Matematisk Formelsamling

Formelsamling Matematik

Udarbejdet af Nels Henningsen

Teknisk Gymnasium Viborg

Indholdsfortegnelse Tal ................................................................................................................................................3 Mængder ......................................................................................................................................3 Ligninger og uligheder.................................................................................................................4 Rødder og potenser ......................................................................................................................5 Geometri.......................................................................................................................................5 Firkanter .......................................................................................................................................6 Analytisk geometri.....................................................................................................................10 Ortogonale linjer ........................................................................................................................10 Trigonometri ..............................................................................................................................10 Funktioner ..................................................................................................................................12 Vigtige funktioner ......................................................................................................................12 Trigonometriske funktioner .......................................................................................................13 Polynomier .................................................................................................................................14 Eksponentialfunktioner ..............................................................................................................14 Funktionspapirer ........................................................................................................................15 Grænseværdi og kontinuitet .......................................................................................................15 Differentialkvotient....................................................................................................................16 Asymptote ..................................................................................................................................17 Monotoniforhold ........................................................................................................................18 Differentialkvotienter.................................................................................................................20 Stamfunktioner...........................................................................................................................20 Areal og bestemt integral ...........................................................................................................21 Vektorer i planet.........................................................................................................................23 Differentialligninger...................................................................................................................25 Parameterkurver .........................................................................................................................25 Vektorfunktion...........................................................................................................................26 Vektorer i rummet......................................................................................................................26 Stikordsregister ..........................................................................................................................30

Teknisk Gymnasium Viborg

AB A

BA\B B\A

Tal Regningsarternes hierarki

• Potensopløftning og roduddragning • Multiplikation og division • Addition og subtraktion

Brøker

Regel Symbolsk skri-vemåde

Et tal og en brøk ganges med hinanden ved at gange tælleren med tallet. c

b·acb·a =

To brøker ganges med hin-anden ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner.

d·bc·a

dc·

ba

=

En brøk divideres med et tal ved at gange nævneren med tallet. c·b

ac:ba

=

Man dividerer et tal eller en brøk med en brøk ved at gange tallet/brøken med den omvendte brøk. c·b

d·adc:

ba

bc·a

cb:a

=

=

Kvadratsætningerne ( ) ab2baba 222 ++=+

( ) ab2baba 222 −+=− Kvadratet på en toleddet størrelse er kvadratet på første led plus kvadratet på andet led plus/minus det dobbelte produkt. ( )( ) 22 bababa −=−+

To tals sum gange de samme to tals differens er kvadratet på første led minus kvadratet på andet led.

Mængder Fællesmængden for to mængder A og B består al de elementer, der ligger i både A og B.

BA ∩

Foreningsmængden for to mængder A og B består al de elementer, der ligger i A el-ler i B eller i dem begge.

BA ∪

Differensmængden A\B for to mængder A og B består al de elementer, der ligger i A, men ikke i B.

Komplementærmængden A til mængden A består af de elementer i grundmængden, der ikke ligger i A. To mængder A og B kaldes disjunkte, hvis de ikke har elementer fælles, dvs. hvis deres fæl-lesmængde er tom: ∅=∩ BA . A kaldes en delmængde af B, hvis hvert ele-ment i A også ligger i B. Man skriver . BA ⊆ A kaldes en ægte delmængde af B, hvis der desuden findes elementer i B, der ikke ligger i A. Man skriver . BA ⊂

Talmængder N = Z+ = {1,2,3,... } : de naturlige tal Z = ,......}2,2,1,1,0{ −− : de hele tal Z+ = N = {1,2,3...} : de positive hele tal Z- = ......}3,2,1{ −−− : de negative hele tal Q : rationale tal (brøker) Q+ : de positive rationale tal Q- : de negative rationale tal R : de reelle tal (alle tal) R+ : de positive reelle tal R- : de negative reelle tal R\Q : de irrationale tal

AB A

A ∩ B BA ∪ B

Teknisk Gymnasium Viborg Side 3 af 32

Decimalbrøker Periodiske decimalbrøker svarer til rationale tal. Ikke periodiske decimalbrøker svarer til irra-tionale tal.

Intervaller Intervaller Begrænsede Ubegrænsede

Åbne ]a;b[ ] [b;∞−

] [∞;aR

Lukkede [a;b] ] ]b;∞−

[ [∞;aR

Halvåbne [a;b[ ]a;b]

Ligninger og uligheder

Udsagn og åbne udsagn Et udsagn er en udtalelse, der er sand eller falsk. Et åbent udsagn er en udtalelse, der indehol-der en variabel størrelse. Hvis den erstattes med et tal, fremkommer et udsagn. Løsningsmængden for et åbent udsagn er mængden at de tal, der ved indsættelse på den variables plads giver et sandt udsagn.

Ensbetydende tegn Logiske tegn må kun sættes mellem (åbne) udsagn: Tegn: Læses: Navn: ∧ og konjunktion ∨ eller disjunktion ⇒ hvis ... så ... implikation ⇔ netop hvis

hvis og kun hvis

biimplikation

Ligninger Omformningsregler: Addition og subtraktion at samme tal på beg-ge sider.

Multiplikation og division med samme tal 0≠ på begge sider.

Nulreglen: 0y0x0y·x =∨=⇔=

Uligheder Omformningsregler: Addition og subtraktion af samme tal på beg-ge sider. Multiplikation og division med positivt tal på begge sider: ulighedstegnet skal ikke vendes. Multiplikation og division med negativt tal på begge sider: ulighedstegnet skal vendes.

Regneregler for uligheder • For c·bc·aba:0c >⇔>>• For c·bc·aba:0c <⇔>< • For 22 baba:R\Rb,a >⇔>∈ −

Numerisk værdi Den numeriske værdi at a defineres ved

⎩⎨⎧

<−≥

=0afora

0aforaa

Regneregler for numerisk værdi • b·ab·a =

• baba +≤±

• 222 aaa ==

• ( )0bba

ba

≠=

• kxkxkx −=∨=⇔= , +∈ Rk• kxkkx <<−⇔< , +∈ Rk• kxkxkx >∨−<⇔> , +∈ Rk• +∈≤≤−⇔≤ Rk ,kxkkx

• +∈≥∨−≤⇔≥ Rk ,kxkxkx

Andengradsligningen 0a,0cx·bx·a 2 ≠=++

c·a·4bD 2 −=

0D

Diskriminanten:

Andengradsligningens løsninger • < : Ingen løsninger


• : En løsning: 0D =a·2

bx −=

• : To løsninger:

0D >a·2

Dbx ±−=

Rødder og potenser Den n-te rod Hvis defineres +∈∈ ZnogRa n a sådan: Hvis : 0a > n a er det positive tal, hvis n-te

potens er a. Hvis : 0a = 00a nn == . Hvis : Hvis n er lige, er 0a < n a ikke defi-

neret. Hvis n er ulige, er n a det nega-tive tal, hvis n-te potens er a.

Regning med kvadratrødder • b·ab·a =

• ba

ba

=

• aa 2 =

Potenser

Specielle eksponenter • 1a0 =

• nn

a1a =−

• aa 21

=

• nn1

aa =

Rational eksponent

• pqq pq

p

aaa ==

Regneregler • qpqp aa·a +=

• qpq

p

aaa −=

( )ppp b·ab·a =

• p

p

p

ba

ba

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

( ) q·pqp aa = •

Løsning af ligninger

• pq

qp

axax =⇔=

Geometri

trekanter ensvinklede, hvis

• e

Trekanidtpunktstransversal er halvt så

•

o trekanter er kongruente, hvis

• Alle tre sider er parvis lige store. e si-

-

Geomeometriske sted for

•

•

hvis afstand til en ret linje 1 er kon-

Ensvinklede• To trekanter kaldes

deres vinkler er parvis lige store.

I ensvinklede trekanter er ensliggendsider proportionale.

ter • En m

lang som den side, den er parallel med.

To trekanter kaldes kongruente, hvis deres sider og vinkler er lige store.

T

• De har en vinkel og to hosliggendder lige store.

• De har to vinkler og den mellemlig-gende side lige store.

• De har to vinkler og en ikke mellemliggende side lige store.

etriske steder • En cirkel er det g

de punkter, der har en given afstand (radius) til et givet punkt (centrum).

Midtnormalen til linjestykket AB er det geometriske sted for de punkter, der har samme afstand til A og B.

Det geometriske sted for de punkter, •


stant k, er de to linjer, der er parallellemed l i afstanden k.

Det geometriske sted

• for de punkter,

hvis afstande til to ikke parallelle lin--

•

trekant er summen af kateternes kva-

•

trekant, hvor summen af kateternes

• erne gennem

samme punkt, og dette punkt deler

• år midtnormalerne gen-

nem samme punkt. Dette punkt er cen-

• kelhalveringslin-

jerne gennem samme punkt. Dette

ns

• kant går højderne gennem

samme punkt.

• el er halvt så stor som den bue, den spænder over.

Firka: Firkant, hvor begge par mod-

stående sider er parallelle.

e lange.

sider er parallel-

Egenskaber ved firkanter Parallelogram: Modstående vinkler er lige

hinanden,

n-e, er et parallelogram.

lverer rombens vink-r og diagonalerne halverer hinanden, og står

jer er ens, er de to vinkelhalveringslinjer gennem linjernes skæringspunkt.

(Pythagoras sætning) I en retvinklet

drater lig med hypotenusens kvadrat.

(Pythagoras omvendte sætning) En

kvadrater er lig med hypotenusens kvadrat, er retvinklet.

I en trekant går median

hver median i forholdet 1:2 regnet frafodpunktet.

I en trekant g

trum for trekantens omskrevne cirkel,der er den cirkel, der går gennem de tre vinkelspidser.

I en trekant går vin

punkt er centrum for trekantens ind-skrevne cirkel, der tangerer trekantesider.

I en tre

En periferivink

nter Parallelogram

Rektangel: Firkant, hvis vinkler alle er rette.

Rombe: Parallelogram, hvis sider aller lige

Kvadrat: Rektangel, hvis sider alle er lige lange.

Trapez: Firkant, hvor det ene par modståendele.

store og diagonalemne halverer En firkant, hvor modstående sider er lige lag Rombe: Diagonalerne halevinkelret på hinanden.

Areal af trapez

(a·h·2

A +=

Hvor a og b er længderne af de parallelle sider

)b1

g h afstanden mellem dem. o

Areal af en trekant

g·h·2

A =

En halv højde ganget m

1

ed grundlinjen. ller: E

( ) ( ) ( )cs·bs·as·sA −−−= hvor

2cbas ++

=

hvor a, b og c er længden på siderne, og s er alvdelen af summen af de tre sider.

e

h

Cirkelberegninger

Omkreds Buelængd

Omkredsen r··2d·O π=π=


v·º360r··2b π

= , hvor v er målt i º.

Arealer

Cirkel 22 d·4

r·A π=π=

Cirkelring ( ) ( )2222 dD·

4rR·A −

π=−π=

Cirkeludsnit

º360v·r· Areal

2π= , hvor v er målt i º.

Cirkelafsnit

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

π= vsin

º180v··

2r Areal

2

, hvor v er målt i º.

Korde: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2v·sinr·2k

Pilhøjde: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2vcos1rh

Overflader

Cylinder

Arealet af den krumme overflade af en cylin-der: h·r··2h·d·A π=π=

Kegle

Arealet af den krumme overflade af en kegle:

s·r·A π=

Vinklen s

rº·360v = , hvor v er målt i º.

Korde: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2v·sins·2k

Keglestub

Arealet af den krumme overflade af en kegle-stub: ( )rR·s·A +π=

Vinklen v , hvor v er målt i º. 2s

Rº·360=

Korde: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2v·sins·2k 2


Kugle

Overfladearealet af en kugle 22 d·r··4A π=π=

Overfladen af en kuglekalot (krumme overflade)

( )22 hah·d·A +π=π=

Overfladen af en kugleskive (krumme overflade)

h·d·A π=

Rumfangsformler

Retvinklet prisme

n grundflade afarealet Gh·GV

==

Kasse

h·b·aV =

Cylinder

h·d·

4h·r·V 22 π

=π=

Cylinderrør

( )

h·d·4

D·4

V

h·r·R·V

22

22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−π

=

π−π=

D = ydre diameter d = indre diameter R = ydre radius r = indre radius

Pyamide


h·G·31V = , G = arealet af grundfladen

Pyramidestub

( )g·GgG·h·

31V ++=

Kegle

h·d·

12h·r·

3V 22 π

=π

=

Keglestub

( )r·RrR·h·

3V 22 ++

π=

Kugle

33 d·

6r··

34V π

=π=

Kugleudsnit

h·d·

6V 2π

=

Kugleafsnit

( )h·2d·3·h·

6V 2 −

π=

( )22 ha·3·h·

6V +

π=

Guldins regel

Bestemmelse af overfladeareal

º360v·l·a··2A π=

Bestemmelse af rumfang


º360v·A·a··2V π=

Polygoner Ordet polygon betyder mangekant. Vinkel-summen i en vilkårlig n-kant kan udtrykkes ved:

( ) °−= 180·2nVinkelsum

Analytisk geometri

Afstandsformlen Afstanden mellem punkterne A(a1,a2) og B(b1,b2) er bestemt ved ( ) ( )2

222

11 babaAB −+−=

Cirklens ligning Cirklen med centrum i (a,b) og radius r har ligningen ( ) ( ) 222 rbyax =−+−

Linjens ligning En ligning for linjen, der går gennem (0,b) og som har hældningskoefficienten a, er bx·ay += Ligningen for en ret linje, der går gennem (x0,y0) og som har hældningskoefficienten a, kan skrives på formen ( )00 xxayy −=− Hvis A(x1,y1) og B(x2,y2) er to punkter på en ret linje, der ikke er parallel med y-aksen, er hældningskoefficienten givet ved

12

12

xxyya

−−

=

Hældningskoefficienten for en linje angiver tilvæksten i y-koordinaten, når x-koordinaten får tilvæksten 1.

Ortogonale linjer Linjerne med ligningerne og bx·ay +=

dx·cy += er ortogonale (indbyrdes vinkel-rette), netop hvis produktet af deres hældnin-ger er -1, dvs. 1c·a −= .

Linjers skæring

Lige store koefficienters metode: Skaf numerisk lige store koefficienter til x el-ler y og læg ligningerne sammen eller træk dem fra hinanden.

Substitutionsmetoden Isoler x eller y i den ene ligning, og sæt det fundne udtryk ind i den anden ligning.

Dist-formlen Afstanden dist(P,l) fra punktet P(x1,y1) til lin-jen 1 med ligningen er bestemt ved

bx·ay +=

( ) 1a

ybx·al,Pdist

2

11

+

−+=

0cy·bx· =++

( )

Afstanden dist(P,l) fra punktet P(x1,y1) til lin-jen 1 med ligningen a er be-stemt ved

22

11

ba

cy·bx·al,Pdist

+

++=

Midtpunkt af linjestykke Midtpunktet M af linjestykket AB, hvor A(a1,a2) og B(b1,b2), har koordinaterne

⎟⎠

⎜⎝

=2

,2

M 2211 ⎞⎛ ++ baba

Trigonometri

Cosinus, sinus, tangens


(cosv, sinv) er koordinaterne til retningspunk-tet for vinkel v

Zp,º180·pº90v,vcosvsinvtan ∈+≠=

Grundrelationen cos2v + sin2v = 1 Overgangsformler

( ) vcosvcos =− ( ) vcosvº180cos −=+ ( ) vcosvº180cos −=−

( ) vsinvsin −=−( ) vsinvº180sin −=+ ( ) vsinvº180sin =− ( ) vsinvº90cos =− ( ) vsinvº90cos −=+ ( ) vcosvº90sin =− ( ) vcosvº90sin =+

Vinkel mellem linjer Linjen: danner en vinkel v med

x-aksen, hvor tanv = a. bx·ay +=

Vinklerne mellem to linjer fås ved

beregning og figurbetragtning.

Den retvinklede trekant

( )nhypotenuse

katete modståendevinkelsin =

( )nhypotenuse

katete ehosliggendvinkelcos =

( )katete ehosliggendkatete modståendevinkeltan =

Sinusrelationerne

R2Csin

cBsin

bAsin

a===

Trekantens areal

B·sinc·a·21A·sinc·b·

21C·sinb·a·

21T ===

Cosinusrelationerne

C·cosb·a·2bacb·a·2

cbaCcos

B·cosc·a·2cabc·a·2

bcaBcos

A·cosc·b·2cbac·b·2

acbAcos

222222

222222

222222

−+=⇔−+

=

−+=⇔−+

=

−+=⇔−+

=

Formler for 2x

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )xsinxcosx·sin211x·cos2x·2cos

x·cosx·sin2x·2sin

22

22

−=

−=−=

=


Figur Givet Metode De tre si-

der 1. Find to vinkler ved cos -relationerne. 2.Vinkelsummen er 180°

To sider og en mellem-liggende vinkel

1. Find sidste side ved cos- relatio-nerne. 2. Find en vinkel ved cos- relatio-nerne. 3.Vinkelsummen er 180º

To vinkler og en mellem-liggende side

1. Vinkelsummen er 180°. 2. De to sidste si-der findes ved sin- re-lationerne.

To vinkler og en ikke mellem-liggende side

1. Vinkelsummen er 180°. 2. De to sidste si-der findes ved sin- re-lationerne.

To sider og en ikke mellem-liggende vinkel

1. Find sidste side ved cos- relatio-nerne. Andengradsligninghar 0, 1 el. 2 løsn. 2. En vinkel ved cos- relationerne. 3. Vinkelsummen er 180°.

Funktioner En funktion er en forskrift, der til hvert tal x i definitionsmængden Dm(f) lader svare præcis ét tal y i værdimængden Vm(f). Tallet y kaldes funktionsværdien af x og be-tegnes y = f(x). Sekundærmængden har værdimængden som delmængde. Værdimængden kaldes også billedmængden.

Monotoniforhold f er voksende: ( ) ( )2121 xfxfxx <⇒< f er aftagende: ( ) ( )2121 xfxfxx >⇒< f kaldes monoton, hvis den enten er voksende eller aftagende i hele definitionsmængden. Et monotoniinterval for f er et interval, hvori f er monoton eller konstant.

Lige og ulige funktioner Funktionen f kaldes lige, hvis ( ) ( )xfxf =− for alle x i definitionsmængden. Dens graf er symmetrisk om y-aksen. Funktionen g kaldes ulige, hvis

( ) ( )xgxg −−= for alle x i definitionsmæng-den. Dens graf er symmetrisk om (0,0).

Injektiv Funktionen f kaldes injektiv, hvis forskellige x-værdier har forskellige funktionsværdier:

( ) ( )2121 xfxfxx ≠⇒≠ . I så fald vil enhver linje parallel med x-aksen skære grafen i højst ét punkt. En monoton funktion er injektiv.

Vigtige funktioner

Funktionstyper En lineær funktion har en regneforskrift al ty-pen ( ) bx·axf += . Numerisk værdi ( ) xxf = . Den hele del ( ) (xintx )f = . Kvadratrodsfunktionen ( ) 0x,xxf ≥= .

Reciprokfunktionen f . ( ) 0x,x1x ≠=

Potensfunktioner f . ( ) Zn,xx n ∈=


n ulige og posi-tiv:

f er voksende, graf i 1. og 3. kvadrant

n ulige og ne-gativ:

f er aftagende for x < 0 og for x > 0, grafen ligger i 1. og 3. kva-drant, akserne er asymptoter

n lige og posi-tiv eller 0:

Graf i 1. og 2. kvadrant

n lige og nega-tiv:

Graf i 1. og 2. kvadrant.

Andengradspolynomiet Regneforskrift: ( ) cx·bx·axf 2 ++=Diskriminant c·a·4bD 2 −= Hvis vender grenene opad, hvis a < 0 nedad.

0a >

Toppunkt: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

a·4D,

a·2b

Skæringspunkter med x-aksen (rød-der):

0D < : Ingen rødder

0D = : En rod: a·2

bx −=

0D > : To rødder : a·2

Dbx ±−=

Faktoropløsning

Hvis findes, én rod 0D =a·2

br −= , og

( )2rxa)x(f −= Hvis findes to rødder r0D > 1 og r2, og ( ) ( )( )21 rxrxaxf −−=

Andengradsuligheder 0cx·bx·a 2 <++ 0cx·bx·a 2 >++ 0cx·bx·a 2 ≤++

0cx·bx·a 2 ≥++ Find eventuelle løsninger til ligningen

. Tegn skitse af parablen

0cx·bx·a 2 =++cx·bx·ay 2 ++=

Aflæs på x-aksen de værdier, for hvilke pa-rablen ligger under (< 0), over (> 0), under el-ler på (≤ 0), over eller på ( ≥ 0) x-aksen.

Sammensætning af funktioner Hvis definitions- og værdimængder for funk-tionerne f og g er ”passende”, kan man danne de sammensatte funktioner og , idet gf fg( )( ) ( )( )xgfxgf = og ( )( ) ( )( )xfgxfg = .

Omvendt funktion Hvis f: ( ) ( )fVmfDm → er en injektiv funktion, har den en omvendt funktion f −

-: 1

( ) ( )fDmfVm → bestemt ved ( ) ( )yfxxfy 1−=⇔= .

Definitions- og værdimængder for f og bytter roller:

1f −

( ) ( )fVmfDm 1 =− og ( ) ( )fDmfVm 1 =− .

Graferne for f og fremgår af hinanden ved en spejling i y = x.

1f −

Trigonometriske funktioner

Omløbsretning og radiantal Positiv omløbsretning: mod uret , negativ om-løbsretning: med uret.

Radian- og gradtal

π=⇔

π=⇔π=

º180rad1rad180

º1rad·2º360

Periodicitet cos og sin er periodiske med perioden 2π tan er periodisk med perioden π

Svingninger Sinussvingning: ( ) ( t··sinA ) ktf +ϕ+ω=


Amplitude A: ( ) 0kog0A,AtfA =>≤≤−

Periode (svingningstid): ωπ

=·2T

Bølgetop for ω

ϕ−π=⇔

π=ϕ+ω

·2·2t

2t· .

Trigonometriske grundligninger ( ) axsin = , , løses ved

figurbetragtning. ( ) axcos = ( ) axtan =

Trigonometriske grunduligheder Løses ved figurbetragtning.

Polynomier • Et polynomium af n-te grad har højst n

rødder. • Et polynomium af ulige grad har

mindst en rod.

Eksponentialfunktioner

Eksponentialfunktion ( ) ( ) ( )1a,0axexpaxf a

x ≠>== a : grundtal, fremskrivningsfaktor a-1 : vækstrate, relativ vækst, rentefod Egenskaber: Dm(expa) = R , Vm(expa) = R+ : exp1a > a voksende : exp1a0 << a aftagende ( ) 10expa = ( ) ( ) (t·expsexptsexp aaa =+ )

Eksponentiel udvikling

Eksponentiel udvikling ( ) ( )1a,0b,aa·bxf x ≠>=

a : grundtal, fremskrivningsfaktor a-1 : vækstrate, relativ vækst, rentefod b : begyndelsesværdi, b = f(0) Relativ tilvækst svarende til tilvæksten h er

( ) ( )( ) 1axf

xfhxf h −=−+

Den er uafhængig af x, men afhængig af h.

Logaritmefunktioner Logaritmefunktionen med grundtal a ( )1a,0a ≠> er den omvendte funktion til

eksponentialfunktionen expa. For logaritmefunktionen loga gælder

( ) ( RlogVm,RlogDm aa =)= + .

alog: 1a > voksende

alog: 1a0 << aftagende ( ) 01loga = ( ) 1aloga =

Log og ln

logx = log10(x) : titalslogaritmen lnx = loge (x) : den naturlige logarit-

me

Den naturlige logaritme Den naturlige logaritmefunktion ln er den lo-garitmefunktion, hvis differentialkvotient i 1 er 1, dvs. ln' = . Grundtallet er e = 2,71828...

( ) 11

( ) ∞→xnår x og a ,xln nx

∞→→ xfor 0xx

b

a og

( )∞→→ xfor 0

xxlnb

eller eksponentialfunktioner ”vinder” over po-tensfunktioner som ”vinder” over logaritme-funktioner.

Regneregler for logaritmer For log og ln gælder reglerne (a,b > 0):


( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )a·logxalog

blogalogbalog

blogalogb·alog

x =

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )a·lnxaln

blnalnbaln

blnalnb·aln

x =

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

Eksponentielle ligninger og uligheder Type:

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )alogblogxbloga·logx

blogalogba xx

=⇔=

⇔=⇔=

Type: cbaba·c xx =⇔=

Type: ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )alogblogxbloga·logx:1a0

alogblogxbloga·logx:1a

bloga·logxblogalogba0b,abaxx

x

>⇔<<<

<⇔<>

<⇔<⇔<

><

Type: ( )0c,b,a,cbaba·c xx ><⇔<

Fordobling og halvering For den eksponentielle udvikling gælder

( ) xa·bxf =

1a > : Fordoblingskonstant

( )( )

( )( )aln2ln

alog2logT2 ==

1a0 << : Halveringskonstant

( ) ( )( )

( )( )

( )aln2ln

alog2log

aln21ln

alog21log

T21

−=

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

Funktionspapirer

Semilogaritmisk papir De funktioner, der på semilogaritmisk papir har retliniede grafer, har regneforskrifter af typen (eksponentielle udviklinger): ( ) xa·bxf =

Dobbeltlogaritmisk papir De funktioner, der på dobbeltlogaritmisk pa-pir har retliniede grafer, har regneforskrifter af typen (potensfunktioner multipliceret med konstant): ( ) ax·bxf =

Grænseværdi og kontinuitet

Grænseværdi

( ) forax →

( ) axflimxxf

0xx

0

=→

→

f(x) kan opnås vilkårlig tæt ved a, hvis blot x vælges tilstrækkelig tæt ved x0.

Regning med grænseværdier Hvis og

, vil ( ) 0xxfor axf →→

0xxfor b →→( )xg

( )( ) 0xxfor baxgf →+→+

( )( ) 0xxfor baxgf →−→−( )( ) 0xxfor b·axg·f →→

( ) ( )0b xxfor bax

gf

0 ≠→→⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

( ) 0xxfor a·kxf·k →→


Kontinuitet Funktionen f kaldes kontinuet i punktet x0, hvis dens grænseværdi og funktionsværdi i x0 falder sammen:

( ) ( ) ( ) ( ) 000xxxxfor xfxfeller xfxflim

0

→→=→

En funktion, der er kontinuert i ethvert punkt at sin definitionsmængde, kaldes kontinuert. Hvis f og g er kontinuerte funktioner og k et reelt tal, er også funktionerne , ,

k·f, f·g,

gf + gf −

gf og kontinuerte. gf

Funktionstilvækst Funktionstilvæksten ∆y ud fra punktet x0, sva-rende til tilvæksten h, er ( ) ( 00 xfhxfy −+=∆ ) Funktionen f er kontinuert i x0

0hfor 0y →→∆⇔

Værdimængde En kontinuert funktion afbilder et interval på et interval.

Differentialkvotient Funktionen f kaldes differentiabel i punktet x0, hvis differenskvotienten

( ) ( )h

xfhxfhy 00 −+

=∆

har en grænseværdi for . Grænseværdi-en kaldes differentialkvotienten i x

0h →0 og skri-

ves . ( )0xf ′ Differenskvotienten angiver hældningen for sekanten gennem punkterne (x0,f(x0)) og (x0+h,f(x0+h)). Differentialkvotienten ( )0xf ′ angiver tangen-tens hældningskoefficient i punktet (x0, f(x0)) eller væksthastigheden i punktet.

f kaldes differentiabel, hvis den er differentia-bel i ethvert punkt at sin definitionsmængde Dm(f).

Tangent Hvis f er differentiabel i x0 har tangenten til grafen i punktet P(x0,f(x0)) ligningen ( ) ( ) ( )000 xx·xfxfy −′=−

Numerisk differentiation

( ) ( ) ( )h·2

hxfhxfxf 000

−−+≈′

Regneregler for differentialkvotienter Hvis f og g er differentiable, er f ± g, f·g, k·f

og også differentiable, og ( )( )0xg gf

≠

( ) gfgf ′±′=

′±

( ) g·fg·fg·f ′+′=

′

( ) f·kf·k ′=′

2gg·fg·f

gf ′−′

=′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Differentiation af xn

Funktionen , er differentiabel med .

( ) Zn ,xxf n ∈=( ) 1nx·nxf −=′

Afledede funktioner Hvis f er differentiabel, kaldes funktionen

for den afledede funktion. De afledede af højere orden er

( )(f ′′

0xf ′

) ( ) ( ) ...... ,xf ,xf ,x 04

00 ′′′

dx

dxdy

( )xfdxdy ′=

dy

Skrivemåden er bestemt ved, at

.


Differentiation af sammensat funktion Hvis f er differentiabel i x0, og g er differenti-abel i y0 = f(x0), så er differentiabel i xfg 0, og differentialkvotienten er

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) eller xf·ygxfg

eller xf·xfgxfg

00

000

′′=′′′=′

( ) (xfg ′ )

)

er lig med den ydre funktion diffe-rentieret, med den indre funktion urørt, dvs.

, ganget med den indre funktions dif-ferentialkvotient, altså

( )( xfg′( )0xf ′ .

Differentiation af invers funktion Lad f være monoton og differentiabel i inter-vallet I. Hvis og Ix0 ∈ ( ) 0xf 0 ≠′ så er den inverse funktion differentiabel 1f − ( )00 xfy = og

( ) ( ) ( )00

1

xf1yf

′=

′−

Implicit differentiation Implicit differentiation illustreres ved et ek-sempel. Vi har ( ) 09x·4xy4y1 23 =++++

som vi ønsker at finde dxdy af, dette gøres som

følger: Differentier ( mht. x )1

( )

4y34x2

dxdy

4x24y3dxdy

04x2dxdy4

dxdyy3

2

2

2

+−−

=

⇔−−=+

⇔=+++

Det ses af for at finde dxdy skal man kende et

punkt.

Asymptote En ret linje kaldes en asymptote for grafen for f, hvis den vinkelrette afstand mellem punk-terne på grafen og linjen kan gøres vilkårlig lille, når punkterne på grafen bevæger sig ”uendelig” langt bort fra (0,0).

Vandret asymptote Linjen y = a er vandret asymptote for grafen for f(x), hvis

( ) ∞→→ xfor axf og/eller ( ) −∞→→ xfor axf

Lodret asymptote Linjen x = x0 er lodret asymptote for grafen for f(x), hvis

( ) xf 0xxfor →∞→ eller ( ) 0xxfor xf →−∞→

x0 skal evt. erstattes med x0+ eller x0

-.

Skrå asymptote Linjen y = a·x+b er skrå asymptote for grafen for f(x), hvis

( ) ( ) → ∞→+− xfor 0bx·axf og/eller ( ) ( ) −∞→→+− xfor 0bx·axf

( )( )

Polynomiumsbrøker

For polynomiumsbrøken gælder,

når:

( )xpxNxT

=

( )

t: grad af T(x) og n: grad af N(x)

• t < n: x-aksen er vandret asymptote

• t = n: Hvis

vandret asymptote. bayer

x·bx·axp n

n

=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+

=

• t = n+1: Skrå asymptote, der findes ved polynomiers division.

• t > n+1: Ingen skrå eller vandrette asymptoter.


Hvis T(x0) ≠ 0 og N(x0) = 0 har grafen x = x0 som lodret asymptote. Hvis T(x0) = 0 og N(x0) = 0 forkortes brøken, og det undersøges om det foregående er opfyldt for den nye tæl-ler og nævner.

Monotoniforhold

Konveksitetsforhold Vi har set, at monotoniforholdene for en funk-tion f kan bestemmes vha., den afledede funk-tion f ′ . Tilsvarende kan monotoniforholdene for f ′ bestemmes vha. f ′′ . Det viser sig nu gennem denne kobling at f ′′ siger noget om og det er det, vi vil se på her.

På grafen for f er forskellige tangenter tegnet, og da angiver tangentens hældningskefficient i (x

( )0xf ′

0,f(x0)), ses det, at ( ) ( ) ( ) ( )4321 xfxfxfxf ′>′>′>′ :

o-

i almindelighed gælder det, at er afta-gende for . Men så må den afledede at

være negativ, dvs.

( )xf ′

4xx <( )xf ′ ( ) 4xxfor 0xf <<′′

Tilsvarende ses, at ( ) ( ) ( 654 xfxfxf ′<′<′ )

eller at ( )xf ′ er voksende for . Derfor må den afledede al

4xx >( )x'f være positiv:

( ) 4xxfor 0xf >>′′ . Den mindste tangenthældning findes i x4, så

har minimum i x4, dvs. f . Sammenhængen mellem og ses på mo-notonilinjen:

( )xf ′ ( ) 0x =′′f ′′ f ′

På grafen for f ses, at den for er nedad hul eller konkav. For et grafen der-imod opad hul eller konveks. Sammenholdes dette med monotonilinjen ovenfor, ses det, at:

4xx <

4xx >

• hvis f er grafen for f konkav (nedad hul).

( ) 0x <′′

• hvis f er grafen for f konveks (opad hul).

( ) 0x

( ) 0x

>′′

• hvis f og fortegnsvariationen for f er eller har grafen en vendetangent. Grafen ”vender” om tangenten, idet den går fra at være konkav til at være konveks eller om-vendt.

=′′′′ +− 0 −+ 0

Hvis f og fortegnsvariationen for er eller − 0 , har grafen for f ik-

ke vendetangent.

( ) 0x =′′( )xf ′′ ++ 0 −

Som et eksempel ser vi på , hvis graf ses på figuren. Her er

og for-tegnsvariationen er

.

( ) 4xxf =

( ) 00f =′′

++ 0 Ved overvejelser som ovenfor kan man indse, at følgende gælder

( ) ( )

( ) ( )0

00

0

00

x i maksimumlokalt har f 0xf0xf

x i minimumlokalt har f 0xf0xf

⇔<′′∧=′

⇔>′′∧=′

x1 x2 x3 x4 x5 x6

f ′

f

x3 x5


Som et eksempel betragter vi funktionen

( ) 1x·2x·21x·

31xf 23 +−+=

som vi differentieret 2 gange:

( ) 2xxxf 2 −+=′ og ( ) 1x·2xf +=′′

( )

21x

01x·20xf

−=

⇔=+⇔=′′

,

og fortegnsvariationen hen over 21

− er +− 0 ,

har grafen vendetangent i

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

1225,

21

21f,

21 .

( ) 1x2x0xf =∨−=⇔=′ : Da ( ) ( ) 032''f02f <−=−∧=−′ har f lokalt

maksimum i ( )( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−−

313,22f,2 .

Da har f lokalt mini-

mum i

( ) ( ) 031f01f >=′′∧=′

( )( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

61,11f,1 .

Lokale ekstremumssteder Punktet x0 kaldes et lokal maksimumssted i x0, hvis der findes et interval I omkring x0, så f(x0) er den største funktionsværdi i I, dvs. ( ) ( ) Ix allefor xfxf 0 ∈≤ Punktet x0 kaldes et lokal minimumssted i x0, hvis der findes et interval I omkring x0, så f(x0) er den mindste funktionsværdi i I, dvs. ( ) ( ) Ix allefor xfxf 0 ∈≥ f(x0) kaldes et lokalt maksimum/minimum el-ler en lokal maksimumsvær-di/minimumsværdi.

Et lokalt ekstremumssted er et lokalt maksi-mums- eller minimumssted.

Monotoniforhold Lad funktionen f være differentiabel i det åb-ne interval I:

• hvis f er voksende i I, er . ( ) Ix allefor 0xf ∈≥′

• hvis f er aftagende i I, er .

( ) Ix allefor 0xf ∈≤′

Middelværdisætningen: Hvis f er kontinuert i [a;b] og differentiabel i ]a;b[, findes et tal c ∈ , så ] [b;a

( ) ( ) ( )afbf −=

abcf

−′

For funktionen f, der er differentiabel i inter-vallet ]a;b[, gælder:

• hvis f for alle , er f voksende i I

] [b;a( ) 0x >′ x ∈

• hvis f for alle , er f aftagende i I

] [b;ax ∈( ) 0x <′

• hvis f for alle , er f konstant i I

] [b;ax ∈( ) 0x =′

x0 + 0 - lokalt maksimumssted i x0 - 0 + lokalt minimumssted i x0 + 0 + vandret vendetangent i x0 - 0 - vandret vendetangent i x0

Funktionsundersøgelse 1. Definitionsmængde 2. Nulpunkter 3. Fortegn 4. Monotoniforhold 5. Asymptoter (gælder kun niveau A) 6. Støttepunkter 7. Tegne grafen 8. Værdimængde


Værdimængde Hvis definitionsmængden for en kontinuert funktion er et begrænset og lukket interval, er værdimængden også et begrænset og lukket interval. Værdimængden for en differentiabel funktion i et lukket interval [a,b] bestemmes sådan: 1. Løs ligningen , løsningerne er x( ) 0xf =′ 1

,x2 , x3,……. 2. Beregn funktionsværdierne f(x1), f(x2) ,

f(x3) ,... , f(a) og f(b). 3. Værdimængden udspændes at den største

og den mindste al disse funktionsværdier.

Optimering Indfør passende betegnelser, x og y. Hvis der er en ligning, skal den ene, f.eks. y, udtrykkes vha. den anden, x. Indsæt det fundne udtryk i den størrelse, der skal optimeres. Differentier og find ekstrema, derefter undersøgelse af monotoniforhold.

Differentialkvotienter ( )xf ( )x'f

a·x + b a k 0

a·x2 2·a·x nx

1nx·n −

x x21

x1 2x

1−

( )xln x1

( )xlog ( )10·lnx1

xe xe x·ke x·ke·k

xa ( )a·lna x

n xx·nxn

( )xsin ( )xcos( )xcos ( )xsin−

( )xtan ( )xcos2 ( )xtan1eller 1 2+

( )x·ksin ( )x·k·cosk( )x·kcos ( )x·k·sink−

( )x·ktan ( ) ( )( )x·ktan1k·eller x·kcos

k 22 +

Newton-Raphsons iterationsformel Idet f er differentiabel i et interval, hvor vi øn-sker at bestemme et nulpunkt, benyttes itera-tionsformel

( )( ) ,......,2,1,0n , x'fxfxx

n

nn1n =−=+

hvor x0 vælges ”i nærheden” af det søgte nul-punkt. iterationen fortsættes indtil nulpunktet er bestemt med den ønskede nøjagtighed.

Stamfunktioner

Stamfunktion Hvis F kaldes F en stamfunktion til f.

( ) ( )xfx =′

Integrationsprøven ( ) ( ) ( ) ( )∫ =′⇔= eller xfxFdxxfxF

( )

( ) ( )xfdxxf =′

∫

Stamfunktioner Hvis F er stamfunktion til f, er alle funktioner af typen F + k stamfunktioner til f, når k er en konstant. Lad F være en stamfunktion til f. Så kan en-hver anden stamfunktion F1 til f skrives på formen F1(x) = F(x) + k


Enhver kontinuert funktion har en stamfunk-tion.

Regneregler for ubestemte integraler

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) Rk , dxxfkdxxf·k

dxxgdxxfdxxgf

dxxgdxxfdxxgf

∈=

−=−

+=+

∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

Partiel/delvis integration Lad g være differentiabel med den kontinuerte afledede , og lad også f være kontinuert. Hvis F er en stamfunktion til f gælder

g′

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxgxFxgxFdxxgxf∫ ∫ ′−=

Integration ved substitution Lad g være differentiabel med den kontinuerte afledede , og lad også f være kontinuert. Så gælder

g′

( )( ) ( )∫ =′ dxxgxgf

( ) ( ) ( )( ) kxgFktFdttf +=+=∫

hvor t = g(x), og F er en stamfunktion til f.

Areal og bestemt integral

Arealfunktion Arealfunktionen A(x) er lig med arealet mel-lem grafen for f og x-aksen i [a,x]. Lad f være kontinuert og ikke-negativ i [a,b). Så er arealfunktionen A(x) en stamfunktion til f(x), dvs. . ( ) ( )xfxA =′

( ) ( )[ ] ( ) ( )aFbFxFdxxf ba

b

a

−==∫

)( ) ( ) ( )

)( ) ( )

( )dxx

dxxfdxxg

dxxgxfdxxgf

b

a

b

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

∈=

−=−

+=+

∫∫

∫∫∫

∫∫∫

Bestemt integral Ved det bestemte integral af f i [a,b] forstås tallet F(b) - F(a) og vi skriver

.

Regneregler for bestemte integraler

(

( ( )

( ) Rk , dxxfkkf

gdxxf

dx

a

′

Partiel/delvis integration Lad g være differentiabel med den kontinuerte afledede g , og lad f også være kontinuert. Hvis F er en stamfunktion til f gælder

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫ ′−=b

a

ba

b

a

dxxgxFxgxFdxxgxf

Integration ved substitution Lad g være differentiabel med den kontinuerte afledede g , og lad også f være kontinuert. Så gælder

′

( )( ) ( ) ( )( )

( )

∫∫ =′bg

ag

b

a

dttfdxxgxgf

( )∫a

ba

dxxf

( )a

( ) ( ) ( )∫∫∫ +=b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf

Ombytning af grænser.

( )∫ −=b

dxxf og

0dxxfa

=∫

Indskudsreglen Lad f være kontinuert i intervallet I, og lad a,b og c være tal i I. Det gælder så, uanset den indbyrdes beliggenhed af a, b og c, at


Arealer Lad f være kontinuert og ikke-negativ i [a,b]. Så er arealet af punktmængden (se figuren) ( ) ( ){ }xfy0bxa|y,x ≤≤∧≤≤

givet ved

( ) ( ) ( )aFbFdxxfAb

a

−== ∫ hvor F er en vilkårlig stamfunktion til f. Arealet af punktmængden på figuren er

( ) ( )( )∫ −=b

a

dxxgxfA

Arealet af punkmængden på figuren er

( )∫−=b

a

dxxfA

Areal Lad f være kontinuert og ikke-negativ i [a,b]. Så har punktmængden ( ) ( ){ }xfy0bxa|y,x ≤≤∧≤≤ et areal.

Summer Lad intervallet [a,b] være delt i n lige lange

delintervaller af længden . Kaldes

intervalendepunkterne x0, x1, ... ,xn, interval-midtpunkterne m0, m1, ... , mn-1, og

er

nabh −

=

[ ]x,xt 1iii +∈

Middelsummen ( ) ( ) ( ) ( )htfhtf......htfhtfM n1n21n ++++= −

Venstresummen ( ) ( ) ( )hxf......hxfhxfV 1n10n −+++=

Højresummen ( ) ( ) (xf......hxfhxf n21 + )hHn ++=

Trapezsum

( )n HV1T += nn2

Midtsum ( ) ( ) ( )hmf......hM 1n1n −++mfhmf 0 +=

Rumfang Lad f være kontinuert og ikke-negativ i [a,b]. Så er rumfanget V af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f drejes 360° om x-aksen, bestemt ved

( )∫π=a

2x dxxfV

b

0≥

Lad f være kontinuert og ikke-negativ i [a,b] og a . Så er rumfanget V af det omdrej-


ningslegeme, der fremkommer, når grafen for f drejes 360° om y-aksen, bestemt ved

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=2

1 a

( )∫π=b

ay dxxxf2V

Stamfunktioner ( )xf ( )xF k k·x

nx1n

x 1n

+

+

x1x 1 =− xln

( )xln ( ) xx·lnx −

( )xlog ( ) ( )10lnxx·logx −

xe xe x·ke x·ke·

k1

xa ( )aln1·a x

( )xsin ( )xcos− ( )xcos ( )xsin ( )xtan ( )xcosln−

( ) ( )( )22 xsinxsin = ( ) ( )( )x·cosxsinx·21

−

( ) ( )( )22 xcosxcos = ( ) ( )( )x·cosxsinx·

( )xtan1 2+ ( )xtan

21

+

( )x·ksin ( )x·k·cosk1

−

( )x·kcos ( )x·k·sink1

( )x·ktan ( )x·kcos·lnk1

−

Vektorer i planet

Vektor Mængden af alle liniestykker med samme længde og samme retning kaldes en vektor. Hvert af disse orienterede liniestykker kaldes

en pil, og hver pil kaldes en repræsentant for vektoren.

Regneregler for vektorer

, indskudsreglen →→→

=+ AC BC ABabba , den kommutative lov for

vektoraddition. +=+

, den associative lov for vektoraddition.

( ) ( ) cbacba ++=++

, trekantsuligheden. baba +≤±

( )baba −+=− ata·t =

( ) atasats +=+ ( ) btatbat +=+

( ) ( ) ( )asta·sta·ts ==

Opløsning af vektorer En egentlig vektor kan på netop én måde opløses efter givne retninger (opløsningen er entydig).

a

Regning med koordinater

For vektorerne a gælder ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1

2

1

bb

b og aa

⎟⎟⎠

⎞

2

1

2 bb

⎜⎜⎝

⎛++

=+ 1

aa

ba , ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=−2

1

2

1

bb

aa

ba

ta ⎞⎛

→

OP

ta

at2

1⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=

Stedvektoren og punktet P har samme koordinater.

Længdeformlen

Hvis a 2a

22

21

1 aaaer a

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎞⎛

2

1

bb

b oga

a

Skalarprodukt/prikprodukt Skalarproduktet/prikproduktet af vektorerne

er bestemt ved


2211 bababa +=• For vektorer og et reelt tal t gæl-der følgende regneregler for skalarproduktet:

c og b , a

• (den kommutative lov) abba •=•• ( ) cabacba •+•=+• (den distribu-

tive lov) • ( ) ( ) ( )batb·taba·t •=•=• (multiplika-

tion med tal) • 22 aaaa =•= (længde og skalarpro-

dukt)

Retningsvinkel En vinkel v, som en vektor danner med x-aksens positive del, kaldes en retningsvinkel, og der gælder, at

( )( )

( )( )⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

vsinavcosa

vsinvcos

·ae·aa

Vinkel mellem vektorer Hvis er egentlige vektorer og v er vinklen mellem dem, gælder at

b og a

( )babavcos •

=

b og aa •⇔

For vinklen v mellem to egentlige vektorer

gælder v er spids 0b >

0<

b på a af 1a

v er ret 0ba =•⇔v er stump ba •⇔

Projektion Projektionen er givet ved

. b·b

baa 21•

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1

2

2

1

aa

aer , aa

a

Tværvektor

Hvis

Determinant Ved determinanten for vektorparret for-stås tallet

( )b,a

( ) bab,adet =•= 122122

11 babababa

−=

Der gælder ( ) ( )a,bdetb,adet −= Skalarproduktet mellem to vektorer er uaf-hængigt af koordinataksernes retninger.

Areal Hvis er egentlige, ikke-parallelle vek-torer, v vinklen mellem og A arealet af det parallelogram, som de udspænder, gæl-der

b og a a b og

( )

( ) ( )b,adetA og vsinbab,adet ==

b og a

Hvis en trekant udspændes af , kan dens areal T bestemmes som

)b,a

( )b,adet21T =

Omløbsretning Omløbsretningen for vektorparret ( er lig med fortegnet for det . ( )b,a

Parallelitet ( ) 0b0ab||a0b,adet =∨=∨⇔=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ba

n

Linjen Linjen, der går gennem punktet (x0, y0) og har

normalvektoren , har ligningen

( ) ( ) 0y0 =ybxxa 0 −+−


Additionsformlerne

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( ) ( )usinvcosucosvsinuvsin

usinvcosucosvsinuvsinusinvsinucosvcosuvcosusinvsinucosvcosuvcos

+=+−=−−=++=−

)

Formler for dobbelt vinkel

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )xsin211xcos2xsinxcosx2cos

xcosxsin2x2sin

22

22

−=−

=−=

=

Linjers skæring/to ligninger med to ubekendte Ligningssystemet

222

111

cybxacybxa

=+=+

har løsningen

22

11

22

11

22

11

babacaca

y , babcbc

x ==

22

11

ba forudsat, at ligningssystemets determinant ik-ke er 0:

0bab

22

1 =

fy =( )( )xn

a1

Hvis ligningssystemets determinant er 0, er linjerne parallelle.

Differentialligninger Ved en differentialligning forstås en ligning, hvori en eller flere afledede af en funktion

indgår. Hvis den højest forekom-mende afledede funktion er f , kaldes ligningen en n-te ordens differentialligning.

( )x

Enhver funktion, der passer i ligningen, kal-des en løsning til differentialligningen, og

dens graf kaldes en løsningskurve eller inte-gralkurve. Mængden af samtlige løsninger kaldes den fuldstændige løsning.

Linjeelement Hvis det om funktionen f gælder, at

og , siges f at gå gennem linjeelementet ( )a;y,x 00

( ) 00 yxf = ( ) ax'f 0 =

Differentialligningstyper

• ( ) ( )∫=⇔= dxxhyxhdxdy

• Separation af de variable. Først laves opdeling og derefter anvendes:

( )

⇔( ) ( )

( )

( ) ( )=

=

=

∫ ∫

=

dxxhdyyg

1 tilløsninger xfy

xhygdxdy

tilløsninger xfy

• ( ) kxe·cxfy·kdxdy

=⇔=

• ( ) axe·ca

fyby·adxdy

+=⇔+=bx −=

• Den logistiske ligning:

( )

( ) ( )xf 0yab

xfy

aybydxdy

bx ==∨==

⇔−=

−

⎠⎝⎟⎠

⎜⎝⎠⎝ byy 0

⎟⎟⎠

⎞

⎝

⎛ba

e·k1+

Parameterkurver

Parameterfremstilling for linje

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+⎟⎞

⎜⎛

=⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ a

txx 0

(x0,y0) er et punkt på linjen og ⎜⎜ en ret-

ningsvektor.


Vektorfunktion Ved en vektorfunktion forstås en funktion

, hvor A er en delmængde af R, og V er mængden af vektorer i planen.

VA:f →

Differentiabilitet

Hvis vektorfunktionen er

differentiabel i t

( ) ( ) ( )( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

tytx

tftr

0, er differentialkvotienten

( ) ( ) ( )( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′

=′=′0

000 ty

txtftr

( ) ( ) ( )( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′

=′=′tytx

tftr

( ) ( ) 0tftr 00

mens

kaldes den afledede funktion.

Tangent Hvis f er en vektorfunktion, der er differentia-bel i t0 og ≠′=′ ., kaldes

en tangentvektor til grafen i .

( )0tr′( ) ( )00 tftr =

( )0tf ′=

Den linje, der går gennem , og som har retningsvektoren , kal-des tangenten i .

( ) ( )00 tftr =( ) ( )00 tftr ′=′

( ) ( )00 tftr =

Hastighed, fart og acceleration Hvis er en differentiabel vektorfunktion, kaldes for hastighedsvektoren eller hastigheden, farten, mens

kaldes accelerationsvektoren eller accelerationen til tidspunktet t0.

fr =( ) ( )00 tftr ′=′

( ) ( )00 tftr ′=′

( ) ( )00 tftr ′′=′′

)t(x)t(x =− )t(y)t(y

Symmetri omkring koordinatakserne Hvis en vektorfunktion skal være symmetrisk omkring koordinatakserne skal følgende gæl-de:

Omkring x-aksen og . −=−

)t(x)t(x

Dette forekommer når x er en lige- og y er en ulige funktion.

Omkring y-aksen −=− og . )t(y)t(y =−

Dette forekommer når x er en ulige- og y er en lige funktion.

Kurveundersøgelse 1. Definitionsmængde for r . ( ) ( )00 tft =

2. Fortegn for koordinatfunktionerne x(t) og

y(t) og dermed placeringen al banekurven i koordinatsystemets kvadranter. Herunder findes skæringspunkter med akserne.

3. Monotoniforhold for x(t) og y(t) og der-

med retningen af hastighedsvektoren . ( ) ( )00 tftr ′=′

4. Tabel over støttepunkter for banekurven. 5. Tegning al banekurven.

Vektorer i rummet

Stedvektor

Punktet P og stedvektoren har samme koordinater.

→

OP

Vektors koordinater En vektors koordinater er endepunktets koor-dinater minus begyndelsespunktets koordina-ter.

Midtpunkt M af linjestykke Hvis er koordi-naterne til midtpunktet M af linjestykket AB givet ved

( ) (321 bB og a,a,aA )321 b,b,

⎟⎠

⎜⎝⎛ +++

2a,

2ba,

2baM 32211 ⎞b3


Skalarprodukt

Hvis er to vektorer i

rummet, er skalarproduktet

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3

2

1

3

2

1

bbb

b og aaa

a

ba • givet ved tallet 332211 babababa ++=•

)

og følgende regneregler gælder:

( )( ) ( ) ( batbtabat

cabacba

abba

•=•=•

•+•=+•

•=•

Vektors længde

Længden af vektoren er bestemt ved aa

a

3

2

1

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎛

=a⎜

⎝2

32

22 aa ++

( )321 bB og a,a,aA

1aa =

Afstandsformlen Hvis gælder ( )321 b,b,

( )211 bab +− ( ) ( )2

332

22 abaABAB −+−==→

Skalarprodukt og vektors længde 2

3222 aaaaa ++==•

1a

212 aa =

Projektion af vektor på vektor Projektionen af en vektor på en vektor

fås ved a

a

b b·b

ba21

•=

b og aVinkel mellem vektorer Vinklen v mellem er bestemt ved

( )babavcos •

=

b og a

• Vinklen mellem er spids ( ) 0ba0vcos >•⇔>⇔

b og a• Vinklen mellem er stump ( ) 0v <•⇔<

b og aba0cos⇔

• Vinklen mellem er ret ( ) 0ba0vcos =•⇔=⇔

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3

2

1

rrr

r

30

20

10

3

2

1

0

0

r·tzzr·tyyr·txx

eller rrr

·tz

x

z

x

+=+=+=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎠

⎞

⎝

⎛

⎠

⎞

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

cba

n

Linjens parameterfremstilling En parameterfremstilling for linjen gennem punktet (x0,y0,z0) med retningsvektoren

er

0yy⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

Linjer i rummet har normalt ikke en ligning.

Planer Den plan α, som går gennem punktet P0(x0,y0,z0), og som har normalvektoren

, har ligningen

( ) ( ) ( ) 0zzcyybxxa 000 =−+−+−

Planen, der går gennem punktet P0(x0, y0, z0,), og som udspændes af de to ikke-parallelle

vektorer

og , har parame-

terfremstillingen

⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛

3p

p

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3

2

1

qqq

q⎟⎟

⎜⎜

= 2

1

pp


330 q·tp·szz ++=220

110

3

2

1

3

2

1

0

0

0

q·tp·syyq·tp·sxx

eller qqq

·tppp

·szyx

zyx

++=++=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎜⎜⎜

⎝

⎛=a

Krydsprodukt/vektorprodukt Vektorprodukt/krydsproduktet for vektorerne

er vektoren ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

3

2

1

3

2

1

bbb

b og aaa

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=×

21

2113

32

32

baa

,aa

,bbaa

ba

0b0

13 bbb Det gælder, at ab||a0ba =∨=∨⇔=×

Krydsprodukt, vinkel og areal Når er vektorer i rummet, og v er vinklen mellem dem, er

b og a

( )v·sinbaba =×

Længden af vektorproduktet er altså lig med arealet af det parallelogram, som

b og a

ud-spænder.

b og a

Arealet T al den trekant udspænder:

ba21T ×=

( 1111 z,y,xP0dczbyax =+++

Afstande 1. Afstand punkt/plan. Hvis punktet

og planen α har ligningen er

)

( )222

111

cba

dczby

++

+++1

ax,Pdisp =α

2. Afstand punkt/linje. Afstanden mellem punktet P og linjen m, der går gennem punktet P0 og har retningsvektor r , er be-stemt ved

( )P

→

r

Prm,Pdist

0×=

1r

3. Afstand linje/linje. Hvis linjen m1 går gen-

nem punktet P1 og har retningsvektoren , og linjen m2 går gennem punktet P2 og har retningsvektoren 2r , gælder

( )( )

( )21 rr

2121

21

PPrrm,mdist

×

•×=

→

4. Afstand mellem de parallelle planer α1 og

α2. Hvis punktet P1 ligger i planen α1, er ( ) ( )2121 .Pdist,dist α=αα

Vinkler 1. Vinklen v mellem planen α1 med normal-

vektoren og planen α2 med normalvek-torer er vinklen mellem normalvekto-rerne:

1n

2n

( )21 nn21 nnw •

=cos

2. Vinklen v mellem en linje med retnings-

vektor r og en plan med normalvektor er bestemt ved

n

, hvor

⎩⎨⎧

≤−≤−

=º180 º90w

º90 wº90v

( )

<≤

wº90 hvisw0 hvis

rnrnwcos •

=

Projektioner


1. Projektion af punkt på plan. Bestemmes som skæringspunkt mellem planen og linjen gennem punktet vinkelret på planen.

2. Projektion af punkt på linje.

Lad P0 være et vilkårligt punkt på linjen m, der har retningsvektor , og lad P være det punkt, der skal projiceres. Projektionen Q har så stedvektoren

r

r·rrPPOPOQ 2

00

•+=

→→→

3. Projektion af linje på plan.

Lad planen α have normalvektoren , og linjen m have retningsvektor r . Lad desu-den P1 være skæringspunkt mellem m og α. Retningsvektor 1r for den projicerede linje og parameterfremstilling for den pro-jiceret linje m1 kan bestemmes sådan:

n

Hvis planen og linjen er parallelle, kan man projicere to af linjens punkter på pla-nen, og derefter opskrive parameterfrem-stillingen for linjen gennem de projicerede punkter.

1121 r·tOPOP , n·n

nrrr +=•

−=→→

Kuglens ligning Kuglen med centrum i og radius r har ligningen

( )c,b,aC

( )2 yax +− ( ) ( ) 222 rczb =−+−


Stikordsregister Additionsformlerne 25 Afledede funktioner 16 Afstande 28 Afstandsformlen 10;27 Amplitude 14 Analytisk geometri 10 Andengradsligningen 4 Andengradsligningens løsninger 4 Andengradspolynomiet 13 Andengradsuligheder 13 Areal 22;24 Areal af en trekant 6 Areal af trapez 6 Areal og bestemt integral 21 Arealer 7;22 Arealfunktion 21 Asymptote 17 Bestemt integral 21 Brøker 3 Buelængde 6 Cirkelafsnit 7 Cirkelberegninger 6 Cirkelring 7 Cirkeludsnit 7 Cirklens ligning 10 Cosinus 10 Cosinusrelationerne 11 Cylinder 7;8 Cylinderrør 8 Decimalbrøker 4 Den naturlige logaritme 14 Den retvinklede trekant 11 Determinant 24 differenskvotienten 16 Differentiabilitet 26 Differentialkvotient 16 Differentialkvotienter 20 Differentialligninger 25 Differentialligningstyper 25 Differentiation af invers funktion 17 Differentiation af sammensat funktion 17 Dist-formlen 10 Dobbeltlogaritmisk papir 15 Egenskaber ved firkanter 6 Eksponentialfunktioner 14 Eksponentiel udvikling 14 Eksponentielle ligninger og uligheder 15

Ensbetydende tegn 4 Ensvinklede trekanter 5 Faktoropløsning 13 Firkanter 6 Fordobling og halvering 15 Formler for 2x 11 Formler for dobbelt vinkel 25 Funktioner 12 Funktionspapirer 15 Funktionstilvækst 16 Funktionstyper 12 Funktionsundersøgelse 19 Geometri 5 Geometriske steder 5 Grundrelationen 11 Grænseværdi 15 Grænseværdi og kontinuitet 15 Guldins regel 9 Hastighed, fart og acceleration 26 højde 6 Højresummen 22 Implicit differentiation 17 Indskudsreglen 21 Injektiv 12 Integration ved substitution 21 Integrationsprøven 20 Intervaller 4 Kasse 8 Kegle 7;9 Keglestub 7;9 kongruente 5 Kontinuitet 16 Konveksitetsforhold 18 Krydsprodukt 28 Krydsprodukt, vinkel og areal 28 Kugle 8;9 Kugleafsnit 9 Kuglens ligning 29 Kugleudsnit 9 Kurveundersøgelse 26 Kvadratsætningerne 3 Lige og ulige funktioner 12 Lige store koefficienters metode 10 Ligninger 4 Ligninger og uligheder 4 Linjeelement 25 Linjen 24


Linjen skæring 25 Linjens ligning 10 Linjens parameterfremstilling 27 Linjers skæring 10 Lodret asymptote 17 Logaritmefunktioner 14 Lokale ekstremumssteder 19 Længdeformlen 23 median 6 Middelsummen 22 midtnormal 6 Midtnormal 5 Midtpunkt af linjestykke 10 Midtpunkt M af linjestykke 26 Midtsum 22 Monotoniforhold 12;18;19 Mængder 3 Newton-Raphsons iterationsformel 20 Numerisk differentiation 16 Numerisk værdi 4 Omkreds 6 Omløbsretning 24 Omvendt funktion 13 Opløsning af vektorer 23 Optimering 20 Ortogonale linier 10 Overfladen af en kuglekalot 8 Overfladen af en kugleskive 8 Overflader 7 Overgangsformler 11 Parallelitet 24 Parallelogram 6 Parameterfremstilling for linje 25 Parameterkurver 25 Partiel/delvis integration 21 Periode 14 Periodicitet 13 Planer 27 Polygoner 10 Polynomier 14 Polynomiumsbrøker 17 Potenser 5 prikprodukt 23 Projektion 24 Projektion af vektor på vektor 27 Projektioner 28 Pyamide 8 Pyramidestub 9 Pythagoras 6

Radian- og gradtal 13 Regneregler for bestemte integraler 21 Regneregler for logaritmer 14 Regneregler for ubestemte integraler 21 Regneregler for vektorer 23 Regning med koordinater 23 Regning med kvadratrødder 5 Relativ tilvækst 14 Retningsvinkel 24 Retvinklet prisme 8 Rombe 6 Rumfang 22 Rumfangsformler 8 Rødder og potenser 5 Sammensætning af funktioner 13 sekanten 16 Semilogaritmisk papir 15 sinus 10 Sinusrelationerne 11 Sinussvingning 13 Skalarprodukt 23;27 Skalarprodukt og vektors længde 27 Skrå asymptote 17 Skæringspunkter med x-aksen (rødder):

13 Stamfunktion 20 Stamfunktioner 20;23 Stedvektor 26 Stedvektoren 23 Substitutionsmetoden 10 Summer 22 Svingninger 13 Symmetri omkring koordinatakserne 26 Tal 3 Talmængder 3 tangens 10 Tangent 16;26 tangentens hældningskoefficient 16 Toppunkt 13 Trapezsum 22 Trekantens areal 11 Trekanter 5 Trigonometri 10 Trigonometriske funktioner 13 Trigonometriske grundligninger 14 Trigonometriske grunduligheder 14 Tværvektor 24 Udsagn og åbne udsagn 4 Uligheder 4


Vandret asymptote 17 Vektor 23 Vektorer i planet 23 Vektorer i rummet 26 Vektorfunktion 26 vektorprodukt 28 Vektors koordinater 26 Vektors længde 27

Venstresummen 22 Vigtige funktioner 12 Vinkel mellem linjer 11 Vinkel mellem vektorer 24;27 vinkelhalveringslinje 6 Vinkler 28 Værdimængde 16;20


Documents

Matematisk Formelsamling