MATEMATIKA TEKNIK KIMIA

MATEMATIKA MATEMATIKA TEKNIK KIMIATEKNIK KIMIA

Dr. Ir. Setijo Bismo, D.E.A.

Dr.rer.nat. Ir. Yuswan Muharam, M.T.

SILABUS

Pendahuluan Formulasi problem fisikokimia Teknik penyelesaian model persamaan

diferensial biasa (PDB) Teknik penyelesaian model persamaan

diferensial parsial (PDP)

REFERENSI

Applied Mathematics and Modeling for Chemical Engineers, Rice, 1995

Numerical Methods for Chemical Engineers with MATLAB Applications, Constantinides, 1999.

Numerical Methods for Engineers and Scientists, 2nd Edition, Hoffman, 2001

Applied Numerical Methods Using Matlab, Yang, 2005

Numerical Analysis Using MATLAB and Spreadsheets.2ed Ed, Karris, 2004

EVALUASI

UTS = 20 % UAS = 30 % Tugas = 30 % Proyek = 20 %

PENDAHULUANPENDAHULUAN

Dr.rer.nat. Ir. Yuswan Muharam, M.T.Departemen Teknik Kimia

Fakultas Teknk

Universitas Indonesia

DEFINISI MODEL (TERMINOLOGI)

“Sebuah objek M (benda, sistem fisika atau kimia, atau proses) adalah model apabila terdapat analogi antara objek M dan objek lain O sehingga kesimpulan mengenai O dapat dibuat”.


Model M Representasi objek O; Taksiran objek O yang diisolasi dari seluruh

realitas, Menggambarkan kenyataan atau bagian dari

kenyataan. Dapat disederhanakan menjadi bagian dari

kenyataan jika perlu kesimpulan tertentu saja.


Keterbatasan analogi model M dan objek O Keterbatasan kesesuaian fungsi, Keterbatasan lesesuaian struktur dan perilaku, Keterbatasan akurasi.

Model M dan objek O boleh berbeda skala. Hasil model bagus apabila variabel dan

fenomena pentingnya direpresentasikan secara benar dalam konteks atau investagi tertentu.


Analogi antara model M dan objek O dapat dibuat dalam bentuk persamaan matematis.

Model matematis menggambarkan seperangkat persamaan aljabar dan/atau diferensial dan/atau integral yang digunakan untuk menjelaskan perilaku objek O.

TUGAS CHEMICAL ENGINEER

Mengoperasikan dan mengoptimalkan proses yang ada;

Merancang pabrik baru dan memodifikasi pabrik yang ada.

APLIKASI MODEL MATEMATIS DI INDUSTRI KIMIA

Percobaan Simulasi Analisis sensitivitas Kendali dan operasi Optimisasi Eksplorasi

KETERBATASAN MODEL MATEMATIS

1. Jenis, jumlah serta keakuratan data;

2. Perkakas matematis;

3. Interpretasi hasil model.

INTERPRETASI HASIL MODEL

PENYUSUNAN DAN PENYUSUNAN DAN KLASIFIKASI MODELKLASIFIKASI MODEL


Fakultas Teknk


PENYUSUNAN MODEL MATEMATIKA

Penyusunan model matematika adalah pengesetan seperangkat persamaan matematika.

Persamaan matematika adalah hubungan antara variabel proses.

TAHAP-TAHAP PEMODELAN

1. Formulasi persoalan, pengumpulan objektif dan kriteria keputusan;

2. Pengamatan terhadap proses dan klasifikasinya untuk membagi proses menjadi beberapa subsistem (elemen proses);

3. Penentuan hubungan antara subsistem;

4. Analisis variabel dan hubungan antar variabel pada setiap elemen proses;


5. Pembentukan persamaan matematika dengan menggunakan variabel dan parameter; Pengumpulan data;

6. Pengamatan representasi proses oleh model; perbandingan hasil simulasi dengan data proses nyata;

7. Instalasi model; interpretasi dan pemeriksaan hasil.


8. Analisis sensitivitas model untuk mengidentifikasi parameter yang berpengaruh kuat dan lemah terhadap respons model;

9. Penyederhanaan model.

10. Tahap 4 – 9 diulang, sampai interpretasi hasil model sesuai dengan kriteria objektif dan solusi yang diharapkan.

KEGUNAAN MODEL

Untuk memformulasikan fenomena fisika dan fisikokimia, yaitu perpindahan panas, perpindahan massa dan perpindahan momentum, serta reaksi kimia di dalam sistem homogen dan heterogen.

Untuk mendesain operasi perpindahan massa, menghitung penukar panas, merekayasa reaksi kimia, dan mengendalikan proses.

KLASIFIKASI MODEL MATEMATIKA

MODEL BERDASARKAN PRINSIP FISIKOKIMIA

Digunakan untuk memformulasi fenomena perpindahan.

Proses dibagi menjadi sejumlah elemen proses yang dijelaskan dengan hukum kekekalan massa, momentum, dan energi.


Model deterministik atau elemen model: Nilai atau seperangkat nilai setiap variabel atau parameter

model pada kondisi tertentu telah ditentukan. Model statistik atau elemen model statistik

Variabel dan parameter model merupakan besaran statistik, berupa probabilitas atau momen dari fungsi densitas probabilitas.

Misalnya Jika fungsi densitas probabilitas P(Y ) berlaku untuk

variabel statistik Y, maka P(Y) dY adalah probabilitas variabel tersebut yang berada dalam rentang dY di sekitar Y.


Klasifikasi berdasarkan jenis persamaan

Tingkat kesulitan metode penyelesaian berkurang dari kanan ke kiri.

MODEL PDF Model berbasis persamaan transport dalam bentuk fungsional

P(1, . . . , n). Probabilitas menemukan variabel terikat (1, . . . , n) dalam

rentang d1, . . . , dn di sekitar fungsi 1(x, t), . . ., n(x, t) adalah P(1, . . . , n)d1, . . . , dn.

Memberi informasi statistik proses statistik. Memberi fungsi distribusi variabel proses. Contoh:

mekanika statistik, teori kinetik gas, campuran makro dalam distribusi waktu tinggal, distribusi ukuran kristal, distribusi aktivitas pada pelet katalis, dan distribusi umur dan ukuran biakan mikrobiologi.

MODEL EMPIRISMODEL EMPIRIS Korelasi respons proses terhadap perubahan satu

atau beberapa variabel proses. Contoh:

Fitting polinomial pada data eksperimen, respons proses pada pengendalian proses dalam bentuk fungsi transfer pada domain waktu atau frekuensi.

Merupakan model statistik karena data diperoleh secara eksperimen dan berisi kesalahan statistik.

Memiliki makna terbatas dalam menjelaskan proses atau elemen proses; Misal: prediksi berada di luar rentang percobaan.

MODEL BERDASARKAN MODEL BERDASARKAN PRINSIP FISIKOKIMIAPRINSIP FISIKOKIMIA


Fakultas Teknik


ILUSTRASI PROSES PEMODELANILUSTRASI PROSES PEMODELAN

Proses pendinginan fluida yang mengalir di dalam pipa berpenampang lingkaran. Dimulai dengan model yang paling sederhana. Menambah tingkat kesulitan untuk meningkatkan

keakuratan.

MODEL 1 – MODEL 1 – ALIRAN SUMBATALIRAN SUMBAT

Buat sketsa sistem. Plug flow:

Profil kecepatan fluida berbentuk plug (merata pada posisi radial).

Elemen fluida bercampur sempurna ke arah radial sehingga temperatur fluida merata pada bidang normal terhadap bidang aliran (arah radial).


Jika tube tidak panjang atau perbedaan temperatur tidak besar, maka sifat fisik fluida tidak banyak berubah.

Asumsi:1. Keadaan tunak;2. Sifat fisik fluida (, Cp, k dll) konstan;3. Temperatur dinding konstan dan merata (tidak berubah ke arah z

atau r) dengan nilai Tw;4. Temperatur inlet konstan dan merata (tidak berubah ke arah r)

dengan nilai T0, dimana T0 > Tw;5. Profil kecepatan berbentuk plug atau datar sehingga merata ke

arah z atau r;6. Fluida bercampur sempurna (turbulen Re > 2100) sehingga

temperatur merata ke arah radial;7. Konduksi termal sepanjang sumbu relatif kecil dibandingkan

konveksi.


Buat sketsa elemen volume diferensial sistem (fluida alir) atau “volume kontrol."


Kembangkan hukum kekekalan energi umum

Keadaan tunak akumulasi nol. Tidak ada sumber kimia, nuklir atau listrik tidak ada

pembangkit panas. Panas hanya berpindah melalui perimeter elemen akibat

perbedaan temperatur antara fluida dan dinding. Laju pengambilan panas menggunakan hukum

pendinginan Newton (+)

Kembangkan hukum kekekalan energi umum

Luas kontak = keliling x panjang. Koefisien perpindahan panas, h konstan. Bar di atas T menyatakan nilai rata-rata antara

T(z) dan T (z + z)



Kembangkan hukum kekekalan energi umum Sepanjang sumbu, panas masuk dan keluar

hanya melalui konveksi (aliran) sehingga

Dua suku pertama: laju alir massa x entalpi lokal (temp. rujukan untuk entalpi = 0).


Disusun kembali dan dibagi z, diperoleh

Dengan

menjadi


Pengelompokan parameter menjadi satu suku (parameter lumping)

menjadi

.

dimana

.


Persamaan diferensial biasa orde pertama.

MODEL 2 – MODEL 2 – KECEPATAN PARABOLIKKECEPATAN PARABOLIK Jika aliran lebih lambat (Re < 2100), kecepatan berbentuk

parabola.

v0 = kecepatan rata-rata vz = kecepatan lokal (variatif). Asumsi 5, 6, dan 7 dimodifikasi:

5. Profil kecepatan arah z berbentuk parabola dan tergantung pada posisi r.

6. Fluida tidak tercampur sempurna ke arah radial sehingga konduksi panas radial diperhitungkan.

7. Karena konveksi lebih kecil, konduksi panas aksial dipertimbangkan.

MODEL 2 – MODEL 2 – KECEPATAN PARABOLIKKECEPATAN PARABOLIK Volume kontrol berbentuk cincin dengan tebal r dan panjang

z; Panas melewati dua permukaan, area anular yang normal

terhadap aliran fluida, dan area sepanjang keliling cincin; Fluks panas (laju per satuan luas normal) menggunakan

konduksi molekular.

MODEL 2 – MODEL 2 – KECEPATAN PARABOLIKKECEPATAN PARABOLIK

Laju bersih pembentukan (pelepasan) panas oleh konduksi = fluks x luas area normal terhadap arah fluks.

Hukum kekekalan panas elemen volume

MODEL 2 – MODEL 2 – KECEPATAN PARABOLIKKECEPATAN PARABOLIK Dua koordinat posisi proses diferensiasi parsial,

misalnya

disusun kembali dan dibagi dengan 2zr ..


Dengan limit, diperoleh

Turunan terhadap z menunjukkan nilai r konstan, sehingga r dapat ditempatkan di luar suku; dengan membagi dengan r dan menata kembali, diperoleh

Substitusi hukum Fourier dan uz

ke

diperoleh


Persamaan diferensial parsial orde dua

Contoh: adsorpsi menggunakan unggun padat granular. Adsorpsi lebih cepat dibandingkan difusi internal, sehingga pada

dan dekat partikel terjadi kesetimbangan lokal.

q = komposisi rata-rata fasa padat (mol solut teradsorpsi per satuan volume partikel), C* = komposisi solut (mol solut per satuan volume fluida), yang setimbang.

Asumsi: Pengontrol laju: laju perpindahan antara fasa mengalir dan fasa

diam (padat).

GABUNGAN LAJU DAN GABUNGAN LAJU DAN KESETIMBANGANKESETIMBANGAN


Konsep aliran sumbat profil kecepatan fluida datar.

Adsorbat di dalam fluida encer efek panas diabaikan (isotermal).

Partikel sangat kecil efek difusi aksial diabaikan transportasi fasa fluida disebabkan aliran konveksi.

Transportasi antarfasa mengikuti hukum laju yang berangkat dari keadaan kesetimbangan termodinamika.

Luas antarfasa total tidak diketahui koefisien perpindahan volumetrik (kca); a = luas antarfasa total per satuan volume kolom paking.

Persamaan laju inkremental...


Neraca solut di kedua fasa

Vo: kecepatan superfisial fluida (terjadi jika tube kosong);: fraksi volume kosong di antara partikel (volume kosong interstitial) (1 - ): fraksi volume fasa padat;Laju akumulasi: fasa fluida (C) dan fasa padat (q).

Pembagian dengan Az dan limit menghasilkan


Neraca solut di fasa diam saja Tidak ada reaksi kimia; Laju akumulasi sama dengan laju perpindahan ke padatan

Dibagi dengan A z

Jika kesetimbangann dicapai C C*.


Substitusi

menghasilkan

Kondisi batas..

.


PROSEDUR PEMODELANPROSEDUR PEMODELAN

1. Gambar sketsa sistem dan definisikan besaran kimia, fisika dan geometri.

2. Pilih variabel terikat (respons).3. Pilih variabel bebas (misal z, t).4. Buat daftar parameter (konstanta fisik, ukuran dan bentuk); buat

pula daftar parameter tak konstan (misal viskositas yang berubah terhadap temperatur).

5. Gambar sketsa perilaku variabel terikat, seperti profil temperatur yang diharapkan.

6. Buat “volume kontrol" untuk elemen diferensial atau berhingga sistem (misal CSTR); buat sketsa elemen dan indikasikan semua lintasan masuk dan keluarnya.

PERSAMAAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA -DIFERENSIAL BIASA -

PROBLEM NILAI AWALPROBLEM NILAI AWAL


PERSAMAAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (PDB)DIFERENSIAL BIASA (PDB)

Persamaan diferensial untuk fungsi yang hanya tergantung pada satu variabel Ruang (x, y, z, r) Waktu (t).

Solusi PDB: Kondisi awal (problem nilai awal); Kondisi batas (problem nilai batas).

PERSAMAAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (PDB)DIFERENSIAL BIASA (PDB)

Problem nilai awal: jika semua kondisi berada pada satu titik dan

dapat diintegrasi mulai dari titik tersebut. Problem nilai batas dua titik:

jika pada satu titik terdapat satu atau lebih kondisi dan pada titik lain terdapat satu atau lebih kondisi yang lain.

Contoh problem PDB: kontrol parameter, kinetika di dalam reaktor

batch, reaktor alir sumbat.

KLASIFIKASI PDBKLASIFIKASI PDB

Dasar klasifikasi: Orde, Kelinearan, Kondisi batas.

KLASIFIKASI BERDASARKAN KLASIFIKASI BERDASARKAN ORDEORDE

Orde persamaan diferensial = orde tertinggi dari derivat (turunan). Orde pertama:

Orde kedua:

Orde ketiga:

kxydx

dy

kxdx

dyy

dx

yd

2

2

kxdx

dyb

dx

yda

dx

yd

2

2

2

3

3

KLASIFIKASI BERDASARKAN KLASIFIKASI BERDASARKAN KELINEARANKELINEARAN

Linear: tidak mengandung perkalian variabel terikat, derivatnya atau keduanya.

Tak linear: mengandung perkalian variabel terikat atau derivatnya atau keduanya. Linear:

Tak Linear:

kxydx

dy

kxdx

dyy

dx

yd

2

2

kxdx

dyb

dx

yda

dx

yd

2

2

2

3

3

KLASIFIKASI BERDASARKAN KLASIFIKASI BERDASARKAN KONDISI BATASKONDISI BATAS

Problem nilai awal: Semua nilai variabel terikat dan/atau turunanya

diketahui pada nilai awal variable bebas. Problem nilai batas:

Variabel terikat dan/atau turunannya diketahui pada lebih dari satu variabel bebas.

PDB orde ke-n:

R(x) = 0 homogen. R(x) 0 tak homogen. Koefisien {bi | i = 1, 2, …, n}

koefisien variabel jika fungsi dari x; koefisien konstan jika skalar.


xRyxbdx

dyxb

dx

ydxb

dx

ydxb nnn

n

n

n

11

1

10 ...

Untuk mendapatkan solusi sebuah PDB orde ke-n atau sejumlah n PDB orde pertama, diperlukan spesifikasi n nilai variabel terikat (turunannya) pada nilai-nilai tertentu variabel bebasnya.


SOLUSI PDB - SOLUSI PDB - PROBLEM NILAI PROBLEM NILAI

AWALAWAL


Hanya satu PDB (linear atau tidak linear)

Pemisahan variabel:

KUADRATURKUADRATUR

00 yy

yfdt

dy

y

y

t

dtyf

dy

dtyf

dy

0 0

● Jika dapat diselesaikan secara analitik solusi eksak.

KUADRATURKUADRATUR

Misal: problem kinetika untuk reaksi orde dua

Pemisahan variabel dan integrasi:

Kondisi batas menghasilkan:

0

2

0 cc

kcdt

dc

Dktc

kdtc

dc

1

2

0

11

ckt

c

METODE EKSPLISITMETODE EKSPLISIT

Jika nilai y pada tn diketahui, maka perhitungan vektor y pada waktu berikutnya tn +1 hanya memerlukan nilai vektor y yang diketahui tersebut serta turunannya dy/dt = f(y) pada waktu tn (dan waktu sebelumnya).


Integrasi numeris PDB dapat dilakukan jika sistem terdiri dari n PDB orde pertama simultan dalam bentuk:

xyyyfdx

dy

xyyyfdx

dy

xyyyfdx

dy

nnn

n

n

,,...,,

.

.

.

,,...,,

,,...,,

21

2122

2111

Bentuk kanonis


Apabila kondisi awal diberikan pada titik x0:

Solusinya:

xyyyfdx

dy

xyyyfdx

dy

xyyyfdx

dy

nnn

n

n

,,...,,

.

.

.

,,...,,

,,...,,

21

2122

2111

0,0

0,202

0,101

.

.

.

nn yxy

yxy

yxy

xFy

xFy

xFy

nn

.

.

.22

11


Dalam bentuk matriks

xyyyfdx

dy

xyyyfdx

dy

xyyyfdx

dy

nnn

n

n

,,...,,

.

.

.

,,...,,

,,...,,

21

2122

2111

0,0

0,202

0,101

.

.

.

nn yxy

yxy

yxy

xFy

xFy

xFy

nn

.

.

.22

11

yfy

,xdx

d 00 yy x xFy


Persamaan diferensial orde tinggi

dapat diubah menjadi seperangkat persamaan orde satu.

Caranya?

xdx

zd

dx

zd

dx

dzzG

dx

zdn

n

n

n

,,...,,,1

1

2

2


xdx

zd

dx

zd

dx

dzzG

dx

zdn

n

n

n

,,...,,,1

1

2

2

dx

dy

dx

zd

ydx

dy

dx

zd

ydx

dy

dx

zd

ydx

dy

dx

dz

yz

nn

n

nn

n

n

1

1

1

32

2

2

21

1

.

.

.

Transformasi


dx

dy

dx

zd

ydx

dy

dx

zd

ydx

dy

dx

zd

ydx

dy

dx

dz

yz

nn

n

nn

n

n

1

1

1

32

2

2

21

1

.

.

.

xdx

zd

dx

zd

dx

dzzG

dx

zdn

n

n

n

,,...,,,1

1

2

2

xyyyyGdx

dy

ydx

dy

ydx

dy

nn ,,...,,,

.

.

.

321

32

21

substitusi

n persamaan orde pertama bentuk kanonis


xyyyyGdx

dy

ydx

dy

ydx

dy

nn ,,...,,,

.

.

.

321

32

21

Jika sisi kanan PDB bukan fungsi variabel bebas, maka disebut persamaan otonom. yfy

dx

d

Jika f(y) linear terhadap y, maka dapat ditulis: y’ = Ay


Ubah persamaan berikut ke bentuk kanonisnya!

tezdt

dz

dt

zd

dt

zd

dt

zd

zdt

dz

dt

zd

dt

zd

dt

zd

3625

03625

2

2

3

3

4

4

2

2

3

3

4

4

05

02

22

23

3

3

3

2

2

3

32

zdx

dzz

dx

zdz

dx

zd

zdx

dz

dx

zdz

dx

zd


Metode Euler Metode Adam-Bashford Runge-Kutta

METODE EULERMETODE EULER

Bentuk kanonis:

Diferensial:

Nilai rata-rata f pada h adalah f(y(tn)).

yy

,tfdt

d

METODE EULER - CONTOHMETODE EULER - CONTOH

Contoh: Dekomposisi nitrogen dioksida di dalam reaktor alir sumbat

dengan laju reaksi

Konstanta laju reaksi pada 383°C = 5030 ml/mol/detik. Asumsi:

Difusi aksial sangat kecil sehingga diabaikan, Profil kecepatan berbentuk plug.

Hitung profil konsentrasi keadaan tunak pada temperatur konstan!

METODE EULER - JAWABMETODE EULER - JAWAB

Neraca massa

u = kecepatan, S = luas penampang lintang reaktor.


Bagi dengan z dan susutkan elemen menjadi nol (limit)

Kondisi awal:

Solusi analitik:


Kalikan sisi kiri dengan S/S

Jadikan persamaan tak-berdimensi


Metode Euler:

Jika h = 0,2


METODE EULER - LATIHANMETODE EULER - LATIHAN

Selesaikan PDB di bawah dengan menggunakan metode Euler!

10

y

ytdt

dy

METODE EULER - JAWABANMETODE EULER - JAWABAN

tn yn f(yn) t f(yn)

METODE ADAM-BASHFORDMETODE ADAM-BASHFORD

Orde kedua:

Orde keempat:

METODE ADAM-BASHFORF - METODE ADAM-BASHFORF - LATIHANLATIHAN

Selesaikan PDB di bawah dengan menggunakan metode Adam-Bashford orde-keempat!

10

y

ytdt

dy

METODE EKSPLISITMETODE EKSPLISIT Metode eksplisit orde tinggi perlu solusi (sisi kanan) yang

dievaluasi pada waktu-waktu sebelumnya. Evaluasi mudah dilakukan kecuali pada permulaan evaluasi

gunakan metode Euler dengan ukuran tahap yang sangat kecil selama beberapa tahap untuk mendapatkan nilai-nilai permulaan.

Keuntungan metode Adam – Bashford orde keempat: Hanya menggunakan satu evaluasi fungsi per tahap, Akurasi orde tinggi.

Kelemahan metode Adam – Bashford orde keempat: Perlu metode lain untuk memulai.

METODE RUNGE-KUTTAMETODE RUNGE-KUTTA

Skema titik tengah: titik tengah digunakan untuk menghitung titik tak

diketahui pada tn + 1;

Argument yn + (h/2)fn = slope pada tn + (h/2), titik tengah antara tn dan tn + 1.

METODE RUNGE-KUTTAMETODE RUNGE-KUTTA

Skema korektor predictor-trapezoid Euler.

METODE RUNGE-KUTTA-GILLMETODE RUNGE-KUTTA-GILL

Orde ke-empat; Paling banyak digunakan karena

memerlukan sedikit memori komputer; Ditulis dalam bentuk vektor untuk sistem

PDB;

METODE RUNGE-KUTTA-GILLMETODE RUNGE-KUTTA-GILL

METODE RUNGE-KUTTA-METODE RUNGE-KUTTA-FELDBERGFELDBERG

Orde ke-enam

Nilai yn+1 – zn+1 merupakan taksiran error untuk yn+1

LATIHAN METODE LATIHAN METODE RUNGE-KUTTARUNGE-KUTTA

Selesaikan dengan menggunakan metode Runge-Kutta-Gill!

Gunakan h = 0,01!

10 , .8 2 yxydx

dy

Documents

MATEMATIKA TEKNIK KIMIA