Ecuaciones Cuadráticas - roa.uveg.edu.mxroa.uveg.edu.mx/.../licenciatura/44/LECTURA1EcuacionesCuadrticas.pdf · Métodos de solución de ecuaciones cuadráticas. Los siguientes ejemplos

MB0003 _M1AA2L1_Cuadráticas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Patricia Cardona Torres

©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

1

Ecuaciones Cuadráticas

por Oliverio Ramírez Juárez

Una ecuación cuadrática es una ecuación de segundo grado, cuya forma general o canónica es

02 cbxax . La siguiente figura muestra el nombre de cada término que la conforma: En esta lectura estudiarás los métodos para resolver (encontrar las soluciones de) una ecuación cuadrática, pero ¿qué significa encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática?, ¿qué representan? Vamos por partes. Las soluciones de una ecuación cuadrática también son conocidas como raíces o ceros de la ecuación, y son los valores de la variable x, que hacen cierta la igualdad.

Por ejemplo, las soluciones de la ecuación 0232 xx son 2x y 1x porque

Caso 1. Cuando 2x ,

00

0264

02232

023

2

2

xx

Caso 2. Cuando 1x ,

00

0231

02131

023

2

2

xx

En ambos casos, al sustituir los valores 2x y 1x en la ecuación, ésta se cumple, por lo que se verifica que son soluciones de la ecuación dada.



2

Para dar respuesta a la segunda pregunta ¿qué representan?, es necesario trazar la gráfica de la

función correspondiente, es decir 232 xxy . Te recomiendo utilizar un software especial para graficarla.

232 xxy Gráfica de

¿Reconoces esta gráfica? La gráfica de una ecuación cuadrática siempre es una parábola.

La expresión y = x2 + 3x+ 2 representa todos los puntos que forman la parábola, y la expresión

sólo representa los puntos en los que la parábola se intersecta con el eje de las x’s, por ello, cuando se calculan las soluciones de una ecuación cuadrática, lo que se está determinando son los valores de x ,

en donde la parábola corta al eje de las x ¿Identificas en la gráfica anterior los valores 2x y

x = -1 ?, están señalados en azul para que sea más sencillo identificarlos.

¿Siempre que encontramos la solución de una ecuación cuadrática estamos determinando su intersección con el eje horizontal? La solución de una ecuación cuadrática siempre representa los valores de x, que hacen cierta la igualdad, pero no siempre representan las intersecciones con el eje x, debido a que en ocasiones la gráfica no intersecta al eje de las x’s (también llamado eje horizontal o de las abscisas).



3

Para que una ecuación se considere cuadrática se requiere que el término cuadrático 2ax esté siempre

presente; se puede prescindir del término lineal y del término constante, pero no del cuadrático. Por lo anterior, se pueden presentar tres tipos distintos de ecuaciones cuadráticas.

1. Término cuadrático + constante.

02 cax

2. Término cuadrático + término lineal.

02 bxax

3. Cuadrática completa.

02 cbxax

Para resolver cada una de estas tres formas de una ecuación cuadrática, se requiere la aplicación de distintos métodos. En la siguiente tabla se muestran estos métodos de solución.

Forma de la ecuación cuadrática

Método de solución

Ejemplo Gráfica

02 cax

Despejar x2 y extraer raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación.

cx 2

cx

092 x Despejando x2, tenemos:

92 x Sacando raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación, queda:

92 x

3x



4

02 bxax

Factorizar aplicando el método de factor común e igualar cada factor con cero.

042 2 xx El factor común es 2x, por lo tanto:

0)2(2 xx

Igualando con cero cada factor, queda:

02 x

04 x

0x

4x

02 cbxax

Factorizar, aplicando distintas técnicas. Aplicar la fórmula general de las cuadráticas.

0122 xx La factorización de esta expresión es:

011 xx Igualando con cero cada factor, queda:

1x

Tabla 1. Métodos de solución de ecuaciones cuadráticas.

Los siguientes ejemplos muestran distintos casos que se pueden presentar al resolver una ecuación cuadrática. Ejemplos:

1. Resuelve la ecuación x2 = 2x+ 3 por factorización.

Solución. Antes de iniciar la solución de la ecuación, ésta debe estar igualada con cero.

Pasando 32 x , restando al lado izquierdo del signo igual, queda:

0322 xx



5

Factorizando 013

0322

xx

xx

Igualando con cero cada factor para obtener las raíces, obtienes:

3

03

x

x

1

01

x

x

Por lo que las soluciones de la ecuación dada son: 1,3 xx

Para verificar que los resultados obtenidos son correctos, sustituye las soluciones en la ecuación original:

99

369

3323

32

2

2

xx

11

321

3121

32

2

2

xx

Con lo anterior se comprueba la validez de las soluciones encontradas.

2. Resuelve la ecuación 162 x

Solución.

Igualando la ecuación con cero, obtienes 0162 x . Factorizando esta ecuación, queda:

044

0162

xx

x

Igualando cada factor con cero y despejando, tienes:

4

04

x

x

4

04

x

x



6


1616

164

16

2

2

x

1616

164

16

2

2

x

Con lo anterior se comprueba la validez de las soluciones encontradas.

3. Resuelve la ecuación 0652 xx . Solución. Factorizando esta ecuación, obtienes:

023

0652

xx

xx

Igualando cada factor con cero y despejando, tienes:

3

03

x

x

2

02

x

x


00

06159

06353

065

2

2

xx

00

06104

06252

065

2

2

xx

Con lo anterior se comprueba la validez de las soluciones encontradas. En ocasiones algunas expresiones no se pueden factorizar o su factorización se dificulta, para estos casos se puede aplicar la fórmula general de las cuadráticas, misma que estudiaste en el curso de matemáticas básicas ¿la recuerdas?

a

acbbx

2

42

4. Resuelve la ecuación 01522 xx mediante la fórmula general.



7

Solución. Para utilizar la fórmula, primero se debe identificar cada coeficiente de la ecuación, siempre

considerando la forma general de una ecuación cuadrática, es decir, 02 cbxax

Para la ecuación 01522 xx , los coeficientes a, b, y c son:

1a 2b 15c Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtienes:

2

642

2

6042

12

151422

2

4

2

2

x

x

x

a

acbbx

Por lo que las soluciones de la ecuación, son:

5

2

10

2

82

2

642

x

x

x

3

2

6

2

82

2

642

x

x

x


00

0151025

015525

0152

2

2

xx

00

01569

015323

0152

2

2

xx

Con lo anterior se comprueba la validez de las soluciones 5x y 3x .



8

Algunas ecuaciones pueden tener soluciones complejas; la fórmula general permite hallar este tipo de soluciones. El siguiente ejemplo muestra lo anterior.

5. Resuelve la ecuación 0522 xx mediante la fórmula general. Solución. Para utilizar la fórmula, primero se debe identificar cada coeficiente de la ecuación, siempre

considerando la forma general de una ecuación cuadrática, es decir, 02 cbxax

Para la ecuación 0522 xx , los coeficientes a, b, y c, son:

1a 2b 5c Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtienes:

2

162

2

2042

12

51422

2

4

2

2

x

x

x

a

acbbx

Observa que en el radical aparece un número negativo, y la raíz cuadrada de números menores a cero no está definida en los números reales. Para estos casos se puede utilizar la siguiente definición.

Un número complejo tiene la forma biaz ,

El número “i”, está definido como:

1i

De acuerdo con esta definición:



9

12 i

Aplicando este concepto en la ecuación cuadrática 2

162 x

, obtienes: Por lo que las soluciones de la ecuación, son:

ix

ix

21

2

42

ix

ix

21

2

42

Para verificar que los resultados obtenidos son correctos, conviene escribir la ecuación en forma factorizada (a partir de las soluciones calculadas) y multiplicar; si se obtiene la ecuación original significa que las soluciones son correctas. Igualando las soluciones con cero, obtienes:

021

21

ix

ix

021

21

ix

ix

Por lo que la ecuación original, en su forma factorizada es:

02121

0522

ixix

xx

Observa que esta multiplicación corresponde con el producto notable binomios conjugados, por lo tanto:



10

021

02121

052

22

2

ix

ixix

xx

Desarrollando el binomio y sustituyendo la igualdad 12 i , obtienes:

052

0412

01412

0412

2

2

2

22

xx

xx

xx

ixx

Que es la ecuación original. Con lo anterior se comprueba la validez de las soluciones halladas. En ocasiones es necesario determinar las coordenadas del vértice de la parábola descrita por una función cuadrática, para ello, se aplica la siguiente fórmula:

a

bx

2

Esta expresión es la ecuación del eje de simetría de la parábola o la abscisa del vértice.

6. ¿Cuál es el vértice de la parábola descrita por 22 xxxf ?, ¿cuáles son sus

intersecciones con el eje x ?, ¿cuáles son sus intersecciones con el eje y ?

Solución. La abscisa del vértice se determina usando la relación a

bx

2

De la función 22 xxxf se observa que 1a y 1b , por lo que:

2

1

)1(2

)1(

x

Para calcular la coordenada del vértice, se sustituye 2

1x

, en la función obtienes:



11

25.24

9

2

1

22

1

4

12

2

1

2

1

2

1

2

2

2

f

f

xxxf

Entonces las coordenadas del vértice son 5.0x y 25.2y . Para contestar la segunda pregunta es

necesario hacer 0xf y resolver la ecuación, esto es:

022 xx Multiplicando por -1 y factorizando:

012

022

xx

xx

Por lo que las soluciones, raíces o intersecciones con el eje x son: 2x y 1x .

¿Cómo encontrarás la intersección con el eje y ?, de la misma forma que para encontrar las

intersecciones con el eje x , se hace 0)( xf (es decir, 0y ), para encontrar la intersección con el

eje y realiza 0x , entonces:

20

2000

2

2

2

f

f

xxxf

Es decir, la intersección con el eje y es el término independiente. A continuación se muestra la gráfica de la función cuadrática analizada, en donde se señala el vértice y las intersecciones con los ejes coordenados.



12

Grafica de la función cuadrática

Aplicaciones de ecuaciones cuadráticas Algunos problemas conducen a ecuaciones cuadráticas. Analiza los siguientes ejemplos. Ejemplos:

1. Cierta compañía que manufactura partes automotrices estima que sus utilidades en los próximos 10 años, en miles de dólares, puede modelarse con la expresión:

724.0)( 2 nnnU , en donde n representa el número de años completos. ¿Cuál es la utilidad de la compañía durante su primer año de operación?, ¿cuál es la utilidad de la compañía en 10 años?, ¿cuántos años transcurren para que la compañía alcance el punto de equilibrio? Solución.

Para determinar la utilidad de la compañía en el año 1, sustituye en la expresión matemática 1n , y obtienes:

6.4)1(

724.0)1(

71214.0)1(2

U

U

U



13

Al primer año la compañía tendrá una utilidad negativa, que en realidad se traduce como pérdidas, esto puede ser debido, entre otras cosas, a que la utilidad son los ingresos menos los costos, y cuando una compañía inicia operaciones los ingresos son pocos y los costos son elevados. Haces lo mismo para

10n , y obtienes:

233)10(

720040)10(

7102104.0)10(2

U

U

U

En 10 años se espera tener utilidades de 233 miles de dólares. Para calcular el punto de equilibrio, es decir, el momento en que la utilidad es cero, es necesario resolver la ecuación cuadrática. Aplicando la fórmula general, queda:

8.0

2.152

8.0

2.1142

4.02

74.04222

n

n

37.28.0

2.1521

n

37.7

8.0

2.1522

n

Como el tiempo no puede ser negativo, se descarta 37.7n . Entonces se estima que en aproximadamente 2.37 años, la compañía alcanzará el punto de equilibrio.

2. Dos maestros pintores son capaces de pintar una nave industrial en 6 días si trabajan juntos. Si se sabe que a uno de ellos le lleva pintar la nave industrial completa 5 días menos que al otro ¿cuánto tiempo le lleva a cada pintor realizar el trabajo si trabajan solos?

Solución. En este caso denominas x al número de días que le lleva al pintor más rápido pintar la nave industrial. Dado esto, al otro pintor le tomará x+5 días realizar el mismo trabajo.

Por otro lado, x

1

es la fracción de la nave que puede pintar el pintor más rápido en un día. De la misma

forma, 5

1

x es la fracción de la nave que puede pintar el segundo pintor en un día.



14

Considerando que juntos pueden hacer el trabajo en 6 días, si sumas las contribuciones de ambos, en

un día pueden pintar 6

1

de la nave industrial. La ecuación que define el problema es:

6

1

5

11

xx Observa que esta ecuación contiene expresiones racionales que estudiaste en la primera actividad de

aprendizaje de este curso. Para resolver esta ecuación, conviene multiplicarla por 56 xx para eliminar los coeficientes, tienes:

xxxx

xxxx

xxxx

56306

5656

566

1

5

11

2

Reduciendo y reacomodando términos, queda:

03072 xx Resolviendo la ecuación mediante la fórmula general de las cuadráticas, obtienes:

2

137

2

1697

2

120497

12

301477

2

4

2

2

x

x

x

a

acbbx

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación, son:

102

20

2

137

x

x

3

2

6

2

137

x

x



15

Debido a que estas soluciones representan el número de días que el pintor más rápido tarda en pintar

toda la nave industrial, la solución 3x no tiene sentido. Así, la solución al problema es 10x . Como el otro pintor tarda 5 días más, requiere 15 días para pintar toda la nave industrial. En este ejemplo se aplicaron varios conceptos algebraicos para la solución del problema. Por ello, es importante tener en cuenta los procedimientos algebraicos y aplicarlos de manera correcta cuando se necesiten. Conforme avances en tus estudios te darás cuenta que la aplicación del álgebra es tan frecuente como variada.

Referencias

Gustafson, R. D. (1997). Álgebra Intermedia (V. González Pozo, Trad; 1a. ed). México: International Thomson Editores.

Leithold, L. (1995). Álgebra (A. Eroles Gómez. Trad; 1a ed). México: Editorial Harla.

Rees, P. K. & Sparks, F. W. (1990). Álgebra contemporánea (L. M. Ros Torres. Trad; 5a. ed). México: McGraw Hill.

Swokowski, E. W. & Cole, J. A. (2002). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (H. Villagómez. Trad; 10a. ed). México: Thomson Learning.

Zill, D. G. & Dewart, J. M. (1992). Álgebra y trigonometría. (G. Ramírez Mariño y Y. García Rodríguez, Trads.). 2a. ed). Santa Fe de Bogotá, Colombia: McGraw Hill

Documents

Ecuaciones Cuadráticas - roa.uveg.edu.mxroa.uveg.edu.mx/.../licenciatura/44/LECTURA1EcuacionesCuadrticas.pdf · Métodos de solución de ecuaciones cuadráticas. Los siguientes ejemplos