POTRJENO

IZIDMAJA 2009

MATEMATIKA 1, Učbenik za gimnazijeMirjam Bon Klanjšček, Bojana Dvoržak, Darjo Felda

Učbenik je usklajen s prenovljenim in veljavnim učnim načrtom za matematiko v gimnazijah.

✔ Avtorji so v učbenik uvrstili poglavja, ki so po vsebini in obsegu primerna za obravnavo v 1. letniku gimnazije. Pri tem so upoštevali didaktična priporočila veljavnega učnega načrta. ✔ Poglavja se začenjajo z zgledom iz vsakdanjega življenja, ki je nadgrajen z razlago matematičnih pojmov in povezav med njimi. ✔ V pomoč bodo številne rešene naloge, za utrjevanje znanja pa je na koncu vsakega poglavja tudi niz nalog. ✔ Rešitve nalog so zbrane na koncu knjige.

MATEMATIKA 1, Zbirka nalog za gimnazijeOlga Arnuš, Mirjam Bon Klanjšček, Bojana Dvoržak, Darjo Felda, Sonja France, Mateja Škrlec

✔ Zbirka nalog za gimnazije dopolnjuje učbenik. ✔ Knjiga omogoča samostojno delo dijakov v šoli in doma. ✔ Na začetku vsakega poglavja je kratek povzetek snovi, posebej so označene težje naloge, naloge iz posebnih znanj, nekatere naloge pa imajo tudi namige za reševanje. ✔ Na koncu so dodane rešitve nalog.

Zbirka vsebuje zanimive in sodobne naloge ter je dobrodošla osvežitev v množici podobnih knjig. IZID

AVGUSTA 2009

Učbenik je zasnovan strokovno premišljeno, metodično učinkovito, dijakom pa omogoča ustvarjalno in samostojno delo. Matematika je predstavljena preprosto in vsakomur razumljivo. Spodbuja uporabo različnih didaktičnih pristopov, kot so pogovor, delo v skupinah in uporaba dodatnih virov.

MATEMATIKA ZA gIMnAZIjE

Nove vsebine v prvem letniku so nadomestile obravnavo geometrije v ravnini, ki bo kot sklenjena celota v učbeniku za drugi letnik.

Obravnava linearnih enačb

Linearne neenačbe OBRAVNAVA LINEARNIH ENAČB

OBRAVNAVA LINEARNIH ENAČBV enačbi se lahko poleg neznanke x pojavljajo tudi druge črke, npr. a, k, m … Označujejo števila, ki imajo

poljubno vrednost. Imenujemo jih parametri. Njihova vrednost vpliva na rešitve enačbe. Reši enačbo ax + 2(a - 1) = 3a, če je a parameter in x neznanka.

ax = a + 2 Po pravilih o reševanju enačb preuredimo enačbo v ekvivalentno enačbo, da bi izrazili neznanko x.

Parameter a ima lahko poljubno vrednost, tudi 0, zato moramo biti previdni. Enačbo obravnavamo v odvisnosti od parametra a.Ločimo dva primera:1. Če a 0, lahko obe strani enačbe delimo z a in dobimo rešitev .2. Če je a = 0, potem enačbe z a ne smemo deliti. Vrednost a = 0 vstavimo v enačbo: 0 . x = 2.

Ta enačba nima rešitve, množica rešitev je prazna: = { }.

Poišči rešitve enačbe m(x + 9) = 3(m2 + x), če je m parameter in x neznanka.(m - 3)x = 3m2 - 9m Uredimo enačbo.(m - 3)x = 3m(m - 3) Razstavimo desno stran.

Obravnavamo enačbo:1. Če m - 3 0 oz. m 3, lahko enačbo delimo z m - 3. Rešitev enačbe je x = 3m.2. Če je m - 3 = 0 oz. m = 3, enačbe z (m - 3) ne smemo deliti. Vrednost m = 3 vstavimo v enačbo. Dobimo identično enačbo 0 . x = 0, ki ima za rešitev katero koli realno število. Torej: x Linearna enačba ima lahko eno rešitev, nešteto rešitev ali pa ni rešljiva.

1. Obravnavaj enačbi z neznanko x. a) k(x - 1) = 2 - 2x b) mx + 3 = m2 - 4x2. Obravnavaj enačbo z neznanko x.

a2x - ax + 3 = a + 6x

104 Obravnava linearnih enačb

Linearne neenačbe

LINEARNE NEENAČBE

Alja in Niko tehtata skupaj 110 kg, Lina pa ima 51 kg. Koliko kilogramov bi moral tehtati Jaka, da bi skupaj z Lino prevesila gugalnico na svojo stran?

Naj ima Jaka x kilogramov.Lina in Jaka bi morala skupaj tehtati več kot Alja in Niko, kar zapišemo51 + x > 110 To je linearna neenačba z eno neznanko. Iščemo tak x, da bo vrednost leve strani neenačbe večja od vrednosti desne strani neenačbe. Če bi Jaka tehtal 59 kg, bi bila gugalnica v ravnovesju. Če pa bi tehtal več kot 59 kg, bi se gugalnica prevesila na Linino in Jakovo stran.x > 59

Jaka mora tehtati več kot 59 kg. Rešitev zgornje neenačbe je vsako število, ki je večje od 59. Rešitev naloge lahko prikažemo kot poltrak na številski premici.

0

6050

20 30 40

10

Nikova višina

Jakova višina

nova Nikova višina

nova Jakova višina

Na obeh straneh neenačbe lahko prištejemo ali odštejemo isto število ali isti izraz.x + 51 > 110 x + 51 - 51 > 110 - 51 x > 59

Na obeh straneh neenačbe odštejemo 51.Neenačbo skrčimo in zapišemo rešitev.

Če neenačbo pomnožimo ali delimo s pozitivnim številom ali izrazom, se neenačaj ohrani. x > 5 ⇒ 2x > 10

0

0

5

5

10

10

x > 59

Lani sem bil višji od Nika. Oba sva

zrasla za 4 cm.

Potem si še vedno višji

od Nika.

4 cm4 cm

x > 5

2x > 10

105

✔ novost učbenika sta statistika in modeliranje z linearno

funkcijo.

Med posebna znanja, ki so v učbeniku posebej označena,

sodijo obravnava linearnih enačb, linearnih neenačb in sistemov

linearnih enačb.

Med neobveznimi izbirnimi vsebinami so Gaussova

eliminacijska metoda, sistem linearnih neenačb in linearno

programiranje.

✔ V učbeniku so tudi naloge, v katerih je smiselna uporaba informacijsko-komunikacijske tehnologije (IKT). Nakazana je tudi medpredmetna povezava.

Modeliranje

Modeliranje

MODELIRANJE»Matematično modeliranje je proces uporabe

matematike pri obravnavi vprašanj z nematematičnih

področij.« (Abrams, 2001)

Nekatere odnose in procese v vsakdanjem življenju lahko obdelamo in rešimo tudi z uporabo linearne funkcije.

Poenostavitve pomagajo prevesti realne situacije v matematični model. Najti moramo matematični zapis

problema, poiskati rešitev, jo interpretirati in jo preveriti v dani realni situaciji. Če rešitev ustreza, je to rešitev

konkretnega problema. Ta proces imenujemo matematično modeliranje.

Gospa Novak se odpravlja na 14-dnevne počitnice. Agencija Vandrovček

ponuja 14-dnevne počitnice za 999 €, agencija Pohajač pa polni penzion

za 55 € na dan, ležalnike in senčnik za 10 € na dan in letalsko karto za 149 €.

Katera ponudba je ugodnejša?

Realna situacija

Gospa Novak ima dve ponudbi za 14-dnevne

počitnice.

Katera ponudba je zanjo ugodnejša?

Matematični model

Stroške za počitnice pri podjetju Pohajač lahko

ponazorimo z linearno funkcijo.

Pohajač

x – število najemnih dni

f(x) = (55 + 10)x + 149 = 65x + 149

Stroški pri podjetju Vandrovček so konstantni.

g(x) = 999

Realna rešitev

Pohajač: 65 . 14 + 149 = 1059 €

Vandrovček: 999 €

Ponudba podjetja Pohajač je za 60 € dražja in

zato manj ugodna.

Matematična rešitev

Narišemo grafa stroškov v odvisnosti od

števila počitniških dni.

14149

999

Z grafa je razvidno, da je ponudba agencije

Pohajač dražja od ponudbe podjetja

Vandrovček.

Prevajanje

O

cen

jeva

nje

Reševan

je

Interpretacija

164

Modeliranje

Modeliranje

Matematično modeliranje poteka po stopnjah.

1. Prevedba realističnih pojavov v matematični model

2. Reševanje je iskanje matematične rešitve

3. Interpretacija rešitve v realni situaciji

4. Preverjanje rešitev v realni situaciji

1. Podjetje je sprejelo ponudbo za delo pri nekem projektu v višini 4000 €. Delo tehnika je ovrednoteno s 90 €

na uro, delo pomočnika s 60 € na uro. Oba vedno delata skupaj. Predvideni materialni stroški so 800 €.

Največ koliko ur smeta delati tehnik in njegov pomočnik, da se podjetju izplača sprejeti ponudbo?

2. Normalna masa odraslega človeka, merjena v kilogramih, je enaka razliki njegove višine, zmanjšane za 100,

idealna masa pa je enaka 90 % normalne mase.

a) Zapiši odvisnost idealne mase odraslega človeka od njegove višine in jo ponazori.

b) Kolikšna je idealna masa 190 cm visokega odraslega človeka?

c) Kako visok naj bi bil odrasel človek z idealno maso 85 kg?

č) Kako visok bi moral biti odrasel človek z maso 150 kg, če bi imel idealno maso?

d) Prevedi realni problem na otroke.

3. Podjetje RUMENI IN HITRI ima objavljen cenik za taksi:

Startnina 4,00 € 5,40 €

obratovalni čas 6.00-20.00 20.00-6.00

do 5 km1,30 € 1,50 €

nad 5 km1,20 € 1,40 €

čakanje/uro 18,00 € 20,00 €

a) Gospa Novak se je popoldne odpeljala k prijateljici v 12 km oddaljeni kraj in se opolnoči vrnila.

Zaračunali so ji 8 minut čakalnega časa v popoldanskem času, ko se je vračala, pa 3 minute

čakalnega časa. Plačala je z bankovcem za 50 €. Za koliko odstotkov se je nočna cena prevoza

razlikovala od dnevne?

b) Ana je plačala za dnevno vožnjo s taksijem 45,60 €, za čakanje so ji obračunali 4,40 €. Koliko bi

stal prevoz po 20. uri, če bi ji upoštevali le polovico obračunanega čakalnega časa?

c) Zapiši odvisnost cene prevoza nočne vožnje s taksijem za pot, krajšo od 5 km, brez čakalnega

časa in jo ponazori.

4. Število obiskov v knjižnici se je v zadnjih letih enakomerno povečalo. Pred 7 leti je knjižnico obiskalo

7800 obiskovalcev, pred 3 leti pa 8280 obiskovalcev.

a) Koliko obiskovalcev je bilo v zadnjih 3 letih skupaj?

b) Za prihodnje leto je načrtovana širitev knjižnice, za to bi se moral letni obisk podvojiti. Kolikšen

bo obisk prihodnje leto?

5. Alja je od babice prejela 50 €. Vsak dan si je kupila sladoled po 0,90 €.

a) Koliko denarja bo imela Alja po enem, dveh, treh, petih, desetih in dvajsetih dneh?

b) Koliko denarja bo imela Alja po x dneh?

c) Kdaj bo imela v denarnici še 15 €?

č) Kdaj ji bo zmanjkalo denarja?

165

http://vedez.dzs.si

PROMOCIjAUrška KačarTel.: 01/ 30 69 813E-naslov: urska.kacar@dzs.si

UREDnIŠTVOSoraya SternadTel.: 01/ 30 69 923E-naslov: soraya.sternad@dzs.si

nAROČAnjE In OgLEDnI IZVODITel.: 01/30 69 878 ali 01/30 69 880E-pošta: info.narocila@dzs.siFaks: 01/30 69 856

VSE InFORMACIjE O gRADIVIH, PREDSTAVITVAH In nAROČAnjU:

DZS, založništvo in trgovina, d. d., DIVIZIJA ZALOŽNIŠTEV, Izobraževalno založništvo, Dalmatinova ulica 2, 1538 Ljubljana, tel.: 01/30 69 825, www.dzs.si

PREDSTAVITVE GRADIV V APRIlU

IN MAJU