Mathématiques

Financières

Pr. Driss El

Moutawakil

Chapitre 1 :

Les intérêts

Chapitre 2 :

Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

Mathématiques Financières

Pr. Driss El Moutawakil

Université Hassan 1er,

Faculté polydisciplinaire de Khouribga, BP. 145,

Khouribga, Maroc.

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Chapitre 1 :

Les intérêts

Chapitre 2 :

Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

Plan du Cours

1 Chapitre 1 : Les intérêts

2 Chapitre 2 : Les annuités

3 Chapitre 3 : Les emprunts indivis

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Chapitre 1 :

Les intérêts

Chapitre 2 :

Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

Chapitre 1

Les intérêts

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Moutawakil

Chapitre 1 :

Les intérêts

Chapitre 2 :

Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

1. Notion d'Intérêt

Dé�nition

L'intérêt peut être dé�ni comme la rémunération d'un prêt

d'argent

Trois facteurs essentiels déterminent le coût de l'intérêt :

la somme prêtée

la durée du prêt

le taux auquel cette somme est prêtée

Il y a deux types d'intérêt : l'intérêt simple et l'intérêt composé

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Chapitre 1 :

Les intérêts

Chapitre 2 :

Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

2. Intérêt simple

Dé�nition

L'intérêt simple se calcule toujours sur le principal. Il ne

s'ajoute pas au capital pour porter lui même intérêt

Il est versé en une seule fois au début de l'opération, c'est

à dire lors de la remise du prêt, ou à la �n de l'opération

c'est à dire lors du remboursement.

L'intérêt simple concerne essentiellement les opérations à

court terme (inférieures à un an)

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Chapitre 1 :

Les intérêts

Chapitre 2 :

Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

Calcul pratique

C : le montant du capital en Dhs (valeur nominale)

T : le taux d'intérêt annuel (en pourcentage)

N : la durée de placement (en année)

I : le montant de l'intérêt à calculer en Dhs

V : la valeur acquise par le capital en Dhs (valeur aquise)

Alors, on a :

I = C × T%× N = C × T

100× N

V = C + I

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Chapitre 1 :

Les intérêts

Chapitre 2 :

Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

Remarques

1 Si la durée du placement N est exprimée en mois, on aura :

I = C × T

100× N

12

2 Si la durée du placement N est exprimée en jours, on aura :

I = C × T

100× N

360

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Chapitre 1 :

Les intérêts

Chapitre 2 :

Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

Exemples

Une somme de 30000 Dhs est placée sur un compte du 23 Avril

au 9 Août au taux simple de 7%

1 Calculons le montant de l'intérêt produit à l'échéance

2 Calculons la valeur acquise par ce capital

3 Cherchons la date de remboursement pour un intérêt

produit égal à 315 Dhs

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Chapitre 1 :

Les intérêts

Chapitre 2 :

Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

3. L'escompte commercial

Dé�nition

L'escompte est une opération de crédit par laquelle la

banque transforme une créance, matérialisée par un e�et

de commerce, en liquidité au pro�t de son client, avant son

échéance et contre remise de l'e�et

C'est l'intérêt simple calculé à un taux indiqué par le

banquier sur une somme égale à la valeur nominale de

l'e�et et une durée allant du jour de la négociation

jusqu'au jour de l'échéance

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Les intérêts

Chapitre 2 :

Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

Calcul pratique

V : la valeur nominale de l'e�et, c'est la valeur de l'e�et à son

échéance

T : le taux d'escompte

N : la durée de l'escompte, c'est le nombre de jours séparant la

date de négociation de l'e�et de sa date d'échéance

E : l'escompte commercial

A : la valeur actuelle commerciale

Alors, on a :

E = V × T

100× N

360A = V − E

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Les intérêts

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Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

Exemple

Combien le banquier remettra-t-il à son client s'il lui escompte

en 29-11-2013 un e�et de 100.000 Dhs payable au 20-02-2014,

sachant que le taux est 9% ?

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Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

Agios de l'escompte

Dé�nition

La remise d'un e�et à l'escompte entraîne des frais

�nanciers comprennant plusieurs commissions, en plus de

l'escompte

L'ensemble de l'escompte et des commissions s'appelle

l'agio

L'agio se compose de l'escompte, les diverses commissions

et la taxe sur la valeur ajoutée (TVA)

Au Maroc, la TVA est de 10%. Elle est appliquée

directement sur l'ensemble de l'agio Hors Taxe

La durée réelle de l'escompte est parfois majorée d'un ou

de plusieurs jours (appelés couramment jours de banque)

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Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

Exemple

Calculons la valeur actuelle de l'e�et de commerce de 35.500

Dhs échéant le 27 juillet 2005 et escompté le 10 avril de la

même année, aux conditions suivantes :

1 Taux d'escompte : 13%

2 Commission de manipulation : 2 Dhs par e�et

3 TVA : 10%

4 Tenir compte d'un jour de banque

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Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

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4. Equivalence de deux e�ets

Dé�nition

Deux e�ets sont équivalents à une date déterminée, si

escomptés en même temps, ils ont la même valeur actuelle

Cette date est la date déquivalence

Remarques

La date d'équivalence de deux e�ets, dans le cas ou elle

existe, est antérieure à la date d'échéance la plus proche

La date d'équivalence doit être postérieure aux dates à

partir desquelles les deux e�ets ont été créés

Deux e�ets ne peuvent être équivalents qu'à une seule date

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Les intérêts

Chapitre 2 :

Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

Calcul pratique

V1,V2 : les valeurs nominales des deux e�ets

T1,T2 : les taux d'escompte

N1,N2 : les durées d'escompte

E1,E2 : les escomptes commerciales

Alors, on a :

V1 − E1 = V2 − E2

V1 − V1 ×T1

100× N1

360= V2 − V2 ×

T2

100× N2

360

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Les intérêts

Chapitre 2 :

Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

Exemple

A quelle date un e�et de valeur nominale de 20.000 Dhs à

échéance du 15 avril est-il équivalent à un e�et de 20.435,68

Dhs à échéance du 14 juin de la même année sachant que le

taux d'escompte est de 12, 6% ?

Exemple

On désire remplacer un e�et d'une valeur nominale de 75.000

Dhs payable dans 60 jours par un autre e�et de valeur nominale

de 74.600 Dhs.

Quelle sera l'échéance de cet e�et sachant que le taux

d'escompte est de 13% ?

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Les emprunts

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5. Echéance commune

Dé�nition

L'échéance commune est le cas de remplacement de

plusieurs e�ets par un seul e�et

L'échéance commune est l'échéance d'un e�et unique qui,

à la date d'équivalence, a une valeur actuelle égale à la

somme des valeurs actuelles des e�ets remplacés

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Les intérêts

Chapitre 2 :

Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

Exemple

On souhaite remplacer le 15 juin les trois e�ets ci-dessous par

un e�et unique :

E�et 1 : V1 = 5.000 à échéance le 20 août

E�et 2 : V2 = 4.000 à échéance le 15 juillet

E�et 3 : V 3 = 12.000 à échéance le 20 septembre

Quelle est l'échéance de l'e�et de 21.200 Dhs remplaçant les

e�ets 1, 2 et 3 avec un taux d'escompte de 13% ?

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Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

6. Intérêt composé

Dé�nition

Un capital est dit placé à Intérêt composé, lorsqu'à l'issue

de chaque période de placement, les intérêts sont ajoutés

au capital pour porter eux même Intérêts à la période

suivante au taux convenu

On parle alors d'une capitalisation des Intérêts

Cette dernière opération est généralement appliquée

lorsque la durée de placement dépasse un an

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Les intérêts

Chapitre 2 :

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Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

Calcul pratique

C0 : le montant du capital en Dhs (valeur nominale)

T : le taux d'intérêt par période pour une durée d'un an

N : Nombres de périodes de placement

CN : Valeur acquise par le capital C0 pendant N périodes

Alors, la valeur acquise par le capital C0 à la �n de N périodes

au taux T est donc donnée par la formule suivante :

CN = C0(1+ T )N

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Les emprunts

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Exemple

Une somme de 10000 Dhs est placée pendant 5 ans au taux

annuel de 10%

Quelle somme obtient-on à l'issue de ce placement ?

Si au bout de cette période de placement on souhaite

obtenir 20000 Dhs, quelle somme doit-on placer

aujourd'hui ?

Si la somme placée aujourd'hui est de 10000 Dhs, après

combien de temps disposera-t-on d'une somme égale à

23580 Dhs ?

Si au bout de 5 ans la valeur acquise du placement est de

17821 Dhs, à quel taux le placement a été e�ectué ?

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Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

Cas de placement en un nombre fractionnaire de

périodes

Parfois, le temps de placement est fractionnaire, par exemple 5

ans et 7 mois. Alors dans ce cas, on considère les deux

solutions : la solution rationnelle et la solution commerciale.

Exemple

Calculons la valeur acquise d'un capital de 100.000 dirhams

placé pendant une période de 5 ans et 7 mois à avec un taux de

8% l'an. ( Capitalisation annuelle )

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Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

7. Taux proportionnel - Taux équivalent

Remarques

1 Les taux d'intérêt sont généralement exprimés en taux

annuels. Mais, on peut considérer une période plus courte

que l'année, par exemple, le semestre, le trimestre le mois

ou le jour

2 La formule CN = C0(1+ T )N n'est applicable que si le

taux d'intérêt T et la durée N sont homogènes, c'est à dire

exprimés dans la même unité de temps que la période de

capitalisation

3 Si par exemple, il est convenu entre le prêteur et

l'emprunteur que les intérêts doivent être capitalisés à la

�n de chaque mois, la formule ne sera applicable que si le

taux d'intérêt est mensuel et que la durée de placement est

exprimée en mois

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Chapitre 1 :

Les intérêts

Chapitre 2 :

Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

Remarques

1 De même, les intérêts peuvent être capitalisés chaque

semestre, chaque trimestre, chaque mois ou chaque jour2 Lorsque le taux d'intérêt est annuel et l'on considère une

période inférieure à l'année, le taux d'intérêt prévalantpour cette période devra être calculé. Pour ce faire, onemploie l'un des deux taux suivants :

Taux proportionnel

Taux équivalent

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Chapitre 1 :

Les intérêts

Chapitre 2 :

Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

Taux proportionnel

Dé�nition

1 Deux taux correspondants à des périodes di�érentes sont

dits proportionnels, lorsque leur rapport est égal au rapport

de leurs périodes de capitalisation respectives2 Soit

T : Le taux d'intérêt annuel

p : Nombre de périodes dans l'année

Tp : Le taux proportionnel par période

Alors, on a : Tp =T

p

3 Ts =T

2où Ts est le taux semestriel

Tt =T

4où Tt est le taux trimestriel

Tm =T

12où Tm est le taux mensuel

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Les intérêts

Chapitre 2 :

Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

Taux équivalent

Dé�nition

1 Deux taux correspondants à des périodes de capitalisation

di�érentes, sont dits équivalents lorsqu'ils produisent la

même valeur acquise quand ils sont appliqués au même

capital2 Soit

T : Le taux d'intérêt annuel

p : Nombre de périodes dans l'année

Tp : Le taux équivalent par période

Alors, on a : Tp = (1+ T )1p − 1

3 Ts = (1+ T )1

2 − 1 où Ts est le taux semestriel

Tt = (1+ T )1

4 − 1 où Tt est le taux trimestriel

Tm = (1+ T )1

12 − 1 où Tm est le taux mensuel

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Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

Exemple

1 Calculons les taux ( semestriel, trimestriel et mensuel )

proportionnels au taux annuel T = 9%

2 Calculons les taux ( semestriel, trimestriel et mensuel )

équivalents au taux annuel T = 9%

3 Une somme de 10000 Dhs est placée pendant 3 mois au

taux annuel de 12%. Calculer la valeur acquise.

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Chapitre 2 :

Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

Chapitre 2

Les annuités

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Les intérêts

Chapitre 2 :

Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

1. Les annuités

Une annuité est une suite de �ux monétaires perçus ou

réglés à intervalles de temps égaux.

Le versement d'annuité a pour objet soit de rembourser

une dette, soit de constituer un capital ( Capital retraite,

Capital éducation . . . ).

Le terme � annuité � est habituellement réservé à des

périodicités annuelles.

Lorsque la période est di�érente de l'année, il est

préférable de remplacer le terme � annuité � par �

semestrialité �, � trimestrialité � ou � mensualité �.

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Les intérêts

Chapitre 2 :

Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

L'étude des annuités consiste à déterminer la valeur

actuelle ou la valeur acquise, à une date donnée, d'une

suite de �ux.

L'annuité prend en considération la date du premier �ux, la

périodicité des �ux, le nombre des �ux et le montant de

chaque �ux.

Lorsque les annuités sont égales, on parle d'annuités

constantes, alors que lorsque leur montant varie d'une

période à une autre, on parle d'annuités variables.

Les annuités peuvent être perçues ou versées en début de

période ou en �n de période.

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Les intérêts

Chapitre 2 :

Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

2. Les annuités constantes

La valeur acquise ou la valeur actuelle d'une suite

d'annuité constante dépend de la date de versement, c'est

à dire début de période ou �n de période

Dans toute la suite, on traitera le cas d'une suite d'annuité

constante de �n de période

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Les intérêts

Chapitre 2 :

Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

Valeur acquise

On appelle valeur acquise par une suite d'annuité constante de

�n de période, la somme des annuités (An) exprimée

immédiatement après le versement de la dernière annuité. On

note par :

An : la valeur acquise par la suite des annuités

A : l'annuité constante de �n de période

n : le nombre de périodes

t : le taux d'intérêt par période de capitalisation

Alors, la formule de capitalisation est :

An = A(1+ t)n − 1

t

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Les intérêts

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Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

Valeur actuelle

On appelle valeur actuelle d'une suite d'annuité constante de �n

de période, la somme A0, des annuités actualisées, exprimée à

la date origine càd une période avant le premier versement. On

note par :

A0 : la valeur actuelle de la suite des annuités

A : l'annuité constante de �n de période

n : le nombre de périodes

t : le taux d'intérêt par période de capitalisation

Alors la formule d'actualisation est :

A0 = A1− (1+ t)−n

t

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Les intérêts

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Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

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Application 1

Exemple

Calculer la valeur acquise au moment du dernier versement

par une suite de 10 annuités constantes de �n de période

de 17.500 dirhams chacune. Capitalisation de 8% l'an.

Calculer la valeur de cette suite d'annuités un an et neuf

mois après le dernier versement.

Quelle somme constante faut-il verser chaque année à la

même date pour constituer en 12 versements deux ans

après le dernier versement un capital de 500.000 dirhams

chacune. Taux est de 7% l'an.

Calculer un mois après le dernier versement la valeur

acquise par une suite de 72 mensualités de 2.500 dirhams

chacune. Taux est de 7% l'an.

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Les annuités

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Les emprunts

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Application 2

Exemple

Calculer un an avant le premier versement la valeur

actuelle d'une suite de 10 annuités constantes de 17.500dirhams chacune. Taux est de 9% l'an.

Calculer la valeur actuelle de cette même suite 3 ans avant

le premier versement. Taux est de 9% l'an.

Une dette de 300.000 dirhams, avec un taux de 9% l'an,

est remboursable en 20 trimestrialités constantes, le

premier versement dans 3 mois. Calculer le montant de la

trimestrialité de remboursement.

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Les intérêts

Chapitre 2 :

Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

Chapitre 3

Les emprunts indivis

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Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

1. Dé�nitions

L'emprunt indivis ou ordinaire se caractérise par le fait que

l'emprunteur (un particulier ou une entreprise) s'adresse à

un seul créancier

L'emprunt indivis s'oppose à l'emprunt obligataire par

lequel l'emprunteur (une grande entreprise ou l'Etat)

recourt à une multitude de créanciers

Le remboursement de cet emprunt s'e�ectue généralement,

par annuités (ou les autres formes, càd mensualité,

trimestrialité...) de �n de période

Chaque annuité est composée de deux éléments : Un

remboursement d'une partie du capital emprunté, appelé

l'amortissement, et une partie " intérêt "

Le remboursement de l'emprunt dépend du mode

d'amortissement utilisé

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Les intérêts

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Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

2. Emprunts remboursables par amortissements

constants

Le montant de l'emprunt indivis est divisé en parts égales

(les amortissements) en fonction du nombre de périodes de

remboursement

A la �n de chaque période, l'emprunteur verse au prêteur

une partie de la dette (amortissement) et un intérêt calculé

au taux prévu sur le montant encore dû (non remboursé au

prêteur)

La somme de ces 2 éléments (amortissement + intérêt)

forme � l'annuité de remboursement �

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Les intérêts

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Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

Application

Exemple

Une entreprise emprunte la somme de 1000000 dh en vue de

faire face aux surcoûts apparus sur les marchés

d'approvisionnements. Cet emprunt est remboursable en quatre

fractions égales, payables à la �n de chacune des quatre années,

avec un taux de 12% l'an.

Construisons le tableau d'amortissement de cet emprunt.

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Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

3. Emprunts remboursables par annuités constantes

Selon cette formule de remboursement, ce sont les

annuités (intérêts + amortissements) qui sont constantes

On calcule d'abord l'annuité constante � A �

Pour la première ligne, on commence par calculer l'intérêt

�i1 �. Ensuite, par soustraction � A− i1 �, on obtient le

premier amortissement M1

On calcule la dette C1 au début de la deuxième période :

C1 = C −M1

On calcule l'intérêt �i2 �, et ainsi de suite.....

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Chapitre 2 :

Les annuités

Chapitre 3 :

Les emprunts

indivis

Application

Exemple

Une personne emprunte 350.000 dirhams aupès d'une banque et

s'engage à verser 8 annuités constantes, la première payable un

an après la date du contrat avec un taux de 12%.

Construisons le tableau d'amortissement de cet emprunt.