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Matérias > Matemática > Conjuntos NuméricosCurso_Tecnico/Instrutor%20Rodrigo/Diversos/... · €€€€€B = { x } = { 0, 1, 2, 3 } ... Dizemos que o conjunto A é igual ao

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Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

Conjuntos Numricos

Nmeros Naturais

N = {0; 1; 2; 3; ...} (Nmeros naturais)

N* = {1; 2; 3; ...} (Nmeros naturais excluindo o zero)

Nmeros Inteiros

Z = {... ; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3 ... } (Nmeros inteiros)

Z* = {... ; - 3; - 2; - 1; 1; 2; 3 ... } (Nmeros inteiros excluindo o zero)

Nmeros Racionais

Exemplo:

Representado na forma decimal um n racional tem um n finito de casas decimais, ou dzima peridica.

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Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Nmeros Irracionais

So nmeros que representados na forma decimal apresentam uma quantidade infinita de decimais noperidicos.

Exemplo:

Observao:

Subconjuntos importantes dos reais:

IR +: Reais no negativos (inclui o zero).

IR -: Reais no positivos (inclui o zero).

IR *: Reais no nulos (exclui o zero).

Nmeros Reais

R = {x | x racional ou x irracional}

S no so reais as razes de ndice par de radicando estritamente negativo.

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Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

Intervalos

Intervalo fechado

Quando inclumos os extremos.

Exemplo:

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Intervalo aberto

Quando no inclumos os extremos.

Exemplo:

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Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

Intervalo fechado s de um lado

Exemplo:

Intervalos Infinitos

Exemplos:

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Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Matrias > Matemtica > Teoria dos Conjuntos

Teoria dos Conjuntos

Conjunto e elemento

So conceitos primitivos (no se definem). Para indicar que um elemento a de um conjunto Aescrevemos a A. O conjunto que no tem elementos chamado conjunto vazio,e indicado por ou {}. Se todos os elementos de um conjunto B so elementos de um conjunto A, dizemos que B umsubconjunto de A e indicamos B A. Demonstra-se que A A e A, qualquer que seja A.

Ex:

A = { a, e, i, o, u }.

B = { x } = { 0, 1, 2, 3 } (l-se: x tal que x pertence ao conjunto dos naturais e x menor que 4).

Unio/Interseco

Entre dois conjuntos A e B podem ser definidas as seguintes operaes:

(1) UNIO: A B = { X | X A ou X B}

(2) INTERSECO: A B = { X | X A e X B}

Ex:

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Matrias > Matemtica > Teoria dos Conjuntos

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Se A B = dizemos que A e B so disjuntos.

Diferena de 2 conjuntos

(3) DIFERENA: A - B = { X | X A e X B }

Ex:

A = { 0, 1, 2, 3, 4 } B = { 2, 3 } A B = { 0, 1, 4 }

Conjunto Complementar

Quando B A, o conjunto A B tambm conhecido como conjunto complementar de B em relao a Ae para tal usamos a notao:

Exemplo:

A = { 1, 2, 3, 4 }

B = { 2, 3, 4 }

= A - B = {1}

pagina 3 matemtica > teoria dos conjuntos

Representao pelo diagrama de Venn Euler

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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http://10emtudo.globo.com/materias_indice.asp

Observao:

Se x um elemento de um conjunto A, temos:

Igualdade de conjuntos

Dizemos que o conjunto A igual ao conjunto B quando

Exemplo:

A = { 1; 2; 5} ; B = { 2; 5; 1 }

Vemos que A e B tm os mesmos elementos:

A B e B A A = B

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Matrias > Matemtica > Aritmtica

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Aritmtica

1) Nmeros primos

Definio

Dizemos que um nmero primo quando ele s divisvel por 1 e por ele prprio: assim sendo P umnmero primo, ele deve satisfazer duas condies:

1) P 1 e P -1.

2) Conjunto dos divisores de P: { 1 ; P }

Ex. 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23 e etc...

Obs. note que os nicos nmeros primos pares so 2, pois qualquer outro nmero par seria divisvel por2 e assim violaria a definio.

Mltiplo e Divisor

Sejam dois nmeros inteiros m e x, dizemos que m mltiplo de x se, e somente se:

m = k . x

onde k Z ou seja:

k { ... - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 ... }

Ex:

Dado o nmero 7 seus mltiplos so:

{ 0, 7; 14; 21; 28 ... }

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Matrias > Matemtica > Aritmtica

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Analogamente podemos afirmar que x um divisor de m pois x = .

Ex:

Dar os divisores de 75.

D (75) = { 1, 3, 5, 15, 25, 75 }

Nmero composto

So nmeros inteiros no nulos que tm mais de quatro divisores distintos.

Nmeros primos entre si

Dois nmeros inteiros so ditos primos entre si quando seu MDC for 1.

Ex:

Os nmeros 1935 e 1024 so primos entre si.

Teorema

Sejam a e b dois inteiros no nulos:

temos que:

MDC (a, b) . MMC (a, b) = | a . b |

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Matrias > Matemtica > Aritmtica

Mximo Divisor Comum e Mnimo Mltiplo Comum

Para encontrar o MDC e o MMC devemos decompor os nmeros dados em fatores primos e proceder daseguinte forma:

MDC = Produto dos fatores comuns cada um deles com o menor expoente.

MMC = Produto dos fatores comuns e no comuns, cada um deles com o maior expoente.

Ex.

Calcular o MMC e o MDC entre 36 e 240.

Fatorandos ambos

36 2

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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18 2

9 3

3 3

1

Temos que 36 = 22 . 32.

240 2

120 2

60 2

30 2

15 3

5 5

1

240 = 24 . 31 . 51

Assim:

MMC ( 240;36) = 24 . 3 . 51 = 720

MDC ( 240;36) = 2 . 31 = 12

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Matrias > Matemtica > Aritmtica

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Nmeros Par e mpar

Nmero Par

Definio

Um nmero inteiro dito par se e somente se ele for mltiplo de 2 ou seja, ele pode ser escrito na forma2n onde n Z.

Nmero Impar

Definio

Um nmero inteiro dito mpar quando ele no pode ser escrito como mltiplo de dois. Neste caso ele representado na forma 2n + 1 n Z.

Ex:

13 impar pois 13 = 2 . 6 + 1

- 8 = 2 . (-4), portanto par.

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Matrias > Matemtica > Grandezas Proporcionais

Grandezas Proporcionais

Razo

Razo de 2 nmeros a e b com b10 a diviso do primeiro pelo segundo ou seja:

Ex:

5 e 3 (dizemos que 5 "est para" 3)

Proporo

Proporo a igualdade de razes:

Dizemos que a est para b assim como c est para d:

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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a e d os extremos, b e c so os meios

Teorema

Se a, b, c, d definem uma proporo ento:

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Matrias > Matemtica > Grandezas Proporcionais

Porcentagem

uma razo em que o denominador 100.

Ex:

37% =

Importante: quando dizemos p por cento de uma grandeza devemos fazer 100 vezes esta grandeza.

Ex:

20% de 18 = X 18 = 3,6

Juros:

uma compensao que se recebe ao dispor uma quantia para outra pessoa (fsica ou jurdica) . O jurorecebido depende do tempo , da quantia emprestada (chamada capital ou principal) e da taxa estabelecidano ato do emprstimo que pode ser diria, mensal ou anual .

Montante:

o capital inicial acrescido do juro. Chama-se tambm capital acumulado. O montante pode serdeterminado de duas formas ou regimes:

a) Regime de Capitalizao Simples:

No regime de capitalizao simples , os juros gerados em cada perodo so constantes.

M = C + J

b) Regime de Capitalizao Composta:

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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No regime de capitalizao composta , os juros gerados em cada perodo se agregam ao capital e essasoma passa a gerar juros para o prximo perodo , e assim por diante para todos os perodos . Para calcularo montante ( M ) formado por um capital ( C ) a uma taxa de juros ( i ) , aps t perodos de capitalizaocomposta , usa-se a frmula

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Matrias > Matemtica > Grandezas Proporcionais

Grandezas diretamente e inversamente Proporcionais

Dizemos que duas grandezas a e b so diretamente proporcionais quando

K chamada constante de proporcionalidade.

Dizemos que duas grandezas x e y so inversamente proporcionais quando:

x . y = k a y =

Neste caso k chamada constante de proporcionalidade inversa.

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Matrias > Matemtica > Expresses Numricas

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Expresses Numricas

Nmeros naturais/ nmeros inteiros

Lembre-se que existe uma ordem para resolvermos qual quer expresso numrica. Resumidamente:

1) Parnteses

2) Colchetes

3) Chaves

4) Potncia ou Radiciao

5) Multiplicao

6) Soma ou Subtrao

Observe o modelo:

[6 + 3 . (4 + 23) - 130 . (40 : 8 -3)] 2 - 3

[6 + 3 . (4 + 8) - 1 . (5 -3)] 2 - 3

[6 + 3 . (12) - 1 . 2] 2 - 3

[6 + 36 - 2] 2 - 3

40 2 - 3

20 - 3

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Matrias > Matemtica > Expresses Numricas

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Nmeros Fracionrios

Observe os modelos:

1)

2)

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Matrias > Matemtica > Expresses Numricas

Fraes e nmeros decimais

Observe os modelos:

2,48 + 36 + 0,07 + 0,003 = 38,553.

82,94 - 0,53 = 82,41

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Matrias > Matemtica > Expresses Numricas

Sistema mtrico decimal

Comprimento

Unidade Fundamental: Metro (smbolo: m).

Submltiplos:

1 mm = 1 milmetro = 10-3 m

1 cm = 1 centmetro = 10-2 m

1 dm = 1 decmetro = 10-1 m

Mltiplos:

1 dam = 1 decmetro = 10 m

1 hm = 1 hectmetro = 102 m

1 km = 1 kilmetro = 103 m

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Matrias > Matemtica > Expresses Numricas

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Volume:

UNIDADE FUNDAMENTAL: METRO CBICO (m3)

1 m3 = 1000 L = 1000 litros

1 dm3 = 1L

1 cm3 = 1mL

Observe o modelo:

0,78 m3 = ______________ cm3

Lembre - se: 1m = 102 cm

1 m3 = (102 cm)3 = 106 cm3

Logo 0,78 m3 = 0,78 x 106 cm3 = 78 x 104 cm3 = 780.000 cm3.

Fraes Algbricas

Observe o modelo:

MMC (3,6,2) =

2x - 2 + 7 = 3x + 3 2x - 3x = 3 - 7 + 2 -x = -2 x = 2.

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Matrias > Matemtica > Equaes e Inequaes

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Equaes e Inequaes

Equao do 1 Grau

Toda equao na varivel x do tipo (ou redutvel a) ax + b = 0 com a 0 e a , b R denominada equaopolinomial do 1 grau em x.

Ex:

3x - 6 = 0

3x = 6

x = 2

( raiz, soluo ou zero da equao; note que x = 2 o nico valor de x que torna verdadeira a igualdade.)

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Matrias > Matemtica > Equaes e Inequaes

Inequao do 1 Grau

Conceito de desigualdade

Os smbolos que representam desigualdades so: , >, < e toda sentena aberta (que possui pelo menosuma varivel) onde aparea uma desigualdade uma inequao.

Uma propriedade importante das desigualdades :

a > b - a < - b

Ou seja, multiplicando-se ou dividindo-se uma desigualdade por um nmero negativo "inverte-se osentido" da desigualdade.

Ex:

3x - 5 < x + 7

3x - x < 7 + 5

2x < 12

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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x < 6

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Matrias > Matemtica > Equaes e Inequaes

Equao do 2 Grau

Toda equao na varivel x do tipo (ou redutvel a) ax2 + bx + c = 0 onde ; b , , denominadaequao polinomial do 2 grau.

Discriminante:

= b - 4ac

Se > 0 temos se = 0 temos se < 0 no existem razes reais.

Se x1 e x2 so as razes da equao ax2 + bx + c = 0 , ento

Ex:

= b - 4 . a . c = 49 - 4 . 1 . 12

= 49 - 48 = 1

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Matrias > Matemtica > Equaes e Inequaes

Inequao do 2 Grau

Estudo da variao dos sinais das imagens da funo do 2 grau.

Seja a funo f: | f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a0).

Seu grfico uma parbola que se comporta conforme a tabela abaixo:

ou:

Ex:

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Matrias > Matemtica > Equaes e Inequaes

1 Clculo das razes

2 Esboo da Parbola

3 Anlise do sinal

x - 5x + 6 > 0 p/ x < 2 ou x > 3

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Matrias > Matemtica > Equaes e Inequaes

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Sistemas de equaes

1 Grau:

Vamos somar as duas equaes; membro a membro:

3x = 18

x = 6

Substituindo numa das equaes: 6 + y = 8

y = 2 Este o mtodo da Adio.

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Matrias > Matemtica > Equaes e Inequaes

Veja agora o mtodo da substituio:

1) Vamos isolar y na 2 Equao: y = 6 - x

2) E substituir na 1: x2 - (6 - x)2 = 24

3) Agora resolvendo...

x2 - (36 - 12x + x2) = 24

x2 - 36 + 12x - x2 = 24

12x = 60

x = 5

5 = x y = 1

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Matrias > Matemtica > Equaes e Inequaes

Inequaes - Produto e Quociente

Observe o modelo:

1) Estudando o sinal de cada fator. 1- x = 0 x = 1

x - 9 = 0 x = 3 ou x = -3

2x - 8 = 0

x = 4

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Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Matrias > Matemtica > Equaes e Inequaes

2) Agora vamos colocar estes dados no quadro de sinais.

3) Como foi pedido negativo:

Temos

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Matrias > Matemtica > Fatorao e Produtos Notveis

Fatorao e Produtos Notveis

Produtos Notveis

Quadrado da soma ou diferena:

( a + b )2 = a2+ 2ab + b2

( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

( a + b + c )2 = a2+ b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

( a + b - c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc

( a - b + c )2 = a2 + b2 + c2 - 2ab + 2ac - 2bc

( a - b - c )2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Ex:

(2x + 3y2)2 = (2x)2 + 2(2x)(3y2) + (3y2)2 =

= 4x2 + 12xy2 + 9y4

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Matrias > Matemtica > Fatorao e Produtos Notveis

Produto da Soma pela Diferena:

( a + b ) . ( a - b ) = a2 - b2

Ex:

x2 - 16 = (x + 4) . (x - 4)

a4 - b4 = (a2)2 - (b2)2 = (a2 - b2) . (a2 + b2) = (a + b) . (a - b) . (a2 + b2)

Cubo da soma e da diferena:

( a + b )3 = a3+ 3a2b + 3ab2 + b3

( a - b ) 3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Ex:

(x + 2)3 = x3 + 3(x2) (2) + 3(x) (2)2 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8

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Matrias > Matemtica > Fatorao e Produtos Notveis

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Fatorao

Fatorar significa encontrar fatores que conduzam a um produto dado.

Principais casos de fatorao:

Fator comum (evidncia)

ax + bx = x(a + b)

Agrupamento

ax + bx + ay + by = x (a+b) + y (a + b) = (a + b) (x + y)

Diferena de Quadrados

a2 - b2 = (a + b) (a - b)

Quadrados Perfeitos

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

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Matrias > Matemtica > Fatorao e Produtos Notveis

Soma de Cubos

(a3 + b3) = (a + b) (a2 - ab + b2)

Diferena de cubos

a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

Ex:

8y3 - 125 = (2y)3 - 53 = (2y - 5) . (4y2 + 10y + 25)

Cubos Perfeitos

a 3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

a 3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3

Ex:

x3 + 3x2 + 3x + 1 = ( x + 1 )3

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Matrias > Matemtica > Mdias

Mdias

Mdia Aritmtica Simples

Chamamos mdia aritmtica simples de um conjunto de valores xi ( x1, x2, x3 ... xn ) um nmero :

onde n = nmero total de elementos do conjunto,

ou ainda

Mdia Aritmtica Ponderada

Chamamos mdia aritmtica ponderada de um conjunto de valores xi (x1 , x2 ... xn) com pesos ( ditosfatores ponderais ) Pi (P1 , P2 ... Pn) um nmero :

ou ainda

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Matrias > Matemtica > Mdias

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Mdia Geomtrica

Chamamos mdia geomtrica de um conjunto de valores xi ( x1, x2, ... xn ) a raiz ensima do produto dos nvalores: Observao positivas ou nulas:

MG = onde xi 0

Ex:

A mdia geomtrica entre 4 e 9 :

MG = = = 6

Mdia Harmnica

Chamamos mdia harmnica de um conjunto de valores xi ( x1, x2, ... xn ) o inverso da mdia aritmticados inversos dos valores.

( )

Ex:

Calcular a mdia harmnica entre os nmeros ( 2, 3, 6 ).

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Matrias > Matemtica > Potenciao e Radiciao

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Potenciao e Radiciao

Dado um nmero a IR e um nmero n > 1 define-se potncia ensima de a como:

Ex: 5 = 5 . 5 . 5 = 125

Obs. a = 1 para qualquer a.

Dado a 0 e um nmero n IN temos que a raiz ensima de a definida como:

Ex:

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Matrias > Matemtica > Potenciao e Radiciao

Equaes e Inequaes exponenciais

Seja a > 0 e a 1 temos ax = ab x = b

Ex:

2x = 26 x = 6

32x - 3 = 3 2x - 3 = 7 2x = 10 x = 5

Inequaes Exponenciais

a > 1 e 0 < x1 < x2 ax1 < a x2

Ex:

34 < 37

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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0 < a < 1 e x1 < x2 ax1 > ax2

5x > 5y x > y

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Matrias > Matemtica > Potenciao e Radiciao

Racionalizao

Significa eliminar todos os radicais que existem no denominador da frao, sem alterar o seu valor.

Obs.

Ex:

Reduo de Radicais ao mesmo ndice

Trata-se de uma situao, onde necessitamos transformar os radicais de ndices diferentes em radicaisequivalentes com ndices iguais.

Ex:

Assim:

Ex:

1) Reduzir ao mesmo ndice

Resp.

2) Escrever em ordem crescente os nmeros

Resp.

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3) Escrever em ordem decrescente os nmeros

Resp.

4) Calcular

Resp.

5) Calcular

Resp.

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Matrias > Matemtica > Potenciao e Radiciao

Notao Cientfica

Temos todo nmero racional no nulo pode ser escrito na forma x .10y onde 1 x < 10 e y inteiro.

Ex:

3000 = 3 . 1000 = 3 x 103

Isto nos facilita muito um trabalho onde hajam operaes com nmeros de muitos dgitos.

Assim ficaria

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Matrias > Matemtica > Relaes e Funes

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Relaes e Funes

Par ordenado

um par de elementos (x ; y) onde a ordem importante, de modo que o par ordenado (x ; y) considerado diferente do par ordenado (y ; x).

Plano Cartesiano

Sobre um plano, podemos adotar dois eixos perpendiculares OX e OY, de origem comum O, de modo quea cada ponto do plano podemos associar um par ordenado de nmeros reais. Por exemplo, na figuraabaixo, o ponto P pode ser representado pelo par ordenado (3 ; 15) onde 3 a abscissa e 15 a ordenadado ponto:

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Relao

Dados dois conjuntos A e B, uma relao de A em B um conjunto de pares ordenados (x ; y) onde x Ae y B.

Ex:

Considerando os conjuntos A e B abaixo podemos considerar as seguintes relaes de A em B:

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R1 = { (1 ; 7) ; (2 ; 5) ; (2 ; 7) ; (3 ; 6)}

R2 = { (2 ; 7) ; (2 ; 8) ; (3 ; 5)}

Uma relao pode ser representada por um diagrama de flechas. Para as relaes de exemplo acimapodemos fazer os seguintes diagramas:

As flechas unem o primeiro ao segundo elemento de cada par ordenado.

O segundo elemento do par ordenado chamado de imagem do primeiro. Assim, em relao ap parordenado (1 ; 7), pertencente relao R1, dizemos que 7 imagem de 1.

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Funo

Uma relao f de A em B chamada de funo de A em B se, e somente se forem satisfeitas as condies:

1) Todos os elementos de A possuem imagem;

2) Cada elemento de A tem uma nica imagem.

Ex:

Consideremos as relaes f, g e h representadas pelos diagramas de flechas:

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A relao de f no funo pois o nmero 1 (pertencente a A) no possui imagem.

A relao g no funo pois o elemento a possui duas imagens: 4 e 8.

A relao h uma funo de A em B pois cada elemento de A possui uma nica imagem. Observe que noconjunto B pode haver elementos que no so imagens (17 e 20). Observe tambm que podemos ter doiselementos com a mesma imagem (9 e 11).

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Domnio e Conjunto Imagem

Dada uma funo de A em B, o conjunto A chamado domnio (D(f)) da funo. O conjunto de todasimagens chamado conjunto imagem (I(f)) da funo. Por exemplo, para a funo f esquematizada aseguir temos:

A = D(f) = domnio de f = {1; 2; 3}

I(f) = conjunto imagem de f = {7; 8}

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Matrias > Matemtica > Tipos de Funo

TIPOS DE FUNO

Funo do 1 grau

a funo f : R R tal que y = ax + b

D = R

CD = Im = R

Grfico:

Raiz: y = ax + b = 0 x =

Ex: y = 2x - 5 = 0

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Funo do 2 Grau

a funo f : R R tal quey = ax2 + bx + c (onde )

D = R ; CD = R

= b2 - 4ac

> 0 2 Razes

= 0 1 Raiz

< 0 Raiz real

x1 e x2 so as razes.

se a > 0, Im =

se a < 0 Im =

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Funo modular

Mdulo de um nmero real

Definio:

se x 0 : |x| = x

se x 0 : |x| = -x

Propriedades:

I |x| 0

II |x| = |-x|

III |x.y| = |x| . |y|

IV

V |x + y| |x| + |y|

VI |x - y| |x| - |y|

Ex:

Se A > 0, |x| > A x < -A ou x > A

Se A > 0, |x| < A -A < x < A

Ex:

|x -1| 2 -2 < x - 1 < 2 -1 x 3

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Funes definida por vrias sentenas

Veja o modelo:

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Funo composta

Dadas duas funes , f e g , podemos obter uma outra funo , que se representa por gof e se chama funocomposta de g com f.

A imagem de um elemento qualquer x de A por meio da funo composta gof determinada em duasetapas:

- a primeira transforma o elemento x de A no elemento f (x) de B

- a seguinte transforma o elemento f(x) de B no elemento g[f(x)] de C

A funo composta faz sozinha o que f e g fazem juntas.

Ex: F(x) = 2x+1 G(x) = 3x - 5

(F . G)(x) = 2.(3x-5) + 1 = 6x -10 + 1 = 6x - 9(G . F)(x) = 3.(2x+1) - 5 = 6x + 3 - 5 = 6x - 2

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Classificao das funes

Funo Sobrejetora

Dizemos que uma funo f de A em B sobrejetora quando o conjunto imagem for igual ao contradomnioda funo.

I = CD = { 1 , 9 }

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Funo Injetora

Dizemos que uma funo f de A em B injetora se quaisquer dois elementos diferentes do seu domniotm imagens diferentes.

Funo Bijetora

toda funo f de A em B que simultaneamente injetora e sobrejetora.

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Funo Crescente e Decrescente

a) Funo crescente :

Se A D

f crescente em A [x2 > x1 f ( x2 ) > f ( x1 ) , x1 , x2 A]

Isto , a um maior valor de x corresponde um maior valor de f(x).

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b) Funo Decrescente :

Se A D

f decrescente em [A x2 > x1 f ( x2 ) < f ( x1 ) , x1 , x2 A]

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Funo Par

Dizemos que uma funo f : A B par se , e somente se,

x A, f ( - x ) = f ( x )

O grfico de uma funo par simtrico com relao ao eixo das ordenadas.

Funo mpar

Dizemos que uma funo f : A B mpar se, e somente se,

x A f (- x) = - f (x)

O grfico de uma funo mpar simtrico com relao origem do sistema cartesiano

Ex:

F(x) = sen x impar pois sen(-x) = - senx.F(x) = cos x par pois cos(-x) = - cosx

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Funo inversa

Denomina-se funo inversa da funo bijetora f : A B a funo f-1: B A que se obtm trocando deposio os elementos de todos os pares ordenados da funo f.

f = {(1, 4) , (2, 5) , (3, 6)} f-1 = {(4,1), (5, 2), (6, 3)}

Observao.

Para se obter a inversa de uma funo, devemos proceder da seguinte forma:

- isola-se o x

- troca-se x por y e y por x

Exemplo:

Dar a inversa da funo:

Resoluo:

( 5x + 1)y = 2x - 3

5xy + y = 2x - 3

5xy - 2x = - y - 3

x(5y - 2) = - y - 3

x = =

Assim:

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Matrias > Matemtica > Funo Exponencial e Logartmica

Funo Exponencial e Logartmica

Definio

O logaritmo de "a" na base "b" o expoente "c" que devemos dar a "b" para que este fique igual aonmero "a". Nestas condies dizemos:

logba = c bc = a

b > 0

b 1

a > 0

Ex:

pois 26 = 64

Obs.

I - Em as condies de existncia devem ser:

9 - x > 0 x < 9

x - 3 > 0 x > 3

x - 3 1 x 4

II - Quando no se menciona a base, esta o nmero 10.

Ex:

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Caracterstica e Mantissa

Em logx = c + m, onde c Z e, denominado caracterstica, e m mantissa vem do latim,significando excesso.

Ex:

log2 = 0,301 onde c = 0 e m = 0,301

log20 = 1,301 onde c = 1 e m = 0,301.

log 200 = 2,301 onde c = 2 e m = 0,301.

Assim, se x 1, a caracterstica a quantidade de algarismos da parte inteira de x, menos 1.

log0,2 = -1 + 0,301 = onde c = -1 e m = 0,301.

log0,02 = -2 + 0,301 = onde c = - 2 e m = 0,301.

Assim, se 0 < x < 1, a caracterstica a quantidade de zeros que precedem o primeiro algarismo no-nulo,aferida de sinal negativo.

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Matrias > Matemtica > Funo Exponencial e Logartmica

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Equaes e Inequaes Logaritmas

So casos onde ns temos que reduzir as equaes que esto envolvendo logaritmos e exponenciais aexpresses do tipo:

a = b , loga b = x , dx < dy ou loga b < y

Assim vejamos:

32x = 81 . 3x + 2

32x = 34 . 3x + 2

32x = 34+x+2

32x = 3x+6 2x = x + 6

x = 6Ex:

x = 20 = 1 ou x = 22 = 4

Funo Logaritmica

Funo logaritmica uma funo definida em com imagem, , onde a R e 0 < a 1.

Se a > 1, a funo ser estritamente crescente, e portanto, uma desigualdade entre os dois elementos dodomnio, conservar o seu sentido entre os elementos correspondentes do conjunto imagem. Casocontrrio, ou seja, se 0 < a < 1, f ser estritamente decrescente, e portanto inverter o sentido dadesigualdade.

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Matrias > Matemtica > Progresses Aritmticas e Geomtricas

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Progresses Aritmticas e Geomtricas

Sequncia

uma expresso do termo geral an em funo de n (ndice do termo da sequncia).

A formula de recorrncia fornece o 1 termo e expressa um termo qualquer an+1, em funo do seuantecedente an.

Ex:

a1 = 3

an = 2 + an+1 {3, 5, 7, 9 ...}

Progresso Aritmtica

Definio

uma seqncia onde somando uma constante r ( denominada razo ) a cada termo, obtem se o termoseguinte.

Assim:

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = a1 + 3r . . . . an = a1 + ( n - 1 ) . r, que conhecida como a Frmula do Termo Geral.

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Matrias > Matemtica > Progresses Aritmticas e Geomtricas

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Propriedades

( 1 ) Cada termo, a partir do segundo, mdia aritmtica entre o termo que o precede e o termo que osucede.

( 2 ) A soma de dois termos equidistante dos extremos igual a soma dos extremos.

A partir desta propriedade demonstra-se que a soma dos termos de uma P.A. dada por:

Sn = . n

Interpolao Aritmtica

A e C so os extremos da PA e k o nmero de termos a ser interpolado.

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Matrias > Matemtica > Progresses Aritmticas e Geomtricas

Definio

uma sequncia onde multiplicando cada termo por uma constante q ( denominada razo ), obtm-se otermo seguinte.

Assim:

a2 = a1 . q

a3 = a2 . q = a1 . q2

a4 = a3 . q = a1 . q3

. . . an = a1 . qn-1 que a Frmula do Termo Geral.

Propriedades

( 1 ) Cada termo, a partir do segundo, mdia geomtrica entre o termo que o precede e o termo que o

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sucede.

( 2 ) O produto de dois termos eqidistante dos extremos igual ao produto dos extremos.

A partir desta propriedade demonstra-se que o produto dos termos de uma P.G. dado por:

1.

Se q = 1 ento sn = n . a1

( 4 ) Se 1 < q < 1

e n tende a infinito, an tende a zero, e Sn a um nmero S chamado limite da soma obtido por S = .

Interpolao geomtrica

onde B e A so os extremos da PG,

K = nmero de termos que se deseja interpolar.

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Matrias > Matemtica > Nmeros Complexos

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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NMEROS COMPLEXOS

Definio

Forma algbrica de um nmero complexo Z = a + bi, onde

e i uma unidade imaginria.

O nmero i tem potncias peridicas:

... i0= 1 , i4 = 1 ... i4k = 1

... i1 = i , i5 = i ... i4k+1 = i

... i2 = -1 , i6 = -1 ... i4k+2= -1

... i3 = -i ... i7 = -i ... i4k+3 = -i

onde .

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Matrias > Matemtica > Nmeros Complexos

Desta forma para obtermos uma potncia de i basta dividir o expoente por 4, e calcular i elevado ao restoda diviso.

As quatro operaes so realizadas entre nmeros complexos na forma algbrica, operando os termos ondeaparece i (ditos parte imaginria) algebricamente, e da mesma forma com as partes reais. nico destaque,para a diviso que dever ser feita multiplicando dividendo e divisor, pelo complexo conjugado do divisor.

Chama-se complexo conjugado de Z = a + bi ao complexo

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Ex:

i124 = ?

Logo i124 = i0

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Matrias > Matemtica > Nmeros Complexos

Operaes com Nmeros Complexos

Adio/Subtrao:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Multiplicao

(a + bi) - (c - di) = (a - c) + (b - d)i

Diviso

Ex:

z1 = 3 + 5i

z2 = 2 + li

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Matrias > Matemtica > Nmeros Complexos

Propriedades

De um Nmero Complexo z = a + bi

P1:

P2:

P3:

P4:

P5: onde | Z | = a2 + b2

P6:

P7: |z1.z2| = |z1| . |z2|

P8:

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Matrias > Matemtica > Nmeros Complexos

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Forma Trigonomtrica de um Nmero Complexo

Seja um n complexo z = a + bi

Define-se:

(1 ) Mdulo de z: |z| = p =

(2) Argumento de z: um ngulo , onde 0

(3) Forma geomtrica de z:

z = p(cos + sen )

(4) Plano de Argand Gauss.

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Matrias > Matemtica > Nmeros Complexos

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Exemplo:

Passa z para a forma trigonomtrica:

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Matrias > Matemtica > Nmeros Complexos

Frmulas "De Moiure"

Dados:

Aplicando trigonometria demonstra-se que:

(1) z1 . z2 = p1p2[cos( 1 + 2) + i sen( 1 + 2)]

(2) z1 : z2 = p1/p2[cos( 1 - 2) + i sen( 1 - 2)]

(3) zn = pn [cos(n ) + i sen(n )]

Conhecida como1 frmula de "De Moiure".

(4) Razes n simas:

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onde k = 0,1,2, ... , n 1, conhecida como 2 frmula de "De Moiure".

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Matrias > Matemtica > Nmeros Complexos

Exemplo:

Resolver em C:

x2 + 9 = 0

Seja x = a+ bi um nmero complexo que seja a soluo da equao.

Assim:

Substituindo na 1:

z1 = +3i z2 = -3i

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Matrias > Matemtica > Anlise Combinatria

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Anlise Combinatria

PRINCPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Se um evento ocorre em "n" etapas sucessivas e independentes de tal maneira que:

a1 seja o n de possibilidades de ocorrncia da 1 etapa, a2 seja o n de possibilidades de ocorrncia da 2etapa, ...

an seja o n de possibilidades de ocorrncia da n etapa.

Ento, o nmero total de possibilidades de ocorrncia desse evento dado por: a1.a2.a3. ... . an

PERMUTAES

So grupos que diferem entre si por alteraes de ordem em seus elementos.

Permutaes Simples (sem elementos repetidos)

Pn = n!

Obs.

n! = n (n-1) (n-2) ... 1,

Permutaes com Elementos Repetidos

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Matrias > Matemtica > Anlise Combinatria

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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ARRANJOS

So grupos que diferem entre si por alteraes de ordem e natureza em seus elementos.

Arranjos Simples (sem repeties)

An, p =

Arranjos Completos (com repeties)

Obs. Problemas envolvidos com nmero de arranjos podem ser resolvidos por aplicao do principiomultiplicativo.

COMBINAES SIMPLES

So grupos que diferem entre si por alterao de natureza em seus elementos.

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Matrias > Matemtica > Binmio de Newton

BINMIO DE NEWTON

Fatorial

Sendo um nmero natural, o fatorial de n, indicado por n! definido por:

Exemplo:

Nmero Binomial

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Exemplo:

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Matrias > Matemtica > Binmio de Newton

Propriedades

I)

Exemplo:

(so ditos complementares)

II)

Exemplo:

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Matrias > Matemtica > Binmio de Newton

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Relao entre Nmeros Binomiais

Relao de stifel:

Exemplo:

Tringulo de Pascal: ( ou tartaglia )

uma tabela onde podemos dispor ordenadamente os coeficientes dos nmeros binomiais.

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Matrias > Matemtica > Binmio de Newton

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Substitudo pelos seu valores, obtemos

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Na construo do Tringulo de Pascal no necessrio calcular os coeficientes binomiais um a um, bastausarmos algumas de suas propriedades que darei a seguir:

Em cada linha o primeiro e o ltimo so iguais a 1.

A partir da 3 linha, cada elementos ( com exceo do 1 e do ltimo ) a soma dos dois elementos dalinha anterior, imediatamente acima dele.

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Matrias > Matemtica > Binmio de Newton

Desenvolvimento do Binmio de Newton

Binmio de Newton

Exemplo:

(x + 2)4 = C4,0 . x4 . 20 + C4,1 . x3 . 21 + C4,2 . x2 . 22 + C4,3 . x1 . 23 + C4,4 . x0 . 24 = x4 + 8x3 + 24x2 +32x + 16

Frmula do Termo Geral do Binmio de Newton

Seja o Binomio (X + A)n:

A frmula do termo geral dada por:

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Exemplo:

Calcular o 6 termo do desenvolvimento de (x + y)15:

C15,5 . x10

. y5

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Matrias > Matemtica > Probabilidade

PROBABILIDADES

Experimento Aleatrio

Experimento aleatrio qualquer experincia ou ensaio cujo resultado improvvel dependendoexclusivamente do acaso.

Exemplo:

Lanar um dado e observar o nmero da face voltada para cima.

Injetar uma dose de insulina em uma pessoa e observar a quantidade de acar que diminuiu.

Espao Amostral

Chama-se espao amostral ao conjunto formado por todos os resultados possveis na realizao de umexperimento aleatrio qualquer.

Evento

Evento qualquer subconjunto do espao amostral.

Exemplo:

Ocorrer cara no lanamento de uma moeda.

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Matrias > Matemtica > Probabilidade

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Definio

Chama-se probabilidade do evento A e indica-se P(A) ao quociente :

onde n(A) o nmero de possibilidades de ocorrncia do evento A e n(W) o nmero de elementos doconjunto W (espao amostral).

Exemplo:

No lanamento de um dado qual a probabilidade de sair um nmero par ?

A = (2, 4, 6) W=(1, 2, 3, 4, 5, 6)

Nota 1 :

Nota 2 : onde o evento complementar de A.

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Matrias > Matemtica > Probabilidade

Teorema da Soma

P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

* Se A e B so eventos mutuamente exclusivos:

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P(A B) =

logo P(A B) =P(A) + P(B).

Eventos Independentes

A e B so eventos independentes se

Probabilidade Condicional

Ex. Uma urna I contm 2 bolas vermelhas e 3 bolas brancas e uma urna II contm 4 bolas vermelhas e 5bolas brancas. Uma urna escolhida ao acaso e dela uma bola extrada ao acaso. Qual a probabilidade deobservados urna I e bola vermelha ?

P(URNA) = 1/2 P (Vermelha/ I ) = 2/5 I

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Matrias > Matemtica > Matrizes

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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MATRIZES

CONCEITO

Matriz uma tabela constituda por nmeros ou letras dispostos em m linhas por n colunas.

Exemplo:

Obs 1. A matriz acima tem 2 linhas por 3 colunas.

Obs 2. A representao genrica da matriz M M = (aij)nxp onde aij o elemento que ocupa a linha i e acoluna j.

Para a matriz acima, temos, por exemplo, a23 = p e a12 = 5.

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Matrias > Matemtica > Matrizes

Tipos de Matrizes

Classificao de matrizes

Matrizes Nula: a matriz que tem todos os seus elementos iguais a zero.

Matriz quadrada: a matriz que tem o numero m de linhas igual ao nmero n de colunas.

Obs.: A matriz nxn denominada matriz quadrada de ordem n.

Diagonal principal e diagonal secundria:

Seja A=

Os elementos a11 = 1, a22 = 5 e a33 = 9 formam a diagonal principal e os elementos a13 = 3, a22 = 5 e a31 =7 formam a diagonal secundria.

Matriz diagonal: a matriz que apresenta todos os elementos que no pertencem diagonal principaliguais a zero.

Exemplo:

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Matriz Identidade ou Unidade: toda matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal soiguais a um e os demais elementos so iguais a zero.

Exemplo:

I2 = I3 =

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Matrias > Matemtica > Matrizes

Matriz transposta: Dada uma matriz A = (aji)mxn, chama-se transposta de A a matriz At = (aji)mxn, tal que

aji = aij , para todo i e todo j, ou seja, as colunas de At so ordenadamente iguais s linhas de A.

Exemplo:

Matriz Simtrica

toda matriz quadrada A tal que At = A.

Exemplo:

A = simtrica pois At = A

Matriz Anti-simtrica

toda matriz quadrada A tal que At = -A

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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A = anti-simtrica pois At = -A

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Matrias > Matemtica > Matrizes

Operaes com Matrizes

a) Adio e Subtrao

A e B sendo matrizes do mesmo tipo, tem por adio matriz onde cij = aij bij

b) Multiplicao por um n real

Sendo h = ( aij ) e

. h = ( aij)nxp

Exemplo:

c ) Multiplicao entre matrizes

Para ser possvel efetuar o produto entre duas matrizes, o nmero de colunas da primeira matriz deve serigual ao nmero de linhas da segunda matriz.

Somam-se os produtos dos elementos das linhas da primeira matriz pelos elementos correspondentes dascolunas da 2 matriz.

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Matrias > Matemtica > Matrizes

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Disposio prtica para o clculo do produto: Considerando as matrizes A e B e dispondo conformeesquema abaixo, cada elemento cij obtido a partir da linha de A e coluna de B que nela se cruzam.Assim , por exemplo: c12= 1 . 7 + 3 . 9 = 34.

Obs. somente existe o produto de uma matriz A por outra B se o nmero de colunas de A igual aonmero de linhas de B.Se existe um produto de A por B, o tipo da matriz produto dado pelo nmero delinhas de A e pelo nmero de colunas de B.Pode existir o produto de A por B, mas no existir o produto deB por A.

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Matrias > Matemtica > Matrizes

Equaes Matriciais

Veja o modelo: sendo A e B matrizes de mesmas ordem, calcular x em funo de A e B.

2x - A = 3 B

Adicionando-se a matriz A pela direita nos 2 membros :

2x - A + A = 3 B + A

2x = 3 B + A

Multiplicando-se os dois membros por 1/2:

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Matrias > Matemtica > Matrizes

Matriz Inversa

Chama-se matriz inversa da matriz quadrada A e indica-se por A-1, matriz tambm quadrada, que, seexistir, satisfaz a condio :

A . A-1 = A-1 . A = In

Onde In a matriz unidade ou identidade.

Exemplo:

Dada a Matriz A = sua inversa : , pois.

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Matrias > Matemtica > Noes de Lgica - Problemas de Raciocnio

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Noes de Lgica - Problemas de Raciocnio

Conceito Primitivo:

Conceitos primitivos so aqueles aceitos sem definio. Ex. Conceitos de ponto, reta e plano.

Teorema:

Teoremas so proposies aceitas mas mediante demonstrao. Ex. Teorema de Pitgoras.

Postulados:

Postulados so preposies aceitas sem demonstrao.

Exemplo:

Dois pontos quaisquer formam uma reta.

Observao:

Uma proposio Matemtica sempre vai ser verdadeira ou falsa, nunca ocorrendo as duas situaes aomesmo tempo.

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Matrias > Matemtica > Noes de Lgica - Problemas de Raciocnio

Simbologia:

= igual

ou

e

unio

interseco

~ no

existe

no existe

| existe e nico

para todo (qualquer)

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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implicao

se, somente se ....

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Matrias > Matemtica > Noes de Lgica - Problemas de Raciocnio

Tabelas Verdade:

Sejam p e q proposies:

Tabela do "ou" ( )

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

Tabela do "E" ( )

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

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Matrias > Matemtica > Noes de Lgica - Problemas de Raciocnio

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Tabela do "se..., ento ..." (implicao).

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Tabela do "se, e somente se"

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

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Matrias > Matemtica > Princpio da Induo Finita

Princpio da Induo Finita

Seja P uma proposio qualquer referente a um nmero inteiro.

Normalmente a proposio P tem alguma restrio para um certo n0 dado.

Assim o princpio da induo finita diz que, se for possvel devemos provar que a proposio :

1) verdadeira para n0.

2) E se ela for verdadeira para um valor k da varivel "n" ento P tambm verdadeira para k + 1.

Exemplo:

prove por induo que

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Uma vez que nosso vai tomar o valor inicial igual a 1.

1) n = 1 : 1 = 12

2) Vamos ter como hiptese * / 1 + 3 + 5 + ... (2k - 1) = k2

Nossa tese que 1 + 3 + 5 + ... (2K + 1) = (k + 1)2

Partindo da hiptese vamos demonstrar. = k2 + 2k + 1

Assim

k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 cqd.

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Matrias > Matemtica > Determinantes

DETERMINANTES

Definio

Determinante um nmero associado matriz quadrada de ordem n.

Ex:

16 o valor do determinante associado na matriz de ordem 2 dada.

Clculos

DETERMINANTE DE 2 ORDEM

DETERMINANTE DE 3 ORDEM (Regra de Sarrus)

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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+ (a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31)+ (a13 . a21 . a32)

- (a31 . a22 . a13) + (a32 . a23 . a11)+ (a33 . a21 . a12)

D = 1 + 0 + 8 - 6 - 0 - 8 = -5

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Matrias > Matemtica > Determinantes

TEOREMA DE LAPLACE

O determinante de ordem n igual a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer pelosrespectivos cofatores.

Chama-se cofator ou complemento algbrico do elemento aij e indica-se por Cij ao produto (-1)i+j. Dij

onde Dij o determinante obtido suprimindo-se a linha -i e a coluna -j.

REGRA DE CHI

Desde que a matriz M tenha a11 = 1, suprimimos a 1 linha e a 1 coluna de M.

De cada elemento restante na matriz, subtramos o produto dos elementos que se encontram nasextremidades das perpendiculares, traadas do elemento considerado 1 linha e 1 coluna.

Com as diferenas obtidas, construmos uma matriz de ordem (n - 1), cujo determinante igual ao de M.

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Exemplo:

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Matrias > Matemtica > Determinantes

Propriedades dos determinantes

Casos em que o determinante igual a zero:quando todos os elementos de uma fila so nulos.

quando possui duas filas paralelas proporcionais ou iguais.

quando uma de suas filas combinao linear de outras filas paralelas.

Transformaes que no alteram um determinante:um determinante no se altera quando se trocam ordenadamente as linhas pelas colunas.

um determinante no se altera quando se somam aos elementos de uma os correspondenteselementos de fila paralela multiplicados por uma constante.

Transformaes que alteram determinantes: um determinante muda de sinal quando se trocam as posies de duas filas paralelas.

quando se multiplica ( ou divide ) uma fila, o determinante fica multiplicado ( ou dividido ) poresse nmero.

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Matrias > Matemtica > Determinantes

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Propriedades complementares: Se numa matriz quadrada forem nulos todos elementos situados de um mesmo lado da diagonalprincipal, o determinante da matriz ser igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

det (A . B) = det A . det B (Teorema de Binet).

det A = det At.

determinante de uma matriz de Vandermonde:

Clculo da Matriz Inversa atravs de Determinantes

A-1 =

Obs.

se det A 0 ento A-1 e a matriz A dita inversvel.

se det A = 0, ento no existe A-1, isto , a matriz A no inversvel.

Neste caso matriz A dita matriz singular.

Exemplo:

Dada a matriz A = calcular sua inversa:

Det A = 4 - 6 = -2

Matriz dos cofatores de A =

Matriz dos cofatores de A transposta =

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Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Matrias > Matemtica > Sistemas Lineares

SISTEMAS LINEARES

Definio:

Um conjunto com m (m 1) equaes lineares a n incgnitas x1, x2, x3,.... xn denomina-se sistema linear.

Se o conjunto ordenado de nmeros ( 1, 2, 3,.... n) satisfazer todas as equaes linerares do sistema,ser denominado soluo do sistema linear.

Exemplo:

tem como soluo x = 1 e y = 3, ou seja, (1 ; 3).

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Matrias > Matemtica > Sistemas Lineares

Classificao:

Os sistemas lineares so classificados quanto ao nmero de solues da seguinte maneira:

Exemplo:

no tem soluo

tem soluo indeterminada que pode ser representada por

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Expresso matricial de um sistema linear:

Chamamos de D o determinante da matriz dos coeficientes das incgnitas, isto ,

D =

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Matrias > Matemtica > Sistemas Lineares

Regra de Cramer:

Esta regra s poder ser usada para sistemas possveis e determinados.

Um sistema linear ser SPD se D 0 e neste caso as solues sero dadas por:

Onde D1, D 2, D3,.... Dn so os determinantes que se obtm da matriz dos coeficientes das incgnitas,substituindo-se a coluna dos coeficientes da incgnita procurada pelos termos independentes b 1, b2,.... bn.

Exemplo:

Resolver o sistema linear utilizando a regra de Cramer

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Matrias > Matemtica > Sistemas Lineares

Sistema Escalonado:

Sistema lineares so ditos equivalentes se possuem o mesmo conjunto soluo.

Sistemas escalonados so aqueles que apresentam zeros (0), como coeficientes das variveis da seguinteforma:

Propriedades Operacionais para Obtermos um Sistema Escalonado:

P1Num sistema linear quando trocarmos as posies de duas equaes o sistema equivalente aoanterior

P2Num sistema linear, ao se multiplicar uma equao por um nmero real no nulo, o sistemacontinua equivalente.

P3Num sistema linear, ao se multiplicar uma equao por um nmero real (no nulo) e somando-seesta a uma outra equao, o sistema obtido equivalente ao anterior.

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Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Matrias > Matemtica > Sistemas Lineares

Discusso de um Sistema Linear:

Discutir um sistema quer dizer verificar se o sistema possvel, impossvel ou indeterminado.

SPD se D 0

SPI se D = 0 e D1 = D2 = ...Dn = 0

SI se D = 0 e pelo menos um Di 0

Exemplo:

Dado: discutir o sistema abaixo.

Seja: O determinante do sistema.

D = a2 - 6a = 0 a = 0 ou a = 6.

a = 0 x = 2 e y qualquer.

Logo o sistema indeterminado.

a = 6

Logo o sistema impossvel.

Resumindo: a = 6 SI.

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Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Matrias > Matemtica > Trigonometria

TRIGONOMETRIA

No Tringulo Retngulo

Consideremos o tringulo abaixo:

Onde so ngulos agudos

So definidos para os ngulos agudos de um tringulo retngulo:

Seno = sen sen

Cosseno = cos cos

Tangente = tg tg

Co-tangente = cotg cotg

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Matrias > Matemtica > Trigonometria

Ex:

Sen = 4/5 Sen = 3/5 Cotg = 3/4 tg =4/3

Cos = 3/5 Cos = 4/5 cotg = 4/3 tg = 3/4

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Matrias > Matemtica > Trigonometria

No Tringulo qualquer

Lei dos Senos

Em qualquer tringulo, o quociente entre cada lado e o seno do ngulo oposto constante e igual a medidado dimetro da circunferncia circunscrita.

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Matrias > Matemtica > Trigonometria

Lei dos Cossenos

Em qualquer tringulo, o quadrado de um lado igual soma dos quadrados dos outros dois lados, menoso duplo produto desses dois lados pelo cosseno do ngulo formado por eles.

b2 = a

2 + c

2 -2ac cos c2 = a2 + b2 - 2ab cos ou ainda:

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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cos =

cos

Atravs da lei dos cossenos, deduzimos um critrio para determinar se um ngulo interno do tringulo agudo, reto ou obtuso. Basta aplicar a tabela abaixo:

condio

agudo a2 < b2 + c2

reto a2 = b2 + c2

obtuso a2 > b2 + c2

Ex:

Qual o valor do cos x?

Utilizando a Lei dos Cossenos temos:

62 = 4

2 + 5

2 - 2.4.5. cos 36 = 16 + 25 40 cos 40 cos = 5 cos =

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Matrias > Matemtica > Trigonometria

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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ngulos Notveis

0

Seno 0 1

Cosseno 1 0

Tangente 0 1

Co-tangente 1 0

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Matrias > Matemtica > Trigonometria

Medidas de Arcos

Radianos

Define-se que

Onde c o comprimento do arco determinado pelo ngulo central sobre a circunferncia de raio r.

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Se c = r ento = 1, que recebeu o nome de radiano.

O radical radius vem do latim e quer dizer raio, o sufixo ano adjetiva o substantivo. Radiano razo entre

dois comprimentos, portanto, no tem dimenso, um nmero real. Se c = 2 ento , ou seja, o

nmero real que expressa o ngulo raso (180) Esta correspondncia ser usada para fazer conversesentre graus e os nmeros reais.

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Matrias > Matemtica > Trigonometria

Crculos Trigonomtricos

O CICLO E AS FUNES TRIGONOMTRICAS

Definies

Consideremos num sistema cartesiano ortogonal, uma circunferncia com centro na origem, raio unitrio esentido de percurso anti-horrio a partir do ponto (1;0). Tal circunferncia denominada ciclotrigonomtrico.

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Seja um ponto P de coordenadas cartesianas (a; b) , pertencente ao ciclo trigonomtrico. O ponto P

extremidade do arco de que compreende ngulo central .

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Matrias > Matemtica > Trigonometria

Nestas condies definimos:

Se pelo ponto A conduzimos a reta t paralela ao eixo y e prolongamos o segmento OP at encontrar t numponto T, e isso possvel se P no pertence ao eixo y, a ordenada de T ser a tg .

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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sen = b e cos = a

No tringulo retngulo OQP temos:

PQ2 + OQ2 = 1,

(sen )2 + (cos )2 = 1,

que pode ser escrita:

sen2 + cos2 = 1 que constitui a chamada relao fundamental trigonomtrica.

Os tringulos OAT e OQP so semelhantes, portanto:

,

,

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Matrias > Matemtica > Trigonometria

Os sinais das imagens das funes trigonomtricas seguem a distribuio abaixo:

Considerando a primeira determinao dos arcos, ou seja arcos superiores a 900 devero ser"reduzidos" ao I Quadrante da seguinte forma:

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f ( ) = (sinal da funo no quadrante). f (K)

sendo K = 1800 - se do II Quadrante,

K = - 1800 se do III Quadrante,

e K = 3600 - se do IV Quadrante.

Usando a reduo ao I Quadrante e que sen = cos (900 - ) montamos a tabela abaixo para os arcosnotveis.

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Matrias > Matemtica > Trigonometria

Funes Trigonomtricas

00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800

sen 0 1 0

cos 1 0 -1

tg 0 1 -1 0

2100 2250 2400 2700 3000 3150 3300 3600

sen -1 0

cos 0 1

tg 1 -1 0

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Matrias > Matemtica > Trigonometria

Grficos das funes trigonomtricas

FUNO SENO

Domnio = R ; Imagem = [-1;1]

FUNO COSSENO

Domnio = R ; Imagem = [-1;1]

FUNO TANGENTE

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Domnio = ; imagem = R.

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Matrias > Matemtica > Trigonometria

Funes Trigonomtricas secundrias: co-tangente, secante e cossecante.

Demonstra-se que:

Funo Perodo Sinais Domnio Imagem

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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sen x 2p R [-1, 1]

cos x 2p R [-1, 1]

tg x p

cotg x p

sec x 2p

cossec x 2p

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Matrias > Matemtica > Trigonometria

Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Equaes e Inequaes Trigonomtricas

Veja o Modelo:

Ponto A:

Ponto B:

Onde k Z

Ex:

cos x >

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Matrias > Matemtica > Trigonometria

Relaes entre as Razes Trigonomtricas

Relaes Auxiliares

sec2 = 1 + tg2 e cossec2 = 1 + cotg2

Relaes Fundamentais e auxiliares

sen2 x + cos2 x = 1

sec2x= 1+ tg2x

cossec2x = 1+ cotg2x

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Matrias > Matemtica > Trigonometria

Reduo ao 1 Quadrante

Sejam a e b arcos do 2 Quadrante

do 2 Quadrante para o 1 quadrante.

Sejam a, b arcos do 3 quadrante.

do 3 para o 1 quadrante

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Sejam a, b arcos do 4 quadrante

do 4 quadrante para o 1 quadrante

Ex:

cos (270 x) = - cos(90 x ) = - sen x

sen (90 - x) = cos x

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Matrias > Matemtica > Trigonometria

Transformaes Trigonomtricas

Adio de Arcos

Demonstra-se que:

sen (a b) = sena cosb senb cosa

cos( a b) = cosa cosb sena senb

tg(a b) =

Ex:

sen (75) = sen (45 + 30 ) = sen 45 .cos 30 + sen 30 .cos 45 =

sen2 = 2sen cos

cos2 = cos2 - sen2 tg2 =

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Matrias > Matemtica > Trigonometria

Ex:

Calcular cos 22 30;

Ex:

Sabendo que sen a = e 0 < a < 900; calcule sen 2 e cos 2

Aplicando a Relao: sen temos

Assim sen 2a = 2 sen a . cos a =

cos 2a = cos2a - sen2a =

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Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos

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Matrias > Matemtica > Trigonometria

Transformao em Produto

sen p + sen q = 2 sen

sen p sen q = 2 sen

cos p + cos q = 2cos

cos p cos q = -2sen

tg p tg q =

Exemplo:

Transformar em Produto a Expresso:

sen2x + 2cosx.

Resoluo: sen 2x + 2 cos x = 2 sen x cos x + 2 cos x = 2 cos x (sen x + 1) Mas: sen + 1 = sen x + sen =

2 . sen

Ento: sen 2x + 2cos x = 2. (cos x).

sen 2x + 2cos x = 4. cos x. sen

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Matrias > Matemtica > Trigonometria

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Funes trigonomtricas Inversas

1. FUNO ARCO-SENO

Consideremos y = sen x

no intervalo com contra domnio [-1;1] .

Nestas condies temos uma funo bijetora e ento podemos definir a sua funo inversa, ou seja,

y = arcsenx com domnio [-1;1] e imagem conforme o grfico abaixo.

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2. FUNO ARCO-COSSENO

y = arc cos x cos y = x

D = [-1, 1]

I = [0, ]

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Matrias > Matemtica > Trigonometria

3. FUNO ARCO-TANGENTE

Consideremos y = tgx no intervalo ; sua funo inversa y = arc tgx com domnio real e

imagem

conforme o grfico abaixo.

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Ex:

Calcular:

Logo, sen2a + cos2a = 1.

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Matrias > Matemtica > Polinmios

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POLINMIOS

Definio

Chama-se polinmio na varivel real x, toda a expresso da forma p(x) = a0xn + a2xn-1 + a2xn-2 + an-1x1

onde N .

Raiz ou zero do Polinmio

Trata-se do valor de P(x) que faz: P(x) = 0

A existncia das razes da equao P(x) = 0 garantida pelo teorema fundamental da lgebra, atribudo aD'Alembert: "Toda equao polinomial tem pelo menos uma raiz, real ou complexa.

Valor Numrico de um polinmio

Para x = b representado por P(b) = a0 . bn + a1 . bn-1 + a2 . bn-2 +an

Grau de um Polinmio

Chama-se grau de um polinmio P(x) 0, o nmero n tal que n o maior valor de n , para o qualan 0 (onde n = 0,1,2,3 ...) Ex. P(x) = 2x3 - 3x + 1 Grau 3 P(x) = 5 Grau 0 P(x) = x2 - 3x +7 Grau 2

Polinmio Nulo

Diz se que um polinmio P(x) identicamente nulo se P(a) = 0 para qualquer a.

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Matrias > Matemtica > Polinmios

Operaes com Polinmios

Soma / Subtrao de Polinmios

Da lgebra elementar temos que ns s podemos somar e/ou subtrair termos semelhantes, ou seja, termosque possuam expoentes iguais. Ex. P(x) = 3x4 - 7x3 + 5x2 + 12x - 8 Q(x) = x4 - 12x2 + 7x + 2 P(x) + Q(x)= 4x4 - 7x3 - 7x2 + 19x - 6 P(x) - Q(x) = 2x4 - 7x3 + 17x2 + 5x - 10

Multiplicao de Polinmios

Ex:

2x2 - 7x + 4) . (x3 + 2x) = 2x5 + 4x3 - 7x4 - 14x2 + 4x3 + 8x

Diviso de Polinmios

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Mtodo da chave:

Ex:

Assim o Q(x) = o quociente da diviso e R(x)= 9/4 o resto.

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Matrias > Matemtica > Polinmios

Teoremas

Teorema do Resto

O resto da diviso de um polinmio p (x) por x c o valor numrico de p(x) em c, isto , o resto p (c).

Ex:

Calcular o resto da diviso de f = x3 - 2x2 + 3 por x - 1.

r = f(1) = 1 2 + 3 = 2

Teorema de DAlembert

Um polinmio p(x) divisvel por x c se e somente se p (c) = 0.

Dispositivo de Briot Ruffini

Dividir x3 - 7x - 6 por x - 3. Observando que x3 - 7x - 6 = x3 + 0x2 - 7x - 6, temos:

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Matrias > Matemtica > Equaes Algbricas

Equaes Algbricas

Definio

Uma equao algbrica ou polinomial a equao do tipo p( x ) = 0

Teorema: se um nmero complexo raiz de uma equao polinomial, ento o seu conjugado tambm raiz desta equao e com mesma multiplicidade.

Teorema Fundamental da lgebra

Toda a equao polinomial tem pelo menos uma raiz, real ou complexa.

Multiplicidade de Razes

Dizemos que x0 raiz de multiplicidade 2 quando x0 raiz duas vezes. Se o x0 raiz tripla dizemos que x0 raiz de multiplicidade 3 etc

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Matrias > Matemtica > Equaes Algbricas

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Relaes de Girard

Eq. de 3 grau: sejam r1, r2, r3, as razes da equao ax3 + bx2 + cx + d = 0

r1 + r2 + r3 = -

r1 . r2 + r1 . r3 + r2 . r3 =

r1 . r2 . r3 =

Ex:

Sejam x1, x2, x3 as razes da equao 2 x3 + 4x2 - 5x + 8; escrever as relaes de Girard:

x1 + x2 + x3 =

x1 . x2 + x1 . x3 + x2 . x3 =

x1 . x2 . x3 = -

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Matrias > Matemtica > Equaes Algbricas

Pesquisa de razes racionais

Seja a equao anxn-1 + an+1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0.

Dizemos que as provveis razes racionais desta equao pertencem ao conjunto dos nmeros com p, q Z* onde p divisores a0 e q divisores de an.

Ex:

Resolver a equao x3 - 7x + 6 = 0.

p/q = 1, 2, 3, 6, so as possveis razes.

Devemos verificar qual ou quais desses valores (so) razes de P(x). No caso P(1), P(-3) e P(2) so nuloslogo x1 = 1, x2 = -3, x3 = 2 so as razes do polinmio.

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Matrias > Matemtica > Geometria Analtica

Geometria Analtica

Definio

uma parte da matemtica que trata de resolver problemas geomtricos por processos algbricos.

Coordenadas de um ponto:

Consideremos uma reta M. Nela vamos marcar um ponto arbitrrio. Ele ser definido como origem.

Agora podemos marcar qualquer ponto dado. Por ex: Pontos 3 e 4.

Imagine agora dois eixos ortogonais que chamaremos de eixos X e Y. Vamos marcar pontos neste planoencontrando as coordenadas ( X: Abscissa e Y Ordenada ) destes pontos:

A ( 2, 3 )

B ( -5, 2 )

C (-1, -4 )

D ( 3, -1 )

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Matrias > Matemtica > Geometria Analtica

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Propriedade

Obs. Qualquer ponto do eixo x tem y = 0

Qualquer ponto do eixo Y tem x = 0

Obs. Pontos da Bissetriz dos quadrantes impares 1o. e 3o. tem x = y

Ponto da Bissetriz dos quadrantes pares 2o. e 4o. tem x = -y

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Matrias > Matemtica > Geometria Analtica

Distncia de 2 pontos

Distncia de dois pontos

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Ponto mdio

Ponto mdio de um segmento

Baricentro

Baricentro do tringulo

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Matrias > Matemtica > Geometria Analtica

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Condio de alinhamento de 3 pontos

Dados 3 pontos

Temos que A, B e C esto alinhados se:

D = Se os pontos no estiverem alinhados, formam um tringulo de rea

Equao da reta por dois pontos

Equao da reta por 2 pontos (x1 , y1) e (x2 , y2)

Equao geral da reta

Que desenvolvido resulta em:

ax + by + c = 0

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Matrias > Matemtica > Geometria Analtica

Equao da reta por um ponto e um ngulo

Dada a equao geral

ax + by + c = 0

isolando-se o y temos:

onde:

Dados 2 pontos , distintos, calculamos m, coeficiente angular, como segue:

o coeficiente angular a tangente do ngulo o que a reta forma com o eixo das abscissas.

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Dada a equao geral da reta

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Matrias > Matemtica > Geometria Analtica

Tipos de equao da reta

Equao segmentria da reta

Equao reduzida da reta

y = mx + n

Posio relativa de 2 retas

Retas paralelas

m1 = m2

Retas perpendiculares

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Distncia de ponto a retas

Distncia do ponto (x0, y0) reta ax + by + c = 0:

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Matrias > Matemtica > Geometria Analtica

ngulo de duas retas

Sejam M e concorrentes como na fig. abaixo.

Obs. Que elas formam dois ngulos de tal forma que = 180 ou seja

O ngulo entre elas calculado por:

Onde so os coeficientes angulares das duas retas.

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Matrias > Matemtica > Geometria Analtica

Circunferncia

Equao da circunferncia

Equao reduzida da circunferncia

ou ainda

Equao normal da circunferncia

Coordenadas do centro

Raio

Condio de existncia

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Matrias > Matemtica > Geometria Analtica

Posio relativa entre uma reta e uma circunferncia

Dados uma circunferncia de equao

E uma reta m de equao: d x + e y + f = 0.

Temos que pode ocorrer 3 posies da reta em relao circunferncia.

1o. Tangente

T: Ponto de tangncia. Seja d a distncia entre o centro C e a reta M. Neste caso: d = R

2o. Secante

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Neste caso d < R.

O segmento denominada corda.

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3o. Exterior

Neste caso d > R. No caso de conhecermos as equaes da reta e da circunferncia, para se saber qual casotemos, vamos resolver o sistema formado por suas equaes e descobrir o nmero de solues:

Este sistema pode ter 0, 1 ou 2 solues, dependendo do discriminante da

equao do 2o. Grau associado:

Se:

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> 0 2 solues: A reta e a circunferncia so secantes

= 0 1 soluo : tangentes

< 0 soluo : exteriores

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Matrias > Matemtica > Geometria Analtica

Exemplo:

Qual a posio relativa da reta de equao x + y 1 = 0 com a circunferncia

Temos.

y = 1 x e substituindo na equao da circunferncia ficamos com:

Logo a reta secante circunferncia nos pontos (0; 1) e (2; -1).

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Matrias > Matemtica > Geometria Espacial

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GEOMETRIA ESPACIAL

CUBO

Cubo ou Hexaedro Regular

o slido construdo com seis quadrados conforme ilustra a figura abaixo.

Diagonal : D = a

rea: S = 6 a2

Volume: V = a3

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Matrias > Matemtica > Geometria Espacial

Paraleleppedo

Paraleleppedo Reto-Retngulo

o slido construdo com seis retngulos, congruentes dois a dois, conforme ilustra a figura abaixo,

Diagonal:

rea : S = 2 (ab + bc + ac)

Volume: V = abc

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Matrias > Matemtica > Geometria Espacial

Prismas

Alm do cubo e do paraleleppedo reto-retngulo estudados anteriormente, tambm so prismas os slidosrepresentados abaixo. Se suas bases forem polgonos regulares, e as arestas laterais perpendiculares sbases, eles se denominam prismas regulares.

H

Volume:

onde a rea da base.

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Matrias > Matemtica > Geometria Espacial

Pirmides

So slidos como o representado na figura abaixo. Se a base for um polgono regular, e a projeoortogonal do vrtice sobre a base coincidir com o seu centro, a pirmide denominada pirmide regular.

H2 = a2 + ap2 onde H: altura da pirmide.

a: aptema da base (raio da circunfernciainscrita).

ap: aptema da pirmide, ou aptema lateral.

Volume:

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Matrias > Matemtica > Geometria Espacial

Cilindros

Cilindro Circular Reto

o slido como o representado na figura abaixo.

rea Lateral:

rea total:

Volume:

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Matrias > Matemtica > Geometria Espacial

CONE

Cone Circular Reto

o slido como o representado na figura abaixo.

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rea lateral:

rea total: S = R(g + R)

Volume:

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Matrias > Matemtica > Geometria Espacial

ESFERAS E DERIVADOS

rea da superfcie:

Volume:

CUNHA

rea do fuso:

Volume da cunha:

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Matrias > Matemtica > Geometria Espacial

Poliedros:

So slidos do espao de 3 dimenses cuja fronteira a reunio de partes de planos.

Tetraedro 4 faces Pentaedro: 5 facesHexaedro 6 faces

Heptaedro 7 faces

Etc...

Relao de Euler

Em qualquer poliedro convexo vlida a relao:

V A + F = 2

Onde: V = n de vrtices;

A = n de arestas;

F = n de faces.

Soma dos ngulos das faces : S

S = (V-2).360

Poliedros de Plato

Existem cinco e somente cinco Poliedros de Plato.

F A V

Tetraedo 4 6 4

Hexaedro 6 12 8

Octaedro 8 12 6

Dodecaedro 12 30 20

Icosaedro 20 30 12

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Matrias > Matemtica > Geometria Espacial

Slidos de Revoluo

O clculo da rea de uma superfcie de revoluo pode ser feito, usando-se a seguinte frmula:

Onde A = rea da superfcie gerada.

L= comprimento da geratriz

d = distncia do centro da gravidade da geratriz ao eixo. O clculo do volume do slido de revoluo podeser feito, usando-se a frmula

S = rea da superfcie geradora.

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Matrias > Matemtica > Geometria Espacial

rea lateral do cilindro de revoluo

A = 2 . L. d

Volume do cilindro de Revoluo

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V=

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Matrias > Matemtica > Geometria Espacial

rea Lateral de um cone de Revoluo

A = 2 Ld

A = .M.g

Volume de um cone de Revoluo

V = 2 . S. d

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Matrias > Matemtica > Geometria Plana

Geometria Plana

Polgonos

Definio: sejam n pontos(n > 3), A1, A2, A3, ..., An de um mesmo plano, trs a trs no colineares, demodo que as retas determinadas por dois pontos consecutivos deixem todos os demais num mesmosemi-plano. Nestas condies a unio dos segmentos A1, A2, A2, A3, ..., An, A1 chamada de polgonoconvexo.

N Nome

3 Tringulo

4 Quadriltero

5 Pentgono

6 Hexgono

7 Heptgono

8 Octgono

9 Enegono

10 Decgono

11 Undecgono

12 Dodecgono

15 Pentadecgono

20 Icosgono

Para os demais dizemos: polgono de n lados.

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Matrias > Matemtica > Geometria Plana

Nmero de diagonais

Chama-se diagonal o segmentos que une dois vrtices no consecutivos.

Cada vrtice d origem a (n - 3) diagonais; menos 3, pois se eliminam o prprio vrtice, e os dois vrticesadjacentes.

Os n vrtices do origem a n.(n - 3) diagonais.

Como cada diagonal foi contada duas vezes, temos:

Soma dos ngulos internos Si

Como ilustram as figuras a seguir, as diagonais que partem de um vrtice, dividem o polgono em (n - 2)tringulos. Como a soma dos ngulos internos de um tringulo 180o, ento a soma dos ngulos internosde um polgono : Si = (n - 2) . 1800

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Soma dos ngulos externos Se

Sejam ai e ae os ngulos interno e externo respectivamente de um vrtice de um polgono.

Nestas condies, em qualquer vrtice, temos ai e ae = 180

Considerando os n vrtices temos:

Si + Se = n . 180

(n - 2) . 180 + Se = n . 180

n . 180 - 360 + Se = n . 180

Se = 360

ngulo interno ai e ngulos externo ae .

Se o polgono for regular (lados iguais e ngulos iguais) temos: e

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Quadrilteros notveis

Trapzio

Tem dois lados paralelos.

Se tiver dois ngulos retos: trapzio retngulo.

Se tiver os lados no paralelos