Embed Size (px)
Citation preview
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK12. SINIF OKULA YARDIMCI
KONU ANLATIMLISORU BANKASI
› Türev Alma Kuralları
› Türevin Uygulamaları
TÜREVMATEMATİK
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK12. SINIF OKULA YARDIMCI
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
ISBN978 – 605 – 2273 – 90 – 6
Genel Yayın KoordinatörüOğuz GÜMÜŞ
EditörlerHazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN
DizgiÇAP Dizgi Birimi
Kapak TasarımÖzgür OFLAZ
2. BaskıEkim 2018
İLETİŞİMÇAP YAYINLARI
Ostim Mah. 1207 Sokak No: 3/C–DOstim / Ankara
Tel: 0312 395 13 36Fax: 0312 394 10 04
[email protected]/capyayinlari
facebook.com/capyayinlari
Bu kitabın her hakkı Çap Yayınları’na aittir. 5846 ve 2936 sayılı Fikir ve
Sanat Eserleri Yasası’na göre Çap Yayınları’nın yazılı izni olmaksızın,
kitabın tamamı veya bir kısmı herhangi bir yöntemle basılamaz, yayınlanamaz,
bilgisayarda depolanamaz, çoğaltılamaz ve dağıtım yapılamaz.
SUNU
Sevgili Öğrenciler,
Gelecekteki hayatınızı şekillendirmek, düşlediğiniz bir yaşamı kur-mak için üniversite sınavını başarıyla atlatmanız gerektiğini biliyorsu-nuz. Bu bilinçle yoğun bir ders çalışma sürecinden geçmektesiniz. Böy-lesine önemli bir sınavı başarıyla atlatmanın en temel şartlarından biri sınavın ruhunu anlamak ve bu çizgide hazırlanmış kitaplardan yeterince faydalanmaktır.
Bizlerde gayretlerinize destek olmak, çalışmalarınızı daha verimli hâle getirmek amacıyla sınav ruhuna uygun elinizdeki fasikülleri hazır-ladık.
Kitaplarımız, Talim Terbiye Kurulu’nun en son yayımladığı öğretim programında yer alan kazanımlar dikkate alınarak hazırlanmıştır. Özgün bir yaklaşım ve titiz bir çalışmanın ürünü olan eserlerimizin ana yapısı şu şekildedir:
Kazanımlara ait bilgiler konu sayfasında verilmiştir. Özet konu an-latımından sonra örnek çözümlerine geçilmiş ve bu bölüm standart so-rular ve çözümleri ile ÖSYM tarzı sorular ve çözümleri olmak üzere iki kısımdan oluşturulmuştur. Buradaki amacımız konu ile ilgili soru çeşitle-rine hâkim olduktan sonra ÖSYM'nin son yıllarda sorduğu ve sınavlarda çıkma olasılığı yüksek soru türlerine yer vermektir. Örnek çözümlerin-den sonra da pekiştirme testleri bulunmaktadır. Bölümün tamamı bitti-ğinde ise tüm ünitenin özetini bulabilirsiniz. Konuyu özetledikten sonra Acemi, Amatör, Uzman ve Profesyonel adı altında dört farklı zorluk dü-zeyinde çoktan seçmeli soruların bulunduğu karma testlere yer verilmiş-tir. Arkasından ÖSYM'den Seçmeler adı altında son yıllarda üniversite giriş sınavlarında sorulmuş seçme sorular yer almaktadır.
Kitabımızdaki testlerin tamamını VİDEO ÇÖZÜMLÜ hazırladık. Yayınevimize ait olan akıllı telefon uygulamasını (çApp) kullanarakvideo çözümlerine ulaşabilirsiniz.
Kitaplarımızın eğitim öğretim faaliyetlerinizde sizlere faydalı olması ümidiyle, hepinize başarılı, sağlıklı ve mutlu bir gelecek dileriz.
ÇAP YAYINLARI
KİTABIMIZI TANIYALIM
KONU
12
56
7
3
4
KARMA TESTLER
ÖSYMʼden SEÇMELER
STANDART SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ
PEKİŞTİRME TESTLERİÜNİTE ÖZETİ
ÖSYM TARZISORULAR VE ÇÖZÜMLERİ
Konuya ilişkin bilgilerin özet halinde verildiği, “Aklında Olsun”,
“Hatırlatma”, “Uyarı” gibi pratik notların da olduğu alan…
İşlenen konuyla ilgili standart soru tiplerinin görülebileceği, çözümlü soruların olduğu alan…
Son yıllarda ÖSYMʼnin
sınavlarında sorduğu soru tarzları; sınavlarda
çıkabilecek seçici ve ayırt edici soruların olduğu alan…
Hem standart hem de ÖSYM tarzı sorulardan oluşan, kendinizi sınamanızı sağlayan, konuyu iyice
kavramanıza yardımcı özgün soruların olduğu alan…
Konunun tamamının özelliklerini, formüllerini
özet halinde bir arada bulabileceğiniz alan…
Dört ayrı zorluk düzeyine göre düzenlenmiş, “Acemi, Amatör,
Uzman ve Profesyonel” seviyelerinde tüm ünite ile ilgili karma, özgün
soruların olduğu alan…
ÖSYM çıkmış sınav sorularından seçilen ve işlenen konularla
paralel, yıl sıralamasına göre oluşturulan alan…
İÇİNDEKİLERTÜREVDeğişim Oranı – Türev ..........................................................................................................................................................6Standart Sorular ve Çözümleri ................................................................................................................................................7Türevin Gösterimleri ................................................................................................................................................................8Standart Sorular ve Çözümleri ................................................................................................................................................9Konu Pekiştirme 1 .................................................................................................................................................................10
Türev Alma Kuralları ...........................................................................................................................................................12Standart Sorular ve Çözümleri ..............................................................................................................................................13ÖSYM Tarzı Soru ve Çözümleri ............................................................................................................................................15Konu Pekiştirme 2, 3 .............................................................................................................................................................16
Bileşke Fonksiyon Türevi ve Zincir Kuralı ........................................................................................................................20Standart Sorular ve Çözümleri ..............................................................................................................................................21ÖSYM Tarzı Soru ve Çözümleri ............................................................................................................................................23Konu Pekiştirme 4, 5, 6 .........................................................................................................................................................24
Parçalı Tan. Fonk. ve Mutlak Değ. Fonksiyonun Türevi ..................................................................................................30Standart Sorular ve Çözümleri ..............................................................................................................................................32ÖSYM Tarzı Soru ve Çözümleri ............................................................................................................................................33Konu Pekiştirme 7, 8 .............................................................................................................................................................35
Türevin Fiziksel Yorumu .....................................................................................................................................................39Standart Sorular ve Çözümleri ..............................................................................................................................................40Konu Pekiştirme 9 .................................................................................................................................................................41
Teğet Denklemleri ................................................................................................................................................................42Standart Sorular ve Çözümleri ..............................................................................................................................................43ÖSYM Tarzı Soru ve Çözümleri ............................................................................................................................................45Konu Pekiştirme 10, 11 .........................................................................................................................................................46
Bir Fonksiyonun Artan - Azalan Olduğu Aralıklar ............................................................................................................50Standart Sorular ve Çözümleri ..............................................................................................................................................51ÖSYM Tarzı Soru ve Çözümleri ............................................................................................................................................53Konu Pekiştirme 12 ...............................................................................................................................................................54
Ekstremum Noktalar ............................................................................................................................................................56Standart Sorular ve Çözümleri ..............................................................................................................................................58ÖSYM Tarzı Soru ve Çözümleri ............................................................................................................................................60Konu Pekiştirme 13, 14, 15 ...................................................................................................................................................61
İçbükeylik ve Dışbükeylik. Dönüm Noktası .......................................................................................................................67Standart Sorular ve Çözümleri ..............................................................................................................................................68ÖSYM Tarzı Soru ve Çözümleri ............................................................................................................................................70Konu Pekiştirme 16, 17 .........................................................................................................................................................73
Polinom Fonksiyonlarının Grafikleri ..................................................................................................................................77Standart Sorular ve Çözümleri ..............................................................................................................................................80Konu Pekiştirme 18, 19 .........................................................................................................................................................83
Maksimum ve Minimum Problemleri .................................................................................................................................87Standart Sorular ve Çözümleri ..............................................................................................................................................92ÖSYM Tarzı Soru ve Çözümleri ............................................................................................................................................96Konu Pekiştirme 20, 21, 22 ...................................................................................................................................................98Ünite Özeti ...........................................................................................................................................................................104Acemi Testleri 1, 2, 3 ...........................................................................................................................................................106Amatör Testleri 1, 2, 3, 4, 5, 6 .............................................................................................................................................112Uzman Testleri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .................................................................................................................................124Profesyonel Testleri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ..............................................................................................................................142ÖSYM'den Seçmeler ...........................................................................................................................................................158
TÜREV KONUSUNUNÖSYM SINAVLARINDAKİ SORU DAĞILIMI
Değerli hocalarımız;
Haldun ÖZNAR, Tevfik GÖRGÜN, Halil KIRKDEVELİ, Gökhan ÖNDER, Halil TOKGÖZ ve Fırat ERDOĞAN'a katkılarından dolayı teşekkür ederiz.
2010LYS
2011LYS
2012LYS
2013LYS
2014LYS
2015LYS
2016LYS
2017LYS
2018AYT
4 1 2 1 2 2 3 1 3
MATEMATİK
6
TÜREVKONU
Değişim Oranı
Herhangi bir y = f(x) fonksiyonu için ( ) ( )b a
f b f a-- ifadesine f fonksiyonunun [a, b]
aralığındaki değişim oranı denir.
xb
f(b)
f(a)
a0
y
y = f(x)
Türev
Bir fonksiyonun anlık değişim oranına türev denir.
y = f(x) fonksiyonunun x = x0 noktasındaki anlık değişim oranı,( ) ( )
lim x xf x f x
x x 0
0
0--
"
ile gösterilir.
Bu ifadeye f(x) fonksiyonunun x = x0 noktasındaki türevi denir (eğer varsa) ve fı(x0) ile gösterilir.
Bu değer f(x) fonksiyonuna x = x0 noktasında çizilen teğetin eğimidir.
fı(x0) = ( ) ( )
lim x xf x f x
x x 0
0
0--
"
= mteğet
x
f(x0)
f(x)
yy = f(x)
f(x) – f(x0)
x – x0
a
x0O x
Standart Sorular ve Çözümleri
7
" TÜREV"
10.1
f(x) = 3x + 4
fonksiyonunun [–2, 4] aralığındaki değişim oranı kaçtır?
A) –2 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3
f(x) in [a, b] aralığındaki değişim oranı ( ) ( )b a
f b f a--
olduğundan,
( )( ) ( ) . ( . ( ) )
.
f f
t r
4 24 2
4 23 4 4 3 2 4
616 2
3 ü
- -- -
= ++ - - +
= +
=
Yanıt E
10.2
f(x) = 3x + 4
fonksiyonunun x = 4 için anlık değişim oranı kaç-tır?
A) 3 B) 2 C) 1 D) –1 E) –2
y = f(x) fonksiyonunun x = x0 daki anlık değişim oranı,
( ) ( )lim x x
f x f xx x 0
0
0--
"
olduğundan
( ) ( ) ( . )
( )
.
lim lim
lim
lim
xf x f
xx
xx
xx
olur
44
43 4 3 4 4
43 12
43 4
3
x x
x
x
4 4
4
4
--
= -+ - +
= --
= --
=
" "
"
"
Yanıt A
10.3
f(x) = x2 – x – 2
fonksiyonunun x = 1 deki türevi kaçtır?
A) 3 B) 2 C) 1 D) –1 E) –2
f(x) fonksiyonunun x = x0 daki anlık değişim oranına, fonksiyonun x = x0 daki türevi denir.
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
.
lim
lim
lim
lim
lim
f x x xf x f x
f xf x f
xx x
xx x
xx x
olur
1 11
12 1 1 2
1
11
1
x x
x
x
x
x
0 0
0
1
1
2
1
2
1
0
= --
= --
= -- - - - -
= --
= --
=
"
"
"
"
"
y
y
Yanıt C
10.4
f(x) = x2 – 9
fonksiyonunun x = –1 apsisli noktasındaki teğeti-nin eğimi kaçtır?
A) 2 B) 1 C) 0 D) –1 E) –2
f(x) fonksiyonunun x = x0 daki teğetinin eğimi, bu noktadaki türevidir.
( ) ( )( ) ( )
(( ) )
( ) ( )
( )
.
lim
lim
lim
lim
lim
f xf x f
xx
xx
xx x
x
dir
1 11
19 1 9
19 8
11 1
1
1 1
2
x
x
x
x
x
1
1
2 2
1
2
1
1
- =- -
- -
=+
- - - -
=+
- +
=+
- +
= -
=- -
= -
"
"
"
"
"
y
-
-
-
-
-
Yanıt E
MATEMATİK
12
Türev Alma KurallarıKONU
Sabit Fonksiyonun Türevi
c!R olmak üzere,
f(x) = c ise fı(x) = 0 dır.
Yani sabit fonksiyonun türevi sıfırdır.
Kuvvet Fonksiyonunun Türevi
n!R olmak üzere,
f(x) = xn ise fı(x) = n.xn – 1 dir.
Yani, kuvvet fonksiyonunun türevi alınırken, kuvvet başa çarpan olarak atılır ve kuvvet 1 azaltılır.
İki Fonksiyonun Toplamının ve Farkının Türevi
[f(x) " g(x)]ı = fı(x) " gı(x)
Toplam veya fark şeklindeki fonksiyonlarda her terimin ayrı ayrı türevi alınır ve sonuçlar toplanır veya çıkartılır.
Çarpımın Türevi
[f(x).g(x)]ı = fı(x).g(x) + f(x).gı(x)
Çarpım durumundaki iki fonksiyonun türevi alınırken
(Birincinin türevi).(İkinci) + (Birinci).(İkincinin türevi) kuralı uygulanır.
Bölümün Türevi
( )( )
( )( ) . ( ) ( ) . ( )
g xf x
g xf x g x f x g x
2=-y y y
< F
Bölüm durumundaki iki fonksiyonun türevi alınırken
( ) . ( ) ( ) . ( )ikincinin karesi
birincinin t revi ikinci birinci ikincinin t reviü ü-
kuralı uygulanır.
(c.xn)ı = c.n.xn – 1
[c.f(x)]ı = c.fı(x)
AKLINDA OLSUN
[a.f(x) " b.g(x)]ı
= a.fı(x) " b.gı(x)
UYARI
fı fonksiyonu x noktasında türevlenebiliyorsa;fı fonksiyonunun türevine,f fonksiyonunun ikinci mertebeden türevi denir
ve fıı(x) ya da ( )
dxd f x
2
2 ile
gösterilir.
UYARI
Standart Sorular ve Çözümleri
"Türev"
13
10.1
Aşağıda verilen ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) f(x) = §2 ise fı(x) = 0 dır.
B) y = x ise yı(x) = 1 dir.
C) f(x) = x5 ise ( ).dx
df xx t r5 ü4=
D) .
.y x ise dxdy
xtir
3133= =
E) f(x) = x–5 ise dxd f x
x5
6=-] g dır.
A) Sabit fonksiyonun türevi sıfır olduğundan doğru-dur.
B) Kuvveti başa atıp 1 azaltırsak
y = x1 & yı = 1.x1-1 = x0 = 1 olur. Doğrudur.
C) f(x) = x5 ise
( ).dx
df xx x5 55 1 4= =-
olduğundan doğrudur.
D)
. .
.
.
y x x ise
y x x
x
x
31
31
31
31
3 31
31 1 3
2
32
23
= =
= =
=
=
y - -
olduğundan yanlıştır.
E) f(x) = x–5 ise ( ) ..
f x xx
x
555
5 1
6
6
=-
=-
=-
y - -
-
olduğundan doğrudur.
Yanıt D
10.2
f(x) = 3x2 – 5x + 4
olduğuna göre, fı(2) kaçtır?A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
f(x) = 3x2 – 5x + 4 isefı(x) = 3.2.x2 – 1 – 5.1.x1 – 1 + 0fı(x) = 6x – 5 olur.fı(2) = 6.2 – 5 = 7 dir.
Yanıt A
10.3
f(x) = 3x4 – 2x3 + 6x fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, fıı(–1) ifadesinin değeri kaçtır?
A) –14 B) 2 C) 32 D) 48 E) 52
Fonksiyonun art arda iki kez türevi alınarak x yerine –1 yazılır.f(x) = 3x4 – 2x3 + 6xfı(x) = 12x3 – 6x2 + 6fıı(x) = 36x2 – 12xfıı(–1) = 36.(–1)2 – 12.(–1) = 36 + 12 = 48 olur.
Yanıt D
10.4
( )f x xx x
5 43 2 12
= -- +
olduğuna göre, ( )dx
df xx 1=
kaçtır?
A) –8 B) –6 C) –4 D) –2 E) 0
Bölümün türevinden,
( )( )
( ) . ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) . ( ) ( ) ..
f xx
x x x x x x
f xx
x x x xolur
5 43 2 1 5 4 3 2 1 5 4
5 46 2 5 4 3 2 1 5
2
2 2
2
2
=-
- + - - - + -
=-
- - - - +
yy y
y
( )( )
( ) . ( ) ( ) .
.
f
bulunur
15 4
6 2 5 4 3 2 1 5
6
2=-
- - - - +
=-
y
Yanıt B
ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri
"Türev"
15
9
f(x) = 3 – 2x + 4x2 fonksiyonu veriliyor.( ) ( )
lim xf x f
11
x 1 --
"
limitinin değeri kaçtır?
A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8
( )( ) ( )
limf x x xf x f x
x x0 0
0
0
= --
"
y
olduğundan verilen limit ifadesi f(x) in x = 1 deki türevidir. Limit işlemleri yapmak yerine fı(1) bulunur.f(x) = 3 – 2x + 4x2 isefı(x) = –2 + 8x tir.fı(1) = –2 + 8.1
= 6 bulunur.Yanıt D
10
P(x) polinom fonksiyonunun türevi Pı(x) tir.
Pı(x) – P(x) = x2 – 5x + 4
olduğuna göre, P(x) in x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 2 B) 1 C) 0 D) –1 E) –2
Türev işlemi, polinom türü fonksiyonların derecesini 1 azalttığından P(x), ikinci dereceden bir polinom-dur.P(x) = ax2 + bx + c olsunPı(x) = 2ax + b olur.Pı(x) – P(x) = 2ax + b – (ax2 + bx + c)x2 –5x + 4 = –ax2 + (2a – b)x + b – cPolinomların eşitliğinden1 = –a & a = – 1 dir.–5 = 2a – b & –5 = –2 – b & b = 3 tür.4 = b – c & 4 = 3 – c & c = –1 dir.P(x) = –x2 + 3x – 1 polinomunun x – 2 ile bölümün-den kalan P(2) dir.P(2) = –22 + 3.2 – 1 = 1 bulunur.
Yanıt B
11
2f(3) = 3fı(3) = 6
4g(3) = 5gı(3) = 20olduğuna göre, ( )g
f 3y
c m ifadesinin değeri kaçtır?
A) –1 B) 52- C) 5
1- D) 252- E) 25
1-
2f(3) = 6 ise f(3) = 3,
3fı(3) = 6 ise fı(3) = 2,
4g(3) = 20 ise g(3) = 5 ve
5gı(3) = 20 ise gı(3) = 4 tür.
( ) . . ( )
( )( ) . ( ) ( ) . ( )
. .
.
gf
gf g f g
gf g f g
olur
3 3
33 3 3 3
52 5 3 4
252
2
2
2
=-
=-
= -
=-
y y y
y y
c fm p
Yanıt D
12
f(x) = (x – 2)(x – 1)(x)(x + 1)(x + 2) ... (x + 50)
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, fı(2) kaçtır?
A) 49! B) 50! C) 51! D) 52! E) 53!
(x – 2) yi birinci çarpan, geriye kalan kısmı da ikinci çarpan olarak düşünürsek;
fı(x) = (x – 2)ı.[...] + (x – 2).[....]ı
fı(x) = 1[...] + (x – 2).[....]ı
eşitliğinde x yerine 2 yazılırsa ikinci bölümün sonucu sıfır olur. Yani f(x) in türevi,
fı(x) = (x – 1)(x)(x + 1)(x + 2) ... (x + 50) ifadesinden ibaretmiş gibi düşünülebilir.
fı(2) = 1.2.3.4. ... .52
= 52! olur.Yanıt D
MATEMATİK
16
Konu Pekiştirme Testi - 2
1. y = x10
olduğuna göre, dxdy aşağıdakilerden hangisi-
dir?
A) 10x B) 10x9 C) x9 D) 10x10 E) 9x10
2. ( )f x 533
=-
olduğuna göre, ( )dx
df x ifadesinin eşiti aşağıda-kilerden hangisidir?
A) 31- B) 5
33- C) 0
D) 31 E) 5
33
3. y = x–100
olduğuna göre, fı(–1) kaçtır?
A) 100 B) 50 C) 0 D) –50 E) –100
4. ( )g a a 23=
olduğuna göre, gı(a) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) a
13 B)
a2
23 C) . a323
D) . a3
223 E)
.a a32
5. mn
43= -
olduğuna göre, dndm ifadesinin eşiti aşağıdaki-
lerden hangisidir?
A) n124
- B) n
44
- C) n
33
-
D) n12
4 E) n4
4
6. a b 43
=-
olduğuna göre, dbda
b 1= ifadesinin değeri kaç-
tır?
A) 43- B) –1 C) 1 D) 2
3 E) 43
7. yxx3
=
olduğuna göre, yı aşağıdakilerden hangisidir?
A) . x616- B)
.x x616- C)
.x x16-
D) .x x16 E)
. x616
8. ( )f x x x=
olduğuna göre, fı(x) aşağıdakilerden hangisi-dir?
A) x2
3 B) x2
34 C)
x434
D) x3
24- E)
. x43
4-
"Türev"
49
7.
0x
T(2,5)
yy = f(x)
y = 2x+k
Şekilde f(x) fonksiyonunun üzerindeki T(2,5) nokta-sından çizilen teğetin denklemi y = 2x + k dır. g(x) = f2(x) + x + 1 olduğuna göre, gı(2) değeri kaçtır?
A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24
8.
x20
–4
A(x,y)
y
y = mx2
Şekilde y = mx2 parabolü ile d doğrusu A(x,y) nok-tasında teğettir. d doğrusu x eksenini 2 de, y ekse-nini –4 te kesmektedir.Buna göre, A noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
9.
0 x3
A6
–3
y
y = f(x)
Şekildeki f(x) fonksiyonunun üzerindeki (3,6) nok-tasından çizilen teğet x eksenini –3 te kesmektedir.
h(x) = ( )f xx
242
-
+ olduğuna göre, hı(3) değeri kaçtır?
A) – 165 B) – 16
1 C) 161 D) 16
11 E) 1637
10.
x10
–2
A
yy = f(x) = x2 – 2x + m
f(x) fonksiyonunun üzerindeki A noktasından çizilen teğet x eksenini 1 de, y eksenini –2 de kesmektedir.Yukarıda verilenlere göre, m değeri kaçtır?A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
11.
0
a
x1
–1
y
g(x)
Şekilde g(x) in grafiği ve x = 1 noktasındaki teğeti verilmiştir.
f(x) = x x2
2+c m.g(x) ve fı(1) = –7 olduğuna göre,
a kaçtır?
A) 1328- B) –2 C) –3 D) –4 E) –5
12.
0 x2 6
P4
y
y = f(x)
Şekilde y = f(x) eğrisinin P(2,4) noktasındaki teğeti verilmiştir.g(x) = 4x.f(x) ise, g(x) eğrisinin x = 2 noktasındaki teğetinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?A) y = 24x – 24 B) y = 24x + 16 C) y = 24x – 16
D) y = 2x – 8 E) y = 8x + 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A B A C A D B C D B A E
ÜNİTE ÖZETİ
MATEMATİK
104
TÜREV
f: A " R fonksiyonu için lim x af x f a
x a --
"
] ]g g limitine veya x yerine a + h yazılarak elde edilen lim hf a h f a
h 0
+ -"
] ]g g limi-
tine f nin a noktasındaki türevi denir.
y = f(x) ise f fonksiyonunun bir x noktasındaki türevi fı(x), ,dxdy
yy sembolleri ile gösterilir.
i. f fonksiyonu x = a da sürekli değilse türevli de değildir.
ii. f fonksiyonu x = a da sürekli olduğu halde türevli olmayabilir.
Türev Alma Kuralları
1. Sabit fonksiyonun türevi sıfırdır.
f(x) = c ise fı(x) = 0 dır. (c ! R)
2. f(x) = xn ise fı(x) = n.xn–1
3. (f"g)ı(x) = fı(x) " gı(x)
4. (f.g)ı(x) = (fı.g + gı.f)(x)
5. . .gf x
gf g g f x2=
-y y y
c ] ]m g g> H
6. Bileşke Fonksiyonun Türevi
[(fog)(x)]ı = fı(g(x)).gı(x)
[(fogoh)(x)]ı = fı((goh)(x)).gı(h(x)).hı(x)
Parçalı Fonksiyonların Türevi
h(x) ve g(x) türevlenebilir fonksiyonlar olsun.
f(x) = ,,
g x x ah x x a<
$
]
]
g
g) ise fı(x) = ,
,g x x ah x x a
>
<
y
y ]
]
g
g*
Eğer x = a için g(a) = h(a) oluyorsa, yani
f(x), x = a da sürekli ise sağdan soldan türeve bakılır.
f(x) = g x] g fonksiyonu için (g(x) polinom ise)
i. g(x) = 0 denkleminin kökü olan x = a, 1. dereceden kök ise a noktasında türev yoktur.
ii. g(x) = 0 denkleminin kökü olan x = a iki ve daha büyük dereceden katlı kök ise a noktasında türev var ve sıfırdır.
ACEMİ
TEST
1
MATEMATİK
106
1. Aşağıdaki y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
y = f(x)
320–1–5
–2
y
x
Buna göre, fonksiyonun aşağıdaki noktalardan hangisinde türevi yoktur?
A) –5 B) –1 C) 0 D) 2 E) 3
2. f xx1 1
1=+
] g
olduğuna göre, fı(1) değeri kaçtır?
A) 41 B) 2
1 C) 1 D) 2 E) 4
3. f xx x
x3 10
2 12
3=
+ --
] g
fonksiyonunun türevli olduğu aralık aşağıdaki-lerden hangisidir?
A) R B) (–5, 2) C) R – {–5}
D) R – {–5, 2} E) {–2, 5}
4. f(x) = xx
21
3
2
-+
olduğuna göre, fı(1) değeri kaçtır?
A) –8 B) –6 C) –1 D) 3 E) 8
5. f(x) = 3x – x2
fonksiyonu için f(0) + fı(0) kaçtır?
A) –2 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3
6. f(x) = 4x – x3
fonksiyonu için lim hf h f1 1
h 0
+ -"
] ]g g değeri kaç-tır?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
7.
x0-1
y = f(x)
2 3
y Şekilde y = f(x) fonksiyonunun gra-fiği verilmiştir.
Buna göre lim xf x f
33
x 3 --
"
] ]g g değeri kaçtır?
A) 41 B) 2
1 C) 1 D) 2 E) 4
8. f(x) = 2x3 + 18x2 + 54x – 5 olmak üzere,
lim hf x h f x
h 0
+ -"
] ]g g
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 6x2 + 36x + 27 B) 6x2 + 36x + 49
C) 6(x + 3)2 D) 9(x + 3)2
E) 6(x + 2)2
AMATÖR
TEST
MATEMATİK
112
11. f(x) = x2 – 3x + 4
g(x) = –x2 + x – 7
eğrilerine üzerlerinde bulunan x = a apsisli nok-tadan çizilen teğetler birbirine paralel ise a kaç-tır?
A) –3 B) –2 C) –1 D) 1 E) 2
2. f(x) = (x – 3)(x + 1)(x + 2)
fonksiyonu için, fı(–1) kaçtır?
A) 0 B) –1 C) –2 D) –3 E) –4
3. f(x) = x x1 2 3+ -
fonksiyonunun x = –1 deki türevi kaçtır?
A) –5 B) –3 C) –1 D) 2 E) 4
4. f(x) = dxd x x x4
1 4 54 3+ + -b l
şeklinde tanımlanan y = f(x) fonksiyonu için, fı(1) kaçtır?
A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8
5. f(x) = ax3 + 3x – b
fonksiyonunun minimum noktası A(–1, 3) oldu-ğuna göre, 2a – b kaçtır?
A) –6 B) –5 C) –1 D) 3 E) 7
6. x –∞ a b c ∞
fı + + – +
Yukarıda türevinin işaret tablosu verilen f fonk-siyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) x = c de f(x) in yerel minimum değeri vardır.
B) x = b de f(x) in yerel maksimum değeri vardır.
C) [b, c] aralığında f azalandır.
D) Fonksiyonun x = b de mutlak maksimum değeri vardır.
E) b < x1 < x2 < c olmak üzere, f(x1) > f(x2) dir.
7. f(x) = x x3
fonksiyonu için, fı(1) değeri kaçtır?
A) 41 B) 2
1 C) 1 D) 2 E) 4
8. f(x) ikinci dereceden bir polinom fonksiyonudur.
f(x) – fı(x) = 3x2 + 5x + 4
olduğuna göre, f(1) kaçtır?
A) 29 B) 15 C) 14 D) 13 E) 12
UZMAN
TEST
1
MATEMATİK
124
1. f(x) = 4x3 – 6x2 – 24x + 2
eğrisinin x eksenine paralel teğetlerinin apsis-lerinin toplamı kaçtır?
A) –3 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3
2. f: R " R, f(x) = 2x3 + 3x – 5 fonksiyonu için,
I. f daima artandır.
II. Tanım kümesi gerçek sayılardır.
III. Ekstremum değeri yoktur.
IV. fı(1) = 0
V. Tek reel kökü vardır.
ifadelerinden kaç tanesi doğrudur?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
3. C B
AO
Şekildeki O merkezli 2 cm yarıçaplı çeyrek çem-ber içine yerleştirilen OABC dikdörtgenin alanı-nın en büyük değeri kaç cm2'dir?
A) §2 B) 2§2 C) 2 D) 4 E) 8
4. Aşağıdaki fonksiyonların dört tanesinin türevinin grafiği verilmiştir.
I. y = 23 II. y = 1 – x
III. y = x2 IV. y = 21 x3
V. x x x3 3 43
2- - +
y
x0
y
x0
y
x0
–1
y
x0
Buna göre, hangi fonksiyonun türevinin grafiği verilmemiştir?
A) I B) II C) III D) IV E) V
5. f xx
x12=
+] g
fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını bir-leştiren doğru parçasının orta noktası aşağıda-kilerden hangisidir?
A) ,21
21-b l B) (–1, 1) C) (0, 0)
D) ,1 21-b l E) ,1 2
1-b l
6. I. f(x) = x1
II. f(x) = 5 + 2x
III. f(x) = x2 + 2x + 5
IV. f(x) = x3 + 5
Yukarıda verilen fonksiyonlardan kaç tanesi tanımlı olduğu aralıkta daima artan fonksiyon-dur?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
PROFESYONEL
TEST
MATEMATİK
142
11. f(x) = m x mx m x3
1 2 53 2+- + - +
]]
gg
fonksiyonunun daima azalan olması için m hangi aralıkta olmalıdır?
A) (–∞, 2] B) [2, ∞) C) [–2, 2]
D) [–2, ∞) E) (–∞, –2]
2. f(x) = (x2 – 4)2 · (x – 1)
fonksiyonun grafiği ile ilgili
∑ 4 tane ekstremum noktası vardır.
∑ (2, ∞) aralığında artandır.
∑ f''(–3) · f'(–3) · f(–3) > 0 dır.
∑ 2 noktada x eksenine teğettir.
∑ (–2, 1) aralığında negatif değerli ve azalandır.
∑ Mutlak maksimum değeri vardır.
ifadelerinden kaç tanesi kesinlikle doğrudur?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
3. Taban yarıçapı 6 cm, yüksekliği 8 cm olan dik koninin içine yerleştirilen en büyük hacimli dik silindirin yüksekliği kaç cm dir?
A) 34 3 B) 3
5 3 C) 2
D) 3 E) 38
4. f(x) = x3 + ax2 + bx + c fonksiyonu veriliyor.
Buna göre aşağıdakilerden hangisinin kesinlik-le doğru olduğu söylenemez?
A) f(x), x eksenini en az bir noktada keser.
B) f(x), y = –x3 eğrisini en az bir noktadan keser.
C) f(x), y = x2 parabolünü en az bir noktadan keser.
D) f(x), y = x doğrusunu en az bir noktadan keser.
E) f(x), y eksenini en az bir noktada keser.
5.
x2
yf(x) = (2 – x)(x2 + ax + b)
Şekilde grafiği verilen fonksiyona göre, a için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) a < 0 B) a > 0 C) 0 < a < 8 D) –8 < a < 0 E) a > 8
6. D H C
G
BFA
E
ABCD ve EFGH birer karedir.
lABl = 6 birim olduğuna göre, EFGH karesinin alanı en az kaç birimkare olur?
A) 9 B) 12 C) 18 D) 24§2 E) 9§2
7.
x
A y = f(x)
0
y
A(a, b) olmak üzere, f(x) fonksiyonuna A noktasın-dan çizilen teğet orijinden geçmektedir.
f xf xy
]
]
g
g = 3x – 4 olduğuna göre, a kaçtır?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
ÖSYM’den SEÇMELER
158
MATEMATİK
1. Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f fonksiyo-nunun türevi olan f' fonksiyonunun grafiği aşağı-daki dik koordinat düzleminde verilmiştir.
O
1
1
2
2
y = f'(x)
y
x
Buna göre; f(0) , f(1) ve f(2) değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) f(0) < f(1) < f(2) B) f(0) < f(2) < f(1) C) f(1) < f(2) < f(0) D) f(2) < f(0) < f(1)
E) f(2) < f(1) < f(0)
2018 / AYT
2. a, b ve c gerçel sayılar olmak üzere,
y x aa
=+
eğrisine P(a, b) noktasında teğet olan doğrunun denklemi
y x c8=-
+
biçiminde veriliyor.
Buna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
A) 47 B) 4
11 C) 413 D) 2 E) 3
2018 / AYT
3. Bir internet şirketi en fazla 1000 müşteriye hizmet verebilmekte ve aylık internet ücretini 40 TL ola-rak belirlediğinde bu sayıya ulaşabilmektedir. Bu şirket aylık internet ücretinde yaptığı her 5 TL’lik artış sonrasında müşteri sayısında 50 azalma olduğunu gözlemlemiştir.
Bu şirket, aylık internet ücretinden elde ede-ceği toplam gelirin en fazla olması için aylık internet ücretini kaç TL olarak belirlemelidir?
A) 55 B) 60 C) 65 D) 70 E) 75
2018 / AYT
4. Bir ayrıtı x birim uzunluğunda olan küp şeklindeki bir kristalin üretim maliyeti hacim üzerinden birim-küp başına 5 TL, satış fiyatı ise yüzey alanı üze-rinden birimkare başına 20 TL olarak hesaplan-maktadır.Buna göre, x kaç birim olursa bu kristalin satışından elde edilen kâr en fazla olur?A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24
2017 LYS
5. Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir fonksiyonun türevi fı ile gösterilmek üzere, fı fonksiyonunun grafiği şekildeki parabol eğrisidir.
x
y
O–a a
ƒ
Buna göre, f fonksiyonuyla ilgili olarak,I. f(0) < 0II. (–a, a) aralığında azalandır.III. f(a) bir yerel minimum değeridir.
ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
A) Yalnız II B) Yalnız III C) I ve IID) II ve III E) I, II ve III
2016 / LYS
6. Dik koordinat düzleminde, iki köşesi x-ekseni üzerinde diğer iki köşesi de y = 27 – x2 parabolü üzerinde bulunan ve bu parabol ile x-ekseni ara-sında kalan dikdörtgenler çiziliyor.Buna göre, en büyük alana sahip dikdörtge-nin çevresi kaç birimdir?A) 40 B) 42 C) 44 D) 46 E) 48
2016 / LYS
7. a ve b gerçel sayılar olmak üzere, dik koordinat düzleminde
y = ax2 + bxparabolü üzerinde bulunan (1, 2) noktasındaki teğet doğrusu y-eksenini (0, 1) noktasında kes-mektedir.Buna göre, a · b çarpımı kaçtır?A) –3 B) –2 C) –1 D) 2 E) 4
2016 / LYS
