Upload
phamthuy
View
228
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
MATEMATYKA I
MATEMATYKA ILogika matematyczna
Anna Okopinska
Uniwersytet Jana Kochanowskiego w Kielcach
semestr zimowy 2012/13
MATEMATYKA I
Spis tresci
1 RACHUNEK ZDANZdania i schematy zdanioweWartosc logiczna formułPrawa rachunku zdan (tautologie)DowodzenieNiesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc
2 RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)Formy nazwoweFunkcje zdanioweKwantyfikatoryPrawa rachunku predykatówDowodzenieNiesprzecznosc i pełnosc rachunku predykatów
3 NIEPEŁNOSC TEORII ZAWIERAJACYCH ARYTMETYKE
MATEMATYKA I
Literatura:
K.Kuratowski, Wstep do teorii mnogosci i topologii, PWN.
H. Rasiowa, Wstep do matematyki współczesnej, PWN.N.Gubareni, Logika dla studentów, Wydawnictwo PolitechnikiCzestochowskiej.W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogosci wzadaniach, PWN.
MATEMATYKA I
Literatura:
K.Kuratowski, Wstep do teorii mnogosci i topologii, PWN.H. Rasiowa, Wstep do matematyki współczesnej, PWN.
N.Gubareni, Logika dla studentów, Wydawnictwo PolitechnikiCzestochowskiej.W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogosci wzadaniach, PWN.
MATEMATYKA I
Literatura:
K.Kuratowski, Wstep do teorii mnogosci i topologii, PWN.H. Rasiowa, Wstep do matematyki współczesnej, PWN.N.Gubareni, Logika dla studentów, Wydawnictwo PolitechnikiCzestochowskiej.
W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogosci wzadaniach, PWN.
MATEMATYKA I
Literatura:
K.Kuratowski, Wstep do teorii mnogosci i topologii, PWN.H. Rasiowa, Wstep do matematyki współczesnej, PWN.N.Gubareni, Logika dla studentów, Wydawnictwo PolitechnikiCzestochowskiej.W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogosci wzadaniach, PWN.
MATEMATYKA I
Logika matematyczna (ang. mathematical logic)
Zaistniała jako samodzielna nauka w koncu XIX wieku.
Zajmuje sie badaniem rozumowan i ustalaniem kryteriów ichpoprawnosci przy uzyciu metod i narzedzi matematyki.Teoria jezyka bada jezyk, czyli system znaków, w jakim faktysa formułowane.Dwa podejscia:• syntaktyka (nauka o składni) - bada jezyk, abstrahujac odznaczenia symboli jezyka i tresci rozwazanych zdan.• semantyka (teoria oznaczania) - bada zwiazki miedzyjezykiem a rzeczywistoscia, do której wyrazenia sie odnosza.Teoria dowodu bada reguły dowodzenia i systemydowodzenia, pozwalajace na wyprowadzanie wniosków zprzyjetych załozen w podejsciu syntaktycznym.
MATEMATYKA I
Logika matematyczna (ang. mathematical logic)
Zaistniała jako samodzielna nauka w koncu XIX wieku.Zajmuje sie badaniem rozumowan i ustalaniem kryteriów ichpoprawnosci przy uzyciu metod i narzedzi matematyki.
Teoria jezyka bada jezyk, czyli system znaków, w jakim faktysa formułowane.Dwa podejscia:• syntaktyka (nauka o składni) - bada jezyk, abstrahujac odznaczenia symboli jezyka i tresci rozwazanych zdan.• semantyka (teoria oznaczania) - bada zwiazki miedzyjezykiem a rzeczywistoscia, do której wyrazenia sie odnosza.Teoria dowodu bada reguły dowodzenia i systemydowodzenia, pozwalajace na wyprowadzanie wniosków zprzyjetych załozen w podejsciu syntaktycznym.
MATEMATYKA I
Logika matematyczna (ang. mathematical logic)
Zaistniała jako samodzielna nauka w koncu XIX wieku.Zajmuje sie badaniem rozumowan i ustalaniem kryteriów ichpoprawnosci przy uzyciu metod i narzedzi matematyki.Teoria jezyka bada jezyk, czyli system znaków, w jakim faktysa formułowane.
Dwa podejscia:• syntaktyka (nauka o składni) - bada jezyk, abstrahujac odznaczenia symboli jezyka i tresci rozwazanych zdan.• semantyka (teoria oznaczania) - bada zwiazki miedzyjezykiem a rzeczywistoscia, do której wyrazenia sie odnosza.Teoria dowodu bada reguły dowodzenia i systemydowodzenia, pozwalajace na wyprowadzanie wniosków zprzyjetych załozen w podejsciu syntaktycznym.
MATEMATYKA I
Logika matematyczna (ang. mathematical logic)
Zaistniała jako samodzielna nauka w koncu XIX wieku.Zajmuje sie badaniem rozumowan i ustalaniem kryteriów ichpoprawnosci przy uzyciu metod i narzedzi matematyki.Teoria jezyka bada jezyk, czyli system znaków, w jakim faktysa formułowane.Dwa podejscia:• syntaktyka (nauka o składni) - bada jezyk, abstrahujac odznaczenia symboli jezyka i tresci rozwazanych zdan.
• semantyka (teoria oznaczania) - bada zwiazki miedzyjezykiem a rzeczywistoscia, do której wyrazenia sie odnosza.Teoria dowodu bada reguły dowodzenia i systemydowodzenia, pozwalajace na wyprowadzanie wniosków zprzyjetych załozen w podejsciu syntaktycznym.
MATEMATYKA I
Logika matematyczna (ang. mathematical logic)
Zaistniała jako samodzielna nauka w koncu XIX wieku.Zajmuje sie badaniem rozumowan i ustalaniem kryteriów ichpoprawnosci przy uzyciu metod i narzedzi matematyki.Teoria jezyka bada jezyk, czyli system znaków, w jakim faktysa formułowane.Dwa podejscia:• syntaktyka (nauka o składni) - bada jezyk, abstrahujac odznaczenia symboli jezyka i tresci rozwazanych zdan.• semantyka (teoria oznaczania) - bada zwiazki miedzyjezykiem a rzeczywistoscia, do której wyrazenia sie odnosza.
Teoria dowodu bada reguły dowodzenia i systemydowodzenia, pozwalajace na wyprowadzanie wniosków zprzyjetych załozen w podejsciu syntaktycznym.
MATEMATYKA I
Logika matematyczna (ang. mathematical logic)
Zaistniała jako samodzielna nauka w koncu XIX wieku.Zajmuje sie badaniem rozumowan i ustalaniem kryteriów ichpoprawnosci przy uzyciu metod i narzedzi matematyki.Teoria jezyka bada jezyk, czyli system znaków, w jakim faktysa formułowane.Dwa podejscia:• syntaktyka (nauka o składni) - bada jezyk, abstrahujac odznaczenia symboli jezyka i tresci rozwazanych zdan.• semantyka (teoria oznaczania) - bada zwiazki miedzyjezykiem a rzeczywistoscia, do której wyrazenia sie odnosza.Teoria dowodu bada reguły dowodzenia i systemydowodzenia, pozwalajace na wyprowadzanie wniosków zprzyjetych załozen w podejsciu syntaktycznym.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
ZdaniaZdanie logiczne(ang.sentence, proposition): zdanieoznajmujace, które jest albo prawdziwe albo fałszywe.
Zdanie atomowe (ang.atomic formula):podmiot (obiekt) + orzeczenie (predykat).np: ptak + ma skrzydłaZbiór zdan atomowych oznaczymy przez P.
Zmienne zdaniowe bedziemy oznaczac przez α, β, ....
Podstawienie: zdanie, które powstaje przez zastapienieα/konkretne zdanie
Wartosciowanie ang.(truth assignement) to funkcjaw : P → {0,1}, która kazdemu zdaniu przypisuje
wartosc logiczna: w(α) =
(1 gdy α jest prawdziwe (T)0 gdy α jest fałszywe (F)
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
ZdaniaZdanie logiczne(ang.sentence, proposition): zdanieoznajmujace, które jest albo prawdziwe albo fałszywe.Zdanie atomowe (ang.atomic formula):podmiot (obiekt) + orzeczenie (predykat).np: ptak + ma skrzydłaZbiór zdan atomowych oznaczymy przez P.
Zmienne zdaniowe bedziemy oznaczac przez α, β, ....
Podstawienie: zdanie, które powstaje przez zastapienieα/konkretne zdanie
Wartosciowanie ang.(truth assignement) to funkcjaw : P → {0,1}, która kazdemu zdaniu przypisuje
wartosc logiczna: w(α) =
(1 gdy α jest prawdziwe (T)0 gdy α jest fałszywe (F)
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
ZdaniaZdanie logiczne(ang.sentence, proposition): zdanieoznajmujace, które jest albo prawdziwe albo fałszywe.Zdanie atomowe (ang.atomic formula):podmiot (obiekt) + orzeczenie (predykat).np: ptak + ma skrzydłaZbiór zdan atomowych oznaczymy przez P.
Zmienne zdaniowe bedziemy oznaczac przez α, β, ....
Podstawienie: zdanie, które powstaje przez zastapienieα/konkretne zdanie
Wartosciowanie ang.(truth assignement) to funkcjaw : P → {0,1}, która kazdemu zdaniu przypisuje
wartosc logiczna: w(α) =
(1 gdy α jest prawdziwe (T)0 gdy α jest fałszywe (F)
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
ZdaniaZdanie logiczne(ang.sentence, proposition): zdanieoznajmujace, które jest albo prawdziwe albo fałszywe.Zdanie atomowe (ang.atomic formula):podmiot (obiekt) + orzeczenie (predykat).np: ptak + ma skrzydłaZbiór zdan atomowych oznaczymy przez P.
Zmienne zdaniowe bedziemy oznaczac przez α, β, ....
Podstawienie: zdanie, które powstaje przez zastapienieα/konkretne zdanie
Wartosciowanie ang.(truth assignement) to funkcjaw : P → {0,1}, która kazdemu zdaniu przypisuje
wartosc logiczna: w(α) =
(1 gdy α jest prawdziwe (T)0 gdy α jest fałszywe (F)
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
ZdaniaZdanie logiczne(ang.sentence, proposition): zdanieoznajmujace, które jest albo prawdziwe albo fałszywe.Zdanie atomowe (ang.atomic formula):podmiot (obiekt) + orzeczenie (predykat).np: ptak + ma skrzydłaZbiór zdan atomowych oznaczymy przez P.
Zmienne zdaniowe bedziemy oznaczac przez α, β, ....
Podstawienie: zdanie, które powstaje przez zastapienieα/konkretne zdanie
Wartosciowanie ang.(truth assignement) to funkcjaw : P → {0,1}, która kazdemu zdaniu przypisuje
wartosc logiczna: w(α) =
(1 gdy α jest prawdziwe (T)0 gdy α jest fałszywe (F)
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Spójniki zdaniotwórcze
Do łaczenia zdan atomowych (α, β, γ, ....) uzywamyspójników zdaniowych (ang.connectives).
spójnik jednoargumentowy:¬ nie.spójniki dwuargumentowe:∧ i∨ lub⇒ jesli . . ., to⇔ wtedy i tylko wtedy
Wartosc zdan utworzonych za pomoca spójników zalezy tylkood wartosci zdan elementarnych, a nie od ich sensu.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Spójniki zdaniotwórcze
Do łaczenia zdan atomowych (α, β, γ, ....) uzywamyspójników zdaniowych (ang.connectives).
spójnik jednoargumentowy:
¬ nie.spójniki dwuargumentowe:∧ i∨ lub⇒ jesli . . ., to⇔ wtedy i tylko wtedy
Wartosc zdan utworzonych za pomoca spójników zalezy tylkood wartosci zdan elementarnych, a nie od ich sensu.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Spójniki zdaniotwórcze
Do łaczenia zdan atomowych (α, β, γ, ....) uzywamyspójników zdaniowych (ang.connectives).
spójnik jednoargumentowy:¬ nie.
spójniki dwuargumentowe:∧ i∨ lub⇒ jesli . . ., to⇔ wtedy i tylko wtedy
Wartosc zdan utworzonych za pomoca spójników zalezy tylkood wartosci zdan elementarnych, a nie od ich sensu.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Spójniki zdaniotwórcze
Do łaczenia zdan atomowych (α, β, γ, ....) uzywamyspójników zdaniowych (ang.connectives).
spójnik jednoargumentowy:¬ nie.spójniki dwuargumentowe:
∧ i∨ lub⇒ jesli . . ., to⇔ wtedy i tylko wtedy
Wartosc zdan utworzonych za pomoca spójników zalezy tylkood wartosci zdan elementarnych, a nie od ich sensu.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Spójniki zdaniotwórcze
Do łaczenia zdan atomowych (α, β, γ, ....) uzywamyspójników zdaniowych (ang.connectives).
spójnik jednoargumentowy:¬ nie.spójniki dwuargumentowe:∧ i
∨ lub⇒ jesli . . ., to⇔ wtedy i tylko wtedy
Wartosc zdan utworzonych za pomoca spójników zalezy tylkood wartosci zdan elementarnych, a nie od ich sensu.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Spójniki zdaniotwórcze
Do łaczenia zdan atomowych (α, β, γ, ....) uzywamyspójników zdaniowych (ang.connectives).
spójnik jednoargumentowy:¬ nie.spójniki dwuargumentowe:∧ i∨ lub
⇒ jesli . . ., to⇔ wtedy i tylko wtedy
Wartosc zdan utworzonych za pomoca spójników zalezy tylkood wartosci zdan elementarnych, a nie od ich sensu.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Spójniki zdaniotwórcze
Do łaczenia zdan atomowych (α, β, γ, ....) uzywamyspójników zdaniowych (ang.connectives).
spójnik jednoargumentowy:¬ nie.spójniki dwuargumentowe:∧ i∨ lub⇒ jesli . . ., to
⇔ wtedy i tylko wtedy
Wartosc zdan utworzonych za pomoca spójników zalezy tylkood wartosci zdan elementarnych, a nie od ich sensu.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Spójniki zdaniotwórcze
Do łaczenia zdan atomowych (α, β, γ, ....) uzywamyspójników zdaniowych (ang.connectives).
spójnik jednoargumentowy:¬ nie.spójniki dwuargumentowe:∧ i∨ lub⇒ jesli . . ., to⇔ wtedy i tylko wtedy
Wartosc zdan utworzonych za pomoca spójników zalezy tylkood wartosci zdan elementarnych, a nie od ich sensu.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Spójniki zdaniotwórcze
Do łaczenia zdan atomowych (α, β, γ, ....) uzywamyspójników zdaniowych (ang.connectives).
spójnik jednoargumentowy:¬ nie.spójniki dwuargumentowe:∧ i∨ lub⇒ jesli . . ., to⇔ wtedy i tylko wtedy
Wartosc zdan utworzonych za pomoca spójników zalezy tylkood wartosci zdan elementarnych, a nie od ich sensu.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Spójniki zdaniotwórcze
Do łaczenia zdan atomowych (α, β, γ, ....) uzywamyspójników zdaniowych (ang.connectives).
spójnik jednoargumentowy:¬ nie.spójniki dwuargumentowe:∧ i∨ lub⇒ jesli . . ., to⇔ wtedy i tylko wtedy
Wartosc zdan utworzonych za pomoca spójników zalezy tylkood wartosci zdan elementarnych, a nie od ich sensu.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Negacja
Negacja: nieprawda ze
(¬α)w(α) w(¬α)
1 00 1
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Negacja
Negacja: nieprawda ze (¬α)
w(α) w(¬α)1 00 1
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Negacja
Negacja: nieprawda ze (¬α)w(α) w(¬α)
1 00 1
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Koniunkcja i alternatywa
Koniunkcja: i (α ∧ β)w(α) w(β) w(α ∧ β)
1 1 11 0 00 1 00 0 0
Alternatywa: lub (α ∨ β)w(α) w(β) w(α ∨ β)
1 1 11 0 10 1 10 0 0
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Koniunkcja i alternatywa
Koniunkcja: i
(α ∧ β)w(α) w(β) w(α ∧ β)
1 1 11 0 00 1 00 0 0
Alternatywa: lub (α ∨ β)w(α) w(β) w(α ∨ β)
1 1 11 0 10 1 10 0 0
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Koniunkcja i alternatywa
Koniunkcja: i (α ∧ β)
w(α) w(β) w(α ∧ β)1 1 11 0 00 1 00 0 0
Alternatywa: lub (α ∨ β)w(α) w(β) w(α ∨ β)
1 1 11 0 10 1 10 0 0
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Koniunkcja i alternatywa
Koniunkcja: i (α ∧ β)w(α) w(β) w(α ∧ β)
1 1 11 0 00 1 00 0 0
Alternatywa: lub (α ∨ β)w(α) w(β) w(α ∨ β)
1 1 11 0 10 1 10 0 0
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Koniunkcja i alternatywa
Koniunkcja: i (α ∧ β)w(α) w(β) w(α ∧ β)
1 1 11 0 00 1 00 0 0
Alternatywa: lub
(α ∨ β)w(α) w(β) w(α ∨ β)
1 1 11 0 10 1 10 0 0
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Koniunkcja i alternatywa
Koniunkcja: i (α ∧ β)w(α) w(β) w(α ∧ β)
1 1 11 0 00 1 00 0 0
Alternatywa: lub (α ∨ β)
w(α) w(β) w(α ∨ β)1 1 11 0 10 1 10 0 0
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Koniunkcja i alternatywa
Koniunkcja: i (α ∧ β)w(α) w(β) w(α ∧ β)
1 1 11 0 00 1 00 0 0
Alternatywa: lub (α ∨ β)w(α) w(β) w(α ∨ β)
1 1 11 0 10 1 10 0 0
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Implikacja
Implikacja: jesli . . ., to
(α⇒ β)↑ ↑
poprzednik nastepnikMówimy, zeα jest warunkiem wystarczajacym, by ββ jest warunkiem koniecznym, by α.
w(α) w(β) w(α⇒ β) na przykład1 1 1 6|N⇒ 3|n dla n=24 T0 1 1 6|N⇒ 3|n dla n=3 T0 0 1 6|N⇒ 3|n dla n=4 T1 0 0 (f ma 3 boki⇒ kwadrat) dla f=trójkat F
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Implikacja
Implikacja: jesli . . ., to (α⇒ β)↑ ↑
poprzednik nastepnik
Mówimy, zeα jest warunkiem wystarczajacym, by ββ jest warunkiem koniecznym, by α.
w(α) w(β) w(α⇒ β) na przykład1 1 1 6|N⇒ 3|n dla n=24 T0 1 1 6|N⇒ 3|n dla n=3 T0 0 1 6|N⇒ 3|n dla n=4 T1 0 0 (f ma 3 boki⇒ kwadrat) dla f=trójkat F
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Implikacja
Implikacja: jesli . . ., to (α⇒ β)↑ ↑
poprzednik nastepnikMówimy, ze
α jest warunkiem wystarczajacym, by ββ jest warunkiem koniecznym, by α.
w(α) w(β) w(α⇒ β) na przykład1 1 1 6|N⇒ 3|n dla n=24 T0 1 1 6|N⇒ 3|n dla n=3 T0 0 1 6|N⇒ 3|n dla n=4 T1 0 0 (f ma 3 boki⇒ kwadrat) dla f=trójkat F
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Implikacja
Implikacja: jesli . . ., to (α⇒ β)↑ ↑
poprzednik nastepnikMówimy, zeα jest warunkiem wystarczajacym, by β
β jest warunkiem koniecznym, by α.
w(α) w(β) w(α⇒ β) na przykład1 1 1 6|N⇒ 3|n dla n=24 T0 1 1 6|N⇒ 3|n dla n=3 T0 0 1 6|N⇒ 3|n dla n=4 T1 0 0 (f ma 3 boki⇒ kwadrat) dla f=trójkat F
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Implikacja
Implikacja: jesli . . ., to (α⇒ β)↑ ↑
poprzednik nastepnikMówimy, zeα jest warunkiem wystarczajacym, by ββ jest warunkiem koniecznym, by α.
w(α) w(β) w(α⇒ β) na przykład1 1 1 6|N⇒ 3|n dla n=24 T0 1 1 6|N⇒ 3|n dla n=3 T0 0 1 6|N⇒ 3|n dla n=4 T1 0 0 (f ma 3 boki⇒ kwadrat) dla f=trójkat F
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Implikacja
Implikacja: jesli . . ., to (α⇒ β)↑ ↑
poprzednik nastepnikMówimy, zeα jest warunkiem wystarczajacym, by ββ jest warunkiem koniecznym, by α.
w(α) w(β) w(α⇒ β) na przykład1 1 1 6|N⇒ 3|n dla n=24 T0 1 1 6|N⇒ 3|n dla n=3 T0 0 1 6|N⇒ 3|n dla n=4 T1 0 0 (f ma 3 boki⇒ kwadrat) dla f=trójkat F
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Równowaznosc
Równowaznosc: wtedy i tylko wtedy, gdy
(⇔)zachodzi gdy α⇒ β i β ⇒ α
w(α) w(β) w(α⇔ β)
1 1 11 0 00 1 00 0 1
a wiec α⇔ β gdy α i β maja taka sama wartosc logiczna α ≡ β.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Równowaznosc
Równowaznosc: wtedy i tylko wtedy, gdy (⇔)
zachodzi gdy α⇒ β i β ⇒ α
w(α) w(β) w(α⇔ β)
1 1 11 0 00 1 00 0 1
a wiec α⇔ β gdy α i β maja taka sama wartosc logiczna α ≡ β.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Równowaznosc
Równowaznosc: wtedy i tylko wtedy, gdy (⇔)zachodzi gdy α⇒ β i β ⇒ α
w(α) w(β) w(α⇔ β)
1 1 11 0 00 1 00 0 1
a wiec α⇔ β gdy α i β maja taka sama wartosc logiczna α ≡ β.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Równowaznosc
Równowaznosc: wtedy i tylko wtedy, gdy (⇔)zachodzi gdy α⇒ β i β ⇒ α
w(α) w(β) w(α⇔ β)
1 1 11 0 00 1 00 0 1
a wiec α⇔ β gdy α i β maja taka sama wartosc logiczna α ≡ β.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Równowaznosc
Równowaznosc: wtedy i tylko wtedy, gdy (⇔)zachodzi gdy α⇒ β i β ⇒ α
w(α) w(β) w(α⇔ β)
1 1 11 0 00 1 00 0 1
a wiec α⇔ β gdy α i β maja taka sama wartosc logiczna α ≡ β.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Kwadrat logiczny
¬α⇒¬β ¬β⇒¬α
α⇒β β⇒α
prosta odwrotna
przeciwstawnaprzeciwna
������@
@@@@@
Implikacje po przekatnych równowazne.
Jesli dwie implikacje wzdłuz boku prawdziwe, to α⇔ β.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Kwadrat logiczny
¬α⇒¬β ¬β⇒¬α
α⇒β β⇒α
prosta odwrotna
przeciwstawnaprzeciwna
������@
@@@@@
Implikacje po przekatnych równowazne.
Jesli dwie implikacje wzdłuz boku prawdziwe, to α⇔ β.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Kwadrat logiczny
¬α⇒¬β ¬β⇒¬α
α⇒β β⇒α
prosta odwrotna
przeciwstawnaprzeciwna
������@
@@@@@
Implikacje po przekatnych równowazne.
Jesli dwie implikacje wzdłuz boku prawdziwe, to α⇔ β.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Zestawienie spójników zdaniowych
α β α ∧ β α ∨ β α⇒ β α⇔ β ¬α T F1 1 1 1 1 1 0 1 01 0 0 1 0 0 0 1 00 1 0 1 1 0 1 1 00 0 0 0 1 1 1 1 0
Wszystkie funktory mozna zdefiniowac przez negacje i implikacje:(α ∨ β) = (¬α⇒ β)(α ∧ β) = ¬(α⇒ ¬β)(α⇔ β) = (α⇒ β) ∧ (β ⇒ α)
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Zestawienie spójników zdaniowych
α β α ∧ β α ∨ β α⇒ β α⇔ β ¬α T F1 1 1 1 1 1 0 1 01 0 0 1 0 0 0 1 00 1 0 1 1 0 1 1 00 0 0 0 1 1 1 1 0
Wszystkie funktory mozna zdefiniowac przez negacje i implikacje:(α ∨ β) = (¬α⇒ β)(α ∧ β) = ¬(α⇒ ¬β)(α⇔ β) = (α⇒ β) ∧ (β ⇒ α)
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Schematy zdaniowe
Schemat zdaniowy (formuła rachunku zdan)(ang.formula)to wyrazenie A(α1, α2, . . . , αn) poprawnie zbudowane ze zdanatomowych (zmiennych zdaniowych) przy uzyciu spójnikówzdaniowych i nawiasów.
Przykład:poprawnie: (α ∨ β) ∧ ¬γniepoprawnie: α⇒ γ∧Uwaga: fakt, ze schemat jest poprawnie zbudowany nieoznacza ze jest on prawdziwy!
Zbiór wszystkich formuł oznaczymy przez F .
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Schematy zdaniowe
Schemat zdaniowy (formuła rachunku zdan)(ang.formula)to wyrazenie A(α1, α2, . . . , αn) poprawnie zbudowane ze zdanatomowych (zmiennych zdaniowych) przy uzyciu spójnikówzdaniowych i nawiasów.Przykład:
poprawnie: (α ∨ β) ∧ ¬γniepoprawnie: α⇒ γ∧Uwaga: fakt, ze schemat jest poprawnie zbudowany nieoznacza ze jest on prawdziwy!
Zbiór wszystkich formuł oznaczymy przez F .
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Schematy zdaniowe
Schemat zdaniowy (formuła rachunku zdan)(ang.formula)to wyrazenie A(α1, α2, . . . , αn) poprawnie zbudowane ze zdanatomowych (zmiennych zdaniowych) przy uzyciu spójnikówzdaniowych i nawiasów.Przykład:poprawnie: (α ∨ β) ∧ ¬γ
niepoprawnie: α⇒ γ∧Uwaga: fakt, ze schemat jest poprawnie zbudowany nieoznacza ze jest on prawdziwy!
Zbiór wszystkich formuł oznaczymy przez F .
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Schematy zdaniowe
Schemat zdaniowy (formuła rachunku zdan)(ang.formula)to wyrazenie A(α1, α2, . . . , αn) poprawnie zbudowane ze zdanatomowych (zmiennych zdaniowych) przy uzyciu spójnikówzdaniowych i nawiasów.Przykład:poprawnie: (α ∨ β) ∧ ¬γniepoprawnie: α⇒ γ∧
Uwaga: fakt, ze schemat jest poprawnie zbudowany nieoznacza ze jest on prawdziwy!
Zbiór wszystkich formuł oznaczymy przez F .
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Schematy zdaniowe
Schemat zdaniowy (formuła rachunku zdan)(ang.formula)to wyrazenie A(α1, α2, . . . , αn) poprawnie zbudowane ze zdanatomowych (zmiennych zdaniowych) przy uzyciu spójnikówzdaniowych i nawiasów.Przykład:poprawnie: (α ∨ β) ∧ ¬γniepoprawnie: α⇒ γ∧Uwaga: fakt, ze schemat jest poprawnie zbudowany nieoznacza ze jest on prawdziwy!
Zbiór wszystkich formuł oznaczymy przez F .
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Schematy zdaniowe
Schemat zdaniowy (formuła rachunku zdan)(ang.formula)to wyrazenie A(α1, α2, . . . , αn) poprawnie zbudowane ze zdanatomowych (zmiennych zdaniowych) przy uzyciu spójnikówzdaniowych i nawiasów.Przykład:poprawnie: (α ∨ β) ∧ ¬γniepoprawnie: α⇒ γ∧Uwaga: fakt, ze schemat jest poprawnie zbudowany nieoznacza ze jest on prawdziwy!
Zbiór wszystkich formuł oznaczymy przez F .
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Podstawienie
Podstawieniem nazywamy kazde zdanie, które powstaje zpoprawnie zbudowanego wyrazenia rachunku zdan przezzastapienie wszystkich zdan atomowych konkretnymi zdaniami.
Przykład: dla schematu α⇒ β• podstawienie α/(5 > 6), β/(1 < 2)
daje zdanie (5 > 6)⇒ (1 < 2)• podstawienie α/(2|6), β/(3|15)
daje zdanie (2|6)⇒ (3|15) ∧ (3|6).
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Podstawienie
Podstawieniem nazywamy kazde zdanie, które powstaje zpoprawnie zbudowanego wyrazenia rachunku zdan przezzastapienie wszystkich zdan atomowych konkretnymi zdaniami.Przykład: dla schematu α⇒ β
• podstawienie α/(5 > 6), β/(1 < 2)daje zdanie (5 > 6)⇒ (1 < 2)
• podstawienie α/(2|6), β/(3|15)daje zdanie (2|6)⇒ (3|15) ∧ (3|6).
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Podstawienie
Podstawieniem nazywamy kazde zdanie, które powstaje zpoprawnie zbudowanego wyrazenia rachunku zdan przezzastapienie wszystkich zdan atomowych konkretnymi zdaniami.Przykład: dla schematu α⇒ β• podstawienie α/(5 > 6), β/(1 < 2)
daje zdanie (5 > 6)⇒ (1 < 2)
• podstawienie α/(2|6), β/(3|15)daje zdanie (2|6)⇒ (3|15) ∧ (3|6).
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Zdania i schematy zdaniowe
Podstawienie
Podstawieniem nazywamy kazde zdanie, które powstaje zpoprawnie zbudowanego wyrazenia rachunku zdan przezzastapienie wszystkich zdan atomowych konkretnymi zdaniami.Przykład: dla schematu α⇒ β• podstawienie α/(5 > 6), β/(1 < 2)
daje zdanie (5 > 6)⇒ (1 < 2)• podstawienie α/(2|6), β/(3|15)
daje zdanie (2|6)⇒ (3|15) ∧ (3|6).
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Wartosc logiczna formuł
Metoda zero-jedynkowa
Wartosc logiczna zdania złozonego obliczamy podstawiajacwszystkie mozliwe wartosci logicznych zdan atomowych.
W ten sposób otrzymujemy tablice wartosci logicznych.Przykład: A(α, β, γ) = (α⇔ β ∧ ¬γ)α β γ ¬γ β ∧ ¬γ A0 0 0 1 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 1 01 0 0 1 0 01 1 0 1 1 11 0 1 0 0 00 1 1 0 0 11 1 1 0 0 0
Wartosc logiczna zdania złozonegozalezy od wartosci zdan atomowych.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Wartosc logiczna formuł
Metoda zero-jedynkowa
Wartosc logiczna zdania złozonego obliczamy podstawiajacwszystkie mozliwe wartosci logicznych zdan atomowych.W ten sposób otrzymujemy tablice wartosci logicznych.
Przykład: A(α, β, γ) = (α⇔ β ∧ ¬γ)α β γ ¬γ β ∧ ¬γ A0 0 0 1 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 1 01 0 0 1 0 01 1 0 1 1 11 0 1 0 0 00 1 1 0 0 11 1 1 0 0 0
Wartosc logiczna zdania złozonegozalezy od wartosci zdan atomowych.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Wartosc logiczna formuł
Metoda zero-jedynkowa
Wartosc logiczna zdania złozonego obliczamy podstawiajacwszystkie mozliwe wartosci logicznych zdan atomowych.W ten sposób otrzymujemy tablice wartosci logicznych.Przykład: A(α, β, γ) = (α⇔ β ∧ ¬γ)
α β γ ¬γ β ∧ ¬γ A0 0 0 1 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 1 01 0 0 1 0 01 1 0 1 1 11 0 1 0 0 00 1 1 0 0 11 1 1 0 0 0
Wartosc logiczna zdania złozonegozalezy od wartosci zdan atomowych.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Wartosc logiczna formuł
Metoda zero-jedynkowa
Wartosc logiczna zdania złozonego obliczamy podstawiajacwszystkie mozliwe wartosci logicznych zdan atomowych.W ten sposób otrzymujemy tablice wartosci logicznych.Przykład: A(α, β, γ) = (α⇔ β ∧ ¬γ)α β γ ¬γ β ∧ ¬γ A0 0 0 1 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 1 01 0 0 1 0 01 1 0 1 1 11 0 1 0 0 00 1 1 0 0 11 1 1 0 0 0
Wartosc logiczna zdania złozonegozalezy od wartosci zdan atomowych.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Wartosc logiczna formuł
Metoda zero-jedynkowa
Wartosc logiczna zdania złozonego obliczamy podstawiajacwszystkie mozliwe wartosci logicznych zdan atomowych.W ten sposób otrzymujemy tablice wartosci logicznych.Przykład: A(α, β, γ) = (α⇔ β ∧ ¬γ)α β γ ¬γ β ∧ ¬γ A0 0 0 1 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 1 01 0 0 1 0 01 1 0 1 1 11 0 1 0 0 00 1 1 0 0 11 1 1 0 0 0
Wartosc logiczna zdania złozonegozalezy od wartosci zdan atomowych.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Wartosc logiczna formuł
Spełnialnosc i prawdziwosc formuł
Funkcje w : F → {0,1} nazywamy interpretacja.
Mówimy, ze formuła A jest:• spełniona, jesli w(A) = 1 dla danej interpretacji w .• spelnialna, jesli istnieje przynajmniej jedna interpretacja,
dla której w(A) = 1.• niespelnialna, jesli nie jest spełnialna, czyli w(A) = 0 dla
wszystkich interpretacji w .• prawdziwa (tautologia), jesli w(A) = 1 dla wszystkich
interpretacji w , |= A.• nieprawdziwa, jesli nie jest prawdziwa, czyli w(A)=0 dla
pewnej interpretacji w , 2 A.W rachunku zdan spełnianie kazdej formuły mozna sprawdzicmetoda zero-jedynkowa konstruujac tablice wartosci logicznych.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Wartosc logiczna formuł
Spełnialnosc i prawdziwosc formuł
Funkcje w : F → {0,1} nazywamy interpretacja.Mówimy, ze formuła A jest:
• spełniona, jesli w(A) = 1 dla danej interpretacji w .• spelnialna, jesli istnieje przynajmniej jedna interpretacja,
dla której w(A) = 1.• niespelnialna, jesli nie jest spełnialna, czyli w(A) = 0 dla
wszystkich interpretacji w .• prawdziwa (tautologia), jesli w(A) = 1 dla wszystkich
interpretacji w , |= A.• nieprawdziwa, jesli nie jest prawdziwa, czyli w(A)=0 dla
pewnej interpretacji w , 2 A.W rachunku zdan spełnianie kazdej formuły mozna sprawdzicmetoda zero-jedynkowa konstruujac tablice wartosci logicznych.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Wartosc logiczna formuł
Spełnialnosc i prawdziwosc formuł
Funkcje w : F → {0,1} nazywamy interpretacja.Mówimy, ze formuła A jest:• spełniona, jesli w(A) = 1 dla danej interpretacji w .
• spelnialna, jesli istnieje przynajmniej jedna interpretacja,dla której w(A) = 1.• niespelnialna, jesli nie jest spełnialna, czyli w(A) = 0 dla
wszystkich interpretacji w .• prawdziwa (tautologia), jesli w(A) = 1 dla wszystkich
interpretacji w , |= A.• nieprawdziwa, jesli nie jest prawdziwa, czyli w(A)=0 dla
pewnej interpretacji w , 2 A.W rachunku zdan spełnianie kazdej formuły mozna sprawdzicmetoda zero-jedynkowa konstruujac tablice wartosci logicznych.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Wartosc logiczna formuł
Spełnialnosc i prawdziwosc formuł
Funkcje w : F → {0,1} nazywamy interpretacja.Mówimy, ze formuła A jest:• spełniona, jesli w(A) = 1 dla danej interpretacji w .• spelnialna, jesli istnieje przynajmniej jedna interpretacja,
dla której w(A) = 1.
• niespelnialna, jesli nie jest spełnialna, czyli w(A) = 0 dlawszystkich interpretacji w .• prawdziwa (tautologia), jesli w(A) = 1 dla wszystkich
interpretacji w , |= A.• nieprawdziwa, jesli nie jest prawdziwa, czyli w(A)=0 dla
pewnej interpretacji w , 2 A.W rachunku zdan spełnianie kazdej formuły mozna sprawdzicmetoda zero-jedynkowa konstruujac tablice wartosci logicznych.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Wartosc logiczna formuł
Spełnialnosc i prawdziwosc formuł
Funkcje w : F → {0,1} nazywamy interpretacja.Mówimy, ze formuła A jest:• spełniona, jesli w(A) = 1 dla danej interpretacji w .• spelnialna, jesli istnieje przynajmniej jedna interpretacja,
dla której w(A) = 1.• niespelnialna, jesli nie jest spełnialna, czyli w(A) = 0 dla
wszystkich interpretacji w .
• prawdziwa (tautologia), jesli w(A) = 1 dla wszystkichinterpretacji w , |= A.• nieprawdziwa, jesli nie jest prawdziwa, czyli w(A)=0 dla
pewnej interpretacji w , 2 A.W rachunku zdan spełnianie kazdej formuły mozna sprawdzicmetoda zero-jedynkowa konstruujac tablice wartosci logicznych.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Wartosc logiczna formuł
Spełnialnosc i prawdziwosc formuł
Funkcje w : F → {0,1} nazywamy interpretacja.Mówimy, ze formuła A jest:• spełniona, jesli w(A) = 1 dla danej interpretacji w .• spelnialna, jesli istnieje przynajmniej jedna interpretacja,
dla której w(A) = 1.• niespelnialna, jesli nie jest spełnialna, czyli w(A) = 0 dla
wszystkich interpretacji w .• prawdziwa (tautologia), jesli w(A) = 1 dla wszystkich
interpretacji w , |= A.
• nieprawdziwa, jesli nie jest prawdziwa, czyli w(A)=0 dlapewnej interpretacji w , 2 A.
W rachunku zdan spełnianie kazdej formuły mozna sprawdzicmetoda zero-jedynkowa konstruujac tablice wartosci logicznych.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Wartosc logiczna formuł
Spełnialnosc i prawdziwosc formuł
Funkcje w : F → {0,1} nazywamy interpretacja.Mówimy, ze formuła A jest:• spełniona, jesli w(A) = 1 dla danej interpretacji w .• spelnialna, jesli istnieje przynajmniej jedna interpretacja,
dla której w(A) = 1.• niespelnialna, jesli nie jest spełnialna, czyli w(A) = 0 dla
wszystkich interpretacji w .• prawdziwa (tautologia), jesli w(A) = 1 dla wszystkich
interpretacji w , |= A.• nieprawdziwa, jesli nie jest prawdziwa, czyli w(A)=0 dla
pewnej interpretacji w , 2 A.
W rachunku zdan spełnianie kazdej formuły mozna sprawdzicmetoda zero-jedynkowa konstruujac tablice wartosci logicznych.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Wartosc logiczna formuł
Spełnialnosc i prawdziwosc formuł
Funkcje w : F → {0,1} nazywamy interpretacja.Mówimy, ze formuła A jest:• spełniona, jesli w(A) = 1 dla danej interpretacji w .• spelnialna, jesli istnieje przynajmniej jedna interpretacja,
dla której w(A) = 1.• niespelnialna, jesli nie jest spełnialna, czyli w(A) = 0 dla
wszystkich interpretacji w .• prawdziwa (tautologia), jesli w(A) = 1 dla wszystkich
interpretacji w , |= A.• nieprawdziwa, jesli nie jest prawdziwa, czyli w(A)=0 dla
pewnej interpretacji w , 2 A.W rachunku zdan spełnianie kazdej formuły mozna sprawdzicmetoda zero-jedynkowa konstruujac tablice wartosci logicznych.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Dowodzenie prawdziwosci tautologii
Dla poprawnego wnioskowania uzyteczne sa schematyprawdziwe (tautologie), zwane tez prawami rachunku zdan.
Dowodzenie prawdziwosci metoda zero-jedynkowa:sprawdzamy czy wartosciami w tablicy sa same jedynki.Przykład: ¬α⇒ (α⇒ β)α β ¬α α⇒ β ¬α⇒ (α⇒ β)
1 1 0 1 11 0 0 0 10 1 1 1 10 0 1 1 1
Tak wiec:|= ¬α⇒ (α⇒ β) .
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Dowodzenie prawdziwosci tautologii
Dla poprawnego wnioskowania uzyteczne sa schematyprawdziwe (tautologie), zwane tez prawami rachunku zdan.
Dowodzenie prawdziwosci metoda zero-jedynkowa:
sprawdzamy czy wartosciami w tablicy sa same jedynki.Przykład: ¬α⇒ (α⇒ β)α β ¬α α⇒ β ¬α⇒ (α⇒ β)
1 1 0 1 11 0 0 0 10 1 1 1 10 0 1 1 1
Tak wiec:|= ¬α⇒ (α⇒ β) .
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Dowodzenie prawdziwosci tautologii
Dla poprawnego wnioskowania uzyteczne sa schematyprawdziwe (tautologie), zwane tez prawami rachunku zdan.
Dowodzenie prawdziwosci metoda zero-jedynkowa:sprawdzamy czy wartosciami w tablicy sa same jedynki.
Przykład: ¬α⇒ (α⇒ β)α β ¬α α⇒ β ¬α⇒ (α⇒ β)
1 1 0 1 11 0 0 0 10 1 1 1 10 0 1 1 1
Tak wiec:|= ¬α⇒ (α⇒ β) .
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Dowodzenie prawdziwosci tautologii
Dla poprawnego wnioskowania uzyteczne sa schematyprawdziwe (tautologie), zwane tez prawami rachunku zdan.
Dowodzenie prawdziwosci metoda zero-jedynkowa:sprawdzamy czy wartosciami w tablicy sa same jedynki.Przykład: ¬α⇒ (α⇒ β)α β ¬α α⇒ β ¬α⇒ (α⇒ β)
1 1 0 1 11 0 0 0 10 1 1 1 10 0 1 1 1
Tak wiec:|= ¬α⇒ (α⇒ β) .
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Dowodzenie prawdziwosci tautologii
Dla poprawnego wnioskowania uzyteczne sa schematyprawdziwe (tautologie), zwane tez prawami rachunku zdan.
Dowodzenie prawdziwosci metoda zero-jedynkowa:sprawdzamy czy wartosciami w tablicy sa same jedynki.Przykład: ¬α⇒ (α⇒ β)α β ¬α α⇒ β ¬α⇒ (α⇒ β)
1 1 0 1 11 0 0 0 10 1 1 1 10 0 1 1 1
Tak wiec:|= ¬α⇒ (α⇒ β) .
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Uzyteczne tautologie
prawo tozsamosci dla implikacji:|= α⇒ α kazde zdanie implikuje siebie
prawo tozsamosci dla równowaznosci:|= α⇔ α kazde zdanie jest sobie równowazne
prawa idempotentnosci:|= α ∧ α⇔ α|= α ∨ α⇔ α
prawo wyłaczonego srodka (tertium non datur ):|= α ∨ ¬α z dwóch zdan sprzecznych jedno jest prawdziwe
prawo wyłaczonej sprzecznosci:|= ¬(α∧¬α) z dwóch zdan sprzecznych jedno jest fałszywe
prawa podwójnej negacji:|= α⇔ ¬¬α
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Uzyteczne tautologie
prawo tozsamosci dla implikacji:|= α⇒ α kazde zdanie implikuje siebie
prawo tozsamosci dla równowaznosci:|= α⇔ α kazde zdanie jest sobie równowazne
prawa idempotentnosci:|= α ∧ α⇔ α|= α ∨ α⇔ α
prawo wyłaczonego srodka (tertium non datur ):|= α ∨ ¬α z dwóch zdan sprzecznych jedno jest prawdziwe
prawo wyłaczonej sprzecznosci:|= ¬(α∧¬α) z dwóch zdan sprzecznych jedno jest fałszywe
prawa podwójnej negacji:|= α⇔ ¬¬α
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Uzyteczne tautologie
prawo tozsamosci dla implikacji:|= α⇒ α kazde zdanie implikuje siebie
prawo tozsamosci dla równowaznosci:|= α⇔ α kazde zdanie jest sobie równowazne
prawa idempotentnosci:|= α ∧ α⇔ α|= α ∨ α⇔ α
prawo wyłaczonego srodka (tertium non datur ):|= α ∨ ¬α z dwóch zdan sprzecznych jedno jest prawdziwe
prawo wyłaczonej sprzecznosci:|= ¬(α∧¬α) z dwóch zdan sprzecznych jedno jest fałszywe
prawa podwójnej negacji:|= α⇔ ¬¬α
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Uzyteczne tautologie
prawo tozsamosci dla implikacji:|= α⇒ α kazde zdanie implikuje siebie
prawo tozsamosci dla równowaznosci:|= α⇔ α kazde zdanie jest sobie równowazne
prawa idempotentnosci:|= α ∧ α⇔ α
|= α ∨ α⇔ αprawo wyłaczonego srodka (tertium non datur ):|= α ∨ ¬α z dwóch zdan sprzecznych jedno jest prawdziwe
prawo wyłaczonej sprzecznosci:|= ¬(α∧¬α) z dwóch zdan sprzecznych jedno jest fałszywe
prawa podwójnej negacji:|= α⇔ ¬¬α
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Uzyteczne tautologie
prawo tozsamosci dla implikacji:|= α⇒ α kazde zdanie implikuje siebie
prawo tozsamosci dla równowaznosci:|= α⇔ α kazde zdanie jest sobie równowazne
prawa idempotentnosci:|= α ∧ α⇔ α|= α ∨ α⇔ α
prawo wyłaczonego srodka (tertium non datur ):|= α ∨ ¬α z dwóch zdan sprzecznych jedno jest prawdziwe
prawo wyłaczonej sprzecznosci:|= ¬(α∧¬α) z dwóch zdan sprzecznych jedno jest fałszywe
prawa podwójnej negacji:|= α⇔ ¬¬α
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Uzyteczne tautologie
prawo tozsamosci dla implikacji:|= α⇒ α kazde zdanie implikuje siebie
prawo tozsamosci dla równowaznosci:|= α⇔ α kazde zdanie jest sobie równowazne
prawa idempotentnosci:|= α ∧ α⇔ α|= α ∨ α⇔ α
prawo wyłaczonego srodka (tertium non datur ):|= α ∨ ¬α z dwóch zdan sprzecznych jedno jest prawdziwe
prawo wyłaczonej sprzecznosci:|= ¬(α∧¬α) z dwóch zdan sprzecznych jedno jest fałszywe
prawa podwójnej negacji:|= α⇔ ¬¬α
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Uzyteczne tautologie
prawo tozsamosci dla implikacji:|= α⇒ α kazde zdanie implikuje siebie
prawo tozsamosci dla równowaznosci:|= α⇔ α kazde zdanie jest sobie równowazne
prawa idempotentnosci:|= α ∧ α⇔ α|= α ∨ α⇔ α
prawo wyłaczonego srodka (tertium non datur ):|= α ∨ ¬α z dwóch zdan sprzecznych jedno jest prawdziwe
prawo wyłaczonej sprzecznosci:|= ¬(α∧¬α) z dwóch zdan sprzecznych jedno jest fałszywe
prawa podwójnej negacji:|= α⇔ ¬¬α
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Uzyteczne tautologie
prawo tozsamosci dla implikacji:|= α⇒ α kazde zdanie implikuje siebie
prawo tozsamosci dla równowaznosci:|= α⇔ α kazde zdanie jest sobie równowazne
prawa idempotentnosci:|= α ∧ α⇔ α|= α ∨ α⇔ α
prawo wyłaczonego srodka (tertium non datur ):|= α ∨ ¬α z dwóch zdan sprzecznych jedno jest prawdziwe
prawo wyłaczonej sprzecznosci:|= ¬(α∧¬α) z dwóch zdan sprzecznych jedno jest fałszywe
prawa podwójnej negacji:|= α⇔ ¬¬α
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Uzyteczne tautologie cd.
prawo negowania koniunkcji:|= ¬(α ∧ β)⇔ (¬α ∨ ¬β)
prawo negowania alternatywy:|= ¬(α ∨ β)⇔ (¬α ∧ ¬β)
prawade Morgana
prawo negowania implikacji:|= ¬(α⇒ β)⇒ (α ∧ ¬β)
prawo negowania równowaznosci:|= ¬(α⇔ β)⇒ (α ∧ ¬β) ∨ (¬α ∧ β)
prawo kontrapozycji (transpozycji):|= (α⇒ β)⇒ (¬β ⇒ ¬α)
jesli z jednego zdania wynika drugie, to z zaprzeczeniadrugiego wynika zaprzeczenie pierwszego
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Uzyteczne tautologie cd.
prawo negowania koniunkcji:|= ¬(α ∧ β)⇔ (¬α ∨ ¬β)
prawo negowania alternatywy:|= ¬(α ∨ β)⇔ (¬α ∧ ¬β)
prawade Morgana
prawo negowania implikacji:|= ¬(α⇒ β)⇒ (α ∧ ¬β)
prawo negowania równowaznosci:|= ¬(α⇔ β)⇒ (α ∧ ¬β) ∨ (¬α ∧ β)
prawo kontrapozycji (transpozycji):|= (α⇒ β)⇒ (¬β ⇒ ¬α)
jesli z jednego zdania wynika drugie, to z zaprzeczeniadrugiego wynika zaprzeczenie pierwszego
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Uzyteczne tautologie cd.
prawo negowania koniunkcji:|= ¬(α ∧ β)⇔ (¬α ∨ ¬β)
prawo negowania alternatywy:|= ¬(α ∨ β)⇔ (¬α ∧ ¬β)
prawade Morgana
prawo negowania implikacji:|= ¬(α⇒ β)⇒ (α ∧ ¬β)
prawo negowania równowaznosci:|= ¬(α⇔ β)⇒ (α ∧ ¬β) ∨ (¬α ∧ β)
prawo kontrapozycji (transpozycji):|= (α⇒ β)⇒ (¬β ⇒ ¬α)
jesli z jednego zdania wynika drugie, to z zaprzeczeniadrugiego wynika zaprzeczenie pierwszego
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Uzyteczne tautologie cd.
prawo negowania koniunkcji:|= ¬(α ∧ β)⇔ (¬α ∨ ¬β)
prawo negowania alternatywy:|= ¬(α ∨ β)⇔ (¬α ∧ ¬β)
prawade Morgana
prawo negowania implikacji:|= ¬(α⇒ β)⇒ (α ∧ ¬β)
prawo negowania równowaznosci:|= ¬(α⇔ β)⇒ (α ∧ ¬β) ∨ (¬α ∧ β)
prawo kontrapozycji (transpozycji):|= (α⇒ β)⇒ (¬β ⇒ ¬α)
jesli z jednego zdania wynika drugie, to z zaprzeczeniadrugiego wynika zaprzeczenie pierwszego
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Uzyteczne tautologie cd.
prawa sylogizmu warunkowego:|= (α⇒ β)⇒ ((β ⇒ γ)⇒ (α⇒ γ))
|= (β ⇒ γ)⇒ ((α⇒ β)⇒ (α⇒ γ))|= (α⇒ β) ∧ (β ⇒ γ)⇒ (α⇒ γ)
|= (α⇒ β) ∧ (γ ⇒ δ)⇒{α ∧ γ ⇒ β ∧ δα ∨ γ ⇒ β ∨ δ
prawa pochłaniania:|= α⇒ (α ∨ β) inna postac: [α ∧ (α ∨ β)]⇔ α|= (α ∧ β)⇒ α inna postac: [α ∨ (α ∧ β)]⇔ α
zwiazek implikacji z alternatywa:|= (α⇒ β)⇔ (¬α ∨ β) lub |= (α ∨ β)⇔ (¬α⇒ β)
prawo eksportacji i importacji:|= (α ∧ β ⇒ γ)⇔ (α⇒ (β ⇒ γ))
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Uzyteczne tautologie cd.
prawa sylogizmu warunkowego:|= (α⇒ β)⇒ ((β ⇒ γ)⇒ (α⇒ γ))|= (β ⇒ γ)⇒ ((α⇒ β)⇒ (α⇒ γ))
|= (α⇒ β) ∧ (β ⇒ γ)⇒ (α⇒ γ)
|= (α⇒ β) ∧ (γ ⇒ δ)⇒{α ∧ γ ⇒ β ∧ δα ∨ γ ⇒ β ∨ δ
prawa pochłaniania:|= α⇒ (α ∨ β) inna postac: [α ∧ (α ∨ β)]⇔ α|= (α ∧ β)⇒ α inna postac: [α ∨ (α ∧ β)]⇔ α
zwiazek implikacji z alternatywa:|= (α⇒ β)⇔ (¬α ∨ β) lub |= (α ∨ β)⇔ (¬α⇒ β)
prawo eksportacji i importacji:|= (α ∧ β ⇒ γ)⇔ (α⇒ (β ⇒ γ))
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Uzyteczne tautologie cd.
prawa sylogizmu warunkowego:|= (α⇒ β)⇒ ((β ⇒ γ)⇒ (α⇒ γ))|= (β ⇒ γ)⇒ ((α⇒ β)⇒ (α⇒ γ))|= (α⇒ β) ∧ (β ⇒ γ)⇒ (α⇒ γ)
|= (α⇒ β) ∧ (γ ⇒ δ)⇒{α ∧ γ ⇒ β ∧ δα ∨ γ ⇒ β ∨ δ
prawa pochłaniania:|= α⇒ (α ∨ β) inna postac: [α ∧ (α ∨ β)]⇔ α|= (α ∧ β)⇒ α inna postac: [α ∨ (α ∧ β)]⇔ α
zwiazek implikacji z alternatywa:|= (α⇒ β)⇔ (¬α ∨ β) lub |= (α ∨ β)⇔ (¬α⇒ β)
prawo eksportacji i importacji:|= (α ∧ β ⇒ γ)⇔ (α⇒ (β ⇒ γ))
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Uzyteczne tautologie cd.
prawa sylogizmu warunkowego:|= (α⇒ β)⇒ ((β ⇒ γ)⇒ (α⇒ γ))|= (β ⇒ γ)⇒ ((α⇒ β)⇒ (α⇒ γ))|= (α⇒ β) ∧ (β ⇒ γ)⇒ (α⇒ γ)
|= (α⇒ β) ∧ (γ ⇒ δ)⇒{α ∧ γ ⇒ β ∧ δα ∨ γ ⇒ β ∨ δ
prawa pochłaniania:|= α⇒ (α ∨ β) inna postac: [α ∧ (α ∨ β)]⇔ α|= (α ∧ β)⇒ α inna postac: [α ∨ (α ∧ β)]⇔ α
zwiazek implikacji z alternatywa:|= (α⇒ β)⇔ (¬α ∨ β) lub |= (α ∨ β)⇔ (¬α⇒ β)
prawo eksportacji i importacji:|= (α ∧ β ⇒ γ)⇔ (α⇒ (β ⇒ γ))
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Uzyteczne tautologie cd.
prawa sylogizmu warunkowego:|= (α⇒ β)⇒ ((β ⇒ γ)⇒ (α⇒ γ))|= (β ⇒ γ)⇒ ((α⇒ β)⇒ (α⇒ γ))|= (α⇒ β) ∧ (β ⇒ γ)⇒ (α⇒ γ)
|= (α⇒ β) ∧ (γ ⇒ δ)⇒{α ∧ γ ⇒ β ∧ δα ∨ γ ⇒ β ∨ δ
prawa pochłaniania:|= α⇒ (α ∨ β) inna postac: [α ∧ (α ∨ β)]⇔ α|= (α ∧ β)⇒ α inna postac: [α ∨ (α ∧ β)]⇔ α
zwiazek implikacji z alternatywa:|= (α⇒ β)⇔ (¬α ∨ β) lub |= (α ∨ β)⇔ (¬α⇒ β)
prawo eksportacji i importacji:|= (α ∧ β ⇒ γ)⇔ (α⇒ (β ⇒ γ))
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Uzyteczne tautologie cd.
prawa sylogizmu warunkowego:|= (α⇒ β)⇒ ((β ⇒ γ)⇒ (α⇒ γ))|= (β ⇒ γ)⇒ ((α⇒ β)⇒ (α⇒ γ))|= (α⇒ β) ∧ (β ⇒ γ)⇒ (α⇒ γ)
|= (α⇒ β) ∧ (γ ⇒ δ)⇒{α ∧ γ ⇒ β ∧ δα ∨ γ ⇒ β ∨ δ
prawa pochłaniania:|= α⇒ (α ∨ β) inna postac: [α ∧ (α ∨ β)]⇔ α|= (α ∧ β)⇒ α inna postac: [α ∨ (α ∧ β)]⇔ α
zwiazek implikacji z alternatywa:|= (α⇒ β)⇔ (¬α ∨ β) lub |= (α ∨ β)⇔ (¬α⇒ β)
prawo eksportacji i importacji:|= (α ∧ β ⇒ γ)⇔ (α⇒ (β ⇒ γ))
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Uzyteczne tautologie cd.
prawa sylogizmu warunkowego:|= (α⇒ β)⇒ ((β ⇒ γ)⇒ (α⇒ γ))|= (β ⇒ γ)⇒ ((α⇒ β)⇒ (α⇒ γ))|= (α⇒ β) ∧ (β ⇒ γ)⇒ (α⇒ γ)
|= (α⇒ β) ∧ (γ ⇒ δ)⇒{α ∧ γ ⇒ β ∧ δα ∨ γ ⇒ β ∨ δ
prawa pochłaniania:|= α⇒ (α ∨ β) inna postac: [α ∧ (α ∨ β)]⇔ α|= (α ∧ β)⇒ α inna postac: [α ∨ (α ∧ β)]⇔ α
zwiazek implikacji z alternatywa:|= (α⇒ β)⇔ (¬α ∨ β) lub |= (α ∨ β)⇔ (¬α⇒ β)
prawo eksportacji i importacji:|= (α ∧ β ⇒ γ)⇔ (α⇒ (β ⇒ γ))
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
prawo przemiennosci koniunkcji:|= (α ∧ β)⇔ (β ∧ α)
prawo przemiennosci alternatywy:|= (α ∨ β)⇔ (β ∨ α)
prawo łacznosci koniunkcji:|= [(α ∧ β) ∧ r ]⇔ [α ∧ (β ∧ γ)]
prawo łacznosci alternatywy:|= [(α ∨ β) ∨ γ]⇔ [α ∨ (β ∨ γ)]
prawo rozdzielnosci konjunkcji wzgledem alternatywy:|= [α ∧ (β ∨ γ)]⇔ [(α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)]
prawo rozdzielnosci alternatywy wzgledem konjunkcji:|= [α ∨ (β ∧ γ)]⇔ [(α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)]
prawo Claviusa:|= (¬α⇒ α)⇒ α zdanie wynikajace ze swojego
zaprzeczenia jest prawdziwe
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
prawo przemiennosci koniunkcji:|= (α ∧ β)⇔ (β ∧ α)
prawo przemiennosci alternatywy:|= (α ∨ β)⇔ (β ∨ α)
prawo łacznosci koniunkcji:|= [(α ∧ β) ∧ r ]⇔ [α ∧ (β ∧ γ)]
prawo łacznosci alternatywy:|= [(α ∨ β) ∨ γ]⇔ [α ∨ (β ∨ γ)]
prawo rozdzielnosci konjunkcji wzgledem alternatywy:|= [α ∧ (β ∨ γ)]⇔ [(α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)]
prawo rozdzielnosci alternatywy wzgledem konjunkcji:|= [α ∨ (β ∧ γ)]⇔ [(α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)]
prawo Claviusa:|= (¬α⇒ α)⇒ α zdanie wynikajace ze swojego
zaprzeczenia jest prawdziwe
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
prawo przemiennosci koniunkcji:|= (α ∧ β)⇔ (β ∧ α)
prawo przemiennosci alternatywy:|= (α ∨ β)⇔ (β ∨ α)
prawo łacznosci koniunkcji:|= [(α ∧ β) ∧ r ]⇔ [α ∧ (β ∧ γ)]
prawo łacznosci alternatywy:|= [(α ∨ β) ∨ γ]⇔ [α ∨ (β ∨ γ)]
prawo rozdzielnosci konjunkcji wzgledem alternatywy:|= [α ∧ (β ∨ γ)]⇔ [(α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)]
prawo rozdzielnosci alternatywy wzgledem konjunkcji:|= [α ∨ (β ∧ γ)]⇔ [(α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)]
prawo Claviusa:|= (¬α⇒ α)⇒ α zdanie wynikajace ze swojego
zaprzeczenia jest prawdziwe
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
prawo przemiennosci koniunkcji:|= (α ∧ β)⇔ (β ∧ α)
prawo przemiennosci alternatywy:|= (α ∨ β)⇔ (β ∨ α)
prawo łacznosci koniunkcji:|= [(α ∧ β) ∧ r ]⇔ [α ∧ (β ∧ γ)]
prawo łacznosci alternatywy:|= [(α ∨ β) ∨ γ]⇔ [α ∨ (β ∨ γ)]
prawo rozdzielnosci konjunkcji wzgledem alternatywy:|= [α ∧ (β ∨ γ)]⇔ [(α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)]
prawo rozdzielnosci alternatywy wzgledem konjunkcji:|= [α ∨ (β ∧ γ)]⇔ [(α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)]
prawo Claviusa:|= (¬α⇒ α)⇒ α zdanie wynikajace ze swojego
zaprzeczenia jest prawdziwe
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
prawo przemiennosci koniunkcji:|= (α ∧ β)⇔ (β ∧ α)
prawo przemiennosci alternatywy:|= (α ∨ β)⇔ (β ∨ α)
prawo łacznosci koniunkcji:|= [(α ∧ β) ∧ r ]⇔ [α ∧ (β ∧ γ)]
prawo łacznosci alternatywy:|= [(α ∨ β) ∨ γ]⇔ [α ∨ (β ∨ γ)]
prawo rozdzielnosci konjunkcji wzgledem alternatywy:|= [α ∧ (β ∨ γ)]⇔ [(α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)]
prawo rozdzielnosci alternatywy wzgledem konjunkcji:|= [α ∨ (β ∧ γ)]⇔ [(α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)]
prawo Claviusa:|= (¬α⇒ α)⇒ α zdanie wynikajace ze swojego
zaprzeczenia jest prawdziwe
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
prawo przemiennosci koniunkcji:|= (α ∧ β)⇔ (β ∧ α)
prawo przemiennosci alternatywy:|= (α ∨ β)⇔ (β ∨ α)
prawo łacznosci koniunkcji:|= [(α ∧ β) ∧ r ]⇔ [α ∧ (β ∧ γ)]
prawo łacznosci alternatywy:|= [(α ∨ β) ∨ γ]⇔ [α ∨ (β ∨ γ)]
prawo rozdzielnosci konjunkcji wzgledem alternatywy:|= [α ∧ (β ∨ γ)]⇔ [(α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)]
prawo rozdzielnosci alternatywy wzgledem konjunkcji:|= [α ∨ (β ∧ γ)]⇔ [(α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)]
prawo Claviusa:|= (¬α⇒ α)⇒ α zdanie wynikajace ze swojego
zaprzeczenia jest prawdziwe
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Uzyteczne tautologie cd.
prawo Dunsa Scottusa:|= ¬α⇒ (α⇒ β) jezeli zdanie jest fałszywe, to wynika z
niego kazde inne zdanie
prawo symplifikacji:|= α⇒ (β ⇒ α) jezeli zdanie jest prawdziwe, to wynika ono z
kazdego innegoprawo eliminacji implikacji:|= (α⇒ β)⇔ (¬α ∨ β)
prawo zaprzeczenia implikacji:|= ¬(α⇒ β)⇔ (α ∧ ¬β)
prawo sprowadzenia do sprzecznosci(reductio ad absurdum):|= [(¬α⇒ β) ∧ (¬α⇒ ¬β)]⇒ α
prawo Fregego:|= [α⇒ (β ⇒ γ)]⇒ [(α⇒ β)⇒ (α⇒ γ)]
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Uzyteczne tautologie cd.
prawo Dunsa Scottusa:|= ¬α⇒ (α⇒ β) jezeli zdanie jest fałszywe, to wynika z
niego kazde inne zdanieprawo symplifikacji:|= α⇒ (β ⇒ α) jezeli zdanie jest prawdziwe, to wynika ono z
kazdego innego
prawo eliminacji implikacji:|= (α⇒ β)⇔ (¬α ∨ β)
prawo zaprzeczenia implikacji:|= ¬(α⇒ β)⇔ (α ∧ ¬β)
prawo sprowadzenia do sprzecznosci(reductio ad absurdum):|= [(¬α⇒ β) ∧ (¬α⇒ ¬β)]⇒ α
prawo Fregego:|= [α⇒ (β ⇒ γ)]⇒ [(α⇒ β)⇒ (α⇒ γ)]
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Uzyteczne tautologie cd.
prawo Dunsa Scottusa:|= ¬α⇒ (α⇒ β) jezeli zdanie jest fałszywe, to wynika z
niego kazde inne zdanieprawo symplifikacji:|= α⇒ (β ⇒ α) jezeli zdanie jest prawdziwe, to wynika ono z
kazdego innegoprawo eliminacji implikacji:|= (α⇒ β)⇔ (¬α ∨ β)
prawo zaprzeczenia implikacji:|= ¬(α⇒ β)⇔ (α ∧ ¬β)
prawo sprowadzenia do sprzecznosci(reductio ad absurdum):|= [(¬α⇒ β) ∧ (¬α⇒ ¬β)]⇒ α
prawo Fregego:|= [α⇒ (β ⇒ γ)]⇒ [(α⇒ β)⇒ (α⇒ γ)]
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Uzyteczne tautologie cd.
prawo Dunsa Scottusa:|= ¬α⇒ (α⇒ β) jezeli zdanie jest fałszywe, to wynika z
niego kazde inne zdanieprawo symplifikacji:|= α⇒ (β ⇒ α) jezeli zdanie jest prawdziwe, to wynika ono z
kazdego innegoprawo eliminacji implikacji:|= (α⇒ β)⇔ (¬α ∨ β)
prawo zaprzeczenia implikacji:|= ¬(α⇒ β)⇔ (α ∧ ¬β)
prawo sprowadzenia do sprzecznosci(reductio ad absurdum):|= [(¬α⇒ β) ∧ (¬α⇒ ¬β)]⇒ α
prawo Fregego:|= [α⇒ (β ⇒ γ)]⇒ [(α⇒ β)⇒ (α⇒ γ)]
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Uzyteczne tautologie cd.
prawo Dunsa Scottusa:|= ¬α⇒ (α⇒ β) jezeli zdanie jest fałszywe, to wynika z
niego kazde inne zdanieprawo symplifikacji:|= α⇒ (β ⇒ α) jezeli zdanie jest prawdziwe, to wynika ono z
kazdego innegoprawo eliminacji implikacji:|= (α⇒ β)⇔ (¬α ∨ β)
prawo zaprzeczenia implikacji:|= ¬(α⇒ β)⇔ (α ∧ ¬β)
prawo sprowadzenia do sprzecznosci(reductio ad absurdum):|= [(¬α⇒ β) ∧ (¬α⇒ ¬β)]⇒ α
prawo Fregego:|= [α⇒ (β ⇒ γ)]⇒ [(α⇒ β)⇒ (α⇒ γ)]
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Uzyteczne tautologie cd.
prawo Dunsa Scottusa:|= ¬α⇒ (α⇒ β) jezeli zdanie jest fałszywe, to wynika z
niego kazde inne zdanieprawo symplifikacji:|= α⇒ (β ⇒ α) jezeli zdanie jest prawdziwe, to wynika ono z
kazdego innegoprawo eliminacji implikacji:|= (α⇒ β)⇔ (¬α ∨ β)
prawo zaprzeczenia implikacji:|= ¬(α⇒ β)⇔ (α ∧ ¬β)
prawo sprowadzenia do sprzecznosci(reductio ad absurdum):|= [(¬α⇒ β) ∧ (¬α⇒ ¬β)]⇒ α
prawo Fregego:|= [α⇒ (β ⇒ γ)]⇒ [(α⇒ β)⇒ (α⇒ γ)]
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Konstruowanie nowych praw
Twierdzenie Reguła podstawiania:
A(α1, α2, . . . , αn) jest prawem rachunku zdan,⇓
schemat otrzymany przez podstawienie α1/A1, . . . , αn/An,gdzie A1, . . . ,An dowolne schematy zdaniowetez jest prawem rachunku zdan.Przykład: W tautologii (α ∨ ¬α) podstawmy: α/(β⇒γ).Otrzymane zdanie: (β⇒γ) ∨ ¬(β⇒γ)tez jest prawem rachunku zdan.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Konstruowanie nowych praw
Twierdzenie Reguła podstawiania:A(α1, α2, . . . , αn) jest prawem rachunku zdan,
⇓schemat otrzymany przez podstawienie α1/A1, . . . , αn/An,gdzie A1, . . . ,An dowolne schematy zdaniowetez jest prawem rachunku zdan.Przykład: W tautologii (α ∨ ¬α) podstawmy: α/(β⇒γ).Otrzymane zdanie: (β⇒γ) ∨ ¬(β⇒γ)tez jest prawem rachunku zdan.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Konstruowanie nowych praw
Twierdzenie Reguła podstawiania:A(α1, α2, . . . , αn) jest prawem rachunku zdan,
⇓schemat otrzymany przez podstawienie α1/A1, . . . , αn/An,gdzie A1, . . . ,An dowolne schematy zdaniowetez jest prawem rachunku zdan.
Przykład: W tautologii (α ∨ ¬α) podstawmy: α/(β⇒γ).Otrzymane zdanie: (β⇒γ) ∨ ¬(β⇒γ)tez jest prawem rachunku zdan.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Prawa rachunku zdan (tautologie)
Konstruowanie nowych praw
Twierdzenie Reguła podstawiania:A(α1, α2, . . . , αn) jest prawem rachunku zdan,
⇓schemat otrzymany przez podstawienie α1/A1, . . . , αn/An,gdzie A1, . . . ,An dowolne schematy zdaniowetez jest prawem rachunku zdan.Przykład: W tautologii (α ∨ ¬α) podstawmy: α/(β⇒γ).Otrzymane zdanie: (β⇒γ) ∨ ¬(β⇒γ)tez jest prawem rachunku zdan.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Reguły wnioskowania (dowodzenia)
Reguły wnioskowania to operacje prowadzace od zdanprawdziwych do prawdziwych
, które zapisujemy:
G1, . . . ,Gn
Alub {G1, . . . ,Gn} |= A
↑ ↑przesłanki (załozenia) wniosek (teza)
Schemat A nazywamy logiczna konsekwencja zbioru załozenG = {G1, . . . ,Gn}, jezeli przy kazdym podstawieniu wartoscilogicznych zmiennych zdaniowych, takim, ze wszystkie formułyG1, . . . ,Gn sa prawdziwe, zachodzi w(A) = 1.
A wiec:teza jest zdaniem prawdziwym, jesli przesłanki sa prawdziwe
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Reguły wnioskowania (dowodzenia)
Reguły wnioskowania to operacje prowadzace od zdanprawdziwych do prawdziwych, które zapisujemy:
G1, . . . ,Gn
Alub {G1, . . . ,Gn} |= A
↑ ↑przesłanki (załozenia) wniosek (teza)
Schemat A nazywamy logiczna konsekwencja zbioru załozenG = {G1, . . . ,Gn}, jezeli przy kazdym podstawieniu wartoscilogicznych zmiennych zdaniowych, takim, ze wszystkie formułyG1, . . . ,Gn sa prawdziwe, zachodzi w(A) = 1.
A wiec:teza jest zdaniem prawdziwym, jesli przesłanki sa prawdziwe
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Reguły wnioskowania (dowodzenia)
Reguły wnioskowania to operacje prowadzace od zdanprawdziwych do prawdziwych, które zapisujemy:
G1, . . . ,Gn
Alub {G1, . . . ,Gn} |= A
↑ ↑przesłanki (załozenia) wniosek (teza)
Schemat A nazywamy logiczna konsekwencja zbioru załozenG = {G1, . . . ,Gn}, jezeli przy kazdym podstawieniu wartoscilogicznych zmiennych zdaniowych, takim, ze wszystkie formułyG1, . . . ,Gn sa prawdziwe, zachodzi w(A) = 1.
A wiec:teza jest zdaniem prawdziwym, jesli przesłanki sa prawdziwe
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Reguły wnioskowania (dowodzenia)
Reguły wnioskowania to operacje prowadzace od zdanprawdziwych do prawdziwych, które zapisujemy:
G1, . . . ,Gn
Alub {G1, . . . ,Gn} |= A
↑ ↑przesłanki (załozenia) wniosek (teza)
Schemat A nazywamy logiczna konsekwencja zbioru załozenG = {G1, . . . ,Gn}, jezeli przy kazdym podstawieniu wartoscilogicznych zmiennych zdaniowych, takim, ze wszystkie formułyG1, . . . ,Gn sa prawdziwe, zachodzi w(A) = 1.
A wiec:teza jest zdaniem prawdziwym, jesli przesłanki sa prawdziwe
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Reguły wnioskowania cd.
Przykład: Formuła A = α ∨ ¬β jest konsekwencja logicznazbioru załozen U1 = {α}
, czyli U1 |= A,jak i zbioru załozen U2 = {¬β}, czyli U2 |= A.Natomiast A nie jest konsekwencja logiczna zbioru załozenU3 = {¬α, β}, czyli U3 2 A.
Prawo rachunku zdan to schemat, który jest prawdziwy bezzadnych załozen, wiec∅ |= tautologia, co zapisujemy:|= tautologia.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Reguły wnioskowania cd.
Przykład: Formuła A = α ∨ ¬β jest konsekwencja logicznazbioru załozen U1 = {α}, czyli U1 |= A
,jak i zbioru załozen U2 = {¬β}, czyli U2 |= A.Natomiast A nie jest konsekwencja logiczna zbioru załozenU3 = {¬α, β}, czyli U3 2 A.
Prawo rachunku zdan to schemat, który jest prawdziwy bezzadnych załozen, wiec∅ |= tautologia, co zapisujemy:|= tautologia.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Reguły wnioskowania cd.
Przykład: Formuła A = α ∨ ¬β jest konsekwencja logicznazbioru załozen U1 = {α}, czyli U1 |= A,jak i zbioru załozen U2 = {¬β}
, czyli U2 |= A.Natomiast A nie jest konsekwencja logiczna zbioru załozenU3 = {¬α, β}, czyli U3 2 A.
Prawo rachunku zdan to schemat, który jest prawdziwy bezzadnych załozen, wiec∅ |= tautologia, co zapisujemy:|= tautologia.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Reguły wnioskowania cd.
Przykład: Formuła A = α ∨ ¬β jest konsekwencja logicznazbioru załozen U1 = {α}, czyli U1 |= A,jak i zbioru załozen U2 = {¬β}, czyli U2 |= A.
Natomiast A nie jest konsekwencja logiczna zbioru załozenU3 = {¬α, β}, czyli U3 2 A.
Prawo rachunku zdan to schemat, który jest prawdziwy bezzadnych załozen, wiec∅ |= tautologia, co zapisujemy:|= tautologia.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Reguły wnioskowania cd.
Przykład: Formuła A = α ∨ ¬β jest konsekwencja logicznazbioru załozen U1 = {α}, czyli U1 |= A,jak i zbioru załozen U2 = {¬β}, czyli U2 |= A.Natomiast A nie jest konsekwencja logiczna zbioru załozenU3 = {¬α, β}, czyli U3 2 A.
Prawo rachunku zdan to schemat, który jest prawdziwy bezzadnych załozen, wiec∅ |= tautologia, co zapisujemy:|= tautologia.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Reguły wnioskowania cd.
Przykład: Formuła A = α ∨ ¬β jest konsekwencja logicznazbioru załozen U1 = {α}, czyli U1 |= A,jak i zbioru załozen U2 = {¬β}, czyli U2 |= A.Natomiast A nie jest konsekwencja logiczna zbioru załozenU3 = {¬α, β}, czyli U3 2 A.
Prawo rachunku zdan to schemat, który jest prawdziwy bezzadnych załozen
, wiec∅ |= tautologia, co zapisujemy:|= tautologia.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Reguły wnioskowania cd.
Przykład: Formuła A = α ∨ ¬β jest konsekwencja logicznazbioru załozen U1 = {α}, czyli U1 |= A,jak i zbioru załozen U2 = {¬β}, czyli U2 |= A.Natomiast A nie jest konsekwencja logiczna zbioru załozenU3 = {¬α, β}, czyli U3 2 A.
Prawo rachunku zdan to schemat, który jest prawdziwy bezzadnych załozen, wiec∅ |= tautologia
, co zapisujemy:|= tautologia.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Reguły wnioskowania cd.
Przykład: Formuła A = α ∨ ¬β jest konsekwencja logicznazbioru załozen U1 = {α}, czyli U1 |= A,jak i zbioru załozen U2 = {¬β}, czyli U2 |= A.Natomiast A nie jest konsekwencja logiczna zbioru załozenU3 = {¬α, β}, czyli U3 2 A.
Prawo rachunku zdan to schemat, który jest prawdziwy bezzadnych załozen, wiec∅ |= tautologia, co zapisujemy:|= tautologia.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Zwiazek pomiedzy regułami dowodzenia a prawamirachunku zdan
Twierdzenie:Jesli G1, . . . ,Gn,A dowolne schematy zdaniowe, to(
G1∧. . .∧Gn⇒Ajest prawem rachunku zdan
)⇔( G1,...,Gn
Ajest reguła dowodzenia
)
Twierdzenie to pozwala z tautologii rachunku zdan, które majapostac (przesłanki⇒ wniosek) otrzymywac reguły dowodzenia.
Przykładprawo rachunku zdan reguła wnioskowania
B ∧ (B ⇒ A)⇒ A ⇔ B,B ⇒ AA
reguła odrywania
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Zwiazek pomiedzy regułami dowodzenia a prawamirachunku zdan
Twierdzenie:Jesli G1, . . . ,Gn,A dowolne schematy zdaniowe, to(
G1∧. . .∧Gn⇒Ajest prawem rachunku zdan
)⇔( G1,...,Gn
Ajest reguła dowodzenia
)Twierdzenie to pozwala z tautologii rachunku zdan, które majapostac (przesłanki⇒ wniosek) otrzymywac reguły dowodzenia.
Przykładprawo rachunku zdan reguła wnioskowania
B ∧ (B ⇒ A)⇒ A ⇔ B,B ⇒ AA
reguła odrywania
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Zwiazek pomiedzy regułami dowodzenia a prawamirachunku zdan
Twierdzenie:Jesli G1, . . . ,Gn,A dowolne schematy zdaniowe, to(
G1∧. . .∧Gn⇒Ajest prawem rachunku zdan
)⇔( G1,...,Gn
Ajest reguła dowodzenia
)Twierdzenie to pozwala z tautologii rachunku zdan, które majapostac (przesłanki⇒ wniosek) otrzymywac reguły dowodzenia.
Przykładprawo rachunku zdan reguła wnioskowania
B ∧ (B ⇒ A)⇒ A ⇔ B,B ⇒ AA
reguła odrywania
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania
A, B, C, D - schematy zdaniowe
• reguła odrywania (modus ponendo ponens):
opuszczania implikacjiA,A⇒ B
BRO
Przykład
Przesłanki:(
4|84|n⇒ 2|n
)Wniosek: 2|8
• reguła symplifikacji:
dołaczania implikacjiA
B ⇒ A
PrzykładPrzesłanki: Ziemia krazy wokół SłoncaWniosek: Kot ma skrzydła⇒ Ziemia krazy wokół Słonca.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania
A, B, C, D - schematy zdaniowe• reguła odrywania (modus ponendo ponens):
opuszczania implikacjiA,A⇒ B
BRO
Przykład
Przesłanki:(
4|84|n⇒ 2|n
)Wniosek: 2|8
• reguła symplifikacji:
dołaczania implikacjiA
B ⇒ A
PrzykładPrzesłanki: Ziemia krazy wokół SłoncaWniosek: Kot ma skrzydła⇒ Ziemia krazy wokół Słonca.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania
A, B, C, D - schematy zdaniowe• reguła odrywania (modus ponendo ponens):
opuszczania implikacjiA,A⇒ B
BRO
Przykład
Przesłanki:(
4|84|n⇒ 2|n
)
Wniosek: 2|8
• reguła symplifikacji:
dołaczania implikacjiA
B ⇒ A
PrzykładPrzesłanki: Ziemia krazy wokół SłoncaWniosek: Kot ma skrzydła⇒ Ziemia krazy wokół Słonca.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania
A, B, C, D - schematy zdaniowe• reguła odrywania (modus ponendo ponens):
opuszczania implikacjiA,A⇒ B
BRO
Przykład
Przesłanki:(
4|84|n⇒ 2|n
)Wniosek: 2|8
• reguła symplifikacji:
dołaczania implikacjiA
B ⇒ A
PrzykładPrzesłanki: Ziemia krazy wokół SłoncaWniosek: Kot ma skrzydła⇒ Ziemia krazy wokół Słonca.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania
A, B, C, D - schematy zdaniowe• reguła odrywania (modus ponendo ponens):
opuszczania implikacjiA,A⇒ B
BRO
Przykład
Przesłanki:(
4|84|n⇒ 2|n
)Wniosek: 2|8
• reguła symplifikacji:
dołaczania implikacjiA
B ⇒ A
PrzykładPrzesłanki: Ziemia krazy wokół Słonca
Wniosek: Kot ma skrzydła⇒ Ziemia krazy wokół Słonca.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania
A, B, C, D - schematy zdaniowe• reguła odrywania (modus ponendo ponens):
opuszczania implikacjiA,A⇒ B
BRO
Przykład
Przesłanki:(
4|84|n⇒ 2|n
)Wniosek: 2|8
• reguła symplifikacji:
dołaczania implikacjiA
B ⇒ A
PrzykładPrzesłanki: Ziemia krazy wokół SłoncaWniosek: Kot ma skrzydła⇒ Ziemia krazy wokół Słonca.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania cd.
• reguły dla równowaznosci:
opuszczania równowaznosciA⇔ BA⇒ B
,A⇔ BB ⇒ A
OE
dołaczania równowaznosciA⇒ B,B ⇒ A
A⇔ BDE
• reguła odrywania dla równowaznosci:
A,A⇔ BB
,B,A⇔ B
A
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania cd.
• reguły dla równowaznosci:
opuszczania równowaznosciA⇔ BA⇒ B
,A⇔ BB ⇒ A
OE
dołaczania równowaznosciA⇒ B,B ⇒ A
A⇔ BDE
• reguła odrywania dla równowaznosci:
A,A⇔ BB
,B,A⇔ B
A
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania cd.
• reguły dla równowaznosci:
opuszczania równowaznosciA⇔ BA⇒ B
,A⇔ BB ⇒ A
OE
dołaczania równowaznosciA⇒ B,B ⇒ A
A⇔ B
DE
• reguła odrywania dla równowaznosci:
A,A⇔ BB
,B,A⇔ B
A
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania cd.
• reguły dla równowaznosci:
opuszczania równowaznosciA⇔ BA⇒ B
,A⇔ BB ⇒ A
OE
dołaczania równowaznosciA⇒ B,B ⇒ A
A⇔ BDE
• reguła odrywania dla równowaznosci:
A,A⇔ BB
,B,A⇔ B
A
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania cd.
• reguły dla równowaznosci:
opuszczania równowaznosciA⇔ BA⇒ B
,A⇔ BB ⇒ A
OE
dołaczania równowaznosciA⇒ B,B ⇒ A
A⇔ BDE
• reguła odrywania dla równowaznosci:
A,A⇔ BB
,B,A⇔ B
A
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania cd.
• reguły sylogizmu warunkowego (stoicy greccy) :
A⇒B,B⇒CA⇒ C
,A⇒ B
(B⇒C)⇒(A⇒C),
B ⇒ C(A⇒B)⇒(A⇒C)
.
Przykład: dla n ∈ N
(8|n)⇒(4|n), (4|n)⇒(2|n)(8|n)⇒ (2|n)
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania cd.
• reguły sylogizmu warunkowego (stoicy greccy) :
A⇒B,B⇒CA⇒ C
,A⇒ B
(B⇒C)⇒(A⇒C),
B ⇒ C(A⇒B)⇒(A⇒C)
.
Przykład: dla n ∈ N
(8|n)⇒(4|n), (4|n)⇒(2|n)(8|n)⇒ (2|n)
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania cd.
• reguły dla koniunkcji:
dołaczaniaA,B
A ∧ B,
A,BB ∧ A
DK
opuszczaniaA ∧ B
A,
A ∧ BB
OK
A⇒B,A⇒CA⇒ (B ∧ C)
,A⇒B,C⇒D
(A ∧ C)⇒ (B ∧ D)
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania cd.
• reguły dla koniunkcji:
dołaczaniaA,B
A ∧ B,
A,BB ∧ A
DK
opuszczaniaA ∧ B
A,
A ∧ BB
OK
A⇒B,A⇒CA⇒ (B ∧ C)
,A⇒B,C⇒D
(A ∧ C)⇒ (B ∧ D)
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania cd.
• reguły dla koniunkcji:
dołaczaniaA,B
A ∧ B,
A,BB ∧ A
DK
opuszczaniaA ∧ B
A,
A ∧ BB
OK
A⇒B,A⇒CA⇒ (B ∧ C)
,A⇒B,C⇒D
(A ∧ C)⇒ (B ∧ D)
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania cd.
• reguły dla koniunkcji:
dołaczaniaA,B
A ∧ B,
A,BB ∧ A
DK
opuszczaniaA ∧ B
A,
A ∧ BB
OK
A⇒B,A⇒CA⇒ (B ∧ C)
,A⇒B,C⇒D
(A ∧ C)⇒ (B ∧ D)
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania cd.
• reguły dla koniunkcji:
dołaczaniaA,B
A ∧ B,
A,BB ∧ A
DK
opuszczaniaA ∧ B
A,
A ∧ BB
OK
A⇒B,A⇒CA⇒ (B ∧ C)
,A⇒B,C⇒D
(A ∧ C)⇒ (B ∧ D)
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania cd.
• reguły dla alternatywy:
dołaczaniaA
A ∨ B,
BA ∨ B
DA
opuszczaniaA ∨ B,¬A
B,A ∨ B,¬B
AOA
A⇒ C,B ⇒ C(A ∨ B)⇒ C
,A⇒B,C⇒D
(A ∨ C)⇒ (B ∨ D)
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania cd.
• reguły dla alternatywy:
dołaczaniaA
A ∨ B,
BA ∨ B
DA
opuszczaniaA ∨ B,¬A
B,A ∨ B,¬B
AOA
A⇒ C,B ⇒ C(A ∨ B)⇒ C
,A⇒B,C⇒D
(A ∨ C)⇒ (B ∨ D)
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania cd.
• reguły dla alternatywy:
dołaczaniaA
A ∨ B,
BA ∨ B
DA
opuszczaniaA ∨ B,¬A
B,A ∨ B,¬B
AOA
A⇒ C,B ⇒ C(A ∨ B)⇒ C
,A⇒B,C⇒D
(A ∨ C)⇒ (B ∨ D)
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania cd.
• reguły dla alternatywy:
dołaczaniaA
A ∨ B,
BA ∨ B
DA
opuszczaniaA ∨ B,¬A
B,A ∨ B,¬B
A
OA
A⇒ C,B ⇒ C(A ∨ B)⇒ C
,A⇒B,C⇒D
(A ∨ C)⇒ (B ∨ D)
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania cd.
• reguły dla alternatywy:
dołaczaniaA
A ∨ B,
BA ∨ B
DA
opuszczaniaA ∨ B,¬A
B,A ∨ B,¬B
AOA
A⇒ C,B ⇒ C(A ∨ B)⇒ C
,A⇒B,C⇒D
(A ∨ C)⇒ (B ∨ D)
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania cd.
• reguły dla alternatywy:
dołaczaniaA
A ∨ B,
BA ∨ B
DA
opuszczaniaA ∨ B,¬A
B,A ∨ B,¬B
AOA
A⇒ C,B ⇒ C(A ∨ B)⇒ C
,A⇒B,C⇒D
(A ∨ C)⇒ (B ∨ D)
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania cd.
• reguły Freggego:
A⇒(B ⇒ C),A⇒BA⇒ C
,A⇒(B ⇒C)
(A⇒ B)⇒ (A⇒ C)
• reguła Dunsa Scotusa:
¬AA⇒ B
.
• reguła Claviusa:¬A⇒ A
A•reguła apagogiczna (podstawa dowodów nie wprost):
¬A⇒ (B ∧ ¬B)
A
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania cd.
• reguły Freggego:
A⇒(B ⇒ C),A⇒BA⇒ C
,A⇒(B ⇒C)
(A⇒ B)⇒ (A⇒ C)
• reguła Dunsa Scotusa:
¬AA⇒ B
.
• reguła Claviusa:¬A⇒ A
A•reguła apagogiczna (podstawa dowodów nie wprost):
¬A⇒ (B ∧ ¬B)
A
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania cd.
• reguły Freggego:
A⇒(B ⇒ C),A⇒BA⇒ C
,A⇒(B ⇒C)
(A⇒ B)⇒ (A⇒ C)
• reguła Dunsa Scotusa:
¬AA⇒ B
.
• reguła Claviusa:¬A⇒ A
A
•reguła apagogiczna (podstawa dowodów nie wprost):
¬A⇒ (B ∧ ¬B)
A
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Uzyteczne reguły wnioskowania cd.
• reguły Freggego:
A⇒(B ⇒ C),A⇒BA⇒ C
,A⇒(B ⇒C)
(A⇒ B)⇒ (A⇒ C)
• reguła Dunsa Scotusa:
¬AA⇒ B
.
• reguła Claviusa:¬A⇒ A
A•reguła apagogiczna (podstawa dowodów nie wprost):
¬A⇒ (B ∧ ¬B)
A
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Aksjomatyczne ujecie rachunku zdan, Frege 1879
Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.
Funktory: ¬,⇒.Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:1. zawiera zmienne zdaniowe2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ FAksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ AReguły dowodzenia:reguła odrywania: A,A⇒B
B
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Aksjomatyczne ujecie rachunku zdan, Frege 1879
Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.Funktory: ¬,⇒.
Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:1. zawiera zmienne zdaniowe2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ FAksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ AReguły dowodzenia:reguła odrywania: A,A⇒B
B
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Aksjomatyczne ujecie rachunku zdan, Frege 1879
Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.Funktory: ¬,⇒.Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:
1. zawiera zmienne zdaniowe2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ FAksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ AReguły dowodzenia:reguła odrywania: A,A⇒B
B
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Aksjomatyczne ujecie rachunku zdan, Frege 1879
Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.Funktory: ¬,⇒.Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:1. zawiera zmienne zdaniowe
2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ FAksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ AReguły dowodzenia:reguła odrywania: A,A⇒B
B
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Aksjomatyczne ujecie rachunku zdan, Frege 1879
Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.Funktory: ¬,⇒.Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:1. zawiera zmienne zdaniowe2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F
3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ FAksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ AReguły dowodzenia:reguła odrywania: A,A⇒B
B
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Aksjomatyczne ujecie rachunku zdan, Frege 1879
Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.Funktory: ¬,⇒.Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:1. zawiera zmienne zdaniowe2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ F
Aksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ AReguły dowodzenia:reguła odrywania: A,A⇒B
B
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Aksjomatyczne ujecie rachunku zdan, Frege 1879
Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.Funktory: ¬,⇒.Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:1. zawiera zmienne zdaniowe2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ FAksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:
A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ AReguły dowodzenia:reguła odrywania: A,A⇒B
B
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Aksjomatyczne ujecie rachunku zdan, Frege 1879
Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.Funktory: ¬,⇒.Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:1. zawiera zmienne zdaniowe2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ FAksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)
A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ AReguły dowodzenia:reguła odrywania: A,A⇒B
B
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Aksjomatyczne ujecie rachunku zdan, Frege 1879
Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.Funktory: ¬,⇒.Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:1. zawiera zmienne zdaniowe2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ FAksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))
A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ AReguły dowodzenia:reguła odrywania: A,A⇒B
B
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Aksjomatyczne ujecie rachunku zdan, Frege 1879
Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.Funktory: ¬,⇒.Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:1. zawiera zmienne zdaniowe2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ FAksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)
A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ AReguły dowodzenia:reguła odrywania: A,A⇒B
B
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Aksjomatyczne ujecie rachunku zdan, Frege 1879
Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.Funktory: ¬,⇒.Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:1. zawiera zmienne zdaniowe2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ FAksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ A
Reguły dowodzenia:reguła odrywania: A,A⇒B
B
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Aksjomatyczne ujecie rachunku zdan, Frege 1879
Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.Funktory: ¬,⇒.Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:1. zawiera zmienne zdaniowe2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ FAksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ AReguły dowodzenia:
reguła odrywania: A,A⇒BB
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Aksjomatyczne ujecie rachunku zdan, Frege 1879
Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.Funktory: ¬,⇒.Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:1. zawiera zmienne zdaniowe2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ FAksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ AReguły dowodzenia:reguła odrywania: A,A⇒B
B
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Metody dowodzeniaDedukcja: przesłanki + ogólne zasady⇒ wniosek
Prawdziwosc wniosku zalezy od prawdziwosci przesłanek ipoprawnosci rozumowania. Badania zapoczatkowali Grecy(600 - 300 pne, Arystoteles, Tales, Pitagoras i inni).
Metody poprawnego wnioskowania:
• Rozstrzygniecie semantyczne przez sprawdzenie wartoscilogicznej formuły dedukcyjnej. Mozliwe gdy istnieje algorytmrozstrzygajacy czy dowolna formuła prawdziwa czy fałszywa.W rachunku zdan procedura decyzyjna jest metoda 0-1.Ale nie w kazdej teorii taka procedura decyzyjna istnieje.• Rozstrzygniecie syntaktyczne przez wyprowadzanie formułze zbioru aksjomatów. Jest to formalizacja rozumowaniadedukcyjnego, dowód stanowi zapis jego kolejnych kroków.Dowód syntaktyczny mozna w kazdej teorii aksjomatycznej.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Metody dowodzeniaDedukcja: przesłanki + ogólne zasady⇒ wniosek
Prawdziwosc wniosku zalezy od prawdziwosci przesłanek ipoprawnosci rozumowania.
Badania zapoczatkowali Grecy(600 - 300 pne, Arystoteles, Tales, Pitagoras i inni).
Metody poprawnego wnioskowania:
• Rozstrzygniecie semantyczne przez sprawdzenie wartoscilogicznej formuły dedukcyjnej. Mozliwe gdy istnieje algorytmrozstrzygajacy czy dowolna formuła prawdziwa czy fałszywa.W rachunku zdan procedura decyzyjna jest metoda 0-1.Ale nie w kazdej teorii taka procedura decyzyjna istnieje.• Rozstrzygniecie syntaktyczne przez wyprowadzanie formułze zbioru aksjomatów. Jest to formalizacja rozumowaniadedukcyjnego, dowód stanowi zapis jego kolejnych kroków.Dowód syntaktyczny mozna w kazdej teorii aksjomatycznej.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Metody dowodzeniaDedukcja: przesłanki + ogólne zasady⇒ wniosek
Prawdziwosc wniosku zalezy od prawdziwosci przesłanek ipoprawnosci rozumowania. Badania zapoczatkowali Grecy(600 - 300 pne, Arystoteles, Tales, Pitagoras i inni).
Metody poprawnego wnioskowania:
• Rozstrzygniecie semantyczne przez sprawdzenie wartoscilogicznej formuły dedukcyjnej. Mozliwe gdy istnieje algorytmrozstrzygajacy czy dowolna formuła prawdziwa czy fałszywa.W rachunku zdan procedura decyzyjna jest metoda 0-1.Ale nie w kazdej teorii taka procedura decyzyjna istnieje.• Rozstrzygniecie syntaktyczne przez wyprowadzanie formułze zbioru aksjomatów. Jest to formalizacja rozumowaniadedukcyjnego, dowód stanowi zapis jego kolejnych kroków.Dowód syntaktyczny mozna w kazdej teorii aksjomatycznej.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Metody dowodzeniaDedukcja: przesłanki + ogólne zasady⇒ wniosek
Prawdziwosc wniosku zalezy od prawdziwosci przesłanek ipoprawnosci rozumowania. Badania zapoczatkowali Grecy(600 - 300 pne, Arystoteles, Tales, Pitagoras i inni).
Metody poprawnego wnioskowania:
• Rozstrzygniecie semantyczne przez sprawdzenie wartoscilogicznej formuły dedukcyjnej. Mozliwe gdy istnieje algorytmrozstrzygajacy czy dowolna formuła prawdziwa czy fałszywa.W rachunku zdan procedura decyzyjna jest metoda 0-1.Ale nie w kazdej teorii taka procedura decyzyjna istnieje.• Rozstrzygniecie syntaktyczne przez wyprowadzanie formułze zbioru aksjomatów. Jest to formalizacja rozumowaniadedukcyjnego, dowód stanowi zapis jego kolejnych kroków.Dowód syntaktyczny mozna w kazdej teorii aksjomatycznej.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Metody dowodzeniaDedukcja: przesłanki + ogólne zasady⇒ wniosek
Prawdziwosc wniosku zalezy od prawdziwosci przesłanek ipoprawnosci rozumowania. Badania zapoczatkowali Grecy(600 - 300 pne, Arystoteles, Tales, Pitagoras i inni).
Metody poprawnego wnioskowania:
• Rozstrzygniecie semantyczne przez sprawdzenie wartoscilogicznej formuły dedukcyjnej. Mozliwe gdy istnieje algorytmrozstrzygajacy czy dowolna formuła prawdziwa czy fałszywa.
W rachunku zdan procedura decyzyjna jest metoda 0-1.Ale nie w kazdej teorii taka procedura decyzyjna istnieje.• Rozstrzygniecie syntaktyczne przez wyprowadzanie formułze zbioru aksjomatów. Jest to formalizacja rozumowaniadedukcyjnego, dowód stanowi zapis jego kolejnych kroków.Dowód syntaktyczny mozna w kazdej teorii aksjomatycznej.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Metody dowodzeniaDedukcja: przesłanki + ogólne zasady⇒ wniosek
Prawdziwosc wniosku zalezy od prawdziwosci przesłanek ipoprawnosci rozumowania. Badania zapoczatkowali Grecy(600 - 300 pne, Arystoteles, Tales, Pitagoras i inni).
Metody poprawnego wnioskowania:
• Rozstrzygniecie semantyczne przez sprawdzenie wartoscilogicznej formuły dedukcyjnej. Mozliwe gdy istnieje algorytmrozstrzygajacy czy dowolna formuła prawdziwa czy fałszywa.W rachunku zdan procedura decyzyjna jest metoda 0-1.
Ale nie w kazdej teorii taka procedura decyzyjna istnieje.• Rozstrzygniecie syntaktyczne przez wyprowadzanie formułze zbioru aksjomatów. Jest to formalizacja rozumowaniadedukcyjnego, dowód stanowi zapis jego kolejnych kroków.Dowód syntaktyczny mozna w kazdej teorii aksjomatycznej.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Metody dowodzeniaDedukcja: przesłanki + ogólne zasady⇒ wniosek
Prawdziwosc wniosku zalezy od prawdziwosci przesłanek ipoprawnosci rozumowania. Badania zapoczatkowali Grecy(600 - 300 pne, Arystoteles, Tales, Pitagoras i inni).
Metody poprawnego wnioskowania:
• Rozstrzygniecie semantyczne przez sprawdzenie wartoscilogicznej formuły dedukcyjnej. Mozliwe gdy istnieje algorytmrozstrzygajacy czy dowolna formuła prawdziwa czy fałszywa.W rachunku zdan procedura decyzyjna jest metoda 0-1.Ale nie w kazdej teorii taka procedura decyzyjna istnieje.
• Rozstrzygniecie syntaktyczne przez wyprowadzanie formułze zbioru aksjomatów. Jest to formalizacja rozumowaniadedukcyjnego, dowód stanowi zapis jego kolejnych kroków.Dowód syntaktyczny mozna w kazdej teorii aksjomatycznej.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Metody dowodzeniaDedukcja: przesłanki + ogólne zasady⇒ wniosek
Prawdziwosc wniosku zalezy od prawdziwosci przesłanek ipoprawnosci rozumowania. Badania zapoczatkowali Grecy(600 - 300 pne, Arystoteles, Tales, Pitagoras i inni).
Metody poprawnego wnioskowania:
• Rozstrzygniecie semantyczne przez sprawdzenie wartoscilogicznej formuły dedukcyjnej. Mozliwe gdy istnieje algorytmrozstrzygajacy czy dowolna formuła prawdziwa czy fałszywa.W rachunku zdan procedura decyzyjna jest metoda 0-1.Ale nie w kazdej teorii taka procedura decyzyjna istnieje.• Rozstrzygniecie syntaktyczne przez wyprowadzanie formułze zbioru aksjomatów. Jest to formalizacja rozumowaniadedukcyjnego, dowód stanowi zapis jego kolejnych kroków.
Dowód syntaktyczny mozna w kazdej teorii aksjomatycznej.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Metody dowodzeniaDedukcja: przesłanki + ogólne zasady⇒ wniosek
Prawdziwosc wniosku zalezy od prawdziwosci przesłanek ipoprawnosci rozumowania. Badania zapoczatkowali Grecy(600 - 300 pne, Arystoteles, Tales, Pitagoras i inni).
Metody poprawnego wnioskowania:
• Rozstrzygniecie semantyczne przez sprawdzenie wartoscilogicznej formuły dedukcyjnej. Mozliwe gdy istnieje algorytmrozstrzygajacy czy dowolna formuła prawdziwa czy fałszywa.W rachunku zdan procedura decyzyjna jest metoda 0-1.Ale nie w kazdej teorii taka procedura decyzyjna istnieje.• Rozstrzygniecie syntaktyczne przez wyprowadzanie formułze zbioru aksjomatów. Jest to formalizacja rozumowaniadedukcyjnego, dowód stanowi zapis jego kolejnych kroków.Dowód syntaktyczny mozna w kazdej teorii aksjomatycznej.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
System Hilberta: wyprowadzanie formuł
Dowód formalny formuły B ze zbioru załozen G
Dowód formalny, to ciag formuł {D1, . . . ,Dn}, taki ze
1. D1 jest aksjomatem rachunku zdan lub formuła ze zbioru G2. Dj jest aksjomatem rachunku zdan lub formuła ze zbioru G
lub wynika z poprzednich i reguł wnioskowania3. ostatnim elementem jest B
Jesli mozna przeprowadzic dowód formalny, to formułe Bnazywamy twierdzeniem systemu,co zapisujemy G ` B.
Dowody formalne w teoriach aksjomatycznych
Zbiór aksjomatów teorii G uzyty jako zbiór załozen.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
System Hilberta: wyprowadzanie formuł
Dowód formalny formuły B ze zbioru załozen G
Dowód formalny, to ciag formuł {D1, . . . ,Dn}, taki ze1. D1 jest aksjomatem rachunku zdan lub formuła ze zbioru G
2. Dj jest aksjomatem rachunku zdan lub formuła ze zbioru Glub wynika z poprzednich i reguł wnioskowania
3. ostatnim elementem jest B
Jesli mozna przeprowadzic dowód formalny, to formułe Bnazywamy twierdzeniem systemu,co zapisujemy G ` B.
Dowody formalne w teoriach aksjomatycznych
Zbiór aksjomatów teorii G uzyty jako zbiór załozen.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
System Hilberta: wyprowadzanie formuł
Dowód formalny formuły B ze zbioru załozen G
Dowód formalny, to ciag formuł {D1, . . . ,Dn}, taki ze1. D1 jest aksjomatem rachunku zdan lub formuła ze zbioru G2. Dj jest aksjomatem rachunku zdan lub formuła ze zbioru G
lub wynika z poprzednich i reguł wnioskowania
3. ostatnim elementem jest B
Jesli mozna przeprowadzic dowód formalny, to formułe Bnazywamy twierdzeniem systemu,co zapisujemy G ` B.
Dowody formalne w teoriach aksjomatycznych
Zbiór aksjomatów teorii G uzyty jako zbiór załozen.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
System Hilberta: wyprowadzanie formuł
Dowód formalny formuły B ze zbioru załozen G
Dowód formalny, to ciag formuł {D1, . . . ,Dn}, taki ze1. D1 jest aksjomatem rachunku zdan lub formuła ze zbioru G2. Dj jest aksjomatem rachunku zdan lub formuła ze zbioru G
lub wynika z poprzednich i reguł wnioskowania3. ostatnim elementem jest B
Jesli mozna przeprowadzic dowód formalny, to formułe Bnazywamy twierdzeniem systemu,co zapisujemy G ` B.
Dowody formalne w teoriach aksjomatycznych
Zbiór aksjomatów teorii G uzyty jako zbiór załozen.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
System Hilberta: wyprowadzanie formuł
Dowód formalny formuły B ze zbioru załozen G
Dowód formalny, to ciag formuł {D1, . . . ,Dn}, taki ze1. D1 jest aksjomatem rachunku zdan lub formuła ze zbioru G2. Dj jest aksjomatem rachunku zdan lub formuła ze zbioru G
lub wynika z poprzednich i reguł wnioskowania3. ostatnim elementem jest B
Jesli mozna przeprowadzic dowód formalny, to formułe Bnazywamy twierdzeniem systemu,
co zapisujemy G ` B.
Dowody formalne w teoriach aksjomatycznych
Zbiór aksjomatów teorii G uzyty jako zbiór załozen.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
System Hilberta: wyprowadzanie formuł
Dowód formalny formuły B ze zbioru załozen G
Dowód formalny, to ciag formuł {D1, . . . ,Dn}, taki ze1. D1 jest aksjomatem rachunku zdan lub formuła ze zbioru G2. Dj jest aksjomatem rachunku zdan lub formuła ze zbioru G
lub wynika z poprzednich i reguł wnioskowania3. ostatnim elementem jest B
Jesli mozna przeprowadzic dowód formalny, to formułe Bnazywamy twierdzeniem systemu,co zapisujemy G ` B.
Dowody formalne w teoriach aksjomatycznych
Zbiór aksjomatów teorii G uzyty jako zbiór załozen.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Dowód formalny w rachunku zdan
Rozwazamy sam rachunek zdan: G = ∅.Formułe B dla której mozna przeprowadzic dowód formalny,nazywamy twierdzeniem rachunku zdan, co zapisujemy ` B.
Przykład: dowód formuły α⇒ α
Korzystmy z:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2.prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))Dowód:1. α⇒ ((α⇒ α)⇒ α) (A1)2. α⇒ (α⇒ α) (A1)3. (α⇒ ((α⇒ α)⇒ α))⇒ ((α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α)) (A2)4. (α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α) reg.odrywania5. α⇒ α reg.odrywania
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Dowód formalny w rachunku zdan
Rozwazamy sam rachunek zdan: G = ∅.Formułe B dla której mozna przeprowadzic dowód formalny,nazywamy twierdzeniem rachunku zdan, co zapisujemy ` B.
Przykład: dowód formuły α⇒ α
Korzystmy z:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2.prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))
Dowód:1. α⇒ ((α⇒ α)⇒ α) (A1)2. α⇒ (α⇒ α) (A1)3. (α⇒ ((α⇒ α)⇒ α))⇒ ((α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α)) (A2)4. (α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α) reg.odrywania5. α⇒ α reg.odrywania
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Dowód formalny w rachunku zdan
Rozwazamy sam rachunek zdan: G = ∅.Formułe B dla której mozna przeprowadzic dowód formalny,nazywamy twierdzeniem rachunku zdan, co zapisujemy ` B.
Przykład: dowód formuły α⇒ α
Korzystmy z:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2.prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))Dowód:
1. α⇒ ((α⇒ α)⇒ α) (A1)2. α⇒ (α⇒ α) (A1)3. (α⇒ ((α⇒ α)⇒ α))⇒ ((α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α)) (A2)4. (α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α) reg.odrywania5. α⇒ α reg.odrywania
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Dowód formalny w rachunku zdan
Rozwazamy sam rachunek zdan: G = ∅.Formułe B dla której mozna przeprowadzic dowód formalny,nazywamy twierdzeniem rachunku zdan, co zapisujemy ` B.
Przykład: dowód formuły α⇒ α
Korzystmy z:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2.prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))Dowód:1. α⇒ ((α⇒ α)⇒ α) (A1)
2. α⇒ (α⇒ α) (A1)3. (α⇒ ((α⇒ α)⇒ α))⇒ ((α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α)) (A2)4. (α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α) reg.odrywania5. α⇒ α reg.odrywania
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Dowód formalny w rachunku zdan
Rozwazamy sam rachunek zdan: G = ∅.Formułe B dla której mozna przeprowadzic dowód formalny,nazywamy twierdzeniem rachunku zdan, co zapisujemy ` B.
Przykład: dowód formuły α⇒ α
Korzystmy z:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2.prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))Dowód:1. α⇒ ((α⇒ α)⇒ α) (A1)2. α⇒ (α⇒ α) (A1)
3. (α⇒ ((α⇒ α)⇒ α))⇒ ((α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α)) (A2)4. (α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α) reg.odrywania5. α⇒ α reg.odrywania
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Dowód formalny w rachunku zdan
Rozwazamy sam rachunek zdan: G = ∅.Formułe B dla której mozna przeprowadzic dowód formalny,nazywamy twierdzeniem rachunku zdan, co zapisujemy ` B.
Przykład: dowód formuły α⇒ α
Korzystmy z:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2.prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))Dowód:1. α⇒ ((α⇒ α)⇒ α) (A1)2. α⇒ (α⇒ α) (A1)3. (α⇒ ((α⇒ α)⇒ α))⇒ ((α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α)) (A2)
4. (α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α) reg.odrywania5. α⇒ α reg.odrywania
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Dowód formalny w rachunku zdan
Rozwazamy sam rachunek zdan: G = ∅.Formułe B dla której mozna przeprowadzic dowód formalny,nazywamy twierdzeniem rachunku zdan, co zapisujemy ` B.
Przykład: dowód formuły α⇒ α
Korzystmy z:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2.prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))Dowód:1. α⇒ ((α⇒ α)⇒ α) (A1)2. α⇒ (α⇒ α) (A1)3. (α⇒ ((α⇒ α)⇒ α))⇒ ((α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α)) (A2)4. (α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α) reg.odrywania
5. α⇒ α reg.odrywania
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Dowód formalny w rachunku zdan
Rozwazamy sam rachunek zdan: G = ∅.Formułe B dla której mozna przeprowadzic dowód formalny,nazywamy twierdzeniem rachunku zdan, co zapisujemy ` B.
Przykład: dowód formuły α⇒ α
Korzystmy z:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2.prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))Dowód:1. α⇒ ((α⇒ α)⇒ α) (A1)2. α⇒ (α⇒ α) (A1)3. (α⇒ ((α⇒ α)⇒ α))⇒ ((α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α)) (A2)4. (α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α) reg.odrywania5. α⇒ α reg.odrywania
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
System dedukcji naturalnej
Dedukcja naturalna to zgodny z intuicja system dowodzenia.W rachunku zdan zamiast aksjomatów, tylko rownowazne imreguły pierwotne: RO, DK, OK, DA, OA, DE, OE.
Dowód załozeniowy formuły B1 ⇒ (B2 ⇒ (. . .⇒ (Bm ⇒ B))),w której B1,B2 . . .Bm, nazywamy załozeniami dowodu, to ciagformuł {D1, . . . ,Dn} , takich ze:• Di = Bi , i = 1, ...,m• Di ,m < i < n otrzymane z jednego lub dwóch wczesniejszychzałozen na podstawie reguł pierwotnych systemu• Dn = B.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
System dedukcji naturalnej
Dedukcja naturalna to zgodny z intuicja system dowodzenia.W rachunku zdan zamiast aksjomatów, tylko rownowazne imreguły pierwotne: RO, DK, OK, DA, OA, DE, OE.Dowód załozeniowy formuły B1 ⇒ (B2 ⇒ (. . .⇒ (Bm ⇒ B))),w której B1,B2 . . .Bm, nazywamy załozeniami dowodu, to ciagformuł {D1, . . . ,Dn} , takich ze:
• Di = Bi , i = 1, ...,m• Di ,m < i < n otrzymane z jednego lub dwóch wczesniejszychzałozen na podstawie reguł pierwotnych systemu• Dn = B.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
System dedukcji naturalnej
Dedukcja naturalna to zgodny z intuicja system dowodzenia.W rachunku zdan zamiast aksjomatów, tylko rownowazne imreguły pierwotne: RO, DK, OK, DA, OA, DE, OE.Dowód załozeniowy formuły B1 ⇒ (B2 ⇒ (. . .⇒ (Bm ⇒ B))),w której B1,B2 . . .Bm, nazywamy załozeniami dowodu, to ciagformuł {D1, . . . ,Dn} , takich ze:• Di = Bi , i = 1, ...,m
• Di ,m < i < n otrzymane z jednego lub dwóch wczesniejszychzałozen na podstawie reguł pierwotnych systemu• Dn = B.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
System dedukcji naturalnej
Dedukcja naturalna to zgodny z intuicja system dowodzenia.W rachunku zdan zamiast aksjomatów, tylko rownowazne imreguły pierwotne: RO, DK, OK, DA, OA, DE, OE.Dowód załozeniowy formuły B1 ⇒ (B2 ⇒ (. . .⇒ (Bm ⇒ B))),w której B1,B2 . . .Bm, nazywamy załozeniami dowodu, to ciagformuł {D1, . . . ,Dn} , takich ze:• Di = Bi , i = 1, ...,m• Di ,m < i < n otrzymane z jednego lub dwóch wczesniejszychzałozen na podstawie reguł pierwotnych systemu
• Dn = B.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
System dedukcji naturalnej
Dedukcja naturalna to zgodny z intuicja system dowodzenia.W rachunku zdan zamiast aksjomatów, tylko rownowazne imreguły pierwotne: RO, DK, OK, DA, OA, DE, OE.Dowód załozeniowy formuły B1 ⇒ (B2 ⇒ (. . .⇒ (Bm ⇒ B))),w której B1,B2 . . .Bm, nazywamy załozeniami dowodu, to ciagformuł {D1, . . . ,Dn} , takich ze:• Di = Bi , i = 1, ...,m• Di ,m < i < n otrzymane z jednego lub dwóch wczesniejszychzałozen na podstawie reguł pierwotnych systemu• Dn = B.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
System dedukcji naturalnej
Dedukcja naturalna to zgodny z intuicja system dowodzenia.W rachunku zdan zamiast aksjomatów, tylko rownowazne imreguły pierwotne: RO, DK, OK, DA, OA, DE, OE.Dowód załozeniowy formuły B1 ⇒ (B2 ⇒ (. . .⇒ (Bm ⇒ B))),w której B1,B2 . . .Bm, nazywamy załozeniami dowodu, to ciagformuł {D1, . . . ,Dn} , takich ze:• Di = Bi , i = 1, ...,m• Di ,m < i < n otrzymane z jednego lub dwóch wczesniejszychzałozen na podstawie reguł pierwotnych systemu• Dn = B.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Dowód załozeniowy: przykład
Twierdzenie: (α⇒ β)⇒ ((β⇒γ)⇒(α⇒γ))
Dowód:1. α⇒ β zał2. β⇒γ zał3. α zał
4. β {RO: 1,3}γ {RO: 2,4}
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Dowód załozeniowy: przykład
Twierdzenie: (α⇒ β)⇒ ((β⇒γ)⇒(α⇒γ))Dowód:1. α⇒ β zał
2. β⇒γ zał3. α zał
4. β {RO: 1,3}γ {RO: 2,4}
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Dowód załozeniowy: przykład
Twierdzenie: (α⇒ β)⇒ ((β⇒γ)⇒(α⇒γ))Dowód:1. α⇒ β zał2. β⇒γ zał
3. α zał
4. β {RO: 1,3}γ {RO: 2,4}
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Dowód załozeniowy: przykład
Twierdzenie: (α⇒ β)⇒ ((β⇒γ)⇒(α⇒γ))Dowód:1. α⇒ β zał2. β⇒γ zał3. α zał
4. β {RO: 1,3}γ {RO: 2,4}
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Dowód załozeniowy: przykład
Twierdzenie: (α⇒ β)⇒ ((β⇒γ)⇒(α⇒γ))Dowód:1. α⇒ β zał2. β⇒γ zał3. α zał
4. β {RO: 1,3}γ {RO: 2,4}
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Dowód załozeniowy: przykład
Twierdzenie: (α⇒ β)⇒ ((β⇒γ)⇒(α⇒γ))Dowód:1. α⇒ β zał2. β⇒γ zał3. α zał
4. β {RO: 1,3}
γ {RO: 2,4}
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Dowód załozeniowy: przykład
Twierdzenie: (α⇒ β)⇒ ((β⇒γ)⇒(α⇒γ))Dowód:1. α⇒ β zał2. β⇒γ zał3. α zał
4. β {RO: 1,3}γ {RO: 2,4}
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Dowód załozeniowy nie wprost: przykład
Twierdzenie: (α⇒ β)⇒ (∼ β ⇒∼ α)
Dowód:1. α⇒ β zał2. ¬β zał3. α zał dow. nie wprost
4. β {RO: 1,3}sprzecznosc {2,4}
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Dowód załozeniowy nie wprost: przykład
Twierdzenie: (α⇒ β)⇒ (∼ β ⇒∼ α)Dowód:1. α⇒ β zał
2. ¬β zał3. α zał dow. nie wprost
4. β {RO: 1,3}sprzecznosc {2,4}
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Dowód załozeniowy nie wprost: przykład
Twierdzenie: (α⇒ β)⇒ (∼ β ⇒∼ α)Dowód:1. α⇒ β zał2. ¬β zał
3. α zał dow. nie wprost
4. β {RO: 1,3}sprzecznosc {2,4}
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Dowód załozeniowy nie wprost: przykład
Twierdzenie: (α⇒ β)⇒ (∼ β ⇒∼ α)Dowód:1. α⇒ β zał2. ¬β zał3. α zał dow. nie wprost
4. β {RO: 1,3}sprzecznosc {2,4}
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Dowód załozeniowy nie wprost: przykład
Twierdzenie: (α⇒ β)⇒ (∼ β ⇒∼ α)Dowód:1. α⇒ β zał2. ¬β zał3. α zał dow. nie wprost
4. β {RO: 1,3}sprzecznosc {2,4}
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Dowód załozeniowy nie wprost: przykład
Twierdzenie: (α⇒ β)⇒ (∼ β ⇒∼ α)Dowód:1. α⇒ β zał2. ¬β zał3. α zał dow. nie wprost
4. β {RO: 1,3}
sprzecznosc {2,4}
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Dowodzenie
Dowód załozeniowy nie wprost: przykład
Twierdzenie: (α⇒ β)⇒ (∼ β ⇒∼ α)Dowód:1. α⇒ β zał2. ¬β zał3. α zał dow. nie wprost
4. β {RO: 1,3}sprzecznosc {2,4}
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc
Niesprzecznosc systemu
Zbiór formuł G nazywamy syntaktycznie sprzecznym
gdy ∃A : (G ` A) ∧ (G ` ¬A),czyli dla pewnej formuły A mozna z niego wyprowadzic A i ¬A.
Twierdzenie: G ` A⇔ zbiór formuł G ∪ ¬A jest sprzeczny.
Zbiór formuł G jest niesprzeczny
jesli nie jest sprzeczny, czyli ∀A : (G 0 A) ∨ (G 0 ¬A), czylidla zadnej formuły A nie mozna z niego wyprowadzic A i ¬A
Twierdzenie: Zbiór formuł G sprzeczny wtedy i tylko wtedy gdyG ` B, gdzie B jest dowolna formuła.Wniosek: Zbiór formuł G jest niesprzeczny⇔ ∃B : G 0 Bczyli teoria jest niesprzeczna jesli istnieje co najmniej jednateza, która nie jest jej konsekwencja.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc
Niesprzecznosc systemu
Zbiór formuł G nazywamy syntaktycznie sprzecznym
gdy ∃A : (G ` A) ∧ (G ` ¬A),czyli dla pewnej formuły A mozna z niego wyprowadzic A i ¬A.
Twierdzenie: G ` A⇔ zbiór formuł G ∪ ¬A jest sprzeczny.
Zbiór formuł G jest niesprzeczny
jesli nie jest sprzeczny, czyli ∀A : (G 0 A) ∨ (G 0 ¬A), czylidla zadnej formuły A nie mozna z niego wyprowadzic A i ¬A
Twierdzenie: Zbiór formuł G sprzeczny wtedy i tylko wtedy gdyG ` B, gdzie B jest dowolna formuła.Wniosek: Zbiór formuł G jest niesprzeczny⇔ ∃B : G 0 Bczyli teoria jest niesprzeczna jesli istnieje co najmniej jednateza, która nie jest jej konsekwencja.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc
Niesprzecznosc systemu
Zbiór formuł G nazywamy syntaktycznie sprzecznym
gdy ∃A : (G ` A) ∧ (G ` ¬A),czyli dla pewnej formuły A mozna z niego wyprowadzic A i ¬A.
Twierdzenie: G ` A⇔ zbiór formuł G ∪ ¬A jest sprzeczny.
Zbiór formuł G jest niesprzeczny
jesli nie jest sprzeczny, czyli ∀A : (G 0 A) ∨ (G 0 ¬A), czylidla zadnej formuły A nie mozna z niego wyprowadzic A i ¬A
Twierdzenie: Zbiór formuł G sprzeczny wtedy i tylko wtedy gdyG ` B, gdzie B jest dowolna formuła.Wniosek: Zbiór formuł G jest niesprzeczny⇔ ∃B : G 0 Bczyli teoria jest niesprzeczna jesli istnieje co najmniej jednateza, która nie jest jej konsekwencja.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc
Niesprzecznosc systemu
Zbiór formuł G nazywamy syntaktycznie sprzecznym
gdy ∃A : (G ` A) ∧ (G ` ¬A),czyli dla pewnej formuły A mozna z niego wyprowadzic A i ¬A.
Twierdzenie: G ` A⇔ zbiór formuł G ∪ ¬A jest sprzeczny.
Zbiór formuł G jest niesprzeczny
jesli nie jest sprzeczny, czyli ∀A : (G 0 A) ∨ (G 0 ¬A), czylidla zadnej formuły A nie mozna z niego wyprowadzic A i ¬A
Twierdzenie: Zbiór formuł G sprzeczny wtedy i tylko wtedy gdyG ` B, gdzie B jest dowolna formuła.
Wniosek: Zbiór formuł G jest niesprzeczny⇔ ∃B : G 0 Bczyli teoria jest niesprzeczna jesli istnieje co najmniej jednateza, która nie jest jej konsekwencja.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc
Niesprzecznosc systemu
Zbiór formuł G nazywamy syntaktycznie sprzecznym
gdy ∃A : (G ` A) ∧ (G ` ¬A),czyli dla pewnej formuły A mozna z niego wyprowadzic A i ¬A.
Twierdzenie: G ` A⇔ zbiór formuł G ∪ ¬A jest sprzeczny.
Zbiór formuł G jest niesprzeczny
jesli nie jest sprzeczny, czyli ∀A : (G 0 A) ∨ (G 0 ¬A), czylidla zadnej formuły A nie mozna z niego wyprowadzic A i ¬A
Twierdzenie: Zbiór formuł G sprzeczny wtedy i tylko wtedy gdyG ` B, gdzie B jest dowolna formuła.Wniosek: Zbiór formuł G jest niesprzeczny⇔ ∃B : G 0 B
czyli teoria jest niesprzeczna jesli istnieje co najmniej jednateza, która nie jest jej konsekwencja.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc
Niesprzecznosc systemu
Zbiór formuł G nazywamy syntaktycznie sprzecznym
gdy ∃A : (G ` A) ∧ (G ` ¬A),czyli dla pewnej formuły A mozna z niego wyprowadzic A i ¬A.
Twierdzenie: G ` A⇔ zbiór formuł G ∪ ¬A jest sprzeczny.
Zbiór formuł G jest niesprzeczny
jesli nie jest sprzeczny, czyli ∀A : (G 0 A) ∨ (G 0 ¬A), czylidla zadnej formuły A nie mozna z niego wyprowadzic A i ¬A
Twierdzenie: Zbiór formuł G sprzeczny wtedy i tylko wtedy gdyG ` B, gdzie B jest dowolna formuła.Wniosek: Zbiór formuł G jest niesprzeczny⇔ ∃B : G 0 Bczyli teoria jest niesprzeczna jesli istnieje co najmniej jednateza, która nie jest jej konsekwencja.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc
Poprawnosc i pełnosc systemu
Poprawnosc systemu: ` A ⇒ |= A.Wszystkie formuły, które mozna udowodnic sa prawdziwe.
Pełnosc systemu: ` A ⇐ |= A.Dla kazdej formuły prawdziwej mozna przeprowadzic dowódformalny.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc
Poprawnosc i pełnosc systemu
Poprawnosc systemu: ` A ⇒ |= A.Wszystkie formuły, które mozna udowodnic sa prawdziwe.
Pełnosc systemu: ` A ⇐ |= A.Dla kazdej formuły prawdziwej mozna przeprowadzic dowódformalny.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc
Pełnosc rachunku zdan:
Twierdzenie o pełnosci rachunku zdan (E.L.Post 1921r)
` A ⇔ |= AA jest twierdzeniem A jest prawem
Wnioski z twierdzenia o pełnosci rachunku zdan:
• Syntaktyczna i semantyczna konsekwencja zbioru formułpokrywaja sie, czyli
G ` A ⇔ G |= A
• Zbiór formuł jest syntaktycznie niesprzeczny⇔ semantycznieniesprzeczny.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc
Pełnosc rachunku zdan:
Twierdzenie o pełnosci rachunku zdan (E.L.Post 1921r)
` A ⇔ |= AA jest twierdzeniem A jest prawem
Wnioski z twierdzenia o pełnosci rachunku zdan:
• Syntaktyczna i semantyczna konsekwencja zbioru formułpokrywaja sie, czyli
G ` A ⇔ G |= A
• Zbiór formuł jest syntaktycznie niesprzeczny⇔ semantycznieniesprzeczny.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc
Pełnosc rachunku zdan:
Twierdzenie o pełnosci rachunku zdan (E.L.Post 1921r)
` A ⇔ |= AA jest twierdzeniem A jest prawem
Wnioski z twierdzenia o pełnosci rachunku zdan:
• Syntaktyczna i semantyczna konsekwencja zbioru formułpokrywaja sie, czyli
G ` A ⇔ G |= A
• Zbiór formuł jest syntaktycznie niesprzeczny⇔ semantycznieniesprzeczny.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc
Pełnosc rachunku zdan:
Twierdzenie o pełnosci rachunku zdan (E.L.Post 1921r)
` A ⇔ |= AA jest twierdzeniem A jest prawem
Wnioski z twierdzenia o pełnosci rachunku zdan:
• Syntaktyczna i semantyczna konsekwencja zbioru formułpokrywaja sie, czyli
G ` A ⇔ G |= A
• Zbiór formuł jest syntaktycznie niesprzeczny⇔ semantycznieniesprzeczny.
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc
Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc systemuSystem nazywamy:
• niesprzecznym (ang.consistent) jesli nie mozna z niegowydedukowac, ze A i ¬A sa równoczesnie prawdziwe• pełnym(ang.complete) jesli dla kazdego prawidłowozapisanego stwierdzenia tego systemu A, moznaprzeprowadzic dowód albo A albo jego zaprzeczenia ¬A, czyli zaksjomatów systemu dadza sie wyprowadzic wszystkie zdaniaprawdziwe w kazdym modelu.• rozstrzygalnym(ang.decidable) jesli dla danego stwierdzeniaA mozna w skonczonej liczbie kroków wydedukowac czy jestono prawdziwe.Tak wiec, jesli system jest rozstrzygalny to jest on pełny.
Rachunek zdan jest teoria niesprzeczna, pełna irozstrzygalna (metoda 0-1).
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc
Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc systemuSystem nazywamy:• niesprzecznym (ang.consistent) jesli nie mozna z niegowydedukowac, ze A i ¬A sa równoczesnie prawdziwe
• pełnym(ang.complete) jesli dla kazdego prawidłowozapisanego stwierdzenia tego systemu A, moznaprzeprowadzic dowód albo A albo jego zaprzeczenia ¬A, czyli zaksjomatów systemu dadza sie wyprowadzic wszystkie zdaniaprawdziwe w kazdym modelu.• rozstrzygalnym(ang.decidable) jesli dla danego stwierdzeniaA mozna w skonczonej liczbie kroków wydedukowac czy jestono prawdziwe.Tak wiec, jesli system jest rozstrzygalny to jest on pełny.
Rachunek zdan jest teoria niesprzeczna, pełna irozstrzygalna (metoda 0-1).
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc
Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc systemuSystem nazywamy:• niesprzecznym (ang.consistent) jesli nie mozna z niegowydedukowac, ze A i ¬A sa równoczesnie prawdziwe• pełnym(ang.complete) jesli dla kazdego prawidłowozapisanego stwierdzenia tego systemu A, moznaprzeprowadzic dowód albo A albo jego zaprzeczenia ¬A, czyli zaksjomatów systemu dadza sie wyprowadzic wszystkie zdaniaprawdziwe w kazdym modelu.
• rozstrzygalnym(ang.decidable) jesli dla danego stwierdzeniaA mozna w skonczonej liczbie kroków wydedukowac czy jestono prawdziwe.Tak wiec, jesli system jest rozstrzygalny to jest on pełny.
Rachunek zdan jest teoria niesprzeczna, pełna irozstrzygalna (metoda 0-1).
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc
Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc systemuSystem nazywamy:• niesprzecznym (ang.consistent) jesli nie mozna z niegowydedukowac, ze A i ¬A sa równoczesnie prawdziwe• pełnym(ang.complete) jesli dla kazdego prawidłowozapisanego stwierdzenia tego systemu A, moznaprzeprowadzic dowód albo A albo jego zaprzeczenia ¬A, czyli zaksjomatów systemu dadza sie wyprowadzic wszystkie zdaniaprawdziwe w kazdym modelu.• rozstrzygalnym(ang.decidable) jesli dla danego stwierdzeniaA mozna w skonczonej liczbie kroków wydedukowac czy jestono prawdziwe.Tak wiec, jesli system jest rozstrzygalny to jest on pełny.
Rachunek zdan jest teoria niesprzeczna, pełna irozstrzygalna (metoda 0-1).
MATEMATYKA I
RACHUNEK ZDAN
Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc
Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc systemuSystem nazywamy:• niesprzecznym (ang.consistent) jesli nie mozna z niegowydedukowac, ze A i ¬A sa równoczesnie prawdziwe• pełnym(ang.complete) jesli dla kazdego prawidłowozapisanego stwierdzenia tego systemu A, moznaprzeprowadzic dowód albo A albo jego zaprzeczenia ¬A, czyli zaksjomatów systemu dadza sie wyprowadzic wszystkie zdaniaprawdziwe w kazdym modelu.• rozstrzygalnym(ang.decidable) jesli dla danego stwierdzeniaA mozna w skonczonej liczbie kroków wydedukowac czy jestono prawdziwe.Tak wiec, jesli system jest rozstrzygalny to jest on pełny.
Rachunek zdan jest teoria niesprzeczna, pełna irozstrzygalna (metoda 0-1).
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Predykaty
Rachunek zdan nie jest dostatecznie bogaty, zeby wyrazic wnim teorie matematyczne formułowane dla dowolnych zbiorównp.N. Potrzebne formuły logiczne (predykaty), wyrazajacerelacje okreslone w dowolnych zbiorach.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Formy nazwowe
Formy nazwowe
Elementy przestrzeni X zwiemy nazwami.
Nazwa oznaczaprzedmiot: szczególna (jeden), ogólna (co najmniej dwa).Forma nazwowa f (x), o zakresie zmiennosci X , towyrazenie, które staje sie nazwa, gdy zmienna x zastapicnazwa przedmiotu a ∈ X . Nazywa sie to podstawieniem x/a.Przykłady:• Forma nazwowa: f (x) = x3 o zakresie zmiennosci x ∈ Z.Podstawienie x/2 daje 8• Forma nazwowa: x2 + y , o zakresie zmiennosci x , y ∈ Z.Podstawienie x/2 y/5 daje 9.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Formy nazwowe
Formy nazwowe
Elementy przestrzeni X zwiemy nazwami.Nazwa oznaczaprzedmiot: szczególna (jeden), ogólna (co najmniej dwa).
Forma nazwowa f (x), o zakresie zmiennosci X , towyrazenie, które staje sie nazwa, gdy zmienna x zastapicnazwa przedmiotu a ∈ X . Nazywa sie to podstawieniem x/a.Przykłady:• Forma nazwowa: f (x) = x3 o zakresie zmiennosci x ∈ Z.Podstawienie x/2 daje 8• Forma nazwowa: x2 + y , o zakresie zmiennosci x , y ∈ Z.Podstawienie x/2 y/5 daje 9.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Formy nazwowe
Formy nazwowe
Elementy przestrzeni X zwiemy nazwami.Nazwa oznaczaprzedmiot: szczególna (jeden), ogólna (co najmniej dwa).Forma nazwowa f (x), o zakresie zmiennosci X , towyrazenie, które staje sie nazwa, gdy zmienna x zastapicnazwa przedmiotu a ∈ X . Nazywa sie to podstawieniem x/a.
Przykłady:• Forma nazwowa: f (x) = x3 o zakresie zmiennosci x ∈ Z.Podstawienie x/2 daje 8• Forma nazwowa: x2 + y , o zakresie zmiennosci x , y ∈ Z.Podstawienie x/2 y/5 daje 9.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Formy nazwowe
Formy nazwowe
Elementy przestrzeni X zwiemy nazwami.Nazwa oznaczaprzedmiot: szczególna (jeden), ogólna (co najmniej dwa).Forma nazwowa f (x), o zakresie zmiennosci X , towyrazenie, które staje sie nazwa, gdy zmienna x zastapicnazwa przedmiotu a ∈ X . Nazywa sie to podstawieniem x/a.Przykłady:• Forma nazwowa: f (x) = x3 o zakresie zmiennosci x ∈ Z.
Podstawienie x/2 daje 8• Forma nazwowa: x2 + y , o zakresie zmiennosci x , y ∈ Z.Podstawienie x/2 y/5 daje 9.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Formy nazwowe
Formy nazwowe
Elementy przestrzeni X zwiemy nazwami.Nazwa oznaczaprzedmiot: szczególna (jeden), ogólna (co najmniej dwa).Forma nazwowa f (x), o zakresie zmiennosci X , towyrazenie, które staje sie nazwa, gdy zmienna x zastapicnazwa przedmiotu a ∈ X . Nazywa sie to podstawieniem x/a.Przykłady:• Forma nazwowa: f (x) = x3 o zakresie zmiennosci x ∈ Z.Podstawienie x/2 daje 8• Forma nazwowa: x2 + y , o zakresie zmiennosci x , y ∈ Z.Podstawienie x/2 y/5 daje 9.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Funkcje zdaniowe
Funkcja zdaniowa
to zalezne od zmiennej x wyrazenie ϕ(x), które staje siezdaniem prawdziwym lub fałszywym, gdy zamiast xpodstawimy dowolna nazwe a ∈ X ,co zapisujemyϕ(x), x ∈X .
Zmienna x nazywamy zmienna wolna. Mówimy, ze elementa ∈ X spełnia funkcje zdaniowa jesli ϕ(a) jest prawdziwe.
Przykłady:
• ϕ(x) = (x jest członkiem PO), gdzie x nalezy do zbioru politykówϕ(Tusk) = 1, ϕ(Kaczynski) = 0.• ϕ(x , y , z): równanie,np: x2 + y2 + z2 = 1, x , y , z ∈ RTa funkcja zdaniowa spełniona np. przez x = y = z = 1√
3.
• ϕ(x , y): nierównosc np. x < y .Ta funkcja zdaniowa jest spełniona np. przez x = 1, y = 2.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Funkcje zdanioweFunkcja zdaniowa
to zalezne od zmiennej x wyrazenie ϕ(x), które staje siezdaniem prawdziwym lub fałszywym, gdy zamiast xpodstawimy dowolna nazwe a ∈ X ,
co zapisujemyϕ(x), x ∈X .
Zmienna x nazywamy zmienna wolna. Mówimy, ze elementa ∈ X spełnia funkcje zdaniowa jesli ϕ(a) jest prawdziwe.
Przykłady:
• ϕ(x) = (x jest członkiem PO), gdzie x nalezy do zbioru politykówϕ(Tusk) = 1, ϕ(Kaczynski) = 0.• ϕ(x , y , z): równanie,np: x2 + y2 + z2 = 1, x , y , z ∈ RTa funkcja zdaniowa spełniona np. przez x = y = z = 1√
3.
• ϕ(x , y): nierównosc np. x < y .Ta funkcja zdaniowa jest spełniona np. przez x = 1, y = 2.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Funkcje zdanioweFunkcja zdaniowa
to zalezne od zmiennej x wyrazenie ϕ(x), które staje siezdaniem prawdziwym lub fałszywym, gdy zamiast xpodstawimy dowolna nazwe a ∈ X ,co zapisujemyϕ(x), x ∈X .
Zmienna x nazywamy zmienna wolna. Mówimy, ze elementa ∈ X spełnia funkcje zdaniowa jesli ϕ(a) jest prawdziwe.
Przykłady:
• ϕ(x) = (x jest członkiem PO), gdzie x nalezy do zbioru politykówϕ(Tusk) = 1, ϕ(Kaczynski) = 0.• ϕ(x , y , z): równanie,np: x2 + y2 + z2 = 1, x , y , z ∈ RTa funkcja zdaniowa spełniona np. przez x = y = z = 1√
3.
• ϕ(x , y): nierównosc np. x < y .Ta funkcja zdaniowa jest spełniona np. przez x = 1, y = 2.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Funkcje zdanioweFunkcja zdaniowa
to zalezne od zmiennej x wyrazenie ϕ(x), które staje siezdaniem prawdziwym lub fałszywym, gdy zamiast xpodstawimy dowolna nazwe a ∈ X ,co zapisujemyϕ(x), x ∈X .
Zmienna x nazywamy zmienna wolna.
Mówimy, ze elementa ∈ X spełnia funkcje zdaniowa jesli ϕ(a) jest prawdziwe.
Przykłady:
• ϕ(x) = (x jest członkiem PO), gdzie x nalezy do zbioru politykówϕ(Tusk) = 1, ϕ(Kaczynski) = 0.• ϕ(x , y , z): równanie,np: x2 + y2 + z2 = 1, x , y , z ∈ RTa funkcja zdaniowa spełniona np. przez x = y = z = 1√
3.
• ϕ(x , y): nierównosc np. x < y .Ta funkcja zdaniowa jest spełniona np. przez x = 1, y = 2.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Funkcje zdanioweFunkcja zdaniowa
to zalezne od zmiennej x wyrazenie ϕ(x), które staje siezdaniem prawdziwym lub fałszywym, gdy zamiast xpodstawimy dowolna nazwe a ∈ X ,co zapisujemyϕ(x), x ∈X .
Zmienna x nazywamy zmienna wolna. Mówimy, ze elementa ∈ X spełnia funkcje zdaniowa jesli ϕ(a) jest prawdziwe.
Przykłady:
• ϕ(x) = (x jest członkiem PO), gdzie x nalezy do zbioru politykówϕ(Tusk) = 1, ϕ(Kaczynski) = 0.• ϕ(x , y , z): równanie,np: x2 + y2 + z2 = 1, x , y , z ∈ RTa funkcja zdaniowa spełniona np. przez x = y = z = 1√
3.
• ϕ(x , y): nierównosc np. x < y .Ta funkcja zdaniowa jest spełniona np. przez x = 1, y = 2.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Funkcje zdanioweFunkcja zdaniowa
to zalezne od zmiennej x wyrazenie ϕ(x), które staje siezdaniem prawdziwym lub fałszywym, gdy zamiast xpodstawimy dowolna nazwe a ∈ X ,co zapisujemyϕ(x), x ∈X .
Zmienna x nazywamy zmienna wolna. Mówimy, ze elementa ∈ X spełnia funkcje zdaniowa jesli ϕ(a) jest prawdziwe.
Przykłady:
• ϕ(x) = (x jest członkiem PO), gdzie x nalezy do zbioru polityków
ϕ(Tusk) = 1, ϕ(Kaczynski) = 0.• ϕ(x , y , z): równanie,np: x2 + y2 + z2 = 1, x , y , z ∈ RTa funkcja zdaniowa spełniona np. przez x = y = z = 1√
3.
• ϕ(x , y): nierównosc np. x < y .Ta funkcja zdaniowa jest spełniona np. przez x = 1, y = 2.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Funkcje zdanioweFunkcja zdaniowa
to zalezne od zmiennej x wyrazenie ϕ(x), które staje siezdaniem prawdziwym lub fałszywym, gdy zamiast xpodstawimy dowolna nazwe a ∈ X ,co zapisujemyϕ(x), x ∈X .
Zmienna x nazywamy zmienna wolna. Mówimy, ze elementa ∈ X spełnia funkcje zdaniowa jesli ϕ(a) jest prawdziwe.
Przykłady:
• ϕ(x) = (x jest członkiem PO), gdzie x nalezy do zbioru politykówϕ(Tusk) = 1,
ϕ(Kaczynski) = 0.• ϕ(x , y , z): równanie,np: x2 + y2 + z2 = 1, x , y , z ∈ RTa funkcja zdaniowa spełniona np. przez x = y = z = 1√
3.
• ϕ(x , y): nierównosc np. x < y .Ta funkcja zdaniowa jest spełniona np. przez x = 1, y = 2.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Funkcje zdanioweFunkcja zdaniowa
to zalezne od zmiennej x wyrazenie ϕ(x), które staje siezdaniem prawdziwym lub fałszywym, gdy zamiast xpodstawimy dowolna nazwe a ∈ X ,co zapisujemyϕ(x), x ∈X .
Zmienna x nazywamy zmienna wolna. Mówimy, ze elementa ∈ X spełnia funkcje zdaniowa jesli ϕ(a) jest prawdziwe.
Przykłady:
• ϕ(x) = (x jest członkiem PO), gdzie x nalezy do zbioru politykówϕ(Tusk) = 1, ϕ(Kaczynski) = 0.
• ϕ(x , y , z): równanie,np: x2 + y2 + z2 = 1, x , y , z ∈ RTa funkcja zdaniowa spełniona np. przez x = y = z = 1√
3.
• ϕ(x , y): nierównosc np. x < y .Ta funkcja zdaniowa jest spełniona np. przez x = 1, y = 2.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Funkcje zdanioweFunkcja zdaniowa
to zalezne od zmiennej x wyrazenie ϕ(x), które staje siezdaniem prawdziwym lub fałszywym, gdy zamiast xpodstawimy dowolna nazwe a ∈ X ,co zapisujemyϕ(x), x ∈X .
Zmienna x nazywamy zmienna wolna. Mówimy, ze elementa ∈ X spełnia funkcje zdaniowa jesli ϕ(a) jest prawdziwe.
Przykłady:
• ϕ(x) = (x jest członkiem PO), gdzie x nalezy do zbioru politykówϕ(Tusk) = 1, ϕ(Kaczynski) = 0.• ϕ(x , y , z): równanie,np: x2 + y2 + z2 = 1, x , y , z ∈ R
Ta funkcja zdaniowa spełniona np. przez x = y = z = 1√3.
• ϕ(x , y): nierównosc np. x < y .Ta funkcja zdaniowa jest spełniona np. przez x = 1, y = 2.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Funkcje zdanioweFunkcja zdaniowa
to zalezne od zmiennej x wyrazenie ϕ(x), które staje siezdaniem prawdziwym lub fałszywym, gdy zamiast xpodstawimy dowolna nazwe a ∈ X ,co zapisujemyϕ(x), x ∈X .
Zmienna x nazywamy zmienna wolna. Mówimy, ze elementa ∈ X spełnia funkcje zdaniowa jesli ϕ(a) jest prawdziwe.
Przykłady:
• ϕ(x) = (x jest członkiem PO), gdzie x nalezy do zbioru politykówϕ(Tusk) = 1, ϕ(Kaczynski) = 0.• ϕ(x , y , z): równanie,np: x2 + y2 + z2 = 1, x , y , z ∈ RTa funkcja zdaniowa spełniona np. przez x = y = z = 1√
3.
• ϕ(x , y): nierównosc np. x < y .Ta funkcja zdaniowa jest spełniona np. przez x = 1, y = 2.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Funkcje zdanioweFunkcja zdaniowa
to zalezne od zmiennej x wyrazenie ϕ(x), które staje siezdaniem prawdziwym lub fałszywym, gdy zamiast xpodstawimy dowolna nazwe a ∈ X ,co zapisujemyϕ(x), x ∈X .
Zmienna x nazywamy zmienna wolna. Mówimy, ze elementa ∈ X spełnia funkcje zdaniowa jesli ϕ(a) jest prawdziwe.
Przykłady:
• ϕ(x) = (x jest członkiem PO), gdzie x nalezy do zbioru politykówϕ(Tusk) = 1, ϕ(Kaczynski) = 0.• ϕ(x , y , z): równanie,np: x2 + y2 + z2 = 1, x , y , z ∈ RTa funkcja zdaniowa spełniona np. przez x = y = z = 1√
3.
• ϕ(x , y): nierównosc np. x < y .
Ta funkcja zdaniowa jest spełniona np. przez x = 1, y = 2.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Funkcje zdanioweFunkcja zdaniowa
to zalezne od zmiennej x wyrazenie ϕ(x), które staje siezdaniem prawdziwym lub fałszywym, gdy zamiast xpodstawimy dowolna nazwe a ∈ X ,co zapisujemyϕ(x), x ∈X .
Zmienna x nazywamy zmienna wolna. Mówimy, ze elementa ∈ X spełnia funkcje zdaniowa jesli ϕ(a) jest prawdziwe.
Przykłady:
• ϕ(x) = (x jest członkiem PO), gdzie x nalezy do zbioru politykówϕ(Tusk) = 1, ϕ(Kaczynski) = 0.• ϕ(x , y , z): równanie,np: x2 + y2 + z2 = 1, x , y , z ∈ RTa funkcja zdaniowa spełniona np. przez x = y = z = 1√
3.
• ϕ(x , y): nierównosc np. x < y .Ta funkcja zdaniowa jest spełniona np. przez x = 1, y = 2.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Wyznaczanie podzbioru przez funkcje zdaniowa
Funkcja zdaniowa wyznacza w przestrzeni X podzbiór
Stanowi go zbiór elementów które ja spełniaja: A = {x : ϕ(x)}.
Mówimy, ze funkcja prawdziwa w zbiorze A: a ∈ A⇔ ϕ(a).
Przykłady:
• ϕ(x): równanie, np: x2 + 2x − 3 = 0, x ∈ RElementy −3 i 1 spełniaja te funkcje zdaniowa,czyli funkcjaprawdziwa w zbiorze {−3,1}.• ϕ(x)=(x jest parzyste, x ∈ N)Liczby podzielne przez 2 spełniaja te funkcje zdaniowa.Funkcja wyznacza podzbiór liczb parzystych.• nierównosc, np: x2 > 0, x ∈ RFunkcja ta wyznacza zbiór liczb róznych od zera.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Wyznaczanie podzbioru przez funkcje zdaniowa
Funkcja zdaniowa wyznacza w przestrzeni X podzbiór
Stanowi go zbiór elementów które ja spełniaja: A = {x : ϕ(x)}.Mówimy, ze funkcja prawdziwa w zbiorze A: a ∈ A⇔ ϕ(a).
Przykłady:
• ϕ(x): równanie, np: x2 + 2x − 3 = 0, x ∈ RElementy −3 i 1 spełniaja te funkcje zdaniowa,czyli funkcjaprawdziwa w zbiorze {−3,1}.• ϕ(x)=(x jest parzyste, x ∈ N)Liczby podzielne przez 2 spełniaja te funkcje zdaniowa.Funkcja wyznacza podzbiór liczb parzystych.• nierównosc, np: x2 > 0, x ∈ RFunkcja ta wyznacza zbiór liczb róznych od zera.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Wyznaczanie podzbioru przez funkcje zdaniowa
Funkcja zdaniowa wyznacza w przestrzeni X podzbiór
Stanowi go zbiór elementów które ja spełniaja: A = {x : ϕ(x)}.Mówimy, ze funkcja prawdziwa w zbiorze A: a ∈ A⇔ ϕ(a).
Przykłady:
• ϕ(x): równanie, np: x2 + 2x − 3 = 0, x ∈ RElementy −3 i 1 spełniaja te funkcje zdaniowa,czyli funkcjaprawdziwa w zbiorze {−3,1}.• ϕ(x)=(x jest parzyste, x ∈ N)Liczby podzielne przez 2 spełniaja te funkcje zdaniowa.Funkcja wyznacza podzbiór liczb parzystych.• nierównosc, np: x2 > 0, x ∈ RFunkcja ta wyznacza zbiór liczb róznych od zera.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Wyznaczanie podzbioru przez funkcje zdaniowa
Funkcja zdaniowa wyznacza w przestrzeni X podzbiór
Stanowi go zbiór elementów które ja spełniaja: A = {x : ϕ(x)}.Mówimy, ze funkcja prawdziwa w zbiorze A: a ∈ A⇔ ϕ(a).
Przykłady:
• ϕ(x): równanie, np: x2 + 2x − 3 = 0, x ∈ R
Elementy −3 i 1 spełniaja te funkcje zdaniowa,czyli funkcjaprawdziwa w zbiorze {−3,1}.• ϕ(x)=(x jest parzyste, x ∈ N)Liczby podzielne przez 2 spełniaja te funkcje zdaniowa.Funkcja wyznacza podzbiór liczb parzystych.• nierównosc, np: x2 > 0, x ∈ RFunkcja ta wyznacza zbiór liczb róznych od zera.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Wyznaczanie podzbioru przez funkcje zdaniowa
Funkcja zdaniowa wyznacza w przestrzeni X podzbiór
Stanowi go zbiór elementów które ja spełniaja: A = {x : ϕ(x)}.Mówimy, ze funkcja prawdziwa w zbiorze A: a ∈ A⇔ ϕ(a).
Przykłady:
• ϕ(x): równanie, np: x2 + 2x − 3 = 0, x ∈ RElementy −3 i 1 spełniaja te funkcje zdaniowa,
czyli funkcjaprawdziwa w zbiorze {−3,1}.• ϕ(x)=(x jest parzyste, x ∈ N)Liczby podzielne przez 2 spełniaja te funkcje zdaniowa.Funkcja wyznacza podzbiór liczb parzystych.• nierównosc, np: x2 > 0, x ∈ RFunkcja ta wyznacza zbiór liczb róznych od zera.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Wyznaczanie podzbioru przez funkcje zdaniowa
Funkcja zdaniowa wyznacza w przestrzeni X podzbiór
Stanowi go zbiór elementów które ja spełniaja: A = {x : ϕ(x)}.Mówimy, ze funkcja prawdziwa w zbiorze A: a ∈ A⇔ ϕ(a).
Przykłady:
• ϕ(x): równanie, np: x2 + 2x − 3 = 0, x ∈ RElementy −3 i 1 spełniaja te funkcje zdaniowa,czyli funkcjaprawdziwa w zbiorze {−3,1}.
• ϕ(x)=(x jest parzyste, x ∈ N)Liczby podzielne przez 2 spełniaja te funkcje zdaniowa.Funkcja wyznacza podzbiór liczb parzystych.• nierównosc, np: x2 > 0, x ∈ RFunkcja ta wyznacza zbiór liczb róznych od zera.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Wyznaczanie podzbioru przez funkcje zdaniowa
Funkcja zdaniowa wyznacza w przestrzeni X podzbiór
Stanowi go zbiór elementów które ja spełniaja: A = {x : ϕ(x)}.Mówimy, ze funkcja prawdziwa w zbiorze A: a ∈ A⇔ ϕ(a).
Przykłady:
• ϕ(x): równanie, np: x2 + 2x − 3 = 0, x ∈ RElementy −3 i 1 spełniaja te funkcje zdaniowa,czyli funkcjaprawdziwa w zbiorze {−3,1}.• ϕ(x)=(x jest parzyste, x ∈ N)
Liczby podzielne przez 2 spełniaja te funkcje zdaniowa.Funkcja wyznacza podzbiór liczb parzystych.• nierównosc, np: x2 > 0, x ∈ RFunkcja ta wyznacza zbiór liczb róznych od zera.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Wyznaczanie podzbioru przez funkcje zdaniowa
Funkcja zdaniowa wyznacza w przestrzeni X podzbiór
Stanowi go zbiór elementów które ja spełniaja: A = {x : ϕ(x)}.Mówimy, ze funkcja prawdziwa w zbiorze A: a ∈ A⇔ ϕ(a).
Przykłady:
• ϕ(x): równanie, np: x2 + 2x − 3 = 0, x ∈ RElementy −3 i 1 spełniaja te funkcje zdaniowa,czyli funkcjaprawdziwa w zbiorze {−3,1}.• ϕ(x)=(x jest parzyste, x ∈ N)Liczby podzielne przez 2 spełniaja te funkcje zdaniowa.
Funkcja wyznacza podzbiór liczb parzystych.• nierównosc, np: x2 > 0, x ∈ RFunkcja ta wyznacza zbiór liczb róznych od zera.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Wyznaczanie podzbioru przez funkcje zdaniowa
Funkcja zdaniowa wyznacza w przestrzeni X podzbiór
Stanowi go zbiór elementów które ja spełniaja: A = {x : ϕ(x)}.Mówimy, ze funkcja prawdziwa w zbiorze A: a ∈ A⇔ ϕ(a).
Przykłady:
• ϕ(x): równanie, np: x2 + 2x − 3 = 0, x ∈ RElementy −3 i 1 spełniaja te funkcje zdaniowa,czyli funkcjaprawdziwa w zbiorze {−3,1}.• ϕ(x)=(x jest parzyste, x ∈ N)Liczby podzielne przez 2 spełniaja te funkcje zdaniowa.Funkcja wyznacza podzbiór liczb parzystych.
• nierównosc, np: x2 > 0, x ∈ RFunkcja ta wyznacza zbiór liczb róznych od zera.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Wyznaczanie podzbioru przez funkcje zdaniowa
Funkcja zdaniowa wyznacza w przestrzeni X podzbiór
Stanowi go zbiór elementów które ja spełniaja: A = {x : ϕ(x)}.Mówimy, ze funkcja prawdziwa w zbiorze A: a ∈ A⇔ ϕ(a).
Przykłady:
• ϕ(x): równanie, np: x2 + 2x − 3 = 0, x ∈ RElementy −3 i 1 spełniaja te funkcje zdaniowa,czyli funkcjaprawdziwa w zbiorze {−3,1}.• ϕ(x)=(x jest parzyste, x ∈ N)Liczby podzielne przez 2 spełniaja te funkcje zdaniowa.Funkcja wyznacza podzbiór liczb parzystych.• nierównosc, np: x2 > 0, x ∈ RFunkcja ta wyznacza zbiór liczb róznych od zera.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Złozenia funkcji zdaniowych
Koniunkcja funkcji zdaniowych: ϕ(x) ∧ ψ(x)
Element a ∈ X spełnia ϕ(x) ∧ ψ(x)⇔
a spełnia ϕ(x)i
a spełnia ψ(x)
Dla zbiorów wyznaczanych przez te funkcje zachodzi:{x ∈X :ϕ(x)∧ψ(x)}={x ∈X :ϕ(x)} ∩ {x ∈X :ψ(x)}na przykład:{x ∈ N : 2|x ∧ 5|x} = {x ∈ N : 2|x} ∩ {x ∈ N : 5|x}
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Złozenia funkcji zdaniowych
Koniunkcja funkcji zdaniowych: ϕ(x) ∧ ψ(x)
Element a ∈ X spełnia ϕ(x) ∧ ψ(x)⇔
a spełnia ϕ(x)i
a spełnia ψ(x)
Dla zbiorów wyznaczanych przez te funkcje zachodzi:{x ∈X :ϕ(x)∧ψ(x)}={x ∈X :ϕ(x)} ∩ {x ∈X :ψ(x)}na przykład:{x ∈ N : 2|x ∧ 5|x} = {x ∈ N : 2|x} ∩ {x ∈ N : 5|x}
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Złozenia funkcji zdaniowych
Koniunkcja funkcji zdaniowych: ϕ(x) ∧ ψ(x)
Element a ∈ X spełnia ϕ(x) ∧ ψ(x)⇔
a spełnia ϕ(x)i
a spełnia ψ(x)
Dla zbiorów wyznaczanych przez te funkcje zachodzi:{x ∈X :ϕ(x)∧ψ(x)}={x ∈X :ϕ(x)} ∩ {x ∈X :ψ(x)}
na przykład:{x ∈ N : 2|x ∧ 5|x} = {x ∈ N : 2|x} ∩ {x ∈ N : 5|x}
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Złozenia funkcji zdaniowych
Koniunkcja funkcji zdaniowych: ϕ(x) ∧ ψ(x)
Element a ∈ X spełnia ϕ(x) ∧ ψ(x)⇔
a spełnia ϕ(x)i
a spełnia ψ(x)
Dla zbiorów wyznaczanych przez te funkcje zachodzi:{x ∈X :ϕ(x)∧ψ(x)}={x ∈X :ϕ(x)} ∩ {x ∈X :ψ(x)}na przykład:{x ∈ N : 2|x ∧ 5|x} = {x ∈ N : 2|x} ∩ {x ∈ N : 5|x}
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Złozenia funkcji zdaniowych cd
Alternatywa funkcji zdaniowych: ϕ(x) ∨ ψ(x)
Element a ∈ X spełnia ϕ(x) ∨ ψ(x)⇔
a spełnia ϕ(x)lub
a spełnia ψ(x)
Dla zbiorów wyznaczanych przez te funkcje zachodzi:{x ∈X :ϕ(x)∨ψ(x)}={x ∈X :ϕ(x)} ∪ {x ∈X :ψ(x)}na przykład:{x ∈R :x<0 ∨ x>0}={x ∈R :x<0} ∪ {x ∈ R :x>0}
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Złozenia funkcji zdaniowych cd
Alternatywa funkcji zdaniowych: ϕ(x) ∨ ψ(x)
Element a ∈ X spełnia ϕ(x) ∨ ψ(x)⇔
a spełnia ϕ(x)lub
a spełnia ψ(x)
Dla zbiorów wyznaczanych przez te funkcje zachodzi:{x ∈X :ϕ(x)∨ψ(x)}={x ∈X :ϕ(x)} ∪ {x ∈X :ψ(x)}na przykład:{x ∈R :x<0 ∨ x>0}={x ∈R :x<0} ∪ {x ∈ R :x>0}
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Złozenia funkcji zdaniowych cd
Alternatywa funkcji zdaniowych: ϕ(x) ∨ ψ(x)
Element a ∈ X spełnia ϕ(x) ∨ ψ(x)⇔
a spełnia ϕ(x)lub
a spełnia ψ(x)
Dla zbiorów wyznaczanych przez te funkcje zachodzi:{x ∈X :ϕ(x)∨ψ(x)}={x ∈X :ϕ(x)} ∪ {x ∈X :ψ(x)}
na przykład:{x ∈R :x<0 ∨ x>0}={x ∈R :x<0} ∪ {x ∈ R :x>0}
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Złozenia funkcji zdaniowych cd
Alternatywa funkcji zdaniowych: ϕ(x) ∨ ψ(x)
Element a ∈ X spełnia ϕ(x) ∨ ψ(x)⇔
a spełnia ϕ(x)lub
a spełnia ψ(x)
Dla zbiorów wyznaczanych przez te funkcje zachodzi:{x ∈X :ϕ(x)∨ψ(x)}={x ∈X :ϕ(x)} ∪ {x ∈X :ψ(x)}na przykład:{x ∈R :x<0 ∨ x>0}={x ∈R :x<0} ∪ {x ∈ R :x>0}
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Złozenia funkcji zdaniowych cd
Implikacja funkcji zdaniowych: ϕ(x)⇒ ψ(x)
Poniewaz w(A⇒ B)=w(¬A ∨ B), to
element a ∈ X spełnia ϕ(x)⇒ ψ(x)⇔
a nie spełnia ϕ(x)lub
a spełnia ψ(x)
Dla zbiorów wyznaczanych przez te funkcje zachodzi:{x ∈X :ϕ(x)⇒ψ(x)}=C{x∈X:ϕ(x)} ∪ {x ∈X :ψ(x)}na przykład:{x ∈R :2|x ⇒ 3|x}=C{x∈N:2|x} ∪ {x ∈ N :3|x}
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Złozenia funkcji zdaniowych cd
Implikacja funkcji zdaniowych: ϕ(x)⇒ ψ(x)
Poniewaz w(A⇒ B)=w(¬A ∨ B), to
element a ∈ X spełnia ϕ(x)⇒ ψ(x)⇔
a nie spełnia ϕ(x)lub
a spełnia ψ(x)
Dla zbiorów wyznaczanych przez te funkcje zachodzi:{x ∈X :ϕ(x)⇒ψ(x)}=C{x∈X:ϕ(x)} ∪ {x ∈X :ψ(x)}na przykład:{x ∈R :2|x ⇒ 3|x}=C{x∈N:2|x} ∪ {x ∈ N :3|x}
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Złozenia funkcji zdaniowych cd
Implikacja funkcji zdaniowych: ϕ(x)⇒ ψ(x)
Poniewaz w(A⇒ B)=w(¬A ∨ B), to
element a ∈ X spełnia ϕ(x)⇒ ψ(x)⇔
a nie spełnia ϕ(x)lub
a spełnia ψ(x)
Dla zbiorów wyznaczanych przez te funkcje zachodzi:{x ∈X :ϕ(x)⇒ψ(x)}=C{x∈X:ϕ(x)} ∪ {x ∈X :ψ(x)}
na przykład:{x ∈R :2|x ⇒ 3|x}=C{x∈N:2|x} ∪ {x ∈ N :3|x}
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Złozenia funkcji zdaniowych cd
Implikacja funkcji zdaniowych: ϕ(x)⇒ ψ(x)
Poniewaz w(A⇒ B)=w(¬A ∨ B), to
element a ∈ X spełnia ϕ(x)⇒ ψ(x)⇔
a nie spełnia ϕ(x)lub
a spełnia ψ(x)
Dla zbiorów wyznaczanych przez te funkcje zachodzi:{x ∈X :ϕ(x)⇒ψ(x)}=C{x∈X:ϕ(x)} ∪ {x ∈X :ψ(x)}na przykład:{x ∈R :2|x ⇒ 3|x}=C{x∈N:2|x} ∪ {x ∈ N :3|x}
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Złozenia funkcji zdaniowych cd
Równowaznosc funkcji zdaniowych: ϕ(x)⇔ ψ(x)
Poniewaz w(A⇔ B)=w(A⇒ B) ∧ w(B ⇒ A),to element a ∈ Xspełnia (ϕ(x)⇔ ψ(x))⇔ spełnia (ϕ(x)⇒ ψ(x)) ∧ (ψ(x)⇒ ϕ(x))
Dla zbiorów wyznaczanych przez te funkcje zachodzi:{x ∈X :ϕ(x)⇔ψ(x)}=(C{x∈X:ϕ(x)}∪{x ∈X :ψ(x)}
)∩(C{x∈X:ψ(x)}∪{x ∈X :ϕ(x)}
)Funkcje zdaniowe ϕ(x), x ∈Y i ψ(x), x ∈Y nazywamyrównowaznymi, jesli maja te sama wartosc logiczna dlawszystkich x ∈ Y .
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Złozenia funkcji zdaniowych cd
Równowaznosc funkcji zdaniowych: ϕ(x)⇔ ψ(x)
Poniewaz w(A⇔ B)=w(A⇒ B) ∧ w(B ⇒ A),to element a ∈ Xspełnia (ϕ(x)⇔ ψ(x))⇔ spełnia (ϕ(x)⇒ ψ(x)) ∧ (ψ(x)⇒ ϕ(x))
Dla zbiorów wyznaczanych przez te funkcje zachodzi:{x ∈X :ϕ(x)⇔ψ(x)}=(C{x∈X:ϕ(x)}∪{x ∈X :ψ(x)}
)∩(C{x∈X:ψ(x)}∪{x ∈X :ϕ(x)}
)Funkcje zdaniowe ϕ(x), x ∈Y i ψ(x), x ∈Y nazywamyrównowaznymi, jesli maja te sama wartosc logiczna dlawszystkich x ∈ Y .
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Złozenia funkcji zdaniowych cd
Równowaznosc funkcji zdaniowych: ϕ(x)⇔ ψ(x)
Poniewaz w(A⇔ B)=w(A⇒ B) ∧ w(B ⇒ A),to element a ∈ Xspełnia (ϕ(x)⇔ ψ(x))⇔ spełnia (ϕ(x)⇒ ψ(x)) ∧ (ψ(x)⇒ ϕ(x))
Dla zbiorów wyznaczanych przez te funkcje zachodzi:{x ∈X :ϕ(x)⇔ψ(x)}=(C{x∈X:ϕ(x)}∪{x ∈X :ψ(x)}
)∩(C{x∈X:ψ(x)}∪{x ∈X :ϕ(x)}
)
Funkcje zdaniowe ϕ(x), x ∈Y i ψ(x), x ∈Y nazywamyrównowaznymi, jesli maja te sama wartosc logiczna dlawszystkich x ∈ Y .
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Złozenia funkcji zdaniowych cd
Równowaznosc funkcji zdaniowych: ϕ(x)⇔ ψ(x)
Poniewaz w(A⇔ B)=w(A⇒ B) ∧ w(B ⇒ A),to element a ∈ Xspełnia (ϕ(x)⇔ ψ(x))⇔ spełnia (ϕ(x)⇒ ψ(x)) ∧ (ψ(x)⇒ ϕ(x))
Dla zbiorów wyznaczanych przez te funkcje zachodzi:{x ∈X :ϕ(x)⇔ψ(x)}=(C{x∈X:ϕ(x)}∪{x ∈X :ψ(x)}
)∩(C{x∈X:ψ(x)}∪{x ∈X :ϕ(x)}
)Funkcje zdaniowe ϕ(x), x ∈Y i ψ(x), x ∈Y nazywamyrównowaznymi, jesli maja te sama wartosc logiczna dlawszystkich x ∈ Y .
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Złozenia funkcji zdaniowych cd
Negacja funkcji zdaniowej ¬ϕ(x)
Element a ∈ X spełnia ¬ϕ(x)⇔ a nie spełnia ϕ(x)
Zachodzi:{x ∈ X : ¬ϕ(x)}= C{x∈X :ϕ(x)}
Przykład:{x ∈ N : ¬(x > 3)} = C{x∈N:x>3} = {0,1,2}
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Złozenia funkcji zdaniowych cd
Negacja funkcji zdaniowej ¬ϕ(x)
Element a ∈ X spełnia ¬ϕ(x)⇔ a nie spełnia ϕ(x)
Zachodzi:{x ∈ X : ¬ϕ(x)}= C{x∈X :ϕ(x)}
Przykład:{x ∈ N : ¬(x > 3)} = C{x∈N:x>3} = {0,1,2}
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Złozenia funkcji zdaniowych cd
Negacja funkcji zdaniowej ¬ϕ(x)
Element a ∈ X spełnia ¬ϕ(x)⇔ a nie spełnia ϕ(x)
Zachodzi:{x ∈ X : ¬ϕ(x)}= C{x∈X :ϕ(x)}
Przykład:{x ∈ N : ¬(x > 3)} = C{x∈N:x>3} = {0,1,2}
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Funkcje zdaniowe
Złozenia funkcji zdaniowych cd
Negacja funkcji zdaniowej ¬ϕ(x)
Element a ∈ X spełnia ¬ϕ(x)⇔ a nie spełnia ϕ(x)
Zachodzi:{x ∈ X : ¬ϕ(x)}= C{x∈X :ϕ(x)}
Przykład:{x ∈ N : ¬(x > 3)} = C{x∈N:x>3} = {0,1,2}
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Kwantyfikatory
Kwantyfikatory i zmienne zwiazane
Rodzajem operacji logicznych, przy pomocy których moznałaczyc zdania sa kwantyfikatory:
• kwantyfikator ogólny: ∀x - dla kazdego x
• kwantyfikator szczegółowy: ∃x - istnieje takie x , ze...
Kwantyfikatory stosuje sie do nazw nalezacych do okreslonegozbioru X .
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Kwantyfikatory
Kwantyfikatory i zmienne zwiazane
Rodzajem operacji logicznych, przy pomocy których moznałaczyc zdania sa kwantyfikatory:
• kwantyfikator ogólny: ∀x - dla kazdego x
• kwantyfikator szczegółowy: ∃x - istnieje takie x , ze...
Kwantyfikatory stosuje sie do nazw nalezacych do okreslonegozbioru X .
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Kwantyfikatory
Kwantyfikatory i zmienne zwiazane
Rodzajem operacji logicznych, przy pomocy których moznałaczyc zdania sa kwantyfikatory:
• kwantyfikator ogólny: ∀x - dla kazdego x
• kwantyfikator szczegółowy: ∃x - istnieje takie x , ze...
Kwantyfikatory stosuje sie do nazw nalezacych do okreslonegozbioru X .
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Kwantyfikatory
Kwantyfikatory i zmienne zwiazane
Rodzajem operacji logicznych, przy pomocy których moznałaczyc zdania sa kwantyfikatory:
• kwantyfikator ogólny: ∀x - dla kazdego x
• kwantyfikator szczegółowy: ∃x - istnieje takie x , ze...
Kwantyfikatory stosuje sie do nazw nalezacych do okreslonegozbioru X .
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Kwantyfikatory
Kwantyfikatory i zmienne zwiazane
Rodzajem operacji logicznych, przy pomocy których moznałaczyc zdania sa kwantyfikatory:
• kwantyfikator ogólny: ∀x - dla kazdego x
• kwantyfikator szczegółowy: ∃x - istnieje takie x , ze...
Kwantyfikatory stosuje sie do nazw nalezacych do okreslonegozbioru X .
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Kwantyfikatory
Wiazanie zmiennej kwantyfikatorem
Niech ϕ(x) bedzie funkcja zdaniowa zmiennej x o zakresiezmiennosci X 6= ∅.
Przez zastosowanie do ϕ(x) kwantyfikatora zmienna x staje siezmienna zwiazana i uzyskujemy zdanie prawdziwe lub fałszywe.
Przykłady:
•∀x∈R x2 + x + 3 = 0 zdanie fałszywe
•∃x∈R x2 + x − 3 = 0 zdanie prawdziwe
•∀x∈R x = x zdanie prawdziwe
•∃x∈Q : x /∈ N zdanie prawdziwe.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Kwantyfikatory
Wiazanie zmiennej kwantyfikatorem
Niech ϕ(x) bedzie funkcja zdaniowa zmiennej x o zakresiezmiennosci X 6= ∅.
Przez zastosowanie do ϕ(x) kwantyfikatora zmienna x staje siezmienna zwiazana i uzyskujemy zdanie prawdziwe lub fałszywe.
Przykłady:
•∀x∈R x2 + x + 3 = 0 zdanie fałszywe
•∃x∈R x2 + x − 3 = 0 zdanie prawdziwe
•∀x∈R x = x zdanie prawdziwe
•∃x∈Q : x /∈ N zdanie prawdziwe.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Kwantyfikatory
Wiazanie zmiennej kwantyfikatorem
Niech ϕ(x) bedzie funkcja zdaniowa zmiennej x o zakresiezmiennosci X 6= ∅.
Przez zastosowanie do ϕ(x) kwantyfikatora zmienna x staje siezmienna zwiazana i uzyskujemy zdanie prawdziwe lub fałszywe.
Przykłady:
•∀x∈R x2 + x + 3 = 0 zdanie fałszywe
•∃x∈R x2 + x − 3 = 0 zdanie prawdziwe
•∀x∈R x = x zdanie prawdziwe
•∃x∈Q : x /∈ N zdanie prawdziwe.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Kwantyfikatory
Wiazanie zmiennej kwantyfikatorem
Niech ϕ(x) bedzie funkcja zdaniowa zmiennej x o zakresiezmiennosci X 6= ∅.
Przez zastosowanie do ϕ(x) kwantyfikatora zmienna x staje siezmienna zwiazana i uzyskujemy zdanie prawdziwe lub fałszywe.
Przykłady:
•∀x∈R x2 + x + 3 = 0 zdanie fałszywe
•∃x∈R x2 + x − 3 = 0 zdanie prawdziwe
•∀x∈R x = x zdanie prawdziwe
•∃x∈Q : x /∈ N zdanie prawdziwe.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Kwantyfikatory
Wiazanie zmiennej kwantyfikatorem
Niech ϕ(x) bedzie funkcja zdaniowa zmiennej x o zakresiezmiennosci X 6= ∅.
Przez zastosowanie do ϕ(x) kwantyfikatora zmienna x staje siezmienna zwiazana i uzyskujemy zdanie prawdziwe lub fałszywe.
Przykłady:
•∀x∈R x2 + x + 3 = 0 zdanie fałszywe
•∃x∈R x2 + x − 3 = 0 zdanie prawdziwe
•∀x∈R x = x zdanie prawdziwe
•∃x∈Q : x /∈ N zdanie prawdziwe.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Kwantyfikatory
Wiazanie zmiennej kwantyfikatorem
Niech ϕ(x) bedzie funkcja zdaniowa zmiennej x o zakresiezmiennosci X 6= ∅.
Przez zastosowanie do ϕ(x) kwantyfikatora zmienna x staje siezmienna zwiazana i uzyskujemy zdanie prawdziwe lub fałszywe.
Przykłady:
•∀x∈R x2 + x + 3 = 0 zdanie fałszywe
•∃x∈R x2 + x − 3 = 0 zdanie prawdziwe
•∀x∈R x = x zdanie prawdziwe
•∃x∈Q : x /∈ N zdanie prawdziwe.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Kwantyfikatory
Wiazanie zmiennej kwantyfikatorem
Niech ϕ(x) bedzie funkcja zdaniowa zmiennej x o zakresiezmiennosci X 6= ∅.
Przez zastosowanie do ϕ(x) kwantyfikatora zmienna x staje siezmienna zwiazana i uzyskujemy zdanie prawdziwe lub fałszywe.
Przykłady:
•∀x∈R x2 + x + 3 = 0 zdanie fałszywe
•∃x∈R x2 + x − 3 = 0 zdanie prawdziwe
•∀x∈R x = x zdanie prawdziwe
•∃x∈Q : x /∈ N zdanie prawdziwe.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Kwantyfikatory
Wiazanie zmiennej kwantyfikatorem
Niech ϕ(x) bedzie funkcja zdaniowa zmiennej x o zakresiezmiennosci X 6= ∅.
Przez zastosowanie do ϕ(x) kwantyfikatora zmienna x staje siezmienna zwiazana i uzyskujemy zdanie prawdziwe lub fałszywe.
Przykłady:
•∀x∈R x2 + x + 3 = 0 zdanie fałszywe
•∃x∈R x2 + x − 3 = 0 zdanie prawdziwe
•∀x∈R x = x zdanie prawdziwe
•∃x∈Q : x /∈ N zdanie prawdziwe.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Kwantyfikatory
Kwantyfikatory i funkcje zdaniowe wielu zmiennych
Funkcja zdaniowa n zmiennych: ϕ(x1, . . . , xn), x1 ∈ X1, . . . , xn∈ Xnpoprzedzona kwantyfikatorem:∀x1∈X1 ϕ(x1, . . . , xn), x2 ∈ X2, . . . , xn ∈ Xn
lub∃x1∈X1 ϕ(x1, . . . , xn), x2 ∈ X2, . . . , xn ∈ Xn
staje sie funkcja zdaniowa n−1 zmiennych wolnych: x2, ..., xn,natomiast x1 jest zmienna zwiazana.
Jesli wszystkie zmienne zostana zwiazane, to otrzymamyformułe, która jest zdaniem.
Przykłady:•Wyrazenie: xy = z, x , y , z∈N, jest f.zdaniowa trzech zmiennych•Wyrazenie: ∃x∈N xy = z jest f.zdaniowa dwóch zmiennych•Wyrazenie: ∀y ,z∈N∃x∈N xy = z jest zdaniem.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Kwantyfikatory
Kwantyfikatory i funkcje zdaniowe wielu zmiennych
Funkcja zdaniowa n zmiennych: ϕ(x1, . . . , xn), x1 ∈ X1, . . . , xn∈ Xn
poprzedzona kwantyfikatorem:∀x1∈X1 ϕ(x1, . . . , xn), x2 ∈ X2, . . . , xn ∈ Xn
lub∃x1∈X1 ϕ(x1, . . . , xn), x2 ∈ X2, . . . , xn ∈ Xn
staje sie funkcja zdaniowa n−1 zmiennych wolnych: x2, ..., xn,natomiast x1 jest zmienna zwiazana.
Jesli wszystkie zmienne zostana zwiazane, to otrzymamyformułe, która jest zdaniem.
Przykłady:•Wyrazenie: xy = z, x , y , z∈N, jest f.zdaniowa trzech zmiennych•Wyrazenie: ∃x∈N xy = z jest f.zdaniowa dwóch zmiennych•Wyrazenie: ∀y ,z∈N∃x∈N xy = z jest zdaniem.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Kwantyfikatory
Kwantyfikatory i funkcje zdaniowe wielu zmiennych
Funkcja zdaniowa n zmiennych: ϕ(x1, . . . , xn), x1 ∈ X1, . . . , xn∈ Xnpoprzedzona kwantyfikatorem:∀x1∈X1 ϕ(x1, . . . , xn), x2 ∈ X2, . . . , xn ∈ Xn
lub∃x1∈X1 ϕ(x1, . . . , xn), x2 ∈ X2, . . . , xn ∈ Xn
staje sie funkcja zdaniowa n−1 zmiennych wolnych: x2, ..., xn,natomiast x1 jest zmienna zwiazana.
Jesli wszystkie zmienne zostana zwiazane, to otrzymamyformułe, która jest zdaniem.
Przykłady:•Wyrazenie: xy = z, x , y , z∈N, jest f.zdaniowa trzech zmiennych•Wyrazenie: ∃x∈N xy = z jest f.zdaniowa dwóch zmiennych•Wyrazenie: ∀y ,z∈N∃x∈N xy = z jest zdaniem.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Kwantyfikatory
Kwantyfikatory i funkcje zdaniowe wielu zmiennych
Funkcja zdaniowa n zmiennych: ϕ(x1, . . . , xn), x1 ∈ X1, . . . , xn∈ Xnpoprzedzona kwantyfikatorem:∀x1∈X1 ϕ(x1, . . . , xn), x2 ∈ X2, . . . , xn ∈ Xn
lub∃x1∈X1 ϕ(x1, . . . , xn), x2 ∈ X2, . . . , xn ∈ Xn
staje sie funkcja zdaniowa n−1 zmiennych wolnych: x2, ..., xn,natomiast x1 jest zmienna zwiazana.
Jesli wszystkie zmienne zostana zwiazane, to otrzymamyformułe, która jest zdaniem.
Przykłady:•Wyrazenie: xy = z, x , y , z∈N, jest f.zdaniowa trzech zmiennych•Wyrazenie: ∃x∈N xy = z jest f.zdaniowa dwóch zmiennych•Wyrazenie: ∀y ,z∈N∃x∈N xy = z jest zdaniem.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Kwantyfikatory
Kwantyfikatory i funkcje zdaniowe wielu zmiennych
Funkcja zdaniowa n zmiennych: ϕ(x1, . . . , xn), x1 ∈ X1, . . . , xn∈ Xnpoprzedzona kwantyfikatorem:∀x1∈X1 ϕ(x1, . . . , xn), x2 ∈ X2, . . . , xn ∈ Xn
lub∃x1∈X1 ϕ(x1, . . . , xn), x2 ∈ X2, . . . , xn ∈ Xn
staje sie funkcja zdaniowa n−1 zmiennych wolnych: x2, ..., xn,natomiast x1 jest zmienna zwiazana.
Jesli wszystkie zmienne zostana zwiazane, to otrzymamyformułe, która jest zdaniem.
Przykłady:•Wyrazenie: xy = z, x , y , z∈N, jest f.zdaniowa trzech zmiennych•Wyrazenie: ∃x∈N xy = z jest f.zdaniowa dwóch zmiennych•Wyrazenie: ∀y ,z∈N∃x∈N xy = z jest zdaniem.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Kwantyfikatory
Kwantyfikatory i funkcje zdaniowe wielu zmiennych
Funkcja zdaniowa n zmiennych: ϕ(x1, . . . , xn), x1 ∈ X1, . . . , xn∈ Xnpoprzedzona kwantyfikatorem:∀x1∈X1 ϕ(x1, . . . , xn), x2 ∈ X2, . . . , xn ∈ Xn
lub∃x1∈X1 ϕ(x1, . . . , xn), x2 ∈ X2, . . . , xn ∈ Xn
staje sie funkcja zdaniowa n−1 zmiennych wolnych: x2, ..., xn,natomiast x1 jest zmienna zwiazana.
Jesli wszystkie zmienne zostana zwiazane, to otrzymamyformułe, która jest zdaniem.
Przykłady:•Wyrazenie: xy = z, x , y , z∈N, jest f.zdaniowa trzech zmiennych•Wyrazenie: ∃x∈N xy = z jest f.zdaniowa dwóch zmiennych•Wyrazenie: ∀y ,z∈N∃x∈N xy = z jest zdaniem.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Kwantyfikatory
Kwantyfikatory i funkcje zdaniowe wielu zmiennych
Funkcja zdaniowa n zmiennych: ϕ(x1, . . . , xn), x1 ∈ X1, . . . , xn∈ Xnpoprzedzona kwantyfikatorem:∀x1∈X1 ϕ(x1, . . . , xn), x2 ∈ X2, . . . , xn ∈ Xn
lub∃x1∈X1 ϕ(x1, . . . , xn), x2 ∈ X2, . . . , xn ∈ Xn
staje sie funkcja zdaniowa n−1 zmiennych wolnych: x2, ..., xn,natomiast x1 jest zmienna zwiazana.
Jesli wszystkie zmienne zostana zwiazane, to otrzymamyformułe, która jest zdaniem.
Przykłady:
•Wyrazenie: xy = z, x , y , z∈N, jest f.zdaniowa trzech zmiennych•Wyrazenie: ∃x∈N xy = z jest f.zdaniowa dwóch zmiennych•Wyrazenie: ∀y ,z∈N∃x∈N xy = z jest zdaniem.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Kwantyfikatory
Kwantyfikatory i funkcje zdaniowe wielu zmiennych
Funkcja zdaniowa n zmiennych: ϕ(x1, . . . , xn), x1 ∈ X1, . . . , xn∈ Xnpoprzedzona kwantyfikatorem:∀x1∈X1 ϕ(x1, . . . , xn), x2 ∈ X2, . . . , xn ∈ Xn
lub∃x1∈X1 ϕ(x1, . . . , xn), x2 ∈ X2, . . . , xn ∈ Xn
staje sie funkcja zdaniowa n−1 zmiennych wolnych: x2, ..., xn,natomiast x1 jest zmienna zwiazana.
Jesli wszystkie zmienne zostana zwiazane, to otrzymamyformułe, która jest zdaniem.
Przykłady:•Wyrazenie: xy = z, x , y , z∈N, jest f.zdaniowa trzech zmiennych
•Wyrazenie: ∃x∈N xy = z jest f.zdaniowa dwóch zmiennych•Wyrazenie: ∀y ,z∈N∃x∈N xy = z jest zdaniem.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Kwantyfikatory
Kwantyfikatory i funkcje zdaniowe wielu zmiennych
Funkcja zdaniowa n zmiennych: ϕ(x1, . . . , xn), x1 ∈ X1, . . . , xn∈ Xnpoprzedzona kwantyfikatorem:∀x1∈X1 ϕ(x1, . . . , xn), x2 ∈ X2, . . . , xn ∈ Xn
lub∃x1∈X1 ϕ(x1, . . . , xn), x2 ∈ X2, . . . , xn ∈ Xn
staje sie funkcja zdaniowa n−1 zmiennych wolnych: x2, ..., xn,natomiast x1 jest zmienna zwiazana.
Jesli wszystkie zmienne zostana zwiazane, to otrzymamyformułe, która jest zdaniem.
Przykłady:•Wyrazenie: xy = z, x , y , z∈N, jest f.zdaniowa trzech zmiennych•Wyrazenie: ∃x∈N xy = z jest f.zdaniowa dwóch zmiennych
•Wyrazenie: ∀y ,z∈N∃x∈N xy = z jest zdaniem.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Kwantyfikatory
Kwantyfikatory i funkcje zdaniowe wielu zmiennych
Funkcja zdaniowa n zmiennych: ϕ(x1, . . . , xn), x1 ∈ X1, . . . , xn∈ Xnpoprzedzona kwantyfikatorem:∀x1∈X1 ϕ(x1, . . . , xn), x2 ∈ X2, . . . , xn ∈ Xn
lub∃x1∈X1 ϕ(x1, . . . , xn), x2 ∈ X2, . . . , xn ∈ Xn
staje sie funkcja zdaniowa n−1 zmiennych wolnych: x2, ..., xn,natomiast x1 jest zmienna zwiazana.
Jesli wszystkie zmienne zostana zwiazane, to otrzymamyformułe, która jest zdaniem.
Przykłady:•Wyrazenie: xy = z, x , y , z∈N, jest f.zdaniowa trzech zmiennych•Wyrazenie: ∃x∈N xy = z jest f.zdaniowa dwóch zmiennych•Wyrazenie: ∀y ,z∈N∃x∈N xy = z jest zdaniem.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Prawa rachunku predykatów
Schematy zbudowane z f.zdaniowych za pomoca funktorów ikwantyfikatorów, których prawdziwosc wynika ze strukturynazywamy tautologiami (prawami rachunku predykatów).
Twierdzenie o podstawieniach do funkcji zdaniowych:
Jesli A(α1, α2, . . . , αn) prawo rachunku zdan, to podstawienie:α1/ϕ1(x1), . . . , αn/ϕn(xn), gdzie ϕ1(x1), . . . , ϕn(xn) - funkcjezdaniowe zmiennych x1∈X1, . . . , xn∈Xn,daje funkcje zdaniowaB(x1, . . . , xn), która jest prawdziwa w X1 × . . .× Xn.
Reguła podstawiania generuje prawa rachunku predykatów.Przykład dla x , y ∈ R:|= (¬α ∨ β)⇔ (α⇒β)
podstawienie: α/(x 6= y), β/(x < y ∨ y < x),daje prawo|= ((x = y)∨ (x < y) ∨ (y < x))⇔((x 6= y)⇒((x < y) ∨ (y < x)).
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Prawa rachunku predykatów
Schematy zbudowane z f.zdaniowych za pomoca funktorów ikwantyfikatorów, których prawdziwosc wynika ze strukturynazywamy tautologiami (prawami rachunku predykatów).Twierdzenie o podstawieniach do funkcji zdaniowych:
Jesli A(α1, α2, . . . , αn) prawo rachunku zdan
, to podstawienie:α1/ϕ1(x1), . . . , αn/ϕn(xn), gdzie ϕ1(x1), . . . , ϕn(xn) - funkcjezdaniowe zmiennych x1∈X1, . . . , xn∈Xn,daje funkcje zdaniowaB(x1, . . . , xn), która jest prawdziwa w X1 × . . .× Xn.
Reguła podstawiania generuje prawa rachunku predykatów.Przykład dla x , y ∈ R:|= (¬α ∨ β)⇔ (α⇒β)
podstawienie: α/(x 6= y), β/(x < y ∨ y < x),daje prawo|= ((x = y)∨ (x < y) ∨ (y < x))⇔((x 6= y)⇒((x < y) ∨ (y < x)).
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Prawa rachunku predykatów
Schematy zbudowane z f.zdaniowych za pomoca funktorów ikwantyfikatorów, których prawdziwosc wynika ze strukturynazywamy tautologiami (prawami rachunku predykatów).Twierdzenie o podstawieniach do funkcji zdaniowych:
Jesli A(α1, α2, . . . , αn) prawo rachunku zdan, to podstawienie:α1/ϕ1(x1), . . . , αn/ϕn(xn), gdzie ϕ1(x1), . . . , ϕn(xn) - funkcjezdaniowe zmiennych x1∈X1, . . . , xn∈Xn,
daje funkcje zdaniowaB(x1, . . . , xn), która jest prawdziwa w X1 × . . .× Xn.
Reguła podstawiania generuje prawa rachunku predykatów.Przykład dla x , y ∈ R:|= (¬α ∨ β)⇔ (α⇒β)
podstawienie: α/(x 6= y), β/(x < y ∨ y < x),daje prawo|= ((x = y)∨ (x < y) ∨ (y < x))⇔((x 6= y)⇒((x < y) ∨ (y < x)).
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Prawa rachunku predykatów
Schematy zbudowane z f.zdaniowych za pomoca funktorów ikwantyfikatorów, których prawdziwosc wynika ze strukturynazywamy tautologiami (prawami rachunku predykatów).Twierdzenie o podstawieniach do funkcji zdaniowych:
Jesli A(α1, α2, . . . , αn) prawo rachunku zdan, to podstawienie:α1/ϕ1(x1), . . . , αn/ϕn(xn), gdzie ϕ1(x1), . . . , ϕn(xn) - funkcjezdaniowe zmiennych x1∈X1, . . . , xn∈Xn,daje funkcje zdaniowaB(x1, . . . , xn), która jest prawdziwa w X1 × . . .× Xn.
Reguła podstawiania generuje prawa rachunku predykatów.Przykład dla x , y ∈ R:|= (¬α ∨ β)⇔ (α⇒β)
podstawienie: α/(x 6= y), β/(x < y ∨ y < x),daje prawo|= ((x = y)∨ (x < y) ∨ (y < x))⇔((x 6= y)⇒((x < y) ∨ (y < x)).
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Prawa rachunku predykatów
Schematy zbudowane z f.zdaniowych za pomoca funktorów ikwantyfikatorów, których prawdziwosc wynika ze strukturynazywamy tautologiami (prawami rachunku predykatów).Twierdzenie o podstawieniach do funkcji zdaniowych:
Jesli A(α1, α2, . . . , αn) prawo rachunku zdan, to podstawienie:α1/ϕ1(x1), . . . , αn/ϕn(xn), gdzie ϕ1(x1), . . . , ϕn(xn) - funkcjezdaniowe zmiennych x1∈X1, . . . , xn∈Xn,daje funkcje zdaniowaB(x1, . . . , xn), która jest prawdziwa w X1 × . . .× Xn.
Reguła podstawiania generuje prawa rachunku predykatów.
Przykład dla x , y ∈ R:|= (¬α ∨ β)⇔ (α⇒β)
podstawienie: α/(x 6= y), β/(x < y ∨ y < x),daje prawo|= ((x = y)∨ (x < y) ∨ (y < x))⇔((x 6= y)⇒((x < y) ∨ (y < x)).
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Prawa rachunku predykatów
Schematy zbudowane z f.zdaniowych za pomoca funktorów ikwantyfikatorów, których prawdziwosc wynika ze strukturynazywamy tautologiami (prawami rachunku predykatów).Twierdzenie o podstawieniach do funkcji zdaniowych:
Jesli A(α1, α2, . . . , αn) prawo rachunku zdan, to podstawienie:α1/ϕ1(x1), . . . , αn/ϕn(xn), gdzie ϕ1(x1), . . . , ϕn(xn) - funkcjezdaniowe zmiennych x1∈X1, . . . , xn∈Xn,daje funkcje zdaniowaB(x1, . . . , xn), która jest prawdziwa w X1 × . . .× Xn.
Reguła podstawiania generuje prawa rachunku predykatów.Przykład dla x , y ∈ R:
|= (¬α ∨ β)⇔ (α⇒β)podstawienie: α/(x 6= y), β/(x < y ∨ y < x),daje prawo|= ((x = y)∨ (x < y) ∨ (y < x))⇔((x 6= y)⇒((x < y) ∨ (y < x)).
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Prawa rachunku predykatów
Schematy zbudowane z f.zdaniowych za pomoca funktorów ikwantyfikatorów, których prawdziwosc wynika ze strukturynazywamy tautologiami (prawami rachunku predykatów).Twierdzenie o podstawieniach do funkcji zdaniowych:
Jesli A(α1, α2, . . . , αn) prawo rachunku zdan, to podstawienie:α1/ϕ1(x1), . . . , αn/ϕn(xn), gdzie ϕ1(x1), . . . , ϕn(xn) - funkcjezdaniowe zmiennych x1∈X1, . . . , xn∈Xn,daje funkcje zdaniowaB(x1, . . . , xn), która jest prawdziwa w X1 × . . .× Xn.
Reguła podstawiania generuje prawa rachunku predykatów.Przykład dla x , y ∈ R:|= (¬α ∨ β)⇔ (α⇒β)
podstawienie: α/(x 6= y), β/(x < y ∨ y < x),daje prawo|= ((x = y)∨ (x < y) ∨ (y < x))⇔((x 6= y)⇒((x < y) ∨ (y < x)).
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Prawa rachunku predykatów
Schematy zbudowane z f.zdaniowych za pomoca funktorów ikwantyfikatorów, których prawdziwosc wynika ze strukturynazywamy tautologiami (prawami rachunku predykatów).Twierdzenie o podstawieniach do funkcji zdaniowych:
Jesli A(α1, α2, . . . , αn) prawo rachunku zdan, to podstawienie:α1/ϕ1(x1), . . . , αn/ϕn(xn), gdzie ϕ1(x1), . . . , ϕn(xn) - funkcjezdaniowe zmiennych x1∈X1, . . . , xn∈Xn,daje funkcje zdaniowaB(x1, . . . , xn), która jest prawdziwa w X1 × . . .× Xn.
Reguła podstawiania generuje prawa rachunku predykatów.Przykład dla x , y ∈ R:|= (¬α ∨ β)⇔ (α⇒β)
podstawienie: α/(x 6= y), β/(x < y ∨ y < x),
daje prawo|= ((x = y)∨ (x < y) ∨ (y < x))⇔((x 6= y)⇒((x < y) ∨ (y < x)).
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Prawa rachunku predykatów
Schematy zbudowane z f.zdaniowych za pomoca funktorów ikwantyfikatorów, których prawdziwosc wynika ze strukturynazywamy tautologiami (prawami rachunku predykatów).Twierdzenie o podstawieniach do funkcji zdaniowych:
Jesli A(α1, α2, . . . , αn) prawo rachunku zdan, to podstawienie:α1/ϕ1(x1), . . . , αn/ϕn(xn), gdzie ϕ1(x1), . . . , ϕn(xn) - funkcjezdaniowe zmiennych x1∈X1, . . . , xn∈Xn,daje funkcje zdaniowaB(x1, . . . , xn), która jest prawdziwa w X1 × . . .× Xn.
Reguła podstawiania generuje prawa rachunku predykatów.Przykład dla x , y ∈ R:|= (¬α ∨ β)⇔ (α⇒β)
podstawienie: α/(x 6= y), β/(x < y ∨ y < x),daje prawo|= ((x = y)∨ (x < y) ∨ (y < x))⇔((x 6= y)⇒((x < y) ∨ (y < x)).
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Inne uzyteczne prawa rachunku predykatów
• Dictum de omni- jesli wszyscy spełniaja, to dowolny tez:|= ∀x∈X ϕ(x)⇒∃x∈X ϕ(x)
• prawa de Morgana:
|=(¬∀x∈X ϕ(x)⇔ ∃x∈X ¬ϕ(x)¬∃x∈X ϕ(x)⇔ ∀x∈X ¬ϕ(x)
)definiuja kwantyfikator ogólny przez szczegółowy i odwrotnie.
• Prawa właczania i wyłaczania kwantyfikatorów (ψ niezalezne od x):|= ∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ)⇔(∀x∈X ϕ(x) ∨ ψ),|= ∃x∈X (ϕ(x) ∨ ψ)⇔(∃x∈X ϕ(x) ∨ ψ),|= ...
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Inne uzyteczne prawa rachunku predykatów
• Dictum de omni- jesli wszyscy spełniaja, to dowolny tez:|= ∀x∈X ϕ(x)⇒∃x∈X ϕ(x)
• prawa de Morgana:
|=(¬∀x∈X ϕ(x)⇔ ∃x∈X ¬ϕ(x)¬∃x∈X ϕ(x)⇔ ∀x∈X ¬ϕ(x)
)definiuja kwantyfikator ogólny przez szczegółowy i odwrotnie.
• Prawa właczania i wyłaczania kwantyfikatorów (ψ niezalezne od x):|= ∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ)⇔(∀x∈X ϕ(x) ∨ ψ),|= ∃x∈X (ϕ(x) ∨ ψ)⇔(∃x∈X ϕ(x) ∨ ψ),|= ...
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Inne uzyteczne prawa rachunku predykatów
• Dictum de omni- jesli wszyscy spełniaja, to dowolny tez:|= ∀x∈X ϕ(x)⇒∃x∈X ϕ(x)
• prawa de Morgana:
|=(¬∀x∈X ϕ(x)⇔ ∃x∈X ¬ϕ(x)¬∃x∈X ϕ(x)⇔ ∀x∈X ¬ϕ(x)
)
definiuja kwantyfikator ogólny przez szczegółowy i odwrotnie.
• Prawa właczania i wyłaczania kwantyfikatorów (ψ niezalezne od x):|= ∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ)⇔(∀x∈X ϕ(x) ∨ ψ),|= ∃x∈X (ϕ(x) ∨ ψ)⇔(∃x∈X ϕ(x) ∨ ψ),|= ...
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Inne uzyteczne prawa rachunku predykatów
• Dictum de omni- jesli wszyscy spełniaja, to dowolny tez:|= ∀x∈X ϕ(x)⇒∃x∈X ϕ(x)
• prawa de Morgana:
|=(¬∀x∈X ϕ(x)⇔ ∃x∈X ¬ϕ(x)¬∃x∈X ϕ(x)⇔ ∀x∈X ¬ϕ(x)
)definiuja kwantyfikator ogólny przez szczegółowy i odwrotnie.
• Prawa właczania i wyłaczania kwantyfikatorów (ψ niezalezne od x):|= ∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ)⇔(∀x∈X ϕ(x) ∨ ψ),|= ∃x∈X (ϕ(x) ∨ ψ)⇔(∃x∈X ϕ(x) ∨ ψ),|= ...
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Inne uzyteczne prawa rachunku predykatów
• Dictum de omni- jesli wszyscy spełniaja, to dowolny tez:|= ∀x∈X ϕ(x)⇒∃x∈X ϕ(x)
• prawa de Morgana:
|=(¬∀x∈X ϕ(x)⇔ ∃x∈X ¬ϕ(x)¬∃x∈X ϕ(x)⇔ ∀x∈X ¬ϕ(x)
)definiuja kwantyfikator ogólny przez szczegółowy i odwrotnie.
• Prawa właczania i wyłaczania kwantyfikatorów (ψ niezalezne od x):
|= ∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ)⇔(∀x∈X ϕ(x) ∨ ψ),|= ∃x∈X (ϕ(x) ∨ ψ)⇔(∃x∈X ϕ(x) ∨ ψ),|= ...
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Inne uzyteczne prawa rachunku predykatów
• Dictum de omni- jesli wszyscy spełniaja, to dowolny tez:|= ∀x∈X ϕ(x)⇒∃x∈X ϕ(x)
• prawa de Morgana:
|=(¬∀x∈X ϕ(x)⇔ ∃x∈X ¬ϕ(x)¬∃x∈X ϕ(x)⇔ ∀x∈X ¬ϕ(x)
)definiuja kwantyfikator ogólny przez szczegółowy i odwrotnie.
• Prawa właczania i wyłaczania kwantyfikatorów (ψ niezalezne od x):|= ∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ)⇔(∀x∈X ϕ(x) ∨ ψ),
|= ∃x∈X (ϕ(x) ∨ ψ)⇔(∃x∈X ϕ(x) ∨ ψ),|= ...
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Inne uzyteczne prawa rachunku predykatów
• Dictum de omni- jesli wszyscy spełniaja, to dowolny tez:|= ∀x∈X ϕ(x)⇒∃x∈X ϕ(x)
• prawa de Morgana:
|=(¬∀x∈X ϕ(x)⇔ ∃x∈X ¬ϕ(x)¬∃x∈X ϕ(x)⇔ ∀x∈X ¬ϕ(x)
)definiuja kwantyfikator ogólny przez szczegółowy i odwrotnie.
• Prawa właczania i wyłaczania kwantyfikatorów (ψ niezalezne od x):|= ∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ)⇔(∀x∈X ϕ(x) ∨ ψ),|= ∃x∈X (ϕ(x) ∨ ψ)⇔(∃x∈X ϕ(x) ∨ ψ),
|= ...
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Inne uzyteczne prawa rachunku predykatów
• Dictum de omni- jesli wszyscy spełniaja, to dowolny tez:|= ∀x∈X ϕ(x)⇒∃x∈X ϕ(x)
• prawa de Morgana:
|=(¬∀x∈X ϕ(x)⇔ ∃x∈X ¬ϕ(x)¬∃x∈X ϕ(x)⇔ ∀x∈X ¬ϕ(x)
)definiuja kwantyfikator ogólny przez szczegółowy i odwrotnie.
• Prawa właczania i wyłaczania kwantyfikatorów (ψ niezalezne od x):|= ∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ)⇔(∀x∈X ϕ(x) ∨ ψ),|= ∃x∈X (ϕ(x) ∨ ψ)⇔(∃x∈X ϕ(x) ∨ ψ),|= ...
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Inne uzyteczne prawa rachunku predykatów cd.
• Kwantyfikator ogólny rozdzielny wzgl.koniunkcji:|= ∀x∈X (ϕ(x)∧ψ(x))⇔(∀x∈X ϕ(x)∧∀x∈X ψ(x)),natomiast nierozdzielny wzgl.alternatywy.
• Kwantyfikator szczegółowy rozdzielny wzgl.alternatywy:|= ∃x∈X (ϕ(x)∨ψ(x))⇔(∃x∈X ϕ(x)∨∃x∈X ψ(x)).natomiast nierozdzielny wzgl.koniunkcji.
• Prawa przemianowywania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X ϕ(x)⇔∀y∈X ϕ(y)|= ∃x∈X ϕ(x)⇔∃y∈X ϕ(y)
• Prawa przestawiania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇔∀y∈Y∀x∈X ϕ(x , y)|= ∃x∈X∃y∈Y ϕ(x , y)⇔∃y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)|= ∃x ∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇒∀y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Inne uzyteczne prawa rachunku predykatów cd.
• Kwantyfikator ogólny rozdzielny wzgl.koniunkcji:
|= ∀x∈X (ϕ(x)∧ψ(x))⇔(∀x∈X ϕ(x)∧∀x∈X ψ(x)),natomiast nierozdzielny wzgl.alternatywy.
• Kwantyfikator szczegółowy rozdzielny wzgl.alternatywy:|= ∃x∈X (ϕ(x)∨ψ(x))⇔(∃x∈X ϕ(x)∨∃x∈X ψ(x)).natomiast nierozdzielny wzgl.koniunkcji.
• Prawa przemianowywania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X ϕ(x)⇔∀y∈X ϕ(y)|= ∃x∈X ϕ(x)⇔∃y∈X ϕ(y)
• Prawa przestawiania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇔∀y∈Y∀x∈X ϕ(x , y)|= ∃x∈X∃y∈Y ϕ(x , y)⇔∃y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)|= ∃x ∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇒∀y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Inne uzyteczne prawa rachunku predykatów cd.
• Kwantyfikator ogólny rozdzielny wzgl.koniunkcji:|= ∀x∈X (ϕ(x)∧ψ(x))⇔(∀x∈X ϕ(x)∧∀x∈X ψ(x)),
natomiast nierozdzielny wzgl.alternatywy.
• Kwantyfikator szczegółowy rozdzielny wzgl.alternatywy:|= ∃x∈X (ϕ(x)∨ψ(x))⇔(∃x∈X ϕ(x)∨∃x∈X ψ(x)).natomiast nierozdzielny wzgl.koniunkcji.
• Prawa przemianowywania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X ϕ(x)⇔∀y∈X ϕ(y)|= ∃x∈X ϕ(x)⇔∃y∈X ϕ(y)
• Prawa przestawiania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇔∀y∈Y∀x∈X ϕ(x , y)|= ∃x∈X∃y∈Y ϕ(x , y)⇔∃y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)|= ∃x ∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇒∀y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Inne uzyteczne prawa rachunku predykatów cd.
• Kwantyfikator ogólny rozdzielny wzgl.koniunkcji:|= ∀x∈X (ϕ(x)∧ψ(x))⇔(∀x∈X ϕ(x)∧∀x∈X ψ(x)),natomiast nierozdzielny wzgl.alternatywy.
• Kwantyfikator szczegółowy rozdzielny wzgl.alternatywy:|= ∃x∈X (ϕ(x)∨ψ(x))⇔(∃x∈X ϕ(x)∨∃x∈X ψ(x)).natomiast nierozdzielny wzgl.koniunkcji.
• Prawa przemianowywania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X ϕ(x)⇔∀y∈X ϕ(y)|= ∃x∈X ϕ(x)⇔∃y∈X ϕ(y)
• Prawa przestawiania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇔∀y∈Y∀x∈X ϕ(x , y)|= ∃x∈X∃y∈Y ϕ(x , y)⇔∃y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)|= ∃x ∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇒∀y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Inne uzyteczne prawa rachunku predykatów cd.
• Kwantyfikator ogólny rozdzielny wzgl.koniunkcji:|= ∀x∈X (ϕ(x)∧ψ(x))⇔(∀x∈X ϕ(x)∧∀x∈X ψ(x)),natomiast nierozdzielny wzgl.alternatywy.
• Kwantyfikator szczegółowy rozdzielny wzgl.alternatywy:
|= ∃x∈X (ϕ(x)∨ψ(x))⇔(∃x∈X ϕ(x)∨∃x∈X ψ(x)).natomiast nierozdzielny wzgl.koniunkcji.
• Prawa przemianowywania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X ϕ(x)⇔∀y∈X ϕ(y)|= ∃x∈X ϕ(x)⇔∃y∈X ϕ(y)
• Prawa przestawiania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇔∀y∈Y∀x∈X ϕ(x , y)|= ∃x∈X∃y∈Y ϕ(x , y)⇔∃y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)|= ∃x ∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇒∀y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Inne uzyteczne prawa rachunku predykatów cd.
• Kwantyfikator ogólny rozdzielny wzgl.koniunkcji:|= ∀x∈X (ϕ(x)∧ψ(x))⇔(∀x∈X ϕ(x)∧∀x∈X ψ(x)),natomiast nierozdzielny wzgl.alternatywy.
• Kwantyfikator szczegółowy rozdzielny wzgl.alternatywy:|= ∃x∈X (ϕ(x)∨ψ(x))⇔(∃x∈X ϕ(x)∨∃x∈X ψ(x)).
natomiast nierozdzielny wzgl.koniunkcji.
• Prawa przemianowywania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X ϕ(x)⇔∀y∈X ϕ(y)|= ∃x∈X ϕ(x)⇔∃y∈X ϕ(y)
• Prawa przestawiania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇔∀y∈Y∀x∈X ϕ(x , y)|= ∃x∈X∃y∈Y ϕ(x , y)⇔∃y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)|= ∃x ∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇒∀y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Inne uzyteczne prawa rachunku predykatów cd.
• Kwantyfikator ogólny rozdzielny wzgl.koniunkcji:|= ∀x∈X (ϕ(x)∧ψ(x))⇔(∀x∈X ϕ(x)∧∀x∈X ψ(x)),natomiast nierozdzielny wzgl.alternatywy.
• Kwantyfikator szczegółowy rozdzielny wzgl.alternatywy:|= ∃x∈X (ϕ(x)∨ψ(x))⇔(∃x∈X ϕ(x)∨∃x∈X ψ(x)).natomiast nierozdzielny wzgl.koniunkcji.
• Prawa przemianowywania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X ϕ(x)⇔∀y∈X ϕ(y)|= ∃x∈X ϕ(x)⇔∃y∈X ϕ(y)
• Prawa przestawiania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇔∀y∈Y∀x∈X ϕ(x , y)|= ∃x∈X∃y∈Y ϕ(x , y)⇔∃y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)|= ∃x ∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇒∀y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Inne uzyteczne prawa rachunku predykatów cd.
• Kwantyfikator ogólny rozdzielny wzgl.koniunkcji:|= ∀x∈X (ϕ(x)∧ψ(x))⇔(∀x∈X ϕ(x)∧∀x∈X ψ(x)),natomiast nierozdzielny wzgl.alternatywy.
• Kwantyfikator szczegółowy rozdzielny wzgl.alternatywy:|= ∃x∈X (ϕ(x)∨ψ(x))⇔(∃x∈X ϕ(x)∨∃x∈X ψ(x)).natomiast nierozdzielny wzgl.koniunkcji.
• Prawa przemianowywania kwantyfikatorów:
|= ∀x∈X ϕ(x)⇔∀y∈X ϕ(y)|= ∃x∈X ϕ(x)⇔∃y∈X ϕ(y)
• Prawa przestawiania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇔∀y∈Y∀x∈X ϕ(x , y)|= ∃x∈X∃y∈Y ϕ(x , y)⇔∃y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)|= ∃x ∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇒∀y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Inne uzyteczne prawa rachunku predykatów cd.
• Kwantyfikator ogólny rozdzielny wzgl.koniunkcji:|= ∀x∈X (ϕ(x)∧ψ(x))⇔(∀x∈X ϕ(x)∧∀x∈X ψ(x)),natomiast nierozdzielny wzgl.alternatywy.
• Kwantyfikator szczegółowy rozdzielny wzgl.alternatywy:|= ∃x∈X (ϕ(x)∨ψ(x))⇔(∃x∈X ϕ(x)∨∃x∈X ψ(x)).natomiast nierozdzielny wzgl.koniunkcji.
• Prawa przemianowywania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X ϕ(x)⇔∀y∈X ϕ(y)
|= ∃x∈X ϕ(x)⇔∃y∈X ϕ(y)
• Prawa przestawiania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇔∀y∈Y∀x∈X ϕ(x , y)|= ∃x∈X∃y∈Y ϕ(x , y)⇔∃y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)|= ∃x ∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇒∀y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Inne uzyteczne prawa rachunku predykatów cd.
• Kwantyfikator ogólny rozdzielny wzgl.koniunkcji:|= ∀x∈X (ϕ(x)∧ψ(x))⇔(∀x∈X ϕ(x)∧∀x∈X ψ(x)),natomiast nierozdzielny wzgl.alternatywy.
• Kwantyfikator szczegółowy rozdzielny wzgl.alternatywy:|= ∃x∈X (ϕ(x)∨ψ(x))⇔(∃x∈X ϕ(x)∨∃x∈X ψ(x)).natomiast nierozdzielny wzgl.koniunkcji.
• Prawa przemianowywania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X ϕ(x)⇔∀y∈X ϕ(y)|= ∃x∈X ϕ(x)⇔∃y∈X ϕ(y)
• Prawa przestawiania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇔∀y∈Y∀x∈X ϕ(x , y)|= ∃x∈X∃y∈Y ϕ(x , y)⇔∃y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)|= ∃x ∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇒∀y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Inne uzyteczne prawa rachunku predykatów cd.
• Kwantyfikator ogólny rozdzielny wzgl.koniunkcji:|= ∀x∈X (ϕ(x)∧ψ(x))⇔(∀x∈X ϕ(x)∧∀x∈X ψ(x)),natomiast nierozdzielny wzgl.alternatywy.
• Kwantyfikator szczegółowy rozdzielny wzgl.alternatywy:|= ∃x∈X (ϕ(x)∨ψ(x))⇔(∃x∈X ϕ(x)∨∃x∈X ψ(x)).natomiast nierozdzielny wzgl.koniunkcji.
• Prawa przemianowywania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X ϕ(x)⇔∀y∈X ϕ(y)|= ∃x∈X ϕ(x)⇔∃y∈X ϕ(y)
• Prawa przestawiania kwantyfikatorów:
|= ∀x∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇔∀y∈Y∀x∈X ϕ(x , y)|= ∃x∈X∃y∈Y ϕ(x , y)⇔∃y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)|= ∃x ∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇒∀y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Inne uzyteczne prawa rachunku predykatów cd.
• Kwantyfikator ogólny rozdzielny wzgl.koniunkcji:|= ∀x∈X (ϕ(x)∧ψ(x))⇔(∀x∈X ϕ(x)∧∀x∈X ψ(x)),natomiast nierozdzielny wzgl.alternatywy.
• Kwantyfikator szczegółowy rozdzielny wzgl.alternatywy:|= ∃x∈X (ϕ(x)∨ψ(x))⇔(∃x∈X ϕ(x)∨∃x∈X ψ(x)).natomiast nierozdzielny wzgl.koniunkcji.
• Prawa przemianowywania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X ϕ(x)⇔∀y∈X ϕ(y)|= ∃x∈X ϕ(x)⇔∃y∈X ϕ(y)
• Prawa przestawiania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇔∀y∈Y∀x∈X ϕ(x , y)
|= ∃x∈X∃y∈Y ϕ(x , y)⇔∃y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)|= ∃x ∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇒∀y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Inne uzyteczne prawa rachunku predykatów cd.
• Kwantyfikator ogólny rozdzielny wzgl.koniunkcji:|= ∀x∈X (ϕ(x)∧ψ(x))⇔(∀x∈X ϕ(x)∧∀x∈X ψ(x)),natomiast nierozdzielny wzgl.alternatywy.
• Kwantyfikator szczegółowy rozdzielny wzgl.alternatywy:|= ∃x∈X (ϕ(x)∨ψ(x))⇔(∃x∈X ϕ(x)∨∃x∈X ψ(x)).natomiast nierozdzielny wzgl.koniunkcji.
• Prawa przemianowywania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X ϕ(x)⇔∀y∈X ϕ(y)|= ∃x∈X ϕ(x)⇔∃y∈X ϕ(y)
• Prawa przestawiania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇔∀y∈Y∀x∈X ϕ(x , y)|= ∃x∈X∃y∈Y ϕ(x , y)⇔∃y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)
|= ∃x ∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇒∀y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Prawa rachunku predykatów
Inne uzyteczne prawa rachunku predykatów cd.
• Kwantyfikator ogólny rozdzielny wzgl.koniunkcji:|= ∀x∈X (ϕ(x)∧ψ(x))⇔(∀x∈X ϕ(x)∧∀x∈X ψ(x)),natomiast nierozdzielny wzgl.alternatywy.
• Kwantyfikator szczegółowy rozdzielny wzgl.alternatywy:|= ∃x∈X (ϕ(x)∨ψ(x))⇔(∃x∈X ϕ(x)∨∃x∈X ψ(x)).natomiast nierozdzielny wzgl.koniunkcji.
• Prawa przemianowywania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X ϕ(x)⇔∀y∈X ϕ(y)|= ∃x∈X ϕ(x)⇔∃y∈X ϕ(y)
• Prawa przestawiania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇔∀y∈Y∀x∈X ϕ(x , y)|= ∃x∈X∃y∈Y ϕ(x , y)⇔∃y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)|= ∃x ∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇒∀y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Dowodzenie
Reguły dowodzenia w rachunku predykatów
• reguły dowodzenia rachunku zdanobowiazuja w rachunku predykatów na mocy twierdzenia:jesli w regule wnioskowania A1,...,An
B , w przesłankach A1, . . . ,Ani wniosku B zastapic zmienne zdaniowe funkcjami zdaniowymizmiennej x ∈X : A1, . . . ,An → ϕ1(x), . . . , ϕn(x), oraz B → ψ(x),toϕ1(x), . . . , ϕn(x) prawdziwe⇒ ψ(x) prawdziwe.
• reguła uogólniania:
ϕ(x), x ∈X∀x∈X ϕ(x)
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Dowodzenie
Reguły dowodzenia w rachunku predykatów
• reguły dowodzenia rachunku zdan
obowiazuja w rachunku predykatów na mocy twierdzenia:jesli w regule wnioskowania A1,...,An
B , w przesłankach A1, . . . ,Ani wniosku B zastapic zmienne zdaniowe funkcjami zdaniowymizmiennej x ∈X : A1, . . . ,An → ϕ1(x), . . . , ϕn(x), oraz B → ψ(x),toϕ1(x), . . . , ϕn(x) prawdziwe⇒ ψ(x) prawdziwe.
• reguła uogólniania:
ϕ(x), x ∈X∀x∈X ϕ(x)
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Dowodzenie
Reguły dowodzenia w rachunku predykatów
• reguły dowodzenia rachunku zdanobowiazuja w rachunku predykatów na mocy twierdzenia:
jesli w regule wnioskowania A1,...,AnB , w przesłankach A1, . . . ,An
i wniosku B zastapic zmienne zdaniowe funkcjami zdaniowymizmiennej x ∈X : A1, . . . ,An → ϕ1(x), . . . , ϕn(x), oraz B → ψ(x),toϕ1(x), . . . , ϕn(x) prawdziwe⇒ ψ(x) prawdziwe.
• reguła uogólniania:
ϕ(x), x ∈X∀x∈X ϕ(x)
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Dowodzenie
Reguły dowodzenia w rachunku predykatów
• reguły dowodzenia rachunku zdanobowiazuja w rachunku predykatów na mocy twierdzenia:jesli w regule wnioskowania A1,...,An
B , w przesłankach A1, . . . ,Ani wniosku B zastapic zmienne zdaniowe funkcjami zdaniowymizmiennej x ∈X : A1, . . . ,An → ϕ1(x), . . . , ϕn(x), oraz B → ψ(x),
toϕ1(x), . . . , ϕn(x) prawdziwe⇒ ψ(x) prawdziwe.
• reguła uogólniania:
ϕ(x), x ∈X∀x∈X ϕ(x)
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Dowodzenie
Reguły dowodzenia w rachunku predykatów
• reguły dowodzenia rachunku zdanobowiazuja w rachunku predykatów na mocy twierdzenia:jesli w regule wnioskowania A1,...,An
B , w przesłankach A1, . . . ,Ani wniosku B zastapic zmienne zdaniowe funkcjami zdaniowymizmiennej x ∈X : A1, . . . ,An → ϕ1(x), . . . , ϕn(x), oraz B → ψ(x),toϕ1(x), . . . , ϕn(x) prawdziwe⇒ ψ(x) prawdziwe.
• reguła uogólniania:
ϕ(x), x ∈X∀x∈X ϕ(x)
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Dowodzenie
Reguły dowodzenia w rachunku predykatów
• reguły dowodzenia rachunku zdanobowiazuja w rachunku predykatów na mocy twierdzenia:jesli w regule wnioskowania A1,...,An
B , w przesłankach A1, . . . ,Ani wniosku B zastapic zmienne zdaniowe funkcjami zdaniowymizmiennej x ∈X : A1, . . . ,An → ϕ1(x), . . . , ϕn(x), oraz B → ψ(x),toϕ1(x), . . . , ϕn(x) prawdziwe⇒ ψ(x) prawdziwe.
• reguła uogólniania:
ϕ(x), x ∈X∀x∈X ϕ(x)
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Dowodzenie
Reguły dowodzenia w rachunku predykatów cd.
• reguła łaczenia kw.ogólnego wzgl.alternatywy:
∀x∈X ϕ(x) ∨ ∀x∈Xψ(x)∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ(x)
• reguła rozkł.kw.szczegółowego wzgl.koniunkcji:
∃x∈X (ϕ(x) ∧ ψ(x))∃x∈Xϕ(x) ∧ ∃x∈Xψ(x)
• reguła rozkł.implikacji:
∀x∈X (ϕ(x)⇒ ψ(x))∀x∈Xϕ(x)⇒ ∀x∈Xψ(x)
• ...Reguły te mozna uogólnic na funkcje wielu zmiennych.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Dowodzenie
Reguły dowodzenia w rachunku predykatów cd.
• reguła łaczenia kw.ogólnego wzgl.alternatywy:
∀x∈X ϕ(x) ∨ ∀x∈Xψ(x)∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ(x)
• reguła rozkł.kw.szczegółowego wzgl.koniunkcji:
∃x∈X (ϕ(x) ∧ ψ(x))∃x∈Xϕ(x) ∧ ∃x∈Xψ(x)
• reguła rozkł.implikacji:
∀x∈X (ϕ(x)⇒ ψ(x))∀x∈Xϕ(x)⇒ ∀x∈Xψ(x)
• ...Reguły te mozna uogólnic na funkcje wielu zmiennych.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Dowodzenie
Reguły dowodzenia w rachunku predykatów cd.
• reguła łaczenia kw.ogólnego wzgl.alternatywy:
∀x∈X ϕ(x) ∨ ∀x∈Xψ(x)∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ(x)
• reguła rozkł.kw.szczegółowego wzgl.koniunkcji:
∃x∈X (ϕ(x) ∧ ψ(x))∃x∈Xϕ(x) ∧ ∃x∈Xψ(x)
• reguła rozkł.implikacji:
∀x∈X (ϕ(x)⇒ ψ(x))∀x∈Xϕ(x)⇒ ∀x∈Xψ(x)
• ...Reguły te mozna uogólnic na funkcje wielu zmiennych.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Dowodzenie
Reguły dowodzenia w rachunku predykatów cd.
• reguła łaczenia kw.ogólnego wzgl.alternatywy:
∀x∈X ϕ(x) ∨ ∀x∈Xψ(x)∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ(x)
• reguła rozkł.kw.szczegółowego wzgl.koniunkcji:
∃x∈X (ϕ(x) ∧ ψ(x))∃x∈Xϕ(x) ∧ ∃x∈Xψ(x)
• reguła rozkł.implikacji:
∀x∈X (ϕ(x)⇒ ψ(x))∀x∈Xϕ(x)⇒ ∀x∈Xψ(x)
• ...Reguły te mozna uogólnic na funkcje wielu zmiennych.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Dowodzenie
Reguły dowodzenia w rachunku predykatów cd.
• reguła łaczenia kw.ogólnego wzgl.alternatywy:
∀x∈X ϕ(x) ∨ ∀x∈Xψ(x)∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ(x)
• reguła rozkł.kw.szczegółowego wzgl.koniunkcji:
∃x∈X (ϕ(x) ∧ ψ(x))∃x∈Xϕ(x) ∧ ∃x∈Xψ(x)
• reguła rozkł.implikacji:
∀x∈X (ϕ(x)⇒ ψ(x))∀x∈Xϕ(x)⇒ ∀x∈Xψ(x)
• ...
Reguły te mozna uogólnic na funkcje wielu zmiennych.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Dowodzenie
Reguły dowodzenia w rachunku predykatów cd.
• reguła łaczenia kw.ogólnego wzgl.alternatywy:
∀x∈X ϕ(x) ∨ ∀x∈Xψ(x)∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ(x)
• reguła rozkł.kw.szczegółowego wzgl.koniunkcji:
∃x∈X (ϕ(x) ∧ ψ(x))∃x∈Xϕ(x) ∧ ∃x∈Xψ(x)
• reguła rozkł.implikacji:
∀x∈X (ϕ(x)⇒ ψ(x))∀x∈Xϕ(x)⇒ ∀x∈Xψ(x)
• ...Reguły te mozna uogólnic na funkcje wielu zmiennych.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Dowodzenie
Aksjomatyczne ujecie rachunku predykatów:
I. Prawa rachunku predykatów:1. Wszystkie podstawienia praw rachunku zdan przez
poprawnie zbudowane wyrazenia2. Prawa dotyczace równosci:∀x∈X x = x∀x ,y∈X (x = y)⇒ (ϕ(x)⇔ ϕ(y))
3. Prawa dotyczace kwantyfikatorów:(∀x∈X ϕ(x))⇒ ϕ(y), y ∈ X∀x∈X (ψ ⇒ ϕ(x))⇒ (ψ ⇒ ∀x∈Xϕ(x))
II. Reguły dowodzenia:1. reguła odrywania: ϕ,ϕ⇒ψ
ψ .2. reguła uogólniania: (ϕ(x), x ∈ X )⇒ ∀x∈X ϕ(x).
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Dowodzenie
Aksjomatyczne ujecie rachunku predykatów:
I. Prawa rachunku predykatów:
1. Wszystkie podstawienia praw rachunku zdan przezpoprawnie zbudowane wyrazenia
2. Prawa dotyczace równosci:∀x∈X x = x∀x ,y∈X (x = y)⇒ (ϕ(x)⇔ ϕ(y))
3. Prawa dotyczace kwantyfikatorów:(∀x∈X ϕ(x))⇒ ϕ(y), y ∈ X∀x∈X (ψ ⇒ ϕ(x))⇒ (ψ ⇒ ∀x∈Xϕ(x))
II. Reguły dowodzenia:1. reguła odrywania: ϕ,ϕ⇒ψ
ψ .2. reguła uogólniania: (ϕ(x), x ∈ X )⇒ ∀x∈X ϕ(x).
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Dowodzenie
Aksjomatyczne ujecie rachunku predykatów:
I. Prawa rachunku predykatów:1. Wszystkie podstawienia praw rachunku zdan przez
poprawnie zbudowane wyrazenia
2. Prawa dotyczace równosci:∀x∈X x = x∀x ,y∈X (x = y)⇒ (ϕ(x)⇔ ϕ(y))
3. Prawa dotyczace kwantyfikatorów:(∀x∈X ϕ(x))⇒ ϕ(y), y ∈ X∀x∈X (ψ ⇒ ϕ(x))⇒ (ψ ⇒ ∀x∈Xϕ(x))
II. Reguły dowodzenia:1. reguła odrywania: ϕ,ϕ⇒ψ
ψ .2. reguła uogólniania: (ϕ(x), x ∈ X )⇒ ∀x∈X ϕ(x).
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Dowodzenie
Aksjomatyczne ujecie rachunku predykatów:
I. Prawa rachunku predykatów:1. Wszystkie podstawienia praw rachunku zdan przez
poprawnie zbudowane wyrazenia2. Prawa dotyczace równosci:∀x∈X x = x∀x ,y∈X (x = y)⇒ (ϕ(x)⇔ ϕ(y))
3. Prawa dotyczace kwantyfikatorów:(∀x∈X ϕ(x))⇒ ϕ(y), y ∈ X∀x∈X (ψ ⇒ ϕ(x))⇒ (ψ ⇒ ∀x∈Xϕ(x))
II. Reguły dowodzenia:1. reguła odrywania: ϕ,ϕ⇒ψ
ψ .2. reguła uogólniania: (ϕ(x), x ∈ X )⇒ ∀x∈X ϕ(x).
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Dowodzenie
Aksjomatyczne ujecie rachunku predykatów:
I. Prawa rachunku predykatów:1. Wszystkie podstawienia praw rachunku zdan przez
poprawnie zbudowane wyrazenia2. Prawa dotyczace równosci:∀x∈X x = x∀x ,y∈X (x = y)⇒ (ϕ(x)⇔ ϕ(y))
3. Prawa dotyczace kwantyfikatorów:(∀x∈X ϕ(x))⇒ ϕ(y), y ∈ X∀x∈X (ψ ⇒ ϕ(x))⇒ (ψ ⇒ ∀x∈Xϕ(x))
II. Reguły dowodzenia:1. reguła odrywania: ϕ,ϕ⇒ψ
ψ .2. reguła uogólniania: (ϕ(x), x ∈ X )⇒ ∀x∈X ϕ(x).
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Dowodzenie
Aksjomatyczne ujecie rachunku predykatów:
I. Prawa rachunku predykatów:1. Wszystkie podstawienia praw rachunku zdan przez
poprawnie zbudowane wyrazenia2. Prawa dotyczace równosci:∀x∈X x = x∀x ,y∈X (x = y)⇒ (ϕ(x)⇔ ϕ(y))
3. Prawa dotyczace kwantyfikatorów:(∀x∈X ϕ(x))⇒ ϕ(y), y ∈ X∀x∈X (ψ ⇒ ϕ(x))⇒ (ψ ⇒ ∀x∈Xϕ(x))
II. Reguły dowodzenia:
1. reguła odrywania: ϕ,ϕ⇒ψψ .
2. reguła uogólniania: (ϕ(x), x ∈ X )⇒ ∀x∈X ϕ(x).
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Dowodzenie
Aksjomatyczne ujecie rachunku predykatów:
I. Prawa rachunku predykatów:1. Wszystkie podstawienia praw rachunku zdan przez
poprawnie zbudowane wyrazenia2. Prawa dotyczace równosci:∀x∈X x = x∀x ,y∈X (x = y)⇒ (ϕ(x)⇔ ϕ(y))
3. Prawa dotyczace kwantyfikatorów:(∀x∈X ϕ(x))⇒ ϕ(y), y ∈ X∀x∈X (ψ ⇒ ϕ(x))⇒ (ψ ⇒ ∀x∈Xϕ(x))
II. Reguły dowodzenia:1. reguła odrywania: ϕ,ϕ⇒ψ
ψ .
2. reguła uogólniania: (ϕ(x), x ∈ X )⇒ ∀x∈X ϕ(x).
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Dowodzenie
Aksjomatyczne ujecie rachunku predykatów:
I. Prawa rachunku predykatów:1. Wszystkie podstawienia praw rachunku zdan przez
poprawnie zbudowane wyrazenia2. Prawa dotyczace równosci:∀x∈X x = x∀x ,y∈X (x = y)⇒ (ϕ(x)⇔ ϕ(y))
3. Prawa dotyczace kwantyfikatorów:(∀x∈X ϕ(x))⇒ ϕ(y), y ∈ X∀x∈X (ψ ⇒ ϕ(x))⇒ (ψ ⇒ ∀x∈Xϕ(x))
II. Reguły dowodzenia:1. reguła odrywania: ϕ,ϕ⇒ψ
ψ .2. reguła uogólniania: (ϕ(x), x ∈ X )⇒ ∀x∈X ϕ(x).
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Niesprzecznosc i pełnosc rachunku predykatów
Pełnosc rachunku predykatów
Dowódformalny formuły B ze zbioru formuł G - tak jak w rachunku zdan.Twierdzenie o pełnosci rachunku predykatów, (1928r K.Gödel)Dla dowolnego zbioru formuł G i formuły AG ` A⇔ G |= A,
czyli syntaktyczna i semantyczna konsekwencja pokrywaja sie.Wniosek z twierdzenia o pełnosci:Twierdzenia i prawa rachunku predykatów sa równowazne,` A⇔|= A,
czyli istnieje dowód formalny wszystkich zdan prawdziwych.Nierozstrzygalnosc rachunku predykatów (1936r, A.Church)Schematy kwantyfikatorowe zawieraja zmienne których zakresemzmiennosci sa zbiory nieskonczone. Dla skomplikowanej formułynie istnieje algorytm rozstrzygajacy za pomoca skonczonejilosci kroków czy jest prawem rachunku predykatów.Rachunek predykatów stanowi system niesprzeczny,pełny, ale nierozstrzygalny.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Niesprzecznosc i pełnosc rachunku predykatów
Pełnosc rachunku predykatów
Dowódformalny formuły B ze zbioru formuł G - tak jak w rachunku zdan.Twierdzenie o pełnosci rachunku predykatów, (1928r K.Gödel)
Dla dowolnego zbioru formuł G i formuły AG ` A⇔ G |= A,
czyli syntaktyczna i semantyczna konsekwencja pokrywaja sie.Wniosek z twierdzenia o pełnosci:Twierdzenia i prawa rachunku predykatów sa równowazne,` A⇔|= A,
czyli istnieje dowód formalny wszystkich zdan prawdziwych.Nierozstrzygalnosc rachunku predykatów (1936r, A.Church)Schematy kwantyfikatorowe zawieraja zmienne których zakresemzmiennosci sa zbiory nieskonczone. Dla skomplikowanej formułynie istnieje algorytm rozstrzygajacy za pomoca skonczonejilosci kroków czy jest prawem rachunku predykatów.Rachunek predykatów stanowi system niesprzeczny,pełny, ale nierozstrzygalny.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Niesprzecznosc i pełnosc rachunku predykatów
Pełnosc rachunku predykatów
Dowódformalny formuły B ze zbioru formuł G - tak jak w rachunku zdan.Twierdzenie o pełnosci rachunku predykatów, (1928r K.Gödel)Dla dowolnego zbioru formuł G i formuły AG ` A⇔ G |= A,
czyli syntaktyczna i semantyczna konsekwencja pokrywaja sie.Wniosek z twierdzenia o pełnosci:Twierdzenia i prawa rachunku predykatów sa równowazne,` A⇔|= A,
czyli istnieje dowód formalny wszystkich zdan prawdziwych.Nierozstrzygalnosc rachunku predykatów (1936r, A.Church)Schematy kwantyfikatorowe zawieraja zmienne których zakresemzmiennosci sa zbiory nieskonczone. Dla skomplikowanej formułynie istnieje algorytm rozstrzygajacy za pomoca skonczonejilosci kroków czy jest prawem rachunku predykatów.Rachunek predykatów stanowi system niesprzeczny,pełny, ale nierozstrzygalny.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Niesprzecznosc i pełnosc rachunku predykatów
Pełnosc rachunku predykatów
Dowódformalny formuły B ze zbioru formuł G - tak jak w rachunku zdan.Twierdzenie o pełnosci rachunku predykatów, (1928r K.Gödel)Dla dowolnego zbioru formuł G i formuły AG ` A⇔ G |= A,
czyli syntaktyczna i semantyczna konsekwencja pokrywaja sie.
Wniosek z twierdzenia o pełnosci:Twierdzenia i prawa rachunku predykatów sa równowazne,` A⇔|= A,
czyli istnieje dowód formalny wszystkich zdan prawdziwych.Nierozstrzygalnosc rachunku predykatów (1936r, A.Church)Schematy kwantyfikatorowe zawieraja zmienne których zakresemzmiennosci sa zbiory nieskonczone. Dla skomplikowanej formułynie istnieje algorytm rozstrzygajacy za pomoca skonczonejilosci kroków czy jest prawem rachunku predykatów.Rachunek predykatów stanowi system niesprzeczny,pełny, ale nierozstrzygalny.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Niesprzecznosc i pełnosc rachunku predykatów
Pełnosc rachunku predykatów
Dowódformalny formuły B ze zbioru formuł G - tak jak w rachunku zdan.Twierdzenie o pełnosci rachunku predykatów, (1928r K.Gödel)Dla dowolnego zbioru formuł G i formuły AG ` A⇔ G |= A,
czyli syntaktyczna i semantyczna konsekwencja pokrywaja sie.Wniosek z twierdzenia o pełnosci:
Twierdzenia i prawa rachunku predykatów sa równowazne,` A⇔|= A,
czyli istnieje dowód formalny wszystkich zdan prawdziwych.Nierozstrzygalnosc rachunku predykatów (1936r, A.Church)Schematy kwantyfikatorowe zawieraja zmienne których zakresemzmiennosci sa zbiory nieskonczone. Dla skomplikowanej formułynie istnieje algorytm rozstrzygajacy za pomoca skonczonejilosci kroków czy jest prawem rachunku predykatów.Rachunek predykatów stanowi system niesprzeczny,pełny, ale nierozstrzygalny.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Niesprzecznosc i pełnosc rachunku predykatów
Pełnosc rachunku predykatów
Dowódformalny formuły B ze zbioru formuł G - tak jak w rachunku zdan.Twierdzenie o pełnosci rachunku predykatów, (1928r K.Gödel)Dla dowolnego zbioru formuł G i formuły AG ` A⇔ G |= A,
czyli syntaktyczna i semantyczna konsekwencja pokrywaja sie.Wniosek z twierdzenia o pełnosci:Twierdzenia i prawa rachunku predykatów sa równowazne,` A⇔|= A,
czyli istnieje dowód formalny wszystkich zdan prawdziwych.Nierozstrzygalnosc rachunku predykatów (1936r, A.Church)Schematy kwantyfikatorowe zawieraja zmienne których zakresemzmiennosci sa zbiory nieskonczone. Dla skomplikowanej formułynie istnieje algorytm rozstrzygajacy za pomoca skonczonejilosci kroków czy jest prawem rachunku predykatów.Rachunek predykatów stanowi system niesprzeczny,pełny, ale nierozstrzygalny.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Niesprzecznosc i pełnosc rachunku predykatów
Pełnosc rachunku predykatów
Dowódformalny formuły B ze zbioru formuł G - tak jak w rachunku zdan.Twierdzenie o pełnosci rachunku predykatów, (1928r K.Gödel)Dla dowolnego zbioru formuł G i formuły AG ` A⇔ G |= A,
czyli syntaktyczna i semantyczna konsekwencja pokrywaja sie.Wniosek z twierdzenia o pełnosci:Twierdzenia i prawa rachunku predykatów sa równowazne,` A⇔|= A,
czyli istnieje dowód formalny wszystkich zdan prawdziwych.
Nierozstrzygalnosc rachunku predykatów (1936r, A.Church)Schematy kwantyfikatorowe zawieraja zmienne których zakresemzmiennosci sa zbiory nieskonczone. Dla skomplikowanej formułynie istnieje algorytm rozstrzygajacy za pomoca skonczonejilosci kroków czy jest prawem rachunku predykatów.Rachunek predykatów stanowi system niesprzeczny,pełny, ale nierozstrzygalny.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Niesprzecznosc i pełnosc rachunku predykatów
Pełnosc rachunku predykatów
Dowódformalny formuły B ze zbioru formuł G - tak jak w rachunku zdan.Twierdzenie o pełnosci rachunku predykatów, (1928r K.Gödel)Dla dowolnego zbioru formuł G i formuły AG ` A⇔ G |= A,
czyli syntaktyczna i semantyczna konsekwencja pokrywaja sie.Wniosek z twierdzenia o pełnosci:Twierdzenia i prawa rachunku predykatów sa równowazne,` A⇔|= A,
czyli istnieje dowód formalny wszystkich zdan prawdziwych.Nierozstrzygalnosc rachunku predykatów (1936r, A.Church)
Schematy kwantyfikatorowe zawieraja zmienne których zakresemzmiennosci sa zbiory nieskonczone. Dla skomplikowanej formułynie istnieje algorytm rozstrzygajacy za pomoca skonczonejilosci kroków czy jest prawem rachunku predykatów.Rachunek predykatów stanowi system niesprzeczny,pełny, ale nierozstrzygalny.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Niesprzecznosc i pełnosc rachunku predykatów
Pełnosc rachunku predykatów
Dowódformalny formuły B ze zbioru formuł G - tak jak w rachunku zdan.Twierdzenie o pełnosci rachunku predykatów, (1928r K.Gödel)Dla dowolnego zbioru formuł G i formuły AG ` A⇔ G |= A,
czyli syntaktyczna i semantyczna konsekwencja pokrywaja sie.Wniosek z twierdzenia o pełnosci:Twierdzenia i prawa rachunku predykatów sa równowazne,` A⇔|= A,
czyli istnieje dowód formalny wszystkich zdan prawdziwych.Nierozstrzygalnosc rachunku predykatów (1936r, A.Church)Schematy kwantyfikatorowe zawieraja zmienne których zakresemzmiennosci sa zbiory nieskonczone.
Dla skomplikowanej formułynie istnieje algorytm rozstrzygajacy za pomoca skonczonejilosci kroków czy jest prawem rachunku predykatów.Rachunek predykatów stanowi system niesprzeczny,pełny, ale nierozstrzygalny.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Niesprzecznosc i pełnosc rachunku predykatów
Pełnosc rachunku predykatów
Dowódformalny formuły B ze zbioru formuł G - tak jak w rachunku zdan.Twierdzenie o pełnosci rachunku predykatów, (1928r K.Gödel)Dla dowolnego zbioru formuł G i formuły AG ` A⇔ G |= A,
czyli syntaktyczna i semantyczna konsekwencja pokrywaja sie.Wniosek z twierdzenia o pełnosci:Twierdzenia i prawa rachunku predykatów sa równowazne,` A⇔|= A,
czyli istnieje dowód formalny wszystkich zdan prawdziwych.Nierozstrzygalnosc rachunku predykatów (1936r, A.Church)Schematy kwantyfikatorowe zawieraja zmienne których zakresemzmiennosci sa zbiory nieskonczone. Dla skomplikowanej formułynie istnieje algorytm rozstrzygajacy za pomoca skonczonejilosci kroków czy jest prawem rachunku predykatów.
Rachunek predykatów stanowi system niesprzeczny,pełny, ale nierozstrzygalny.
MATEMATYKA I
RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)
Niesprzecznosc i pełnosc rachunku predykatów
Pełnosc rachunku predykatów
Dowódformalny formuły B ze zbioru formuł G - tak jak w rachunku zdan.Twierdzenie o pełnosci rachunku predykatów, (1928r K.Gödel)Dla dowolnego zbioru formuł G i formuły AG ` A⇔ G |= A,
czyli syntaktyczna i semantyczna konsekwencja pokrywaja sie.Wniosek z twierdzenia o pełnosci:Twierdzenia i prawa rachunku predykatów sa równowazne,` A⇔|= A,
czyli istnieje dowód formalny wszystkich zdan prawdziwych.Nierozstrzygalnosc rachunku predykatów (1936r, A.Church)Schematy kwantyfikatorowe zawieraja zmienne których zakresemzmiennosci sa zbiory nieskonczone. Dla skomplikowanej formułynie istnieje algorytm rozstrzygajacy za pomoca skonczonejilosci kroków czy jest prawem rachunku predykatów.Rachunek predykatów stanowi system niesprzeczny,pełny, ale nierozstrzygalny.
MATEMATYKA I
NIEPEŁNOSC TEORII ZAWIERAJACYCH ARYTMETYKE
Program Hilberta
1900r, D.Hilbert na Miedz.Kongr.Matematycznym w Paryzuprzedstawił liste 23 nierozwiazanych zagadnien matematyki.Problem II - udowodnienie niesprzecznosci arytmetyki.
1920r - program Hilberta: sformalizowanie całej matematyki iwykazanie jej niesprzecznosci metodami logiki. Czy systemjest pełny i rozstrzygalny?Kroki realizacji:1920r, D.Hilbert wykazał, ze aksjomatyzacja geometriiEuklidesowej spełnia te zadania.1921r, E.L.Post udowodnił pełnosc rachunku zdan.1928r, K.Gödel udowodnił niesprzecznosc i pełnosc rachunkupredykatów.1936r, A.Church wykazał nierozstrzygalnosc rachunkupredykatów.
MATEMATYKA I
NIEPEŁNOSC TEORII ZAWIERAJACYCH ARYTMETYKE
Program Hilberta
1900r, D.Hilbert na Miedz.Kongr.Matematycznym w Paryzuprzedstawił liste 23 nierozwiazanych zagadnien matematyki.Problem II - udowodnienie niesprzecznosci arytmetyki.1920r - program Hilberta: sformalizowanie całej matematyki iwykazanie jej niesprzecznosci metodami logiki.
Czy systemjest pełny i rozstrzygalny?Kroki realizacji:1920r, D.Hilbert wykazał, ze aksjomatyzacja geometriiEuklidesowej spełnia te zadania.1921r, E.L.Post udowodnił pełnosc rachunku zdan.1928r, K.Gödel udowodnił niesprzecznosc i pełnosc rachunkupredykatów.1936r, A.Church wykazał nierozstrzygalnosc rachunkupredykatów.
MATEMATYKA I
NIEPEŁNOSC TEORII ZAWIERAJACYCH ARYTMETYKE
Program Hilberta
1900r, D.Hilbert na Miedz.Kongr.Matematycznym w Paryzuprzedstawił liste 23 nierozwiazanych zagadnien matematyki.Problem II - udowodnienie niesprzecznosci arytmetyki.1920r - program Hilberta: sformalizowanie całej matematyki iwykazanie jej niesprzecznosci metodami logiki. Czy systemjest pełny i rozstrzygalny?
Kroki realizacji:1920r, D.Hilbert wykazał, ze aksjomatyzacja geometriiEuklidesowej spełnia te zadania.1921r, E.L.Post udowodnił pełnosc rachunku zdan.1928r, K.Gödel udowodnił niesprzecznosc i pełnosc rachunkupredykatów.1936r, A.Church wykazał nierozstrzygalnosc rachunkupredykatów.
MATEMATYKA I
NIEPEŁNOSC TEORII ZAWIERAJACYCH ARYTMETYKE
Program Hilberta
1900r, D.Hilbert na Miedz.Kongr.Matematycznym w Paryzuprzedstawił liste 23 nierozwiazanych zagadnien matematyki.Problem II - udowodnienie niesprzecznosci arytmetyki.1920r - program Hilberta: sformalizowanie całej matematyki iwykazanie jej niesprzecznosci metodami logiki. Czy systemjest pełny i rozstrzygalny?Kroki realizacji:1920r, D.Hilbert wykazał, ze aksjomatyzacja geometriiEuklidesowej spełnia te zadania.
1921r, E.L.Post udowodnił pełnosc rachunku zdan.1928r, K.Gödel udowodnił niesprzecznosc i pełnosc rachunkupredykatów.1936r, A.Church wykazał nierozstrzygalnosc rachunkupredykatów.
MATEMATYKA I
NIEPEŁNOSC TEORII ZAWIERAJACYCH ARYTMETYKE
Program Hilberta
1900r, D.Hilbert na Miedz.Kongr.Matematycznym w Paryzuprzedstawił liste 23 nierozwiazanych zagadnien matematyki.Problem II - udowodnienie niesprzecznosci arytmetyki.1920r - program Hilberta: sformalizowanie całej matematyki iwykazanie jej niesprzecznosci metodami logiki. Czy systemjest pełny i rozstrzygalny?Kroki realizacji:1920r, D.Hilbert wykazał, ze aksjomatyzacja geometriiEuklidesowej spełnia te zadania.1921r, E.L.Post udowodnił pełnosc rachunku zdan.
1928r, K.Gödel udowodnił niesprzecznosc i pełnosc rachunkupredykatów.1936r, A.Church wykazał nierozstrzygalnosc rachunkupredykatów.
MATEMATYKA I
NIEPEŁNOSC TEORII ZAWIERAJACYCH ARYTMETYKE
Program Hilberta
1900r, D.Hilbert na Miedz.Kongr.Matematycznym w Paryzuprzedstawił liste 23 nierozwiazanych zagadnien matematyki.Problem II - udowodnienie niesprzecznosci arytmetyki.1920r - program Hilberta: sformalizowanie całej matematyki iwykazanie jej niesprzecznosci metodami logiki. Czy systemjest pełny i rozstrzygalny?Kroki realizacji:1920r, D.Hilbert wykazał, ze aksjomatyzacja geometriiEuklidesowej spełnia te zadania.1921r, E.L.Post udowodnił pełnosc rachunku zdan.1928r, K.Gödel udowodnił niesprzecznosc i pełnosc rachunkupredykatów.
1936r, A.Church wykazał nierozstrzygalnosc rachunkupredykatów.
MATEMATYKA I
NIEPEŁNOSC TEORII ZAWIERAJACYCH ARYTMETYKE
Program Hilberta
1900r, D.Hilbert na Miedz.Kongr.Matematycznym w Paryzuprzedstawił liste 23 nierozwiazanych zagadnien matematyki.Problem II - udowodnienie niesprzecznosci arytmetyki.1920r - program Hilberta: sformalizowanie całej matematyki iwykazanie jej niesprzecznosci metodami logiki. Czy systemjest pełny i rozstrzygalny?Kroki realizacji:1920r, D.Hilbert wykazał, ze aksjomatyzacja geometriiEuklidesowej spełnia te zadania.1921r, E.L.Post udowodnił pełnosc rachunku zdan.1928r, K.Gödel udowodnił niesprzecznosc i pełnosc rachunkupredykatów.1936r, A.Church wykazał nierozstrzygalnosc rachunkupredykatów.
MATEMATYKA I
NIEPEŁNOSC TEORII ZAWIERAJACYCH ARYTMETYKE
Niewykonalnosc programu HilbertaTwierdzenia Gödla, 1931 r
I Twierdzenie Gödla: o niepełnosci systemów aksjomatycznychDowolny system zawierajacy w sobie aksjomaty arytmetykiliczb naturalnych, jest albo pełny albo niesprzeczny, ale niemoze miec obu tych własnosci jednoczesnie.
Wniosek: Kazda niesprzeczna teoria matematycznazawierajaca arytmetyke l.naturalnych jest niepełna. Zbiór zdanprawdziwych nie jest tozsamy ze zbiorem twierdzen tej teorii:G |= S ; G ` S,
czyli teoria zawiera zdania prawdziwe, ktore nie dadza siewywiesc z jej aksjomatów.
Przykład: pewne r.algebraiczne dane przez wielomian nie marozwiazan wsród l.całkowitych.
MATEMATYKA I
NIEPEŁNOSC TEORII ZAWIERAJACYCH ARYTMETYKE
Niewykonalnosc programu HilbertaTwierdzenia Gödla, 1931 r
I Twierdzenie Gödla: o niepełnosci systemów aksjomatycznych
Dowolny system zawierajacy w sobie aksjomaty arytmetykiliczb naturalnych, jest albo pełny albo niesprzeczny, ale niemoze miec obu tych własnosci jednoczesnie.
Wniosek: Kazda niesprzeczna teoria matematycznazawierajaca arytmetyke l.naturalnych jest niepełna. Zbiór zdanprawdziwych nie jest tozsamy ze zbiorem twierdzen tej teorii:G |= S ; G ` S,
czyli teoria zawiera zdania prawdziwe, ktore nie dadza siewywiesc z jej aksjomatów.
Przykład: pewne r.algebraiczne dane przez wielomian nie marozwiazan wsród l.całkowitych.
MATEMATYKA I
NIEPEŁNOSC TEORII ZAWIERAJACYCH ARYTMETYKE
Niewykonalnosc programu HilbertaTwierdzenia Gödla, 1931 r
I Twierdzenie Gödla: o niepełnosci systemów aksjomatycznychDowolny system zawierajacy w sobie aksjomaty arytmetykiliczb naturalnych, jest albo pełny albo niesprzeczny, ale niemoze miec obu tych własnosci jednoczesnie.
Wniosek: Kazda niesprzeczna teoria matematycznazawierajaca arytmetyke l.naturalnych jest niepełna. Zbiór zdanprawdziwych nie jest tozsamy ze zbiorem twierdzen tej teorii:G |= S ; G ` S,
czyli teoria zawiera zdania prawdziwe, ktore nie dadza siewywiesc z jej aksjomatów.
Przykład: pewne r.algebraiczne dane przez wielomian nie marozwiazan wsród l.całkowitych.
MATEMATYKA I
NIEPEŁNOSC TEORII ZAWIERAJACYCH ARYTMETYKE
Niewykonalnosc programu HilbertaTwierdzenia Gödla, 1931 r
I Twierdzenie Gödla: o niepełnosci systemów aksjomatycznychDowolny system zawierajacy w sobie aksjomaty arytmetykiliczb naturalnych, jest albo pełny albo niesprzeczny, ale niemoze miec obu tych własnosci jednoczesnie.
Wniosek: Kazda niesprzeczna teoria matematycznazawierajaca arytmetyke l.naturalnych jest niepełna.
Zbiór zdanprawdziwych nie jest tozsamy ze zbiorem twierdzen tej teorii:G |= S ; G ` S,
czyli teoria zawiera zdania prawdziwe, ktore nie dadza siewywiesc z jej aksjomatów.
Przykład: pewne r.algebraiczne dane przez wielomian nie marozwiazan wsród l.całkowitych.
MATEMATYKA I
NIEPEŁNOSC TEORII ZAWIERAJACYCH ARYTMETYKE
Niewykonalnosc programu HilbertaTwierdzenia Gödla, 1931 r
I Twierdzenie Gödla: o niepełnosci systemów aksjomatycznychDowolny system zawierajacy w sobie aksjomaty arytmetykiliczb naturalnych, jest albo pełny albo niesprzeczny, ale niemoze miec obu tych własnosci jednoczesnie.
Wniosek: Kazda niesprzeczna teoria matematycznazawierajaca arytmetyke l.naturalnych jest niepełna. Zbiór zdanprawdziwych nie jest tozsamy ze zbiorem twierdzen tej teorii:G |= S ; G ` S,
czyli teoria zawiera zdania prawdziwe, ktore nie dadza siewywiesc z jej aksjomatów.
Przykład: pewne r.algebraiczne dane przez wielomian nie marozwiazan wsród l.całkowitych.
MATEMATYKA I
NIEPEŁNOSC TEORII ZAWIERAJACYCH ARYTMETYKE
Niewykonalnosc programu HilbertaTwierdzenia Gödla, 1931 r
I Twierdzenie Gödla: o niepełnosci systemów aksjomatycznychDowolny system zawierajacy w sobie aksjomaty arytmetykiliczb naturalnych, jest albo pełny albo niesprzeczny, ale niemoze miec obu tych własnosci jednoczesnie.
Wniosek: Kazda niesprzeczna teoria matematycznazawierajaca arytmetyke l.naturalnych jest niepełna. Zbiór zdanprawdziwych nie jest tozsamy ze zbiorem twierdzen tej teorii:G |= S ; G ` S,
czyli teoria zawiera zdania prawdziwe, ktore nie dadza siewywiesc z jej aksjomatów.
Przykład: pewne r.algebraiczne dane przez wielomian nie marozwiazan wsród l.całkowitych.
MATEMATYKA I
NIEPEŁNOSC TEORII ZAWIERAJACYCH ARYTMETYKE
Niewykonalnosc programu HilbertaTwierdzenia Gödla, 1931 r
I Twierdzenie Gödla: o niepełnosci systemów aksjomatycznychDowolny system zawierajacy w sobie aksjomaty arytmetykiliczb naturalnych, jest albo pełny albo niesprzeczny, ale niemoze miec obu tych własnosci jednoczesnie.
Wniosek: Kazda niesprzeczna teoria matematycznazawierajaca arytmetyke l.naturalnych jest niepełna. Zbiór zdanprawdziwych nie jest tozsamy ze zbiorem twierdzen tej teorii:G |= S ; G ` S,
czyli teoria zawiera zdania prawdziwe, ktore nie dadza siewywiesc z jej aksjomatów.
Przykład: pewne r.algebraiczne dane przez wielomian nie marozwiazan wsród l.całkowitych.
MATEMATYKA I
NIEPEŁNOSC TEORII ZAWIERAJACYCH ARYTMETYKE
Niewykonalnosc programu Hilberta cd
Niepełnosc arytmetyki jest zasadnicza, gdyz nie da sie jejusunac przez wprowadzenie dodatkowych aksjomatow.Wszystkie teorie zawierajace arytmetyke sa niepełne:niemozliwe udowodnienie wszystkiego co jest prawda przyuzyciu ustalonego zespołu reguł.
II Twierdzenie Gödla: o niedowodliwosci niesprzecznosciNie mozna udowodnic niesprzecznosci systemówzawierajacych arytmetyke za pomoca srodkow tych systemow.
Nie oznacza to wadliwosci teorii. Twierdzenia, które nie daja siewywiesc na gruncie arytmetyki, mozna udowodnic na gruncieteorii obszerniejszej od tej, która chcemy udowodnic, np.posługujac sie aparatem teorii mnogosci.
MATEMATYKA I
NIEPEŁNOSC TEORII ZAWIERAJACYCH ARYTMETYKE
Niewykonalnosc programu Hilberta cd
Niepełnosc arytmetyki jest zasadnicza, gdyz nie da sie jejusunac przez wprowadzenie dodatkowych aksjomatow.
Wszystkie teorie zawierajace arytmetyke sa niepełne:niemozliwe udowodnienie wszystkiego co jest prawda przyuzyciu ustalonego zespołu reguł.
II Twierdzenie Gödla: o niedowodliwosci niesprzecznosciNie mozna udowodnic niesprzecznosci systemówzawierajacych arytmetyke za pomoca srodkow tych systemow.
Nie oznacza to wadliwosci teorii. Twierdzenia, które nie daja siewywiesc na gruncie arytmetyki, mozna udowodnic na gruncieteorii obszerniejszej od tej, która chcemy udowodnic, np.posługujac sie aparatem teorii mnogosci.
MATEMATYKA I
NIEPEŁNOSC TEORII ZAWIERAJACYCH ARYTMETYKE
Niewykonalnosc programu Hilberta cd
Niepełnosc arytmetyki jest zasadnicza, gdyz nie da sie jejusunac przez wprowadzenie dodatkowych aksjomatow.Wszystkie teorie zawierajace arytmetyke sa niepełne:niemozliwe udowodnienie wszystkiego co jest prawda przyuzyciu ustalonego zespołu reguł.
II Twierdzenie Gödla: o niedowodliwosci niesprzecznosciNie mozna udowodnic niesprzecznosci systemówzawierajacych arytmetyke za pomoca srodkow tych systemow.
Nie oznacza to wadliwosci teorii. Twierdzenia, które nie daja siewywiesc na gruncie arytmetyki, mozna udowodnic na gruncieteorii obszerniejszej od tej, która chcemy udowodnic, np.posługujac sie aparatem teorii mnogosci.
MATEMATYKA I
NIEPEŁNOSC TEORII ZAWIERAJACYCH ARYTMETYKE
Niewykonalnosc programu Hilberta cd
Niepełnosc arytmetyki jest zasadnicza, gdyz nie da sie jejusunac przez wprowadzenie dodatkowych aksjomatow.Wszystkie teorie zawierajace arytmetyke sa niepełne:niemozliwe udowodnienie wszystkiego co jest prawda przyuzyciu ustalonego zespołu reguł.
II Twierdzenie Gödla: o niedowodliwosci niesprzecznosciNie mozna udowodnic niesprzecznosci systemówzawierajacych arytmetyke za pomoca srodkow tych systemow.
Nie oznacza to wadliwosci teorii. Twierdzenia, które nie daja siewywiesc na gruncie arytmetyki, mozna udowodnic na gruncieteorii obszerniejszej od tej, która chcemy udowodnic, np.posługujac sie aparatem teorii mnogosci.
MATEMATYKA I
NIEPEŁNOSC TEORII ZAWIERAJACYCH ARYTMETYKE
Niewykonalnosc programu Hilberta cd
Niepełnosc arytmetyki jest zasadnicza, gdyz nie da sie jejusunac przez wprowadzenie dodatkowych aksjomatow.Wszystkie teorie zawierajace arytmetyke sa niepełne:niemozliwe udowodnienie wszystkiego co jest prawda przyuzyciu ustalonego zespołu reguł.
II Twierdzenie Gödla: o niedowodliwosci niesprzecznosciNie mozna udowodnic niesprzecznosci systemówzawierajacych arytmetyke za pomoca srodkow tych systemow.
Nie oznacza to wadliwosci teorii.
Twierdzenia, które nie daja siewywiesc na gruncie arytmetyki, mozna udowodnic na gruncieteorii obszerniejszej od tej, która chcemy udowodnic, np.posługujac sie aparatem teorii mnogosci.
MATEMATYKA I
NIEPEŁNOSC TEORII ZAWIERAJACYCH ARYTMETYKE
Niewykonalnosc programu Hilberta cd
Niepełnosc arytmetyki jest zasadnicza, gdyz nie da sie jejusunac przez wprowadzenie dodatkowych aksjomatow.Wszystkie teorie zawierajace arytmetyke sa niepełne:niemozliwe udowodnienie wszystkiego co jest prawda przyuzyciu ustalonego zespołu reguł.
II Twierdzenie Gödla: o niedowodliwosci niesprzecznosciNie mozna udowodnic niesprzecznosci systemówzawierajacych arytmetyke za pomoca srodkow tych systemow.
Nie oznacza to wadliwosci teorii. Twierdzenia, które nie daja siewywiesc na gruncie arytmetyki, mozna udowodnic na gruncieteorii obszerniejszej od tej, która chcemy udowodnic, np.posługujac sie aparatem teorii mnogosci.