l. udgave Erhvervsskolernes

TEKNISK

lEMATIK P. MADSEN

FORMELS LIN G

Erhvervsskolernes h Ja

Teknisk matematik - Formelsamling 7. udgave, l. oplag © Erhvervsskolernes Forlag 2007

Forlagsredaktør: Michael B. Hansen, rnh@ef.dk Omslag: Kurt Latt/Stig Bing Grafisk tilrettelæggelse: Kurt Latt Dtp: Ebbe Lastein Tryk: Narayana Press ISBN: 978-87-7881-911-6

Bestillingsnummer: 31259-1

Bogen er sat med Palatino Bogen er trykt på 115 g Silk

Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er ikke tilladt ifølge gældende dansk lov om ophavsret. Alle rettigheder forbeholdes.

Erhvervsskolernes Forlag Munkehatten 28 5220 Odense SØ info@ef.dk

www.ef.dk Tlf. +45 63 15 17 00 Fax +45 63 15 17 28

Cl ...J

o I Cl z

INDHOLD Tal og algebra . ...... .. ... .......... .. . . .... . .. . . . . ... 5

Addition Subtraktion Multiplikation Division - Brøkregning Potens Rod

Ligninger og uligheder .. . .......................... .. 7 Regneregler for løsning af ligninger 2ligninger med 2 ubekendte: determinant-metoden 2. gradsligningen Numerisk værdi Intervaller Regneregler for løsning af uligheder

Geometri . .... ... . ................ ... ............... . 9 Retvinklet trekant Ensvinklede trekanter Højder i en trekant Medianer i en trekant Vinkelhalveringslinjer i en trekant Trekantens indskrevne cirkel Trekantens omskrevne cirkel Firkanter Polygoner

Trigonometri ................ ........ . ... .. ...... .. . 12 Den retvinklede trekant Den vilkårlige trekant

Cirklen ...... . . ..... .. ....... ........... ...... . .... . 13 Omkreds - buelængder Arealer mv.

Overflader - urlfoldninger . ... . .... . . . . ..... .. . .. . . . .. 15 Overflader mv.

Rumfang . .............. ..... . ........... .......... . 17 Retvinklet prisme Kasse Cylinder Cylinderrør Pyramide Kegle Keglestub Guldins l. regel Guldins 2. regel Kugle Kugleudsnit Kugleafsnit

Analytisk plangeometri. . . ... ....... ......... .. . . .... 20 Plangeometri

Vektorer i planet . ........ . .. . .. ..... . ........... . . . . 21 Vektor koordinater Vektorkoordinater i et koordinatsystem Multiplikation af skalar med vektor Addition af to vektorer Vektorer i ligevægt Subtraktion af vektorer Enhedsvektor Skalarprodukt Tværvektor Trekantens tyngdepunkt Trekantens areal

Projektion Afstand fra punkt til ret linje

Funktioner . .. . . . ............. . .. . . . ........ . .. .. .. . 24 Definition på en funktion Lineær funktion Funktioner af 2. grad (parabler) Sammensatte funktioner Omvendte funktioner Proportionalitet

Eksponentielle funktioner . ........ . ..... . ...... ..... 25 Logaritmefunktioner Eksponentialfunktioner

Trigonometriske funktioner ......... ....... . . ....... 26 Trigonometriske definitioner og grundformler Ad di tionsforrnlerne Formler for den dobbelte vinkel Svingninger

Differentialregning .. . .. . ......... .. . ..... . .... . . ... 28 Symboler for differentialkvotient Regneregler for bestemmelse af differentialkvotienter Bestemmelse af lokale maksimums- og

minimumspunkter Implicit differentiation

Integralregning . . . . . ............ . . ... ......... . . ... . 30 Integral- stamfunktion - integrationsprøven Bestemmelse af stamfunktioner Regneregler for integration Bestemt integral Partiel integration (delvis integration) Arealberegning Rumfangsberegning

Vektorer i rummet ..... . ...... . ......... . .. . . . .. . .. . 32 Vektorkoordinater og vektorlængder Enhedsvektor Skalarprodukt Projektion Parameterfremstilling af re t linje Vektorprodukt Parameterfremstilling af plan Planets ligning på normalform Afstand e mellem punkt P0 og plan a Afstand e mellem punkt Po og linje Kugle med radius r og centrum i (a,b,c)

Vektorfunktioner . .. ... ....... .. . .......... . .... .... 34 Vektorfunktioner Bevægelser

Grænseværdier . . . ...... . ..... ..... .. ..... .. ... .. . . . 35 Regneregler mv. for grænseværdier

Funktionsundersøgelse ............................. 36 Definitionsmængde Skæringspunkter med x-aksen Skæringspunkter med y-aksen Monotoniforhold Asymptoter Vendepunkter Værdimængde

Differentialligninger . . .. .... . . . . . ... ..... . .. ........ 38 Ligningstype / Løsning

Matematiske tegn og symboler . ... .... . ........ .. .. .. 39

Tal og algebra

Addition

i+f=c

a+b=b+a a + (b + c) = a +b+ c

Subtraktion

a-b=c

a- (b + c) = a- b - c

Multiplikation

a· b= c l l

a·b=b · a

a· a· a· a= a4

a(b + c) = ab + ae a(b - c)= ab- ae (a+ b)(c +d)= ae+ ad+ bc + bd

(a+ b)2 = a2 + b2 + 2ab

(a- b)2 = a2 + b2 - 2ab

(a+ b)(a- b)= a2 - b2

Division- Brøkregning

a :b= c

l l

r-~ = c b l

a a·c - = b b · c

a a:c - = b b:c

~+~+~ a+b+c =

n n n n

Sum Addender

Addendernes orden er ligegyldig. En parentes med fortegn + kan hæves og sæt-tes, uden at leddenes fortegn ændres.

Differens

En parentes med fortegn- kan hæves, når leddene i parentesen ændrer fortegn.

Produkt Faktorer

Faktorernes orden er ligegyldig

Regneregler

"Tre vigtige formler"

Kvotient Divisor Dividend

Kvotient Nævner Tæller

Regneregler

..., )> r-

c c;; )> r-c;; m o:l Al )>

...J

<(

a a -·c=-b " b . c

a c a·c b"d=b-·-d

Potens

a· a· a· a= a4

-n a l n

a aP . a q= aP+q

:: = ( ~y (a· b)P = aP. bP

aP = ap - q

a q

(aP)q = aP · q

Rod

~ = nJa .nJb

Regneregler

Regneregler

Regneregler

Regneregler for løsning af ligninger

Du må flytte et led fra den ene side af lig­hedstegnet til den anden ved at skifte for­tegn på leddet.

Du må gange med samme tal på begge si­der af lighedstegnet - dog ikke med O. Du må dividere på begge sider af ligheds­tegnet med samme tal- dog ikke med O.

Du må kvadrere på begge sider af ligheds­tegnet.

a· b= O a = O eller b = O

a b

= c d

ad= bc

Nul-reglen: Et produkt er O, hvis mindst en af faktorerne er O.

Består ligningen af en brøk på hver side af lighedstegnet, kaldes ligningen en propor­tion. I en proportion må du gange over kors.

2 ligninger med 2 ubekendte: determinant-metoden

a1x + b1y=c1 azx + bzy= cz

D= al bl

az bz

D = al cl

y az cz

D = cl bl

x cz bz

D x x = og

D

=al bz- azbl

= alcz- azcl

=cl bz- czbl

D y = =:..I

D

G L

L G n A

c G c r

G J n c n A

~ UJ o UJ I 0 ...J

::::>

0 o ~ UJ

0 z z 0 ...J

•

2.gradsligningen

ax2 + bx +c= O

x = -b ± J b2

-4ac 2a

d= b2 - 4ac

Numerisk værdi

lal = { a, når a ~ O - a, når a < O

Intervaller

{x E R ib < x < a } = l b; a [

{x E Rib < x s a} = ]b ; a]

{x E R ia s x } = [a; ro [

{x E R lx< a} =] - ro ;a[

Regneregler for løsning af uligheder

- Du må flytte et led fra den ene side af ulighedstegnet til den anden side ved at skifte fortegn.

- Du må gange med samme positive tal på begge sider af ulighedstegnet.

- Du må dividere med samme positive tal på begge sider af ulighedstegnet.

- Du må gange med samme negative tal på begge sider af ulighedstegnet, når du vender ulighedstegnet.

- Du må dividere med samme negative tal på begge sider af ulighedstegnet, når du vender ulighedstegnet.

2.gradsligningens løsningsformel

Diskriminanten, d Hvis d = O, har 2.gradsligningen en rod. Hvis d > O, har 2.gradsligningen to rødder. Hvis d < O, har 2.gradsligningen ingen rødder.

x b a

x b a

x a

x a

Geometri

Retvinklet trekant

I en retvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lig med summen af kateter­nes kvadrater.

Ensvinklede trekanter

For ensvinklede trekanter gælder:

al = bl = cl a2 b2 c2

Højder i en trekant

En højde i en trekant er en linje, der udgår fra en vinkelspids og står vinkelret på den modstående side eller dennes forlængelse.

Medianer i en trekant

En median i en trekant er en linje, der for­binder en vinkelspids med den modstå­ende sides midtpunkt.

Medianerne går gennem samme punkt og deler hinanden i forholdet 1:2.

Vinkelhalveringslinjer i en trekant

En vinkelhalveringslinje i en trekant er en linje, der halverer en af trekantens vinkler.

Trekantens indskrevne cirkel

Vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt er centrum for trekantens indskrevne cir­kel.

G r c .. < ~

B

c a

~ A/L..__----'..l___"b-------'""' C

A~~ b c

B

~ A C

•

Trekantens omskrevne cirkel

Midtnormalernes skæringspunkt er cen-trum for trekantens omskrevne cirkel.

Firkanter

Kvadrat: En firkant, hvor alle vinkler er

·D rette, og alle sider lige lange. Areal = a2

a

Rektangel: En firkant, hvor alle vinkler er rette. Diagonalerne er lige lange og halve- {><l rer hinanden. Areal = a · b

b

Rombe: En firkant, hvor alle sider er lige

A~l'"'~ c lange. De modstående vinkler er lige store. Diagonalerne halverer hinanden, står vinkelret på hinanden og halverer

~v rombens vinkler.

Areal= ~ . d1 . d2

Parallelogram: En firkant, hvor de modstå- B c ende sider er parallelle og lige lange. De

A\/ modstående vinkler er lige store, og dia-gonalerne halverer hinanden. Areal= g. h

A D g

Trapez: En firkant, hvor to sider er paral-B c

l elle.

/f \ Areal = ~ · h · (BC + AD)

A D

•

Polygoner

Vilkårlige polygoner: En vilkårlig n-kant kan inddeles i n - 2 trekanter. Vinkelsummen = (n- 2) · 180°

Regulære polygoner: En regulær polygon er en n-kant med lige store sider og lige store vinkler. Alle regulære polygoner har en indskre­ven og en omskreven cirkel. Forbindes centrum med polygonens vinkelspidser, fremkommer n ligebenede trekanter.

v= 360°

n

G r ( .. < ..

•

Ck:: 1-UJ

~ o z o 0 Ck:: 1-

•

Trigonometri

Den retvinklede trekant

modstående katete sinv = hypotenusen

cos v _ hosliggende katete - hypotenusen

tanv = modstående katete hosliggende katete

Areal = ! · h · c = ! · a · b 2 2

Den vilkårlige trekant

a sin A

cos A

= b sin B

c sin C

Areal = ! · a · b · sin C 2

Areal a·b · c 4·R

Areal = r· s

2 ·R

Areal = J s · (s - a) · (s - b) · (s - c)

s = a+b+c 2

R: Radius i trekantens omskrevne cirkel. r: Radius i trekantens indskrevne cirkel.

B

c a

AL.,_-----=------------' C b

B:~-------~

c

Cirklen

Omkreds - buelængder

0=n · d=2·n ·r

b

Arealer mv.

Cirkel:

Areal= n·/

Cirkelring:

{

1t 2 1t 2

Areal = 4 . D - 4 . d

2 2 n · R -n·r

i--- --D= 2 · R------+1

(

;;t i i n L

z w ...J

~ 0::

u

•

Cirkeludsnit:

2 n· r ·v

Areal= 360

o

Cirkelafsnit:

2 r (n·v . ) Areal=- --- smv 2 180°

Korde:

k = 2 ·r· sin~ 2

Pilhøj de:

h = r · (l - cos~ )

Overflader mv.

Den krumme overflade af en cylinder:

A= n·d·h = 2·n·r·h

Den krumme overflade af en kegle: A= 1t·r·s

Vinklen v:

360° ·r v = s

Korden k:

k = 2 ·s· sin~ 2

Den krumme overflade af en keglestub:

A = n· s· (R+ r)

Vinklen v:

v = 360° · R s z

Korden k:

k = 2 · s2 · sin~ 2

c

h

D

7t·d=2·7t·r

A

h

•

Ck'! Den krumme overflade af en UJ

0 kugle:

A = 4·n · r 2 = n. d2 a

Kuglekalot h

Den krumme overflade af en kuglelcalot:

A=n·d · h h

2 2 A=n·(a+h)

Kugleskive

Den krumme overflade af en kugleskive:

A=n·d · h ...J u. Ck'! UJ

> o

•

Rumfang

Retvinklet prisme

V=G·h G = grundarealet

Kasse

V=a·b·h

Cylinder

2 n 2 V=n·r · h=-·d · h

4

Cylinderrør

2 2 V= (n ·R -n·r )· h

D = ydre diameter d = indre diameter R = ydre radius r = indre radius

l l l

/""/-----G

......... -... -:.-:..~-:..-=-:..:..~ ..... \..... .",.-'

h

j

h

j

•

i\ c 3 , ): 2 c

•

Pyramide

V=! · G·h 3

G = grundarealet

Pyramidestub

V = ! · h( G +g+ ~) 3

g = areal af topflade G = areal af bundflade

Kegle

n 2 n 2 V=-·d ·h=V=- · r ·h

12 3

Keglestub

n 2 2 V = -·h · (R +r +R· r)

3

Guldins l. regel

A= 2·n·a · L·~ 360°

d=2 · r

Guldins 20 regel

V= 2onoaoAo~ 360°

Kugle

1( 3 4 3 V=-od =-onor 6 3

Kugleudsnit

1( 2 V=-odoh

6

Kugleafsnit

1( 2 h v = - o h o (3d - 2 ) 6

1( 2 2 V = - o h o (3 o a +h )

6

A

d

d

•

i c .. < .. ) J.

G

~ l­w ~ o w (j z <( ...J a.. ~ (/)

1->-...J

<( z <(

•

Plangeometri

_ ( x2 + x l Y 2 + Y 1) M( x, y) -2

, 2

xl Y1

A = 1. x2 Y2 2

x3 Y3

xl Y1

y=a

x =b

y =ax

y = ax +b

y -y a = tanv = -2

--1

x2 -xl

Afstandsformlen

Midtpunkt på et linjestykke

Determinant-formlen for areal af trekant

Vandret linje gennem punktet (O,a)

Lodret linje gennem punktet (b,O)

Ret linje med stigningstal a, som går gennem (0,0) og (l,a)

Ret linje, som går gennem (O,b) og (l,a+b)

Ret linje med stigningstal a som går gennem (x l, Y l)

Forhold mellem stigningstal, vinkel mellem vandret og lin­jen og to punkter.

Når to linjer har samme stig­ningstal, er de parallelle.

Når produktet af to linjers stigningstal er -l, står de vin­kelret på hinanden.

Cirklens centrumsligning. Centrum er (a,b) og radius er r .

Vektorkoordinater

Vektorkoordinater i et koordinatsystem

Multiplikation af skalar med vektor

n·-;:= (n ·x) n·y

Addition af to vektorer

--7 --7 --7 r = a +b

--7 --7 ( xl + Xz ) a+ b = Y1 +yz

Ll x

y

-+--------------------------_.x

L} x

-a

-n ·a

n·y

n·x

L::} p -a

•

< r i

( i r i

r ) J. r

1-UJ

z <{ ...J a..

C! UJ C!

o 1-~ UJ

>

•

Vektorer i ligevægt

---7 ---7 ---7 ---7 ( o ) a+b+c+d= 0

Subtraktion af vektorer

---7~ ---7 ---7 a-b = a+(-b)

Hvis -;= ( ;J og b = (;:) er

Enhedsvektor

x - x og Ye = _y_lv' l e - 1-;1 --,

Skalarprodukt

-;.b = 1-:l.lbl· cosv

---7 ---7

a•b =x1 · x2+Y1"Y2

x l · X2 + Y 1 · Y 2

cosv = 1-:l.lbl

---7 ---7 Skalarproduktet a • b = O, når vekto-rerne står vinkelret på hinanden .

u d

-b b -~----------

x

Tværvektor

Hvis~ = (;) er

A (-!) a =

Trekantens tyngdepunkt

_ cl+ x2 + x3 Y1 + Y2 + Y3) T(x, y) - 3 ' 3

Trekantens areal

~ (xl) ----7

( ;:) er Hvis AB = Yl og AC =

l xl Y1 Areal = - · 2 x2 Y2

l = 2 ·lxl · Y2- X2 · Y1l

Projektion

1~ 1 = l"bl. cosv

1~1 l~. "bl =

1~ 1

--7

1 ~1 - ~ b = a

Afstand fra punkt til ret linje

z= lad+ be +cl

Ja2 + b2

-y y

\ Vc l y

x x

y

B(xz,yz)

T( x, y) A(xvyl)

C(x3,y3)

y

J\

.D C A

y ba -7

a

/1 -7 a

-+ b a

y

P(d,e) ...__ ~ax+by+c=O

x

x

x

•

r l

( l r l

r ) J.

r

Funktioner

Definition på en funktion

En funktion er en forskrift f, hvor der til ethvert element x i en mængde A kan f

knyttes et og kun et tal y. l x y

A: Definitionsmængde B: Værdimængde A B

Lineær funktion

f(x) =a · x+ b a: stigningstal/hældningskoefficient b: konstantled

Funktioner af 2. grad (parabler)

f(x) = ax2 Toppunkt: (0,0)

f(x) = a(x - x0)2 Toppunkt: (xo,O)

f(x) = ax2+ y0 Toppunkt: (O,yo)

f(x) = a(x- x0)2+ Y o Toppunkt: (x0,y0)

f(x) = ax2 + bx + c ( -b d) Toppunkt: 2a' - 4a d= b2 - 4ac

f(x) = ax2 + bx + c Kan omskrives til a( x - a.)(x- ~)

hvis a. og ~ er rødder i ligningen

ax2 + bx +c= O

Sammensatte funktioner

f(x) = 3x -l og g(x) = -2x + 5 Eksempel

(f o g)(x) = 3(-2x + 5) -l Den sammensatte funktion

Omvendte funktioner

f(x) = 2x Eksempel

x= 2y eller -1 l Den omvendte funktion f (x) = -x

2

Proportionalitet

Ligefrem proportionale størrelser y y0

y= a.. x

/ l x

Omvendt proportionale størrelser y

k y=-x

y =k x

x

•

Logari tinefunktioner

lO-tals logaritmen

f( x) = log x, x > O

Den naturlige logaritme

f( x) = ln x, x > O

Eksponentialfunktioner

Eksponentialfunktionen

f(x) = ax, a > O og x E R

Eksponentielle vækstfunktioner

f(x) = b · ax , b > O , a > O og x E R

T _ log 2 2 - log a

T =_log 2 ~ log a

Renteformlen

Kn = K(l + rt

Regneregler: log 10 =l log a · b = log a + log b

log ~ = log a - log b

log an = n · log a

lognJa = .! · log a n

Regneregler: ln e= l lna · b=lna+lnb

ln ~ =lna - lnb

ln an= n ·ln a

lnnJa = .! · ln a n

Fordoblingskonstant for eksponentielt voksende funktion

Halveringskonstant for eksponentielt aftagende funktion

Kapitalen, når grundbeløbet K har stået i n terminer ved rentefoden r.

•

n 7 (j i c L n L

n r r n , c L 7

c L n ;A

C! UJ

z o l­~

z :::> Ll..

UJ ~ (/)

C! 1-UJ

~ o z o (j C! l-

•

Trigonometriske definitioner og grundformler

sin v

cos v

tan v

(cos vf +(sin v)2 =l

sin v tan v= --cos v

Additionsformlerne

sin(a +b) =sin a· cos b+ cos a· sin b sin(a- b) =sin a· cosb-cos a· sin b cos(a +b)= cos a· cosb-sin a· sin b cos(a- b)= cos a· cos b+ sin a · sin b

Formler for den dobbelte vinkel

sin(2a) = 2 · sin a· cos a

. cos(2a) = (cos a)2

- (sin a/

= 1- 2(sina)2

2 = 2( cos a) -l

tan 2a = 2tan a 2

1- ( tan a)

f(t) =a · sin(co ·t)

a: amplitude co: vinkelhastighed i rad / sekund t: tid i sekunder

T = 2rc CO

f = CO 2rc

l -T

f(t) =a sin(cot +<p), hvor <p kaldes faseforskydningen. (Vektoren danner til tiden t= O vink­len (p med vandret).

f( t) = a sin cot +k, som er en svingning, der er forskudt konstanten k i y-aksens retning.

Periodetid

Frekvens

a

T

•

~

G c 2 c 3 n

~

u 7' n ., c L 7'

c L n ~

0 z z 0 w ~ ...J

<l: l­z w ~ w LL. LL.

o

•

Symboler for differentialkvotient

lim ~ = ~ = df(x) = f'(x) = y' /).x ~ ot.x d x d x

Regneregler for bestemmelse af differentialkvotienter

Funktion f( x) Differentialkvotient f ' (x)

Konstant k o Potensfunktion a· xn n· a · xn-l

Sum u+v u' +v'

Differens u - v u'-v'

Produkt U·V u'v +v'u

Brøk u U1 ·V - U · V

1

-v 2 v

Trigonometriske sin x cos x funktioner

cos x -sin x

2 l tanx l+(tanx) = 2

(cos x)

Eksponentialfunktioner a x ax · ln l a l ..

ex ex

Logaritmefunktioner lnx l -

x

log x l x · lnlO

Sammensat funktion ~ = ~.du.dz d x du d z d x

Bestemmelse af lokale maksimums- og minimumspunkter

l. Løs ligningen f' (x) =O 2. Fortegnsbestemmelse for f'(x)

a) lokalt maksimum forekommer, når fortegnet for f'(x) går fra+ til-

b) lokalt minimum forekommer, når fortegnet for f'(x) går fra- til+

c) Vandret vendetangent forekommer, når fortegnet for f' (x) er: 11 +0+11 eller 11-0-11

3. Beregning af Y max og Y min sker ved indsættelse af de fundne x-værdier i f(x) .

Implicit differentiation

x2 + y2 - l= O Eksempel 2 2

dx + 9.Y_ . ~_dl = 0 dx dy dx dx

2x+2y· ~=O d x

~ = -~ d x y

•

"T "T rT ;;:t rT 2

)> r ;;:t rT ~ z z ~

0 z z 0 UJ ~ ...J

<( ~

0 UJ l-z

Integralregning

Integral - stamfunktion - integrationsprøven

JfCx)dx = F(x) +k når F'(x) = f(x)

Bestemmelse af stamfunktioner

Funktion f( x)

Konstant k

Potensfunktioner xn

l - l -=x x

Trigonometriske sin x funktioner

cos x

tanx

sin2x = (sin x)2

cos2x =(cos x)2

2 l l+tan x= -2-

cos x

Eksponentialfunktioner a x

ex

Logaritmefunktioner lnx

log x

Regneregler for integration

Ju(x) + v(x)dx = Ju(x)dx + Jv(x)dx

Ju(x)-v(x)dx = Ju(x)dx - Jv(x)dx

Bestemt integral

b b J f(x)dx = [F(x)]a = F(b)-F(a) a

Partiel integration (delvis integration)

Ju(x) · v(x)dx = U(x) · v(x)- JU(x) · v'(x)dx

Stamfunktion F(x) = Jf(x)dx

k·x

n+l x --n+l

ln x

-cos x

sin x

-ln l cos x l

~ (x- sin x · cos x)

~ (x+ sin x · cos x)

tanx

x l a ln ja j ex

x·lnx-x

x x -logx- --lnlO

Sum

Differens

"

Arealberegning

b A= f f(x)dx

a

b A = f f( x)- g(x)dx

a

c Al f f(x)- g(x)dx

a

b A2 f g( x)- f(x)dx

c

c A3 = f g(x)dx

a

b A4 = J f(x)dx

c

Rumfangsberegning

Rumfanget af omdrejningslegeme fremkommet ved drejning 360° om x-aksen af det viste, farvede areal:

b 2 V x = 1t · f f( x) dx

a

Rumfanget af omdrejningslegeme fremkommet ved drejning 360° om y-aksen af det viste, farvede areal:

b V = 2 · 1t · f x · f(x)dx

y a

Rumfanget af et omdrejningslegeme fremkommet ved drej­ning 360° om y-aksen af det farvede areal på figuren

Længde af kurve

f(b) 2 v Y= n . f x dy

f (a)

b (d )2 b L = i l + d~ dx =Ja ~l+f'(x)2 dx

f(x)

A

a

f( x)

a c

y

o

y

L

b

f( x)

x

b

x

x

y= f( x)

x

•

z ~ m CJ ;iO )> r ;iO m Q z z Q

~ w ~

o 1-~ w >

•

Vektorkoordinater og vektorlængder

~ = (~] 1--:1 = Jx2+/+i

Givet: A(x1,y2,z1) og B(x2,y2,z2)

[ x2 -x1] AB = Y2-Yl

z2- zl

IA.BI = Jcx2- xll + CY2- Y1)2

+ Cz2- z1l

Enhedsvektor

~ = (~] x

J 2 2 2 x +y +z

--7 y e a= J 2 2 2 x + y +z

z

J 2 2 2 x + y + z

Skalarprodukt

--;; • b = 1--:.1 .1b1· COSV = x1x2 +y1y2 +zlz2

cosv = x l x2 + Y 1 Y 2 + z l z2

1--:.l·lbl

Projektion

1~1 = lå ·bl a lål

Parameterfremstilling af ret linje n [xo +t x,] ~ = ~:: : : ~:

C:J a: ' ~

b,

Vektorprodukt

l~ x "bl = l~~ -l "bl · sin v

Parameterfremstilling af plan n [ X0 J [ X l - XO J l X2 - X0: y = Yo +s· Y1-Yo +t · Y2 - Yo

z _ z0 z1 - z0 z2 - z0

Planets ligning på normalform

a(x- x0) + b(y- y0) + c(z- z0) + d = O

eller

; ~ [ ~] ax + by + cz + d = O med

Afstand e mellem punkt Po og plan a

Punkt P0: (xo,yo,zo) Plan a: ax + by + cz + d = O

e = la · x0 +b · y0 +c · z0 +dl

J 2 2 2 a +b +c

Afstand e mellem punkt P 0 og linje

Punkt P0: (x0,yo,zo)

17x~l e =

171

Kugle med radius r og centrum i (a,b,c)

(x- a)2 +(y- b)2 +(z- c)2 = r2

al bl

la2 bJ x = = a2 · b3- a3 · b2 ~ l a3 b l a x b: y= = a3 . bl - al . b3

lal bd z = = a1 · b2- a2 · b1 a2 b

a3 b3

Po(XQ,yo,zv)

e k

v ~

r p

y

------~ ...--;;j/___ ---<r~~

x (a,b,c) "---r---_ J ~ r /; (x,y;z)

-

•

< rT 7'

c it rT it

it c s s rT

•

Vektorfunktioner

Ret linje

7 (t) = ( ; ) = ( ~~ : : ·. :J

-7 ( x ) ( x0 + t · cos v J r (t) = = .

Y y0 +t· smv

Cirklen

-7 ( ) = ( a + r · c~s t) r (t) = ; b + r · s m t

Ellipsen

7 (t) = ( yx) = ( a · c~s t ) b· smt

Bevægelser

7ct)= (x(t) ) y( t)

~ -7 (x'(t) ) v (t) = r '(t) =

y'(t)

1-: cd = Jcx'(t))2 + (y'(t)l

-7 --7 -7 (x"(t) ) a (t) = v '(t) = r "(t) =

y" (t)

Længde af kurve givet ved vektorfunk­tion

/b, (XQ,yo) ./'1 1

y

a·t x

y (x,y)

(x,yo)A x

y (x,y)

r t

(a,b)'

x

Banekurven

Hastighedsvektor

Farten

Accelerationsvektor

y

x

Grænseværdier

Regneregler mv. for grænseværdier

lim l= o y

x -7 ±oo X f(x) = ~

lim l = +oo l \_ x x -7 o+ x

l l

lim l - = - 00

X-70 x

Når lim f( x) =F og lim g( x) =G gælder: X-7a x-7a

lim f(x) + g(x) =F+ G x-7a

lim f( x) - g(x) =F- G X-7a

lim f(x) · g(x) =F· G x-7a

lim f(x) = .!::, x-7a g(x) G

G :;t: O

•

UJ (/) ...J UJ

~ (S) (/) ~ UJ o z :J (/)

2 o 1-~ z :J LL.

•

Definitionsmængde

f(x) = Jx - 4

Dm(f) = {xERI(x2':4)}

Skæringspunkter med x-aksen

f(x) =O

Skæringspunkter med y-aksen

f(O) =y

Monotoniforhold

Eksempel f er voksende i [a;b] og [c;oo[ f er aftagende i [b;c]

Lokale maksimums- og minimumspunk-ter bestemmer du ved at sætte f' (x) =O og løse den fremkomne ligning.

Asymptoter

Lodret asymptote Er funktionsudtrykket formet som en brøk, skal du undersøge for asymptoter.

Du bestemmer de x-værdier, der gør brø-kens nævner lig med O. Eksempel: x = a l) Du bestemmer grænseværdien for brø-

ken, når x~ a+ og x~ a-2) Hvis grænseværdien bliver plus-

uendelig eller minus-uendelig, er linjen x = a lodret asymptote .

Definitionsmængden vælger du alminde-ligvis så stor som mulig. Har du en opgave, hvor du kun har behov for at arbejde inden for et bestemt inter-val, kan du fastlægge dette interval som definitionsmængde. Du kan også møde eksempler, hvor regne-forskriften udelukker nogle tal i definiti-onsmæ.ngc\l:'.n.

1

Du sætter f( x) = O og løser den fremkomne ligning.

Du sætter x = O i regneforskriften for f( x) og bestemmer skæringspunkterne med y-aksen.

y f

,-----~

( x

a b c

y

L. (0,0)

\

x=a

Vandret asymptote l ) Du bestemmer grænseværdien for brø-

ken, når x ~ ±oo 2) Hvis grænseværdien blive en konstant

f.eks. b, er linjen y= b vandret asyrnp-tote.

Skrå asymptote Hvis tællerens polynomium er en grad højere end nævnerens, kan du bestemme en evt. skrå asymptote således: l) Du dividerer nævneren op i tælleren. 2) I resultatet af denne division lader du

x~±oo

Den skrå asymptote vil da fremkomme som en ligning af formen y=ax+b

Vendepunkter

Vandret vendetangent vil forekomme, når fortegnsvariationen for f' (x) er: "+0+" eller "-0-" x-værdier for en skrå vendetangent kan du bestemme ved at sætte f" (x) =O og løse den fremkomne ligning.

Værdimængde

Eksempel Har du grafen for en funktion f med mini-mum i (a,b), vil du kunne beskrive værdi-mængden således: Vm(f) = [b;oo[

Y L_

\ y=b

x (0,0)

y

(0,0) V=~·b

v v

~

y

~ ~ x

•

.,. c 2 i'

c 2 u c 2 c: rr iC u ~ c rr r u rr

...J

...J

4: l­z w ~ w LL. LL.

o

•

Ligningstype

y'= g(x)

y' = h(x ) · g(y)

y' =k·y

y'= g(y)

y'= y(b - ay)

y"= g(x)

Løsning

y = Jg(x)dx

Jg(ly) dy = Jh(x)dx

y=c·ekx

Jgty)dy = x+k

b -a

y = -b x

l +k · e

y' = Jg(x)dx

- herefter som den første type

Tegn, anvendelse

E

~

{ l l -

ø

N

z Q

R

(,)

=

* ~

<

>

:s;

~

00

+

-

a · b a x b ab

a ab ab-l

b

a P

l alh 2 Ja a

l 1/ n n rtJa a a

lal

f

x E A

y~A

{x E Alp(x)}

(a,b)

a=b

a* b

a:::::b

a<b

a>b

a:s;b

a~b

a+b

a-b

Betydning, læsning

x tilhører mængden af A, x er element i mængden A

y tilhører ikke mængden A, y er ikke ele-ment i mængden A

Mængden af elementer x tilhørende A, for hvilke udsagnet p(x) er sandt

Den tomme mængde

Mængden af naturlige tal og nul

Mængden af hele tal

Mængden af rationale tal

Mængden af reelle tal

Ordnet par

a er ligmed b

a er forskellig fra b

a er tilnærmet lig med b

a er mindre end b

a er større end b

a er mindre end eller lig med b

a er større end eller lig med b

Uendelig

Summen af a og b, a plus b

Differensen mellem a og b, a minus b

a multipliceret med b, a ganget med b

a divideret med b, a delt med b

a opløftet til potensen p, a i p 'ne

Kvadratroden af a

Den n ' te rod af a

Absolut værdi af a, numerisk værdi af a

Funktion f. Kan angives ved x~ f( x) eller også ved f(x)

~ )> -i m ~ )> -i -Ul i\ m -i m ø z o ø Ul -< ~ O:J o r m ;iO

0:: w --' o ca ~ >­(/')

"' o z

"' w l-w ~ (/')

1-4: ~ w 1-4: ~

•

Tegn

go f

X---*a

lim f(x) x~ a

tlx

d f -d x

f'

dnf -dxn

Jf(x)dx

b

Jf(x)dx a

e

ex

lnx

lg x

n

sin x

cos x

tanx

--7 a a

j-;j a A

a

--7

e a

--7 --7

ex ' e y

i, j

--7 ----* a • b

--7 --7 a x b

Betydning, læsning

Den af f og g sammensatte funktion (g o f)= g(f(x))

x gårmod a

Grænseværdi for f(x), når x går mod a I stedet for lim f( x) = b kan skrives f(x) ----* b for x----* a

x~a

Grænseværdier "fra højre" og "fra venstre" kan betegnes ved henholdsvis lim f(x) = b og lim f(x) = b

x~a+ x ~ a -

Tilvækst i x

df/ dx Afledede funktion af en variabel x

D f 0 o df(x)

d(f(x)) / dx f'(x) Df(x) gsa--d x

Den n-te afledede af funktionen f af en variabel x

For n = 2 eller 3 bruges også f" henholdsvis f"' i stedet for f(n)

Et ubestemt integral (en stamfunktion) eller mængden af stamfunktioner til funktionen f

Det bestemte integral af funktionen f fra a til b

Grundtallet for den naturlige logaritme

expx Eksponentialfunktionen (med grundtallet e) af x

loge x Naturlig logaritme af x

log10 x Titalslogaritme af x

Forholdet mellem en cirkels perimeter (omkreds) og diameter

Sinus til x

Cosinus til x

Tangens til x

-a Vektor a

l al Længden af vektor a

Tværvektor a

e a Enhedsvektor i retning af vektor a

ex, ey Enhedsvektorer i koordinataksernes retning

a·b Skalarproduktet af vektor a og vektor b

a x b Krydsproduktet af vektor a og vektor b

anvendelse inden for de grund­

læggende erhvervsuddannelser,

htx-uddannelsen og de videregående

teknikerud d a nn eiser.

Ud over de matematiske formler

findes der bagerst en oversigt over

matematiske tegn og symboler.

Bestillingsnummer 31259-1

www.ef.dk

ISBN 978-87-7881 -911 -6

111111111111111111111111 9 788778 819116

TEC

III f1i1\i1i 1mfl11\[\i1 11 42265