 3 cos 2x

1 + cos 4x= 0.


a) (A-06)2(cos6x+ sin6x

)− sinx cosx

√2− 2 sinx

= 0. b) (D-2011)sin 2x+ 2 cosx− sinx− 1

tanx+√

3= 0.

c) (B-06) cotx+ sinx(

1 + tanx tanx

2

)= 4. d) (A-08)

1

sinx+

1

sin(x− 3π

2

) = 4 sin

(7π

4− x).

e) (D-03) sin2(x2 −

π4

)tan2x− cos2 x

2 = 0. f) (D-05) cos4x+ sin4x+ cos(x− π

4

)sin(3x− π

4

)− 3

2 = 0.


a) (A-2011)1 + sin 2x+ cos 2x

1 + cot2x=√

2 sinx sin 2x. b) (A-03) cotx− 1 =cos 2x

1 + tanx+ sin2x− 1

2sin 2x.

c) (A-09)(1− 2 sinx) cosx

(1 + 2 sinx) (1− sinx)=√

3. d) (A-2010)(1 + sinx+ cos 2x) sin

(x+ π

4

)1 + tanx

=1√2

cosx.

48

www.VNMATH.com

Chuyên đề 7. Phương Trình Lượng Giác

§5. Nghiệm Thuộc Khoảng Cho Trước

7.35. Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng cho trướca) sin 2x = 0 trên [0; 2π]. b)

√3 tanx− 3 = 0 trên (0; 3π).

c) 2 cosx+√

3 trên[0; 3π

2

). d) sin2x+ 6 sinx− 7 = 0 trên

(π2 ; 4π

].

e) cotx+ tanx = 2 trên (0; 3π). f) sinx = cos 2x trên [0; 10].

7.36. (D-02) Tìm nghiệm thuộc [0; 14] của phương trình cos 3x− 4 cos 2x+ 3 cosx− 4 = 0.

7.37. Tìm nghiệm thuộc(π2 ; 3π

)của phương trình sin

(2x+ 5π

2

)− 3 cos

(x− 7π

2

)= 1 + 2 sinx.

7.38. Tìm nghiệm thuộc[0; 3π

2

]của phương trình 3 sin 2x− 4sin32x+ 2

√3cos23x = 2 +

√3.

7.39. Tìm nghiệm thuộc[0; 3π

2

]của phương trình 3 sin 2x− 4sin32x+ 2

√3cos23x = 2 +

√3.

7.40. (A-02) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình 5

(sinx+

cos 3x+ sin 3x

1 + 2 sin 2x

)= cos 2x+ 3.

7.41. Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn [2; 40] của phương trình sinx− cos 2x = 0.

7.42. Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn [1; 70] của phương trình cos 2x− tan2x =cos2x− cos3x− 1

cos2x.

7.43. Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn [2; 40] của phương trình 2cos2x+ cot2x =sin3x+ 1

sin2x.

49


50

www.VNMATH.com

Chuyên đề 8

Nguyên Hàm - Tích Phân

§1. Nguyên Hàm


1. Khái niệm nguyên hàm.

Định nghĩa 8.1. Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu F ′(x) = f(x),với mọi x thuộc K.

Nhận xét. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng F (x) + C vớiC ∈ R, gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K, ký hiệu là

∫f(x)dx. Vậy

∫f(x)dx = F (x) + C.

2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp.

1.∫

0dx = C. 6.∫axdu =

ax

ln a+ C (a > 0, a 6= 1).

2.∫dx = x+ C. 7.

∫cosxdx = sinx+ C.

3.∫xαdx =

xα+1

α+ 1+ C (α 6= −1). 8.

∫sinxdx = − cosx+ C.

4.∫

1

xdx = ln |x|+ C. 9.

∫1

cos2xdx = tanx+ C.

5.∫exdx = ex + C. 10.

∫1

sin2xdx = − cotx+ C.

3. Tính chất của nguyên hàm.

•∫

[f(x)± g(x)]dx =

∫f(x)dx±

∫g(x)dx. •

∫kf(x)dx = k

∫f(x)dx (k 6= 0).

B. Bài Tập

8.1. Tìm các họ nguyên hàm sau

a)∫ (

x7 + 4x3 −√x)dx. b)

∫ (3√x+ 1− 1√

x

)dx. c)

∫ (3x2 + 1

)(2x− 3) dx.

d)∫ √

x(√x− 2x

)(x+ 1) dx. e)

∫ (3 sinx+

2

x

)dx. f)

∫ (3 cosx− 3x−1

)dx.


a)∫x+√x+ 1

3√x

dx b)∫x3 + 5x2 − 3x+

√x

x√x

dx. c)∫

4x + 1

2xdx.

d)∫

2x − 1

exdx. e)

∫tan2 xdx. f)

∫1

sin2xcos2xdx.

8.3. Tìm một nguyên hàm F (x) của các hàm số sau

a) f(x) = 2− x2, biết F (2) =7

3. b) f(x) = x− 1

x2+ 2, biết F (1) = 2.

c) f(x) = (x+ 1)(x− 1) + 1, biết F (0) = 1. d) f(x) = 3√x+ x3 + 1, biết F (1) = 2.

e) f(x) = ax+b

x2, biết F (−1) = 2, F (1) = 4 và F (2) = 5.

8.4. Gọi F (x) là một nguyên hàm của f(x) =1

xthỏa F (1) = −1. Tìm x để 2F (x) =

1

F (x) + 1− 1.

51


§2. Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm


1. Phương pháp đổi biến số.

Định lý 8.2. Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f [u(x)] xácđịnh trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f thì

∫f [u(x)]u′(x)dx = F [u(x)] + C.

Nhận xét.∫f (Ax+B) dx = 1

AF (Ax+B) + C

2. Phương pháp nguyên hàm từng phần.

Định lý 8.3. Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì∫u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)−

∫v(x)u′(x)dx.

B. Bài Tập


a) I =

∫(3x+ 3)

9dx. b) I =

∫7

2− 9xdx. c) I =

∫ (e3x+1 + cos 5x

)dx.

d) I =

∫4x− 1

2x+ 1dx. e) I =

∫sin2xdx. f) I =

∫sin 5x sinxdx.


a) I =

∫x(x2 + 1)

2012dx. b) I =

∫tanxdx. c) I =

∫ex

ex + 1dx.

d) I =

∫ √1 + lnx

xdx. e) I =

∫cos5xdx. f) I =

∫x√

x2 + 1dx.


a) I =

∫x (x− 1)

2012dx. b) I =

∫x3

x2 + 1dx. c) I =

∫x5√x3 + 1dx.

d) I =

∫e2x

√ex + 1

dx. e) I =

∫2 lnx− 1

x lnxdx. f) I =

∫sin3x

√1 + cosxdx.


a) I =

∫(x− 1) exdx. b) I =

∫x cosxdx. c) I =

∫x2 lnxdx.

d) I =

∫ln (2x+ 1) dx. e) I =

∫x2e2x−1dx. f) I =

∫ex sinxdx.

§3. Tích Phân


1. Khái niệm tích phân.

Định nghĩa 8.4. Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f

trên K thì hiệu số F (b)− F (a) được gọi là tích phân của f từ a đến b và ký hiệu làb∫a

f(x)dx.

Nhận xét.

a) Hiệu số F (b)− F (a) còn được ký hiệu là F (x)|ba. Khi đób∫a

f(x)dx = F (x)|ba = F (b)− F (a).

b) Tích phân không phụ thuộc biến số, tức làb∫a

f(x)dx =b∫a

f(t)dt =b∫a

f(u)du = ... = F (b)− F (a).

2. Tính chất của tích phân.

Định lý 8.5. Giả sử các hàm số f , g liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có

1)a∫a

f(x)dx = 0. 2)b∫a

f(x)dx = −a∫b

f(x)dx.

3)b∫a

f(x)dx+c∫b

f(x)dx =c∫a

f(x)dx.

4)b∫a

[f(x)± g(x)]dx =b∫a

f(x)dx±b∫a

g(x)dx. 5)b∫a

kf(x)dx = kb∫a

f(x)dx (k ∈ R).

52

www.VNMATH.com

Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân

3. Tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Bài toán 8.1. Tính tích phân I =b∫a

|f(x)| dx.

Phương pháp.• Cho f(x) = 0⇒ x = xi (chỉ lấy những xi thuộc khoảng (a; b)).

• Khi đó I =xi∫a

|f(x)| dx+b∫xi

|f(x)| dx.

• Xét dấu f(x) trên các khoảng (a;xi) và (xi; b) để phá giá trị tuyệt đối.

Lưu ý. Để xét dấu f(x) trên (a;xi) ta lấy x0 ∈ (a;xi) thay vào f(x) để xác định dấu.

B. Bài Tập

8.9. Tính các tích phân sau

a) I =

1∫0

5x4dx. b) I =

e∫1

dx

x. c) I =

π6∫

0

cos 3xdx.

d) I =

ln 2∫0

e−xdx. e) I =

1∫12

(2x− 1)2012

dx. f) I =

1∫−1

√5− 4xdx.


a) I =

1∫0

e2−5xdx. b) I =

π6∫

0

sin(

2x+π

6

)dx. c) I =

π6∫

0

1

cos22xdx.

d) I =

1∫0

(−2x+ 1)7dx. e) I =

2∫1

3√

3x+ 2dx. f) I =

0∫−1

4

(3− 5x)3 dx.


a) I =

2∫1

(6x2 − 4x+ 1

)dx. b) I =

ln 2∫0

(ex + 2x) dx. c) (CĐ-2010) I =

1∫0

2x− 1

x+ 1dx.

d) I =

π8∫

0

cos22xdx. e) I =

π4∫

0

2cos2x+ 1

1− sin2xdx. f) I =

3∫2

1√x+ 1−

√x− 1

dx.


a) I =

4∫1

(2x+

√x)dx. b) I =

4∫2

(x+

1

x

)2

dx. c) I =

π2∫

0

(1 + sin

x

2

)cos

x

2dx.

d) I =

π2∫

0

cos 3x cosxdx. e) I =

1∫0

x2 − 3x+ 3

x− 2dx. f) I =

1∫0

x(x− 1)2009

dx.


a) I =

2∫−2

|x− 1| dx. b) I =

4∫0

|3− x| dx. c) (D-03) I =

2∫0

∣∣x2 − x∣∣ dx.

d) I =

2∫0

∣∣x2 − 3x+ 2∣∣ dx. e) I =

2∫−2

|2x− |x+ 1|| dx. f) I =

3∫−2

(|x+ 1|+ |x− 2|) dx.

g) I =

3∫0

∣∣∣√x2 − 4x+ 4− 1∣∣∣ dx. h) I =

2π∫0

√1− cos 2xdx. i) (BĐT-103) I =

2π∫0

√1 + sinxdx.

53


§4. Một Số Phương Pháp Tính Tích Phân


1. Phương pháp hệ số bất định.


f(x)g(x)dx, trong đó bậc f(x) < bậc g(x).

Phương pháp. Phân tích tích phân cần tính thành tổng hoặc hiệu của các tích phân có mẫu là các nhị thức bậcnhất hoặc tam thức bậc hai có biệt thức ∆ < 0 hoặc các lũy thừa của chúng.

Lưu ý.a) Nếu bậc f(x) ≥ bậc g(x) thì chia f(x) cho g(x).b) Trong thực hành ta thường gặp các trường hợp sau

• ax+ b

(x− x1) (x− x2)=

A

x− x1+

B

x− x2. • ax+ b

(x− x0)2 =

A

x− x0+

B

(x− x0)2 .

• ax2 + bx+ c

(a1x+ b1)(a2x2 + b2x+ c2)=

A

a1x+ b1+

B

a2x2 + b2x+ c2+

C (2a2x+ b2)

a2x2 + b2x+ c2(tam thức vô nghiệm).

Sau khi phân tích như trên ta dùng phương pháp đồng nhất hệ số hoặc phương pháp trị số riêng để tìm A,B,C, ...

2. Phương pháp đổi biến dạng 1.


f(x)dx.

Phương pháp.• Đặt x = ϕ(t)⇒ dx = ϕ′(t)dt.• Đổi cận: x = a⇒ t = α; x = b⇒ t = β (trong đó ϕ(α) = a, ϕ(β) = b).

• Khi đó I =β∫α

f (ϕ(t))ϕ′(t)dt.

Lưu ý.• a2 + x2 : x = |a| tan t, t ∈

(−π

2;π

2

). •

√a2 − x2 : x = |a| sin t t ∈

[−π

2;π

2

].

•√x2 − a2 : x =

|a|sin t

t ∈[−π

2;π

2

]\ 0.

3. Phương pháp đổi biến dạng 2.


f [u(x)]u′(x)dx.

Phương pháp.• Đặt u = u(x)⇒ du = u′(x)dx.• Đổi cận: x = a⇒ u = u(a); x = b⇒ u = u(b).

• Khi đó I =b∫a

f (u) du.

Lưu ý. u(x) thường nằm trong dấu lũy thừa, lượng giác, trên số mũ, dưới mẫu hay cả dấu căn, dấu lôgarit.

4. Phương pháp tích phân từng phần.


u(x).v′(x)dx.

Phương pháp.

• Đặtu = u(x)dv = v′(x)dx

⇒du = u′(x)dxv =

∫v′(x)dx (chọn C = 0)

.

• Khi đó I = uv|ba −b∫a

vdu.

Lưu ý. Trong tích phân từng phần ta thường gặp các trường hợp sau• I =

∫P (x); ex dx u = P (x)

• I =∫

P (x); sinx, cosx, 1cos2x ,

1sin2x

dx u = P (x)

• I =∫P (x); lnx dx u = lnx

• I =∫ex; sinx, cosx dx u = ex

(hoặc u = sinx, cosx

)54

www.VNMATH.com


B. Bài Tập


a) I =

5∫3

1

(x− 2) (x+ 1)dx. b) I =

1∫0

5x− 13

x2 − 5x+ 6dx. c) I =

1∫0

x4

x2 − 1dx.

d) (DB-07) I =

1∫0

x (x− 1)

x2 − 4dx. e) I =

1∫0

3x− 1

x2 + 6x+ 9dx. f) (B-2012) I =

1∫0

x3

x4 + 3x2 + 2dx.


a) I =

0∫−1

3x2 + 3x+ 3

x3 − 3x+ 2dx. b) I =

2∫1

x2 − 3x+ 2

x (x2 + 2x+ 1)dx. c) I =

1∫0

4x− 2

(x+ 2)(x2 + 1)dx.

d) I =

√3∫

1

1

x+ x3dx. e) I =

2∫1

1− x4

x+ x5dx. f) I =

1∫0

1

(x2 − 3x+ 2)2 dx.


a) I =

1∫0

1

1 + x2dx. b) I =

1∫0

1

3 + x2dx. c) I =

1∫0

x3

x8 + 1dx.

d) I =

1∫0

√1− x2dx. e) I =

√2

2∫0

x2

√1− x2

dx. f) I =

2∫2√3

1

x√x2 − 1

dx.


a) I =

1∫0

1

x2 + x+ 1dx. b) I =

1∫0

√2x− x2dx. c) I =

√2∫

0

√2 + x

2− xdx.

d) I =

1∫0

x2 + x+ 2

x3 + x2 + x+ 1dx. e) I =

2∫1

1

x2√

1 + x2dx. f) I =

π∫−π

sin2x

3x + 1dx.


a) I =

1∫0

x3(1 + x4

)3dx. b) I =

1∫0

x+ 2

x2 + 4x+ 7dx. c) (DB-02) I =

1∫0

x3

x2 + 1dx.

d) (BĐT-18) I =

1∫0

x

(x+ 1)3 dx. e) I =

1∫0

x5(x2 + 1

)2011dx. f) I =

2∫1

(2x− 1)10

(x+ 1)12 dx.


a) (DB-03) I =

1∫0

x3√

1− x2dx. b) (D-2011) I =

4∫0

4x− 1√2x+ 1 + 2

dx. c) I =

6∫2

1

2x+ 1 +√

4x+ 1dx.

d) (A-03) I =

2√

3∫√

5

1

x√x2 + 4

dx. e) I =

64∫1

1√x+ 3√xdx. f) I =

1∫0

1√(x+ 1) (x+ 8)

dx.


a) (D-09) I =

3∫1

1

ex − 1dx. b) I =

ln 2∫0

1

1 + e−xdx. c) (A-2010) I =

1∫0

x2 + ex + 2x2ex

1 + 2exdx.

d) (DB-03) I =

ln 5∫ln 2

e2x

√ex − 1

dx. e) I =

ln 5∫ln 2

ex

(10− ex)√ex − 1

dx. f) (B-2010) I =

e∫1

lnx

x(2 + lnx)2 dx.

g) I =

e∫1

1 + ln3x

xdx. h) I =

√e∫

1

1

x(ln2x− 3 lnx+ 2

)dx. i) (B-04) I =

e∫1

√1 + 3 lnx. lnx

xdx.

55



a) (D-06) I =

1∫0

(x− 2) e2xdx. b) (CĐ-09) I =

1∫0

(e−2x + x

)exdx. d) (D-2012) I =

π4∫

0

x (1 + sin 2x) dx.

d) (D-08) I =

2∫1

lnx

x3dx. e) (D-04) I =

3∫2

ln(x2 − x

)dx. f) (A-2012) I =

3∫1

1 + ln(x+ 1)

x2dx.


a) I =

π4∫

0

x

1 + cos 2xdx. d) (D-2010) I =

e∫1

(2x− 3

x

)lnxdx. c) I =

0∫−1

x(e2x + 3

√x+ 1

)dx.

d) (B-09) I =

3∫1

3 + lnx

(1 + x)2 dx. e) I =

ln 3∫0

xex√ex + 1

dx. f) (B-2011) I =

π3∫

0

1 + x sinx

cos2xdx.


a) I =

ln 2∫0

x2exdx. b) (DB-07) I =

π2∫

0

x2 cosxdx. c) (D-07) I =

e∫1

x3ln2xdx.

d) I =

π2∫

0

ex cosxdx. e) (BĐT-37) I =

π∫0

e2xsin2xdx. f) I =

eπ∫1

cos (lnx) dx.

g) (DB-03) I =

1∫0

x3ex2

dx. h) (DB-04) I =

π2∫0

√x sin

√xdx. i) I =

e5∫e2

lnx. ln (lnx)

xdx.

§5. Tích Phân Của Hàm Số Lượng Giác


1. Dạngb∫a

sinmxcosnxdx.

• Nếu m lẻ thì đặt u = cosx. • Nếu n lẻ thì đặt u = sinx.• Nếu m,n dương chẵn thì hạ bậc.• Nếu m = 0 và n âm chẵn thì đặt u = tanx. • Nếu n = 0 và m âm chẵn thì đặt u = cotx.

2. Dạngb∫a

f(sinx); cosx dx hoặcb∫a

f(cosx); sinx dx. Đặt u = sinx hoặc u = cosx.

3. Dạngb∫a

f(tanx); 1

cos2x

dx hoặc

b∫a

f(cotx); 1

sin2x

dx. Đặt u = tanx hoặc u = cotx.

B. Bài Tập


a) I =

π4∫

0

sin2xdx. b) I =

π4∫

0

tanxdx. c) I =

π2∫

0

cos5xdx.

d) I =

π4∫

0

1

cos4xdx. e) I =

π2∫

π3

1

sinxdx. f) I =

π4∫

0

1

cos3xdx.

g) I =

π3∫

0

sin2x tanxdx. h) I =

π4∫

0

sin2x

cos4xdx. i) I =

π3∫

π6

1

cosxsin2xdx.


a) (B-03) I =

π4∫

0

1− 2sin2x

1 + sin 2xdx. b) (B-05) I =

π2∫

0

sin 2x cosx

1 + cosxdx. c) (D-05) I =

π2∫

0

(esin x + cosx

)cosxdx.

56

www.VNMATH.com


d) (A-06) I =

π2∫

0

sin 2x√cos2x+ 4sin2x

dx.e) I =

π2∫

0

cosx√7 + cos 2x

dx. f) (A-11) I =

π4∫

0

x sinx+ (x+ 1) cosx

x sinx+ cosxdx.


a) I =

π4∫

0

1

cos2x(

1cos2x + 2 tanx

)dx. b) (A-08) I =

π6∫

0

tan4x

cos 2xdx. c) I =

π2∫

0

1

3sin2x+ cos2xdx.

d) I =

π2∫

0

1

1 + sinxdx. e) I =

π2∫

0

1

1 + sinx+ cosxdx. f) (BĐT-57) I =

π6∫

0

1

cosx cos(x+ π

4

)dx.

§6. Ứng Dụng Của Tích Phân


1. Tính diện tích hình phẳng.

• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b là S =b∫a

|f(x)| dx.

• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), y = g(x) và 2 đường thẳng x = a, x = b là S =b∫a

|f(x)− g(x)| dx.

• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị x = f(y), x = g(y) và 2 đường thẳng y = a, y = b là S =b∫a

|f(y)− g(y)| dy.

2. Tính thể tích khối tròn xoay.• Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai

đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là Vx = πb∫a

f2(x)dx.

• Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) (trong đó

f(x) và g(x) cùng dấu) và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là Vx = πb∫a

∣∣f2(x)− g2(x)∣∣ dx.

• Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y), trục hoành và hai

đường thẳng y = a, y = b quanh trục Oy là Vy = πb∫a

g2(y)dy.

B. Bài Tập

8.27. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

a) y = x2 − 2x; Ox; x = −1 và x = 2. b) y =−3x− 1

x− 1và hai trục tọa độ.

c) y = −x3 − 3x2 và trục hoành. d) y = x2 − 2x và y = −x2 + 4x.a) (A-07) y = (e+ 1)x, y = (1 + ex)x. b) (B-02) y =

√4− x2

4 và y = x2

4√

2.

8.28. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường saua) (A-02) y =

∣∣x2 − 4x+ 3∣∣ và y = x+ 3. b) (BĐT-96) y2 = 2x và 27y2 = 8(x− 1)3.

c) y = x3; x+ y = 2 và trục hoành. d) y = 27x ; y = x2

27 và y = x2.

8.29. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau khi quay quanh Oxa) y = 1

3x3 − x2, y = 0, x = 0 và x = 3. b) (BĐT-42) y = xex, x = 1 và trục hoành.

c) (B-07) y = x lnx; y = 0 và x = e. d) y = 4− x2 và y = x2 + 2.

8.30. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau khi quay quanh Oya) (BĐT-63) y = 2x− x2 và y = 0. b) y = x2, y = 27

x và y = x2

27 .c) y2 = (x− 1)

3 và x = 2. d) 4y = x2 và y = x.

57


58

www.VNMATH.com

Chuyên đề 9

Số Phức

§1. Dạng Đại Số Của Số Phức


1. Khái niệm số phức.• Định nghĩa: z = a+ bi

(a, b ∈ R, i2 = −1

).

a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo.b = 0⇒ z = a gọi là số thực, a = 0⇒ z = bi gọi là số thuần ảo.

• Biểu diễn hình học: Số phức z = a+ bi được biểu diễn bởi điểm M (a; b) trên mặt phẳng Oxy.

• Hai số phức bằng nhau: z1 = z2 ⇔a1 = a2

b1 = b2.

• Số phức liên hợp: z = a− bi.2. Phép toán số phức.• Cộng, trừ, nhân hai số phức: Xem như nhân hai đa thức.

• Chia hai số phức:z1

z2=z1z2

z2z2.

3. Mô đun của số phức.• Định nghĩa: |z| =

√a2 + b2.

• Tính chất: |z1.z2| = |z1| . |z2|,∣∣∣ z1z2 ∣∣∣ = |z1|

|z2| , |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|.

Kỹ Năng Cơ Bản

1. Tìm số phức.• Nếu trong biểu thức chỉ chứa z thì biến đổi để rút z.• Nếu trong biểu thức chứa z, z, |z| thì gọi z = a+ bi, (a, b ∈ R) thay vào biểu thức để tìm a, b.

2. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức.• Gọi z = x+ yi, (x, y ∈ R), thay vào biểu thức để tìm mối liên hệ giữa x, y.

Lưu ý. Một số tập hợp điểm thường gặp:• x = x0: Đường thẳng song song trục Oy. • y = y0: Đường thẳng song song trục Ox.• ax+ by + c = 0: Đường thẳng. • y = ax2 + bx+ c: Parabol.• y = a

x : Hypebol. •√

(x− a)2

+ y2 +

√(x+ a)

2+ y2 = b: Elip.

• (x− a)2

+ (y − b)2= R2: Đường tròn. • x2 + y2 − 2ax− 2by + c = 0: Đường tròn.

C. Bài Tập

9.1. Thực hiện các phép tính sau

a)(2− 3i) (1 + i)

4 + i. b) 4− 3i+

5 + 4i

3 + 6i. c)

2− i1 + 4i

+3 + 2i

1− 2i.

d)(1 + i)

2(2i)

3

−2 + i. e)

2i(2 + 3i)2

3 + 4i. f)

1

(1 + i) (4− 3i).

9.2. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức saua) z = (1 + i)

2 − (1− i)2. b) z = i2011. c) z = (1 + i)2012.

d) z =

(1 + i

1− i

)33

. e) z =

(2

1− i

)99

. f) z =1

2i

(i7 − 1

i7

).

59


9.3. Cho số phức z = x+ iy. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau

a) u = z2 − 2z + 4i. b) v = z2 + |z| − 2i. c) w =z + i

iz − 1.

9.4. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức z thỏa mãn các điều kiện saua) (CĐ-09) (1 + i)

2(2− i) z = 8 + i+ (1 + 2i) z. b) (CĐ-2010) (2− 3i) z + (4 + i) z = −(1 + 3i)

2.

c) (A-2010) z =(√

2 + i)2 (

1− i√

2). d) (B-2011) z =

(1 + i

√3

1 + i

)3

.

9.5. Tìm số phức z thỏa mãn các điều kiện sau

a) (D-2011) z − (2 + 3i) z = 1− 9i. b) (B-2011) z − 5 + i√

3

z− 1 = 0.

c) (A-2011) z2 = |z|2 + z. d) (D-2010) |z| =√

2 và z2 là số thuần ảo.

e)(z + i

z − i

)4

= 1. f) (B-09) |z − (2 + i)| =√

10 và z.z = 25.

9.6. Tìm môđun của số phức z thỏa mãn các điều kiện saua) (CĐ-2011) (1 + 2i)

2z + z = 4i− 20. b) (A-2011) (2z − 1) (1 + i) + (z + 1) (1− i) = 2− 2i.


a)2 + i

1− iz =−1 + 3i

2 + i. b) ((2 + i) z + 3 + i)

(iz +

1

2i

)= 0.

c) z + 2z = 2− 4i. d) z2 + z = 0.e) z2 + |z| = 0. f) z + 2z = (1 + 5i)

2.

9.8. (A-2010) Cho số phức z thoả z =

(1 + i

√3)3

1− i. Tìm môđun của số phức z + iz.

9.9. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + (1− i) z = 1− 2i. Tìm môđun của số phứcz

1 + z.

9.10. (D-2012) Cho số phức z thỏa mãn (2 + i) z +2 (1 + 2i)

1 + i= 7 + 8i. Tìm môđun của số phức w = z + 1 + i.

9.11. (A-2012) Cho số phức z thỏa mãn5 (z + i)

z + 1= 2− i. Tính môđun của số phức w = 1 + z + z2.

9.12. Tìm số phức z thoả mãn đồng thời∣∣∣∣z − 1

z − i

∣∣∣∣ = 1,

∣∣∣∣z − 2i

z + i

∣∣∣∣ = 1.

9.13. Tìm số phức z thỏa mãn |z| = |z − 2− 2i| và z − 2i

z − 2là số thuần ảo.

9.14. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện |iz − 3| = |z − 2− i|.

9.15. Cho số phức z =i−m

1−m (m− 2i)a) Tìm m để z.z = 1

2 . b) Tìm m để |z − i| ≤ 14 . c) Tìm m để z có môđun lớn nhất.

9.16. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiệna) |z + z + 3| = 4. b) |z − z + 1− i| = 2. c) 2 |z − i| = |z − z + 2i|.d)∣∣∣z2 − (z)

2∣∣∣ = 4. e) (D-09) |z − (3− 4i)| = 2. f) |z − i| = |(1 + i) z|.

9.17. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiệna) |z − 1 + i| = 2. b) |2 + z| = |i− z|. c) |2 + z| > |z − 2|.d) 1 ≤ |z + 1− i| ≤ 2. e) |z − 4i|+ |z + 4i| = 10. f)

∣∣∣ zz−i

∣∣∣ = 3.

9.18. (CĐ-2012) Cho số phức z thỏa mãn (1− 2i) z− 2− i1 + i

= (3− i) z. Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z trong mặt

phẳng tọa độ Oxy.

9.19. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (1 + i) z − 2, biết |z − 3| = 2.

9.20. Cho các điểm A,B,C và A′, B′, C ′ trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số phức 1− i, 2 + 3i, 3 + ivà 3i, 3− 2i, 3 + 2i. Chứng minh rằng ABC và A′B′C ′ là hai tam giác có cùng trọng tâm.

9.21. Gọi M,M ′ theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z khác 0 và z′ = 1+i2 z. Chứng minh

tam giác OMM ′ vuông cân.

9.22. Cho A,B là hai điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số phức z0, z1 khác 0 thoả mãn đẳngthức z2

0 + z21 = z0z1. Chứng minh tam giác OAB đều.

60

www.VNMATH.com

Chuyên đề 9. Số Phức

§2. Phương Trình Bậc Hai Nghiệm Phức


1. Căn bậc hai của số phức.• Định nghĩa: Số phức w gọi là căn bậc hai của số phức z nếu w2 = z.Chú ý: Số thực a > 0 có hai căn bậc hai là w = ±

√a.

Số thực a < 0 có hai căn bậc hai là w = ±i√|a|.

Mỗi số phức z 6= 0 luôn có hai căn bậc hai.

• Cách tìm căn bậc hai: Gọi w = x+ yi, (x, y ∈ R) ta có z = w2 = x2 − y2 + 2xyi⇔x2 − y2 = a2xy = b

.

2. Phương trình bậc hai nghiệm phức.• Tính ∆ = b2 − 4ac (hoặc ∆′ = (b′)

2 − ac).

• Trường hợp ∆ là số thực: Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm z =−b±

√∆

2a.

Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép z = − b

2a.

Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm z =−b± i

√|∆|

2a.

• Trường hợp ∆ là số phức: Ta tìm căn bậc hai w của ∆. Khi đó phương trình có hai nghiệm z =−b± w

2a.

B. Bài Tập

9.23. Tìm các căn bậc hai của các số phức saua) z = 13− 12i. b) z = −24 + 10i.c) z = 1 + 4i

√3. d) z = 17 + 20i

√2.

e) z = 4 + 6i√

5. f) z = −1− 2i√

6.

9.24. Giải các phương trình sau trên tập hợp các số phứca) z2 − 2z + 2 = 0. b) −z2 + 3z − 9 = 0.c) 2z2 − 5z + 4 = 0. d) −3z2 + 2z − 1 = 0.e) z4 + z2 − 6 = 0. f) z4 + 7z + 12 = 0.

9.25. Ký hiệu z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2z2 − 2z + 1 = 0. Tính giá trị biểu phức A =1

z21

+1

z22

.

9.26. (A-09) Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 10 = 0. Tính A = |z1|2 + |z2|2.

9.27. (CĐ-2012) Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − 2z + 1 + i = 0. Tính |z1|+ |z2|.

9.28. Cho z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − (i+ 2) z + i = 0. Tính∣∣∣∣z1

z2+z2

z1

∣∣∣∣.9.29. Giải các phương trình sau trên tập hợp các số phức

a) iz2 − 2 (1− i) z − 4 = 0. b) z2 − (5− i) z + 8− i = 0.

c) (D-2012) z2 + 2 (1 + i) z + 5i = 0. d)(iz + 3

z − 2i

)2

− 3

(iz + 3

z − 2i

)− 4 = 0.

e) 3z3 − 24 = 0. f) 8z4 + 8z3 = z + 1.

9.30. Giải các phương trình sau trên tập hợp các số phứca) z2 − 2 (2 + i) z + 7 + 4i = 0. b) (z − 1)

2(z + 1)

2+ 9z2 = 0.

c) (z − i)(z2 + 1

) (z3 + i

)= 0. d) 3

(z2 − z + 1

)2+ 7

(z2 − z

)+ 1 = 0.

e)(z2 + z

)2+ 4

(z2 + z

)− 12 = 0. f)

(z2 + 3z + 6

)2+ 2z

(z2 + 3z + 6

)− 3z2 = 0.

9.31. Giải các phương trình sau trên tập hợp các số phứca) z3 − 2 (1 + i) z2 + 3iz + 1− i = 0. b) z4 − 4z3 + 7z2 − 16z + 12 = 0.c) z4 − z3 + z2

2 + z + 1 = 0. d) z4 + 6z3 + 9z2 + 101 = i3000.

61


§3. Dạng Lượng Giác Của Số Phức


1. Định nghĩa. z = r (cosϕ+ i sinϕ) (r > 0).

Trong đó: r = |z| =√a2 + b2, cosϕ =

a

r, sinϕ =

b

r(ϕ gọi là một acgumen).

2. Hai số phức bằng nhau. z1 = z2 ⇔r1 = r2

ϕ1 = ϕ2 + k2πhoặc z1 = z2 ⇔

r1 = −r2

ϕ1 = ϕ2 + π + k2π.

3. Nhân chia hai số phức. z1z2 = r1r2 (cos (ϕ1 + ϕ2) + i sin (ϕ1 + ϕ2)).z1

z2=r1

r2(cos (ϕ1 − ϕ2) + i sin (ϕ1 − ϕ2)).

Chú ý: z2 = r2 (cos 2ϕ+ i sin 2ϕ).z = r (cos (−ϕ) + i sin (−ϕ)).1

z=

1

r(cos (−ϕ) + i sin (−ϕ)).

4. Căn bậc hai dạng lượng giác. w = ±√r(cos ϕ2 + i sin ϕ

2

).

5. Công thức Moa-vrơ. zn = rn (cosnϕ+ i sinnϕ) (n ≥ 1).Hệ quả: (cosϕ+ i sinϕ)

n= cosnϕ+ i sinnϕ.

B. Bài Tập

9.32. Tìm acgumen của số phức z = 2 +√

3 + i.

9.33. Viết dưới dạng lượng giác và tìm căn bậc hai của số phức z = −2 + 2i√

3.

9.34. (B-2012) Gọi z1 vàz2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − 2√

3iz − 4 = 0 = 0. Viết dạng lượng giác củaz1 và z2.

9.35. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác

a) z = 1 + i. b) z =1− i

√3

1 + i. c) z =

(1− i

√3)

(1 + i).

d) z = (1− i)4(√3 + i

)6. e) z =

(1 + i)10(√

3 + i)9 . f) w = z2000 +

1

z2000, biết z +

1

z= 1.

9.36. Tính

a) z =

(i

1 + i

)2004

. b) z =

(1 + i√

2

)365

. c) z =

(5 + 3i

√3

1− 2i√

3

)21

.

9.37. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giáca) z = cos π4 − i sin π

4 . b) z = − sin π8 − i cos π8 . c) z = cosϕ− i sinϕ.

d) z = sinϕ+ 2isin2 ϕ2 . e) z = cosϕ+ i (1 + sinϕ). f) z =

(cos π3 − i sin π

3

)i5(1 + i

√3)7.

9.38. Tìm số phức z sao cho |z| = |z − 2| và một acgumen của z − 2 bằng một acgumen của z + 2 cộng với π2 .

9.39. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãnz − 2

z + 2có một acgumen bằng π

3 .

9.40. Cho số phức z có môđun bằng 1. Biết một acgumen của z là ϕ, tìm một acgumen của mỗi số phức sau

a) w = 2z2. b) w = − 1

2z. c) w = −z2z.

d) w = z + z. e) w = z2 + z. f) w = z2 + z.

9.41. Tính tổng Sn = (1 + i)n

+ (1− i)n. Từ đó suy ra S2012.

62

www.VNMATH.com

Chuyên đề 10

Hình Học Không Gian

§1. Quan Hệ Song Song


1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng. Đường thẳng qua hai điểm chung là giao tuyến.

2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.TH1: Nếu trong (α) chứa b cắt a tại I thì giao điểm của a với (α) là I.TH2: Nếu chưa có b thì tìm (β) chứa a và cắt (α) theo b. Giao điểm của a và (α) là giao của a và b.

3. Chứng minh hai đường thẳng song song.C1: Chỉ ra hai đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng và sử dụng các tính chất của hình học phẳng.C2: Sử dụng ĐL về giao tuyến của ba mặt phẳng.

4. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.Chỉ ra đường thẳng song song với một đường thẳng chứa trong mặt phẳng.

5. Chứng minh hai mặt phẳng song song.Chỉ ra mặt phẳng này song song với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong mặt phẳng kia.

B. Bài Tập

10.1. Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song và M là điểm thuộc miền trong của tam giác SCD.Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng

a) (SAC) và (SBD). b) (SAB) và (SCD). c) (SBM) và (SCD).d) (ABM) và (SCD). e) (ABM) và (SAC).

10.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC.a) Tìm giao điểm I của AM với (SBD). Chứng minh IA = 2IM .b) Tìm giao điểm F của SD và (ABM). Chứng minh F là trung điểm của SD.c) Gọi N là điểm tùy ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của MN với (SBD).

10.3. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Kéo dài BC một đoạn CE = a. Kéo dài BD một đoạn DF = a. GọiM là trung điểm của AB. Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MEF ). Tính diện tích thiết diện.

10.4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SB; G là trọng tâm tam giác SAD.a) Tìm giao điểm I của GM và mặt phẳng (ABCD). Chứng minh (CGM) chứa CD.b) Chứng minh (CGM) qua trung điểm của SA. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (CGM).c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (AGM).

10.5. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là là hình thang đáy lớn AB. Gọi M,N là trung điểm SA, SB.a) Chứng minh MN song song với CD.b) Gọi P là giao điểm của SC và (ADN). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh SI,AB,CD đôi một

song song. Tứ giác SABI là hình gì.

10.6. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AC,BC; K là điểm trên cạnh BD sao choKB = 2KD.

a) Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân.b) Tính diện tích thiết diện theo a.

10.7. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác ABD và M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC.Chứng minh MG song song với (ACD).

63


10.8. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB,CD.a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).b) Gọi P là trung điểm SA. Chứng minh SB, SC đều song song với mặt phẳng (MNP ).c) Gọi G1, G2 là trọng tâm các tam giác ABC và SBC. Chứng minh G1G2 song song với (SAB).

10.9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung điểm SA,CD.a) Chứng minh hai mặt phẳng OMN và (SBC) song song với nhau.b) Gọi I là trung điểm SC; J nằm trên (ABCD) và cách đều AB,CD. Chứng minh đường thẳng IJ song song

với (SAB).

§2. Quan Hệ Vuông Góc


1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.Chỉ ra đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.C1: Chỉ ra một mặt phẳng chứa đường này và vuông với đường kia.C2: Chỉ ra hình chiếu của đường này trên mặt phẳng chứa đường kia vuông góc với đường kia.

3. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.Chỉ ra một đường thẳng chứa trong mặt này và vuông với mặt kia.

4. Tìm góc giữa hai đường thẳng.Tìm b′ song song b và cắt a. Góc giữa a và b bằng góc giữa a và b′.

5. Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.Xác định hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng. Góc giữa đường thẳng và hình chiếu là góc cần tìm.

6. Tìm góc giữa hai mặt phẳng.Tìm a, b nằm trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến và cắt giao tuyến tại một điểm.

7. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.C1: Tìm đoạn vuông góc chung.C2: Xác định (α) chứa b và song song với a. Khoảng cách giữa a và b là khoảng cách từ M ∈ a đến (α).

B. Bài Tập

10.10. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA vuông góc với (ABCD), SA = 2a.a) Chứng minh các mặt của hình chóp là các tam giác vuông.b) Gọi H là hình chiếu của A lên SB. Chứng minh AH⊥SC và (SAC)⊥(SBD).c) Gọi K là hình chiếu của O lên SC. Chứng minh OK⊥BD. Từ đó tính khoảng cách giữa BD và SC.

10.11. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA = a√

2 và AB = a,O là tâm đáy.a) Chứng minh SA vuông góc với BC. b) Tính góc giữa SA và (ABC).c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC). d) Tính khoảng cách giữa BC và SA.

10.12. Cho hình chóp tam giác S.ABC có ABC là tam giác vuông tại B; SA = AB = BC = a và SA vuông gócvới (ABC). Gọi I là trung điểm AB; H,K lần lượt là hình chiếu của A, I lên SB.

a) Chứng minh BC vuông góc với (SAB) và AH vuông góc với SC. Tính góc giữa AC và (SBC).b) Chứng minh tam giác IKC vuông. Từ đó tính diện tích tam giác IKC theo a.

10.13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, BAD = 600, SO = a và SO vuông góc với(ABCD). Tính khoảng cách từ O đến (SBC) và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.

10.14. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a và có góc BAD = 600. Gọi O là giao của AC vàBD. Đường thẳng SO vuông góc với (ABCD) và SO = 3a

4 . Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE.Chứng minh (SOF )⊥ (SBC) . Tính khoảng cách từ O và A đến (SBC).

10.15. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a, SD = x. Chứng minh ACvuông góc với (SBD) và tam giác SBD vuông. Tìm x để SD hợp với (ABCD) một góc bằng 300.

10.16. (A-02) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnhSB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết rằng (AMN)⊥(SBC).

10.17. (D-07) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang, ABC = BAD = 900, BA = BC = a, AD = 2a.Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a

√2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Chứng minh tam giác

SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến (SCD).

64

www.VNMATH.com

Chuyên đề 10. Hình Học Không Gian

10.18. (B-07) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D quatrung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC. Chứng minh MN⊥BD và tính khoảng cách giữa hai đườngthẳng MN và AC.

10.19. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a; ASB = 900, BSC = 600, CSA = 1200. Gọi I là trung điểmcủa cạnh AC. Chứng minh SI vuông góc với (ABC) và tính khoảng cách từ S đến (ABC).

10.20. (B-02) Cho hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′ có cạnh a. Tính theo a khoảng cách giữa A′B và B′D. GọiM,N,P lần lượt là trung điểm của BB′, CD,A′D′. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C ′N .

10.21. Cho lập phương ABCD.A′B′C ′D′ có cạnh a. Gọi K trung điểm DD′. Tính góc và khoảng cách giữa CKvà A′D. Tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa A′C ′ và B′C.

§3. Thể Tích Khối Đa Diện


1. Công thức tính thể tích của một số khối đa diện.• Khối chóp: V = 1

3Bh. • Khối lăng trụ: V = Bh.• Khối hộp chữ nhật: V = abc. • Khối lập phương: V = a3.

2. Hệ thức lượng trong tam giác vuông.

• Định lý Pitago: a2 = b2 + c2.

• Đường cao:1

h2=

1

b2+

1

c2; h =

bc

a.

• Góc: sinB = cosC =b

a; tanB = cotC =

b

c.

• Diện tích: S = 12bc = 1

2ah.

A

B CH M

c b

a

h

• Tính chất trung tuyến: ∆ABC vuông tại A⇔ AM = 12BC.

3. Tỷ số thể tích.

Cho hình chóp S.ABC có A′, B′, C ′ lần lượt nằm trên SA, SB, SC. Ta có:VS.A′B′C′

VS.ABC=SA′

SA.SB′

SB.SC ′

SC.

B. Phương Pháp Tính Thể Tích

• PP1: Sử dụng công thức.• PP2: Sử dụng tỷ số thể tích.• PP3: Sử dụng phương pháp tọa độ.

C. Bài Tập

10.22. (TN-08) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểmcủa cạnh BC. Chứng minh SA vuông góc với BC. Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a.

10.23. Cho chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp biết góc giữa cạnh bên và đáybằng 600.

10.24. Cho chóp tứ giác đều S.ABCD đáy a. Tính thể tích khối chóp biết góc giữa mặt bên và đáy bằng 600.

10.25. (CĐ-09) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a√

2. Gọi M,N và P lần lượt là trung điểmcủa các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP . Tính theo a thểtích của khối tứ diện AMNP .

10.26. (B-04) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ϕ,(0 < ϕ < 900

).

Tính tan góc giữa (SAB) và (ABCD) theo ϕ. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và ϕ.

10.27. (B-2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của Atrên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a.

10.28. (TN-07) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy vàSA = AC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

10.29. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam vuông tại B; AB = a,AC = a√

3; SA vuông góc với (ABC); cạnh bênSB lập với (ABC) một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

65


10.30. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a; SA vuông góc với (ABC). Biết góc giữa (SBC) và(ABC) bằng 450. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

10.31. (TN-09) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy.Biết BAC = 1200, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

10.32. (TN-2011) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD = CD = a,AB = 3a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với đáy một góc 450. Tính thể tích khối chópS.ABCD theo a.

10.33. Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, ACB = 600,BC = a, SA = a

√3. Gọi M là trung điểm cạnh SB. Chứng minh (SAB) vuông góc với (SBC) và tính thể tích khối

tứ diện MABC.

10.34. (CĐ-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a; SA vuông góc vớimặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Tínhthể tích khối chóp S.ABM theo a.

10.35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường cao SA = a. Trên hai cạnh AB,AD lần lượtlấy hai điểm M,N sao cho AM = DN = x, (0 < x < a). Tính thể tích khối chóp S.AMCN theo a và x. Tìm x đểMN nhỏ nhất.

10.36. (B-06) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,AD = a√

2, SA = a và SAvuông góc với (ABCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứngminh (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.

10.37. (D-06) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a; SA = 2a và SA vuông góc với mặtphẳng (ABC). GọiM,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM .

10.38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy,cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = a

√3

3 . Mặt phẳng (BCM)

cắt cạnh SD tại N . Tính thể tích khối chóp S.BCNM .

10.39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy A.BCD là hình thoi cạnh a, BAD = 600, SA vuông góc với mặt phẳng(ABCD), SA = a. Gọi C ′ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P ) đi qua AC ′ và song song với BD, cắt các cạnhSB, SD của hình chóp lần lượt tại B′, D′. Tính thể tích của khối chóp S.AB′C ′D′.

10.40. (A-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm AB; mặt phẳng qua SM và songsong với BC, cắt AC tại N . Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chópS.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.

10.41. (CĐ-2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc vớimặt phẳng đáy, SA = SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 450. Tính theo a thể tích của khốichóp S.ABCD.

10.42. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặtphẳng vuông góc với đáy. Biết SD = a

√13, tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai

đường thẳng SC và BD.

10.43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặtphẳng vuông góc với đáy. Gọi M,N,P lần lượt trung điểm các cạnh SB,BC,CD. Chứng minh AM vuông góc vớiBP và tính thể tích tứ diện CMNP .

10.44. (D-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,BA = 3a,BC = 4a; mặt phẳng(SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a

√3 và SBC = 300. Tính thể tích khối chóp S.ABC và

khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

10.45. (B-08) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a√

3 và mặt phẳng (SAB)vuông góc với đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN vàtính góc giữa hai đường thẳng SM và DN .

10.46. (A-2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng(ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao choHA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600.Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

10.47. Cho hình chóp S.ABC có hai tam giác ABC và SBC đều cạnh a; góc giữa SA và ABC bằng 600. Tính thểtích của khối chóp S.ABC.

66

www.VNMATH.com

Chuyên đề 10. Hình Học Không Gian

10.48. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a√

2, CD = 2a. Chứng minh AB vuông góc vớiCD. Xác định đường vuông góc chung của AB và CD. Tính thể tích của tứ diện ABCD.

10.49. (D-2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuônggóc của đỉnh S trên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH = AC

4 . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC.Chứng minh M là trung điểm SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.

10.50. (A-2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. GọiM,N lần lượt là trung điểm củacác cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM . Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a

√3.

Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC.

10.51. (A-09) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a,CD = a;góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm cạnh AD. Biết mặt phẳng (SBI) và(SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

10.52. Tính thể tích hình chóp S.ABC, biết SA = SB = SC = a, ASB = 600, BSC = 900, CSA = 1200.

10.53. Tính thể tích của khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C ′D′ có đáy là hình vuông cạnh a và AA′ = AC.

10.54. Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,BC = a√

3, AC ′ = 2a. Tínhthể tích của khối lăng trụ ABC.A′B′C ′.

10.55. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C ′D′ có AB = a,AD = 2a,AA′ = a. Tính khoảng cách giữa hai đườngthẳng AD′ và B′C. Gọi M là điểm thuộc cạnh AD sao cho AM = 3MD, tính khoảng cách từ M đến (AB′C) vàtính thể tích tứ diện AB′D′C.

10.56. Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C ′D′ có các cạnh AB = AD = a,AA′ = a√

32 và góc BAD = 600. Gọi M

và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A′D′ và A′B′. Chứng minh AC ′ vuông góc với BDMN và tính thể tíchkhối chóp A.BDMN .

10.57. (D-2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C ′D′ có đáy là hình vuông, tam giác A′AC vuông cân, A′C = a.Tính thể tích của khối tứ diện ABB′C ′ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD′) theo a.

10.58. (D-09) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,AB = a, AA′ = 2a,A′C =3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A′C ′, I là giao điểm của AM và A′C. Tính theo a thể tích khối tứ diệnIABC và khoảng cách từ A đến (IBC).

10.59. (D-08) Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, cạnh bên AA′ = a√

2.Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A′B′C ′ và khoảng cách giữa haiđường thẳng AM và B′C.

10.60. Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Góc giữa A′A với (ABC) bằng 600. Tínhthể tích khối lăng trụ, biết hình chiếu của A′ trên (ABC) trùng với tâm của tam giác ABC.

10.61. Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C ′ có ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,AC = a√

2, hình chiếu củaA′ trên (ABC) trùng trung điểm BC. Tính thể tích khối lăng trụ, biết CC ′ = 2a.

10.62. Cho hình hộp ABCD.A′B′C ′D′ có mặt bên AA′D′D là hình thoi cạnh 2a, nằm trong mặt phẳng vuông gócvới (ABCD) và cách BC một khoảng bằng a. Biết cạnh bên AA′ hợp với (ABCD) một góc bằng 600. Tính thể tíchkhối hộp ABCD.A′B′C ′D′.

10.63. Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C ′ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A′ cách đều các điểmA,B,C. Cạnh bên AA′ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Tính thể tích của khối lăng trụ.

10.64. (A-08) Cho lăng trụ ABC.A′B′C ′ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB =a,AC = a

√3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A′ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo

a thể tích khối chóp A′.ABC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AA′ và B′C ′.

10.65. Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C ′ có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng (A′BC) tạo với đáy một góc 300 vàtam giác A′BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C ′.

10.66. (B-09) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C ′ có BB′ = a, góc giữa đường thẳng BB′ và mặt phẳng(ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và góc BAC = 600. Hình chiếu vuông góc của điểm B′ lên mặt phẳng(ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích tứ diện A′ABC theo a.

10.67. (B-2011) Cho lăng trụ ABCD.A′B′C ′D′ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a,AD = a√

3. Hình chiếuvuông góc của điểm A′ trên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD′A′) và(ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B′ đến mặt phẳng (A′BD) theo a.

67


§4. Mặt Nón - Mặt Trụ - Mặt Cầu


1. Diện tích và thể tích.• Khối nón: Sxq = πrl; Stp = Sxq + Sđ; V = 1

3Bh = 13πr

2h.• Khối trụ: Sxq = 2πrl; Stp = Sxq + 2Sđ; V = Bh = πr2h.• Khối cầu: S = 4πR2; V = 4

3πR3.

2. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu.• d > R: Mặt phẳng không cắt mặt cầu.• d = R: Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại một điểm.• d < R: Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính .

B. Bài Tập

10.68. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SAB = 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. Tínhdiện tích xung quanh và thể tích của khối nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

10.69. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′ cạnh a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón có đỉnhO là tâm hình vuông ABCD và đáy nội tiếp hình vuông A′B′C ′D′.

10.70. Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng qua trục được tam giác vuông cân cạnh huyền a√

2. Tính diện tích xungquanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón. Cho dây cung BC của đường tròn đáy sao cho (SBC) tạo với đáymột góc 600. Tính diện tích tam giác SBC.

10.71. Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A,B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ Ođến AB bằng a và SAO = 300, SAB = 600. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón.

10.72. Cắt hình trụ tròn xoay bởi mặt phẳng (α) được thiết diện ABCD là hình vuông cạnh a. Biết (α) tạo vớiđáy một góc 450, tính diện tích xung quanh và thể tích khối trụ.

10.73. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 2a và khoảng cách giữa hai đáy bằng a. Cắt khối trụ bởi mặt phẳngsong song với trục và cách trục một khoảng a. Tính diện tích thiết diện tạo thành.

10.74. (A-06) Cho hình trụ có đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trênđường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O′ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích tứ diệnOO′AB.

10.75. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,BC = a√

2, SB = 2a. Biết SA vuônggóc với đáy. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.

10.76. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD)cùng vuông góc với mặt đáy. Biết AB = 2a, SA = BC = a,CD = 2a

√5. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. Xác

định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SACD.

10.77. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a√

2. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Tìm tâm vàbán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích và thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp.

10.78. (CĐ-2012) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,AB = a√

2, SA = SB = SC.Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và bán kính mặt cầungoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.

10.79. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB = a√

2, BC = a√

6 và độ dài các cạnh bênbằng a

√5. Gọi giao điểm của AC và BD là H. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện SHAB.

10.80. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = a, (SBC)⊥ (ABC) và SA = SB = a. Chứngminh SBC là tam giác vuông. Biết SC = x, xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

10.81. (D-03) Cho (P ) và (Q) vuông góc với nhau cắt nhau theo giao tuyến ∆. Trên ∆ lấy A,B với AB = a. Trong(P ) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC,BD cùng vuông góc với ∆ và AC = BD. Tính bán kính mặt cầungoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến (BCD) theo a.

10.82. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A′B′C ′ biết AA′ = AB = a;AC = 2a và BAC = 600. Gọi M là giao điểmcủa A′C và AC ′. Tính thể tích tứ diện MBB′C và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

10.83. (B-2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C ′ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A′BC) và(ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A′BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầungoại tiếp tứ diện GABC theo a.

68

www.VNMATH.com

Chuyên đề 11

Tổ Hợp - Xác Suất

§1. Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp


1. Quy tắc đếm.• Quy tắc cộng: Giả sử công việc được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Phương án A có thể

thực hiện theo n cách, phương án B có thể thực hiện theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n + mcách.• Quy tắc nhân: Giả sử một công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện theo n

cách, công đoạn B có thể thực hiện theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách.2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp.• Hoán vị: Cho tập hợp A có n (n ≥ 1) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán

vị các phần tử của A. Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là Pn = n! = n (n− 1) (n− 2) ...2.1 (Quy uớc0! = 1).• Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Khi lấy ra k phần tử của A và xếp

chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. Số các chỉnh hợp chập k (1 ≤ k ≤ n)của một tập hợp có n phần tử là Akn = n (n− 1) (n− 2) ... (n− k + 1). (Quy uớc A0

n = 1).• Tổ hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi tập con của A có k phần tử được

gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A. Số các tổ hợp chập k (1 ≤ k ≤ n) của một tập hợp có n phần tử là

Ckn =Aknn!

=n (n− 1) (n− 2) ... (n− k + 1)

k!(Quy ước C0

n = 1).

• Một số công thức về tổ hợp: Ckn = Cn−kn (0 ≤ k ≤ n), Ckn+1 = Ckn + Ck−1n (1 ≤ k ≤ n).

Lưu ý. Hoán vị và chỉnh hợp có phân biệt thứ thự còn tổ hợp không biệt thứ tự.

B. Bài Tập

11.1. (B-05) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân côngđội về giúp đỡ ba tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.

11.2. (D-06) Đội thanh niên xung kích của trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớpB và 3 học sinh lớp C. Cần chọn bốn học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho bốn học sinh này thuộc không quá hai lớp.Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

11.3. (B-04) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao chotrong mỗi đề phải có 3 loại câu hỏi (khó, trung bình và dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2.

11.4. Một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cáchchọn để số bi lấy ra không đủ ba màu.

11.5. Chứng minh các hệ thức saua) An+2

n+k +An+1n+k = k2Ann+k. b) k (k − 1)Ckn = n (n− 1)Ck−2

n−2.

c) PkA2n+1A

2n+3A

2n+5 = nk!A5

n+5. d) (B-08)n+ 1

n+ 2

(1

Ckn+1

+1

Ck+1n+1

)=

1

Ckn.

11.6. Giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trìnha) PxA2

x + 72 = 6(A2x + 2Px

). b) 1

2A22x −A2

x ≤ 6xC

3x + 10.

69


c)

2Ayx + 5Cyx = 905Ayx − 2Cyx = 80

. d) C2x + C4

x + ...+ C2nx ≥ 22003 − 1.

e) A3n + 2Cn−2

n ≤ 9n. f) C1x + 6C2

x + 6C3x = 9x2 − 14x.

11.7. (D-05) Tính giá trị của M =A4n+1 + 3A3

n

(n+ 1)!biết C2

n+1 + 2C2n+2 + 2C2

n+3 + C2n+4 = 149.

11.8. (B-06) Cho tập A gồm 2n phần tử (n ≥ 4). Biết rằng số tập con 4 phần tử bằng 20 lần số tập con gồm 2phần tử. Tìm k ∈ 1, 2, ..., n sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất.

11.9. (B-02) Cho đa giác đều A1A2...A2n nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2nđỉnh nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh. Tìm n.

§2. Xác Suất


1. Không gian mẫu.• Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử đó. Ký hiệu là Ω.

2. Biến cố.• Một biến cố A liên quan tới phép thử T được mô tả bởi một tập con ΩA nào đó của không gian mẫu. Biến cố

A xảy ra khi kết quả của T thuộc ΩA. Mỗi phần tử của ΩA gọi là một kết quả thuận lợi cho A.• Biến cố sơ cấp: Là biến cố chỉ có một phần tử.• Biến cố chắc chắn: Là không gian mẫu Ω. Biến cố không thể: Là biến cố rỗng ∅.• Biến cố sơ cấp đồng khả năng: Là biến cố có khả năng xuất hiện mỗi kết quả là như nhau.• Biến cố đối: Là biến cố A không xảy ra. Ký hiệu là A (ΩA = Ω\ΩA).• Biến cố xung khắc: Là hai biến cố A và B mà nếu A xảy ra thì B không xảy ra và ngược lại (ΩA ∩ ΩA = ∅).• Biến cố độc lập: Là hai biến cố A và B mà việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng tới biến cố kia.

3. Xác suất của một biến cố.• Tính chất: 0 ≤ P (A) ≤ 1, P (∅) = 0, P (Ω) = 1, P

(A)

= 1− P (A).• Quy tắc cộng xác suất: Nếu A,B xung khắc thì P (A ∪B) = P (A) + P (B).• Quy tắc nhân xác suất: Nếu A,B độc lập thì P (A ∩B) = P (AB) = P (A) .P (B).

4. Biến ngẫu nhiên rời rạc. Là giá trị độc lập X = x1, x2, ..., xn nhận kết quả bằng số, hữu hạn và không dựđoán trước được.• Xác suất tại xk: P (X = xk) = pk, (k = 1..n). Khi đó p1 + p2 + ...+ pn = 1.• Bảng phân bố xác suất:

X x1 x2 ... xnP p1 p2 ... pn

• Kỳ vọng: E (X) =n∑i=1

xipi.

• Phương sai: V (X) =n∑i=1

x2i pi − E2 (X).

• Độ lệch chuẩn: σ (X) =√V (X).

B. Bài Tập

11.10. (B-2012) Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinhlên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ.

11.11. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Tínhxác suất để trong số bi lấy ra không đủ cả ba màu.

11.12. Một tổ có 9 nam và 3 nữ. Chia tổ thành 3 nhóm mỗi nhóm gồm 4 người. Tính xác suất để khi chia ngẫunhiên nhóm nào cũng có nữ.

11.13. Một tổ có 13 học sinh, trong đó có 4 nữ. Cần chia tổ thành ba nhóm, nhóm thứ nhất có 4 học sinh, nhómthứ hai có 4 học sinh, nhóm thứ ba có 5 học sinh. Tính xác suất để mỗi nhóm có ít nhất một học sinh nữ.

11.14. Có hai hộp đựng bi. Hộp một có 7 bi xanh và 3 bi đỏ, hộp hai có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên mỗihộp một bi. Tìm xác suất để được ít nhất một bi đỏ.

70

www.VNMATH.com

Chuyên đề 11. Tổ Hợp - Xác Suất

11.15. Có hai hộp chứa các viên bi chỉ khác nhau về màu. Hộp thứ nhất chứa ba bi xanh, hai bi vàng và một biđỏ. Hộp thứ hai chứa hai bi xanh, một bi vàng và ba bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một viên bi. Tính xác suấtđể lấy được hai bi xanh.

11.16. Một người gọi điện thoại, quên hai chữ số cuối và chỉ nhớ rằng hai chữ số đó phân biệt. Tính xác suất đểngười đó gọi một lần đúng số cần gọi.

11.17. Người ta sử dụng 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý, 7 cuốn sách Hoá (các cuốn sách cùng loại giống nhau),để làm giải thưởng cho 9 học sinh, mỗi học sinh được hai cuốn sách khác loại. Trong số học sinh có hai bạn Ngọc vàThảo. Tìm xác suất để hai bạn Ngọc và Thảo có giải thưởng giống nhau.

11.18. Một nhóm học tập gồm 7 nam và 5 nữ, trong đó có bạn nam A và bạn nữ B. Chọn ngẫu nhiên 5 bạn để lậpmột đội tuyển thi học sinh giỏi. Tính xác suất để đội tuyển có 3 nam và 3 nữ, trong đó phải có hoặc bạn nam A,hoặc bạn nữ B nhưng không có cả hai.

11.19. Có hai túi. Túi thứ nhất chứa 3 tấm thẻ đánh số 1, 2, 3 và túi thứ hai chứa 4 tấm thẻ đánh số 4, 5, 6, 8.Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi một tấm thẻ rồi cộng hai số ghi trên hai tấm thẻ với nhau. Gọi X là số thu được. Lậpbảng phân bố xác suất của X và tính E(X).

§3. Nhị Thức Newton


• Công thức: (a+ b)n

=n∑k=0

Cknan−kbk = C0

nan + C1

nan−1b+ C2

nan−2b2 + ...+ Cnnb

n.

• Số hạng tổng quát thứ k + 1: Tk+1 = Cknan−kbk.

• Một số khai triển thường dùng:• (1 + x)

n= C0

n + C1nx+ C2

nx2 + C3

nx3 + ...+ Cnnx

n.• (1− x)

n= C0

n − C1nx+ C2

nx2 − C3

nx3 + ...+ (−1)

nCnnx

n.• (x+ 1)

n= C0

nxn + C1

nxn−1 + C2

nxn−2 + ...+ Cn−1

n x+ Cnn .

B. Bài Tập

11.20. (D-04) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển thành đa thức của biểu thức(

3√x+ 1

4√x

)7

, x > 0.

11.21. (D-07) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của biểu thức x(1− 2x)5

+ x2(1 + 3x)10.

11.22. (A-04) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của biểu thức(1 + x2 (1− x)

)8.11.23. Tìm hệ số của x4 trong khai triển đa thức P (x) =

(1 + 2x+ 3x2

)10.

11.24. Đặt(1− x+ x2 − x3

)4= a0 + a1x+ a2x

2 + ...+ a12x12. Tính hệ số a7.

11.25. (D-02) Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức C0n + 2.C1

n + 22.C2n + ...+ 2n.Cnn .

11.26. (D-08) Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức C12n + C3

2n + ...+ C2n−12n = 2048.

11.27. Tìm số tự nhiên n sao cho 1.C1n + 2.C2

n + ...+ nCnn = n.22009.

11.28. (A-2012) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cn−1n = C3

n. Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức

Newton của(nx2

14− 1

x

)n, x 6= 0.

11.29. (B-07) Tìm hệ số của x10 trong khai triển (2 + x)n, biết 3nC0

n − 3n−1C1n + 3n−2C2

n + ...+ (−1)nCnn = 2048.

11.30. (A-03) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển(

1x3 +

√x5)n

, biết Cn+1n+4 − Cnn+3 = 7 (n+ 3).

11.31. (A-06) Tìm hệ số của x26 trong khai triển(

1x4 + x7

)n, biết C12n+1 + C2

2n+1 + ...+ Cn2n+1 = 220 − 1.

11.32. (D-03) Với n là số nguyên dương, gọi a3n−3 là hệ số của x3n−3 trong khai triển thành đa thức của(x2 + 1

)n(x+ 2)

n. Tìm n để a3n−3 = 26n.

11.33. (A-02) Cho khai triển biểu thức(

2x−12 + 2−

x3

)n= C0

n

(2x−12

)n+C1

n

(2x−12

)n−1 (2−

x3

)+ ...+Cnn

(2−

x3

)n. Biếtrằng trong khai triển đó C3

n = 5C1n và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm n và x.

71


11.34. (A-05) Tìm số nguyên dương n thỏa C12n+1 − 2.2C2

2n+1 + 3.22C32n+1 + ...+ (−1)

n22nC2n+1

2n+1 = 2005.

11.35. (A-07) Chứng minh rằng 12C

12n + 1

4C32n + ...+ 1

2nC2n−12n = 22n−1

2n+1 .

11.36. (B-03) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng C0n +

22 − 1

2C1n +

23 − 1

3C2n + ...+

2n+1 − 1

n+ 1Cnn .

11.37. Chứng minh rằng 2.1.C2n + 3.2.C3

n + 4.3.C4n + ...+ n (n− 1)Cnn = n (n− 1) 2n−2.

11.38. Tính tổnga) S = C0

2009 + C22009 + C4

2009 + ...+ C20082009 . b) S = C0

2009 + 32C22009 + 33C4

2009 + ...+ 32008C20082009 .

c) S = 2C0n + 5C1

n + 8C2n + ...+ (3n+ 2)Cnn . d)

(C0

2010

)2+(C1

2010

)2+(C2

2010

)2+ ...+

(C2010

2010

)2.11.39. Tính tổng S = 12C1

201122010 + 22C2201122009 + ...+ 20112C2011

201120.

11.40. Trong khai triển nhị thức (a+ b)50, tìm số hạng có giá trị tuyệt đối lớn nhất, cho biết |a| = |b|

√3.

11.41. (A-08) Cho khai triển (1 + 2x)n

= a0 + a1x+ ...+ anxn, (n ∈ N∗) và các hệ số a0, a1, a2, ..., an thoả mãn hệ

thức a0 + a12 + a2

4 + ...+ an2n = 4096. Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1, a2, ..., an.

72

www.VNMATH.com

Chuyên đề 12

Bất Đẳng Thức & Giá Trị Lớn Nhất -Giá Trị Nhỏ Nhất

§1. Bất Đẳng Thức


1. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức.• a > b và b > c⇒ a > c.• a > b⇒ a+ c > b+ c.• Nếu c > 0 thì a > b⇒ ac > bc.• Nếu c < 0 thì a > b⇒ ac < bc.

2. Bất đẳng thức Cauchy.

• Đối với hai số:a+ b

2≥√ab,∀a, b ≥ 0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Dạng khác: a+ b ≥ 2√ab; a2 + b2 ≥ 2ab;

√ab ≤ a+ b

2; ab ≤

(a+ b

2

)2

.

• Đối với ba số:a+ b+ c

3≥ 3√abc,∀a, b, c ≥ 0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Dạng khác: a+ b+ c ≥ 33√abc; a3 + b3 + c3 ≥ 3abc;

3√abc ≤ a+ b+ c

3; abc ≤

(a+ b+ c

3

)3

.

B. Phương Pháp Cơ Bản

• PP1: Sử dụng phép biến đổi tương đương.• PP2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy.• PP3: Phương pháp hàm số.

Lưu ý. Kỹ thuật chọn điểm rơi: Dự đoán dấu bằng xảy ra rồi suy ngược kết quả.

C. Bài Tập

12.1. Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức 2a2 + b2 + c2 ≥ 2a (b+ c).

12.2. Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ abc (a+ b+ c).

12.3. Cho a, b > 0. Chứng minh bất đẳng thức a3 + b3 ≥ a2b+ ab2.

12.4. Cho a, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thứca+ b

1 + a+ b≤ a

1 + a+

b

1 + b.

12.5. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thứca

a+ b+

b

b+ c+

c

c+ a> 1.

12.6. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức 1 <a

b+ c+ d+

b

c+ d+ a+

c

d+ a+ b+

d

a+ b+ c< 2.

12.7. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thứca+ b

c+b+ c

a+c+ a

b≥ 6.

73


12.8. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức1

a+

1

b+

1

c≥ 9

a+ b+ c.

12.9. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức1

a+

1

b+

1

c+

1

d≥ 16

a+ b+ c+ d.

12.10. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức(a+ b+ c+ d

4

)4

≥ abcd.


b+ c+

b

c+ a+

c

a+ b≥ 3

2.

12.12. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thứcab

a+ b+

bc

b+ c+

ca

c+ a≤ a+ b+ c

2.

12.13. Cho x, y, z > 0. Chứng minh bất đẳng thức2√x

x3 + y2+

2√y

y3 + z2+

2√z

z3 + x2≤ 1

x2+

1

y2+

1

z2.

12.14. Cho a, b, c > 0 và a+ b+ c = 1. Chứng minh bất đẳng thức (a+ b) (b+ c) (c+ a) abc ≤ 8

729.

12.15. Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh bất đẳng thức1

a3 (b+ c)+

1

b3 (c+ a)+

1

c3 (a+ b)≥ 3

2.

12.16. Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh bất đẳng thứca√

8c3 + 1+

b√8a3 + 1

+c√

8b3 + 1≥ 1.

12.17. (B-05) Chứng minh bất đẳng thức(

12

5

)x+

(15

4

)x+

(20

3

)x≥ 3x + 4x + 5x.

12.18. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x+ y + z = 0. Chứng minh bất đẳng thức√

3 + 4x +√

3 + 4y +√

3 + 4z ≥ 6.

12.19. Cho x, y, z thỏa mãn 3−x+ 3−y + 3−z = 1. Chứng minh9x

3x + 3y+z+

9y

3y + 3z+x+

9z

3z + 3x+y≥ 3x + 3y + 3z

4.

12.20. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thứca3

a+ b+

b3

b+ c+

c3

c+ a≥ 1

2

(a2 + b2 + c2

).

12.21. Cho x, y > 0. Chứng minh bất đẳng thức (1 + x)(

1 +y

x

)(1 +

9√y

)2

≥ 256.


b+ c+

√a

b+ c+

b

c+ a+

√b

c+ a+

c

a+ b+

√c

a+ b> 3.

12.23. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức

√a+ b

c+

√b+ c

a+

√c+ a

b≥ 2

(√c

a+ b+

√a

b+ c+

√b

a+ c

).

12.24. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh bất đẳng thứca

b2 + c2+

b

c2 + a2+

c

a2 + b2≥ 3√

3

2.

12.25. Chứng minh bất đẳng thứce−x

2

1 + x≤ 1− x+

x4

2 (1 + x),∀x ∈ [0; 1].

12.26. (CĐ-09) Cho a, b thỏa mãn 0 < a < b < 1. Chứng minh bất đẳng thức a2 ln b− b2 ln a > ln a− ln b.

12.27. (D-07) Cho a ≥ b > 0. Chứng minh bất đẳng thức(

2a +1

2a

)b≤(

2b +1

2b

)a.

12.28. (A-03) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x+ y + z ≤ 1. Chứng minh

√x2 +

1

x2+

√y2 +

1

y2+

√z2 +

1

z2≥√

82.

12.29. (A-05) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn1

x+

1

y+

1

z= 4. Chứng minh

1

2x+ y + z+

1

2y + z + x+

1

2z + x+ y≤ 1.

12.30. (D-05) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh

√1 + x3 + y3

xy+

√1 + y3 + z3

yz+

√1 + z3 + x3

zx≥ 3√

3.


2a+ 5 (b+ c)+

b

2b+ 5 (c+ a)+

c

2c+ 5 (a+ b)≥ 1

4.

74

www.VNMATH.com

Chuyên đề 12. Bất Đẳng Thức & Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất

12.32. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức1

a (a+ b)+

1

b (b+ c)+

1

c (c+ a)≥ 27

2(a+ b+ c)2 .

12.33. (A-09) Cho x, y, z > 0 và x (x+ y + z) = 3yz. Chứng minh bất đẳng thức

(x+ y)3

+ (x+ z)3

+ 3 (x+ y) (x+ z) (y + z) ≤ 5(y + z)3

12.34. Cho x, y, z > 0. Chứng minh bất đẳng thức(x

y+

z3√xyz

)2

+

(y

z+

x3√xyz

)2

+

(z

x+

y3√xyz

)2

≥ 12.

12.35. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức√

a

b+ c+ d+

√b

c+ d+ a+

√c

d+ a+ b+

√d

a+ b+ c> 2.

12.36. Cho x, y, z > 0. Chứng minh bất đẳng thức(

1 +x

y

)(1 +

y

z

)(1 +

z

x

)≥ 2

(1 +

x+ y + z3√xyz

).

§2. Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất

A. Phương Pháp Cơ Bản

PP1: Sử dụng bất đẳng thức.• Nếu A(x) = f(x).g(x) mà f(x) + g(x) = const thì A(x) đạt giá trị lớn nhất khi f(x) = g(x).• Nếu A(x) = f(x) + g(x) mà f(x).g(x) = const thì A(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi f(x) = g(x).

PP2: Sử dụng phương pháp hàm số.

B. Bài Tập

12.37. Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =a+ b√ab

+

√ab

a+ b.

12.38. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a+b+c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =a3

(1− a)2 +

b3

(1− b)2 +c3

(1− c)2 .

12.39. Cho a, b, c > 0 và a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = a+ b+ c+1

abc.

12.40. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a+ b+ c ≤ 32 . Tìm giá trị nhỏ nhất của S =

√a2 +

1

b2+

√b2 +

1

c2+

√c2 +

1

a2.

12.41. (B-07) Cho x, y, z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x

(x

2+

1

yz

)+ y

(y

2+

1

zx

)+ z

(z

2+

1

xy

).

12.42. (D-08) Cho x, y > 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =(x− y) (1− xy)

(1 + x)2(1 + y)

2 .

12.43. (B-08) Cho x, y thoả mãn x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P =2(x2 + 6xy

)1 + 2xy + 2y2

.

12.44. (A-06) Cho x, y 6= 0 thỏa mãn (x+ y)xy = x2 + y2 − xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =1

x3+

1

y3.

12.45. (B-06) Cho hai số x, y thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

√(x− 1)

2+ y2 +

√(x+ 1)

2+ y2 + |y + 2|.

12.46. (A-07) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P =x2 (y + z)

y√y + 2z

√z

+y2 (z + x)

z√z + 2x

√x

+z2 (x+ y)

x√x+ 2y

√y

12.47. (B-03) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x+√

4− x2.

12.48. (D-03) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x+1√x2+1

trên đoạn [−1; 2].

12.49. (D-2010) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =√−x2 + 4x+ 21 +

√−x2 + 3x+ 10.

75


12.50. (B-2010) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a+ b+ c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M = 3(a2b2 + b2c2 + c2a2

)+ 3 (ab+ bc+ ca) + 2

√a2 + b2 + c2

12.51. (CĐ-2010) Cho x, y > 0 thay đổi thoả mãn 3x+ y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =1

x+

1√xy

.

12.52. (D-09) Cho x, y ≥ 0 thỏa mãn x+ y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S =(4x2 + 3y

) (4y2 + 3x

)+ 25xy

12.53. (B-09) Cho x, y thỏa (x+ y)3+4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3

(x4 + y4 + x2 + y2

)−2(x2 + y2

)+1.

12.54. (CĐ-08) Cho x, y thoả mãn x2 + y2 = 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = 2(x3 + y3

)− 3xy.

12.55. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x+ y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =x2 (y + z)

yz+y2 (z + x)

zx+z2 (x+ y)

xy.

12.56. Cho x, y, z > 1 thoả mãn1

x+

1

y+

1

z≥ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x− 1) (y − 1) (z − 1).

12.57. Cho x, y, z là các số thực thoả mãn các điều kiện x+ y + z > 0, x+ 1 > 0, y + 1 > 0, z + 1 > 0. Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức P =

x

x+ 1+

y

y + 1+

z

z + 1.

12.58. (B-2011) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 2(a2 + b2

)+ ab = (a+ b) (ab+ 2). Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức P = 4

(a3

b3+b3

a3

)− 9

(a2

b2+b2

a2

).

12.59. (A-2011) Cho x, y, z ∈ [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =x

2x+ 3y+

y

y + z+

z

z + x.

12.60. (D-2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x− 4)2

+ (y − 4)2

+ 2xy ≤ 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A = x3 + y3 + 3 (xy − 1) (x+ y − 2)

12.61. (B-2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x+ y + z = 0 và x2 + y2 + z2 = 1. Tìm giá trị lớnnhất của biểu thức P = x5 + y5 + z5.

12.62. (A-2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x+ y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 3|x−y| + 3|y−z| + 3|z−x| −√

6x2 + 6y2 + 6z2

76

www.VNMATH.com

PHỤ LỤC 1

PHỤ LỤC 1

1. Các quy tắc tính đạo hàm.

1. (u± v)′ = u′ ± v′. 4.(uv

)′= u′v−uv′

v2 .2. (uv)′ = u′v + uv′. 5.

(1v

)′= − v′

v2 .3. (ku)′ = ku′. 6. y′x = y′u.u

′x.

2. Bảng đạo hàm của các hàm số thường gặp.

Đạo hàm của hàm số y = f(x) Đạo hàm của hàm số y = f [u(x)]

1. c′ = 0 (c = const)2. x′ = 1

3. (xα)′ = αxα−1 (uα)′ = αuα−1.u′

4.(

1x

)′= − 1

x2 (x 6= 0)(

1u

)′= − u′

u2 (u 6= 0)

5. (√x)′

= 12√x

(x > 0) (√u)′

= u′

2√u

(u > 0)

6. (sinx)′ = cosx (sinu)′ = u′ cosu

7. (cosx)′ = − sinx (cosu)′ = −u′ sinu8. (tanx)′ = 1

cos2 x (cosx 6= 0) (tanu)′ = u′

cos2 u (cosu 6= 0)

9. (cotx)′ = − 1sin2 x

(sinx 6= 0) (cotu)′ = − u′

sin2 u(sinu 6= 0)

10. (ex)′ = ex (eu)′ = eu

11. (ax)′ = ax ln a (0 < a 6= 1) (au)′ = u′au ln a (0 < a 6= 1)

12. (lnx)′ = 1x (x > 0) (lnu)′ = u′

u (u > 0)

13. (logax)′ = 1x ln a (0 < a 6= 1, x > 0) (logau)′ = u′

u ln a (0 < a 6= 1, u > 0)

3. Bảng nguyên hàm mở rộng.

1.∫

1a2+x2 dx = 1

a arctan xa + C

2.∫

1a2−x2 dx = 1

2a ln∣∣∣a+xa−x

∣∣∣+ C

3.∫

1√x2+a2

dx = ln(x+√x2 + a2

)+ C

4.∫

1√a2−x2

dx = arcsin x|a| + C

5.∫

1x√x2−a2 dx = 1

a arccos x|a| + C

6.∫

1x√x2+a2

dx = − 1a ln

∣∣∣a+√x2+a2

x

∣∣∣+ C

7.∫ √

a2 + x2dx = x2

√a2 + x2 + a2

2 ln(x+√x2 + a2

)+ C

8.∫ √

a2 − x2dx = x2

√a2 − x2 + a2

2 arcsinxa + C

9.∫eax sin bxdx = eax

a2+b2 (a sin bx− b cos bx) + C

10.∫eax cos bxdx = eax

a2+b2 (a cos bx+ b sin bx) + C

Lưu ý. Bảng này chỉ dùng để tra cứu không được sử dụng trong chương trình phổ thông.

77


PHỤ LỤC 2

1. Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt.

0 π6

π4

π3

π2 π

α 00 300 450 600 900 1800

sinα 0 12

√2

2

√3

2 1 0

cosα 1√

32

√2

212 0 1

tanα 0√

33 1

√3 || 0

cotα ||√

3 1√

33 0 ||

2. Đẳng thức lượng giác cơ bản.

1. sin2α+ cos2α = 1. 4. tanα. cotα = 1.

2. 1 + tan2α =1

cos2α. 5. tanα =

sinα

cosα.

3. 1 + cot2α =1

sin2α. 6. cotα =

cosα

sinα

3. Công thức lượng giác.

Công thức cộng. Công thức biến đổi tích thành tổng.

1. cos (a− b) = cos a cos b+ sin a sin b. 10. cos a cos b = 12 [cos (a− b) + cos (a+ b)].

2. cos (a+ b) = cos a cos b− sin a sin b. 11. sin a sin b = 12 [cos (a− b)− cos (a+ b)].

3. sin (a− b) = sin a cos b− cos a sin b. 12. sin a cos b = 12 [sin (a− b) + sin (a+ b)].

4. sin (a+ b) = sin a cos b+ cos a sin b. Công thức biến đổi tổng thành tích.

5. tan (a− b) =tan a− tan b

1 + tan a tan b. 13. cosu+ cos v = 2 cos

u+ v

2cos

u− v2

.

6. tan (a+ b) =tan a+ tan b

1− tan a tan b. 14. cosu− cos v = −2 sin

u+ v

2sin

u− v2

.

Công thức nhân đôi. 15. sinu+ sin v = 2 sinu+ v

2cos

u− v2

.

7. sin 2a = 2 sin a cos a. 16. sinu− sin v = 2 cosu+ v

2sin

u− v2

.

8. cos 2a = cos2a− sin2a. Công thức nhân ba.

8a. cos 2a = 2cos2a− 1. 17. sin 3a = 3 sin a− 4sin3a.8b. cos 2a = 1− 2sin2a. 18. cos 3a = 4cos3a− 3 cos a.

9. tan 2a =2 tan a

1− tan2a. Công thức khác.

Công thức hạ bậc. 19. sinx+ cosx =√

2 sin(x+ π

4

).

8c. cos2a =1 + cos 2a

2. 20. sinx− cosx =

√2 sin

(x− π

4

).

8d. sin2a =1− cos 2a

2. 21. sin4x+ cos4x = 1− 1

2 sin22x.

8e. tan2a =1− cos 2a

1 + cos 2a. 22. sin6x+ cos6x = 1− 3

4 sin22x.

78

www.VNMATH.com

Documents

[VNMATH.COM]-Chuyen De LTDH 2013.pdf