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ACT2025 - Cours 21

MATHÉMATIQUESFINANCIÈRES I

Vingt-et-unième cours

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Rappel:

• Table d’amortissement dans le cas où les paiements sontégaux et les périodes de capitalisation et de paiement necoïncident pas

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Rappel:

• Table d’amortissement dans le cas où les paiements sontégaux et les périodes de capitalisation et de paiement necoïncident pas

• Fonds d’amortissement

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Rappel:

• Table d’amortissement dans le cas où les paiements sontégaux et les périodes de capitalisation et de paiement necoïncident pas

• Fonds d’amortissement• Montant net du prêt

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Rappel:

• Table d’amortissement dans le cas où les paiements sontégaux et les périodes de capitalisation et de paiement necoïncident pas

• Fonds d’amortissement• Montant net du prêt• Montant net d’intérêt payé

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Pour un prêt remboursé par n paiements égaux pour lequel lespériodes de capitalisation de l’intérêt et de paiement necoïncident pas. Il suffit de revenir au principe de base. Deuxoptions s’offrent à nous, soit de convertir le taux d’intérêt àun dont la période de capitalisation est la période depaiement, soit de développer la théorie.

Rappel:

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Pour un prêt remboursé par n paiements égaux au montant de1$ à la fin de chaque période de paiement. Supposons qu’il ya k périodes de capitalisation dans une période de paiement.Notons par i: le taux d’intérêt du prêt par période decapitalisation et par n: la durée du prêt en période decapitalisation. Le montant emprunté L est alors

Rappel:

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ACT2025 - Cours 21

Pour un prêt remboursé par des paiements égaux. Supposonsqu’il y a m périodes de paiement dans une période decapitalisation. Notons par i: le taux d’intérêt du prêt parpériode de capitalisation et par n: la durée du prêt en périodede capitalisation. Les paiements du prêt sont de (1/m) dollarset il y a mn paiements. Le montant emprunté L est alors

Rappel:

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Dans certains prêts, l’emprunteur verse à intervalles réguliersl’intérêt dû et remboursera complètement le principal L àl’échéance du prêt. Pour accumuler le montant du prêt àl’échéance, l’emprunteur met en place un fonds dans lequel ildépose à intervalles réguliers des versements de façon tellequ’il accumulera le principal L. Ce fonds est le fondsd’accumulation (« sinking fund »).

Rappel:

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Le montant accumulé dans le fonds peut à tout moment servirà rembourser une partie du prêt. Conséquemment le montantnet du prêt est le principal prêté initialement auquel noussoustrayons la valeur accumulée dans le fonds.

Rappel:

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Le montant net d’intérêt payé pendant une période est lemontant d’intérêt, auquel nous soustrayons l’intérêt gagné parle fonds peut à tout moment servir à rembourser une partie duprêt.

Rappel:

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Considérons un prêt de 1$, qui sera remboursé par un paiementde 1$ après n périodes de capitalisation. Le taux d’intérêt est letaux i par période de capitalisation. L’intérêt est payé à la finde chaque période de capitalisation. Au même moment, undépôt est fait dans un fonds rémunéré au taux d’intérêt j. Cesdépôts sont tous égaux et la valeur accumulée est 1$ après npériodes de capitalisation. La période de capitalisation del’intérêt du fonds est la même que celle du prêt. Nous obtenonsle tableau suivant.

Rappel:

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ACT2025 - Cours 21

Nous aimerions déterminer le montant total versé (intérêt etdépôt dans le fonds d’amortissement) par l’emprunteur à

partir du montant emprunté.

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Notons par

la valeur actuelle d’une annuité consistant en des paiementsde 1$ à la fin de chaque période pour n périodes telle que

est le montant d’intérêt payésur le prêt et

est le montant versé dans un fondsà chaque période.

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Nous obtenons alors l’équation suivante:

Conséquemment

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Reprenons l’exemple 5 du 20e cours. Un prêt de 75 000$ estremboursé par un versement de 75 000$ après huit ans et desversements annuels d’intérêt faits à la fin de chaque annéependant 8 ans. Le taux d’intérêt est le taux effectif d’intérêt i =5% par année. Ainsi l’emprunteur paiera 3750$ d’intérêt parannée. Un fonds d’amortissement est mis en place pouraccumuler le 75 000$ à la fin de la huitième année. Ce fondsest rémunéré au taux effectif d’intérêt j = 3% par année. Desdépôts de 8434.23 dollars seront faits à la fin de chaque annéependant 8 ans. Ainsi à chaque année, l’emprunteur versera12184.23$ correspondant à l’intérêt sur le prêt et au dépôtdans le fonds.

Exemple 1:

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Si nous utilisons maintenant ce que nous venons dedévelopper et que nous notons par R’: le montant total à verserpar l’emprunteur à chaque année pour l’intérêt dû et le dépôtdans le fonds d’amortissement, alors nous avons l’équation devaleur

Nous obtenons alors

Exemple 1: (suite)

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Donc R’ = 12 184.23$.

Nous obtenons alors

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Dans le cas où le taux d’intérêt d’un prêt i est égale au tauxd’intérêt du fonds d’amortissement j, alors la table

d’amortissement d’un prêt au taux d’intérêt i et dont lespaiements sont égaux est la même que celle du fonds

d’amortissement pour un prêt au taux d’intérêt i et d’un fondsd’amortissement rémunéré au taux i et dont les paiementsd’intérêt et les dépôts dans le fonds d’amortissement sont

égaux. Nous avons les égalités suivantes:

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Le montant net d’intérêt payé à la fin de la ke période dans le casdu fonds d’amortissement est égal à la portion d’intérêt payé

dans le ke paiement dans la table d’amortissement du prêt.

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Le montant net du prêt après le ke dépôt dans le cas du fondsd’amortissement est égal au solde restant après le ke paiement

dans la table d’amortissement.

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Si i = j, nous avons aussi que

et le total versé (intérêt dû et dépôt dans le fondsd’amortissement) dans le cas du fonds d’amortissement estégal au paiement dans le cas de la table d’amortissement.

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Nous pouvons maintenant expliquer la formule

À droite, il s’agit du total versé (intérêt dû et dépôt dans lefonds d’amortissement) dans le cas du fondsd’amortissement et, à gauche, du paiement dans le cas de latable d’amortissement.

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Nous allons maintenant illustrer cette équivalence entre latable d’amortissement d’un prêt et celle d’un fonds

d’amortissement lorsque i = j.

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Considérons un prêt de 10 000$ remboursé par 4 versementégaux à la fin de chaque année, le premier versement étant faitun an après le prêt. Le taux d’intérêt est le taux effectifd’intérêt i = 6% par année. Ainsi l’emprunteur paiera2885.91$ par année. La table d’amortissement est

Exemple 2:

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02722.56163.352885.9142722.582568.45317.462885.9135291.032423.06462.852885.9127714.092285.916002885.91110 0000

Solderestant

Portion deprincipal

Portiond’intérêtPaiementPériode de

paiement

Exemple 2: (suite)

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Considérons maintenant un prêt de 10 000$ remboursé par unversement de 10000$ à la fin de la quatrième année. À la fin dechaque année, l’intérêt dû est payé au taux d’intérêt de i = 6%par année, à savoir 600$ sont payés. Au même moment, desdépôts de 2285.91$ sont faits dans un fonds d’amortissement.Ce dernier est rémunéré au taux effectif d’intérêt i = 6% parannée. Ainsi l’emprunteur paiera au total 2885.91$ par année.La table de ce fonds est

Exemple 2: (suite)

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163.35

317.46

462.85

600

Intérêtnet

09999.98436.652285.916004

2722.587277.42282.542285.916003

5291.034708.97137.152285.916002

7714.092285.9102285.916001

100000

Montantnet duprêt

Valeuraccumulée

Intérêtgagné parle fonds

Versementdans lefonds

IntérêtpayéPériode

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Un prêt de 5 000 000$ est remboursé par un versement de 5000 000$ après dix ans et des versements annuels d’intérêtfaits à la fin de chaque année pendant 10 ans. Le tauxd’intérêt est le taux effectif d’intérêt i = 4% par année. Unfonds d’amortissement est mis en place pour accumuler le 5000 000$ à la fin de la dixième année. Ce fonds est rémunéréau taux effectif d’intérêt j = 3% par année. Les dépôts serontfaits à la fin de chaque année pendant 10 ans, le premier estde R dollars et les paiements subséquents augmenteront de5% avec chaque année.

Exemple 3:

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Ainsi l’emprunteur paiera 5 000 000 (0.04) = 200 000$d’intérêt par année.

Déterminons le montant net du prêt après le 6e année, ainsique le montant net d’intérêt payé à la fin de la 8e année.

Exemple 3: (suite)

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Déterminons premièrement R. Les dépôts dans le fondsforment une suite géométrique et nous avons alors

et nous obtenons alors que R = 350 903.98$

Exemple 3: (suite)

ACT2025 - Cours 21

Le montant net du prêt est le montant emprunté, i.e. 5 000000$, auquel nous soustrayons le montant accumulé dans lefonds d’amortissement. Donc le montant net du prêt à la finde la 6e année est

Exemple 3: (suite)

ACT2025 - Cours 21

Le montant net d’intérêt payé est le montant d’intérêt , i.e.200 000$, auquel nous soustrayons le montant d’intérêt gagnépar le fonds d’amortissement pendant la période. Donc lemontant net d’intérêt payé à la fin de la 8e année est

Exemple 3: (suite)

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CHAPITRE VIIObligations

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Une obligation est un titre rapportant de l’intérêt et dans lequell’emprunteur, appelé l’émetteur, s’engage à verser un montant

déterminé à une date future aux prêteurs, appelés lessouscripteurs. Les obligations d’épargne sont des obligations de

capitalisation ou d’accumulation. L’emprunteur rembourse leprincipal et les intérêts à l’échéance ou parfois au moment où le

souscripteur veut être remboursé.

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Nous allons maintenant décrire ce qu’est une obligationnégociable. L’émetteur s’engage à verser de l’intérêt à

intervalles réguliers et à rembourser un montant déterminé à unedate future aux souscripteurs. Celles-ci sont émises dans un

marché primaire et ensuite sont transigées sur un marchésecondaire. Un investisseur peut acheter ou vendre desobligations via son courtier sur le marché secondaire.

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Ces obligation sont souvent dites obligations avec coupon.L’émetteur s’engage à verser aux souscripteurs l’intérêt àintervalles réguliers (ce sont les coupons) et la valeur deremboursement de l’obligation à une date d’échéance

déterminée.

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Nous voulons maintenant relier le prix de l’obligation à sontaux de rendement. Il nous faut donc fixer quelques

notations.

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• P désignera le prix de l’obligation. C’est ce que paie lesouscripteur

Notation:

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• P désignera le prix de l’obligation. C’est ce que paie lesouscripteur

• F désignera la valeur nominale de l’obligation (« faceamount » ou « par value » en anglais). Il s’agit de la valeurinscrite sur l’obligation et qui sert à déterminer le montantd’intérêt à verser régulièrement.

Notation:

ACT2025 - Cours 21

• P désignera le prix de l’obligation. C’est ce que paie lesouscripteur

• F désignera la valeur nominale de l’obligation (« faceamount » ou « par value » en anglais). Il s’agit de la valeurinscrite sur l’obligation et qui sert à déterminer le montantd’intérêt à verser régulièrement.

• C désignera la valeur de remboursement, i.e. le montantremboursé à l’échéance. En général, C = F et nous disonsque l’obligation est remboursé au pair. Il peut arriver queC ≠ F.

Notation:

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• r est le taux d’intérêt par période de capitalisation del’intérêt (ou encore par période de paiement des coupons).C’est le taux facial. Il est indiqué sur l’obligation et sert àdéterminer le montant d’intérêt que l’émetteur doit verserrégulièrement aux souscripteurs. Ce peut être un tauxnominal. En Amérique du Nord, ce taux est souvent untaux nominal capitalisé semestriellement, alors qu’enEurope il s’agit plutôt d’un taux effectif.

Notation: (suite)

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• r est le taux d’intérêt par période de capitalisation del’intérêt (ou encore par période de paiement des coupons).C’est le taux facial. Il est indiqué sur l’obligation et sert àdéterminer le montant d’intérêt que l’émetteur doit verserrégulièrement aux souscripteurs. Ce peut être un tauxnominal. En Amérique du Nord, ce taux est souvent untaux nominal capitalisé semestriellement, alors qu’enEurope il s’agit plutôt d’un taux effectif.

• Fr est le montant d’intérêt versé périodiquement. Cemontant est appelé le coupon.

Notation: (suite)

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• g est le taux modifié d’intérêt par période de capitalisationde l’intérêt (ou encore par période de paiement descoupons). g est défini par l’équation Cg = Fr. Sil’obligation est remboursé au pair, alors g = r.

Notation: (suite)

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• g est le taux modifié d’intérêt par période de capitalisationde l’intérêt (ou encore par période de paiement descoupons). g est défini par l’équation Cg = Fr. Sil’obligation est remboursé au pair, alors g = r.

• i désignera le taux de rendement de l’obligation parpériode de paiement des coupons en supposant quel’obligation est détenue jusqu’à sa date de maturité ou derédemption et que les versements de l’intérêt (i.e. lescoupons) sont réinvestis aussi au taux i. En général, ce tauxest exprimé comme un taux nominal pour lequel la périodede capitalisation est celle des coupons.

Notation: (suite)

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• n est le durée de vie de l’obligation, i.e. le nombre depériodes de capitalisation du taux de rendement jusqu’à ladate de maturité ou de rédemption de l’obligation. Noussupposerons premièrement que n est bien déterminé. Nousdiscuterons plus tard le cas des obligations rachetables(« callable bonds ») . Dans ce dernier cas, il y a des datespossibles de rachat par l’émetteur de l’obligation. Ceciaura aussi des incidences sur le taux de rendement.

Notation: (suite)

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• n est le durée de vie de l’obligation, i.e. le nombre depériodes de capitalisation du taux de rendement jusqu’à ladate de maturité ou de rédemption de l’obligation. Noussupposerons premièrement que n est bien déterminé. Nousdiscuterons plus tard le cas des obligations rachetables(« callable bonds ») . Dans ce dernier cas, il y a des datespossibles de rachat par l’émetteur de l’obligation. Ceciaura aussi des incidences sur le taux de rendement.

• K désignera la valeur actuelle de la valeur deremboursement C de l’obligation à la date de maturité oude rédemption calculée au taux de rendement i, c’est-à-dire K = Cνn où ν = (1 + i)-1.

Notation: (suite)

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• G est le montant de base de l’obligation, i.e. le montant quiinvestit au taux de rendement i engendre les mêmescoupons. Donc G est défini par Gi = Fr.

Notation: (suite)

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Pour une obligation, F, C, r et n sont fixés. Le prix P et letaux de rendement i varient selon les conditions du marché.

Intuitivement si P augmente, alors i diminue et inversement siP diminue, alors i augmente.

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La formule basique reliant le prix P et le taux de rendement iimmédiatement après le paiement d’un coupon est

ou encore