MATEMATIKA 2 - vedez.dzs.sivedez.dzs.si/datoteke/mat2vn.pdf · MATEMATIKA 2 Zb irka nalog za g imnazije. Zbirko nalog so napisali Olga Arnuš, prof., mag. Mirjam Bon Klanjšček,

Olga Arnuš • Mirjam Bon Klanjšček • Bojana Dvoržak

Darjo Felda • Sonja France • Mateja Škrlec

MATEMATIKA 2Z b i r k a n a l o g z a g i m n a z i j e

Zbirko nalog so napisali Olga Arnuš, prof., mag. Mirjam Bon Klanjšček, Bojana Dvoržak, prof., mag. Darjo Felda, Sonja France, prof., in spec. Mateja Škrlec, prof.

MATEMATIKA 2Zbirka nalog za gimnazije

Ilustriral Uroš Hrovat Fotografija na naslovnici M. C. Escher's »Moebius Strip I« © 2009 The M. C. Escher

Company-Holland. All rights reserved. www.mcescher.comFotografije so prispevali Olga Arnuš, Bedenk & Co, D. n. o., in Arhiv DZS, d. d.Tehnične risbe je izdelala Ksenija KonvalinkaRokopis je jezikovno pregledala Jasna Berčon

Uredila Soraya Sternad Likovno-gra čno uredila Saša HanunaOblikovala Ksenija KonvalinkaOpremo oblikovala Ksenija KonvalinkaGlavna urednica Tanja Železnik

Izvršna direktorica Divizije založništev Ada de Costa Petan

© DZS, založništvo in trgovina, d. d. (leto prve izdaje 2010)Vse pravice pridržane.Brez pisnega dovoljenja Založbe je prepovedano reproduciranje, distribuiranje, dajanje v najem, javna priobčitev, dajanje na voljo javnosti (internet), predelava ali vsaka druga uporaba tega avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu ali postopku, vključno s fotokopiranjem, tiskanjem ali shranitvijo v elektronski obliki. Odstranitev tega podatka je kazniva.

CIP - Kataložni zapis o publikacijiNarodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana

51(075.3)(076.2)

MATEMATIKA 2. Zbirka nalog za gimnazije / Olga Arnuš ... [et al.] ; [ilustriral Uroš Hrovat ; fotografije so prispevali Olga Arnuš, Bedenk & Co. in arhiv DZS ; tehnične risbe je izdelala Ksenija Konvalinka]. - 1. izd., 1. natis. - Ljubljana : DZS, 2010

ISBN 978-961-02-0136-61. Arnuš, Olga, 1951-253032448

Osnovni geometrijski pojmi 187Konveksne množice 189Merjenje 189Skladnost trikotnikov 191Vzporednost in pravokotnost 195Toge preslikave 197Trikotnik 200Obodni in središčni kot 208Štirikotniki 213Vektorske količine 228Vzporedni premik v ravnini 228Seštevanje in odštevanje vektorjev 229Množenje vektorja s številom 231Središčni razteg 233Linearna kombinacija vektorjev, baza 234Linearna odvisnost vektorjev 235Pravokotni koordinatni sistem v prostoru 236Od točk h krajevnim vektorjem 237Podobni liki 238Podobnost v pravokotnem trikotniku 240Kotne funkcije ostrih kotov 242Kotne funkcije poljubnih kotov 244Skalarni produkt 245Skalarni produkt v pravokotnem koordinatnem sistemu 247Koreni poljubnih stopenj 248Potence z racionalnim eksponentom 250Lastnosti funkcij 250Transformacije na ravnini 253Inverzna funkcija 259Potenčna funkcija z naravnim eksponentom 261Potenčna funkcija z negativnim celim eksponentom 261Modeliranje s potenčno funkcijo 263Korenska funkcija 263Kvadratna funkcija 266Ničle kvadratne funkcije 269Parabola in premica 273Kvadratna enačba 275Kvadratna neenačba 277Modeliranje s kvadratno funkcijo 279Množica kompleksnih števil 280Računanje s kompleksnimi števili 281Deljenje kompleksnih števil 281Absolutna vrednost kompleksnega števila 282Eksponentna funkcija 284Modeliranje z eksponentno funkcijo 286Eksponentna enačba 287Logaritmi 288Pravila za računanje z logaritmi 289Logaritemska funkcija 289

1. VSEBINA

Osnovni geometrijski pojmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Konveksne množice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Merjenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Skladnost trikotnikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Vzporednost in pravokotnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Toge preslikave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Trikotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Obodni in središčni kot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Štirikotniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Vektorske količine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Vzporedni premik v ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Seštevanje in odštevanje vektorjev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Množenje vektorja s številom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Središčni razteg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Linearna kombinacija vektorjev, baza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Linearna odvisnost vektorjev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Pravokotni koordinatni sistem v prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Od točk h krajevnim vektorjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Podobni liki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Podobnost v pravokotnem trikotniku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Kotne funkcije ostrih kotov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Kotne funkcije poljubnih kotov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Skalarni produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Skalarni produkt v pravokotnem koordinatnem sistemu . . . . . . . . . . . 87Koreni poljubnih stopenj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Potence z racionalnim eksponentom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Lastnosti funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Transformacije na ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Inverzna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Potenčna funkcija z naravnim eksponentom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Potenčna funkcija z negativnim celim eksponentom . . . . . . . . . . . . . . 119Modeliranje s potenčno funkcijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Korenska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Kvadratna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Ničle kvadratne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Parabola in premica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Kvadratna enačba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Kvadratna neenačba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Modeliranje s kvadratno funkcijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Množica kompleksnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Računanje s kompleksnimi števili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Deljenje kompleksnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159Absolutna vrednost kompleksnega števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Eksponentna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Modeliranje z eksponentno funkcijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Eksponentna enačba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Pravila za računanje z logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Logaritemska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Naloge Rešitve

LEGENDA

Težka naloga 1:2 Slika je narisana Posebna znanja Raziskuj z računalnikom v danem razmerju

*

Prehod k novi osnovi 292Logaritemske enačbe 292Modeliranje z logaritemsko funkcijo 295

O programu GEOGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

Prehod k novi osnovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Logaritemske enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Modeliranje z logaritemsko funkcijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186Rešitve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Naloge Rešitve

Osnovni geometrijski pojmiOsnovni geometrijski pojmi

OSNOVNI GEOMETRIJSKI POJMI

Daljica je na obeh straneh omejena ravna črta.A

B

Poltrak je na eni strani neomejena ravna črta.A

k

Premica je na obeh straneh neomejena ravna črta. p

Zveznica točk A in B je daljica AB.A

B

Nosilka daljice je premica, na kateri daljica leži. A B

Ravnina je neomejena ravna ploskev.W

Polravnina je del ravnine. Premica razdeli ravnino na dve polravnini.p

Lega dveh premic v prostoruPremici imata eno skupno točko. Premici nimata skupne točke.

p

qP

p q

W

S

p

q

Premici se sekata. Skupno točko imenujemo presečišče.

Premici sta vzporedni ali mimobežni. Vzporednici ležita v isti ravnini, mimobežnici pa ne.

Lega dveh ravnin v prostoruRavnini imata skupno premico. Ravnini nimata skupne točke.

W

S p W

S

Ravnini se sekata. Ravnini sta vzporedni.

Lega premice in ravnine v prostoruImata skupno točko. Nimata skupne točke. Vsaka točka premice leži v ravnini.

WppW

pW

Premica seka (prebada) ravnino. Skupna točka je presečišče (prebodišče).

Premica in ravnina sta vzporedni.

Premica leži v ravnini.

Točke A1, A2, A3 … so kolinearne, če ležijo na isti premici, sicer so nekolinearne.

AB

C

ED A, B, C, D, E so

kolinearne. BA C

D A, B, C, D so nekolinearne.

55


Točke A1, A2, A3, A4 … so koplanarne (komplanarne), če ležijo na isti ravnini, sicer so nekoplanarne (nekomplanarne).

A

B

EF

CD

A, B, C, D, E, F so koplanarne.

A

BC

D A, B, C, D so nekoplanarne.

Na ravnini nariši nekolinearne točke A, B in C. Nato nariši še:• poltrak z izhodiščem A, ki poteka skozi B,• zveznico točk B in C,• nosilko daljice AC,• premico skozi točko B, ki ne poteka skozi točki A in C.

V ravnini so dane točke A, B, C in D, izmed katerih nobene tri niso kolinearne. Koliko različnih daljic, koliko različnih trikotnikov in koliko različnih štirikotnikov določajo?

V ravnini so dane točke A, B, C, D in E, izmed katerih nobene tri niso kolinearne. Koliko različnih daljic, koliko različnih trikotnikov in koliko različnih štirikotnikov določajo?

Dan je kvader ABCDA′B ′C ′D′. Točka M je razpolovišče roba AB, točka N je središče ploskve ABCD in točka K je razpolovišče roba B ′C ′.

a) Ali so A, M, B kolinearne? b) Ali so A, M, D kolinearne?

c) Ali so A, B, C, D koplanarne? č) Ali so A, B, C, K koplanarne?

e) Ali so M, N, K kolinearne? e) Ali so M, N, K, C ′ koplanarne?

g) Ali so B, N, D′ kolinearne? g) Ali so A, B, C, D, M, N, K koplanarne?

Dana je 4-strana piramida ABCDV z vrhom V. Zapiši vsa oglišča, ki:

a) niso kolinearna s točkama A in B, b) niso koplanarna s točkami A, B in D.

Dana je pokončna pravilna 6-strana prizma ABCDEFA′B ′C ′D′E ′F ′. Koliko je:

a) različnih premic, ki jih določajo oglišča prizme in so vzporedne robu AB,

b) različnih premic, ki jih določajo oglišča prizme in so pravokotne na ravnino ABCDEF,

c) različnih premic, ki jih določajo oglišča prizme in nimajo skupne točke z ravnino ABCDEF,

d) oglišč, ki so koplanarna s točkami B, D in E,

e) oglišč, ki niso koplanarna s točkami A′, C ′ in A?

Skiciraj in opiši možne lege:

a) dveh premic v ravnini, b) treh premic v ravnini,

c) dveh premic v prostoru, č) dveh ravnin v prostoru,

e) treh ravnin v prostoru, e) ravnine in premice v prostoru.

Premice postavljamo tako, da oblikujejo čim več presečišč. Koliko je presečišč, če je število premic enako:

a) 4 b) 5 c) 6 č) 10

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

66


Na premici zaporedoma ležijo točke A1, A2, A3 … tako, da sta razdalji med poljubnima sosednjima točkama enaki.

A1 A2 A3 A4 A5

Koliko različno dolgih daljic določajo tako postavljene točke, če je število točk enako:

a) 3 b) 4 c) 5 č) 10

Koliko premic lahko narišemo skozi točke, izmed katerih so poljubne tri nekolinearne, če je število točk enako:

a) 2 b) 3 c) 4 č) 5 d) 6 e) n

Koliko ravnin lahko narišemo skozi točke, izmed katerih poljubne štiri niso koplanarne,

A B C D

B DC A DC A DB A CB

Vse premice skozi 4 točke

Premica skozi B in C

Število premic = 4 · 32

Delimo z 2, ker je vsaka premicašteta dvakrat, npr. BC in CB.

Alja razmišlja takole …

če je število točk enako:

a) 3 b) 4 c) 5 č) 6 d) 7 e) n

Nariši pravokotnik ABCD. Naj bo točka S razpolovišče stranice AB.

Vse ravnine skozi 4 točke

C D B D C B C A D A C B D A D A B C C AAB BD

BADBADCADCB C

A B C D

Ravnina skozi B, D in A

Število ravnin =4 · 3 · 2

6Vsaka ravnina je šteta 6-krat,npr. BDA, BAD, ABD, ADB, DAB in DBA.

Niko razmišlja takole …

Izmed točk A, B, C, D in S izpiši vse trojice, ki enolično določajo ravnino.

S slike razberi, kaj je v preseku oziroma uniji danih množic.

W

p

rq

C

A

B

a) p ∩ q b) Ω ∪ p c) Ω ∩ p

č) p ∩ q ∩ r d) r ∩ qr ∩ q

9.

10. * * *

11.

* * *

12.

13.

77


S slike razberi, kaj je v preseku danih množic. F

W

p

r

q

C

A B a) Ω ∩ Φ b) p ∩ Φ c) q ∩ Φq ∩ Φ

č) p ∩ q ∩ Φ d) (Φ∩ p) ∩ (Ω ∩ r)

Za premico p ter ravnini Ω in Φ velja (Ω ∩ Φ = ) ∧ (p⊥Φ). V kakšni legi sta p in Ω?

Za ravnini Ω in Φ ter premici p in q velja (Ω ∩ Φ = p) ∧ (Ω ∩ q = q) ∧ (q ∩ p = ). V kakšni legi sta p in q?

Nariši in opiši množico točk v ravnini, ki so:

a) za 3 enote oddaljene od točke A,

b) za kvečjemu 3 enote oddaljene od točke B,

c) za vsaj 2 enoti oddaljene od dane točke C,

d) enako oddaljene od točk M in N,

e) za 2 enoti oddaljene od premice p,

f) za manj kot 2 enoti oddaljene od premice q.

Opiši množico točk v prostoru, ki so:

a) za 3 enote oddaljene od ravnine Ω,

b) enako oddaljene od vzporednih ravnin Ω in Σ,

c) enako oddaljene od točk A in B,

d) za 2 enoti oddaljene od premice p,

e) za kvečjemu 2 enoti oddaljene od premice p,

f) za 3 enote oddaljene od točke A,

g) za kvečjemu 3 enote oddaljene od točke B.

Na ravnini so take tri premice p, q in r, da vsaka druga premica te ravnine bodisi seka vse tri premice bodisi nima skupne točke z nobeno izmed teh treh premic. Kakšna je medsebojna lega premic p, q in r?

14.

15.

16.

17.

18.

19.

88

Konveksne množiceKonveksne množice

KONVEKSNE MNOŽICE

Množica točk ravnine je konveksna, če je vsaka točka zveznice katerih koli dveh točk te množice tudi element te množice.

Konveksni množici Nekonveksni množici

Kot je množica točk ravnine med dvema poltrakoma s skupnim izhodiščem, vključno s točkami na obeh poltrakih. Skupno izhodišče imenujemo vrh kota.

Odnosi med kotiSosednja kota Sokota Sovršna kota

VV

V

Imata skupen krak. Presek njunih notranjosti je prazna množica.

Sta sosednja kota, katerih kraka, ki nista skupna, ležita na isti premici.

Sta kota, ki imata skupen vrh, in se vsak krak enega kota dopolnjuje v premico s krakom drugega kota.

Vrste kotovNičelni kot Pravi kot Iztegnjeni kot Polni kot

Ostri kot je manjši od pravega kota. Topi kot je večji od pravega kota in manjši od iztegnjenega kota.

Konveksni n-kotnikNobena tri zaporedna oglišča niso kolinearna.

Stranica je zveznica dveh sosednjih oglišč.

Diagonala je zveznica dveh nesosednjih oglišč.

F E

D

C

BA

stra

nica

diagonalaŠtevilo stranic: n

Število diagonal: n (n − 3)

2

vrh V kotkrak q

krak p

99


Kote, zapisane s tremi točkami, zapiši z oznakami s slike.

a) CBA, ACB, BAC , AMB, BAM b) CBA, BAC , ECA, ADE

A

bg

de

j

a

B

M

C

Aa

adg

b

b

B

CD

E

Vsak označeni kot na sliki zapiši z uporabo točk, ki določajo kraka kota.

a) b) c)

Zapiši vsaj dva para sosednjih kotov, vsaj dva para sokotov, vsaj dva ostra kota in vsaj dva topa kota.

a) b)

Ali je narisana množica konveksna?

a) b) c) d)

e) f) g) h)

i) j) k) l)

m) n) o) p)

20.

21.

A B

C

a b

g

aA B

CD

b

gd

A B

D Ca

j

e

22.

A E C B

D

E

D C

BA

23.

1010


Pravokotnik je konveksen lik. Ali sta tudi unija in presek dveh pravokotnikov konveksna? Utemelji.

Koliko diagonal ima konveksni:

a) 5-kotnik, b) 6-kotnik, c) 10-kotnik, č) 100-kotnik?

Kateri konveksni večkotnik ima:

a) 9 diagonal, b) 20 diagonal, c) 35 diagonal, č) 90 diagonal?

Koliko diagonal ima konveksni večkotnik, ki ima 34 stranic?

Kateri konveksni večkotnik ima toliko diagonal kot stranic?

Kateri konveksni večkotnik ima 12 stranic manj kot diagonal?

Kateri konveksni večkotnik ima 5-krat toliko diagonal kot stranic?

Neki konveksni večkotnik ima 54 diagonal. Koliko diagonal ima konveksni večkotnik, katerega število oglišč je enako polovici števila oglišč danega večkotnika?

Šest žensk in štirje moški stojijo za okroglo mizo. Koliko je vseh rokovanj, če:

a) se vsak posameznik rokuje z vsemi, razen s sosedom na levi in sosedom na desni,

b) se vsak rokuje z vsemi,

c) se rokujejo vse ženske med seboj in vsi moški med seboj?

Na šahovskem tekmovanju je 5 skupin, v katerih so po trije tekmovalci. Koliko iger bo odigranih, če vsak tekmovalec:

a) igra z vsakim tekmovalcem, razen s tistima, ki sta v njegovi skupini,

b) igra z vsakim, torej tudi s tekmovalcema iz njegove skupine,

c) igra z natanko enim tekmovalcem iz vsake skupine?

24. Prazna množica

je konveksna.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

1111

Merjenje

MERJENJE

Merjenje dolžin Merjenje kotov. 1000 . 1000

. 10 . 10 . 10

. 1000

: 1000 : 1000 : 1000

1 μm 1 mm 1 cm 1 dm 1 m 1 km

Kot Ničelni Pravi Iztegnjeni Polni

Slika

Velikost 0 90 180 360

Ostri kot je manjši od 90, topi pa večji od 90 in manjši od 180.

Komplementarna kota Suplementarna kota

b

a + b = 90a

a + b = 180

ba

Na sliki sta daljici. Natančno ju načrtaj v zvezek ter načrtaj še njuno vsoto in razliko.

Na sliki sta kota. Natančno ju načrtaj v zvezek ter načrtaj

A B C D

še njuno vsoto in razliko.

a b

Nariši poljuben trikotnik. Načrtaj:

a) poltrak in na njem daljico, ki je dolga kot obseg trikotnika,

b) kot, ki ima enako velikost, kot je vsota velikosti kotov trikotnika.Kolikšna je vsota kotov trikotnika?

Nariši poljuben štirikotnik. Načrtaj:

a) poltrak in na njem daljico, ki je dolga kot obseg štirikotnika,

b) kot, ki ima enako velikost, kot je vsota velikosti kotov štirikotnika.Kolikšna je vsota kotov štirikotnika?

Nariši poljubna kota. Načrtaj še:

a) njuno vsoto,

b) razliko med večjim in manjšim kotom.

Nariši poljuben kot in njegov sokot. Načrtaj njuno vsoto in razliko.

. 60 . 60

: 60 : 60

1 sekunda ( ′′ ) 1 minuta( ′ ) 1 stopinja( )

34.

35.

36.

37.

38.

39.

12

Merjenje Merjenje

Nariši poljuben:

a) paralelogram ABCD in načrtaj vsoto kotov a + b,

b) trapez ABCD in načrtaj vsoto kotov a + d.Kolikšna je vsota v obeh primerih?

Nariši poljuben ostri kot in njemu komplementarni kot. Načrtaj njuno vsoto in razliko.

Izračunaj. Rezultat preveri z žepnim računalom.

a) 34 20′ + 55 35′ b) 23 55′ + 23 44′ c) 53 35′ + 133 25′

d) 35 34′ 22′′ + 23 12′ 30′′ d) 12 56′ 36′′ + 2 2′ 30′′ e) 12 45′ 56′′ + 55 30′ 44′′

g) 34 45′ - 12 35′ g) 55 34′ - 12 56′ h) 34 8′ - 33 49′

j) 56 26′ 46′′ - 17 16′ 33′′ j) 155 3′ 22′′ - 34 57′ 39′′ k) 180 53′′ - 42 59′ 57′′

Velikost kota, zapisano v stopinjah, zapiši v stopinjah, minutah in sekundah.

a) 34,5 b) 25,1 c) 58,42 č) 36,125 d) 12,525

Velikost kota, zapisano v stopinjah, minutah in sekundah, zapiši v stopinjah na 4 decimalna mesta natančno.

a) 34 20′ b) 23 26′ c) 25 21′ 25′′ č) 24 34′ 25′′ d) 3 55′ 11′′

Tabelo preriši v zvezek in jo izpolni.

Kot Zaokroži na minuto natančno

Zaokroži na stopinjo natančno

Zaokroži na stotinko stopinje natančno

47 35′ 25′′

123 29′ 32′′

42 56′ 47′′

4,875

33,55

34,123

Velikost kota a je 26 24′. Koliko sta velika njemu komplementaren in suplementaren kot?

Velikost kota b je 83 25′ 16′′. Koliko sta velika njemu komplementaren in suplementaren kot?

Izračunaj vsoto velikosti kotov x in y, označenih na sliki.

Razlika velikosti komplementarnih kotov je 43 28′′. Kolikšna sta kota?

Razlika velikosti dveh sokotov je 110 46′ 32′′. Kolikšna sta kota?

Trikratnik razlike velikosti suplementarnih kotov je enak 183 12′. Kolikšna sta kota?

Kota e in j sta komplementarna. Kot e je enak trikratniku za 2 zmanjšane velikosti kota j. Izračunaj e in j.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48. y

150x

49.

50.

51.

52.

1313

Merjenje Merjenje

Vsota komplementarnega in suplementarnega kota nekega kota je za 14 večja od iztegnjenega kota. Izračunaj velikost kota.

Velikosti komplementarnega in suplementarnega kota nekega kota sta v razmerju 7 : 16. Kolikšen je neznani kot?

Kolikšen kot oklepata urni in minutni kazalec ob 12.15 uri in kolikšnega ob 5.42?

Kdaj bosta urni in minutni kazalec prvič po 14.00 uri oklepala kot 180?

Notranjost kota, velikega 66, je razdeljena z desetimi poltraki na enako velike kote. Koliko je velik posamezen kot?

Iztegnjeni kot razdelimo s 4 poltraki na kote, katerih velikosti so v razmerju 2 : 3 : 4 : 5 : 6. Kolikšni so koti?

Okrog posestva postavljajo ograjo iz železnih palic, postavljenih na razdalji 5 m, med katerimi je napeta mreža iz žice. Koliko železnih palic in koliko metrov mreže je potrebnih za ograjo posestva na sliki?

Ograja Posestvo

Posestvo bi radi ogradili s cipresami. Ciprese bi sadili na razdalji 0,5 m. Koliko cipres bi potrebovali za 3 m ograje, koliko za 132 m ograje in koliko za ograjo posestva na sliki?

Ograja iz cipres Posestvo

Na daljici AB, ki je dolga 54 cm, ležijo po vrsti točke C, D in E. Razpolovišči daljic AC in BE sta med seboj oddaljeni 38 cm. Koliko sta med seboj oddaljeni razpolovišči daljic CD in DE?

Na daljici AB ležijo po vrsti točke C, D in E. Razpolovišči daljic CD in DE sta med seboj oddaljeni 7 cm, razpolovišči daljic AC in EB pa 20 cm. Koliko je dolga daljica AB?

53.

54.

55. *

56. *

57.

58.

59.

5 m 5 m 5 m 5 m 1020 m240 m

450 m

320 m

60.

0,5 m 0,5 m0,5 m 0,5 m

25 m

34 m

6 m

61.

62.

1414

Skladnost trikotnikovSkladnost trikotnikov

SKLADNOST TRIKOTNIKOV

Lika sta skladna, če drug drugega natanko prekrijeta.

Trikotnika sta skladna, če imata paroma skladne stranice in paroma skladne kote.

Pri preverjanju skladnosti dveh trikotnikov je dovolj, če ugotovimo, ali imata:

• paroma skladne vse tri stranice,

• paroma skladni stranici in paroma skladen kot, ki ga ti dve stranici oklepata,

• paroma skladno stranico in paroma skladna tej stranici priležna kota,

• paroma skladni stranici in paroma skladen kot, ki leži daljši stranici nasproti.

Načrtaj kot.

a) 30 b) 45 c) 75 č) 90 d) 22,5

f) 150 f) 210 g) 247,5 h) 285 i) 315

Načrtaj trikotnika s paroma skladnimi vsemi tremi stranicami.

A1B1C1: a1 = 4 cm, b1 = 5 cm, c1 = 6 cmA2B2C2: a2 = 6 cm, b2 = 4 cm, c2 = 5 cm

Kakšna sta trikotnika? Zapiši ustrezni izrek o skladnosti dveh trikotnikov.

Načrtaj trikotnika, ki imata paroma skladno stranico in kota ob njej.

A1B1C1: c1 = 6 cm, α1 = 30, β1 = 75

A2B2C2: b2 = 6 cm, γ2 = 30, α2 = 75


Načrtaj trikotnika s paroma skladnima stranicama in kotom med njima.

A1B1C1: a1 = 6 cm, c1 = 4 cm, β1 = 60

A2B2C2: b2 = 6 cm, c2 = 4 cm, α2 = 60


Načrtaj trikotnika s paroma skladnima dvema stranicama in

a) kotom, ki leži daljši stranici nasproti:

A1B1C1: b1 = 6 cm, a1 = 3 cm, β1 = 90

A2B2C2: c2 = 6 cm, b2 = 3 cm, γ2 = 90

b) kotom, ki leži krajši stranici nasproti:

A1B1C1: b1 = 5 cm, a1 = 4 cm, α1 = 30

A2B2C2: c2 = 5 cm, b2 = 4 cm, β2 = 30

Kakšna sta trikotnika pod a) in kakšna pod b)? Zapiši ustrezni izrek o skladnosti dveh trikotnikov.

Načrtaj trikotnik ABC z danimi podatki. Napiši postopek načrtovanja.

a) a = 3 cm, b = 5 cm, c = 5,5 cm b) a = 5 cm, b = 7 cm, c = 6 cm

c) c = 6 cm, α = 75, β = 45 č) b = 5 cm, γ = 90, α = 22,5

e) a = 6 cm, b = 5 cm, α = 75 e) a = 4 cm, b = 3 cm, β = 45

g) a = 6 cm, α = 75, γ = 15 g) b = 5 cm, α = 15, β = 60

63.

64.

65.

66.

67.

68.

1515

Skladnost trikotnikovSkladnost trikotnikov

Načrtaj štirikotnik ABCD z danimi podatki. Napiši postopek načrtovanja.

a) a = 5 cm, c = 6 cm, d = 4 cm, γ = 60, δ = 105

b) a = 5 cm, b = 4 cm, c = 3 cm, d = 5 cm, e = 7 cm

c) a = 5 cm, b = 4 cm, c = 3 cm, e = 7 cm, f = 6 cm

d) a = 7 cm, b = 5 cm, c = 4 cm, DBA = 30, f = 8 cm

e) a = b = c = d = 4 cm, β = 60

f) a = 6 cm, d = 5 cm, β = 120, γ = 75, δ = 60

Trikotnika na sliki sta skladna. Koliko je velik kot a na sliki?

Iz

44

89

89

a

10 cm

10 cm

skladnih enakostraničnih trikotnikov sestavljamo trikotnike.

1. korak 3. korak2. korak

Koliko majhnih trikotnikov uporabimo v tretjem koraku, koliko v četrtem in koliko v dvajsetem koraku?

Trikotnika ABC in A′B ′C ′ sta skladna. Točki D in D′ ležita na stranicah AB oziroma A′B ′ tako, da sta kota DCB in D ′C ′B′ skladna. Dokaži, da je |AD| = |A D |.

Na sliki je |AE| = |BG|, kota BAC in FEG sta skladna, prav tako sta skladna kotaCBA in EGF. Dokaži, da sta trikotnikaABC in EGF skladna.

Točke A, B, C, E in F ležijo, kot kaže slika: |AB| = |BC| , AF ⊥ BE , CE ⊥ BF . Dokaži, da je |AF | = |CE|.

AE

F BC

69.

70.

71.

72.

A D B

C

A′ D′ B′

C′

73.

A E G

F

B

C

74.

1616

Vzporednost in pravokotnostVzporednost in pravokotnost

VZPOREDNOST IN PRAVOKOTNOST

Kota z vzporednimi kraki sta enaka ali suplementarna.

aa

a180 - a

180 - a

Če vzporednici sekamo s premico, dobimo pare kotov z vzporednimi kraki.

a

a

a

a

180 - a

180 - a

180 - a

180 - a

Pravokotna projekcija točke A na premico p je točka A′, v kateri pravokotnica skozi točko A na premico p seka premico p.

A′

A

p

Pravokotna projekcija daljice AB na premico p je zveznica pravokotnih projekcij krajišč A in B na premico p.

A′

A

B′

B

p

Simetrala daljice AB je premica, pravokotna na nosilko daljice AB, ki poteka skozi razpolovišče daljice AB.

A B

Vsaka točka simetrale je enako oddaljena od točk A in B.

Simetrala kota je poltrak, ki razpolavlja kot.

Vsaka točka simetrale je enako oddaljena od obeh krakov.

Puščice kažejo smer sončnih žarkov. Slike preriši v zvezek in jih dopolni s senco vrane Ivane. V primerih (i) in (iv) gre za pravokotno projekcijo, saj so žarki pravokotni na podlago.

(i) (iv)(iii)(ii)

Puščice kažejo smer sončnih žarkov. Slike preriši v zvezek in jih dopolni s senco palice, ki jo neseta vrana Ivana in vran Žan. V primerih (i), (iii) in (iv) gre za pravokotno projekcijo, saj so žarki pravokotni na podlago.

(i) (iv)(iii)(ii)

75.

76.

1717


Sliko preriši na karirast papir. Nariši pravokotni projekciji točke A na premici p in q. Projekcijo na premico p označi Ap , na premico q pa Aq .

a) b) c)

Sliko preriši na karirast papir. Nariši pravokotno projekcijo daljice AB na premico p.

a) b) c)

d) e) f)

Dana je točka M(2, 4). Zapiši koordinate točke:

a) A, ki je pravokotna projekcija točke M na ordinatno os,

b) B, ki je pravokotna projekcija točke M na abscisno os,

c) C, ki je pravokotna projekcija točke M na premico x = 1,

d) D, ki je pravokotna projekcija točke M na premico y = 2,

e) E, ki je pravokotna projekcija točke M na simetralo lihih kvadrantov.

Točki A(3, 5) in B(2, 6) sta oglišči daljice. Kolikšna je dolžina daljice:

a) A1B1, ki je pravokotna projekcija daljice AB na abscisno os,

b) A2B2, ki je pravokotna projekcija daljice AB na ordinatno os,

c) A3B3, ki je pravokotna projekcija daljice AB na premico x = 1,

d) A4B4, ki je pravokotna projekcija daljice AB na premico y = -2,

e) A5B5, ki je pravokotna projekcija daljice AB na simetralo lihih kvadrantov?

Točka A je od premice p oddaljena 14 cm. Točka B je od premice p oddaljena 10 cm, od točke A pa 5 cm. Izračunaj dolžino pravokotne projekcije daljice AB na premico p.

Točka A je od premice p oddaljena 2 cm. Točka B leži na nasprotni strani premice p in je od nje oddaljena 6 cm, od točke A pa 10 cm. Izračunaj dolžino pravokotne projekcije daljice AB na premico p.

Nariši daljico AB, dolgo 5 cm, in konstruiraj njeno simetralo.

Nariši trikotnik, katerega stranice so dolge 5 cm, 5 cm in 4 cm, ter konstruiraj simetrale njegovih stranic.

77.

A

p

qqqq

Ap

qqqq

A

pqqqq

78.

AAAAAAA

BBBBBBB

p

AAAAAAA

BBBB

pAAAA

BBBBBBB

p

AAAA BBBB

p

AAAABBBB

pAAAA

BBBB

p

79.

80.

81.

82.

83.

84.

1818


Nariši kot velikosti 105 in konstruiraj njegovo simetralo.

Nariši trikotnik s stranicami, dolgimi 4 cm, 5 cm in 7 cm, ter konstruiraj simetrale njegovih kotov.

Določi velikosti neznanih kotov.

a) b) c)

d) e) f)

Določi x. a) b)

Nariši točko A na ravnini. Nariši množico točk, ki so od A oddaljene:

a) 1 cm, b) največ 2 cm, c) več kot 2 cm.

Nariši premico p na ravnini. Nariši množico točk, ki so od premice p oddaljene:

a) 1 cm, b) manj kot 1 cm, c) vsaj 2 cm.

Nariši kot velik 75. Nariši točko A, ki je od:

a) obeh krakov oddaljena 1 cm, b) enega kraka oddaljena 2 cm, od drugega pa 3 cm.

Tinka je narisala kot velik 60. Na enem kraku je izbrala točko K. Pravokotno projekcijo točke K na drugi krak je označila L. Nato je točko L pravokotno projicirala na prvi krak in njeno projekcijo označila M. Kolikšen je kot MLK?

Premici p in q se sekata pod kotom 32, premici r in p pa pod kotom 72. Kolikšen je ostri kot med premicama r in q? Upoštevaj vse možnosti.

Nariši pravokotnik ABCD s podatki: a = 6 cm in b = 3 cm. Naj bo D′ pravokotna projekcija točke D na diagonalo AC, D′′ pa naj bo pravokotna projekcija točke D′ na stranico CD. Nariši točki D′ in D′′.

85.

86.

87.

p ‖ q

p

q

r

a b

42p

s t

q

r

138

p ‖ q ‖ r

s ‖ t

b

a s

r

p

qb

a

28

p ‖ q

s ⊥ q

p

q

a

132 106

p ‖ q p

q

b

a

70 110

p ‖ q

p

r

s n

q

b a

47

p ‖ q, r ‖ s, n ⊥ s

88.

p 7x

2x

r

qp ⊥ q

p

5x + 3

12x + 7

r

q

p ‖ q

89.

90.

91.

92.

93.

94.

1919


Dan je pravokotnik ABCD s stranicama, dolgima a = 5 cm in b = 2 cm. Koliko je dolga pravokotna projekcija:

a) diagonale BD na stranico AB, b) diagonale BD na stranico BC,

c) stranice AB na stranico CD, č) stranice BC na stranico AB?

Dan je kvadrat ABCD s stranico, dolgo 6 cm. Koliko je dolga pravokotna projekcija:

a) diagonale AC na stranico AB, b) stranice BC na diagonalo AC,

c) stranice AD na stranico AB?

Dan je enakostranični trikotnik ABC s stranico, dolgo 10 cm. Koliko je dolga pravokotna projekcija:

a) stranice BC na stranico AB, b) stranice BC na višino vc?

Dan je pravokotni trikotnik ABC s hipotenuzo, dolgo c. Kolikšna je vsota dolžin pravokotnih projekcij obeh katet na hipotenuzo?

Vzporednici p in q sta med seboj oddaljeni 3 cm. Naj ležita točka P na premici p in točka Q na premici q tako, da je dolžina daljice PQ enaka 5 cm. Kolikšna je razdalja med točko P in pravokotno projekcijo točke Q na premico p?

Premici p in q sta vzporedni. Premica s seka q pod kotom 24, premica t je pravokotna na p, premica u pa je pravokotna na s. Izračunaj kot med premicama u in t.

Premica p razdeli ravnino na dve polravnini Φ in Π. Na polravnini Φ načrtaj točko A, ki je od premice p oddaljena 3 cm.

a) Načrtaj točki M in N, ki sta od točke A oddaljeni 2 cm, od premice p pa 2,5 cm.

b) Na polravnini Π načrtaj točki B in C, ki sta od premice p oddaljeni 2 cm, od pravokotne projekcije točke A na premico p pa 4 cm.

c) Na polravnini Π izberi točko K, ki je od premice p oddaljena 1 cm ter ne leži na premici, ki poteka skozi A in pravokotno projekcijo točke A na premico p. Načrtaj točko T na premici p, ki je enako oddaljena od točk A in K.

Nariši premico p in točko A, ki ne leži na p. Načrtaj pravokotnico na premico p, ki poteka skozi točko A.

Na krakih ostrega kota BAC nariši enako dolgi daljici AE in AF. Poljubno točko D na simetrali tega kota poveži z E in F. Dokaži, da je |DE| = |DF |.

Dan je kot z vrhom A. Nariši simetralo tega kota in na njej izberi točko D. Pravokotnica na simetralo skozi D seka kraka kota v točkah B in C. Pokaži: trikotnik ABC je enakokrak.

95.

96.

97.

98.

99.

100.

101.

102.

103.

104.

2020

Toge preslikaveToge preslikave

TOGE PRESLIKAVE

Zrcaljenje čez premico1. 2. 3. 4.

Vrtenje 1. 2. 3.

Zrcaljenje čez točko1. 2. 3. 4.

Množica je simetrična glede na premico p, če je enaka svoji sliki pri zrcaljenju čez premico p. Premica p je tedaj simetrala množice.

Množica je simetrična glede na točko O, če je enaka svoji sliki pri zrcaljenju čez točko O.

Toga preslikava je preslikava, ki ohranja razdalje.

Zrcaljenje čez premico, vrtenje in zrcaljenje čez točko so togi premiki ali izometrije.

Slike preriši na karirast papir v zvezek. Nariši zrcalne slike likov glede na narisano premico.

A

p

A

p

A

p

A′

A

p

A

O

A

O

A′

A

O

A

O

A

O O

A

A′

A

O

simetralasimetrala

105.

2121


Slike preriši v zvezek. Nariši zrcalne slike glede na premico p.

p

p

p

V pravokotnem koordinatnem sistemu nariši točko A(3, 4). Nariši še točke:• A1, ki je zrcalna slika točke A glede na os x,• A2, ki je zrcalna slika točke A glede na os y,• A3, ki je zrcalna slika točke A glede na simetralo lihih kvadrantov,• A4, ki je zrcalna slika točke A glede na simetralo sodih kvadrantov,in zapiši koordinate teh točk.

V pravokotnem koordinatnem sistemu nariši daljico s krajiščema A(3, -2) in B(6, 1). Nariši daljice:• A1B1, ki je zrcalna slika daljice AB glede na os x,• A2B2, ki je zrcalna slika daljice AB glede na os y,• A3B3, ki je zrcalna slika daljice AB glede na simetralo lihih kvadrantov,• A4B4, ki je zrcalna slika daljice AB glede na simetralo sodih kvadrantov,in zapiši koordinate krajišč teh daljic.

V pravokotnem koordinatnem sistemu nariši trikotnik z oglišči A(-4, -1), B(3, -2) in C(1, 2). Nariši trikotnika:• A1B1C1, ki je zrcalna slika trikotnika ABC glede na premico x = 4,• A2B2C2, ki je zrcalna slika trikotnika ABC glede na premico y = -3,in zapiši koordinate oglišč teh trikotnikov.

V pravokotnem koordinatnem sistemu nariši kvadrat z oglišči A(-6, -3), B(-2, -3), C(-2, 1) in D(-6, 1). Nariši kvadrata:• A1B1C1D1, ki je zrcalna slika kvadrata ABCD glede na premico x = -1,• A2B2C2D2, ki je zrcalna slika kvadrata ABCD glede na premico y = 4,in zapiši koordinate oglišč teh kvadratov.

V koordinatni sistem nariši zveznico danih točk in zapiši enačbo simetrale dobljene daljice.

a) A(3, 6) in A′(3, -6) b) B(-3, 2) in B ′(3, 2) c) C(1, 4) in C ′(1, 2)

d) Č(-3, 5) in Č′(-1, 5) d) D(2, 3) in D′(3, 2) e) E(-3, 4) in E ′(-4, 3)

Nariši:

a) trikotnik s podatki a = 5 cm, b = 4 cm in c = 4 cm ter ga prezrcali čez stranico c,

b) enakostranični trikotnik ABC s 3 cm dolgo stranico ter ga prezrcali čez stranico AC,

c) kvadrat ABCD s stranico, dolgo 2 cm, in ga prezrcali čez stranico AD,

d) pravokotnik ABCD s stranicama, dolgima a = 4 cm in b = 2 cm, in ga prezrcali čez diagonalo AC.

106.

107.

108.

109.

110.

111.

112.

2222


Slike preriši na karirast papir. Nariši vse simetrale.

Slike preriši na karirast papir. Nariši vse simetrale. Upoštevaj tudi barve.

Katera slika prikazuje vse simetrale:

a)

b)

c)

d)

e)

Slike preriši na karirast papir. Zavrti lik: a) za 90

okrog A, b) za 90

okrog B, c) za -180

okrog C, d) za 90

okrog Č, e) za -90

okrog D.

113.

114.

115.

(i) (ii) (iii) (iv) (v)Nobenaizmednavedenih.





116.

A

B

CČ

D

2323


V koordinatnem sistemu nariši točko A(3, 0). Nariši točke:• A1, ki jo dobiš, če zavrtiš točko A za 90 okrog koordinatnega izhodišča,• A2, ki jo dobiš, če zavrtiš točko A za -90 okrog koordinatnega izhodišča,• A3, ki jo dobiš, če zavrtiš točko A za 180 okrog koordinatnega izhodišča,• A4, ki jo dobiš, če zavrtiš točko A za 90 okrog točke S(3, 4),• A5, ki jo dobiš, če zavrtiš točko A za 180 okrog točke T(2, 0),in zapiši koordinate dobljenih točk.

V koordinatnem sistemu nariši daljico s krajiščema A(2, 1) in B(4, 1). Nariši daljice:• A1B1, ki jo dobiš, če zavrtiš daljico AB za 90 okrog koordinatnega izhodišča,• A2B2, ki jo dobiš, če zavrtiš daljico AB za -180 okrog koordinatnega izhodišča,• A3B3, ki jo dobiš, če zavrtiš daljico AB za 90 okrog točke S(3, 1),• A4B4, ki jo dobiš, če zavrtiš daljico AB za 180 okrog točke M(-2, 1),in zapiši koordinate krajišč dobljenih daljic.

Nariši:

a) trikotnik ABC s podatki a = 6 cm, b = 4 cm in c = 5 cm ter ga zavrti za 30 okrog oglišča A,

b) enakostranični trikotnik ABC s 5 cm dolgo stranico ter ga zavrti za 45 okrog oglišča C,

c) pravokotnik s podatki a = 6 cm in b = 3 cm ter ga zavrti okrog središča za 120,

d) kvadrat ABCD s 4 cm dolgo stranico ter ga zavrti za 60 okrog oglišča B.

Koliko rotacijskih simetrij imajo naslednje figure? Rotacijskih simetrij je toliko, kolikor je kotov, velikih največ 360, pri katerih dobimo figuro, enako dani figuri, ko jo zavrtimo za tak kot.

Koliko rotacijskih simetrij imajo dane figure?

Slike preriši na karirast papir. Nariši središče vrtenja S in določi kot vrtenja, ki preslika modri lik v rjavega.

a) b) c) d)

Slike preriši na karirast papir in figure prezrcali čez točko M.

a) b) c) d)

V koordinatnem sistemu nariši kvadrat z oglišči A(4, 1), B(5, 1), C(5, 2) in D(4, 2). Prezrcali ga čez ordinatno os in zrcalno sliko označi A′B ′C ′D′. Nato kvadrat A′B ′C ′D′ prezrcali čez abscisno os in sliko označi A′′B ′′C ′′D′′. Ti dve zrcaljenji lahko nadomestimo z vrtenjem. Zapiši središče vrtenja in velikost kota, za katerega vrtimo.

117.

118.

119.

120.

121.

122.

123.

M M M

M

124.

2424


V koordinatnem sistemu nariši trikotnik z oglišči A(−3, 1), B(−1, 1) in C(−2, 2). Zrcali ga čez abscisno os, sliko zavrti za 90 okrog koordinatnega izhodišča in novo sliko prezrcali čez abscisno os. Katero vrtenje bi nadomestilo vse tri preslikave? Zapiši središče vrtenja in velikost kota, za katerega vrtimo.

V koordinatnem sistemu nariši trikotnik z oglišči A(-4, -3), B(-1, -1) in C(-2, 5). Prezrcali ga čez premico x = 1 in sliko označi A′B ′C ′. Trikotnik A′B ′C ′ prezrcali čez premico y = 1 in sliko označi A′′B ′′C ′′. Ti dve zrcaljenji lahko nadomestimo z vrtenjem. Zapiši središče vrtenja in velikost kota, za katerega vrtimo.

Zamisli si poljubno točko M v koordinatnem sistemu. • Naj bo M1 zrcalna slika točke M glede na simetralo lihih kvadrantov.• Naj bo M2 zrcalna slika M1 glede na abscisno os.• Naj bo M3 točka, ki jo dobimo, če zavrtimo M2 za -90 okrog koordinatnega izhodišča.• Naj bo M4 zrcalna slika M3 glede na koordinatno izhodišče.Kakšna je točka M4? Pokaži.

Zamisli si poljubno točko M v koordinatnem sistemu. • Naj bo M1 zrcalna slika točke M glede na ordinatno os.• Naj bo M2 točka, ki jo dobimo, če zavrtimo M1 za 90 okrog koordinatnega izhodišča.• Naj bo M3 zrcalna slika točke M2 glede na simetralo sodih kvadrantov.Kakšna je točka M3? Pokaži.

Dan je kvadrat ABCD. Točko D prezrcali čez točko B. Tako dobljeno točko označi z E. Dokaži, da sta trikotnika AEB in CEB skladna. Kakšen je trikotnik AEC?

Krog razdelimo s premicami p, q, r, s na osem enako velikih območij, ki jih označimo, kot prikazuje slika. Naj bo M poljubna točka v območju, označenim s številko 8. V katerem območju je slika točke M, če:

a) 100-krat izvedemo zrcaljenje, in sicer najprej točko M prezrcalimo čez premico p, njeno sliko prezrcalimo čez q, novo sliko čez r, dobljeno sliko čez s, novo sliko čez p, njeno sliko čez q …,

b) točko M zavrtimo za 9090 v pozitivni smeri okoli središča kroga,

c) točko M zavrtimo 63-krat za 30 v negativni smeri okrog sredi-šča kroga?

Dekle je na začetku 12 m dolge grede rož in je od nje oddaljeno 6 m, fant pa na koncu grede, in je od nje oddaljen 3 m. Dekle mora iti do grede, utrgati rožo in jo dati fantu. Kolikšna je najkrajša pot, ki jo mora prehoditi dekle?

Vsako rotacijo lahko nadomestimo z dvema zrcaljenjima čez premico. Pokaži.

125.

126.

127.

128.

129.

130. *

1

23

4

5

6 7

8p

q

r

s

131. *

3 m

6 m

12 m

132. *

2525

TrikotnikTrikotnik

TRIKOTNIK

• Notranji koti so α, β, γ: α + β + γ = 180

• Zunanji koti so α1, β1 , γ1: α1 = 180 − α, β1 = 180 − β, γ1 = 180 − γ, α1 + β1 + γ1 = 360

• Nasproti najdaljši stranici leži največji kot, nasproti najkrajši pa najmanjši kot.

• Vsaka stranica je krajša od vsote dolžin drugih dveh stranic.

• Vsaka stranica je daljša od absolutne vrednosti razlike dolžin drugih dveh stranic.

Znamenite črte trikotnika

Težiščnica Višina Simetrala stranice Simetrala kota

BA

C

tc

c2

c2

BA

C

vc

BA

C

c2

c2

α2

α2

A B

C

je daljica od razpolovišča stranice do nasprotnega oglišča.

je daljica, pravokotna na nosilko stranice in poteka od nosilke te stranice do nasprotnega oglišča.

je premica, pravokotna na stranico in poteka skozi razpolovišče te stranice.

je poltrak, ki razpolavlja kot.

Znamenite točke trikotnikaTežišče T Višinska točka V Središče očrtane

krožnice SO

Središče včrtane krožnice SV

BA

C

T

tc tb

ta

c2

c2

a2

a2

b2

b2

B

A

C

V

vc

va

vb BA

C

SO

c2

c2

a2

a2

b2

b2

α2

β2

γ2

γ2

β2

α2

BA

C

SV

je presečišče težiščnic. Težišče deli težiščnico v razmerju 1 : 2.

je presečišče nosilk višin. je presečišče simetral stranic.

je presečišče simetral kotov.

V trikotniku ABC je α = 36 15 in γ = 32 33 . Izračunaj neznane velikosti notranjih in zunanjih kotov.

V trikotniku ABC je b 1 = 129 22′ 13′′ in g = 72 24′. Izračunaj neznane velikosti notranjih in zunanjih kotov.

Kot ob vrhu enakokrakega trikotnika je velik 24 45′. Izračunaj neznane velikosti notranjih in zunanjih kotov.

Dan je trikotnik ABC. Notranji kot trikotnika ob oglišču B je velik 25 pravega kota, zunanji kot pri

oglišču C pa 23 pravega kota. Koliko so veliki posamezni notranji in zunanji koti? Izrazi v stopinjah.

BA

C

γ

a

c

b

αα1

γ 1

β 1

β

133.

134.

135.

136.

2626

TrikotnikTrikotnik

Pravokotni trikotnik ABC s hipotenuzo c in kotom b = 40 razdelimo z vc na dva trikotnika. Izračunaj velikosti kotov nastalih dveh trikotnikov. Nariši sliko.

Velikosti notranjih kotov trikotnika ABC so v razmerju 2 : 3 : 4. Kolikšna je razlika med velikostjo največjega zunanjega in najmanjšega notranjega kota tega trikotnika?

Pokaži, da je trikotnik, katerega velikosti kotov so v razmerju 2 : 7 : 9, pravokoten.

Velikosti ostrih kotov pravokotnega trikotnika sta v razmerju 2 : 7. Določi velikosti notranjih kotov trikotnika.

Kot a trikotnika ABC je za 20 večji od kota b, kot g pa je za 12 manjši od dvakratnika kota a. Izračunaj velikosti notranjih kotov trikotnika ABC.

Notranji kot pri oglišču C trikotnika ABC je enak polovici zunanjega kota pri C. Zunanji kot pri oglišču A je enak štirikratniku notranjega kota pri oglišču B. Izračunaj velikosti notranjih kotov trikotnika ABC.

Koti a, b, g, d, e so označeni na sliki. Izračunaj a + b + g + d - e.

ab

d

e

g

Pokaži:

a) vsota velikosti notranjih kotov trikotnika je enaka 180,

b) vsota velikosti zunanjih kotov trikotnika je enaka 360.

Ali obstaja trikotnik s podatki:

a) a = 6 cm, b = 8 cm, c = 15 cm, b) a = 36 cm, b = 38 cm, c = 45 cm,

c) a = 100 cm, b = 145 cm, c = 40 cm, č) a = 4 cm, b = 4,5 cm, c = 8 cm?

Stranice trikotnika ABC so dolge celo število centimetrov. Stranica b je dolga 6 cm, stranica c pa je za 2 cm krajša. Določi vse možne dolžine stranice a.

Zapiši vse možne celoštevilske dolžine stranice b trikotnika ABC s podatkoma c = 18 cm in a = 10 cm.

Na vrvici je enakomerno razporejenih 7 vozlov. Koliko različnih trikotnikov lahko naredimo iz vrvice, če morajo biti v ogliščih trikotnika vozli in je obseg trikotnika enak dolžini vrvice?

137.

138.

139.

140.

141.

142.

143.

144.

145.

146.

147.

148.

2727

TrikotnikTrikotnik

Na vrvici so enakomerno razporejeni vozli. Iz vrvice oblikujemo enakokrake trikotnike, katerih oglišča so lahko le v vozlih in je obseg trikotnika enak dolžini vrvice. Koliko enakokrakih trikotnikov lahko sestavimo, če je na vrvici:

a) 5 vozlov, b) 6 vozlov, c) 7 vozlov, č) 8 vozlov, d) 15 vozlov?

Geotrikotnika ni mogoče podpirati z enim prstom tako, kot je razvidno s slike, da bi bil v ravnovesju. Kako imenujemo točko, v kateri se prst dotika geotrikotnika, ko je le-ta v ravnovesju?

Na spletu poišči zemljevid Slovenije, ga natisni in izreži. Vzemi iglo, vanjo napelji nit in na nit priveži utež. Šablono Slovenije na več koncih prebodi tik ob robu, drži le iglo, da se zemljevid in nitka postavita v ravnovesno lego, in nariši, kje poteka vrvica. Ko narišeš vsaj dve taki črti, dobiš težišče Slovenije. Katero mesto je težišče Slovenije?

Nariši štiri skladne trikotnike s stranicami, dolgimi 5 cm, 4 cm in 6 cm. Prvemu konstruiraj težišče, drugemu višinsko točko, tretjemu očrtano krožnico in četrtemu včrtano krožnico.

Nariši štiri skladne trikotnike ABC s podatki a = 3 cm, b = 60, c = 7 cm. Prvemu konstruiraj težišče, drugemu višinsko točko, tretjemu očrtano krožnico in četrtemu včrtano krožnico.

Dana sta kota a = 45 in b = 68 trikotnika ABC. Kolikšen kot oklepata simetrali kotov sb in sg?

Dana sta kota b = 43 in g = 55 trikotnika ABC. Kolikšen ostri kot oklepata vc in va?

Simetrala kota g trikotnika ABC seka stranico AB v točki S. Naj bo BAC = 40 in ACB = 70 BAC = 40 in ACB = 70. Izračunaj CSA.

Pokaži, da sta simetrala notranjega kota in simetrala zunanjega kota ob istem oglišču trikotnika pravokotni.

Načrtaj trikotnik ABC s podano višino. Napiši postopek načrtovanja.

a) c = 5 cm, vc = 3 cm, a = 75 b) b = 6 cm, vb = 2 cm, g = 90

c) c = 5 cm, vc = 3 cm, b = 4 cm č) a = 5 cm, b = 3 cm, va = 2 cm

e) va = 4 cm, b = 60, g = 75 e) a = 6 cm, vc = 4 cm, a = 105

g) b = 5 cm, vb = 4 cm, vc = 3 cm g) va = 3 cm, vc = 4 cm, b = 60

Načrtaj trikotnik ABC s podano težiščnico. Napiši postopek načrtovanja.

a) a = 6 cm, c = 3 cm, ta = 4 cm b) b = 5 cm, tb = 4 cm, g = 30

c) c = 6 cm, tc = 4 cm, vc = 3 cm č) tc = 5 cm, va = 6 cm, b = 75

e) tc = 5 cm, vc = 4 cm, b = 4,5 cm e) tc = 5 cm, vb = 4 cm, a = 30

149. *

150.

151.

152.

153.

154.

155.

156.

157.

158.

159.

2828

TrikotnikTrikotnik

Načrtaj trikotnik ABC s podanim odsekom simetrale kota v trikotniku. Napiši postopek načrtovanja.

a) c = 5 cm, a = 75, sa = 4 cm b) a = 4 cm, g = 90, sb = 4,5 cm

Načrtaj trikotnik ABC s podanim polmerom očrtane krožnice. Napiši postopek načrtovanja.

a) R = 3 cm, a = 5 cm, b = 3 cm b) R = 4 cm, c = 6 cm, vc = 2 cm

c) R = 2,5 cm, a = 4 cm, g = 30 č) R = 3 cm, a = b, c = 4 cm

Načrtaj enakokraki trikotnik ABC (a = b) z danimi podatki, pri čemer je r polmer trikotniku včrtane krožnice. Napiši postopek načrtovanja.

a) c = 4 cm, vc = 5 cm b) vc = 4 cm, g = 60 c) r = 3 cm, g = 75

Načrtaj pravokotni trikotnik ABC (pravi kot pri C) z danimi podatki. Napiši postopek načrtovanja.

a) b = 3 cm, c = 5 cm b) a = 3 cm, sb = 3,5 cm

Načrtaj enakostranični trikotnik ABC z danim podatkom, pri čemer je r polmer trikotniku včrtane krožnice, R pa polmer očrtane krožnice. Napiši postopek načrtovanja.

a) va = 3 cm b) R = 3 cm c) r = 2 cm

Načrtaj trikotnik ABC z dano vsoto dolžin stranic. Napiši postopek načrtovanja.

a) a + c = 10 cm, a = 30, b = 4 cm b) a + c = 10 cm, g = 30, b = 4 cm

c) b + c = 8 cm, a = 60, b = 45 č) b + c = 7 cm, vb = 3 cm, a = 4 cm

e) a + b + c = 12 cm, a = 30, b = 75 e) a + b + c = 10 cm, vc = 4 cm, b = 75

Načrtaj trikotnik ABC z dano razliko dolžin stranic. Napiši postopek načrtovanja.

a) c - a = 2 cm, a = 30, vc = 4 cm b) a - c = 2 cm, g = 30, va = 4 cm

c) b - c = 1 cm, g = 60, a = 3 cm č) b - c = 1 cm, g = 45, b = 75

Dokaži, da je nosilka težiščnice na stranico b trikotnika ABC enako oddaljena od oglišč A in C.

Dokaži, da sta višini na kraka enakokrakega trikotnika enako dolgi.

V trikotniku ABC je b = 2a. Simetrala kota b seka stranico AC v točki E, simetrala kota a pa stranico BC v točki F. Daljici EB in AF se sekata v točki D. Izrazi z a notranje kote štirikotnika EDFC.

V trikotniku ABC je b = 4a. Simetrala kota b seka stranico AC v točki E, simetrala kota EBA stranico AC v točki D, simetrala kota CBE pa stranico AC v točki F. Izrazi z a notranje kote trikotnikov EBF in FBC.

Izračunaj velikost kota ACB, če je |AD| = |DE| , EDA = 40, zunanji kot ob oglišču B trikotnika ABC pa je velik 150°.

Izračunaj velikost kota ACB, če je |BD| = |BE| , BED = 50, zunanji kot ob oglišču A trikotnika ABC pa je velik 140°.

160.

161.

162.

163.

164.

165. *

166. *

167.

168.

169.

170.

171. D

A

C

B

E

172.

D

A

C

B

E

2929

TrikotnikTrikotnik

Dokaži, da sta daljici BD in BC skladni, če je AD| = |EC| , |AB| = |BE|| ter sta kota a in b suplementarna.

Nariši trikotnik ABC. Konstruiraj še težišče T, višinsko točko V, očrtano krožnico in njeno središče S, včrtano krožnico in njeno središče I. Vse pomožne točke, premice, daljice in opise skrij.Premikaj oglišča in opiši trikotnik, v katerem:

a) ležijo vse štiri značilne točke trikotnika na isti premici,

b) vse štiri značilne točke trikotnika sovpadajo,

c) je višinska točka izven trikotnika,

d) je središče očrtane krožnice izven trikotnika.

Daljico z ogliščema S in V imenujemo Eulerjeva daljica. Premikaj oglišča trikotnika in poskušaj ugotoviti:

e) kakšna je lega točke T glede na Eulerjevo daljico,

f) kolikšno je razmerje |ST | : |TV |.

Simetrala pravega kota in višina na hipotenuzo pravokotnega trikotnika oklepata kot 15. Kolikšna sta ostra kota trikotnika?

Višina iz oglišča A enakokrakega trikotnika ABC z vrhom C razdeli kot pri oglišču A tako, da je eden izmed nastalih kotov za 30 večji od drugega. Kolikšni so koti trikotnika ABC?

Velikosti zunanjega kota ob osnovnici in zunanjega kota ob vrhu enakokrakega trikotnika sta v razmerju 5 : 2. Kolikšni so koti tega trikotnika?

Na podaljšku osnovnice AB enakokrakega trikotnika ABC izberi poljubno točko D. Pokaži, da razlika med oddaljenostma točke D od nosilk krakov trikotnika ni odvisna od izbire točke D.

Na ravnini sta narisani sekajoči se premici p in q ter točka A, ki ne leži na teh premicah. Načrtaj trikotnik z ogliščem A, katerega nosilki simetral notranjih kotov pri B in C sta premici p in q.

Na ravnini sta narisani sekajoči se premici p in q ter točka D, ki ne leži na teh premicah. Načrtaj trikotnik ABC, katerega nosilki težiščnic iz oglišč A in B sta premici p in q, D pa je razpolovišče stranice AB.

Dane nekolinearne točke D, E in F so razpolovišča stranic trikotnika ABC. Načrtaj trikotnik ABC.

Dane so nekolinearne točke D, E in T. Točki D in E sta razpolovišči dveh stranic, T pa je težišče trikotnika ABC. Načrtaj trikotnik ABC.

173. D

E

C

B

Aa

b

F

174. *

S

C

BA

TI

V

175.

176.

177.

178. *

179. *

180. *

181.

182.

3030

Obodni in središčni kotObodni in središčni kot

OBODNI IN SREDIŠČNI KOT

Koti v kroguSrediščni kot je dvakrat tolikšen kot obodni kot nad istim lokom.

Vsi obodni koti nad istim lokom so enako veliki.

Kot v polkrogu je pravi kot.

a

2a

A B

a a

a

A

B

A B

Tetiva in tangentaTetiva je zveznica dveh točk na krožnici. Tangenta je premica, ki se dotika krožnice.

S S

Simetrala tetive poteka skozi središče krožnice. Tangenta je pravokotna na polmer, ki povezuje središče krožnice in dotikališče tangente.

Nariši tri obodne kote BMA, BLA in BKA nad istim lokom ter primerjaj njihove velikosti.

a) Koliko sta velika kota BLA in BMA, če je kot BKA velik 30?

b) Kakšni so obodni koti nad istim lokom?

c) Točki A in B nastavi tako, da bo kot BKA velik 30. Točko M prenesi na krajšega izmed obeh lokov med A in B. Tako je AMB obodni kot nad daljšim izmed obeh lokov s krajiščema A in B. Koliko je tedaj velik kot AMB?

d) Kakšna zveza velja med obodnim kotom nad manjšim lokom, ki ga določata dve točki, in obodnim kotom nad večjim lokom, ki ga določata isti dve točki?

Nariši središčni in obodni kot nad istim lokom ter primerjaj njuni velikosti.

a) Kolikšen je središčni kot, če je obodni kot nad istim lokom velik 40?

b) Kolikšen je obodni kot, če je središčni kot nad istim lokom velik 40?

c) Kakšna je zveza med središčnim in obodnim kotom nad istim lokom?

183. A

B

KLLLL

MMMM S

184. A

B

S

bbbb

aaaa

3131


Nariši kot v polkrogu ter opazuj njegovo velikost.

a) Kolikšen je kot v polkrogu?

b) Kje leži središče pravokotnemu trikotniku očrtane krožnice? Kolikšen je njen polmer?

c) Kolikšna je dolžina težiščnice na hipotenuzo v pravokotnem trikotniku?

Kot v radianih zapiši s stopinjami.

a) π

2 b)

3π

4 c)

7π

6 č) 2,3 d) 1,5 e) 0,2

Kot v stopinjah zapiši z radiani.

a) 30 b) 45 c) 135 č) 1 d) 360 e) 270

Zunanji kot pri oglišču A trikotnika ABC je velik 11π

18, zunanji kot pri oglišču B pa

13π

18. Kolikšni so

notranji koti trikotnika ABC?

Določi velikost kota a.

a) b) c) d)

e) f) g) h)

i) j) k) l)

Vsota velikosti središčnega in obodnega kota nad istim lokom je 56 30′. Koliko je velik vsak izmed njiju?

Velikosti središčnega in obodnega kota nad istim lokom se razlikujeta za 45 23′ 23′′. Koliko je velik vsak izmed njiju?

Na krožnici ležita točki A in B, ki jo delita na dva loka, katerih dolžini sta v razmerju 4 : 5. Kolikšen središčni kot pripada večjemu loku in kolikšen obodni kot pripada manjšemu loku?

Krajišči tetive delita krožnico na dva loka, katerih dolžini sta v razmerju 1 : 4. Koliko je velik obodni kot nad manjšim izmed obeh lokov?

185.

A BS

V

aaaa

186.

187.

188.

189.

S

a

80 S72 a S

32

a

S 81

a

S

180

a

S

a

46S20 a

Sa

50

100

S230

a

S

100

aS

120

a

S60

20

a

190.

191.

192.

193.

3232


Trikotniku ABC očrtamo krožnico. Oglišča A, B in C razdelijo krožnico na tri loke, katerih dolžine so v razmerju 3 : 4 : 2. Izračunaj velikosti notranjih kotov trikotnika ABC.

Enakokrakemu trikotniku ABC z vrhom C očrtamo krožnico. Kraku AC pripada središčni kot 50. Izračunaj velikosti notranjih kotov trikotnika ABC.

Na krožnici izberemo štiri točke A, B, C in D. Razmerje dolžin lokov je enako AB : BC : CD : DA = 5 : 11 : 10 : 10. Izračunaj velikosti notranjih kotov štirikotnika ABCD.

V krogu s polmerom 3 cm narišemo 3 cm dolgo tetivo. Pod kolikšnim kotom jo vidimo iz točk na daljšem loku in pod kolikšnim iz točk na krajšem loku?

Točki A in B razdelita krožnico na loka, katerih dolžini sta v razmerju 2 : 7. Kolikšen je najmanjši neničelni kot, pod katerim vidimo daljico AB iz točk na krožnici?

Točki A in B razdelita krožnico na loka, katerih dolžini sta v razmerju 4 : 5. Kolikšen je največji kot, pod katerim vidimo daljico AB iz točk na krožnici?

Nariši 5 cm dolgo daljico. Nato nariši vse točke, iz katerih vidimo daljico pod danim kotom.

a) 60 b) 120

Zaslon v kinu je širok 5 m. Nariši, kje naj sedijo gledalci, da bodo videli zaslon pod kotom 30. Riši tloris, in sicer v razmerju 1 : 100.

Nariši pravokotni trikotnik ABC s pravim kotom pri C in s podano višino na hipotenuzo. Napiši postopek načrtovanja.

a) c = 5 cm, vc = 2 cm b) R = 3 cm, vc = 2 cm c) tc = 4 cm, vc = 3 cm

Nariši trikotnik ABC. Napiši postopek načrtovanja.

a) c = 6 cm, va = 4 cm, vb = 5 cm b) a = 6 cm, vc = 5,5 cm, vb = 5 cm

Nariši trikotnik s podano stranico in nasprotnim kotom. Napiši postopek načrtovanja.

a) c = 6 cm, vc = 2 cm, g = 60 b) a = 5 cm, ta = 4 cm, a = 30

c) b = 5 cm, vb = 1 cm, b = 120 č) b = 6 cm, tb = 2,5 cm, b = 105

Iz točke M narišemo tangenti t1 in t2 na krožnico s središčem S. Tangenti se dotikata krožnice v točkah A in B. Določi velikost kota a.

a) b) c) d)

Vzemi kozarec z okroglo odprtino, postavi ga na papir in nariši krožnico. Načrtaj središče krožnice. Napiši postopek načrtovanja.

194.

195.

196.

197.

198.

199.

200.

201.

202.

203. *

204. *

205.

S

A

M

Bt1

t2

25a62a

A

MS

Bt2

t1

S

70

a

A

M

Bt2t1 S60

A

M

B t2

t1

a

206.

3333


Nariši 3 poljubne nekolinearne točke. Načrtaj krožnico, ki poteka skoznje.

Nariši premico. Konstruiraj krožnici s polmeroma 2 cm in 3 cm, ki se premice dotikata v isti točki in ležita na nasprotnih bregovih premice.

Nariši krožnico s polmerom, dolgim 3 cm. Na njej izberi točko M. V točki M načrtaj tangento.

Nariši 7 cm dolgo daljico AB in krožnico s središčem A in polmerom 4 cm. Iz točke B načrtaj tangenti na krožnico.

Nariši krožnico s polmerom, dolgim 3 cm. Načrtaj tangenti na krožnico, ki oklepata kot 60.

Krajišči tetive AB določata središčni kot 66. Izračunaj velikost ostrega kota, ki ga oklepa tetiva s tangento na krožnico v točki B.

Načrtaj kot 75 in krožnico s premerom, dolgim 6 cm, ki se dotika obeh njegovih krakov.

Iz točke A sta narisani tangenti na krožnico (središče krožnice je v točki S). Tangenti se dotikata krožnice v točkah M in N.

a) Dokaži, da sta daljici AM in AN skladni.

b) Izračunaj velikosti notranjih kotov trikotnika MNS, če jekot MAN velik 80.

Na krožnici s središčem S in premerom AB je taka točka C, da je kot SAC velik 30. Skozi točko C je narisana tangenta na krožnico, ki seka nosilko daljice AB v točki D. Kolikšni so koti trikotnika SDC? Pomagaj si s sliko. Načrtaj iz točke D še drugo tangento z dotikališčem E. Kolikšen je kot CEA?

Dana je tetiva AB krožnice s središčem S. V točki B je narisana tangenta. Narisana je pravokotnica na polmer AS skozi S, ki seka tangento v točki C, nosilko tetive pa v točki D. Kot a je velik 24. Dokaži, da je |BC| = |CD|. Pomagaj si s sliko. Ali je |BC| = |CD| tudi, če je velikost kota a drugačna?

Točke M, N in T ležijo na krožnici s središčem v točki S. Naj bo MSN = 82, |MT | = |MR|. Izračunaj velikosti notranjih in zunanjih

kotov trikotnika MRT.

207.

208.

209.

210.

211.

212.

213.

214. A

S

M

N

215.

AS

B

D

C

216.

aA S

D

B

C

217.

M

T

S

N

R

3434


Dana je krožnica s središčem S in polmerom, dolgim 10 cm. Iz točke A, ki je od točke S oddaljena 20 cm, narišemo tangento na krožnico. Dotikališče označimo z D. Koliko je pravokotna projekcija točke D na daljico SA oddaljena od točke A?

Dana je krožnica s središčem S in polmerom r. Naj bo CD poljubna tetiva te krožnice. Tetivo CD podaljšamo za dolžino r in krajišče označimo z E, tako da D leži med C in E. Nosilka daljice SE seka krožnico v točki F tako, da S leži med F in E. Dokaži, da je velikost kota SEC enaka tretjini velikosti kota FSC.

Dana je krožnica s središčem S in polmerom r = SM. Daljico |SM | podaljšaj za r = |MN | tako, da M leži med N in S. Iz točke N položi tangenti na krožnico. Kolikšen je kot med tangentama?

Dana je krožnica K. Naj bo AB njen premer, C pa taka točka na krožnici, da je kot med daljico AB in daljico AC enak 30. V točki C položimo tangento na krožnico. Ta seka nosilko daljice AB v točki D. Izračunaj velikost kota ADC . Kakšne vrste trikotnik je ABC?

Kot, ki ga oklepata višina in težiščnica na hipotenuzo pravokotnega trikotnika, je enak razliki velikosti ostrih kotov tega trikotnika. Dokaži.

Eden izmed kotov pravokotnega trikotnika je velik 15. Kolikšno je razmerje med dolžino hipotenuze in dolžino višine na hipotenuzo tega trikotnika?

Pokaži: Kot med tetivo in tangento na krožnico skozi krajišče tetive je enak obodnemu kotu nad tetivo.

218. *

219. *

220.

221. *

222.

223.

224. *a

a

tangenta

tetiva

3535

ŠtirikotnikiŠtirikotniki

ŠTIRIKOTNIKI

TRAPEZ PARALELOGRAM ROMBD c

a

d s b

C

A B

D a

a

b b

C

A B

ef

D a

a

a a

C

A B

ef

• je 4-kotnik, ki ima en par vzporednih stranic,

• a in c sta osnovnici,

• b in d sta kraka,

• s je srednjica trapeza.

• je trapez, ki ima dva para vzporednih stranic,

• diagonali se razpolavljata.

• je paralelogram, ki ima 4 enako dolge stranice,

• diagonali se razpolavljata in sekata pravokotno.

PRAVOKOTNIK KVADRAT DELTOIDD a

a

b b

C

A B

dd

D a

a

a a

C

A B

d

d

D

a af

bb

CA

B

e2

e2 D

a af

bbCA

B

e2

e2

• je paralelogram, ki ima vse 4 kote prave,

• diagonali se razpolavljata in sta enako dolgi.

• je pravokotnik, ki ima vse 4 stranice enako dolge,

• je romb, ki ima vse štiri kote prave,

• diagonali sta pravokotni, enako dolgi in se razpolavljata.

• je 4-kotnik, ki ima dva para enako dolgih sosednjih stranic,

• nosilka diagonale, ki je simetrijska os deltoida, razpolavlja drugo diagonalo.

TETIVNI ŠTIRIKOTNIK TANGENTNI ŠTIRIKOTNIK PRAVILNI n-KOTNIK

d g

b

a

d

c

b

a

D C

B

A d

c

b

a

D

C

B

A

D

C

E

F

BAa a

a a

a a

a

a

a

a

a

a

• je 4-kotnik, ki mu lahko očrtamo krožnico,

• velja: a + g = b + d = 180.

• je 4- kotnik, ki mu lahko včrtamo krožnico,

• velja: a + c = b + d.

• je n-kotnik, ki ima vse stranice enako dolge in vse notranje kote enako velike,

• α = (n−2)·180

n .

Določi logično vrednost izjave.

a) Vsak trapez je paralelogram.

b) Vsak paralelogram je trapez.

c) Vsak paralelogram s skladnimi stranicami je romb.

d) Diagonala vsakega enakokrakega trapeza razdeli ta trapez na dva skladna trikotnika.

225.

3636


e) Vsak paralelogram s skladnimi koti in skladnimi stranicami je kvadrat.

f) Če sta nasprotni stranici štirikotnika vzporedni, je štirikotnik paralelogram.

g) Nasprotni stranici paralelograma sta vzporedni in skladni.

h) Kota ob isti stranici paralelograma sta suplementarna.

i) Diagonala paralelograma razpolavlja kota ob ogliščih, ki ju povezuje.

j) Diagonala romba razpolavlja kota ob ogliščih, ki ju povezuje.

k) Diagonali paralelograma se razpolavljata.

Določi neznane velikosti kotov: a) paralelograma, b) trapeza, c) enakokrakega trapeza,

d) deltoida,

e) pravokotnika,

f) romba.

Izračunaj dolžine stranic enakokrakega trapeza ABCD z obsegom 26 cm, v katerem je stranica a za 2 cm daljša od stranice c, dolžina stranice b pa je enaka polovici dolžine stranice c.

Načrtaj kvadrat ABCD. Napiši postopek načrtovanja.

a) a = 5 cm b) |AC| = e = 6 cm c) e = a + 2 cm č) e + a = 8 cm

Načrtaj pravokotnik ABCD. Napiši postopek načrtovanja.

a) a = 6 cm, b = 2 cm b) a = 5 cm, e = 6 cm

c) a = 6 cm, (e, f) = 60, a > b č) e = 6 cm, (e, f) = 60, a > b

e) b = 3 cm, DBA = 30 e) a = 6 cm, DCA = 15

g) a + b = 10 cm, e = 8 cm g) a - b = 2 cm, e = 5 cm

i) a + e = 10 cm, b = 3 cm i) e - b = 2 cm, a = 6 cm

Načrtaj paralelogram ABCD. Napiši postopek načrtovanja.

a) a = 6 cm, b = 2 cm, a = 60 b) a = 6 cm, b = 2 cm, b = 75

c) a = 6 cm, b = 2 cm, e = 7 cm č) a = 5 cm, b = 4 cm, f = 6 cm

e) a = 6 cm, b = 4 cm, va = 3 cm e) e = 6 cm, b = 120, va = 3 cm

g) b = 5 cm, e = 6 cm, f = 8 cm g) a = 6 cm, va = 3 cm, ACB = 30

i) f = 6 cm, a = 60, e = 10 cm i) e = 10 cm, f = 6 cm, DCB = 45

k) a + b = 10 cm, va = 3 cm, a = 30 k) a - b = 3 cm, va = 3 cm, e = 6 cm

m) a + f = 8 cm, b = 120, va = 3 cm m) f - b = 3 cm, a = 60, a = 6 cm

226.

d

ba

D C

BA

42°

a

g

d

c

b

a

D C

BA

132°

50° a b

d

d

c

b

a

D C

BA

135°

a

b

D

C

B

A 110°

65°e

D C

BA

140°

d g

a

D C

BA125°

227.

228. * *

229.

* *

* *

230.

*

* *

* *

*

3737


Načrtaj romb ABCD. Napiši postopek načrtovanja.

a) a = 4 cm, a = 60 b) a = 5 cm, e = 3 cm

c) a = 4 cm, f = 5 cm č) e = 4 cm, f = 6 cm

e) a = 4 cm, va = 3 cm e) e = 6 cm, va = 2 cm

g) e = 6 cm, a = 75 g) e + a = 6 cm, a = 60

i) a = 4 cm, e + f = 10 cm i) f - a = 2 cm, a = 120

Načrtaj trapez ABCD. Napiši postopek načrtovanja.

a) a = 7 cm, v = 3 cm, b = 3,5 cm, d = 4,5 cm

b) a = 6 cm, b = 4 cm, a = 60, d = 3 cm

c) a = 7 cm, b = 4 cm, e = 6 cm, c = 3 cm

d) a = 6 cm, a = 45, g = 120, v = 3 cm

e) a = 8 cm, b = 4 cm, c = 3 cm, d = 5 cm

f) a = 6 cm, a = 45, b = 60, c = 3 cm

g) a = 7 cm, v = 3 cm, c = 4 cm, BCA = 60

h) a = 7 cm, v = 4 cm, e = 7 cm, ADB = 75

i) a + c = 10 cm, a = 75, b = 60, v = 3 cm

j) a + b + d = 10 cm, a = 60, b = 45, v = 2 cm

k) b = d, a - e = 1 cm, v = 4 cm, a = 60

l) b = d, a = 6 cm, v = 4,5 cm, ADB = 60

Načrtaj deltoid ABCD s simetralo BD. Napiši postopek načrtovanja.

a) a = 6 cm, b = 3 cm, a = 120 b) a = 5 cm, b = 4 cm, e = 6 cm

c) e = 4 cm, f = 6 cm, b = 3 cm č) a = 5 cm, e = 4 cm, f = 7 cm

e) a = 5 cm, b = 3 cm, f = 6 cm e) f = 7 cm, b = 30, d = 60

g) e = 5 cm, b = 30, d = 60 g) e = 3 cm, f = 7 cm, a = 120

i) a + e = 8 cm, b = 3 cm, b = 30 i) a - b = 3 cm, f = 7 cm, a = 120

Načrtaj trikotnik ABC. Napiši postopek načrtovanja.

a) c = 6 cm, vc = 3 cm, ta = 4 cm b) b = 4 cm, ta = 5 cm, a = 75

c) a = 4 cm, c = 4 cm, tb = 3,5 cm č) b = 5 cm, a = 3 cm, tc = 3 cm

Izračunaj neznane velikosti kotov v tetivnem štirikotniku.

a) b)

231.

* *

* *

232.

*

*

*

*

*

*

233.

*

* *

234.

235.

d

a

D

C

BA130°

120°

d

g

D

C

B

A91°

112°

3838


Izračunaj neznano dolžino stranice v tangentnem štirikotniku.

a) b)

Izračunaj velikost kota x.

a) b) c)

d) e) f)

Pokaži, da je štirikotnik LMCK tetivni.

Krožnici K1 in K2 se sekata v točkah A in B. Skozi točko A položimo premico, ki seka krožnico K1 v točkah C in A, krožnico K2 pa v točkah D in A. Skozi točko B položimo premico, ki seka krožnico K1 v točkah E in B, krožnico K2 pa v točkah F in B. Dokaži, da sta daljici CE in DF vzporedni.

Naj bo K ostrokotnemu trikotniku ABC očrtana krožnica. Nosilka višine na stranico c seka krožnico v točki D, višino na stranico a pa v točki E. Dokaži, da je trikotnik ADC enakokrak.

Tadej obvlada kuhanje. Lonec postavi na mizo, mu prisloni dve enako dolgi slamici, nož in kuhalnico tako, da se njihovi začetki in konci stikajo, kot prikazuje slika. Koliko je dolga slamica, če je nož dolg 13 cm, kuhalnica pa 31 cm?

236.

d = 7 cm

a = 6 cm

b = 5 cm

D

C

c

B

A

C

D

B

a

Ad = 5 cm

c = 3

cm

b = 2 cm

237.

E

D C

B

A

100°

130°

x D

C

B

A

|DB| = |DC|

65°

xx

DS

C

B

A

46°

|BC| = |CD|

x

D

S

CB

A 150°

|AB| = |BC|

Dx

C

B

A

30°

50°

S

xCD

B

A

20° S

238.

A B

C

N

K

L

M

239. *

240.

241.

3939


Alja, Lina, Jaka in Niko se postavijo v krog, kot prikazuje slika. Jaka in Lina držita napeto črno vrvico, Jaka in Niko držita napeto modro vrvico, Jaka in Alja pa rjavo vrvico. Alja vidi modro vrvico pod zornim kotom 40, črno vrvico pa pod zornim kotom 100. Pod kolikšnim kotom:

a) Lina vidi modro vrvico,

b) Niko vidi črno vrvico,

c) Lina vidi modro vrvico, če stopi na sredino kroga?

Dana je krožnica s središčem S. Iz točke A sta na krožnico narisani tangenti, ki se krožnice dotikata v točkah B in C. Točka D je poljubna točka na manjšem izmed obeh lokov, ki ju določata B in C. Tangenta skozi D seka narisani tangenti v točkah E in F. Dokaži, da velikost kota FSE ostaja enaka, če točko D premikamo po krajšem loku.

Koliko je velik notranji kot pravilnega:

a) 5-kotnika, b) 10-kotnika, c) 66-kotnika?

Kateri pravilni n-kotnik ima notranji kot velik 172?

Koliko je velik zunanji kot pravilnega:

a) 7-kotnika, b) 12-kotnika, c) 60-kotnika?

Kateri pravilni n-kotnik ima zunanji kot velik 36?

Dan je pravilni 17-kotnik.

a) Izračunaj število diagonal. b) Izračunaj velikost notranjega kota.

Kolikšen je notranji kot pravilnega večkotnika, ki ima 104 diagonale?

Dan je pravilni 9-kotnik ABCDEFGHI. Naj bo M taka točka v njegovi notranjosti, da je trikotnik AMB enakostranični. Izračunaj velikost kota MCB.

Nariši dve krožnici s polmerom 4 cm. Prvi včrtaj pravilni 6-kotnik, drugi pa očrtaj pravilni 6-kotnik.

Nariši dve krožnici s polmerom 4 cm. Prvi včrtaj pravilni 8-kotnik, drugi pa očrtaj pravilni 8-kotnik.

Dan je kvadrat ABCD s stranico a. Naj bo A′ zrcalna slika točke D pri zrcaljenju čez točko A, točka B ′ zrcalna slika točke A pri zrcaljenju čez točko B, točka C ′ zrcalna slika točke B pri zrcaljenju čez točko C in točka D′ zrcalna slika točke C pri zrcaljenju čez točko D. Kateri lik predstavlja štirikotnik A′B ′C ′D′? Izračunaj njegovo ploščino.

Na krožnici s središčem S sta dani točki M in R tako, da je RSM = 80. V teh dveh točkah narišemo tangenti na krožnico, presečišče tangent je točka V. Presečišče krožnice in daljice VS je točka P. Izračunaj velikosti notranjih kotov štirikotnika MPRV.

242.

S

Jaka

Lina

Niko

Alja

243. * B

E

F

AS

C

D

244.

245.

246.

247.

248.

249.

250.

251.

252.

253. *

254.

4040


Nariši krožnico s polmerom r in središčem S. Daljica AB naj bo tetiva dolžine r. Simetrala tetive seka krožnico v točkah E in G. Izračunaj velikosti kotov štirikotnika AEBG.

V ravnini sta dani daljica MN in točka P. Skico preriši. Naj bo S razpolovišče daljice MN.

a) Prezrcali točko P čez točko S v točko R.

b) Prezrcali točko P čez nosilko daljice MN v točko U.

c) Dokaži, da je trikotnik MPU enakokrak.

d) Dokaži, da je lik RMPN paralelogram.

Točki A in B na krožnici s središčem S razdelita krožnico na loka, katerih dolžini sta v razmerju 2 : 7. Skozi točki A in B potekata tangenti na krožnico, presečišče tangent je točka E.

a) Izračunaj kote štirikotnika AEBS.

b) Nosilka daljice ES seka krožnico v dveh točkah. Naj bo D tisto presečišče, ki določa konveksni štirikotnik AEBD. Izračunaj velikosti kotov tega štirikotnika.

Dan je štirikotnik ABCD, za katerega velja: |AB| = |AD| in |BC| = |CD|. Dokaži, da je daljica BD pravokotna na AC.

Krogu sta včrtana pravilni petkotnik in pravilni šestkotnik. Kolikšni sta vsoti velikosti notranjih kotov obeh večkotnikov?

Pravilni osemkotnik ima oglišča A1 , A2 , A3, A4 , A5, A6 , A7, A8. Izračunaj velikosti notranjih kotov trikotnika A3A6A7.

Oglišča pravilnega dvanajstkotnika označimo s številkami od 1 do 12. Določi kot med premico skozi oglišči 3 in 12 ter premico skozi oglišči 4 in 7.

Načrtaj paralelogram ABCD s podatki: a = 6 cm, b = 4 cm, e = 8 cm. Simetrala kota b seka daljico AC v točki E, daljico CD pa v točki F. Daljico EF prezrcali preko nosilke daljice BD. Krajišči tako dobljene daljice ter točki E in F so oglišča konveksnega štirikotnika. Kateri štirikotnik je nastal?

Lik ABCD na sliki je paralelogram, krožnica ima središče v presečišču diagonal. Dokaži, da je |AE| = |FC|. Izračunaj velikost kota AGE, če sta velikosti ostrega in topega kota med diagonalama paralelograma v razmerju 1 : 2.

Dolžina pravokotnika je za 6 cm daljša od širine. Zveznica razpolovišč dveh sosednjih stranic razdeli pravokotnik na trikotnik in petkotnik, pri čemer je obseg petkotnika za 30 cm daljši od obsega trikotnika. Izračunaj dolžini stranic pravokotnika.

Srednjica trapeza je dolga 32 cm. Diagonala trapeza razdeli srednjico na dva dela tako, da je eden za 8 cm daljši od drugega. Koliko sta dolgi osnovnici trapeza?

Osnovnica CD enakokrakega trapeza ABCD z obsegom 283 cm je dolga 61 cm. Diagonala AC tega trapeza razpolavlja kot BAD. Koliko je dolga osnovnica AB?

255.

256.

M

N

P

257.

258.

259.

260.

261.

262.

263.

A B

CD

FG

E

H

264.

265. *

266.

4141


Simetrala ostrega kota BAD paralelograma ABCD, katerega obseg je 48 cm, seka podaljšek stranice CD v točki E tako, da je |CE| = 5 cm. Koliko so dolge stranice paralelograma?

V enakokrak pravokoten trikotnik, katerega hipotenuza je dolga 45 cm, včrtamo pravokotnik, katerega dolžini stranic sta v razmerju 5 : 2. Dve oglišči pravokotnika ležita na hipotenuzi, po eno oglišče pa na vsaki kateti trikotnika. Izračunaj obseg pravokotnika.

Nad stranico AB kvadrata ABCD načrtamo enakostranični trikotnik ABE tako, da točka E leži v notranjosti kvadrata. Koliko je velik kot CED?

Stranica AB pravokotnika ABCD je dolga 20 cm. Oglišče B je od diagonale AC oddaljeno 12 cm. Izračunaj obseg in ploščino pravokotnika.

Dolžini sosednjih stranic paralelograma ABCD se razlikujeta za 7 cm. Pravokotnica iz oglišča B na diagonalo AC razdeli diagonalo na daljici, dolgi 15 cm in 6 cm. Koliko sta dolgi stranici paralelograma?

V trikotniku ABC narišemo vse tri višine. Njihova nožišča označimo s točkami P, Q in R. Trikotniku PQR rečemo pedalni trikotnik. Pokaži, da je višinska točka trikotnika ABC središče včrtane krožnice trikotnika PQR.

Dana je premica p ter točki D in E, ki ne ležita na njej. Načrtaj trikotnik ABC, če je premica p nosilka stranice AB, točki D in E pa sta nožišči višin trikotnika iz oglišč A in B.

Na ravnini so dane nekolinearne točke S, T in U. Načrtaj kvadrat, katerega središče je točka S, pri čemer sta točki T in U vsaka na eni izmed nosilk nasprotnih stranic kvadrata.

Na ravnini so dane tri vzporednice p, q in r. Načrtaj kvadrat ABCD, katerega oglišča A, B in C ležijo na premicah p, q in r.

Na ravnini so dane tri nekolinearne točke T, U in V. Načrtaj štirikotnik, ki ima tri stranice enako dolge, če so dane točke razpolovišča teh treh stranic.

267.

268. *

269.

270. *

271. *

272. *

273. *

274. *

275. *

276. *

4242

Vektorske količineVektorske količine

VEKTORSKE KOLIČINE

Vektor je količina, določena s smerjo, z usmerjenostjo in dolžino. Ponazorimo ga z usmerjeno daljico.

−a

A

B

začetna točkakončna točka

−−−AB

Vektorja sta enaka, če se ujemata v:

• dolžini,

• smeri (sta vzporedna),

• usmerjenosti.

−a−b

Dolžino vektorja −a označimo |−a |.

Ničelni vektor je vektor z dolžino 0. Začetna in končna točka tega vektorja sovpadata.

Enotski vektor je vektor z dolžino 1.

Nasprotni vektor vektorja −a je vektor, ki ima enako dolžino in smer kot −a, a je nasprotno usmerjen. Označimo ga −−a.

Nariši kvadrat ABCD s stranico, dolgo 4 cm, in zapiši vse vektorje, ki jih določajo njegova oglišča.

a) Kateri izmed zapisanih vektorjev so enako dolgi kot vektor −−−AB?

b) Kateri izmed zapisanih neničelnih vektorjev imajo enako smer kot vektor −−−AB?

c) Kateri izmed zapisanih vektorjev so enaki vektorju −−−AB?

d) Kateri izmed zapisanih vektorjev so nasprotni vektorju −−−AB?

Nariši pravilni šestkotnik ABCDEF s stranico, dolgo 3 cm, in zapiši vse vektorje, ki jih določajo njegova oglišča.

a) Kateri izmed zapisanih vektorjev so enako dolgi kot vektor −−−BF?

b) Kateri izmed zapisanih vektorjev so enaki vektorju −−−CD?

c) Kateri izmed zapisanih neničelnih vektorjev imajo enako smer kot vektor −−−AF?

d) Kateri izmed zapisanih vektorjev so nasprotni vektorju −−−EF?

Nariši pravokotnik ABCD s stranicama, dolgima a = 5 cm in b = 4 cm. Središče pravokotnika označi s točko S. Zapiši vse vektorje, ki jih določajo oglišča in središče pravokotnika ABCD.

a) Kateri izmed zapisanih vektorjev so enako dolgi?

b) Kateri izmed zapisanih neničelnih vektorjev imajo enake smeri?

c) Kateri izmed zapisanih vektorjev so enaki vektorju −−SB?

d) Kateri izmed zapisanih vektorjev so nasprotni vektorju −−BS?

277.

278.

279.

4343

Vektorske količineVektorske količine

Dan je kvader ABCDA′B ′C ′D′ z robovi |AB| = 1 cm, |AD| = 3 cm in |AA | = 10 cm. Kateri izmed neničelnih vektorjev, ki jih določajo oglišča kvadra:

a) so enako dolgi kot vektor −−−BB ,

b) imajo enako smer kot vektor −−−AB,

c) so nasprotni vektorju −−−−A B ,

d) so enotski vektorji?

Dana je pravilna tristrana prizma ABCA′B′C′ z robovi osnovne ploskve, dolgimi |AB| = |BC| = |CA| = 1 cm in višino |AA | = 5 cm. Kateri izmed neničelnih vektorjev, ki jih določajo oglišča prizme:

a) so enotski vektorji,

b) imajo enako smer kot vektor −−−AB,

c) so nasprotni vektorju −−−BB ?

Dan je pravilni n-kotnik A1A2…An. Koliko vektorjev, ki jih določajo oglišča A1, A2 … An:

a) je enako dolgih kot −−−−−A1A2,

b) je enakih vektorju −−−−−A1A2, če je n liho število, in koliko, če je n sodo število,

c) povezuje nesosednja oglišča?

Na premici zaporedoma ležijo točke A1 , A2 , A3 … An, (n ∈ N) tako, da je razdalja med zaporednima točkama enaka 1.

a) Koliko vektorjev dolžine 2 določajo te točke za n = 4?

b) Koliko vektorjev dolžine 2 določajo te točke za n = 5?

c) Koliko vektorjev dolžine 2 določajo te točke za n = 50?

Na premici leži 20 točk. Razdalja med sosednjima točkama je 1 cm. Vsak par točk na premici določa vektor. Koliko izmed teh vektorjev:

a) je enotskih,

b) je dolgih 2 cm,

c) je dolgih 3 cm?

Koliko vektorjev določa dano število točk?

a) 2 točki

b) 3 točke

c) 8 točk

Točke A, B, C in D so kolinearne. Razdalja med točkama A in D je enaka 12 cm. Točki B in C ležita med točkama A in D, tako da velja |AB| : |BD| = 1 : 3 in |AC| : |CD| = 1 : 2. Kateri izmed vektorjev, ki imajo za krajišči dve izmed točk A, B, C in D, so enotski?

Točke A, B, C, D in E so kolinearne. Razdalja med točkama A in E je enaka 20 cm. Točke B, C in D ležijo med točkama A in E, tako da velja |AB| : |BE| = 1 : 4 in |AC| : |AE| = 1 : 4 ter |AD| : |AE| = 1 : 5

|AB| : |BE| = 1 : 4 in |AC| : |AE| = 1 : 4 ter |AD| : |AE| = 1 : 5. Kateri izmed vektorjev, ki imajo za krajišči dve izmed točk A, B, C in D, so enaki?

280.

281.

282. *

283.

284.

285.

286.

287.

4444

Vzporedni premik v ravniniVzporedni premik v ravnini

VZPOREDNI PREMIK V RAVNINI

Vzporedni premik (translacija) za vektor −a je preslikava, ki vsako točko v ravnini premakne za vektor −a.

Vzporedni premik je toga preslikava, saj ohranja razdalje med točkami. A

B

−aA

B

−a

−a

A′

B′

Preriši na karirast papir in premakni za vektor −a:

a) točko A, b) daljico AB, c) trikotnik ABC,

d) kvadrat ABCD, e) pravokotnik ABCD, f) krog.

V kaj preslika vzporedni premik: a) točko, b) premico, c) daljico, č) večkotnik?

Nariši trapez ABCD s stranicami, dolgimi |AB| = 6 cm, |BC| = 4 cm, |CD| = 2 cm, |DA| = 3 cm|AB| = 6 cm, |BC| = 4 cm, |CD| = 2 cm, |DA| = 3 cm. Vzporedno ga premakni za vektor

−−−AB. Premaknjeni trapez označi A′B′C′D′.

Nariši pravokotni trikotnik ABC s katetama, dolgima |CB| = 3 cm in |CA| = 4 cm. Trikotnik ABC vzporedno premakni za vektor

−−−AC v trikotnik A′B′C′. Trikotnik A′B′C′

vzporedno premakni za vektor −−−CB v trikotnik A′′B′′C′′. Kateri vzporedni premik preslika

trikotnik ABC v trikotnik A′′B′′C′′?

Poljuben trikotnik ABC vzporedno premakni za vektor −−−AC v trikotnik A′B′C′. Nato vzporedno

premakni trikotnik A′B′C′ za vektor −−−CA v trikotnik A′′B′′C′′. Katera toga preslikava preslika

trikotnik ABC v trikotnik A′′B′′C′′?

Točke A(-4, -1), B(5, 1) in C(2, 6) so oglišča trikotnika ABC. Trikotnik ABC vzporedno premakni tako, da se oglišče B premakne v točko B ′(8, 2). Zapiši koordinate oglišč premaknjenega trikotnika A′B ′C ′.

Vzporedni premik preslika točko A(-2, 1) v točko B(3, 1). Kam preslika isti vzporedni premik točko C(-5, 6)?

S katero izmed preslikav v ravnini, vrtenjem, vzporednim premikom, zrcaljenjem čez premico, zrcaljenjem čez točko, lahko pravokotnik P preslikamo v pravokotnik R?

a) b) c)

288.

A

−a

AB

−a

C

A

B

−a

C

A

D

B

−a

C

BA

D

−a

−a

289.

290.

291.

292.

293.

294.

295.

P

R

P

R P R

4545

Seštevanje in odštevanje vektorjevSeštevanje in odštevanje vektorjev

SEŠTEVANJE IN ODŠTEVANJE VEKTORJEV

Vsoto vektorjev −a +−b narišemo tako, da vektorja −a in

−b vzporedno premaknemo, tako da je začetek

enega v koncu drugega. Vsota je vektor od začetka prvega vektorja do konca drugega vektorja.

−a

−bbbb

−a

−bbbb

−a + b

Razliko vektorjev −a − −b narišemo tako, da vektorju −a prištejemo vektor −−

b .−a

−a−bbbb

−-b---bbb

−a

−-b---bbb

−a

−a - b1. Narišemo

vektor .2. Seštejemo

in . -b−

-b−

Razlika −a − −b vektorjev −a in

−b z isto začetno točko je vektor, ki povezuje končni

točki obeh vektorjev in je usmerjen h končni točki vektorja, od katerega se odšteva.

Vektorja preriši na karirast papir in nariši njuno vsoto.

a) b) c) d)

e) f) g) h)

Vektorja preriši na karirast papir in nariši razliko −a − −b .

a) b) c) d)

−bbbb

−a −a - b

296.

−a

−b

−a

−b

−a −b

−a

−b

−a−b

−a

−b

−a

−b

−a−b

297.

−a

−b

−a

−b

−a

−b

−a−b

4646


e) f) g) h)

Nariši vektorja −a =−−−AB in

−b =

−−−CD ter njuno vsoto −a +

−b . Izmeri

dolžine vseh treh vektorjev.Premikaj točke A, B in C ter opazuj, kako se s spreminjanjem vektorjev −a +

−b in −a +−b spreminja vsota −a +

−b .

a) Opiši vektorja, katerih vsota je enaka −0.

b) Kolikšna je dolžina vsote pravokotnih vektorjev dolžin 3 in 4? Kako izračunamo dolžino vsote dveh pravokotnih vektorjev?

c) Kolikšna je največja dolžina vsote vektorjev dolžin 5 in 3? Opiši položaj vektorjev z najdaljšo vsoto.

d) Kolikšna je najmanjša dolžina vsote vektorjev dolžin 5 in 3? Opiši položaj vektorjev z najkrajšo vsoto.

Nariši vektorja −a =−−−AB in

−b =

−−−CD ter njuno razliko −a − −

b . Izmeri dolžine vseh treh vektorjev.Premikaj točke A, B in C ter opazuj, kako se s spreminjanjem vektorjev −a +

−b in −a +−b spreminja razlika −a − −

b .

a) Kolikšna je največja dolžina razlike vektorjev dolžin 5 in 3? Opiši položaj vektorjev z najdaljšo vsoto.

b) Kolikšna je najmanjša dolžina razlike vektorjev dolžin 5 in 3? Opiši položaj vektorjev z najkrajšo vsoto.

c) Opiši vektorja, katerih vsota je enaka −0.

d) Kolikšna je dolžina razlike pravokotnih vektorjev dolžin 3 in 4? Kako izračunamo dolžino razlike dveh pravokotnih vektorjev?

Vektorje preriši na karirast papir in nariši njihovo vsoto.

a) −a +−b + −c b) −a +

−b + −c c) −a +

−b + −c +

−d d) −a +

−b + −c +

−d

Vektorje preriši na karirast papir in nariši:

a) −a +−b − −c b) −a − −

b − −c c) −−a +−b − −c − −

d d) −a − −b − −c +

−d

−a

−b

−a

−b

−a

−b −a−

b

298.

vsota

−a

−a

−b

−b

A

D

B = C

A B

D

C

299.

razlika

−a

−a

−b

−b

A = C B

D

A B

D

C

300.

−a

−ccccccc−b

−a

−cccc

−b

−dddddddddd

−a

−cccccccccc

−b

−dddddddddd−a−cccccccccc −

b

301.

−a

−ccccccc−b

−a

−cccccccccc

−b

−ddddddd

−a

−ccccccc−b −

dddddddddd

−a

−cccccccccc

−b

4747


Zapiši enakost, ki velja za vektorje na sliki.

a) b) c) d)

Nariši pravokotnik ABCD s stranicama, dolgima a = 6 cm in b = 4 cm. Nariši vektor −−−AB +

−−−AC.

Nariši trikotnik ABC s stranicami, dolgimi a = 4 cm, b = 4 cm, c = 6 cm. Nariši vektor −−−AB +

−−−AC +

−−−BC. Kolikšna je vsota

−−−AB +

−−−BC +

−−−CA?

Nariši pravilni šestkotnik ABCDEF s stranico, dolgo 2 cm. Nariši vektorja −−−AB − −−−

BC in−−−CD. Kakšna

sta?

Izračunaj vsoto vseh vektorjev, ki imajo začetno točko v središču pravilnega n-kotnika s sodim številom oglišč, končno točko pa v oglišču tega n-kotnika.

Točke A, B, C, D, E, F so oglišča pravilnega šestkotnika. Kateri vektor je enak:

a) −−−AD +

−−−BA − −−−

BC, b) −−−FC +

−−−AF − −−−

AD − −−−DB?

Točke A, B, C, A′, B ′, C ′ so oglišča pravilne tristrane prizme. Kateri vektor je enak:

a) −−−CA +

−−−A A +

−−−CC , b)

−−−AB +

−−−−B C +

−−−CC +

−−−−C A +

−−−B B?

Poenostavi.

a) −a − −b + −c + (−−a) +

−b b) −a +

−b + (−−c ) + (−−a) +

−b + −c + −a + (−−

b ) + −c

Izrazi vektor −x.

a) −a − −b + −x = −c b) −a +

−b + (−−c ) + (−−

d) + −x = −−c + −a

Na slikah so vektorji −a ,−b , −c ,

−d , −e , za katere velja |−a | = 1, |−b | = 2, |−c | = 3, |−d | = 5,

|−e | =√

2 in |−f | = 1. Vektorje na sliki preriši v zvezek in nariši njihovo vsoto – rezultanto. Izračunaj dolžino rezultante.

a) b) c) d)

e) f)

302.

−b

−c

−a −a

−c

−b

−d

−d

−a

−e

−c

−b

−d

−e

−a

−c−b

303.

304.

305.

306.

307.

308.

309.

310.

311.

−a −ffff

60 −a−ffff

−a −ffff

120

−dddd

−a −cccc

−b

−a

−b

60

−a

eeee45

4848


Ines, Tadeja, Katja in Marisa potiskajo avto s sprednje strani s silami 120 N, 150 N, 200 N in 220 N, Matej, Uroš in Luka pa z zadnje strani s silami 300 N, 250 N in 200 N. Ali se bo avto premaknil naprej ali nazaj ali bo miroval, če je sila lepenja na avto enaka 100 N?

Dva konja vlečeta voz, vsak s silo 500 N, tako da njuni smeri oklepata kot 60. S kolikšno silo vlečeta oba skupaj?

Na telo delujeta sili 100 N in 300 N, tako da njuni smeri oklepata kot 90. Kolikšna je rezultanta obeh sil?

Alen potiska zaboj s silo 150 N proti severu, Miha s silo 120 N proti vzhodu, Žan s silo 140 N proti jugu in Kristjan s silo 160 N proti zahodu. Kolikšna rezultanta sil deluje na zaboj? Ali se bo zaboj gibal severovzhodno, severozahodno, jugovzhodno ali jugozahodno?

Dedek vleče vrv s silo 70 N, babica s 60 N, oče s 50 N, mama s 40 N, sestra s 30 N, jaz z 20 N in kuža Fifi z 10 N. Kateri izmed naštetih naj vlečemo en konec vrvi in kateri drugi konec, da bo vrvica mirovala? V vlečenju vedno sodelujemo vsi. Izpiši vse možnosti.

312.

313.

314.

315.

316.

4949

Množenje vektorja s številom Množenje vektorja s številom

MNOŽENJE VEKTORJA S ŠTEVILOM

Množenje vektorja a s številomsss šššttteeevvviiilllomomom k, k 0=

−a−k a

k > 1

−a −k a

k = 1

−a −k a

0 < k < 1

−a

−k a

k < -1

−a −k a

k = -1

−k a−a

-1 < k < 0

Enotski vektor v smeri neničelnega vektorjavvv sssmermermeriii nennenneniiičečečelllnnneeegggaaa vvvekekektttektekekektektektekekektek ooorjrjrjaaa je enak | | ·ea

aae1

= .

Nariši vektor −a, dolg 3 cm. Nariši še vektorje:

a) 1

3−a b)

4

5−a c) −3

7−a č) −3

4−a d)

5

4−a e)

7

5−a f) −3

2−a g) −8

5−a

i) √

2−a i) √

5−a j) −√

7−a k) −√

10−a l) √

3

4−a m)

√6

7−a n) −

√12

3−a o) −

√15

8−a

Vektorja preriši na karirast papir. Nariši še:

a) 2−a + 3−b b) 2−a +

1

2

−b c) −3

4−a +

2

3

−b

d) 3−a − 2

3

−b e)

√2−a − 1

3

−b f)

√2

2−a +

2

3

−b

Nariši trikotnik ABC s podatki: a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm. Nariši še 1

3

−−−AC +

√2 · −−−AB.

Nariši pravokotnik ABCD s podatki: a = 6 cm, b = 2 cm. Nariši še −2

3

−−−AC +

√2

2

−−−BC.

Nariši pravilni šestkotnik ABCDEF s stranico, dolgo 2 cm. Nariši še 1

2

−−−BF −

√2 · −−−

CE.

Poenostavi izraz.

a) −a + 2−b − 1

2−a − −

b b) 4 · −a +2

3

−b − −a +

5

6

−b · 2 +

2

3−a

317.

318.

−a

−b

−a−b

−a−b

−a

−b

−a−b

−a−b

319.

320.

321.

322.

5050

Množenje vektorja s številom Množenje vektorja s številom

Izračunaj vsoto vseh vektorjev oblike k−a, kjer je −a =−0 in k naravno število, manjše od 100.

Naj bo −a =−0 . Za katere vrednosti skalarja k velja dana enakost?

a) 2−a + k−a = 6−a b) 2 (k−a + 2−a) + 4−a = −a

c) (k + 1) (k − 2)−a + k−a = 2−a č) (k + 2)−a − k2 − 3k + 2 −a + 5−a =−0

Naj bo −m = 2−a + 3−b in −n = −a − 2

−b . Izrazi vektor 2−m − 1

2−n z vektorjema −a in

−b .

Nariši pravokotnik ABCD s stranicama, dolgima a = 5 cm, b = 3 cm. Nariši enotski vektor −e v smeri vektorja−−−AB v smeri

vektorja −e v smeri vektorja−−−AB in enotski vektor

−f v smeri vektorja

−−−CB. Zapiši enotska vektorja −e in

−f z vektorjema

−−−AB in

−−−CB z vektorjema

−e in−f z vektorjema

−−−AB in

−−−CB.

Nariši pravilni osemkotnik ABCDEFGH s polmerom očrtane krožnice, dolgim 2 cm. Nariši enotski vektor −e v smeri vektorja

−−−BC in enotski vektor

−f v smeri vektorja

−−−BF .

Na premici so dane točke A, B, C in D, kot prikazuje slika.

a) Izrazi vektorja −−−AC in

−−−CD z vektorjem

−−−AB.

b) Izrazi vektorja −−−AB in

−−−DC z vektorjem

−−−BC.

c) Izrazi vektorja −−−AC in

−−−DB z vektorjem

−−−AD.

Nariši daljico AB, dolgo 6 cm. Na njej nariši tako točko M, da velja |AM | : |MB| = 1 : 2, in tako točko N, da velja |AN | : |AB| = 1 : 2. Vektorja

−−−AM in

−−−AN izrazi z vektorjem

−−−AB.

V pravokotniku ABCD označimo −a =−−−AB in

−b =

−−−BC. Naj bo točka M razpolovišče stranice CD

in točka N razpolovišče stranice BC. Z vektorjema −a in−b izrazi vektorje

−−−AM ,

−−−CN in

−−−−NM .

V trikotniku ABC označimo −a =−−−AB in

−b =

−−−AC. Točka M leži na stranici AC tako, da velja

|AM | : |MC| = 2 : 3. Točka N leži na stranici BC tako, da velja |BN | : |BC| = 2 : 3. Z vektorjema −a in

−b izrazi vektorje

−−−BM ,

−−−AN in

−−−−NM .

V trapezu ABCD označimo −a =−−−AB in

−b =

−−−BC. Dolžina osnovnice CD je enaka polovici dolžine

osnovnice AB. Naj točka M leži na stranici CD, da je |CM | : |MD| = 1 : 3. Naj točka N leži na stranici AD, da je |AN | : |AD| = 1 : 3. Z vektorjema −a in

−b izrazi vektorja

−−−AD in

−−−−MN .

V pravilnem 6-kotniku ABCDEF označimo −a =−−−AB in

−b =

−−−BC. Z vektorjema −a in

−b izrazi

vektorje −−−CD,

−−−AD ter

−−−EA.

V kocki ABCDA′B ′C ′D′ označimo −a =−−−AB,

−b =

−−−AC in −c =

−−−AA . Naj bo S razpolovišče roba

BC. Točka P naj leži na robu BB′, da je |BP | : |PB | = 1 : 4. Točka R naj leži na robu C′D′, da velja |C D | : |RD | = 3 : 2. Z vektorji −a ,

−b in −c izrazi vektorje

−−−A S,

−−−SP in

−−−−RP .

V kvadru ABCDA′B ′C ′D′ označimo −a =−−−AB,

−b =

−−−AC in −c =

−−−AA . Naj bo S središče ploskve

ADD′A′ in točka T središče kvadra. Točka P naj leži na robu BB′, da je |BB | : |PB | = 4 : 1. Z vektorji −a ,

−b in −c izrazi vektorje

−−AS ,

−−AT ,

−−SP in

−−TP .

V tetraedru ABCD označimo −a =−−−AB,

−b =

−−−AC in −c =

−−−AD. Naj bo S središče ploskve ABD

in M točka na tretjini višine tetraedra. Z vektorji −a ,−b in −c izrazi vektor

−−−MS.

323. *

324.

325.

326.

327.

328.

AAAA BBBB CCCC DDDD

0 1 2 3 4 5

329.

330.

331.

332.

333.

334.

335.

336. *

5151

Središčni razteg Središčni razteg

SREDIŠČNI RAZTEG

Središčni razteg (homotetija) s središčem v točki O za faktor k, k = 0, preslika poljubno točko T ravnine v točko T ′ , tako da je

−−−OT = k · −−OT .

k > 0

B

A

B

OO A

B′BBB′′′

A′AAA′′′

k < 0

B

O A

B

O A

A′AAA′′′

B′BBBBBB′′′

Središčni razteg ni toga preslikava, saj ne ohranja dolžin. Ohranja pa razmerja dolžin stranic:

|−−−OA ||−−−OA|

=|−−−OB ||−−−OB|

= |k|

Preriši na karirast papir in raztegni lik iz točke O za dani faktor.

a) 2 b) -2 c) 1

3

d) 3 e) -3 f) −1

2

Nariši kvadrat ABCD s stranico, dolgo 2 cm. Najprej ga raztegni v kvadrat A′B ′C ′D ′ iz oglišča A za faktor 2. Nato kvadrat ABCD raztegni še v kvadrat A′′B ′′C ′′D ′′ iz oglišča B ′ za faktor 1

2.

Nariši ostrokotni trikotnik ABC s podatki c = 3 cm, b = 2,5 cm in vc = 2 cm. Iz oglišča C ga raztegni za faktor -2, iz oglišča A pa za faktor 2

3.

Nariši pravilni šestkotnik s stranico, dolgo 3 cm. Naj bo O njegovo središče. Šestkotnik raztegni za faktor − 2

3 iz točke O in za faktor 53 iz točke O.

337.

O OO

OO

O

338.

339.

340.

5252

Središčni razteg Središčni razteg

Preriši na karirast papir. Določi faktor ter nariši središče raztega, ki modri lik preslika v rjavega.

a) b) c)

V koordinatnem sistemu nariši kvadrat ABCD s središčem v koordinatnem izhodišču in s stranicami dolžine 4 enote, ki so vzporedne koordinatnima osema. Zapiši koordinate njegovih oglišč. Nato kvadrat ABCD raztegni za faktor 1

2 in središčem v koordinatnem izhodišču v kvadrat A′B ′C ′D ′. Zapiši koordinate oglišč kvadrata A′B ′C ′D ′.

V koordinatnem sistemu nariši pravokotnik ABCD, katerega stranice so vzporedne s koordinatnima osema, dve izmed oglišč pa sta točki A(2, 1) in C(5, 4). Pravokotnik ABCD raztegni za faktor 2 in središčem v zrcalni sliki točke B čez abscisno os. Raztegnjen pravokotnik označi A′B ′C ′D ′.

V pravokotnem koordinatnem sistemu nariši kvadrat ABCD z ogliščem C(1, 4). Nosilka diagonale kvadrata je simetrala sodih kvadrantov. Kvadrat ABCD raztegni za faktor − 2

3 in središčem

O(0, -3) v kvadrat A′B ′C ′D ′.

Nek središčni razteg preslika točko A(5, 6) v A′(7, 8) in točko B(9, 6) v B ′(15, 8). Kam preslika ta razteg točko C(5, 8)?

Krajišči Eulerjeve daljice sta središče očrtane krožnice SO in višinska točka V trikotnika. Dokaži, da na Eulerjevi daljici leži tudi težišče T, tako da je |SOT | : |TV | = 1 : 2. Namig: Dokaži, da središčni razteg s središčem v težišču T za faktor -1

2 preslika točko V v točko SO.

V

So

T

A B

C

341.

342.

343.

344.

345.

346. *

5353

Linearna kombinacija vektorjev, bazaLinearna kombinacija vektorjev, baza

LINEARNA KOMBINACIJA VEKTORJEV, BAZA

Baza premiceBazo premice tvori en neničelni vektor, ki leži na tej premici.

Vsak vektor na izbrani premici lahko izrazimo kot linearno kombinacijo baznega vektorja.

−p = k−a

Baza ravnineBazo ravnine tvorita dva neničelna vektorja, ki ne ležita na isti premici.

Vsak vektor v ravnini lahko izrazimo kot linearno kombinacijo teh dveh vektorjev.

−p = k−a + l−b

Baza prostoraBazo prostora tvorijo trije neničelni vektorji, ki ne ležijo na isti ravnini.

Vsak vektor v prostoru lahko izrazimo kot linearno kombinacijo teh treh vektorjev.

−p = k−a + l−b + m−c

Bazna vektorja −a in−b preriši na karirast papir. Nariši zapisano linearno kombinacijo.

a) 2−a + 3−b b) −1

2−a + 2

−b c) −a − 3

5

−b

Sliko preriši na karirast papir. Vektor −c nariši in zapiši kot linearno kombinacijo baznih vektorjev −a in−b .

a) b) c)

−apppp

− akkkk

a

−b

a

pppp−bllll

kkkk

a

cccc −b

k a

m cmmmmccc pppp −l b

347.

a

−b

a

−b

a

−b

348.

a

ccccccc

−b

a

ccccccc

−b

a cccccccccc−b

5454


Naj bosta vektorja −a in−b bazna vektorja v ravnini. Naj bosta vektorja −m in −n enaka −m = 2−a + 3

−b in −n = −−a + 5

−b . Vektor 4−m− 6−n

−m = 2−a + 3−b in −n = −−a + 5

−b . Vektor 4−m− 6−n zapiši v dani bazi.

Naj bodo vektorji −a ,−b in −c bazni vektorji v prostoru. Vektorja −m in −n sta enaka −m = −2−a + 2

3

−b + −c in −n = − 1

2−a +

−b + 2−c

−m in −n sta enaka −m = −2−a + 23

−b + −c in −n = − 1

2−a +

−b + 2−c . Vektor 2−m − −n zapiši v dani bazi.

Točke A, B, C, D, E, F, G, H in I ležijo na premici, kot prikazuje slika. Razdalja med vsakima sosednjima točkama je enaka. Naj bo −a =

−−−CE. Zapiši vektorje

−−−AB,

−−EI in

−−−AH kot linearno kombinacijo vektorja −a kot linearno

kombinacijo vektorja −a in−b.

aaaa

A B C D E F G H I

Točke A, B, C, D in E ležijo na premici tako, da je |AB| : |BC| : |CD| : |DE| = 3 : 2 : 1 : 3. Točki B in D ležita med A in C, točka D pa med B in E. Naj bo vektor −a =

−−−BE bazni vektor.

Z vektorjem −a izrazi vektorje −−−DC ,

−−−AC in

−−−DE.

Točka M je razpolovišče daljice CD pravokotnika ABCD, vektorja −a =−−−AB in

−b =

−−−AD sta bazna

vektorja. Z −a in−b izrazi vektorje

−−−AC ,

−−−AM ,

−−−BM in

−−−MB.

M je točka na stranici BC paralelograma ABCD, da velja |BM | : |MC| = 2 : 1. Naj bosta −a =

−−−AB in

−b =

−−−AD bazna vektorja. Z −a in

−b izrazi vektorje

−−−AM ,

−−−DM ,

−−−MD in

−−−MB.

M je točka na daljici AD paralelograma ABCD, da velja |AM | : |MD| = 1 : 2, in N taka točka na daljici CD, da je |CN | : |CD| = 1 : 2. Naj bosta −a =

−−−AB in

−b =

−−−AD bazna vektorja.

Z −a in−b izrazi vektorje

−−−BM ,

−−−NB,

−−−−MN in

−−−−NM .

Točka P je razpolovišče roba BB ′ kvadra ABCDA′B ′C ′D ′, točka R pa točka na robu A′D ′, da je |A D | : |RD | = 4 : 3. Naj bodo −a =

−−−AB,

−b =

−−−AD in −c =

−−−AA bazni vektorji. Z baznimi vektorji

izrazi vektorje −−−PC ,

−−−RB,

−−−RD in

−−−PR.

Točka S je središče ploskve BCC ′B ′ kocke ABCDA′B ′C ′D ′, točka T pa središče kocke. Naj bodo −a =

−−−AB,

−b =

−−−AD in −c =

−−−AA bazni vektorji. Z baznimi vektorji izrazi vektorje

−−AS ,

−−AT ,

−−−SD in

−−TS

−−AS ,

−−AT ,

−−−SD in

−−TS.

Dokaži: če je ABCDEF pravilni 6-kotnik, velja enakost: −−−AD +

−−−BE = 2

−−−AF +

−−−FE − −−−

CB.

Točka S je središče osnovne ploskve ABC tetraedra ABCD, točka V pa razpolovišče višine tetraedra. Dokaži, da je

−−SV = 1

6

−−−BD + 1

6

−−−CD − 1

6

−−−DA.

Na stranicah paralelograma ABCD so dane točke I, J in K, tako da je |DI| = |IJ | = |JC| in |BK| = |KC|. Točka L je razpolovišče daljice AI, točka M pa razpolovišče daljice LJ.

a) Dana sta vektorja −−−AB = −a in

−−−BC =

−b . Izrazi vektor

−−−−MK z vektorjema −a in

−b .

b) Naj bosta bazna vektorja −−LI = −u in

−−−LM = −v . Izrazi vektorja

−−−AD in

−−−AB z vektorjema −u in −v .

349.

350.

351.

352.

353.

354.

355.

356.

357.

358.

359.

360. D I

L

J

M

K

C

A B

5555


Točka U je razpolovišče roba AD tetraedra ABCD, točka T pa težišče trikotnika BCD. Izrazi vektor −−TU z baznimi vektorji

−−−AB = −a ,

−−−AC =

−b ,

−−−AD = −c .

Silo −F , veliko 100 N, razstavi na vektorja

−F1 in

−F2. Vektor

−F1 leži na rjavi premici, vektor

−F2 pa na

modri premici. Nalogo reši grafično ter izračunaj velikost sil −F1 in

−F2.

a) b) c)

d) e) f)

Samojeda enakomerno vlečeta sani, ki se upirajo s silo 100 N. Smeri gibanja samojedov oklepata s smerjo gibanja sani kot 30. S kolikšno silo vleče posamezni samojed, če vlečeta oba z enako silo?

3030

Slika, težka 30 N, je obešena na zid z vrvico, ki pri žeblju oklepa kot 120. S kolikšno silo je napeta vrvica?

361.

362.

3030

−−−−FFFF

6060

−−−−FFFF 30

−−−−FFFF

45

−−−−FFFF 30

−−−−FFFF 60

−−−−FFFF

363.

364. 120

5656

Linearna odvisnost vektorjev Linearna odvisnost vektorjev

LINEARNA ODVISNOST VEKTORJEV LINEARNA ODVISNOST VEKTORJEV

Vektorja −a in−b in −a in−b sta linearno neodvisna, če je njuna linearna kombinacija r−a + s

−b enaka

−0 le v

primeru, ko je r = 0 in s = 0.

Vektorji −a in−b, −a in

−b in −a ,−b in −c so linearno neodvisni, če je njihova linearna kombinacija

r−a + s−b + t−c enaka

−0 le v primeru, ko je r = 0, s = 0 in t = 0.

Bazo ravnine tvorita dva linearno neodvisna vektorja. Vsak vektor v ravnini lahko izrazimo kot linearno kombinacijo teh dveh vektorjev.

Bazo prostora tvorijo trije linearno neodvisni vektorji. Vsak vektor v prostoru lahko izrazimo kot linearno kombinacijo teh treh vektorjev.

Vektorja −a in−b sta linearno neodvisna. Določi vrednosti realnih parametrov m in n.

a) 2−a + m−a + n−b − 5

−b =

−0 b) (6 − 2m) −a + (n + m − 4)

−b =

−0

c) −a − m −a +−b = 3

−b + 4−a + n

−b č) 2 n−a + 4

−b + 3m−a +

−b = 7n

−b + 5−a

Vektorji −a ,−b in −c so linearno neodvisni. Določi vrednosti realnih parametrov k, m in n.

a) 2−a + k−b − m−a + n

−b − 5

−b + m−c + n−c =

−0

b) (6 − −2m + k) −a + (k + n 4) −c+ (2m + 4)−b =

−0

c) k−a + 2k−b + 2m−a − 2m

−b + 2n−c = 6n−a +

−b + 2n−c

d) k −a +−b − −c − m −a − −

b + 3−c + n −a +−b − 9−c =

−0

Dokaži, da se težiščnice trikotnika sekajo v razmerju 1 : 2.

Na robovih tetraedra ABCD izberi bazne vektorje. Točka O je središče trikotniku ABC očrtane krožnice. Izrazi vektor

−−−OD kot linearno kombinacijo baznih vektorjev.

Dokaži, da se telesne diagonale kocke razpolavljajo.

Na stranici CD pravokotnika ABCD je točka M, da je |CM | : |MD| = 3 : 1. V kolikšnem razmerju deli diagonala AC daljico BM?

Točka M je razpolovišče stranice BC trikotnika ABC, N pa točka na stranici AB, da velja |AN | : |NB| = 1 : 2.

a) V kolikšnem razmerju seka daljica AM daljico NC?

b) V kolikšnem razmerju seka daljica NC daljico AM?

Na stranici AB paralelograma ABCD je točka M, da je |AM | : |MB| = 1 : 3, na stranici AD pa točka N, da je |AN | : |AD| = 1 : 3. V kolikšnem razmerju deli daljica MD daljico BN?

Točka M je razpolovišče osnovnice CD trapeza ABCD, N pa taka točka na osnovnici AB, da je |AB| : |NB| = 4 : 3. V kolikšnem razmerju deli diagonala BD daljico MN in v kolikšnem razmerju deli daljica MN diagonalo BD, če je dolžina osnovnice CD enaka polovici dolžine osnovnice AB?

365.

366.

367.

368.

369.

370.

371.

372.

373.

5757

Linearna odvisnost vektorjev Linearna odvisnost vektorjev

Dan je trikotnik ABC. Na nosilki stranice AB leži točka M, da je |AM | : |BM | = 5 : 1, točka B pa leži med točkama A in M. Na stranici AC leži taka točka N, da je |AN | : |NC| = 3 : 2. V kolikšnem razmerju deli daljica MN daljico BC?

Na stranici AB pravokotnika ABCD je točka P, da velja |AB| : |AP | = 4 : 1, na nosilki stranice AD pa točka R, da velja AD|| : |AR| = 4 : 5. Točka D leži med A in R. Točka S je presečišče daljic PC in BR.

a) Izračunaj razmerje |PS| : |PC|. b) Vektor

−−BS zapiši kot linearno kombinacijo vektorjevs −a =

−−−AB in

−b =

−−−AD.

Dan je pravilni 6-kotnik ABCDEF. V kolikšnem razmerju seka krajša diagonala daljšo?

Dan je trapez ABCD s podatki |AB| = 8 cm, |CD| = 2 cm, |AC| = 14 cm. Točka P je na stranici CD, da velja |CD| : |CP | = 3 : 1. Točka R je razpolovišče stranice BC. Diagonala AC in daljica PR se sekata v točki S. Izračunaj dolžino daljice AS.

Dan je pravilni 6-kotnik ABCDEF. Diagonala AC je dolga 57 cm. Točka M je razpolovišče stranice AB, točka N pa taka točka na stranici ED, da velja |EN | : |ND| = 1 : 2. Daljica MN seka diagonalo AC v točki O. Izračunaj dolžino daljice AO.

Dan je pravokotnik ABCD s stranicama, dolgima a in b. Naj bo E taka točka na stranici DC, da velja |DE| : |EC| = 1 : 4. Daljici AE in BD oklepata s stranicama AB in CD dva trikotnika. Izrazi njuni ploščini z dolžinama a in b.

374.

375.

376.

377.

378.

379. *

5858

Pravokotni koordinatni sistem v prostoru

PRAVOKOTNI KOORDINATNI SISTEM V PROSTORU

T(a, b, c)

aplik

atna

os

aaaapppplllliiiikkkk

aaaattttnnnnaaaa

oooossss

ordinatna os

abscisna os

ya

b

x

cccc

zzzz

Zapiši koordinate točke A.

a) b) c)

Poimenuj množico točk, za katero velja dana enakost.

a) z = 3 b) x = 4 c) y = -2 d) z > 2 e) y > 1 f) x < 0

g) z = 2 in y > 0 h) y = 2 in z > 1 i) z = 0 in x > 0 in y > 0

j) 1 < z < 3 k) 0 < x < 3 l) -1 < y < 3

m) 0 < x < 2 in 2 < y < 3 n) x > 0 in 2 < y < 4

o) z > 0 in 1 < x < 4 in 1 < y < 2 p) 1 < x < 2 in 2 < y < 3 in 3 < z < 4

q) -1 < x < 2 in 0 < y < 2 in 1 < z < 5 r) z = 1 in -2 < x < 1 in 1 < y < 2

s) y = 3 in 1 < x < 3 in 2 < z < 3 t) x = 2 in y = 3 t) z = 1 in y = 3

380.

A

y

x

zzzz

1111

1111

1111

2222

2222

3333

3333

4444

4444

5555

5555

2222

3333

4444

5555

0000

A

y

x

zzzz

1111

1111

1111111

2222

2222

3333

3333

4444

4444

5555

5555

2222

3333

4444

5555

-1-1-1-1-2-2-2-2 0000

-3-3-3-3

-2-2-2-2

-1-1-1-1

A

-1-1-1-1-2-2-2-2-3-3-3-3

y

x

zzzz

1111

1111 2222 3333 4444

1111

2222

3333

4444

5555

5555

2222

3333

4444

5555

0000000

381.

59

Od točk h krajevnim vektorjemOd točk h krajevnim vektorjem

OD TOČK H KRAJEVNIM VEKTORJEM

Ortogonalno bazo sestavljajo vektorji, ki so paroma pravokotni.

Ortonormirano bazo sestavljajo vektorji, ki so paroma pravokotni in imajo dolžino enako 1.Ortonormirana baza v ravnini:−i = (1, 0) in

−j = (0, 1)

Ortonormirana baza v prostoru:−i = (1, 0, 0),

−j = (0, 1, 0) in

−k = (0, 0, 1)

Krajevni vektor točke A je vektor −rA ali −a, ki poteka od koordinatnega izhodišča do točke A.

−rrrrAAAA

= (a, b) = (a, b) = (a, b) = (a, b)−rrrrAAAA

x

y

A(a, b)

a

b = (a, b, c) = (a, b, c) = (a, b, c) = (a, b, c)−rrrrAAAA−rrrrAAAA

x

z

y

A(a, b, c)

a

b

c

Vektor od točke A do točke B je enak −−−AB = −−rB − −rA =

−b − −a.

Vektor, zapisan v ortonormirani bazi −i ,

−j ,

−k , zapiši s komponentami (x, y, z).

a) 2−i + 3

−j + 4

−k b) −3

−i + 4

−j − −

k c) 5−i − 2

−k č) −−

j + 6−i − 7

−k

Dani vektor zapiši v ortonormirani bazi −i ,

−j ,

−k .

a) −a = (1, 2, 3) b) −b = (4,−3, 2) c) −c = (0, 3,−5) č)

−d =

1

2, 0, 0

Izračunaj.

a) (2, 3) + (5, 1)

(2, 3) - (5, 1)

2(2, 3)

3(2, 3) - 2(1, 5)

b) (4, -1, 3) + (6, -1, 0)

(4, -1, 3) - (6, -1, 0)

4(4, -1, 3)

-2(4, -1, 3) - 3(6, 1, 0)

c) (-2, -3, 5) + (-3, 4, -2)

(-2, -3, 5) - (-3, 4, -2)

4(-2, -3, 5)

3(-2, -3, 5) - 2(-3, 4, -2)

Dana sta vektorja −a = (−3,−2, 0) in−b =

−i − 2

−j + 3

−k. Izračunaj njuno vsoto in razliko ter ju zapiši v

obliki (x, y, z).

Izračunaj neznani števili m in n.

a) (2, 6) + (m, n) = (-3, 2) b) 2(1, -3) + (m, n) = 3(2, 4)

c) (2, -5) - 2(-3, 2) - (m, n) = 2(-2, 3) č) (-6, 1) - 2(m, n) = (3, -4)

e) 3(-2, -2) - (m + 2, n + 3) = (5, 6) e) 2(m + 3, n - 2) + 5(-1, 0) = 3(m, -4)

−iiii

−jjjj

11110000

-1-1-1-1

-2-2-2-2

-3-3-3-3

1111

2222

3333

-1-1-1-1-2-2-2-2-3-3-3-3 2222 3333 x

y

0000 1111 2222 3333

1111

2222

3333

1111

2222

3333

x

y

z

iiii −jjjj

kkkk

382.

383.

384.

385.

386.

6060


Izračunaj neznana števila a, b in c.

a) (4, 2, 4) + (a, b, c) = (3, -2, -1) b) 2(-4, 0, 1) - (a, b, c) = (4, -3, 2)

c) (3, -3, 3) + 2(a, b, c) = (0, -3, 5) . 2 č) 1

2(4,−5, 3) +

1

3(a, b, c) = − (−3, 2, 0)

e) (3, 5, 2) + (a + 2, 3 − b, 4 + c) = 5 0,−1,1

2

f) -(3, 2, 1) - 3(a + 1, -b, 4 - c) = (3, 2, 0) - 2(-3, 2, 0)

Izračunaj neznane vrednosti.

a) (4, 6) = m(-2, -3) b) (80, -20, 40) = m(12, -3, 2)

c) (2, 3) + m(1, 4) = n(1, 2) č) (-1, 3, 0) + m(3, 0, -2) = n(-2, 3, 2) + k(1, -2, -3)

Dane so točke A(2, 4), B(-3, 6), C(5, 0) in D(4, 3). Zapiši vektorje −−−AB,

−−−CD,

−−−DC in

−−−DA.

Dane so točke A(0, 3, -3), B(5, -4, 1), C(3, 2, 4) in D(-3, 2, 4). Zapiši vektorje −−−AB,

−−−BA,

−−−DC in

−−−AD

−−−AB,

−−−BA,

−−−DC in

−−−AD.

V prostoru sta dani točki P(5, 2, 18) in Q(3, 7, 9). Določi koordinate razpolovišča daljice PQ.

V prostoru sta dani točki A(3, 4, -2) in S(3, 4, 1). Izračunaj koordinate točke B, če je S razpolovišče daljice AB.

Dani sta točki A(3, 5) in B(8, -5). Naj bo M točka na daljici AB, tako da velja |AM | : |MB| = 1 : 4. Zapiši koordinati točke M.

Dani sta točki M(0, -4, -3) in N(-2, 0, 2). Točka S leži na daljici MN, tako da velja |MS| : |NS| = 1 : 2. Zapiši koordinate točke S.

Na daljici AB leži točka S, tako da velja |AS| : |BS| = 4 : 1. Izračunaj koordinate točke B, če je A(2, -5, 3) in S(2, -3, 0).

Dane so točke A(-3, -4, 1), B(0, 0, 4), C(2, 0, 4) in D(5, -6,-6). Točka M leži na daljici AB tako, da je |AM | : |MB| = 1 : 4, točka N pa na daljici CD tako, da je |CN | : |CD| = 1 : 4. Določi koordinate razpolovišča daljice MN.

Lik ABCD je paralelogram. Določi koordinate četrtega oglišča.

a) A(2, -3, 5), B(4, -1, -1), C(9, 0, -1) b) A(-1, -2, 3), C(4, 2, 2), D(2, 3, 0)

Točke A(3, 2, 1), B(-3, 1, 0), C(0, 1, 1) in D so oglišča trapeza ABCD, katerega dolžini osnovnic sta v razmerju |AB| : |CD| = 4 : 1. Določi koordinate oglišča D.

Točke A(5, -3, 2), B(3, 0, -1), D(3, 1, 1) in A′(4, 2, 1) so oglišča paralelepipeda ABCDA′B ′C ′D ′. Določi koordinate preostalih oglišč. (Paralelepiped je telo, katerega osnovni ploskvi sta vzporedna paralelograma, povezana z vzporednimi robovi.)

387.

388.

389.

390.

391.

392.

393.

394.

395.

396.

Točke A(2, 5, -2), B(3, 0, 0) in C(2, 4, -2) so oglišča trikotnika ABC. Na stranici AC leži točka M, tako da je |AM | : |MC| = 2 : 3. Naj bo točka P presečišče težiščnice na stranico c in daljice BM. Zapiši koordinate točke P.

397.

398.

399.

400.

x

z

yA

B C

D

A′

B′ C′

D′

6161


Določi koordinate težišča trikotnika ABC.

a) A(2, -3, 1), B(4, 1, -3), C(4, 9, 1) b) A(3, 1, 1), B(0, 0, -2), C(-4, -3, -1)

c) A(1, 0), B(-3, 5), C(5, -1) č) A(0, - 1), B(1, 1), C(3, 6)

Točke A(-3, 2, 0), B in C(5, 1, 1) so oglišča trikotnika, katerega težišče je T(2, 3, 4). Določi koordinate oglišča B.

Ali sta vektorja kolinearna?

a) −a = (−6, 2) in−b = (9, 3) b) −c = (10,−5) in

−d = (−1, 5)

c) −e = (1, 2, 3) in−f = (4, 5, 6) č) −g = (−2, 4,−8) in

−h = (3,−6, 12)

Ali so vektorji koplanarni?

a) −a = (2,−1,−1),−b = (3, 1,−2), −c = (1,−3, 0)

b) −d = (4, 0, 1), −e = (−1, 2, 3),

−f = (6, 9, 8)

Vektor −m zapiši kot linearno kombinacijo vektorjev −a in−b .

a) −m = (9,−4), −a = (3, 1),−b = (1,−2) b) −m = (7,−7) , −a = (−3,−1),

−b = (2,−4)

Vektor −m zapiši kot linearno kombinacijo vektorjev −a ,−b in −c .

a) −m = (5, 3, 8), −a = (2, 0, 0),−b = (0, 3, 1), −c = (1, 2, 3)

b) −m = (4,−1,−5) , −a = (1, 0,−1),−b = (0, 2, 3), −c = (2, 1, 0)

Ali vektorja −a = (3, 2) in−b = (−2,−4) tvorita bazo ravnine?

Ali vektorji −a = (3, 1, 2),−b = (2, 0, 4), −c = (−4,−2, 0) tvorijo bazo prostora?

Določi parametra m in n tako, da bosta vektorja −a in−b vzporedna.

a) −a = (−3, 6, 2),−b = (6, m, n) b) −a = (−5, m, 3),

−b = (10,−4, n)

Določi parameter m tako, da bodo vektorji −a = (3, 2,−1),−b = (1, 1, 1) in −c = (m, 4, 1)

koplanarni.

Ali so točke A(2, 4, 5), B(3, 0, 2) in C(−4, 4, 1) kolinearne?

Preveri.

a) Vektorja −a = (6,−2) in−b = (−9, 3) sta linearno odvisna.

b) Vektorja −a = (2, 2) in−b = (5,−2) sta linearno neodvisna.

c) Vektorja −a = (2, 4) in−b = (7, 14) ležita na isti premici.

d) Vektorja −a = (−5,−2) in−b = (7, 14) ne ležita na isti premici.

e) Vektorja −a = (−5, 6) in−b = (7, 14) sta kolinearna.

f) Vektorja −a = (4,−2) in−b = (8,−3) nista kolinearna.

g) Vektorja −a = (−3, 2) in−b = (4, 1) tvorita bazo ravnine.

h) Vektorja −a = (4, 8) in−b = (−6,−12) ne tvorita baze ravnine.

401.

402.

403.

404.

405.

406.

407.

408.

409.

410.

411.

412.

6262


Preveri.

a) Vektorji −a = (4, 1, 1),−b = (10,−1, 3) in −c = (2,−3, 1) so linearno odvisni.

b) Vektorji −a = (1, 1, 3),−b = (0, 0, 1) in −c = (3,−2,−1) so linearno neodvisni.

c) Vektorji −a = (2, 1, 1),−b = (0, 3, 0) in −c = (4, 0, 2) ležijo v isti ravnini.

d) Vektorji −a = (0, 0, 1),−b = (0, 3, 4) in −c = (4, 1, 0) ne ležijo v isti ravnini.

e) Vektorji −a = (2, 1,−1),−b = (−3, 2, 1) in −c = (−2, 6, 0) so koplanarni.

f) Vektorji −a = (3, 0, 0),−b = (−1,−2,−3) in −c = (6, 2, 1) niso koplanarni.

g) Vektorji −a = (−3,−1, 1),−b = (2, 0, 1) in −c = (0, 3, 1) tvorijo bazo prostora.

h) Vektorji −a = (1, 1, 1),−b = (2, 2, 0) in −c = (0, 0, 3) ne tvorijo baze prostora.

Dane so točke A(2, 1, 4), B(k, m, 5), C(-1, 2, n) in D(1, 3, 1).

a) Določi parametre k, m in n tako, da bo štirikotnik ABCD paralelogram.

b) Določi parameter n tako, da krajevni vektorji točk A, C in D ne bodo tvorili baze prostora.

c) Določi parametra k in m tako, da bosta krajevna vektorja točk A in B kolinearna.

Dane so točke A(0, 2, 1), B(k + 1, 3, m - 1), C(2, 4, -1) in D(2, -4, -1). Določi parametra k in m tako, da:

a) bosta krajevna vektorja točk B in D kolinearna,

b) bosta vektorja −−−AB in

−−−CD vzporedna,

c) bo točka B razpolovišče daljice AC.

413.

414.

415.

6363

Podobni likiPodobni liki

PODOBNI LIKI

Večkotnika sta podobna, če imata enako velike ena-koležne kote in če so dolžine stranic vsakega para enakoležnih stranic sorazmerne.

Podobna trikotnika imata enako velike enakoležne kote, dolžine stranic vsakega para enakoležnih stranic pa so sorazmerne.

BA

C

D

E

a b

gd

e

a b

g

d

e

A′ B′

C′

D′

E′

b

a

c

e

d

a′

b′

c′

e′

d′

a : a = b : b = c : c = d : d = e : e

B

b

A a

C

c

b

g

g

aa bA′ a′ B′

b′

C′

c′

a : a = b : b = c : c

o : o = a : a = b : b = c : c

S : S = a2 : a 2 = b2 : b 2 = c2 : c 2

Talesov izrek

Če šop premic sekamo s snopom premic, je razmerje dolžin odsekov na eni premici šopa enako razmerju dolžin enakoležnih odsekov na kateri koli premici šopa.

Središčni razteg s središčem O in faktorjem k je podobnostna preslikava; torej preslika vsak lik v podoben lik.

B

AV

A′

B′

šop

snop

|V A| : |V A | = |V B| : |V B |

B

AO

A′

B′C

DC′

D′

|A B | = k · |AB| , |B C | = k · |BC||C D | = k · |CD| , |D A | = k · |DA|SA B C D = k2 · SABCD

Katerim slikam je podobna originalna slika?

a) Original 1. slika 2. slika 3. slika 4. slika

416.

6464


b) Original 1. slika 2. slika 3. slika 4. slika

Nariši podobna trikotnika ABC in A′B ′C ′.Namig: Razmerje a : a′ izračunaš tako, da definiraš število, npr. razmerje k kot: »razmerje k = a

a «.

a) Primerjaj razmerja a : a′, b : b′ in c : c′. Kakšna so razmerja dolžin enakoležnih stranic dveh podobnih trikotnikov?

b) Nariši težiščnici tc in tc′. Razmerje tc : tc

′ primerjaj z razmerjem a : a′. Kakšno je razmerje dolžin težiščnic dveh podobnih trikotnikov v primerjavi z

razmerjem stranic?

c) Nariši višini vc in vc′. Razmerje vc : vc

′ primerjaj z razmerjem a : a′. Kakšno je razmerje dolžin višin dveh podobnih trikotnikov v primerjavi z razmerjem stranic?

d) Primerjaj razmerje obsegov trikotnikov ABC in A′B ′C ′ z razmerjem a : a′. Kakšno je razmerje obsegov dveh podobnih trikotnikov v primerjavi z razmerjem stranic?

e) Primerjaj razmerje ploščin trikotnikov ABC in A′B ′C ′ z razmerjem a : a′. Kakšno je razmerje ploščin dveh podobnih trikotnikov v primerjavi z razmerjem stranic?

Trikotnik ABC je podoben trikotniku A′B ′C ′. Izračunaj neznani dolžini stranic trikotnika A′B ′C ′.

a) a = 5 cm, b = 7 cm, c = 6 cm, a′ = 15 cm

b) a = 8 cm, b = 14 cm, c = 10 cm, b′ = 20 cm

c) a = 52 cm, b = 50 cm, c = 62 cm, c′ = 40 cm

Določi neznane dolžine stranic treh podobnih trikotnikov.

4

5 3

6 b

x

ya

4

Trikotnik ABC s stranicami, dolgimi a = 5 cm, b = 8 cm, c = 6 cm, je podoben trikotniku PRS, katerega najdaljša stranica je dolga 12 cm. Izračunaj neznani dolžini stranic trikotnika PRS.

Štirikotnik ABCD s stranicami, dolgimi a = 50 cm, b = 50 cm, c = 6 dm, d = 65 cm, je podoben štirikotniku MNKL, katerega najkrajša stranica je dolga 30 cm. Izračunaj neznane dolžine stranic štirikotnika MNKL.

Dolžine stranic trikotnika so v razmerju 3 : 5 : 7. Izračunaj dolžine stranic podobnega trikotnika, v katerem je razlika dolžin med najdaljšo in najkrajšo stranico 12 cm.

Izračunaj dolžini daljic, označenih z x in y. Podatke razberi s slike.

417.

B

b

A

a

C

c A′

a′

B′

b′

C′

c′

418.

419.

420.

421.

422.

423.

6565


a) b)

c) d)

Dan je trikotnik ABC s stranicami, dolgimi a = 20 cm, b = 25 cm in c = 30 cm. Naj bo M taka točka na stranici AB, da velja |AM | : |MB| = 2 : 3. Skozi točko M narišemo vzporednico k stranici BC. Ta seka stranico AC v točki N. Izračunaj dolžino daljice CN.

Dan je trikotnik ABC s stranicami, dolgimi a = 12 cm, b = 15 cm in c = 10 cm. Na stranici BC je taka točka D, da velja BAD = ACB. Izračunaj dolžino daljice AD.

Dan je trikotnik ABC s stranicami, dolgimi a = 20 cm, b = 21 cm in c = 15 cm. Na stranici AC je taka točka D, da je dolžina daljice CD enaka 5 cm. Vzporednica skozi točko D k stranici AB seka stranico BC v točki E. Izračunaj dolžino daljice BE.

Dan je trikotnik ABC s stranicama, dolgima c = 6 cm in b = 8 cm. Na stranici AC leži točka F tako, da je kot FBA = γ. Izračunaj dolžino daljice FC.

Na sliki je DEA = ACB, |BC| = 18 cm, |AD| = 6 cm, |ED| = 9 cm, |AE| = 5 cm, |BE| = x, |DC| = y DEA = ACB, |BC| = 18 cm, |AD| = 6 cm, |ED| = 9 cm, |AE| = 5 cm, |BE| = x, |DC| = y.

Koliko je x + y?

Dan je trapez ABCD z osnovnicama, dolgima a = 50 cm in c = 20 cm, ter krakoma, dolgima b = 45 cm in d = 40 cm. Presečišče nosilk krakov označimo s P.

a) Izračunaj dolžino daljice CP. b) Izračunaj obseg trikotnika ABP.

Dan je trapez ABCD z osnovnicama, dolgima a = 16 cm in c = 6 cm, ter diagonalo e = |AC| = 10 a = 16 cm in c = 6 cm, ter diagonalo e = |AC| = 10 cm. Diagonala f razdeli diagonalo e na dva odseka. Izračunaj njuni dolžini.

Dan je trapez ABCD z osnovnicama, dolgima a = 20 cm in c = 15 cm, ter višino 10 cm. Na kolikšni razdalji od osnovnice a se sekata diagonali?

Dan je trapez ABCD z osnovnicama, dolgima |AB| = 20 cm in |CD| = 12 cm. Kota ADB in DCB sta enako velika. Izračunaj dolžino diagonale BD.

V trapezu sta kota DCB in ADB skladna. Izračunaj dolžino diagonale BD, če je a = 63 cm, c = 28 cm.

4

4

x

y

3

3

A D B

C

EED | | CB

912

x y

24

15

A

D

B

C

E

AB | | DE

10

10

x

y12

16A

D

B

C

E

AD | | CB

10

8

x

y

24

16

A

D

B

C

E AB | | CD

424.

425.

426.

427.

428. A

D

B

CE

1:5

429.

430.

431.

432.

433.

6666


Dan je paralelogram ABCD s stranicama, dolgima a = 40 cm in b = 10 cm. Na stranici BC leži taka točka E, da velja |BE| : |BC| = 2 : 5. Nosilka daljice DE seka nosilko stranice AB v točki F. Izračunaj razdaljo med točkama B in F.

Ploščina trikotnika ABC je enaka 20 cm2. Kolikšna je ploščina podobnega trikotnika A′B ′C ′, katerega stranice so dvakrat toliko dolge kot stranice trikotnika ABC?

Ploščina petkotnika ABCDE je enaka 90 cm2. Kolikšna je ploščina podobnega petkotnika A′B ′C ′D ′E ′, katerega vsaka stranica je dolga tretjino dolžine enakoležne stranice petkotnika ABCDE?

Trikotnik ABC s stranicami, dolgimi 5 cm, 6 cm in 8 cm, je podoben trikotniku A′B ′C ′ z obsegom 50 cm. Kolikšne so stranice trikotnika A′B ′C ′?

Vsota ploščin dveh podobnih trikotnikov je 650 mm2, obsega teh trikotnikov sta v razmerju 2 : 3. Izračunaj ploščini obeh trikotnikov.

Ploščini podobnih trikotnikov sta 225 dm2 in 324 dm2. Ena od stranic manjšega trikotnika je dolga 15 cm. Koliko je dolga enakoležna stranica v večjem trikotniku?

Najdaljša stranica trikotnika ABC je dolga 2 m. Obseg podobnega trikotnika je 72 cm, dolžine njegovih stranic pa so v razmerju 2 : 3 : 4. Izračunaj dolžine stranic obeh trikotnikov in zapiši razmerje ploščin.

Pravokotni trikotnik ABC, katerega kateti sta dolgi 24 cm in 10 cm, je podoben trikotniku MNK s hipotenuzo, dolgo 130 cm. Izračunaj obseg trikotnika MNK.

Dani sta istosrediščni krožnici. Polmer manjše krožnice je enak četrtini polmera večje krožnice. Naj bo AB premer večje krožnice. Iz točke B narišemo tangento na manjšo krožnico. Ta tangenta seka večjo krožnico v točki C. Dolžina daljice AC je enaka 100 cm. Kolikšen je polmer večje krožnice?

Iva je s pomočjo senc določila višino sosedovega drevesa. V zemljo je zabila palico tako, da je nad zemljo ostalo 1,20 m palice. Nato je izmerila dolžino njene sence in dobila 24 cm. Izmerila je še dolžino sence za drevesom in dobila 4,80 m. Privzela je, da so sončni žarki, ki padajo na palico in drevo, vzporedni. Kolikšno višino drevesa je izračunala?

Tetivi AB in CD se sekata v točki X. Zapiši zvezo med dolžinami daljic XA, XB, XC in XD.

434.

435.

436.

437.

438.

439.

440.

441.

442.

A

C

B

443.

444.

A

D

X

C

B

6767


Žan in Tadeja sta se sprehajala ob reki Muri. Za sladoled sta stavila, kolikšna je njena širina. Tadeja je ocenila širino na 50 m, Žan pa na 70 m. Nato sta še računsko ocenila širino reke.

• Na nasprotnem bregu sta izbrala drevo tik ob vodi.• Na njunem bregu sta tik ob vodi postavila dve palici na

razdalji 5 m.• Na razdalji 15 m od reke sta vzporedno z reko položila

vrvico.• Postavila sta se na vrvico tako, da sta videla palico in

drevo na isti črti.• Izmerila sta medsebojno razdaljo in dobila 6 m.• Z znanjem o podobnosti trikotnikov sta izračunala širino

reke.Kdo je plačal sladoled?

Mama peče pecivo v obliki trikotnika s stranicami, dolgimi 30 cm, 40 cm in 45 cm. Testo v obliki trikotnika na debelo namaže z marmelado. Nato vsako stranico razdeli na 5 enakih delov in jih poveže s trakovi testa, kot prikazuje slika. Koliko centimetrov dolg trak bo potrebovala?

Pajek je na ogrodje iz travnih bilk spletel mrežo. Sosednji bilki oklepata kot 45. Mrežo je sestavil iz petih pravilnih osemkotnikov. Pajek je prvo nit začel vleči na razdalji x od presečišča trav, drugo na razdalji 2x, tretjo na razdalji 3x … Za zunanjo plast je med dvema travama porabil 10 cm niti. Koliko niti je porabil za celotno mrežo?

V pravokotni trikotnik s stranicami, dolgimi 21 cm, 28 cm in 35 cm, včrtamo kvadrat tako, da se eden izmed kotov kvadrata ujema s pravim kotom trikotnika. Eno oglišče kvadrata leži na hipotenuzi. Izračunaj dolžino stranice kvadrata.

V enakokraki trikotnik z osnovnico, dolgo 24 cm, in krakoma, dolgima 20 cm, včrtamo kvadrat tako, da ena stranica kvadrata leži na osnovnici, oglišči tej stranici nasprotne stranice pa na krakih trikotnika. Izračunaj dolžino stranice kvadrata.

V trikotnik ABC s stranicami, dolgimi a = 40 cm, b = 35 cm in c = 70 cm, včrtamo paralelogram ADEF tako, da točka D leži na stranici AB, točka E na stranici BC in točka F na stranici AC. Koliko sta dolgi stranici paralelograma, če je dolžina krajše enaka tretjini dolžine daljše?

445.

15 m

6 m

5 m

vrvica

446.

40 cm 30 cm

45 cm

447.

10 cm

448.

A

C

B

449.

A

C

B

450.

A D

EF

C

B

6868


Na podstrešje smo shranili tri škatle v obliki kocke, tako da se dotikajo med seboj in tudi strehe. Rob največje kocke je dolg 3 dm, najmanjše pa 2 dm. Kolikšen je rob srednje kocke?

Kozarec ima obliko prisekanega stožca. Vanj damo 3 kroglice, ki se dotikajo med seboj, pa tudi sten kozarca. Polmer največje kroglice je dolg 3 cm, najmanjše pa 1 cm. Kolikšen je polmer srednje kroglice?

Na list papirja A4 narišemo daljšo simetralo. Nato prepognemo vogal do simetrale, kot prikazujeta sliki. Pod kolikšnim kotom smo prepognili papir? Odgovor utemelji.

Načrtaj trikotnik ABC.

a) α = 45, β = 75, tc = 5 cm

b) α = 75, γ = 30, sα = 3 cm (sα je odsek simetrale kota α, ki leži v ABC)

c) β = 60, γ = 45, r = 2 cm (r je polmer včrtane krožnice)

d) α = 15, β = 105, R = 5 cm (R je polmer očrtane krožnice)

Naj bo ABCD poljuben štirikotnik. Pokaži, da so razpolovišča njegovih stranic oglišča paralelograma.

Ploščina trikotnika ABC je enaka S. Naj bo M točka na stranici AB, N na stranici BC in K na stranici AC, da velja |AM | : |MB| = |BN | : |NB| = |CK| : |KA| = 1 : 2. Kolikšna je ploščina trikotnika MNK?

Dan je pravokotnik ABCD s stranicama, dolgima |AB| = 56 cm in |AD| = 42 cm. Naj bo M taka točka na stranici CD, da velja |CM | : |MD| = 1 : 4. Daljici AM in BD razdelita pravokotnik na štiri like. Izračunaj njihove ploščine.

S svetilko posvetimo proti zidu, ki je oddaljen 26 cm. Svetilka oddaja svetlobo od tal do kota 45. Na razdalji 16 cm od zidu je polkrožna ovira s polmerom, dolgim 6 cm. Tako je del zidu osvetljen, del pa v senci zaradi polkrožne ovire. Koliko centimetrov je dolgosvetljeni del (glej sliko)?

Polkrožnica s središčem na hipotenuzi pravokotnega trikotnika se dotika obeh katet. Središče razdeli hipotenuzo na daljici, dolgi 15 cm in 20 cm. Izračunaj dolžino krožnega loka med dotikališči s katetama.

Na ravnini sta dani vzporedni premici p in q, oddaljeni največ 4 cm, ter premica r, ki seka premici p in q. Načrtaj enakostranični trikotnik ABC, katerega stranica je dolga 4 cm in katerega po eno oglišče leži na premicah p, q in r.

451. *

2 dm ? 3 dm

452. *

453. *

a

454. *

455. *

456. *

457. *

458. *

26 cm

16 cm

osvetljenidel

senca

459. *

460. *

6969

Podobnost v pravokotnem trikotnikuPodobnost v pravokotnem trikotniku

PODOBNOST V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU

a1 je pravokotna projekcija katete a na hipotenuzo, b1 pa pravokotna projekcija katete b na hipotenuzo.

A Bc

a

b1 a1

bv

C Pitagorov izrek

c2 = a2 + b2

Evklidov izrek

a2 = a1 · cb2 = b1 · c

Višinski izrek

v2 = a1 · b1

a1 + b1 = c

a2 = a12 + v2

b2 = b12 + v2

Polmer pravokotnemu trikotniku očrtane krožnice je enak polovici dolžine hipotenuze.

Dolžina težiščnice na hipotenuzo pravokotnega trikotnika je enaka polovici dolžine hipotenuze.

V trikotniku s pravim kotom pri oglišču C izračunaj neznane dolžine stranic in višine na stranico c ter pravokotni projekciji katet a in b na hipotenuzo. Rezultati naj bodo točni.

a) a = 3 cm b = 4 cm

b) a = 5 cm c = 10 cm

c) a = 5 cm a1 = 3 cm

d) a1 = 7 cm b1 = 4 cm

e) v = 6 cm b = 10 cm

f) v = 6 cm a1 = 2 cm

g) a1 = 3 cm c = 10 cm

h) c = 20 cm a : b = 3 : 4

i) c = 15 cma1 : b1 = 2 : 3

j) c = 10 cm v = 2

√6 cm

Načrtaj daljico, katere dolžina je koren nekega števila, na 3 načine: z uporabo Pitagorovega izreka, z uporabo višinskega izreka in z uporabo Evklidovega izreka.

a) √

6 b) √

8 c) √

5 d) √

10 e) √

7

V pravokotnem trikotniku je hipotenuza dolga 12 cm, pravokotna projekcija krajše katete na hipotenuzo pa 3 cm. Natančno izračunaj:

a) obseg trikotnika, b) ploščino trikotnika, c) polmer trikotniku očrtane krožnice.

V pravokotnem trikotniku je hipotenuza dolga 10 cm, dolžini krajše katete in njene pravokotne projekcije pa sta v razmerju 3 : 2. Natančno izračunaj:

a) obseg trikotnika, b) ploščino trikotnika, c) polmer trikotniku očrtane krožnice.

Pravokotni projekciji katet na hipotenuzo pravokotnega trikotnika sta dolgi 3 cm in 4 cm. Natančno izračunaj:

a) obseg trikotnika, b) ploščino trikotnika, c) dolžino težiščnice na stranico c.

Projekciji katet pravokotnega trikotnika na hipotenuzo sta dolgi 3 cm in 9 cm.

a) Izračunaj dolžine vseh stranic ter dolžino višine na hipotenuzo. Rezultati naj bodo natančni.

b) Izračunaj velikosti notranjih kotov trikotnika.

461.

*

462.

463.

464.

465.

466.

7070


Izračunaj dolžino daljice, ki je na sliki označena s črko x. Podatke razberi s slike.

a) b)

Dan je pravokotni trikotnik ABC s pravim kotom pri oglišču C. Naj bo C ′ pravokotna projekcija točke C na hipotenuzo, točka M naj bo pravokotna projekcija C ′ na stranico a in točka N pravokotna projekcija C ′ na stranico b. Točka M ′ je pravokotna projekcija M na hipotenuzo in N ′ je pravokotna projekcija N na hipotenuzo. Dokaži: |C N | = |C M |.

Premica z enačbo x3 + y

6 = 1 oklepa s koordinatnima osema pravokotni trikotnik. Izračunaj njegovo višino na hipotenuzo.

Izračunaj oddaljenost premice 2x + 3y = 12 od koordinatnega izhodišča.

Hipotenuza pravokotnega trikotnika je od ene katete daljša za 4 cm, od druge katete pa za 8 cm. Kolikšen je polmer temu trikotniku očrtane krožnice?

Dolžini katet pravokotnega trikotnika s ploščino 480 cm2 sta v razmerju 8 : 15. Koliko je od hipotenuze oddaljeno njej nasproti ležeče oglišče?

V pravokotnem trikotniku ABC s pravim kotom pri oglišču C je razmerje med dolžino katete b in dolžino njene pravokotne projekcije na hipotenuzo enako 4 : 1. Višina na hipotenuzo je dolga 8

√15 cm.

Izračunaj dolžini katet in dolžino hipotenuze. Kolikšen je polmer trikotniku ABC očrtane krožnice?

Izračunaj obseg in ploščino pravokotnika, katerega diagonala je dolga 13 cm, ena izmed stranic pa 7 cm. Rezultat naj bo točen.

Na 3 mesta natančno izračunaj obseg in ploščino enakokrakega trikotnika, katerega osnovnica je dolga 10 cm, višina na osnovnico pa 20 cm.

Dolžina hipotenuze MR pravokotnega trikotnika MNR je enaka 20 cm, |MN | = 12 cm. V razpolovišču S hipotenuze narišemo pravokotnico na hipotenuzo, ki seka kateto v točki T. Zapiši podobna trikotnika ter izračunaj dolžini daljic NR in TR. Rezultat naj bo točen.

Izračunaj obseg in ploščino romba, katerega diagonali sta dolgi 32 cm in 24 cm.

Dolžini diagonal romba sta v razmerju 12 : 5. Izračunaj dolžini obeh diagonal, če je obseg romba 104 cm.

Dan je trapez ABCD s podatki a = 20 cm, b = 16 cm, c = 5 cm, ACB = 90. Točka S je presečišče diagonal trapeza. Natančno izračunaj dolžino daljice AS.

Izračunaj višino enakokrakega trapeza ABCD s podatki: a = 10 cm, b = d = 4 cm in c = 3 cm. Rezultat zaokroži na tri mesta.

Dan je deltoid ABCD s simetralo BD in podatki |AC| = 6 cm, |AB| = 4 cm, |AD| = 4 cm. Natančno izračunaj dolžino diagonale BD.

Kvadratu s stranico, dolgo a, včrtamo in očrtamo krožnico. Izrazi ploščino kolobarja med obema krožnicama s spremenljivko a.

467.

A

BC a = 8 cm

c = 3

cmx

A Bc = 5 cm

a = 4 cm

Cx

468. *

469.

470.

471.

472.

473.

474.

475.

476.

477.

478.

479.

480.

481.

482.

7171


Diagonala pravokotnika je dolga 20 cm, ena izmed stranic pa je za 4 cm daljša od druge. Natančno izračunaj:

a) obseg pravokotnika,

b) obseg pravokotniku očrtane krožnice,

c) ploščino največjega možnega pravokotniku včrtanega kroga.

Izračunaj dolžino stranice c trikotnika ABC s podatki a = 2√

3, b = 2√

7 in β = 30.

Naj bo ABC poljuben pravokotni trikotnik s pravim kotom pri oglišču C. Iz papirja izrežemo 4 take trikotnike. Zložimo jih v kvadrat, kot prikazuje slika.

c

ab

c

ab

c

ab

c

ab

a) Kateri lik predstavlja luknja med trikotniki? Utemelji.

b) Ploščino celotnega kvadrata enači z vsoto ploščin štirih trikotnikov in lika med njimi. Kaj dobiš?

Miha in Amadeja sedita na kolesih in se pogovarjata tako, da se njuni sprednji kolesi dotikata. Mihovo kolo ima polmer 20 cm, Amadejino pa 30 cm. Na kolikšni razdalji sta njuni krmili?

V krogu s polmerom 10 cm narišemo tetivo dolžine 16 cm. Koliko je tetiva oddaljena od središča krožnice?

V polkrog s polmerom R narišemo dva polkroga in en krog, kot prikazuje slika. Kolikšen je polmer kroga?

Dani sta istosrediščni krožnici. Tangenta manjše krožnice določa tetivo večje krožnice, katere dolžina je osemkrat tolikšna, kot je polmer manjše krožnice. V kolikšnem razmerju sta polmera obeh krožnic?

V krogu sta narisana med seboj pravokotna premera AB in CD. Na krožnici leži točka E, presečišče daljic CD in EB je M. Zapiši podobna trikotnika ter natančno izračunaj dolžini daljic BE in BM, če je polmer krožnice 10 cm in |AE| = 12 cm.

483.

484.

485.

486.

487.

488.

489.

490.

C D

EM

A

B

7272


Iz meter dolge žice bi radi naredili model hišice, sestavljene iz kvadrata in enakostraničnega trikotnika. Na milimeter natančno izračunaj višino hišice. Ali je žico pri tem potrebno rezati?

Polmer pravokotnemu trikotniku očrtane krožnice je dolg 2,5 cm, včrtane pa 1 cm. Izračunaj dolžine stranic trikotnika.

Simetrala pravega kota je hkrati simetrala kota, ki ga oklepata višina in težiščnica na hipotenuzo tega pravokotnega trikotnika. Pokaži

Škatla dimenzij 30 cm × 16 cm × 25 cm je postavljena tako, da se z največjo ploskvijo dotika podlage. Mravlja je pri enem izmed spodnjih vogalov škatle. Kolikšno najkrajšo pot mora prehoditi mravlja, če želi priti po zunanjih stenah škatle do nasprotnega zgornjega vogala?

Okrog valja z obsegom 16 cm in višino 12 cm enkrat ovijemo vrvico. Začetek vrvice je na zgornjem robu valja. Natanko pod njim je na spodnjem robu valja konec vrvice. Kolikšna je dolžina vrvice? Kolikšna bi morala biti dolžina vrvice, če bi jo ovili dvakrat?

Družina Sraka bo z novoletnimi lučkami okrasila dva stebra pred hišo. Stebra imata obliko valja, visoka sta 3 m in debela 30 cm. Koliko metrov lučk potrebujejo za oba stebra skupaj, če želijo na vsakem stebru imeti natanko 10 enakih zavojev?

491. *

492. *

493.

494. *

495. *

496. *

7373

Documents

MATEMATIKA 2 - vedez.dzs.sivedez.dzs.si/datoteke/mat2vn.pdf · MATEMATIKA 2 Zb irka nalog za g imnazije. Zbirko nalog so napisali Olga Arnuš, prof., mag. Mirjam Bon Klanjšček,