Cours de Mathématiques

FinancièresHuitième séance

Chapitre 4

Les emprunts Indivis

Un emprunt indivis est un empruntcontracté auprès d’un seul prêteur. Untel emprunt fait l’objet d’unremboursement selon différentesmodalités contractuellement fixées,appelées modalités d’amortissement.

• L’emprunteur verse au prêteur des intérêts àintervalles réguliers sur le capital détenu aucours de la période écoulée, et rembourse lecapital emprunté soit en une seule fois àl’échéance, soit en plusieurs fois.

Ø On supposera que les remboursements sefont en fin de période

Ø A chaque paiement, le montant desintérêts est calculé sur le capital restant àrembourser

Lors de chaque annuité (remboursement),on fait la part entre :

Ø La somme qui participe au remboursementdu capital emprunté appelée

amortissement.

Ø La somme qui participe au remboursementde l’ intérêt

1.Amortissement

Si Ap est l’annuité de la période p, c’est-à-direle montant payé à la fin de la période p, on a :

Ap = Ip + Mpavec :

Ø Ip est l’intérêt crée pendant la période pet remboursé en fin de cette période

Ø Mp est l’amortissement de la période p

Ø On emprunte un capital D0 au taux d’intérêti (par période) et on rembourse à la fin dechacune des n périodes

D0 «dette à la date 0» n’est rien d’autre que lasomme actualisée des n versements

2. Tableau d’amortissement

Ø En début de période p, le dette restante est

noté Dp-1

Ø L’annuité payée en fin de la période p est

notée Ap

Ø L’intérêt payé en fin de la période p est

noté Ip

Ø L’amortissement payé en fin de la période

p est noté Mp

0 1 p-1 p nn-1i

A1 A2 Ap-1 Ap An-1 An

D0 = VaVA

1ère période période p période n

2

Ø Les remboursements (annuités) se font en fin de période

0 1 p-1 p nn-1i

D1 D2 Dp-1 Dp Dn-1

2

D0 Dn =0

Ø À la date 0, le montant de la dette restante est égal au montant de l’empruntØÀ la date n, après le dernier versement, la dette restante est égale à 0

La dette de début de période p+1 est alors :

Dp = Dp-1 – Mp

Ø La dette en fin de la dernière période«début de la période n+1» doit êtretotalement payée donc :

Dn = Dn-1 – Mn = 0

Période

Capital dû en début

de période

Intérêt de la

période

Amortissement

de la période

Annuité

de la période 1 D0 I1 =D0 i M1 A1=I1+M1 2 D1=D0–M1 I2=D1 i M2 A2=I2+M2 3 D2=D1–M2 I3=D2 i M3 A3=I3+M3 . . .

p Dp-1=Dp-2–Mp-1 Ip=Dp-1 i Mp Ap=Ip+Mp . . .

n Dn-1=Dn-2–Mn-1 In=Dn-1 i Mn An=In+Mn

Ø La somme totale remboursée est la somme de toutes les annuités (versements) :

A1 + A2 + …+ An

Ø La somme empruntée au début est Lasomme des amortissements :

D0 = M1 + M2 + …+ Mn Le coût de l’emprunt est :

C = A1 + A2 + …+ An – D0=La somme des intérêts

Casd’annuitésconstantes

• D’après le chapitre des annuités, le capitalemprunté D0 n’est rien d’autre que la valeuractuelle Va des versements (annuités Ap quisont égales à « a » ).

• La formule est donc comme suit:

i)i1(1n

0 aD-

+-= ´

Il y a une équivalence entre les deux équations suivantes:

i)i1(1n

0 aD-

+-= ´

n)i1(1i

0Da -+-´=

Précisons, par ailleurs, que dans un empruntd’un capital D0 par annuités constantes ,notée« a », les amortissements sont enprogression géométriques de raison 1+i:

p1pp1p M)i1(MAA +=Þ=++

Exemple

Une personne emprunte un capital de40000DH au taux annuel 10% remboursablepar le versement en fin de chaque année de4 annuités constantes .Établir le tableau d’amortissement de cetemprunt.En déduire le coût de cet emprunt.

• On a le montant du capital emprunté, on aaussi le nombre d’annuités « n » ainsi que letaux d’intérêt.

• Donc, on peux facilement déduire la valeur del’annuité constante d’après les équationséquivalentes données dans le cours.

n)i1(1i

0Da -+-´=

• Application numérique:• a = 40000*10% / (1- (1+10%)-4)• = 40000*0,1 / 1- 1,1-4

• = 12618,832• Pendant la 1ère année, le capital dû en débutde cette 1ère année, D0 , produit un intérêt,égal à : I1 = D0* i = 40000* 10% = 4000

• Il nous reste à calculer l’amortissement decette première année, M1, pour compléter lapremière ligne de notre tableaud’amortissement :

• M1 = a – I1 = 12618,832 – 4000 = 8618,832

• On peux utiliser deux méthodes pour compléter letableau, soit en utilisant la propriété selon laquelleles amortissements sont en progressiongéométriques de raison 1+i lorsque les annuitéssont constantes et c’est le cas de notre exemple;

• Soit en complétant le tableau de la mêmemanière avec laquelle nous avons procédé dansla diapositive précédente, à savoir ligne parligne dans ce cas, on calcule le capital dû endébut de la 2ème année D1 puis l’intérêt I2 ensuitel’amortissement M2 et ainsi de suit:

• D1 = D0 – M1 = 40000- 8618,832• = 31381,168

Je vous laisse le soin de compléter le tableau, etpuis la correction aura lieu la séance prochaine.période Capitaldûen

débutdepériode

Intérêtsdelapériode

Amortissementdelapériode

Annuitédelapériode

1 D0 I1 M1 a

2 D1 I2 M2 a

3 a

4 a

Findelahuitièmeséance