Upload
truonghuong
View
268
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
MATEMATIKA TEKNIK 2S1-TEKNIK ELEKTRO
Mohamad Sidiq
REFERENSI E-BOOK
Mohamad Sidiq
REFERENSI ONLINE
SOS Mathematics http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html
Wolfram Research Math World http://mathworld.wolfram.com/OrdinaryDifferentialEquation.h
tml
Math Forum @ Drexel http://mathforum.org/differential/differential.html
Internet Differential Equations Activities http://www.sci.wsu.edu/idea/
Paul's Online Math Notes http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/SystemsDE.aspx
Mohamad Sidiq
http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.htmlhttp://mathworld.wolfram.com/OrdinaryDifferentialEquation.htmlhttp://mathforum.org/differential/differential.htmlhttp://www.sci.wsu.edu/idea/http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/SystemsDE.aspx
MATH CALCULATOR ONLINE
Symbolabhttps://www.symbolab.com
OnSolver.comhttps://onsolver.com
Math10.comhttps://www.math10.com
Brilliant https://brilliant.org/
Mohamad Sidiq
https://www.symbolab.com/https://onsolver.com/https://www.math10.com/https://brilliant.org/
MODELING CALCULATOR
The Ordinary Differential Equations Project
http://faculty.sfasu.edu/judsontw/ode/html/odeproject.html
ODEs on the Web
http://math.arizona.edu/~dsl/webodes.htm
IDEA Project
http://www.sci.wsu.edu/idea/current.html
Mohamad Sidiq
http://faculty.sfasu.edu/judsontw/ode/html/odeproject.htmlhttp://math.arizona.edu/~dsl/webodes.htmhttp://www.sci.wsu.edu/idea/current.html
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE 1
Mohamad Sidiq
Mohamad Sidiq
PENGERTIAN
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu ataulebih turunan fungsi yang tidak diketahui.
Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebutPersamaan Diferensial Biasa (PDB).
Sedangkan jika peubah bebasnya lebih dari satu dinamakan PersamaanDiferensial Parsial.
Persamaan diferensial biasa dikatakan linear, apabila persamaan diferensialtersebut mempunyai peubah tak bebas maupun turunannya bersifat linear.
Bentuk umum PDBL orde-n adalah sebagai berikut an(x) yn + an-1(x) yn-1 + + a0(x) y = f(x) dengan an(x) 0 dan an(x), an-1(x), , a0(x) adalah koefisien PD.
Bila f(x) = 0 disebut PDBL Homogen, sebaliknya jika tidak disebut PDBL tak homogen.
Orde PDB adalah turunan tertinggi yang terlibat dalam PDB.
Mohamad Sidiq
CONTOH
dN =kN, N = N(t), orde 1 di mana N peubah
tak bebas, t peubah bebasnya.
y + 2 cos 2x = 0, orde 1 di mana y peubah
tak bebas x peubah bebasnya.
y + ex y + sin xy = ex sin x, PD orde 2.
x3 y+ cos 2x (y)3= x2 y2, PD orde 2.
Mohamad Sidiq
SOLUSI PD
Persamaan diferensial di mana y sebagaipeubah tak bebas yang bergantung padapeubah bebas x atau suatu fungsi y = f(x) disebut solusi PDB jika fungsi y = f(x) disubtitusikan ke PDB diperoleh persamaanidentitas.
Solusi umum dan solusi khusus
Jika fungsi y = f(x) memuat konstantasembarang maka solusi disebut solusi umum, sebaliknya disebut solusi khusus.
Mohamad Sidiq
CONTOH
y = cos x + c solusi umum
Persamaan Diferensial y + sin x = 0 Karena
(cos x + c) + sin x = -sin x + sin x = 0
y = cos x + 6 solusi khusus
Persamaan Diferensial y + sin x = 0 Karena
(cos x + 6) + sin x = -sin x + sin x = 0
Mohamad Sidiq
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE 1
PDB terpisah
PDB dengan koefisien fungsi homogen
PDB Linier
Mohamad Sidiq
PDB TERPISAH
PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk :
g(y) dy = f(x) dx disebut PDB terpisah.
Penyelesaian : integralkan kedua ruas
Contoh:
Tentukan solusi umum PD
o (x ln x) y' = y y = dy/dx
o y = x3e y y(2) = 0
Mohamad Sidiq
PENYELESAIAN
o ln =
ln
=
=
ln
=
ln
ln = ln(ln ) + ln
ln = ln( ln )
= ln
Jadi solusi umum PD tersebut adalah
= ln
Mohamad Sidiq
PENYELESAIAN
o = 3
= 3
= 3
= 3
=1
44 +
= ln(1
44 + )
Diketahui y(2)=0, sehingga:
0 = ln1
424 +
1 = 4 + = 3
Jadi solusi khusus PD tersebut adalah:
= ln(1
44 3)
Mohamad Sidiq
LATIHAN SOAL
Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini
1.
=
2
12
2.
=
32+4+2
2(1)
3.
=
2
(1+3)
4.
= 1 + + 2 + 2
5. = (1 + 2)(1 + 2 + 23)
6. = 2 1 + 1 + 2 , 0 = 0
7. = cos
1+22, 0 = 1
8. (1 + )+, = 0, 0 = 1
Mohamad Sidiq
FUNGSI HOMOGEN
Fungsi A(x,y) disebut fungsi homogen dengan derajat n, jika A(kx,ky) = knA(x,y), k konstanta sembarang
Contoh :
Periksa apakah fungsi berikut homogen atau tidak!
1. A(x,y) = x + y
A(kx,ky) = kx + ky
= k (x + y) = k A(x,y)
A(x,y) = x + y, fungsi homogen dengan derajat 1
2. A(x,y) = x2 + xy
A(kx,ky) = k2x2 + kx ky
= k2 (x2+xy) = k2 A(x,y)
A(x,y) = x2 + xy, fungsi homogen dengan derajat 2
Mohamad Sidiq
PD DENGAN KOEFISIEN FUNGSI HOMOGEN
Persamaan Diferensial Biasa yang dapat dituliskan
dalam bentuk =(,)
(,)dengan A,B fungsi
homogen dengan derajat yang sama disebut PDB dengan koefisien fungsi homogen.
Penyelesaian:
Menggunakan subtitusi y = ux, u = u(x)
= +
=
+
= +
Mohamad Sidiq
CONTOH
Selesaikan solusi persamaan diferensial berikut:
1. =+
Penyelesaian:
= +
Misalkan = , maka = +
= 1 +
+
= 1 + + = 1 +
= =
=
u = ln +
= ln + = ln +
Jadi solusi umum dari PD di atas adalah = ln + Mohamad Sidiq
CONTOH
2. 2
2 2 = 0, 1 = 1
Penyelesaian:
=
2+2
2
= (
)2+2(
). Misalkan = , maka = + ,
sehingga: +
= 2 + 2 + = 2 + 2
= (2+)
(2+)=
(2+)=
(+1)= ln + )
1
1
+1) = ln ln ln + 1 = ln
ln
+1= ln ln
+1
= ln ln
+= ln
+= ln 1 = 2 =
2
1 1 = 1 =
1
2
Jadi solusi umum dari PD di atas adalah =2
2Mohamad Sidiq
LATIHAN SOAL
Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini
1. 2 = 0
2.
=
2+22
2
3.
=
2+2
2
4.
=
+3
5.
=
2++2
2
6.
=
4+3
2+
7.
=
33
2
Mohamad Sidiq
PDB LINIER
PDB Linier adalah PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk :
+ () = ()
Penyelesaian :
oKalikan kedua ruas dengan faktor integral
o Sehingga diperoleh:
+ () = ()
= ()
o Integralkan kedua ruas:
= + Solusi Umum PDB
Mohamad Sidiq
CONTOH
Selesaikan persamaan diferensial berikut
1. 2 = 3
Penyelesaian:
2 = 3 2
= 2 =
2
dan = 2
Faktor integrasi: 2
= 2 ln = 2
Kedua ruas dikalikan dengan 2, sehingga didapatkan:1
2
2
3 =
1
2
=
1
2 = + = 2 + 2
Jadi solusi umumnya adalah = 2 + 2
Mohamad Sidiq
CONTOH
2. + = + 1 2, 0 = 3Penyelesaian:
+ = + 1 2 = 1 dan = ( + 1)2
Faktor integrasi: 1 =
Kedua ruas dikalikan dengan , sehingga didapatkan: + = + 1 2 () = + 1 2
() = + 1 2 (( = + 1 2
= + 1 2 )2 + 1)
= + 1 2 2 + 1 + 2 + = + 1 2 2 + 1 + 2 + = 2 + 1 +
Diketahui 0 = 3, sehingga 3 = 1 + c = 2Jadi solusi khusus adalah = 2 + 1 + 2
Mohamad Sidiq
LATIHAN SOAL
Selesaikan persamaan diferensial di bawah ini:
1. + 2 = 2
2. + 2 =
3. ( + 1)+ = 2 1
4. +2
+1= ( + 1)2
5. + 1 + = , 1 = 0
6. + tan = sec
7. sin + 2 cos = sin 2, (2)=2
Mohamad Sidiq
Trayektori Ortogonal
Jika diketahui keluarga kurva pada bidang XY yang dinyatakan olehpersamaan F(x, y, k)= 0 dengan k konstanta variabel. Kurva yang
memotong tegak lurus kurva-kurva tersebut dinamakan trayektoriortogonal dari kurva F.
Keluarga Kurva y = mx dan y2 + x2 = k2 Keluarga Kurva y = kx2 Keluarga Kurva y = k/(1+x2)
Mohamad Sidiq
Menentukan Trayektori Ortogonal
Tahapan menentukan Trayektori Ortogonal keluarga kurva F(x, y, k) = 0
1. Turunkan persamaan garis/kurva, sehingga didapatkan persamaandiferensial orde-1 untuk keluarga kurva, yaitu F(x, y, k) = 0
2. Substitusikan k = F(x, y) pada F(x, y, k) = 0 untuk memperolehpersamaan diferensial implisit bagi F(x, y) = 0 berbentuk y= (x,y)
3. Buat persamaan diferensial yang berkaitan untuk keluargaortogonal menjadi bentuk berikut: y= 1/f(x,y)
4. Selesaikan persamaan diferensial baru. Penyelesaiannya adalahkeluarga trayektori ortogonal.
Mohamad Sidiq
CONTOH
Tentukan keluarga trayektori ortogonal dari keluarga kurva y=kx2.
Penyelesaian:
Persamaan diferensial untuk = 2 adalah
= 2 (a)
Subsitusikan =
2pada persamaan (a) sehingga didapatkan persamaan
diferensial implisit berikut:
= 2
2 =
2
Persamaan diferensial untuk keluarga ortogonal yaitu:
=
1
, =
1
2
=
2
Selesaikan persamaan diferensial baru:
=
2 2 = 2 = 2 =
1
22 +
Mohamad Sidiq
CONTOH
22 + 2 = 2
22 + 2 =
Jadi, persamaan trayektoriortogonal untuk keluargakurva y = kx2 adalah:
22 + 2 =
Mohamad Sidiq
LATIHAN SOAL
Tentukan solusi trayektori ortogonal dari keluarga kurva
1. 2 + 2 = 2
2. 2 2 = 2
3. =
4. = +
5. 42 + =
Mohamad Sidiq
PENERAPAN PD ORDE 1 PADA RANGKAIAN LISTRIK
Hukum Kirchhoff, rangkaian listrik
sederhana (gambar samping) yang
mengandung sebuah tahanan sebesar R
ohm dan sebuah kumparan sebesar L
Henry dalam rangkaian seri dengan
sumber gaya elektromotif (sebuah
baterai atau generator) yang
menyediakan suatu voltase E(t) volt
pada saat t memenuhi
L I't RIt Et
Dengan I adalah arus listrik dalam ampere.
Mohamad Sidiq
CONTOH
1. Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu rangkaian
RL dengan R = 6 ohm, L = 2 henry dan sebuah baterai yang
menyediakan voltase sebesar E = 12 Volt dan diasumsikan saat
awal arusnya adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika saklar S
ditutup).
Penyelesaian:
Persamaan diferensialnya adalah: 2 I' 6 I 12
Atau bisa disederhanakan menjadi: I' 3 I 6
Mohamad Sidiq
CONTOH
Kemudian kedua ruas kalikan dengan faktor integrasi e3t
sehingga diperoleh
I e3t 2e3t C 2 C e3t
Syarat awal, I = 0 pada saat t = 0, memberikan C = 2 Sehingga,
I 2 2e3t
Mohamad Sidiq
CONTOH
2. Dari contoh sebelumnya baterai diganti dengan generator arus bolak
balik dengan E = 12 sin 9t Volt dan diasumsikan saat awal arusnya
adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika saklar S ditutup).
Penyelesaian:
Persamaan diferensialnya adalah
2I' 6I 12sin9t
Atau bisa disederhanakan menjadi
I'3I 6sin9t
Kemudian kedua ruas kalikan dengan faktor integrasi e3t
Sehingga dipereroleh: I e3t 6e3t sin9t dt
Mohamad Sidiq
CONTOH
Dengan integral parsial, didapat hasil integralnya adalah
= 363
9 + 81(3 sin 9 9 9) +
Jadi, =1
5sin 9
3
5 9 + 3
Syarat awal, I=0 pada saat t=0, didapatkan:
0 = 3
5+ =
3
5
Sehingga, =1
5sin 9
3
5 9 +
3
53
Mohamad Sidiq
LATIHAN SOAL
1. Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu
rangkaian RL dengan R = 106 ohm, L = 1 henry dan sebuah
sumber gaya elektromotif yang menyediakan voltase sebesar
E = 1 Volt dan diasumsikan saat awal arusnya adalah nol (I
= 0 pada saat t = 0, jika saklar S ditutup).
2. Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu
rangkaian RL dengan L = 3,5 Henry dan sebuah sumber gaya
elektromotif yang menyediakan voltase sebesar E(t) = 120 sin
377t Volt dan diasumsikan saat awal arusnya adalah nol (I =
0 pada saat t = 0, jika saklar S ditutup).
Mohamad Sidiq
LATIHAN SOAL
3. Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu rangkaian
RL dengan R = 1000 ohm dan sebuah sumber gaya elektromotif
yang menyediakan voltase sebesar E(t) = 120 sin 377 t Volt dan
diasumsikan saat awal arusnya adalah nol (I = 0 pada saat t = 0,
jika saklar S ditutup).
4. Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu rangkaian
RL dengan R = 1000 ohm, L = 3,5 henry dan sebuah sumber
gaya elektromotif yang menyediakan voltase sebesar E(t) = 120
sin 377t Volt dan diasumsikan saat awal arusnya adalah nol (I = 0
pada saat t = 0, jika saklar S ditutup).
Mohamad Sidiq