Material Semana 6 Matemática Ecuaciones Lineales y Cuadráticas Versión PDF

MATEMÁTICA

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR

Curso de Nivelación 2014

Universidad de El Salvador, Derechos Reservados ador, Derechos Reservados

Universidad de El Salvador, Derechos Reservados 2013


CURSO DE NIVELACIÓN PARA NUEVO INGRESO 2014

MATEMÁTICA

CURSO DE MATEMÁTICA EN LÍNEA

Contenido

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES ............................................................................................ 1

APLICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES .............................................................................................. 2

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS .................................................................................. 5

APLICACIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS ................................................................................... 7

1 Universidad de El Salvador, Derechos Reservados 2013



MATEMÁTICA

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES

2S i e s u n a v a r ia b le , e n to n c e s la s e x p re s io n e s ta le s c o m o 5 0 ó 5 4

s e d e n o m in a n e c u a c io n e s e n la v a r ia b le .

S i a l s u s t i tu ir p o r e l n ú m e ro re s u lta u n a p ro p o s ic ió n v e rd a d e ra , e n to n c e s

d ire m o s

x x x x

x

x r

- = - =

q u e e s u n a ra íz o s o lu c ió n d e la e c u a c ió n .r

Al conjunto formado por todas las soluciones le llamaremos conjunto solución.

Ecuaciones equivalente son aquéllas ecuaciones que tienen el mismo conjunto

solución.

Para resolver una ecuación (Calcular su conjunto solución), utilizamos la ley

cancelativa de la suma y del producto para obtener una serie de ecuaciones

equivalentes, cada una de las cuales será, en algún sentido más simple que la

anterior, de tal manera que en la última ecuación equivalente la solución se obtenga

por simple inspección.




MATEMÁTICA

APLICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES

( ) ( )

E je m p lo . C á lc u le e l c o n ju n to s o lu c ió n d e :

4 1 9

S o lu c ió n :

4 1 9

4 1 1 9 1 (P ro p ie d a d d e la ig u a ld a d )

4 9 1 (E le m e n to in v e rs o a d i t iv o y e le m e n to n e u tro y

le y a s o c ia t iv a )

4 8 (S

x

x

x

x

x

+ =

+ =

+ + - = + - ¬

= - ¬

= ¬

( ) ( )

{ }

im p lif ic a n d o )

1 14 8 ( E le m e n to in v e rs o m u lt ip lic a t iv o y p ro p ie d a d

4 4

d e la ig u a ld a d )

8( L e y a s o c ia t iv a y e le m e n to n e u tro p a ra e l p ro d u c to )

4

2 2

x

x

x s

= ¬

= ¬

= ® =

Del ejemplo anterior se obtiene dos leyes, muy prácticas, para resolver ecuaciones:

a) Si en ambos miembros de una ecuación no existen símbolos de agrupación (

( ), {},[],- ), entonces si un término está sumando (restando) en un miembro

pasa a restar (sumar) en el otro miembro.

b) Si una expresión algebraica divide (multiplica) a todo un miembro de la

ecuación pasa a multiplicar (dividir) a todo el otro miembro de la ecuación.




MATEMÁTICA

{ }


1 ) 5 6 1 0 5

S o lu c ió n :

5 6 1 0 5

5 1 0 5 6

5 1 0 1

5 1 0 1

5 1

1

5

1 / 5 1 / 5

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

x s

+ = +

+ = +

= + -

= -

- = -

- = -

-=-

= ® =

( ) ( )

( ) ( )

[ ]

2 ) 3 5 3 8 5 9

S o lu c ió n :

3 5 3 8 5 9

3 5 3 8 5 9

3 5 3 8 5 9

3 3 3 9

3 3 9 3

3 3 6

3 3 6

6 6

6

6

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x

x x

x x

x x

x

x

+ - - + = + - -é ùë û

+ - - + = + - -é ùë û

+ - - - = - -

- - - = - -

- - = -

- = - +

- = -

- - = -

- = -

-=-

{ }1 1x s= ® =




MATEMÁTICA

( )

( )

23 ) 3

2 2

S o lu c ió n :

¡O b s e rv e q u e 2 n o p e r te n e c e a l c o n ju n to s o lu c ió n !

2 3

2 2

2 2 3

2

2 2 3

2 3 6

4 3

3 4

4 4

4

4

1

x

x x

x

x

x x

x xx

x x

x x

x x

x x

x

x

x

= -+ +

= -

= -+ +

é ù= + -ê ú+ë û

= - +

= - -

= - -

+ = -

= -

-=

= - ® { }1s = -

Ejercicios: Despeje la variable indicada (despejar una variable significa que

dicha variable solo aparece en un miembro con coeficiente uno y no aparece en

el otro miembro)

( )

( )

1 ) ,

S o lu c ió n :

1

1

as a

a p

as

a p

s a p a

sa sp a

sa sp a

sa a sp

s a sp

spa

s

=-

=-

- =

- =

= +

- =

- =

=-




MATEMÁTICA

( )

( )

1 2

1

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 2 2

2 1 2

2

1 2

2

2

1

2

2 ) ,

S o lu c ió n :

0

, 0

R RR R

R R

R RR

R R

R R R R R

R R R R R R

R R R R R R

R R R R R R

R R R R R

R RR R R

R R

R RR

R R

=+

=+

+ =

+ =

+ - =

- = -

- = -

-= - ¹

-

=-

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

2L a e c u a c ió n d e s e g u n d o g ra d o t ie n e la fo rm a 0 .

D e a c u e rd o a l te o re m a d e la s ra íc e s , la e c u a c ió n d e s e g u n d o g ra d o t ie n e

2 ra íc e s .

D e d u c ire m o s u n a fó rm u la q u e n o s p e rm ita c a lc u la r la s s o lu c io n e s

a x b x c+ + =

d e la

e c u a c ió n d e s e g u n d o g ra d o .




MATEMÁTICA

2

2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

0 , 0

0

0

02 2

2 4

2 4

a x b x c a

a x b x c

a a

b cx x

a a

b b c bx x

a a a a

b c bx

a a a

b c bx

a a a

+ + = ¹

+ +=

æ ö+ + =ç ÷è ø

æ öæ ö æ ö æ ö+ + + = +ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è ø è øè ø

æ ö+ + =ç ÷

è ø

æ ö+ = - +ç ÷

è ø

2 2

2

2

2

2

2

2

4

2 4

4

2 4

4

2 2

4

2 2

4

2

b a c bx

a a

b b a cx

a a

b b a cx

a a

b b a cx

a a

b b a cx

a

- +æ ö+ =ç ÷

è ø

-+ = ±

-+ = ±

-= - ±

- ± -=




MATEMÁTICA

APLICACIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

( ) ( ) ( )

( )

2

2

2


1 ) 4 2 1 0 S o lu c ió n :

) U n a m a n e ra

1, 4 , 2 1

4

2

4 4 4 1 2 1

2 1

4 1 6 8 4

2

x x

a

a b c

b b a cx

a

x

x

+ - =

= = = -

- ± -=

- ± - -=

- ± +=

{ }

1 2

4 1 0 0

2

4 1 0

2

2 5

2 5 3, 2 5 7

s 7 , 3

x

x

x

x x

- ±=

- ±=

= - ±

= - + = = - - = -

= -

( ) ( )

{ }

2

) O tra fo rm a

4 2 1 0

7 3 0

7 0 7

7 , 3

3 0 3

b

x x

x x

x x

s

x x

+ - =

+ - =

+ = ® = -

Þ = -

- = ® =




MATEMÁTICA

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2

2

2

2 ) 6 4 0

S o lu c ió n :

1, 6 , 4

4

2

6 6 4 1 4

2 1

6 3 6 1 6

2

x x

a b c

b b a cx

a

x

x

- + =

= = - =

- ± -=

- - ± - -=

± -=

( )

( ) ( ){ }

1 2

6 2 0

2

6 4 5

2

6 4 5

2

6 2 5

2

3 5 3 5 , 3 5

s 3 5 , 3 5

x

x

x

x

x x x

±=

±=

±=

±=

= ± ® = + = -

= - +

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